cours_complet_2020_4Techniques

√ e. z5 = − cos θ − i sin θ
a. z = 3√− i √ f. z6 = sin θ + i cos θ
b. z2 = − 2 +√i 2 g. z7 = − sin θ − i cos θ
c. z3 = −3 + i 3
d. z4 = cos θ − i sin θ
Théorème et définition :

Tout nombre complexe non nul z, s’écrit sous la forme z = reiθ où r = |z|

et θ = arg(z) + 2kπ k ∈ Z.
L’écriture z = reiθ est appelée écriture exponentielle de z.

4 Activité 21

√
1 Écrire sous forme exponentielle les nombres complexes :z = 3 − i et z = 1 + i.

2 En déduire l’écriture exponentielle de √(1 + i)4 .
( 3 − i)8

5 Activité 22

Écrire sous forme exponentielle : (1√− i√3)5
(− 3 − i)3
√√ ; z2 = (1 − i )4.
z1 = −2i(3 − i 3)5( 3 + i)3

6 Activité 23

1 Vérifier que pour tout réel θ, 1 + eiθ = e−i θ + ei θ ei θ
2 2 2

2 Donner l’écriture exponentielle des nombres complexes z = 1 + ei 2π et z = 1 − ei 3π
5 5

Retenons (Formules d’Euler) :

Pour tout réel θ on a :
eiθ + e−iθ = 2 cos θ ; eiθ − e−iθ = 2i sin θ ; e−iθ − eiθ = −2i sin θ

7 Activité 24

1 Soit θ ∈]0; π[, écrire sous forme exponentielle les complexes suivants :

z1 = 1 + eiθ , z2 = i − eiθ , z3 = 1 + cos θ + i sin θ , z4 = sin θ + i(1 + cos θ) , z5 = z4
z3

2 Soit α ∈ − π ; π , écrire sous forme exponentielle les complexes suivants :
2 2

1 + i tan α ; 1
1 − i tan α i + tan α

9911

8 Activité 25

√√
Soit z = (1 + 3) + i( 3 − 1) et z = (1 + i)z

1 Écrire z sous forme exponentielle. En déduire le module et un argument de z.
2 Déterminer alors cos π et sin π

12 12

9 Activité 26

Soit z = e2iθ avec θ ∈ 0; π
2

1 Écrire sous forme exponentielle le complexe z = (1 − z)2 .
z(1 + z)

2 Déterminer la valeur de θ pour laquel z ∈ R.

Retenons (Formules de Moivre) :

Pour tout réel θ on a :

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)

VIII Racines carrés d’un nombre complexe

Définition :
✓ Soit Z un nombre complexe donné. On appelle racine carrée de Z tout nombre com-

plexe U vérifiant : U 2 = Z.
✓ Les racines carrées de Z sont les solutions dans C de l’équation z2 = Z d’inconnue z.

Exemple :

♣ Les nombres complexes i et −i sont les racines carrées de −1.
♣ On a : (1 + i)2 = (−1 − i)2 = 2i donc 1 + i et −1 − i sont les racine carrée du nombre

complexe 2i.

1 Activité 27

1 Soit U = a + ib un nombre complexe non nul donné et soit l’équation (E) : z2 = U
d’inconnue complexe z . On pose z = x + iy .

9922

a. Montrer que l’équation (E) est équivalente au système : x2 − y2 = a
√ 2xy = b

b. Montrer que (z2 = U ) entraîne x2 + y2 = a2 + b2

c. Résoudre alors l’équation (E), puis en déduire que U admet deux racines carrées
opposées.

2 Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :
U = −3 − 4i et U = 7 + 24i.

3 Soit U = −8 + 6i . En écrivant U = 1 + 2 × 3 × i − 9, déduire les racines carrées de U .

Rappel :

Soit Z = a + ib un nombre complexe non nul. L’équation z2 = Z avec z = x + iy est

équivalente au système : 

x2 − y2 = a√
x2 + y2 = a2 + b2
2xy = b

Un nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées.

2 Activité 28

1 Soient λ un réel strictement positif, α un réel et Z = λeiα un nombre complexe non
nul.
Résoudre dans C l’équation z2 = Z.
( on posera z = reiθ où θ et r sont deux réels tels que r > 0 )
Donner les solutions sous forme exponentielle.

2 Déterminer les racines carrées√des nombres complexes suivants :
−3 , 16 , −2i , 1 − i , 1 + i 3

Attention : √
La notation a est réservée aux réels positifs, n’a de sens que pour a ≥ 0 .

Proposition :

Soit Z = λeiα un nombre complexe non nul donné sous forme exponentielle. L’équation

z2 = Z admet dans C deux solutions opposées :
√
z1 = λ ei α et z2 = −z1
2

Les solutions z1 et z2 sont les racines carrées de Z.

9933

IX Équation du second degré à coefficients complexes

Définition :
Soient a, b et c trois nombres complexes donnés tels que a 0.
L’équation az2 + bz + c = 0 s’appelle équation du second degré à coefficients complexes.

1 Activité 29

1 Soit, dans C, l’équation (E) : az2 + bz + c = 0 avec a ∈ C∗ et b; c ∈ C.

b 2 b2 − 4ac
2a 4a2
a. Montrer que l’équation (E) est équivalente à : z + = .

b. En posant ∆ = b2 − 4ac = δ2 avec δ une racine carrée de ∆ , résoudre l’équation (E)
dans C.

2 Résoudre, dans C, les équations suivantes :

a. z2 − (1 − i)z + 2 − 2i = 0.

b. iz2 − (1 − 5i)z + 6i = 0.

c. z2 + cos θ.z + 1 = 0 avec θ ∈ R.
4

d. z2 − 2iz + 2i.eiθ − e2iθ = 0 avec θ ∈ R.

Théorème :

Soit l’équation (E) : az2 + bz + c = 0 avec a ∈ C∗ et b; c ∈ C et z l’inconnue complexe.
On pose ∆ = b2 − 4ac = δ2 , appelé discriminant de l’équation (E).

♠ Si ∆ 0 alors l’équation (E) admet, dans C deux solutions distinctes :

z = −b − δ et z = −b + δ avec δ est une racine carrée de ∆
2a 2a

♠ Si ∆ = 0 alors (E) possède une racine carrée double z = z = −b .
2a

Remarque :

Si a + b + c = 0 alors z = 1 et z = c .
a

Si a − b + c = 0 alors z = −1 et z = − c .
a

9944

Proposition :

Soient a ∈ C∗ et b; c ∈ C.

Si z et z sont les racines dans C de l’équation du second degré (E) : az2 +bz +c = 0 alors

on a :

az2 + bz + c = a(z − z )(z − z )

2 Activité 30

Soit l’équation (E) : az2 + bz + c = 0 telle que a ∈ C∗ et b; c ∈ C et z l’inconnue complexe.

1 Exprimer, en fonction des constantes a, b et c, la somme S et le produit P des solutions
de (E).
( envisager les deux cas ∆ = 0 et ∆ 0 )

2 Soit l’équation (E) à coefficients complexes : z2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0.

a. Vérifier que i est une solution de (E).
b. Sans calculer ∆, trouver l’autre solution de (E).

Conséquence :

Soit a ∈ C∗ et b; c ∈ C.

Si z et z sont les racines dans C de l’équation du second degré (E) :
az2 + bz + c = 0, alors on a :

z + z= − b
z .z a
= c
a

3 Activité 31

1 Soit l’équation du second degré à coefficients réels (E) : az2 + bz + c = 0.

a. Montrer que si ∆ < 0 alors (E) admet dans C deux solutions conjuguées.
b. Montrer que si l’équation z2 + αz + β = 0 , d’inconnue z, admet dans C deux solu-

tions conjuguées alors α et β sont des réels.

2 Résoudre, dans C, les équations : z2 + z + 1 = 0 et z2 − 2z + 2 − cos2 θ = 0 où θ ∈ R.

Proposition :

Soient a ,b et c trois réels, a non nul et ∆ = b2 − 4ac < 0.

L’équation du second degré : (E) : az2+bz+c = 0 admet dans C deux solutions complexes

conjuguées. √√

z = −b −i −∆ , z = −b + i −∆
2a 2a

9955

4 Activité 32

1 Déterminer deux nombres complexes z1 et z2 tels que : z1 + z2 = 1 + 2i
z1.z2 = −1 + i

2 Déterminer deux nombres complexes z1 et z2 , écrits sous forme exponentielle, tels
que :
z1 + z2 = 2 + e2iθ
z1.z2 = 1 − e3iθ

X Exemples d’équations de degré supérieur à deux

1 Activité 33

On considère dans C l’équation :(E) : z3 − (3 + 4i)z2 − 4(1 − 3i)z + 12 = 0.
1 Montrer que (E) admet une solution réel x que l’on déterminera.
2 Montrer qu’il existe trois nombres complexes a, b et c tel que pour tout z ∈ C, on a :
z3 − (3 + 4i)z2 − 4(1 − 3i)z + 12 = (z − 3)(az2 + bz + c)

3 Déterminer alors les solutions de (E).

2 Activité 34

Soit l’équation (E) : z3 − iz + i − 1 = 0.
1 Vérifier que −1 − i est une solution de (E) .
2 Montrer que l’équation (E) admet une solution réelle que l’on déterminera.
3 Montrer que l’équation (E) admet une solution imaginaire pure que l’on déterminera.
4 Factoriser alors l’expression z3 − iz + i − 1.
5 Résoudre dans C l’équation z9 − iz3 + i − 1.

3 Activité 35

1 a. Résoudre, dans C , l’équation (E) : z2 − z + 1 = 0.
b. Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle.
c. En déduire les solutions de l’équation (E ) : z4 − z2 + 1 = 0

2 Mettre le polynôme P (z) = z4 − z2 + 1 sous la forme d’un produit de deux polynômes
du second degré à coefficients réels.

3 Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct O, →−u , →−v . On désigne par A, B,
C et D les images des solutions de l’équation (E ) telles que Re(zA) > 0 , Im(zA) > 0 ,
Re(zB) > 0 et Im(zD) > 0.

9966

a. Placer les points A, B, C et D.
b. Déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

XI Équation Zn = a, n ≥ 2, a ∈ C∗

Définition :
Soient n un entier naturel non nul et Z un nombre complexe non nul.
On appelle racine nième de Z, tout nombre complexe z tel que zn = Z.
Si Z = 1 alors on dit que z est une racine nième de l’unité.

1 Activité 36

1 En posant z = reiθ. Résoudre dans C l’équation (E) : z3 = 8i.

2 Placer dans le plan muni dun repère orthonormé direct O,→−u ,→−v les points A, B et C
images des solution de l’équation (E).

2 Activité 37

1 Résoudre dans C l’équation (E) : z4 = −9.

2 Placer dans le plan muni dun repère orthonormé direct O,→−u ,→−v les points A, B, C et
D images des solution de l’équation (E).

Théorème :

Soit Z = λeiα pour (λ > 0) et n ∈ N :
L’équation zn = Z admet n solutions distincts de la forme :
z = √λ.e ( )k
n i α+2kπ
n

Avec : k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} zk appelé racine nième de Z.

9977

Conséquence :

Les images des solutions de léquation zn = Z, seotndtelerasysoonm√mn λe.ts d’un polygone régulier à
n cotés inscrit dans le cercle C de centre O

Si n = 3 Si n = 4 Si n = 5

M0 M1 √ M0 M1
4r
√ √ M0
3r θ 5r
4
M1 θ O θ
3 5
M2 O
O
M4

M2 M3
M2
M3

Si Z = 1 les solutions de zn = Z sont appelés les racines nième de l’unité.

3 Activité 38

√
Soit le nombre complexe j = −1 + i 3

2

1 Écrire j sous forme exponentielle.

2 Montrer que j3 = 1 ; j2 = j = 1 ; 1 + j + j2 = 0
j

3 Déterminer les racines cubiques de l’unité et construire leurs images dans le plan com-
plexe.

4 Activité 39

Soit U = eiθ où θ est un réel de ]0, 2π[ .

1 Déterminer le nombre complexe z tel que : z−i = U.
z+i

2 Déterminer les racines cinquièmes de l’unité.

3 En déduire les solutions, dans C, de l’équation (E) : (z2 + 1)5 − (z + i)10 = 0.

9988

XII QCM Vrai-Faux

1 Application 1

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, →−u , →−v . Soit les points M(z) et M (z ).
Cocher la réponse exacte.

1 a. La distance MM est égal à :

□ |z − z | □ ||z| − |z || □ |z + z |

b. Si arg(z) =arg(z ) + 2kπ alors : □ |z| = |z |

□ O, M et M sont ali- □ z = z
gnés

c. Si arg(z) =arg(iz ) + 2kπ et |z| = |z | = 1 alors :

□ z=z □ z = iz □ z = −z

2 Si A(zA), B(zB) et C(zC) sont trois points tels que : zB − zA = 4(zC − zA) , alors :

□ ABC est isocèle □ (AB) ⊥ (AC) □ A, B et C sont alignés

2 Application 2

Le plan est muni dun repère orthonormé direct O, →−u , →−v . Soit les points M(z) et M (z ).
Cocher la réponse exacte.

1 L’équation z2 + z + 1 = 0 a deux solutions :

□ opposées □ conjuguées □ confondues

2 L’équation z2 − 2z + 2 = 0 a pour solutions :

□ z1 = 1 − i et z2 = 1 + i □ z1 = 2i et z2 = −i □ z1 = 1 − i et z2 = 2 + i

3 L’équation z3 − z2 + z − 1 = 0 admet :

□ une solution réelle □ une solution imaginaire □ trois solutions réelles

4 L’équation z4 = −1 admet

□ une solution réelle □ une solution imaginaire □ quatre solutions réelles
√
√√
5 Le nombre 2 + i 2 est une racine carrée de □ 2 2.i

□ 4i □ −4i

9999

Exercices

01 1 Résoudre dans C l’équation : z2 − (3 + 4i)z − 8 + 6i = 0 .

2 Soit dans C l’équation : (E) z3 − (1 + 4i)z2 − ((14 + 2i)z − 16 + 12i = 0.

a. Montrer que (E) admet une solution réelle que l’on précisera.
b. Résoudre alors l’équation (E).
3 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O, →−u , →−v , on consi-
dère les points A et B d’affixes respectives : zA = −1 + 2i et zB = 4 + 2i.

a. Montrer que le triangle OAB est rectangle.
b. Soit C le cercle circonscrit au triangle OAB et D le point d’affixe 4 − 3i .

Montrer que la droite (OD) est tangente à C .

02 1 a. Résoudre dans C l’équation : z2 − √ + i )z − 1 + i = 0.
2(1

b. Vérifier que les solutions de (E) s’écrivent sous la forme
π π
z1 = 2 cos 8 ei π et z2 = 2 sin 8 ei 5π .
8 8

2 Soit θ un réel de ]0; π[ .

a. Vérifier que e2iθ − 2i sin θ.eiθ = 1 .
b. Résoudre dans C , l’équation (Eθ) : z2 − 2eiθz + 2i sin θ.eiθ=0 .

3 Dans le plan complexe, muni d’un repère orthonormé O, →−u , →−v , on consi-
dère les points A(eiθ + 1) , B(eiθ − 1) et C(1 − e−iθ) .

a. Déterminer l’ensemble des points C lorsque θ décrit ]0; π[ .
b. Montrer que le triangle OAB est rectangle en O.
c. Déterminer θ pour que le triangle OAB soit isocèle.
d. Montrer que A, B et C sont alignés.

4 Soit M(z) un point du plan et soit M (z ) tel que z = z − eiθ − 1 (z eiθ − 1) .
z − eiθ + 1

a. Déterminer l’ensemble des points M pour que z soit imaginaire.

b. Montrer que si M varie sur la médiatrice de [AB] alors M varie sur un
cercle que l’on précisera.

110000

03 Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O, →−u , →−v .

1 Soit l’équation (E) : z2 − (2i − ieiθ)z − 1 + eiθ = 0 où θ ∈]0; π[ .

a. Vérifier que i est une solution de (E) .
b. Déterminer alors l’autre solution de (E) .

2 Soit U un nombre complexe non réel et A, B et C d’affixes respectives U , U
et U 2 .
U
Montrer que ABC est un triangle isocèle en A.

3 Dans la suite on pose U = i − ieiθ où θ ∈]0; π[ .

a. Montrer que U = 2 sin θ eiθ.
2

b. Vérifier que zC − zA = −U .
zB − zA U

c. Montrer alors que −A−→B , −A−→C = π + θ + 2kπ (k ∈ Z).

d. En déduire pour quelle valeur de θ , ABC est un triangle équilatéral.

04 1 Résoudre dans l’équation 2z2 − 2(1 − cos θ)z + 1 − cos θ = 0 avec θ ∈]0; π[ .

2 Écrire les solutions sous forme exponentielle.
3 On pose f (z) = 2z3 − 2(1 + i)z2 + (1 + 2i)z − i pour z ∈ C.

a. Montrer que l’équation f (z) = 0 admet une solution imaginaire.

b. Résoudre alors léquation f (z) = 0 .

4 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O, →−u , →−v , on

considère les points M et M et d’affixes respectives

z = 1 (1 − cos θ + i sin θ) , z = 1 (1 − cos θ − i sin θ).
2 2

a. Calculer z − 1 et z − 1 en déduire que les points M et M appar-
2 2

tiennent à un même cercle que l’on caractérisera.

b. Soient les points A, B et C d’affixes respectives zA = i , zB = 2z et zC = 2z
. Déterminer θ pour que ABCO soit un parallélogramme.

110011

Chapitre 11 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Géométrie dans l’espace

I Déterminent dans lespace

Définitions L’espace est muni d’un repère cartésien O, →−ı , →− , →− .
k

 a   a  et  a 
Soient →−u  b  et →−v  b  →w−  b  trois vecteur de W , on a :
c c c

aa a =a b b −b a a +c a a
det →−u ,→−v , →w− = b b b c c c c b b

cc c

Propriétés ♣ Soient →−u , →−v et →−w trois vecteurs de W .On a :
→−u ,→−v et →w− sont coplanaires si et seulement si det →−u ,→−v , →−w = 0

♣ A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si det −−→ −−→ −−−→ =0
AB , AC , AD

1 Activité 1

L’espace est muni d’un repère cartésien O, →−ı , →− , →− .
k

1 On donne les points A(1, 1, 1) , B(−1, 2, −1), C(2, 3, 5) et D(1, 0, −1). Montrer que les
points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

2 Les  2   1  et  4  sont-ils coplanaires ?
vecteurs →−u  −1  et →−v  −1  →w−  −3 
1 3 7

110022

II Produit scalaire dans l’espace

Définitions ♣ Soient A, B et C trois points deux à deux distincts de E .
−A−→B . A−−→C = AB.AC. cos −A−→B , −A−→C

♣ Soient →−u et →−v deux vecteurs de W . Le produit scalaire de →−u et →−v est le réel
défini par :

✓ Si →−u = →−0 ou →−v = →−0 alors →−u .→−v = 0.
✓ Si →−u →−0 et →−v →−0 alors →−u .→−v = →−u . →−v . cos →−u ,→−v

♣ L’espace est muni d’un repère orthonormé O, →−ı , →− , →− .
k

Pour tous  x  x 
vecteurs →−u  y  et →−v  y  de W , on a :
z z

→−u .→−v = xx + yy + zz

→−u = x2 + y2 + z2

Propriétés ♠ Deux vecteurs →−u et →−v sont orthogonaux si et seulement si →−u .→−v = 0.

♠ Pour tous vecteurs →−u , →−v et →−w de W et pour tout réel α on a :

✓ →−u .→−v = →−v .→−u .
✓ α→−u .→−v = →−u . α→−v = α →−u .→−v .

✓ →−u . →−v + →−w = →−u .→−v + →−u .→−w

1 Activité 2 HG

Soit ABCDEFGH un cube de centre O et d’arête a. E F
1 Calculer à l’aide de a les expressions suivantes :
A−−→B . A−−→C , A−−→E . B−−→G , A−−−H→. E−−→C , O−−−→A . O−−−→G , −O−−→E . F−−→B O
D
C

2 Montrer que (DB) et (EB) sont orthogonales à (AG).

Indication : On pourra considérer le repère orthonormé
→− →− →− →− −−→ →− −−−→ →− −−→
A, i , j , k tel que : i = 1 AB , j = 1 AD , k = 1 AE A B
a a a
110033

III Produit Vectoriel dans l’espace

Définitions ♥ Soient →−u et →−v deux vecteurs de W et A, B et C trois points de E tels que
A−−→B = →−u et −A−→C = →−v .
On appelle produit vectoriel de →−u et →−v , le vecteur →−w , noté →−u ∧→−v défini
par :

♦ Si →−u et →−v sont colinéaires, alors →w− = →−0 .
♦ Si non alors →−w est l’unique vecteur tel que :

✓ →−w est normal au plan (ABC).
✓ →−u ,→−v , →w− est une base directe.

✓ →−w = →−u . →−v . sin A−−→B , −A−→C .

→−w

→−u A →−v C

θ
B

♥ Dans une base orthonormée directe →− →− →− de W ,  x   x 
i , j ,k si →−u  y  et →−v  y 
z z

alors

→−u ∧ →−v = y y →− − x x →− x x →−
z z i z z j+ y y k

= (yz − zy )→−i − (xz − zx )→−j + (xy →−
− yx ) k

Propriétés ♣ Pour tous vecteurs →−u , →−v et →−w de W et pour tout réel α on a :

✓ →−u ∧ →−u = →−0
✓ →−u ∧ →−v = −→−v ∧ →−u
✓ α→−u ∧ →−v = →−u ∧ α→−v = α →−u ∧ →−v .
✓ →−u + →−v ∧ →w− = →−u ∧ →−w + →−v ∧ →w− .
✓ →w− ∧ →−u + →−v = →w− ∧ →−u + →−w ∧ →−v .

♣ →−u et →−v sont colinéaires si et seulement si →−u ∧ →−v = 0.

110044

1 Activité 3 H G
C F
La figure ci-dessous représente un cube ABCDFGHE tel que AB = 1
B
−−→ −−−→ −−→ E A
1 Vérifier que le repère A, AB , AD , AF est orthonormé

direct de E .

2 Calculer les produits vectoriels suivants :
−A−A−−→→CB ∧∧ −AA−−−−−→D→G −A−A−−→−→BG ∧∧A−B−−−→−CH→ , −A−→C ∧ −B−→D , −A−→C ∧ A−−−H→
, D
,

2 Activité 4

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé direct O, →−ı , →− , →− .
k

1  √   √1  deux vecteurs de W .
Soient →−u  2−1  et →−v  2 +√1 

√1 3+2 2
2+1
Calculer →−u ∧ →−v . Conclure.

2  1   2  et  1  trois vecteurs de W .
Soient →−u  0  et →−v  1  →w−  −1 
1 0 2
Calculer →−u ∧ →−v ∧ →w− et →−u ∧ →−v ∧ →w− . Conclure.

3 Soient les points A(2, 0, 0) , B(0, 4, 0) et C(0, 0, 3).
Calculer A−−→B ∧ A−−→C , B−−→C ∧ B−−→A et C−−→A ∧ −C−→B .
Qu’en déduit-on ?

Remarque
✓ Soient →−u , →−v et →−w trois vecteurs de W . On appelle déterminent de →−u , →−v et →w− le réel :

det(→−u ,→−v , →−w ) = →−u ∧ →−v .→−w = →w− ∧ →−u .→−v = →−v ∧ →−w .→−u

✓ Soient →−u ,→−v , →w− une base orthonormée de W .
On a : →−u ,→−v , →−w est directe si et seulement si det →−u ,→−v , →w− = 1.

110055

IV Droites et plans de l’espace

Droites

Retenons
 
♣ Une droite (D) de l’espace est définie par un point A et un vecteur directeur →−u  a 
b
c

♣ La représentation paramétrique de (D) est :

D (A, →−u ) :  x = xA + a.α (α ∈ R)
y = yA + b.α
z = zA + c.α

♣ Pour obtenir les équations cartésiennes de (D) on détermine α de l’une des équations
paramétriques de (D) et on remplace α dans les deux autres équations paramétriques.

1 Activité 5

On donne les points A(1, 0, −1), B(1, −2, 1) et E(1, −4, 3) de l’espace.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). Le point E appartient-il à
(AB) ?

2 Activité 6

Soit la droite D passant par A(1, −1, −3)  −2 
et de vecteur directeur →−u  3 
5

1 Donner un système d’équations paramétriques de la droite D.

2 Soit M(x, y, z) un point de l’espace . Montrer que M appartient à D si et seulement si

on53xax++: 22zy+−11==00 On dit que ce système constitue une représentation cartésienne

de la droite D dans le repère O, →−ı , →− , →− .
k

3 Activité 7

Soit D la droite de l’espace E dont une représentation paramétrique  x = 1 + 2t (t ∈ R)
y = −3 − 5t
z = 1−t

Déterminer une représentation cartésienne de la droite ∆ passant par le point A(3, −2, 1) et

110066

parallèle à D.
Plans

Rappel

♣ Un plan P de l’espace est défini par un point A et deux vecteurs directeurs  a  et
 →−u  b 
 non colinéaires. c

→−v  a
b
c

♣ Les équations paramétriques de P sont

P (A,→−u ,→−v ) :  x = xA + a.α + a .β (α, β ∈ R)
y = yA + b.α + b β
z = zA + c.α + c β

♣ Trois points A, B et C non alignés de l’espace définis le plan (ABC) : A, −−→ −−→
AB , AC .

♣ Une droite D(B, →D− ) ,et un point A n’appartenant pas à (D) définis le plan P : A, −−→ →D− .
AB ,

♣ L’équationcartésienne d’un plan P est de la forme P : ax + by + cz + d = 0.
−n−→P  a 
b est un vecteur normal à P.
c

♣ Soit P un plan passant par un point A et de vecteur normal  a 
n−−→P  b . L’équation carté-
c

sienne de P est alors :

P : a(x − xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0

♣ Si →−u et →−v sont deux vecteurs directeurs de P alors −N→ = →−u ∧ →−v est un vecteur normal à
P.

♣ On appelle plan médiateur du segment [AB] : le plan passant par I = A ∗ B et de vecteur
−−→

normal AB .

4 Activité 8

Montrer que les points A(2, −3, 2),B(0, −1, −1) et C(−3, 1, 1) déterminent un plan dont on don-
nera une équation cartésienne.

110077

5 Activité 9

Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur de [AB] avec A(2, −1, 0) et B(1, −1, 3).
Positions relatives de deux droites

Retenons

♠ Deux droites de l’espace, (D) et (D ) sont ou bien parallèles ou bien sécantes ou bien non
coplanaires.

♠ (D) et (D ) sont non coplanaires si et seulement si :

((DD ) et (D ) non parallèles ou dAe∈t −A−→B , −u−→D , −−→ 0
) ∩ (D ) = ∅ uD

(D) , B ∈ (D )

6 Activité 10

Soient (D) = D A,→−u avec A(−1, 1, 3) et →−u  1 
et (D )  2 .
 1
 .
=D B,→−v avec B(1, 3, 0) et →−v  −3
−1
2

(D) et (D ) sont-elles coplanaires ?

Positions relatives d’une droite et d’un plan

Retenons

♣ Une droite (D) et un plan P sont ou bien parallèles ou bien sécantes en un point.

♣ (D)//P ⇐⇒ u−−→D . −n−→P = 0.

♣ (D) ∩ P ⇐⇒ u−−→D . n−−→P 0.

♣ (D) ∩ P : P(D ) : (((321))) : x = xA +a .α
: : y = yA +b .α
: z = zA +c .α

(4) : ax + by + cz + d = 0

On remplace x, y, z dans (4), on détermine α puis on remplace la valeur de α dans (1),

(2) et (3) on aura les coordonnées du point d’intersection de (D) et P.

110088

Remarque

Lorsqu’on remplace x, y et z dans (4), si on trouve : 00 × α = 0 =⇒ (D) est incluse dans P
× α 0 =⇒ (D) ∩ P = ∅

7 Activité 11

Soient (D ) : zyx = 1+t (t ∈ R) et P : yxz = 3 + 2α + 3β (α, β ∈ R)
= −2t = α − 4β
= 1−t =2+α+β

Déterminer (D) ∩ P.

Positions relatives de deux plans

Retenons
♣ Deux plans P et Q sont ou bien parallèles ou bien sécants suivant une droite.
♣ P//Q ⇐⇒ −n−→P ∧ n−−→Q = →−0 .
♣ P ∩ Q = (D) ⇐⇒ −n−→P ∧ n−−→Q →−0 .

8 Activité 12

Soient P : x + 2y − 3z − 1 = 0 et Q : 2x + y − z − 2 = 0. Déterminer P ∩ Q ?

Conclusion :

Soit D et D deux droites de vecteurs directeurs respectives →−u et −→ et P et P
−→ u
n
deux plans de vecteurs normaux respectifs →−n et . On a :
−→
D ⊥D ⇐⇒ →−u ⊥ u

P ⊥P ⇐⇒ →−n ⊥ −→
n

P // P ⇐⇒ →−n et −→ sont colinéaires.
u

D // P ⇐⇒ →−u ⊥ →−n

D ⊥ P ⇐⇒ →−u et →−n sont colinéaires.

110099

Projeté orthogonale d’un point sur une droite

Retenons

Soit H le projeté orthogonale d’un point A sur une droite (D).

H (x, y, z) : HA−−−H→∈ .(u−D−→D) ==0B=, ⇒u−−→D(4)bac:  : (((231))) : x = xB + a.α
 : y = yB + b.α
ax : z = zB + c.α
+
+ by + cz d=0

9 Activité 13

Déterminer H le projeté orthogonale de A(−1, 3, −1) sur la droite (D) passant par le point
B(1, 2, −1) et de vecteur directeur →−u  −1 
1
−1

Projeté orthogonale d’un point sur un plan

Retenons
Soit H le projeté orthogonale d’un point A sur un plan P.

H(x, y, z) : HA−−−H→∈ P= α=.⇒n−−→P(4=)⇒: ax(((+123)))b:::yyxz+===czzxyAAA++++dcba=...ααα0

10 Activité 14

Déterminer H le projeté orthogonale de A(−1, 3, −1) sur le plan P : x + 2y − 3z − 1 = 0 .

V Distances , Aires et Volumes dans l’espace

Distance entre deux points

Rappel
Soit A et B deux points distincts de l’espace. On a :

AB = A−−→B = (xB − xA)2 + (yB − tA)2 + (zB − zA)2

111100

Distance entre un point et une droite

1 Activité 15

Soit D une droite passant par un point A et de vecteur directeur →−u .
Soit B un point de lespace qui napproche pas à D. On désigne par H le projeté orthogonal
de B sur D.

1 Montrer que −−→ ∧ →−u = B−−−H→ ∧ →−u
BA

−−→ ∧ →−u
BA

2 En déduire que :BH = →−u

Retenons
Soit D(A,→−u ) une droite.
La distance d’un point B de l’espace à la droite D est le réel :

−−→ ∧ →−u
BA

d(A, D) = →−u

A

∆

H

→−u

B

2 Activité 16

Soit la droite D :  x= 1+α ; α∈R et H(1, 0, 3)
y= −1 + 2α
z= −2α

Déterminer la distance du H à la droite D.

Distance entre un point et un plan

111111

Rappel

L’espace E →− →− →−
est muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j , k ).

Soit le plan P : ax + by + cz + d = 0 et le point A(xA, yA, zA). La distance du point A au plan
P est :

d(A, P) = |axA√+ byA + czA + d|
a2 + b2 + c2

Distance entre deux droites

Retenons

Soient D(A,→−u ) et D (A −→ deux droites de l’espace.
,u )

H et H étant les intersections de D et D avec leur perpendiculaire commune. On a :

det →−u , −→ −−−→
u, AA

d(D, D ) = HH = →−u −→
u
∧

→−u D

A H

D

H

−→
u

A

Aire d’un triangle

3 Activité 17

Soit ABCD un parallélogramme, on désigne par H le projeté orthogonal de D sur la droite
(AB).

1 Montrer que laire du parallélogramme ABCD est A = −−→ ∧ −−−→ .
AB AD

2 On donne A(1, 2, 3) , B(4, 2, −1) et C(2, −1, 2). Calculer l’aire du triangle ABD.

111122

Retenons
Soit A, B et C trois points non alignés de l’espace.L’aire du triangle ABC est :

A = 1 A−−→B ∧ A−−−→D
2

CD

A B
H

Volume d’un parallélépipède et d’un tétraèdre

Retenons

Le volume d’un parallélépipède ABCDEFGH
est :

V = ( A−−→B ∧ −A−−→D ) · A−−→E

Le volume d’un tétraèdre ABCD est :

V = 1 −−→ −−→ −−−→ = 1 .D H .AABC
6 ( AB , AC , AD ) 3

−−→ −−→ −−−→
( AB , AC , AD )
3.V
DH = −−→ −−→ = AABC
AB AC
∧

4 Activité 18

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé direct O, →−ı , →− , →− . On donne les points
k

A(3, 0, 0), B(0, 1, 1) ; C(−1, 1, 2) et D(3, 1, 1) .

1 a. Déterminer les composantes du vecteur A−−→B ∧ A−−→C .

b. En déduire l’aire du triangle ABC.

c. Montrer que A , B , C et D sont non coplanaires .

2 a. Calculer le volume du tétraèdre ABCD.
b. Soit H le projeté orthogonal de D sur (ABC) . Calculer DH.

111133

3 a. Calculer d(D, (AC)).

b. Soit H le projeté orthogonal de D sur (AC). Montrer que DHH est rectangle en
H et déduire HH .

VI La sphère

1 Activité 19

Soit A et B deux points distincts de lespace et I le milieu de [AB].
Soit R = IA et S = {M ∈ E tel que M−−−→A · −M−−→B = 0}.
Montrer que M ∈ S ⇐⇒ IM = R.

Définition Soit I un point de l’espace E .
R un réel strictement positif.
On appelle sphère de centre I et de
rayon R,
l’ensemble des points M de l’espace tel
que IM = R On note S(I, R).

Conséquence
Soit A et B deux points distincts de lespace E . Lensemble des points M de E tel que M−−−→A ·
−M−−→B = 0 est la sphère de diamètre [AB] .

2 Activité 20

Soit I(1, 2, −1) un point de lespace et S(I, R) la sphère de centre et de rayon R = 3.
Montrer que :M(x, y, z) ∈ S ⇐⇒ (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z + 1)2 = 9.

Théorèmes Soit I(x0, y0, z0) un point de l’espace et R un réel strictement positif. La sphère
de centre I et de rayon Rest l’ensemble des points M(x, y, z) tel que :

(x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2

C’est l’équation cartésienne du sphère S(I, R).

3 Activité 21

Soit A(1, 0, −2) et B(−1, 3, 0). Donner une équation cartésienne de chacune des sphères sui-
vantes :

√
1 S1(A, 2)
2 S2(B, R) avec R = BA.

111144

3 S3 la sphère de diamètre [AB].

4 Activité 22

Déterminer l’ensemble es points M dans chacun des cas suivantes :

1 x2 + y2 + z2 − 2x + 4y − 4 = 0

2 x2 + y2 + z2 +x − 2y + 4z + 21 = 0
4

3 x2 + y2 + z2 − x + 3z + 5 = 0

5 Activité 23

Soit la sphère S(I, R) avec I(−1, 1, 0) et R = 3 .
Les plans P1 : 2x + y + 2z + 25 = 0 , P2 : 2x + y + 2z − 2 = 0 , P3 : 2x + y + 2z + 10 = 0.
Comparer :

1 d(I, P1) et R.

2 d(I, P2) et R.

3 d(I, P3) et R.

111155

Théorèmes L’espace E →− →− →−
est muni d’un repère orthonormé direct (O, i , j , k ).

Soit S(I, R) une sphère de centre I et de rayon R. Soit P un plan,H le projeté

orthogonal de I sur P. Posons h la distance de I à P. (h = IH).

1 Si h > R, alors S ∩ P = ∅. Donc S et P sont disjoints.

2 Si h = R, alors S ∩ P = {H}. Donc S et P sont tangents en H.

3 Si h < R, alors S ∩ P = C . Avec C cercle du plan P de centre H et de
√

rayon r = R2 − h2 . Donc S et P sont sécants .

111166

Chapitre 12 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Probabilité sur un ensemble fini

I Langage de probabilité

On appelle univers (ou univers des possibles) , l’ensemble des résultats ( ou éventuali-
tés)possibles d’une expériences aléatoire.Cet ensemble se note Ω .

Toute partie A de Ω est appelée événement.
Si A = ∅, on dit que A est l’événement impossible.
Si A = Ω, on dit que A est l’événement certain.
Si A est une partie contenant un seul élément de Ω , on dit que A est un événement

élémentaire.
L’événement A ∩ B est l’évènement "A etB" . Il est réalisé si les deux événements A et B

sont réalisés simultanément .
L’événement A ∪ B est l’évènement " A ou B" . Il est réalisé si l’un au moins des deux

événements A et B est réalisé.
L’ensemble CA, qu’on note A , est l’évènement contraire de A .Il est réalisé ssi A n’est pas

réalisé.
Deux évènements A et B sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se réaliser en même

temps .C-à-d ssi A ∩ B = ∅ .
Si A et B sont deux évènements de Ω tels que A ⊂ B alors B \ A désigne l’ensemble des

éléments de B qui n’appartiennent pas à A

II Rappel

1 Activité 1

On lance une fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on observe le
numéro de la face supérieur.

L’ensemble Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est appelé l’univers des cas possibles.
Toute partie de Ω est appelé l’évènement de Ω.

111177

1 Déterminer les evènements suivants :
A : « Obtenir un nombre strictement inférieur à 6 ».
B : « Obtenir un nombre multiple de 6 ».
C : « Obtenir un nombre divisible par 8 ».
D : « Obtenir un nombre inférieur à 8 ».

2 On suppose que tous les faces ont la même probabilité d’apparition, déterminer les
probabilité de chacun des évènement précédents.

Définition Soit Ω un univers fini. On appelle probabilité définie sur l’ensemble P(Ω) des
parties de Ω, toute application p de P(Ω) dans [0, 1] vérifiant :

p(Ω) = 1.

Pour tous évènements A et B tel que A ∩ B = ∅ on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B).

Propriétés Soit Ω un univers fini.A et B deux évènements de Ω :

* 0 < p(A) < 1.
* p(A¯) = 1 − p(A).

* p(∅) = 0.

* p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B).

* Si tous les évènements ont la même probabilité, on a alors :

p(a) = 1 pour tout a élément de Ω
card(Ω)

et p(A) = card(A) pour tout A évènement de Ω.
card(Ω)

2 Activité 2

Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules noires et 3 boules vertes.
On tire simultanément et au hazard 3 boules de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Obtenir 3 boules rouges ».
B : « Obtenir 3 boules de même couleurs ».
C : « Obtenir au moins une boules rouges ».

111188

Tirage de p jetons d’un sac contenant n jetons p ≤ n.

Retenons Successifs et avec Successifs et sans re- Simultanément
Type de tirage remise mise
Ordre L’ordre intervient L’ordre intervient L’ordre n’intervient
Un cas possible pas
Un p-uplet avec Un p-uplet d’élé- Une partie de p élé-
card(Ω) possibilité ments
de répétition ments
np
deux à deux distincts

Anp = (n n! Cnp = p! × n! p)!
− p)! (n −

3 Activité 3

Une urne contient quatre boules rouges, trois boules blanches et deux boules noires.
On tire au hasard, successivement et sans remise, trois boules de l’urne.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Obtenir 3 boules rouges ».
B : « Obtenir 3 boules de même couleurs ».
C : « Obtenir au moins une boules rouges ».
D : « Obtenir les deux boules noires ».

4 Activité 4

On lance un dé pipé tel que p1 = p3 ; p2 = p4 et p5 = p6 = 2p1 où pi est la probabilité d’appa-
rition de la face portant le chiffre i.

1 Déterminer la probabilité d’apparition de chaque face.

2 Déterminer la probabilité des évènements suivants :
A : « La face apparante porte un nombre paire ».
B : « La face apparante porte un nombre supérieur ou égal à 5 ».

5 Activité 5

Une urne contient deux boules blanches portant respectivement les numéros 1 et 4 et quatre
boules noires portant respectivement les numéros 2, 3, 5 et 7.

1 On tire simultanément et au hasard deux boules de l’urne.Quelle est la probabilité de
chacun des évènements suivants :
A : « Les deux boules tirées portent des numéros impaires ».
B : « Les deux boules tirées sont de la même couleur ".
C : « Les deux boules tirées portent des numéros impairs et sont de la même couleur ».
D : « Les deux boules tirées portent des numéros impairs ou sont de la même couleur ».

2 On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne. Calculer la probabilité
de chacun des évènements suivants :
E : « Les deux boules tirées sont de parités différentes ».
F : « Obtenir au moins une boule noire ».

111199

III Probabilité conditionnelle

1 Activité 6

Dans une entreprise, la répartition des 100 agents d’encadrement est donnée dans le tableau
suivant :

. Hommes Femmes

Cadres administratifs 10 20

Cadres techniques 50 20

On choisit, au hasard, une personne parmi ces 100 agents.

1 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « La personne choisie est un cadre administratif ».
B : « La personne choisie est un homme ».
C : « La personne choisie est un cadre administratif sachant que c’est un homme ».

2 a. Calculer p(A ∩ B).

b. Comparer p(C) et p(A ∩ B)
p(B)

a Arbres pondérés :

Lorsquon est en présence dune situation de conditionnement, il est conseillé détablir un
arbre de probabilité.

b Règles de construction :

La somme des probabilités des branches issues d’un même noeud est 1.
La probabilité de l’événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des
différentes branches composant ce trajet.
L’ arbre de probabilités ci-après modélise la situation de lactivité précédente.

1 A −→ p(A ∩ B) = 1 × 6 = 1
6 10 10

B 6
5

6 6 A −→ p(A ∩ B) = 5 × 6 = 1
10 6 10 2

Ω

4 1 A −→ p(A ∩ B) = 1 × 4 = 1
10 2 10 5

B 2
1

2 A −→ p(A ∩ B) = 1 × 4 = 1
2 10 5

112200

Définition Soit Ω un univers, p une probabilité définie sur P(Ω) et A et B deux évène-
ments tel que p(B) 0.
On appelle probabilité conditionnelle de A sachant B qu’on lit : " Probabilité
de A sachant B ", le nombre réel :

p(A/ B) = p(A ∩ B)
p(B)

On note aussi PB(A).

2 Activité 7

Une entreprise dispose de deux machines M1 et M2 pour fabriquer des pièces. Certains
2
pièces sont défectueuses. Les 3 de la production fourni par M1. La machine M1 produise

90% des pièces sans défaut et la machine M2 produise 5% des pièces sont défectueuses.

On choisit au hasard une pièce et on considère les évènements :

A : « La pièce provient de M1 ».
D : « La pièce est défectueuse ».

1 Construire l’arbre de probabilité.

2 Calculer p(D).

3 Calculer la probabilité pour que la pièce provienne de M1 sachant qu’elle est défec-
tueuse.

3 Activité 8

On jette simultanément, une fois, deux dés cubiques parfaits non identiques dont les faces
sont numérotées de 1 à 6 et on s’intéresse aux nombres inscrits sur les faces supérieures des
deux dés. Soient les évènements suivants :
A : « Les nombres amenés par les deux dés sont différents ».
B : « La somme des nombres amenés par les deux dés est égale à 7 ».
C : « La somme des nombres amenés par les deux dés est égale à 4 ».
D : « La somme des nombres amenés par les deux dés est égale à 12 ».

1 Calculer p(A), p(A ∩ B); p(A ∩ C); p(A ∩ D) et p(B ∩ C).

2 Calculer p(Ω/A); p(B/A); p(C/A) et p(D/A).

3 Calculer p(B ∪ C/A) et comparer le résultat avec p(B/A) + p(C/A).

4 Calculer p(B/A) et comparer le résultat avec 1 − p(B/A).

112211

Propriétés Soit Ω un univers, p une probabilité définie sur P(Ω) et B un évènements tel
que p(B) 0.
On a : p(Ω/B) = 1
Pour tout évènements incompatibles A1 et A2 on a :

p ((A1 ∪ A2)/B) = p(A1/B) + p(A2/B)
Pour tout évènement A on a : p(A/B) = 1 − p(A/B).

4 Activité 9

Une boîte contient trois boules rouges et sept boules blanches indiscernables au toucher. On
tire, simultanément et au hasard, trois boules de la boîte.

1 Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
A : « Obtenir une boule rouge ».
B : « Obtenir au moins une boule blanche ».

2 a. Calculer p(A/B) et p(B/A).
b. Calculer la probabilité d’obtenir une boule rouge sachant qu’au moins deux boules
blanches sont tirées.

3 Comparer p(A/B) à p(A) et p(B/A) à p(B)

5 Activité 10

On lance simultanément, deux dés parfaits non identiques et on appelle A l’évènement « Le
premier dé amène un nombre pair »et B l’évènement « Le deuxième dé amène un nombre
impair ».

1 Calculer p(A); p(B) et p(A ∩ B)

2 Comparer p(A ∩ B) au produit p(A).p(B).

3 Calculer p(A/B).

Définition Soient Ω un univers, p une probabilité définie sur P(Ω) et A et B deux événe-
ments.
A et B sont dits indépendants si et seulement si

p(A ∩ B) = p(A) × p(B)

Ce qui équivaut à : p(A/B) = p(A)
si p(B) 0.

112222

6 Activité 11

On lance, une fois, un dé cubique dont les faces numérotées 1, 2, 3, 4 et 5 sont blanches et la
face numérotée 6 est rouge. Soient A et B les événements définis par :
A : « La face supérieure porte un nombre pair ».
B : « La face supérieure est rouge ».
Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.

IV Principe des probabilités composées

1 Activité 12

Soient Ω un univers, p une probabilité définie sur Ω et A et B deux évènements de Ω.

1 Vérifier que si p(A) = 0 alors p(A ∪ B) = 0.

2 On suppose que p(A) 0 . Montrer que p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)

3 Vérifier que si p(A) 0 et p(B) 0 alors p(A) · p(B/A) = p(B) · p(A/B).

4 Soient A, B et C trois évènements de Ω tel que p(A) 0 , p(B) 0 et p(A ∩ B) 0.

En utilisant p(C / A ∩ B) = p(A ∩ B ∩ C) ,
p(A ∩ B)

montrer que p(A ∩ B ∩ C) = p(A) · p(B/A) · p(C/(A ∩ B)).

Retenons
Soient Ω un univers, p une probabilité définie sur P(Ω) et A , B et C trois événements tel
que p(A) 0 et p(B) 0. On a :

p(A ∩ B) = p(A/B) × p(B) = p(B/A) × p(A)
p(A ∩ B ∩ C) = p (C/A ∩ B) × p(B/A) × p(A)

V Principe des probabilités totales - Formule de Byes

1 Activité 13

Soient Ω un univers et A et B deux événements de Ω tels que p(B) 1 et p(B) 0 :

1 En remarquant que A = A ∩ Ω et B ∪ B = Ω, montrer que : A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

2 En déduire que : p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B)

3 Prouver alors que : p(A) = p(B) · p(A/B) + p(B) · p(A/B).

4 Montrer que : p(B/A) = p(B) · p(A/B) .

p(B) · p(A/B) + p(B)p(A/B)

112233

Retenons
Soient Ω un univers, p une probabilité définie sur P(Ω) et A et B deux événements tel que
p(A) 1 et p(A) 0. On a :

p(B) = p(A) · p(B/A) + p(A) · p(B/A)

2 Activité 14

Une urne contient 7 jetons : quatre portent le numéro 0 deux portent le numéro 1 et une
porte le numéro 2
Un joueur tire simultanément trois jetons de l’urne et additionne les numéros marqués sur
ces trois jetons tirés.

• Si cette somme S n’est pas nulle, il gagne un nombre de points égal à S.

• Si cette somme S est nulle, sans remettre les trois jetons tirés dans l’urne, il procède à
un nouveau tirage d’un seul jeton, son gain est alors le numéro marqué sur le nouveau
jeton.

On note : R : « Le joueur est obligé de faire un deuxième tirage »
A : « Le gain est 0 ».

1 Calculer p(R); p(A/ R) et p(A ∩ R) et montrer que p(A) = 1 .
35

2 Déterminer les probabilités des évènements suivants :

a. B : « Le gain est 1 ».
b. H : « Le joueur est obligé de faire un deuxième tirage sachant que le gain est 1 ».

112244

Chapitre 13 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Variables aléatoires rélles

Dans tout ce chapitre, Ω est un univers, P(Ω) l’ensemble des parties de Ω et p une proba-
bilité sur P(Ω).

I Loi de probabilité d’une variable aléatoire

1 Activité 1

Une urne contient six boules : 3 rouges, 1 noire et 2 blanches (toutes les boules sont indis-
cernables au toucher). Un joueur tire, au hasard, une boule et note sa couleur ; si elle est
rouge il gagne 1 dinar tunisien ; si elle est noire il gagne 2 dinars ; si elle est blanche il perd 3
dinars. On désigne par Ω l’ensemble des couleurs possibles et par X l’application de Ω vers
R qui à chaque élément de Ω associe le gain algébrique (positif si le joueur gagne, négatif si
le joueur perd).

1 Quelles sont les valeurs prises par X ? On notera X(Ω) l’ensemble de ces valeurs.

2 Pour chaque valeur de xi de X(Ω), on désigne par (X = xi) l’ensemble des éléments de
Ω ayant pour image xi par l’application X. Calculer les probabilités des évènements
suivants : (X = 2) , (X = 1) et (X = 3).

3 Vérifier que p (X = xi) = 1.

xi ∈X(Ω)

Définition Soit Ω un univers fini :

∗ On appelle variable aléatoire réelle (ou aléa numérique) définie sur lunivers
Ω , toute application X : Ω −→ R.

∗ On appelle loi de probabilité de X ou distribution des probabilités de , lap-
plication :
f : Ω → [0 ; 1]

xi → p(X = xi)

2 Activité 2

On lance trois fois de suite un jeton qui porte 1 sur lune des faces et 0 sur lautre face. Soit X
la variable aléatoire qui à chaque expérience associe la somme des trois numéros obtenus.

112255

1 Déterminer lensembles des valeurs prise par X.
2 Déterminer la loi de probabilité de X.

II Espérance mathématique :

1 Activité 2

Un joueur lance un dé équilibré :
Si le nombre de la face supérieur est impair, il gagne en dinars la somme égale à ce
nombre.

Si le nombre de la face supérieur est pair, il perd en dinars la somme égale à ce nombre.
On désigne par X la variable aléatoire qui prend la valeur du gain algébrique.

1 Déterminer la loi de probabilité de X.

6

2 Calculer lexpression xip(X = xi).

i=1

Définition Soit X une variable discrète prenant les valeurs xi avec les probabilités respec-
tives pi ,
pour :i ∈ {1, 2, 3, ......, n}.

On appelle espérance mathématique de X , ou valeur moyenne de X que lon

note E(X) ou X , le réel définie par :

n

E(X) = pkxk = p1x1 + p2x2 + ............. + pnxn

k=1

Remarque
Si X indique le gain algébrique (positif ou négatif) réalisé dans un jeu, alors on dit que :
∗ Le jeu est favorable ou gagnant si et seulement si E(X) > 0 .
∗ Le jeu est défavorable ou perdant si et seulement si E(X) < 0 .
∗ Le jeu est équitable si et seulement E(X) = 0 .

2 Activité 3

On désigne par X laléa numérique qui indique le gain algébrique en dinars réalisé dans un
jeu. La loi de probabilité de X est donné par le tableau suivant :

xi −0, 25 1 2 2, 5 b
p(X = xi) 0, 4 0 0, 05 0, 15 a

112266

Déterminer a et b pour que le jeu soit équitable.

Définition Soit X une variable aléatoire définie sur un univers Ω.
⊛ On appelle variance de , le réel V (X) = E(X2) − (E(X))2 ou encore :
V (X) = E((X − E(X))2) .
⊛ On appelle écart-type de X le réel σ (X) = V (X).

3 Activité 4

On a placé dans une urne cinq boules indiscernables au toucher. Trois sont noires et deux
sont blanches. On tire au hasard une à une toutes les boules de cette urne et on note R le
rang de la première boule blanche tirée.

1 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire R.

2 Calculer l’espérance mathématique E(R) et l’écart-type σ (R).

4 Fonction de répartition :

Soit un aléa numérique X défini sur un univers Ω muni dune probabilité p.
La fonction de répartition F de X est la fonction de R vers [0; 1] qui, à tout réel x, associe la
probabilité que X soit inférieure ou égale à x : F(x) = p(X ≤ x).
La fonction de répartition est constante par intervalles.

Exemple Dans l’activité précédente on a :

xi 1 2 3 4
4 3 2 1
p(X = xi) 10 10 10 10

D’ou on obtient :

Intervalle Valeurs de F(X) c’est à dire p(X ≤ x) vaut :
des va- X vérifiant
leurs de X≤x 0
x
] − ∞, 1[ Aucune p(X = 1) = 4
1 10
[1; 2[ 1 et 2 7
[2; 3[ 1 , 2 et 3 p(X = 1) + p(X = 2) = 10
[3; 4[ 1 , 2 , 3 et
[4; +∞[ 4 p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) = 9
10
p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) = 1

112277

III Loi Binomiale :

1 Activité 5

La probabilité quun joueur de fléchette atteigne sa cible est égale à 0, 9.

1 On suppose que le joueur effectue deux tirs et on note X la variable aléatoire associant
à cette épreuve le nombre de succès réalisés.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.
b. Déterminer la probabilité de lévènement : A « le joueur atteint au moins une fois

sa cible ».

2 On suppose que le joueur effectue 6 tirs et on note Y la variable aléatoire associant à
cette épreuve le nombre de succès réalisés.

a. Déterminer les probabilités des évènements suivants :
B « Le joueur réalise 5 succès ».
C « Le joueur réalise au moins un succès ».

b. Déterminer la loi de probabilité de Y .

Théorèmes Soit une expérience aléatoire de n épreuves identiques, indépendantes et
nayant que deux issues
(succès ou échec), dont p la probabilité de lévènement succès. On considère la
variable aléatoire X associant à cette expérience le nombre de succès réalises
des n épreuves alors la loi de probabilité de X est donné par :

p(X = k) = Cnkpkqn−k

Avec p = p(succ s) et q = 1 − p et k ∈ {0, 1, 2, ........, n}
On dit que X suit la loi binomiale de paramètres (n, p) et on a :

E(X) = n × p......et.......V (X) = n × p × q

2 Activité 6

Un sac contient 20 boules, indecernables au toucher, dont r sont rouges, b bleues, v vertes
et j jaunes. Les entiers r, b , v et j sont respectivement proportionnels à 1 , 2 , 3 et 4.

1 On tire une boule au hasard et on la remet. Quelles sont les probabilités des différentes
couleurs ?

2 On tire une boule, on note sa couleur, on la remet. On répète trois fois cette expérience
et on s’intéresse au nombre de boules bleues tirées. On définit ainsi une variable aléa-
toire X sur l’ensemble Ω des épreuves.

a. Donner les éléments de X(Ω).
b. Calculer p(X = k) où k ∈ X(Ω).

112288

c. Représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
d. Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.

IV Variables aléatoires continues :

1 Introduction et définition :

⋆ Les variables aléatoires qu’on a étudiées précédemment sont définies sur un ensemble
fini et prennent un nombre fini de valeurs. Ce sont des variables aléatoires discrètes.

⋆ Cependant certaines variables aléatoires peuvent prendre n’importe quelle valeur dans
un intervalle donne. On les appelle variables aléatoires continues.

Parmi les variables aléatoires suivantes, indiquer celles qui sont continues :
• Le temps que met un coureur pour parcourir 800 mètres.
• La température d’une personne en bonne santé.
• Le nombre d’absents dans une classe.
• Le poids d’un nouveau ne.
• Le montant de la facture d’électricité.
• Le nombre de repas servis dans un restaurant.

2 Densité de probabilité dune variable aléatoire continue :

a Activité 7

Calculer les intégrales suivantes :

1 2 π
2 2
b) √ xdx
a) 2dx c) cos(x)dx.
2
0 0

Définition Soit a et b deux réels tel que a < b. On appelle densité de probabilité sur l’in-
tervalle [a, b] toute fonction définie, continue, et positive sur [a, b] et vérifiant :

b

f (x)dx = 1

a

.

3 Loi uniforme :

a Activité 8

Soit la fonction f définie sur [a, b] par f (x) = b 1 a .
−

112299

1 Montrer que f est une densité sur [a, b].

d

2 Montrer que pour tout intervalle[c, d] ⊂ [a, b] on a : 0 ≤ f (x)dx ≤ 1.

c

Définition ♣ On appelle loi uniforme sur I = [a, b] la loi de probabilité p dont la densité

f (exs)t=laf00ob−1naction définie sur I par :
f si x<a
≤x≤b
si a x>b
si

♣ Pour tout intervalle [c, d] ⊂ [a, b] on a : d d−c
c f (x)dx = b − a .

b Activité 9
Soit D une droite graduée. On désigne par A et B les points de dabscisses respectives 2 et 6.
On choisit au hasard un point du segment [AB] et on note x son abscisse.

1 Quel est la probabilité pour que x ∈ [2; 4].

2 Quel est la probabilité pour que x ∈ [5; 6].

3 Quel est la probabilité pour que M soit le milieu du segment [AB].

Définition On dit que X la variable aléatoire à valeur dans un intervalle [a; b] suit la loi de
probabilité uniforme p si :

p (c ≤ X ≤ d) = d −c
b −a

c Activité 10

On suppose que la durée en (minute) du trajet qui sépare un élève de son école est une
variable aléatoire X à valeur dans [20; 25] qui suit la loi de probabilité uniforme p.

1 Calculer p (20 ≤ X ≤ 22) et p (22 ≤ X ≤ 25).

2 OF(nx)c=onsid10xb−−èaare lapplication f : R → [0 ; 1] définie par :
si x < 20
si 20 ≤ x ≤ 25
si x > 25

Déterminer lexpression de F et tracer sa courbe.

113300

Définition On appelle loi uniforme sur [a, b] la loi de probabilité dont la densité f est la

fonction constante égale à b 1 a sur [a, b].
−

1
b−a

p(x1 ≤ X ≤ x2)

a x1 x2 b

Conséquence

∗ x1 et x2 étant deux réels de l’intervalle [a, b] et X une variable aléatoire qui suit une loi
uniforme sur [a, b] on a :

p ([x1, x2]) = p (x1 ≤ X ≤ x2) = x2 − x1
b − a

.

∗ La fFon(xc)ti=on de répartition de X est définie sur R par :

0 si x < 0
x−a
b−a si a ≤ x < b

1 si x ≥ b

1
CF

ab

∗ Si X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur un intervalle [a, b] alors on a :

E(X) = a + b V (X) = (b − a)2
2 12

113311

4 Loi exponentielle

a Activité 11
Soit λ un réel strictement positif et f la fonction définie sur [0, +∞[ par : f (x) = λe−λx.

xx

1 Calculer f (t)dt et lim f (t)dt.

0 x→+∞ 0
d

2 Montrer que pour tout intervalle [c, d] ⊂ [a, b] on a : 0 ≤ f (x)dx ≤ 1.

c

Définition Soit λ un réel strictement positif, la fonction f définie sur [0, +∞[ par :
f (t) = λe−λt est appelée desité de loi exponentielle.
On appelle loi de probabilité eponentielle de paramètre λ, l’application p qui :

♠ à tout intervalle [c, d] inclus dans [0, +∞[ associe le réel

d

p ([c, d]) = λe−λxdx.

c

♠ à tout intervalle [c, +∞[ inclus dans [0, +∞[ associe le réel p ([c, +∞]) = e−λc.

Conséquence

c

1 Pour tout réel c > 0 , p({c}) = λe−λxdx = 0.

c
c

2 Pour tout réel c > 0 , p ([0, c]) = λe−λxdx = 1 − e−λc.

0

3 p ([c, +∞]) = 1 − p ([0, c]) = e−λc.

b Activité 12
Soit t la durée de vie (en semaines) dun appareil électronique. On suppose que la proba-
bilité que lappareil soit encore fonctionnel au bout dun temps t suit la loi de probabilité
exponentielle de paramètre λ = 0.5

1 Quelle est la probabilité que la durée de vie soit entre 100 et 200 semaines.
2 Quelle est la probabilité que la durée de vie soit plus que 200 semaines.

Définition On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ, si :

d

p (c ≤ X ≤ d) = λe−λxdx = e−λc − e−λd

c

p (X ≥ c) = e−λc

113322

c Activité 13

Le temps X en minute pour trouver la cause dune erreur dans un programme dordinateur
suit la loi exponentielle de paramètre 0,02.

1 Calculer la probabilité pour que la durée de recherche soit :

a. Inférieur à quart dheure.
b. Dépasse une heure.

2 On considère la fonction F : R −→ [0, 1] définie par : F(x) = 0 si x < 0

F(x) = p (0 ≤ X ≤ x) si x > 0

(a) Déterminer lexpression de F.
(b) Calculer lim F(x).

x→+∞

(c) Représenter F.

Définition Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité exponentielle p de

paramètre λ.

On appelle fonction de répartition de X , l’application F : R −→ [0, 1] définie

par :

F(x) = 0 si x < 0
p (0 ≤ X ≤ x) si x ≥ 0

1
CF

Propriétés Si X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ alors

on a : 1 1
λ λ2
E(X) = V (X) =

d Activité 14

Un appareil comporte six lampes toutes nécessaires à son fonctionnement. La densité de

probabilité de la durée de vie d’une lampe est définie par f (t) = 1 e− t (L’unité de temps est
4
4
l’année).

113333

1 Vérifier que f ainsi définie est une densité de probabilité d’une variable aléatoire po-
sitive. Calculer son espérance mathématique et sa variance.

2 Quelle est la probabilité que l’appareil fonctionne de façon continue pendant six ans
à partir de sa mise en marche ?

113344

Chapitre 14 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Statistiques

I Série statistique à deux caractères

1 Introduction

Le tableau suivant donne le poids en Kg et la taille en cm dun groupe de 10 enfants :
Pi 25 27 23 30 27 23 25 30 32 28
Ti 90 92 85 99 93 88 92 98 99 90

* Le couple (P1, T1) = (25, 90) veut dire que l’enfant N0 1 pèse 25 Kg et mesure 90 cm.
* On a donc une population de 10 enfants sur laquelle on a observé simultanément les deux

variables P et T .

2 Nuage des points Point moyen

Une série statistique à deux variables, X et Y , est le résultat de lobservation des deux carac-
tères X et Y pour chaque individu dune population. Lorsque les caractères sont quantitatifs
, on peut associer, à chaque individu i, un couple de nombres réels noté (xi, yi).
∗ La moyenne arithmétique des poids est : P = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗ La moyenne arithmétique des tailles est : T = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∗ Placer dans un repère orthogonal lensemble des points Mi(Pi, Ti) :

Taille

0 Poids

113355

Définition Soit une série statistique définie par deux variables X et Y . On désigne par

x1, x2, ......, xn les valeurs de X et par y1, y2, ......, yn celles de Y . Le plan étant
rapporté à un repère orthogonal.
Lensemble des points Mi(xi, yi); i ∈ {1, 2, ....., n} est appelé Nuage De Points.
Le point G(x, y) est appelé point moyen du nuage.

3 Covariance Coefficient de corrélation linéaire

a Covariance

Soit une série statistique double (xi, yi)1≤i≤n, définie en données individuelles.
On désigne par x1, x2, . . . , xnles valeurs du 1er caractère quantitatif X et par y1, y2, . . . , yn celles
du 2ème caractère quantitatif .
On appelle covariance du couple (X, Y ) le réel noté cov(X, Y )et défini par :

Retenons

1 n 1 n
N N
cov(X, Y ) = X.Y − X.Y = (xi − X)(yi − Y ) = xiyi − XY

i=1 i=1

Propriété * cov(X, Y ) = cov(Y , X).
* cov(aX + b, Y ) = acov(X, Y ) pour tout réels a et b.
* cov(X, X) = V (X).
* cov2(X, Y ) ≤ V (X).V (Y )

b Coefficient de corrélation linéaire

Soient X et Y deux variables quantitatives, non constantes et observées dans une même
population.
On appelle coefficient de corrélation linéaire du couple (X, Y ) le réel défini par :

r = cov(X, Y )
σ (X)σ (Y )

113366

Propriété ✓ −1 ≤ r ≤ 1
✓ r est invariant par changement dunité ou dorigine.
✓ Si |r| ≥ 0, 75 alors la corrélation linéaire entre X et Y est forte.
✓ Si |r| ≤ 0, 75 alors la corrélation linéaire entre X et Y est faible.

4 Activité 1

Soit la série statistique double définie par le tableau suivant. Completer le tableau :

xi 2 5 3 1 1 4 2 3 xi = .......... X =..........
yi = .......... Y =..........
yi 25 40 10 5 0 15 50 12 xiyi = .......... XY =..........

xiyi 50 30

cov(X, Y ) = XY − X.Y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Activité 2 5
8
Calculer la covariance de la série statistique double suivante.

xi 1 2 2 2
yi 7 8 9 5

X =.......................................................................................
Y = .......................................................................................
XY =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cov(X, Y ) = XY − X.Y = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Activité 3

Calculer le coefficient de corrélation r pour la série statistique suivante :

xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
yi 200 205 211 216 220 225 240 260 280 300

113377

X =.......................................................................................
Y = .......................................................................................
XY =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V (Y ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
cov(X, Y ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
σ (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
σ (Y ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r =........................................................................................

II Distributions marginales

1 Activité 4

Soit le tableau statistique suivant : X : note en mathématiques ; Y : nombre de frères et
soeurs. N = 100

0 1 2 3 4 5 6 Totaux
[0, 4[ 1 0 1 1 0 1 1
[4, 8[ 2 2 4 3 3 4 2
[8, 12[ 5 5 10 7 6 4 3
[12, 16[ 2 3 5 5 4 4 2
[16, 20[ 1 1 2 3 2 1 0
Totaux

Les totaux inscrits en marge de chaque tableau à double entrée définissent deux distri-
butions marginales, lune associée à la première variable statistique et lautre associée à la
deuxième variable statistique.

X Note en Maths [0, 4[ [4, 8[ [8, 12[ [12, 16[ [15, 20[ Total
Distribution marginale de X
7

nij

j=1

Y : nombre de frères et soeurs 0 1 2 3 4 5 6 Total

Effectif n.j

Distribution marginale de Y

Calcul de la moyenne (X), la variance (V (X)) et l’écart-type (σ (X)).

113388

▶ X = ....................................................................................

▶ V (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

▶ σ (X) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

▶ Y = ....................................................................................

▶ V (Y ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

▶ σ (Y ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Ajustement affine dune série statistique double

1 Méthode des moindres carrés

Soient X et Y deux variables statistiques quantitatives, non constantes et observées dans
une population donnée. Lorsque le coefficient de corrélation r vérifie |r| ≥ 0, 75 ou lorsque le
nuage de points a une forme allongée, alors il est possible deffectuer un ajustement affine
du nuage de points Mi(xi, yi).
Nous avons représenté ci-dessous le nuage des points Mi(xi, yi) avec 1 ≤ i ≤ n , d’une série
statistique double, ainsi qu’une droite D d’équation y = ax + b.
Pour tout entier 1 ≤ i ≤ n, on note Hi(xi, zi) le point de la droite D de même abscisse que Mi
.
Le principe d’ajustement par la méthode des moindres carrées consiste à déterminer les réels

n

a et b tels que la somme MiHi2 soit minimale. Dans ce cas on pourra faire des précisions

i=1

en remplaçant la valeur observé yi par la valeur théorique zi = axi + b.

113399

Théorème Lors dun ajustement affine de Y en X par la méthode des moindres carrés,
La droite D obtenue passe par le point moyen du nuage et a pour équation :

D:y =a x−X +Y

où a = cov(X, Y ) Cette droite sappelle la droite de régression de Y en X.
V (X)

La droite D de régression de X en Y obtenue par la méthode des moindres

carrées, lors dun ajustement affine, passe par le point moyen du nuage et a

pour équation :

D :y =a y−Y +X

où a = cov(X, Y ) Cette droite sappelle la droite de régression de X en Y .
V (Y )

Remarque
On suppose ici que les points du nuage ne sont pas tous alignés sur une même droite verti-
cale, ni sur une droite horizontale. On a donc σ (X) 0 et σ (Y ) 0.

* Les deux droites de régression D et D passent par le point moyen G(X, Y ) .

* Les deux coefficients a et a sont de même signe.
* Le coefficient de corrélation linéaire r vérifie r2 = aa

2 Activité 5

On donne le tableau suivant dune série statistique double :
xi 20 50 80 90 100 120 160 180
yi 60 85 90 105 115 125 140 160

1 Représenter le nuage des points (xi, yi) dans un repère orthogonal.

2 a. Déterminer les coordonnées du point moyen G .
b. Calculer cov(X, Y ).
c. Calculer r. Que peut-on conclure ?

3 Méthode de Mayer :

On réparti le nuage des points en deux parties contenant approximativement le même
nombre de points obtenant ainsi deux nuages de points. On désigne par G1 et G2 les points
moyens de ces deux nuages.
La droite (G1G2) définit un ajustement affine du nuage des points représentant la série sta-
tistique double (X, Y ).
Cette droite sappelle droite de Mayer et passe par le point G.

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