แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6

อนพุ ันธ์ของฟงั กช์ ัน

สตู รที่ 8 ถ้าฟังก์ชนั f และ g มีอนุพันธท์ ี่ x และ g(x) ≠ 0 แลว้ ฟงั ก์ชนั f มีอนุพนั ธท์ ี่ x
f′ g
g g x ∙ f′ x − f(x) ∙ g′(x)
และ x=
gx 2

เชน่ กาหนด f(x) = x3 − 2x + 5

จะได้ f ′(x) = d x d
dx dx
= x x3 − 2x + 5 − x3 − 2x + 5 x
=
= x2
= x 3x2 − 2 − x3 − 2x + 5 1

x2
3x3 − 2x − x3 + 2x − 5

x2
2x3 − 5

x2
5

2x − x2

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั

จากท่ีเราไดศ้ ึกษาสตู รการหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชัน
นกั เรียนคิดว่า เราสามารถนาเรอื่ งอนุพันธ์

มาชว่ ยหาความชันของเสน้ สมั ผัสเสน้ โคง้ ได้หรือไม่ ?

จากสูตรการหาความชันของเส้นสัมผสั เสน้ โคง้ y = f(x)

ณ จุด P(a, f(a)) คอื f a+h −f a
lim h

h→0
นักเรยี นสังเกตหรอื ไม่ว่าเปน็ สตู รเดยี วกันกบั

การหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชัน f ขณะท่ี x = a

แสดงวา่ เราสามารถนาสูตรการหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั
มาชว่ ยในการหาความชนั ของเส้นสัมผสั เสน้ โค้งได้เช่นกนั

อนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั

ตวั อย่างท่ี 14 กาหนดเสน้ โคง้ = ( − ) ใหห้ าจุดบนเสน้ โค้งทที่ าให้เส้นสมั ผสั เสน้ โคง้ ทีจ่ ุดน้ันขนานกบั แกน

วธิ ที า กาหนดจุด (x, y) เปน็ จดุ บนเสน้ โคง้ ที่ทาใหเ้ ส้นสมั ผัสเส้นโค้งขนานกับแกน X

จะได้ ความชันของเสน้ สมั ผัสเส้นโคง้ คือ dy = d x x2 − 5 Y = ( − )
dx dx

= 5x x 5
2 −2 x

เนื่องจากเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ ต้องขนานกับแกน X X
− −
จะไดว้ ่า เสน้ สัมผสั เส้นโค้งจะมีความชันเท่ากับ 0 −
−
−
−
−

อนุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

ตัวอย่างที่ 14 กาหนดเสน้ โคง้ = ( − ) ให้หาจดุ บนเส้นโคง้ ท่ที าใหเ้ สน้ สัมผัสเส้นโคง้ ทีจ่ ดุ น้ันขนานกบั แกน

ดงั นน้ั dy
dx = 0

5x x 5 =0 Y = ( − )
−
2 2x

5x2 − 5
2x =0


5(x2 − 1) − − X
2x =0 −

x = −1, 1 −

เนอื่ งจาก x = −1 ทาให้ y = x x2 − 5 หาคา่ ไมไ่ ด้ −

แตเ่ มอื่ แทน x = 1 จะได้ y = −4 −

, −

−

ดังนั้น จดุ (1, −4) เป็นจดุ บนเสน้ โคง้ ที่ทาให้เส้นสัมผัสเสน้ โคง้ ขนานกับแกน X

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบ

จำกท่ไี ดศ้ กึ ษำกำรหำอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั
เรำหำอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั เพียงหนง่ึ ฟังกช์ นั เทำ่ นนั้

ตอ่ ไปเรำจะศกึ ษำกำรหำอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั
สองฟังกช์ นั ซง่ึ เป็นฟังกช์ นั ประกอบกนั บำ้ ง

โดยเรำจะหำอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบ
โดยใชก้ ฎท่ีสำคญั เรยี กวำ่ กฎลกู โซ่

อนพุ ันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

ตวั อย่างท่ี 15 กาหนด = + และ ( ) = ให้หา


วิธที า dy d 2u2 + 1 = 4u และ du d x2 = 2x
du = du dx = dx

dy dy du
dx = du ∙ dx

= 4u 2x จากฟังกช์ ันทีก่ าหนด จะเห็นวา่ ฟงั ก์ชัน y อยู่ในรปู ตัวแปร u
= 4 x2 2x และฟังกช์ ัน u อยู่ในรปู ตัวแปร x
= 8x3
จะไดว้ ่า y เป็นฟังก์ชนั ที่มอี นพุ นั ธ์เทียบกบั u
และ u เปน็ ฟงั ก์ชนั ท่ีมีอนุพนั ธ์เทียบกบั x ดงั นี้

สง่ิ ท่ีโจทยต์ ้องการ คอื dy เราจงึ ใช้กฎลกู โซใ่ นการหาคาตอบ ดงั นี้
dx

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ประกอบ

จากขน้ั ตอนการหาอนุพนั ธ์ของฟงั ก์ชนั ประกอบข้างตน้
สอดคลอ้ งกับสตู รที่ 9 ของการหาอนุพันธข์ องฟังก์ชนั คอื

สูตรที่ 9 ถ้าฟังกช์ ัน f มีอนพุ นั ธท์ ี่ x และ g มีอนุพันธท์ ่ี f(x)
แล้วฟงั ก์ชนั g∘f มอี นุพันธ์ท่ี x
และ g∘f ′ x = g′ f x ∙ f ′ x

นอกจากน้ี เรายังมีฟังก์ชนั บางฟังก์ชัน
ทสี่ ามารถนากฎลูกโซ่เข้ามาชว่ ยในการหาคาตอบได้

ดังตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

อนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั ประกอบ

ตัวอยา่ งที่ 16 กาหนด ( ) = ( − + ) ใหห้ า ′( )

วิธีทา จาก F(x) = (x3 − 5x + 2)14 เขียน F(x) ใหอ้ ย่ใู นรูปฟงั กช์ นั ประกอบได้ ดังนี้
กาหนด f(x) = x3 − 5x + 2 และ g(x) = x14
จะได้ F(x) = (g∘f)(x), f ′ x = 3x2 − 5 และ g′ x = 14x13
โดยกฎลูกโซ่ จะได้ F′ x = g′ f x ∙ f ′ x

= 14(x3 − 5x + 2)13(3x2 − 5)

ดงั น้นั F′ x = 14 3x2 − 5 (x3 − 5x + 2)13

จากการศกึ ษาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั
โดยอนพุ นั ธเ์ หล่านนั้ เป็นการหาอนุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ี 1
แต่นกั เรียนทราบหรือไมว่ า่ เราสามารถหาอนุพันธอ์ นั ดบั ท่ี 2

อนั ดับท่ี 3 หรอื อันดบั อ่นื ๆ ได้

อนุพนั ธอ์ นั ดบั สงู

ซึง่ การหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชันสามารถหาไดเ้ รอ่ื ย ๆ
เม่อื อนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันเปน็ ฟงั กช์ ันตอ่ เนื่องทุก ๆ จดุ

เราเรยี กอนุพันธเ์ หลา่ น้ีว่า อนพุ ันธอ์ ันดบั สงู

เชน่ ใหห้ าอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ี 4 ของ f(x) = x4 − 3x3 + x2 − 4x + 1
จาก f(x) = x4 − 3x3 + x2 − 4x + 1
จะได้ f ′(x) = 4x3 − 9x2 + 2x − 4

f ′′(x) = 12x2 − 18x + 2
f ′′′(x) = 24x − 18
f 4 (x) = 24

อนุพนั ธอ์ นั ดบั สูง

นกั เรียนจาได้ไหมวา่ เรือ่ ง การเคล่ือนทข่ี องวัตถุ
เก่ียวข้องกบั ระยะทาง ความเรว็ และความเรง่
ท่ีมคี วามสัมพันธ์จากการหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั

ซ่ึงความเรว็ ไดจ้ ากการหาอนุพนั ธ์ของระยะทาง
และความเรง่ ได้จากการหาอนุพนั ธ์ของความเรว็

สามารถเขียนในรปู สัญลกั ษณ์ได้ ดังน้ี

ถา้ ระยะทาง (s) เป็นฟงั กช์ ันท่สี มั พนั ธก์ บั เวลา (t) แลว้
ds
อนุพันธอ์ ันดับท่ี 1 คือ dt หรอื s′ t แทนความเรว็ (v)

อนพุ ันธอ์ นั ดับที่ 2 คือ dd2t2sหรอื s′′ t แทนความเรง่ (a) dv
หรอื อาจใชอ้ นพุ นั ธอ์ ันดับท่ี 1 ของความเร็วแทนความเร่ง (a) คือ dt

อนพุ นั ธ์อันดบั สูง

ตวั อย่างท่ี 17 มขุ ปล่อยวัตถุจากท่สี งู ลงสูพ่ ้นื ดนิ วตั ถุเคลื่อนทีไ่ ด้ระยะทาง ( ) = เมตร ในเวลา t วนิ าที ใหห้ า

1) ระยะทางที่วตั ถุเคล่อื นทีไ่ ด้หลงั จากปล่อยวตั ถุไป 2 วินาที

2) ความเร็วในการเคลือ่ นที่ของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ

3) ความเรง่ ในการเคล่อื นทข่ี องวตั ถุขณะเวลา t ใดๆ

4) ความเร่งในการเคล่ือนทข่ี องวตั ถขุ ณะเวลา t = 4 วนิ าที

วธิ ที า 1) จาก s(t) = 5t2

จะได้ s(2) = 5(2)2 = 20 เมตร

ดงั นน้ั ระยะทางท่ีวัตถุเคล่ือนท่ไี ด้หลังจากปล่อยวตั ถไุ ป 2 วินาที เทา่ กบั 20 เมตร

2) จาก ds
v = dt

จะได้ v = d 5t2 = 10t เมตร/วนิ าที
dt

ดงั น้ัน ความเรว็ ในการเคลื่อนท่ขี องวตั ถุขณะเวลา t ใดๆ เทา่ กับ 10t เมตร/วินาที

3) จาก dv
a = dt

จะได้ a d = 10 เมตร/วนิ าที2
= dt 10t

ดงั น้นั ความเร่งในการเคลอื่ นทีข่ องวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ เท่ากับ 10 เมตร/วินาที2

4) ความเร่งในการเคล่ือนที่ของวตั ถุขณะเวลา t = 4 วนิ าที เทา่ กับ 10 เมตร/วินาที2

การประยกุ ตข์ องอนพุ ันธ์

นอกจากการนาอนพุ ันธไ์ ปประยกุ ตก์ ับการเคล่อื นที่ของวตั ถุ
แล้วยงั สามารถนามาประยกุ ตก์ บั ฟงั ก์ชนั เพื่อพจิ ารณา
องค์ประกอบตา่ งๆ ของฟงั ก์ชันได้อกี ดว้ ย

นกั เรียนสงสยั ใชไ่ หมคะว่า จะนาเรื่องอนุพันธ์
มาประยกุ ตอ์ ยา่ งไร เราไปศึกษาพร้อมๆ กนั เลยคะ่

การประยุกตข์ องอนุพันธ์ Y

การประยกุ ตเ์ ร่อื งแรก คือ = ( )
การหาฟังก์ชันเพ่ิมและฟงั ก์ชันลด
ให้นกั เรยี นพิจารณากราฟต่อไปนี้ X
นักเรยี นคดิ วา่ ฟงั กช์ ัน = ( ) ชว่ งใด
เป็นฟังกช์ นั เพิม่ และชว่ งใดเป็นฟังกช์ นั ลด ?

การประยกุ ตข์ องอนพุ ันธ์

จากกราฟ จะเห็นวา่ กราฟของฟังก์ชัน y = f(x) มีทง้ั ช่วงทคี่ า่ ของ
x และ y มคี วามสมั พนั ธ์ในทิศทางเดียวกนั และทิศทางตรงข้ามกนั
ซึง่ ชว่ งท่ีค่าของ x และ y มีความสมั พนั ธใ์ นทศิ ทางเดยี วกัน

เราเรียกว่า f เป็นฟังก์ชนั เพ่ิม ดังรปู
และชว่ งทค่ี า่ ของ x และ y มีความสัมพันธใ์ นทิศทางตรงขา้ มกนั

เราเรยี กว่า f เปน็ ฟังกช์ ันลด ดังรูป

Y

y = f(x)

ฟังกช์ ันเพิม่ 0 ฟงั กช์ นั เพ่มิ X
ฟังก์ชนั ลด
ฟังก์ชันลด

การประยุกต์ของอนุพันธ์

จากท่กี ลา่ วมา
สอดคล้องกับบทนิยามท่นี กั คณิตศาสตร์สรา้ งไว้ ดังนี้

บทนยิ าม

กาหนด f เปน็ ฟังกช์ นั ทีม่ ีโดเมนและเรนจเ์ ปน็ สบั เซตของเซตของจานวนจริง และ A เปน็ สบั เซตของโดเมน
1. f เป็นฟงั กช์ ันเพิม่ ใน A ก็ต่อเมอื่ สาหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A
ถา้ x1 < x2 แล้ว f(x1) < f(x2)
2. f เป็นฟังกช์ ันลดใน A กต็ อ่ เม่อื สาหรับ x1 และ x2 ใดๆ ใน A
ถ้า x1 < x2 แลว้ f(x1) > f(x2)

การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์

และยังมีอกี หน่ึงวธิ ใี นการหาช่วงของฟังกช์ นั เพ่ิม
และฟังก์ชนั ลด คือ การหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั
ณ จุด x ใดๆ ในช่วงนั้นๆ ดงั ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎีบท 7
กาหนด f เป็นฟงั กช์ ันทห่ี าอนพุ นั ธไ์ ด้บนช่วง A ⊂ Df

1. ถ้า f ′ x < 0 สาหรบั ทุก x ในชว่ ง A แล้ว f เป็นฟงั กช์ ันลดบนช่วง A
2. ถ้า f ′ x > 0 สาหรับทุก x ในช่วง A แลว้ f เปน็ ฟงั กช์ นั เพ่มิ บนชว่ ง A

การประยุกต์ของอนุพนั ธ์

ตอ่ ไปเราจะมาศึกษาตวั อย่างการหาฟงั กช์ นั เพิม่
และฟงั กช์ ันลดกันนะคะ

ตัวอยา่ งท่ี 18 กาหนด ( ) = − ใหห้ าช่วงที่ เปน็ ฟังกช์ นั เพิ่มและ เป็นฟังกช์ ันลด

วิธที า จาก f(x) = 6x − 2x3 Y

จะได้ f ′(x) = 6 − 6x2

= 6 1 − x2

= 6 1−x 1+x ( ) = −

เมือ่ นา f ′(x) มาพิจารณาบนเส้นจานวน จะไดว้ า่
− − − − −
f ′(x) < 0 f ′(x) > 0 f ′(x) < 0 − X
−
x < −1 −1 −1 < x < 1 1 x > 1 −

ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันลดบนชว่ ง (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

f เป็นฟังกช์ ันเพมิ่ บนชว่ ง (−1, 1) −
−

−

การประยกุ ตข์ องอนุพันธ์ Y

กำรประยกุ ตเ์ ร่อื งถดั ไป คอื
กำรหำคำ่ สงู สดุ สมั พทั ธแ์ ละต่ำสดุ สมั พทั ธ์

จำกตวั อยำ่ งท่ผี ่ำนมำ จะเหน็ ว่ำ กรำฟของ f(x) = 6x − 2x3
ตดั แกน X ท่จี ดุ − 3, 0 จดุ 0, 0 และจดุ 3, 0
นกั เรยี นคิดว่ำ จดุ สีแดงท่อี ยใู่ นบนชว่ ง − 3, 0

และบนชว่ ง 0, 3 เป็นจดุ สงู สดุ หรอื ต่ำสดุ บนชว่ งนน้ั ๆ − , ,

− − − − − ( ) = −
−
− , X
−
−
−

−

การประยกุ ตข์ องอนพุ ันธ์

Y

จากกราฟ f(x) = 6x − 2x3 บนชว่ ง (− 3, 0)
จะเหน็ วา่ จดุ สีแดง คอื จดุ (−1, −4) ซึง่ เปน็ จุดท่ีทาให้ฟังก์ชัน f

บนชว่ ง (− 3, 0) เปล่ียนจากฟังกช์ ันลดเปน็ ฟังก์ชันเพ่มิ
ดังน้นั จดุ (−1, −4) เป็นจุดตา่ สุด
( ) = −



, X Y

− , ,

− − − − −
−

− ,

−

− ( ) = −

− , −

−

− , X

จากกราฟ f(x) = 6x − 2x3 บนชว่ ง (0, 3) − , ,

− − − − −
−

จะเหน็ ว่า จดุ สีแดง คือ จุด (1, 4) ซึ่งเปน็ จุดทท่ี าให้ฟงั กช์ นั f −
บนช่วง (0, 3) เปล่ยี นจากฟังก์ชันเพม่ิ เปน็ ฟังกช์ นั ลด −
−

ดังนั้น จุด (1, 4) เปน็ จุดสงู สุด −
−

การประยุกต์ของอนพุ นั ธ์

คาตอบท่ไี ด้จากตัวอย่าง สอดคลอ้ งกบั บทนยิ ามต่อไปนี้

บทนิยาม
ฟังก์ชัน f มคี า่ สูงสดุ สมั พทั ธท์ ี่ x = c ถา้ มชี ่วง (a, b) ⊂ Df ซ่งึ c ∈ (a, b) และ f(c) ≥ f(x)

สาหรบั ทกุ x ในชว่ ง (a, b) เรยี ก f(c) ว่า ค่าสงู สดุ สัมพทั ธ์ของฟงั ก์ชัน f และจดุ สงู สดุ สัมพทั ธ์ คอื (c, f(c))
ฟงั กช์ ัน f มคี ่าต่าสุดสมั พทั ธท์ ี่ x = c ถ้ามชี ว่ ง (a, b) ⊂ Df ซ่ึง c ∈ (a, b) และ f(c) ≤ f(x)

สาหรับทุก x ในช่วง (a, b) เรยี ก f(c) วา่ คา่ ตา่ สุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั f และจุดต่าสดุ สัมพทั ธ์ คอื (c, f(c))

การประยกุ ตข์ องอนพุ นั ธ์ Y

นักเรยี นทราบมาแลว้ วา่ จุด (−1, −4) เปน็ จุดทที่ าใหฟ้ ังกช์ นั f บน ,
ชว่ ง (− 3, 0) เปล่ยี นจากฟังกช์ ันลดเป็นฟงั กช์ ันเพ่ิม ( ) = −

จะได้วา่ เมือ่ x ∈ (− 3, −1) ทาใหค้ วามชนั ของ , X
เสน้ สัมผสั เสน้ โคง้ เป็นจานวนลบ หรอื f ′ x < 0

และเม่ือ x ∈ (−1, 0) ทาให้ความชันของ
เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ เป็นจานวนบวก หรอื f ′ x > 0
− , ,
ดังนนั้ เม่ือ x = −1 ทาใหค้ วามชันของ
เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ เทา่ กับ 0 หรอื f ′ −1 = 0 − − − − −
−
−
−
−

− , −

−

−

การประยุกตข์ องอนพุ ันธ์ Y

และจากจุด (1, 4) เปน็ จดุ ทที่ าให้ฟงั ก์ชัน f บนชว่ ง (0, 3) ,
เปลี่ยนจากฟังกช์ ันเพ่มิ เปน็ ฟงั ก์ชันลด ( ) = −

จะได้วา่ เมอ่ื x ∈ (0, 1) ทาให้ความชันของ , X
เสน้ สัมผัสเสน้ โคง้ เป็นจานวนบวก หรือ f ′ x > 0

และเมือ่ x ∈ (1, 3) ทาให้ความชันของ
เส้นสมั ผัสเสน้ โคง้ เป็นจานวนลบ หรือ f ′ x < 0
− , ,
ดงั นน้ั เม่อื x = 1 ทาใหค้ วามชันของ
เส้นสมั ผัสเสน้ โค้งเท่ากบั 0 หรือ f ′ 1 = 0 − − − − −
−
−
−
−

− , −

−

−

การประยุกตข์ องอนุพันธ์

จากข้อสรุปท่ไี ด้นนั้ สอดคล้องกับทฤษฎีบทและบทนิยามต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 8
กาหนด f เป็นฟังกช์ นั ท่นี ิยามบนชว่ ง a, b ซึง่ c ∈ (a, b) ถ้า f(c) เป็นคา่ สงู สุดสมั พัทธ์หรอื ต่าสุดสัมพัทธข์ องฟงั กช์ นั f
และ f ′(c) หาคา่ ได้ แล้ว f ′(c) = 0
บทนิยาม

กาหนด f เปน็ ฟงั กช์ นั ทหี่ าอนพุ ันธ์ไดบ้ นช่วง a, b ค่าของ c ∈ a, b ซงึ่ ทาให้ f ′ c = 0
เรียก c ท่สี อดคล้องกบั สมการน้ีว่า คา่ วกิ ฤตของฟงั ก์ชนั f

การประยุกตข์ องอนพุ นั ธ์

นักเรียนคะ นอกจากค่าของอนุพนั ธอ์ นั ดับที่ 1 ของฟงั ก์ชนั f
จะสามารถบอกไดว้ ่า ฟังกช์ นั f ทจ่ี ดุ ใดให้ค่าสูงสุดสมั พทั ธ์

และตา่ สดุ สมั พัทธ์แล้ว

คา่ ของอนพุ นั ธ์อันดับที่ 2 ของฟังกช์ นั f กส็ ามารถบอกได้เช่นกนั ว่า
ฟงั กช์ นั f ทจ่ี ดุ ใดใหค้ า่ สูงสุดสัมพทั ธ์และต่าสุดสมั พัทธ์

ซ่ึงคา่ ของอนุพนั ธอ์ ันดบั ที่ 2 ของฟงั ก์ชนั f ก็คอื
ค่าของอนพุ ันธข์ องฟังกช์ ัน f ′ x

การประยุกต์ของอนุพนั ธ์

โดยค่าของอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่ 2 ของฟงั ก์ชัน f
สอดคล้องกับทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้

เราลองไปศึกษาตวั อยา่ งพรอ้ ม ๆ กันเลยคะ่

ทฤษฎีบท 10
กาหนด f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ืองบนชว่ ง A ใดๆ และ c เปน็ คา่ วิกฤตของฟงั ก์ชนั f ซง่ึ f ′(c) = 0
1. ถ้า f ′′(c) > 0 แลว้ f(c) เป็นคา่ ตา่ สุดสมั พัทธ์
2. ถ้า f ′′(c) < 0 แล้ว f(c) เปน็ ค่าสูงสดุ สมั พทั ธ์

การประยุกตข์ องอนุพนั ธ์

ตัวอย่างที่ 19 ให้หาค่าสูงสดุ สัมพัทธ์และตา่ สดุ สัมพทั ธข์ องฟังกช์ ัน เมื่อ ( ) = − +

วิธีทา จาก f(x) = x3 − 3x2 + 2 Y
จะได้ f ′(x) = 3x2 − 6x
( ) = − +
= 3x x − 2

เมือ่ f ′ x = 0 จะได้ 3x x − 2 = 0
,
x = 0, 2
ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตของฟงั ก์ชนั f คอื x = 0 และ x = 2
หาอนุพันธอ์ ันดบั ท่ี 2 ของฟงั กช์ ัน จะได้ f ′′ x = 6x − 6
เนื่องจาก f ′′ 0 = 6(0) − 6 = −6 ซ่งึ นอ้ ยกวา่ 0

f ′′ 2 = 6(2) − 6 = 6 ซง่ึ มากกวา่ 0 − − X
ดงั นน้ั f มคี ่าสูงสดุ สัมพทั ธ์ที่ x = 0 ซึ่ง f(0) = 03 − 3 0 2 + 2 = 2 −
− , −
f มคี ่าตา่ สดุ สัมพัทธ์ท่ี x = 2 ซึง่ f 2 = 23 − 3 2 2 + 2 = −2 −
−

การประยกุ ต์ของอนพุ นั ธ์

จากท่ีนกั เรยี นได้ศกึ ษา เรอื่ ง คา่ สูงสดุ สมั พัทธแ์ ละต่าสดุ สัมพทั ธ์
นักเรียนจะทราบว่า คา่ สงู สุดสมั พัทธแ์ ละตา่ สดุ สัมพทั ธ์มีไดห้ ลายค่า

แต่เม่อื เราต้องการจุดสงู สดุ และต่าสุดเพียงจดุ เดยี ว จุดเหลา่ น้นั
จะเรยี กวา่ จุดสูงสดุ สัมบูรณแ์ ละจดุ ตา่ สุดสมั บรู ณ์ ตามลาดับ

ดงั บทนยิ ามต่อไปนี้

บทนิยาม

ฟังก์ชนั f มคี ่าสูงสดุ สัมบูรณ์ ท่ี x = c เมือ่ f(c) ≥ f(x) สาหรับทกุ x ในโดเมนของฟงั กช์ นั f
ฟงั ก์ชัน f มคี ่าต่าสุดสมั บูรณ์ ท่ี x = c เมื่อ f(c) ≤ f(x) สาหรบั ทกุ x ในโดเมนของฟังกช์ นั f

การประยุกต์ของอนุพันธ์

ซ่ึงการหาค่าสงู สดุ สัมบูรณแ์ ละตา่ สดุ สัมบรู ณ์
เราจะพิจารณาบนชว่ ง [a, b] โดยมขี ั้นตอน ดังน้ี

เม่อื เราทราบขน้ั ตอนกนั แล้ว เราลองนาขัน้ ตอนเหลา่ นไี้ ปหา
ค่าสงู สดุ สมั บูรณแ์ ละต่าสดุ สัมบูรณ์ของฟงั ก์ชัน f
ในตวั อยา่ งตอ่ ไปกนั เลยคะ่

1. หาค่าวิกฤตในชว่ ง [a, b]
2. หาค่าของฟังก์ชัน ณ ค่าวิกฤตท่ไี ด้จากขอ้ 1.
3. หาค่าของ f(a) และ f(b)
4. เปรียบเทียบค่าท่ไี ด้จากขอ้ 2. และ 3.

• ค่าที่มากทส่ี ุดจากข้อ 2. และ 3. คือ คา่ สงู สดุ สมั บรู ณ์ของฟงั กช์ ัน f
• ค่าทีน่ ้อยที่สดุ จากขอ้ 2. และ 3. คอื ค่าต่าสดุ สัมบูรณ์ของฟังก์ชนั f

การประยกุ ต์ของอนุพนั ธ์

ตัวอย่างท่ี 20 ให้หาคา่ สงู สดุ สัมบูรณแ์ ละตา่ สดุ สมั บูรณข์ องฟงั ก์ชัน เมือ่ ( ) = − บนชว่ ง [− , ]

วิธีทา จาก f(x) = x3 − 6x

จะได้ f ′(x) = 3x2 − 6

= 3(x2 − 2)

= 3(x − 2)(x + 2)

เม่อื f ′(x) = 0 จะได้ 3(x − 2)(x + 2) = 0

x = − 2, 2

ดังน้นั คา่ วกิ ฤตของฟังกช์ นั f คอื x = − 2 และ x = 2

หาคา่ ของฟังก์ชันท่ีค่าวกิ ฤตและจุดปลายบนช่วง [−2, 2]

f − 2 = − 2 3 − 6 − 2 = 4 2 ≈ 5.66

f 2 = 2 3−6 2 = −4 2 ≈ −5.66

f(−2) = −2 3 − 6(−2) = 4

f(2) = 23 − 6(2) = −4

ดงั น้นั f มคี ่าสงู สุดสมั บูรณท์ ่ี x = − 2 ซง่ึ f − 2 ≈ 5.66

f มีค่าตา่ สุดสัมบูรณ์ท่ี x = 2 ซ่ึง f 2 ≈ −5.66

การประยกุ ตข์ องอนพุ ันธ์

นอกจากนี้ เรายงั สามารถนาคา่ สูงสดุ และค่าตา่ สุด
ไปประยกุ ต์ใชก้ ับโจทย์ปญั หาได้อีกดว้ ยนะคะ

โดยการแกโ้ จทย์ปญั หานั้นๆ มขี ัน้ ตอน ดงั นี้

เมอ่ื เราทราบข้ันตอนแลว้
ไปศกึ ษาตัวอย่างการประยกุ ตพ์ ร้อมๆ กัน

1. อา่ นโจทยใ์ หล้ ะเอียดและวิเคราะหว์ ่าโจทยต์ อ้ งการค่าสงู สดุ หรอื ค่าตา่ สดุ
2. กาหนดสิ่งนั้นเปน็ ตัวแปรตามความเหมาะสม และบางครง้ั อาจวาดรปู ประกอบ
3. สมมติอกี หนึง่ ตัวแปรตามความเหมาะสมที่ทาให้เกดิ คา่ สงู สุดหรือคา่ ต่าสดุ ตามข้อ 1. และ 2. พร้อมเขียนแสดงความสมั พนั ธ์

ระหวา่ งตวั แปรท้ังหมดใหอ้ ยู่ในรูป y = f(x) เม่อื f เปน็ ฟงั กช์ ัน
4. ใชอ้ นุพนั ธอ์ นั ดบั ท่ี 1 หรอื 2 ของฟังกช์ ันในการวิเคราะห์คา่ สูงสุดหรอื ค่าตา่ สดุ

5. เขยี นคาตอบให้สอดคล้องกบั ส่ิงทโ่ี จทย์ตอ้ งการ

การประยุกต์ของอนุพันธ์

ตัวอยา่ งท่ี 21 ลงุ เชิดมรี ั้วลวดหนามยาว เมตร และตอ้ งการล้อมรวั้ ท่ดี ินรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผ้ารมิ น้า ซึ่งลงุ เชิดจะไมล่ ้อมรว้ั ดา้ นยาว
ด้านหนึ่งที่ติดกับแมน่ า้ ถา้ ลงุ เชดิ ต้องการลอ้ มร้ัวใหม้ ีพื้นที่มากทีส่ ุด แล้วลุงเชิดตอ้ งล้อมรว้ั ให้มีความกว้างและความยาวเทา่ ไร

วธิ ที า กาหนด x แทนความกวา้ งของท่ดี นิ
y แทนความยาวของท่ีดนิ

จะไดว้ า่ 2x + y = 280

y = 280 − 2x

กาหนด A แทนพ้ืนทข่ี องทด่ี ินท่จี ะล้อม เนอ่ื งจาก A′(x) = 280 − 4x

จะไดว้ ่า A(x) = x(280 − 2x) จะได้วา่ A′′(x) = −4

= 280x − 2x2 และ A′′(70) = −4 ซ่งึ นอ้ ยกว่า 0
= 280 − 4x
และ A′(x) 280 − 4x = 0 แสดงว่า x = 70 ทาใหฟ้ ังก์ชนั A มีคา่ มากท่ีสดุ
เมอื่ A′(x) = 0 จะได้ว่า
ดงั นัน้ ลุงเชดิ ตอ้ งลอ้ มรั้วใหม้ คี วามกวา้ ง 70 เมตร

x = 70 และความยาว 280 − 2(70) = 140 เมตร

ดังน้ัน ค่าวิกฤตของฟงั ก์ชัน A คือ x = 70 จงึ จะไดพ้ นื้ ที่มากทีส่ ุด

ปฏยิ านุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

ต่อไปเราจะมาศกึ ษากระบวนการตรงขา้ มกบั
การหาอนุพนั ธ์ ซง่ึ เรยี กว่า การหาปฏิยานุพันธ์

จากสถานการณ์ตวั อยา่ งกันนะคะ
นกั เรยี นยังจากันไดไ้ หมคะว่า ระยะทาง เวลา
และความเร็วของวตั ถมุ คี วามสมั พนั ธ์กนั อย่างไร ?
จากความสมั พนั ธ์ นักเรยี นสามารถอธบิ าย

กระบวนการคิดได้อย่างไรบา้ งคะ ?

ความสมั พันธร์ ะหวา่ งระยะทาง (s) เวลา (t) และความเร็ว (v) ของวตั ถุ คือ


=

ปฏยิ านุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

ถา้ สมมตใิ ห้เกง่ และแก้มขบั รถยนตไ์ ปทางาน
โดยมสี มการของระยะทางในการเคล่อื นที่ (s) ดังน้ี

เมอื่ เราหาสมการของความเรว็ ในการเคลอ่ื นที่
ds
ของเกง่ และแก้มจากความสัมพันธ์ v = dt จะได้ว่า

นกั เรียนสงั เกตหรือไม่วา่ สมการของความเร็ว
ในการเคลอื่ นทขี่ องเกง่ และแก้มเปน็ อย่างไร ?

สมการของระยะทางในการเคลือ่ นที่ของเก่ง คอื s1 = t2 + 5t − 1
สมการของระยะทางในการเคลอื่ นทข่ี องแกม้ คอื s2 = t2 + 5t + 3

สมการของความเรว็ ในการเคลอ่ื นทีข่ องเกง่ คอื v1 = 2t + 5
สมการของความเร็วในการเคล่อื นท่ีของแก้ม คอื v2 = 2t + 5

ปฏยิ านุพนั ธข์ องฟังกช์ นั

จากสมการของความเร็วในการเคลอ่ื นที่ของเก่งและแกม้
นกั เรยี นจะเห็นว่า เป็นสมการเดียวกัน

ทาใหเ้ ราทราบวา่ สมการของความเร็วในการเคลอื่ นทส่ี มการหนง่ึ
สามารถหาไดจ้ ากสมการของระยะทางในการเคลอื่ นท่มี ากกว่าหน่งึ สมการ

ดังนน้ั จากสถานการณ์ขา้ งตน้ ทาใหเ้ ราสรุปไดว้ ่า
สมการของความเร็วในการเคลอ่ื นท่ี v = 2t + 5 หาไดจ้ าก
สมการของระยะทางในการเคลอ่ื นที่ s = t2 + 5t + c เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั

หรือกล่าวไดว้ ่า
สมการของความเร็วหาได้จากอนุพนั ธ์ของสมการของระยะทาง

แต่สมการของระยะทางหาไดจ้ ากกระบวนการตรงข้ามกบั
การหาอนุพันธ์ เรยี กวา่ ปฏิยานพุ ันธ์

ปฏยิ านุพนั ธข์ องฟังกช์ ัน

จากทก่ี ลา่ วมา เปน็ ไปตามบทนิยามตอ่ ไปน้ี
ซงึ่ ปฏยิ านุพนั ธห์ าได้จากสตู รอนพุ นั ธ์ ดงั นี้

บทนิยาม

ถา้ F′ x = f(x) สาหรบั ทุกคา่ ของ x ที่อยใู่ นโดเมนของฟงั กช์ ัน f
แลว้ ฟังก์ชัน F เป็นปฏิยานพุ ันธห์ นึง่ ของ f

จากสูตรการหาอนุพันธ์ d xn = nxn − 1
dx
d xn = xn − 1
จะได้ dx n xn + 1

ดังนั้น ปฏยิ านุพนั ธ์ของ xn = n+1+c เมอื่ c เปน็ ค่าคงตวั

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต

จากขอ้ สรุป ทาใหเ้ ราไดว้ า่ f(x) = F(x) + c จะเรยี ก F(x) + c
ว่า ปริพันธ์ไม่จากดั เขต เขยี นแทนด้วย ‫ ׬‬f(x) dx น่ันคือ

‫ ׬‬f(x) dx = F(x) + c

ซงึ่ การหาปริพันธข์ องฟังกช์ นั สามารถใช้
สตู รพ้ืนฐานต่อไปน้ี

สูตรที่ 1 ‫ ׬‬k dx = kx + c เมอ่ื k และ c เปน็ ค่าคงตวั
สูตรที่ 2 xn + 1
สูตรที่ 3 ถา้ n ≠ −1 แลว้ ‫׬‬ xn dx =n + + c เมอ่ื c เป็นคา่ คงตวั
1
สตู รที่ 4 ‫ ׬‬kf x dx = k ‫ ׬‬f x dx เม่ือ k เปน็ ค่าคงตวั และ f(x) มปี ริพนั ธ์
สูตรที่ 5
‫ ׬‬f x + g x dx = ‫ ׬‬f x dx + ‫ ׬‬g x dx เมอ่ื f(x) และ g(x) มีปริพนั ธ์
‫ ׬‬f x − g x dx = ‫ ׬‬f x dx − ‫ ׬‬g x dx เมื่อ f(x) และ g(x) มปี ริพนั ธ์

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขต

เราลองไปศกึ ษาตวั อย่างการนาสูตรพนื้ ฐาน
ไปใช้การหาปริพันธก์ นั เลยค่ะ

ตวั อยา่ งที่ 22 ใหห้ า ‫ ׬‬ + − +

วิธีทา ‫ ׬‬x3 + 3x2 − 5x + 1 dx = ‫ ׬‬x3 dx + ‫ ׬‬3x2 dx − ‫ ׬‬5x dx + ‫ ׬‬1 dx สตู รท่ี 4 และ 5
สตู รที่ 3
= ‫ ׬‬x3 dx + 3 ‫ ׬‬x2 dx − 5 ‫׬‬x dx + ‫ ׬‬1 dx สูตรท่ี 1 และ 2

= x4 3x3 5x2 เมื่อ c เปน็ ค่าคงตวั
4 + 3 − 2 +x+c

= x4 + x3 − 5x2 + x + c
4 2

ดงั นน้ั ‫ ׬‬x3 + 3x2 − 5x + 1 dx = x4 + x3 − 5x2 + x+ c เมอื่ c เปน็ คา่ คงตวั
4 2

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต

ตวั อย่างท่ี 23 ใหห้ า ‫׬‬ −
+

วิธีทา 1 1
‫ ׬‬x + x3 2x − 3 dx
= ‫( ׬‬x2 + x−3) 2x − 3 dx

31

= ‫( ׬‬2x2 − 3x2 + 2x−2 − 3x−3)dx

53
2x2 3x2 2x−1 3x−2
= 5 − 3 + −1 − −2 + c เมอื่ c เป็นค่าคงตัว

22

4x2 x 23
= 5 − 2x x − x + 2x2 + c

ดงั นนั้ ‫׬‬ 1 2x − 3 dx = 4x2 x 23 เมอื่ c เป็นค่าคงตวั
x + x3 5 − 2x x − x + 2x2 + c

นอกจากนี้ ถ้าโจทย์กาหนดอนพุ นั ธ์ของฟงั กช์ นั มาให้ แลว้ ตอ้ งการหาปริพันธ์
ของฟังก์ชนั เราต้องจดั รปู อนุพันธ์ใหอ้ ย่ใู นรปู y = ‫ ׬‬f(x)dx

ดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้คะ่

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขต

ตัวอย่างท่ี 24 กาหนด = − − + ใหห้ า y

วธิ ที า
dy = 2x3 − x2 − 3x + 1
dx

y = ‫ ׬‬2x3 − x2 − 3x + 1 dx

= ‫ ׬‬2x3dx − ‫ ׬‬x2dx − ‫ ׬‬3x dx + ‫ ׬‬1 dx

= 2x4 − x3 − 3x2 + x + c เมอ่ื c เป3น็ คx่าค+งตวั 1
4 3 2

= x4 x3 3x2
2 − 3 − 2 +x+c

ดงั นัน้ y = x4 x3 3x2 +x+ c เมื่อ c เป็นคา่ คงตัว
2 −3 −2

จากตัวอยา่ งการหาปริพนั ธไ์ ม่จากัดเขต นกั เรียนคดิ ว่าเราสามารถ
นาปริพนั ธ์ไม่จากดั เขตไปประยุกต์ใช้กับเร่อื งใดได้บา้ ง ?

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต

ในหัวขอ้ นี้ เราจะนาเสนอการประยุกต์ของปริพันธ์ไมจ่ ากัดเขต
ในทางเรขาคณิตและการเคลอื่ นท่ขี องวัตถุ ดังน้ี

ตัวอย่างที่ 25 ใหห้ าสมการเสน้ โค้งที่ผา่ นจุด ( , − ) และมคี วามชัน ณ จุด ( , ) ใดๆ เปน็ +

วธิ ีทา เนือ่ งจากความชันของเสน้ โคง้ ณ จุด (x, y) ใดๆ คือ dy
dx

จะได้ dy = 2x + 4
dx

ดงั นั้น สมการเสน้ โค้งใดๆ คอื y = ‫ ׬‬2x + 4 dx

= 2x2 เมือ่ c เปน็ คา่ คงตวั
2 + 4x + c
= x2 + 4x + c

จากโจทย์ เส้นโค้งผา่ นจดุ (0, −2) เมื่อแทน x ด้วย 0 และ y ดว้ ย −2 ในสมการเสน้ โคง้ y = x2 + 4x + c

จะได้ −2 = 02 + 4(0) + c

c = −2

ดงั น้ัน สมการเส้นโค้งทต่ี ้องการ คอื y = x2 + 4x − 2

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากดั เขต

ตัวอย่างท่ี 26 ให้หาความเร็ว ( ) และตาแหน่งของวตั ถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ เมอ่ื กาหนด ( ) = , ( ) = และ ( ) =

วิธที า เนื่องจาก at dv
หรือ = dt

dv = a t dt

จะได้ v = ‫ ׬‬4t2 dt

3x + 14t3

= 3 +c
เมื่อ c เป็นคา่ คงตัว

4t3
เมือ่ แทน t ดว้ ย 0 และ v(0) ด้วย 1 ในสมการ v(t) = 3 + c จะได้

403
1 = 3 +c

c =1

ดงั นนั้ ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื v(t) = 4t3
3 +1

ปรพิ นั ธไ์ ม่จากัดเขต

ตัวอย่างท่ี 26 ให้หาความเร็ว ( ) และตาแหน่งของวัตถุ ( ) ขณะเวลา ใด ๆ เมือ่ กาหนด ( ) = , ( ) = และ ( ) =

วิธีทา เน่อื งจาก v(t) = ds
หรือ dt

ds = v t dt

จะได้ s = 4t3
‫ ׬‬3 + 1 dt

= t4 เม่อื k เป็นคา่ คงตวั
3 +t+k
3x + 1เมื่อแทน t ด้วย 0 และ s(0) ดว้ ย 2 ในสมการ
vt = t4 จะได้
3 +t+k

04
2 = 3 +0+k

k= 2

t4

ดังน้นั ตาแหน่งของวตั ถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คือ v(t) = 3 + t + 2

ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

ตอ่ ไปเราจะมาศกึ ษาปริพนั ธจ์ ากดั เขตกนั นะคะ

ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

ปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

ซ่งึ ปรพิ นั ธ์จากดั เขตตอ้ งอาศยั ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส ดงั น้ี

ทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคูลสั
กาหนด f เปน็ ฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ งบนชว่ ง [a, b] ถ้า F เป็นปฏยิ านุพันธ์ของฟงั กช์ ัน f แลว้

b

‫׬‬f x dx = F(b) − F(a)

a

จากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคลู สั
เรียก a ว่า ลิมิตลา่ ง และเรยี ก b วา่ ลิมติ บน

ปรพิ ันธจ์ ากดั เขต

นอกจากทฤษฎีบทหลกั มลู ของแคลคูลัสน้แี ลว้ ยงั มสี มบัติของปริพันธ์จากดั เขต ดงั ตอ่ ไปนี้

สมบัติของปรพิ นั ธจ์ ากดั เขต

กาหนด f และ g เป็นฟงั ก์ชนั ทีม่ ีปริพันธ์ได้บนชว่ ง [a, b]

a

1. ‫׬‬f x dx = 0
a

bb

2. ‫׬‬kf x dx = k ‫׬‬f x dx เมอ่ื k เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ
aa

b bb

3. ‫ ׬‬f x + g x = ‫ ׬‬f x dx + ‫ ׬‬g x dx
a aa

b bb

4. ‫ ׬‬f x − g x = ‫ ׬‬f x dx − ‫ ׬‬g x dx
a aa

ba

5. ‫ ׬‬f x dx = − ‫ ׬‬f x dx
ab

6. ถ้า a < c < b แลว้ b x dx = c x dx + b x dx

‫׬‬f ‫׬‬f ‫׬‬f
a ac

ปรพิ นั ธจ์ ากัดเขต

ตัวอยา่ งที่ 27 ให้หาคา่ ของ + − เราไปศึกษาตวั อย่าง
การหาปริพนั ธจ์ ากดั เขตกันเลยคะ่
‫׬‬


วธิ ที า จากโจทย์ F′ x = x2 + 2x − 2, a = 1 และ b = 3

จะได้ F x = ‫ ׬‬x2 + 2x − 2 dx

= x3 + x2 − 2x + c เม่ือ c เปน็ คา่ คงตวั
3

ดงั นั้น F b − F a = F 3 − F 1

= 33 + 32 −2 3 +c − 13 + 12 − 2 1 +c
3 3

= 12 − 2
−3

= 12 2
3

นน่ั คอื 3 x2 + 2x − 2 dx = 12 2
3
‫׬‬

1

ปริพนั ธจ์ ากดั เขต

จากตวั อย่างจะเหน็ ว่า การหาฟงั ก์ชนั F เราไมจ่ าเป็นตอ้ งเขียนคา่ คงตวั c
เพราะเมอื่ แทนค่า F(b) − F(a) แล้วคา่ คงตัว c จะหักล้างกนั หมดไป

เมอ่ื นกั เรียนเข้าใจแล้ว เราไปศกึ ษาตัวอยา่ งเพม่ิ เตมิ เกีย่ วกบั การหาปริพนั ธ์จากัดเขตกันเลยค่ะ

ตัวอย่างที่ 28 กาหนด = ൝ − − เม่อื < − ใหห้ าค่าของ
+ เมือ่ ≥ −
‫ ׬‬

−

วธิ ที า เน่ืองจากฟงั ก์ชนั f แบ่งเป็นสองเง่ือนไข เมื่อ x = −1

จะได้ 0 −1 0

‫ ׬‬f x dx = ‫ ׬‬f x dx + ‫ ׬‬f x dx

−2 −2 −1

= −1 x2 − 3 dx + 0 x2 + 5x − 1 dx

‫׬‬ ‫׬‬

−2 −1

−1 x3 5x2
3x + 1x3 0

= 3 − 3x ቤ+ 3+ 2 −x ቤ

−2 −1

−1 3 −2 3 03 5 0 2 −1 3 5 −1 2
= 3 − 3 −1 − 3 − 3 −2 + 3 + 2 − 0 − 3 + 2 − −1

2 19 5
= − 3 − 6 = −3 6

พ้นื ทีป่ ิดล้อมด้วยเสน้ โค้ง

การหาปริพนั ธ์จากัดเขตเป็นการหาปริพันธ์ของฟังกช์ ันบนชว่ ง [a, b]
ซึ่งสามารถนาเร่อื งนีม้ าประยกุ ต์กับการหาพื้นท่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง

ของฟังก์ชนั f กบั แกน X หรือแกน Y ได้

สาหรับการหาพนื้ ทปี่ ดิ ลอ้ มจะถกู แบ่งออกเป็น 2 ลกั ษณะ คือ
พืน้ ท่ีปิดล้อมเหนอื แกน X และพืน้ ทปี่ ดิ ล้อมใตแ้ กน X

โดยพ้ืนทปี่ ดิ ลอ้ มแต่ละลกั ษณะสอดคล้องกับทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 11

เมอื่ f เปน็ ฟังกช์ นั ต่อเนอื่ งบนชว่ ง [a, b] และ A เป็นพน้ื ที่ซึ่งปิดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ f กับแกน X จาก x = a ถึง x = b

1. ถ้า f(x) ≥ 0 สาหรับทุกค่าของ x ทีอ่ ย่ใู นชว่ ง [a, b] และ A เปน็ พน้ื ทเ่ี หนือแกน X แล้ว A = b

‫׬‬f x dx
a

พื้นทีป่ ดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง

ตัวอยา่ งท่ี 29 ให้หาพืน้ ที่ซึ่งปดิ ล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ − − + กับแกน X
=

วธิ ีทา จากโจทย์ เขียนพ้ืนท่ซี งึ่ ปดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง 1 x3 − x2 − 9x + 9 กบั แกน X Y
y=5

ไดจ้ ากการหาจุดที่เสน้ โค้งตดั แกน X โดยให้ y = 0 จะได้
=
0= 1 x3 − x2 − 9x + 9 − − +
5

x3 − x2 − 9x + 9 = 0
− − − −
x+3 x−1 x−3 = 0 −

x = −3, 1, 3 X

ดังนนั้ เส้นโคง้ ตัดแกน X ทจี่ ุด (−3, 0) จดุ (1, 0) และจดุ (3, 0)

เนอ่ื งจากมบี างสว่ นของเสน้ โคง้ y = 1 x3 − x2 − 9x + 9 อยู่ใตแ้ กน X
5

เราจึงต้องแบ่งพน้ื ท่ีปิดลอ้ มเปน็ 2 ช่วง ดังรปู

จะได้ พืน้ ท่ปี ดิ ล้อม A1 = 1‫ ׬‬1 x3 − x2 − 9x + 9 dx
−3 5

1 x4 x3 9x2 1

= 5 4−3− 2 + 9x ቤ

−3

1 14 13 9 1 2 −3 4 −3 3 9 −3 2 8
= 5 4 − 3 − 2 + 9 1 − 4 − 3 − 2 + 9 −3 = 8 15