คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

แผนการจัดการเรยี นรู้ มุ่งเนน้ สมรรถนะอาชพี
รหสั วิชา 20901-1003

วชิ า คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์
หลกั สูตรประกาศนียบตั รวิชาชีพ (ปวช.) พทุ ธศกั ราช 2562

จัดทาโดย
นางสวุ ิมล อักษรกลาง

แผนกวชิ าเทคโนโลยีสารสนเทศ วิทยาลัยเทคนคิ สว่างแดนดิน
สานักงานคณะกรรมการการอาชวี ศกก ษา กระทรวงศกก ษาธิการ

แผนการจัดการเรยี นรู้ มุ่งเนน้ สมรรถนะอาชพี
รหสั วิชา 20901-1003

วชิ า คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์
หลกั สูตรประกาศนียบตั รวิชาชีพ (ปวช.) พทุ ธศกั ราช 2562

จัดทาโดย
นางสวุ ิมล อักษรกลาง

แผนกวชิ าเทคโนโลยีสารสนเทศ วิทยาลัยเทคนคิ สว่างแดนดิน
สานักงานคณะกรรมการการอาชวี ศกก ษา กระทรวงศกก ษาธิการ

แบบคาขออนุมตั ิใช้แผนจัดการเรยี นรู้
มุ่งเนน้ สมรรถนะอาชีพ

รหัส 20901-1003 วิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

ลงช่อื ..............................................
(นางสุวิมล อกั ษรกลาง)
ตาแหน่ง ครู ค.ศ.2
ผู้จดั ทา

ความเห็นหัวหนา้ แผนกวิชาเทคโนโลยีสารสนเทศ ความเหน็ หัวหน้างานพัฒนาหลักสตู ร

ลงชอื่ ............................................ ลงช่ือ.........................................
(นางสุกัญญา ดนัยสวสั ด)์ิ (นายคมุ ดวง พรมอนิ ทร)์

ตาแหนง่ หวั หน้าแผนกวชิ าเทคโนโลยสี ารสนเทศ หวั หน้างานพฒั นาหลักสตู รการเรยี นการสอน

ความเหน็ รองผู้อานวยการฝ่ายวิชาการ

ลงชื่อ........................................
(นายทนิ กร พรหมอินทร)์
รองผอู้ านวยการฝา่ ยวชิ าการ

อนุมัติ ไมอ่ นุมตั ิ

ลงชอ่ื ....................................
(นางวรรณภา พ่วงกลุ )

ผูอ้ านวยการวิทยาลยั เทคนิคสวา่ งแดนดิน

คานา

เอกสารประกอบการสอนเล่มน้ี จัดทาขนึ้ โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อเปน็ เอกสารประกอบการสอน
วิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัสวิชา 20901-1003 ตามหลักสูตรประกาศนียบัตรวิชาชีพ (ปวช.)
พทุ ธศักราช 2562 สานักงานคณะกรรมการการอาชีวศกึ ษา กระทรวงศึกษาธิการ ซึ่งไดม้ ีการวเิ คราะห์
สาระการเรยี นรู้ให้สอดคลอ้ งกบั จดุ ประสงค์รายวชิ า สมรรถนะรายวิชาและคาอธิบายรายวชิ า

เน้ือหาสาระการเรียนรู้ภายในเอกสารประกอบการสอนนี้ ของสานักงานคณะกรรมการการ
อาชีวศึกษา โดยจัดการเรียนการสอนท้ังหมด 18 สัปดาห์ สัปดาห์ละ 2 ช่ัวโมง เน้ือหาภายในแบ่ง
ออกเป็น 6 หน่วย คือระบบจานวน คอมพิวเตอร์กับเลขฐาน ระบบเลขฐาน เมตริกซ์ พีชคณิตบูลีน
ตรรกศาสตร์ เปน็ ตน้

หวังเป็นอย่างย่ิงว่าเอกสารประกอบการสอนวิชาคอมพิวเตอร์และเทคโนโลยีสารสนเทศเพื่อ
งานอาชีพ ที่ผู้เรียบเรียงจัดทาข้ึน จะเป็นประโยชน์ต่อครูผู้สอน ในวิชาน้ีและนาไปเป็นแบบอย่างใน
การจดั ทาวิชาอ่ืนต่อไป หากมีข้อเสนอแนะใด ๆ ผเู้ รียบเรยี งน้อมรบั ด้วยความยนิ ดอี ยา่ งย่งิ

ลงช่ือ........................................
(นางสุวิมล อักษรกลาง)
ครผู ้สู อน

สารบัญ หนา้
ก
เรื่อง ข
คานา ค
สารบัญ ง
รายละเอียดของหลักสูตรรายวิชา
ตารางท่ี 1 วิเคราะห์หลกั สตู รและระดับความสาคัญของหน่วยการเรยี นรแู้ ละเวลา จ
จัดการเรียนรู้ ฉ
ตารางที่ 2 วิเคราะหห์ น่วยการเรียนรู้และเวลาท่ใี ช้ในการจัดการเรียนรู้ ช
ตารางท่ี 3 วเิ คราะห์หวั ข้อการเรยี นรแู้ ละเวลาทีใ่ ช้ในการจัดการเรยี นรู้
ตารางท่ี 4 รายการหน่วย ชือ่ หน่วย และสมรรถนะประจาหนว่ ย 1
แผนการจดั การเรียนรู้ 38
65
หน่วยที่ 1 เรื่อง ระบบจานวน 108
หน่วยที่ 2 เรอื่ ง คอมพวิ เตอรก์ ับเลขฐาน 167
หนว่ ยที่ 3 เรอ่ื ง ระบบเลขฐาน 197
หนว่ ยที่ 4 เรอื่ ง เมตรกิ ซ์
หน่วยท่ี 5 เรื่อง พชี คณติ บลู ีน
หนว่ ยท่ี 6 เรื่อง ตรรกศาสตร์
บรรณานุกรม

ค

รายละเอียดของหลกั สตู รรายวิชา

หลกั สตู ร ประกาศนยี บตั รวชิ าชพี พุทธศักราช 2562 ประเภทวชิ า เทคโนโลยีสารสนเทศและการส่อื สาร

รหสั วิชา 20901-1003 ชื่อวิชา คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์

ทฤษฎี 1 ชว่ั โมง/สปั ดาห์ ปฏิบตั ิ 1 ช่ัวโมง/สัปดาห์ จานวน 2 หนว่ ยกิต

จดุ ประสงค์รายวชิ า เพื่อให้
1. เข้าใจเกยี่ วกับคณติ ศาสตร์สาหรับการทางานของเครือ่ งคอมพิวเตอร์
2. สามารถคานวณทางคณิตศาสตรค์ อมพวิ เตอร์
3. มีคุณธรรม จรยิ ธรรม และเจตคตทิ ี่ดีในการใช้คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์

สมรรถนะรายวิชา
แสดงความรู้เกย่ี วกับคณิตศาสตร์สาหรบั การทางานของเครื่องคอมพิวเตอร์

คาํ อธิบายรายวชิ า
ศึกษาเก่ียวกบั วิวฒั นาการของระบบจานวนและความสัมพันธร์ ะหว่างคณติ ศาสตรก์ บั การ

ทางานของเคร่ืองคอมพวิ เตอร์ ระบบเลขฐาน ตรรกศาสตร์เบอ้ื งต้น พีชคณติ บลู นี ทฤษฎีเมตริกซ์

ง

ตารางที่ 1 วเิ คราะห์หลกั สตู รและระดับความสาํ คญั ของหน่วยการเรียนรู้และเวลาจดั การเรยี นรู้
รหัสวชิ า 20901-1003 ช่ือวิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

ทฤษฎี 1 ช่วั โมง/สัปดาห์ ปฏิบัติ 1 ช่วั โมง/สัปดาห์ จานวน 2 หน่วยกติ

พุทธพิ ิสยั (%) ทักษะ จติ รวม ลาํ ดับ

พฤตกิ รรม พสิ ัย พิสยั ความ
ชื่อหนว่ ย
ความ ํจา (%) (%) สาํ คญั
ความเข้าใจ
นําไปใช้
ิวเคราะห์
ัสงเคราะห์
ประเมินค่า

1. ระบบจานวน 10 10 10 10 10 10 20 20 5
2. คอมพวิ เตอร์กบั เลขฐาน 8 8 5 - - - 10 15 46 6
3. ระบบเลขฐาน 1
4. เมตริกซ์ 7 8 5 - - - 10 15 45 2
5. พีชคณิตบลู นี 3
6. ตรรกศาสตร์ 9 10 10 10 - - 20 20 79 4

รวม 9 8 10 10 - - 20 15 77
ลําดับความสาํ คัญ
9 8 10 15 - - 20 20 72

9 8 10 5 - - 20 15 67

50 50 60 40 100 100
3324 11

กาํ หนดน้าํ หนกั ความสาํ คญั ของแต่ละพฤตกิ รรม ช่องละ 10 คะแนนโดยมรี ะดับความสําคัญ ดังนี้

สาคัญทส่ี ุด 9 – 10 คะแนน

สาคัญมาก 7 – 8 คะแนน

สาคญั ปานกลาง 4 – 6 คะแนน

สาคัญนอ้ ย 2 – 3 คะแนน

ไมส่ าคญั / สาคัญน้อยที่สดุ 0 – 1 คะแนน

จ

ตารางวิเคราะหห์ ลักสตู ร
ตารางท่ี 2 การวิเคราะห์หน่วยการเรียนรู้และเวลาทใ่ี ช้ในการจัดการเรียนรู้

รหสั วชิ า 20901-1003 ชอื่ วชิ า คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์
ทฤษฎี 1 ช่วั โมง/สัปดาห์ ปฏิบัติ 1 ชั่วโมง/สปั ดาห์ จานวน 2 หนว่ ยกิต

หนว่ ยที่ ช่อื หน่วยการเรยี นรู้ สัปดาหท์ ี่ ช่ัวโมงท่ี
1 1-2
1 ระบบจานวน 2 3-4
3 5-8
2 คอมพวิ เตอร์กบั เลขฐาน 4 9-12
5 13-15
3 ระบบเลขฐาน 6 16-18
18 36
4 เมตรกิ ซ์

5 พีชคณติ บลู ีน

6 ตรรกศาสตร์

รวม

ฉ

ตารางท่ี 3 การวเิ คราะห์หัวข้อการเรยี นรู้ของแตล่ ะหน่วยการเรยี นรู้และเวลาจัดการเรยี นรู้
รหสั วชิ า 20901 – 1003 ชอื่ วิชา คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์

ทฤษฎี 1 ชั่วโมง/สปั ดาห์ ปฏิบัติ 1 ช่วั โมง/สัปดาห์ จานวน 2 หนว่ ยกติ

สปั ดาห์ หน่วย ช่ือหน่วยการเรยี นร/ู้ หัวขอ้ การเรียนรู้ เวลาจัดการเรยี นรู้
ท่ี ท่ี ทฤษฎี ปฏบิ ตั ิ รวม

1 1 ระบบจานวน (ชม.)
2 2 ระบบจานวน 1 12
3 2 คอมพิวเตอร์กบั เลขฐาน 1 12
4 3 คอมพวิ เตอร์กับเลขฐาน 1 12
5 4 ระบบเลขฐาน 1 12
6 4 ระบบเลขฐาน 1 12
7 5 ระบบเลขฐาน 1 12
8 5 ระบบเลขฐาน 1 12
9 5 เมตริกซ์ 1 12
10 6 เมตริกซ์ 1 12
11 6 เมตรกิ ซ์ 1 12
12 7 เมตรกิ ซ์ 1 12
13 8 พีชคณิตบูลีน 1 12
14 8 พีชคณติ บลู นี 1 12
15 8 พชี คณิตบลู นี 1 12
16 9 ตรรกศาสตร์ 1 12
17 10 ตรรกศาสตร์ 1 12
18 11 ตรรกศาสตร์ 1 12
1 12
รวม 18 18 36

ช

ตารางรายการหนว่ ย ช่ือหน่วย และสมรรถนะประจําหน่วย

ชื่อเร่อื ง สมรรถนะและจุดประสงค์เชิงพฤติกรรม

หนว่ ยท่ี 1 ระบบจาํ นวน สมรรถนะ:
แปลงเศษส่วนและทศนิยม, เลขมีหลัก และไม่มีหลัก,

เลขฐานวิทยาศาสตร์ และสามารถประยกุ ต์ใช้ในการดารงชวี ิต

จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรม
ดา้ นความรู้
1. อธบิ ายวิวัฒนาการของระบบจานวนได้
2. เปรยี บเทียบจานวน และตัวเลขได้
3. วิเคราะห์โครงสร้างระบบจานวนได้
4. แยกแยะเลขจานวนเต็มได้
5. จดจาความสมั พนั ธ์ของระบบจานวนได้

ด้านทกั ษะ
6. แปลงเศษสว่ นและทศนิยม, เลขมหี ลัก และไมม่ หี ลกั ,

เลขฐานวิทยาศาสตร์ได้
7. ประยุกตใ์ ชใ้ นการดารงชีวิตให้เหมาะสม

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง
8. การเตรียมความพรอ้ มดา้ นการเตรียม วสั ดุ อปุ กรณ์

นักศึกษาจะต้องกระจายงานได้ทว่ั ถงึ และตรงตาม
ความสามารถของสมาชิกทุกคน มีการจดั เตรยี มสถานที่
ส่อื วัสดุ อปุ กรณไ์ ว้อยา่ งพร้อมเพรียงความมีเหตมุ ีผลใน
การปฏบิ ัตงิ าน ตามหลักปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง
นกั ศึกษาจะต้องมีการใชเ้ ทคนิคทีแ่ ปลกใหมใ่ ช้ส่อื และ
เทคโนโลยีประกอบการ นาเสนอทน่ี า่ สนใจนาวสั ดุใน
ท้องถิ่นมาประยุกต์ใช้ อย่างคุ้มคา่ และประหยดั

ซ

ตารางรายการหน่วย ช่ือหน่วย และสมรรถนะประจาํ หน่วย

ช่อื เรอ่ื ง สมรรถนะและจดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม

หนว่ ยที่ 2 คอมพวิ เตอรก์ ับเลขฐาน สมรรถนะ:
1. เขยี นสัญลกั ษณ์ท่ีใช้เปน็ รหัสในระบบคอมพิวเตอร์

จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม:
ด้านความรู้

1. อธิบายระบบเลขฐานทใี่ ช้ในคอมพวิ เตอร์ได้
2. ยกตัวอย่างสมาชิกของเลขจานวนทีอ่ ยใู่ นระบบเลข

ฐานใดๆ ได้
3. แสดงความสาคัญในการนาระบบเลขฐานไปใช้ใน

ระบบคอมพิวเตอร์ได้
ด้านทักษะ

4. เขียนสญั ลกั ษณ์ทใี่ ชเ้ ป็นรหัสในระบบคอมพิวเตอร์ได้
5. นาหลักการของระบบของเลขฐานไปประยุกตใ์ ชเ้ กิด

ประโยชนไ์ ด้

ดา้ นคุณธรรม จริยธรรม/บรู ณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง
6. ฝกึ ความมีระเบยี บวินัยทุกขั้นตอน ตง้ั แต่กอ่ นเข้าเรียน
และการปฏบิ ตั ิกจิ กรรมต่าง ๆ
7. ฝึกความมีมนุษยสัมพนั ธ์กับเพื่อนในห้องเรียนโดยใช้
หลกั ความมเี หตุ และผลตามหลกั ปรชั ญาของ
เศรษฐกจิ พอเพียง

ฌ

ตารางรายการหนว่ ย ชื่อหน่วย และสมรรถนะประจาํ หน่วย

ชอ่ื เร่อื ง สมรรถนะและจุดประสงค์เชิงพฤติกรรม

หนว่ ยท่ี 3 ระบบเลขฐาน สมรรถนะ:
1. แปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม:
ดา้ นความรู้

1. อธบิ ายการแปลงระบบเลขฐานได้
2. เปล่ียนแปลงเลขฐานต่างๆ เปน็ เลขฐานสบิ ได้
ดา้ นทักษะ
3. แปลงเลขฐานสบิ ให้เปน็ เลขฐานตา่ งได้
4. เปลีย่ นเลขฐานสบิ ทเ่ี ปน็ ทศนิยมเป็นฐานตา่ งๆ ได้
5. บวกและการลบเลขฐานได้
6. คูณและการหารเลขฐานได้
7. แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้
8. แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและฐานสบิ หกได้
9. แปลงระหว่างเลขฐานแปดและฐานสบิ หกได้

ดา้ นคุณธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง
10. ปฏบิ ัตงานโดยใชห้ ลกั ความมีเหตุ และผลในการ
ตัดสนิ ใจ
11. มคี วามซื่อสัตย์ กับเพื่อนรว่ มงาน

ญ

ตารางรายการหน่วย ชื่อหน่วย และสมรรถนะประจาํ หน่วย

ชอ่ื เร่อื ง สมรรถนะและจุดประสงค์เชิงพฤตกิ รรม

หนว่ ยที่ 4 เมตริกซ์ สมรรถนะ:
1. บวก ลบ คณู เมตริกซ์ และหาค่าตัวแปรในสมการ
เชิงเส้นโดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนท์

จดุ ประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม:
ดา้ นความรู้

1. อธบิ ายความหมายของเมตริกซ์ได้
2. ยกตัวอยา่ งขนาดของเมตริกซ์ได้
3. แยกแยะชนิดของเมตริกซไ์ ด้
4. วเิ คราะห์การเทา่ กนั ของเมตริกซ์ได้

ดา้ นทกั ษะ
5. เขียนสัญลักษณ์ของเมตริกซไ์ ด้
6. บวกเมตริกซ์ได้
7. ลบเมตริกซ์ได้
8. คูณด้วยคา่ คงที่กบั เมตริกซ์ได้
9. คูณเมตริกซก์ บั เมตริกซไ์ ด้
10. หาค่าตวั แปรในสมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มแิ นนทไ์ ด้

ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง
11. ฝกึ ความมีน้าใจกบั เพือ่ นในห้องเรยี นตัง้ แตเ่ ริ่มเข้า
เรยี นตลอดจนการปฎบิ ัติกจิ กรรมตา่ ง ๆ
12. ฝกึ การตรงต่อเวลาตงั้ แตเ่ ร่ิมเรยี นจนกระท่งั ปฎบิ ัติ
กจิ กรรมจนเสร็จทุกกจิ กรรม

ฎ

ตารางรายการหนว่ ย ช่ือหน่วย และสมรรถนะประจาํ หน่วย

ชื่อเรอ่ื ง สมรรถนะและจดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม

หนว่ ยท่ี 5 พีชคณติ บูลีน สมรรถนะ :
1. เขยี นวงจรเกตและวงจรลอจกิ

จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม
ดา้ นความรู้

1. อธิบายคณุ สมบตั ิและทฤษฏีของพชี คณิตบลู ีนได้

ด้านทกั ษะ
2. หาค่าฟงั ก์ชันของพีชคณิตโดยใชค้ ณุ สมบัตแิ ละทฤษฎี
ได้
3. หาค่าฟงั กช์ ันของพีชคณิตโดยใช้ตารางค่าความจรงิ ได้
4. เขียนสญั ลักษณ์ของเกตชนดิ ต่างๆ ได้
5. เขียนวงจรเกตเม่ือกาหนดนิพจน์ของวงจรลอจิกได้
6. เขียนนพิ จน์ของวงจรลอจิกได้เมือ่ กาหนดวงจรเกตได้

ด้านคณุ ธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง
7. เตรียมความพร้อมดา้ น วสั ดุ อปุ กรณ์สอดคล้องกบั งาน

และมีน้าใจ กบั เพ่ือนร่วมงาน
8. ปฏบิ ตั ิงานได้อย่างถูกต้อง และมรี ะเบยี บวนิ ยั โดยใชเ้ หตุ

และผลตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง

ฏ

ตารางรายการหนว่ ย ช่ือหน่วย และสมรรถนะประจาํ หน่วย

ชอื่ เรอ่ื ง สมรรถนะและจดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม

หนว่ ยที่ 6 ตรรกศาสตร์ สมรรถนะ:
1. เชื่อมประพจนแ์ ละหาค่าความจรงิ ของประพจน์

จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม:
ด้านความรู้

1. อธิบายความหมายของประพจน์ได้
2. เปรยี บเทียบสจั นิรนั ดรแ์ ละความขัดแย้งได้
3. ยกตวั อยา่ งประพจน์ท่สี มมลู กันได้
4. วเิ คราะห์ค่าความจริงของประพจนไ์ ด้

ด้านทกั ษะ
5. เชื่อมประพจน์ได้
6. หาคา่ ความจรงิ ของประพจนไ์ ด้

ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม/บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง
7. กาหนดให้ทุกคนเข้าเรียน เลิกเรียนตรงเวลาและ
ปฏิบัติงานเสร็จทันตามกาหนดเวลา(ด้านคุณธรรม
จริยธรรม/บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง)
8. มกี ารนาภมู ิปัญญาท้องถ่นิ มาให้ความรู้ และคาปรกึ ษา
เกี่ยวกบั เร่ือง ตรรกศาสตร(์ ด้านคุณธรรม จริยธรรม/
บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพียง)

1

แผนการสอน/การเรียนรู้ภาคทฤษฎี หนว่ ยที่ 1

ช่ือวชิ า คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ สอนสัปดาห์ที่ 1-2
(Computer Mathematics)

ช่อื หน่วย ระบบจานวน คาบรวม 4

ช่ือเรอ่ื ง ระบบจานวน จานวนคาบ 4

หวั ข้อเรอื่ ง

ดา้ นความรู้
1. วิวัฒนาการของระบบจานวน
2. จานวน และตัวเลข
3. โครงสร้างระบบจานวน
4. เลขจานวนเต็ม
5. เลขมหี ลัก และไมม่ ีหลัก
6. เลขฐานวทิ ยาศาสตร์
7. คุณสมบัติพนื้ ฐานของระบบจานวนจรงิ
8. ความสมั พันธใ์ นระบบจานวนจริง
ดา้ นทักษะ
9. เศษสว่ นและทศนยิ ม

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม
10. การเตรียมความพร้อมด้านการเตรยี ม วัสดุ อุปกรณน์ ักศึกษาจะต้องกระจายงานได้ทั่วถึง และตรงตาม

ความสามารถของสมาชิกทกุ คน มีการจดั เตรียมสถานท่ี สื่อ วสั ดุ อปุ กรณไ์ ว้อย่างพรอ้ มเพรยี ง
11. ความมีเหตุมีผลในการปฏิบัติงาน ตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง นักศึกษาจะต้องมีการใช้

เทคนิคที่แปลกใหม่ใช้สื่อและเทคโนโลยีประกอบการ นาเสนอท่ีน่าสนใจนาวัสดุในท้องถิ่นมา
ประยุกตใ์ ช้ อย่างคมุ้ คา่ และประหยดั

สาระสาคัญ

มนุษยม์ ีแนวคดิ เกี่ยวกบั การใชจ้ านวนและตัวเลขต้ังแตส่ มัยโบราณ โดยเร่มิ รู้จกั การนบั (Counting)
และพยายามคิดคน้ และพฒั นาเครื่องมอื ทชี่ ่วยในการคิดคานวณเป็นลาดับเรอื่ ยมา ต้งั แต่การใชน้ ้ิวมอื ก้อนหิน ก่ิง
ไม้ รอยขีด เป็นตน้ เม่ือสังคมได้พฒั นามากขนึ้ มนุษย์รู้จกั การเลย้ี งสัตว์ เพาะปลกู แลกเปลีย่ นสงิ่ ของ และ
ค้าขาย การคานวณยิง่ มีความสาคญั และความจาเปน็ สาหรบั การดารงชีวิตเปน็ ลาดบั

2

สมรรถนะอาชีพประจาหนว่ ย

- แปลงเศษส่วนและทศนยิ ม, เลขมีหลัก และไมม่ หี ลัก, เลขฐานวทิ ยาศาสตร์ และสามารถประยุกตใ์ ช้
ในการดารงชวี ติ

คาศัพท์สาคัญ

1. จานวน (Number) หมายถงึ ตัวบ่งชีป้ รมิ าณ ซ่งึ เป็นผลมาจากตวั เลข (Numeral) ประกอบกัน
2. ตัวเลข (Numeral) หมายถึง ส่อื หรือสญั ลักษณแ์ ทนการนบั จานวน
3. เศษส่วน (Fraction) หมายถงึ จานวนที่เขยี นอยู่ในรูป "A" /"B" โดยท่ี A เปน็ จานวนเตม็ บวกหรือศูนย์

และ B จะตอ้ งไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ เช่น "3" /"2" เป็นตน้
4. ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ตัวเลขเพ่ือแทนจานวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปจานวนเต็ม ซึ่งอาจเป็น

ทศนยิ มล้วน เชน่ 0.5 หรอื 0.75 โดยทศนยิ มอาจมีจานวนเตม็ อยู่ด้วย เช่น 2.5 หรือ 4.725 เป็นตน้

จุดประสงคก์ ารสอน/การเรียนรู้

 จดุ ประสงค์ท่ัวไป / บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพยี ง

1. เพ่ือใหม้ ีความรเู้ กี่ยวกับระบบจานวน(ด้านความร)ู้
2. เพ่ือให้มีทักษะในการแปลงเศษส่วนและทศนิยม, เลขมีหลัก และไม่มีหลัก, เลขฐานวิทยาศาสตร์ และสามารถ

ประยกุ ตใ์ ชใ้ นการดารงชีวติ (ด้านทักษะ)
3. เพ่ือให้มีเจตคติทดี่ ีต่อการเตรียมความพรอ้ มด้าน วัสดุ อุปกรณ์ และการปฏิบัตงิ านอย่างถูกต้อง สาเร็จ

ภายในเวลาทีก่ าหนด มีเหตุและผลตามหลกั ปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพียง (ด้านคุณธรรม จรยิ ธรรม)

 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม / บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพียง

1. อธิบายววิ ัฒนาการของระบบจานวนได้ (ด้านความรู้)
2. เปรยี บเทียบจานวน และตัวเลขได้ (ดา้ นความรู้)
3. วเิ คราะห์โครงสรา้ งระบบจานวนได้ (ดา้ นความรู้)
4. แยกแยะเลขจานวนเตม็ ได้ (ดา้ นความรู้)
5. จดจาความสัมพันธ์ของระบบจานวนได้ (ดา้ นความรู้)
6. แปลงเศษสว่ นและทศนยิ ม, เลขมีหลัก และไม่มหี ลัก, เลขฐานวิทยาศาสตร์ได้ (ด้านทักษะ)
7. ประยุกตใ์ ชใ้ นการดารงชีวิตให้เหมาะสม (ดา้ นทกั ษะ)
8. การเตรยี มความพร้อมดา้ นการเตรียม วัสดุ อปุ กรณ์นักศึกษาจะต้องกระจายงานได้ทว่ั ถึง และตรงตาม

ความสามารถของสมาชกิ ทุกคน มกี ารจดั เตรียมสถานที่ ส่ือ วัสดุ อปุ กรณ์ไว้อย่างพร้อมเพรียง(ด้าน
คุณธรรม จริยธรรม/บูรณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง)

3

9. ความมีเหตุมผี ลในการปฏิบตั ิงาน ตามหลักปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง นกั ศึกษาจะต้องมีการใช้
เทคนิคทีแ่ ปลกใหมใ่ ช้ส่อื และเทคโนโลยีประกอบการนาเสนอที่นา่ สนใจนาวสั ดใุ นท้องถน่ิ มาประยุกตใ์ ช้ อย่าง
คมุ้ คา่ และประหยัด (ดา้ นคุณธรรม จรยิ ธรรม/บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง)

เน้อื หาสาระการสอน/การเรียนรู้

• ดา้ นความรู้(ทฤษฎ)ี

1. วิวัฒนาการของระบบจานวน
1.1 ความคิดทางคณติ ศาสตร์ยคุ บาบโิ ลเนีย
ชีวิตความเป็นอยู่ของมนุษย์อยู่กับธรรมชาติ เม่ือธรรมชาติเปล่ียนแปลงไป การเฝ้าสังเกตเห็นการ

เปลี่ยนแปลงตามหลักความจริงต่าง ๆ ทาให้เกิดความรู้ เช่น เมื่อสังเกตเห็นพระอาทิตย์ข้ึนทางทิศหนึ่งเป็นประจา
ทกุ วัน และตกอีกด้านหน่ึงสามารถกาหนดทิศเปน็ ทศิ ตะวันออก คือ ทิศท่พี ระอาทิตย์ขึน้ มีการกาหนดเป็นทิศเหนือ
ใต้ และรับรู้เรื่องเวลา โดยสังเกตเวลาท่ีพระอาทิตย์ข้ึน และเวียนรอบครบอีกหน่ึงครั้งโดยแบ่งเป็นวัน มีการแบ่ง
เวลาเป็นชว่ั โมงและนาที ต่อมาเมือ่ สังเกตต่อไปนาน ๆ พบเร่ืองราวฤดูกาล รู้วา่ สามารถแบง่ ฤดกู าลแบ่งเป็นปี โดย
สังเกตว่าการเปล่ียนแปลงของฤดูกาลขึ้นกับธรรมชาติ โดยมีดวงอาทิตย์เปล่ียนตาแหน่งการขึ้นท่ีขอบฟ้าทีละนิด
โดยเลื่อนไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ จนถึงเดือนมิถุนายน ประมาณวันท่ี 21-22 มิถุนายน พระอาทิตย์ข้ึนเย้ืองไป
ทางทิศเหนือมากสุด และเล่ือนกลับมาทางทิศตะวันออกเฉียงใต้ จนถึงประมาณวันที่ 21-22 ธันวาคม พระอาทิตย์
เล่ือนมาขึ้นทางทิศตะวันออกเฉียงใต้มากสุด และวนเวียนกลับไปมา จนทาให้มนุษย์เข้าใจในเร่ืองฤดูกาลและมีการ
แบง่ ขอบเขตของเวลาเป็นปี มีการแบ่งหนว่ ยยอ่ ยตามสภาพของเดือน ซง่ึ ถือเอาสภาพของดวงอาทิตยอ์ ยูใ่ นตาแหน่ง
ดาวตามจกั รราศี เป็นเดอื นตา่ ง ๆ

จากหลักฐานทางคณิตศาสตร์ทเี่ ก่าแก่ท่ีสุดของอารยธรรมมนุษย์ในยุคบาบิโลน ซ่ึงอยู่ในช่วงเวลาประมาณ
ห้าพันปีท่ีแล้ว ชาวบาบิโลนมีอารยธรรมท่ีเก่าแก่อยู่แถบลุ่มแม่น้าเฟรติส และยูเฟรติส ได้ใช้ตัวเลขการนับด้วยฐาน
หกสบิ และแบ่งหน่วยเวลาเป็นมาตรา 60 ดังทใี่ ชก้ นั มาในเร่อื งเวลา และใช้แบง่ วงกลมเปน็ องศา ฟิลิปดา เปน็ ตน้

ชาวบาบิโลนมีระบบการนับจานวนที่ก้าวหน้า โดยไม่ใช้ตัวเลขฐานสิบ เพราะตัวเลขฐานสิบมีการแบ่ง
จานวนท่ีลงตัวเพียง 2 กับ 5 แต่ชาวบาบิโลนใช้ตัวเลข 60 ซึ่งมีการแบ่งจานวนลงตัวได้ถึง 10 ตัวเลข ชาว
บาบิโลนแบ่งเวลาในหน่ึงวันเป็น 24 ช่ัวโมง ทุก ๆ ชั่วโมงมี 60 นาที ทุก ๆ นาทีมี 60 วินาที ถ้าจะเขียนตัวเลข
แทนเวลาจะเขียนได้เป็น 5h 25' 30" มีความหมายว่า 5 ชั่วโมง 25 นาที 30 วินาที หรือเขียนในฐาน 60 เป็น 5
25/60 30/3600 ซ่งึ ถา้ เขยี นเป็นตัวเลขฐานสิบจะได้ 5 4/10 2/100 5/1000

ชีวิตความเป็นอยู่ของคนเก่ียวข้องกับการนับและปริมาณหน่วยนับจึงมีความสาคัญ เพราะการสื่อสารเพื่อ
จะบอกปริมาณระหว่างกันจาเป็นต้องมีหน่วยนับ ลองจินตนาการดูว่ามนุษย์ชาวบาบิโลเนียยังไม่รู้จักกับตัวเลข
ทศนิยม รู้จักแต่จานวนเต็ม และมีฐานหกสิบ หลักฐานที่สาคัญที่ยืนยันว่าชาวบาบิโลเนียใช้เลขฐานหกสิบ คือ มี
การค้นพบตารางคานวณทล่ี ุ่มนา้ ยเู ฟรติสในปี ค.ศ. 1854 ตารางท่ีพบเป็นตารางตัวเลขยกกาลังสอง เช่น 82 = 1 4

4

ซงึ่ มคี วามหมายเปน็ 82 = 1 4 = 1 x 60 + 4 = 64 หรอื ตัวอยา่ ง 592 = 58 1 (=58 x 60 + 1 = 3481) ส่ิงท่ีน่า
ประหลาดใจ คือ ชาวบาบิโลเนียรู้จักวิธีการคูณและหารตัวเลขแล้ว แต่การคูณและหารตัวเลขยังมีลักษณะท่ีใช้
ตารางยกกาลังสองของตัวเลขที่ทาข้ึน โดยสมมุติว่า ต้องการคูณตัวเลข a และ b ชาวบาบิโลเนียใช้หลักการของ
การยกกาลังสองของตัวเลขทไี่ ดจ้ ากตาราง โดยใช้หลักการ

a.b = ((a+b)2-a2-b2)/2 จากหลักการนี้เขยี นได้ คอื a∙b =(a+b)2/4-(a-b)2/4
1.2 ความคดิ ทางคณติ ศาสตรย์ ุคสมัยอิยิปตแ์ ละโรมนั

ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลน มาเป็นอารยธรรมท่ีลุ่มแม่น้าไนล์ในประเทศอียิปต์
ส่ิงมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่ คือ พีระมิด ท่ีแสดงความสามารถของคนในยุคน้ัน ชาวอียิปต์โบราณให้
ความสาคัญอย่างมากกับการจดบันทึก และการสื่อสารจึงได้ประดิษฐ์กระดาษปาปิรุส (papyrus) ข้ึน ซึ่งทามาจาก
ตน้ กกที่เตบิ โตอย่างแพรห่ ลายในแถบลุ่มแมน่ ้าไนล์ ชาวอียิปต์โบราณส่ือความหมายดว้ ยอกั ษรภาพท่ีเรียกวา่ ไฮโรก
ลิฟ (Hieroglyph) ซง่ึ รวมไปถึงตวั เลขด้วย อักษรภาพแทนตัวเลขต่างๆ มดี งั น้ี

ในช่วงที่อียิปต์โบราณรุ่งเรือง 2000 กว่าปีนั้น อักษรภาพไฮโรกลิฟ ได้ถูกเปล่ียนแปลงไปตามยุคตามสมัย
ต่อมาชาวอียิปต์โบราณเห็นว่าการเขียนแบบไฮโรกลิฟนั้น ไม่กระชับ จึงพัฒนาสัญลักษณ์แบบ ไฮราติก (Hieratic)
ข้นึ ดงั แสดงในรูปท่ี 1.3 ตัวเลขแบบไฮราติกน้ัน ต้องใช้ความจามากขน้ึ เพราะมสี ัญลักษณท์ ั้งหมด 36 ตัว (จากเดมิ ที่
มีอักษรภาพเพียง 7 ตัว) ข้อดี คือ เมื่อนาไปเขียนเป็นตัวเลข วิธีใหม่นี้สามารถลดจานวนสัญลักษณ์ลง จากเดิม
ตัวเลข 9,999 ต้องใช้อักษรภาพ 36 ตัว ก็เหลือใช้สัญลักษณ์แบบไฮราติก เพียง 4 ตัวเท่านั้น สาหรับข้อแตกต่างท่ี
สาคัญระหว่าง สัญลักษณ์แบบไฮราติก และระบบจานวนที่ใช้กันอยใู่ นปัจจุบันนั้น คือ ตาแหน่งของสัญลักษณแ์ บบ
ไฮราติก ไมม่ ผี ลต่อค่าของตวั เลข

- สมยั กรีก
ในสมัย 2,600 ปถี งึ 2,300 ปีทีแ่ ล้ว ชาวกรกี ไดร้ ับความรทู้ างคณิตศาสตรจ์ ากชาวอยี ิปต์และชาว บา

บิโลน ชาวกรีกเป็นนักคิดชอบการใช้เหตุผล เห็นว่าคณิตศาสตร์ไม่เป็นแต่เพียงเกร็ดความรู้ท่ีใช้ให้เป็นประโยชน์ได้
เท่านั้น จึงได้วางกฎเกณฑ์ทาให้คณิตศาสตร์กลายเป็นวิชาที่มีเหตุผล มีการพิสูจน์ให้เห็นจริง เป็นวิชาที่น่ารู้ไว้
เพ่มิ พูนสตปิ ัญญา นกั คณติ ศาสตรท์ สี่ าคญั ในสมัยน้ี คือ

เธลีส (Thales ประมาณ 640-546 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เป็นนักปรัชญา นักคณิตศาสตร์ นักดารา
ศาสตร์ชาวกรกี เธลีสได้ทานายว่าจะเกิดสรุ ิยคราสลว่ งหนา้ ซ่ึงไดเ้ กิดขนึ้ กอ่ นพุทธศกั ราช 42 ปี รู้จกั พิสูจนท์ ฤษฎีบท
ทางเรขาคณิต เช่น เส้นผ่านศูนย์กลางจะแบ่งครึ่งวงกลม มุมท่ีฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจว่ั เท่ากัน และมุมในคร่ึง
วงกลมเปน็ มุมฉาก เปน็ ต้น

ปีทาโกรัส (Pythagoras ประมาณ 580-496 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เป็นผู้
ริเร่ิมตั้งโรงเรียนสอนวิชาคณิตศาสตร์และปรัชญา ปีทาโกรัสและศิษย์สนใจเรื่องราวของจานวนมาก เขาคิดว่า
วิชาการต่างๆ และการงานแทบทุกชนิดของมนุษย์จะต้องมีจานวนเข้ามาเก่ียวข้องอยู่ด้วยเสมอ การเรียนรู้เรื่องของ
จานวน คือ เรียนร้เู รือ่ งราวต่างๆ ของธรรมชาติ

อาร์คีมีดีส (Archimedes ประมาณ 287-212 ปี ก่อนคริสต์ศักราช) นักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ชาว
กรกี สนใจการหาพ้นื ที่วงกลม ปรมิ าตรของทรงกระบอกและกรวย นกั คณิตศาสตร์สมยั น้ีรู้จักคานวณอตรรกยะ เช่น

5

และ (พาย) และสามารถคานวณค่าโดยประมาณไดโ้ ดยใช้ภาพหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่าอยู่ขา้ งนอกวงกลม และ
รูปหลายเหล่ียมขนาดเล็กกว่าอยู่ข้างในวงกลม ยิ่งจานวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมเพ่ิมข้ึน จะใกล้เคียงกับขอบของ
วงกลมมากย่ิงข้ึน เม่ือรูปหลายเหลี่ยมมีจานวนด้านถึง 96 ด้าน อาร์คีมีดีสยังพิสูจน์ด้วยว่าพ้ืนท่ีของวงกลมนั้น

เทา่ กบั π คณู กับคา่ กาลงั สองของรัศมขี องวงกลม
- สมัยกลาง
(ประมาณ พ.ศ. 1072-1979) อาณาจักรโรมันเส่ือมสลายลงในปี พ.ศ. 1019 ชาวอาหรับรับการ

ถ่ายทอดความรู้ทางคณิตศาสตร์จากกรีก ได้รับความรู้เร่ืองจานวนศูนย์ และวิธีเขียนตัวเลขแบบใหม่จากอินเดีย
ตัวเลข 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 ท่ีใช้กันทุกวันน้ี จึงมีช่ือว่า ฮินดูอารบิก ชาวอาหรับแปลตาราภาษากรีกออกเป็น
ภาษาอาหรับไวม้ ากมาย ทง้ั ทางดาราศาสตร์ คณติ ศาสตรแ์ ละแพทยศาสตร์

สมยั ฟื้นฟศู ิลปวิทยา (ประมาณ พ.ศ. 1980-2143) สงครามครูเสดระหวา่ งชาวยุโรปกับชาวอาหรบั ซ่ึง
กินเวลาร่วม 300 ปี สิ้นสุดลง ชาวยุโรปเร่ิมฟ้ืนฟูทางการศึกษา และมีการก่อต้ังมหาวิทยาลัยกันข้ึน ชาวยุโรปได้
ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์จากตาราของชาวอาหรับ ในปี พ.ศ. 1983 คนรู้จักวิธีพิมพ์หนังสือ ไม่ต้องคัดลอกดังเช่นแต่
ก่อน ตาราคณติ ศาสตร์จึงแพร่หลายท่ัวไป ชาวยุโรปแล่นเรือมาค้าขายกับอาหรับ อนิ เดีย ชวา และไทย ในปี พ.ศ.
2035 คริสโตเฟอร์ โคลัมบัส (Christopher Columbus ประมาณ ค.ศ. 1451-1506) นักเดินเรือชาวอิตาเลียน
แล่นเรือไปพบทวีปอเมริกาใน พ.ศ. 2054 ชาวโปรตุเกสเข้ามาค้าขายในกรุงศรีอยุธยา การค้าขายเจริญรุ่งเรือง
ชาวโลกสนใจคณิตศาสตร์มากข้ึนเพราะใช้เป็นประโยชน์ได้มากในการค้าขายและเดินเรือ พบตาราคณิตศาสตร์
ภาษาเยอรมัน พิมพ์ใน พ.ศ. 2032 มีการใช้เครื่องหมาย + และ - ตาราคณิตศาสตร์ที่แพร่หลายมาก คือ ตารา
เกี่ยวกับเลขาคณติ อธิบายวธิ ีบวก ลบ คณู หารจานวนโดยไมต่ ้องใช้ลกู คดิ การหารยาวก็เริม่ ต้นมาจากสมัยนี้ และ
ยังคงใช้กันอยู่ตราบเท่าปัจจุบนั นักดาราศาสตร์ใช้คณิตศาสตร์ในงานค้นคว้าเกีย่ วกับดวงดาวบนท้องฟา้ นิโคลัส
คอเปอร์นิคัส (Nicolus Copernicus ค.ศ. 1473-1543) นักดาราศาสตร์ผู้อ้างว่าโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์เกิดใน
สมยั น้ี

การเริ่มต้นของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ประมาณ ค.ศ. 2144-2343) เร่ิมต้นประมาณแผ่นดินสมเด็จ
พระนเรศวรมหาราช แห่งกรุงศรีอยุธยาจนถึงแผ่นดิน สมเด็จพระพุทธยอดฟ้าจุฬาโลกมหาราช แห่งกรุง
รัตนโกสินทร์ ในรอบสองร้อยปี ต่อมาความเจริญทางด้านดาราศาสตร์ การเดินเรือ การค้า การก่อสร้าง ทาให้
จาเป็นต้องคดิ เลขให้ไดเ้ รว็ และถูกต้อง ในปี พ.ศ. 2157

เนเปอร์ จอห์น เนเปียร์ (Neper John Napier ค.ศ. 1550-1617) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตได้
ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับลอการิทึม ซึ่งเป็นวิธีคูณ หาร และการยกกาลังจานวนมากๆ ให้ได้ผลลัพธ์ถูกต้องและ
รวดเร็ว ในท่ีสุดกม็ ีการประดิษฐ์บรรทดั คานวณขน้ึ โดยใช้หลักเกณฑข์ องลอการิทมึ นอกจากน้ียงั มนี ักคณติ ศาสตร์ที่
สาคัญอีก คือ

แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ. 1623-1662) และปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat
ค.ศ. 1601-1665) พบวิชาความน่าจะเป็น ท้งั สามท่านน้เี ป็นชาวฝรงั่ เศส ปาสกาลไดร้ ับการยกยอ่ งว่าเป็นคนแรกที่
ประดิษฐ์เคร่ืองคดิ เลข

6

เซอร์ไอแซก นิวตัน (Sir Isaac Newton ค.ศ. 1642-1727) นักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ชาว
องั กฤษ และกอตต์ฟรีด วิลเฮลม์ ไลบ์นติ ส์ (Gottfried Wilhelm Leibnitz ค.ศ. 1646-1716 นักคณติ ศาสตรช์ าว
เยอรมัน) พบวิชาแคลคูลัส ซ่ึงเป็นวิชาท่ีนาไปใช้ประโยชน์ได้อย่างกว้างขวาง การค้นพบวิชาแคลคูลัสในรัชสมัย
สมเด็จพระนารายณ์มหาราช และการค้นพบกฎทางวิทยาศาสตร์ของนิวตัน เช่น กฎของการเคล่ือนที่ ทฤษฎีของ
การโน้มถ่วงของโลก เป็นต้น นับเป็นความก้าวหน้าของวิทยาการสมัยใหม่ ผลงานของนักคณิตศาสตร์และ
วทิ ยาศาสตรใ์ นสมยั 100 ปี ต่อมามุ่งไปในแนวใช้แคลคูลสั ใหเ้ ป็นประโยชนใ์ นการศึกษาคณติ ศาสตร์ และวิชาฟสิ ิกส์
แขนงต่างๆ

เซอร์ไอแซก นวิ ตนั
นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงมากในสมัยน้ีมี เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler ค.ศ. 1707-
1783) ชาวสวิสผู้ให้กาเนิดทฤษฎีว่าด้วยกราฟ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสมี โชแซฟ ลุยส์ ลากรองจ์ ( Joseph
Louis Lagrange ค.ศ. 1736-1813) ปิแยร์ ซิมง เดอ ลาปลาซ (Pierre Simon de Laplace ค.ศ. 1749-1827)
ใช้แคลคูลสั สรา้ งทฤษฎีของกลศาสตร์ และกลศาสตร์ฟากฟ้าซึง่ เป็นพนื้ ฐานของวศิ วกรรมศาสตร์ และดาราศาสตร์
- สมยั ปัจจุบนั
(ประมาณ พ.ศ. 2344-ปจั จบุ นั ) เร่มิ ประมาณแผ่นดนิ พระบาทสมเดจ็ พระพุทธเลิศหล้านภาลัย นกั
คณิตศาสตร์ในสมัยนี้สนใจในเร่ืองรากฐานของวิชาคณิตศาสตร์ และตรรกศาสตร์ (วิชาว่าด้วยการใช้เหตุผล) นา
ผลงานของนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนมาวิเคราะหใ์ ครค่ รวญ สง่ิ ใดท่ีนักคณิตศาสตรร์ ุ่นก่อนเคยกลา่ ววา่ เปน็ จริงแลว้ นัก
คณิตศาสตร์รุ่นน้ีก็นามาคิดหาทางพิสูจน์ให้เห็นจริง ทาให้ความรู้ทางคณิตศาสตร์เดิมมพี ้ืนฐานม่ันคง มีหลักมีเกณฑ์
ท่ีจะอธิบายให้เข้าใจได้ว่า การคิดคานวณต่างๆ ต้องทาเช่นนั้นเช่นนี้เพราะเหตุใด ในขณะเดียวกันได้สร้าง
คณิตศาสตร์แขนงใหมๆ่ ให้เกิดข้ึนเพื่อนามาใช้ให้เป็นประโยชน์ เหมาะสมกับสภาพสังคมปจั จบุ ัน จะขอกล่าวถึงนัก
คณิตศาสตร์ และแขนงใหม่ของคณิตศาสตร์ในสมยั น้ีพอสังเขป
คารล์ ฟรีดรคิ เกาส์ (Carl Friedrich Gauss ค.ศ. 1777-1855) นักคณิตศาสตรช์ าวเยอรมัน มีผลงาน
ดีเด่นทางคณิตศาสตร์มากมายหลายด้าน ได้แก่ พีชคณติ การวิเคราะห์ทฤษฎจี านวน การวเิ คราะหเ์ ชิงตัวเลข ความ
น่าจะเปน็ และสถิติศาสตร์ รวมท้ังดาราศาสตร์และฟิสิกส์
นิโคไล อิวาโนวิช โลบาเชฟสกี (Nikolai Iwanowich Lobacheviski ค.ศ. 1792-1856) นัก
คณติ ศาสตร์ชาวรุสเซยี และ จาโนส โบลไย (Janos Bolyai ค.ศ. 1802-1860)
นีลส์ เฮนริก อาเบล (Niels Henrik Abel ค.ศ. 1802-1829) นักคณติ ศาสตร์ชาวนอรเ์ วย์ มีผลงานใน
ด้านพีชคณิตและการวิเคราะห์ เม่ืออายุประมาณ 19 ปี เขาพสิ ูจนไ์ ดว้ ่าสมการกาลังห้าทม่ี ตี ัวแปรตวั เดียวใน รูป
ทั่วไป (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0) จะไม่สามารถหาคาตอบโดยวิธีพีชคณติ ไดเ้ สมอไปเหมือนสมการที่
มีกาลังต่ากว่าห้า นอกจากนี้ยังมีผลงานอ่ืนๆ ในด้านทฤษฎีของอนุกรม อนันต์ ฟังก์ชันอดิศัย กลุ่มจตุรงค์ และ
ฟังก์ชนั เชิงวงรี
เซอร์ วลิ เลียม โรแวน แฮมิลทัน (Sir William Rowan Hamilton ค.ศ. 1805-1865) นกั คณติ ศาสตร์
ชาวไอริส มีผลงานในด้านพชี คณิต ดาราศาสตร์ และฟิสิกส์ ในปี ค.ศ. 1843 เขาได้สร้างจานวนชนดิ ใหมข่ ้ึนเรยี กว่า

7

ควอเทอร์เนียน เป็นจานวนทเี่ ขียนได้ในรูป a + bi + cj + dk โดยที่ a, b, c และ d เป็นจานวนจริง i2 = j2 = k2
= ijk = -1ควอเทอร์เนียน มีคุณสมบัติต่างไปจากจานวนธรรมดาสามัญ กล่าวคือไม่มีสมบัติการสลับที่ เมื่อพูดถึง
จานวน เรามักจะคิดว่า จานวนตัวหน้าคูณจานวนตัวหลัง จะได้ผลลัพธ์เท่ากับจานวนตัวหลังคูณจานวนตัวหน้า
เขียนได้ในรูป ab = ba แต่ควอเทอร์เนียนไม่เป็นเช่นนั้น ij = k แต่ ji = -k แสดงว่า ij ji แฮมิลทันได้รับเกียรติว่า
เป็นผู้ให้กาเนิดวิชาเมตริกร่วมกับ เจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเทอร์ (James Joseph Sylvester ค.ศ. 1814-1897) และ
อาร์เทอร์ เคเลย์ (Arthur Cayley ค.ศ. 1821-1895) ทัง้ สองท่านนเ้ี ปน็ นักคณติ ศาสตร์ชาวอังกฤษ

แบรน์ ฮารด์ รีมนั น์ (Bernhard Riemann ค.ศ. 1826-1866) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มผี ลงานใน
ดา้ นเรขาคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเคราะห์ท่ีมีตัวแปรเป็นจานวนเชงิ ซ้อน ทฤษฎีจานวน ทฤษฎีศักย์ โทโปโลยี และ
วิชาฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ เป็นผู้ให้กาเนิดวิชาเรขาคณิตแบบรีมันน์ ซึ่งเป็นรากฐานของทฤษฎีสัมพันธภาพสมัย
ปัจจบุ ัน

คาร์ล ไวแยร์สตราสส์ (Karl Weierstrass ค.ศ. 1815-1897) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน มีผลงานใน
ด้านการวิเคราะห์ เป็นผู้นิยามฟังก์ชันวิเคราะห์ที่มีตัวแปรเป็นจานวนเชิงซ้อนโดยใช้อนุกรมกาลัง สร้างทฤษฎี
เก่ียวกับฟงั กช์ นั เชงิ วงรี และแคลลูลัสของการแปรผัน

จอร์จ บลู (George Boole ค.ศ. 1815-1864) นักคณติ ศาสตร์ชาวอังกฤษมีผลงานในด้านตรรกศาสตร์
พชี คณติ การวิเคราะห์ แคลลลู ัสของการแปรผัน ทฤษฎคี วามน่าจะเปน็ เป็นผู้ให้กาเนิดวิชาพชี คณิตแบบบลู

เกออร์จ คันเตอร์ (Georg Cantor ค.ศ. 1845-1917) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันเป็นผู้ริเร่ิมนาเซต
มาใช้ในการอธิบายเรื่องราวทางคณิตศาสตร์ และได้รับผลสาเร็จเป็นอย่างดี เป็นผู้ให้กาเนิดวิชาทฤษฎีเซต ความรู้
เก่ียวกับเซตทาให้เราทราบเรื่องราวเกี่ยวกับจานวนจริงและจานวนอนันต์เพ่ิมข้ึน ต่อมานักคณิตศาสตร์อีกหลาย
ทา่ นได้ชว่ ยกนั ปรับปรงุ เรอื่ งเซตใหส้ มบรู ณจ์ นเป็นทยี่ อมรับและนาไปใช้อยา่ งกว้างขวางในวชิ าคณิตศาสตร์

โยเชียห์ วิลลาร์ด กิบส์ (Josiah Willard Gibbs) นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันมีผลงานในด้านวิชา
ฟสิ ิกสเ์ ชงิ คณิตศาสตร์ และวชิ ากลศาสตรเ์ ชิงสถติ ิ เปน็ ผ้ใู หก้ าเนิดวิชาเวกเตอร์วิเคราะห์

อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ (Albert Einstein ค.ศ. ๑๘๗๙-๑๙๕๕) นักฟิสิกส์ชาวเยอรมัน ใช้คณิตศาสตร์
สร้างทฤษฎีสัมพันธภาพ เป็นเหตุให้ความคิดเห็นเกี่ยวกับเอกภพและสสารซึ่งเชื่อกันมาแต่เดิมเปล่ียนแปลงไป
ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์สมัยปัจจุบัน เช่น แขนงอิเล็กทรอนิกส์ ฟิสิกส์นิวเคลียร์และอวกาศ ต้องใช้ความรู้ทาง
คณิตศาสตร์ประยกุ ตแ์ บบใหม่

จอห์น ฟอน นอยมันน์ (John Von Neumann ค.ศ. ๑๙๐๓-๑๙๕๗) นักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี มี
ผลงานทั้งในด้านคณิตศาสตร์บริสุทธ์ิ คณิตศาสตร์ประยุกต์และเศรษฐศาสตร์ เช่น ทฤษฎีควอนตัม ทฤษฎี
คอมพิวเตอร์และการออกแบบคอมพิวเตอร์ กาหนดการเชิงเส้น กลุ่มจตุรงค์ต่อเนื่อง ตรรกศาสตร์ ความน่าจะเป็น
เป็นผใู้ หก้ าเนดิ ทฤษฎีการเสีย่ ง

คณิตศาสตร์แขนงใหม่ที่เกิดขึ้นในสมัยปัจจุบัน ได้แก่ ทฤษฎีเซต กาเนิดเม่ือ พ.ศ. 2435 โทโพโลยี
กาเนิดเม่อื พ.ศ. 2438 ทฤษฎีการเสยี่ ง กาเนิดเม่อื พ.ศ. 2474 และกาหนดการเชงิ เสน้ กาเนิดเมอื่ พ.ศ. 2490

8

คณิตศาสตร์เริ่มจากเป็นเกร็ดความรู้ท่ีมนุษย์นามาใช้ให้เป็นประโยชน์ในการดารงชีวิตในสมัยสี่พันปี
ก่อนค่อยๆ มีกฎเกณฑ์ทวีเพ่ิมพูนขึ้นตลอดมา คณิตศาสตร์เปรียบเหมือนต้นไม้ นับวันจะผลิดอกออกผลนา
ประโยชนม์ าให้มนษุ ยชาติ มนุษย์ทุกยุคทกุ สมัยสนใจวิชาคณิตศาสตร์ การให้ความรู้ทางคณิตศาสตรแ์ ก่เยาวชนของ
ชาติ จึงมีความสาคัญอยา่ งมาก
2. จานวน และตวั เลข

จานวน (Number) หมายถงึ ตัวบง่ ช้ีปริมาณ ซง่ึ เปน็ ผลมาจากตวั เลข (Numeral) ประกอบกนั
ตัวเลข (Numeral) หมายถึง สื่อหรือสัญลักษณ์แทนการนับจานวน ซ่ึงสามารถบ่งช้ีปริมาณโดยตัวเลข
ได้ถือกาเนิดมาเพ่ือหลายพันปีก่อน โดยชาวอิยิปต์ และเมื่อมีการติดต่อกับอารยธรรมอ่ืนๆ ได้เกิดวิวัฒนาการ
ตวั เลขอื่นๆ ตามมา เช่น ตัวเลขบาบโิ ลน ตวั เลขโรมัน ตัวเลขจนี และอีกมากมายรวมท้งั ตัวเลขไทย ซ่ึงทไี่ ดร้ ับ
ความนิยมมากท่ีสุด ได้แก่ ตัวเลขฮินดูอารบิก ซ่ึงประกอบไปด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 และ 9 ซ่ึงเมื่อคา่ ของจานวนมคี ่ามากกว่า 9 ข้ึนไปจะเกดิ การประกอบกันขึน้ มาของตัวเลขทง้ั 10

3. โครงสร้างระบบจานวน

จานวนจริง (Real Number) คือ จานวนทุกจานวน ซ่ึงอาจเป็นได้ทั้งจานวนตรรกยะ หรือจานวน

อตรรกยะ

จานวนตรรกยะ (Rational Number) คือ จานวนที่สามารถเขียนแทนเศษส่วนได้ โดยจะอยู่ในรูป A
B
โดยที่ B จะตอ้ งไมเ่ ท่ากับศูนย์

จานวนอตรรกยะ (Irrational Number) คือ จานวนท่ีไม่สามารถเขยี นแทนเป็นเศษส่วนได้

4. เลขจานวนเตม็

จานวนเต็ม (Integer) คือ จานวนท่ีเป็นเลขลงตัวไม่มีเศษ หรือมีค่าหลังจุดทศนิยมเป็นศูนย์ หมายถึง

จานวนเตม็ บวก (Positive Integer) จานวนเตม็ ศูนย์ (Zero Integer) และจานวนเตม็ ลบ (Negative Integer)

เน่ืองจากโดยท่ัวไปแล้วไม่ได้มีแต่จานวนเต็มบวกเท่านั้นท่ใี ช่บ่งช้ีปรมิ าณ เช่น อุณหภูมขิ องอากาศติดลบ จานวน

เงนิ คงเหลือกในบัญชขี องธนาคาร เป็นต้น

9

จำนวนเต็มศูนย์

- -5 -4 -3 - -1 0 1 2 3 4 5 6
6 จำนวนเต็มล2บ
จำนวนเต็มบวก

จานวนเต็มบวก (Positive Integer) คือ จานวนนับที่มีค่าเริ่มต้นท่ี 1 และมีค่าเพ่ิมขึ้นได้เรื่อยๆ

เพราะจานวนนบั ไม่มคี ่าสิน้ สดุ

จานวนเต็มศูนย์ (Zero Integer) คือ จานวนที่ไม่ถือเป็นจานวนนบั โดยการเริม่ ต้นนับคา่ จะเร่ิมต้นท่ี

1 เช่น เด็กคนท่ี 1, 2, 3…. ไปเรื่อยๆ แต่ไม่นิยมบอกว่า มีเด็ก 0 คน แต่อาจบอกแทนได้ว่า ไม่มีเด็ก

จานวนศูนย์ อาจแทนความหมายว่าไม่มี แต่บางครั้งก็ใช้เลข 0 เพือ่ บ่งชี้ปริมาณได้ เช่น ผลการแข่งขันฟุตบอล

0 ประตูต่อ 0 หรอื ขณะนอี้ ณุ หภูมิ 0 องศาเซยี ล เป็นต้น

จานวนเต็มลบ (Negative Integer) คือ จานวนที่มคี า่ นอ้ ยกว่า 0 โดยมีเคร่อื งหมายลบกากับอยู่หน้า

ตวั เลขจานวนนั้น เช่น -3 อ่านว่า ลบสาม และมคี ่าน้อยลง ถา้ ตวั เลขเพม่ิ ขน้ึ ไปเรื่อยๆ เพราะจานวนนบั ไม่มคี ่า

สนิ้ สุด

5. เศษสว่ นและทศนยิ ม A
B
เศษส่วน (Fraction) หมายถึง จานวนที่เขียนอยู่ในรูป โดยท่ี A เป็นจานวนเต็มบวกหรือศูนย์

และ B จะตอ้ งไมเ่ ทา่ กบั ศนู ย์ เช่น 3 เปน็ ต้น
2
ทศนิยม (Decimal) หมายถึง ตัวเลขเพื่อแทนจานวนท่ีไม่สามารถเขียนในรูปจานวนเต็ม ซึ่งอาจเป็น

ทศนิยมลว้ น เชน่ 0.5 หรอื 0.75 โดยทศนยิ มอาจมจี านวนเต็มอย่ดู ้วย เช่น 2.5 หรือ 4.725 เป็นต้น

จานวนนับหรือจานวนเต็ม สามารถบอกปริมาณได้ แต่ไม่สามารถบอกปริมาณบางอย่างได้ เช่น มี ลูก

อม 3 เม็ด แบ่งให้เด็ก 2 คน จะไดค้ นละเท่าใด คาตอบ คือ 3 หารด้วย 2 จะได้ 3 หรือ 1.5 เม็ด โดย
พบว่า ทศนิยม คอื เศษสว่ นทมี่ ตี วั หาร หรอื เลขของสว่ นเป็น 1 2
0.5
จงึ ไมค่ ่อยนยิ มนามาเขียน เชน่
1

10

ตัวอยา่ ง การเขยี นทศนยิ มซ้า เช่น

4 = 0.121212… เขียนแทนด้วย 0.12
33

19 = 1.727272… เขียนแทนดว้ ย 0.72
11

3 = 1.5000… เขยี นแทนดว้ ย 0.50
2

ในกรณีที่ซา้ ด้วยเลข 0 จะไม่นยิ มเขียนสว่ นทซี่ า้ เชน่

3 มกั จะเขยี นแทน ดงั น้ี = 1.5
2

2 มกั จะเขียนแทน ดงั น้ี = 0.4
5

การปดั เศษทศนยิ มให้เป็นจานวนเตม็
การปัดเศษส่วนให้เป็นจานวนเต็ม เช่น 45.7 สามารถปัดให้เป็น 46 ได้ เพราะมีค่าใกล้เคียงกับ 46

มากว่า 45 โดยการปัดทศนิยม ถ้าตัวเลขนอ้ ยกวา่ 5 ให้ปัดทิ้ง แตถ่ ้าตวั เลขทป่ี ัดมคี ่ามากกวา่ 5 ให้ปดั ขึ้น ใน
กรณีท่ีคา่ ทศนยิ มเทา่ กบั 5 ซ่ึงแต่เติมจะปัดทิ้งทั้งหมด จะทาให้เกิดผลคาดเคลอื่ น เมื่อมีการนาทศนิยมมารวมกัน
จงึ มหี ลกั การปัดทศนิยมเมอ่ื มีค่าเทา่ กับ 5 ดงั น้ี

ถา้ 5 ตามหลงั ทศนิยมที่เปน็ เลขคู่ จะใชท้ ศนิยมเดมิ
ถ้า 5 ตามหลังทศนิยมทเี่ ปน็ เลขคี่ จะปดั ขึ้น
เชน่ 25.425 ทศนิยม 2 ตาแหน่งปดั เป็น 25.42

25.475 ทศนิยม 2 ตาแหนง่ ปัดเปน็ 25.48
6. เลขมีหลัก และไม่มหี ลัก

เลขมีหลัก
คือ การนาตัวเลขมารวมกลุ่มกัน เพ่ือให้ค่าและบ่งช้ีปริมาณ โดยอาศัยวิธีการกาหนดหลักของตัวเลข

(Position Notation) ในการพิจารณาค่าของตัวเลขจะพิจารณาคา่ 2 คา่ คอื
1. ค่าประจาตัวของตวั เลขแตล่ ะตวั
2. ค่าหลกั ในตาแหน่งท่ตี ัวเลขนน้ั ปรากฏ

11

ตวั อยา่ งท่ี 1.1 จงตอบคาถามตอ่ ไปนี้
25412 เลข 5 มคี ่าเทา่ ใด
ตอบ 5 × 1000 = 5000
7850 เลข 5 มคี ่าเท่าใด
ตอบ 5 × 10 = 50
หรอื 0 × 100 = 0
5 × 101 = 50
8 × 102 = 800
7 × 103 = 7,000

เลขไม่มีหลัก
คือ ระบบตัวเลขแต่ละตัวไม่ว่าจะอยู่ที่ใดก็จะมีค่าคงท่ีเสมอ เช่น ระบบเลขโรมัน ซ่ึงใช้สัญลักษณ์แทน
ค่าต่อไปนี้

I=1
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
ในส่วนจานวนที่มีค่าตั้งแต่ 4,000 ข้ึนไป แทนสัญลักษณ์ด้วยบาร์ (-) ไว้ด้านบนของตัวอักษรแทนการ
คณู และการหารดว้ ย 1,000 เชน่ V̅I มีคา่ เทา่ กับ 6 x 1000 = 6000
ขอ้ เสียของการใช้ระบบเลขฐานน้ี คือ ไม่สะดวกในการคานวณเก่ียวกับการบวก การลบ การคูณ และ
การหาร เหมือนกบั การใชร้ ะบบเลขทห่ี ลกั แตอ่ ยา่ งไรก็ตามสามารถหาผลลพั ธจ์ ากการคานวณดงั กล่าวได้ จานวน
ท่ีเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์หลายตัว ถ้าเขียนสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อยกว่าไว้ด้านซ้ายมือของสัญลักษณ์ที่มีค่ามากกว่า
คา่ ของจานวนที่ไดจ้ ะมคี ่าเทา่ กับจานวนทีม่ ีคา่ มากลบดว้ ยจานวนที่มคี ่าน้อย เชน่
IX มคี ่าเท่ากบั 10-1 = 9
VL มคี า่ เท่ากับ 50-5 = 45
ในกรณีที่เขียนสัญลักษณ์ท่ีมีค่าน้อยกว่าได้ไว้ด้านขวามือของสัญลักษณ์ท่ีมีค่ามากกว่าค่าของจานวนที่ได้
จะมคี ่าเทา่ กบั จานวนทมี่ ีค่ามากกว่า บวกด้วยคา่ ของจานวนทมี่ ีคา่ นอ้ ยกวา่ เชน่
VI มีคา่ เท่ากบั 5+1 = 6
LV มคี า่ เทา่ กับ 50+5 = 55

12

ตัวอยา่ งที่ 1.2 การแทนค่าดว้ ยเลขโรมัน
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I II III IV V VI VII VIII IX X

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
C CC CCC CD D DC DCC DCC CM M

C

200 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 1000

00
MM MM I̅V V̅ V̅I V̅II V̅I II I̅X ̅

M

ตวั อย่างที่ 1.3 จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี มีค่าเทา่ ใด ตอบ 5
VIII เลข V มคี ่าเท่าใด ตอบ 1000
MCV เลข M มคี ่าเทาใด ตอบ 10
XI เลข X

ตัวอยา่ งท่ี 1.4 จงเขยี นเลขต่อไปนีใ้ หอ้ ย่ใู นรปู เลขโรมนั
1) 105
2) 620
3) 3,560

วธิ ีทา 105 = 100+5
= CV

620 = 600+20
= DCXX

3.560 = MMMDLX

13

ตวั อย่างที่ 1.5 จงเขยี นเลขโรมนั ตอ่ ไปนี้ ใหอ้ ย่ใู นรปู เลขอารบกิ

1) XL

2) CMXX

3) MMCCL

วธิ ีทา XL = 50-10

= 40

CMXX = 1000-100+10+10

= 920

MMCCL = 1000+1000+100+100+50

= 2,250

7. เลขฐานวิทยาศาสตร์

ตวั เลขท่ใี ช้ในชวี ิตประจาวนั ส่วนใหญ่มักไมม่ ีความซับซ้อน หรือมีจานวนของตัวเลขท่ีไม่มาก แต่สาหรับใน

ห้องปฏิบัติการที่ต้องความแม่นยาจากการคานวณสูง ตัวเลขในการคานวณต่างๆ จะมีจานวนท่ีละเอียด และมี

จานวนมาก หากใช้การเขียนตัวเลขในรูปแบบปกติจะทาให้การเขียนแทนจานวนต่างๆ ต้องใช้การเขียนท่ียาว

และอ่านไดล้ าบาก เช่น การเขียนเลข 1760000000000 หรือเลขทศนยิ ม 0.0000000000564

จากตวั เลขด้านบน จะเห็นได้ว่าไม่สะดวกต่อการใช้งาน และอาจทาให้อา่ นค่าผดิ พลาดได้ง่าย ดังนั้น จึง

มกั จะใช้การเขียนเลขทางวิทยาศาสตร์ (Scientific Notation) แทนการใช้ตัวเลขปกติเพื่อแสดงคา่ ของจานวนท่ีมี

ปริมาณมากและสอ่ื ใหเ้ ขา้ ตรงกัน โดยนิยมเขยี นให้อยู่ในรูปของเลขฐาน 10 ที่ยกกาลังแทน ดงั ตัวอยา่ งการเขยี น

ดา้ นล่าง

100=1 10-1=0.1
101=10 10-2=0.01
102=100 10-3=0.001
103=1000 10-4=0.0001
104=10000 10-5=0.00001
105=100000 10-6=0.000001

14

ตัวอย่างท่ี 1.6 จงแปลงคา่ ของตวั เลขตอ่ ไปนใี้ หอ้ ยใู่ นรปู ทางวทิ ยาศาสตร์

วิธที า 98700 = 9.87×10000

= 9.87×104

548 = 5.48×100

= 5.48×102

0.0287 = 2.87×0.01

= 2.87×10-2

0.00004578 = 4.578×10-5

ตวั อย่างท่ี 1.7 จงแปลงเลขทางวิทยาศาสตรต์ อ่ ไปน้ใี ห้อยู่ในรปู เลขปกติ

วธิ ที า 4×101 = 4×10

= 40

4.5×102 = 4.5×100

= 450

4.56×10-7 = 0.000000456

8. คณุ สมบตั ิพน้ื ฐานของระบบจานวนจริง
คณุ สมบัตเิ กี่ยวกับการบวก

1. คุณสมบัติปิดของการบวก คือ ผลบวกของจานวนจริง 2 จานวน ผลลัพธ์ที่ได้ย่อมจะต้องเป็น

จานวนจริงดว้ ย เชน่ กาหนดให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ดงั น้ัน a+b จะไดผ้ ลลัพธเ์ ป็นจานวนจริงดว้ ย

2. คณุ สมบัติการสลับท่ขี องการบวก การบวกเลขจานวนจริง สามารถสลับท่ีกันได้ ระหว่างตัวตั้ง และ

ตัวกระทา คือ a+b = b+a เชน่ 2+5 = 5+2

3. คุณสมบัติการจัดหมู่ของการบวก การบวกสามารถจัดกลุ่มการบวกได้ใหม่ มรี ูปแบบ คอื (a+b)+c

= a+(b+c) จากตัวอย่างจะเห็นได้ว่าสามารถจัดหมู่ โดยการนา a+b ก่อนแล้วจึงนามาบวกกับ c หรือจะนา

b+c กอ่ นแล้วจึงบวก a กไ็ ด้ เช่น (2+5)+3 = 2+(5+3)
4. เอกลักษณ์ของการบวก รคปู ือท่ี 01.เ2ป0น็ เอแกสลดักงษรณะบ์ขอบงจกำานรวบนวจกรงิ เมื่อบวกจานวนจริงใดๆ กับ 0 จะได้

ผลลัพธเ์ ทา่ กบั จานวนจริงน้ัน เช่น a+0 = a

5. อินเวอร์สการบวก คือ เลขที่รวมกับจานวนจริงใดแล้วได้ผลลัพธ์ของการบวกเป็นศูนย์

a+(-a) = (-a)+a = 0 เมื่อ -a เป็นอินเวอร์สการบวกของ a

a เป็นอนิ เวอร์สการบวกของ –a

อินเวอร์สการบวกของเลขจานวนจริงใดๆ จะมีเพียงค่าเดียวเท่าน้ัน เช่น อินเวอร์สของเลขจานวน

จริง 2 คอื -2 เทา่ นน้ั

15

คณุ สมบตั เิ ก่ียวกับการคณู
1. คุณสมบัติปิดของการคูณ ผลลัพธ์ของการนาเลขจานวนจริง 2 จานวนมาคูณกันจะได้เลขจานวน
จริงขึน้ มาใหม่ 1 จานวน เช่น a และ b เป็นเลขจานวนจรงิ ผลลัพธข์ อง a×b จะเป็นเลขจานวนจริงดว้ ย
2. คุณสมบัติการสลับท่ีของการคูณ การคูณกันของเลขจานวนจริงสามารถจัดกลุ่มของการคูณใหม่ได้
เช่น

a×b = b×a
2×5 = 5×2
3. คุณสมบัติการจัดกลุ่มของกรคูณ การคูณกันของเลขจานวนจริงสามารถจัดกลุ่มของการคูณใหม่ได้
เช่น
(a×b)×c = a×(b×c)
(2×5)×3 = 2×(5×3)
นอกจากนี้ อาจเขียนการคณู กันของจานวนจรงิ โดยละเครื่องหมายคณู และวงเล็บได้ เช่น
Abcd = a×b×c×d

=(a×b×c)×d
4. เอกลักษณ์ของการคูณ คือ 1 เป็นเอกลักษณ์ของการคูณของเลขจานวนจริง เม่ือคูณจานวนจริง
ใดๆ ดว้ ย 1 ผลลัพธ์ทไี่ ด้ คอื เลขจานวนจริงดังกลา่ ว เช่น a×1 = a
5. อินเวอร์สของการคูณ คือ เลขจานวนจริงที่นาไปคูณกับเลขจานวนจริงหน่ึงๆ แล้วให้ผลลัพธ์จาก
การคณู เทา่ กบั 1 เช่น

a×a-1 = a-1×a =1
เมื่อ a-1 เปน็ อินเวอร์สการคูณของ a

a เปน็ อนิ เวอร์สการคูณของ a-1
นอกจากคุณสมบัติการบวก และคุณสมบัติการคูณของเลขจานวนจริงแล้ว ยังมีคุณสมบัติท่ีเก่ียวกับ
ท้งั การบวกและการคณู คอื คุณสมบัตกิ ารกระจายของเลขจานวนจรงิ

เช่น a×(b+c) = (a×b)+(a×c)
2×(5+3) = (2×5)+(2×3)

คณุ สมบตั เิ กยี่ วกบั การลบและการหาร
การลบ คอื การบวกดว้ ยคา่ อินเวอรส์ ของตัวลบ เชน่ a-b = a+(-b)

โดยเคร่ืองหมายลบ (-) ใชแ้ ทนความหมาย 3 ประการ คอื
1. ใชแ้ ทนเลขจานวนลบ เชน่ -2
2. ใช้แทนการกระทาการลบ
3. ใชแ้ ทนอินเวอร์สของการบวก เช่น -2 เป็นอินเวอร์สของการบวกของ 2
การหาร คือ การคณู ดว้ ยอินเวอรข์ องการหาร เชน่

16

a = ab-1 (b≠0)
b
กรณีถา้ คา่ a=0 ผลลพั ธข์ องการหาร มีคา่ เทา่ กับศูนย์

คุณสมบตั เิ กีย่ วกับการยกกาลงั และการหาราก

นิยามของเลขยกกาลงั

การยกกาลังของเลขจานวนจริงใดๆ มีค่าเท่ากับการคูณของเลยจานวนจริงนั้นๆ ตามจานวนของ

เลขทีย่ กกาลงั เช่น
23 = 2×2×2 (2 คูณกัน 3 คร้งั โดยท่เี ลขยกกาลงั เปน็ จานวนนับ)

นิยามการหาราก

การหารากในกรณีท่ีเปน็ รากที่ 2 สามารถเขยี นแทนดว้ ย √a เมอ่ื a ไม่เป็นเลขลบ การหารากท่ี
n เขยี นแทนดว้ ย √n a เมือ่ n เป็นจานวนนับที่ไมใ่ ช่ 1 และ 2

คณุ สมบตั ิท่ีเกี่ยวข้องกับการยกกาลังและการหาราก มดี ังน้ี
1. เลขยกกาลังที่มฐี านเหมอื นกันคูณกัน มคี ่าเทา่ กับฐานยกกาลังดว้ ยค่าเลขยกกาลงั บวกกัน

am ∙ an= am+a
2. เลขยกกาลังที่ถกู ยกกาลังอกี ครัง้ หนึ่ง มีค่าเท่ากบั ฐานยกกาลงั ด้วยคา่ เลขยกกาลังคณู กนั

(am)n = am∙n
3. ผลคูณของเลข ab ทั้งหมดยกกาลัง n มีคา่ เท่ากับ an คณู กบั bn

(ab)n=an∙bn

4. ผลการของเลข (ba)n= an
bn
5. เลขจานวนจรงิ ใดๆ ยกกาลังศูนย์ มีคา่ เทา่ กบั 1

a0 = 1

6. เลขยกกาลงั จริงทมี่ ีกาลงั เปน็ ค่าเศษสว่ น 1 มีค่าเทา่ กับรากที่ n ของจานวนจรงิ น้ัน

1 n

an = √n a

7. เลขทมี่ คี ่าเลยยกกาลังลบ มีค่าเท่ากบั เศษ 1 ส่วนดว้ ยเลขดังกลา่ ว ยกกาลงั บวก
a-n=a1n

8. เลขยกกาลงั ทีม่ ีฐานเหมอื นกันหารกนั มคี ่าเทา่ กบั เลขฐานน้ัน ยกกาลงั ดว้ ยคา่ เลขกาลงั ลบกัน

am =am-n
an

17

9. ความสัมพันธ์ในระบบจานวนจรงิ
เก่ยี วกบั เทา่ กัน
นิยาม a=b ตอ่ เมอื่ a และ b ใช้แทนจานวนจริงเดยี วกัน ซง่ึ คณุ สมบัตขิ องการเท่ากันมีดังน้ี
1. คุณสมบตั ิการสะท้อน a = a
2. คณุ สมบัตกิ ารสมมาตร คอื ถ้า a = b แล้ว
จะได้ b = a ด้วย
3. คณุ สมบตั ิการถา่ ยทอด ถ้า a = b
และ b = c แลว้
จะได้ a = c ดว้ ย
4. คุณสมบตั กิ ารเพิ่มขน้ึ เทา่ กนั
ถา้ a = b แล้ว
จะได้ a+c = b+c
5. คุณสมบตั ิการตดั ออกของการบวก
6. คณุ สมบัตกิ ารคูณเทา่ กนั
ถา้ a = b แล้ว
จะได้ a×c = b×c
7. คณุ สมบัตกิ ารตดั ออกของการคณู
ถา้ a×c = b×c แล้ว
จะได้ a = b
เกี่ยวกบั การไมเ่ ท่ากนั
คุณสมบตั เิ กยี่ วกบั การไม่เท่ากนั มีดังน้ี
1. คุณสมบตั กิ ารถ่ายทอด
ถา้ a < b และ b < c แลว้
จะได้ a < c ดว้ ย
2. คุณสมบตั ิการบวกเพ่มิ ดว้ ยจานวนเดียวกัน
ถา้ a < b แลว้
a + c < b + c ดว้ ย (c จะเปน็ ค่าบวก หรอื ลบก็ได้)
3. คุณสมบัตกิ ารคูณเพิ่มดว้ ยจานวนบวก
ถา้ a < b แลว้
a × c < b × c ด้วย (c จะต้องเปน็ ค่าบวก)

18

4. การคณู ด้วยจานวนทีม่ คี ่าลบ เช่น

4.1 ถา้ a < b แลว้

a×c<b×c

4.2 ถา้ a < 0 และ b < 0 แล้ว

a×b>0

4.3 ถา้ a > 0

a×b<0

5. การหารด้วยจานวนบวก

ถ้า a < b แล้ว

a < b
c c

6. การหารด้วยจานวนลบ

ถ้า a < b แล้ว

a < b
c c
เมื่อ c เป็นคา่ ลบ เคร่อื งหมายจะถกู กลับข้าง จากมากกว่าเป็นนอ้ ยกว่า หรือนอ้ ยกว่าเปน็ มากกวา่

7. a2 < 0 เสมอ และ

a2 = 0 ถ้า a = 0

• ดา้ นทกั ษะ(ปฏบิ ตั ิ) (จุดประสงค์เชิงพฤติกรรมข้อท่ี 6-7)

1. ใบงานที่ 1 ระบบจานวน
2. แบบฝกึ หดั หนว่ ยที่ 1
3. กิจกรรมบรู ณาการ 3D ฝกึ ทกั ษะภาคทฤษฏี หน่วยที่ 1
4. กิจกรรม บูรณาการจิตอาสา
5. กิจกรรม บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง
6. กจิ กรรม บรู ณาการอาเซยี น
7. กิจกรรมบูรณาการในชวี ิตประจาวัน หนว่ ยท่ี 1

19

• ดา้ นคุณธรรม/จรยิ ธรรม/จรรยาบรรณ/บูรณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง

(จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรมข้อท่ี 8-9)

1. การเตรยี มความพร้อมดา้ นการเตรยี ม วัสดุ อุปกรณน์ กั ศึกษาจะต้องกระจายงานไดท้ วั่ ถึง และตรง
ตามความสามารถของสมาชิกทกุ คน มกี ารจดั เตรียมสถานท่ี ส่อื วัสดุ อปุ กรณไ์ วอ้ ยา่ งพรอ้ มเพรียง

1. ความมีเหตุมผี ลในการปฏิบัตงิ าน ตามหลักปรัชญาของเศรษฐกิจพอเพยี ง นกั ศึกษาจะต้องมีการใช้
เทคนิคท่ีแปลกใหม่ใช้ส่ือและเทคโนโลยีประกอบการนาเสนอที่น่าสนใจนาวัสดุในท้องถ่ินมาประยุกต์ใช้
อยา่ งคมุ้ ค่าและประหยัด

20

กิจกรรมการเรียนการสอนหรือการเรยี นรู้

ขนั้ ตอนการสอนหรือกิจกรรมของครู ขนั้ ตอนการเรยี นร้หู รือกิจกรรมของนกั เรยี น

1. ขน้ั นาเขา้ สบู่ ทเรยี น 1. ข้ันนาเข้าสู่บทเรยี น

1. ผู้สอนจัดเตรียมเอกสาร พร้อมกับแนะนา 1. ผู้เรียนเตรียมอุปกรณ์และ ฟังครูผู้สอนแนะนา

รายวิชา วิธีการให้คะแนนและวิธีการเรียนเร่ือง รายวิชา วิธีการให้คะแนนและวิธีการเรียนเร่ือง ระบบ

ระบบจานวน จานวน

2. ผู้สอนแจ้งจุดประสงค์การเรียนของหน่วย 2. ผู้เรียนทาความเข้าใจเกี่ยวกับจุดประสงค์การ

เรียนท่ี 1 และขอให้ผู้เรียนร่วมกันทากิจกรรมการ เรียนของหน่วยเรียนท่ี 1 และการให้ความร่วมมือในการ

เรยี นการสอน ทากจิ กรรม

3. ผู้สอนให้ผู้เรียนเปรียบเทียบจานวน และ 3. ผู้เรียนเปรียบเทียบจานวน และตัวเลข ว่า

ตวั เลข ว่าเหมือนหรือตา่ งกนั อย่างไร พร้อมใหเ้ หตผุ ล เหมือนหรอื ต่างกนั อยา่ งไร พร้อมให้เหตุผลประกอบ

ประกอบ

2. ข้นั ใหค้ วามรู้ 2. ขั้นให้ความรู้

1. ผู้สอนเปิด PowerPoint หน่วยท่ี 1 เรื่อง 1. ผู้เรียนศึกษา PowerPoint หน่วยท่ี 1 เร่ือง

ร ะ บ บ จ า น ว น แ ล ะ ใ ห้ ผู้ เ รี ย น ศึ ก ษ า เ อ ก ส า ร ระบบจานวน และให้ผู้เรียนศึกษาเอกสารประกอบการ

ประกอบการสอน คณิตศาสตร์คอมพิว เตอร์ ส อ น ค ณิ ต ศ า ส ต ร์ ค อ ม พิ ว เ ต อ ร์ ( Computer

(Computer Mathematics) หน้าท่ี 3-26 โดยให้ Mathematics) หน้าท่ี 3-26 โดยให้ผู้เรียนเรียนรู้ด้วย

ผู้เรียนเรียนรู้ด้วยตนเอง และสามารถสอบถามข้อ ตนเอง และสามารถสอบถามข้อสงสัยระหว่างเรียนจาก

สงสัยระหว่างเรียนจากผู้สอน ผู้สอน

2. ผู้สอนและผู้เรียนร่วมกันแปลงเศษส่วนและ 2. ผู้เรียนร่วมกันกับผู้สอนแปลงเศษส่วนและ

ทศนิยม, เลขมีหลัก และไม่มีหลัก, เลขฐาน ท ศ นิ ย ม , เ ล ข มี ห ลั ก แ ล ะ ไ ม่ มี ห ลั ก , เ ล ข ฐ า น

วิทยาศาสตร์ ตามทีไ่ ด้ศกึ ษาจาก PowerPoint วิทยาศาสตร์ ตามที่ไดศ้ ึกษาจาก PowerPointตามที่ได้

ศกึ ษาจาก PowerPoint

21

กจิ กรรมการเรยี นการสอนหรอื การเรยี นรู้

ข้ันตอนการสอนหรือกจิ กรรมของครู ขัน้ ตอนการเรียนรู้หรือกิจกรรมของนักเรียน

3. ขน้ั ประยุกตใ์ ช้ 3. ขนั้ ประยุกต์ใช้

1. ผู้สอนให้ผู้เรียนทาใบงานที่ 1 ระบบจานวน 1. ผู้เรียนทาใบงานท่ี 1 ระบบจานวน หน้า 28

หนา้ 28

2. ผู้สอนให้ผู้เรียนทาแบบฝึกหัด หนว่ ยที่ 1 หน้า 2. ผ้เู รยี นทาแบบฝกึ หดั หนว่ ยท่ี 1 หน้า 29-31

29-31

3. ผู้สอนให้ผู้เรียนทากิจกรรมบูรณาการ 3D ฝึก 3. ผู้เรียนทากิจกรรมบูรณาการ 3D ฝึกทักษะภาค

ทกั ษะภาคทฤษฏี หน่วยที่ 1 หนา้ 32-33 ทฤษฏี หน่วยท่ี 1 หน้า 32-33

4. ผสู้ อนให้ผู้เรียนทากจิ กรรม บูรณาการจิตอาสา 4. ผเู้ รียนทากิจกรรม บูรณาการจิตอาสา หน่วยท่ี

หนว่ ยท่ี 1 หนา้ 33 1 หน้า 33

5. ผู้สอนให้ผู้เรียนสืบคน้ ข้อมูลจาก Web Guide 5. ผู้เรียนสืบค้นข้อมูลจาก Web Guide หน้าท่ี

หนา้ ที่ 26 หรือหาความร้เู พมิ่ เติมจากอินเทอรเ์ นต็ 26 หรือหาความรู้เพิม่ เติมจากอินเทอรเ์ น็ต

4. ขั้นสรุปและประเมนิ ผล

1. ผสู้ อนและผเู้ รยี นร่วมกนั สรปุ เนื้อหาที่ไดเ้ รยี นให้ 4. ข้ันสรปุ และประเมนิ ผล

มคี วามเข้าใจในทิศทางเดยี วกัน 1. ผู้เรยี นร่วมกนั สรุปเนื้อหาท่ีได้เรยี นให้มีความ

2. ผสู้ อนใหผ้ ู้เรียนทากิจกรรม บรู ณาการเศรษฐกิจ เขา้ ใจในทิศทางเดยี วกัน

พอเพยี ง หนา้ ที่ 34 2. ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง

3. ผู้สอนให้ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการอาเซียน หน้าท่ี 34

หน้าท่ี 34 3. ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการอาเซียน หน้าท่ี

4. ผู้สอนให้ผู้เรียนทากิจกรรมบูรณาการใน 34

ชีวติ ประจาวัน หน่วยท่ี 1 หนา้ ท่ี 35

5. ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาเพ่ิมเติมนอกห้องเรียน 4. ผู้เรียนทากิจกรรมบูรณาการในชีวิตประจาวัน

ดว้ ยบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอนทจ่ี ัดทาขึน้ หน่วยท่ี 1 หน้าท่ี 35

5. ผูเ้ รียนศึกษาเพ่ิมเตมิ นอกห้องเรียน ด้วยบทเรยี น

คอมพวิ เตอร์ชว่ ยสอนที่จัดทาขนึ้

(บรรลจุ ดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรมขอ้ ที่ 1-9) (บรรลุจดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรมขอ้ ที่ 1-9)

22

งานที่มอบหมายหรือกจิ กรรมการวัดผลและประเมนิ ผล

กอ่ นเรียน

1. จัดเตรียมเอกสาร ส่ือการเรยี นการสอนหนว่ ยที่ 1
2. ทาความเข้าใจเกี่ยวกับจุดประสงค์การเรยี นของหน่วยท่ี 1 และใหค้ วามรว่ มมือในการทากจิ กรรมใน

หนว่ ยท่ี 1

ขณะเรยี น

1. ปฏบิ ัตติ ามใบงานท่ี 1 ระบบจานวน
2. ปฏิบตั ิแบบฝกึ หดั หนว่ ยท่ี 1
3. ปฏิบตั ิกิจกรรมบูรณาการ 3D ฝกึ ทักษะภาคทฤษฏี หน่วยท่ี 1
4. ปฏบิ ตั ิกจิ กรรม บรู ณาการจิตอาสา
5. รว่ มกันสรปุ “ระบบจานวน”

หลังเรยี น

1. กิจกรรม บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง
2. กิจกรรม บูรณาการอาเซียน
3. กิจกรรมบูรณาการในชีวติ ประจาวัน หนว่ ยท่ี 1

ผลงาน/ช้ินงาน/ความสาเรจ็ ของผเู้ รียน

ใบงาน แบบฝกึ หัด กิจกรรมทง้ั หมด

23

ส่ือการเรียนการสอน/การเรยี นรู้

สื่อส่งิ พิมพ์
1. เอกสารประกอบการสอน วิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ ( Computer Mathematics)
(ใชป้ ระกอบการเรยี นการสอนจุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรมขอ้ ที่ 1-9)
2. ใบความรู้ท่ี 1 เร่ือง ระบบจานวน (ใช้ประกอบการเรียนการสอนขั้นให้ความรู้ เพื่อให้บรรลุ
จุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรมขอ้ ที่ 1-7)
3. ใบงานท่ี 1 ระบบจานวน ขนั้ ประยุกตใ์ ช้ ขอ้ 1
4. แบบฝกึ หัด หนว่ ยท่ี 1 ขัน้ ประยกุ ตใ์ ช้ ข้อ 2
5. กจิ กรรมบรู ณาการ 3D ฝึกทกั ษะภาคทฤษฏี หน่วยที่ 1 ขัน้ ประยกุ ต์ใช้ ขอ้ 3
6. กจิ กรรม บรู ณาการจิตอาสา ขน้ั ประยกุ ต์ใช้ ข้อ 4
7. กิจกรรม บรู ณาการเศรษฐกจิ พอเพียง ขนั้ สรปุ และประเมินผล ข้อ 2

8. กจิ กรรม บรู ณาการอาเซียน สรุปและประเมินผล ขอ้ 3

9. กิจกรรมบรู ณาการในชีวติ ประจาวนั หนว่ ยท่ี 1 สรุปและประเมินผล ขอ้ 4

10. แบบประเมินผลงานตามใบงาน ใชป้ ระกอบการสอนขัน้ ประยุกตใ์ ช้ ขอ้ 1
11. แบบประเมนิ พฤตกิ รรมการทางานกล่มุ ใช้ประกอบการสอนขนั้ ประยุกตใ์ ช้ ขอ้ 2

สอ่ื โสตทัศน์ (ถ้ามี)
1. เครอื่ งไมโครคอมพิวเตอร์
2. PowerPoint เร่อื ง ระบบจานวน

สอ่ื ของจรงิ
ระบบจานวน (ใช้ประกอบการเรียนการสอนจุดประสงค์เชงิ พฤติกรรมข้อที่ 1-9)

24

แหล่งการเรียนรู้

ในสถานศกึ ษา
1. หอ้ งสมุดวทิ ยาลยั เทคนิคสมุทรสาคร
2. ห้องปฏิบัตกิ ารคอมพวิ เตอร์ ศกึ ษาหาข้อมลู ทางอินเทอรเ์ น็ต

นอกสถานศกึ ษา
ผ้ปู ระกอบการ สถานประกอบการ ในทอ้ งถิน่ จงั หวดั สมทุ รสาคร

การบูรณาการ/ความสมั พันธ์กบั วชิ าอน่ื

1. บรู ณาการกับวิชาคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน
2. บูรณาการกับวิชาแคลคูลัส

25

การประเมนิ ผลการเรยี นรู้
 หลักการประเมนิ ผลการเรยี นรู้

กอ่ นเรียน
ความร้เู บ้อื งตน้ ก่อนการเรียนการสอน

ขณะเรยี น
1. ตรวจผลงานตามใบงานที่ 1 ระบบจานวน
2. ตรวจแบบฝกึ หดั หน่วยท่ี 1
3. ตรวจกจิ กรรมบรู ณาการ 3D ฝึกทักษะภาคทฤษฏี หนว่ ยท่ี 1
4. ตรวจกจิ กรรม บรู ณาการจิตอาสา
5. สังเกตการทางาน

หลังเรียน
1. ตรวจกิจกรรม บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพียง
2. ตรวจกจิ กรรม บูรณาการอาเซียน
3. ตรวจกิจกรรมบูรณาการในชวี ติ ประจาวนั หน่วยที่ 1

คาถาม

1. จงอธิบายวิวฒั นาการของระบบจานวน
2. จานวน และตัวเลขแตกต่างกันหรอื ไม่อยา่ งไร
3. โครงสรา้ งระบบจานวนมลี ัษณะอยา่ งไร
4. เลขจานวนเต็ม คือ
5. การแปลงเศษส่วนและทศนิยม, เลขมีหลัก และไม่มีหลัก, เลขฐานวิทยาศาสตร์มหี ลกั การอะไรบา้ ง
6. ประยกุ ตใ์ ช้ในการดารงชีวติ ได้อยา่ งไร

26

ผลงาน/ชน้ิ งาน/ผลสาเรจ็ ของผู้เรยี น

ตรวจผลใบงาน แบบฝึกหัด กิจกรรมทง้ั หมด

สมรรถนะทพี่ งึ ประสงค์

ผู้เรยี นสรา้ งความเขา้ ใจเกีย่ วกับระบบจานวน
1. วิเคราะหแ์ ละตคี วามหมาย
2. ตั้งคาถาม
3. อภิปรายแสดงความคิดเหน็ ระดมสมอง
4. การประยุกตค์ วามร้สู งู่ านอาชีพ

สมรรถนะการปฏิบตั งิ านอาชีพ

1. แปลงเศษสว่ นและทศนิยม, เลขมีหลกั และไมม่ หี ลกั , เลขฐานวิทยาศาสตร์ และสามารถประยุกตใ์ ช้
ในการดารงชีวิต

สมรรถนะการขยายผล

ความสอดคล้อง
จากการเรียนเร่ือง ระบบจานวน ทาให้ผู้เรียนมีความรู้เพ่ิมเกี่ยวกับโดยเร่ิมรู้จักการนับ (Counting)
และพยายามคิดค้นและพัฒนาเคร่ืองมือที่ช่วยในการคิดคานวณเป็นลาดับเรื่อยมา ตั้งแต่การใช้น้ิวมือ ก้อนหิน
กิ่งไม้ รอยขีด เป็นต้น เม่ือสังคมได้พัฒนามากข้ึน มนุษย์รู้จักการเลี้ยงสัตว์ เพาะปลูก แลกเปลี่ยนสิ่งของ
และคา้ ขาย การคานวณยงิ่ มีความสาคญั และความจาเปน็ สาหรบั การดารงชวี ิตเปน็ ลาดับ

27

รายละเอยี ดการประเมนิ ผลการเรยี นรู้

 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อท่ี 1 อธิบายวิวัฒนาการของระบบจานวนได้

1. วธิ ีการประเมนิ : ทดสอบ

2. เครื่องมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : อธบิ ายวิวฒั นาการของระบบจานวนได้จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม ข้อท่ี 2 เปรยี บเทยี บจานวน และตวั เลขได้

1. วธิ กี ารประเมิน : ทดสอบ

2. เคร่ืองมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : เปรียบเทยี บจานวน และตัวเลขได้จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม ข้อที่ 3 วิเคราะห์โครงสรา้ งระบบจานวนได้

1. วิธกี ารประเมิน : ทดสอบ

2. เคร่อื งมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การให้คะแนน : วิเคราะห์โครงสรา้ งระบบจานวนได้ จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม ข้อท่ี 4 แยกแยะเลขจานวนเตม็ ได้

1. วธิ ีการประเมนิ : ทดสอบ

2. เครื่องมอื : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การให้คะแนน : แยกแยะเลขจานวนเตม็ ได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 5 จดจาความสัมพันธข์ องระบบจานวนได้

1. วิธีการประเมิน : ทดสอบ

2. เครอื่ งมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การให้คะแนน : จดจาความสมั พนั ธข์ องระบบจานวนได้ จะได้ 1 คะแนน

28

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 6 แปลงเศษส่วนและทศนิยม, เลขมีหลัก และไม่มีหลัก, เลขฐาน

วิทยาศาสตรไ์ ด้

1. วธิ ีการประเมิน : ทดสอบ

2. เคร่อื งมอื : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การให้คะแนน : แปลงเศษส่วนและทศนยิ ม, เลขมหี ลกั และไมม่ ีหลัก, เลขฐาน

วทิ ยาศาสตร์ได้จะได้ 3 คะแนน

 จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม ข้อที่ 7 ประยกุ ตใ์ ช้ในการดารงชีวติ ให้เหมาะสม

1. วิธกี ารประเมนิ : ทดสอบ

2. เครื่องมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การให้คะแนน : บอกคุณลกั ษณะของคอมพิวเตอรไ์ ด้ จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อท่ี 8 การเตรียมความพร้อมด้านการเตรียม วัสดุ อุปกรณ์นักศึกษาจะต้อง

กระจายงานได้ท่ัวถึง และตรงตามความสามารถของสมาชิกทุกคน มีการจัดเตรียมสถานท่ี สื่อ วัสดุ

อุปกรณ์ไว้อย่างพร้อมเพรียง

1. วิธีการประเมนิ : ตรวจผลงาน

2. เครื่องมอื : แบบประเมินกระบวนการทางานกลุม่

3. เกณฑ์การให้คะแนน : การเตรยี มความพรอ้ มดา้ นการเตรยี ม วสั ดุ อุปกรณ์นักศึกษา

จะต้องกระจายงานได้ทัว่ ถงึ และตรงตามความสามารถของสมาชิกทกุ คน มกี ารจัดเตรียมสถานท่ี สื่อ

วสั ดุ อปุ กรณ์ไว้อย่างพรอ้ มเพรียง จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม ขอ้ ท่ี 9 ความมเี หตุมีผลในการปฏิบัติงาน ตามหลักปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

นักศึกษาจะต้องมีการใช้ เทคนิคท่ีแปลกใหม่ใช้สื่อและเทคโนโลยีประกอบการนาเสนอที่น่าสนใจนาวัสดุใน

ทอ้ งถนิ่ มาประยุกต์ใช้ อยา่ งคุม้ ค่าและประหยดั

1. วธิ ีการประเมนิ : ตรวจผลงาน

2. เครือ่ งมือ : แบบประเมนิ กระบวนการทางานกลุ่ม

3. เกณฑ์การให้คะแนน : ความมีเหตมุ ผี ลในการปฏบิ ัติงาน ตามหลกั ปรัชญาของเศรษฐกจิ พอเพยี ง

นักศกึ ษาจะตอ้ งมีการใช้ เทคนิคที่แปลกใหม่ใชส้ อ่ื และ เทคโนโลยีประกอบการนาเสนอที่นา่ สนใจนา วสั ดุ

ในท้องถนิ่ มาประยกุ ต์ใชอ้ ยา่ งคุ้มคา่ และประหยัด จะได้ 1 คะแนน

29

ใบงานที่ 1 ระบบจานวน

คาสั่ง ให้นกั เรียนศึกษาคน้ ควา้ หาขอ้ มลู เพ่มิ เติมเกย่ี วกับเทคนคิ การแปลงเศษสว่ นและทศนยิ ม, เลขมีหลัก และ
ไมม่ หี ลัก, เลขฐานวิทยาศาสตร์ พรอ้ มกรอกข้อมลู ดา้ นลา่ ง

รปู ภำพแหลง่ ขอ้ มูล

1. แหลง่ ความรู้
2. เทคนิคท่คี วรจดจา

30

แบบประเมนิ ผลการนาเสนอผลงาน
ช่อื กลุ่ม……………………………………………ช้นั ………………………หอ้ ง...........................

รายชือ่ สมาชกิ

1……………………………………เลขที่……. 2……………………………………เลขท…่ี ….

3……………………………………เลขท่ี……. 4……………………………………เลขท…ี่ ….

ที่ รายการประเมนิ คะแนน ขอ้ คดิ เหน็

32 1

1 เน้อื หาสาระครอบคลมุ ชดั เจน (ความรเู้ ก่ียวกบั เนอื้ หา ความถูกตอ้ ง

ปฏภิ าณในการตอบ และการแก้ไขปัญหาเฉพาะหน้า)

2 รูปแบบการนาเสนอ

3 การมสี ว่ นร่วมของสมาชิกในกลมุ่

4 บุคลกิ ลักษณะ กิริยา ท่าทางในการพูด นา้ เสียง ซึ่งทาให้ผู้ฟังมีความ

สนใจ

รวม

ผปู้ ระเมิน…………………………………………………

เกณฑ์การใหค้ ะแนน
1. เนื้อหาสาระครอบคลุมชดั เจนถูกตอ้ ง

3 คะแนน = มสี าระสาคญั ครบถ้วนถกู ตอ้ ง ตรงตามจดุ ประสงค์
2 คะแนน = สาระสาคญั ไม่ครบถว้ น แตต่ รงตามจดุ ประสงค์
1 คะแนน = สาระสาคัญไมถ่ กู ต้อง ไมต่ รงตามจุดประสงค์
2. รปู แบบการนาเสนอ
3 คะแนน = มรี ปู แบบการนาเสนอทเี่ หมาะสม มกี ารใช้เทคนิคทแ่ี ปลกใหม่ ใชส้ ่ือและเทคโนโลยี

ประกอบการ นาเสนอทน่ี า่ สนใจ นาวัสดุในท้องถ่นิ มาประยุกตใ์ ชอ้ ย่างคุ้มคา่ และประหยดั
คะแนน = มเี ทคนิคการนาเสนอท่ีแปลกใหม่ ใชส้ ือ่ และเทคโนโลยีประกอบการนาเสนอท่ีนา่ สน ใจ แต่ขาดการ

ประยุกตใ์ ช้ วสั ดุในทอ้ งถิน่
1 คะแนน = เทคนิคการนาเสนอไม่เหมาะสม และไมน่ ่าสนใจ
3. การมสี ว่ นรว่ มของสมาชิกในกลุ่ม
3 คะแนน = สมาชกิ ทุกคนมีบทบาทและมีสว่ นร่วมกจิ กรรมกลุม่
2 คะแนน = สมาชิกสว่ นใหญม่ ีบทบาทและมีส่วนร่วมกิจกรรมกลุ่ม
1 คะแนน = สมาชิกสว่ นนอ้ ยมีบทบาทและมีสว่ นร่วมกิจกรรมกลุ่ม
4. ความสนใจของผู้ฟัง
3 คะแนน = ผฟู้ งั มากกวา่ ร้อยละ 90 สนใจ และใหค้ วามร่วมมือ
2 คะแนน = ผูฟ้ งั ร้อยละ 70-90 สนใจ และให้ความรว่ มมอื
1 คะแนน = ผู้ฟงั น้อยกวา่ ร้อยละ 70 สนใจ และให้ความร่วมมือ

31

แบบประเมินกระบวนการทางานกล่มุ

ชอื่ กล่มุ ……………………………………………ช้นั ………………………ห้อง...........................

รายชอื่ สมาชกิ 2……………………………………เลขท่ี…….
4……………………………………เลขที่…….
1……………………………………เลขท…ี่ ….
3……………………………………เลขท…ี่ ….

ท่ี รายการประเมิน คะแนน ขอ้ คิดเห็น

1 การกาหนดเป้าหมายรว่ มกนั 321
2 การแบ่งหนา้ ทร่ี ับผดิ ชอบและการเตรยี มความพร้อม
3 การปฏิบัตหิ น้าทที่ ่ีไดร้ บั มอบหมาย
4 การประเมนิ ผลและปรับปรุงงาน

รวม

ผู้ประเมิน…………………………………………………
วนั ท่ี…………เดือน……………………..พ.ศ…………...

เกณฑ์การให้คะแนน

1. การกาหนดเป้าหมายรว่ มกนั
3 คะแนน = สมาชกิ ทุกคนมีสว่ นร่วมในการกาหนดเปา้ หมายการทางานอยา่ งชัดเจน
2 คะแนน = สมาชกิ ส่วนใหญม่ สี ่วนรว่ มในการกาหนดเปา้ หมายในการทางาน
1 คะแนน = สมาชิกส่วนนอ้ ยมสี ว่ นร่วมในการกาหนดเป้าหมายในการทางาน

2. การมอบหมายหน้าที่รบั ผดิ ชอบและการเตรยี มความพร้อม
3 คะแนน = กระจายงานไดท้ ่วั ถึง และตรงตามความสามารถของสมาชิกทกุ คน มกี ารจดั เตรยี มสถานที่ สือ่ /
อปุ กรณไ์ ว้อย่างพร้อมเพรียง
2 คะแนน = กระจายงานไดท้ ว่ั ถงึ แต่ไมต่ รงตามความสามารถ และมีสอื่ / อปุ กรณไ์ ว้อยา่ งพร้อมเพรยี ง แตข่ าด
การจดั เตรียมสถานที่
1 คะแนน = กระจายงานไม่ทว่ั ถึงและมสี ่ือ / อปุ กรณ์ไม่เพียงพอ

3. การปฏบิ ตั หิ น้าทท่ี ่ีไดร้ ับมอบหมาย
3 คะแนน = ทางานได้สาเรจ็ ตามเป้าหมาย และตามเวลาท่กี าหนด
2 คะแนน = ทางานไดส้ าเรจ็ ตามเปา้ หมาย แตช่ า้ กว่าเวลาทกี่ าหนด
1 คะแนน = ทางานไม่สาเร็จตามเป้าหมาย

4. การประเมินผลและปรับปรุงงาน
3 คะแนน = สมาชิกทกุ คนรว่ มปรกึ ษาหารอื ติดตาม ตรวจสอบ และปรบั ปรุงงานเปน็ ระยะ
2 คะแนน = สมาชกิ บางส่วนมสี ่วนรว่ มปรึกษาหารือ แต่ไม่ปรบั ปรงุ งาน
1 คะแนน = สมาชิกบางส่วนไม่มีสว่ นร่วมปรึกษาหารอื และปรับปรุงงาน

32

เฉลยแบบฝกึ หัด หนว่ ยที่ 1

คาสัง่ จงตอบคาถามต่อไปน้ี
1. จานวน และตัวเลข หมายถึง

จานวน (Number) หมายถงึ ตัวบ่งช้ีปรมิ าณ ซงึ่ เปน็ ผลมาจากตัวเลข (Numeral) ประกอบกัน
ตัวเลข (Numeral) หมายถึง ส่ือหรือสัญลักษณ์แทนการนับจานวน ซึ่งสามารถบ่งชี้ปริมาณโดยตัวเลข
ได้ถือกาเนิดมาเพ่ือหลายพันปีก่อน โดยชาวอิยิปต์ และเม่ือมีการติดต่อกับอารยธรรมอ่ืนๆ ได้เกิดวิวัฒนาการ
ตวั เลขอ่นื ๆ ตามมา เชน่ ตวั เลขบาบโิ ลน ตัวเลขโรมนั ตวั เลขจนี และอกี มากมายรวมทงั้ ตัวเลขไทย ซึ่งทไ่ี ดร้ ับ
ความนิยมมากทส่ี ุด ได้แก่ ตัวเลขฮินดูอารบิก ซึ่งประกอบไปด้วยตัวเลข 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 และ 9 ซงึ่ เมื่อค่าของจานวนมีค่ามากกว่า 9 ข้ึนไปจะเกิดการประกอบกันข้ึนมาของตัวเลขท้งั 10

2. จานวนเต็ม หมายถึง
จานวนเต็ม (Integer) คือ จานวนท่ีเป็นเลขลงตัวไม่มีเศษ หรือมีค่าหลังจุดทศนิยมเป็นศูนย์ หมายถึง

จานวนเต็มบวก (Positive Integer) จานวนเต็มศนู ย์ (Zero Integer) และจานวนเตม็ ลบ (Negative Integer)
เน่ืองจากโดยท่ัวไปแลว้ ไม่ได้มีแตจ่ านวนเตม็ บวกเท่านั้นทใ่ี ชบ่ ่งชี้ปริมาณ เช่น อุณหภมู ิของอากาศติดลบ จานวน
เงนิ คงเหลือกในบญั ชขี องธนาคาร เปน็ ตน้

3. จงเขียนเศษสว่ นต่อไปนี้ใหอ้ ยู่ในรูปทศนิยม
1

3.1 6 = 0.16

3.2 4 = 0.12
33

3.3 1 = 0.1
9

3.4 19 = 0.72
11

3.5 399880= 0.391

33

4. จงเปลยี่ นตัวเลขตอ่ ไปนีใ้ หอ้ ยู่ในรูปตัวเลขโรมนั

4.1 39 = XXXIX

4.2 468 = CDLXVIII

4.3 9250 = I̅XCCL

4.4 12475 = ̅

4.5 68043 = L̅̅̅X̅̅V̅̅I̅I̅IXLIII

5. จงเปลยี่ นตวั เลขโรมันต่อไปน้ีให้อยใู่ นรูปตัวเลขอารบิก

5.1 MMDCLV = 2655

5.2 CDXIII = 413

5.3 DCIX = 609

5.4 I̅V DXXVII = 4527

5.5 L̅X DCCLXXI = 60,771

6. จงเปลย่ี นจานวนต่อไปนใ้ี ห้อยู่ในรปู ตวั เลขทางวทิ ยาศาสตร์

6.1 748000 = 7.48 × 105

6.2 0.2580 = 2.58 × 10−1

6.3 0.000637 = 6.37 × 10−4

6.4 0.025 = 2.5 × 10−2

6.5 98765 = 9.8765 × 104

7. จงหาคา่ ของจานวนตอ่ ไปน้ี

7.1 1.234 × 104 = 12,340

7.2 4.05 × 10-3 = 0.00405

7.3 1.0275 × 102 = 102.75

7.4 7.25 × 10-4 = 0.000725

7.5 2.478 × 101 = 24.78

8. จงหาค่าประจาหลักในตาแหน่งที่ตัวเลขปรากฏ

8.1 2543 เลข 4 มคี ่าเทา่ ใด 4 × 10 = 40

8.2 1234 เลข 4 มคี ่าเทา่ ใด 4 × 1 = 4

8.3 5432 เลข 4 มคี ่าเท่าใด 4 × 100 = 400

8.4 1532 เลข 1 มคี า่ เท่าใด 1 × 1,000 = 1,000

8.5 345 เลข 3 มีค่าเทา่ ใด 3 × 100 = 300

34

9. จงแปลงเลขทางวทิ ยาศาสตร์ตอ่ ไปน้ีให้อยใู่ นรปู ปกติ

9.1 53 × 101 มีคา่ เทา่ ใด 530

9.2 5.2 × 102 มคี ่าเทา่ ใด 520

9.3 5.32 × 10-3 มีค่าเทา่ ใด 0.00532

9.4 42.2 × 102 มคี ่าเทา่ ใด 4,220

9.5 101.5 × 103 มคี ่าเท่าใด 101,500

10. จงเขยี นคาตอบของเลขตอ่ ไปนี้

10.1 a2 + a6 มีค่าเทา่ ใด a8

10.2 (a2)3 มคี ่าเท่าใด a6

10.3 a ∙ 2-1 มคี า่ เท่าใด 0.5a
10.4 (2a)2
10.5 a0 มคี ่าเท่าใด 22 ∙ a2

10.6 (4a)2 มีคา่ เทา่ ใด 1 (โดยท่ี a≠0)

1 มคี า่ เทา่ ใด a2
42
10.7 a4
มีคา่ เทา่ ใด √4 a
a4
10.8 a2 มคี ่าเทา่ ใด a2

10.9 a-2 มีค่าเท่าใด 1
a2

คาสั่ง ตอนท่ี 1 ให้นกั เรียนเช่ือมโยงความสัมพันธ์ให้ถูกต้อง 35

นกั ปรัชญำ นักคณิตศำสตร์ นกั ดำรำศำสตรช์ ำวกรีก เธ เนเปอร์ จอห์น เน
ลสี ไดท้ ำนำยว่ำจะเกิดสุริยครำสลว่ งหน้ำซ่งึ ไดเ้ กิดขึ้น เปยี ร์
ก่อนพุทธศักรำช 42 ปี
ผู้ริเรมิ่ ตงั้ โรงเรยี นสอนวิชำคณิตศำสตร์และปรัชญำ ปีทำโกรัส
เธลีส
กำรหำพ้ืนท่ีวงกลม ปริมำตรของทรงกระบอกและกรวย
เซอร์ไอแซก นิวตนั
ประดิษฐบ์ รรทัดคำนวณขึน้ โดยใช้หลักเกณฑข์ อง จอห์น ฟอน นอยมันน์
ลอกำรทิ มึ
อำร์คีมีดสี
ได้รบั กำรยกย่องวำ่ เปน็ คนแรกท่ปี ระดิษฐ์เครอื่ งคดิ เลข คำรล์ ฟรีดริค เกำส์
แบรน์ ฮำรด์ รีมนั น์
ค้นพบวิชำแคลคูลสั
แบลส ปำสกำล
มีผลงำนดีเด่น เช่น พีชคณิต กำรวิเครำะห์ทฤษฎี
จำนวน กำรวิเครำะห์เชิงตัวเลขควำมน่ำจะเป็นและ
สถิตศิ ำสตร์ ฯลฯ
ผลงำนในด้ำนเรขำคณิต ทฤษฎีของฟังก์ชันวิเครำะห์ที่มี
ตวั แปรเป็นจำนวนเชิงซอ้ น ทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีศักย์ โท
โปโลยี
มีผลงำนท้ังในด้ำนคณิตศำสตร์บริสุทธิ์ คณิตศำสตร์
ประยกุ ตแ์ ละเศรษฐศำสตร์