99 1. Mengenal Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat merupakan perluasan dari bilangan cacah dimana dalam menyelesaikan permasalahan pengurangan, bilangan cacah tidak tertutup untuk pengurangan bilangan yang lebih kecil dikurangi bilangan yang lebih besar dari pengurangnya. Akan tetapi belum ditemukan sejarah terkait kapan bilangan bulat pertama kali digunakan. Perhitungan cina telah memulai menggunakan batang kayu berwarna hitam dan merah untuk menyatakan negative dan positif dalam transaksi ekonomi sejak tahun 200 SM sampai dengan 200 M. pada transaksi tersebut, untuk debit digunakan batang kayu hitam (negative) dan untuk kredit digunakan batang kayu merah (positif). Sebagai contoh, pada saat mengurangkan 5 dari 3 ketika melakukan transaksi mereka meletakkan 3 batang kayu merah dan lima batang katu hitam. Batang kayu yang memiliki pasangan mereka hilangkan sehingga menyisakan dua batang kayu merah, ini berarti 2 yang belum dibayarkan. Berdasarkan peristiwa transaksi ekonomi cina tersebut, dalam memahami konsep bilangan bulat dapat digunakan konteks yang behubungan langsung dengan bilangan negative seperti: laba dan rugi, thermometer, Kumpulan kerikil dalam wadah, atau benda-benda berpasangan yang ada disekitar siswa (potongan kertas dua warna, kancing baju dua warna dan tutup botol dua warna) (Van de Walle dkk, 2010). Bilangan bulat merupakan himpunan bilangan yang terdiri dari {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}. Atau dengan kata lain bilangan bulat merupakan gabungan antara bilangan cacah dan bilangan negative. Dengan demikian, bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif (bilangan yang lebih besar dari nol), bilangan bulat negative (bilangan yang lebih kecil dari nol) dan nol (0). Bilangan bulat biasanya dilambangkan dengan huruf “Z” yaitu “Zahlen” yang berasal dari Bahasa Jerman yang memiliki arti bilangan. Konsep Bilangan Bulat BAGIAN 1
100 Dalam mengurutkan bilangan bulat dapat dilakukan dengan melihat garis bilangan, dengan ketentuan: a. untuk bilangan positif semakin menjauhi nol maka nilainya semakin besar dan semakin mendekati nol maka nilainya semakin kecil; dan b. untuk bilangan nrgatif, semakin mendekati nol maka nilainya semakin besar dan semakin menjauhi nol maka nilainya semakin kecil. Bilangan bulat sangat sering digunakan dalam kehidupan seharihari, seperti pada pengukuran suhu, pengukuran kedalaman laut, transaksi jual beli dan lain sebagainya. Pada pengukuran suhu, angka 30 derajat celcius menunjukkan suhu yng panas dibandingkan angka -30 derajat celcius. Begitu juga pada pengukuran kedalaman laut, jika kedalamannya 20 meter dibawah laut maka kita akan menulisnya dengan -20. Dengan demikian, angka 30, -30, dan -20 merupakan anggota bilangan bulat. Adapun contoh pada transaksi jual beli, yaitu Amir ingin membeli buku tulis untuk kenaikan kelas sebanyak 3 lusin, dengan harga per lusin Rp. 20.000;. Sedangkan uang yang dimiliki Amir sebesar Rp. 50.000; maka untuk membeli buku tersebut uang yang dimiliki Amir berkurang sebesar Rp. 10.000; (-10.000). 2. Operasi Penjumlahan Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan bilangan bulat yaitu: a. Sifat tertutup; artinya apabila dua bilangan bulat di jumlahkan maka akan menghasilkan bilangan bulat juga (a dan b anggota bilangan bulat, maka a + b = c; Dimana c merupakan anggota bilangan bulat juga) Contohnya: -2 + 3 = 1; (-2, 3, dan 1 merupakan anggota bilangan bulat) b. Sifat asosiatif; yaitu (a + b)+ c = a + (b + c) c. Unsur identitas; artinya jika bilangan bulat dijumlahkan dengan nol (sebagai identitas penjumlahan) maka akan menghasilkan bilangan itu sendiri, yaitu a + 0 = 0 + a = a Contoh: -3 + 0 = 0 + (-3) = -3
101 3. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya Sifat-sifat yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat yaitu: a – b = a + (-b) a – (-b) = a + b contohnya: 2 – 10 = 2 + (-10) = -8 2 – (- 3) = 2 + 3 = 5; berdasarkan ontoh tersebut bilangan yang dioperasikan merupakan bilangan bulat dan menghasilkan bilangan bulat juga. 4. Operasi Perkalian Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya Sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bilangan bulat yaitu: a. Hasil perkalian antara dua bilangan bulat atau lebih harus mengikuti ketentuan berikut: 1) Perkalian antara bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh perkaliannya 3 x 3 = 9. 2) Perkalian antara bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh perkaliannya (-3) x (-3) = 9. 3) Perkalian antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh perkaliannya (-3) x 3 = -9. b. Sifat asosiatif, yaitu (a x b) x c = a x (b x c). Contoh: (2 x 3) x (-4) = 2 x (3 x (-4)) = -24 c. Sifat komutatif, yaitu a x b= b x a. Contoh: -2 x 3 = 3 x (-2) = -6 5. Operasi Pembagian Bilangan Bulat dan Sifat-sifatnya Sifat-sifat yang berlaku pada operasi pengurangan bilangan bulat yaitu: a. Hasil pembagian antara dua bilangan bulat atau lebih, harus mengikuti ketentuan berikut. 1) Pembagian antar bilangan bulat positif menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh pembagiannya adalah 9 : 3 = 3.
102 2) Pembagian antarbilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat positif. Contoh pembagiannya adalah (-9) : (-3) = 3. 3) Pembagian antara bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif. Contoh pembagiannya adalah 9 : (-3) = -3. Perlu diingat bahwa hasil bagi antara dua bilangan bulat tidak selalu bilangan bulat (tidak memiliki sifat tertutup untuk pembagian), contohnya 5 : 2 = 2,5 (angka 2,5 tidak termasuk bilangan bulat). b. Tidak berlaku sifat komutatif, contohnya 9 : 3 ≠ 3 : 9. c. Tidak berlaku sifat asosiatif, contohnya (12 : 2) : 3 ≠ 12 : (2 : 3). d. Jika dibagi dengan nol atau nol sebagai nilai yang dibagi, menghasilkan nilai tak berhingga dan tidak terdefinisi. Contohnya adalah sebagai berikut. 1) 4 : 0 = ~ dan 5 : 0 = ~ , sementara 4 ≠ 5 2) 0 : 4 = 0 dan 0 : 5 = 0, sementara 4 ≠ 5.
103 Konsep bilangan bulat terutama bilangan negatif sangat sulit dipahami oleh siswa, sehingga diperlukan model untuk mengajarkan konsep tersebut. Adapun model yang dapat kita gunakan adalah model garis bilangan dan model keping dua warna (atau pencacahan dua warna). Adapun benda2 yang dapat digunakan sebagai model kepingan dua warna seperti kancing baju, tutup botol, potongan kertas dua warna, atau benda lain yang memiliki dua warna berbeda. Model garis bilangan dapat kita kaitkan dengan angka-angka yang ada pada thermometer, yang mana bilangan di bagian kanan nol adalah bilangan positif dan di bagian kiri nol adalah bilangan negatif. Adapun hubungan setiap bilangan dibagian kanan nol dengan dibagian kiri seperti 3 dan -3, 4 dan -4 dan seterusnya disebut dengan “lawan”. Artinya lawan angka 3 adalah -3 dan lawan dari angka 4 adalah -4. Atau dapat juga kita katakana bahwa 3 dan -3 adalah berlawanan, begitu juga 4 dan -4 adalah berlawanan. Gambar 1. Garis bilangan Model garis bilangan lebih bersifat matematis akan tetapi banyak siswa yang mengalami kebingungan. Pada garis bilangan bilangan positif dan negatif ditentukan oleh arah ke kanan atau ke kiri dari nol. Dengan demikian yang perlu digaris bawahi adalah nilai-nilai yang bertanda yang ada pada garis bilangan adalah jarak berarah dan bukan titik pada garis bilangan. Dengan demikian yang menjadi model untuk bilangan bulat adalah jarak berarah bukan titik-titik yang ada pada garis bilangan. Selain model garis bilangan, model lain yang digunakan dalam mempelajari konsep bilangan bulat adalah model kepingan dua warna (pencacahan dua warna yang berbeda). Kepingan dua warna yang berbeda Media Pembelajaran Bilangan Bulat BAGIAN 2
104 saling berlawanan misalkan kepingan berwarna merah dan biru. Jika kepingan berwarna merah sebagai bilangan negatif maka kepingan berwarna biru sebagai bilangan positif (saling berlawanan). Adapun gabungan dari kepingan biru dan kepingan merah akan membentuk nol sebagaimana dapat dilihat pada gambar berikut. Atau Gambar 2. Kepingan dua warna Model lain yang dapat merepresentasikan bilangan bulat adalah model bukit dan lembah. Dimana bukit sebagai bilangan positif dan lembah sebagai bilangan negatif. Representasi model ini sangat berkaitan dengan kontek benda yang berada diatas permukaan laut atau benda yang berada di bawah permukaan laut. Adapun untuk model bukit dan lembah dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 3. Representasi bukit dan lembah untuk konsep bilangan bulat. Berdasarkan gambar di atas, kita dapat mengajarkan konsep bilangan bulat untuk operasi penjumlahan dan pengurangan, selain itu, ilustrasi tersebut juga hampir sama dengan ketinggian pesawat di atas +1 -1
105 permukaan laut dan kedalaman kapal selam di dalam lautan. Operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat dapat dilakukan dengan menggunakan konteks yang sudah disebutkan sebelumnya yaitu menggunakan konteks temperature suhu, pengukuran kedalaman laun dan ketinggian pesawat serta konteks jual beli yang dilakukan dalam kehidupan sehari-hari. Adapun model yang dapat mempresentasikan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat yaitu model garis bilangan dan model keping dua warna (seperti kancing baju, tutup botol, potongan kertas dua warna, atau benda lain yang memiliki dua warna berbeda).
106 Aktivitas 1 (penjumlahan) 5. Sediakan beberapa kepingan yang terdiri dari dua warna, lalu diberikan tanda positif (+) pada kepingan warna biru , dan berikan tanda negatif (-) pada kepingan warna merah. 6. Sebelum mengerjakan perhitungan lebih lanjut, maka kita sepeakati bilangan nol. Dan jika satu kepingan bertanda positif ditambahkan atau dipasangkan dengan satu kepingan bertanda negatif, maka nilainya adalah nol (0). 7. Selanjutnya jika kita ingin menghitung hasil operasi berikut: 3 + (– 4) = …? 8. Cara menghitungnya adalah: ambil tiga kepingan bertanda positif (+), kemudian dibawahnya jejerkan empat kepingan bertanda negatif (-). 9. Terjadi tiga pasangan kepingan positif dan negatif, sebagaimana perjajian kita, setiap pasang tersebut bernilai nol sehingga dapat Aktivitas Pembelajaran Bilangan Bulat BAGIAN 3 + = 0
107 dihilangkan dari barisan, sehingga yang tersisa hanya satu kepingan yang bertanda negatif, sehingga diperoleh jawaban: 3 + (-4) = -1 10.Bagaimana dengan hasil operasi -3 + 4 =.... 11.Bagaimana dengan hasil operasi -3 + (-4) =.... Aktivitas 2 (pengurangan) 1. Sediakan beberapa kepingan yang terdiri dari dua warna, lalu diberikan tanda positif (+) pada kepingan warna biru, dan berikan tanda negatif (-) pada kepingan warna merah. 2. Sebelum mengerjakan perhitungan lebih lanjut, maka kita sepeakati bilangan nol. Dan jika satu kepingan bertanda positif ditambahkan atau dipasangkan dengan satu kepingan bertanda negatif, maka nilainya adalah nol (0). 3. Kita sepakati juga bahwa mengambil sejumlah kepingan berarti konsep pengurangan. 4. Selanjutnya, kita akan hitung 2 – (-3) = …? 5. Ambil dua kepingan bertanda positif 6. Selanjutnya karena negatif dari negatif tiga kita artikan mengambil tiga kepingan bertanda negatif. Tetapi karena tiga kepingan bertanda negatif yang akan kita ambil (dikurang) dari barisan kepingan belum tersedia, maka kita harus menambah barisan tersebut dengan tiga pasangan kepingan negatif dan positif. + = 0
108 7. Selanjutnya seperti maksud kita semula akan mengambil tiga kepingan bertanda negatif, maka barisan kepingan yang tersisa adalah: 8. Dengan demikian diperoleh 2 – (-3) = 5 Latihan 1 1. Urutkanlah bilangan bulat berikut dari yang terkecil ke yang ter besar: 6, 1, -3, 5, -5, 2, 3, 4, -2, -4, -1, 0! 2. Tulislah paling sedikit 5 pasang bilangan yang jika dijumlahkan hasilnya -3! 3. Suhu udara di puncak gunung pada siang hari mencapai -12 0C. Ketika malam hari, suhu udara turun sampai 5 0C. Berapa derajat Celcius suhu udara di puncak gunung itu pada malam hari? 4. Sebuah kapal selam berada pada kedalaman laut 465 m. Untuk menghindari gunung di dalam laut, kapal itu naik 132 m. Beberapa saat Ayo berlatih!
109 kemudian, kapal selam itu turun lagi 117 m. Pada kedalaman berapa meter kapal selam itu sekarang? 5. Tentukan hasil dari: a. 5 + (-3) = … b. -5 – (-3) = … c. -8 x 2 = … d. -70 : 5 = …
110 Dari pembelajaran bilangan bulat dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut: 1. Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan nol. 2. Dalam mengurutkan bilangan bulat dapat menggunakan garis bilangan dengan ketentuan semakin kekanan maka bilangan tersebut bernilai semakin besar, dan semakin ke kiri bilangan tersebut akan bernilai semakin kecil. 3. Guru dapat mengenalkan konsep bilangan bulat dengan menggunakan media pembelajaran yang menarik dan interaktif. Salah satu media pembelajaran yang dapat digunakan dalam kegiatan belajar memahami konsep bilangan bulat dan operasinya adalah kepingan positif negatif, lembah dan bukit, dan garis bilangan. 4. Bilangan bulat sering digunakan dalam banyak hal, seperti dalam menentukan suhu, ketinggian dan kedalaman benda yang ada di permukaan laut, serta dalam transaksi jual beli. 5. Untuk operasi perkalian bilangan bulat: Jika a, b Z, maka: a) a x b = ab. b) (-a) x b = -ab c) a x (-b) = -ab d) (-a) x (-b) = ab 6. Untuk operasi pembagian bilangan bulat: Jika a, b Z, maka: a) a : b = b) (-a) : b = - c) 3. a : (-b) = - d) 4. (-a) : (-b) = Kesimpulan BAGIAN 4
111 Bab V Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Tujuan Pembelajaran Mengidentifikasikan kelipatan suatu bilangan. Menentukan kelipatan persekutuan terkecil Menyelesaikan soal cerita tentang KPK
112 1. Mengenal Kelipatan Suatu Bilangan Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali suatu bilangan dengan setiap bilangan asli. Kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara menambahkan bilangan tersebut dengan bilangan sebelumnya atau mengalikan bilangan tersebut dengan setiap bilangan asli (1, 2, 3, 4, dst). Dengan demikian, untuk menentukan kelipatan suatu bilangan dapat dilakukan dengan dua cara yaitu: a. Menggunakan metode penjumlahan; dan b. Menggunakan metode perkalian Sebagai contoh, untuk menggunakan kedua metode tersebut adalah dalam menyelesaikan permasalahan berikut: Dalam menyambut HUT RI siswa diminta untuk membawa jeruk yang dimasukkan kedalam keranjang kecil (yang setiap keranjang memuat 2 buah jeruk). Jika Ani membawa satu keranjang jeruk, Susi membawa 2 keranjang jeruk, Yuni membawa 3 keranjang jeruk, dan Mira membawa 4 keranjang jeruk. Berapakah jumlah jeruk yang dibawa masing-masing siswa? Metode 1: Untuk memecahkan masalah tersebut, siswa dapat menggunakan metode penjumlahan, yaitu sebagai berikut: Konsep Bilangan Kelipatan BAGIAN 1 Jumlah jeruk Ani Jumlah jeruk Susi 2 2 + 2 = 4
113 Berdasarkan metode 1, untuk menentukan kelipatan 2 dapat dilakukan dengan menambahkan 2 dari bilangan sebelumnya. Metode 2: Metode 2 menggunakan perkalian dalam menyelesaikan permasalahan tersebut, yaitu dengan cara sebagai berikut: Jumlah jeruk Yuni Jumlah jeruk Mira 2 + 2 + 2 = 6 2 + 2 + 2 + 2 = 8 Jumlah jeruk Ani Jumlah jeruk Susi Jumlah jeruk Yuni Jumlah jeruk Mira 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8
114 Berdasarkan metode 2 untuk menentukan kelipatan 2 dapat dilakukan dengan mengalikan 2 dengan 1, 2, 3, dan 4. 2. Kelipatan Persekutuan Kelipatan Persekutuan adalah kelipatan yang sama dari bilanganbilangan tersebut. Atau dengan kata lain, kelipatan Persekutuan adalah kelipatan-kelipatan dari dua bilangan yang bernilai sama. Untuk menentukan kelipatan Persekutuan dua bilangan atau lebih dapat dilakukan dengan beberapa cara diantaranya: a. menggunakan kelipatan bilangan, cara ini dilakukan dengan menentukan setiap kelipatan dari kedua bilangan dan selanjutnya menentukan bilangan-bilangan yang sama yang diperoleh dari kelipatan dua bilangan tersebut. Contoh: tentukan kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3 Langkah 1: menentukan kelipatan 2 Langkah 2: menentukan kelipatan 3 Langkah 3: menentukan bilangan-bilangan yang sama dari kelipatan 2 dan 3 b. Menggunakan tabel, dan Cara ini dengan membuat tabel yang terdiri dari sejumlah bilangan asli (dari 1 sampai seterusnya), kemudian menentukan kelipatan dari dua bilangan atau lebih, kemudian menentukan kelipatan yang sama dari bilangan tersebut. Contoh: tentukan kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3 Langkah 1: buat tabel yang terdiri dari bilangan o sampai seterusnya; Langkah 2: tentukan kelipatan 2 dengan memberi tanda tertentu (Misal: lingkaran) untuk setiap kelipatan 2 tersebut, Langkah 3: tentukan kelipatan 3 dengan memberi tanda tertentu (Misal: silang) untuk setiap kelipatan 3 tersebut, Langkah 4: tentukan bilangan yang mendapat kedua tanda dari kedua lipatan bilangan 2 dan 3. Bilangan tersebut
115 merupakan bilangan kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3. c. Menggunakan garis bilangan. Cara ini dengan menggambarkan garis bilangan dari 0 sampai seterusnya, kemudian menentukan kelipatan dari masing-masing bilangan dan selanjutnya menentukan bilangan yang yang merupakan kelipatan kudua bilangan tersebut. Contoh: tentukan kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3 Langkah 1: buat garis bilangan dari o sampai seterusnya; Langkah 2: untuk kelipatan 2 buat lompatan 2 dimulai dari nol, Langkah 3: untuk kelipatan 3 buat lompatan 3 dimulai dari nol, Langkah 4: tentukan titik (bilangan) yang dilompati oleh kelipatan 2 dan 3 (bilangan yang sama yang merupakan kelipatan 2 dan 3). 3. Pengenalan Bilangan Kelipatan untuk Siswa Sekolah Dasar/Madrasah Untuk mengenalkan bilangan kelipatan kepada siswa, ada beberapa hal yang bisa dilakukan: a. Dengan memberikan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan kelipatan bilangan. b. Berikan penjelasan singkat mengenai metode yang dapat digunakan dalam menentukan kelipatan suatu bilangan. c. Minta siswa untuk menentukan kelipatan suatu bilangan dengan berbagai metode dan media. d. Berikan contoh-contoh penggunaan kelipatan bilangan dalam kehidupan sehari-hari, seperti pada pada lampu kelap-kelip, jadwal konsul, dan peristiwa lain dalam kehidupan sehari-hari. e. Ajarkan cara permasalahan dengan memberikan latihan-latihan sederhana yang berkaitan dengan kelipatan dan kelipatan persekutuan.
116 Media pembelajaran yang dapat digunakan dalam pembelajaran bilangan kelipatan bervariasi, diantaranya guru dapat menggunakan garis bilangan, kartu kelipatan bilangan, dan tabel 100 bilangan asli. Adapun untuk penggunaan garis bilangan, guru dapat membuat garis bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dalam bentuk kartu atau dalam selembar kertas HVS. Contoh: Gambar 1. Contoh Kartu Garis Bilangan Cacah Kartu garis bilangan tersebut dapat digunakan untuk menentukan kelipatan dari suatu bilangan atau menentukan kelipatan Persekutuan dari dua bilangan atau lebih. Untuk banyaknya bilangan yang ada pada garis bilangan sesuai dengan keinginan guru dan soal yang diberikan. Adapun cara penggunaannya untuk dua bilangan, untuk kelipatan bilangan pertama siswa dapat membuat lompatan kelipatan pada sisi atas. Sedangkan untuk kelipatan bilangan kedua siswa dapat membuat lompatan kelipatan pada sisi bawah garis bilangan. Selain garis bilangan media yang dapat digunakan adalah Kartu tabel 100 bilangan asli. Dengan kartu tabel ini siswa dapat menentukan kelipatan satu bilangan atau lebih dengan memberi tanda untuk masingmasing kelipatan dengan tanda yang berbeda. Adapun contoh kartu tabel 100 bilangan asli adalah: Media Pembelajaran Bilangan Kelipatan BAGIAN 2
117 Gambar 2. Kartu Tabel 100 Bilangan Asli
118 Aktivitas 1: menentukan kelipatan dan kelipatan persekutuan 1. Setiap kelompokterdiri dari 2 siswa (pair) dengan masing-masing kelompok memiliki satu kartu garis bilangan dan dua pulpen yang berbeda warna (missal: warna hitam dan merah) 2. Buatlah kartu-kartu soal yang dinagikan kepada setiap kelompok. Gambar 3. Contoh Kartu Soal 3. Dalam kelompok masing-masing menentukan kelipatan dari satu bilangan yang ada pada soal (contoh untuk kelipatan 2 menggunakan pulpen berwarna hitam yang ditentukan oleh si A, dan untuk kelipatan 3 menggunakan pulpen berwarna merah dan ditentukan oleh si B) Gambar 4. Kartu Garis Bilangan kelipatan 2 dan 3 4. Berdasarkan kegiatan pada kartu tersebut, siswa menentukan kelipatan 2, kelipatan 3 dan kelipatan Persekutuan dari 2 dan 3. 5. Untuk kegiatan selanjutnya masing-masing kelompok (mewakili beberapa kelompok) mempresentasikan hasil kegiatannya. Aktivitas Pembelajaran Bilangan Kelipatan BAGIAN 3 Kelipatan dari 2 dan 3 adalah…
119 Latihan 1 1. Tentukan kelipatan dari 4 dan 5 … 2. Tentukan kelipatan persekutuan dari 4, 5, dan 10 3. Apakah 15 kelipatan dari 3? Mengapa? 4. Apakah 27 kelipatan dari 4? Mengapa? 5. Mira dan Siska bermain peluit. Jika Mira meniup peluit setiap 9 detik dan Siswa meniup peluit setiap 12 detik, maka setiap berapa detik mereka meniup peluit secara bersamaan? Ayo berlatih!
120 Dari pembelajaran kelipatan bilangan dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut: 1. Kelipatan suatu bilangan adalah hasil kali suatu bilangan dengan setiap bilangan asli. 2. Untuk menentukan kelipatan suatu bilangan dapat diperoleh dengan cara menambahkan bilangan tersebut dengan bilangan sebelumnya atau mengalikan bilangan tersebut dengan setiap bilangan asli (1, 2, 3, 4, dst). 3. Kelipatan suatu bilangan memiliki bilangan itu sendiri sebagai suatu faktor. 4. Kelipatan Persekutuan adalah kelipatan-kelipatan dari dua bilangan yang bernilai sama. 5. Guru dapat mengenalkan kelipatan bilangan dengan menggunakan media pembelajaran yang bervariasi dan menarik serta memberikan masalah-msalah yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Terdapat beberapa media yang dapat digunakan dalam pembelajaran kelipatan bilangan diantaramya kartu garis bilangan dan kartu tabel 100 bilangan asli. 6. Kelipatan bilangan serig dialami dalam kehidupan sehari-hari, seperti membuat lampu kerlap-kerlip, membuat jadwal kegitan rutin dan sebagainya. Kesimpulan BAGIAN 4
121 Bab VI Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Tujuan Pembelajaran Mengidentifikasikan faktor suatu bilangan. Menentukan faktor persekutuan terbesar Menyelesaikan soal cerita tentang FPB
122 1. Faktor Suatu Bilangan Faktor merupakan pembagi dari suatu bilangan, atau dapat dikatakan dengan bilangan yang membagi habis bilangan lain. Dengan demikian, faktor suatu bilangan adalah bilangan-bilangan yang habis untuk membagi bilangan tersebut. Setiap bilangan cacah kecuali 1 mempunyai paling sedikit 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Jika dikaitkan dengan kelipatan, faktor merupakan sebuah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan yang lain menghasilkan hasil kalinya atau kelipatannya. Contohnya, 2 dan 5 merupakan faktor dari 10, hal ini dikarenakan 10 merupakan kelipatan dari 2 dan 5. Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan faktor suatu bilangan dalam penyelesaiannya merupakan salah satu cara yang dapat diberikan kepada siswa agar memahami makna dari faktor suatu bilangan tersebut. Adapun contoh permasalahan yang dapat diberikan seperti: ani memiliki 12 mie instan yang akan disusun membentuk persegi panjang. Ada berapa kemungkinan bentuk persegi panjang yang dapat dibuat oleh Ani dari susunan mie instan yang dimilikinya? Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, maka Ani melakukan beberapa percobaan untuk mendapatkan berbagai bentuk persegi panjang dari penyususnan mie instan. Adapun Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut: Kemungkinan 1: Susunan di atas menunjukkan bentuk perkalian 1 x 12 = 12 Kemungkinan 2: Susunan di atas menunjukkan bentuk perkalian 2 x 6 = 12 Konsep Faktor Bilangan BAGIAN 1
123 Karena dalam perkalian berlaku sifat komutatif, maka perkalian 2 x 6 sama dengan perkalian 6 x 2 = 12. Kemungkinan 3: Susunan di atas menunjukkan bentuk perkalian 3 x 4 = 12 Karena dalam perkalian berlaku sifat komutatif, maka perkalian 3 x 4 sama dengan perkalian 4 x 3 = 12. Berdasarkan kegiatan penyusunan yang dilakukan, maka diperoleh beberapa perkalian yang hasilnya sama dengan 12. Adapun perkalian tersebut terdiri dari: 1 x 12 = 12 x 1 = 12 2 x 6 = 6 x 2 = 12 3 x 4 = 4 x 3 = 12 Agar memudahkan siswa maka buatlah tabel untuk perkalian yang hasilnya sama dengan 12. 1 X 12 2 6 = 12 3 4 Dari hasil tabel di atas, siswa dapat menentukan faktor dari 12 yaitu: 1, 2, 3, 4, 6, dan 12. Selain itu juga siswa diarahkan untuk memahami bahwa jika 12 dibagi dengan bilangan yang merupakan faktor dari 12 maka hasilnya tidak bersisa (habis dibagi). Sehingga siswa dapat menyimpulkan bahwa faktor adalah pembagi dari suatu bilangan yang membagi habis bilangan lain. 2. Faktor Persekutuan Faktor Persekutuan adalah bilangan-bilangan yang merupakan faktor dari dua bilangan atau lebih. Kita juga dapat mengatakan bahwa faktor Persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan-bilanga yang habis membagi kedua bilangan tersebut. Untuk memudahkan siswa memahami
124 faktor persekutuan, maka guru dapat memberi permasalahan yang terkait dalam kehidupan sehari-hari. Adapun contoh permasalahannya adalah: Ibu Abid membagi 56 buah jeruk dan 42 buah apel dan dimasukkan ke dalam kantong plastik. Masingmasing jenis buah sama banyak pada setiap kantong plastik. Berapa banyak kemungkinan kantong plastik yang diperlukan? Dan berapa buah jeruk dan buah apel dalam satu kantong plastik? Dalam menyelesaikan permasalahan tersebut siswa dapat melakukan dengan beberapa cara yaitu: a. Dengan menentukan faktor dari setiap bilangan. Cara ini dilakukan dengan menentukan faktor dari 56 dan 42 Faktor dari 56 yaitu: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56. Faktor dari 42 yaitu: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42. Dari faktor kedua bilangan tersebut maka diperoleh beberapa bilangan yang sama, bilangan yang sama tersebut dinamakan faktor Persekutuan. Jadi faktor Persekutuan dari 56 dan 42 adalah: 1, 2, 7, dan 14. Jadi kemungkinan jeruk dan apel yang dapat dibagi adalah: Jika 1 plastik, maka terdiri dari 56 jeruk dan 42 apel Jika 2 plastil, maka masing-masing plastik terdiri dari 28 jeruk dan 21 apel Jika 7 plastik, maka masing-masing plastik terdiri dari 8 jeruk dan 6 apel Jika 14 plastik, maka masing-masing plastik terdiri dari 4 jeruk 3 apel. b. Menggunakan tabel untuk menentukan perkalian yang hasilnya bilangan tersebut. 1 X 56 2 28 = 56 4 14 7 8
125 1 X 42 2 21 = 42 3 14 6 7 Dari kedua tabel di atas, diperoleh beberapa bilangan yang sama, bilangan-bilangan yang sama tersebut habis membagi 56 dan 42 yaitu: 1, 2, 7, dan 14. Sehingga kemungkinan-kemungkinan kombinasi jeruk dan apel untuk dibagi adalah: Jika 1 plastik, maka terdiri dari 56 jeruk dan 42 apel Jika 2 plastil, maka masing-masing plastik terdiri dari 28 jeruk dan 21 apel Jika 7 plastik, maka masing-masing plastik terdiri dari 8 jeruk dan 6 apel Jika 14 plastik, maka masing-masing plastik terdiri dari 4 jeruk 3 apel. Hasil tersebut dapat juga disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut: Jumlah plastik Jeruk Apel 1 56 42 2 28 21 7 8 6 14 4 3 Berdasarkan kegiatan tersebut siswa diharapkan mampu menyimpulkan bahwa faktor Persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan yang habis membagi kedua bilangan tersebut. 3. Pengenalan Bilangan Romawi untuk Siswa Sekolah Dasar/Madrasah Untuk mengenalkan lambang bilangan Romawi kepada siswa, ada beberapa hal yang bisa dilakukan: a. Kenalkan tujuh huruf kapital yang digunakan dalam sistem penulisan angka Romawi, yaitu I, V, X, L, C, D, dan M. b. Berikan penjelasan singkat mengenai nilai numerik masing-masing huruf, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000).
126 c. Ajarkan cara membaca angka Romawi dengan contoh sederhana, seperti angka 1 sampai 10. Misalnya, angka 1 ditulis sebagai I, angka 2 ditulis sebagai II, angka 3 ditulis sebagai III, dan seterusnya. d. Berikan contoh-contoh penggunaan angka romawi dalam kehidupan sehari-hari, seperti pada tingkatan kelas (kelas I, kelas II, kelas III dan seterusnya), jam (jam dinding atau jam tangan), pada peringkat kelas (peringkat I, peringkat II, peringkat III), dalam notasi musik, penomoran bab dalam buku, atau dalam penulisan tanggal pada batu nisan atau monumen bersejarah.
127 Guru dapat mengenalkan faktor bilangan dengan menggunakan media pembelajaran yang menarik dan interaktif. Dengan demikian, siswa akan lebih mudah dan menyenangkan untuk belajar tentang faktor bilanngan. Salah satu media pembelajaran yang dapat digunakan dalam kegiatan belajar konsep faktor bilangan dengan menggunakan kartu persegi satuan, kartu tabel perkalian, dan dapat juga menggunakan batu dan permen untuk memudahkan siswa menentukan faktor dari suatu bilangan. salah satu media yang akan dibahas adalah media kartu persegi satuan. Kartu ini dibuat sebanyak 100 lembar agar memudahkan siswa menentukan faktor bilangan dan faktor Persekutuan dari dua bilangan atau lebih. Katru tersebut dapat dibuat dalam satu warna, dan dibutuhkan juga kartu soal untuk mnentukan bilangan berapa yang akan dicari faktornya. Kartu persegi satuan digunakan dengan cara disusun membentuk kemungkinan-kemungkinan persegi panjang berdasarkan jumlah kartu yang diberikan. Gambar.1 Kartu persegi satuan dan kartu soal Media Pembelajaran Faktor Bilangan BAGIAN 2 Faktor dari 56 adalah…
128 Aktivitas 1 1. Kegiatan dilakukan secara berkelompok atau berpasangan. 2. Buatlah kartu-kartu persegi satuan dari kertas HVS berukuran 5cm×5cm, dengan warna yang sama sebanyak 50 sampai 100 lembar. 3. Buatlah kartu-kartu yang bertuliskan soal terkait faktor bilangan. 4. Minta siswa menyusun kartu sebanyak soal yang mereka peroleh membentuk persegi panjang atau menurut baris dan kolom. 5. Gambarkan baris dan kolom yang terbentuk pada tabel yang disediakan. Aktivitas Pembelajaran Faktor Bilangan BAGIAN 3 Faktor dari 56 adalah…
129 Jumlah Persegi satuan:….. No. Gambar baris dan kolom yang terbentuk Banyaknya Dalam Baris Kolom Perkalian 6. Buatlah kemungkinan yang lain untuk menyusun potongan kertas yang tersedia berdasarkan baris-kolom. 7. Dari beberapa kemungkinan yang diperoleh buatlah perlkalian yang menghasikan bilangan yang sudah ditentukan pada kertas soal. 8. Minta siswa untuk menuliskan bilangan-bilangan pengali tersebut. Sehingga siswa mampu menyimpulkan bahwa bilangan pengali yang menghasilkan bilangan yang ada pada soal adalah faktor bilangan tersebut. 9. Kegiatan ini juga dapat dilakukan untuk menentukan faktor Persekutuan.
130 Latihan 1. Tentukan faktor dari 30… 2. Bilangan 20 memiliki faktor sebanyak… 3. Tentukan faktor Persekutuan dari 8 dan 24 4. Ibu Menik mempunyai 48 kilogram gula pasir dan 64 kilogram beras yang akan dibagikan kepada keluarga miskin. Setiap gula pasir dan beras dibagikan sama rata. a. Tentukan kemungkinan-kemungkinan jumlah keluarga yang mendapat bagian? b. Setiap keluarga miskin mendapat berapa kilogram gula pasir dan berapa kilogram beras dari kemungkinan-kemungkinan yang mendapatkan? Ayo berlatih!
131 Dari pembelajaran bilangan romawi dapat dibuat kesimpulan sebagai berikut: 1. Faktor merupakan sebuah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan yang lain menghasilkan hasil kalinya atau kelipatannya. 2. Setiap bilangan cacah kecuali 1 memiliki paling sedikit 2 faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. 3. Faktor Persekutuan dari dua bilangan adalah bilangan-bilanga yang habis membagi kedua bilangan tersebut. 4. Guru dapat menggunakan benda-benda yang ada di lingkungan sekitar untuk memudahkan siswa memahami faktor bilangan. Diantara benda yang dapat digunakan untuk memahami konsep faktor bilangan adalah batu, kelereng, kartu dan benda yang lainnya yang dapat disusun dalam bentuk baris dan kolom. 5. Faktor bilangan sering digunakan dalam banyak hal, seperti dalam membuat kombinasi paket atau bingkisan, dan dalam menyusun kombinasi makanan untuk acara tertentu. Kesimpulan BAGIAN 4
132 Bab VIII Konsep Pecahan Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat: Mengidentifikasikan pengertian pecahan Mendemonstrasikan cara memperoleh pecahan senilai. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal dan sebaliknya Mengurutkan pecahan Menyelesaikan soal cerita tentang pecahan
133 Konsep Pecahan Pecahan merupakan konsep yang utama dan sering diaplikasikan dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya konsep membagi kue menjadi beberapa bagian yang sama besar. Apakah kamu masih mengingat materi Bilangan Bulat, ternyata tidak semua kasus dapat dinyatakan dengan konsep bilangan bulat, misalnya saat berbuka puasa, kamu ingin membagi kue pie ke temantemanmu, dan kue yang diperoleh setiap orangnya tidak dapat dinyatakan dengan bilangan bulat. Jadi bagaimana solusinya? Kita dapat menyatakan bilangan tersebut dengan konsep bilangan pecahan. Perhatikan gambar di bawah ini! Gambar berikut merupakan kue pie susu untuk berbuka puasa, pie tersebut dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang sama. Ingat kembali bilangan pecahan dari masing-masing potongan? Gambar 1. Pembagian Kue Pie menjadi 8 Bagian Sumber: google.com Bilangan pecahan merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan ≠ 0 , a, b Z, a dapat diartikan dari bagian sesuatu yang utuh. Dalam ilustrasi gambar di atas bagian yang diperhatikan biasanya ditandai dengan arsiran, yang dinamakan pembilang. Adapun bagian yang utuh ialah bagian yang dianggap sebagai satuan dan dinamakan penyebut. (Heruman, 2010) Konsep Pecahan BAGIAN 1
134 Pemahaman tentang pecahan juga terdapat dalam ilmum fara’id yaitu terkait dengan pembagian harta warisan. Masalah Kontekstual 1. Ayah membeli kue Ade yang permukaannya berbentuk persegi panjang, kue tersebut hendak dipotong Ibu menjadi 4 bagian yang sama besar, Ali dan Aisyah masing-masing mendapatkan bagian satu potong, dan dua potong sisanya akan disimpan. a. Berapa bagian yang didapat oleh Aisyah, bagaimana menuliskan lambang pecahannya? b. Berapa bagian kue yang akan disimpan oleh Ibu, tulislah lambang pecahannya? c. Ilustrasikan kue Ade, kemudiann arsirlah bagian pecahan yang disimpan Ibu? d. Ilustrasikan kue Ade yang diterima oleh Ali? 2. Sebuah kue puding diiris menjadi 6 bagian sama besar. Aliya memakan 2 6 bagian. Farid memakan 1 6 bagian. Sisanya dimakan oleh Ayah. Berapa bagian kue yang dimakan Ayah ? Siapa yang memakan kue paling banyak ? Siapa yang memakan kue paling sedikit ? Jenis Bilangan 1. Pecahan Biasa Ada banyak sebutan untuk bilangan seperempat, yaitu 2 8 , 3 12 , 4 16 , 5 20, 6 24 , nama tersebut dinamakan pecahan biasa. 2. Pecahan Campuran Masalah Kontekstual Pembelajaran Pecahan BAGIAN 2
135 Pecahan yang memiliki campuran nama bilangan bulat dan nama pecahan biasa, dim ana a nama bilangan bulat dan merupakan nama bilangan pecahan biasa. (Nahrowi, 2006: 221) 3. Pecahan Senilai Perhatikan gambar berikut! (a) (b) Perhatikan dua lingkaran di atas, dua lingkaran tersebut menunjukkan arsiran bagian yang sama, pada gambar (a) lingkaran dibagi menjadi 4 bagian yang sama besar, dengan lambag pecahannya 2 4 sedangkan gambar (b) menunjukkan pecahan 4 8 di mana lingkaran dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar. Secara singkat dapat dikatakan bahwa 2 4 senilai dengan 4 8 . Kemudian kita dapat menginterpretasikn bahwa kita dapat memperoleh 2 4 dari pecahan 4 8 dengan cara membagi pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama ( 4 8 = 4∶2 8∶2 = 2 4 ). Begitupun sebaliknya kita dapat memperoleh 4 8 dari pecahan 2 4 dengan cara mengali pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama ( 2 4 = 2×2 4×2 = 4 8 ). Berdasarkan ulasan di atas kita dapat menyimpulkan pecahan senilai yaitu pecahan-pecahan yang sama nilainya dan dapat diperoleh dengan mengalikan bilangan yang sama pada pembilang dan penyebut dari suatu pecahan.
136 Aktifitas Pembelajaran Konsep Pecahan Materi Konsep Pecahan 1. Ambillah 1 kertas, kemudian bagi menjadi empat bagian yang sama besar. 2. Jika kertas dibagi menjadi empat bagian yang sama besar, maka masing-masing bagian merupakan pecahan atau bagian dari satu kertas sebagai suatu keseluruhan. 3. “satu bagian kertas tersebut besarnya adalah satu dari empat bagian atau cukup disebut dengan … … . 4. Berikan contoh lain dalam kehidupan sehari-hari sebagai ilustrasi bentuk pecahan dan tuliskan lambang pecahannya. 5. Selanjutnya bilangan yang diatas tanda “ … … ” atau ”per” disebut “pembilang” sedangkan bilangan yang terletak di bawah disebut penyebut. Kegiatan selanjutnya yaitu membahas bahwa pecahan dapat dinyatakan dengan menggunakan gambar. Sebagai contoh gambar lingkaran besar yang dibagi menjadi 8 bagian yang sama besar dengan bagian yang diarsir. Banyaknya bagian yang diarsir menunjukkan nilai “pembilang” sedangkan banyaknya keseluruhan bagian dalam lingkaran menunjukkan nilai “penyebut”. Contoh lingkaran yang terdapat 3 bagian yang diarsir Aktifitas 1 Aktifitas Pembelajaran Konsep Pecahan BAGIAN 3
137 sedangkan banyaknya seluruh bagian ada 8 sehingga gambar tersebut menunjukkan pecahan yang nilainya … … . Materi Konsep Pecahan Senilai Ambillah pita dengan 4 macam warna, merah, biru, kuning dan hijau. Panjang seluruh pita adalah 36 cm. Adapun panjang masing-masing pita yang berwarna dibuat bervariasi dengan syarat habis dibagi 36. Misalnya Pita merah 18 cm karena habis dibagi 36, dan 9 cm juga habis dibagi 36, dan seterusnya. Bandingkan potongan-potongan pita berbeda warna yang memiliki panjang sama (misal 1 kertas dengan dua kertas merah). 1 yang masih utuh 2 1 4 1 4 1 8 1 8 1 8 1 8 1 “Apa yang dapat kalian simpulkan tentang pecahan-pecahan yang ditunjukkan dengan daerah yang diarsir?” Bagilah bangun-bangun berikut menjadi dua bagian yang sama besar dengan cara berbeda, paling kurang 3 cara. Kemudian arsirlah salah satu bagian bangun tersebut! Aktifitas 2. Aktifitas 3
138 a. b. Berdasarkan aktifitas 1 dan 2, maka selesaikanlah soal berikut ini! 1. Tulislah lambang pecahan untuk gambar yang diarsir berikut ini! a) b) c) d) …… …… …… …… e) f) f) h) g) h) …… …… …… …… 2. a) b) c) Soal jawab Bagaimana cara kalian mendapatkannya? ... Dari gambar di atas, manakah yang bukan pecahan, jelaskan alasanmu ! Latihan
139 Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan Isilah titik-titik dengan pecahan yang tepat, pecahan-pecahan tersebut mempunyai nilai yang sama meskipun dituliskan dalam bentuk pecahan yang berbeda, pecahan inilah yang disebut pecahan senilai. Perhatikan bambu berikut ini! Perhatikan potongan bambu di atas Pecahan yang senilai dengan 1 2 ialah … = … = … Pecahan yang senilai dengan 1 3 ialah … Pecahan yang senilai dengan 2 3 ialah … Pecahan yang senilai dengan 3 4 ialah … 0 1 0 1 … … … … 0 … … 1 … … … … … … … … … … 0 … … 1 … … 0 … … … … 1 … … … … … … 0 1 … … … … … … … …
140 Selanjutnya dapatkah kalian membandingkan pecahan? Dapatkah kalian membandingkan pecahan 3 4 dan 2 5 ,lihatlah letak bilangannya, semakin ke kanan maka nilai bilangan pecahan tersebut akan semakin … . Perhatikan potongan bambu berikut ini! 3 4 > 2 5 atau 2 5 < 3 4 Kemudian urutkanlah bilangan pecahan berikut dari terbesar ke yang terkecil 4 5 , 3 4 , 3 6 , 2 8 1. Tulislah letak pecahan berikut pada garis bilangan! a. 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5 b. 1 3 2. Isilah titik berikut ini, dengan tanda <, >, = a. 3 4 … 3 5 b. 2 4 … 4 5 c. 1 6 … 2 5 d. 3 4 … 6 8 3. Urutkan pecahan berikut dari yang terkecil! a. 1 4 , 4 8 , 3 5 , 4 3 , 1 5 b. 1 6 , 2 5 , 2 4 , 4 5 , 1 2 4. Tulislah 1 soal cerita dan penyelesaiannya tentang pecahan senilai? 0 1 0 1 Latihan
141 1. Pecahan merupakan bagian dari sesuatu yang utuh. 2. Pecahan dapat dinyatakan sebagai lambang bilangan. Andaikan sebanyak a diantara b keseluruhan yang berukuran sama maka lambang bilangan dapat dituliskan a b 3. Bilangan pecahan dinyatakan dalam bentuk a b , b0, a,b Z, a tidak membagi b 4. Jika a b dan b bukan faktor dari a, maka: 1) Jika a < b dinamakan pecahan biasa 2) Jika a > b dinamakan pecahan campuran 5. Suatu pecahan dikatakan sederhana bila pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan lagi, kecuali 1. Kesimpulan BAGIAN 4
142 Bab IX Operasi Bilangan Pecahan Tujuan Pembelajaran Menjelaskan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahan dengan menggunakan benda kongkret Menentukan hasil dari operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan pecahanh. Mendemonstrasikan operasi perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan dengan menggunakan benda kongkret. Menentukan hasil dari operasi perkalian dan pembagian pada bilangan pecahan. Memecahkan soal cerita tentang bilangan pecahan
143 Pada Bab terdahulu kita sudah membahas konsep pecahan, jenis bilangan pecahan: pecahan biasa, pecahan campuran dan pecahan senilai. Dengan mengeksplorasi pengetahuan sebelumnya maka diskusikan bersama tentang permasalahan operasi bilangan pecahan berikut! Pecahan yang dipelajari siswa di SD/MI merupakan bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk dengan a dan b adalah bilangan bulat dan tidak sama dengan nol. Sukajati (2008: 4), mengungkapkan beberapa makna pecahan, yaitu: 1. Pecahan merupakan bagian yang berukuran sama dari suatu yang utuh atau keseluruhan. 2. Pecahan merupakan bagian dari kelompok yang beranggotakan sama banyak, dan juga menyatakan pembagian. 3. Pecahan Sebagai Perbandingan/Rasio. Operasi hitung bilangan adalah salah satu kegiatan yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian dalam perhitungan susunan angka atau bilangan. Penjumlahan bilangan pecahan adalah menambahkan pecahan satu dengan pecahan yang lainnya. Penjumlahan pecahan baru bisa ditambahkan jika penyebutnya sama. (Purnomosidi, 2018: 3). Pada penjumlahan pecahan berpenyebut sama, maka kita dapat secara langsung menjumlahkannya. Penjumlahan pecahan yang berpenyebut sama dilakukan dengan menjumlahkan pembilang-pembilangnya, sedangkan penyebutnya tidak dijumlahkan. Contoh: 4 6 + 1 6 = ⋯ Operasi Bilangan Pecahan BAGIAN 1 Operasi Penjumlahan Bilangan Pecahan Berpenyebut Sama BAGIAN 2
144 Penyelesaian: 4 6 + 1 6 = 5 6 Masalah Kontekstual Gambar 1. Kue Bronies Untuk lebih memahami konsep penjumlahan pecahan berpenyebut sama, kerjakanlah aktifitas berikut ini! 1. Perhatikan pita berikut ini. Pita tersebut dibagi dalam tiga bagian yang sama besar. Potonglah pita berwarna tersebut sehingga menjadi tiga bagian yang sama. Setiap satu bagian dari pita tersebut Ibu membuat kue bronies dengan berbagai toping kesukaan Allya, yaitu oreo, coklat macha, almond dan caramel seperti gambar disamping. 1. Pada pagi hari, Allya memakan 4 potongan oreo,dan 3 potongan almond, 2. Pada sore hari, Allya mengambil 5 potongan caramel. Berapakah bagian kue yang telah diambil Allya? Aktifitas 1 bagian yang diarsir digabung menjadi Masalah Kontekstual BAGIAN 3 Aktifitas Pembelajaran Operasi Bilangan Pecahan BAGIAN 4
145 berarti 1 pertiga 1 3 . Jika diambil dua bagian berarti 2 3 , jika diambil 3 bagian berarti ....... 2. Ayah Adi ingin membuat taman mini dirumahnya, tanah tersebut akan ditanam dengan rumput hijau. a. 6 potongan rumput menunjukkan pecahan … b. Tambahkan 2 potongan rumput lainnya, bahagian yang ditambahkan menjadi pecahan … c. Berdasarkan hasil tempelan rumput pada bahagian (a) dan (b), maka seluruh bahagian rumput menjadi … Aktifitas 2 1. Sediakanlah kertas karton untuk membandingkan dua pecahan yang memiliki penyebut sama. Tunjukkan pecahan 8 3 dengan menggunakan media origami, kemudian tunjukkan pecahan 8 5 . Kemudian bandingkan ke dua pecahan tersebut? Ilustrasikan media origami 2. Diskusikanlah dengan teman kelompok, mana bagian pecahan yang lebih besar. Kemudian buat 1 soal cerita terkait penjumlahan pecahan berpenyebut sama. 3. Presentasikan jawabanmu di depan kelas!
146 Latihan 1. Tentukan hasil penjumlahan bilangan pecahan berikut ini: a) 2 4 + 3 4 b) 3 6 + 2 1 6 c) 3 5 + 2 5 d) 4 7 + 2 1 7 2. Arsirlah hasil penjumlahan berikut! Berdasarkan gambar di atas, apa yang dapat disimpulkan? … … + … … = … … … … + … … = … … … … + … … = … …
147 Penjumlahan pecahan yang penyebutnya tidak sama adalah dengan cara terlebih dahulu menyamakan penyebutnya. Dalam mencari penjumlahan pecahan berpenyebut tidak sama ada langkahlangkahnya, yaitu: a. Samakan penyebut dengan KPK kedua bilangan tersebut (mencari bentuk pecahan yang senilai). b. Jumlahkan pecahan yang diperoleh seperti pada penjumlahan pecahan berpenyebut sama. Contoh: 1 4 + 1 2 = ⋯ Penyelesaian: Mencari KPK 2 dan 4 Kelipatan 2 adalah 2, 4, 6, 8, … Kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, … KPK dari 2 dan 4 adalah 4. Jadi, 1 4 + 1 2 = 1+2 4 = 3 4 Masalah Kontekstual Menyambut Hari lebaran, biasanya setiap daerah mempunyai ciri khas makanan yang akan disajikan. khususnya di Aceh, lemang menjadi salah satu makanan tradisional yang disajikan. Untuk membuat lemang, Ibu memiliki persedian gula sebanyak 2 3 kg. Karena masih kurang, Ibu harus membeli lagi gula sebanyak 1 4 kg. Berapakah persediaan gula Ibu sekarang? Operasi Penjumlahan Bilangan Pecahan Berpenyebut Berbeda BAGIAN 5
148 Aktifitas pembelajaran 1. Sediakan 4 pita dengan ukuran 10 cm x 5 cm dengan warna yang berbeda. Satu pita berwarna biru, 1 pita berwarna merah dan 2 lembar pita warna putih! 2. Ambil lembaran pita warna biru, bagi menjadi dua bagian yang sama, lalu potonglah satu bagian! 3. Ambil lembaran pita warna merah, bagi menjadi empat bagian yang sama, lalu potonglah tiga bagian dari kertas tersebut! 4. Ambil salah satu lembaran pita putih, lalu bagi menjadi 8 bagian sama besar, kemudian beri garis antara batasan bagian tersebut, sehingga menjadi seperti berikut 5. Selanjutnya, ambil lembaran pita putih yang tersisa, lalu lakukan hal yang sama dengan langkah 4! 6. Tempelkan potongan pitas warna biru dilangkah 2 dan potongan pitas warna merah dilangkah 3 pada lembaran kertas putih di langkah 4 7. Bandingkan hasil tempelan pita pada langkah 6 dengan pita putih pada langkah 5. Apakah ukurannya sama? 8. Jika hasilnya sama, maka 1 3 ......... 2 4 ......... Aisyah mempunyai pita merah yang panjangnya 6 3 meter. Abid mempunyai pita hijau dengan panjang 2 1 meter. Jika kedua pita itu dipotong dengan ukuran yang sama. Samakah panjang pita merah dan hijau setelah dipotong. Berikan alasanmu! Aktifitas 1 Aktifitas 2