cours_complet_2020_4Techniques

Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et (un) une suite d’élé-
ments de I.

Si lim un = (fini ou infini) et si lim f (x) = L(fini ou infini), alors :

n→+∞ x→

lim f (un ) = L

n→+∞

4411

VII QCM VraiFaux

1 Application 1

Cocher la réponse exacte.

1 Soit (un) la suite définie sur N∗ par : un = n2 + 2 .
n

□ (un) est bornée □ un ≥ n ∀n ∈ N∗ □ (un) majorée par 1.

2 On donne un = n + cos n .
n +1

□ lim un = 0 □ lim un = 1 □ lim un = +∞

n→+∞ n→+∞ n→+∞

3 Soit (un) la suite définie sur N∗ par : un = n sin 1 .
n

□ lim un = 0 □ lim un = 1 □ lim un = +∞

n→+∞ n→+∞ n→+∞

2 Application 2

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

1 Si (un) prend un nombre fini de valeurs alors (un) est convergente.

2 Soit (un) et (vn) deux suites réelles.

a. Si (un) et (vn) sont convergente alors (un + vn) est convergente.
b. Si (un + vn) sont convergente alors (un) et (vn) est convergente.
3 S√i la sui√te (un2) converge vers , alors on peut affirmer que la suite (un) converge vers

ou − .

4 Soit (un) et (vn) deux suites réelles telles que lim un = lim vn alors (un) et (vn) sont

adjacentes. n→+∞ n→+∞

5 Soit (un) une suite réelle telle que (u2n) et (u2n+1) sont convergentes alors (un) est
convergente.

4422

Exercices

01  U0 = 2, ;
Un+1 = 2 +
Soit U la suite réelle définie sur N par 3,
Un

1 Montrer que pour tout n , Un ≥ 2.

2 a. Montrer que pour tout n ∈ N , |Un+1 − 3| ≤ 1 |Un − 3| ;
2

b. Montrer que pour tout n ∈ N , |Un − 3| ≤ 1 n

2 .

c. En déduire la limite de la suite (Un).

3 Soit (Vn) la suite définie par Vn = Un − 3
Un + 1

a. Montrer que (Vn) est une suite géométrique.
b. Exprimer Vn puis Un en fonction de n.
c. Retrouver la limite de la suite U .

02  U0 = 1
Un+1 2
On considère la suite U définie sur N par : 2Un , pour tout n∈N
= 1 + Un2

1 Montrer que pour tout n ∈ N; 1 ≤ Un < 1
2

2 a. Montrer que pour tout n ∈ N : 0 < 1 − Un+1 ≤ 2 (1 − Un) .
5

b. Déduire que pour tout n ∈ N : 0 < 1 − Un ≤ 1 2 n
2
5 .

c. Montrer alors que (Un) est convergente puis déterminer sa limite.

3 On pose Sn = n Vn = Sn et Wn = √Sn ; n ∈ N∗
n n
Uk ;

k=0

a. Montrer que : pour tout n ∈ N∗ ; n − 1 1 − ( 2 )n ≤ Sn < n
3 5

b. Déterminer alors x→lim+∞Vn et x→lim+∞Wn.

4433

03 On considère les suites réelles (un) et (vn) définies par :u0 = 1; v0 = 2 et, pour tout

entier naturel n, un+1 = αun + (1 − α)vn et vn+1 = (1 − α)un + αvn où est un réel donné
1
tel que 2 < α < 1.

1 Soit (tn) la suite définie sur N par tn = vn − un .

a. Calculer t0 et t1 .
b. Montrer que,pour tout entier naturel n, tn = (2α − 1)n.

c. En déduire la limite de tn.

2 a. Montrer que, pour tout entier naturel n, un ≤ vn

b. Montrer que la suite (un) est croissante et que la suite (vn) est décrois-
sante.

c. En déduire que les suites (un) et (vn) convergent vers une même limite
.

d. Montrer que, pour tout entier naturel n, un+vn = 3 et en déduire la valeur
de la limite .

04 Dans la figure donnée, on désigne par (C ) la courbe représentative d’une fonction f
continue sur R et la droite D : y = x coupe la courbe (C ) en deux points d’abscisses
0 et 2 .

1 a. Vérifier que pour tout entier naturel non nul n, on a :1 ≤ 2n ≤2
n+1

b. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, l’équation : f (x) = 2n ,
n+1

admet dans [0, 1]une solution unique xn.

c. Etudier la monotonie de la suite (xn) .

d. Déduire que la suite (xn) converge vers 1.

2 On considère la suite (Un) définie sur N par :  U0 = 1
Un+1 2
=f (Un), n ∈ N.

a. Montrer que pour tout entier naturel n , on a : 0 ≤ Un ≤ 2.

b. Etudier la monotonie de la suite (Un).

c. En déduire que la suite (Un) est convergente
et déterminer sa limite.

4444

y
C

3

D :y=x

2
1

1 2 3x

4455

Chapitre 4 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Fonctions réciproques

I Introduction

1 Activité 1

On désigne par Cf la courbe représentative de f et par (Γ ) la courbe qui est symétrique de
Cf par rapport à la droite d’équation y = x .

1 Tracer (Γ ).

2 Dresser les tableaux de variations de f et f −1.

4

Cf

3

2

→−1
j

−4 −3 −2 0 →− 1 2 3 4
i
−1 O

−1

−2

−3

−4

−5

4466

4

Cf

3

2

→−j1

−4 −3 −2 0 →− 1 2 3 4
i
−1 O

−1

−2

−3

−4

2

→− 1 Cf
j

0

−3 −2 −1 →− 1 2 3
Oi

−1

−2

4477

5

4

3

2

→−j1

−7 −6 −5 −4 −3 −2 0 →− 1 2 3 4 5 6 7
i
−1 O

−1

Cf −2

−3

−4

2 Activité 2

Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x2 + 3.

1 a. Déterminer g ([0; +∞[) .
b. Montrer que pour tout réel y de [0; +∞[ , l’équation g(x) = y admet une unique
solution dans [0; +∞[ que l’on déterminera.
√

2 Soit h la fonction définie sur [3; +∞[ par h(x) = x − 3 .
Montrer que pour tout réel y de [0; +∞[ , l’équation h(x) = y admet une unique solution
dans [3; +∞[ .

3 Déterminer g ◦ h et h ◦ g.

Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f réalise une bijection de I sur (ou que f est une bijection de I sur)
f (I) , si pour tout y de f (I), l’équation f (x) = y admet une unique solution dans
I.

Théorème Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise
une bijection de I sur f (I).

4488

II Fonction réciproque

Définition Soit f une bijection d’un intervalle I sur f (I). On appelle fonction réciproque
de f et on note f −1 la fonction définie sur f (I) qui à tout y associe l’unique
solution dans I de l’équation f (x) = y.

Conséquence
Soit f une bijection d’un intervalle I sur f (I) et f −1 sa fonction réciproque.
Pour tout x de I et tout y de f (I), f (x) = y , si et seulement si, f −1(y) = x.
f −1 ◦ f (x) = x, pour tout x de I et f ◦ f −1(y) = y , pour tout y de f (I).

1 Activité 3

Dans la figure ci-contre on a représenté dans un repère orthonormé une bijection f de
[−2; +∞[ sur [−1; +∞[.
Déterminer f −1(1) , f −1(2) et f −1(5)

6

5 Cf

4

3

2

→−1
j

−3 −2 −1 0 →−i 1 2

O

−1

2 Activité 4

1 Soit la fonction f :x −→ 1 .
x

a. Montrer que f réalise une bijection de R∗+ sur R∗+ .
b. Expliciter f −1(x) pour tout réel x de R∗+ .

√
2 Soit la fonction g : x −→ 1 + x2.

a. Montrer que g réalise une bijection de R+ sur [1; +∞[ .
b. Déterminer g−1.

4499

Remarque
♣ Montrer que tout élément y de J, admet un unique antécédent x dans I par f ,c’est ré-

soudre l’équation f (x) = y d’inconnue x (on doit trouver une unique solution).
L’expression de x en fonction de y donne alors l’expression de la fonction réciproque.
♣ (Corollaire du TVI) : si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors
f est une bijection de I sur l’intervalle f (I). Par exemple :
⊛ Si f : [a, b] −→ R est continue et strictement décroissante, alors f est une bijection

de sur [f (b), f (a)].
⊛ Si f : [a, b[−→ R est continue et strictement croissante, alors f est une bijection de

sur [f (a), lim f (x)[.

x→b−

♣ Attention cette méthode donne l’existence de la fonction réciproque mais ne permet pas
d’obtenir son expression.

III Représentation graphique de f −1

Conséquence
Les courbes représentatives Cf et Cf −1 , dans un repère orthonormé du plan, sont symé-
triques par rapport à la première bissectrice ∆ : y = x du repère.

1 Activité 5

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthonormé O, →−i , →−j les courbes C1 et C2 re-
présentatives de la fonction réciproque g−1 et la fonction dérivée g d’une fonction g définie
et dérivable sur un intervalle I .

1 Reconnaître la courbe de g−1 et celle de g .

2 Déterminer g(1) et g (1).

3 Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g.

5500

C1 5

4

3

2

→−1
j

−3 −2 0 →−i 1 23 4 5 6 7 8

−1 O C2

−1

−2

−3

−4

IV Fonction réciproque d’une fonction strictement mo-
notone

Théorème Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors
sa réciproque f −1 est continue et strictement monotone sur l’intervalle f (I) et
varie dans le même sens que f .

1 Activité 6

Soit f la fonction définie sur π , π par : f (x) = sin x.
2 2

1 Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 continue sur un intervalle J que l’on
précisera.

√√
2 Donner les valeurs de f −1 1 , f −1 − 3 , f −1 2 et f −1 (1).

2 22

V Dérivée d’une fonction réciproque

Théorème Soit f une bijection d’un intervalle ouvert I sur f (I), a un réel de I et b = f (a).
Si f est dérivable en a et si f (a) 0, alors f −1 est dérivable en b et :

f −1 (b) = f 1
(a)

5511

1 Activité 7

Dans la figure ci-dessous on a présenté dans un repère orthonormé une bijection f de [−1, 8]
sur [−3 , 5] ainsi que les tangentes aux points d’abscisses 2 , 4 et 5.
Étudier la dérivabilité de la fonction f −1 aux point d’abscisses 2 , 1 et -1 .

5

4 Cf

3

2

1

0 12345678
−2 −1

−1

−2

−3

2 Activité 8

Soit la fonction h : x −→ tan x .

1 Montrer que h réalise une bijection de π , π sur R.
2 2

2 Déterminer h−1(1) et h−1(√3).

3 Montrer que h−1 est dérivable en 1 et en √ et calculer h−1 (1) et h−1 √
3 ( 3).

Théorème Soit f une bijection d’un intervalle I de R sur J = f (I).
Si f est dérivable sur I et ne s’annule pas sur I alors la fonction réciproque de
f est dérivable sur J et on a :

f −1 (x) = 1
f (f −1(x))

3 Activité 9

Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par f (x) = x2 + 1 .
1 Montrer que f admet une fonction réciproque dont on précisera l’ensemble de défini-
tion J.

5522

2 Calculer f −1(1) , f −1(2) et f −1(3).
3 Donner le sens de variation de f −1 et préciser sur quel ensemble elle est dérivable.
4 Expliciter f −1(x) pour x élément de J.
5 Construire dans un repère orthonormé les courbes représentatives de Cf et Cf −1 .

√
VI Fonction x −→ n x, n ≥ 2

1 Activité 10

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0, +∞[ par f (x) = xn où n désigne un entier naturel
supérieur ou égal à 1.

1 Déterminer le sens de variation de f sur ]0, +∞[ .
2 En déduire que f est une bijection de ]0, +∞[ sur ]0, +∞[ .
3 Montrer que pour tout x > 0 on a f ◦ f −1(x) = x.

Remarque

♠ On a f (0) = 0. On pourra ainsi, poser f −1(0) = 0 et par la suite le domaine de définition
de sera [0, +∞[.

Pour tous réels x et y appartenant à [0, +∞[ on a f −1(x) = y ⇐⇒ x = f (y) = yn .

♠ On note y = √ C’est à dire f −1(x) = √n x.
n x.

♠ L’image d’un réel positif x par la fonction racine nème est noté √n x et se lit racine nème de x.

♠ Lorsque n = 2 et pour tout x positif √2 x = √
x

Théorème Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
L(SOaanffoonnnoccttteiiooénngarfélec:mixpe−rn→otq,uxfen−f1e(s−xt1)ue=nstexdn1béiejfietncptioeiousnrudnr e[=0[,02+,,+∞f∞−[1p[(xasur) r=: f[x0−,211+(=∞x)√[=.x)√.n x.

2 Activité 11

→− →−
Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i , j .

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0, +∞[ par f (x) = xn où n dpéasrig: nf e−1u(nx)e=nt√niexr naturel
supérieur à 1 et soit sa fonction réciproque f −1 définie sur [0, +∞[ .

1 Étudier la continuité et le sens de variation de f −1 .

5533

2 a. Que peut-on dire des courbes de f et de f −1 ?
√
b. En déduire que lim √ lim n x.
x→+∞ n x et x→+∞ x

3 Tracer, dans le repère O, →−i , →−j , les courbes représentatives des fonctions suivantes :

√√√
g : x −→ x , h : x −→ 3 x , k : x −→ 4 x

Propriétés Soit n un entier naturel supérieur à 1.
Soit la fonction f : x −→ xn
f −1 définie sur [0, +∞[ par f −d1é=fin√niex.sOurn [0, +∞[ et soit sa fonction réciproque
a:

♦ La fonction f −1 est continue et strictement croissante sur [0, +∞[ .

♦ Dans un repère orthonormé O, →−i , →−j du plan, les courbe de f et f −1 sont
symétriques par rapport à la première bissectrice ∆ : y = x du repère.

Propriétés Soit n un entier naturel supérieur à 1. 5 C4
C3
♥ Pour tout x ≥ 0, √ n = x.
nx 4

♥ lim √ = 0, lim √ = √n , > 0. 3
nx nx
x→0+ x→ 2 C3
lim √
lim √ n x = +∞ 1 C4
x→+∞ n x = +∞ et x→+∞ x
0
C3 : courbe de f (x) = x3 12345
C4 : courbe de g(x) = x4
√ −1
C3 : courbe de f −1(x) = 3x
C4 : courbe de g −1 (x) = √
4x

Conséquence

Soit deux entiers n et p tels que n ≥ 2 et p ≤ 2 et deux réels positifs a et b. Alors :

1 √n an 3 √n a.b = √ √n b 5 √ √
n a. na= np ap

2 √ n = a 4 n a = √√nn ba , b 0 6 √ n = √n ap
na b na

3 Activité 12

(Les questions 1 et 2 sont indépendantes)

1 Écrire plus simplement les réels √6 64, √6 2−12, √3 729, √3 26 × 33, √ 3 √
√8 16 , 2 2.
8 81

2 Soient les fonctions u, v et f définies par : u(x) = x2, √ =v◦u (u ≥ 0).
v(x) = 3 x et f

5544

a. Étudier la continuité de f sur [0, +∞[.

b. Calculer lim f (x).

x→+∞

c. Calculer les images de 0 et 1 par f .
√ √
d. Déterminer lim 3x − 32 .

x→2 x−2

√
Théorèmes Pour tout entier n ≥ 2, la fonction f : x −→ n x est continue sur [0; +∞[ et

dérivable sur ]0; +∞[. De plus :

f (x) = √n 1xn−1 , pour tout x > 0
n

5555

Chapitre 5 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Étude des fonctions

I Rappel

1 Activité 1

Soit la fonction f : x −→ x3 − 3x2 + 2. Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé
→− →−

O; i ; j .
1 Dresser le tableau de variation de f .
2 Montrer que Cf admet un point dinflexion I que lon précisera.
3 Montrer que I est un centre de symétrie pour Cf .
4 Ecrire une équation de la tangente T à Cf au point I.
5 Tracer T et Cf .

Rappel
Soit f une fonction définie sur un ensemble D ⊂ R et soit Cf sa courbe représentative dans

→− →−
un repère orthonormé O, i , j .
♠ Le point Ω(a, b) est un centre de symétrie de Cf : si ∀x ∈ D on a :

2a − x ∈ D
f (2a − x) = 2b − f (x)

♠ La droite ∆ : x = a est un axe de symétrie pour Cf : si ∀x ∈ D on a :
2a − x ∈ D
f (2a − x) = f (x)

5566

2 Activité 2

Soit f : x −→ x2 + 4x − 1.
Montrer que la droite ∆ : x = −2 est un axe de symétrie de Cf .

II Asymptotes et branches infinis

Rappel

✓ Si lim f (x) = ±∞ ou xl→ima− f (x) = ±∞ alors la droite D : x = a est une droite

x→a+
asymptote verticale à Cf .

✓ Si lim f (x) = b ou lim f (x) = b alors la droite D : y = b est une droite
x→+∞ x→−∞
asymptote horizontale à Cf .

✓ lim [f (x) − (ax + b)] = 0 ou lim [f (x) − (ax + b)] = 0 alors la droite D : y = ax + b est une
x→+∞ x→−∞
droite asymptote oblique à Cf .

1 Activité 3

Soit f la fonction définie par f :x → x2 + 2x − 1 et Cf sa courbe représentative dans un
→− →− x+1

repère orthonormé O, i , j du plan.

1 a. Déterminer les réels a, b et c tels que f (x) = ax + b + x c 1.
+

b. En déduire les équations des asymptotes à Cf .

2 Étudier les variations de f et tracer Cf .

2 Activité 4

√
Soit f une fonction définie sur R par f (x) = x2 + x + 1. On désigne par Cf sa courbe repré-

→− →−
sentative dans un repère orthonormé O, i , j .

1 Montrer que la droite déquation D : y = −x − 1 est une droite asymptote à Cf au
2
voisinage de −∞

2 a. Déterminer lim f (x).

x→+∞

b. Calculer lim f (x) et lim (f (x) − x).
x
x→+∞ x→+∞
Interpréter le résultat graphiquement.

5577

Propriétés Soit f une fonction définie sur un intervalle de type [a, +∞[.

Si lim f (x) = +∞ ou (−∞) et lim f (x) = a (a ∈ R∗) et lim (f (x) − ax) = b
x
x→+∞ x→+∞ x→+∞

(b ∈ R∗)

alors la droite D : y = ax + b est une droite asymptote oblique à Cf au voisinage
de +∞

Le résultat est vrai pour une fonction f sur un intervalle de type ] − ∞, a] et x

tendent vers −∞.

3 Activité 5

La courbe Cf est la représentation graphique de la fonction f définie par :

f (x) =√x2 si x ≤ 0
f (x) = x si x ≥ 0

Déterminer lim f (x) et lim f (x)
x x
x→−∞ x→+∞

4 Activité 6

Soit f la fonction définie sur R par :

 f (x) = 1x3 − x + 2 si x ∈] − ∞, 2[
f (x) = 3 3 si x ∈ [2, +∞]

x2
x+1

→− →−
et soit sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i , j du plan.

1 a. Préciser le domaine de définition de f et étudier la continuité de f en 2.

b. Étudier la dérivabilité à gauche et à droite de f en 2. La fonction f est-elle déri-
vable en 2 ?
Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

2 a. Déterminer les réels a, b et c tels que ∀x ∈ [2, +∞[ , f (x) = ax + b + x c 1.
+

b. En déduire que Cf admet une asymptote oblique D au voisinage de +∞ et étudier

la position relative de Cf et D.

c. Préciser la branche infinie de Cf au voisinage de +∞ puis tracer Cf et D.

5588

Chapitre 6 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Fonctions primitives

I Fonction primitive d’une fonction continue

1 Activité 1

Soit f et F deux fonctions définies sur ]0 , +∞[ par :

f (x) = 3x2 − 1 et F(x) = x3 − 1 + 3
x2 x

1 Vérifier que F est dérivable sur ]0 , +∞[ et montrer que pour tout x ∈]0 , +∞[ on a :
F (x) = f (x).

2 Donner autre fonction G dérivable sur ]0 , +∞[ et tel que pour tout x ∈]0 , +∞[ on a :
G (x) = f (x).

Définition Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle I . On dit que F est une
primitive de f sur I, si F est dérivable sur I et pour tout x ∈ I : on a :

F (x) = f (x)

2 Activité 2

Donner une primitive F de f sur lintervalle I dans chacune des cas suivantes.

1 f : x −→ x2 avec I = R. 4 f : x −→ cos x avec I = R.
2 f : x −→ x4 + 2 avec I = R.
3 f : x −→ √1 avec I =]0, +∞[. 5 f : x −→ sin(2x + π ) avec I = R.
3
2x

Théorèmes Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

5599

Théorèmes Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

♣ Si F est une primitive de f sur I alors les primitives de f sur I sont de la
forme : G(x) = F(x) + λ .

♣ Si F et G sont deux primitives de f sur I alors la fonction F − G est une
constante.

Corollaire

Soit f une fonction continue sur un intervalle I.

Alors il existe une unique primitive F de f sur I qui prend une valeur donnée y0 en un point

donné x0 c’est-à-dire :

F(x0) = y0

3 Activité 3

Soit f : x −→ √ 1 avec x ∈] − 1, +∞[.
2x + 2

1 Montrer que f admet une primitive sur ] − 1, +∞[.
2 Déterminer la primitive g de f sur ] − 1, +∞[ qui s’annule en 1.

II Calcul des primitives :

Dans ce tableau,F désigne une primitive de la fonction f sur lintervalle I.

Fonctionf Intervalle I FonctionF
x −→ αα ∈ R) R
x −→ xnn ∈ N∗) R x −→ αxc

R∗ =] − ∞, 0[∪]0, +∞[ x −→ 1 xn+1c
n+1
]0, +∞[ 1
x −→ xnn ∈ Z−\{−1}) x −→ n + 1 xn+1c
√
x −→ √1 x −→ x + c
x
R x −→ osinx + cx −→
x −→ ocosxx −→ R
x −→ osinxx −→ x −→ ocosx + cx −→

x −→ ocos(ax + b) (a 0)x −→ R x −→ 1 osi n(ax + b) + cx −→ 1
a a
x −→ osin(ax + b)x −→ R x −→ 1 cos(ax + b) + c
a
1 1 π π
x −→ cos2 x otan2xx −→ cos2 x − 2 + kπ, 2 + kπ x −→ otanx + cx −→

x −→ 1 ocot2xx −→ 1 x ]kπ, (k + 1)π[ x −→ ocotx + cx −→
sin2 x sin2

6600

Dans ce tableau U et V désignent deux fonctions dérivables sur l’intervalle I.

Fonctionf Primitive de f

UV U +V

λU λ ∈ R) λU

U U (x) 0 ∀x ∈ I) −1
U2 V (x) 0 ∀x ∈ I) U
U V −UV U
V2 − V

U n · U n ∈ N∗) 1 U n+1
+
n 1
1
U n · U n ∈ Z\{−1}etU (x) 0 ∀x ∈ I) +√1 U n+1

U√ U x) > 0 ∀x ∈ I n
2U
U

V U)·U V ◦U

U U (x) 0 ∀x ∈ I) 1 U 1−n
Un −
1 n

1 Activité 4

Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer une fonction primitive F sur un inter-

valle que l’on précisera :

1 f :x → x5 − 5x2 + 2 − 3 5 f :x→ √ x √
x2 x2 − 1 cos x2 − 1

2 f :x −→ x4 − 1 6 f : x → cos(x) sin3(x)
x2 7 f :x→ √ x

3 f : x → x2 − 1 x3 − 3x + 5 1 + x3

4 f : x → cos 2x + π 8 f :x → x+1
6 (x2 + 2x + 5)2

2 Activité 5

Soit la fonction f (x) = x3 − 3x2 + 3x
(x − 1)2

1 Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x appartenant à l’ensemble de définition

de f on ait : c
− 1)2
f (x) = ax + b + (x

2 En déduire une fonction primitive de f sur l’intervalle ]1, +∞[ .

6611

Chapitre 7 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Fonctions logarithmes

I Définition et propriété :

1 Activité 1 :

Soit la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) = 1 .
x

1 Montrer que f admet au moins une primitive sur ]0, +∞[.

2 Soit F la primitive de f qui sannule en 1. Montrer que F est strictement croissante sur
]0, +∞[, et calculer F (1).

Définition On appelle fonction logarithme népérien la primitive sur ]0, +∞[ , qui sannule

en 1 de la fonction : x −→ 1 . On note :
x

ln :]0, +∞[−→ R

x −→ ln(x)

Conséquence
ln(1) = 0.

ln (x) = 1 .
x

La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.

Propriété Pour tout réel strictement positif a et b on a :
ln(a × b) = ln a + ln b

2 Exemple :

• ln(10) = ln(2 × 5) = ln 2 + ln 5.
• ln(4) = ln(2 × 2) = ln 2 + ln 2 = 2 ln 2.

6622

3 Activité 2

Soient x et y deux réels de ]0, +∞[. Montrer les égalités suivantes :

1 ln 1 = − ln x.
x

2 ln x = ln x − ln y.
y

3 ln x3 = 3 ln x.

Propriétés Pour tout réels x et y strictement positifs et pour tout r ∈ Q on a :

ln 1 = − ln x
x

ln x = ln x − ln y
y

ln xr = r ln x

4 Activité 3

Soit x un réel strictement positif, simplifier les expressions suivantes :

1 ln(x4) − ln(x3).

2 ln(x−3) + ln 1 √
x2 + 8 ln( x)

3 ln(3x) + ln x2 − 2 ln x.
3

II Etude de la fonction logarithme «ln x » :

1 Activité 4

1 On suppose que la fonction ln x est majorée sur ]0, +∞[ et que lim ln x = (finie)

x→+∞

a. Calculer lim 2 ln x en fonction de . Conclure.

x→+∞

b. Déterminer alors lim ln x.

x→+∞

2 Calculer lim ln 1 , en déduire lim ln(x).
x→0+ x x→0+

6633

Propriétés lim ln x = +∞

x→+∞

lim ln x = −∞

x→0+

2 Activité 5

1 Dresser le tableau de variation de la fonction ln x.

2 Vérifier que la fonction ln x est une bijection de ]0, +∞[ sur un J intervalle que lon
déterminera.

3 Quel est le signe de ln x ?

4 a. Montrer que l’équation ln x = 1 admet dans ]0, +∞[ une solution unique qu’on
notera e.

b. Vérifier que e ∈]2, 71 ; 2, 72[.

Propriétés x ∈]0, 1[⇐⇒ ln x < 0
x ∈]1, +∞[⇐⇒ ln x > 0

ln x = 0 ⇐⇒ x = 1
ln x = 1 ⇐⇒ x = e
ln x < ln y ⇐⇒ x < y
ln x = ln y ⇐⇒ x = y

3 Activité 6 3 ln(x − 2) − ln(x − 3) = 1
4 (ln x)2 − ln x2 = 0
Résoudre les équations suivantes :
1 ln x = 2
2 ln x = −1

6644

Propriétés ln x
lim = 0
Conséquence x→+∞ x
lim x ln x = 0

x→0+

lim ln x = +∞

x→+∞

lim ln x = −∞

x→0+

lim ln x = 0 ;r ∈ Q
xr ;r ∈ Q
x→+∞

lim xr ln x = 0

x→0+

4 Activité 7 3 lim l√n x 5 lim ln(x + 1)
x→+∞ x x→+∞ x
Calculer les limites suivantes : x3 ln(x + 1)
√
4 lim 6 lim
1 lim ( x − ln x) x→0+ ln x x→0+ x ln x

x→+∞

√
2 lim ( x ln x)

x→0+

5 Activité 8

Tracer dans un repère orthonormé (O,→−i ,→−j ) la courbe représentative C de la fonction ln :
x −→ ln x.

6 Activité 9

1 Déterminer ln 1 et on détermine lim ln x .
x−1
x→1

2 Déduire alors lim ln(x + 1) .
x
x→0

Propriétés ln x
x−1
lim = 1

x→1

ln(x + 1)
lim = 1
x→0 x

6655

7 Activité 10

Soient f et g les fonctions définies sur ]0, +∞[ par :

√ , f (x) = 3√ln x + x − 1
g(x) = 2x x − 3 ln x + 6 x

1 Étudier le sens de variation de g et déduire le signe de g(x).
2 Étudier les limites de f en 0+ et en +∞.

3 Déterminer le sens de variation de f .

4 Montrer que la droite D : y = x − 1 est une asymptote à la courbe Cf .

5 Étudier la position relative de D et Cf .
6 Tracer D et Cf dans un repère orthonormé O, →−i , →−j du plan.

III Fonction de type : x −→ ln(u(x)) :

1 Activité 11

√√
Soit la fonction u : x −→ x − 1 et la fonction f définie par :f (x) = ln( x − 1).

1 Déterminer D le domaine de définition de f .

2 Montrer que f est dérivable sur D et que f (x) = u (x) .
u(x)

Théorèmes Si une fonction u est dérivable sur un intervalle I et si pour tout x ∈ I, u(x) 0,
alors la fonction f : x −→ ln |u(x)| est dérivable sur I et on a :

f (x) = u (x)
u(x)

2 Activité 12

Pour chacune des cas suivantes montrer que f est dérivable sur I et calculer f (x).

1 f (x) = ln(x2 + √ avec I =]0, +∞[.
x)

2 f (x) = ln(ln x) avec I =]1, +∞[

6666

Conséquence

Soit u une fonction dérivable sur I et qui ne s’annule pas sur I, alors une primitive sur de la

fonction x −→ u (x) est la fonction x −→ ln |u(x)|.
u(x)

3 Activité 13

Déterminer une primitive de f sur I.

1 f (x) = x2 1 avec I =]0, 1[.
x3 +

2 f (x) = − tan x avec I = − π , π
2 2

IV Logarithme décimale

Définition La fonction logarithme décimale ou appelé la fonction logarithme à base 10 est

notée par «log », elle est définie sur ]0, +∞[ par : log x = ln x .
ln 10

Remarque

* Si on pose M = 1 , on obtient ∀x ∈]0, +∞[, log x = M ln x (M 0, 434)
ln 10

* ∀m ∈ Z on a : log 10m = m

1 Activité 14

1 Calculer log 10000 et log 0, 01.
2 Résoudre dans R l’équation : log(x − 1) + log(x + 3) = 2

6677

Chapitre 8 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Fonction Exponentielle

I Définition et propriétés :

1 Activité 1

Soit la fonction définie sur ]0, +∞[ par f (x) = ln x.

1 Montrer que f est une bijection de ]0, +∞[ sur R.
2 Montrer que f −1 est continue sur R.

Définition On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction loga-
rithme népérien et on note :
exp :]0, +∞[−→ R
x −→ exp(x)
Et pour tout (x, y) ∈]0, +∞[×R on a : y = exp(x) = ex ⇐⇒ ln y = x.

2 Activité 2

1 Déterminer exp(0), exp(1) et exp(−1).
2 Soit x ∈ R et y > 0, simplifier : ln(ex) , elnx , ln(e−3) , e−ln3

3 Activité 3

Soient a et b deux réels :

1 Comparer ln ea+b et ln ea × eb . Conclure

2 Montrer que e−b = 1 et ea−b = ea .
eb eb

6688

Propriétés Pour tout réels a et b on a :

ea+b = ea × eb

e−b = 1
eb

ea−b = ea
eb

(ea)n = ena ; n ∈ Z

√n ea = e a ; n ∈ N∗
n

4 Activité 4

Résoudre dans R les équations suivantes :

1 ex = −3 4 e.e3x−1 = 1 7 ex2 = 1
9
2 ex = e 5 e2x − 3ex + 2 = 0
3 3ex = e−x 6 e2x − 5ex + 6 = 0 8 e−x2−12x−35 = 1
9 ex2 − 5x = e−6

5 Activité 5

Simplifier chacune des expressions suivantes : 4 d = eln2−ln5
5 A = (ex + e−x)2 − (ex − e−x)2
√ 6 B = e2x + e−2x − (ex − e−x)2
1 a = ln e3

√

2 b = ln e 3
3 c = e−ln3

II Etude de la fonction exponentielle :

1 Activité 6

La fonction f : x −→ ln x est une bijection de ]0, +∞[ sur R.
Montrer alors que la fonction g : x −→ ex est dérivable sur R et que :
∀x ∈ R , g (x) = g(x).

6699

Théorèmes ♣ la fonction f : x −→ ex est dérivable sur R et sa fonction dérivée est elle-
même : (ex) = ex pour tout x ∈ R.

♣ la fonction f : x −→ ex est strictement croissante sur R.

2 Activité 7

1 Tracer les courbes Cf et Cg des fonctions f : x −→ ln x et g : x −→ ex dans le même
repère.

2 En déduire lim ex , lim ex et lim ex
.
x→−∞ x→+∞ x→−∞ x

3 Déterminer lim xex

x→−∞

Retenons

lim ex = 0

x→−∞

lim ex = +∞

x→+∞

lim ex = +∞
x→+∞ x

lim xex = 0

x→−∞

lim ex − 1 = 1
x
x→0

Conséquence

lim ex = +∞ ;r ∈ Q
xr ;n ∈ N
x→+∞

lim xn.ex = 0

x→−∞

3 Activité 8 2 lim e3x − 2ex

Calculer les limites suivantes : x→+∞
1 lim (ex − x)

x→+∞

7700

3 lim 2xe−x 5 lim (e−x + 2x)

x→+∞ x→+∞

4 lim x3e−x 6 lim x e 1 −1
x
x→+∞
x→+∞

III Fonction de type : x −→ eu(x) :

1 Activité 9

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I.
Montrer que pour tout s ∈ I la fonction f : x −→ eu(x) est dérivable sur I et que :
f (x) = u (x)eu(x).

Théorèmes Si u une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f : x −→ eu(x)
est dérivable sur I et :

f (x) = u (x)eu(x)

2 Activité 10

Montrer que f est dérivable sur I puis calculer f (x)

1 f (x) = ex3−x I =R
I =]0; +∞[
√

2 f (x) = e x

Conséquence
Si u une fonction dérivable sur un intervalle I, une primitive de la fonction f : x −→ u (x)eu(x)
est :

f (x) = eu(x)

3 Activité 11

Déterminer une primitive sur R de chacune des fonctions suivantes :

1 f (x) = xex2

2 g (x) = e3x + 2
ex

7711

4 Activité 12

Soit f (x) = 2e2x − ex

1 Préciser l’ensemble D de définition de f et calculer les limites de f aux bornes de D.

2 Étudier le sens de variation de f .

3 Résoudre l’équation f (x) = 0

4 Construire la courbe représentative Cf de f dans un repère orthonormé O, →−i , →−j du
plan.

5 Soit g la restriction de f à l’intervalle I = ln 1 , + ∞.
4

a. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 dont on précisera l’ensemble J
de définition.

b. Tracer la courbe représentative Cg−1 dans le même repère .
c. Calculer g−1(x) pour x appartenant à J.

6 Déterminer la primitive F de f sur qui s’annule en ln(0, 5).

IV Fonction de type : x −→ ax; a > 0 :

1 Activité 13

Soit a > 0 et r ∈ Q.
1 Simplifier : ln(ar) et ln er lna

2 En déduire que : ar = er lna

Définition Soit a un réel strictement positif. On appelle fonction exponentielle de base a :
la fonction x −→ ax

2 Activité 14

Étudier la fonction f (x) = ax et tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé
→− →−

O, i , j .

7722

Chapitre 9 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Calcul intégral

I Définition et propriétés

1 Activité 1

Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x2 − x .

1 Donner deux primitives F et G de f sur R.

2 Comparer F(3) − F(1) et G(3) − G(1) .

Définitions Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I . On

b

appelle intégrale de f entre a et b et on note : f (x)dx le réel défini par :

a
b

f (x)dx = F(b) − F(a)

a

où F est une primitive de f sur I . On note :

b

f (x)dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a)

a

2 Activité 2

Calculer les intégrales suivantes :

1 3 1 2x + 1 dx 5 2 x2 +x + 1 dx
0 (x2 + x + 1)2 1 x
1 (2x + 1)dx

2

2 √ 3 3
2
2 (x2 − 2x + 3)dx 4 √ x dx 6 1 dx
3x +
1 0 x2 + 1 2

7733

3 Activité 3

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I .
F est une primitive de f sur I. a, b, c des réel de I. Déterminer :

a a

1 f (x)dx 3 f (x)dx =

a b

b cb

2 f (x)dx = 4 f (x)dx + f (x)dx =

a ac

Retenons

a

f (x)dx = 0

a

ab

f (x)dx = − f (x)dx (Inversion de bornes)

ba

cb b

f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx (Relation de Chasles)

ac a

4 Activité 4

3

Calculer l’intégrale : I = |t − 2|dt .

1

5 Activité 5

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. F et G deux primitives respectives
de f et g sur I .
Montrer que pour tous réels a et b de I on a : pour α et β on obtient :

b bb

[αf (x) + βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx

a aa

Théorèmes Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a et b de I on a pour
tout réel α et β

b bb

[αf (x) + βg(x)] dx = α f (x)dx + β g(x)dx

a aa

7744

6 Activité 6

Calculer l’intégrale suivant : I = π √3 − 6e3x dx.
1x

Propriétés Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].

b

∗ Si pour tout x ∈ [a, b] on a : f (x) ≥ 0 alors f (x)dx ≥ 0.

a

bb

∗ Si pour tout x ∈ [a, b] on a : f (x) ≤ g(x) alors f (x)dx ≤ g(x)dx.

aa

7 Activité 6

1 Vérifier que pour tout x ∈ π , π on a : 1 ≥ tan x.
6 3 cos x

2 En déduire π dx √
3 ≥ ln 3.

π cos x
6

8 Activité 7

Calculer les intégrales suivantes :

2 3 2 x d x 5 e ln2 x dx
1 + 2 x
1 (1 − |x − 1|)dx x 1

0 4 e ln x d x π
1 x 2
1
6 sin 2xdx
2 e2xdx
0
0

II Intégration par parties :

1 Activité 8

Soit U et V deux fonctions définies sur R par U (x) = sin x et V (x) = 2x.

π
2

1 Calculer (U (x)V (x) + V (x)U (x)) dx.

0

π
2

2 Calculer (V (x)U (x)) dx.

0

π
2

3 En déduire (2x cos x) dx.

0

7755

Théorèmes Si U et V deux fonctions dérivables sur un intervalle [a, b] dont les dérivées
sont U et V alors :

bb

U (x).V (x)dx = [U (x).V (x)]ba − U (x).V (x)dx

aa

2 Activité 9

1 En utilisant la méthode d’intégration par parties, calculer les intégrales :

I= e 1 2

x ln xdx ; J = 2 (x + 1)e−xdx et K = x2 ln xdx

10 1

2 En intégrant par parties deux fois successives, calculer chacune des intégrales sui-

vantes : ln 2 π e2

x2exdx ; 2 t2 sin tdt ; x(ln x)2dx

00 1

III Inégalité de la moyenne, Théorème de la moyenne :

1 Activité 10

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tel que a < b.

Montrer que s’il existe deux réels m et M tel que pour tout réels x ∈ [a, b] , m ≤ f (x) ≤ M

alors on a : b

m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a)

a

Théorèmes Soit f une fonctions continue sur un intervalle [a, b] , (a < b) . m et M sont deux
réels.

b

Si ∀x ∈ [a, b] ; m ≤ f (x) ≤ M alors m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a)

a

2 Activité 11

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a < b.
On rappelle que l’image de l’intervalle fermé [a, b] par f est un intervalle fermé et on pose
[m, M] = f([a, b]).

1 Montrer que : m ≤ b 1 a b
−
f (x)dx ≤ M.

a

7766

2 En déduire qu’il existe un réel c appartenant à [a, b] tel que f (c) = b 1 a b
−
f (x)dx.

a

Théorèmes Soit f une fonctions continue sur un intervalle [a, b] , (a < b) alors il existe au
moins un réel c ∈ [a, b] tel que :

f (c) = b 1 a b
−
f (x)dx

a

1b
Le réel b − a f (x)dx s’appelle la valeur moyenne de f sur [a, b].

a

3 Activité 12

.

1 a. Calculer la valeur moyenne de la fonction f : x −→ ex sur [0, 1]. On note µ cette
valeur.

b. Résoudre, dans [0, 1], l’équation f (x) = µ.

2 Soit la fonction g : x −→ x2. Résoudre dans [−2, 2], l’équation g(x) = λ où λ désigne la
valeur moyenne de g sur [−2, 2].

IV Calcul d’aire planes, calcul des volumes de révolu-
tion :

1 Activité 13

→− →− →− →−
Le plan est muni d’un repère othogonal O, i , j tel que i = 2cm et j = 1cm .

Soit f : x −→ 2x + 2 et Cf sa courbe dans O,→−i ,→−j .

1 Tracer Cf .

2 Soit P la partie du plan limitée par la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites
d’équations x = −1 et x = 1.

a. Calculer A l’aire de P .

1

b. Vérifier que A = f (x)dx

−1

c. Calculer l’aire A en cm2.

7777

Théorèmes →− →−
Le plan est muni d’un repère othogonal O, i , j . Soit f une fonctions conti-

nue et positive sur un intervalle [a, b].
L’aire en (u.a) unité d’aire de la partie du plan limitée par la courbe de f , l’axe
des abscisses et les droites d’équation est x = a et x = b est :

b

A = f (x)dx

a

2 Activité 14

Soit f (x) = −x2 + 2 et C sa courbe dans un repère orthonormé.
1 Déterminer les points d’intersection de C avec l’axe des abscisses.

2 Tracer C .

3 Calculer l’aire A de la partie du plan limité par la courbe C et l’axe des abscisses.

Théorèmes Soit f une fonctions continue sur un intervalle [a, b].
L’aire en (u.a) unité daire de la partie du plan limitée par la courbe de f , l’axe
des abscisses et les droites d’équation est x = a et x = b est :

b

A = |f (x)| dx

a

3 Activité 15

Calculer l’aire A de la partie du plan limitée par laxe des abscisses, la courbe C de la fonc-
tion :
f : x −→ cos x et les droites d’équation x = 0 et x = π.

Théorèmes Le plan est muni d’un repère orthogonal. Soit f et g deux fonctions continue
sur un intervalle [a, b].
L’aire en (u.a) unité d’aire de la partie du plan limitée par la courbe de f , la
courbe de g et les droites d’équation est x = a et x = b est :

b

A = |f (x) − g(x)| dx

a

7788

4 Activité 16

Soient f et g les fonctions définies sur R par f (x) = x2 − 2 et g(x) = x. On désigne par Cf et
Cg les courbes représentatives de f et g dans un repère orthonormé O, →−i , →−j .

1 Construire ces courbes et étudier leur position relative.
2 Calculer l’aire de la région du plan limitée par les courbes Cf et Cg et les droites

d’équations respectives : x = −2 et x = 2.

5 Activité 17

Théorèmes Etant donné une fonction f continue sur lintervalle [a; b] , le volume du solide
de révolution engendré par la rotation, autour de laxe des abscisses, du do-
maine délimité par laxe des abscisses, la représentation graphique de f et les
droites déquation x = a et x = b est, en unités de volume (u.v), égale à :

b

V = π (f (x))2 dx

a

6 Activité 18

√
Le solide de révolution obtenu en faisant tourner la partie de la parabole déquation y = x
avec (1 ≤ x ≤ 4) autour de laxe des abscisses Déterminer le volume V .

7 Activité 19

On considère les intégrales suivantes :

ππ

I = 2 (ex cos x)2 dx , J = 2 (ex sin x)2 dx

00

1 Calculer I + J.

2 Calculer I − J en utilisant une intégration par parties.

3 En déduire les valeurs de I et J.

7799

Chapitre 10 « La vie n’est bonne qu’à étudier ou à enseigner les maths »
(Blaise Pascal)

Nombres Complexes

I Rappels et compléments :

1 Activité 1 :

√
1 On considère l’équation, d’inconnue z, (E) : z2 − 7z + 2 = 0.

√ √ 2 1
Verifier que (E) : z2 − 7z + 2 = 7 4
a. z− 2 + .

b. L’équation (E) admet-elle des solutions réelles ?

c. Sachant qu’il existe un nombre imaginaire, noté i qui vérifie i2 = −1 , déterminer
les solutions z1 et z2 de l’équation (E) .

d. À quel ensemble appartient les solutions z1 et z2 .

2 Résoudre, dans C , chacune des équations suivantes :

a. z2 − 2z + 2 = 0
b. z2 − 2iz − 1 − 2i = 0

Définition :

✓ On appelle ensemble des nombres complexes l’ensemble noté C, contenant R définie

par :
C = z = a + ib tel que a, b ∈ R et i2 = −1

✓ C est munie de l’addition et la multiplication.
✓ La forme a + ib ; a et b ∈ R est appelé forme algébrique de z.
✓ La forme algébrique est unique.

a + ib = a + ib ⇐⇒ a=a
b=b

8800

Définition :

♠ Un nombre complexe dont l’écriture algébrique est ib, (a = 0 et b ∈ R) est appelé
nombre imaginaire pur.

♠ Dans l’écriture algébrique de z sous la forme a + ib,

✓ le nombre réel a est appelé partie réelle de z et noté a =Re(z).
✓ le nombre réel b est appelé partie réelle de z et noté b = Im(z).

2 Activité 2

1 Calculer i0 , i1 , i2 , i3 , i4 , i5 , in (n ∈ N).
2 Calculer (1 + i)2 , (1 − i)2 , (1 − i)3 , (1 − i)4 , (1 − i)4n (n ∈ N).
3 Mettre sous forme algébrique :

(5 − 7i) + (−15 + 23i) , (5 + 3i)(8 − 7i) , (−1 + 12i)(13 − 2i) , (3 + 4i)2

3 Activité 3

Résoudre dans C, les équations suivantes :

1 2z + 7 + 2i = 5z + 1 − 4i

2 iz + 2z − 5 + i = (4 − i)z + 7 − 3i

3 2z + 1 = − 1 + 5 i
z−2 2 2

II Affixe d’un point, affixe d’un vecteur

1 Activité 4

1 Placer, dans le repère orthonormé direct O, →−u , →−v , les points A, B, C d’affixes res-
pectifs 3 − 2i ,4 + i et 1 + 2i.
Quelle est la nature exacte du triangle ABC ?

2 Déterminer l’affixes des points : E milieu du segment [AB] , F milieu du segment [AC]
et K milieu du segment [BC] .

3 Déterminer l’affixe du point H barycentre des points pondérés {(A, 1) , (B, −2)}.

4 Déterminer l’affixe du point :

a. G centre de gravité du triangle ABC.
b. D telle que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

5 Déterminer l’affixe du vecteur :

8811

a. →−u = −−→ + 2 −−−→ − 3 −−→
AB CD CB
b. →−v = 4 −A−−→D − −B−→D + 5 −B−→C

Rappel :

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé direct O, →−u , →−v .
♣ Soit un point de P. On appelle affixe de M, le nombre complexe noté aff(M) ou zM

tel que : aff(M) = zM = x + iy .

♣ M(x; y) est le point image du nombre complexe zM = x + iy.

M(x + iy)
y

→−v x
→−u

♣ Soit →w− a ∈ V alors on a : l’affixe du vecteur →w− est aff(w) = a + ib.
b

♣ Pour tous points A et B appartenant au plan, on appelle affixe du vecteur −A−→B , le
−−→

complexe aff( AB ) = zB − zA.
♣ Pour tous vecteurs →−u et →−v et tous réels α et β on a :

aff α→−u + β→−v = αaff(→−u ) + βaff(→−v )

♣ Soit I le milieu du segment [AB] alors ona : zI = zA + zB .
2

♣ Soit G le barycentre des points pondérés {(A, α) , (B, β)} alors on a : zG = α .zA + β .zB .
α + β

Retenons :

O, →−u , →−v est un repère orthonormé du plan. Soit z ∈ C, on a :
♦ z est un réel si et seulement si Im(z) = 0 si et seulement si M(z) ∈ O, →−u .

♦ z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z) = 0 si et seulement si M(z) ∈ O, →−v .

8822

Propriété :

Le plan complexe est munie d’un repère orthonormé direct O,→−u ,→−v .

Soient →−w a −→ a deux vecteurs non nuls, on a :
b et w b

* →−w et −→ − ba = 0 si et seulement si Z→w− réel.
w sont colinéaires si et seulement si ab Z −→

w

* →w− et −→ + bb = 0 si et seulement si
w sont orthogonaux si et seulement si aa

Z→w− imaginaire.
Z −→
w

2 Activité 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé O, →−u , →−v .

On donne les points A(−2 + i) ; B(−3i) et C(i).

À tout point M(z) tel que z −3i, on associe le point M daffixe z tel que z = z+2− i .
3 − iz

1 Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que z soit réel.

2 Déterminer l’ensemble des points M(z) tels que z soit imaginaire pur.

III Conjugué dun nombre complexe

1 Activité 6

Soit le nombre complexe z = 3 − 2i.
1 Placer dans le plan complexe l’image M de z.
2 Construire le symétrique M du point M par rapport à l’axe des réels.
3 Déterminer l’affixe z du point M .
4 Comparer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes z et z .

Définition :
Soit z = a + ib un nombre complexe donné sous forme algébrique.
On appelle conjugué de z et on note z, le nombre complexe défini par : z = a − ib.

8833

Propriété :

Soient les nombres complexes z = x + iy et z = x + iy où x, y, x et y sont des réels

✓ z=z ✓ z+z =z+z ✓ z×z =z×z ✓ z =z z 0
✓ z − z = 2iy z z
✓ zn = (z)n (n ∈ N) ✓ z + z = 2x

Propriété :
♥ z est réel si et eulement si z = z.
♥ z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.

Retenons :

Soit z un nombre complexe tel que z = x + iy avec x et y ∈ R, on a :
z.z ∈ R+ et z.z = x2 + y2

2 Activité 7

On donne, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, →−u , →−v . les
points A(−2 − i) ,B(1 + 3i) et le point I milieu du segment [AB].

1 a. Placer les points A , B et I.
b. Déterminer et construire l’ensemble D des points M(z) du plan tel que
4(z + z) + 3i(z − z) + 10 = 0.
c. Vérifier que les points A et B appartiennent à D.

2 Soit l’ensemble C des points M(z) du plan tel que 4zz + 2(z + z) + 4i(z − z) − 20 = 0.

a. Caractériser C par une équation cartésienne.
b. Montrer que C est le cercle de diamètre [AB].

3 Activité 8

Soit z = x + iy un nombre complexe distinct de −1, ( x et y sont deux réels). On note M le

point du plan d’affixe z. On pose : z = z iz .
+1

1 Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de z en fonction de x et y.

2 En déduire l’ensemble (E) des points M tel que Re(z ) = 0 et l’ensemble (F) des points
M tels que Im(z ) = 0.

8844

4 Activité 9

OSonitpzo1seetZz2=dezu1 x+nzo2 mebtrZes complexes de modules 1 et tel que z1 .z2 −1.
= z1 − z2
1 + z1z2 1 + z1z2

1 Montrer que Z est réel.

2 Montrer que Z est imaginaire.

5 Activité 10

Résoudre dan C
1 z2 − 3z + 2 = 0
2 z2 − z + 1 = 0

IV Module d’un nombre complexe

Définition :

Soit z = a + ib un nombre complexe donné sous forme algébrique. √ √
On appelle module de z et on note |z|, le réel positif défini par : |z| = a2 + b2 = zz

Retenons :

|z|2 = z.z

Rappel :

Le module de l’affixe z = a + ib d’un point du plan√ complexe muni d’un repère ortho-
normé O, →−u , →−v , est la distance OM. On a |z| = a2 + b2 = OM Pour tous points M et

N du plan complexe, on a :

MN = |ZN − ZM|

1 Activité 11

Dans le plan est muni d’un repère orthonormé O, →−u , →−v . on a placé le point M d’affixe z .

8855

M

→−v
→−u

1 Placer les points M1(z), M2(−z) et M1(−z).
2 Completer

a. Les affixes des points M et N sont conjuguées ⇐⇒ ..........................
b. Les affixes des points M et N sont opposées ⇐⇒ ..........................
3 Comparez |z|, | − z| et | − z| avec |z|.

Propriétés :

Soit deux nombres complexes z et z

♣ |z| = 0 ⇐⇒ z = 0 ♣ |z + z | ≤ |z| + |z | ♣ |kz| = |k|.|z|, (k ∈ R)

♣ |z.z | = |z|.|z | ♣ |z| = |z| ♣ |zn| = |z|n, (n ∈ N∗)

♣ 1 = 1 , z 0 ♣ z = |z | , z 0 ♣ 1 = 1 , z 0
z |z| z |z| zn |z|n

2 Activité 12

Déterminer et construire l’ensemble des points M(z) tel que :

√ 3 |(1 + i)z − 2i| = 2 5 |iz + 2 − i| = |2z + 6 − 2i|
1 |z − 3 + 2i| = 5 4 |z − 1 + i| = |z + 3 − 2i| 6 z + z = |z|2

√
2 |z − 3 + 2i| = 5

V Argument d’un nombre complexes non nul

1 Activité 13

1 Construire, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct O, →−u , →−v les
points A, B et C d’affixes respectives z1 = 1 + i, z2 = i et z3 = 2 .

2 Déterminer une mesure de chacun des angles : →−u , −−−→ , →−u , −−→ , →−u , −−−→ .
OA OB OC

8866

Définition :

Soit z = a+ib un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe muni
d’un repère orthonormé O, →−u , →−v .
On appelle argument de z et on note arg(z), toute mesure en radian de l’angle orienté
→−u , O−−−M→ . On a donc : arg(z) = →−u , O−−−M→ + 2kπ (k ∈ Z)

M
2

→−v1 θ 2

−1 →−u 1

Rappel :

♣ Si z est un nombre réel strictement positif alors arg(z) = 0 + 2kπ, k ∈ Z.

♣ Si z est un nombre réel strictement négatif alors arg(z) = π + 2kπ, k ∈ Z.

♣ Si z = ib avec b réel strictement positif alors arg(z) = π + 2kπ, k ∈ Z.
2

♣ Si z = ib avec b réel strictement négatif alors arg(z) = −π + 2kπ, k ∈ Z.
2

2 Activité 14

Déterminer en fonction de arg(z), les arguments de −z, z et −z

3 Activité 15

Déterminer et construire chacun des ensembles suivants :

1 E= M(z) ∈ P tel que arg(z − 1) = π + 2kπ .
3

2 f= M(z) ∈ P tel que arg z+i = π + 2kπ
z−1 2

8877

Retenons :

O, →−u , →−v est un repère orthonormé du plan. Soit A, B, C et D quatres points du plan

tel que A B et C D, on a :

♠ →−u , −−→ = arg(ZA−−→B ) + 2kπ = arg(zB − zA) + 2kπ, k∈Z
AB

♠ A−−→B , −C−−→D = −A−→B ,→−u + →−u , −C−−→D + 2kπ = →−u , C−−−→D − →−u , −A−→B + 2kπ

= arg(zD − zC) − arg(zB − zA) + 2kπ = arg zD − zC + 2kπ, k ∈ Z.
zB − zA

Retenons :

Pour tout nombres complexes non nul z et z on a :
♣ arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) + 2kπ; k ∈ Z.

♣ arg 1 = −arg(z) + 2kπ = arg(z) + 2kπ; k ∈ Z.
z

♣ arg z = arg(z) − arg(z ) + 2kπ; k ∈ Z.
z

♣ arg(zn) = n.arg(z) + 2kπ; k ∈ Z, n ∈ Z∗.

♣ arg(λz) = arg(z) + 2kπ si λ > 0 k ∈ Z , λ ∈ R∗
arg(z) + π + 2kπ si λ < 0

Retenons :

♦ z ∈ R si et seulement si arg(z) = kπ, k ∈ Z ou z = 0.

♦ z ∈ iR si et seulement si arg(z) = π + kπ, k ∈ Z ou z = 0.
2

8888

VI Écriture trigonométrique

Définition :

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, →−u , →−v .

Soit z = a + ib un complexe non nul et M son image dans le plan. On a :

♥ z s’écrθrit==s|oazu|rg=s(lz√a)a+f2o2+rmkbπe2 z = r(cos θ +i sin θ) avec
= + 2kπ, k∈Z
OM
= →−u , −O−−M→

♥ L’écriture de z sous la forme r(cos θ + i sin θ) avec r > 0 et θ ∈ R, est appelée forme
trigonométrique de z.

♥ On a z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) et par suitecos θ = a et sin θ = b
r r

bM

r = |z|

→−v a
θ
→−u

1 Activité 16

Écrire, sous forme trigonométrique, les complexes suivants :
√

1 , −1 , i , −i , −1 − i , −1 + i , 1 − i , 1 + i , 1 + i 3

2 Activité 17

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé O, →−u , →−v . on considère les points

A, B , C et D daffixes respectives

√√
3+i −1 +i 3,
a= 2 , b = 2 c=a+b ; d =b−a

1 Écrire a, b et b sous forme trigonométrique. En déduire la nature exacte du triangle
a
ABO.

2 Placer les points A, B , C et D dans le plan et montrer que OACB est un carré.

3 En déduire la forme trigonométrique de c et d.

4 Déterminer alors les valeurs de cos 5π , sin 5π et cos 11π .
12 12 12

8899

VII Écriture exponentielle d’un nombre complexes

1 Activité 18

Le plan complexe est rapporté au repère orthonorm√é O, →−u , →−v . Soit les points A, B et C
d’affixes respectives zA = i , zB = (1 − i).
1 √ i et zC = 2
2 3+ 2

1 Donner les écritures trigonométriques de zA, zB et zC .

2 En déduire que les points A, B et C appartiennent au cercle trigonométrique.

Notation : Pour tout réel θ, on note eiθ = cos θ + i sin θ.

Conséquence :

✓ ei0 = 1 , ei π = i , e−i π = −i , eiπ = −1
2 2

✓ Pour tout réel θ et pour tout entier k on a : eiθ = eiθ+2kπ

✓ Pour tout réel θ,|eiθ| = 1 , eiθ = e−iθ , −eiθ = ei(θ+π) , ieiθ = ei (θ+ π ) , −ieiθ = ei(θ− π )
2 2

2 Activité 19

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé O, →−u , →−v . On donne les nombres

complexes suivants z = e−i π et z = e−i 3π
3 2

1 Donner le module et un argument de chacun des nombre complexes :

−z , z , zz , 1 , z ; zn (n ∈ Z)
zz

2 Écrire sous forme eiθ les nombres : zz , 1 , z ; zn (n ∈ Z)
z z

Propriété :

Soit deux réels θ et θ

eiθ .eiθ = ei(θ+θ ) , 1 = e−iθ , eiθ = ei(θ−θ ) eiθ n = ei.nθ (n ∈ Z)
eiθ eiθ

3 Activité 20

Écrire sous la forme r.eiθ avec r > 0 et θ ∈ R les complexes suivants :

9900