49 Sebagaimana yang telah kita pelajari, penjumlahan itu berkaitan dengan penggabungan atau penyatuan himpunan benda-benda sejenis. Karenanya, pengurangan pun berkaitan dengan pemisahan himpunan benda-benda sejenis. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika a > b. Contoh: 9 – 2 = 7 15 – 12 = 3 47 – 23 = 24 Pada umumnya, persoalan pengurangan dapat dilihat dalam berbagai konsep. Nah, sekarang ayo kita pelajari berbagai macam konsep pengurangan! Pengurangan yaitu operasi dasar matematika yang digunakan untuk mengeluarkan beberapa angka dari kelompoknya, operasi hitung pengurangan adalah kebalikan dari penjumlahan.
50 Kelompok : Nama : Bahan : Batu dan wadah Ayo, kita kerjakan masalah VI ini sekarang juga! Tentukan anggota ke-1, anggota ke-2, anggota ke-3, anggota ke-4, anggota ke-5 dan anggota ke-6 dari anggota kelompokmu! 1 Kumpulkan sejumlah batu dan masukkan ke dalam wadah. Anggota ke-1 mengambil sejumlah batu dari wadah, kemudian menghitung jumlahnya dan menuliskan angkanya ada lembar kertas. Selanjutnya, anggota ke-2 juga mengambil sejumlah batu tertentu dari wadah, menghitung jumlahnya dan menuslikannya angkanya pada kertas. Anggota ke-3 menghitung banyaknya batu yang tersisa dalam wadah, lalu menuliskannya angkanya pada kertas. Anggota ke-4, menggambarkan proses kegiatan yang dilakukan anggota ke-1, ke-2 dan ke-3 pada kertas dalam bentuk paragraf (satu paragraf). Anggota ke-5 dan anggota ke-6 menggambarkan dan menyimpulkan proses pengambilan batu tersebut dalam bentuk simbol. 2 3 4 5 6 7
51 Dari masalah VI dapat disimpulkan pengurangan dengan menggunakan dasar kumpulan didasarkan pada gabungan dua kumpulan lepas. Berdasarkan kegiatan sebelumnya, diperoleh kesimpulan bahwa untuk menerangkan konsep pengurangan dapat dilakukan melalui pendekatan kumpulan, jadi dari demonstrasi tersebut dapat dirumuskan konsep pengurangan dengan pendekatan kumpulan adalah……
52 Kelompok : Nama : Bahan : penggaris, pensil dan kertas Tentukan anggota ke-1, anggota ke-2, anggota ke-3, anggota ke-4, anggota ke-5 dan anggota ke-6 dari anggota kelompokmu! Anggota ke-1 mengambil sebuah penggaris dan kertas. Kemudian melukis satu garis lurus pada kertas dengan menggunakan penggaris. Anggota ke-2 memberi tanda dengan menggunakan pena pada garis awal ditandai dengan angka 0, dan garis berikutnya masing-masing sejarak 1 cm ditandai dengan angka 1, 2, 3… Anggota ke-3 menggerakkan pensil ke kanan ke garis nomor 5, lalu menggerakkan lagi pensil dengan gerakkan mundur (berlawanan arah) hingga melewati 4 garis, dimanakah posisi yang ditunjukkan oleh pensil sekarang? Anggota ke-4 mendeskripsikan dan menyimpulkan hasil kinerja dari anggota ke-1, ke-2 dan ke-3 dalam satu paragraf. Anggota ke-5 menggambarkan dan menyimpulkan proses pengukuran tersebut dalam bentuk simbol. Anggota ke-6 menyampikan hasil diskusi kelompok dengan menuliskannya di papan tulis. Ayo selesaikan masalah VII berikut ini ! 1 2 3 4 5 6 7
53 Pada pengurangan bilangan cacah melalui pendekatan pengukuran, yang dikurangkan itu bukan bilangan cardinal dari kumpulan-kumpulan, tetapi ukuran panjangnya. Pengurangan dengan pendekatan pengukuran dapat diperagakan dengan garis bilangan, timbangan (neraca) bilangan, ataupun dengan batang kuesioner berwarna. Berdasarkan kegiatan sebelumnya, maka terlihat kegiatan yang dilakukan menerapkan konsep pengurangan melalui pendekatan pengukuran, jadi dari demonstrasi tersebut dapat dirumuskan konsep pengurangan dengan pendekatan pengukuran adalah…… Apakah ada perbedaan pengurangan melalui pendekatan kumpulan dengan pengurangan melalui pendekatan pengukuran pada penyelesaian masalah? Jelaskan!
54 Ada berbagai cara melakukan operasi hitung pengurangan bilangan cacah. Yuk pelajari lebih lanjut! 1. Pengurangan Tanpa Teknik Menyimpan Contoh: 76 – 32 =…. Ada cara yang dilakukan dalam menyelesaikan operasi hitung pengurangan diatas sebagai berikut: Cara bersusun pendek: 7 6 3 2 4 4 Cara bersusun panjang: 76 = 70 + 6 32 = 30 + 2 = 40 + 4 = 44 Ayo selesaikan soal dibawah ini menggunakan pengurangan tanpa teknik menyimpan! 1) Rani memiliki permen sebanyak 684 biji. Pada siang hari adik sepupunya datang ke rumah Rani dan ia meminta permennya. Ranipun memberikan permennya sbanyak 63 biji. Berapakah sisa permen yang dimiliki Rani saat ini? 2) Pak Yasid adalah seorang petani padi. Pada penutupan tahun ini hasil panen padi pak Yadi mencapai 1.675 karung beras. Tak lupa ia setiap tahunnya memberikan sedekah kepada anak yatim piatu sebagai wujud rasa syukur kepada Tuhan yang Maha Esa. Pada tahun ini pak Yasid memberikan 163 karung beras dari hasil panennya. Berapakah sisa beras yang dimiliki oleh pak Yasid saat ini? Ada yang harus diingat! Untuk melakukan pengurangan secara bersusun, maka kurangkan dengan berikut: Satuan dengan satuan Puluhan dengan puluhan Ratusan dengan ratusan Ribuan dengan ribuan - Langkah ke-1 kurangkan bilangan satuan dengan satuan. Yaitu: 6 – 2 = 4 Langkah ke-2 kurangkan bilangan puluhan dengan puluhan. Yaitu: 7 – 3 = 4 -
55 2. Pengurangan dengan Teknik Meminjam Contoh: 25 – 17 =…. Cara yang bisa kita lakukan adalah dengan bersusun. Yuk perhatikan berikut ini! Cara bersusun pendek: 1 1 2 5 2 5 1 7 1 7 8 0 8 (10 + 5) – 7 = 8 1 – 1 = 0 Cara bersusun panjang: 25 = 10 + (10 + 5) 17 = 10 + 7 = 0 + 8 = 8 Jadi, 25 – 17 = 8. Untuk lebih mudah dipahami, ayo selesaikan soal-soal dibawah ini! 1) Pak Fairuz adalah seorang peternak ikan lele. Ia membeli sebanyak 684 ekor lele yang nantinya akan dipelihara. Selang 1 minggu kemudian ikan lele yang dimilikinya mati sebanyak 68 ekor. Berapakah sisa ikan lele milik pak Fairuz yang masih hidup? 2) Ibu Susi adalah seorang pembuat kue. Ia membeli 739 telur dengan mengendarai sepeda motor. Di perjalanan sepeda motornya ditabrak oleh seseorang yang tidak dikenal. Telur sebanyak 86 butir pecah berserakan di jalanan. Berapakah sisa telur yang masih utuh milik ibu Susi? 3) Ayahnya Riyan adalah peternak burung merpati. Dirumah Riyan terdapat 734 ekor burung merpati yang sudah dilatih. Keesokan harinya burung merpati sebanyak 236 ekor di beli oleh pak Somat untuk di kirim - - -
56 ke Jawa. Berapa ekor sisa burung merpati yang dimiliki oleh ayah Riyan? 3. Pengurangan Berturut-turut Tiga Bilangan Contoh: (98 - 23) – 22 =…. Ada cara dalam menyelesaikan operasi hitung pengurangan bilangan cacah diatas sebagai berikut: Cara bersusun: 98 75 23 22 75 53 Cara mendatar: Kita kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu, yaitu (98 – 23) = … 98 = 90 + 8 23 = 20 + 3 = 70 + 5 = 75 Setelah menemukan hasil dari 98 – 23 = 75, langkah selanjutnya adalah dengan mengurangkan bilangan 75 – 22 =… 75 = 70 + 5 22 = 20 + 2 = 50 + 2 = 52 Jadi, (98 - 23) – 22 = 52. Selesaikan soal berikut! 1) Naila diberikan ibunya coklat sebanyak 496 buah. Naila memberikan coklat kepada sepupunya bernama Ibrahim sebanyak 311. Tak lama kemudian Dinda adiknya pulang dari bermain, Naila pun memberikan coklat juga sebanyak 125 buah. Berapakah sisa coklat yang dimiliki oleh Naila saat ini? - - - -
57 4. Menentukan Suku yang Belum diketahui Contoh: Ananda memiliki sosis sebanyak 75 buah yang diletakkan di atas meja makan. Keesokan harinya ananda mendapati sosianya tinggal 42 buah. Berapakah sosis yang hilang? Ada cara menyelesaikan dalam menentukan suku yang belum diketahui dalam kalimat pengurangan, yuk diperhatikan ya! 7 5 . . 4 2 Langkah ke-1 mencari bilangan satuan yang jika dikurangkan dengan bilangan 5 akan menghasilkan bilangan 2. Yaitu: 5 – 3 = 2. Maka bilangan yang dihasikan adalah 3. Langkah ke-2 mencari bilangan yang jika dikurangkan dengan bilangan 7 akan menghasilkan bilangan 4. Yaitu: 7 – 3 = 4. Maka bilangan yang dihasilkan adalah 3. -
58 Jadi, bilangan yang jika dikurangkan dengan 75 menghasilkan 42 adalah 33. Ayo, selesaikan soal dibawah ini! 1) Pak Heri adalah pengembala kambing. Ia memiliki 469 ekor yang setiap paginya di giring ke padang rumput. Pada keesokan harinya pak Heri melihat ada banyak kambing yang tergeletak mati, dan yang hidup ada 278 ekor. Berapakah jumlah kambing yang mati milik pak Heri? 5. Pengurangan sebagai Lawan Penjumlahan Contoh: Sania adalah pelukis yang berasa dari kota Lombok. Ia setiap harinya melukis dan sampai saat ini lukisannya terkumpul sebanyak 345. Sekarang ia akan membuat lagi sebanyak 68 lukisan. Berapakah jumlah lukisan milik Sania? Cara bersusun pendek: 345 = 300 + 40 + 5 68 = 60 + 8 = 300 + 100 + 13 = 413 Jadi, lukisan yang dimiliki oleh Sania adalah 413. Setelah lukisan terkumpul Sania mengadakan pameran lukisan. Saat pameran berlangsung 345 lukisan laku terjual. Berapakah sisa lukisan yang dimiliki oleh Sania saat ini? Cara bersusun panjang: 413 = 400 + 10 + 3 = 300 + 100 + 10 + 3 = 300 + 100 + 13 345 = 300 + 40 + 5 = 300 + 40 + 5 = 300 + 40 + 5 = 60 + 8 = 68 Jadi, sisa lukisan milik Sania saat ini adalah 68. - Coba kamu perhatikan penjumlahan dan pengurangan di atas! -
59 Pada umumnya, persoalan pengurangan dapat dilihat dalam tiga macam keadaan, yaitu membuang, mencari suku yang hilang, dan membandingkan. Sebagai catatan, menurut penelitian, cara membandingkan adalah cara yang paling sulit dipahami oleh peserta didik. Yuk, sama-sama kita cari tahu ketiga macam keadaan pengurangan tersebut! 345 + 68 = 413 413 – 345 = 68 345 + 68 = 413 sama artinya dengan 413 – 345 = 68 Ini menunjukkan bahwa pengurangan adalah lawan dari penjumlahan.
60 Mari sama-sama kita selesaikan masalah VIII berikut ini! Bahan : kartu bilangan Kelompok : Nama : 1. Tentukan anggota ke-1, anggota ke-2, anggota ke-3, anggota ke-4, anggota ke-5 dan anggota ke-6 dari anggota kelompokmu! 2. Anggota ke-1 mengambil 15 kartu bilangan, lalu memberikan 3 lembar kepada anggota ke-2. Berapa lembarkan sisa kartu anggota ke-1? 3. Anggota ke-2 mengambil 4 lembar kartu, tapi ia membutuhkan 10 lembar kartu. Berapa lembar kartu lagi yang harus diambil anggota ke-2? 4. Jika anggota ke-3 mengambil 4 kartu dan anggota ke-4 mengambil 9 kartu. Berapa lebihnya kartu anggota ke-4? 5. Anggota ke-5 dan anggota ke-6 diminta mendeskripsikan proses kegiatan yang dilakukan anggota ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 dalam bentuk paragraf (minimal satu paragraf) dan menyimpulkan proses penggabungan batu tersebut dalam bentuk simbol.
61 Berdasarkan masalah VIII, untuk nomor 2 merupakan persoalan pengurangan ditinjau dari keadaan “membuang”. Masalah nomor 3 merupakan tinjauan pengurangan dari sudut “mencari suku yang hilang”. Sedangkan masalah nomor 4 merupakan kajian pengurangan dari keadaan “membandingkan”. Berdasarkan masalah VIII, tentukanlah yang mana persoalan pengurangan berdasarkan keadaan membuang, mencari suku yang hilang dan membandingkan!
62 LATIHAN! Nyatakanlah yang mana dari soal-soal berikut yang termasuk jenis pengurangan ditinjau dari keadaan membuang, mencari suku yang hilang, atau membandingkan! 1. Pak Shaleh dan Pak Rahmat adalah pengusaha ternak. Jumlah ternak sapi dan kambing yang dimiliki pak Shaleh adalah 29 ekor dan 47 ekor. Sedangkan ternak sapi dan kambing milik pak Rahmat berjumlah 34 ekor dan 20 ekor. Berapa selisih sapid an kambing yang dimiliki kedua pengusaha tersebut? 2. Abdul mempunyai 23 stick, lalu diberikan kepada Firdaus sebanyak 17 stick, berapakah sisa stick Abdul? 3. Linda memiliki 250 cm kain, untuk membuat gorden jendela dibutuhkan 450 cm kain. Berapa cm kain lagi yang harus dibeli Linda? 4. Uswa membagikan 24 buah kue bolu kepada temantemannya, sisa kue setelah dibagikan kepada temantemannya adalah 7 bolu. Berapakah jumlah kue bolu yang dimiliki Uswa? 5. Rizki memperoleh uang dari ibunya, setengah dari uang tersebut dibelanjakan untuk membeli buku paket dari sekolah. Kemudian setengah dari sisa uang tadi digunakan untuk kegiatan ekstrakurikule. Jika sisa uang Rizki Rp. 15.000,00, berapakah jumlah uang yang mula-mula ia terima dari Ibunya? 6. Kelompok A membutuhkan 25 pipet dan 5 karton untuk mengerjakan LKPD yang ditugaskan oleh gurunya. Jika yang tersedia berjumlah 9 pipet dan 4 karton. Berapa lagi yang harus dikumpulkan? 7. Bunda memiliki 4 kg tepung. Sedangkan tepung yang dibutuhkan Bunda untuk membuat kue adalah 10 kg. berapa kg tepung lagi yang harus dimiliki oleh Bunda? 8. Khairun memiliki 29 kue donat. Jika donat itu dibagikan kepada 5 orang temannya dalam jumlah yang sama secara utuh. a. Berapa donat yang diterima masing-masing teman Khairun?
63 b. Berapakah sia donat (yang tidak dibagikan)? 9. Jumlah umur Aminah dan Ali adalah 29 tahun. Sedangkan jumlah umur Azam dan Azimah adalah 35 tahun. Jumlah umur Ali dan Azam adalah 31 tahun. Azam lebih muda daripada Ali. Di antara 4 orang tersebut, siapakah yang tertua dari segi umur? 10. Munzir mempunyai 6 kotak kelereng, tiap kotak berisi 65 kelereng. Munzir ingin membagikan seluruh kelereng kepada 5 orang temannya secara merata. Berapa butir kelereng yang diterima setiap teman? Diskusikan dengan teman kelompokmu, apakah sifat tertutup, sifat komutatif, dan sifat asosiatif yang berlaku pada penjumlahan bilangan cacah juga berlaku pada pengurangan bilangan cacah?
64 Kerjakan soal-soal pengurangan berikut! 1. Gunakan cara bersusun panjang untuk pengurangan dibawah ini! a. 633 – 211 =… b. 879 – 436 =… c. 522 – 148 =… d. 367 – 289 =… 2. Gunakan cara bersusun pendek untuk pengurangan berikut! a. 573 – 268 =… b. 422 – 146 =… c. 623 – 292 =… d. 344 – 279 =… 3. Gunakan cara yang lebih mudah menurut kalian untuk menyelesaikan operasi pengurangan berikut! a. 455 – 328 =… b. 832 – 622 =… c. 723 – 45 =… d. 900 – 456 =… e. 505 – 34 =… 4. Tariklah garis untuk jawaban yang sesuai! 5. Kerjakan soal cerita berikut! 689 – 233 = 912 - 67 = 398 – 291 – 66 = 720 – 89 = 300 – 34 = 845 266 456 41 631
65 a. Penjual buah mempunyai 333, seorang pembeli datang membli 129 buah apel. Berapakah sisa buah apel milik penjual? b. Kebun manga pak Joyo mengalami gagal panen. Hasil panen kali ini diperoleh 765 buah sedangkan buah yang busuk 179 buah. Berapa banyak mangga yang tersisa? c. SD Permata Hati mengadakan darmawisata. Seluruh SD Permata Hati yang mengikuti kegiatan darmawisata sejumlah 427 siswa. sebanyak 218 diantaranya adalah siswa perempuan. Berapa jumlah siswa laki-laki yang mengikuti darmawisata? d. Pada kegiatan upacara Bendera Hari Kemerdekaan RI. MIN 1 Moguwoharjo mengirimkan 128 siswa untuk mengikuti upacara di alun-alun kota. Terdapat 79 siswa diantaranya adalah siswa laki-laki. Berapakah siswa perempuan yang mengikuti upacara di alun-alun kota? Matematika itu ilmu yang menyenangkan bukan? Kamu luar biasa sekali sudah belajar sejauh ini. Tetap semangat dan berusaha ya!
66 Perkalian adalah operasi matematika yang dilakukan untuk menghitung hasil kali dari dua bilangan cacah. Contoh operasi perkalian adalah 3 x 2 = 6. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan perkalian dengan cara mengalikan satu bilangan cacah dengan bilangan cacah yang lain secara berulang-ulang hingga mencapai hasil akhir. Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain, sederhananya perkalian merupakan penjumlahan berulang.1 Oleh karena itu, kemampuan prasyarat yang harus dimiliki peserta didik sebelum mempelajari perkalian adalah penguasaan penjumlahan. Soal tersebut dapat diperagakan sebagai berikut: Berdasarkan contoh diatas tahukah kamu apa yang Apa dimaksud dengan perkalian? Untuk lebih jelasnya, ayo kerjakan LKM berikut! 1 Heruman, Model Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar, (Bandung: PT Remaja Rosdakarya, 2013), h. 30. Ibu Ani mempunyai 2 keranjang telur. Masing-masing keranjang berisi 6 butir telur. 2 × 6 = 12 Simbol Model konkret Model diagram BAGIAN 6 Perkalian Bilangan Cacah Ibu Ani mempunyai 2 keranjang yang berisi telur. Masing-masing keranjang berisikan 6 butir telur. Berapa butir telur yang dipunyai oleh Ibu Ani
67 Kelompok : Nama : Bahan : kartu warna merah dan biru Tentukan anggota ke-1, anggota ke-2, anggota ke-3, anggota ke-4, anggota ke-5 dan anggota ke-6 dari anggota kelompokmu! 01 Anggota ke-1 mengambil 3 kartu berwarna merah dan menyusunnya diatas meja. Anggota ke-2 mengambil 2 kartu berwarna biru kemudian menyusunnya di samping kartu yang telah diambil oleh anggota ke-1. Anggota ke-3 mengambil kembali 3 kartu warna merah dan menyusunnya sejajar dengan kartu yang telah diambil anggota ke-3. Anggotake-4 mengambil 2 kartu warna biru dan menyusunnya di samping kartu warna merah. Anggota ke-5 megambil 3 kartu warna merah dan 2 kartu warna biru lalu menyusunnya bersejajar dengan kartu yang telah diambil sebelumnya. Anggota ke-6 mendeskripsikan kegiatan yang telah dilakukan anggota ke-1, ke-2, ke-3, ke-4 dan ke-5 dalam bentuk simbol dan paragraf (minimal satu paragraf). 02 03 04 05 06 07
68 Perkalian merupakan salah satu dari empat operasi dasar di dalam aritmatika dasar. Secara matematika yang dimaksud dengan perkalian adalah penjumlahan berulang dari bilanganbilangan yang sama pada setiap sukunya. Misalnya 3 × 2 dapat dihitung dengan menjumlahkan 2 sebanyak 3 kali. 3 × 2 = 2 + 2 + 2 = 6 Contoh lainnya dalam ekonomi, 4 anak membeli 1 buku Rp. 1.000,00. Penulisan dalam bentuk perkalian adalah: 4 × Rp. 1.000,00. Penulisan dalam bentuk penjumlahan adalah: Rp. 1.000,00 + Rp. 1.000,00 + Rp. 1.000,00 + Rp. 1.000,00. Pada umumnya, persoalan perkalian bilangan cacah dapat dipelajari dengan berbagai pendekatan. Selanjutnya, mari samasama kita diskusikan berbagai pendekatan dalam perkalian bilangan cacah. Berdasarkan kegiatan yang telah kalian lakukan, uraikan apa yang dimaksud dengan perkalian….. Kelompok : Nama : Alat/bahan: Boleh disesuaikan dengan benda-benda yang terdapat di lingkungan
69 Lakukanlah percobaan berikut dengan teman kelompokmu! Nora memiliki 3 kantong plastik batu, masing-masing kantong berisi 4 batu. Berapa jumlah batu dimiliki Nora? Praktekkan dan tuliskan beberapa prosedur/cara menghitung batu yang dimiliki oleh Nora? 01 Rahman sedang sakit demam, ia diberikan resep obat dengan aturan minum 3×1 sehari oleh dokter. Sedangkan Fadhil sakit gigi dan disarankan minum obat dengan aturan minum 1×3 sehari. Jelaskan perbedaan aturan minum obat yang disarankan dokter untuk Rahman dan Fadhil! Berdasarkan kasus tersebut, jelaskan perbedaan 3×1 dengan 1×3! 02 Ismi hendak menyambung 3 lidi, masing-masing lidi panjangnya 6 centimeter. Berapa centimeter panjang lidi yang telah disambung Ismi? Praktekkan dan tuliskan prosedur/cara menyambung lidi yang dimiliki Ismi. 03 Ahmad memiliki 4 model celana dan 3 model baju. Berapa pasangan (celana dan baju) yang bisa dipadukan oleh Ahmad? Buatlah 4 model celana dan 3 model baju, lalu gambarkan berapa kemungkinan pasangan yang bisa dipadukan oleh Ahmad. 04
70 Susunlah batu seperti gambar berikut! Berdasarkan percobaanmu, jajaran yang tegak dinamakan kolom dan jajaran yang mendatar dinamakan baris. Ada berapa bariskah jajaran batu tersebut? dan ada berapa kolomkah jajaran batu? Berapakah jumlah batu seluruhnya? Dapatkah kamu membuat hubungan antara banyaknya jajaran baris dan banyak jajaran kolom dengan jumlah batu seluruhnya? Jelaskan jawabanmu! Sebuah penginapan memiliki 376 kamar. Setiap kamar dapat ditempati oleh 3 hingga 4 pengunjung. Berapa jumlah maksimal pengunjung dapat menempati hotel tersebut? 06 Berdasarkan percobaan yang telah kamu lakukan, tahukah kamu apa saja pendekatan dalam operasi perkalian bilangan cacah? Yuk kita simak penjelasannya berikut ini! 05
71 PENDEKATAN DALAM PERKALIAN BILANGAN CACAH 1. Perkalian Bilangan Cacah melalui Himpunan atau Kumpulan Perkalian bilangan cacah dapat dipelajari dengan menggunakan pendekatan himpunan atau kumpulan, yaitu dengan menggunakan himpunan-himpunan lepas yang ekuivalen dan sejenis. Diskusikan soal berikut dengan teman kelompokmu! Dengan menggunakan pendekatan himpunan atau kumpulan, kita dapat gambarkan sebagai berikut: Banyaknya himpunan atau kumpulan adalah 3 dan masing-masing anggota himpunannya adalah 4. Banyaknya anggota himpunan adalah 3 × 4 = 12. 2. Perkalian Bilangan Cacah melalui Pengukuran Perkalian bilangan cacah melalui pengukuran dapat ditempuh dalam beberapa cara, yaitu: dengan garis bilangan, Fajar memiliki 3 bungkus permen karet. Masing-masing bungkusnya berisikan 4 buah permen karet. Berapa buah permen karet yang dimilikioleh Fajar?
72 timbangan bilangan, batang kuesioner dan luas. Penjelasannya sebagai berikut: a. Perkalian melalui Garis Bilangan Contohnya: Penyelesaian perkalian diatas dengan menggunakan garis bilangan adalah sebagai berikut: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dari garis bilangan di atas tampak bahwa soal di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian 3 × 2 = 6. b. Perkalian melalui Timbangan (Neraca) Bilangan Timbangan atau neraca bilangan dapat digunakan untuk memperagakan perkalian bilangan cacah. Untuk menunjukkan 2 × 3 = 6, dilakukan langkah-langkah berikut: 1) Pada lengan timbangan (neraca) bilangan sebelah kiri gantungkan 2 keping batu timbangan pada posisi 3. 2) Timbangan akan timpang atau tidak seimbang. 3) Untuk menyeimbangkan timbangan, di manakah harus diletakkan satu batu timbangan pada lengan kanannya? Jawabannya di posisi 6. Andi menyambung 3 tongkat, masing-masing tongkat panjangnya 2 meter. Berapa meter panjang tongkat yang telah disambung oleh Andi?
73 Dari peragaan di atas didapatkan pernyataan 2 × 3 = 6. c. Perkalian melalui Batang Kuesioner Cara memperagakan perkalian bilangan cacah dengan menggunakan batang kuesioner adalah sebagai berikut: Contohnya kita akan menunjukkan bahwa 3 × 2 = 6, langkah-langkahnya adalah sebagai berikut: 1) Ambil 3 batang kuesioner berwarna ungu yang panjang 2 satuan. 2) Bariskan ketiga batang tersebut secara ujungmengujung. 3) Cari batang kuesioner lain yang berwarna kuning yang panjangnya sepadan dengan ketiga batang ungu yang tersusun di atas. Ternyata yang sepadan adalah batang yang panjangya 6 satuan. 4) Sejajarkan batang kuesioner kuning tersebut dengan batang-batang kuesioner ungu. Perhatikan gambar berikut: 2 2 2 6
74 Dari peragaan tersebut didapatkan pernyataan 3 × 2 = 6. d. Perkalian melalui Luas Perkalian bilangan cacah dapat ditunjukkan dengan menggunakan luas. Untuk memperagakan 2 × 5 misalnya, dapat diperagakan dengan persegi panjang dengan lebar 2 satuan dan panjang 5 satuan. Untuk memperagakan 3 × 2 dapat diperagakan dengan persegi panjang dengan lebar 3 satuan dan panjang 2 satuan. Perhatian gambar berikut: 2222 Dari peragaan tersebut didapatkan pernyataan bahwa 2 × 5 = 10 dan 3 × 2 = 6. 3. Perkalian Bilangan Cacah melalui Jajaran Jajaran atau arrange adalah susunan benda-benda dalam bentuk persegi panjang. Berikut ini contoh beberapa buah jajaran. (a) (b) Jajaran tegak mendatar disebut baris dan jajaran tegak disebut lajur atau kolom. Pada gambar (a) ada 2 baris dan 4 lajur dan pada gambar (b) ada 3 baris dan 5 lajur. 2 × 5 = 10 3 × 2 = 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 2 3 4 5 6
75 Untuk menunjukkan bahwa 3 × 4 = 12, kita harus mengambil sebuah jajaran dengan banyak baris 3 dan banyak lajur 4. Perhatikan gambar berikut: 3 × 4 = 12 4. Perkalian Bilangan Cacah melalui Produk Cartesius Pada Matematika, yang dimaksud dengan produk (perkalian) Cartesius adalah perkalian silang dari 2 himpunan. Perhatikan contoh berikut: Tono mempunyai 2 buah celana dan 3 buah baju. Bila dipasangkan, berapa buah pasangan berbeda pakaian yang dimiliki oleh Tono? Pemeragaanya adalah sebagai berikut: Dari tabel di atas, tampak bahwa dari 2 buah celana dan 3 buah baju diperoleh pakaian yang berbeda sebanyak 6 pasang. Jadi 2 × 3 = 6.
76 5. Perkalian Bilangan Cacah melalui Penjumlahan Berulang Penjumlahan berulang dapat digunakan sebagai pendekatan untuk membelajarkan perkalian pada bilangan cacah. Kita perhatikan lagi contoh soal sebelumnya sebagai berikut: Dari soal tersebut jelaslah bahwa banyaknya telur Ibu Ani adalah 6 + 6. Jadi dikatakan 2 × 6 = 6 + 6. Dengan demikian, maka soal-soal 5 × 2, 6 × 1, 4 × 2, 2 × 4 dapat diselesaikan dengan bentuk penjumlahan berulang sebagai berikut: 5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 6 × 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 4 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 = 8 2 × 4 = 4 + 4 = 8 6. Perkalian Bilangan Cacah melalui Cara Mendatar, Bersusun Panjang, dan Bersusun Pendek Contohnya: Meski hasilnya sama, proses 2 × 4 dengan proses 4 × 2 adalah berbeda. Perkalian 2 × 4 merupakan jumlah dari dua bilangan 4. Sedangkan 4 × 2 merupakan jumlah dari empat bilangan 2. Ibu Ani mempunyai 2 keranjang berisi telur. Masingmasing keranjang berisikan 6 butir telur. Berapa butir telur yang dimiliki oleh ibu Ani?
77 Soal tersebut dapat diselesaikan dengan cara mendatar, bersusun panjang, dan bersusun pendek. Perkalian melalui cara mendatar: Perkalian dengan cara mendatar dilakukan dengan cara mengalikan semua nilai tempatnya secara mendatar. Perhatikan penyelesaian berikut: 376 × 4 = (300 + 70 + 6) × 4 = (300 × 4) + ( 70 × 4) + ( 6 × 4) = 1.200 + 280 + 24 = 1.504 Perkalian melalui cara bersusun panjang: Perkalian dengan cara mendatar dilakukan dengan cara mengalikan semua nilai tempatnya secara menurun. Perhatikan penyelesaian berikut: Sebuah hotel memiliki 376 kamar. Setiap kamar ditempati 4 orang. Berapa orang dapat menemati hotel tersebut?
78 376 4 24 280 1.200 1.504 Perkalian melalui cara bersusun pendek: Perkalian dengan cara bersusun pendek hanya untuk membina keterampilan agar dapat berkompetensi secara cepat, bukan untuk menjelaskan konsepnya. Perhatikan penyelesaian berikut: 3 2 3 7 6 4 1.504 Langkah melakukan perkalian dengan cara bersusun pendek di atas adalah sebagai berikut: 1) Kalikan satuan 6 dengan 4. Didapatkan 6 × 4 = 24. Tulis 4 dan simpan angka 2 pada ruas puluhan ( di atas angka 7). 2) Kalikan bilangan puluhan 7 dengan 4 dan tambahkan dengan simpanan pada langkah pertama tadi. Didapatkan ( 4 × 7) + 2 = 28 + 2 = 30. Tulis 0 dan simpan angka 3 pada ruas ratusan (di atas angka 3). 3) Kalikan bilangan ratusan 3 dengan 4 dan tambahkan dengan simpanan pada langkah kedua tadi. Didapatkan (3 × 4) + 3 = 12 + 3 =15. Tulis angka 5 pada ruas ratusan dan tulis angka 1 pada ruas ribuan. 4) Didapatkan 376 × 4 = 1.504 Jadi, dapat dinyatakan bahwa 376 × 4 = 1.504. Selanjutnya, tahukah kamu sifat-sifat apa saja yang berlaku pada operasi perkalian bilangan cacah? × × ×
79 DALAM PERKALIAN BILANGAN CACAH BERLAKU SIFAT-SIFAT SEBAGAI BERIKUT 1. Sifat Tertutup Sifat tertutup dalam perkalian bilangan cacah maksudnya ialah: Contoh: 3 × 7 = 21 3 dan 7 adalah bilangan cacah 21 juga merupakan bilangan cacah 2. Sifat Pertukaran (Commutative) Sifat pertukaran (komutatif) didefinisikan: Contoh: 2 × 9 = 9 + 9 = 18 9 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 Jadi, 2 × 9 = 9 × 2 = 18 3. Sifat Pengelompokkan (Assosiatif) Bentuk sifat asosiatif (sifat pengelompokkan) dalam perkalian bilangan cacah adalah: Contoh: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24 Jika ada dua bilangan cacah atau lebih diperkalian, maka hasilnya bilangan cacah pula. Untuk semua bilangan cacah a dan b berlaku: a × b = b × a Untuk setiap bilangan cacah a, b dan c, berlaku: (a × b) × c = a × (b × c)
80 4. Elemen Identitas dan Sifat Perkalian dengan Bilangan 0 (nol) Bilangan 1 (satu) adalah elemen identitas perkalian sehingga: Sedangkan untuk bilangan 0 (nol): Contoh: 4 × 1 = 4 1 × 4 = 4 Jadi, 4 × 1 = 1 × 4 = 4 10 × 0 = 0 0 × 10 = 10 Jadi, 10 × 0 = 0 × 10 = 10 5. Sifat Penyebaran (Disributif) a. Sifat penyebaran perkalian terhadap penjumlahan Contoh: 7 × (10 + 3) = 7 × 13 = 91 (7 × 10) + (7 × 3) = 70 + 21 + 91 Jadi, 7 × (10 + 3) = (7 ×10) + (7 × 3) = 91 8 × (10 + 3) = 8 × 13 = 104 ( 8 × 10) + (8 × 3) = 80 + 24 = 104 Untuk setiap bilangan cacah a berlaku: 1 × a = a × 1 = a Untuk setiap bilangan cacah a berlaku: 0 × a = a × 0 = 0 Untuk setiap bilangan cacah a, b dan c berlaku: a × (b + c) = (a × c) + (a × c) dan (b + c) × a = ( b × a) + ( c × a)
81 Jadi, 8 × (10 + 3) = (8 × 10) + (8 × 3) = 104 b. Sifat penyebaran perkalian terhadap pengurangan Contoh: 7 × (10 – 3) = 7 × 7 = 49 (7 × 10) – (7 × 3) = 70 – 21 = 49 Jadi, 7 × (10 – 3) = (7 × 10) – (7 × 3) = 49 8 × (10 – 3) = 8 × 7 = 56 (8 × 10) – (8 × 3) = 80 – 24 = 56 Jadi, 8 × (10 – 3) = ( 8 × 10) – (8 × 3) = 56 Untuk setiap bilangan cacah a, b dan c berlaku: a × (b - c) = (a × c) - (a - c) dan (b - c) × a = ( b × a) - ( c × a)
82 AYO BERLATIH! 1. Selesaikan perkalian berikut dengan cara bersusun panjang atau cara pendek! a. 32 × 3 =… b. 24 × 2 =… c. 37 × 2 =… d. 52 × 5 =… e. 48 × 7 =… 2. Kerjakan soal cerita berikut! a. Asep memiliki 12 ayam, setiap ayam dalam satu hari menghabiskan 3 mangkok makanan. Berapa mangkok makanan yang harus disediakan Asep setiap harinya? b. Perpustakaan SD Permata Hati memiliki 2 rak buku, setiap rak buku berisi 45 buku. Berapakah jumlah keseluruhan buku di perpustakaan SD Permata Hati? c. Ibu sedang memasang kancing baju pada 14 seragam. Setiap baju membutuhkan 7 kancing. Berapa kancing yang ibu siapkan untuk dipasang pada seluruh baju seragam? d. Azizah sangat menyukai kucing. Ia mempunyai 21 kucing yang sehat dan menyenangkan. Berapakah jumlah kaki keseluruhan kucing Azizah? e. MIN 1 Banda Aceh mengirimkan siswa-siswinya mengikuti lomba di tingkat kecamatan. Setiap tingkat kelas diwajibkan mengirimkan 13 siswa terbaiknya. Berapa keseluruhan siswa yang dikirim MIN 1 Banda Aceh untuk mengikuti lomba di tingkat kecamatan? 3. Selesaikan soal-soal berikut dengan menggunakan pendekatan pada operasi perkalian bilangan cacah! a. Pak Wicak memiliki 5 kaleng permen yang berisi 48 permen. Berapa jumlah permenkah yang dimiliki oleh pak Wicak? b. Airin memiliki 5 pita yang masing-masing memiliki panjang 10 cm. Airin hendak menyambung semua
83 pita yang dimilikinya menjadi satu. Berapa cm panjang pita yang telah disambung oleh Airin? c. Namira merupakan seorang pelajar di pondok pesantren A. Disana ia hanya diperbolehkan membawa 3 rok dan 5 baju. Berapa pasang model baju yang dapat dipakai Namira? d. Dengan menggunakan pendekatan jajaran buktikannlah bawah 12 × 2 = 24! e. Dalam satu hari Aidil berhasil memancing 7 ekor ikan. Apabila Aidil memancing 6 hari berturut-turut, berapa ekor ikan yang berhasil ditangkap oleh Aidil? Ayoooo…… Kita menuju bab terakhir pembahasan bilangan cacah! Wah kamu hebat! Ayo makin semangat belajarnya!
84 Pembagian adalah operasi matematika yang dilakukan untuk membagi bilangan cacah menjadi dua bagian yang sama besar. Contoh operasi pembagian adalah 6 ÷ 2 = 3. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan pembagian dengan cara membagi bilangan cacah menjadi bagian-bagian yang sama besar hingga mencapai hasil akhir. Diskusikan masalah berikut ini dengan teman kelompokmu! Langkah-langkah penyelesaian dari operasi pembagian di atas adalah sebagai berikut: Ada 6 buah kue yang harus dibagi sama rata kepada 3 anak. Model diagram 6 : 3 = … Simbol Model konkret BAGIAN 7 Pembagian Bilangan Cacah Ada 6 buah kue yangharus dibagi sama banyak kepada 3 anak. Berapa buah kue yang didapatkan setiap anak?
85 Setelah berdiskusi dengan teman kelompokmu. Tahukah kamu apa yang dimaksud dengan pembagian? Untuk lebih memahani konsep pembagian bilangan cacah. Selesaikan persoalan berikut ini! Seorang guru menyediakan 6 buah bolpoin. Kemudian siswa diminta membagi rata (sama banyak) keenam bolpoin. Bagaimana cara kamu membagi sama banyak 6 buah bolpoin itu kepada 2 orang temanmu? Dan berapa banyak bolpoin yang diterima oleh masing-masing temanmu? Berdasarkan hasil diskusimu, jelaskan konsep pembagian adalah…..
86 1. Diketahui di dalam sebuah wadah berisi 20 permen. Kemudian 20 permen tersebut dibagi kepada empat anggota, sehingga ke empat anggota mendapatkan permen yang jumlahnya sama. Berapa permen yang diperoleh masing-masing anggota? Bagaimanakah cara kalian membagikannya? Gambarkan jawabanmu di kertas! 2. Diketahui di atas suatu wadah terdapat 44 potongan bolu. Kemudian bolu tersebut dibagikan kepada sebelas anggota, sehingga kesebelas anggota masing-masing mendapat bagian bolu yang jumlahnya sama. Berapa bolu yang didapatkan masing-masing anggota? Bagaimanakah cara kalian membagikannya? Gambarkan jawabanmu di kertas! 3. a. Berdasarkan soal nomor 1, maka 20 : 4 =… b. Tentukan juga hasil dari 4 × 5 =… c. Apakah ada hubungan antara 20 : 4 = 5 dengan 4 × 5 = 20? Jelaskan! 4. a. Berdasarkan soal nomor 2, maka 44 : 11 =… b. Tentukan juga hasil dari 11 × 4 =… c. Apakah ada hubungan antara 44 : 11 dengan 11 × 4? Jelaskan! Kelompok: Nama: Lakukanlah percobaan berikut dengan anggota kelompokmu, kemudian buat hasilnya pada selembar kertas!
87 Contoh: 12 : 3 = 4 sebab 4 × 3 = 12 42 : 7 = 6 sebab 6 × 7 = 42 20 : 5 = 4 sebab 4 × 5 = 20 a : b =… artinya adalah sekumpulan benda sebanyak a dibagi rata (sama banyak) dalam b kelompok. Maka cara membaginya dilakukan dengan pengambilan berulang sebanyak b sampai habis dengan setiap kali pengambilan dibagi rata ke semua kelompok. Banyaknya pengambilan ditunjukkan dengan hasil yang didapat masing-masing kelompok. Hasil bagi adalah banyaknya pengambilan/banyaknya anggota yang dimuat oleh masing-masing kelompok. Pendekatan yang dapat digunakan untuk memperagakan operasi pembagian pada bilangan cacah adalah pendekatan himpunan, pengukuran, jajaran dan pengurangan berulang, lawan perkalian, dan bersusun pendek. Pembagian dapat didefinisikan sebagai berikut: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z × y = x a: b = … Untuk lebih mudah memahaminya mari simak penjelasannya sebagai berikut!
88 PENDEKATAKAN PADA OPERASI PEMBAGIAN BILANGAN CACAH 1. Pembagian Bilangan Cacah melalui Himpunan Himpunan dapat digunakan sebagai pendekatan untuk memperagakan operasi pembagian pada bilangan cacah. Perhatikan contoh soal pembagian berikut: Untuk menyelesaikan soal tersebut, dapat dibayangkan sebuah himpunan yang anggotanya 8, kemudian himpunan tersebut dipisah-pisah ke dalam 4 himpunan bagian. Kedelapan anggota himpunan diisikan ke dalam keempat anggota himpunan bagian tersebut. Dari pengisian tersebut, didapatkan fakta bahwa ternyata setiap himpunan bagian beranggotakan 2 anggota. Modelnya adalah sebagai berikut: Dari peragaan pembagian melalui himpunan di atas didapatkan pernyataan 8 : 4 = 2. 2. Pembagian Bilangan Cacah melalui Pengukuran Kita ambil contoh 6 : 2 sebagai pembagian yang hendak diperagakan melalui garis bilangan. Cara memperagakannya adalah sebagai berikut: Ada 8 buah kue yang hendak dibagi rata kepada 4 orang anak. Berapa buah kue yang akan didapat setiap anak?
89 Dengan dimulai dari titik 6, melangkanlah mundur sebanyak 2 satuan hingga sampai di titik 0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Dari peragaan dengan garis bilangan di atas didapatkan fakta bahwa untuk sampai pada titik 0, ternyata diperlukan 3 langkah. Enam ruang garis yang sama panjang tersebut ternyata mengandung 3 ruang garis yang masing-masing panjangnya 2 satuan. Dari sini dapat dinyatakan 6 : 2 = 3. 3. Pembagian Bilangan Cacah melalui Jajaran Cara melakukan pembagian bilangan cacah dengan media jajaran adalah sebagai berikut: Kita ambil contoh pembagian 12 : 4. Kita susun 12 buah objek ke dalam jajaran dengan setiap barisnya terdiri dari 4 objek. Langkah selanjutnya adalah memeriksa banyaknya baris. Ingat, banyaknya baris bukan banyaknya objek. Ternyata banyaknya baris yang terbentuk adalah 3. Perhatikan gambar berikut: Dari pemeragaan pembagian melalui jajaran di atas, dapat dinyatakan bahwa 12 : 4 = 3. 4. Pembagian Bilangan Cacah melalui Pengurangan Berulang Membagi bilangan cacah dapat diperagakan dengan pengurangan berulang. Kita ambil contoh pemabagian 10 : 2.
90 Kurangi 10 tersebut dengan 2 secara berulang-ulang hingga habis atau sisanya lebih kecil dari 2. Setelah itu, kita lihat berapa kali pengurangan telah dilakukan. Perhatikan langkah berikut ini! 10 2 8 2 6 2 4 2 2 2 0 Ternyata untuk sampai pada sisa 0, pengurangan 10 oleh 2 itu terjadi 5 kali. Ini artinya 10 : 2 = 5. 5. Pembagian Bilangan Cacah melalui Kebalikan Perkalian Pembagian bilangan cacah dapat dilakukan melalui kebalikan perkalian. Perhatikan pembagian melalui jajaranjajaran berikut! 12 : 4 = 3 Ke-1 Ke-2 Ke-3 Ke-5 Ke-4
91 12 : 3 = 4 Jajaran pada gambar pertama di atas memiliki arti 3 × 4 = 12, jadi dari 12 : 4 = 3 diperoleh 3 × 4 = 12. Jajaran pada gambar kedua memiliki arti 4 × 3 = 12, jadi dari 12 : 3 = 4 diperoleh 4 × 3 = 12. Dari sini dapat diambil kesimpulan-kesimpulan berikut: 1) Dari berbentuk 12 : 4 =… dapat diperoleh bentuk …. × 4 = 12. Untuk mencari jawaban dari soal 12 : 4 =… dapat dilakukan dengan mencari sebuah bilangan yang apabila dikalikan dengan 4 hasilnya adalah 12. 2) Dari bentuk 12 : 3 =… dapat diperoleh bentuk … × 3 = 12. Untuk mencari jawaban dari soal 12 : 3 =… dapat dilakukan dengan mencari sebuah bilangan yang apabila dikalikan dengan 3 hasilnya adalah 12. 6. Pembagian Bilangan Cacah melalui Cara bersusun Pendek Membagi bilangan dengan cara bersusun pendek dilakukan dengan memperhatikan nilai tempatnya. Kita ambil contoh pembagian 6.822 : 9. Langkah penyelesaian pembagian tersebut dengan cara bersusun pendek adalah sebagai berikut: 1) Membagi ratusannya dengan 9. Didapatkan 68 : 9 =7 ratusan dan bersisa 5 ratusan. 7 9 / 6822 63 5 2) Membagi puluhannya dengan 9. Didapatkan 52 : 9 = 5 puluhan dan bersisa 7 puluhan. 75 9 / 6882 63 52 45 7
92 3) Membagi satuannya dengan 9. Didapatkan 72 : 9 = 8 satuan dan tidak ada sisa. 758 9 / 6822 63 52 45 72 72 0 4) Jadi, 6.822 : 9 = 758. Pada perkalian bilangan cacah berlaku sifatsifat seperti tertutup, pertukaran, dan pengelompokan. Apakah sifat ini berlaku juga untuk pembagian? Berikut penjelasannya.
93 SIFAT-SIFAT PEMBAGIAN BILANGAN CACAH 1. Pembagian Bilangan Cacah Tidak Berlaku Sifat Tertutup Sifat tertutup tidak terpenuhi pada pembagian bilangan cacah. Pada pembagian bilangan cacah hasil baginya belum tentu bilangan cacah. Kita ambil bilangan cacah sembarang, misalnya 5 dan 2. Kita bagikan hingga menjadi 5 : 2 = 2,5. Perhatikan bahwa 5 dan 2 adalah bilangan cacah, namun hasil baginya adalah 2,5 dan ini bukanlah bilangan cacah. Syarat operasi hitung dikatakan bersifat tertutup adalah bilangan yang terlibat dan hasil operasinya harus sama-sama bilangan cacah. 2. Pembagian Bilangan Cacah Tidak Berlaku Sifat atau Tidak Bersifat Komutatif Sifat komutatif tidak terpenuhi pada pembagian bilangan cacah. Kita ambil bilangan cacah sembarang, misalnya 9 dan 3. Apakah 9 : 3 adalah sama dengan 3 : 9? Tentu jawabannya tidak, karena 9 : 3 = 3 sedangkan 3 : 9 = 1/3. Karena 9 : 3 ≠ 3 : 9 maka pembagian pada bilangan cacah tidak berlaku sifat komutatif atau pertukaran. 3. Pembagian Bilangan Cacah Tidak Berlaku Sifat Pengelompokan atau Tidak Bersifat Asosiatif Sifat pengelompokan atau asosiatif tidak terpenuhi pada pembagian bilangan cacah. Kita ambil bilangan cacah sembarang, misalnya 32, 4 dan 2. Apakah (32 : 4) : 2 adalah sama dengan 32 : (4 : 2)? Tentu jawabannya adalah tidak, karena (32 : 4) : 2 = 8 : 2 = 4 sedangkan 32 : (4 : 2) = 32 : 2 = 16. Karena (32 : 4) : 2 ≠ 32 : (4 : 2) maka pembagian pada bilangan cacah tidak berlaku sifat pengelompokan atau asosiatif.
94 4. Pembagian Bilangan Cacah Dengan 0 (Nol) Bilangan cacah apabila dibagi dengan 0 (nol) maka hasilnya tidak dapat didefinisikan. Pada fakta pembagian bilangan cacah, meskipun hasil baginya adalah 0 sampai dengan 9, namun pembagiannya hanya dari 1 sampai dengan 9, sehingga bilangan yang dibaginya adalah bilangan dari 0 sampai dengan 81.
95 AYO BERLATIH! 1. Dengan menggunakan pembagian bersusun hitunglah! a. 24 : 2 =… b. 96 : 3 =… c. 96 : 6 =… d. 72 : 3 =… e. 75 : 5 =… 2. Kerjakan soal cerita berikut: a. Ayah mendapat hadiah satu kaleng permen yang berisi 36 butir permen. Ayah membagikan sama banyak kepada kedua anaknya, Ema dan Emi. Berapa permen yang diterima oleh Emi? b. Pak Syawal memanen 64 buah alpukat. Pak Syawal berkeinginan memberikan kepada tetangga terdekat. Pak Syawal membagi sama rata hasil panennya kepada 3 tetangganya dan juga untuk dirinya. Berapakah buah alpukat yang diterima masing-masing tetangga Pak Syawal? c. Ibu mempunyai sebanyak 81 kue yang akan diletakkan pada kotak kue. Setiap kotak berisi 3 kue. Berapa kotak yang harus disiapkan ibu? d. Peternak ayam petelur hari ini mendapatkan 96 butir telur. Telur yang ada akan dimasukkan pada kotak telur sama rata, masing-masing kotak telur memuat 8 telur. Berapakah jumlah kotak telur yang diperlukan? e. Putu baru kembali dari pulang kampong, Putu membeli 55 gantungan kunci khas Bali. Keseluruhan gantungan kunci tersebut akan dibagikan kepada Azizah, Karel, Slamet, Asep dan Helen dengan sama banyak. Berapa Asep mendapatkan gantungan kunci dari Putu?
96 Operasi bilangan cacah di sekolah dasar mencakup empat jenis operasi dasar yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Pada tahap awal, anak-anak akan mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan, kemudian pada tahap selanjutnya mereka akan mempelajari operasi perkalian dan pembagian. a. Penjumlahan Penjumlahan adalah operasi matematika yang dilakukan untuk menghitung jumlah dari dua atau lebih bilangan cacah. Contoh operasi penjumlahan adalah 3 + 2 = 5. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan penjumlahan secara bertahap, yaitu dengan menambahkan satu bilangan cacah pada satu waktu hingga mencapai hasil akhir. b. Pengurangan Pengurangan adalah operasi matematika yang dilakukan untuk menghitung selisih antara dua bilangan cacah. Contoh operasi pengurangan adalah 5 - 2 = 3. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan pengurangan secara bertahap, yaitu dengan mengurangi satu bilangan cacah pada satu waktu hingga mencapai hasil akhir. c. Perkalian Perkalian adalah operasi matematika yang dilakukan untuk menghitung hasil kali dari dua bilangan cacah. Contoh operasi perkalian adalah 3 x 2 = 6. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan perkalian dengan cara mengalikan satu bilangan cacah dengan bilangan cacah yang lain secara berulang-ulang hingga mencapai hasil akhir. Menurut Heruman (2013), Perkalian adalah operasi matematika penskalaan satu bilangan dengan bilangan lain, sederhananya perkalian merupakan penjumlahan berulang. Oleh karena itu, kemampuan prasyarat yang harus dimiliki peserta didik sebelum mempelajari perkalian adalah penguasaan penjumlahan. d. Pembagian Pembagian adalah operasi matematika yang dilakukan untuk membagi bilangan cacah menjadi dua bagian yang sama besar. Contoh operasi pembagian adalah 6 ÷ 2 = 3. Anak-anak biasanya diajarkan cara melakukan pembagian dengan cara membagi bilangan cacah menjadi bagian-bagian yang sama besar hingga mencapai hasil akhir. BAGIAN 8 Kesimpulan
97 Selain empat jenis operasi dasar tersebut, anak-anak juga akan belajar tentang konsep angka genap dan ganjil. Bilangan genap adalah bilangan cacah yang habis dibagi dua, sedangkan bilangan ganjil adalah bilangan cacah yang tidak habis dibagi dua. Anak-anak juga akan mempelajari sifat-sifat bilangan cacah, seperti sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Pemahaman operasi bilangan cacah yang baik akan membantu anak-anak dalam memahami konsep matematika yang lebih kompleks di kemudian hari.
98 Bab IV Konsep Bilangan Bulat Tujuan Pembelajaran Mendemonstrasikan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat dengan menggunakan benda kongkret Menentukan hasil dari operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat. Mendemonstrasikan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan bulat dengan menggunakan benda kongkret. Mengoperasikan hasil dari perkalian dan pembagian pada bilangan bulat.