แผนการจัดการเรียนรู้

• มจี ุดยอดหรือจดุ สงู สดุ อยู่ท่ี (h, k) อยูท่ ่ี (h, 0)
• คา่ สงู สุดของฟงั กช์ ัน คอื k
• แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
3) ถา้ h > 0 กราฟเลื่อนไปทางขวาตามแกน X และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแกน X
3. สาระการเรยี นรู้
กราฟของฟังกช์ นั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2
4. การบรู ณาการ ทกั ษะการคิด
5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน
5.1 ความสามารถในการส่อื สาร

- ทกั ษะการสอื่ สาร
5.2 ความสามารถในการคิด

- ทักษะการคดิ วิเคราะห์

6. คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์
1. มวี นิ ยั
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มุง่ ม่ันในการทำงาน
7. กจิ กรรมการเรียนรู้

ขั้นนำเข้าสู่บทเรียน

1. นักเรียนร่วมกนั สนทนาทบทวนเกี่ยวกับฟังก์ชนั กำลงั สองท่ีอยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
โดยที่ a ≠ 0 และกรณที จี่ ุดยอดของกราฟอยู่ท่ี (0, 0) หรือ (h, k) = (0, 0) ท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2
โดยยกตัวอยา่ งประกอบการสนทนาได้ว่า กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่ือ a  0

• ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรอื จุดตา่ํ สดุ อยู่ที่ (h, k) อยูท่ ี่ (0, 0) ค่าตำ่ สดุ ของ
ฟงั ก์ชนั คือ 0 (คา่ k = 0) แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h)

• ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่ มีจดุ ยอดหรอื จดุ สูงสุดอยทู่ ี่ (h, k) อยทู่ ่ี (0, 0) ค่าสงู สุดของ
ฟงั ก์ชนั คือ 0 (ค่า k = 0) แกนสมมาตร คอื แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h) และกรณที ก่ี ราฟ
ที่กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0 และ k ≠0 พบข้อสรุป ดงั น้ี

• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดหรือจุดสงู สดุ อย่ทู ี่ (0, k) ค่าสงู สุดของฟงั กช์ นั คือ k
แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h)

• ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มีจุดยอดหรอื จุดสูงสุดอย่ทู ี่ (0, k) คา่ สูงสดุ ของฟังก์ชนั คือ k
แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือ เสน้ ตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h)

2. นักเรยี นรว่ มกันแสดงความคดิ เหน็ โดยใช้คำถามกระตนุ้ ความคดิ ดังน้ี
• ฟังกช์ นั กำลงั สองท่อี ยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0 และ h ≠ 0

สามารถกำหนดดว้ ยสมการอยา่ งไร

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

• เมอื่ กำหนดสมการ y = a(x – h)2 นกั เรียนสามารถบอกลักษณะของพาราโบลา จุดยอด
แกนสมมาตร และค่าตำ่ สดุ หรือค่าสงู สดุ ของฟังกช์ นั ได้หรือไม่ อยา่ งไร

3. นักเรียนศึกษา รวบรวมขอ้ มลู เกยี่ วกับกราฟของฟงั ก์ชนั กำลงั สองที่กำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 จากแหล่งการเรียนรทู้ ี่หลากหลาย เช่น จากการสงั เกต การร่วมสนทนากับเพ่อื นในชน้ั เรียน
จากหนังสือเรยี นหรืออนิ เทอร์เน็ต
ขัน้ กิจกรรม

4. นักเรยี นรว่ มกันพจิ ารณาแถบโจทย์สมการของพาราโบลารูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมือ่
a > 0, h ≠ 0 และ k = 0 ไดว้ ่า y = a(x – h)2 พร้อมตอบคำถามกระตนุ้ ความคิด ดงั นี้

พิจารณาสมการของพาราโบลาต่อไปน้ี
1) y = 2(x – 1)2
2) y = 3(x + 2)2

• จากสมการของพาราโบลาข้อ 1) และข้อ 2) ค่า a มคี ่าเป็นอย่างไร (a  0 และ a > 0)
• จากสมการของพาราโบลาขา้ งต้น h และ k มคี ่าเปน็ อย่างไร (ข้อ 1) ค่า h = 1, k = 0 และ
ข้อ 2) คา่ h = –2, k = 0 พบวา่ h ≠ 0)
• จากสมการของพาราโบลาข้างต้น เป็นพาราโบลาท่ีกำหนดดว้ ยสมการใด (กำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 เมอ่ื a > 0, h ≠ 0 และ k = 0)
• ลกั ษณะกราฟของพาราโบลาข้างตน้ เป็นอย่างไร เพราะเหตุใด (กราฟพาราโบลาหงาย
เพราะ a > 0)
5. จากกิจกรรมข้อ 4. นกั เรียนร่วมกนั เขยี นกราฟของสมการพาราโบลา เพ่อื สำรวจลกั ษณะของกราฟ
บนกระดาน จากนัน้ ผู้แทนนักเรียน 2 คน ออกมาเขียนกราฟทัง้ สองบนแกนเดยี วกัน ดังนี้ (อาจให้นักเรยี น
สำรวจลกั ษณะกราฟโดยใชโ้ ปรแกรม GSP เพื่อความสะดวกในการมองกราฟและประหยัดเวลา)
1) y = 2(x – 1)2
2) y = 3(x + 2)2

วธิ ีทำ 1) y = 2(x – 1)2 จะไดว้ า่ a > 0, h = 1, k = 0
x –2 –1 0 1 2 3 4

y = 2(x – 1)2 18 8 2 0 2 8 18

2) y = 3(x + 2)2 จะไดว้ า่ a > 0, h = –2, k = 0
x –4 –3 –2 –1 0 1 2

y = 3(x + 2)2 12 3 0 3 12 27 48

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

Y

14

(–4, 12) 13
12 (0, 12)
11

(–1) 10
9
(1, 8) 8 (3, 8)

7

g(x) = 3(x + 2)2 6 f(x) = 2(x – 1)2
5

(–1, 3) 4

(–3, 3) 3 (0, 2)
2
(2, 2)
(–2, 0) 1 (1, 0)
X
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 12 3 4 56 7
–1

จากกราฟข้อ 1) y = 2(x – 1)2
• คา่ a มีคา่ เปน็ อยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาทไี่ ดจ้ ากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาหงาย)
• จุดตํ่าสุดของพาราโบลาอยู่ท่จี ุดใด (จดุ (0, 1))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรือเส้นตรง x = 1)
• คา่ ตา่ํ สุดของฟงั ก์ชนั คือเทา่ ใด (0)
• ค่าต่ำสุดของฟงั กช์ ันสอดคล้องกบั คา่ ใดในสมการ (ค่าต่ำสุดของฟงั กช์ นั สอดคล้องกับคา่ k)
จากกราฟข้อ 2) y = 3(x + 2)2
• ค่า a มคี ่าเป็นอยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาทไี่ ด้จากสมการเป็นอย่างไร (เปน็ พาราโบลาหงาย)
• จดุ ตา่ํ สุดของพาราโบลาอยู่ที่จุดใด (จดุ (–2, 0))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = –2)
• คา่ ต่ําสดุ ของฟังก์ชนั คือเท่าใด (0)
• คา่ ต่ำสดุ ของฟงั กช์ ันสอดคล้องกับค่าใดในสมการ (คา่ ต่ำสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกบั ค่า k)

ลักษณะกราฟ

กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = 2(x – 1)2 กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = 3(x + 2)2

1. เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0) 1. เปน็ พาราโบลาหงาย (a > 0)

2. มีจุดยอดหรือจดุ ตาํ่ สุดอย่ทู ่ี (h, k) = (1, 0) 2. มจี ุดยอดหรือจุดตาํ่ สดุ อยู่ท่ี (h, k) = (–2, 0)

3. ค่าต่ำสุดของฟงั ก์ชนั คือ 0 (k = 0) 3. ค่าตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชัน คือ 0 (k = 0)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

x = 0 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เสน้ ตรง x = h)

6.นักเรยี นพิจารณาแถบโจทย์สมการของพาราโบลา

รปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a < 0, h ≠ 0 และ k = 0 ไดว้ า่ y = a(x – h)2 พรอ้ มตอบคำถาม

กระตนุ้ ความคิด ดงั น้ี

พจิ ารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปนี้
1) y = –3(x – 1)2
2) y = – 13 (x + 2)2

• จากสมการของพาราโบลาข้อ 1) และข้อ 2) ค่า a มคี า่ เปน็ อยา่ งไร (a  0 และ a < 0)
• จากสมการของพาราโบลาข้างต้น h และ k มคี ่าเปน็ อยา่ งไร (ข้อ 1) คา่ h = 1, k = 0
และ ข้อ 2) คา่ h = –2, k = 0 พบวา่ h ≠ 0)
• จากสมการของพาราโบลาข้างตน้ เปน็ พาราโบลาท่ีกำหนดด้วยสมการใด (กำหนดด้วยสมการ
y = a(x – h)2 เมื่อ a > 0, h ≠ 0 และ k = 0)
• ลักษณะกราฟของพาราโบลาขา้ งต้นเปน็ อย่างไร เพราะเหตุใด (กราฟพาราโบลาควำ่
เพราะ a < 0)
7. จากกจิ กรรมข้อ 6. นกั เรยี นเขยี นกราฟของสมการพาราโบลาลงสมดุ เพ่ือสำรวจลกั ษณะของกราฟ
บนกระดาน จากนน้ั ผูแ้ ทนนักเรียน 2 คนออกมาเขยี นกราฟทง้ั สองบนแกนเดยี วกัน ดงั น้ี (อาจใหน้ ักเรียน
สำรวจลักษณะกราฟโดยใช้โปรแกรม GSP เพ่ือความสะดวกในการมองกราฟและประหยัดเวลา)
1) y = –3(x – 1)2
2) y = – 13 (x + 2)2

วธิ ที ำ 1) y = –3(x – 1)2 จะไดว้ า่ a < 0, h = 1, k = 0
x –2 –1 0 1 2 3 4

y = –3(x – 1)2 –27 –12 –3 0 –3 –12 –27

2) y = – 31 (x + 2)2 จะได้ว่า a < 0, h = 0, k = 3 0 1
x –5 –4 –3 –2 –1 – 31 –3
y = – 13 (x + 2)2 –3
–43 – 31 0 – 31

Y

(–2, 0) 1 (1, 0) X
–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7

(–5, –3) (0, –––332) (1, –3)
–4
(2, –3) งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

–5

y = – 31 (x + 2)2 –6 y = –3(x – 1)2
–7

จากกราฟข้อ 1) y = –3(x – 1)2

• คา่ a มีค่าเป็นอยา่ งไร (a < 0)

• พาราโบลาที่ได้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาควำ่ )

• จดุ สูงสุดของพาราโบลาอยู่ทจ่ี ุดใด (จุด (1, 0))

• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 1)

• คา่ สูงสุดของฟงั กช์ นั คือเทา่ ใด (0)

• ค่าสงู สดุ ของฟงั กช์ ันสอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ (คา่ สูงสดุ ของฟงั กช์ นั สอดคล้องกบั ค่า h)
จากกราฟข้อ 2) y = – 13 (x + 2)2
• คา่ a มีคา่ เปน็ อย่างไร (a < 0)

• พาราโบลาท่ไี ดจ้ ากสมการเป็นอยา่ งไร (เปน็ พาราโบลาคว่ำ)

• จุดสูงสดุ ของพาราโบลาอยู่ที่จุดใด (จุด (–2, 0))

• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = –2)

• ค่าสงู สุดของฟงั กช์ นั คือเทา่ ใด (0)

• คา่ สงู สดุ ของฟังก์ชนั สอดคล้องกับคา่ ใดในสมการ (ค่าสงู สุดของฟังกช์ นั สอดคล้องกับค่า k)

ลกั ษณะกราฟ
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = – 31 (x + 2)2
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = –3(x – 1)2

1. เป็นพาราโบลาคว่ำ (a < 0) 1. เปน็ พาราโบลาคว่ำ (a < 0)

2. มจี ุดยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่ (h, k) = (1, 0) 2. มีจุดยอดหรือจุดสงู สุดอยู่ที่ (h, k) = (–2, 0)

3. ค่าสงู สดุ ของฟงั กช์ นั คอื 0 (k = 0) 3. คา่ สูงสุดของฟงั กช์ ัน คือ 0 (k = 0)

4. แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือ เสน้ ตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เส้นตรง x = h)

ขัน้ สรปุ
8. นกั เรียนรว่ มกนั อภปิ รายและสรปุ เกย่ี วกับกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0

และ h ≠ 0 โดยเช่ือมโยงจากแถบโจทย์ และการตอบคำถามขา้ งตน้ ดงั นี้
จากกราฟสามารถสรปุ ไดว้ ่า ลักษณะของกราฟทกี่ ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0

และ h ≠ 0 พบข้อสรปุ ดังนี้

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

1) ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย
• มจี ุดยอดหรือจุดตํ่าสดุ อย่ทู ่ี (h, k) อยทู่ ่ี (h, 0)
• ค่าตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชัน คือ k
• แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h

2) ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่
• มจี ุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) อย่ทู ่ี (h, 0)
• คา่ สูงสุดของฟังก์ชัน คอื k
• แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h

3) ถา้ h > 0 กราฟเลอื่ นไปทางขวาตามแกน x และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซ้ายตามแกน x
8. สือ่ /แหล่งเรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 3 เล่ม 1 ของ (พว.)
2. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้พัฒนาการคิด คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 3 เลม่ 1 ของ (พว.)
3. แถบโจทย์

9. การวดั และประเมนิ ผล

จุดประสงค์ วธิ กี ารวัด เคร่ืองมือที่ใช้ เกณฑก์ ารประเมินผล

1. นักเรียนสามารถอธิบาย ตรวจใบงาน เรื่อง ใบงาน เร่ือง กราฟของ
ลกั ษณะกราฟทีก่ ำหนดด้วย กราฟของฟงั ก์ชันกำลัง ฟงั กช์ ันกำลงั สองท่ี
สมการ y = a(x – h)2 เม่ือ สองทกี่ ำหนดด้วย กำหนดด้วยสมการ
a ≠ 0 และ h ≠ 0 ได้ (K) สมการ y = a(x – h)2 เม่ือ

y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h  0 นกั เรียนทำแบบฝึกหัด

a  0 และ h  0 ได้ถูกต้องร้อยละ 60

2. นักเรียนสามารถเขยี น ตรวจใบงาน เรือ่ ง ใบงาน เร่ือง กราฟของ ข้นึ ไป
กราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ กราฟของฟงั กช์ นั กำลงั ฟงั กช์ ันกำลงั สองที่
y = a(x – h)2 เม่อื สองทีก่ ำหนดดว้ ย กำหนดด้วยสมการ
a ≠ 0 และ h ≠ 0 พรอ้ ม สมการ y = a(x – h)2 เมื่อ
ท้ังใหเ้ หตุผลประกอบการ y = a(x – h)2 เมอื่
อธบิ ายเก่ยี วกบั ลักษณะ a  0 และ h  0
กราฟ ได้ (P) a  0 และ h  0

3. แต่งกายเรียบร้อย สงั เกต แบบประเมินการสงั เกต นกั เรียนผา่ นการ

ตัง้ ใจเรยี น และทำงาน ประเมินการสงั เกตร้อย

ตามที่ครสู ่ัง (A) ละ 60 ขน้ึ ไป

คำรบั รองของหัวหนา้ สถานศึกษาหรอื ผู้ทีไ่ ด้รบั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นเิ ทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรียนรูข้ อง......................................................................................

แล้วมคี วามคดิ เหน็ ดังนี้

5. เป็นแผนการจัดการเรียนรู้ท่ี

 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรบั ปรุง

6. การจัดกิจรรมได้นำกระบวนการเรียนรู้

 เนน้ ผ้เู รยี นเปน็ สำคญั มาใชใ้ นการสอนได้อย่างเหมาะสม

 ยงั ไม่เนน้ ผ้เู รียนเปน็ สำคัญ ควรปรับปรุงพัฒนาต่อไป

7. เป็นแผนการจดั การเรยี นรู้ที่

 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรับปรงุ กอ่ นนำไปใช้

8. ข้อเสนอแนะอื่นๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงช่อื .............................................หวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
(นายอภิชาต เจนสารกิ จิ )
…………./……………./…………
บนั ทึกหลังสอนแผนการสอนที่ 9

1. ผลการสอนระดับชนั้ ม....................................
 สอนได้ตามแผนการจดั การเรียนรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ เนอื่ งจาก .........................................................

3. ผลทเ่ี กิดกับผูเ้ รียน
1.) การประเมินผลความรหู้ ลังการเรียน โดยใช…้ ……………………..................................พบวา่ นักเรยี น

ผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ......................……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ขน้ั ต่ำทกี่ ำหนดไวค้ ิดเปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ..........................................................................................................................................................

2.) การประเมินดา้ นทกั ษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ …………………….........................พบว่านักเรยี น
ผา่ นการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขนั้ ต่ำทกี่ ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ
ได้แก่ ....................................................................................................................... ...................................

3.) การประเมินดา้ นคณุ ลักษณะทพ่ี งึ ประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……………………......................พบว่า
นักเรยี นผ่านการประเมนิ คิดเปน็ รอ้ ยละ.......……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ ั้นต่ำที่กำหนดไวค้ ดิ เป็นร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................
3. ปัญหาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจัดการเรยี นรู้ ไมเ่ หมาะสมกบั เวลา
 มีนักเรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มีนักเรียนที่ไม่สนใจเรยี น

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

 อื่น ๆ .............................................................................................................................................
4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแก้ไข

 ควรนำแผนไปปรบั ปรุง เรือ่ ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

.......................................................................................... .....................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรยี นท่ีไมผ่ า่ นการประเมนิ ........................................................................

..............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................
 ไม่มีข้อเสนอแนะ

ลงช่อื ผสู้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วนั ที่......../.................../.................

แบบประเมนิ การสงั เกต

รายการประเมิน สรปุ ผล

เลขท่ี ชอ่ื -สกุล แต่งกาย ตัง้ ใจเรยี น ทำงาน รวม ผ่าน ไม่ผา่ น
เรยี บร้อย ตามท่คี รสู ่งั

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

13
14
15

เกณฑ์การให้คะแนนระดับคุณภาพ ให้ 2 คะแนน
ดี - ปฏบิ ตั ิ ให้ 1 คะแนน
พอใช้ - ปฏบิ ัตบิ างครั้ง ให้ 0 คะแนน
ควรปรบั ปรงุ - ไม่ปฏิบตั ิ
…………………………………………. ผปู้ ระเมิน
เกณฑ์การสรุปผล วันท่ี……………เดือน…………..พ.ศ…………
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรับปรุง 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เรือ่ ง กราฟของฟังกช์ นั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 และ h ≠ 0

นกั เรียนพจิ ารณาแถบโจทย์สมการของพาราโบลารูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เม่อื a < 0, h ≠ 0 และ
k = 0 ไดว้ ่า y = a(x – h)2 พรอ้ มตอบคำถาม ดงั นี้

พิจารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปน้ี
1) y = –3(x – 1)2
2) y = – 13 (x + 2)2

วิธที ำ 1) y = –3(x – 1)2 จะไดว้ า่ a < 0, h = 1, k = 0
x

y = –3(x – 1)2

2) y = – 31 (x + 2)2 จะได้วา่ a < 0, h = 0, k = 3
x
y = – 31 (x + 2)2

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

จากกราฟข้อ 1) y = –3(x – 1)2
• ค่า a มีคา่ เป็นอย่างไร ____________________________________________________
• พาราโบลาทไ่ี ด้จากสมการเป็นอยา่ งไร ________________________________________
• จดุ สูงสุดของพาราโบลาอยู่ท่จี ุดใด ___________________________________________
• แกนสมมาตรคือแกนใด ___________________________________________________
• คา่ สูงสดุ ของฟังกช์ นั คือเทา่ ใด ______________________________________________
• ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ นั สอดคล้องกบั คา่ ใดในสมการ _________________________________
จากกราฟข้อ 2) y = – 13 (x + 2)2
• คา่ a มีค่าเป็นอย่างไร ____________________________________________________
• พาราโบลาที่ได้จากสมการเป็นอยา่ งไร ________________________________________
• จุดสงู สดุ ของพาราโบลาอยู่ทจ่ี ุดใด ___________________________________________
• แกนสมมาตรคือแกนใด ___________________________________________________
• คา่ สูงสุดของฟังกช์ ันคือเทา่ ใด ______________________________________________
• คา่ สูงสดุ ของฟงั ก์ชนั สอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ _________________________________

ลกั ษณะกราฟ

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

จากกราฟสามารถสรุปไดว้ ่า ลักษณะของกราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0
และ h ≠ 0 พบข้อสรปุ ดงั นี้
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________

เฉลยใบงาน เร่อื ง กราฟของฟังก์ชนั กำลังสองท่กี ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่ือ a ≠ 0 และ

h≠0

นกั เรียนพจิ ารณาแถบโจทย์สมการของพาราโบลารูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมือ่ a < 0, h ≠ 0 และ
k = 0 ได้ว่า y = a(x – h)2 พรอ้ มตอบคำถาม ดังน้ี

พจิ ารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปน้ี
1) y = –3(x – 1)2
2) y = – 13 (x + 2)2

วธิ ีทำ 1) y = –3(x – 1)2 จะได้ว่า a < 0, h = 1, k = 0
x –2 –1 0 1 2 3 4

y = –3(x – 1)2 –27 –12 –3 0 –3 –12 –27

x 2) y = – 13 (x + 2)2 จะไดว้ ่า a < 0, h = 0, k = 3
–5 –4 –3 –2 –1 0 1

13 43 31 31งานพฒั นาหล31กั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

y=– (x + 2)2 –3 – – 0– – –3

Y

(–2, 0) 1 (1, 0) X
–12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 1 2 3 4 5 6 7

(–5, –3) (0, –––332) (1, –3)
–4 (2, –3)

–5

y = – 13 (x + 2)2 –6 y = –3(x – 1)2
–7

–8

–9

–10

(–8, –12) –11 (3, –12) (4, –12)
(–1, –12)–12

–13

จากกราฟข้อ 1) y = –3(x – 1)2
• ค่า a มีค่าเป็นอยา่ งไร (a < 0)
• พาราโบลาท่ไี ดจ้ ากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาคว่ำ)
• จดุ สูงสดุ ของพาราโบลาอยู่ท่ีจุดใด (จดุ (1, 0))
• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรือเสน้ ตรง x = 1)
• ค่าสงู สุดของฟงั กช์ ันคือเทา่ ใด (0)

• ค่าสงู สดุ ของฟงั ก์ชันสอดคลอ้ งกับค่าใดในสมการ (ค่าสูงสุดของฟงั ก์ชันสอดคล้องกับคา่ h)
จากกราฟข้อ 2) y = – 13 (x + 2)2
• ค่า a มคี ่าเป็นอยา่ งไร (a < 0)

• พาราโบลาท่ีไดจ้ ากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาคว่ำ)

• จุดสงู สุดของพาราโบลาอยู่ที่จุดใด (จุด (–2, 0))

• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรือเส้นตรง x = –2)

• คา่ สูงสดุ ของฟังก์ชนั คือเทา่ ใด (0)

• คา่ สูงสุดของฟังก์ชันสอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ (คา่ สูงสุดของฟังก์ชนั สอดคล้องกับค่า k)

ลักษณะกราฟ
กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = – 13 (x + 2)2
กราฟที่กำหนดดว้ ยสมการ y = –3(x – 1)2

1. เป็นพาราโบลาควำ่ (a < 0) 1. เป็นพาราโบลาควำ่ (a < 0)

2. มีจุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (h, k) = (1, 0) 2. มจี ุดยอดหรือจดุ สูงสุดอยู่ท่ี (h, k) = (–2, 0)

3. ค่าสูงสุดของฟังกช์ นั คือ 0 (k = 0) 3. ค่าสงู สุดของฟงั กช์ นั คอื 0 (k = 0)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง
x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เสน้ ตรง x = h)

จากกราฟสามารถสรปุ ไดว้ า่ ลกั ษณะของกราฟท่กี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

h ≠ 0 พบขอ้ สรปุ ดงั นี้
1) ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย
• มจี ดุ ยอดหรือจุดตํ่าสดุ อย่ทู ี่ (h, k) อยูท่ ี่ (h, 0)
• คา่ ต่ำสดุ ของฟังกช์ ัน คือ k
• แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
2) ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ
• มีจดุ ยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ที่ (h, k) อยทู่ ่ี (h, 0)
• ค่าสงู สุดของฟังก์ชัน คือ k
• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h
3) ถ้า h > 0 กราฟเล่อื นไปทางขวาตามแกน x และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแก

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 10

รหัสวชิ า ค 20206 ชื่อวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

หนว่ ยการเรียนรูท้ ี่ 1 ฟงั ก์ชันกำลังสอง

เร่อื ง กราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองทกี่ ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 h  0 ; 2 จำนวน 2 คาบ

กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ผจู้ ัดทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรยี นรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจและใช้ความรู้เกี่ยวกบั ฟงั กช์ นั กำลงั สองในการแกป้ ญั หาคณติ ศาสตร์

1.2 จุดประสงค์

1.นักเรียนสามารถอธบิ ายลกั ษณะกราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 , h ≠ 0ได้ (K)

2.นักเรยี นสามารถเขยี นกราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ h ≠ 0 พรอ้ มทั้งให้

เหตุผลประกอบการอธิบายเก่ียวกบั ลักษณะกราฟได้ (P)

3. เขา้ เรียนตรงเวลา ตอบคำถามครเู สมอ และส่งงานตรงเวลา (A)

2. สาระสำคัญ

ลกั ษณะของกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ h ≠ 0 พบขอ้ สรุป ดังนี้

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

1) ถา้ a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย
• มจี ดุ ยอดหรือจุดตาํ่ สุดอยทู่ ี่ (h, k) อยู่ท่ี (h, 0)
• คา่ ตำ่ สุดของฟังกช์ ัน คือ k
• แกนสมมาตร คอื เส้นตรง x = h

2) ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาควำ่
• มจี ดุ ยอดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่ (h, k) อยู่ที่ (h, 0)
• ค่าสูงสุดของฟงั ก์ชัน คอื k
• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h

3) ถ้า h > 0 กราฟเล่อื นไปทางขวาตามแกน X และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแกน X

3. สาระการเรียนรู้ กราฟของฟังก์ชันกำลังสองทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 h  0 ; 2
4. การบูรณาการ ทกั ษะการคดิ
5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน

5.1 ความสามารถในการสอื่ สาร
- ทกั ษะการสอ่ื สาร

5.2 ความสามารถในการคดิ
- ทักษะการคิดวิเคราะห์

5.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา
- ทักษะการแกป้ ญั หา

6. คุณลักษณะอันพึงประสงค์
1. มวี ินยั
2. ใฝเ่ รยี นรู้
3. ม่งุ มัน่ ในการทำงาน
7. กิจกรรมการเรียนรู้

ขนั้ นำเข้าสบู่ ทเรียน
1. นักเรยี นร่วมกนั สนทนาทบทวนเกย่ี วกบั กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่อื a  0 และ

h ≠ 0 โดยนักเรยี นแตล่ ะคนกำหนดสมการพาราโบลาในรปู y = a(x – h)2 เม่อื a  0 และ h ≠ 0 คนละ 1 ขอ้
จากน้นั ผ้แู ทนนักเรียน 2-3 คน ออกมาเขียนสมการที่ตนเองกำหนด โดยมีเพ่ือนคนอน่ื ๆ ช่วยกันบอกลักษณะ
ของพาราโบลา แกนสมมาตร และคา่ ต่ำสุดหรือค่าสงู สุดของฟงั กช์ ัน

2. นกั เรยี นรว่ มกนั แสดงความคดิ เหน็ โดยใช้คำถามกระตุ้นความคิด ดังนี้
• เมอ่ื กำหนดกราฟของสมการ y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h ≠ 0 จุดต่ำสดุ หรอื จดุ สูงสุด

และจดุ ผา่ นของกราฟมาให้ นักเรยี นสามารถหาสมการของกราฟไดอ้ ย่างไร
3. นกั เรียนศกึ ษา รวบรวมข้อมลู เกย่ี วกับกราฟของฟังกช์ นั กำลงั สองท่ีกำหนดด้วยสมการ

y = a(x – h)2 จากแหล่งการเรียนร้ทู ่ีหลากหลาย เชน่ จากการสงั เกต การรว่ มสนทนากับเพ่อื นในช้นั เรียน
จากหนงั สือเรียนหรืออนิ เทอร์เน็ต

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

ขั้นกิจกรรม

4. นักเรยี นร่วมกันพิจารณาแถบโจทย์และหาสมการของพาราโบลาจากกราฟท่กี ำหนดให้ โดยการ

ตอบคำถามกระตนุ้ ความคิด ดงั นี้

จากกราฟ หาสมการของพาราโบลา

Y

3

2

(–4, 0) 1 X
–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1–10 12

(–5, –2) (–3, –2) –2

–3

–4

–5

–6

(–6, –8) –7
(–2, –8) –8

–9

–10

–11

• จากกราฟทก่ี ำหนดใหม้ ีลักษณะกราฟเป็นอย่างไร (เปน็ กราฟคว่ำ)
• มจี ุดยอดทจ่ี ุดใด (จดุ ยอดอยูท่ ี่จุด (–4, 0) = (h, 0))
• กราฟทั้งสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คอื แกน Y)
• กราฟข้างต้นถูกกำหนดด้วยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจุดยอด (–4, 0) ทำให้ทราบว่าคา่ h มีคา่ เท่าใด (h = –4)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นักเรียนควรทราบสิง่ ใดบ้าง (ควรทราบค่า a และ h)
• นกั เรียนสามารถหาคา่ a ได้อย่างไร
วธิ ที ำ เม่ือพจิ ารณาจากกราฟจะเห็นไดว้ ่ากราฟนี้มแี กน Y เป็นแกนสมมาตรและมีจุดยอดอยู่ท่ี (–4, 0)

ดงั นั้น สมการที่กำหนด กราฟอยูใ่ นรปู y = a(x – h)2
เน่อื งจากกราฟผ่านจุด (–5, –2) สามารถหาค่า a โดยแทนคา่ x = –5 , y = –2
และ h = –4 ลงในสมการ y = a(x – h)2 ได้วา่

จากสมการ –2 = a(–5 – (–4))2
–2 = a(–5 + 4)2

จะได้ a = –2
ดังน้ัน สมการพาราโบลา คอื y = –2(x + 4)2
5. นกั เรียนรบั แถบโจทย์ คนละ 2 ข้อ แลว้ รว่ มกันหาสมการจากกราฟท่ีกำหนดให้ จากนั้นผูแ้ ทน
นักเรียน 2 คน ออกมานำเสนอวธิ ที ำหนา้ ช้นั เรียน โดยมนี ักเรียนคนอ่ืน ๆ รว่ มกนั ตรวจสอบความถูกต้องและ
เพ่ิมเติมในสว่ นท่ีขาดหายไปใหส้ มบูรณ์ ดงัYนี้

1 1 (3, 0) 5 6 7 8 9 10 งานพXฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา
234
– – –0
3 2 1– (5, –2)
(1, –2)
–1
2

1)

Y

11

2) 10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–2 –1 0 X
–1

6. นกั เรียนร่วมกันอภปิ รายและสรุปเกยี่ วกบั การหาสมการพาราโบลา y = a(x – h)2 เมือ่ a  0 และ
h ≠ 0 จากกราฟท่กี ำหนด โดยเชือ่ มโยงจากแถบโจทย์ และการตอบคำถามข้างตน้ ดังนี้

ในการหาสมการพาราโบลาจากกราฟท่ีกำหนดให้ สงิ่ ทจ่ี ะต้องทราบ คือ พาราโบลามแี กนสมมาตร
คอื แกน Y มีจดุ ยอดทจ่ี ดุ (h, 0) และต้องทราบจุด (x, y) ใด ๆ ที่พาราโบลาผ่านอย่างน้อย 1 จดุ เพ่ือหาคา่ a
จงึ จะสามารถหาสมการพาราโบลาได้

ขั้นสรปุ

7. นกั เรยี นรว่ มกันกำหนดกราฟพาราโบลาทีม่ ีแกนสมมาตร คือแกน Y จุดยอด (h, 0) และระบุจดุ บน
พาราโบลาอย่างน้อย 1 จดุ จากน้ันนักเรียนร่วมกันหาสมการพาราโบลา y = a(x – h)2
จากกราฟทก่ี ำหนดบนกระดาน ลงในกระดาษลงในสมดุ และสลับผลงานกับเพ่ือน เพอ่ื ร่วมกนั ตรวจสอบและ
แกไ้ ขให้ถูกตอ้ ง

8. นักเรียนร่วมกันสรุปสิง่ ที่เข้าใจเป็นความร้รู ว่ มกนั ดงั นี้
ลกั ษณะของกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a ≠ 0 และ h ≠ 0 พบขอ้ สรุป ดังน้ี
1) ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย
• มีจุดยอดหรือจุดตํา่ สุดอยูท่ ่ี (h, k) อยู่ท่ี (h, 0)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

• ค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน คือ k
• แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = h
2) ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่
• มจี ดุ ยอดหรือจดุ สงู สดุ อยู่ท่ี (h, k) อยู่ที่ (h, 0)
• คา่ สงู สุดของฟงั กช์ ัน คอื k
• แกนสมมาตร คอื เส้นตรง x = h
3) ถา้ h > 0 กราฟเลอ่ื นไปทางขวาตามแกน x และถ้า h < 0 กราฟเล่ือนไปทางซา้ ยตามแกน x

8. สื่อ/แหล่งเรยี นรู้
1. หนงั สือเรียนรายวิชาพืน้ ฐาน คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)
2. ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้พัฒนาการคดิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 3 เลม่ 1 ของ (พว.)
3. แถบโจทย์

9. การวดั และประเมินผล

จุดประสงค์ วิธกี ารวัด เครือ่ งมอื ท่ใี ช้ เกณฑก์ ารประเมินผล

1. นักเรยี นสามารถ ตรวจใบงาน เรือ่ ง ใบงาน เรอื่ ง กราฟของ

อธิบายลักษณะกราฟท่ี กราฟของฟงั ก์ชนั กำลัง ฟังก์ชันกำลงั สองท่ี

กำหนดดว้ ยสมการ y = สองทกี่ ำหนดด้วย กำหนดด้วยสมการ

a(x – h)2 เม่อื a ≠ 0 สมการ y = a(x – h)2 เม่อื

และ h ≠ 0 ได้ (K) y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h  0 นักเรียนทำแบบฝึกหัด

a  0 และ h  0 ไดถ้ ูกต้องร้อยละ 60
ใบงาน เรือ่ ง กราฟของ ขนึ้ ไป
2. นกั เรยี นสามารถเขยี น ตรวจใบงาน เรื่อง ฟังก์ชันกำลังสองที่

กราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ กราฟของฟงั กช์ ันกำลัง กำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 เมื่อ a ≠ 0 สองทกี่ ำหนดด้วย
และ h ≠ 0 พร้อมทั้งให้ สมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื
เหตุผลประกอบการอธบิ าย y = a(x – h)2 เมื่อ
เกีย่ วกับลกั ษณะกราฟ ได้ a  0 และ h  0
(P) a  0 และ h  0

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

3. เข้าเรียนตรงเวลา สังเกต แบบประเมินการสังเกต นกั เรยี นผา่ นการ

ตอบคำถามครเู สมอ ประเมินการสงั เกตร้อย

และส่งงานตรงเวลา (A) ละ 60 ข้นึ ไป

คำรับรองของหัวหนา้ สถานศึกษาหรอื ผู้ทไ่ี ด้รบั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รับรอง)

ไดท้ ำการตรวจแผนการจัดการเรียนรขู้ อง......................................................................................

แล้วมคี วามคดิ เห็นดังน้ี

1. เปน็ แผนการจดั การเรยี นรู้ที่

 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรุง

2. การจดั กิจรรมได้นำกระบวนการเรยี นรู้

 เน้นผูเ้ รยี นเป็นสำคัญมาใชใ้ นการสอนได้อย่างเหมาะสม

 ยังไมเ่ นน้ ผเู้ รียนเป็นสำคัญ ควรปรบั ปรงุ พฒั นาต่อไป

3. เป็นแผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี

 นำไปใชไ้ ด้จรงิ  ควรปรบั ปรุงก่อนนำไปใช้

4. ขอ้ เสนอแนะอื่นๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................หวั หน้ากลมุ่ สาระการเรียนรู้
(นายอภชิ าต เจนสาริกิจ)
…………./……………./…………
บันทกึ หลังสอนแผนการสอนที่ 10

1. ผลการสอนระดับชนั้ ม....................................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรยี นรู้ เน่อื งจาก .........................................................

2. ผลท่ีเกดิ กบั ผ้เู รยี น
1.) การประเมินผลความรู้หลังการเรียน โดยใช้………………………..................................พบวา่ นักเรียน

ผา่ นการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไม่ผ่านเกณฑ์ข้นั ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ิดเป็นร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................

2.) การประเมนิ ดา้ นทกั ษะกระบวนการเรียน โดยใช…้ …………………….........................พบวา่ นักเรียน
ผา่ นการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ข้ันต่ำทก่ี ำหนดไว้คดิ เปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ..........................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ด้านคุณลักษณะท่พี ึงประสงค์ เรียน โดยใช้………………………......................พบวา่
นักเรียนผา่ นการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ.......……. ไมผ่ า่ นเกณฑ์ขัน้ ต่ำท่กี ำหนดไวค้ ิดเป็นร้อยละ
ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. .............................

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

3. ปัญหาและอุปสรรค
 กิจกรรมการจัดการเรยี นรู้ ไม่เหมาะสมกบั เวลา
 มีนักเรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทนั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรยี นที่ไม่สนใจเรียน
 อ่นื ๆ ...................................................................................................................... .......................

4. ขอ้ เสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรอื่ ง .............................................................................................

......................................................................................................... .....................................
............................................................................................................................. ..................

 แนวทางแก้ไขนกั เรยี นที่ไมผ่ า่ นการประเมนิ ........................................................................
..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

 ไม่มีข้อเสนอแนะ
ลงช่ือ ผู้สอน
(นางสาวนวพร งามขำ)
วันที่......../.................../.................

แบบประเมินการสังเกต

รายการประเมนิ สรปุ ผล

เลขที่ ชือ่ -สกุล เขา้ เรียน ตอบคำถาม สง่ งานตรง
ตรงเวลา ครเู สมอ เวลา รวม ผา่ น ไม่ผ่าน

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

9 ให้ 2 คะแนน
10 ให้ 1 คะแนน
11 ให้ 0 คะแนน
12
13 …………………………………………. ผู้ประเมนิ
14 วนั ท่ี……………เดอื น…………..พ.ศ…………
15
เกณฑ์การให้คะแนนระดบั คุณภาพ

ดี - ปฏบิ ัติ
พอใช้ - ปฏบิ ัตบิ างครั้ง
ควรปรบั ปรุง - ไมป่ ฏบิ ัติ
เกณฑ์การสรปุ ผล
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรับปรงุ 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เรอื่ งกราฟของฟังกช์ ันกำลังสองทกี่ ำหนดดว้ ยสมการ
y = a(x – h)2 เม่ือ a  0 และ h  0

ให้นกั เรยี นหาสมการจากกราฟทก่ี ำหนดให้ ดังนี้

1) Y1

–3 –2 –1 0 (3, 0) X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1

–2 (1, –2) (5, –2)

–3

–4

–5

–6

–7 (7, –8)

(–1, –8) –8
–9

–10

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

• จากกราฟทก่ี ำหนดใหม้ ลี ักษณะกราฟเปน็ อยา่ งไร ________________________________
• มีจดุ ยอดทจ่ี ุดใด ________________________________________________________
• กราฟทั้งสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด ________________________________________
• กราฟข้างต้นถูกกำหนดด้วยสมการใด _________________________________________
• จากจุดยอด (–4, 0) ทำให้ทราบว่าค่า h มีค่าเท่าใด _______________________________
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรยี นควรทราบสิ่งใดบ้าง __________________________
• นกั เรียนสามารถหาคา่ a ได้อย่างไร

วิธที ำ

2) Y

11

10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–2 –1 0 X
–1

• จากกราฟที่กำหนดให้มีลักษณะกราฟเป็นอยา่ งไร ________________________________
• มจี ดุ ยอดที่จุดใด ________________________________________________________

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

• กราฟท้ังสองมีแกนสมมาตรคือแกนใด ________________________________________
• กราฟขา้ งตน้ ถูกกำหนดดว้ ยสมการใด _________________________________________
• จากจดุ ยอด (–4, 0) ทำให้ทราบวา่ คา่ h มีค่าเท่าใด _______________________________
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นกั เรียนควรทราบสิ่งใดบ้าง __________________________
• นักเรยี นสามารถหาค่า a ได้อยา่ งไร

วิธที ำ

ใบงาน เรอ่ื งกราฟของฟังก์ชันกำลงั สองทกี่ ำหนดด้วยสมการ
y = a(x – h)2 เมื่อ a  0 และ h  0

ให้นกั เรยี นหาสมการจากกราฟท่กี ำหนดให้ ดงั นี้

1) Y1

–3 –2 –1 0 (3, 0) X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
–1

–2 (1, –2) (5, –2)

–3

–4

–5

–6

–7 (7, –8)

(–1, –8) –8 งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา
–9

–10

• จากกราฟทก่ี ำหนดใหม้ ีลักษณะกราฟเปน็ อยา่ งไร (เปน็ กราฟควำ่ )
• มจี ุดยอดท่ีจุดใด (จุดยอดอยู่ท่ีจดุ (3, 0) = (h, 0))
• กราฟทั้งสองมแี กนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คือ แกน Y)
• กราฟขา้ งตน้ ถูกกำหนดดว้ ยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจุดยอด (3, 0) ทำให้ทราบวา่ ค่า h มีค่าเทา่ ใด (h = 3)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นักเรยี นควรทราบสิง่ ใดบ้าง (ควรทราบค่า a และ h)
• นกั เรียนสามารถหาค่า a ได้อย่างไร

วิธีทำ เมื่อพจิ ารณาจากกราฟจะเหน็ ไดว้ ่ากราฟน้ีมแี กน Y เป็นแกนสมมาตรและมีจดุ ยอด
อยู่ท่ี (3, 0)

ดังนั้น สมการท่ีกำหนด กราฟอยใู่ นรปู y = a(x – h)2
เนอ่ื งจากกราฟผ่านจดุ (5, –2) สามารถหาค่า a โดยแทนค่า x = 5 , y = –2
และ h = 3 ลงในสมการ y = a(x – h)2 ได้ว่า

จากสมการ -2 = a(5 – 3)2
–2 = a(5 - 3)2

จะได้ a = −1

2

ดงั นน้ั สมการพาราโบลา คอื y = −1 (x + (-3))2

2

2) Y

11

10

9

8

7

6

5

4 (4, 4) (6, 4)
3

2

1 (5, 0) X
–2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

–1

• จากกราฟทีก่ ำหนดใหม้ ลี ักษณะกราฟเปน็ อยา่ งไร (เป็นกราฟหงาย)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

• มีจุดยอดท่ีจุดใด (จุดยอดอยู่ที่จดุ (5, 0) = (h, 0))
• กราฟทั้งสองมแี กนสมมาตรคือแกนใด (แกนสมมาตร คือ แกน Y)
• กราฟขา้ งต้นถูกกำหนดดว้ ยสมการใด (สมการ y = a(x – h)2 เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0)
• จากจดุ ยอด (5, 0) ทำให้ทราบว่าคา่ h มีค่าเทา่ ใด (h = 5)
• การหาสมการ y = a(x – h)2 นักเรยี นควรทราบส่งิ ใดบ้าง (ควรทราบค่า a และ h)
• นกั เรยี นสามารถหาค่า a ได้อยา่ งไร

วิธีทำ เมอื่ พิจารณาจากกราฟจะเหน็ ได้วา่ กราฟนมี้ แี กน Y เป็นแกนสมมาตรและมีจดุ ยอด
อยทู่ ่ี (5, 0)

ดังนัน้ สมการท่ีกำหนด กราฟอยู่ในรปู y = a(x – h)2
เน่อื งจากกราฟผา่ นจดุ (6, 4) สามารถหาคา่ a โดยแทนค่า x = 6 , y = 4
และ h = 5 ลงในสมการ y = a(x – 5)2 ไดว้ า่

จากสมการ 4 = a(6 – 5)2
–2 = a(1)2

จะได้ a = –2
ดงั นัน้ สมการพาราโบลา คอื y = –2(x - 5)2

แผนการจดั การเรยี นรูท้ ่ี 11

รหสั วชิ า ค 20206 ชื่อวชิ า คณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม 6 ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 3

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ฟังกช์ ันกำลังสอง

เรอื่ ง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองทก่ี ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k (a,h,k  0) จำนวน 2 คาบ

กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ผจู้ ดั ทำแผนการเรยี นรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เข้าใจและใช้ความรเู้ ก่ยี วกบั ฟังกช์ นั กำลังสองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

1.2 จดุ ประสงค์

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

1. นกั เรยี นสามารถอธบิ ายลกั ษณะกราฟทกี่ ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0
และ k ≠ 0 ได้ (K)

2. นักเรียนสามารถเขยี นกราฟทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠
0 พร้อมทง้ั ให้เหตุผลประกอบการอธิบายเกย่ี วกับลกั ษณะกราฟได้ (P)

3. เข้าเรยี นตรงเวลา ตอบคำถามครเู สมอ และต้ังใจทำงาน (A)
2. สาระสำคัญ

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดที่ (h, k) ค่าตำ่ สุดของฟังกช์ ัน คือ k แกนสมมาตร คอื

เส้นตรง x = h
• ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ มจี ุดยอดท่ี (h, k) ค่าสงู สุดของฟังก์ชัน คือ k แกนสมมาตร คือ

เสน้ ตรง x = h
3. สาระการเรียนรู้ กราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองทก่ี ำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k (a,h,k  0)
4. การบูรณาการ ทักษะการคิด
5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน

5.1 ความสามารถในการส่ือสาร
- ทกั ษะการสอ่ื สาร

5.2 ความสามารถในการคดิ
- ทักษะการคดิ วิเคราะห์

6. คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์
1. มวี ินัย
2. ใฝ่เรียนรู้
3. มุ่งมน่ั ในการทำงาน

7. กจิ กรรมการเรียนรู้
ขัน้ นำเข้าสู่บทเรียน
1. นกั เรียนร่วมกันสนทนาทบทวนเก่ียวกบั ฟังก์ชันกำลังสองท่ีอย่ใู นรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k

โดยท่ี a ≠ 0 สามารถพิจารณาลกั ษณะกราฟในรูปต่าง ๆ ได้ ดงั นี้
1) กราฟกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่ือ a  0 มจี ดุ ยอด (h, k) อยทู่ ี่ (0, 0)
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดหรือจุดต่าํ สุดอยู่ที่ (h, k) อยทู่ ่ี (0,0) ค่าตำ่ สดุ ของ

ฟังกช์ นั คือ 0 (ค่า k = 0) แกนสมมาตร คอื แกน Y หรอื เส้นตรง x = 0 (เสน้ ตรง x = h)
• ถา้ a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่ มีจดุ ยอดหรอื จดุ สูงสุดอยู่ที่ (h, k) อย่ทู ่ี (0, 0) ค่าสูงสุดของ

ฟงั ก์ชนั คือ 0 (คา่ k = 0) แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือ เสน้ ตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

2) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + k เมือ่ a  0 และ k ≠ 0 มีจุดยอด (h, k) อยู่ที่ (0, k)
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ดุ ยอดหรือจุดตํ่าสุดอยู่ท่ี (0, k) ค่าตำ่ สุดของฟงั ก์ชัน คือ

k แกนสมมาตร คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)
• ถา้ a < 0 เปน็ พาราโบลาคว่ำ มีจุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ท่ี (0, k) ค่าสูงสุดของฟังกช์ ัน คอื

k แกนสมมาตร คอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = 0 (เส้นตรง x = h)
3) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เมอ่ื a  0 และ h ≠ 0 มจี ุดยอด (h, k) อยู่ที่ (h, 0)
• ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มจี ุดยอดอยทู่ ี่ (h, 0) คา่ ต่ำสดุ ของฟังก์ชนั คือ k

แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = h
• ถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาควำ่ มจี ุดยอดอยทู่ ี่ (h, 0) คา่ สูงสุดของฟงั ก์ชัน คือ k

แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h
2. นักเรยี นรว่ มกนั แสดงความคิดเห็น โดยใช้คำถามกระตนุ้ ความคิด ดงั น้ี
• เม่ือกำหนดสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 นกั เรยี นสามารถบอก

ลกั ษณะของพาราโบลา จุดยอด แกนสมมาตร และคา่ ตำ่ สุดหรือคา่ สูงสุดของฟงั ก์ชันได้หรือไม่ อยา่ งไร
3. นกั เรียนศกึ ษา รวบรวมขอ้ มลู เกีย่ วกับกราฟของฟังก์ชันกำลังสองท่ีกำหนดด้วยสมการ

y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 จากแหลง่ การเรียนรูท้ ห่ี ลากหลาย เช่น จากการสังเกต
การรว่ มสนทนากบั เพื่อนในช้ันเรยี น จากหนงั สอื เรยี นหรืออนิ เทอรเ์ น็ต
ขน้ั กิจกรรม

4. นักเรียนรว่ มกนั พจิ ารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ
k ≠ 0 พร้อมต้งั คำถามกระต้นุ ความคิด ดังน้ี

พิจารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปนี้

1) y = 2(x – 1)2 + 2
2) y = 3(x + 2)2 – 1

• จากสมการท้งั 2 ข้อ ค่า a มีค่าเป็นอยา่ งไร (a  0 และ a > 0)
• จากสมการข้อ 1) ค่า h และ k มคี ่าเทา่ ใด (ค่า h = 1, k = 2)
• จากสมการขอ้ 2) คา่ h และ k มีคา่ เท่าใด (ค่า h = –2, k = –1)
• สมการขา้ งต้นเป็นพาราโบลาที่กำหนดด้วยสมการใด (กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่ือ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0)
• ลักษณะกราฟพาราโบลาข้างต้นนเ้ี ป็นอย่างไร เพราะเหตุใด (กราฟพาราโบลาหงาย เพราะ a > 0)
5. จากกจิ กรรมข้อ 4. นกั เรียนร่วมกันเขยี นกราฟของสมการพาราโบลา เพือ่ สำรวจลักษณะของกราฟ
บนกระดาน
1) y = 2(x – 1)2 + 2
2) y = 3(x + 2)2 – 1

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

วิธีทำ 1) y = 2(x – 1)2 + 2 จะไดว้ ่า a > 0, h = 1, k = 2
x –2 –1 0 1 2 3 4

y = 2(x – 1)2 + 2 20 10 4 2 4 10 20

2) y = 3(x + 2)2 – 1 จะไดว้ ่า a > 0, h = –2, k = –1 1 2
x –4 –3 –2 –1 0 26 47

y = 3(x + 2)2 – 1 11 2 –1 2 11

Y

13

(–4, 11) 12 (3, 10)
(–3, 2) 11 (0, 11) (2, 4)
(–1, 10) 10

9

8

7

6

5
4 (0, 4)

3 (1, 2)
(–1, 2) 2

1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 123456 X
(–2, –1) –1
–2

จากกราฟข้อ 1) y = 2(x – 1)2 + 2
• ค่า a มีคา่ เปน็ อยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาทีไ่ ด้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาหงาย)
• จดุ ต่ําสดุ ของพาราโบลาอยทู่ ่จี ุดใด (จุด (1, 2))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรือเส้นตรง x = 1)
• ค่าตาํ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั คือเท่าใด (2)
• คา่ ต่ำสุดของฟังกช์ ันสอดคล้องกบั คา่ ใดในสมการ (คา่ ต่ำสุดของฟังกช์ ันสอดคล้องกับค่า k)

จากกราฟข้อ 2) y = 3(x + 2)2 – 1

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

• คา่ a มคี า่ เปน็ อยา่ งไร (a > 0)
• พาราโบลาที่ได้จากสมการเป็นอยา่ งไร (เปน็ พาราโบลาหงาย)
• จดุ ตา่ํ สุดของพาราโบลาอยทู่ จี่ ุดใด (จุด (–2, –1))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรอื เส้นตรง x = –2)
• คา่ ตา่ํ สุดของฟังกช์ ันคือเทา่ ใด (–1)
• คา่ ตำ่ สุดของฟังกช์ นั สอดคลอ้ งกับคา่ ใดในสมการ (คา่ ต่ำสุดของฟงั กช์ นั สอดคล้องกบั ค่า k)

ลกั ษณะกราฟ

กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = 2(x – 1)2 + 2 กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = 3(x + 2)2 – 1

1. เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0) 1. เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0)

2. มจี ดุ ยอดหรือจุดต่ําสุดอยู่ที่ (h, k) = (1, 2) 2. มจี ดุ ยอดหรือจดุ ตาํ่ สุดอยูท่ ่ี (h, k) = (–2, –1)

3. ค่าต่ำสุดของฟังกช์ ัน คือ 2 (k = 2) 3. ค่าตำ่ สดุ ของฟังก์ชัน คือ –1 (k = –1)

4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือเสน้ ตรง 4. แกนสมมาตร คือ แกน Y หรือเสน้ ตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เสน้ ตรง x = h)

6. นกั เรยี นร่วมกันพจิ ารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐานและให้นกั เรียนทำโจทย์ที่กำหนดลงสมุด
y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k = 0 พรอ้ มต้ังคำถามกระตนุ้ ความคิด ดงั น้ี

พิจารณาสมการของพาราโบลาต่อไปนี้

1) y = –2(x – 1)2 + 2
2) y = –3(x + 2)2 – 1

• จากสมการของพาราโบลาข้อ 1) และข้อ 2) ค่า a มคี า่ เป็นอยา่ งไร (a  0 และ a < 0)
• จากสมการข้อ 1) ค่า h และ k มีค่าเทา่ ใด (ค่า h = 1, k = 2)
• จากสมการขอ้ 2) คา่ h และ k มคี า่ เท่าใด (คา่ h = –2, k = –1)
• สมการขา้ งต้นเปน็ พาราโบลาท่กี ำหนดดว้ ยสมการใด (กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0)
• ลักษณะกราฟของพาราโบลาขา้ งตน้ นี้เป็นอยา่ งไร เพราะเหตุใด (กราฟพาราโบลาคว่ำ
เพราะ a < 0)
7. จากกจิ กรรมข้อ 6. นักเรียนร่วมกนั เขยี นกราฟของสมการพาราโบลา เพอื่ สำรวจลกั ษณะของกราฟ
บนกระดาน ดังน้ี (อาจให้นักเรยี นแต่ละกลมุ่ สำรวจลักษณะกราฟโดยใชโ้ ปรแกรม GSP เพ่ือความสะดวกใน
การมองกราฟและประหยัดเวลา)
1) y = –2(x – 1)2 + 2
2) y = –3(x + 2)2 – 1

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

วิธีทำ 1) y = –2(x – 1)2 + 2 จะไดว้ า่ a < 0, h = 1, k = 2 34
x –2 –1 0 1 2 –6 –16

y = –2(x – 1)2 + 2 –16 –6 0 2 0

2) y = –3(x + 2)2 – 1 จะได้ว่า a < 0, h = –2, k = –1
x –4 –3 –2 –1 0 1 2
y = –3(x + 2)2 – 1 –13 –4 –1 –4 –13 –28 –49

Y

2 (1, 2)

1
(0, 0) (2, 0)
–7 –6 –5 –4 –3(–2–,2–1)–1 0 1234 5 6 X
–1

–2

–3
(–3, –4) (–1, –4) –4

–5 (3, –6)
(–1, –6) –6

–7

–8

–9

–10

–11

(–4, –13) –12
–13 (0, –13)

จากกราฟข้อ 1) y = –2(x – 1)2 + 2
• ค่า a มคี า่ เปน็ อย่างไร (a < 0)
• พาราโบลาทไ่ี ดจ้ ากสมการเป็นอย่างไร (เป็นพาราโบลาควำ่ )
• จดุ สูงสดุ ของพาราโบลาอยู่ทีจ่ ุดใด (จดุ (1, 2))
• แกนสมมาตรคอื แกนใด (แกน Y หรอื เส้นตรง x = 1)
• ค่าสงู สดุ ของฟงั กช์ ันคือเทา่ ใด (2)
• คา่ สูงสดุ ของฟงั ก์ชันสอดคลอ้ งกบั คา่ ใดในสมการ (ค่าสูงสุดของฟังก์ชันสอดคล้องกับคา่ k)

จากกราฟข้อ 2) y = –3(x + 2)2 – 1
• คา่ a มีค่าเป็นอยา่ งไร (a < 0)
• พาราโบลาที่ไดจ้ ากสมการเป็นอยา่ งไร (เป็นพาราโบลาควำ่ )
• จุดสงู สุดของพาราโบลาอยู่ที่จุดใด (จุด (–2, –1))
• แกนสมมาตรคือแกนใด (แกน Y หรอื เส้นตรง x = –2)
• คา่ สงู สุดของฟงั ก์ชนั คือเทา่ ใด (–1)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

• คา่ สงู สดุ ของฟังกช์ นั สอดคลอ้ งกบั ค่าใดในสมการ (ค่าสูงสดุ ของฟงั กช์ นั สอดคล้องกับคา่ k)

ลกั ษณะกราฟ

กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = –2(x – 1)2 + 2 กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = –3(x + 2)2 – 1

1. เปน็ พาราโบลาคว่ำ (a < 0) 1. เป็นพาราโบลาคว่ำ (a < 0)

2. มจี ดุ ยอดหรือจดุ สงู สุดอยู่ที่ (h, k) = (1, 2) 2. มจี ุดยอดหรือจดุ สงู สุดอยู่ท่ี (h, k) = (–2, –1)

3. ค่าสงู สดุ ของฟังก์ชัน คอื 2 (k = 2) 3. คา่ สูงสุดของฟังกช์ ัน คอื –1 (k = –1)

4. แกนสมมาตร คอื แกน Y หรือเส้นตรง 4. แกนสมมาตร คอื แกน Y หรอื เสน้ ตรง

x = 1 (เสน้ ตรง x = h) x = –2 (เส้นตรง x = h)

8. นักเรียนรว่ มกนั อภิปรายและสรุปเกยี่ วกับกราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่ือ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 โดยเช่ือมโยงจากตวั อยา่ ง และการตอบคำถามขา้ งต้น ดงั นี้

จากกราฟสามารถสรปุ ได้ว่า ลักษณะของกราฟท่กี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 จะมีจดุ ยอดอยู่ท่ี (h, k) พบขอ้ สรุป ดงั นี้

1) ถ้า a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย
• มจี ดุ ยอดหรือจุดต่าํ สุดที่ (h, k)
• คา่ ตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชนั คือ k
• แกนสมมาตร คอื เส้นตรง x = h

2) ถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาคว่ำ
• มีจดุ ยอดหรือจดุ สูงสุดท่ี (h, k)
• ค่าสูงสดุ ของฟงั ก์ชนั คือ k
• แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = h

ขนั้ สรุป
9. นกั เรียนทำใบงาน เรือ่ ง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a (x – h)2 + k
เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

10. นักเรียนร่วมกนั สรุปส่งิ ทเี่ ขา้ ใจเป็นความรู้รว่ มกัน ดังน้ี
กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

ถา้ a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดท่ี (h, k) คา่ ตำ่ สุดของฟังก์ชัน คือ k แกน
สมมาตร คอื เส้นตรง x = h
ถา้ a < 0 เป็นพาราโบลาควำ่ มีจดุ ยอดท่ี (h, k) คา่ สงู สุดของฟังกช์ นั คือ k แกนสมมาตร
คือ เสน้ ตรง x = h

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

8. สื่อ/แหล่งเรียนรู้

1. หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้นื ฐาน คณิตศาสตร์ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

2. ชุดกิจกรรมการเรียนรู้พฒั นาการคิด คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 1 ของ (พว.)

3. แถบโจทย์

4. แหลง่ การเรียนรู้ทง้ั ภายในและภายนอกโรงเรยี น

9. การวัดและประเมินผล

จุดประสงค์ วิธีการวดั เครอ่ื งมือทใี่ ช้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล

1.นักเรยี นสามารถอธิบาย ตรวจใบงาน เรอื่ ง กราฟ ใบงาน เร่ือง กราฟของ

ลักษณะกราฟทกี่ ำหนดดว้ ย ของฟงั ก์ชนั กำลงั สองท่ี ฟังก์ชันกำลงั สองทีก่ ำหนด

สมการ y = a(x – h)2 + k กำหนดดว้ ยสมการ ด้วยสมการ

เมื่อ a ≠ 0, h ≠ 0 และ k y = a (x – h)2 + k y = a (x – h)2 + k

≠ 0ได้ (K) เมอื่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ

k≠0 k≠0

นกั เรียนทำแบบฝึกหดั

2. นักเรียนสามารถเขียน ตรวจใบงาน เร่อื ง กราฟ ใบงาน เรอ่ื ง กราฟของ ได้ถูกต้องร้อยละ 60

กราฟทก่ี ำหนดดว้ ยสมการ ของฟังก์ชันกำลงั สองที่ ฟงั กช์ ันกำลังสองท่ีกำหนด ข้ึนไป
y = a(x – h)2 + k เมือ่ a กำหนดด้วยสมการ
ด้วยสมการ

≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0 y = a (x – h)2 + k y = a (x – h)2 + k

พรอ้ มทงั้ ให้เหตผุ ล เมือ่ a ≠ 0, h ≠ 0 และ เม่อื a ≠ 0, h ≠ 0 และ

ประกอบการอธิบาย k≠0 k≠0

เกี่ยวกบั ลกั ษณะกราฟได้

(P)

3. เข้าเรียนตรงเวลา สังเกต แบบประเมนิ การสงั เกต นักเรียนผ่านการ

ตอบคำถามครเู สมอ ประเมนิ การสังเกตร้อย

และตั้งใจทำงาน (A) ละ60 ขนึ้ ไป

คำรบั รองของหัวหน้าสถานศกึ ษาหรอื ผู้ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รับรอง)

ได้ทำการตรวจแผนการจัดการเรยี นร้ขู อง......................................................................................

แล้วมคี วามคิดเหน็ ดังนี้

1. เป็นแผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี

 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรุง

2. การจดั กิจรรมไดน้ ำกระบวนการเรียนรู้

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

 เนน้ ผู้เรียนเปน็ สำคญั มาใชใ้ นการสอนไดอ้ ย่างเหมาะสม
 ยงั ไม่เนน้ ผ้เู รยี นเป็นสำคญั ควรปรบั ปรงุ พฒั นาต่อไป
3. เป็นแผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี
 นำไปใช้ได้จริง  ควรปรบั ปรุงกอ่ นนำไปใช้
4. ขอ้ เสนอแนะอ่นื ๆ
...................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................

ลงชอ่ื .............................................หวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
(นายอภชิ าต เจนสาริกจิ )

…………./……………./…………

บันทกึ หลังสอนแผนการสอนท่ี 11
1. ผลการสอนระดับชั้น ม....................................

 สอนได้ตามแผนการจดั การเรียนรู้
 สอนไม่ได้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ เน่อื งจาก .........................................................
2. ผลทเ่ี กิดกบั ผ้เู รยี น

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

1.) การประเมินผลความรู้หลังการเรยี น โดยใช้………………………..................................พบว่านักเรยี น
ผ่านการประเมินคิดเปน็ ร้อยละ......................……. ไม่ผา่ นเกณฑ์ข้นั ต่ำทกี่ ำหนดไวค้ ิดเป็นร้อยละ
ไดแ้ ก่ ...................................................................................................................... ....................................

2.) การประเมนิ ดา้ นทักษะกระบวนการเรยี น โดยใช…้ …………………….........................พบว่านกั เรียน
ผ่านการประเมินคดิ เปน็ ร้อยละ......................……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ นั้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ
ได้แก่ ..........................................................................................................................................................

3.) การประเมนิ ดา้ นคณุ ลกั ษณะทพ่ี ึงประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……………………......................พบวา่
นักเรียนผ่านการประเมนิ คิดเปน็ ร้อยละ.......……. ไมผ่ ่านเกณฑ์ขนั้ ต่ำทก่ี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. .............................
3. ปญั หาและอุปสรรค

 กจิ กรรมการจดั การเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกับเวลา
 มีนกั เรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทันตามกำหนดเวลา
 มนี กั เรยี นที่ไมส่ นใจเรียน
 อนื่ ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรุง เรอ่ื ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

............................................................................................................................. ..................
 แนวทางแก้ไขนกั เรียนท่ีไม่ผ่านการประเมนิ ........................................................................

..............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
 ไม่มขี ้อเสนอแนะ

ลงช่ือ ผูส้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วันที.่ ......./.................../.................

แบบประเมินการสงั เกต

รายการประเมนิ สรุปผล

เลขที่ ช่อื -สกุล แตง่ กาย ตงั้ ใจเรยี น ทำงาน
เรียบร้อย ตามที่ครูสง่ั
รวม ผ่าน ไมผ่ ่าน

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

0 1 2 012012
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

เกณฑ์การให้คะแนนระดบั คุณภาพ ให้ 2 คะแนน
ดี - ปฏิบัติ ให้ 1 คะแนน
พอใช้ - ปฏบิ ตั ิบางคร้งั ให้ 0 คะแนน
ควรปรบั ปรุง - ไม่ปฏิบตั ิ
…………………………………………. ผ้ปู ระเมิน
เกณฑ์การสรุปผล วันที่……………เดอื น…………..พ.ศ…………
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรับปรงุ 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เรื่อง กราฟของฟงั กช์ ันกำลังสองที่กำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เมือ่ a  0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

วันที่________เดอื น_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน

งานพฒั นาหลกั สคูตะรแโนรนงเเรตียม็นล1า0นสคักะวแิทนยาน

ช่อื _____________________________เลขท_่ี _____ชนั้ __________

เขียนกราฟพาราโบลา พร้อมท้ังบอกลักษณะของพาราโบลา จดุ ยอด แกนสมมาตร และค่าต่ำสุด
หรือค่าสูงสุดของฟงั ก์ชนั (ขอ้ ละ 2 คะแนน)

1. y = –(x + 2)2 – 1

2. y = 3(x – 2)2 – 3

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

เฉลยใบงานท่ี 20 เร่ือง กราฟของฟงั ก์ชันกำลังสองท่กี ำหนดดว้ ยสมการ y = a(x – h)2 + k
เม่ือ a  0, h ≠ 0 และ k ≠ 0

วนั ที่________เดือน_______________พ.ศ.___________

งานพฒั นาหลกั สูตไรคดะโ้_แร_นง_เนร_ียเ_นต_ลม็ _า_น1_ส0_กั คควะทิะแแยานนนน

ชื่อ_____________________________เลขท_่ี _____ชนั้ __________

เขยี นกราฟพาราโบลา พร้อมทัง้ บอกลกั ษณะของพาราโบลา จดุ ยอด แกนสมมาตร และคา่ ต่ำสดุ
หรอื คา่ สงู สดุ ของฟงั ก์ชนั (ข้อละ 2 คะแนน)

1. y = –(x + 2)2 – 1 0
วิธีทำ จะไดว้ า่ a < 0, h = –2, k = –1 5

x –4 –3 –2 –1
y = –(x + 2)2 – 1 –5 –2 –1 –2

Y

–7 –6 –5 –4 –3 (–2–,2–1) –1 0 12 3 X
–1

(–3, –2) (–1, –2) –2
–3

(–4, –5) –4

–5 (0, –5)
–6

–7

–8

–9

–10

–11

1. เป็นพาราโบลาควำ่ (a < 0)
2. มีจุดยอดหรือจดุ สูงสดุ อยู่ที่ (h, k) = (–2, –1)
3. ค่าสงู สุดของฟงั กช์ ัน คือ –1
4. แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = –2

2. y = 3(x – 2)2 – 3 1234
วิธที ำ 0 –3 0 ง9านพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

x0
y = 3(x – 2)2 – 3 9

Y

10 (4, 9)
9 (0, 9)

8

7

6

5

4

3

2

1
(1, 0)
–3 –2 –1 0 1 2 (3, 0) 5 6 X
34
–1

–2

–3 (2, –3)

1. เป็นพาราโบลาหงาย (a > 0)
2. มีจุดยอดหรือจุดสงู สดุ อยู่ท่ี (h, k) = (2, –3)
3. ค่าตำ่ สดุ ของฟงั ก์ชัน คือ –3
4. แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = 2

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 12

รหสั วชิ า ค 20206 ชื่อวชิ า คณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ 6 ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 3

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 1 ฟงั ก์ชันกำลงั สอง

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

เรื่อง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองทก่ี ำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ a  0 จำนวน 2 คาบ

กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ ผจู้ ดั ทำแผนการเรียนรู้ นางสาวนวพร งามขำ

---------------------------------------------------------------------

1. ผลการเรียนรู้

1.1 ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจและใช้ความรเู้ ก่ียวกบั ฟังก์ชนั กำลงั สองในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์

1.2 จุดประสงค์

1. สามารถอธิบายเก่ียวกบั ลกั ษณะกราฟทกี่ ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 ได้ (K)

2. สามารถเขยี นจัดรปู ฟังก์ชนั กำลงั สองทีอ่ ยู่ในรูปทั่วไป y = ax2 + bx + c ให้อยใู่ นรปู มาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k พร้อมท้ังหาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรอื ค่าสงู สดุ แกนสมมาตร และให้เหตุผลประกอบการอธบิ าย

เก่ียวกบั ลกั ษณะกราฟได้ (P)

3. แตง่ กายเรยี บร้อย ตั้งใจเรียน และทำงานตามท่คี รูสั่ง (A)

2. สาระสำคัญ

การหาจดุ ยอด ค่าต่ำสดุ หรือค่าสูงสดุ ของฟังกช์ ัน แกนสมมาตรของฟงั กช์ ันกำลงั สองทอ่ี ยู่ในรปู ทวั่ ไป

y = ax2 + bx + c ไดโ้ ดยการจัดรูปฟงั ก์ชันกำลังสองให้อยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้

กำลังสองสมบูรณ์ และฟงั ก์ชันกำลงั สองที่อยู่ในรปู มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยท่ี a ≠ 0 มีกราฟเปน็

พาราโบลาหงายหรือควำ่ ข้นึ อยู่กับค่า a ถ้า a > 0 เป็นพาราโบลาหงาย และถ้า a < 0 เป็นพาราโบลาควำ่

ซ่ึงสามารถใช้สมการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพิจารณาลักษณะกราฟไดท้ ุกรูปแบบ นัน่ คือ

1) จุดยอดอยู่ท่ี (h, k)

2) ค่าตำ่ สดุ หรอื คา่ สูงสุด คือ k

3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = h เสมอ

3. สาระการเรียนรู้

กราฟของฟงั ก์ชนั กำลงั สองท่ีกำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมือ่ a ≠ 0

4. การบูรณาการ ทักษะการคดิ

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รียน

5.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร

- ทกั ษะการสือ่ สาร

5.2 ความสามารถในการคิด

- ทักษะการคดิ วเิ คราะห์

6. คุณลักษณะอนั พึงประสงค์
1. มีวนิ ยั
2. ใฝเ่ รยี นรู้

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

3. มงุ่ ม่ันในการทำงาน
7. กจิ กรรมการเรยี นรู้

ขั้นนำเข้าสู่บทเรยี น

1. นกั เรียนร่วมกันสนทนาทบทวนเกย่ี วกับพาราโบลาที่กำหนดดว้ ยสมการตา่ ง ๆ โดยใชก้ าร
ตอบคำถามกับนักเรยี น จนได้ข้อสงั เกตรว่ มกันว่า ฟังกช์ ันกำลงั สองท่ีอยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
โดยท่ี a ≠ 0 สามารถพิจารณาลักษณะกราฟในรปู ต่าง ๆ ได้ ดงั น้ี

1) กราฟกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 เม่ือ a  0
2) กราฟท่ีกำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + k เม่ือ a  0 และ k ≠ 0
3) กราฟที่กำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 เม่อื a  0 และ h ≠ 0
4) กราฟท่ีกำหนดด้วยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0 และ k ≠ 0
ซ่ึงทุกรูปแบบของสมการขา้ งตน้ นี้ มกี ราฟเปน็ พาราโบลาหงายหรือควำ่ ข้ึนอยู่กบั คา่ a ถ้า a > 0
เป็นพาราโบลาหงาย และ ถา้ a < 0 เปน็ พาราโบลาคว่ำ ซ่งึ สามารถใช้สมการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k
ในการพิจารณาลักษณะกราฟไดท้ กุ รปู แบบ น่ันคือ
1) จดุ ยอดอยู่ท่ี (h, k)
2) คา่ ต่ำสดุ หรอื ค่าสูงสุด คือ k
3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คอื แกน Y หรอื เส้นตรง x = h เสมอ
2. นักเรยี นรว่ มกนั แสดงความคิดเห็น โดยใช้คำถามกระตนุ้ ความคิด ดังน้ี
• นักเรียนสามารถหาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรอื คา่ สูงสุด แกนสมมาตรของฟังกช์ นั กำลงั สองที่อยู่ใน
รูปทัว่ ไป y = ax2 + bx + c ไดอ้ ย่างไร
• จัดรปู ฟังกช์ ันกำลงั สองทอี่ ยใู่ นรปู ท่ัวไป y = ax2 + bx + c ให้อยใู่ นรูปมาตรฐาน
y = a(x – h)2 + k ได้อยา่ งไร
3. นักเรียนศึกษา รวบรวมข้อมลู เก่ยี วกบั กราฟของฟงั กช์ นั กำลังสองท่ีกำหนดด้วยสมการ
y = ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เปน็ จำนวนจรงิ และ a ≠ 0 จากแหลง่ การเรยี นรู้ที่หลากหลาย เช่น
จากการสังเกต การร่วมสนทนากบั เพ่ือนในช้นั เรียน จากหนงั สอื เรียนหรืออินเทอร์เนต็
ขัน้ กจิ กรรม
4. นักเรียนรว่ มกันพิจารณาแถบโจทย์สมการมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k เมอ่ื a ≠ 0, h ≠ 0
และ k ≠ 0 พรอ้ มตั้งคำถามกระตุ้นความคิด ดังน้ี

พิจารณาสมการของพาราโบลาตอ่ ไปน้ี
1) y = 2(x + 3)2 – 1

• นักเรียนสามารถเขียนสมการมาตรฐานน้ีในรูปท่ัวไปได้อยา่ งไร (ใช้ความรเู้ กยี่ วกบั
กำลงั สองสมบูรณใ์ นการจัดรูปสมการ)

วิธีทำ จาก y = 2(x + 3)2 – 1

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

ใชก้ ำลังสองสมบรู ณ์ไดว้ า่ y = 2{x2 + 2(x)(3) + 32} – 1

y = 2(x2 + 6x + 9) – 1

y = 2x2 + 12x + 18 – 1

y = 2x2 + 12x + 17

ดังนนั้ รปู ท่วั ไป คือ y = 2x2 + 12x + 17

5. นกั เรยี นรว่ มกันตอบคำถามกระตนุ้ ความคดิ เก่ียวกับการหาจุดยอดของพาราโบลา เมอื่ กำหนด

สมการรูปทว่ั ไปมาให้ โดยเช่อื มโยงความรู้จากการสงั เกตที่ไดจ้ ากกิจกรรมข้อ 4. ดังน้ี

• นกั เรยี นสามารถหาจดุ ยอดของพาราโบลาได้อย่างไร เม่ือกำหนดสมการพาราโบลาในรปู ท่ัวไป

y = 2x2 + 12x + 17 มาให้ (ควรจัดรูปจากสมการรูปท่ัวไป y = 2x2 + 12x + 17 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

y = a(x – h)2 + k กอ่ น แลว้ จึงนำไปหาจดุ ยอด (h, k))

• ในการจดั รูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k นักเรียนคดิ ว่าต้องใชค้ วามรใู้ ดในการดำเนินการ

(ใช้ความรเู้ ก่ียวกบั กำลังสองสมบูรณ์)

• สามารถจดั รปู สมการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k และหาจุดยอดไดอ้ ย่างไร

วธิ ที ำ จาก y = 2x2 + 12x + 17

จัดกลุ่มไดว้ า่ y = (2x2 + 12x) + 17

ดึงตัวร่วม y = 2(x2 + 6x) + 17

จัดใหอ้ ย่ใู นรูปกำลังสองสมบูรณ์

y = 2{x2 + 2(x)(3) + 32 – 32} + 17

y = 2(x2 + 2(x)(3) + 32) – 18 + 17

y = 2(x + 3)2 – 18 + 17

y = 2(x + 3)2 – 1

ได้สมการรปู มาตรฐาน y = 2(x + 3)2 – 1

จดุ ยอด (h, k) คือ จุด (–3, –1)

6. นกั เรียนร่วมกนั พิจารณาตวั อยา่ งการหาจดุ ยอด ค่าต่ำสดุ หรอื ค่าสงู สดุ แกนสมมาตร

พร้อมท้งั เขยี นกราฟของสมการพาราโบลา บนกระดาน ดังน้ี

จากสมการ y = x2 – 6x + 11 จงหาจุดยอด คา่ ตำ่ สุดหรอื ค่าสงู สุด แกนสมมาตรพร้อมทงั้ เขยี น

กราฟของสมการพาราโบลา

วิธที ำ จากสมการ y = x2 – 6x + 11
จัดรปู ได้ว่า y = {x2 – 2(x)(3) + 32} – 32 + 11
y = (x –3)2 – 9 + 11

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

ดังนัน้ y = (x – 3)2 + 2 5
และจากสมการ y = (x – 3)2 + 2 จะไดว้ า่ a > 0, h = 3 และ k = 2 6
ดงั นั้น เป็นพาราโบลาหงาย มีจดุ ยอดหรือจดุ ต่ำสุดท่ี (h, k) = (3, 2)
แกนสมมาตร คือ เส้นตรง x = 2 และคา่ ตำ่ สุดของฟงั กช์ ัน คอื 2
สามารถเขยี นกราฟได้ ดังน้ี
x –2 –1 0 1 2 3 4
y = (x – 3)2 + 2 27 18 11 6 3 2 3

Y

12

11

10

9

8

7 (5, 6)
6 (1, 6)

5

4

3 (2, 3) (4, 3)
2 (3, 2)
1

–3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
–1

7. นักเรียนรว่ มกันอภปิ รายและสรุปเกยี่ วกบั การหาจุดยอด ค่าตำ่ สดุ หรือคา่ สงู สุดของฟงั กช์ ัน
แกนสมมาตรของฟังกช์ ันกำลังสองที่อยูใ่ นรปู ทั่วไป y = ax2 + bx + c ได้โดยการจัดรูปฟังกช์ นั กำลงั สอง
ใหอ้ ยู่ในรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้กำลังสองสมบูรณ์

ข้ันสรปุ

8. นักเรยี นทำใบงาน เรื่อง กราฟของฟังกช์ นั กำลังสองที่กำหนดด้วยสมการ y = ax2 + bx + c เมื่อ
a  0 จากนั้นสลบั ผลงานกบั เพอ่ื น เพ่ือรว่ มกันตรวจสอบและแก้ไขให้ถูกต้อง

9. นกั เรียนร่วมกนั สรุปส่งิ ทีเ่ ขา้ ใจเปน็ ความรู้ร่วมกัน ดังนี้
การหาจุดยอด คา่ ตำ่ สดุ หรือค่าสูงสดุ ของฟังกช์ นั แกนสมมาตรของฟงั กช์ นั กำลังสองทอี่ ยู่ใน

รูปทั่วไป y = ax2 + bx + c ไดโ้ ดยการจดั รูปฟงั ก์ชนั กำลงั สองให้อยใู่ นรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยใช้
กำลงั สองสมบูรณ์ และฟงั กช์ ันกำลังสองทอี่ ยใู่ นรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k โดยที่ a ≠ 0 มกี ราฟเป็น
พาราโบลาหงายหรือควำ่ ข้ึนอยกู่ ับค่า a ถ้า a > 0 เปน็ พาราโบลาหงาย และถ้า a < 0 เปน็ พาราโบลาคว่ำ

ซงึ่ สามารถใชส้ มการรูปมาตรฐาน y = a(x – h)2 + k ในการพิจารณาลักษณะกราฟได้ทุกรูปแบบ น่นั คือ
1) จุดยอดอยู่ท่ี (h, k)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วิทยา

2) คา่ ตำ่ สดุ หรอื ค่าสงู สดุ คือ k
3) แกนสมมาตรของพาราโบลา คือ แกน Y หรอื เสน้ ตรง x = h เสมอ
8. สอ่ื /แหล่งเรยี นรู้

1. หนงั สอื เรยี นรายวิชาพ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 1 ของ (พว.)

2. ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้พฒั นาการคดิ คณติ ศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เลม่ 1 ของ (พว.)

3. แถบโจทย์

4. ตัวอยา่ งการหาจุดยอด คา่ ต่ำสดุ หรือค่าสูงสุด แกนสมมาตร

9. การวดั และประเมนิ ผล

จุดประสงค์ วิธกี ารวัด เคร่ืองมอื ทีใ่ ช้ เกณฑก์ ารประเมนิ ผล

1. นักเรียนสามารถอธบิ าย ประเมนิ ความรู้ เรือ่ ง กราฟ ใบงาน เรอ่ื ง กราฟของ

เก่ียวกับลกั ษณะกราฟท่ี ของฟังกช์ ันกำลังสองที่ ฟังกช์ ันกำลังสองทก่ี ำหนด

กำหนดดว้ ยสมการ y = กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 ด้วยสมการ y = ax2 + bx

ax2 + bx + c เมอ่ื a ≠ 0 + bx + c เม่อื a ≠ 0 + c เมอื่ a ≠ 0

ได้ (K) ประเมินความรู้ เร่อื ง กราฟ ใบงาน เร่อื ง กราฟของ นกั เรียนทำแบบฝึกหัด
ของฟังกช์ ันกำลงั สองท่ี ฟงั กช์ ันกำลงั สองที่กำหนด ได้ถูกตอ้ งร้อยละ 60
2. นักเรียนสามารถเขยี นจดั รปู กำหนดด้วยสมการ y = ax2 ดว้ ยสมการ y = ax2 + bx ขึ้นไป
ฟังกช์ ันกำลงั สองทีอ่ ยู่ในรูป + bx + c เม่ือ a ≠ 0 + c เมื่อ a ≠ 0
ท่ัวไป
y = ax2 + bx + c ใหอ้ ย่ใู นรูป
มาตรฐาน y = a(x – h)2 + k

พรอ้ มทั้งหาจดุ ยอด ค่าต่ำสุด

หรอื ค่าสงู สุด แกนสมมาตร และ

ให้เหตุผลประกอบการอธบิ าย

เก่ียวกบั ลกั ษณะกราฟ ได้ (P)

3. แตง่ กายเรียบร้อย สังเกต แบบประเมินการสงั เกต นกั เรยี นผ่านการ

ต้งั ใจเรยี น และทำงาน ประเมนิ การสงั เกตร้อย

ตามทค่ี รูสั่ง (A) ละ 60 ขนึ้ ไป

คำรบั รองของหัวหนา้ สถานศึกษาหรือผู้ทไ่ี ด้รับมอบหมาย (ตรวจสอบ/นิเทศ/เสนอแนะ/รบั รอง)

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

ได้ทำการตรวจแผนการจัดการเรยี นรขู้ อง......................................................................................

แลว้ มีความคดิ เห็นดังนี้

9. เป็นแผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี

 ดีมาก  ดี  พอใช้  ควรปรับปรงุ

10. การจัดกิจรรมไดน้ ำกระบวนการเรยี นรู้

 เน้นผู้เรยี นเป็นสำคญั มาใชใ้ นการสอนได้อยา่ งเหมาะสม

 ยังไมเ่ นน้ ผู้เรยี นเปน็ สำคัญ ควรปรบั ปรุงพฒั นาต่อไป

11. เป็นแผนการจดั การเรยี นรู้ท่ี

 นำไปใชไ้ ดจ้ รงิ  ควรปรบั ปรงุ ก่อนนำไปใช้

12. ข้อเสนอแนะอน่ื ๆ

...................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................

ลงชอื่ .............................................หัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้
(นายอภิชาต เจนสารกิ ิจ)
…………./……………./…………

บนั ทกึ หลังสอนแผนการสอนที่ 12

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา

1. ผลการสอนระดับชัน้ ม....................................
 สอนไดต้ ามแผนการจัดการเรยี นรู้
 สอนไมไ่ ด้ตามแผนการจัดการเรียนรู้ เน่ืองจาก .........................................................

4. ผลทีเ่ กิดกบั ผเู้ รียน
1.) การประเมินผลความรหู้ ลังการเรยี น โดยใช้………………………..................................พบวา่ นักเรยี น

ผา่ นการประเมินคดิ เป็นร้อยละ......................……. ไม่ผา่ นเกณฑข์ นั้ ต่ำท่กี ำหนดไว้คิดเปน็ ร้อยละ
ไดแ้ ก่ ............................................................................................................................. .............................

2.) การประเมินด้านทักษะกระบวนการเรียน โดยใช้……………………….........................พบวา่ นักเรยี น
ผา่ นการประเมินคิดเป็นร้อยละ......................……. ไม่ผ่านเกณฑข์ ้ันต่ำทีก่ ำหนดไว้คิดเป็นร้อยละ
ได้แก่ ...................................................................................................................... ....................................

3.) การประเมินดา้ นคุณลกั ษณะท่พี งึ ประสงค์ เรียน โดยใช…้ ……………………......................พบว่า
นักเรยี นผ่านการประเมินคิดเป็นร้อยละ.......……. ไมผ่ ่านเกณฑข์ ั้นต่ำที่กำหนดไว้คดิ เป็นร้อยละ
ได้แก่ ..........................................................................................................................................................
3. ปญั หาและอุปสรรค

 กิจกรรมการจดั การเรียนรู้ ไมเ่ หมาะสมกบั เวลา
 มีนกั เรียนทำใบงาน/ใบกิจกรรมไม่ทนั ตามกำหนดเวลา
 มีนกั เรียนทีไ่ มส่ นใจเรียน
 อน่ื ๆ ...................................................................................................................... .......................
4. ข้อเสนอแนะ/แนวทางแก้ไข
 ควรนำแผนไปปรับปรงุ เรือ่ ง .............................................................................................
......................................................................................................... .....................................

.......................................................................................... .....................................................
 แนวทางแก้ไขนักเรยี นที่ไม่ผา่ นการประเมนิ ........................................................................

..............................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..................
 ไมม่ ขี ้อเสนอแนะ

ลงชอ่ื ผสู้ อน
(นางสาวนวพร งามขำ)

วนั ท.่ี ......./.................../.................

แบบประเมนิ การสงั เกต

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

รายการประเมิน สรุปผล

เลขที่ ชื่อ-สกุล แต่งกาย ตง้ั ใจเรียน ทำงาน รวม ผ่าน ไมผ่ า่ น
เรียบร้อย ตามทคี่ รสู ัง่

0 1 2 012012

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

เกณฑ์การให้คะแนนระดับคุณภาพ ให้ 2 คะแนน
ดี - ปฏบิ ตั ิ ให้ 1 คะแนน
พอใช้ - ปฏิบัติบางคร้ัง ให้ 0 คะแนน
ควรปรับปรงุ - ไมป่ ฏิบัติ
…………………………………………. ผปู้ ระเมนิ
เกณฑ์การสรปุ ผล วนั ที่……………เดือน…………..พ.ศ…………
ดี 3 - 4 คะแนน
พอใช้ 2 คะแนน
ควรปรบั ปรงุ 0 - 1 คะแนน

ใบงาน เร่อื ง กราฟของฟงั ก์ชันกำลังสองที่กำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

เมือ่ a  0

วันท่ี________เดอื น_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ชอื่ _____________________________เลขท_ี่ _____ชน้ั __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

หาจุดยอด ค่าต่ำสดุ หรือค่าสูงสุดของฟงั ก์ชัน แกนสมมาตร พรอ้ มท้ังเขียนกราฟ

1. y = x2 – 2x + 2

2. y = –x2 – 2x – 5

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

เฉลยใบงาน เร่อื ง กราฟของฟังก์ชันกำลงั สองทีก่ ำหนดดว้ ยสมการ y = ax2 + bx + c

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสกั วทิ ยา

เมอื่ a  0

วันที่________เดือน_______________พ.ศ.___________ ได้__________คะแนน
ชือ่ _____________________________เลขท_ี่ _____ชนั้ __________ คะแนนเตม็ 10 คะแนน

หาจดุ ยอด คา่ ตำ่ สุดหรือคา่ สงู สุดของฟังก์ชัน แกนสมมาตร พรอ้ มทงั้ เขียนกราฟ

1. y = x2 – 2x + 2
วิธที ำ จากสมการ y = x2 – 2x + 2
จดั รูปได้วา่ y = {x2 – 2(x)(1) + 12} – 12 + 2
y = (x – 1)2 – 1 + 2
ดงั นัน้ y = (x – 1)2 + 1
และจากสมการ y = (x – 1)2 + 1 จะได้ว่า a > 0, h = 1 และ k = 1
ดงั นน้ั เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดยอดหรือจุดต่ำสุดท่ี (h, k) = (1, 1)
แกนสมมาตร คอื เสน้ ตรง x = 1 และคา่ ต่ำสดุ ของฟงั ก์ชนั คือ 1
สามารถเขยี นกราฟได้ ดงั นี้

x –1 0 1 2 3
y = (x – 1)2 + 1 5 2 1 2 5

Y

13

12

11

10

9

8
7

6

(–1, 5) 5 (3, 5)
4

3

(0, 22) (2, 2) X
1 (1, 1)

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

2. y = –x2 – 2x – 5

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวิทยา

วธิ ที ำ จากสมการ y = –x2 – 2x – 5
จดั รปู ไดว้ ่า y = –{x2 + 2(x)(1) + 12} + 12 – 5
y = –(x + 1)2 + 1 – 5
ดงั น้นั y = –(x + 1)2 – 4
และจากสมการ y = –(x + 1)2 – 6 จะได้วา่ a  0, h = –1 และ k = –6
ดงั นนั้ เปน็ พาราโบลาคว่ำ มจี ุดยอดหรอื จุดตำ่ สดุ ที่ (h, k) = (–1, –6)
แกนสมมาตร คือ เสน้ ตรง x = –1 และค่าต่ำสุดของฟงั ก์ชนั คอื –6
สามารถเขียนกราฟได้ ดังน้ี

x –3 –2 –1 0 1
y = –(x + 1)2 – 6 –8 –5 –4 –5 –8

Y

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 X
–1

–2

–3
(–1, –4–) 4
(–2, –5) –5 (0, –5)

–6

(–3, –8) –7
–8 (1, –8)

–9

–10

–11

–12

งานพฒั นาหลกั สูตร โรงเรียนลานสักวทิ ยา