คณิตหลัก ม.5

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 3.1 ลา� ดบั (Sequence)

รู้ (knowing) 1. ความหมายของลา� ดบั

1. ครใู หน ักเรียนทาํ กิจกรรม Investigation เปน Investigation

รายบุคคล ให้นกั เรียนเติมคำ� ตอบลงในช่องวำ่ งใหถ้ กู ต้อง
2. ครูและนกั เรยี นรว มกันเฉลยคาํ ตอบ
รูปท่ ี 1 รปู ท ่ี 2 รูปท ่ี 3 รูปท่ี 4
Investigation
1. เติมจ�านวนลกู บาศก์ลงในตาราง
3. ครถู ามคําถามนกั เรียน ดังนี้
รูปท่ี 1 2 3 4
• จากกิจกรรม Investigation ลําดับที่และ จ�ำนวนลูกบำศก์

จํานวนลูกบาศกเพ่ิมข้ึนหรือลดลงทีละ
เทา ใด
(แนวตอบ ลําดับท่เี พิ่มขน้ึ ทีละ 1 เสมอ และ
จาํ นวนลกู บาศกเพิม่ ข้ึนทลี ะ 2, 3, 4, ...)
• ถาตองการทราบจํานวนลูกบาศกของ
ลําดบั ที่ 10 สามารถทาํ ไดอยา งไร
(แนวตอบ นํา n =10 ไปแทนคา ลงใน
n(n2+ 1) จะได 10(102 + 1) = 55 ลกู บาศก)

2. หาจ�านวนลกู บาศกข์ องรปู ที่ 5, 6 และ 7
3. หาความสัมพันธ์ระหว่างล�าดับของรูป กับจ�านวนลูกบาศก์ในแต่ละรูป และหาจ�านวน

ลกู บาศก์ของรูปท ่ี n

จาก Investigation จะเหน็ วา่ ความสมั พนั ธข์ องลา� ดบั ของรปู และจา� นวนลกู บาศกใ์ นแตล่ ะรปู
เปน็ ฟงั กช์ ันท่ีม ี { 1, 2, 3, 4 } เปน็ โดเมน และม ี { 1, 3, 6, 10 } เปน็ เรนจ์
เมอ่ื พิจารณาลา� ดับของรปู และจ�านวนลูกบาศก์ในกรณีทว่ั ไปจะได ้ ดงั น้ี

ลำ� ดบั ของรปู 1 2 3 4 ... n ...
จ�ำนวนลูกบำศก์ 1 3 6 10 ... n(n 2+ 1) ...

จากตาราง จะเหน็ ว่า ความสมั พันธ์ขา้ งต้นเป็นฟังกช์ ันที่มโี ดเมนเป็นจ�านวนเต็มบวก คอื
{ 1, 2, 3, 4, …, n, … } และมีเรนจเ์ ป็น { 1, 3, 6, 10, …, n(n 2+ 1), … }

132

เฉลย Investigation กิจกรรม 21st Century Skills

1. รูปที่ 1234 ใหน ักเรยี นปฏิบัติตามขนั้ ตอนตอไปนี้
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
จาํ นวนลูกบาศก 1 3 6 10
คณิตศาสตรข องนกั เรยี น (เกง ปานกลาง และออ น)
2. จากตารางจะเห็นวา รูปทีอ่ ยถู ัดไปจะมีจาํ นวนลกู บาศกเ พิม่ ข้ึนทีละ 2, 3 • ใหแ ตล ะกลุมรว มกนั ยกตัวอยางความสัมพันธของลําดบั โดยใช
และ 4 ตามลาํ ดบั จะไดวา รปู ที่ 5, 6 และ 7 จะมจี ํานวนลูกบาศกเพิม่ ขน้ึ
ทลี ะ 5, 6 และ 7 ตามลาํ ดับ รูปภาพประกอบ
ดงั นั้น รปู ท่ี 5, 6 และ 7 จะมจี ํานวนลกู บาศกเ ปน 15, 21 และ 28 • สงตัวแทนออกมานาํ เสนอหนา ช้ันเรยี น

3. จากความสมั พนั ธ เปน ฟงกช นั ที่มี { 1, 2, 3, 4 } เปนโดเมน และมี { 1, 3,
6, 10 } เปนเรนจ จาํ นวนลูกบาศกรูปที่ n พจิ ารณา ดงั นี้
รปู ท่ี 1 2 3 4 ... n ...
จาํ นวนลกู บาศก 1 3 6 10 ... n(n2+ 1) ...

T142

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

บทนิยาม ล�ำดับ คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจ�ำนวนเต็มบวก หรือสับเซตของจ�ำนวนเต็มบวก ขน้ั สอน
ล�ำดับจ�ำกัด (finite sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของจ�ำนวนเต็มบวก
ล�ำดับอนันต์ (infinite sequence) คือ ฟังก์ชันท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจ�ำนวนเต็มบวก รู้ (knowing)

พจิ ารณากราฟของฟงั กช์ ันต่อไปนี้ Y 4. ครอู ธบิ ายบทนยิ ามของลาํ ดับ แลวใหนักเรียน
พิจารณากราฟของฟงกชัน ในหนังสือเรียน
Y ︙︙ หนา 133 จากน้นั ครถู ามคําถามนักเรยี น ดงั น้ี
• กราฟของฟง กช นั f(x) = 2x มลี กั ษณะเปน
5 f(x) = 2x 6 อยา งไร
5 (แนวตอบ กราฟมีลักษณะเปน เสน ตรง ซึง่ มี
4 4 g(x) = 2x โดเมนเปนเซตของจํานวนจริง)
3 • กราฟของฟง กชนั g(x) = 2x มลี กั ษณะเปน
3 2 อยางไร
2 1 (แนวตอบ กราฟมีลักษณะเปนจุดที่เรียง
1 ตอกันในแนวเสนตรง ซ่ึงมีโดเมนเปนเซต
-2 -1-10 1 2 3 4 ของจํานวนจรงิ บวก)
-2 -1-10 12345 X -2 ︙ X
-2 5. ครูใหนักเรียนรวมกันสรุปวา ฟงกชัน g(x)
-3 มีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก จาก
บทนิยามของลําดับ จะได g(x) เปนฟงกชัน
จากกราฟจะเห็นว่า ฟังก์ชัน f(x) = 2x มีลักษณะของกราฟเป็นเส้นตรง ซ่ึงมีโดเมนเป็น ทเ่ี ปน ลําดับ จึงนิยมเขยี น g(x) ดว ยสัญลักษณ
เซตของจ�านวนจริง
และจากกราฟจะเห็นว่า ฟังก์ชัน g(x) = 2x มีลักษณะของกราฟเป็นจุดท่ีเรียงต่อกันใน an เมื่อ n ใหแทน x ซึ่งเปนการบอกวา n
แนวเส้นตรง ซ่ึงมีโดเมนเป็นเซตของจ�านวนเต็มบวก โดยสามารถเขียนในรูปเซตแบบแจกแจง
สมาชกิ ได้ ดังนี้ แทนจาํ นวนเต็มบวก

g = { (1, 2), (2, 4), (3, 6), …, (x, 2x), … }

= { (1, g(1)), (2, g(2)), (3, g(3)), …, (x, g(x)), … }

เน่ืองจากฟังก์ชัน g(x) มีโดเมนเป็นเซตของจ�านวนเตม็ บวก จากบทนยิ ามของลา� ดบั จะได้วา่
g(x) เปน็ ฟังก์ชนั ที่เปน็ ล�าดบั จงึ นิยมเขยี น g(x) ด้วยสญั ลกั ษณ ์ an เม่อื n ใช้แทน x ซง่ึ เปน็ การ
บอกว่า n แทนจ�านวนเตม็ บวก ดงั น้ี

g = { (1, g(1)), (2, g(2)), (3, g(3)), …, (x, g(x)), … }

a = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), …, (n, an), … }

ล�ำดับและอนุกรม 133

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หน ักเรยี นปฏบิ ัตติ ามขน้ั ตอนตอไปนี้ ครูใหความรูเพ่ิมเติมวา ลําดับเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนเซตของจํานวน
เต็มบวก และเรนจเปนเซตของจํานวนจริง หรือฟงกชันจากเซต N หรือ I+
• ใหน ักเรยี นเขยี นกราฟของ an = 2n - 1 โดยใหแกน X แทน
n = 1, 2, 3, 4 และ 5 แกน Y แทนคาของ an ไปยัง R และถาให g เปนลาํ ดับจํากัด โดยที่ g(n) = an เม่อื n = 1, 2, 3, ..., k
จะไดว า g(1) = a1, g(2) = a2, ..., g(k) = ak ดังนนั้ ลําดับ g คือ g = { (1, a1),
• ใหนักเรียนอภิปรายถึงลักษณะของกราฟท่ีไดจากขอที่ 1 และ (2, a2), ..., (k, ak) } ซึ่งจะนิยมเขียนลาํ ดบั g เฉพาะสมาชิกตัวหลังของคอู ันดับ
เขยี นโดเมนและเรนจใ นรูปเซตแบบแจกแจงสมาชกิ ที่เรยี งกัน ดังน้ี a1, a2, ..., ak

หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรยี นเกง และนักเรียนออนจบั คกู ัน

T143

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน โดยทั่วไป การเขียนล�าดับจะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจ์เรียงกันไป และใช้ตัว a แทน
สัญลักษณ์ของล�าดบั ดังนี้
รู้ (knowing) a1, a2, a3, …, an เปน็ ล�าดบั จ�ากัด
และ a1, a2, a3, …, an, … เป็นล�าดับอนันต ์
6. ครูกลาวถึงการเขียนสัญลักษณแทนสมาชิก
ของลาํ ดับ ดังนี้ เรยี ก a1 วา่ พจน์ท่ี 1 ของลา� ดบั
a2 วา่ พจน์ท ่ี 2 ของล�าดับ
• ใชต ัว a แทนสัญลักษณข องลาํ ดับ a3 วา่ พจน์ท่ี 3 ของลา� ดบั
• a1, a2, a3, ... , an เปนลําดับจาํ กดั ︙

และ a1, a2, a3, ... เปนลาํ ดบั อนันต an ว่า พจน์ท่ ี n ของล�าดับ หรอื พจน์ท่วั ไป (general term) ของล�าดบั
ซ่งึ จะเรยี ก a1 วา พจนท ี่ 1 ของลําดบั
ตัวอยา่ งการเขยี นลา� ดับ
หรอื พจนแรก
1) 5, 10, 15, 20, 25 เป็นลา� ดบั จ�ากดั ทม่ี ี a1 = 5, a2 = 10, a3 = 15, a4 = 20
a2 วาพจนที่ 2 ของลาํ ดับ และ a5 = 25
a3 วาพจนท ่ี 3 ของลําดบั
an วา พจนท ่ี n ของลําดบั หรอื 2) 3, 6, 9, 12, 15, … เป็นล�าดบั อนนั ตท์ ม่ี ีห้าพจนแ์ รก คือ a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9,
a4 = 12 และ a5 = 15
พจนท วั่ ไปของลําดับ
7. ครยู กตวั อยา งเพมิ่ เตมิ เกยี่ วกบั การเขยี นลาํ ดบั 3) 4, 7, 10, 13, 16, …, 3n + 1, … เปน็ ล�าดับอนนั ต์ท่ีมี a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10,
a4 = 13, a5 = 16 และ an = 3n + 1
พรอมท้ังระบุวาลําดับในแตละขอเปนลําดับ
จํากัดหรอื ลําดบั อนนั ต ดังนี้ การเขียนล�าดับนอกจากจะเขียนแบบแจกแจงพจน์แล้ว ยังสามารถเขียนเฉพาะพจน์ทั่วไป
• -4, -8, -12, -16, -20 เปน ลาํ ดับจาํ กดั ทม่ี ี
พรอ้ มท้ังระบสุ มาชิกในโดเมน เช่น
5 พจน มี a1 = -4, a2 = -8, a3 = -12,
a4 = -16, a5 = -20 ลา� ดับ 4, 8, 12, 16, 20 เขียนแทนด้วย ATTENTION

• -2, -4, -6, -8, -10, ... เปน ลําดบั อนันตท ่ีมี an = 4n เม่ือ n∊{ 1, 2, 3, 4, 5 } กรณที กี่ า� หนดลา� ดบั พจนท์ ว่ั ไป
ล�าดับ 5, 7, 9, 11, 13, …, 2n + 3, … เขียนแทนด้วย หรอื พจนท์ ี่ n ถา้ ไมไ่ ดก้ า� หนด
a1 = -2, a2 = -4, a3 = -6, a4 = -8, an = 2n + 3 เมอื่ n∊{ 1, 2, 3, … } สมาชิกของโดเมน ให้ถือว่า
a5 = -10, ... ลา� ดับนน้ั เปน็ ล�าดบั อนันต์

• -4, -7, -10, -13, -16, … , -3n - 1, … เปน

ลาํ ดบั อนนั ตท ่มี ี a1 = -4, a2 = -7, a3 = -10,
a4 = -13, a5 = -16 และ an = -3n - 1

8. ครอู ธบิ ายวา ลาํ ดบั อนนั ตม สี มาชกิ ไมม ที สี่ นิ้ สดุ
เราจะใชส ัญลักษณแทนดวย ... (จดุ สามจุด)

9. ครอู ธิบายเพิม่ เตมิ จากกรอบ ATTENTION วา
กรณีท่ีกําหนดลําดับพจนท่ัวไปหรือพจนที่ n
ถา ไมไ ดก าํ หนดสมาชิกของโดเมนไว ใหถือวา
ลาํ ดับนนั้ เปนลําดบั อนันต

134

สื่อ Digital กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครอู าจใหนักเรยี นสืบคนความรูเพิ่มเติมเกยี่ วกับ เร่ือง ลาํ ดบั จาก www. ใหน กั เรยี นปฏิบตั ิตามขัน้ ตอนตอไปน้ี
youtube.com โดยใชค าํ สบื คน ดงั น้ี • ใหน กั เรยี นยกตัวอยางลาํ ดับมาคนละ 1 ลาํ ดับ
• เขยี น 5 พจนแรกของลาํ ดบั จากขอ 1. พรอ มทัง้ บอกวาลําดับดงั
• ลาํ ดบั จํากัด
• ลําดบั อนนั ต กลาวเปนลาํ ดับจํากดั หรอื ลําดับอนนั ต
• การหาหา พจนแ รกของลําดบั จํากดั • ใหนักเรียนเขียนลําดับในขอ 1. เขียนใหอยูในรูปพจนท่ัวไป
• Finite sequence
• Innfi ite sequence พรอมทัง้ ระบุโดเมน
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงและนกั เรียนออ นจบั คกู นั
เชน https://www.youtube.com/watch?v=k5lyWlf2PSE

T144

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตวั อย่างท ี่ 1 IT CORNER ขนั้ สอน
จากตัวอย่างท่ี 1 สามารถ
ใหห้ ำห้ำพจน์แรกของ an = 2n - 5 หาห้าพจน์แรกได้ โดยใช้ รู้ (knowing)
วธิ ีท�ำ จาก an = 2n - 5 โปรแกรม Microsoft Excel
จะได้ a1 = 2(1) - 5 = -3 ในการคา� นวณ ซ่งึ จะก�าหนด 10. ครูกลา ววา การเขียนลาํ ดบั นอกจากจะเขยี น
a2 = 2(2) - 5 = -1 ช่วงของโดเมน 1 ≤ n ≤ 5 แบบแจกแจงพจนแ ลว ยงั สามารถเขยี นเฉพาะ
a3 = 2(3) - 5 = 1 และพจนท์ วั่ ไป an = 2n - 5 พจนท่ัวไปพรอมทั้งระบุสมาชิกในโดเมน
a4 = 2(4) - 5 = 3 จากน้ันครูยกตัวอยา งเพิ่มเติม ดงั นี้
a5 = 2(5) - 5 = 5 ฝกทําตอ ลาํ ดบั -3, -6, -9, -12, -15 เขียนแทนดว ย
ดงั นั้น ห้าพจน์แรกของล�าดับน้ี คอื -3, -1, 1, 3, 5
แบบฝก ทักษะ 3.1 ก an = -3n เมื่อ n∊{ 1, 2, 3, 4, 5 }
ลองทาํ ดู ขอ 1(1)-(2), 3(1)-(2), 5
ลาํ ดบั 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, 2n + 1, …
ให้หาห้าพจน์แรกของ an = 4n - 3
เขยี นแทนดวย an = 2n + 1 เมอ่ื n∊{ 1, 2,
ตวั อยา่ งท ่ี 2
3, … }
ใหห้ ำห้ำพจนแ์ รกของ an = 3n - 1 11. ครยู กตวั อยา งท่ี 1-2 ในหนงั สอื เรยี น หนา 135

วธิ ที �ำ จาก an = 3n - 1 30 = 1 บนกระดาน พรอมท้ังอธิบายการหาลําดับ
จะได ้ a1 = 31 - 1 = 31 = 3 ของ 5 พจนแ รก โดยการแทนคา ลงไปในพจน
a2 = 32 - 1 = 32 = 9 ท่ี n หรือพจนท ัว่ ไป เมอ่ื แทน n ดว ย 1, 2,
a3 = 33 - 1 = 33 = 27 3, 4 และ 5 โดยครูใหนักเรียนแทนคาใน
a4 = 34 - 1 = 34 = 81 ตัวอยางที่ 1 จากนั้นครูใหความรูเพิ่มเติม
a5 = 35 - 1 = วา นกั เรยี นสามารถหาคาหาพจนแรกโดยใช
ดงั นน้ั หา้ พจน์แรกของล�าดับนี ้ คือ 1, 3, 9, 27, 81 โปรแกรม Microsoft Excel ในการคํานวณ
ซึ่งจะมีการกาํ หนดโดเมนตง้ั แต 1 ถึง 5 คือ
1 ≤ n ≤ 5 และกาํ หนดพจนท่ัวไป คือ

an = 2n - 5

12. ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน
เพ่ือฝกการใชโปรแกรม Microsoft Excel
ในการคาํ นวณหาคา หา พจนแ รกของพจนท ่ี n
โดยครจู ะตง้ั โจทยก ลมุ ละ 1 ขอทีไ่ มซ ํ้ากนั

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ เขา้ ใจ (Understanding)

ให้หาห้าพจน์แรกของ an = 4n - 2 แบบฝกทักษะ 3.1 ก ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
ขอ 1(3)-(4), 3(3)-(4) หนา 135 แลวแลกเปลยี่ นความรกู ับคขู องตนเอง
สนทนาซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้น
ล�ำดับและอนุกรม 135 ครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน
โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบ
ความถูกตอง

ขอสอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู

ขอใดเปนพจนท ่ัวไปของลาํ ดับ -4, 7, -10, 13, -16, … ครคู วรใหค วามรเู พมิ่ เตมิ จากตวั อยา งที่ 1 วา ลาํ ดบั นม้ี รี ปู แบบเพม่ิ ขน้ึ อยา ง
1. an = 3n - 1 2. an = 3n - 1 คงท่ี โดยลําดบั ถดั ไปจะเพิ่มขน้ึ ทีละ 2 จากลาํ ดบั กอ นหนา
3. an = (3n - 1)(-1)n 4. an = (3n + 1)(-1)n

(เฉลยคาํ ตอบ แทน n = { 1, 2, 3, 4, 5 } ลงในพจนท ว่ั ไป แตล ะขอ
จะได
ขอ 1. หาพจนแ รกของลําดบั นี้ คอื 2, 5, 8, 11, 14
ขอ 2. หาพจนแรกของลาํ ดบั นี้ คอื 1, 3, 9, 27, 81
ขอ 3. หา พจนแ รกของลาํ ดับนี้ คอื -2, 5, -8, 11, -14
ขอ 4. หาพจนแรกของลําดบั น้ี คือ -4, 7, -10, 13, -16
ดังน้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

T145

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ตัวอยา่ งที่ 3

รู้ (knowing) ให้หำห้ำพจนแ์ รกของ an = (-1)n (n + 2)

ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 3 ในหนังสือ- วิธที ำ� จาก an = (-1)n (n + 2) = -3
เรยี น หนา 136 จากนน้ั ครอู ธบิ ายซา้ํ อกี ครง้ั เพอื่ ให จะได ้ a1 = (-1)1 (1 + 2) = 4
นักเรียนเขาใจมากย่ิงขึ้น จากน้ันครูยกตัวอยาง a2 = (-1)2 (2 + 2) = -5
เพมิ่ เตมิ บนกระดาน แลว สมุ นกั เรยี นออกมาแสดง a3 = (-1)3 (3 + 2) = 6
วธิ หี าคาํ ตอบ ดงั นี้ a4 = (-1)4 (4 + 2) = -7
a5 = (-1)5 (5 + 2)
• ใหนกั เรยี นหาหา พจนแรกของ an = 2n(n-1)
ดังน้นั ห้าพจน์แรกของล�าดับนี้ คอื -3, 4, -5, 6, -7
(แนวตอบ หาพจนแรกของลาํ ดับนี้ คือ 2, 4,
18, 128, 1,250) ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
• ใหน ักเรียนหาหาพจนแ รกของ
ให้หาหา้ พจนแ์ รกของ an = n(-1)n แบบฝกทกั ษะ 3.1 ก
an = (-1)(n-1)(n - 3) ขอ 1(5)-(6), 3(5)-(6)

(แนวตอบ หาพจนแรกของลําดับนี้ คือ -2, ตัวอยา่ งท ี่ 4
1, 0, -1, 2)
ให้หำพจนถ์ ัดไปสองพจน์ของล�ำดับที่กำ� หนดต่อไปน้ี
เขา้ ใจ (Understanding) 1) 2, 3, 6, 11, … 2) 50, 49, 47, 44, …
3) 64, 32, 16, 8, … 4) 1, 3, 9, 27, …
ครใู หน ักเรยี นจบั คูทํา “ลองทําดู” ในหนงั สือ-
เรียน หนา 136 แลวแลกเปล่ียนความรูกับคู วิธที ำ� 1) พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ของพจนใ์ นลา� ดบั
ของตนเอง สนทนาซักถามจนเปน ทเ่ี ขา ใจรว มกนั
จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบน
กระดาน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียนรวมกัน
ตรวจสอบความถูกตอง

2 3 6 11

+1 +3 +5

จากความสัมพนั ธ์ จะเหน็ ว่า พจนท์ อ่ี ยู่ถัดไปจะเพ่มิ ขน้ึ 1, 3 และ 5 ตามล�าดบั
จะไดว้ ่า พจน์ถดั ไปสองพจน์ของล�าดบั นจี้ ะเพ่ิมข้นึ 7 และ 9 ตามลา� ดับ
ดงั น้ัน พจนถ์ ดั ไปสองพจน์ของล�าดับน ี้ คอื 18 และ 27

136

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ

ครูควรใหความรูเพ่ิมเติมจากตัวอยางที่ 3 วา จาก an = (-1)n(n + 2) จงเตมิ ตัวเลขในชอ งวา งใหถกู ตอ ง
10 2 8 5 6 8 ____ ____ …
เปนลําดับท่ีสลับระหวางคาบวกและคาลบ เน่ืองจากมีพจน (-1)n ปรากฏอยู
ในลาํ ดบั (เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย ประกอบดวยลําดบั 2 ชุด ดังนี้
+3 +3 +3
ถา n เปนจํานวนคู คาของ (-1)n จะเปน คา บวก
ถา n เปน จํานวนค่ี คาของ (-1)n จะเปนคา ลบ 10 2 8 5 6 8 __4__ _1_1__ …

-2 -2 -2
ดงั นัน้ คําตอบ คอื 4 และ 11)

T146

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) พิจารณาความสมั พนั ธ์ของพจนใ์ นล�าดับ ขน้ั สอน
50 49 47 44
รู (knowing)
-1 -2 -3
ครยู กตวั อยา งที่ 4 บนกระดาน แลว ใหน กั เรยี น
จากความสมั พนั ธ์ จะเห็นว่า พจนท์ ่อี ยูถ่ ดั ไปจะลดลง 1, 2 และ 3 ตามล�าดับ พิจารณาขอยอยแตละขอวามีความสัมพันธเปน
จะได้ว่า พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลา� ดับนี้จะลดลง 4 และ 5 ตามล�าดบั แบบใด จากนัน้ ครูถามคําถาม ดงั น้ี
ดังนัน้ พจนถ์ ดั ไปสองพจน์ของล�าดับน้ ี คอื 40 และ 35
• จากขอ 1) จะเห็นวา พจนถัดไปสองพจน
3) พิจารณาความสัมพนั ธข์ องพจนใ์ นลา� ดบั ของลําดับ คือ 18 และ 27 ใหน กั เรียนหา
64 32 16 8 พจนถ ัดไปสองพจนข องลําดบั น้ี
(แนวตอบ สองพจนถัดไปของลําดับ 2, 3,
÷2 ÷2 ÷2 6, 11, 18, 27, ... คือ 38 และ 51)

จากความสัมพนั ธ ์ จะเหน็ ว่า พจนท์ อ่ี ย่ถู ดั ไปจะเป็นครง่ึ หนึ่งของพจนท์ ีอ่ ยขู่ า้ งหนา้ • จากขอ 2) จะเห็นวา พจนถัดไปสองพจน
ดังนน้ั พจน์ถดั ไปสองพจน์ของลา� ดับนี้ คอื 4 และ 2 ของลําดับ คือ 40 และ 35 ใหนักเรียน
หาพจนถ ดั ไปสองพจนข องลําดับน้ี
4) พิจารณาความสัมพันธข์ องพจนใ์ นลา� ดบั (แนวตอบ สองพจนถัดไปของลําดับ 50,
1 3 9 27 49, 47, 44, 40, 35, ... คอื 29 และ 22)

×3 ×3 ×3 • จากขอ 3) จะเห็นวา พจนถัดไปสองพจน
ของลําดับ คือ 4 และ 2 ใหนักเรียนหา
จ ากความสัมพนั ธ์ จะเหน็ วา่ พจน์ที่อยถู่ ัดไปจะเปน็ สามเท่าของพจนท์ ่ีอยขู่ ้างหน้า พจนถ ัดไปสองพจนของลาํ ดบั นี้
ดงั น้นั พจน์ถัดไปสองพจนข์ องลา� ดบั น้ ี คอื 81 และ 243
• 3(จแ2าน,กว1ขต6ออ, บ84,)ส4จ,อะ2งเ,พห.จ.็น.นวคาถอื ัดพ1ไจปแนขลถอะัดงไ21ลปํา)สดอับงพ6จ4น,
ลองทําดู ของลําดับ คือ 81 และ 243 ใหนักเรียน
หาพจนถัดไปสองพจนของลําดบั น้ี
ใหห้ าพจนถ์ ัดไปสองพจนข์ องล�าดบั ทีก่ �าหนดตอ่ ไปน้ี ฝกทําตอ (แนวตอบ สองพจนถัดไปของลําดับ 1, 3,
1) 5, 10, 16, 23, … 2) 81, 27, 9, 3, … 9, 27, 81, 243, ... คือ 729 และ 2,187)
3) 4, 1, -3, -8, … 4) 1, 4, 16, 64, … แบบฝก ทักษะ 3.1 ก
ขอ 2, 4 เขา ใจ (Understanding)

ล�ำดับและอนุกรม 137 1. ครูใหนกั เรียนจับคูทํา “ลองทําดู” ในหนงั สอื -
เรียน หนา 137 แลวแลกเปล่ียนความรูกับคู
ของตนเอง สนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจ
รวมกัน จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมาแสดง
วิธีทําบนกระดาน โดยครูและนักเรียนใน
ชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความถูกตอ ง

2. ครใู หน กั เรียนทํา Exercise 3.1 A เปน การบาน

กจิ กรรม สรางเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หนักเรยี นจับคู แลว ชว ยกันหาลาํ ดบั ซ่งึ มเี งอ่ื นไขตอ ไปนี้ ครอู ธบิ ายเพมิ่ เตมิ วา การหาพจนถ ดั ไปสองพจนข องลาํ ดบั ทก่ี าํ หนดใหโ ดย
• พจนท่อี ยูถ ดั ไปจะลดลงทลี ะ 1, 2, 3, … ตามลําดับ ใชว ิธีการพจิ ารณาผลตา งของพจน บางคร้ังอาจจะยงั ไมส ามารถสรปุ คาํ ตอบได
• พจนที่อยถู ัดไปจะเพมิ่ ขึ้นทีละ 2, 4, 6, … ตามลาํ ดบั ในกรณีเชนนี้อาจจะพิจารณาผลตางของลําดับน้ัน แลวนําผลตางท่ีไดมาเขียน
• พจนทีอ่ ยูถ ัดไปจะเปนหา เทาของพจนท ี่อยูดา นหนา เปนลาํ ดับอีกครง้ั จนไดผ ลตา งเปนคาคงที่ เชน
• พจนที่อยูถัดไปจะเปนครง่ึ หนง่ึ ของพจนท อ่ี ยดู านหนา
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรยี นเกง และนักเรียนออ นจับคกู นั 5 9 15 23 33
+4 +6 +8 +10
+2 +2 +2

T147

นาํ สอน สรุป ประเมิน

ขนั้ สอน แบบฝึกทักษะ 3.1ก

ลงมอื ทาํ (Doing) ระดบั พ้ืนฐำน

ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน 1. ให้หำห้ำพจน์แรกของล�ำดับตอ่ ไปน้ี
โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร ทาํ แบบฝก 1) an = 7n + 2 2) an = 10 - 2n
ทกั ษะ 3.1 ก ลงในสมุด แลวใหต รวจสอบคําตอบ 3) an = 2n + 4 4) aann == -(-3n2n )n+ 1
ของตนเองกบั เพอ่ื นในกลมุ จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี น 5) an = 2n(-1)n - 1 6)
ออกมาแสดงวธิ คี ดิ หนา ชนั้ เรยี น โดยครตู รวจสอบ
ความถกู ตอ ง 2. ใหห้ ำพจนถ์ ัดไปสองพจนข์ องล�ำดับที่กำ� หนดต่อไปน้ี
1) 10, 20, 35, 55, … 2) 90, 70, 52, 36, …
ขนั้ สรปุ 3) 1, 5, 25, 125, … 4) 2,000, 1,000, 500, 250, …

ครูถามคําถามนักเรียน เพอ่ื สรปุ ความรู เร่ือง ร ะดบั กลำง
ลําดบั
3. ให้หำห้ำพจน์แรกของล�ำดับตอ่ ไปนี้ 2) an = n2(nn +- 11)
• ลาํ ดับ มีความหมายวา อยา งไร 1) an = n(n 2+ 1) 4) an = (21)n + 1 - n +n 2
(แนวตอบ ลําดับ คือ ฟงกชันท่ีมีโดเมน 3) an = (32)-n + n 6) an = (-1)n(n + 3) + 2n
เปนเซตของจํานวนเต็มบวก หรือสับเซต 5) an = (-1)n(n + 1)(n + 2)
ของจํานวนเตม็ บวก)
4. ให้หำพจน์ถดั ไปสองพจน์ของล�ำดับทกี่ ำ� หนดตอ่ ไปนี้
• สองพจนถัดไปของลําดบั 4, 7, 10, 13, ... 1) a, a + b, a + 2b, a + 3b, …
คอื อะไร
(แนวตอบ สองพจนถัดไป คอื 16, 19) 2) a, a2 b2, a3 b4, a4 b6, …
3) 21 (x + y), 41 (x + y)2, 18 (x + y)3, 116 (x + y)4, …
• สามพจนถ ัดไปของลําดบั 7, 9, 13, 21, ... 4) x - 2y + 3z, 2x - 3y + 6z, 3x - 4y + 9z, 4x - 5y + 12z, …
คืออะไร
(แนวตอบ สามพจนถ ัดไป คือ 37, 69, 133) ร ะดบั ท้ำทำย

• หาพจนแรกของ an = n(n2+ 1) คืออะไร 5. ใหห้ ำหกพจน์แรกของลำ� ดบั ทีก่ �ำหนด

(แนวตอบ หาพจนแ รกของลาํ ดบั นี้ คือ 1, 3, a n = n(n - 5) เม่อื n เป็นจำ� นวนคบ่ี วก
6, 10, 15) 3n2 + 4n - 1 เมอื่ n เป็นจำ� นวนคู่บวก

ขน้ั ประเมนิ 138

1. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 3.1 ก
2. ครูตรวจ Exercise 3.1 A
3. ครปู ระเมนิ การนาํ เสนอผลงาน
4. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
5. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทํางานกลุม
6. ครูสงั เกตความมวี ินัย ใฝเรยี นรู

มงุ มน่ั ในการทํางาน

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอสอบเนน การคดิ
กาํ หนดให a1 = a2 = 1 และ an = (an-1)2 + an-2 เม่อื n = 3,
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก
ทกั ษะ 3.1 ก ในขั้นลงมอื ทํา โดยศึกษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผลจากแบบ 4, 5, ... ใหหาหา พจนแรกของลาํ ดับนี้
ประเมนิ ของแผนการจดั การเรยี นรใู นหนวยการเรียนรูท่ี 3
(เฉลยคําตอบ จากโจทย a1 = a2 = 1
จะไดวา
a3 = ((aa32))22 + a1 = 12 + 1 = 2 จะได a3 = 2
แบบสังเกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ a4 = + a2 = 22 + 1 = 5 จะได a4 = 5

คาชีแ้ จง : ใหผ้ ูส้ อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรียนและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ลงในช่องท่ีตรงกับ
ระดับคะแนน

ลาดบั ช่ือ – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟัง การทางาน ความมีน้าใจ การมี รวม
ที่ ของนกั เรียน ความคิดเห็น คนอนื่ ตามทไี่ ด้รับ สว่ นรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกลุ่ม

43214321432143214321 a5 = (a4)2 + a3 = 52 + 2 = 27 จะได a5 = 27

ดังนัน้ หาพจนแรกของลาํ ดบั น้ี คอื 1, 1, 2, 5, 27)

เกณฑก์ ารให้คะแนน ลงชือ่ ...................................................ผู้ประเมนิ
ปฏิบตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบ่อยคร้งั ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ัตหิ รอื แสดงพฤตกิ รรมน้อยครัง้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตัดสินคณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดับคุณภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากว่า 10 ปรับปรุง

T148

นาํ นํา สอน สรปุ ประเมนิ

2. ลา� ดบั เลขคณติ (Arithmetic Sequence) ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching)

Investigation a2 - a1 a3 - a2 a4 - a3 a5 - a4 การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

ใหน้ ักเรยี นตอบคำ� ถำมตอ่ ไปนี้ ครูทบทวนความรู เรื่อง ลําดับ โดยการถาม
1. เติมค�าตอบลงในชอ่ งวา่ ง คาํ ถามนกั เรียน ดงั นี้

ข้อ ลำ� ดบั • ลําดบั มคี วามหมายวา อยางไร
1 2, 5, 8, 11, 14, … (แนวตอบ ลําดับ คอื ฟงกช ันท่มี โี ดเมนเปน
2 6, 3, 0, -3, -6, … เซตของจํานวนเต็มบวก หรือสับเซตของ
3 5, 9, 13, 17, 21, … จํานวนเต็มบวก)
4 1, 1, 1, 1, 1, …
5 1, 2, 4, 7, 11, … • ลําดับจาํ กัด มีความหมายวาอยา งไร
6 9, 8, 6, 3, -1, … (แนวตอบ ลําดับจํากดั คือ ฟงกช ันท่มี โี ดเมน
เปน สบั เซตของจาํ นวนเตม็ บวก)
2. ผลต่างของพจน์หลังกับพจนห์ นา้ ที่อย่ตู ิดกันในแตล่ ะคู่มีค่าเท่ากนั หรือไม่
• ลาํ ดบั อนันต มคี วามหมายวา อยางไร
จาก Investigation จะเห็นว่า ล�าดับในขอ้ 1 ถึง 4 จะมีผลตา่ งของพจน์หลังกบั พจนห์ นา้ (แนวตอบ ลาํ ดบั อนนั ต คอื ฟง กช นั ทม่ี โี ดเมน
ท่อี ย่ตู ิดกนั ดงั น้ี เปนเซตของจํานวนเต็มบวก)
5 - 2 = 8 - 5 = 11 - 8 = 14 - 11 = 3 มีคา่ คงตวั เท่ากบั 3
3 - 6 = 0 - 3 = (-3) - 0 = (-6) - (-3) = -3 มีคา่ คงตัวเท่ากับ -3 ขน้ั สอน
9 - 5 = 13 - 9 = 17 - 13 = 21 - 17 = 4 มคี า่ คงตวั เทา่ กบั 4
1 - 1 = 1 - 1 = 1 - 1 = 1 - 1 = 0 มีค่าคงตัวเท่ากบั 0 รู้ (knowing)

เรียกลา� ดับทมี่ ผี ลตา่ งของพจน์ท่ี n + 1 กับพจน์ที่ n เป็นค่าคงตัวเสมอว่า ลำ� ดบั เลขคณติ 1. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม Investigation
และเรียกผลตา่ งทเ่ี ป็นค่าคงตัวน้ันว่า ผลตำ่ งร่วม (common difference)
เปนรายบคุ คล จากนนั้ ครแู ละนักเรยี นรว มกัน
ในกรณที ัว่ ไป ถา้ a1, a2, a3, …, an, … เป็นล�าดับเลขคณติ และมีผลต่างรว่ ม คือ d โดยท่ี อภิปรายจนไดขอสรุปวา ผลตางที่อยูติดกัน
d = an + 1 - an สามารถเขียนพจน์อ่ืน ๆ ของลา� ดับเลขคณิตในรูปของ a1 และ d ได ้ ดงั น้ี ในแตละคูจะมีคาคงตัวที่เทากัน ซ่ึงจะเรียก
ลําดับนั้นวา ลําดับเลขคณิต และผลตางที่
ล�ำดับและอนุกรม 139 คงตัวจะเรียกวา ผลตางรวม ใชสัญลักษณ
แทน คอื d

กจิ กรรม สรา งเสรมิ เฉลย Investigation

ครใู หน กั เรยี นจับคู แลวปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอนตอไปนี้ 1. ขอ ลาํ ดบั a2 - a1 a3 - a2 a4 - a3 a5 - a4
• ใหน ักเรียนยกตัวอยา งลําดับมา 1 ลําดบั
• หาผลตางรวม (common difference) ของลําดับท่ีนักเรียน 1 2, 5, 8, 11, 14, ... 3 3 3 3

ยกตวั อยา งมา 2 6, 3, 0, -3, -6, ... -3 -3 -3 -3
• ผลตางรวม (common difference) ของลําดับท่ีนักเรียน 4 4 4 4
3 5, 9, 13, 17, 21, ... 0 0 0 0
ยกตัวอยางมานัน้ มคี า คงท่ีหรอื ไม แลว เงื่อนไขใดทท่ี ําใหลําดบั 1 2 0 4
ทน่ี กั เรยี นยกตวั อยา งมามีคาคงที่ 4 1, 1, 1, 1, 1, ...
หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรียนเกงและนักเรียนออนจับคูกนั -1 -2 -3 -4
5 1, 2, 4, 7, 11, ...

6 9, 8, 6, 3, -1, ...

2. ผลตา งของพจนห ลงั กบั พจนหนาท่อี ยูต ดิ กันในแตล ะคูของขอ 1-4
มีคา เทากัน

T149

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน a1 = a1 = a1 + 2d
a2 = a1 + d = a1 + 3d
รู้ (knowing) a3 = a2 + d = (a1 + d) + d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d
2. ครูเขียนลําดับเลขคณิตจํานวน 5 พจน บน
กระดาน จากนั้นสุมนักเรียนออกมาเขียนคา ︙ ︙ ︙ ︙

ของ a1 และ d และพจนทั่วไปของลําดับ an = an - 1 + d = [a1 + (n - 2)d] + d = a1 + (n - 1)d

เลขคณิต แลวรวมกันอภิปรายจนไดขอสรุป จะไดว้ ่า พจน์ที่ n ของลา� ดบั เลขคณติ คือ
ทีต่ รงกนั วา พจนท่วั ไปของลาํ ดบั เลขคณิต คือ
an = a1 + (n - 1)d
an = a1 + (n - 1)d
เมื่อ a1 คือ พจนท ี่ 1 ของลาํ ดบั เลขคณติ เมื่อ a1 คือ พจน์ที ่ 1 ของล�าดบั เลขคณติ
d คือ ผลตา่ งรว่ มของลา� ดบั เลขคณติ
d คอื ผลตา งรว มของลาํ ดบั เลขคณติ n คือ ล�าดับท่ ี n ของลา� ดับเลขคณิต
n คอื ลําดับที่ n ของลําดับเลขคณติ และ an คือ พจนท์ ่ ี n หรอื พจน์ท่วั ไปของล�าดับเลขคณติ

และ an คอื พจนท่ี n หรือพจนท่ัวไปของ ตวั อยา งท่ี 5

ลําดับเลขคณติ ใหเ้ ขียนสพี่ จน์ถดั ไปของลำ� ดบั เลขคณิต -3, 1, 5, …
3. ครูยกตัวอยางท่ี 5 และใหนักเรียนสังเกตวา วิธที ำ� ลา� ดับเลขคณติ น้มี ี a1 = -3 และผลตา่ งรว่ ม d = 1 - (-3) = 4
จะได้ a4 = a3 + d = 5 + 4 = 9
โจทยเ ปน ลาํ ดบั เลขคณติ ทม่ี ผี ลตา งรว มเทา กบั a5 = a4 + d = 9 + 4 = 13
4 แลวใหร วมกนั อภิปรายในช้นั เรยี นวา สีพ่ จน a6 = a5 + d = 13 + 4 = 17
ถดั ไปคอื จาํ นวนใดบา ง จากนนั้ ครเู ขยี นสพี่ จน a7 = a6 + d = 17 + 4 = 21
ดังน้ัน สพ่ี จน์ถัดไปของล�าดบั เลขคณติ น ้ี คอื 9, 13, 17, 21
ถดั ไปโดยใชสตู ร an = a1 + (n - 1)d แลว
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
อธิบายคําตอบ
4. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมบนกระดาน แลวถาม ให้เขยี นส่พี จน์ถัดไปของลา� ดับเลขคณติ -8, -3, 2, … แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ข ขอ 1

คาํ ถามนกั เรียน ดังนี้ 140
• ลาํ ดบั เลขคณติ 1, 3, 5, … มผี ลตา งรว ม (d)

เทากบั เทา ใด
(แนวตอบ ผลตางรวม (d) มคี าเทากบั

a2 - a1 = 3 - 1 = 2)

• ใหเขียนสามพจนถัดไปของลําดับเลขคณิต
1, 3, 5, …

(แนวตอบ ลําดับเลขคณิตมี a1 = 1 และ

ผลตา งรว ม d = 2

จะได a4 = a3 + d = 5 + 2 = 7
a5 = a4 + d = 7 + 2 = 9
a6 = a5 + d = 9 + 2 = 11

ดงั นั้น สามพจนถ ดั ไปของลาํ ดบั เลขคณติ น้ี
คอื 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสริม

ครคู วรใหความรเู พ่ิมเตมิ เก่ยี วกบั ผลตางรว ม (common difference) วา ครใู หน กั เรยี นจบั คู แลวชวยกันหาคา ของ a6 - a5 และ a6 + a5
สามารถหาไดจากผลตางของพจนหลังกับพจนหนาท่ีอยูติดกันโดยการเอาพจน
หลังลบกับพจนหนา ซ่ึงคาท่ีไดอาจเปนจํานวนบวก ลบ หรือศูนยก็ได และ จากลาํ ดบั เลขคณิต 5, 8, 11, 14, …
จากตวั อยา งที่ 5 วา อาจหาพจนถดั ไปไดโดยพิจารณาความสมั พนั ธข องลาํ ดับ หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรียนเกง และนักเรยี นออ นจับคูกัน
เนื่องจากลาํ ดบั นเ้ี พิม่ ขึ้นทลี ะ 4 ดงั น้นั สีพ่ จนถดั ไปอาจหาไดโ ดยนาํ 4 บวกเพ่ิม
จากพจนถ ัดไป

-3 , 1 , 5 , 9 , 13 , 17 , 21
+4 +4 +4 +4 +4 +4

ซึ่งคําตอบจะตรงกันกับวธิ ใี นตัวอยางท่ี 5

T150

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ตัวอย่างท ่ี 6 ขนั้ สอน

ให้หำพจน์ท ่ี 50 ของล�ำดับเลขคณิต 3, 7, 11, 15, … รู้ (knowing)

วิธที ำ� ลา� ดบั เลขคณติ นมี้ ี a1 = 3 และผลตา่ งร่วม d = 7 - 3 = 4 5. ครยู กตัวอยางท่ี 6 ในหนงั สอื เรียน หนา 141
จาก an = a1 + (n - 1)d SOPLRVOIBNLGETMIP และอธิบายวา นักเรียนสามารถหาพจนท่ี 50
จะได ้ a50 = 3 + (50 - 1)(4) การหาพจน์ท่ี n ของ ของลําดับเลขคณติ 3, 7, 11, 15, ... ไดโ ดย
= 3 + 196 ล�าดบั เลขคณติ จะตอ้ งทราบ การแทนคา n = 50 ลงในสูตร
คา่ a1 และ d ก่อนเสมอ
= 199 an = a1 + (n - 1)d เม่ือ a1 = 3 และ d = 4

ดงั น้นั พจนท์ ่ี 50 ของลา� ดบั คอื 199 ซง่ึ ในการหาลาํ ดบั เลขคณติ ในพจนท ี่ n จะตอ ง

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ ทราบคาของ a1 และ d กอ นเสมอ

ให้หาพจนท์ ่ี 100 ของลา� ดับเลขคณติ 9, 17, 25, 33, … แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ข 6. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 7 ในหนังสือ-
ขอ 2, 13 เรียน หนา 141 จากนนั้ ครูอธบิ ายเพม่ิ เตมิ วา
จากตัวอยางท่ี 7 เปนการหาพจนท่ัวไปหรือ
ตวั อยา่ งที ่ 7
การหาลําดับท่ี n จะเหน็ วา a1 = 5 และพจน
ใหห้ ำพจน์ท่ัวไปของล�ำดบั เลขคณิต 5, 1, -3, -7, …
ท่ีอยูถดั ไปจะลดลงทีละ 4
วิธที �ำ ล�าดับเลขคณติ นมี้ ี a1 = 5 และผลตา่ งร่วม d = 1 - 5 = -4 5 1 -3 -7
จาก an = a1 + (n - 1)d -4 -4 -4
จะได้ an = 5 + (n - 1)(-4)
= 5 - 4n + 4 นน่ั คือ ผลตางรวม d = -4 จากนั้นนํา a1 = 5
= 9 - 4n และ d = -4 แทนลงในสตู ร an = a1 + (n - 1)d
ดังน้ัน พจนท์ วั่ ไปของลา� ดบั น้ี คือ an = 9 - 4n
จะไดพ จนท ัว่ ไปของลาํ ดบั 5, 1, -3, -7, ... คือ
ลองทําดู ฝกทําตอ
an = 9 - 4n
ใหห้ าพจน์ทว่ั ไปของลา� ดบั เลขคณติ 19, 12, 5, -2, … แบบฝก ทักษะ 3.1 ข
ขอ 3 เขา้ ใจ (Understanding)

ครูใหน ักเรียนจบั คทู าํ “ลองทาํ ด”ู ในหนังสอื -
เรียน หนา 140-141 และแบบฝกทักษะ 3.1 ข
ขอ 1.-3. ในหนังสือเรียน หนา 144-145 แลว
แลกเปลี่ยนความรูสนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจ
รว มกนั จากนั้นครสู ุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทาํ
บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชน้ั เรยี นรว มกนั
ตรวจสอบความถูกตอ ง

การหาลําดบั เลขคณติ พจนท ี่ n

ล�ำดับและอนุกรม 141

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET ส่ือ Digital
ถา a เปนพจนท วั่ ไปของลาํ ดับเลขคณิต ซึ่งมี a5 = 9
และ an+1 = an - 2 แลว a11 เทากบั ขอ ใด ครูเปดสือ่ การเรียนรู เรื่อง การหาลาํ ดบั เลขคณิตพจนท ่ี n โดยการนาํ เสนอ
ดวยแผนภาพเวนน ในหนังสือเรยี น หนา 141 ดว ยการสแกน QR Code
1. -5 2. -3 3. -1 4. 1 5. 3
T151
(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย
a5 = a4+1 = a4 - 2 = 9
a4 = 11 ..., a3, a4, a5, ...
a4 = a3+1 = a3 - 2 = 11 ..., 13, 11, 9, ...
a3 = 13 d = -2

จาก a3 = 13
a1 + 2d = 13
a1 + 2(-2) = 13
จะได a1 = 17
น่ันคือ a11 = a1 + 10d = 17 + 10(-2) = -3

ดังน้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน ตวั อยา่ งที่ 8

รู้ (knowing) ใหห้ ำพจนท์ ่ ี 3 ของลำ� ดับเลขคณิตที่ม ี a5 = 27 และ a10 = 62

1. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 8 ในหนังสือ- วิธที �ำ จาก a5 = 27
เรียน หนา 142 จากน้ันครูอธิบายซํ้าอีกคร้ัง จะได ้ a1 + (5 - 1)d = 27
เพอื่ ใหน กั เรยี นเขา ใจมากยง่ิ ขน้ึ และใหน กั เรยี น a1 + 4d = 27 ......➊
ดกู รอบ ATTENTION แลวถามคาํ ถามนักเรียน จาก a10 = 62 ......➋
ดงั น้ี จะได้ a1 + (10 - 1)d = 62 ATTENTION
• จากระบบสมการในกรอบ ATTENTION a1 + 9d = 62
น�า ➋ - ➊ ; 5d = 35 นักเรียนสามารถจัดรูป a5
นกั เรียนสามารถแกส มการเพื่อหาคา a3 ได d = 7 และ a10 ใหอ้ ย่ใู นรูป a3 ดงั น้ี
แทน d ใน ➊ ด้วย 7 จะได ้ a1 = -1 a5 = a3 + 2d
อยา งไร และ a3 = a1 + 2d = (-1) + 2(7) = 13 a10 = a3 + 7d
ดังนน้ั พจนท์ ่ี 3 ของลา� ดบั เลขคณติ น ้ี คอื 13 จากนั้นให้แก้ระบบสมการ
(แนวตอบ เนื่องจาก a5 = 27 และ a10 = 62 เพือ่ หาค่า a3
จะได a3 + 2d = 27 .....(1)
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
a3 + 7d = 62 .....(2)
ใหห้ าพจน์ที่ 9 ของลา� ดับเลขคณิตที่ม ี a4 = 3 และ a12 = -21 แบบฝก ทักษะ 3.1 ข
(2) - (1) ; 5d = 35 ขอ 5, 12
d=7
ตวั อย่างท่ ี 9
แทน d = 7 ลงใน (1)
ถ้ำ x + 2, 12 - x, 5x + 6 เปน็ พจนส์ ำมพจน์ที่เรยี งกนั ในลำ� ดับเลขคณิต ให้หำค่ำ x
จะได a3 + 2(7) = 27
a3 = 27 - 14 วิธีท�ำ เนอ่ื งจากล�าดับเลขคณิตมีผลต่างรว่ มคงตวั
จะได ้ (12 - x) - (x + 2) = (5x + 6) - (12 - x)
= 13) 10 - 2x = 6x - 6
2. ครูยกตัวอยา งท่ี 9 ในหนังสือเรียน หนา 142 8x = 16
x = 2
บนกระดาน แลวอธิบายเพิ่มเติมวา ในการ ดังน้ัน x มีค่าเท่ากับ 2
หาคา x ในพจนสามพจนท่ีเรียงกันในลําดับ
เลขคณิต จะไดวา ผลตางรวมในแตละพจน ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

จะเทากนั ดังนี้ a1 a2 a3 ถา้ 2x + 1, 21 - x, 4x + 1 เปน็ พจนส์ ามพจนท์ เี่ รยี งกนั ในลา� ดบั เลขคณติ แบบฝกทกั ษะ 3.1 ข
ให้หาคา่ x ขอ 7-9
dd
142
จะไดว า a2 - a1 = a3 - a2

เขา้ ใจ (Understanding)

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 142 และแบบฝกทกั ษะ 3.1 ขอ 5., 7.-9.,
12. ในหนังสือเรียน หนา 145-146 จากนั้นครู
สมุ นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครู
และนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบความ
ถูกตอง

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET

ครคู วรใหความรเู พิ่มเติมเกยี่ วกบั ตวั อยา งท่ี 8 โดยแสดงวิธคี ดิ อกี แบบ ดังน้ี พจนที่ 60 ของลําดบั เลขคณติ x + 2, 2x -5, 2x + 2, ... เทากบั
เน่อื งจาก a10 = a1 + 9d ขอใด
= a1 + 4d + 5d
= a5 + 5d 1. 429 2. 437 3. 463 4. 498 5. 499

ดงั นนั้ 62 = 27 + 5d จะได d = 7 (เฉลยคาํ ตอบ x + 2, 2x - 5, 2x + 2, ...

โจทยตองการหา a3 = a5 - 2d = 27 - 2(7) = 13 dd
ดงั นน้ั a3 = 13 กรณี 1 d = (2x - 5) - (x + 2) = x - 7
กรณี 2 d = (2x + 2) - (2x - 5) = 7
จะไดว า x-7 =7
x = 14
นน่ั คอื a60 = a1 + 59(d)

= (x + 2) + 59(7)
= (14 + 2) + 413 = 429
ดงั นั้น คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)
T152

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ตัวอยา่ งท ่ี 10 1. ครูใหน ักเรยี นศกึ ษาตวั อยางที่ 10 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 143 จากน้ันครูอธิบายซํ้าอีกคร้ัง
ถ้ำล�ำดบั เลขคณิตชดุ หนึ่งมผี ลบวกและผลคณู ของสำมพจนแ์ รกเท่ำกบั 9 และ 15 ตำมล�ำดบั เพ่ือใหนักเรียนเขาใจมากย่ิงขึ้นและช้ีแนะวิธี
ใหห้ ำสำมพจนแ์ รกของล�ำดบั เลขคณติ ชดุ นี้
SOPLRVOIBNLGETMIP การแกโจทยปญหา โดยการสมมติตัวแปรใน
วิธที ำ� ให้สามพจน์แรกของล�าดบั เลขคณิต คอื a - d, a, a + d ลําดับเลขคณิต ควรกําหนดใหสามพจนแรก
จะได ้ (a - d) + a + (a + d) = 9 การสมมตติ ัวแปรใน
3a = 9 ลา� ดบั เลขคณติ ควรกา� หนดให้ เปน a - d, a, a + d เน่ืองจากเม่ือนํา
สามพจน์แรกเปน็ สามพจนแรกมาบวกกัน จะทําใหเหลือแตคา
a = 3 ตวั แปร a ซึง่ ทาํ ใหงายตอ การคํานวณ
และ (a - d)(a)(a + d) = 15 a - d, a, a + d
(3 - d)(3)(3 + d) = 15 เนอ่ื งจากเมอ่ื นา� สามพจนแ์ รก 2. ครถู ามคําถามเพิ่มเตมิ จากตัวอยา งที่ 10 ดังนี้
มาบวกกัน จะท�าให้ค่าของ • ใหห าสองพจนถ ดั ไปของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี
9 - d2 = 5 ตัวแปร d หมดไป เหลือแต่ (แนวตอบ ถา d = 2 สองพจนถัดไปของ
d2 = 4 คา่ ของตวั แปร a ซ่ึงทา� ให้
d = 2, -2 สะดวกต่อการคา� นวณ ลําดบั 1, 3, 5, ... คือ 7 และ 9
ถา d = -2 สองพจนถ ดั ไปของ
เมื่อ d = 2 และ a = 3 จะไดส้ ามพจน์แรก คอื 1, 3, 5 ลาํ ดบั 5, 3, 1, ... คือ -1 และ -3)
เมอ่ื d = -2 และ a = 3 จะได้สามพจนแ์ รก คือ 5, 3, 1 • ใหหาพจนท่วั ไปของลาํ ดบั เลขคณติ นี้
ดังน้ัน สามพจน์แรกของลา� ดับนี้ คอื 1, 3, 5 หรือ 5, 3, 1 (แนวตอบ พจนท่ัวไปของ 1, 3, 5, … คือ

ลองทําดู 2n - 1
พจนท ว่ั ไปของ 5, 3, 1, … คือ -2n + 7)
ถา้ ลา� ดบั เลขคณติ ชดุ หนง่ึ มผี ลบวกและผลคณู ของสามพจนแ์ รกเทา่ กบั ฝกทําตอ 3. ครยู กตัวอยางที่ 11 ในหนงั สือเรยี น หนา 143
15 และ 45 ตามล�าดบั ใหห้ าสามพจนแ์ รกของลา� ดบั เลขคณิตชุดนี้ แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ข
ขอ 4, 6, 15 บนกระดาน ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา การหา

ตวั อยา่ งท่ ี 11 ขจnคาํอร=นูยงสวกaนมตnพกัวd-อาจaรยน1าส aง+าnเมพ1า=ิ่มรซเถต่ึงaหไ1ิมดาโจไ+ดดายจก(ใnากหกาน-สรักยตู 1เารร)ยdียขนา จรงาวกมนกั้นัน

จำ� นวนเต็มต้ังแต ่ 100 ถึง 1,000 ท่หี ำรด้วย 7 ลงตัวมีท้งั หมดก่จี �ำนวน

วธิ ที ำ� จา� นวนแรกที่หารด้วย 7 ลงตัว คือ 105
จ�านวนสุดท้ายทห่ี ารดว้ ย 7 ลงตวั คือ 994
จะไดล้ า� ดับเลขคณติ คือ 105, 112, 119, …, 994 แสดงวธิ ที าํ ดงั น้ี
• จาํ นวนระหวาง 100 กับ 500 ทีห่ ารดวย 4
จาก 9 9a4n = 1a10 5+ +( n( n- -1 )1d) (เ7ม)ื่อ a1 = 105, d = 7 และ an = 994 ล(จแะงนตไวดวัตมอบีทงั้ จหามกดannก1ี่จ===ําน1a5ว0n0น00d-,
จะได ้ = a1 + 1, an = 500,
994 = 105 + 7n - 7 = 4400 = 4
7n = 896 d
n = 128 4- 100 + 1
ดงั นน้ั จ�านวนเต็มต้ังแต ่ 100 ถึง 1,000 ทห่ี ารด้วย 7 ลงตวั มีทั้งหมด 128 จ�านวน
+ 1 = 101
ล�ำดับและอนุกรม 143 ดงั น้นั จํานวนระหวาง 100 กับ 500 ที่หาร

ดว ย 4 ลงตวั มีทั้งหมด 101 จํานวน)

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET สอื่ Digital

กําหนดให x เปนจาํ นวนจรงิ ถา 5 - 7x, 3x + 28, 5x + 27, ครูใหนักเรียนใชโปรแกรม Microsoft Excel โดยเขียนชุดคําส่ังเพ่ือหา
..., 2x3 - 3x + 1 เปน ลาํ ดับเลขคณติ แลวลาํ ดบั นีม้ ีกีพ่ จน คําตอบจากโจทย พรอมท้ังตรวจคําตอบจากตัวอยางท่ี 11 วาสอดคลองกัน
หรือไม พรอ มอธิบายใหน กั เรยี นเขาใจ
1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14
(เฉลยคําตอบ (3x + 28) - (5 - 7x) = (5x + 27) - (3x + 28) T153

10x + 23 = 2x - 1
x = -3

แทนคา x = -3 ในลําดับ
5 - 7(-3), 3(-3) + 28, 5(-3) + 27, ..., 2(-3)3 - 3(-3) + 1

26, 19, 12 , ..., -44
-7 -7

n = an d- a1 + 1, an = -44, a1 = 26, d = -7

จะได n = (-44-)7- 26 + 1 = 11
ดงั นน้ั คําตอบ คอื ขอ 2.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน ลองทาํ ดู ฝกทําตอ

รู้ (knowing) จา� นวนเตม็ ตั้งแต ่ 50 ถงึ 750 ท่หี ารดว้ ย 3 ลงตัวมีท้งั หมดกจี่ �านวน แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ข
ขอ 10, 14
4. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางท่ี 12 แลวถาม
คําถาม ดงั น้ี ตวั อย่างท่ ี 12
• นกั เรยี นทราบไดอ ยา งไรวา โจทยใ นตวั อยา ง
ที่ 12 มีลกั ษณะเปน ลําดบั เลขคณิต วันชัยกเู้ งนิ จำกสหกรณ์มำจ�ำนวนหนึง่ โดยชำ� ระเงินคืนเดอื นแรก 850 บำท และในเดอื นถดั ไป
(แนวตอบ เพราะวันชัยมีการจายเงินเพ่ิม วนั ชยั ตอ้ งจำ่ ยเพมิ่ ขน้ึ ทกุ เดอื น เดอื นละ 50 บำท หลงั จำกชำ� ระเงนิ กหู้ มดแลว้ พบวำ่ วนั ชยั ชำ� ระ
ทุกเดอื น เดือนละ 50 บาท อยา งคงตัว) เงนิ ในเดอื นสดุ ทำ้ ยเปน็ จำ� นวน 1,700 บำท ใหห้ ำวำ่ วนั ชยั ชำ� ระเงนิ กสู้ หกรณเ์ ปน็ ระยะเวลำกเ่ี ดอื น

• นักเรียนทราบคา a1, d และ an ไดอ ยางไร วธิ ที ำ� เขยี นลา� ดับเลขคณติ แทนเงินก้ทู ว่ี ันชยั ชา� ระเงินในแตล่ ะเดอื นได้ ดังน้ี
8จจ5าะไก0ด, ้ 90 10 , ,7 09a05n 0,== … a8, 151 0+,7 +0( n0( n- โ ด-1 ย)1dท) (ี่ 5a 01) = 850, d = 50, an = 1,700
(แนวตอบ เนอื่ งจากโจทยร ะบวุ า ชาํ ระเงนิ คนื

เดอื นแรก 850 บาท นน่ั คือ a1 = 850 1,700 = 850 + 50n - 50
50n = 900
วันชัยมีการจายเงินเพิ่มทุกเดือน เดือนละ n = 18
50 บาท นน่ั คือ d = 50 ดงั นน้ั วันชยั ต้องช�าระเงนิ ก้สู หกรณเ์ ปน็ เวลา 18 เดือน
วันชัยชําระเงินในเดือนสุดทายเปนเงิน
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
1,700 บาท คือพจนสุดทาย นั่นคือ an =
ก้องภพเร่ิมต้นท�างานท่ีบริษัทอักษร ได้รับเงินเดือนในเดือนแรก แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ข
1,700) เปน็ เงนิ จ�านวน 15,000 บาท และได้รบั เงนิ เดือนเพม่ิ ขนึ้ ทกุ ป ปล ะ ขอ 11
• โจทยตองการทราบอะไร และใชสูตรใด 750 บาท อยากทราบว่าก้องภพจะต้องท�างานไปอีกก่ีป ถึงจะมี
เงนิ เดือน 24,000 บาท
ในการคาํ นวณหาคาตัวแปร
(แนวตอบ โจทยตองการทราบวา วันชัย แบบฝึกทักษะ 3.1 ข
ชําระเงินกูสหกรณเปนระยะเวลาก่ีเดือน
คือ หาคาของ n โดยใชส ตู ร ร ะดบั พนื้ ฐำน

an = a1 + (n - 1)d ในการคาํ นวณ) 1. ให้เขียนหำ้ พจน์แรกของลำ� ดบั เลขคณติ ทีก่ ำ� หนดต่อไปนี้

เขา้ ใจ (Understanding) 1) a1 = 8, d = 5 2) a1 = -7, d = 7
3) aa11 == -355 ,. 5d, =d =51 -2.5 4) aa11 == -4 512, , dd == --9 32
ครใู หน ักเรียนจบั คูท าํ “ลองทาํ ด”ู ในหนังสอื - 5) 6)
เรียน หนา 143-144 และแบบฝกทักษะ 3.1 ข
ขอ 4., 6., 10.-11. ในหนงั สือเรยี น หนา 145-146
แลวแลกเปลี่ยนความรูกับคูของตนเอง สนทนา 144
ซักถามจนเปนที่เขาใจรวมกัน จากน้ันครูสุม
นักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครู
และนักเรียนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบความ
ถูกตอง

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

กอนท่จี ะใหน กั เรยี นทําแบบฝกทกั ษะ 3.1 ข ครูควรทบทวนความรเู กีย่ วกบั ครูใหน กั เรยี นแบงกลมุ กลมุ ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
ลาํ ดับเลขคณิต โดยการถาม-ตอบเพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรยี น และ คณิตศาสตร (เกง ปานกลาง และออ น) แลวทาํ กิจกรรม ดงั น้ี
ควรเนน ยา้ํ วา ลาํ ดบั เลขคณติ คอื ลาํ ดบั ทม่ี ผี ลตา งรว ม (nd)จคางกทnี่ แ=ละaสnาd-มาaร1ถ+ห1า
• ใหน ักเรียนแตล ะกลุมสืบคนขอมลู เพ่ิมเตมิ เกีย่ วกับ
พจนท ่ัวไปไดจาก an = a1 + (n - 1)d และสามารถหา สถานการณใ นชวี ติ ประจาํ วนั ทน่ี าํ ความรู เรอื่ ง ลาํ ดบั เลขคณติ
มาใช มากลุมละ 1 เรอ่ื ง

• ใหนักเรียนแตละกลุมนําขอมูลท่ีไดมาสรางเปนโจทยปญหา
พรอมทงั้ แสดงวธิ ีทําอยา งละเอียด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออน่ื ๆ ตามทน่ี กั เรยี นถนดั

T154

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

ขน้ั สอน

ลงมอื ทาํ (Doing)

2. ใหห้ ำพจนข์ องล�ำดับเลขคณติ ทก่ี �ำหนดตอ่ ไปนี้ 1. ครใู หนักเรยี นแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน โดย
คละความสามารถทางคณิตศาสตร ใหแตละ
1) a5 เม่อื a1 = 2 และ d = 6 2) a11 เมอื่ a1 = -5 และ d = -4 กลุม ทําแบบฝก ทักษะ 3.1 ข ขอ 13.-15. ใน
3) a20 เมอ่ื a1 = 12 และ d = 11 4) a50 เมอ่ื a1 = -83 และ d = 9 หนังสอื เรยี น หนา 146 จากนน้ั ครสู ุม นักเรยี น
5) a75 เมือ่ a1 = 34 และ d = 41 6) a100 เม่ือ a1 = 130 และ d = - 170 ออกมาเฉลยคําตอบหนาชั้นเรียน โดยครู
ตรวจสอบความถกู ตอ ง
3. ให้หำพจน์ทั่วไปของล�ำดับเลขคณิตต่อไปนี้
2. ครูใหน ักเรยี นทาํ Exercise 3.1 B เปนการบาน

1) 11, 20, 29, 38, … 2) -15, -4, 7, 18, … ขน้ั สรปุ

3) 100, 87, 74, 61, … 4) -32, -28, -24, -20, … ครูถามคาํ ถามนักเรียน เพื่อสรุปความรู เรอ่ื ง
5) 51 , 1, 59 , 153 , ... 6) -1, - 43 , - 12 , - 14 , … ลาํ ดับเลขคณติ ดังนี้

4. ถำ้ ลำ� ดับเลขคณติ ชดุ หนึ่งมีผลบวกและผลคณู ของสำมพจน์แรกเท่ำกับ 21 และ 315 • ลาํ ดับเลขคณติ มคี วามหมายวาอยางไร
ตำมล�ำดบั ใหห้ ำสำมพจน์แรกของลำ� ดบั เลขคณติ ชุดน้ี (แนวตอบ ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับท่ีมี
ผลตางของพจนท่ี n + 1 กับพจนที่ n เปน
คาคงตวั เสมอ และเรยี กผลตา งที่มีคาคงตัว
ระดบั กลำง วา ผลตางรว ม)
• พจนท ี่ n ของลาํ ดับเลขคณติ สามารถเขียน
5. ให้หำพจน์ท ่ี 20 ของล�ำดับเลขคณติ ท่ีม ี a4 = 4a1 และ a1 = 39 ไดอ ยา งไร
6. ลำ� ดับเลขคณิต -15, -6, 3, 12, …, 876 มีท้งั หมดก่ีพจน์
7. ถ้ำ 5, a, b, c, 25 เป็นจ�ำนวนจรงิ ซง่ึ เรียงกันเป็นล�ำดับเลขคณติ ให้หำ a + b + c (แนวตอบ an = a1 + (n - 1)d
8. ให้หำพจน์กลำง 5 พจน์ ของล�ำดบั เลขคณติ ทอ่ี ย่รู ะหวำ่ ง 25 และ 13 เมอ่ื an คือ พจนท ่ี n หรอื พจนทว่ั ไปของ

ลาํ ดับเลขคณติ
a1 คือ พจนท่ี 1 ของลําดบั เลขคณติ
9. ก�ำหนด x เป็นจ�ำนวนจริง ถ้ำ 2x - 4, x + 1, 3x - 3, …, 3x2 + x + 2 เป็น
ล�ำดับเลขคณิต แล้วล�ำดับนีจ้ ะมที ้ังหมดกพ่ี จน์ n คือ ลาํ ดับท่ี n ของลําดับเลขคณิต
d คือ ผลตางรว มของลาํ ดบั เลขคณติ )
10. กำ� หนด 4 พจน์แรกของล�ำดับเลขคณติ
2x - 5, x + 5, 2x + 5, 4x เมอื่ x∊R ขน้ั ประเมนิ

ใหห้ ำพจนท์ ี ่ 100 ของลำ� ดบั นี้ 1. ครูตรวจแบบฝกทักษะ 3.1 ข
2. ครตู รวจ Exercise 3.1 B
3. ครปู ระเมนิ การนําเสนอผลงาน
4. ครูสงั เกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
ล�ำดับและอนุกรม 145 5. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม

6. ครูสังเกตความมีวนิ ยั ใฝเรยี นรู
มงุ ม่นั ในการทาํ งาน

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล

กําหนดให a1, a2, a3, ... เปน ลําดับเลขคณติ ถา a5 = 4a1 ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก
และ a9 = 35 แลว a1 มคี าตรงกบั ขอ ใด ทกั ษะ 3.1 ข ขอ 13.-15. ในขนั้ ลงมือทํา โดยศึกษาเกณฑการวดั และประเมินผล
จากแบบประเมนิ ของแผนการจดั การเรียนรใู นหนวยการเรียนรทู ี่ 3
1. 3 2. 4 3. 5
4. 6 5. 7

(เฉลยคาํ ตอบ เนื่องจาก a5 = 4a1 แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม
จะไดว า a1 + 4d = 4a1
คาช้แี จง : ให้ผ้สู อนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขีด ลงในชอ่ งท่ตี รงกับ
ระดับคะแนน

ลาดบั ชอ่ื – สกุล การแสดง การยอมรบั ฟงั การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนักเรียน ความคดิ เห็น คนอ่ืน ตามทไ่ี ดร้ บั ส่วนรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรงุ คะแนน
ผลงานกลุม่

3a1 - 4d = 0 .....(1) 43214321432143214321
.....(2)
และ a9 = 35 จะไดวา a1 + 8d = 35 .....(3)
2 × (1) ; 6a1 - 8d = 0
(2) + (3) ; 7a1 = 35 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงช่ือ...................................................ผปู้ ระเมิน
ปฏิบตั หิ รือแสดงพฤติกรรมอยา่ งสมา่ เสมอ ............/................./................

ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบ่อยคร้ัง ให้ 4 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏิบตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมน้อยคร้ัง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

a1 = 5 เกณฑ์การตัดสนิ คุณภาพ

ดงั นนั้ คาํ ตอบ คอื ขอ 3.) ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กว่า 10 ปรับปรุง

T155

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 11. จำ� นวนเต็มตั้งแต ่ 9 ถงึ 999 ทหี่ ำรดว้ ย 9 แลว้ เหลือเศษ 1 มที ง้ั หมดกี่จ�ำนวน
12. ซ งุ กองหนงึ่ วำงเรยี งกนั เปน็ ชน้ั ๆ โดยทจ่ี ำ� นวนซงุ ในชนั้ บนกบั ชน้ั ทถี่ ดั ลงมำตำ่ งกนั 3 ตน้ เสมอ
การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
ถ้ำซุงกองน้ีในช้ันบนสุดมีซุง 35 ต้น และช้ันล่ำงสุดมีซุง 92 ต้น ให้หำว่ำซุงกองน้ีวำง
ครูกลา วทบทวนความรู เรือ่ ง ลําดบั เลขคณิต เรยี งกนั ทั้งหมดกีช่ ัน้
ดังน้ี
ร ะดับทำ้ ทำย
พจนท ่ัวไปของลาํ ดับเลขคณิต คือ
13. ถ้ำ an เปน็ พจนท์ วั่ ไป โดยท่ ี a1 = 1 และ an+1 = an - 3 เมอ่ื n∊{ 1, 2, 3, … }
an = a1 + (n - 1)d แล้ว a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 มีคำ่ เท่ำใด
เม่ือ a1 คือ พจนท ่ี 1 ของลาํ ดบั เลขคณติ 14. จำ� นวนเต็มตัง้ แต่ 1 ถึง 1,000 ทห่ี ำรด้วย 2 และ 3 ลงตวั แตห่ ำรด้วย 5 ไม่ลงตวั มที งั้ หมด

d คือ ผลตางรวมของลําดับเลขคณติ กจี่ �ำนวน
n คือ ลาํ ดับท่ี n ของลาํ ดบั เลขคณิต 15. จ �ำนวนจริงส่ีจ�ำนวนเรียงกันเป็นล�ำดับเลขคณิต ซ่ึงรวมกันได้เป็น 32 และจ�ำนวนที่มีค่ำ

an คอื พจนท ี่ n หรอื พจนท ่ัวไป มำกท่ีสดุ มีค่ำมำกกว่ำจ�ำนวนทม่ี ีค่ำนอ้ ยทส่ี ุดอย่ ู 6 ให้หำจำ� นวนทั้งสีจ่ �ำนวนน้ี

ขนั้ สอน 3. ลา� ดบั เรขาคณติ (Geometric Sequence)

รู้ (Knowing) Investigation

1. ครใู หนกั เรียนทํากิจกรรม Investigation ใหน้ กั เรยี นตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้
1. เตมิ คา� ตอบลงในชอ่ งวา่ ง
จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันเฉลยคําตอบ
ขอ้ ลำ� ดับ aa12 aa32 aa34 aa54
Investigation 1 1, 2, 4, 8, 16, …

เฉลย Investigation 2 3, -9, 27, -81, 243, …
1.
3 64, 32, 16, 8, 4, …
ขอ aa12 aa23 aa34 aa54
4 1, 1, 1, 1, 1, …
12 2 2 2
5 1, 2, 6, 24, 120, …
2 -3 -3 -3 -3
3 12 21 21 12 6 9, 8, 6, 3, -1, …
41 1 1 1
2. อตั ราสว่ นของพจน์หลังกับพจน์หนา้ ทีอ่ ยู่ตดิ กันในแตล่ ะคูม่ คี ่าเทา่ กนั หรอื ไม่
52 3 4 5
6 89 43 21 - 31 146
2. อัตราสวนของพจนหลังกับพจนหนาที่อยู

ติดกนั ในแตล ะคูของขอ 1-4 มคี า เทากนั

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูอธิบายเพิ่มเติมวา ลําดับท่ีมีอัตราสวนรวมระหวางพจนที่ n + 1 กับ ครูใหน กั เรียนจบั คู แลวปฏบิ ตั ติ ามขน้ั ตอนตอ ไปน้ี
พจนท ี่ n มีคาคงตวั ซึง่ ลําดับจะมพี จนแ รกไมเปน ศนู ย และเทอมถัดไปหาคา ได • ใหนักเรียนแตละคนยกตัวอยางลําดับเรขาคณิตลงในกระดาษ
จากการนําเทอมกอนหนาที่ติดกันมาคูณดวยจํานวนที่ไมเปนศูนย ซ่ึงตองคงท่ี
ตลอดทัง้ ลําดบั เรยี กวา ลาํ ดบั เรขาคณติ A4 แลว แลกกบั คูของตนเอง
• ใหน กั เรยี นหาอตั ราสว นของลาํ ดบั เรขาคณติ ทไ่ี ด แลว ใหแ ตล ะคู

แลกเปลย่ี นความรกู นั และกนั
• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอหนาช้ันเรียน โดยครูตรวจสอบ

ความถกู ตอ ง

T156

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู (knowing)

จาก Investigation จะเห็นวา่ ลา� ดับในขอ้ 1 ถงึ 4 จะมอี ัตราส่วน1ของพจน์หลงั กับพจนห์ น้า 2. ครูอธิบายวาจากกิจกรรม Investigation
จะไดว า ลาํ ดบั ในขอ 1-4 จะมีอตั ราสวนของ
ทอ่ี ยู่ติดกัน ดงั น้ี พจนหลังกบั พจนหนา ทอ่ี ยูติดกัน ดงั น้ี

12 = 42 = 84 = 186 = 2 มีคา่ คงตัวเท่ากบั 2 • 21 = 24 = 84 = 186 = 2 มคี า คงตัวเทา กับ 2
-39 = 2-97 = -2871 = 2-8413 = -3 • -39 = 2-97 = -2871 = 2-8413 = -3 มคี าคงตวั
3642 = 3126 = 186 = 84 = 12 มคี ่าคงตัวเท่ากบั -3 เทากับ -3
11 = 11 = 11 = 11 = 1 มีค่าคงตวั เทา่ กับ 21 36121124==113162= 186 = 48 = 12 มคี าคงตัวเทากับ
มีคา่ คงตวั เทา่ กับ 1 • = = 11 = 1 มีคา คงตวั เทากบั 1
• 11
เรยี กลา� ดับทม่ี อี ตั ราส่วนของพจนท์ ่ี n + 1 กบั พจน์ท่ี n เปน็ คา่ คงตวั เสมอว่า ล�ำดับเรขำคณติ
และเรยี กอตั ราสว่ นทเ่ี ปน็ คา่ คงตวั นัน้ ว่า อัตรำสว่ นร่วม (common ratio)

โ ดยทใี่นrก=รณaีทnaัว่+nไ1ปสาถมา้ ารaถ1,เขaีย2น, พaจ3,น อ์…นื่ , an, … เปน็ ล�าดบั เรขาคณิต และมอี ตั ราสว่ นรว่ ม คอื r อัตราสวนที่อยูติดกันในแตละคูจะมีคาคงตัว
ๆ ของลา� ดบั เรขาคณติ ในรูปของ a1 และ r ได้ ดงั นี้ ทเ่ี ทา กนั ซงึ่ จะเรยี กลาํ ดบั นว้ี า ลาํ ดบั เรขาคณติ
และอตั ราสวนทีค่ งตัว เรียกวา อัตราสวนรว ม
a1 = a1 ใชส ญั ลักษณ คือ r

a2 = a1r 3. ครูเขียนพจนอื่นๆ ของลําดับเรขาคณิตในรูป
a3 = a2r = (a1r)r = a1r2
a4 = a3r = (a1r2)r = a1r3 ของ a1 และ r แลวสรุปวา พจนท ่ี n ของลําดบั

เรขาคณิต คอื an = a1rn - 1

︙ ︙ ︙ ︙ เมอื่ a1 คอื พจนท่ี 1 ของลาํ ดับเรขาคณติ

an = an-1r = (a1rn-2)r = a1rn-1 r คือ อตั ราสว นรว มของลาํ ดบั เรขาคณติ
n คือ ลําดับท่ี n ของลาํ ดับเรขาคณิต
จะไดว้ ่า พจนท์ ี่ n ของลา� ดับเรขาคณติ คือ และ an คอื พจนท ่ี n หรอื พจนท ว่ั ไปของลาํ ดบั

an = a1rn - 1 เรขาคณติ

เมอ่ื a1 คอื พจน์ท่ี 1 ของลา� ดบั เรขาคณติ
r คือ อัตราสว่ นรว่ มของล�าดับเรขาคณิต
n คอื ลา� ดบั ที่ n ของลา� ดบั เรขาคณิต
และ an คอื พจน์ที่ n หรือพจนท์ ัว่ ไปของลา� ดบั เรขาคณติ

ล�ำดับและอนุกรม 147

กิจกรรม สรา งเสริม นักเรียนควรรู

ครใู หนกั เรียนจับคู แลวพิจารณาวา ลาํ ดบั ใดเปนลาํ ดับเรขาคณติ 1 อัตราสวน (ratio) คือ ขนาดเปรียบเทียบของสองจํานวนท่ีอยูในรูป ba
• -1, 1, -1, 1, ... เมื่อ b 0 หรอื เขียนอยูใ นรูป a : b
• 1, 11, 111, 1,111, ...
• 2 , 2, 8 , 4, ... ส่ือ Digital
• 1, 3, 5, 7, 9, ...
หมายเหตุ : ครูควรใหนักเรยี นเกงและนักเรยี นออนจบั คูกัน ครูอาจใหนกั เรยี นสบื คน ความรูเพ่ิมเตมิ ผาน www.youtube.com โดยใช

คําสืบคน วา “ลําดบั เรขาคณติ ” เชน https://www.youtube.com/watch?v=

mQcv2CA1hDw

T157

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

4. ครูอธิบายตัวอยางท่ี 13 ในหนังสอื เรยี น หนา ตัวอยา่ งท ี่ 13
148 บนกระดาน แลวยกตวั อยางเพม่ิ เตมิ และ
ถามคาํ ถาม ดังน้ี วใหิธเ้ีทขำ� ยี นสล่พีา� ดจบันเถ์ รดัขไาปคขณอิตงนล�ำม้ี ด ี ับa1เ ร=ข ำ1ค ณแลติ ะ อ1ตั, ร32า ,ส ่ว94น , ร…ว่ ม r = 132 = 32
ลาํ ดับเรขาคณติ 16, 8, 4, 2, ...
• จ(จแาานกกวลตลาํอําดบดบั ับaเ1รเรข=ขาคา1ค6ณณติแลิตaะ1arแ5=ละส21าr)มมาคี ราถเทหาาใไดด
• จะได ้ a4 = a3r

= (94)(32)

อยางไร และมคี าเทา ใด 21 = 1) = 287

(แนวตอบ a5 = a4 r = 2 a5 = a4r

• สพี่ จนถ ดั ไปของลาํ ดบั เรขาคณติ นค้ี อื เทา ใด = (287)(23)
(แนวตอบ สพี่ จนถ ดั ไปของลาํ ดบั เรขาคณติ นี้
คือ a5 = 1, a6 = 21, a7 = 14, a8 = 18 ) = 8161

เขา้ ใจ (Understanding) a6 = a5r

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน = (8116)(23)
หนา 148 และแบบฝก ทกั ษะ 3.1 ค ขอ 1. ใน
หนังสือเรียน หนา 152 จากน้ันครูสุมนักเรียน = 23423
ออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี น
ในชัน้ เรยี นรว มกันตรวจสอบความถูกตอ ง a7 = a6r

= (23423)(23)

= 76249
ดังนัน้ ส่พี จน์ถดั ไปของล�าดบั เรขาคณิตนี ้ คอื 287, 8116, 23423, 76249

ลองทําดู ฝกทําตอ

ใหเ้ ขยี นสี่พจน์ถัดไปของลา� ดับเรขาคณติ 1, - 31 , 19 , … แบบฝกทักษะ 3.1 ค
ขอ 1

148

เกร็ดแนะครู ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
กาํ หนดให 32, x, y, 4 เปนลาํ ดบั เรขาคณิต แลว x + y เทา กบั
ครอู ธบิ ายเพม่ิ เตมิ วา จากตวั อยา งท่ี 13 สามารถหาไดจ ากสตู ร an = a1rn-1 ขอใด

ดังนี้ 1. 8 2. 16 3. 24 4. 32 5. 45

a4 = a3r หรือ a4 = a1r3 (เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย 32, x, y, 4 เปนลาํ ดบั เรขาคณิต
a5 = a4r หรือ a5 = a1r4 และจาก a4 = a1r3
a6 = a5r หรอื a6 = a1r5 4 = 32r3
a7 = a6r หรือ a7 = a1r6 21342 81
r3 = =
T158 r =

จะได x = 32 21 = 16
และ y = 16 12 = 8
น่ันคอื x + y = 16 + 8 = 24

ดังน้ัน คาํ ตอบ คอื ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ตวั อย่างท ่ี 14 1. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 14-15 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 149 จากน้ันครูอธิบายซํ้าอีกครั้ง
วใ ห ิธ ้หที ำ�ำ พ จ ลจนาา� ์ทกด่ี บั 1เ0ร ขขาอคงaณลn �ำิตดน=ับ มี้ เี รaaข11rำ nค= - ณ 111ติ 6 1แ16ล,ะ อ- ตั 18ร ,า ส14่ว ,น …ร่ว ม r = -11 6811 = -2 เพอ่ื ใหน กั เรยี นเขา ใจมากยง่ิ ขนึ้ แลว ถามคาํ ถาม
นกั เรียน ดังน้ี
• จากตัวอยางท่ี 14 พจนท่ี 15 ของลําดับ
เรขาคณติ มคี า เทาใด
จะได ้ a10 = a1r10 - 1 (แนวตอบ พจนท ่ี 15 ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี

= a1r9 คือ 1,024)
• จากตัวอยางท่ี 15 พจนที่ 10 และ 15 ของ
= (116)(-2)9 ลาํ ดบั เรขาคณิตมคี าเทาใด

= -32 (แนวตอบ พจนที่ 10 และ 15 ของลําดับ

ดงั นน้ั พจน์ท ี่ 10 ของลา� ดบั เรขาคณติ น้ ี คือ -32 เรขาคณติ นี้ คอื 32 2 และ 256)

ลองทําดู 2. ครยู กตวั อยางเพ่ิมเตมิ แลว ใหนักเรียนรวมกนั
แสดงวิธที ํา ดงั น้ี
ใหห้ าพจนท์ ี่ 15 ของลา� ดบั เรขาคณิต 217 , - 91 , 13 , … ฝกทําตอ • ใหหาพจนที่ n และเขียนพจนถัดไปของ
ลาํ ดับเรขาคณติ 75, 15, 3, 53, ...
แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ค
ขอ 2

ตวั อยา่ งท่ ี 15 อ(แตั นรวาตสอวบนลราํวดมบั rเร=ขา17ค55ณ=ติ 51นม้ี แี ลaะ1 = 75,
n =5
ใหห้ ำพจน์ท ่ี n ของลำ� ดับเรขำคณิต 2, 2 2 , 4, 4 2 , …
ว ิธ ที �ำ ลจาา� กด ับเรขาคaณn ติ น= มี้ ี aa11r n= - 12 และอตั ราส่วนรว่ ม r = 2 2 2 = 2 จาก an = a1rn - 1
จะได ้ an = 2( 2)n - 1 a5 = 75 15 5-1 = 75 15 4 = 67255
ดงั นั้น พจนท์ ี่ n ของล�าดบั เรขาคณิตน้ี คอื an = 2( 2)n - 1
พจนถ ัดไปของลําดบั เรขาคณิต 75, 15, 3,
ลองทําดู 35, ... คอื 67255)

ใหห้ าพจน์ท่ี n ของล�าดับเรขาคณติ 5 , 5, 5 5 , 25, … ฝกทําตอ เขา้ ใจ (Understanding)

แบบฝกทักษะ 3.1 ค ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
ขอ 3 หนา 149 และแบบฝก ทักษะ 3.1 ค ขอ 2.-3. ใน
หนังสือเรียน หนา 152 จากนั้นครูสุมนักเรียน
ล�ำดับและอนุกรม 149 ออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี น
ในช้ันเรียนรว มกนั ตรวจสอบความถูกตอง

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู
กาํ หนดให 3, 3 2, 6 3, ... เปนลาํ ดบั เรขาคณติ แลวพจนท ่ี
11 ของลําดบั เรขาคณิตนเ้ี ทา กับขอใด ครอู าจใหค วามรเู พมิ่ เตมิ กบั นกั เรยี นวา ถา โจทยใ หพ จนข องลาํ ดบั เรขาคณติ
1. 63 3 2. 64 3 3. 65 3
4. 66 3 5. 67 3 มา 2 พจน แลว ถามพจนอ กี พจนหนงึ่ นักเรยี นควรจะหา r และ a1 กอนทกุ ครงั้

(เฉลยคาํ ตอบ จาก 3, 3 2, 6 3, ... นักเรียนควรรู
จะได r = 3 32
1 -11681 จาํ นวนจรงิ ทเ่ี ขยี นเปน รปู เศษสว นหลายๆ ชน้ั เรยี กวา เศษสว นซอ น
= 3• 2
=6 หรือเศษซอน (complex/compound fraction)
แทนคา a11 = a1r10
T159
= 3 ( 6)10
a11 = 65 3
ดงั น้นั คําตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

1. ครูใหน กั เรียนศกึ ษาตวั อยา งท่ี 16 ในหนงั สือ- ตวั อยา่ งท ี่ 16
เรียน หนา 150 จากนั้นครูอธิบายซํ้าอีกครั้ง
เพอื่ ใหน กั เรยี นเขา ใจมากยง่ิ ขน้ึ แลว ถามคาํ ถาม 243 เป็นพจนท์ ่เี ทำ่ ใดของลำ� ดบั เรขำคณติ ท่มี ี 1, 3 , 3, …

นักเรียน ดงั นี้ วธิ ที ำ� ลา� ดบั เรขาคณติ นี้ม ี a1 = 1 และอัตราส่วนรว่ ม r = 13 = 3
• จากตวั อยา งท่ี 16 ถา an = 2,187 จะเปน จาก an = a1rn - 1
จะได้ 243 = 1( 3)n - 1
พจนทเี่ ทา ใดของลาํ ดับเรขาคณติ 35 = (3 12)n - 1
(แนวตอบ 2,187 เปนพจนท่ี 15 ของลําดบั
เรขาคณิตน้ี) 35 = 3 n 2- 1

2. ครูอธิบายตัวอยางที่ 17 ในหนังสือเรียน 5 = n 2- 1

หนา 150 จากนนั้ ถามคําถาม ดงั นี้ n = 11
• ถานักเรียนตองการทราบพจนท่ี 6 ของ
ลําดับเรขาคณิตดังกลาวนักเรียนจะตอง ดังนน้ั 243 เปน็ พจน์ท ่ี 11 ของล�าดบั เรขาคณติ น้ี

ทราบคา ใดบา ง ลองทําดู ฝกทําตอ

(แนวตอบ พจนท ี่ 1 และอตั ราสว นรว ม r) 243 2 เป็นพจนท์ เ่ี ท่าใดของลา� ดับเรขาคณิตท่มี ี 2, 6, 3 2, … แบบฝก ทกั ษะ 3.1 ค
• นักเรียนจะหาพจนท ่ี 1 และ r ไดอ ยางไร ขอ 4

เม่อื โจทยกาํ หนด a3 = 2 และ a7 = 2,592 ตัวอยา่ งท่ี 17

ใ(แหนอวยตใูอนบรูปจดั aร1ูปr2a=3 = 2 .....(1) ให้หำพจนท์ ่ี 6 ของล�ำดบั เรขำคณติ ทมี่ ี a3 = 2 และ a7 = 2,592
2
และจัดรูป a7 = 2,592 วธิ ที �ำ จาก a3 = 2
ใหอยูในรูป a1r6 = 2,592 .....(2) จะได ้ a1r2 = 2 ......➊
จากน้นั แกระบบสมการเพ่ือหาคา a1 และ r จาก a7 = 2,592 ......➋
แลวนาํ คา a1 และ r มาแทนคาใน a6 = a1r5 จะได ้ a1r6 = 2,592

เพ่ือหาคาพจนท่ี 6) น �า ➊➋ ; r4 = 64
• ถา r = 6 สามารถเขยี นลาํ ดบั เรขาคณติ ได r = 6, -6

แทน r ใน ➊ ด้วย 6 จะได้ a1 = 118
อยา งไร 118, 31, 2, 12, 72, 432, 2,592, ...) เม่อื r = 6 และ a1 = 118 จะได้ a6 = a1r5 = (118)(6)5 = 432
(แนวตอบ

เมื่อ r = -6 และ a1 = 118 จะได้ a6 = a1r5 = (118)(-6)5 = -432
ดังนัน้ พจน์ท่ี 6 ของลา� ดับเรขาคณิตน้ี คอื 432 หรือ -432

150

เกร็ดแนะครู ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET
ถา k - 3, 2k - 4, 4k - 3, ... เปน ลาํ ดับเรขาคณิต แลว
ครูควรยกตัวอยางเพ่ิมเติมในการหาจํานวนพจนของลําดับเรขาคณิต อัตราสวนรว มมีคา ตรงกับขอ ใด
และสุมนักเรียนออกมาแสดงวิธีทําเพ่ือตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน 1. 83 2. 21 3. 53 4. 52
และครูควรเนนยํ้าวา การหาจํานวนพจนของลําดับเรขาคณิต ตองทําฐาน (เฉลยคาํ ตอบ k - 3, 2k - 4, 4k -3, ... 5. 7

ของเลขยกกําลงั ใหเ ทากัน แลว ใชส มบัติ ax = ay ก็ตอ เมือ่ x = y r = 2kk--34 = 24kk -- 34
(2k - 4)2 = (4k - 3)(k - 3)
T160 4k2 - 16k + 16 = 4k2 - 12k - 3k + 9
จะได k = 7
แทนคา k = 7 ลงในลาํ ดับเรขาคณิต
7 - 3, 2(7) - 4, 4(7) - 3, ...
จะได 4, 10, 25, ...
r = 140 = 25

ดงั น้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 4.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ลองทาํ ดู ฝกทําตอ ขน้ั สอน

ใหห้ าพจนท์ ่ี 8 ของลา� ดับเรขาคณติ ที่มี a3 = 216 และ a6 = 729 แบบฝกทักษะ 3.1 ค รู้ (knowing)
ขอ 5-10, 13-15
3. ครูถามคาํ ถามนักเรียน ดงั น้ี
ตัวอยา่ งท ี่ 18 • ถานักเรียนโยนลูกบอลลงพื้น แลวลูกบอล
จะกระดอนขนึ้ มาดวยความสูงเทา เดิม
ขปอลงอ่ คยวลำกู มบสอูงลทจี่ตำกกลคงวมำำมเสสงูม อ16 2ให เ้หมำตวร่ำ เหมล่อื ังตจกำถกงึลพูก้ืนบลอกูลบกอระลทจบะกพร้ืนะคดรอั้งนทกี่ ล7บั ขลึ้นูกไบปอสลูงจเปะก็นร 32ะด เอทน่ำ หรือไม
ขึ้นไปไดก้ ่ีเมตร (แนวตอบ ไมเทา เดมิ )

162 เมตร 4. ครูใหนักเรียนสมมติวา ลูกบอลลูกหนึ่ง เมื่อ
กโมยรานะเสดลมองอพนข้ืนจนึ้าดกมวนายเัน้คปใวน หานม32ักสเเทูงราียข1นอ5เ0ขงคยี เวนมาคตมวรสางูมทแสลต่ี ูงวกขจลอะงง
1 2 3 4 5 6 7 ลกู บอลทีก่ ระทบพืน้ คร้งั ท่ี 1 ถงึ ครั้งที่ 5
ล จล ลละกููกกกูู ไบบบบด ออออ ้ ลลลลลกกกกกู รรรรบะะะะอททททลบบบบกพพพพร ะน้ืนื้ื้้นนื ท คคคคบรรรรพ ั้ง้ังัั้้งงททททื้น ี่ ี่ี ่ี่ ค1n32ร ั้งลลลลทูกกูกกูู ่ ีบบบบ7ออออ ลลลลลจจจจูกะะะะบขขขขอึ้นึ้นนนึ้้ึ ลไไไไจปปปปะไไไไขดดดด้ึนส้ส้สส้้ ไูงูงงงูู ปเเเเททททได่า่าา่า่ ้สกกกกงูับับัับบ ==≈1111 0600119828800. 488××××8 ××((2332 2332 (())=เ 2323n2ม ))-1ต76เ 1ม 0-ร 1เ8 ตม ร เต ม ร ต ร (แนวตอบ 100 เมตร 100 32 เมตร
วิธีทำ� 100 23 2 เมตร 100 32 3 เมตร และ
100 23 4 เมตร)

5. ครใู หนกั เรียนศึกษาตัวอยา งท่ี 18 ในหนังสอื -
เรยี น หนา 151 แลว ถามคาํ ถามนักเรียน ดงั นี้
• จากตวั อยา งท่ี 18 หลงั จากลกู บอลกระทบพน้ื
ครั้งที่ 10 ลกู บอลจะกระดอนไปไดกเี่ มตร
(แนวตอบ 108 × 23 10 - 1 ≈ 2.81 เมตร)
• จากตวั อยางที่ 18 ถาลกู บอลลกู นถ้ี กู ปลอย
ดงั นน้ั ห ลงั จากลูกบอลกระทบพืน้ คร้ังท ี่ 7 ลกู บอลจะกระดอนข้ึนไปได้สงู ประมาณ จากความสูง 450 เมตร ใหหาวาหลังจาก
9.48 เมตร ลูกบอลกระทบพื้นครั้งที่ 6 ลูกบอลจะ
กระดอนข้นึ ไปไดก ีเ่ มตร
ลองทาํ ดู (แนวตอบ ลกู บอลกระทบพน้ื ครงั้ ที่ 1 ลกู บอล
จะขึน้ ไปไดส งู เทา กับ 450 × 32 = 300 เมตร
เมธีปลอ่ ยลูกบอลจากตกึ สูง 80 เมตร เมื่อตกถึงพื้นลกู บอลจะกระดอน ลไดกู ส บงู อเลทกากระบั ท3บ0พ0ืน้ ×คร้ัง32ท5่ี 6≈ลกู39บ.อ51ลจเะมขต้นึ ร)ไป
ลกกูลบับอขลน้ึ กไประสทูงบเปพน็ ื้น ค34 รเัง้ ททา่ ่ี ข1อ0ง คลูกวาบมอสลูงจทะ่ตีกกระลดงอมนาขเสึ้นมไอป ไใดหก้ ห้ ี่เามวต่ารหลังจาก
ฝกทําตอ

แบบฝก ทักษะ 3.1 ค
ขอ 11-12

ล�ำดับและอนุกรม 151

กจิ กรรม สรา งเสริม บูรณาการอาเซียน

ครูใหนักเรียนจับคู แลวชวยกันหาวา ถานักเรียนเก็บเงินซื้อ การจดั กิจกรรมการเรยี นการสอนในหนว ยการเรียนรูท ่ี 3 ลําดบั เรขาคณติ
ของขวญั ใหค ขู องตนเองภายใน 1 ป โดยจะเก็บเงนิ ทกุ ๆ 3 เดอื น ครูสามารถเชื่อมโยงบูรณาการความรูกับกลุมประเทศอาเซียนได โดยให
ซ่ึงเดอื นแรกจะฝากเงิน 500 บาท และคร้งั ตอ ไปจะเกบ็ มากกวา นักเรียนสืบคนขอมูลที่แสดงใหเห็นถึงการนําลําดับเรขาคณิตมาประยุกตใช
ครง้ั กอ นหนา 5% ทกุ ครง้ั อยากทราบวานักเรียนจะเกบ็ เงินภายใน ที่เกี่ยวของกับอาเซียน เชน ธนบัตรที่ใชในปจจุบันของประเทศกัมพูชา คือ
1 ปไ ดเทาใด 50 เรียล 100 เรียล 500 เรียล 1,000 เรียล 2,000 เรียล 5,000 เรียล
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรียนเกงและนักเรียนออนจับคกู ัน 10,000 เรยี ล 20,000 เรียล 50,000 เรยี ล และ 100,000 เรียล ถาแลกเปลีย่ นเงนิ
ของประเทศไทยกับประเทศกัมพชู าใหมีหนว ยเปน บาท ถา 1 บาท = 125 เรียล
ดังนั้น จะตอ งแลกขนั้ ตาํ่ 2 บาท = 250 เรยี ล 4 บาท = 500 เรียล 8 บาท
= 1,000 เรยี ล จะไดวา อตั ราสวนรวมเทา กบั 2

T161

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

ขนั้ สอน แบบฝึกทักษะ 3.1ค

เขา้ ใจ (Understanding) ร ะดบั พนื้ ฐำน

1. ครใู หน ักเรยี นจบั คทู ํา “ลองทาํ ดู” ในหนังสอื - 1. ให้เขียนห้ำพจน์แรกของลำ� ดบั เรขำคณติ ที่ก�ำหนดตอ่ ไปนี้
เรียน หนา 150-151 และแบบฝกทกั ษะ 3.1 ค
ขอ 11.-12. ในหนังสือเรียน หนา 153 แลว 1) aa11 == 320, ,r r= = 2 52 2) aaa111 === -1x ,y54 ,r , r = r= =- 5 xy- เ21มื่อ x, y ≠
แลกเปล่ียนความรูกับคูของตนเอง สนทนา 3) 4)
ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุม
นักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน โดย 6)
ครูและนักเรียนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบ 5) a1 = a2, r = a เม่ือ a ≠ 0 0
ความถูกตอ ง
2. ใหห้ ำพจน์ของลำ� ดบั เรขำคณติ ทกี่ ำ� หนดตอ่ ไปนี้
2. ครใู หน กั เรยี นทาํ Exercise 3.1 C เปน การบา น
1) a5 ของล�าดับเรขาคณิต -4, 8, -16, 32, …
ลงมอื ทาํ (Doing)
2) a8 ของลา� ดับเรขาคณติ 32, 16, 8, 4, …
ครใู หน ักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวชวยกันทํา 3) a12 ของลา� ดับเรขาคณิต 7, 14, 28, 56, …
แบบฝกทกั ษะ 3.1 ค ขอ 13.-15. ในหนงั สอื เรยี น
หนา 153 แลวแลกเปล่ยี นความรกู ับเพอ่ื นในกลุม 4) aa2250 ขขอองงลล�าา� ดดบัับเเรรขขาาคคณณิิตต 12,1 6x2, ,- 7x422 ,, 2x843 ,, -…8, เ…ม่ือ x ≠ 0
สนทนาซักถามจนเปนที่เขาใจรวมกัน จากน้ัน 5)
ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนาชั้นเรียน
โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง 3. ใหห้ ำพจน์ท่ ี n ของลำ� ดับเรขำคณติ ต่อไปนี้ 2) 15, 5, 53 , 95 , …
1) 4, 12, 36, 108, … 4) 2 , 10 , 5 2 , 5 10 , …
ขนั้ สรปุ 3) 64, -16, 4, -1, … 6) a, -a3, a5, -a7, … เมอ่ื a ≠ 0
5) 61 , 1, 6, 36, …
ครูถามคําถามนกั เรยี น เพ่อื สรปุ ความรู เรื่อง
ลําดบั เรขาคณิต ดังนี้ 4. -486 เปน็ พจน์ท่ีเท่ำใดของล�ำดับเรขำคณิตท่มี ี -6, 18, -54, …

• ลาํ ดับเรขาคณติ มีความหมายวาอยางไร 5. ใหห้ ำพจน์ท ่ี 4 ของล�ำดับเรขำคณติ ที่ม ี a5 = 21 และ a8 = - 116
(แนวตอบ ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มี
อัตราสวนของพจนท่ี n + 1 กับพจนท่ี n 6. ให้หำพจน์ที ่ 12 ของล�ำดับเรขำคณติ ที่มี a2 = 2 3 และ a5 = 4 6
เปนคาคงตัวเสมอ และเรียกอัตราสวนท่ีมี 7. ให้หำพจนท์ ี่ 15 ของลำ� ดับเรขำคณติ ทีม่ ี a3 = ba42 และ a5 = ab84 เมือ่ b ≠ 0
คา คงตัววา อตั ราสว นรวม)

152

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
กําหนดให a, b, c, d, ... เปนพจน 4 พจนแรกของลําดบั เรขาคณติ ถา b + c = 8 แลว c + d = -24
ใหหาคา สมั บรู ณของพจนท่ี 5 ของลาํ ดับน้ี
1. 36 2. 108 3. 162 4. 324 5. 486

(เฉลยคําตอบ ใหพ จนแ รก คอื a จะได b = ar, c = ar2, d = ar3
จาก b + c = 8 จะได -3a + 9a = 8
จะได ar + ar2 = 8 .....(1) 6a = 834
a =
และ c + d = -24
a5 = a341r4(-3)4
จะได ar2 + ar3 = -24 =
r(ar + ar2) = -24 .....(2)
= 108
นาํ สมการ (2) ÷ (1) จะไดวา r = -3 ดงั นน้ั คาํ ตอบ คอื ขอ 2.)
แทน r = -3 ในสมการ (1)

T162

นาํ สอน สรปุ ประเมิน

ขนั้ สรปุ

• พจนท ี่ n ของลาํ ดบั เรขาคณติ สามารถเขยี น
ไดอ ยางไร
(แนวตอบ an = a1r n - 1
ร ะดับกลำง เมอื่ a1 คอื พจนท ่ี 1 ของลําดับเรขาคณติ

8. ผ ลบวกของสำมพจนแ์ รกของล�ำดับเรขำคณติ ล�ำดับหน่งึ เป็น 26 และผลคูณของสำมพจนน์ ี้ r คอื อตั ราสว นรว มของลําดบั
เปน็ 216 ให้หำสำมพจน์แรกของล�ำดับเรขำคณติ น้ ี เรขาคณติ
n คอื ลาํ ดบั ท่ี n ของลาํ ดบั เรขาคณติ
9. ถำ้ 5, x, 80 เปน็ จำ� นวนจรงิ 3 จำ� นวน ซงึ่ เรยี งกนั เปน็ ล�ำดบั เรขำคณติ แล้ว x มคี ำ่ เทำ่ ใด และ an คือ พจนท่ี n หรือพจนท่ัวไปของ

10. ให้หำจ�ำนวนจรงิ สำมจำ� นวนซง่ึ อยู่ระหวำ่ ง 65 และ 554 ทจ่ี ะทำ� ใหจ้ ำ� นวนทงั้ หำ้ เรียงกันเปน็ ลาํ ดับเรขาคณติ )
ลำ� ดับเรขำคณิต • ใหเ ขยี นสญั ลกั ษณแ ทนผลคณู สามพจนแ รก
ของลาํ ดับเรขาคณิต ซึง่ จะไดผลคูณเทากับ
11. รถยนต์คนั หนึง่ รำคำ 465,000 บำท คดิ ค่ำเส่อื มรำคำคงที ่ 10% ตอ่ ปี กล่ำวคือ รำคำรถยนต์ 1,000
จะลดลง 10% ของมูลคำ่ คงเหลอื ในแตล่ ะปี ถำ้ เวลำผำ่ นไป t ปี มูลค่ำคงเหลือของรถยนต์ (แนวตอบ (ar-1)(a)(ar) = 1,000 เม่ือ ar-1
คนั น้ีมีค่ำเทำ่ ใด เมอื่ คอื พจนแ รก)
• พ- จ95,น.ท..่ี 10 ของลําดบั เรขาคณติ 15, -5, 35,
1) t = 3 คอื จาํ นวนใด
2) t = 5
3) t = 10 rค(แ=อื น-วaต131อ0บจ=ะลไ1ดาํ 5ดพ ับจ-เน31รทข9าี่ 1ค=0ณ-ขติ อ6ง,5ม5ล6ีาํ 1aด)1บั =เรข15าคแณลติะ

12. ใ นปี พ.ศ. 2560 ประชำกรในอ�ำเภอหนึ่งของจังหวัดหนึ่งมี 178,500 คน ถ้ำในแต่ละปี
ประชำกรในอำ� เภอน้เี พ่มิ ข้นึ ปีละ 2% ให้หำว่ำในป ี พ.ศ. 2565 ในอ�ำเภอนจ้ี ะมีประชำกรกคี่ น

ร ะดับท้ำทำย ขนั้ ประเมนิ

13. เม่ือน�ำจ�ำนวนจริงจ�ำนวนหนึ่งไปบวกกับแต่ละจ�ำนวนต่อไปน้ี คือ 3, 23 และ 123 แล้ว 1. ครตู รวจแบบฝกทักษะ 3.1 ค
ผลบวกทไ่ี ดจ้ ะเป็นพจน์ 3 พจน์ท่ีเรยี งกนั เปน็ ล�ำดบั เรขำคณิต ให้หำจ�ำนวนจริงทีน่ �ำไปบวก 2. ครตู รวจ Exercise 3.1 C
3. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
14. ถ้ำ x, y และ z เป็นจ�ำนวนจริง 3 จ�ำนวนทเี่ รยี งกันเปน็ ลำ� ดับเรขำคณิต ให้หำ y ในเทอม 4. ครูสังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
ของ x และ z 5. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานกลมุ
6. ครูสังเกตความมวี นิ ยั ใฝเ รียนรู
15. ถ ำ้ พจนท์ ี่ 1 พจนท์ ี่ 2 และพจนท์ ่ี 4 ของลำ� ดบั เลขคณติ ลำ� ดบั หนงึ่ ซง่ึ มคี ำ่ ไมเ่ ทำ่ กนั จะเรยี งกนั
เปน็ ลำ� ดบั เรขำคณติ และผลบวกของ 3 พจนน์ เ้ี ปน็ 14 ให้หำล�ำดับเรขำคณติ นี้ มงุ มน่ั ในการทาํ งาน

ล�ำดับและอนุกรม 153

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET แนวทางการวัดและประเมินผล
กําหนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณิตซึ่งมีพจน
แตละพจนเ ปน จาํ นวนจรงิ บวก ถา a3 = 25a1 และ a5 = -3,125 ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก
ทกั ษะ 3.1 ค ขอ 13.-15. ในขน้ั ลงมอื ทาํ โดยศกึ ษาเกณฑก ารวดั และประเมนิ ผล
พจนแรกของลําดับนี้เทากบั ขอใด จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรยี นรูใ นหนว ยการเรียนรทู ่ี 3
1. -5 2. - 5 3. 5 4. 5 5. 25

(เฉลยคําตอบ จาก a1ar 23 = 25a1 แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลุ่ม
= 25a1
คาชี้แจง : ใหผ้ ู้สอนสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรยี นในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรยี น แล้วขดี ลงในช่องท่ตี รงกบั
ระดับคะแนน

ลาดบั ชอื่ – สกุล การแสดง การยอมรับฟัง การทางาน ความมนี า้ ใจ การมี รวม
ที่ ของนกั เรียน ความคิดเห็น คนอื่น ตามท่ไี ดร้ บั สว่ นรว่ มใน 20
มอบหมาย การปรับปรงุ คะแนน
ผลงานกลุ่ม
r2 = 25
43214321432143214321

r = -5, 5
และ a5 = -3,125
a1r4 = -3,125 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน ลงชือ่ ...................................................ผู้ประเมนิ
ปฏิบัติหรือแสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................
นาํ r = -5 หรอื 5 มาแทน
ปฏบิ ตั หิ รอื แสดงพฤติกรรมบ่อยครั้ง ให้ 4 คะแนน
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤติกรรมบางครง้ั ให้ 3 คะแนน
ปฏบิ ตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยครงั้ ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑก์ ารตดั สินคณุ ภาพ

จะได a1(625) = -3,125 ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ
a1 = -5 18 - 20 ดีมาก
14 - 17 ดี
ดังน้ัน คําตอบ คือ ขอ 1.) 10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรบั ปรุง

T163

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching) 3.2 อนกุ รม (Series)

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge) ล�าดบั และอนกุ รมมคี วามสมั พนั ธก์ นั โดยเมอ่ื น�าพจนท์ กุ พจนข์ องล�าดบั มาบวกกนั จะเรยี กวา่
อนกุ รม ดงั บทนยิ าม
ครกู ลา วทบทวนความรู เรือ่ ง ลาํ ดบั เลขคณติ
ดงั นี้ บทนิยาม ก�ำหนด an เป็นล�ำดับของจ�ำนวนจริง แล้วนิพจน์ท่ีแสดงในรูป a1 + a2 + a3 + … + an + …
เรียกว่ำ อนุกรม
• ใหนักเรียนยกตัวอยางของลําดับเลขคณิต
มา 3 ลําดบั จากบทนยิ าม เรียก a1 วา่ พจน์ที ่ 1 ของอนุกรม
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย a2 วา่ พจนท์ ี่ 2 ของอนกุ รม
ตามพนื้ ฐานความรู เชน
1) 4, 7, 10, 13 an ว่า พจนท์ ี ่ n ของอนกุ รม
2) 5, 8, 11, 14, ...
3) 1, -4, -9, -14, ...) ถ้า a1, a2, a3, …, an เปน็ ลา� ดบั จ�ากดั แลว้ a1 + a2 + a3 + … + an เรยี กว่า อนุกรมจ�ำกดั
(finite series)
• จากตวั อยา งขา งตน ใหนกั เรียนเขยี นลําดับ
เลขคณิตใหอ ยูในรปู การบวก ถา้ a1, a2, a3, …, an, … เปน็ ล�าดบั อนันต์ แล้ว a1 + a2 + a3 + … + an + … เรยี กวา่
(แนวตอบ อนกุ รมอนันต ์ (infinite series)
1) 4 + 7 + 10 + 13
2) 5 + 8 + 11 +14 + ... ตัวอยา่ งของอนุกรม
3) 1 + (-4) + (-9) + (-14) + ...)
1) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 เป็นอนกุ รมจา� กัดที่ได้จากลา� ดับจา� กดั 3, 6, 9, 12, 15
ขนั้ สอน 2112, +41 ,41 81+, …81 ,+ 2 1…n, …+ 21n + … เปน็ อนกุ รมอนนั ตท์ ่ีได้จากลา� ดับอนันต ์
2)
รู้ (Knowing)

1. ครอู ธบิ ายวา ลาํ ดบั และอนกุ รมมคี วามสมั พนั ธ บทนิยาม ก�ำหนด a1 + a2 + a3 + … + an + … เป็นอนุกรมอนันต์
กัน เม่ือนําพจนทุกพจนของลําดับมาบวกกัน ให้ S1 = a1
เรียกวา อนุกรม ดงั น้ี
S2 = a1 + a2
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... โดยท่ี S3 = a1 + a2 + a3
a1 คือ พจนท ่ี 1 ของอนุกรม
a2 คือ พจนท ี่ 2 ของอนุกรม ︙
a3 คอื พจนที่ 3 ของอนุกรม
an คอื พจนท ี่ n ของอนุกรม Sn = a1 + a2 + a3 + … + an
ถา a1, a2, a3, ..., an เปน ลาํ ดับจาํ กัด แลว เรียก Sn ว่ำ ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรกของอนุกรม เม่ือ n เป็นจ�ำนวนเต็มบวก
a1 + a2 + a3 + ... + an เรยี กวา อนกุ รม
สามารถเขียนอนุกรม Sn ในรปู สัญลกั ษณแ์ ทนการบวกโดยใชต้ ัวอักษรกรกี Σ เรยี กวา่ ซกิ มา
จํากดั (sigma) ได้ ดงั น้ี

ถา a1, a2, a3, ..., an, ... เปนลําดับอนนั ต แลว 154
a1 + a2 + a3 + ... + an + ... เรียกวา อนกุ รม

อนนั ต

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

ครคู วรยกตวั อยา งเพมิ่ เตมิ ของลาํ ดบั จาํ กดั และลาํ ดบั อนนั ต แลว ใหน กั เรยี น ครูใหนักเรียนจับคู แลวเขียนอนุกรมจํากัดตอไปน้ีใหอยูในรูป
เขยี นลาํ ดบั ดงั กลา วเปน อนกุ รม จากนนั้ ครคู วรใหน กั เรยี นรว มกนั สรปุ วา อนกุ รม สัญลักษณ Σ
ท่ีไดจากลําดับจํากัด เรียกวา อนุกรมจํากัด และอนุกรมที่ไดจากลําดับอนันต
เรียกวา อนุกรมอนนั ต • 3 + 6 + 9 + … + 150
• 4 + 7 + 10 + … + 91
• 1 + 3 + 5 + … + 155
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรยี นเกงจบั คูกับนักเรียนออน

T164

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

อนุกรมจ�ากดั a1 + a2 + a3 + … + an เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ ์ 2. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางของอนุกรมจํากัด
Σi=n1ai อ่านวา่ ผลบวก ai เมอื่ i มคี ่าต้งั แต่ 1 ถึง n และอนกุ รมอนันต
(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบไดหลากหลาย
ตามพ้นื ฐานความรู เชน
อนกุ รมอนันต์ a1 + a2 + a3 + … + an + … เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ ์ • 2 + 4 + 6 + 8 +10 เปน อนกุ รมจาํ กดั ท่ไี ด

Σi=∞1ai อ่านว่า ผลบวก ai เมือ่ i มคี า่ ต้ังแต ่ 1 ขึน้ ไป ATTENTION จากลําดบั จาํ กดั 2, 4, 6, 8, 10
iเΣเ=nรป1ียa็นกiตตหัวัวรกแอื �าป หiΣ=ร∞น1 aดi i พใวนจา่ นส ัญด์แัชรลกนัก1แี ษซลณง่ึะ ์ • 25 + 20 + 15 + 10 + … เปน อนุกรมอนันต
ตัวอย่างเช่น พจนส์ ุดท้ายของอนกุ รม ทไ่ี ดจ ากลาํ ดับอนนั ต 25, 20, 15, 10, …)
1) Σi=415i แทน 5(1) + 5(2) + 5(3) + 5(4) 3. ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ บทนยิ ามของอนกุ รม
จนไดข อ สรปุ วา Sn คอื ผลบวกยอ ย n พจนแ รก
2) kΣ=51(k2 + 1) แทน (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1) + (52 + 1) ของอนุกรม เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวกและ
เขยี นในรปู แบบสญั ลกั ษณแ ทนการบวก โดยใช
3) Σi=∞1(i2 - i) แทน (12 - 1) + (22 - 2) + (32 - 3) + (42 - 4) + … + (n2 - n) + … ตวั อกั ษรกรกี Σ เรียกวา ซกิ มา ดังนี้

4) nΣ∞=1(n12) แทน 112 + 212 + 312 + 412 + … + n12 + … อนุกรมจาํ กัด a1 + a2 + an3 + ... + an

เขยี นแทนดว ยสญั ลกั ษณ Σi=1 ai อา นวา ผลบวก

ATTENTION ตอaiนัวเอุกมยร่ือามงอiเนมชันนคี าตΣiต=41aั้งi21แต=+ 1 ถึง n 32 42
12 + 22 ...
การเขียนแทนอนุกรมด้วยสัญลักษณ์ Σ ตัวอักษรที่ใช้แทนตัวแปรอาจใช้ตัวอักษรใดก็ได้ เช่น Σi=41 5i + + an + ...
อาจเขียนแทนด้วย kΣ=415k หรอื nΣ=415n a2 + a3 + +
เขยี นแทนดวยสัญลักษณ Σi∞=1 ai อา นวา ผลบวก
ตaiัวเอมยือ่ า งi เมชีคนาตΣi=∞1งั้ แiต+1 11 ขึน้ ไป
Thinking Time =1 +1 1
+ 2 +1 1 + ... + n 1+ 1 + ...
นักเรยี นคดิ ว่า Σi=512i(i - 1) และ Σi=402i(i + 1) มีคา่ เท่ากนั หรอื ไม ่ เพราะเหตใุ ด
เฉลย Thinking Time
จาก Thinking Time จะเห็นว่า การเขียนสัญลกั ษณแ์ ทนการบวกอาจเขยี นได้หลายรปู แบบ
และดัชนีไม่จ�าเป็นต้องเริ่มจาก 1 เช่น Σi=30[i(i + 1)]2 และ Σi=41[i(i - 1)]2 ซึ่งสัญลักษณ์ท้ังสอง มีคาเทากัน เพราะการเขียนสัญลักษณแทน
ต่างกแ็ ทน 0 + 4 + 36 + 144 เชน่ เดยี วกนั การบวกอาจเขียนไดหลายรูปแบบและดัชนี
ไมจําเปนตองเริ่มจาก 1 ซ่ึงสัญลักษณท้ังสอง
ล�ำดับและอนุกรม 155 ตา งก็มีคาเทา กบั 80 เทากัน

กจิ กรรม สรา งเสรมิ นักเรียนควรรู

ครูใหน ักเรียนจับคู แลวเขียนสญั ลักษณต อ ไปนี้ใหอ ยใู นรูป 1 ดัชนี (index number) ในทางคณิตศาสตร “ดัชนี” มีหมายความอีก
ผลบวกยอ ย อยางหนึ่งวา จํานวนที่เขียนไวบนมุมขวาของอีกจํานวนหนึ่ง ซ่ึงเรียกวา ฐาน
เพ่อื แสดงการยกกาํ ลงั ของฐานน้นั เชน 23 โดย 3 เปนดชั นขี อง 2
• Σi=51 2i
• kΣ=61(2k2 - 1) ส่อื Digital
• nΣ∞=1 n2 1+ 1
หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรียนเกงจับคกู บั นกั เรยี นออน นักเรียนสามารถคํานวณคาอนุกรมโดยใชโปรแกรม WolframAlpha ใน
หมวดของ sum ได จาก www.wolframalpha.com

T165

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

4. ครูใหน ักเรยี นศกึ ษาตัวอยา งที่ 19 ในหนังสือ- ตวั อยางที่ 19
เรียน หนา 156 จากนั้นครูอธิบายซ้ําอีกครั้ง
เพอื่ ใหน กั เรียนเขา ใจมากย่ิงข้ึน ให้หำคำ่ ของ
1) Σ1i=01 5 2) Σi=93 (3i - 5) 3) kΣ=51 (2k - 3)2
5. ครูยกตัวอยางเพิ่มเติมบนกระดาน แลวให
น•ัก(Σi1=เแ21รน3ยี วนตออบอกΣi1=ม21 า3ห=าค3าํ ต+อ3บ+ด3งั น+้ี ... + 3 วิธีทำ� 1) Σi1=01 5
= 5 + 5 + 5 + … + 5
= 5(10) มี 10 พจน์
= 50
Σi =93 (3i - 5)
มี 12 พจน 2) = [3(3) - 5] + [3(4) - 5] + [3(5) - 5] + [3(6) - 5] + [3(7) - 5]
= 3(12) = 36) + [3(8) - 5] + [3(9) - 5]
5 (2i2 - 1) + [2(3)2 = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22
• (2i2 - 1) [2(2)2 - 1] = 91
Σi=2 =Σi=52

(แนวตอบ - 1] 3) k Σ=51 (2k - 3)2 = [2(1) - 3]2 + [2(2) - 3]2 + [2(3) - 3]2 + [2(4) - 3]2
+ [2(5) - 3]2
+ [2(4)2 - 1] + [2(5)2 - 1] = (-1)2 + 12 + 32 + 52 + 72

= 7 + 17 + 31 + 49 = 1 + 1 + 9 + 25 + 49
= 104) = 85

เขา้ ใจ (Understanding) ลองทําดู 2) Σi1=05 (3i + 1) 3) kΣ=51 (4k - 1)2 ฝกทําตอ

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน ให้หาค่าของ แบบฝก ทกั ษะ 3.2 ก
หนา 156 จากนนั้ ครสู มุ นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ 1) Σi1=21 7 ขอ 1(1)-(3)
บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในชนั้ เรยี นรว มกนั
ตรวจสอบความถูกตอ ง

สมบัติ สมบัติของสัญลักษณแทนการบวก Σ
1. iΣ=n1 c = nc
เม่ือ c เปนคาคงตัว

2. iΣ=n1 cai = c iΣ=n1 ai เม่ือ c เปนคาคงตัว

3. iΣ=n1 (ai + bi) = iΣ=n1 ai + iΣ=n1 bi
4. iΣ=n1 (ai - bi) = iΣ=n1 ai - iΣ=n1 bi

156

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม ทา ทาย

ครูควรเนนย้ําถึงสมบัติของสัญลักษณแทนการบวก Σ พรอมยกตัวอยาง ครูแบงกลุมใหนักเรียน กลุมละ 3-4 คน แลวชวยกันหาคา
ใหส อดคลอ งกบั สมบตั เิ พอื่ ใหน กั เรยี นเขา ใจมากยง่ิ ขน้ึ หรอื ใหน กั เรยี นยกตวั อยา ง
แลว ถาม-ตอบนกั เรยี นเพื่อใหนกั เรียนไดท กั ษะการคดิ วเิ คราะห ตขหออมงงาสเยทญัเหาลกตักบั ุ :ษคΣiณ=n1ร(แคู aทวi)รน•จกΣi=ดัnา1ก(รbลบi)มุวกโโดดΣยยคใวชลา วะเธิพคยี รวกาาะตมเวัสหอาตยมใุ าาดงรคถΣi=nา1ท(นาaงibคi)ณไติ มศจาาํ สเปตนร

ของนกั เรียน (ออ น ปานกลาง และเกง ) ใหอยกู ลมุ เดยี วกัน

T166

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ตัวอยางที่ 20 1. ครูอธิบายสมบัติของสัญลักษณแทนการบวก
Σ แลวใหนักเรียนยกตัวอยางใหสอดคลอง
ใหหาคาของ กบั สมบตั ิ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย
1) Σi=61(4i + 3) 2) Σj=71 3j 2- 2 3) kΣ=51(2k - 3)2
2ต1))าม(ΣΣΣiii===nn7แ111พน8ccื้นวaตฐ==iาอ=7นบn(cคc8Σi=6ว)Σi1=nเ1าม3=มa่อื =iร5เู6cม6ด)ื่อ(งัเ3ปน)cนี้ =คเปา1นค8,คงตาคัวงตวั
วธิ ที าํ 1) Σi=61(4i + 3) = Σi=614i + Σi=613
= 4 Σi=61i + 6(3)
= 4(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 18
= 4(21) + 18
= 102
2) Σj=71 3j 2- 2 = 21 Σj=71(3j - 2) (แนวตอบ 2Σj=71+3j3=+34Σj=71+j
= 21 Σj=713j - Σj=712 = 3(1 + 5 + 6 + 7)
=5 636((i 12=8+)6=2Σi=518+i 43
= 21 3 Σj=71j - 7(2) =Σi=1 + 4 + 5)
= 21 [3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) - 14] = 6(15) = 90)
= 12 [3(28) - 14] (Σi=nแ1น(aวตi อ+บbi) an n
= 12 (70) 3) = + bi
Σi=1 i Σi=1

= 35 Σ=i=51 (4i + 6) = 3Σi=51 +4i 4+ +Σi=5156) = 64(Σi5=51)i + Σi=51 6
3) kΣ=51(2k - 3)2 = kΣ=51(4k2 - 12k + 9) 4(1 + 2 + +
= kΣ=514k2 - kΣ=5112k + kΣ=519 = 4(15) + 30
= 4 kΣ=51k2 - 12 kΣ=51k + 5(9) = 60 + 30
= 4(12 + 22 + 32 + 42 + 52) - 12(1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 45 =n 90)
= 4(55) - 12(15) + 45 4) - bi) = an - n bi
= 85 Σi=1 (ai
Σi=1 i Σi=1

(แนวตอบ 2=+Σi=51332i -Σi=514i2(1-
=Σi=51 2+-4Σi=251 +4Σi=251
ลองทาํ ดู (3i2 - 4i) 4i =3 i
3(12 +2 + 52)
ใหห าคาของ + 3 + 4 + 5)
1) Σi=51(7i - 10) 2) Σj=41 5j 3+ 4 3) kΣ=71(3k - 1)2 ฝกทําตอ = 3(55) - 4(15)
= 165 - 60
แบบฝกทกั ษะ 3.2 ก = 105)
ขอ 1(4)

ลําดับและอนุกรม 157

กจิ กรรม ทาทาย เกร็ดแนะครู

ครูแบง กลมุ ใหน ักเรยี น กลุมละ 3-4 คน แลว ชวยกนั หาคาของ ครูควรอธบิ ายสมบตั ขิ องสัญลักษณแ ทนการบวกท่ใี ชในตัวอยา งที่ 20
ในแตละข้นั ตอน เชน
• Σi=41 (5i - 2) + Σi=51 4i 2+1 - 3Σi=61 i
• Σi=41 (i2 + 2) + Σi=51 (3i + 1)2 - 2Σi=61 i - 1 ขอ 1) Σi=61 (4i + 3) = Σi=61 4i + Σi=61 3 ใชสมบตั ิ aΣi=n1 ( i + bi) = aΣi=n1 i + Σi=n1 bi
= 4 Σi=61 i + 6(3) ใชสมบัติ Σi=n1 cai = c Σi=n1 ai และ Σi=n1 c = nc
หมายเหตุ : ครคู วรจดั กลมุ โดยคละความสามารถทางคณติ ศาสตร
ของนักเรยี น (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยูก ลุม เดยี วกนั

T167

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน การหาค่า Σ โดยท่ัวไปทน่ี ยิ มใช้ม ี 3 สตู ร คือ Σi=n1 i, Σi=n1 i2 และ Σi=n1 i3 เพื่อความสะดวกและ
รวดเร็วในการคา� นวณผลบวก n พจนแ์ รก สามารถหาได้จากสูตร ดังนี้
รู้ (Knowing)

2. ครใู หน ักเรียนศกึ ษาตวั อยา งที่ 20 ในหนังสือ-
เรียน หนา 157

เขา้ ใจ (Understanding) 1) พนแจาลา�จิ ก ะา( ร1 ณ) า+ (ΣΣΣiii===2nnn111)   iii จ===ะ ไn11ด ++ ้+2 (22Σin=n 1 + +i- = 331 ()n+ ++ +. ...( ..n1 +)+ - + ((2 nn() n --+ + 21. )).1 .++) + +(n n 3 ( ซ n-+ ่ึง + 1เ2ป )1 น็ ++)อ +น1n กุ. .ร . ม +..ข.. ..อ(..n..ง.. ล((+21�า ))ด1ับ) เ+ล ข(nค ณ+ ิต1)

ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
หนา 157 จากน้ันครูสุมนักเรียนออกมาแสดง
วธิ ีทาํ บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรยี นในช้ันเรียน
รว มกันตรวจสอบความถกู ตอ ง = n(n + 1) ม ี n พจน์

รู้ (Knowing) ดงั นน้ั Σi=n1 i = n(n 2+ 1)

1. ครอู ธิบายวาการหาคา Σ โดยท่ัวไปที่นิยมใช
มี 3 สูตร คอื
n nn((nn 2++ 1) 2) พจิ ารณา Σi=n1 i2 = 12 + 22 + 32 + ... + (n - 1)2 + n2
i = 1)6(2n + 1) เนือ่ งจาก n3 - (n - 1)3 เขียนในรปู ผลบวกของกา� ลงั สองได ้ น่นั คือ
ΣΣii==n11 i2 = n3 - (n - 1)3 = 3n2 - 3n + 1 ......(1)
แทน n ดว้ ย n - 1, n - 2, n - 3, ..., 3, 2 และ 1 จะไดส้ มการ
n i3 = n(n2+ 1) 2 = n i 2 (n - 1)3 - (n - 2)3 = 3(n - 1)2 - 3(n - 1) + 1 ......(2)
(n - 2)3 - (n - 3)3 = 3(n - 2)2 - 3(n - 2) + 1 ......(3)
Σi=1 Σi=1

2. คΣแลรูใกโหเดปนยลักใี่ยเชรนียสคนูตวจราับมคΣi=รn1ูศูซiึก,่ึงษกΣi=nาัน1กแi2าลระแพกลิสันะูจนจΣiก=nา1ากi3รนห้ันแาลคควารู ︙ ︙
สุมนักเรียนออกมาอธิบายหนาช้ันเรียน โดย
ครูและนักเรียนในชั้นเรียนรวมกันตรวจสอบ 33 - 23 = 3(3)2 - 3(3) + 1 ......(n - 2)
ความถูกตอ ง 23 - 13 = 3(2)2 - 3(2) + 1 ......(n - 1)
13 - 03 = 3(1)2 - 3(1) + 1 ......(n)
นา� สมการ (1), (2), (3), ..., (n - 2), (n - 1) และ (n) มาบวกกนั จะได้
n3 = 3(12 + 22 + 32 + ... + n2) - 3(1 + 2 + 3 + ... + n) + n
= 3 Σi=n1 i2 - 3 Σi=n1 i + n
Σi=n1 i2 = 13 (n3 + 23 n(n + 1) - n)
= 3n (2n2 + 23n + 1)
= n(n + 1)6(2n + 1)

ดงั นนั้ Σi=n1 i2 = n(n + 1)6(2n + 1)

158

สื่อ Digital กจิ กรรม สรางเสริม

ครอู าจใหนกั เรยี นสบื คน ความรูเ พ่มิ เตมิ ผาน www.youtube.com โดยใช ใหน ักเรียนปฏบิ ตั ติ ามขั้นตอนตอไปน้ี
คําสืบคนวา “สัญลักษณแทนการบวก” เชน https://www.youtube.com/ • ใหน กั เรียนยกตัวอยางอนกุ รมมาคนละ 1 ตวั อยาง
• จากขอ 1. ใหน กั เรียนบอกวาอนกุ รมดงั กลา วเปนอนกุ รมจํากัด
watch?v=4pkCrqhoYZ8&t=808s
หรืออนุกรมอนนั ต
• จากขอ 1. ใหนักเรยี นหาผลบวก (ถา หาได)

T168

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

3) พิจารณา Σi=n1 i3 = 13 + 23 + 33 + ... + (n - 1)3 + n3 3. ครูใหนักเรียนจับคูทํากิจกรรมโดยใชเทคนิค
เน่ืองจาก n4 - (n - 1)4 เขยี นในรปู ผลบวกของกา� ลงั สามได้ นนั่ คือ คคู ดิ (Think Pair Share) ดงั น้ี
n4 - (n - 1)4 = 4n3 - 6n2 + 4n - 1 ......(1) • Σใใอi=nหห1นiนน3ุกักัรกลมเเงรรทใียียนี่สนนกอแแรดตะตคดลลลาะะอษคคงแูยกนลกับควตสิแดัวูตลคอรกํายกตΣาi=บัnอ1งคiบผ,อู โลΣiจนื่=nบ1ทวi2ยกทแข่ีลไอดะง
แทน n ดว้ ย n - 1, n - 2, n - 3, ..., 3, 2 และ 1 จะได้สมการ • แลวตรวจคําตอบกับคูของตนเอง สนทนา
(n - 1)4 - (n - 2)4 = 4(n - 1)3 - 6(n - 1)2 + 4(n - 1) - 1 ......(2)
(n - 2)4 - (n - 3)4 = 4(n - 2)3 - 6(n - 2)2 + 4(n - 2) - 1 ......(3)

︙︙ ซกั ถามจนเปนทีเ่ ขา ใจรว มกนั
• ครูสุมนักเรียนออกมานําเสนอคําตอบหนา
34 - 24 = 4(3)3 - 6(3)2 + 4(3) - 1 ......(n - 2) ช้ันเรียน โดยครูและนักเรียนในชั้นเรียน
24 - 14 = 4(2)3 - 6(2)2 + 4(2) - 1 ......(n - 1)
14 - 04 = 4(1)3 - 6(1)2 + 4(1) - 1 ......(n)

น�าสมการ (1), (2), (3), ..., (n - 2), (n - 1) และ (n) มาบวกกนั จะได้ รว มกันตรวจสอบความถูกตอง
n4 = 4(13 + 23 + 33 + ... + n3) - 6(12 + 22 + 32 + ... + n2)
+ 4(1 + 2 + 3 + ... + n) - n

= 4 Σi=n1 i3 - 6 Σi=n1 i2 + 4 Σi=n1 i - n
Σi=n1 i3 = 14 (n4 + 6 Σi=n1 i2 - 4 Σi=n1 i + n)

= 41 (n4 + 6 n(n + 1)6(2n + 1) - 4 n(n 2+ 1) + n)
= 14 [n4 + n(n + 1)(2n + 1) - 2n(n + 1) + n]
= 14 [n4 + n(2n2 + 3n + 1 - 2n - 2 + 1)]
= 14 [n4 + n(2n2 + n)]
= 41 (n4 + 2n3 + n2)
= n42 (n2 + 2n + 1)
= n42 (n + 1)2
= [n(n 2+ 1)]2

ดงั นน้ั Σi=n1 i3 = [n(n 2+ 1)]2 = (Σi=n1 i)2

ล�ำดับและอนุกรม 159

กจิ กรรม สรางเสริม สือ่ Digital

ครูใหน กั เรียนเกง จับคกู ับนกั เรยี นออน แลวชวยกันพิสูจนค า ครอู าจใหนักเรียนสบื คนความรเู พ่มิ เตมิ ผาน www.youtube.com
ของ Σi=n1 (i3 - 2i2 + i) = 112 (3n4 - 2n3 - 3n2 + 2n) การพิสจู น Σi=n1 i3 = n(n2+ 1) 2 โดยวธิ ีอน่ื ได เชน ใชหลกั ทางเรขาคณติ

จาก https://www.youtube.com/watch?v=pxYhN3hvKXM

T169

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

4. ครูใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 21-22 ใน ตัวอยา่ งที่ 21
หนังสือเรียน หนา 160-161 แลวครูอธิบาย
ซํ้าอีกครั้ง เพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งข้ึน ใหห้ ำผลบวกของอนกุ รมตอ่ ไปนี้
1) Σi=n1 (i2 - i) 2) Σi=n1 (i3 + 5)
จากนนั้ ครูยกตวั อยางเพม่ิ เตมิ แลว ใหน ักเรยี น วธิ ีท�ำ 1) Σi=n1 (i2 - i) = Σi=n1 i2 - Σi=n1 i
หาคําตอบเพื่อตรวจสอบความเขาใจของ
นกั เรียน ดังน้ี ======= Σ[n3n36nnin=nn1((  (((nn(innn3n 2 +++2 -++ - 11 1Σi1=1n1)6))1)(() ()5[22n](22nn +n +++ +1 6511) n 1)) )-- - n33(nn)(] n2+ + 1 )1 )
• Σใi=nห1 iห3 า-ผ2ลiบ2 ว+กi 10 พจนแรกของอนุกรม
(แนวตอบ
Σi1=01
i3 - 2i 2+i i 2 + Σi=n1 i
= i3 - 2 Σi=n1
Σi=n1

= n(n2+ 1) 2 - 2 n(n + 1)6(2n + 1) 2)
Σi=n1 (i3 + 5)



+ n(n2+ 1) ==== n41441n42 (([ n(nnn243 ( n+++2 122+)nn 223 2 +n++ 5+nnn 2 1 ++) 2+20 0)2n0)n]
= 10(102 + 1) 2
- 2 10(10 + 1)6(2(10) + 1)


+ 10(102 + 1) ลองทําดู

= 3,025 - 770 + 55 ให้หาผลบวกของอนกุ รมต่อไปน้ี 2) Σi=n1 (i3 - 3i) ฝกทําตอ
= 2,310) 1) Σi=n1 (2i2 + 4i)
แบบฝก ทกั ษะ 3.2 ก
ขอ 2

เขา้ ใจ (Understanding) ตัวอยา่ งท่ี 22
ให้หำผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รม Σi=n1 (2i - 1)3
1. ครูใหน กั เรยี นจบั คูทาํ “ลองทาํ ดู” ในหนงั สือ- วิธีท�ำ เนื่องจาก Σi=n1 (2i - 1)3 = Σi=n1 (8i3 - 12i2 + 6i - 1)
เรียน หนา 160-161 แลวแลกเปลี่ยนความรู 88+ Σ[i=6nn1  (i[3nn (-2+n 1 2+12) Σ]i1=n21)  i]2- -+1 2n6 [ nΣi=n(1 ni -+ Σi=n11 )16(2n + 1)]
กบั คขู องตนเอง สนทนาซกั ถามจนเปน ทเี่ ขา ใจ =
รว มกนั จากนน้ั ครสู มุ นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ =
บนกระดาน โดยครูและนักเรียนในช้ันเรียน 16 0
รวมกนั ตรวจสอบความถูกตอ ง

2. ครใู หน กั เรยี นทํา Exercise 3.2 A เปน การบาน

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ในตัวอยา งที่ 22 ครูควรทบทวน เรอื่ ง การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามท่มี ี 1. ใหนกั เรยี นแบงกลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง
ดีกรีมากกวา 1 เชน คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง) ใหอ ยกู ลุมเดียวกัน

สูตรกําลงั สองสมบูรณ 2. ใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน หนา 171 โดยใช
(น + ล)2 = น2 + 2นล + ล2 วิธีคดิ ดังน้ี
(น - ล)2 = น2 - 2นล + ล2 • ใชสูตรซิกมา
สตู รกาํ ลังสามสมบรู ณ • ใชโ ปรแกรม Microsoft Excel
(น + ล)3 = น3 + 3น2ล + 3นล2 + ล3
(น - ล)3 = น3 - 3น2ล + 3นล2 - ล3 • ใชโปรแกรม WolframAlpha

3. สงตัวแทนออกมานําเสนอหนาชัน้ เรียน

T170

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

จะได้ Σi1=01 (2i - 1)3 = 8 [10(102 + 1)]2 - 12 [10(10 + 1)6(2(10) + 1)] ขนั้ สอน
+ 6 [10(102 + 1)] - 10
ลงมอื ทาํ (Doing)
= 24,200 - 4,620 + 330 - 10
= 19,900 ครใู หนักเรียนแบงกลมุ กลมุ ละ 3-4 คน คละ
ดงั นนั้ ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รม Σi=n1 (2i - 1)3 เทา่ กบั 19,900 ความสามารถทางคณิตศาสตร และชวยกันทํา
แบบฝกทักษะ 3.2 ก แลวแลกเปล่ียนความรู
ลองทําดู ฝกทําตอ สนทนาซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากน้ัน
ครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนาชั้นเรียน
ให้หาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม Σi=n1 (4i + 1)3 แบบฝกทกั ษะ 3.2 ก โดยครตู รวจสอบความถูกตอ ง
ขอ 3-5
ขนั้ สรปุ
แบบฝกทักษะ 3.2 ก
ครูถามคําถามนักเรยี นเพ่ือสรุปความรู ดังน้ี
ระดับพ้ืนฐำน 2) kΣ1=51 (10k + 7) • อนุกรม มีความหมายวา อยา งไร
4) kΣ1=01 (k3 + 5k)
1. ใหหาคา ของ 2) kΣ=n1 (k - 2)(k + 1) (แนวตอบ อนกุ รม คอื ผลบวกของพจนท กุ พจน
1) Σi2=01 25 4) kΣ=n1 (k2 + 1)(k - 2)
3) Σi=81 (2i + 5)2 ของลาํ ดบั ท่แี สดงในรูป a1 + a2 + a3 + ...
+ an + ...)
2. ใหห าผลบวกของอนกุ รมตอ ไปน้ี
1) Σi=n1 (i3 + i - 1) ขน้ั ประเมนิ
3) Σi=n1 (3i - 2)2
1. ครูตรวจแบบฝกทกั ษะ 3.2 ก
ระดับกลำง 2. ครตู รวจ Exercise 3.2 A
3. ครปู ระเมินการนาํ เสนอผลงาน
4. ครสู ังเกตพฤติกรรมการทาํ งานรายบุคคล
5. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม
6. ครูสังเกตความมีวินยั ใฝเรียนรู

มงุ มน่ั ในการทํางาน

3. ใหห าผลบวกของอนุกรมตอ ไปน้ี SOPLRVOIBNLGETMIP
1) kΣ=8250  (k - 1) i=Σ2100 (i + 1)2 = iΣ2=01 (i + 1)2 - iΣ=91 (i + 1)2
2) n1Σ=0605  n(n - 1)
4. กําหนด Σn3=01 (a - n2) = 55 ใหหาคา ของ a
5. กําหนด Σi=41 (a + bi + 1) = 22 และ Σi=51 (ai - b - 3) = 10 ใหหาคาของ a และ b

ล�ำดับและอนุกรม 161

จงหาคา ของ iΣ=3100(i2 + 2) ขอ สอบเนน การคดิ เกร็ดแนะครู

(เฉลยคาํ ตอบ จาก iΣ=3100(i2 + i22)+=Σi3=Σ0i13=012(i2 + 2) - Σi1=91 (i2 + 2) ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนไดทําความเขาใจกับแบบฝกทักษะ 3.2 ก
จะได Σi3=01 (i2 + 2) = พรอ มทง้ั เปด โอกาสใหน กั เรยี นไดถ ามถงึ ขอ สงสยั แลว เนน ยา้ํ กบั นกั เรยี นเกยี่ วกบั
Σi3=01 สญั ลักษณแ ละสตู รในการหาผลบวกของอนุกรม และการหาผลบวกของอนกุ รม
= 30(30 + 1)6(2(30) + 1) + 30(2) ที่ไมไดเ ริ่มจากพจนแรก หรอื i 1 เชน i = j นักเรียนจะตอ งหาผลบวกที่ i
= 9,455 + 60 = 9,515 มคี า ต้ังแต 1 ถงึ n ลบดว ยผลบวกที่ i มคี าต้งั แต 1 ถึง n - j - 1
Σi=91 (i2 + 2) = Σi=91 i2 + Σi=91 2
= 9(9 + 1)(62(9) + 1) + 9(2) T171
= 285 + 18 = 303
ดังนน้ั iΣ=3100(i2 + 2) = Σi3=01 (i2 + 2) - Σi=91 (i2 + 2)
= 9,515 - 303 = 9,212)

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ นาํ (Concept Based Teaching) ในระดบั ชน้ั น้ีจะกล่าวถึงอนกุ รมจ�ากัด 2 ชนิด คือ อนุกรมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณิต
ดังน้ี
การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)
1. อนกุ รมเลขคณติ (Arithmetic Series)
ครูกลาววา ในระดับช้ันน้ีจะกลาวถึงอนุกรม
จํากัด 2 ชนดิ คอื อนกุ รมเลขคณติ และอนกุ รม อนกุ รมทเ่ี กดิ จากลา� ดบั เลขคณติ เรยี กวา่ อนกุ รมเลขคณติ และมผี ลตา่ งรว่ มของลา� ดบั เลขคณติ
เรขาคณติ ซ่ึงอนกุ รมเลขคณิต คอื อนุกรมทีเ่ กิด เปน็ ผลตา่ งรว่ มของอนกุ รมเลขคณิตดว้ ย
จากลาํ ดบั เลขคณติ
Class Discussion
ขนั้ สอน
ใหน้ กั เรยี นจับค ู่ แล้วตอบค�ำถำมตอ่ ไปนี้
รู้ (Knowing) 1. ให้หาผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องลา� ดับเลขคณติ 1, 3, 5, 7, 9, 11
2. ใหห้ าผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องลา� ดับเลขคณติ 1, 3, 5, …, 99
1. ครใู หน ักเรียนจบั คูทาํ Class Discussion
จาก Class Discussion จะเหน็ วา่ จากข้อ 1. สามารถเขียนผลบวกของล�าดบั เลขคณติ ให้อยู่
2. ครแู ละนกั เรียนรว มกันสรุปผลท่ไี ดจ าก ในรูปอนกุ รมเลขคณติ ได้ คือ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ซ่งึ จะไดผ้ ลบวกของอนกุ รมเท่ากับ 36
หพรจือน ์มSา6ก = ๆ 3โ6ด ยแใลชะว้ จิธากี กาขรอ้ ด 2ังน. ้ีสามารถหาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของลา� ดับเลขคณติ ทม่ี จี า� นวน
Class Discussion ดงั นี้ 1 + 3 + 5 + … + 99 ……➊
99 + 97 + 95 + … + 1 ……➋
• ผลบวกของอนุกรมที่มีจํานวนพจนนอยๆ
สามารถนําแตละพจนมาบวกกันได เชน
S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 หรือ S6 = 36

• ผลบวกท่ีมีจํานวนพจนมากๆ ทําใหไม
สะดวกในการหาผลบวกแตสามารถทําได
โดยใชแ นวคิดของเกาสใ นการคาํ นวณ ดงั นี้

น�า ➊ + ➋ ; 100 + 100 + 100 + … + 100 = 50 × 100
ดังน้นั 1 + 3 + 5 + … +5 90 9พ จ=น ์ 50 ×2 100 = 2,500
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 93 + 95 + 97 + 99 ATTENTION
จากผลบวกขางตน จะไดวาแตละคูผลมี
ผลบวกเทา กบั 100 ซ่ึงจะมีทงั้ หมด 25 คู โยฮนั น์ คาร์ล ฟรีดรชิ เกาส ์ (Johann Carl Friedrich Gauss, ค.ศ. 1777-
ดงั นนั้ ผลบวกทัง้ หมดของ 1 + 3 + 5 + 7 1855) นกั คณติ ศาสตรช์ าวเยอรมนั ซง่ึ ไดร้ บั ฉายาวา่ “เจา้ ชายแหง่ คณติ ศาสตร ์
+ ... + 97 + 99 คอื 25 × 100 = 2,500 (Prince of Mathematics)” เกาสแ์ สดงความเปน็ อจั ฉรยิ ะทางคณติ ศาสตรต์ ง้ั แต่
วยั เด็ก โดยสามารถหาผลบวกของ 1 ถึง 100 ด้วยการคดิ คา� ตอบในใจ ซ่ึง
เกาส์มแี นวคิด ดังน ี้
1 + 2 + 3 + … + 501 +0 151 + … + 98 + 99 + 100
...

101

101

101
แตล่ ะคู่จะไดผ้ ลบวกเท่ากบั 101 ซ่ึงมีท้ังหมด 50 ค ู่ ดงั น้นั คา� ตอบ คอื 50 × 101 = 5,050
162 ทมี่ า : https://www.storyofmathematics.com/19th_gauss.html

เฉลย Class Discussion กจิ กรรม สรา งเสริม
1. ผลบวกของพจนทกุ พจน คือ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
2. ผลบวกของพจนท กุ พจนท ีม่ จี ํานวนมากๆ ทําได ดงั นี้ ครูใหนักเรียนจับคู แลวชวยกันหาความสัมพันธท่ีกําหนดให
ตอ ไปน้ี
1 + 3 + 5 + ... + 99 .....➊
99 + 97 + 95 + ... + 1 .....➋ กาํ หนดให รูปท่ี 1 มีขนาดเทากับ 1 ตารางหนว ย
นาํ ➊ + ➋ ; 100 + 100 + 100 + ... + 100 = 50 × 100 • รปู ส่เี หล่ยี มแตล ะรูปมีขนาดก่ตี ารางหนวย
• รูปสี่เหลีย่ มรปู ท่ี 10 มขี นาดกี่ตารางหนวย
50 พจน
ดงั นน้ั 1 + 3 + 5 + ... + 99 = 50 ×2100 = 2,500 รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รูปท่ี 3 รูปที่ 4

T172 หมายเหตุ : ครคู วรใหนกั เรยี นเกง และนกั เรยี นออนจบั คกู ัน

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ในกรณีท่วั ไป สามารถหาผลบวกของ n พจนแ์ รกได ้ ดังน้ี 3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา จากแนวคิดของเกาส
สามารถนํามาหาผลบวกในกรณีท่ัวไปของ
ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an อนุกรมเลขคณติ ซง่ึ มสี ูตรผลบวก ดังนี้
Sn = a1 + (a1 + d) + … + (an - 2d) + (an - d) + an ……➊ Sn = n(a1 2+ an)
หรือ Sn = an + (an - d) + … + (a1 + 2d) + (a1 + d) + a1 ……➋

น�า ➊ + ➋ ; จแเนทะือ่ ไนงดใจนSาสnกตู =aรnn2n=[(2aaa1112+++a((nnn) - 1)d
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + … + (a1 + an) - 1)d]
n พจน์
2Sn = n(a1 + an)

ดังนั้น Sn = n(a1 2+ an) เมื่อ a1 คอื พจนท ่ี 1 ของอนุกรมเลขคณิต
an คอื พจนท ่ี n ของอนกุ รมเลขคณิต
เม่ือ a1 คอื พจนท์ ี่ 1 ของอนกุ รมเลขคณิต
an คือ พจน์ท่ี n ของอนุกรมเลขคณติ d คอื ผลตา งรว มของอนกุ รมเลขคณิต
n คือ จ�านวนพจนข์ องอนกุ รมเลขคณิต n คือ จํานวนพจนของอนกุ รมเลขคณิต
และ Sn คือ ผลบวก n พจนแรกของอนุกรม
แเนลอื่ ะง จาSกn คaือn ผ=ล บวaก1 +n (พnจ -น ์แ1ร)dก ขแอทงนอในนกุ สรูตมรเ ลSขnค =ณ ิตn(a1 2+ an) เลขคณติ
จากนนั้ ครใู หน กั เรยี นศกึ ษากรอบ ATTENTION

จะได ้ Sn = n2n([aa11 2 ++ a(an)1 + (n - 1)d)] ซ่ึงเก่ียวกับการเลือกใชสูตรในการหาผลบวก
Sn = n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต และเนนย้ํา
กับนักเรยี น กรณที ่ีไมท ราบคา n ของอนกุ รม

ดงั นั้น Sn = 2n [2a1 + (n - 1)d] เลขคณิต สามารถหาคา n ไดจ ากสูตร
an = a1 + (n - 1)d
เม่อื a1 คือ พจนท์ ่ ี 1 ของอนุกรมเลขคณติ
d คือ ผลต่างร่วมของอนกุ รมเลขคณติ
n คอื จ�านวนพจนข์ องอนุกรมเลขคณิต
และ Sn คือ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ

ATTENTION

ผลบวก nห พรอื จ นแ์ รกSSขnn อ==ง อ2nนn(ุก[a2ร1aม 21+เ ล +aข n(ค)nณ -ติ 1)d] เมอ่ื ทราบค่า n, a1 และ an
เม่อื ทราบค่า n, a1 และ d

กรณที ไี่ ม่ทราบคา่ n ของอนุกรมเลขคณติ สามารถหาค่า n ได้จากสูตร an = a1 + (n - 1)d

ล�ำดับและอนุกรม 163

กิจกรรม สรางเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรียนจับคู แลวชวยกันหาความสัมพันธท่ีกําหนดให การเรียนการสอน เรื่อง อนุกรมเลขคณิต ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรม
ตอ ไปนี้ ทเี่ นน ทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร ซงึ่ อาจทาํ เปน กลมุ หรอื รายบคุ คล
กไ็ ด ครผู สู อนอาจจะใชร ปู ภาพประกอบเพอ่ื ชว ยใหน กั เรยี นเกดิ ความคดิ เชอ่ื มโยง
ใหดา นแตละดา นของรปู สามเหลีย่ มรปู ท่ี 1 ยาว 1 หนว ย และสามารถแกป ญหาใหงายขึ้น
• หาความยาวดา นของแตละรูป และรูปท่ี 10 มคี วามยาวดา น

เทา ใด
• หาจํานวนรปู สามเหลี่ยมในแตละรปู และรปู ท่ี 10 มจี ํานวน

รปู สามเหล่ยี มกร่ี ูป

รปู ที่ 1 รปู ที่ 2 รปู ที่ 3 รปู ที่ 4

หมายเหตุ : ครคู วรใหน ักเรยี นเกงและนักเรยี นออ นจบั คกู นั T173

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

4. ครูใหนกั เรียนศึกษาตัวอยางท่ี 23 ในหนังสือ- ตวั อยา งท่ี 23
เรยี น หนา 164 แลว ถามคาํ ถามนักเรยี น ดงั นี้
• จากโจทย นักเรยี นทราบคา อะไรบาง ให้หำผลบวก 30 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 4 + 7 + … + (3n - 2) + …

(แนวตอบ a1 = 1, d = 4 - 1 = 3 และ วธิ ีท�ำ จจเนะา่ือไกดง ้ จาก aSS13 0n= ==1 , d(2n3 2[=02 )a3[12 (แ+1ล )( ะn+ n -( 3=10 ) 3d-0] 1)(3)]

n = 30)
• นักเรียนควรเลือกใชสูตรใดในการคํานวณ
• ผห(แลานผบวลตวกอบบว5กS0ขnพอ=งจอnน2นแ[2กุ รaรก1มขเ+อลงข(อnคนณ-กุ ติ1รม)dเล])ขคณติ นี้
= 15[2 + 29(3)]
= 15(89)
= 1,335
เทากับเทา ใด ดังนั้น ผลบวกของ 30 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิตนี ้ คือ 1,335
(แนวตอบ S50 = 352,07[225()1) + (50 1)(3)]
= - ลองทาํ ดู

5. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 24 ในหนงั สือ- ให้หาผลบวก 38 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ฝกทําตอ
เรียน หนา 164 แลว ถามคาํ ถามนักเรยี น ดังน้ี 4 + 12 + 20 + … + (8n - 4) + …
แบบฝกทกั ษะ 3.2 ข
• จากโจทย นักเรียนทราบคาอะไรบา ง ขอ 1-5

(แนวตอบ a1 = 9, d = 12 - 9 = 3 และ ตัวอยางที่ 24
an = 159)
ให้หำผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนกุ รมเลขคณิต 9 + 12 + 15 + … + 156
• นักเรียนจะทราบจํานวนพจนของอนุกรม
เลขคณิตน้ไี ดอ ยา งไร วิธที ำ� เนอ่ื งจาก a1 = 9, d = 3
(แนวตอบ หาจาํ นวนพจนจ ากสตู ร หาจา� นวนพจนจ์ าก an = a1 + (n - 1)d
จะได ้ 156 = 9 + (n - 1)(3)
156 = 9 + 3n - 3
an = a1 + (n - 1)d) 156 = 3n + 6
3n = 150
• ถา ใหห าผลบวก 100 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี
นักเรียนจะใชสูตรใดในการหา และผลบวก
ท่ไี ดม ีคา เทา กับเทาใด n = 50
หจะาไผดล้ บวกขSอ50ง 5=0 พ520จน(9์ จ+า ก1 5S6n) = 2n (a1 + an)
(SSแ1n0น0วต==อบ1n202[20a[21(9+) (n - 1)d]
+ (100 -
1)(3)] = 25(165)
= 4,125
= 15,750) ดังนั้น ผลบวกทัง้ 50 พจนข์ องอนุกรมเลขคณติ น้ ี คอื 4,125

164

เกร็ดแนะครู กจิ กรรม สรางเสรมิ

หเลาขไคดคณจราิตูคกวnรใ=หคanวาd-มaร1ูเพ+่ิม1เตแิมลกะับกนารักเเลรอื ียกนใวชาสตู จรําผนลวบนวพกจnนขพอจงนอแนรุกกรขมอเงลอขนคกุ ณรมิต ครใู หนักเรียนจับคู แลวชวยกันหาจาํ นวนพจนแ ละผลบวกของ
พจนทุกพจนข องอนกุ รมเลขคณติ ในแตละขอตอ ไปน้ี

โจทย a1 d n = an - a1 + 1 sn = n2 (a1 + an)
d
สตู ร ควรใชเมือ่ สิ่งที่ตองหาเหมือนกนั กอน
5 + 7 + 9 + ... + 103
Sn = n2 (a1 + an) ทราบคา an n, d, a1
ไมท ราบคา an 2 + 6 + 10 + ... + 158
Sn = n2 [2a1 + (n - 1)d] แตท ราบคา a1
-2 + 3 + 8 + ... + 293
และ d
5 + 2 + (-1) + ... + (-217)

หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรียนเกง และนกั เรียนออนจับคกู นั

T174

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

ลองทาํ ดู 6. ครูอธิบายตัวอยา งที่ 25 ในหนงั สือเรียน หนา
165 บนกระดาน แลวถามคําถามนักเรียน
ใหห้ าผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเลขคณติ ฝกทําตอ ดังนี้
6 + 15 + 24 + … + 177 • จากตัวอยางที่ 25 ถาใหหาผลบวกของ
แบบฝก ทักษะ 3.2 ข
ขอ 6, 10, 13-18 จํานวนค่ีจะสามารถเขียนในรูปผลบวกได

ตใหัว้หอำยผา่ ลงบทวี่ ก2ข5องจ�ำนวน1คตู่ งั้ แต่ 10 + 12 + 14 + … + 550 อยางไร
(แนวตอบ 11 + 13 + 15 + … + 549)
วธิ ที ำ� เนื่องจาก a1 = 10, d = 2 • ผลบวกของจํานวนคีต่ งั้ แต 11 + 13 + 15
หาจา� นวนพจน์จาก an = a1 + (n - 1)d + … + 549 เทา กับเทา ใด
จะได้ 550 = 10 + (n - 1)(2) (แนวตอบ จากอนุกรมที่กําหนดให จะได
550 = 10 + 2n - 2
550 = 2n + 8 a1 = 11, d = 2 หาจํานวนพจนจาก
2n = 542 an = a1 + (n - 1)d จะได n = 270
n = 271
หาผลบวกของ 270 พจน จาก
Sn = n2 (a1
หจะาไผดล ้ บวกSข2อ71ง 2=7 12 พ721จน(1 ์ 0จ า+ก 5S5n0 )= 2n (a1 + an) + 2a72n)0 (11 + 549) = 75,600)
จะได S270 =

= 2721 (560) เขา้ ใจ (Understanding)
= 75,880
ดังน้ัน ผลบวกท้งั 271 พจนข์ องอนุกรมเลขคณติ นี้ คอื 75,880 ครใู หน กั เรยี นจบั คูท าํ “ลองทาํ ด”ู ในหนงั สอื -
เรียน หนา 164-165 และทาํ แบบฝก ทักษะ 3.2 ข
ใลหอ้หงาทผาํลดบู วกของจ�านวน2ค่ตี ้งั แต ่ 15 + 17 + 19 + … + 455 ฝกทําตอ ขอ 1.-8. ในหนงั สอื เรยี น หนา 167 แลว แลกเปลยี่ น
ความรูกับคูของตนเอง สนทนาซักถามจนเปนที่
แบบฝกทักษะ 3.2 ข เขา ใจรว มกัน จากนน้ั ครูสมุ นกั เรยี นออกมาแสดง
ขอ 7-8 วิธที ําบนกระดาน โดยครแู ละนักเรยี นในชน้ั เรียน
รว มกันตรวจสอบความถูกตอ ง
ตัวอยา่ งที่ 26

ให้หำผลบวกของจำ� นวนเตม็ ทีม่ ีคำ่ อยู่ระหว่ำง 50 และ 190 ทีห่ ำรด้วย 3 ลงตวั

วธิ ที �ำ จ�านวนแรกท่ีหารดว้ ย 3 ลงตวั คือ 51
จ�านวนสดุ ทา้ ยท่ีหารด้วย 3 ลงตวั คอื 189
จะไดอ้ นุกรมเลขคณติ คือ 51 + 54 + 57 + … + 189
จหะาไจดา� ้ นวนพจ1น8์จ9า ก= a n5 =1 a+1 (+n (-n 1 -) (31))d

189 = 51 + 3n - 3
ล�ำดับและอนุกรม 165

ขอสอบเนน การคดิ แนว O-NET นักเรียนควรรู

จาํ นวนเตม็ บวกระหวา ง 200 กับ 600 มกี พี่ จนท ่ี 7 หารไมลงตวั 1 จาํ นวนคู (even number) จํานวนเต็มที่หารดวย 2 แลว ไดผลลพั ธเ ปน
1. 342 2. 344 3. 346 จํานวนเตม็ หรอื จํานวนทีอ่ ยใู นเซต { … -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }
4. 348 5. 359 2 จํานวนคี่ (odd number) จํานวนเต็มท่ีไมใชจํานวนคู หรือจํานวนท่ีอยู
(เฉลยคาํ ตอบ ในเซต { … -5, -3, -1, 0, 1, 3, 5, … }
จาํ นวนเต็มบวกตั้งแต 201-599 มพี จนท ่ี 7 หารลงตัว (d = 7)
T175
ดังน้ี
203, 210, 217, ..., 595
n = 595 7- 203 + 1 = 57 พจน

แตจ าํ นวนเตม็ บวกตั้งแต 201-599 มีทง้ั หมด 399 พจน
นนั่ คอื มีจํานวนเตม็ บวกที่ 7 หารไมล งตัว

เทากบั 399 - 57 = 324 พจน
ดงั น้นั คาํ ตอบ คอื ขอ 1.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

1. ครใู หนักเรยี นศกึ ษาตัวอยางที่ 26 ในหนงั สอื - 189 = 3n + 48
เรียน หนา 165-166 แลว ถามคําถาม ดงั น้ี
• จํานวนสามพจนแรกและพจนสุดทายที่หาร 3n = 141
n = 47
ดว ย 3 ลงตัว คอื จาํ นวนใด จหะาไผดล ้ บวกขSอ47ง 4=7 พ427จน(5์ 1จ า+ก 1S8n9 )= 2n (a1 + an)
(แนวตอบ 51, 54, 57 และ 189)
• เม่ือนําจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัว มาเรียง

ตอ กันจะเปนลาํ ดบั ชนดิ ใด = 427 (240)
(แนวตอบ 51, 54, 57, ..., 189 เปน ลําดบั = 5,640
ดงั นน้ั ผลบวกทง้ั 47 พจน์ของอนกุ รมเลขคณติ น้ี คือ 5,640
เลขคณิต เพราะมีผลตางรว ม d = 3)
2. ครูสรุปจากคําถามขางตน อนุกรมเลขคณิต
ทไ่ี ด คือ 51 + 54 + 57 + ... + 189 แลว ลองทาํ ดู
ถามคําถาม ดงั น้ี ฝกทําตอ
• นกั เรยี นหาจาํ นวนพจนข องอนกุ รมเลขคณติ ใหห้ าผลบวกของจ�านวนเต็มท่มี คี า่ อยู่ระหวา่ ง 30 และ 150 ทหี่ ารดว้ ย 7
ลงตวั แบบฝก ทักษะ 3.2 ข
ขอ 9, 11-12
ไดอยา งไร
(แนวตอบ หาจํานวนพจนจ าก ตวั อย่างท่ ี 27
an - a1
n = d + 1) นธิ ศิ ตอ้ งกำรเดนิ ทำงไกล ถำ้ วนั แรกนธิ ศิ เดนิ ทำงได ้ 50 กโิ ลเมตร วนั ทสี่ องเดนิ ทำงได ้ 48 กโิ ลเมตร
วนั ทส่ี ำมเดนิ ทำงได ้ 46 กโิ ลเมตร และวนั สดุ ทำ้ ยเดนิ ทำงได ้ 22 กโิ ลเมตร โดยแตล่ ะวนั ระยะทำง
• เมื่อแกสมการหาคา n แลว จะหาผลบวก ทเี่ ดนิ ไดจ้ ะลดลงวนั ละ 2 กโิ ลเมตร อยำกทรำบวำ่ นธิ ศิ จะเดนิ ทำงเปน็ ระยะทำงทง้ั หมดกกี่ โิ ลเมตร
3. นัก(ขแเอรนีงยวอนตนอแบกุ ตรลSมnะเลค=ขนn2คห(ณาaผิต1 ลไ+ดบaจวnาก)ก)ขสอูตงรจใําดนวนเต็ม
วิธีทำ� ให้ a1 = 50, a2 = 48, a3 = 46 และ d = 48 - 50 = -2
หาจา� นวนวนั ทีน่ ธิ ศิ เดินทางได ้
จาก an = a1 + (n - 1)d
ท่มี ีคา อยรู ะหวา ง 50 และ 190 ท่ีหารดวย 5 จะได ้ 22 = 50 + (n - 1)(-2)
ลงตวั โดยใชห ลกั การเดยี วกนั กบั ตวั อยา งท่ี 26
ในหนังสือเรยี น หนา 165-166 22 = 52 - 2n
2n = 30
(แนวตอบ 1,296) n = 15
12n25[2[2a(15 0+) (+n (-1 15) d- ] 1 )(-2)]
จาก Sn =
จะได ้ S15 =

= 125(72)

= 540
16 6 ดังนัน้ นิธิศเดินทางไกลเปน็ ระยะทางทั้งหมด 540 กิโลเมตร

บูรณาการอาเซียน กิจกรรม 21st Century Skills

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในหนวยการเรียนรูที่ 3 ลําดับและ ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ
อนุกรม ครูสามารถเชื่อมโยงบูรณาการความรูกับกลุมประเทศอาเซียนได โดย ทางคณิตศาสตร แลวทาํ กจิ กรรม ดงั น้ี
ใหนักเรียนสืบคนขอมูลท่ีแสดงใหเห็นถึงการนําอนุกรมเลขคณิตมาประยุกตใช
ทเี่ กีย่ วของกบั อาเซยี น เชน ประชากรของประเทศบรูไนในป 2550 มปี ระมาณ • ใหนักเรียนแตละกลุมสืบคนขอมูลเพ่ิมเติม เรื่อง อนุกรม
400,000 คน และในแตล ะปจ ะมีประชากรเพิ่มข้นึ ปล ะ 6,000 คน อยากทราบวา เลขคณติ ในชวี ิตประจาํ วนั มากลมุ ละ 1 เรอื่ ง เพอื่ สรา งเปน
ในป 2550-2560 จะมีประชากรทง้ั หมดกีค่ น โจทยปญหา

• ใหนักเรียนนําโจทยปญหาที่สรางมาหาคําตอบ พรอมท้ัง
แสดงวธิ ที าํ อยา งละเอยี ด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออนื่ ๆ ตามทนี่ กั เรยี นถนดั

T176

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ลองทาํ ดู 4. ครอู ธิบายตัวอยา งท่ี 27 ในหนังสอื เรยี น หนา
166 แลว ถามคาํ ถามเพม่ิ เตมิ จากตวั อยา งที่ 26
ยิ่งยงตองการวางถุงปุยซอนกันเปนช้ัน ๆ แตละชั้นมีจํานวนถุงปุยมากกวาจํานวนถุงปุย ดังน้ี
ในช้ันถัดไปเปนจํานวน 2 ถุงเสมอ ถาเขาตองการวางถุงปุยไวชั้นลางสุด ฝกทําตอ • ถานิธิศเดินทางในแตละวัน คือ 20, 25
50 ถงุ และวางถงุ ปยุ ไวช น้ั บนสุดจํานวน 4 ถุง ใหห าวามีปยุ ทัง้ หมดกี่ถุง แบบฝกทักษะ 3.2ข และ 30 ตามลําดับ จะเปน ลําดับเลขคณติ
หรือไม เพราะเหตุใด
ขอ 19-20

(แนวตอบ เปน ลาํ ดบั เลขคณติ เพราะระยะทาง
ทนี่ ธิ ศิ เดนิ ทางในแตล ะวนั เพม่ิ ขน้ึ อยา งคงตวั )
แบบฝกทักษะ 3.2 ข • นิธิศจะใชเวลาเดินทางก่ีวัน ถาวันสุดทาย

ระดับพ้ืนฐาน เดนิ ทางได 70 กิโลเมตร
(แนวตอบ 11 วนั )
1. ใหห าผลบวก 10 พจนแรกของลาํ ดับเลขคณติ 5, 12, 19, …, 7n - 2, … • ระยะทางที่นิธิศเดินทางไกลท้ังหมดเปน

2. ใหห าผลบวก 15 พจนแรกของลําดบั เลขคณิต 1, 3, 5, …, 2n - 1, … เทา ใด S11 = 142195[2ก(2ิโ0ล)เม+ต(ร1)1 - 1)(5)]
(แนวตอบ =
3. ใหห าผลบวก 20 พจนแรกของลําดับเลขคณิต -20, 10, 40, …, 30n - 50, …

4. ใหหาผลบวก 40 พจนแรกของอนกุ รมเลขคณิต -10 + 6 + 22 + … + (16n - 26) + … เขา้ ใจ (Understanding)
5. ใหหาผลบวก 50 พจนแ รกของลําดบั เลขคณิต 15, 35, 1, …, 52n - 51, …
6. ใหหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตตอไปน้ี 1. ครูใหนกั เรยี นจบั คทู ํา “ลองทําดู” ในหนงั สือ-
เรียน หนา 166-167 และแบบฝกทกั ษะ 3.2 ข
1) (-50) + (-45) + (-40) + … + 20 ขอ 9.-17. ในหนังสือเรียน หนา 167-168
แลว แลกเปลย่ี นความรกู บั คขู องตนเอง สนทนา
2) 3.5 + 5 + 6.5 + … + 35 ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุม
นกั เรยี นออกมาแสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครู
3) 1 + 5 + 9 + … + 61 ตรวจสอบความถกู ตอง
21-+35 1++(-231)++…-+13
4) 15 … + 5 2. ครูใหน กั เรียนทาํ Exercise 3.2 B เปน การบา น
5) +

7. ใหหาผลบวกของจํานวนคูตงั้ แต 16 + 18 + 20 + … + 780 ลงมอื ทาํ (Doing)

8. ใหหาผลบวกของจาํ นวนค่ตี ง้ั แต 15 + 17 + 19 + … + 999 ครใู หนักเรยี นแบงกลมุ กลุม ละ 3-4 คน คละ
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวชวยกันทํา
9. ใหหาผลบวกของจํานวนเตม็ ท่ีมคี าอยูระหวา ง 150 และ 600 ที่ 11 หารลงตัว แบบฝกทักษะ 3.2 ข ขอ 18.-20. ในหนังสือเรยี น
หนา 167 แลวแลกเปลี่ยนความรูภายในกลุม
ลําดับและอนุกรม 167 จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมาเฉลยคําตอบหนา
ชั้นเรยี น โดยครูตรวจสอบความถูกตอ ง

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET
ด.ช.บอส อยากไดรถจักรยานท่ีมีราคา 2,400 บาท โดย ด.ช.บอสออมเงินเดือนละ 50 บาท อามาจะสมทบเงินให
ทกุ เดอื น เดือนละ 20 บาท โดยเดือนแรก 20 บาท เดอื นที่สอง 40 บาท และเดือนท่สี าม 60 บาท ไปเรื่อยๆ ด.ช.บอส ตอง
ออมเงนิ อยา งนอ ยกเ่ี ดอื นจึงจะสามารถซอื้ รถจกั รยานได
1. 13 เดอื น 2. 14 เดอื น 3. 15 เดอื น 4. 16 เดอื น 5. 16 เดือน

(เฉลยคาํ ตอบ จากโจทย เขียนเปน ลําดบั ไดวา 70, 90, 110, ... โดยมี a1 = 70, d = 20 และตองรวมเงินขน้ั ตาํ่ ใหไ ด
2,400 บาท
Sn = nnn22([[1224a(0710++) (n - 1)d] จะได n = -6 ± 36 -24(1)(-240)
2,400 = + (n - 1)20] = -6 ±2 996
4,800 = 20n - 20) ≈ 13
= n(120 + 20n)
4,800 = n(120 + 20n) นนั่ คอื ด.ช.บอส ตองออมเงนิ ขัน้ ต่าํ อยา งนอย 13 เดอื น
20n2 + 120n - 4,800 = 0 จึงจะสามารถซื้อรถจักรยานได
n2 + 6n - 240 = 0
ดังนั้น คําตอบ คอื ขอ 1.) T177

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สรปุ ระดบั กลำง

ครใู หน กั เรยี นรว มกนั สรปุ ความรู เรอื่ ง อนกุ รม 10. อ นกุ รมเลขคณติ อนุกรมหนง่ึ มีพจน์ท่ี 3 เทำ่ กับ 11 และผลบวก 8 พจน์ เทำ่ กับ 124
เลขคณิต ดงั นี้ ใหห้ ำอนกุ รมเลขคณิตน้ ี
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมท่ีไดจากลําดับ
เลขคณิต และมีผลตางรวมของลําดับเลขคณิต 11. ก �ำหนด A = { 30, 31, 32, … , 100 } ให้หำผลบวกของสมำชกิ ของเซต A ท ี่ 2 หำรลงตัว
เปน ผลตา งรว มของอนกุ รมเลขคณติ ดว ย และสตู ร แต่ 3 หำรไม่ลงตัว
ทใี่ ชใ นการคาํ นวณหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ
n(a1 + an) 12. จำกขอ้ 11. ให้หำผลบวกของสมำชิกของเซต A ที่ 2 และ 3 หำรลงตัว แตห่ ำรดว้ ย 5
n พจนแ รก คอื Sn = 2 ไม่ลงตวั
หรอื Sn = n2 13. ให้หำคำ่ n จำกผลบวกของอนุกรม 3 + 7 + 11 + … + (4n - 1) = 1,830
[2a1 + (n - 1)d] 14. อนุกรมเลขคณติ อนกุ รมหนง่ึ มพี จนท์ ่ี n เป็น -5n + 2 ให้หำผลบวก 20 พจน์แรกของ

เม่ือ a1 คือ พจนท ี่ 1 ของอนุกรมเลขคณิต อนกุ รมน้ี
an คือ พจนที่ n ของอนกุ รมเลขคณติ 15. อนกุ รมเลขคณติ อนุกรมหนงึ่ ถ้ำ S15 มีค่ำมำกกวำ่ S14 อยู่ 32 และพจนแ์ รกเท่ำกบั 4

d คอื ผลตางรว มของอนกุ รมเลขคณิต ให้หำผลบวก 25 พจน์แรกของอนุกรมน้ี
n คือ จาํ นวนพจนของอนุกรมเลขคณติ 16. อนกุ รมเลขคณติ อนุกรมหน่งึ มผี ลบวก 5 พจนแ์ รกเปน็ 85 และพจนท์ ี่ 8 ของอนุกรมนี้
และ Sn คือ ผลบวก n พจนแรกของอนุกรม คอื 32 ใหห้ ำผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รมน้ี
เลขคณิต 17. ถ้ำ x + 1, 2x + 3, 4x + 2 เป็นสำมพจน์แรกของล�ำดบั เลขคณิตลำ� ดับหน่งึ

ขนั้ ประเมนิ ใหห้ ำผลบวก 30 พจน์แรกของลำ� ดับนี้

1. ครตู รวจแบบฝก ทักษะ 3.2 ข ร ะดับทำ้ ทำย
2. ครูตรวจ Exercise 3.2 B
3. ครูประเมินการนาํ เสนอผลงาน 18. กำ� หนด Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของล�ำดบั เลขคณิต a1, a2, a3, … ถำ้ S5 = 20
4. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทํางานรายบุคคล และ S16 = -200 ให้หำ a10 + a13
5. ครสู ังเกตพฤตกิ รรมการทาํ งานกลุม 19. นำงสำวออ้ มใจต้องกำรเกบ็ เงนิ เดือนแรก 1,000 บำท และเดอื นต่อ ๆ ไปเก็บมำกกว่ำ
6. ครสู ังเกตความมีวินยั ใฝเ รียนรู เ ดอื นก่อนหนำ้ นน้ั 100 บำท และเกบ็ เงินต่อเนอ่ื งโดยไม่นำ� ไปใช้จนครบ 1 ปี

มงุ ม่ันในการทํางาน อยำกทรำบวำ่ นำงสำวอ้อมใจจะมีเงินทั้งหมดก่บี ำท
20. เรือ A และเรอื B เดินทำงออกจำกจดุ เดียวกนั ซ่งึ จะออกเดนิ ทำงพรอ้ มกันและไปใน
ทศิ ทำงเดียวกัน โดยเรอื A เดนิ ทำงวันแรก 60 กโิ ลเมตร วนั ทส่ี อง 58 กิโลเมตร
วนั ทีส่ ำม 56 กิโลเมตร และเรือ B เดนิ ทำงวนั แรก 10 กิโลเมตร วนั ทีส่ อง 13 กโิ ลเมตร
วันที่สำม 16 กิโลเมตร ให้หำว่ำเรือทั้งสองล�ำอยู่ห่ำงจำกจุดตั้งต้นเป็นระยะทำงก่ีกิโลเมตร

เมอื่ เรอื B เดินทำงไปทันเรอื A

168

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
ถา 96 + 94 + 92 + 90 + ... เปนอนกุ รมเลขคณิต แลว ผลบวก
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก 20 พจนแ รกของอนกุ รมนี้เทา กบั ขอ ใด
ทักษะ 3.2 ข ขอ 18.-20. ในข้นั ลงมอื ทาํ โดยศึกษาเกณฑก ารวัดและประเมินผล 1. 1,440 2. 1,540 3. 1,640
จากแบบประเมนิ ของแผนการจดั การเรียนรใู นหนวยการเรยี นรูท ี่ 3 4. 1,740 5. 1,840

แบบสังเกตพฤติกรรมการทางานกลุม่ (เฉลยคาํ ตอบ 96 + 94 + 92 + 90 + ...

คาชีแ้ จง : ใหผ้ สู้ อนสังเกตพฤติกรรมของนักเรียนในระหวา่ งเรยี นและนอกเวลาเรียน แล้วขดี ลงในชอ่ งท่ีตรงกบั
ระดับคะแนน

ลาดบั ชื่อ – สกลุ การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีน้าใจ การมี รวม -2 -2 -2
ที่ ของนกั เรยี น ความคดิ เหน็ คนอื่น ตามท่ไี ดร้ ับ ส่วนร่วมใน 20
มอบหมาย การปรบั ปรงุ คะแนน
ผลงานกลมุ่

43214321432143214321 n2220[2[a2(19+6)(n+

ลงช่ือ...................................................ผู้ประเมนิ จาก Sn = - 1)d]
............/................./................ จะได S20 = (20 - 1)(-2)]

เกณฑก์ ารให้คะแนน ให้ 4 คะแนน = 10(154)
ปฏิบตั ิหรอื แสดงพฤติกรรมอยา่ งสม่าเสมอ ให้ 3 คะแนน จะได S20 = 1,540
ให้ 2 คะแนน ดงั นนั้ คําตอบ คือ ขอ 2.)
ปฏิบัตหิ รือแสดงพฤตกิ รรมบอ่ ยครง้ั ให้ 1 คะแนน
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤตกิ รรมบางครง้ั
ปฏิบัติหรือแสดงพฤตกิ รรมนอ้ ยคร้งั

เกณฑก์ ารตดั สินคณุ ภาพ

ชว่ งคะแนน ระดับคณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ต่ากวา่ 10 ปรับปรุง

T178

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั นาํ (Concept Based Teaching)

การใชค้ วามรเู้ ดมิ ฯ (Prior Knowledge)

2. อนกุ รมเรขาคณติ (Geometric Series) 1. ครทู บทวนความรู เร่อื ง ลาํ ดับเรขาคณติ ดงั นี้
• ใหนักเรียนยกตัวอยางของลําดับเรขาคณิต
อนุกรมที่ได้จากล�าดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขำคณิต และมีอัตราส่วนร่วมของ มา 3 ลาํ ดบั
ลา� ดับเรขาคณติ เปน็ อัตราส่วนรว่ มของอนุกรมเรขาคณิตด้วย (แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบไดห ลากหลาย

Class Discussion ตามพนื้ ฐานความรู เชน
1) 5, 10, 20, -41520,4.,.....)
ใหน้ ักเรยี นจับคู ่ แลว้ ตอบค�ำถำมต่อไปนี้ 2) 50, 25, 5,
1. ให้หาผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของล�าดับเรขาคณติ 1, 2, 4, 8, 16, 32 3) 3, -6, 12,
2. ให้หาผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลา� ดบั เรขาคณิต 1, 2, 4, …, 4,096 • จากตัวอยา งขางตน ใหน ักเรยี นเขยี นลาํ ดับ

จาก Class Discussion จะเห็นว่า จากข้อ 2. การหาผลบวกทมี่ จี า� นวนพจน์มาก ๆ ทา� ใหไ้ ม่ เรขาคณิตใหอ ยูในรปู การบวก
(แนวตอบ
สะดวกตอ่ การคา� นวณ ดงั นนั้ นกั เรยี นสามารถหาผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องลา� ดบั เรขาคณติ โดย 1) 5530+++1(-2065)+++20512+++4150(-+24..).
ใชว้ ธิ กี าร ดังน้ี 2)
3)
ให ้ S = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 4,096 ……➊ + ...)
น�า 2 × ➊ ; 2S = 2 + 4 + 8 + 16 + … + 8,192 ……➋ 2. ครอู ธบิ ายเพมิ่ เตมิ จากขอ 1. วา ผลบวกทไ่ี ด
นา� ➋ - ➊ ; S = 8,192 - 1
ดังน้ัน S = 8,191 จากลาํ ดบั เรขาคณติ เรยี กวา อนกุ รมเรขาคณติ

ในกรณที ่ัวไป สามารถหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ ได้ ดังนี้ ขนั้ สอน

ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + … + an รู้ (Knowing)
Sn = a1 + a1r + a1r2 + … + a1rn - 1
นา� r × ➊ rSn = a1r + a1r2 + … + a1rn - 1 + a1rn ......➊ 1. ครใู หนักเรยี นจับคทู าํ Class Discussion แลว
น�า ➋ - ➊ ; rSn - Sn = a1rn - a1 ......➋
แลกเปล่ียนความรูกับคูของตนเอง จากน้ัน
(r - 1)Sn = a1rn - a1
นกั เรยี นและครรู ว มกนั เฉลย Class Discussion

(r - 1)Sn = a1(rn - 1)

ดังนน้ั Sn = a1(rr n- -1 1) หรือ Sn = a1(11 -- rrn) โดยท ี่ r ≠ 1

เมอ่ื a1 คอื พจนท์ ่ี 1 ของอนกุ รมเรขาคณิต ล�ำดับและอนุกรม 169
r คอื อัตราสว่ นร่วมของอนกุ รมเรขาคณติ
n คอื จา� นวนพจนข์ องอนกุ รมเรขาคณติ
และ Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต

ขอสอบเนน การคดิ เฉลย Class Discussion

อนกุ รมในขอใดไมเปนอนุกรมเรขาคณติ 1. หาผลบวกของพจนทุกพจน คอื 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63

1. 1 + 3 + 9 + 27 + ... 2. -1 + 1 + (-1) + 1 + ... 2. ผลบวกของพจนท ุกพจนท มี่ จี าํ นวนมากๆ ทาํ ได ดังนี้ .....➊
3. 2 + 2 + 8 + 4 + ... 4. 12 + 76 + 161 + 165 + ... ให S = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 4,096 .....➋
(เฉลยคาํ ตอบ นาํ 2 × ➋ ; 2S = 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 8,192
เปนอนกุ รมเรขาคณิต เพราะมี r = 3 นํา ➋ - ➊ ; S = 8,192 - 1
เปนอนกุ รมเรขาคณิต เพราะมี r = -1 ดังนน้ั S = 8,191

เปนอนกุ รมเรขาคณติ เพราะมี r = 232
เปนอนกุ รมเลขคณติ เพราะมี d =
ดังน้ัน คําตอบ คือ ขอ 4.)

T179

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน

รู้ (knowing)

2. ครแู ละนกั เรยี นรว มกนั พจิ ารณาผลบวกในกรณี จาก Sn = a1(rr n- -1 1)
ท่ัวไปของอนุกรมเรขาคณิตในหนังสือเรียน Sn = a1rr n- -1 a1
หนา 169-170 จนไดขอสรุปที่มีสูตรผลบวก Sn = (a1rnr - 1-) r1 - a1
ดงั น้ี เนอ่ื งจาก an = a1rn - 1 แทนในสูตร Sn = (a1rnr - 1-) r1 - a1
Sn = a1(rrn- - 1) หรือ Sn = a1(11 - rn) จะได ้ Sn = (a1rnr - 1-) r1 - a1
1 - r
โดยท่ี r 1 = (arn )-r -1 a1
เนื่องจาก an = a1rn-1 แทนในสูตร ดงั น้นั Sn = anrr -- 1a1 หรอื Sn = a11 -- arnr โดยท ่ี r ≠ 1
Sn = (a1rnr- -1a)rn1rr---a1a11
หรอื Sn = a11 - arnr
จะได Sn = -

เมอ่ื a1 คอื พจนท่ี 1 ของอนกุ รมเรขาคณิต

r คอื อตั ราสว นรวมของอนุกรม
เรขาคณิต
an คือ พจนที่ n ของอนกุ รมเรขาคณิต เมือ่ a1 คือ พจนท์ ่ี 1 ของอนกุ รมเรขาคณติ
r คอื อตั ราสว่ นรว่ มของอนุกรมเรขาคณิต
n คือ จาํ นวนพจนข องอนุกรมเลขคณิต an คอื พจน์ท ี่ n ของอนกุ รมเรขาคณติ
และ Sn คอื ผลบวก n พจนแรกของอนุกรม และ Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
เรขาคณิต
3. จากนนั้ ครใู หน กั เรยี นศกึ ษากรอบ ATTENTION
ซ่ึงเกี่ยวกับการเลือกใชสูตรในการหาผลบวก ATTENTION

n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตและเนนย้ํา ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ
SSnn == aan1rr( r r -n-- 1-a1 11) หหรรอือื SSnn == aa111 (1 1- - - a- r nrrrn )
กบั นกั เรียน กรณีทไ่ี มทราบคา n ของอนุกรม เมื่อทราบค่า n, a1 และ r
เรขาคณติ สามารถหาคา n ไดจากสตู ร โดยท่ ี r ≠ 1 เมอื่ ทราบค่า a1, r และ an
หรอื

an = a1rn - 1 กรณีท่ีไม่ทราบคา่ n ของอนุกรมเรขาคณิตสามารถหาค่า n ไดจ้ ากสตู ร an = a1rn - 1

170

เกร็ดแนะครู กิจกรรม สรา งเสรมิ

ครคู วรเนน ยา้ํ กบั นกั เรยี นวา การหาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ ครใู หน กั เรียนจับคู แลว ปฏบิ ัติตามข้นั ตอนตอไปน้ี
โดยท่ี r 1 เพราะถา r = 1 จะไดต วั สว นเปนศูนย จะไมมคี วามหมายทาง • ใหนักเรยี นแตล ะคนเขียนลําดับเรขาคณติ คนละ 1 ลาํ ดับ
คณิตศาสตร และกรณีท่ไี มท ราบคา n ของอนกุ รมเรขาคณิต สามารถหาคา n
ลงในกระดาษ A4 แลว แลกกบั คขู องตนเอง
ไดจ ากสูตร an = a1rn-1 • ใหนักเรียนแตละคนนําลําดับเรขาคณิตท่ีไดมาหาอนุกรม

เรขาคณิต 20 พจนแ รก จากน้ันแลกกันตรวจสอบความถกู ตอ ง
แลวนาํ สงครู
หมายเหตุ : ครูควรใหนกั เรยี นเกง และนักเรยี นออ นจบั คกู นั

T180

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน

รู้ (knowing)

ตวั อยางที่ 28 4. ครใู หน กั เรยี นศกึ ษาตวั อยา งท่ี 28-29 ในหนงั สอื -
เรียน หนา 171-172 จากนั้นถามคาํ ถาม ดังน้ี
ใหหาผลบวก 10 พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + … + 4(2)n-1 + … • จากตัวอยา ง =284,นrกั =เร84ยี น=ท2ราแบลคะาใnดบ=า 1ง0)

วธิ ีทํา เนื่องจาก a1 = 4, r = 2 และ n = 10 (แนวตอบ a1
จาก Sn = a1(rrn- -11)
• จากตัวอยาง 28 นักเรียนเลือกใชสูตรใด
จะได S10 = 4(2210- -11) ในการคาํ นวณหาผลบวกของอนุกรม
เรขาคณิต
= 4(1,024 - 1) (แนวตอบ Sn = a1(rr n - 1), r ≠1)
1
= 4,092 • จากตัวอยา งที่ -
ดงั น้ัน ผลบวกของ 10 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คอื 4,092 29 rน=ักเ13รียแนลทะราaบn ค=าใ2ด,11บ8า7ง)
(แนวตอบ a1 = 1,

ลองทาํ ดู • จากตัวอยางที่ 29 นักเรียนจะทราบจํานวน
พจนของอนกุ รมเรขาคณติ นไ้ี ดอยางไร
ใหห าผลบวก 12 พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ ฝกทําตอ (แนวตอบ หาจํานวนพจนจ าก an = a1rn-1)
3 + 9 + 27 + … + 3(3)n -1 + …
แบบฝก ทกั ษะ 3.2 ค • จากตัวอยางท่ี 29 นักเรียนสามารถหา
ขอ 1-3, 10

ผลบวกของอนกุ รมไดจากสูตรใด
ตวั อยางท่ี 29 a1(11 - r n),
(แนวตอบ Sn = - r r 1)
ใหหาผลบวกของพจนทุกพจนของอนุกรมเรขาคณติ 1 + 13 + 19 + … + 2,1187
วิธีทํา เน่อื งจาก a1 = 1, r = 31 จากน้นั ครูอธบิ ายตวั อยา งที่ 28-29 ซํา้ อกี คร้งั
เพ่ือใหนักเรียนเขาใจมากย่ิงขนึ้
หาจาํ นวนพจนจ าก an = a1rn-1
จะได 2,1187 = 13 n-1
133177 13 n - 1
= 31 n - 1
=

7 = n-1

n =8

ลําดับและอนุกรม 171

ขอสอบเนน การคิดแนว O-NET เกร็ดแนะครู

a5 ก=ํา-ห6น4ดแใลหว aผ1ล,บaว2ก, ขa3อ,ง...10เปพนจลนาํ ดแรับกเรขขอางคลณาํ ดติ บั ถนาเี้ ทaา2ก=ับข8อแใลดะ ดังนี้ ครคู วรแนะนําการใชส ตู รการหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ

1. 924 2. 1,024 3. 1,364 4. 1,512 5. 2,046 Sn = a1(11 - rn) ใชในกรณี ͉r͉ < 1
- r
(เฉลยคําตอบ a1(rrn- - 1)
จาก -64 = a1r4 .....(1) Sn = 1 ใชใ นกรณี ͉r͉ 1
>

(1) ÷ (2) จะได 8 = ra31rดงั นั้น r .....(2)
-8 = = -2
แทนคา r = -2 ใSนS1n0(==2)aaจ11(ะ(rrrrไn1-ด-0-1 1-a111))= -4
จาก = -4[(--22)-101-
1]
จะได
1-4,3(61-4,3023)
นั่นคอื S10 = = -4 (-341)
=
ดงั นน้ั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)
T181

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สอน หาผลบวกของ 8 พจน์ จาก Sn = a1(11 -- rrn)
1(1 )-[ 11623 ,--51 631(131)8]
เขา้ ใจ (Understanding) S8 =
=
ครใู หนักเรยี นจบั คทู าํ “ลองทําด”ู ในหนังสอื -
เรียน หนา 171-172 และแบบฝกทักษะ 3.2 ค = 32,,128807
ขอ 1.-4. ในหนงั สอื เรยี น หนา 174 แลว แลกเปลย่ี น
ความรูกับคูของตนเอง สนทนาซักถามจนเปนท่ี ดงั นัน้ ผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องอนุกรมเรขาคณิตน้ ี คอื 23,,218870
เขา ใจรวมกัน จากนน้ั ครสู ุม นักเรยี นออกมาแสดง
วธิ ีทําบนกระดาน โดยครูและนกั เรียนในช้นั เรียน ลองทําดู
รว มกันตรวจสอบความถกู ตอง
ใหห้ าผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณติ ฝกทําตอ
รู้ (knowing) 15 + 110 + 210 + … + 1,2180
แบบฝก ทกั ษะ 3.2 ค
ครูอธบิ ายตัวอยางท่ี 30 ในหนังสอื เรียน หนา ขอ 4
172 จากน้ันยกตัวอยางเพิ่มเติมแลวถามคําถาม
ดังน้ี S n =จ าaก11 ต --ัว aอrnยr ่า งเมทื่อ่ี 3a11 =น ัก1เ, รrีย =น ส31า มแาลระถ aหnา ผ= ล2บ,1ว18ก7ของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมนี้ได้จากสูตร

อนุกรมเรขาคณิตหนึ่งมี a1 = 1, a2 = 3 ตวั อยา่ งที่ 30
และ an = 729
อนุกรมเรขำคณติ อนกุ รมหนึ่งม ี a1 = 64, a2 = 16 และ an = 41 ใหห้ ำ r, n และ Sn
• นักเรยี นจะหาคา r ไดอยางไร
วิธที ำ� เน่อื งจาก a1 = 64, a2 = 16
(แนวตอบ หาไดจ าก r = aa12 = 31 = 3) r = 6146 = 14
จะได้
• นกั เรยี นจะหาคา n ไดอ ยา งไร
an = a1rn -1
(แนวตอบ เน่ืองจาก an = a1rn - 1
และ an = 729 จะได 729 = 3n-1) 14 = 64 (14)n - 1

• นกั เรยี นจะใชสมบัติใดในการหาคา n 2516 = (41)n - 1
(แนวตอบ ใชสมบัติของเลขยกกําลังท่ีวา (41)4 = (14)n - 1

ถา ax = ay กต็ อ เมอื่ x = y จะไดวา 4 = n - 1

729 = 3n - 1 n = 5
36 = 3n - 1
6 = n-1 172
n = 7)
• S(แ7นมวตีคอา บเทSา 7ก=บั เ(ท33า7ใ--ด11) = 1,093)

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
ถา a1, a2, a3, ..., a12 เปน ลําดบั เรขาคณติ ซง่ึ มอี ัตราสวนรวมเทา กับ 3 และ a1 + a2 + a3 + ... + a10 = 242

แลว ผลรวม 6 พจนแ รกเทา กบั ขอใด
1. 26 2. 28 3. 30 4. 32 5. 34

(เฉลยคําตอบ

จากโจทย r = 3, n = 10,n S10 = 242 หาผลรวม 6 พจนแ รก จะไดวา
จากสตู ร Sn = a1(rr - 1) S6 = ( 3 - 13)(- 316 - 1)
- 1 = 33 - 1
310 = 26
แทนคา S10 = a1( 3- - 1)
1 ดังน้ัน คาํ ตอบ คือ ขอ 1.)
242 = a1(335--11)
a1(2343- - 1)
242 = 1

T182 3 - 1 = a1

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

จาก Sn = a1(11 -- rrn) ขนั้ สอน
(1414)5]
จะได้ S5 = 64[1 - เขา้ ใจ (Understanding)
= 1 -
ครูใหนกั เรียนจับคูทํา “ลองทาํ ดู” ในหนังสือ-
3441 เรยี น หนา 173 และแบบฝก ทกั ษะ 3.2 ค ขอ 5.-8.
ดงั นั้น r = 14 , n = 5 และ S5 = 3441 ในหนังสือเรียน หนา 174-175 แลวแลกเปล่ียน
ความรูกับคูของตนเอง สนทนาซักถามจนเปนท่ี
เขาใจรว มกัน จากน้ันครูสมุ นักเรยี นออกมาแสดง
วธิ ีทําบนกระดาน โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

ลองทาํ ดู รู้ (knowing)

อนุกรมเรขาคณติ อนกุ รมหน่ึงมี a1 = 12, a2 = 4 และ an = 2443 ฝกทําตอ ครูอธิบายตัวอยางที่ 31 ในหนังสือเรียน
ให้หา r, n และ Sn หนา 173 บนกระดาน แลวถามคําถามเพิ่มเติม
แบบฝกทกั ษะ 3.2 ค จากตวั อยา งท่ี 26 ดังนี้
ขอ 5-8

• ถาสายชลบริจาคเงินในปแ รก 5,000 และป
ตอ ๆไปจะบรจิ าคเพมิ่ ขนึ้ 20%ของปท ผ่ี า นมา
ตัวอยางที่ 31 จาํ นวนเงนิ ทสี่ ายชลบรจิ าคในแตล ะป เขยี น
แทนดว ยลาํ ดับเรขาคณิตไดอ ยางไร
สายชลบรจิ าคเงนิ เพอ่ื เปน ทนุ การศกึ ษาใหโ รงเรยี นแหง หนง่ึ ในทกุ ๆ ป โดยปแ รกบรจิ าคเปน เงนิ (แนวตอบ 5,000, 6,000, 7,200, …)
5,000 บาท และปต อ ๆ ไปจะบรจิ าคเพมิ่ ขึน้ 10% ของปท่ผี านมา ถาเขาบรจิ าคเงินครบ 20 ป • จ(แานกวลตาํอดบบั rเร=ขา56ค,,00ณ0000ติ ข=า ง56ต=น r จะมคี า เทา ใด
อยากทราบวา เขาจะบรจิ าคเงินใหโ รงเรียนน้เี ปนเงนิ ทั้งหมดกบ่ี าท 1.2)

วธิ ีทํา จ�านวนเงินที่สายชลบรจิ าคเงินในปแรก 5,000 บาท
จา� นวนเงินที่สายชลบริจาคเงนิ ในปที่สอง 5,000 + (5,000 × 10%) = 5,500 บาท
จา� นวนเงินทสี่ ายชลบรจิ าคเงนิ ในปทส่ี าม 5,500 + (5,500 × 10%) = 6,050 บาท • นักเรียนสามารถหาจํานวนเงินที่สายชล
จา� นวนเงินท่ีสายชลบริจาคในแตล่ ะปเขยี นแทนดว้ ยล�าดับเรขาคณิต ดงั นี้
5,000, 5,500, 6,050, … บรจิ าคในเวลา 5 ปแ รก ในขอ 1. ไดอ ยา งไร
(แนวตอบ S5 = 5,0001[.(21.-2)15 - 1] = 37,208)
จแาลกะ ล�าดบั เรขาคrณ ิต=ท ี่ไ55ด,,ม้5000 ี a001 == 11510,0=001, .1a2 = 5,500
เขา้ ใจ (Understanding)

หาจา� นวนเงินทง้ั หมดทีส่ ายชลบรจิ าคได้ในเวลา 20 ป 1. ครใู หนกั เรียนจับคทู ํา “ลองทําด”ู ในหนงั สอื -
a51,0(rr 0n-0 1-[1(.111.)1-)210 - 1] เรยี น หนา 174 และแบบฝก ทกั ษะ 3.2 ค ขอ 9.
จาก Sn = ในหนังสือเรียน หนา 174 แลวแลกเปล่ียน
จะได ้ S20 = ความรกู บั คูของตนเอง สนทนาซักถามจนเปน
ท่ีเขาใจรวมกัน จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมา
≈ 286,375 แสดงวธิ ที าํ บนกระดาน โดยครตู รวจสอบความ
ดังนน้ั เมื่อเวลาผา่ นไป 20 ป  สายชลจะบริจาคเงนิ ทั้งหมดประมาณ 286,375 บาท ถกู ตอง

ล�ำดับและอนุกรม 173 2. ครใู หน กั เรยี นทาํ Exercise 3.2 C เปน การบา น

กิจกรรม 21st Century Skills สื่อ Digital

ครใู หน กั เรียนแบง กลุม กลุม ละ 3-4 คน คละความสามารถทาง ครูอาจใหนกั เรยี นสืบคนความรูเพมิ่ เติมผา น www.youtube.com โดยใช
คณิตศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง) แลว ทํากิจกรรม ดงั นี้
คําสบื คนวา “อนุกรมเรขาคณิต” เชน https://www.youtube.com/watch?v=
• ใหน กั เรยี นแตละกลุมสบื คน ขอ มูลเพ่มิ เตมิ เรื่อง อนุกรม
เรขาคณิตในชวี ิตประจาํ วัน มากลุมละ 1 เร่อื ง M3UNXvuJ0r8

• ใหนักเรียนแตละกลุมนําขอมูลท่ีไดมาสรางเปนโจทยปญหา
พรอ มทัง้ แสดงวิธีทาํ อยางละเอียด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรือโปรแกรมนําเสนออน่ื ๆ ตามทีน่ กั เรยี นถนัด

T183

นาํ สอน สรุป ประเมิน

ขนั้ สอน ลองทาํ ดู

ลงมอื ทาํ (Doing) กา� พลตอ้ งการออมเงินไวจ้ า� นวนหน่ึง โดยเดอื นแรกออมไว ้ 1,000 บาท เดอื นท่สี องออมไว ้
1,500 บาท เดือนท่สี ามออมไว ้ 2,250 บาท และเขาออมเงนิ ไปเรื่อย ๆ ฝกทําตอ
ครูใหน ักเรียนแบง กลุม กลมุ ละ 3-4 คน คละ จนครบ 8 เดอื น อยากทราบว่าเขาจะออมเงินได้ทงั้ หมดกี่บาท
ความสามารถทางคณิตศาสตร แลวชวยกันทํา แบบฝกทกั ษะ 3.2 ค
แบบฝกทักษะ 3.2 ค ขอ 10. ในหนังสือเรียน ขอ 9
หนา 174 แลวเขียนแสดงวิธที ําลงในกระดาษ A4
จากนนั้ ใหต วั แทนแตล ะกลมุ ออกมานาํ เสนอวธิ ที าํ
บนกระดาน โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

ขนั้ สรปุ แบบฝกึ ทักษะ 3.2 ค

ครถู ามคําถามนกั เรยี น เพ่อื สรปุ ความรู เรื่อง ระดับพน้ื ฐำน
อนกุ รมเรขาคณติ ดงั น้ี
• อนกุ รมเรขาคณติ มคี วามหมายวาอยา งไร 1. ให้หำผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิต
1 + 5 + 25 + … + 5n - 1 + …
(แนวตอบ อนุกรมเรขาคณติ คอื อนกุ รมที่ได
จากลําดับเรขาคณิต และมีอัตราสวนรวม 2. ใหห้ ำผลบวก 12 พจน์แรกของอนกุ รมเรขำคณิต
4 + 12 + 36 + … + 4(3)n - 1 + …
ของลําดับเรขาคณิตเปนอัตราสวนรวมของ
อนกุ รมเรขาคณิตดว ย)
• n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิตมีสูตรวา 3. ใหห้ ำผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขำคณติ
อยา งไร 3 + 1 + 13 + … + 3 (31)n - 1 + …
(แนวตอบ
Sn = anrr - 1aa11(r,r r ≠ ≠1 เม่อื ทราบคา 4. ใหห้ ำผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนกุ รมเรขำคณติ ที่ก�ำหนดตอ่ ไปน้ี
a1, an, r หรือ - 1), r ≠ ≠ 1≠ 1) 8 + 4 + 2 + … + 614
Sn = n - 2) 13 + 39 + 117 + … + 3,159
1 25,04 0+1 1+0 3+4 32 ++ 4…9 ++ …622 5+ 3143
เมื่อทราบคา a1, r, n) - 3)
4)
ขนั้ ประเมนิ
5) 1 + (-3) + 9 + … + (-2,187)
1. ครูตรวจแบบฝกทักษะ 3.2 ค
2. ครตู รวจ Exercise 3.2 C ระดบั กลำง
3. ครูประเมนิ การนําเสนอผลงาน
4. ครูสงั เกตพฤตกิ รรมการทาํ งานรายบุคคล 5. อนุกรมเรขำคณติ 15 + 30 + 60 + … ตอ้ งบวกกนั ก่พี จนถ์ งึ จะได้ผลบวกเปน็ 1,905
5. ครสู งั เกตพฤติกรรมการทํางานกลุม
6. ครสู ังเกตความมีวินยั ใฝเรยี นรู 6. อนกุ รมเรขำคณติ 6 + (-18) + 54 + … ตอ้ งบวกกันกี่พจนถ์ ึงจะไดผ้ ลบวกเป็น -1,092
19
มุง ม่นั ในการทํางาน 7. อ นกุ รมเรขำคณติ อนกุ รมหนง่ึ มีพจนแ์ รกเป็น และพจน์ที่ 5 เทำ่ กับ 9 ให้หำผลบวก 8
พจน์แรกของอนกุ รมน้ี

174

แนวทางการวัดและประเมินผล ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
10 ถพา จอนนแกุ รรกมขเอรงขอานคกุณริตมมนี ีเ้ aท1า ก=ับข21อ แใดละ a10 = 256 แลวผลบวก
ครูสามารถวัดและประเมินพฤติกรรมการทํางานกลุม จากการทําแบบฝก 1. 511 2. 511.5 3. 512
ทกั ษะ 3.2 ค ขอ 10. ในขน้ั ลงมือทาํ โดยศึกษาเกณฑการวัดและประเมนิ ผล 4. 512.5 5. 513
จากแบบประเมินของแผนการจัดการเรยี นรใู นหนว ยการเรยี นรทู ี่ 3

แบบสงั เกตพฤตกิ รรมการทางานกลมุ่ (เฉลยคาํ ตอบ a10 = 256 และ a1 = 12
จากโจทย a10 =
คาชีแ้ จง : ให้ผสู้ อนสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรียนในระหว่างเรยี นและนอกเวลาเรียน แลว้ ขีด ลงในชอ่ งท่ตี รงกับ จะไดว า = a211rr910 - 1
ระดบั คะแนน 256

ลาดบั ชื่อ – สกุล การแสดง การยอมรับฟงั การทางาน ความมีนา้ ใจ การมี รวม
ท่ี ของนกั เรยี น ความคิดเหน็ คนอ่ืน ตามทไ่ี ด้รับ ส่วนร่วมใน 20
มอบหมาย การปรับปรุง คะแนน
ผลงานกล่มุ

43214321432143214321

เกณฑ์การใหค้ ะแนน ลงชอื่ ...................................................ผู้ประเมนิ r9 = 512
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤตกิ รรมอยา่ งสม่าเสมอ ............/................./................ r = a21(rr
S10 = n - 1)
ปฏิบัตหิ รอื แสดงพฤติกรรมบอ่ ยครง้ั ให้ 4 คะแนน 1
ปฏบิ ัติหรอื แสดงพฤติกรรมบางครงั้ ให้ 3 คะแนน -
ปฏิบตั ิหรือแสดงพฤติกรรมนอ้ ยคร้ัง ให้ 2 คะแนน
ให้ 1 คะแนน

เกณฑ์การตัดสินคณุ ภาพ

ช่วงคะแนน ระดบั คณุ ภาพ
18 - 20 ดมี าก
14 - 17 ดี
10 - 13 พอใช้
ตา่ กว่า 10 ปรับปรงุ

T184 = 12 (2210--11) = 1,0223 = 511.5
ดังน้นั คําตอบ คือ ขอ 2.)

นาํ นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

8. อนกุ รมเรขำคณติ อนกุ รมหนงึ่ มผี ลบวกสำมพจนแ์ รกเปน็ 14 และพจนท์ ่ี 5 มคี ำ่ เปน็ สเี่ ทำ่ ของ ขนั้ นาํ (Deductive Method)
พจนท์ ี่ 3 ให้หำผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมน ี้
กาํ หนดขอบเขตของปญ หา
9. น ิธศิ ต้องกำรออมเงนิ ไวจ้ ำ� นวนหนึ่ง โดยเดือนแรกออมไว้ 2,000 บำท และเดอื นตอ่ ๆ ไป
จะออมเงนิ เพ่ิมขนึ้ 5% ของเดือนทีผ่ ำ่ นมำ ถำ้ เขำออมเงินไปเร่อื ย ๆ จนครบ 1 ป ี ครูกลาววา การหาพจนทั่วไปของลําดับ คือ

อยำกทรำบว่ำเขำจะออมเงนิ ได้ทง้ั หมดกี่บำท การเขียนแสดงพจนทั่วไป an ในรูปท่ีมี n เปน

ร ะดบั ท้ำทำย ตวั แปร โดยทว่ั ไปนกั เรยี นตอ งสงั เกตความสมั พนั ธ
ของพจนตางๆ และความสัมพันธระหวางพจน
10. อ กแลนำ� หะกุ สนรอมดดเ รคaขล1ำ,้อ คงaณก2,ิตับ สaaม31, ก+…ำ รa 2เaa ป+34น็ ++aล 3�ำaa ด+56บั …เ=ร ขำ41ค ณแลิตะข อaง2จ ำ� =น ว8น จใรหงิ ้หบำวผกลทบ่ีมวี กr เป็นอัตรำสว่ นรว่ ม กับลําดับที่โจทยกําหนดให จากนั้นครูเขียนพจน
10 พจน์แรกของ ลําดับ 3, 5, 7, 9, 11 แลว สมุ ใหนกั เรยี นออกมา
แสดงความสมั พนั ธของพจนตา งๆ ดังน้ี
3.3 การหาพจนท์ วั่ ไปของลา� ดบั
a1 = 3 = 2 + 1 = 2(1) + 1
a2 = 5 = 2 + 2 + 1 = 2(2) + 1
a3 = 7 = 2 + 2 + 2 + 1 = 2(3) + 1
a4 = 9 = 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 2(4) + 1
a5 = 11 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 2(5) + 1
ดงั น้นั พจนท ั่วไป คือ an = 2n + 1

เมื่อ n∊{ 1, 2, 3, 4, 5 }

การหาพจน์ท่ัวไปของล�าดับ คือ การเขียนแสดงพจน์ทั่วไป an ในรูปท่ีมี n เป็นตัวแปร ขนั้ สอน
โดยทวั่ ไปนกั เรยี นตอ้ งสงั เกตความสมั พนั ธข์ องพจนต์ า่ ง ๆ และความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพจนก์ บั ลา� ดบั
ทีโ่ จทยก์ า� หนดให้ ดงั ตวั อย่างต่อไปน้ี แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ

ครใู หน กั เรียนศกึ ษาตวั อยา งท่ี 32 ในหนงั สอื -
ตัวอยา่ งที่ 32 เรียน หนา 175 แลว ครูอธิบายซา้ํ อกี ครั้ง เพอื่ ให

ใหห้ ำพจน์ทัว่ ไปของล�ำดับจำ� กดั ต่อไปนี้ 2) - 21 , 32 , - 43 , 45 , - 65 นักเรียนเขาใจมากย่ิงขึ้น พรอมท้ังยกตัวอยาง
เพมิ่ เติมแลว ถามคําถาม ดังน้ี
1) 1, 5, 9, 13, 17 • -1, 2, -3, 4, -5 แตล ะพจนมีความสัมพันธ

วธิ ที �ำ 1) พิจารณาความสมั พันธข์ องพจนแ์ ละล�าดบั ท่ขี องแตล่ ะพจน ์ กนั อยา งไร
จะได้ a1 = 1
a2 = 5 = 1 + 4 = 1 + 4(1) (แนวตอบ
a1 = -1 = [1 × (-1)] = 1 × (-1)1
a3 = 9 = 1 + 4 + 4 = 1 + 4(2) a2 = 2 = 2 × 1 = 2 × (-1)2
a4 = 13 = 1 + 4 + 4 + 4 = 1 + 4(3)
a5 = 17 = 1 + 4 + 4 + 4 + 4 = 1 + 4(4) a3 = -3 = [3 × (-1)] = 3 × (-1)3
ดงั นน้ั an = 1 + 4(n - 1) = 4n - 3 เมอ่ื n∊{ 1, 2, 3, 4, 5 } a4 = 4 = 4×1 = 4 (-1)4
a5 = -5 = [5 × (-1)] = 5 × (-1)5)
×

ล�ำดับและอนุกรม 175 • นักเรยี นสามารถเขยี นพจนทว่ั ไปของ
-1, 2, -3, 4, -5, … ไดอ ยา งไร
(แนวตอบ พจนท ่วั ไป คอื n × (-1)n)

กจิ กรรม สรา งเสรมิ เกร็ดแนะครู

ครใู หนักเรียนจบั คู แลว ชว ยกันหาพจนท่วั ไปของลําดบั ตอ ไปนี้ ในการหาพจนทั่วไปของลําดับครูควรทบทวนบทนิยามของลําดับ คือ
• 3, 8, 13, 18, … ฟงกชันท่ีมีโดเมนเปนเซตของจํานวนเต็มบวก หรือสับเซตของจํานวนเต็มบวก
• 5, 7, 9, 11, … ที่เรยี งจากนอยไปหามาก เรม่ิ ต้งั แต 1 โดยการเขยี นลําดบั จะเขียนเฉพาะเรนจ
• 5, 9, 13, 17, …
• 10, 6, 2, -2, … เรียงกนั ไป คือ a1, a2, a3, a4, ..., an
หมายเหตุ : ครูควรใหน กั เรียนเกงและนกั เรียนออนจับคูก ัน

T185

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน 2) พิจารณาความสมั พันธข์ องพจนแ์ ละล�าดับที่ของแต่ละพจน์
จะได ้ a1 = - 12 = - 1 +1 1 = (-1)1 (1 +1 1)
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ a2 = 23 = 2 +2 1 = (-1)2 (2 +2 1)

ครูใหนกั เรียนจับคูท ํา “ลองทาํ ด”ู ในหนังสือ- a3 = - 43 = - 3 +3 1 = (-1)3 (3 +3 1)
เรยี น หนา 176 และกจิ กรรม “Thinking Time”
แลวแลกเปลี่ยนความรูกับคูของตนเอง สนทนา a4 = 54 = 4 +4 1 = (-1)4 (4 +4 1)
ซักถามจนเปนท่ีเขาใจรวมกัน จากน้ันครูสุม
นักเรียนออกมาแสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครู a5 = - 65 = - 5 +5 1 = (-1)5 (5 +5 1)
และนักเรียนในช้ันเรียนรวมกันตรวจสอบความ
ถกู ตอง ดงั นัน้ an = (-1)n(n +n 1) เมือ่ n∊{ 1, 2, 3, 4, 5 }

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ ลองทาํ ดู

1. ครใู หน กั เรียนศกึ ษาตวั อยางที่ 33 ในหนงั สือ- ใหห้ าพจน์ทั่วไปของลา� ดับจ�ากัดตอ่ ไปนี้ ฝกทําตอ
เรียน หนา 176-177 จากน้ันครูอธิบายซ้ํา 1) 1, 4, 9, 16, 25 2) 1, 2 2 , 3 3 , 8, 5 5
อกี คร้ัง เพ่อื ใหน ักเรยี นเขาใจมากยง่ิ ขนึ้ แบบฝก ทักษะ 3.3
ขอ 1

Thinking Time

นักเรียนหาพจนท์ วั่ ไปของลา� ดับ 1, 2, 3, 5, 8, 13 ได้หรอื ไม ่ ถา้ ได้ใหแ้ สดงวิธกี ารหาคา� ตอบ

ตวั อยางที่ 33

เฉลย Thinking Time ให้หำพจน์ทัว่ ไปของลำ� ดับต่อไปน้ี 2) 2, 5, 10, 17, 26, …
1) 4, 10, 16, 22, 28, …
พิจารณาความสัมพันธของพจนและลําดับท่ี
ของแตล ะพจน วธิ ีท�ำ 1) พจิ ารณาความสมั พันธข์ องพจนแ์ ละลา� ดบั ท่ขี องแต่ละพจน์
จะได้ a1 = 4
จะได a1 = 1 a2 = 10 = 4 + 6 = 4 + 6(1)
a2 = 2 a3 = 16 = 4 + 6 + 6 = 4 + 6(2)
a3 = 3 = 1 + 2 = a1 + a2 a4 = 22 = 4 + 6 + 6 + 6 = 4 + 6(3)
a4 = 5 = 2 + 3 = a2 + a3 a5 = 28 = 4 + 6 + 6 + 6 + 6 = 4 + 6(4)
a5 = 8 = 3 + 5 = a3 + a4
a6 = 13 = 5 + 8 = a4 + a5 ︙

an = an - 2 + an - 1 an = 4 + 6(n - 1) = 6n - 2
ดังน้นั an = an - 2 + an - 1 ดงั นนั้ an = 6n - 2 เม่ือ n∊{ 1, 2, 3, … }

เมอื่ n∊{ 3, 4, 5, ... } 176

เกร็ดแนะครู กิจกรรม 21st Century Skills

ครูอาจยกตัวอยางเพิ่มเติมเพื่อใหนักเรียนเขาใจมากยิ่งข้ึน และเนนยํ้าวา ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ
ในการหาพจนทั่วไปของลําดับ ตองพิจารณาความสัมพันธของแตละพจน ทางคณิตศาสตร แลวทาํ กิจกรรม ดังน้ี
ถา พจนท่ีอยูถัดไปมีคา เพิม่ ข้ึนหรอื ลดลงทีละเทากันเปนคาคงที่ คือ คา ของ d
• ใหนกั เรียนแตละกลมุ สบื คนขอ มูลเพ่มิ เติม เร่ือง ลําดบั และ
แลวนําคา a1 และ d ไปแทนใน an = a1 + (n - 1)d ก็จะไดพจนท่ัวไป อนกุ รมในชวี ติ ประจาํ วนั มากลมุ ละ 1 เรอื่ ง เพอ่ื สรา งเปน โจทย
ของลาํ ดบั น้นั เชน 3, 7, 11, 15, … จากลําดบั ที่กําหนดให a1 = 3 และพจน ปญหา เชน นํ้าฝนเร่ิมทํางานในป พ.ศ. 2562 โดยไดรับ
ทอ่ี ยูถัดไปมคี าเพิม่ ขนึ้ ทลี ะ 4 ดังนนั้ d = 4 นําไปแทนใน an = a1 + (n - 1)d เงนิ เดอื น เดอื นละ 15,000 บาท และไดร ับเงนิ เดอื นเพิม่ ข้ึน
จะได an = 3 + (n - 1)4 = 3 + 4n - 4 = 4n - 1 ทกุ ป ปละ 500 บาท อยากทราบวาในป พ.ศ. 2567 น้ําฝน
จะไดรบั เงินเดือน เดอื นละเทาไร

• ใหนักเรียนนําโจทยปญหาท่ีสรางมาหาคําตอบ พรอมทั้ง
แสดงวธิ ีทําอยางละเอยี ด

• สง ตวั แทนกลมุ ออกมานาํ เสนอขอ มลู ผา นโปรแกรม Microsoft
PowerPoint หรอื โปรแกรมนาํ เสนออนื่ ๆ ตามทน่ี กั เรยี นถนดั

T186

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

2) พจิ ารณาความสัมพนั ธข องพจนและลําดับทขี่ องแตละพจน ขน้ั สอน
จะได a2 - a1 = 5 - 2 =3
a3 - a2 = 10 - 5 = 5 แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
a4 - a3 = 17 - 10 = 7
a5 - a4 = 26 - 17 = 9 2. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมแลวถามคําถาม เพ่ือ
ตรวจสอบความเขาใจของนกั เรยี น ดงั น้ี
an - an-1 = 2(n - 1) + 1 • 3, 8, 13, 18, ... แตล ะพจนมีความสัมพนั ธ
ดังนนั้ an - a1 = 3 + 5 + 7 + … + [ 2(n - 1) + 1 ] กันอยา งไร
มี n - 1 พจน (แนวตอบ
an - 2 = n 2- 1
[ 3 + 2(n - 1) + 1 ] a1 = 3
a2 = 8 = 3 + 5 = 3 + 5(1)
an = n2 + 1 a3 = 13 = 3 + 5 + 5 = 3 + 5(2)
a4 = 18 = 3 + 5 + 5 + 5 = 3 + 5(3))
ลองทาํ ดู ฝกทําตอ
• นักเรียนสามารถเขียนพจนท ัว่ ไปของ 3, 8,
ใหห าพจนท ว่ั ไปของลําดบั ตอไปน้ี แบบฝก ทักษะ 3.3 13, 18, … ไดอ ยางไร
1) 3, 10, 17, 24, 31, … ขอ 2-3
2) 0, 3, 8, 15, 24, … (แนวตอบ พจนทว่ั ไป คอื an = 3 + 5(n - 1)

จากตัวอยางท่ี 33 นกั เรยี นสามารถใชฟง กช นั พหุนามในการหาพจนทัว่ ไปได ดังน้ี เม่ือ n∊{ 1, 2, 3, … } )
4 10 16 22 28
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
+6 +6 +6 +6
ครูใหนักเรียนทํา “ลองทําดู” ในหนังสือเรียน
จากลําดับทก่ี ําหนดให พจนทอี่ ยถู ดั ไปมคี า เพิม่ ข้นึ ทลี ะ 6 ……➊ หนา 177 จากนั้นครูสุมนักเรียนออกมาแสดง
จะเห็นวา ผลตางคร้ังที่ 1 เปนคา คงตัว และมคี าเทา กับ 6 ……➋ วิธีทาํ บนกระดาน โดยครแู ละนกั เรียนในช้นั เรยี น
ใหพ จนทว่ั ไปอยูในรปู an = an + b รว มกนั ตรวจสอบความถูกตอง
แทน n = 1 จะได a1 = 4 = a + b ลําดับและอนุกรม 177
แทน n = 2 จะได a2 = 10 = 2a + b แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ
นํา ➋ - ➊ จะได a = 6
แทน a ใน ➊ ดวย 6 จะได b = -2 1. ครอู ธบิ ายเพมิ่ เตมิ จากตวั อยา งท่ี 33 ในหนงั สอื -
ดงั นัน้ an = 6n - 2 เรยี น หนา 177-178 วา นกั เรียนสามารถใช
ฟงกช ันพหนุ ามในการหาพจนท่ัวไปได

2. ครูยกตัวอยางเพ่ิมเติมของการหาพจนท่ัวไป
โดยใชฟ งกชนั พหนุ ามได ดงั น้ี
25, 50, 75, 100, ...
จากลําดับที่กําหนดให พจนท่ีอยูถัดไปมีคา
เพมิ่ ข้ึนทลี ะ 25 ใหพจนทั่วไปอยูในรปู

an = an + b โดยแทน n = 1 และ n = 2
แลวแกสมการ จะได a = 25 และ b = 0
ดงั นัน้ an = 25n

กจิ กรรม สรา งเสริม เกร็ดแนะครู

ครูใหนักเรยี นจบั คู แลวปฏบิ ตั ิตามข้ันตอนตอ ไปน้ี ครูอาจใหความรูเพ่ิมเติมกับนักเรียนวา am - an = (m - n)d เสมอ
จากลาํ ดบั เลขคณติ 5, 8, 11, 14, … จงหาคาตอ ไปน้ี
จากตัวอยา งที่ 33 ในหนงั สอื เรยี น 4, 10, 16, 22, 28, … จะได d = 6
• พจนท ั่วไปของลาํ ดบั น้ี
เชน a4 - a1 = (4 - 1)6 = 18
• คาของ a210 - a205 โดยใช am - an = (m - n)d a5 - a3 = (5 - 3)6 = 12
• คาของ a210 - a205 โดยใช an = a1 + (n - 1)d

หมายเหตุ : ครคู วรใหน กั เรยี นเกง และนักเรยี นออ นจบั คูก นั

T187

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขน้ั สอน และ 2 5 10 17 26

แสดงและอธบิ ายทฤษฎี หลกั การ +3 +5 +7 +9

3. ครถู ามคําถาม เพือ่ ตรวจสอบความเขาใจของ +2 +2 +2
นกั เรยี น ดงั นี้
3, 6, 11, 18, 27, … จากล�าดบั ทกี่ า� หนดให ้ จะเห็นว่า ผลตา่ งคร้งั ท่ ี 2 มคี ่าคงตัวเทา่ กบั 2
• จากลําดับที่กําหนดให ผลตางคร้ังท่ี 1 ใหพ้ จนท์ ั่วไปอยู่ในรูป an = an2 + bn + c
เปนคา คงตวั หรอื ไม อยางไร แทน n = 1 จะได ้ a1 = 2 = a + b + c ……➊
(แนวตอบ ไมเปนคาคงตัว เพราะพจนที่อยู แทน n = 2 จะได ้ a2 = 5 = 4a + 2b + c ……➋
ถดั ไปจะเพ่มิ ข้ึน 3, 5, 7, 9, … ตามลาํ ดับ) แทน n = 3 จะได้ a3 = 10 = 9a + 3b + c ……➌
• จากลําดับท่ีกําหนดให ผลตางครั้งท่ี 2 น�า ➋ - ➊ จะได้ 3 = 3a + b ……➍
เปนคาคงตวั หรือไม นา� ➌ - ➋ จะได้ 5 = 5a + b ……➎
(แนวตอบ เปนคาคงตวั คือ 2) นา� ➎ - ➍ จะได ้ 2 = 2a
• จากลําดับท่ีกําหนดให สามารถเขียนพจน a = 1

ท่วั ไปอยใู นรปู an = an2 + bn + c ได แทน a ใน ➍ ด้วย 1 จะได้ b = 0
แทน a และ b ใน ➊ ด้วย 1 และ 0 ตามลา� ดบั จะได ้ c = 1
อยา งไร ดังน้นั an = n2 + 1
(แนวตอบ ใหพ จนท ว่ั ไปอยูในรูป
Performance Task
an2 + bn + c โดยแทน n = 1, n = 2
และ n = 3 แลวแกส มการ จะได a = 1, การหาล�าดับบรรพบรุ ุษของผงึ้ เพศผู้ 1 ตวั สามารถหาได้จากแผนภาพ ดังน้ ี
b = 0 และ c = 2 ดงั นนั้ an = n2 + 2) โดยก�าหนด M แทนผ้งึ ตวั ผ ู้ และ F แทนผง้ึ ตวั เมีย
M รุ่นที่ 1
ใชท้ ฤษฎี หลกั การ
F รุ่นท่ี 2
1. ครใู หน กั เรยี นทาํ แบบฝก ทกั ษะ 3.3 ในหนงั สอื - MF รนุ่ ท ่ี 3
เรียน หนา 179 จากนน้ั ครสู มุ นักเรยี นออกมา
แสดงวิธีทําบนกระดาน โดยครูและนักเรียน
ในชนั้ เรียนรวมกนั ตรวจสอบความถกู ตอ ง

2. ครูใหนักเรียนทํา Exercise 3.3 เปนการบา น

FMF รุ่นท ี่ 4

ให้นักเรียนสืบค้นเรื่องล�ำดับบรรพบุรุษของผ้ึงเพ่ิมเติมจำกอินเทอร์เน็ตว่ำ บรรพบุรุษของผ้ึง
ในแตล่ ะรนุ่ มีควำมสมั พนั ธเ์ ปน็ ลำ� ดบั แบบใด จำกนนั้ เขยี นลำ� ดบั บรรพบรุ ษุ ของผึง้ ร่นุ ท ี่ 1 ถึงร่นุ ท ี่ 20

178

บูรณาการอาเซียน กิจกรรม ทา ทาย

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในหนวยการเรียนรูท่ี 3 ลําดับและ ครูใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน คละความสามารถ
อนกุ รม ครสู ามารถเชอื่ มโยงบรู ณาการความรกู บั กลมุ ประเทศอาเซยี นได โดยให ทางคณติ ศาสตร (ออน ปานกลาง และเกง ) ใหอ ยูใ หกลุมเดยี วกนั
นักเรียนสืบคนขอมูลท่ีแสดงใหเห็นถึงการนําลําดับและอนุกรมมาประยุกตใช
ที่เก่ียวของกับอาเซียน เชน ประเทศไทยผลิตขาวประมาณ 19 ลานตัน/ป แลวชวยกันพิจารณาวา ในกิจกรรม Performance Task ถา
ประเทศเวียดนามผลิตขาวประมาณ 28 ลานตัน/ป ถาประเทศไทยผลิตขาว
เพ่ิมข้ึนปละ 3 ลานตัน/ป ตองใชเวลากี่ปประเทศไทยจะผลิตขาวไดเทากับ บรรพบรุ ษุ ของผง้ึ ในรุนที่ 1 เปน ผงึ้ ตัวเมีย นักเรียนสามารถเขยี น
ประเทศเวยี ดนาม แผนภาพรุนท่ี 1 ถึงรุนที่ 5 และเขียนลําดับบรรพบุรุษของผึ้ง
รุนท่ี 1 ถงึ รนุ ท่ี 20 ไดอยางไร

T188

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

แบบฝกทกั ษะ 3.3 ขน้ั สรปุ

ระดบั พ้ืนฐาน 2) 1, 8, 27, 64, 125 ตรวจสอบและสรปุ
4) 0, 1, 3, 7, 15
1. ใหหาพจนท ัว่ ไปของลําดับจาํ กัดตอไปน้ี 2) 15, 8, 1, -6, -13, … ครใู หนักเรียนรว มกันสรุปความรู เรือ่ ง การหา
1) 1, 6, 11, 16, 21 4) 60, 50, 42, 36, 32, … พจนท ัว่ ไปของลําดบั ดงั นี้
3) 3 , 3, 3 3 , 9, 9 3
- การหาพจนทั่วไปของลําดับ คือ การเขียน
2. ใหห าพจนท ว่ั ไปของลาํ ดับตอ ไปน้ี
1) 7, 11, 15, 19, 23, … แสดงพจนทว่ั ไป an ในรปู ทม่ี ี n เปน ตวั แปร
3) 5, 8, 13, 20, 29, …
โดยท่ัวไปนักเรียนตองสังเกตความสัมพันธ
ระดบั กลาง ของพจนตางๆ และความสัมพันธระหวาง
พจนก บั ลําดับที่โจทยกําหนดให
3. ใหหาพจนทั่วไปของลาํ ดบั ตอ ไปนี้ 2) 24 , 94 , 184 , 1169 , 2342 , … - การหาพจนทั่วไปของลําดับโดยใชฟงกชัน
1) - 13 , 4961,, - 19 , -1181216,,-23141253,, … 4) 1, 35 , 15 , 1275 , 6295 , … พหนุ าม ดังน้ี
3) 23 , - 287 , … 1) ถาลําดับที่กําหนดใหมีผลตางครั้งที่ 1

ระดับทา ทาย เปนคาคงตัว ใหใชพจนทั่วไปอยูในรูป

4. ใหห าพจนท ว่ั ไปของลําดับ 7, 77, 777, 7,777, … an = an + b แลวทําการแทนคา n = 1

✓ Self-Check และ n = 2 ลงไปในสมการดังกลาว
หลังจากเรยี นจบหนว ยนแี้ ลว ใหนกั เรียนบอกสัญลกั ษณท ี่ตรงกับระดับความสามารถของตนเอง
จากนั้นแกสมการหาคา a และ b
ดี พอใช ควรปรับปรงุ
2) ถาลําดับที่กําหนดใหมีผลตางครั้งท่ี 2
1. สามารถหาพจนท วั่ ไปของลาํ ดบั ทก่ี าํ หนดได เปนคาคงตัว ใหใชพจนทั่วไปอยูในรูป
2. สามารถหาพจนท ั่วไปของลําดบั เลขคณติ และ
an = an2 + bn + c แลวทําการแทนคา
ลาํ ดับเรขาคณติ ได
3. สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตได n = 1, n = 2 และ n = 3 ลงไปในสมการ
4. สามารถหาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ ได
5. สามารถแกโจทยปญ หาเกีย่ วกับอนกุ รมเลขคณติ ได ดังกลาว จากนั้นแกสมการหาคา a, b
6. สามารถแกโจทยปญหาเกยี่ วกับอนุกรมเรขาคณติ ได
และ c
ลําดับและอนุกรม 179
ฝก ปฏบิ ตั ิ

ครใู หนกั เรยี นปฏิบตั ติ ามขน้ั ตอนตอ ไปน้ี
• ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 3-4 คน ทํา

กจิ กรรม Performance Task ในหนงั สอื เรยี น

หนา 173 หวั ขอ “การหาบรรพบรุ ุษของผงึ้
เพศผ”ู โดยสบื คน เพ่มิ เติมจากอนิ เทอรเน็ต
และชวยกันสรุปวาแตละรุนมีความสัมพันธ
เปนลําดับแบบใด จากน้ันเขียนลําดับของ
บรรพบุรษุ ของผ้งึ รุนที่ 1 ถงึ รุน ท่ี 20
• ใหนักเรียนสงตัวแทนออกมานําเสนอหนา
ชั้นเรียน โดยครูตรวจสอบความถกู ตอ ง

ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET 12 เกร็ดแนะครู
ถาพจนท ี่ 5 และพจนท ี่ 8 ของลาํ ดับเรขาคณิตเปน และ - 116
ตามลาํ ดับ แลวพจนท ี่ 4 มคี า เทากับเทา ใด ครูควรใหนักเรียนแตละคนทํา “Self-Check” ในหนังสือเรียน หนา 179
1. -1 2. - 12 3. - 14 4. 1 เพ่ือตรวจสอบความสามารถของตนเองในเร่ือง ลําดับและอนุกรม ถานักเรียน
- 11612 5. 3 ยังไมเขาใจในหัวขอใดครูควรอธิบายเพิ่มเติมในหัวขอนั้นๆ หรือใหนักเรียน
จับคูแ ลวรวมกนั อภปิ รายรายละเอยี ดในหวั ขอนั้นๆ เพ่ือใหเ ขาใจมากย่งิ ข้นึ
(เฉลยคําตอบ = a1r7 .....(1)
(1) ÷ (2) จะได = a1r4 .....(2) T189
แทนคา r = - 21 1281
r3 = -
r= -

ใน (2) จะได 21 4
12 =
a1 -

นน่ั คอื a4 = a1r3 a1 = 8 3 = -1
- 21
=8

ดังนน้ั คําตอบ คือ ขอ 1.)

นาํ สอน สรปุ ประเมนิ

ขนั้ สรปุ สรปุ แนวคดิ หลกั

ตรวจสอบและสรปุ ลาํ ดบั และอนกุ รม

ครูถามคําถามเพื่อสรุปความรูรวบยอดของ 1. ล �าดบั คือ ฟังก์ชันท่ีมีโดเม1นเปน็ เซตของจ�านวนเตม็ บวก หรือสบั เซ2ตของจ�านวนเต็มบว3ก
นกั เรียน ดังน้ี 2. ลา� ดับจ�ากัด คือ ฟงั ก์ชันที่มีโดเมนเป็นสบั เซตของจ�านวนเตม็ บวก
ล�าดบั อนนั ต ์ คอื ฟังก์ชันที่มีโดเมนเปน็ เซตของจา� นวนเต็มบวก
• ลําดับ มคี วามหมายวา อยา งไร 3. ล �าดับเลขคณิต คือ ล�าดับท่ีมีผลต่างของพจน์ที่ n + 1 กับพจน์ท่ี n เป็นค่าคงตัวเสมอ
(แนวตอบ ลาํ ดับ คือ ฟง กช ันท่มี โี ดเมนเปน
เซตของจํานวนเต็มบวก หรือสับเซตของ และเรียกผลตา่ งท่ีเปน็ ค่าคงตวั นน้ั ว่า “ผลต่างร่วม” เขียนแทนดว้ ย d
จํานวนเตม็ บวก) 4. พจนท์ ว่ั ไปหรอื พจนท์ ่ี n ของลา� ดับเลขคณติ

• ลําดบั เลขคณิต มีความหมายวาอยา งไร an = a1 + (n - 1)d
(แนวตอบ ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับที่มี
ผลตางของพจนท่ี n + 1 กับพจนท่ี n เมอื่ a1 คือ พจนท์ ่ี 1 ของล�าดบั เลขคณิต
เปนคา คงตวั เสมอ) d คอื ผลตา่ งรว่ มของลา� ดบั เลขคณิต
n คือ ล�าดับที่ n ของลา� ดบั เลขคณติ
• พจนทว่ั ไปของลําดบั เลขคณติ คืออะไร และ an คอื พจนท์ ่ี n หรือพจนท์ ว่ั ไปของล�าดับเลขคณติ
5. ล�าดับเรขาคณิต คอื ล�าดับทม่ี อี ัตราสว่ นของพจน์ท่ี n + 1 กบั พจนท์ ่ี n เป็นคา่ คงตวั เสมอ
(แนวตอบ an = a1 + (n - 1)d)
และเรยี กอัตราสว่ นที่เปน็ ค่าคงตวั น้ันว่า “อัตราสว่ นร่วม” เขยี นแทนดว้ ย r
• ลาํ ดับเรขาคณิต มีความหมายวา อยา งไร 6. พ จน์ท่วั ไปหรอื พจนท์ ี่ n ของล�าดับเรขาคณติ
(แนวตอบ ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับที่มี
อัตราสวนของพจนท่ี n + 1 กับพจนท่ี n an = a1 rn - 1
เปน คา คงตัวเสมอ)
เม่อื ar 1 คคือือ อพัตจรนา์ทส่ี ว่ 1น รขว่อมงขลอ�าดงลับา�เรดขับาเครขณาิตคณิต
• พจนท่วั ไปของลําดับเรขาคณติ คืออะไร

(แนวตอบ an = a1rn - 1)

• อนุกรม มคี วามหมายวา อยา งไร
(แนวตอบ อนกุ รม คือ ผลบวกของพจน

ทกุ พจนของลําดบั ทีแ่ สดงในรูป a1 + a2
+ a3 + ... + an + ...)

n คอื ล�าดบั ท่ ี n ของล�าดบั เรขาคณติ
และ an คอื พจน์ที ่ n หรือพจน์ทัว่ ไปของลา� ดบั เรขาคณิต
7. อนกุ รม คอื ผลบวกของพจนท์ กุ พจนข์ องลา� ดับทีแ่ สดงในรปู a1 + a2 + a3 + … + an + …
8. อนุกรมจ�ากดั คือ ผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของลา� ดับจา� กัดท่แี สดงในรูป
9. อa1น กุ+ร aม2จ า�+ก aดั 3 a+1 …+ a+2 +an a3 + … + an เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ ์ Σi=n1ai

180

นักเรียนควรรู ขอ สอบเนน การคดิ แนว O-NET
กําหนดใหพจนที่ 3 ของลําดับเลขคณิตมีคาเทากับ 19 และ
1 โดเมน (domain) เซตของสมาชิกตวั หนาของคอู นั ดบั ของความสัมพนั ธ พจนที่ 9 ของลําดับนี้มีคาเทากับ 61 แลวพจนแรกของลําดับนี้
มีคาตรงกบั ขอ ใด
2 สบั เซต (subset) เซต A เปนสับเซตของเซต B กต็ อเมื่อ สมาชกิ ทกุ ตัว
ของเซต A เปน สมาชกิ ของเซต B เขียนแทนดวยสัญลักษณ A B 1. 3 2. 4 3. 5 4. 6 5. 7
3 จาํ นวนเตม็ บวก (positive integer) จํานวนทอี่ ยูในเซต { 1, 2, 3, ... }
(เฉลยคาํ ตอบ .....(1)
T190 .....(2)
จากโจทย a3 = 19 และ a9 = 61
จะได 19 = a1 + 2d

61 = a1 + 8d

(2) - (1) จะได 42 = 6d
d=7

แทน d = 7 ใน (1) จะได

19 = a1 + 2(7)
a1 = 5

ดงั น้นั คาํ ตอบ คือ ขอ 3.)

นาํ สอน สรุป ประเมนิ

10. อนกุ รมอนนั ต์ a1 + a2 + a3 + … + an + … เขยี นแทนดว้ ยสญั ลักษณ ์ Σi=∞1 ai ขน้ั สรปุ
11. สมบัติของสญั ลักษณแ์ ทนการบวก Σ
ตรวจสอบและสรปุ
1) Σi=n1 c = nc เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั 2) Σi=n1 cai = c Σi=n1 ai เมอ่ื c เปน็ คา่ คงตวั
3) Σi=n1 (ai + bi) = Σi=n1 ai + Σi=n1 bi 4) Σi=n1 (ai - bi) = Σi=n1 ai - Σi=n1 bi ครูถามคําถามเพ่ือสรุปความรูรวบยอดของ
นกั เรียน ดังนี้
12. การคา� นวณผลบวก n พจน์แรก ในรูป Σi=n1 i, Σi=n1 i2, Σi=n1 i3
• อนุกรมจํากัด เขยี นแทนดว ยสัญลักษณใด
1) Σi=n1 i = n(n2+ 1) 2) Σi=n1 i2 = n(n + 1)6(2n + 1)
3) Σi=n1 i3 = [n(n2+ 1)]2 = (Σi=n1 i)2 • อ+(แนนaกุ วnตรเมอขบอยี นนอันแนตทกุ นรเมขดยีจว นํายกสแัดทัญนลaดัก1วษ+ยณสaัญ2Σi=n1ล+aกั iaษ)3ณ+ใด...
• อ(+แนนaกุ วnตร.มอ..บเลเขอขยีนคนุกณแรติ ทมอนมนดีคันว วยตาสม aญั ห1มล+ักายษaวณ2า+อΣi=∞ย1aา a3งiไ+)ร...
13. อนกุ รมเลขคณิต คือ อนุกรมทไี่ ด้จากล�าดับเลขคณิต
(แนวตอบ อนุกรมเลขคณติ คอื อนกุ รมที่ได
14. ผ ลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต จากลาํ ดับเลขคณติ )
• d ในอนุกรมเลขคณติ มคี วามหมายวา
Sn = n2n([a21a 21+ +an()n - 1)d] เมื่อทราบคา่ n, a1 และ an อยา งไร
หรือ Sn = เม่ือทราบค่า n, a1 และ d (แนวตอบ d คือ ผลตา งรว มของอนุกรม
เลขคณิต)
เมอ่ื a1 คอื พจน์ท ี่ 1 ของอนกุ รมเลขคณิต an คอื พจน์ท ่ี n ของอนกุ รมเลขคณิต • อนกุ รมเรขาคณติ มีความหมายวา อยางไร
n คอื จ�านวนพจนข์ องอนกุ รมเลขคณติ d คอื ผลต่างรว่ มของอนกุ รมเลขคณิต (แนวตอบ อนกุ รมเรขาคณิต คือ อนกุ รมท่ไี ด
และ Sn คอื ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ จากลําดับเรขาคณติ )
15. อนกุ รมเรขาคณติ คอื อนกุ รมท่ีไดจ้ ากล�าดบั เรขาคณติ • r ในอนุกรมเรขาคณิต มคี วามหมายวา
อยางไร
16. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ (แนวตอบ r คือ อตั ราสว นรว มของอนกุ รม
เรขาคณติ )
aa1n(rrrr n--- - 11a11) หหรรืออื aa111 (1 1- - - a- r nrrrn )
Sn = Sn = โดยที่ r ≠ 1 เม่ือทราบค่า n, a1 และ r
Sn = Sn = โดยท่ี r ≠ 1 เม่ือทราบค่า a1, r และ an

เม่ือ a1 คอื พจน์ท ี่ 1 ของอนกุ รมเรขาคณิต an คือ พจน์ท่ ี n ของอนุกรมเรขาคณติ
n คอื จ�านวนพจนข์ องอนุกรมเรขาคณติ r คอื อตั ราสว่ นรว่ มของอนกุ รมเรขาคณติ
และ Sn คอื ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

ล�ำดับและอนุกรม 181

ขอ สอบเนน การคิดแนว O-NET
กําหนดให Sn เปน ผลบวกของ n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณิต ซง่ึ มีอัตราสวนรวมเทากับ 2 ถา S10 - S8 = 32
แลวพจนท ่ี 9 ของอนุกรมนเ้ี ทา กบั ขอ ใด

1. 136 2. 230 3. 236 4. 332 5. 338

(เฉลยคําตอบ จากโจทย a1(2S2180- r=2 จะได a9 = a1r8
- 1S)8 = 32
a1(221-0 1- 1) - -1 = 32 = 214 28
= 22546
210a1 - 28a1 = 32
a1[210 - 28] = 32 a9 = 332
a1(768) = 32
a1 = 27134628 ดังน้ัน คําตอบ คือ ขอ 4.)

= T191