cours_complet_2020_4Techniques

Cours Mathématiques
Section Bac techniques

Kadri Wassim

24 janvier 2020

Sommaire ........................ 1
1 Limites et continuité

I Limite des fonctions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
4 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
a Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
b Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
c Limite d’un inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
d Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
e Limite du valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
f Limite du racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4
II Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5
III Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6
IV Continuité sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
8
V Composée de deux fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9
VI Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 Activité 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Activité 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Activité 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Activité 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
11
VII Continuité dune fonction composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1 Activité 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Activité 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
12
VIII Limite et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 Activité 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Activité 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Activité 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Activité 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
14
IX Limites et comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1 Activité 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées : . . . . . . . . . . . . .
b Asymptote parallèle à l’axe des abscisses : . . . . . . . . . . . . . .
c Asymptote oblique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d Etude dune branche infinie : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Activité 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Activité 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

X Image d’un intervalle par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 Activité 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
XI Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
16
1 Activité 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Activité 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
XII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I Rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
a Dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
b Opérations sur les fonctions dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
24
II Dérivabilité des fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
26
III Théorème et Inégalités des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . 27
1 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
29
IV Variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V Point d’inflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

I Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1 Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
a Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
a Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
35
II Convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
a Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
36
III Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
a Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
37
IV Limite et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V Convergence d’une suite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iiiiii

2 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
VI Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
39
1 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
VII QCM VraiFaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1 Application 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Application 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

II Fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III Représentation graphique de f −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV Fonction réciproque d’une fonction strictement monotone . . . . . . . . . 51
1 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

V Dérivée d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Activité 9 .√. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

VI Fonction x −→ n x, n ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5 Étude des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

I Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

II Asymptotes et branches infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Fonctions primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

I Fonction primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

II Calcul des primitives : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

iivv

2 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

I Définition et propriété : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1 Activité 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Exemple : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
63
II Etude de la fonction logarithme «ln x » : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
66
III Fonction de type : x −→ ln(u(x)) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

IV Logarithme décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Fonction Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

I Définition et propriétés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

II Etude de la fonction exponentielle : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

III Fonction de type : x −→ eu(x) : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

IV Fonction de type : x −→ ax; a > 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vv

3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
II Intégration par parties : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III Inégalité de la moyenne, Théorème de la moyenne : . . . . . . . . . . . . . . 76
1 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
IV Calcul d’aire planes, calcul des volumes de révolution : . . . . . . . . . . . 77
1 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Activité 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Activité 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 Activité 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Activité 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Activité 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

10Nombres Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

I Rappels et compléments : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1 Activité 1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
81
II Affixe d’un point, affixe d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
83
III Conjugué dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
86
IV Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
87
V Argument d’un nombre complexes non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3 Activité 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
90
VI Écriture trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Activité 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Activité 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII Écriture exponentielle d’un nombre complexes . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Activité 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vvii

2 Activité 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Activité 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Activité 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Activité 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Activité 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Activité 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8 Activité 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9 Activité 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
VIII Racines carrés d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1 Activité 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2 Activité 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IX Équation du second degré à coefficients complexes . . . . . . . . . . . . . 94
1 Activité 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2 Activité 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3 Activité 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Activité 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
X Exemples d’équations de degré supérieur à deux . . . . . . . . . . . . . . . 96
1 Activité 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2 Activité 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3 Activité 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
XI Équation Zn = a, n ≥ 2, a ∈ C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1 Activité 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Activité 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3 Activité 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Activité 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
XII QCM Vrai-Faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1 Application 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 Application 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11Géométrie dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

I Déterminent dans lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

II Produit scalaire dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

III Produit Vectoriel dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

IV Droites et plans de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
10 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vviiii

V Distances , Aires et Volumes dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1 Activité 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2 Activité 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Activité 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4 Activité 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

VI La sphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1 Activité 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2 Activité 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3 Activité 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4 Activité 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5 Activité 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . .117

I Langage de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
II Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
III Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

a Arbres pondérés : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
b Règles de construction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2 Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3 Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5 Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6 Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
IV Principe des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1 Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
V Principe des probabilités totales - Formule de Byes . . . . . . . . . . . . . . 123
1 Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2 Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

13Variables aléatoires rélles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

I Loi de probabilité d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

II Espérance mathématique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
1 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4 Fonction de répartition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

III Loi Binomiale : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

IV Variables aléatoires continues : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

vviiiiii

1 Introduction et définition : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2 Densité de probabilité dune variable aléatoire continue : . . . . . . . . 129

a Activité 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3 Loi uniforme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

a Activité 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
b Activité 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
c Activité 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
a Activité 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
b Activité 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
c Activité 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
d Activité 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

14Statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

I Série statistique à deux caractères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2 Nuage des points Point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3 Covariance Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 136
a Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
b Coefficient de corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4 Activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

II Distributions marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1 Activité 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

III Ajustement affine dune série statistique double . . . . . . . . . . . . . . . 139
1 Méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2 Activité 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3 Méthode de Mayer : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
a Application : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

IV Autre ajustement : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
1 Activité 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2 Ajustement par une fonction polynôme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

iixx

xx

Chapitre 1 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Limites et continuité

I Limite des fonctions :

1 Activité 1

Calculer les limites suivantes :

1 lim x2 − 7x + 10 4 lim 2x − 10 √
2x − 10 7 lim √x + 5 − 3
x→5 x→3− x2 − 8x + 15
x→4 8 − x − 2
√
x+3−2 √√
x3 − 8 5 lim x+5− x−1
2 lim x2 − 7x + 10 x2 − 5x + 4 8 lim |x + 2| − 6
x→1
x→2 x→4
√√
2x − 10 x+3+ x−3
3 lim 6 lim x2 − 1
x2 − 8x + 15
x→3+ x→1

2 Activité 2

Déterminer dans chacun des cas suivants le domaine de définition de la fonction f puis

étudier ses limites en +∞ et −∞ .

x2 + 2x − 3 √
1 f (x) = 6 f (x) = x2 + 4x + x

2x + 1 √
7 f (x) = −x + 3 + 3x + 5
2 f (x) = 2 −x
x2 + 2x − 3

3 f (x) = 2x2 + 3x − 5 8 f (x) = xE 1
x2 − 3x x

√ √√
4 f (x) = x2 + 2x − 3 9 f (x) = x2 + 4x + 3x2 − x − 2

√ 2x + 1 √√
10 f (x) = x2 + 4x + x2 − 3x + 2
5 f (x) = x2 − 2x − 3x

3 Activité 3

Soient les fonctions f ,g , h et k définies par :

f (x) = −3x7 − x5 − x + 1 , g (x) = x − 1 , √ , k(x) = x3 + 4x2
x2 + 3x h(x) = 2x2 + x + x x+4

1 Donner l’ensemble de définition de chacune de ces fonctions.

11

2 Pour chacune de ces fonctions donner les limites aux bornes de l’ensemble de défini-
tion.

4 Activité 4

On considère la fonction de R dans R définie par : fm(x) = (m − 2)x3 + 3mx2 − 4x − 6.
x2 − 1
Où m est un paramètre réel.

1 Étudier suivant le paramètre m la limite de fm en +∞ .

2 Étudier suivant le paramètre m la limite de fm en 1.

5 Activité 5

√
On considère la fonction définie par : gm(x) = x2 − x − 2 − mx + 1.
Où m est un paramètre réel.
Étudier suivant le paramètre m la limite de gm en +∞ .

Opérations sur les limites :

Les opérations sur les limites qui vont suivre sont valables dans les
cinq cas suivants :

x −→ x0; où x0 ∈ R ; x0+ ; x −→ x0− ; x −→ +∞ ; x −→ −∞

a Limite d’une somme

Si f à pour limite + +∞ −∞ +∞
Si g à pour limite +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
Alors (f + g) à pour limite +∞ −∞ +∞ −∞ (F.I)

b Limite d’un produit

Si f à pour limite 0 +∞ ou −∞ 0
Si g à pour limite
Alors (f × g) à pour limite +∞ ou −∞ +∞ ou −∞ +∞ ou −∞

× ∞ (règle signe) ∞ (règle signe) (F.I)

c Limite d’un inverse

Si g à pour limite 0 0 par valeurs supérieures 0 par valeurs inférieures +∞ ou −∞

Alors 1 à pour limite 1 +∞ −∞ 0
g

22

d Limite d’un quotient

Si f à pour limite 00 ±∞ ±∞ ±∞
Si g à pour limite 0 ±∞
0 ±∞ 0+ ou 0− 0 0+ ou 0−

Alors f à pour limite 0 ∞(r.signe) (F.I) ∞(r.signe) ∞(r.signe) (F.I)
g

N.B : (F.I) désigne une forme indéterminée, pour laquelle une étude spécifique doit être
menée pour déterminer l’éventuelle limite.

e Limite du valeur absolue
✓ Si lim f (x) = et ∈ R alors lim |f (x)| = | |.
✓ Si lim f (x) = +∞ alors lim |f (x)| = +∞.
Remarque : Les réciproques sont fausses sauf si = 0, lim f (x) = 0 ⇐⇒ lim |f (x)| = 0.

f Limite du racine carrée

On suppose que f est positive

✓ Si lim f (x) = +∞ alors lim f (x) = +∞.

✓ Si lim f (x) = alors ≥0 √
et ∈ R et lim f (x) =

Limites usuels :

Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle I.
♣ La limite d’une fonction polynôme, quand la variable tend vers +∞ ou vers −∞, est

la même que celle de son monôme de plus haut degré :

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 o an 0, on a lim P (x) = lim anxn

|x|→+∞ |x|→+∞

♣ La limite d’une fonction rationnelle, quand la variable tend vers +∞ ou vers −∞ ,
est la même que celle du quotient des monômes de plus haut degré :

R(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0 où anbm 0
bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b1x + b0

on a lim R(x) = lim anxn
bmxm
|x|→+∞ |x|→+∞

6 Activité 6

1 Vérifier que pour tout x > 0 on a : s√in x = sin x √ en déduire lim s√in x .
x,
xx x→0+ x

2 Calculer lim 1 − cos x .
sin x
x→0

33

3 Calculer lim sin 3x .
sin 2x
x→0

4 Calculer lim 1 − cos x .
sin2 x
x→0

5 Calculer lim sin2 x − π .
4

x→ π 1 + cos 4x
4

Limite d’une fonction trigonométrique :

Soit a ∈ R∗
sin ax
♣ lim x =a.

x→0

♣ lim 1 − cos ax = 0.
x→0 x

♣ lim 1 − cos ax = a2 .
x2 2
x→0

♣ lim tan ax =a.
x
x→0

II Continuité

1 Activité 7

Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = (x−1)2 si x 1
|x−1|

f (1) = 0

1 Étudier la continuité de f à droite et à gauche en 1.

2 La fonction f est-elle continue en 1 ?
3 La fonction f est-elle continue sur R ?
44

Théorème :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.

♠ Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et x0 un réel de I. f est continue

en x0 si et seulement si, lim f (x) = f (x0) .

x→x0

♠ Soit f une fonction définie sur un intervalle [x0, x0 +h[, (h > 0). f est continue à droite

en si et seulement si, lim f (x) = f (x0).

x→x0+

♠ Soit f une fonction définie sur un intervalle ]x0 −h, x0], (h > 0). f est continue à droite
en si et seulement si, xl→imx0− f (x) = f (x0).

♠ Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0 . f est continue en
x0 si et seulement si, f est continue à droite et à gauche en x0.

♠ Si f et g sont deux fonctions continues en x0 alors les fonctions f + g, f × g et |f| sont
f
continues en x0, si de plus g(x0) 0 alors la fonction g est continue en x0.

♠ Toute fonction polynôme est continue en tout réel x0.

♠ Toute fonction rationnelle est continue en tout réel x0 de son domaine de définition.

2 Activité 8

Répondre par vrai ou faux en se référant à la représentation graphique de f , dans chacun

des cas suivants :

a)f est continue sur [2; 3] b) f est continue en 0 c) f est continue sur ]0; 5]

4

2 1 12 3
2
1 0 1
−3 −2 −1
0 −1 12345
−5 −4 −3 −2 −1 −1
123
−1
−2

III Prolongement par continuité

1 Activité 9

Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x + sin x .
x

Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et déterminer son prolongement.

55

Théorème et Définition :

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I \ {a} .

Si lim f (x) = avec un réel fini, alors f est prolongeable par
x→a
cFo(xn)ti=nuifté(xe)n a et la fonction F définie sur I par :
si x a est continue en a.
si x = a

La fonction F est appelée prolongement par continuité en a de
la fonction f .

IV Continuité sur un intervalle

1 Activité 10

√ 4 + 2x2 − 2
x
Soit f la fonction définie par f (x) = .

1 a. Déterminer l’ensemble de définition de f .
b. Étudier la continuité de f sur son ensemble de définition.

2 Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement.

2 Activité 11

Soit g la fonction définie par g (x) = x2 + sin2 x.
x

1 Déterminer l’ensemble de définition de g .

2 Montrer que g est prolongeable par continuité en 0 et donner son prolongement.

Continuité sur un intervalle :

♣ Une fonction est continue sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel
de I.

♣ Une fonction est continue sur un intervalle [a, b], si elle est continue sur ]a, b[ , à
droite en a et à gauche en b. De façon analogue, on définit la continuité de f sur
les intervalles [a, b[, ]a, b] , [a, +∞[ et ] − ∞, a] .

♣ Si f est continue sur un intervalle I alors les fonctions αf (α ∈ R), |f | et f n (n ∈ N∗)
sont continues sur I.

♣ Si f est continue et positive sur un intervalle I alors la fonction f est continue sur I

♣ Si f et g sont continues sur un même intervalle I alors les fonctions f +g , f −g , f ×g
sont continues sur I.

66

Continuité sur un intervalle :

♣ Si f et g sont continues sur le même intervalle I et g est non nulle, alors les fonctions

1 et f sont continues sur I.
g g

♣ Toute fonction polynôme est continue sur R.

♣ Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.

♣ Les fonctions cosinus et sinus notées respectivement cos et sin sont continues sur R.

♣ La fonction trigonométrique tangente notée tan est continue sur R \
π
2 + kπ, k∈Z .

♣ La fonction trigonométrique cotangente notée cot est continue sur R \ {kπ, k ∈ Z}..

V Composée de deux fonctions

Définition :

On appelle fonction composée des fonctions g et f , la fonction noté g ◦ f ( se lit g
rond f ) , définie par g ◦ f (x) = g (f (x)).
En général g ◦ f f ◦ g

1 Activité 12 3 Cg

Dans la figure ci-contre Cf et Cg sont les 2 1234
courbes représentatives de deux fonctions f
et g définies respectivement sur R et R+ . 1 Cf

1 Lire sur le graphique les images par f 0
des réels −1, 0, 1, 2 et 3, ainsi que les −2 −1
images par g des réels 0, 1, 2 et 3.
−1
2 Soit les fonctions h : x −→ g (f (x)) et
k : x −→ f (g(x)). −2

a. Déterminer les images par h des −3
réels 1, 0, 1, 2 et 3.

b. Déterminer les images par k des
réels 0, 1, 2 et 3.

2 Activité 13

Dans chacun des cas suivants, déterminer deux fonctions u et v telles que f = v ◦ u .

77

1 f : x −→ cos(πx + 1)

2 f : x −→ 1 + cos x
2 + cos x

3 f : x −→ sin x + x4
x2 + 1

3 Activité 14

On considère les fonctions f , g , et h définies par f (x) = √ , g (x) = x2 − 4 et h(x) = x−1
x x−2

1 Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions f , g et h.

2 Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions f ◦ g , g ◦ f ,f ◦ h et h ◦ f .

Ensemble de définition d’une composée de fonctions :

Soit f et g deux fonctions définies respectivement sur les ensembles de définitions :Df
et Dg .
L’ensemble de définition de la fonction h = g ◦ f composée de la fonction g suivie de la
fonction f est Dh = {x ∈ Dg tel que g(x) ∈ Df }.
Explication : pour que f ◦ g soit définie il faut d’abord que g soit définie, donc il faut
que x ∈ Dg puisque c’est la première fonction que l’on utilise dans la composée , puis il
faut que f (g(x)) existe donc il faut g(x) ∈ Df .

VI Limite d’une fonction composée

1 Activité 15

On considère les fonctions f et g définies par f (x) = 1 + x √
1 − x et g(x) = x.

1 Donner l’expression de (g ◦ f )(x).

2 Calculer lim (g ◦ f )(x).

x→1−

Théorème (admis) :

Soit u et v deux fonctions. Soient a, b et c finis ou infinis.

Si limx→a u(x) = b alors lim v ◦ u(x) = c
limx→b v(x) = c
x→a

88

2 Activité 16

Déterminer dans chaque cas la limite de f (x) lorsque x tend vers a.

1 f (x) = tan x2 , √
4 a = π.

2 f (x) = cos(x2) − 1 , a = 0.
x2

3 f (x) = sin π , a=2
x−1

3 Activité 17

Dans la figure ci-dessous est représentée une fonction f définie sur R.

Déterminer lim f 2 , lim f x − 4 , lim f (sin x − 2).
x→2 x x→4 x x→0

2 1234

1

0
−2 −1

−1

−2

−3

−4

−5

4 Activité 18

Déterminer lim cos 1 − 1 , lim tan π , lim x x 1 sin πx .
x2 x2 2x − 2x − 1
x→+∞ x→1+ x→+∞

99

VII Continuité dune fonction composée

Théorème (admis) :

Soit u une fonction définie sur un intervalle ouvert I contenant un réel a et v une fonc-
tion définie sur un intervalle ouvert J contenant le réel u(a) .
✓ Si u est continue en a et v est continue en u(a) alors v ◦ u est continue en a.

✓ Si u est continue sur un intervalle I, v est continue sur un intervalle J tel que f (I) ⊂ J
alors v ◦ u est continue sur I.

1 Activité 19

Étudier dans chaque cas la continuité de f sur R.
1 f (x) = sin x2 + π .
4
2 f (x) = cos(sin x).

2 Activité 20

On considère les fonctions f √ 3x + 6 .
et g définies par f (x) = x − 4 x + 5 et g(x) = x−2

1 Déterminer le domaine de définition et continuité de chacune des fonctions f et g.

2 Déterminer le domaine de définition et continuité de la fonction composée g ◦ f puis
exprimer (g ◦ f )(x) en fonction de x.

VIII Limite et ordre

1 Activité 21

Soit f , g et h les fonction définie par : f (x) = x2 sin 1 + 1 , g(x) = x2 + 1 et h(x) = −x2 + 1 .
x2 2 2

1 Montrer que pour tout réel non nul 1
x, h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) .

2 Dans la figure ci-contre on a représenté
les fonctions f , g et h.

a. Identifier la courbe de chacune de −1 1
ces fonctions.

b. Que peut-on conjecturer sur la li-
mite de f (x) lorsque x tend vers 0.

1100

2 Activité 22

Dans la figure ci-dessous on a représenté les fonctions f et g définies par :
√√

f (x) = −x + cos x et g(x) = −x − 1

Cf

5

Cg

−40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 5

1 Étudier la position relative de Cf et Cg.
2 Que peut-on conjecturer sur la limite de f (x) lorsque x tend vers −∞.

Théorème (admis) :

Soit f , g et h trois fonctions définies sur un intervalle ouvert I sauf peut-être en x0 ∈ I.

✓ Si lim f (x) = , lim g(x) = et f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ I\{x0} alors ≤.
x→x0 x→x0

✓ Si xl→imx0 f (x) = , xl→imx0 g(x) = et f (x) ≤ h(x) ≤ g(x) ∀x ∈ I\{x0} alors xl→imx0 h(x) = .

✓ Si pour tout réel x de I différent de x0, on a :|f (x) − | ≤ g(x) et xl→imx0 g(x) = 0 alors
lim f (x) =

x→x0

✓ Si f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ I \{x0} et lim f (x) = +∞ alors lim g(x) = +∞

x→x0 x→x0

✓ Si f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ I \{x0} et lim g (x) = −∞ alors lim f (x) = −∞

x→x0 x→x0

3 Activité 23

Soit la fonction f définie sur R∗ par : f (x) = x sin π
2x

1 Vérifier que pour tout x ∈ R∗ , on a : |f (x)| ≤ |x| .

2 En déduire que f admet un prolongement par continuité en 0.

1111

4 Activité 24

√
Soit f la fonction définie sur R∗ par : f (x) = x2 + 1 − x.

1 Montrer que pour tout x ∈ R∗ , on a : 0 ≤ f (x) ≤ 1 .
2x

2 Déduire lim f (x).

x→+∞

3 Déduire lim f (x).

x→−∞

IX Limites et comportement asymptotique

1 Activité 25

Dans la figue ci-dessous Cf est la courbe d’une fonction f définie et continue sur R \ {1} .
On sait que la droite ∆ est une asymptote à Cf au voisinage de −∞ .
Cf admet deux autres asymptotes les droites d’équations respectives x = 1 et y = 1.

6

5 Cf
∆

4

3

2

1

−4 −3 −2 −1 12345

1 a. Par lecture graphique déterminer :

lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x) ; lim f (x)

x→+∞ x→−∞ x→−∞ x x→1

b. Dresser le tableau de variation de f .

2 Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = (f ◦ f )(x) si x 1
g(1) = 1

a. Déterminer g(2), g(0), lim g(x) et lim g(x)
x→+∞ x→−∞

b. Montrer que g est continue sur R

1122

a Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées :

Retenons

Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un 3
→− →− 2
1
repère O, i , j du plan.

La droite d’équation x = a (a ∈ R) est une asymptote à la
courbe Cf
si et seulement si

lim f (x) = ±∞ ou xl→ima− f (x) = ±∞ −1 0 1 2 3
−1
x→a+

b Asymptote parallèle à l’axe des abscisses :

Retenons

Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un 3
→− →− 2
1
repère O, i , j du plan.

La droite d’équation y = b (b ∈ R) est une asymptote à la
courbe Cf
si et seulement si

lim f (x) = b ou lim f (x) = b −1 0 1 2 3
x→+∞ x→−∞ −1

Remarque : Le signe de f (x) − b permet de déterminer la position de la courbe par rapport à
l’asymptote.

c Asymptote oblique :

Retenons

Soit f une fonction et Cf sa courbe représentative dans un 3
→− →− 2
1
repère O, i , j du plan.

La droite d’équation y = ax + b (b ∈ R) est une asymptote à
la courbe Cf
si et seulement si

lim [f (x) − (ax + b)] = 0 ou lim [f (x) − (ax + b)] = 0 −1 0 1 2 3
x→+∞ x→−∞ −1

Remarque : Le signe de f (x) − (ax + b) permet de déterminer la position de la courbe par
rapport à lasymptote.

1133

d Etude dune branche infinie :

Dans le cas où lim f (x) = ±∞.
x→+∞
±∞ Cf
Soit f une fonction telle que lim f (x) = et sa courbe représentative dans un repère

→− →− x→+∞

O, i , j .

Dans ce qui suit le procédé qu’il faut suivre pour déterminer la branche infinie au voisinage
de +∞.

∗ Si lim f (x) = ±∞ , alors la courbe Cf admet une branche infinie de direction asympto-
x→+∞ x →−

tique celle de O, j au voisinage de +∞.

∗ Si lim f (x) =0, alors la courbe Cf admet une branche infinie de direction asymptotique
x→+∞ x →− au voisinage de +∞.

celle de O, i

∗ Si lim f (x) = a avec (a 0), alors deux cas peuvent se présenter :
x→+∞ x

✓ Si lim f (x) − ax = b avec (b ∈ R) alors la droite d’équation y = ax + b est une asymp-

x→+∞

tote à la courbe Cf au voisinage de +∞.

✓ Si lim f (x) − ax = ±∞ alors la courbe Cf admet une direction asymptotique celle

x→+∞
de la droite d’équation y = ax au voisinage de +∞.

Remarque : Dans le cas où lim f (x) = ±∞, l’étude de la branche infinie se fait de la même

x→−∞

façon.

2 Activité 26

√
Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par f (x) = 2x + x + 1 et Cf la courbe de f dans un
repère orthonormé O, →−i , →−j .

Déterminer la nature de la branche infinies de Cf au voisinage de +∞.

3 Activité 27

Soit f la fonction définie sur ]1; +∞[ par f (x) = x2 + x − 1 et Cf la courbe de f dans un repère
→− →− x+1

orthonormé O, i , j .

Étudier les branche infinies de Cf .

1144

X Image d’un intervalle par une fonction

1 Activité 28

Soit la fonction :f : x −→ x2 + x définie dans [2, 2].
→− →−

Cf étant sa courbe représentative dans un repère O, i , j du plan. Voir figure ci-dessous :

1 Justifier que f est continue sur l’intervalle [2, 2].

2 Reproduire le graphique ci-contre et représenter chacun des ensembles de réels sui-
vants : f ([−2; −1[), f ([−1; 0]) et f ([0; 2]).

3 a. Montrer que pour tout x de [0; 2] , le réel f (x) appartient à l’intervalle [0, 6] .
b. Montrer que pour tout y de [0, 6] il existe un réel x de [0, 2] tel que y = f (x).
c. En déduire f ([0; 2]).

4 a. Résoudre graphiquement les équations f (x) = 0 et f (x) = 2.
b. Résoudre algébriquement les équations f (x) = 0 et f (x) = 2.

6 Cf

5 123

4

3

2

1

0
−3 −2 −1

−1

Théorème :

* L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

* L’image d’un intervalle fermé borné [a; b] par une fonction conti-
nue f est un intervalle fermé borné [m; M] où m et M sont res-
pectivement le minimum et le maximum de f sur l’intervalle
[a; b].

1155

XI Théorème des valeurs intermédiaires

1 Activité 29

Soit la fonction définie sur R par :

fff (x) = −x x si x ≤ 0
(x) = x2 si 0 ≤ x ≤ 2
(x) = si x ≥ 2
6−

1 Tracer la courbe Cf dans un repère orthonormé →− →−
O, i , j .

2 Résoudre graphiquement f (x) = 1 et f (x) = 4 dans l’intervalle [−3; 2].

3 Soit k un réel compris entre f (−3) et f (−2) déterminer le nombre des solutions dans
[−3; 2] de léquation f (x) = k

Théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I) :

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I.
Soient a et b deux réels de I tel que a < b, pour tout réel k com-
pris entre f (a) et f (b), léquation f (x) = k possède au moins une
solution dans lintervalle [a, b].

Cf
f (b)

k
f (a)

a x1 x2 x3 b

Si de plus f est strictement monotone sur [a, b] alors léquation
f (x) = k admet une unique solution dans [a, b].

Corollaire 1 :

Si f une fonction continue sur un intervalle [a , b] et vérifiant
f (a).f (b) < 0 alors il existe au moins un réel c appartenant à l’inter-
valle ouvert ]a , b[ tel que f (c) = 0 .

1166

2 Activité 30

Soit la fonction f : x −→ x3 − x + 1.
1 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution α dans ] − 2, −1[.
2 Donner une valeur approchée de α à 10−2 près.(on utilise la dichotomie)
Corollaire 2 :
Si f une fonction continue strictement monotonne sur un intervalle
[a , b] et vérifiant f (a).f (b) < 0 alors il existe un unique réel c appar-
tenant à lintervalle ouvert ]a , b[ tel que f (c) = 0 .
Corollaire 3 :
Si f est une fonction continue sur un intervalle et
ne s’annule en aucun réel de cet intervalle alors elle garde un
signe constant sur cet intervalle.

1177

XII Exercices

1 Exercice 1

1 Dans le graphique ci-dessous,Cf est la courbe représentative, dans un repère ortho-
→− →−
normé O, i , j , d’une fonction f continue et dérivable sur ] − 1; +∞[ .

La courbe admet deux asymptotes les droites d’équations x = −1 et y = 0 .
Par une lecture graphique, déterminer :

a. f (0), f (0), lim f (x) et lim f (x).
x→(−1)+ x→+∞

b. f ([2; +∞[) et f (] − 1; 1]).

2 Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = −2x3 − 3x + 4.

a. Déterminer g(]0; 1]) et montrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution
α dans [0; 1] puis donner une valeur approchée de α à 10−1 prés.

b. En déduire le signe de g(x) sur R .

3 On admet que la fonction f est définie sur ] − 1; +∞[ par f (x) = 2x2 + 1 .
x3 + 1

a. Montrer que pour tout x ∈] − 1; +∞[ , f (x) = x.g (x) ; en déduire le tableau de
(x3 + 1)2

variation de f sur ] − 1; +∞[ .

b. Déterminer lim f ◦ g(x) et g ◦ f ([2; +∞[).

x→1−

4

3

2

Cf
→1−
j

0

−1 →− 1 2 3 4 5
i

−1

1188

2 Exercice 2

Soit f la fonction définie par :  f (x) = x√+ cos(πx) si x ≤ 0
(x+1)2 si x > 0

f (x) = x2 + 2x

Cf étant sa courbe représentative dans un repère orthonormé →− →−
O, i , j .

1 a. Calculer lim f (x) et lim f (x) .
x
x→+∞ x→+∞

b. Déterminer la nature de la branche infinie de Cf au voisinage de +∞.

2 Calculer lim f (x). Interpréter graphiquement le résultat.

x→−1

3 Étudier la continuité de f en 0.

4 a. Montrer que lim cos(πx) =0
(x + 1)2
x→−∞

b. En déduire que Cf admet au voisinage de −∞ une asymptote oblique qu’on pré-
cisera.

5 Montrer que l’équation f (x) = 0 admet au moins une solution α ∈ − 1 , 0 .
2

3 Exercice 3

Le graphique ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction f définie sur
R \ {−3; 1}.

• La droite D : y = −x est une asymptote à Cf au voisinage de −∞.
• La droite x = 0 est une asymptote à Cf .
• Cf admet une branche parabolique de direction O, →−j au voisinage de +∞.

4 Cf

D : y = −x

3

2

1

0 1234
−4 −3 −2 −1

−1

−2

−3

1199

Par une lecture graphique déterminer :

1 lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x), lim f (x) , lim f (x) , lim f x − 1
x→0− x→0+ x→−∞ x→+∞ x→−∞ x x→+∞ x x→−∞ x + 1

et lim f (−2x).
x→+∞

2 f ◦ f (2), f (]0; 2]), f ([1; 3]) et f ◦ f ([1; 3]).

3 Répondre par vrai ou faux en justifiant :

a. f est prolongeable par continuité en 3.
b. lim −2 = +∞.

x→−∞ f (x) + x

4 Exercice 4

 √ si x ∈] − ∞; −1]
g(x) = x + 4x2 + x + 1 si x ∈] − 1; 0]

Soit g la fonction définie sur R par : g(x) = x3 + x + 1 si x ∈]0; +∞[
O, →−i , →−j .
g (x) = 2 + 2 cos(x)−2
x2

Cg étant sa courbe représentative dans un repère orthonormé

1 a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle ]0; +∞[, on a : 2 − 4 ≤ g (x) ≤ 2.
x2

b. En déduire la limite en +∞ de g, interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2 a. Calculer lim g (x) et lim g (x) .
x
x→−∞ x→−∞

b. Montrer que la droite D : y = −x − 1 est une asymptote à Cg au voisinage de −∞ .
4

3 Étudier la continuité de g en 1 et en 0.

4 Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une seule solution α ∈] − 1; 0[ .

2200

Chapitre 2 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Dérivabilité

I Rappels et compléments

1 Activité 1

Completer

C7

6

5 ∆ : y = 1 x − 3
2

4

3

2

→−1
j0
−11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 →− 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−1 i
−1

−2

−3

−4

−5

1 L’ensemble de définition de f est : Df =................

2 lim f (x) =........... lim f (x) =........... lim f (x) =........... lim f (x) =...........
x→−∞ x→+∞ x→(−2)− x→(−2)+

lim f (x) =........... lim f (x) − 1 x =........... lim −3 =........... lim 1 =............
x 2 (x)
x→+∞ x→+∞ x→+∞ f (x) − 1 x + 3 x→4− f
2
Peut-on parler de continuité de f en (2) ? ....... Pourquoi ?....................................................

3 f (−1) =.....

lim f (x) = ..... = f (−1) Conclusion :...............................

x→(−1)+

lim f (x) = ..... f (−1) Conclusion :..............................

x→(−1)−

2211

Conclusion : ...........................................................

f est elle dérivable en −1 ? ............... Pourquoi ? ...................................................................

fd (−1) = ................, T−1 .................................................
.................

4 f (−4) =.......... ; f (−4) =............ ; T−4 : .............................

5

lim f (x) − 4 = .............. lim f (x) − 4 = .................... lim f (x) = ..........

x→2− x−2 x→2+ x−2 x→4 x − 4

6 fg (6) =.......... ; fd (6) =............ ; conclusion : .............................
Le point (6, 4) est un point................................de la courbe de f .

Le point (3, 2) est un point................................de la courbe de f .

Compléter par : = ou < ou >. f (3)........0 ; f (2.5)........0 ; f (3.3).........0 .

√
7 On donne la fonction g définie par : g(x) = x .

(f .g) (x) =..................................................................

f (x) =..................................................
g

8 Déterminer une valeur approchée de :
f (−3.999) =......................................................................................
f (3.001) =......................................................................................
f (5.999) =......................................................................................
f (2019) =......................................................................................

9 f est continue sur chacun des intervalles : ..........................................................
f est dérivable sur chacun des intervalles : .........................................................

10 Déterminer, par leurs équations, les asymptotes de la courbe :
......................................................................................

Théorème Si une fonction f est dérivable en x0 alors elle est continue en x0.

Nombre Une fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dérivable en un réel a de
dérivé I s’il existe un réel, noté f (a) tel que

lim f (x) − f (a) = f (a)
x − a
x→a

Approximation affine
Si f est dérivable en a, alors le réel f (a) + f (a).h est une approximation affine de f (a + h) .

Théorème Un fonction f définie sur un intervalle ouvert I est dérivable en un point a de
I, si et seulement si, elle est dérivable à gauche et à droite en a et fg (a) = fd (a)

2222

Retenons
♣ Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I si elle est continue en tout réel de I.

♣ Une fonction est dérivable sur un intervalle [a , b] , si elle est dérivable sur ]a , b[ , à droite
en a et à gauche en b.
De façon analogue, on définit la dérivabilité de f sur les intervalles [a; b[ , ]a; b] , [a, +∞[
et ] − ∞, a] .

♣ Si f est dérivable sur un intervalle I alors les fonctions αf (α ∈ R), |f | et f n, n ∈ N∗ sont
dérivables sur I.

♣ Si f est dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors la fonction f est déri-
vable sur I.

♣ Si f et g sont dérivables sur un même intervalle I alors les fonctions f +g, f −g et f .g sont
dérivables sur I.

♣ Si f et g sont dérivables sur le même intervalle I et g est non nulle, alors les fonctions 1
g

et f sont dérivables sur I.
g

♣ Toute fonction polynôme est dérivable sur R.

♣ Toute fonction rationnelle est dérivable sur son domaine de définition.

♣ Les fonctions cosinus et sinus notées respectivement cos et sin sont dérivables sur R.

♣ La fonction trigonométrique tangente notée tan est dérivable sur R \ {π + kπ, k ∈ Z}
2

♣ La fonction cotangente notée cot est dérivable sur R \ {kπ, k ∈ Z}.

2 Activité 2

Dans chacun des cas ci-dessous, étudier la dérivabilité de la fonction f sur l’intervalle I.

1 f :x −→ sin x I = R.
1 + cos x2 ,

2 f :x −→ 1 + x + x2 , I= 0; 1 .
1 − x2 2

3 f :x −→ x(x + 1) , I = [−3; −1[.
1 − x2

2233

a Dérivées des fonctions usuelles

Fonction f f (x)

f : x −→ k (fonction constante) f (x) = 0, x ∈ R

f : x −→ ax + b f (x) = a, x ∈ R

f : x −→ xn, n ≥ 2 f (x) = n.xn−1, x ∈ R

f : x −→ 1 f (x) = − 1 , x ∈ R∗
x x2 x ∈ R∗
1 n
f :x −→ √xn f (x) = − xn+1 ,

f : x −→ x f (x) = √1 , x>0
2x
√ f (x) = √ a ,
f : x −→ ax + b 2 ax + b ax + b > 0

f :x −→ ax + b f (x) = ad − cb , x − d ∗
cx + d (cx + d)2 c

f : x −→ sin(ax + b) f (x) = a. cos(ax + b), x ∈ R

f : x −→ cos(ax + b) f (x) = −a. sin(ax + b), x ∈ R

f : x −→ tan x f (x) = 1 + tan2 x = 1 x , x ∈ R \ { π + kπ, k ∈ Z}
cos2 2
1
f : x −→ cot x f (x) = 1 + cot2 x = sin2 x , x ∈ R \ {kπ, k ∈ Z}

b Opérations sur les fonctions dérivées
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I de R.

Fonction Fonction dérivée
u+v
u +v
αu, (α ∈ R)
u.v α.u

un n ≥ 1 u v + uv
1 n.u .un−1

u − u
u u2
u v − uv
v
v2

II Dérivabilité des fonctions composées

Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et x0 un réel de I. Soit g
une fonction définie sur f (I) .

Si f est dérivable en x0 et g est dérivable en f (x0) alors g ◦ f est dérivable en x0
et on a :

(g ◦ f ) (x0) = f (x0) × (g ◦ f ) (x0)

2244

Corollaire 1
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de R et g est une fonction dérivable sur
f (I) alors g ◦ f est dérivable sur I et on a (g ◦ f ) = f × (g ◦ f ) .
Corollaire 2
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de R et si de plus pour tout x de I, f (x) > 0
alors la fonction f est dérivable sur I et on a f = f .

2f

1 Activité 3

Montrer que la fonction f : x −→ 1 − cos(πx) est dérivable sur ]0; 2[ puis calculer f (x) .

2255

III Théorème et Inégalités des accroissements finis

Théorème Soient deux réels a et b avec a < b. Si f est une fonction continue sur un inter-
valle [a, b] et dérivable sur ]a, b[ et telle que f (a) = f (b) alors il existe au moins
un réel c appartenant à ]a, b[ tel que : f (c) = 0 .

Interprétation géométrique : Si Cf est la représentation graphique de f dans un repère
→− →−
O, i , j , alors il existe au moins une tangente à Cf parallèle à l’axe des abscisses.

C

f (a) = f (b) →− a b
→−j i

O

1 Activité 4

Soit f la fonction définie par f (x) = x5 −3x4 −5x3 +15x2 +4x+2 et Cf sa courbe représentative
→− →−

dans un repère orthonormé O, i , j .

1 Calculer f (1) et f (−1) .
2 En déduire que Cf admet au moins une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Théorème Théorème des accroissements finis (admis)

Soient deux réels a et b avec a < b. Si f est une fonction continue sur un inter-

valle [a, b] et dérivable sur ]a, b[ alors il existe au moins un réel c appartenant à

]a, b[ tel que : f (c) = f (b) − f (a) .
b − a

Interprétation géométrique : Le réel f (c) est le coefficient directeur de la tangente T à la

courbe Cf en son point d’abscisse c.

Le rapport f (b) − f (a) est le coefficient directeur de la droite (AB) où A(a, f (a)) et B(b, f (b)).
b− a
f (b) − f (a)
Donc f (c) = b − a équivaut à T //(AB).

Ainsi, le théorème des accroissement finis affirme qu’il existe au moins un réel c appartenant

à ]a, b[ tel que la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse c soit parallèle

à la droite (AB).

2266

f (b) C B

f (a) A
→−
j

→− a cb
Oi

2 Activité 5

→− →−
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j .
Soit f la fonction définie sur [1; +∞[ par f (x) = x2.√x − 1 et Cf sa courbe représentative.
Montrer que Cf admet au moins une tangente parallèle à la droite (AB) , où A et B sont de
coordonnées respectives (1; 0) et (2; 4) .

3 Activité 6

Soit la fonction f : x −→ 1 ; x ∈ [1 , 5] .
x

1 Montrer que pour tout x ∈ [1 , 5] on a : −1 ≤ f (x) ≤ − 1 .
25

2 a. Montrer que pour tous réels a et b appartenant à l’intervalle [1 , 5] tels que a < b,

il existe c ∈]a; b[ tel que f (c) = f (b) − f (a) .
b−a

f (b) − f (a)
b. En déduire un encadrement du rapport b − a .

Théorème Inégalité des accroissements finis (admis)

Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de R et s’il existe deux
constantes réelles m et M tels que pour tout x de I, m ≤ f (x) ≤ M alors pour
tous réels a et b de I tels que a < b, on a :

m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M(b − a)

Corollaire
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I de R et s’il existe k > 0 tels que pour tout
x de I, |f (x)| ≤ k alors pour tous réels a et b de I on a : |f (b) − f (a)| ≤ k.|b − a| .

2277

4 Activité 7

√
1 Soit la fonction f : x −→ x .

a. Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [64 , 65] on a :

1 ≤f (x) ≤ 1 .
18 16
√
b. En déduire un encadrement de 65 .

2 Montrer que pour tous réels x et y, dans l’intervalle −π , π on a :
12 12

cos2 x − cos2 y ≤ 1 |x − y|
2

5 Activité 8

1 Soit la fonction f : t −→ sin t .

a. Montrer que pour tout t ∈ R on a : |f (t)| ≤ 1 .

b. En déduire que pour tous réels a et b on a : | sin b − sin a| ≤ |b − a| .

2 Montrer que pour tout x ∈ 0, π on a : x ≤ tan x ≤ 2x.
4

IV Variation d’une fonction

Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

♠ Si la dérivée de f est strictement positive sur I, alors la fonction f est stric-
tement croissante sur I.

♠ Si la dérivée de f est strictement négative sur I, alors la fonction f est stric-
tement décroissante sur I.

Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

♠ Si f est positive sur I et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu
dans I alors la fonction f est strictement croissante sur I.

♠ Si f (x) est négative sur I et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu
dans I alors la fonction f est strictement décroissante sur I.

1 Activité 9

Soit la fonction f définie sur [1; +∞[ par : f (x) = √2x .
3 x2 + 3

2288

1 a. Étudier la dérivabilité de f et calculer sa fonction dérivée f .

b. Montrer que pour tout x ∈ [1; +∞[, on a : 0 < f (x) ≤ 1 .
4

c. Dresser le tableau de variations de f .

2 Montrer que l’équation f (x) = x − 2 admet dans [1; +∞[ une solution unique α et que
2 < α < 3.

3 Soit la suite u définie par : u0 = 2
un+1 = f (un) + 2 n ∈ N.

a. Montrer que pour tout n ∈ N, on a : 1 ≤ un ≤ α.

b. Montrer que pour tout n ∈ N, on a :|un+1 − α| ≤ 1 |un − α|.
4

c. En déduire que u est convergente et calculer sa limite.

V Point d’inflexion

1 Activité 10 4 (T )

→− →− 3
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j .
On a représenté la courbe Cf de la fonction Cf 2
f : x −→ −x3 − 3x2 et sa tangente (T ) au point I
d’abscisse (−1) dans le graphique ci-contre. →−1
j
1 Lire graphiquement la pente de la tangente (T ).
−4 −3 −2 0 →−i 1
2 Déterminer la fonction dérivée f de f .
−1 O
3 Déterminer la fonction dérivée seconde f de f .
−1
4 a. Donner une équation cartésienne de
la tangente (T ). I −2

b. Conjecturer graphiquement sur la position −3
relative de Cf et (T ).
−4
5 Dresser le tableau de signe de f (x).

Commentaire :

♥ On a f (x) = −6x − 6 , qui s’annule en x0 = −1 et change de signes.
Le point I d’abscisse (−1) est un point d’inflexion de la courbe Cf .

♥ On remarque aussi que la courbe Cf traverse sa tangente en I (−1 , f (−1)) .

2299

Méthode

Le point M0 (x0; f (x0)) est un point d’inflexion de Cf si et seulement si Cf traverse sa tan-
gente en M0.

Cf

f (x0) (T ) Cf
(T )

f (x0)

→−j →−j

O →− x0 O →− x0
i i

M0 est un point d’inflexion de Cf M0 n’est pas un point d’inflexion de Cf

Théorème Soit f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant x0
et Cf sa courbe représentative dans un repère O, →−i , →−j du plan. Soit f la

fonction dérivée seconde de f .

Si la fonction f s’annule et change de signe en x0 alors le point M0 (x0; f (x0))
est un point d’inflexion de Cf .

3300

Exercices

01 la fonction définie sur R par :  f (x) = 1 + √ x si x > 0
1+x2 si x ≤ 0
Soit f x2+x+1
f (x) = x2+1

1 Déterminer lim f (x) et lim f (x). et et interpréter graphiquement ces résul-
x→+∞ x→−∞
tats.

2 Montrer que f est dérivable en 0 et donner une équation de la tangente (T ) à
Cf au point d’abscisse A(0, 1).

3 Calculer f (x) ; puis dresser le tableau de variation de f sur R.

4 a. montrer que ∀ ∈]0, +∞[ ; f (x) ≤ 1.

b. Montrer que l’équation f (x) = 2x admet une seule solution α ∈]0, 1[.

c. Montrer que ∀ ∈]0, +∞[ ; |f (x) − 2α| ≤ |x − α|

5 soit la fonction g définie sur [0, π ] par : g (x) = f (tan x) ; si x ∈ [0, π [ et g(π ) = 2
2 2 2

a. Montrer que g est continue à gauche en π .
2

b. Montrer que g est continue sur [0, π ] .
2

c. Montrer que ∀x ∈ [0, π ] ; g (x) = 1 + sin x
2

02 Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par : f (x) = 2 + →−x+x2→−. On désigne par (C ) sa
courbe représentative dans un repère orthonormé O, i , j .

1 a. Etudier la dérivabilité de f à droite en 0 et interpréter graphiquement le
résultat obtenu.

b. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

c. Montrer que la courbe Cf admet, sur [0, ∞] une tangente parallèle à la
droite T : 3x − 2y + 1 = 0.

2 a. Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [2, 3], on a : f (x) ≤ 1 .
6

b. Montrer que l’équation : f (x) = x admet une solution unique α dans

l’intervalle [2, 3].

c. On considère la suite réelle (Un) définie sur N par :

U0 = 2,
Un+1 = f (Un), pour tout n ∈ N

a. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 2 ≤ Un ≤ 3.

b. Montrer que pour tout entier naturel n , on a : |Un+1 − α| ≤ 1 |Un − α| .
6

c. En déduire que la suite (Un) converge vers α .

3311

03 Soit f la fonction définie sur R par f (x) = √x − 1 . On désigne par Cf sa courbe
2 x2 2
+→−1
→−
représentative dans un repère orthonormé O, i , j .

1 a. Montrer que limx→−∞ f (x) = −1 ; interpréter le résultat graphiquement.
b. Montrer que limx→+∞ f (x) = 0 .

2 a. Vérifier que f (x) = 1√ .
2(x2+1) x2+1

b. Dresser le tableau de variation de f .

3 a. Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point I d’abscisse 0 .
b. Justifier que I est un point d’inflexion de Cf .

4 Tracer T et Cf dans O, →−i , →−j .

5 Soit h la fonction définie sur ] − ∞, 0[ par : h(x) = f ( 1 ), si x < 0
x
−1, si x = 0

a. Montrer que h est dérivable sur ] − ∞, 0[ .

b. Montrer que h (x) = x.f (x) pour tout x ∈] − ∞, 0[ .

c. Soit t ∈] − ∞, 0[ . . Montrer qu’il excite au moins c ∈]t, 0[ . tel que h(t)+1 =
t
c.f (c).

d. En déduire que h est dérivable à gauche en 0 et que hg(0) = 0.

04

3322

Chapitre 3 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Suites réelles

I Rappel

Rappel
Soit n0 ∈ N et P (n) une propriété dépendant dun entier naturel n ≥ n0 .
Lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées à la fois :
✓ P (n0) est vraie.
✓ Si P (n) est vraie alors P (n + 1) est aussi vraie
Alors la propriété P (n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ n0 .

1 Suite géométrique

a Activité 1

Soit (Un) la suite réelle définie sur N par : u0 = −1
4un+3
un+1 = un+6 n∈N

1 Montrer par récurrence que pour tout n ∈ N, −3 < un < 1 .

2 Etudier le signe de (un+1 − un) pour tout n ∈ N. Conclure ?

3 Soit la suite (vn) définie sur N par vn = un − 1 .
un + 3

a. Montrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et
la raison.

b. Exprimer (vn) et (un) à l’aide de n.

c. En déduire lim un.

n→+∞

d. Vérifier que pour tout n ∈ N, 4 = 1 − vn Déterminer alors n−1 4 .
un + 3 un + 3
lim

n→+∞
k=0

3333

Retenons
Soit u une suite géométrique de raison q définie sur I = {n ≥ n0, n0 ∈ N}. On a :

♣ un+1 = un.q
♣ un = un0.qn−n0
♣ ∀α , β ∈ I, uα = uβ.qα−β

♣ ∀α , β ∈ I, α ≤ β. = 

β uα . 1−qβ−α+1 si q 1
1−q si q = 1
uk
(β − α + 1).un0
k=α

♣  0 si q ∈] − 1 , 1[
+∞ si q > 1 et un0 > 0
lim un = −∞ si q > 1 et un0 < 0
n’existe si q ≤ −1
n→+∞

pas

2 Suite arithmétique

a Activité 2

On considère la suite (Un) définie sur N par :  u0 = 1 √ un nN
un+1 =
1+un2

1 a. Montrer que pour tout n ∈ N, 0 < un ≤ 1 .
b. Montrer que (un) est une suite décroissante.

2 Soit (vn) la suite définie sur N par vn = 1 .
un2

a. Montrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1.

b. Calculer (vn) puis (un) en fonction de n et trouver lim un .

n→+∞

c. Calculer, pour tout n ∈ N∗ n−1 et en déduire lim Sn .
n
, la somme Sn = vk n→+∞

k=0

Retenons ...
Soit u une suite arithmétique de raison r définie sur I = {n ≥ n0, n0 ∈ N}. On a :
♣ un+1 = un + r
♣ un = un0 + (n − n0)r, ∀n ∈ I.

3344

Retenons (suite)

♣ ∀α , β ∈ I, uα = uβ + (α − β)r.

♣ ∀α , β ∈ I, α ≤ β.

β uα + uβ
2
uk = (β − α + 1)

k=α

♣ =  un0 si r = 0
+∞ si r > 0
lim un −∞ si r < 0

n→+∞

II Convergence des suites

Définition Soit (un) une suite de nombres réels définie sur l’ensemble K = {n ∈ N, n ≥ n0}
où n0 ∈ N.

♠ La suite (un) est dite convergente si et seulement si il existe un réel tel que

lim un = .

n→+∞

Dans ce cas on dit que la suite (un) converge vers .

♠ Lorsque lim un = +∞ ou lim un = −∞ ou (un) n’a pas de limite quand n

n→+∞ n→+∞
tend vers +∞ , on dit que la suite diverge.

a Activité 3
Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : un = (−1)n .

1 Montrer que (un) est bornée.
2 La suite (un) est-elle convergente ?

Théorème Toute suite convergente est bornée.

III Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites qui vont suivre sont valables dans le cas suivant n −→ +∞ :

3355

1 Somme lim v lim u + v
∈R +
lim u +∞ +∞
∈R −∞ −∞
∈R +∞ +∞
∈R −∞ −∞
+∞ −∞ (F.I)
−∞
+∞

2 Produit lim v lim u × v
∈ R∗
lim u ∞ (règle de signe)
∈R ∞ ∞ (règle de signe)
∈ R∗
∞ ∞ (F.I)
0
∞

3 Quotient lim v lim u
v
lim u ∈ R∗
=0 ∞ (règle de signe)
∈R =0 (F.I)
∈ R∗ ∞ 0
=0 ∈R
∈R ∞ ∞ (règle de signe)
∞ (F.I)
∞

N.B : (F.I) désigne une forme indéterminée, pour laquelle une étude spécifique doit être me-

née pour déterminer l’éventuelle limite.

Retenons

Soit a ∈ R, on a : 

lim an = 0 pas si a ∈] − 1 , 1[
+∞ si a > 1
n→+∞ n’existe si a ≤ −1
1 si a = 1

a Activité 4

Dans chacun des cas ci-dessous, calculer la limite de la suite (un) .

1 un = 1 − 3n3, n≥1 1 5n + 3
n 2n + 9
2 − √1 2 un = − + , n≥1
n

3366

3 un = √1 n + 1 , n≥0 5 un = 1 + 5 + . . . + 5 n n≥0
4n + 2 3 3
,

1

1 − − 1 n n
3
4 un = , n≥2 6 un = −3 − 9 − . . . − 3 3 , n≥0
1 − n3 π π

IV Limite et ordre

1 Activité 5

On considère la suite réelle (un) définie sur N par : un = cos n − 3n .
1 Montrer que pour tout n ∈ N on a : un ≤ 1 − 3n .

2 Déterminer lim (1 − 3n) . Que peut-on dire sur lim un ?

n→+∞ n→+∞

Théorème (un) et (vn) sont deux suites numériques définies sur K = {n ∈ N; n ≥ n0} où
n0 ∈ N, a et b deux réels.
On suppose qu’il existe un entier p tel que pour tout n ≥ p, un ≤ vn .

♠ Si lim un = a et lim vn = b alors a ≤ b.

n→+∞ n→+∞

♠ lim un = +∞ alors lim vn = +∞

n→+∞ n→+∞

♠ lim vn = −∞ alors lim un = −∞

n→+∞ n→+∞

2 Activité 6

Soit la suite (un) définie sur N∗ par un = √1 1 + √1 2 + . . . + 1 n .
n2 + n2 + n2 +

1 Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a : √n n ≤ un ≤ √n 1
n2 + n2 +

2 a. Calculer lim √ n et lim √ n
n→+∞ n2 + n n→+∞ n2 + 1

b. Que peut-on conjecturer sur lim un ?

n→+∞

Théorème Soient (un) , (vn) et (wn) trois suites numériques définies sur K = {n ∈ N; n ≥ n0}
où n0 ∈ N.
On suppose qu’il existe un entier p tel que pour tout n ≥ p, vn ≤ un ≤ wn.

Si les suites (vn) et (wn) convergent vers le même réel alors (un) converge aussi

vers

En particulier : s’il existe un entier p tel que pour tout n ≥ p, |un| ≤ vn et

lim vn = 0 alors lim un = 0

n→+∞ n→+∞

3377

3 Activité 7

1 Vérifier que pour tout entier non nul k, 1 = 1 − k k 1 .
k(k + 1) k +

n 1
k(k +
2 En déduire la limite de la suite (wn) définie par wn = 1) , n ≥ 1.

k=1

V Convergence d’une suite monotone

Théorème ♥ Si la suite (un) est croissante et majorée, alors elle converge vers un réel et
pour tout n ∈ K , un ≤ .

♥ Si la suite (un) est croissante et non majorée, alors elle tend vers +∞ .

♥ Si la suite (un) est décroissante et minorée, alors elle converge vers un réel
et pour tout n ∈ K , un ≥ .

♥ Si la suite (un) est décroissante et non minorée, alors elle tend vers −∞ .

1 Activité 8

On considère la suite réelle (un) définie par : un = 1 + √1 + √1 + . . . + √1 , n ≥ 1.
23 n

1 Montrer que la suite (un) est croissante.
√

2 Montrer que pour tout n ≥ 1 , un ≥ n .

3 En déduire lim un.

n→+∞

4 Montrer alors que la suite (un) est non majorée.

2 Activité 9

On considère la suite un = 1 + 1 + 1 + . . . + 1 . n≥1
2 3 n

1 Montrer que la suite (un) est croissante.

2 Montrer que pour tout n ≥ 1, u2n − un ≥ 1 .
2

3 a. En déduire que (un) est non majorée.

b. Déterminer lim un.

n→+∞

3388

VI Suites récurrentes

Théorème Soit une suite (un) vérifiant la relation de récurrence un+1 = f (un) où f est une
fonction.

Si la suite (un) est convergente vers un réel et si la fonction f est continue en
alors :

=f( )

1 Activité 10

On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 √
un+1 = un + 1 pour n ∈ N

1 Montrer que la suite (un) est croissante et majorée par 2 .

2 Déduire sa limite.

2 Activité 11

On considère la suite (un) définie par : u0 = 1
4
un+1 = un(1 − un) pour n ∈ N

1 Montrer que pour tout n ∈ N , 0 ≤ un ≤ 1 .

2 Montrer que la suite (un) est décroissante.

3 En déduire que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.

3 Activité 12

On considère la suite (un) définie par : u0 = 1 √
un+1 = 2 + un pour n ∈ N

1 a. Montrer que pour tout n ∈ N, 0 ≤ un ≤ 2.
b. Montrer que (un) est convergente vers . Calculer .

2 a. Montrer que pour tout n ∈ N, |un+1 − 2| ≤ √1 |un − 2|.
22

b. Déduire que tout n ∈ N, |un+1 − 2| ≤ √1 n
22
.

c. Montrer alors que lim un = 2.

n→+∞

3399

4 Activité 13

On considère la suite numérique définie par u0 = −1 et pour tout n ∈ N : un+1 = 3 + 2un .
2 + un

1 Dans la figure ci-dessous, sont représentées les courbes des fonctions f et g définies

par : f (x) = 3 + 2x et g (x) = x.
2+x
Utiliser ce graphe pour représenter sur l’axe des abscisses, en expliquant, les trois

premiers termes de la suite (un) .

2 Démontrer par récurrence que un est positif pour tout entier naturel n non nul ; en
déduire que un est défini pour tout n ∈ N.

3 a. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout n ∈ N : un+1 = a + 2 b .
+ un

b. En déduire que pour tout n ∈ N, un < 3.

4 Déterminer le sens de variation de la suite (un).

un − √
un + √3 .
5 On considère la suite (vn) définie pour tout n ∈ N par : vn = 3

√√
(2 − √3)(un − √3) .
a. Vérifier que pour tout n ∈ N, vn+1 = (2 + 3)(un + 3)

b. En déduire que la suite (vn) est une suite géométrique de raison (2 − √3)2.

c. Exprimer (vn) en fonction de n puis déterminer sa limite.

d. Exprimer (un) en fonction de n et en déduire la limite de la suite (un) .

1

0 123
−2 −1

−1

−2

4400