คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์

86

ขนั้ ตอนการสอนหรือกิจกรรมของครู ขัน้ ตอนการเรยี นรหู้ รือกิจกรรมของนกั เรียน

5. ผู้สอนใหผ้ ้เู รียนสบื ค้นข้อมูลจาก Web Guide 5. ผู้เรียนสืบค้นข้อมูลจาก Web Guide หน้าท่ี

หนา้ ที่ 38 หรอื หาความรเู้ พิ่มเตมิ จากอนิ เทอรเ์ นต็ 38 หรือหาความร้เู พ่มิ เตมิ จากอินเทอร์เน็ต

4. ข้นั สรปุ และประเมินผล

1. ผสู้ อนและผู้เรียนร่วมกันสรุปเน้ือหาท่ีไดเ้ รียนให้ 4. ขนั้ สรปุ และประเมนิ ผล

มคี วามเขา้ ใจในทิศทางเดียวกัน 1. ผู้เรียนรว่ มกันสรปุ เน้ือหาท่ีได้เรียนใหม้ คี วาม

2. ผู้สอนให้ผู้เรยี นทากจิ กรรม บรู ณาการเศรษฐกิจ เข้าใจในทิศทางเดียวกัน

พอเพยี ง หน้าท่ี 95 2. ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการเศรษฐกิจพอเพียง

3. ผู้สอนให้ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการอาเซียน หนา้ ท่ี 95

หนา้ ที่ 96 3. ผู้เรียนทากิจกรรม บูรณาการอาเซียน หน้าที่

4. ผู้สอนให้ผู้เรียนศึกษาเพิ่มเติมนอกห้องเรียน 96

ดว้ ยบทเรยี นคอมพิวเตอรช์ ว่ ยสอนทจี่ ดั ทาขึ้น

4. ผู้เรยี นศกึ ษาเพ่ิมเตมิ นอกห้องเรยี น ด้วยบทเรยี น

(บรรลุจุดประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรมข้อที่ 1-11) คอมพวิ เตอรช์ ว่ ยสอนทจี่ ดั ทาขึน้

(บรรลุจุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรมข้อที่ 1-11)

งานที่มอบหมายหรอื กจิ กรรมการวดั ผลและประเมนิ ผล

87

ก่อนเรยี น

1. จดั เตรียมเอกสาร สือ่ การเรียนการสอนหน่วยท่ี 3
2. ทาความเข้าใจเกีย่ วกบั จุดประสงค์การเรยี นของหนว่ ยเรียนที่ 3 และใหค้ วามร่วมมอื ในการทา

กิจกรรมต่าง ๆ

ขณะเรียน

1. ปฏบิ ตั ิตามใบงานท่ี 3 ระบบเลขฐาน
2. ปฏบิ ตั แิ บบฝึกหดั หน่วยท่ี 3
3. ปฏิบตั กิ ิจกรรมบูรณาการ 3D ฝกึ ทกั ษะภาคทฤษฏี หนว่ ยท่ี 3
4. ปฏบิ ตั ิกจิ กรรม บรู ณาการจิตอาสา
5. รว่ มกนั สรุป “ระบบเลขฐาน”

 หลงั เรียน

1. สรุปเน้ือหา
2. ทากิจกรรม บรู ณาการเศรษฐกจิ พอเพียง
3. ทากิจกรรม บรู ณาการอาเซียน
4. ทากจิ กรรมบรู ณาการในชวี ิตประจาวนั หนว่ ยท่ี 3

ผลงาน/ช้นิ งาน/ความสาเร็จของผเู้ รียน

ใบงาน แบบฝกึ หดั กิจกรรมท้งั หมด

สือ่ การเรียนการสอน/การเรียนรู้

สื่อสง่ิ พมิ พ์

88

1. เอกสารประกอบการสอนวชิ า คณติ ศาสตร์คอมพวิ เตอร์ (Computer Mathematics)
(ใชป้ ระกอบการเรียนการสอนจดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรมข้อท่ี 1-11)

2. ใบความรู้ที่ 3 เร่ือง คอมพิวเตอร์กับเลขฐาน (ใช้ประกอบการเรียนการสอนขั้นให้ความรู้ เพื่อให้
บรรลุจุดประสงคเ์ ชงิ พฤตกิ รรมขอ้ ท่ี 1-9)

3. ใบงานท่ี 3 คอมพวิ เตอร์กับเลขฐาน ขน้ั ประยุกตใ์ ช้ ขอ้ 1
4. แบบฝกึ หดั หน่วยท่ี 3 ขน้ั ประยุกต์ใช้ ข้อ 2
5. กจิ กรรมบรู ณาการ 3D ฝึกทกั ษะภาคทฤษฏี หน่วยท่ี 3 ข้นั ประยุกตใ์ ช้ ข้อ 3
6. กิจกรรม บรู ณาการจิตอาสา ขนั้ ประยุกตใ์ ช้ ขอ้ 4
7. กิจกรรม บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพียง ขน้ั สรปุ และประเมนิ ผล ขอ้ 2
8. กจิ กรรม บรู ณาการอาเซียน สรปุ และประเมินผล ข้อ 3
9. แบบประเมินผลงานตามใบงาน ใชป้ ระกอบการสอนขัน้ ประยกุ ตใ์ ช้ ข้อ 1
10. แบบประเมินพฤติกรรมการทางานกลุ่ม ใชป้ ระกอบการสอนขน้ั ประยุกต์ใช้ ขอ้ 2

สือ่ โสตทัศน์ (ถา้ มี)

1. เครือ่ งไมโครคอมพวิ เตอร์
2. PowerPoint เรอ่ื ง คอมพวิ เตอร์กบั เลขฐาน

สื่อของจริง
คอมพวิ เตอร์กับเลขฐาน (ใช้ประกอบการเรียนการสอนจดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรมข้อที่ 1-11)

แหล่งการเรยี นรู้

ในสถานศึกษา

89

1. หอ้ งสมดุ วทิ ยาลัยเทคนิคสมทุ รสาคร
2. หอ้ งปฏบิ ตั กิ ารคอมพวิ เตอร์ ศึกษาหาข้อมลู ทางอนิ เทอร์เน็ต
นอกสถานศกึ ษา

ผู้ประกอบการ สถานประกอบการ ในทอ้ งถ่ินจังหวัดสมทุ รสาคร

การบูรณาการ/ความสมั พันธก์ ับวชิ าอนื่

1. บรู ณาการกบั วิชาคณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน
2. บูรณาการกับวชิ าแคลคูลสั

การประเมินผลการเรยี นรู้
 หลักการประเมนิ ผลการเรยี นรู้

90

ก่อนเรยี น
ความรเู้ บ้ืองต้นก่อนการเรยี นการสอน

ขณะเรียน
1. ตรวจผลงานตามใบงานที่ 3 ระบบเลขฐาน
2. ตรวจแบบฝกึ หัด หน่วยท่ี 3
3. ตรวจกจิ กรรมบูรณาการ 3D ฝกึ ทักษะภาคทฤษฏี หน่วยที่ 3
4. ตรวจกจิ กรรม บรู ณาการจติ อาสา
5. สังเกตการทางานกลุ่ม

หลังเรียน
1. ตรวจกิจกรรม บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง
2. ตรวจกจิ กรรม บรู ณาการอาเซียน
3. ตรวจกิจกรรมบูรณาการในชีวิตประจาวัน หน่วยท่ี 3

คาถาม

1. จงอธิบายการแปลงระบบเลขฐาน
2. การเปลีย่ นแปลงเลขฐานตา่ งๆ เปน็ เลขฐานสบิ มวี ธิ ีการอย่างไร

ผลงาน/ชิ้นงาน/ผลสาเร็จของผู้เรยี น

ตรวจผลใบงาน แบบฝึกหดั กจิ กรรมทง้ั หมด

สมรรถนะทีพ่ งึ ประสงค์

ผู้เรยี นสรา้ งความเขา้ ใจเก่ยี วกบั ระบบเลขฐาน
1. วเิ คราะห์และตีความหมาย
2. ตง้ั คาถาม

91

3. อภิปรายแสดงความคดิ เห็นระดมสมอง
4. การประยุกต์ความรสู้ ูง่ านอาชีพ

สมรรถนะการปฏิบตั ิงานอาชีพ

1. แปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

สมรรถนะการขยายผล

ความสอดคล้อง
จากการเรยี น เร่ือง ระบบเลขฐาน ทาให้ผู้เรียนทราบหลักการ และสามารเปลยี่ นระบบเลขฐานต่างๆ
ได้ เน่ืองจากมนุษย์ไม่คุ้ยเคยกับเลขฐานสอง ฐานแปด ฐานสิบหก ซึ่งเป็นรหัสที่ใช้กันในระบบคอมพิวเตอร์
โปรแกรมภาษาคอมพิวเตอรส์ ่วนใหญ่เปน็ ภาษาระดบั สูง เม่ือเขียนโปรแกรมสั่งงานคอมพิวเตอร์ คอมพวิ เตอร์ไม่
สามารถเข้าใจภาษาระดับสูงหรือภาษามนุษย์ได้ ดังนั้น จึงมีการแปลงภาษาเหล่านั้นเป็นภาษาที่เคร่ือง
คอมพิวเตอร์เข้าใจก่อน ต้องมีการเปล่ียนเลขฐานสลับไปมา ระหว่างเลขฐานสิบ เลขฐานแปด เลขฐานสิบหก
เวลานาข้อมูลผ่านการประมวลผลตามวิธีของระบบคอมพิวเตอร์ออกแสดงผลก็จะแปลงรหัสนั้นเป็นรหัสที่มนุษย์
เขา้ ใจ

แบบประเมนิ ผลการนาเสนอผลงาน
ชอื่ กลุ่ม……………………………………………ช้นั ………………………หอ้ ง...........................

รายชื่อสมาชิก

1……………………………………เลขท…ี่ …. 2……………………………………เลขท่ี…….
3……………………………………เลขท…ี่ …. 4……………………………………เลขท่ี…….

92

รายละเอยี ดการประเมนิ ผลการเรียนรู้

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อท่ี 1 อธิบายการแปลงระบบเลขฐานได้

1. วธิ กี ารประเมิน : ทดสอบ

2. เครอ่ื งมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : อธบิ ายการแปลงระบบเลขฐานได้จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม ข้อท่ี 2 เปล่ยี นแปลงเลขฐานต่างๆ เปน็ เลขฐานสิบได้

1. วิธกี ารประเมนิ : ทดสอบ
2. เคร่อื งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : เปลีย่ นแปลงเลขฐานต่างๆ เปน็ เลขฐานสิบได้จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 3 แปลงเลขฐานสบิ ให้เปน็ เลขฐานตา่ งได้

1. วธิ กี ารประเมิน : ทดสอบ
2. เครือ่ งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : แปลงเลขฐานสิบ ใหเ้ ปน็ เลขฐานต่างได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม ข้อท่ี 4 เปลยี่ นเลขฐานสบิ ทีเ่ ป็นทศนิยมเป็นฐานต่างๆ ได้

1. วิธกี ารประเมนิ : ทดสอบ
2. เครื่องมอื : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การให้คะแนน : เปลีย่ นเลขฐานสบิ ทเ่ี ป็นทศนยิ มเป็นฐานต่างๆ ได้จะได้ 1 คะแนน

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 5 บวกและการลบเลขฐานได้

1. วิธีการประเมนิ : ทดสอบ
2. เคร่อื งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การให้คะแนน : บวกและการลบเลขฐานได้จะได้ 1 คะแนน

93

 จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม ข้อท่ี 6 คณู และการหารเลขฐานได้

1. วิธีการประเมิน : ทดสอบ
2. เครอ่ื งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การให้คะแนน : คณู และการหารเลขฐานได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม ข้อที่ 7 แปลงระหวา่ งระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้

1. วิธีการประเมิน : ทดสอบ
2. เคร่ืองมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การให้คะแนน : แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและเลขฐานแปดได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม ข้อท่ี 8 แปลงระหว่างระบบเลขฐานสองและฐานสบิ หกได้

1. วิธีการประเมิน : ทดสอบ
2. เครือ่ งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : แปลงระหวา่ งระบบเลขฐานสองและฐานสบิ หกได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 9 แปลงระหว่างเลขฐานแปดและฐานสิบหกได้

1. วิธกี ารประเมิน : ทดสอบ

2. เครือ่ งมือ : แบบทดสอบ

3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : แปลงระหวา่ งเลขฐานแปดและฐานสบิ หกได้ จะได้ 1 คะแนน

 จดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 10 ปฏิบตั ิงานโดยใช้หลักความมีเหตุและผลในการตดั สินใจ

1. วธิ กี ารประเมิน : ทดสอบ
2. เครือ่ งมือ : แบบทดสอบ
3. เกณฑ์การใหค้ ะแนน : ปฏิบัตงิ านโดยใช้หลกั ความมีเหตุ และผลในการตัดสินใจ

จะได้ 0.5 คะแนน

94

 จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม ข้อที่ 11 มคี วามซื่อสตั ย์ กับเพื่อนรว่ มงาน

1. วิธีการประเมิน : ตรวจผลงาน

2. เครื่องมอื : แบบประเมินกระบวนการทางานกลมุ่

3. เกณฑ์การให้คะแนน : มคี วามซื่อสตั ย์ กับเพ่ือนรว่ มงาน จะได้ 0.5 คะแนน

95

ใบงานท่ี 3 ระบบเลขฐาน

คาสั่ง ให้นักเรียนสารวจข้อมูลเกี่ยวกับการทางานของเคร่ืองคอมพิวเตอร์ โดยสอบถามบุคคลท่ัวไป (เพื่อน, พี่,
ฯลฯ) วา่ คอมพวิ เตอรเ์ ขา้ ใจภาษามนุษย์ไดอ้ ย่างไร

1

1. ชือ่ -นามสกุล
2. อาชีพ
3. ใช้คอมพิวเตอรท์ าอะไรบ้าง

4. เครอ่ื งคอมพวิ เตอร์เขา้ ใจมนุษย์ได้อย่างไร

2

1. ชอ่ื -นามสกลุ
2. อาชีพ
3. ใชค้ อมพิวเตอรท์ าอะไรบา้ ง

4. เครือ่ งคอมพิวเตอรเ์ ขา้ ใจมนุษย์ได้อยา่ งไร

96

ท่ี รายการประเมนิ คะแนน ขอ้ คดิ เหน็

32 1

1 เนอื้ หาสาระครอบคลมุ ชัดเจน (ความรู้เก่ียวกบั เนอ้ื หา ความถูกต้อง

ปฏภิ าณในการตอบ และการแกไ้ ขปัญหาเฉพาะหน้า)

2 รูปแบบการนาเสนอ

3 การมสี ว่ นรว่ มของสมาชกิ ในกลมุ่

4 บุคลิกลักษณะ กิริยา ท่าทางในการพูด น้าเสียง ซงึ่ ทาให้ผู้ฟังมีความ

สนใจ

รวม

ผู้ประเมนิ …………………………………………………

เกณฑ์การให้คะแนน
1. เน้ือหาสาระครอบคลุมชัดเจนถกู ต้อง

3 คะแนน = มสี าระสาคัญครบถ้วนถกู ต้อง ตรงตามจุดประสงค์
2 คะแนน = สาระสาคัญไม่ครบถว้ น แต่ตรงตามจดุ ประสงค์
1 คะแนน = สาระสาคญั ไม่ถูกต้อง ไมต่ รงตามจดุ ประสงค์
2. รปู แบบการนาเสนอ
3 คะแนน = มีรูปแบบการนาเสนอทเี่ หมาะสม มกี ารใชเ้ ทคนิคทีแ่ ปลกใหม่ ใชส้ ื่อและเทคโนโลยี

ประกอบการ นาเสนอทน่ี ่าสนใจ นาวัสดุในท้องถน่ิ มาประยกุ ต์ใช้อยา่ งคุ้มค่าและประหยัด
2 คะแนน = มีเทคนิคการนาเสนอท่แี ปลกใหม่ ใช้สอ่ื และเทคโนโลยปี ระกอบการนาเสนอทน่ี ่าสน ใจ แต่

ขาดการประยุกตใ์ ช้ วัสดใุ นท้องถิ่น
1 คะแนน = เทคนิคการนาเสนอไมเ่ หมาะสม และไม่น่าสนใจ
3. การมีส่วนร่วมของสมาชกิ ในกลุ่ม
3 คะแนน = สมาชกิ ทุกคนมบี ทบาทและมีสว่ นร่วมกจิ กรรมกลมุ่
2 คะแนน = สมาชิกสว่ นใหญ่มีบทบาทและมีส่วนร่วมกจิ กรรมกลมุ่
1 คะแนน = สมาชิกส่วนนอ้ ยมีบทบาทและมีสว่ นร่วมกจิ กรรมกลมุ่
4. ความสนใจของผฟู้ งั
3 คะแนน = ผูฟ้ ังมากกว่าร้อยละ 90 สนใจ และให้ความรว่ มมือ
2 คะแนน = ผฟู้ งั ร้อยละ 70-90 สนใจ และให้ความร่วมมือ
1 คะแนน = ผฟู้ ังน้อยกว่าร้อยละ 70 สนใจ และให้ความร่วมมือ

แบบประเมนิ กระบวนการทางานกลุ่ม

ชอื่ กลมุ่ ……………………………………………ชนั้ ………………………หอ้ ง...........................

รายช่อื สมาชกิ 2……………………………………เลขที่…….
4……………………………………เลขท่ี…….
1……………………………………เลขท…ี่ ….
3……………………………………เลขท…่ี ….

97

ท่ี รายการประเมนิ คะแนน ขอ้ คดิ เห็น

1 การกาหนดเปา้ หมายรว่ มกัน 321
2 การแบง่ หน้าทรี่ บั ผดิ ชอบและการเตรยี มความพร้อม
3 การปฏบิ ัตหิ นา้ ท่ที ี่ไดร้ ับมอบหมาย
4 การประเมนิ ผลและปรบั ปรุงงาน

รวม

ผ้ปู ระเมิน…………………………………………………
วันที่…………เดอื น……………………..พ.ศ…………...

เกณฑ์การให้คะแนน

1. การกาหนดเปา้ หมายรว่ มกนั
3 คะแนน = สมาชิกทกุ คนมสี ว่ นรว่ มในการกาหนดเปา้ หมายการทางานอย่างชดั เจน
2 คะแนน = สมาชกิ ส่วนใหญ่มีส่วนรว่ มในการกาหนดเปา้ หมายในการทางาน
1 คะแนน = สมาชกิ สว่ นนอ้ ยมสี ว่ นรว่ มในการกาหนดเปา้ หมายในการทางาน

2. การมอบหมายหนา้ ทรี่ ับผดิ ชอบและการเตรียมความพร้อม
3 คะแนน = กระจายงานได้ทั่วถงึ และตรงตามความสามารถของสมาชิกทกุ คน มกี ารจดั เตรียมสถานที่ สอ่ื /
อุปกรณ์ไวอ้ ยา่ งพรอ้ มเพรียง
2 คะแนน = กระจายงานไดท้ ว่ั ถึง แต่ไม่ตรงตามความสามารถ และมสี อ่ื / อุปกรณไ์ วอ้ ยา่ งพรอ้ มเพรียง แตข่ าด
การจดั เตรียมสถานที่
1 คะแนน = กระจายงานไม่ท่วั ถึงและมสี ือ่ / อปุ กรณไ์ ม่เพียงพอ

3. การปฏิบตั ิหน้าที่ทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย
3 คะแนน = ทางานไดส้ าเรจ็ ตามเป้าหมาย และตามเวลาทก่ี าหนด
2 คะแนน = ทางานได้สาเรจ็ ตามเป้าหมาย แต่ชา้ กว่าเวลาทีก่ าหนด
1 คะแนน = ทางานไมส่ าเร็จตามเป้าหมาย

4. การประเมนิ ผลและปรับปรุงงาน
3 คะแนน = สมาชิกทกุ คนร่วมปรกึ ษาหารือ ติดตาม ตรวจสอบ และปรับปรงุ งานเป็นระยะ
2 คะแนน = สมาชิกบางสว่ นมสี ่วนรว่ มปรกึ ษาหารือ แต่ไมป่ รับปรุงงาน
1 คะแนน = สมาชิกบางส่วนมีส่วนรว่ มไม่มสี ่วนรว่ มปรกึ ษาหารอื และปรบั ปรงุ งาน

98

เฉลยแบบฝกึ หัด หนว่ ยที่ 3

คาสัง่ จงตอบคาถามต่อไปนี้
1. จงแสดงวิธีการเปลย่ี นเลข (6375)8 ให้เปน็ เลขฐานสบิ

 683  382  781  580

= 3072 + 192 + 56 + 5
= 3325

2. จงแสดงวธิ ีการเปล่ียนเลข (1011)2 ให้เปน็ เลขฐานสิบ

1 23  0 22 1 21 1 20

=8+0+2+1
= 11

3. จงแสดงวิธกี ารเปลยี่ นเลข (AB)16 ให้เปน็ เลขฐานสิบ
A = 10, B = 11

10161 11160

= 160 + 11
= 171

99

4. จงแสดงวิธกี ารเปล่ยี นเลข (101101)2 ให้เปน็ เลขฐานแปด
= 101 101

=5 5
= (55)8

5. จงแสดงวิธกี ารเปล่ียนเลข (763)8 ให้เปน็ เลขฐานสอง
=7 6 3

= 111 110 011
= (111110011)2

6. จงแสดงวิธกี ารเปลย่ี นเลข (732)8 ให้เปน็ เลขฐานสิบหก

แปลงให้เป็นเลขฐาน2 =7 3 2

แปลงฐาน2ให้เป็นเลขฐาน16 = 111 011 010

=1 D A
= (1DA)16

100

7. จงหาผลรวมของระบบเลขฐานดังตอ่ ไปนี้

7.1 จงหาคา่ (11011)2 + (101.111)2
ตวั ทด 1111

จานวนที่ 1 11011 +
จานวนท่ี 2 101.111

ผลลพั ธ์ 100000.111

ตอบ (11011)2 + (101.111)2 = 100000.111

7.2 จงหาค่า (32)8 + (76)8
ตัวทด 11
จานวนที่ 1 32 +
จานวนท่ี 2 76
ผลลพั ธ์ 130

ตอบ (32)8 + (76)8 = 130

7.3 จงหาคา่ (A.13)16 + (789)16
ตวั ทด 1

จานวนท่ี 1 10 .13 + (แทนคา่ A = 10)
จานวนท่ี 2 789

ผลลพั ธ์ 7 9 3. 13

ตอบ (A.13)16 + (789)16 = 793.13

101

8. จงหาผลตา่ งของระบบเลขฐานตอ่ ไปนี้

8.1 จงหาค่า (110101.11)2 – (101100.10)2
ตัวยืม 2

จานวนท่ี 1 110101.11 -
จานวนท่ี 2 101100.10

ผลลพั ธ์ 1001.01

ตอบ (110101.11)2 – (101100.10)2= (1001.01)2

8.2 จงหาคา่ (15762)8 – (7654)8
ตวั ยืม 8 8

จานวนท่ี 1 15762 -
จานวนที่ 2 7654

ผลลพั ธ์ 6 1 0 6

ตอบ (15762)8 – (7654)8= (6106)8

8.3 จงหาคา่ (F18D.2E)16 – (9ACF.5F)16
ตัวยืม 16 16 16 16 16
จานวนท่ี 1 15 1 8 13 . 2- 14
จานวนที่ 2 9 10 12 15 . 5 15
ผลลพั ธ์ 5 6 11 13 . 12 15
แทนคา่ 5 6 B D . C F

ตอบ (F18D.2E)16 – (9ACF.5F)16 = (56BD.CF)16

102

9. จงหาผลคูณของระบบเลขฐานต่อไปนี้
9.1 จงหาคา่ (11010)2 × (1101)2
11010
1101×
11010
00000
11010
11010
101010010
∴(11010)2 × (1101)2=(101010010)2

9.2 จงหาคา่ (38)8 × (25)8
38
25×
240

100
1240
∴ (38)8 × (25)8 = (1240)8

9.3 จงหาค่า (1FE)16 × (24)16
1FE
24
7F8
3FC
47B8

∴ (1FE)16 × (24)16 = (47B8)16

103

10. จงหาผลหารของระบบเลขฐานต่อไปน้ี
10.1 จงหาค่า (11010)2 ÷ (11)2
1000.101010…
11)11010
11
00100
11
0100
11
101
11
10

10.2 จงหาค่า (334)8 ÷ (12)8
26

12)334
24
74
74
0

10.3 จงหาคา่ (364)16 ÷ (1C)16
1 13 . 7 3 5

1C)3 6 4
1C
19 4
18 6
13 0
12 9
0 60
56

104

090
90
0

∴(364)16 ÷ (1C)16 = (1D.735)16

105

กจิ กรรมบรู ณาการ 3D ฝึกทักษะภาคทฤษฏี หนว่ ยที่ 3

คาสั่ง ตอนท่ี 1 ใหน้ กั เรยี นเติมคา เพ่ือให้ใจความสมบรูณ์

เลขฐานสบิ เลขฐานสอง เลขฐานแปด เลขฐานสบิ หก

0000

1111

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

106

กจิ กรรม บรู ณาการอาเซียน

คาสั่ง ใหน้ ักเรยี นหาคาศัพท์ภาษาองั กฤษทีเ่ ก่ียวข้องกับบทเรียน 10 คา พร้อมคาแปล
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

ความคิดของนักศกึ ษา

107

บนั ทกึ หลงั การสอน

บทที่ 3 ระบบเลขฐาน

ผลการใชแ้ ผนการสอน

1. เน้ือหาสอดคล้องกับจดุ ประสงค์เชิงพฤติกรรม
2. สามารถนาไปใชป้ ฏบิ ตั ิการสอนไดค้ รบตามกระบวนการเรียนการสอน
3. สือ่ การสอนเหมาะสมดี

ผลการเรยี นของนักเรียน

1. นกั ศึกษาบางคนยังไมค่ ้นุ กบั ระบบดจิ ิตอล ครตู อ้ งอธบิ าย และแนะนาเพิม่ เตมิ อยา่ งใกล้ชดิ
2. นกั ศึกษาสว่ นใหญ่ใหค้ วามสนใจ และตื่นเต้นกับอปุ กรณข์ องจรงิ ทน่ี ามาให้ศึกษา
3. นักศึกษาแปลงเลขฐานในระบบคอมพิวเตอร์

ผลการสอนของครู

1. ต้องปรับเรื่องเวลาในส่วนของขัน้ ให้ความรู้เพม่ิ ขน้ึ
2. สอนทันตามเวลาท่ีกาหนด

108

แผนการสอน/การเรียนรู้ภาคทฤษฎี หนว่ ยที่ 4
สอนสปั ดาหท์ ี่ 9-12
ช่อื วชิ า คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์
(Computer Mathematics) คาบรวม 8
จานวนคาบ 8
ชือ่ หน่วย เมตริกซ์

ช่อื เรอื่ ง เมตรกิ ซ์

หัวข้อเรื่อง

ด้านความรู้
1. ความหมายของเมตรกิ ซ์
2. สัญลกั ษณข์ องเมตริกซ์
3. ขนาดของเมตริกซ์
4. ชนดิ ของเมตริกซ์
5. การเท่ากันของเมตริกซ์

ดา้ นทกั ษะ
6. การบวกเมตริกซ์
7. การลบเมตรกิ ซ์
8. การคณู ด้วยคา่ คงท่กี บั เมตรกิ ซ์
9. การคณู เมตริกซ์กับเมตรกิ ซ์
10. การหาค่าตัวแปรในสมการเชงิ เสน้ โดยใช้ดเี ทอร์มแิ นนท์

ดา้ นคณุ ธรรม จริยธรรม
11. ฝกึ ความมีนา้ ใจกบั เพื่อนในห้องเรียนตั้งแตเ่ รม่ิ เข้าเรยี นตลอดจนการปฎบิ ตั ิกจิ กรรมต่าง ๆ
12. ฝึกการตรงต่อเวลาตั้งแต่เร่ิมเรียนจนกระทัง่ ปฎิบตั ิกิจกรรมจนเสร็จทกุ กิจกรรม

สาระสาคญั

ในการศึกษาเรื่องเมตริกซ์ในวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์จะช่วยให้นักเรียนมีความเข้าใจในเร่ืองของ
กลุ่มข้อมูลท่ีสัมพันธ์กัน หรือมีกระบวนการทางานทั้งกลุ่มข้อมูลท่ีมีต่อกระบวนการทางานของกลุ่มข้อมูล
เนื่องจากเมตริกซ์เปรียบเสมือนการใช้อาร์เรย์ (Array) ในการเขยี นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ ซ่ึงมีการระบุตาแหน่ง
ของข้อมลู (สมาชิก) ได้เหมอื นกัน และยังมีการจดั เก็บข้อมูลที่เป็นลักษณะ 2 มิติ จะช่วยให้นักเรียนมีพื้นฐาน
นาไปสู่แนวคดิ ของระบบฐานข้อมูลในคอมพิวเตอร์ หรือบางคร้ังเปรียบเมตริกซ์เสมือนไฟลข์ ้อมลู หรือแฟม้ ข้อมูลท่ี
มีการสัมพันธ์กนั หรอื เรียกเปน็ หนง่ึ ตารางในระบบฐานข้อมลู ไดเ้ ช่นกัน

109

สมรรถนะอาชีพประจาหนว่ ย

1. บวก ลบ คณู เมตริกซ์ และหาค่าตัวแปรในสมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอรม์ แิ นนท์

คาศัพทส์ าคัญ

1. เมตริกซ์ หมายถึง กลุ่มจานวนใดๆ ท่ีนามาเรียงเป็นแนวและหลักเดียวกันอย่างเป็นระเบียน เป็นรูป
สเ่ี หลีย่ มมุมฉาก แต่ละแถวหรือหลกั จะประกอบดว้ ยจานวนข้อมูลเทา่ ๆ กนั

2. สญั ลกั ษณ์ของเมตริกซ์ (Symbol of matrix) หมายถึง ส่ิงทีใ่ ชบ้ ง่ บอกความเป็นเมตริกซห์ รอื การเขยี น
เมตริกซ์ ประกอบดว้ ยสญั ลกั ษณ์ทม่ี ีความหมายเฉพาะตวั เพือ่ นาไปสู่เมตริกซท์ ่สี มบรูณ์ โดยมี
เครอื่ งหมาย ( ) หรือ [ ] ปดิ ล้อมไว้

จดุ ประสงคก์ ารสอน/การเรยี นรู้

 จดุ ประสงคท์ ว่ั ไป / บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพยี ง

1. เพ่ือใหม้ คี วามรเู้ กย่ี วกับเมตรกิ ซ์(ด้านความร้)ู
2. เพ่ือให้มีทักษะในการบวก ลบ คูณเมตริกซ์ และหาค่าตัวแปรในสมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนท์

(ด้านทกั ษะ)
3. เพื่อให้มีเจตคติท่ีดีต่อการเตรียมความพร้อมด้าน วัสดุ อุปกรณ์ และการปฏิบัติงานอย่างถูกต้อง

สาเร็จภายในเวลาที่กาหนด มีเหตุและผลตามหลักปรัชญาเของศรษฐกิจพอเพียง (ด้านคุณธรรม
จรยิ ธรรม)

 จุดประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม / บรู ณาการเศรษฐกจิ พอเพียง

1. บอกหน้าทข่ี องหน่วยประมวลผลกลางในคอมพวิ เตอร์ได้(ดา้ นความรู้)
2. อธิบายความหมายของเมตริกซ์ได้ (ด้านความรู้)
3. เขยี นสญั ลกั ษณ์ของเมตริกซ์ได้ (ด้านทักษะ)
4. ยกตัวอย่างขนาดของเมตรกิ ซ์ได้ (ดา้ นความรู้)
5. แยกแยะชนดิ ของเมตริกซ์ได้ (ดา้ นความรู้)
6. วิเคราะห์การเทา่ กันของเมตริกซ์ได้ (ดา้ นความรู้)
7. บวกเมตริกซ์ได้ (ด้านทกั ษะ)
8. ลบเมตริกซ์ได้ (ดา้ นทักษะ)
9. คูณดว้ ยค่าคงท่ีกับเมตริกซ์ได้ (ด้านทกั ษะ)
10. คูณเมตริกซก์ บั เมตรกิ ซ์ได้ (ด้านทักษะ)

110

11. หาค่าตวั แปรในสมการเชงิ เส้นโดยใชด้ เี ทอร์มแิ นนทไ์ ด้ (ด้านทกั ษะ)
12. ฝึกความมนี า้ ใจกับเพอ่ื นในห้องเรียนต้งั แตเ่ ร่มิ เข้าเรียนตลอดจนการปฏิบตั ิกิจกรรมต่าง ๆ

(ด้านคณุ ธรรม จริยธรรม/บูรณาการเศรษฐกจิ พอเพียง)
13. ฝึกการตรงต่อเวลาตั้งแต่เริ่มเรยี นจนกระทั่งปฏิบตั ิกิจกรรมจนเสรจ็ ทกุ กิจกรรม(ดา้ นคุณธรรม

จรยิ ธรรม/บรู ณาการเศรษฐกิจพอเพียง)

เนื้อหาสาระการสอน/การเรียนรู้

• ด้านความรู้(ทฤษฎ)ี

1. ความหมายของเมตริกซ์

เมตริกซ์ หมายถึง กลุ่มจานวนใดๆ ทนี่ ามาเรยี งเปน็ แนวและหลักเดยี วกนั อย่างเปน็ ระเบยี น เปน็ รปู

ส่ีเหลี่ยมมมุ ฉาก แตล่ ะแถวหรอื หลกั จะประกอบด้วยจานวนข้อมูลเท่าๆ กัน เชน่

1 [13 24] 1 23 1 35
[1 2] 2 [2 4 5]
[ ] [ 4 5 6] 3
-1 0 2 6
7
จานวนแตล่ ะจานวนในเมตริกซ์ เรียกวา่ สมาชกิ (Elements) ของเมตรกิ ซ์

จานวนที่อยใู่ นแนวนอนประกอบกันเป็นแถว (Row) ของเมตรกิ ซน์ บั จากจานวนแถวจากบนลงลา่ ง

จานวนทอ่ี ยู่ในแนวตั้งประกอบกันเป็นหลัก (Column) ของเมตริกซ์ นบั จานวนหลักจากซ้ายไปขวา

[1 2] หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 1 แถว 2 หลัก

[ 1 ] หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 1 หลัก
2 หมายถงึ เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 2 หลัก

[31 42] หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 3 หลัก

1 35 หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 3 แถว 3 หลกั
[2 4 5]
3
6 7

1 23

[ 4 5 6]
-1 0 2

111

2. สญั ลักษณ์ของเมตรกิ ซ์
สญั ลักษณ์ของเมตรกิ ซ์ (Symbol of matrix) หมายถึง ส่งิ ท่ีใชบ้ ่งบอกความเป็นเมตรกิ ซห์ รอื การเขยี น

เมตริกซ์ ประกอบดว้ ยสญั ลกั ษณท์ ่มี ีความหมายเฉพาะตัวเพอื่ นาไปสู่เมตริกซท์ สี่ มบรูณ์ โดยมเี ครอ่ื งหมาย ( )
หรือ [ ] ปดิ ล้อมไว้

กาหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ ประกอบดว้ ย m แถว และ n หลัก

a11 a12 a13 … a1nแถวที่ 1
a21 a22 a23 … a2nแถวที่ 2
A = a31 a31 a33 … a3nแถวท่ี 3
∙ ∙ ∙…∙
[am1 am2 am3 … amnแ]ถวท่ี m

หลักที่ 1 2 3 n

โดยท่ัวไปใช้ A, B, C, … เป็นช่ือของเมตริกซ์ สมาชิกของเมตริกซ์ ได้แก่ a11, a12, a13, …,
a1n ตัวเลขท่ีเขียนกากับอยู่ด้านล่างขวาของ a แสดงถึงตาแหน่งของสมาชิกในเมตริกซ์ โดยตัวแรกแสดงว่า
สมาชกิ นน้ั อยใู่ นตาแหนง่ แถวท่ีเท่าไร และตวั เลขตัวหลังแสดงว่าสมาชิกนั้นอยใู่ นตาแหนง่ ท่เี ทา่ ไร เช่น

a11 แทน สมาชิกอยใู่ นตาแหน่งแถวท่ี 1 หลกั ที่ 1
a12 แทน สมาชิกอยใู่ นตาแหนง่ แถวที่ 1 หลกั ท่ี 2
a23 แทน สมาชิกอย่ใู นตาแหน่งแถวที่ 2 หลักท่ี 3
ถา้ กาหนดให้ aij เปน็ สมาชิกใดๆ ของเมตรกิ ซ์ A แลว้
i แทน ตาแหนง่ แถวท่ี i
j แทน ตาแหน่งแถวท่ี j
สาหรับสมาชกิ ของเมตรกิ ซจ์ ะใช้อักษรตวั เดยี วกับชอ่ื เมตริกซ์ก็ได้ เพอื่ ให้เกดิ ความสัมพันธ์
3. ขนาดของเมตริกซ์
ขนาดของเมตริกซ์ไมไ่ ดบ้ อกเป็นจานวนด้วยเลขหรือจานวนจรงิ แตบ่ อกเป็นขนาดในรูปจานวนแถวและ
จานวนหลักของเมตริกซน์ ้ันๆ เชน่ A เปน็ เมตรกิ ซ์ทปี่ ระกอบดว้ ยสมาชิก m แถว และ n หลัก
ตวั อย่างที่ 4,1 จงตอบคาถามต่อไปน้เี ก่ียวกับเมตรกิ ซ์ A
A = [53 24]

112

เมตรกิ ซ์ A มีมติ เิ ท่าใด ตอบ 2 × 2
เมตริกซใ์ นแถวที่ 1 หลักที่ 1 มีคา่ เทา่ ใด ตอบ 3
เมตรกิ ซ์ในแถวท่ี 1 หลกั ที่ 2 มคี า่ เท่าใด ตอบ 4
เมตรกิ ซ์ในแถวที่ 2 หลกั ท่ี 1 มคี ่าเทา่ ใด ตอบ 5
เมตริกซ์ในแถวที่ 2 หลกั ท่ี 2 มีคา่ เท่าใด ตอบ 2

ตัวอย่างที่ 4.2 จงตอบคาถามต่อไปนเ้ี กย่ี วกบั เมตริกซ์ B
001

B = [1 1 3]
232

เมตรกิ ซ์ B มีมติ เิ ท่าใด ตอบ 3 × 3

เมตรกิ ซใ์ นแถวท่ี 1 หลกั ที่ 1 มคี า่ เทา่ ใด ตอบ 0

เมตริกซ์ในแถวท่ี 1 หลกั ที่ 2 มีค่าเทา่ ใด ตอบ 0

เมตรกิ ซ์ในแถวที่ 1 หลักท่ี 3 มคี า่ เทา่ ใด ตอบ 1

เมตริกซใ์ นแถวท่ี 2 หลกั ที่ 1 มคี ่าเท่าใด ตอบ 1

เมตริกซใ์ นแถวที่ 2 หลักที่ 2 มีค่าเทา่ ใด ตอบ 1

เมตรกิ ซใ์ นแถวที่ 2 หลักท่ี 3 มคี า่ เท่าใด ตอบ 3

เมตริกซ์ในแถวที่ 3 หลกั ท่ี 1 มคี า่ เท่าใด ตอบ 2

เมตรกิ ซใ์ นแถวที่ 3 หลกั ที่ 2 มีค่าเทา่ ใด ตอบ 3
เมตรกิ ซ์ในแถวที่ 3 หลักท่ี 3 มคี า่ เท่าใด ตอบ 2

4. ชนดิ ของเมตริกซ์

โดยทว่ั ไปชนิดของเมตรกิ ซแ์ บ่งออกเป็น 8 ชนดิ ได้แก่

1. เมตรกิ ซ์แถว (Row matrix)

คอื เมตริกซท์ ่ีมสี มาชกิ เพียงแถวเดยี ว หรอื เมตรกิ ซ์ทม่ี ีขนาด 1× n เชน่

A = [2 3]

B = [1 2 3]

C = [3 -3 2 -2]

113

2. เมตรกิ ซ์หลกั (Column matrix)

คอื เมตริกซท์ ี่มีสมาชกิ เพียงหลกั เดยี ว หรือเมตริกซ์ทม่ี ีขนาด m × 1 เชน่

5 -1

A = [54] B = [0] C = [ 3 ]
3. เมตริกซ์ศูนย์ (Zero matrix) 2 4

-5

คอื เมตริกซท์ ี่มสี มาชิกทุกตวั เป็นศนู ย์ทัง้ หมด ไม่ว่าจะมีขนาดเท่าไร เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ 0

เชน่ B = [00 00] 00

A = [00] C = [0 0]
4. เมตรกิ ซ์จัตรุ สั (Square matrix) 00

คอื เมตริกซท์ มี่ ีจานวนแถวเทา่ กับจานวนหลัก หรอื เมตริกซท์ ่ีมีขนาด n × n หรือเมตริกซ์ขนาด

n เชน่ 3 2 5 1 2 3 4
A = [-15 75] 6 C = [43 3 2 14]
B = [4 -1 3] 2 1 1
เส้นทแยงมุมหลักของ A -2 5 2 3 4

คอื 1, 7

เส้นทแยงมมุ หลักของB คือ 3, 6, 5

เสน้ ทแยงมมุ หลักของ C คือ 1, 3, 1, 1

5. เมตริกซ์เฉยี ง (Diagonal matrix)

คือ เมตริกซจ์ ตั รุ ัสที่มสี มาชกิ ท่ีไม่อยบู่ นเสน้ ทแยงมุมหลกั เป็น 0 ท้ังหมด ส่วนสมาชิกทอี่ ย่บู นเส้น

ทแยงมุมหลักจะเปน็ 0 หรอื ไมก่ ็ได้ เชน่

300 1000

A = [01 00] B = [0 6 0] C = [00 0 0 00]
005 0 1

6. สเกลาร์เมตรกิ ซ์ (Scalar matrix) 0000

คอื เมตริกซเ์ ฉียงทม่ี ีสมาชกิ ในตาแหน่งเส้นทแยงมุมหลกั มคี า่ เทา่ กันทัง้ หมด เช่น

A = [01 01] 300

B = [0 3 0]
003

7. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)

114

คอื เมตริกซ์เฉยี งทม่ี ีสมาชกิ ในตาแหน่งเส้นทแยงมมุ หลกั มคี ่าเป็น 1 ท้งั หมด เขียนสญั ลักษณ์

แทนดว้ ย 1 เช่น

100 1000

A = [10 01] B = [0 1 0] C = [00 1 0 00]
001 0 1

0001

8. เมตริกซส์ ามเหลี่ยม (Triangular matrix) แบ่งออกได้ 2 รปู แบบ คอื

8.1 เมตรกิ ซ์สามเหลยี่ มบน (Upper triangular matrix) คอื เมตรกิ ซจ์ ตั รุ ัสท่มี สี มาชิกในตาแหนง่

ใตเ้ สน้ ทแยงมุมหลกั ค่าเปน็ 0 ท้งั หมด เช่น

2 3 -2 -2 2 -2 2

A = [01 21] B = [0 5 6 ] C = [ 0 4 3 22]
00 7 0 0 1

0007
8.2 เมตริกซ์สามเหลย่ี มลา่ ง (Lower triangular matrix) คอื เมตรกิ ซจ์ ตั รุ ัสที่มสี มาชกิ ในตาแหนง่

เหนือเสน้ ทแยงมุมหลักมคี า่ เป็น 0 ทั้งหมด เชน่

200 -2 0 0 0

A = [12 01] B = [3 5 0] C = [ 3 4 0 00]
5. การเท่ากนั ของเมตรกิ ซ์ 567 3 2 1

5 627

เมตรกิ ซ์ 2 เมตริกซ์ จะเท่ากันก็ต่อเม่ือ เมตรกิ ซ์ทง้ั สองมีขนาดเทา่ กนั และมีสมาชกิ ในตาแหน่ง

เดียวกนั เท่ากนั ทุกคา่ เชน่

ตวั อยา่ งที่ 4.3 กาหนดให้

22 √016] B = [04.5 40]
A=[1

4
เมตรกิ ซ์ A เท่ากบั เมตริกซ์ B เพราะ

1. ขนาดของเมตริกซ์ A และเมตริกซ์ B มขี นาดเทา่ กนั คือ 2 × 2

2. สมาชิกในตาแหนง่ เดียวกันมคี ่าเท่ากันทุกคู่

ตัวอยา่ งท่ี 4.4 กาหนดให้ 1 -2 -6
1 0 -6
B=[0 1 0]
A = [2 1 5 ] -6 5 -7
4 0 -9

1 0 -6 1 -2 -6 115

C = [-2 0 5 ] D=[0 1 0] เม่อื
-4 1 7 -6 5 -7

จากส่งิ ที่กาหนดใหจ้ ะได้ว่า

1. เมตริกซ์ A, B, C และ D มขี นาดเท่ากัน คอื 3 × 3

2. เมตรกิ ซ์ A ≠ B ≠ C เพราะสมาชิกในตาแหนง่ เดียวกนั ไมเ่ ทา่ กนั

3. B = D เพราะสมาชกิ ในตาแหน่งเดียวกันเทา่ กันทัง้ หมด

ตัวอย่างท่ี 4.5 จงหาค่า X, Y และ Z ท่ที าให้เมตรกิ ซ์ A = B เมอื่ กาหนดให้

A = [X 1 2 -6 62] 1 2Y 2
- 5 B = [-2 5 Z]

2

วิธที า จากคณุ สมบตั ิการเทา่ กันของเมตริกซ์ A = B จะได้

X – 2 = -2

∴ X = -2 +2

=0

จาก 2Y = -6

∴Y = -6
2
= -3

จาก Z = 6
2
∴ Z = 6×2

= 12

ดงั นัน้ คา่ X มคี า่ เทา่ กบั 0

คา่ Y มีค่าเทา่ กบั -3

คา่ Z มคี า่ เทา่ กบั 12

ตัวอย่างที่ 4.6 กาหนดให้ A = [4x2] B = [7xY-Y] จงหาคา่ ของ X และ Y

-2

กาหนดใหเ้ มตริกซ์ A = B

116

วธิ ีทา ถา้ A = B จะได้สมาชิกในตาแหน่งเดยี วกนั จะตอ้ งเทา่ กนั

4x2 = 7x – Y ……………………….(1)

-2 = Y ……………………….(2)

แทนค่า Y ในสมการท่ี (1) จะได้

4x2 = 7x – (-2)

4x2- 7x -2 = 0

(4x+1)(x - 2) = 0

จากสมการด้านบนผลคูณของ (4x+1)(x - 2) มคี า่ เป็นศนู ย์ ดงั นนั้ ค่าท่เี ป็นไปได้ คอื

(4x+1) = 0 ……………………….(3)

หรือ (x -2) = 0 ……………………….(4)

จากสมการที่ (3) แก้สมการหาค่า X = -41
จากสมการท่ี (4) แก้สมการหาคา่ X = 2

ดังนัน้ คา่ X ทท่ี าให้สมการเป็นจริงได้มี 2 คาตอบ คือ

∴ X = 1, 2 และ Y = -2

6. การบวกเมตริกซ์ 4

กาหนดใหเ้ มตริกซ์ A = [aij]m ×n และเมตริกซ์ B = [bij]m ×n

A + B = [aij+ aij]m ×n
เช่น
A = [aa1211 aa1222]
และ B = [bb2111 bb2122]
[((aa2111 + b11) ((aa2122++bb1222))]
∴ A + B = + b21)

ตัวอยา่ งที่ 4.7 จงหา A + B เมือ่ กาหนดให้

วธิ ที า A = [13 2 -04] B = [67 0 38]
2 5

A+B = [31 2 -04] + [76 0 83]
2 5

= [((13++76)) (2+0) ((-04++83))]
(2+5)

= [98 2 -81]
7

117

ตัวอย่างท่ี 4.8 จงหา A + B + C เมอื่ กาหนดให้

วิธีทา A = [13 42] B = [42 05] C = [39 162]

A + B + C = [31 24] + [24 05] + [93 162]

= [((13++24 +3) (4(2++05++162) )]
+9)

7. การลบเมตรกิ ซ์ = [166 1136]

ถ้า A เป็นเมตริกซ์ใดๆ และ K = -1 แล้วจะได้ KA = (-1)A ซึ่งกาหนดให้เขียน (-1)A = -A

กาหนดให้เมตรกิ ซ์ A = [aij]m ×n และเมตริกซ์ B = [bij]m ×n

A – B = [aij- aij]m ×n

เช่น A = [aa2111 aa1222] และ B = [bb1211 bb1222]

A – B = [aa2111 aa1222] + (-1) [bb2111 bb2122]

= [aa1211 aa1222] + [--bb2111 --bb1222]

= [aa2111++((--bb2111)) aa1222++((-bb2122))]

= [((aa1211 - b11) (a12- bb2122))]
- b21) (a22-

ข้อสังเกต จะเห็นไดว้ ่า A – B คอื การนาสมาชิกในตาแหน่งเดียวกนั มาลงเป็นคๆู่

118

ตัวอย่างที่ 4.9 จงหา A – B เมอื่ กาหนด

A = [14 2 36] [41 B =36[]-02- 3 341] 14]
5 2 [-02-5 -5

วธิ ที า A–B = 5

= [14-(--02) 2-3 36--14]
5-(-5)

= [43 -1 22]
10

ตวั อยา่ งท่ี 4.10 จงหาค่า A – B เม่ือกาหนดให้

วิธีทา A = [--35 -32] [--35 B= -[[-32-32 -53-53]]
A–B = -32]

= [-5-3-(--32) 3--2(--35)]

= [--36 -07]

8. การคณู ดว้ ยคา่ คงที่กับเมตริกซ์

ถา้ A = [aij]m ×n และ K เปน็ จานวนใดๆ แล้ว K = [ aij]m ×n คือ การคณู จานวนคงท่ีกบั
เมตรกิ ซ์ ให้นาค่าทเี่ ข้าไปคณู สมาชกิ ทุกตวั ของเมตรกิ ซ์

23

ตวั อยา่ งท่ี 4.11 กาหนดใหเ้ มตริกซ์ A = [-5 0] จงหาค่า 4A, -2A
2 1 3 4 (4 ×2) (4 ×3) 8 12

วิธที า 4A = 4 × [-5 0] = [(4 × (-5)) (4 ×0)] = [-12 0 ]
1 4 (4 ×1) (4 ×4) 4 16

-2A = 2 3 (-2 ×2) (-2 ×3) -4 -6

-2 × [-5 0] = [(-2 ×(-5)) (-2 ×0)] = [10 0 ]
1 4 (-2 ×1) (-2 ×4) -2 -8

119

9. การคูณเมตริกซก์ บั เมตริกซ์

ถา้ A = [aij]m ×n และ B = [bij]m ×n แล้วผลคูณ AB = C = [cij]m ×n
โดยท่ี Cij หาได้จากการนาสมาชกิ แถวที่ i ของ A คูณกับสมาชิกในหลกั ที่ j ของ B

Cij = ai1 ∙ b1j + ai2 ∙ b2j + K + ain∙ bnj

ข้อสงั เกต

1. A คูณกับ B ได้ก็ต่อเมื่อจานวนหลักของ A เท่ากับจานวนของ B และผลลัพธ์ C จะมีขนาด

เท่ากับ (แถวของ A) (หลักของ B)
2. รายละเอียดการคูณ AB ได้มาจากให้นาแถวของ A คูณกับหลักของ B ให้ครบทุกคู่แต่ละคู่จะได้

สมาชิกของ C เพยี ง 1 จานวนเทา่ นน้ั

3. การคูณในแต่ละคู่ในข้อ 2 ให้นาสมาชิกในแถวท่ี 1 ของ A มาคูณกับสมาชิกที่อยู่ในลาดับ

เดียวกันในหลักที่ j ของ B เรียงตามลาดบั แล้วนาผลคูณแตล่ ะคู่มาบวกกนั
A = [aa2111 aa2122], B = [bb1211 bb1222]
เชน่ กาหนดให้

C = [aa2111 aa1222] [bb2111 bb1222] = [cc1211 c12 ]
c22

c11 ได้จากนาแถวที่ 1 ของ A คูณกับหลักท่ี 1 ของ B, c11 = a11 b11 + a12 b21

c12 ได้จากนาแถวท่ี 1 ของ A คูณกบั หลักที่ 2 ของ B, c11 = a11 b12 + a12 b22

c21 ได้จากนาแถวที่ 2 ของ A คูณกบั หลักที่ 1 ของ B, c21 = a21 b11 + a22 b21

c22 ได้จากนาแถวที่ 2 ของ A คูณกับหลักท่ี 2 ของ B, c22 = a21 b12 + a22 b22

ตัวอย่างที่ 4.12 กาหนดให้ A = [A -2], B = [-21] จงหาคา่ A × B

วิธที า A × B = [(4 -2) (-1)]

2

= [4(-1) + (-2)2]
= [-4 -4]
= [-8]

120

ตวั อย่างที่ 4.13 กาหนดให้ A = [2 3], B = [14 65] จงหาคา่ A × B

วิธีทา A × B = [(2 3) (41) (2 3) (56)]

= [2(4)+3(1) 2(5)+3(6)]

= [11 28]
5

ตวั อย่างท่ี 4.14 กาหนดให้ A = [3], B = [-8 3 2 1] จงหาคา่ A × B
2 5(-8) 5(3) 5(2) 5(1)

วิธีทา A × B = [3(-8) 3(3) 3(2) 3(1)]
2(-8) 2(3) 2(2) 2(1)

-40 15 10 5

= [-24 0 6 3]
-16 6 4 2

10. การหาคา่ ตัวแปรในสมการเชิงเสน้ โดยใช้ดีเทอร์มิแนนท์
การแก้สมการเชิงเส้นท่ีมีจานวนสมการเท่ากับจานวนตัวแปรท่ีต้องการหาค่า สามารถทาได้โดยการใช้ดี

เทอรแ์ นนท์
10.1 ดีเทอร์มิแนนท์
ดีเทอร์มิแนนท์ คือ กลุ่มของจานวนจริง ท่ีนาค่ามาจัดเรียงกัน เป็นแถวและเป็นหลักคล้ายกับ

เมตริกซ์ โดยมีจานวนแถวและหลกั เท่ากัน และอยู่ภายในเสน้ ตรง 2 เสน้ ตัวอยา่ งเช่นของดเี ทอรม์ แิ นนท์ เช่น

|1| ดเี ทอรม์ แิ นนทอ์ นั ดับ 1 มี 1 แถว 1 หลัก

|31 24| ดีเทอร์มิแนนทอ์ นั ดบั 2 มี 2 แถว 2 หลัก
ดีเทอร์มิแนนท์อันดบั 3 มี 3 แถว 3 หลกั
123
|4 5 6|
789

121

ลักษณะของดีเทอรม์ ิแนนท์
ถ้า A = |ca bd| แลว้ ดีเทอร์มแิ นนท์ของ A เขียนแทนดว้ ย det(A) หรือ |A| ซง่ึ det(A)
มคี า่ เทา่ กบั ad – cb (ใช้การคณู ไขว้ โดยใหค้ ่าคูณลงเป็นบวก คูณขึน้ เปน็ ลบ)

Det(A) = |ca db| = ad – cd

ตัวอย่างท่ี 4.14จงหาค่าดเี ทอร์มแิ นนทข์ อง B = |-43 12|
A = |12 75|

วิธีทา det(A) = 2×7 – (1×5)

= 14 -5

=9

det(B) = 4×2 – (-3×1)

= 8 – (-3)

= 11

การหาดเี ทอร์มแิ นนทอ์ นั ดบั 3 โดยวิธีลดั

การหาดเี ทอรม์ แิ นนท์อนั ดับ 3 จะมีวิธีเช่นเดียวกับตัวอยา่ งการหาดีเทอรม์ ิแนนทอ์ ันดับ 2 คือ

ใช้การคณู ไขว้ คณู ลงเป็นบวก คณู ขึ้นเป็นลบ แตต่ ้องมกี ารนา 2 หลักแรกของดีเทอร์มิแนนทม์ าเขียนต่อไว้ทาง

ขวามอื ของดเี ทอร์มแิ นนทเ์ ดิม ดังน้ี

a1 b1 c1 a1 b1
|A| = |a2 b2 c2| a2 b2

a3 b3 c3 a3 b3

Det(A) = a1×b2×c3+ b1×c2×a3+ c1×a2×b3 ) – ( a3×b2×c1+ b3×c2×a1+

c3×a2×b1)
10.2

ตัวอยา่ งที่ 4.15จงหาค่าดีเทอร์มแี นนท์ของ
241

A = |1 5 2|
321

วิธที า

1. นาสองหลกั แรกของดีเทอรม์ ิแนนท์มาเขียนไว้ทางขวามอื ของดเี ทอร์มิแนนทเ์ ดิม

122

24124
|A| = |1 5 2| 1 2

32132

2. หา det(A) = (2×5×1 + 4×2×3 + 1×1×2) - (3×5×1 + 2×2×2 + 1×1×4)
= 10 + 24 + 2 – (15 + 8 + 4)
= 36 – 27
=9

ตวั อย่างที่ 4.16 จงหาค่าดีเทอร์มแิ นนท์ของ
24 1

A = |6 5 -2|
3 3 -1

วธิ ที า
1. นาสองหลักแรกของดีเทอรม์ ิแนนท์มาเขยี นไว้ทางขวามือของดเี ทอร์มิแนนท์เดิม
24 1 24
A = |6 5 -2| 6 5
3 -3 -1 3 -3
2. หา det (A)= (2×5×(-1) + 4×(-2)×3 + 1×6×(-3)) -
((5×3×1 + (-3)×(-2)×2+ (-1)×6×4))
= (-10) + (-24) + (-18) – (15 + 12 + (-24))
= -10 – 24 – 18 -15 – 12 + 24
= -43

10.2 การเขียนดเี ทอรม์ แิ นนท์ จากสมการเชงิ เสน้

จากสมการเชงิ เสน้ ท่ีมตี วั แปรไม่ทราบ 2 ตัว คอื X และ Y ดังนี้

a1X+ b1Y = Z1
a2X+ b2Y = Z2
เมือ่ a1, a2, b1, b2, Z1, Z2 คอื ค่าคงที่ X และ Y คือ ตวั แปรที่ตอ้ งการหาคา่
จากสมการสามารถเขยี นดีเทอรม์ ิแนนท์ของสมการไดด้ ังนี้

D = |aa12 bb21|

DX = |zz21 b1 | (DX นาคา่ z1, z2 มาแทนในตาแหนง่ สมั ประสทิ ธทิ์ ีค่ ูณ
b2
กบั X)

123

DY = |aa12 zz12|(DY นาค่า z1, z2 มาแทนในตาแหนง่ สัมประสิทธท์ิ คี่ ณู กับ Y)

หาคา่ ตวั แปร X ไดจ้ าก DX และหาค่าตวั แปร Y ได้จาก DY

DD

กรณที ่เี ปน็ สมการเชิงเสน้ ทม่ี ีตัวแปรไม่ทราบคา่ 3 ตัว การเขียนดีเทอร์มิแนนท์ของสมการทาได้
เชน่ เดยี วกับสมการเชงิ เสน้ 2 ตัวแปร เช่น

a1W+ b1X + C1Y= Z1
a2W+ b2X + C2Y= Z2
a3W+ b3X + C3Y= Z3

a1 b1 c1
D = |a2 b2 c2|

a3 b3 c3

z1 b1 c1
DW = |z2 b2 c2|

z3 b3 c3

a1 z1 c1
DX = |a2 z2 c2|

a3 z3 c2

a1 b1 z1
DY = |a2 b2 z2|

a3 b2 z3

หาคา่ ตัวแปร W ไดจ้ าก DW, X ได้จาก DX และหาค่าตัวแปร Y ได้จาก DY
DD D
10.3 การแก้สมการเชงิ เส้นโดยใช้กฎของคราเมอร์

การแก้สมการเชิงเสน้ โดยใชก้ ฎของคราเมอร์ มขี นั้ ตอนดังน้ี

1. หาดีเทอร์มิแนนท์ของสมการ โดยใช้วิธีการเขียนดีเทอร์มิแนนท์จากสมการเชิงเส้น

ดงั ตัวอยา่ งในหัวขอ้ ทีผ่ า่ นมา

2. หาดีเทอร์มิแนนท์ของตัวแปรทุกตัวในสมการ ซ่ึงมีวิธีการเช่นเดียวกับการหาดีเทอร์มิแนนท์

แตกต่างกันตรงท่ีนาค่าคาตอบของสมการไปแทนท่ีสัมประสิทธ์ิที่คณู อยู่กับตวั แปรทต่ี ้องการหา เช่น ต้องการหา

ค่าตัวแปร X ก็นาค่าคาตอบของสมการไปแทนที่สัมประสิทธิ์ที่คูณอยู่กับตัวแปร X จากหัวข้อที่ผ่านมา คือ

การหาคา่ DW, DX, DY

124

3. หาค่าตวั แปรแต่ละตัวไดด้ ังนี้

W = DW, X = DX และ Y = DY
D D
D
ตัวอย่างท่ี 4.17 จากสมการเชงิ เส้นต่อไปน้ี จงหาค่าตัวแปร X และ Y โดยใชด้ เี ทอรม์ ิแนนท์

2X + 3Y = 8

X – 2Y = -3
วธิ ีทา หาดีเทอรม์ ิแนนท์ = |21 32|

= 2(-2) – (1×3)

= -4 – 3

D = -7

หา DX = |83 23| (แทนค่า 8, -3 ในตาแหน่งสมั ประสทิ ธ์ิท่ี

คูณกับ X)

= 8(-2) – (-3)3

= -16 +9

= -7

หา DY = |21 38| (แทนคา่ 8, -3 ในตาแหนง่ สัมประสทิ ธท์ิ ีค่ ูณกบั

Y)

= 2(-3) – (1×8)

= -6 - 9

= -14

หาคา่ X = DX = -7
หาคา่ Y
=1 D -7

= DY = -14

D -7
= -2

ตัวอย่างที่ 4.18จากสมการเชงิ เสน้ ต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปร X, Y และ Z โดยใช้ดเี ทอรม์ ิแนนท์

X + 2Y + 3Z = 3

2X – 2Y – 2Z = 6

2X + Y - Z = -3
12 3

วิธที า หา D = |2 -2 -2|
2 1 -1

125

= 1×(-2) ×(-1) + 2×(-2) ×2 + 3×2×1 – (2×(-2) ×3 + 1×(-2) ×1 + (-

1) ×2×2)

= 2 + -8 + 6 – (-12 – 2 - 4)

= 18
หา DX = 32 3 3 2

= |6 -2 -2| 6 -2
3 1 -1 -3 1
3×(-2)×(-1) + 2×(-2) ×(-3) + 3×6×1 – ((-3) ×(-2) ×3 + 1×(-2) ×3 + (-

1)×6×2)

= 6 + 12 + 18 – (18 - 6 - 12)

= 36
หา DY 13 31 3

= = |2 6 -2| 2 -6
2 -3 -1 2 -3

1×6×(-1) + 3×(-2)×2 + 3×2×(-3) – (2×6×3 + (-3)×(-2)×1 + (-1)×2×3)

= -6 - 12 - 18 – (36 + 6 - 6)

= -72
หา DZ 12 31 2

= = |2 -2 6 | 2 -2
2 1 -3 2 -1

1×(-2)×(-3) + 2×6×2 + 3×2×1 – (2×(-2)×3 + 1×6×1 + (-3)×2×2)

= 6 + 24 + 6 – (-12 + 6 - 12)

= 54

หาคา่ X = DX = 36
= D 18
2
หาค่า Y =
= DY = -72
D 18
หาค่า Z = -4
=
DZ = 54

D 18

3

11. ความหมายของเมตรกิ ซ์

เมตริกซ์ หมายถึง กลมุ่ จานวนใดๆ ทน่ี ามาเรยี งเปน็ แนวและหลักเดยี วกนั อยา่ งเปน็ ระเบยี น เปน็ รูป

สเ่ี หล่ียมมุมฉาก แต่ละแถวหรือหลกั จะประกอบด้วยจานวนข้อมลู เท่าๆ กัน เช่น

126

1 [13 42] 1 23 1 35
[1 2] 2 [2 4 5]
[ ] [ 4 5 6] 3
-1 0 2 6
7
จานวนแตล่ ะจานวนในเมตริกซ์ เรยี กวา่ สมาชกิ (Elements) ของเมตริกซ์

จานวนที่อยใู่ นแนวนอนประกอบกนั เปน็ แถว (Row) ของเมตริกซน์ ับจากจานวนแถวจากบนลงลา่ ง

จานวนทอ่ี ยู่ในแนวต้งั ประกอบกนั เป็นหลกั (Column) ของเมตริกซ์ นับจานวนหลกั จากซา้ ยไปขวา

[1 2] หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 1 แถว 2 หลัก

[ 1 ] หมายถงึ เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 1 หลกั
2

[31 24] หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 2 หลกั

1 35
[2 4 5] หมายถงึ เมตรกิ ซ์ขนาด 2 แถว 3 หลัก
3 หมายถึง เมตรกิ ซ์ขนาด 3 แถว 3 หลัก
6 7

1 23

[ 4 5 6]
-1 0 2

12. สญั ลกั ษณข์ องเมตรกิ ซ์
สญั ลักษณข์ องเมตรกิ ซ์ (Symbol of matrix) หมายถึง สง่ิ ทใี่ ช้บ่งบอกความเป็นเมตรกิ ซห์ รอื การเขียน

เมตริกซ์ ประกอบด้วยสัญลกั ษณท์ ี่มีความหมายเฉพาะตวั เพอื่ นาไปสู่เมตริกซท์ สี่ มบรูณ์ โดยมเี ครือ่ งหมาย ( )
หรอื [ ] ปิดลอ้ มไว้

เดก็ ควรรู้
ถ้าเมตริกซ์ทม่ี ีสมาชิก m แถว และ n หลกั จะเรียกว่า
เมตรกิ ซข์ นาด m × n
กาหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ ประกอบด้วย m แถว และ n หลกั

แถวที่ 1
แถวท่ี 2
แถวท่ี 3

แถวท่ี m

127

a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
A = a31 a31 a33 … a3n
∙ ∙ ∙… ∙
[am1 am2 am3 … amn]

หลักที่ 1 23 n

โดยท่ัวไปใช้ A, B, C, … เป็นช่ือของเมตริกซ์ สมาชิกของเมตริกซ์ ได้แก่ a11, a12, a13, …,
a1n ตัวเลขท่ีเขียนกากับอยู่ด้านล่างขวาของ a แสดงถึงตาแหน่งของสมาชิกในเมตริกซ์ โดยตัวแรกแสดงว่า
สมาชกิ นนั้ อยู่ในตาแหน่งแถวทเ่ี ทา่ ไร และตัวเลขตวั หลงั แสดงว่าสมาชกิ น้นั อย่ใู นตาแหน่งท่เี ทา่ ไร เช่น

a11 แทน สมาชิกอยู่ในตาแหนง่ แถวที่ 1 หลกั ที่ 1
a12 แทน สมาชิกอยู่ในตาแหนง่ แถวท่ี 1 หลกั ท่ี 2
a23 แทน สมาชกิ อยูใ่ นตาแหนง่ แถวที่ 2 หลกั ที่ 3
ถ้ากาหนดให้ aij เปน็ สมาชกิ ใดๆ ของเมตรกิ ซ์ A แล้ว
i แทน ตาแหนง่ แถวท่ี i
j แทน ตาแหนง่ แถวท่ี j
สาหรบั สมาชกิ ของเมตริกซจ์ ะใช้อกั ษรตวั เดยี วกบั ชอ่ื เมตริกซ์ก็ได้ เพอื่ ให้เกดิ ความสัมพันธ์

คำถำม
ถา้ A เป็นเมตรกิ ซ์ ขนาด m × n จะเขยี น

แทนอยา่ งไร

คำตอบ
A = [aij]m ×n โดยที่ 1 ≤ i ≤ m และ 1 ≤ j ≤ n

13. ขนาดของเมตริกซ์

ขนาดของเมตริกซ์ไม่ได้บอกเปน็ จานวนด้วยเลขหรือจานวนจรงิ แต่บอกเปน็ ขนาดในรูปจานวนแถวและ

จานวนหลกั ของเมตริกซน์ ้ันๆ เช่น A เปน็ เมตริกซ์ทป่ี ระกอบดว้ ยสมาชิก m แถว และ n หลัก

ตัวอยา่ งท่ี 4,1 จงตอบคาถามต่อไปน้เี กี่ยวกับเมตริกซ์ A
A = [53 42]

เมตรกิ ซ์ A มีมติ ิเท่าใด ตอบ 2 × 2

128

เมตรกิ ซใ์ นแถวที่ 1 หลกั ท่ี 1 มีค่าเท่าใด ตอบ 3
เมตริกซ์ในแถวท่ี 1 หลกั ที่ 2 มคี ่าเท่าใด ตอบ 4
เมตรกิ ซ์ในแถวที่ 2 หลักที่ 1 มคี ่าเทา่ ใด ตอบ 5
เมตริกซ์ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 2 มีค่าเท่าใด ตอบ 2

ตวั อยา่ งท่ี 4.2 จงตอบคาถามต่อไปนีเ้ กย่ี วกบั เมตรกิ ซ์ B
001

B = [1 1 3]
232

เมตรกิ ซ์ B มีมิติเท่าใด ตอบ 3 × 3

เมตรกิ ซใ์ นแถวที่ 1 หลกั ที่ 1 มีค่าเทา่ ใด ตอบ 0

เมตริกซใ์ นแถวที่ 1 หลกั ที่ 2 มคี ่าเท่าใด ตอบ 0

เมตริกซ์ในแถวที่ 1 หลักท่ี 3 มีคา่ เท่าใด ตอบ 1

เมตรกิ ซใ์ นแถวที่ 2 หลกั ที่ 1 มีค่าเทา่ ใด ตอบ 1

เมตรกิ ซใ์ นแถวท่ี 2 หลกั ที่ 2 มีคา่ เท่าใด ตอบ 1

เมตริกซใ์ นแถวที่ 2 หลกั ที่ 3 มคี ่าเท่าใด ตอบ 3

เมตรกิ ซใ์ นแถวท่ี 3 หลักที่ 1 มคี ่าเทา่ ใด ตอบ 2

เมตริกซ์ในแถวท่ี 3 หลกั ที่ 2 มคี ่าเทา่ ใด ตอบ 3

เมตรกิ ซ์ในแถวที่ 3 หลักที่ 3 มคี ่าเทา่ ใด ตอบ 2

14. ชนดิ ของเมตริกซ์

โดยทัว่ ไปชนดิ ของเมตริกซ์แบ่งออกเปน็ 8 ชนดิ ไดแ้ ก่

9. เมตริกซแ์ ถว (Row matrix)

คอื เมตริกซ์ที่มสี มาชกิ เพยี งแถวเดียว หรอื เมตรกิ ซ์ท่มี ีขนาด 1× n เช่น

A = [2 3]

B = [1 2 3]

C = [3 -3 2 -2]

10. เมตรกิ ซ์หลัก (Column matrix)

คอื เมตริกซ์ทีม่ ีสมาชิกเพยี งหลกั เดยี ว หรือเมตรกิ ซ์ทม่ี ีขนาด m × 1 เช่น

5 -1

A = [54] B = [0] C = [ 3 ]
2 4

-5

129

11. เมตรกิ ซ์ศนู ย์ (Zero matrix)

คอื เมตริกซท์ ี่มีสมาชกิ ทุกตวั เปน็ ศูนย์ท้งั หมด ไมว่ ่าจะมีขนาดเทา่ ไร เขียนแทนด้วยสัญลกั ษณ์ 0

เช่น

A = [00] B = [00 00] 00

C = [0 0]
00

12. เมตริกซจ์ ตั รุ ัส (Square matrix)

คือ เมตริกซท์ ่ีมจี านวนแถวเทา่ กบั จานวนหลกั หรือเมตริกซท์ ม่ี ีขนาด n × n หรอื เมตริกซ์ขนาด

n เชน่ 3 2 5 1 2 3 4
A = [-15 57] 6 C = [34 3 2 41]
B = [4 -1 3] 2 1 1
เสน้ ทแยงมมุ หลักของA -2 5 2 3 4

คอื 1, 7

เสน้ ทแยงมุมหลักของB คอื 3, 6, 5

เส้นทแยงมมุ หลักของ C คอื 1, 3, 1, 1

เด็กควรรู้

เส้นทแยงมุมหลัก (Main Diagonal) ในเมตริกซ์ คือ แนวทแยงมมุ

จากมุมบนซา้ ยมายงั มุมล่างขวา เรยี กวา่ เส้นทแยงมุมหลัก หรอื เส้นท่ีลากจาก

สมาชิก แถวท่ี 1 และหลักท่ี 1 จนถึงสมาชิกแถวสุดทา้ ย และหลักสุดท้าย
13. เมตริกซ์เฉียง (Diagonal matrix)

คอื เมตริกซจ์ ตั ุรสั ทมี่ สี มาชิกทไี่ ม่อยู่บนเสน้ ทแยงมุมหลักเปน็ 0 ทัง้ หมด สว่ นสมาชกิ ที่อยู่บนเส้น

ทแยงมมุ หลักจะเปน็ 0 หรอื ไมก่ ็ได้ เช่น

300 1000

A = [10 00] B = [0 6 0] C = [00 0 0 00]
005 0 1

14. สเกลารเ์ มตรกิ ซ์ (Scalar matrix) 0000

คือ เมตริกซ์เฉียงทม่ี ีสมาชิกในตาแหน่งเสน้ ทแยงมมุ หลกั มีคา่ เทา่ กนั ทั้งหมด เชน่

A = [01 01] 300

B = [0 3 0]
003

130

15. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity matrix)

คือ เมตริกซเ์ ฉียงทม่ี ีสมาชกิ ในตาแหน่งเสน้ ทแยงมุมหลัก มคี ่าเปน็ 1 ทงั้ หมด เขยี นสญั ลกั ษณ์

แทนดว้ ย 1 เช่น

100 1000

A = [10 10] B = [0 1 0] C = [00 1 0 00]
001 0 1

0001

16. เมตริกซ์สามเหลย่ี ม (Triangular matrix) แบง่ ออกได้ 2 รปู แบบ คอื

16.1 เมตริกซ์สามเหลี่ยมบน (Upper triangular matrix) คอื เมตริกซ์จตั ุรัสที่มีสมาชิกใน

ตาแหนง่ ใตเ้ ส้นทแยงมุมหลักค่าเป็น 0 ท้งั หมด เช่น

2 3 -2 -2 2 -2 2

A = [01 12] B = [0 5 6 ] C = [ 0 4 3 22]
00 7 0 0 1

0007
16.2 เมตริกซส์ ามเหลีย่ มล่าง (Lower triangular matrix) คือ เมตริกซ์จตั รุ ัสท่ีมสี มาชกิ ใน

ตาแหน่งเหนอื เส้นทแยงมุมหลักมคี ่าเป็น 0 ทงั้ หมด เชน่

200 -2 0 0 0

A = [12 01] B = [3 5 0] C = [ 3 4 0 00]
15. การเทา่ กันของเมตรกิ ซ์ 567 3 2 1

5 627

เมตริกซ์ 2 เมตรกิ ซ์ จะเทา่ กันก็ต่อเมื่อ เมตริกซ์ทง้ั สองมีขนาดเท่ากัน และมสี มาชิกในตาแหนง่

เดยี วกนั เทา่ กันทกุ คา่ เชน่

ตวั อยา่ งท่ี 4.3 กาหนดให้

A = 22 √016] B = [04.5 04]
[1

4
เมตรกิ ซ์ A เทา่ กับ เมตริกซ์ B เพราะ

3. ขนาดของเมตริกซ์ A และเมตริกซ์ B มขี นาดเท่ากัน คือ 2 × 2

4. สมาชกิ ในตาแหน่งเดยี วกนั มคี ่าเทา่ กันทุกคู่

ตัวอยา่ งท่ี 4.4 กาหนดให้ 1 -2 -6
1 0 -6

A = [2 1 5 ] B=[0 1 0]
4 0 -9 -6 5 -7

131

1 0 -6 1 -2 -6

C = [-2 0 5 ] D=[0 1 0]
-4 1 7 -6 5 -7

จากสง่ิ ท่กี าหนดให้จะไดว้ า่

4. เมตริกซ์ A, B, C และ D มขี นาดเทา่ กัน คือ 3 × 3

5. เมตริกซ์ A ≠ B ≠ C เพราะสมาชิกในตาแหน่งเดยี วกนั ไม่เทา่ กนั

6. B = D เพราะสมาชกิ ในตาแหนง่ เดียวกันเทา่ กันทั้งหมด

ตวั อย่างที่ 4.5 จงหาค่า X, Y และ Z ท่ีทาให้เมตรกิ ซ์ A = B เมอ่ื กาหนดให้

A = [X 1 2 -6 62] 1 2Y 2
- 5 B = [-2 5 Z]

2

วธิ ีทา จากคณุ สมบตั กิ ารเท่ากันของเมตรกิ ซ์ A = B จะได้

X – 2 = -2

∴ X = -2 +2

=0

จาก 2Y = -6

∴Y = -6
2
= -3

จาก Z = 6
2
∴ Z = 6×2

= 12

ดงั นน้ั คา่ X มีค่าเทา่ กับ 0

คา่ Y มีค่าเท่ากับ -3

คา่ Z มีค่าเทา่ กบั 12

ตัวอยา่ งที่ 4.6 กาหนดให้ A = [4x2] B = [7xY-Y] จงหาคา่ ของ X และ Y เม่อื

-2

กาหนดใหเ้ มตริกซ์ A = B

132

วิธที า ถา้ A = B จะไดส้ มาชิกในตาแหน่งเดียวกนั จะต้องเท่ากนั

4x2 = 7x – Y ……………………….(1)

-2 = Y ……………………….(2)

แทนค่า Y ในสมการท่ี (1) จะได้

4x2 = 7x – (-2)

4x2- 7x -2 = 0

(4x+1)(x - 2) = 0

จากสมการด้านบนผลคูณของ (4x+1)(x - 2) มีคา่ เป็นศูนย์ ดังน้ัน ค่าทเ่ี ปน็ ไปได้ คือ

(4x+1) = 0 ……………………….(3)

หรือ (x -2) = 0 ……………………….(4)

จากสมการที่ (3) แก้สมการหาคา่ X = -41
จากสมการที่ (4) แกส้ มการหาค่า X = 2

ดังนน้ั ค่า X ทท่ี าให้สมการเป็นจริงได้มี 2 คาตอบ คือ

∴ X = 41, 2 และ Y = -2

16. การบวกเมตริกซ์

กาหนดให้เมตริกซ์ A = [aij]m ×n และเมตริกซ์ B = [bij]m ×n

A + B = [aij+ aij]m ×n
เช่น
A = [aa2111 aa1222]
b11) และ B = [bb2111 bb1222]
[((aa2111 + b21) ((aa2122++bb1222))]
∴ A + B = +

คำถำม
ข้อสังเกต ในการบวกลบเมตริกซ์ใดๆ จะต้องมีเง่ือนไขดังนี้

คำตอบ

1. เมตรกิ ซ์ท้งั สองจะต้องมีขนาดเทา่ กัน
2. ใหน้ าสมาชิกในตาแหนง่ เดยี วกนั มาบวกกันเปน็ คๆู่ ใหค้ รบทุกคู่

133

ตวั อย่างที่ 4.7 จงหา A + B เมือ่ กาหนดให้

วธิ ที า A = [13 2 -04] B = [67 0 38]
2 5

A+B = [13 2 -04] + [76 0 38]
2 5

= [((31++76)) (2+0) ((-04++83))]
(2+5)

= [98 2 -81]
7

ตวั อย่างที่ 4.8 จงหา A + B + C เมือ่ กาหนดให้

วิธีทา A = [31 24] B = [24 05] C = [39 162]

A + B + C = [13 24] + [42 05] + [93 162]

= [((31++24 +3) (4(2++05++162) )]
+9)

= [166 1163]

17. การลบเมตรกิ ซ์
ถ้า A เป็นเมตริกซ์ใดๆ และ K = -1 แล้วจะได้ KA = (-1)A ซ่ึงกาหนดให้เขียน (-1)A = -A

กาหนดใหเ้ มตรกิ ซ์ A = [aij]m ×n และเมตรกิ ซ์ B = [bij]m ×n

134

A – B = [aij- aij]m ×n

เช่น A = [aa1211 aa1222] และ B = [bb2111 bb1222]

A – B = [aa1211 aa1222] + (-1) [bb1211 bb2122]

= [aa1211 aa2122] + [--bb2111 --bb1222]

= [aa1211++((--bb1211)) aa1222++((-bb2122))]

= [((aa2111 - b11) (a12- bb1222))]
- b21) (a22-

ขอ้ สงั เกต จะเหน็ ไดว้ า่ A – B คือ การนาสมาชิกในตาแหน่งเดยี วกนั มาลงเป็นคู่ๆ

ตวั อย่างที่ 4.9 จงหา A – B เมื่อกาหนด

A = [14 2 63] [41 B =36[]-02- 3 341] 14]
5 2 [-02-5 -5

วธิ ีทา A–B = 5

= 1-(-2) 2-3 3-1
[ 4-0 5-(-5) 6-4]

= [43 -1 22]
10

ตัวอยา่ งท่ี 4.10 จงหาค่า A – B เมอ่ื กาหนดให้

วิธที า A = [--53 -32] [--53 B= -[[-32-32 -53-53]]
A–B = -32]

= -3-3 -2-5
[-5-(-2) 3-(-3)]

135

= [--63 -07]
18. การคูณดว้ ยคา่ คงทก่ี บั เมตริกซ์

ถา้ A = [aij]m ×n และ K เปน็ จานวนใดๆ แล้ว K = [ aij]m ×n คือ การคณู จานวนคงที่กบั
เมตริกซ์ ให้นาค่าทเ่ี ข้าไปคูณสมาชิกทกุ ตัวของเมตรกิ ซ์

23 12

ตัวอย่างที่ 4.11 กาหนดใหเ้ มตรกิ ซ์ A = [-5 0] จงหาค่า 4A, -2A 0]
2 1 3 4 (4 ×2) (4 ×3) 8 16

วธิ ีทา 4A = 4 × [-5 0] = [(4 × (-5)) (4 ×0)] = [-12
1 4 (4 ×1) (4 ×4) 4

-2A = 2 3 (-2 ×2) (-2 ×3) -4 -6

-2 × [-5 0] = [(-2 ×(-5)) (-2 ×0)] = [10 0 ]
1 4 (-2 ×1) (-2 ×4) -2 -8

19. การคณู เมตริกซก์ บั เมตริกซ์

ถา้ A = [aij]m ×n และ B = [bij]m ×n แลว้ ผลคูณ AB = C = [cij]m ×n
โดยที่ Cij หาไดจ้ ากการนาสมาชกิ แถวท่ี i ของ A คูณกับสมาชิกในหลกั ที่ j ของ B

Cij = ai1 ∙ b1j + ai2 ∙ b2j + K + ain∙ bnj
ข้อสังเกต

4. A คูณกับ B ได้ก็ต่อเมื่อจานวนหลักของ A เท่ากับจานวนของ B และผลลัพธ์ C จะมีขนาด
เท่ากบั (แถวของ A) (หลักของ B)

5. รายละเอียดการคูณ AB ได้มาจากให้นาแถวของ A คูณกับหลักของ B ให้ครบทุกคู่แต่ละคู่จะได้

สมาชิกของ C เพยี ง 1 จานวนเท่าน้ัน
6. การคูณในแต่ละคู่ในข้อ 2 ให้นาสมาชิกในแถวที่ 1 ของ A มาคูณกับสมาชิกท่ีอยู่ในลาดับ

เดียวกนั ในหลกั ท่ี j ของ B เรยี งตามลาดับ แลว้ นาผลคูณแต่ละค่มู าบวกกัน
A = [aa2111 aa2122], B = [bb1211 bb1222]
เชน่ กาหนดให้

C = [aa2111 aa1222] [bb1211 bb2122] = [cc1211 c12 ]
c22

c11 ได้จากนาแถวที่ 1 ของ A คณู กบั หลักที่ 1 ของ B, c11 = a11 b11 + a12 b21