แคลคูลัสเบื้องต้น ม.6

พื้นทปี่ ดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้ง

ตวั อยา่ งท่ี 29 ใหห้ าพน้ื ทซ่ี ่ึงปดิ ลอ้ มดว้ ยเสน้ โค้ง − − + กบั แกน X
=

วิธีทา จากโจทย์ เขยี นพ้นื ทซ่ี ่งึ ปิดล้อมดว้ ยเสน้ โคง้ 1 x3 − x2 − 9x + 9 กบั แกน X Y
y=5

ได้จากการหาจดุ ท่ีเสน้ โค้งตดั แกน X โดยให้ y = 0 จะได้
=
0= 1 x3 − x2 − 9x + 9 − − +
5
x3 − x2 − 9x + 9 = 0

x+3 x−1 x−3 = 0 − − − −
−
x = −3, 1, 3 X

ดังน้ัน เส้นโค้งตดั แกน X ท่ีจุด (−3, 0) จุด (1, 0) และจดุ (3, 0)

เน่ืองจากมบี างสว่ นของเสน้ โคง้ y = 1 x3 − x2 − 9x + 9 อยใู่ ต้แกน X
5

เราจงึ ตอ้ งแบง่ พ้นื ท่ีปิดล้อมเป็น 2 ช่วง ดังรูป

จะได้ พืน้ ทีป่ ิดล้อม A2 31 x3 − x2 − 9x + 9 dx
= −‫׬‬
5
1

1 x4 x3 9x2 3 1 34 33 9 3 2 14 13 9 1 2 1
= −5 4 − 3 − 2 + 9x = −5 4 − 3 − 2 +9 3 − 4 − 3 − 2 +9 1 = 13
ቤ

1

ดังน้นั พน้ื ท่ซี งึ่ ปดิ ล้อมดว้ ยเส้นโค้ง 1 x3 − x2 − 9x + 9 กับแกน X เทา่ กบั 13 ตารางหนว่ ย
y=5 A1 + A2 = 9 15

พ้นื ท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

นอกจากน้ี การหาปรพิ ันธ์จากดั เขตเปน็ การหาปริพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั
บนช่วง [a, b] ยังสามารถนามาประยกุ ต์กบั การหาพื้นที่ปิดลอ้ ม

ระหวา่ งเสน้ โค้งได้อีกดว้ ย

ซ่ึงพ้ืนที่ปิดล้อมระหว่างเสน้ โค้งบนช่วง [a, b] หาไดจ้ ากสตู ร

พื้นท่ปี ิดล้อม A = b‫׬‬ f2 x − f1 x dx

a

พื้นทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

ตัวอย่างที่ 30 ใหห้ าพน้ื ทข่ี องบรเิ วณท่ปี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้งพาราโบลา = − และเส้นตรง = −

วธิ ีทา จากโจทย์ เขยี นพื้นท่ีของบรเิ วณที่ปิดล้อมดว้ ยเสน้ โค้งพาราโบลา y = x2 − 2x และเส้นตรง y = 2 − x Y
ไดจ้ ากการหาจุดตดั ของเสน้ โค้งและเสน้ ตรง โดยให้

x2 − 2x = 2 − x

x2 − x − 2 = 0

x+1 x−2 = 0

x = −1, 2

จะได้ จุดตัดสองจุด คอื จุด (−1, 3) และจดุ (2, 0) ดงั รปู

จากรูป f1(x) = x2 − 2x และ f2(x) = 2 − x − ,

2
= −
จะได้ พนื้ ทป่ี ิดลอ้ ม A = ‫ ׬‬2 − x − x2 − 2x dx
−1

2

= ‫׬‬ 2 + x − x2 dx ,

−1 X

= x2 x3 2 − − − = −
2x + 2 − 3 ቤ −

−1

= 22 23 −1 2 −1 3 = 1
2 2 + 2 − 3 − 2 −1 + 2 − 3 42

ดงั น้นั พืน้ ที่ของบริเวณทป่ี ดิ ล้อมด้วยเสน้ โค้งพาราโบลา y = x2 − 2x และเสน้ ตรง y = 2 − x

นักเรยี นยังจาคาถามในตอนตน้ เก่ียวกับ
แรงขับเคลือ่ นของจรวดได้ไหมคะ ?

“แรงขับเคล่ือนของจรวดหาไดจ้ ากสตู ร F = d mv ซึ่งมาจากกฎการเคลื่อนที่ของนวิ ตนั โดย m และ v
dt
คือ มวลและความเรว็ ของวัตถุ ตามลาดับ”

เราจะนาความรู้เกีย่ วกบั แคลคูลสั มาหาแรงขบั เคลอื่ นของจรวดได้อยา่ งไร ?

แรงขับเคลือ่ นของจรวดหาไดจ้ ากสูตร F = d mv ซง่ึ มาจากกฎการเคล่ือนทีข่ องนิวตนั โดย m และ v
dt
คอื มวลและความเรว็ ของวตั ถุ ตามลาดบั

วิธที า d mv โดย m และ v คือ มวลและความเร็วของวตั ถุ

จากสูตรการหาแรงขับเคล่ือนของจรวด F = dt

ตามลาดบั นกั เรยี นจะเห็นว่า แรงขบั เคลอ่ื น F หาไดจ้ ากการหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชัน ซ่ึงเราสามารถนาสตู ร
การหาอนุพนั ธม์ าช่วยได้ ดงั น้ี

d mv
F = dt

dd
= m dt v + v dt m

เป็นอย่างไรกันบา้ งคะ สาหรบั การนาความรู้
เกี่ยวกับแคลคูลัสท่เี ราศึกษามาประยุกต์ใช้กับชวี ติ จริง

นักเรยี นไดร้ ับความรู้ เรือ่ ง แคลคลู สั เบือ้ งต้น
อยา่ งครบถ้วนแล้ว หวังว่านกั เรียนจะนาความรู้ไปใช้

ในชีวติ จริงได้อีกหลายๆ เรือ่ งเลยนะคะ

แล้วพบกนั ใหม่ค่ะ

THANK you