แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2

แคลคูลัสเบือ้ งตน้

คณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6 เลม่ 1

ในการส่งจรวดข้ึนไปยังอวกาศ จะต้องใช้แรงขับเคลื่อนที่
สงู มากและต่อเนื่องเพ่ือเอาชนะแรงโน้มถ่วง โดยจะต้องมี
การเผาไหม้เช้ือเพลิง ทาให้มวลของจรวดลดลงตามเวลา
ท่ีเช้ือเพลิงถูกเผาไหม้ และทาให้เกิดความเร่งท่ีสูงมาก
ในการเคลอื่ นทข่ี องจรวด

แรงขับเคลอ่ื นของจรวดหาไดจ้ ากสูตร F = ( )


ซง่ึ มาจากกฎการเคลอ่ื นทขี่ องนิวตัน โดย m และ v

คอื มวลและความเร็วของวัตถุ ตามลาดับ

เราจะนาความรู้
เกยี่ วกับแคลคูลัส
มาหาแรงขับเคลอ่ื น

ของจรวดไดอ้ ย่างไร

ก่อนท่เี รำจะศกึ ษำควำมรูเ้ ก่ียวกบั แคลคลู สั
เรำไปทบทวนควำมรูท้ ่นี ำมำใชใ้ นเร่อื งแคลคลู สั กนั กอ่ นเลยคะ่

ฟังกช์ ันเชงิ เสน้ คอื ฟังกช์ นั ท่อี ยใู่ นรูป f(x) = ax + b เม่ือ a และ b เป็นจำนวนจรงิ ซง่ึ มีกรำฟเป็นเสน้ ตรง
กรณี a = 0 จะไดฟ้ ังกช์ นั ท่อี ยใู่ นรูป f(x) = b เรยี กฟังกช์ นั นีว้ ่ำ ฟังกช์ นั คงตวั ซง่ึ มีกรำฟเป็น
เสน้ ตรงท่ขี นำนแกน X

ฟังกช์ ันกาลงั สอง คอื ฟังกช์ นั ท่อี ยใู่ นรูปf(x) = ax2 + bx + c เม่ือ a, b และ c เป็นจำนวนจรงิ ใด
ๆ และa ≠ 0 ซง่ึ เรยี กกรำฟของฟังกช์ นั กำลงั สองวำ่ พำรำโบลำ

จำกรูป จะเหน็ ว่ำ ถำ้ a > 0กรำฟเป็นเสน้ โคง้ เปิดขึน้ ดำ้ นบน
ถำ้ a < 0กรำฟเป็นเสน้ โคง้ เปิดลงดำ้ นล่ำง

ให้ เป็นเสน้ ตรงท่ผี ำ่ นจดุ A x1, y1 และจดุ B x2, y2 โดยxท1่ี ≠ x2 ควำมชนั ของเสน้ ตรง คือ

m = y1 − y2
x1 − x2

ตอ่ ไปเรำจะไดศ้ กึ ษำเรอ่ื งรำวเก่ียวกบั ลมิ ิตวำ่ มีอะไรบำ้ ง
นกั เรยี นพรอ้ มหรอื ยงั คะ ?
ถำ้ พรอ้ มแลว้ ไปกนั เลย !!!

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั
ตัวอย่างที่ 1 พิจารณากราฟของฟังกช์ นั y = x2 + 2

= + อันดบั แรก เราจะศกึ ษาความสัมพนั ธ์
ระหวา่ งกราฟและลิมิต
ของฟังก์ชนั กนั ก่อนนะคะ

นกั เรียนจะเหน็ ว่า กราฟของฟังก์ชัน y = x2+ 2
เปน็ กราฟพาราโบลาหงายทีม่ ีจดุ ยอดอยู่ทจ่ี ดุ (0, 2)




( , )


− − − − −

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

จำกกรำฟ นกั เรยี นสงั เกตหรอื ไมว่ ่ำ = +

ถำ้ คำ่ ของ x เขำ้ ใกล้ 0
แลว้ คำ่ ของ y หรอื คำ่ ของฟังกช์ นั จะเขำ้ ใกลค้ ำ่ ใด









− − − − −

ลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน

= + จากกราฟ จะเหน็ วา่
เมื่อค่าของ x เข้าใกล้ 0
คา่ ของ y จะเข้าใกล้ 2
เราเรยี กค่านว้ี ่า “ลิมิตของฟงั ก์ชนั ”
นนั่ คอื ลิมติ ของฟงั กช์ นั y = x2+ 2 เทา่ กบั 2
เมื่อ x เข้าใกล้ 0







− − − − −

ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ตวั อย่างท่ี 2 พิจารณากราฟของฟังกช์ ัน ตอ่ ไปน้ี

y = f(x) 1) ให้หาลิมิตของฟงั ก์ชนั f เมื่อ x เขา้ ใกล้ -1
2) ให้หาลมิ ิตของฟังก์ชนั f เมอ่ื x เข้าใกล้ 0
3) ใหห้ าลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน f เมอ่ื x เข้าใกล้ 3



− −

1) จำกกรำฟ จะเหน็ วำ่

เม่ือคำ่ ของ x เขำ้ ใกล้ -1 ทำงดำ้ นซำ้ ย (x < -1)
จะไดว้ ่ำ คำ่ ของ f(x) จะเขำ้ ใกล้ 1

y = f(x) เม่ือคำ่ ของ x เขำ้ ใกล้ -1 ทำงดำ้ นขวำ (x > -1)
จะไดว้ ำ่ คำ่ ของ f(x) จะเขำ้ ใกล้ 1

ดงั นนั้ ลิมิตของฟังกช์ นั f เทำ่ กบั 1 เม่ือ x เขำ้ ใกล้ -1

− −

ลมิ ติ ของฟังกช์ นั

2) จากกราฟ จะเห็นว่า จดุ 0, 0 ไม่อยู่ในโดเมนของฟงั กช์ ัน f

y = f(x) เมื่อคา่ ของ x เขา้ ใกล้ 0 ทางด้านซา้ ย (x < 0)
จะได้วา่ คา่ ของ f(x) จะเขา้ ใกล้ 0
เมอ่ื ค่าของ x เขา้ ใกล้ 0 ทางด้านขวา (x > 0)
จะได้วา่ คา่ ของ f(x) จะเข้าใกล้ 0
เน่ืองจากฟังก์ชัน f ไม่นิยามท่ี x = 0
แต่ลิมติ ของฟังก์ชนั f ยงั คงเท่ากบั 0 เมอ่ื x เขา้ ใกล้ 0
− −

3) จากกราฟ จะเห็นวา่
เมือ่ ค่าของ x เข้าใกล้ 3 ทางดา้ นซ้าย (x < 3)

จะได้วา่ คา่ ของ f(x) จะเขา้ ใกล้ 2

เมอ่ื ค่าของ x เข้าใกล้ 3 ทางด้านขวา (x > 3) y = f(x)
− −
จะไดว้ ่า ค่าของ f(x) จะเข้าใกล้ 2

ดงั นั้น ลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั f เทา่ กับ 2 เมือ่ x เขา้ ใกล้ 3

ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

จำกตวั อยำ่ งทง้ั สอง
เป็นไปตำมบทนิยำมตอ่ ไปนี้

กาหนด f เปน็ ฟังกช์ ันซงึ่ มโี ดเมนและเรนจ์เปน็ สับเซตของเซตของจานวนจรงิ ถา้ ค่าของ f(x) เขา้ ใกล้จานวนจรงิ L
เพยี งหนึ่งจานวน เม่ือ x เข้าใกล้ a แลว้ กลา่ วไดว้ ่า ลมิ ติ ของ f(x) ที่ a เท่ากับ L เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์

x→lima f x =L

หรือ f(x) → L เม่ือ x → a (อา่ นวา่ “f(x) เขา้ ใกล้ L เม่ือ x เขา้ ใกล้ a”)

ลมิ ติ ของฟงั กช์ ัน

จำกตวั อยำ่ งท่ผี ่ำนมำ นกั เรยี นสำมำรถหำลมิ ิตของฟังกช์ นั ได้
เน่ืองจำกกรำฟของฟังกช์ นั ไมซ่ บั ซอ้ นมำกนกั

แตถ่ ำ้ เป็นฟังกช์ นั ท่มี ีควำมซบั ซอ้ นมำกกวำ่ นี้
นกั เรยี นสำมำรถใชท้ ฤษฎีบทเก่ียวกบั ลิมิตมำชว่ ยหำ

ลิมิตของฟังกช์ นั ได้ ดงั นี้

ลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั

ทฤษฎีบท 1

กาหนด f และ g เปน็ ฟงั กช์ ันทมี่ ีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจานวนจรงิ
โดยที่ lim f x = L และ lim g x = Mเมื่อ a, L และ M เป็นจานวนจริงใด ๆ จะไดว้ า่

x→a x→a

1 lim c = c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตวั ใด ๆ

x→a

2 lim x = a

x→a

3 lim xn = an เมอ่ื n ∈ I+

x→a

4 lim cf x = c lim f x = cL เม่ือ c เป็นค่าคงตัวใด ๆ

x→a x→a

5 lim f x + g x = lim f x + lim g x = L + M
x→a x→a x→a

ลมิ ิตของฟังกช์ นั

ทฤษฎีบท 1
กาหนด f และ g เปน็ ฟงั กช์ นั ที่มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสับเซตของเซตของจานวนจรงิ
โดยที่ lim f x = แLละ lim g x = เMม่ือ a, L และ M เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ จะไดว้ า่

x→a x→a

6 lim f x − g x = lim f x − lim g x = L − M

x→a x→a x→a

7 lim f x ∙ g x = lim f x ∙ lim g x = L ∙ M
x→a x→a x→a

fx lim f x L
x→a = M เมอ่ื M ≠ 0
8 lim g x = x
lim g
x→a x→a

9 lim f x n= lim f x n = Ln เมือ่ n ∈ I+

x→a x→a

10 limn f x = n lim f x =nL เมื่อ n ∈ I+ − 1 ,n f x ∈ R และ n L ∈ R

x→a x→a

ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ตวั อย่างท่ี 3 + − นกั เรียนสามารถนาทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมิต
แตล่ ะข้อมาชว่ ยในการหาลมิ ิต
ของฟังก์ชนั ได้ ดังนี้

ให้หาคา่ ของ

→

วธิ ีทา lim x2 + 3x − 1 = lim x2 + lim 3x − lim 1 ทฤษฎบี ทข้อ 5 และ 6
x→2 x→2 x→2 x→2 ทฤษฎบี ทขอ้ 4
ทฤษฎบี ทข้อ 1, 2 และ 3
= lim x2 + 3 lim x − lim 1
x→2 x→2 x→2

= 22 + 3 2 − 1

= 4+6−1

=9

ดังนั้น lim x2 + 3x − 1 = 9
x→2

ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน

ตวั อยา่ งที่ 4 ใหห้ าค่าของ − + −
วิธีทา −
→

lim x2 − 2x + 3 x3 − 1 50
5−x
x→1

= lim x2 − 2x + 3 ∙ lim x3 − 1 50 ทฤษฎีบทขอ้ 7
5−x ทฤษฎบี ทข้อ 8 และ 9
x→1 x→1

lim x2 − 2x + 3 50
x→1 ∙ lim x3 − 1
=
lim 5 − x x→1
x→1

lim x2 − 2 lim x + lim 3 ∙ lim x3 − lim 1 50
x→1 x→1 x→1
= ทฤษฎีบทข้อ 3, 4, 5 และ 6
lim 5 − lim x x→1 x→1
x→1 x→1

= 12 − 2 1 + 3 13 − 1 50 ทฤษฎีบทขอ้ 1, 2 และ 3
5−1 ∙

= 2 =0 x3 − 1 50 = 0
40
ดังนั้น x2 − 2x + 3
lim 5−x

x→1

ลมิ ิตของฟังกช์ นั

จำกทฤษฎีบทเก่ียวกบั ลมิ ิตขำ้ งตน้
ทำใหน้ กั คณิตศำสตรส์ รำ้ งทฤษฎีบทเก่ียวกบั
กำรหำลมิ ิตของฟังกช์ นั พหนุ ำมและฟังกช์ นั ตรรกยะ

นกั เรยี นทรำบหรอื ไมว่ ่ำ นกั คณิตศำสตรน์ ำทฤษฎีบท
เก่ียวกบั ลมิ ิตขอ้ ใด มำสรำ้ งทฤษฎีบทเก่ียวกบั กำรหำลิมิต

ของฟังกช์ นั พหนุ ำมและฟังกช์ นั ตรรกยะ

ลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั

จากทฤษฎีบท 1 ข้อ 1, 3, 4, 5 และ 6 ทาให้นกั คณติ ศาสตร์
สร้างทฤษฎบี ทเก่ยี วกับการหาลมิ ิตของฟงั ก์ชันพหุนามได้ ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท 2
ถ้า p x = cnxn + cn − 1xn − 1 + … + c1x + c0 เปน็ ฟังกช์ ันพหนุ าม
และ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ แลว้

lim p x = p a

x→a

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

และจากทฤษฎีบท 1 ข้อ 8 และทฤษฎีบท 2
จะหาลมิ ติ ของฟงั ก์ชนั ตรรกยะได้ ดงั น้ี

เพอื่ ใหน้ กั เรียนเข้าใจการนาทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั การหาลิมิต
ของฟังกช์ ันพหุนามและฟังก์ชันตรรกยะไปใช้
ใหศ้ กึ ษาตวั อย่างต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 3

ถ้า f เปน็ ฟังกช์ นั ตรรกยะ โดยท่ี f x px เม่อื p และ q เป็นฟงั กช์ นั พหนุ าม
=q x

และ a เป็นจานวนจริงใด ๆ ท่ี q a ≠ 0 แล้ว

pa
lim f x =q a

x→a

ลมิ ติ ของฟังกช์ ัน

ตัวอย่างท่ี 5 ใหห้ าคา่ ของ +
วธิ ีทา
→− −

lim x2 + 3 −1 2 + 3
= −1 − 1
x→−1 x−1

4
= −2

= −2

ดังนนั้ lim x2 + 3 = −2

x→−1 x−1

px

จากฟังกช์ นั ตรรกยะ f x = q x เมื่อแทน x ด้วย a แลว้ ทาให้
p a = 0 และ q a = 0 จะไดว้ ่า f a หาคา่ ไมไ่ ด้

นักเรยี นคิดว่า ถา้ f a หาคา่ ไมไ่ ด้ แล้ว lim f x หาค่าได้หรอื ไม่ ?
x→a

ลมิ ิตของฟงั กช์ ัน

− จากคาถามก่อนหน้านี้

ตวั อย่างท่ี 6 ให้หาคา่ ของ เราไปหาคาตอบพร้อม ๆ กนั เลยค่ะ

→ −

วิธีทา กาหนด f x x2 − 9 = x2 − 9 และ qx =x−3
= x−3 , p x

เมือ่ แทน x ดว้ ย 3 จะได้ p 3 = 32 − 9 = 0 และ q 3 = 3 − 3 = 0 ทาให้ f 3 หาค่าไม่ได้

สงั เกตว่า เมื่อนา f x มาจัดรปู ใหม่ จะไดว้ ่า x2 − 9 x−3 x+3 =x+3 เม่ือ x − 3 ≠ 0
x−3 = x−3
x2 − 9
ดงั นั้น lim = lim x + 3
x−3
x→3 x→3

= 3+3

=6

น่ันคอื lim x2 − 9 = 6
x−3
x→3

ลมิ ิตของฟังกช์ นั

ตวั อย่างท่ี 7 ให้หาค่าของ +

→− +

วิธที า กาหนด f x = 5+x = 5 + x และ q x =5+x
5+x ,p x

เมือ่ แทน x ด้วย −5 จะได้ p −5 = 5 + −5 = 0 และ q −5 = 5 + −5 = 0 ทาให้ f −5 หาคา่ ไมไ่ ด้

สงั เกตว่า เม่ือนา f x มาจดั รปู ใหม่ จะไดว้ ่า 5+x 5+x 1 เม่ือ 5+x≠0
5+x = 5+x 2 =
5+x

ดงั นนั้ lim 5+x = lim 1 ซ่ึงหาคา่ ไมไ่ ด้
x→−5 5+x 5+x
x→−5 จากตัวอย่างที่ 6 และ 7 จะเห็นวา่ ถา้ f a หาคา่ ไมไ่ ด้
แล้ว lim f x อาจจะหาค่าไดห้ รอื หาคา่ ไม่ได้
นั่นคอื lim 5+x หาค่าไมไ่ ด้
5+x x→a
x→−5
เราตอ้ งนาฟงั กช์ นั ตรรกยะมาจดั รปู เพื่อพจิ ารณาลมิ ิต

ลมิ ิตของฟังก์ชัน

นักเรียนทราบหรอื ไม่ว่า
ฟังก์ชนั ทีเ่ ราไดศ้ ึกษามาแล้วมีเซตของโดเมนเป็นอย่างไร

ถา้ นกั เรียนยังไมท่ ราบ ให้ลองพจิ ารณาจากฟงั ก์ชนั ต่อไปนี้

กาหนด f x = 4x − 3 นักเรียนคิดว่า ฟงั กช์ นั ทง้ั สาม
มเี ซตของโดเมนเหมอื นหรือ
g x = x2 + 2x + 1
แตกตา่ งกนั อย่างไร ?
h x = 2 − 3x เมือ่ x < 1
x3 เม่ือ x ≥ 1

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

จำก f x = 4x − 3 และg x = x2 + 2x + 1 จะเหน็ ว่ำ มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนจรงิ เพียงเซต

เดยี ว 2 − 3x เม่ือ x < 1 จะเหน็ ว่ำ โดเมนถกู แบง่ ออกเป็นสองชว่ ง คอื x < 1 และ x ≥ 1
แตจ่ ำก h x = x3 เม่ือ x ≥ 1

เรำเรยี กฟังกช์ นั h ว่ำ ฟังกช์ ันแบง่ สว่ น (piecewise function)

ตวั อยำ่ งตอ่ ไป เรำจะมำศกึ ษำขน้ั ตอน
กำรหำลมิ ิตของฟังกช์ นั แบง่ สว่ น
ไปพรอ้ มๆ กนั นะคะ

ลมิ ิตของฟงั ก์ชัน

ตัวอยา่ งที่ 8 กาหนด f x = x2 − 4 เมือ่ x < 2 3) lim f x
5 − 2x เม่ือ x > 2
ใหห้ าคา่ ของ x→2
2) lim f x
1) xl→im2−f x
x→2+

วิธีทา 1) เนื่องจาก f x = x2 − 4 เมอ่ื x < 2

จะได้ lim f x = lim x2 − 4

x→2− x→2−

= 22 − 4

=0

ลิมติ ของฟังก์ชนั

ตวั อยา่ งที่ 8 กาหนด f x = x2 − 4 เมอ่ื x < 2 3) lim f x
5 − 2x เมอื่ x > 2
ใหห้ าค่าของ x→2
2) lim f x
1) xl→im2−f x
x→2+

วธิ ีทา 2) เนื่องจาก f x = 5 − 2x เม่ือ x > 2

จะได้ lim f x = lim 5 − 2x

x→2+ x→2+

= 5−2 2

=1

ลมิ ติ ของฟงั กช์ นั

ตวั อยา่ งท่ี 8 กาหนด f x = x2 − 4 เมอื่ x < 2 3) lim f x
5 − 2x เมื่อ x > 2
ให้หาคา่ ของ x→2
2) lim f x
1) xl→im2−f x
x→2+

วิธที า 3) เนือ่ งจาก lim f x ≠ lim f x

x→2− x→2+

จะได้ lim f x หาค่าไมไ่ ด้
x→2

ความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั

ในหัวข้อตอ่ ไป นกั เรียนจะได้ศกึ ษาเกยี่ วกับ
ความต่อเนือ่ งของฟงั กช์ ัน ดังน้ี

ความตอ่ เนื่องของฟังก์ชันแบง่ ได้ 2 กรณี คือ
ความต่อเนื่องทจี่ ดุ และความต่อเนือ่ งบนชว่ ง

จากที่เราเคยศึกษาฟังก์ชนั ณ จุดใดจุดหนึ่งมาแล้ว
ในหวั ขอ้ นี้ เราจะเริม่ ต้นศึกษาความตอ่ เนื่องทีจ่ ดุ กนั ก่อน

ถา้ พรอ้ มแล้วไปกันเลยครับ

ความต่อเนื่องของฟังก์ชนั

Y จากกราฟ y = f(x) ท่ี x = 1 จะเหน็ ว่า

1. f(1) = 1

2. lim f x = lim f x = 1
x→1− x→1+
y = f(x)
ดงั นนั้ lim f x = 1
x→1

3. lim f x = f 1

x→1

− − − − X จากข้อ 1. − 3. เราเรียก f วา่ เป็นฟังก์ชนั ตอ่ เนื่องท่ี x = 1
−
ดังบทนิยามตอ่ ไปนี้

บทนยิ าม

กาหนด f เปน็ ฟังกช์ ันท่นี ยิ ามบนช่วง (a, b) และ c ∈ (a, b) จะกล่าวว่า f เป็นฟงั ก์ชันตอ่ เนอื่ งท่ี x = c ก็ตอ่ เมื่อ
1. f(c) หาคา่ ได้

2. lim f x หาค่าได้
x→c
3.
lim f x = f(c)
x→c

ความตอ่ เนอ่ื งของฟงั กช์ นั

จากกราฟ จะเหน็ ว่า กราฟมชี อ่ งว่างที่ x = 0 ดังนั้น ถ้าฟังก์ชัน f ไมส่ อดคลอ้ งกับบทนิยามข้อใดขอ้ หนงึ่
ทาใหไ้ ดว้ ่า f(0) หาคา่ ไมไ่ ด้ แลว้ f เป็นฟังกช์ นั ไม่ตอ่ เนอ่ื งท่ี x = c เชน่
ดังนั้น f เปน็ ฟังกช์ ันไมต่ ่อเนอื่ งที่ x = 0
Y

Y

y = f(x)

y = f(x) X

− − − − −
−






− − − X
−
จากกราฟ จะเห็นวา่ กราฟของฟงั ก์ชัน f มีชอ่ งว่างทจี่ ดุ −1, 2
ดังนนั้ f เปน็ ฟังก์ชนั ไมต่ ่อเนอ่ื งท่ี x = −1

ความต่อเน่ืองของฟงั ก์ชัน จากกราฟ f x = x2 + 2 บนช่วง [−3, 3] จะเหน็ ว่า
1. เน่อื งจากโดเมนของ f(x) = x2 + 2 อยบู่ นช่วง [−3, 3]
ตอ่ ไปเราจะศึกษาความต่อเนือ่ ง และ −3, 3 ⊂ [−3, 3]
บนช่วงของฟังกช์ นั กันนะคะ จะได้วา่ ทกุ ๆ จุดของ x บนชว่ ง [−3, 3]
ทาให้ f(x) = x2 + 2 หาค่าได้
Y 2. เนื่องจาก f −3 = −3 2 + 2 = 11
และ lim f x = −3 2 + 2 = 11
f = +
x→−3+
X
จะได้วา่ f −3 = lim f x = 11
x→−3+

3. เนอื่ งจาก f(3) = 32 + 2 = 11
และ lim f x = 32 + 2 = 11

x→3−

จะไดว้ า่ f(3) = lim f x = 11
x→3−
− − − − − −
จากขอ้ 1. − 3. เราเรียก f ว่าเปน็ ฟังก์ชันต่อเน่ืองบนชว่ ง [−3, 3]
ดงั บทนิยามตอ่ ไปน้ี

ความต่อเนือ่ งของฟังกช์ ัน

บทนยิ าม

1. ฟงั กช์ ัน f เป็นฟังก์ชันต่อเนือ่ งบนช่วง (a, b) กต็ อ่ เมื่อ f ตอ่ เนอ่ื งทุกๆ จุดในช่วง (a, b)
2. ฟงั กช์ ัน f เป็นฟงั ก์ชันต่อเนอื่ งบนช่วง [a, b) ก็ตอ่ เมื่อ

1) f เปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องทุกๆ จดุ ในช่วง (a, b)

2) lim f(x) = f(a) เพือ่ ใหน้ กั เรยี นเข้าใจบทนยิ ามของ
ความต่อเนือ่ งบนช่วงมากข้ึน
x→a+
เราไปศึกษาตัวอย่างพร้อมๆ กันคะ่
3. ฟังก์ชนั f เป็นฟงั กช์ ันต่อเนือ่ งบนช่วง (a, b] กต็ ่อเมอ่ื
1) f เป็นฟงั กช์ นั ต่อเนอ่ื งทกุ ๆ จุดในชว่ ง (a, b)

2) xl→imb− f(x) = f(b)

4. ฟงั กช์ นั f เปน็ ฟังกช์ ันตอ่ เน่ืองบนช่วง [a, b] ก็ต่อเมื่อ
1) f เป็นฟังก์ชันตอ่ เนือ่ งทกุ ๆ จุดในชว่ ง (a, b)

2) lim f(x) = f(a)

x→a+

3) lim f(x) = f(b)

x→b−

ความต่อเนอื่ งของฟงั ก์ชนั

ตัวอย่างท่ี 9 ใหแ้ สดงวา่ ( ) = − − เป็นฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนช่วง [− , ]

วธิ ที า เนือ่ งจากตอ้ งการแสดงวา่ f(x) = x − 16 − x2 เปน็ ฟงั ก์ชันต่อเน่ืองบนชว่ ง [−4, 4]
จึงต้องใช้บทนยิ ามของความต่อเนือ่ งบนชว่ งข้อ 4.
1) เน่อื งจาก Df = [−4, 4] เราจึงสามารถหาคา่ ของฟงั กช์ ัน f ได้ทกุ ค่าเมอ่ื x ∈ [−4, 4]
และ (−4, 4) ⊂ [−4, 4]

ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ ันต่อเนอื่ งบนชว่ ง (−4, 4)
2) ต้องแสดงวา่ lim f(x) = f(−4)

x→−4+

เน่อื งจาก f(−4) = −4 − 16 − −4 2 = −4

และ lim x− 16 − x2 = lim x − lim 16 − lim x2 = −4
x→−4+ x→−4+
x→−4+ x→−4+

จะได้ lim x − 16 − x2 = f(−4)
x→−4+

ดงั น้นั f เปน็ ฟงั ก์ชนั ต่อเน่อื งทางขวาของ x = −4

ความต่อเนือ่ งของฟงั กช์ นั

ตวั อย่างที่ 9 ใหแ้ สดงวา่ ( ) = − − เป็ นฟังกช์ ันต่อเนื่องบนช่วง [− , ]

วธิ ีทา เน่ืองจำกตอ้ งกำรแสดงว่ำ f(x) = x − 16 − x2 เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง [−4, 4]

จงึ ตอ้ งใชบ้ ทนิยำมของควำมตอ่ เน่ืองบนชว่ งขอ้ 4.

3) ตอ้ งแสดงวำ่ lim f(x) = f(4)
x→4−

เน่ืองจำก f(4) = 4 − 16 − 42 = 4

และ lim x − 16 − x2 = lim x − lim 16 − lim x2 = 4
x→4− x→4− x→4− x→4−

จะได้ lim x − 16 − x2 = f 4
x→4−

ดงั นน้ั f เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองทำงซำ้ ยของ x = 4

จำกขอ้ 1), 2) และ 3) สรุปไดว้ ำ่ f x = x − 16 − x2 เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง −4, 4

ความชนั ของเสน้ โคง้

จำกท่ีนกั เรยี นเคยศกึ ษำเรอ่ื งควำมสมั พนั ธร์ ะหว่ำง
เสน้ สมั ผสั ของวงกลมกบั รศั มีของวงกลมมำแลว้

ถำ้ นกั เรยี นตอ้ งกำรหำเสน้ สมั ผสั ของวงกลม
ซง่ึ มีเพียง 1 เสน้ ณ จดุ สมั ผสั ใดๆ

นกั เรยี นคิดว่ำ จะนำควำมรูเ้ ก่ียวกบั ลิมิต
มำชว่ ยในกำรหำควำมชนั ของเสน้ สมั ผสั ณ จดุ ๆ นน้ั อยำ่ งไร ?

ความชันของเส้นโค้ง

กาหนด C เป็นเส้นโค้ง ซึ่งกาหนดโดยสมการ y = f(x) ทจี่ ดุ P(a, f(a)) และจุด Q(a + h, f(a + h))
โดยท่ี h ≠ 0 เปน็ จุดบนเสน้ โค้ง ดังรปู

ความชันของเส้นโค้ง

ถา้ เลื่อนจุด Q เขา้ ใกลจ้ ดุ P มากย่งิ ขนึ้ จนจดุ Q เกือบทบั จดุ P ดังรปู

Y ถ้าลิมิตของ f a+h −f a เมอ่ื h เข้าใกล้ 0 หาคา่ ได้
C h

y = f(x) แล้วเรียก lim f a+h −f a ว่า

Q h→0

h

ความชันของเส้นสัมผสั เส้นโค้ง ณ จดุ P

P X
0
ดังนัน้ ความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จดุ P คือ
ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เส้นโคง้ ณ จดุ P

ความชนั ของเส้นโคง้

เพ่อื ให้นกั เรียนเข้าใจการนาความรูเ้ ก่ยี วกบั ลมิ ิตมาช่วยในการหาความชนั
ของเสน้ โคง้ ณ จดุ ใดจดุ หนึง่ มากย่งิ ขึ้น เราไปศกึ ษาตวั อยา่ งตอ่ ไปนีก้ ันนะคะ

ตัวอยา่ งท่ี 10 ใหห้ าความชนั ของเสน้ โค้ง = ทจ่ี ดุ ( , ) และหาสมการของเส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ทจี่ ดุ ( , )

วธิ ที า กาหนด f x = x2 จะได้ความชันของเสน้ โคง้ ทจี่ ดุ (2, 4) คือ Y

lim f2+h −f2 = lim (2 + h)2 − 22 y =

h→0 h h→0 h ,
X
= lim 4 + 4h + h2 − 4

h→0 h

= lim 4h + h2

h→0 h
− − − − −
= lim h 4+h

h→0 h

= lim 4 + h

h→0

=4

ความชนั ของเสน้ โค้ง

ตัวอย่างที่ 10 ใหห้ าความชันของเสน้ โค้ง = ทจี่ ุด ( , ) และหาสมการของเส้นสัมผัสเสน้ โค้งทจ่ี ุด ( , )

วิธีทา ดงั นนั้ สมกำรของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ทีจ่ ดุ (2, 4) คอื Y

y − y1 = m x − x1 y =
y−4 = 4 x−2 ,
y − 4 = 4x − 8

y = 4x − 4

X




− − − − −

อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั

นอกจากการนาความรูเ้ กยี่ วกบั ลมิ ติ มาช่วยหาความชันของเส้นโค้งแลว้
เรายงั นาไปหาอัตราการเปลย่ี นแปลงได้อกี ดว้ ย

กาหนด y = f(x) เป็นฟังก์ชัน และ a อยใู่ นโดเมนของฟงั กช์ นั f จะได้ว่า

อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉล่ียของ เทยี บกบั เมื่อคา่ ของ x เปลีย่ นจาก a เป็น a + h คือ f a + h − f a
h

อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ เทยี บกบั ขณะที่ x = a คอื lim f a+h −f a
h
h→0

เราเรยี ก lim f x+h −f x (ถ้าลิมิตหาค่าได้) ว่า อนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั f ที่ x
h→0 h

ซงึ่ เขียนในรปู สญั ลกั ษณไ์ ด้เปน็ dy หรือ d f x หรอื y′
dx dx

อนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน

ตอ่ ไป เราลองไปดตู ัวอย่างการหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชันกันนะคะ

ตัวอย่างที่ 11 กาหนด = − ใหห้ า ′(x)

วธิ ีทา f ′(x) = lim f x+h − f x

h→0 h

= lim x + h 2 − 1 − x2 − 1

h→0 h

= lim x2 + 2xh + h2 − 1 − x2 − 1

h→0 h

= lim 2xh + h2

h→0 h

= lim 2x + h

h→0

= 2x

อนุพันธข์ องฟังกช์ ัน

จากตัวอยา่ งทผ่ี า่ นมา เปน็ การหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั f ท่ี x ใดๆ
ต่อไปเราจะมาดตู วั อย่างการหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ัน f ขณะท่ี x = a

ตวั อย่างที่ 12 กาหนด ( ) = − ใหห้ า ′(4)

วธิ ที า f′ 4 = lim f 4+h − f 4

h→0 h

= lim 4+h −3− 4−3

h→0 h

= lim 1+h−1 1+h+1
∙
h→0 h 1+h+1

1+h −1
= lim

h→0 h 1 + h + 1

h
= lim

h→0 h 1 + h + 1

= lim 11
1+h+1 = 2
h→0

อนุพันธข์ องฟงั กช์ ัน

ตัวอย่างที่ 13 การสบู ลมเข้าลูกโป่งทรงกลม เราคานวณปรมิ าตรของลูกโป่งทรงกลม ( ) ได้จากสูตร ( ) = โดยที่

เปน็ ความยาวรัศมขี องลกู โปง่ ทรงกลมมีหนว่ ยเป็นเซนติเมตร และกาหนด ≈ . อยากทราบว่า

อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปรมิ าตรของลกู โป่งทรงกลมเทยี บกบั ความยาวรัศมเี ท่ากบั เท่าไร เมอ่ื รศั มยี าว 30 เซนตเิ มตร

วิธที า อัตราการเปลี่ยนแปลงของปรมิ าตรของลกู โป่งทรงกลมเทียบกับความยาวรัศมี เมื่อรศั มยี าว 30 เซนติเมตร

S 30 + h − S 30 4 π 30 + h 3 − 4 π 30 3
3 3
คอื lim = lim h
h
h→0 h→0

= lim 4 π 27,000 + 2,700h + 90h2 + h3 − 4 π 27,000
3 h 3
h→0

= 4 2,700h + 90h2 + h3
π lim
3 h
h→0

= 4 π lim 2,700 + 90h + h2

3 h→0

อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั

ตวั อยา่ งที่ 13 การสูบลมเขา้ ลกู โป่งทรงกลม เราคานวณปริมาตรของลกู โปง่ ทรงกลม ( ) ไดจ้ ากสูตร ( ) = โดยที่

เปน็ ความยาวรัศมีของลกู โป่งทรงกลมมหี นว่ ยเป็นเซนติเมตร และกาหนด ≈ . อยากทราบวา่

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของลกู โปง่ ทรงกลมเทยี บกบั ความยาวรัศมีเท่ากบั เท่าไร เมื่อรศั มยี าว 30 เซนตเิ มตร

วธิ ที า อัตราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของลูกโป่งทรงกลมเทยี บกบั ความยาวรัศมี เม่อื รศั มยี าว 30 เซนตเิ มตร

คอื S 30 + h − S 30 4
lim = 3 π 2,700
h
h→0

4
≈ 3 3.14 2,700

= 11,304

ดังนั้น อัตราการเปลย่ี นแปลงของปรมิ าตรของลูกโป่งทรงกลมเทียบกบั ความยาวรศั มี เมือ่ รัศมียาว 30 เซนติเมตร
ประมาณ 11,304 ลูกบาศก์เซนตเิ มตร/เซนติเมตร

อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ ัน

จากการหาอนพุ ันธ์โดยการใช้ลิมิตเขา้ มาช่วย
อาจจะไมส่ ะดวกสาหรับฟงั ก์ชนั ท่ซี บั ซอ้ น

นกั คณิตศาสตร์จึงสรา้ งสูตรการหาอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั ขนึ้ มา
เพ่อื ทาใหก้ ารหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั ที่ซับซอ้ นง่ายย่ิงขึ้น

เราลองมาดสู ตู รการหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั
แตล่ ะสตู รไปพรอ้ ม ๆ กันนะคะ

อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

สตู รที่ 1 ถำ้ f(x) = c เม่ือ c เป็นคำ่ คงตวั แลว้ f ′(x) = 0

เชน่ กำหนด f(x) = 4 จะได้ f ′(x) = 0

สูตรท่ี 2 ถำ้ f(x) = x แลว้ f ′(x) = 1
สตู รท่ี 3 ถำ้ f(x) = xn เม่ือ n เป็นจำนวนจรงิ แลว้ f ′(x) = nxn − 1

เชน่ กำหนด f(x) = x5 กำหนด f(x) = 1
จะได้ f ′(x) = 5x5 − 1
x = x2
= 5x4
จะได้ 1 − 1

f ′(x) = x2

2

x−21 1
= 2 =2 x

อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั

เชน่ กาหนด f(x) = 7x3 สตู รที่ 4 ถา้ ฟงั กช์ ัน f มีอนุพนั ธ์ท่ี x และ c เปน็ ค่าคงตวั
d แลว้ cf มอี นพุ นั ธ์ท่ี x และ (cf)′(x) = cf ′(x)
7 dx
จะได้ f ′(x) = x3

= 7 3x2

= 21x2

สตู รท่ี 5 ถา้ ฟังกช์ นั f และ g มีอนุพันธท์ ี่ x แลว้ ฟังก์ชนั f + g มีอนุพันธท์ ี่ x
และ (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

สตู รที่ 6 ถา้ ฟังก์ชนั f และ g มอี นุพันธท์ ่ี x แล้วฟังก์ชัน f − g มอี นุพันธท์ ี่ x
และ f − g ′ x = f ′ x − g′(x)

เชน่ กาหนด f(x) = 4x2 − 2x + 1
d d d
จะได้ f ′(x) = 4 dx x2 − 2 dx x + dx 1

= 8x − 2

อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั

สูตรที่ 7 ถำ้ ฟังกช์ นั f และ g มีอนพุ นั ธท์ ่ี x แลว้ ฟังกช์ นั fg มีอนพุ นั ธท์ ่ี x
และ fg ′ x = f x ∙ g′ x + g x ∙ f ′ x

เชน่ กำหนด f(x) = x x2 + 6

จะได้ f ′(x) = d x2 + 6 + x2 + 6 d x
x dx dx

= x 2x + x2 + 6 1

= 2x2 + x2 + 6

= 3x2 + 6