Algebra Lineal - Eduardo Espinoza Ramos

Eduardo Espinoza Ramos

G ra d u a d o y T itu la d o e n M a te m á tic a P u ra .
C a te d rá tic o d e la s p r in c ip a le s
U n iv e rs id a d e s d e ¡a C a p ita l

RAS PUBLICADAS

X ..—X x „ —x.
\ w .=

Eduardo E/pinozci Romo/

limo - Perú

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ALGEBRA
LINEAL

EDUARDO ESPINOZA RAMOS

LIMA - PERU

IMPRESO EN EL PERU www.mundoindustrial.net prólogo
25 - 08 - 2006
2da. Edición

El estudio del Algebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado
nada más a los estudiantes de M atemática y Física, aquellos que necesitaban
conocim ientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística
m ultiv ariad a.

En el A lgebra Lineal se estudia ahora en m uchas disciplinas debido a la
invención de las com putadoras de alta velocidad y el aum ento general de las
aplicaciones de la matemática en áreas que por tradición no son técnicas.

DERECHOS RESERVADOS En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los

Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún planos en R * , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto
método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios
de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin Vectoriales, Subespacios, base, dim ensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a
expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR. Transform aciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, Dimensión,
Operaciones, M atriz Asociada a una Transformación y en los Capítulos V y VI, se trata
del producto interno, el proceso de GRAM - SCHM ITD y las Formas Bilineales.

La Lectura del presente trabajo requiere del conocimiento de un curso de
m atem ática básica así com o el cálculo diferencial e integral. Los tem as expuestos en
esta obra esta con la m ayor claridad posible.

RUC : N ° 10070440607 Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas
Ley del libro : N° 28086 sugerencias.
Ley de Derecho del Autor : N ° 13714
Registro Comercial : N ° 10716 ♦ Lic. Juan Bem uy Barros ♦ Doctor Pedro Contreras Chamorro.
Escritura Pública : N° 4484 ♦ Lic. A ntonio Calderón. ♦ Lic. Guillermo Más Azahuanche.

Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de m
publicaciones

EDUARDO ESPINOZA RAM OS

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DEDICATORIA

Este libro lo dedico a mis hijos.

RONALD, JORGE y DIANA

Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo

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INDICE

CAPÍTULO I

1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 1
TRIDIMENSIONAL ____________ _________
2
1.1 Sistem a de Coordenada Rectangular en el Espacio. 3
1.2 D istancia entre Dos Puntos. 5
1.3 División de un Segmento según una Razón dada. 7
1.4 Ángulos Directores, Cosenos Directores y Núm eros Directores.
1.5 Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determinados 8
por Dos de sus Puntos. 8
1.6 Relación entre los Cosenos Directores de una Recta. 9
A. LA RECTA 9
1.7 La Recta en el Espacio Tridimensional.
1.8 Ecuación Vectorial de la Recta. 10
1.9 Ecuación Param étrica de la Recta en el Espacio.
1.10 Ecuación Simétrica de la Recta. 11
1.11 Rectas Paralelas y Ortogonales.
1.12 Ángulo entre Dos Rectas. 12
1.13 Distancia M ínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan).
1.14 Teorema. 14
1.15 Teorema. 16
1.16 Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta. 16
1.17 Ejercicios Desarrollados 18
19
21

22

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I» EL PLANO 38 2.4. Aplicación de X en Y 104
I.IS D efinición. 38 2.5. Clases de Funciones 105
1.19 Ecuación Vectorial del Plano. 38 2 .6 . C onjunto Im agen y C onjunto Im agen Inversa 105
1.20 Ecuaciones Paramétricas del Plano. 40 2.7. Com posición de Funciones 106
1.21 Ecuación General del Plano. 40 2 .8. Leyes de Com posición Interna y Extem a 107
1.22 Planos Paralelos y Ortogonales. 41 2.9. Cam po o Cuerpo 107
1.23 Intersección de Planos. 43
1.24 Ecuación B iplanar de la Recta. 43 CAPÍTULO III 111
1.25 Intersección entre Recta y Plano. 45
1.26 Plano Paralelo a una Recta y Plano Perpendicular a una Recta. 46 3. ESPACIOS VECTORIALES 111
1.27 Familia de Planos. 48 113
1.28 Ecuaciones Incompletas del Plano. 49 3.1. D efin ició n 117
1.29 Distancia de un Punto a un Plano 51 3.2. Ejemplos de Espacios Vectoriales 119
1.30 Ángulo entre Recta y Plano 53 3.3. Propiedades de los Espacios Vectoriales 121
1.31 Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano, 54 3.4. Espacio Vectorial de Funciones 127
3.32 Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano, 55 3.5. Espacio Vectorial de las M atrices mxn 130
1.33 Distancia M ínim a entre un Plano y una Recta que no está contenida 3.6. Ejercicios Propuestos 153
en el Plano, 58 3.7. Sub - espacios Vectoriales 168
1.34 Ángulo entre dos Planos, 59 3.8. Operaciones con Funciones 171
1.35 Ejercicios Desarrollados. 59 3.9. Combinaciones Lineales 173
1.36 Ejercicios Propuestos. 75 3.10. Conjunto de Combinaciones Lineales 178
3.11. Sub - espacio Generado 184
CAPÍTULO II 104 3.12. Independencia y Dependencia Lineal 186
3.13. Sistema de Generadores 191
2. CONCEPTOS BÁSICOS 104 3.14. Base de un Espacio Vectorial 195
104 3.15. Dimensión de un Espacio Vectorial 199
2.1. Producto de dos Conjuntos 104 3.16. Dimensión de la suma 208
2.2. Propiedades de dos Conjuntos 3.17. Dimensión de la suma Directa 213
2.3. Relación Binaria 3.18. T eorem a
3.19. Ejercicios Propuestos

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i CAPÍTU LO IV 5.4. O rtogonalidad - Conjunto Ortogonal - ConjuntoO rtonorm al 329
333
4. i . TRANSFORMACIONES LINEALES 229 5.5. Teorem a 333
4.2. 5.6. Corolario 335
4.3. D efinición 229 5.7. Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT 338
4.4. Interpretación Geométrica 230 339
4.5. T eorem a 230 5.8. Corolario 339
4.6. Proposición 237 5.9. Definición 342
4.7. Clasificación de las Transformaciones Lineales 239 5.10. Teorem a
4.8. Proposición 242 5.11. Ejercicios Propuestos 343
4.9. Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal 247
4.10. Teorema 252 CAPÍTULO VI 343
4.11. Dimensiones del Núcleo y de la Imagen 255 344
4.12. Teorem a Fundamental de las Transform aciones Lineales 260 6. VALORES Y VECTORES PR OPIO s] 345
4.13. Coordenadas o Componentes de un Vector 266 350
4.14. M atriz Asociada a una Transformaciones Lineales 268 6.1. Definición 353
4.15. Algebra de las Transformaciones Lineales 275 6.2. V alores y V ectores Propios de una Matriz 355
4.16. Composición de las Transformaciones Lineales 278 356
4.17. Transform aciones Lineales Inversibles 282 6.3. Definición 356
4.18. T eorem a 287 358
4.19. Isomorfismo Inducido por una Transformación Lineal 289 6.4. Teorem a 364
Cambio de Base y Semejanza de M atrices 296 6.5. Polinomio Característico de una Matriz 369
Ejercicios Propuestos 303 6.6. M atrices Semejantes y Diagonalización 379
380
321 6.7. Teorem a 381
383
321 6.8. M atriz Diagonable
323 385
327 6.9. T eorem a 387
6.10. Teorem a de Cayley - Hamilton

6.11. Ejercicios Propuestos

6.12. Formas Bilineales

CAPITULO V 6.13 M atriz Bilineal Simétrica

5. PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD 6.14. Forma Bilineal Simétrica

5.1. Definición 6.15. Formas Cuadraticas
5.2. Definición
5.3. Teorem a 6.16. Ejercicios Propuestos

BIBLIOGRAFÍA

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Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional !

CAPÍTULO!

1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL___________________________

PR E -R E Q U ISIT O S.- Para la com prensión adecuada de este tema de rectas y
planos en R3, se requiere d e los conocim ientos previos
de:

Sistema de coordenadas en el plano.
Solución de sistemas de ecuaciones.
Elementos de geom etría del espacio.
O B JE T IV O S.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de

planos y rectas en el espacio, respecto a un sistem a de
coordenadas. Al term inar este capítulo el alumno debe ser capaz de:
Describir el sistema coordenado en el espacio.
Situar puntos en el sistema coordenado del espacio.
Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano.
Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente.

Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geom étricas.

Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta
en el espacio. (Sistem a Com patible).
Representar gráficam ente una recta en el espacio.

Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones
geométricas dadas.

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2 Eduardo Espinoza Ramos
b) PLA N O S C O O RD EN A D O S.-
1.1. SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL
_____ ESPACIO.- Z El plano coordenado XY que denotaremos
por Pxy, es determ inado por las rectas: eje
Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se _qo,oJz )_ X y el eje Y.
cortan en un mism o punto O. En la figura identificam os los siguientes
elementos geométricos. / /i El Plano coordenado XZ que denotarem os
por Pxz, es determinado por las rectas: eje
Ik u |P(x,y,4) X y el eje Z.

I II ei plano coordenado YZ que denotaremos
por Pyz, es determ inado por las rectas: eje
I ------ 1------- 7 Y y el eje Z.
/ B(0>y'0) ^

L

Y A (x,0 ,0 )

Pyz Los planos coordenados dividen al espacio tridim ensional en 8 sub-
espacios llamados ociantes.
a) E JE S C O O R D E N A D O S .- Los ejes generalm ente son identificados po r
Considerem os un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridim ensional,
las letras X, Y, Z y se habla a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a
frecuentem ente del eje X, del eje Y y del cada uno de los ejes coordenados.
eje Z, donde:
Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X,
El eje X es la recta determ inada por la B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea
intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z.
Y es la recta determ inada por la
intersección de los planos Pxy y Pyz y el 1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.-
eje Z es la recta determ inada por la
intersección de los plano Pxz y Pyz. T E O R E M A .- La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xi ,y, ,z,) y p2
(x 2 ,y2 ,z2) del espacio tridim ensional está dado por:

La dirección positiva se indica por medio de una flecha. Los ejes d ( P \ > P 2 ) - J ( x 2 _ * l ) ‘ + (^2 ~ y ¡ y + (z 2 - Z 1) '
coordenados tomadosde dos endos determinan tres planos, llamados Dem ostración
planos coordenados.

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Eduardo Espinoza Ramos
¿ ( P 2 >P3) = -\/(—3 ~ 4 ) 2 + (—2 —(—3) ) 2 + ( 4 - ( - 2 ) ) 2 * V49 + l + 36 = >/86
Sea a = p^p^ un vector de origen pi y extremo
P2, entonces: Com o las distancias son iguales, entonces los puntos p, , p2 y p 3 son los
—> -----> vértices de un triángulo equilátero.
a = P]Pl = p 2 ~p¡ = (x2 - x , , y 2 ~ y , , z 2 -z¡)
1.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN
—> DADA- _____________________________________________
por lo tanto la longitud del vector a es:
TEO R EM A .- Si los puntos p, (x, ,y, ,z,) y p2 (x2 ,y2 ,z2) son los extrem os
d( P\ -Pi ) =11 a II =yj(x2 - *] f + (y2 ” J i f + (z2 - z,)2 de un segmento dirigido p ,p 2 ; las coordenadas de un
E je m p lo .- H allar la distancia entre los puntos r>, (-1,-2,2) y p 2 (2 ,4 ,-1)
punto p(x,y,z) que divide al segmento p tp 2 en la Razón r = p jp + PP2 es:
Solución
jfj + rx2 y 1 +ry2 z l +rz2
Sea a = p¡p 2 = p 2 - p ¡ = (2 ,4 ,-1 ) - (-1 ,-2 ,2 ) = (3,6,-3)
* = — -------- >y = ~~, ’ z= ,r* -\
d ( P u P 2 ) = II a II = V 3 2 + 6 2 + ( - 3 ) 2 = \ / 9 + 36 + 9 = >/54
1+ r 1+ r________ 1+ r
d ( p ], p 2) = 3y[6
E jem plo.- D em ostrar que los puntos p, (-2,4,-3), p2 (4,-3,-2) y p3 (-3,-2,4 ) Demostración

son los vértices de un triángulo equilátero. Del gráfico se tiene: p ,p / / p p , = > 3 r e R
Solución
P 2^ 2 ’^ 2 ’Z 2 ) tal que: P |P = r p P 2 ’ de donde
Los puntos pi , p2 y p3 son los vértices de un triángulo equilátero si:
d (p i,p2) = d(p],p3) = d(p2, p 3), ah o ra calculando cada una de las distancias: p - p t = r ( p 2 - p) al despejar p se tiene:

^(P , >P,) = V (4 - ( -2 ))2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ))2 = V 36+49+1 = / 8 6 P (x ,y ,z) + r p ,) , ahora reemplazamos por
1+ r
^ ( p ,,p 3) = V ( - 3 - ( - 2 ))2 i+( - 2 - 4 ) 2 + ( 4 - ( - 3 ) ) 2 = V I+ 3 6 + 4 9 = Vs6 sus coordenadas respectivas:

(x , y , z ) = y ^ r ( ( * i <yi >z i ) + r (x 2 ’y 2 ’z 2))

(x,y,z) = ( ^ Y por igualdad se tiene:
1+ r 1+ r 1+ r

xi+rx2 y x+ry2 r & —1

x = 1-+---r----, y = — r r —1+ r- z = 1+ r

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Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 1

E jem plo.- H allar las coordenadas de los puntos de trisección del segm ento Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces:
cuyos extrem os son (5,-1,7) y (-3,3,1)

Solución x¡+x2 -2 + 3 1 y i + y 2 _ 1+ 2 _ 3

P i<5 --1’7 ) P,(-3 3,1) 2 ~ 2 ~l'y 2 22 2 22

-------------- 1--------— ------------»----------------- --------- --------- ----- -

AB 13 3

entonces p( — )

Calculando las coordenadas del punto A se tiene: 222

p,A P|A l 1.4. ÁNGULOS DIRECTORES, COSENOS DIRECTORES Y
r “ - — - T----- = ~ entonces r = 'A. p o r lo tanto se tiene: NÚMEROS DIRECTORES.- ___________________________

Ap:2p,A 2

7 - ' 4 I3) 1 , 5 7 , 15 —>
Considerem os el vector a = ( a , , a 2,a 3) en el espacio tridim ensional y los
■‘ i - * - — * *??7>
— 2 2 ángulos a , P y y formados por los ejes coordenadas positivos y el vector
2
-» -> -> -* -* -* ~*n r

a = ( a , , a 2,<J3) ; es decir: a = ¿ ( i , a ), p = ¿ ( j , a ) , y = ¿ ( k , a ) . Si a I I L

Ahora calculem os las coordenadas del punto B donde: r = = = • = — = 2 —►
Bp2 Bp2 (recta) donde a = ( a , , a 2, a 3) diremos que:

entonces r = 2

_ 5 + 2(-3) 1 -1 + 2(3) 5 7+ 2m Q 15 9

C O R O L A R IO .- Si p(x,y,z) es el punto medio del segmento p , p , ,

P¡P Luego las coordenadas del punto
entonces r - ■=■ = 1.

PP2
medio son:

.V, + .V 2 r* _ z | +z2
2 +
, z—
i
>y - 2

2

Ejem plo.- Los puntos extremos de un segmento son p, (-2,1,4) y p3 (3,2,-1). i) ai, a2, a3 son los núm eros directores de la recta L.
ii) Los ángulos a , P y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son
H allar la coordenadas del punto m edio del segm ento P|P->
Solución formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta,
resp ectiv am en te.

www.mundoindustrial.net Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 9

8 Eduardo Espinoza Ramos d = - x x) 2 + { y 2 - j , ) 2 + ( z 2 - z , ) 2 , por lo tanto: d2

Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: (jc2- x , ) 2 ( y 2- y \ Y ( z 2- z l y
0 o < a , p, y < 180° cos a + eos" p + eos y =

iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a , cos a + eos P + eos y = l
eos p, eos y, se denom inan cosenos directores.
O B S E R V A C IÓ N .- Si a = (a,, a2, a3) es un vecto r dirección de la recta L,
1.5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE donde || a || = -y/a2 + a j + a] , entonces:
UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS
PUNTOS.-

puntos pi (x y, ,z,) y p 2 (x 2 ,y2 .z2). 1.a a1 a, = a c o s a
c o s a = -> a 2 = || a II cos P
—> a} =|l a I le o s /
Il a II
l|a ||

-> -¥

s í d ( p ,, p 2>=!! P 1P 2 II y a ’ P y y son los P = /C(j, a) => co sP, = j- * a2
ángulos directores de la recta L, entonces se -¥ -¥

ti•ene»: c o s a = —x -2--~--x--¡-- Il a II l|a ||
¿(Pi ,p2)
—►—►
eos p = -7 ^— — , eos y - —
k . a . fl3
—►

Il a II l | a | |

¿(Pl>P2) ¿ ( P 1.P2 )

a = (|| a ||c o s a , || a ||c o s /? , || a ||c o s y ) = || a || (eos a , eo s/?, eos y ) .

1.6. RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE A. LA RECTA.-
UNA RECTA.- 1.7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.-

T E O R E M A .- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una
recta L es igual a 1, es decir: eos2 a + eos2 p + eos2 y = 1

Dado un punto p 0(x0 , y 0 , z 0 ) y un vector a = (a , ,a 2,a3) no nulo,

D em ostración llamaremos recta que pasa por p 0(x0, y 0, z0) paralela al vector

A plicando la parte 2.5. se tiene: —>
a = ( a |,a 2,a 3) al conjunto.

x-y x 1 y'y y 1 ^2 ~ L = { p e R i / p = p0 +t a, t e R\
c o s a = — — , e o s p ------- :— , e o s / = — - — , de donde

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IO Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espa ció Tridimensional 11

t.8. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.- O B S E R V A C IÓ N , C onsiderem os la recta L = { p 0 + t a / t e R }. U n punto

Z' Sea L la recta que pasa por el punto P de R3 pertenece a la recta L si p = p 0 +t a para
Po(x o<yo’zo) paralelo al vector algún t en R, es deci r:
\l —►
sP(x.y.z) a = >^2, a 3) P e L <=>P = Pp + 1a p ara alg ú n t real

Si p(x,y,z) de R 3 es un punto cualquiera de la 1.9. ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL
ESPACIO.-
ka = | a x)a 2, a 3) recta ^ entonces el v ecto r p Qp es paralelo al

f o = (xo-yo'zo) vector a , es decir: p 0p / l a o 3 t e R tal

— —► —►

que: poP = t a > de donde p - p 0 = t a C onsiderem os la ecuaci ón vectorial de lan ecta L: L = {Pn + t a / t e R )

entonces p = f o + 1 a , por lo tanto la recta L D e la observación anteri o r se tiene: | P e l o P = P0 + t a , p ara algún t e R
es dado por:
de donde, al reem plazar j ror las coordenadas de P, P0 y de las com ponentes del
L = (P = p 0 + 1 a /t e R } ecuación vectorial de la recta L. —►

E jem plo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto vecto r a se tiene: (x,y,;z) = (x0, y0, Zq) + 1(a ,, a2, a3), es decir:
—►
\x = x0 +a¡t
(4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3) L : >' = >’o + «2í . * e R

Solución ■z = z 0 + a 3t

—>

Como la ecuación vectorial de la recta es: L - { p 0 +t a/1 s R }

reem plazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + f ( l ,- l ,3 ) / / e R\ L as cuales se conocen con el n o m b re de ecuaciones param étricas de la recta L.

O B S E R V A C IÓ N .-P ara cada p ar de puntos distintos de R 3, hay una y solo Ejemplo.- H allar las ecuaciones param étricas de la recta L que pasa por el
una recta que pasa por ellos.
punto (5,3,2), paralela a! vector a = (4,1,-1)
E jem plo.- H allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
P ,( l,3 ,5 ) y P 2 (4,2,7). Solución
Solución
x = 5+ 4/
L a ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x + t p ]p 2 /1 e R }, Las ecuaciones paramétricas de la recta L son: L: y = 3+t , te R

donde p {p 2 = (3,—1,2) ¿ = {(1,3,5)+ /(3 ,—1 , 2 ) / / e /?} 2= 2-/

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13

12 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

OBSERV ACIÓ N .- Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por

el p ar de puntos P, (x, ,y , „ z ,) y P2(J:2>>'2’ Z2) es(á Q ue se denom ina ecuación sim étrica de la recta L.
E je m p lo .- E ncontrar las ecuaciones sim étricas de la recta paralela al
dado por:
vector a = ( 4 ,-3 ,2 ) q u e pasa por e l p unto (2 ,5,-1)
JC= X1+ ( * 2 - X , )í
L : 3' = > 'l+ (>’2 - > '|V , t € R Solución

2 = Z, + ( Z 2 - Z , ) / x - 2 v —5 z + 1

Ejem plo.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa com o L. x -x o - = se tie n e L , ------- = ^ — = — 2
por los puntos Pj (1,2,1) y P2 < 5,-l,l) a2 a3 á -3
Solución
a¡
D e acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones param étricas de la
recta L son: O B S E R V A C IÓ N .-

© Si a3 = 0, la ecuación s i m é t r i c a de la recta L se escribe en la forma

x - x 0 y - y o ______

L: --------- = Ao

x = l + ( 5 - l )/ x = 1+ 4/ © Si a, = 0 a a3 = 0 . La ecuación sim étrica de la recta L se escribe en la
L: >' = 2 + ( - l - 2 ) / , t e R e s d e c ir: L : y = 2-3/ , t € R
forma:
z = 1+ ( 1- 1)/ z = 1+ 0/

L: x = x0 a z - z o

1.10. ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA.- Ejem plo.- Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1)
paralela al vector a = ( 2 ,0 , 1)
Considerem os las ecuaciones param étricas de la recta L.
Solución
x = x0 + a,f
L : y = y 0 + a 2t ,U R x - x0 y - y 0 _ ecuación sim étrica de la recta L y como

z = z 0 + a 3i com o L: - -

= 0 , la ecuación de esta recta es L. x xl = 1 3 - A y = y Q , ahora

S uponiendo que a¡ * 0 , a2 * 0 , a%* 0 , despejando el parám etro t d e cada a“-3. _j
X -X Q y - y 0 z ~ zo
X+l Z- 1
ecuación tenem os: t = --------- = ---------- = --------- , d e donde p o r igualdad
reemplazam os por los datos se tiene. L. |

www.mundoindustrial.net Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 15

14 E jem plo.- La recta L, = {(1,2,-1) + /(5 - 2 , - 3 ) / t e R\ es paralela a la recta
Eduardo Espinoza Ramos L 2 = {(1,-3,2) + Á ( - 10,4,6) / Á e R} puesto que el vector dirección

jygC T AS PARALELAS Y O R T O C O M i rv de L ,, a = (5,-2,-3) es paralelo al vector b = (-10,4,6) que es el vector
dirección de la recta L2 ■
Las relaciones de paralelism o y ortogonalidad entre dos rectas se da
com parando sus vectores direccionales. E jem plo.- Hallar la ecuación de la recta L que intercepta en ángulo
recto a la recta L, = {(1,2,3) + 1(2,1 ,-1 )/ t s R J y que pasa por el
Considerem os las ecuaciones vectoriales de dos rectas. punto A (2,0,l).
—y Solución

L\ = { p 0 + t í i / t e R } y l 2 = { q 0 + A b / Á e R }

U recia L, y la recta L , son paralelas (L, // L ,) s, y sólo si, sus vcctores

direccionales son paralelo, es decir: I IIL, <=> a*H~b

OBSERV ACIÓ N .- 1

® Si L, y L , son paralelas (L, // L2), entonces L, = L , ó L , n L 2 = <¡>. (2 t - 1, 2 + 1, 2 - 1 ). (2,1,-1) = 0 r=> 4 t - 2 + 2 + t - 2 + t = 0 : = > / = -

© Si L, y L2 no son paralelas (L, K U ) , entonces L, n L 2 = <¡> (las rectas -> 1 7 5 1
se cruzan) ó L, n L, consta de un solo punto. p o r lo tanto A P = (——, —, —) = —( —1,7,5).

333 3

Luego L = {(2,0,1) + A.(-1,7,5) / k e R¡

16 Eduardo Espinoza Ramos Rectas >’ Planos en el Espacio Tridimensional 17

1.12. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS.- Si las rectas L- y L2 se cruzan, quiere decir qu e existen planos p aralelo s que
contienen a las rectas L| y L2 respectivamente.
Considerem os las ecuaciones de dos rectas

L \={ P o + ‘ a / t e R } y L 2= { q Q+ t b / 1 e R )

U n ángulo entre las rectas L, y L 2 se define com o el
—>

ángulo formado por sus vectores direccionales a y
—> —> —>
b , es decir: ¿ ( L ,, L2) = a , b ) = # , y es dado pol­
la fórmula.

eos# ■— — — , 0 < 0 < k

E jem plo.- Encuéntrese un ángulo formado por las rectas

£, = { (1,3,-2) + í( 3 ,- 6 ,9 ) / / e /?} y = {(2,1,7) + ¿ ( 1 , - 3 , 4 ) / /l e /?} Si d es la distancia entre los planos P , y P 2 d o n d e N es la norm al al p lano P 2;
Solución —> —> —>

C om o 6' = ¿ :( ¿ ], ¿ 2) = ^ ( a - * ) d o nde a = ( 3 , - 6, 9 ) , /? = (l,-3 ,4 ) entonces p o r lo tanto TV es ortogonal a los vectores a y b entonces N = a x b

—>
A hora considerem os el vector unitario en la dirección de la normal N ;

a . b (3, —6, 9).(1, —3 ,4) 3 + 18 + 36 57 HN = ------- y com o 6 = ¿ ( / / v - entonces
eos tí = ------------—---------- P = .............. = -------- ==--- = ---- = 7
\V N \\

¡i r n n í i¡ 6V 5T

eos 0 = 0.99587 de donde 0 = arccos (0.99587) juK . A C u N .AC M n . A C =4\ A C \\ eos O ( 1)
c o s # = — — ------------- = ——--------, de donde

1.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS II IIII ¿C || II AC || ;
QUE SE CRUZAN).-_______________________
por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene:

Si ={ p 0 + t a / t e R } y L2- { q 0 + A h / A e R } son dos rectas no paralelas d = || A C || c o s # ... (2)
(rectas que se cruzan), entonces a la distancia m ínim a entre las retas L¡ y L 2
denotarem os por d ( L }, L 2) y es definido como el segmento perpendicular- de d onde al com parar ( 1) y (2 ) se tiene: d (L [, L2 ) —| fXN . A C |
común a am bas rectas.

18 Eduardo Espinoza Ramos Herías y Planos en el Espacio Tridimensional 19

1.14. TEOREMA.- d (L\, ¿ 2) —^ 5 ^ , donde: p0 (1,2,-1), q0 (-2,-l,3) =(-3,-3,4)
|(a * 6)1
Sean L x- { p Q+ t a i t e. R \ y L2 ={ <y0 + A b i A e R } dos rectas no paralelas
(rectas que se cruzan). además a = (5,3,2), b =(4,2,■-3), entonces:
Demuestre que la distancia mínima entre L| y L2 está dado por:

i j k. ||a x ¿ ||= V 7 0 2
a xb = 5 3 2 = ( - 1 3 ,2 3 ,- 2 ) =>
D em ostración 2 -3
4

Presentaremos en un gráfico, en forma Po% . a x b = 3 9 - 6 9 - 8 = - 3 8 , por lo tanto:
intuitiva a Ir- dos rectas que se cruzan sin
2 interceptarse y sm ser paralelas del gráfico , , , r | p Qqo . a x b \ _ [—38| _ 38
observamos que la distancia m ínima entre ( A ’ 2 ) = || ( a jc o ) |1 " ^ 0 2 m
las rectas L| y L-, es: “ La longitud del

vector proyección de sobre a v b , lo O BSERV A CIÓ N .- Si las rectas L x y L 2 son paralelas, entonces
d ( L ], L 1) = d ( P , L 2 ) , donde P es un punto cualquiera
cual es expresado en forma matemática por: de la recta Z.¡.

( a x b ) ||, de donde d { L M I(avb) |

Ejem plo.- Calcule la distancia perpendicular entré las dos rectas 1.15. TEOREMA.-

-v - 1 y —2 1 D em ostrar que la distancia del punto P a la recta /.¡ { Pq + 1 a!t 6 R ¡es dado
por:
oblicuas dadas por las ecuaciones L,:-------= :...... . = ------ , y
d ( p , L ) = (ul l A ^ l ñ l a if - ( P o P - z Y
532

x +2 y +1 z-3
L2:

-3

Solución

Escribiendo las rectas dadas en form a vectorial se tiene: Dem ostración
Hacemos un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo
= { (1 ,2 -1 ) + 1(5,3,2) i t g R \ y = {(- ,3) + / ( 4 ,2 ,- 3 ) / A e R ¡ , la A P0P se tiene:

distancia entre L; y L? es dado por:

Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 21

p 0 - ¿ ( p Qp , a ) => e o s 9 = -. P— } d(p,L) = J l/W » l? l|a ||-(PoP-*)2 v/26(3)-36 _ Í42 :VÍ4
d(P,L) II PoP\\\\ a
\\ rpopr = £ ~U
además sen 0 - ~ P '
L Wp o p W 1.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE
UNA RECTA.-__________________________________________
A 1 0K de donde d ( P , L ) =|| ~p^p || sen B
—>
d (^ - ¿ ) - ll PoP\\ s e n- 9 = \ \ p 0p \ \ 2 ( 1 - e o s 2 Ñ) Considerem os una recta !,= { p ü + 1 a / 1 e R } y un punto p, que no pertenece a

la recta L.

Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de

i PoP\\2 (n1_-__ (PoP- a )" -), H„I P—o P>„II2 (, a )2 la recta L, al cual denotarem os p r o y Lr de tal m anera que el vector A P sea
I PoP\\2\\ a II2 ortogonal a la recta L.

O bservando el gráfico se tiene:

= II A )/7 INI a II2 ~( Pi ,P-a )2 l/W>ll2| | a ||2 -iPoP-a)2 P0A = p r o y Pf de donde A - P 0 = p r o y Pf
aa

A = P0 + p r o y Pf , Ósea:
a

E jem p lo .- H allar ¡a distancia del punto P (3 ,l,-2 ) a la recta .-. A = p r o y ¿’ = p {) + p r o y ™ p
x+ \ y +2 z+l a

Lr E jem p lo .- H allar la proyección ortogonal del punto P (2 ,-1,3) só b re la
recta L = {(0.-7,2) + 1 (3,5,2) / 1 e R}
Solución
Escribimos la recta en forma vectorial: L = {(-1,-2 , - í ) + t( 1, 1, 1) / 1 s R¡ Solución

La d(p,L) es dada por: d ( p , L ) = ^ a I H P o /? -3 )- A - Po + proy1"p , d o n d e p Qp = (2,6,1)
a

a = (3,5,2) => a = V 38

donde p0 (-1.-2.-1) y p ( 3 ,l-2 ) entonces p 0p = ( 4 ,3 ,- l) ,a = ( 1, 1, 1),

(2,6,1).(3,5,2) .(3,5,2)

A = (0,-7,2) + -

38

i i Eduardo Espinozu Rumos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 23

6+ 30+2 de (1) y (2) se tiene: a = 2b, c = -3b, (a,b,c) = (2b, b.-3b) = b(2,l ,-3)

■I ( 0 ,- 7 ,2 ) + 38 .(3,5,2) entonces A = (0,-7,2) + (3.5.2) = (3,-2,4) p o r lo tanto la recta pedida es: L = {(3,1,-2) + X (2,1 ,-3) / X e R<

■ A (3,-2,4) ( ? ) H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3.4) y es perpendicular
.v + 2 y - 3 z + 2
1.17. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
a cad a un a de las rectas L ]: ------- =
H allar ia ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,-2) y es
! -1
,. , , x + 1 v + 2 z +1
peipendicular y corta a la recta L: ------ = --------= — x - 3 2 y - 7 3 -z_
1 2 -3
I1 1 Solución

Solución A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial

Escribiendo en form a vectorial a la recta L = {(-1 ,-2, -1) + t (1,1,1) / 1 e R} L, = {(-2,3,-2) + t (2,-1,5) / t e R ¡, y L2 = {(3,7/2,3) + l (1,1,3) / ^ e R}.

La recta pedida pasa por A (3,l,-2) cuya ecuación es: Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir:

¿i = {(3,1,-2) + A ( a , b , c ) / A e R\ L = {(3,-3,4) + p (a,b,c) / p e R}

com o L ± L¡ => (1,1,1) (a,b,c) = 0 => a + b + c = 0 com o L J_ L | , L2 entonces (a,b,c) 1 (2,-1,5),(1,1,3) entonces
a+ b + c= 0
í(2,-l,5.(a,¿>,c) = 0 Í 2 a - ¿ + 5c = 0
Sea p e L a L, entonces p e L a p e L, de donde j(l,l,3 ).(a,¿,c) = 0 (a + ¿ + 3c = 0

Si p e L =í> p (-l + 1, -2 + t, -1 + t ) , p e L, => p(3 + l a , 1 + Xb, -2 + Xc),

entonces: (-1 + 1, -2 + 1, -1 + 1) = (3 + /.a, 1 + A.b, -2 4 Ác) d e donde: 3a a a 3a a
de donde c = - — , b = — ,
(a,b,c) = (a, —, - — ) = —(8,1-3)
88 88 8

— 1+ / —3 + Áü -5 .-. L = {(3,-3,4) + 1 (8,1,-3) / 1 e R}
-2 +t = \+M
[-1 + í = -2 + ic a-c © H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (-l,2,-3) es perpendicular

A=- -> x - 1 y + 1 z —3
al vector a = (6 ,-2,-3) y se corta con la recta L , : -------= ------- = -------
b-a
3 2 -5
entonces c = 5b - 4a ...(2)
Solución
a-c b-a

24 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 25

Escribiendo a la recta —► —^ —y —>
C om o A B . A C =|| A B \\\\AC || c o s 6 0 ° , reem plazando:
x -1 y+ en forma vectorial
-i • 2

3 6 - 3 / = 3>/2. j 2 \ t - 2 \ — 11 —2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 com o t < 2
se tiene: 2

L = {(1,-1,3) + t(3 ,2 ,-5 ) / t e R} entonces C(1 + 1, -1 + t, 1), para t < 2.

Sea p e L j A L = > p e L i A P £ L .

Si p e L t p (l + 3t, -1 + 2t, 3 - 5t) para © U na recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra
algún t e R —^

como b - M P = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6) recta pasa por el punto Q (2,l,0) y es paralela al vector b = (3,8,13), Demostrar
que las dos rectas se cortan y determ inar su punto de intersección.
—> ~► —+ —►
adem ás a X 6 = = > a .¿ = 0 => (6 ,-2 ,-3 ).(3 t + 2 , 2 t - 3 , -5 t + 6 ) = 0 Solución

Sean L, = {(1,1,1) + t ( l , 2 ,3 ) / t e R} y L2 = {(2,1,0 )+ k (3,8,13) /X e R}.

Las rectas L| y L 2 se cortan si y solo si 3 P 0 tal que P () e L t a L2 com o

6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0 => t = 0, b = (2.-3,6 )

Po e L 1 a L2 Po e L ¡ a Pq e L2

por lo tanto:L = {(-l,2,-3) + 1 (2,-3,6) / t e R} Si Po e L| => Po (1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t )

© Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta P0 e L2 =i> P0 (2 + 3A., 1 + U , 13^)

L = {(1,-1,1) +1( 1,1,0) / t e RJ tal que Z ( A B , A C ) = 60°

Solución com o P0 es punto com ún a L¡ y L2
entonces: (1 + t, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8A., 13A.)

Sea C e L => C (1 + t , -1 + 1, 1)

—► —► —^ —> 1+ / = 2 + 3/i
* 1+ 2 / = 1+ SA resolviendo el sistem a se tiene t=4, >.= 1
A B . A C =11A B mi A C || eos 6 0 " , donde
1+ 3/ = 13a
—> —^
AB = (0,-3,3), A C = (t - 2 , / -2 ,0 )

L1 Luego el punto de intersección es P0 (5 ,9 ,13)

*11 AB ||= 9 + 9 = 3 2 4 9 + 9

\\AC\\= 2 ( t - 2 ) 2 = 2 t ~ 2 @ D adas las rectas L ,= {(3,1,0) + t ( 1 ,0 ,1 )/1 e R} y L2={( 1,1,1)+*. (2 ,l,0 )/> .e R } ,
Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, adem ás
hallar ésta distancia.

26 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 27

Solución

3 b = (2 ,1 ,0 ) Sea A e L i => A (3 + t, 1, t), B e L2
- . _x
^2
—>

B( 1 + 2A , 1 + A , 1), A B = B - A = ( 2 A - t - Z A, 1- / )

Q

T = ( 1 ,0 ,1 ) a ± A B => a . A B = 0 ,( 1 ,0 ,1 ).(2A-t-2,A, 1-t)=0, J
I
L, ... ( 1)
A 1 de donde 2A - 2t - 1 = 0

—> —> —> —>
b ±AB=> b . A B = 0 => (2,1,0).(2A - 1 - 2, A, 1 - 1) = 0 => 5A - 2 t - 4 = 0 ... (2)

M e L, = {(1,1,2) + t ( 1 ,2 ,0 )/ t e R} => M (1 + t, 1 + 2t, 2)

Í2A~2r-l =0 N e L2 = { (2 ,2 ,0 )+ > .(1 ,-1 ,1 )/ A e R} => N (2 + A, 2 - A, A)
form ando el sistem a de ( 1) y (2 ) se tiene: i

¡5 /Í~ 2 /-4 = 0

P s L , = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R} => P (5r, 3, -2 + 2r)

resolviendo el sistem a se tiene t = — , >1 = 1 —^ —y ^
2

com o M N = N P entonces se tiene: M N = N - M =(A - 1+ 1, -A. - 2 t+ 1, A. - 2)

~, Q(-A---+--B- ) = Q(---1-3----3----3)
como Q es punto equidistante de A y B entonces

2 4 24 N P = P - N = (5r - A - 2, 1 + A, 2r - A - 2), de donde
(A-t+1, -A -2t+l, A-2)=(5r-A-2, 1+A, 2r-A-2), p o r igualdad de vectores se tiene:
TLa dJ'istancia m í•ni•m a d = —^ d ( A , B ) = -----
24

(?) Dadas las tres rectas L, = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R} A~t +l =5r-A~2 5r-2A+t =3 ...(1)
- A - 2 t +1 = 1+ A 2A+2t= 0 ...(2 )
L2 = {(2,2,0) + A.(1 ,-1 ,1 )/ á. e R ¡. A-2 =2r-A -2 ...(3 )
2r-2A =0

L3 = {(0,3,-2) + r (5 ,0 ,2 )/ r € R¡ de (2) y (3) se tiene A = - 1 , r = A ahora reem plazam os en la ecuación (1).

H allar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L ,, L2, L3 en M, N r =T¡ ' L u e g o M ( - —. - 2 , 2 ), 7 1 3, ,15
P ( y , 3,-1)
—► —>

y P respectivam ente de tal manera que M N = NP.

Solución L = { ( - ^ . - 2 , 2 ) + / ( 8 , 5 , - l ) / í e /? }

28 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 29

Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las luego a = P A = (t - 14, t, t - 1) para / = — , a = ( - —- ! , — )
rectas L, = {(5,0,-1) + 1 (1,1,1) / 1 eR }, y L2 = {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R¡ 13 13 13 13

Solución .-. L = {(19,0,0) + t (-154, 2 8 ,1 5 ) / 1 e R}

® Encuentre el punto de intersección de las rectas: L ,= {-1,7,17)+ t(-l,2 ,3 )/teR }
x-7 y z

y L2 : ------- = - = —
4 1 -5
Solución

E scribiendo la ecuación L2 en form a vectorial. L2 = {(7,0,0)+X (4,l,-5)/A .e R}

Sea p e L] a L2 «entonces p ¡e L | a p e L2 .

Si p e Li => p (-l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a p e L2 entonces p (7 + 4/1, X, -
5X)

B e L 2 = {(-1,2,2!) + X (-2,1,0) I X e R} => B (-2X - l . X + 2 , 2 )

como los punto P, A, B son colineales, entonces. com o p e Li a L 2 =» (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3 t) ==(7 + 4X, X, -5X)

—> —► —> —> - l - / = 7 + 4/t

P A / / A B = >3 r e R tal que PA = r A B de donde A - P = r(B - A)

7 + 2t = k entonces t = -4 , X = -1. Luego: p (3 ,-l,5 )

que al reem plazar por sus coordenadas se tiene: .17 + 3/ = - 5 A

( t - 14, t , t - 1) = r(-2X - 1 - 6 , J t - t + 2, -t + 3)

D adas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3),

/ - 1 4 = - 2 r A - r / - 6 / - ...(1) , x-\ y+2 z - 3 r x - l 3-z x -1 y +2 z -3

por igualdad de vectores se tiene: t = Z r - r t + 2r ...(2) Li: — ; ¿ 2:— = —— A y = - 2 , L i :— — = 1------ = --------.
2
21 3 -A 2 12

t - \ = - r t + 3r ...(3) H allar la ecuación de una recta que pasa por el punto A (-4,2,6) y forma
ángulos iguales con las rectas dadas.
de la ecuación (3) y (2) se tiene: t ---3--r--+---l, Ar=_1-----,-- d, e la ecuación (1m)
Solución
r+l r

(1 + r) t + 2rX + 6 r = 14 reem plazando t y X se tiene: Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. L, ={(1,-2,3)+ t(2 ,2 ,l)/ te R ¡,

4 L2 = {(1,3,-2) + A. (3 ,0 ,4 ) /A. e R} y L3 = {(1,-2,3) + r (2,1,2) / r e R}

15 28 Á=— Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4,2,6) es decir:
3r + 1 + 2(r - 1) + 6r = 14 => r = 1 t=
15
11 13

Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 31

1 I(-4,2,6)+ t(a,b,c) / te R } , com o 8 { L i,L ) = ¿ ( L2, L ) = ¿ (L 3,L) entonces: 1J
c = a x b = 2 -2
„ (a,b,c).( 2,2,1) 2« + 2¿ + c ■(-1 1 ,1 0 ,1 4 ).
e o s # = — = = = = = =. 25
3v a ... (1)
3 v a +b +c +¿~+c

(a,b,c),( 3,0,4) 3a + 4c . .. (2) P or lo tanto: L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R}
eos <9 = 2 =_
... (3)
5 v a + 6 + c sVtf + & + c H allar la ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las
rectas L, = {(3,3,4) + 1 (2,2,3) / t e R} , L2 = {(1,6,-1) + k (-1,2,0) / 1 e R}.
c o s 0„ = ( a ,6 ,c ) .( 2 ,l,2 ) = 2 a + b + 2c
3 \ a + ¿> + c 3 y a +b + c Solución

de (1) y (2) se tiene: a + 10b - 7c = 0 A . 1-, Sean A e L | => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t),
U B e L 2 => B (1 - \ , 6 + 2 k , - \ )
*

de (2) y (3) se tiene: a + 5b - 2c = 0

de (1) y (3) se tiene: b=c como A,B son puntos sobre la recta L
entonces el vector dirección de la recta L es
com o b = c entonces a = -3c, L = {(-4,2,6) + r (-3 c,c,c) / r e R} B1 h L2
a = A B = B - A de donde se tiene:
L

L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R} a = (-2 - 2t - A., 3 + 2X - 2t, -5 - 3t) com o L _L L, , L2 entonces:

E ncontrar la ecuación de ia recta que p asa p o r el puístiV p(7,-2,9) y es

x -2 y z+3 x+4 y -2 z a .(2,2,3) = 0 - 1 7 / + 2A = 13
:-------- = -- ------ = — . a . ( - 1, 2 , 0 ) = 0 resolviendo el sistem a se tiene t= - 1, X--2,
perpendicular a las rectas L , :--------= — = -------- , y
2 5 -2 - 2 t + 5/1 = - 8
12 -2 3

Solución —► —► por lo tanto los puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A - (-2,-1,2).
a = (2,-2.3), ¿>= (2,5,-2) Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es:
Los vectores direcciones de L¡ y L 2 son
respectivam ente. L = {(1,1,1) + 1 (-2,-1,2) / t e R }

Sea L la recta que pasa por el puntop(7,-2,9), luego la recta D eterm inar una recta L tal que con las rectas L, = { ( 2 ,l,4 ) + t( l,l,0 ) /te R}
y L2 = {(2+ d , 1 + a , 3 + a ) / a e R} determ inan un triángulo de área 5u2.
pedida L = {(7,-2,9) + —> —> —►

—> t e / te R } , pero com o L JL L¡ , L2 entonces c .L a ,

b entonces: Solución

32 Eduardo Espinoza Ramos Kretas .v Planos en el Espacio Tridimensional 33
Sea L = {(4,5,3) + t ( - l , 3 , l ) / t e R}

Sea p e L| a L2 => p e Li a p e L2 ]

Si p e L | => p(2 + t, 1 + 1, 4) b = P0A = A - P 0 = (-3 ,-4 ,-1 )
p e L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a )
h a . b -*•
com o p e L] a L2 , entonces:
( 2 + t, 1 + t, 4) = (2 + a , 1 + a , 3 + a ) PoB - p r o y ~ ~ a

( —1,3,1). (—3,—4 ,-1 ) .(-1,3,1)

[ 2 + / = 2 + ar P0B = 11
de donde: \l + t - \ + a al resolver el sistema se tiene que: t = a = l
3 -1 2 -1 10 10 30 10
4 = 3 +a
P R = -------------- = — (-1,3,1) = (— ,— ,— )

0 11 11 11 11 11

por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tomemos en t cercano a p así com o i 10 30 10 10 30 10
t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4), K B = B - P 0 =( —
IH4 + 7 7 . 5 - — , 3 - — )
11 11 11 11 11 11

adem ás B € Li => B(2 + a , 1 + a , 3 + a ) entonces se tiene: 54 25 23

—>—> —> —► .. « (— ,— ,— )
a = A B = B - A = ( a - 2, a - 2, a - 1) por otra parte b = A P - P- A =(-1,-1,0) 1 11 11 11

j —> —> —;■/ —> D eterm inar los ángulos entre una recta L paralela al vector a -(1,1,1) y los

adem ás el área A = —1| a x b ||= 5 de donde || a x b ||= 1 0 entonces |
|
* ejes coordenadas.

a 1 - 2 a - 49 = 0 de donde se tiene: a , = 1- S i / I , a 2 - 1+ S-Jl por lo tanto Solución

las rectas pedidas son: L = { (4 ,3 ,4 )+ f ( - l + 5-</2, - I + 5V 2 , 5 y ¡ 2 ) / t e R )

L = {(4 ,3,4) + / ( - l - 5 > / 2 , - 1 - 5 V I , - 5 - J l ) / 1 e /?} Sea L = {P0 + t a / < € / ? } , donde

—>
a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y

Í 4) Sea A (l,l,2 ) un punto y supongam os que la recta L tiene por ecuaciones || a ]| = ,entonces:
param étricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R, encontrar un punto B
en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular. a, 1 1.
eos a = — — = - 7= => a = arccos( - j = )
Solución
, „ 7 1, sÍ3 v3

Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 35
A hora verem os si 3 p e L , a L2 ^ p e L | a p e L¡.
eo s/?n = —a—-) = —1= => p„ = arccos(,-7=1-)- Si p e Li => p (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4 t ) , p e L 2 => p (-2, 1 + X, 2 + 2X)
(1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + X, 2 + 2X) de donde
ni» ^

eos y = a3 _ 1 y = arccos( -~j^ )

41

Hallar la longitud del m enor segm ento horizontal (paralelo al plano X Y ) que l + 2í = -2 2
ú n e la s rectas = {(1,2,0)+ í( 1 ,2 ,1 )/1 e /?} y = {(°*°.0) + /í(l, 1,1)/>1 e /?} - 2 + 3/ = 1+ i => i 15
5 -4 / = 2 +2A
S o lu ció n 2
£, = { ( l ,2 ,0 ) + / ( l ,2 ,l) // e /? } 13
A=—
¿2 = {(0.0,0) + ¿ ( l . U ) / *} 2

por lo tanto las rectas L t y L2 son rectas que se cruzan.

com o A B I ! d plano X Y entonces X = t. ii *
Luego A ( l + t , 2 + 2 t,t) y B (t, t, t) a= 2 3 - 4 = 10 i - 4 j + 2 k
12
0

d = \\ A B ||= yjl + (t + 2)2 + 0 de donde / ( / ) = \ t 2 + 4t +5 L = { (1 ,-2 ,5 )+ t ( 1 0 ,- 4 ,2 ) /t e R} ; V = {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / X e R}
18) Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneam ente una partícula
t+2 > ? = - 2 número critico.
desde el punto A(2,2,3), hacia la recta L = {(0, 1 + /., -/.) / l e R ¡ para que lo
/'(0 = ~ - =o alcance alcabo de dos segundos, siendo su velocidad V = 4 ^ u / seg.

+ 4í + 5 Solución
Sea B e L => B(0, 1+ X, -X) para algún
¿ = n i « ¡|= V i + o + o = i => ¿ = 1 X e R. adem ás e = vt donde e = d(A,B) para
t = 2 seg. V = 4 l u , e = 2-\/3
D adas las rectas £, = {(1,—2,5) + /(2 ,3 ,—4 ) / f e /?}
d(A,B) = ^4 +(A-])2+ (-A -3)2 = l4 l
L 2 = {(-2,1,2) + >1(0,1,2) / A e fl}. H allar la ecuación de la p erpendicular com ún.
de donde X2 + 2X + 1 = 0 => X = -1
S o lu ció ü

Las rectas L ( y L2 no son paralelas, es decir L | X L2.

36 Eduardo Espinoza Ramos Mecías y Planos en el Espacio Tridimensional 37

Luego B (0 ,0 ,1) entonces está dado por el vector A B - B - A = ( - 2 , - 2 , - 2 ) 3 ( / - 2 ) 2 = 17 => ¡ = 2 ± J y =* í, = (± J y ’1’ 4)
Luego las soluciones al problem a son:
•. A B = ( - 2 - 2 - 2 )
I = { ( l , 2,- l ) + A (^ y ,X 4 ) /A e /? } ; L'={ (1,2,-1) + r ( - ^ y ,K 4 ) / r e R }
( Í^ ) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de AB y corta
bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,Q), @ Dados los vértices de un triángulo A (3 ,-l,-l), B (l,2,-7) y C (-5,14,-3). Hallar
B(0,0,-2), R(3,3,3), S (-1,3,3). las ecuaciones sim étricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
Solución Solución
Tom em os los vectores unitarios u y v en las
El punto m edio del segm ento AB es M (l,2 ,-1), y direcciones de BA y B C , respectivamente
observando el gráfico este problem a tiene dos donde BA = (2 ,-3 ,6 ), BC = (-6,12,4)
soluciones.
La ecuación de la recta L\ que pasa por R y S es: -» BA 1 , , - „ BC \ ,
L | = {(-1,3,3) + t (1,0,0) / t e R} u = ------------------------------------ = - ( 2 , - 3 , 6) y v =- = - ( -

Sea N el punto de intersección de L con L¡ es || BA || 7 II S C II
decir:

Si N e L | => N (-l + t, 3, 3) pasa algún t e R D efinim os

b = M N = N - M = (t - 2,1,4), c o m o 6 0 ° = ¿C ( L ,L |) = ¿ ( a , b ) entonces: entonces sea b = « + v el vector dirección de la bisectriz B D es decir:

eos 60° = a .b ; donde a = (1,0,0) y b = (t - 2, 1,4) ¿ _ l ( _ i 3 8) = _ i ( l , - 3 , - 8 ) . Luego los núm eros directores de la bisectriz
77
a IIII b I
1)D son 1,-3, -8 . Si B (l,2 ,-7 ) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones
x -1 y - 2 : +l

simétricas son: L :-
1 -3 -8

e o s 60° = “ 2, 1,4 ) - 1 J '-2
+ 1+ 16
v V -2 r + 17

y J ( t - 2 ) 2 +\ + \ 6 = 2 ( 1 - 2 ) => (/ —2 )2 + 17 = 4 ( / - 2 ) 2

38 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 39

__ EL PLANO.- p 0 = M (3,4,-5) y a = (3 ,1 ,-1 ), b = (1 ,-2,1), p o r lo tanto al reem plazar se tiene:

1.18. DEF1NICIÓN.- P = {(3,4,-5) + 1(3,1,-1) + X (l,- 2 ,1 ) /U e R)
O BSERV ACIÓ N .-
Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Si existe un punto Q l^ D e la ecuación vectorial del plano P = { p 0 + 1 a + A b/1, A e R) se obtiene

3 paralelos a = (a{,a2,a^) y la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano:
N = a xb
Po(x0,yo,z0) de R y dos vectores no

—>
b - (¿ | ,¿)2 , ¿ 3 ) de R3 de tal m anera que:

P = < P ( x , y , z ) e R / P ( x , y , z ) = P0(x0 , y 0 , z 0) + t a + A b , t, A e R

8.19. ECUACIÓN VECTORIAL PEL PI Oh

z - Considerem os un plano P que pasa por el \ 2 j Si N es una norm al al plano P = {/q + / a + A a /t , A e R} y si pi, P2 e P
entonces N es ortogonal a P i P 2 - P i ~ P\
punto po(xo,yo..zo) y que es paralelo a los

—>

vectores a = ( a 1, a 2, a 3) y b = (b1,b2 ,b3) .

/ / / Po r T iT /
/
Sea p e P entonces existen t, X e R tai

t---------------------------- » -----------> —> —>

que: p 0p = t a + A h , de donde

—► —►

p - p 0 - 1 a + A b entonces:

p = p 0 +t a + A b , luego -» ”1

P = {p0 + t a + A b / t tA e R]

Q ue es la ecuación vectorial del plano P ortogonal a TVentonces p e P.
N
Ejem plo. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3,4,-5) y es
—► —>

paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b = (1 .-2,1).

S o lu ció n

Como la ecuación del plano es P = {p0 +t a + A b¡ t,A e R} donde

40 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 41

Si p0 es un punto fijo del plano P y N es su normal, entonces la ecuación (A ,B ,C ).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A (x - x0) + B (y - y0) + C (z - Zo) = 0

de! plano es: P: N . ( p - p 0) = 0 Ax t By + Cz + (-A x0- By0 - Czo) = 0, de donde P: A x + B y + C z + D = 0

Es la ecuación del plano que pasa por p0 y cuya norm al es N Q ue es !a ecuación general del plano P.

| l ^ ECUACIONES PARAMÉTRICASDEL PL A N oJ E jem plo.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con

Considerem os el plano. P = {P0 + t a + À b l t , X e R ) —>

—► —► vector norm al A" =(2,3,4).
Si p e P entonces p = p 0 +t a + A b para t, k e R, reem plazando por sus
Solución
respectivas com ponentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Z o ) + t ( a i, a 2, a¡)+ b.2, b 3 ) —►
de donde por igualdad se tiene:
La ecuación del plano es dado por P : N .((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0,
X = x 0 + a¡t + b\A t , À, £ R
P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0, P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0
y =y0+a2t +b2Á
z = z0+ a ^ + bì À .'. P: 2x + 3y + 4z - 12 = 0

Que son las ecuaciones paramétricas del piano P. 1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.-

1,21. ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.- C onsiderem os los planos: Pj : A\X + B ^ y + C¡z+ D¡ = 0

P 2: A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 , donde = ( A ¡ , B¡ , C , ) y N 2 = ( A 2 , B 2 , C 2 )
son sus normales, respectivamente, entonces:

—>
i) El plano P] es paralelo al plano P 2 (P i // P 2) si y solo si sus norm ales N \

—>
y N 2 son paralelas, es decir:

P ,/7 P j » N i UN i

Sea P el plano que pasa por el punto
p 0(x0, j 0,z 0 ) cuyo vector normal es:
—^
N = (A,B,C). Si p e P entonces:

p 0p l N , de donde p 0p . N = 0 entonces

_>

N - ( p - p 0 ) = 0. Ahora reemplazando por
sus componentes:

42 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 43

Si A''i U N 2 => 3 r e R tal que N \ = t N 2 , lo qu e quiere decir qu e los E je m p lo .- El plano P i: 4x - y+ 2z= 7 es ortogonal al plano P 2: x+ 6y + z = 16

coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los planos deben ser porque N \ . N 2 —0. En efecto com o A^i= (4,-1,2), N 2= (1,6,1), se
proporcionales, o sea que debe cumplirse:
tiene: N \ . N 2 = (4,-1,2).( 1,6,1) = 4-6+ 2= 0.

A\ c\ _ 1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.-

A ¡ Zr' T 1 ~C~2 ~ r

Considerem os los planos: P,: Atx + B^y + C ^ - t D , = 0 y

Ejem plo.- Los planos P¡: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x + lOy - 14z + 5 = 0 P 2: A 2x + B 2y + C 2z + D 2 = 0 . Si el plano P¡ no es paralelo al p lano P 2

3 5-71 (P] X P 2) entonces la intersección de P i y P 2 nos d a un a recta L, es decir:
son paralelos porque: —= — = ------= —= r

6 10 - 1 4 2

Si los planos P i y P 2 son paralelos puede ocurrir que: P ( = P 2 ó P i n P 2 = <|>,
es decir:

P,//P, o P, = P, ó P, n P, = (|>

ii) El p lano P¡ es ortogonal al plano P2 (Pi -L P 2) si y solo si sus norm ales

—> —>

N ] y N 2 son ortogonales, es decir:

P|_L P2 • » Ny 1 N 2

Si TVi -L N 2 => N ¡ . N 2 = 0 => Ai A 2 + 82 + Ci C2 = 0, po r lo

tanto

P, i . P2 <=> A , A 2 + B i B 2 + C i C 2 = 0 L24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.-

A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denomina
ecuación biplanar de la recta y se expresa en la form a siguiente:

j A xx + B xy + C ,z + Z), =* 0
1Á2x + B 2y + C2z + D 2 = 0

La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétrica y

—>

simétrica. El vector dirección a de la recta se determ ina en la forma siguiente:

44 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional

a = N \ x N 2 , donde N \ y N 2 son las Luego la ecuación de la recta L en form a vectorial es:

normales de los planos P, y P2 L = {(0,-1,-3) + 1 (1 ,-1,1) / 1 e R}

respectivam ente: Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de la
variables en función de la tercera variable y para esto se elimina una de las
i jk variables del sistema.
a = N t x N 2 = A¡ B, C, * ( 0,0,0)
B-, C-, [3x + y - 2z = 5
A-, \
[x +2y +z = -5
entonces x + y = -l de donde y = - l - x

El punto p 0 (x0 , y 0 , z 0 ) por donde pasa la recta se determ ina resolviendo el ahora se toma cualquiera de las ecuaciones.
sistema de ecuaciones de los planos P , y P 2. x + 2y + z = -5 => x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x

Ejem plo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección com o (x,y,z) e L => (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x)
de los planos P t : 3x + y - 2z = 5 ; P2 : x + 2y + z + 5 = 0. (x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l,- l,l)

Solución
—>
Calculando el vector dirección a de la recta L.

i J = (5, -5,5) = 5(1,-1,1) Luego: L = {(0,-1,-3) + 1 ( 1 ,1 ,1 ) / 1 e R}
a= 3 1
1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.-
1 2
Considerem os la ecuación general de un plano:
ahora calculam os un punto de la recta L, para esto resolvem os el sistem a de P: Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación
ecuaciones.
—►
\3x +y - 2 z = 5 í5x + 5_y = - 5 vectorial de la recta L = { p 0 + 1 a / 1 e /?} .

[x +2y +z +5 = 0 entonces 1 , sim plificando Si L y P no son paralelos entonces al
U +^ = -l intersectarse nos da un punto Q, es decir:

ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para LnP={Q }.
x = 0, y = - l , z = -3 entonces pu (0,-1,-3).
Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistem a de ecuaciones
de la recta L y el plano P.

46 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 47

E je m p lo .- H allar el punto de intersección de la recta x +2 z —4 Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir qu e la recta L está contenida
y el plano P: 2x + 3y - z + 11 = 0 . L: en el p lano P ó que la intersección es el <|>, es decir:

-1

Solución Si ¿ / /P o ¿ c: P ó L n P = ^

E scribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) / 1 e R} La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es
com o L X P o 3 p tal que p e L n P. S i p e L n P entonces p e L n p e P p aralelo al vector norm al N de P , es decir: L 1 P <=> a // N

corno p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún t e R.

además p e P o 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 o t = -3

Luego: p (-11, 3, -2).

íO iT PLANO PARALELO A UNA RECTA Y PLANO
______ PERPENDICULAR A UNA RECTA.-

C onsiderem os 1a ecuación general del plano P: A x + B y + Cz + D = 0, E jem plo.- Demostrar que la recta L - {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es
—> paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0
Solución
donde N = (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de la recta
—► —►

L ~ {Po + t a l t e R} donde a es el vector dirección.

—►
L a recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal

al vector normal N es decir: L //P o a 1 N a = (3,-4,4) Para dem ostrar qu e la recta L es paralelo al
------------ ».
N=(4,-3,-6) plano P debe de cum plirse que el vector

—V
dirección a de la recta es perpendicular al

—►
vector normal N del plano, es decir:

¿ / / P o a ± ÍV = > a.A f = 12 + 1 2 - 2 4 = 0

Luego como a .N = 0 entonces a 1 N . Por lo tanto la recta L es paralelo al
plano P.

48 Eduardo Espinoza Ram os Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 49

1.27, FAMILIA PE PLANOS.-] A plicando el concepto de familia de planos se tiene:

En form a sim ilar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba P: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) = 0
una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de pianos,
por ejemplo, la ecuación 2 x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos 5
com o (1,-2,2) e P => 2 + 2 - 2 + 8 + k ( l - 1 2 - 4 - 7) = 0 => k = —
—►
paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos im portante, 11
es el sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya
ecuaciones se expresan: 5 . P: 27 x + 1 9 y -2 1 z + 53 = 0
P: 2a - y - z + %+ — ( x + 6 y - 2 z - l ) = 0

P,: A^x+Btf+C^z+Dy = 0 (1) E jem plo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los
P^: ^ x + i?2.y+C2z + = 0 planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al
plano 3x - 4y - 2z = 9
Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de Solución
intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación:
Sea P„ la familia de planos que pasan por la intersección de los planos
X ¡ ( A ¡ x + Bl}>+Ciz + D¡) + K 2( A ;ix + B 2y + C 2z + D 2) = 0 ... (2)
2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1
donde K) y K2 son números reales cualesquiera excepto que sean ceros
sim ultáneam ente. P a : 2x - y + 3z - 2 + a (4 x + 3 y - z - 1) = 0

Si en la ecuación (2) se tiene que K t 0, entonces a la ecuación (2) se puede P a : ( 4 a + 2)x + (3 a - 1)y + (3 - a ) z - 2 - a = 0, donde su norm al es:
expresar en la forma: —►
N a = (4a + 2,3a -1,3 - a ) y sea P: 3x - 4y - 2z = 9 cuya normal es:

A xx + B xy + Cxz + D X+ K ( A 2x + B 2y + C2z + D 2 ) = 0 ...(3 ) N = ( 3 ,-4 ,-2 ) com o P„_LP => N a 1 N => N . N a = 0

A la ecuación (3) se denom ina la familia de planos que pasan por la (3,-4,-2).(4a+2,3a-l,3-a)=0, de donde 12a+6 -1 2 a + 4 6+2a = 0 a = - 2
intersección de los planos Pi y P 2 . Pu : 6x + 7y - 5z = 0

E jem plos.- H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de | lT287 I o L \ C I O N E S I N a i M ^ L E T A S D E L P L A N O ^
los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z - 7 = 0 y por el punto
(1,-2,2). Consideremos el plano P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A 2 + B" + C 2 * 0,
Solución como A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes
casos:

Eduardo Espinoza Ramas Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 51

l*r Si B = C = D = O, A * O em oiices eí plano P: x = 0, que es el plano Y Z. Sea P el plano buscado. P: N .[( x ,> » ,z ) -( 7 ,2 ,—3)] = 0
1*° Si A = C = D = 0, B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano XZ
3ro Si A =B = D = 0, C * 0 entonces el plano P: z = 0 qu e es el p lano XY com o A, B e P => A B = (-2,4,-1) // P, com o eje X // P => i II P entonces la
4,# Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al plano Y Z norm al es:
5'° Si A =C = 0, el plano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ
ó'“ Si A =B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY ijk
7"’° Si C = D = 0, el plano P: A x + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al N = i . A B = 1 0 0 = (0,1,4) => P: (0,1,4). (x - 7, y -2, z + 3) = 0

plano XY -2 4 -1

8to Si B = D = 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al P: y + 4 z + 10 = 0
plano XZ
1.29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.-
9"° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al eje X y es ortogonal al
plano YZ Considerem os la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0
y un punto pi (xi, y t, z¡) que no pertenece al plano P.
10"° Si C = 0, el plano P: Ax + By + D = 0, es paralelo al eje Z y además
es ortogonal al plano coordenado XY. considerem os un vector unitario /uN en la dirección del vector norm al, es

1l “voSi B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y adem ás es decir: n N = ~ z r = i , ' , ' - K g »c )
ortogonal al plano coordenado XZ ¡| N || v A + B + C

12*™ Si A = 0, el plano P: B y + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y adem ás es ---- ►—► -----> —> ^
ortogonal al plano coordenado YZ
com o 0 = ¿ ( pqP ^ / J k ) entonces p 0p¡ . \ i N =)] p 0p l ||c o s 0 ...(1 )
13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, p asa por el origen de
coordenadas.

E jem plo.- H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (7,2,-3) y
B(5,6,-4) y es paralelo al eje X.
Solución

Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 53

En ei triángulo rectángulo se tiene: d ( p x, P ) =)l PoPi IIcos 6 ••• (2) A plicando la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos.
P (: x - 3y + 4 z =10 y P 2: x - 3y + 4z - 6 = 0

de (1) y (2) se tiene que:

1 r(/LS,C).(*i-x0, y ¡- y 0, zi~zo) I A - P 2I 1 -1 0 -(~6)| 4 2V26
¿ (P „ P 2) = Vl + 9 + 1 6 " V26 13
d { p x, V) = p 0p v f t N =■
■JA2 + B 2 + C 2

y¡A2+ B 2+ C 2

A ( x i - x 0) + B ( y l - v0) + C(z¡ - z 0 ) | Ax¡ + By, + Cz, + ( - A x 0 - B y 0 - Cz0 )j 2yÍ26
<Ta 2 + b 2 + c 2 ■■ d ( P „ P 2) =
í 7 7 b 2+c 2
13

1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.-

Ax¡ + B y x + Cz, + £)| Considerem os la ecuación vectorial de una recta L = { p 0 + t a / 1 e R ) y la
d ( p x, P ) = ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es
N = (A,B,C)
,Ja 2 + b 2 + c 2

E jem plo.- Calcular la distancia del punto A (l,5,-4) al plano
dado por P: 3x - y + 2z = 6.
Solución

|3x0 - y 0 + 2z0 “ ¡3 —5 —8 —6j 16
d(A, P) = VÍ4 " V T Í

16
d(A,P) = -

VÍ4

O B SE R V A C IÓ N .- Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos Sea 0 = ¿ ( a , N ) ángulo entre los vectores a y N , entonces:
P i: A x+ B y + Cz + D| =0 y P 2: A x + By + C z + D2 = 0,
-> -»
la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula

a Ai n
e o s 0 = -------------- , adem ás se tiene a = — - 0 , entonces:
d, - d2
«(*1**2/ 2+b 2+c 2 II a IIII N II 2

E je m p lo s.- H allar la distancia entre los planos paralelos P 4: x - 3y + 4z = 10 sen a = sen(— - 0 ) = eo s# = — ^ por lo tanto: 2L.N
y P í : x - 3y + 4 z = 6. sena - -
Solución 2 llallllTVIl
II a IIII N II

Que es la expresión para calcular el ángulo a formado por una recta y un plano

54 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 55

E jem plo.- Hallar el ángulo 0 que forma la recta L = {(l,8,l)+t (1,1,2) / teR } E jem plo.- Hallar la proyección ortogonal del punto A (l,2,3) sobre
con el plano P: 2x - y + z = 7, el plano P: x - y + 3z = 4

Solución I ^ Solución
—► —^
Sea 0 = ¿C(L, P ) donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y N = (2,- | A (1,2,3) como P: x - y + 3z = 4, donde N =(1,-1,3) es

1,1) el vecto r norm al del plano P. A hora aplicam os la relación p ara calcu lar el |___________ N - (1 .-1 .3 ) ja norm a] de P y L la recta que p asa p o r el
ángulo 0.
/ punto A (l,2,3) y es perpendicular al plano P

sen 6 = - a . N (1,1,2 ).(2 ,—1,1) 2 - 1 + 2 1 |® / entonces L = {A + 1NI t e R) es decir:
a II I! A' I

' L = {(1,2,3) + t( l,- l,3 ) / 1 e R}

de donde: sen 6 = — entonces 0 = 60°. Sea B e L n P => B e L a B e P.
2
Si B e L => B( 1 + t, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t e R
3.31. PROYECCION ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN
PLANO.- com o B e P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 4

La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + Cz + D= t=- —
11
0 con normal N ~ (A ,B ,C ) es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por
7 26 21
Pr oyp , ,de tal manera que el vectorp 0p es ortogonal al plano P. Para hallar el de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A
punto p0 trazam os por el punto p una recta L ortogonal al plano P es
11 1 1 1 1
—>
decir: L = { p + 1 N I t e R} de donde L n P = p , 7 26 21
sobre el plano P es B (— , — , — ). 11
¡L
jp 11 11
Ñ*
1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE
UN PLANO.-___________________________________________

La proyección ortogonal de la recta L = { p 0 + t a / t e R } so b re el
plano P: Ax + B y + Cz + D = 0, es la recta V , el cual denotarem os por Pr oy¡,
que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las
proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P

Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 57

A Si C e L| => C (1 + X, X, 2 + A.) para algún X e R.
~L

c o m o C e P => l + X + A. + 2 + A.= l X=—
3
_ / _____ I P A' L'

d e d onde C ( - , - —, —) y A C = C - A = —(1 ,-5 ,4 )

3 33 3

S i£ '= P ro ^ p = { A + 1 ~ A C / 1 e R } de d o n d e/. L ' = {(0,l,0) + / ( l , - 5 , 4 ) / í e /?}

L ' = { P 0 + t P0B / 1 e R] L ' = { P ' + t ( A ' - P ' ) / t e /?} E jem plo.- H allar la proyección ortogonal de la recta
cuando L X P cuando L // P L = {(2 + 1,1 - 3t, -5t) / t e R } , sobre el plano P: 2x - y + z = I .
Solución
E je m p lo .- H allar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2 t) / te R }
sobre el plano P: x + y + z = 1 L= {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R}
Solución D onde l = ~AB = ( 1 ,- 3 ,- 5 ) si A (2 ,l,0 )= > B (3,-2,-5)

como L y P no son paralelos, entonces fi___ l
existe un punto de intersección A e L a P.

Si A e L a P entone A e L a A e P L' ahora calculamos sus proyecciones ortogonales
sobre el plano P, C = Prqvp y D = P rovp para
M--I-

[_' Si A e L => (t, 1 - 1, 2t) para algún t e R

c o m o A e P = > t + l - t + 2 t = l => t = 0 calcular C trazamos la recta L t que pasa por A es
Li decir: L, = {(2,1,0) + 1 (2,-1,1) / 1 e R}

=> A (0 ,1,0) por otra parte:

com o C e L | a P => C e L i A C e P .

L = {(t, 1 - t, 2t) / te R } = {(0,1.0) + 1 (1,-1,2) / 1 e R}, de donde

Si C e L, => C(2 + 2t, 1 - 1, t) para algún t e R.

a = ^4B =( 1,-1,2)=> B -A = ( 1,-1,2), B=A +( 1,-1,2)=<0,1,0)+( 1,-1,2) =>B( 1,0.2) 1 44 1
3
ahora calculam os el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre com o C e P => 4 + 4 t - 1+ t + t = 1 => / = - - por lo tanto C(—
3 33

el plano P, para esto trazam os la recta L, que pasa por B perpendicular al plano ahora calculam os elp unto D,para esto trazam os la recta L 2que p asa por el
punto B, es decir:
P esdecir: L ,= {(1,0,2) + k (1,1.1) / XeR}

Sea C e L i a P => C e L| a C e P L2 = {(3,-2,-5) + 1(2,-1,1) / t e R } , como D e L2 a P entonces:

58 Eduardo Espinoza Ramos 59

Mi • i„m »’ Pianos en e l Espacio Tridimensional

D e Li => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + t) para algún t e R.

com o D e P => 6 + 4t + 2 + t - 5 + t = l de donde I 14. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.-
3 33 3
* 7 3 11 4 4 1 ( onsiderem os las ecuaciones generales de dos planos Pi:A |X +Biy+ Ci
CZ>. 2 17 31 1 /> D |= 0, cuya normal es N = ( A ¡, B , , C, ) y P 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2= 0,
,- — , - — )=,- ( 4 .- l7 .- 3 l) cuya norm al es jV 2 = ( a 2 , B 2 , C 2

, 44 1 El ángulo 0 form ado por los planos Pj y P 2
L'= P r o y rL = ,(4,-17,31)// € R } es igual al ángulo entre sus vectores

33 3

1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA normales N ¡ y N 2 respectivamente y es
QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.- dado por la expresión siguiente.

La distancia mínima entre una recta E je m p lo .- H allar el ángulo form ado p o r los planos P t : x - y = 4 y P 2: x+ z = 6
—► Solución

L = {p0 +t a / t e R} y un plano P:

—►
N ( p - Q o ) = 0, donde la recta L no está

contenida en el plano P y además L es

paralela a P es dado por la fórmula.

d ( L , P ) H comp QoPo I= | I

11*11 P ,: x - y = 4 de donde N , = (1 ,-1 ,0 ), P 2: x + z = 6 de donde N 2 = (1 ,0 ,1 )

E jem plo.- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / t c R ) -----* — » entonces „ N. .N*
al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Si 0 = ¿ (P i, P 2) = ¿ ( * 1 , N 2 ) cos<9 = ----- f — — —
Solución
Il N x II II N 2 H
Tom em os un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5
c o s ^ = i(-1:—,-1’,0).(\1\,0.—,1) = --1----0---+---0---= —, com o e o s 9 = — e n to n c e s0 = 601. 1t„ „ 0
e n to n c e sQ 0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) => Q0p 0 = Q q - P o = ( 7 ,4 - 5 )
22 2

P ) _ | g o A .- * | _ ; q 4 - 5 ) . ( 4 , - 3 , - 6 ) | |2 8 -1 2 + 30| 11.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.-

l¡ y u >/l6 + 9 + 36 VóT Vól ( í ) Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A( 1,0,-1) y B (2 ,1,3)
y que adem ás es perpendicular al plano Pi = {(x,y,z) e R 3 / x + y - z + 2 = 0}

60 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 61

Solución i jk
com o P I P j => jV, //P , adem ás se tiene N = -3 2 -3 = (3,-3,-5), com o el plano P pasa por p( 1,2,-3)
que: A ,B e P => A B II P, A B = ( 1 ,1 ,4 ) 10
c o m o jV l A B , /V, entonces: 1

P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] = 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z + 3) = 0

i jk P: 3x - 3y - 5z = 12
N= 1 1 4 = (-5,5,0) = -5(1,-1,0)
1 -1 (T ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos
1 iguales con las rectas Lj = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje O X , L 3 : eje O Y

de donde tenem os que: N = —5(1,-1,0) .. P:x-y=l Solución
—> —>
—► El plano pedido es: P: N . ( p - p 0 ) = 0 , de d o nde ¿V= (A ,B ,C ) y p 0 (3 ,1 ,-2 ) el
L uego P: ^ . ( ( x , y, z ) - ( x o , y0, zo)) = 0 d e d o n d e punto por donde pasa el plano.

© H allar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l ,2,-3) y por La condición del problem a es: ¿C (L¡ ,P) = ¿C (L 2 ,P ) = ¿C (L 3 ,P), donde:

la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY.

Solución

para ¿ (L, ,P) = ¿ (L2 ,P), se tiene:

N La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el -» -> —> ^
P(1,2,3)
(x - y ' 2z = 4 sen0 = — 7 - 7 - = >donde 7 = (1,1,1), 6 = (1,0,0), N = { A ,B ,C )
plano XY es la recta L\\
\ \ N\ \ \ \a\ \ | | / / | | || 6 ||
2= 0
efectuando operaciones se tiene que: (\[?> - } ) A - B ~ C = Q ... (1)
Escribiendo la ecuación de la recta L en forma

vectorial para z = 0 = > x - y = 4 => x = y + 4

Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0) para ¿ (L2 ,P) = ¿ (L3 ,P) se tiene:
Luego L = {(4,0,0) + t ( 1 ,1 , 0 ) / 1 e R}

ahora calculam os la norm al N = p 0p x a , donde p 0p = ( ~ 3 ,2 ,-3 ) y sen 8 = . N : - — = - N -C - , donde 6 = (1,0,0), c = (0,1,1), 7V=(A,B,C)
a =(1,1,0) entonces: I/V|| || 6 || II A/1| || e l

efectuando operaciones se tiene: A=B ... (2)

62 Eduardo Espinoza Ramos Redas y Planos en el Espacio Tridimensional 63

ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C = ( J l - 2 )B Sea P ] : x -y = 4 de donde N t = (1,-1,0)
P 2 : x + z = 6 de donde N , = (1,0,1)
com o N = (A,B,C) = ( B , B , ( - J i - 2 ) B ) = 5(1,1, V 3 - 2 ) B * 0
P: N .(p - A ) = 0 es el plano p edido com o P J_
Por lo tanto P: ( 1 ,1 ,V 3 - 2 ).(jc- 3 ,> , - 1 , z + 2) = 0 Pi , P 2 entonces A', , N-, // P de donde la
normal ¿Vde P es:
P: x + y + (i¡3 - 2 ) z + 2-Ji - 8 = 0
(-1,-1,1)
Sea ju = (a,b,c) y N = (A ,B ,C ) vectores no nulos de R tal que
-4 —► com o P: A' .(p - A )=0, al reem plazar se tiene, P: (-1 ,-1 ,l).(x - 3, y - 4 ,z-l)= 0
N ± ju si p0 (x0,yo,Z{)) es un punto del plano Jt = A x + B y + Cz + D = 0.
P: x + y - z = 6
—>
D em ostrar que L = { p 0 + t ^ 1 1 e R] está contenida en ti. ( h ) Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano
3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos?
Solución Solución
—► —> —►—>
Com o N -L // => N . fí = 0 => A a + B b + Ce = 0 adem ás Sea P,: 3x - y + 2z = 4. donde A7, = (3,-1,2) y Pel plano pedido, com o
P // Pi entonces P: 3x - y + 2z + D = 0
L = { p 0 + 1 ~¡i! t e R] = {(x0, y0, z0) + 1 (a,b,c) / 1 e R} por demostrar que
pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D=5
L c rc: A x + By + C z + D = 0
por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. la distancia entre am bos planos
Sea p e L => p (x0 + t a, y0+ t b, ztí + t c) paralelos se tiene:
com o po e rt => A(xo + t a) + B(yo + 1 b) + C(zo + 1 c) + D = 0

= Ax0 + By0 + Cz0 + D + t(Aa + Bb + Cc) = 0,

o

= 0 + t (A a, Bb, C e) = 0 + to = 0, entonces p e k luego L c n.

© Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A (3 ,4 ,l)y es ortogonal
a los planos P , : x -y = 4, P2 : x + z = 6.
Solución

64 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 65
© Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos P ¡ ( l ,0 ,- l ) y
(Ñ ) Si P es un plano tal que: P n eje x = {(a,0,0) / a * 0, a e R},
P3 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6,
4x - y + 3z = 0 P n eje y = {(0,b,0) / b * 0, a e R}. D em ostrar que P tiene la ecuación.

Solución xyz
P: - + t - + - = 1
para determ inar el vector normal al plano P, primero hallarem os el vector
dirección v de la recta de intersección. abe

ij k Solución
v = N x x N 2 = 3 1 -2 =( 1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3)
Sea a = AB = B - A = (-a,b,0)
4-13
ahora trasladam os el vector v paralelam ente al plano b uscado y con el vector b = ~AC = C - A = (-a,0,c)
PxP2 = ( -2 ,2 ,2 ) se obtiene la norm al N al plano P, es decir:
N = a,b i jk
ij k -a b 0 = (bc,ac,ab)
N = P\P2 >v = -2 2 2 (20,-12,32) -a 0 c

-17 -7 La ecuación del plano es: P: N. ( p - A) = 0, reem plazando se tiene:
considerando el punto p i ( l ,0,-1) en el plano y la norm al N = (20,-12,32)se tiene:
P: N .(p - p i) = 0, reem plazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe

.-. P: 5 x - 3 y + 8z + 3 = 0 xyz
P: - + f + - = 1

abe

© Demostrar que la ecuación del plano, que pasa por la recta
L: x = x 0 +a¡t, y = y ü + a 2t, z = z 0 + a i t, t e R y es perpendicular al

plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma:

x -x 0 y -y 0 z-z0

a, bx c,

abe

Solución

66 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 67

En la recta L: x = x 0 + a xt, y = y 0 + a 2t, z - z 0 + a 3/ t e R el vector dirección ,

es a - ( a ^ a ^ a ^ ) y en el plano F: ax + by + cz + d = 0, su norm al es] V = 6 ¡[OP OQ OR] I de donde se tiene:

—> —> D DD
N = ( a ,b , c ) . Sea P,: N \ . ( p - p 0) = 0 , el plano buscado donde: OP = {— ,0,0), OQ = (0 ,- — ,0), OR = ( 0 ,0 ,- — )

ABC

—» -> —»

/j k «1 «3 #1 -2- o 0
= ílN\ = a x N -■ a l a2 “i A 0
\ a2 «3 a 9 b) B -£>3 1 D3 D
abc 1Ò C ca V =- 0 o c /IflC 6 ABC V =-

0 ABC

a2 a3 «1 «3 «1 a 3
Pt : ( b C ac ).(x -x 0, y - y 0, z - z 0) = 0
P, : ( x - x0 )
aC

a, a =0 Dados los puntos P ,: 2x + 2y - 2z + 2 = 0 y P 2: x - 2y - z = 1 y el punto
+( z - z 0) A (2,l,4). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es
paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P ,.

*o y - y o z ~ z o Solución

'i • «i =0 —^
P,: 2x + 2 y ~ 2 z + 2 = 0 , de donde su normal es N { —( 2 ,2 - 2 )
a

(10) Si A,B,C y D son todos no nulos. Dem uéstrese que el tetraedro form ado por —^
los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen P2: x - 2 y - z = 1, de donde su norm al es N 2 = (1 ,-2 ,—1)

1D —> —> —>
igual a V = — Sea ¿ = {(2,1,4) + ? u / t e R} donde u = ( a , b , c ) y ||« ||= 1

ABC -* —^ - (1)
Solución com o L / /P , => u . N 7 = 0 = > a - 2 £ - c = 0
donde
Sean P, Q, R, los puntos de intersección del por otra parte se tiene: -> - >
plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los u.N,
ejes coordenados respectivam ente, es decir: Pj ) = 3 0 ° ,entonces sen 30° = •

M i l l i e ¡i

u . t y - — y u II |f ív f 1| => 2a + 2 b - 2 c = ^ - . 2 j ? , => 2a + 2 b - 2 c = 3 ... (2)

0,0), Q(0 ,- ~ ,0 ) y R(0 ,0 ,- ^ )

AB C

el volumen V del tetraedro OPQR es: com o II u |l= l => a " + b 2 + C 1' = 1 ... (3)

68 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 69

a - 2b - c = 0 entonces !±V2 por lo tanto <V3 = ( - ~ , 0 , c ) = - ^-(3,0,-4)
resolviendo el sistema se tiene: ' 2a + 2 b ~ 2 c = 3 2 +V2 L uego P3: JV3.(/?-(0 ,0 1 )) = 0 , al reem plazar se tiene:

a 2 +b~ + c 2 = 1

P3 :(3,0,~4).(x, y, z -1 ) = 0 P3 :3x - 4z + 4 = 0
2±y¡2 1 2±y¡2 1i r - r\ © Un plano pasa por el punto A (3,l,-1), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = -
u = ( a , b , c ) = (------------------------------) = - 2 ± V 2 , 2 , - 2 ± V 2

4 24 4'

L uego se tiene: L = {(2,1,4) + 1(2 ± -J2, 2, - 2 ± V ? ) / í e. /?} 4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación.

Solución

(Í2 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al —>
plano X Z y hace un ángulo 6 = arccos * con el plano x + 2y + 2z = 5.
Sea P ,: 2 x - 2 y + z = - 4 , de donde jV, = (2 ,- 2 ,1 ) y P el plano p o r calcular,

Solución —►
P ,: x + 2y + 2z = 5 Sea p, = x + 2 j+ 2 z = 5 de donde
L uego com o P ,± P => JV, / /P y com o el intercepto Z con P es -3 entonces
= (1,2,2) y P2 = XZ
—^

B (0,0,-3) es un punto del plano P y adem ás A, B e P => A B / / P de d onde

—^ > ->

AB = ( - 3 - 1 - 2 ) com o N {, A B / / P entonces la norm al P es N dado por:

P3 = ? tal que P31 P 2 y adem ás —» -> —>
ij k
Sea N 3 = («,0, e) la norma de P3 puesto
N = N {x AB = -3 -1 -2 = (-5 -1 ,8 )
-^
2 -2 1
que #3 es paralelo al plano XZ y X Z 1P3. ¡

P: N . ( x - 3, y —1, z + 1) = 0 , d e donde P: (-5 ,-l,8 ).(x - 3, y - 1, z + 1) = 0, p o r

Nt .N3 -- ^ lo tanto: P: 5x + y - 8z - 24 = 0
Además eos 9 = - donde TV, = (1,2,2) y jV3 = ( « ,0 ,c)

n ’ iII II N 3 II © H allar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del

( l , 2, 2) .( a ,0,c ) 1 a + 2c origen y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos
3 3>/a2 + c 2
eos 9 = OX y OY.
3V« 2 + c 2
Solución

V a2 + c 2 = a + 2c entonces se tiene: a = - - - c Sea P el plano buscado, cuya norm al es N = ( c o s a , eos /?, e o s /)

70 Eduardo Espinoza fiamos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 71

2^ como (2,2,2) e P => 2A + 2B + D = 0 ... (2)
com o a = (3 = 60° => eos" a + e o s ' /? + e o s ' y = 1 = > c o s / = ± - y

de (1) y (2) se tiene D - - [ s j i + 2]B —(3)

-* 1 1 -J2 1 1 r—\ reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0
P: 4>/3ftc + fly-(8>/3 + 2 )5 = 0, B * 0 =>P: 4-JÍ x +y - t j l - 2 = 0
N = ( - , ~ , ± — ) = - 1,1,±V 2
22 2 2

La ecuación del plano es: P: x + y ± -Jlz + D = 0

com o r f ( 0 ,P ) = 2 => '° + Q+ - —— = 2 de donde i D | = 4= > D= 4 v D = -4] © La recta ¿ j = {(5 + / , - f , 0 ) / / e /?) se refleja en el plano n: 2x - y + z - 1= 0,
Vl+1+2
Hallar la ecuación de la recta reflejada.
Si D = 4 entonces P,: x + y ± - J l z + 4 = 0;
Solución
(^5^ D =-4 entonces P2: x + y ± 4 l z - 4 = 0
Se observa que p2 eL, /vr => p 2 e L, a p 2 e n
H allar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga ai
punto (2,2,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano J l x + 2 y - 3z + 2 = 0 j S i p 2 e ¿ , = > p 2(5 + í, - f , 0) para algún te R

Solución además p2 e n : 2(5 + í) + f + 0 - 1= 0 => t=-3
La ecuación del plano pedido es de la form a P: Ax + B y + D = 0 puesto qu e es de donde P2(2,3,0) también P, (5,0,0) e Lt
perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XY. La ro rm a l del plano P e!
N = (A,B,0). —>
como n: 2x-y+z-l= 0, de donde N = (2,-1,1)

—> —>

entonces N L n A 7 /£ 3 de donde:

*1
A e L^n/r = > A e L j A A e x
Si A e L} => y4(5 + 2 A - A,A) para algún X e R, además A s n entonces

Si P,: j2ix + 2 y - 3 z + 2 - 0, de donde N x = [ \ 3 ,2 -3 ) 2(5 + 2X) + k + X - 1 = 0 entonces A = - ^ . de donde:

El ángulo formado por P, y P es 0=60° que es dado por: eos 0 = - A(2 ,3- , - -3) 33 3 3.
=> AP, = ( 3 , - - , - ) => Bp, = p , - B = 2Ap, = 2 ( 3 , - - , - ) = (6,-3,3)
22 22 22

yPSA + 2 B , 1 s¡3A + 2B ^ I , 2 , D2 _ A, 0 P 1P2 = P2 —Pi = (-3 ,3 ,0 ) => Bp2 = p 2 - B = (3,0,3) como Bp2//L y p 2 e L
cos60° = — , de d o n d e — = — ,=> 2 y A + B - >j3A + 2 ^ entonces L = {(2,3,0) + r(3,0,3) / r e R}

4y¡A2 + B 2 2 4\ A +B

4 ( A 2 + B 2 ) = 3 A 2 + 4 B 2 + 4 > /3 A B => A = 4-J1B ... (1)

72 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 73

x +4 5-z F1 intercepto Y de un plano es menor en una unidad que su intercepto Z y
Dado ei plano P: x - 2y + 3z = 8 y la recta L: —- — = — — , y = -1. Hallar la mayor en 2 unidades que su intercepto X, si el volumen encerrado por el plano
y los tres planos coordenados es 1 5 « 3, Hallar la ecuación del plano.
ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2 ,-1) paralela a! plano dado y
corta la recta L. Solución

Solución

A la ecuación de la recta x +4 5 -z escribiremos en forma Los puntos por donde pasa el plano n son:
—- — = —— , y = (0,0,a), (0,a - 1,0), (a - 3,0,0) y la ecuación del
plano es:
vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) / t e R}. n : N . ( x ,y ,z ) = d donde N = (A, B,C)

Sea I , la recta por determinar, es decir: = {(0,2,—1) + r(a,b,c) I r e /fjcomo (0, 0, a) e ti => (A,B,C).(0,0,a) = d => aC = d
I , corta a L => 3 p e L, n L => e L, a p e L (0,a - 1,0) e n => (A,B,C).(0,a - 1,0) = d
B (a -l) = d => (a - 3,0,0) e Ti
Si p e L, => p(ra, 2 + rb, 1+ re) => p 6 L => p(-4 - 4t, -1, 5 + 3t) (A,B,C).(a - 3,0,0) = d =* A(a - 3) = d. de donde
de donde por igualdad (ra, 2 +■rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces:

- 4 + 4t = ra 4t-4 ... (1) A = d ,B = d ,C = d además se tiene que: V = —1 donde V = 15u3
- 1 = 2 +rb a -3 a-Ì a 6 ABC
i b-
5 + 3t = -1 + re r

6-3/

d dd
V =- d -15 => (a-3)(a-l)a= 90 => a=6 de donde A=—,B=—,C=-~,
d d 3 56

como P: x -2y + 3z = 8 de donde N = (1 ,-2 ,3 ) como L, / /P entonces a-3 a-\ a

-* 111 xyz
como tt: N . ( x , y ,z ) = d => Jt\ d (—, —, —).(x, v,z) = d n \ —+ —+ —= 1
a ± iV donde a =(a,b,c) Si a 1 N => a . N = 0 => a - 2 b +3c = 0 ...(2)
356 35 6

reemplazando (1) en (2) se tiene. 4■—f - 4- +—6 +-1-8---9 / = 0 t=4 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,-1,1), perpendicular a la
/• r r recta 3x = 2y = z, y paralela al plano x + y - z = 0
-

de donde: a = —r , b = r , c = r como a = (a,b,c) = -r( 4 ,-1 ,-2 ) Solución
I , = {(0,2,-1) + À (4 ,-l,-2 )/ a e
Sean L = {(1,-1,1) + X(a,b,c)/>. e R} la recta buscada Lx: 3 x = 2y = z

74 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 75

entonces: ^ = =» 6 , ( ± , I 1) Para el punto A trazamos la recta L¡, es decir: £, = {(1,1,1) + f(3,1,-1) / 1 e R\

11 iV = (1,1,- 1) por ser como A e L xr \ K x entonces A e a A e 71x . Si A e Z-, => A(1 + 3t, 1+ t, 1- t)
/._L¿, => (a ,¿ ,c ) .( —, —, 1) = 0 => 2a + 3¿>+ 6c = 0 2

32 para algún t 6 R, además A 6 TCX => 3(1 + 3t) + 1+ t + t - 1 - 1 => t = - — ,

como el plano P: x + y - z = 0, de donde 5 9 13
de donde el punto A (— , — , — ). Para el punto B trazamos la recta L 2, es
P IIL => N.(a,b,c) = 0
decir: ¿ 2 = {(1,1,1)+ f(l,- 1 ,3 ) // e /?}como B e L 2 n 7T2 => B e L 2 a B e n 2

(1,1,-1).(a ,6 ,c) = 0 entonces a + b - c = 0 ... ( 2) Si B e L 2 => B(1 + t, 1 - t, 1 + 3t) para algún t e R

2a + 3b + 6c = 0 a = 9c además Be^T, 2
ahora resolvemos el sistema siguiente: b = -8c 1 + t - 1 + t + 3 ( l + 3 t ) = 1 => / = —

a+ b - c =0 11

(a,b,c) = (9c,-8c, c) = c(9, -8, 1) por lo tanto L = {(1,-1,1) + ?-(9,-8,l) / X e 9 13 5
de donde el punto ¿?(yy, — , — )
x-\ y+1 z -1
R¡ lo que es igual a expresar en la forma. L: Sea a = AB = B - A = — (1,1,-2) por lo tanto la recta L pedida es:
11
-8 1

Sean n v 3 x + y - z = 1 y n 2: x - y + 3z = 1, dos planos. Hallar las ecuaciones 5 9 13
L = {(— , — , — ) + >1(1,1 -2 ) / A e R] cuyas ecuaciones parametncas es:

paramétricas de la recta L que pasa por las proyecciones del punto Q( 1,1.1)

sobre cada plano. x ---1-1-- 1- P

Solución L:
13
,P z R
z = —11 i p

Del gráfico se observa que la recta L pasa por los puntos A y B que son las 1.36. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
proyecciones del punto Q sobre cada plano, por lo tanto calcularemos los
puntos A y B. ( j ) Una recta pasa por el punto A(-2,1,3), es perpendicular e intercepta a la recta
£ = {(2,2,1) + /(1,Ó ,-1)// e /?}. Hallar la ecuación vectorial de dicha recta.

Rpta. L={(-2,1,3) + A.(l,l,l)/X, e R}.

76 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 77

C D P°r l°s puntos A(-6,6,-5) y B(12,-6,l) se ha trazado una recta. Hallar los (3) La recta L pasa por el punto A(2,l,5) y además intercepta y es peipendicular a
puntos de intersección de esta recta con los planos coordenadas. (ío)
(íj) x-1 v+2 2-3 „ ., ,
la recta L , : ------= -------= -------. Determinar la ecuación de la recta L.
13 4 2

Upta. (9,-4,0), (3,0,-2), (0,2,-3) Rpta. L={(2,l,5)+t(28,-l l,-20)/teR}

Dados los vértices de un triángulo A(3.6,-7), B(-5,2,3) y C(4,-7,-2). Hallar las Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB donde
ecuaciones pararaétricas de su mediana, trazada desde el vértice C. A(-5,-4,4) y B(3,-2,-4) y que corta a la recta = {(l,l,l) + Z (-3 ,-8 ,-3 )/í e

Rpta. x = 4 + 5 t , y = -7 - 111, z = -2 R pta. L={(-l,-3,0)+ >.(1,4,2)/ X e R}

O Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto A(-l,0,2), es Detenninar la distancia más corta entre las rectas : 2x = y = 2 ,

ortogonal a la recta I , = {(2,2,0) + ¿(5,-2,-3) / 1 e R} y que corta con la recta L2: x = y = 26+2 R pta. d ( L ¡, L2) = 13V2«

X - 1 y 2-1 Rpta. L={(-l,0,2)+it(32,65,10)/t eR}. ( Í 2) Sean las rectasL¡ = {(5,1,2) + t(2,0 ,2 )/1 L2 = {(3,2,1) + A(2,l,0) / A e R ) ,
L2\ - ~ — = ^ = — — .

© Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto M(-4,-5,3) y se corta Hallar un punto que equidista de ambas rectas una distancia mínima.
13 3 3
,„ x+l y +3 2 -2 x - 2 v+1 z -1
con las dos rectas. L. : ---- = 1—— = ------- ; : --------= 1------ = ------ Rpta. P(— , — )
4 24
2 3-5
3-2-1

Rpta. L :x +4 y + 5 z - 3 ( í¿ ) Una recta L, pasa por los puntos A (2,1,-1) y B(5,-1,3) y otra recta pasa por
3 3 -1 los puntos C(-4,2,-6) y corta perpendicularmente a . Hallar la ecuación de
L 2. R pta. L2 = { (-4 ,2 ,-6 ) + / ( 2 ,l l ,- 7 ) / í 6 *}
Q Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A (-l,2,-3), es

perpendicular al vector a = ( 6,-2 ,-3 ) y se corta con la recta ( Í 4) Hallar la ecuación vectorial de la recta que intercepta un ángulo recto a las
x ~ 1 _ y +1 2 - 3 x+l y -2 2+3 rectas Lx ={(3,4,3) +¿(2,2,3)/ í e y L2 = { (l,6 ,-l) + / i( - l,2 ,0 ) //le R]

3_ 2 p,a'

© Dadas las rectas Z, = {(3,1,0) + /(1,0,1)/1 e r \ y L2 = {(1,1,1) + A(2,1,0) / X e /?}. Rpta. L= {(l,6 ,-l)+ t(-2 ,-l,2 )/t e R}

Hallar el punto Q que equidista de ambas rectas una distancia mínima, además Dado los vértices de un triángulo A(l,-2,-4), B(3,l,-3) y C(5,l,-7). Hallar las

13 3 3 yfb ecuaciones paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto.

hallar esta distancia. Rpta. 0 {— , ) y d = ------------ Rpta. x = 3t + 3, y = 15t+ 1, z = 19t —3
H 4 24 4

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,0,l) y que intercepta a (ib) Hallar la ecuación vectorial de una recta que pasa por el punto A (2,l,-1) y
la recta Z,, = {(1,2,3) + t(2,2,3) / 1 e R] en ángulo recto.
corta a las rectas Lj = {(l,l,l) + í(2 ,4 ,5 )/í s R\ y ¿ 2:e je x .
Rpta. L= {(2,0,1 )+X(-33,18,10)/te R }
Rpta. L ={(2,l,-l)+t(13,8,-8)/1 e R}

78 Eduardo Espinozu Ramos Rectas >■ Planos en el Espacio Tridimensional 79

© Dado los vértices de un triángulo A(3,-l, 1), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las 23) Hallar las recta L que pasa por el punto A(5,0,0) que corta al eje y en un punto
ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B. 24) B de tal modo que forma con el origen un triángulo de arrea 30 u2.
jc- 1 >>-2 z + 7
Rpta. L: ( 25) Rpta. L = {(5,0,0)+ t(-5,±12,0) / 1 e R}
l -3 -8
© Hallar las ecuaciones paramétricas de la perpendicular común a las rectas,
Jjy Dados los vértices de un triángulo A(2,-l,-3), B(5,2,-7) y C(-7,l 1,6). Hallar las dadas por las ecuaciones ¿ ,:jt = 3f —7 , y = - 2 t + 4 , z = 3í + 4 y
ecuaciones canónicas de la bisectriz del ángulo externo al vértice A. L 2 : x = t +1 , y = 2t - 9 , z = - t - 12. Rpta. L: x = 2t-5 , y = -3t+1, z = -4t
x -2 y +1 r+3
Rpta. L: ------ = ------- = ------- Una recta que pasa por el punto A( 1,2,3), haciendo un ángulo de 30" con el eje
6 -1 -7 X y 60° con el eje Y. Hallar su ecuación.

Hallar una recta L que intercepta a las rectas = {(2 ,l,-l) + /(3 ,4 .0 )// e /?} y Rpta. L = {(1,2,3) + /(± V 3,1,0)// e /?)
¿2 = {(1,1.2) + /( —4,3,0) / r e R\ formando un ángulo Q = arctg>/2 con cada
una de ellas. x-\ y - 1 z-1
Dados un punto A en la recta L¡: -—- = ------ = ------ y un punto B en la recta
Rpta. £, = { ( | i , g f _ i) + í(1 -7 .5 )// e r \ , U = { ( | i -1 ) + A(-l,7,5)/ A e /?}
23 4

C?S) Encontrar la longitud del cordel que se necesita para llegar desde el punto Lj = {(3,0,8) + /(l,2.5,2)/ í e R\ que determinan un segmento AB que
forma con la recta L x un ángulo de 30°. Hallar la distancia de A a B.

P(8,6,5) hasta una vara recta de madera que pasa por los puntos A(3,5,3) y Rpta. || AB ||=10

8(8,3,1). Í629 27) Hallar la ecuación vectorial de la recta L, que intercepta a las rectas
Rpta. d(P.L) = ^ - ~

( ¿ l) Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto vl( 1,0,2) que es = {(l,-2,5) + / ( 2 ,3 , - 4 ) / / e /? | y ¿2 = {(-2 ,l,-2 ) + /l(0 ,l,2 )/A e R¡ en
ortogonal a la recta L¡ = ¡(1 + 2/, 5/, 1+ 1)11 e /?} y que se corta con la recta
ángulorecto. 9 9 25
Rpta.L = {(- —, - —, — ) + /(—30,197,—1 3 7 )// e tf}

^ Z 1 =1ZL =— Rpta. L = {(1,0,2) + 1(53,-14,-36) / 1 e R} ( 28) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0(3,-3,4)
5 2 -3
y que es ortogonal a cada una de las rectas Lx = {(-2,3,-2) + /(2 ,-l,5 ) / / e R }

© Las rectas L x y L-, de vectores direccionales (-3,1,2) y (1,2,3) x-3 2y-7 3-z Rpta. x = 3 - 7t, y = -3 + ll t , z = 4 + 5t
respectivamente, se interceptan en (4,1,1). Hallar la recta (ó rectas) L } que al y L ,: ------ = --------- = -------.
interceptar a las dos primeras, determinan un triángulo isósceles con base en
¿3 y cuya área es 6-J]9 ti2- 1 2 -3

(29) Dadas las rectas L, que pasa por los punto A(2,1,2) y B(5,4,5) y L 2 que pasa
por los puntos C(7,4,3) y D(10,8,5).

80 Eduardo Espinoza Ramos Un las y Planos en el Espacio Tridimensional 81

a) ¿Cuál es la menor distancia entre ambas rectas?

b) ¿Calcular un vector ortogonal a ambas rectas cuya longitud sea igual a la D ado el punto A(4,3,2), determ inar dos puntos B y C de la recta
L = {(2,-2,2) + t(3 ,l,l)/t e R}, tales que con A, sean los vértices de un
distancia menor? Rpta. a) í/ = V6m, b) a =(-2,1,1) triángulo isósceles de arrea igual a 9y¡22 unidades cuadradas, si el lado
desigual esta sobre la recta L.

(30) Determinar una recta L tal que con las rectas Lt ={(2,1,4) +<(1,1,0)/ í e R \ , (»7) Dado el punto Q(6,3,2) y la recta L = {(1,-1,4) + t(0 ,-1,1) / 1 e R} determ inar
¿2 = {(2 + A, 1+ A, 3+ A) / Á 6 /?}. Determine un triángulo de área 5 U2. las rectas que pasa por Q y cortan a L form ando un ángulo de 60°.

Rpta. L = {(4,3,4) + í( l± 5 V 2 ,- 1 + 5V2, ± 5 -s/2 )/íe r \

( 3 1 ) La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogramo si las 3>/2 3>/2
coordenadas de los tres primeros puntos son A(l,2,3), B(0,-l,4), C(-l,2,6). R p ta. L x = {(6,3,2)+ í ( - 5 , - l + — , - ! - — ) / / e R)
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D.
3>/2 3V2
Rpta. L = {(0,5,5)+t(-l,-3,l) / te R} L 2 = {(6,3,2)+ / l ( - 5 , - l - — ,- l + — ) / A e R)

^ 2) ¿Cuales son los puntos de la recta L = [(x,y,z) e i x = y = zj tales que, ^ 8 ) Las rectas L x = { (3 ,-2 ,4 ) + í( 0 ,4 ,-4 ) /< e R \ , L , = { ( l,-l,2 ) + ^ ( - 2 ,- l , 0 ) / A e /?(
junto con el punto (0,0,2) determinar un triángulo equilátero?.
y ¿ 3 = {(2,6,-3) + a ( 3 -5 ,5 ) l a e R\ contiene 3 aristas de un paralelepípedo.
( 33) Hallar una ecuación de la recta que pasa por el punto J°0(0,1,1) y corta a las Encontrar cada uno de los otros vértices de este si (3,-2,4) y (2,6,-3) son dos de
ellos. R p ta . (3,-2,4),(2,6,-3),(3,0,2),(5,l,2),(5,-l,4),(0,3,-l),(0,5,-3),(2,4,-l)
rectas = {(l,-2,0) + í(l,2 ,l) / 1 e R¡, L2 = {(jc,y,z) e R* / x = y . x = zj
(3 9 ) H allar la ecuación de una recta perpendicular al plano XZ, que una las rectas
Rpta. L = {(0,1,1) 3 ,1 ,1 )/t e R) L, = {(1,—1,1) + í(2 ,—1,4) / 1 e /?}, L 2 = { (1 ,2 ,-3 )+ 4 - 1 . 4 , 2 ) / A e /?}
R p ta . L = {(0,6,-l) + t(0 ,1,0) / te R}
Dadas las rectas I , = {(2 + í, 6 + 2 í, l ) / í e /?} y ={(1, 6 + r, l ) / r e /?}.
Hallar la recta L que intercepta a Z,, y L 2 determinando un triángulo de una (4^ H allar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3,4,-5), corta a la recta
unidad cuadrada de área, si L pasa por el punto M(3,2,l). (4T)
£, = { ( l,3 ,- 2 ) + /( 4 ,3 ,2 ) / í e rt} y es perpendicular a la recta
Rpta. L = {(3,2,1) + t(-2,5,0) /t e R[
x - 4 y+2
( 3^ } Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta
L 2: ------- = -------- , z = 5
L ={(2t,3,-t) / t e R¡ tal que con A sean los vértices de un triángulo isósceles
de área igual a 6 ti2. si el lado desigual esta sobre la recta L. ‘2 3

Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,2,3) y que intercepta
perpendicularm ente al segm ento de extrem os (2,3,4) y (-3,2,5).

82 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 83

(42) Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,1,5) y es perpendicular a los (50) H allar una ecuación vectorial de la recta L cuya ortogonal sobre el plano XY
vectores (1,-1,2) y (2,1,-1). esta dado por z = 0, x - 2 y - 5 = 0 y cuya proyección ortogonal sobre el plano
YZ esta dado por x = 0, y - z + 2 = 0. R p ta . L = {(1 ,-2,0) + t(2 ,1,1) /t e R ¡
43) D eterm inar la ecuación de la recta que intercepta un ángulo recto a la recta
Z,, = {(l,2,3) + / ( 2 , l , - l ) / f e /?} y que pasa por el punto A (2,0,1). 51} Sean las rectas L x. x - y + z - 5 = 0 a jt- 3 j> + 6 = 0 ; L2: 2 y + z - 5 = 0 a
4x - 2y + 5z - 7 = 0. D em ostrar que L , / / ¿ 2.

44) H allar el punto de intersección de las rectas si existen.

x y —2 x-\ z +3 (52) H allar la ecuación de la recta que pasa p o r el punto P0( l,6 ,- 5 ) y es
a) Z,|: — = — = z + 1, L2: = y + 2 = -3 perpendicular a cada una de las rectas.

3 -1 4 L y 3.í - 2 y + 3z + 9 = 0 a x + y - 2z + 13 = 0 ;

x-2 y - 2 x-3 z +2 L 2: 2 x + 2>’- 5 z + 1 0 = 0 a j c - j > - z + 3 = 0
b) L : ------- = -------- = z - 3 , -------= v + 5 = —
R p ta . L = {(1,6,-5) + t(-2 1 ,1 9 ,-3 0 )/ t e R}
-3 6 -2 ' 4
(53) Encontrar la distancia perpendicular del punto P(-l ,3,1) a la recta x -2 z= l, y = l.
45) Hallar la distancia entre las rectas L : r yz x —1 3VÍ0
, L , : --------= v - 4 = z + l
R p ta . d ( p , L ) = --------
23 -1

,46} Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, es perpendicular

a la recta x = y -5, z = 2y -3, y que intercepta a la recta y = 2x+ 1 a z= x+ 2.

x yz
R pta. L\ — = — = —

-1 -1 1

47 ) H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0 ( 1,0,1) y corta a las (54) H allar la distancia del punto P(6,-3,3) a la recta L:2x+2y+z=0 a 4x-y-3z -5=0
rectas i , = {(-1,1,1)+ /(2 ,0 , 1 ) / / e 7?}, L2: x - y + z = \ , x + 2 v - z = 0 R pta. d(p,L) = 3
Rpta. L = {(1,0,1)+ A(-6,7,18) /AeR¡

48) H allar una ecuación vectorial de la recta que pasa por P (0 ,1,-2) y corta a las (5 ?) Las rectas L x = { (x ,j,z ) e /?3 ! x - 2 y = 3, z = 2 }, L 2 = {.4 + í ( 3 ,- 5 ,5 ) /í e R \ ,
rectas ¿, = {(1,4,3) + /( 1 ,3 ,0 ) //e /?}, = {(jt,_y,z) e R 3 / x - y = 3z a 4 - z = x
R p ta . L = {(0,1 ,-2) + t( 13,39,-7) / 1 e R} = [ { x ,y ,z ) 6 R 3 l x = 3, y + z = 2 J contiene aristas de un paralelepípedo,
uno de cuyos vértices es A (2,4,-l) encontrar sus otros vértices y su superficie
4 9 ) H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3 ,l,2 ) y corta a las lateral.
rectas L¡ = { ( 2 ,4 - 1 ) + /(0 ,1,2)/ t e /?}, L2: x - y + z = 4 a 2 . y + z = 6
Rpta. L = {(0,2,6) + t (1,-1,-2)/te R¡ R pta. a) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3),(5,1,2),(0,3,-1),(2,6,-3),(3,-2,4)

b) (2 -\/2 9 4 + 2 V2 +4-\/6)m2

84 Eduardo Espinoza Ramos Ni etas y Planos en el Espacio Tridimensional 85

D em ostrar que la condición, según la cual las dos rcctail
V~Q|
m, y~bi z-c, .v -« , >»-6, z-c-, *=0
— están situ ad as en b \ ) D em o strar que la recta ¿ : ^ v = / , - oo < / < oc

a-, —a | 6-, -¿>| c 2—c | [z = t

un plano, se puede expresar de la forma: m, = 0 a) Esta en el plano 6x + 4y - 4z = 0

b) Es paralela al plano 5x - 3y + 3z = 1 y esta debajo de él.

H alle el punto de intersección de la recta: L: x = 4 + 5t , y = -1 + t, z - 4 - 1 c) Es paralela al plano 6x + 2y - 2z = 3 y esta arriba de él.

y el plano 3x - y + 7z + 8 = 0. Rpta. P (-31,-8,ll)

Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas cruzad; 64) U n plano pasa por el punto (3,1,-1), es perpendicular al plano,
2x - 2y + z + 4 = 0 y su intersección con el eje z es -3. H allar su ecuación.
* + >>+ 2 2 - 1 = 0 Í2x-v + 2-3 = 0 , , Vó R pta. 71: 5x + y - 8z = 24
¿ ,: ; ¿2 =| Rpta. í/ ( ¿ , , ¿ 2 ) = -—

-2-1=0 l.v + _y+ 2 - l = 0 o

x-1 y+3 _ 2 ® at+1 y - 1 2 - 2
H allar la distancia del punto P(-l ,2,3) a la recta: ¿ :
H allar la ecuación del plano que pasa p o r el recta ¿: ------ = --------= --------, y

32 4

Rpta. d ( P, L) - 7 es perpendicular al plano n : 2x + y + 2z + 4 = 0. R p ta. P: 2y - z = 0

H allar la distancia mas corta entre las dos rectas que se cruzan (6ó) H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos extrem os de los vectores

x +2 y -2 2+1 —> —► —►
¿i ={(1,-2,3) + /(2,1 ,1 )//e R \ ; ¿ 2 : a = ( 2 ,- 3 ,- 1 ) , b = (0 ,-1 ,4 ), c = (2,1,-3) si los vectores tienen su origen en

-3 1

17 / r el1 punto p( 1,0,3). R p ta . 7i: 6x + y + 2z = 19
Rpta. t / ( ¿ , . ¿ 2 ) = — V3

6.V+ 2 v + 2 - 4 = 0 ® x y - 6 2+ 3
Hallar la distancia del punto P(7,7,4) a la recta: ¿ :
H allar la ecuación del plano determ inado p o r la recta ¿ : — = ^------ = -------- y
6.v-> -2 2 -1 0 = 0
12 -1
R p ta . d(P,L) = 11
el punto p(4,-3,2). R p ta . ti: x - 9y - 17z + 3 = 0
* = 3/
H allar la proyección del punto P (2,-l ,3) sobre la recta ¿ : >■= 5/ - 7 (68) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A (l,0,-1) y B(2,0,2) y
form a un ángulo de 60° con el plano 2x - 2y + z + 6 = 0.
2 = 2/ + 2 Rpta. n\ 21jr + ( 4 0 - 3 v T 7 0 ) v - 7 2 = 28

Rpta. 0(3.-2,4) *■,: 21x + (40 + 3 > /Í7 0 ).v -7 2 = 28