Οδυσσέας

Óýìðñáîç

ÁíÜðôõîç ÌïíôÝëùí ÐåéñáìáôéêÞò ÖõóéêÞò

Méá Óõíåñãáóßá ôçò ÄåõôåñïâÜèìéáò ìå ôçí Áíþôáôç Åêðáßäåõóç

Eã÷åéñßäéï ôùí Ðåéñáìáôéêþí ÄéáôÜîåùí
Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò
ÄéÜôáîç Ìç÷áíéêÞò
ÄéÜôáîç ÏðôéêÞò
ÄéÜôáîç Ìåôáôñïðþí ÅíÝñãåéáò

ÓõììåôÝ÷ïíôåò:
ÅñãáóôÞñéï ÄïìÞò ôçò Õëçò & ÖõóéêÞò ËÝéæåñ ôïõ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò
2o ÔÅE ×áíßùí
4o ÔÅÅ ×áíßùí
4ï Ëýêåéï ×áíßùí
1ï & 2ï ÃõìíÜóéï Êáóôåëëßïõ
1ï Ëýêåéï ×áëáíäñßïõ
ÅÊÖÅ ×áíßùí
ÅÊÖÅ Â’ Ä.Ä.Å. Áèçíþí

ÐñïãñÜììáôá Êéíçôéêüôçôáò
ÅíÝñãåéá 1.3.ä ôïõ ÅÐÅÁÅÊ

XáíéÜ 1998 - 2000

Óýìðñáîç

ÁíÜðôõîç ÌïíôÝëùí ÐåéñáìáôéêÞò ÖõóéêÞò

Méá Óõíåñãáóßá ôçò ÄåõôåñïâÜèìéáò ìå ôçí Áíþôáôç Åêðáßäåõóç

ÓõíôïíéóôÞò
2ï ÔÅÅ ×áíßùí (ðñþçí 3ï ÔÅË)
Âáóßëçò ×áôæçäÜêçò, Ðôõ÷. Öõóéêüò, ÕðïäéåõèõíôÞò 2ïõ TÅÅ ×áíßùí. Ôçë. (0821)97247, Ôçë./Fax (0821)93155, 91515.
ÏìÜäá Á’
ÅñãáóôÞñéï ÄïìÞò ôçò 3⁄4ëçò & ÖõóéêÞò ËÝéæåñ.
Åëåõèåñßá ÓåñãÜêç, Ðôõ÷. Öõóéêüò, MEng ÇÌÌÕ, ÅÅÄÉÐ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò. Ôçë. (0821)43940, (0821)28450, Fax (0821)28453.
EKÖE B’ Äéåýèõíóçò AèÞíáò
Êþóôáò Êáìðïýñçò, Ðôõ÷. Öõóéêüò, MSc ÖõóéêÞò, Yðåýèõíïò ÅÊÖÅ B’ Ä. ÁèÞíáò. Ôçë. (01)8032740, Ôçë./Fax (01)6833915, (01)6000870.
1ï Ëýêåéï ×áëáíäñßïõ
Ìåñêïýñçò Ðáíáãéùôüðïõëïò, Ðôõ÷. Öõóéêüò, ÊáèçãçôÞò.
Ôçë. (01)8046517, Ôçë./Fax (01)6850779.
Êáôåñßíá Êáìðïýñç, ÌáèÞôñéá ôïõ 1ïõ Ëõêåßïõ ×áëáíäñßïõ
Ðáíáãéþôçò ÄïõâÜñáò, ÌáèçôÞò ôïõ 1ïõ Ëõêåßïõ ×áëáíäñßïõ.
4ï ÔÅÅ ×áíßùí
Ìáíþëçò ÁðïóôïëÜêçò, Ìç÷áíïëüãïò Õðïìç÷áíéêüò, ÊáèçãçôÞò. Ôçë. (094)5996517, (0821)91515.
ÏìÜäá Â’
ÅñãáóôÞñéï ÄïìÞò ôçò 3⁄4ëçò & ÖõóéêÞò ËÝéæåñ
Ðáíáãéþôçò ÐåôñÜêçò, Ðôõ÷. Öõóéêüò, MSc ÖõóéêÞò, ÅÅÄÉÐ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò.Ôçë. (0821)52395, (0821)28450, Fax (0821)28453.
EKÖE ×áíßùí
ÄçìïóèÝíçò ÌáñêïãéáííÜêçò, Ðôõ÷. ×çìéêüò, Yðåýèõíïò ÅÊÖÅ ×áíßùí. Ôçë. (0821)59001, (0821)28666, Ôçë./Fax (0821)28666.
ÅéñÞíç ÁðïóôïëÜêç, ÌáèÞôñéá ôïõ 4ïõ Ëõêåßïõ ×áíßùí.
ÃéÜííçò ÌáñêïãéáííÜêçò, ÌáèçôÞò ôïõ 4ïõ Ëõêåßïõ ×áíßùí.
1ï & 2ï ÃõìíÜóéï Êáóôåëëßïõ
Ìáíþëçò ÂáêÜêçò, Ðôõ÷. Öõóéêüò, MSc Ñáäéïçëåêôñïëïãßáò, ÊáèçãçôÞò.
Ôçë. (0821)64865, Fax/Tçë. (0824)22241.
4ï ÔÅÅ ×áíßùí
Ìáíþëçò ÁðïóôïëÜêçò, Ìç÷áíïëüãïò Õðïìç÷áíéêüò, ÊáèçãçôÞò. Ôçë. (094)5996517, (0821)91515.
ÓõíåñãÜôåò
Íßêïò ÁöåíôÜêçò, Ðôõ÷. Ìç÷áíéêüò ÐáñáãùãÞò & Äéïßêçóçò Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò. Desktop & OnLine Publishing. Ôçë. (0821)28258, 28188, Fax (0821)28189.

1⁄4ëá ôá ïíüìáôá ðñïúüíôùí êáé õðçñåóéþí ðïõ áíáöÝñïíôáé óôï ëïãéóìéêü áõôü åßíáé åìðïñéêÜ óÞìáôá ôùí áíôßóôïé÷ùí åðé÷åéñÞóåùí ðïõ ôá åêìåôáëëåýïíôáé. ×ñçóéìïðïéïýíôáé ìüíï ãéá
óêïðïýò áíáöïñÜò êáé ãéá üöåëïò ôùí åðé÷åéñÞóåùí ðïõ ôá Ý÷ïõí êáôï÷õñþóåé. Ç ÷ñÞóç ôïõò äåí Ý÷åé ìå êáíÝíï ôñüðï óêïðü ôçò ôçí åêìåôÜëëåõóÞ ôïõò.
Ôï ëïãéóìéêü áõôü äßíåôáé “ùò-Ý÷åé”. Ï êáôáóêåõáóôÞò äå äßíåé åããýçóç, ãñáðôÞ Þ ìå Üëëï ôñüðï åííïïýìåíç, ðïõ íá åðéâåâáéþíåé ôçí ðïéüôçôá, ôçí êáëÞ ëåéôïõñãßá, ôçí åìðïñéêüôçôá Þ ôçí
êáôáëëçëüôçôá ãéá êÜðïéï óõãêåêñéìÝíï óêïðü áõôïý ôïõ ëïãéóìéêïý. Ôï ðáñïí ëïãéóìéêü äå öÝñåé êáììßá åããýçóç ïôé èá áðïôñÝøåé Þ èá áíé÷íåýóåé ðéèáíÞ âëÜâç óôá äåäïìÝíá (data) Þ óôï
äéêü óáò ëïãéóìéêü. Óå êáììiá ðåñiðôùóç ç Óýìðñáîç ÏäõóóÝáò äåí åiíáé õðåýèõíç íá áðïæçìéþóåé ãéá äéáöõãüí êÝñäïò Þ ãéá ïðïéáäÞðïôå æçìéÜ ðïõ ðñïêëÞèçêå Üìåóá Þ Ýììåóá áðü ôç
÷ñÞóç ôïõ ëïãéóìéêïý áõôïý.

ÅéóáãùãÞ i

Áíôß Ðñïëüãïõ

1⁄4ôáí ðñéí áðü äýï ÷ñüíéá, ôïí ÌÜñôéï ôïõ 1998, õðïâÜëëáìå ãéá Ýãêñéóç ôï
ðñüãñáììá “ÏÄÕÓÓÅÁÓ: ÁíÜðôõîç ÌïíôÝëùí Äéäáóêáëßáò ÐåéñáìáôéêÞò
ÖõóéêÞò”, åëÜ÷éóôá ãíùñßæáìå ãéá ôá ðñïãñÜììáôá êéíçôéêüôçôáò. Ç åðéèõìßá ìáò íá
ãíùñßóïõìå ôï Üãíùóôï ìáò þèçóå óôçí éäÝá ôçò õðïâïëÞò ôçò áßôçóçò ìå èÝìá ôçí
áíáâÜèìéóç ôçò äéäáóêáëßáò ôçò ÖõóéêÞò, êÜôé ðïõ üëïõò ìáò åíäéÝöåñå êáé ðïõ ãéá ôï ðþò èá
ôï ðåôý÷ïõìå ðñïâëçìáôéæüìáóôå óôçí êáèçìåñéíÞ ðñáãìáôéêüôçôá ôçò ôÜîçò.

Ôï ðñüãñáììá åãêñßèçêå ôïí ÓåðôÝìâñéï ôïõ 1998. ÊáèçãçôÝò êáé ìáèçôÝò áðü
äéáöïñåôéêÜ ó÷ïëåßá ôçò äåõôåñïâÜèìéáò åêðáßäåõóçò (ÃõìíÜóéá, Åíéáßá Ëýêåéá, ÔÅÅ),
áðü äéáöïñåôéêÝò ðåñéï÷Ýò, Ýðñåðå íá óõíåñãáóôïýí ìåôáîý ôïõò êáé ìå åêðáéäåõôéêïýò åíüò
Áíþôáôïõ Åêðáéäåõôéêïý Éäñýìáôïò (Ðïëõôå÷íåßï ÊñÞôçò). ÐÝñá áðü ôçí êáèçìåñéíüôçôá
ôùí ó÷ïëåßùí ìáò, ôïí ðßíáêá êáé ôçí êéìùëßá, Ýðñåðå íá ãßíïõìå üëïé ìáæß ìéá ïìÜäá ðïõ èá
äþóåé êáé èá ðÜñåé éäÝåò, èá äéáöùíÞóåé êáé èá óõìöùíÞóåé, èá ðÜñåé åñåèßóìáôá áðü
äéÜöïñåò ðçãÝò (üðùò ôï Ìïõóåßï ôïõ ÌïíÜ÷ïõ) êáé ôåëéêÜ, ìåôÜ áðü ðåñéðëÜíçóç äýï
ðåñßðïõ åôþí, ùò óýã÷ñïíïò ÏäõóóÝáò, èá êáôáëÞîåé óôçí ÉèÜêç ôçò.

Ôï áðïôÝëåóìá ôçò ãüíéìçò êáé óõíáñðáóôéêÞò áõôÞò ðñïóðÜèåéáò Þôáí ç êáôáóêåõÞ
ôåóóÜñùí ðñüôõðùí ðåéñáìáôéêþí äéáôÜîåùí ðïõ ó÷åäéÜóôçêáí êáé êáôáóêåõÜóèçêáí áðü
åìÜò ôïõò ßäéïõò. Áõôü ôï âéâëßï-åã÷åéñßäéï óáò ðáñïõóéÜæåé áêñéâþò áõôÝò ôéò äéáôÜîåéò, ôá
ðåéñÜìáôá ðïõ ìðïñïýí íá åêôåëåóôïýí êáé ôïí ôñüðï ìå ôïí ïðïßï åìåßò íïìßæïõìå üôé ðñÝðåé
íá ãßíåôáé ôï ìÜèçìá ôçò ÖõóéêÞò óôá ó÷ïëåßá ôçò ÄåõôåñïâÜèìéáò Åêðáßäåõóçò. ÂÝâáéá, èá
ðåé êáíåßò üôé ç ðñáãìáôéêüôçôá ôùí ó÷ïëåßùí, ç Ýëëåéøç õðïäïìÞò, ïé äéáñêåßò åîåôÜóåéò, ç
õðï÷ñÝùóç íá âãÜëåéò ôç óõãêåêñéìÝíç ýëç, äåí óïõ äßíïõí ôïí ÷ñüíï ðïõ ÷ñåéÜæåóáé ãéá íá
êáôáöÝñåéò ç ÖõóéêÞ íá ãßíåé Ýíá ìÜèçìá ðïõ íá áñÝóåé óôá ðáéäéÜ, íá óõììåôÝ÷ïõí ó’ áõôü
êáé ü÷é Ýíá ìÜèçìá ðïõ ðáðáãáëßæïíôáò êÜðïéá “sos” èÝìáôá ãéá åîåôÜóåéò êáé ëýíïíôáò
áóêÞóåéò èá âãÜëïõí Ýíáí áêüìç âáèìü ãéá íá ðåñÜóïõí ôçí ôÜîç Þ íá ìðïõí óôï
ðáíåðéóôÞìéï. Åìåßò åðéìÝíïõìå íá åßìáóôå ñïìáíôéêïß, ðéóôåýïõìå üôé áõôÞ ôçí ðñáãìáôéêüôçôá
ìðïñïýìå íá ôçí áëëÜîïõìå!

ii ÅéóáãùãÞ

Èá Þèåëá íá åõ÷áñéóôÞóù üëïõò ôïõò óõíáäÝëöïõò (Êþóôá Êáìðïýñç,
Ìåñêïýñç Ðáíáãéùôüðïõëï, Ìáíüëç ÂáêÜêç, ÄçìïóèÝíç
ÌáñêïãéáííÜêç, Ìáíüëç ÁðïóôïëÜêç, Ðáíáãéþôç ÐåôñÜêç, Åëåõèåñßá
ÓåñãÜêç) êáé ôïõò ìáèçôÝò êáé ìáèÞôñéåò (Ðáíáãéþôç ÄïõâÜñá, ÃéÜííç
ÌáñêïãéáííÜêç, Êáôåñßíá Êáìðïýñç, ÅéñÞíç ÁðïóôïëÜêç), ðïõ óõììåôåß÷áí óôï
ðñüãñáììá “ÏÄÕÓÓÅÁÓ”, ôïí Íßêï ÁöåíôÜêç ãéá ôï óôÞóéìï ôïõ âéâëßïõ êáé
ôïõ CD, ôïí ÄéåõèõíôÞ ôïõ 2ïõ ÔÅÅ ×áíßùí ×áñÜëáìðï Âïãéáôæüãëïõ, ôïõò
ÄéåõèõíôÝò ôùí Ó÷ïëåßùí åôáßñùí, ôïõò ÄéåõèõíôÝò ôïõ Åñãáóôçñßïõ ÄïìÞò ôçò
3⁄4ëçò êáé ÖõóéêÞò ËÝéæåñ ôïõ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò, ôï ÅÉÍ ãéá ôç âïÞèåéá ðïõ
ðñïóÝöåñå ðñüèõìá üðïôå ôçí æçôÞóáìå, êáèþò êáé üëïõò üóïõò âïÞèçóáí ìå ôïí
ôñüðï ôïõò óôçí õëïðïßçóç ôïõ ðñïãñÜììáôïò.

Ï ÓõíôïíéóôÞò
Âáóßëçò ×áôæçäÜêçò
ÕðïäéåõèõíôÞò 2ïõ ÔÅÅ ×áíßùí

ÅéóáãùãÞ iii

Áðü ôïõò ÌåëåôçôÝò

ÌÝóá óôï âéâëßï áõôü êáôáâÜëáìå êÜèå ðñïóðÜèåéá ãéá íá ðáñïõóéÜóïõìå ìå ôïí êáëýôåñï äõíáôü ôñüðï ôï õëéêü ôçò åñãáóßáò
ìáò. Ïé ìáèçôÝò ðïõ Ýëáâáí ìÝñïò óôï ðñüãñáììá óõíÝâáëáí óôç ó÷åäßáóç, óôéò äïêéìÝò êáé óôçí ôåëåéïðïßçóç ôùí êáôáóêåõþí
êáé óôÜèçêáí ùò ôþñá ïé áõóôçñüôåñïé êñéôÝò ôïõ Ýñãïõ ìáò -ôïõò åõ÷áñéóôïýìå éäéáßôåñá ãéá ôéò ðïëýôéìåò åìðåéñßåò ðïõ áðïêïìß-
óáìå áðü ôç óõíåñãáóßá ìáæß ôïõò.

Íá óçìåéþóïõìå ïôé ðáñüëï ðïõ ç èåùñßá ôùí ðåéñáìÜôùí Ý÷åé ÷ùñéóèåß óå èåùñßá ðïõ áðåõèýíåôáé óå åêðáéäåõôÞ/ôñéá êáé óå
èùñßá ðïõ áðåõèýíåôáé óå ìáèçôÞ/ôñéá, íïìßæïõìå ïôé ïé ðñþôïé èá ðñÝðåé ðÜíôá íá äéáâÜæïõí ïëüêëçñï ôï êåßìåíï ôïõ êÜèå
ðåéñÜìáôïò.

Áíáëõôéêü ðëçñïöïñéáêü õëéêü ãéá üëç ìáò ôçí ðñïóðÜèåéá âñßóêåôáé óôï Äéáäßêôõï. Ç äéåýèõíóç ôçò Óýìðñáîçò åßíáé:
• http://users.otenet.gr/~tel3hania/

Ëüãù ôçò óõíå÷ïýò áíáíÝùóçò ôùí äéáèÝóéìùí ó÷åôéêþí ðëçñïöïñéþí äå èá Þôáí Üóêïðï íá ðáñáðÝìøïõìå êáé óå ìåñéêÝò ðïëý
÷ñÞóéìåò äéåõèýíóåéò ôïõ Äéáäéêôýïõ ðïõ áöïñïýí óôçí äéäáêôéêÞ ôùí Öõóéêþí åðéóôçìþí:

• Êåíôñéêüò êüìâïò: http://physicsweb.org
• ¸íá åéêïíéêü åñãáóôÞñéï öõóéêÞò: http://physicsweb.org/TIPTOP/VLAB

Ãéá íá åíçìåñùèåßôå ãéá ôá õëéêÜ,, ôá üñãáíá êáé ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ õðÜñ÷ïõí óôï åìðüñéï ãéá ôçí äéäáóêáëßá ôùí öõóéêþí åðéóôçìþí
ðñïôåßíïõìå ôéò äéåõèýíóåéò:

• http://www.leybold-didactic.com
• http://www.pasco.com
• http://www.phywe.com
• http://www.pierron.com

Åõ÷áñéóôïýìå åðßóçò ãéá ôç äùñåÜí ðñïóöïñÜ ôïõò:
• ÁèçíÜ Õðïäçìáôïðïýëïõ, ÊáèçãÞôñéá, ãéá ôç ìåôÜöñáóç êåéìÝíùí áðü ôá ÃåñìáíéêÜ óôá ÅëëçíéêÜ.
• ÁèçíÜ ×áôæçäÜêç, ÌáèÞôñéá, ãéá ôç ìåôÜöñáóç êåéìÝíùí áðü ôá ÃåñìáíéêÜ óôá ÅëëçíéêÜ.
• ÄéáöçìéóôéêÞ åôáéñåßá Multi Progress, ãéá ôï äáíåéóìü ôïõ öùôïãñáöéêïý ôçò åîïðëéóìïý.

iv ÅéóáãùãÞ

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-1

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

ÅéóáãùãÞ

Ôï ðåßñáìá âáóßæåôáé óôçí ëåéôïõñãßá äåîáìåíþí íåñïý ðïõ åðéêïéíùíïýí ìå óéöþíéá ìåôáîý ôïõò, áðü ôçí õøçëüôåñç ìÝ÷ñé ôç
÷áìçëüôåñç. Ç äéÜôáîç ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá íá êáôáíïçèïýí ïé áñ÷Ýò ôïõ äõáäéêïý áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò êáé ïé êáíüíåò ðïõ
äéÝðïõí ôéò ðñÜîåéò äõáäéêþí áñéèìþí.

“Ç éäÝá åßíáé ôüóï áðëÞ ðïõ ç ßäéá ôçò ç áðëüôçôá Ðßíáêáò 1-1: Óýìâïëá Óåëßäùí
öôáßåé ðïõ äåí óõíåéäçôïðïéïýìå áñêåôÜ Óýìâïëï ÐåñéãñáöÞ
ðüóï áîßæåé íá ôç èáõìÜæïõìå.”
Pierre-Simon, marquis de ËåðôïìÝñåéá ôçò äéÜôáîçò
LapIace, ìáèçìáôéêüò ôïõ Âéâëéïãñáößá & ÐçãÝò
18ïõ áéþíá, ãéá ôçí áñ÷Þ ôçò ÉóôïñéêÜ Óôïé÷åßá
èÝóçò. Öýëëï(á) åñãáóßáò
Ìç÷áíïëïãéêü ó÷Ýäéï
Ëßóôá õëéêþí
ÐåéñÜìáôá
1⁄4øåéò ôçò äéÜôáîçò

ÐåéñÜìáôá ðïõ åêôåëïýíôáé

Ðåßñáìá ÐåñéãñáöÞ Óåëßäá

1 Äçìéïõñãßá äõáäéêþí áñéèìþí ........ 1-30

áðü ôï 1 ùò ôï 15 (äåêáäéêÜ)

2 Ðñüóèåóç äõáäéêþí áñéèìþí ........ 1-36

3 Áöáßñåóç äõáäéêþí áñéèìþí.......... 1-38

1-2 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Ðñþôç ìáôéÜ

Ç äéÜôáîç ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá íá êáôáíïçèïýí ïé áñ÷Ýò ôïõ äõáäéêïý áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò êáé ïé êáíüíåò ðïõ äéÝðïõí ôéò ðñÜîåéò
äõáäéêþí áñéèìþí. Ôï ðåßñáìá áðåõèýíåôáé óå ìáèçôÝò
Ãõìíáóßïõ êáé Ëõêåßïõ, ìáèÞìáôá ñáäéïçëåêôñïëïãßáò
Âßäåò ãéá óýíäåóç ôçò âÜóçò óôÞñéîçò ìå Üëëç
äéÜôáîç (ç âÜóç ÷ñçóéìïðïéåßôáé êáé óå äéáôÜ-
(ôå÷íïëïãéêÞ êáôåýèõíóç), ôå÷íïëïãßáò åðéêïéíùíéþí îåéò Üëëùí ðåéñáìÜôùí).
(â’ êáôåýèõíóç) êáé ðëçñïöïñéêÞò.

ÅêðáéäåõôéêÝò Åðéäéþîåéò ÂÜóç óôÞñéîçò áðü áëïõ- ÄåîáìåíÞ áðü Plexy-Glass. Áðïôåëåßôáé áðü
ìßíéï. ÄéáèÝôåé áðëÝò ðÝíôå êïììÜôéá äéáöáíïýò õëéêïý êïëëçìÝíá
• Åîïéêßùóç êáé åîÜóêçóç ôùí ìáèçôþí ìå ôï äõáäéêü âßäåò ôýðïõ Üëåí áðü ôéò ìåôáîý ôïõò. 1⁄4ëç ç äéÜôáîç áðáñôßæåôáé áðü ôÝó-
óýóôçìá êáé ôéò áñéèìçôéêÝò ðñÜîåéò óôï óýóôçìá áõôü, ïðïßåò êñÝìïíôáé ïé äåîá- óåñéò ôÝôïéåò äåîáìåíÝò, ôïðïèåôçìÝíåò êáè’
ìå ÷ñÞóç ðåéñáìáôéêÞò äéÜôáîçò. ìåíÝò. ýøïò. Ç ÷áìçëüôåñç äåîáìåíÞ åßíáé äéðëÜóéïõ
• Åõáéóèçôïðïßçóç ôùí ìáèçôþí óå èÝìáôá ÉóôïñéêÞò üãêïõ áðü ôçí áìÝóùò õøçëüôåñç.
åîÝëéîçò ôùí åðéóôçìþí. ÂáèìïíïìçìÝíç êëß-
• ÅéóáãùãÞ óôïí ôñüðï «óêÝøçò» ôùí õðïëïãéóôéêþí ìáêá óôï ðëÜé ôçò Óéöþíéï áðü ðëáóôéêü. Åßíáé åöáñìï-
óõóôçìÜôùí. âÜóçò óôÞñéîçò. óìÝíï ìÝóá óå ðëáóôéêü êïììÜôé äéá-
• ÌåëÝôç ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ óéöùíßïõ êáé åîÜóêçóç öáíïýò óùëÞíá, ôï ïðïßï ìå ôç óåéñÜ
óôç ÷ñÞóç ôïõ. ôïõ ðåñíÜåé áðü ôñýðá óôïí ðõèìÝíá
• ÐñáêôéêÞ åîÜóêçóç ôçò äåîéïôå÷íßáò êáôÜ ôçí äéåîá- ôçò êÜèå äåîáìåíÞò, ðñïò ôçí ÷áìç-
ãùãÞ ìåôñÞóåùí (ïãêïìåôñÞóåéò) óôçí åêôÝëåóç ôïõ ëüôåñç.
ðåéñÜìáôïò.

ÄéáâÜóôå êé áõôü: ÓõíôåëåóôÝò & ÊáôáóêåõáóôÝò ÐñïïðôéêÞ åéêüíá ôçò äéÜôáîçò
ÌåëÝôç: Ìáíþëçò ÂáêÜêçò, MSc Öõóéêüò- Ñáäéïçëåêôñï- öùôïãñáöçìÝíç ìå Üäåéåò üëåò ôéò
ëüãïò, ÃõìíÜóéï & Ëýêåéï Êïëõìâáñßïõ, Íßêïò ÁöåíôÜêçò, äåîáìåíÝò. Äåßôå êé Üëëåò üøåéò ôçò
Äéðë. Ìç÷áíéêüò ÐáñáãùãÞò & Äéïßêçóçò, Ðïëõôå÷íåßï äéÜôáîçò, ìå ïäçãü ôï äéðëáíü ó÷Þìá,
ÊñÞôçò êáé Åëåõèåñßá ÓåñãÜêç, MÅng ÇÌÌÕ, Öõóéêüò, óôçí åðüìåíç óåëßäá.
EEÄÉÐ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò.
ÊáôáóêåõÞ: Ìáíþëçò ÁðïóôïëÜêçò, Ìç÷áíïëüãïò Ìç÷á-
íéêüò, 4ï ÔÅÅ ×áíßùí. Óôçí êáôáóêåõÞ óõíÝâáëáí ï Âáóßëçò
×áôæçäÜêçò, ÕðïäéåõèõíôÞò ôïõ 2ïõ ÔÅÅ ×áíßùí, ï Ðáíá-
ãéþôçò ÐåôñÜêçò, MSc Öõóéêüò, ÅÅÄÉÐ Ðïëõôå÷íåßïõ
ÊñÞôçò êáé Åëåõèåñßá ÓåñãÜêç, MÅng ÇÌÌÕ, Öõóéêüò,
EEÄÉÐ Ðïëõôå÷íåßïõ ÊñÞôçò.
Öùôïãñáößåò, ÌáêÝôåò, Ó÷Þìáôá: Íßêïò ÁöåíôÜêçò, Äéðë.
Ìç÷áíéêüò ÐáñáãùãÞò & Äéïßêçóçò, Ðïëõôå÷íåßï ÊñÞôçò.

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-3

¢ëëåò üøåéò

Ïé áêüëïõèåò åéêüíåò äåß÷íïõí ôç äéÜôáîç öùôïãñáöçìÝíç óýìöùíá
ìå ôïí ïäçãü üøåùí, áðü ðÜíù, áðü ôï ðëÜé êé áðü ìðñïóôÜ.

ËåðôïìÝñåéåò

Ïé áêüëïõèåò åéêüíåò äåß÷íïõí äéÜöïñåò ëåðôïìÝñåéåò ôçò êáôáóêåõÞò êáé
äßíïíôáé ãéá êáëýôåñç êáôáíüçóç óçìåßùí ðïõ ÷ñßæïõí ðñïóï÷Þò.
Ôï ðÜíù ìÝñïò ôçò âÜóçò óôÞñéîçò äéáèÝôåé
âßäåò ìå ðáîéìÜäéá ãéá óýíäåóç ìå äéÜôáîç
Üëëïõ ðåéñÜìáôïò. Óôï ðåßñáìá áõôü äåí ôéò
Ïé âßäåò Üëåí êñáôïýí ôéò äåîáìåíÝò áðü ôá ÷ñçóéìïðïéïýìå.
êåöÜëéá ôïõò, ÷ùñßò íá ÷ñåéÜæåôáé êÜðïéá
Ç ôåëåõôáßá äåîáìåíÞ Üëëç éäéáßôåñç êáôáóêåõÞ.
äéáèÝôåé óéöþíéï ìå
óùëÞíá ôÝôïéï þóôå íá
áäåéÜæåé óå äï÷åßï, üôáí Ôï êÜèå óéöþíéï öôÜíåé Ðßíáêáò 1-2: ÊáôÜëïãïò Õëéêþí
ôï õãñü öôÜóåé óôï ìÝ÷ñé ôï ÷åßëïò ôçò áíôß- • 4 ÄåîáìåíÝò áðü Plexy Glass, ç êÜèå
÷åßëïò ôçò. ÊáôÜ ôçí åêôÝ- óôïé÷çò äåîáìåíÞò. Ìüëéò
ëåóç ôïõ ðåéñÜìáôïò ãåìßóåé ìå íåñü ç äåîá- ìéá äéðëÜóéïõ üãêïõ áðü ôçí Üëëç.
êáëü åßíáé íá ôïðïèåôåßôáé ìåíÞ, ôï óéöþíéï õðåñ÷åé- • 4 Óéöþíéá ðëõíôçñßïõ
êÜðïéï äï÷åßï ãéá íá • 4 êïììÜôéá äéáöáíïýò ðëáóôéêïý
ìáæåýåé ôï íåñü, êÜôù ëßæåé ìå íåñü êé
áðü áõôü ôï åëåýèåñï áìÝóùò áäåéÜæåé
Üêñï ôïõ óùëÞíá. áðü ôï åëåýèåñï
Üêñï ôïõ óùëÞíá

óùëÞíá ∅10mm

Ï ðëáóôéêüò óùëÞíáò äå • Âïçèçôéêü ïãêïìåôñéêü äï÷åßï
÷ñåéÜæåôáé êüëëçìá ìéá (âáèìïíïìçìÝíï)
êáé “öñáêÜñåé” ìÝóá óôçí
ôñýðá ôïõ ðõèìÝíá. • ÂÜóç óôÞñéîçò

• 8 Âßäåò Ì4 ôýðïõ Üëåí

• 8 ðáîéìÜäéá

• 1 Âßäá Ì6 ôýðïõ Üëåí

1-4 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

ÉóôïñéêÜ óôïé÷åßá ÅöáñìïóìÝíç óôç ãñáöÞ ôùí áñéèìþí, ç áñ÷Þ ôçò èÝóçò ëåé-
ôïõñãåß ùò åîÞò:

ÓõóôÞìáôá áñßèìçóçò êáé Ç áêïëïõèßá ôùí øçößùí …srqp ïñßæåôáé íá óçìáßíåé Ýíáí
ãñáöÞ ôùí áñéèìþí áñéèìü ðïõ åßíáé Üèñïéóìá ðïëëáðëáóßùí ôùí äõíÜìåùí
êÜðïéïõ äåäïìÝíïõ áñéèìïý á, ðïõ ëÝãåôáé âÜóç ôïõ óõóôÞ-
1⁄4ðùò áêñéâþò êáé óôç ãëþóóá, ìå ôç âïÞèåéá ìéêñïý ìáôïò. Må Üëëá ëüãéá, ç èÝóç êáèåíüò áðü ôá øçößá p, q, r,
ðëÞèïõò ãñáììÜôùí êáé óçìåßùí óôßîçò, ó÷çìáôß- s… óõíäÝåôáé ìå ôç ìçäåíéêÞ, ôçí ðñþôç, ôç äåýôåñç, ôçí
æïíôáé Üðåéñåò öñÜóåéò, Ýôóé êáé óôçí Áñéèìç- ôñßôç… äõíÜìåéò ôçò âÜóçò á. Öáßíåôáé áìÝóùò ðùò Ýíá ôÝôïéï
ôéêÞ ôï Üðåéñï ðëÞèïò ôùí áñéèìþí
åêöñÜæåôáé ìå ëßãá øçößá. Ç åðéíüçóç ìéáò óýóôçìá ãñáöÞò ôùí áñéèìþí áðáéôåß á äéáöïñåôéêÜ
ìåèüäïõ ðáñÜóôáóçò Üðåéñùí áíôéêåéìÝíùí øçößá.
ìå ôç âïÞèåéá ìéêñïý áñéèìïý óõìâüëùí ÊÜèå øçößï ìðïñåß, ëïéðüí, íá èåùñçèåß
èåùñåßôáé Ýíá áðü ôá óðïõäáéüôåñá åðé- ðùò Ý÷åé äýï óçìáóßåò ôçí êáèáõôü ôéìÞ
ôåýãìáôá ôïõ áíèñþðéíïõ íïõ, ãéáôß ÷ùñßò ôïõ, äçë ôïí áñéèìü ðïõ ðáñéóôÜ üôáí âñß-
áõôÞí äåí åßíáé íïçôÞ ç áíÜðôõîç ïýôå ôçò óêåôáé ìüíï ôïõ, êáé ôçí ôïðéêÞ ôéìÞ ôïõ,
ãëþóóáò ïýôå ôçò ÁñéèìçôéêÞò. ðïõ ôïõ ðñïóäßäåé ç èÝóç ôçí ïðïßá
Ïé èåìåëéþäåéò éäÝåò åßíáé äýï: êáôÝ÷åé ìÝóá ó’ Ýíáí äåäïìÝíï áñéèìü.
Ôá óõóôÞìáôá ãñáöÞò ìå âÜóç 2, 3, … 10,
• ç áñ÷Þ ôçò èÝóçò (ðïõ ðåñéãñÜöåôáé ðáñáêÜôù) êáé 20, 60 êëð ëÝãïíôáé, áíôéóôïß÷ùò äõáäéêü,
• ôï óýìâïëï ìçäÝí.
“Ç éäÝá åßíáé ôüóï áðëÞ” Ýãñáöå ï ìáèçìáôéêüò ôïõ 18ïõ- ôñéáäéêü, ..., äåêáäéêü, åéêïóáäéêü, åîçêïíôáäéêü
19ïõ áéþíá ÐéÝñ-Óéìüí, ìáñêÞóéïò íôå ËáðëÜò (Pierre-Simon, êëð. Ôï óýóôçìá ôùí æåõãáñéþí, üðïõ ìåôñïýìå “Ýíá, äýï,
marquis de LapIace), áíáöåñüìåíïò óôçí áñ÷Þ ôçò èÝóçò, “ðïõ äýï êé Ýíá, äýï êáé äýï, äýï êáé äýï êé Ýíá,...” áðáíôÜôáé óôéò
ç ßäéá ôçò ç áðëüôçôá öôáßåé ðïõ äåí óõíåéäçôïðïéïýìå áñêåôÜ åèíïëïãéêÜ áñ÷áéüôåñåò öõëÝò ôçò Áõóôñáëßáò, óå ðïëëÝò äéá-
ðüóï áîßæåé íá ôç èáõìÜæïõìå.” Ôï ßäéï êáé ç åðéíüçóç ôïõ ìçäå- ëÝêôïõò ôùí Ðáðïýá ôïõ ðïñèìïý ôïõ Ôüññåò êáé ôçò ãåéôïíéêÞò
íéêïý, Ýñãï êáôÜ ðÜóá ðéèáíüôçôá ôùí Éíäþí, Ý÷åé ÷áñáêôçñéóôåß áêôÞò ôçò ÍÝáò ÃïõéíÝáò, óå ìåñéêÝò öõëÝò Ðõãìáßùí ôçò
ùò ìßá áðü ôéò óçìáíôéêüôåñåò óôçí éóôïñßá ôùí Ìáèçìáôéêþí. ÁöñéêÞò êáé, ôÝëïò óå öõëÝò ÉíäéÜíùí ôçò Í. ÁìåñéêÞò.
Ôá éíäéêü êåßìåíá ðáñÝ÷ïõí åíäåßîåéò, óýìöùíá ìå ôéò ïðïßåò ôï ¢ëëåò öõëÝò ôçò Ãçò ôïõ Ðõñüò êáé ôçò Í. ÁìåñéêÞò ÷ñçóéìï-
ìçäÝí ìðïñåß íá Þôáí ãíùóôü áêüìç êáé ðñï ×ñéóôïý, áëëÜ ó’ ðïéïýí óõóôÞìáôá ìå âÜóç ôï ôñßá Þ ôï ôÝóóåñá. Ôï ðåíôáäéêü
åðéãñáöÝò ôï ðñùôïóõíáíôïýìå ôïí 9ï ì.×. áéþíá. óýóôçìá åßíáé ðáìðÜëáéï áëëÜ óôçí êáèáñÞ ôïõ ìïñöÞ öáßíåôáé
üôé ÷ñçóéìïðïéåßôáé ìüíï óôç ãëþóóá ÓáñáâÝêá ôùí ÉíäéÜíùí
ÁñáâÜê ôçò Í. ÁìåñéêÞò. Óå Üëëá ìÝñç óõíäõÜæåôáé ìå ôï
äåêáäéêü Þ ôï åéêïóáäéêü. Ðáñïìïßùò, ôï êáèáñü åîáäéêü óýó-
ôçìá óõíáíôéÝôáé óðïñáäéêÜ ìüíï óôç ÂÄ. ÁöñéêÞ, åíþ áëëïý
óõíäõÜæåôáé ìå ôï äùäåêáäéêü.

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-5

ÉóôïñéêÞ åîÝëéîç ôùí óõó- Óôï äåêáäéêü óýóôçìá, ï ðáñáðÜíù áñéèìüò …srqp Ý÷åé ùò
ôçìÜôùí áñßèìçóçò ôéìÞ ôï Üèñïéóìá ôùí ãéíïìÝíùí ôùí øçößùí ôïõ ìå ôéò äéáäï-
÷éêÝò äõíÜìåéò ôïõò. Ôá äÝêá øçößá 0,1,2,…,9 åßíáé ôá ìüíá
Óôçí ðïñåßá ôçò éóôïñßáò, ôï äåêáäéêü óýóôçìá êáôÝëçîå íá óýìâïëá ðïõ ÷ñåéÜæïíôáé. (ÃíùóôÜ ùò áñáâéêïß áñéèìïß, ðñï-
õðïóêåëßóåé üëá ôá Üëëá, êáé óõíáíôéÝôáé óÞìåñá óå üëïõò ôïõò Ýñ÷ïíôáé ùóôüóï áðü ôçí Éíäßá áðü üðïõ ôá ðáñÝëáâáí ïé
ðïëéôéóìÝíïõò ëáïýò ôçò Ãçò, åêôüò áðü ôïõò ÌÜãéá êáé ôïõò ¢ñáâåò. ÁñêåôÜ áðü áõôÜ Þôáí, áñ÷éêÜ, ó÷çìáôïðïéçìÝíåò
ÁæôÝêïõò, üðïõ ãé’ áóôñïíïìéêïýò ëüãïõò åðéêñÜôçóå ôï åéêï- ìïñöÝò ôïõ ðñþôïõ ãñÜììáôïò ôùí ïíïìÜôùí ôùí áíôßóôïé÷ùí
óáäéêü. Ùóôüóï, ß÷íç Üëëùí óõóôçìÜôùí åðéæïýí êáé óå áñéèìþí). Ìå ôç ÷ñÞóç ôçò õðïäéáóôïëÞò, ï óõìâïëéóìüò
Üëëïõò ëáïýò, éäßùò óå ìïíÜäåò ôïõ åìðïñßïõ êáé ôïõ íïéêïêõ- áõôüò ìðïñåß íá åêöñÜóåé êáé êëáóìáôéêïýò áñéèìïýò (äåêáäé-
ñéïý, üðïõ ç ðáñÜäïóç ðñïâÜëëåé ðÜíôïôå áíôßóôáóç óôéò êïýò, üôáí ç âÜóç åßíáé ôï 10). Ôá øçößá ðïõ âñßóêïíôáé äåîéÜ
áëëáãÝò. ¸ôóé, ï ÷ñüíïò Ý÷åé äþäåêá ìÞíåò, ç çìÝñá êáé ç áðü ôçí õðïäéáóôïëÞ åêöñÜæïõí ðïëëáðëÜóéá ôùí äéáäï÷éêþí
íý÷ôá Ý÷ïõí áðü äþäåêá þñåò, ôï ðüäé Ý÷åé äþäåêá ßíôóåò, êáé áñíçôéêþí äõíÜìåùí ôïõ 10.
ðïëëÜ ðñÜãìáôá ðùëïýíôáé ìå ôç íôïõæßíá. Óôá ÃáëëéêÜ ôï
ïãäüíôá ëÝãåôáé quatre-vingts, ôÝóóåñá-åßêïóé, êáé ß÷íç ôïõ Âáâõëùíéáêü óýóôçìá áñßèìçóçò
åéêïóáäéêïý óõóôÞìáôïò âñßóêïõìå ôüóï óôéò ÊåëôéêÝò (3.000 ð×), óöçíïåéäÞò ãñáöÞ.
ãëþóóåò üóï êáé óôá ÄáíÝæéêá.
Ôá áñ÷áéüôåñá åîáêñéâùìÝíá áñéèìçôéêÜ Ïé Âáâõëþíéïé áíÝðôõîáí óôçí ôñßôç ÷éëéåôßá
óýìâïëá. ãéá ôá ïðïßá õðÜñ÷ïõí ãñáðôÝò ð× Ýíá åîçêïíôáäéêü óýóôçìá èÝóçò (ìå
åíäåßîåéò åßíáé áðëÝò ãñáììïýëåò ãéá ôïõò âÜóç äçëáäÞ ôï åîÞíôá). Êáèþò èá Þôáí
ìéêñïýò áñéèìïýò, ìå êÜðïéï éäéáßôåñï Üâïëï íá Ý÷ïõí Üó÷åôá ïíüìáôá êáé øçößá ãéá
óçìÜäé ãéá ôï 10. ÔÝôïéá óýìâïëá Ý÷ïõí ôïõò áñéèìïýò 0, 1, 2,... 59, ÷ñçóéìï-
âñåèåß óôçí Áßãõðôï Þäç áðü ôï 3400 ðïéïýóáí ãé’ áõôïýò Ýíá áðëü øåõäïäåêáäéêü
ð× êáé óôç Ìåóïðïôáìßá áðü ôï 3000 óýóôçìá. Ôï óýóôçìá áõôü ïõóéáóôéêÜ Þôáí
ð× ðåñßðïõ. Ðïëý ìåôáãåíÝóôåñåò åßíáé ïé ðñþôåò ÊñçôéêÝò Ýíá ìç øçöéáêü åîçêïíôáäéêü èåóéáêü óýó-
(ðåñßðïõ 1200 ð×), ÉíäéêÝò êáé ÊéíåæéêÝò (3ïò ð× áéþíáò) åðé- ôçìá, óôï ïðïßï ÷ñçóéìïðïéïýíôáé äýï óýìâïëá: ç áðëÞ êáôá-
ãñáöÝò ìå áñéèìïýò. êüñõöç óöÞíá ðïõ ðáñéóôÜíåé ôçí ìïíÜäá êáé ç äéðëÞ óöÞíá,
Ç åéäéêÞ óçìáóßá ôïõò ïöåßëåôáé, öõóéêÜ, óôï ãåãïíüò üôé ðïõ ðáñéóôÜíåé ôçí äåêÜäá, üðùò äåß÷íåé êáé ï ðßíáêáò 1-3. Êáé
Ý÷ïõìå 10 äÜ÷ôõëá óôá ÷Ýñéá, êÜôé ðïõ öáßíåôáé ùò óÞìåñá ü÷é ôá äýï óýìâïëá ó÷çìáôßæïíôáí ðéÝæïíôáò ìéá áé÷ìçñÞ ãñáößäá
ìüíï óôç äïìÞ ôïõ äåêáäéêïý óõóôÞìáôïò áëëÜ êáé óôá ßäéá ôá óå ìéá ðÞëéíç ðëÜêá. Ïé áñéèìïß ìÝ÷ñé ôï 59 ãñÜöïíôáí ìå
ïíüìáôá ôùí áñéèìþí:Ýíôåêá ðñïÝñ÷åôáé áðü ôï áñ÷áßï Ýí- åðáíÜëçøç áõôþí ôùí äýï óõìâüëùí. Ï áñéèìüò 46 ãéá ðáñÜ-
äÝêá, äþäåêá áðü áñ÷áéüôåñï ôýðï äõþ-äåêá êáé äåêáôñßá ùò äåéãìá, ãñÜöïíôáí ìå ôçí âïÞèåéá ôåóóÜñùí óõìâüëùí ôïõ
äåêáåííéÜ ìéëïýí ìüíá ôïõò. äÝêá êáé Ýîé óõìâüëùí ôçò ìïíÜäáò. Óå üëá áõôÜ äåí õðÜñ÷åé
ôßðïôá ôï åîáéñåôéêü. Ôþñá, üìùò, åìöáíßæåôáé ôï óçìáíôéêü
ãåãïíüò: ï áñéèìüò 60 ðáñéóôÜíåôáé êáé ðÜëé ìå ôï óýìâïëï ôçò
ìïíÜäáò, äçëáäÞ ìå ôçí áðëÞ êáôáêüñõöç óöÞíá, åíþ ôï ßäéï

1-6 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

éó÷ýåé ãéá êÜèå èåôéêÞ Þ áñíçôéêÞ äýíáìç ôïõ 60. ¸ôóé, ôï óýì- äçëáäÞ ôçí «ðñïðáßäåéá»). Åðßóçò, ìå ôïõò ßäéïõò ðßíáêåò ìðï-
âïëï ãéá ôï 1 ìðïñåß íá óçìáßíåé 1 x 600 = 1 Þ 1 x 601 = ñïýóå íá ðïëëáðëáóéÜæåé ôá åîçêïíôáäéêÜ êëÜóìáôá óáí íá Þôáí
60 Þ 1 x 602 = 3600 Þ, ãåíéêÜ, ïðïéáäÞðïôå èåôéêÞ Þ áñíç- áêÝñáéïé áñéèìïß, üðùò áêñéâþò êé åìåßò ðïëëáðëáóéÜæïõìå ôá
ôéêÞ äýíáìç ôïõ 60. Ôï ßäéï éó÷ýåé ãéá êÜèå áñéèìü áðü ôï 1 ùò äåêáäéêÜ êëÜóìáôá (äçëáäÞ ôïõò äåêáäéêïýò áñéèìïýò) óáí íá
ôï 59. Ç ôéìÞ, åðïìÝíùò, åíüò áñéèìçôéêïý óõìâüëïõ äåí åßíáé åßíáé áêÝñáéïé, èÝôïíôáò óôï ôÝëïò ôçí õðïäéáóôïëÞ óôçí êáôÜë-
ìïíïóÞìáíôá êáèïñéóìÝíç. ÁëëÜ ôüôå, áðü ôé åîáñôÜôáé ç ôéìÞ ëçëç èÝóç.
åíüò óõìâüëïõ; Åäþ áêñéâþò âñßóêåôáé ç ðñùôïôõðßá ôïõ âáâõ-
ëùíéáêïý áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò: ç ôéìÞ êÜèå óõìâüëïõ åîáñ- Ôï Âáâõëùíéáêü áñéèìçôéêü óýóôçìá åß÷å üìùò êáé ìåéïíåêôÞ-
ìáôá, ôï ðéï óçìáíôéêü áðü ôá ïðïßá Þôáí ç áðïõóßá óõìâüëïõ
ãéá ôï «ìçäÝí». Ãéá íá êáôáëÜâïõìå ôç óçìáóßá ôçò Ýëëåéøçò
áõôÞò áò óêåöôïýìå ðþò èá ãñÜöáìå åìåßò óÞìåñá, ë÷, ôïí
áñéèìü «äÝêá», áí äåí åß÷áìå ôï óýìâïëï ôïõ «ìçäåíüò». Èá
ôÜôáé áðü ôç èÝóç ôïõ ìÝóá óôç óçìåéïãñáößá ôïõ åêÜóôïôå ôïí ãñÜöáìå üðùò áêñéâþò ãñÜöïõìå êáé ôïí áñéèìü «Ýíá», ìå
áñéèìïý. Ôï óýóôçìá äçëáäÞ åßíáé èåóéáêü. ÄéÝðåôáé áðü ôçí ôï óýìâïëï «1», õðïíïþíôáò üìùò üôé ôï óýìâïëï áõôü
ßäéá âáóéêÞ áñ÷Þ ðïõ éó÷ýåé óôï óçìåñéíü áñéèìçôéêü óýóôçìá äçëþíåé ü÷é ìéá áðëÞ ìïíÜäá (1 x 100 = 1) áëëÜ ìéá ìïíÜäá
üðïõ, ë÷, óôïí áñéèìü 1955, ôï ðñþôï øçößï «5», ëüãù ôçò ôçò áìÝóùò ìåãáëýôåñçò ôÜîçò (1 x 101 = 10), äçëáäÞ ìéá
èÝóçò ôïõ óôç óçìåéïãñáößá ôïõ áñéèìïý, Ý÷åé äåêáðëÜóéá ôéìÞ äåêÜäá. Ìå ôï ßäéï óýìâïëï («1») èá ãñÜöáìå åðßóçò ôï
(5 x 101 = 50) áðü ôï äåýôåñï «5» (5 x 100 = 5). ÁõôÞ åêáôü, ôï ÷ßëéá êáé ãåíéêÜ êÜèå äýíáìç ôïõ 10. Ç áðïõóßá óõì-
áêñéâþò ç áñ÷Þ éó÷ýåé êáé óôï âáâõëùíéáêü áñéèìçôéêü óýó- âüëïõ ãéá ôï «ìçäÝí», ëïéðüí, ðñïóÝäéäå óôï âáâõëùíéáêü
ôçìá, ìå ôç äéáöïñÜ üôé, åðåéäÞ åßíáé åîçêïíôáäéêü êáé ü÷é äåêá- áñéèìçôéêü óýóôçìá ìéá Ýëëåéøç óáöÞíåéáò óå üôé áöïñÜ ôçí
äéêü, ïé äéáäï÷éêÝò «èÝóåéò» äçëþíïõí ôéò äéáäï÷éêÝò äõíÜìåéò ôÜîç ìåãÝèïõò ôïõ êÜèå áñéèìïý, ç ïðïßá Ýðñåðå íá êáôáíïåßôáé
ôïõ 60 êáé ü÷é ôïõ 10. áðü ôá óõìöñáæüìåíá ôïõ åêÜóôïôå ðñïâëÞìáôïò. ¸íá Üëëï

Ï óõóôçìáôéêüò èåóéáêüò óõìâï- ÄéáâÜóôå êé áõôü: ÓöçíïåéäÞò ãñáöÞ ìåéïíÝêôçìá ôïõ óõóôÞìáôïò Þôáí ç
ëéóìüò åß÷å ôåñÜóôéá ðëåïíåêôÞìáôá áðïõóßá óõìâüëïõ ãéá ôçí õðïäéá-
ãéá ôçí åêôÝëåóç ôùí ðñÜîåùí. Ïé Ðüôå: Ðåñßðïõ 3300 ð× óôïëÞ (þóôå íá äéáêñßíïíôáé ïé áêÝ-
Âáâõëþíéïé ôùí áñ÷þí ôçò äåýôåñçò Ðïý: Ìåóïðïôáìßá ñáéïé áñéèìïß áðü ôá êëÜóìáôá).
ð× ÷éëéåôßáò ìðïñïýóáí íá åêôåëÝ- Ðïéüò: Ïé ÓïõìÝñéïé æïýóáí óôç íüôéá Ìåóïðïôáìßá ÐáñÜ ôá ìåéïíåêôÞìáôÜ ôïõ, ôï âáâõ-
óïõí ìå ôçí ßäéá åõêïëßá ïðïéïíäÞ- (3.500 ìÝ÷ñé 2.000 ð×) êïíôÜ óôïí Áñáâïðåñóéêü êüëðï. ëùíéáêü áñéèìçôéêü óýóôçìá Ýäéíå ôç
ðïôå ðïëëáðëáóéáóìü óôï Åãêáôáëåßðåôáé: Ðåñßðïõ óôá 75 ì× äõíáôüôçôá íá åêôåëïýíôáé ïé áñéèìç-
åîçêïíôáäéêü óýóôçìá, Ý÷ïíôáò óôç ÐçãÝò: Ç Âßâëïò, Áñ÷áßá ÅëëçíéêÜ êåßìåíá (Çñüäïôïò, ôéêÝò ðñÜîåéò ìå ôçí ßäéá ó÷åäüí
äéÜèåóÞ ôïõò ìüíï ôïõò âáóéêïýò 484 ùò 420 ð×, ÓôñÜâùí 58 ð× ùò 25 ì×). åõêïëßá, üðùò óôç óçìåñéíÞ áñéèìç-
ðßíáêåò ìå ôïõò ðïëëáðëáóéáóìïýò ÐñïÝëåõóç ïíïìáóßáò: Áðü ôç ìïñöÞ óöÞíáò ðïõ Ý÷ïõí ôá ôéêÞ. Ãéá íá áðáëëáãïýí üìùò áðü ôï
áðü ôï 1 x 1 ùò ôï 59 x 59 (üðùò óôïé÷åßá ôçò ãëþóóóáò. âÜñïò ôùí ìáêñïóêåëþí õðïëï-
áêñéâþò åìåßò ÷ñçóéìïðïéïýìå ôïõò Ðñüóöáôç Áñ÷áéïëïãéêÞ áíáêÜëõøç: ×éëéÜäåò ðéíáêßäåò ãéóìþí, ïé Âáâõëþíéïé ãñáöåßò Ýêáíáí
ðßíáêåò áðü ôï 1 x 1 ùò ôï 9 x 9, áðü ¢ñãéëï ãñáììÝíåò ìå ÓöçíïåéäÞ ãñáöÞ âñÝèçêáí óå åêôåôáìÝíç ÷ñÞóç ðéíÜêùí. Ï ìåãá-
áíáóêáöÝò óôá åñåßðéá ôïõ ðáëáôéïý ôïõ ÁóóïõñìðáíéðÜë óôçí
ÍéíåõÞ.























1-18 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Ôï äõáäéêü áíôßóôïé÷ï öáßíåôáé óôï ðéï êÜôù ðáñÜäåéãìá:

ÌåéùôÝïò 101
ÁöáéñåôÝïò - 11011
ÄéáöïñÜ - 10110

ÌåéùôÝïò 101
ÓõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï ôïõ áöáéñåôÝïõ +0 0 1 0 1
ÁñíçôéêÞ ëýóç õðü ôçí ìïñöÞ óõìðëçñþìáôïò ùò ðñïò äýï 01010

¸íáò ìåãáëýôåñïò äõáäéêüò áñéèìüò áöáéñÝèçêå áðü Ýíá ìéêñüôåñï. Ç áðÜíôçóç ðïõ äßíåôáé óôç äåýôåñç ìÝèïäï åßíáé áñíçôéêÞ,
áëëÜ âñßóêåôáé õðü ìïñöÞ óõìðëçñþìáôïò ùò ðñïò äýï. ËáìâÜíïíôáò ôï óõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï ôïõ 01010 ( = 10110) êáé
ôïðïèåôþíôáò ôï ðñüóçìï ( - ) ðáñÜãåôáé ç ßäéá áðÜíôçóç üðùò ðéï ðÜíù: -10110.

1⁄4ôáí åêôåëïýìå ôçí áöáßñåóç ìå ôç ìÝèïäï ôïõ óõìðëçñþìáôïò ùò ðñïò äýï ôï ôåëéêü êñáôïýìåíï ðáñÝ÷åé êáé ôï ðñüóçìï ôçò
äéáöïñÜò. Áí ôï ôåëéêü êñáôïýìåíï åßíáé 1, ç äéáöïñÜ åßíáé èåôéêÞ (ï ìåéùôÝïò åßíáé ìåãáëýôåñïò áðü ôïí áöáéñåôÝï). Áí ôï ôåëéêü
êñáôïýìåíï åßíáé 0, ç äéáöïñÜ åßíáé áñíçôéêÞ (ï ìåéùôÝïò åßíáé ìéêñüôåñïò áðü ôïí áöáéñåôÝï) êáé åßíáé èåôéêÞ õðü ôç ìïñöÞ
óõìðëçñþìáôïò ùò ðñïò äýï.

Ðïëëáðëáóéáóìüò Äõáäéêþí áñéèìþí

Ï Äõáäéêüò ðïëëáðëáóéáóìüò åßíáé åõêïëüôåñïò áðü ôï äåêáäéêü ðïëëáðëáóéáóìü, ãéáôß êÜèå ìåñéêü ãéíüìåíï, óå äõáäéêÞ
ìïñöÞ, åßíáé åßôå ìçäÝí (ðïëëáðëáóéáóìüò åðß 0) Þ ï ßäéïò ï ðïëëáðëáóéáóôÝïò (ðïëëáðëáóéáóìüò åðß 1). Ãéá ðáñÜäåéãìá, ï
äåêáäéêüò ðïëëáðëáóéáóìüò êáé ï äõáäéêüò ðïëëáðëáóéáóìüò ðïõ áêïëïõèïýí, åßíáé éóïäýíáìïé:

11 1011
×5 × 101

55 1011
0000
1011
110111

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-19

Äéáßñåóç Äõáäéêþí áñéèìþí

Ç äõáäéêÞ äéáßñåóç åêôåëåßôáé áêïëïõèþíôáò ôá ßäéá âÞìáôá ôçò äåêáäéêÞò äéáßñåóçò.

ÌåôáôñïðÞ ÂÜóçò Áñéèìïý

Ç ìåôáôñïðÞ áðü ôï äåêáäéêü óôï äõáäéêü åßíáé ðéï åýêïëç åÜí ï áñéèìüò ÷ùñéóôåß óôï áêÝñáéï êáé ôï êëáóìáôéêü ìÝñïò ôïõ êáé
áõôÜ ìåôáôñáðïýí ÷ùñéóôÜ. Ç ìåôáôñïðÞ åíüò áêåñáßïõ áðü ôï äåêáäéêü óôï äõáäéêü ìðïñåß íá åîçãçèåß êáëýôåñá ìå Ýíá ðáñÜ-
äåéãìá ìåôáôñïðÞò ôïõ äåêáäéêïý 41 óå äõáäéêü:

Ðñþôá ôï 41 äéáéñåßôáé äéá 2 êáé äßíåé áêÝñáéï ðçëßêï 20 êáé õðüëïéðï 1⁄2. Ôï ðçëßêï äéáéñåßôáé îáíÜ ìå 2 ãéá íá äþóåé Ýíá íÝï
ðçëßêï êáé Ýíá íÝï õðüëïéðï. ÁõôÞ ç äéáäéêáóßá óõíå÷ßæåôáé Ýùò üôïõ ôï áêÝñáéï ðçëßêï ãßíåé ßóï ìå 0. Ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ
æçôïýìåíïõ äõáäéêïý áñéèìïý âñßóêïíôáé áðü ôá õðüëïéðá ùò åîÞò:

ÁêÝñáéï ðçëßêï Õðüëïéðï ÓõíôåëåóôÞò
41/2 = 20 + 1⁄2 aaaaaa142530======110100
20/2 = 10 + 0
10/2 = 5 + 0
5/2 = 2 + 1⁄2
2/2 = 1 + 0
1/2 = 0 + 1⁄2

ÁðÜíôçóç: (41)10 = (a5 a4 a3 a2 a1 a0)2 = (101001)2

Ç ìåôáôñïðÞ ôïõ êëáóìáôéêïý ìÝñïõò åíüò áñéèìïý áðü äåêáäéêü óå äõáäéêü ãßíåôáé ìå ìÝèïäï ðáñüìïéá ìå ôçí ðáñáðÜíù, ìüíï
ðïõ êÜíïõìå ðïëëáðëáóéáóìïýò áíôß ãéá äéáéñÝóåéò êáé ìáæåýïõìå ôá áêÝñáéá ìÝñç áíôß ãéá ôá êëáóìáôéêÜ. ÐáñÜäåéãìá ç ìåôáôñïðÞ
ôïõ (0,6875)10 óå äõáäéêü:

Ðñþôá ôï 0,6875 ðïëëáðëáóéÜæåôáé åðß 2 ãéá íá äþóåé Ýíá áêÝñáéï êáé Ýíá êëáóìáôéêü ìÝñïò. Ôï íÝï êëáóìáôéêü ìÝñïò ðïëëá-
ðëáóéÜæåôáé åðß 2 ãéá íá äþóåé Ýíá íÝï áêÝñáéï êáé Ýíá íÝï êëáóìáôéêü ìÝñïò. ÁõôÞ ç äéáäéêáóßá åðáíáëáìâÜíåôáé ìÝ÷ñéò üôïõ ôï
êëáóìáôéêü ìÝñïò ãßíåé 0 Þ ìÝ÷ñéò üôïõ ï áñéèìüò ôùí øçößùí äßíåé éêáíïðïéçôéêÞ áêñßâåéá. Ïé óõíôåëåóôÝò ôïõ äõáäéêïý áñéèìïý
âñßóêïíôáé áðü ôïõò áêåñáßïõò ùò åîÞò:

1-20 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

0,6875 × 2 = ÁêÝñáéï ìÝñïò + Äåêáäéêü ìÝñïò óõíôåëåóôÞò
0,3750 × 2 = 1 + 0,3750 aaaa----2134====1110
0,7500 × 2 = 0 + 0,7500
0,5000 × 2 = 1 + 0,5000
1 0,0000

ÁðÜíôçóç: (0,6875)10 = (0, a-1 a-2 a-3 a-4)2 = (0,1011)2

Óõíáñìïëüãçóç ôçò ÐåéñáìáôéêÞò ÄéÜôáîçò

ÅêðáéäåõôéêÝò Åðéäéþîåéò 1ÅëÝãîôå ïôé üëåò ïé âßäåò Üëåí âñß-
Åîïéêßùóç êáé åîÜóêçóç ôùí ìáèçôþí ìå ôï äõáäéêü óêïíôáé óôéò êáôÜëëçëåò èÝóåéò ðÜíù
óýóôçìá êáé ôéò áñéèìçôéêÝò ðñÜîåéò óôï óýóôçìá áõôü, óôç ìéêñÞ âÜóç ôùí äåîáìåíþí êáé
ìå ÷ñÞóç ðåéñáìáôéêÞò äéÜôáîçò. Åõáéóèçôïðïßçóç åßíáé Ýôóé âéäùìÝíåò þóôå íá åðéôñÝðïõí ôï
ôùí ìáèçôþí óå èÝìáôá ÉóôïñéêÞò åîÝëéîçò ôùí åðé- êñÝìáóìá ôùí äåîáìåíþí áðü áõôÝò.
óôçìþí. ÅéóáãùãÞ óôïí ôñüðï «óêÝøçò» ôùí õðïëïãé- Ôá ðáîéìÜäéá óößããïõí “êüíôñá” áðü ôçí ðßóù
óôéêþí óõóôçìÜôùí. ÌåëÝôç ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ ìåñéÜ ôçò âÜóçò ãéá íá åîáóöáëßæïõí óôáèå-
óéöùíßïõ êáé åîÜóêçóç óôç ÷ñÞóç ôïõ. ÐñáêôéêÞ åîÜ- ñüôçôá óôï âßäùìá.
óêçóç ôçò äåîéïôå÷íßáò êáôÜ ôçí äéåîáãùãÞ ìåôñÞóåùí
(ïãêïìåôñÞóåéò) óôçí åêôÝëåóç ôïõ ðåéñÜìáôïò. 2ÐñïóÝîôå ôçí ÷Üñôéíç ìåôñïôáéíßá ðïõ Ý÷åé êïëëçèåß
óôï ðëÜé ôçò ìåãáëýôåñçò âÜóçò. Óå ðåñßðôùóç ðïõ
Ðßíáêáò 1-8: Óýìâïëá Óõíáñìïëüãçóçò èÝëåôå íá áíôéêáôáóôÞóåôå ôçí ìåôñïôáéíßá ìðïñåßôå íá
Óýìâïëï ÐåñéãñáöÞ âãÜëåôå öùôïôõðßá åíüò ìÝôñïõ óå êëßìáêá 1:1, óå ÷áñôß Þ
äéáöÜíåéá (ðïõ åßíáé áäéÜâñï÷ç êáé ðåñéóóüôåñï áíèåêôéêÞ).
¢óêçóç ðßåóçò Êáôüðéí êïëëÞóåôå ôï áíôßãñáöï óôï ðëÜé ôçò âÜóçò. Óôï
Êüëëçìá ðåßñáìá áõôü ç ìåôñïôáéíßá ÷ñçóéìåýåé ìüíï ùò Ýíá åíäåéêôéêü
Êüøéìï ìÝôñï ôçò óôÜèìçò ôïõ íåñïý ìÝóá óôéò äåîáìåíÝò êáé äåí
Âßäùìá áðáéôåßôáé áêñéâÞò ìÝôñçóç ìå áõôÞí, óå êáíÝíá óôÜäéï ôïõ
ÄÝóéìï ðåéñÜìáôïò.
ÓôåñÝùìá
ÅõèõãñÜììéóç, Ôáßñéáóìá,
ÔïðïèÝôçóç

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-21

3Óôåñåþóôå ôçí ìéêñÞ âÜóç ôùí äåîáìåíþí ðÜíù óôçí ìåãÜëç, ìå ôç
âßäá Üëåí êáé ôï ðáîéìÜäé “ðåôáëïýäá”. ÐñÝðåé íá óößîåôå ôüóï ôç
âßäá áõôÞ þóôå ç ìéêñÞ âÜóç óôçí ïðïßá èá óôåñåþóåôå óå ëßãï ôéò
äåîáìåíÝò íá Ý÷åé èÝóç áêñéâþò êáôáêüñõöç.

4ÐñïóÝîôå ïôé ç äéÜìåôñïò ôïõ åëáóôéêïý
äéáöáíïýò óùëÞíá åßíáé åëÜ÷éóôá ìåãáëý-
ôåñç áðü åêåßíç ôïõ ðëáóôéêïý óéöùíßïõ, Ýôóé þóôå
ôï ôåëåõôáßï íá åöáñìüæåé óöé÷ôÜ. Óå ðåñßðôùóç ðïõ åðéëÝîåôå Üëëïí óùëÞíá
ðñÝðåé íá ðñïóÝîåôå þóôå êé áõôüò íá åöáñìüæåé ðÜíôá åîùôåñéêÜ áðü ôï óéöþíéï
(áëëéþò áõôü äåí èá áäåéÜæåé áðü ôï íåñü ëüãù ôùí äõíÜìåùí óõíÜöåéáò) êáé íá Ý÷åé
ôÝôïéá äéÜìåôñï þóôå íá êëåßíåé óôåãáíÜ óôçí åöáñìïãÞ ôïõ ìå ôïí ðõèìÝíá ôçò êÜèå
äåîáìåíÞò. Óå ðåñßðôùóç ðïõ åðéëÝãåôå Üëëï óéöþíéï ðñÝðåé íá ëÜâåôå õðüøéí óáò ïôé
ç äéÜìåôñüò ôïõ ðñÝðåé ãåíéêÜ íá åßíáé ìåãáëýôåñç áðü 6mm þóôå íá ëåéôïõñãåß
áðñüóêïðôá ìå íåñü. Ôï óýóôçìá óéöùíßïõ-óùëÞíá åõèõãñáììßæåôáé êáôÜ ôïí äéáìÞêç
Üîïíá ôçò êÜèå äåîáìåíÞò êáé äéáðåñíÜåé ôïí ðõèìÝíá ôçò áðü ôçí ôñýðá ðïõ Ý÷åé
áíïé÷ôåß. Èá öñïíôßóåôå áñãüôåñá þóôå ôï ýøïò ôïõ óéöùíßïõ íá åðéôñÝðåé ôï
Üäåéáóìá ôçò äåîáìåíÞò üôáí ôï ðåñéå÷üìåíü ôçò öôÜóåé óôï ÷åßëïò ôçò.

5Óôåñåþóôå êñåìþíôáò 6×ñçóéìïðïéåßóôå Ýíá ïãêïìåôñéêü äï÷åßo ôçò áñåóêåßáò óáò ðñï-
áðü ôéò âßäåò ôçò êåéìÝíïõ íá ôñïöïäïôåßôå åëåã÷üìåíá ôçí äéÜôáîÞ óáò ìå íåñü.
âÜóçò üëåò ôéò äåîá- Ðñéí îåêéíÞóåé ôï ðåßñáìá, âåâáéùèÞôå ïôé ôï ýøïò ôùí óéöùíßùí
ìåíÝò, åõèõãñáììéóìÝíåò. óå üëåò ôéò äåîáìåíÝò åßíáé áõôü ðïõ ÷ñåéÜæåôáé ãéá
íá áäåéÜæïõí üëåò. ÊáëÞ åðéôõ÷ßá!
Ôï óéöþíéï ôçò ôåëåõôáßáò
äåîáìåíÞò ðñÝðåé íá ôçí ÐåéñÜìáôá ðïõ åêôåëïýíôáé

áäåéÜæåé óå êÜðïéï Ðåßñáìá ÐåñéãñáöÞ Óåëßäá
âïçèçôéêü äï÷åßï.

1 Äçìéïõñãßá äõáäéêþí áñéèìþí ........ 1-30

áðü ôï 1 ùò ôï 15 (äåêáäéêÜ)

2 Ðñüóèåóç äõáäéêþí áñéèìþí ........ 1-36

3 Áöáßñåóç äõáäéêþí áñéèìþí.......... 1-38

1-22 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

ÄõíáôÝò åðåêôÜóåéò ôçò ÐåéñáìáôéêÞò ÄéÜôáîçò

Åêôüò áðü ôçí áðáñßèìçóç óôï äõáäéêü óýóôçìá ìÝ÷ñé ôï ðëÞèïò 7 ãéá 3 äåîáìåíÝò (15 ãéá 4 äåîáìåíÝò, 31 ãéá ðÝíôå êëð), åßíáé
ðñïöáíÝò üôé ìðïñïýìå íá ðñáãìáôïðïéÞóïõìå ðñïóèÝóåéò ìÝ÷ñé 7 ãéá 3 äåîáìåíÝò, 15 ãéá 4 êëð. Ôñïðïðïéþíôáò ôçí ðåéñáìáôéêÞ
ìáò äéÜôáîç ìðïñïýìå íá áðáñéèìÞóïõìå êáé íá ðñáãìáôïðïéÞóïõìå ðñïóèÝóåéò óå êÜèå áñéèìçôéêü óýóôçìá. Ðéï óõãêåêñéìÝíá
áëëÜæïíôáò ôïí üãêï ôçò ìïíÜäáò ìáò êáé ôéò äéáóôÜóåéò ôùí äåîáìåíþí. ¸ôóé ç ðñþôç äåîáìåíÞ ìðïñåß íá ôñïöïäïôçèåß áðü ôï
äï÷åßï ìå ðïóüôçôá íåñïý üãêïõ ßóïõ ìå ìéá ìïíÜäá ôçò íÝáò âÜóçò ôïõ áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò ðïõ èÝëïõìå íá ìåëåôÞóïõìå.

Ðéï áíáëõôéêÜ ãéá ôï äåêáäéêü óýóôçìá ç ìïíÜäá ìáò èá åßíáé ôï 1/10 ôïõ üãêïõ áðü üóï ìðïñåß íá ÷ùñÝóåé ç ðñþôç äåîáìåíÞ
÷ùñßò íá áäåéÜóåé áðü ôï óéöþíéï. 1⁄4ôáí ëïéðüí ðÝóåé óôçí ðñþôç äåîáìåíÞ ç äÝêáôç ìïíÜäá ç äåîáìåíÞ èá áäåéÜóåé óôçí åðüìåíç
áðü ôï óéöþíéï. Ôþñá ëïéðüí ç ðñþôç äåîáìåíÞ «ìåôñÜåé» ìÝ÷ñé ôï åííÝá êáé ìüëéò äå÷èåß ôçí äÝêáôç ìïíÜäá áäåéÜæåé (äçëáäÞ
äåß÷íåé 0) êáé ìåôáöÝñåé ôï íåñü (êñáôïýìåíï Þ ìïíÜäá åðüìåíçò ôÜîçò) óôçí åðüìåíç äåîáìåíÞ. Ç ðñþôç äåîáìåíÞ ìáò Ý÷åé ôþñá
äÝêá äéáöïñåôéêÝò êáôáóôÜóåéò (Üäåéá, ãåìÜôç êáôÜ ôï 1/10, ãåìÜôç êáôÜ ôá 2/10, ãåìÜôç êáôÜ ôá 3/10, … , ãåìÜôç êáôÜ ôá 9/10,
åíôåëþò ãåìÜôç ðïõ áìÝóùò ïäçãåß óå Üäåéáóìá êáé ìåôáöïñÜ ôïõ ðåñéå÷ïìÝíïõ óôçí åðüìåíç äåîáìåíÞ. Ãéá íá ìðïñïýìå íá
äéáêñßíïõìå ôéò äéáöïñåôéêÝò êáôáóôÜóåéò ìå áêñßâåéá ìðïñïýìå íá âáèìïëïãÞóïõìå ôçí äåîáìåíÞ óå äÝêáôá ãéá ôï äåêáäéêü óýó-
ôçìá (óå üãäïá ãéá ôï ïêôáäéêü êëð). ÐñÝðåé íá ðñïóÝîïõìå íá âáèìïëïãÞóïõìå ìå ìçäÝí ôçí Üäåéá äåîáìåíÞ, ìå 1 óôï 1/10,
ìå 2 óôá 2/10, … , ìå 9 óôá 9 /10 ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óôïõò áñéèìïýò 0, 1, 2, … , 9. Áõôü åîçãåß ôçí ðñþôç ôñïðïðïßçóç ðïõ
áíáöÝñáìå. Ç äåýôåñç ôñïðïðïßçóç ãßíåôáé áìÝóùò öáíåñÞ åÜí óêåöôïýìå üôé ç äåýôåñç äåîáìåíÞ ðñÝðåé íá äå÷ôåß åííÝá öïñÝò
ôï ðåñéå÷üìåíï ôçò ðñþôçò äåîáìåíÞò ÷ùñßò íá áäåéÜóåé êáé êáôüðéí íá áäåéÜóåé ôçí äÝêáôç öïñÜ. ¢ñá ðñÝðåé íá Ý÷åé äåêáðëÜóéï
üãêï áðü ôçí ðñþôç Þ ðéï óõãêåêñéìÝíá, ãéá íá Ý÷ïõìå ôï ßäéï ðëÜôïò êáé
ýøïò, ðñÝðåé íá Ý÷åé äåêáðëÜóéï ìÞêïò.
ÄéáâÜóôå êé áõôü: ÐëåïíåêôÞìáôá ôçò ÄéÜôáîçò

• Äßíåé Ýíá Üìåóï ôñüðï ìåôáôñïðÞò - áðåéêüíéóçò åíüò äåêá- ÓõìðåñáóìáôéêÜ ìðïñïýìå íá õëïðïéÞóïõìå ôï áñéèìçôÞñéï ïðïéïõäÞ-
äéêïý áñéèìïý (ðëÞèïò ìïíáäéáßùí üãêùí íåñïý) óôïí áíôß- ðïôå (ó÷åäüí) áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò, Ýóôù m-áäéêïý, áñêåß ï üãêïò
óôïé÷ï äõáäéêü (êáôÜóôáóç äåîáìåíþí: Üäåéá = 0, ãåìÜôç ùò ôçò ìïíÜäáò íá åßíáé ôï 1/m ôïõ üãêïõ ôçò ðñþôçò äåîáìåíÞò, êáé ôï ìÞêïò
ôçí ìÝóç = 1). ôçò êÜèå äåîáìåíÞò íá åßíáé m öïñÝò ìåãáëýôåñï ôïõ ìÞêïõò ôçò ðñïç-
• Äåß÷íåé ìå ðáñáóôáôéêü ôñüðï ôçí ìåôáöïñÜ ôïõ êñáôïõ- ãïýìåíçò.
ìÝíïõ óôï åðüìåíï óå ôÜîç øçößï. ÁíáöÝñïõìå ôç ëÝîç ó÷åäüí ãéáôß åßíáé öáíåñü üôé üóï áõîÜíåé ç âÜóç ôïõ
• Ç ìåôáâïëÞ ôïõ ìÞêïõò ôùí äåîáìåíþí (äéðëáóéáóìüò áðü áñéèìçôéêïý óõóôÞìáôïò áõîÜíåé ãåùìåôñéêÜ ôï ìÞêïò ôçò äåýôåñçò êáé ôñßôçò
ôï Ýíá øçößï óôï Üëëï) Üñá êáé ôïõ áíôßóôïé÷ïõ üãêïõ äåß÷íåé äåîáìåíÞò. Åðßóçò ìåãáëþíïõí ïé áðáéôÞóåéò áêñßâåéáò ôçò êáôáóêåõÞò.
ìå áðëü ôñüðï üôé ç ôÜîç ôùí øçößùí ìåôáâÜëëåôáé ìå äýíáìç
ôïõ 2.
• 1⁄4ëç ç äéáäéêáóßá ãßíåôáé ìðñïóôÜ óôïí ìáèçôÞ ìå ðñáêôéêü
êáé åýëçðôï ôñüðï.
ÐñÝðåé íá îåêáèáñéóôåß óôïí ìáèçôÞ üôé ç óõãêåêñéìÝíç
ìïíÜäá üãêïõ ôïõ íåñïý åßíáé êáé ç ìïíÜäá ôïõ óõóôÞìáôïò
ìáò. ÄçëáäÞ äåí Ý÷åé íüçìá íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ðïóüôçôá
íåñïý üãêïõ äéáöïñåôéêïý áðü ôçí ìïíÜäá üãêïõ ðïõ áíáöÝ-
ñáìå ðáñáðÜíù (Þ ôá áêÝñáéá ðïëëáðëÜóéá ôçò).

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-23

Èåùñßá (ìáèçôÞ)

Ôï Äõáäéêü óýóôçìá áñßèìçóçò

Ìå ôç äéÜäïóç ôùí õðïëïãéóôþí, ôï äõáäéêü óýóôçìá, ìå âÜóç ôï 2, áðÝêôçóå ìåãÜëç ðñáêôéêÞ óðïõäáéüôçôá, ìïëïíüôé Ýíá åßäïò
äõáäéêïý óõóôÞìáôïò ÷ñçóéìïðïéåßôáé êáé áðü ðñùôüãïíåò öõëÝò. Ï âáóéêüò ëüãïò ôçò óðïõäáéüôçôáò ôïõ äõáäéêïý óõóôÞìáôïò
âñßóêåôáé óôçí áñ÷Þ ôçò ëåéôïõñãßáò ôùí õðïëïãéóôþí: Ýíáò ðáëìüò çëåêôñéêïý ñåýìáôïò Þ ç öïñÜ ôçò ìáãíÞôéóçò åíüò óôïé÷åßïõ
ìíÞìçò ìðïñïýí íá ðÜñïõí ìßá áðü äýï ôéìÝò.

Ôá óÞìáôá óôïõò çëåêôñïíéêïýò õðïëïãéóôÝò áëëÜ êáé óå üëá ôá óçìåñéíÜ øçöéáêÜ çëåêôñoíéêÜ óõóôÞìáôá Ý÷ïõí äýï ìüíï äéá-
êñéôÝò ôéìÝò, êáé ãé’ áõôü ôá ëÝìå äõáäéêÜ (binary). Ïé ó÷åäéáóôÝò øçöéáêþí óõóôçìÜôùí ðåñéïñßæïíôáé óôç ÷ñÞóç äõáäéêþí ìüíï
óçìÜôùí åîáéôßáò ôçò ÷áìçëÞò áîéïðéóôßáò ôùí çëåêôñïíéêþí êõêëùìÜôùí üðïõ ôá óÞìáôá ìðïñïýí íá ðáßñíïõí ðåñéóóüôåñåò áðü äýï
êáôáóôÜóåéò. Ìå Üëëá ëüãéá, ìðïñåß êáíåßò íá ó÷åäéÜóåé Ýíá êýêëùìá ìå 10 äõíáôÝò êáôáóôÜóåéò, ãéá êÜèå ìßá áðü ôéò ïðïßåò èá
÷ñçóéìïðïéåß ìéá ïñéóìÝíç ôéìÞ çëåêôñéêÞò ôÜóçò, áëëÜ ôï êýêëùìá áõôü èá åßíáé ðïëý áíáîéüðéóôï. Áíôßèåôá Ýíá êýêëùìá ìå
ôñáíæßóôïñ ðïõ ìðïñåß íá åßíáé ìüíï áíïéêôü Þ êëåéóôü ìðïñåß íá áíáðáñáóôÞóåé ìüíï äýï äéáöïñåôéêÝò ôéìÝò, áëëÜ åßíáé åîáéñåôéêÜ
áîéüðéóôï. Åîáéôßáò áõôþí ôùí öõóéêþí ðåñéïñéóìþí ôùí çëåêôñïíéêþí óôïé÷åßùí, êáé áêüìá ëüãù ôïõ üôé ç áíèñþðéíç ëïãéêÞ ôåßíåé
íá åßíáé äõáäéêÞ, ôá øçöéáêÜ óõóôÞìáôá ðïõ êáôáóêåõÜæïíôáé ãéá íá ðáßñíïõí äéáêñéôÝò ôéìÝò, êáôáóêåõÜæoíôáé ãéá äõáäéêÝò ôéìÝò
ìüíï.

Ç äõáäéêÞ ëïãéêÞ ðïõ áíáöÝñáìå ðáñáðÜíù áó÷ïëåßôáé ìå ìåôáâëçôÝò ðïõ ìðïñïýí íá Ý÷ïõí äýï ìüíï äéáêñéôÝò ôéìÝò êáé ìå
«ëïãéêÝò» (äõáäéêÝò) ðñÜîåéò. Ïé äýï ôéìÝò ðïõ ìðïñïýí íá ðÜñïõí ïé ìåôáâëçôÝò ìðïñïýí íá Ý÷ïõí äéÜöïñá ïíüìáôá ð÷ áëçèÞò
êáé øåõäÞò Þ íáé êáé ü÷é, êëð), áëëÜ ðïëëÝò öïñÝò åßíáé âïëéêü íá ôéò óêåöôüìáóôå óáí bits êáé íá äßíïõìå ôéò ôéìÝò 1 êáé 0. Ç
äõáäéêÞ ëïãéêÞ Þ áëëéþò “¢ëãåâñá Boole” (Âïïlean Algebra) ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá íá ðåñéãñÜöåé ìå ìáèçìáôéêü ôñüðï ôçí åðåîåñ-
ãáóßá ôùí äõáäéêþí ðëçñïöïñéþí, êáé Ýôóé ôáéñéÜæåé åîáéñåôéêÜ ãéá ôçí áíÜëõóç êáé ôï ó÷åäéáóìü øçöéáêþí óõóôçìÜôùí.

Ç óýëëçøç ôçò éäÝáò ôïõ äõáäéêïý óõóôÞìáôïò áñßèìçóçò åßíáé Ýñãï ôïõ ËÜéìðíéôò (G. W. Leibnitz, 1646-1716), ðïõ ôï 1679
áíÝðôõîå óå Ýíá ëáôéíéêü ôïõ êåßìåíï ôç ÷ñçóéìüôçôá ôïõ óõóôÞìáôïò ãéá ôç ìç÷áíïðïéçìÝíç óõóôçìáôïðïßçóç ôùí áñéèìþí âáóéæü-
ìåíï óå äõï èåìåëéþäåéò Ýííïéåò: óôçí Ýííïéá ôïõ “íáé” (ðïõ óõìâïëßæåôáé ìå ôç ìïíÜäá) êáé óôçí Ýííïéá ôïõ “ü÷é” (ðïõ óõìâïëß-
æåôáé ìå ôï ìçäÝí).

Ôá øçößá ðïõ ÷ñçóéìïðïéïýíôáé óôï äõáäéêü óýóôçìá åßíáé ôï 1 êáé ôï 0. ¸ôóé ð÷ ï áñéèìüò 110x012151,2äôçïëõáääÞõáóäõéêãïêýåêóñõéìóÝôíÞáìáóôïôïò
(áõôü óçìáßíåé ï äåßêôçò 2) Ý÷åé ôéìÞ 1 x 20 + 1 x 21 + 1 x 22 +0 x 23 + 0 x 24 +
äåêáäéêü óýóôçìá 1+2+4+0+0+32=3910 (áõôü óçìáßíåé ï äåßêôçò 10).

1-24 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Öáßíåôáé áìÝóùò üôé ôï ðëåïíÝêôçìá ôïõ äõáäéêïý óõóôÞìáôïò, äçëáäÞ ÷ñçóéìïðïéåß äýï ìüíï øçößá, áíôéóôáèìßæåôáé áðü ôï áõîç-
ìÝíï ìÞêïò ôùí áñéèìþí (óôï ðñïçãïýìåíï ðáñÜäåéãìá ï 39, äéøÞöéïò óôï äåêáäéêü óýóôçìá ãßíåôáé åîáøÞöéïò óôï äõáäéêü). Ôï
ìåéïíÝêôçìá, üìùò ôçò ðïëõøçöéêÞò áðåéêüíéóçò áíôéóôáèìßæåôáé áðü ôï ðëåïíÝêôçìá ôçò áðëüôçôáò áðüäïóçò, ôùí èåìåëéùäþí
åííïéþí (íáé - ü÷é), ðïõ äéåõêïëýíåé ôï ó÷åäéáóìü êáé ôçí ëåéôïõñãßá ôùí äéáöüñùí çëåêôñïíéêþí øçöéáêþí õðïëïãéóôþí.

Óôïõò õðïëïãéóôÝò ÷ñçóéìïðïéïýíôáé åðßóçò óõ÷íÜ ôï ïêôáäéêü êáé ôï äåêáåîáäéêü óýóôçìá. Óôï ïêôáäéêü, ï áñéèìüò 3910 ãñÜ-
öåôáé 478, ãéáôß 4 x 81 + 7 x 80 = 4x8+7÷ 1 = 32 + 7 = 39.

ÌåñéêÜ ðáñáäåßãìáôá ãéá ôï äõáäéêü óýóôçìá

ÄéáâÜæù äõáäéêïýò áñéèìïýò

ÅðåéäÞ ôï äõáäéêü óýóôçìá äéáèÝôåé ìüíï äýï óýìâïëá, ïé èÝóåéò ôùí äõáäéêþí øçößùí óå Ýíáí ôÝôïéï áñéèìü áõîÜíïíôáé ìå ôï
ñõèìü äõíÜìåùí ôïõ 2 (åêèåôéêÜ). Óá óõíÝðåéá, ïé äõáäéêïß áñéèìïß ãñÞãïñá ìåôáôñÝðïíôáé óå ìåãÜëåò óåéñÝò áðü 0 êáé 1.
ÐñïóèÝôïíôáò ôçí ôéìÞ ôçò äýíáìçò ôïõ 2 ôùí èÝóåùí üðïõ âñßóêïíôáé ôá 1 ðáßñíïõìå ôïí éóïäýíáìï áñéèìü óôï äåêáäéêü
óýóôçìá.

Äåêáäéêüò Äõáäéêüò
10 1 8 4 2 1 ÈÝóåéò øçößùí

0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
8 1000
9 1001
10 1010

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-25

Êáíüíåò ôçò äõáäéêÞò ðñüóèåóçò

Ìðïñïýìå ãéá áðëüôçôá íá ðïýìå ïôé, üðùò áêñéâþò êáé óôï äåêáäéêü, Ýôóé êáé óôï äõáäéêü óýóôçìá ç ðñüóèåóç ôïõ 0 êáé ôïõ 0
äõáäéêïý øçößïõ Ý÷åé áðïôÝëåóìá 0. 1⁄4ìïéá, ç ðñüóèåóç ôïõ 0 êáé ôïõ 1 äõáäéêïý øçößïõ Ý÷åé áðïôÝëåóìá 1. 1⁄4ìùò ç ðñüóèåóç
ôïõ 1 êáé ôïõ 1 äõáäéêïý øçößïõ Ý÷åé áðïôÝëåóìá 0, ìå ìåôáöåñüìåíï ôï 1.

ÄõáäéêÞ ðñüóèåóç

0 0 + 1 ÁðïôÝëåóìá
+0 +1 1 1 (Ôï 1 ìåôáöÝñåôáé ìðñïóôÜ áðü ôï 0)
0
0 1

Óôçí åðüìåíç ðñÜîç êáé ôá äýï áèñïßóìáôá âñßóêïíôáé áèñïßæïíôáò óôÞëåò êáé ìåôáöÝñïíôáò õðüëïéðá ðñïò ôá áñéóôåñÜ. Óôçí
ðñþôç äåêáäéêÞ êïëþíá, 9 + 9 êÜíåé 18, ìå ôï 8 íá ãñÜöåôáé áêñéâþò áðü êÜôù êáé ôï 1 íá ìåôáöÝñåôáé. Óôçí ðñþôç äõáäéêÞ
êïëþíá 1 + 1 êÜíåé 10 (ðïõ äéáâÜæåôáé “Ýíá - ìçäÝí” êáé ü÷é “äÝêá”, óôï äõáäéêü óýóôçìá), ìå ôï ìçäÝí íá ãñÜöåôáé áêñéâþò
áðü êÜôù êáé ôï 1 íá ìåôáöÝñåôáé áñéóôåñÜ ùò õðüëïéðï. Ç åðüìåíç äõáäéêÞ êïëþíá ãßíåôáé 1 + 1, Þ 10 (“Ýíá - ìçäÝí”), óõí ôï
õðüëïéðï 1. Ôï óýíïëï ëïéðüí ãßíåôáé 11, ìå ôï 1 íá ãñÜöåôáé áêñéâþò áðü êÜôù êáé ôï 1 íá ìåôáöÝñåôáé áñéóôåñÜ ùò õðüëïéðï
êáôÜ ôá ãíùóôÜ.

ÄåêáäéêÞ ðñüóèåóç ÄõáäéêÞ ðñüóèåóç

100 10 1 128 64 32 16 8 4 2 1 ÈÝóåéò øçößùí
2 1 9 1101 10 11 ÁðïôÝëåóìá
1 9 + 1 00 11
+ 3 8 1110 11 10
2

ÌåôáôñïðÞ äåêáäéêïý óå äõáäéêü áñéèìü

Ãéá íá ìåôáôñÝøåôå Ýíáí äõáäéêü áñéèìü óôïí áíôßóôïé÷ï ôïõ äåêáäéêïý óõóôÞìáôïò áñßèìçóçò, ðñþôá áöáéñÝóôå ôçí ìåãáëýôåñç
äõíáôÞ äýíáìç ôïõ 2, åðéëÝîôå ð÷ 128 (=27) êé áí äåí “÷ùñÜåé” óôïí áñéèìü óáò åðéëÝîôå ôï áìÝóùò åðüìåíï 64 (=26), êïê.
Óõíå÷ßóôå íá áöáéñåßôå ôçí åðüìåíç ìåãáëýôåñç äýíáìç ôïõ 2 áðü ôï õðüëïéðï, óçìåéþíïíôáò 1 óå êÜèå óôÞëç ôïõ äõáäéêïý
øçößïõ ðïõ ç ðñÜîç åßíáé äõíáôÞ êáé 0 üðïõ äåí åßíáé. ¸ôóé ëïéðüí, ãéá ôï äåêáäéêü 43 õðÜñ÷ïõí êáôÜ óåéñÜ: Ýíá 32, êáíÝíá 16,
Ýíá 8, êáíÝíá 4, Ýíá 2 êáé Ýíá 1, äßíïíôáò äõáäéêü áðïôÝëåóìá 101011.

1-26 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò Äõáäéêüò ÈÝóåéò øçößùí
Äåêáäéêüò 32 16 8 4 2 1 ÁðïôÝëåóìá
10 1 1 ÁðïôÝëåóìá
43 10 1 ÁðïôÝëåóìá
- 32 10 10 1 ÁðïôÝëåóìá
11 10 10 11
-8
3
-2
1
-1
0

ÓõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï êáé ÄõáäéêÞ áöáßñåóç

Ôï óõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï åíüò äõáäéêïý áñéèìïý ðáñÜãåôáé áíôéêáèéóôþíôáò ôá øçößá 0 ìå øçößá 1, ôá øçößá 1 ìå ôá øçößá 0 êáé
êáôüðéí ðñïóèÝôïíôáò 1. Ãéá ðáñÜäåéãìá, ôï óõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï ôïõ 0100 åßíáé 1100:

Áñ÷éêüò áñéèìüò 0100
ÓõìðëÞñùìá ùò ðñïò Ýíá 1011
+1
ÓõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï 1100

Ç äõáäéêÞ áöáßñåóç ìðïñåß íá ãßíåé ìå äýï ìåèüäïõò. 1ç ìÝèïäïò: ÌÅÉÙÔÅÏÓ - ÁÖÁÉÑÅÔÅÏÓ = ÄÉÁÖÏÑÁ, üðùò óôï
ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß.

ÌåéùôÝïò - 10001
ÁöáéñåôÝïò 01011
ÄéáöïñÜ 00110

2ç ìÝèïäïò: ÌÅÉÙÔÅÏÓ + ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁ ÁÖÁÉÑÅÔÅÏÕ = ÄÉÁÖÏÑÁ ÌÅ ÄÉÁÃÑÁÖÇ ÔÅËÉÊÏÕ ÊÑÁÔÏÕ-
ÌÅÍÏÕ, üðùò óôï ðáñÜäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß.

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-27

ÌåéùôÝïò 10001
ÓõìðëÞñùìá ùò ðñïò äýï ôïõ áöáéñåôÝïõ + 10101
100110
ÄéáãñáöÞ ôåëéêïý êñáôïõìÝíïõ
Ç äéáöïñÜ åßíáé ôåëéêÜ 00110

ÐåñéãñáöÞ ôçò äéÜôáîçò

Óôï ðåßñáìÜ ìáò ãßíåôáé ïðôéêïðïßçóç ôïõ äõáäéêïý óõóôÞìáôïò. ¸÷ïõìå 4 äåîáìåíÝò íåñïý áðü äéáöáíÝò õëéêü (Plexy-Glass) ïé
ïðïßåò âñßóêïíôáé ç ìéá êÜôù áðü ôçí Üëëç. ÁõôÞ ç ðåéñáìáôéêÞ äéÜôáîç ðáßæåé ôï ñüëï åíüò áñéèìçôçñßïõ. Ôç äåîáìåíÞ ðïõ âñß-
óêåôáé øçëüôåñá (ìå ôïí ìéêñüôåñï üãêï) ïíïìÜæïõìå Á êáé ôéò áìÝóùò ÷áìçëüôåñåò Â, à êáé Ä. Ç äåîáìåíÞ Á áíôéóôïé÷åß óôï

ðñþôï áðü äåîéÜ øçößï åíüò ôåôñáøÞöéïõ äõáäéêïý áñéèìïý, ç  óôï äåý-
ôåñï êïê. Ôá øçößá áõôÜ óõìâïëßæïõìå ìå b0 (ãéá ôçí Á), b1 (ãéá ôçí Â),
b2 (ãéá ôçí Ã) êáé b3 (ãéá ôçí Ä). ÁõôÜ ôá ôÝóóåñá øçößá (bit) áíôéðñï-
óùðåýïõí ôïí äõáäéêü áñéèìü b3b2b1b0.

1⁄4ëåò oé äåîáìåíÝò Ý÷ïõí ôï ßäéï ýøïò êáé ôï ßäéï ðëÜôïò. Ôï ìÞêïò ôïõò
üìùò åßíáé äéáöïñåôéêü. ÓõãêåêñéìÝíá åÜí ç Á äåîáìåíÞ (äçëáäÞ áõôÞ ðïõ
âñßóêåôáé ðéï øçëÜ áðü üëåò) Ý÷åé ìÞêïò L, ç  (äçëáäÞ áõôÞ ðïõ âñß-
óêåôáé êÜôù áðü ôçí ðñïçãïýìåíç) èá Ý÷åé ìÞêïò 2L (äçëáäÞ äéðëÜóéï üãêï áðü ôçí ðñþôç). Ç Ã èá Ý÷åé äéðëÜóéï ìÞêïò áðü ôçí
äåýôåñç äçëáäÞ 4L (Üñá êáé äéðëÜóéï üãêï áðü ôçí ðñïçãïýìåíç êáé ôåôñáðëÜóéï áðü ôçí ðñþôç). ÔÝëïò, ç Ä èá Ý÷åé ìÞêïò 8L.
Íá óçìåéùèåß ïôé ìðïñïýìå íá ðñïóèÝóïõìå êé Üëëåò äåîáìåíÝò. ÅðéðëÝïí óå êÜèå äåîáìåíÞ õðÜñ÷åé Ýíá óéöþíé Ýôóé þóôå íá
áäåéÜæåé üôáí ôï íåñü öôÜóåé óå êÜðïéï ïñéóìÝíï ýøïò, Ýóôù h, ôï ßäéï ãéá êÜèå ìéá äåîáìåíÞ. Ôï íåñü ðïõ áäåéÜæåé áðü ôçí ðñþôç
äåîáìåíÞ ïäçãåßôáé óôçí äåýôåñç, áðü ôçí äåýôåñç óôçí ôñßôç êïê.

Ôñïöïäïôïýìå ìå íåñü ôçí ðñþôç äåîáìåíÞ ìå ïãêïìåôñéêü äï÷åßï. Ôï äï÷åßï áõôü ìðïñåß åßíáé âáèìïíïìçìÝíï óå ìïíÜäåò
üãêïõ üóï ç ÷ùñçôéêüôçôá ôçò ðñþôçò äåîáìåíÞò üôáí áõôÞ ðåñéÝ÷åé íåñü ìÝ÷ñé ôç ìÝóç ôçò. Áõôüò ï üãêïò íåñïý áðïôåëåß êáé ôçí
ìïíÜäá ôïõ áñéèìçôçñßïõ ìáò. ÃåíéêÜ, èåùñïýìå ôñåéò êáôáóôÜóåéò ãéá êÜèå äåîáìåíÞ:

• ã. “Üäåéá” (üðïõ öõóéêÜ áðïìÝíåé ðÜíôá åëÜ÷éóôï íåñü ùò áðïôÝëåóìá ôïõ ïôé ôï êÜèå óéöþíéï äåí áäåéÜæåé
åíôåëþò ôçí áíôßóôïé÷Þ ôïõ äåîáìåíÞ),

• â. “ãåìÜôç” (üðïõ ôï íåñü öôÜíåé óôï ìÝóïí ôïõ ýøïõò ôçò êÜèå äåîáìåíÞò) êáé
• á. “äåí ìáò åíäéáöÝñåé” (üðïõ èåùñïýìå ïôé ðñüêåéôáé ãéá ìéá óôéãìéáßá êáôÜóôáóç ëßãï ðñéí ç

äåîáìåíÞ áäåéÜóåé áðü ôï óéöþíéü ôçò).

1-28 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Ëåéôïõñãßá ôçò äéÜôáîçò

1⁄4ðùò åßäáìå, ôï ìéóü ôïõ üãêïõ ôçò äåîáìåíÞò Á ïñßæïõìå ïôé åßíáé ç ìïíÜäá ôïõ áñéèìçôçñßïõ ìáò. 1⁄4ôáí ìéá äåîáìåíÞ ãåìßóåé ùò
ðÜíù, áäåéÜæåé óôçí áìÝóùò ÷áìçëüôåñÞ ôçò ëüãù ôçò ýðáñîçò êáé ôçò ëåéôïõñãßáò ôïõ óéöùíßïõ. ¸ôóé, ç äéáäéêáóßá ãåìßóìáôïò ãéá ôçí
ðñþôç äåîáìåíÞ ìðïñåß íá ðáñáóôáèåß ó÷çìáôéêÜ ìå ôá áêüëïõèá âÞìáôá:

1. ÄåîáìåíÞ ìå üãêï íåñïý áíôéóôïé÷åß óôïí äõáäéêü áñéèìü 00, óôïí äåêáäéêü 0 (äåí Ý÷ïõìå ñßîåé áêüìç
íåñü).

2. ÄåîáìåíÞ ìå üãêï íåñïý áíôéóôïé÷åß óôïí äõáäéêü áñéèìü 01, óôïí äåêáäéêü 1 (ñß÷íïõìå ìéá ìïíÜäá
üãêïõ íåñïý óôç äåîáìåíÞ Á).

3. ÄåîáìåíÞ ìå üãêï íåñïý áíôéóôïé÷åß óôïí äõáäéêü áñéèìü 10, óôïí äåêáäéêü 2 (ñß÷íïõìå áêüìç ìéá
ìïíÜäá üãêïõ íåñïý óôç äåîáìåíÞ Á, ç ïðïßá ëüãù ôïõ óéöùíßïõ ôçò áäåéÜæåé óôçí ÷áìçëüôåñç  -ç ïðïßá ìå ôç óåéñÜ ôçò, ùò
“ãåìÜôç”, áõôüìáôá áðïêôÜåé ôçí ôéìÞ 1).

Ðéï áíáëõôéêÜ, ïé äõíáôÝò êáôáóôÜóåéò ãéá üëåò ôéò äåîáìåíÝò åßíáé ïé åîÞò:

ÌïíÜäá üãêïõ íåñïý ÄåîáìåíÞ Á ÄåîáìåíÞ Â ÄåîáìåíÞ Ã ÄåîáìåíÞ Ä Äõáäéêüò áñéèìüò
0 ¢äåéá ¢äåéá ¢äåéá ¢äåéá 0000
1 ÃåìÜôç ¢äåéá ¢äåéá ¢äåéá 0001
2 ¢äåéá ÃåìÜôç ¢äåéá ¢äåéá 0010
3 ÃåìÜôç ÃåìÜôç ¢äåéá ¢äåéá 0011
4 ¢äåéá ¢äåéá ÃåìÜôç ¢äåéá 0100
5 ÃåìÜôç ¢äåéá ÃåìÜôç ¢äåéá 0101
6 ¢äåéá ÃåìÜôç ÃåìÜôç ¢äåéá 0110
7 ÃåìÜôç ÃåìÜôç ÃåìÜôç ¢äåéá 0111

























Óôü÷ïò â.i Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-41

Háñßåèéìêüçóíáçòô)ïõóôáïñéäèõìáïäýéê8ü10áñ(äéèçìëçáôäÞÞñéôïï.õ 8 óôï äåêáäéêü óýóôçìá Háñßåèéìêüçóíáçòô)ïõóôáïñéäèõìáïäýéê1ü10áñ(äéèçìëçáôäÞÞñéôïï.õ 1 óôï äåêáäéêü óýóôçìá

Áíôéóôïé÷ßá ôïõ áñéèìçôç- Áíôéóôïé÷ßá ôïõ áñéèìçôç-
ñßïõ óôï äõáäéêü óýóôçìá ñßïõ óôï äõáäéêü óýóôçìá

b3 b2 b1 b 0 b3 b2 b1 b 0
Óôü÷ïò â.ii
Áíôéóôïé÷ßá ôïõ áñéèìçôç-
To áðïôÝëåóìá ôçò ðñÜîçò 8-1 óôï äõáäéêü áñéèìçôÞñéï. ñßïõ óôï äõáäéêü óýóôçìá

b3 b2 b1 b 0

1-42 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Óôü÷ïò â.iii

ÊÜíå ôçí áöáßñåóç 8-1 (ìÝèïäïò: ÌÅÉÙÔÅÏÓ -
ÁÖÁÉÑÅÔÅÏÓ = ÄÉÁÖÏÑÁ)

1000
-00 0 1

Óôü÷ïò â.iv ÊÜíå ôçí áöáßñåóç 8-1 (ìÝèïäïò: ÌÅÉÙÔÅÏÓ +
ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁ ÁÖÁÉÑÅÔÁÉÏÕ =
Âñåò ôï ÓÕÌÐËÇÑÙÌÁ ôïõ ÁÖÁÉÑÅÔÁÉÏÕ ÄÉÁÖÏÑÁ+ÄÉÁÃÑÁÖÇ ÊÑÁÔÏÕÌÅÍÏÕ)
ùò ðñïò 2.
1000
0001
+
ÓõìðëÞñùìá ÁÖÁÉÑÅÔÁÉÏÕ
ùò ðñïò 1.

+1

Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò 1-43

ÅñùôÞóåéò

1. Ãéáôß óôçí êáèçìåñéíÞ ìáò æùÞ êÜíïìå ÷ñÞóç ôïõ äåêáäéêïý óõóôÞìáôïò êé ü÷é ôïõ äõáäéêïý;
2. ÐïéÜ öõóéêÜ ìåãÝèç Ý÷ïõí ãéá âÜóç ìÝôñçóçò ôïí äåêáäéêü áñéèìü 60, ðïéÜ ôïí 12 êáé ðïéÜ ôïí 7;
3. Áðü ôé åîáñôÜôáé ç ôéìÞ åíüò áñéèìçôéêïý óõìâüëïõ;
4. Óôï äåêáäéêü óýóôçìá, ãéá ôçí ðñÜîç ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý ÷ñåéÜæåôáé ç ðñïðáßäåéá áðü 1 ÷ 1 Ýùò 9 ÷ 9. ÐïéÜ ðñïðáßäåéá

÷ñåéÜæåôáé ãéá ôï äõáäéêü óýóôçìá;
5. Óýãêñéíå ôï äåêáäéêü óýóôçìá áñßèìçóçò ìå ôï áíôßóôïé÷ï Âáâõëùíéáêü (ð÷ ôïõò áñéèìïýò 60 êáé 65).
6. Ðþò åêôåëïýóáí äéáéñÝóåéò áñéèìþí ïé Áéãýðôéïé;
7. Ôá ó÷Þìáôá ôçò óåéñÜò Á äåß÷íïõí äéÜöïñåò ðåñéðôþóåéò äéáôÜîåùí äåîáìåíÞò ìå óéöþíéï. ¸óôù ïôé áóêïýìå ðßåóç (“ñïõöÜìå”)

õãñü üðùò äåß÷íåé ôï ðñÜóéíï âÝëïò, áðü ôçí åëåýèåñç Üêñç ôïõ óéöùíßïõ. Ôï áðïôÝëåóìá óå êÜèå ðåñßðôùóç èá åßíáé äéáöï-
ñåôéêü. Áíôéóôïß÷éóå êÜèå ó÷Þìá ôçò óåéñÜò Á ìå ôï óùóôü ôçò óåéñÜò  ç ïðïßá äåß÷íåé ôï áðïôÝëåóìá ôçò ÷ñÞóçò ôïõ
óéöùíßïõ óôçí êÜèå äéÜôáîç. ÆùãñÜöéóå Ýíá âÝëïò óå êÜèå ðåñßðôùóç, ãéá íá äåßîåéò ôçí áíôéóôïé÷ßá.

Ó÷Þìá Á.3 Ó÷Þìá Á.4

Ó÷Þìá Á.2 Ó÷Þìá Â.1 Ó÷Þìá Â.2 Ó÷Þìá Á.5
Ó÷Þìá Á.1 Ó÷Þìá Â.3 Ó÷Þìá Â.4 Ó÷Þìá Á.6

1-44 Äõáäéêü ÁñéèìçôÞñéï ìå ÄåîáìåíÝò

Âéâëéïãñáößá

[1] “Ç ÃÝííçóç ôçò ÃñáöÞò”, Õðïõñãåßï Ðïëéôéóìïý, 1985, óåë. 28, 56, 65, 68, 71, 91, 92.
[2] “The Age of God-Kings”, Time -Life History of the World 3000 - 500 BC, p.28, 75, 116.
[3] “A Soaring Spirit”, Time -Life History of the World 600 - 400 BC, p.92.
[4] “Computer basics”, Understanding Computers, Time -Life Books History of the World 600 - 400 BC, p.40.
[5] Åãêõêëïðáßäåéá “ ÐÜðõñïò - Larousse”, ôüìïò 54, óåë. 122.
[6] Åãêõêëïðáßäåéá Õäñßá
[7] “Ìéá åéóáãùãÞ óôïõò ÌéêñïûðïëïãéóôÝò”, ÂáóéêÝò ¸ííïéåò, Adam Osborne
[8] “ØçöéáêÞ ó÷åäßáóç”, M. Morris Hand
[9] “Éóôïñßá ôùí åðéóôçìþí êáé ôçò Ôå÷íïëïãßáò”, Ã’ ôÜîç Åíéáßïõ Ëõêåßïõ
[10] “Thinking Machines”, Irving Adler
[11] “Arithmetical procedure in Minoan linear A and Minoan - Greek linear B”, Anderson W. French, American journal of
Archeology 62, pp. 363 - 368, 1958.
[12] “Arithmetic in Maya Numerals”, Anderson W. French, American Antiquity 36, pp. 5463, 1971,
e-mail: http://www.frenchanderson.org/otheractiviities/otheractivities.html

Ìç÷áíïëïãéêü ó÷Ýäéï

Ôï Ìç÷áíïëïãéêü ó÷Ýäéï ôçò ðåéñáìáôéêÞò äéÜôáîçò (Ó÷Ýäéï Íï 1) âñßóêåôáé óôï ÐáñÜñôçìá, óôï ôÝëïò ôïõ âéâëßïõ.