Algebra Lineal - Eduardo Espinoza Ramos

286 Eduardo Espinoza Ramo$ Transformaciones Lineales 287
A FIR M A C IÓ N (2). {w,, w2 w„ } genera el espacio vectorial W. ...(I)
n
En efecto, sea w e W => T 1( w) e V = ^ a¡ v, por definición de F.

<=i

= v (F oT)(v) = 7V

=> 7” 1 => W = T ( T ' ( w)) = y g ,T (v ,) = J a¡w¡ n
<=i <=> por otro lado s í w e W donde w = ' ^ ' b iwi , entonces (T o F)(w) = T(F(w))
i=i
i=i
Luego { w ,,w 2,..., w „! genera W de las afirm aciones (1) y (2) {w1,w 2 ,...,w„} />
es una base de W. = T( y b, F ( w i )) p o r ser F transform ación lineal
L —t
<=) A hora asum irem os que {w,, w2 w„ } es una base de W .
1=1
M ostraremos que T es inversible.
n
Definamos F : W -> V tal que F (w ,) = v ,, V i = l , 2 , . . . , n lo cual siempt» = b¿Vy) , p o r ser definición de F.
es posible en virtud del teorema fundamental de las transformaciones linealeu
entonces: i=i

n n
Si v e V, donde v = ^ a jv ¡, tenemos que: = y b¡T(v ,) por ser T transform ación lineal.

i=i í=i

n n w, p o r ser definición de T.
(F o T)(v) = F(T(v)) = F i ^ a ,T (v ,)) por ser T transformación lineal =^

1=1 i=i

n =w (ToF)(w) = I w ...(2)
= f ' a¡w¡) por definición de T.
de (1) y (2) T es inversible y su inversa es F.
í=i
I* 16. TEOREMA.-

S ea T: V —» W una transform ación lineal entre dos espacios vectoriales de
igual dimensión. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalente.

n i) T es inversible. i¡) T es inyectiva.
= y 1a . F ( w , ) p o r ser F transform ación lineal. iii) T es suryectiva. iv) T transforma bases en bases.

j=i

288 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 289

D em ostración 4.17. ISOMORFISMO INDUCIDO POR UNA

i) => ü) TRANSFORMACION LINEAL.-
T (u) = T (v) => T - \ T ( u ) ) = T - \ n v ) )
T E O R E M A .- Sean V y W espacios vectoriales sobre el cam po k, T: V —> W

u = v por ser T inversible una transform ación lineal y n : V —> Ia proyección

i¡) => iii) canónica, Entonces:

sea {v 1, v2 , . . . , v „ } c K una base para V , co m o T es inyectiva i) Existe una única transformación lineal V ------------------- ►W

{ r(v ,) ,T ( v 2),...,T(v„)} es linealm ente independiente en W; pero y

com o dim W = n, entonces {T(v{ ), T ( v 2 T ( v n )} es una b ase para W. 1 T : W tal que To n = T

n

L uego sea w e W , donde w = ^ a¡ w, entonces existe v e V donde i») /V n ( T ) - I m (r )
i) Definim os T :
1=1 D em ostración
^
n nn n

v = ^ T a ,v ,. tal que T(v) = T a¡ v¡) = a, T(v¡ ) = a, w¡ = w '

í=l i=i >=i <=i

En consecuencia T es suryectiva.

iii) => iv) V + N{T) -» T(V + N(T)) = T(v)
P r o b a r e m o s q u e t e s t a b i e n d e f i n i d a - E s decir que la
Sea {v, ,v 2 ,...,v„} una base de V y T(v¡) = w¡, V i = l,2 ,...,n sus definición de T no depende del representante de la clase.
im ágenes m ediante T probarem os que ¡W|, w 2 wn} generan W. Sea pues, V¡ + N ( T ) = V2 + N ( T ) => V, - V2 e N ( T )

En efecto, para todo w e W, existe v e V donde => T(v¡ - v 2 ) = o => r (v ,) = r ( v 2)
=> r(v , + n ( T ) ) = T ( v 2 + n ( T ) )
n nn n T esta bien definida.
7 ES UNA T R A N SFO R M A C IO N L IN E A L .- En efecto:
V’:= ^ a , v, tal que w = T (v) = a, v; ) = ^ a, T{yi ) = a, w,
1=1
1=1 1=1 1=1

por ser suryectiva, por otra parte como dim W = n, entoncefi
{w,, w 2 w„ } es una base de W.

Luego T transforma bases en bases.

iv) => i) fue dem ostrado en c) de 3.15)

290 Eduardo Espinoza Ramo» Transformaciones Lineales 291
N ( T ) = {v + N ( T ) / 7’(v + N(T)) = 9W}
r(a (v ¡ + N( T )) + b{v2 + N (7))) = T((av{ + ¡V(T)) + (bv2 + N ( T ))) :J = {v + N ( T ) / T ( v ) = 9 J = {v + N (T ) / v e N(T)}
= N(T) (que es el cero del espacio cociente
= T( avx + b v2) + N ( T ) = 7’(aV| + ¿>v2 ) = a T ( v x) + 6 T (v 2)

= a7Xv, + JV(7’)) + ¿ r ( v 2 + N ( T ) )

T es una transformación lineal sobre k. T es un monomorfismo
Tojt = T , en efecto:
(7o;r)(v) = 7"(;r(v)) = 7Xv + iV ír)) definición de re b) T ES EPIM O R FISM O .- Pues

Im( ? ) = {7Xv + N ( T ) ) / v e V} = {T(v) / v e V} = Im (T )

= T(v) definición de T T es un epimorfismo
Ton = T de (a) y (b) y la definición de isomorfismo, T es un ismorfismo
U N IC ID A D .-
Supongamos que existe otra transform ación lineal con lo cual com pleta la dem ostración del teorema.

f: r/ m ^ w Ejem plo.- Sea T : R 3 -> R 2 tal que T(x,y,z) = (2x + z, -y + 2z)
determ inar su núcleo y el isomorfismo inducido.
con las mismas propiedades de T , luego 1
f ( v + N(T)) = T{v) = T(v + N(T)) Solución
f =f
N ( T ) = {(.x, .v, z ) g R } ! T(x, y , z ) = (0,0)}

¡i) Q ue = Im (J) T (x,y,z) = (0,0) d e donde (2x+z, -y+2z)=(0,0) => 2x + z = 0 A - y + 2 z = 0

N ( T ) = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + z = 0 a y = 2z}

Es decir probaremos que T : es un isomorfismo.

una base de N(T) es: (x,y,z) = (x,-4x,-2x)

a) T ES UN M O N O M O R FISM O .- En efecto: (x,y,z)= x(l ,-4,-2) N (T )= L {(l,-4,-2)} es una b ase de N (T ) => d i m N ( T ) = l

292 Eduardo Espinoza Ramon Transformaciones Lineales 293
por el teorem a 3.16 sabemos que existe un isomorfismo.
a =-
2a = x 2

a + 2b = y =4> 2y - x

T : r í ^ ( 7, ) - > h n ítf) tal que T ( ( x , y , z ) + N ( T ) ) = ( 2 x + z, - y + 2z) 4
2 z -x
a + 3c = 2 c=-

(ejercicio probar el teorema 4.17)

E jem plos.- Sea / : R } -» R 2 y g : R } R 2 dos transform aciones lineales „ _ i, k ,x 2.y-x 2 z - x s
definida por f(x, y,z) = (y, x + z) y g(x,y,z) = (2z, x - y) hallar T (x,y,z) = ( - , — 7 —,— — )
L4
fórmulas que definan las transformaciones lineales f + g y 3 f - 2g. o

Solución Ejem plo.- D eterm inar la transform ación lineal inversa T de

la transformación lineal T : R l R l definida por

T(x,y,z) = (2x + 2y, x + y, x + y + z).

Sea ( / + g ) : R 3 - > / ? 2 / ( f + g ) ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) + g ( x , y , z ) , \ / ( x , y , z ) e R*

Solución

(f + g)(x,y,z) = (y, x + z) + (2z, x - y) = (y + 2z, 2x - y + z) C alculando 7’“ 1, para ésto se tiene:
(f + g)(x,y,z) = (y + 2z, 2x - y + z)
V (x)Éy ,z ) e /?3 ,3 (a , b , c ) e ^?3 talque T (a,b,c)= (x,y,z) y T~' (x , y , z ) = (a , b , c )
( 3 f —2 g)(x,y,z) = 3fi(x,y,z) - 2g(x,y,z) = 3(y, x + z) - 2(2z, x - y)
= (3y, 3x + 3z) - (4z, 2x - 2y) = (3y - 4z, x + 2y + 3z) pero T es inversible « • T es inyectiva
V erem os si T es inyectiva
( 3 f - 2g)(x,y,z) = (3y - 4z, x + 2y + 3z) T ( x l , x 2, x i ) = T ( y u y 2, y i ) => ( x l , x 2 , x i ) = ( y u y 2, y 3)

E jem plo.- D eterm inar la transform ación lineal inversa f 1 de
la transform ación lineal T : R * —> R 3 definida por
T(x,y,z) = (2x, x + 2y, x + 3z) (2x, + 2 x 2 ,x , + x 2 , = (2_y, + 2 y 2, y x + y 2 , y 1 + J 2 + ^ 3 )

2x, + 2x2 = 2y¡ +2 y 2 x\ + *2 = y\ + y 2

x,+ x2 = y,+ y2 => de donde

Solución X, + x 2 + x 3 = y , + y 2 + y 3

X, + x 2 + x 3 = y ¡ + y 2 + y 3

Calculando T~' (x, y, z ) , para ésto se tiene: x 3 = y } pero x, * y ¡ , x 2 * y 2
por lo tanto T no es inyectiva = > 3 T - 1
jV (x, y , z ) e R 3 , 3 ( a , b , c ) e R 3 I T ( a , b , c ) - ( x , y , z ) y T " l { x , y , z ) = ( a , b, c)

com o T(a,b,c) = (x,y,z) de donde (2a, a + 2b, a + 3c) = (x,y,z) por igualdad

294 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 295

Ejem plo.- Sea la transform ación lineal / : R~ —> R~ definida por E je m p lo .- Sean los conjuntos V = {</(*) = a + b x 2 + e x 4/ a , b , c e R } ,
f(x,y) = (2x - y, x + y) W - { ( p , r , s , t ) e R 4 / p + r + s + t = 0} donde V y W son
espacios vectoriales sobre R.
a) ¿ f es inyectiva? b) Hallar la inversa de T si existe
Sea f : V —> W la transform ación lineal definida por:
Solución f ( a + bx~ + e x 4 ) = (a - b, b - c,2c - a - c ) . D em ostrar que f es un isom orfism o.

a) Si N (f) = {(0,0)} => f es inyectiva Solución
f es un isom orfism o si y solo si f es inyectiva y suryectiva por lo tanto debe
núcleo de f = N (0 = { C ^ jO ^ fl2 / f ( x , y ) = (0,0)} dem ostrar que fe s inyectiva y suryectiva.
como f(x,y) = (0,0) entonces se tiene: f es inyectiva <=> N (f) = {0}
(2x - y, x + y) = (0,0) por igualdad tenemos: N (f) = {q(x) e V / f(q(x)) = (0,0,0,0)} donde
Í2x-_y = 0
q(x) = a + b x 2 + ex4 , donde f ( q ( x ) ) = f ( a + b x 2 + c x 4 ) = (0,0,0,0)
=> x = y = 0 => (x,y) = (0,0)
x+j = 0 (a - b, b - c, 2c - a, -c) = (0,0,0,0) => a = b = c = 0
p o r lo tanto N ( f ) = {(0,0,0,0)} = (O + Ox2 + 0 .r 4 }
Luego N (f) = {(0,0)} => f es inyectiva
Com o f es inyectiva entonces tiene inversa. Luego f es inyectiva.
f es suryectiva si V (p,r,s,t) e W existe q(x) e V tal que f(q(x)) = (p,r,s,t)
Ahora calculamos la inversa f ~ ' ( x , y) donde q(x) = a +bx2 +cx4
(a - b, b - c, 2c - a, -c) = (p,r,s,t) por igualdad
V ( x , y , z ) e R 2 , 3 ( a , b , c ) e R 2 / f(a,b) = (x,y) y f ~ ' ( x , y ) = (a,b)

com o f(a,b) = (x,y), de donde (2a - b, a + b) = (x,y) por igualdad tenemos

2a - b - x x+y i*
a+b- y 3

2y - x

L u eg o /i ~ \ (í x , y )x= (, —* +-—y 2 y -—x )\

Transformaciones Lineales 297

296 Eduardo Espinoza Ramos

Luego 3 q(x) = ( - s - 2 t ) + ( r - t ) x 2 + (-t)x4 P' = ( P ’j )' es la m atriz de g respecto de la base [v'] en cada espacio
direm os que es la m atriz de pasaje de la base [v'J a la base [v],

f ( q ( x ) ) = f ( ( - s - 2 t ) + ( r - t ) x 2 + ( - t ) x A) = ( p , r , s , t ) c o n lo cual f es O B S E R V A C IÓ N .- Las matrices de pasaje P y P' son inversas entre
suryectiva. sí, es decir que PP' = P' P = /
C om o f es inyectiva y suryectiva => f un ism orfism o.
En efecto: de (1) y (2) tenemos que:
4.18. CAMBIO DE BASE Y SEMEJANZA DE MATRICES.-
=X XX XSn n
A) M A T R IC E S DE PA SA JE .- Sea (V ,+ ,k„) un espacio vectorial de
dimensión finita y considerem os dos vj p k'<v k' =
nn n
bases de V, [V] = {v,, v2 ,..., v„} y [v'] = {v¡,v2 ,...,v;,} ahora definim os ^ v<= p k'J p‘kv‘
dos endomorfismos.
k =1 *=1 1=1 *=1 1=1

nn

1ro. f : V - » V tal que f ( v j ) = v ' j, V j = l , 2 , . . . , n í=i m
com o Vj - 0V| + 0 v 2 + ... + lv y + ... + 0v„

expresando a cada imagen como com binación lineal de la base [V],| resulta que el único término nulo de la sumatoria anterior se obtiene
para i = j y vale 1.
se tiene:
n
n Luego ^ T ^ P ^ S y

...d) k=1

i=i Por definición de producto de matrices y de matriz identidad resulta
PP'= I en forma similar se deduce que P' P = / .
La m atriz P de ésta transform ación lineal respecto de la base [V] en
En consecuencia, ambas matrices son inversibles, y cada una es la
cada espacio es: P = (Py)‘ inversa de la otra.

P recibe el nom bre de m atriz de pasaje de la base [V] a la base [v'J 1 B) TRANSFORM ACIÓN DE COORDENADAS.-

2do. g : V -> V tal que g(v'j ) = V j , V j= T ,2 ,...,n C onsiderem os la m atriz de pasaje P de la b ase [V] a la b ase [V ']
y sea x e V
en form a sim ilar al caso anterior es:
n

- < 2»

298 Eduardo Espinoza Ramni Transformaciones Lineales 299

Probaremos que: X[V] - p x t n C) M A TRICES DE UNA TRA N SFO RM A CIÓ N LINEAL Y CA M BIO
D E BASE.-

Donde y X ív.¡ son las m atrices de las coordenadas de x e V en lM

bases [V] y [V ] respectivamente. C onsiderem os un a transform ación lineal f : V - > W y A e k mxn la m atriz
de f respecto de las bases [F] = {v,, v2 ,..., v „ } en V y
En efecto: expresam os a x com o com binación lineal de cada b ase Jjj [W ]={wl , w 2,...,wm} en W.
teniendo en cuenta (1) escribimos:

7=1 j =I i= l ,=1 y=l Si se hace un cambio de base en cada espacio, entonces la transform ación
lineal f está caracterizado por una m atriz B e k mxn respecto del núm ero
p ar de bases [ F 1] y [W'] y considerem os las m atrices P e k mxn y
Q e k mx" de pasaje de [V] a [ V ] y de [W] a [ W ' ] .

pero x = ^ ^ a ivi , por la unicidad de la com binación lineal se tien e | Ahora probaremos que las matrices A y B de la transformación lineal f
/'=! respecto de los dos pares de bases verifican B = Q~]AP
n
a i = ^ Pv a ' j ’ } = l ¿ , . . . , n Es decir, que son equivalentes.
i=i
Para esto considerem os el diagrama siguiente.
Luego por definición de producto de matrices, de las relaciones anterioroi
se deduce.

V ••• (3) V, [v] A
P -►W, [w]
«2 «2
V, [V1] i
= P , o sea que: X^v^ = P X ^ y j
Q

B W, [w']

y como P es no singular resulta. X ^ = P 1X ^ v ... (4) Se verifica que:
1) X y ¡ = P X [r] por la parte (b)
de donde a (3) y (4) se llaman fórmulas de transform ación ■ 2) Ym = QY[lt j p o r la parte (d)
coordenadas.

300 Eduardo Espinoza Kamin t ransformaciones Lineales 301

3) Y¡IV] = A X ÍV] po r ser transform ación lineal de m atriz A respecto E jem plo.- Sea / : R —> T?3 una transform ación lineal definida por
las bases [V] y [W], f(x,y,z) = (x + y, x - y, x .T z)

4) V i = B X {V}, po r ser transform ación lineal de m atriz B respecto ■ i) D eterm inar la m atriz A de f respecto de la base canónica [V] en cada
las bases [V'] y [ W ]. espacio.

Luego de (2), (3) y (1) se deduce. i¡) O btener la m atriz P de pasaje de la b ase canónica [V] a la base
[ V ] = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}.

v 1= 0 " 'V ] = e _1^ [ n

de esta relación y de (4) resulta: B = Q XAP ósea que B ~ A iii) A plicando el resultado de (i) y (ii) calcular la m atriz B de f, respecto de la
base [V'] en cada espacio.
R ecíprocam ente, si A y B son m atrices equivalentes en k mxn , V y W «Hr Solución
espacios vectoriales sobre k, de dimensiones n y m respectivam ente
entonces A y B caracterizan a una m ism a transform ación lineal f: V -•> W i) C om o [V] = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} base canónica
respecto de dos pares de bases. Calculando la matriz A.
f( 1 ,0,0) = ( 1 , 1 , 1 ) = 1 ( 1 ,0 ,0) + 1 (0 , 1 ,0) + 1 (0 ,0 , 1 )
D) M A TR IC ES SEM EJAN TES.- f(0 , 1 ,0) = ( 1 1 ,0) = 1 ( 1 ,0,0) - 1 (0, 1 ,0 ) + 0(0 ,0 , 1 )
f(0 ,0 , 1 ) = (0 ,0 ,- 1 ) = 0( 1 ,0,0) + 0(0 , 1 ,0) - 1 (0 ,0 , 1 )
Sea f : V -+ V un endomorfismo que lo tomamos como un caM
particular dim V = n y A la m atriz f respecto de la base [V] = ¡W] en Luego la matriz A de f es: r\ 1 o
cada espacio. A = 1 -1 o

Si efectuamos un cambio a la nueva base [V'] = [ W ] con matriz d | 1 0 -1

pasaje P = Q, entonces se tiene: B = P 1A P donde B es la m atriz de f

respecto de la nueva base [V' ].

L as m atrices A y B de k mx" , que representan el m ism o endom orfism o ¡i) Calculando la m atriz P de pasaje de la base canónica [V] a la base '
respecto de las bases [V] y [W], se llaman sem ejantes, por lo tanto [ F '] = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)}
direm os que:

A es sem ejante a B o 3 P n o singular / B = P 1A P . (1,1,1) = 1 (1 ,0 ,0 )+ 1 (0 ,1 ,0 )+ 1 (0 ,0 ,1 )
La semejanza de m atrices es una relación de equivalencia. (1,1,0) = 1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 0(0,0,1)
(1,0,0) = 1(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1)

302 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 303

Luego I11 \ 0 -f 1 1 r '0 1 f
110 0 -1 2 1 1 0 = 1 -1 0
10 0 0 2 -1 10 0 2 2 0

ili) Calculando B = P AP por el método de Gauss se calcula P 4.19. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

11 1 10 0 I) D eterm inar cual de las siguientes aplicaciones son transform aciones lineales
110 donde k = R.
10 0 0 1 0 fi
0 0 1 -> f i
(T) / : R } -* R 2definido por f(x,y,z) = (y,x)

11 1 1 00 fl~ f3 ( 2 ) f : R 3 R 3 definido por f(x,y,z) = (x + 1, y + 2, 0)
00 -1 -1 1 0
0 -1 -1 -1 0 1

11 1 10 0 / : R 3 -> R 3 definido por f(x,y,z) = (x - y, 0, y + z)
01 0 1 -1
0 -1 0 ( Î ) / : R 2 -> R 2 tal que fïx,y) = (x + 1, y + 3)
- 1 0 1 -> f l +Í2
-1

11 1 ->1 0 0 /l+ /3 ( ? ) / : R i - + R tal que f(x.y,z) = (x + y, x + z)
0 10
0 0 -1 0 1 -1

-1 1 0 -> - f i ( ó ) / : R 2 -> R 2talque f ( x , y ) = ( x 2, y + x)

1 10 01 0 -> /l - h 0 / : R 2 R 2 ta lq u e f(x,y) = (1 + x, y)
0 10 01
00 1 1 -1 -1 ( ? ) /• ' R 2 -+ R 2 talque f ( x , y ) = ( x 2,y)

0

10 0 00 1 Luego P 001 / : R 2 —> R 2 ta lq u e f(x,y) = (x - y, 0)
0 10 -1 0 1 -1
00 1 01 1 -1 o ( í^ / : R 2 -» R 2 ta lq u e f(x,y) = (2x - 3y, x - y)
1 -1 0

00 1 11 O lfl 1 1 ( í ^ / : R 2 —» R 3 tal que f(x,y) = (x + y, y - x, -x)
B = P AP = 0 1 -1 1 -1 0 |.¡ 1 1 0
o 10 - l j [l 0 0 ( í ^ / : R ' —> R* tal que f(x,y,z) = (0, x + y, 0)
1 -1

304 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 305

( o ) / : /?3 —> /? 3 tal que f(x,y,z) = (xy, z, x) D ada la función F : M 2v2 ( R ) - * R definida por F( ab ) = a + b , analizar
( h ) / : R 2 -> R } tal que f(x,y) = (x,y,0) + (-1,0,0)
© cd
( l i ) / : R 2 -> R 2, tal que f(x,y) = (2 x ,-y , x)
( íó ) / : R 2 -» R tal que f(x,y) = xy si es una transform ación lineal.
© f: R -> R tal que f(x) = |x|
( l i ) f: R -> R tal que f(x) = sen x D ada la función F : A /2í2 ( /? ) —» i í , definida p o r F ( ab ) = det ab
(1 9 ) f: R -> R tal que fi(x) = tg x
(20) / : R 2 -> R 2 tal que f(x,y) = (sen x, y) © cd cd
II) Resolver los siguientes problemas:
© Sea W = C([0,1]) el espacio vectorial de todas las funciones continuas sobre el analizar si es una transform ación lineal.

intervalo 0 < x < 1 y sea T : V -» R la función definida mediante laregla D ada la función F : M 2x2 ( R) R , definida p o r F ( ab ) = a2+b2,

fF ( f ) = f ( x ) d x . ¿Es F una transform ación lineal? © cd

© Determinar sí la función F : R 2 -> R 2 definida por F { x , y ) = ( l f x , l f y ) es analizar si es una transform ación lineal.
una transform ación lineal.
© Determinar cual de las siguientes funciones son transformaciones lineales.
© Sea A una matriz de orden mxn fija, entonces T : R" -» R m , definida por
T(x) = AX. A nalizar si es una transform ación lineal. a) T : R " —» R tal que T ( x 1, x 2,—, x n ) = x { + x 2 + —+ x n .

( 7 ) D em uestre que sí T : V —> W es una transform ación lineal, entonces b) T : R —> R" tal que T(x) = (x ,x ,...,x )

T(u - v) = T(u) - T(v), V u,v £ V. c)T : R 4 —» R 2 tal que T (x,y,z,w ) = (xz,yw )

d) T : R 2 -> R tal que T(x,y) = xy

© Analizar cual de las siguientes aplicaciones son transform aciones lineales.

a) T : M nn - » M „„ tal que T(A ) = A B, donde B es un a m atriz fijade nxn.

b ) T : M nn —> M nn tal que T ( A ) = A ‘ A

c) T : M mn -> M mp tal que T(A ) = A B, donde B es un am atriz fija de
orden nxp.

d) T : D n - ^ D n tal que T(D) = D 2 (D„ es el conjunto de m atrices
diagonales de nxn).

e) r : > D„ tal que T(D ) = I + D

Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 307

306 --------— — — ---- — .... ...... I mmm 0
^o)
Estudiar si las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales. ^ 3) Si / : R 2 —> R 2 es u na transform ación lineal y si f (l,0 ) = (3,4) y
f(0 ,l) = (-1,2) encontrar f(x,y).

a) T : P2 -> P\ ta lq u e T ( a 0 + a {x + a 2x 2 ) = a 0 + a xx

b) T : P2 - * P\ ta lq u e T ( a 0 + a lx + a 2x 2) = a, + a 2x ( l ^ Si T : R 3 -> R 2 , es una transform ación lineal tal que f ( l,- l,- l) = (1,2),
T( 1,-1,0) = (3,4), T(1,0,0) = (5,6). H allar T (l, 1,1) y T(x,y,z)

c) T : P2 - » P4 tal que T(P(x)) = [P(x)]2 ( l ^ Si F es una transform ación lineal de R } en R 2 tal que F ( l,- l,l) = (2,0),
F( 1,1,0) = (0,1), T(0,1,1) = (-1,-1). Hallar F(x,y,z).

d ) T :R -> P„ ta lq u e T (a) = a + ax + a x 2 + ... + ax"

( n ) Si C[0,1] es el conjunto de funciones reales. A nalizar cual de las aplicaciones ( l ^ Si f : R 2 -> R 2 es una transform ación lineal y si f(l,0 ) = (3,4) y
son transformaciones lineales. 1(0,1) = (-1,2) encontrar f(x,y).

a) T: C[0,1] -> C[0,1] talq u e T ( f ( x ) ) = f 2{x) ( í ^ La función T : R 2 —> R 3 es lineal y verifica T (l,2 ) = (1,0,2),
T (2 ,l) = (0 ,2 ,-l) determ inarT (3,3) y T( 1,-1)

b) T: C[0,1] -> C[0,1] talq u e T(f(x)) = f(x) + 1

(Ts) Se da una transform ación lineal f : R 3 —> R 4 tal que f( 1,0,0) = (1,0,1,-1) y
f ( l,l,0 ) = (2,1,3,0) y f( 1,1,1) = (0,0,0) encontrar f(x,y,z).
c) T: C[0,1] -> C[0,1] talq u e T { f (x )) = f f ( x ) . g (x)dx , donde g es un*
función fija en C[0,1] (19) H allar una transform ación lineal T tal que T ( l ,l) = 2, T (0 ,1 )= 1 siem pre que
exista.
d ) T : C'[0,1] —» C[0,1] t a l q u e T ( f ( x ) ) = ( f ( x ) . g ( x ) ) ' , donde g es una
función fija en C [0 ,1] (2 0 ) H allar una transform ación lineal T si existe tal que T( 1,1,1) = 3, T (0 ,l,-1 ) = 1
y T(0,0,1) = -2.

e) T:C [0,1] -> C [l,2 ] ta lq u e T (f(x)) = f ( x - 1)

f) T: C[0.1] -> R talque r ( / W ) = / ( ^ ) @ Sí T (l,3,-2) = (2,1,5), T (2,3,l) = (-1,3,4) y T (-4,2,l) = (5,2,-2). Hallar
T(x,y,z) y T( 1,1,1)

(12) Si / : R 2 - » R 2 es una transform ación lineal y si f ( l , l ) = (2,0) ] ■ ( í í ) Si T : R 2 -> R 3 es una transform ación lineal tal que T (l,2 ) = (1,0,-1),
f(0,2) = (3,1 ) encontrar f(x,y). T (2 ,l) = (2,1,-2) hallar T(x,y).

308 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 309

Si T : R 2, -> R y es una transform ación lineal tal que T( 1,2,3) = (0,2,1), (V ) D eterm inar si es una transformación lineal y calcularN (f) y Im (f) sí
T(4,5,6) = (0,1,1) y T (7,8,l) = (1,1,1). Hallar T(x,y,z), V ( x , y , z ) e R i . / ; Q i tal que f(x,y,z) = (x - y, 2z - y, x - 2z)

Sea T : R 2 —> R 2 un endom orfism o tal que T (1,0) = (2,1), T (0,1) = (1,-1), ( 7) Sea T : R 2 -> R 2 definida por T(x,y) = (x - y, y) probar que T es una
determ inar la im agen del triángulo rectángulo cuyos vértices son (1,1 ),(4 ,1) y transform ación lineal y calcular N(T), Im(T).
(1,5).
(5 ) Si T : R 3 -> R 2 es una transform ación lineal tal que:
HI) Resolver los siguientes problemas:
T(x, y, z) = (x - y - z, 2x - y - z). Hallar N (T) y Im(f)
® Sea la transformación lineal T : R 2 -> R 6 tales que T (5,-l) ( 5,6,2,1,3,4) y
T(2,-3) = (1,05,-2,3,-1). ( 9 ) Determ inar el núcleo, imagen y las dim ensiones de las siguientes
iransform aciones lineales.

i) H allar T(x,y) ii) ¿T es u n a transform ación biyectiva? a) / : R1, R 1 tal que f(x.y,z) = (x +y + z, y + z)

z'*. \

© Sea <p\ R" - > M tLxl(R)/<p(xi , x 2,...,x„) = b) / : R 2-> R tal que f(x,y) = x - 2y

(ío ) A nalizar si la función dada T es unatransform ación lineal, en caso

afirm ativo, H allar N (T ), Im (T) y sus dim ensiones sí / : R~ - * R ~ , tal que

T(x,y,z,w ) = (x + y - z, x - z + w)

donde si i) <p es una transform ación lineal. (Í7) Sea / : R A -> R A. un a transform ación lineal tal que
ii) cp es un isom orfism o.
f(x,y.z,w ) = (z + w —y, 2x —2z, x + 3y —2z + 3w, y —x + z + 2w ). H allar una
© Sea / : R } -> R 3 definida por la regla base para N(f), Im(f) y su dimensión.

f(x, y, z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y). Hallar N(f) y Im(f)

( í ? ) D ado / : R* -> R l , tal que:

© D eterm inar el núcleo, la im agen y las dim ensiones de am bos en la T(x,y,z,w) = (x - y + 2z + 3w, y + 4z + 3w, x + 6z + 6w)
a) Probar que T es una transform ación lineal.
transform ación lineal / : R 3 —>R 2 tal que f(x,y,z) =(x + y + z, y + z) b) Hallar N(T). Im(T) y dim N(T), dim lm(T)

© Sea la transform ación lineal f : R 2 —>R ' definida por

f(x, y) = (x + y, x - y, x + 2y), determ inar N(f), Im(f) y sus dimensiones.

310 Eduardo Espinuza Ramos Transformaciones Lineales 311

( o ) Analizar si la función T : R —>R 2 tal que F(x,y,z) — (x,y,-z) es una Sea V = {a + bx" + c x 4 / a , b , c e R} espacio generado por los polinom ios
transformación lineal. Hallar bases para N (1 ) y ím(T). l , x ~ , x fV = { ( p , r , s , t ) e R 4 / p + r + s + í = 0} definim os T: V —> W por
T (a + bx~ + c x 4) = (a - b , b - c ,2c- a - c ) . Probar que T es una transformación
( h ) Si T es una transformación lineal definida por T (x,y,z)=(x+2y-z, y+z,x+y-2z), lineal y hallar N (í) e lm(f).
analizar si T es inyectiva. Hallar una base, la dimensión de N(T), Im(T).

(1 5 ) Analizar si la aplicación T : 7?“ —> R 3 , tal que T(x,y) = (x - 2y, 2x - y, x + y) ( § ) Sea V = {(*, y , z , w ) e R 4 I x = a y + bz + cw, a, b ,c fijos} y
es una transformación lineal, si lo es hallar además N (T), Im(T), probar si I es
inyectiva, suryectiva y biyectiva. W = { (r ,s, t) e R 3 / r + s + 1 = 0} dos espacios vectoriales T: V —> W tal que
T(x,y,z,w ) = (x —y, -ay - bz, y - cw) probar que T es una transformación
( l ó ) Si T : R^ -> R 4 , es definida por: lineal, además determinar N(T), Im(T) y sus dimensiones.
T(x,y,z,u,w)=(x+2y+u+3w, y + z + w, x+3y+z+u+4w, -2x-3y + z - 2 u - 5w)
a) Hallar dim N(T) y una base de N(T). (23) Hallar una transformación lineal T : R 4 tal que su núcleo sea generado
b) Hallar dim Im(T) y una base de Im(T).
(24) por los vectores (1,2,3,1) y (0,-1,3,4).
^ 7 ) Hallar una transformación lineal T : R 4 -> R 3 tal que
N(T) = L {(2,1,-1,2), (3,0,1,-1)} —>Hallar una transformación lineal T : R 4 R ' cuyo núcleo es generado por

(1,2,3,4) y (0,1,1,1).

25) H allar la transform ación lineal T : /?3 -> R 2 tal que

N (T ) = L {(0,1,-1 ),(2 ,1,3)}.

26) Si F : R 4 -> R 4 es una transformación lineal tal que

( j s ) Hallar una transformación lineal T : R 4 -> R tal que N (F) = L{(1,0,1,1),(0,1,1,1)}, F ( l,1,0,1) = (1,0,0,1), F ( l,1,1,0) = (0,1,1,0).
N(T) = L{(2,-1,0,1), (3,1,1,-2)} H allar F(x,y,z,w)

(27) Sea la transformación lineal T : R3 -» R 3 definido por la regla

^ 9 ) Hallar una transformación lineal T : R —>R 2 sabiendo que T(x,y,z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y)
N(T) = L {(1,2,3)}
i) Hallar la imagen de T ¡i) H allar el núcleo de T
(20) Consideremos (C,+,R,.) y f : C 4 C, definido por / ( z ) = z + Im (z)|
Determinar si f es una transformación lineal y en caso afirmativo clasificarlo. I iii) ¿Cuál es la interpretación geom étrica de la im agen y el núcleo de T
respectivam ente?

312 Eduardo Espinoza Kamos Transformaciones Lineales 313

R p ta . Im(7") = {(*,y , z) e R 3 / 8>>- 1 4 * + 5z = 0} ^ 3) Sea T : R ' R " la aplicación lineal definida por:
T(x,y,z,s,t) = (x + 2y + z - 2s + 4t, 2x + 5y + 4z - 5s + 5t, x + 4y + 5z - s - 2t)
N (T ) = {(x,y,z) e R 3 / x = - t , y = - t , z = t} H allar una base y la dim ensión de la im agen de T.
R p ta . {(1,2,1 ),(0 ,1,2)¡ form an una base de Im (T) adem as dim Im (T) = 2
(2 8 ) D efina una transform ación lineal T : R~ —> R~ cuyo núcleo sea la recta y —x Sea T . R 3 —> R 3 la aplicación lineal definida por
T(x,y,z) = (x + 2y - z, y + z, x + y - 2z)
y su imagen sea la recta y = 2x. Hallar una base y la dimensión del núcleo de T.
R p ta. N (T) = L {(3,-1,1)}; d im N (T )= l
R pta. T(x,y) = (-bx + by, -2bx + 2by)
= (x - y, 2x - 2y); si b = -l @ Sea la base S = {Vi ,V2,VJ} d onde V, = ( 1 ,2 ,3 ) ; V2 = (2 ,5 ,3 ) y V3 = (1 ,0 ,1 0 )
a) D eterm ine la regla de correspondencia de la transform ación lineal
Sea V el espacio vectorial de las m atrices n-cuadradas sobre k y M una matriz T : R 3 -> R 2 , sabiendo que T(V¡) = (1,0), T(V2) = (1 ,0 ), T(V3) = (0,1)
arbitraria en V, defínase T: V -> V mediante T(A) = AM + MA, con A e V, b) C alcular T( 1,1,1)
m ostrar que T es lineal. R p ta . T (x,y,z) = (30x - 1Oy - 3z, -9x + 3y + z)
T( 1,1,1) = (17,-5)
Sea V = {P(x) = a 0 + a íx + a2x 2 / P es un polinom io de grado m enor o igual
que 2}. Sean í , , f2>t3 tres núm eros reales distintas arbitrarias, definim os (36) Sea la transform ación lineal T : V2 V2 definida por T (x,y) = (2x - y, x + y)
L¡{P) = P(t¡), i = 1,2,3 donde P e V; probar que las funciones , L2 y ¿3 a) ¿Es T inyectiva?
sobre V son linealmente independiente y forman una base de V*. b) H allar la inversa de T. si existe.
R pta: T es inyectiva
C onstruir una transform ación lineal T : R 2 —>R tal queT (l,2 ) - (1,-1,2),

T (l,3 ) = (3,0,1); T( 1,1) —(-1,-2,3)

3 ^ S ea la transform ación lineal T: V —> W , V = R 3 , W = R definida por.
T(x,y,z) = (x + 3y + 4z, 3x + 4y + 7z, -2x + 2y), donde
Im (T) = {(x,y,z) e W / 1 4 x - 8 y - 5 z = 0}
N (T) = {(x,y,z) e V / x = -t, y = -t, z = t}, com probar que:

dim V = dim (lm (T)) + dim N(T)

314 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 315

(3 7 ) Supóngase que la aplicación lineal T: V - » W, es invectiva y suprayectiva, © Sea la transformación lineal / : definida por
probar que la aplicación inversa T~ l : W —>V es tam bién lineal.
f(x,y) = (x + y, x - y, x + 2y), hallar la m atriz de f respecto de las bases

{(1,2),(2,0)} de R 2 y {(1,0,0),(0,2,0),(0,0,3)} de R 3 .

( 3 ^ Probar que toda transform ación lineal T : k 2 —» k 2 es de la form a: © Una transformación lineal / : R 3 -> R 2 está definida por

T(x,y) = (ax + by, ex + dy) f(x,y,z) = (x - 2z, y + z).
Probar adem as que T es un isom orfism o si y solo si ad - be * 0
a) H allar la m atriz A de f, respecto de las bases {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en
IV) R J {(2,0),(0,2)} en R 2 .

© Sea T : V3( R ) —>VA( R) una transform ación lineal tal que b) M ediante la matriz A, obtener la imagen de (-2,2,-2).
T (x,y,z) = (x + y, y - 2z, 2x + y, 2x + 3z) y dadas {( 1,0 ,2 ),(0 ,1,3),( 1,2,3)} base
de K3(/?) y {(1,1,1,1),(1,-1,1,1),(1,-1,-1,1),(1,-1,-1,-1)} base de V4 ( R ) . H allar © D ada la transform ación lineal / : R 2x2 -> R ' definida por:
la m atriz asociada a T respecto de las bases dadas.
ab
/ c d -)(a + b - c , a + b + d,b +c + d)

© Sea T : R 3 —> R 2 una transform ación lineal donde a) Obtener la matriz A de f respecto de las bases
[V] = {(1,1,0), (0,0, ), (3,0,0)} una base de R 3 [W ] = {(2,3),(1,0)} u na b ase de

I, l , , „ , , |}en R 2x2y { (0 ,2 ,l),(2 ,0 ,l),(0 ,l,l)} en /?3 .

R 2 , T(1,1,0) = (1,2), r(0*0, ^) = (2 ,0 ), T(3,0,0) = (6,4) encuentre la matriz -1 3
b) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de
de la transform ación respecto de las bases dadas y encuentre las im ágenes de
los vectores z¡ = (2 ,4 ,3 ), z 2 = (4 ,6 ,2 ). 22

© Sea T : R 4 —> R 4 , una transform ación lineal donde ( 7 ) Los vectores v, = (1,1,—1), v , =(1,0,1), v3 = (2 ,1 ,-1 ) form an un a base d e R 3
y los vectores w, = (1,0,1,0), w2 =(0,1,1,0) ,w 3 = (1,0,0,1), w 4 =(1,1,1,0)
[V] = {x¡ = (1,0,0,0), x 2 = (0,2,9,0), * , = (0,0,1,1), x 4 = (0,0,1,0)} = [W] donde form an una base de R 4 definam os una transform ación lineal / : R 3 —> R 4 ,
tal que / (v ¡) = w2 - w, , / ( v 2 ) = w, + w2 + w4 ,
7 \x , ) = (2 ,3 ,4 ,) , ’/'( x 2 ) = (1,4,0,6). 7’(.v3) = (0 ,3 ,2 ,0 ), T ( x 4 ) = (3,0,2,1).
/ (v j) = h ’| + 2w2 + 2wj + i , hallar las bases para N (f) y lm(f).
H allar la m atriz de la transform ación lineal respecto de las bases dadas y
encuentre las im ágenes de los vectores z¡ = (2 ,2 ,4 ,3 ), z 2 = (4,0,1,1).

316 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 317

© Sea / : R 3 —> R 2 una transform ación lineal definida de tal m anera que a los; T : R 4 -» R 2 definida por T(x,y,z,t) = (3x - 4y + 2z - 5t, 5x + 7y - z - 2t)
elem entos de la base R 3 le hace corresponder los vectores (1,3),(5,1) y (0,1) ;
respectivam ente. T : R 3 -> R 4 definida por T(x,y,z) = (2x + 3y - 8z, x + y + z, 4x - 5y, 6y)

i) H allar la imagen (3,-1,5) y N(f). R p ta . [7’] '3 -1 ' 2 3-8
3 -4 2 -5 11 1
i¡)H allar la im agen de un vector cualquiera de R 3 . 4 0-5
2 4 .M - 5 7 - 1 - 2
( 9 ^ Sea { v ,,v 2,v 3} base de R 3 donde v, = (1,2,3), v2 = (2 ,5 ,3 ), v3 = (1,0,10) .■ 5 -6 06 0

H allar la transform ación lineal / : R } —» R 2 tal que f(l,2 ,3 ) = (1,0), I 12 3 1

f(2,5,3) = (1,0), f(l,0,10) = (0,1). Calcular f ( l,l,l) . Sea la aplicación lineal T : R 4 —>R 1 donde A = 1 3 5 - 2 es la m atriz

3 8 13 -3

( í o ) H allar la m atriz asociada a la transform ación lineal T : R 2 —> R 2 definida p o r:P de T en la base canónica.

T(x,y) = 2x + y, x - y) "2 1 a) Hallar la imagen de T b) Halla el núcleo de T
R pta. A =

1 -1

R p ta. a) La base de la imagen de T es: {(1,1,3), (0,1,2)}, dim Im (T) = 2

Sea T : R —» R la aplicaron lineal definida por: b) {(1 ,-2,1,0 ),(-7 ,3 ,0 ,1)} es una base del N (T ), dim N (T ) = 2

T(x,y,z) = (3x + 2y - 4z, x - 5y + 3z). Hallar la matrizde Ten lassiguientes 1 D ada la transform ación lineal T : P3 —> P2 definida por
bases de R 3 y R 2 : B = {w1,w 2,w 3} y B ' = \ux, u 2}donde w, = (1,1,1), j T (a 0 + íj|X + a2x 2 + a3x 3) = a¡ + a2x 2 se pide:
w2 = (1 ,1 ,0 ), w, = (1 ,0 ,0 ) , = (1 ,3 ), «2 = (2 ,5 )
a) H allar la m atriz asociada a T.
-7 -33 -13 b) Hallar el núcleo de T y la imagen de T.
R P t a - [t )bb’ = 4 19 8 c) Hallar una base del núcleo de Ar y unabase delrango A.

(Í2) Encontrar la representación matricial de cada una de las aplicaciones lineales R pta. a) 0 10 0
escritas a continuación respecto a las bases canónicas de los R " . At = 0 0 0 0

T : R 2 R 3 definida por T(x,y) = (3x - y, 2x + 4y, 5x - 6y) 0 0 10

318 Eduardo Espinoza Ramos Transformaciones Lineales 319

b) Una base de N(T) es {l,x } a) H allar la m atriz A de T, respecto de las bases
B = {(1,1,1),(2,2,0),(3,0,0)} en R i = V
U na base de la Im(T) es }l,x } B ' = {(2,0),(0,2)} en R 2 = W

0 10 0 b) M ediante A, obtener la imagen de (-2,2,-2) e R 3
c) Determ inar la matriz B de T, respecto de las bases canónicas en ambos
c) At — 0 0 0 0 Rg (Ar ) = 2
0 0 10 espacios.

( i s ) Sea T : P{ -> P2 una transform ación lineal definida por T (P (x)) = x P(x), hallar d) Obtener la m atriz C de la misma transform ación lineal, respecto de la
la m atriz de T con respecto a las bases B = {<7,, q2} , B ' = {/}, P2, P3 } • base canónica en R 3 y la base B ' en R 2 dado en a).

8 21 Rpta. a) A = es la matriz de la transform ación lineal T
A = -1 -3
R p ta. -5
-2
1 1 °.
respecto de las bases B y f i'.

@ Sea la aplicación T : R 2 -> R 2 definida por: T (x,y) = (2x - 3y, x + 4y), hallar b) T (-2,2,-2)= 1(2,0) + 0(0,2)

la m atriz T relativa respectivam ente a las siguientes bases de R " , B - {e¡,e2} 1 0 -2
B = es la matriz de T respecto de las bases
y B' = , donde e, = (1 ,0 ), e2 = 0 > 3 ), «1 = (1,3), u2 = (2 ,5 ) .
01 1
-8 23 canónicas
Rpta. [T]bb. =
1
5 -13 0 -1

Sea A = 2 5 -3 la m atriz en la base canónica de la aplicación matricial de d) C =
11
© 14 7
0

2! 'x-2 /
T relativa a las bases {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} y {(1,3),(2,5)} de R" y R , Hállese AT

[-1 2 -41 -8 Supóngase que T : R 2 -* R 2 , esta definida por T K2 x + y j
,yj
respectivam ente. Rpta. [T ]^ . = 74 5
' 1 Y f3 '
con respecto a la base Bt = B2 =

-2

( Í 8 ) U na transform ación lineal T : R y —» i?2 esta definida por: T (x ,y ,z )- (x -2 z , y+z)

320 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 321

5 13 CAPÍTULO V
Ar = 4 4
R pta. 3
5 4J
4

Sea T : R 3 - * R 2 la transformación lineal cuya representación e* :S. PROD1ICTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD.-

2 -1 3 5.1. DEFINICIÓN.-
A = respecto de las bases ordenadas B = {(1,0,-1),(0,2,0),(1,2,3)}
Sea V un espacio vectorial sobre el campo k, donde k = R ó k = C,
3 10 llamaremos producto interno sobre V a una función < , > : V x V -> k si
satisface las siguientes condiciones.
y B ' = { (1 ,-1 ),(2 ,0 )} . Hallar la representación de T respecto de las bases
i) <u + v, w> = <u,w> + <v,w>, V u,v,w e V
matriciales para R 3 y R 2 .
ii) < w, v > = < v ,u > , donde la barra indica la conjugación com pleja.
R p ta. '13 1 3'
22 2 iii) <au,v> = a<u,v> y < n ,av > = a < m, v > V a e k , V u,v e V
51 1
2. iv) < v,v> ¿ 0 y <v,v> = 0 => v = 0, al par (V , < , >) se le denom ina
.2 2 espacio vectorial con producto interno.

Sea T : M 22 -> M 22 el operador lineal definido com o T ( A ) = A ! , encuentre la O BSERVACIO NES.-
matriz de T con respecto a la base S = { M l , M 2, M J, M 4} donde © De la definición se observa que <,> es una función que hace corresponder

'1 0 ' '0 f O i— a cada par de vectores u,v e V un escalar real o complejo.
O O
O © Si k = R, la condición ii) y segunda parte de iii) resultan <u,v> = <v,u> y
<u,av> = a<u,v> respectivamente.
— 7, m z2 = , A /j = , = S es la base

00 00 10 01

canonica de M 22 • Rpta. 10 0 0
0 10 0
A=
0 0 10
000 1

Ejem plo.- Sea V - R " y x , y e R n , donde x = ( x i t x 2 , .. ., xH) ,

y = (.Vi. y 2 »•••. y „ ) en éste espacio definim os.

322 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 323

<,>: R " x R " -+ /? Ejem plo.- Sea V - C n , k = C y x = (x ,,x 2,...,x„) e C" ,
n
(x,y) -> <x,y> ...y = ( y \ , y 2 y n ) 6 c " >definim os:
< x , y >= x,.
n i=i

donde < x , y >= x ¡y l + x 2y 2 + ... + x ny n = ' ^ ^ x ¡ y ¡ , así definida la función
1=1
La función definida así es un producto interno, veamos que cum ple las
<, > cum ple con la condiciones del producto interno. condiciones de la definición:

En efecto. i) Si z = ( z 1, z 2 , .. ., zn) e C "

i) Sí z = ( z t , z 2 , . . . , z „ ) e R " n nn

n nn <X + ZZ,_,y > = ^ T (X , +zi)Ji = ^ T x ,J t + ^ z ¡ y t = <x,y> + <z,y>
< x + z , y > = yy ¡(x¡ + z ¡)y, = ^ x ¡y¡ + ^ z ¡ y ¡ = < x,y> + <z,y>
1=1 1=1 ¡=1
1=1 1=1 1=1
ii) < x , y > = Y , * = / x ¡ y ¡ = = < > ’, * >
nn
1=1 /=1 /=1
ii) < x , y > = ^ x , yi = ' ^ y , x , = < y , x >

1=1 1=1

»n n

nn n iii) Si a 6 C, < a x , y > = (ax,).y, = ^ a ( x , y , ) = a } x¡y¡ = a < x , y >

¡ii) S i a e k , < a x , y > = ^ ( a * , ) ^ , = ^ a íx .j v ',) = ,=a <x,y > »=1 /=1 1=1

1=1 1=1 1=1

iv) < X 9 X > = y 2 >0 nn >>,-
1=1 < x , a y > = y x , . ( ^ ) = y 1/ , «
1=1
n /=! /=1
< x,x> = 0 => ^ xi =0
/> »
í=i = Y fa(x, >>,) = a Y x,. >>,• = .a < x , j >

M ’ ‘=1

n ÌV ) < X .X > = X j X j = y T j x, |2 £ 0
< x , y > = ^ T ^ x , y l es un producto interno.
i=i i=i
*«4

324 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 325

n Solución

<x,x> = 0 <=> x¡ I2 =0 i) Sea h e V

i=i

o \x, 1=0, V i = l,2,...,n < f + h ,g > = j | ( / + h)(t)g(t)dt = j^f(t)g(t)dt + h(t)g(t)dt

<=> x = 0

Ejem plo.- Considerem os V = R 2 y definimos < ,> : R 2xR~ -> R , tal que: = <f,g> + <h,g>
< x , y > = x ly l - 3 x 2y 2 , donde x = { x , , x 2 ) , y = ( y i , y 2 ) ( ii) , (iii) en forma similar
averiguar si la función así definida es un producto interno. 3v) < f,f> = 0 => f = 0 p o r dem ostrar
supongam os que f * 0 => 3 í0 s [0,1] tal qu e f ( x 0 ) * 0
Solución

i) Sea z = ( z , , z 2 ) e R 2

< / • / > = | / ( 0 g ( 0 * = j V ( 0 ¿ r = | l / ( 0 | 2 dt

<x +z,y>=(x\ + z!)y¡ -3 (x 2 + z2)y2 com o f es continua en [0,1] => 1 / ( 0 1 2 es tam bién continua en [0,1]
= (x¡y, - 3 x 2y 2) + ( z , y , - 3 z 2y 2 ) = < x,y> + <z,y> adem ás | f ( t 0) |2> 0 .

ii) < x , y > = x ¡ y , - 3 x 2y 2 = y xx x - 3 y 2x 2 = < y , x >

iii) Sea a € R C om o | / ( / ) |2 es continua =$ 3 8 > 0 tal que sí t e< í 0 ~ S , t 0 + 8 >
< a x , y > = ( a x ¡ ) y , - 3 ( a x 2 ) y 2 = a ( x xy¡ - 3 x 2y 2 ) = a < x , y >
entonces |/ ( í ) ¡ 2> 0 , 0 < t < l •••(*)

análogam ente <x,ay> = a <x,y> Antes de proseguir daremos dos propiedades del cálculo elemental.

iv) < x , x >= x 2 - 3x2 no siempre es m ayor que cero en consecuencia 1ro. Sea g : [a,b] -> R, sí g(x) > 0, V x e [a,b] y [c,d] c [a,b] entonces
< x , y >= x xy x - 3 x 2y 2 no define un producto interno.
g(x)dx < £ g(x)dx

E jem plo.- Sea V = {f : [0,1] -+ R / f es continua}, definimos en este r2do. Si g(x) > 0, V x e [c,d] (de 1ro.) entonces I g ( x ) d x > 0
espacio vectorial una función < f , g >= f ( t ) g ( t ) d t .

Verificar que la función así definida es un producto interno.

326 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 327
Luego regresando a (*) tenemos que: < /> £ > =
y < / , / > = | | f 2(t)dt
o< 2f° s \ m \ d t < fi/(/)i2^ = o

lo cual es una contradicción, la contradicción proviene del hecho de Il/II = v < / . / > = ^j j *f 2( t ) d t , caso particular, sea f ( x ) = e * , f 2( x) = e 2
haber supuesto f * 0, luego concluim os que f = 0.
-Jí
E jercicio
Considerem os el espacio vectorial ( R' ,+ ,R ,.) y la m atriz sim étrica 5.3. TEOREMA.-

ad Sea V un espacio vectorial sobre k, con producto interno, entonces se cumple,
A = .d efin im o s: < ,> ; R " x R 2 —>R , tal que i) ||av|| = ja) ||v||, V a e k , V v e V ii) ||v|| > 0 y ||v|| = 0 <=> v = 0
iii) |<u,v>| < ||u|| Hv||, V u,v e V, (desigualdad de C auchy - SC H W A R T Z )
dc iv) ||u + vj| á ||u|| + ||v||, V u,v e V, (desigualdad triangular)

a d ~Á~ , donde x = (x ,, x 2), y = ( y \ , y i ) - D em ostración
<*,>->= (x,,x2) i) II av 11= yj< av,av > = yjaa < v,v >
d c J2_
= V I«2 l< v ,v > = \ a \ y j < v , v > = | a 11| v ||
D eterm inar las condiciones para que la función así definida sea un producto ii) Es consecuencia directa de la definición de producto interno.
interno. iii) Probarem os que | <u,v> | < || u || || v ||, V u,v € V

5.2. DEFINICIÓN.- le r. Caso: Sí u = 0
<u,v> = < 0,v> => |<0,v>| = 0 = ||0|| ||v||
Sea V un espacio vectorial sobre k, con producto interno (<,>), la norma de un
vector v e V es denotado por ¡| v ||, y definido por || v |¡ = <J<v,v > , < v,v> > 0

Ejem plo.- En R 2 , v = (3,l)
< v, v >= 9 +1 = 10
|| v || = 1J< v,v > = n/ÍÓ

E je m p lo .- Sea V = {f: [0,1] R / f es continua}

328 Eduardo Espinoza Ramo Producto Interno y OrtogonaUdad 329

2do. C aso: Sí u ^ G , definimos v = v - - - — r—u II U + V || = <U + V, u + v> = <u, u + v> + <v, u + v>
Il «II2 = <u,u> + <u,v> + <v,u> + <v,v> = II u ||2 + IIV ||2 + < U, V> + < U, V >

afirmamos que <w,u> = 0 '=11 «II2 + I M I 2 +2 R e(< u, v >) ...(1 )
En efecto:

<v,u > < v ,u > < || w |2 +• IIVII2 + 2 |< tt,v > | ...(2 )

<W,M> = < V ---------— U,U> = < V , U > -------- — < u , u >

ÌU i« ir

- I I Ml¡2 + II v ||2 +2 ¡I u III! v || ...(3 )

<V,M> 2n
= <V,M> — — ||m|| = 0
= (II «I I + 11v ||) 2

« „ ,,2 <V,U> <V,U> Luego extrayendo la raíz cuadrada a ambos m iembros de la desigualdad

L uego 0 < Il w 11 = < v ----------r—u , v ----------— u > ten em o s: || u + v || < || u ¡¡ + || v ||

<v,u> < v,u > < v ,u > N O TA .- En la dem ostración de (iv) se ha hecho uso de:

= < V----------— U, V > - < V------------ U , ------ z—U >

Il «II2 II «II2 II « IP (T ) z + z = 2 R e(z), V z e C Re(z) < |z |,Vze

<v,u> <v,u> <v,w > La parte (iii) del teorema.
■< V,V > ----------r - < M,V > -—5— < v ----------------r-M,M >

<u,v> „ „2 <M ,V> S.4.__ ORTOGONALIDAD - CONJUNTO ORTOGONAL -
: < V, v > ------- —' < u , v > = Il Vir --------- — _____ CONJUNTO O R TO N O R M A L.-_________________________

tom ando extremos se tiene: D E FIN IC IÓ N .- Sea (V,+,k,,) un espacio vectorial con producto interno
donde k = R ó k = C.

i)Dados u,v e V, direm os que u,v son ortogonales sí y sólo sí <u,v> = 0.

0 < Il v II2 ^ ^ ^ < | | v | | 2 ^ | < M>v > |2 < ( | | W| | | | v | | ) 2 N O TA .- Si u es ortogonal a v denotaremos por “u 1 v”

Il «II2 llwll2

I <u^v> I < Il u II II V ¡ ii) Sea W c V un subconjunto, definim os el conjunto
iv) Probaremos ahora que:
W 1 = {v e V ! < v, w >= 0, V w 6 W] W L se denom ina conjunto ortogonal

II u + v y < II u|¡ + II v II a W.

330 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad

iü) Sea W c V u n subconjunto, direm os que W es un conjunto ortogonal sí y < h,f„ > - J ^ l-fn(t)dt = eos2nnt dt = -^^-sen2rt/r t j
sólo sí V u,v e W tal que u * v implica que <u,v> = 0
= —— (sen 2 n n - sen 0) = - ^ - ( 0 - 0 ) = 0
iv) Sea W c V u n subconjunto, direm os que W es un conjunto ortonorm al si 2w/r 2n n
y solo si W es ortogonal y ||u|| = 1 , V u e W.
Luego </», / „ > = 0 , V n e N
O B SE R V A C IÓ N .- Sea V un espacio vectorial con producto interno, si W Ahora hagamos variar g n (í)
es un subespacio de V, entonces V 1 es también un
< h,g„ > = ^ l . g n(t)dt = y¡2sen2jt nt dt = ~ - ^ - c o s n n t j
subespacio de V dejamos al lector la verificación.
—J 2 - sÍ2
Ejem plo.- (eos 2 n n - eos 0) = ---------- (1 - 1 ) = 0
27t n 2rr n
1) Sea ( R 2,+,/?,.) un espacio vectorial sobre R y u , v e R 2 donde
u = (x,y), v = (-y,x) entonces <u,v> = -xy + xy = 0 => u l v Luego < h ,g „ > = 0 , V n e N

2) Sea el espacio vectorial ( R n ,+, R,.) y ii) Sean f m(t) , g n (/) tal que m = n
W = {(1,0,...,0),(0,1,0,...,0),...,(0,0,...,1)} W es un conjunto ortonormal
pues < e¡,ef >= Sy .

3) S ea el espacio vectorial V = { f : [0,1] —> R / f es continua} con producto ■fm>gn > = / „ ( O g n O i d t = J ^ 2 c o s 2 /j^ /.s e n 2 ^ rtí dt
interno com o < f , g > = f(t) g(t )d t considerem os el conjunto:

Í 1 /1 1 = -------- (1 -1 )
sen 4 n n t d t = -------------------------- cos A u n t
W = {h(t) = 1, f„ (t) = y¡2 eos 2 x n t , g n(t) = yÍ2 sen 2 n n t / n e N ] probar Ann / o Ann
que W es un conjunto infinito ortonormal.
Luego < f n, g n > = 0 , V n e N

Solución iii) Sean f m(t) , g n (t) tal que m * n
i) F ijam os h(t) = 1.
< f m,g„>= j f m ( t) g n(t)dt = 2(cos2 n n t\s e n 2 n n t ) d t
Primero hagamos variar /„ (/)

332 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 333

-í= [sen l7t(n + m)t + sen 2n{n - m))dt De (i), (ii), (iii), (iv) concluim os que:

W = {l,/„(<) = V2 eos 2.thí, g„ (í) = \¡2 s e n 2 n n t/n e N} en un conjunto
ortonorm al infinito.
= r----------1------ e o s 2 u ( n + m ) -----------1-------- eos 2/r(n - m)t] // '

2n^( «n ++ mffi)) v........ 2277tc({nn--mm)) 'o

5.5. TEOREMA.-

1( 1- 1) 1 (1-1) = 0

2x(n +m) 2 n ( n -m ) Sea V un espacio vectorial con producto interno y W = {v,, v2 v„ } c F un

conjunto ortogonal donde v, * 0 , V i = l,2 ,...,n , W es linealm ente

Luego < f m, g n > = 0 , V m * n independiente sobre k.

iv) A hora dem ostrarem os que || / „ || = 1 y || g n || * 1, V n e N D em ostración

a) II f„ II = y j < f n J n > > elevando al cuadrado n
Sea ^ ' a,v, = 9 , fijam os k donde 1 < k < n y considerem os vk , calculando:

1=1

II / J | 2= < / „ > / „ > = \ | f n ( t ) d t = 2 | eo s2 2n n t dt nn

< ' ^ T l a¡vi ’vk > = < 0 ’vk > => 2 > < ™ > - o ' “ (1)
1=1 (=1

= i (l + cos4^»f)</í =[t + — -— sen4 n n t ] / = 1 + 0 = 1
J) 'o
4ít n como W es ortogonal < v ,, > = 0 , V i * k

L uego || / „ ||2= 1, en consecuencia || / „ ||= 1 , V n e N n
L uego de (1) tenem os ^ al < v¡ , vk > = ak < v k ,vk > = 0 ya que
#0 y
1= 1
b ) || g n || = y ] <g n,g„ > > elevando al cuadrado < v k ’ v k > = II vk II2 > 0 entonces a k = 0 , V k

II 8„ H2= < * „,* ■ > = i g Í ( * W = 2 | Se" 2 l7tnt dt ívi , v2 v )i} es linealmente independiente.

- jí(l +cos4xnt)dt = 1- 0 = 1 5.6. COLORARIO.

Sea V un espacio vectorial con producto interno,. W = {v¡, v2 v„} c: V un
conjunto ortogonal donde v, * 0 , V i = l,2 ,...,n
Luego || g J | 2= 1, entonces || g „ || = 1, V n e N

334 Eduardo Espinoza Rumos Producto Interno y Ortogonalidad 335

n Z < V Vj, > - < (3,1,2), (3 ,0 ,4 ) > _ 9 + 0 + 8 \1_
" [I (3 ,0 ,4 ) ||2 " 9 + 16 ~ 25
a. v. , entonces a,. = — , 1< k < n

I! v* ||2

Dem ostración a2 < (3,1,2),(-4,0,3) > -12 + 0 + 6 6
25
¡| ( - 4 ,0 ,3 ) ||2 9+16

<v,vk > = n a¡v¡,vk > , 1< k < n < (3,1,2),(0,1,0) > _ 0 + 1+ 0 ^
i=i a 3 ~ || (0,1,0) ||2 " 1

n .-. (3,1,2) = 1 ^ (3 ,0 ,4 ) - A (- 4,0,3) +1(0,1,0)

= X a ' < v ' ’v* > = «* < v-v* >

1=1

< v,vt > ¡5.7. PROCESO PE ORTOGONALIDAD DE GRAM-SCHMIDT.
= Il V* ||¿ , de donde ak = ' ' k

llv jl2

O B S E R V A C IO N E S . T E O R E M A .- Sea V un espacio vectorial sobre k con producto interno finito
© Si W es ortogonal se tiene que a k = < v , v k >, l < k < n dim ensional (diin V = n). Si v ,, v2,..., vm (m < n) son vectores

linealmente independiente de V.

E ntonces se puede construir vectores ortogonales w ,, vv2,..., w m e W tales que

( T ) Si v es com binación lineal de los elementos de W.

para cada k = 1 ,2 ,...,m , el conjunto {v1,v 2 ,...,v jt} sea una base del subespacio

Z< v,v, > generado p o r w ¡ , w 2 ,..., wk adem ás {h', , w2 wk } es un a b ase de
-------- í- vi
1=1 II V.. II2 I{ v ,,v 2,...,v*}.

D em ostración

Ejem plo.- Sea (R 3,+, /?,.) un espacio vectorial sobre R.
W = {(3,0,4),(-4,0,3),(0,1,0)} un conjunto ortogonal de P 3 i
Expresar (3,1,2) como combinación lineal de los elem entos de Definiremos la base por inducción
W.
Sea W] = Vj
Solución
c v*2, vi >
(3,1,2) = a , (3,0,4) + « 2 (-4 ,0 .3 ) + <z3(0,1,0) W2 = V2 -------=--- H1]

IW

donde haciendo uso de la observación tenemos < H’| , w 2 >= 0 es decir que w 2Lw\

336 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonalidad 337

A FIR M A M O S.-que w2 * 0

v*+, = Y ^ ^ v , ...(2 )

< V-) H’i > J
En efecto si w-, = 0 = — -— — h\ lo cual es contradictorio con el

■ ik .ii2 p ero cada w¡ ~es com binación lineal de {v!, v2 ,..., v * } , entonces d e (2)
concluim os que vt+1 es tam bién una com binación lineal de los vectores
hecho de que v. = w { y v2 son linealmente independiente. v l , v 2 ,...,vk que es una contradicción puesto que {v1, v 2 ,...,v i+ )} son
linealmente independiente.
^. < VV W, > < V->, H'i >
C onstruim os w3 = v3 --------— w2 ------------ — w, afirm am os que w3 * 0

II *2 II II II

En efecto, si suponem os que w3 = 9 , entonces *e
< wt+ I, w } > = 0 , V j = 1,2,...,k
ahora afirmamos que:

< v-,, w, > < v3, w, > En efecto, sea 1 < j 0 < k donde j 0 es fijo.
v3 = ----- — — >v2 + ..... —
K
IK II2 IK II2
Z < vk+\>wi >
es decir v3 es una com binación lineal de w, y w 2 pero w, y w 2 son
com binaciones lineales de v. y v 2 , entonces v3 seria com binación lineal de Z < vk+\<wi >
vi y v 2 que es una contradicción, pues {v!,v2 ,v 3} son linealm ente
independiente, con lo que queda probado que w3 * 9 . (=1 . w¡

Supongam os que se ha construido w ,, w2 ,..., wk vectores ortogonales, tales = < vk+i’wj0 > - <vk+n wj0 >
que {m’1, h '2 ,.., es base de L { v ,, v 2 v^.}, l < k < n
[0 si i * j Q
si i = Jo> [ Jo
pues < w-, vv > = s ,

}ilII

A hora construim os el vector vi+1 del m odo siguiente: L uego se tiene < w k+, , Wj > = 0 , V 1 < j < k

< v k + \ ’w k > . . . < v k + i ’w i > ... E ntonces {w ,, w 2 ,..., w¿+1} es un conjunto ortogonal y enconsecuencia
linealm ente independiente por el teorem a 5.5 ypor lo tanto base de
WA+1 - v*+l ll w* i2r * •" l||l w, »ii2 1 L { v x, v2 ,...,v t } haciendo uso de (1) podem os proseguir hasta obtener
{vi’, , w 2,...,w ’„} conjunto ortogonal y p o r consiguiente b ase de
afirm am os que vi A.+l *■9 I { v ,,v 2,...,vm} .

si suponem os que wk+x = 9 , de (1) tenem os

338 Eduardo Espinoza Ramos Producto Interno y Ortogonaiidad 339

5.8. CQLORARÍQ. Solución

Todo espacio vectorial con producto interno finito dim ensional tiene una base vv, = (1,0,1) = v,
ortonorm al.
w2 = v2 < v,,w ,1 > < (2,-1,1), (1,0,1) > (1, 0, 1)
D em ostración w, ~ r II (1,0,1) II2
w"il = ( 2 , —1 ,1 )-
Sea V espacio vectorial tal que dim V = n
= (2,-1,1)-1(1,0,1) = 1 (1 ,-2 ,-1 )
{v,, v2 v „ } una base de V, entonces por el proceso ortogonalización de
Gram - Schmidt existen w ,, w2,..., vectores ortogonales y por lo tanto < v 3,w 2 > w <V3,W ,>_ _
{w,, w 2 w n } es una base de V. --------------- ; --------- _ w

W- I vv-, 112 'I IV, II2
construim os u¡ = — — , luego j| u¡ ||= 1
= (1,2,1) + 1 (1, - 2 , - 1 ) - (1,0,1) = | (1,1, -1 )
II w¡ ||

{m, , u 2,...,un } es una b ase ortonorm al para V.

Ejem plo.- Ortogonalizar la base {(1,3),(2,1)} de R 12
Solución {(1,0,1),—( 1 ,- 2 ,-1 ),-- ( 1 ,1,-1)} es una base ortogonal de R }

,- ), 1 ,

2 1 ~t=(1,1,-1)} es una base ortonormal de R
v3

Wi = (1,3)

^ = ( 2 ,1 ) - < g ’M g > ( i>3) = (2,1) - 1 ( 1 , 3 ) = | ( 3 , -1 )

1 ■> Sea V un espacio vectorial con producto interno y W cualquier subconjunto
Luego {(1,3),—(3 ,-1 )} es una base ortogonal para R~ y de V. Llamaremos “complemento ortogonal” de W al conjunto W definido en
(5.4 - ii) que es el conjunto de todos los vectores de V que son ortogonales a
{ -=1= (1 ,3 ),—¡1= ( 3 ,- 1 ) } es una b ase ortonorm al para R 2 . todo vector de W.

VIO Vio 5.10. TEOREMA.-

E jem plo.- Hallar una base ortonormal a partir de la base Sea V un espacio vectorial sobre k finito dimensional (dim V = n) con producto
interno < , >, para cualquier subespacio W c V s e cumple que: V = W ( B tV 1
{(1,0,1),(2,-1,1),(1,2,1)} de R \

340 Eduardo Espinoza Kamos Producto Interno y Ortogonulidad 341

Dem ostración de (a) y (b) se concluye que: W x = L { w m+I, w m+2,...,W„]

i)Si W = { 0 } , entonces V = W 1 y se cumple que V = I V ( B W 1 por lo tanto V = W ® W 1
E jem plo.- Hallar el com plem ento de W = {(x, y, z) e R 3 / 2x + y - z = 0}.
ii) Si {0} * W <2 V
Sea {v,, v2 v„ } una base de V, tal que {v,, v2 vm} es una base de Solución
W donde m < n por el proceso de ortogonalización de Gram - Schmitd Calculando una base para W
existe {w }, w 2,...,wm,...,wn } base ortonorm al d e V, entonces (x,y,z) e W => 2x + y - z = 0 => z = 2x + y
{W |, w 2 h „ } es una b ase ortonorm al de W en virtud del teorem a 5.5. (x,y,z) = (x, y, 2x + y) = (x, 0, 2x) + (0, y, y)
(x,y,z) = x( 1,0,2) + y (0 ,1,1) de donde W = L {(1,0 ,2 ),(0 ,1,1)}
A hora dem ostrarem os que W 1 = L {wm+1, wm + 2 w „ } Extenderemos la base de W a una base para R '.
Sea {(1,0,2), (0,1,1), (1,0,1)} la extensión ahora ortogonalizarem os m ediante el
a) Tenemos que < w - , w i > = 0 para todo j * i, luego proceso de Gram - Schmidt.
pertenece a W l . wi = (1,0,2)

L{\Vm+\,M>m+2,...,Wn \ C W

b) Sea u e W L c F n ••• (1)
=> u = ' ^ >a¡w¡ de V)

i=i

(pues {wl , w 2,...,wm,...,w„} es base ortonorm al w2 = ( 0 ,1 ,1 ) - - (-Q’1’1)’(1’° ’22 ) > (1,0,2) = Ì (-2 ,5 ,1 )

II (1 .0,2) ||2 5

=> a¡ = < u , w ¡ >; pero u e W => u es ortogonal a cualquier

elem ento de W , en particular lo es con w l t w 2 , .. ., wm => <(1,0,1) ( 2,5,1) > < (1,0,1),(1,0,2) >

w3 =(1,0,1)----- -- -------- —(—2,5,1)------------- r--- (1,0,2)

a x = a 2 = ... = a m - 0 entonces de (1) l|i(-2 ,5 ,l)|P 5 ll« ,0 .2)||2

n => u e , wm + 2 wn}
u = y < u, w¡ > w,
- 7 (2 ,1 ,- !)
/=m+1 O
W = £{(2,1,-1)}
..... W,}

342 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 343

5.11. EJERCICIOS PROPUESTOS.- CAPÍTULO VI

0 Sean x = ( x , , x 2) , y = ( y x, y 2) e R 2 , averiguar si las funciones dadas a ¡6. VALORES Y VECTORES PROPIOS.-
continuación definen un producto interno sobre R .
Considerem os un espacio vectorial (V,+,k,.) y un endom orfimo f : V -> V, en
a) f ( x , y ) = x xy x + 3 x 2y 2 m uchas aplicaciones es útil encontrar un vector v e V tal que f(v) y v sean
paralelos, es decir: se busca un vector v y un escalar X tal que f(v) = Xv y ésta
b) f ( x , y ) = x xy x - 2 x xy 2 - 2 x 2y x + 5 x 2y 2 relación es la que estudiaremos.

(T ) Sean x = ( x ,, x 2 ) , y = ( y x, y 2) « ¿para <lué valores de k la función

f ( x , y ) = x xy x -3 x ,> > 2 - l x 2y x + k x 2y 2 es un producto interno sobre R 1 ?

[6.1. DEFINICIÓN,-”

© D ado u = (w1, u 2) y v = ( v ,, v2 ) elem ento de C 2 . A veriguar sí la función: Sea V un espacio vectorial sobre k y f : V—►V un endom orfism o, un núm ero
f ( u , v ) = u xv¡ + +(\ + i)uxv ¡ + ( l - i ) u 2vx + 3 u2v2 define un producto interno X e k es un “valor propio” de f, si existe un vector v * 0, v e V, tal que:
sobre C 2 . En caso de que resulte ser producto interno hallar la norma de
m = (2 - 3j, 1+ 2/) e C 2 . f(v) = Xv ,.,(1 )

© Verificar que el siguiente es un producto interno en R Todo vector v que satisface (1) se llam a vector propio de f correspondiente al
< u , v > = Xj V] - x xy 2 - x 2y x + 3 x 2y 2 donde u = (x, , x 2 ) , v = { y x, y 2 ) ■ autovalor X.

NOTA. 0 Las expresiones “valor propio”, “valor característico” y
“autovalor” son sinónimos.

© Probar que cada uno de los siguientes no es un producto interno en R donde (T ) Las expresiones “vector propio”, “vector característico” y
w = ( x ,,x 2,x 3) y v = ( y x, y 2, y 3) . “autovector” son sinónimos.

a) < u , v >= x xy x + x 2y 2 b) < m ,v> = x,_V 2X3 +>'iX2>’3 E je m p lo .- C onsiderem os el espacio vectorial ( R 2,+, R,.) y la

transform ación lineal / : R 2 —>R 2 definida por

Sea V el espacio vectorial de los polinom ios sobre R, probar que f(x,y) = (2x, 2x - 2y), el escalar X = 2 es un valor propio de f, puesto que el

í< f , g > = f ( t ) g ( t ) d t define un producto interno en V. vector no nulo (2,1 ) es tal que:

f(2 ,l) = (4,2) = 2(2,1) y (2,1) es un vector propio asociado al valor propio 2.

.344 Eduardo Espinozu Ramos Valores y Vectores PropiosO1 345
i
Ejem plo.- Consideremos / : R } -> R 3 una transformación lineal definida ____________________________________________________________________________________________________________________A v-X v « ...(2 )
por f(x,y,z) = (x,y,-z). Hallar los valores propios y vectores
propios. El v ecto r v * 0 se llam a autovector de A correspondiente al autovalor X.1

Solución 6.3. DEFINICIÓN.-

f(x,y,z) = X(x,y,z) = (x,y,-z), de donde se tiene que: Xx = x, Xy = y. -Xz = z Si A es una m atriz cuadrada, entonces un escalar X es un valor propio de A si
satisface la ecuación.

para x * 0, y * 0, z * 0 X = ± 1 son los valores propios y sus vectores
propios (x,y,-z) * (0,0,0)
det (XI - A ) = 0 ...(* )
A la ecuación (*) se le denom ina la ecuación característica de A.
Ejem plo.- Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las
siguientes transform aciones lineales / : R 2 —>R 2 tal que
f(x,y) = (2y, x) Ejem plo.- 3 2
Encuentre los valores propios de la matriz A = 0
Solución
-1
Solución

f(x,y) = (2y,x) = X(x,y), de donde 32 A - 3 -2
-1 0
AI - A = A
01

| 2 y A x2 y = A2y , y * 0, A2 = 2 => A - ± y ¡ 2 det(AI - A) = \AI - A\ = A - 3 -2 =A -3A +2 = 0
[x = Áy
1A
Los autovalores de f son A = ±\Í2
2 y - Xx, x = Xy para A = \¡2 , se tiene 2y = >Í 2 x , x = y¡2y => V 2y = x Á2 - 3A -t- 2 ~ 0 => X = 1, X = 2 estos son valores propios d e la m atriz A.

(x,y) = (\Í2y,y) = (V 2,l )y Ejem plo.- O btener los valores y vectores propios, si existen, de la m atriz
'2 f
L uego los autovectores son (V 2 ,1) t , t e R
A=
6 2 VALORES V VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ,- 03
Solución
Sea A una m atriz de orden nxn con com ponentes reales. El núm ero X (rea! o
com plejo) se llama autovalor de A si existe un vector y diferente de cero tal Calculando los autovalores X de la matriz A.
que:
rn 1
I
O

1

O
t...
A - 2 -1 '

AI - A = A
0 1 03

346 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 347

det(/ÍV - A ) - \ X I - A \ = A - 2 -1 =(A-2)(A-3) = 0 Si X es un valor propio de A, entonces el espacio solución del sistem a de
ecuaciones (XI - A )X = 0 se denom ina el espacio propio de A correspondiente
O A -3 a X, y los vectores diferente de cero en el espacio propio de A correspondiente
a X.
de donde X = 2, X = 3 son los valores propios de A para X = 2 calculam os
los vectores propios

(X \ A-2 -1 ' V '0> ñ'0 - f V Ejem plo.- Hallar los valores y vectores propios de la matriz
,oJ
(AI-A) = 0 donde _i O ft rñ"1 ,0 - K <*2, = l o j 3 - 2 01
1 A = -2 50
05
O r 0
II H
Í0x, rr

-x 2=0 1*2 ) ,0,
i II
£
o ii
o
u

><

II

para X = 3, calculam os los vectores propios de A Solución
Calculando los valores propios de A.

(AI-A)X = reemplazando se tiene:

XI - A I = 0 r» 0 0 3 -2 0 =0
-2 3 0
f \ - r ( xx \ \ efectuando operaciones A0 1 0 0 05
,0 0 ,
1 LO 0 1

x, - x 2 = 0 => x¡ = x 2 A-3 2 0
x = ( x 1, x 2 ) = ( x l , x l ) = x 1(l,l) 0 A -3 0 = 0 , de donde
por lo tanto los vectores de la m atriz A son (1,0) y (1,1). 0 A -5
O B S E R V A C IÓ N .- Si A es una m atriz de orden nxn, entonces las siguientes 0

afirmaciones son equivalentes. ( A - 5 ) ( A - 3 ) 2 = 0 => X = 3, X = 5 son los valores propios de A.

( T ) X es un valor propio de la matriz A. l 'xx 1 ^
© El sistem a de ecuación (XI -- A )X = 0 tiene soluciones no triviales. Sea x = x 2 un vector propio de A
© Existe un vector X en R " diferente de cero, tal que A X = XX.
\ xiJ

x es un vector propio de A correspondiente a X sí y sólo sí x es una solución
no trivial de (XI - A )X = 0 es decir, solución no trivial de:

Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 349

A-3 2 0 1_______________________________0 OBSERV ACIÓ N .- Todo endomorfismo en V, donde V es un espacio
2 1 m1*2 = 0 vectorial de dimensión finita y m ayor ó igual a 1 sobre
I_H______-_-_-_-__-_-_-__-_-_-__-_-_-__-_-_-__-_-_-__-_-_-__--__-_-_-__-_-_-_110 ... (*) el cuerpo de los com plejos adm ite vectores propios.

i O1
O
m
1O "-2 2 0 ' V o' Pero si el cuerpo no es C, entonces puede no existir vectores propios.

si k = 1, la ecuación (*) se transform a en: 2 - 2 0 x 2 = 0 P or ejem plo: Sea ( R 2,+,R,.) el espacio vectorial sobre R y
f : R 2 -+ R 2 , tal que:
_0 0 -4 3 . 0

- 2 jc, + 2 x2 = 0 *1 = x 2 f(x,y) = (x eos 9 - y sen 9, x sen 0 + y eos 9)
2X| —2x2 = 0
-4x, = 0 x-, =0

V si ex iste( x , y ) e R 2 , (x,y) * (0,0), tal que para algún k e R, f(x,y)= k(x,y)
entonces:

~x \ V

x = x2 = *1 =*1 i son los vectores propios de A correspondiente a k 1

0 (x eos 9 - y sen 9, x sen 9 + y eos 9) = (A.x, A.y)

_*3- 0

Í.íco s# -.y sen 0 = Ax í(A-cos9)x +ysen9 =0
i de donde <
'2 2 0" *1 o" [x sen <9+ y eos é? - A y [ -s e n # -x + (/i-eos0)> ' = 0

Si k = 5, la ecuación (*) se transform a en: 2 2 0 x 2 = 0

0 0 0 3. 0 A-cosO send
=0
El sistem a adm ite solución no trivial si:
-sen # A - eos#

2 . t , + 2 x 2 = 0 => * 2 = - * i > *3 e R

’*i Xl' r 0' ( A - c o s O ) 2 + se n ’ 9 = 0 => A2 ~ 2 A c o s 9 + \ = 0 => /t = c o s O t ^ c o s 2 9 - 1

x = x2 = ~xl = x\ -i +x3 0
01
.*3. X l - Si 9 = 60° => A -
2 V4
por lo tanto los vectores propios de A correspondientes a k - 5 son los vectores
Solo existe vectores propios si 9 = nrc.
diferentes de cero de la forma. Considerem os ( R 2,+, C,.) existen valores y vectores propios. El endom orfism o
f representa una rotación del plano de ángulo 9 alrededor del origen.

350 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 351

6.4. TEOREMA.- O BERV A CIÓ N.-
( 7 ) Del teorema demostrado, diremos que la transformación lineal f es
Si f : V--»V es una transform ación lineal, y adem ás existe una base
[ V ] - {v,,v2,...,vn } formada por los vectores propios de f correspondientes a diagonalizable.

los valores propios A¡, Á2 An , entonces la matriz de f respecto de esta base ( T ) Si dim V = n y f : V -> V es un endom orfism o que adm ite n valores
propios distintos, entonces f es diagonalizable.
es la matriz diagonal.

' 4 0 0 ... 0 © En térm inos de m atrices direm os que si A e k nxn adm ite n valores
propios distintos, entonces existe p & k n'n no singular, tal qu e P 1A P
0 ¿2 0 ... 0 es diagonal.

Ejem plo.- Determinar los valores y vectores propios de la matriz

0 0 0 ... A„ " 3 -l]
A = y la matriz diagonal D.
D em ostración
La matriz de f respecto de la base [V] se obtiene determ inando las im ágenes de ~2 ^ _
los vectores de dicha base, y teniendo en cuenta la definición de vector propio: Solución

/ ( v , ) = Aivl = A¡V] + 0v2 + 0v3 + ... + 0v„ Calculando los valores propios de A.

f ( v 2) = A2v2 = 0yi +A2 V2 + 0 v 3 + ... + 0v„ A- 3 1 =0

det(/i/ - A) = \A1 - A\ = 2 A-2

(X - 3)(a - 2) - 2 = 0 de donde A2 - 5A + 4 = 0 entonces

/ ( v„ ) = K vn = 0vi + 0v2 + 0v3 + ... + Anvn 1 son los valores propios
A, 0 0 ... 0 1^=4
0 ¿2 0 ... 0
para cada valor de X resolverem os el sistema
En consecuencia D -
A - 3 1 xi 0“
0 0 0 ... An (AI - A )X = 0 es decir: 0

2 A - 2 _ -X2_

r' - 2 ' * 1 " 0 2x¡ + x 2 = 0
=> Xt = 2x,
Si A. = 1, 0
1 2x}- x2 = 0
2 - 1. x 2

352 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 353

x = *1 *1 ' v 6.5. POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE UNA MATRIZ.-

*2 - X,

2x, 2 D E F IN IC JÓ N .- El polinom io característico d e una m atriz A e k " ' " es el
determ inante de la m atriz XI - A es decir:

Luego x ' - es un vector propio asociado a A¡ - 1.

v2y 12 ~ a\n
A— “ «2»
- a 21

'1 1' V "o' x l + X2 ~ 0
Si A2 = 4 , 0-
_2 2_ .*2 {1|2 x , + 2 x2 = 0 P(A) = det(AI-A)--

x= *1 = *1 = X1 f -a,n2 A-a„
*2. . ~ X1 . -1

desarrollando el determ inante se tiene: P(A) = An + c„_, A"~ +... + c, A + c 0

Luego x "= 1 es un vector propio asociado a X = 4.

-1 Ejem plo.- D eterm inar el polinom io característico de la m atriz A siendo

2 -1 2 - 3 1
Los vectores x ', x " son linealmente independiente y forman una base de R A= 2 2- 6

2 2-6

10 Solución
A es diagonizable, y su forma diagonal es: D =

04

P es la m atriz cuyas columnas son los vectores propios es decir: A +1 - 2 3
P(A) = \ A / - A \ = - 2 / 1 - 2 6
1I A+6
-2 -2
33
11 2 J! = (X + 1)[(X - 2)(X + 6) + 12] - (-2)[-2(X + 6) + 12] + 3(4 + 2(X - 2))
P=
33
2 -1

P (A ) = (A + l)(A2 + 4 A ) - 4 A + 6A => P{A) = A3 +5 A2 +6A

3 -1" ‘1 1] '1 0' Las raíces de P(X) = 0 son: A3 + 5A2 + 6A = 0 X(X + 3)(X + 2) = 0
- 2 2_ =D
P 1A P - P AP = D

° 4_

de donde A¡ - 0 , A2 = - 3 , = - 2

354 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 355

PRO PIEDA D ES.- 1&6. MATRICES SEMEJANTES Y DIAGONAL1ZACIÓN.-

E1 escalar X es un valor propio de la m atriz A e k nxn sí y sólo sí X es raíz del M A TR IC ES SEM EJAN TES.-
polinom io característico de A. Sean 'las m atrices A y B de orden nxn se dice que la m atriz A es sem ejante a la
m atriz B si existe una m atriz P invertible de orden nxn tal que B = P XA P
© Si X es un valor propio de A entonces A - XI es singular, y por
consiguiente tam bién lo es XI - A o sea det (XI - A ) = 0. O B SE R V A C IÓ N .- La definición dada también se puede expresar así:

En consecuencia, X es una raíz del polinomio característico. Las matrices A y B de orden nxn son sem ejantes sí y sólo sí existe una matriz
invertible P tal que PB = AP.
© Supongamos que X sea una raíz del polinomio característico de A.
E ntonces det (XI - A ) = 0 ósea que XI - A y A - XI sonsingulares, Ejem plo.- Dé dos matrices semejantes.
esto significa que X es un valor propio de A
'2 1 ‘ '4 -2 1 y P= '2 - f
E je m p lo .- E ncuentre los valores característico de la m atriz
, B= 5 -3 -1 1
4 01
A = -2 1 0 .o - i.

-2 0 1 " 2 - f r4 -2 '3 -1"
1 -1
-1 1 [5 -3

2 11' 2 - f '3 - f
0 - l j -1 1 ! -1

Solución

com o det(P) = 1 * 0 , P e invertible por lo tanto A y B son semejantes.

A —4 0 - I E jem plo.- Dé una matriz semejante una matriz diagonal.
2 A- 1 0
Sea P(A) = det(A /- A) 2 0 A- 1

"l 0 0 '-6 -3 -25 '2 4 3

Sea D = 0 -1 0 , A = 2 1 8 y P = 0 1 -

A - 4 -1 002 2 2 7_ 35 7
2 A-I
(X - 1)[(X - 4)(X - 1) + 2]

donde P es invertible porque det(P) = 3 * 0 , entonces

= (A-\)(A2 -5A+6) =(A-\)(A-2)(A-3) = 0 ‘2 4 3 " - 6 - 3 -25" '2 4 - 5

PA = 0 1 -1 2 1 8 = 0 -1 1

de donde los valores propios de A son: A¡ = 1, A2 - 2 , A3 = 3 3 5 7_ 2 2 7 6 10 14

356 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propiosi 357

'1 0 0 ' "2 4 3 ‘ '2 4 3 ' Ejem plo.-i.................n................................................................................................................................................................................................Encuentre una matriz P que diagonalice ortogonalm ente a A

DP = 0 -1 0 0 1 -1 = 0 -1 1 1i '3 f
I donde A ■
0 0 235 7 6 10 14
13

com o PA = DP entonces A y D son semejantes. Solución
Calculando los valores propios de A.
6.7. TEOREMA.-

Si A y B son m atrices sem ejantes de orden nxn, entonces A y B tiene el mismo P(A) = det(A /- A ) = A - 3 -1 =0
polinom io característico y por lo tanto, tiene los mismos valores propios.
-1 A - 3
D em ostración

P( A) = (A. —3 )“ —1 = 0 => A2 - 6 A + 8 = 0 entonces

Com o A y B son sem ejantes => 3 P invertible tal qu e B = P 1A P y

d e t ( 5 - A / ) = áei (P~xA P - AI) = á.e\(P~xA P - P ~ lÁ1P) = à ei (P ~ x[ A P - AIP}) (X - 2)(X - 4) = 0 A, = 2
Aj=4

= det[/»_l ( A - A1)P] = d e t(P _ ,)d e t(/í - AI) det(P) 20
La matriz diagonal D =
= det( 1) d et(P ) det( A - A / ) = d et(/> ~'P )det(.4 - AI)
04
= det(I) det( A - XI) = det(A - XI)
esto significa que A y B tienen la mism a ecuación característica y como los Calculando los vectores propios de A.
valores propios son raíces característico, tiene los m ism os valores propios. Para esto cada valor de X resolvem os el sistema.

6.8. MATRIZ DIAGONIZABLE.- O

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonizable, si existe una matriz r.
inversible P tal que P ~'a P sea diagonal; se dice que la m atriz P diagonaliza a T
la matriz A. 1
■X
(XI - A )X = 0 de donde "x, ' '0 '
-1 A - 3_ .*2.

Sí, "0"
-i -i = > X¡ + X2 = o = > x 2 = - * !

Si existe una m atriz ortogonal P tal que P 1A P es diagonal, entonces A es x = x\ = *1 = X, f
diagonizable ortogonalmente, y se dice que P diagonaliza ortogonalm ente a A. .*2. -1

358 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 359

Luego x ' = es un vector asociado a A¡ = 2 A, 0 0 . . 0
0 Ai 0 . . 0
■1 -f *1 '0 ' x¡-x2 =0 0 0 ¿3 . . 0
Sí, 0 D
1 -AT, + X2 = 0
-1 1 .*2.

X\ *i n] 0 0 0 . . . A„
X= = x,
donde A, , A2,..., An son los valores propios de A.
i i
i Si P es una matriz cuyas columnas son vectores propios linealmente
independiente d e A, entonces D = P yA P .
Luego x " = es un vector propio asociado a A2 = 4
D em ostración
Luego P - 11 => P~‘ =
Prim ero se supone que A tiene n vectores propios linealmente independiente
-1 1 que corresponde a los valores propios (no necesariam ente

"i 1' f '1 r '3 1 13 diferentes) A,,A2,...,An .
~ 2 '3 3 -1 i
P ~ ]A P = 2 22 22
1 1I _3_ I__1 _1_ i__3
2. .2 2 2 2.
.2

“1 - l ‘ 1 f '2 0" Pu ~Pu ' P u Pv. • ■ ñ .
2 2_ -! 1 =D P2\ P22 Pin p2\ Pl2 ■ P¿n

04 y sea P =

Luego A es una matriz diagonalizable. Sea y, = - v2 = ,•••• v„ =

6.9. TEOREMA.- A i. A l. . PHH_ Anx P„2 ■- Pn„

U na matriz A de orden nxn es diagonizable sí y sólo sí tiene n vectores propios
linealmente independiente.

En tal caso, la matriz diagonal D sem ejante a A está dado por: Entonces P es inversible ya que sus columnas son linealmente independiente.
Ahora bien.

360 Eduardo Espinoza Ram os Valores y Vectores Propios 361
"«11 «12 . ■ a\n 'Pl 1 P\2 •• Pu,'
«21 «22 ■ a2n P¿\ Pj2 ■ Pin O B SE R V A C IÓ N .- Si A es una matriz de orden nxn, entonces las siguientes
afirmaciones son equivalentes.
_an\ an2 ■ ann_ fnX r„2 •■ Pnn,
O A es diagonalizable.

© A tiene n vectores propios linealmente independiente.

O B SE R V A C IÓ N .- Si una matriz A de orden nxn tiene n valores propios
diferentes entonces A es diagonizable.

y se ve que la columna i de AP es A - Av, = A¡v¡, y así A P es la Ejem plo.- Determ inar si A -1 4 - 2
-3 4 0 es diagonizable.
-3 1 3

P., Solución
Calculando los valores propios de la matriz A.
A\Pn A^P\2 ... AnPXn
A +Ï -4 2
\ P lx A2 P22 ... AnP2„ P(A) = \ A l - A \ = 3 A - 4 0 = 0 , desarrollando el determ inante
A -3
m atriz cuya colum na i es A¡v¡ y A P = 3 -1

, \ P n\ ^2^,2 ■■■ ^,,P,,n. P(k) = ( k - l ) ( k - 2 ) ( k - 3) = 0 => A, = 1 , A2 = 2 , A3 = 3 .

'P u P \2 • ■ P u ,' 4 0 .. 0' \P \\ ^ .P \ 2 • • K P \n 10 0
a ]p 2 x A o_ P i 2 La matriz diagonal es D - 0 2 0 son ios valores propios de A.
P 2 i P 22 ■ P in 0 ^ •. 0 ■ ^ n P ln
003

Ahora calculando los vectores propios de A para esto, cada valor de k

resolvem os el sistema: (11 - A )X = 0 de donde

P » \ P „ 2 ■ ■ Pnn _ 0 0 .■ K_ .\ p„\ ¿ 2 ^ ,2 ■■ A n P ,m

Entonces A P = PD y com o P es inversible, se puede m ultiplicar am bos lados, ~A + 1 -4 O2 1 "-vi _ "O'
3 -11
3 x2 = 0
por la izquierda por P~' para obtener: D = P 1AP
A - 3J . X3. 0

362 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 4^1 363
i
Sí A¡ '2 -4 2 *i V entonces
1, 3 - 3 0 x2 = 0 1
-2 .*3. 0 *
3 -1 _______________________________________________________

2*i _ 4 x2 + 2x3 = 0 5xj - 5x2 = 0
3xj - 3x2 = 0 x, = X-,
3jcj - x 2 - 2x3 = 0 3x2 ~ x2 ~ 2x3
2x-, = 2x, =:
X, = x , Luego x" = es un vector propio asociado a A2 = 2

x x2 1 Sí A3 = 3 , 3 - 1 0 0'
- x 2 = X1 1 3-10 0 entonces
X= X II x2 0
*2. 1
X l
<N
i_ í
1&

Luego X = es un vector propio asociado a A¡ = 1. 4x, - 4x2 + 2x3 = 0 fx2 = 3x¡
3X| - x2 = 0 x3 = 4x,
3xj - x2 = 0

'3 - 4 2 ' ’*i '0 entonces *i ' x \ ' v
Sí A2 2 , 3 - 2 0 X2 = 0
x = x 2 = 3*i = x. 3
3 -1 -1 *3. 0
X3. 4
r
3 i
X 2, = —2 X ,1 1
6x, - 5x2 + x3 = 0 Ui
K/1\
15 o 1
6 * i-y * i+ * 3 =0 Luego x'" = es un vector propio asociado a Á3 = 3

3x, - 4x2 + 2x3 = 0 x, = - x .
■3x, - 2 x2 = 0

3x,~ x2 - x3 = 0

Sea P = 1 3 3 => P -1 = -1 3 - 2
¡34 0 -1 1

364 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 365

' 3 - 5 3 ' '- 1 4 - 2 ' '1 2 f TEO REM A 2.- Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación
AP = -1 3 -2 -3 4 0 1 3 3 característica, es decir, si P(A)=0 es la ecuación
característica de A, entonces P(A) = 0.
0 -1 1 -3 1 3 1 3 4
D em ostración “U
' 3 - 5 3 ‘ "1 2 f '1 0 O' au - A au «2»
= -2 6 -4 1 3 3 = 0 2 0 a2l a 2 2 ~ ^

0 -3 3 1 3 4 0 0 3 Se tiene P(A) = det(A - A l ) =

com o D = P ~]A P => A es una m atriz diagonizable. a.. -A

6.10. TEOREMA DE CAYLEY - HAMILTON.-

T E O R E M A 1.- Si P(A.) y Q(A) son polinom ios en la variable escalar Es claro que cualquier factor de A - AI es un polinom io de X, así, la adjunta de
A. cuyos coeficientes de m atrices cuadradas y sí A - AI es una m atriz de orden nxn en la que cada componente es un polinom io
P(A) = Q(A)(A - IA.) entonces P(A ) = 0. en X es decir:

Dem ostración pu ( ¿ ) W ) ... w
... P2M )
p2]( ¿ ) P22W

Si Q(A) está dado por la ecuación: Q(A) = B0 + B XA + B 2A2 + ... + B nAn

adj(A - AI) =

P(A) = ( B 0 +B¡A + B2A2 + ...+ B„An ) ( A - A J )

p„ M ) W ' ) ••• pM .

= B 0A + B¡AA + B2A A 2 + ... + B„AA" - B0A - B {A2 - B 2A2 - . . . - B nAn+x

P(A) = B 0A + B XA A + B2AA2 +...+ B nAA" - B 0A - B XA2 - B 2A3 - . . . - B „ A n+1 Esto significa que se puede pensar en adj(A - XI) com o un polinom io, Q(A) en
sustituyendo A en lugar de X se obtiene: X cuyos coeficientes son matrices de orden nxn.
P ( A) = B 0A + B {A 2 + B 2A 3 +...+ B „ A n+l - B 0A - B XA2 - B 2Al - . . . - B nAn+l
L uego det(A — AI) —[adj(A —A.I)][A XJ) ... (*)

Pero d e t(A - A.I) = P(A)I si P(A) = t +...+a,A + a0

P(A) = 0 entonces se define: P ( A ) = P ( W - t i + a.-.-*"- ' + .. .+ « , -W+ V

366 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 367

por lo tanto, de (*) se tiene P(A.) = Q(A.)(A - A.I) Calculando el polinom io característico de A.

Luego por el teorem a (1) se tiene P(A ) = 0. A -i -2 -2
P(A) = \ A I - A\ = 0 A - 2 -1
0
1 -2 A -2
Ejem plo.- Calcular la matriz inversa aplicando el teorema CAYLEY
H A M IL T O N .

-2 -2 P{A) = A3 - 5A2 + 8A - 4 = 0 de donde
© A - -5 1 P(A) = A3 - 5 A 2 + 8 A - 4 - 0

Solución

Calculando el polinomio característico de A m ultiplicando por A " 1 a la ecuación (1)

A+2 2 A 2 - 5 A + S I - 4 A - ' = 0 => 4 A ~ } = A 2 - 5 A + 8 I

P(A) = \ A I - A \ = = A2 + A-12

5 A- 1 ■ i 2 2 ' 2 "1 2 2

1 0 0'

Sea P(A)= A 2 + A - 1 2 I =0 • (I) II II 0 2 1 -5 0 2 1 + 8 0 1 0
TT
-1 2 2 1 2 2_ 0 0 1

M ultiplicando por A 1 a la ecuación (1) ' - i 10 8 " 3 - 1 0 - 1 0 '
4A~x = - i 6 4 + 0 -2 -5
A + I - \ 2 A ~ ' = 0 => 12 A ~ l = A + I
-3 6 4 -5 -10 -2

'-2 -2' 1 0' -1 -2
12/T* =
+=
- í 1 0 1 -5 2
-0
^ tf? •'!« 1 2' ’2 0 2 2
. A- 12 12 -1 4 - 1 , de donde ,í4-1
52 -8 -4 2 i1
12 12 . 4
-
-2 -1

1 22 Ejem plo.- S ea A e k nxx y f ( x ) = x i - 2 x ¡ + x - l su polinom io
0 21 característico, prueba que A es invertible.
-1 2 2

Solución ¡Solución

368 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 369
Por el teorema de Cayley Hamilton, tenemos que
f(A) = A3-2 A 2+A~I =0 6.11. EJERCICIOS PROPUESTOS.-

I) Encuentre los autovalores y autovectores correspondientes a las siguientes
transform aciones lineales.

A3-2A 2+A =I A (A 2 - 2 A + I) = I sea B = A 2 - 2 A + I

( T ) T : R 2 - > R 2tal que T(x,y) = (x + y, 2x + y)

entonces AB = I por lo tanto A tiene inversa y la inversa de A es

( 7 ) T : R 3 - + R 3 tal que T(x,y,z) = (x + y, x - y + 2z, 2x + y - z )

A~l = A 2 - 2 A +1

T : R A -> R a tal que T(x,y,z,w) = (x, x + y, x + y + z, x + y + z + w)

Ejem plo.- S ea A e k 3*3, P (x) un polinom io, pruebe que si X es un valor
propio de A, P(X) es un valor propio de P(A).
( 4 ) T : R 2 - > R 2tal que T(x,y) = (4x + 3y, 3x - 4y)

Solución ( 5 ) T : R 3 R 3tal que T(x,y,z) = (2y - z, 2x - z, 2x - y)

Sea el polinom io P(x) = a x i + bx1 + cx + d como Av = Xv, donde v * 0 II) Estudiar si las siguientes aplicaciones lineales que se indican a continuación
entonces tienen como autovalores y auto vectores asociados los que se indican en cada
uno de los casos:

A 3v = A 3v (aA)3v = (aA3)v ( i j f(x,y) = (x + 2y, -y), X = 1, v = (l,0 )
A 2v = A 2v (bA2 )v = (bA2)v ( T ) f(x,y,z) = (x - y + z, y - 2z, x + 5z), X = 3, v = (1,1,1)
( T ) f(x,y,z,w ) = (x + y, x - z, y + z, w ), A. = 0, v = (1,-1,1,0)
Av = Av (cA)v = (cA)v III) O btener los autovalores y autovectores asociados si existen de las m atrices
dv = dv dv = dv
siguientes con elem entos en R.
Sum ando (aA 3)v + (bA 2 )v + (cA)v + d v - ( a A3)v + (bA2 )v + (cA)v + dv

( a A 3 + b A 2 + c A + d l ) v = (aX3 + bA2 + c A + d ) v => P(A )v = P(A,)v

'2 1 1 -1 rs o
© A=
© *- 4 3 © 8 -1
03
P(A.) es un auto valo r d e P(A ) pues v # 0 entonces com o, el proceso se
cumple para cualquier polinom io P(X) entonces si X es un valor propio de 10 - 9 © 03 -2 -7
A, se cum ple que P(A) es un valor propio de P(A). 4 -2 40 © A- 1 2

370 Eduardo Espinoza Rumos Valores y Vectores Propios 371

10 12 V)
A=
© A= © Sea A una matriz cuadrada de orden 3x3 tal que: AX = B, donde
01 0 -1

2 0 0' 0 6 2"

IV ) O btener los autovalores y autovectores asociado si existen d e las m atrices x = 1 1 0 y 5 = 3 3 2 obtener los valores y vectores propios de
siguientes con elem entos en R.
02 1 6 0 -1

la m atriz A.

1- 0 00 f 10 0 2 54 2
4
© A= 0 1 0 © A= 0 6 0 © Dada la matriz A = 4 5 2 , hallar los valores y vectores propios de A y
® A= 0 -0
2 10 0 2 07 222

0I 1 los espacios característico de A.
4

40 f '3 0 - 5 ' ■-2 0 r © Sea T : R 3 R 3 , una transformación lineal definida por T(x,y,z)= (x,y,0)
-2 1 0 1 1 -2 -6 -2 0
-2 0 1 19 5 - 4 a) H allar la matriz A asociado a T.
ll
li '5 6 2 " b) Hallar los valores y vectores propios de A.
T 1 0 -2
© Dado la transform ación linea! T : R 3 -» R 3 definido porT(x,y,z)= (x,y,-z),
©©
h allar los valores y vectores propios de la m atriz A (A m atriz asociado a F).
O
7
n II
©©

II II

©©
- 1 0 1' O
-1 3 0 O
- 4 13 -1 010
1 10
-7 1 0

© Dado la transform ación lineal T : R 3 —» R definido por

' 5 6 -3 '0 2 f 2 5 -6 T(x,y,z) = (2x + y + z, 2x + 3y + 4z, -x - y - 2z), hallar los valores y vectores

@ A = -1 0 1 @ ©A = - 2 0 3 A = 4 6 -9 propios de A (A m atriz asociado a T).

1 2 -1 -1 -3 0 3 6 -8

"1 2 3 ' "1 1 2" 0 1 0' 1 -1 4
( T ) H allar los valores y vectores propios de la matriz A = 3 2 - 1
© A= 0 1 2 © A= 1 2 1 © A= 0 0 1
00 1 2 1 -1
2 11 -1 0 0
diagonalizar.

372 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 373

1 11 10 Ìf D em ostrar que A y B tienen el mism o
Sea A = y S=
© Investigar si la siguiente m atriz es diagonizable A = 0 1 1
01 01
001
polinom io característico.
1- 0
4 00 1
Si A = 0 1 0
© Sea A = 0 - 0
2 10 0

0i 1 a) Encuentre los valores y vectores propios de A.
4
b) Encuentre la m atriz P tal que P ~ lA P sea una matriz diagonal.
a) Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A
2 -3 5
b) E ncuentre las m atrices no singular P y P ~1 y un a m atriz diagonal D tal Si A = 0 - 1 5
que D = P~'AP.
004
1I 0
2

© Sea A = 0 I 1 a) Encuentre los valores y vectores propios de A.
2 b) E ncuentre la m atriz P tal que P ' 1A P sea una m atriz diagonal.

000

Sea T : P2 -» A definida por:

a) Encuentre los valores propios reales y vectores propios de A. T ( a 0 + ü \X + a 2x 2) - (5a0 + 6 a l + 2a 3) - ( a , + 8 a 2 )* + (a o ~ 2 a 2 )x~
b)Encuentre las matrices no singular P ^ P~x y una m atriz diagonal D tal
encuentre los vectores y valores propios de T.
que D = P ~ ]A P .
'\ a b) T 'n 'r
1 00
( í s ) Si los vectores propios de la matriz 1 c d son l 9 0 y - i
© Sí A = 0 - 2 0
v1 e f , Jo ,
0 00
d eterm inar a,b,c,d,e y f.
a) ¿Cuáles son los valores y vectores propios de A?
b) Encuentre las m atrices no singulares P y P ~ l y una m atriz diagonal D tal Encuentre los valores propios y los vectores propios para la transform ación
lineal dado. D eterm inar si existe o no una base c 2 de vectores propios para el
que D = P~'AP. dominio de T, encuentre si existe, una matriz diagonal que representa a T.

374 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 375
a) T : R 2 -» R 2 tal que T(x,y) = (2x + y, 2x + 3y)
b) T : R 3 -> /?3 tal que T(x,y,z) = (x, x + y, x + y + z) -2 0 0 0' ' -2 0 0 oí
c) T : R 3 R 3 tal que T(x,y,z) = (2x, 2y, 3z)
0 -2 0 0 0 -2 5 -5
A= e) A =

0 030 0 03 0

0 0 13 0 0 0 3_

Sea A = ab , demuestre que:

d) T : R 3 - » R 3tal que T ( x , y , z ) = ( 3 x - — + ^ , 4 x - z , 4 x ~ 2 y + z ) cd

e) T : R 4 -> R 4 tal que T(x,y,z,w) = (3x, 2y, x + 2z, 2w) a) A es diagonizable sí (a - d ) 2 + 4abe > 0

7 b) A no es diagonizable sí (a - d ) 2 + 4abe < 0
f) T : R 3 - + R 3 tal que T ( x , y , z ) = {x + z , 0 , - x + y + —z)

g) T : R 3 —> R 3 tal que T (x,y,z) = (3x + 2y + 4z, 2x + 2z, 4x + 2 y + 3 z ) (20) Determ ine los valores y vectores propios de la matriz A y determ ine si A es
diagonizable, si lo es encuentre P tal que P ' A P = D .

1 7 ) E ncuentre un a m atriz P que diagonalice a A, y determ inar P 1A P , donde:

-14 12' 10 '-2 -2 '3 -f '2 - 1 '
-2 0 17 b) A = a) A = b) A = c) A =

6 -1 -5 1 -2 4_ 5 -2_

1 0 0" '2 0 -2 ‘3 - 5 ' 3 2' ' 1 -1 0"
011 d) A = 0 3 0 d) A e) A = f) = -1 2 -1
011
0 0 -2 1 -1 -5 1 0 -1 1

T s ) Determ inar si A es diagonizable, en caso de que así sea, encuentre una m atriz P ' 1 1 -2 ' "3 - 1 -1 '7 -2 - 4 '
que diagonalice a A. g) ^ = -1 2 i h) A = 1 1 -1 i) A = 3 0 - 2

0 1 -1 1 -1 1 6 -2 -3

ro ~
0
1ro

II

II
19 - 9 - 6 "-1 4 -2 '5 0 0 ' "4 6 6 "_3 - 7 - 5 ' 1) .4 = 0 0 1
a) A = 25 -11 - 9 b) A = -3 4 0 150 13 2 k) A = 2 4 3 002
0 15 - ! -5 -2_
17 - 9 - 4 -3 1 3 _1 2 2 _

376 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 377

Sea X el autovalor de la transform ación lineal T: V —> V, dem ostrar qu e el a) Hallar sus autovalores y autovectores.
conjunto formado por los autovectores asociados a X y el vector nulo es b) D eterm inar si son diagonalizables, calculando cuando sea posible las
subespacio de V.
matrices P no singular y D diagonal para que se verifique A = PD P 1.
Suponga que A¡ y A2 sus autovalores diferentes y distintos de cero de
T : R 2 —> R 2 , D em ostrar que: Estudiar para que valores de los parámetros son diagonizables las matrices.

'1 a 1 ‘ 2a 0 2a

A = 0 1 10 , A = 1 a 2

a) Los auto vectores y v2 correspondientes son linealmente 00 c -a 0 -a
independiente.
Encuentre la ecuación característica y los valores y vectores propios de las

b) 7 (v j) y T(v2 ) son linealmente independiente. siguientes matrices: '2 1 0 0 '
0200
Encuentre la matriz ortogonal Q que diagonaliza la matriz sim étrica dada, '5 6 2 ' " 5 0 1" c) A =
después verifique que Q 'A Q = D , una matriz cuyas componentes diagonales b) A = 1 1 0 00 20
son los valores propios de A. a) A = 0 -1 - 8 0 0 0 5_
-7 1 0
1 0 -2

'3 4 '2 f II ' 1 -1' ~4 0 f '7 1 2 ' " -2 0 -36
a) A = b) A = T -1 1 d) A = -2 1 0 e) A = - 1 7 0 f) A = 0 - 3 0

4 -3 12 u -2 0 1 1 -1 6 _-36 0 -23_

' 1 -1 - l e) '-1 l2 ' 1 -1 0 ' Encuentre los valores propios de A 9 , r 1 3 7 11
d) A = -1 1 -1 A= 2 -1 2 f) A = -1 2 -1
l1 si: 0-138
-1 -1 1 2 0 -1 1 A=

0 0-24

00 0 2

® Dadas las matrices siguientes: Aplicando el teorem a de CAYLEY - H A M ILTON, hallar A ~ ‘ , sí:

'9 - 4 - 7 1 ' 15 0 - 9 - 5 ' 9 0 -3 - f 3 10 0 0

7 6 -7 -7 7 6 -7 -7 6 6 -6 -6 1 30 0 0

8 -4 -6 * > 10 5 1 A= 0 0 2
- 8 14 0 - 8 -14

9 0 -9 1 9 0 -9 1 . -2 0 2 8 00 1

se pide: 00 1

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378 Eduardo Espinoza Ramos Valores y Vectores Propios 379

Ver si las m atrices A y B son semejantes o no, si lo fueran, encontrar una i35j Encontrar los valores y vectores propios de las matrices dadas.
m atriz P tal que P 1A P = B .
l
32 4 L1A -1 -3 -9
a) A = 2 0 2 1 c) A = 0 5 18
V1OI
423 0 -2 -7
"0 1 0" 0 0 0' b) T = 8 9 18
A= 0 0 1 , B= 1 0 0 - 2 - 3 —7

000 0 10

Encuentre una m atriz P que diagonalice a la matriz A; sí A = 1 4 -2 6.12. FORMAS BILINEALES.-
-3 4 0
31 3 D E FIN IC IÓ N .- Sean (V,+,k„) un espacio vectorial y f una función de V 2
en k, entonces la función f : V xV —> k es u na form a
H allar la m atriz P, si existe, que diagonalice a cada una de las matrices.
bilineal sobre V sí y sólo sí es lineal respecto a los dos argum entos es decir:
f : V xV —» k es form a bilineal sobre V si satisface:

'3 0 0 0' '-2 -1 0 0 i) Linealidad respecto al prim er argumento.
0300 / (ax + b x ' , y ) = a f ( x , y ) + b f ( x ’, y )
0 7 00
a) A = b) A = 0 10

0 0 12 0
0032
0 0 01 ii) Linealidad respecto al segundo argumento.
f ( x , c y + dy') = c f \ x , y ) + d f ( x , y ' ) V x , y , x ' , y 'e V , a,b,c,d e k
H allar la m atriz A de orden 3x3 que tiene com o valores propios: A¡ = - 1 ,

A2 = 2 y Á3 =5 y como vectores propios f 2" ' - 2 ' í 1' O BSERV ACIÓ N .-
29 1 y -2 Si fe s una forma bilineal sobre V, entonces se verifica que:

X ,2 , k2 j f(ax,y) = afi(x,y) = f(x,ay)

respectivam ente.

Si los valores propios de una m atriz A son A, =1 y A2 = - 1 y los vectores Ejem plo.- Sea g : V 2 -> k u n a f o r m a bilineal, dem uestre que g y . V - > k
definida por g y (x) = g (x, y ) es una forma lineal.
(i) m
propios correspondientes son I y , , hallar la m atriz B que cum ple con la

2 -3 Solución
g y (ax) = g(ax, y) = ag(x, y) = agy (*)
relación P ~ 'A P = B donde P -
14

(Sí) P robar que A y A 1 tienen el m ism o polinom io característico. g y (ay) = g(x, ay) = «g(*, y) = agy (y)

www.mundoindustrial.net Valores y Vectores Propios 381
380 Eduardo Espinoza Ram os

Ejem plo.- Sea ( k n , +,k,.) espacio vectorial y la función / : k nx k n —> k En efecto, si x e y son dos valores cualquiera de V, que expresado en térm inos
n de la base [V] es :

definida por f ( x , y ) = ^ j ^ x iy i es una forma bilineal sobre k n . nn nn
i=i

f{x,y) = f i ^ x ^ ^ y j V j ) = X X , , . A , , , )

Solución i=l 7=1 i-l }-\

i) / (ax + bx' , y ) = a f ( x , y ) + b f ( x ' , y ) , por comprobar. nn

n nn

f ( a x + b x ',y ) = ' ^ ( a x l +b¿¡ )y, = ^ axiy i + ^ bx\y, 1=1 y=i
1=1 /=! i=l
donde x e y son las matrices columnas cuyos elementos son las coordenadas de
n n x e y respecto de la base [V],
=x¡y¡ + b ^ xj\y¡ = a / ( * , .y) + b / ( * ' , y )
6.14. FORMA BILINEAL SIMÉTRICA.-
i=i <=i

H) f ( x , c y + dy ' ) = c f ( x , y ) + d f ( x , y ' ) D E F IN IC IÓ N .- La forma bilineal / : V 2 ->& es sim étrica sí y sólo sí

n nn f(x,y) = f(y,x), V x,y e V
f ( x , c y + d ' ) = ^ x ¡ ( c y ¡ + d y \ ) F C = c J ' x iy i + d ' J ' x t)}f
P R O P IE D A D E S
i= i i= i m

=cf(x,y) +d f(x,y') L a m atriz A e k " xn representa u n a form a bilineal sí y sólo sí A es sim étrica.

n © Sea f la form a bilineal sim étrica asociada a A, f es sim étrica <=>
f (*> y ) = x¡y¡ es una form a bilineal sobre k " f(x,y) = % ,x ) => x 1A y = y 1Ax

i=i

© Sea A simétrica, entonces:

6.13. MATRIZ DE UNA FORMA BILINEAL.-

f( x ,y ) = x ,Ay = (x'Ay)' = y 'A 'x = y' Ax = f(y ,x )

Sea V un espacio de dim ensión n > 1 y [V]= {v¡ ,v 2 ,...,v„} un a base de V, y Luego f es simétrica
la forma bilineal / : V 2 -> A \ entonces f está caracterizada por los valores
a t/ = / ( , v ,) que son los elem entos de la m atriz A e k nxn, llam ada m atriz de Ejem plo.- Determ inar la form a escalar de las formas cuadráticas asociadas a
f respecto de la base [V]. las formas bilineales g(x, y ) - x ' A y en los siguientes casos:

www.mundoindustrial.net Valores j ’ Vectores Propios 383
382 Eduardo Espinoza Ramos

3 -7 2 o" 1 0 0' Ejemplo.- Desarrollar la forma bilineal sim étrica asociada a la matriz A,
i) A = - 7 2 1 0 ii) A = 0 -1 0
'1-12
0 0 -1 0 01
siendo: A = -1 3 1
21 - 2

Solución Solución

3 -7 5 0 >l" " i - i 2" > i
g(x,_y) = (x ,,x 2,x 3) - 7 2 i 0 y i f ( x , y ) = x ‘A y = (x l, x 2, x i ) -1 3 1 y2

0 0 -1 y*. 2 1 -2 .y*.

y\ -x, + 3x2 + x3, 2X| y\
= (3x, - V L r2, -V2.T, + x2, - x 3) v2 •V2
^3

- * 2.W + 2 x 3^! - x , . y 2 + 3 x 2j 2 + x 3^ 2 + 2 x 1>'3 + X 2y ¡ - 2 x 3y 3

= 3 x , - yÍ2x2y l - 7 5 x ]y 2 + x 2y 2 - x 3y 3

Ejem plo.- Desarrollar la forma bilineal simétrica asociada a la matriz A, 6,15. FORMAS CUADRÁTICAS.-

1 -1 2" D E F IN IC IÓ N .- Sean (V,+,k,.) un espacio vectorial de dim ensión finita y
,4 = -1 3 1
siendo: 1 g: y2 una forma bilineal sim étrica sobre V
2 -2
entonces una forma cuadrática asociada a la form a bilineal sim étrica g es la

Solución función f: V -> k definida por f(x) = g(x,x) = <x,x> donde

n

" 1 -1 2 ' > i ’ < x,y>
-1 3 1 y 2
2 1 -2 y*.

= (X | —x 2 + 2 x 3 , - x 3x2 + x 3 , 2 xj + x 2 -
H1 i«l
H
£
II

II

H

y\ Si V = k " y si A e k nxn es la matriz simétrica de la forma bilineal g, entonces
yi la forma cuadrática asociada está definida por:
73
n
/(x ) = x '^ £ £ W l

= x,y, - x ^ , + 2 x 3y, + 3 x 2y 2 + x ^ 2 + 2 x , j 3 + x 2j 3 - 2 x 3 y3 í»l j=\

www.mundoindustrial.net Valores y Vectores Propios 385

384 Eduardo Espinoza Ramos D EFIN IC IÓ N .- Sea V = y sea A una matriz simétrica de nxn entonces

observamos que el desarrollo de una forma cuadrática, en térm inos de las
variables x l , x 2,...,xn , corresponde a un polinomio hom ogéneo de grado 2
donde los coeficientes de los térm inos cuadráticos son los elem entos de la
diagonal de la m atriz sim étrica correspondiente, y cada coeficiente de un
térm ino rectangular x ¡ x j es el duplo del elem ento QtJ d e la ecuación.

D E FIN IC IÓ N .- U na forma cuadrática x ' A x es no degenerada sí y sólo sí A una forma cuadrática en x , , x 2,...,x„ es un exponente de la
es no singular.
forma: f ( x j , x 2, —, x „ ) = Av.v

La matriz correspondiente a la forma cuadrática f : R 1 -> R definida por: E jem plo.- Encuentre una matriz simétrica A, tal que la form a cuadrática se
puede escribir en la forma AX.X

/ (jc) = jc,2 + 2 x 2 + 2 x \ “ 2*i *2 + 1 -1 2 1) X 2 + 2 x ¡ x 2 +XÍ ; + 4x J X 3 + * 2 x 3 + 3 X j + 7 x ¡ x 4 — 2 x 2 X 4 + x 4
*3 es A = - 1 2 0 Solución

20 2

Ejem plo.» Determinar la matriz de la forma cuadrática sobre definida 2 12 7
por / ( x , , x 2, x 3) = x? - 4.r,x 2 + 2x\ 2
1 13 -1
Solución A= 0

2 33 1
7

-1 0

' 1 -2 0' ' 1 -2' 6.16.. EJERCICIOS PROPUESTOS:-
A = -2 2 0 A=

0 00 -2 2

© flallar la m atriz sim étrica que corresponde a cada uno de las siguientes formas
cuadráticas.

Ejem plo.- La matriz de la forma cuadrática f \ x , y ) ~ a x 2 + b xy + cy1 es:

b a) f ( x , y ) = 4 x 2 - 6 x y - 7 y 2 b) f ( x , y ) = xy + y 2
a—
c) f { x , y , z ) = 3 x 2 + 4 x y - y 2 + Sxz - 6y z 4- 3z "
2
b *1) f ( x , y, z) = x 2 - 2yz + Sxz
—c
.2