Algebra Lineal - Eduardo Espinoza Ramos

86 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el E spado Tridimensional 87

(69) Hallar la ecuación de cada plano que contiene intercepto x en 2. intercepto y Un rayo de luz se dirige p o r la recta L = {(2 - 1, -t, 1) / 1 e R} al chocar con el
en 3, y se halla a las distancia de — del origen, R p ta. P: 3x + 2y ± 6z = 6 espejo plano 71: 2x - y + z + 2 = 0, se refleja. H allar la recta L x en la cual esta

el rayo reflejado. R p ta . L ] = { (-5 ,-7 ,1 ) + 1,4,1) / A e R}

(70) Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-2,5,3) y B(4,8,-8) y (vi) H allar una ecuación del plano que pasa por el punto A (l,-1,4) y es ortogonal a
cada uno de los planos P ,: 2x + y - z + 2 = 0 y P 2: x - y + 3 z - \ = 0.
es perpendicular al plano XZ. R pta. P: llx + 6z + 4 = 0 R pta. P: 2x - 7y - 3z + 3 = 0

71} D eterm inar los puntos de intersección y el ángulo que form an los planos £0} Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa por los
7vx: 4 x + 3>’+ z = 0 ; 7r2: x + y - z = 15

puntos A( 1,5,-3) y B (-5,-4,11). Rpta. P: 3 x - 2 y + 7 = 0

Í2x +2y +z = 0 81) Dado el plano 7ty x ~ y + 2 z = 2 que representa un espejo, al cual incide un
72) Calcular la distancia del punto p(6,-3.3) a la recta: L:\ rayo luminoso que sigue la trayectoria de la recta
jL, = {(0,2,0) + í( 1,1,1) / í e /f } . H allar el punto d e intercepción de la recta
[4x-_y-3z-15= 0 L2 que contiene al rayo reflejado con el plano n: 2x + y + z = 16.

(t? ) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto p (3 ,2 ,-l) y que

íx-y =0 Í2 .r-j +z = 0

corta a las rectas. L,:\ y Z,,: \
2 [_y-2z + 2 = 0
1 U -z = 0

(74) Determ inar la ecuación de la recta que pasa por el punto m edio de A B y corta (82) El radio vector normal a un plano tiene una longitud de 5 unidades y dos de
bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por M y N donde A (2,4,0), B(0,0,-¡ sus ángulos directores son a= 45° y p = 60°. H allar la ecuación del plano si este
2), M (3,3,3), N (-1,3,3). pasa p o r el extrem o de su radio vector norm al. R p ta . n x: J 2 x + y + z - \ 0 = 0

ti 2 : -J2.X + y —z —10 = 0

75} D esde el foco F (0,0,10) se lanza un rayo lum inoso el cual se refleja en el (83) El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenadas
espejo plano n de ecuación x + y + z = 1. H allar la dirección co n la cual se es 12m3. H allar la ecuación del plano, sabiendo que es paralelo al plano
lanzó el rayo, si el rayo reflejado pasa por el punto G (2 ,j.l5 ). cuya ecuación es 3x + 2y + 4z + 6 = 0. R p ta . P: 3x + 2y + 4z ± 12 = 0

( 7 ^ Halle la ecuación del plano que contenga a la recta x - 3 = -(y + 5)= -(z + 2) y (8 4 ) H allar la ecuación del plano que contiene a la recta L: x = y = 2z y que
adem ás pasa por el punto A (0 ,1,0). R p ta . P: 2x - z = 0
el punto (5,0,-4). R pta. P: x + z = 1

11j Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,2,-4) y es paralelo cada (8?) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto A (-2,3,l) y es ortogonal a
los dos planos. P , : 3x + 2 y - z = 1 y P 2: 2 x - 5 y + Az = 7
una de las rectas L x. x + y - z + 11 = 0 a x —y + 2 z —7 = 0 y R p ta. 3x - 14y - 19z + 67 = 0

¿2: 2x - 3 > - 2 z + 8 = 0 a x + 2 y + z - 9 = 0 R pta. P: 29x + 9y + z - 72 = 0

88 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 89

8 6 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por los punto A( 1,2,-4), B(4,- (9? ) U n plano pasa por el punto A (5 ,-1,3) y dos de sus ángulosdirectores de su
norm al son a = 60° y (3 = 45°. H allar la ecuación del plano.
3,2) y C(-4,5,10). Rpta. P: 1lx + 9y + 2z - 21 = 0

87) H allar la ecuación del plano que pasa por los punto A (2,0,-l), B{0,2,5) y es Rpta. 7t,: x + - j2 y + z - 8 + -Jl = 0 ó n 2: x + -j2y + z - 2 + -j2 =0

ortogonal al plano 3x + y - z = 7. Rpta. P: x - 2y + z = 1

H allar la recta L que es paralela a los planos P ,: 3.v + 12 v —3z = 5 y ( íó ) H allar la distancia del punto p al plano 7t donde.

jc + 5 y —3 z + l 50VÍ3
P2 : 3 x - 4 y + 9z = - 7 y que corta a las rectas L ¡: -------= - -------= — y Rpta. í/(p ,/r) =

jr —3 >>+1 z - 2 R p ta . L = {(-3, - 1 ,2 ) + /( —8 ,3 ,4 ) / / e /?} a) p(15,-22,10), ti: x + 10y + 4 z + 15 = 0 13
L 2: ------- = - — = ------- b) p(-10,-10,5), 7t: x + 2 y - 3 z = 1 8 63 __
Rpta. d ( p , n ) = — -J\4
-2 3 4

(S?) El pie de la perpendicular trazada desde el origen al plano P es el punto

A( 1,-2,1). H allar la ecuación del plano P. R p ta . P: x - 2 y + z = 6 c) p(3,-2,5), Jt: 2 x - y + z = 0 d) p( 1,1,5), 7t: 2x + 3y - 2 z = 4

9 0 ; Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A (l,-2,1) y es

perpendicular al vector OA , siendo O el origen de coordenadas. 9 7 ) D ados los puntos A (3 ,5 ,1), B (-1,1,3) y C (2 ,4 ,1) del triángulo A BC , donde G es
R pta. P: x - 2y + z = 6 el centro de gravedad de dicho triángulo y G es la proyección ortogonal de R

,91[) H allar la ecuación vectorial de un plano P. Sabiendo que la sobre el triángulo A BC. Si || GR ||= 6 V2 . H allar la proyección ortogonal de G
recta L = {(1,1,1) + t (0.1,1) / 1 eR } está contenida en el plano P y que el
ángulo que form a el plano P con el plano ji: 3x - y - z = 0 60°. sobre el plano BCR. 31
Rpta. P: (22,5,-5).[(x,y,z) —(1,1,1 )]=0; P': ( - 2 2 ,5 ,- 5 ).[ (* ,> > ,z ) - (t,l,l) ] = 0 R pta. (—, 3, - —)

92 ) H allar la proyección ortogonal de la recta. L = {(1 + t, 1 - 2t, 2 + 3t) / t eR} 98) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y forma
un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0 .
R pta. ti: 4x + 4y + z - 1 6 = 0

sobre el plano rc: x - 2y + 3z = 33. R pta. P< oyf¡ = (3 ,-3 ,8 )

9 3 ) H allar la ecuación del plano que pasa p o r la recta de intersección de los 99) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta L i : = “ y es
planos 3x -y + 2z = 5 y 8x + 2y - z = 3 y que contiene al origen.
Rpta. 7i: 3 1 x + 1 3 y - l l z = 0 ,, , x -1 y z +l

paralela a la recta ¿ 2 : —j— ~ ~ ~ 2 ~ " 5 ' ' Rpt®* 7x + 6 y + z - 4 = 0

9 4 ) D os rectas I , = {(3,4,3) + /( - 2 ,0 ,1 )/1 e R) y ¿ 2 = {(1,-24,- 3 ) + /( l,- 2 ,1 ) // e /?} ( lÓo) Un cubo tiene dos de sus caras en los planos P ,: 2x + 6y + 3z - 1 2 = 0 y
son paralelos a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano. Hallar P 2: 6x + 1 8y + 9z + 6 = 0. Hallar su área total y su volumen.
el plano P si se sabe que d ( L , , P) = d(L2 , P) = 3
Rpta. At = 24w2 , V = 8 u 3

90 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 91

101J Sean los puntos A (2,3,4) y B (3 ,l,6 ) y el plano P: x + y - 4 z = 3. H allar un I09J T res vértices de un tetraedro regular se encuentra sobre el plano
plano tz que pasa por A y B y que form a con el plano P un ángulo de 45°. 7t: 5x - 7y+z+2 =0 y el cuarto vértice sobre la recta L = { (l+ t, 2+ t,-3+ 2t)/
13
Rpta. ti: 2x - y - 2z = -7 te R ¡ . H allar el volum en de dicho tetraedro. R pta. V = —m

102) H allar la ecuación del plano n paralelo al plano n¡: x + 3 y - 2 z + l 4 = 0 y tal
que la sum a de sus interceptos con los ejes coordenadas sea igual a 5.
110) Dados los puntos A( 1,2,3), B (4,5,6) y C(7,8,8). H allar el conjunto M de puntos
R pta. ti: x + 3y - 2z - 6 = 0
O de /f 3 tal que A ,B,C y P sean los vértices de un tetraedro de volum en igual a

6 unidades cuadradas. Rpta. M : x ~ y + 1 3 = 0 ó M : x - y - l l = 0

103) Hallar la ecuación del plano n que contiene a la recta L : x - y - l = 0
a x + y + z = 2 y que es ortogonal al plano de coordenada X Z.
l l l j Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A(-2,-3,5) y B(4,6,-10)
R pta. n: 2x + z = 3 y que es perpendicular al plano XZ. R pta. P: 5x + 2z = 0

104J H allar la ecuación del plano que pasa p o r la recta x = 2 t + l , y = -3t + 2, 112) H allar las ecuaciones de cada uno de los planos que se hallan a 2 unidades del
origen y tiene una normal que hace un ángulo de 60° con ambos eje X, eje Y.
z = 2 t - 3 y por el punto A(2,-2,1) R pta. n: 4x + 6y + 5 z = l
R pta. x + y + >/2z = - 4 ; x + y - J l z = - 4

(l0 5 j x -2 y -2 z-1 x + y - 4 l z = 4 ; x + y - y¡2z = 4
H allar la ecuación del plano que p asa po r la recta L ]: —— = —— = — ~ y
113) Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula
-2 desde el punto A (2,2,3) hacia la recta L = {(0, 1 + r, -r) / r e R} para que la
es paral.el.a a ,la recta L 2: —— = —y ~ \ = —z —+ i . R pta. 7t: 2 x - 2 y - z + l = 0 alcance al cabo de 2 segundos, siendo su velocidad V = V3u / s e g .

fx + j + 3 z-7 = 0

(106) H allar la ecuación del plano P que contiene a la recta L: \ [3x + 2 y - z = 0 y
V1

es perpendicular al plano P ,: 2x + y - 2z +1 = 0. Rpta. A B = ( - 2 - 2 - 2 )

R pta. P: 19x + 16y + 27z = 70 114) Una partícula com ienza a moverse en la dirección en el punto A( 15,-22,10) y
115) —►
107) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto de coordenadas A (2 ,-l,l) y
es perpendicular a los dos planos 2 x - z + l = 0 , y = 0 R pta. P: x + 2z - 4 = 0 se m ueve con un a velocidad constante V = (1,1,1) ¿C uánto tarda la partícula en

alcanzar al plano n: x + 1 0 y + 4z = - 1 5 ? R pta. t = 10 seg.

108} Determinar la ecuación de una recta que sea paralela a los planos ¿En qué dirección debería moverse la partícula del problema anterior para
alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo
P : x + z - 4 = : 0 y Q: x + y = 2 e intercepta a las rectas L¡ = {<(1,0,1) / 1 e R] del problema anterior ¿Cuál es el tiempo mínimo?

y ¿ 2 = {(Q,l,0) + /l(0 ,0 ,3 )/A € R} R pta. L = { ( l,0 ,l) + t ( l , - l , l ) / t e R} R p ta. (1,10,4), tm = l^ > /3 9 seg.

92 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 93

Hallar el ángulo entre la recta de intersección de los planos D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos A ( x l , y u z ]) y
b [x 2 , y 2,z2) y c [ x } , y 3, z3) se puede expresar en la forma:
3x + y + 3 z = 5 ; x - y + z = 2 y la recta de intersección de los planos

13

8 x - y + 7z = 3; x - y + z = 2 Rpta. 6 = árceos ( >

x -.r, y-y i z-z,

Determinar una ecuación de la recta L que satisfaga a la vez las condiciones =o
siguientes:

xï ~ x\ y*-y\ v

i) Esta contenido en el plano P determ inado por los puntosp 0(0 ,0 ,0 ),

P l(2,2,0) y p 2(0 ,l,-2 ). D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto p 0 (x0, y 0 , z 0) y
es perpendicular a los dos planos t^ : A , x + B ly + C ¡ Z + D ¡ = 0 ,
ii) Sea perpendicular a la recta x+l y - 1 ti2■ A 2x + B 2y + C2Z + D 2 = 0 se puede representar en la form a siguiente:
:— — = ^ ~ = 2z .

21 19 4
¡i¡) Para por P n L , . R p ta . I = { (- — , - — , ^ —) + í(2 ,- 3 , 1 0 ) /f e /?}

D em ostrar que la intersección de la recta. L = {Q0 + 1. a / í e R) y el plano x ~ xo y - y 0 z ~ zo
=0

{Pa-Qo)N D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta L: x = x 0 + t a ,
*'■ ( p - p 0 ) . W = 0 , e s e l p u n t o A(Q0 + ( ---------------- ) a ) .
y = y 0 + t b , z = z0 + t c y por el punto a ( , z , ) se puede expresar en la
a .N

D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto /l(.v0 ,_y0 ,z 0) y es

paralela a los dos vectores a = ( a {, a 2, a3) y b = (¿>, , ¿ 2 , ¿ 3) se puede expresar x ~ xi y - y i z-z,
* i-* o y\-y o z\ ~ zo = 0
forma: be
a
x~x0 y -y 0 z-z0
en la forma: =0

ft, b2 bj H allar la ecuación de la recta que pasa por (1,3,2), es paralelo al plano
rt= {(1,4,0)+ *(1,1,1)+ ^ (0 ,1 ,2 )/ t , Á e R) y form a un ángulo de 60° con la recta
D em ostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A [ x i , y l , z l) y L, = {(1,-2,3) + *(1,0,1)// e R } .

B{x2, y 2, z2 ) y es paralela al vector a =(a¡,a2,a3) se puede expresar en la R pta. £ = ¡ ( 1 ,3 - 2 ) + * ( 3 1 2 ^ 2 , l ± 4 l , 1) /* e /?j

x-x{ y-yx z-zx

forma: x2 ~ xi ^2 ~y¡ z2 ~ zi = 0 H allar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y que
forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0 .
a -,

94 Eduardo Espinoza Ramos Krctus y Planos en el Espacio Tridimensional 95

126) Hallar en el eje x un punto equidistante de los dos planos (134) La proyección ortogonal de la recta L sobre el plano P ,: x - 2y - 3z = 0 es la
7tj: I 2 x - I 6 y + ].5z + 1= 0 y n 2: 2 x + 2 y - z - l = 0 rectas Z,j:{(1 + 5í, 2 + t, t - \ ) / 1 e /?} y la p royección ortogonal de L sobre el
p lano P2: x + y + 2z = 6 es la recta ¿ 2:{(l + í, 1+ í, 2 - t ) / t e /?}. H a lla r la s
127; H allar un punto C del plano tí: x - y + z - 3 = 0, tal que con los puntos ecuaciones param étricas de la recta L.
A (2 ,l,l) y B (l,6,4) sean los vértices de un triángulo equilátero.

^2x + y —z = 3 135) H allar la ecuación cartesiana del plano qu e pasa por (2,6,1) y contiene a
H allar la ecuación general del plano que contiene a la recta L :
128) la recta L: — = —; y = -5. Rpta. 8 8 x - 1 3 y -6 5 = 0
[ x + 2 y —z — h 38

y es ortogonal al plano 2x + y - z - 3 = 0 . I36J Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es perpendicular

R pta. 4 x - 7 y + z - 9 = 0

a los planos x - y = 4 , x + z = 6. Rpta. x + y - z - 6 = 0

129) H allar la ecuación del plano paralelo al plano 2 x - y + 2z + 4 = 0 sabiendo que
el punto (3,2,-1) equidista de ambos planos. R pta. 2x - y + 2z - 8 = 0
137) H allar las ecuaciones de los planos paralelos que cortan en ángulo recto a los
130J Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,4,-6) y es paralelo a planos P ,: x + z - 2 = 0 y P2: x - y + 3 = 0. Sabiendo que uno de ellos pasa por
los planos x + 2y -z = 4 , 3x - y + 2z = -6. el punto p( 1,1,1) y e l punto q (2 ,-1,2) equidistan de ambos.

R p ta . L= {(3,4,-6) + 1 (-3,5,7) / t e R} 138) H allar la ecuaciones del plano que pasa por la recta de intersección de los
planos P,: x + y - z = 0 , P2: x + 2y + z + 6 = 0 y es paralelo a la recta que pasa
íx +y +z - 2 =0 por los puntos A( 1,-1,1) y B (2 ,1,2).

(131) Hallar la ecuación de la proyección de la recta L : ) sobre el
[x + 2y +z = 0

plano P: 3x + y + 3z - 1 = 0 (l39) D adas las rectas = {(3,4,5) + /(0 ,1,-2) / 1 e R}, L2 = {(4,-2,1)+ ¿ (1 ,2 ,3 )/¿ e R}

y = {(0,0,0)+ /?(2,1,0) / ¡i e R } . Hallar la ecuación cartesiana de un plano

132) Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los plano Pj y
P 2 donde P ,: 3x+ 10y + 5z + 6 = 0 , P 2: x + 4y + 3z + 4 = 0 y sea paralela
a la recta L = {(1,5,-1) + 1 (3 ,2 ,-3 )/ t e R}. que corta a estas rectas en los puntos A,B y C respectivam ente de tal modo

AB = BC, se sabe además que estos puntos están alineados y que al plano

solicitado es paralelo a la recta x = y = z . R p ta . 19x - 20y + z - 81 = 0

133) Determ inar la ecuación vectorial de la recta que sea paralela a los planos Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos
P ,: x + z - 4 = 0 y P2: x + y = 2 e intercepta a las rectas L,:{/(1,0,1) + / e R} y 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 1 2 x - y - 1 7 z = 1 4
L2 ={(0,l,0) + A (0 ,0 ,3 )//letf}
R p ta. 12x - y - 17z= 6

96 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 97

141) Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A (-l,2,0) y B (3,-l,2) y (l-líj) Si L = { ( f - 1, 2 - t , 0 ) / t e /?} y P: x + z - l = 0 un plano. H allar la recta
142J
143] 1 ¿ i , contenida en P , tal que L , L, ) = 60°
144] que form a ángulo 9 = a rc c o s(- —) con el plano P , : x + y - 4 = 0.
Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los
145] 2 planos 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y paralelo al plano 12x - y - 17z = 4
146)
La distancia del punto Q (l,0,3) del plano P es 3. Si P pasa por la recta Rpta. 1 2 x - y - 1 7 z = 1 2
1
j 5x - 6y + 2z +15 = 0 I^M)} H allar la ecuación del plano que pasa a través de la recta
147) L: \ . Hallar la ecuación del plano P. L = {(1,8,1) + t ( l,- 3 ,l ) / te R } y form a un ángulo de 60° con el plano 2x-y+z= 7.

[ x - 2 > ’+ z + 3 = 0 R pta. x + y + 2z = 11 ; 1lx + 2y - 5z - 22 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (3,0,l) y form a un

ángulo de 60° con la intersección de los planos P ,: 2x + y - 2z - 2 = 0 ,

P2 = {(3,2,2) + r(l,2 ,2 ) + ¿(2,1,1) / t, A e /?}

(l*¡y Un rayo de luz parte del punto (1,4,2) se refleja en el espejo plano YZ, este

Dadas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3) rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo

x —1 y + 2 z - 3 jc - 1 3 - 2 jc —1 y + 2 2 - 3 reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado.

L { . -------= - ------= ------- , L2: ------- = ------- , y = -2, I 3: ------- = - ------ = — / 19 18
Rpta. L = {(— ,0, — ) + í(6,5,2) / 1 e R]
22 1 3 -4 2 12

Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto M(-4,2,6) y forma

ángulos iguales con estas rectas. R pta. 3x - y - z + 20 152] H allar las ecuaciones sim étricas de la recta que pasa por el punto M (3,-2,-4)

H allar la ecuación del plano n que pasa por A (l,4,-2), es paralela a paralelam ente al plano rc: 3x - 2y - 3z - 7 = 0 y que corta a la recta
la recta L = {(2,6,5)+t (l,-2 ,0 )/te R } y tal que la distancia de n a L sea igual a 1.
x - 2 v+ 4 2-1 x -3 y+ 2 2+4
3- y 2+ 3 x + 1 3 —y 2 - 1 i . ------- -- -------- -- ------- R pta. ------- = -------- = --------
C onsiderem os las rectas L, : x = -1 ; — —= ------- y : ------ = --------= -------
' 3 -2 2 5 -6 9
lil ilí
Íx- 2 2 - 3 = 0

de m odo que L es una recta que corta ortogonalm ente a L, y L 2 ; si 7t ¡ es el 153] La recta L : ) , intercepta al plano x + 3 y - z + 4 = 0, encontrar el

[y-2z =0

plano que determ ina L2 y L; n 2 es el plano que determ ina L2 y L. punto de intersección p y encontrar la ecuación de la recta en éste plano que

D eterm inar el ángulo form ado por 7r, y n 2 ■ pasa por p y es perpendicular a L. jc—1 y + 2 2 + 1
7t,: 3x + 2 y + 5 z + 1= 0 , n 2: x - y + z + 4 = 0 y R p ta . ( 1,-2,-1 ) ,
Dados los planos
-5

x-5 y-1 z i 154] H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de
L, = {(9,5,4) + / ( l ,l ,2 ) / í e R) y L 2 = {(1,2,3) + A ( 2 ,l,l) /A e R] siendo la
t i , : 2jc + 3 v - 2 - 1 3 = 0 y las rectas L : -------- = ----------=

3 12 1

x +2 y - 1 2 distancia del plano al origen igual a V234 unidades.
: ------- = --------= —. D eterm inar la ecuación del plano que pasa punto de R p ta . 11 (x - 11)+ 7(x - 7) + 8(x - 8)= 0

'0 34

intersección de dichos plano y es paralelo a am bas rectas.

98 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 99

[155J Un hombre se encuentra en 0(0,0,0), lanza una flecha desde A(0,0,16) hacia ® j 5x - 4y - 2z = 5
L: 1
un blanco en B (50,12,16) que se encuentra sobre el plano 25x - 6y - 1178 = 0, ' ^63^ Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta
Í164J sobre el plano P: 2 x - y + z - l = 0 [x +2 z - 2 = 0
haciendo im pacto a 0.1 unidades del blanco. Si la flecha fue lanzada con una
®
trayectoria paralela al plano XY, hallar el ángulo que debió girar el hom bre

para no fallar. R pta. 3.62° H allar la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas que se

(156^ Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3,-5,2) y es j x -2 y +3 z +2 Í3x + 2y +z = -2
perpendicular a cada uno de los planos 2x + 3y - z - 5 = 0 , x - 2y + 2z - 3= 0. ;
interceptan L , : ------- = -------- = --------, L-,:]
Rpta. 4x - 5y - 7z - 23 = 0
4-13 [ x -y +2z=\

Rpta. 4x + 7y - 3z + 7 = 0

(157J Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos íx +y - 4 z = 0
P ,: 5x + 3 y - z - 9 = 0 y P2: 3 x -2 y + 5 z - 6 = 0, se quiere aumentar un plano
m as a la puerta, tal que pase por la recta de intercepción de am bos planos y que C uáles son los puntos B y C de la recta L: \[x + .y = 4 tales que junto con
sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta |
el punto A(3,-2,4) detenninan un triángulo equilátero.
= {(3,1,6) + í( 1,1,0) / í e R ] . Hallar la ecuación de dicho plano.
Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0 Un rayo de luz parte un punto (2,1,6), se refleja en el espejo plano XZ,e

rayo reflejado se refleja nuevam ente en el plano YZ, y este ultim o

reflejado pasa por (3,8,2). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado.

(l5 8 j H allar la ecuación de una recta que pasa por (3,1,2) y corta a las rectas 13 22
(159J R p ta . L = {(0,— , — ) + í ( 5 ,9 , - 4 ) / í e /?}.
jx - y +z = 4
L\ = { (2 ,4 ,- l) + í( 0 ,l,2 ) / 1 e R}, L2: x - l y +2 5-2 y - 1 z+2

[ix +z - 6 D adas las rectas L, : -------= -------- = ------- , L 1: x = - 2 , ------ = -------- que se

2 34 12

R p ta . L = { (3 ,l,2 )+ t (-1,10,1 l)/t eR } -j cruzan. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A (-l,

Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x + 3y - 5z = 0, perpendicular a Z., (en el espacio) y corte a L 2 .

contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y

(2,1 ,-2). Rpta. 5x - 5y - z = 0 167J H allar la ecuación del plano n que contiene a la recta L : x - y - l = 0

160J Hallar una recta en el plano determinado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,0) y x + y + z -2= 0 y que es ortogonal al plano coordenado XZ.
Por el punto A( 1,0,1) se traza un a perpendicular al plano P: 2 x + y - z = 7.
x+\ y - 1 168) Si B es el pie de dicha perpendicular, determ inar un punto C, en la recta:
L = {(-1,1,0) + t (0,1,5) / 1 e R} de modo que el volumen del tetraedro cuyos
C (0 ,1,-2) y que corta ortogonalm ente a la recta L : ■ ^ = 2z .

(l6 l) D ados los puntos A (l,-3 ,4 ); B (3,-2,2) y el plano ji: 2x - 2y + z = 12. H allar vértices son A,B,C y D, es igual a A l f . D es el punto de intersección de la
los puntos C y D del plano n tal que A,B,C y D son los vértices consecutivos
de un cuadrado. recta L con el plano P. 3 25
R p ta . c , ( - l , 0 ,- 5 ) ó c2 (—1,——,—— )

100 Eduardo Espinoza Ramos Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 101

169J Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos (n S ) La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogram o. Si las
Px\ 5jc + 3>’- 2 - 9 = 0 y P2: 3 x - 2 y + 5 2 - 6 = 0. Se quiere aum entar un plano coordenadas de los tres puntos son A (l,2 ,3 ), B (0,-!,4), C (-l,2 ,6 ). H allar la
170J mas a la puerta, tal que pase por la recta de intersección de am bos planos y que ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D.
171) sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta
172) I , = {(3,1,6) + /(1,1 ,0 )// e R } . H allar la ecuación de dicho plano. Rpta. L= {(0,5,5)+ t(-l,-3,1) /teR }
173)
Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0 (l76) H allar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-3,-4) y que intercepta
174) en los ejes coordenados segmentos de igual m agnitud y diferente de cero.
Una partícula com ienza a m overse en el A( 15,-22,10) y se mueve con una
velocidad constante v = (1,1,1). ¿Cuanto tarda la partícula en alcanzar al Rpta. P: x + y + z + 5 = 0

plano; x + lOy + 4z = -1 5 ? . Rpta. t=10seg. (T7I j H allar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3 ,-l,4 ) y tam bién por la
recta de intersección de los planos x + 2 y - z = 4 ; 2x - 3y + z = 6.
¿En que dirección debería m overse la partícula del problem a anterior para
R pta. 3x - y - 10 = 0
alcanzar el plano en tiem po m ínim o? si el m ódulo de la velocidad es el m ism o
^78) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos
que en el problem a anterior. ¿Cual es el tiempo mínimo?. 3x + y - 2 z + 2 = 0 y x - 3 y - z + 3 = 0 y es perpendicular al plano XY.
-» 50 r—

Rpta. a = (l,1 0 ,4 ),fm = “ V39 seg.

H allar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P = (3,2,-1) y que Rpta. x + 7y - 4 = 0

Jx-y =0 j 2 x - y +z = 0

corta a las rectas: L , : i y L7: j 179/ Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos
1 [jt-z = 0 2 [>-22+2 = 0 2 x - y - 5 z = 4 ; 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z + 14 = 0.

Dados los planos ¿r,: 3x + 2 y + 5z + l = 0, n 2. * -> ’+ 2 + 4 = 0, R pta. 12x - y - 17z - 12 = 0

7t,\ 2x + 3 y - 2 - 1 3 = 0 x-5 y-1 z
3'
y las rectas ------------ = ----------= - ; .
1 (l8 0 ) H allar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,4,-6) y es paralelo a
12

x +2 z-1 z ., , los planos x + 2y - z = 4; 3x - y + 2z = -6.
£ : ------- = ------- = —. D eterm inar la ecuación del plano que pasa por el p u n to . Rpta. L = {(3,4,-6) + 1(3,-5,-7) / 1 6 R¡

0 34

de intersección de dicho planos y es paralelo a ambas rectas.

Rpta. 5x - 4y + 3z + 13 = 0 ( l £ l ) D eterm inar la proyección de la recta L = {(1 ,-2,1) + t ( l , - l , l ) / t e R } sobre el

Se tiene dos túneles que parten de la superficie (Suponer que la superficie es plano 7t: 4x + 2y - 2z - 1 = 0. Rpta. Ln = {(^ ^ , ^ )
lisa y es el plano X Y ) desde los puntos p ¡A(0 ,5 /2 ,0 ) y p IB(5,2,0) y llegan

respectivamente, a los puntos p 2A(~7 ) y p 2g (‘“5 ,3 ,-5 ). H allar la

mínima distancia que debe tener un túnel que debe quedar a nivel (paralelo al ^ 82) H allar la proyección de la recta L = {(1,2,-1) + t(2 ,1 ,-1 )/ t e R } sobre el plano

plano X Y ) y va a servir para interconectar a los túneles A y B. R p ta. d= 2.457 ti: x + y - z - 8 = 0. R pta. L n = {(3,3,—2) + í(2 ,—1 ,1 ) //e /?}

Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 103

102 Eduardo Espinoza Ramos

190) H allar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos

^83) Un plano es paralelo al plano P: 2x + 2y + z - 1 = 0 y el punto(2,2,2) es x - y + z = 4 , 2x + y - 2 z = 6 y por el origen. Rpta. x + 5y - 7z = 0
equidistante de ambos planos, hállese la ecuación del plano.
191J H allar la ecuación cartesiana de un plano que contenga a la recta
Rpta. n: 2x + 2y + z - 1 9 = 0
L = (1,2,-3) + t( 1,-4,2) / t e R} y se encuentra a una distancia de —jL=
184^ Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,2,-3) yes paralelo a las v41

x - l v +1 z - 1 . .v+ 5 y —2 z + 3 | unidades del punto P(2,-4,-5). Rpta. 6x + 2y + z = 7 ; 30x + 2y - 1lz = 67
rectas L : — = ------ = --------, : -------= ------- = --------.

M 2 -3 3 2 3 -2 -1

Rpta. 9x + 1 ly + 5z - 16 = 0

(185) x = 2t + \
H allar la ecuación del plano que pasa por la recta L : <y = - 3 / + 2 y p o r el

z = 2í - 3

punto M (2,-2,l). Rpta. 4x + 6y + 5z - 1 = 0

n ¡22xx++yy—- z ++1l==u0 a
186)
Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : < + v + 2z + l = o y es

paralelo al segm ento lim itado po r los puntos P ,(2 ,5 ,-3 ) y (3,—2 ,2 ).

Rpta. 9x + 7y + 8z + 7 = 0

^8?) x —3/ +1
H allar la ecuación del plano que pasa por la recta L, : • y = 2t + 3 y es

z = -t - 2

paralelo a la recta ¿ 2 : "I , ^ • R p ta . 13x - 14y + 1lz + 51 - 0
[x + 2 y - z - 5 = 0

r x-l y +2 z-2 J
188) H allar la ecuación del plano que p asa po r la recta: L: : — —= —

es perpendicular al plano P: 3x + 2y - z - 5 = O. R p ta . n: x— 8y —13z + 9 = ffl

189) H allar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos
3x - 2y + z - 3 = 0, x - 2z = 0 y es perpendicular al plano x - 2 y + z + 5 - rt“

R pta. l l x - 2 y - 1 5 z - 3 = 0

104 Eduardo Espinoza Ram ( onceptos Básicos 105

CAPÍTULO II N O T A C IÓ N .- A la aplicación f de X en Y denotarem os por: f: X -» Y ,
donde D f = X .
___ C Q N CJEPT Q S -B Á S IC Q S ^ .
2.1. PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.- E je m p lo .- f: [-4,4] —> [0,4] tal que f ( x ) = \ l \ 6 - x 2

Sean X, Y dos conjuntos cualquiera, llamaremos producto cartesiano de X por [2.5. CLASES DE FUNCIONES.-
Y al conjunto denotado por XxY y definido así:
Sea f: X -> Y, una función, entonces:
X xY = {(x,y) / x e X a y e Y} a) f es inyectiva, sí y sólo sí se cumple:

2.2. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.- x x, x 2 e X a at, * x 2 => / ( x , ) * f ( x 2)

0 AxB * BxA © Ax<)) = (¡>xA = <l) b) f es suryectiva, sí y sólo sí para todo ye Y , 3 x e X tal que y = f(x).

© Ax(BuC) = A x B u A x C A x ( B n C ) —A x B n A x C c) f es biyectiva sí y sólo sí, es inyectiva ysuryectiva.

© A x (B C) = A x B - A x C © (A x B) x C =A x (B x C) ■L6. CONJUNTO IMAGEN Y CONJUNTO IMAGEN
INVERSA.-_____________________________________________
© S i A c B => A x C c B x C , V C i) D E F IN IC IÓ N .- Sea f: X - » Y una función y A c X llam arem os

(T) S i A c C y B c D ^ A x B c C x D imagen de A según f al conjunto denotado por:

2.3. RELACIÓN BINAR1A.- fl;A)= {f(x)/x e A j c Y

D ados X ,Y dos conjuntos; direm os que R es una relación binaria de X en Y, si Q ue viene a ser el conjunto de todas las im ágenes correspondientes a los
y solo si, R es un subconjunto de X x Y. elementos del conjunto A a D f = X .

2.4. APLICACIÓN DE X EN Y.- ii) P R O P IE D A D E S D E L C O N JU N T O IM A G E N .-

D irem os que f es una aplicación ó función de X en Y, si y solo si, para cada Sea f : X —» Y una función y A, y B subconjuntos del dom inio X
x e X, existe un único y e Y , tal que y = f(x). entonces:

© A c X, B c X , A c B => f(A ) c f(B)

© A c X, B c X => f(A u B) = f(A) u f(B)

106 Eduardo Espinoza Ramos ( onceptos Básicos 107

© A c X , B c X => f ( A n B ) c f ( A ) n f(B) 2.8. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA.-
la igualdad se cumple cuando f es inyectiva.
a) D E F IN IC IÓ N .- Sea A * «(>, un conjunto, llam arem os ley de
© A c X . B c X => f(A )- f ( B ) c f ( A - B) composición interna definida en A, a toda aplicación
la igualdad se cumple cuando f es inyectiva. de A x A en A.

iii) D E F IN IC IÓ N .- Sea f: X -> Y y B c Y , llam arem os pre - im agen o es decir: F : AxA A
im agen inversa de B según f, al conjunto denotado por:
(a,b) -> F(a,b) = aFb
f~ l(B)={xeDf / f(x)eB}
b) D E FIN IC IÓ N .- Sea A, k dos conjuntos (k se denomina conjunto de
operadores o escalares).

Q ue viene a ser el conjunto de contra imagen correspondiente a elem entos Llamarem os ley de com posición externa definida en A y con operadores
del conjunto B c Y . en k, a toda aplicación de kxA en A, es decir:

iv) PR O PIE D A D E S DE LA IM AGEN INVERSA DE UN C O N JU N TO .-

• : kxA A

Sea f: X - » Y una función y A c Y, B c Y entonces:

© SiAcB r\A )< zf~\B ) (A,a) —> »(Xa) = X • a

2.9. CAMPO O CUERPO.-

© f-\A ^ B ) =r \ A ) v r \ B )

® f '( A n B ) =f-'(A )nf-'{B ) A un conjunto k * <|) le llam arem os cam po o cuerpo si en k están definidas dos
leyes de com posición interna (sum a y producto) y adem ás verifican las
siguientes propiedades.

© r l(A') = ( f ~ \ A ) y

Ira. Sum a: +: k x k -> k

© f-\A -B ) =f- \A ) - r \B ) (a,b) - » +(a,b) = a + b

2.7. COMPOSICIÓN PE FÜNCIONES.- i) a + b = b + a, V a,b e k, conm utativa.
ii) a + (b + c) = (a + b) + c, V a,b,c e k, asociativa
Sean f: X - » Y, y g: Y - » W , dos funciones, llamaremos función com posición ¡ii) Existe 0 e k tal que a + 0 = 0 + a = a , V a e k “0” es llam ado el elem ento
de g con f ó f seguido de g, a la función denotada por g o f : X -» W, tal que:
nulo o cero.
. (gof) (x) = g(f(x)), V . v e D gof

108 Eduardo Espinoza Ramos ( onceptos Básicos 109

iv) V a 6 k, 3 - a e k, llamado opuesto o inverso aditivo tal que: (a +b\Í2.).(c + d\ Í2 ) = (ac + 2bd) + (be + a d )V2
a+(-a) = (-a)+a= 0

2do. Producto: .: k x k -> k probarem os solam ente la parte iv) del producto que es V a € k, 3 a ' 1 tal que
(a,b) -> •(a,b) = a.b a.a 1 = 1, los demás axiomas son inmediatos de verificar.

i) a.b = b.a, V a,b e k, conm utativa. Sea a + b y f l ^ O , (b * 0) debem os probar que existe c + d y í l tal que
¡i) a.(b.c) = (a.b).c, V a,b,c e k, asociativa. (a +bj2).(c +d j 2) = 1
iii) Existe 1 e k llamado elem ento identidad tal que: 1.a =a .l= a , V a e k .
Pero (a + b j2 ).(c +dy/2) = (ac + 2bd) + (bc + a d ) j l =1

iv) V a e k , a*0, existe un elem ento a 1 llamado el inverso de a, tal que _ , , ,ac + 2bd = l .... (1)
a.a~] = 1. De d o n d e •{ ... (2)

bc + ad = 0

v) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. De (1) y (2) despejamos c, es decir:c = -— — - , c = - — de donde
ab

a.(b + c) = a.b + a.c - (a +b).c = a.c+b.c

1—2b d a d -> ->
-------- - = => b - 2 b 2d = - a 2d
E jem plo.- Son campos o cuerpos los conjuntos siguientes:

R = conjunto de los números reales.

(2b2 - a 2)d =b de donde d = — — - , c =

Q = conjunto de los números racionales. 2b2 - a 2 ’ 2b 2 - a 2

C = conjunto de los números complejos.

L uego c + d j 2 = -------^ ^ + — -y¡2

Ejem plo.- Considerem os el conjunto siguiente: 2b —a 2b2 - a 2
Q(\Í2) = {a + byfl / a,b e Q ) . Demostrar que (Q(y¡2\ +, • )
es un cuerpo. ••• 0 ( V 2 ) es un cam po.

D em ostración Ejercicio.-

Primero definiremos las operaciones siguientes:

(a + by¡2) + (c + d y¡2) = (a + c) + (b + d)\¡2 © El conjunto Z(\¡2) = {a + b y ¡ 2 / a , b e Z } con las operaciones de adición y
m ultiplicación definidas en el ejemplo anterior no es un campo.

Eduardo Espinoza Ramos I \pacios Vectoriales 111

Dado el conjunto Q ( y T S ) = {a + b y ^ l a , b e Q] . Probar que es un CAPITULO III
cuerpo con las operaciones de C.
b. ESPACIOS VECTOR1ALES.-
Si a es una raiz de la ecuación x 2 + x + 2 = 0 entonces
Q (a ) = {a + b a / a,b e Q }, es un cuerpo. 3.1. DEFINICIÓN.-

Sea a = —(1 —f-v/3), probar que el conjunto Q (a ) - {a + b a / a,b e Q }, es Sean V * <j>un conjunto, k un cam po y dos operaciones una de sum a (+) y
2 la otra de producto (.), entonces direm os que el objeto (V, + k, .) es un espacio
vectorial si se verifican las siguientes condiciones.
un cuerpo.
A) EXISTE UNA A PLICA CIÓ N SUMA. + : VxV -> V
(x,y) -» +(x,y) = x + y

Llamado ley de composición interna (la suma de dos vectores es un
vector) y cum ple los axiomas siguientes:

A | .- x + y = y + x, V x,y e V axiom a conm utativa.

A 2 ■- x + (y + z) = (x + y) + z, V x,y,z e V, axiom a asociativa.

A 3 V x e V, existe 0 e V tal que x + 0 = 0 + x = x donde “0” se
denomina elemento neutro aditivo o cero.

A 4 .- V x e V, e x is te -x e V, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0, d o n d e -x
se denom ina opuesto de x.

B) EX ISTE UNA A PLIC A C IÓ N PRODUCTO.-

112 Eduardo Espinoza Ramos I \pacios Vectoriales 113

Llamado ley de com posición extem a (el producto de un escalar por un I'.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES.-
vector es un vector) y cum ple con los axiomas siguientes:
© El conjunto V = R, con las operaciones de sum a y producto de R es un
5 , a(Px) = (aP)x, V x, a, (3 e k espacio vectorial sobre R.

B 2 .- (a + P)x = ax + Px, V x € V, a, p e k ( J ) El conjunto V = R 2 = {(x,_y) e R 2 / x e R a y e R) y k = R (el cuerpo)

Z?3 a(x + y) = ax + ay, V x,y e V, a e k con la suma de pares ordenados (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) y el producto

B 4 .- V x e V, existe 1 e k elem ento idéntico m ultiplicativo tal que por un escalar: /.(a,b) = (Xa,Xb), X e R
1.x = x.
es un espacio vectorial sobre R.
OBSERV ACIÓ N .-
© Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de k se llaman © En R 2 cualquier recta que pase por el origen, es un espacio vectorial
sobre R.
escalares.
Por ejem plo el conjunto V = { ( x , y ) e R 2 / 3 x - 2 y = 0} con las
© Como V está definido sobre los elementos de k, se dice que V es un k operaciones de suma y producto de un escalar con las de R 2 .
espacio vectorial.
© El conjunto V = R^ = {(x, y , z ) / x e R a y e R a z e R} con las
( 3 ) Si k = R, V se llama espacio vectorial real.
operaciones de un escalar por un elemento d e /? 3 es un espacio vectorial
( 7 ) Si k = C, V se llama espacio vectorial complejo. sobre R.
( T ) Un conjunto V * <|> para que sea un espacio vectorial sobre un cam po k '
© En /?3 cualquier plano que pasa por el origen es un espacio vectorial
debe tener definidas dos operaciones “sum a” y “multiplicación por un sobre R.
escalar” y que cum ple las ochos axiom as m encionados, en caso que no
cum pla con alguno de dichas axiomas no es un espacio vectorial. Por ejem plo V = { (x ,y , z ) e /? 3 / x - y - z = 0}

( ó ) Al conjunto de los polinom ios de grado < 3 con coeficientes com plejosj © El conjunto V = R " = { ( * , , jc2,—, x „ ) / x ¡ e R} es un espacio vectorial.
denotarem os por k[x] es decir: Con las operaciones usuales de suma, es decir:

k [ x] = { P (x )/ P (x ) = tf3x 3 + a2x 2 +a\X + a0 ; Oj e k = C} (*,, x 2 ) + (}>,, y 2, .. ., y„) = (x¡ + y , , x 2 + y 2 ,...,x„ + y „ )

y el producto por un escalar A (x ¡,x2,-; X „ ) = (Axl ,Ax2,...,Ax„ ) , X e R

/ spacios Vectoriales 115

En el conjunto V = R 2 , definimos las siguientes operaciones: ÍO) Probar que el conjunto de todos los polinom ios con coeficientes reales,
P [ x ] = { a nx n + a n_1x n~1 + ... + a ,x + a 0 , n e N , a 0 , a , ..... a„ e R} es un
(a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) espacio de suma y producto por un escalar del álgebra elemental.

>.(a,b) = (Á.a,A.b) , p (x ) + q(x) = ( a0 + b 0 ) + (a, + b , ) x + ... + (a„ + b „ ) x n donde

com probar que (V, + , R , .) no es un espacio vectorial. p ( x ) = a 0 + a xx + a 2x 2 +... + a nx n y q (x ) = b0 + 6 , x + b 2x 2 +... + bnx "

En efecto: i) Sí u,v e V => u = (a,b), v = (c,d) Áp(x) = Aa0 + Áa¡x + Aa 2x 2 + ... + Áa„x"
Probaremos que u + v = v + u , V u,v e V Solución

u + v = (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) = (d + b, c + a) Ahora probaremos las axiomas
1ro. La suma de polinomios es conmutativa.
= (c,d) + (a,b) = v + u se cumple S e a p(x) = a0 + a ,x + ...+ a „ x " , q ( x ) = b0 + b lx + ... + bnx " dos elem entos de
P[x]
ii) Si u,v,w e V => u = (a,b), v = (c,d), w = (e,f) p ( x ) + q ( x) = ( a0 + ¿ 0 ) + (a, + b¡ ) x + ( a 2 + b 2 ) x 2 +... + ( a n + b n ) x ”

u + (v + w) = (u + v) + w = (b0 + a 0 ) + (6, + a, ) x + (b2 + a 2 ) x 2 + ... + (¿>„ + a„ ) x n = q(x) + p(x)
2do. La suma de polinomios es asociativa
u + (v + w )=(a,b) + [(c,d) + (e,f)]=(a,b) + (d + f, c + e) Consideremos polinomios de P[x]
p x(x) = a 0 + a ¡ x + a 2x 2 +... + a Hx "
= (b + c + e, a + d + f) •••(!) p 2(x) = b0 + b l x + b 2x 2 + ... + b nx"
P i ( x ) = c 0 + c lx + c 2x 2 + ... + c nx n
(u+v)+w = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (b + d, a + c) + (e,f) ( p x(x) + ( p 2(x ) + P} (x)) = ( p , (x) + p 2(x)) + p } (x) se verifica.

= (a + c + f, b + d + e) •••(2)
de (1) y (2) se tiene: u + (v + w) * (u + v) + w
po r lo tanto (V, + , R , .) no es un espacio vectorial

El conjunto V = { ( x , y ) e R 2 / x + y < 1}, no es un espacio vectorial con

las operaciones de R 2 en esté caso falla el opuesto, pues (3,-9) e V sin
em bargo -(3,-9) = (-3,9) í V puesto que - 3 + 9 * 1.

El conjunto R no es un espacio vectorial sobre k = C, pues si z e C y
a € R entonces az e R, es decir no es una ley de composición extema.

116 Eduardo Espinoza Ramos I \pacios Vectoriales 117

3er. Elem ento neutro para la suma. 8vo. Existe un elem ento unidad 1 e R , tal que l.p(x) = p(x) para
El elemento neutro es el polinomio nulo q(x) = 0, puesto que pa todo polinom io p(x) de P[x] con lo cual se ha probado que el conjunto
cualquier p(x) e P[x] se verifica que: p(x) + q(x) = p(x) + 0 = p(x) P[x] de polinom ios de coeficientes reales es un espacio vectorial sobre R.

4to. El elem ento opuesto para la suma. 3.3. PROPIEDADES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES,
D ado cualquier polinom io p ( x ) = a 0 + a {x + ... + a nx n de P[x] se verifica
que el polinomio p (x) = - a 0 - a lx - . . . - a „ x n es su elem ento opuesto, Sea (V, +, R , .) un espacio vectorial, entonces se tiene:
puesto que p(x) + p(x) = q(x) = 0 i) El elem ento “0” de la propiedad A 3 es único.

5to. El producto por un escalar verifica la propiedad distributiva D em ostración
respecto a la sum a de polinom ios.
Supongam os 3 9 ' e V tal que O'+u = u , V u,v e V
Es decir: Sí p x(x), p 2(*) e P[x] y a e R
a[Px(x) + P2(*)] = aP2(x) + aP2(x) Por la propiedad A-¡ tenem os que: u + 0 = u, V u e V

6to. La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares. 0 +0' = e]
Es decir: a , P e R y p(x) e P[x].
( a + P)p(x) = a p(x) + P p(X) puesto que Se cumple: ¡ pues 0,6>’e V son elem entos neutros de V.
( a + f i ) p ( x ) = ( a + P ) ( a 0 + a ,x + a 2x~ + ... + a nx n ) 0 '+ 0 = 6 J
a ( f l0 + a l x + a 2x 2 +.., + a „ x n ) + f i ( a 0 + a xx + a 2x 2 + ... + a nx " )
Y por la propiedad conm utativa se cumple:
= a p(x) + P p(x) 0 ' = 0 + 0 '= 0'+6 = 0 => 0' = 0 por lo tanto “0 ” es único.
7mo. El producto de un escalar verifica la propiedad asociativa.
Es decir: sí a , p e R y p(x) e P[x] ¡i) El producto del escalar 0 por cualquier vector es el vector nulo, es decir:
( a f l ) p ( x ) = (aj3)(a0 + a xx + a 2x 2 +... + a „ x ”) V u e V se tiene O.u = 0.
D em ostración
= a[/3a0 +/3alx + / h 2x 2 +...+ /3a„x"] = a(P p (x ))
O.u + u = O.u + l.u = (0 + l)u = l.u = u; sum ando (-u) a cada m iem bro
tenem os:

(O.u + u) + (-u) = u + (-u), p o r la propiedad asociativa tenem os:
O.u + (u + (-u)) = u + (-u), p o r lo tanto: O.u + 0 = 0 de donde O.u = 0.

118 Eduardo Espinoza Ramoi Espacios Vectoriales 119

üi) Si el producto de un escalar por un v ecto r es el vector n uloentonces el 3.4. ESPACIO VECTORIAL DE FUNCIONES.-

escalar es “0” o el vector es nulo es decir: Sí A.x = 0 => A. =0 ox = 0 I

D em ostración A1 conjunto de todas las funciones f con dom inio un conjunto X * (¡>y rango un
cuerpo k, denotaremos por k x , es decir:

íe r . caso) Suponiendo que x * 0 y A x = 0 = > A. = 0

. k x = { / / / : X-+k)

En efecto sí A * 0 A .A = 1, V A g k

Sí Ax = 0 A- l (Ax) = A !# = 6 un elemento que pertenece a k x es una función f : X -> k ahora en k x
definim os la suma de funciones y el producto de un escalar por ftinciones.

=> (A~].A)x = 0 => l.x = 0 => x = 0

lo cual es una contradicción entonces X = 0 puesto que x * 0 . 1 i) Sí f , g e k x entonces f + g: X -»k es tal que (f + g)(x)=f(x) + g(x), V x e X
2do. caso) Suponiendo que A * 0 y Ax = 0 => x = 0
ii) Sí Ag k y / g k x , entonces Xf: X -> k es tal que: (Af)(x) = Af(x),V x g X
en efecto sí A * 0 => 3 A 1 => A 1(Av) = A x6 Luego el conjunto ( k x ,+,k,.), provisto de dos operaciones suma (+) y
producto (.) es un espacio vectorial sobre k, para esto probarem os los axiomas.

=> (A-1 .A)x = 0 => 1.x = 0 => x = 0 A, : Sean f , g e k x => f , g : X - > k y f + g : X -> k

¡v) El opuesto de cualquier escalar por un vector es igual al opuesto de su => ( f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x), V X g X

producto es decir: sí X e k, x e V, (-A)x = -(Ax) de donde f + g = g + f, pues f(x), g(x) g k = (R,Q,C) donde la adición es
:ib a b «3 ,oiun t o m v 1$ »3 ío laav la iu p le in ló q 0 tbíb383 b b otauboiq 13 conm utativa.

Dem ostración

T eniendo en cuenta A 4 de 2.1., la sum a de opuesto en k y B 4 de 2.1 so A 2 : Sean f , g , h e k x => f,g,h: X ->k, por probar que (f+g)+h = f+ (g + h)

tiene:

ndmaini ebi:o obas'TOií ;u •••u I ~ u ( ! : Sea x gX , [(f + g) + h](x) = [(f + g)(x)] + h(x)
= tf(x) + g(x)] + h(x), V x gX
-(Ax) + Xx = 0 = 0.x = (-X + A)x
[f + (g + h)](x) = f(x) + [(g + h)(x)] = f(x) + [g(x) + h(x)]
... (*)

-(Xx) + Ax = (-X)x + Xx => -(Xx) = (-X)x

por lo tanto (-A)x = -(Xx) => [ f + (g + h)[(x) = f(x) + [g(x) + h(x)], V x g X .••(**)

120 Eduardo Espinoza Ramos I 'patios Vectoriales 121

como f(x), g(x), h(x) e k = (R,Q,C) entonces de (*) y (**) se tiene: B2 : Sea / e k x y X, p e k entonces se tiene:
[(f + g) + h](x) = [f + (g + h)](x), V x e X
[(X + P)f](x) = (X + P)f(x) = Xf(x) + pf(x)
(f + g) + h = f + (g + h)
: Sea “0” la función cero, 0: X -> k tal que 0(x) = 0, V x e X = (Xf)(x) + (Xg)(x) = (Xf + Xg)(x), V x e X
entonces (X + P )f= Xf + p f
=> V f e k x , f : X —> k se tiene:
( f + OKx) = f(x) + 0(x) = fíx), V x e X B 3 : Sea / e k x y X, p e k entonces se tiene:

=> ( f + 0)(x) = f(x), V x e X [(Xp)f](x) = (XP)f(x) = X(pf(x)) = A.(Pf)(x) = [X(Pf)](x), V x e X
=> f + 0 = f => V f e k x , 3 f e k x / f + 0 = f
A^\ V / e k x sea - f : X -» k definida por (-f)(x) = -f(x) entonces [(Xp)f](x) = [X(pf)](x) (xp)f = X(pf)
=> [ f + (-f)](x) —fl(x) + (-f)(x) = fi(x) - f(x) = 0 = 0(x) V x e X
de donde se tiene: f + (-f) = 0 B 4 : Sea f e k x y, 1 6 k entonces (1.0(x) = l.f(x)= f¡(x), V xe X

entonces l . f = f por lo tanto V = k x es un espacio vectorial sobre k.

CA SOS PA R TIC U LA RES.- k x = { / / f : X ^ k)

i) Si X - R y k =R => k x = { f / f : R -+ R} espacio vectorial sobre R.

V f e k x , 3 ( - f ) e k x / f + (-{) = 0 ii) Si X - [a,b] y k - R => k x = { f / f . [a , b ] - > R) espacio vectorial
sobre R.

5 , : Sean f , g e k x y l e k = > [X(f + g)](x) = X(f + g)(x) = X(f(x) + g(x))

Mi) X = R, k = R, f es continua, entonces

=> [X (f+ g )](x ) = X[f(x) + g(x)] •••(*)

* R —>R es continua} espacio vectorial sobre R.

(Xf + Xg)(x) = (XíXx) + (A.g)(x) = Xfl[x) + *g(x) ... (**) |

Ji[f(x) + g(x)] - Xf(x) + Xg ( \ ) pues X, f(x), g(x) e k - ( R ,Q ,C M j.l.S. ESPACIO VECTORIAL DE LAS MATRICES mxn.- 1
m ultiplicación es distributiva respecto a la adición => de (*) y (**) so,
tiene: a)D EFIN IC IÓ N .- Sean m,n enteros positivos fijos X = {(ij) /1 < i < m,
1 ¿ j < n} donde i j son enteros y sea k = R,
[M f + g)](x) = (W + ^g)(x), V x e X entonces A.(f + g) = Xf + Xg k x = { / / / : X->k)

122 Eduardo Espinoza Ramos / spacios Vectoriales 123

Sí f e k x => f : X - > k b) IGUALDAD DE M ATRICES.- Sea / , g e * * , entonces:
(í, j ) -> / ( / , y) = f y ; f es una m atriz de orden m xn sobre R.
7 , i -/¡2 — /¡n ’ i l l «12 •- An
Casos particulares: m = 3, n = 2 entonces /21 /22 — /2n *21 £22 • *2«
X = {(i,j) /1 < i < 3 , 1 < j < 2} i j enteros
=> X = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)} /= 8=
Sí f e k x => f : X -» k
_fm\ f'm2 — _£ml &m2 Smn _
(l,l)-> /(l,l) = / n
f = g <=> f ij ~ 8 ij V 1 < i < m , 1 < j < n

es decir: f u = 8 11 > f\2 ¿>12 >***» / « . = 8 mn

(1,2) -> /(1 ,2 ) = f \ 2 c) SUMA DE MATRICES:
(2,1) —> /( 2 ,1 ) = f 2\
(2,2) -> / ( 2 ,2 ) = / 22 f \ \ + 8\\ f \ 2 + 8\2 — f \ n + 8\n
(3.1) —> (3,1) = / 3) f l \ +Sl\ f l 2 + 822 "• f 2n + 82n
(3.2) - » (3,2) = / 32
f +g =

Luego se tiene: /¡1 /12 m\ ^~8ml fm 2 8m2 fmn 8m
/ = /21 fl2 d) MULTIPLICACIÓN DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ.
/3 2 . 3^2
/31 Sean f e k y y X e k = R entonces

/11 7i2 ••• /ln Af u ^/l2 A.f\n
/ 2I /22 — fin ^ fl\ ^Í22 —¿ f 2n

Ahora para 1 < i < m y 1 < j < n se tiene: / - */ =

fm\ fnm2 /m Afm\ A f m2 ... A f m

124 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 125

Luego el conjunto de todas las matrices de orden mxn sobre k = R A 2 : Sean f yg , h & R x => f ,g , h : X - » R
denotado por k x = R mxn está provisto de dos operaciones sum a (+ ) y
producto (.). ' f n f\2 - f u g \ 2 + ^ 2 •■■ s \ „ + K ~
f2\ f22 — Í2n #21 + ^21 g 22 +^22 •" 8 2 n + h 2n

Probarem os que (k x ,+, k,.) es un espacio vectorial sobre R = k. f + ( g +h) =

A, : Sea f , g e R x => f,g: X R de donde _fm\ fm2 - fm n. _á»ml ^mi 8 m2 ^m2 8 nm ^ ^mn _

7 ., f\2 • ■ fin gil • 8\n f u + (£ n +Aii) f n + ( g \2 + h\i) - f\n +(g\„+hu )
/21 Í22 • ■ Í2n g2\ £22 • &2n f l \ + ( g 2 \ + h2\) Í22 + (822 + h22 ) - Í2n + (#2« + h2n )

/= , g =
•

_fml fm2 - fmn _ _&ml Sm2 &mn _ _fml + (Sml + hml ) f m 2 + ( 8 m 2 + hm2) ••• fmn + (8mn + ^mn) _

fu+g\\ f \ 2 + g\2 fin 8ln asociando los f y + (g y + h y ) y descomponiendo como suma de dos
/2l + g2\ Í 2 2 + g22 f2n g2n i

matrices se tiene: f + ( g + h) = ( f + g ) + h

0 0 ... 0
0 0 ... 0

J mu gmn A3 : Sea la matriz 0 = tal que V / e R x se tiene:

./mi 8ml J m2 8m2

g u + f u g \2 + f\2 • gln fin 0000

g2\ + /21 ^ 22+ /22 g2n f 2n

fu fn - fin 0 0 . . 0'
/21 f22 ■■ f2n 0 0 .. 0

gmn fmn + =/

gm\ fml gm2 fm2 .. .
por lo tanto f + g = g + f
.fm l f m2 ■ fmn _ 0 0 . ° .

126 Eduardo Espinoza Ramos / spacios Vectoriales 127

\ / f e R x , 3 O eR x / f+ 0 = f .1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS,-

~fi\~J\j — ~An © A veriguar si los siguientes conjuntos son o no espacios vectoriales:
~fi\~fit — —f i n a) V = {(x,y ) e R 2 / x + y = 1} con las operaciones de R 2 .

A4 : V f e R x sea - / =

b) V - {(x, y) e R 2 / x < y ) con las operaciones de R 2 .

fm\ f m2 *’* fmn _

fl\~ fu f\2 ~ f\2 — fin —f\n 0 0 . . 0' c) W = {(x ,y ) e R 2/ x - y e Z } con las operaciones de R 2 .
/21 ~f2\ f22 ~ fr2 — fln ~ f2 n 00 0 . ...
d ) V - {(<,2?, e ‘ ) / 1 € R} con las operaciones de R 3 .
/ +(-/) = _

e) IV = { ( x , y , z ) e / x + y = z} con las operaciones de .

-3 f m2 ~~fm2 fmn —fmn _ 0 0 . • ° _ Rpta. a) N o es espacio vectorial b) No es espacio vectorial,
• •1 c) N o es espacio vectorial d) No es espacio vectorial
e) E s espacio vectorial
t

Luego V / e R x , 3 - / e R x / f + (-Í) = 0

B x \ S ea / e R x , X,P e R se tiene: (X .p)f= M P f)

B 2 : Sea / e R x , X,P e R se tiene: (X + P )f = X i + p f Sea V = {Ax + fie* / A,J3 e R ] , de donde f(x) =x, g (x ) = e x son funciones
reales, probar que V es un espacio vectorial sobre R.
B3 : Sean f , g e R x , X e K se tiene X(f + g) = + X.g
6 ) Sea V un espacio vectorial sobre k y F un sub-conjunto de k, dem ostrar que V
B a \ V / e R x , 3 / e R x tal que f l = f tam bién es un esp acio vectorial sobre F.

estas propiedades se prueban en form a sim ilar a las primeras propiedades, f f ) Sean U y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo k. Sea
V = {(u,w) / u e U , w e W}. Demostrar que: V es un espacio vectorial sobre k
Por lo tanto se tiene que el conjunto de matrices R de orden mxn provisto d
las dos operaciones de suma y producto es un espacio vectorial sobre R. P robar que V = { (x ,y , z ) e R 2 l - 2 x + 3 y - z = 0} es un espacio vectorial con
las operaciones de R 3 .

128 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 129

© Sean V = R 2 , k = R, la adición definida en R 2 por (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) © P robar que V = {A e R lx2 / T r (A) = 0} es un espacio vectorial con las
y el producto de un número real por un elemento de R 2 definido mediante operaciones de R 2x2.
© A.(a,b) = (X.a,>.b). Probar que ( R 2,+, R,.) es un espacio vectorial.
Probar que V = {A e R 2x2 / A ‘ = - A } es un espacio vectorial con las
© Sean V = R 2 , k = R, la adición en R 2 definida por (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) operaciones de R 2x2.
y el producto definido m ediante A.(a,b) = (a,a), averiguar si ( R ' ,+, R,.) es o no
© espacio vectorial. xy
© Probar que V = { / x , y , z e R} es un espació vectorial con las
Sea V = R 2 y k = R, la adición en R 2 definida por
0z
operaciones de R 2x2

(a,b) +(c,d) = + + y el producto definido mediante. 0 0a
X(a,b) = (Xa,Ib). D eterm inar si ( R 2,+, R,.) es un espacio vectorial. Probar que V = { 0 b 0 / a , b , c e R } es un espacio vectorial con las
00
c

©C onsiderando V - R r o sea el conjunto de las funciones reales con variable operaciones de R .
En cada uno de los conjuntos siguientes no son espacios vectoriales indicar las
real y k = R, investigar si son espacios vectoriales sobre R los conjuntos
siguientes: propiedades que no se cumple:

i) El conjunto de las funciones continuas. i) V = {(x, y) e R 2 1 y < 3} con las operaciones de R 2 .
¡i) El conjunto de las funciones derivables. ii) V = {(x, y ) 6 R 2 / x y = 0} con las operaciones de R 2 .
iii) V = { (x ,y ) e R 2 / 1x | + 1y |< 1} con las operaciones de R 2
iii) El conjunto de las funciones pares, o sea las funciones f e R r tales que
f(x) = f(-x). ® D eterm inar si (C 2,+, C,.) es un espacio vectorial, definiendo
( Z l , Z 2) + ( Z ¡ + Z 2l ) = ( Z l + Z ,¡, Z 2 + Z 2l )
iv) El conjunto de las funciones impares, es decir, las funciones / e R R tales Z(Z ¡, Z 2) = (ZZ¡,ZZ2)
que f(-x) = -f(x).

v) El conjunto de las funciones constantes. © Si V c R n es un conjunto no vacio, probar que
vi) El conjunto de las funciones positivas. V 1 = {u e R" / m.v = 0, p ara todo v e V} es un R - espacio vectorial.

130 Eduardo Espinoza Rami / *pacios Vectoriales 131

3.7. SUB-ESPACIOS VECTORIALES. <=) Por hipótesis tenem os que si se cum ple (i), (ii) probarem os que (w,+,k,.)
es un espacio vectorial.
a) D E F IN IC IÓ N .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial cualquier!
direm os que W * «(>. W c V es un sub espacio vectori; A , : x + y = y + x, V x,y e W esto se verifica, pues x,y e W c V y en V se
cumple A ¡ .
de V sí y sólo sí (W ,+,k,.) con las operaciones definidas p o r V es un
espacio vectorial. A2 : (x + y) + z = x + (y + z), V x,y,ze W, esto se verifica pues x,y,z e W c V
y en V se cum ple A.2 .
O B S E R V A C IÓ N .-

© Fijado un espacio vectorial V , los subconjuntos ((> y V son subespacioi A 3 : V x e W , 3 0 e W tal que x + 0 = 0 + x = x,
llamados sub espacios triviales. E n efecto x e W => ( - l) x = -x e W p o r (ii) entonces x+ (-x) = 0 e W
por (i)
( T ) Cualquier sub espacios diferente de los triviales se denom ina sub espacM
propio. A 4 : V x e W , 3 (-x) e W tal que x + (-x) = 0 en virtud de (i), (ii).
En form a sim ilar se puede verificar que (W ,+,k,.) cum ple las condiciones
( T ) U n espacio vectorial tiene muchos sub espacios por ejem plo todas lasi restantes de espacio vectorial.
c) E JE M P L O DE SUBESPACIOS V ECTO R IA LES,-
1 vjj Sea ( R 3,+,R,.) un espacio vectorial, averiguar ¿Cuál de los siguientes sub
rectas que pasan por el origen en el plano R . conjuntos son sub espacios vectoriales?

( 7 ) Para probar que un sub conjunto W de un espacio vectorial V sea un sub (T ) a) IV = { ( x , y , z ) e R 3 / 2 x + y - z = 0}
espacio es suficiente probar las operaciones de sum a y producto, las] Solución
dem ás axiom as definidas en V tam bién se cum plen en W y esto veremaj^
en el siguiente teorema. i) W * <(> puesto que (1,-1,1) e W verificar 2( 1 ) - 1 - 1 = 0
ii) ( x ¡ , y 1, z l ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) e f V => (x, , y x, z , ) + ( x 2 , y 2 , z 2) e W
b ) T E O R E M A .- Sean (V,+,k,.‘) un espacio vectorial, y W * (j>, W c V,j
diremos que (W ,+,k,.) es un sub espacio vectorial de] (por verificar)
(V ,+,k,.) sí y sólo sí:

i) V x,y e W => x + y e W íi) V l e k , V x e W ^ h e W j
D em ostración

o ) Si w es un sub-espacio de V entonces se cum ple (i), (ii) esto es inmediato^
de verificar

132 Eduardo E spinoza Rann í spacios Vectoriales

s¡ f ( w l ) e JF ^ sumandQ => ( x x + x 2 , y i + y 2 , z { + z 2 ) e W
| 2x2 + y2 ~ z2 = ° => ( x l , y l , z ]) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) e W
\ ( x 2, y 2,z2) e W iii) Sea A e R, (x,y,z) e W => A(x,y,z) e W (por verificar)
2(x, + x 2) + (.y, + y 2) - (z, + z 2 ) = O Si (x,y,z) e W => x = z
Ax = Az
=> (*i + *2>.>'i +> ’2 . Z1 + z 2 ) e « ' => (Ax,Ay,Az) e W => A(x,y,z) e W
=> ( x i , y l , z i ) + ( x 2 , y 2 , z 2) c f V por lo tanto W es un sub espacio deR 3 .
c) W = { ( x , y , z ) e R 3 / z = x + 2)
iii) Sea A € R, (x,y,z) e W => A(x,y,z) e W , por probar:
Si (x,y,z) e W => 2 x - y + z = 0 Solución
A(2x - y + z) = A(0) i) W 4> puesto que (1,2,3) e W
2(Ax) - (Ay) + (Az) = 0
=> (Ax,Ay,Az) e W
=> A(x,y,z) e W

Luego de (ii), (iii) se concluye que W es un sub espacio de R * .

ii) ( x í , y í , z l ) , ( x 2 , y 2, z 2 ) e W => (x,, y x, z¡ ) + ( x 2, y 2 , z 2 ) e

b) W = { ( x , y , z ) e R i ! x = z}

(por verificar)

Solución Si [z, = x , + 2
(x2, y 2,z 2) e W sum ando
i) W * <j) pues (1,0,1) e W
ii) ( x i , y u z l ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) e f V => ( x {, y ¡ , z i ) + ( x 2, y 2, z 2) e W \z2 = x2+2

(por verificar) z¡ + z 2 = x¡ + x 2 + 2 + 2
=> (x¡ + x 2 , y¡ + y 2 , z , + z 2 ) t W
Si í ( - W l > Zl ) e f F *1 = z \ => ( x l , y l , z l ) + ( x 2 , y 2 , z 2 ) e l V
(x2, y 2, z 2) e W Por lo tanto W no es un sub espacio de R 3 .
sumando
X, = Z 7

*1 + X 2 = z¡ + z 2

134 Eduardo Espinoza Ramos I spacios Vectoriales 135

d) W = { ( x ,y ,z )e R 3 /\x \ =\y\} iíi) Sea X e R, (x,y) e W => Á(x,y) e W (por verificar)
Solución Si (x,y) e W => x e Z
1X
i) W ^ <(» puesto que (1,-1,4) g W => I x í Z p o r ejem plo A = - , — t Z
ii) Cx ], y i , z ¡ ) , ( x 2 , y 2 , z 2 ) e l V => ( x u y l , z l ) + ( x 2 , y 2, z 2) e W 22
Por lo tanto W no es un sub espacio de V.

Si 0 ' ' ' I - ' « ' , sumand„ ( ¿ ) Sea V - { { x , y ) / x , y e R] = R~ y W - {(*, j ) e R 2 / x + y = 0} probar que W
es un subespacio de V.
[(x2, y 2,z2) e W [1*2 1= 1 ! Solución

1 * 1 1+ 1 * 2 M - V l 1+ 1 ^ 2 I i) W * <(> puesto que (0,0) e W => 0 + 0 = 0

I *1 + x 2 I* Iy\ + y 2 I Po r desigualdad triangular » ) (x i > y i ) Á x 2 >y2 ) e w => (x i>y[) + (x 2 >y2 ) e W (por com probar)

=> (x, + x 2 , y¡ + y 2 , z, + z 2) e W p o r definición de W c . J(*i, y i ) e w u+ y^o
( x 1, y i , z i ) + ( x 2, y 2, z 2) e f V

M 1, ■> => 1 „ sumando

Por lo tanto W no es un sub espacio de /?3 . [(*2.^ 2) \x 2 + y2 = 0

(x, + x 2) + 0 'i + .y2 ) = 0

( 2) Sea V = R 2 un espacio vectorial sobre R y W = {(x,y) / x e Z) ¿W es un sub

espacio de V? => ( x l + x 2 , y i + y 2 ) e f V p o r definición de W

Solución => (*i >y \ ) + (* 2 . y 2 ) e w se cum ple

i) W * <() puesto que (2,a) e W , a e R iii) X e R, (x,y) e W => A.(x,y) e W
¡i) ( x l , y l ) , ( x 2 , y 2 ) e W => ( x , , y ¡ ) + ( x 2, y 2 ) e W (por verificar) Si (x,y) e W => x + y = 0
=> Xx + Xy = 0
s¡ Ux ^ y Oe W ^ UeZ => (Xx,Xy) e W p o r definición de W
=> M x , y ) e W
\ ( x 2, y 2) e w ) x2 e Z por lo tanto W es un subespacio de V.
x¡ + x 2 e Z

(x¡ + x 2, y 1+ y 2) e W por definición de W

( x l , y l ) + ( x 2, y 2) e W se cumple

136 Eduardo Espinoza Rana I \pacios Vectoriales 137

( 4 ) Sea V = { ( x , y ) ! x , y e R} = R 2 y = { { x, y ) e R 2 / x + y = 3} p robar que W j iii) A. e R, (x,y) e W => Á.(x,y) e W (por probar)

no es un subespacio de V. Si (x,y) e W y = mx

Solución

=> Xy = m(Ax)

i) W *■(j) puesto que (2,1) e W => 2 + 1 = 3

» ) ( x l , y l ) , ( x 2, y 2) e W => ( x l , y l ) + ( x 2 , y 2 ) e t V (porverificar) => ( kx,Xy) e W por definición de W

o A.(x,y) e W

c. ¡{xi,yi)eW ¡ x l +>>, = 3
Si < => < , sumando
por lo tanto W es un subespacio de R 1 .
[(* 2,.y2) e J F 1x2 + ^2 = 3

(x , + * 2 ) + 0 'i + _y2 ) = 6 * 3 N O T A .- W geom étricam ente es el conjunto de rectas en R 2 que pasan p o r el
=> (x, + x 2 , _y, + y 2 ) i W p o r definición de W origen de lo cual se puede afirm ar que toda recta que pasa por el
=> ( x l , y i ) + ( x 2 , y 2 ) e W origen es un subespacio vectorial.
por lo tanto W no es un subespacio de V.
ft) Sea P[x] el conjunto de todos los polinom ios de grado m enor o igual a tres,
indicar si el conjunto W = { p e P / p(2)=p(-2) = p(0) = 0} es un subespacio d e P.

Demostrar que el conjunto W = {( x,y) e R 2 / y = mx} es un subespacio de R 2 .

Solución Solución
i) W * <|> es inm ediato
i) W # <j> puesto que (0,0) e W ya que 0 = m (0) = 0 ii) Si p, q e W => p + q e W (por probar)

ü ) ( x i , y i ) , < x t * y i ) e W => ( x l , y {) + ( x 2, y 2 ) e W

\p e W fp(2) = p(-2) = p(0) = 0

(por probar) Si i => 1 „ sumando
[1€ W | g(2) = g(-2) = g(0) = 0

Si =» l » " “ ' sum ando P(2) + q(2) = p(-2) + q(-2) = p(0) + q(0) = 0
[(x2, y 2) e W \y2 =mx2 (p + qX2) = (p + q)(-2) = (p + q)(0) = 0
=> p + q e W por definición de W
y\ + yi = m(x1+x2) iii) A. e R, p e W => X . p e W (por probar)

=> (xj + x 2 , y¡ + y 2 ) e W p o r definición de W

=> ( x l , y l ) + ( x 2 , y 2) e W

138 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 139

Si p e W => p(2) = p(-2) = p(0) = O ífe W íf ( a + b) = f ( a ) + f ( b ) a f ( A a ) = Á f ( a )
=> A.p(2) = >„p(-2) = >,p(0) = X.0
=* (Ap)(0) = (A.p)(-2) = (Ap)(0) = O Si 1 => i , ^ ,,, x „ sumando
=> I p e W p o r definición de W. [g e W | g(fl + ¿>) = g ( a ) + g ( ¿ ) a g (/ífl) = A g ( a)

© por lo tanto W es un subespacio de P. f(a+b) + g(a+b) = (f(a)+g(a)) + (f(b)+g(b)) a f(>,a)+ g ( l a ) = Af(a) + Ag(a)
Sea P[x] el conjunto de todos los polinom ios de gradom enor o igual a tres, j (f+g)(a+b) = ( f + g)(a) + (f + g)(a) + (f + g)(b) a ( f + g)(Aa) = X(f+ g)(a)
indicar si el conjunto W = {p e P / p(0) = 1} es un subespaciode P[x]. => f + g e W por definición de W

Solución iii) X. e R, f e W => W e W (p o rp ro b ar)

i) W # (j) es inm ediato Si f e W => f(a + b ) = f(a) + f(b) a f(A.a) = Af(a)
=> af(a + b) = af(a) + af(b) a af(/.a) = a(Xf(a))
ii) Si p,q e W => p + q e W (por probar) => (a f)(a + b) = (a f)(a ) + (a f)(b ) a X (af(a)) = A.(af)(a)

ípeW Ip( 0) = 1 entonces a f e W por definición
Si sumando por lo tanto W es un subespacio de F.
( 9 ) Sea V = C = { f / f : R - * E e s continua} y considerem os los siguientes:
qeW q{0) = 1
P(0) + q(0) = 2

(P + q)(°) = 2 * 1 fW¡ = { f e C / í f ( t ) d t = 0} ; W2 = { / e C / 7 ( ^ = 1}
=> p + q í W po r definición de W
por lo tanto W no es un subespacio de P[x]. averiguar si los subconjuntos Wx y W2 son subespacios de V.
Solución
© Sea V = F espacio vectorial de todas las funciones de variable real, averiguar si
A nalizando al conjunto Wt .
el conjunto definido por: W = {f e F / f(a + b) = f(a) + f(b) a f(Aa) = A.f(a)} i) W i * <(> puesto que tV¡ a V
ii) f , g e W \ => f + g e W | (por probar)
es un subespacio de V.

Solución

i)W # puesto que la función cero pertenece a W

ii) f,g e W => f + g e W (p o rp ro b ar)

140 Eduardo Espinoza Ramos I */tactos Vectoriales 141
/e tf 'i
f(t)dt =0 Si í ' * w‘ f(t)dt = 1
Si sumando sumando
geW¡ g e W 2:
g(í)í/í = 0 g(t)dt = 1

jV(í)<*+|ár(0<* =o í

í por lo tanto no es un subespacio de V.
í<( / + g)(<)A = 0 => Z + g e f F ,
Sea V = el espacio vectorial de las m atrices cuadradas de orden nxn
iii) A. e R, / e JF, => A f e.Wx por probar
sobre el campo R, definim os los conjuntos:
Sí / e f F , => f / ( í ) < * = 0
T = { A e R m , / a v = a jl, V i , j } ; 5 = {A e R m /ay = ~afi, V i j )
l
Determ inar si los conjuntos T y S son subespacios de V.
íi f ( t ) d t - ¿(0 )
í(A/X0<* = 0 =>. Solución

p or lo tanto fí7, es un subespacio de V. A nalizando al conjunto T.

ahora analizaremos al conjunto W2 . i) T * <j) puesto que la m atriz nula es un elem ento.

i) W2 *(¡> puesto que W2 c V ii) A ,B g T => A + B e T (por verificar)
ii) f , g & W 2 => f + g e W 2 (p o rp ro b ar)
íA e T \ ai j = aj¡ V ‘J sum ando
Sl 1[.BQ e T^ ^ [b'j = bJ¡

d ij+ by = a j i +bji

=> ta y + by ] e T ■=> [a¡j] + [by]e. T

=> A + B e T

142 ' Eduardo Espinoza Ramot Vlacios Vectoriales 143

iii) A. e R, A e T => A. A e T (por verificar) => [ A d j ^ e S por definición de S

Si A e T => a 0 = a j ¡ , V ij => A[a¡j ] e S , de donde X A e S

=> Aa¡j = ÁaM, V ij por lo tanto S es un subespacio de S.

l) Sea V = { / / / : [0,1] -> R} un espacio vectorial real y sean

=> [Aa j¡ ] e T por definición de T

T = { f e V / f ( 0 ) + f ( l ) = 0} y H = {f e V / f(x) > 0}

=> A[a0 ] e T , de donde X A e T D eterm inar si los conjuntos T y H son subespacios de V.

por lo tanto T es un subespacio de V. Solución

ahora analizarem os al conjunto S. A nalizando el conjunto T.

i) S * <() pues contiene al vector nulo. i) T * <(> puesto que T c V

ii) A, B e S => A + B e S (por com probar) ii) f,g e T => f + g e T (por verificar)

jfe T => < í/(0 ) + /(l) = 0 V ij sumando
Si {

Si i => { 'J J‘ V ij sum ando \g sT | g(0) + g(l) = 0

1 .B e S \by~-bj,

f(0) + g(0) + f(l) + g (l) = o

a i j + b,i = - ( « , , + h ji)

(f+g)(o) + (f+gXD = o

=> [a¡j + b¡j ] e S por definición de S => f + g e T por definición de T.

=> iii) X e R, f e T => X f e T (por verificar)

=> A + B e S Si f e T => f(0) + f(l) = 0

iii) l e R , A e S => X A e S (por verificar) => A.f(0) + A,f(l) = X(0)

=> (>J)(0) + (>J)(1) = 0

Si A e S => a¡j = -aj¡, V ij

=> X f e T por definición de T.

=> Aa¡j = - A ojí , V i j por lo tanto T es un subespacio de V.

144 Eduardo Espinoza Ramo I spacios Vectoriales 145
Ahora analizarem os el conjunto H.
i) H * <|) p o r lo m enos contiene a la función cero. c. Ife H [/"(*) + /(* ) = 0
¡i) f, g e H => f + g e S por verificar ^i
=> 1 „ sumando
[geH | g (*) + g(-*j = 0

(/" W + g"W ) +(/W + gW ) = 0

( / + g)"W + ( / + g)W = 0

Si í / s i = , / W 2 0 sumando => f + g e H por definición de H.

geS lg (*)^ 0

f(x) + g(x) > 0 iii) A. e R, f € H => A f e H por verificar

(f + g)(x) > 0 Sí f e H /"(* ) + /(* ) = 0

=> f + g e H por definición de H => V " ( x ) + M x ) = A(0)

iii) A e R, f e H => A f e H por verificar

=> ( A f ) " ( x ) + ( Af ) ( x ) = 0

Si f e H => f(x) > 0

A. f(x) > 0 si A > 0 => A f e H por definición de H
por lo tanto H es un subespacio de V.

X fl[x) < 0 si X < 0, de donde X f e H

por lo tanto H no es un subespacio de V. © O O Cl
Sea V = R x el espacio vectorial de todas las matrices de la forma
Si V = F conjuntos de todas las funciones definidas en R. dem ostrar qu e el
conjunto de todas las funciones f que satisface la ecuación diferenci ba
f " ( x ) + 5 f (x ) = 0 es un subespacio de V = F
donde a,b son reales cualquiera es un subespacio de V.
Solución
Solución

Sea / / = { ab / a,b e R)

ba

Sea H = { f e V I / " ( * ) + 5 / ( x ) = 0}

Probaremos que H es un subespacio de V Probaremos que H es subespacio de V.
i) H * (j> pues p o r lo m enos tiene a la m atriz nula.
i) H * <(> pues contiene a la función cero. ii) A,B e H = > A + B e H por verificar
ii) f,g e H => f + g e H p o r verificar

146 Eduardo Espinoza Ramos Espacios Vectoriales 147

AeH ab So-i rí / e » r f ( K /(0 ) + /(D sumando
Sí A= geW 22
1 / ax
BeH ba . g(0) + g(l)
cd 22
B=
dc

+ e ( L = / ( ° ) + / 0 ) + g(Q )+g(D

J2 2 2 2

a b c d a+c b+d
A+B = + =

b a d c b+d a+c (/+ sX i) ,( £ llM ± ( £ líX ! )

Ap A + B e H por definición de H. => f + g 6 W por definición de W
eH iii) A e R , f e W => A f e W por verificar

P*

iii) U R , A e H = > A A e H por verificar

Sí f 6 W => 22

ab 1 Af(0) +Af(\)
Sí A e H => A = 22

ba

Aa Ab ' a ' b'~ (,l/)(l) (^/X °)+ ^ /K i)
AA = e H por definición de H

Ab Aa b' a'

Por lo tanto H es un subespacio de V = R 2x2 => A. f e W por definición de W.
Por lo tanto W es un subespacio de V.
Sea V = { f : [0,1] -» R / f es una función} el espacio vectorial de las funciones

reales, analizar si el conjunto W = { / e V I / ( —) = ^ es un © D ado el espacio vectorial( R 4 , +,R,.) investigar si el conjunto

4

subespacio de V. S = {(x t , x 2, x 3, x 4) 6 R 4 / x, = 1} es un subespacio de R 4 .

Solución í=i

i) W * (j>, puesto que contiene por lo m enos la función cero. Solución

ii) f,g e W => f + g e W po r verificar i) S * <(> puesto qu e (1,0,0,0) e S

148 Eduardo Espinoza Rami Espacios Vectoriales 149
ii) X = ( x l , x 2, x i , x i ) , Y = ( y i , y 2 , y J , y A) e S => x + y e S
por com probar si se cumple 5 ) C onsiderem os 5 = {(*, v) e R 2 / x > y } . investigar si S es un subespacio de
(/? 2 ,+ ,/?,.)

X = ( x[, x 2, x i , x 4) e S i=l C\) C onsiderem os el espacio vectorial ( R 2,+, R , ) y los subconjuntos
Si 4 sumando W = {(.r, y ) e R 1 t y = 2.r} y T = {(.y, y) e R 2 I y = .*+ 1} averiguar si son
subespacio de R 2
í , = (.V|,>'2.>'3.>'4)e 5 =i
i=i y ) D eterm inar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 2 .

X * ' +Z / =

i=i i=i

T = { ( x ,y ) e R 2 / ( x - y ) 2 =(x + y ) 2} ; 5 = {(x,y) e R2 l ^ +y = x - ^ }

2*1

i=i f f ) D eterm inar si los siguientes conjuntos son subespacios de R 3 , donde:
=> ( x i + y l , x 2 + y 2 , x J + y i , X t + y A) e S
=> ( x l , x 2 , x 3, x 4 ) + ( y i , y 2, y 3,A ) * S a) W = { ( x , y , z ) e R* / z = 0} b) W = {(x,y,z) e R 3 / z = 3x +y}

c) W = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z a .y = 3}

=> x + y í S, por lo tanto S no es subespacio de R 4 . d ) W = { ( x , y , z ) e R / x + 3 y + z = 2}
d) E JE R C IC IO S PRO PU ESTO S.-

Q A nalizar si W es un subespacio de R 3 en cada uno de los siguientes casos: (*} Probar que S = {(*,, x 2, . . ., x „ ) e R" / a,x, = 0, a, e /?} es un subespacio
i=i
a) W = { ( x ,y ,z ) & R 3 ! x = 2y} b) ^ = {( x, > - ,z )e /? 3 / x < > ’<z}
de /?".
c) W = {(*, y , z) e R / x . y = 0} d) W = { ( x , y , z ) z R ^ ! x = y = z)
(? ) D em ostrar que el siguiente subconjunto, definido en la forma:
e) (F = {(V l i ) € / ! 3 / * = y ¡ S = [ ( x , y , z ) e R* / x + y - z = 0 a x + 2 y + 3z = 0} es un subespacio d e R 3 .

f) IV = { ( x , y , z) e /?3 / k ¡ x + k 2 + k 3z = 0, A:, e /?} C onsidérese el espacio vectorial ( R 3,+, R,.) analizar cual de los siguientes
conjuntos son subespacios de R 5.

150 Eduardo Espinoza Ramm I s/iacios Vectoriales 151

a) S = { (x ,.y ,z)e/J3 / x = y + z} b) W= {(x,y,z) e R 3 1| x + z |= z}l ( m A nalizar sí los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios de R 4 .

c) H = {( x, y , z) e R ' / x z = 0} sobre R: S = {(x, y , z , u ) e R 4 / x 2 + y 2 > 0 , x 2 + w < 0 }
T —{(x,_y,z , u ) e R 4 / 2 x - y = u v x - 2 > ’ = z}
© Sea V -- R r = { / e R r / / : /? —> Z?} espacio vectorial

a) Probar que W = {f e V / f es acotada} es un subespacio vectorial de V. 1 ( li'J D eterm inar si los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios.
b) Probar que W = {f e V / f(-x) = f(x), V x e R} es un subespacio de V. I 7’ = {(x1, x 2 , x 3, x 4 ) e / ? 4 / p o r lo m enos en x¡ es cero}

c) Probar que W = {f e V / f(-x) = -f(x), V x e R ) es un subespacio de V, w S = { (x ,, x 2, x 3, x 4 ) e R 4 / x, x 4 = 0}

d) Probar que W = {f e V / f es continua} es un subespacio de V. (l(>) D em uestrese que los siguientes subconjuntos de R 4 son subespacios.
¿Cuál de los siguientes conjuntos dados son subespacios de R ” (n > 3)?
a) W = {{xx, x 2 , ...,xn ) e R n / x , > 0} a) W = { { x , y , z , t ) e R 4 I x + y = 0 , z - t = 0}

b) W = {(xl, x 2,...,x„)sR" / x x+3*2 = x3} b) W = { { x , y , z , t ) e R 4 / 2 x + y - t = 0 , z = 0}

c) W = {{x x, x 2 ,...,x „ ) b R ” / x 2 = x ¡ } (l Analizar cuales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R 4 .
| a) W = {{x,y, z , u ) e R 4 / | u |> u , x = u}
© A nalizarsi W = {(x, , x 2,...,x„ ) e R" / x n e Z} es un subespacio de R" . b) W = {(x,y,z,u) e R 4 / x 2 + y 2 + u 2 =0}

Í 2 ¡ Sea V = M 2x2( R) espacio vectorial de m atrices cuadradas sobre R y s c q fl ( |h) Sea V = {f: [a,b] -> R / f es continua} el espacio vectorial de las funciones

w \ = { [ a ¡ j ] e M l x 2( R ) l a n + a {2 = 0 } , W2 = {[a,y ] e M 2x2{ R ) l a u + a 2l = 0) continuas analizar si S = { / 6 V I f ( x ) d x * 0} es un subespacio de V.

D em ostrar que IV¡ y W2 son subespacios de V. j

U<*) Demostrar que (S,+,R,.) es un subespacio de R , siendo S el conjunto de las
matrices triangular superior.
Dado el espacio vectorial ( M 2x2(R),+, R,.). Diga Ud. sí los s ig u ie n tB

subconjuntos: S = {A e M 2x2( R ) / A = ab , a, b,c e R}

-b c Sea el espacio vectorial ( R r ,+, R , ) donde R r = { / € R r / / : R —> R } .

a 1+ a a e R } . Son subespacios de M 2x2 ( R) Averiguar cual de los siguientes subconjuntos de R r son subespacios
T = {A<e M 2x2( R ) / A = vectoriales.

00

152__________________________ Eduardo Espinoza Ru vicios Vectoriales 153

a) W = { f e R r / /( O ) + / ( l ) = 0} b) W = { f e R r / / ( O ) = /( !) }1)1 ! Sea H - { x t , x 2,...,x„ s R n / a ]x l + a 2x 2 +... + a„xn = 0 } donde a }, a 2,:..,an son
c) W = { f e R R / J \ x ) > 0} números reales, no todos nulos. Demuestre que H es un sub-espacio propio de
R" (a H se le conoce com o un hiperplano en R" ).
d) W = { f e R R / f ( x 2) = (f(x ))2}
Si A es una m atriz de orden nxm y H = {x e R m / Ax = 0} D einuestr que H es
e) W = { / e R r / /( 3 ) = l + /(-5 )} un subespacio de R"‘ (a H se le conoce como el núcleo de la matriz A)

(2 ? ) D em ostrar que S = {(z, w) e C 2 / Z = ¡u’} es un subespacio de ( C 2 ,+, C,.) • ■ Indicar si los siguientes subconjuntos son o no subespacios vectoriales de los
espacios vectoriales que se indican en cada caso.

(22^ Considerando ( C " ,+ ,/?,.) el espacio vectorial de los pares ordenados d f l

núm eros com plejos sobre el cuerpo de los reales, investigar si los siguiente® a) W = {(jc, _y) e R 1 1x > 0 e y > 0} de R 2
conjuntos son subespacios del mismo.
b) W = { ( x , y , z ) e R i / x 2 + y 2 - z = 0} de R 3
a) S = {(z,w) e C 2 / z 2 + u 2 = 0} b) S = { ( z , u ) e C 2 1z + 2u e R]U c) W = { ( x , y ) & R 2 ! e x + y = 0} de R 2

c) 5 = }(z, m) e C 2 / Re ( z ) = Re(«)} R pta. No son subespacios vectoriales.

d) 5 = { ( z , « ) e C 2 / I m( z) = 0 a R e (z -w ) = lm(z)} \.H. OPERACIONES CON SUBESPACIOS.-

a) IN T E R S E C C IÓ N D E S U B -E S P A C IO S .- Sea {5,} lW un a fam ilia de

(23) Sean F¡ y V2 dos vectores en R 2 . D em uestre que subespacios del espacio
vectorial (V,+,k,.), a la intersección de dicha familia de subespacios
—> —> ► —■>
H = { V / V = a V l + b V 2 ', a , b e /?} es un subespacio de R 2

denotaremos por S = •
¡=i
(24) Sean , F2 ,..., Vn vectores arbitrarios en un espacio vectorial en V . Sea

H = {V e V / V = a¡ V¡ + a 2 V2 + ... + an V„; a¡, a2,...,a„ e R} D em uestre q u e h ] TEO R EM A .- La intersección de toda familia {S,},e/ de subespacios del
es un subespacio de V. espacio vectorial (V,+,k,.) es un subespacio de V.

D em ostración

(25) Sea H = {(x, y , z, w) e R 4 / a x + by + c z + d w = 0} donde a, b, c y d son n ú m ero s Sea S = P ' j S¡ la intersección de la fam ilia de subespacios de V.
reales no todos nulos. Dem uestre que H es un subespacio propio de R 4 (a H se]
le conoce com o un hiperplano en R 4 ).

154 Eduardo Espinoza Ramúñ tu/lacios Vectoriales 155
Probaremos que (S,+,k„) es subespacio de (V,+,k,.)
Ejem plo.- En el espacio vectorial ( R 2,+,R,.) considerem os los subespacios
i) 0 e S ¡ , Vi po r ser subespacios de V entonces 0 e S¡ = S por T = { ( x , y , z ) e R 3 / z = 0} y H = { ( x , y , z ) e R i / x - 0 } , la

i=i intersección de estos subespacios es: T n H = {(x, y , z) e R' / x = 0 a z = 0}
esto significa que los puntos genéricos de T a H es (0,y,0) es decir
definición de intersección de donde S * <(>. T n H = { (0 ,> ',0 )s/?3 / y e R } = e j e Y

¡i) x, => x + y e S = S¡ p o rp ro b a r

<=i i = i

Sí x e S a y € S => x e f ' j s , a y e ,Vi e I
<=i i=i

=> x e S¡ a y e S¡¡, V i e 1

=> x + y e S j , Vi p o r ser subespacios

=> x + y e , , = S definiendo n

í=i E jem p lo .- W es un subespacio de V <=>
i) 0 e W (W * <(>) y
Luego x + y e S ii) v,w e W => av + bw e W , V a,b e k
Solución
ii¡) X e k, x e S = => A x e S = por probar
/=! i=l =>) Como W es un subespacio de V =>0 e W por quetodo subespacio
contiene alcero v,w e W y a,b e k => av e W , bw e W (por la
Si x e S = S¡ , Vi =í> x e S ¡ , Vi, definiendo n condición (ii) de subespacio) entonces av + bw e W.
i=i
=> Ax e S¡ p o r ser subespacios se cum ple (i), (ii)

A x e S¡ = S definiendo n <=) Supongamos que W cum ple i) y ii) =>
i=i

por lo tanto X x e S

Luego S = es subespacio de V

156 Eduardo Espinoza Ramo \¡>acios Vectoriales 157

i) O e W => W * <)>, Sí v, w e W = > v + w = l . v + l . w e W p o r (ii) d
v+w e W

SíveW ylsk X \ = A,v + Ov e W p o r (ii) => X \ e W

Luego W es un subespacio de V.

Ejem plo.- Sean U y W dos subespacios de un espacio vectorial V=> U n W
es también un subespacio de V.

Solución

C om o U y W son dos subespacios d e V => O e U y 0 e W (por que todo T enem os que x e T => x e T u H
subespacio contiene al cero) y e T => y e T u H

=> O e U n W ...(1 ) pero x + y í T u H
con el cual se tiene que T u H n o necesariam ente es un subespacio.
Sean v,w e U n W => v,w e U a v,w e W

=> av + bw e U a av + bw e W , V a,b e k

c) SUM A Y SUMA D IR EC TA DE SUB -ESPA CIO S.-

puesto que U y W son subespacios

D EFIN IC IÓ N .- Sean y W2 d o s subespacios d e (V,+,k,.).

=> au + b w e U n W , por lo tanto Se llam a la sum a d e los subespacios W¡ y W2 al
U n W es un subespacio de V.
conjunto definido por:

b) UNIÓN DE SUB ESPA C IO S.- W = W, + fV2 = {x e V / x = X] + x 2 , Xj e W¡ a x 2 e W 2)

Si T y H son dos subespacios de (V,+,k,.) entonces T u H no T E O R E M A .- La sum a de dos subespacios de (V,+,k,.) es un
necesariam ente es subespacio de V, esto la ilustraremos con el siguiente subespacio de V.
ejemplo, considerem os el espacio vectorial ( R 2,+,R,.) y los subespacios
T y H que se muestran en la figura. D em ostración

158 Eduardo Espinoza Ramc I spacios Vectoriales 159

Sean W¡ y W2 dos subespacios de (V ,+,k,.) debem os p ro b ar que W = Wx+ W2 = {( x, y, z) e R 3 / ( x ,y, z) = (x ,,0, z ,) + (0, y 2, z 2) é W,
W = W¡ + W2 es un subespaeio de V
( x , 0 , z x) e Wx y (0 ,y 2 , z 2) g W2 í
i) Q ue W * <|), pues
es decir que está formado por todos los términos de la forma
Oef V, a 0 e l V 2 => 0 + 0 = 0 e Wx + W 2 ( x , y , z ) = ( x 1, y 2 , z ¡ + z 2 ) es decir qu e es R 3 luego W = W¡ + W2 = R 3

=> 0 e W => W*<|>
i¡) Sí x , y e W = WX+ W 2 => x + y e W = Wx + W 2

\ x e W = W\ + W 2 ¡ x = x i + x 2> x \ e t v x A * 2 e W 2 .
\ y e l V = W{ + W 2 {y = y, + y 2 , y, e Wx a y 2 e W2

X+ >' = ( x , + > ' 1) + ( ^ 2 +>' 2 ) . x l + y l e W l A X2 + y 2 e W z D E FIN IC IÓ N .- Sea V un espacio vectorial sobre k, Wx y W2 dos
por lo tanto x + y e W = WX+ W2 subespacios de V, diremos que V es la suma directa de
Wx y W2 sí:
iii) A. e k, x e W = WX+ W 2 => A x e .W = Wx + W 2
i) V = Wx + W 2 ii) Wx n W 2 = {0}
U k a x e W => A e k a x = x x + x 2 , x x e f V x a x 2 e W 2
=> Ax = Axx + Áx2 , Axx e f V x a Ax2 e f V 2 y denotarem os p o r W¡ (BfV2 - V . En resumen:
=> Á x e . W - W x + W 2

Luego W = Wx + W2 es un subespaeio de (V,+,k,.)
E jem plo.- En el espacio vectorial ( R 3,+, R,.) considerem os los subespacios

W, = { ( x lt0 , z , ) e R 3 / x , , z , e R } y W2 * { ( 0 , y 2, z 2 ) e R 3 / y 2 , z 2 e R } V = Wx © W2 = {u + v / u e Wx a v e W 2} y W¡ n W 2 - { 6 }
entonces el subespaeio suma: En general V * W¡ © W2

160 E duardo Espinoza Kamo.1 I \pacios Vectoriales 161
Solución
Ejem plo.- E n ( R 2,+,R,.) considerem os los subespaci¡os §
i) Probarem os que R 2 = Wx + W 2
W \ = { ( x , y ) e R 2 ¡ y = x} y W2 = { ( x , y ) e R 2 / y = - x \ prob,iar

que R 2 =W, ® W 2.

Solución para esto, todo elementos (x, y ) e R 2 , se expresa como
i) Todo elemento (x , y ) e R 2 se puede expresar com o : (x,y) = (x,0) + (0,y) se observa que:

( , , J ) = (£ ± Z , ^ Z ) + ( £ Z Z , Z ^ ) R 2 = W X+ W 2 y (x,0) e W¡ a (0 , y ) e R 2
ii) S ea (x, y ) e W l n W 2 => (x , y ) e W¡ a (x, y ) e W2
es decir: R 2 = ÍVl + W2 obsérvese que
=> y = 0 a x = 0
y (^ Z ,^ )e W 2 => (x,y) = (0,0)
d e donde W¡ r \W 2 = {(0,0)}

ii) A hora probarem os que Wx n W 2 = {(0,0)} com o {(0,0)} c W¡ n W2 por lo tanto de (i), (ii) y la definición R 2 = Wx © W2
siempre se cumple

sea ( x , y ) e W ] n W 2 => ( x , y ) e f V : a ( x , y ) e f V 2 Ejem plo.- En ( R 3,+, R ,.) considerem os los subespacios
w \ = { ( x , ^ , z ) e / ? 3 ! y = 0} y W2 = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z = 0}.
=> y = x a y = -x Demostrar que R 3 = © W2 .
de donde x = y = 0 => (x,y) e {(0,0)}
Luego Wx n W 2 c {(0,0)} Wx n W 2 = {(0,0)} Solución
i) Todo elemento (x, y, z) e R 3se puede expresar como
por la parte (i), (ii) y la definición se tiene: R 2 = ®W2
(x,y,z) = (x,0,z) + (0,y,0) donde (x ,0 ,z ) e W, a (0 ,y ,0 ) e W2

Ejem plo.- En ( R 2,+,R,.) considerem os los subespacios
W, = { ( x , y ) e R 2 / y = 0} y W2 = { ( x , y ) e R 2 / x = 0} p ro b a r]
que R 2 = W X® W 2 . R3 =W,+W2
ii) Sea (x, y , z ) e W¡ n W 2 => (x, y , z ) e f V , a (x, y, z) e W2

162 Eduardo Espinoza Ramo I lacios Vectoriales 163

í ( x , y , z) € W, Ejem plo.- Sea V = { / / / : R -> R) el espacio vectorial de todas las
funciones de R en R. Sea Vp = { / e V / / ( - x ) = /( x )} el
Sí \ => (x,0,z) = (0,y,0) => x = y = z = 0

[(x,y,z)eW 2

subespacio de todas las funciones pares y
las
Luego (x,y,z) = (0,0,0) => W¡ n W 2 = {(0,0,0)} Vi = { / e V / / ( - x ) = - / ( x ) } el subespaciode todas

por la parte (i), (ii) y la definición. .'.R 3 = W¡ © W2 funciones im pares. C om probar que V - Vp © V¡

Ejem plo.- En ( R 3,+,R,.) consideremos los subespacios Solución

W, = { ( x , y , z ) e R 3 / x = 0} y W2 = { ( x , y , z ) e R 3 1y = 0} i) Debem os probar que V = Vp +V¡, esta condición se cum ple del hecho
que cualquier función de R en R se puede expresar como:
¿ R 3 = W, 0 W2 ?
Solución

i) Todo elemento (x, y , z ) e R 3 se puede expresar como f ( x ) = I [/(X ) + /( -x ) ] + 1 [/(X ) - /(-X )]

(x, y, z) = (0, y, ^ ) + (x, 0, ~ ) donde R 3 = W¡ + W2 donde ^ [ / ( x ) + / ( - x ) ] es una función par, y - ^ [ / ( x ) - / ( - x ) ] es una
función im par. Por lo tanto V = Vp + V¡
ii) Sea a e R 3 => a = (x,y,z) de donde
a e W¡ n W2 => a e W ¡ a a e W2 ii) P robarem os que Vp n V¡ = {&)
S ea f e V p n V ¡ => f e V p a f e V ¡
a eW, a = (0, y , b de donde => f(-x) = f(x), V x e R a f(-x) = -f(x), V x e R
Sí 1 a = (x,0,-|) => 2f(-x) = 0, V x e R => f = 0
p o r lo tanto Vp n V¡ = {0}
[cceW2 Luego de (i) y (ii) y la definición V = Vp © V¡

(0 ,> -,^ ) = ( x , 0 , |) => x = y = 0, z = z
L uego a = (0,0,z) = z (0 ,0 ,1) => V z í O
a * (0,0,0) => Wy n W 2 * {(0,0,0)} por lo tanto R 3 * W ¿ ® t V 2

164 Eduardo Espinoza Rann I \pacios Vectoriales 165
E je m p lo .- S ea V = {A = [a¡j ]nxn / a¡j e R} el espacio vectorial de la
matrices cuadradas sobre el campo R y co nsiderem oi Sea A e U n W => A e U a A e W
U = {A e V / A = A 1} , el espacio de las m atrices sim étricas y
W = {A <=V / A = - A 1} el subespacio de las m atrices j => A = A ‘ a A = - A '
antisimétricas. Demostrar que V = U © W => A = A ‘ a A ~ - A 1
Solución => A = 0 Luego U n W = { 0 J
i) Demostremos que V = U + W Luego de (i) y (ii) y la definición: V = U © W
Sea A una matriz arbitraria de orden n, a la matriz A es posible expresarla) N O TA .- Extenderemos la definición de la suma de subespacios al caso en que
como n > 2.

A =- ( A + A ‘ ) + - ( A - A ' ) D E FIN IC IÓ N .- La suma de los subespacios W¡, W2 Wn de (V ,+,k,.) es el
22 conjunto

donde probarem os que ^ ( A + A ' ) e U y ~ ( A - A 1) e W es decir nn
W = W, + W 2 + ... + WN = ^ W , ■= { x e V / x = ' £ x i a x¡ e W ¡ }
[L(A + A ')f =±[A‘ +(A‘y] = ^ (A + A‘)
1=1 Z=1
L uego - i (A + A l ) es sim étrica => ^ ( A + A ‘ ) e U n
L uego resulta que W = ^ ^ W¡ un subespacio de (V ,+,k,.) adem ás, si tales
=^[A‘ -(A!y] =~ ( A - A f) í=i

L uego ( A - A 1) es antisim étricas => ~ ( A - A 1) e W de donde V -U + W j subespaciosson disjuntos dos a dos, ósea i * j => Wt n Wf = {6\ entonces

H) D em ostrarem os que U n W = {0} diremos que W es la suma directa de ellos, y escribiremos

W = Wi ® W 2 ® W i ®...@W„

T E O R E M A .- Sean V u n espacio vectorial sobre k, V¡ y V2 subespacios sí

y sólo sí para todo a e V, se puede expresar de m odo único en

la forma a = a , + a 2 donde a¡ eV¡ a a2 eV2.

D em ostración
=>) Supongam os que V = V , ® V 2 => i) V = V¡ + V2 , ii) V, n V2 = {0}

166 Eduardo Espinoza Ramos I \pacios Vectoriales 167

Sea a e V ¡ + V 2 => 3 a , e F , a a 2 e V 2 tal que a = a x + a 2M i) U = { ( x , y , z ) e R 3 / x + y + z = 0}, W = { (0,0,z) e R 3 / z e R)
deseam os dem ostrar que a = a[ + a'2 donde a[ eV¡ a a'2 e V2
Sea a e R 3 => a = (x,y,z) que se puede expresar com o:
=> a ¡ + a 2 = a ¡ + a 2 =>a x - a [ = a ' 2 - a 2 a = (x,y,z) = (x, y, -x - y) + (0, 0, x + y + z) y com o
(x, y, -x - y) e U a (0, 0, x + y + z) e W entonces R 3 = U + V
com o a l , a [ e V l => a ¡ - a [ e V l (pues K, es un subespacio de V ) 1 Sea a e U n W => a e U A a e W => x + y + z = 0 A x = y = 0

a 2, a' 2 e V 2 => a 2 - a 2 e V 2 (pues V2 es un subespacio de V) => 0 + 0 + z = 0 => z = 0
=> a = (0,0,0) luego U n W = {(0,0,0)}
=> a x - a [ = 0 a a'2 - a 2 = 0 => a = a \ a a 2 = a 2 .-. R 3 = U ® W

L uego a e V = V¡ + V2 tiene una representación única. ii) V = { { x , y , z ) e R 3 l x = z) y W = {(0,0,z ) € R 3 / z e R}

<=) Sea a e Va = a¡ + a 2 donde a ¡ eV¡ a a 2 e F2 esto se ]
representa de modo único.

v = v + 0 donde veV¡ a O e V 2 a v = 0 + v donde sea a e R 3 a = (x,y,z) = (x,y,x) + (0,0,z - x)

0 e V¡ a v € V2 => com o una sum a p ara v es única=> v= 0 : donde (x,y,z) e V a (0 ,0 ,z -x ) e W entonces R 3 = V + W
F| r \V 2 = {0} entonces V = V¡ ® V2 Sea a e V n W => a e V a a e W de donde
x = z a x = y = 0 => x = y = z = 0
E jem plo.- Sean entonces a = (0,0,0) luego V n W = {(0,0,0)}
U = {(x,y, z) e R 3 / x +y + z = 0}, V = {(x,y,z) e R 3 / x= z } ,
R 3 = V@tV
W = {(0,0, z) e R 3 / z e R) sub espacios de R 3 .
iii) U = {(jc, y , z ) e R 3 / x + y + z = 0} y V = { ( x , y , z ) e R 3 / x = z}
Probar que i) R 3 = U + W ii) R 3 = V + W iii) R 3 = U + V
Sea a e R 3 => a = (x,y,z) = (0, x - z, z - x) + (x,y - x + z,x)
¿R3=U@W? ¿R3=V®W? ¿R3=U®V? Donde (0,x - z,z - x) e U a (x,y - x + z,x) e V
Solución Entonces R 3 = U + V

168 Eduardo Espinoza Ramos / \pacios Vectoriales 169

Sea a e U n V => a e U a a e V D E FIN IC IÓ N .- Diremos que el vector v e V es una com binación lineal de

=> x + y + z = O A x = z los elementos de A, si existen escalares a¡ , a 2 ek,

=> 2x + y = O => y —-2x tal que

como a = (x,y,z) = (x,-2x,x) = x( 1,-2,1)

V x ^ O => a * (0,0,0) => U n V * {(0,0,0)} Ejem plo.- Sea ( R 2,+,R,.) un espacio vectorial, expresar en cada caso, si
es posible, el vector v com o com binación lineal de v ,, v2 donde:
por lo tanto R 3 * U © V

Ejem plo.- Supongamos que U,V y W son subespacios de unespacio 1) v = (7 2 ,-1 ), v, = (73,2), v2 = (-7 6 ,2 )

vectorial, probar que: ( U n V ) + ( U n W ) c U n ( V + W ) í Solución

Solución v es combinación lineal de v, y v2 si existen a, (i e R tal que
v = av, + pv2 ósea
(U n V ) + (U n W ) = {u + v / u e U n V a v e U n W}

sea a e (U n V ) + (U n W ) => 3 u e U n V y v e U n W / a = u + v

\ueUr>V [u e U a u e V (72,-1) = «(73,2)+ ^(-76,2)
como ve U a ve W
u+veU a u+veV + W
veU nW

(7 2 ,-l) = (7 3 « -7 6 /? , 2 a +2/3) de donde

=> u + v e U n (V + W ) => a e U n (V + W ) 7 3 a - yfbp = \¡2 a - 272 - 76
2(73 + 76)
de donde ( U n V ) + ( U n W ) c U n ( V + W ) 2a +2p =-\
272-73
3.9. COMBINACIONES LINEALES.-
2(73 + 76)

D E F IN IC IÓ N .- Sea (V ,+ ,k,.) un espacio vectorial y A * <(> d o n d e Luego el vector v se puede expresar como combinación lineal de los
A = {Vj , v2 v „ } c= V una fam ilia o conjunto de v ec to res | vectores y v2.

de V, llamaremos com binación lineal de elementos de A. a todo vector de la

form a a,v,. = a¡v¡ + a 2v2 +... +a„vn, a¡ e k , v¡ e A 272 - 76 272 - 73
V = ---- -7=----- =r- V, H-------= ----- = - V-,

i- 1 2(73+76) 2(73+76)

170 Eduardo Espinoza Ramos / *parios Vectoriales 171

2) v = (2,4), v, = ( - 1 ,3 ) , v2 = ( 2 ,- 6 ) a +P 0 _0 0'
0 0 por igualdad de matrices
P+y a+y

Solución

v es com binación lineal de los vectores v, y v2 si existen a,p e R tal a +p =0

que v = av, + /3v2 ósea: (2,4) = a ( 1-,3) + P(2,-6) P + y = 0 de donde a = p = 0

a +y =0

(2,4) = (-a + 2p, 3 a - 6P) de donde

- a + 2/7 = 2 -2>a + 6J3 = 6 Luego la única com binación lineal que satisface la relación propuesta es la
3c t - 6/} = 4 3 a-6 /? = 4 trivial

0 * 10 lu o . CONJUNTO DE COMBINACIONES LINEALES.-

L uego 2 a,p e R tal que v = arv, + /3\'2 Sea A * (|) un conjunto de vectores de (V ,+,k,.) ahora form arem os el
subconjunto de V cuyos elem entos sean todas las com binaciones lineales de los
Por lo tanto v no se puede expresar en combinación lineal delos vectore vectores de A, a este conjunto denotaremos con el símbolo A , que se lee “A
v, y v2 . raya”

E jem plo.- Sea (R 2x2 ,+, /?,.) el espacio vectorial de las m atrices de o rden 2,| Si A = {v¡, v2 v „} un conjunto de vectores de V entonces A se escribe así:

1 0" "1 0 ‘

y consideremos las matrices A = 01 , B= 10

0o
C = . D eterm inar todas las com binaciones lineales de A,B y C que den

11

la matriz nula N. Ejem plo.- El conjunto de todas las com binaciones lineales de los vectores
v, = (1,—2,0) y v2 = ( 2 ,- 2 ,- 1 ) de R 3 es
Solución

Debemos de obtener a,P y y en R, tales que: a A + pB + yC = N o sea

'1 0' '1 0‘ '0 on= '0 0' A = {a(l, -2 ,0 ) + p(2, -2 , -1 ) / a , p e R]
a0 1 +P 1 0 +y 1 10
, efectuando la multiplicación O s e a A = { ( a + 2 p , - 2 a - 2 p , ~ p ) / a , p e. R}
C om o A e R 3 => (x , y , z ) e A de donde (x,y,z) = ( a + 2p, - 2 a - 2p, -P)
0

a 0 +P 0+0 0—0 0 efectuando la suma
07 y0 uJ
0 a ¡i

172 Eduardo Espinoza Humot P\parios Vectoriales 173
í=1
a + 2(5 = x 2a +Ap = 2x nn
• - 2 a - 2/? = y => <- 2 a - 2 p - y
2fi = 2x + 7 ^ Av, =2^ («, +P i > i ~ ™ => u + v e A
-P =z -0 =z
- 2 z = 2x + (=1 i=1 i=l

de donde 2x + y + 2z = 0 por lo tanto A = { ( x , y , z ) e R? I 2 x + y + 2 z = 0} j iv) Si a e k , v e ^ => a v e A por probar

T E O R E M A .- Sea (V ,+,k,.) un espacio vectorial y >4 = {v1,v 2 ,...,v „} c V i n

dem ostrar que el conjunto de las com binaciones lineales de la I Síaek a v€ í4 => a e k a v= ^ ^a ;vf

i=i

fam ilia de vectores de A es un subespacio del m ism o es decir (A ,+ ,k,.) es un

subespacio de V. Al »

D em ostración => a v = a i « , v, = ^ ( a « i ) V ;
1=1 /=1

i) Siendo = l.v, + 0 .v 2 + ... + 0.v„ es decir v, e A => A*<¡>. n
=> a v = ^ ' $ v,
ii) Poí definición se tiene: => a v e A
í=i

v e A => 3 a¡ , a 2, n por lo tanto ( A +, A,.) es un subespacio de V.
e k / v = ' ' y ' a i v\ a v¡ e A

i=i

n Al l . SUB-ESPACIO GENERADO.-
=> v = ^ a¡ v, a a , e k a v¡ e V , puesto que A c V
a) D EFIN IC IO N .- Sea V un espacio vectorial sobre k y A c V un
í=i

subconjunto de V no vacío, el conjunto de todas las

L uego v e /í => v e V, Por lo tanto A cz V combinaciones lineales de un número finito de elementos de A es un

iii) Si u , v e A => « + v £ ^ por probar subespacio de V y se denomina el subespacio generado por A y se denota
n
por:

n

L(A) = a,v , / a ¿ e k, v¡ e A}

1=1 entonces: ¡=i

Si A es finito, por ejemplo A = {v,, v2 v „ } decim os que U = L(A) es
un subespacio finitamente generado.

174 Eduardo Espinoza Ramoí \/>acios Vectoriales 175

Ejem plo.- En el espacio vectorial ( / ? \ + ,/ ? „ ) considerem os A = {(1,2,-1 Luego el espacio generado por los elementos A es:
(3,0,1)}, hallar el subespacio L(A).
L{A) = { ( x , y , z ) e R \ ' x = z}
Solución
Ejem plo.- Demostrar que los siguientes conjuntos de vectores de
R l generan el mismo subespacio A = {(1,0,-1), (0,-2,l)} ,
Sea A = { v ,, v2 } donde v, = (1,2,—! ) , v2 =»(3,0,1) B = {(1 ,-2,0), (2,-2,-1)}

I M ) = {«v, + P » 2 ! a , f i s R ) = { a(l,2 ,-l) + P (3 ,0 ,l)/a ,P 6 R}

com o L ( A ) c z R 3 entonces (x,y,z) e L(A) Solución
Por dem ostrar que L(A) = L(B)

^ (x,y,z) = a ( l,2 ,- l) + p(3,0,l) = ( a + 3p, 2 a , - a + P) de donde

a + 3/) = x - + 3P = x => x - 2y - 3z = 0 A genera el subespacio L(A) de R 3entonces:
2a = y - U p =z L(A) = { a (l,0 ,-l) + P (0,-2,l) / a , p e R}
-a +P - z
2 C om o L ( A ) c 5 3 => (x ,y ,z)e L(A ) de donde (x,y,z) = a ( l , 0,-1) + P(0,-2,1)

Luego L (A ) = {(*, y , z ) e R 3 / x - 2 y - 3z = 0} (x,y,z) = (a , -2p, -a + p) por igualdad se tiene:

Ejem plo.- D eterm inar el subespacio de (/? 3,+, R, ) generado p o r la fam i‘‘J x =a x =a
A cuyos elem entos son los vectores v, = (2,1,2) y v2 = (1,2,1). y = -2p yn
z = -a +p \x +—+Z = 0
z = -a +p => -I 2

[2x +y + 2z - 0

Solución

¿ ( A ) = {av, + P»2 l a > P * R } = {«(2,1,2) + « 1 ,2 ,1 ) / a ,p e R} Luego L ( A ) = { ( x , y , z ) e R } / 2x + y + 2 z = 0} ...(1 )
B genera el subespacio L(B) de R 3 entonces
com o L (A) cz / f 3 => (x,y,z) e L(A ) entonces: L (B ) = { a (l,-2 ,0 ) + P (2 ,-2 ,-l) / a , p e R}
C om o L (B ) c R 3 => (x,y,z) e L (B ) entonces
(x,y,z) = a (2 ,l,2 ) + P( 1,2,1) = (2 a + p, a + 2p, 2 a + P) de donde

x = 2a +P
y = a + 2 P => x = z , y 6 R

(x,y,z) = a(l,-2 ,0 ) + p (2,-2,-l) = ( a + 2p, -2 a - 2p, -p}, por igualdad se tiene:

176 Eduardo Espinoza Ram / x/iacios Vectoriales 177

x=a+2P b) PR O PO SIC IÓ N .- Sea el espacio vectorial (V ,+,k,.), A * (|>,
^ - { vi »v2 >—, v „ } c : F Y {w«}«e/ una fam ilia de
x= a + 2 fi § — /» x+—+ z= 0
y = -2a-2fS z— P 2 subespacios tales que / i c w , , para todo i e I, entonces: ¿ (/í) = f h
z =-P
2x +y + 2z = 0

iel

D em ostración

Luego I ( 5 ) = { ( x , j , z ) e / ? 3 / 2 x + _v+ 2z = 0} -..(2)

Por lo tanto de (1) y (2) se tiene: L(A) = L(B) i) Probaremos que ¿ (/í) = o
iel
Ejem plo.- H allar un vector en R 3que genera la intersección de U y W
donde U es el plano XY: U = {(x,>»,0) e R 3 / x , y e R]y W es sea v e L(A), entonces existen escalares a , , a 2,...,a „ e k tal que:
el espacio generado por los vectores (1,2,3) y (1 ,-1,1)
y = y ^ « ; Vy , Vy e / 1 , V j = l,2 ,...,n
Solución y=i

Sea (x,y,z) e U a W => (x,y,z) e U a (x,y,z) e W => z = 0 y com o pero com o ^ c w,., V i 6 I, Vj = l,2 ,...,n

(x,y,z) = (x,y,0) e ' W => (x,y,0) = a ( 1,2,3) + P( 1,-1,1) n
=> v = ^ « y v7 ; v „ v 2 ..... V .6 W ,., V i e l
(x,y,0) = ( a + p, 2 a - p, 3 a + P) de donde
7=1

x =a +P x +y = 3a x +y v e w ,, V i e I => v e w, => ¿ ( > 4 ) c O
y =2a-p => =a ie/ í€/
0 = 3a + P
3 a + /? = 0 3

P = -3a

(x, y, 0) = ^ (1,2,3) - ( x + >>)(1, -1 ,1 ) ii) Ahora verificarem os que p | c L(A)
iel

x+y 2, . . A cL (A ), en efecto, para v y e A , j = l,...,n se puede escribir siempre:
= (— i - j c - y , - ( x + y ) + x + y , x + y - x - y )

Vj = O.v, + ...+ 0.vy_i + l . v y + 0 .Vy+1 + ... + 0.vn , V j = l,2 ,...,n

= [ - - ( * + y l - (* + y ). 0] = (-2 ,5 ,0 ) = a = (-2,5,0)
33 3

=> A c L(A ) => H A ) = w io para algún i0 e /

El vector que genera la intersección de U y W es (2,-5,0).

178 Eduardo Espinoza Ramm \spacios Vectoriales 179

=> P'j h> c w¡ = L( A) => p j w, c L( A) a(2,4) + b(0,3) = (0,0), de donde (2a, 4a +3b) = (0,0)

ilei /e/ Í2a = 0 a =0
por igualdad se tiene: < =>
Luego de (i) y (ii) se tiene: n-L(A) = [4a + 3¿ = 0 4 a + 36 = 0 => b = 0

/e/ com o a = b = 0 p o r lo tanto v¡ = ( 2 ,4 ) , v2 = (0 ,3 ) son l.i

OBSERV ACIÓ N .- A la proposición que se dem uestra tam bién podemflB

enunciar diciendo que L(A) es el m enor de todos i H 2) F = * \ k = R , v, = ( 1 ,3 ,7 2 ) , v2 = ( 0 , 0 ,0 ) , v3 = ( 1 , 0 ,1 0 )
Solución
subespacios que contiene a A. |
ov¡ + b v2 + cv3 = (0,0,0) la com binación lineal
3.12. INDEPENDENCIA Y DEPENDENCIA LINEAL.-

a) D E F IN IC IÓ N .- U n conjunto de vectores { r ,, v2 ,..., v„} * <j> de n |H |

espacio vectorial V sobre un campo k, direm os que e f l a(l, 3 ,7 2 ) + ¿»(0,0,0) + c ( ~ , 0,10) = (0 ,0 ,0 ), de donde

n

linealm ente (l.i) sí y sólo sí a i vi = 0 => á [ = 0 , V i = 1,2,.. .,n 1 M

í=i (a + ^ , 3a, \Í2a + 10c) = (0 ,0 ,0 ), por igualdad

Si {v,,v2,í..,v„} no cum ple esta condición diremos que { v |,v 2,...,v„j
es linealmente dependiente (l.d) es decir:

■3a = 0 • => c = 0

n 0 para algún i entre 1 y n . 7 2 a + 10c = 0 ¿*0
'J T a¡v¡ = 0 y a i
i=i

Ejem plo.- D eterm inar la dependencia o independencia lineal de loíj com o a = c = 0 y b * 0 por lo tanto: v ,, v2 , v3 son l.d.
siguientes conjuntos de vectores: O B SER V A C IÓ N .- Toda combinación lineal que contiene al vector cero es

1) V = R 2 , k = R, v , = ( 2 , 4 ) , v2 = ( 0 , 3 ) l.d.
Solución
3) F = J ? 3 , k = R, v, = (1 ,2 ,-3 ), v2 = (2 -1 ,1 ) y v3 = ( - 1 ,8 - 1 1 )
Sea avl + b v2 = (0 ,0 ), la com binación lineal Solución

180 Eduardo Espinoza Ra I \pacios Vectoriales 181

ov, + /A'2 + yv} = (0,0,0) la com binación lineal: E jem p lo .- En el espacio vectorial de funciones (R R ,+, k,.) el conjunto de
funciones es \ e ‘ , e 2' } , d eterm inar si son linealm ente
a ( 1,2,-3) + P (2 ,-l,l) + y (-l,8 ,-l 1) = (0,0,0), de donde: independiente.
( a + 2p - y, 2 a - p + 8y, - 3 a + P - 1ly) = (0,0,0), por igualdad se tiene: Solución

a + 2 B - y =0 , a = ~ —0 a e ' + f i e 2' = 0 , la com binación lineal
r' a 0 « + 15/? = 0
2 a - B + 8 y = 0 =5 . 2
-3 a +p - l l y =0 p
-3a + /?-llr = 0 1^

para P = -2, a = 3, y = -1 luego 3v, - 2v2 - v3= (0,0,0) com o a e ‘ + P e 21 = 0 , derivando se tiene: a e ‘ + 2 p e 2' = 0
por lo tanto son l.d. resolviendo el sistema a = p = 0
4) V = C 2 , k = C, a,;= (i,0) , a 2 = (0 ,/), i 2 = -1 por lo tanto {e ' , e 2' } son linealm ente independiente.

Solución Ejem plo.- En ( R r ,+,R,.) donde I = [0,1] determ inar si los vectores
Sea a e V = C 2 => a = (u,v) pero u,v € C entonces v, = s e n / y v2 = c o s t son linealm ente independiente.
u = a + bi y v = c + di con a,b,c,d e R => a = (a + bi, c + di) com o
a , = ( / , 0 ) , a 2 = ( 0 , í ) e C J => a , = (0 + /, 0 + 0./') y a 2 = ( 0 + 0./, 0 + / ) Solución
O e C 2 => 0 = (0 + O.i, 0 + O.i)
Sea la com binación lineal: a a { + b a 2 = (0,0), con a,b e C fa sen t + p eos t = 0
=> ( a x +¿>1/)(/,0) + («2 + ¿ 20(0,1) = (0 + 0./, 0 + 0,/) a v x + p v 2 = 0 , la com binación lineal i , derivando
=> ( a xi —bx, 0) + (0, a 2i - b 2 ) = (0 + 0 j , 0 + 0./) [a eos t - p sen t = 0
=> ( a xi - b x, a 2, - ^2) = (0 + 0 J > 0 + 0./')
=> a x. i - b x = 0 + 0./' a a 2i - b 2 = 0 + 0./' ahora resolviendo el sistema se tiene:
a , = 0 , a 2 = 0 , Z>2 = 0 , bx = 0 de dondea , , a 2 son l.i
0 eos t 0-0 =0
0 - sen t
a= -sen2 f-c o s 2 t
sen t eos t
eos t - sen t

seni 0 0-0 =0

COSÍ 0 -s e n 2 t - eos2 1

P=

sen / COSÍ

c o s í -- s e n í

182 Eduardo E spinoza Ram / spacios Vectoriales 183

Luego la única solución es: a = p = 0 <=) A hora asum iendo que v * 0
av = 0 => a = 0 v v = 0
Por lo tanto {sen t, eos t} es linealm ente independiente.

Ejem plo.- Sabiendo que dos vectores V] y v2 son linealm e pero como v * 0 por hipótesis, resulta que a=0 y en consecuencias
independiente en (V \+,k,.) dem ostrar que v, + v2 y v2 s<^ V es l.i.
linealmente independiente.
nn n

© 2 a,v, = a¡Vj + a¡v¡ = 6

Solución /=1 i= l i=m+\

9 => a¡ = 0 , para todo i = 1 ,2 ,..,,n p o r ser v ¡ , v 2 ,...,vn linealm ente
independiente
C onsiderem os la com binación lineal de la fam ilia d e vectores {v, + v2 , v2 } qu

sea igual al vector nulo con escalares a y P que determ inarem os.

« (y , + v2) + fh ’2 = 0 , por distributividad respecto de la sum a en k => a¡ = 0 , para todo i = 1 ,2,...,m pues m < n
a v | + ( a + /?)v2 = 6 , com o v, y v2 son l.i entonces a = 0 a a+P = 0 v,,v2,...,vm son linealmente independiente.

de donde a = P = 0 c) Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial, S c V, direm os que S es linealmente
por consiguiente + v2 , v2 son linealmente independiente. independiente, si todo subconjunto finito de S es linealm ente
independiente.
b) P R O P O S IC IÓ N .- Sea (V,+,k,.) un espacio vectorial:
En caso contrario diremos que S es linealmente dependiente.
® U n vector v e V e s l..i. si. y solo si v * 0.

( T ) Si v ,,v 2 ,...,v n son l.i. entonces v,,v2,...,vm donde 1 < m < n d ) P R O P O S IC IÓ N .- Sea S y 5" subconjuntos de V tal que S a S ' ,
entonces
tam bién son l.i.
O Si S' es linealm ente independiente, entonces S tam bién lo es.
Solución ( 7 ) Si S es linealm ente dependiente, tam bién lo es S ' .

© =>) asum am os que V es l.i. en V. D em ostración
Ejercicio para el lector
por el absurdo supongamos que v = 0 entonces av = 0, Va e k, en
particular si elegim os a = 1, tenem os que l.v = 0 lo cual es un
contradicción con el hecho que V es l.i. Luego v 0

184 Eduardo Espinoza Ramo» I ja c io s Vectoriales 185
reem plazando los valores de a ,p y y en (1)
3.13. SISTEMA DE GENERADORES.- (x,y,z) = z( 1,1,1) + (y - z)( 1,1,0) + (x - y)( 1,0,0)

a) D E FIN IC IÓ N .- Considerem os un espacio vectorial (V,+,k,.) la familia 5 Luego (x , y , z ) e R 3 se puede expresar com o com binación lineal de los
A = {v{, v2 v „ } * <t> de vecto res d e V es u n sistem a ® vectores (1,1,0), ( 1, 1,0 ) u ( 1,0 ,0)

de generadores de V sí y sólo sí todo vector de V puede expresarse c o m f l
com binación lineal de los vectores de A, o bien A es un sistem a
generadores de V sí y sólo sí el subespacio generado por A es V.

N O TA CIÓ N .- Por lo tanto genera a R 3 es decir L(A) = R }

La abreviatura de “sistem a de generadores es S.G. Entonces A = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} es S.G.

La abreviatura de “com binación lineal’ es C.L. O B SER V A C IÓ N .- El concepto de sistema de generadores de un espacio
vectorial es independiente de la independencia o
Expresando en forma sim bólica la definición se tiene:
dependencia lineal del. sistem a, ósea un sistem a degeneradores puede ser
linealmente independiente o no.

n

A es un S.G. de V o v e V => v = a i v ¡ 0 bien. | b)P R O PO S IC IÓ N .- Si la familia A = {v,, v2 v„ } es un S.G., L.D. de

<=i V entonces existe v; e A tal q u e ^ - { v ; } es un
S.G. de V.
A es un S.G. de V ■» L(A) V
D em ostración
E jem plo.- D eterm inar si el conjunto de vectores A {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)1
de (7?3,+ ,/?,.) constituye un sistema de g eneradores d e R } . Por ser A un sistema de generadores de V, se define
n
Solución
v e V => v = ^ a , v ,
... (1)

V erem os si se cum ple L ( A ) = R* para que sea S.G. ... ( 1) como A es linealmente dependiente entonces algún vector de A, digamos
v , , es com binación lineal de los restantes, ósea
(.x , y , z ) s R i => (x,y,z) = a ( l , l , l ) + P (L L 0 ) + y( 1,0,0) a =z
r ...(2)
x =a +P +y P- y~z
(x,y,z) = ( a + P + y, a + p, a ) ded o n d e \ y = a + f i 3 Vj tal que Vj =
y =x -y >=j
z =a