คณิตหลัก ม.5

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ

• (-53)• 54 เปนเลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน
หรอื ไม เปลยี่ นใหเ ปน ฐานเดยี วกนั ไดห รอื ไม
และไดผลคณู เทา กับเทา ไร แบบฝกึ ทกั ษะประจำ� หนว่ ยกำรเรยี นรทู้ ่ี 1

(แนวตอบ ไมเ ปน เลขยกกาํ ลงั ทมี่ ฐี านเดยี วกนั ค�ำชแ้ี จง : ใหน้ ักเรียนตอบคำ� ถำมตอ่ ไปนี้ h
สามารถเปลยี่ นใหเ ปน ฐานเดยี วกนั ไดแ ละได
ผลคณู เทากบั -53•54 = -57) 1. ใหห้ าคา่ ของ
• การหารเลขยกกําลังท่ีมีฐานเดียวกันและ 1) 4 10000 2) 3 -216
ฐ า น ไ ม  เ ท  า กั บ ศู น ย  มอaaีmมเnลทสขั้ งาชยม้ี กกาํ ราตถลั วแั งอยเยกป ไา นดง 3) 161.5 4) 1024-53
จาํ นวนเต็มบวก ในรปู
ก่ีกรณีอะไรบาง พร 2. ให้ประมาณค่า 5 1022

ประกอบ 3. ใหห้ าคา่ ของจา� นวนตอ่ ไปนี้ โดยใชเ้ ครอื่ งคดิ เลข
2) 10 1+03 10
(แนวตอบ สามารถแยกได 3 กรณี ดังนี้ 1) 416 - 216

กรณที ี่ 1 เมือ่ m > n 3) 3π - 4 18 4) (1 + 5 5)2

เชน ให m = 5 และ n = 2 4. ก�าหนดสมการ p + q 7= 5 7)2 เมื่อ p และ q เปน็ จา� นวนตรรกยะใด ๆ
จะได aamn = 3352 = 35 - 2 = 33 > 0 ใหห้ าค่าของ p และ q (3 -

กรณที ่ี 2 เมื่อ m = n 5. ก�าหนดสมการ x 5 = 27 - x 3 มีคา� ตอบของสมการ คอื a + 2b 15
เมอื่ a และ b เปน็ จ�านวนเต็มใด ๆ ใหห้ าค่าของ a และ b
เชน ให m = 5 และ n = 5
จะได aamn = 3355 = 35 - 5 = 30 = 1 6. ทรงกระบอกตรงมีปริมาตร 8 + 3 6 ลูกบาศก์เซนติเมตร
กรณที ่ี 3 เม่ือ m < n มีพนื้ ท่ีฐานเทา่ กบั 1 + 6 ตารางเซนตเิ มตร ใหห้ าความสงู
เชน ให m = 3 และ n = 5 ของทรงกระบอกนี้ และตอบในรปู p + q 6 เซนตเิ มตร เม่อื
=aamn 31=2 3335 = p และ q เป็นจ�านวนตรรกยะใด ๆ
จะได < 0) 33-5 = 3-2

7. ให้เขยี นจา� นวนต่อไปนี้ในรปู อย่างง่าย เมื่อ x และ y เปน็ จ�านวนจริงบวก

4. ครใู หน กั เรยี นเขยี นผงั มโนทศั น หนว ยการเรยี น 1) ((x3287)y-x463)32 2) 3 ÷ x-3
รทู ่ี 1 เลขยกกาํ ลัง ลงในกระดาษ A4 3)
4) (168x1-y4y6-2)14
x16y-43 4 6) (3224x3-4xy12)25
( )5)x-31y14

40

ขอ สอบเนน การคิด 2+2 3

ทรงกระบอกมปี ริมาตร (10 + 5 3)π ลูกบาศกหนว ย และมีเสน ผา นศูนยก ลาง
ของวงกลม 2 + 2 3 หนวย ถาเทน้าํ ลงในทรงกระบอกใบนีเ้ พียงครึ่งหนง่ึ
อยากทราบวา ความสูงของระดบั นาํ้ ท่วี ดั จากฐานจะเปน เทา ใด h

(เฉลยคาํ ตอบ เนื่องจากมเี สน ผานศนู ยกลางของวงกลม 2 + 2 3 หนว ย
จะไดร ัศมขี องวงกลมเทา กบั 1 + 3 หนวย ปรมิ าตรทรงกระบอกเทา กับ πr2h ลูกบาศกห นว ย
จะได (10 + 5 3)π = π(1 + 3)2h

10 + 5 3 = (1 + 3)2h
10 + 5 3 = (4 + 2 3)h
h = 140++25 33
140 ++ 25 33 44 - 22 33
h = • -

T42 ดงั น้นั h = 52 หรอื 2.5 หนว ย 22.5 = 1.25 หนว ย)
ความสงู ของระดบั นาํ้ ในทรงกระบอกเทา กับ

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

7) 5 x3 • 3 8x 8) (x-3 y53)-23 (x54 y-23)3 ขนั้ สรปุ
10) (x-31 y2)5 • 3 27x-3y2
9) x23 y- 52 5. ครูใหน ักเรยี นแบง กลมุ ออกเปน 3 กลมุ แลว
(x2 y- 51)-2 ทํากจิ กรรม ดังนี้
• ใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ
8. ให้หาค่าของ 2) 2 27 - 12 + 3 75 ประจําหนว ยการเรียนรูท่ี 1 โดยการแบง ขอ
1) 5 + 20 + 45 4) 3 20 • 3 50 + 5 16 • 5 2 ดงั นี้
3) 32 ( 98 - 32) กลมุ ท่ี 1 ทาํ ขอ 1, 4, 7, 10
5) ( 7 - 3)( 7 + 3) 6) (2 3 + 3 2)(2 3 - 3 2) กลุมที่ 2 ทาํ ขอ 2, 5, 8, 11
7) ( 5 - 2)2 8) (2 7 - 10)2 กลุม ที่ 3 ทําขอ 3, 6, 9, 12
• ใหนักเรียนแตละกลุมชวยกันทําแบบฝก-
9. ให้หาค่า x จากสมการต่อไปน้ี 2) 512 ÷ 5x = 25 ทักษะประจําหนวยการเรยี นรูที่ 1 โดยเขยี น
1) 4-6 • 4x = 1 4) 2018x = 1 วิธีคิดลงในกระดาษ A4 จากน้ันครูคอย
3) 16x = 8 6) 2x2-6 = 29 ตรวจสอบความถูกตองในแตละกลุมและ
5) 101x0-2 = 0.0001 แนะแนวคดิ ในขอนั้นๆ
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ สง ตวั แทนออกมาเฉลย
10. ถ้า x-3 = 7 แล้ว x3 มีค่าเท่าใด วธิ ีคิด พรอ มอธบิ ายแนวคดิ ของกลมุ ตวั เอง
หนาชั้นเรียน จากนั้นครูตรวจสอบความ
11. ถา้ ( 2 - 1)x = ( 2 + 1)2 แลว้ x + 1 มคี า่ เทา่ ใด ถูกตอ ง

12. พรี ะมดิ ฐานสเี่ หลย่ี มจตั รุ สั มปี รมิ าตร 27 ลกู บาศกเ์ ซนตเิ มตร และมคี วามสงู เปน็ 3 เทา่ ของ ขน้ั ประเมนิ
ความยาวของฐานแต่ละด้าน ให้หาความยาวรอบฐานของพีระมดิ
1. ครตู รวจใบงานท่ี 1.2
เลขยกก�าลัง 41 2. ครตู รวจแบบฝก ทักษะ 1.3
3. ครตู รวจ Exercise 1.3
4. ครตู รวจแบบฝก ทกั ษะประจาํ หนว ยการเรยี นรู

ที่ 1
5. ครูตรวจผังมโนทัศน หนวยการเรียนรูท่ี 1

เลขยกกําลัง
6. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
7. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทํางานรายบคุ คล
8. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทาํ งานกลมุ
9. ครสู ังเกตความมีวนิ ยั ใฝเ รยี นรู

มงุ ม่นั ในการทาํ งาน

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล
ถา a = -1 และ b = 2 แลว 8 a6b2 8 a2b6 มีคาเทาใด
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานรายบุคคล จากการทํา
1. -2 2. 2 3. -4 ใบงานท่ี 1.2 เร่ือง เลขยกกําลังทม่ี ีเลขชกี้ ําลังเปนจาํ นวนตรรกยะ ในขนั้ เขาใจ
4. 4 5. -5 โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดการ
เรียนรูในหนวยการเรยี นรทู ่ี 1
(เฉลยคาํ ตอบ 8 a6b2 8 a2b6 = 8 a6b2 • a2b6
= 8 a8b8 แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล
= 8 (ab)8
คาช้ีแจง : ใหผ้ สู้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ✓ลงในช่องทตี่ รงกบั ระดบั คะแนน
= ͉ab͉
ลาดับท่ี รายการประเมนิ ระดับคะแนน
= ͉(-1)(2)͉ 4321
1 การแสดงความคดิ เหน็ 
= ͉-2 ͉ 2 การยอมรบั ฟงั ความคดิ เห็นของผู้อน่ื
3 การทางานตามหน้าท่ีทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย 
=2 4 ความมีนา้ ใจ
5 การตรงต่อเวลา 
ดังนนั้ คําตอบ คอื ขอ 2.) 
รวม 

ลงช่อื ...................................................ผปู้ ระเมิน
.............../................./................

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครงั้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤติกรรมบางครงั้
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยครัง้

เกณฑ์การตดั สนิ คุณภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18-20 ดมี าก
14-17 ดี
10-13 พอใช้
ปรบั ปรงุ
ตา่ กว่า 10

T43

Chapter Overview

แผนการจัด สอ่ื ท่ีใช้ จุดประสงค์ วิธีสอน ประเมิน ทักษะท่ีได้ คุณลกั ษณะ
การเรยี นรู้ - หนงั สอื เรยี น อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ท่ี 1 รายวิชาพ้นื ฐาน
ความสัมพันธ์ คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บอกความหมาย แบบอปุ นยั - ตรวจใบงานที่ 2.1 - ทักษะการ 1. มีวินัย
- ใบงานที่ 2.1 ความสมั พันธ์ของ (Inductive - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.1 เชอื่ มโยง 2. ใฝเ่ รียนร้ ู
2 ผลคูณคาร์ทเี ซยี นได้ Method) - การน�ำเสนอผลงาน - ท กั ษะการพิสจู น์ 3. มุ่งมนั่
- หนังสือเรยี น (K) - สงั เกตพฤติกรรม ความจริง ในการทำ� งาน
ชวั่ โมง รายวชิ าพื้นฐาน 2. บอกความหมาย การท�ำงานรายบคุ คล - ท กั ษะการตีความ
คณติ ศาสตร์ ม.5 ของคู่อนั ดบั จาก - สังเกตพฤติกรรม - ทกั ษะการ
แผนฯ ที่ 2 - ห นังสือเรยี น ความสัมพนั ธห์ รอื การท�ำงานกลุ่ม เปรียบเทยี บ
กราฟของ รายวิชาพืน้ ฐาน สถานการณ์ท่ีกำ� หนดให้ - สงั เกตความมีวนิ ยั - ทักษะการ
ความสัมพันธ์ คณิตศาสตร์ ม.5 ได้ (K) ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ มั่นในการ วิเคราะห์
- ใบงานท่ี 2.2 3. เขยี นความสัมพันธ์ ท�ำงาน
1 แบบแจกแจงสมาชกิ
และแบบบอกเงื่อนไขได้
ชวั่ โมง (P)
4. รบั ผดิ ชอบตอ่ หน้าที่
แผนฯ ที่ 3 ที่ได้รับมอบหมาย (A)
โดเมนและเรนจ์
ของความ 1. บอกองค์ประกอบ แบบนิรนัย - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.1 - ท ักษะการ 1. มวี นิ ัย
สมั พนั ธ์ และวิธกี ารเขยี นกราฟ (Deductive - การน�ำเสนอผลงาน เช่อื มโยง 2. ใฝเ่ รยี นร้ ู
ได้อย่างถูกตอ้ ง (K) Method) - สงั เกตพฤตกิ รรม - ท กั ษะการระบุ 3. มงุ่ ม่นั
2 2. เขียนกราฟของ การท�ำงานรายบุคคล - ทกั ษะการ ในการทำ� งาน
ความสมั พันธ์ - สังเกตพฤตกิ รรม เปรียบเทยี บ
ชั่วโมง ท่ีกำ� หนดใหไ้ ด้ (P) การท�ำงานกล่มุ - ท กั ษะการ
3. รบั ผิดชอบตอ่ หน้าท่ี - สังเกตความมีวินัย ประยุกต์ใชค้ วามรู้
ท่ีไดร้ ับมอบหมาย (A) ใฝ่เรียนรู้ มงุ่ มน่ั ในการ - ทกั ษะการ
ท�ำงาน วิเคราะห์

1. บอกความหมาย แบบอปุ นัย - ตรวจใบงานที่ 2.2 - ทักษะการ 1. มีวนิ ัย
ของโดเมนและเรนจ์ (Inductive - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.1 เช่ือมโยง 2. ใฝเ่ รียนรู้
ของความสมั พนั ธ์ได้ Method) - การนำ� เสนอผลงาน - ท กั ษะการระบุ 3. มงุ่ มัน่
(K) - สังเกตพฤติกรรม - ท ักษะการ ในการทำ� งาน
2. หาโดเมนและเรนจ์ การท�ำงานรายบุคคล เปรยี บเทียบ
ของความสมั พันธ์ได้ - สังเกตพฤติกรรม - ทกั ษะการ
(K) การท�ำงานกลุ่ม ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้
3. หาโดเมนและเรนจ์ - สงั เกตความมวี นิ ัย - ท กั ษะการ
จากกราฟของความ ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งมั่นในการ วิเคราะห์
สัมพันธ์ท่กี ำ� หนดให้ได้ ท�ำงาน - ท กั ษะการพสิ จู น์
(K) ความจรงิ
4. รบั ผดิ ชอบต่อหนา้ ที่
ท่ไี ด้รับมอบหมาย (A)

T44

แผนการจดั ส่อื ท่ีใช้ จดุ ประสงค์ วธิ สี อน ประเมิน ทกั ษะที่ได้ คุณลักษณะ
การเรยี นรู้ - หนงั สือเรียน อนั พึงประสงค์
แผนฯ ที่ 4 รายวชิ าพน้ื ฐาน
ฟงั ก์ชัน คณติ ศาสตร์ ม.5 1. บ อกความหมายและ Concept - ตรวจใบงานท่ี 2.3 - ทักษะการ 1. มีวินยั
- แบบฝกึ หดั สัญลกั ษณ์ของฟงั ก์ชนั Based - ตรวจแบบฝกึ ทักษะ 2.1 เชือ่ มโยง 2. ใฝเ่ รียนร ู้
3 ได้ (K) Teaching - ตรวจ Exercise 2.1 - ทกั ษะการระบุ 3. ม่งุ มั่น
รายวิชาพื้นฐาน - การนำ� เสนอผลงาน - ทกั ษะการ ในการทำ� งาน
ชั่วโมง คณติ ศาสตร์ ม.5 2. หาค่าของฟงั กช์ นั - สังเกตพฤตกิ รรม เปรียบเทียบ
- ใบงานที่ 2.3 เม่ือกำ� หนดค่าโดเมนได้ การทำ� งานรายบุคคล - ทกั ษะการ
แผนฯ ท่ี 5 - QR Code (K) - สงั เกตพฤติกรรม ประยุกต์ใช้ความรู้
ฟงั กช์ ันเชิงเส้น 3. ต รวจสอบได้ว่าความ การทำ� งานกลุ่ม - ท กั ษะการ
- ห นงั สือเรยี น - สงั เกตความมวี นิ ยั วเิ คราะห์
3 รายวชิ าพน้ื ฐาน สัมพนั ธ์ทกี่ �ำหนดให้ ใฝ่เรยี นรู้ ม่งุ ม่ันในการ - ท กั ษะการพสิ จู น์
คณติ ศาสตร์ ม.5 เป็นฟงั กช์ นั หรือไม่เป็น ท�ำงาน ความจรงิ
ช่ัวโมง - แ บบฝึกหดั ฟังกช์ ันได้ (P) - ทกั ษะการน�ำ
4. ต รวจสอบไดว้ า่ ความ ความรู้ไปใช้
แผนฯ ที่ 6 รายวชิ าพ้นื ฐาน สมั พนั ธข์ องฟังก์ชนั
กราฟของ คณิตศาสตร์ ม.5 ท่อี ย่ใู นรปู กราฟเปน็
ฟังก์ชัน - ใบงานท่ี 2.4 ฟังก์ชนั หรอื ไม่เปน็
กำ� ลงั สอง - หนังสอื เรียน ฟงั ก์ชันได้ (P)
รายวชิ าพืน้ ฐาน 5. รับผิดชอบต่อหน้าท่ี
3 คณติ ศาสตร์ ม.5 ทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A)
- แ บบฝึกหัด
ชว่ั โมง รายวชิ าพนื้ ฐาน 1. บอกความหมาย Concept - ตรวจใบงานท่ี 2.4 - ท กั ษะการ 1. มวี นิ ยั
คณติ ศาสตร์ ม.5 ของฟงั กช์ นั เชงิ เส้น Based - ตรวจแบบฝึกทักษะ 2.2 เชื่อมโยง 2. ใฝ่เรยี นร้ ู
และฟังก์ชันคงตัวได้ (K) Teaching - ตรวจ Exercise 2.2 - ท กั ษะการระบุ 3. มุง่ มน่ั
2. น�ำความรู้ เรื่อง - การนำ� เสนอผลงาน - ท ักษะการ ในการทำ� งาน
ความสัมพันธ์เชงิ เสน้ - สงั เกตพฤติกรรม เปรยี บเทียบ
มาประยกุ ตใ์ ช้กบั การทำ� งานรายบคุ คล - ท ักษะการ
โจทย์ปญั หาได้ (K) - สังเกตพฤติกรรม ประยุกตใ์ ช้ความรู้
3. เขียนกราฟของฟังก์ชนั การท�ำงานกลมุ่ - ท ักษะการ
เชงิ เสน้ จากความ - สงั เกตความมีวินยั วิเคราะห์
สัมพันธท์ ่กี ำ� หนดให้ได้ ใฝ่เรยี นรู้ มุง่ มัน่ ในการ - ทกั ษะการน�ำ
(P) ท�ำงาน ความรไู้ ปใช้
4. รบั ผดิ ชอบตอ่ หน้าที่
ทีไ่ ด้รบั มอบหมาย (A)

1. บอกความหมายกราฟ Concept - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ - ทกั ษะการสงั เกต 1. มีวนิ ยั
ของฟังกช์ ันกำ� ลังสอง Based 2.3 ก - ทักษะการ 2. ใฝเ่ รยี นร ู้
ได้ (K) Teaching - ตรวจ Exercise 2.3 A เชื่อมโยง 3. มุ่งมั่น
2. จ�ำแนกลกั ษณะ - การนำ� เสนอผลงาน - ทกั ษะการระบุ ในการทำ� งาน
ของกราฟฟังกช์ นั - สังเกตพฤติกรรม - ท ักษะการ
กำ� ลงั สองได้ (K) การท�ำงานรายบคุ คล เปรียบเทียบ
3. เขียนกราฟฟังกช์ นั - สงั เกตพฤตกิ รรม - ท กั ษะการ
กำ� ลังสองได้ (P) การทำ� งานกลุ่ม ประยุกต์ใชค้ วามรู้
4. เขียนองคป์ ระกอบตา่ ง ๆ - สังเกตความมีวินยั - ท ักษะการ
ของกราฟฟังกช์ นั ใฝ่เรียนรู้ มุ่งมนั่ ในการ วิเคราะห์
กำ� ลังสองได้ (P) ท�ำงาน - ท ักษะการน�ำ
5. รบั ผดิ ชอบต่อหนา้ ที่ ความรไู้ ปใช้
ทไี่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

T45

แผนการจดั ส่อื ที่ใช้ จดุ ประสงค์ วิธีสอน ประเมิน ทักษะท่ีได้ คณุ ลักษณะ
การเรียนรู้ - หนังสือเรียน - ตรวจแบบฝึกทักษะ อันพงึ ประสงค์
แผนฯ ท่ี 7 รายวิชาพน้ื ฐาน 2.3 ข-2.3 ค
การนำ� กราฟ คณติ ศาสตร์ ม.5 1. อธิบายขัน้ ตอนของ Concept - ตรวจ Exercise - ท กั ษะการสังเกต 1. มวี นิ ัย
ไปใช้ในการ - แบบฝกึ หดั การแกส้ มการ Based 2.3 B-2.3 C - ท ักษะการ 2. ใฝ่เรียนร ู้
แก้สมการ และอสมการโดยใช้ Teaching - การนำ� เสนอผลงาน เชอ่ื มโยง 3. มงุ่ ม่ัน
และอสมการ รายวิชาพื้นฐาน กราฟได้ (K) - สังเกตพฤติกรรม - ท ักษะการระบุ ในการทำ� งาน
คณิตศาสตร์ ม.5 2. เขียนแสดงการแก้ การทำ� งานรายบคุ คล - ทกั ษะการ
4 สมการและอสมการ - สงั เกตพฤตกิ รรม เปรียบเทียบ
- หนงั สือเรียน ของฟังก์ชันกำ� ลังสอง การทำ� งานกล่มุ - ทักษะการ
ชั่วโมง รายวิชาพนื้ ฐาน โดยใช้กราฟทก่ี �ำหนดให้ - สงั เกตความมวี นิ ัย ประยกุ ตใ์ ชค้ วามรู้
คณิตศาสตร์ ม.5 ได้ (P) ใฝเ่ รียนรู้ มงุ่ ม่ันในการ - ทกั ษะการ
แผนฯ ท่ี 8 - แบบฝกึ หัด 3. รับผิดชอบต่อหน้าที่ ท�ำงาน วเิ คราะห์
การแกป้ ญั หา ท่ีได้รับมอบหมาย (A) - ท ักษะการน�ำ
โดยใชค้ วามรู้ รายวิชาพน้ื ฐาน ความรูไ้ ปใช้
เรอ่ื งฟงั ก์ชัน คณิตศาสตร์ ม.5
กำ� ลงั สอง - ใบงานท่ี 2.5 1. อธบิ ายข้ันตอนของ แบบอปุ นัย - ตรวจใบงานที่ 2.5 - ท กั ษะการสงั เกต 1. มวี นิ ยั
และกราฟ การแกโ้ จทย์ปัญหา (Inductive - ตรวจแบบฝึกทักษะ - ท กั ษะการ 2. ใฝเ่ รยี นร ู้
โดยใชค้ วามรู้ เร่ือง Method) 2.3 ง เช่อื มโยง 3. ม่งุ มนั่
4 ฟงั กช์ ันกำ� ลงั สอง - ตรวจ Exercise 2.3 D - ทักษะการระบุ ในการทำ� งาน
และกราฟได้ (K) - การน�ำเสนอผลงาน - ทกั ษะการ
ช่วั โมง 2. นำ� ความรู้ เร่อื ง - สังเกตพฤตกิ รรม เปรียบเทยี บ
ฟังก์ชนั กำ� ลงั สอง การท�ำงานรายบคุ คล - ทักษะการ
และกราฟมาแก้ - สังเกตพฤตกิ รรม ประยกุ ต์ใชค้ วามรู้
โจทยป์ ัญหาได้ (K) การท�ำงานกลุ่ม - ทกั ษะการ
3. เขยี นแสดงการแก้ - สงั เกตความมีวนิ ัย วิเคราะห์
ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งม่ันในการ - ทกั ษะการน�ำ
โจทยป์ ัญหาโดยใช้ ท�ำงาน ความรู้ไปใช้
ความรู้ เรื่อง ฟังก์ชนั
กำ� ลงั สองและกราฟได้
(P)
4. รบั ผิดชอบต่อหนา้ ที่
ทีไ่ ดร้ บั มอบหมาย (A)

T46

แผนการจัด สอื่ ท่ีใช้ จุดประสงค์ วธิ ีสอน ประเมิน ทกั ษะที่ได้ คณุ ลกั ษณะ
การเรียนรู้ อันพงึ ประสงค์

แผนฯ ท่ี 9 - ห นงั สือเรยี น 1. บ อกความหมาย แบบนริ นยั - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 2.4 - ท กั ษะการสงั เกต 1. มวี ินยั
ฟงั ก์ชนั รายวิชาพน้ื ฐาน ของฟังกช์ ัน (Deductive - ตรวจ Exercise 2.4 - ทักษะการ 2. ใฝเ่ รยี นรู ้
เอกซ์โพเนนเชียล คณิตศาสตร์ ม.5
- แบบฝกึ หัด เอกซโ์ พเนนเชียลได้ Method) - การนำ� เสนอผลงาน เชื่อมโยง 3. ม่งุ ม่นั
รายวิชาพน้ื ฐาน (K) - สังเกตพฤตกิ รรม - ทักษะการระบุ ในการทำ� งาน
4 2. บอกองคป์ ระกอบ การทำ� งานรายบุคคล - ทกั ษะการ
คณิตศาสตร์ ม.5 ของกราฟฟังกช์ ัน - สงั เกตพฤตกิ รรม เปรยี บเทยี บ
ชั่วโมง เอกซ์โพเนนเชียลได้ การทำ� งานกลุ่ม - ท ักษะการ

(K) - สงั เกตความมวี นิ ัย ประยกุ ต์ใช้ความรู้
3. นำ� ความรู้ เรือ่ ง ใฝเ่ รียนรู้ มุ่งมั่นในการ - ทักษะการ
ฟงั กช์ ันเอกซ-์ ท�ำงาน วิเคราะห์
โพเนนเชยี ลมาใช้ - ท ักษะการน�ำ
ในการแก้โจทยป์ ญั หาได้ ความรู้ไปใช้
(K)
4. เขียนกราฟฟังกช์ นั
เอกซ์โพเนนเชียลได้
(P)
5. เ ขียนแสดงการแก้
สมการฟงั ก์ชนั
เอกซโ์ พเนนเชียลได้
(P)
6. รับผิดชอบต่อหน้าท่ี
ทีไ่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

แผนฯ ท่ี 10 - หนังสือเรยี น 1. บอกความหมาย แบบนริ นยั - ตรวจใบงานที่ 2.6 - ท ักษะการสงั เกต 1. มีวินยั
ฟงั ก์ชันขน้ั บนั ได รายวชิ าพืน้ ฐาน ของฟังก์ชนั ข้ันบันไดได้ (Deductive - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 2.5 - ทักษะการ 2. ใฝ่เรียนร ู้
คณิตศาสตร์ ม.5 (K) Method) - ตรวจ Exercise 2.5 เชอื่ มโยง 3. ม่งุ มนั่
4 - แบบฝึกหัด 2. บอกองค์ประกอบของ - การนำ� เสนอผลงาน - ท กั ษะการระบุ ในการทำ� งาน
กราฟฟงั กช์ นั ขั้นบนั ได - ตรวจแบบฝึกทักษะ - ทักษะการ
ชั่วโมง รายวิชาพน้ื ฐาน ได้ (K)
คณิตศาสตร์ ม.5 3. นำ� ความรู้ เรอื่ ง
- ใบงานที่ 2.6 ฟังก์ชนั ข้นั บนั ไดมาใช้ ประจำ� หน่วยการเรยี นรู้ เปรยี บเทยี บ
ในการแก้โจทย์ปญั หาได้ ที่ 2 - ท ักษะการ
(K) - ตรวจผงั มโนทัศน์ ประยกุ ต์ใช้ความรู้
4. เขียนกราฟของฟงั ก์ชนั หนว่ ยการเรยี นรู้ท่ี 2 - ท กั ษะการ
ขัน้ บันไดได้ (P) ฟังก์ชัน วเิ คราะห์
5. รับผิดชอบตอ่ หนา้ ท่ี - สงั เกตพฤตกิ รรม - ท ักษะการน�ำ
ทีไ่ ด้รับมอบหมาย (A) การทำ� งานรายบคุ คล ความรูไ้ ปใช้
- สงั เกตพฤติกรรม
การทำ� งานกลมุ่
- สงั เกตความมีวนิ ัย
ใฝเ่ รยี นรู้ มุ่งมนั่ ในการ
ท�ำงาน

T47

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Inductive Method)

เตรยี ม

1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียน โดยให
นักเรียนดูภาพหนาหนวยการเรียนรูที่ 2 ใน
หนังสือเรียน หนา 42 แลวรวมกันสนทนา
ในชั้นเรียนถึงจานดาวเทียมท่ีมีรูปทรงเปน
จานโคง แบบพาราโบลา ซง่ึ ถกู ออกแบบเพอ่ื ให
เหมาะสมในการรับสญั ญาณ โดยมหี นาทหี่ ลกั
คือ สะทอนสัญญาณท่ีไดรับจากดาวเทียม
แลวสัญญาณจะรวมกันที่จุดๆ หนึ่ง เรียกวา
จดุ โฟกสั ครยู กตวั อยา งหลกั การทใี่ ชใ นการทาํ
จานดาวเทียมเพ่ือใหนักเรียนเขาใจมากย่ิงขึ้น
เชน ชุดจานกระซิบ เมื่อผูเลนพูดท่ีจาน
พาราโบลาใบหนึ่ง คลื่นเสียงท่ีเกิดข้ึนบริเวณ
จุดโฟกัสจะสะทอนกับผิวของจานเปนแนว
เสนตรงออกไปยังพ้ืนผิวของจานพาราโบลา
อีกใบท่ีอยูตรงขาม แลวสะทอนไปรวมกันยัง
จุดโฟกัส ทําใหผูฟงท่ีอยูตรงจานใบที่สองนี้
ไดย ินเสียงพูดอยา งชดั เจน

เกร็ดแนะครู กิจกรรม เสริมสรา งคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค

การเรยี นการสอนของในหนว ยการเรยี นรทู ่ี 2 เรอ่ื ง ฟง กช นั ครคู วรยกตวั อยา ง ครคู วรปลกู ฝง ใหน กั เรยี นมรี ะเบยี บวนิ ยั ปฏบิ ตั ติ นตามขอ ตกลง
ความสัมพันธระหวางสิ่งของที่อยูใกลตัวนักเรียน และยกตัวอยางโจทยปญหา กฎเกณฑ ระเบียบ ไมละเมิดสิทธิของผูอ่ืน เชน ใหนักเรียน
ท่ีเกิดข้ึนในสถานการณชีวิตประจําวัน เพ่ือใหนักเรียนไดฝกสังเกต เชื่อมโยง นั่งประจําท่ีของตนเองและไมสงเสียงดัง ใหนักเรียนแตงกาย
ความรูความสมั พนั ธข องสถานการณตางๆ มาโรงเรียนใหถูกระเบียบ เขาเรียนตรงตอเวลา และใหนักเรียน
สง งานตรงตามเวลาท่คี รกู าํ หนดไว

T48

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 2 ขนั้ นาํ

ฟงั กช์ นั เตรยี ม

จจาานนดโคา้งวแเทบียบมพา(รsaาโteบlลlit1าe dish) มีรูปทรงเป็น 2. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางส่ิงของหรือการ
ซ่ึงถูกออกแบบเพื่อ เคล่อื นที่ในลกั ษณะฟงกชนั พาราโบลาทพี่ บใน
ให้เหมาะสมในการรับสัญญาณจากดาวเทียม ชวี ติ จรงิ
โดยหนา้ ทหี่ ลักของจานดาวเทียม คอื สะท้อน (แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดหลากหลาย
สจะัญรญวมากณันทท่ีไ่จีดุด้รับๆจหากนดึ่งาซวงึ่เทจีะยเมรยี กแวล่า้วสจัญุดโญฟากณ2ัส ตามพ้ืนฐานความรู เชน จานดาวเทียม
อโุ มงคร ถไฟ การเคลอื่ นทข่ี องเรอื ไวกง้ิ
การโยนบอล)
หมายเหตุ : ครูอาจใหนักเรียนทําแบบทดสอบ
พ้ืนฐานกอนเรียน โดยสแกน QR Code
ในหนังสือเรียน หนา 43

(focus) เพอ่ื ใหเ้ กดิ การรวมและสะทอ้ นสญั ญาณ
อยา่ งมีประสิทธภิ าพ

ตวั ชีว้ ดั
• ใชฟ้ ังก์ชันและกราฟของฟงั กช์ นั อธิบายสถานการณ์ท่กี า� หนด

(ค 1.2 ม.5/1)

สาระการเรยี นร้แู กนกลาง Recall
• ฟงั กช์ นั และกราฟของฟงั กช์ ัน

(ฟังกช์ ันเชงิ เสน้ ฟังก์ชันกา� ลงั สอง
ฟังกช์ ันขน้ั บนั ได ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)

กิจกรรม 21st Century Skills นักเรียนควรรู

ครูใหน กั เรียนแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง 1 พาราโบลา (parabola) เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งแตละจุดมี
คณิตศาสตร (เกง ปานกลาง และออ น) แลว ทํากจิ กรรม ดังน้ี
ระยะหางจากเสนตรงคงที่ (ไดเรกตริกซ) เปนระยะทางเทากับระยะหางจาก
• ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลเพิ่มเติม เร่ือง ฟงกชัน จุดคงที่ (โฟกัส) จดุ หนงึ่ เสมอ ดังรปู
ในชวี ิตประจาํ วนั มากลมุ ละ 1 เรอ่ื ง
LL
• ใหน กั เรยี นแตล ะกลมุ รว มกนั สรปุ แลว นาํ มาจดั ทาํ เปน รายงาน
• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft vertex (0, 0) focus (a, 0)

PowerPoint หรอื โปรแกรมนําเสนออน่ื ๆ ตามท่นี กั เรียนถนัด focus (a, 0) F
a aF

dxire=c-tarix dxire=c-tarix

2 โฟกสั (focus) จุดคงท่ีของพาราโบลา วงรหี รือไฮเพอรโ บลา T49

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 2.1 ความสมั พนั ธแ์ ละฟงั กช์ นั

สอนหรอื แสดง (Relation and Function)

1. ครูยกตัวอยางสถานการณในหองเรียน โดย 1. ความสมั พนั ธ ์ (Relation)
กลาวถึงตําแหนงการนั่งของนักเรียนแตละคน
แลวครูใหนักเรียนดูแผนภาพแสดงตําแหนง ในชีวิตประจ�าวันนักเรียนจะพบเห็นส่ิงท่ีมีความเก่ียวข้องกัน ซึ่งจะแสดงความสัมพันธ์ของ
ท่ีน่ังของนักเรียนในหนังสือเรียน หนา 44 สง่ิ สองส่ิงนัน้ ทเี่ ก่ยี วข้องกนั บางประการดงั สถานการณ์ตอ่ ไปนี้
และครเู ขียนตําแหนงที่นงั่ A B C D E และ F
บนกระดาน ดังรปู ห้องเรยี นห้องหนงึ่ แสดงต�าแหน่งที่นั่งของนักเรยี นแตล่ ะคน ดงั รูป

2. ครเู ขยี นตาํ แหนง ทนี่ งั่ ของ A(2, 4), B(4, 6) และ 6B
C(3, 3) ใหน กั เรยี นดู พรอ มทง้ั กระตนุ ใหน กั เรยี น
สงั เกตความสัมพนั ธของ A B และ C 5E

3. ครกู ลา ววา 4 A D
ตาํ แหนง A(2, 4) อยูในแถวท่ี 2 ในแนวต้ัง แถวในแนวตงั้ 3 C
และแถวท่ี 4 ในแนวนอน
ตําแหนง B(4, 6) อยูในแถวที่ 4 ในแนวต้ัง 2
และแถวท่ี 6 ในแนวนอน
ตําแหนง C(3, 3) อยูในแถวที่ 3 ในแนวตั้ง 1F
และแถวที่ 3 ในแนวนอน 123456

4. ครูถามนกั เรยี นวา ตําแหนง D E และ F อยูใ น แถวในแนวนอน
แถวใดในแนวตงั้ และในแนวนอน
(แนวตอบ จากรูป สามารถเขียนต�าแหน่งที่น่ังของนักเรียนตามแถวในแนวนอนและแถวในแนวตั้งได้
ตําแหนง D อยใู นแถวท่ี 5 ในแนวตง้ั ดังนี้
และแถวท่ี 3 ในแนวนอน
ตําแหนง E อยูในแถวท่ี 6 ในแนวตั้ง A(2, 4), B(4, 6) และ C(3, 3)
และแถวท่ี 5 ในแนวนอน A(2, 4) หมายความว่า ตา� แหนง่ A อยใู่ นแถวที่ 2 ในแนวนอน และแถวท่ี 4 ในแนวตัง้
ตาํ แหนง F อยใู นแถวท่ี 1 ในแนวตง้ั B(4, 6) หมายความว่า ตา� แหน่ง B อยใู่ นแถวที่ 4 ในแนวนอน และแถวที่ 6 ในแนวตง้ั
และแถวที่ 1 ในแนวนอน) C(3, 3) หมายความว่า ต�าแหนง่ C อยู่ในแถวที่ ....... ในแนวนอน และแถวท่ี ....... ในแนวตงั้
ใหน้ กั เรียนเขียนคอู่ นั ดบั แสดงต�าแหนง่ ทนี่ ่งั D, E และ F

Class Discussion

ใหน้ กั เรยี นจบั คู่ แลว้ ชว่ ยกันตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้
1. นกั เรยี นสามารถบอกตา� แหน่งทน่ี ่งั โดยใช้ตวั เลขเพยี งตวั เดียวได้หรอื ไม่ เพราะเหตุใด
2. นักเรียนคดิ วา่ อันดบั ของตัวเลขในแต่ละค่มู คี วามส�าคญั หรือไม่ เชน่ (5, 3) และ (3, 5)

อยู่ในตา� แหนง่ ทน่ี ง่ั เดยี วกนั หรือไม่

44

เฉลย Class Discussion กิจกรรม สรางเสริม
1. ไมไ ด เพราะตําแหนงท่ีนั่งของนักเรยี นตามแถวในแนวนอน
ใหน กั เรยี นปฏบิ ตั ิตามข้ันตอนตอไปน้ี
และแถวในแนวตัง้ ตองบอกเปน คูอ ันดับ • ครูกําหนดใหโตะเรียนของนักเรียนแตละคนเปนตําแหนงที่ต้ัง
2. อนั ดบั ของตวั เลขในแตล ะคูมีความสําคัญ เชน (5, 3) และ (3, 5)
แถวในแนวนอนและแถวในแนวต้ัง โดยมีตวั อยา งดังน้ี
ไมไดอ ยูใ นตาํ แหนง เดียวกนั เพราะ (5, 3) อยใู นตําแหนง D แต (3, 5)
ไมอ ยใู นตําแหนง D 3
2
T50 1

1 234
หนา ชัน้ เรยี น

• ใหนักเรียนแตละคนบอกตําแหนงของตนเองวา อยูในแถวที่
เทา ใดในแนวนอน และแถวทเ่ี ทา ใดในแนวตง้ั แลว ครตู รวจสอบ
ความถกู ตอ งของตําแหนง

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จากตวั อย่างข้างต้น จะเหน็ ว่า (2, 4), (4, 6), (3, 3), (5, 3), (6, 5) และ (1, 1) เป็นการจับคู่ ขน้ั สอน
ระหว่างส่ิงสองส่ิงที่มีความสัมพันธ์กัน และเขียนแสดงส่ิงที่มีความสัมพันธ์กันในวงเล็บ โดยมี
เครือ่ งหมายจุลภาคค่นั ซึง่ จะเรียกส่งิ ที่ไดเ้ หล่าน้ีว่า คอู่ นั ดับ (ordered pair) โดยแต่ละคูอ่ นั ดบั สอนหรอื แสดง
จะประกอบดว้ ยสมาชกิ ตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง ซ่ึงจะเรียก 2, 4, 3, 5, 6 และ 1 วา่ เปน็ สมาชิก
ตวั หนา้ ของคอู่ ันดบั และเรียก 4, 6, 3, 3, 5 และ 1 ว่าเป็นสมาชิกตัวหลังของคอู่ ันดับ 5. ครใู หน กั เรยี นเขยี นคอู นั ดบั แสดงตาํ แหนง ทนี่ งั่
A, B, C, D, E และ F แลว ไดข อ สรปุ ทว่ี า (2, 4),
จาก Class Discussion ขอ้ 2. จะไดว้ า่ (5, 3) คือ คู่อนั ดับทีม่ ีสมาชิกตวั หนา้ เปน็ 5 และ (4, 6), (3, 3), (5, 3), (6, 5) และ (1, 1) เปน
สมาชกิ ตัวหลงั เป็น 3 แต ่ (3, 5) คือ ค่อู นั ดบั ท่ีมีสมาชิกตวั หนา้ เปน็ 3 และสมาชิกตวั หลังเปน็ 5 การจบั ครู ะหวา งสง่ิ สองสงิ่ ทม่ี คี วามสมั พนั ธก นั
น่นั คอื คู่อนั ดบั (5, 3) และคูอ่ นั ดับ (3, 5) มีความหมายไมเ่ หมือนกัน ดงั นั้น การสลบั ท่ขี อง และเขียนแสดงสิ่งท่ีมีความสัมพันธกันใน
สมาชกิ ตวั หนา้ และสมาชกิ ตัวหลังอาจทา� ให้มีความหมายไมเ่ หมือนกัน วงเล็บ โดยมีเครื่องหมายจุลภาคคั่น ซึ่งจะ
เรียกสิ่งท่ีไดเหลาน้ีวา คูอันดับ โดยแตละ
ในวิชาคณิตศาสตร์ การเขียนคู่อันดับในรูป (a, b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b คูอันดับประกอบดวยสมาชิกตัวหนาและ
เปน็ สมาชิกตัวหลงั คอู่ นั ดับสองคู่อนั ดับใด ๆ จะเทา่ กันกต็ อ่ เมื่อสมาชกิ ตวั หน้าเท่ากันและสมาชกิ สมาชกิ ตัวหลงั ซึ่งจะเรียก 2, 4, 3, 5, 6 และ 1
ตวั หลังเท่ากัน ดงั บทนยิ าม วา สมาชกิ ตัวหนา ของคูอันดับ และ 4, 6, 3,
3, 5 และ 1 วา สมาชิกตัวหลงั ของคูอันดบั
บทนิยาม คู่อันดับ (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d
6. ครูใหนกั เรยี นตอบคาํ ถามจาก
จากบทนิยาม เซตของคู่อันดับ (a, b) โดยที่ a และ b มีความเก่ียวข้องกันบางประการ
จะเรยี กวา่ ความสัมพันธ์ “Class Discussion” จากน้ันครูสุมนักเรียน

จากสถานการณข์ า้ งตน้ ความสมั พนั ธท์ สี่ มาชกิ ตวั หนา้ เปน็ แถวในแนวนอนและสมาชกิ ตวั หลงั ออกมานําเสนอหนาช้ันเรียน จนไดขอสรุป
เป็นแถวในแนวตงั้ คอื ที่วา คอู ันดบั ทมี่ กี ารสลบั ทข่ี องสมาชิกตวั หนา
{ (2, 4), (4, 6), (3, 3), (5, 3), (6, 5), (1, 1) } และสมาชิกตัวหลังอาจทําใหมีความหมาย
ไมเ หมอื นกนั และคอู นั ดบั สองคใู ดๆ จะเทา กนั
ในทางกลบั กนั ความสมั พนั ธท์ ่สี มาชิกตวั หน้าเปน็ แถวในแนวตง้ั และสมาชิกตัวหลงั เปน็ แถว ก็ตอเม่ือ สมาชิกตัวหนาเทากันและสมาชิก

ในแนวนอน คือ ATTENTION ตัวหลังเทา กัน ดังบทนยิ าม “คูอ นั ดบั (a, b) =
{ (4, 2), (6, 4), (3, 3), (3, 5), (5, 6), (1, 1) } (a, b) ≠ (b, a) (c, d) ก็ตอเมอ่ื a = c และ b = d”
ยกเวน้ a = b
พิจารณาความสัมพันธ์ระหวา่ งเซต A และเซต B ดังน้ี 7. ครูใหนกั เรยี นพิจารณาจากบทนิยาม เซตของ

คูอันดับ (a, b) โดยท่ี a และ b มีความ

เกี่ยวของกันบางประการจะเรียกวา ความ
สมั พันธ

ก�าหนด A = { 1, 2 } และ B = { 3, 4, 5 }

เขียนเซตของคู่อันดับโดยให้สมาชิกตัวหน้าเป็นสมาชิกของเซต A และสมาชิกตัวหลังเป็น
สมาชิกของเซต B จะไดเ้ ซตของคู่อนั ดับท้งั หมด ดังนี้
{ (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5) }

ฟังก์ชัน 45

กิจกรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรียนจับคู แลว ปฏบิ ัติตามขัน้ ตอนตอไปนี้ ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมจากบทนิยามของคูอันดับ “คูอันดับ (a, b) =
กาํ หนดให (x, 5) = (1, y) = (z, w - 1) (c, d) ก็ตอเมื่อ a = c และ b = d” เชน
• คาํ นวณหาคา x, y, z และ w
• หาคูอนั ดับทีส่ อดคลอ งกบั คูอนั ดับในขอ 1. ให (x, 2) = (3, y) หมายความวา x = 3 และ 2 = y
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนักเรยี นออนจบั คกู ัน

T51

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน จะเห็นว่า เซตของคอู่ ันดับน้จี ะมสี มาชิกตวั หนา้ จากเซต A ทุกตวั และมสี มาชิกตัวหลังจาก
เซต B ทุกตวั เรยี กเซตของค่อู ันดบั นี้ว่า ผลคูณคำร์ทีเซียน (Cartesian product) ของเซต A
สอนหรอื แสดง และเซต B ดังบทนยิ าม

8. ครูใหนักเรียนเขียนเซตของคูอันดับ โดยให บทนิยาม ผลคูณคำร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ท้ังหมด โดยท่ี a
สมาชิกตัวหนาเปนสมาชิกของเซต A และ เป็นสมำชิกของเซต A และ b เป็นสมำชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A × B
สมาชกิ ตวั หลงั เปน สมาชกิ ของเซต B จะเขยี น
เซตของคอู นั ดบั ท้งั หมดไดอ ยา งไร จากบทนิยาม A × B อ่านวา่ “เอ คณู บี” และสามารถเขียน A × B ในรูปเซตแบบบอก
กําหนด A = { (1, 2) } และ B = { (3, 4, 5) } เงื่อนไขได้ ดังนี้
(แนวตอบ { (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4),
(2, 5) }) A × B = { (a, b) ∙ a∊A และ b∊B }

9. ครูกลาววา เซตของคูอันดับน้ีจะมีสมาชิก ตัวอย่างท่ี 1
ตัวหนาจากเซต A ทุกตัว และมีสมาชิก
ตัวหลังจากเซต B ทุกตัว เรียกเซตของ กำ� หนด A = { 1, 3, 5 } และ B = { 2, 4 } ให้หำ A × B และ B × A
คูอันดับนี้วา ผลคูณคารทีเซียน ของเซต A
และ B วิธที ำ� จาก A × B = { (a, b)∙a∊A และ b∊B }
ดงั นนั้ A × B = { (1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4) }
10. ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ บทนยิ ามของผลคณู จาก B × A = { (a, b)∙a∊B และ b∊A }
คารท ีเซยี นของเซต A และ B คือ เซตของ ดงั น้นั B × A = { (2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5) }

คอู ันดบั (a, b) ทัง้ หมด โดยท่ี a เปน สมาชิก ลองทําดู ฝกทําตอ

ของเซต A และ b เปนสมาชิกของเซต B กา� หนด A = { 4, 7 } และ B = { 1, 4, 5 } ใหห้ า A × B และ B × A แบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 1
เขยี นแทนดวย A × B หรอื สามารถเขยี นให
อยใู นรูปแบบบอกเงือ่ นไขได ดงั น้ี จากตัวอยา่ งที่ 1 จะเหน็ วา่ A × B ≠ B × A แตจ่ า� นวนสมาชิกของ A × B เขยี นแทนดว้ ย
n(A × B) เท่ากับจา� นวนสมาชิกของ B × A เขียนแทนดว้ ย n(B × A)
A × B = { (a, b) ͉ a∊A และ b∊B }
ATTENTION
11. ครยู กตวั อยางที่ 1 ในหนงั สือเรียน หนา 46 ส�าหรับเซต A และเซต B ใด ๆ ท่ไี มเ่ ป็นเซตว่าง จะไดว้ ่า ถ้า A ≠ B แล้ว A × B ≠ B × A
บนกระดาน จากนั้นครูใหนักเรียนสังเกตวา แต่ n(A × B) = n(B × A)
A × B B × A แตจํานวนสมาชิกของ
A × B เทา กับจาํ นวนสมาชกิ ของ B × A แลว 46
ใหนักเรียนดูขอมูลเพิ่มเติมที่ควรรูในกรอบ
ATTENTION

เปรยี บเทยี บและรวบรวม

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 46 จากนั้นครขู ออาสาสมัครนกั เรยี นออกมา
แสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครูตรวจสอบความ
ถูกตอง

เกร็ดแนะครู กิจกรรม ทา ทาย

ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเขาใจถึงผลคูณคารทีเซียนของ ครูแบงกลุมใหนักเรียน กลุมละ 3-4 คน ปฏิบัติตามข้ันตอน
เซต A และเซต B โดยการสุมนักเรียนออกมา 5 คน มีนักเรียนชาย 2 คน ตอไปนี้
และนักเรียนหญิง 3 คน จากนั้นใหนักเรียนชายจับคูกับนักเรียนหญิง แลวครู
เขียนแผนภาพบนกระดานพรอ มท้งั อธิบาย ดังน้ี กาํ หนดให A × B = { (3, 6), (4, 8), (5, 10), (6, 12) }
• ใหหาเซต A และเซต B จากผลคณู คารทีเซียน
AB • ใหหาผลคูณคารทีเซียน A × A, B × A และ B × B
• นกั เรียนคดิ วา จํานวนสมาชิกของผลคณู คารท เี ซยี น A × A,
ช1 ญ1
ช2 ญ2 B × A และ B × B เทา กันหรือไม เพราะเหตใุ ด
ญ3 หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนักเรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอ ยกู ลมุ เดยี วกัน

จากแผนภาพ มนี กั เรยี นชาย 2 คน ซงึ่ แตล ะคนสามารถเลอื กจบั คไู ด 3 แบบ
ดงั นั้น จาํ นวนการจบั คูท ้ังหมดเทา กบั 2 × 3 = 6 แบบ สามารถเขยี นแทนเซต
ของคูอันดับทงั้ หมดนี้ไดดว ยผลคณู คารทเี ซียน โดยใชสัญลกั ษณ A × B
จะไดวา A × B = { (ช1, ญ1), (ช1, ญ2), (ช1, ญ3), (ช2, ญ1), (ช2, ญ2), (ช2, ญ3) }

T52

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

พจิ ารณาผลคณู คาร์ทเี ซียนของเซต A และเซต B ทก่ี า� หนดตอ่ ไปน้ี ขน้ั สอน
A = { 2, 4, 6 } และ B = { 4, 5 }
สอนหรอื แสดง
จะได้ A × B = { (2, 4), (2, 5), (4, 4), (4, 5), (6, 4), (6, 5) }
ซึง่ สบั เซตของ A × B มีได้หลายเซต เชน่ { (2, 4), (2, 5), (4, 5) }, { (6, 4), (6, 5) } และ 1. ครูใหนักเรียนพิจารณาผลคูณคารทีเซียนของ
{ (4, 4) } เรยี กสับเซตเหลา่ น้วี า่ ควำมสัมพันธข์ องผลคูณคำร์ทีเซยี นของเซต A และเซต B เซต A และ เซต B ในหนังสอื เรียน หนา 47
ถา้ r1 = { (2, 4), (2, 5), (4, 5) } จากนัน้ ครูถามคาํ ถาม ดงั นี้
• rต1วั rห2นแาลแะละrต3 วั เปหนลังคอวยาามงสไัมรพันธที่ใชส มาชกิ
r2 = { (6, 4), (6, 5) } แ(แลนะวใตชอสบมrา1ชใิกชจส ามกาBชิกหจมาดกทAุกตเวัพียงบางตัว
r3 = { (4, 4) } r2 ใชส มาชิกจาก A เพยี งหนึง่ ตวั
พิจารณาการใชส้ มาชกิ ตวั หนา้ และสมาชิกตัวหลงั ของ r1, r2 และ r3 จะเหน็ ว่า และใชสมาชกิ จาก B หมดทกุ ตวั
r1 เปน็ ความสมั พนั ธ์ทใ่ี ชส้ มาชกิ จาก A เพียงบางตวั และใช้สมาชกิ จาก B หมดทกุ ตัว และใชสมrา3ชใกิ ชจสามกาชBิกเจพาียกงหAน่ึงเพตวัีย)งหน่ึงตัว
r2 เปน็ ความสมั พันธ์ที่ใชส้ มาชกิ จาก A เพยี งหน่ึงตวั และใชส้ มาชิกจาก B หมดทุกตวั
r3 เป็นความสัมพนั ธ์ทใ่ี ชส้ มาชิกจาก A เพียงหนง่ึ ตัว และใชส้ มาชิกจาก B เพยี งหนงึ่ ตัว 2. ครกู ลา ววา จากการพจิ ารณาผลคณู คารท เี ซยี น
ซ่งึ มีการน�าแนวคดิ ดังกลา่ ว ก�าหนดเปน็ บทนิยามของความสัมพันธ์ ดังนี้ ของเซต A และ เซต B ขางตน นําไปเปน
บทนิยามของความสัมพันธในหนังสือเรียน
บทนิยาม ก�ำหนด A และ B เป็นเซตใด ๆ หนา 47
1. r เป็นควำมสัมพันธ์จำก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r ⊂ A × B
2. r เป็นควำมสัมพันธ์จำก A ไป A หรือควำมสัมพันธ์บนเซต A ก็ต่อเม่ือ r ⊂ A × A 3. ครูยกตัวอยางท่ี 2 ในหนังสือเรียน หนา 47
พรอมทัง้ แสดงวธิ ีทําอยางละเอียดบนกระดาน
เนอื่ งจากความสมั พนั ธเ์ ปน็ เซตของคอู่ นั ดบั การเขยี นความสมั พนั ธจ์ งึ เขยี นไดท้ ง้ั แบบแจกแจง
สมาชกิ และแบบบอกเงื่อนไข ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี เปรยี บเทยี บและรวบรวม

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 48 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาแสดง
วิธที าํ บนกระดาน โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

ตัวอยา่ งที ่ 2 ขนั้ สรปุ

กำ� หนด A = { 1, 2, 3, ..., 30 } และ B = { 1, 2, 3, ..., 15 } ให้เขยี นควำมสัมพันธท์ ก่ี �ำหนด สรปุ

แบบแจกแจงสมำชกิ และแบบบอกเงื่อนไข ครูถามคาํ ถามนกั เรียน เพ่ือสรุปความรู เรอื่ ง
1) ควำมสัมพนั ธ์นอ้ ยกวำ่ จำก A ไป B ความสัมพนั ธ ดงั น้ี
2) ควำมสมั พันธ์กำ� ลังสองจำก A ไป B
• ความสัมพนั ธม ีความหมายวาอยา งไร
(แนวตอบ ความสัมพันธ หมายถึง การจบั คู
วิธที �ำ จาก A = { 1, 2, 3, ..., 30 } และ B = { 1, 2, 3, ..., 15 } และความสมั พนั ธต์ ้องเปน็ ระหวา งส่ิงสองสิง่ ท่มี คี วามสัมพนั ธกัน และ
สับเซตของ A × B จะได้ A × B = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (30, 15) }
เขียนออกมาในรูปแบบของคอู นั ดับ (a, b))
ฟังก์ชัน 47 • คอู นั ดบั (a, b) ซงึ่ a และ b มีความหมาย

วาอยางไร
(แนวตอบ a หมายถึง สมาชิกตัวหนา และ b
ขอ สอบเนน การคิด
หมายถงึ สมาชิกตัวหลงั )

เกร็ดแนะครู

กาํ หนดให A = { 1, 2 } และ B = { a, b } คูอนั ดบั ในขอ ใด ครใู หค วามรเู พิม่ เติมจากตวั อยา งที่ 2 วา ความสัมพนั ธเ ทา กบั จาก A ไป B
โดยกาํ หนด r1 แทนความสัมพนั ธเทา กับจาก A ไป B หมายถึง สมาชิกตวั หนา
ตอไปนี้เปนสมาชิกของผลคูณคารทีเซียน A × B เทา กับสมาชิกตัวหลัง

1. (a, b) จะได r1 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., (15, 15) } ซ่ึงเปนเซตท่ีเทา กนั กับ
ความสัมพันธเทากับจาก B ไป A
2. (2, b)
3. (b, 2)
4. (1, 2)

(เฉลยคาํ ตอบ ผลคณู คารท ีเซียน A × B = { (1, a), (1, b),
(2, a), (2, b) } ซึ่งมี (1, a), (1, b), (2, a) และ (2, b) เปนสมาชกิ

ของ A × B
ดงั น้ัน คําตอบ คือ ขอ 2.)

T53

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ 1) กา� หนด r1 แทนความสัมพันธ์นอ้ ยกวา่ จาก A ไป B ซง่ึ หมายถงึ สมาชกิ ตวั หน้า
นอ้ ยกวา่ สมาชิกตวั หลัง จะได้
สรปุ
r1 = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), ..., (14, 15) }
• ผลคูณคารทีเซียนของเซต A และเซต B หรือ r1 = { (x, y)∊A × B∙x < y }
มคี วามหมายวา อยางไร
(แนวตอบ ผลคูณคารท เี ซียนของเซต A และ 2) กา� หนด r2 แทนความสมั พันธก์ �าลงั สองจาก A ไป B ซ่ึงหมายถึง สมาชกิ ตวั หนา้
เป็นก�าลังสองของสมาชกิ ตวั หลงั จะได้
เซต B หมายถึง เซตของคูอันดับ (a, b)
ทั้งหมด โดยที่ a เปนสมาชิกของเซต A r2 = { (1, 1), (4, 2), (9, 3), (16, 4), (25, 5) }
r2 = { (x, y)∊A × B∙x = y2 }
และ b เปนสมาชิกของเซต B เขียนแทน หรือ
ดวย A × B)
• r เปนความสัมพันธจาก A ไป B เมื่อใด ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
(แนวตอบ r เปนความสมั พันธจ าก A ไป B
กต็ อ เมอื่ r A × B) ก�าหนด A = { 1, 3, 5, ..., 19 } และ B = { 2, 4, 6, ..., 24 } แบบฝก ทักษะ 2.1
• r เปน ความสมั พนั ธจ าก A ไป A เมอ่ื ใด ให้เขยี นความสมั พนั ธ์ทกี่ �าหนดแบบแจกแจงสมาชิกและแบบบอกเงือ่ นไข ขอ 2-3
(แนวตอบ r เปน ความสัมพันธจ าก A ไป A
กต็ อเมอ่ื r A × A) 1) ความสมั พนั ธม์ ากกวา่ จาก B ไป A
2) ความสมั พันธ์รากทส่ี องจาก A ไป B
นาํ ไปใช้
สา� หรับการเขียนความสัมพันธ์แบบบอกเงือ่ นไข เมื่อผลคณู คาร์ทีเซยี นเปน็ R × R เขียน
1. ครูใหนักเรยี นจบั คูทําใบงานที่ 2.1 แลว แทนดว้ ย r = { (x, y)∊R × R∙x = y2 } แต่นยิ มเขยี นเป็น r = { (x, y)∙x = y2 } หรืออาจ
แลกเปล่ียนความรูสนทนาซักถามจนเปนท่ี เขยี นเฉพาะเงอื่ นไขของความสมั พันธ์ คอื x = y2 นอกจากนอ้ี าจเขียนแทน x มีความสัมพันธ์
เขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมา กบั y ด้วย (x, y)∊r หรอื x r y และเขียนแทน x ไมม่ ีความสมั พนั ธก์ บั y ด้วย (x, y)∉r หรอื
แสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครตู รวจสอบความ xry
ถูกตอง
2. กราฟของความสมั พนั ธ ์ (Graph of Relation)
2. ครใู หนักเรียนทําแบบฝกทกั ษะ 2.1 ขอ 1.-2.
ในหนงั สอื เรยี น หนา 72 เปน การบา น จากหัวข้อทกี่ ลา่ วมา นกั เรียนสามารถใชค้ ู่อนั ดบั (x, y) แทนความสัมพนั ธร์ ะหวา่ ง x และ y
ซึ่งสามารถจับคู่หน่ึงต่อหน่ึงระหว่างคู่อันดับของจ�านวนจริงกับพิกัดของจุดในระนาบ โดยให้ x
ขน้ั ประเมนิ เปน็ พกิ ัดแรก และ y เป็นพกิ ัดหลัง

1. ครตู รวจใบงานที่ 2.1 บทนิยาม ให้ r เป็นสับเซตของ R × R กรำฟของควำมสัมพันธ์ r คือ เซตของจุดในระนำบท่ีแสดง
2. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะ 1.2 คู่อันดับท่ีเป็นสมำชิกของควำมสัมพันธ์ r
3. ครปู ระเมนิ การนําเสนอผลงาน
4. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล 48
5. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวนิ ยั ใฝเรียนรู

มงุ มัน่ ในการทาํ งาน

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอสอบเนน การคดิ

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน กาํ หนดความสมั พันธ r = { (6, 4), (8, -1), (x, 7), (-3, -6) }
ท่ี 2.1 เรอื่ ง ความสมั พนั ธ ในขนั้ นาํ ไปใช โดยศกึ ษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผล คา x ท่ที ําใหความสัมพนั ธ r เปนฟง กชันไดค ือขอใด
จากแบบประเมินของแผนการจดั การเรยี นรูในหนวยการเรยี นรูที่ 2 1. x = -6 2. x = -3
3. x = 6 4. x = 8

แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ (เฉลยคาํ ตอบ ถา แทนคา x ดว ย -6 จะได (-6, 7) ซง่ึ ทาํ ใหส มาชกิ
ตวั หนาในความสัมพันธ r ไมเหมอื นกัน จึงสง ผลให r เปนฟงกช นั
คาช้ีแจง : ให้ผ้สู อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ลงในช่องที่ตรงกบั
ระดบั คะแนน ถาแทนคา x ดว ย -3 จะได (-3, 7)
ถา แทนคา x ดวย 6 จะได (6, 7)
ลาดบั ช่อื – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟัง การทางาน ความมนี ้าใจ การมี รวม ถา แทนคา x ดว ย 8 จะได (8, 7)
ที่ ของนักเรียน ความคดิ เห็น คนอ่ืน ตามทีไ่ ด้รับ สว่ นรว่ มใน 20 ซ่งึ ทาํ ใหสมาชกิ ตวั หนาในความสมั พันธ r เหมือนกัน จึงสงผล
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน ให r ไมเปนฟงกชัน
ผลงานกลุม่ ดังนน้ั คําตอบ คือ ขอ 1.)

43214321432143214321

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงช่อื ...................................................ผู้ประเมนิ
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................

ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยครง้ั ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยครงั้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตดั สินคุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรบั ปรงุ

T54

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

จากบทนยิ าม สามารถเขียนกราฟของความสมั พันธ์ไดด้ ังตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี ขน้ั นาํ (Deductive Method)

ตวั อยา่ งท ี่ 3 กาํ หนดขอบเขตของปญ หา

ให้เขยี นกรำฟของควำมสัมพนั ธ์ตอ่ ไปน้ี ครกู ลา ววา นกั เรยี นสามารถใชคูอ ันดบั (x, y)
1) r1 = { (1, 5), (2, 10), (3, 15), (4, 20) } แทนความสัมพันธร ะหวาง x และ y ซง่ึ สามารถ
2) r2 = { (1, 3), (2, 6), (3, 9), ..., (50, 150) } จับคูหน่ึงตอหนึ่งระหวางคูอันดับของจํานวนจริง
กบั พิกดั ของจุดในระนาบ โดยให x เปน พกิ ดั หนา
วธิ ที �ำ 1) เขียนกราฟ r1 ได้ ดังน้ี และ y เปน พกิ ัดหลัง

Y ขนั้ สอน

30 แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ
25
20 (4, 20) 1. ครูอธิบายบทนิยามในหนังสือเรียน หนา 48
15 (3, 15) จากนั้นใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 3 ใน
10 (2, 10) หนังสือเรียน หนา 49 แลวถามนักเรียนวา
5 (1, 5) นักเรียนสามารถเขียนกราฟของ r1 และ r2
-1 0 1 2 3 4 5 X ไดห รือไม
2. ครทู บทวนความรูเกย่ี วกับการเขยี นกราฟ โดย
ครอู ธิบายวา การเขยี นกราฟมีแกน 2 แกน คือ
แกน X เปนแกนในแนวนอน และแกน Y เปน
แกนในแนวตงั้ ซงึ่ หลกั การเขยี นกราฟ จะเขยี น
จากคอู นั ดบั โดยสมาชกิ ตวั หนา จะเขยี นในแนว
2) เขียนกราฟ r2 ได้ ดงั นี้ แกน X และสมาชิกตัวหลังจะเขียนในแนว
แกน Y เชน (2, 8) แนวแกน X คือ 2 แนว
แกน Y คือ 8
Y 3. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมบนกระดาน แลวสุม
150 (50, 150) นักเรียนออกมาเขียนกราฟของความสัมพันธ
50 X ดังน้ี
︙︙ r = { (2, -1), (4, -2), (6, -3), (8, -4),
(10, -5) }
9 (3, 9) (แนวตอบ Y
6 (2, 6)
3 (1, 3) ︙ 321
-6 -4 -2-10
-1 0 1 2 3
--32
--45 2 4 6 8 10 12 X

ฟังก์ชัน 49 )

กิจกรรม สรา งเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หนกั เรยี นจบั คู แลว ปฏิบัตติ ามขัน้ ตอนตอ ไปนี้ ครูอธิบายเพมิ่ เติมจากตัวอยางท่ี 3 วา นกั เรียนสามารถเขยี นความสมั พันธ
กาํ หนดให A = {1, 2, 3, 4 } และ B = { 5, 7, 9, 11, 13 } ใหห า ของ r1 และ r2 แบบบอกเงอ่ื นไขได ดังนี้
ความสมั พันธจ าก A ไป B ดังนี้
r1 = { (x, y)∊A × B ͉ y = 5x } และ r2 = { (x, y)∊A × B ͉ y = 3x }
• การเขียนแบบเซต
• การเขยี นแบบแผนภาพ
• การเขยี นแบบกราฟ
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกงและนกั เรียนออนจับคกู นั

T55

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

ใชท้ ฤษฎี หลักการ ให้เขยี นกราฟของความสัมพันธต์ อ่ ไปนี้ แบบฝกทกั ษะ 2.1
1) r1 = { (2, 4), (4, 6), (6, 8), (8, 10) } ขอ 4(1)-(2)
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 2) r2 = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), ..., (50, 50) }
หนา 50 จากน้ันครขู ออาสาสมัครนกั เรยี นออกมา
เขยี นกราฟของความสมั พันธบนกระดาน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 4 ในหนังสือ- ตวั อย่างที ่ 4
เรยี น หนา 50 จากนัน้ ครอู ธบิ ายอยางละเอียด
อีกครั้ง พรอมทง้ั เปด โอกาสใหน ักเรียนถามถงึ ให้เขียนกรำฟของควำมสัมพันธ์ต่อไปนี้
ขอสงสยั 1) r1 = { (x, y)∊R × R∙y = 3x }
2) r2 = { (x, y)∊R × R∙y = x2 }
2. ครูยกตัวอยางท่ีสอดคลองกับตัวอยางท่ี 4 3) r3 = { (x, y)∊R × R∙y = ∙x∙ }
บนกระดาน แลวครถู ามคําถามเพื่อตรวจสอบ 4) r4 = { (x, y)∊R × R∙2 < x ≤ 4 }
ความเขาใจของนกั เรยี น ดงั น้ี
1) r1 = { (x, y)∊R × R ͉ y = -3x } วิธีท�ำ 1) จากสมการ y = 3x เมอื่ แทนค่า x ดว้ ยจ�านวนจรงิ บางคา่ จะไดพ้ ิกัด
• จากสมการ y = -3x เมอ่ื แทน x = -2, ซงึ่ แทนสมาชกิ ของ r1 บางสมาชกิ ดังตาราง
-1, 0, 1, 2 จะไดคา y เปนเทาใด
(แนวตอบ x -2 -1 0 1 2
y -6 -3 0 3 6
x -2 -1 0 1 2
y 6 3 0 -3 -6 ) เขยี นกราฟ r1 ได้ ดงั น้ี

• สามารถเขียนกราฟ r1 ไดอยางไร Y
(แนวตอบ Y

4268 123 X 15
-3 -2 -1 -20 10
) 5
--46
-6 -4 -2 0 24 6 X
-5
• กราฟท่ไี ดเ ปน ลกั ษณะใด -10
(แนวตอบ กราฟเสน ตรง) -15

50

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสรมิ

ครูใหค วามรเู พม่ิ เตมิ เกยี่ วกับตวั อยางท่ี 4 ขอ 3) r3 = { (x, y)∊R × R ͉ ครใู หน กั เรยี นจับคู แลว ปฏบิ ตั ติ ามขนั้ ตอนตอไปนี้
y = ͉x͉ } เปนความสัมพันธท่ีอยูในรูปคาสัมบูรณ ซ่ึงมีสมการในรูปท่ัวไป คือ • ใหนกั เรยี นเขยี นกราฟของความสัมพันธต อไปน้ี

y = ͉x - a͉ + c เม่ือ a และ c เปน จํานวนจรงิ r1 = { (x, y)∊R × R ͉ y = x3 }
r2 = { (x, y)∊R × R ͉ y = x4 }
• จากขอ 1. ใหนกั เรยี นพจิ ารณาวา กราฟมลี ักษณะอยางไร
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกง และนักเรยี นออ นจบั คูก ัน

T56

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลักการ

2) จากสมการ y = x2 เม่ือแทนค่า x ด้วยจา� นวนจรงิ บางค่า จะได้พิกัด 2) r2 = { (x, y)∊R × R ͉ y = -x2 } x = -2,
ซง่ึ แทนสมาชกิ ของ r2 บางสมาชิก ดงั ตาราง • จากสมการ y -x2 เมือ่ แทน
=
x -2 -1 0 1 2 -1, 0, 1, 2 จะไดค า y เปน เทาใด
y41014 (แนวตอบ

เขยี นกราฟ r2 ได้ ดงั นี้ x -2 -1 0 1 2 )
y -4 -1 0 -1 -4

Y • สามารถเขยี นกราฟ r2 ไดอยา งไร
(แนวตอบ Y
8
6 4 123 X
4 2
2 12 3 X
-3 -2 -1 -20
-3 -2 -1 0 -4 )
-6
-8

3) จากสมการ y = ∙x∙ เม่อื แทนค่า x ดว้ ยจ�านวนจริงบางค่า จะได้พิกดั • กราฟท่ไี ดมลี กั ษณะเปน อยา งไร
ซึง่ แทนสมาชิกของ r3 บางสมาชกิ ดงั ตาราง (แนวตอบ กราฟพาราโบลาคว่าํ )

x -2 -1 0 1 2 3) r3 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉x - 2͉ }
y21012 • จากสมการ y = ͉x - 2͉ เมือ่ แทน
x = 0, 1, 2, 3, 4 จะไดคา y เปนเทาใด
เขยี นกราฟ r3 ได้ ดังน้ี (แนวตอบ

Y x01234
y21012
5 )
4 • สามารถเขียนกราฟ r3 ไดอ ยา งไร
3 (แนวตอบ Y
2
1 3
2
-3 -2 -1 0 1
12 3 X X
-1 0 12345
-1 )

ฟังก์ชัน 51 • กราฟท่ีไดเ ปน ลักษณะใด
(แนวตอบ เปน กราฟเสน ตรง 2 เสน ตดั กนั
ที่จดุ (2, 0))

กราฟของความสัมพันธในขอใดตอไปนี้ ตัดแกน X มากกวา 1 จุด ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
1. r1 = { (x, y)∊R R͉y = 2 + x3 } 2. r2 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉x͉ - 4 }
4. r4 = { (x, y)∊R × R͉y = 15 x } 5. r5 = { (x, y)∊R × R ͉ y = (2)x } 3. r3 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉x - 2͉ }
×

(เฉลยคาํ ตอบ rY1 r2 rY3 rY4 rY5

1114208264 123 X Y 5 10 X 11206824 5 10 X -2 15 1 2X 2431567 X
-3 -2 -1 0 -10 -5 0 10 -6 -5 -4 -3 -2 -10 1 2 3 4
2468 5
-10 -5 --240
-1 0

จากกราฟ จะไดวา กราฟของความสัมพนั ธ r2 มจี ุดตัดแกน X มากกวา 1 จุด
ดงั นนั้ คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

T57

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน 4) จาก 2 < x ≤ 4 จะเขียนกราฟ r4 ได้ ดงั นี้ X ATTENTION
จากขอ้ 4) กราฟส่วนท่เี ปน็
แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ Y เสน้ ประ หมายถึง ทกุ จุดที่
อยู่บนเส้นประไม่รวมอยู่ใน
3. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางที่คลายกับตัวอยาง 10 กราฟ แตส่ ว่ นทเี่ ปน็ เสน้ ทบึ
ท่ี 4 และอธบิ ายขอมูลทน่ี กั เรยี นควรรเู พิ่มเตมิ 8 หมายถึง ทกุ จดุ บนเส้นทึบ
ในกรอบ ATTENTION 6 รวมอยใู่ นกราฟ
4
ใชท้ ฤษฎี หลักการ 2

ครใู หน ักเรยี นจับคูทาํ “ลองทาํ ด”ู ในหนังสอื - -2 -1 0 1 2 3 4 5
เรยี น หนา 51 แลว แลกเปลย่ี นคาํ ตอบกนั สนทนา
ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุม ลองทาํ ดู
นักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนาช้ันเรียน
โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง ใหเ้ ขียนกราฟของความสมั พันธต์ อ่ ไปนี้
221xx2
ขนั้ สรปุ 1) r1 = { (x, y)∊R × R ∙ y = }
2) r2 = { (x, y)∊R × R ∙ y = }
ตรวจสอบและสรปุ
3) r3 = { (x, y)∊R × R∙y = ∙x - 1∙ } ฝกทําตอ
ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั สรปุ หลกั การเขยี นกราฟ 4) r4 = { (x, y)∊R × R∙-1 ≤ x < 2 }
ของความสมั พนั ธ ดังน้ี แบบฝกทักษะ 2.1
ขอ 4(3)-(5)
ให r เปนสบั เซตของ R × R กราฟของความ
สมั พนั ธ r คอื เซตของจดุ ในระนาบทแี่ สดงคอู นั ดบั 3. โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์
ทเี่ ปนสมาชิกของความสมั พันธ r (Domain and Range of Relation)

ฝก ปฎบิ ตั ิ กา� หนด A = { 2, 4, 5 } และ B = { 6, 8, 10 } เป็นความสมั พนั ธ์ “ตัวประกอบ” จาก A ไป B
กลา่ วคือ สมาชิกในเซต A เป็นตัวประกอบของสมาชกิ ในเซต B เช่น
ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 4.
ในหนังสือเรียน หนา 72 จากนั้นครูสุมนักเรียน 2 เปน็ ตัวประกอบของ 6, 2 เป็นตวั ประกอบของ 8 และ 2 เปน็ ตัวประกอบของ 10
ออกมาเขียนกราฟท่ีไดบนกระดาน โดยครูและ 4 เปน็ ตวั ประกอบของ 8
นกั เรยี นในชนั้ เรยี นรว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง 5 เปน็ ตัวประกอบของ 10
เขยี นความสมั พนั ธ์ “ตัวประกอบ” ของเซต A และเซต B โดยใช้แผนภาพแสดงความสมั พนั ธ์
ขน้ั ประเมนิ ดงั น้ี

1. ครตู รวจแบบฝกทกั ษะ 2.1 52
2. ครูประเมินการนําเสนอผลงาน
3. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
4. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทํางานกลุม
5. ครสู งั เกตความมีวนิ ัย ใฝเรียนรู

มุงม่นั ในการทาํ งาน

แนวทางการวัดและประเมินผล กจิ กรรม สรา งเสรมิ

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก ครใู หน ักเรียนจบั คู แลวชวยกนั พจิ ารณากราฟตอ ไปนว้ี า
ทักษะ 2.1 ในข้ันฝกปฏิบัติ โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผลจากแบบ มคี วามสัมพันธแบบใด และเปนฟง กชันหรือไม
ประเมินของแผนการจัดการเรียนรูในหนว ยการเรยี นรูท ่ี 2
Y
แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม
0X
คาชีแ้ จง : ให้ผู้สอนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แลว้ ขดี ลงในชอ่ งท่ตี รงกบั
ระดับคะแนน

ลาดบั ชอ่ื – สกุล การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีนา้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรียน ความคดิ เหน็ คนอื่น ตามทไ่ี ด้รบั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลุม่

43214321432143214321

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงช่ือ...................................................ผู้ประเมนิ หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรยี นเกงและนักเรยี นออ นจบั คูก นั
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................

ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมบ่อยคร้ัง ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมน้อยครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตดั สนิ คุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรบั ปรงุ

T58

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

AB ขนั้ นาํ (Inductive Method)

26 เตรยี ม
48
5 10 ครูถามคําถามเพอื่ ทบทวนความรู เรื่อง ความ
สมั พนั ธแ ละการเขยี นกราฟของความสมั พนั ธ ดงั นี้
จากแผนภาพ เขยี นเปน็ ความสมั พนั ธ ์ r คอื { (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 8), (5, 10) } จะเหน็ วา่
เซตของสมาชิกตัวหน้าของค่อู ันดับทัง้ หมดใน r คือ { 2, 4, 5 } เรยี กเซตของสมาชิกตัวหน้าของ • ความสมั พันธมคี วามหมายวา อยางไร
ค่อู ันดบั ทัง้ หมดในความสมั พนั ธ ์ r วา่ โดเมน (domain) ของ r (แนวตอบ ความสัมพนั ธ หมายถงึ การจับคู
เซตของสมาชกิ ตวั หลงั ของคอู่ นั ดบั ทงั้ หมดใน r คอื { 6, 8, 10 } เรยี กเซตของสมาชกิ ตวั หลงั ของ ระหวา งสงิ่ สองสิง่ ทม่ี ีความสมั พันธกนั และ
คู่อนั ดบั ทงั้ หมดในความสมั พันธ์ r ว่า เรนจ์ (range) ของ r
เขียนอยูในรปู ของคอู นั ดับ (a, b))
บทนิยาม ก�ำหนด r เป็นควำมสัมพันธ์จำก A ไป B
โดเมนของ r คือ เซตของสมำชิกตัวหน้ำของคู่อันดับท้ังหมดใน r เขียนแทนด้วย Dr • กราฟของความสมั พนั ธ r มคี วามหมายวา
เรนจ์ของ r คือ เซตของสมำชิกตัวหลังของคู่อันดับท้ังหมดใน r เขียนแทนด้วย Rr อยางไร
(แนวตอบ กราฟของความสัมพันธ r คือ
จากบทนยิ าม สามารถเขียน Dr และ Rr ในรปู เซตแบบบอกเงื่อนไขได้ ดงั น้ี เซตของจุดในระนาบท่ีแสดงคูอันดับท่ีเปน
• Dr = { x∊A ∙ม ี y∊B ซึง่ (x, y)∊r } กลา่ วได้ว่า จะตอ้ งหาค่าของ x สมาชิกของความสมั พนั ธ r)
ท่ที �าให้มคี า่ ของ y ดงั นัน้ จงึ ต้องจัดความสมั พนั ธใ์ ห ้ y อย่ใู นรปู ของ x
• Rr = { y∊B ∙ม ี x∊A ซง่ึ (x, y)∊r } กลา่ วได้ว่า จะต้องหาคา่ ของ y ขนั้ สอน
ทีท่ า� ให้มีคา่ ของ x ดงั นนั้ จงึ ต้องจัดความสัมพนั ธใ์ ห้ x อยู่ในรูปของ y
สอนหรอื แสดง
ตัวอย่างท่ี 5
1. ครูใหนักเรียนศึกษา “โดเมนและเรนจของ
ให้หาโดเมนและเรนจ์ของความสมั พันธ์ r = { (1, -1), (2, -2), (3, -3), (4, -4) } ความสมั พนั ธ” ในหนงั สอื เรยี น หนา 52 จากนนั้
วิธที า� จากบทนิยาม โดเมนของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของค่อู นั ดับทง้ั หมดใน r ครูเขียนแผนภาพความสัมพันธบนกระดาน
แลวถามคาํ ถามนกั เรยี น ดงั นี้
และเรนจ์ของ r คือ เซตของสมาชิกตัวหลังของคู่อนั ดับทงั้ หมดใน r • จากแผนภาพ สามารถเขียนความสัมพนั ธ r
ดงั นัน้ Dr = { 1, 2, 3, 4 } และ Rr = { -1, -2, -3, -4 } เปนคอู นั ดบั ใดไดบ าง
(แนวตอบ (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 8),
ฟังก์ชัน 53 (5, 10))
• เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับทั้งหมด
ใน r มอี ะไรบาง
(แนวตอบ { 2, 4, 5 })
• เซตของสมาชิกตัวหลังของคูอันดับทั้งหมด
ใน r มีอะไรบา ง
(แนวตอบ { 6, 8, 10 })

2. ครูใหนักเรียนรวมกันสรุปบทนิยามและเขียน
โดเมนและเรนจในรูปเซตแบบบอกเง่ือนไข
ในหนงั สอื เรยี น หนา 53

กจิ กรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรียนจับคู แลว ปฏบิ ัตติ ามขน้ั ตอนตอไปน้ี ครคู วรเนน ยํ้าถึงโดเมนและเรนจวา เซตของสมาชกิ ตวั หนา ของทกุ คูอนั ดบั
กาํ หนดให r = { (x, y)∊N × N ͉ y = 2x + 5 } วา โดเมน Dr และ เซตของสมาชิกตัวหลังของทกุ คูอ ันดบั วา เรนจ Rr
• เขยี นความสมั พนั ธ r แบบแจกแจงสมาชิก
• หาโดเมนและเรนจของความสัมพนั ธ r หลักการหาโดเมน : ใหจัด y อยูใ นรูป x แลวหาคา x ทท่ี าํ ให y หาคาได
• เซตของโดเมนและเรนจใ นขอ 2. เปน เซตจาํ กัดหรอื เซตอนันต หลกั การหาเรนจ : ใหจดั x อยใู นรปู y แลว หาคา y ท่ีทาํ ให x หาคา ได
หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรียนเกง และนักเรยี นออ นจบั คูก ัน

T59

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

สอนหรอื แสดง ให้หาโดเมนและเรนจข์ องความสัมพันธ์ แบบฝก ทักษะ 2.1
r = { (-3, 9), (-2, 4), (0, 0), (2, 4), (3, 9) } ขอ 5
3. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 5-6 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 53-54 จากน้ันครูใหนักเรียนต้ัง ตวั อย่างท่ี 6
ขอ สงั เกตวา ในตวั อยา งที่ 6 การหาโดเมนของ
ความสมั พนั ธ r จะตองหาคาของ x ทีท่ ําให กำ� หนด r = { (x, y)∊I × I∣2x + 3y = 6 } ใหห้ ำโดเมนและเรนจข์ อง r
มีคาของ y ดังน้ัน จึงตองจัดความสัมพันธ
ให y อยูในรูปของ x และการหาเรนจของ วธิ ีท�ำ หำโดเมนของควำมสมั พันธ์
ความสมั พันธ r จะตอ งหาคา ของ y ท่ที ําให จาก 2x + 3y = 6 จัดตวั แปร y ในรูปของ x
มีคาของ x ดังน้ัน จึงตองจัดความสัมพันธ จะได้ y = 6 -32x
ให x อยใู นรปู ของ y y = 2 - 23x
โเนดย่ือคงจา่ าขกอง23xx ตอ้ งเป็นจ�านวนเตม็ แสดงว่า x เปน็ จ�านวนเต็มท่ีมี 3 เป็นตวั ประกอบ
เปรยี บเทยี บและรวบรวม เปน็ แบบรูปของจา� นวนทเ่ี พ่ิมข้ึนคร้ังละ 3 คือ ..., -6, -3, 0, 3, 6, ...
ดังน้ัน Dr = { x ∙ x∊I และมี 3 เป็นตัวประกอบ }
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน หรอื Dr = { ..., -6, -3, 0, 3, 6, ... }
หนา 54 และแบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 5. ในหนังสอื -
เรียน หนา 72 เปนรายบุคคล จากน้ันครูขอ หำเรนจข์ องควำมสมั พันธ์
อาสาสมคั รนกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน จาก 2x + 3y = 6 จดั ตัวแปร x ในรูปของ y
โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบ
ความถกู ตอ ง

จะได้ x = 6 -23y
x = 3 - 32y
โเนดย่อื คงจา่ าขกอง32yy
ตอ้ งเปน็ จ�านวนเตม็ แสดงวา่ y เป็นจ�านวนเต็มท่ีมี 2 เป็นตัวประกอบ
เป็นแบบรปู ของจา� นวนทเ่ี พ่มิ ขนึ้ ครัง้ ละ 2 คอื ..., -4, -2, 0, 2, 4, ...
ดังนนั้ Rr = { y ∙ y∊I และมี 2 เปน็ ตัวประกอบ }
หรือ Rr = { ..., -4, -2, 0, 2, 4, ... }

ลองทําดู ฝกทําตอ

ก�าหนด r = { (x, y)∊I × I ∙ 4x - 5y = 20 } ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ อง r แบบฝกทกั ษะ 2.1
ขอ 6(1)

54

ส่อื Digital ขอ สอบเนน การคดิ
โดเมนและเรนจข องความสมั พันธ y = x2 - 4x + 3 มคี าเทากับ
ครูอาจใหนักเรียนสืบคนความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาโดเมนและเรนจ เทาใด
ในสมการรปู แบบอน่ื ๆ ผา น www.youtube.com โดยใชคาํ สืบคน ดงั นี้
(เฉลยคําตอบ หาโดเมนของความสัมพันธ
• โดเมนและเรนจของความสมั พันธท่ีอยูในรปู จดั ตัวแปร y ในรูปของ x
- เลขยกกาํ ลัง จาก y = x2 - 4x + 3 จะพบวา x เปนจํานวนจริงใดๆ
- คาสมั บูรณ จะได Dr = R
- รากที่ n หาเรนจของความสัมพนั ธ
- เศษสวน จดั ตัวแปร x ในรูปของ y
จาก y = x2 - 4x + 3
• Domain and range of relation y = x2 - 2(x)(2) + 22 - 22 + 3
เชน www.youtube.com/watch?v=GsatumI6Jm8 y = (x - 2)2 - 1
y + 1 = (x - 2)2 เน่ืองจาก y + 1 ≥ 0
T60 x-2 = ± y+1 y ≥ -1
x = ± y + 1 + 2 จะได Rr = [-1, ∞))

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อยา งท่ี 7 ขน้ั สอน

กาํ หนด r = { (x, y)∊R × R ∣ 2x + 3y = 6 } ใหห าโดเมนและเรนจข อง r สอนหรอื แสดง

วิธที ํา หาโดเมนของความสัมพนั ธ 1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งที่ 7 ในหนงั สอื เรยี น
จาก 2x + 3y = 6 จดั ตวั แปร y ในรปู ของ x หนา 55 จากน้นั ครูใหน ักเรียนตัง้ ขอ สังเกตวา
6 ---322233xxx ในตวั อยา งท่ี 7 การหาโดเมนของความสมั พนั ธ
จะได y = จะพบวา x เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ r จะตอ งหาคาของ x ท่ีทําใหมีคา ของ y ดังน้นั
เนอื่ งจาก y = 2 จึงตอ งจัดความสัมพนั ธใ ห y อยใู นรูปของ x
ดังนัน้ Dr = R y = 2 และการหาเรนจข องความสมั พนั ธ r จะตอ งหา
คา ของ y ทที่ ําใหม ีคา ของ x ดังนั้น จึงตองจัด
ความสมั พันธให x อยใู นรูปของ y

หาเรนจข องความสัมพันธ
จาก 2x + 3y = 6 จดั ตัวแปร x ในรปู ของ y
6 --2332yy
จะได x = 3
x =

เน่ืองจาก x = 3 - 32y จะพบวา y เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ
ดังน้ัน Rr = R

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

กําหนด r = { (x, y)∊R × R ͉ 4x - 5y = 20 } ใหห าโดเมนและเรนจของ r แบบฝก ทกั ษะ 2.1

ขอ 6(2)

ตัวอยางที่ 8
กําหนด r = (x, y)∣y = 29xx +- 11 ใหหาโดเมนและเรนจข อง r
วิธที าํ หาโดเมนของความสัมพนั ธ
จาก y = 29xx +- 11 เปน เศษสว นทีม่ ตี วั สวนเปน พหนุ ามกําลังหนง่ึ และเศษสวน
จะไมนิยามเมือ่ ตวั สว นเปนศูนย นนั่ คอื 9x - 1 ตอ งไมเ ทา กบั ศนู ย
จะได 9x - 1 0
x 1991 หรือ Dr = R - 19
ดงั นน้ั Dr = x ͉ x

ฟงกชัน 55

กิจกรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจบั คู แลว ชว ยกันหาโดเมนของ r ครูใหความรูเพิ่มเติมวา การหาโดเมนและเรนจที่มีสมการอยูในรูปของ

กําหนดให A = I, B = I+ และ r = { (x, y)∊A × B ͉ y = 1 2- x } y = ax + b หรอื Ax + By + C = 0 ซงึ่ เปน สมการเชิงเสนสองตวั แปร ซ่ึงจะมี
นโทด่นั่อี เยคมใูอืดนนังแรcนลปูxั้นะขเ+รอโนดงdเจyมเ ปน=น0คcaจหอืxxาํ รน++อืDวrนbdx=จจรRะิง-เม-สdcีโมด-อเdcมนนน่ัแคคลือะอื เจรDาํนrนจ=ว คนRอืจรแRิงลทr ะ=ตี่ ัวRRสr ว-=นไR-มcaเแทลาะกสบั มศกนู ายร
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรียนเกง และนกั เรยี นออ นจับคูก นั

T61

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน หำเรนจข์ องควำมสัมพันธ์
จาก y = 29xx +- 11 จดั ตวั แปร x ในรูปของ y
สอนหรอื แสดง จะได้ y(9x - 1) = 2x + 1
9xy - y = 2x + 1
2. ครูยกตวั อยา งที่ 8 ในหนงั สอื เรยี น หนา 55-56 9xy - 2x = y + 1
จากนั้นครูใหนักเรียนตั้งขอสังเกตวา ใน (9y - 2)x = y + 1
ตวั อยา งที่ 8 การหาโดเมนและเรนจของความ = 9yy+- 12
สมั พนั ธ r คาของ y และ x อยใู นรปู เศษสวน เนื่องจาก x = x เป็นเศษสว่ นที่มีตวั สว่ นเปน็ พหนุ ามก�าลังหนึ่ง และเศษสว่ น
ทม่ี ตี วั สว นเปน พหนุ ามกาํ ลงั หนง่ึ และเศษสว น 9yy+- 12
จะไมน ยิ ามเมอ่ื ตวั สว นเปน ศนู ย ดงั นนั้ ตวั สว น จะไมน่ ยิ ามเมือ่ ตวั ส่วนเป็นศูนย์ น่นั คือ 9y - 2 ตอ้ งไม่เท่ากับศนู ย์
ตองไมเ ทา กับศูนย จะได้ 9y - 2 ≠ 0
y ≠ 92
3. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งที่ 9 ในหนงั สอื เรยี น
หนา 56 จากนั้นครูใหนักเรียนตั้งขอสังเกต ดงั นน้ั Rr = { y ∙ y ≠ 92 } หรอื Rr = R - {29}
วา จํานวนในคาสัมบูรณเปนจํานวนจริงใดๆ
และคาสัมบูรณจะมีคามากกวาหรือเทากับ
ศูนยเสมอ

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

กา� หนด r = {(x, y) ∙ y = 4xx -+31 } ใหห้ าโดเมนและเรนจข์ อง r แบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 6(3)

ตวั อยา่ งท่ ี 9

ก�ำหนด r = { (x, y) ∣ y = ∣x∣ } ใหห้ ำโดเมนและเรนจ์ของ r
วิธีท�ำ หำโดเมนของควำมสัมพันธ์

เนอ่ื งจาก ∙x∙ เปน็ การก�าหนดค่าสมั บูรณ์ ซง่ึ จ�านวนในคา่ สมั บรู ณเ์ ป็นจ�านวนจริงใด ๆ
ดงั นน้ั Dr = { x ∙ x∊R } หรือ Dr = R
หำเรนจข์ องควำมสัมพันธ์
เนื่องจาก y = ∙x∙ และ ∙x∙ มคี า่ มากกว่าหรอื เทา่ กบั ศนู ย์ทกุ จ�านวนจรงิ x ใด ๆ
ดงั นน้ั Rr = { y ∙ y ≥ 0 } หรอื Rr = [0, ∞)

ลองทําดู ฝกทําตอ

ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = ∙3x∙ } ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r แบบฝก ทกั ษะ 2.1 ขอ 6(4)

56

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม ทา ทาย
ครแู บงกลมุ ใหนักเรยี น กลมุ ละ 3-4 คน ชวยกนั หาโดเมนและ
ครูควรเนนยํ้ากับนักเรียนในการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธท่ีอยู เรนจข องความสมั พนั ธท อ่ี ยใู นรปู คาสมั บรู ณตอไปน้ี
ในรูปเศษสวนที่มีตัวสวนเปนพหุนามกําลังหน่ึง ซ่ึงตัวสวนตองไมเปนศูนย • r1 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉x - 1͉ }
เพราะถา ตวั สวนเปน ศนู ย จะไดว า ไมมีความหมายทางคณิตศาสตร • r2 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉4x + 1͉ }

• r3 = { (x, y)∊R × R ͉ y = ͉x + 1͉ - 5 }
• r4 = { (x, y)∊R y = ͉2x - 1͉ + 9 }
• r5 = { (x, y)∊R × R ͉ y = x͉ ͉ x- 3 }
× R ͉

หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนกั เรียน (ออ น ปานกลาง และเกง ) ใหอยกู ลมุ เดียวกนั

T62

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อยา่ งท่ ี 10 ขนั้ สอน

กำ� หนด r = { (x, y) ∣ y = 4 - x2 } ใหห้ ำโดเมนและเรนจข์ อง r สอนหรอื แสดง

วธิ ีท�ำ หำโดเมนของควำมสัมพนั ธ์ 4. ครูใหนักเรยี นศึกษาตัวอยา งท่ี 10 ในหนังสอื -
เรียน หนา 57 จากนั้นครูใหนักเรียนต้ัง
เนอื่ งจาก 4 - x2 เป็นการก�าหนดค่ารากทส่ี อง ซงึ่ จ�านวนในรากที่สอง ขอสังเกตวา ในตัวอยางที่ 10 การหาโดเมน
ต้องไม่เปน็ จ�านวนลบ ของความสมั พนั ธ r คาของ y อยูในรปู คาราก
ดงั น้ัน 4 - x2 ≥ 0 SOPLRVOIBNLGETMIP ทสี่ อง ซงึ่ จาํ นวนในรากทส่ี องตอ งไมเ ปน จาํ นวน
จะได้ x2 - 4 ≤ 0 ลบ ดงั นั้น จาํ นวนในรากจึงตอ งมากกวา หรือ
(x - 2)(x + 2) ≤ 0 จดั อสมการใหส้ มั ประสิทธ์ิ เทา กบั ศนู ย และการหาเรนจข องความสมั พนั ธ
ของ x2 เป็นจ�านวนบวก r จะตอ งหาคาของ y ท่ีทําใหม ีคา ของ x ดงั นั้น
จากอสมการ แสดงค่า x บนเสน้ จา� นวนจรงิ ได้ ดังนี้ โดยนา� -1 คูณทั้งอสมการ จึงตองจัดความสัมพันธใ ห x อยใู นรูปของ y
เน่ืองจากคาของ y อยูในรปู คา รากท่สี อง ซงึ่
-2 2 ตอ งยกกาํ ลังสองท้ังสองขางของสมการ

เซตค�าตอบของอสมการ คอื { x ∙ -2 ≤ x ≤ 2 } หรือ [-2, 2] 5. ครยู กตวั อยางที่ 10 ในหนังสอื เรียน หนา 57
ดังนั้น Dr = { x ∙ -2 ≤ x ≤ 2 } หรอื [-2, 2] บนกระดาน เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากย่ิงข้ึน
และช้ีแนะวิธีการแกโจทยและเทคนิคตางๆ
หำเรนจข์ องควำมสัมพันธ์ ทางคณติ ศาสตร ในกรอบ PROBLEM SOLVING
จดั ตวั แปร x ในรปู ของ y ซ่งึ ต้องยกกา� ลงั สองทงั้ สองข้างของสมการ TIP
y = 4 - x2
จาก และ y ≥ 0 เปรยี บเทยี บและรวบรวม
จะได้ y2 = 4 - x2
x2 = 4 - y2 1. ครูใหนกั เรียนจับคูทาํ “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สอื -
x = ± 4 - y2 เรียน หนา 55-58 แลวแลกเปลี่ยนความรู
ดงั นน้ั 4 - y2 ≥ 0 และ y ≥ 0 สนทนาซกั ถามจนเปน ทีเ่ ขา ใจรวมกนั จากนน้ั
จะได้ y2 - 4 ≤ 0 ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน
(y - 2)(y + 2) ≤ 0 และ y ≥ 0 โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั ตรวจสอบ
จากอสมการ แสดงคา่ y บนเส้นจา� นวนจรงิ ได้ ดังนี้ ความถูกตอ ง

-2 0 2 2. ครูใหน กั เรียนทําแบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 6. ใน
หนังสอื เรียน หนา 72 เปน การบา น
เซตค�าตอบของอสมการ คือ { y ∙ 0 ≤ y ≤ 2 } หรือ [0, 2]
ดังนัน้ Rr = { y ∙ 0 ≤ y ≤ 2 } หรือ Rr = [0, 2]

ฟังก์ชัน 57

ขอสอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู

กําหนดให r = { (x, y)∊N × N ͉ y = 2x + 1 } ใหห าโดเมน ครแู นะนําเทคนิคเกย่ี วกบั การหาโดเมนและเรนจข องความสมั พันธ
และเรนจข อง r ในรปู แบบตา งๆ ดงั นี้

(เฉลยคาํ ตอบ จาก y = 2x + 1 1. ❑ = ∆ จะได ∆ ≥ 0 และ ❑ ≥ 0
จะไดว า x เปนจํานวนนบั
2. ❑ = ∆ จะได ✰ 0
นเเมนัน่ อ่ื่ือคง2ือจxาxก+>21x->เ21ป0นแลจะํานxว∊นคNู ✰

จะไดวา 2x + 1 เปนจาํ นวนค่ี 3. ͉∆͉ = ❑ จะได ∆2 = ❑
ดังน้ัน Dr = { x ͉ x∊N } และ Rr = { y ͉ y เปน จํานวนคบ่ี วก })
จะได ❑ ≥ 0 และ ∆ เปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ

T63

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู
ฝกทําตอ
สอนหรอื แสดง
ก�าหนด r = { (x, y) ∙ y = 25 - x2 } ให้หาโดเมนและเรนจ์ของ r แบบฝกทกั ษะ 2.1 ขอ 6(5), 17
ครูใหนักเรียนศึกษาการหาโดเมนและเรนจ
ของความสัมพันธท่ีกําหนดดวยกราฟในหนังสือ- กำรหำโดเมนและเรนจ์ของควำมสมั พนั ธ์ที่ก�ำหนดดว้ ยกรำฟ
เรียน หนา 58 จนไดขอสรุปที่วา การหาโดเมน กำรหำโดเมน จะพิจารณาตามแนวแกน X จากทางด้านซ้ายไปทางด้านขวาว่า เส้นกราฟ
จะพิจารณาตามแนวแกน X จากทางดานซาย เร่มิ ต้นจากจา� นวนใดไปยงั จา� นวนใด
ไปทางดา นขวาวา เสน กราฟเรม่ิ ตน จากจาํ นวนใด กำรหำเรนจ์ จะพจิ ารณาตามแนวแกน Y จากด้านล่างข้ึนด้านบนวา่ เสน้ กราฟเริ่มตน้ จาก
ไปยังจํานวนใด และการหาเรนจจะพิจารณา จ�านวนใดไปยงั จา� นวนใด
ตามแนวแกน Y จากทางดานลางขึ้นดานบนวา 1. กา� หนดกราฟของความสมั พันธ์ r ดังรูป
เสน กราฟเริ่มตน จากจาํ นวนใดไปยงั จาํ นวนใด
Y
เปรยี บเทยี บและรวบรวม 2

ครูใหนกั เรยี นจบั คทู าํ “ลองทําด”ู ในหนงั สือ- -2 0 2 X
เรียน หนา 60 แลวแลกเปล่ียนความรูสนทนา
ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากน้ันครูสุม -2
นักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครู
และนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความ จากกราฟ จะเหน็ วา่ เส้นโค้งเรมิ่ จาก x ตง้ั แต่ -2 ถึง 2 และเรม่ิ จาก y ตง้ั แต่ -2 ถงึ 2
ถกู ตอง ดังนั้น Dr = [-2, 2] และ Rr = [-2, 2]
2. กา� หนดกราฟของความสมั พันธ์ r ดังรปู

Y
4
2
-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X
-2
-4

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เสน้ โคง้ เรมิ่ จาก x ต้งั แต่ 2 ถงึ 18 และเรม่ิ จาก y ตงั้ แต่ -4 ถึง 4
ดังนัน้ Dr = [2, 18] และ Rr = [-4, 4]

58

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสริม

ครูใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาโดเมนและเรนจของความสัมพันธ ครใู หน กั เรยี นจับคู แลวชวยกนั หาเรนจของความสมั พันธ
ดวยกราฟวา ถาบนเสนกราฟมีจุดโปรง ◯ แสดงวา ไมมีจุดอยูบนกราฟ และ r = { (x, y) ͉ y = -͉x - 2͉ + 5 } โดยการวาดกราฟตามขนั้ ตอน
ถา มีจุดทึบ ● แสดงวา มจี ุดอยบู นกราฟ เชน ตอไปนี้ พรอ มทง้ั อธิบายในแตล ะขน้ั ตอน

Y 3X Y •y=x
•y=x-2
2 3 • y = ͉x - 2͉
-3 0 • y = -͉x - 2͉
-1 0 3 X • y = -͉x - 2͉ + 5
-2 หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรียนเกง และนักเรียนออนจับคกู ัน

กราฟ 1 กราฟ 2

จากกราฟ 1 จะเห็นวา จากกราฟ 2 จะเหน็ วา
Dr = (-3, 2) และ Rr = [-2, 2) Dr = [-1, 3) และ Rr = (1, 3]

T64

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

3. ก�าหนดกราฟของความสัมพันธ์ r ดังรปู ขน้ั สรปุ

Y สรปุ

10 2 4 6 8 10 X ครูถามคําถามนักเรยี น เพ่ือสรุปความรู เร่ือง
8 โดเมนและเรนจของความสมั พนั ธ ดังน้ี
6 กาํ หนด r เปนความสัมพันธจ าก A ไป B
4
2 • โดเมนของ r มคี วามหมายวา อยางไร
(แนวตอบ โดเมนของ r คือ สมาชิกตวั หนา
-10 -8 -6 -4 -2 0 ของคูอนั ดับทั้งหมดในความสมั พันธ r)

จากกราฟ จะเห็นวา่ x เป็นจ�านวนจริงใด ๆ และ y มีคา่ ตง้ั แต่ 0 ขึ้นไป • เรนจข อง r มีความหมายวา อยางไร
ดังนัน้ Dr = R และ Rr = [0, ∞) (แนวตอบ เรนจของ r คือ สมาชิกตัวหลัง
ของคูอันดับท้ังหมดในความสมั พนั ธ r)
ตวั อยา่ งที่ 11
• นกั เรยี นสามารถหาโดเมนของความสมั พนั ธ
ใหห้ ำโดเมนและเรนจ์ โดยพจิ ำรณำจำกกรำฟของควำมสมั พันธท์ ี่ก�ำหนดตอ่ ไปน้ี ท่กี าํ หนดดวยกราฟไดอ ยา งไร
1) Y 2) Y (แนวตอบ การหาโดเมน จะพิจารณาตาม
แนวแกน X จากทางดา นซา ยไปทางดา นขวา
6 3 r2 วา เสนกราฟเริ่มตนจากจํานวนใดไปยัง
r1 4 2 จํานวนใด)

2 1 • นักเรียนสามารถหาเรนจของความสัมพันธ
ท่กี าํ หนดดว ยกราฟไดอยางไร
-8 -6 -4 -2 0 X -1 0 1 2 3 4 X (แนวตอบ การหาเรนจ จะพิจารณาตาม
-2 -1 แนวแกน Y จากทางดานลางขึ้นดานบน
-4 วา เสนกราฟเริ่มตนจากจํานวนใดไปยัง
จาํ นวนใด)

-2

-3

วิธที ำ� 1) จากกราฟ จะเห็นวา่ x ซงึ่ เปน็ สมาชกิ ในโดเมนของ r1 เปน็ จา� นวนจรงิ
และ y ซงึ่ เปน็ สมาชกิ ในเรนจ์ของ r1 เปน็ จ�านวนจรงิ ซง่ึ นอ้ ยกวา่ หรอื เท่ากับ 4
ดงั นนั้ Dr1 = R
Rr1 = { y ∙ y ≤ 4 } หรือ (-∞, 4]

ฟังก์ชัน 59

กิจกรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

1. ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลว ใชโ ปรแกรม GeoGebra หรอื โปรแกรม ครคู วรยกตวั อยา งเพม่ิ เตมิ แลว สมุ ถาม-ตอบ เพอ่ื ตรวจสอบความเขา ใจของ
นักเรียน หรือครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนไดมีการฝกทักษะการคิดวิเคราะห
อืน่ ๆ ในการเขยี นกราฟของความสมั พันธทกี่ าํ หนดใหต อ ไปนี้ แลกเปลี่ยนความรูซ่ึงกันและกัน เชน ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละเทาๆ กัน
• x2 + y2 = 4 แลว ใหก ลมุ แรกตง้ั คาํ ถามและกลมุ ทสี่ องหาคาํ ตอบ โดยจบั เวลาทาํ เชน นส้ี ลบั กนั
• x2 - y2 = 9 กลุมใดตอบถูกมากทส่ี ุดเปน ผูช นะ โดยครูตรวจสอบความถูกตอง
• y2 = 14x0x 5
• y= -

•y= x-4
• y = ͉x - 5͉ + 1
2. ใหห าโดเมนและเรนจของความสัมพันธจ ากขอ 1.

หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกงและนกั เรียนออ นจับคกู นั

T65

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขน้ั สรปุ 2) จากกราฟ จะเหน็ ว่า x ซง่ึ เป็นสมาชกิ ในโดเมนของ r2 เปน็ จ�านวนจรงิ
และ y ซ่งึ เป็นสมาชกิ ในเรนจ์ของ r2 เป็นจ�านวนจรงิ
นาํ ไปใช้ ดังน้ัน DRrr22 = R
= R
1. ครใู หน กั เรยี นทาํ ใบงานที่ 2.2 เรอื่ ง โดเมนและ
เรนจข องความสมั พันธ จากนั้นครสู ุม นักเรียน ลองทาํ ดู
ออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครูและ
นักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความ ให้หาโดเมนและเรนจ์ โดยพิจารณาจากกราฟของความสัมพนั ธท์ ก่ี �าหนดตอ่ ไปน้ี
ถกู ตอง 1) Y 2) Y
r2 5
2. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 7. r1 3 4
ในหนงั สอื เรียน หนา 73 เปน การบาน 2 3
1 2
ขนั้ ประเมนิ X 1
-5 -4 -3 -2 -1-10 123
1. ครูตรวจใบงานที่ 2.2 -2 -4 -3 -2 -1-10
2. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 2.1 -3 -2 123 X
3. ครปู ระเมนิ การนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทํางานรายบคุ คล ฝกทําตอ
5. ครูสังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสังเกตความมวี ินัย ใฝเรยี นรู แบบฝก ทักษะ 2.1
ขอ 7
มุงม่ันในการทํางาน

4. ฟงั กช์ นั (Function)

พจิ ารณาความสัมพนั ธ์ระหว่างเซต A และเซต B ดงั รูป

AB A B
10
1a a 20
2b b 30
3c c 40
d 50

r1 r2

60

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคิด

ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน ขอ ใดมีเรนจต างจากขอ อน่ื Y
ท่ี 2.2 เรื่อง โดเมนและเรนจข องความสัมพนั ธ ในข้ันนําไปใช โดยศึกษาเกณฑ
การวัดและประเมินผลจากแบบประเมินของแผนการจัดการเรียนรูในหนวยการ Y
เรียนรูท ี่ 2
1. 4862 X 2. 1 X

-4 -2-20 2 4 -2 -1 0 1 2 3
-1

แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม Y Y

คาชแี้ จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ลงในช่องทตี่ รงกบั 111106426824
ระดบั คะแนน -10 -5 0

ลาดับ ชื่อ – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมีน้าใจ การมี รวม 3. 4. 4312
ที่ ของนักเรยี น ความคิดเห็น คนอื่น ตามท่ีได้รับ สว่ นร่วมใน 20 -7-6-5-4-3-2----11320 1 2 3 4 5 6 7
มอบหมาย การปรบั ปรุง คะแนน
ผลงานกลุม่

43214321432143214321

X

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงช่ือ...................................................ผูป้ ระเมนิ 5 10 X
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................
(เฉลยคาํ ตอบ จากขอ 3. มี Rr = [4, ∞) และขอ 1-2, 4 มี Rr = R
ปฏบิ ัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบอ่ ยครั้ง ให้ 4 คะแนน ดังน้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั หิ รือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยครัง้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตัดสินคุณภาพ

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรับปรงุ

T66

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

จากแผนภาพความสมั พันธ์ r1 และ r2 ข้างตน้ จะเห็นว่า สมาชิกแตล่ ะตวั ในเซต A จบั คูก่ บั ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching)
สมาชิกในเซต B เพยี งตวั เดยี วเท่าน้ัน
การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
AB
ครใู หน กั เรยี นดแู ผนภาพความสมั พนั ธร ะหวา ง
1a เซต A และ เซต B ในหนงั สอื เรียน หนา 60-61
2b แลว ถามคําถามนกั เรยี น ดงั น้ี
3c
• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจของความ
r3 สมั พนั ธ r1
(แนวตอบ โดเมนของความสัมพันธ r1 คือ
จากแผนภาพความสัมพันธ์ r3 จะเห็นว่า มีสมาชิกในเซต A ที่จับคู่กับสมาชิกในเซต B { 1, 2, 3 } และเรนจความสัมพันธ r1 คือ
มากกวา่ 1 ตวั
เรยี กความสมั พนั ธท์ ี่มีลกั ษณะเช่นเดยี วกนั กบั ความสมั พันธ ์ r1 และ r2 ว่า ฟงั ก์ชนั และเรยี ก { a, b, c })
ความสมั พันธ์ r3 ว่า ไมเ่ ป็นฟงั กช์ ัน ซงึ่ ได้มีการกา� หนดบทนิยามความสมั พนั ธ์ท่เี ปน็ ฟงั กช์ ัน ดงั นี้
• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจของความ
บทนิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ท่ีสมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของความสัมพันธ์ สมั พนั ธ r2
เพียงตัวเดียวเท่านั้น (แนวตอบ โดเมนของความสัมพันธ r2 คือ

จากบทนิยาม จะนิยมเขียนฟังก์ชันแทนด้วย f และฟังก์ชันเป็นสับเซตของความสัมพันธ ์ { a, b, c, d } และเรนจความสัมพนั ธ r2 คอื
โดยท่สี า� หรบั x, y และ z ใด ๆ ถ้า (x, y)∊f และ (x, z)∊f แลว้ y = z
{ 10, 20, 30, 40, 50 })
• จงบอกเซตของโดเมนและเรนจของความ

สมั พันธ r3
(แนวตอบ โดเมนของความสัมพันธ r3 คือ
{ 1, 2, 3 } และเรนจความสัมพันธ r3 คือ

{ a, b, c })

ตวั อย่างที่ 12 ขนั้ สอน

จากแผนภาพทกี่ �าหนดตอ่ ไปน้ี ให้พจิ ารณาวา่ ความสัมพันธ์ใดเปน็ ฟงั กช์ ัน รู้ (knowing)

1) ชว่ งเวลาเปน็ ราย อณุ หภมู ิ 2) ปจรังะหเทวศดั ไใทนย ปภรูมะภิ เทาคศขไทอยง 1. ครูใหนักเรียนตั้งขอสังเกตจากแผนภาพความ
ช่วั โมง (นาฬิกา) (องศาเซลเซียส) สัมพันธ r1 และ r2 ขา งตน จะเหน็ วา สมาชกิ
แตล ะตวั ในโดเมนจบั คกู บั สมาชกิ ในเรนจเ พยี ง
9 30 เชียงใหม่ ภาคเหนือ ตวั เดยี วเทานัน้ เรยี กความสมั พันธ r1 และ r2
10 31 นนทบุรี ภาคกลาง วา ฟง กช นั และจากความสมั พนั ธ r3 จะเหน็ วา
11 32 ชลบุรี ภาคตะวันออก มีสมาชิกในโดเมนท่ีจับคูกับสมาชิกในเรนจ
12 ตาก ภาคตะวันตก มากกวา 1 ตวั เรยี กความสมั พนั ธ r3 วา ไมเ ปน
สงขลา ภาคใต้ ฟง กชนั

r1 r2 2. ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ บทนยิ ามของฟง กช นั
คือ ความสัมพันธท่ีสมาชิกในโดเมนแตละตัว
ฟังก์ชัน 61 จบั คกู บั สมาชกิ ในเรนจข องความสมั พนั ธเ พยี ง
ตวั เดยี วเทา นั้น

กจิ กรรม สรางเสรมิ ส่ือ Digital

ครใู หนักเรยี นจบั คู แลวปฏิบตั ติ ามข้ันตอนตอ ไปนี้ ครูอาจใหนกั เรียนสืบคน ความรเู พิม่ เตมิ เกี่ยวกับฟงกชนั
• สบื คน จากอินเทอรเนต็ วา ความสัมพันธใดในชีวติ จริงที่มี ผา น www.youtube.com โดยใชค าํ สบื คน ดงั นี้

ลกั ษณะเปน ฟงกช นั บา ง • ฟงกช ัน
• เขยี นแผนภาพประกอบ พรอมอธิบาย • ฟง กชันของความสัมพนั ธ
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงและนักเรียนออนจับคูก ัน • Function

เชน www.youtube.com/watch?v=CHO3BdKLu2s

T67

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน วธิ ที �ำ 1) จากแผนภาพ จะไดว้ า่ r1 เป็นฟังกช์ ัน เพราะไม่มสี มาชิกในโดเมนของ r1 ที่จับคู่
กับสมาชิกในเรนจ์มากกวา่ 1 ตวั
รู้ (knowing)
2) จากแผนภาพ จะได้ว่า r2 เปน็ ฟงั กช์ ัน เพราะสมาชกิ แตล่ ะตัวในโดเมนของ r2
3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ความสัมพันธท่ีโดเมน จับคู่กบั สมาชกิ ในเรนจข์ อง r2 เพียงตัวเดยี ว
จับคูกบั เรนจมากกวา 1 ตวั เปน ความสัมพันธ
ที่ไมเปนฟงกชัน เชน ความสัมพันธของ r3 ลองทาํ ดู

จะเห็นวา 1 ที่เปนโดเมน จับคกู ับ a และ b จากแผนภาพที่ก�าหนดต่อไปน้ี ให้พิจารณาว่าความสัมพนั ธ์ใดเป็นฟังก์ชัน

ทเ่ี ปน เรนจ ดงั นนั้ โดเมนจบั คกู บั เรนจม ากกวา 1) ระยะทาง คา่ โดยสาร 2) อุณหภูมิ อุณหภูมิ
1 ตัว จงึ ไมเปนฟง กช นั (กิโลเมตร) รถแทก็ ซม่ี เิ ตอร์ (บาท) (องศาเซลเซียส) (องศาฟาเรนไฮต)์
4. ครูใหน ักเรียนศกึ ษาตวั อยางท่ี 12 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 61 0.5 35 5 41
1 57 10 50
เขา้ ใจ (Understanding) 5 79 15 59
9 20 68
ครูใหนกั เรียนจับคูทาํ “ลองทาํ ดู” ในหนังสือ-
เรยี น หนา 62 และทาํ แบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 8. r1 r2 ฝกทําตอ
หนา 73 แลวแลกเปล่ียนความรูสนทนาซักถาม
จนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุมนักเรียน แบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 8
ออกมาเฉลยคําตอบหนาชั้นเรียน โดยครูและ
นกั เรยี นในชนั้ เรยี นรว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง ตวั อย่างที่ 13

รู้ (knowing) ใหพ้ จิ ำรณำว่ำ ควำมสมั พันธท์ ่กี �ำหนดต่อไปนี้เปน็ ฟังกช์ ันหรอื ไม่
1) r1 = { (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) }
1. ครูอธิบายเพิ่มเติมวา ความสัมพันธสามารถ 2) r2 = { (1, -1), (0, 0), (1, 1) }

เขียนใหอยูในรูปของคูอันดับได โดย (a, b) วิธที ำ� 1) เนอื่ งจากคู่อนั ดับใน r1 ไมม่ ีสมาชกิ ตวั หน้าของคู่อนั ดบั ตัวใดท่จี บั คกู่ ับสมาชิก
หมายความวา a เปน โดเมนจบั คกู ับ b ทีเ่ ปน ตวั หลังของคูอ่ ันดบั มากกวา่ 1 ตัว
ดังนนั้ r1 เป็นฟังก์ชัน
เรนจของความสัมพันธ เชน ความสัมพันธ
r = { (1, 2), (2, 3), (3, 4) } จะเหน็ วา ความ 2) เน่อื งจากคอู่ ันดับใน r2 มสี มาชิกตัวหนา้ ของคอู่ นั ดับทจ่ี บั ค่กู บั สมาชกิ ตัวหลังของ
สัมพันธนี้เปนฟงกชัน เพราะโดเมนแตละตัว คอู่ นั ดบั มากกว่า 1 ตวั น่ันคือ (1, -1) และ (1, 1)
จับคูกับเรนจเพียงตัวเดียวเทานั้น น่ันคือ 1 ดงั น้ัน r2 ไม่เป็นฟงั ก์ชนั
จบั คูกับ 2, 2 จบั คูกับ 3 และ 3 จับคูกับ 4
2. ครใู หนกั เรียนศึกษาตัวอยา งที่ 13 ในหนังสอื -
เรยี น หนา 62

62

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

ครูควรยกตัวอยางเพ่ิมเติมบนกระดาน แลวสุมถามตอบเพ่ือตรวจสอบ ความสมั พันธใ นขอใดเปน ฟง กช นั
ความเขาใจของนักเรียน หรืออาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเพ่ือฝกทักษะการคิด 1. { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5) }
โดยใหน กั เรยี นจบั คู แลว สรา งโจทยค วามสมั พนั ธท เ่ี ปน ฟง กช นั และไมเ ปน ฟง กช นั 2. { (2, 3), (3, 2), (2, 5), (5, 2) }
ลงในกระดาษ A4 จากนนั้ ใหแ ลกเปลยี่ นกบั คขู องตนเอง แลว ตรวจสอบวา โจทย 3. { (3, 4), (4, 5), (3, 5), (4, 6) }
ทไ่ี ดเ ปนความสัมพันธแ บบใด เมื่อทาํ เสรจ็ แลว แตล ะคูตรวจสอบความถูกตอ ง 4. { (4, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5) }
5. { (0, 2), (0, 3), (1, 5), (1, 6) }
(เฉลยคาํ ตอบ เนื่องจากคูอ นั ดบั ใน { (4, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5) }

ไมม ีสมาชกิ ตัวหนาของคอู ันดบั ตัวใดท่ีจบั คูกับสมาชกิ ตวั หลังของ
คอู นั ดับมากกวา 1 ตัว

นน่ั คอื { (4, 2), (6, 3), (7, 4), (8, 5) } เปน ฟงกชัน
ดงั นนั้ คําตอบ คอื ขอ 4.)

T68

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ฝกทําตอ ขนั้ สอน

ให้พิจารณาวา่ ความสัมพนั ธท์ ก่ี �าหนดตอ่ ไปนเี้ ป็นฟังกช์ ันหรือไม่ แบบฝก ทักษะ 2.1 เขา้ ใจ (Understanding)
1) r1 = { (3, 5), (4, 6), (5, 7), (6, 8) } ขอ 9(1)-(2)
2) r2 = { (0, -1), (0, 0), (0, 1) } ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 63 และแบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 9(1)-(2)
การพจิ ารณาความสมั พนั ธท์ ก่ี า� หนดดว้ ยเงอ่ื นไขวา่ เปน็ ฟงั กช์ นั หรอื ไมเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั จะตอ้ งใช้ หนา 73 จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
บทนยิ ามแล้วใช้สมบตั กิ ารเทา่ กัน พิจารณาคา่ ของ y และ z คําตอบ

“สา� หรับ x, y และ z ใด ๆ ถ้า (x, y)∊f และ (x, z)∊f แลว้ y = z” รู้ (knowing)

ตัวอย่างท ่ี 14 1. ครูอธิบายเพิ่มเติมวา การเขียนความสัมพันธ
นอกจากจะเขยี นในรปู แบบของคอู นั ดบั แลว ยงั
ใหพ้ จิ ำรณำวำ่ ควำมสมั พันธ์ทกี่ �ำหนดตอ่ ไปนี้เปน็ ฟังกช์ นั หรอื ไม่ สามารถเขยี นในรปู แบบบอกเงอื่ นไขไดอ กี ดว ย
1) r1 = { (x, y) y=x- 1 } 2) r2 = { (x, y) ∣ y = x2 + 4 }
3) r3 = { (x, y) ∣ y2 = x } เชน ความสมั พันธ r = { (a, b) ͉ a2 = ͉b͉ }
∣
ซงึ่ การหาวา ความสมั พนั ธด งั กลา วเปน ฟง กช นั
วธิ ที ำ� 1) จาก y = x - 1 จะได้ x = y + 1 หรือไมเ ปน ฟง กช ัน จะตอ งใชบ ทนิยามแลว ใช
ให้ (x, y) และ (x, z) เปน็ คูอ่ ันดับใน r1 สมบตั กิ ารเทา กนั พจิ ารณาคา ของ y และ z ดงั น้ี
จะได้ x= y + 1 และ x = z+1 “สาํ หรับ x, y และ z ใดๆ ถา (x, y)∊f และ
ดงั น้ัน y + 1 = z + 1 (x, z)∊f แลว y = z”
y =z 2. ครูใหน กั เรียนศกึ ษาตัวอยา งที่ 14 ในหนงั สอื -
นั่นคือ r1 = { (x, y) ∙ y = x - 1 } เปน็ ฟงั กช์ นั เรียน หนา 63 จากน้ันครอู ธบิ ายอยางละเอยี ด
2) จาก y = x2 + 4 จะได้ x2 = y - 4 อีกคร้งั
ให้ (x, y) และ (x, z) เปน็ ค่อู ันดบั ใน r2=
จะได้ x2 = y - 4 และ x2 z-4 เขา้ ใจ (Understanding)
ดังน้นั y - 4 = z - 4
y =z ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
นัน่ คือ r2 = { (x, y) ∙ y = x2 + 4 } เปน็ ฟังกช์ นั หนา 64 และแบบฝกทักษะ 2.1 ขอ 9(3)-(6)
3) จาก y2 = x จะได้ x = y2 หนา 73 จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันเฉลย
คําตอบ

ให้ (x, y) และ (x, z) เปแ็นละคูอ่ นัxดบั =ในz2r3
จะได้ว่า x = y2
ดงั นัน้ y2 = z2
y = z หรอื y = -z
นน่ั คือ r3 = { (x, y) ∙ y2 = x } ไม่เป็นฟงั กช์ นั
ฟังก์ชัน 63

กจิ กรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครใู หน กั เรยี นปฏิบตั ิตามขั้นตอนตอ ไปน้ี ครูอธบิ ายเพม่ิ เติม โดยการยกตัวอยา งที่ 14 จากขอ 3) วา ความสัมพนั ธ
• แบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร y2 = x ไมเปนฟงกช ัน เพราะมี (4, 2) และ (4, -2) สอดคลอ งกบั ความสัมพันธ
ซ่ึงจะมโี ดเมน คอื 4 และมเี รนจเปน 2 และ -2
(ออน ปานกลาง และเกง )
• ใหแ ตล ะกลมุ เขยี นความสมั พนั ธท เี่ ปน ฟง กช นั และไมเ ปน ฟง กช นั

มาอยา งละ 1 ตัวอยาง และเขยี นแสดงวธิ ีทาํ ลงในกระดาษ A4
• สง ตัวแทนออกมานาํ เสนอหนาชนั้ เรยี น

T69

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ลองทําดู

รู้ (knowing) ใหพ้ ิจารณาว่า ความสัมพันธท์ ีก่ �าหนดตอ่ ไปนเ้ี ป็นฟังกช์ ันหรอื ไม่ ฝกทําตอ
1) r1 = { (x, y) y=x+ 10 }
1. ครอู ธบิ ายการพจิ ารณาความสมั พนั ธท ก่ี าํ หนด 2) r2 = { (x, y) ∙ y2 = x - 4} แบบฝก ทกั ษะ 2.1
ดวยกราฟวา เปนฟงกชันหรือไมเปนฟงกชัน ∙ ขอ 9(3)-(6)
โดยครูอธิบายวา ถาลากเสนตรงที่เชื่อมจุด
(x, y) และ (x, z) จะเปนเสนตรงทีข่ นานกบั การพิจารณาความสัมพันธ์ท่ีก�าหนดดว้ ยกราฟว่า เปน็ ฟงั กช์ ันหรือไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั จะต้องใช้
แกน Y ดังนั้น ในการพิจารณาฟงกชันจาก บทนิยาม
ความสัมพันธจึงตองลากเสนตรงท่ีขนานกับ
แกน Y แลวพิจารณาจาํ นวนจุดตัดทเี่ สนตรงน้ี “สำ� หรบั x, y และ z ใด ๆ ถ้ำ (x, y)∊f และ (x, z)∊f แลว้ y = z”
ตัดกับกราฟ ถามีจํานวนจุดตัดเพียง 1 จุด และจากบทนยิ าม ถา้ ลากเสน้ ตรงทเี่ ชอื่ มจดุ (x, y) และ (x, z) จะเปน็ เสน้ ตรงที่ขนานกับ
ความสัมพนั ธน ัน้ เปนฟงกช นั และถา มจี าํ นวน แกน Y ดังน้ัน ในการพิจารณาฟังก์ชันจากความสัมพันธ์จึงต้องลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y
จุดตัดมากกวา 1 จดุ ความสมั พนั ธน ้นั ไมเปน แลว้ พจิ ารณาจา� นวนจดุ ตดั ทเ่ี สน้ ตรงนตี้ ดั กบั กราฟ ถา้ มจี า� นวนจดุ ตดั เพยี ง 1 จดุ ความสมั พนั ธน์ น้ั
ฟงกชนั เป็นฟังก์ชนั ถ้ามีจ�านวนจุดตัดมากกว่า 1 จุด ความสมั พนั ธน์ นั้ ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชัน ดังตัวอย่าง

2. ครูใหนกั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งที่ 15 ในหนังสอื - ตัวอยา่ งที่ 15
เรยี น หนา 64 จากนั้นครอู ธิบายตวั อยางท่ี 15
อกี ครงั้ เพอ่ื ใหน กั เรยี นเขา ใจมากยงิ่ ขนึ้ โดยครู ให้พจิ ำรณำว่ำ ควำมสัมพนั ธท์ ี่กำ� หนดตอ่ ไปนเี้ ปน็ ฟงั ก์ชันหรอื ไม่ โดยใชก้ รำฟ
อธบิ ายวา
ขอ 1) เมื่อลากเสนตรงท่ีขนานกับแกน Y 1) Y 2) Y
จะตัดกราฟของความสัมพันธเพียง
1 จุด เทานนั้ 0 X 0 X
ดงั น้ัน ความสมั พนั ธน ี้เปน ฟงกช ัน
ขอ 2) เม่ือลากเสนตรงท่ีขนานแกน Y จะตดั 3) Y 4) Y
กราฟของความสัมพนั ธมากกวา 1 จดุ
ดังนน้ั ความสมั พันธนไ้ี มเ ปนฟงกช นั 0X 0X
ขอ 3) เมอื่ ลากเสน ตรงที่ขนานแกน Y จะตัด
กราฟของความสัมพนั ธมากกวา 1 จุด วธิ ีทำ� 1) Y
ดงั นน้ั ความสัมพันธน้ีไมเ ปนฟงกชนั
ขอ 4) เมือ่ ลากเสน ตรงทีข่ นานแกน Y จะตัด 0 เนอ่ื งจากเสน้ ตรงทขี่ นานกบั แกน Y ทกุ เสน้
กราฟของความสัมพันธเพียง 1 จุด ตดั กราฟของความสัมพันธ์เพยี ง 1 จุด เท่านน้ั
เทานั้น 64 X ดังน้ัน ความสมั พนั ธ์นเ้ี ป็นฟงั กช์ ัน
ดังนั้น ความสมั พันธนีเ้ ปนฟง กชัน

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสริม

ครเู นน ยาํ้ เรอื่ ง การตรวจสอบการเปน ฟง กช นั โดยใชก ราฟและยกตวั อยา ง 1. ครูใหน กั เรียนจับคู แลวพจิ ารณาความสัมพันธท ี่กําหนดให
เพม่ิ เตมิ จากตัวอยางที่ 15 ดังนี้ ตอ ไปนี้
• y = x3
YY YY • y = ͉x2͉ - 1
• 3y + 2x = 4
0 X0 X 0 X0 X • x2 + y2 = 9
• ͉x͉ - ͉y͉ = 16
จากกราฟขา งตน จะเหน็ วา ถา ลากกราฟขนานกบั แกน Y แลว จะมจี าํ นวน •y= y+5
จุดตัดมากกวา 1 จุด • y = x3
• y = 2x - 3
นนั่ คอื กราฟดงั กลา วไมเปนฟงกชัน
2. ตรวจสอบความสมั พันธ ขอ 1. วา เปน ฟงกช ันหรอื ไม โดยใช

โปรแกรม GeoGebra

หมายเหตุ : ครูควรใหน ักเรยี นเกง และนกั เรียนออ นจับคกู นั

T70

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) Y เนื่องจากมเี ส้นตรงที่ขนานกบั แกน Y ขน้ั สอน
ตัดกราฟของความสัมพนั ธม์ ากกวา่ 1 จดุ
0 X ดังนั้น ความสมั พันธ์นไี้ มเ่ ปน็ ฟงั กช์ นั รู้ (knowing)

3) Y เน่ืองจากมเี สน้ ตรงที่ขนานกับแกน Y 3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในบางครั้ง ถาเขียน
ตัดกราฟของความสัมพนั ธม์ ากกวา่ 1 จุด ความสมั พันธใ นรปู แบบบอกเงอื่ นไข นกั เรียน
0 X ดังนนั้ ความสัมพันธน์ ไ้ี ม่เปน็ ฟงั กช์ ัน สามารถเขียนกราฟจากความสัมพันธแบบ
บอกเงื่อนไขกอน แลวพิจารณาวา เมื่อลาก
เสนตรงขนานแกน Y แลวจะตัดกราฟของ
ความสมั พนั ธเ พยี งจดุ เดยี วหรอื ไม ถา ตดั เพยี ง
จดุ เดยี ว แสดงวา เปน ฟง กช นั เชน ความสมั พนั ธ
r = { (x, y) ͉ y = 2x + 5 } จากสมการ จะเห็นวา
เปน สมการเสนตรง เมือ่ เขยี นกราฟจะได ดังน้ี

Y

4) Y เนอื่ งจากเสน้ ตรงทข่ี นานกบั แกน Y ทกุ เสน้ 5
4
0X ตดั กราฟของความสัมพนั ธ์เพยี ง 1 จดุ เทา่ น้นั 3
ดงั นั้น ความสัมพนั ธ์น้เี ปน็ ฟังกช์ นั 2
1 X
12 3
-5 -4 -3 -2 -1 0
ลองทาํ ดู -1

ใหพ้ ิจารณาว่า ความสมั พนั ธท์ กี่ �าหนดต่อไปน้ีเปน็ ฟงั ก์ชนั หรอื ไม่ โดยใชก้ ราฟ จากกราฟ จะเห็นวา เม่ือลากเสนตรงขนาน
แกน Y แลวจะตัดกราฟของความสัมพันธ
1) Y 2) Y เพียง 1 จุด เทาน้ัน ดังนั้น ความสัมพันธ
แบบบอกเง่ือนไขดังกลา ว เปน ฟง กชนั
0X 0 X ฝกทําตอ
แบบฝก ทักษะ 2.1 เขา้ ใจ (Understanding)
ขอ 10
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
Journal Writing หนา 65 และแบบฝก ทกั ษะ 2.1 ขอ 10. โดยสมุ
ใหน กั เรยี นออกมานาํ เสนอคาํ ตอบหนา ชนั้ เรยี น
ใหน้ ักเรียนเขียนกราฟต่อไปน้ี พร้อมท้ังตรวจสอบกราฟวา่ เปน็ ฟงั ก์ชนั หรอื ไม่ เพราะเหตุใด โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง
1) y = 5x - 1 2) y = 0.4x2
3) y = x3 4) y = x 2. ครใู หนักเรียนจับคูทํา “Journal Writing” ใน

ฟังก์ชัน 65 หนังสอื เรียน หนา 65 แลว แลกเปลี่ยนความรู
สนทนาซักถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกัน จากน้นั
ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น
โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั ตรวจสอบ
ความถกู ตอง

เฉลย Journal Writing เน่ืองจากเสน ตรงทข่ี นานกับแกน Y ทกุ เสน 3) Y เนื่องจากเสนตรงทีข่ นานกับแกน Y ทกุ เสน
1) Y ตัดกราฟของความสมั พันธเ พียง 1 จุด เทา น้ัน 0 ตดั กราฟของความสมั พนั ธเพยี ง 1 จุด เทานั้น
ดังนั้น ความสัมพันธน ้ีเปนฟงกช นั y = x3 ดังนัน้ ความสมั พนั ธน ี้เปนฟง กช นั
y = 5x - 1

0X X

2) เนอื่ งจากเสนตรงท่ีขนานกับแกน Y ทกุ เสน 4) Y เน่อื งจากเสนตรงท่ีขนานกับแกน Y ทุกเสน
Y ตัดกราฟของความสมั พันธเพยี ง 1 จดุ เทา นน้ั ตัดกราฟของความสมั พนั ธเ พียง 1 จดุ เทานนั้
ดงั นน้ั ความสัมพันธน ้ีเปนฟงกชนั y = x ดังน้นั ความสมั พนั ธน้เี ปน ฟงกชนั

y = 0.4x2 X T71

0X 0

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ข้อตกลงเก่ยี วกบั สัญลักษณ์ของฟงั กช์ นั

รู้ (knowing) ถ้า f เป็นฟังกช์ นั และ (x, y)∊f แลว้ จะกลา่ ววา่ y เป็นคา่ ของฟงั กช์ ัน f ที่ x และเขียน
แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ y = f(x) ซงึ่ เขยี นแสดงด้วยแผนภาพได้ ดงั น้ี
ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาขอ ตกลงเกย่ี วกบั สญั ลกั ษณ
ของฟงกช ันในหนงั สอื เรียน หนา 66 จากนัน้ ครู ATTENTION
ถามคําถามนกั เรยี น ดงั นี้
x y = f(x) f(x) อ่านว่า “เอฟของเอก็ ซ์”
• ถา f เปนฟงกชัน และ (x, y)∊f แลว หรือ “เอฟเอ็กซ์”
จะกลาววา y เปนคาของฟงกชัน f ท่ี x
สามารถเขยี นแทนดวยสัญลักษณใด กา� หนด y = f(x) = 3x และ x = 1 INFORMATION
(แนวตอบ y = f(x)) จะได้ f(1) = 3(1) = 3 สญั ลกั ษณข์ องฟังก์ชัน f
ดังน้ัน คา่ ของฟังกช์ นั f ท่ี x = 1 คอื 3 จาก X ไป Y เขียนแทนด้วย
• ฟง กช ัน f จาก X ไป Y สามารถเขยี นแทน f : XY
ดว ยสัญลกั ษณใด
(แนวตอบ f : X → Y) การเขยี นฟงั กช์ นั สามารถเขยี นในรปู แบบบอกเงอื่ นไขของสมาชกิ ในเซต โดยใชค้ อู่ นั ดบั (x, y)
แทนสมาชกิ ใด ๆ ในเซต เช่น
• กาํ หนดให y = f(x) = 2x - 5 คา ของฟง กช นั
f ที่ x = 1 คอื เทาใด f = { (x, y)∊R × R ∙ y = 3x }
(แนวตอบ คา ของฟงกชนั f ที่ x = 1 คอื -3)
จากการเขียนฟงั ก์ชนั แบบบอกเงื่อนไขข้างต้น โดยทั่วไปนยิ มเขียนเฉพาะเง่ือนไขท่ี x กับ y
• กาํ หนดให y = 2x - 5 สามารถเขียนใน มคี วามสัมพันธก์ นั เช่น
รปู แบบบอกเงอ่ื นไขของสมาชิกไดอ ยางไร
(แนวตอบ f = { (x, y)∊R x R ͉ y = 2x - 5 }) f = { (x, y)∊R × R ∙ y = 3x } เขียนแทนดว้ ย y = 3x หรือ f(x) = 3x

• กาํ หนดให y = 2x - 5 สามารถเขยี นฟง กช นั นอกจากการเขียนฟังก์ชันแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซตแล้ว ยังสามารถเขียนฟังก์ชัน
โดยใชต ารางไดอยา งไร โดยการใชต้ าราง เช่น
(แนวตอบ
x 1234 x 123
y = f(x) -3 -1 1 3 ) y = f(x) 3 6 9

นกั เรยี นสามารถหาคา่ ของฟงั กช์ นั เมอื่ กา� หนดฟงั กช์ นั และคา่ ของ x ในโดเมนได้ ดงั ตวั อยา่ ง
ต่อไปน้ี

66

ขอสอบเนน การคดิ

กราฟในขอใดแสดงวา y เปน ฟงกช ันของ x Y Y

YY 4. 324165

1. 2-2 -1-10 1 2 X 2. 5 5X 3. 1 1X 0 123456
1
-5 0 -1 0
X
-2 -5 -1

(เฉลยคําตอบ ถาลากเสน ตรงขนานกบั แกน Y แลวมีจาํ นวนจุดตดั กราฟเพยี ง 1 จุด จะไดวา กราฟดังกลาวเปนฟงกช นั
เน่อื งจากลากเสนตรงขนานแกน Y ในขอ 2. แลว ตัดกราฟเพยี งจดุ เดยี ว แสดงวากราฟขอ 2. เปนฟงกช นั )

T72

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อย่างท่ี 16 ขน้ั สอน

ก�ำหนด f(x) = 3x + 2 โดยท่ี x เป็นจำ� นวนจริงใด ๆ รู้ (knowing)
และ g(x) = 5x - 4 โดยที่ x เป็นจ�ำนวนจรงิ ใด ๆ
1. ครูเขียนโจทยตัวอยางท่ี 16 ในหนังสือเรียน
ให้หำค่ำของ หนา 67 พรอมทั้งแสดงวิธีทําอยางละเอียด
บนกระดาน
1) f(2) 2) f(-5)
3) f(13) 2. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติม แลวถามคําถามเพ่ือ
5) 2g(7) 4) g(3) ตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียน ดังนี้
6) g(- 53) กาํ หนด f(x) = 2x + 3 โดยท่ี x เปน จาํ นวนจรงิ
7) หำค่ำ x ทีท่ ำ� ให้ f(x) = 17 8) หำค่ำ x ทที่ ำ� ให้ f(x) = g(x) ใดๆ
• f(3) มีคาเทาใด
วิธีท�ำ จาก f(x) = 3x + 2 และ g(x) = 5x - 4 จะได้ (แนวตอบ f(3) = 2(3) + 3 = 9)
• f(-6) มีคาเทาใด
1) f(2) = 3(2) + 2 2) f(-5) = 3(-5) + 2 (แนวตอบ f(-6) = 2(-6) + 3 = -9)
=8 = -13 • f(แ26นวตมอีคบาfเท62าใด= 2 62 + 3 = 131)
• คา x ท่ีทําให f(x) = 11 มคี า เทาใด
3) f(13) = 33(31) + 2 4) g(3) = 5(3) - 4 (แนวตอบ x = 4)
= = 11

5) 2g(7) = 2[5(7) - 4] 6) g(- 35) = 5-3(--35)4 - 4
= 2(31) =
= 62
= -7

7) จาก f(x) = 17 8) จาก f(x) = g(x)
จะได้ 3x + 2 = 17 จะได้ 3x + 2 = 5x - 4
3x = 15 2x = 6
ดังนัน้ x = 5 ดังนัน้ x = 3

ฟังก์ชัน 67

ขอ สอบเนน การคดิ

x+5 ; x<2
กําหนดให f(x) = x2 - 4x + 5 ; 2 ≤ x < 3

10 ; x ≥ 3
คา ของ f(0) + f(2) + f(4) เทากับเทาใด

1. 3 2. 7
3. 12 4. 16
(เฉลยคาํ ตอบ f(0) + f(2) + f(4)
= (0 + 5) + [(2)2 - 4(2) + 5] + 10
= 5 + 1 + 10
= 16
ดังน้ัน คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

T73

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ลองทาํ ดู

รู้ (knowing) ก�าหนด f(x) = 6x - 1 โดยท่ี x เปน็ จ�านวนจริงใด ๆ
และ g(x) = -3x โดยที่ x เป็นจ�านวนจริงใด ๆ
3. ครูใหน ักเรียนศึกษาตัวอยา งที่ 17 ในหนังสือ-
เรียน หนา 68 แลวครูอธบิ ายและแสดงวิธีทํา ใหห้ าคา่ ของ
ตัวอยางที่ 17 บนกระดานอยางละเอียด
พรอ มทงั้ เปด โอกาสใหน กั เรยี นซกั ถามเมอื่ เกดิ 1) f(4) 2) f(-2) ฝกทําตอ
ขอ สังสยั 3) f(16)
5) 3g(7) 4) g(5) แบบฝก ทกั ษะ 2.1
4. ครูกลาววา การหาคาของฟงกชัน ไมจําเปน 7) หาคา่ x ทท่ี �าให้ f(x) = 23 6) g(- 32) ขอ 11-14, 18-21
ตองไดคําตอบเปนคาคงตัวเสมอไป จากนั้น 8) หาคา่ x ทที่ า� ให้ f(x) = g(x)
ครูยกตัวอยางเพิ่มเติม แลวถามคําถามเพ่ือ
ตรวจสอบความเขา ใจของนักเรียน ดงั น้ี ตวั อยา่ งท่ ี 17
กาํ หนด f(x) = 2x2 - 5 โดยที่ x เปน จํานวน
จรงิ ใดๆ ก�ำหนด f(x) = 3x2 - 4 โดยที่ x เป็นจ�ำนวนจรงิ ใด ๆ
ให้หำค่ำของ
• f(-3a) มีคา เทา ใด 1) f(a) 2) f(a + 2)
(แนวตอบ f(-3a) = 2(-3a)2 - 5 = 2(9a2) - 5 3) f(a2) 4) f(2a)
= 18a2 - 5)
วธิ ีท�ำ 1) f(a) = 3a2 - 4 2) f(a + 2) = 3(a + 2)2 - 4
• f(a - 3) มคี าเทาใด 3) f(a2) = 3(a2)2 - 4 = 3(a2 + 4a + 4) - 4
(แนวตอบ f(a - 3) = 2(a - 3)2 - 5 = 3a4 - 4 = 3a2 + 12a + 12 - 4
= 2(a2 - 6a + 9) - 5 = 3a2 + 12a + 8
= 2a2 - 12a + 18 - 5
= 2a2 - 12a + 13) 4) f(2a) = 3(2a)2 - 4
= 3(4a2) - 4
เขา้ ใจ (Understanding) = 12a2 - 4

ครใู หน กั เรยี นทาํ กจิ กรรมตอ ไปนี้ ลองทาํ ดู
• ใหน กั เรียนแบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ
ก�าหนด g(x) = x2 + 5 โดยท่ี x เป็นจ�านวนจรงิ ใด ๆ ฝกทําตอ
ความสามารถทางคณิตศาสตร (ออ น ใหห้ าค่าของ
ปานกลาง และเกง) 1) g(a) 2) g(a - 2) แบบฝกทกั ษะ 2.1
• ใหนักเรียนแตละกลุมทํา “ลองทําดู” ใน 3) g(a2) 4) g(3a) ขอ 22, 27
หนังสือเรียน หนา 68 และแบบฝกทักษะ
2.1 ขอ 11.-14. ในหนงั สอื เรยี น หนา 74 68
• ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา
ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
รว มกนั ตรวจสอบความถกู ตอง
ถา f(x - 3) = 3x - 1 แลว f(x2) มีคา เทากับขอใดตอไปนี้
T74 1. x2 - 8
2. x2 + 8
3. 3x2 + 8
4. 3x2 - 8
5. -x2 - 8
(เฉลยคําตอบ f(x - 3) = 3x - 1
f(x + 3 - 3) = 3(x + 3) - 1
f(x) = 3x + 9 - 1
= 3x + 8
f(x2) = 3x2 + 8
ดังนั้น คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อย่างท ่ี 18 ขนั้ สอน

ใหเ้ ขยี นภำพแสดงควำมสมั พันธข์ องฟังก์ชนั f(x) = 2x + 1 โดยท่ี x เปน็ จำ� นวนเต็มใด ๆ รู้ (knowing)

วิธที ำ� ATTENTION 1. ครูเขียนโจทยตัวอยางที่ 18 ในหนังสือเรียน
เสน้ จา� นวน 2 เสน้ ทขี่ นานกนั หนา 69 พรอมท้ังแสดงวิธีทําอยางละเอียด
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 เรนจ์ แสดงโดเมนและเรนจ์ของ บนกระดาน
ฟังก์ชันที่ก�าหนดให้ โดย
f ลูกศรแสดงความสัมพันธ์ 2. ครูอธิบายเพิ่มเติมวา การเขียนกราฟของ
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 โดเมน ของแตล่ ะคู่ ฟงกชันที่กําหนดให นอกจากจะเขียนเปน
กราฟคูอันดับแลว สามารถเขียนแทนบน
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ เสน จํานวนไดอกี ดว ย และเสนจํานวน 2 เสน
ท่ีขนานกันแสดงโดเมนและเรนจของฟงกชัน
ให้เขียนแผนภาพแสดงความสมั พนั ธ์ของฟังก์ชัน f(x) = 2x - 1 แบบฝกทักษะ 2.1 ที่กําหนดให โดยลูกศรแสดงความสัมพันธ
โดยท่ี x เปน็ จ�านวนเต็มใด ๆ ขอ 23-24 ของแตละคู

พิจารณากราฟของฟงั กช์ ัน f และ g Y 3. ครยู กตวั อยา งเพมิ่ เตมิ แลว ถามคาํ ถามนกั เรยี น
10 ดังน้ี
Y 8g • นักเรียนสามารถเขียนภาพแสดงความ
6 สมั พันธของฟง กช ัน x + 2 โดยท่ี x เปน
10 f X 4 X จํานวนเตม็ ใดๆ ไดอ ยางไร
8 1 2 34 2 (แนวตอบ
6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 เรนจ
2
-4 -3 -2 -1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 โดเมน )

จากกราฟ f จะเหน็ ว่า กราฟมีจดุ ท้ังหมด 7 จุด ดงั น้ี (-3, 9), (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), เขา้ ใจ (Understanding)
(2, 4) และ (3, 9) ซ่ึงเม่ือลากเสน้ ผา่ นท้ัง 7 จุด จะได้เปน็ กราฟเส้นโค้ง ดังกราฟ g
และจากกราฟ g ถ้าขยายขอบเขตของโดเมนใหม้ ากขนึ้ จะเหน็ วา่ เสน้ กราฟจะสงู ขึน้ เรอื่ ย ๆ ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
ดังกราฟ h หนา 69 จากน้ันครูสุมใหนักเรียนออกมาเฉลย
Y หนา ช้นั เรียน โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

10 X
8h
6 ฟังก์ชัน 69
4
2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

กิจกรรม ทาทาย บูรณาการอาเซียน

ครูใหนักเรยี นจับคู แลว ปฏบิ ตั ติ ามข้นั ตอนตอ ไปนี้ การจดั กจิ กรรมการเรยี นการสอน เรอ่ื ง ความสมั พนั ธข องฟง กช นั ครสู ามารถ
• กําหนดแผนภาพแสดงความสมั พนั ธของฟงกช นั ดังน้ี เช่ือมโยงบูรณาการความรูกับประเทศในกลุมอาเซียนได โดยใหนักเรียนสืบคน
ขอมูลที่แสดงใหเห็นถึงความสัมพันธของฟงกชันมาประยุกตใชที่เก่ียวของกับ
-1 5 เรนจ อาเซียน เชน เวลาของประเทศบรูไนเร็วกวาเวลาของประเทศไทย 1 ช่ัวโมง
ให y แทน เวลาของประเทศบรไู น และ x แทน เวลาของประเทศไทย จะได
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 โดเมน ความสัมพันธ y = x + 1

• ใหหาฟง กช นั f ท่อี ยใู นรปู f(x) = ax + b จากแผนภาพความ

สัมพนั ธข า งตน
• หาคาของ f(10)
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรียนเกง และนักเรยี นออนจับคูกัน

T75

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน จากกราฟของฟงกช ัน f, g และ h จะไดโดเมนและเรนจข องฟง กชนั ดังนี้
โดเมนของ f คอื { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } และเรนจข อง f คือ { 0, 1, 4, 9 }
รู้ (knowing) โดเมนของ g คือ -3 ≤ x ≤ 3 หรอื [-3, 3] และเรนจของ g คอื 0 ≤ g(x) ≤ 9 หรอื [0, 9]
โดเมนของ h คือ จาํ นวนจริงใด ๆ และเรนจของ h คือ h(x) ≥ 0 หรือ [0, ∞)
1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษากราฟของฟง กช นั f และ g
ในหนังสือเรียน หนา 69 จากน้ันครูอธิบาย ในกรณีท่ัวไป เรนจของฟงกชัน คอื ภาพฉาย (projection) ของกราฟของฟง กชันบนแกน Y
เพม่ิ เตมิ ใหนักเรียนเขา ใจยิ่งขึ้น โดยครูอธบิ าย แสดงได ดงั รปู
- โดเมนของ f คือ { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } f(x)
และเรนจข อง f คือ { 0, 1, 4, 9 }
- โดเมนของ g คอื -3 ≤ x ≤ 3 หรอื [ -3, 3 ] (b, f(b))
และเรนจของ g คือ 0 ≤ g(x) ≤ 9 หรอื
[0, 9] เรนจข อง f
- โดเมนของ h คือ จํานวนจรงิ ใดๆ และเรนจ
ของ h คอื h(x) ≥ 0 หรอื [0, ∞) 0 (a, f(a)) x
ในกรณีท่วั ไป เรนจข องฟง กชัน คอื ภาพฉาย เรนจข อง f : f(a) ≤ f(x) ≤ f(b)
(Projection) ของกราฟของฟง กช นั บนแกน Y
แสดงได ดงั รูป ในหนงั สอื เรียน หนา 70 ตวั อยา งท่ี 19

2. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในการบอกคาโดเมน กําหนด y = 12 x เม่อื -4 ≤ x ≤ 8 ใหหาเรนจของฟง กช ัน
และเรนจของฟงกชัน สามารถบอกไดเปน วธิ ที ํา จเขายีกนyกร=าฟ12ขxอง y = 12 x ได ดังน้ี Y
รปู แบบตา งๆ 2 รูปแบบ ไดแก
- การบอกเปนเซต โดยพิจารณาจากฟงกชัน 8 2468 X
ท่กี าํ หนดให เชน f(x) = { (1, 2), (3, 4), 6
(5, 6) } โดเมน คอื { 1, 3, 5 } และเรนจ คอื 4
{ 2, 4, 6 } 2
- การบอกเปนชว ง เชน ฟง กชัน f(x) = { (x, y)
∊R x R ͉ y = 2x } จะได โดเมน คอื (-∞, ∞) -8 -6 -4 -2 -20
และเรนจ คือ (-∞, ∞) -4
จากนน้ั ครเู ขยี นโจทยต วั อยา งท่ี 19 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 70 พรอมทงั้ แสดงวธิ ที าํ จากกราฟ จะไดเรนจของกราฟอยูในชวง -2 ≤ y ≤ 4 ฝกทําตอ
อยางละเอียดบนกระดาน ดังน้นั Rf = { y ͉ y∊R และ -2 ≤ y ≤ 4 } หรือ [-2, 4]
แบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 15
เขา้ ใจ (Understanding) ลองทําดู

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน กาํ หนด y = x2 เมอื่ -4 ≤ x ≤ 4 ใหห าเรนจของฟง กช นั
หนา 70 และแบบฝก ทักษะ 2.1 ขอ 15. หนา 75
จากนนั้ ครสู มุ ใหน กั เรยี นออกมาเฉลยหนา ชน้ั เรยี น 70
โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสรมิ

ครูใหความรูเพิ่มเติมจากตัวอยางท่ี 19 วา เมื่อเขียนกราฟของ y = =12 x ครูใหนักเรียนจับคู แลวเขยี นกราฟความสัมพันธต อ ไปน้ี
จะไดวา กราฟมคี าตํ่าสดุ เมื่อ x = -4 จะได y = -2 และมคี า สงู สดุ เม่ือ x 8 • y = { (x, y) ͉ (2 < x < 4), 2 - x < 2y < x - 2) }
จะได y = 4 แลว ใหพ จิ ารณาคา ท่ี y = -2 และ y = 4 ท่ีลากเสน ไปต้ังฉากกบั • y = { (x, y) ͉ (2 ≤ x ≤ 4), 2 - x ≤ 2y ≤ x - 2) }
แกน Y นนั่ คอื จะไดภ าพฉายของกราฟอยูในชวง [-2, 4] ซ่ึงกค็ ือเรนจนัน่ เอง • y = { (x, y) ͉ (2 < x ≤ 4), 2 - x ≤ 2y < x - 2) }
• y = { (x, y) ͉ (2 ≤ x < 4), 2 - x < 2y ≤ x - 2) }

หมายเหตุ : ครคู วรใหนักเรยี นเกงและนกั เรยี นออนจบั คูกนั

T76

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอยางท่ี 20 ขนั้ สอน

กําหนด f(x) = 2x - 1 โดยท่ี -1 ≤ x ≤ 3 ใหห าเรนจของฟงกชัน รู้ (knowing)
วิธที ํา จาก f(x) = 2x - 1
1. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา ในการหาเรนจของ
พิจารณาท่ี x = -1 จะได f(-1) = 2(-1) - 1 = -3 ฟง กช นั ทก่ี าํ หนดให โดยทโี่ จทยก าํ หนดชว งของ
พจิ ารณาท่ี x = 3 จะได f(3) = 2(3) - 1 = 5 โดเมนมาแลว นักเรียนสามารถกําหนดคา x
เขยี นกราฟของฟงกชนั ได ดงั น้ี ที่นอยที่สุดและมากที่สุดของชวงที่กําหนดให
เพ่อื หาชว งของเรนจหรอื คา y เชน
Y กําหนด g(x) = 3x โดยที่ -2 < x < 2 หาเรนจ
ของฟงกช ันได ดงั นี้
5 12345 X จาก g(x) = 3x
4 พิจารณา x = -2
3 จะได g(x) = 3(-2) = -6
2 พจิ ารณา x = 2
1 จะได g(x) = 3(2) = 6
เน่ืองจากชวงของโดเมนหรือคา x เปน -2
-5 -4 -3 -2 -1 -10 และ 2 ไมไ ด เพราะเปน ชว งเปด
-2 ดงั นั้น คา ของเรนจจ ะเปน ชวงเปด ดว ย
-3 นัน่ คือ เรนจอ ยูในชว ง (-6, 6)

จากกราฟ จะไดค า ของฟง กชนั อยูใ นชวง -3 ≤ y ≤ 5 2. ครูเขียนโจทยตัวอยางท่ี 20 ในหนังสือเรียน
ดังนนั้ Rf = { y ͉ y∊R และ -3 ≤ y ≤ 5 } หรือ [-3, 5] หนา 71 พรอมท้ังแสดงวิธีทําอยางละเอียด
บนกระดาน
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

กําหนด f(x) = 3x - 4 โดยที่ -5 ≤ x ≤ 0 ใหห าเรนจข องฟงกช ัน แบบฝก ทกั ษะ 2.1 ขอ 16,
25-26, 28

Thinking Time ฟงกชัน 71 เฉลย Thinking Time

ปราโมทยแสดงวธิ ีหาคําตอบจากตวั อยา งที่ 20 ดงั นี้ เหน็ ดวย เพราะนกั เรยี นสามารถหาเรนจ หรอื
จากเงือ่ นไข -1 ≤ x ≤ 3 f(x) โดยการจัดรปู อสมการจากโดเมนได
จะได -2 ≤ 2x ≤ 6

-3 ≤ 2x -1 ≤ 5
-3 ≤ f(x) ≤ 5
นกั เรยี นเหน็ ดว ยกบั วิธีหาคําตอบของปราโมทยห รอื ไม เพราะเหตใุ ด

การหาโดเมนและเรนจของฟงกชันจากกราฟ
ที่สรา งโดยใชโปรแกรม GeoGebra

ขอสอบเนน การคิด เกร็ดแนะครู
ให A = I, B = I+ 1 2- x
ขอ ใดคอื โดเมนของ r และ r = { (x, y)∊A × B͉ y = } ครใู หค วามรเู พม่ิ เตมิ จากตวั อยา งที่ 20 วา เมอื่ เขยี นกราฟของ f(x) = 2x - 1
จะไดว า กราฟมคี าต่ําสดุ เมื่อ x = -1 จะได y = -3 และมีคาสงู สุด เมือ่ x = 3
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย r = { (x, y)∊A × B͉ y = 1 2- x } จะได y = 5 แลวพิจารณาคา ที่ y = -3 และ y = 5 ทล่ี ากเสนไปตัง้ ฉากกับ
เจนขะัน่ ยี ไคนดอื ใ ห1ตม-อ ไxงดหหเ ปาานรxดrทวย=่ีทาํ 2{ใ(หxล,งyyต)ัวห∊รหือI ร×ือ1อI2-+า͉จxyกเล=ปาน ว1จไ2ํา-ดนวxวา}นเ1ต-ม็ xบวตกอง แกน Y นนั่ คอื จะไดภาพฉายของกราฟอยูในชวง [-3, 5] ซ่ึงก็คอื เรนจน ่ันเอง

เปนจาํ นวนคบู วกเทา น้นั สอื่ Digital
1 - x = { 2, 4, 6, ... }
x = { -1, -3, -5, ... } ครูเปดส่ือการเรียนรู เร่ือง การหาโดเมนและเรนจของฟงกชันจากกราฟ

ทีส่ รางโดยใชโปรแกรม GeoGebra ในหนงั สือเรียน หนา 71

นนั่ คอื โดเมนของ r = { -1, -3, -5, … })

T77

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน แบบฝึกทักษะ 2.1

เขา้ ใจ (Understanding) ระดบั พ้ืนฐาน

1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1. ก�ำหนด A = { p, q, r, s } และ B = { 2, 3 } ใหห้ ำ
หนา 71 และกิจกรรม “Thinking Time” ใน
หนังสอื เรยี น หนา 71 จากน้นั ครูสมุ นักเรียน 1) A × B 2) B × A
ออกมาเฉลยคําตอบหนาช้ันเรียน โดยครู
ตรวจสอบความถกู ตอง 3) A × A 4) B × B

2. ครูใหนักเรยี นทาํ กิจกรรมตอ ไปน้ี 2. กำ� หนด A = { 1, 3, 5, 7, 9 } และ B = { 2, 3, 4, 5 } ใหเ้ ขียนควำมสมั พนั ธท์ ี่ก�ำหนด
• ใหน ักเรียนแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ แบบแจกแจงสมำชกิ และแบบบอกเง่อื นไข
ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออน
ปานกลาง และเกง) 1) ความสมั พันธม์ ากกวา่ จาก A ไป B
• ใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ 2.1 2) ความสัมพันธ์รากทีส่ องจาก B ไป A
ขอ 17.-26. ในหนงั สือเรยี น หนา 75-76
• ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา 3. ก�ำหนด C = { 2, 4, 6, 8 } และ r = { (x, y)∊C × C ∙ y = 2x }
ชัน้ เรียน โดยครตู รวจสอบความถกู ตอง ให้เขียนควำมสัมพันธ์ r แบบแจกแจงสมำชกิ

3. ครูใหนกั เรียนทาํ Exercise 2.1 เปน การบาน 4. ใหเ้ ขยี นกรำฟของควำมสัมพันธ์ต่อไปน้ี

1) r1 = { (-1, 1), (-2, 2), (-3, 3), (-4, 4), (-5, 5) }
2) r2 = { (1, 1y)0∊), R(21,×20R),∙(y3,=30-x),2(4+, 40), (5, 50) }
3) r3 = { (x, 1}
4) r4 = { (x, y)∊R × R ∙ y = ∙x + 3∙ }
5) r5 = { (x, y)∊R × R ∙ -2 ≤ x < 3 }

5. ก�ำหนด A = { 5, 6, 7, 8, 9 } และ r = {(x, y)∊A × A ∙ y = 2x - 5} ให้หำ
1) ความสมั พนั ธ์ r แบบแจกแจงสมาชกิ

2) โดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ r

6. 1ให) ้หrำ1โด=เม{น(xแ,ลyะ)เ∊รนIจ2×ข์ อIง∙ค3วxำม+สัม4yพัน=ธ1์ท2ี่ก}ำ� หนดต่อไปน้ี
2) r2 = { (x, y)∊R × R∙x - 5y = 1 }
3) r3 = {(x, y) ∙ y = 43xx +- 57 }

4) r4 = { (x, y) ∙ y = ∙x∙ + 3 }

5) r5 = { (x, y) ∙ y = 16 - x2 }

72

นักเรียนควรรู ขอ สอบเนน การคดิ

1 R เปนสัญลักษณของจํานวนจริง (real number) คือ จํานวนที่เปน โดเมนของความสัมพันธ r = { (x, y)͉ y = ͉x - 12͉ - 2 } มคี าเทาใด
(เฉลยคาํ ตอบ หาโดเมน
สมาชิกอยูในเซตที่เกิดจากยูเนียนของเซตของจํานวนตรรกยะและเซตของ จาก y = ͉x - 21͉ - 2
จํานวนอตรรกยะ นั่นคอื ͉x - 2͉ - 2 0
2 I เปน สญั ลกั ษณข องจาํ นวนเตม็ (integer) คอื จาํ นวนทอ่ี ยใู นเซต { ..., -2, ͉x - 2͉ 2
-1, 0, 1, 2, ... } แสดงวา x - 2 2 หรอื x - 2 -2
x 4 หรือ x 0
ดงั น้ัน โดเมนของ r คอื R - { 0, 4 })

T78

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

7. ใหห้ ำโดเมนและเรนจ์ โดยพจิ ำรณำจำกกรำฟของควำมสัมพนั ธ์ที่ก�ำหนดตอ่ ไปนี้ ขน้ั สอน

1) Y 2) Y ลงมอื ทาํ (Doing)
r1 4
1. ครูใหนักเรียนจับคู โดยใหนักเรียนเกงและ
r2 นักเรียนออนจับคูกันทําใบงานท่ี 2.3 เร่ือง
ฟงกชัน แลวใหตรวจสอบคําตอบของตนเอง
0X กับเพื่อน จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาแสดง
วิธีคิดหนาช้ันเรียน โดยครูตรวจสอบความ
-3 0 1 X ถูกตอ ง

3) Y 4) Y 2. ครูใหน ักเรียนทํากิจกรรมตอ ไปนี้
r4 • ใหนกั เรยี นแบง กลมุ กลุมละ 3-4 คน คละ
r3 ความสามารถทางคณติ ศาสตร (ออน
0 9X ปานกลาง และเกง )
0X • ใหนักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ 2.1
ขอ 27.-28. ในหนังสอื เรยี น หนา 76
-3 • ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา
ชั้นเรียน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน
รวมกนั ตรวจสอบความถกู ตอง

8. จำกแผนภำพที่กำ� หนดต่อไปน้ี ใหพ้ จิ ำรณำว่ำควำมสัมพนั ธ์ใดเปน็ ฟังก์ชัน

1) A B 2) A B

13 a5
26 b 10
39 c 15
4 12
5 15 r2

r1

9. ใหพ้ จิ ำรณำวำ่ ควำมสัมพันธท์ ก่ี ำ� หนดใหต้ ่อไปนีเ้ ป็นฟงั กช์ ันหรอื ไม่

1) r1 = { (10, 1), (20, 2), (30, 3), (40, 4) } 2) r2 = { (-1, 5), (0, 5), (1, 5) }
(x, y = x- 3} 4) r4 = (x, x2
3) r3 = { (x, y) ∙ y2 = x + 2 6) r6 = { (x, y) ∙ y = - x-1}5 }
5) r5 = { y) ∙ { y) ∙ y =
}

ฟังก์ชัน 73

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู

ความสัมพนั ธในขอใดตอ ไปน้ี เปนฟง กช นั ในการทําแบบฝกทักษะ 2.1 หนา 73 ครูควรทบทวนโดเมน (domain)
คือ เซตของสมาชิกตัวหนาของคูอันดับของความสัมพันธ และเรนจ (range)
1. { (a, b), (a, c), (c, b), (b, d) }
2. { (a, c), (b, b), (c, c), (d, a) } คอื เซตของสมาชกิ ตวั หลงั ของคอู นั ดบั ในความสมั พนั ธ จากกราฟจะไดค อู นั ดบั
3. { (b, b), (c, a), (c, d), (d, b) } (x, y) โดยท่ี x คือ โดเมน y คอื เรนจ และฟง กชัน คอื ความสมั พนั ธที่สมาชกิ
4. { (b, c), (a, d), (b, d), (c, c) } ในโดเมนแตล ะตวั จับคกู ับสมาชิกในเรนจของความสมั พนั ธเ พียงตวั เดยี ว
5. { (a, a), (a, b), (a, c), (a, d) }
นักเรียนควรรู
(เฉลยคาํ ตอบ
1 x คือ รากท่ีสองของจํานวนจริง x เมื่อ x > 0 หมายถึง จํานวนท่ี
1. ไมเปน ฟง กช ัน เพราะมีสมาชกิ (a, b), (a, c) ยกกาํ ลงั สองแลว ได x เชน 2 และ -2 เปนรากท่สี องของ 4

2. เปนฟงกช ัน เพราะสมาชิกของโดเมนไมซํา้ กนั เลย T79

3. ไมเปน ฟง กช นั เพราะมีสมาชิก (c, a), (c, d)

4. ไมเ ปน ฟง กช ัน เพราะมีสมาชิก (b, c), (b, d)

5. ไมเปนฟง กช นั เพราะมีสมาชกิ { (a, a), (a, b), (a, c),
(a, d) }

ดังนั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ 10. ใหพ้ ิจำรณำวำ่ ควำมสมั พันธท์ ก่ี �ำหนดต่อไปน้ีเปน็ ฟงั กช์ ันหรอื ไม่ โดยใชก้ รำฟ

ครถู ามคําถามนกั เรยี น เพ่ือสรปุ ความรู เรอื่ ง 1) Y 2) Y
ฟง กชนั ดังนี้
0X 0X
• ฟง กชัน มีความหมายวาอยา งไร
(แนวตอบ ฟง กช นั คอื ความสมั พนั ธท ส่ี มาชกิ 11. ก�ำหนด f(x) = 6x - 4 โดยที่ x เป็นจ�ำนวนจริงใด ๆ
ในโดเมนแตละตัวจับคูกับสมาชิกในเรนจ ใหห้ ำค่ำของ f(x) เม่ือ x∊{ -4, - 12, 13, 2 }
ของความสัมพันธเ พยี งตวั เดียวเทา นั้น)
12. กำ� หนด f(x) = 5 - 2x โดยที่ x เปน็ จ�ำนวนจริงใด ๆ
• ความสมั พันธใ ดที่ไมเ ปนฟง กช นั ใหห้ ำคำ่ ของ
(แนวตอบ ความสมั พนั ธท โ่ี ดเมนจบั คกู บั เรนจ 1) f(1) 2) f(-2)
มากกวา 1 ตวั ) 3) f(0) 4) f(3) + f(-3)

• เมื่อพิจารณาความสัมพันธที่กําหนดดวย 13. กำ� หนด g(x) = 7x + 4 โดยที่ x เป็นจำ� นวนจริงใด ๆ
กราฟ นักเรียนจะทราบไดอยางไรวาเปน
ฟง กชนั ใหห้ ำคำ่ ของ
(แนวตอบ เม่ือลากเสนตรงที่ขนานกับแกน
Y จะตดั กราฟของความสมั พันธเพยี ง 1 จดุ 1) g(2) 2x 43 x 2) g(-3)
เทา น้นั ) 3) g(47) 4) g(71) - (- 71)

• เมื่อพิจารณาความสัมพันธที่กําหนดดวย 14. กำ� หนด f(x) = + 3 และ g(x) = - 2 โดยท่ี x เป็นจำ� นวนจรงิ ใด ๆ
กราฟ นกั เรยี นจะทราบไดอ ยา งไรวาไมเปน ใหห้ ำค่ำของ
ฟงกช นั
(แนวตอบ เม่ือลากเสนตรงท่ีขนานกับแกน
Y จะตัดกราฟของความสัมพันธมากกวา
1 จดุ )

• สญั ลกั ษณ y = f(x) มีความหมายวา อยางไร
(แนวตอบ ถา f เปนฟง กชัน และ (x, y)∊f
แลวจะกลา ววา y เปน คาของฟง กช ัน f ท่ี x)

1) f(2) + g(2) 2) f(-1) - g(-1)

3) 2f(4) - 3g(6) 4) 5f(-2) - 7g(-4)

5) หาคา่ x ทที่ �าให้ f(x) = 17 6) หาค่า x ท่ที �าให้ f(x) = g(x)

74

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรม เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนและ กําหนดให f(x) = 3x2 - 2 แลว f(x + 3) มคี าตรงกบั ขอ ใด
ฝก ทกั ษะกระบวนการคดิ ดว ยตนเอง โดยแบงนกั เรยี นออกเปน 2 กลมุ แลวให 1. 3x2 + 1
แตละกลุมยกตัวอยางกราฟที่เปนฟงกชันและไมเปนฟงกชันบนกระดานแบบ 2. x2 + 6x + 6
ไมซ้าํ กนั กลมุ ใดยกตวั อยา งไดมากกวา และถกู ตอง กลุมนัน้ เปนผูชนะ ครูควร 3. x2 + 6x - 6
อธบิ ายเพมิ่ เตมิ ในกราฟทน่ี กั เรยี นยกตวั อยา งผดิ เพอื่ ใหน กั เรยี นเขา ใจไดถ กู ตอ ง 4. 3x2 + 18x + 25
5. 3x2 + 18x + 27
T80 (เฉลยคาํ ตอบ เนอื่ งจาก f(x) = 3x2 - 2
จะได f(x + 3) = 3(x + 3)2 - 2
= 3(x2 + 6x + 9) - 2
= 3x2 + 18x + 27 - 2
= 3x2 + 18x + 25
ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

15. กำ� หนดกรำฟของฟังก์ชนั y = 3 x - 2 โดยที่ 0 ≤ x ≤ 9 ดังรปู ขน้ั สรปุ

Y ครูถามคําถามนกั เรียน เพอื่ สรปุ ความรู เรอ่ื ง
7 ฟงกช นั ดงั น้ี

0 9X • ความสมั พนั ธ r = { (0, 2), (1, 3), (2, 5),
(4, 7), (6, 8) } เปน ฟง กช ันหรือไม
ให้หำเรนจ์ของฟังกช์ ัน -2 (แนวตอบ เปน ฟง กช นั )

• ความสมั พันธ r = { (0, 2), (1, 3), (2, 5),
(2, 0) } เปน ฟงกช นั หรือไม
(แนวตอบ ไมเ ปน ฟง กช นั )

• ใหนักเรียนยกตัวอยางกราฟท่ีเปนฟงกชัน
และไมเปนฟงกช นั
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย
ข้นึ อยกู ับพนื้ ฐานความรู เชน

16. ให้หำเรนจ์ของฟงั กช์ ันต่อไปน้ี เม่ือก�ำหนดโดเมน -2 ≤ x ≤ 5 เปนฟง กชัน ไมเปนฟงกช ัน
1) f(x) = 2x - 7 2) g(x) = x + 6
3) h(x) = -4x + 1 4) k(x) = 5 - x Y Y

ระดับกลาง

17. ก�ำหนด r = { (x, y) ∣ y = x2 + 4, x∊R- } ใหห้ ำโดเมนและเรนจข์ อง r 0 X0 )X

18. ก�ำหนด f(x) = 4x + 9 ใหพ้ ิจำรณำขอ้ ควำมตอ่ ไปน้ีว่ำจริงหรอื เทจ็
1) f(1) + f(2) = f(1 + 2) 2) f(2) - f(1) = f(2 - 1)
3) f(1) × f(2) = f(1 × 2) 4) f(2) ÷ f(1) = f(2 ÷ 1) • กําหนดให y = 3x - 1 สามารถเขียนใน
รูปแบบบอกเง่ือนไขของสมาชกิ ไดอ ยางไร
19. กำ� หนด g(x) = mx + c โดยที่ g(1) = 5 และ g(5) = -4 ใหห้ ำ (แนวตอบ f = {(x, y)∊R × R͉y = 3x - 1})

1) คา่ ของ m และ c 2) g(3) × g(-4) • กําหนดให y = 5x + 2 โดยที่ -2 ≤ x ≤ 4
เรนจข องฟงกชนั จะอยใู นชว งใด
20. ก�ำหนด h(x) = ax1+2 b โดยท่ี x เปน็ จ�ำนวนจรงิ ใด ๆ และ x ≠ - ab (แนวตอบ เรนจข องกราฟจะอยูในชว ง
ถำ้ h(1) = 24 และ h(-1) = -8 ใหห้ ำ -8 ≤ y ≤ 22)

1) คา่ ของ a และ b
2) คา่ ของ x ทที่ า� ให้ h(x) = 4

ฟังก์ชัน 75

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
กําหนดให f(x) = ax2 + bx + c ถา f(0) = 3, f(1) = 6 และ f(-1) = 2 แลว f(a + b + c) มคี า เทาใด
1. 49 2. 51 3. 59 4. 60 5. 61

(เฉลยคาํ ตอบ เนอ่ื งจาก f(0) = 3 จะไดว า f(0) = a(0)2 + b(0) + c = 3
c =3
.....(1)
f(1) = 6 จะไดวา f(1) = a(1)2 + b(1) + 3 = 6
a+b =3 .....(2)

f(-1) = 2 จะไดวา f(-1) = a(-1)2 + b(-1) + 3 = 2
a - b = -1
จาก (1) + (2) จะได 2a = 2 ดังนน้ั a = 1 แทน a = 1 ลงในสมการ (1) จะได 1 + b = 3 ดังน้ัน b = 2
จะไดวา a = 1, b = 2 และ c = 3 ดงั นน้ั f(x) = x2 + 2x + 3 แลว f(a + b + c) = f(1 + 2 + 3) = f(6)
นน่ั คือ f(6) = 62 + 2(6) + 3
= 51
ดังน้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 2.)
T81

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั ประเมนิ 21. ก�ำหนด f(x) = px2 + qx - 5 โดยท่ี x เป็นจ�ำนวนใด ๆ ถำ้ f(-1) = 1 และ f(1) = -8 ให้หำ
1) คา่ ของ p และ q 2) คา่ ของ x ทท่ี �าให้ f(x) = -5
1. ครตู รวจใบงานท่ี 2.3 22. ก�ำหนด g(x) = x2 - 3 โดยท่ี x เปน็ จำ� นวนจรงิ ใด ๆ ให้หำ
2. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 2.1 1) g(a) 2) g(a - 1)
3. ครตู รวจ Exercise 2.1 3) g(a + 1) - g(a - 1) 4) g(a2)
4. ครูประเมนิ การนาํ เสนอผลงาน 5) g(a3) 6) g(a3 + 1)
5. ครูสังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบคุ คล
6. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทํางานกลุม 23. ใหเ้ ขียนแผนภำพแสดงควำมสัมพันธข์ องฟงั กช์ ันต่อไปนี้ โดยท่ี x เป็นจำ� นวนเต็มใด ๆ
7. ครสู งั เกตความมวี นิ ยั ใฝเ รยี นรู

มงุ ม่ันในการทาํ งาน

1) f(x) = x + 2 2) f(x) = x2
3) f(x) = 2x2 - 2 4) f(x) = 3 - 2x2
bx
24. ก�ำหนด f : x  ax + โดยท่ี x เป็นจ�ำนวนจรงิ ใด ๆ และ x ≠ 0 แสดงควำมสัมพันธ์
ของ f ดงั รปู
x f xb
ax +
7
35
1

ใหห้ ำ 2) f(1.5)
1) คา่ ของ a และ b

25. ใหห้ ำเรนจข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้
1) f(x) = x, -1 ≤ x ≤ 1 2) g(x) = 2x - 3, -1 ≤ x ≤ 3
3) h(x) = x - 2, x ≥ 1 4) k(x) = -4x + 5, x < 2

26. ใหห้ ำโดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ันตอ่ ไปนี้
62xx ++ 37 x2x2xx--+111
1) f(x) = x+1- 1x2 2) g(x) =
3) h(x) = 4) k(x) =

ระดบั ท้าทาย

27. ก�ำหนด f(x) = axx--13 โดยท่ี x เปน็ จำ� นวนใด ๆ และ x ≠ 1 ใหห้ ำคำ่ a ที่ท�ำให้ f(a) = a
28. หำโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันต่อไปน้ี

1) f(x) = x - 2 2) g(x) = x2 + 2

76

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคดิ
x-6
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําใบงาน กาํ หนดให f(x) = 6 + x - x2 มคี าเทาใด
ที่ 2.3 เร่ือง ฟงกชัน ในขั้นลงมือทํา โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมินผล
จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรยี นรูในหนว ยการเรยี นรูท่ี 2 (เฉลยคําตอบ จาก f(x) = x-6
6 + x - x2
น่นั คอื 6 + x - x2 > 0
แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ x2 - x - 6 < 0

คาชแ้ี จง : ใหผ้ สู้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ลงในชอ่ งท่ตี รงกับ
ระดับคะแนน

ลาดบั ชื่อ – สกลุ การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีน้าใจ การมี รวม (x - 3)(x + 2) < 0
ที่ ของนกั เรยี น ความคดิ เหน็ คนอนื่ ตามทีไ่ ด้รับ ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรงุ คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321

จะไดว า x - 3 < 0 หรือ x + 2 < 0
x < 3 หรือ x < -2
พิจารณาบนเสน จํานวนได ดังน้ี
เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงชอ่ื ...................................................ผ้ปู ระเมิน
ปฏิบัติหรอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................

ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบอ่ ยครง้ั ให้ 4 คะแนน
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมน้อยครง้ั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสนิ คณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ -2 3
18 - 20 ดีมาก ดังนั้น Df = (-2, 3))
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กว่า 10 ปรับปรุง

T82

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2.2 ฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ (Linear Function) ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching)

พิจารณากราฟของฟงั ก์ชนั ตอ่ ไปน้ี การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

1) y = 2x 2) y = -3x + 1 ครทู บทวนความรู เรอ่ื ง ฟง กช นั โดยการอธบิ าย
วา ฟงกช นั คอื ความสมั พันธท่ีสมาชิกในโดเมน
Y Y แตล ะตวั จบั คกู บั สมาชกิ ในเรนจข องความสมั พนั ธ
เพียงตัวเดียวเทาน้ัน สัญลักษณและขอตกลง
6 y = 2x y = -3x + 1 6 เก่ียวกับสัญลักษณของฟงกชัน ดังนี้ ถา f เปน
5 1234 X ฟง กช ัน และ (x, y)∊f แลว จะกลา ววา y เปน
4 5 คาของฟงกชัน f ที่ x เขียนแทนดวยสัญลักษณ
3 4 y = f(x) และการเขียนฟงกชันสามาถเขียนใน
2 3 รูปแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต โดยใช
1 2 คูอนั ดบั (x, y) แทนสมาชกิ ใดๆ ในเซต
1
-4 -3 -2 -1 -10 ขน้ั สอน
-2 -4 -3 -2 -1 -10 1234 X
-3 -2 รู้ (knowing)

-3 1. ครูใหนักเรียนพิจารณากราฟของฟงกชันใน
หนงั สือเรียน หนา 77 ขอ 1) และ 2) จากนัน้
จากกราฟ จะเหน็ วา่ ฟังก์ชนั y = 2x และ y = -3x + 1 มีกราฟเป็นเส้นตรง จะเรยี กฟังก์ชัน ครูถามนักเรียนวา ลักษณะของกราฟ 2 ขอ
ท่มี ีลกั ษณะของกราฟเป็นเส้นตรงวา่ ฟงั กช์ นั เชงิ เสน้ มีกราฟลักษณะอยา งไร
(แนวตอบ กราฟเปนเสนตรง)
ฟังก์ชันเชงิ เส้น คือ ฟังก์ชนั ท่ีมีสมการอยูใ่ นรูป y = ax + b เม่ือ a, b เป็นจ�านวนจริง และ
a ≠ 0 จากฟงั ก์ชัน y = ax + b ถ้า a = 0 จะไดฟ้ งั ก์ชันทอี่ ยใู่ นรูป y = b ซ่งึ มกี ราฟเปน็ เสน้ ตรง 2. ครูอธิบายวา ฟงกชันในขอ 1) และ ขอ 2)
ทข่ี นานกับแกน X จะเรยี กฟังก์ชันแบบนว้ี า่ ฟงั กช์ นั คงตวั (constant function) มีลักษณะเปนกราฟเสนตรง เรียกวา เปน
ฟงกชนั เชิงเสน
ตัวอย่างของฟังกช์ นั คงตัว INFORMATION
y1 = 3, y2 = 0 และ y3 = -3 ฟงั กช์ ันคงตวั y = 0 จะมี 3. ครูอธิบายความหมายของฟงกชันเชิงเสนวา
กราฟเปน็ เสน้ ตรงที่อยบู่ น ฟง กช นั เชงิ เสน คอื ฟง กช นั ทม่ี สี มการอยใู นรปู
Y แกน X
y = ax + b เมอื่ a, b เปนจาํ นวนจรงิ และ
4 y1 = 3 X a 0 จากฟงกช นั y = ax + b ถา a = 0
3
2 y2 = 0 จะไดฟง กช นั ทีอ่ ยูในรปู y = b ซึง่ กราฟเปน
1 12345 เสนตรงท่ีขนานกับแกน X จะเรียกฟงกชัน
แบบนีว้ า ฟงกช นั คงตวั
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 y3 = -3 4. ครถู ามนกั เรยี นวา ฟงกชนั คงตวั y = 0 จะมี
-2 กราฟอยูใ นลกั ษณะอยา งไร
-3 (แนวตอบ กราฟเปนเสน ตรงท่ีอยูบนแกน X)
-4

ฟังก์ชัน 77

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นจบั คู แลวปฏิบัตติ ามข้นั ตอนตอไปน้ี ครูใหความรูเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟงกชันเชิงเสนวา ฟงกชันเชิงเสนที่มีสมการ
• เขียนกราฟของฟงกชนั คงตัว ดังนี้ f(x) = mx + b ซ่ึง m และ b เปนคาคงตัว จะเปน เสน ตรงทม่ี ีความชันเทากับ
m และจดุ ตดั แกน Y ที่จุด (0, b)
1) y = 0
2) y = 5 T83
3) y = -2
4) x = 0
5) x = 3
6) x = -9
• กราฟแตละสมการในขอ 1. ตัดแกน X หรอื แกน Y หรือไม
อยางไร
• กราฟทต่ี ัดแกน X และแกน Y มีความสมั พนั ธกนั อยา งไร
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรียนเกง และนักเรยี นออ นจับคูกัน

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

5. ครูใหน กั เรยี นศึกษาตัวอยา งที่ 21 ในหนังสอื - ตวั อยา่ งที ่ 21
เรยี น หนา 78 ขอ 1)-2) จากนนั้ ครถู ามคาํ ถาม
นักเรียน ดังน้ี ใหเ้ ขียนกรำฟของฟังก์ชันเชิงเสน้ ต่อไปน้บี นระนำบเดียวกนั
y2 = 21 31
• จากขอ 1) ถา y4 = 5x และ y5 = 8x 1) y1 = x, y2 = 2x, y3 = 3x 2) y1 = x, - 1, y2 x, y3 = = x + 2, y4 = x + 5
นกั เรียนสามารถเขยี นกราฟไดอยา งไร 3) y1 = 3x, y2 = -3x 4) y1 = x = x, y3 x

(แนวตอบ 4 Yy5 y4 วธิ ีท�ำ 1) y1 = x, y2 = 2x, y3 = 3x INFORMATION
กราฟของฟังก์ชนั y = x
3 Y y3 y2 หฟรงั อืก์ชfัน(xเ)อก=ลxกั ษเรณ1ีย์กว่า
2 5 y1 (identity function)
1 4
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 X 3
2

-2 1

-3 -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 X
-4 )
• เม่ือสมั ประสิทธิ์ของ x หรือ a มีคาเพิม่ ขึน้ -2
กราฟจะมีลักษณะอยางไร -3

• จ(นแากั นกเวรขตียออนบส2กา)มรถาาฟารถจyเะข4ลยี ูเ =นขาก15หราาxฟแกแไดนลอะYย)yา ง5ไร= 81 x จากกราฟ จะเห็นว่า ในกรณที ี่ a > 0 เมือ่ พิจารณาจาก y1 = x (สัมประสทิ 2ธิ์
(แนวตอบ Y ของ x หรอื a = 1) ถ้า a > 1 เมอื่ a มีคา่ เพมิ่ ขน้ึ กราฟจะลู่เข้าหาแกน Y
2) y1 = x, y2 = 12 x, y3 = 31 x
8
6 Y
4 y4
2 y5 5 y1
-8 -6 -4 -2-20 2 4 6 8 10 X 4
-4 3 y2
) 2 y3
• เม่อื สัมประสทิ ธ์ิของ x หรือ a มีคานอ ยลง 1
กราฟจะมลี ักษณะอยา งไร -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 X
-2
-3

(แนวตอบ กราฟจะลเู ขา หาแกน X) จากกราฟ จะเห็นวา่ ถใน้ากaรณ<ีท1่ี aเม>อ่ื 0aเมมื่อีคพ่านิจ้อารยณลงาจการกาฟy1จะ=ล่เูxข้า(สหัมาแปกระนสทิXธิ์
6. ครอู ธิบายเพิม่ เตมิ วา กราฟของฟง กชนั y = x ของ x หรอื a = 1)

หรอื f(x) = x เรียกวา ฟง กชันเอกลักษณ 78

นักเรียนควรรู กิจกรรม ทา ทาย

1 ฟง กช นั เอกลักษณ มบี ทนยิ ามวา สําหรบั เซตของโดเมน A ใดๆ ฟง กช นั ครูแบง กลุม ใหน กั เรียน กลุมละ 3 คน แลวชว ยกนั หาคาตอ ไปนี้
• ถา เสนตรง kx + y - 8 = 0 ขนานกับเสน ตรง
เอกลกั ษณ แทนดว ย I : A → A คือ ฟงกชนั ทม่ี ีคุณสมบัติ ∀a∊A, I(a) = a
4x + 5x - 7 = 0 แลว 5k + 3 เทากบั เทา ใด
ยกตวั อยางเชน • ถา เสน ตรง 8x - 12y - 3 = 0 ตง้ั ฉากกับเสนตรง

• ∀a∊A, I(a) = a + 0 = a kx + 2y - 7 = 0 แลว k + 1 เทา กับเทา ใด
• ∀a∊A, I(a) = a × 1 = a หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนกั เรียน (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอยกู ลมุ เดยี วกนั
2 สมั ประสิทธิ์ (coefffi icient) คือ จํานวนหรอื สญั ลักษณท ี่มคี า คงตวั ซง่ึ เปน
ตวั คณู ของตวั แปรใดๆ เชน 5x มี 5 เปนสัมประสทิ ธิ์ของ x

T84

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

3) y1 = 3x, y2 = -3x y1 ATTENTION ขนั้ สอน
จากกราฟ ถ้า a > 0 กราฟ
y2 Y จะท�ามมุ แหลมกบั แกน X ใน รู้ (knowing)
5 ทศิ ทวนเขม็ นาฬกิ า ถา้ a < 0
กราฟจะทา� มมุ ปา นกบั แกน X 7. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตัวอยา งที่ 21 ในหนังสือ-
4 ในทศิ ทวนเข็มนาฬกิ า เรยี น หนา 79 ขอ 3)-4)

3 8. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา จากขอ 3) กราฟที่มี
2 สัมประสิทธ์ิหนา x เปนจํานวนท่ีตรงขามกัน
1 เชน y1 = 3x และ y2 = -3x กราฟจะมีแกน X
และแกน Y เปนแกนสมมาตร จากนั้นครู
-5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 X อธิบายขอมูลที่สําคัญท่ีนักเรียนควรรูเพ่ิมเติม
วา จากกราฟขอ 3)
มจาีแกกกนร าXฟ แจละะเแหกน็ นว ่าY ก เรปาน็ฟแขกอนงส yม1ม =า ต3รx และ y2 = -3x
• ถา a > 0 กราฟจะทาํ มมุ แหลมกับแกน X
4) y1 = x - 1, y2 = x, y3 = x + 2, y4 = x + 5
ในทิศทวนเข็มนาฬก า
Y y4 y3 y2 y1 ATTENTION
จุดที่กราฟตัดแกน X จะให้ • ถา a < 0 กราฟจะทํามุมปา นกบั แกน X
5 คา่ y ที่จดุ น้นั เทา่ กบั 0 และ
จุดที่กราฟตัดแกน Y จะให้ ในทศิ ทวนเขม็ นาฬกา
4 ค่า x ท่ีจุดน้นั เทา่ กบั 0 9. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา จากขอ 4) กราฟของ

3 เสนตรง y = ax + b จะขนานกัน เมื่อ a
2
มีคาเทา กัน และตดั แกน Y ท่จี ดุ b จากนน้ั ครู
1 อธิบายขอมูลที่สําคัญที่นักเรียนควรรูเพ่ิมเติม
วา จากกราฟขอ 4)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 6 X • จดุ ที่กราฟตัดแกน X จะใหค า y = 0 และ

จ ากกราฟ จะเห็นว่า กราฟของเสน้ ตรง y = ax + b จะขนานกนั เมอื่ a เทา่ กนั จุดทก่ี ราฟตดั แกน Y จะใหค า x = 0
และตดั แกน Y ท ี่ -1, 0, 2, 5 หรอื ทจี่ ดุ (0, -1), (0, 0), (0, 2) และ (0, 5) และตดั
แกน X ท่ี 1, 0, -2, -5 หรือท่จี ุด (1, 0), (0, 0), (-2, 0) และ (-5, 0) เขา้ ใจ (Understanding)

ลองทาํ ดู ครูใหนกั เรยี นจับคูทาํ “ลองทาํ ดู” ในหนงั สอื -
เรยี น หนา 79 และทําแบบฝก ทกั ษะ 2.2 ขอ 1.
ให้เขียนกราฟของฟงั กช์ นั เชิงเสน้ ต่อไปน้ีบนระนาบเดยี วกัน หนา 84 แลวแลกเปล่ียนความรูสนทนาซักถาม
1) yyy111 === x52xx, ,,y 2yy 22= == - x451xx, , yy33 == 61x10 จนเปนที่เขาใจรวมกัน จากน้ันครูสุมนักเรียน
2) x ออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี น
3) ในช้นั เรียนรวมกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง

4) y1 = 2x, y2 = 2x + 1, y3 = 2x + 3, y4 = 2x - 1 ฝกทําตอ

แบบฝก ทกั ษะ 2.2
ขอ 1, 4

ฟังก์ชัน 79

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลว ปฏบิ ตั ิตามข้ันตอนตอไปนี้ ครใู หค วามรูเ พิม่ เตมิ จากขอ 3) วา จากกราฟของ y = 3x และ y = -3x
• เขียนกราฟของ y = x + 5 และ y = x - 5 บนระนาบเดียวกัน จะตัดกันท่ีจุด (0, 0) และมีลักษณะของกราฟที่สมมาตรกัน โดยมีแกน Y
• หาพ้ืนทร่ี ูปสามเหล่ยี มทลี่ อมดว ยสมการ y = x + 5, y = x - 5 เปนแกนสมมาตร และขอ 4) ฟงกช นั ในแตละขอ มีความชันเทากนั คอื 1 ซง่ึ
ความชนั เปน บวก จะไดวา กราฟในขอ 4) จะขนานกันและจะทํามุมแหลมกับ
และแกน X แกน X ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬกา
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงและนกั เรียนออนจบั คกู นั

T85

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

1. ครูอธบิ ายตัวอยางท่ี 22 ในหนงั สอื เรยี น ตวั อย่างท ี่ 22
หนา 80 ใหนกั เรียนเขาใจอยางละเอียด
2. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติม แลวถามคําถาม เพื่อ ใหเ้ ขยี นกรำฟของฟงั ก์ชนั ทีก่ �ำหนดตอ่ ไปนี้ พรอ้ มท้งั หำจดุ ท่ีกรำฟตัดแกน X และแกน Y

ตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน ดงั นี้ 1) y = 2x + 6 2) y = 5 - x

1) y = 3x - 6 2) y = x + 3 วธิ ีทำ� 1) y = 2x + 6

• จากกราฟในขอ 1) กราฟตัดแกน X ทจ่ี ุดใด Y y = 2x + 6
(แนวตอบ (2, 0)) 1234
• จากกราฟในขอ 1) กราฟตัดแกน Y ทีจ่ ดุ ใด 7
(แนวตอบ (0, -6)) 6
• จากกราฟในขอ 2) กราฟตดั แกน X ทจ่ี ดุ ใด 5
(แนวตอบ (-3, 0)) 4
• จากกราฟในขอ 2) กราฟตัดแกน Y ที่จดุ ใด 3
(แนวตอบ (0, 3)) 2 5 X
1
3. ครูเนนย้ํากับนักเรียนวา ตัวอยางที่ 22 ใน
-5 -4 -3 -2 -1 -10

หนังสือเรียน หนา 80 การหาจุดที่กราฟตัด จากกราฟ จะเหน็ ว่า จดุ ท่กี ราฟตัดแกน X คอื (-3, 0) และจดุ ทก่ี ราฟตัดแกน Y
แกน X จะใหคา y = 0 และจุดท่ีกราฟตัด คอื (0, 6)
แกน Y จะใหคา x = 0
2) y = 5 - x

y=5-x Y X
7
6
5
4
3
2
1

-3 -2 -1 -10 1 2 3 4 5 6

จากกราฟ จะเหน็ วา่ จุดทีก่ ราฟตัดแกน X คือ (5, 0) และจดุ ทกี่ ราฟตัดแกน Y
คอื (0, 5)

80

ขอ สอบเนน การคดิ

พืน้ ทรี่ ปู สามเหล่ียมทีป่ ดลอมดว ยแกน X แกน Y และเสนตรง y = -3x + 6 คอื ขอใด
1. 6 ตารางหนวย 2. 7 ตารางหนว ย 3. 8 ตารางหนวย 4. 9 ตารางหนว ย

(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย ตองหาจุดตัดแกน X และแกน Y ของสมการ y + 3x = 6 ดงั นี้
หาจุดตัดแกน X หาจดุ ตัดแกน Y
แทนคา y = 0 แทนคา x = 0
จะได 0 + 3x = 663 จะได y + 3(0) = 6
x = = 2 y=6

นําจุดตัดไปเขยี นกราฟ ดังนี้ = 1212 × ฐาน × สงู
จากกราฟ จะไดว า พื้นทรี่ ปู สามเหลย่ี ม = × 2×
6
Y

8624 = 6 ตารางหนว ย ขอ 1.)
-4 -2--420 ดังนั้น คาํ ตอบ คอื
2 468 X
T86

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทําดู ขนั้ สอน

ใหเ้ ขยี นกราฟของฟังก์ชนั ทีก่ �าหนดตอ่ ไปนี้ พรอ้ มทง้ั หาจุดท่กี ราฟตดั แกน X ฝกทําตอ เขา้ ใจ (Understanding)
และแกน Y
1) y = -x + 3 2) y = 4 - 2x แบบฝก ทักษะ 2.2 1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
ขอ 2 หนา 81 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาเฉลย
คําตอบหนาช้ันเรียน โดยครูตรวจสอบความ
Class Discussion ถกู ตอง

ใหน้ กั เรียนจับคู่ แล้วชว่ ยกนั ตอบคำ� ถำมต่อไปน้ี 2. ครูใหนักเรียนจับคูและชวยกันตอบคําถามใน
1. เขียนกราฟของ 2x + y = 3 โดยใช้โปรแกรมคณิตศาสตร์เชิงพลวัต เช่น The Geometer’s
กิจกรรม “Class Discussion” ในหนงั สือเรยี น
Sketchpad (GSP), GeoGebra
2. พิจารณาว่าจดุ A(2, -1) และ B(-2, 5) อยูบ่ นกราฟหรือไม่ และแตล่ ะจุดสอดคลอ้ งกบั สมการ หนา 81 แลวสนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจ
รวมกัน จากน้ันครูสุมนักเรียน 4 คู ออกมา
2x + y = 3 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด นาํ เสนอคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น โดยครตู รวจสอบ
3. ใหห้ าค่า p เมื่อจดุ (1, p) อย่บู นกราฟของสมการ 2x + y = 3 ความถกู ตอง
4. ให้หาคา่ q เมอื่ จดุ (q, -7) อย่บู นกราฟของสมการ 2x + y = 3 3. ครูใหนักเรียนทําแบบฝกทักษะ 2.2 ขอ 2.
ในหนังสือเรยี น หนา 84 เปน การบาน

จาก Class Discussion จะเห็นว่า จุด A(2, -1) จะอยู่บนกราฟซ่ึงสอดคล้องกับสมการ
2x + y = 3 นัน่ คอื เมื่อแทน x = 2 และ y = -1 ในสมการ 2x + y = 3 แลว้ สมการจะเป็นจรงิ

ในกรณที ่ัวไป จดุ (x1, y1) ใด ๆ จะอยู่บนกราฟของเส้นตรง y = ax + b เม่ือแทน x = x1
และ y = y1 ลงในสมการ y = ax + b แลว้ ได้ y1 = ax1 + b เป็นสมการท่เี ปน็ จรงิ

ตัวอยา่ งท ี่ 23

ให้เขยี นกรำฟของ 2x - 3y = 1 และตรวจสอบว่ำจดุ (2, 1) อยบู่ นกรำฟหรอื ไม่

วิธที �ำ หำจดุ ตัดแกน X หำจดุ ตดั แกน Y
แทนค่า y = 0 แทนคา่ x = 0
จะได้ 2x - 3(0) = 1 จะได้ 2(0) - 3y = 1
x = 21
y = - 13

ดังน้ัน จดุ ทกี่ ราฟของ 2x - 3y = 1 ตัดแกน X คือ จุด (12, 0)
และตดั แกน Y คือ จุด (0, - 13)

ฟังก์ชัน 81

เฉลย Class Discussion

1. Y 3. เน่อื งจาก จุด (1, p) อยบู นกราฟของสมการ 2x + y = 3
แทนคา x = 1 และ y = p ในสมการ 2x + y = 3
2x + y = 3 7 จะได 2(1) + p = 3
6 p = 3-2
5 X p=1
4 ดังนน้ั คา p มคี า เทากบั 1 เมอ่ื จุด (1, p) อยบู นกราฟของสมการ
3 2x + y = 3
2
1

-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 5 6 7 4. เนอื่ งจาก จุด (q, -7) อยูบ นกราฟของสมการ 2x + y = 3
แทนคา x = q และ y = -7 ในสมการ 2x + y = 3
จะได 2q + (-7) = 3
2. จากกราฟ พจิ ารณาจดุ A(2, -1) อยูบนกราฟ แตจ ุด B(-2, 5) q = 3+7
ไมอยูบนกราฟ และมจี ุด A(2, -1) สอดคลอ งกบั สมการ 2x + y = 3 q = 10
เพราะเม่ือแทนคา x = 2 และ y = -1 แลว สมการจะเปนจรงิ ดงั นน้ั คา q มีคาเทา กับ 10 เมื่อจดุ (q, -7) อยูบนกราฟของสมการ

2x + y = 3 T87

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน Y

รู้ (knowing) 1 2x - 3y = 1
12
ครใู หนกั เรยี นศึกษาตวั อยา งท่ี 23 ในหนังสือ-
เรียน หนา 81-82 จากนั้นครูอธิบายตัวอยาง -1 - 21 0 21 1 X
ท่ี 23 อีกคร้ัง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากย่ิงข้ึน - 12
โดยครูอธิบายเพิ่มเติมวา การหาจุดตัดแกน X
ใหแ ทนคา y = 0 และการหาจุดตัดแกน Y ให -1
แทนคา x = 0 และการเขียนจุดตัดแกน X
และแกน Y ใหเขียนอยูในรูปคอู นั ดับ (x1, y1) และ ตรวจสอบวา่ จดุ (2, 1) อยู่บนกราฟหรือไม่ เปน็ จรงิ
วธิ กี ารตรวจสอบวา จดุ (x1, y1) อยบู นกราฟหรอื ไม แทนค่า x = 2 และ y = 1 ลงในสมการ 2x - 3y = 1
ทําไดโดยแทนคา x = x1 และ y = y1 ลงใน
ฟงกชัน f(x) แลวตรวจสอบวา สมการเปนจริง จะได้ 2(2) - 3(1) = 1
หรือไม ถาเปนจริง นั่นคือ จุด (x1, y1) อยูบน
กราฟท่ีกาํ หนดให 4-3 = 1
ดงั น้นั จดุ (2, 1) อยู่บนกราฟของ 2x - 3y = 1
เขา้ ใจ (Understanding)
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 82 และทาํ แบบฝก ทักษะ 2.2 หนา 84 ใหเ้ ขยี นกราฟของ 4x + y = 3 และตรวจสอบว่าจุด (1, 3) อยบู่ นกราฟ แบบฝกทกั ษะ 2.2
ขอ 3.-4. หรือไม่ ขอ 3, 6-8

2. ครูใหนักเรียนทําใบงานท่ี 2.4 เรื่อง ฟงกชัน ตัวอย่างท ่ี 24
เชงิ เสน
กนั ยำไดร้ ับเงนิ จำกพอ่ เดอื นละ 3,000 บำท ถ้ำกันยำใช้เงินโดยเฉล่ยี วนั ละ 100 บำท
3. ครสู มุ นกั เรยี นออกมาเฉลยคาํ ตอบหนา ชน้ั เรยี น จำกเงนิ เดือนที่ไดร้ ับ
โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั ตรวจสอบ
ความถกู ตอ ง 1) ใหเ้ ขยี นควำมสัมพันธข์ องจ�ำนวนเงินที่เหลอื กับจำ� นวนวนั ทใ่ี ชเ้ งนิ ไป
พรอ้ มท้งั เขียนกรำฟของควำมสมั พันธ์ดงั กลำ่ ว

2) ใหห้ ำจ�ำนวนเงนิ ท่เี หลือหลงั จำกใชเ้ งนิ ไปแลว้ 6 วนั 8 วนั และ 12 วนั
3) ถำ้ ในวันที่กันยำมเี งนิ เหลอื 900 บำท ใหห้ ำว่ำกันยำจะใชเ้ งนิ โดยเฉล่ยี ไปแล้วกีว่ นั

วธิ ีท�ำ 1) ให้ x แทนจา� นวนวนั ท่ใี ชเ้ งินไป
f(x) แทนจา� นวนเงนิ ที่เหลอื

จะได้ f(x) = 3,000 - 100x

82

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิด

ครอู ธบิ ายเพิ่มเติมเกี่ยวกับฟงกช นั เชงิ เสน คอื ฟงกชันท่ีมีสมการอยใู นรูป สมชายขายกวยเตี๋ยวชามละ 50 บาท โดยมีคาเชารานวันละ
200 บาท และตนทุนวตั ถดุ ิบทัง้ หมดคิดเปน ชาม ชามละ 19 บาท
y = ax + b เม่อื a, b เปนจํานวนจริง และลักษณะของฟงกชนั เชงิ เสน สามารถ ถาสมชายตองการกําไรไมตํา่ กวา วันละ 800 บาท เขาตอ งขายให
พิจารณาไดจากคาของ a ซึ่งเรยี กวา คาความชนั ดังน้ี ไดอ ยางนอยกีช่ าม

ลกั ษณะ Y X Y Y 1. 30 2. 31 3. 32 4. 33
ของกราฟ (เฉลยคาํ ตอบ ให x แทนจํานวนชามกว ยเตีย๋ ว
คา ความชนั 0 0X 0X จะขายไดเ งิน 50x บาท
และมตี น ทุนตอชาม 19x บาท
a>0 a<0 a=0 จะได 50x - 200 - 19x ≥ 800

T88 31x ≥ 1000
x ≥ 130010 ≈ 32.3

นน่ั คือ สมชายตอ งขายกว ยเตยี๋ วอยางนอ ย 33 ชาม
ดงั น้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จำ� นวนวัน จ�ำนวนเงิน f(x) ขน้ั สอน
ทใ่ี ชเ้ งนิ (วัน) ท่เี หลือ (บำท)
3,000 x รู้ (knowing)
x f(x) 2,500
5 2,500 2,000 1. ครใู หนกั เรยี นศึกษาตัวอยางที่ 24 ในหนงั สือ-
10 2,000 1,500 เรียน หนา 82-83 จากนั้นครูอธิบายอยาง
15 1,500 1,000 ละเอียดอีกครั้ง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมาก
20 1,000 500 ย่งิ ขนึ้
25 500
30 0 0 5 10 15 20 25 30 2. ครูใหนักเรียนทาํ กจิ กรรม ดงั นี้
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน
2) จ�านวนเงินท่เี หลอื หลังจากใชเ้ งินไปแล้ว 6 วนั = 3,000 - 100(6) คละความสามารถทางคณิตศาสตร (ออน
= 3,000 - 600 ปานกลาง และเกง)
= 2,400 • ใหนักเรียนแตละกลุมสรางโจทยปญหา
ท่ีสามารถนํามาเขียนเปนความสัมพันธของ
จา� นวนเงินทีเ่ หลือหลงั จากใช้เงินไปแลว้ 8 วัน = 3,000 - 100(8) กราฟเสนตรง พรอมทั้งเขียนกราฟของ
= 3,000 - 800 ความสัมพนั ธดงั กลาว
= 2,200 • ใหนักเรียนแตละกลุมสงตัวแทนออกมา
นําเสนอหนาชั้นเรียน โดยครูตรวจสอบ
จา� นวนเงนิ ทเ่ี หลือหลังจากใช้เงินไปแลว้ 12 วัน = 3,000 - 100(12) ความถกู ตอ ง
= 3,000 - 1,200
= 1,800

3) ถา้ กันยามีเงนิ เหลือ 900 บาท จะได้ f(x) = 900
จาก f(x) = 3,000 - 100x
จะได้ 900 = 3,000 - 100x
100x = 3,000 - 900
100x = 2,100
x = 21
ดังน้นั กันยาใช้เงินโดยเฉลีย่ ไปแล้ว 21 วัน จึงจะเหลือเงนิ อยู่ 900 บาท

ฟังก์ชัน 83

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครูใหน กั เรยี นจบั คู แลวปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอนตอ ไปน้ี ครใู หค วามรเู พมิ่ เตมิ เกย่ี วกบั ฟง กช นั เชงิ เสน วา สามารถนาํ ไปประยกุ ตใ ชใ น
• จากตวั อยา งท่ี 24 ถา กนั ยาใชเ งนิ ไปแลว 18 วนั แลว จะเหลอื เงนิ เรอื่ ง ฟง กช นั ตน ทนุ (cost function) ฟง กช นั รายได (revenue function) ฟง กช นั

เทา ใด กาํ ไร (protfi function) รวมไปถงึ อปุ สงคแ ละอุปทาน (demand and supply)
• ถากันยามเี งนิ เหลอื 200 บาท กนั ยาจะใชเงินโดยเฉลย่ี ไปแลว

ก่วี นั
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกงและนกั เรยี นออนจับคูกนั

T89

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู

เขา้ ใจ (Understanding) นธิ ิศเป็นพนักงานบรษิ ัทเอกชนแห่งหน่งึ ได้รับเงนิ เดือนจากบริษัทเดอื นละ 20,000 บาท
และไดร้ ับเงินจากการท�างานลว่ งเวลาช่วั โมงละ 125 บาท
1. ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน 1) ให้เขยี นความสมั พันธข์ องรายได้รวมท้งั หมดกบั จา� นวนชัว่ โมงการท�างานล่วงเวลา
หนา 84 และทําแบบฝกทักษะ 2.2 ขอ 5 พร้อมทัง้ เขยี นกราฟของความสัมพนั ธ์ดงั กลา่ ว
หนา 85 จากนั้นครูขออาสาสมัครนักเรียน 2) ให้หารายไดร้ วมทั้งหมด ถา้ เขาท�างานล่วงเวลา 20 ชัว่ โมง
ออกมานําเสนอคําตอบหนาช้ันเรียน โดยครู 3) ถา้ ในเดอื นน้ันนิธิศไดร้ บั เงินรวมท้ังหมด 23,750 บาท ฝกทําตอ
ตรวจสอบความถกู ตอง
แบบฝกทกั ษะ 2.2
2. ครูใหน ักเรียนทํา Exercise 2.2 เปน การบา น ขอ 5
ใหห้ าวา่ เขาจะใช้เวลาท�างานล่วงเวลากีช่ ่วั โมง
ลงมอื ทาํ (Doing)
แบบฝกึ ทกั ษะ 2.2
ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน
โดยคละความสามารถทางคณิตศาสตร แลวให ระดับพื้นฐาน
นักเรียนแตละกลุมทําแบบฝกทักษะ 2.2 ใน
หนังสือเรียน หนา 85 ขอ 8. โดยตรวจสอบ 1. ให้เขียนกรำฟของฟงั กช์ ันเชงิ เส้นตอ่ ไปนบี้ นระนำบเดียวกัน
คําตอบของตนเองกับเพ่ือนในกลุม จากน้ันให 1) y1 = 5x + 1, y-4122xx=, 10x + 1, y3 = 15x + 1
สงตัวแทนกลมุ กลุมละ 1 คน ออกมาแสดงวิธคี ดิ 2) y1 = 4x, y2 = y3 = 81 x
หนาช้นั เรยี น โดยครตู รวจสอบความถูกตอง 3) y1 = 2x, y2 =

4) y1 = 3x, y2 = 3x - 5, y3 = 3x + 1, y4 = 3x + 7
5) y1 = x + 4, y2 = 2x - 4, y3 = 3x + 4, y4 = 4x + 4

2. ใหเ้ ขยี นกรำฟของฟงั ก์ชนั ที่ก�ำหนดตอ่ ไปนี้ พร้อมท้ังหำจดุ ทก่ี รำฟตัดแกน X และแกน Y

1) y = 5x - 6 2) y = 10 - 3x

3. ใหเ้ ขียนกรำฟของ 7x + 4y = 1 และตรวจสอบวำ่ จุด (-1, 2) อยู่บนกรำฟหรอื ไม่

4. พิจำรณำกรำฟ ดังรปู

Y

3 f 1) ใหเ้ ขยี นสมการจากกราฟ f และ g
2 ท่ีกา� หนด

1 2) ให้เขยี นกราฟของสมการ y = 3
และ y = 0 บนระนาบเดยี วกนั
-5 -4 -3 -2 -1 -10 1 2 g3 4 5 X
-2

84

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรางเสรมิ

ครคู วรทบทวนความรู เรอื่ ง ฟง กช นั เชงิ เสน กอ นทจี่ ะใหน กั เรยี นทาํ แบบฝก ครูใหน ักเรยี นจบั คู แลว ปฏบิ ัติตามข้นั ตอนตอไปน้ี
ทักษะ 2.2 ดงั น้ี
• ใหเขียนกราฟของฟงกชันเชิงเสน f(x) = ax + b เมื่อ a, b
- การเขียนกราฟของฟง กชนั เชิงเสน พรอ มทงั้ หาจุดตดั แกน X และแกน Y เปน จํานวนจริงใดๆ ท่ี a ไมเทากับ 0
- การตรวจสอบพกิ ดั วาจุดนน้ั อยูบ นเสน ตรงหรอื ไม 1) a > 0 และ b > 0
- การเขยี นสมการจากกราฟท่กี าํ หนด 2) a < 0 และ b > 0
- การประยกุ ตใชค วามรู เรือ่ ง ฟง กชันเชงิ เสน เพ่อื แกโ จทยปญหา 3) a = 0 และ b < 0
4) a > 0 และ b < 0

• จากขอ 1. พจิ ารณาเงอื่ นไขในแตล ะขอ วา กราฟมลี กั ษณะอยา งไร
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรียนเกงและนักเรยี นออ นจบั คกู ัน

T90

นาํ สอน สรุป ประเมิน

5. ธำดำไดร้ ับเงินจำกพ่อเดือนละ 3,600 บำท ถ้ำธำดำใชเ้ งนิ โดยเฉลีย่ วันละ 120 บำท ขนั้ สรปุ
จำกเงินเดอื นทีไ่ ด้รับ
1) ใหเ้ ขียนความสมั พนั ธ์ของจ�านวนเงนิ ท่ีเหลือในแตล่ ะเดอื นกบั จ�านวนวันที่ใช้เงนิ ไป สรปุ
พร้อมท้ังเขยี นกราฟของความสมั พนั ธด์ งั กล่าว
2) ใหห้ าจา� นวนเงนิ ท่ีเหลือหลังจากใช้เงินไปแล้ว 3 วัน 6 วัน และ 9 วนั ครูถามคาํ ถามนกั เรียน เพอื่ สรปุ ความรู เร่อื ง
3) ถา้ ในวันทธี่ าดามีเงินเหลือ 720 บาท ให้หาว่าธาดาจะใช้เงินโดยเฉลย่ี ไปแล้วก่ีวัน ฟงกชันเชิงเสน ดงั น้ี

ระดับกลาง • ฟง กช นั เชิงเสน มีความหมายวาอยางไร
(แนวตอบ ฟงกชันเชิงเสน คือ ฟงกชันท่ีมี
6. ให้เขยี นกรำฟของ y = 6 - 3x เมอื่ -3 ≤ x ≤ 3 และถ้ำจดุ (a, 0), (-2, b)
และ (c, 1.5) อยบู่ นกรำฟของ y = 6 - 3x ให้หำคำ่ a, b และ c สมการอยูในรูป y = ax + b เม่ือ a, b
เปน จาํ นวนจรงิ และ a 0)
7. พิจำรณำสมกำร -x + 2y = 4 เมือ่ ก�ำหนดคำ่ x และ y ดงั ตำรำง
• ฟง กชันคงตัว มคี วามหมายวาอยา งไร
x -5 0 5 (แนวตอบ ฟง กชันคงตัว คือ ฟง กช นั
yp2q
y = ax + b แลว a = 0 จะไดฟ ง กช ันทีอ่ ยู
1) ให้หาค่า p และ q
2) ใหเ้ ขยี นกราฟของ -x + 2y = 4 เมอื่ -5 ≤ x ≤ 5 ในรปู y = b ซ่งึ มีกราฟเปนเสนตรงทขี่ นาน
3) ถา้ จุด (r, 0.5) อยบู่ นกราฟของ -x + 2y = 4 ให้หาคา่ r กับแกน X)
• การหาจดุ ตดั แกน X และแกน Y สามารถ
ระดบั ทา้ ทาย ทําไดอ ยา งไร
(แนวตอบ การหาจุดตัดแกน X ใหแทนคา
8. พิจำรณำสมกำร -2x + y = - 3 y = 0 และการหาจดุ ตัดแกน Y ใหแ ทนคา
1) ใหเ้ ติมค�าตอบลงในชอ่ งวา่ ง x = 0)

x -1 0 2 • วธิ กี ารตรวจสอบวา จดุ (a, b) อยูบนกราฟ
y
หรอื ไม สามารถทาํ ไดอยา งไร
2) ใหเ้ ขยี นกราฟของ -2x + y = -3 เมอื่ -1 ≤ x ≤ 2
3) ใหเ้ ขยี นกราฟของ -2x + y = -3 และ y = -1 บนระนาบเดียวกนั (แนวตอบ ทําไดโดยแทนคา x = a และ
4) ใหห้ าพ้นื ที่ทถี่ กู ปิดลอ้ มดว้ ยกราฟของสมการ -2x + y = -3, y = -1, แกน X
y = b ลงในฟงกชันที่กําหนดให แลว
และแกน Y ตรวจสอบวาสมการเปนจริงหรือไม ถา

ฟังก์ชัน 85 สมการเปนจริง นั่นคอื จุด (a, b) อยบู น

กราฟท่ีกาํ หนดให)

ขนั้ ประเมนิ

1. ครูตรวจใบงานที่ 2.4
2. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 2.2
3. ครตู รวจ Exercise 2.2
4. ครูประเมินการนําเสนอผลงาน
5. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
6. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานกลุม
7. ครสู งั เกตความมีวนิ ยั ใฝเ รยี นรู

มงุ มน่ั ในการทํางาน

ขอสอบเนน การคดิ แนวทางการวัดและประเมินผล
กราฟของ ay + bx = 6 ตัดแกน X ที่ 2 และตดั แกน Y ที่ 3
คาของ a + b เทา กับขอ ใด ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานรายบุคคล จากการทํา
ใบงานที่ 2.4 เร่ือง ฟงกชันเชิงเสน ในข้ันเขาใจ โดยศึกษาเกณฑการวัดและ
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 ประเมนิ ผลจากแบบประเมนิ ของแผนการจดั การเรยี นรูในหนว ยการเรยี นรทู ่ี 2

(เฉลยคาํ ตอบ แทนคา x = 2 และ y = 0
จะได 2b = 0626
แทนคา b = แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานรายบุคคล
และ =
= 3 คาชีแ้ จง : ใหผ้ ูส้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขีด ลงในชอ่ งทีต่ รงกบั
ระดับคะแนน

ลาดับที่ รายการประเมิน ระดับคะแนน
4321
y = 3 x 1 การแสดงความคดิ เห็น 
2 การยอมรับฟงั ความคดิ เห็นของผู้อ่นื
3 การทางานตามหน้าท่ีท่ีได้รบั มอบหมาย 
4 ความมนี า้ ใจ
5 การตรงต่อเวลา 





จะได 3a = 6563 รวม
นั่นคือ a =
3 ลงชอ่ื ...................................................ผู้ประเมิน
2+ ............/................./................

a + b = = = 2 เกณฑ์การให้คะแนน ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสมา่ เสมอ ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ัติหรือแสดงพฤติกรรมบ่อยคร้งั ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน
ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบางครง้ั
ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมนอ้ ยครง้ั

เกณฑก์ ารตัดสนิ คณุ ภาพ

ดังน้นั คําตอบ คือ ขอ 4.) ช่วงคะแนน ระดบั คุณภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กวา่ 10 ปรบั ปรงุ

T91