Algebra Lineal - Eduardo Espinoza Ramos

186 Eduardo Espinoza Ramos lepados Vectoriales x 18'

teniendo en cuenta (1) y (2) se puede escribir entonces (x,y,z) e L{( 1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
de d o nde R c ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}
rr rr r
+Xv = a j vJ
ar,V/- a ^ +Xa,V| =5/<V<+ a‘)V¡
i*i i i*j
i*j i*j por lo tanto R y = ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}

En consecuencia, A - {v,} es un sistema de generadores de V.

Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de /?3 .

3.14. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.- Ejem plo.- H allar una base para A = {(*, y , z ) e R } / 2 x + y + 2 z = 0}
subespacios de (/?3,+ ,/?,.)
a) DEFINICIÓN.- Una base de un espacio vectorial V es un conjunti
A c V, A * <(>tal que: Solución
Sea (x,y,z) e A => 2x + y + 2z = 0 => y = -2x - 2z, luego
¿' (x,y,z) = (x, -2x - 2z, z) = (x, -2x, 0) + (0,-2z,z) = x(l,-2,0) + z(0,-2,l), x,z e R
A = L {(l,-2,0), (0,-2,1)}
i) A es un conjunto linealm ente independiente. El conjunto {(1 ,-2,0), (0 ,-2 ,l)} es una base, pues:
ii) A genera a V es decir L(A) = V. i){(1 ,-2,0), (0,-2,1)} es linealm ente independiente.
Ejem plo.- Probar que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es una base de ( R l ,+,R,.) ii) A = L{(l,-2,0), (0,-2,1)}

Solución b) PROPOSICIÓN.- Un conjunto de elementos {v,,v2 ,...,vn } del espacio
Probarem os que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es linealm ente independiente vectorial V sobre un campo k forma una base sí y
a ( 1,0,0) + P (0 ,1,0) + y(0,0,1) = (0,0,0) la com binación lineal
( a ,p ,Y) = (0,0,0) =* a = p = y = 0 sólo sí V v e V , v puede ser expresado de una única forma com o
Luego {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es un conjunto linealmente independiente com binación lineal de v ,, v2,..., v „ .

A hora probarem os que {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} genera a /?3 D em ostración

Es decir que ¿{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) = /?3 pero ¿{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} c R } j =>) A sum am os que v |,v 2,...,v n es una base, sabemos que V v e V se
puede expresar com o una com binación lineal de v ,, v2 ,..., v„ .
esto siem pre es cierto y para probar /?3 c ¿{(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}

sea (x, y , z ) e R (x,y,z) = x( 1,0,0) + y (0 ,1,0) + z(0 ,0 ,1)

Eduardo Espinoza Ramos I upados Vectoriales 189

Supongam os que v se puede expresar de d os formas es decir: Además tenemos que: "n
nn 6 * v = a¡ v¡ => v = ^ o , vj + a, v¡

v=2 > , = • entonces: - b ¡ )vi = 0 . pe1-0 com o >=i j*¡
1*1 1*1
i*l n
V
v , , v2 v„ son l.i. entonces a¡ - b¡ = 0 , V i = 1 ,2 ,...,n de donde a¡

=>V' = — + X ( ~ — )v7 - ( 2 )

= b¡ , V i — 1,2,.. -,n fl' r f a‘

<=) Recíprocamente. Asum am os que v ,,v 2 ,...,v„ tiene la propiedad reemplazando (2) en (1) se tiene:

que V v e V, v puede ser expresado de una única forma como n
combinación lineal de los vectores v1,v 2 ,...,v )l por lo tanto es u = b lvi + . . . + * . ( - l + y ( - — )v ) + ... + 6„V)(

¿ { v ,, v2 v „ } = V , nos resta probar que v , , v2 v,, son l.i. a> T ? a-

Supongamos que nn = (*i )V , + (¿> 2 - ^ ) V 2 + . . . + ( — )V j + ...+ (b„ )V „
a¡ v, = ^ ^ 0 .v ( , entonces, por . la unicic
a¡ ai a¡
i'=l i=l

a ¡ = 0 , V i = 1,2...... n. Luego {v ,, v2 v„} forma una base. denotando c, = ¿ , , c2 =b2 , . . . , c„ = b n

a¡ a¡ a,

c) L E M A .- Sea S = { v ,,v 2 ...v„} un conjunto de generadores para el de donde se tiene u = c,v, + c 2v2 +... + c¡v+ ..£ nvn
espacio vectorial (V,+,k,.).

V = L{Si}

n d) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) un espacio vectorial,
S = {v,, v2,..., v „} c V y S'= {«,, u 2,..., um} c L { S } .
Sea v * 0, v e V tal que v = ^ a , v, sí a, * 0 para algún i, entonce Si 5" es linealm ente independiente, entonces m < n.

>=i i D em ostración
V = L{S¡} donde S¡ = i u { v } u { v , ) , S¡ = { v ,,v 2 ......... vi_I ,v ,v l+1,...,v m} Considerem os v, = ¿{5}

Dem ostración

Sea u e V un elemento arbitrario, mostraremos que u se puede expres

como una combinación lineal de elementos de S ¡ .

n ... (1) Sea «*ii ee vv,\ n
Por hipótesis v = L{s} => u = ^ ^ b ¡ v ¡
u\ = X / ' V'
i= i
i= i

Eduardo Espinoza Ramón / spacios Vectoriales 191
-------------------------------------------------------------- ------------------ ----------------- = |

Supongam os que ct\ * 0 (reordenando si fuera necesario) y po r el lema ii) A nálogam ente, S' b ase d e V => L{S'} = V com o S c z V = L { S ’¡ y
anterior L { u x, v 2 ,..., v „ } = F, S linealmente independiente por ser base de V, aplicando
nuevamente la proposición (d) resulta que n < m.

ahora sea d * u 2 e F, => u 2 = b xu x + b 2v 2 + —+ b„v„ => b¡ * 0 , i > 2; Luego de i) y ii) se sigue que m = n.
pues de suponer lo contrario resultaría u 2 = b 2u x que es u n a. O BSERVACIÓN.-
contradicción ya que u 2 es linealmente independiente .

Suponemos que b2 * 0 (reordenando si fuera necesario) y aplicando! © Del corolario podem os observar que si V tiene una base infinita, entonces
cualquier otra base tiene un número infinito de números.
nuevamente el lema anterior tenemos que:
w .* © 7 odo espacio vectorial posee una base finita o infinita.

L = {«i , m2 , v3 v „ } = v, afirm ación m < n ( ¿ ) Todas las bases de un mism o espacio vectorial son coordinables, quiere
por el absurdo, supongamos que m > n, entonces el proceso anterior s f l decir que existe una bisección B: <-> B 2

podría seguir inductivam ente hasta obtener L { u x, u 2 , u „ } = v, I | U 5.

pero s i m > n => m > n + 1 => u„+x por estar en V¡ s e n a DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.

com binación lineal de u x, u 2, ..., u„, lo que es una contradicción con e || a) D E FIN IC IÓ N .- El espacio vectorial V se denomina finita dimensional
(o de dimensión finita) si posee una base constituida
hecho de que {ux, u 2 es l.i., dicha contradicción proviene de a v f l
por un número finito de vectores (es decir sí tiene una base finita).

supuesto que m > n.

E jem p lo .- 1) V = k " , S = {ex, e 2 ,...,en }

C O R O L A R IO .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial. M 10 0 1 1O 00
5 = { v ,,v 2,...,v„} y S ' = {ux, u 2,...,um} son bases d e || O
espacio vectorial V, entonces n=m.
2) V = Af 2x2( R ) , k=R, S = » >
00 01 0
0 0 1

Dem ostración b) D E FIN IC IÓ N .- Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo k de
dim ensión finita y {v,, v2,..., v„} una base de V,
i) S base de V => L{S} = V por otra parte, S 'c F = L { S } , y 5 1
linealmente independiente por ser base de V, en virtud de f l entonces por definición la dimensión del espacio vectorial V es el número
proposición (d) m < n. “n” lo cual denotam os p o r d im Á. V = n (donde “n” es núm ero de vectores
que constituyen una de las bases de V)

192 Eduardo Espinoza Ramot I \pacios Vectoriales 193

OBSERV ACIÓ N .- c) PR O PO SIC IÓ N .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial finito
Si V tiene como único elemento el vector nulo, convenim os que f l dimensional (asum am os que dim k V = n ) se
dim ensión de V es cero, es decir dim k {#} = 0 . cum ple:

( I ) Si V tiene una base infinita, la dim ensión de V denotam os por i) Si S = {ii¡ . u 2 ,■•■,«„,} c: V , donde m > n, entonces S es l.d. sobre k.
dim* V = qo .
ii) Sí S = {uu u 2,...,um} c V donde m < n entonces L{S} g V

Ejem plo.- iii) Si S = {«,, m2 u„ } es l.i. sobre k, entonces S es una base para V.
1) U na base de R 3 es {(1,0,0),( 0 ,1,0),(0,0,1)} entonces su dim ensión es:
iv) Si S = { » ,,u 2,...,«„} genera V, entonces S es una base para V:
dim * R l = 3.

2) Si V = k n un espacio vectorial sobre k donde {ei , £ 2,—, £ n } es un a base I Dem ostración (Queda como ejercicio)
de k n entonces dim* k n = n .
d ) L E M A .- Sea S = {v1, v 2 ,...,v m} un subconjunto l.i. de un espacio
3) Si V = M 2x2( R ) el espacio vectorial de m atrices cuadradas, k = R y f j vectorial V sobre un cam po k, si 0 * v e V es un vector que

v g L{S} entonces S ' = {v¡,..., vm, v} es tam bién l.i. sobre k.

10 00
10
1

0

> 0 ’1 0 ’0 } una base de M 2x2( R) entone D em ostración
0 1 -
S ea ar,v, + a 2v 2 +... + a mv m +cc\’ = 9 , la com binación lineal afirm am os
dim ¿ M 2xA ( R ) = 4 . que a = 0, pues si suponem os que a * 0 tenem os

Ejem plo.- D eterm inar una base del espacio vectorial
V = { ( x , y , z ) e R i / x - y = 0, x, y e R) de dimensión finita.
v = —— Vj - — v2 - . . . -----— vm => v e L{S}, lo cual es una
Solución aa a

contradicción ya que por hipótesis se tiene v g L{S} entonces a = 0 y

Calculando una base de V. com o a , = a r2 = ... = «,„ = 0 resulta q ue S' es l.i.

Si (x,y,z) e V => x - y = 0 => y = x

(x,y,z) = (x,x,z) = (x,x,0) + (0,0,z) e) TEO R EM A .- (C om plem entación de Bases)

(x,y,z) = x( 1,1,0) + y (0 ,0 ,l) Sea V un espacio vectorial sobre un cam po k, tal que: dim t V = n , W
com o {(1,1,0),(0,0,1)} son Li. entonces es una base de V y dim * V = 2 . subespacio de V y {v,, v2 vm} es base de W, entonces se cumple:

194 Eduardo Espinoza Rami spacios Vectoriales 195

¡) m < n tal qu| f) C O L O R A R IO .- Sea W un subespacio de un espacio vectorial V sobre
¡i) Si m < n, entonces existenvr a + 1 v n e V k entonces se verifica que:

{v,, v2 vm, vm + 1 v„} es una base para V. V = W <=> d i m t F = d im k W
D em ostración
D em ostración
i) Si el subespacio W es el m ism o V, entonces es obvio que
i) Sea { « ,,u 2,...,un } una base para V entoncesV = L { u x, u 2 ,...,u„\ dim¿ W = dim* V .
para L { u l , u 2,...,un } r> {v1,v 2 ,...,v m}y en virtud de la p ro p o sició d
(d) de (3.14.) se tiene que m < n pues como {v,,v2,...,v m} es ba ii) Supongamos que W es un subespacio de V y que verifica
en l.i. dim* W = dim^ V .

ii) Si m < n, entonces W £ V , luego existe vm+l € V tal que: Si la dim ensión com ún es 0, entonces tanto W com o V tienen un
único elemento al vector nulo y son idénticos.
v m+le W => vm+1 fÉ l{v1,v 2 ,..ilv m} => por el lem a (d) se tiem
f ''i , v 2v , v („ , v „ t I } es l.i. Si la dim ¿ W = dim ^ V = n > 0 entonces considerem os una base de
W, {w ,,w 2 ,... , w n } estos n vectores son l.i. en V y de acuerdo al
Si ¿ { v ,, v2 ,..., v„,, vm+1 } = V , entonces la prueba finaliza. corolario (e) de (3.14.) constituye una base de V entonces son un
S.G. de V lo cual nos dice que todo vector de V pertenece a W, o sea
E n caso contrario, esto es si L{ v, , v2,...,v m, vm+l} q. V , exist^j V c W y por la definición de subespacios W c V, resulta que W = V.
v m+2 e V tal que vm+2 £ .¿{ v l ,v 2,...,v m,v m+2} entonce
nuevam ente en virtud del lem a d) se tiene {v,, v2,..., vm, vm+1, vm+J I<■16. DIMENSIÓN DE LA SUMA.-
es l.i.
Si ¿{ v 1, v 2 ,...,:vm,v m+|, v m+2} = K , entonces la dem ostraciói TEO R EM A .- Sean U y W dos subespacios de (V,+,k,.) y la dim ensión de V
concluye, en caso contrario seguimos el proceso anterior pero es finita, entonces se verifica que:
hipótesis la d im ;, V = n , entonces existirán solo un núm ero fin:
vm+| , vm + 2 vm+p € V tal que {v, \ v2 ...Vv,,, j vm+1;..., v m+p} dim* (U + W) = dim* U + dim* W - dim* (U n W)
una base cuando m + p = 0 ya que para n = m + |
{v,, v2 v „ , vO T + l v,„+P} es l.i. y adem ás genera V. D em ostración

Como V es de dim ensión finita sobre k, sea dim* U = p , dim ¿ W = q y
dim k ( U n W ) = r .

Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 197

Considerem os U n W *(¡>y {v,,v2 vr } una base para U n W , com o Ü n l r p-r r r p-r

es un subespacio de U y W respectivamente, por el teorem a d fl y \ v, = g =* + b > ¡ + / , b. u‘ =<9
com plem entación de bases, com pletam os la base {vt , v2 vr } a bases p ara ■ i=i i=i
i=i i=i i=i

y W . Sean: {v,, v2,..., vr u p_r } b a s e para U y { v ,,v 2 ,...,v r ,w ,,...,w 4_ , l ía¡ + b¡ = 0 , Vi = 1 ,2 ,..., r ...(4 )
=> i

[ b¡ = 0 , Vj = 1,2,..., p - r

base para W.

A FIR M A C IÓ N .- El conjunto {v,,v2 vr , « i , - , u p_r , w u . ..,wq_r } es una pues { v j v r , ,..., u p _r } es una b ase para U => com o b¡ = 0 ,
base para U + W. Vi = 1,2,..., p - r en (1) se tiene:

La dem ostración de esta afirmación es: V1 V1 o ( «y = 0 , V / = l , 2 , . . . , r ...(5 )
> a¡ v, + > c¡w¡ -- 0 { ...(6 )

L u " L*' ' 1A ,=0 , Vi = l , 2 , . .. , q - r
1=1 /=1
i) Que sea linealm ente independiente.
Considerem os la com binación lineal pues { v |,...,v /.,w 1,..., wq_r } es u n a b ase p ara W .

-d ) => de (4), (5) y (6) resulta que:
a ,; = 0 , V i = l,...,r , b¡ = 0 , V i = l , . . . , p - r , c, = 0 , V i = l , . . . , q - r
1=1 1=1 1=1
{vi ,...,vr , u í , ...,up_r , w l ,...,wv_r } e s l.i.
... (2)

i=i i=i i=i

ii) Q ue genera a U + W.

=> e U n f V , p u es d e l a r e l a c i ó n (2), p o r un lado p o r ser igua Sea v 6 U + W , por definición de subespacio suma:

Í=1 — v = u + w, donde u e U y w € W
a una com binación lineal de elem entos de {v1,v 2 ,...,v r ,M |,...,u p_r } , e s t a
en U y por otro lado por una combinación lineal de elem entos de P-r c, v, ,v; + > d¡w,
{ v , v r , w , w q_r }, está en W . pero u = a¡ v, +b¡t/j y w = ^ i=i i=i

i=i i=i

=> 2 c,vv' = £ </,v' (3) r p-r r q-r
=> v = ( ^ a , v í + y
í=i i=i + c,v, +}d,w,)
entonces reem plazando (3) en ( 1) tenemos i=l 1=1
1=1 1=1

Eduardo Espinoza RamM I \pacios Vectoriales 199

= X ( a<+ ) V| +£ b‘ + £ d>w‘ Com o {(1,0,1),(0,1,0)} es iinealmente independiente entonces {(1,0,1),(0,1,0)}
es una base de W de donde dim W = 2
i=l i=l

Ahora calculando una base para U n W

=> (v, , v 2,...,vr , Up_r , w t ,..., w ,_r } genera a U + W d e (i) y (ii) I f l l

afirmación queda demostrada como I Sí (x,y,z) e U n W íx +y - z = 0 y =0
(*-Z = 0 Z=;c
(vi,, v2 >•••>vr ’u i<—, u p_r , W [ wq_r } es una b ase de U + W c s u l f l

que Sí (x,y,z) e U n W => (x,y,z) = (x,0,x) = x( 1,0,1)

d i m k (U + fV) = r + ( p r) + (</-r) =P + q - r 1!

H Luego {(1,0,1)} es una base de U n W => dim U n W = 1

Ejem plo.- = d im k U + d im k W - d im k ( U r* IV) lit! Por lo tanto se tiene: Dim (U+W ) = dimU + dim W - dim U n W = 2 + 2 - 1 = 3
dim (U + W) = 3
Determ inar la dimensión de la sumade los sig u ien te!
subespacios de ( R* ,+, R, . ), U = { ( x , y , z ) e R / x + y - z = 0} I DIMENSIÓN DE LA SUMA DIRECTA.- |

W = { ( x , . y , z ) e R i / x - z = 0} | Si U y W son dos subespacios del espacio vectorial (V ,+,k„). Sí U n W = {0}
(conjuntos disjuntos) entonces dim (U ® W) = dim U + dim W.

Solución I Es decir que la dim ensión de la suma directa es igual a la sum a de las
Por calcular dim(U + W) = ? i dimensiones de U y W.
Como dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U o W )
9
En este caso U n W = {0}, entonces dim U n W = 0

C alculando una base para U, sí (x,y,z) e U entonces x + y - z = 0 => z = x + ■ Ejem plo.- Si A = {(1,0,1,0),(1,0,1,1)} es un sistem a de generadores de U de

Luego (x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,1) I ^4 (^ ) y B = {(3,0,2,1)} es un sistem a de generadores de W de

V4 ( R ) . Probar que dim (U ® W ) = dim U + dim W

com o {(1,0,1),(0,1,1)} es linealm ente independiente entonces {(1,0,1),(0,1,1)| Solución
es una base de U de donde dim U = 2

Calculando una base para W, si (x,y,z) e W entonces x - z - 0 Z_5M C om o U = L{A} = { a ( l,0 ,1 ,0 ) + p ( l ,0 ,1 ,1 )/ a ,p e R}
Luego (x,y,z) = (x,y,x) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,0) C om o U c V4 ( R) => (x,y,z,w ) = a ( l ,0 ,l ,0 ) + P ( l,0,1,1)

200 Eduardo Espinoza kamoá / '•fiados Vectoriales 201

(x,y,z,w) = ( a + p, 0, a + P, a ) por igualdad U n W = {(0,0,0,0)} => dim U n W = 0

x =a +p dim U ® W = dim U + dim W = 2 + 1 = 3

y = a +P 0 Ejem plo.- Sean los subespacios vectoriales de V4(R)
* x = y, z = 0, w e R
z=0
A = i ( x , y , z , w ) e R A / x + y - z + w = 0} y
w =a

U = {(*, y , z , w ) e R 4 / x = y, z = 0}, calculando una base de U B = { ( x , y , z , w ) e R 4 / x - y - z - w = 0}
Determinar a) Una base de A y dim A
Sí (x,y,z,w ) e U => ( x , y , z , w ) = (x,x,0,w ) = x( 1,1,0,0) + w (0,0,0,1)
b) Una base de B y dim B
Luego una base de U es {(1,1,0,0),(0,0,0,1)}, de donde dim U = 2 c) Una base de A n B y dim A n B
d) Calcular dim (A + B)
C om o W = L {B ¡ = {a(3,0,2,1) / a e R}
Solución
Si (x,y,z,w ) e W => (x,y,z,w ) = a (3 ,0,2,1) a) Calculando una base para el subespacio A

x = 3a x = 3w x + y - z + w = 0 => z = x + y + w
Sí (x,y,z,w) e A entonces
V= 0 =0 (x, y, z, w) = (x, y, x + y + w, w) = (x, 0, x, 0) + (0, y, y, 0) + (0, 0, w, w)
=> (x, y, z, w) = x( 1,0,1,0) + y (0 ,1,1,0) + w (0 ,0 ,1,1)
Luego A = L {(1,0,1,0 ),(0 ,1,1,0 ),(0 ,0 ,1,1)} es decir que :
z = 2a z = 2w {(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} es un sistem a de generadores y adem ás es
linealmente independiente (probarlo)
w —a
Por lo tanto una base de A es {(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1)} y dim A = 3
Luego W = { ( x , y , z , w ) e R 4 / w = ^ = ^ , y = 0} una base de W será: b) Calculando una base para el subespacio B

Si (x,y,z,w ) = (3w ,0,2w ,w ) = w (3 ,0 ,2 ,l) entonces una base de W es:

{(3,0,2,1)}, de donde d i m W = l

Calculando U n W es decir: U = {(*, y , z, w) € R 4 / x = y , z = 0}

W = { ( x , y , z , w ) e R * ! z = 2 w , x = 3 w , y = 01

como z = 0, w = 0, y = 0, x = 0 entonces

202 Espacios Vectorial4 / spacios Vectoriales 203

x - y - z - w = 0 => x = y + z + w Ejem plo.- Si U está generado por {(1,2,1),(0,1,2)} y W está generado por
Sí (x,y,z,w) e B entonces {(1,0,0),(0,1,0)}
(x, y, z, w) = (y + z + w, y, z, w) = (y, y, 0, 0) + (z, 0, z, 0) + (w, 0, 0, w)j
(x, y, z, w) = y( 1,1,0,0) + z( 1,0,1,0) + w( 1,0,0,1) a) Hallar una base para U n W
Luego B = L = {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}, es decir que: b) Determinar dim (U + W)
{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} es un sistem a de generadores y adem ás soj
linealmente independiente (probarlo) Solución
Calculando los subespacios generados
Por lo tanto una base para B e s {(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} y su dim B=*| U = L {( 1,2,1),(0,1,2)} = { a ( l ,2 ,l ) + p ( 0 , l , 2 ) / a , p e R}
Si (x,y,z) e U => (x,y,z) = a ( 1,2,1) + p (0 ,l,2 )
c) Calculando una base para el subespacio A n B
(x,y,z) = (a, 2a + p, a + 2P) por igualdad

x +y - z +w = 0 x =0 x =0 X=° \y-1* =P _ z-x
x-y-z-w = 0 y+ z+ w = 0 w = —y —z •y = 2a +p 2

z =a +2p => • £ Z x = => V

Sí (x ,y ,z,w )e A n B => (x,y,z,w ) = (0,y,z, -y - z) = (0,y,0,-y) + (0,0,z,-z); 2 2y-4x =z-x
(x,y,z,w ) = y (0 ,1,0,-1) + z(0,0,1,-1)
3x - 2y + z = 0

L uego A n B = L {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}, es decir que {(0,1,0,-1 ),(0 ,0 ,1.-1 ) } | L uego U = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - 2 y + z = 0¡
es un sistema de generadores y además linealmente independiente
(probarlo) C alculando una base de U: 3 x - 2 y + z = 0 => z = 2 y - 3 x
(x,y,z) e U => (x,y,2y - 3x) = (x,0,-3x) + (0,y,2y) = x( 1,0,-3) + y (0 ,1,2)
Por lo tanto una base para A n B es {(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)} y su*
dim A n B = 2 L uego U = L {(1,0 ,-3 ),(0 ,1,2)} es decir qu e {(1,0,-3),(0,1,2)} es un sistem a de
generadores y adem ás es linealm ente independiente por lo tanto una
d) C alculando dim (A + B) base U es {(1,0 ,-3 ),(0 ,1,2)} y dim U = 2

dim (A + B ) = dim A + dim B - dim (A n B) = 3 + 3 - 2 = 4 (por la partd | W = L {(1 ,0 ,0 ),(0 ,1,0)} = { a ( l ,0,0) + p ( 0 ,l,0 ) / a , p e R}
a,b,c)
Si (x,y,z) e W => (x,y,z,) = a ( 1,0,0) + p (0 ,l,0 )

dim (A + B) = 4 (x,y,z) = (a,p,0) o x = a , y = p , z = 0

/ ¡parios Vectoriales 205

W = { ( x , y , z ) g R 3 / z = 0} es el plano XY luego una base para W es1 a x 2 +¡3(x-l)2 e 5 a y(x + \)2 &T

{(1,0,0),(0,1,0} y dim W = 2 a x 2 + b x + c = (cc + P + y ) x 2 + ( 2 y - 2 p ) x + p + y

a) Calculando una base para U n W por igualdad de polinom ios tendremos que:

•3 1 a +P +y =a
com o 3x - 2y + z = 0 y z = 0 => .V= ~ *

2y-2p =b resolviendo el sistem a hallam os los valores de a , p y y:
P +y - c

si (x,y,z) e U n W => y = ^ x ,z =0

(x, y, z ) = (x, | x, 0) = ^ (2,3,0) a = a - c , P_ ---b--+---c , y = --3-c-----b--
44
L uego U n W = L {(2,3,0)} => una base d e U n W es L {(2,3,0)} y
dim U n W = 1 ptir lo tanto se tiene V = S + T de (i) y (ii)

¡ii) A hora verem os qu e S n T = {0}

sea P(x) e (S n T ) => P(x) e S a P(x) e T

b) Calculando dim (U + W)

=> a x 2 + P ( x - \ ) 2 = y ( x + 1)2 => ( a + p ) x 2 - 2 px + p = yx2 + 2 y x + y

dim (U + W ) = dim U + dim W - dim (U n W ) = 2 + 2 - 1= 3

dim (U + W) = 3 de donde a+ p =y => a = p = y = 0 por lo tanto S n T = {0}

Ejem plo.- Sean V = { a x " + b x + c / a , b , c e R } , S = L { x , ( x - 1) } y -2P = 2y
P =y

r = I{ (x + l) 2 } . Demostrar que: V = L {S }© L{T} Luego com o V = S + T y S n T = {0} entonces se tiene V = S ® T

D em ostración E jem plo.- Sea V = R 3 es el espacio vectorial sobre R.
i) La inclusión L{S} + L{T} c V es fácil de ver
ii) Probarem os la inclusión V c L{S} + L{T} U = { ( x , y , z ) e R i / x + 2 y - z = 0} y W = {( x, .y ,z ) e R 3 ! x - y = -3z}

ax2 +bx +c = a x 2 + /? (x - l) 2 +y(x + l)2 , donde calcular dim (U n W)

Solución

Espacios Vectoriala I \pacios Vectoriales 207
206

U n W = {(x,y,z) € V / x + 2y -- zz = o A x - y = - 3 z J Ejem plo.- Sea el espacio vectorial ( R 3,+,R,.) y
W = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - y + z = 0}

x+2y-z = 0 3y = 4z ^ x = y - 3 z a) Hallar una base para W.
x - y + 3z = 0
_5z
3x = 3 y - 9 z = -5z => x = 3 b) Encontrar un subespacio U de R 3 tal que R 3 = IV (BU
Solución
U n W = {(x,y,z) e V / 3y = 4z a x = -5z}
a) W = {(x,y , z ) e R 3 /3 x - y + z = 0¡
Calculando una base de U n W
Calculando una base para el subespacios de W.
(x,y,z) e (U n W ) => 3y = 4 z a 3 x = -5z Sí (x,y,z) e W => 3 x - y + z = 0 => y = 3x + z
(x,y,z) = (x, 3x + z, z) = (x,3x,0) + (0,z,z) = x( 1,3,0) + z ( 0 ,l,l)
4 1 Luego una base de W es {(1,3,0),(0,1,1)}
=> ^ = A X ~ 3^

( * , y , * ) * ( - |* , |z , z ) = | ( - : 5,4,3) I

Luego U n W = L{(-5,4,3)} es decir que U n W es generado por (-5,4,3) J b) Ahora com pletarem os la base {(1,3,0),(0,1,1)} de W a una base de R 3 y
sea {(1,3,0),(0,1,1),(1,0,0)} definim os U = L{(1,0,0)} y R 3 = W ® U

que es l.i.

L uego « - 5 ,4 ,3 « es una ta s e d e U n W de dondedin, <U n W ) - 1 I Ejem plo.- En el espacio vectorial ( R 2x2,+, /?,.) considerem os
W = {A e R 2*2 / Tr ( A) = 0}

Ejem plo.- Sea el espacio vectorial ( « V . M » W - ' 1 s Rlj
encontrar U %R~ talque R -W<bU
a) Hallar una base para W.
Solución
b) C onstruir U subespacio de R 2x2 tal qu e R 2x2 = W ® U
C om o W = {(2t,-t) / 1 e R} = {t(2,-D / 1 e R} Solución
W = L{(2,-1)} => {(2,-1)} e s u n a base para W c R
C om pletando di.ch. a. base para RP 2 vy cseeaa 1H(2,-1),(2,1)}definim os U = L { (2 ,1 )|| a) Calculando una base para W
y R1 =W®U
Sí A e R 2x2 => A = uII u, 2

a2\ a22 e W => « i, + «22 = 0

208 Espacios V e c to ria l h/iacios Vectoriales 209

i= — a\\ a\2 = «11 0 + "0 a\2 + ‘ 0 0' Considerem os {v|,v2,...,vm} una base para W, entonces por el teorem a de
1 a22_ _a2\ _G11. 0 ~au_ 0 0 a21 0 com plem entación de bases, extenderemos dicha base para V, esto es
_a2\ existen vm+1,...,v„ elem entos de V tal qu e {v,, v2 ,..., vm, vm+1,...,v „ } es una
O1 base para V.
1 JNJs 1"1 0 ''o r o
A F IR M A C IÓ N : {vm+1 + w ,...,v „ + w} es una base de — pru eb a de la
Oian 0+ a,2+o21 W
Oi-1 00 10
O afirm ación.
10- I
i i) Q ue sea linealm ente independiente.
Luego W = L j > 0 0 y 1 0 de donde
7 y

O| Sea a m+)(vm+1 + w) + ... + a n( v n + w ) = &+ w = w (w es el caso d e — )
W
•o 1 '0 0
“ —1 y
7 10 0y1 }es una base de W y su dimensión es: dim W * (a m+ivm+i + w) + ... + (a„v„ +w) = w (def. d e ( * ) e n — )

o 0 w

b) Se conoce que d im R 2l2 = 4 , luego com pletarem os la base de W co i v
=> («m+ivm+i + - + a nv n ) + w = w (def. d e (+) en •— )
una matriz mas de R 2x2, que sea linealmente independien®
1 0 e R 2x2 w
00
=> a m+i vm+i + - + a„v„ e W d e d o n d e
10 0 1 0 0 1o
{ 0 -1 } es una base para R lxl detlnirem ^ a m+ivm+i + - + « nv„ = a , v , +... + a mvm (por ser {v1,v 2,...,v m})
0 » 0 ’o o
01 a \v \ + ~ + a n,vm ~ a m+i v m+\-■■■~a„vn = 0 entonces

U = L{ 10 } y se cumple que R lxl = W @U ü i = ••• = a rn = a rn+1 = ... = = 0 puesto que {v,,..., vm, vm+1,..., vn } es
base de V y por lo tanto es linealm ente independiente.
00
L uego com o a m+] = a m+2 =... = a„ = 0 se tiene que {vm+1,...,v„} es
3.18. TEOREMA.- linealmente independiente

Sea V un espacio vectorial sobre k de dim ensión finita, si W es un subespaclw
propio de V, entonces:

dim(— ) - dim V - dim W -iix) ~Q ue genera a —V
W

D em ostración

Sean dim V = n y dim W = m, donde m < n

210 Espacios Vectoriali \pacios Vectoriales 211

E jem plo.- En el espacio vectorial ( R 4 ,+,R,.), considerem os los

Sea v+ w e — , como v e W se puede expresar subespacios U = {(x,y,z,t) e R 4 H x + y - z =/} y
W

W = {(x,y,z,t) e R4 / x - y +z = 0 a x = 2t}.

1=1 1=1 i = m + 1 Hallar: a) dim (U + W)

mn "i n R4 R4 R4
a¡v¡ + w) + ( a¡v, + w' b) Una base para
v + w = ( ^ ¡ T a¡v¡ + a¡v¡) + w =
i=I í=m+l U W U r\W

,=1 ¡=m+l

« w Solución

= W+ ( ¿ > + W ) P U eS a i V¡ e W a) Calculando dim U, dim W y dim (U n W)
i=m +1
»=1

= a.v, + w , puesto que w es el caso de — P a ra U : C om o U = { (* ,y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - z = í} entonces
(x,y,z,t) e U => 2x + y - z = t de donde se tiene
i=m +l (x,y,z,t) = (x,y,z,2x + y - z) = (x,0,0,2x) + (0,y,0,y)+ (0,0,z,-z)

- ( a m + lv m+\ + v v ) + — + ( a n v n + H ) = x( 1,0,0,2) + y(0 ,1,0,1) + z(0 ,0 ,1,-1)
Luego U=L{( 1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} de donde
= «m+i( v m+i + w ) + ... + a „ ( v „ + w ) {(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una b ase de U => dim U = 3
P araW : Com o W = {(x, y , z , t ) e R 4 í x - y + z = 0 a x = 2t}
entonces, para todo v + w e — , se tiene que Sí (x,y,z,t) e W => x - y + z = 0 a x = 2t => y = x + z = 2 t + z
(x,y,z,t) = (2t,2t + z,z,t) = (2t,2t,0,t) + (0,z,z,0) = t(2,2,0,l) + z(0 ,1,1,0)
v + w = a m+1(vm+1 + w ) + ... + a „ (v „ + w ) Luego W = L{(2,2,0,1),(0,1,1,0)}, de donde {(2,2,0,1),(0,1,1,0)}, es una
base para W => dim W = 2
Luego — = L{vm+¡ + w ,...,v„ +w } de (i) y (ii) la afirm ación qu<
W Para U n W:

probada

De la afirmación se tiene que: dim — = n - m - dim V - dim W
W

212 Eduardo Espinoza Rana iliados Vectoriales 213

U n W = { ( x , y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - z = t a x - y + z = 0 a x = 2/}1 L uego en virtud del teorem a (2.18) {(0,1,1,1) + u} es una base para —R 4 y

= {(x,y,z,t) e R 4 / x = t = 0 a y = z} R4
dim(— ) = 1
si (x , y , z , t ) e R 4 => (x,y,z,t) = (0,z,z,0) = z (0 ,1,1,0)
Luego U n W = L {(0,1,1,0)}, de donde {(0,1,1,0)} es una b a f l U
d e U n W => d i r a U n W = l R4
Como dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U n W) = 3 + 2 - 1 = 4
C alculando una base p a r a ----------
R4 UnW

b) Calculando una base para — De la parte a) {(0,1,1,0)} es una base d e U n W
W
Completaremos para una base de R 4 entonces
de la parte (a) se sabe que {(2,2,0,1),(0,1,1,0)} es una base para W {(0,1,1,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,0,0,1)} base de R 4 entonces por el
entonces el teorem a de com plem entación de bases, existof teorem a (3.18.) se tiene:
(1,0,0,0), (0,0,0,1) e R 4 , tal que {(2,2,0,1 ),(0 ,1,1,0),( 1,0,0,0),(0,0,0,1 )} |
una base para R 4 . {(1,1,0,0) + U n W , (1,0,0,0) + U n W, (0,0,0,1) + U ci W} es una base

Luego por el teorem a (3.18) {(1,0,0,0) + w, (0,0,0,1) + w} es una bai p a r a ----R--4---- y dim -------R---4= 3
UnW UnW
para —R4 y Adi'm —R4 = 92
19. EJERCICIOS PROPUESTOS.-
WW
Dado U, W , T subespacios de un espacio vectorial V. Dem ostrar que:
R
C alculando una base para — de la parte (a) se sabe qu( (U n T) + (U n W) c U n (T + W)
{(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1)} es una b ase para U, com pletando dicWj
base para R 4 . Dado U y W subespacios de V. Demostrar que:
U u W es un subespacio de V <=> U c W ó W c ü
E ntonces por el teorem a de com pletam iento de bases existe (0,1,1,1) e R 1
tal que {(1,0,0,2),(0,1,0,1),(0,0,1,-1),(0,1,1,1)} es una base p ara /?4| Dados los subespacios U = { ( x , y , z ) e R 3 / x + y - z = 0}

W = { ( x , y , z) e R 3 / 2 x - 3 > ' + 4 z = 0} de R 3 .

a) Hallar U n W b) Probar que R J = U + W

214 Eduardo Espinoza Ramt I nidos Vectoriales 215

© --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

© Sean U = { ( x , y , z , t ) e R /jc + j> = 0 ; z - t - 0} y (i,b) V = R J , k = R, v, = (1 ,3 , V 2 ), v2 = (0 ,0 ,0 ) , v3 = 0,10)

© W = { (x ,y , z , t ) e R 4 ¡ x - y - z + t = 0} subespacios de R 4 .

© a) Determinar U n W b) ¿U + W es suma directa? j c)V = C 2 , k = C, v, = (*,0), v2 = ( 0 ,í ) , i 2 = -1
d ) V = C 2 , k = C, v, = ( i ,2 ) , v2 = (0,1 + 0
©
© c) ¿U + W = R 4? Justifique

Sea V el espacio vectorial de las m atrices cuadradas sobre el cam po R y si e) V = C 2 , k = C, v, = (1 + 3 » ,0 , v2 = ( 2 ¿ - 6 , - 2 )

U = {A e V t A - A 1} conjunto de matrices simétricas 0«) Dado el espacio vectorial (/?3,+ ,R , . ) . Determ inar si los siguientes vectores

W = {A e V I A = - A ' } conjunto de matrices antisimétricas, dem uestre q u f son linealmente independiente:

v =u ® w

a) A = { ( 1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} b) B = {(1,-1,0),(1,1,2),(1,0,1)}

Sean U, y W subespacios de (R ,+,R,.), dondl
( |l) Probar que los vectores (-2,4) y (1,-2) son linealmente dependiente en

U = {(x, y, z) e R ! x + y + z-= 0}, V = { ( x , y , z ) e R l x = y} ( R 2,+,R,.).

W = {(0,0,z) / z e R}.

O Sean los vectores v, = (- 1 ,0 ,2 ) y v2 = (- 1 ,2 ,4 ) en R 3 , determ inar si los
vectores v = (-1,1,3) y u = (1,2,2) son com binación lineal de v, y v 2 .
a) Calcular U + V, U + W y V + W
b) D ecir en cual de los tres casos anteriores de la parte (a) la sum a es direct)

Dada la recta = {(x, y ) e R 2 l y = 5 x } , hallar otra recta L 2 tal qu (MJ D eterm inar si el vector v = (1,2,3) es com binación lineal de la fam ilia cuyos
R 2 = L X® L 2 . elem entos son los vectores de R 3 .

v, = (1 ,0 -1 ), v2 = ( 0 ,l,- l) , v3 = (1,1-2)

D ado el subespacio T = { ( x , y , z ) e R 3 1 2 x - 3 y - 2 z = 0} de ( R i ,+,R,.)^

Hallar todos los subespacios S de R 3 tal que 5 © T = R 3. k ¿Son los vectores v, = (1,1,2 ,4 ), v2 = ( 2 ,- 1 ,- 5 ,2 ) , v3 =(1,-1,- 4 ,0 ) y

D eterm inar la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjunl v4 =(2,1,1,6) linealm ente independiente en R 4 ?
de vectores.
Sabiendo que los vectores V |, v2 son linealm ente independiente en (V ,+, K , .).
a) V = R 2 , k = R, v, = (2 ,4 ), v2 = (0,3) D em ostrar que v, + v2 y v2 son linealm ente independiente.

216 Eduardo Espinoza Ramoá I spacios Vectoriales 217

© Sabiendo que v, , v2, v3 son vectores linealmente independiente del esp ac® H allar los valores de x, para los cuales los vectores u = (x, 1 - x, x),
(V , +, k, .) averiguar la dependencia e independencia lineal d e los sig u ien tfl v = (2 X> 2x — 1, x + 2) y w = (-2x, x, -x) de V3 son linealm ente
© conjuntos. independiente.

a) {v, + a v 2 + />v3, v2 + cv3, v3} b ) {v,, v2 + a v 3, v 3 + b 2 ] , a,b,c € R © D em ostrar que los vectores u, v y w de V3 son linealm ente independiente de

V} <=> [uvw] * 0

En un espacio vectorial V sobre k, sean v ,, v2, v3 linealmente independientyH © Si u, v y w son vectores linealm ente independiente de V3 analizar la
D eterm inar sí los siguientes conjuntos son linealm ente independiente: dependencia lineal de los vectores:

a) {v, + v 2 - v 3, v 2 + v3,2v,} b) { v ,+ 2 v 2 + 3 v 3,2v1,v 1 + 2 v 2 + 3 v 3}'fl

Dados los vectores (1,-4,6), (1,4,4) y (0,-4,x) del espacio R } sobre el cuer a) u + v, u - v, uxvb) u + v, u + (uxv), v + (uxv)
de los reales, determ inar x para que sean linealmente independiente.
c) u, v, (u + v)x(u - v)d) u - v, v + w, u + w
Si los vectores u,v y w son linealmente independiente, entonces los vectorflÉ
u + 2v - 3w, 2u + v - w, 3u + 5v - 6w son linealmente independiente. © Dado el espacio vectorial (F,+,R„) y considerem os f,g,h e F definidas como

Si u, v y w son linealm ente independiente. D em ostrar que los vector f(t) = sen t, g(t) = eos t y /)(/) = ; 2 , hallar los núm eros reales tales que
u + 2v + 3w, v - 2u - w, -v - w son linealmente dependiente. a f + bg + ch = 0.

Si los vectores u + v, v + 2w, u - 3w son linealmente independiente, dem ostrajl © Supongamos que u, v e V «on vectores linealmente independiente de V,
que los vectores 4u + 2v — 7w, 3v + 7w, w — u — v son linealm entfl p ro b ar que w¡ = au + b v , w2 = cu + dv son linealm ente independiente, si y
independiente.
Si u, v y w son vectores linealmente independiente en V mostrar que: solo si ad - be *■0.

I© En S 2 , (a,b); (c,d) son linealm ente independiente si y solo si ad - be * 0.

I) u + v - 2w , u - v - w y u + w son linealm ente independiente, ©

ii) u + v - 3w, u + 3 v - w y v + w son linealmente dependiente. J D ados los subespacion de /?3 ; S, = { ( x , y , z ) z R 3 l x = y + z } ;

Si los vectores u + v, v - w, u - 2v -3 w son linealm ente independiente, $2 = {(■x , y , z ) e R } / x + y = - z } ¿C um ple que R 3 = ® 5 2 ?

determ inar como son los vectores 6u - 5v - 13w, 2v + 3w, 2u - v + w. R pta. No se cumple

Dem ostrar que si a, b y c son tres números reales distintos, entonces loá I © Considere los subespacios V y W c í 3 asi definidos V = {(x,*,x) / x e R};
vectores ( l , a , a 2) ,( l,b , b 2) y ( l,c ,c 2) de R 3 son linealmente independiente.I W = {(x,y,0) / x,y e R }. D em uestre que R 3 = V ® W .

218 Eduardo Espinoza / ’« m a J * i spacios Y'ectoriales 219

—> -> ■ @ Sí V = R 2, W, = { ( x , y ) e R 2 / 2 x = 3y}

D ado u = (1 ,2 ) y y = ( - 1 , 2 ) , sean F} y F2 respectivam ente las rectas qm

pasan por el origen en R y contienen u y v respectivamente. Demuestn W2 = { ( x , y ) e R 2 ! y = 0}
que R 2 = f] $ f'2 ■

Probar que: R 2 =fV, ® fV 2

Pruebe que el conjunto U de las matices triangulares inferiores y el conjunto Wj @ Si V = L{(1,1,-1 ),(2 ,1,-2),( 1,2,-1)} y W = L { (l,0 ,-l),(3 ,2 ,-3 )}
de las matrices triangulares superiores son subespacios vectoriales de M (nxn)| Demostrar que V = W
que M(nxn) = U + W y que no se cumple M(nxn) = U © W.

Sea V un espacio de dim ensión finita, si S c V es un subespacio. Probar qulfl (íí) Si S = { (x ,y,z) e R 3 / x = y + z} y T = {(x,y,z) e R 3/3 x -3 y = -z}
existe un subespacio U c V tal que V = S © U. subespacios de R 3 . Hallar dim (S + T)

3 ___

Sea V = R~ un espacio Vectorial sobre k = R, P robar que m = (1,3,5);]

—> —► («) E n * 4 , S = L {(1,1,0,-1 ),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)}, T =L {(1,2,2,-2),(2,3,2^
v = ( 2 , - 2 , 3 ) , w = (3 ,2 ,-5 ) forma una base de R 3 . 3),(1,3,4,-3)} determinar: S n T y S + T ¿ e x is te S © T? ¿porqué?

Dado el espacio S = { ( x , y , z ) e R 3 / x = y = 3z} de R 3 . Hallar todos lo ^ D eterm inar el subespacio de ( R } ,+,R,.) generado por los vectores
subespacios T de R 3 , tal que S © T = R 3 v, = ( 1 - 1 ,2 ) , v2 = (0,—1,1), v3 = (1,1,0).

D eterm inar el subespacio S de ( R 3,+, /?,.) generado por los vectores (2,0,1) y l (<é) D em uestre que los siguientes conjuntos d e vectores generanel m ism o
(-1,0,1), hallar una base de S y su dimensión. subespacio de R 3 .

Sea S = L {(1,0,1),(1,1,0)} y T = {(0,-1,1),(1,5,4)}. V erificar que R 3 es la a) A = {(1,0,-1 ),(0,-2,1)}, B = {(1,-2,0),(2,-2,-1)}
sum a de S y T, pero no es la sum a directa de dichos subespacios. b) A = {(1,-1,1),(3,0,1)}, B = {(-2,-1,0),(5,-2,3)}
w ) Determinar dos bases en cada uno de los siguientes espacios vectoriales de
Sea V = R 4 y y, = (1 ,2 ,0 ,3 ), y2 = (1 ,4 ,3 ,-1 ), v3 = (2 ,6 ,3 ,2 ) elem entos de / f 4 ,{ dim ensión finita.

d efinim os: W¡ = {y e R 4 / v = a v { + b v 2, a , b e R} a) V = { ( x , y , z ) e R 3 / x - y = 0}

W2 = { y e / ? 4 / y = a 3, a e R}

i) C alcular W, r \ W 2

¡i) D e un vector de R tal que no pertenezca a . b) W = { [ a i j ] e M 2x2( R ) / a u + a 2 2 = 0}

220 Eduardo Espinoza Ramoá Espacios Vectoriales 221

( 4 ^ Si V - L{( 1,0),(2,2),(3,0)} calcular dim V. (<7) D em ostrar que en k--espacio vectorial V, de dim ensión n > 1, todo conjunto de
^ 9 ) Si V = L { ( 1 ,0 ),(- ^ , 0), (3, 0)} dem ostrar que dim V = 1 n vectores v ,, v2 v„ son linealm ente independiente sí y sólo sí generan a V.

,50) Dados los subespacios de (R ,+,/?,.) S = {(*,y , z , w ) e R 4 / x + y + z + w = ® © Sea V en k - espacio vectorial, Si son vectores de V que son
y T = { ( x , y , z , w) e R 4 t x - y —z - w = 0} obtener la dim ensión de S + T. m
linealmente independiente tales que S = L{u¡,u2 }y

T = L { u r+l, u r+2,...,un } con r < n, dem ostrar que existe S ® T

En R considerem os V = { ( x , y , z ) e R / 2 x - y + z = 0} | (*W) Sí S = L {(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y

S = {(x , y , z ) e R 3 / x - 2 y - z = 0}. Hallar: T = L(2,5,-6,-5),(-1,2-7,-3),(5,8,-5,-7)}. Dem ostrar que:

a) dim (V + U) b) dim (V n U) c) Una base de V nU a) S n T = T b )S +T=S

Supongamos que U y W son subespacios de V y que dim U = 4, dim W = 5 f l (¡M>) Sea V el espacio vectorial d e las m atrices de orden qxq con entradas núm eros
dim V = 7. Hallar la posible dim ensión de U n W. reales W¡ = {A e V / A = A ' } y W2 = { A e V / A = - A ' } donde A ' denota
la m atriz transpuesta de A:

§ 3 ) Si S=L {(2,5,-1,1),(2,1,1,-1),(2,-1,2,-2)} y T = L {(3,4,1,-1 ),(3,5,1,-!),(1,2,1,-1)}j a) Pruebe que W¡ , W2 son subespacios vectoriales de V.
Determinar S + T, S n T, dim (S + T) y dim (S n T)

,54) Dados los subespacios S = {(x,y,z,t) e R / x - y = z-t} y b ) D em uestre que V = W¡ + W2 , y que W¡ n W2 = {&}

T = { ( x , y , z , t ) e R 4 / 2 x - y - 3 z = t} de R 4 , Hallar S + T, S n T , sus base«] c) Calcular dim W2
y dimensiones.
^V) Sea M ix i(R) el espacio vectorial de las matrices 3x3 de com ponentes reales,

C onsiderem os en V4 ( R ) los subespacios S = L {(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2,-4)) d efinim os: 0 = {A = [a^ ] e A /3r3 ( R) / a¡j = - a y,}
y T = L {(2,-l,l,l),(-2,l,3,3),(3,-6,0,0)}. H allar las bases de los su b esp acú *
S, T, S + T, S n T y sus respectivas dim ensiones. ¿E s 0 un subespacio d e M 3l3 (/f) ? Justifiqúese

Si S = L{(1,2,-1,-2),(3,1,1,1),(-1,0,1,-1)} y En caso afirmativo, hallar una base de 0.
T = L {(2,5,-6,-5),(-1,2,-7,-3),(3,3,1,-2)}. H allar S + T y S n T , bases y (o ;) Si V = L{u], u 2, u} ,. ..,« „} y si m, es com binación lineal de // ^ . 1/ , , ,i<„,
dimensiones. ¿Existe S © T? justifique
dem ostrar que V = L{u2, u i ,...,u„]

222 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 223

Si V = A/ 2jc2 (/?), sobre k = R © Sí W = { ( x , y , z ) & R 3 1 x + y + z = 0}

iO a) Demostrar que W es un subespacio de R 3 .
O b) Hallar 2 vectores que generan a W.
r (72) P ro b a rq u e : R 3 = R 2 + { í ( l , - l , l ) / í e R) donde R 2 = { ( x , y f i ) l x, y e R}

O
10 oo
T= í 01 ;.T es un a base?

00 00 10

£ 4 ) Sea V = \ [aij] e M 2x2( R ) / a n + a 2 2=0 }

ro i] ro o í © Sean L x y L 2 dos rectas distintas que pasan por el origen en R 2 , probar que
U = { , } c V , U es una base? R2 =L, +L2

L ° °_ L 1 ° J ^ 4) P robar que R 2 = + L 2 , donde = { /(l,l) /f e /?}, L 2 = { /l( 2 ,- l) /A e /?}

Sea V = M 2x2 ( R ) espacio vectorial de m atrices cuadradas sobre R y sean

tV = {[ai j ] e M 2x2( R ) / a n + a l2 = 0} y

@ Sí L = { t ( l , - l , l ) / t e R} y P = {(x,y,z)/ x + y + z = 0}.

W2 = { [ a ¡ j ] e M 2x2( R ) / a u + a 21 =0}

a) Hallar L n P b) Probarque R3 = L + P

a) D em ostrar que W, y W2 son subespacios de V. |Ihj En R , considerem os los subespacios C7, = { ( x, y , z ) / x = y = z } ,
b) H allar la dim ensión de f V , , W2 , W¡ + W2 y W¡ r \ tV2 U 2 = { ( x , y , z ) / x + y + z = 0}. Demostrar que R 3 =U¡ ® U 2

(66 D eterm inar si los vectores (1,1,1), (1,2,3), (2,-1,1) form an una base de R 3 . (77) E ncontrar una base para cada uno de las siguientes subespacios de R 1
a) S = {(x,y,z) / 3x - 4y + z = 0}
Probar que {(1,0,0),(1,1,0),(1,2,1)} es una base de 7?3 . b) S = {(x,y,z) / x + y - z = 0 a 2 x - y + z = 0}
(68 D em ostrar que el conjunto de vectores m, =(1,1,1,1), u 2 = (1 ,-1,1,-1),
(7kJ Las soluciones de la ecuación hom ogénea x + y + z + t = 0 form a un
m3 = (1 ,2 ,3 ,4 ), h 4 = (1,0,2,0) generan R 4 . subespacio vectorial, hallar uña base para este subespacio.

Sea S = {(x, y , z ) e R 3 / 3x - y + z = 0} pro b ar que S es un subespacio d e R 3 , 0 Sí U = L{(1,2,0),(0,2,1)} y W = L{(0,0,2),(0,1,0)}.
encontrar u n a base de S. a) Encuentre una base para U n W
b) Determinar la dimensión de U + W
Para los subespacios S y T de R 3 definida por:
S = { ( x , y , z ) s R 3 /3 x + . y - 5 z = 0} y T = {(x, y , z ) e R 3 / x - y + 3z = 0}
encontrar la dimensión de S + T.

224 Eduardo Espinoza Ramoè lispacios Vectoriales 225

(80) V erifique que R 3 = U © W , donde U ={(x,y,0)/x,y e R} y W ={(0,0,z)/z e 'R l (8?) Dados los subespacios vectoriales de R 4 .
(61) W = {(x , y , z , t ) e R 4 1 2 x = y , 2 z = /} , U = {(x , y , z , t ) e R 4 / x + y + z + t = 0}

(82) Si U = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + 3)>+ Z'=0} y W = { ( x , y , z ) & R 4 I x + 2 y - z = ( m
(83^
(84) T = { ( x , y , z ,t ) e R 4 / x = y = z = /}, se pide
(8 ^
a) Encuentre una base para U n W b) Determine dim (U + W ) 1
(86)
a) Calcular los subespacios vectores de W + U, W + T, U+T

a b es un subespacio de R ' x2 , encuentreJfl b) Calcular los subespacios vectoriales d e W n U , W n T , U n T
Demuestre que W = { / b = c}

c d
dimensión de W.
c) Calcular las dim ensiones de los subespacios de (a) y (b)

Sea V = R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespasjB ¡IW) H allar el subespacio vectorial W = L{v,u} d e S 4 donde v = (1,2,0,3) y
generado por (1,1,0) y (0,1,1). D em ostrar que V es la suma directa de W y U . J u = (0,-1,2,1). ¿Para qué valor de a se verifica (2,a,-2,5) € W

Sea W = { ( x , y , z , t ) & R 4 / x + y + z + t = 0}, probar que los vectore» 0 D ado el subespacio vectorial de R 3 , W = { ( x , y , z ) e R 3 l x + y + z = 0} y el
{(2,0,0,-2),(2,0,-2,0),(8,-2,-4,-2)} forman una base de W.
conjunto de vectores S = {(1,0,-1),(0,1,-1),(3,2,-5)} se pide:
H allar la dim ensión de (W n U ) + (V n T), sí: a) Comprobar que S es un sistema de generadores de W.
b) Encontrar un subconjunto de S formado por dos vectores que sea también
W = {(x,y,z)eRi /2y-3z =4x), U = {(x,y,z) e R 3 / 2x+ 2z = y} y
T = {(x , y , z ) e /?3 I x + 3 y = 3z} sistema de generadores de W.

Dados los subespacios vectoriales de R ^ 0) D ados los vectores v, = (1,2,0,0), v2 = (1,2,3,4), v3 = (3 ,6 ,0 ,0 ), se pide:
W = {(x, _y,z) e 7?3 1 x + y = 0} y T = { (x ,y , z ) e R* / y - z = 0}.
Hallar a) W u T , W n T y W + T a) H allar el subespacio vectorial de ¿ { v ,, v2, v3} .
b) Dar una base de dicho subespacio y su dimensión.
b) D eterm inar cuales de los tres subconjuntos de (a) soj|
g ) D ados los subespacios vectoriales de R 3 , W = L {(l ,0,1 ),(2 ,1,0)},
subespacios vectoriales
U = { ( a , a + b , - a ) e R 3 / a , b e R} y T = {(x, y, z) e R 3 / x = z, y = 0}, se pide:
c) Com probar si se verifica W © T = R :
a) Estudiar si el vector v = (2,0,2) pertenece a algunos de estos subespacios.
b) D ar una base de cada uno de ellos
c) Calcular sus dimensiones.

226 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 227

(5 Í) Dados los subespacios vectoriales de R 3 9&) D eterm inar el subespacio S = L {(2,0,1),(1,0,-1)} de ( R 3, + , R , . ) . H allar una
W = {(a, 2a, a + b)7 a,b e R}, T = {(x , y , z ) e R 3 / x = 0, y = 0} . Se pide base S y su dimensión.

a) Hallar W n T y W + T 99) Dado los subespacios de ( / ? \ + , /?,.), S = L {(2,2,-1,2),(1,1,1,-2),(0,0,2-4)} y
b) Obtener una base para W n T yotra para W+ T T = L{(2,-1,1,1),(-2,1,3,3),(1,-2,0,0)}. H allar una base de S, de T y de S + T,
D ados los vectores v, = (1,2,1), v2 = (0,1,1) y v3 = (2,5,3) se pide: H allar dim S, dim T, dim (S + T) y dim (S n T).
a) Estudiar si son linealm ente dependientes o independientes
(93) b) Determ inar el subespacio vectorial W generado por estos tres vectores. ■ A n alizar si S = { ( x , y , z , w) e R 4 / x —y = z a x + z = w) es un subespacio
c) Hallar una base y la dimensión de W. de (R 4 ,+, R,.) en caso afirmativo. H allar una base y su dimensión.
d) D eterm inar el subespacio vectorial L{v], v 2, v 3, u {} donde u x = (1,3,2)1
101) O btener en R 4 , los subespacios generados de los conjuntos siguientes:
e) D eterm inar el subespacio vectorial Z.{vj, v2 , v3, w2 } donde m2 = (0,1,0H A = {(1,1,0,-1),(1,2,3,0),(2,3,3,-1)} y B = {(1,2,2,-2),(2,3,2,-3),(1,3,4,-3)}

102) Si S = { ( x , y , z ) e R 3 / x = y + z} y T = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 x - 3 y = - 2} .
H allar dim (T + S)

^ 4) D ados los subespacios vectoriales de R 3 , W = {(.x, y , z ) e R 3 / x = y , y = 2 f l 103^ Hallar un vector en R ' que genera la intersección de U y W donde U es el
T = {{4a,a + b , b - a ) € R 3 l a , b & R ) se pide plano XY: U = {(a,b,0) / a,b e R} y W es el espacio generado p o r los
vectores (1,2,3) y (1,-1,1).

a) Calcular W n T y W + T 104) Sea V = R 3 y sea W el subespacio generado por (1,0,0) y sea U el subespacio
generado por (1,1,0) y (0,1,1). Demostrar que V es la suma directa de W y V.
b) Hallar una base y la dim ensiónsiendo W n T y W + T
105) S e a F = {(*, y , z , t ) s R 4 / x - y + z - t =0} yU={(x,y,z,t)<=R4 / 2 x + y + 2 z + t = 0 ) .
(95 ) Si S y T son dos subconjuntos de R 3 tales que dim S = 1, dim T = 2 y S ■
3 R4 R4
H allar la dimensión de los siguientes subespacios. U n V, U + V,
es subconjunto de T. Dem ostrar que S ® T - R
U
96 ) Sí S = L {(1,-1,0,2),(2,0,3,-l ),(4 ,0 ,-2 ,1)} y T = L {(1 ,-1,1,0 ),(2 ,2 ,-1,2),( 1,-5,4,-2)W
Hallar S n T y S + T hallar la dimensión de S, T S n T y S + T v+u v+u

U ’ VrÜj

97) Sea V = {A e M Jx3( R ) / A = A ' } . Probar que dim V = 6 R pta. 2 ,4 , 1,1, 1,2

228 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 229

51 V = '{(x’, y , z ) e R i I 3 x + 2 y + 5z = 0}. Probar que R 3 = V ( B V 1 CAPÍTULO IV
Sea 0 V 2 ] ] = {a + b\¡2 / a , b € . Probar que dim [V 2] = 2
®

(ios) D ados los subespacios de R ' 5, = { ( x , y , z ) e R 3 t x - 2 y + 3z = 0} , |

5 2 = { ( x , y , z ) e R 3 / x - y + ¿ = 0] . H allar dim (5, + 5 2) R pta. 3 4. TRANSFORMACIONES LINEALES.-

Sea V = R 2 un espacio vectorial sobre k = R, sea u =(a,b) y v = (c ,d ) En el presente capítulo expondremos el concepto de transformación lineal entre
vectores en V, tal que ad - be * 0, probar que u y v constituye una base de V. dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, las propiedades generales y
los tipos especiales de transformaciones lineales, se introduce la estructura de
lío) Sea V = {a^ + axí + a 2 co$2t + a3e3' / a ¡ & R, t e R] Probar que las funciones Núcleo y de la imagen de una transform ación lineal y se estudia la relación
/ , ( / ) = 2t - 1 , / 2(í) = / + c o s 2 / , / 3( 0 = 3 + e 3' , f 4(t) = - t + e3' constituyen entre sus dimensiones, al fijar una base en cada espacio se determina la matriz
una base de V. asociada a una transform ación lineal y finalmente se trata de los espacios
vectoriales de las transform aciones lineales y el espacio dual de un espacio
H allar las dim ensión de (5, r s\ S 2) + ( Si + S 4) si: vectorial.

5) = {(*, v , z ) / 2 y - 3 z = - 4 x } , S 2 = { ( x , y , z ) / 2 x + 2 z = y }, 4.1. DEFINICIÓN.-

S } = {(x,y , z ) / x + 5z = 4 y ] , S 4 = {(x,y , z ) / x + 3 y = 3z} Considerem os dos espacios vectoriales V y W sobre el cuerpo k, a la función
T: V —> W, llam arem os una transform ación lineal u hom om orfism o sí y sólo sí
Rpta. 2 cum ple con las siguientes condiciones.

Sean U, W y S subespacios de un espacio finito dim ensional V tal que T(x + y) = T(x) + T(y), V x,y € V
V = U + W + S. Probar que V = U © W © S , si y solo si:
dim V = dim U + dim W + dim S. Es decir: Que la im agen de la suma de dos vectores de V es igual a la
suma de sus imágenes en W.

ü) T(Ax) = AT(x), V x e V, X e k

Es decir: Que la imagen del producto de cualquier escalar por todo vector
de V es igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector en W.

230 Eduardo Espinoza Ramo t ransformaciones Lineales 231

4.2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.- P ues 1 e k => T( 1.x + 1.y) = T(x) + T (y) se verifica i) *

Sea T: V -> W, una transform ación lineai. Sí a = X, b = 0, A.,0 e k entonces T(Xx + O.y) = AT(x) + O.T(y) = AT(x)

V. vW T(Ax) = X se verifica (ii), por lo tanto T es una transform ación lineal.

1/ . X *y \ f ,T(x) ,T(y)\ Ejem plo.- Probar que I : V -> W (transform ación identidad) tal que
• x+y j I(x) = x, V x e V es una transform ación lineal.
( .T(x) + T(y)j
V/ V .XT(x)J Solución

i) I(ax + Py) = a x + Py = al(x ) + pi(y)

4.3. TEOREMA.- I(ax + Py) = al(x ) + pi(y), V x,y e V, a , p e k

Sean (V,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales, la función T: V W es I Por lo tanto I es una transform ación lineal
una transformación lineal sí y sólo sí

Ejem plo.- Determ inar si la aplicación / : R 2 - » R 3 definida por
f(x,y) = (2x, -y, x) donde k = R es una transform ación lineal.
T (ax + py) = aT (x) + PT(y), V a ,p e k y V x,y € V
D em ostración Solución

Suponiendo que T: V -» W es una transformación lineal entonces (i), (ii) son 0 / [ ( * i . y ¡ ) + ( x 2, y 2)] = / ( * , , ) + f ( x 2, y 2 ) por probar
validos; com o V es un espacio vectorial => a x , Py e V, V a , P e k y V x,y e \ l

f [ ( x x, y i ) + ( x 2 , y 2 )] = f ( x x + x 2 , y t + y 2 )

Entonces a x + p y e V ahora por la parte (i) se tiene: T (ax+Py) = T(ax)+T(Py)

= (2(jc, + x 2 ) , - y { - y 2, x l + x 2 )

y por la parte (ii) se tiene:

T (ax + py) = T (ax) + T(py) = aT (x) + pT(y), V x,y e R, V a ,p e k = (2x¡ - y , ,x¡) + (2x 2 - y 2, x 2)

T (ax + py) = aT (x) + pT(y) = f ( x l , y l) +f ( x 2, y 2)

recíprocamente supongamos que: ii) f(A(x,y)) = Áf(x,y) por probar
f(A(x,y)) = f(Ax,Ay) = (2A.x, -Xy, Xx) = X(2x, -y, x) = Xf(x,y)
T (a x + Py) = cxT(x) + pT(y), V a ,p e k y V x,y e V

Entonces como a ,p e k a =p= 1 por lo tanto / : R 2 -» R 3 es una transform ación lineal.

232 Eduardo Espinoza Ramot Transformaciones Lineales 233

Ejem plo.- Sea T : R* R ' tal que T(x,y,z) = (x,2,z) ii) Probarem os que T(Ax) = AT(x), X e R, x e R"
T(A.x) = A(X.x) = X A x = A.T(x)
¿T es una transformación lineal? .'. T(A.x) = AT(x)
Solución
por lo tanto de (i), (ii) T es una transformación lineal.
Sean (jc2 , _y2, ^ 2 ) e ^ entonces E jem p lo.- Sea el espacio vectorial V = { f / f : R —» R continua} sobre el

(xi , yi , zl) +(x2, y 2, z2) =(x\ +x2,yi +y2,z 1 +z2) cam po R, definim os: T : V - > V tal qu e T ( f ( x ) ) = f ( t ) d t
Probar que T es una transform ación lineal.
T[( xx, y x, z x) + ( x 2, y 2, z 2 )] = T ( x x + x 2 , y x + y 2,z¡ + z 2 )
Solución
= ( x ¡+ x 2,2 ,zx + z 2) ...(1) | i) T(f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x)), V f,g € V por probar

T ( x l , y l , z ¡ ) + T ( x 2, y 2, z 2) = ( x l ,2,z x) + ( x 2, 2 ,z 2) =rf<n f ( x ) + g(x)) = T ( ( f + g)(x)) = ( / + g)(t)dt

= (x¡+ x2,4,z¡+ z2) ...(2 ) ,

de (1) y (2) tenemos = J V (0 +áK 0)¿' = J^/(0^ + £ g(t)dt = T(f(x)) + T(g(x))
r [ ( x 1, y í , z l ) + ( x 2, y 2 , z 2) \ * r ( x l , y l , z l ) + T ( x 2 , y 2 , z 2 )

por lo tanto T no es una transform ación lineal.

Ejem plo.- Sean los subespacios R " y R m , x e R " un vector y A una .-. T (f(x) + g(x)) = T(f(x)) + T(g(x))
m atriz de R ”" " , com probar que lafunción T :R n —> R m ii) T(A,f(x)) = A.T(f(x)), V f e V y A e R p o r probar
definida por T(x) = Ax, A fijo, es una transform ación lineal.
T(Af(x)) = T«Af)(x)) = f (Af)(t)dt

Solución

i) Probarem os que T(x + y) = T(x) + T(y), x , y e R " Af(t)dt = A | f(t)dt = AT(f(x))

T(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = T(x) + T(y) T(X.f(x)) = AT(f(x)
T(x + y) = T(x) + T(y) por lo tanto de (i), (ii), T es una transform ación lineal.

234 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 235

Ejem plo.- C onsiderem os V un espacio vectorial y f : V —» R, g : V —> H 2y - x
dos transform aciones lineales, sea F : V —> R 2 una aplicación , a=
tal que F(v)=(f(v), g(v)), V v eV , dem ostrar que F es una ■ x= a+ ip reemplazando en (1)
transform ación lineal. y = 2a +p 2x - y

P=

Solución (* ,> 0 = ^ ( 1 , 2 ) + ^ _ Z ( 2 , l )
i) F(v + w ) = F(v) + f(w), V v,w e V por dem ostrar:
T ( x , y ) = T[ X (l,2) + ~ - ^ (2,1)], T transform ación lineal
F(v + w) = (f(v + w), g(v + w))
= (f(v) + f(w), g(v) + g(w)) por ser f y g transformación 1,2) + ^ J Z n 2,1) = — ^ 0 , 0 , -1 ) + 1, - 2 )
= (f(v), g(v)) + (f(w), g(w)) = F(v) + F(w)
2 y - x + 4 x - 2 y 2x - y 2 y - x 2 , . ^ , 2x-\
por lo tanto F(v + w ) = F(v) + F(w)
ii) F (av ) = A.F(v), V v e V, X e R p o r dem ostrar = (— ----- 3--------- ,0 + _ 3------ J ( 2x ~ y » = ( x > - y L - x )

F(Av) = (fl[A.v), g(A.v)) = (A.f(v), A.g(v)) po r ser f y g transform ación T(x,y) = (x. } ,-x)
= >.(fl¡v), g(v)) = X F(v), po r lo tanto F ( lv ) = ÁF(v)

Luego de (i) y (ii) F es una transform ación lineal.

Ejem plo.- Si T : R 2 —>R* es una transform ación lineal tal que Ejem plo.- Si F es una transformación lineal de R 3 en R 2 tal que
T(1,2) = (1,0,-1), T (2 ,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y) F(0,-1,1) = (1,2), F(l,-1,0) = (3,4) y F(1,0,0) = (5,6). Hallar
F(x,y,z)
Solución
Solución

Expresarem os a ( x , y ) e R 2 como com binación lineal de (1,2) y (2,1) Escribiremos a ( x , y , z ) e R en com binación lineal de (0 ,-l,l), (1,-1,0) y
(1,0,0) es decir: (x,y,z) = a ( 0 ,- 1,1) + p( 1,-1,0) + y( 1,0,0)

(x,y) = a ( 1,2) + P (2 ,1) ...(1 )

(x,y) = ( a + 2p, 2 a + P),. Por igualdad se tiene: (x,y,z) = (P + y, - a - p, a ), por igualdad tenemos

236 Eduardo Espinoza Ramo» Transformaciones Lineales 237

x = p +A => a =z - («11 + a 22) + (^ll + ^ 22) - T ( A ) + T (B )
y =-a- P P = - ( y + z ) reem plazando en ( 1) T(A + B) = T(A) + T(B)
z =a A - x + y +z ¡i) T ( L \ ) = A.T(A), V A e M 2x2 ( 5 ) y k e R p o r probar

(x,y,z) = z(0 ,-1,1) - (y + z)( 1 1 , 0 ) + (x + y + z)( 1,0,0) a , , a 12 II 1 ..................................................................................................................................................................................................)
como F es una transformación lineal, entonces ’■S
F(x,y,z) = F [z (0 ,-l,l) - )y + z )(l,-l,0 ) + (y + 2z)( 1,0,0)] l(Á A ) = T(A 0422
a 2] a22_ 1
= z F (0 ,-l,l) - (y + z )F (l,-l,0 ) + (x + y + z)F(l ,0,0) «3*
= z( 1,2) - (y + z)(3,4) + (x + y + z)(5,6) A a2\
= (z - 3y - 3z + 5x + 5y + 5z, 2z - 4y - 4z + 6x + 6y + 6z)
= (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z) — Aaj 1 + Ax¡22 — A(a¡ 1 + (I22 ) = A T (A )

T ( k A ) = ÁT(A)
Por lo tanto de (i) y (ii) T es una transform ación lineal.

[4.4. PROPOSICIÓN.-

F(x,y,z) = (5x + 2y + 3z, 6x + 2y + 4z) Sean (V,+,k,.), (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y T: V - W una
transform ación lineal, se cum ple las.siguientes afirmaciones.
Ejem plo.- Si V ~ M 2x2(R) conjunto de las m atrices de orden dos y sea
T : M 2x2( R) -> R una aplicación tal que: T ( A ) = a n + a 21
donde A e M 2x2 ( R ) ¿T es una transform ación lineal? n ,n , b) T(0vy = ú w

a) 7 ' ( ^ « , v , ) = ^ Cr,r (v ,)
1=1 1=1

Solución

c) T(-v) = -T(v)

au an , B= b¡¡ i\2 D em ostración
Sean A , B e M 2x2(R) => A = a2\
%

a 22_ P 21 b22_

a) La demostración se hace por inducción

i) T(A + B) = T(A) + T(B ) por com probar

T(A + B) = T{ aU a \2 + ^11 b\2 i) Si n = 2, se cum ple T ^ T a ¡ v t ) = T ( a lvl + a 2v2 )
a 22 b2, ) <•=1
a21 = a l T ( v , ) + a 2T ( v 2 ) , v, , v 2 e V
¿>22_
a ¡ , a 2 e k pues T es transform ación lineal
a , i + ¿ ^ i ax2 + b V2
) - (a, j + 1\ , ) + (a22 + ¿>22)
T(
a 22 + b22
a 2 i + b 2ì

238 Eduardo Espinoza Ramo» f ransformaciones Lineales 239

ii) Supongamos que para n = h con h > 2 se cumple. 4.5. CLASIFICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES
h+ 1 h LINEALES.-____________________________________________

T i ' } ' , a ¡vi ) = y a ‘T (v¡) Sean (V ,+,k,.), (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y f: V —> W una
/—i í=i transformación lineal es decir que se cum ple (i) y (ii) en esta definición f no
h tiene ninguna condición salvo que solamente sea una función por lo tanto
= T ( ' ^ ' a¡v, ) + T ( a h+, vA+1) pues T es transform ación lineal. daremos los siguientes conceptos:
<=i
h fe s un monomorfismo o f e s inyectiva
= ^ a¡ T (v ¡) + a h+] T(vh+l) de (ii) T transform ación lineal |
i=i f es un epimorfismo fe s sobreyectiva
h+ 1
= ' ^ ' a lT(vl ) , por lo tanto como se cum ple para n = h + jj f es isomorfismo o f es biyectiva
i=i
Si V = W , entonces la transform ación lineal f se llama endom orfism o y si esta
h>2 es biyectiva entonces recibe el nombre de automorfismo, es decir un
automorfismo es toda transformación lineal biyectiva de un espacio vectorial
entonces se cum ple V n > 2 en sí mismo.

b ) T ( 0 V) = T ( 0 V + 0 X.) = T(flv) + T ( 0 V) , T es transform ación lineal Ejem plo.- Si / : R~ R 2 es una aplicación definida por
f(x,y) = (x + y, x - y) ¿ f es un automorfismo?
T ( 0 V) - T ( 0 V) = T ( 0 V) + T ( 0 V) - T ( 0 V)
Solución
0 „ = T ( 0 V) + 0 W => T ( 0 V) = 0 W
Para que f sea un automorfismo debemos probar que f sea una transformación
c) T(-v + v) = T(-v) + T(v) por ser T transform ación lineal lineal biyectiva

T(0v) = T(v) + T{-v) = 0 w a) f es una tran sfo rm ació n Jineal.
>) / ( ( * i , y \ ) + ( x 2 , y 2 )) = f ( x ¡ + x 2 , y { + y 2 )
T(-v) = -T(v) +0w =-T(v)
= (x, + x 2 +y¡ + y 2 ,x¡ + x 2 - y , - y 2)
T(-v) = -T(v)
= (x, + y u x ] - y x) + ( x 2 + y 2, x 2 - y 2 )

= f ( x í,y i ) +f ( x 2, y 2)

240 Eduardo Espinoza kamot Transformaciones Lineales 241

¡i) f(A(x,y)) = f(Ax, Xy) = (A.x + Xy, Xx - Xy) = A(x + y, x - y) = Af(x,y) Ejem plo.- Sea / : R 1 -> R 3 una transformación lineal definida por
f(x,y) = (x + y, 0, x + y) ¿ f es m onom orfism o, epimorfismo?
por lo tanto de (i) y (ii) f es una transform ación lineal,

b) f es inyectiva Solución
F es monomorfismo si f es inyectiva
Sean ( x x, y x) ,( x 2, y 2) e R 2 , tal que

f ( x l, y]) =f ( x 2, y 2) => (*i +'yi,x¡ - y \ ) =(x2 +y 2,x2 - ^ 2) Si x * y se tiene (x,y) * (y,x) sin embargo f(x,y) = f(y,x)
Por lo tanto f no es inyectiva

+yt =X2 + y 2 Por lo tanto f no es un m onomorfismo

x\ - y \ = *2 ~ y 2 Ui =y2

f es un epim orfism o si f es sobreyectiva

L uego f ( x , , y ¡ ) = f ( x 2 , y 2 ) => ( x ¡ , y ¡ ) = ( x 2, y 2)

V (x, y , z ) e R 2 tal que f(a,b) = (x,y,z)

Por lo tanto f es inyectiva. Luego para (3,1,2) e R 3 no existe (x, v) e R 2 / f(x,y) = (3,1,2)
c) f es suryectiva Por lo tanto f no es sobreyectiva con lo cual f no es un epim orfismo

V ( x 2 , y 2 ) e R 2 , 3 ( x , , / , ) e / ? 2 ta lq u e f ( x , , y x) = ( x 2 , y 2 )

(jc, + y x, x x - y x) = ( x 2 , y 2 ) por igualdad se tiene: E jem plo.- La aplicación f : R 3R 3 definida por: f(x,y,z) = (y,-x,z)

¿ f es un automorfismo en R 3 ?

x, + y x —x2 _ x2+y2 Solución
12
*1 - y ¡ =y2 Para que f sea automorfismo debe probarse que f sea una transform ación lineal
x2- y 2 biyectiva.

y1 =

x-, + v , x-¡ - v2 x a) f es una transform ación lineal.
Luego V ( x 2, y 2), 3 (x ,, y x) = (— ^— , — - — ) talque:

«) f ( ( x i , y i , z x) + ( x 2 , y 2 , z 2 )) = f ( x l + x 2 , y , + y 2 ,z¡ + z 2 )

X ,.,*2+^2 ^ 2 + > ’2 , ^2+^2 ^2-^2,

/( W i ) = / ( — — .— Y ~ — — “ *— 2------- 2 = (y 1+ ^2 -^ 2 ^ 1 + z 2)

= (x 2, y 2) > Por 1 °tant0 f es sobreyectiva =(y¡ - * i , Z i ) + ( y 2, - x 2 , z 2)
= f ( xi , y I, z ¡ ) + f ( x 2, y 2, z 2)
Luego de (a), (b) y (c) f es un automorfismo.

242 Eduardo Espinoza Ramo» Transformaciones Lineales 243
b) Si W¡ es un subespacio d e W entonces:
ii) f(A(x,y,z)) = fì(Ax,Ay,À.z) = (Xy, -Xx, Xz) = M y,-x,z) = Af(x,y,z) T \ \ V X) = {a e V / T { a ) e IV\} es un subespacio de V.
por lo tanto (i), (ii) f es una transformación lineal.
b) f es inyectiva. c) T es inyectiva <=> T ( a ) = 0 W => a - d v
Sean ( x x, y i , z l ), ( x 2, y 2 , z 2) e /?3 , tal que f ( x l , y ], z i ) = f ( x 2, ^ 2 . 2 2 )1
( y l , - x l , z l ) = ( y 2 , - x 2, z 2 ) => x, = x 2 a y \ = y 2 a z, = z 2 d) Si {v,, v2 .vr } son linealm ente independiente y T es inyectiva =>
L uego f ( x l , y l , z ¡ ) = f ( x 2, y 2 , z 2 ) => ( x , , y \ , z {) = ( x 2, y 2 , z 2 )
(7Tvi ) , T ( v 2 ),..., T ( v r )} es linealm ente independiente en W.
f es inyectiva
c) f es sobreyectiva D em ostración

V ( x , y , z ) e /?3 , 3 (a , b , c ) e /?3 tal que f(a,b,c) = (x,y,z) a) i) Sea /?,, p¡ e T(Vl ) => P \ + P 2 e T ( V {) p o r probar
(b,-a,c) = (x,y,z) => b = x, a = -y, c = z
Luego V (x ,y , z ) e , 3 (a,b,c) = (-y,x,z) tal que Sí P , e T { V x) => 3 a , e V , / T ( a , ) = p ¡
f(a,b,c) = f(-y,x,z) = (x,y,z)
P 2 e T ( F , ) => 3 a 2 e V i / T ( a 2 ) = P 2 sum ando
f es sobreyectiva
por lo tanto de (a), (b) y (c) f es autom orfism o. T (a {) + T (a 2) = p x + p 2

4.6. PROPQS1CIÓN.- como T es una transform ación lineal entonces

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre k y T : V -> W una T ( a { + ar2 ) = 7 '(a 1) + 7’(ar2 ) = p x+p 2 , entonces
transform ación lineal, entonces sé cumple las siguientes afirmaciones.
a ) T (V \ ) = { T (a ) e W / a e V x} es un subespacio de W para cualquior T(ax+ a 2) = p x+ P 2 y como a u a 2 eV¡ y V¡ es un
subespacio de V
subespacio V¡ de V.
entonces a , + a 2 e V, => /?, + p 2 e T(VX)

ii) Sea X. e k, p e T(VX) => A P e T(V¡) por probar

Si P e T ( V x) => 3 a e F , tal que T (a ) = P y com o Vx es
subespacio de V => A a e V , => T (X a) = A T (a) = Ap

244 Eduardo Espinoza Ramoi Transformaciones Lineales 245

C om o T (A a) = A.p => A P e T ( V x) c) =>) Supongam os que T es inyectiva (hipótesis)
T(VX) es un subespacio de W Supongamos T(a) = 0' y por otra parte T(0) = 9'

b) i) T - \ W x)*</> => T (a ) = T (0) => a = 0
d ' e r ' 1(Wi ) com o Wx es un subespacio de W <=) Supongam os qu e T ( a ) = 0' => a = 0
=> 0 ' e l V , => T ( d ) = 0'
Supongam os que T (a ) = T (P) => T ( a ) - T ( f i ) = 8'

=> e e V => T ~ \ W x)*<t> => T ( a - P ) = 0' => a * P = 0 = > a = P, a y P son cualquiera => T es
inyectiva.
¡i) Sean a x, a 2 e T ~ \ \ V x) ^ ¿ a x + a 2 e T~' (IV, ) ?
r
Sí a , e r ' í W ' ' , ) => tal que TX«,) = /?,
d ) a iT(vi ) = 0 ' , com o T es transform ación lineal

i= i

a 2 e 7’" 1( Wt ) => 3 P 2 & w \ tal que T (a 2 ) = P i sum ando rr

T ( a x) + T ( a 2 ) = P x + p 2 ^ ’[g i T(v¡) = T ( y Qr,v, ) = 0 ' y c o m o T es inyectiva

i= i i= i

como T es una transform ación lineal. r

£ ^ a ¡ v ¡ = 8 y com o {v,, v2 vr } son l.i.
i=i
T ( a x + a 2) = T ( a ¡ ) + T ( a 2 ) = /? ,+ /?2 y como ^ es un subespac

de W = > / ? | + P 2 e => a , + a 2 e r ~ ' ( ^ i ) => a x = a 2 = ... = a r = 0

iii) S Í X e k , a € r - ' ( ^ , ) ^ i A a e T - ' i W ^ p o r lo tanto { T(vx) , T { y 2 T ( v r )} es l.i.

a e T ~ \ W x) 3 / ? e Wx / T (a ) = P y T (X a) = A T (a) = Xp ax| ax2

Ejem plo.- Si F : M 2x2(R) -> R 2 / F ( ) —(ají + a 22, a 2\ )

com o Wx es un subespacio de W y A ek = > A f l e W x entone La 21 a 22.
A a e T ~ X( WX) .
¿F es transform ación lineal? ¿F es inyectiva?

T~l (W¡ ) es un subespacio de V. Solución

246 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 247

au a, 2 *11 *12 i) /r[(x1,x2,x3,x4)+(_v1,_y2,>'3 ,>'4)]= F(x, +.Vl»*2 +^2>JC3+.V} > * 4 +>’4 )

i) Si a , / ) e M 2x2(R) , fi = .*21 *22. = (0,x, + y¡, 0 ,x 2 + y 2, x 3 + y 3, x 4 + y 4)

.«21 «22.

a + f i - a u an + *11 *12 «11 +*11 «12+*12 —(0> x , , 0 , x 2 , x 3, x 4 ) + (0, y x,0, y 2 , y 3, y 4 )
a 2X a22 _ *21 *22. fl2l + * 2 i «22 +*22 .
—F ( x l , x 2, x 3, x 4 ) + F ( y | , y 2 , y 3, y 4 )
7’( a + /?) = ( ( a „ + * U ) + («22 + *22>’ «2I + * 2 i ) ii) ^ ( ^ ( X |,x 2 ,x 3, x 4 )) = ^ F ( x 1, x 2,.r3, x 4 ) po r com probar
= ( a n + a 22 >a 2i) + (*n ■+■^ 22»*21 ^ = T(ct) + T (p)
Aa¡¡ Aa,12 F ( A ( x l , x 2, x 3, x 4 )) = F(Axi .Ax2,Axi ,Ax4 ) = (0,Axi ,0,¿x2,Ax3,Ax4 )

ii) Sea l e R, a e M 2x2( R) => A a = = A(0, x, ,0 ,x 2 , x 3, x 4 ) = A F ( x t , x 2, x 3, x 4 )
A a 21 A a22 _
Luego de (i) y (ii) F es una transform ación lineal.
T (A a ) = (/ki] 1 + Aa22, A a 2 l ) = A ( a {, + a 22, « 21) = ^ F(x,y,z,w ) = (0,0,0,0,0,0) => (x,y,z,w ) = (0,0,0,0)
F (x,y,z,w ) = (0,x,0,y,z,w ) = (0,0,0,0,0,0) => x = y = z = w = 0
Luego T es una transform ación lineal. Luego F(x,y,z,w ) = (0,0,0,0,0,0) => (x,y,z,w ) = (0,0,0,0) entonces F es
inyectiva.
F es invectiva sí F ( a ) = 9'------------ 1a =9
K»

1
II
p
0
~ => F( «11 «12

CCG A/2^2 (^ ) a 2\ « 22. .«21 «22 _

«I, 1 -+r«u22?2 ~- 0u ^ flll fl22 4.7. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN
Ü21 - 0 LINEAL-____________________ ___________
( a u + a 2 2 . a 2i) = (0 >°) «21 =0
a) D E F IN IC IÓ N .- Sea T: V —> W una transform ación lineal llam arem os
< núcleo de la transform ación lineal T al conjunto

«11 «12 lO F no es inyectiva. denotado por “N(T)” y queda definido como:
Luego 10
N(T) = {veV/T(v) =9 J
«2i a22 00
Es decir el núcleo de T es el conjunto formado por todos los elem entos de
E jem plo.- Sí F : /?4 -> /?6 tal que F ( x ,, x 2, * 3, x 4) = (0 ,x, ,0 ,x 2, x 3, x 4) V tales que sus im ágenes mediante T es igual al elemento nulo de W.
¿F es una transformación lineal? ¿F es inyectiva?
Solución

248 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 249

El núcleo de toda transform ación lineal es la pre-im agen del vector nulaj O B SE R V A C IÓ N .- De la definición de núcleo de una transform ación lineal
f : V —>W observam os qu e N (f) c V
del segundo espacio, es decir: N(T) = T ~'(0w)

por definición, un vector perteneciente a V es un elem ento del núcleo sí y Tam bién demostraremos que f { 0 v ) = 0 w de donde 0 V e N ( f ) y de esto se
sólo sí su imagen es el vector nulo de W. tiene que el núcleo de toda transform ación lineal f es no vacío.

x e N (T ) <=> T ( x ) = b) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y
f : V -» W una transform ación lineal, dem ostrar que:
Ejem plo.- D eterm inar el núcleo de la t r a n s f o r m a c i• r n li• neal 32
(N(f),+,k,.) es un subespacio de (V,+,k„.)
ó f : R —* R

tal que f(x,y,z) = (x - z, y - z)

D em ostración

Solución

i) N (f) #4» de la observación

N ( f ) = {(*,y , z ) e R i / f ( x , y , z ) = (0,0)} ¡i) Si x,y e N (f) => x + y e N (f) por probar
com o f(x,y,z) = (0,0) de donde (x - z, y - z) = (0,0) por igualdad se tiene:
\xeN (f) f(x) =0
\yeN (f)
=> sum ando f ( x ) + f ( y ) = 0 K

f(y) =0w JKy> w

x -z =0 x = z a y = z => x = y = z
y -z =0
f ( x + y ) = 0 W por que f es transform ación lineal

Luego N ( f ) = { ( x , y , z ) e R ! x = y = z} => x + y e N (f) definición de núcleo
iii) X e k, x e N (f) => h e N (f) p o r probar
Representa una recta en í .

250 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 251

Sí x € N ( 0 => / ( * ) = 0 W => A /( x) = d) P R O P O S IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales
/ ( /I r ) = 9 W puesto que f es transformación lineal y f: V - » W un a transform ación lineal, dem ostrar

que: (Im(f),+,k,.) es un subespacio de (W ,+,k,.).

D em ostración

=> h e N (0 definición de núcleo. i) Im (f) * <)> p o r la observación

Por lo tanto N (f) es subespacio de V. i¡) Si u + v e Im (f) => u + v e Im (f) por probar

c) D E FIN IC IÓ N .- Sea T: V -> W una transform ación lineal.Llamaremos! íu elm (/) Í3xeV/f(x) =u
imagen de la transform ación lineal T al conjunto
i[v e Ii m,( / ) ^ |3i y e V / f ( y ) .= v sum ando
denotado por Im(T) que definiremos como:

f(x) + f(y) = u + v, f transform ación lineal

Im(T) = { w e W / 3 v e V a T(v) = w}

f(x + y) = u + v y x + y e V

Tam bién se puede expresar en la forma: Im (T ) = {T(v) / v e V}

=> u + v € Im (f) definición de im agen

iii) Sea X e k, u e Im (f) => Au e lm (f) p o r probar

Sí u e Im(f) 3 x e V / f(x) = u

A,f(x) = Xu, p o r ser f transform ación lineal

f(A.x) = Xu, X x e V, de donde X u e Im (f) por definición de Im agen.
Por lo tanto (Im (f),+,k,.) es un subespacio de W.

lm(T) Ejem plo.- Sea / : R 2 —» la transform ación lineal definida por

E s decir: w e W es un elem ento de la im agen de T, si existe v e V tul fl[x,y) = (x + y, x - y, x + 2y). H allar Im(f)
que T(v) = w esto quiere decir que la imagen de una transform ación lineal
es la totalidad de las im ágenes de los vectores del prim er espacio. Solución

O B S E R V A C IÓ N .- Sabem os que T ( 9 V) = 0 W de donde 9 W e I m( 7) lo qu* lm(f) = {(x,y,z)eRi /3 (a ,h )eR 2 a f(a,b) = (x,y,z)}

significa que Im (T ) * <J>. f(a,b) = (x,y,z) de donde (a + b, a - b, a + 2b) = (x,y,z) por igualdad se tiene:

252 Eduardo Espinoza Ramo» Transformaciones Lineales 253

x +y 9 V e N => {0V} c N , ahora falta p ro b ar que N a {9v }
=a
a +b =x - 2a = x + y sea x 6 N (T ) => T ( x ) = 9 W = T ( 0 V) => x = 0 v
a-b= y 3a - 2 y + z 2
a + 2b = z 2 y +z

=a

=> x e { 0 v} => N ( T ) c z { 0 v }

x + _v 2 y + z 3x + 3y = 4y + 2z 3x - y - 2z = 0

Im (/) = {(x,y,z) e R } /3x-y-2z== 0} ••• N ( T ) = ( 0 v }
<=) Por dem ostrar que T es inyectiva.
4.8. TEOREMA.-
Es decir: sí T (x) = T (y) => x = y
Sean (V ,+,k,.), (W ,+,k,.) espacios vectoriales y T : V —> W una transformad»! F(x) = F(y) => T ( x ) - T ( y ) = 0 W => T ( x - y ) = 0 W
lineal, se cum ple:'
=> x - y e N ( T ) => x - y = 0 v => x = y
a) T es inyectiva <=> N ( T ) = {0v }
b) Como {vi,v2,...,v„} es linealmente dependiente 3 i tal que
b ) Sea {v1, v 2 ,...,v„} un conjunto liñealm ente dependiente en V , entone n
{ 7 \v ,), T ( v2),.:,,T(vn )} es linealm ente dependiente en W.
= 9V a a¡ * 0 , aplicando T (transform ación lineal) se tiene:
c) Si {vj , v2 ,.:.,v n } son vectores de V tales que { r ( v ,) , T ( v 2 T ( v n )} sonj
linealmente independiente en W, entonces {v,, v2 v„ } son linealmente i= i
independiente.
nn
d) Si {vi,v2,...,v„} es un conjunto linealm ente independiente y T es una T (0 V) A a i * 0 => y a , T ( v , . ) = ^ a a¡ * 0
transform ación lineal inyectiva, entonces {7’( v) ), 7’(v2 7’(v„)} es
linealmente independiente de W. í=i i=i
D em ostración
entonces { ^V j), 7'(v2),..., 7'(v„)} son linealm ente dependiente en W.
a) =>) A sum iendo que T es inyectiva probarem os qu e N ( T ) = {0V} se deb#J
cum plir que \ 9 V} <z N ( T ) c) Considerem os una com binación lineal en V.

n
^ ' a i v( = 0V por dem ostrar que a , = a 2 = ... = a„ = 0
i=i

n
aplicando la transform ación lineal T se tiene: T(^ ' a¡v¡ ) = T (0V) = 0W

Transformaciones Lineales 255

Eduardo Espinoza Ramos

com o T es una transform ación lineal entonces:

n T [a ( 1,0) + P (0 ,1)] = (0,0) => T (a ,P ) = (0,0), com o T es inyectiva
y ^ g ,T ( v ,- ) = gw, com o T {v {),..., f ( v „ ) son lincalm ente independiente j
1=1 => (a ,P ) = (0,0) => a = p = 0
p or lo tanto T(1,0) y T(0,1) son linealm ente independiente.
entonces {v|,v2,...,v„} son linealmente independiente,

d) Consideremos una combinación lineal en W. 4.9. DIMENSIONES DEL NÚCLEO Y DE LA IMAGEN.-

n TEO R EM A .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial de dim ensiones finita y
a , r ív , ) = &w , aplicando T ransform ación Lineal f : V -> W una transformación lineal entonces:

1=1

n n dim V = dim N(f) + dim Im(f)
T ( £ a¡v¡ ) = 0 W => a , V, e iV (r) D em ostración

í=i 1=1 1ro. Suponiendo que Im (f) = {0} => dim lm ( 0 = 0, de donde se tiene:

como T es inyectiva por la parte (a) se tiene: dim(v) = dim N(f)

n 2 do. Suponiendo que lm (f) ^ {0} y com o V tiene dim ensión finita entonces
^ ^ a ¡ v i = 0 v => a , = 0 , V i = l , 2 , . . . , n Im(f) tiene dim ensión finita, es decir que:
í=i

por ser v, ,v 2,..., v„ linealm ente independiente por lo tanto si {wj, w2 wr }es un conjunto linealm ente independiente en lm (f), entonces
{jTXv,), T( v2 ),...,T(v„ )} es linealm ente independiente. existe un conjunto linealm ente independiente en V = {v 1,v 2 ,...,v r } tal que
/ ( v i ) = w'¿, i = l,2 ,...,r

E jem plo.- Sea T : R 2 -> R 2 una transform ación lineal, probar que: 3 ro . Si N ( f ) * {0V} , asum im os que {«, , u 2 ,...,up } es una b ase d e N (f),
ahora debe probar que {v{, v 2,...,vr , u l , u 2,...,up } es una base de V
T e s inyectiva o T( 1,0) y T(0,1) es linealm ente independiente. donde dim V = r + p y dim Im(f) = r y dim N(f) = p
Solución
i) Si {v,, v 2i...,vr , u í , u 2 ,...,up } genera a V => existe escalares
—>) X es inyectiva => T (1,0) y T (0,1) son linealm ente independiente x l , x 2,—, x r , y ], y 2, . . . , y p únicos tales qu e V v e V es com binación
considerem os la com binación lineal en R 2 . lineal de {v,, v2,..., vr , u ], u 2,.,.,up } es decir:
a T (l,0 ) + p T (0 ,l) = (0,0) => a = P = 0 por probar

256 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 257

v = x,v, + x 2v 2 +... + x rv r + y {M, + . . . + y pUp X \ f { y \ ) + ... +Xr f ( v r ) + f ( y xUi + y 2u 2 . . . + y p u p ) = 0 w

Si v € V => f(v) e Im (f) => existen escalares +... + x r w r + f ( y xu\ + y 2u 2 . . . + y p u p ) = 6 W
x ¡ , x 2 , ...,xr tal que / ( v ) = x¡w, + x 2w2 +••• + x rw r
por que w ,, w 2 wr es una base de la Im(f) com o / (v ,) = w¡ , com o {w,, w 2 wr } es una base de Im(f)
Vi = l,2 ,...,r, entonces: => Xj = x 2 = ... = x r = 0 de donde
/( v ) = x, / ( v , ) + x 2/ ( v 2) +... + x rf ( y r )
/ O ^ i + ^ 2 « 2 + - + y Pu P ) = 0 w => y \ “ \ + y 2 u 2 + - + y Pu P * N ( f )
y c o m o \ u x, u 2,...,u p } es una base de N (f) => y¡ = y 2 = ... = y p = 0

= / (*i vi + x 2v 2 + ... + x r v r } po r que f es transform ación lineal

por lo tanto x, = x 2 = ... = x r = y x = ... = y p = 0 de donde

/ ( v ) - / ( x , v , + x 2v2 +... + x r vr ) = 0 {v1, v 2 ,..., v , u p } es linealm ente independiente en consecuencia
/ ( v - x,v, - x 2v2 - . . . - x rvr ) = 0 por que f es transform ación lineal.
=> v - x , V, - x 2v 2 - , . . - x r vr e N ( f ) , definición d e N (f) {v1, v 2 ,...,v r , « 1,M2 ,...,Mp } es una b ase de V.

Luego { v - x ¡ v ¡ - x 2v 2 - , . . - x r v r } es com binación lineal do 4to. del paso 3ro. se tiene que: dim V= r + p y como dim Im (f)=r y
dim N(f)= p
{ u¡ , u 2 ,...,up } porque es base de N (f) es decir existen y \ , y 2 , - - , y p tal
dim V = dim N(f) + dim Im(f)
que: v - x j v , - x 2v 2 - . . . - x r v r = y \ Ux + y 2u 2 + . . . + y p u „ , de donde se E jem plo.- Dado T : R 4 R 1 tal que:

tiene: v = x 1v| + x 2v2 +... + x r v r +y\U\ +... + y p u p T(x,y,z,w) = (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)
a) Probar que T es una transformación Lineal
por lo tanto {v,, v2 vr , u { u p } genera a V. b) Hallar N(T), Im(T) y dim(N(T)), dim (Im(T))

¡i) A hora probarem os que {vl , v 2,...,vr , u i ,...,up } es linealmente Solución
independiente
a) Sea x = ( x1, x 2, x 3, x 4 ) , y = ( y \ , y 2 , y i , y 4 )
x,v, + x 2v2 +... + x r v r + y xu x +... + y p u p = 0 V

/(x ,V ! + x 2v2 +... + x r v r + y lu ] + ... + y p u p ) = f ( 0 v )

Transformaciones Lineales 259

258 Eduardo Espinoza Ramos x —>' + 2z + 3w = 0 => íx + 6z + 6w = ( x = - 6 z —6 vi'
i1 y■». +I *ArZT +1 j'IHn . —_ 1i y = -4 z - 3w
x +y =( x , + y t , x 2 +y 2’xi +y3’ x4 + J 4 ) , ,y + 4z + 3w = 0

por probar: T(x + y) = T(x) + T(y) x + 6z + 6w = 0
i) T ( x + y ) = T ( x x + y ¡ , x 2 + y 2 >* 3 + J 3 . x 4 + ^ 4 )
si (x,y,z,w) e N(T) (x,y,z,w) = (-6z - 6w, -4z - 3w, z, w)
= (x, + y , - x 2 —y 2 + 2 x 3 + 2 y 3 + 3x4 + 3 y A,
(x,y,z,w) = (-6z,-4z,z,0) + (-6w,-3w,0,w) = z(-6,-4,l,0) + w (-6,-3,0,l)
x 2 + y 2 + 4x3 + 4^3 + 3x4 + 3 y A, x, + y x + 6 x 3 + t y - i + 6 x 4 + 6 y A)
Luego N(T) = L {(-6,-4,1,0), (-6,-3,0,l)}
= (jcj - x 2 + 2 x 3 + 3x4 , x 2 + 4 x } + 3x a , x, + 6 x 3 + 6x 4 ) +
+(j>i - y 2 + 2 ^3 + ^y4 . y 2 + 4y ¡ +. y i + 6y 3 + ¿ y * ) de donde una base de N(T) es {(-6,-4,1,0), (-6,-3,0,1)}

= T(x) + T(y) de donde dim(N(T)) = 2
ii) l e R , x e í 4 , T(Xx) = XT(x) por probar
Calculando Im(T) = imagen de la transformación
T(Ax) = T A( x ], x 2, x 3, x 4 ) = r ( / í x , , Ax 2 , A r3, Ax4 )
= (Ax¡ - Áx 2 + 2Áx3 + 3á x a , Áx2 + 4/íx3 + 3ÁxA, Áx¡ + 6ÁXj + 6 Ax a ) lm(T) = { ( x , y , z ) e R 3 / 3 ( a , b , c , d ) e R 4 a T ( a , b , c , d ) = (x, y, z)}
= A ( x ¡ ~-x2 + 2 x 3 + 3x4 , x 2 + 4 x 3 + 3x4 , x¡ + 6 x 3 + 6 x 4 ) = A.T(x)
T (a,b,c,d) = (x,y,z) => (a -- b + 2c + 3d, b + 4c + 3d, a + 6c + 6d) = (x,y,z)
por lo tanto T : R* R 3 es una transform ación lineal
b) Calculando N(T) = núcleo de la transformación a - b + 2c +3d = x . a -f 6c + 6 d = x + y

N ( T ) = { ( x, y, z, w) e R A/ T ( x , y , z , w ) = (0,0,0)} por igualdad b + Ac + 3d = y => -^ , ' => x+y- z
T (x,y,z,w )=(0,0,0), de donde se tiene: a + 6c + 6d = z
» (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w) = (0,0,0)
por igualdad se tiene: a + 6c + 6d = z

Im (r) = {(x, y , z) € R 3 / x + y = z } , calculando una base para Im (T)
si (x,y,z) € Im (T) => z = x + y, reem plazando
(x,y,z) = (x,y,x + y) = (x,0,x) + (0,y,y) = x( 1,0,1) + y (0 ,1,1) luego
Im(T) = L {(1,0,1), (0,1,1)} de donde una base para Im(T) es
{(1,0,1), (0,1,1)} => dim (Im (T )) = 2

260 Eduardo Espinoza Ramon t ransformaciones Lineales 261

4.10. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS nn
= T ( ^ \ a a ¡ + bb¡ )v, ) =
TRANSFORMACIONES LINEALES.- + bb¡ )wi
í=i i=i

Sean (V ,+,k,.)y (W ,+,k,.) dos espacios vectoriales y { v ,,v 2 ,...,v„} una b ase de nn
V, Si {W|, u ’2 w n } un conjunto cualquiera de vectores de W , entonces existe
una única transform ación lineal T: V W tal que T ( v i ) = w ,, Vi = l,2 ,...,n I = a ^ a,w, + b ^ y¡b¡wi = a T ( u )+ b T (v )
¡=i i=i

D em ostración por lo tanto T(au + bv) = aT(u) + bT(v)

i) E xistencia ii) U nicidad:

Sea v e V v se puede expresar de una única forma como n
Sea T ' : V -> W otra transform ación lineal tal qu e T \ v ) = ^ ' a¡ w¡
n
V = y \ ai v¡ ■v i = l,2 ,...,n , a¡ e k com o { v ,,v 2 ,...,v„} es base de V. i=i
M ostrarem os que T = 7"
/=!
n
n S ea v e V, T '(v) = a¡ w, por definición de T'
D efinim os T: V -> W com o T(v) = ^ ' gj wi
i=i
i=i
= T(v) por definición de T
Afirmamos: que T es una transform ación lineal. En efecto:
Luego r ( v ) = f ( v ) , V v e V entonces T ' - T

Sean u,v e V y a,b e k probarem os que: T(au + bv) = aT(u) + bT(v) Luego de i) y ii) queda demostrado.
n
E jem plos.- Sea f : R* -> R 2 una transform ación lineal definida de tal
14e V m anera que a los elementos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)} en
Como
R 3 le hace corresponder los vectores (1,3), (5,1) y (0,1) respectivamente.
veV

V= 2 > , i) H allar la imagen de un vector cualquiera de R 3
/'=! ii) H allar la imagen de (3,-1,5) y N(f)

n nn Solución

T( au + bv) - T ( a ^ ai vi + b ^ T ^ b i v¡ ) = T ( ^ (aal )v, + (bb¡ )v, )

i'=l i=l i=i /=!

262 Eduardo Espinoza Ramon t ransformaciones Lineales 263

i) A la te m a ( x , y , z ) e R 3 expresarem os en com binación lineal de lo» N ( f ) = {(*, y , z) e R 3 / f ( x :, j , z ) = (0,0)}
elementos de la base {(1,1,0),(1,2,1),(0,1,3)} com o f(x,y,z) = (0,0) de donde se tiene:
. , , „ 13x —7 v + 3 z,
(x,y,z) = a ( l , l , 0 ) + p ( l ,2 ,l ) + y (0 ,l,3 ) = ( a + p, a + 2p + y, P + 3y) (6_y - 5x - 2 z ,-------- -------- ) = (0 ,0 ) p o r igualdad

5x - 3v + z J
a - --------O-------
por igualdad x =a +p í6y - 5x - 2z = 0 1\x +4y = 0 => H
y= a+ ip+ y 3y-z-3x { l3 x -7 .y + 3z = 0 4'
z = p + 3y > p= 6y-5x 43
z = ----------- z=
2
x - y +z 2

r=

3y-z-3x (x,y,z) e N(f) (at, _y,z) = ( x , - — x , — - x )
44
(W ) = ^ - ^2 ( l , l , 0)- + 2 (' 1-,2,"1) + —— —2 —— (0,1,3)

com o f (l,l,0 ) = (1,3), f (l,2 ,l) = (5,1), «[0,1,3) = (0,1)
com o f es una transform ación lineal

Luego A ^(/) = £ { (1 ,-1 1 ,-1 1 )}
44

f ( X, y , z) = f ( i t 1,0) + ~ ^ ~ 2 , 1 ) + f ( 0 , 1,3>

10 1 1 1 1 11
Ejem plo.- S e a V = M 2x2 ( R) y W = R 3 y { 1 0 *1 1
0 0’
5* 3>, + -- /( 1 ,3 ) + 3 y Z 3X (5,1) + X~ y ~ (0,1) O»
:( 5x - 3 ^ + z + 1_5 ^ - 5z - 1 5x , 15x - 9>>+ 3z + 3 ^2- z - 3x + jc3y + z o1

una base de V en W considerem os los vectores Wj = (2,1,1),

w 2 = (2,1,1), h-3 = (0 ,0 ,0 ), h -4 = (-1 ,0 ,1 ). H allar la

transform ación lineal.

r I 3 x - 7 y + 3z Solución
= ( 6 y - 5 x - 2 z , ------------------ )

Sea a e M 2x2( R) => a = i*!, a 12

s^ r 1 3 x -7 y + 3z entonces

f ( x , y , z ) = (6 y - 5 x - 2 z , -------- --------- ) fl2l a 22

an a 12 10 11 11 11
= a +b +r +d
a 21 a 22 00 00 10 1l
ii) C alculando / ( 3 , —1,5) = (-3 1 , ^ )

264 Eduardo Espinoza Ramon transformaciones Lineales 265

a n a \2 a+b+c+d b +c +d (x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0)
f(x,y,z) = z f( 1,1,1) + (y - z) f( 1,1,0) + (x - y) f( 1,0,0)
_fl21 a22. c +d d
= z(l,2 ) + (y - z )(l,2 ) + (x - y )(-1,1)
an = a+b +c +d => a - a u - f l |2 = (z + y - z -x + y, 2z + 2y - 2z + x - y)
a,, = b + c + d b —£f|2 —<^21 f(x,y,z) = (-x + 2y, x + y)
a21 = c + d O B SER V A C IO N .- Rotacion de un Vector (x,y) dp R 2
a 22 C = fl2 l ~ a 22

i/ —£222

a ,n, a,1-2. ì 0 11 1 1 11
a= 1J + a'22
= (a,i -012) + ( f l12 a 2l) U0 + («21 ~ ^*22) |_>0J
P°21 U0 J
^22 0 0 ¿J

~aT "~aT «4 Si rotam os un vector de posición OP = (x ,y) en sentido antihorario hasta

T ( a ) = ( a tl — a¡2 ) T ( a x) + ( a 12 — « 2i ) ^ ( a 2 ) + ( a 2i ~ a 22)7Xa 3) + a 2 2 ^(® 4 ) tom ar la posición OP' = ( x \ y ' ) (ver gráfico) genera el ángulo 0, afirmamos
que esta rotacion define una transformación lineal.
T ( a ) = ( a , , - a 12)(2,1,1) + ( a l 2 - a 2l )(2,1,1) + ( a 2 l - a 22 )(0,0,0) + a 22 (-1.0,1)

En efecto:

T { a ) = ( 2 a u - 2 a 2 l - a 22, a n - a 2l, a n - a 2¡ + a 22)

Las coordenadas de (x ,y ) e R son:

Ejem plo.- H allar la transformación lineal / : R 3 -> R~ que asigna a loi Y
vectores de la base {(1,1,1), (1,1,0),(1,0,0)} en R ' , los vectores
de la base {(1,2),(1,2),(-1,1)} en R 2 respectivamente. x = rcosa ...(1) P '(x ',y ') P(x,y)
y ¡=r sen a
Solución S i *
Las coordenadas de (.r’, / ) £ ® 2 son: /

T \

Determ inarem os la imagen de un vector genérico ( x , y , z ) e R ' y para esto x ' = r c o s ( a + G) y
y ' = r sen ( a + G)
expresarem os a (x,y,z) com o com binación lineal de la base dada ... ( 2)

i 1

(x,y,z) = a ( 1,1,1) + 0(1,1,0) + y (l,0 ,0 ) = ( a + P + y, a + P, a ) , p o r igualdad j De la ecuación (2) se tiene:
x ’= rcos(G + a) = r[cos Geos a - s e n Gsen a]

- r eos a eos 0 - r sen a sen 0 = x eos 0 - y sen 0

266 Eduardo Espinoza Rumo* Transformaciones Lineales 267

y ' = r se n(0 + a ) = r[sen a eos 0 + c o s a sen 6] respecto de la base dada, el vector v e V queda caracterizado por los
= r sen a eos 0 + r eos a sen 0 = y eos 0 + x sen 0 coeficientes de la com binación lineal o sea por los elem entos x x, x 2 , ...,xn ,
luego a los coeficientes x x, x 2 ,...,x„ se llam an coordenadas o com ponentes del
L uego (x \ y ^ = (x eos 0 —y sen 0, y eos 0 + x sen 0) vector x e V respecto de la base dada, si se elige otra base del espacio V,
entonces el mismo vector x e V admite otras coordenadas o com ponentes
cos0 -senO X ... (3)
(x\y') =

s enO cosO ..y .

La ecuación (3) define una transformación lineal de R 2 en K " , y que pued# Dada la base [V] = {v¡, v2,..„ v„} del espacio (V ,+,k,.) podem os expresar a
ser expresado del modo siguiente. cada vector x e V como una matriz colum na, cuyos elem entos sean las
coordenadas de x respecto de la base [V] y a ésto escribirem os así:
cos0 -senO X ... (4)
T(x,y) =

sen 0 eos 0 [y.
T(v) = Aff.v

eos 0 -sen 0 x in ~
Siendo v(x,y); A0 =

sen 0 eos 0

Donde A0 es la matriz asociada a la transform aron de T

4.11. COORDENADAS O COMPONENTES DE UN VECTOR.- Ejem plo.- Hallar las coordenadas de x = (-2,3) perteneciente a ( R 2,+,/?,.)
respecto de las bases
C onsiderem os únicam ente espacios vectoriales de base finita, donde para ésto
caso a una base {vt , v2 v „ } del espacio vectorial (V ,+,k,.) denotarem os con 0 [V]={(1,1),(1,0)} ii) [W] = {(-2,3),(1,2)}
el sím bolo [v] = {v,, v2 v „ }

Si jv ,,v 2,...,v„} es una base de (V,+,k,.) entonces a cada vector x e V s c Solución
expresa en com binación lineal de la base, es decir que existen y son únicos lafl
escalares x i t x 2,...,xn tal que i) A las coordenadas de x = (-2,3) expresam os en com binación lineal de [V].

(-2,3) = a ( l , l ) + P(1,0) = ( a + p, a ) por igualdad

268 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 269

/\ / Si la imagen de x e V es y e W, se tiene: y = f(x)
'a.'
Li n como y s W entonces se puede expresar de modo único como com binación

f i. lineal de la base [W] o sea: y = a¡ w, + a \ w 2 + ... + a ml w m

ii) A las coordenadas de x = (-2,3) expresam os en com binación lineal de [W]

(-2,3) = cc(-2,3) + P( 1,2) = (-2 a + p, 3 a + 2P) por igualdad donde los escalares a \ , a ' 2,...,a'm son las coordenadas de la im agen de x
respecto de la base [W].
-2 = -2a + p a =1

3 = 3a + 2p p =0

(a > rn y{W]

X [W] ~
J)

4.12. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN

LINEAL.- __________ I

C onsiderem os una transform ación lineal f : V —> W entre los espacios V y W j ahora por el teorem a fundamental de las transform aciones lineales, f queda
de dimensiones finitas dim V = n, dim W = m. caracterizado unívocam ente por los valores que tom a cualquiera de la base de
V, es decir:
Considerem os una base en cada espacio vectorial
[K] = {v,, v2,..., v „ } una base de V; [W] = {wl , w 2,...,w„} una base de W. I m
f ( V j ) = / aijWi , j = l,2 ,...,n
Si x e V entonces existen escalares a , , a 2 »—»«« únicos tal que
x = a 1v1 + a 2v 2 +--- + G nv „ i=i

y por (4.11.) las coordenadas de x respecto a la base [V] es: E nseguida asignam os a cada escalar a¡j un doble subíndice; el prim ero,

asociado a cada vector de la base {wx, w 2,..., wm} , y el segundo, en
correspondencia con el vector de la base [V],

a-, 7 ( vi ) = «n * ’i + a 2]w2 +'... + ami wm
x [n - / ( v 2) = a 12w, + a 22w2 +... + am2w lr
/ ( v 3) = 0 ,3^ , + a 2Jw2 +... + am3wm

Luego

f ( K ) = <t\nwt + a2nw2 + ... + amnwm

270 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 271

Los n.m e sca laresíj(/ que están en las com binaciones de los vectores que sonl a) Hallar la matriz A de f respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en
R ¡ y {(2,0),(0,2)} en R 2 .
im ágenes de los elem entos de la base de V constituyen una m atriz cuya Solución
transpuesta denotaremos por .

a \2 a 13 «1« / ( l , 1,1) = (-1,2) = a¡ (2,0) +p¡ (0,2) = - ~ (2,0) +1(0,2)
'21 *22 a 23 Á2n

A= /(2 ,2 ,0 ) = (2,2) = a 2(2,0) +/?, (0,2) = 1(2,0) +1(0,2)

m\ m2 m3 / ( 3 , 0 , 0 ) = (3 ,0 ) = a 3(2 ,0 ) + /?3(0 ,2 ) = ± (2 ,0 ) + 0 (0 ,2 )

ésta matriz recibe el nom bre de “matriz de la transform ación lineal f respecti Luego la matriz A de f respecto a las bases dadas es A = 1
de las bases [V] y [W]. 1-

La m atriz de la transform ación lineal es del tipo m xn donde m es la dimensid 22
del segundo espacio y n del primero. 1 1 0y

Luego para hallar la matriz de una transformación lineal f respecto de una b b) M ediante A, obtener la imagen de (-2 ,2 ,-2 ) e /?3.
en cada espacio, se determinan las imágenes dadas por f de los vectores de lá
base del prim er espacio se expresa estas im ágenes en térm inos de la base del Solución
segundo espacio, o sea com o com binación lineal de los vectores de la segum Calculando las coordenadas de x = (-2,2,-2) con respecto a la base [V]
(-2,2,-2) = a ( 1,1,1) + p(2,2,0) + y(3,0,0) = ( a + 2p + 3y, a + 2p, a )
:base, la transpuesta de la m atriz de los coeficientes es la m atriz de 1^

transform ación lineal respecto de las bases de am bos espacios.

Si A es la matriz de la transform ación lineal f respecto de las bases [V] y [W] y por la igualdad de vectores se tiene: a +ip +ly --2 a = -2
si X lV] la m atriz colum na correspondiente al vector x e V, cuyos elemento»
a + 2p =2 P =2
son las coordenadas de este respecto de la base de V, entonces la im agen de x, a = -2
expresada en térm inos de la base de W , se obtiene m ultiplicando por A al 4

vector columna osea

E jem plo.- Una transform ación lineal / : -> R~ está definida por:
f(x,y,z) = (x - 2z, y + z).

272 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 273

b) C om o ( x , y , z , w ) = ( x , y , z , w ) [r] y T ( x , y , z , w ) [W]= T { x , y , z , w )

1 i 3a -2 x
2 22
f ( - 2 , 2 , - 2 ) = AX,m y

11O 4 entonces T(x, y, z, w) = A por lo tanto

V 3j

= (1 + 2 - 2 ,-2 + 2 + 0) - (1,0) -

E je m p lo .- Sea T : R 4 —>R ¡ una transform ación lineal definida por: t X

'1 2 0 0'

T(x,y,z,w) = 1 Ó -3 y

02 3 1 = (x + 2 y , x - 3 y + z ,2 y + 3z + 4w)

T(x,y,z,w) = (x + 2y, x -3 z + w, 2y + 3z + 4w) Z

4

W

Si [V] y [W] son las bases naturales para R 4 y ft3 respectivamente: que está de acuerdo con la definición de T.
a) Encuentre la m atriz A de T respecto de las bases [V] y [W].
b) Use A para encontrar T(x,y,z,w) E je m p lo .- Sea T : R 3 —> R 2 una transform ación lineal definida por:

Solución T í ^ > x 11 5 7 7 7 x

a) Sea [V] = {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} base de R 4 si [V] - {(1,0,1),(2,0,0),(0,1,1)} y [WJ - f(l,2 ),(0 ,3 )) son bases de » ’ y R 2
respectivamente, encuentre la matriz A de T respecto de las bases dadas.
[W] = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base de R 3 .
Solución
T ( 1,0,0,0) = (1,1,0) = 1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1)
T (0 ,1,0,0) = (2,0,2) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 2(0,0,1) 7X1,0,1) = (2,7) = a , (1,2) + /?, (0,3) = 2(1,2) +1(0,3)

7X2,0,0) = (-1,7) = a 2(1,2) + p 2 (0,3) = -1(1,2) + 3(0,3)

T (0 ,0 ,1,0) = (0,-3,3) = 0( 1,0,0) - 3(0,1,0) + 3(0,0,1) 7(0,1,1) = (-3 ,0 ) = « 3(1,2) + J33(0,3) = -3(1,2) + 2(0,3)

T (0 ,0 ,0 ,1) = (0,1,4) = 0(1,0,0) + 1(0,1,0) + 4(0,0,1) 2 -1 -3
Luego la matriz A de T respecto a las bases dadas es: A =
12 00
Luego la matriz A de f respecto de las bases dada es: A = 1 0 -3 1 13 2

02 34 . „ '4 2 1'
Ejem plo.- Sea A =

0 13

274 Eduardo Espinoza Ramo.» Transformaciones Lineales

275

a) E ncuentre la transform ación única 7 : R ' —>R 2 tal que la m atriz de T Q ue es lo m ism o si se aplica.

referidas de las bases. T(x, y,z) = A x-y
\v] 4 2 1N
[V] = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} y [W] = {(1,0),(1,1)} de R } y R :
respectivamente sea A. y - z = ( 4 x - 2 y - z , y +2z)
0 13

z

b) Encuentre T(x,y,z)

Solución Com probaremos el resultado em pleando esta expresión de T(x,y,z) para
encontrar las imágenes de los vectores de [W].

a) Si [ T \ y W ] = A , entonces se tiene:

T( 1,0,0) = (4,0), T(1,1,0) = (2,1) y T ( l , l , l ) = (1,3) T( 1,0,0) = (4,0), T( 1,1,0) = (2,1), T( 1,1,1) = (1,3)
Por lo tanto: 7(1,0,0) = (4,0) = a x(1,0) + /?,(1,1) = 4(1,0)+ 0(1,1)
|4.13. ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.-

7 (1,1,0) = (2,1) = a 2(1,0) + 0 2(1,1) = 2(1,0) + 1(1,1) Al conjunto de todas las transformaciones lineales entre los espacios
vectoriales V y W, sobre el cuerpo k, denotarem os por L(V,W ) es decir:
7(1,1,1) = (1,3) = a 3(1,0) + yfl3(1,1) = 1(1,0) + 3(1,1)
L (V ,W ) = {f: V -> W / f es transform ación lineal}
T es única porque una transformación está com pletamente determinad»'
por la imagen de una base. A hora en L(V,W ) definim os la suma de funciones y el producto de escalares
por funciones:
b) C om o T (x ) = A . X [V] entonces
(f + g)(x) = f(x) + g(x), V x s V
(x,y,z) = a(l,0,0) + p (l,l,0 ) + y( l , l , l ) = ( a + p + y, p + y,y) (af)(x) = af(x), a e k

por igualdad x=a+P+y a= x-y a) T E O R E M A .- Sea V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo k y sean
y = P +y => P = y ~ z f y g transformaciones lineales d e V en W dem ostrar
z =y
y =z que la función f + g es una transform ación lineal.

(x,y,z) = (x - y)( 1,0,0) + (y - z)( 1,1,0) + z( 1,1,1) D em ostración
T(x,y,z) = (x - y)T( 1,0,0) + (y - z)T( 1,1,0) + zT( 1,1,1)
Sean f,g: V -> W transform ación lineal y a , p e V, a. b e k entonces
= (x-y)(4,0) + (y -z )(2 ,l) + z(l,3 ) = (4x-4y+ 2y-2z + z, 0 + y - z + 3z) a a + bp e V entonces'
T(x,y,z) = (4x - 2y - z, y + 2z)

276 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 277

(f+g)(aa+bß) = f(aa+bß) + g(aa+ bß) = (af(a) + bf(ß)) + (ag(a) + bg(ß)) b) Encuentre f + g y dem uestre que f + g = A + B respecto de las bases [V] y
[W],

= a(f(a) + g(a)) + b(f(ß) + g(ß)) = a(f + g)(a) + b(f + g)(ß)

com o ( f + g )(a a + bß ) = a (f + g )(a ) + b ( f + g)(ß), V a,b e k. c) Encuentre rf y dem uestre que rf = rA referidas a la base de [V].
Luego f + g es una transform ación lineal. Solución
b) T E O R E M A .- Sea V y W espacios vectoriales sobre el campo k y f una
a) Calculando la m atriz A de f respecto de la base [V],
transform ación lineal de V en W, c e k, dem ostrar que cf / ( l , 0,0,0) = (1,0,-2) = a , (1,0,0) + p x(0,1,0) + / , (0,1,1)
es una transformación lineal.
= 1(1,0,0) + 2 (0 ,1 ,0 )-2 (0 ,1 ,1 )
D em ostración / ( l , 1,0,0) = (3 ,3 ,-2 ) = a 2 (1,0,0) + p 2 (0,1,0) + y 2(0,1,1)
Sean c e k, a,b e k y a ,ß e V entonces
(cf)(aa + bß) = c[f(aa + bß)] = c[af(a) + bf(ß)] = 3(1,0,0) + 5(0,1,0) - 2(0,1,1)
/ ( l , 1,1,0) = (3 ,7 ,-2 ) = a } (1,0,0) + f i 3(0,1,0) + (0,1,1)
= (ca)f(a) + (cb)f(ß) = a(cf(a) + b(cf(ß)) entonces

(cf)(aa + bß) = a(cf)(a) + b(cf)(ß) = 3(1.0,0)+ 9(0,1,0)-2(0,1,1)
c f es una transform ación lineal. / ( l , 1,1,1) = (3,7,3) = a 4 (1,0,0) + 0 4 (0,1,0) + y 4 (0,1,1)

= 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 3(0,1,1)

Ejem plo.- Sean / : R 4 -> R 3 y g : R 4 R 3 , dos transformaciones 1 3 33
lineales definidas por: A= 2 5 9 4
Luego la matriz A de f es:
-2 -2 -2 3
f(x, y, z, w) = (x + 2y, 3y + 4z, -2x + 5w) y

g(x, y, z, w) = (2x + y + z + w, y + 2z + w, 2x - 3y + 4z) en form a sem ejante calculam os la m atriz B de g.
g( 1,0,0,0) = (2,0,2) = 2( 1,0,0) - 2(0,1,0) + 2(0,1,1)
y las bases [V] = {(1,0,0,0), (1,1,0,0), (1,1,1,0), (1,1,1,!)} g( 1,1,0,0) = (3,1,-1) = 3( 1,0,0) + 2(0,1,0) - 1(0,1,1)
g( 1,1,1,0) = (4,3,3) = 4( 1,0,0) + 0(0,1,0) + 3(0,1,1)
[W] = {(1,0 ,0 ),(0 ,1,0 ),(0 ,1,1)} de /?4 y R 3 respectivam ente, g( 1,1,1,1) = (5,4,3) = 5( 1,0,0) + 1(0,1,0) + 3(0,1,1)

a) Encontrar la matriz A de f y la matriz B de g referidas a las bases de R

278 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 279

Luego la matriz B de g es: 2 345 Sean f y g dos transformaciones lineales definidas en (a)
B = -2 2 0 1 a,b e k, x,y e V => ax + by e V
(g o f)(ax + by) = g(f(ax + by)) = g(af(x) +bf(y)) = g(af(x)) + g(bf(y))
2 -1 3 3
= a(g(f(x))) + b(g(f(y))) = a(g o f)(x) + b(g o f)(y)
b) Para encontrar f + g respecto a las bases [V] y [W] necesitarem os los .'. g o f es una transform ación lineal.
vectores coordenados de (f + g)(x) esto implica que:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

' 1+ 2 3 + 3 + 3 + 4 3 + 5' "3 6 7 8' E je m p lo .- Sean f : R 2 -> R* y g : R 3 -> R 2definidas por:
[ f + g \ v ] [W] - 2 - 2 5 + 2 9+0 4+1 = 0 7 95 f(x,y) = (x, x + y, y) y g(x,y,z) = (x + y, z) definir g o f y f o g.
-2 + 3 3+ 3 0 -3 16 Solución
-2 + 2 -2-1 f

c) Para encontrar la matriz de rf, debemos encontrar los vectores R2- * R2
coordenados de rf(x) referidas de la base [V], g of

' Ir 3r 3r 3r ' 1 3 3 3' (g o f)(x,y) = g(f(x,y)) = g(x, x + y, y) = (2x + y, y)
(g o f)(x,y) = (2x + y, y)
(rf)(x) = rf(x) = 2r 5r 9r 4r = r 2 5 9 4 = rA

- 2 r - 2 r - 2 r 3r -2 -2 -2 3

•4.14. C O M P O S IC IÓ N DE T R A N S F O R MAD.i()N E S M N E a L E s T ] 9 ____^ f

a) D E F IN IC IÓ N .- Sean f : V W y g : W ~> U, dos transform aciones R 3 -------------------------- ► R 2 ---------------------------* R 3
lineales entre espacios vectoriales sobre un mismo
f Og
cam po k. La función com puesta g o f : V —» U es definida por: (f o g)(x,y,z) = f(g(x,y,z)) = f(x + y, z) = (x + y, x + y + z, z)

(g o f)(x) = g(f(x)), V x e V (f o g)(x,y,z) = (x + y, x + y + z, z)

b) T E O R E M A .- La com posición de dos transform aciones lineales, es
una transform ación lineal.

D em ostración

280 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 281

Ejem plo.- Sea f : R } R tal que f(x,y,z) = x + 2 y - z y g: R - > R 2 tal E je m p lo .- Si f : R 4 - ¥ R 3 y g : R> -> R 2 son transform aciones lineales
que g(x) = (2x,x). H allar g o f. definidas por: f(x, y, z, w) = (x + 2y, x - z, w + 2 z ) ,

Solución g(x,y,z) = (2x + y, 3y + 4z) entonces g o f : R 4 - + R 2 , sean [V], [W], [U] las
(g o f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x + 2y - z) bases naturales de R 4 , R 3 y R 2 respectivamente.

= (2(x + 2y - z), x + 2y - z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z) a) Encontrar (g o f)(x,y,z,w)

b) E ncuentre las m atrices A de f, B de g y C de g o f.

(g o f)(x,y,z) = (2x + 4y - 2z, x + 2y - z)

Solución

E jem plo.- Considerem os las transform aciones lineales / : R 3 -> R y a) (g o f)(x,y,z,w) = g(f(x,y,z,w)) = g(x + 2y, x - z, 2z + w)
g R - > R 2 definidas por: f(x,y,z) = x - y + z y g(x) = (x,0)
= (2x + 4y + x - z, 3x - 3z + 8z + 4w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w)
D eterm inar el núcleo de g o f.
Solución (g o f)(x,y,z,w) = (3x + 4y - z, 3x + 5z + 4w)

Para calcular el núcleo de g o f, determ inarem os g o f. b) C alculando la m atriz A de f.

f( 1,0,0,0) = (1,1,0) =*■1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1)

f9 f(0 ,1,0,0) = (2,0,0) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1)
f(0 ,0 ,1,0) = (0 ,-l,2 ) = 0(1,0,0) - 1(0,1,0) + 2(0,0,1)

g of f(0 ,0 ,0 ,1) = (0,0,1) = 0(1,0,0) + 0(0,1,0) + 1(0,0,1)
(g o f)(x,y,z) = g(f(x,y,z)) = g(x - y + z) = (x - y + z, 0)
(g o f)(x,y,z) = (x - y + z, 0) Luego la m atriz A de f es: 12 0 0
C alculando la m atriz B de g. Á= 1 0 - 1 0
N ( g o f ) = { ( x , y , z ) e R 3 / ( g o f ) ( x , y , z ) = (0,0)}
(g o f)(x,y,z) = (0,0) de donde (x - y + z, 0) = ((^0) <£=> x - y + z = 0 00 2 1
N ( g o f ) = { ( x , y , z ) e R 3 / x - y + z = 0}
g( 1,0,0) = (2,0) = 2(1,0) + 0(0,1)

g(0,l,0) = (1,3) = 1 (1 ,0 ) + 3(0,1)

g(0,0,l) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1)

282 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 283

Luego la matriz B de g es: 2 10 7’( « i ) = A a T ( a 2 ) = P 2 adem ás T 1(/7, ) = a ¡ , T 1( / i 2 ) = a 2
B => com o V es un espacio vectorial ==> a a x + b a 2 e V
V a,b 6 k y com o T es una transformación lineal
034 T ( a a x + b a 2 ) = a T ( a x) + b T ( a 2 ) = «/?, + b p 2
T ( a a \ + b a 2 ) = a P l + b p 2 => a a l + b a 2 es el único vector de V que
Calculando la matriz C de g o f es aplicado en a p x + b p 2 entonces

(g o 0(1,0,0,0) = (3,3) = 3(1,0) + 3(0,1)

(g o f)(0,1,0,0) = (4,0) = 4( 1,0) + 0(0,1 )

(g o f)(0,0,1,0) = (-1,5) = -1(1,0) + 5(0,1)

(g o f)(0 ,0 ,0 ,1) = (0,4) = 0(1,0) + 4(0,1 )

3 4 -1 0 T 1(a/?, + b p 2 ) = aa¡ + b a 2 = a T ~ ]( P¡ ) + b T 1( P 2) entonces
C=
Luego te matriz C de g o f es:
30 5 4

T ~ \ a P \ + b p 2) = a T ~ i ( P l ) , V a,b e k y V ,8l , p 2 e W

4.15. TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES.- T~' es una transform ación lineal de W sobre V.
O BSERV ACIÓ N .-
a) D E FIN IC IÓ N .- Una transformación lineal T : V -» W se dict
inversible si existe una función F : W —>V tal que (1) T es inyectiva
i) T es inversible <=>
ToF =Iw y F o T - Iv .
(2) T es suryectiva

N O T A C IO N .- Si T es inversible => F es único y F = T 1 ii) T es inyectiva <=> N (T ) = {0}
iii) T es suryectiva <=> T(V ) = W
b) L E M A .- Sí T : V -> W es una transform ación lineal inversible, su
inversa T -1 : W - » V , tam bién es un a transform ación lineal.

D...e..m. o str..a..c..i.ó..n. E jem plo.- Sea T : R } -» R 3 tal que T(x,y,z) = (3x, x - y, 2x + y + z)
probar que:
Sean a,b e k, /?,, p 2 e W deseamos probar que:
1) T es una transform ación lineal.

T - ' ( a f r +bf ]2 ) = a T (/?, ) + b T ~1(/?2 ) 2) ¿T es inversible? de serlo hallar una e g re sió n para como aquella
Sean p u p 2 e W => 3 a ¡ , a 2 e V únicos tal que que define a T.
Solución

284 Eduardo Espinoza Ramo» Transformaciones Lineales 285
L uego T 1( a , b, c) = ( j , “—^ b , c - a + b)
1) Sean a,b e R, ( x l , x 2, x J ) e R } , (y¡ , y 2, J 3) e /?3
a ( x l , x 2 , x 3 ) + b ( y x, y 2, y 3) = ( ax l + b y i , a x 2 + b y 2, a x 3 + b y 3) Probaremos que (ToT~i )(a,b,c) = (a,b,c) y (T ~ 'o T )(x ,y ,z) = ( x , y , z )
T ( a ( x i , x 2 , x 3) + b ( y l , y 2 , y 3)) = T ( a x ] + b y x, a x 2 + b y 2 , a x 3 + b y 3)
= T ( a ( x ], x 2 , x 3)) + T ( b ( y l , y 2 , y 3)) - a T ( x x, x 2 , x 3) + b T ( y l , y 2 t y 3) (:T o T - 1)(a, b, c ) = T ( T ~ l (a, b, c)) = T ( ^ , , c - a + b) = (a,b,c)
T es una transformación lineal
Sea (x , y , z ) e N ( T ) c R 3 => T (x,y,z) = (0,0,0) ( T loT) ( x, y , z ) = T 1(x, y , z) = T ~ l (3x, x - y , 2 x + y + z) = (x,y,z)
(3x, x - y, 2x + y + z) = (0,0,0) por igualdad
x = 0 , x - y = 0 , 2x + y + z = 0 => x = y = z = 0 c) T E O R E M A .- Sean V y W espacios vectoriales finito dim ensionales y
Luego N (T) = {(0,0,0)} => T es inyectiva y dim N (T ) = 0 T: V -> W una transform ación lineal, entonces T es
Com o dim N ( T ) + d im 7'(/?3) = dim R 3 = 3 entonces
C om o d im /? 3 = d im 7 '(/? 3) => T (/? 3) = /?3 => T es suryectiva por lo inversible sí y solamente sí T transform a una base de V en una base de
tanto T es inversible W.
Ahora calculamos T 1
Sea ( a , b , c ) e T ( R 3) => 3 ( x , y , z ) e R i ta lq u e D em ostración
T(x,y,z) = (a,b,c) a T~' (a,b,c) = ( x , y , z )
(3x, x - y, 2x + y + z) = (a,b,c) por igualdad se tiene: =>) A sum irem os que T es inversible, y sea {v,, v2 v„ } una base de V.

Consideremos los vectores

*1 = 7 ’(w 1) , w 2 = T ( w 2 ) , w 3 = 7’(h-3) ,...,w „ = T ( w n )

A FIR M A C IÓ N (1). L os vectores wx, w 2 , ...,wn son l.i.

En efecto, sea a xw x + a 2w 2 +... + a nw n = 0 W entonces p o r ser T ~ ] una
transform ación lineal se tiene: a xT ~ x(w, ) + « 27’~l (w 2 ) + ... + a , t 7'~' (w„ ) = d v

=> a ,v , + a 2v2 + ... + a „ v „ - 6 V y com o { v i,v 2 ,...,v„} un a b ase de V
entonces a¡ = a 2 = ... = a n = 0

Luego {w,, w 2 wn } son linealmente independiente.