คณิตหลัก ม.5

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 2.3 ฟงั กช์ นั กา� ลงั สอง (Quadratic Function)

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) 1. กราฟของฟงั กช์ นั กา� ลงั สอง (Graph of Quadratic Function)

1. ครทู บทวนความรู เรอ่ื ง ฟง กช นั เชงิ เสน โดยครู จากหัวข้อที่ผ่านมา นักเรียนทราบแล้วว่าฟังก์ชันเชิงเส้นมีลักษณะของกราฟเป็นเส้นตรง
อธิบายวา ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันท่ีมี ในหัวข้อน้ีนักเรียนจะศึกษาเกี่ยวกับกราฟของฟังก์ชันก�าลังสองซึ่งมีชื่อเรียกว่า พำรำโบลำ
(parabola)
สมการอยูในรปู y = ax + b เมือ่ a, b เปน
จํานวนจริง และ a 0 จากฟงกชัน y = ฟงั กช์ ันกำ� ลังสอง คือ ฟงั กช์ นั ทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2 + bx + c เมอื่ a, b และ c เป็นจ�านวนจรงิ
ax + b ถา a = 0 จะไดฟ ง กช ันทอ่ี ยูในรปู ใด ๆ และ a ≠ 0 ซึง่ ลักษณะกราฟของฟังก์ชนั กา� ลังสองขนึ้ อยูก่ ับค่าของ a, b และ c

y = b ซง่ึ มกี ราฟเปน เสน ตรงทข่ี นานกบั แกน X 1) กรำฟของ y = ax2 เม่ือ a ≠ 0
จะเรียกฟงกชันแบบน้ีวา ฟงกชันคงท่ี กราฟ
Investigation
ของเสนตรงจะขนานกัน เม่ือ a มีคาเทากัน
ให้นักเรยี นตอบคำ� ถำมต่อไปน้ี
และตัดแกน Y ที่จุด b โดยจุดท่ีกราฟตัด
แกน X จะใหคา y = 0 และจุดท่ีกราฟตัด 1. เขียนกราฟต่อไปนี้โดยใช้โปรแกรมคณิตศาสตร์เชงิ พลวตั
แกน Y จะใหคา x = 0 1) y = x2 2) y = -x2
2. ครยู กตัวอยา งฟง กช นั y = x2 + 2x + 1 แลว
ถามนักเรียนวา ฟงกชันดังกลาวเปนฟงกชัน 2. จากขอ้ 1. ให้สงั เกตลกั ษณะของกราฟในแตล่ ะขอ้ แล้วตอบค�าถามตอ่ ไปนี้
เชงิ เสน หรือไม 1) กราฟในขอ้ 1. ทง้ั สองกราฟจะลากผา่ นจดุ ใดจุดหน่งึ ที่เป็นจดุ เดยี วกันคือจดุ ใด
(แนวตอบ ไมเ ปน ฟงกช ันเชงิ เสน ) 2) ให้หาจุดต่�าสดุ และจดุ สูงสุดของกราฟ
3. ครอู ธิบายเพ่มิ เตมิ วา ฟง กช นั ดงั กลาว เรยี กวา 3) ให้หาแกนสมมาตรของกราฟ
ฟง กชนั กําลังสอง หรือ พาราโบลา
จาก Investigation จะเห็นว่า กราฟของ y = x2 และ y = -x2 จะผ่านจุดก�าเนดิ หรอื
ขนั้ สอน จดุ (0, 0) และมีแกนสมมาตรของกราฟ คอื แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0 ดงั รปู

รู้ (Knowing) Y Y จุดวกกลบั X
y = x2 0
1. ครูอธิบายความหมายของฟงกชันกําลังสอง
ใหนักเรียนเขาใจวา ฟงกชันกําลังสอง คือ y = -x2

ฟงกชนั ท่ีอยูใ นรปู y = ax2 + bx + c เมอื่ แกนสมมาตร แกนสมมาตร
a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใดๆ และ a 0
0 จุดวกกลบั X
ซ่ึงลักษณะกราฟของฟงกชันกําลังสองขึ้นอยู
จากกราฟของ y = x2 จะมจี ดุ วกกลบั เปน็ จดุ ตา่� สดุ คอื จดุ (0, 0) และกราฟไมม่ จี ดุ สงู สดุ
กับคาของ a, b และ c และกราฟของ y = -x2 จะมจี ดุ วกกลบั เปน็ จดุ สงู สดุ คอื จดุ (0, 0) และกราฟไมม่ จี ดุ ตา�่ สดุ
2. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม “Investigation”
86
ในหนังสือเรยี น หนา 86 พรอมท้งั ใหน ักเรียน
สังเกตความแตกตางของกราฟทั้งสองกราฟ

แลวตอบคําถามกจิ กรรม “Investigation”

เฉลย Investigation กจิ กรรม สรา งเสริม

1. 1) เขียนกราฟของ y = x2 ได ดงั น้ี 2) เขียนกราฟของ y = -x2 ได ดงั น้ี ครูใหน ักเรยี นจบั คู แลว ปฏบิ ตั ิตามขัน้ ตอนตอ ไปนี้
Y Y • เขียนกราฟของฟงกช ันกําลังสอง
5 y = x2
2 y = 12 x2 และ y = - 12 x2
43 1 X • กราฟจากขอ 1) และ 2) ท้ังสองกราฟจะลากผานจดุ ใดจดุ หน่ึง
-4 -3 -2 -1-10
2 -2 1234 ที่เปน จุดเดียวกันคอื จุดใด
1 -3 • ใหห าจดุ ตาํ่ สุดและจุดสูงสดุ ของกราฟ
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X -4 y = -x2 • ใหห าแกนสมมาตรของกราฟ
-5 หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรียนเกง และนกั เรยี นออนจบั คกู ัน

2. 1) กราฟของสมการ y = x2 และ y = -x2 จะลากผา นจดุ เดยี วกนั
คอื จดุ (0, 0)

2) จุดต่าํ สดุ ของกราฟ y = x2 และจดุ สูงสุดของกราฟ y = -x2
คอื จุด (0, 0)

3) แกน Y หรือเสนตรง x = 0

T92

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

กรณีทั่วไป กรำฟของ y = ax2 เม่อื a ≠ 0 สรุปได้ ดงั น้ี 3. ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ กรณที ว่ั ไป กราฟของ
(1) กราฟของ y = ax2 มจี ดุ วกกลับทีจ่ ุด (0, 0) y = ax2 เมือ่ a 0 ในหนังสือเรยี น หนา 87
(2) แกนสมมาตรของกราฟ คอื แกน Y หรือเส้นตรง x = 0 4. ครใู หนกั เรยี นศกึ ษาตวั อยางท่ี 25 ในหนังสือ-
(3) ถ้า a > 0 กราฟเปน็ เสน้ โค้งเปดิ ขึ้นด้านบนและมจี ุดวกกลับเป็นจดุ ต�่าสุด คือ เรียน หนา 87 จากน้ันครูอธิบายซ้ําอีกครั้ง
แลวถามคําถามนักเรียนเพื่อตรวจสอบความ
จุด (0, 0) และมคี ่าตา�่ สดุ เท่ากับ 0 เขา ใจ ดังน้ี
ถา้ a < 0 กราฟเปน็ เส้นโค้งเปิดลงด้านลา่ งและมีจดุ วกกลับเป็นจุดสูงสุด คือ • จากขอ 1) ถา y4 = 8x2 และ y5 = 10x2
จุด (0, 0) และมีค่าสงู สดุ เทา่ กับ 0 นกั เรียนสามารถเขยี นกราฟไดอยางไร

ตวั อยา่ งท ี่ 25 (แนวตอบ Y y5 y4

ใหเ้ ขียนกรำฟของฟงั กช์ นั ก�ำลงั สองต่อไปน้บี นระนำบเดียวกนั พรอ้ มทั้งหำจดุ วกกลบั 35
1) y1 = -22xx2,2,yy22==4-x42x, 2y, 3y=3 6x2 30
2) y1 = = -6x2 25
20
15
วธิ ที �ำ 1) จาก y1 = 2x2, y2 = 4x2, y23x2=, 6x2 4x2, y3 = 6x2 คือ จุด (0, 0) 10
จะได้ จดุ วกกลบั ของ y1 = y2 = 5
เขียนตารางคู่อนั ดับ (x, y) ได้ ดงั นี้
-4 -3 -2 -1-50 1 2 3 4 X )
x -2 -1 0 1 2 • เม่ือสัมประสทิ ธขิ์ อง x หรอื a มคี ามากขน้ึ
y1 8 2 0 2 8 กราฟจะมีลกั ษณะอยางไร
y2 16 4 0 4 16 (แนวตอบ กราฟจะลูเ ขา หาแกน Y)
y3 24 6 0 6 24 • จากขอ 2) ถา y4 = -8x2 และ y5 = -10x2
นกั เรยี นสามารถเขยี นกราฟไดอ ยา งไร
จากตารางคู่อนั ดบั เขยี นกราฟได้ ดงั นี้ (แนวตอบ Y

Y ATTENTION 5 X
35 y3y2 y1 กราฟของ y = ax2, a > 0 -4 -3 -2 -1-50 1 2 3 4
30 ถา้ สมั ประสิทธ์ขิ อง x หรือ a -10
25 มีค่ามากขึ้น แล้วกราฟจะลู่ -15
20 เข้าหาแกน Y -20
15 -25
10 -30
5 -35 y5 y4
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X )

• เมอ่ื สมั ประสทิ ธ์ิของ x หรือ a มีคานอยลง
กราฟจะมลี กั ษณะอยางไร
ฟังก์ชัน 87 (แนวตอบ กราฟจะลูเ ขาหาแกน Y)

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ ครูควรสรุปความรูจ ากตัวอยา งท่ี 25
ทางคณติ ศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง) แลว ใหนักเรยี นสรา ง
กราฟตอไปน้ี โดยใชโ ปรแกรม GSP (Geometer’s Sketchpad) กราฟของ y = ax2 เมอ่ื a > 0
12 x2, y2 = -2x2, ถา สมั ประสิทธิ์ของ x หรือ a มคี า เพ่มิ มากขึ้นแลว กราฟจะลูเ ขา หาแกน Y
• y1 = - x2, y2 = 2x2, y3 y3 = -6x2 กราฟของ y = ax2 เมื่อ a < 0
• y1 = 21 = 6x2 ถา สมั ประสทิ ธิ์ของ x หรอื a มคี า นอยลงแลวกราฟจะลเู ขา หาแกน Y

จากน้ันใหหาจุดตํ่าสุดและจุดสูงสุดของกราฟ และหาแกน
สมมาตรของกราฟ แลวใหนักเรียนแตละกลุมออกมานําเสนอ
หนา ชัน้ เรยี น

T93

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 2) จจะาไกด้yจ1ดุ =วก-ก2xล2ับ,ขyอ2ง=y1-4=x2-,2yx32,=y2-6=x2-4x2, y3 = -6x2 คือ จดุ (0, 0)
เขียนตารางคอู่ ันดบั (x, y) ได้ ดงั น้ี
เขา้ ใจ (Understanding) x -2 -1 0 1 2
y1 -8 -2 0 -2 -8
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน y2 -16 -4 0 -4 -16
หนา 88 จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอ y3 -24 -6 0 -6 -24
การเขยี นกราฟของฟง กช นั กาํ ลงั สอง พรอ มทง้ั
หาจุดวกกลับบนกระดาน โดยครูตรวจสอบ จากตารางค่อู ันดบั เขียนกราฟได้ ดังนี้
ความถูกตอ ง
Y
2. ครูใหน ักเรียนแบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออ น ปานกลาง -5 -4 -3 -2 -1 -50 12345 X
และเกง) ทาํ แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ก ขอ 1.1)-3) -10 y3 y2 y1
ในหนังสือเรียน หนา 95 แลวแลกเปล่ียน -15 ATTENTION
ความรูภายในกลุม จากนั้นครูใหนักเรียน -20 กราฟของ y = ax2, a < 0
แตละกลุมสงตัวแทนออกมาเฉลยคําตอบ -25 ถ้าสมั ประสทิ ธิข์ อง x หรอื a
หนาชน้ั เรียน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง -30 มีค่าน้อยลง แล้วกราฟจะลู่
-35 เขา้ หาแกน Y
รู้ (Knowing)
ลองทําดู
1. ครูอธิบายวา จากตัวอยางท่ี 25 ถาเลื่อน
กราฟของ y = 2x2 ขนึ้ จากแกน X เปนระยะ ให้เขยี นกราฟของฟังก์ชนั ก�าลังสองตอ่ ไปนีบ้ นระนาบเดยี วกนั พร้อมท้ังหาจุดวกกลบั
1 หนวย จะไดสมการ y = 2x2 + 1 และ 1) y1 = 3-3xx2,2,yy22==5-x52x, 2y,3y=3 7x2
เล่อื นกราฟของ y = 2x2 ลงจากแกน X เปน 2) y1 = = -7x2 ฝกทําตอ
ระยะ 1 หนวย จะไดสมการ y = 2x2 - 1
จะไดก ราฟ ดงั รปู ในหนังสอื เรยี น หนา 88 แบบฝกทักษะ 2.3 ก
ขอ 1(1)-(3)
2. ครูตั้งขอสังเกตของรูปแบบของฟงกชันท้ัง
2 ขอ ใหนักเรียนเห็นวา กราฟในลักษณะน้ี 2) กรำฟของ y = ax2 + k เมื่อ a ≠ 0
จากตัวอย่างที่ 25 ถ้าเลื่อนกราฟของ y = 2x2 ขึ้นจากแกน X เป็นระยะ 1 หน่วย
จะมฟี ง กช ันอยูในรูป y = ax2 + k เมื่อ a 0 และเล่ือนกราฟของ y = 2x2 ลงจากแกน X เปน็ ระยะ 1 หนว่ ย จะไดก้ ราฟ ดงั รปู

YY

8 y = 2x2 + 1 8
6
6 4 y = 2x2 - 1
2
4
-3 -2 -1 0
2 -2
1 หนว่ ย
-3 -2 -1 0 1 2 3 X 12 3 X
1 หนว่ ย
88 -2

ส่ือ Digital กจิ กรรม สรางเสริม

ครอู าจใหน กั เรยี นใชโปรแกรม GeoGebra เพื่อตรวจสอบการเขียนกราฟ 1. ครใู หน ักเรียนจบั คู แลวเขยี นกราฟของฟง กชนั กาํ ลงั สอง
ตอ ไปน้ี
ของ “ลองทําดู” จากตวั อยา งท่ี 25 ในหนังสอื เรียน หนา 88 วา สัมประสทิ ธิ์ 41
• y1 = - x2, y2 = 1.5x2, y3 = 4x2
ของ a > 0 และ a < 0 กราฟมีลักษณะและความสัมพนั ธเปน อยางไร จาก • y1 = 14 x2, y2 = -1.5x2, y3 = -4x2
www.geogebra.org/graphing

2. ใหห าจุดตา่ํ สดุ และจดุ สงู สุดของกราฟ
3. ใหห าแกนสมมาตรของกราฟ
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนักเรียนออนจบั คูกนั

T94

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

กรณีทว่ั ไป กรำฟของ y = ax2 + k เม่อื a ≠ 0 สรุปได้ ดังน้ี 3. ครูใหนักเรียนสังเกตความแตกตางของกราฟ
(1) กราฟของ y = ax2 + k มีจุดวกกลับท่ีจุด (0, k) y = 2x2 + 1 และ y = 2x2 - 1 แลว รว มกัน
(2) แกนสมมาตรของกราฟ คือ แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0
(3) ถ้า a > 0 กราฟเปน็ เส้นโค้งเปิดขนึ้ ด้านบนและมจี ุดวกกลับเป็นจดุ ต่า� สุด คอื สรุปกรณที ว่ั ไป กราฟของ y = ax2 + k เมื่อ
a 0 ได ดังน้ี
จุด (0, k) และมคี า่ ต�่าสุดเทา่ กบั k - กราฟของ y = ax2 + k มีจุดวกกลับท่ีจุด
ถ้า a < 0 กราฟเป็นเสน้ โคง้ เปิดลงดา้ นลา่ งและมจี ุดวกกลบั เป็นจุดสูงสดุ คอื
จดุ (0, k) และมีค่าสูงสดุ เทา่ กับ k (0, k)
- แกนสมมาตรของกราฟ คือ แกน Y หรือ
ตวั อย่างท่ ี 26
เสน ตรง x = 0
ใหเ้ ขียนกรำฟของฟงั กช์ ันก�ำลังสองต่อไปนบี้ นระนำบเดยี วกนั พรอ้ มทงั้ หำจดุ วกกลับ
1) y1 = x2 + 2, y2 = x2 - 2 - ถา a > 0 กราฟเปน เสนโคง เปด ขนึ้ ดา นบน
2) y1 = -x2 + 2, y2 = -x2 - 2
และมจี ุดวกกลบั เปนจดุ ต่าํ สดุ คือ จดุ (0, k)
วธิ ที �ำ 1) จาก y1 = x2 + 2, y2 = x2 - 2 และ y2 = x2 - และมีคา ตํ่าสดุ เทา กบั k
จะได้ จุดวกกลบั ของ y1 = x2 +
และจุด (0, -2) ตามลา� ดบั 2 2 คือ จุด (0, 2) ถา a < 0 กราฟเปนเสนโคง เปดลงดานลา ง

เขยี นกราฟได้ ดงั นี้ และมจี ุดวกกลบั เปนจุดสูงสุด คอื จดุ (0, k)
และมีคาสงู สุดเทา กับ k
Y y1 SOPLRVOIBNLGETMIP 4. ครใู หนกั เรยี นศกึ ษาตวั อยางที่ 26 ในหนังสือ-
10 ในการเขียนกราฟ จะตอ้ ง เรียน หนา 89 จากน้นั ครอู ธบิ ายตวั อยา งที่ 26
8 สร้างตารางคอู่ ันดับกอ่ น อีกคร้ัง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งข้ึน โดย
6 y2 เชน่ เดยี วกับตัวอยา่ งที่ 25 ครอู ธบิ ายเพมิ่ เตมิ วา ในการเขยี นกราฟจะตอ ง
สรา งตารางคอู นั ดบั กอ น จากนน้ั ครถู ามคาํ ถาม
4 นักเรยี น ดังน้ี
2 • จากขอ 1) นักเรียนสามารถเขียนตาราง
คูอันดบั (x, y) ไดอยางไร
-4 -3 -2 -1-20 1 2 3 4 X (แนวตอบ
-4
x -2 -1 0 1 2
yy21 63236
2) จาก y1 = -x2 + 2, y2 = -x2 - 2 2 -1 -2 -1 2 )
จะได้ จุดวกกลบั ของ y1 = -x2 + 2 และ y2 = -x2 - 2 คอื จดุ (0, 2)
และจดุ (0, -2) ตามล�าดบั • จากขอ 2) นักเรียนสามารถเขียนตาราง
เขียนกราฟได้ ดังนี้ คอู ันดับ (x, y) ไดอ ยางไร
(แนวตอบ

ฟังก์ชัน 89 x -2 -1 0 1 2
yy12 -2 1 2 1 -2
-6 -3 -2 -3 -6 )

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนกั เรียนจับคู แลว ปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนตอไปนี้ ครใู หความรูเพิ่มเติมจากตวั อยางท่ี 26 ขอ 1) วา
• เขยี นกราฟของ y1 = x2 + 4 และ y2 = x2 - 4 บนระนาบ กราฟ y1 = x2 + 2 เปนกราฟเสน โคง เปด ข้นึ ดา นบนและมีจดุ วกกลับเปน
จดุ ตํ่าสดุ คอื (0, 2) และเกดิ จากการเลอ่ื นกราฟ y = x2 ไปดานบนเปนระยะ
เดียวกนั 2 หนวย
• หาระยะทางระหวา งจุดวกกลบั ของท้งั 2 กราฟ กราฟ y2 = x2 - 2 เปน กราฟเสนโคง เปดขึน้ ดานบนและมีจุดวกกลบั เปน
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนักเรยี นออนจบั คกู ัน จดุ ตา่ํ สดุ คือ (0, -2) และเกดิ จากการเลือ่ นกราฟ y = x2 ไปดา นลางเปนระยะ
2 หนวย

T95

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน Y

เขา้ ใจ (Understanding) 4 1 234 X
2
ครใู หน ักเรยี นจับคูท าํ “ลองทําด”ู ในหนงั สือ- -4 -3 -2 -1-20 y1
เรยี น หนา 86 และแบบฝกทกั ษะ 2.3 ก ขอ 2. -4 y2
หนา 96 แลวแลกเปล่ียนความรูจนเปนท่ีเขาใจ -6
รว มกนั จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบ -8
บนกระดาน โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง -10

รู้ (Knowing) ลองทาํ ดู

1. ครใู หน ักเรยี นศึกษากจิ กรรม “Investigation” ใหเ้ ขยี นกราฟของฟงั กช์ นั กา� ลังสองตอ่ ไปนบ้ี นระนาบเดยี วกนั พร้อมท้ังหา ฝกทําตอ
จุดวกกลับ แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ก
ในหนงั สอื เรียน หนา 90 พรอ มทงั้ ตอบคาํ ถาม
1) y1 = x2 + 5, y2 = x2 - 5 2) y1 = -x2 + 3, y2 = -x2 - 3 ขอ 1(4)-(5)
กิจกรรม “Investigation” ใหนักเรียนสังเกต

ความแตกตา งของกราฟทง้ั สองกราฟ

3) กรำฟของ y = a(x - h)2 + k เม่ือ a ≠ 0

Investigation

เฉลย Investigation yyyy3542 yyyyy24135 = (x - 22))22 - 4 ให้นักเรียนตอบคำ� ถำมตอ่ ไปนี้
1. 1) Y y1 = (x - 2)2 - 1 1. เขียนกราฟที่กา� หนดต่อไปนี้
X = (x - 22))22 + 1
11860242 = (x - + 4 1) y = (x - 2)2 + k เม่ือ k = -4, -1, 0, 1 และ 4
-2 -1--240 1 2 3 4 5 = (x - 2) y = -(x - h)2 + 1 เมอ่ื h = -4 และ 2
2. จากขอ้ 1. ใหส้ ังเกตลกั ษณะของกราฟในแตล่ ะข้อ แลว้ ตอบคา� ถามตอ่ ไปนี้
1) กราฟในข้อ 1. เปน็ กราฟเส้นโคง้ เปิดข้ึนด้านบนหรอื เส้นโคง้ เปดิ ลงดา้ นลา่ ง
2) กราฟตดั แกน X ที่จุดใด และแกน Y ที่จุดใด
3) ให้หาแกนสมมาตรของกราฟ
4) ใหห้ าจุดต่�าสดุ และจุดสงู สุดของกราฟ

จาก Investigation จะเห็นว่า กราฟของ y = (x - 2)2 + k เม่ือ k = -4, -1, 0, 1 และ 4
แสดงได้ ดงั รูป Y

2) Y 12 yyyy5423 yyy213 = (x - 2)2 - 4
1 y2 = -(x - 2)2 + 1 10 y1 yy54 = (x - 2)2 - 1
y1 = -(x + 4)2 + 1 8 = (x - 2)2 + 1
6 = (x - 2)2 + 4
4 = (x - 2)2
2
-2 -1-20 1 2 3 4 5 X
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 X 90 -4
-2
-3

2. 1) จากขอ 1. กราฟ y = (x - 2)2 + k เปน กราฟเสนโคงเปดขน้ึ ดา นบน และกราฟ y = -(x - h)2 + 1 เปนกราฟเสน โคง เปดลงดา นลา ง
2) กราฟของ y1 = (x - 2)2 - 4 ตัดแกน X ที่จุด (0, 0) และ (4, 0) และตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, 0)
y2 = (x - 2)2 - 1 ตัดแกน X ทจ่ี ดุ (1, 0) และ (3, 0) และตดั แกน Y ท่จี ุด (0, 3)
y3 = (x - 2)2 ตัดแกน X ที่จุด (2, 0) และตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0, 4)
y4 = (x 2)2 + 1 กราฟไมต ดั แกน X และตัดแกน Y ทจ่ี ดุ (0, 5)
y5 = (x - 2)2 + 4 กราฟไมตดั แกน X และตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, 8)
-
กราฟของ y1 = -(x + 4)2 + 1 ตัดแกน X ที่จดุ (-5, 0) และ (-3, 0) และตดั แกน Y ท่ีจดุ (0, -15)
y2 = -(x - 2)2 + 1 ตดั แกน X ทจ่ี ดุ (1, 0) และ (3, 0) และตดั แกน Y ทีจ่ ุด (0, -3)
3) จากรูปขอ 1) แกนสมมาตรของกราฟ คือ เสน ตรง x = 2
จากรูปขอ 2) แกนสมมาตรของกราฟ คอื เสน ตรง x = -4 และเสน ตรง x = 2
4) จากรูปขอ 1) จุดต่าํ สดุ ของกราฟอยทู ่ีจดุ (2, k) เม่อื k = -4, -1, 0, 1 และ 4
จากกราฟของ y1 = -(x + 4)2 + 1 และ y2 = -(x - 2)2 + 1
มจี ุดสูงสดุ ของกราฟอยทู ่ีจดุ (-4, 1) และจุด (2, 1) ตามลําดบั

T96

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จากกราฟของ y = (x - 2)2 + k เมอื่ k = -4, -1, 0, 1 และ 4 เป็นกราฟเส้นโค้งเปดิ ขึ้น ขน้ั สอน

ด้านบน และมีจุดวกกลับเป็นจุดต่�าสุดของกราฟอยู่ที่จุด (2, k) และมีแกนสมมาตรของกราฟ รู้ (knowing)
คอื เส้นตรง x = 2
และกราฟของ y = -(x - h)2 + 1 เมอ่ื h = -4 และ 2 แสดงได ้ ดังรูป 2. ครอู ธบิ ายเพม่ิ เตมิ จาก “Investigation” จะเหน็
Y
y1 = -(x + 4)2 + 1 1 y2 = -(x - 2)2 + 1 วา กราฟของ y = (x - 2)2 + k เมือ่ k = -4,
-1, 0, 1, 4 มีลักษณะเปนเสนโคงเปดข้ึน
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4X ดานบน และมีจุดตํ่าสุดอยูท่ี (2, k) และมี
-1 แกนสมมาตรของกราฟ คือ เสนตรง x = 2
และกราฟของ y = -(x - h)2 + 1 เมื่อ h = -4
-2 และ 2 มีลักษณะเปนเสนโคงเปดลงดานลาง
และมีจุดสูงสุดอยูที่ (-4, 1) และ (2, 1)
-3 มีแกนสมมาตรของกราฟ คือ x = -4 และ
x = 2 ตามลําดับ
จากกราฟของ y = -(x - h)2 + 1 เมือ่ h = -4 และ 2 เป็นกราฟเสน้ โคง้ เปดิ ลงดา้ นลา่ ง 3. ครูตั้งขอสังเกตรูปแบบของฟงกชันท้ัง 2 ขอ
และมีจุดวกกลับเป็นจุดสูงสุดของกราฟอยู่ที่จดุ (-4, 1) และจดุ (2, 1) มีแกนสมมาตรของกราฟ ใหนักเรียนเห็นวา กราฟในลักษณะนี้ จะมี
คอื x = -4 และ x = 2 ตามลา� ดบั
ฟงกชันอยูในรูป y = a(x - h)2 + k เมื่อ
กรณีทว่ั ไป กราฟของ y = a(x - h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0 สรปุ ได้ ดังนี้ a0
(1) กราฟของ y = a(x - h)2 + k มจี ดุ วกกลับท่จี ุด (h, k) 4. ครอู ธิบายกรณีทวั่ ไปของกราฟ y = a(x - h)2
(2) แกนสมมาตรของกราฟ คือ เสน้ ตรง x = h + k เม่ือ a 0 สรุปได ดงั น้ี
(3) ถ ้า a > 0 กราฟเป็นเสน้ โคง้ เปิดขน้ึ ดา้ นบนและมจี ุดวกกลับเปน็ จุดต่า� สดุ คอื
- กราฟมจี ดุ วกกลบั ท่จี ดุ (h, k)
จุด (h, k) และมคี ่าตา่� สดุ เท่ากบั k - แกนสมมาตรของกราฟ คือ เสนตรง x = h
ถ า้ a < 0 กราฟเปน็ เสน้ โคง้ เปิดลงด้านล่างและมจี ดุ วกกลบั เปน็ จดุ สงู สุด คอื
จุด (h, k) และมีคา่ สงู สุดเทา่ กับ k - ถา a > 0 กราฟเปน เสน โคงเปด ขึน้ ดา นบน

ตัวอย่างท่ ี 27 และมจี ดุ วกกลบั เปน จดุ ตาํ่ สดุ คอื จดุ (h, k)
และมีคาตํ่าสดุ เทา กับ k
ให้เขียนกราฟของฟงั กช์ ันกา� ลงั สองตอ่ ไปนี้ พร้อมทง้ั หาจดุ วกกลับ
ถา a < 0 กราฟเปน เสน โคงเปดลงดานลา ง

และมีจุดวกกลับเปนจดุ สงู สดุ คอื จุด (h, k)
และมีคาสูงสดุ เทากบั k

1) y = x2 2) y = (x - 3)2 3) y = (x - 3)2 + 2

วธิ ีทา� 1) จาก y = x2 จะไดจ้ ุดวกกลบั ทจ่ี ดุ (0, 0)
เขยี นกราฟได ้ ดังนี้

ฟังก์ชัน 91

ขอ สอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู

ขอใดกลา วไมถ ูกตอ ง ถา y เปนสมการของกราฟ ครูควรอธบิ ายเพิ่มเตมิ เกย่ี วกบั การหาจดุ ตัดแกน X และแกน Y ดงั นี้
1. y = -(x + 2)2 + 3 มีจดุ สูงสุด คือ (-2, 3) การหาจุดตดั แกน X ของกราฟ ทําไดโ ดยใหคา y = 0
2. y = (x - 3)2 - 4 มีจดุ ต่าํ สดุ คอื (3, -4) การหาจุดตดั แกน Y ของกราฟ ทาํ ไดโ ดยใหคา x = 0
3. y = -x2 - 2 มีจดุ สงู สุด คอื (0, -2)
4. y = (x + 1)2 มจี ุดสูงสดุ คือ (-1, 0) สื่อ Digital

(เฉลยคําตอบ จากรูปท่ัวไป y = a(x - h)2 + k ครูใหนักเรียนใชโปรแกรม GeoGebra ในการเขียนกราฟ y1 = x2,

1. เปน กราฟเสน โคง เปด ลงดา นลาง มจี ดุ ยอดเปนจดุ สูงสุด y2 = (x - 2)2 และ y3 = (x - 2)2 + 3 แลว พจิ ารณาวา จดุ วกกลับของทั้งสองกราฟ
คอื (-2, 3)
มีความสมั พันธก นั อยา งไร จาก www.geogebra.org/graphing
2. เปนกราฟเสน โคงเปดขึน้ ดา นบน มจี ุดยอดเปน จุดตาํ่ สุด
คอื (3, -4) T97

3. จัดใหอ ยูในรูปทัว่ ไปจะได y = -(x - 0)2 - 2 เปนกราฟ
เสนโคงเปด ลงดานลา ง มีจุดยอดเปน จดุ สงู สุด คือ (0, -2)

4. เปน กราฟเสน โคงเปด ข้ึนดานบน มจี ุดยอดเปน จดุ ต่ําสดุ
คือ (-1, 0)

ดงั นั้น คําตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน Y SOPLRVOIBNLGETMIP
7 y = x2 เนอื่ งจากสมการ y = (x - 3)2
รู้ (knowing) 6 และ y = (x - 3)2 + 2
5 อยใู่ นรปู y = a(x - h)2 + k
5. ครูใหน ักเรยี นศกึ ษาตวั อยางที่ 27 ในหนงั สือ- 4 จึงจะไดจ้ ุดวกกลับอยูท่ ี่จุด
เรยี น หนา 91 จากน้นั ครูอธิบายตวั อยางท่ี 27 3 (h, k)
อีกคร้ัง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งขึ้น และ 2
ชแี้ นะในนกั เรยี นดกู รอบ PROBLEM SOLVING 1
TIP เพื่อใหนักเรยี นเหน็ วา สมการ y = (x - 3)2 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 X

และ y = (x - 3)2 + 2 อยใู นรปู y = a(x - h)2 2) จาก y = (x - 3)2 จะได้จดุ วกกลับอยทู่ จ่ี ดุ (3, 0)
เขยี นกราฟได้ ดังน้ี
+ k จะไดจุดวกกลบั อยูท ี่จดุ (h, k)
6. ครูถามคําถามเพ่ือตรวจสอบความเขาใจของ Y
7 y = (x - 3)2
นกั เรียน ดงั นี้ 6
• y = (x - 5)2 + 3 กราฟมีจดุ วกกลบั ทีจ่ ุดใด 5
4
(แนวตอบ จุดวกกลับอยทู ี่ จุด (5, 3)) 3
• y = (x + 5)2 + 3 กราฟมีจุดวกกลบั ท่จี ุดใด 2
1
(แนวตอบ จุดวกกลบั อยูที่ จุด (-5, 3)) -2 -1-10 1 2 3 4 5 6 X
• y = (x + 3)2 - 6 กราฟมจี ดุ วกกลับที่จุดใด
3) จาก y = (x - 3)2 + 2 จะไดจ้ ุดวกกลบั อยู่ท่จี ุด (3, 2)
(แนวตอบ จุดวกกลบั อยทู ี่ จุด (-3, -6)) เขียนกราฟได้ ดงั นี้
• y = (x - 3)2 - 6 กราฟมจี ุดวกกลบั ทจี่ ดุ ใด
Y
(แนวตอบ จดุ วกกลับอยทู ่ี จุด (3, -6))
9 y = (x - 3)2+ 2
เขา้ ใจ (Understanding) 8
7
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 6
หนา 92 จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมา 5
นําเสนอการเขียนกราฟของฟงกชันกําลังสอง 4
พรอมท้ังหาจุดวกกลับบนกระดาน โดยครู 3
ตรวจสอบความถูกตอ ง 2
1
2. ครูใหน ักเรยี นแบงกลุมละ 3-4 คน คละความ -2 -1-10 1 2 3 4 5 6 X
สามารถทางคณิตศาสตร (ออน ปานกลาง
และเกง ) ทาํ แบบฝกทกั ษะ 2.3 ก ขอ 1.6)-12) ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
ในหนังสือเรียน หนา 96 แลวแลกเปลี่ยน
ความรูภายในกลุม จากนั้นครูใหนักเรียน ให้เขยี นกราฟของฟังก์ชนั ก�าลงั สองต่อไปนี้ พรอ้ มทัง้ หาจดุ วกกลบั แบบฝกทกั ษะ 2.3 ก
แตละกลุมสงตัวแทนออกมาเฉลยคําตอบ 1) y = -x2 2) y = -(x - 4)2 3) y = -(x - 4)2 + 3 ขอ 1(6)-(12)
หนา ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง
92

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูใหความรูเพิ่มเติมจากตัวอยางที่ 27 วา กราฟ y = (x - 3)2 + 2 ครูแบงกลุมใหนักเรยี น กลุม ละ 3 คน แลว ปฏบิ ัตติ ามข้นั ตอน
เปนกราฟเสนโคงเปดข้ึนดานบนและมีจุดวกกลับเปนจุดต่ําสุด คือ (3, 2) ซ่ึง ตอไปนี้
เกิดจากการเล่อื นกราฟ y = x2 ไปดานขวาเปน ระยะ 3 หนวย แลวเลือ่ นกราฟ
ขึ้นไปดานบนเปนระยะ 2 หนวย • เขียนกราฟ y = -x2 และ y = -(x - 3)2 - 2
• อธบิ ายวา กราฟทัง้ 2 มคี วามสมั พันธกันอยางไร

• ตรวจสอบคําตอบโดยใชโปรแกรม GeoGebra

• สงตวั แทนออกมานาํ เสนอหนาชนั้ เรียน
หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนักเรยี น (ออ น ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยกู ลุม เดยี วกัน

T98

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

4) กรำฟของ y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 1. ครูใหน กั เรยี นศึกษากจิ กรรม “Investigation”
ในหนังสือเรียน หนา 93 แลวครูอธิบาย
Investigation เพ่ิมเติมจากกิจกรรม “Investigation” วา
ฟงกชันกําลังสองที่อยูในรปู y = ax2 + bx + c
เตมิ คำ� ตอบลงในตำรำงใหถ้ กู ต้อง เมอื่ a 0 สามารถเขยี นใหอ ยใู นรปู ของสมการ

y = ax2 + bx + c y = a(x - h)2 + k ค่ำ a กรำฟเปิดขนึ้ จดุ ต�่ำสุด สมกำร y = a(x - h)2 + k ได คอื b2 จากน้ัน
ดำ้ นบน/เปิดลง /จุดสูงสดุ แกนสมมำตร y = a x- - 2ba +
2 4ac4a-
ด้ำนลำ่ ง
y = x2 - 4x + 3 y = (x - 2)2 - 1 1 เปดิ ขึน้ ดา้ นบน (2, -1) x = 2
ใหนักเรียนเขียนกราฟที่ไดจากสมการใน
y = -x2 - 2x + 3 หนงั สือเรยี น หนา 93 ลงในสมุด

y = x2 - 4x + 4 2. ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ กรณที วั่ ไปของกราฟ

y = -4x2 + 12x - 9 y = ax2 + bx + c เม่อื a 0 แลวตอบคําถาม

y = 2x2 + 2x + 1 ดงั น้ี

y = -3x2 + x - 4 • กราฟมจี ุดวกกลบั ทจี่ ุดใด

จาก Investigation จะเหน็ ว่า ฟงั กช์ นั ก�าลังสองทอ่ี ยใู่ นรปู y = ax2 + 2bbax)+]2c+เม4ื่อac4aa-≠b02 (แนวตอบ - 2ba , 4ac4a- b2 )
สามารถเขียนใหอ้ ย่ใู นรปู สมการของ y = a(x - h)2 + k ได้ คือ y = a[x - (-
เขยี นกราฟได้ ดังนี้ • ใหหาแกนสมมาตรของกราฟ
(แนวตอบ xแก=น-ส2bมaม)าตรของกราฟ คือ
เสน ตรง
YY
• ถา a > 0 กราฟจะมลี กั ษณะเปนอยางไร
y = ax2 + bx + c, a > 0 จดุ วกกลบั (แนวตอบ กราฟเปนเสนโคงเปดข้ึนดานบน
จุดตัดแกน X จุดตดั y = ax2 + bx + c, a < 0 และมีจุดวกกลับเปนจดุ ตํ่าสุด คือ
แกน Y

X 0X - 2ba , b42a)c4a- b2 และมีคา ตํ่าสุดเทากับ
แกนสมมาตร จุดตัดแกน X 4ac4a-
จดุ ตดั 0
แกน Y แกนสมมาตร

จุดวกกลับ • ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะเปน อยางไร

กรณีทว่ั ไป กรำฟของ y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 สรปุ ได้ ดงั น้ี b2) (แนวตอบ กราฟเปนเสนโคงเปดลงดานลาง
กราฟของ y = ax2 + bx + c มจี ดุ วกกลบั ทจ่ี ุด (- 2ba 4ac4a- และมีจุดวกกลับเปนจดุ สงู สดุ คือ
(1) แกนสมมาตรของกราฟ คอื เสน้ ตรง x = - 2ba , - 2ba , b42a)c4a- b2
(2) 4ac4a-
และมีคาสูงสดุ เทา กับ
(3) ถ้า a > 0 กราฟเป็นเส้นโค้งเปดิ ขนึ้ ด้านบนและมีจดุ วกกลับเปน็ จดุ ต�า่ สุด คือ
(- 2ba , 4ac4a- b2) และมีคา่ ตา่� สดุ เทา่ กับ 4ac4a- b2
ฟังก์ชัน 93 • กราฟจะตดั แกน X และแกน Y ไดก ่ีจุด

(แนวตอบ ตัดแกน X ได 0, 1 หรอื 2 จุด
และตดั แกน Y ไดเพยี งจดุ เดยี ว)

เฉลย Investigation

กราฟเปด ขึน้ จุดตาํ่ สุด สมการ
/จดุ สูงสุด แกนสมมาตร
y = ax2 + bx + c y = a(x - h)2 + k คา a ดานบน/เปดลง (2, -1)
x=2
ดา นลาง

y = x2 - 4x + 3 y = (x - 2)2 - 1 1 เปดข้ึนดา นบน

y = -x2 - 2x + 3 y = -(x + 1)2 + 4 -1 เปดลงดานลาง (-1, 4) x = -1

y = x2 - 4x + 4 y = (x - 2)2 1 เปดขน้ึ ดานบน (2, 0) x=2

y = -4x2 + 12x - 9 y = -4 x - 23 2 -4 เปด ลงดานลา ง 32 , 0 x = 32
x = - 21
y = 2x2 + 2x + 1 y = 2 x + 21 2 + 21 2 เปด ขนึ้ ดา นบน - 21 , 12 x = 61
y = -3x2 + x - 4 y = -3 x - 16 2 - 1427 -3 เปดขนึ้ ดา นบน 61 , - 1472
T99

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ถ้า a < 0 กราฟเปน็ เสน้ โคง้ เปดิ ลงดา้ นลา่ งและมีจุดวกกลบั เป็นจุดสงู สดุ คอื
(- 2ba , 4ac4a- b2) และมีคา่ สงู สุดเท่ากับ 4ac4a- b2
รู้ (knowing) (4) แกนสมมาตรของกราฟจะผา่ นจดุ ตา่� สุดหรือจุดสูงสดุ เสมอ
(5) กราฟจะตัดแกน X ได้ 0, 1 หรือ 2 จดุ และตัดแกน Y ได้เพียงจุดเดียว
3. ครูใหนักเรียนศกึ ษาตัวอยางท่ี 28 ในหนงั สอื -
เรยี น หนา 94 แลว ครูอธิบายซ้ําอีกครั้ง เพอื่ ให ตวั อย่างท ี่ 28
นกั เรยี นเขา ใจมากยงิ่ ขนึ้ จากนนั้ ครยู กตวั อยา ง
เพ่ิมเติมแลวถามคําถาม เพ่ือตรวจสอบความ ให้หำจุดวกกลบั ของกรำฟของฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี พร้อมท้งั เขยี นกรำฟ
เขา ใจของนกั เรียน ดังนี้ 1) y = x2 - 2x + 6 2) y = -2x2 + 3x + 1
1) y = x2 - 4x + 7
2) y = -2x2 + 12x - 17 วิธที ำ� 1) วิธที ี่ 1 จาก y = x2 - 2x + 6
• จากขอ 1) นกั เรียนสามารถจดั ใหอยใู นรูป จัดสมการ y = x2 - 2x + 6 ให้อยู่ในรูปก�าลังสองสมบูรณ์
กาํ ลังสองสมบูรณไ ดอ ยา งไร จะได้ y = (x2 - 2x + 1) + 5
(แนวตอบ y = x2 - 4x + 7 y = (x - 1)2 + 5
= (x2 - 4x + 4) + 3 ดงั นัน้ กราฟจะมจี ุดวกกลบั อย่ทู ี่จุด (1, 5)
= (x - 2)2 + 3) วธิ ีท่ี 2 จาก y = x2 - 2x + 6
จะได้ a = 1, b = - 2 และ c =6
• จากขอ 1) a, b และ c มีคา เทาใด ทจี่ ะใช พกิ ดั ของจุดวกกลบั คอื (- 2ba , 4ac4a- b2 )
ในการหา - 2ba, 4ac4a- b2
(แนวตอบ a = 1, b = -4 และ c = 7) จะได้ - 2ba = - 2(-(21)) = 1
และ 4ac4a- b2 = 4(1)(64)(1-) (-2)2 = 5
• จากขอ 1) มีจดุ วกกลบั อยทู จี่ ุดใด
(แนวตอบ มีจุดวกกลบั อยูท ่ีจุด (2, 3)) ดังนนั้ กราฟจะมีจุดวกกลบั อยู่ท่ีจดุ (1, 5)

• จากขอ 2) นักเรียนสามารถจดั ใหอยูในรูป เขยี นกราฟได้ ดังน้ี
กําลังสองสมบูรณไ ดอ ยางไร
(แนวตอบ y = -2x2 + 12x - 17 Y
= -2x2 + 12x - 18 + 1
= -2(x2 - 6x + 9) + 1 16 y = x2 - 2x + 6
= -2(x - 3)2 + 1) 14
12
• จากขอ 2) a, b และ c มคี า เทาใด ท่จี ะใช 10
ในการหา - 2ba, 4ac4a- b2 8
(แนวตอบ a = -2, b = 12 และ c = -17) 6
4 (1, 5)
• จากขอ 2) มจี ุดวกกลบั อยูทจ่ี ดุ ใด
(แนวตอบ มีจุดวกกลบั อยูที่จดุ (3, 1)) 2
-5 -4 -3 -2 -1-20 1 2 3 4 5 X

94

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ

ครูควรทบทวนความรู เรื่อง การจัดพหุนามใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณ ใหพ ิสจู นวา สมการในรปู y = ax2 + bx + c เมอ่ื a 0 เปน
กอนที่จะใหนกั เรียนฝกหาจุดวกกลบั โดยรูปกาํ ลงั สองสมบรู ณ คือ 0 ได คอื y = a x - - 2ba 2
y = a(x - h)2 + k เมือ่ a
(x - a)2 = x2 - 2ax + a2 และ (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 + 4ac4a- b2

เชน (x - 3)2 = (x - 3)(x - 3) = x2 - 2(3)x + 32 = x2 - 6x + 9 (เฉลยคําตอบ จาก y = ax2 + bx + c
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 2(3)x + 32 = x2 + 6x + 9 = a x2 + ba x + ca
= a x2 + ba x + 2ba 2 - 2ba 2 + ca
T100 2ba 2 + ca 4ba22
=a x + - 2ba 2 - 4ac4a- b2
=a x - +

ดงั น้ัน y = a x - - 2ba 2 + 4ac4a- b2 )

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

2) จาก y = -2x2 + 3x + 1 ขน้ั สอน
จะได้ a = -2, b = 3 และ c = 1
พกิ ดั ของจุดวกกลบั คอื (- 2ba , 4ac4a- b2) เขา้ ใจ (Understanding)
จะได้ - 2ba = - 2(3-2) = 43
และ 4ac4a- b2 = 4(-24)((1-2))- 32 = 187 1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค
ดงั นั้น กราฟจะมีจดุ วกกลบั อยทู่ ีจ่ ดุ (43 , 187)
เขยี นกราฟได้ ดังน้ี คคู ดิ (Think Pair Share) ดังนี้

Y • ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
โดยทําคนละวิธีกับเพื่อน จาก “ลองทําดู”
6 (34, 187) ในหนังสอื เรยี น หนา 95
4
2 1234 X • ใหนักเรียนแลกเปลี่ยนคําตอบกับคูของ
-3 -2 -1-20 y = -2x2 + 3x + 1 ตนเองวา ตรงกนั หรอื ไม แลว สนทนาซกั ถาม
-4 จนเปน ทเี่ ขาใจรวมกัน

ลองทาํ ดู • ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบ
หนา ชนั้ เรยี น โดยครตู รวจสอบความถกู ตอ ง
ใหห้ าจุดวกกลับของกราฟของฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี พร้อมทงั้ เขียนกราฟ ฝกทําตอ
1) y = x2 - 4x + 11 2) y = -2x2 + 6x + 5 2. ครูใหน กั เรียนทาํ Exercise 2.3 A เปน การบา น
แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ก
ขอ 2-4 ลงมอื ทาํ (Doing)

แบบฝึกทกั ษะ 2.3ก ครูใหนักเรียนคูเดิมชวยกันทําแบบฝกทักษะ
2.3 ก ขอ 3-4 ในหนังสือเรียน หนา 96 จากนั้น
ระดบั พน้ื ฐาน ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนาชั้นเรียน
โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบ
1. ใหเ้ ขียนกรำฟของฟงั กช์ ันก�ำลังสองตอ่ ไปนบี้ นระนำบเดียวกนั พร้อมทัง้ หำจดุ วกกลบั ความถกู ตอ ง
-6313xxx22,2,,yyy222===715-x52xx,22,y,3yy3=3 ==8x71-27xx22
1) y1 = ขน้ั สรปุ
2) y1 =
3) y1 = ครถู ามคําถามนักเรยี น เพ่ือสรุปความรู เรอ่ื ง
4) y1 = 2x2 - 1, y2 = 2x2 + 1, y3 = 2x2 + 3 ฟง กชันกําลงั สอง ดังนี้
ฟังก์ชัน 95
• กราฟของฟงกชันกําลังสอง ถา a > 0

กราฟจะมลี ักษณะอยางไร
(แนวตอบ กราฟจะเปนเสนโคง เปดขน้ึ
ดา นบน)

• กราฟของฟงกชันกําลังสอง ถา a < 0

กราฟจะมีลักษณะอยางไร
(แนวตอบ กราฟจะเปน เสนโคง เปด ลง
ดา นลาง)

กิจกรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

1. ครูใหน กั เรียนจับคู แลวเขยี นกราฟของฟง กชันกาํ ลงั สอง เมือ่ ครอู ธบิ ายเพม่ิ เติมวา การมจี ดุ ตดั แกน X หรอื ไมม ีจดุ ตดั แกน X สามารถ
ตรวจสอบไดจ ากสูตรของการหาคาํ ตอบของสมการกําลงั สอง
1) a > 0
x = -b ± 2ba2 - 4ac ดงั นี้
• h = 0 และ k = 0 กรณที ี่ b2 - 4ac > 0 กราฟจะตดั แกน X สองจดุ
• h = 0 และ k 0 กรณที ่ี b2 - 4ac = 0 กราฟจะตดั แกน X เพียงจดุ เดียว
• h 0 และ k 0 กรณีที่ b2 - 4ac < 0 กราฟจะไมตดั แกน X

2) a < 0 T101

• h = 0 และ k = 0
• h = 0 และ k 0
• h 0 และ k 0
2. จากขอ 1. พจิ ารณาเง่อื นไขในแตละขอวา กราฟมลี กั ษณะ
อยา งไร
หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรียนเกงและนกั เรียนออ นจบั คกู นั

นาํ สอน สรุป ประเมิน

ขน้ั สรปุ 5) y1 = -3x2 - 5, y2 = -3x2 - 3, y3 = -3x2 - 1
6) y1 = (x - 1)2, y2 = (x - 2)2, y3 = (x - 3)2
• กราฟของ y = 5x2 สามารถเขียนใหอยู 7) y1 = -(x + 2)2, y2 = -(x + 3)2, y3 = -(x + 5)2
ในรูปทั่วไปไดอยางไร และมีจุดวกกลับที่ 8) y1 = -2x2, y2 = -2(x + 3)2, y3 = -2(x + 3)2 + 1
จดุ ใด 9) y1 = x2, y2 = (x + 6)2, y3 = 2(x + 6)2, y4 = 2(x + 6)2 + 1
10) y = 2(x + 1)2 - 7
(แนวตอบ เขยี นในรปู ทว่ั ไปไดเ ปน y = ax2 11) y = -3(x - 5)2 + 1
12) y = - 12 (x + 1)2 - 3
จดุ วกกลับทจี่ ุด (0, 0))
• กราฟของ y = 2x2 + 3 สามารถเขยี นให ระดับกลาง

อยูในรูปท่ัวไปไดอยางไร และมีจุดวกกลับ 2. ใหเ้ ขียนกรำฟของฟังก์ชันกำ� ลงั สองตอ่ ไปน้ี พร้อมทั้งบอกจดุ ต�่ำสดุ หรือจดุ สงู สดุ ของกรำฟ
ท่ีจดุ ใด 1) y = 4x2 - 4x 2) y = 2x2 + 5x - 1
(แนวตอบ เขยี นในรปู ท่วั ไปไดเ ปน 3) 3x2 + 6x = 2y - 10 4) y + 2x = 2x2 + 5x - 5
5) -x2 + 4x = 2y - 1
y = ax2 + k จุดวกกลบั ท่ีจุด (0, 3))
ระดบั ท้าทาย
• กราฟของ y = (x - 5)2 + 2 สามารถ
เขียนใหอยูในรูปทั่วไปไดอยางไร และมี 3. ให้เขียนกรำฟของสมกำร y = x2 + 6x และ y = -(x + 3)2 - 1 บนระนำบเดยี วกัน
จดุ วกกลบั ที่จุดใด แล้วกรำฟทั้งสองสมกำรมีจดุ ตดั กนั ทง้ั หมดกีจ่ ุด คอื จดุ ใดบำ้ ง
(แนวตอบ เขยี นในรูปทว่ั ไปไดเ ปน
4. ใหเ้ ขยี นสมกำรก�ำลังสองที่อย่ใู นรูป y = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0
y = a(x - h)2 + k จุดวกกลบั ทจ่ี ุด (5, 2)) โดยพจิ ำรณำจุดวกกลบั และจุดตัดแกน X จำกกรำฟ ดงั รูป

• กราฟของ y = x2 - 2x + 1 สามารถ Y
เขยี นใหอ ยูในรปู ทัว่ ไปไดอ ยางไร และมจี ดุ
วกกลับท่ีจดุ ใด 4
(แนวตอบ เขียนในรูปท่ัวไปไดเปน 3
2
y = ax2 + bx + c จุดวกกลับที่จุด (1, 0)) (-3, 0) 1
-4 -3 -2 -1-10 (1, 0) X
ขนั้ ประเมนิ 12
-2
1. ครตู รวจแบบฝก ทกั ษะ 2.3 ก -3
2. ครตู รวจ Exercise 2.3 A (-1, -4)-4
3. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
4. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
5. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวินัย ใฝเรียนรู

มงุ ม่นั ในการทาํ งาน

96

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคิด

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก ถา x = 4 เปนสมการแกนสมมาตรของกราฟ y = x2 + (k - 4)x
ทกั ษะ 2.3 ก ในขั้นลงมือทํา โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมนิ ผลจากแบบ + (k2 + 1) แลว k มคี า เทา ใด
ประเมินของแผนการจดั การเรยี นรใู นหนว ยการเรยี นรูท่ี 2
(เฉลยคําตอบ
แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ สมการแกนสมม4xาต==รขอ--ง2(กbka2ร(า-1ฟ)4)

คาชี้แจง : ให้ผสู้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในช่องทีต่ รงกบั k - 4 = -8
ระดับคะแนน k = -4

ลาดบั ชือ่ – สกลุ การแสดง การยอมรบั ฟัง การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม ดังนน้ั k = -4)
ท่ี ของนกั เรยี น ความคิดเห็น คนอนื่ ตามทีไ่ ด้รับ สว่ นรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน
ผลงานกลุม่

43214321432143214321

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมนิ
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมบอ่ ยครั้ง ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมน้อยครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรับปรงุ

T102

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

2. การนา� กราฟไปใชใ้ นการแกส้ มการและอสมการ ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching)

1) กำรแก้สมกำรโดยใช้กรำฟ การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
การหาค�าตอบของสมการก�าลังสอง y = ax2 + bx + c สามารถท�าได้โดยการเขยี นกราฟ
ครทู บทวนความรู เรอื่ ง ฟง กช นั เชงิ เสน แลว ครู
สมการกา� ลังสองแลว้ หาจุดท่กี ราฟตัดกบั แกน X หรือกา� หนดให้ y = 0 ถามนักเรียนวา

Investigation • ถานํากราฟในลักษณะตางๆ มาใชในการ
แกสมการหรืออสมการ นักเรียนคิดวา
ใหน้ ักเรียนตอบค�ำถำมต่อไปนี้ สามารถทาํ ไดหรือไม
1. เขียนกราฟสมการกา� ลงั สองทก่ี �าหนดต่อไปนี้ (แนวตอบ ทําได)
1) y = x2 + 1 2) y = -x2 - 1
3) y = 2(x - 4)2 4) y = -3(x + 1)2 จากนนั้ ครอู ธบิ ายวา การหาคาํ ตอบของสมการ
5) y = (x - 3)2 - 1 6) y = -x2 + 6x - 5
2. จากข้อ 1. ให้พจิ ารณาวา่ กราฟตัดแกน X กจี่ ุด และตดั จุดใดบ้าง กําลังสอง y = ax2 + bx + c สามารถทาํ ไดโ ดย

จาก Investigation จะเขียนกราฟของแต่ละสมการได้ ดงั น้ี การเขยี นกราฟสมการกาํ ลงั สองแลว หาจดุ ทก่ี ราฟ
ตัดกบั แกน X โดยกาํ หนดให y = 0
1) Y 2) Y
5 1 ขนั้ สอน
4 -3 -2 -1-10 1 2 3 X
3 y = x2 + 1 -2 รู้ (knowing)
2 123 X -3 y = -x2 - 1
1 -4 1. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม “Investigation”
-3 -2 -1 0 -5
ในหนังสือเรียน หนา 97 และชวยกันเขียน
3) Y 4) Y กราฟท้ัง 6 ขอใหถูกตอง จากน้ันครูเฉลย
บนกระดานอีกครั้งหนึ่ง และครูใหนักเรียน
5 1 สังเกตวา กราฟในขอ 1) และ 2) ไมตัด
แกน X นนั่ คอื ไมม คี าํ ตอบของสมการที่เปน
จาํ นวนจรงิ กราฟในขอ 3) และ 4) ตัดแกน
X เพียงจุดเดยี ว น่นั คือ มีคาํ ตอบของสมการ
ที่เปนจํานวนจริง 1 คําตอบ กราฟในขอ 5)
และ 6) ตดั แกน X สองจดุ น่ันคอื คําตอบของ
สมการท่ีเปน จํานวนจริง 2 คําตอบ

4 y = 2(x - 4)2 -3 -2 -1-10 1 2 3 X
3
2 -2 y = -3(x + 1)2
1 -3
-1 0 1 2 3 4 5 6 X -4

ฟังก์ชัน 97

กจิ กรรม สรา งเสรมิ เฉลย Investigation
1. กราฟ 1)-6) ในหนังสอื เรยี น หนา 97-98
ครใู หน กั เรียนจับคู แลว ปฏบิ ตั ิตามข้นั ตอนตอ ไปนี้ 2. กราฟของขอ 1) และ 2) ไมต ัดแกน X
• เขยี นกราฟของ y = x2, y = x2 - 4 และ y = x2 + 4
• หาจดุ ตดั แกน X ของกราฟน้ี กราฟของขอ 3) และ 4) ตัดแกน X เพียงจดุ เดียว คือ จดุ (4, 0)
• ใหนักเรียนรว มกนั อภปิ รายวา กราฟนตี้ ดั แกน X หรือไม และ (-1, 0) ตามลําดับ

เพราะเหตุใด กราฟของขอ 5) และ 6) ตดั แกน X สองจุด คอื (2, 0), (4, 0)
หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนักเรียนออ นจับคูกัน และ (1, 0), (5, 0) ตามลําดบั

T103

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

2. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยา งท่ี 29 ในหนงั สอื - 5) Y 6) Y X
เรยี น หนา 98 จากน้ันครูอธิบายตัวอยางที่ 29 y = -x2 + 6x - 5
อีกคร้ัง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งขึ้น โดย 3 y = (x - 3)2 - 1 6
ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา นักเรียนสามารถหา 2 4
คําตอบของสมการโดยใชวิธีการแกสมการ 1 2
ไดจากตัวอยางท่ี 29 สมการ x2 + 2 = 0 -1-10 1 2 3 4 5 6 X -2 -1-20 1 2 3 4 5
จะได x2 = -2 เนื่องจากจํานวนจริงที่ -2 -4
ยกกําลังสองจะมีคาไมนอยกวา 0 ดังน้ัน -6
x2 + 2 = 0 ไมม ีคาํ ตอบท่ีเปน จํานวนจริง
จากกราฟข้างต้น จะเห็นวา่
3. ครใู หนกั เรียนยกตัวอยา งสมการทไ่ี มม คี าํ ตอบ • กราฟของข้อ 1) และ 2) ไม่ตัดแกน X
ที่เปนจํานวนจริง พรอมทั้งเขียนกราฟของ
สมการ นน่ั คอื ไม่มีคา� ตอบของสมการทเี่ ป็นจ�านวนจริง
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดหลากหลาย • กราฟของขอ้ 3) และ 4) ตดั แกน X เพียงจุดเดียว
ขึ้นอยูกับพ้ืนฐานความรูของนักเรียนแตละคน
เชน y = -x2 - 1 เขยี นกราฟของสมการได นัน่ คือ มคี า� ตอบของสมการท่เี ปน็ จ�านวนจริง 1 ค�าตอบ
ดงั น้ี • กราฟของข้อ 5) และ 6) ตดั แกน X สองจุด

Y น่นั คอื มีคา� ตอบของสมการทเี่ ป็นจา� นวนจริง 2 ค�าตอบ

1 X ตวั อยา่ งท ่ี 29 ATTENTION
-5 -4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 จากตัวอย่างท่ี 29 นักเรียน
-2 ใหห้ ำค�ำตอบของสมกำร x2 + 2 = 0 โดยใช้กรำฟ สามารถหาคา� ตอบของสมการ
-3 วธิ ีทำ� เขียนกราฟของสมการได้ ดงั น้ี โดยใช้วิธีการแก้สมการได้
-4 ดังน้ี
-5 Y y = x2 + 2 จาก x2 + 2 = 0
-6 7 จะได้ x2 = -2
-7 6 เนอื่ งจากจา� นวนจรงิ ทยี่ กกา� ลงั
-8 ) 5 สองจะมคี ่าไม่น้อยกวา่ 0
4 ดงั นั้น x2 + 2 = 0 ไม่มี
3 ค�าตอบทเ่ี ป็นจ�านวนจรงิ
2
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X

จากกราฟ จะเหน็ วา่ กราฟของ y = x2 + 2 ไม่ตดั แกน X
ดังน้ัน สมการ x2 + 2 = 0 ไม่มคี า� ตอบที่เปน็ จา� นวนจริง

98

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครูใหความรูเพิ่มเติมจากตัวอยางที่ 29 วา สมการ x2 + 2 = 0 ถาหา ครูใหน ักเรียนปฏบิ ตั ิตามขนั้ ตอนตอไปน้ี
คําตอบดวยวิธีพีชคณิต สมการนี้ไมมีคําตอบเปนจํานวนจริง ซึ่งสอดคลองกับ • แบงนกั เรยี นออกเปน 2 กลุม ดังนี้
วธิ ที ี่ใชก ราฟ
กลุมที่ 1 : ใหนกั เรยี นหาคําตอบของสมการ x2 + 9 = 0
ส่อื Digital โดยใชก ราฟ

ครอู าจยกตัวอยา งเพิ่มเตมิ แลว ใหน ักเรยี นใชโ ปรแกรม GeoGebra เพื่อ กลมุ ที่ 2 : ใหนกั เรยี นหาคาํ ตอบของสมการ x2 + 9 = 0
ตรวจสอบลกั ษณะของกราฟและความสมั พนั ธข องกราฟ จาก www.geogebra. โดยใชวิธที างพีชคณติ
org/graphing
• ใหน กั เรียนรว มกันอภปิ รายวา คําตอบของสมการท่หี าไดจ าก
ทั้งสองวิธีตา งกันหรือไม อยางไร

T104

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

ลองทําดู 4. ครใู หนักเรยี นศึกษาตัวอยา งที่ 30 ในหนังสือ-
เรียน หนา 99 จากน้ันครอู ธิบายตวั อยา งที่ 30
ใหห้ าคา� ตอบของสมการต่อไปน้ี โดยใชก้ ราฟ ฝกทําตอ อีกครง้ั เพอื่ ใหน กั เรยี นเขาใจมากย่งิ ขึ้น
1) 2x2 + 5 = 0 2) -3x2 - 7 = 0
แบบฝกทกั ษะ 2.3 ข 5. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมแลวถามคําถาม เพื่อ
ขอ 1(1)-(4)

ตัวอย่างที่ 30 ตรวจสอบความเขาใจของนกั เรียน ดังนี้
• เขยี นกราฟของสมการ x2 + 8x + 16 = 0
ใหห้ ำคำ� ตอบของสมกำร x2 + 6x + 9 = 0 โดยใช้กรำฟ ไดอยางไร
วิธที �ำ เขยี นกราฟของสมการได้ ดงั น้ี (แนวตอบ Y

Y 8 12 X
10 y = x2 + 6x + 9 7
8 6 )
6 5
4 4
2 3
-8 -6 (--43,-02) 0 2 X 2
1
จากกราฟ จะเหน็ วา่ กราฟของ y = x2 + 6x + 9 ตดั แกน X เพยี งจดุ เดยี ว คือ -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-10
จุด (-3, 0) น่นั คือ เมอื่ y = 0 จะได้ x = -3
ดังนัน้ คา� ตอบของสมการ x2 + 6x + 9 = 0 มคี า� ตอบเดียว คือ -3 • กราฟตัดแกน X ทจี่ ดุ ใด
(แนวตอบ กราฟตดั แกน X ที่จดุ (-4, 0))
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
• คําตอบของสมการ x2 + 8x + 16 = 0
ให้หาคา� ตอบของสมการ x2 - 8x + 16 = 0 โดยใช้กราฟ แบบฝกทกั ษะ 2.3 ข มกี ี่คําตอบ อะไรบาง
ขอ 1(5)-(8) (แนวตอบ มคี าํ ตอบเดยี ว คือ -4)
ตัวอยา่ งท่ี 31
ฟังก์ชัน 99 เขา้ ใจ (Understanding)
ใหห้ ำค�ำตอบของสมกำร 3(x - 1)2 - 12 = 0 โดยใชก้ รำฟ
วธิ ีท�ำ วิธีที่ 1 เขยี นกราฟของสมการได้ ดังนี้ ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 99 แลวสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบ
Y y = 3(x - 1)2 - 12 หนาช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
2 รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง
(-1,-20)-1--420 1 2 3(3,40) X
-6
-8
-10
-12

กิจกรรม สรา งเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนปฏิบัติตามขั้นตอนตอไปน้ี ครใู หค วามรูเ พ่ิมเติมจากตัวอยางที่ 31 วา สมการ 3(x - 1)2 - 12 = 0
• แบง นกั เรยี นออกเปน 2 กลุม ดงั นี้ ถาหาคาํ ตอบของสมการโดยวธิ ีทางพชี คณติ ทําได ดงั นี้

กลมุ ที่ 1 : ใหนักเรยี นหาคาํ ตอบของสมการ 3(x - 1)2 - 12 = 0
2(x + 1)2 - 18 = 0 โดยใชกราฟ ตามวธิ ีที่ 1 (x - 1)2 - 4 = 0
ในตวั อยา งท่ี 31
x2 - 2x + 1 - 4 = 0
กลมุ ที่ 2 : ใหนักเรยี นหาคาํ ตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0
2(x + 1)2 - 18 = 0 โดยใชว ธิ ที างพชี คณติ
(x - 3)(x + 1) = 0
• ใหนกั เรยี นรว มกนั อภปิ รายวา คําตอบของสมการทห่ี าไดจาก x = -1, 3
ทงั้ สองวิธตี างกนั หรือไม อยา งไร
ซึง่ สอดคลองกบั วธิ ีการหาคาํ ตอบของสมการโดยใชก ราฟ

T105

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

1. ครยู กตัวอยา งเพิ่มเตมิ ดงั น้ี จากกราฟ จะเห็นว่า กราฟของ y = 3(x - 1)2 - 12 ตัดแกน X สองจุด คอื
ใหหาคําตอบของสมการ x2 - 5x + 6 = 0 จดุ (-1, 0) และจุด (3, 0) นัน่ คือ เม่ือ y = 0 จะได้ x = -1 และ 3
โดยใชกราฟ ดงั นนั้ คา� ตอบของสมการ 3(x - 1)2 - 12 = 0 มีสองคา� ตอบ คือ -1 และ 3
วธิ ีทาํ เขียนกราฟของสมการได ดงั นี้ วธิ ที ่ี 2 จาก 3(x - 1)2 - 12 = 0
จดั สมการใหอ้ ย่ใู นรปู 3(x - 1)2 = 12
Y ก�าหนด y1 = 3(x - 1)2 และ y2 = 12
เขียนกราฟของ y1 และ y2 ได้ ดงั นี้
6
5 Y
4
3 1 23 4 56 X 16 y1
2 14 (3, 12)y2
1 (-1, 12)1120
-3 -2 -1-10 8 1234 X
6
จากกราฟ จะเห็นวากราฟ x2 - 5x + 6 = 0 4
ตดั แกน X ที่จดุ 2 และ 3 ดังน้ัน มีคาํ ตอบของ 2
สมการที่เปนจํานวนจริง 2 คําตอบ ไดแก -2 -1-20
x = 2 และ x = 3
2. ครใู หน ักเรยี นศกึ ษาตัวอยางท่ี 31 ในหนังสอื - จจุดาก(ก3ร,า1ฟ2)จดุซทึ่งเีก่ ปร็นาจฟดุ ขทอี่ งy1y1=ตyดั 2กหบั รกอื รา3ฟ(xขอ-ง1y)22 คือ จุด (-1, 12) และ
เรยี น หนา 99-100 จากนน้ั ครอู ธบิ ายเพม่ิ เตมิ วา = 12
ข้ันตอนแรกของการเขียนกราฟเราตองจัดรูป จะได้ x = -1 และ 3
สมการท่ีโจทยกําหนดใหอยูในรูปแบบของ ดงั นน้ั ค�าตอบของสมการ 3(x - 1)2 - 12 = 0 คือ -1 และ 3
กราฟท้ัง 4 รูปแบบ (แบบใดแบบหน่ึง) จาก
ตัวอยา งนี้ สามารถจดั รูปแบบสมการใหอยใู น ลองทําดู ฝกทําตอ

รปู แบบ y = a(x - h)2 + k นั่นคือ ถา y = 0 ให้หาค�าตอบของสมการ 2(x + 3)2 - 8 = 0 โดยใช้กราฟ แบบฝกทกั ษะ 2.3 ข
ขอ 1(9)-(10)
เราสามารถจัดสมการได 2 แบบ คือ
y = 3(x - 1)2 - 12 และ 3(x - 1)2 = 12 ซง่ึ ตัวอยา่ งที ่ 32
ทั้งสองรูปแบบ การเขียนกราฟจะเขียนไดใน
ลักษณะเดียวกนั ใหเ้ ขยี นกรำฟของ f(x) = -x2 - 4x + 5 และใหห้ ำ
1) จดุ วกกลบั ของกรำฟ พรอ้ มทงั้ บอกค่ำต�่ำสุดหรอื ค่ำสูงสุดของฟังกช์ นั
2) จุดที่กรำฟตดั แกน X
3) โดเมนและเรนจ์ของฟังกช์ ัน

100

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสรมิ

ครูควรอธิบายเพ่ิมเติมจากตัวอยางท่ี 31 เกี่ยวกับการวาดกราฟฟงกชัน ครูใหน ักเรยี นปฏบิ ตั ติ ามขนั้ ตอนตอ ไปนี้
• แบง นักเรียนออกเปน 2 กลมุ ดังนี้
คงตวั y = a เมอื่ a เปนคาคงตัว
กลุมที่ 1 : ใหน กั เรียนหาคําตอบของสมการ x2 = x
สอื่ Digital โดยใชก ราฟ

ครอู าจใหนักเรียนใชโ ปรแกรม GeoGebra เพอื่ ตรวจสอบการเขียนกราฟ กลุมที่ 2 : ใหน กั เรยี นหาคําตอบของสมการ x2 = x
ใน “ลองทาํ ดู” ในหนงั สือเรยี น หนา 100 จาก www.geogebra.org/graphing โดยใชวิธที างพชี คณติ

• ใหน กั เรยี นรวมกนั อภปิ รายวา คําตอบของสมการทหี่ าไดจาก
ทงั้ สองวธิ ตี างกนั หรือไม อยา งไร

T106

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

วธิ ที ำ� จาก f(x) = -x2 - 4x + 5 ขน้ั สอน
จะได้ a = -1, b = -4 และ c = 5
พิกัดของจดุ วกกลบั คอื (- 2ba , 4ac4a- b2) เขา้ ใจ (Understanding)
จะได้ - 2ba = - 2(--41) = -2
และ 4ac4a- b2 = 4(-1)(45()-1-) (-4)2 = 9 1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 100 แลว สุมนักเรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบ
เน่อื งจาก a < 0 จะได้ว่า กราฟของฟงั ก์ชันจะเป็นเส้นโค้งเปดิ ลงด้านลา่ ง หนาช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
และมจี ดุ วกกลับอยู่ทจ่ี ุด (-2, 9) รว มกนั ตรวจสอบความถูกตอง
เขยี นกราฟได้ ดงั น้ี
Y 2. ครใู หนักเรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ข ขอ 1.
(-2, 9) ในหนังสือเรยี น หนา 102 เปน การบาน

8 รู้ (knowing)
6
4 1. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในการเขียนกราฟจะมี
(-5, 0) 2 (1, 0) สว นประกอบที่สําคญั ตา งๆ ของกราฟ ดงั นี้
-6 -5 -4 -3 -2 -1-20 1 2 3 4 X - จุดวกกลบั คือ จุดตาํ่ สดุ หรือจุดสงู สดุ ของ
กราฟ หรืออาจเรยี กวา จดุ ยอด
-4 f(x) = -x2 - 4x + 5 - จดุ ตดั แกน X หรอื แกน Y คือ จดุ ท่กี ราฟ
-6 ตดั แกน X หรือแกน Y ที่จุดๆ น้ัน อาจจะมี
1 คา หรอื 2 คา ก็ได
1) จากกราฟ จะเห็นวา่ จุดวกกลบั ของกราฟจะเป็นฟังกช์ ันทีม่ คี ่าสูงสดุ และค่าสงู สุด - คาสูงสุดของฟงกชัน กราฟจะมีคาสูงสุด
คือ 9 ก็ตอเม่ือเปนกราฟเสนโคงเปดลงดานลาง
โดยคาสูงสุดของฟงกชันจะอยูตําแหนงท่ี
2) กราฟตดั แกน X สองจดุ คอื จุด (-5, 0) และจุด (1, 0) เปน จดุ สงู สดุ ของกราฟ
3) Df = R และ Rf = (-∞, 9] - คาต่ําสุดของฟงกชัน กราฟจะมีคาต่ําสุด
ก็ตอเม่ือเปนกราฟเสนโคงเปดขึ้นดานบน
ลองทําดู ฝกทําตอ โดยคาต่ําสุดของฟงกชันจะอยูตําแหนงที่
เปนจดุ ตํ่าสุดของกราฟ
ใหเ้ ขียนกราฟของ f(x) = -x2 - 2x + 3 และใหห้ า แบบฝกทกั ษะ 2.3 ข - โดเมนของฟง กช นั พจิ ารณาตามแนวแกน X
1) จุดวกกลับของกราฟ พรอ้ มทัง้ บอกค่าตา่� สุดหรอื ค่าสงู สุด ขอ 2-6 จากทางดา นซา ยไปทางดา นขวาวา เสน กราฟ
ของฟงั กช์ นั เริ่มตน จากจํานวนใดไปยงั จาํ นวนใด
2) จุดท่กี ราฟตัดแกน X - เรนจข องฟง กช นั คอื พจิ ารณาตามแนวแกน
3) โดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชัน Y จากทางดานลา งข้ึนดานบนวา เสนกราฟ
เริ่มตนจากจาํ นวนใดไปยังจํานวนใด
ฟังก์ชัน 101
2. ครใู หน กั เรยี นศึกษาตวั อยางที่ 32 ในหนงั สอื -
เรยี น หนา 100-101 จากนน้ั ครอู ธบิ ายตวั อยา ง
ที่ 32 อกี ครงั้ เพอื่ ใหน ักเรียนเขาใจมากยิง่ ข้นึ

ขอ สอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู
เสนโคง y = x2 - x - 5 ตัดกับเสน ตรง y - x - 3 = 0 ทจ่ี ดุ ในขอ ใด
1. (-2, 1) และ (-4, 7) 2. (1, -2) และ (-7, 4) ครใู หความรูเพิม่ เติมจากตวั อยา งที่ 32 เก่ียวกบั การหาจดุ ตดั แกน X ดงั น้ี
3. (-2, 1) และ (4, 7) 4. (1, -2) และ (4, 7) หาจุดตัดแกน X ให y = 0 จะไดว า -x2 - 4x + 5 = 0

(เฉลยคําตอบ สมการเสน โคง y = x2 - x - 5 และ x2 + 4x - 5 = 0
สมการเสน ตรง y = x + 3 มีจดุ ตดั คือ จดุ รว มท่สี อดคลอ งกัน (x + 5)(x - 1) = 0
ทาํ ใหไดค วามสมั พนั ธท ่เี กดิ ขนึ้ ดงั น้ี
x = -5, 1
x2 - x - 5 = x + 3 ดงั นนั้ กราฟตดั แกน X สองจดุ คือ จดุ (-5, 0) และจุด (1, 0)
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0 T107

x = 4, -2
นนั่ คอื เมื่อแทนคา x = 4, -2 ลงในสมการเสน ตรงแลว
จะไดคา y = 7, 1 ตามลาํ ดบั
ดงั นั้น จดุ ตดั คอื (-2, 1) และ (4, 7))

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน แบบฝึกทกั ษะ 2.3 ข

เขา้ ใจ (Understanding) ระดับพื้นฐาน

1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1. ให้หำคำ� ตอบของสมกำรตอ่ ไปนี้ โดยใชก้ รำฟ 2) 2x2 + 6 = 0
หนา 101 แลว สมุ นกั เรียนออกมาเฉลยคําตอบ 1) x2 + 7 = 0
หนาช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน 3) 3x2 + 5 = 0 4) -4x2 - 10 = 0
รวมกันตรวจสอบความถูกตอ ง 5) x2 + 12x + 36 = 0 6) x2 - 10x + 25 = 0
7) -2x2 + 12x - 18 = 0 8) 3x2 + 24x + 48 = 0
2. ครใู หน กั เรยี นแบง กลมุ ออกเปน 2 กลมุ เทา ๆ กนั 9) 4(x - 1)2 - 1 = 0 10) -5(x + 2)2 + 10 = 0
โดยคละความสามารถทางคณิตศาสตร ทํา
แบบฝกทักษะ 2.3 ข ในหนังสือเรียน หนา 2. พิจำรณำฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้ ใหห้ ำ
102-103 ดงั น้ี
• กลุมท่ี 1 ทําขอ 2. (1), (3), (5) และขอ 3. 1) จุดวกกลับของกราฟ พรอ้ มทัง้ บอกค่าต่า� สดุ หรอื ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ ัน
• กลมุ ท่ี 2 ทําขอ 2. (2), (4), (6) และขอ 3.
จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบ 2) จดุ ท่กี ราฟตัดแกน X
หนาช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน
รวมกันตรวจสอบความถูกตอง 3) โดเมนและเรนจข์ องฟังก์ชนั (2) y = -x2 + 3x - 15
(1) y = x2 - 8x + 54
3. ครใู หน กั เรยี นทํา Exercise 2.3 B เปนการบา น

(3) y = (x - 1)2 - 11 (4) y = -(x + 2)2 + 8
(5) y = (x + 2)(x + 3) (6) y = (x + 1)(x - 1)

ระดับกลาง

3. พิจำรณำกรำฟของสมกำร y = x2 - 4x + 3 ดงั รูป

Y X
6
5
4
3C
2
1A B
-3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 6

102

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ

ครูควรอธิบายเพ่มิ เติมเก่ยี วกบั ลกั ษณะของกราฟ โดยพจิ ารณาจาก ถากราฟของฟง กช นั f(x) = x2 + kx - (k + 1) ผา นจุด (2, 4)
แลวกราฟน้ตี ดั แกน X ทจ่ี ดุ ใด
b2 - 4ac ดังน้ี
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย กราฟผา นจดุ (2, 4)
Y YY จะไดว า f(2) = 4

0X 0X 0X 22 + k(2) - (k + 1) = 4
4 + 2k - k - 1 = 4
Y YY k+3 = 4
k=1
0 X 0X 0X
นั่นคอื f(x) = x2 + x - 2 หาจดุ ตดั แกน X ให y = 0
b2 - 4ac > 0 b2 - 4ac = 0 b2 - 4ac < 0 จะไดวา x2 + x - 2 = 0
กราฟตดั แกน X สองจุด กราฟตัดแกน X เพียง กราฟไมตดั แกน X
จดุ เดียว (x + 2)(x - 1) = 0
x = -2, 1
T108
ดงั นัน้ กราฟตดั แกน X ท่จี ดุ (-2, 0) และ (1, 0))

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

เขา้ ใจ (Understanding)

4. ครยู กตวั อยา งโจทย แลว ใหน กั เรยี นหาคาํ ตอบ
ดงั น้ี
f(x) = x2 - 7x + 12 ใหหา
ให้หำ - จดุ วกกลบั ของกราฟ พรอ มทงั้ บอกคา ตา่ํ สดุ
หรอื คา สูงสดุ
1) พิกดั ของจุด A จดุ B และจุด C - จดุ ทก่ี ราฟตัดแกน X
2) จดุ ต่า� สุดและค่าตา่� สดุ ของกราฟ - โดเมนและเรนจข องฟง กชัน
3) แกนสมมาตรของกราฟ (แนวตอบ จาก f(x) = x2 - 7x + 12
4) ถา้ กราฟของ y = x2 - 4x + 3 เลอื่ นลงจากแกน X เปน็ ระยะ 1 หนว่ ย แลว้ สมการ จะได a = 1, b = -7, c = 12
- 2ba , 4ac4a- b2
ก�าลังสองที่ได้จากการเล่ือนกราฟคือสมการใด ให้ตอบในรูป y = ax2 + bx + c พิกัดของจุดวกกลบั คอื
พรอ้ มท้งั บอกจดุ ท่กี ราฟตัดแกน X จะได 27 , - 14

ระดับทา้ ทาย

4. กรำฟของ y = (x - h)2 + k มีจุดต่ำ� สดุ อยูท่ ี่จดุ (- 21 , 43) เน่อื งจาก a > 0 จะไดวา กราฟของฟง กช นั
1) ใหห้ าค่าของ h และ k
2) ใหเ้ ขยี นกราฟของ y = (x - h)2 + k และหาพกิ ัดของจดุ ที่กราฟตัดกับแกน Y จคและือเะป-น(441เ,ส0นจ)ุดโคทง ี่กเปราด ฟขตนึ้ ัดดแา นกบนนXจะคมือคี า (ต3าํ่, ส0ดุ )

5. ก�ำหนดสมกำร y = -x2 + 10x - 4 โดเมน คอื จํานวนจรงิ และเรนจ คอื
1) ให้จดั สมการในรูป y = -(x - h)2 + k - 14 , ∞ )
2) ให้หาคา่ h และ k
3) ให้เขียนกราฟของ y = -x2 + 10x - 4 และหาจุดสูงสดุ ของกราฟ

6. ก�ำหนดสมกำร y = x2 - 2x โดยมตี ำรำงคู่อันดบั ดังน้ี

x -2 -1 0 1 2 3 4
y 8 3 0 -1 0 3 8

1) ใหเ้ ขยี นกราฟของ y = x2 - 2x เมื่อ -2 ≤ x ≤ 4 และหาค่าตา�่ สุดของกราฟ
2) จากกราฟในขอ้ 1) ใหห้ าค่า x เมือ่ y = 1
3) ใหห้ าแกนสมมาตรของกราฟ
4) จากกราฟในข้อ 1) ใหห้ าค�าตอบของสมการ x2 - 2x = x โดยใช้กราฟ

ฟังก์ชัน 103

กําหนดให f(x) = x2 - 5x + 6 ขอใดไมถูกตอ ง ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

1. กราฟของ f เปน พาราโบลาหงาย 2. กราฟของ f ตัดแกน Y ท่ีจุด (0, 6)
3. กราฟของ f ตัดแกน X ท่จี ุด (0, 2) และ (0, 3) 4. จุดวกกลับของกราฟ คอื 52, - 14
5. เรนจของ f คือ { y͉y∊R และ y ≥ 41 }
(เฉลยคําตอบ พจิ ารณาขอ 1. เนอ่ื งจาก a > 0 ดงั น้นั เปน พาราโบลาหงาย

ขอ 2. หาจดุ ตดั แกน Y ให x = 0 ดังน้นั y = 02 - 5(0) + 6 = 6 กราฟของ f ตัดแกน Y ท่จี ดุ (0, 6)
ขอ 3. หาจุดตัดแกน X ให y = 0 ดงั นน้ั x2 - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2, 3
กราฟของ f ตดั แกน X ทจ่ี ุด (0, 2) และ (0, 3)
- 2(-(51)) ,≥4-(114)(}64)(1-) (-5)2 25 , - 41
ขอ 4. จดุ วกกลับของกราฟ คอื และ y =
ขอ 5. เรนจของ f คือ { y͉y∊R
ดังน้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 5.) T109

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

1. ครอู ธบิ ายวา นกั เรยี นสามารถนําความรู เรอ่ื ง 2) กำรแกอ้ สมกำรโดยใช้กรำฟ
กราฟของสมการมาชวยในการหาคําตอบของ นกั เรยี นสามารถนา� ความรู้เรื่องกราฟของอสมการมาชว่ ยในการแกป้ ัญหาได้ ดังตวั อยา่ ง
อสมการได โดยใหจัดรูปสมการท่ีกําหนดให
อยูในรูปฟงกชันกําลังสอง เพ่ือหาคาตัวแปร ต่อไปน้ี
กอน แลวจึงนํามาใสเครื่องหมายอสมการ
เพื่อพิจารณาหาคําตอบของอสมการ ตวั อย่างท ี่ 33

2. ครูยกตัวอยา งบนกระดาน ดังนี้ ให้ใชค้ วำมรู้เรือ่ งกรำฟหำค�ำตอบของอสมกำร x2 - 1 < 0
จงหาคําตอบของอสมการโดยใชกราฟ เมื่อ วธิ ที ำ� ให้ y = x2 - 1
กําหนดอสมการ x2 - 4 < 0
เขยี นกราฟของ y = x2 - 1 และมจี ุดวกกลบั อยทู่ ีจ่ ุด (0, -1) ได้ ดงั น้ี
Y หาจดุ ที่กราฟตัดแกน X โดยให้ y = 0
จะได้ x2 - 1 = 0
8 1234 X
6 (x - 1)(x + 1) = 0
4 x = -1, 1
2
-4 -3 -2 -1-10 จะไดว้ ่า กราฟตดั แกน X ท่ีจดุ (-1, 0) และจดุ (1, 0) ดงั รูป
-2
-3 Y
-4 4 y = x2 - 1

วธิ ีทาํ ให y = x2 - 4 2
หาจดุ ทกี่ ราฟตัดแกน X จะได y = 0
ทําให x2 - 4 = 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 X
-2 (0, -1)
(x - 2)(x + 2) = 0
x = 2, -2 พิจารณาหาคา่ x เม่อื y < 0 ดงั รปู

จะไดว า กราฟตัดแกน X ทีจ่ ุด (-2, 0) และ Y
(2, 0) ดงั รปู
จากกราฟ เม่ือพิจารณาหาคา x เมือ่ y < 0 4
จะได y < 0 เม่ือ -2 < x < 2
ดังน้นั เซตคําตอบของอสมการ x2 - 4 < 0 2
คอื { x ͉ -2 < x < 2 } หรือ (-2, 2)
3. ครูใหน กั เรยี นศึกษาตวั อยา งท่ี 33 ในหนงั สอื - -3 -2 -1 0 1 2 3X
เรยี น หนา 104 จากนน้ั ครอู ธบิ ายตวั อยา งท่ี 33 -2
อกี คร้ัง เพื่อใหน กั เรียนเขา ใจมากยงิ่ ขึ้น
จากกราฟ จะได้ y < 0 เม่อื -1 < x < 1
ดงั น้ัน เซตคา� ตอบของอสมการ x2 - 1 < 0 คอื { x ∙ -1 < x < 1 } หรือ (-1, 1)

104

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรา งเสรมิ

ครคู วรทบทวนความรูเ กย่ี วกบั การแกส มการกําลังสอง ax2 + bx + c = 0 ครใู หน ักเรียนปฏบิ ัติตามข้ันตอนตอ ไปนี้
• แบง นักเรยี นออกเปน 2 กลุม ดังนี้
โดยวิธกี ารแยกตัวประกอบ ในกรณีท่ัวไป ถา ให A แทนพจนห นา และ B แทน
พจนหลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณได กลมุ ที่ 1 : ใหน กั เรียนหาคําตอบของอสมการ x2 - 9 < 0
ดังนี้ โดยใชกราฟ

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2 กลมุ ที่ 2 : ใหน กั เรยี นหาคําตอบของอสมการ x2 - 9 < 0
(A - B)2 = A2 - 2AB + B2 โดยใชว ธิ ที างพีชคณิต
เพ่อื ใหงายตอ การจาํ และนําไปใช ดงั นี้
(หนา + หลงั )2 = (หนา)2 + 2(หนา)(หลัง) + (หลงั )2 • ใหนกั เรยี นรวมกนั อภปิ รายวา คาํ ตอบของสมการที่หาไดจาก
(หนา - หลัง)2 = (หนา)2 - 2(หนา)(หลงั ) + (หลงั )2 ทัง้ สองวธิ ตี างกนั หรอื ไม อยา งไร

และการใชสูตร x = -b ± 2ba2 - 4ac สาํ หรับการแกส มการ

T110

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ฝกทําตอ ขน้ั สอน

ใหใ้ ชค้ วามรเู้ รื่องกราฟหาค�าตอบของอสมการ x2 - 4 > 0 แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ค เขา้ ใจ (Understanding)
ขอ 1(1)-(4)
ครใู หน ักเรียนจบั คูทาํ “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สือ-
ตัวอย่างท ี่ 34 2) x2 - 2x - 3 ≥ 0 เรียน หนา 105 แลวแลกเปล่ียนความรูสนทนา
ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุม
ให้แก้อสมกำรตอ่ ไปนีโ้ ดยใช้กรำฟ นักเรียนออกมาแสดงวิธีการหาคําตอบของ
1) x2 - 2x - 3 ≤ 0 อสมการโดยใชกราฟบนกระดาน

วธิ ที ำ� 1) เขียน x2 - 2x - 3 ให้อยู่ในรปู a(x - h)2 + k ได้ ดังน้ี รู้ (Knowing)
x2 - 2x - 3 = (x2 - 2x + 1) - 1 - 3
= (x - 1)2 - 4 1. ครูยกตัวอยางท่ี 34 ในหนังสือเรียน หนา
105-106 บนกระดาน พรอมท้ังอธิบายอยาง
เมอ่ื เทยี บกับ a(x - h)2 + k จะได้ a = 1, h = 1 และ k = -4 ละเอียดและเปดโอกาสใหนักเรียนซักถาม
เขียนกราฟของ y = x2 - 2x - 3 และมจี ุดวกกลับอยทู่ ีจ่ ดุ (1, -4) ได้ ดังน้ี เมื่อเกิดขอสงสยั
หาจุดที่กราฟตัดแกน X
โดยให้ y = 0 2. ครูอธิบายเพิ่มเติมวา ในตัวอยางที่ 34
จะได้ x2 - 2x - 3 = 0 การหาจุดวกกลับนอกจากจะจัดใหอยูในรูป

(x + 1)(x - 3) = 0 a(x - h)2 + k จะไดจ ดุ วกกลับอยูท่ี (h, k) ยัง
x = -1, 3 สามารถหาไดจ ากสตู ร - 2ba , 4ac4a- b2 =

จะได้ว่า กราฟตัดแกน X ที่จดุ (-1, 0) และจุด (3, 0) ดังรูป (h, k) จากน้ันหาจุดทีก่ ราฟตัดแกน X โดยให
y = 0 แลว แยกตวั ประกอบหาคา x แลว นํา x
Y มาพิจารณาหาคําตอบของอสมการ
2 y = x2 - 2x - 3 3. ครยู กตวั อยา งเพ่มิ เตมิ แลวถามคาํ ถาม ดังน้ี
1) x2 - 6x + 8 < 0 2) x2 - 6x + 8 > 0
-2 -1 0 1 2 3X • x2 - 6x + 8 สามารถจัดใหอยูในรูป
-2 (1, -4)
a(x - h)2 + k ไดอ ยางไร และมีจุดวกกลบั
-4
อยทู ีจ่ ุดใด
ฟังก์ชัน 105 (แนวตอบ
x2 - 6x + 8 = (x2 - 6x + 8) + 1 - 1

= (x2 - 6x + 9) - 1
= (x - 3)2 - 1
มีจดุ วกกลบั อยทู จ่ี ดุ (3, -1))
• y = x2 - 6x + 8 แกน X ท่จี ุดใด
(แนวตอบ กราฟตดั แกน X ทจี่ ุด (2, 0) และ
จดุ (4, 0))

กิจกรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นปฏิบัตติ ามข้นั ตอนตอไปนี้ ครูใหความรูเพ่ิมเติมจากตัวอยางท่ี 34 ขอ 2) เกี่ยวกับคําตอบอสมการ
• แบง นกั เรยี นออกเปน 2 กลมุ ดังนี้ โดยเลือกตัวอยางคา x = -2, -1, 0, 1, 2 แทนลงในอสมการ x2 - 2x - 3 ≥ 0
แลว พิจารณาวา คา x ทก่ี าํ หนดใหน น้ั เปนคาํ ตอบของอสมการหรอื ไม จะพบวา
กลุม ท่ี 1 : ใหน กั เรียนหาคําตอบของอสมการ x = -2, -1 เทานั้นท่เี ปนคําตอบของอสมการนี้ เพราะแทนคา ลงในอสมการแลว
x2 - 7x + 12 ≥ 0 โดยใชก ราฟ ทําใหอสมการเปนจรงิ

กลมุ ที่ 2 : ใหนักเรยี นหาคําตอบของอสมการ
x2 - 7x + 12 ≥ 0 โดยใชว ธิ ีทางพชี คณติ

• ใหนกั เรยี นรว มกันอภิปรายวา คําตอบของสมการทห่ี าไดจาก
ท้งั สองวธิ ีตา งกนั หรอื ไม อยางไร

T111

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน พิจารณาหาค่า x เมอื่ y ≤ 0 ดงั รปู

รู้ (knowing) Y

• จากขอ 1) เซตคําตอบของอสมการคือ 2
เทา ใด
(แนวตอบ เซตคําตอบของอสมการ คือ -2 -1 0 1234 X
{ x ͉ 2 < x < 4 } หรือ (2, 4)) -2

• จากขอ 2) เซตคําตอบของอสมการคือ -4
เทาใด
(แนวตอบ เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื จากกราฟ จะได ้ y ≤ 0 เม่อื -1 ≤ x ≤ 3
{ x ͉ x < 2 หรอื x > 4 } หรือ ดังนั้น เ ซตคา� ตอบของอสมการ x2 - 2x - 3 ≤ 0 คอื { x ∙ -1 ≤ x ≤ 3 }
(-∞, 2) (4, ∞))
หรอื [-1, 3]
เขา้ ใจ (Understanding)
2) ให ้ y = x2 - 2x - 3
1. ครูใหน ักเรยี นจบั คูทํา “ลองทาํ ดู” ในหนงั สอื - พิจารณาหาคา่ x เมือ่ y ≥ 0
เรียน หนา 106 แลวแลกเปล่ียนความรู จะได้ y ≥ 0 เมื่อ x ≤ -1 หรือ x ≥ 3
สนทนาซักถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั จากนน้ั ดงั น้นั x2 - 2x - 3 ≥ 0 เมอ่ื x ≤ -1 หรอื x ≥ 3
ครูขออาสาสมัครนักเรียนออกมาแสดงวิธีทํา ดังรปู
บนกระดาน
Y
2. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 2.3 ค ใน
หนงั สือเรยี น หนา 107 เปน การบา น 2

-2 -1 0 1234 X
-2

-4

ดงั นั้น เซตคา� ตอบของอสมการ x2 - 2x - 3 ≥ 0 คอื { x ∙ x ≤ -1 หรอื x ≥ 3 }
หรอื (-∞, -1] [3, ∞)

ลองทาํ ดู 2) 2x2 + x - 3 ≥ 0 ฝกทําตอ

ให้แกอ้ สมการต่อไปน้ ี โดยใชก้ ราฟ แบบฝก ทักษะ 2.3 ค
1) 2x2 + x - 3 ≤ 0 ขอ 1(5)-(8), 2

106

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
จากกราฟขา งตน ขอใดไมถกู ตอง
5 Y 9y1 = 2(x - 3)2 + 9 1. 2x2 - 12x + 27 > 0
2. y1 < y2 กต็ อ เมอื่ 0 < x < 6
4 y2 = 3 3. ถา ให y1 = f(x) แลว f(0) = f(6)
3
2 4. f(3 + a) = f(3 - a) ทุกๆ จาํ นวนจรงิ a ใดๆ
1
-1-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 5. 2x2 - 12x + 27 = 0 มีคาํ ตอบเปนจํานวนจริง 2 คําตอบ

(เฉลยคําตอบ - 3)2 + 9 เขยี นไดใ หมเ ปน 9y1 = 2x2 - 12x + 27
ขอ 5. ไมถ กู ตอ ง เพราะจาก 9y1 = 2(x 27 ซึ่งจดุ หรือคอู ันดบั ทอ่ี ยบู นพาราโบลาที่สอดคลองกับสมการจะเปน
ถาให y1 = 0 จะไดว า 0 = 2x2 - 12x +
คําตอบของสมการ แตจากกราฟพบวา ไมมจี ดุ ดังกลา วเลย น่นั แสดงวา ไมม คี า x ใดทจ่ี ะทําให y1 เปน 0 ได
จงึ ไมมคี ําตอบเปนจํานวนจริง
ดงั นั้น คําตอบ คอื ขอ 5.)
T112

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

แบบฝึกทกั ษะ 2.3 ค 2) x2 - 16 > 0 ขนั้ สอน
4) -4x2 + 8 < 0
ระดบั พนื้ ฐาน 6) x2 - 13x + 42 > 0 ลงมอื ทาํ (Doing)
8) 2x2 + x - 28 > 0
1. ให้แกอ้ สมกำรต่อไปนี้ โดยใชก้ รำฟ 2) 2 - x - x2 < 0 ครใู หนักเรียนแบงกลุม กลุม ละ 3-4 คน โดย
1) x2 - 7 > 0 4) 2x(2 - x) < 3(x - 2) คละความสามารถทางคณิตศาสตร แลวชวยกัน
3) 2x2 - 32 < 0 6) (x + 2)2 > 2x + 7 ทาํ แบบฝก ทักษะ ในหนงั สือเรยี น หนา 103 ขอ
5) x2 + 7x + 10 < 0 8) (2x + 1)(3x - 1) < 14 4.-6. จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอ
7) 2x2 - 3x - 54 > 0 หนาชัน้ เรยี น โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

ระดบั กลาง ขน้ั สรปุ

2. ใหแ้ ก้อสมกำรต่อไปนี้ โดยใชก้ รำฟ สรปุ
1) 4(2x - 3)2 ≥ x2
3) 3x2 ≤ x2 - x + 3 ครูถามคาํ ถามนกั เรียน เพือ่ สรปุ ความรู เรอ่ื ง
5) 2 + 3x < 5x2 การนํากราฟไปใชในการแกสมการและอสมการ
7) 4(x + 1)(x - 4) + 25 ≥ 0 ดังน้ี

3. การแกป้ ญั หาโดยใชค้ วามรเู้ รอ่ื งฟงั กช์ นั กา� ลงั สองและกราฟ • ถากราฟไมตัดแกน X คําตอบของสมการ
จะเปนอยางไร
กราฟของฟังก์ชนั กา� ลังสองท่อี ยูใ่ นรปู f(x) = ax2 + bx + c เม่อื a ≠ 0 สามารถนา� ไป (แนวตอบ จะไมมีคําตอบของสมการท่ีเปน
ประยุกต์ใช้ในการแกป้ ัญหาเกยี่ วกับชีวิตจริงได้ ดงั ตวั อย่างต่อไปนี้ จํานวนจรงิ )

ตวั อยา่ งที่ 35 • ถากราฟตัดแกน X เพียงจุดเดียว คําตอบ
ของสมการจะเปนอยา งไร
ก�ำหนด x เปน็ จำ� นวนนับ ซึง่ เม่ือนำ� มำรวมกับจ�ำนวนนับอีกจำ� นวนหนง่ึ จะมีค่ำเทำ่ กับ 10 ใหห้ ำ (แนวตอบ มคี ําตอบของสมการทีเ่ ปน
ค่ำสูงสุดของผลคณู ระหวำ่ งจำ� นวนนับสองจ�ำนวนนี้ จาํ นวนจริงเพียง 1 คําตอบ)
วธิ ที �ำ ให้ x เปน็ จา� นวนนับจ�านวนแรก
• ถากราฟตัดแกน X สองจุด คําตอบของ
จะได้ จา� นวนนับจ�านวนทสี่ อง คือ 10 - x สมการจะเปน อยางไร
ให้ y แทนผลคูณระหวา่ งจา� นวนนบั สองจา� นวน (แนวตอบ มคี ําตอบของสมการท่เี ปน
จะได้ y = x(10 - x) จํานวนจริงเพยี ง 2 คาํ ตอบ)

y = 10x - x2 ขน้ั ประเมนิ

ฟังก์ชัน 107 1. ครูตรวจแบบฝก ทกั ษะ 2.3 ข-2.3 ค
2. ครตู รวจ Exercise 2.3 B-2.3 C
3. ครูประเมินการนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบคุ คล
5. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวนิ ยั ใฝเรยี นรู

มงุ มน่ั ในการทํางาน

41 x2 ขอสอบเนน การคิด
ตน ทนุ ในการผลติ วิทยจุ ํานวน x เครอื่ งตอวนั เปนเงิน + 55x 550 บาท และขายไปในราคาเครื่องละ 50 + 21 x บาท
จะตอ งผลิตวทิ ยุกเี่ ครือ่ งตอ วันจงึ จะไดกาํ ไรสงู สุด -

41 (เฉลยคาํ ตอบ -ต5น 5ท0นุ บกาาทรผแลติตถ xาใเหครyือ่ งแตทอนวกนั ําไเรปทนี่ขเงานิยว41ิทยx2ุได+ ข5า5ยxใ-นร5า5ค0าหเคมราอ่ื ยงถลงึ ะถ5า0ผ+ลิต21ไดx 5 เครอื่ งตอ วัน กจ็ ะมีตน ทุน
(5)2 + 55(5) บาท ซ่ึงมวี ิทยุให x เคร่อื ง
ดังน้นั จะขายไดเงินทั้งหมด x 50 + 21 x บาท
นั่นคอื กําไรทเ่ี กดิ ขน้ึ คาํ นวณไดจาก
จะได A = -142B,AB = -5 , C = 550
กําไร = ราคาขาย - ตนทุน h = = -
y = x 50 + 12 x - 14 x2 + 55x - 550 2(-514)
y = A14 xx22 5x + 550 k = =4 = 10
y = - Bx + C = 4AC4A- B2 14 - (-5)2
+ 550 - 25 (550)
4 41
= 525
ดงั น้นั จุดยอดอยูท คี่ อู นั ดบั (10, 525) เปนพาราโบลาควํ่า จงึ ตอ งผลิตวทิ ยุ 10 เครอ่ื งตอวนั จะทําใหไ ดกาํ ไร 525 บาทตอ วัน) T113

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Inductive Method) จดุ วกกลับของฟังกช์ นั y = ax2 + bx + c คือ (- 2ba , 4ac4a- b2)
จาก y = 10x - x2
เตรยี ม จะได้ - 2ba = - 21(-01) = 5
และ 4ac4a- b2 = 4(-1)4(0(-)1-) 102 = 25
ครูถามคําถามเพื่อทบทวนความรูเก่ียวกับ จะไดจ้ ุด (5, 25) เปน็ จดุ วกกลบั ของกราฟและเปน็ จุดสงู สุดของกราฟ
ฟงกชันกําลังสอง ดงั น้ี ดังนัน้ ผลคูณท่ีมีค่าสงู สดุ เทา่ กับ 25

• ฟงกชนั กาํ ลงั สอง เขียนอยูในรูปแบบใด ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
(แนวตอบ ฟงกช ันทีอ่ ยใู นรูป
กา� หนด x เปน็ จา� นวนนบั ซง่ึ เมอ่ื นา� มารวมกบั จา� นวนนบั อกี จา� นวนหนง่ึ แบบฝกทกั ษะ 2.3 ง
y = ax2 + bx + c เม่อื a, b, c เปน จะมีค่าเท่ากับ 40 ให้หาค่าสูงสุดของผลคูณระหว่างจ�านวนนับ ขอ 1-2
จาํ นวนจริงใดๆ และ a 0) สองจ�านวนน้ี
• กราฟของสมการ y = ax2 + bx + c
เม่ือ a 0 มีจดุ วกกลบั ท่จี ุดใด ตัวอย่างท ี่ 36

(แนวตอบ มีจุดวกกลับท่ีจดุ วศนิ เตะลกู ฟุตบอลลูกหนงึ่ ข้ึนไปในอำกำศในแนวดงิ่ ถำ้ ควำมสูง (เป็นฟุต) ของลกู ฟุตบอล
ที่ถกู เตะข้ึนไปคำ� นวณไดจ้ ำกสูตร h(t) = 27t - 6t2 เม่ือ t แทนเวลำเป็นวินำที
- 2ba , 4ac4a- b2 )
1) ให้เขียนกรำฟของฟังกช์ นั h(t) = 27t - 6t2 เมือ่ 0 ≤ t ≤ 4.5
ขนั้ สอน 2) ให้หำเวลำในขณะที่ลูกฟุตบอลอยูท่ จ่ี ดุ สงู สดุ จำกพ้ืน
3) ให้หำว่ำนำนเท่ำใดลูกฟุตบอลจงึ ตกลงถงึ พ้นื
สอนหรอื แสดง วิธที ำ� 1) จาก h(t) = 27t - 6t2

1. ครูกลาววา กราฟของฟงกชันกําลังสองที่อยู เขยี นตารางคูอ่ นั ดับและกราฟได้ ดงั น้ี

ในรูป f(x) = ax2 + bx + c เม่ือ a 0 t (วินำที) 0 0.5 1 2 3 4 4.5
h(t) (ฟุต) 0 12 21 30 27 12 0
สามารถนําไปประยุกตใชในการแกปญหา
เก่ยี วกับชวี ิตจรงิ ได Y
2. ครูยกตัวอยางที่ 35 ในหนังสือเรียน หนา
107-108 บนกระดาน แลว อธบิ ายอยา งละเอยี ด 40
30
เปรยี บเทยี บและรวบรวม 20
10
ครูใหน กั เรยี นจับคูทาํ “ลองทําดู” ในหนงั สอื - -1 0 1 2 3 4 5 X
เรียน หนา 108 และแบบฝกทักษะ 2.3 ง ขอ 1.-2. -10
ในหนงั สอื เรยี น หนา 111 แลวแลกเปล่ยี นความรู
และสนทนาซกั ถามจนเปน ทเี่ ขา ใจรว มกนั จากนน้ั 108
ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครู
ตรวจสอบความถูกตอง

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET

ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยางการแกปญหาโดยใชความรู เร่ือง ฟงกชัน กําหนดให M และ N เปนจาํ นวนจรงิ สองจํานวนท่รี วมกันได 2
กาํ ลังสอง เชน สนิ คากับราคาของสนิ คา การเคลื่อนที่ของวตั ถุที่มคี วามสมั พันธ แลวคา สูงสดุ ของ M2 + 2N2 มคี าเทา ใด
กบั เวลา พรอ มทง้ั รว มกนั อภปิ รายในชน้ั เรยี น แลว ใชก ารถาม-ตอบเพอ่ื ตรวจสอบ
ความเขา ใจของนักเรยี น 1. 12 2. 15 3. 20 4. 24 5. 30
(เฉลยคาํ ตอบ เนอ่ื งจาก M + N = 2 ดงั นัน้ N = 2 - M
T114 ให y เปนคา สูงสดุ ของ M2 + 2N2
จะได y = M2 + 2(2 - M)2

= M2 + 2(4 - 4M - M2)
= M2 + 8 - 8M - 2M2
= -M2 - 8M + 8

นัน่ คือ คา สงู สดุ เทากบั 4ac4a- b2 = 4(-1)(48()-1-) (-8)2

= --946 = 24
ดังนั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) จุดวกกลบั ของฟังก์ชัน y = ax2 + bx + c คอื (- 2ba , 4ac4a- b2) ขน้ั สอน
จาก h(t) = 27t - 6t2
จะได้ - 2ba = - 22(-76) = 2.25 สอนหรอื แสดง
และ 4ac4a- b2 = 4(-6)4(0(-)6-) 272 = 30.375
1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตัวอยา งท่ี 36 ในหนังสือ-
ดังนั้น เม่ือเวลาผ่านไป 2.25 วินาที ลูกฟุตบอลจะอยู่สูงท่ีสุดและอยู่สูงจากพ้ืน เรยี น หนา 108-109

30.375 ฟตุ 2. ครูถามคําถามนักเรยี นจากตัวอยา ง 36 ดังน้ี
• โจทยใหนกั เรียนหาอะไร
3) เมื่อลกู ฟุตบอลตกถึงพื้น แสดงวา่ h(t) จะตอ้ งมีค่าเปน็ ศูนย์ (แนวตอบ
จะได้ 27t - 6t2 = 0 1) ใหเ ขียนกราฟของฟง กชัน h(t)
6t2 - 27t = 0 2) ใหหาเวลาในขณะท่ีลูกฟุตบอลอยูท่ีจุด
3t(2t - 9) = 0 สงู สดุ จากพ้ืน
t(2t - 9) = 0 3) ใหห าวา นานเทา ใดลกู ฟตุ บอลจงึ ตกลง
จะได้ t = 0 หรอื 2t - 9 = 0 ถึงพ้นื )
t = 0 หรือ t = 92 • ในการหาคาํ ตอบ นกั เรยี นตอ งทาํ สง่ิ ใดกอ น
ดงั นัน้ ลกู ฟุตบอลจะตกถงึ พน้ื เมื่อเวลาผ่านไป 4.5 วนิ าที เปนลําดบั แรก
(แนวตอบ เขยี นตารางคอู ันดบั และกราฟ)
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ • กราฟมลี กั ษณะอยางไร
(แนวตอบ กราฟมีลักษณะเปนเสนโคงเปด
หินกอ้ นหน่งึ ถกู โยนจากหน้าผาซงึ่ มีความสงู h เมตร จากพนื้ ดนิ แบบฝก ทกั ษะ 2.3 ง ลงดา นลาง)
ถ้าความสงู ของกอ้ นหนิ ทีถ่ ูกโยนขน้ึ ไป คา� นวณไดจ้ ากสตู ร ขอ 3 • ใชค วามรูเ รอื่ งใดในการหาคาํ ตอบขอ 2)
h(t) = 28 + 42t - 12t2 เมอื่ t แทนเวลาเป็นวนิ าที (แนวตอบ โจทยตองการหาเวลาในขณะที่
ลูกฟุตบอลอยูท่ีจุดสูงสุด จึงใชการหาจุด
1) ใหห้ าความสงู ของหนา้ ผา วกกลบั ของฟง กชนั ซึ่งหาไดโดย
2) ให้เขียนกราฟของฟงั กช์ นั h(t) = 28 + 42t - 12t2
- 2ba , 4ac4a- b2 )
เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4
3) ให้หาเวลาในขณะท่กี ้อนหินอยู่ทจี่ ุดสงู สุดจากพ้ืน 3. ครูอธิบายวา ในการหาคาํ ตอบขอ 3) นกั เรียน
4) ใหห้ าวา่ นานเท่าใดก้อนหนิ จึงตกลงถงึ พน้ื ตอ งทราบวา เมอ่ื ลกู ฟตุ บอลตกถึงพ้นื แสดงวา
h(t) = 0
ฟังก์ชัน 109
เปรยี บเทยี บและรวบรวม

ครใู หนักเรียนจับคทู ํา “ลองทําดู” ในหนงั สอื -
เรียน หนา 109 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมา
นําเสนอหนาช้ันเรียน โดยครูตรวจสอบความ
ถูกตอ ง

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET ส่ือ Digital
จากการวิเคราะหความสัมพันธระหวางจํานวนสินคาท่ีขายได
x (หนวย : พนั ชนิ้ ) และกําไร (หนว ย : หมื่นบาท) ของโรงงาน ครูอาจใหนักเรยี นใชโ ปรแกรม GeoGebra เพือ่ ตรวจสอบการเขยี นกราฟ
แหง หนึง่ เปนไปตามสมการ P(x) = -x2 + 4x - 3 โรงงานแหง น้ี ใน “ลองทาํ ดู” ในหนงั สอื เรยี น หนา 109 จาก www.geogebra.org/graphing
ตองผลิตสนิ คาทั้งหมดกช่ี น้ิ จึงจะไดกาํ ไรสูงที่สุด
1. 1,500 ช้นิ 2. 2,000 ชิ้น T115
3. 2,200 ชิ้น 4. 2,250 ชิ้น
5. 2,500 ชน้ิ

(เฉลยคาํ ตอบ เนอ่ื งจาก P(x) = -x2 + 4x - 3
คา สูงสุดของ P(x) เกิดขึน้ ที่ x = - 2ba = - 2(4-1) = 2
โรงงานแหงนตี้ อ งผลติ สินคา ทัง้ หมด 2,000 ชิน้ จึงจะไดกําไร
สูงที่สุด
ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตัวอย่างที่ 37

สอนหรอื แสดง นิตมิ ีลวดยำว 100 เมตร ต้องกำรล้อมรว้ั ทีด่ นิ รมิ แม่น้�ำให้เป็นรูปส่ีเหล่ียมมุมฉำก โดยลอ้ มแค่
3 ดำ้ น ยกเว้นด้ำนท่ีตดิ ริมแมน่ ้�ำ ให้หำว่ำจะล้อมรัว้ ใหม้ พี น้ื ที่มำกทส่ี ุดเป็นเท่ำใด
ครูใหน ักเรียนศกึ ษาตวั อยา งท่ี 37 ในหนังสอื -
เรียน หนา 110 แลวครูอธบิ ายซ้าํ อกี ครั้ง เพอ่ื ให วธิ ที �ำ
นักเรียนเขา ใจมากยิ่งขึ้น
xx
เปรยี บเทยี บและรวบรวม
100 - 2x
ครูใหนกั เรยี นจับคูทาํ “ลองทําด”ู ในหนังสอื -
เรียน หนา 110 และแบบฝกทกั ษะ 2.3 ง ขอ 3.-6. ให้ x แทนความกวา้ งของรปู สีเ่ หลีย่ มมุมฉาก
ในหนังสอื เรยี น หนา 111 แลวแลกเปล่ยี นความรู จะได้ ความยาวของรปู สีเ่ หล่ยี มมมุ ฉาก คือ 100 - x - x = 100 - 2x
และสนทนาซกั ถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั จากนน้ั
ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครู ให้ y แทนพ้นื ที่ของรปู สเ่ี หลี่ยมมมุ ฉาก
ตรวจสอบความถกู ตอ ง จะได้ y = x(100 - 2x)
y = 100x - 2x2
ขน้ั สรปุ เน่ืองจาก จดุ วกกลับของฟงั กช์ นั y= ax2 + bx + c คือ (- 2ba , 4ac4a- b2)
จาก 2x2
สรปุ y = 100x -

ครูใหนักเรียนรวมกันสรุปกราฟของฟงกชัน จะได้ - 2ba = - 21(0-20) = 25
และ 4ac4a- b2 = 4(-2)(40()-2-) 1002 = 1,250
กําลังสองทอ่ี ยใู นรูป f(x) = ax2 + bx + c เมอื่
a 0 สามารถนําไปประยกุ ตใ ชใ นการแกป ญหา ดงั น้นั นิติต้องล้อมร้ัวให้ด้านกว้างของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 25 เมตร จะได้พ้ืนที่

เกี่ยวกับชีวิตจริงไดและวิธีการแกโจทยประยุกต มากทสี่ ดุ คอื 1,250 ตารางเมตร
เกี่ยวกับคาสูงสุดหรือต่ําสุดของฟงกชันกําลังสอง
มหี ลกั การ ดงั นี้ ลองทําดู ฝกทําตอ

1) อา นโจทยแ ลว กาํ หนดคา ทโี่ จทยต อ งการหา เรยาต้องการล้อมร้ัวทด่ี ินรูปสเ่ี หลย่ี มมุมฉากเพ่อื เลีย้ งไก่ โดยท่ดี า้ น แบบฝกทักษะ 2.3 ง
คาสูงสดุ หรือต่าํ สุดใหเปน y หรือ f(x) หนง่ึ ของพนื้ ทตี่ ดิ กบั แมน่ า้� ถา้ เรยามลี วดยาว 80 เมตร และไกต่ วั หนงึ่ ขอ 4-7
ใช้พืน้ ท่ี 5 ตารางเมตร ให้หาว่าเรยาจะเลี้ยงไกไ่ ดม้ ากทสี่ ุดกีต่ วั
2) สรางสมการหรือฟงกชันกําลังสอง ซึ่งจะ
ตองขึ้นอยูกับตัวแปรอีกตัวหนึ่งก็คือ x
โดยสวนมาก x จะเปนตัวที่โจทยถามหา
หรือมีความสมั พนั ธก ับ y

110

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครใู หความรเู พ่ิมเติมจากตวั อยา งท่ี 37 ในเร่อื ง การหาคาสงู สดุ ของ ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ
ทางคณิตศาสตรแ ลวทาํ กิจกรรม ดงั นี้
y = -2x2 + 100x โดยจดั ใหอ ยใู นรูป y = a(x - h)2 + k
• ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลฟงกชันกําลังสองเกี่ยวกับ
จากสมการ y = -2x2 + 100x ชีวิตจรงิ
= -2(x2 - 50x + 252) + 252(2)
= -2(x2 - 50x + 625) + 1,250 • นําขอมูลที่สืบคนมาสรางโจทยปญหาพรอมท้ังหาคําตอบ
= -2(x - 25x)2 + 1,250 แลวนักเรียนภายในกลุมแลกเปล่ียนความรูและสนทนา
ซักถามจนเปนที่เขา ใจรวมกัน
ดงั น้ัน คาสูงสุดเทากับ 1,250 ซึ่งสอดคลองกับวธิ ใี ชส ตู ร
• ใหนักเรียนแตละกลุมสงตัวแทนออกมานําเสนอขอมูลผาน
โปรแกรม Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนอ
อื่นๆ ตามที่นักเรียนถนดั

T116

นาํ สอน สรุป ประเมิน

แบบฝก ทักษะ 2.3 ง ขน้ั สรปุ

ร ะดับพนื้ ฐาน สรปุ

1. จา� นวนจรงิ สองจ�านวนบวกกนั มคี า่ เทา่ กับ 50 ให้เขียนสมการของฟงั กช์ ัน f ซ่งึ เป็นผลคูณ 3) สมการ y ท่ีกราฟมีลักษณะเปนเสนโคง
ของจา� นวนจรงิ สองจา� นวนน้ี เปดขึ้นดานบนจะบอกคาสูงสุดของกราฟ
ถากราฟมีลักษณะเปนเสนโคงเปดลง
2. ก�าหนด x เปน็ จ�านวนนบั ซ่งึ เมอ่ื น�ามารวมกบั จา� นวนนบั อกี จ�านวนหนึ่งจะมีคา่ เท่ากบั 80 ดา นลา งจะบอกคา ตา่ํ สดุ ของกราฟ ซง่ึ จะใช
ให้หาค่าสูงสุดของผลคณู ระหว่างจา� นวนนับสองจ�านวนน้ี
จุดวกกลับ - 2ba, 4ac4a- b2 เปน ตัวชวย
3. นุดาโยนลูกบอลลูกหนึ่งขึ้นไปบนอากาศในแนวดิ่ง ถ้าความสูง (เป็นฟุต) ของลูกบอลท่ี
โยนขึ้นไปคา� นวณได้จากสูตร f(t) = -t2 + 5t เมื่อ t แทนเวลาเปน็ วนิ าที ในการหาคําตอบ

1) ใหเ้ ขยี นกราฟของฟงั กช์ ัน f(t) = -t2 + 5t เม่อื 0 ≤ t ≤ 5 นาํ ไปใช้
2) ให้หาเวลาในขณะทลี่ กู บอลอย่ทู ีจ่ ุดสูงสดุ จากพนื้
3) ให้หาว่านานเทา่ ใดลกู บอลจงึ ตกลงถึงพื้น 1. ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน โดย
4. ฝนทิพย์มีที่ดินแปลงหนึ่งอยู่ริมแม่น้�าและต้องการล้อมร้ัวลวดหนามรอบ ๆ ที่ดินแปลงนี้ คละความสามารถทางคณติ ศาสตร แลว ชว ยกนั
ทําใบงานที่ 2.5 และแบบฝกทักษะ 2.3 ง
ซ่ึงเป็นรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก โดยด้านที่อยู่ติดริมน�้าไม่ต้องมีรั้วก้ัน ถ้าลวดยาว 250 เมตร ขอ 7. ในหนงั สอื เรยี น หนา 111 แลว แลกเปลย่ี น
จะลอ้ มร้วั ให้มีพนื้ ทีม่ ากที่สดุ เปน็ เท่าใด ความรูกันภายในกลุม จากนั้นครูสุมนักเรียน
ออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบ
ระดับกลาง ความถกู ตอ ง

5. โบดรยิษจัทะผขลาติยขขอองงเเลลน่่นชแหนิ้ ่งลหะน1ึง่7ม0ตี บ้นาททุนถใา้นบกราษิ รทัผลแิตหง่ นxต้ี ชอ้ งน้ิ กาเรทไา่ ดกก้ ับา� ไร21สxงู 2สดุ - 30x - 100 บาท 2. ครใู หน กั เรยี นทาํ Exercise 2.3 D เปน การบา น
จะตอ้ งขายของเลน่
จา� นวนกี่ช้นิ ขน้ั ประเมนิ

6. บรษิ ทั แห่งหน่งึ มีกา� ไรใน 10 ปแ รก เปน็ เงนิ P ล้านบาท สามารถค�านวณไดจ้ ากสูตร 1. ครตู รวจใบงานท่ี 2.5
P = 2.5 - 0.1(x - 3)2 เม่ือ x แทนจ�านวนป ใหห้ าคา่ x เม่ือบริษทั ไมม่ ผี ลก�าไร 2. ครตู รวจแบบฝก ทักษะ 2.3 ง
3. ครูตรวจ Exercise 2.3 D
ร ะดับทา ทาย 4. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
5. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทํางานรายบุคคล
7. จากการวิเคราะห์ของโรงงานแห่งหนงึ่ พบวา่ เมอ่ื ผลติ สนิ ค้า x ช้ิน โรงงานจะไดก้ า� ไร P(x) 6. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานกลุม
โดยท่ี P(x) = ax2 + bx + c (หนว่ ยเปน็ บาท) ถ้าโรงงานนไ้ี มผ่ ลิตสนิ ค้าเลย จะขาดทุน 7. ครสู งั เกตความมวี นิ ยั ใฝเรียนรู
3,000 บาท ถ้าผลิตได้ 150 ช้ิน จะไดก้ �าไร 1,000 บาท และถ้าผลิต 200 ชิ้น จะเทา่ ทนุ
ถา้ โรงงานแหง่ นตี้ ้องการไดก้ า� ไรสงู สุด จะต้องผลิตสนิ ค้ากช่ี น้ิ และไดก้ า� ไรสูงสดุ เป็นเทา่ ใด มุงมน่ั ในการทํางาน

ฟังก์ชัน 111

ขอสอบเนน การคิด แนวทางการวัดและประเมินผล

กาํ ไรของบริษัทแหง หนึ่ง สามารถแทนดว ยสมการ ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน
P = -2x2 + nx เมือ่ P แทนกําไร (หนวย : หมน่ื บาท) ท่ี 2.5 เรอ่ื ง การแกป ญหาโดยใชค วามรูเ รือ่ งฟง กชนั กาํ ลงั สองและกราฟ ในขัน้
x แทนจาํ นวนสนิ คา (หนวย : รอยช้ิน) นําไปใช โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการ
ถา ขายสนิ คา ได 25 ชนิ้ จะทาํ ใหม กี าํ ไรสงู สดุ แลว ถา ขายสนิ คา ได จัดการเรยี นรูใ นหนว ยการเรยี นรทู ่ี 2
30 ชิ้น จะไดกําไรหรือขาดทนุ เทา ใด

(เฉลยคาํ ตอบ จากจุดวกกลบั ของฟง กชัน y = ax2 + bx + c แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานกล่มุ
คือ - 2ba , 24(a--nc24)a- b2
จะได x = = n4 คาชีแ้ จง : ให้ผ้สู อนสงั เกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในช่องทต่ี รงกับ
2นถ5า่นั คชxือ้นิ =n430= ระดับคะแนน

ลาดับ ช่ือ – สกุล การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีนา้ ใจ การมี รวม
ที่ ของนักเรียน ความคดิ เห็น คนอื่น ตามท่ไี ด้รบั สว่ นรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรงุ คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321

ทําให P มคี าสงู สุด เมอ่ื ขายสนิ คาได
ดงั น้ัน P = -2x2 + 100x
25 จะได n = 100 + 100(30) = 1,200 เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมนิ
จะได P = -2(30)2 ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบอ่ ยครงั้ ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยคร้ัง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสนิ คุณภาพ

ดงั น้นั ขายสินคา ได 3,000 ช้นิ จะไดกําไร 12,000,000 บาท) ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากว่า 10 ปรับปรุง

T117

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Deductive Method)

กาํ หนดขอบเขตของปญ หา

1. ครยู กตัวอยางฟง กช ัน y = 2x-3, y = 2x+1, 2.4 ฟงั กช์ นั เอกซ โพเนนเชยี ล (Exponential Function)
y = 2-x และ y = 12 -x
2. ครถู ามคําถามนกั เรียน ดงั นี้ ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ล คือ ฟงั ก์ชันที่อยใู่ นรปู y = ax เมือ่ a > 0 และ a ≠ 1 ซงึ่ มี
• จากฟงกชันที่ยกตัวอยางขางตน สามารถ ลกั ษณะของกราฟของฟังก์ชันดงั ต่อไปน้ี
เขียนใหอ ยใู นรูปทัว่ ไปไดอยา งไร
พิจารณากราฟของ y = 2x เมื่อ x เป็นจา� นวนจรงิ ใด ๆ

(แนวตอบ y = ax) x y = 2x Y
• จากฟงกชันท่ียกตัวอยางขางตน เลขฐาน
ตอ งเปนจํานวนจรงิ บวกเทา นนั้ ใชหรือไม -3 81112 8
(แนวตอบ ใช) -1 7
• ใหน ักเรียนเขยี นกราฟของฟง กช นั y= 2x 0 6
(แนวตอบ Y 12 5
4
54 38 3 X
32 2
1 1
-6 -5 -4 -3 -2 ---1120 1 2 3 4 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3

X จากกราฟ จะเหน็ ว่า เมอื่ x มคี า่ มากขนึ้ y = 2x จะมีค่ามากขึ้น ซึ่งมีโดเมนของฟงั กช์ นั เป็น
เซตของจ�านวนจริง และเรนจข์ องฟงั ก์ชันเป็นจ�านวนจรงิ ทม่ี ากกว่าศูนย์
)

3. ครกู ลาววา จากกราฟ จะเหน็ วา เมอ่ื x มีคา ตัวอยา่ งท่ี 38
มากขึ้น y = 2x จะมีคามากข้ึน ซ่ึงโดเมน
ของฟง กชนั เปน เซตจาํ นวนจรงิ และเรนจของ ใหเ้ ขียนกรำฟของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปน้บี นระนำบเดยี วกนั
ฟง กชันเปนจาํ นวนจริงที่มากกวาศูนย 2) y1 = (21)x และ y2 = (13)x
1) y1 = 2x และ y2 = 3x

ขน้ั สอน วธิ ีทำ� 1) y1 = 2x และ y2 = 3x

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ x -2 -1 0 1 2
y1 = 2x 41 12 1 2 4
1. ครใู หนักเรยี นศกึ ษาตวั อยางที่ 38 ในหนงั สอื - y2 = 3x 19 13 1 3 9
เรยี น หนา 112
2. ครูใหนักเรียนต้ังขอสังเกตจากขอ 1) เปน
กราฟ y = ax โดย a > 1 กราฟมีลกั ษณะเปน
ฟงกชันเพิ่ม ถา x1 > x2 แลว ax1 > ax2
เพราะฉะน้ันกราฟของ y = ax (จากซาย จากตาราง จะเห็นว่า เมอ่ื x มีคา่ เพิ่มขึ้น จะท�าให้ 2x และ 3x มีค่าเพ่ิมขน้ึ

ไปขวา) จะสูงข้ึนเรื่อยๆ โดยไมมีขอบเขต
(น่ันคือไมมีคาสูงสุดของฟงกชัน) หรือใน
112

ขณะทค่ี า x เพ่ิมขน้ึ คาของ y ก็จะเพิม่ ขึน้

ขอ สอบเนน การคดิ

ขอใดไมใ ชฟงกช นั เอกซโพเนนเชยี ล 2. y = 21 x
1. y - 5x = 0 4. y = (-cos 30 ํ)x

3. y = (sin 45 )ํ x

(เฉลยคําตอบ
ขอ 1. y - 5x = 0 จัดรปู จะได y = 5x เปน ฟงกช ันเอกซโพเนนเชยี ล เพราะเลขฐาน 5 > 0
และไมเทา กบั 1 5 > 0 และไมเ ทา กับ 1
12 x เปน ฟง กชนั เอกซโ พเนนเชยี ล เพราะเลขฐาน 12 > 0
ขอ 2. y = (sin 45 ํ)x เปนฟง กช นั เอกซโพเนนเชียล เพราะเลขฐาน และไมเ ทากบั 1 = 22
ขอ 3. y = 1 22 > 0 sin 45 ํ
และไมเ ทากับ
23
ขอ 4. y = (-cos 30 )ํ x ไมเ ปน ฟงกชนั เอกซโพเนนเชียล เพราะเลขฐาน - < 0
-cos 30 ํ = - 23

T118 ดังนั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

เขยี นกราฟได้ ดังนี้ ATTENTION ขน้ั สอน
กราฟของ y = ax, a > 0 และ
Y a ≠ 0 จะผา่ นจดุ (0, 1) เสมอ แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
และถา้ a > 1 เมอื่ x มีค่า
10198654327 y2 = 3x เพิ่มข้ึน y จะมีคา่ เพิ่มขึ้น จากนัน้ ครถู ามคาํ ถามนกั เรยี นวา
-3 -2 -1 0 y1 = 2x • เพราะเหตใุ ดเสน โคง ของกราฟ y2 ลเู ขา ใกล
1 23 X
แกน Y มากกวาเสน โคง ของกราฟ y1
จากกราฟ จะเห็นว่า เมอื่ x มคี า่ เพม่ิ ขึ้น y จะมีคา่ เพม่ิ ขึ้น และเสน้ โค้งของกราฟ
y2 = 3x จะลเู่ ขา้ ใกล้แกน Y มากกว่าเส้นโค้งของกราฟ y1 = 2x (แนวตอบ เพราะ a ของกราฟ y2 > y1)
2) y1 = (21)x และ y2 = (13)x
3. ครูใหนักเรียนดูกรอบ ATTENTION ขอมูลที่
x -2 -1 0 1 2 สาํ คัญทนี่ ักเรยี นควรรูเพ่ิมเตมิ ดงั น้ี กราฟของ

y1 = (12)x 4 2 1 12 41 y = ax, a > 0 และ a 0 จะผา นจดุ (0, 1)
y2 = (31)x 9 3 1 13 91 เสมอ และถา a > 1 เม่ือ x มคี าเพิม่ ข้นึ y

จากตาราง จะเหน็ ว่า เมื่อ x มีค่าเพ่มิ ขึน้ จะท�าให้ (21)x และ (31)x มีคา่ ลดลงY จะมีคา เพม่ิ ขึน้
4. ครูใหนักเรียนต้ังขอสังเกตจากขอ 2) เปน
y2 = (13)x 1054629873 ATTENTION
y1 = (12)x กราฟของ y = ax, a > 0 และ กราฟ y = ax โดย 0 < a < 1 กราฟมีลกั ษณะ
a ≠0 จะผา่ นจดุ (0, 1) เสมอ เปน ฟงกชนั ลด ถา x1 < x2 แลว ax1 > ax2
และถา้ 0 < a < 1 เม่อื x เพราะฉะน้ันกราฟของ y = ax (จากขวา
มคี า่ เพ่มิ ขนึ้ y จะมคี า่ ลดลง
ไปซาย) จะสูงข้ึนเรื่อยๆ โดยไมมีขอบเขต
1 123 X (นั่นคือไมมีคาสูงสุดของฟงกชัน) หรือใน
-3 -2 -1 0 ขณะท่ีคา x เพมิ่ ข้ึน คา ของ y ก็จะลดลงและ
เม่อื x ลดลง คา ของ y ก็จะเพ่ิมขึน้ จากนนั้
ครถู ามคาํ ถามนกั เรยี นวา เพราะเหตใุ ดเสน โคง
ของกราฟ y2 ลเู ขา ใกลแ กน Y มากกวา เสน โคง
ของกราฟ y1

(แนวตอบ เพราะ a ของกราฟ y2 < y1)

5. ครูใหนักเรียนดูกรอบ ATTENTION ขอมูล
ที่สําคัญที่นักเรียนควรรูเพ่ิมเติม ดังนี้ กราฟ

y = ax, a > 0 และ a 0 จะผา นจดุ (0, 1)
เสมอ และถา 0 < a < 1 เมื่อ x มคี าเพิ่มขนึ้

y จะมคี า ลดลง

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เม่ือ x มีคา่ เพิม่ ขึน้ y จะมีคา่ ลดลง และเมื่อ x มคี า่ ลดลง
(31)x
y จะมีค่าเพ่ิมขึน้ และเส้นโค้งของกราฟ y2 = จะลเู่ ขา้ ใกลแ้ กน Y มากกว่า
เส้นโค้งของกราฟ y1 = (21)x

ฟังก์ชัน 113

กิจกรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นจบั คู yแล=ว ป12ฏิบx ตั +ติ า1มแขลั้นะตอyน=ตอ ไ21ปxน้ี- 1 บนระนาบ ครูอธิบายความรเู พมิ่ เตมิ จากตัวอยา งท่ี 38 วา การหาจุดตดั แกน X ของ
• เขียนกราฟของ
กราฟของฟงกช ันในขอ 1) และ 2) ตองให y = 0 จะไดสมการ ax = 0 ซงึ่ ไมม ี
เดยี วกนั
คําตอบ ดงั นนั้ กราฟของฟงกชนั ในขอ 1) และ 2) จงึ ไมต ัดแกน X

• กราฟท้งั สองตดั แกน Y ท่จี ดุ ใด
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรยี นเกงและนกั เรียนออ นจบั คูกัน

T119

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ให้เขียนกราฟของฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้บี นระนาบเดียวกัน
1) y1 = (414x)แx ลแะละy2y=2 5x ฝกทําตอ
6. ครูอธิบายวา นักเรียนสามารถนําสมบัติของ 2) y1 = = (51)x
แบบฝกทกั ษะ 2.4 ขอ 1,
ax = ay ก็ตอ เมื่อ x = y มาใชในการแกส มการ 3, 6

เอกซโพเนนเชยี ลได การแกส้ มการเอกซโ์ พเนนเชียล สามารถจดั ใหอ้ ยใู่ นรูปทม่ี ฐี านเป็นจา� นวนเดียวกนั ได้ ดงั นี้
7. ครูใหน ักเรยี นศึกษาตัวอยางท่ี 39 ในหนงั สือ- ax = ay ก็ตอ่ เมอ่ื x = y

เรยี น หนา 114 จากนนั้ ครถู ามคาํ ถามนกั เรยี น ตวั อยา่ งที่ 39 2) (71)x = 2,401
ดงั น้ี
• ขอ 1) นกั เรยี นสามารถแกส มการไดอ ยา งไร ใหแ้ ก้สมกำรตอ่ ไปน้ี SOPLRVOIBNLGETMIP
1) 3x = 243 จากบทนิยาม
(แนวตอบ ทําฐานของเลขยกกําลังใหเปน
ฐานเดียวกัน คือ ทํา 243 ใหฐานเปน 3 วธิ ีท�ำ 1) จาก 3x = 243 a-n = (1a)n
จากนน้ั แกส มการหาคา ตวั แปร โดยใชส มบตั ิ จะได้ 3x = 35 เมื่อ a แทนจ�านวนใด ๆ ท่ี
ดงั นนั้ x = 5 ไมเ่ ท่ากับศนู ย์ และ n แทน
ของ ax = ay ก็ตอเม่อื x = y) จ�านวนเตม็ บวก
2) จาก (71)x = 2,401
• ขอ 2 นกั เรียนสามารถแกส มการไดอยา งไร จะได้ (71)x = 74
ฐจ(แาานนกวนเตดนั้ อียแบวกกส ทนั มํากฐคาาือรนหทขาําอคงา 2เตล,4วั ข0แย1ปกรใกหโดําฐลยาใังนชใเสหปมนเปบนตั17ิ (17)x = (71)-4
ดังนนั้ x = -4
ของ ax = ay ก็ตอ เมอ่ื x = y)
ลองทาํ ดู 2) (12)x = 2,048 ฝกทําตอ
8. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา สมบัติของเลขยกกําลัง
ทส่ี าํ คญั ทใี่ ชในตัวอยางที่ 39 ขอ 2) คือ ให้แกส้ มการตอ่ ไปน้ี แบบฝก ทกั ษะ 2.4 ขอ 2
1) 5x = 625
a-n = a1 n เมอื่ a แทนจาํ นวนใดๆ ทไ่ี มเ ทา กบั

0 และ n แทนจาํ นวนเตม็ บวก

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

ครใู หน ักเรียนจบั คูทํา “ลองทาํ ดู” ในหนังสือ-
เรยี น หนา 114 และแบบฝกทกั ษะ 2.4 ขอ 1.-3.
ในหนังสอื เรียน หนา 117 แลว แลกเปล่ยี นความรู
และสนทนาซกั ถามจนเปน ทเี่ ขา ใจรว มกนั จากนนั้
ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครู
ตรวจสอบความถูกตอ ง

114

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสริม

ครูใหค วามรูเพม่ิ เตมิ จากตัวอยางที่ 39 ขอ 1) วา สามารถแกส มการโดยใช ครูใหน ักเรยี นจับคู แ17ลวxปแฏลิบะัตyติ =าม2ข,4้นั 0ต1อบนนตรอ ะไนปานบี้ เดียวกัน
วธิ เี ขยี นกราฟ y = 3x และ y = 243 กราฟท้ังสองเสน ตัดกนั ที่จดุ (5, 243) • เขียนกราฟ y =
ดังนนั้ คาํ ตอบของสมการ คือ x = 5
• กราฟทงั้ สองตัดกันท่ีจุดใด และจดุ ตัดของท้ังสองสมการ
สือ่ Digital มคี วามหมายวาอยางไร
หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรียนเกงและนกั เรียนออนจับคูกัน
ครอู าจใหน กั เรียนใชโ ปรแกรม GeoGebra เพ่อื ตรวจสอบการเขียนกราฟ
“ลองทําดู” ในหนงั สือเรียน หนา 114 จาก www.geogebra.org/graphing

T120

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อย่างท ี่ 40 ขนั้ สอน

กำรเพิ่มของจ�ำนวนประชำกร สำมำรถค�ำนวณไดจ้ ำกสมกำร แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

n(t) = n0(1 + r)t 1. ครอู ธบิ ายวา เราสามารถนาํ ความรู เรอื่ ง ฟง กช นั
เอกซโพเนนเชยี ล มาเชอ่ื มโยงกับสถานการณ
เมือ่ n0 แทนจำ� นวนประชำกร ณ เวลำเริม่ ตน้ ในชีวิตประจําวัน และสามารถแกโ จทยปญหา
r แทนอัตรำกำรเพิ่มขนึ้ ของจ�ำนวนประชำกรต่อเวลำ ตางๆ ไดอ ีกดวย
n(t) แทนจ�ำนวนประชำกรเมอื่ เวลำผ่ำนไป t ปี
2. ครูยกตัวอยางโจทยปญหาที่ใชฟงกชันเอกซ-
ถำ้ ในปี พ.ศ. 2556 จังหวัดนนทบรุ มี ีประชำกร 1 ล้ำนคน และมอี ัตรำกำรเพิม่ 2.8% ตอ่ ปี ให้หำ โพเนนเชียลในการแกปญหา เชน โจทย
จ�ำนวนประชำกรเมอ่ื เวลำผำ่ นไป 3 ปี และ 5 ปี เก่ียวกับการเพิ่มข้ึนของจํานวนประชากร
การลดลงของปริมาณวัชพืชในสวน และการ
วิธีทำ� จาก n(t) = n0(1 + r)t rn=(31)20.80= เพ่มิ ขนึ้ ของราคานํา้ มนั
จะได้ n0 = 1,000,000,
ให้ =3 = 0.028 0.028)3 3. ครถู ามคําถามนกั เรียนวา
t จะได้ 1,000,000(1 + • สมการฟงกชันเอกซโพเนนเชียลมีลักษณะ
= 1,000,000(1.028)3 อยา งไร

≈ 1,086,374 คน (แนวตอบ y = ax)
ให้ t = 5 จะได้ n(5) = 1,000,000(1 + 0.028)5
= 1,000,000(1.028)5 4. ครูยกตัวอยา งที่ 40 ในหนงั สือเรียน หนา 115
บนกระดาน พรอ มอธบิ ายอยางละเอยี ด
≈ 1,148,063 คน
5. ครูอธิบายวา โจทยการเพ่ิมขึ้นของประชากร
ดงั น้นั จงั หวัดนนทบุรจี ะมปี ระชากรประมาณ 1,086,374 คน เมือ่ เวลาผ่านไป 3 ปี เปนโจทยที่นําความรูของฟงกชันเอกซโพ-
เนนเชียลมาใชในการแกโจทยปญหา โดย
และมปี ระชากรประมาณ 1,148,063 คน เม่อื เวลาผ่านไป 5 ปี ขั้นตอนแรกของการแกโจทยปญหา ตอง
แทนคาตัวแปรจากส่ิงที่โจทยกําหนดมาให
ลองทาํ ดู ถกู ตอ ง จากนน้ั แกร ะบบสมการเพอ่ื หาคาํ ตอบ

ในปี พ.ศ. 2558 ประเทศไทยมีประชากร 64.6 ล้านคน และมีอัตรา ฝกทําตอ ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
การเพ่มิ 0.15% ต่อปี ใหห้ าจ�านวนประชากรเมือ่ เวลาผ่านไป 5 ปี แบบฝก ทกั ษะ 2.4 ขอ 4
ครูใหน กั เรียนจบั คทู ํา “ลองทําด”ู ในหนังสือ-
เรียน หนา 115 และแบบฝกทักษะ 2.4 ขอ 4.
ในหนงั สือเรยี น หนา 117 แลว แลกเปล่ียนความรู
และสนทนาซกั ถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั จากนน้ั
ครสู มุ นกั เรยี นออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครู
ตรวจสอบความถูกตอง

ฟังก์ชัน 115

กจิ กรรม ทาทาย เกร็ดแนะครู

ครใู หนกั เรยี นปฏิบัติตามข้นั ตอนตอไปนี้ ครใู หความรูเ ก่ยี วกับการเพิม่ ขึน้ ของจํานวนประชากรวา ประชากรโลกน้นั
• ใหน กั เรียนแบงกลมุ กลุม ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง มีแนวโนมจะมีวัยเด็กลดนอยลง โดยจํานวนของประชากรผูสูงอายุมีแนวโนม
ท่ีจะสูงขึ้น แสดงวา โครงสรางของประชากรไดเปล่ียนแปลงเขาไปสูสังคม
คณติ ศาสตรของนักเรยี น (ออ น ปานกลาง และเกง) ผสู งู อายุ (Anging Society) ซง่ึ ขณะนย้ี โุ รปกลายเปน ภมู ภิ าคทมี่ ผี สู งู อายมุ ากทสี่ ดุ
• ใหแตละกลมุ เขียนกราฟจากโจทย “ลองทําด”ู ในหนงั สือเรียน ในโลก โดยเฉพาะอิตาลี กรีซ เยอรมนี สวติ เซอรแลนด หลายตอ หลายประเทศ
จึงพยายามศึกษาและวิจัยเกี่ยวกับผูสูงอายุมากข้ึน เพ่ือพัฒนาประเทศของตน
หนา 115 ใหม คี ณุ ภาพ กลายเปน “สงั คมผูส ูงอายทุ ม่ี ีคณุ ภาพ” ตอไปในอนาคต
• นกั เรียนพิจารณาวา กราฟของขอ 2. สามารถแทนดว ยฟง กชัน

เชิงเสน ไดห รอื ไม จงอธบิ าย

T121

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตัวอยางที่ 41

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ สุนียฝากเงิน 500,000 บาท โดยไมมีการถอน ซึ่งไดรับดอกเบ้ีย 2.5% ตอป ใหหาวาเม่ือ
ฝากครบ 3 ป จะไดร ับเงินรวมท้ังหมดเปนจํานวนเทาใด โดยสามารถคาํ นวณไดจ ากสตู ร
ครูเขียนโจทยตัวอยางท่ี 41 ในหนังสือเรียน
หนา 116 บนกระดาน แลวครูอธิบายวา โจทย f(t) = 500,000(1 + 0.025)t
ในลกั ษณะนี้ เปน โจทยท ่นี ําความรู เรื่อง ฟง กชนั
เอกซโพเนนเชียลมาใชในการแกโจทยปญหา เมื่อ t เปน จํานวนปท ฝี่ าก และ f(t) เปน เงนิ รวมท่ไี ดรบั เม่ือฝากครบ t ป
โดยขั้นตอนแรกของการแกโจทยปญหาตอง วธิ ที ํา ให t = 3
แทนคา ตวั แปรจากสง่ิ ทโี่ จทยก าํ หนดมาใหถ กู ตอ ง
จากนนั้ แกสมการเพอ่ื หาคําตอบ จะได t(3) = 500,000(1 + 0.025)3
= 500,000(1.025)3
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ ≈ 500,000(1.0769)
= 538,445
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 115 และแบบฝก ทักษะ 2.4 ขอ 5. ใน ดงั นน้ั เมื่อครบ 3 ป จะไดรบั เงินท้งั หมดประมาณ 538,445 บาท
หนังสอื เรยี น หนา 118 จากนัน้ ครสู ุมนักเรียน
ออกมานาํ เสนอหนา ชนั้ เรยี น โดยครตู รวจสอบ ลองทาํ ดู
ความถูกตอง
นชิ าฝากเงนิ 50,000 บาท โดยไมมกี ารถอน ซึ่งไดรับดอกเบีย้ 3% ตอป ใหหาวาเม่อื
2. ครใู หนักเรยี นแบง กลมุ กลมุ ละ 3-4 คน ตอบ ฝากครบ 5 ป จะไดร บั เงนิ รวมท้งั หมดเปนจํานวนเทา ใด โดยสามารถคาํ นวณไดจากสตู ร

คาํ ถามในกจิ กรรม “Journal Writing” พรอ มทง้ั f(t) = 50,000(1.03)t
เม่อื t เปน จาํ นวนปทีฝ่ าก และ f(t) เปน เงนิ รวมทไ่ี ดร บั เมอื่ ฝากครบ ฝกทําตอ
สงตัวแทนกลุมออกมานําเสนอหนาชั้นเรียน t ป แบบฝก ทักษะ 2.4 ขอ 5
โดยครูตรวจสอบความถูกตอง

เฉลย Journal Writing Journal Writing
1) ถา x เพ่ิมข้ึน แลว y จะเพิ่มข้ึนอยาง
รวดเร็ว และกราฟจะมีแนวโนมลูเขาหา จากการวิเคราะห พบวา จํานวนของผูท่ีใชเครือขายสังคม (social network) มีอัตราการ
แกน Y เมือ่ x มคี า มากขึ้น กลาวคอื เม่อื เพิ่มขนึ้ แบบเอกซโ พเนนเชยี ล และเขยี นแทนดว ยสมการ y = 28x เมอ่ื x เปน จาํ นวนเดือน
เวลาเปลี่ยนแปลงไป จะมีจํานวนผูที่ใช และ y เปน จาํ นYวนผทู ่ใี ชเ ครอื ขายสังคม 1) ใหอ ธิบายความสัมพันธร ะหวา งจํานวนผูทใี่ ช
เครอื ขายสงั คมเพิม่ ขนึ้ อยางรวดเรว็ เครือขายสังคมกับเวลาท่ีเปลีย่ นแปลงไป
2) เร่ืองหรือเหตุการณที่มีลักษณะกราฟเปน y = 28x 2) ใหส บื คน ขอ มูลจากอินเทอรเ นต็ วา ในชีวิตจริง
แบบเอกซโ พเนนเชยี ล เชน การคดิ ดอกเบยี้
ทบตน การเจริญเติบโตของแบคทีเรีย 1 มเี รือ่ งใดหรอื เหตกุ ารณใดบา งที่มลี กั ษณะกราฟ
การเพิม่ ของจาํ นวนประชากร 0X เปนแบบเอกซโพเนนเชยี ล

116

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

กอนที่ครูจะอธิบายการหาเงินรวมของเงินฝาก ครูควรอธิบายความหมาย ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-5 คน คละความสามารถ
ของคาํ ตา งๆ กับนกั เรยี น ดังน้ี ทางคณติ ศาสตร (ออ น ปานกลาง และเกง ) จากนั้นใหแ ตล ะกลมุ
เปรียบเทียบอัตราดอกเบี้ยเงินฝากของธนาคารแหงประเทศไทย
- เงินฝาก คือ เงนิ ทเ่ี รานาํ ไปฝากกบั สถาบันการเงิน ที่ใหผ ลตอบแทนสูงสดุ ในการฝากเงนิ 10,000 บาท ในระยะเวลา
- ดอกเบยี้ คอื เงนิ ที่สถาบันการเงินตอ งจา ยใหแ กเจา ของเงนิ ที่นาํ มาฝาก 3 ป โดยใหนักเรียนเปรียบเทยี บจาก 4 ธนาคาร แลวนาํ มาเสนอ
- อตั ราดอกเบย้ี เงนิ ฝาก คือ ผลตอบแทนที่สถาบันการเงินจายใหก บั หนาชน้ั เรียน

ผูฝ ากเงิน
- เงนิ รวม คือ เงนิ ฝากรวมกบั ดอกเบ้ีย
- รอ ยละหรอื เปอรเ ซน็ ต คอื การเปรยี บเทยี บจาํ นวนใดจาํ นวนหนงึ่ กบั 100

T122

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ

ตรวจสอบและสรปุ

แบบฝกึ ทกั ษะ 2.4 ครถู ามคาํ ถามนกั เรยี น เพ่ือสรุปความรู เรื่อง
ฟง กช ันเอกซโ พเนนเชยี ล ดงั นี้
• ฟงกชันเอกซโพเนนเชียลคือฟงกชันที่อยูใน
ระดบั พ้ืนฐาน รปู แบบใด
(แนวตอบ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ
1. ให้เขียนกรำฟของฟงั กช์ นั ที่ก�ำหนดต่อไปนี้ 2) y = (17)x ฟงกช ันท่อี ยูในรูป y = ax เมอ่ื a > 0 และ
1) y = 7x 4) y = (15)x + 1 a 1)
2) 3(5x) = 1,875 • โดเมนและเรนจข องฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ล
3) y = 3x - 1 4) (49)x-1 = (8116)x คอื จาํ นวนใด
2. ให้แกส้ มกำรตอ่ ไปน้ี (แนวตอบ โดเมนเปนจํานวนจริง และเรนจ

1) 2x-1 = 256
3) 5(3x+1) = 1,215

ระดบั กลาง เปนจาํ นวนจรงิ บวก)
• กราฟของฟงกชันเอกซโพเนนเชียลจะตัด
3. ก�ำหนดสมกำร y = 2 + 2x โดยเขยี นตำรำงคู่อันดบั ดังน้ี แกนใดทจ่ี ดุ ใด และไมต ดั แกนใด
(แนวตอบ กราฟจะตดั แกน Y ทีจ่ ดุ (0, 1)
x -1 -0.5 0 1 1.5 2 2.5 3 และไมต ดั แกน X)
y a 2.7 3 4 4.8 6 b 10 287 x + 2 = 94

1) ใหห้ าคา่ a และ b • นกั เรียนสามารถแกสมการ
2) ใหเ้ ขียนกราฟ y = 2 + 2x เมอ่ื 1 ≤ x ≤ 3 หาคา x ไดอ ยา งไร
3) จากขอ้ 2) ใชก้ ราฟหาคา่ ประมาณของ y เมอ่ื x = 1.6 และหาคา่ ประมาณของ x (แนวตอบ
287 x + 2 94
เมอ่ื y = 5.5 32 3 x + 2 = 32 2
32 3 x + 2 = 23-1 2
4. กำรเพ่มิ ของจ�ำนวนแบคทีเรยี สำมำรถคำ� นวณไดจ้ ำก 32 3x + 6 = 32 -2
=
n(t) = n0(2.718)rt

เม่ือ n(t) แทนจำ� นวนแบคทเี รยี เมอื่ เวลำผ่ำนไป t ช่วั โมง
n0 แทนจ�ำนวนแบคทเี รีย ณ เวลำเร่ิมต้น
r แทนอัตรำกำรเพมิ่ ขึน้ ของจำ� นวนแบคทเี รียต่อเวลำ 3x + 6 = --832 )
ถำ้ จ�ำนวนของแบคทีเรยี มอี ตั รำกำรเตบิ โต 45% ตอ่ ชั่วโมง x =
1) ให้หาจา� นวนแบคทีเรียเมือ่ เวลาผา่ นไป 3 ช่วั โมง เมื่อมจี า� นวนแบคทเี รยี ณ เวลาเริ่มตน้
เทา่ กบั 500 เซลล์
2) ใหห้ าจ�านวนแบคทีเรยี ณ เวลาเรมิ่ ตน้ ถ้าเวลาผ่านไป 5 ช่ัวโมง แล้วมีจ�านวนแบคทเี รีย
เทา่ กบั 1,000 เซลล์
ฟังก์ชัน 117

ขอสอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู
ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลว ͉ x + y ͉ มีคาเทาใด
กอ นทจ่ี ะใหน กั เรียนทาํ แบบฝก ทักษะ 2.4 ครูควรเนน ยา้ํ กับนักเรยี น ดงั นี้
(เฉลยคําตอบ • ฟง กช นั เอกซโ พเนนเชยี ลใดๆ ตอ งมฐี านเปน จาํ นวนบวกทไี่ มใ ช 1 นนั่ คอื
จาก 4 x - y = 128
จะได 22(x - y) = 27 a ตอ งมคี า มากกวา 0 และไมเ ทากับ 1
2x - 2y = 7 .....(1)
จาก 32x + y = 81 • โดเมนของฟงกชนั เอกซโพเนนเชยี ลเปนจาํ นวนจรงิ
จะได 32x + y = 34 • เรนจข องฟง กช ันเอกซโพเนนเชียลเปน จาํ นวนจรงิ บวก
2x + y = 4 .....(2) • กราฟของฟงกช ันจะไมม ีจุดตัดแกน X แตมจี ดุ ตดั แกน Y ที่จดุ (0, 1)
นํา (1) - (2) จะได -3y = 3
ดงั น้ัน y = -1 แทนลงใน (2) T123
จะได 2x + (-1) = 4
2x = 5
x = 2.5
ดังนัน้ ͉ x + y ͉ = ͉2.5 - 1͉ = 1.5)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 5. นุดำตอ้ งกำรฝำกเงนิ 10,000 บำท โดยไดร้ บั ดอกเบีย้ 1.5% ต่อปี ถ้ำเงนิ รวมทัง้ หมดทนี่ ดุ ำ
จะได้รับเม่ือเวลำผำ่ นไป t ปี สำมำรถค�ำนวณไดจ้ ำกสูตร
ฝก ปฏบิ ตั ิ f(t) = k(1.015)t
เม่อื t เป็นจำ� นวนปีที่ฝำก
1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค k เปน็ จ�ำนวนเงนิ ตน้
และ f(t) เปน็ เงนิ รวมทไี่ ดร้ บั เม่ือฝำกครบ t ปี
คูคดิ (Think Pair Share) ดังนี้ 1) ใหห้ าเงินรวมทีไ่ ด้รบั เมือ่ เวลาผ่านไป 2 ปี
2) ถ้านดุ าฝากเงนิ 300,000 บาท โดยได้รับอตั ราดอกเบยี้ เท่าเดมิ เม่ือเวลาผ่านไป 3 ปี
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง จะได้รับเงินรวมเท่าใด
จากแบบฝก ทกั ษะ 2.4 ขอ 6. ในหนงั สอื เรยี น 3) ถ้านดุ าอยากได้รบั เงนิ รวมท้ังหมด 1,000,000 บาท ในอกี 5 ปขี า้ งหนา้ นดุ าจะต้อง
หนา 118 ฝากเงนิ จ�านวนเทา่ ใด

• ใหนักเรียนจับคูกับเพ่ือนเพื่อแลกเปลี่ยน ระดบั ท้าทาย
คําตอบกัน สนทนาซักถามซึ่งกันและกัน
จนเปน ท่เี ขา ใจรว มกนั 6. กรำฟของ y = kax เมื่อ a > 0 แสดงได้ ดังรูป

• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา Y y = kax
ชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
รว มกันตรวจสอบความถกู ตอง 3
0X
2. ครูใหนกั เรยี นทาํ Exercise 2.4 เปนการบา น

ขนั้ ประเมนิ

1. ครตู รวจแบบฝก ทักษะ 2.4
2. ครตู รวจ Exercise 2.4
3. ครูประเมนิ การนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู งั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบุคคล
5. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวนิ ยั ใฝเรยี นรู

มงุ มน่ั ในการทํางาน

ใหห้ ำคำ่ k จำกกรำฟของ y = kax

118

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคิด
จํานวนแบคทีเรยี ในการเพาะเชื้อจลุ นิ ทรยี  ใน t ชวั่ โมง เปนไป
ครูสามารถวดั และประเมนิ พฤตกิ รรมการทาํ งานกลมุ จากการทาํ กจิ กรรม ตามสมการ n = 250e0.32t เม่อื e ≈ 2.718

“Journal Writing” ในขั้นเปรียบเทียบและรวบรวม โดยศึกษาเกณฑการวัด 1) เร่มิ ตน มีแบคทเี รยี ท้ังหมดก่ีตัว
2) จงหาจาํ นวนแบคทีเรียเม่ือเวลาผา นไป 10 ช่วั โมง
และประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดการเรียนรูในหนวยการเรียนรู (เฉลยคําตอบ
ที่ 2 1) เริม่ ตน t = 0

แบบสงั เกตพฤติกรรมการทางานกล่มุ จะไดวา n = 250e0.32(0) = 250(1) = 250 ตวั
ดังนัน้ เรม่ิ ตน มีแบคทเี รียท้งั หมด 250 ตวั
คาชีแ้ จง : ให้ผูส้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในช่องทต่ี รงกบั 2) ให t = 10
ระดบั คะแนน จะไดวา n = 250e0.32(10) = 250e3.2 ≈ 6,133
ดังนนั้ เมอื่ เวลาผานไป 10 ช่ัวโมง จาํ นวนแบคทีเรยี
ลาดับ ชื่อ – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมีน้าใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรยี น ความคดิ เห็น คนอื่น ตามทไ่ี ดร้ ับ ส่วนรว่ มใน 20 มปี ระมาณ 6,133 ตวั )
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน
ผลงานกลุม่

43214321432143214321

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงชอื่ ...................................................ผปู้ ระเมิน
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบ่อยครง้ั ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมน้อยคร้ัง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตดั สินคณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรับปรุง

T124

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

2.5 ฟงั กช์ นั ขน้ั บนั ได (Step Function) ขน้ั นาํ (Deductive Method)

ฟังก์ชันขั้นบันได คือ ฟังก์ชันท่ีมีโดเมนเป็นสับเซตของจ�านวนจริง และมีค่าของฟังก์ชัน กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
เป็นคา่ คงตวั เปน็ ช่วง ๆ มากกว่าสองชว่ ง ตัวอย่างของฟังก์ชนั ขัน้ บันไดทพ่ี บเห็นในชวี ิตประจ�าวนั
เชน่ อตั ราค่าบรกิ ารไปรษณีย์ อตั ราค่าจอดรถ อัตราคา่ จ้างแรงงาน 1. ครยู กตวั อยา งสถานการณใ นชวี ติ ประจาํ วนั เชน
การหาอัตราคาบริการรถโดยสารประจําทาง
ตัวอยา่ งท่ ี 42 การหาอตั ราคา จอดรถ และการหาอตั ราคา จา ง
แรงงาน โดยครกู ลา ววา การหาคาํ ตอบของโจทย
ใหเ้ ขยี นฟงั กช์ ันและกรำฟของฟังก์ชนั แทนอตั รำคำ่ ขนสง่ ไปรษณียแ์ บบดว่ นพิเศษ (EMS) ในลักษณะน้ี จะตองใชค วามรู เร่ือง ฟงกช ัน
ตอ่ ไปน้ี ขน้ั บนั ได

พิกัดน้�ำหนัก ค่ำบรกิ ำร (บำท) 2. ครูถามนักเรียนวา นักเรียนคิดวา ฟงกชัน
ขนั้ บนั ไดมีลกั ษณะกราฟเปนอยา งไร
ไมเ่ กิน 20 กรัม 32 (แนวตอบ กราฟจะมลี กั ษณะคลา ยขนั้ บนั ไดเปน
เกิน 20 กรมั แต่ไมเ่ กนิ 100 กรมั 37 ฟงกชันท่ีมีโดเมนเปนสับเซตของจํานวนจริง
เกิน 100 กรมั แตไ่ ม่เกนิ 250 กรัม 42 และมีคาของฟงกชันเปนคาคงตัวเปนชวงๆ
เกนิ 250 กรมั แต่ไม่เกนิ 500 กรัม 52 มากกวาสองชวง)
เกิน 500 กรมั แตไ่ มเ่ กนิ 1,000 กรัม 67
ขนั้ สอน
วธิ ที ำ� เขียนฟังก์ชันในรูป f(x) เม่อื x เป็นนา้� หนกั ของพสั ดุ (กรัม) และ f(x) เปน็ อัตรา
ค่าบริการในการส่งพสั ดุแบบดว่ นพเิ ศษได้ ดังน้ี แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

32, 0 < x ≤ 20 1. ครูอธิบายความหมายของฟงกชันข้ันบันได
37, 20 < x ≤ 100 โดยครอู ธบิ ายวา ฟงกชันขั้นบันไดเปนฟง กช นั
f(x) = 42, 100 < x ≤ 250 ท่ีมีโดเมนเปนสับเซตของจํานวนจริงและมีคา
52, 250 < x ≤ 500 ของฟงกชันเปนคาคงตัวเปนชวงๆ มากกวา
67, 500 < x ≤ 1,000 สองชว ง ซง่ึ กราฟของฟง กช นั นม้ี ลี กั ษณะคลา ย
ขน้ั บนั ได ดงั น้ี
ฟังก์ชัน 119
Y (เกรด)

A
B
C
D
E

0 40 60 80 100 X (คะแนน)

2. ครูอธิบายตัวอยางที่ 42 โดยครูอธิบายวา
ขั้นตอนแรกควรเขยี น f(x) เปนชวงตา งๆ ให
ครบถว น แลวจึงลงจุดตา งๆ ในกราฟ

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรยี นปฏิบัตติ ามข้ันตอนตอไปนี้ ครูใหความรูเพ่มิ เติมเกย่ี วกับฟง กช นั ข้ันบันไดในชวี ิตประจําวัน
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง โดยยกตวั อยา งจากภาษีเงินไดบ คุ คลธรรมดา

คณิตศาสตร (เกง ปานกลาง ออน) - รายได 0-150,000 บาท ยกเวน อตั ราภาษี
• ใหนกั เรยี นแตล ะกลมุ ยกตัวอยางฟงกชนั ข้นั บันไดในชีวิต - รายได 150,001 ถึง 300,000 บาท อัตราภาษี 5%
- รายได 300,001 ถึง 500,000 บาท อัตราภาษี 10%
ประจําวนั 1 สถานการณ - รายได 500,001 ถงึ 750,000 บาท อตั ราภาษี 15%
• นําขอ มูลท่ีไดมาวาดกราฟของฟง กช นั ขัน้ บนั ได - รายได 750,001 ถงึ 1,000,000 บาท อัตราภาษี 20%
• ใหนกั เรยี นสง ตัวแทนออกมานําเสนอหนาชน้ั เรยี นผา นโปรแกรม - รายได 1,000,001 ถึง 2,000,000 บาท อัตราภาษี 25%
- รายได 2,000,001 ถึง 5,000,000 บาท อตั ราภาษี 30%
Microsoft PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออ่ืนๆ ตามท่ี - รายได 5,000,001 บาทขนึิ้ ไป อตั ราภาษี 35%
นกั เรียนถนดั

T125

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน เขยี นกราฟของฟังก์ชันได้ ดงั น้ี

ใชท้ ฤษฎี หลกั การ Y (บาท)

1. ครใู หน ักเรยี นจบั คูทาํ “ลองทําด”ู ในหนังสือ- 70
เรียน หนา 120 แลวแลกเปล่ียนความรูและ 60
สนทนาซกั ถามจนเปน ที่เขาใจรวมกนั แลว ครู 50
ถามคาํ ถามนกั เรียน ดงั นี้ 40
• จาก “ลองทาํ ด”ู กราฟของฟง กช นั ขนั้ บนั ได 30
จะมที ั้งหมดก่ขี ัน้ 20
(แนวตอบ 5 ข้ัน) 10
• นกั เรยี นสามารถเขยี นฟง กช นั f(x) และแบง
เปน ชว งทงั้ หมดไดก ช่ี ว งทเ่ี ขยี นเปน อสมการ 0 20 100 250 500 1,000 X (กรัม)
(แนวตอบ 5 ชว ง ไดแ ก
f(x) = 20 เมอ่ื 0 < x ≤ 1 ลองทาํ ดู
f(x) = 35 เมื่อ 1 < x ≤ 2
f(x) = 50 เมอ่ื 2 < x ≤ 3 ให้เขียนฟังก์ชนั และกราฟของฟังก์ชนั แทนอตั ราคา่ ขนสง่ ไปรษณียแ์ บบธรรมดาตอ่ ไปน้ี
f(x) = 65 เม่อื 3 < x ≤ 4
f(x) = 80 เมอ่ื 4 < x ≤ 5) พกิ ัดน้ำ� หนัก ค่ำบริกำร (บำท)
จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอหนา
ช้ันเรยี น โดยครตู รวจสอบความถูกตอง ไม่เกนิ 1 กิโลกรัม 20
เกิน 1 กโิ ลกรัม แต่ไม่เกิน 2 กิโลกรมั 35
2. ครูใหน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทักษะ 2.5 ขอ 1.-3. เกิน 2 กโิ ลกรมั แตไ่ มเ่ กิน 3 กิโลกรมั 50
ในหนงั สอื เรยี น หนา 121 จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี น เกนิ 3 กิโลกรัม แต่ไม่เกนิ 4 กิโลกรัม 65
ออกมานาํ เสนอหนา ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบ เกนิ 4 กิโลกรัม แตไ่ มเ่ กิน 5 กิโลกรัม 80
ความถูกตอ ง

3. ครูใหนักเรยี นทาํ Exercise 2.5 เปนการบาน

ฝกทําตอ

แบบฝกทกั ษะ 2.5
ขอ 1-4

120

เกร็ดแนะครู

ครอู าจยกตวั อยา งเพิ่มเตมิ บนกระดาน แลวสมุ นักเรียนออกมาเขียนกราฟ
ของฟงกช ัน เพื่อตรวจสอบความเขา ใจของนกั เรยี น เชน

คะแนนเต็ม 100 คะแนน เกรด
ไมเกนิ 49 คะแนน 0
เกิน 49 คะแนน แตไ มเกิน 59 คะแนน 1
เกิน 59 คะแนน แตไมเกิน 69 คะแนน 2
เกนิ 69 คะแนน แตไ มเกิน 79 คะแนน 3
เกิน 79 คะแนนขึน้ ไป 4

T126

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝึกทกั ษะ 2.5 ขนั้ สอน

ระดบั พื้นฐาน ใชท้ ฤษฎี หลกั การ

1. ให้เขยี นฟังก์ชันและกรำฟของฟงั กช์ นั แทนอตั รำคำ่ จอดรถบรเิ วณสยำมสแควรต์ ่อไปนี้ 4. ครยู กตวั อยา งเพม่ิ เตมิ แลว ถามคาํ ถามนกั เรยี น
ดงั นี้
อัตราคาไปรษณียากร สําหรับสงจดหมายใน
ประเทศ มีดังน้ี

ระยะเวลำ ค่ำบรกิ ำร (บำท) นํา้ หนัก (คบา าสทง)
ไมเกิน 40 กรัม 2
ไม่เกนิ 15 นาที 0 เกิน 40 กรมั 3
เกนิ 15 นาที แต่ไม่เกิน 1 ชัว่ โมง 10 แตไ มเกิน 100 กรมั
เกิน 1 ช่วั โมง แต่ไมเ่ กิน 2 ชั่วโมง 40 เกิน 100 กรมั 5
เกนิ 2 ชั่วโมง แต่ไม่เกนิ 3 ชว่ั โมง 60 แตไมเกิน 300 กรมั
เกนิ 3 ช่ัวโมง แต่ไม่เกนิ 4 ชว่ั โมง 80 เกิน 300 กรัม 7
เกิน 4 ชั่วโมง แตไ่ ม่เกิน 5 ชว่ั โมง 150 แตไมเ กนิ 600 กรัม

2. รำ้ นเชำ่ รถจกั รยำนยนต์แห่งหนึง่ คดิ อัตรำคำ่ บริกำร ดงั นี้ • จากโจทย นกั เรียนสามารถกาํ หนด f(x)
2 ช่ัวโมงแรก คิดคำ่ บริกำร 100 บำท และ x ไดอยา งไร
ช่วั โมงท่ี 3 ขึน้ ไป คดิ ค่ำบริกำรชวั่ โมงละ 30 บำท (แนวตอบ f(x) = ราคาสงจดหมาย
x = น้าํ หนกั ของจดหมาย)
ให้เขียนฟังก์ชันและกรำฟของฟังก์ชันแทนอัตรำค่ำบริกำร เมื่อเช่ำรถจักรยำนยนต์เป็นเวลำ
5 ชว่ั โมง

ระดับกลาง • จากโจทย นกั เรยี นสามารถเขยี นฟง กช นั f(x)
ไดอ ยา งไร
3. บรษิ ัท อกั ษรทรำนสปอรต์ จ�ำกดั คิดอัตรำคำ่ ขนสง่ สนิ คำ้ แสดงดว้ ยกรำฟของฟังกช์ นั ดังนี้ (แนวตอบ
2 เมื่อ 0 < x ≤ 40
Y (บาท) 3 เมือ่ 40 < x ≤ 100
f(x) = 5 เม่อื 100 < x ≤ 300
280
240 7 เม่อื 300 < x ≤ 600)
200 • จากโจทย นกั เรยี นสามารถเขยี นกราฟ
160 ฟงกช ัน f(x) ไดอ ยา งไร
120 (แนวตอบ
80
40 Y

0 5 10 15 20 X (กโิ ลกรัม) 3216754
0 100
1) ใหเ้ ขียนฟังก์ชันแทนอัตราคา่ บริการของบรษิ ัท อักษรทรานสปอรต์ จา� กัด
2) ถ้าต้องการขนสง่ พสั ดุน�า้ หนัก 17 กโิ ลกรมั จะต้องจ่ายคา่ บรกิ ารท้ังหมดกี่บาท

ฟังก์ชัน 121

300 600 X )

กิจกรรม สรางเสรมิ สอ่ื Digital

ครใู หน กั เรียนปฏบิ ตั ิตามขน้ั ตอนตอ ไปนี้ ครูใหนักเรียนใชโปรแกรม Microsoft Excel เพื่อคํานวณโจทยปญหา
• จากแบบฝกทักษะ 2.5 ขอ 3 ถาตอ งการขนสงพัสดุหนกั แบบฝกทกั ษะ 2.5 ขอ 1 โดยใชค าํ สงั่ IF

12 กโิ ลกรมั ตองเสียเงนิ กบี่ าท
• นักเรียนคิดวา คาบริการของอักษรทรานสปอรตสามารถแทน

ดวยฟงกช ันอน่ื ๆ ไดห รือไม จงอภปิ ราย

T127

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สรปุ

ตรวจสอบและสรปุ

ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรู เร่ือง ฟงกชัน ร ะดบั ทา้ ทาย
ขัน้ บนั ได ดังน้ี
4. บรษิ ัท A ใหเ้ ชา่ หอ้ งประชมุ คิดอตั ราค่าบริการ ดังน้ี
• ฟง กชันข้ันบนั ได มีลักษณะเปน อยางไร 3 ชั่วโมงแรก คดิ ค่าบริการชวั่ โมงละ 2,500 บาท
(แนวตอบ ฟงกชันข้นั บันได คือ ฟง กชนั ทีม่ ี ช่ัวโมงท่ี 4 ขึน้ ไป คิดคา่ บรกิ ารช่วั โมงละ 2,400 บาท
โดเมนเปน สับเซตของจาํ นวนจริง และมีคา
ของฟง กช นั เปน คา คงตวั เปน ชว งๆ มากกวา บรษิ ัท B ใหเ้ ช่าห้องประชุม คิดอัตราค่าบรกิ าร ดงั น้ี
สองชว ง) 6 ชัว่ โมงแรก คิดคา่ บริการช่วั โมงละ 3,000 บาท
ช่ัวโมงท ่ี 7 ข้นึ ไป คดิ ค่าบรกิ ารชัว่ โมงละ 1,800 บาท
• ใหนักเรียนยกตัวอยางฟงกชันข้ันบันได ถ า้ นกั ลงทนุ คนหนง่ึ ต้องการเชา่ ห้องประชมุ เป็นเวลา 7 ชวั่ โมง บรษิ ัทใดจะคดิ อัตรา
ในรูป f(x)
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย ค่าบรกิ ารถกู กวา่ กนั
ตามพ้นื ฐานความรู เชน
3 Self-Check
3 เม่ือ 0 < x ≤ 4 หลงั จากเรยี นจบหน่วยแลว้ ใหน้ ักเรยี นบอกสญั ลกั ษณท์ ตี่ รงกบั ระดบั ความสามารถของตนเอง
f(x) = 4 เมื่อ 4 < x ≤ 8
เมอ่ื 8 < x ≤ 12) ดี พอใช้ ควรปรบั ปรุง
5
1. ส ามารถเขียนความสัมพันธแ์ บบแจกแจงสมาชกิ และ
• ใหนักเรียนยกตัวอยางฟงกชันขั้นบันไดท่ี แบบบอกเงื่อนไขได้
พบเหน็ ในชวี ิตประจําวัน
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย 2. สามารถเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ์ได้
ตามพ้ืนฐานความรู เชน อัตราคาบริการ 3. สามารถหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ได้
ไปรษณยี ภณั ฑป ระเภทตา งๆ เชน จดหมาย 4. สามารถตรวจสอบความสัมพนั ธ์ทเี่ ป็นฟงั ก์ชนั ได้
พัสดุ พัสดุไปรษณีย อัตราคาธรรมเนียม 5. สามารถหาค่าของฟงั กช์ ัน เม่ือก�าหนดคา่ โดเมนได้
ในการสงธนาณัติ อัตราภาษีเงินไดบุคคล 6. สามารถเขียนกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นได้
ธรรมดา) 7. สามารถเขียนกราฟของฟงั กช์ นั ก�าลงั สองได้
8. ส ามารถแกส้ มการและอสมการของฟงั ก์ชนั กา� ลงั สอง

โดยใชก้ ราฟได้
9. ส ามารถเขียนกราฟของฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้
10. สามารถเขยี นกราฟของฟังกช์ ันขน้ั บันไดได้
11. ส ามารถแก้โจทยป์ ญั หาเกี่ยวกบั ฟงั กช์ นั ต่าง ๆ ได้

122

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
กราฟในขอ ใดไมเ ปน ฟงกชนั
ครูอาจใหนักเรียนแตละคนทํา “Self-Check” ในหนังสือเรียน หนา 122
เพอ่ื ตรวจสอบความสามารถของตนเองใน เร่อื ง ฟง กชัน ถา นกั เรียนยงั ไมเ ขา ใจ 1. Y 2. Y 3. Y
ในหวั ขอ ใด ครคู วรอธบิ ายเพมิ่ เตมิ ในหวั ขอ นน้ั ๆ หรอื ใหน กั เรยี นจบั คู แลว รว มกนั
อภปิ รายรายละเอยี ดในหวั ขอ น้ันๆ เพอ่ื ใหเขาใจมากยิง่ ขนึ้ 0X 0X 0X

T128 4. Y 5. Y

0X 0X

(เฉลยคาํ ตอบ เมื่อลากเสนตรงต้งั ฉากแกน X ของกราฟ ขอ 5.
(วธิ กี ารตรวจสอบการเปน ฟง กช นั สาํ หรบั กราฟ) แลว เลอ่ื นเสน ตรง
จากซา ยไปขวาจะพบวา เสนตรงตดั กราฟมากกวา 1 จดุ

ดงั น้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 5.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

สรปุ แนวคดิ หลกั ขนั้ สรปุ

ฟงั กช์ นั ตรวจสอบและสรปุ

1. คอู่ ันดับ (a, b) = (c, d) ก็ตอ่ เม่ือ a = c และ b = d ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
2. ผลคูณคาร์ทีเซยี นของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดบั (a, b) ทงั้ หมด โดยที่ a นักเรยี น ดังนี้

เปน็ สมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชกิ ของเซต B เขยี นแทนดว้ ย A × B • คอู นั ดบั (a, b) และ (c, d) จะเทา กนั เมอ่ื ใด
A × B = { (a, b) ∙ a∊A และ b∊B } (แนวตอบ เมื่อ a = c และ b = d)

3. ความสัมพนั ธ์ • ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และเซต B
• r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B กต็ อ่ เมอื่ r ⊂ A × B มคี วามหมายวา อยา งไร
• r เปน็ ความสัมพนั ธจ์ าก A ไป A หรอื ความสมั พนั ธ์บนเซต A ก็ต่อเม่ือ r ⊂ A × A
(แนวตอบ เซตของคูอันดับ (a, b) ท้ังหมด
4. กราฟของความสมั พนั ธ์ โดยท่ี a เปน สมาชกิ ของเซต A และ b เปน
• ให้ r เป็นสับเซตของ R × R กราฟของความสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนาบท่ี
แสดงค่อู นั ดบั ท่ีเป็นสมาชกิ ของความสัมพันธ์ r สมาชกิ ของเซต B เขียนแทนดว ย A × B)
• ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และเซต B
5. โดเมนและเรนจข์ องความสัมพนั ธ์
ให้ r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B สามารถเขียนใหอยูในรูปเซตแบบบอก
• โดเมนของ r คอื เซตของสมาชกิ ตวั หนา้ ของคูอ่ ันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนด้วย Dr เง่อื นไขไดอ ยา งไร
Dr = { x∊A ∙ มี y∊B ซงึ่ (x, y)∊r }
• เรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตวั หลังของคู่อนั ดับท้งั หมดใน r เขยี นแทนด้วย Rr (แนวตอบ A × B = { (a, b) ͉ a∊A และ
Rr = { y∊B ∙ มี x∊A ซึ่ง (x, y)∊r }
• พิจารณา Dr และ Rr ของความสัมพันธแ์ บบบอกเงือ่ นไข b∊B })
- Dr : จัดตวั แปร y ในรปู ของ x แลว้ พิจารณาค่า x ท่ที �าให้ค่า y สอดคลอ้ งกับเง่อื นไข • ให r เปนความสัมพันธ A ไป B โดเมน
- Rr : จัดตัวแปร x ในรปู ของ y แลว้ พจิ ารณาคา่ y ท่ีทา� ให้ค่า x สอดคล้องกบั เงอื่ นไข
ของ r มคี วามหมายวา อยา งไร และสามารถ
ฟังก์ชัน 123 เขียนใหอยูในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได
อยา งไร
(แนวตอบ โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิก
ตัวหนาของคูอันดับท้ังหมดใน r เขียน
แทนดวย Dr เขยี นใหอยูในรูปเซตแบบบอก
เงือ่ นไขได ดังน้ี Dr = { x∊A ͉ มี y∊B
ซงึ่ (x, y)∊r })
• ให r เปนความสัมพนั ธ A ไป B เรนจของ r
มคี วามหมายวา อยา งไร และสามารถเขียน
ใหอยูใ นรปู เซตแบบบอกเงื่อนไขไดอยางไร
(แนวตอบ เรนจของ r คือ เซตของสมาชิก
ตัวหลังของคูอันดับทั้งหมดใน r เขียน
แทนดวย Rr เขียนใหอยูในรูปเซตแบบ
บอกเง่ือนไขได ดงั น้ี Rr = { y∊B ͉ มี x∊A
ซงึ่ (x, y)∊r })

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นจับคู แลว พจิ ารณาหาโดเมนและเรนจของความ ครคู วรตง้ั คาํ ถามเพอื่ สรปุ ความรรู วบยอดของนกั เรยี น เพอ่ื ปอ งกนั ไมใ หเ กดิ
สัมพนั ธต อ ไปน้ี ความเขาใจทผี่ ดิ พลาด ครจู ะตอ งใหนักเรียนทุกคนตอบคําถาม เพอ่ื ตรวจสอบ
ความเขาใจของนักเรียนทุกคนและพรอมท่ีจะนําความรูไปตอยอดในการเรียน
ความสมั พนั ธ โดเมน เรนจ เรื่องตางๆ ตอ ไป
r1 = {Â (1, 4), (3, 4), (5, 4) }
r2 = {Â (2, 4), (3, 4), (4, 4) } T129
r3 = {Â (4, 4), (5, 3), (5, 2) }
r4 = {Â (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7) }
r5 = {Â (1, 2), (2, 4), (1, 3), (2, 7) }

หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนักเรยี นออ นจับคกู นั

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ

ตรวจสอบและสรปุ

ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
นกั เรียน ดงั นี้
• ฟง กช นั มคี วามหมายวาอยางไร 6. การหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ทก่ี า� หนดดว้ ยกราฟ
(แนวตอบ ฟง กช นั คอื ความสมั พนั ธท สี่ มาชกิ • การหาโดเมน จะพิจารณาตามแนวแกน X จากทางดา้ นซ้ายไปทางดา้ นขวาว่า เส้นกราฟ
ในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจ เร่ิมต้นจากจา� นวนใดไปยงั จา� นวนใด
ของความสัมพนั ธเพยี งตวั เดยี วเทาน้ัน) • การหาเรนจ์ จะพจิ ารณาตามแนวแกน Y จากดา้ นลา่ งขน้ึ ดา้ นบนวา่ เสน้ กราฟเรมิ่ ตน้ จาก
• ฟงกช ันเชงิ เสน มีความหมายวา อยางไร จา� นวนใดไปยงั จ�านวนใด
(แนวตอบ ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันที่มี
สมการอยใู นรูป y = ax + b เม่ือ a, b เปน 7. ฟงั กช์ นั คอื ความสมั พนั ธท์ สี่ มาชกิ ในโดเมนแตล่ ะตวั จบั คกู่ บั สมาชกิ ในเรนจข์ องความสมั พนั ธ์
จาํ นวนจรงิ และ a 0) เพียงตวั เดียว
• ฟงกชันเชิงเสน ถา a > 0 กราฟจะมี
สำ� หรบั x, y และ z ใด ๆ ถ้ำ (x, y)∊f และ (x, z)∊f แล้ว y = z

ลกั ษณะใด 8. ฟงั กช์ ันเชงิ เส้น
(แนวตอบ กราฟจะทํามุมแหลมกับแกน X • ฟงั กช์ ันเชงิ เสน้ คอื ฟงั กช์ นั ท่มี ีสมการอยู่ในรปู y = ax + b เมื่อ a, b เป็นจา� นวนจริง
ในทศิ ทวนเข็มนาฬกา) และ a ≠ 0
• ฟงกชันเชิงเสน ถา a < 0 กราฟจะมี • ถา้ a > 0 กราฟจะท�ามมุ แหลมกับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า
ลกั ษณะใด ถ้า a < 0 กราฟจะทา� มมุ ป้านกับแกน X ในทิศทวนเข็มนาฬกิ า
(แนวตอบ กราฟจะทํามุมปานกับแกน X • กรณีท่ี a = 0 ฟงั กช์ นั อยใู่ นรูป y = b ซ่งึ เป็นกราฟที่ขนานแกน X เรยี กว่า ฟังกช์ ันคงตัว
ในทศิ ทวนเข็มนาฬก า) • จุดที่กราฟตดั แกน X จะใหค้ า่ y ทจี่ ุดน้ันเทา่ กับ 0 และจุดทก่ี ราฟตดั แกน Y จะใหค้ ่า x
• ฟงกชันเชิงเสน ถา a = 0 กราฟจะมี ท่จี ุดนน้ั เท่ากบั 0
ลกั ษณะใด
(แนวตอบ ฟง กช นั จะอยใู นรูป y = b ซง่ึ เปน YY

กราฟที่ขนานแกน X เรียกวา ฟงกชนั คงตวั ) y = ax + b
• ฟง กช ันเชิงเสน y = ax + b จะตัดแกน X (0, b)
และแกน Y ที่จุดใด b y=b
(แนวตอบ ตัดแกน X ทจ่ี ุด
แกน Y ที่จุด (0, b)) - ba , 0 และตดั X 0X

(- ab , 0) 0

124

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสริม

ครอู าจใหข อสังเกตเก่ยี วกับสมการในรูป y = ax + b ดงั นี้ ครูใหนักเรียนจับคู แลวพิจารณาความสัมพันธวาเปนฟงกชัน
หรอื ไม เพราะเหตใุ ด
ขอสังเกต ถาเพิม่ คา x จะทาํ ใหค า y เพ่ิมตาม แตบ างครัง้ คา x เพม่ิ ข้ึน
ความสัมพันธ เปน ฟง กชนั /
กอ็ าจจะทาํ ใหค า y ลดลงก็เปน ได ขึน้ อยูกบั คา a (ความชัน) ดังน้ี ไมเ ปน เหตผุ ล
• y = ax + b จะไดกราฟเปน เสนตรงตัดแกน y ท่คี า b ฟง กชัน
• ถา a > 0 กราฟจะมีลกั ษณะคลา ยๆ เดนิ ขนึ้ ภเู ขา (จากซา ยไปขวา)
• ถา a < 0 กราฟจะมีลักษณะคลา ยๆ เดนิ ลงภูเขา (จากซา ยไปขวา) r1 = {Â (1, 4), (3, 4), (5, 4) }
r2 = {Â (2, 4), (3, 4), (4, 4) }
YY r3 = {Â (4, 4), (5, 3), (5, 2) }
r3 = {Â (1, 2), (3, 4), (5, 6), (6, 7) }
0 m>0 X 0 m <X0 r3 = {Â (1, 2), (2, 4), (1, 3), (2, 7) }

• สมการ y = ax + b สามารถเขยี นเสน ตรงแทนจุดที่เรยี งตวั กันมากมาย

ได

T130 หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงและนักเรยี นออนจับคูกัน

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ

ตรวจสอบและสรปุ

ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ
นักเรียน ดังนี้
9. ฟงั ก์ชันก�าลังสอง • ฟง กช นั กาํ ลังสอง มีความหมายวา อยางไร
• ฟังกช์ ันกา� ลงั สอง คือ ฟงั กช์ นั ที่อยู่ในรูป y = ax2 + bx + c เมื่อ a, b และ c (แนวตอบ ฟงกชันกําลังสอง คือ ฟงกชันท่ี
เป็นจ�านวนจริงใด ๆ และ a ≠ 0 อยใู นรูป y = ax2 + bx + c เม่ือ a, b
• ในกรณีทั่วไป กราฟของ y = ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 และ c เปน จํานวนจริงใดๆ และ a 0)
1) กราฟของ y = ax2 + bx + c มจี ุดวกกลับอย่ทู ี่จุด (- 2ba , 4ac4a- b2) • กราฟของ y = ax2 + bx + c มจี ุดวกกลบั
2) ถ้า a > 0 กราฟเปน็ เส้นโค้งเปดิ ข้นึ ด้านบนและมจี ุดวกกลับเปน็ จุดตา่� สุด คอื ท่ีจดุ ใด
(- 2ba , 4ac4a- b2) และมคี ่าต�า่ สดุ คอื 4ac4a- b2 (แนวตอบ มจี ดุ วกกลบั ท่จี ดุ
ถ้า a < 0 กราฟเป็นเสน้ โค้งเปดิ ลงด้านลา่ งและมีจุดวกกลบั เปน็ จุดสูงสุด คือ - 2ba , 4ac4a- b2 )
(- 2ba , 4ac4a- b2) และมคี า่ สูงสุด คอื 4ac4a- b2 • ถา a > 0 กราฟของ y = ax2 + bx + c
3) แกนสมมาตรของกราฟจะผา่ นจุดต�่าสุดหรือจดุ สูงสุดเสมอ จะมลี ักษณะเปนอยา งไร
4) แกนสมมาตรของกราฟ คอื x = - 2ba (แนวตอบ กราฟเปน เสน โคง เปด ขนึ้ ดา นบน)
5) กราฟจะตัดแกน X ได้ 0, 1 หรือ 2 จดุ และตัดแกน Y ไดเ้ พยี งจุดเดียว • ถา a < 0 กราฟของ y = ax2 + bx + c
จะมลี ักษณะเปน อยา งไร
(แนวตอบ กราฟเปน เสนโคงเปด ลงดา นลาง)
YY • กราฟของ y = ax2 + bx + c จะตัดแกน X

y = ax2 + bx + c, a > 0 จดุ ตัด จุดวกกลับ และแกน Y ไดก่จี ดุ
จุดตัดแกน X แกน Y y = ax2 + bx + c, a < 0 (แนวตอบ กราฟจะตดั แกน X ได 0, 1 หรอื

0 X 0X 2 จุด และตดั แกน Y ไดเพียงจุดเดยี ว)
แกนสมมาตร จดุ ตัดแกน X • แกนสมมาตรของกราฟ y = ax2 + bx + c
จดุ ตัด
แกน Y แกนสมมาตร

จุดวกกลับ คือที่ใด
x(แน=ว-ตอ2bบa แกนสมมาตรของกราฟ คอื
)
10. การแก้สมการก�าลังสองโดยใช้กราฟ สามารถท�าไดโ้ ดยการเขียนกราฟสมการก�าลงั สอง
แล้วหาจดุ ที่กราฟตัดกบั แกน X หรอื กา� หนดให้ y = 0
• กราฟไม่ตัดแกน X แสดงวา่ ไมม่ คี า� ตอบของสมการท่ีเปน็ จ�านวนจริง
• กราฟตดั แกน X เพยี งจดุ เดียว แสดงวา่ มคี �าตอบของสมการท่ีเปน็ จา� นวนจรงิ 1 คา� ตอบ
• กราฟตดั แกน X สองจดุ แสดงวา่ มีค�าตอบของสมการที่เป็นจ�านวนจรงิ 2 คา� ตอบ

ฟังก์ชัน 125

ขอ สอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู

กาํ หนดให คูอ ันดบั (y - 2, 2x + 1) = (x - 1, y - 2) แลว ครคู วรทบทวนฟงกช นั กําลังสองใหค รบทัง้ 4 รูปแบบ ดังน้ี
y - x มคี าเทาไร
เม่อื a, b, c เปนจํานวนจรงิ และ a 0
(เฉลยคําตอบ เนอื่ งจาก (y - 2, 2x + 1) = (x - 1, y - 2) • y = ax2
จะไดวา • y = ax2 + k
y - 2 = x - 1 และ 2x + 1 = y - 2 • y = a(x - h)2 + k
จะไดว า x - 1 = 2x + 1 • y = ax2 + bx + c
x = -2
แทนคา x = -2 หา y ครูอาจใหนักเรียนยกตัวอยางที่สอดคลองกับฟงกชันกําลังสอง พรอมท้ัง
เขยี นกราฟของสมการ

จะไดวา y - 2 = -2 - 1
y = -1
ดงั นนั้ y - x = (-1) - (-2) = 1)

T131

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 11. ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล
• ฟงั กช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล คอื ฟังกช์ ันที่อยใู่ นรปู y = ax เม่ือ a > 0 และ a ≠ 1
ตรวจสอบและสรปุ • กรณีท่วั ไป กราฟของ y = ax เม่อื a ≠ 0
1) กราฟของ y = ax เมือ่ a > 0 และ a ≠ 1 จะผา่ นจุด (0, 1) เสมอ
ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ 2) ถา้ a > 1 เมือ่ x มีค่าเพมิ่ ข้ึน y จะมคี ่าเพ่ิมขน้ึ
นกั เรยี น ดังนี้ ถา้ 0 < a < 1 เมอ่ื x มคี า่ เพ่มิ ข้นึ y จะมคี า่ ลดลง

• ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ ฟงกชันท่ีอยู Y Y
ในรปู ใด y = ax, a > 0 y = ax, 0 < a < 1
(แนวตอบ ฟงกชันเอกซโพเนนเชียล คือ
(0, 1) X (0, 1) X
ฟง กช ันท่อี ยูใ นรูป y = ax เม่ือ a > 0 และ 0 0
a 1)
• กราฟของ y = ax เมอื่ a > 0 และ a 1 12. การแกส้ มการเอกซ์โพเนนเชียล
ax = ay ก็ต่อเมือ่ x = y
จะผานจดุ ใดเสมอ
(แนวตอบ จะผานจดุ (0, 1) เสมอ)
• สมบตั ิใดทีใ่ ชในการแกส มการเอกซโ พเนน-
เชียล

(แนวตอบ ax = ay กต็ อเมือ่ x = y)

• ฟง กชนั ขน้ั บันไดมคี วามหมายวาอยา งไร
(แนวตอบ ฟงกช นั ข้นั บนั ได คอื ฟง กชันที่มี
โดเมนเปน สับเซตของจํานวนจริง และมีคา
ของฟง กช นั เปน คา คงตวั เปน ชว งๆ มากกวา
สองชว ง)

13. ฟงั ก์ชันขั้นบนั ได คือ ฟงั กช์ นั ที่มโี ดเมนเป็นสบั เซตของจา� นวนจรงิ และมคี ่าของฟังก์ชัน
เปน็ คา่ คงตวั เป็นช่วง ๆ มากกว่าสองช่วง เชน่
ฟงั กช์ ันขน้ั บันได Y กราฟขัน้ บันได

2, 0 ≤ x < 2 8
3, 2 ≤ x < 4 6
f(x) = 4, 4 ≤ x < 6 4
2
5, 6 ≤ x < 8
0 2468 X

126

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสริม

ครูใหความรูเพิ่มเตมิ เกี่ยวกับการแกส มการเอกซโ พเนนเชียล ถา ax = bx ครใู หน กั เรยี นจับคู แลวปฏบิ ตั ติ ามขั้นตอนตอ ไปนี้
กต็ อเมือ่ x = 0 เม่อื a, b > 0 และ a, b 1 • เขียนกราฟของ y = x2 และ y = 2x บนระนาบเดยี วกนั
• นกั เรยี นคิดวา สมการ x2 = 2x มีท้ังหมดกค่ี าํ ตอบ
หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรียนเกง และนกั เรยี นออนจบั คูกนั

T132

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2แบบฝกึ ทกั ษะประจาำ หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี ขนั้ สรปุ
ค�ำช้ีแจง : ใหน้ กั เรียนตอบค�ำถำมตอ่ ไปน้ี
ฝก ปฏบิ ตั ิ
1. กา� หนด A = { 5, 10, 20 } และ B = { s, t } ให้หา
1. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค
1) A × B 2) B × A
คูคดิ (Think Pair Share) ดงั น้ี
3) A × A 4) B × B
• ใหนักเรียนแตละคนคิดคําตอบของตนเอง
2. ก�าหนด A = { 1, 2, 3, 4, 5 } และ B = { 1, 3, 5, 7, 9 } ใหเ้ ขยี นความสัมพันธท์ กี่ า� หนด จากใบงานที่ 2.6 และแบบฝกทักษะ 2.5
แบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงือ่ นไข ขอ 4. ในหนังสอื เรียน หนา 122
1) ความสมั พนั ธ์นอ้ ยกว่าจาก A ไป B
2) ความสมั พันธ์เท่ากับจาก B ไป A • ใหนักเรียนจับคูกับเพื่อนเพ่ือแลกเปลี่ยน
3) ความสัมพนั ธร์ ากท่สี องจาก A ไป A คําตอบกัน สนทนาซักถามซ่ึงกันและกัน
4) ความสมั พนั ธก์ า� ลังสองจาก B ไป B จนเปนทีเ่ ขา ใจรวมกนั

• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน
รว มกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง

2. ครใู หนักเรยี นทาํ Exercise 2.5 เปน การบา น

3. ให้เขยี นกราฟของความสมั พันธต์ อ่ ไปน้ี
{ (x, y)∊R -2x }
1) r1 = { (x, y)∊R × R∙ y = x4 }
2) r2 = { (x, y)∊R × R∙ y = -x3 }
3) r3 = × R∙ y =

4) r4 = { (x, y)∊R × R ∙ y = ∙x∙ + 1 }
5) r5 = { (x, y)∊R × R ∙ -1 ≤ x ≤ 5 }

4. ให้หาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธท์ ี่ก�าหนดตอ่ ไปนี้

1) r = { (x, y)∊I × I ∙ 5x - 2y = 10 }

2) r = { (x, y)∊R × R ∙ 3y = 6 - x }
3) r = {(x, y)∊R × R ∙ y = 2xx -+51}
4) r = { (x, y)∊R × R ∙ (x + 3)y = 4x }

5) r = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ + 2 }

6) r = { (x, y) ∙ y = 49 - 9x2 }

5. ก�าหนด f(x) = ax + b ซง่ึ f(3) = -2 และ f(1) = 6 ใหห้ าคา่ ของ a และ b

ฟังก์ชัน 127

ขอ สอบเนน การคดิ

เมื่อจุดเยือกแขง็ ของนาํ้ เทา กับ 0 Cํ หรอื 32 Fํ จดุ เดือดของน้ําเทากับ 100 Cํ หรอื 212 Fํ
จงเขยี นความสมั พนั ธของอณุ หภมู ทิ เี่ ปน องศาเซลเซียส ( ํC) และองศาฟาเรนไฮต ( ํF) ในรูป
ฟง กชันเชิงเสน

(เฉลยคาํ ตอบ กําหนดให C = aF + b เม่ือ C แทน อุณหภมู ิที่เปนองศาเซลเซียส ( ํC)
F แทน องศาฟาเรนไฮต ( Fํ )
เมอื่ จดุ เยอื กแขง็ ของนาํ้ เทากบั 0 Cํ หรอื 32 Fํ จะไดวา 0 = a(32) + b …..(1)
จดุ เดอื ดของน้าํ เทากบั 100 Cํ หรือ 212 Fํ จะไดวา 100 = a(212) + b …..(2)
a = 110800 = 95
(2) - (1); 100 = 180a จะได
แทน a = 95 ลงใน (1)
95 (32) + b = 0 ดังนั้น b = - 1960
จะได

ดงั นั้น คในวราปูมฟสมัง กพช ันันธเขชองิ งเสอนุณหคภอื ูมCทิ เี่ =ปน 95อFงศ-า1เซ960ลเ)ซียส ( ํC) และองศาฟาเรนไฮต ( ํF) T133

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 6. กา� หนดฟงั กช์ ัน x2 + 3, x<0
2x - 5, 0≤x<3
ฝก ปฏบิ ตั ิ f(x) = 7, x≥3

3. ครใู หนกั เรยี นทาํ กิจกรรม ดังน้ี ให้หา 2) f(-1) - f(3)
• ใหน ักเรยี นแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละ 1) f(0) + f(1) 4) f(-5) + f(2) - f(5)
ความสามารถทางคณิตศาสตร (เกง 3) f(-2) + f(-1) + f(3.5)
ปานกลาง และออน)
• ครูใหนักเรียนแตละกลุมเขียนผังมโนทัศน 7. ใหเ้ ขียนกราฟของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปน้ี พร้อมท้ังหาเรนจ์ของฟงั ก์ชนั
หนวยการเรยี นรูท่ี 2 ฟงกชนั ลงในกระดาษ
A4 1) y = 6 - x, -3 ≤ x ≤ 3 2) y = 0.02x2 - 1, x ≥ 5
• ใหนักเรียนแตละกลุมสงตัวแทนออกมา
นําเสนอผงั มโนทัศนของกลมุ ตนเอง 3) y = (x + 4)(x - 9) 4) y = 7x, x∊R-
• ครูใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ
ประจาํ หนว ยการเรยี นรทู ี่ 2 แลว แลกเปลยี่ น 8. กา� หนด y = x2 - 10x + 9
ความรูภายในกลุม สนทนาซักถามจนเปน
ท่เี ขาใจรวมกัน 1) ให้เขยี นตารางคู่อันดับ
• ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา
ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง x -2 0 1 3 6 9 10
y

2) ให้เขียนกราฟของฟังกช์ นั y = x2 - 10x + 9
3) ให้แกส้ มการ x2 - 10x + 9 = 0 โดยใชก้ ราฟ

9. ใหเ้ ขียนฟงั กช์ นั และกราฟของฟงั กช์ นั แทนอตั ราค่าบรกิ ารทา� ความสะอาดของบริษทั
แห่งหนง่ึ ต่อไปน้ี

เวลำ (ช่ัวโมง) รำคำตอ่ ชัว่ โมง (บำท/ช่ัวโมง)
0<x≤2 250
2<x≤4 220
4<x≤5 200
5<x≤6 180

128

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิด

ครูควรอธิบายเพ่ิมเติมในการแกสมการ ax2 + bx + c = 0 หาคา x จากสมการ y = 2 - 2x มคี วามสัมพนั ธก นั ดงั ตารางตอไปนี้

สามารถหาได 2 วิธี คือ การแยกตัวประกอบเปนสองวงเลบ็ และการใชสูตร x1B2
yA2C
x = -b ± 2ba2 - 4ac เชน y = x2 - 10x + 9

การแยกตัวประกอบ การใชส ตู ร จงหาคาของ A + B - C

x2 - 10x + 9 = 0 x = -b ± 2ba2 - 4ac (เฉลยคําตอบ
(x - 1)(x - 9) = 0 ถา x = 1 แลว A = 2 - 2(1) = 0 ดังน้นั A = 0
= 1, 9 = -(-10) ± (2-(110))2 - 4(1)(9) ถา x = B แลว 2 = 2 - 2B ดงั นน้ั B = 0
x ถา x = 2 แลว C = 2 - 2(2) ดังนั้น C = -2
= 10 ± 1200 - 36
ดังนั้น A + B - C = 0 + 0 - (-2) = 2)

= 10 ±2 64
= 10 2± 8
T134 = 1, 9

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

10. หนิ ก้อนหน่ึงถูกโยนจากบนยอดตกึ ลงไปในทะเล ซึ่งต�าแหนง่ การเคลอ่ื นทขี่ องหนิ ขน้ั ประเมนิ
สามารถค�านวณไดจ้ ากสูตร
y = 60 + 25x - x2 1. ครตู รวจใบงานที่ 2.6
เมอื่ y แทนความสูงของก้อนหนิ มีหนว่ ยเปน็ เมตร 2. ครูตรวจแบบฝก ทกั ษะ 2.5
และ x แทนระยะทางในแนวราบท่ีขว้างก้อนหินไปได้ มีหน่วยเปน็ เมตร 3. ครูตรวจ Exercise 2.5
1) ใหแ้ กส้ มการ 60 + 25x - x2 = 0 และเขยี นค�าตอบให้อยู่ในรูปทศนิยม 1 ต�าแหนง่ 4. ครูประเมินการนาํ เสนอผลงาน
2) ให้อธบิ ายค�าตอบท่ีเป็นคา่ บวกทไี่ ด้จากขอ้ 1) 5. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะประจาํ หนวยการเรียนรู
3) ก�าหนดตารางค่อู นั ดับ
x 0 2 4 6 8 10 ที่ 2
y 60 106 144 174 196 210 6. ครูตรวจผังมโนทัศนหนว ยการเรยี นรทู ่ี 2

x 12 14 16 18 20 22 เรื่อง ฟงกชัน
y 216 214 204 186 160 126 7. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
ให้เขียนกราฟของ y = 60 + 25x - x2 เมอ่ื 0 ≤ x ≤ 22 และ 0 ≤ y ≤ 220 8. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานกลมุ
4) ให้หาจุดทีก่ อ้ นหนิ อยู่ทจ่ี ุดสงู สุดจากระดับนา้� ทะเล 9. ครสู งั เกตความมีวนิ ยั ใฝเ รียนรู
5) ใหห้ าระยะทางในแนวราบ เมือ่ กอ้ นหนิ อยู่สูงจากระดบั น�้าทะเล 180 เมตร
มุงมนั่ ในการทํางาน

ฟังก์ชัน 129

ขอ สอบเนน การคิด แนวทางการวัดและประเมินผล
ชายผหู นงึ่ โยนลกู บอลในแนวด่งิ ถา ความสูงของลกู บอลหาได
จากสตู ร f(t) = -t2 + 8t เมอ่ื t แทนวินาที ครสู ามารถวดั และประเมนิ พฤตกิ รรมการทาํ งานกลมุ จากการทาํ ผงั มโนทศั น
จงหา 1) เวลาในขณะที่ลูกบอลอยูสงู ทส่ี ดุ จากพน้ื หนวยการเรียนรูท่ี 2 ฟงกชัน ในข้ันฝกปฏิบัติ โดยศึกษาเกณฑการวัดและ
ประเมนิ ผลจากแบบประเมินของแผนการจดั การเรยี นรูใ นหนวยการเรียนรทู ี่ 2
2) นานเทาใดลกู บอลจะตกถึงพนื้ ดิน

(เฉลยคาํ ตอบ การประเมินชนิ้ งาน/ภาระงาน (รวบยอด) แผนฯ ที่ 10
ขอ 1) เวลาในขณะท่ีลูกบอลอยสู ูงท่ีสดุ จากพ้นื
2(8-1) แบบประเมนิ ผังมโนทัศน์
คาชีแ้ จง : ให้ผู้สอนประเมนิ ชน้ิ งาน/ภาระงานของนักเรยี นตามรายการทก่ี าหนด แล้วขดี  ลงในช่องทีต่ รงกับระดับ

คะแนน

= - = 4 ลาดับท่ี รายการประเมนิ ระดบั คะแนน 1
432
ดงั นน้ั วินาทที ี่ 4 ทลี่ กู บอลอยสู งู ที่สดุ จากพ้นื 1 ความสอดคล้องกับจุดประสงค์
2 ความถูกต้องของเนือ้ หา รวม
3 ความคิดสรา้ งสรรค์
4 ความตรงต่อเวลา

ขอ 2) ลกู บอลจะตกถึงพื้นดนิ แสดงวา f(t) = 0 ลงชื่อ...................................................ผู้ประเมิน
................./................../..............

เกณฑ์การประเมนิ ผังมโนทัศน์

ประเดน็ ท่ปี ระเมนิ ระดับคะแนน

1. ความสอดคลอ้ ง 4 32 1
กบั จดุ ประสงค์ ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานไม่สอดคล้องกบั
-t2 + 8t = 0 จุดประสงค์ทุกประเด็น ผลงานสอดคล้องกับ ผลงานสอดคล้องกบั จุดประสงค์
2. ความถกู ตอ้ งของ
เนื้อหา จุดประสงคเ์ ปน็ ส่วนใหญ่ จุดประสงค์บางประเดน็ เนอื้ หาสาระของผลงานไม่
ถกู ต้องเปน็ สว่ นใหญ่
3. ความคิด เนือ้ หาสาระของผลงาน เนอ้ื หาสาระของผลงาน เนอื้ หาสาระของผลงาน
สรา้ งสรรค์ ถูกต้องครบถว้ น ถูกต้องเป็นส่วนใหญ่ ถูกต้องบางประเดน็ ผลงานไมม่ ีความนา่ สนใจ
และไมแ่ สดงถงึ แนวคิด
t2 - 8t = 0 4. ความตรงต่อเวลา ผลงานแสดงถึงความคิด ผลงานแสดงถึงความคิด ผลงานมีความน่าสนใจ แต่ แปลกใหม่
สร้างสรรค์ แปลกใหม่ และ สรา้ งสรรค์ แปลกใหม่ แต่ ยงั ไม่มีแนวคดิ แปลกใหม่
เป็นระบบ ยงั ไม่เป็นระบบ สง่ ชิ้นงานช้ากว่าเวลาที่
ส่งช้นิ งานช้ากวา่ เวลาที่ กาหนด 3 วันข้นึ ไป
สง่ ชน้ิ งานภายในเวลาท่ี ส่งช้ินงานชา้ กว่าเวลาที่ กาหนด 2 วนั
กาหนด กาหนด 1 วัน

t(t - 8) = 0 เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ

14 - 16 ดีมาก

11 - 13 ดี

t = 0, 8 8 - 10 พอใช้

ต่ากว่า 8 ปรบั ปรุง

เนื่องจาก t = 0 เปนเวลาเร่มิ ตน จึงตอบ t = 8 T135
ดังนน้ั วนิ าทีท่ี 8 ลกู บอลจะตกถงึ พน้ื ดิน)

Chapter Overview

แผนการจดั สือ่ ท่ีใช้ จุดประสงค์ วิธีสอน ประเมนิ ทักษะที่ได้ คณุ ลกั ษณะ
การเรยี นรู้ - หนังสือเรยี น อันพึงประสงค์
แผนฯ ที่ 1 รายวิชาพ้ืนฐาน
ความหมาย คณิตศาสตร์ ม.5 1. บ อกความหมาย Concept - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ - ทกั ษะการ 1. มีวินยั
ของลำ� ดบั - แ บบฝกึ หดั ของลำ� ดับได้ (K) Based 3.1 ก สังเกต 2. ใฝ่เรยี นรู ้
- ตรวจ Exercise 3.1 A - ทักษะการจ�ำแนก 3. มงุ่ มั่น
3 รายวชิ าพื้นฐาน 2. บ อกได้ว่าลำ� ดับ Teaching - การนำ� เสนอผลงาน ประเภท ในการทำ� งาน
คณิตศาสตร์ ม.5 ทีก่ �ำหนดให้เปน็ ลำ� ดับ - สังเกตพฤติกรรม - ท กั ษะการหา
ชว่ั โมง จำ� กัดหรอื ลำ� ดับอนนั ต์ การท�ำงานรายบคุ คล แบบแผน
(K) - สังเกตพฤตกิ รรม - ท กั ษะการ
การท�ำงานกลมุ่ เชือ่ มโยง
3. เ ขียนลำ� ดบั แบบ - สงั เกตความมวี ินัย - ท ักษะการ
แจกแจงพจน์ ใฝเ่ รยี นรู้ ม่งุ ม่นั ในการ วเิ คราะห์
เม่อื กำ� หนดพจนท์ ่ัวไป ท�ำงาน - ท ักษะการน�ำ
ใหไ้ ด้ (K) ความรไู้ ปใช้

4. เขยี นพจนท์ ว่ั ไป
ของลำ� ดบั เม่อื ก�ำหนด
ลำ� ดับแบบแจกแจงพจน์
ใหไ้ ด้ (P)
5. รบั ผิดชอบตอ่ หน้าท่ี
ทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย (A)

แผนฯ ที่ 2 - ห นงั สือเรยี น 1. บอกความหมายของ Concept - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ - ท กั ษะการ 1. มวี นิ ยั
ล�ำดับเลขคณติ รายวิชาพื้นฐาน ลำ� ดับเลขคณิตได้ (K) Based 3.1 ข สงั เกต 2. ใฝ่เรียนร ู้
คณติ ศาสตร์ ม.5 - ตรวจ Exercise 3.1 B - ท กั ษะการระบุ 3. มุง่ ม่นั
5 - แ บบฝึกหัด 2. หาผลต่างรว่ มของลำ� ดบั Teaching - การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการหา ในการทำ� งาน
เลขคณิตได้ (K) - สังเกตพฤติกรรม แบบแผน
ชว่ั โมง รายวิชาพน้ื ฐาน การท�ำงานรายบคุ คล - ทักษะการ
คณติ ศาสตร์ ม.5 3. หาพจนต์ ่าง ๆ ของ
- QR Code ลำ� ดบั เลขคณิตได้ (K) - สังเกตพฤตกิ รรม เชือ่ มโยง
การท�ำงานกลมุ่ - ทกั ษะการ
4. ประยุกต์ใช้ความรู้ - สงั เกตความมวี นิ ัย วเิ คราะห์
เก่ยี วกบั ลำ� ดบั เลขคณติ ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มนั่ ในการ - ทักษะการน�ำ
ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาได้ ท�ำงาน ความรไู้ ปใช้
(K) - ทกั ษะการประยุกต์
5. เขียนแสดงขนั้ ตอน ใชค้ วามรู้

การหาพจน์ทว่ั ไปของ
ลำ� ดับเลขคณติ ได้ (P)
6. รบั ผดิ ชอบต่อหนา้ ที่
ท่ไี ด้รบั มอบหมาย (A)

T136

แผนการจดั ส่ือที่ใช้ จุดประสงค์ วิธีสอน ประเมนิ ทกั ษะที่ได้ คณุ ลกั ษณะ
การเรียนรู้ อันพงึ ประสงค์

แผนฯ ที่ 3 - หนังสอื เรียน 1. บอกความหมายของ Concept - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ - ท ักษะการ 1. มวี ินัย
ล�ำดบั เรขาคณติ รายวิชาพ้ืนฐาน ล�ำดบั เรขาคณิตได้ (K) Based 3.1 ค สงั เกต 2. ใฝ่เรียนรู้
คณติ ศาสตร์ ม.5 - ตรวจ Exercise 3.1 C - ทักษะการระบุ 3. มุง่ มั่น
5 - แบบฝึกหัด 2. หาอตั ราส่วนร่วมของ Teaching - การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการหา ในการทำ� งาน
รายวิชาพน้ื ฐาน ล�ำดบั เรขาคณิตได้ (K) - สังเกตพฤตกิ รรม แบบแผน
ชัว่ โมง คณิตศาสตร์ ม.5 การท�ำงานรายบคุ คล - ท กั ษะการ
3. ห าพจน์ต่าง ๆ ของ
ล�ำดบั เรขาคณิตได้ (K) - สงั เกตพฤตกิ รรม เชือ่ มโยง
การทำ� งานกล่มุ - ทักษะการ
4. ป ระยกุ ต์ใช้ความรู้ - สังเกตความมวี ินัย วเิ คราะห์
เก่ยี วกับลำ� ดบั เรขาคณิต ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งม่ันในการ - ท ักษะการน�ำ
ในการแก้โจทย์ปญั หาได้ ท�ำงาน ความรไู้ ปใช้
(K) - ทักษะการประยกุ ต์
ใช้ความรู้
5. เขยี นแสดงข้นั ตอน
การหาพจน์ท่ัวไป
ของลำ� ดับเรขาคณติ ได้
(P)

6. รับผิดชอบตอ่ หน้าที่
ทไี่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

แผนฯ ที่ 4 - หนังสือเรยี น 1. บ อกความหมายของ Concept - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ - ทักษะการ 1. มวี ินยั
อนกุ รม รายวชิ าพ้นื ฐาน อนกุ รมได้ (K) Based 3.2 ก สังเกต 2. ใฝเ่ รียนรู้
คณติ ศาสตร์ ม.5 2. บอกสมบตั ขิ อง Teaching - ตรวจ Exercise 3.2 A - ท ักษะการระบุ 3. มุ่งม่ัน
4 - แ บบฝกึ หัด สญั ลักษณแ์ ทนการบวก - การนำ� เสนอผลงาน - ท กั ษะการหา ในการทำ� งาน
(Σ) ได้ (K) - สงั เกตพฤติกรรม แบบแผน
ชั่วโมง รายวชิ าพื้นฐาน
คณติ ศาสตร์ ม.5
3. ห าผลบวก n ของ การท�ำงานรายบคุ คล - ทักษะการ
อนุกรมทก่ี �ำหนดใหไ้ ด้ - สังเกตพฤติกรรม เช่อื มโยง
(K) การท�ำงานกลมุ่ - ทกั ษะการ
4. เขียนแสดงขน้ั ตอน - สังเกตความมวี นิ ัย วเิ คราะห์
การหาค่าของจ�ำนวน ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งม่นั ในการ - ทักษะการน�ำ
ทีอ่ ยูใ่ นรปู สัญลกั ษณ์ ทำ� งาน ความรู้ไปใช้
แทนการบวก (Σ) ได้
(P)
5. รบั ผิดชอบต่อหนา้ ท่ี
ท่ไี ดร้ ับมอบหมาย (A)

T137

แผนการจดั สอื่ ท่ีใช้ จุดประสงค์ วธิ สี อน ประเมิน ทกั ษะท่ีได้ คุณลักษณะ
การเรียนรู้ - ห นังสอื เรียน อันพึงประสงค์
แผนฯ ที่ 5 รายวิชาพ้ืนฐาน
อนกุ รม คณิตศาสตร์ ม.5 1. บ อกความหมายของ Concept - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ - ทกั ษะการ 1. มวี ินัย
เลขคณติ - แ บบฝกึ หัด อนุกรมเลขคณติ ได้ (K) Based 3.2 ข สงั เกต 2. ใฝเ่ รยี นรู้
- ตรวจ Exercise 3.2 B - ท กั ษะการระบุ 3. มุ่งม่ัน
5 รายวิชาพน้ื ฐาน 2. แ กโ้ จทย์ปญั หาเกี่ยวกบั Teaching - การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการหา ในการทำ� งาน
คณิตศาสตร์ ม.5 อนกุ รมเลขคณิตได้ (K) - สังเกตพฤติกรรม แบบแผน
ชว่ั โมง การทำ� งานรายบคุ คล - ทักษะการ
- หนังสือเรยี น 3. เขียนแสดงขัน้ ตอน - สังเกตพฤติกรรม เชื่อมโยง
แผนฯ ท่ี 6 รายวิชาพน้ื ฐาน การหาผลบวก n พจน์ การท�ำงานกลุ่ม - ทักษะการ
อนกุ รม คณิตศาสตร์ ม.5 ของอนกุ รมเลขคณติ ได้ - สงั เกตความมวี ินยั วิเคราะห์
เรขาคณิต - แบบฝกึ หัด (P) ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมนั่ ในการ - ทักษะการน�ำ
ท�ำงาน ความรูไ้ ปใช้
5 รายวิชาพืน้ ฐาน 4. รับผิดชอบต่อหนา้ ท่ี
คณติ ศาสตร์ ม.5 ท่ีได้รบั มอบหมาย (A)
ช่ัวโมง
- ท กั ษะการประยุกต์
ใชค้ วามรู้

1. บ อกความหมายของ Concept - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ - ทกั ษะการ 1. มวี ินัย
อนกุ รมเรขาคณิตได้ Based 3.2 ค สงั เกต 2. ใฝ่เรยี นร ู้
(K) Teaching - ตรวจ Exercise 3.2 C - ท ักษะการระบุ 3. ม่งุ มั่น
- การนำ� เสนอผลงาน - ทักษะการหา ในการทำ� งาน
2. แกโ้ จทย์ปัญหาเกีย่ วกบั - สังเกตพฤติกรรม แบบแผน
อนกุ รมเรขาคณิตได้ (K) การทำ� งานรายบุคคล - ท ักษะการ
- สงั เกตพฤตกิ รรม เช่อื มโยง
3. เขียนแสดงข้ันตอน การท�ำงานกลมุ่ - ทักษะการ
การหาผลบวก n พจน์ - สังเกตความมีวินยั วิเคราะห์
ของอนุกรมเรขาคณติ ได้ ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ ม่ันในการ - ท ักษะการน�ำ
(P) ทำ� งาน ความรูไ้ ปใช้
- ทกั ษะการประยุกต์
4. รับผิดชอบตอ่ หนา้ ที่
ท่ีได้รบั มอบหมาย (A)

ใช้ความรู้

T138

แผนการจดั สือ่ ที่ใช้ จดุ ประสงค์ วิธสี อน ประเมิน ทกั ษะที่ได้ คณุ ลักษณะ
การเรยี นรู้ อนั พงึ ประสงค์
1. มีวินัย
แผนฯ ท่ี 7 - หนังสอื เรียน 1. หาพจน์ทั่วไป แบบนิรนยั - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 3.3 - ทกั ษะการ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
การหาพจนท์ วั่ ไป รายวชิ าพน้ื ฐาน ของลำ� ดับจ�ำกดั (Deductive - ตรวจ Exercise 3.3 สงั เกต 3. มุง่ มนั่
ของลำ� ดบั คณิตศาสตร์ ม.5 ทก่ี ำ� หนดให้ได้ (K) Method) - การนำ� เสนอผลงาน - ท กั ษะการระบุ ในการทำ� งาน

3 - แ บบฝกึ หดั 2. หาพจนท์ ว่ั ไป - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ - ทกั ษะการหา
รายวิชาพ้นื ฐาน ของลำ� ดับอนันต์ ประจ�ำหนว่ ยการเรยี นรู้ แบบแผน
คณติ ศาสตร์ ม.5 ท่กี ำ� หนดให้ได้ (K) ที่ 3 - ทักษะการ
ช่วั โมง 3. หาพจน์ทั่วไปของล�ำดบั - ตรวจผังมโนทัศน์ เชอ่ื มโยง

ท่กี ำ� หนดให้ โดยใช้ หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 3 - ทกั ษะการ
ฟังกช์ ันพหนุ ามได้ (K) ลำ� ดับและอนกุ รม วิเคราะห์
4. หาความสัมพันธ์ของ - สังเกตพฤตกิ รรม - ทักษะการน�ำ
พจน์ตา่ ง ๆ และความ การทำ� งานรายบคุ คล ความรู้ไปใช้
สมั พันธร์ ะหวา่ งพจน์ - สังเกตพฤตกิ รรม
กับลำ� ดบั ท่ีโจทย์ การท�ำงานกลุ่ม
กำ� หนดให้ได้ (K) - สงั เกตความมีวนิ ัย
5. เขียนแสดงพจนท์ วั่ ไป ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมน่ั ในการ
ของล�ำดับที่ก�ำหนดให้ ท�ำงาน
อยู่ในรูปทมี่ ี n เปน็
ตวั แปรได้ (P)
6. รับผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ี
ที่ได้รบั มอบหมาย (A)

T139

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching)

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

1. ครกู ระตุนความสนใจนักเรียน โดยใหน ักเรยี น
ดภู าพหนา หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 ในหนงั สอื เรยี น
หนา 130 แลวรวมกันสนทนาในช้ันเรียนถึง
ตัวโนต (Note) ในทางดนตรีเปนสัญลักษณ
ที่ใชบอกระดับเสียงและความยาวเสียง ซ่ึง
ระดับเสียงของตัวโนตวัดไดจากตําแหนงที่
วางอยูบนบรรทัด 5 เสน และความยาวของ
เสยี งวดั ไดจ ากลกั ษณะของตวั โนต ซงึ่ มลี กั ษณะ
ดงั น้ี

โนตตัวกลม มีความยาวเสียงเทากับ
โนตตวั ขาว 2 ตัว

โนตตัวขาว มีความยาวเสียงเทากับ 12
ของโนตตัวกลม

โนตตัวดํา มีความยาวเสียงเทากับ 41
ของโนต ตวั กลม

โเทนาตกตบั ัวเ81ขบข็ตองโ1นต ชตั้นัวกมลีคมวามยาวเสียง
โเทนาตกตบั ัวเ1ข16บข็ตอง2โนชต ้ันตวั มกีลคมวามยาวเสียง

เกร็ดแนะครู กิจกรรม เสรมิ สรางคุณลักษณะอันพงึ ประสงค

การเรยี นการสอนของหนว ยการเรียนรูท ี่ 3 เรอ่ื ง ลําดบั และอนกุ รม ครคู วร ครูควรปลูกฝงใหนักเรียนมีระเบียบวินัย เชน การแตงกายมา
ยกตัวอยางสถานการณใกลตัว หรือสถานการณในชีวิตประจําวันของนักเรียน โรงเรียนใหถูกระเบียบ และกอนเริ่มเรียนช่ัวโมงแรกครูอาจสราง
เปน กรณศี กึ ษา จนเกิดเปน ความรูค วามเขา ใจและนําความรทู ่ไี ดไปประยกุ ตใช ขอตกลงกบั นักเรียนเก่ียวกบั ความมีวินยั เชน การสงการบานหรอื
ในชีวิตประจาํ วนั ชิ้นงานควรสงตรงตามเวลาท่ีกําหนด หากใครสงไมตรงตามเวลา
อาจถูกตัดคะแนนความรับผิดชอบ (ครูและนักเรียนรวมกันสราง
ขอตกลงดังกลา ว)

T140

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

หนว ยการเรยี นรทู ่ี 3 ขนั้ นาํ

ลาํ ดบั และ การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
อนกุ รม
2. ครูถามคําถาม เพื่อกระตุนความสนใจของ
ตัวโนต (Note) ในทางดนตรีเปนสัญลักษณท่ี นักเรียนจากการศึกษาภาพหนาหนวยการ
ใชบ อกระดับเสยี งและความยาวเสยี ง ซง่ึ ระดับ เรียนรทู ่ี 3 ในหนังสอื เรยี น หนา 130 ดังน้ี
เสยี งของตวั โนต วดั ไดจ ากตาํ แหนง ทวี่ างอยบู น • นกั เรยี นเคยเลน เครอื่ งดนตรปี ระเภทใดบา ง
บรรทัด 5 เสน และความยาวเสียงวัดไดจาก (แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย
ลักษณะของตัวโนต ซึ่งสามารถเปรียบเทียบ เชน กตี าร ไวโอลิน แซ็กโซโฟน)
ความยาวเสียงของตัวโนตแตละตัวกับโนต • นักเรียนทราบหรือไมวาโนตดนตรีแตละตัว
โตโโนนนัวตตตกตตตลวััวัวมขดเไขาําดบว ต็ดมมโโังนน1ีีนคคตตววี้ ชตตาา้นัวัวั มมกกยยขมลลาาอคีมมววงวเเโาสสนมีียยต ยงงตาเเวัวททกเาาสลกกยีมัับบงเท1214ากขขบั ออ81งง มคี วามยาวเสียงแตกตางกนั อยา งไร
โนตตวั เขบต็ 2 ชจะั้นเหม1็น16ีคววาขาอมคงวยโนาามตวยตเสาวั ีวยกเลงสเมียทงาขกอับง (แนวตอบ โนต ตวั กลม โนต ตวั ขาว โนต ตวั ดาํ
จากที่กลาวมา คโตนวาตมามตลยวัาํ เาดขวบั บเ)ส็ตีย1งลชด้นั ลโงนเปต นตวั 21เขขบอต็ งโ2นตชตั้นัวจแะรมกี
ตัวโนตแตละตวั จะเรยี งกนั เปน ลําดับเรขาคณิต
3. ครูกลาววา เมื่อนําความยาวเสียงของโนต
แตล ะตวั มาเรียงกนั จะได ดงั น้ี
1 21 41 81 116
จากความสัมพันธขางตน ความยาวเสียงของ
โนตตัวถัดไปจะลดลงเปนคร่ึงหนึ่งเสมอ และ
เรียกความสัมพันธน้ีวาเปนลําดับเรขาคณิต
ซงึ่ นกั เรยี นจะไดศกึ ษาในหนว ยการเรยี นรูท่ี 3
หมายเหตุ : ครอู าจใหน กั เรยี นทาํ แบบทดสอบ
พน้ื ฐานกอนเรยี น โดยสแกน QR Code ใน
หนงั สือเรยี น หนา 131

ตัวชวี้ ัด
• เขาใจและนาํ ความรเู ก่ยี วกบั ลาํ ดบั และอนกุ รมไปใช
(ค 1.2 ม.5/2)

สาระการเรยี นรแู กนกลาง Recall

• ลาํ ดับเลขคณิตและลําดบั เรขาคณิต

• อนกุ รมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณติ

กิจกรรม 21st Century Skills เกร็ดแนะครู

ครแู บงกลมุ ใหน ักเรยี น กลมุ ละ 3-4 คน แลว ทาํ กิจกรรม ดังนี้ ครูกลา วเพิ่มเติมเก่ยี วกับตวั โนต เรือ่ ง ลาํ ดับและอนกุ รมวา ความยาวเสียง
• ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลเพิ่มเติม เร่ือง ลําดับและ ของโนตแตละตัวมีความยาวตางกัน ซ่ึงเปรียบเทียบคาความยาวเสียงของ
ตัวโนต ได ดงั นี้
อนกุ รมในชีวิตประจาํ วัน มากลุม ละ 1 เรอ่ื ง
• ใหน ักเรยี นแตล ะกลุมรวมกนั สรุปแลว นาํ มาจัดทาํ เปนรายงาน เปรียบเทยี บคาความยาวเสยี งของตวั โนต
• สงตัวแทนกลุมออกมานําเสนอขอมูลผานโปรแกรม Microsoft

PowerPoint หรอื โปรแกรมนําเสนออื่นๆ ตามท่นี กั เรยี นถนัด
หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลุมโดยคละความสามารถทางคณิตศาสตร
ของนกั เรยี น (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยกู ลมุ เดียวกัน

T141