PELANGI BESTSELLER EDISI GURU
MoMduOlRe E&
Pembelajaran BERPANDU dan SISTEMATIK
MATEMATIK
Mathematics
Tan Soon Chen
Lee Chye Mei
Ahmad Zuhailie
4TINGKATAN DSKP &
FORMAT BAHARU
KSSM
SPM 2021
Pakej PdPR
Pengajaran dan Pembelajaran di Rumah
Rekod Pencapaian Lembaran PBD Nota
KBAT Ekstra Online Quick Quiz Praktis SPM
MoMduOlRe E&
Pembelajaran BERPANDU dan SISTEMATIK
MATEMATIK 4TINGKATAN
Mathematics KSSM
Tan Soon Chen
Ahmad Zuhailie
Lee Chye Mei
KANDUNGAN
BAB Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam 4.2 Kesatuan Set...................................................................................58
Satu Pemboleh Ubah
1 Quadratic Functions and Equations in One Variable 1 Union of Sets
4.3 Gabungan Operasi Set..................................................................62
Combined Operations on Sets
1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik.................................................1 Praktis SPM 4.........................................................................................66
Quadratic Functions and Equations Sudut KBAT...........................................................................................68
Praktis SPM 1.........................................................................................12 Online Quick Quiz ...............................................................68
Sudut KBAT...........................................................................................13
Online Quick Quiz ...............................................................13 BAB
BAB 5 Rangkaian dalam Teori Graf 69
Network in Graph Theory
2
Asas Nombor 14 5.1 Rangkaian.......................................................................................69
Number Bases
Network
2.1 Asas Nombor.................................................................................14 Praktis SPM 5.........................................................................................83
Number Bases Sudut KBAT...........................................................................................83
Praktis SPM 2.........................................................................................31 Online Quick Quiz ...............................................................83
Sudut KBAT...........................................................................................33
Online Quick Quiz ...............................................................33
BAB BAB Ketaksamaan Linear dalam Dua 85
Pemboleh Ubah
3 6 Linear Inequalities in Two Variables
Penaakulan Logik 34 6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah....................85
Logical Reasoning
Linear Inequalities in Two Variables
3.1 Pernyataan......................................................................................34
6.2 Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah.......89
Statements
System of Linear Inequalities in Two Variables
3.2 Hujah..............................................................................................43
Praktis SPM 6.........................................................................................97
Arguments
Sudut KBAT...........................................................................................98
Praktis SPM 3.........................................................................................50
...............................................................98
Sudut KBAT...........................................................................................52 Online Quick Quiz
Online Quick Quiz ...............................................................52
BAB Operasi Set BAB Graf Gerakan 99
Operations on Sets Graphs of Motion
4 7
53 7.1 Graf Jarak-Masa.............................................................................99
4.1 Persilangan Set...............................................................................53 Distance-Time Graphs
Intersection of Sets
iii
7.2 Graf Laju-Masa............................................................................105 Praktis SPM 9.......................................................................................152
Speed-Time Graphs Sudut KBAT.........................................................................................154
Praktis SPM 7.......................................................................................111 Online Quick Quiz .............................................................154
Sudut KBAT.........................................................................................113
Online Quick Quiz .............................................................113 Matematik Pengguna: Pengurusan
Kewangan
BAB BAB Consumer Mathematics: Financial Management 155
8 10
Sukatan Serakan Data Tak Terkumpul 10.1 Perancangan dan Pengurusan Kewangan................................155
Measures of Dispersion for Ungrouped Data 114
Financial Planning and Management
8.1 Serakan.........................................................................................114 Praktis SPM 10....................................................................................167
Dispersion Sudut KBAT.........................................................................................168
8.2 Sukatan Serakan..........................................................................118 Online Quick Quiz .............................................................168
Measures of Dispersion
Praktis SPM 8.......................................................................................132
Sudut KBAT.........................................................................................133 Kertas Pra-SPM.......................................................................... 170
Online Quick Quiz .............................................................133
BAB Kebarangkalian Peristiwa Bergabung Jawapan
9 http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T4/
JawapanKeseluruhan.pdf
Probability of Combined Events 134
9.1 Peristiwa Bergabung...................................................................134 Lembaran PBD
Combined Events http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T4/
LembaranPBD.pdf
9.2 Peristiwa Bersandar dan Peristiwa Tak Bersandar.................135
Jawapan Lembaran PBD
Dependent Events and Independent Events
http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T4/
9.3 Peristiwa Saling Eksklusif dan Peristiwa Tidak Saling JawapanLPBD.pdf
Eksklusif.......................................................................................143
Mutually Exclusive Events and Non-Mutually Exclusive Events
9.4 Aplikasi Kebarangkalian Peristiwa Bergabung.......................150
Application of Probability of Combined Events
BONUS Lembaran PBD dengan Jawapan
untuk Guru http://www.epelangi.com/Module&More2021/Matematik/T4/BonusLPBD.pdf
iv
Rekod Pencapaian Pentaksiran Murid
Matematik Tingkatan 4
Nama Murid: ................................................................. Kelas: .............................................
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✗)
penguasaan Belum
(✓) menguasai
Menguasai
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ungkapan, fungsi dan persamaan
kuadratik dalam satu pemboleh ubah.
2 Mempamerkan kefahaman tentang ungkapan, fungsi dan persamaan kuadratik
dalam satu pemboleh ubah
1 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang fungsi dan persamaan kuadratik dalam satu
FUNGSI DAN 4 pemboleh ubah untuk melaksanakan tugasan mudah.
PERSAMAAN 5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
KUADRATIK DALAM persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
SATU PEMBOLEH masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
UBAH persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dan
persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang asas nombor.
2 Mempamerkan kefahaman tentang asas nombor.
2 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang asas nombor untuk melaksanakan tugasan
ASAS NOMBOR mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang asas nombor
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
v
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✗)
penguasaan Belum
(✓) menguasai
Menguasai
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang pernyataan dan hujah.
2 Mempamerkan kefahaman tentang pernyataan dan hujah.
3 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang hujah deduktif dan hujah induktif untuk
PENAAKULAN melaksanakan tugasan mudah.
LOGIK 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan
logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan
logik dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penaakulan logik
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang persilangan set, kesatuan set dan
gabungan operasi set.
2 Mempamerkan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan gabungan
operasi set.
4 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang persilangan set, kesatuan set dan
OPERASI SET gabungan operasi set untuk melaksanakan tugasan mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan
set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan
set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang persilangan
set, kesatuan set dan gabungan operasi set dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang rangkaian.
5 2 Mempamerkan kefahaman tentang rangkaian.
RANGKAIAN 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang rangkaian untuk melaksanakan
DALAM TEORI
tugasan mudah.
GRAF 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
vi
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✗)
penguasaan Belum
(✓) menguasai
Menguasai
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang rangkaian
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang ketaksamaan linear dalam dua
pemboleh ubah.
2 Mempamerkan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah.
6 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang ketaksamaan linear dalam dua pemboleh
KETAKSAMAAN ubah untuk melaksanakan tugasan mudah.
LINEAR DALAM
DUA PEMBOLEH 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem
ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
UBAH masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem
ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem
ketaksamaan linear dalam dua pemboleh ubah dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang graf gerakan.
2 Mempamerkan kefahaman tentang graf gerakan.
7 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang graf gerakan untuk melaksanakan tugasan
GRAF GERAKAN mudah.
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf
gerakan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf
gerakan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang graf
gerakan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
8 1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang serakan.
SUKATAN 2 Mempamerkan kefahaman tentang sukatan serakan data tak terkumpul.
SERAKAN DATA 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang sukatan serakan data tak terkumpul untuk
TAK TERKUMPUL
melaksanakan tugasan mudah.
vii
Penguasaan
Bab Tahap Tafsiran (✗)
penguasaan Belum
(✓) menguasai
Menguasai
4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sukatan serakan
data tak terkumpul dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang peristiwa bergabung.
2 Mempamerkan kefahaman tentang kebarangkalian peristiwa bergabung.
3 Mengaplikasikan kefahaman tentang kebarangkalian peristiwa bergabung
9 untuk melaksanakan tugasan mudah.
KEBARANGKALIAN 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian
PERISTIWA peristiwa bergabung dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
BERGABUNG
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian
peristiwa bergabung dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang kebarangkalian peristiwa
bergabung dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
1 Mempamerkan pengetahuan asas tentang perancangan dan pengurusan
kewangan.
2 Mempamerkan kefahaman tentang perancangan dan pengurusan kewangan.
10 3 Mengaplikasikan kefahaman tentang perancangan dan pengurusan kewangan
MATEMATIK untuk melaksanakan tugasan mudah.
PENGGUNA:
PENGURUSAN 4 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan
KEWANGAN pengurusan kewangan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
5 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan
pengurusan kewangan dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
6 Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran tentang perancangan dan
pengurusan kewangan dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara
kreatif.
viii
BAB Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu 1
Pemboleh Ubah
1
Quadratic Functions and Equations in One Variable
1.1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik
Quadratic Functions and Equations
NOTA IMBASAN
1. Ungkapan kuadratik: 4. Bentuk-bentuk graf bagi fungsi kuadratik:
Quadratic expression: Shapes of quadratic function graph:
(a) a 0 (b) a 0
a, b dan c ialah pemalar, a ≠ 0
a, b and c are constants, a ≠ 0 y y Titik maksimum
Maximum point
ax2 + bx + c x ialah pemboleh ubah
x is a variable c Ox
O xc
Kuasa tertinggi bagi pemboleh
ubah x ialah 2 Titik minimum
The highest power of variable x is 2 Minimum point
Contoh / Example: (c) 2x2 + 3x + 4 Paksi simetri
(a) 3x2 (d) –5x2 + 7x + 9 Axis of symmetry
(b) 4x2 + 5
5. Persamaan kuadratik:
Contoh bagi bukan ungkapan kuadratik: Quadratic equation:
ax2 + bx + c = 0
Example for non-quadratic expression:
Contoh / Example:
(a) 5x2 + 8y −2 (c) x3 + 5 (a) x2 – 6x + 5 = 0
(b) 2x2 + 3x – 7 = 0
(b) –12x2 – 4 1 (c) x2 – 3x = 0
x (d) 3x2 – 7x – 11 = 0
(d) 8x2 – x2
6. Punca bagi persamaan kuadratik merupakan nilai
2. Fungsi kuadratik: pemboleh ubah, x, yang memuaskan persamaan
Quadratic function: kuadratik tersebut.
A root of quadratic equation is the value of variable, x, which
f(x) = ax2 + bx + c satisfies the quadratic equation.
Contoh / Example: Hubungan bagi suatu fungsi kuadratik ialah hubungan banyak
kepada satu.
(a) f(x) = 15x2 + 10x The relation of a quadratic function is many-to-one relation.
(b) f(x) = –x2 + 5 NOTA
(c) f(x) = 3x2 – x – 5
5
(a) f(x) = – 2 x2 + 5x – 12
3. Ciri-ciri fungsi kuadratik:
Characteristics of quadratic functions:
• graf berbentuk melengkung
curved shape of the graph
• mempunyai titik minimum atau titik maksimum
has minimum point or maximum point
• paksi simetri graf adalah selari dengan paksi-y dan
melalui titik minimum atau titik maksimum
the axis of symmetry of the graph is parallel to the y-axis and
passes through minimum point or maximum point
1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
1. Tandakan (3) bagi ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah dan (7) jika bukan. Kemudian, berikan
sebab anda. TP 1
Mark (3) against the quadratic expression in one variable and (7) if not. Hence, give your reason.
BAB 1 Ungkapan / Expression 3 / 7 Sebab / Reason
CONTOH 3 Mempunyai satu pemboleh ubah, x dan kuasa tertinggi bagi x ialah 2.
1 x2 – x
Has one variable, x and the highest power of x is 2.
2 3x2 – y 7 Mempunyai dua pemboleh ubah, x dan y.
Has two variables, x and y.
3 x2 + 5x – 9 7 Bukan dalam bentuk ungkapan kuadratik.
x
Not in the form of quadratic expression.
(a) (y + 3)(y – 2) 3 Mempunyai satu pemboleh ubah, y dan kuasa tertinggi bagi y ialah 2.
= y2 + y – 6
Has one variable, y and the highest power of y is 2.
(b) w2 + 4 = 1 w2 + 4 3 Mempunyai satu pemboleh ubah, w dan kuasa tertinggi bagi w ialah 2.
3 3 3
Has one variable, w and the highest power of w is 2.
(c) pq2 – p + 9 7 Mempunyai dua pemboleh ubah, p dan q.
Has two variables, p and q.
(d) g2 + 5g 7 Bukan dalam bentuk ungkapan kuadratik.
g – 1
Not in the form of quadratic expression.
(e) 4x3 – 4x2 7 Kuasa tertinggi bagi x ialah 3.
The highest power of x is 3.
(f) –10a2 3 Mempunyai satu pemboleh ubah, a dan kuasa tertinggi bagi a ialah 2.
Has one variable, a and the highest power of a is 2.
2. Padankan hubungan berikut bagi setiap fungsi, f yang memetakan set P kepada set Q. Kemudian, kenal pasti
hubungan fungsi tersebut. TP 1
Match the following relations of each of the following functions, f that mapped set P to set Q. Hence, identify the relation of
the function.
Fungsi f(x) = x2 f(x) = x2 + 2
Function P Q P Q
f f
Rajah anak 0 6
panah –2 1 –4 18
–1 4
Arrow diagram –2
0
1 2
2
4
Hubungan Banyak kepada satu / Many-to-one Banyak kepada satu / Many-to-one
Relation
Berdasarkan jadual di atas, fungsi kuadratik mempunyai imej yang sama daripada dua objek yang berbeza.
Oleh itu, hubungan bagi suatu fungsi kuadratik ialah hubungan banyak kepada satu .
From the table above, quadratic function has the same image from two different objects. Thus, the relation of a quadratic
many-to-one relation .
function is
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 2
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
3. Lengkapkan jadual di bawah bagi setiap fungsi kuadratik berikut. TP 1
Complete the table below for each of the following quadratic functions.
Fungsi kuadratik a b c Bentuk graf Titik maksimum / Titik minimum
Shape of the graph Maximum point / Minimum point
Quadratic function BAB 1
CONTOH 356 Titik minimum
f(x) = 3x2 + 5x + 6
Minimum point
(a) f(x) = 2x2 + 3x + 7 237 Titik minimum / Minimum point
(b) f(x) = –7x2 – 4x + 5 –7 –4 5 Titik maksimum / Maximum point
(c) f(x) = –x2 – x –1 –1 0 Titik maksimum / Maximum point
(d) f(x) = 10x2 – 7 10 0 –7 Titik minimum / Minimum point
(e) f(x) = –9x2 + 2x – 4 –9 2 –4 Titik maksimum / Maximum point
4. Lukis paksi simetri dan nyatakan persamaan paksi simetri bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut. TP 2
Draw the axis of symmetry and state equation of axis of symmetry of each of the following quadratic functions.
CONTOH (a) (b)
1
f(x) f(x)
f(x)
4 4 15
2 10
2 –1 O
–2
–4 –2 O x x 5
–2 24 123
O 2468
x
Persamaan paksi simetri:
Persamaan paksi simetri: Persamaan paksi simetri:
Equation of axis of symmetry:
Equation of axis of symmetry: Equation of axis of symmetry:
x=4
x = –1 x=1
(d)
2 (c)
f(x)
f(x) f(x)
(0, 3) (8, 3) Ι– 1 , 0Ι Ι 5 , 0Ι x
O x 2 2
O (–15, 10) (–5, 10)
Persamaan paksi simetri: Persamaan paksi simetri: Ox
Equation of axis of symmetry: Equation of axis of symmetry: Persamaan paksi simetri:
x=4 x=1 Equation of axis of symmetry:
x = –10
3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
5. Lakarkan kesan perubahan nilai a ke atas graf fungsi kuadratik. Kemudian, perihalkan perubahan itu. TP 3
Sketch the effect of changing the value of a on the graphs of quadratic functions. Hence, describe the changes.
BAB 1 CONTOH (a) f(x) = x2 → f(x) = 1 x2 (b) f(x) = 3 x2 → f(x) = 5 x2
2 2 2
1 f(x) = 2x2 → f(x) = 5x2
f(x) f(x)
f(x)
f(x) = 5x2 f(x) = x2 f(x) = 5 x2
2
f(x) = 2x2 1
2
f(x) = x2 f(x) = 3 x2
2
x
Ox O xO
Nilai a bertambah, graf menjadi Nilai a berkurang, graf menjadi Nilai a bertambah, graf menjadi
lebih sempit.
lebih sempit. lebih lebar.
The value of a increases, the graph
The value of a increases, the graph The value of a decreases, the graph becomes narrower.
becomes narrower. becomes wider.
(d) f(x) = –3x2 → f(x) = –5x2
2 f(x) = –7x2 → f(x) = –4x2 (c) f(x) = –12x2 → f(x) = –8x2
f(x)
f(x) f(x)
f(x) = –4x2 O x f(x) = –8x2 O x f(x) = –3x2 O x
f(x) = –7x2 f(x) = –12x2 f(x) = –5x2
Nilai a bertambah, graf menjadi Nilai a bertambah, graf menjadi Nilai a berkurang, graf menjadi
semakin lebar. semakin lebar. lebih sempit.
The value of a increases, the graph The value of a increases, the graph The value of a decreases, the graph
becomes wider. becomes wider. becomes narrower.
6. Lakarkan kesan perubahan nilai b ke atas fungsi kuadratik. Kemudian, nyatakan perubahan paksi simetri
fungsi kuadratik. TP 3
Sketch the effect of changing the value of b on the graphs of quadratic functions. Hence, state the changing of axis of
symmetry of the quadratic function.
CONTOH (a) f(x) = x2 → f(x) = x2 – 4x (b) f(x) = x2 → f(x) = x2 + 7x
1 f(x) = x2 → f(x) = x2 + 5x f(x) f(x)
f(x) = x2
f(x) f(x) = x2 f(x) = x2
Ox Ox O x
f(x) = x2 + 5x f(x) = x2 – 4x f(x) = x2 + 7x
Nilai a 0 dan b 0, maka paksi Nilai a 0 dan b , 0, maka paksi Nilai a 0 dan b 0, maka paksi
simetri berada di sebelah kiri
paksi-y. simetri berada di sebelah kanan simetri berada di sebelah kiri
The values of a 0 and b 0, thus the paksi-y. paksi-y.
axis of symmetry is on the left of y-axis.
The value of a 0 and b , 0, thus The value of a 0 and b 0, thus
the axis of symmetry is on the right of the axis of symmetry is on the left of
y-axis. y-axis.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 4
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
2 f(x) = –x2 → f(x) = –x2 – 2x (c) f(x) = –x2 → f(x) = –x2 + 5x (d) f(x) = –x2 → f(x) = –x2 – 4x
f(x) f(x) f(x)
f(x) = –x2 + 5x f(x) = –x2 – 4x
f(x) = –x2 – 2x
O f(x) = –x2 x Ox Ox BAB 1
Nilai a , 0 dan b , 0, maka paksi f(x) = –x2 f(x) = –x2
simetri berada di sebelah kiri Nilai a , 0 dan b . 0, maka paksi Nilai a , 0 dan b , 0, maka paksi
simetri berada di sebelah kanan simetri berada di sebelah kiri
paksi-y. paksi-y. paksi-y.
The values of a , 0 and b , 0, thus the The values of a , 0 and b . 0, thus The values of a , 0 and b , 0, thus
axis of symmetry is on the left of y-axis. the axis of symmetry is on the right of the axis of symmetry is on the left of
y-axis. y-axis.
7. Lakarkan kesan perubahan nilai c ke atas fungsi kuadratik. Kemudian, nyatakan pintasan-y bagi fungsi tersebut.
Sketch the effect of changing the value of c on the graphs of quadratic functions. Hence, state the y-intercept of the quadratic
function. TP 3
CONTOH (a) f(x) = x2 → f(x) = x2 – 5 (b) f(x) = –x2 → f(x) = –x2 + 4
f(x) = x2 → f(x) = x2 + 3 f(x) f(x)
f(x) = x2 + 3 f(x)
f(x) = x2 f(x) = x2 + 4
Ox
f(x) = x2 O x
Ox
Pintasan-y = –5 f(x) = x2 – 5
Pintasan-y = 3
y-intercept = –5 f(x) = x2
y-intercept = 3
Pintasan-y = 4
y-intercept = 4
8. Hitung nilai c dalam setiap fungsi kuadratik berikut yang melalui titik P. TP 3
Calculate the value of c in each of the following quadratic function that passes through point P.
CONTOH (a) f(x) = x2 + 3x – c, P(–2, 6) (b) f(x) = x2 – 2x + c, P(0, 5)
f(x) = x2 – 4x + c, Gantikan nilai f (x) = (–2)2 + 3(–2) – c Titik P(0, 5) berada di paksi-y,
P(1, 4) x = 1 dan 6 = 4 – 6 – c maka nilai c = 5.
f(x) = 4 ke dalam c = –8
Point P(0, 5) is on the y-axis, thus
Penyelesaian: fungsi kuadratik. the value of c = 5.
Substitute the
values of x = 1
f(x) = (1)2 – 4(1) + c and f(x) = 4 into
4 = 1 – 4 + c the quadratic
function.
c = 7 (c) f(x) = –2x2 + 5x – c, P(4, –5) (d) f(x) = 3x2 + c, P(2, –9)
Tip f(x) = –2(4)2 + 5(4) – c f (x) = 3(2)2 + c
–5 = –32 + 20 – c –9 = 12 + c
Nilai c adalah pintasan-y bagi graf c = –7 c = –21
fungsi kuadratik.
The value of c is y-intercept of graph of
quadratic function.
5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
9. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Seutas tali sepanjang 30 cm (b) Puan Hanim menjual sebungkus nasi lemak
BAB 1 digunakan untuk membentuk pada 1
harga RM 2 m + 1 dan sebungkus nasi
sebuah segi tiga bersudut tegak. 13 cm
Panjang sisi hipotenus ialah 13 cm. goreng pada harga RM(2m – 2). Dia menjual
Hitung panjang dua sisi lain bagi segi 12m bungkus nasi lemak dan (5m + 13) bungkus
tiga tersebut. nasi goreng pada minggu lepas. Bentukkan satu
A 30 cm rope is used to make a right-angled triangle. fungsi kuadratik bagi hasil jualan, J(m), yang
The length of hypotenuse is 13 cm. Calculate the
diperoleh Puan Hanim pada minggu lepas.
length of the other two sides of that triangle.
1
Katakan dua sisi lain bagi segi tiga itu ialah x Puan Hanim sells a pack of nasi lemak at RM 2 m + 1
dan y. and a pack of fried rice at RM(2m – 2). She sold 12m
packs of nasi lemak and (5m + 13) packs of fried rice
Let the other two sides of that triangle be x and y.
last week. Form a quadratic function for the total sales,
x + y + 13 = 30
J(m), obtained by Puan Hanim last week.
y = 30 − 13 − x
= 17 − x J(m) = 12m 1 m + 1 + (5m + 13)(2m – 2)
2
x2 + y2 = 132
x2 + (17− x)2 = 132 = 6m2 + 12m + 10m2 – 10m + 26m – 26
x2 + (289 − 34x + x2) = 169 = 16m2 + 28m – 26
2x2 − 34x + 289 − 169 = 0
2x2 − 34x + 120 = 0
(x − 12)(x − 5) = 0
x = 12 atau / or x = 5
Maka, panjang dua sisi tersebut ialah 12 cm dan
5 cm.
Thus, the lengths of the two sides are 12 cm and 5 cm.
(c) Rajah di sebelah menunjukkan sebuah papan iklan berbentuk segi (3p + 1) m
empat tepat di tepi sebuah lebuh raya. Kos mencetak iklan ialah 2m
RM(45p – 3) per m2.
The diagram shows a rectangular advertisement board at the side of a
highway. The printing cost is RM(45p – 3) per m2.
(i) Bentukkan satu fungsi kuadratik bagi kos, K(p), untuk
mencetak iklan papan tanda tersebut.
Form a quadratic function of the cost, K(p) to print an advertisement on
the board.
Luas papan iklan / Area of the advertisement board K(p) = (45p – 3)(6p + 2)
= 2(3p + 1) = 270p2 + 90p – 18p – 6
= (6p + 2) m2 = 270p2 + 72p – 6
(ii) Jika kos mencetak ialah RM1 250, bentukkan satu persamaan kuadratik bagi mewakili kos
mencetak iklan pada papan itu.
If the printing cost is RM1 250, form a quadratic equation to represent the printing cost of the advertisement on
the board.
K(p) = 1 250 Ungkapkan persamaan dalam
270p2 + 72p – 6 = 1 250 bentuk ax2 + bx + c = 0.
270p2 + 72p – 1 256 = 0 Express the equation in the form of
ax2 + bx + c = 0.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 6
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
10. Tandakan punca-punca bagi setiap graf fungsi kuadratik berikut dengan tanda ⊗. 1
Mark the roots of each of the following graphs of quadratic functions with sign ⊗.
CONTOH (a) (b)
f(x) f(x) 1 5 –4 –3 f(x) BAB 1
10 2 2 –2 –1 O
f(x) = x2 – x – 12 6 f(x) = – x2 + x + 3 x
–2 1
–4 –2 O x 4
–10
24
–20 2 x –4
–2 O f(x) = 0.78x2 + 2.74x – 1.6
–6
246
11. Tentukan sama ada nilai x yang diberikan adalah punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut. TP 3
Determine whether the given value for x is the root for each of the following quadratic equations.
CONTOH (a) x2 – x – 12 = 0; (x = –3) (b) 2y2 − 15y – 8 = 0; (y = 8)
x2 + x − 5 = 0; (x = 2) Apabila / When x = –3, Apabila / When y = 8,
Penyelesaian: Sebelah kiri = (–3)2 − (–3) − 12 Sebelah kiri = 2(8)2 − 15(8) − 8
Apabila / When x = 2,
Left side = 9 + 3 – 12 Left side = 128 − 120 – 8
Gantikan x = 2
Substitute x = 2 = 0 = sebelah kanan = 0 = sebelah kanan
Sebelah kiri = (2)2 + 2 − 5 right side right side
Left side = 4 + 2 – 5
Maka, −3 ialah punca bagi Maka, 8 ialah punca bagi
= 1 ≠ sebelah persamaan x2 – x – 12 = 0. persamaan 2y2 − 15y – 8 = 0.
kanan
right side Thus, –3 is the root of the equation Thus, 8 is the root of the equation
x2 – x − 12 = 0. 2y2 – 15y − 8 = 0.
Maka, 2 bukan punca bagi (c) 2g2 – 7g + 3 = 0; (g = 2) (d) 8h2 + 4h = 9; (h = –2)
persamaan x2 + x − 5 = 0.
Apabila / When g = 2, Apabila / When h = –2,
Thus, 2 is not the root of the equation
x2 + x − 5 = 0. Sebelah kiri = 2(2)2 − 7(2) + 3 Sebelah kiri = 8(–2)2 + 4(–2)
Left side = 8 – 14 + 3 Left side = 32 − 8
Punca persamaan kuadratik ialah nilai = –3 = 24
pemboleh ubah yang memuaskan ≠ sebelah kanan
persamaan kuadratik itu. right side ≠ sebelah kanan
Root of a quadratic equation is a value of the right side
variable that satisfies the quadratic equation.
Maka, 2 bukan punca bagi Maka, −2 bukan punca bagi
persamaan 2g2 – 7g + 3 = 0. persamaan 8h2 + 4h = 9.
Thus, 2 is not the root of the equation Thus, –2 is not the root of the
2g2 – 7g + 3 = 0. equation 8h2 + 4h = 9.
7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
12. Tentukan punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut menngunakan kaedah pemfaktoran. TP 3
Determine the roots of each of the following quadratic equations using factorisation method.
CONTOH
BAB 1 3x(x + 5) = –2(2x + 3) Sudut Kalkulator
Penyelesaian: Kembangkan. 3x 2 + 19x + 6 = 0
Expand. Tekan / Press:
3x(x + 5) = –2(2x + 3) MODE MODE MODE 1 2
3x2 + 15x = –4x – 6
a? 3 =
3x2 + 15x + 4x + 6 = 0 Ungkapkan persamaan dalam bentuk ax2 + bx + c = 0.
3x2 + 19x + 6 = 0 Express the equation in the form ax2 + bx + c = 0. b? 1 9 =
(3x + 1)(x + 6) = 0 c? 6 =
3x + 1 = 0 atau x + 6 = 0 (×) 3x +1 +x x1 = –0.333333333 ab/c –1 3
x +6 +18x (+) =
x = – 1 or x = –6 +6 +19x x2 = –6
3 3x2
(a) 2x2 – 18x = 0 (b) 5x2 – 3 = 1 (c) x(4x + 1) – 2 = 10 – 12x
14x
4x2 + x – 2 = 10 – 12x
2x(x – 9) = 0
5x2 – 3 = 14x 4x2 + x + 12x – 2 – 10 = 0
x = 0 atau x = 9
5x2 – 14x – 3 = 0 4x2 + 13x – 12 = 0
or
(x – 3)(5x + 1) = 0 (4x – 3)(x + 4) = 0
1 3
x = 3 atau x = – 5 x = 4 atau x = –4
or or
(d) x + 2 = –3x + 14 (e) 1 x(8x + 32) = –2(x + 6) (f) (x + 2)(3x – 1) = 6
x 4
2x2 + 8x = –2x – 12 3x2 – x + 6x – 2 – 6 = 0
x(x + 2) = –3x + 14
x2 + 2x = –3x + 14 2x2 + 8x + 2x + 12 = 0 3x2 + 5x – 8 = 0
x2 + 2x + 3x – 14 = 0
x2 + 5x – 14 = 0 2x2 + 10x + 12 = 0 (x – 1)(3x + 8) = 0 8
3
x2 + 5x + 6 = 0 x = 1 atau x = –
or
(x – 2)(x + 7) = 0 (x + 2)(x + 3) = 0
x = 2 atau x = –7 x = –2 atau x = –3
or or
13. Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut. Menyelesaikan persamaan kuadratik juga bermaksud
menentukan punca-punca persamaan itu.
Solve each of the following quadratic equations. TP 3 Solving quadratic equation also intends to determine the equation.
(a) – 2y2 = (y – 3) (b) 2y(y − 1) = −5y + 2 (c) (x2 – 2) –x= 5x
3 2
2y 2 = −3(y − 3) 2y 2 − 2y = −5y + 2
2y 2 + 3y – 2 = 0 2[(x 2 − 2) − x] = 5x
2y 2 = −3y + 9 (2y − 1)(y + 2) = 0
y = 12 atoaru y = −2 2x 2 – 4 − 2x = 5x
2y 2 + 3y − 9 = 0
2x 2 − 7x − 4 = 0
(2y − 3)(y + 3) = 0
y = 32 aotaru y = −3 (2x + 1)(x – 4) = 0
x = – 21
atau x = 4
or
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 8
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
14. Lakarkan graf bagi setiap fungsi kuadratik yang berikut. TP 3
Sketch a graph for each of the following quadratic functions.
CONTOH
f(x) = x2 + 4x – 5 Tandakan semua titik pintasan pada satah Cartes BAB 1
dan lukis satu parabola yang melalui semua titik itu.
Penyelesaian: Tentukan bentuk graf dengan
Nilai a = 1 0, graf berbentuk menggunakan nilai a. Mark all the intercepts on the Cartesan plane and
draw a parabola that passes through all the points.
Value of a = 1 . 0, shape of graph Determine the shape of graph
using the value of a. f(x)
Apabila / When f(x) = 0, Cari pintasan-x, apabila –5 O1 x
x2 + 4x – 5 = 0 f(x) = 0.
(x – 1)(x + 5) = 0
x = 1 atau x = –5 Find the x-intercept, when
f(x) = 0.
Apabila / When x = 0, Cari pintasan-y, jika 5
f(0) = 02 + 4(0) – 5 wujud, apabila x = 0.
= –5
Find the y-intercept, if
exist, when x = 0.
(a) f(x) = x2 – 9x + 14 f(x)
Nilai a = 1 0, graf berbentuk . 14 x
Value of a = 1 . 0, shape of graph O2 7
Apabila / When f(x) = 0, x
x2 – 9x + 14 = 0 x
(x – 2)(x – 7) = 0
x = 2 atau / or x = 7
Apabila / When x = 0,
f(0) = 02 + 9(0) + 14
= 14
(b) f(x) = x2 – 4x + 4 f(x)
Nilai a = 1 0, graf berbentuk . Mempunyai satu 4
Value of a = 1 . 0, shape of graph nilai punca.
Has one root. O2
Apabila / When f(x) = 0, f(x)
x2 – 4x + 4 = 0 O1
(x – 2)(x – 2) = 0
x = 2 atau / or x = 2
Apabila / When x = 0,
f(0) = 02 + 4(0) + 4
= 4
(c) f(x) = –x2 – 5
Nilai a = 1 , 0, graf berbentuk .
Value of a = 1 , 0, shape of graph
Apabila / When f(x) = 0, Apabila / When x = 1,
f(1) = –12 – 5
–x2 – 5 = 0 Graf tidak bersilang = –6 –5
–x2 = 5 pada paksi-x. –6
x2 = –5 Graph does not
intersect at x-axis.
Apabila / When x = 0,
f(0) = –(0)2 – 5 Titik maksimum bersilang pada paksi-y.
Maximum point intersect at y-axis.
= –5
9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
15. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga (b) Rajah di bawah menunjukkan dua buah bulatan,
BAB 1 bersudut tegak. TP 4 A dan B. Jika jumlah perimeter bulatan A dan B
The diagram below shows a right-angled triangle. ialah 440 cm, cari nilai j.
7
TP 4
(3k – 1) cm The diagram below shows two circles, A and B. If the
(k + 2) cm total perimeter of circle A dan B is 440 cm, find the value
7
of j.
(2k + 3) cm 3Guna / Use p = 22 4
Cari nilai k. 7
2j 2
Find the value of k. j
B
Menggunakan teorem Pythagoras A
Using the Pythagoras theorem
(2k + 3)2 + (k + 2)2 = (3k – 1)2 2π(2j2) + 2πj = 440
7
4k2 + 12k + 9 + k2 + 4k + 4 = 9k2 – 6k + 1 22 22 440
7 7 7
–4k2 + 22k + 12 = 0 4 j2 + 2 j – = 0
2k2 – 11k – 6 = 0 88j2 + 44j – 440 = 0
2j2 + j – 10 = 0
(2k + 1)(k – 6) = 0
(2j + 5)(j – 2) = 0
k = – 21 atoaru k = 6
j=– 5 atau j = 2
Jarak adalah sentiasa positif, maka k = 6 cm 2
Distance is always positive, thus k = 6 cm or
\ j . 0, j = 2 cm
(c) Rajah di sebelah menunjukkan harga buah anggur yang dijual di Kedai
Buah Segar. Puan Chen telah membeli (3n – 8) kg buah anggur di kedai
itu. TP 5
The diagram shows the price of grapes sold in Kedai Buah Segar. Madam Chen
has bought (3n – 8)kg grapes at the fruit stall.
(i) Bentukkan satu fungsi kuadratik yang mewakili jumlah bayaran,
W(n), buah anggur yang dibeli Puan Chen, dalam RM.
Form a quadratic function that represents the total payment, W(n), of grapes
bought by Madam Chen, in RM.
(ii) Hitung jumlah jisim, dalam kg, anggur yang dibeli Puan Chen jika dia membayar RM80.
Calculate the total mass, in kg, of grapes bought by Madam Chen if she paid RM80.
(i) W(n) = 5n(3n – 8)
= 15n2 – 40n
(ii) W(n) = 80
15n2 – 40n = 80
15n2 – 40n – 80 = 0
3n2 – 8n – 16 = 0
(n – 4)(3n + 4) = 0
n – 4 = 0 atau 3n + 4 = 0 4
or 3
n = 4 n = –
Apabila / When n = 4,
jumlah jisim anggur yang dibeli / the total mass of grapes bought
= 3n – 8
= 3(4) – 8
= 4 kg
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 10
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
(d) Rajah di bawah menunjukkan kedudukan dua (e) Seorang pengusaha sewa basikal mempunyai
penerjun, A dan B pada ketinggian berbeza. jumlah masa sewaan basikal sebanyak 180 jam
The diagram below shows the positions of two divers, A
setiap minggu apabila sebuah basikal dikenakan
and B on different height. TP 5 BUKAN BAB 1
RUTIN kadar sewa RM8 per jam. Pengusaha itu akan
B memperoleh pertambahan 12 jam bagi setiap
7.5 m
pengurangan kadar sewa sebanyak RM1. TP 6
A
5m An entrepreneur of rental bicycle has the total hours of
180 hours per week when a bicycle is rented for RM8
per hour. The entrepreneur will receive an additional of
12 hours for every decrease RM1 in rental rate.
(i) Bentukkan satu persamaan kuadratik bagi
jumlah sewaan mingguan, dalam RM, yang
diperoleh jika dia mengurangkan kadar
sewa.
Form a quadratic equation for the weekly total
rental, in RM, obtained if he reduces the rental rate.
(i) Berdasarkan graf tinggi-masa di bawah, Katakan x ialah pengurangan setiap RM1
bagi kadar sewa per jam dan S(x) ialah
tentukan graf yang manakah mewakili setiap jumlah sewaan mingguan.
penerjun itu? Kemudian, nyatakan nilai p Let x be the RM1 decrease in hourly rental rate and
dan nilai q. S(x) be the total weekly rental.
Based on the graphs of height-time below, Jumlah sewaan mingguan,
determine which graph reperesents each of the
divers? Then, state the value of p and of q. The total of weekly rental,
HTienigghgti,,hh(m(m) ) THienigghgti,,hh(m(m) ) = Kadar sewa per jam × Bilangan jam
Rental rate per hour × Number of hours
p q h(t) = –16t2 + q
h(t) = –16t2 + p = (8 – x) × (180 + 12x)
= 1 440 + 96x – 180x – 12x2
= –12x2 – 84x + 1 440
O TMimasea, t, t (s) O TMimasea, t, t (s)
(s) (s)
DPeivneer rjun B DPeivneer rjun A (ii) Jika pengusaha itu memperoleh jumlah
p = 7.5 q = 5 sewaan mingguan sebanyak RM1 224 selepas
mengurangkan kadar sewa, cari kadar sewa
sebuah basikal per jam pada minggu itu.
If the entrepreneur obtained the weekly total rental
of RM1 224 after reducing the rental rate, find the
(ii) Hitung masa yang diambil, dalam saat, oleh rental rate of a bicycle per hour in that week.
kedua-dua penerjun mencecah air.
Calculate the time taken, in second, by both divers S(x) = 1 224
to reach water.
–12x2 – 84x + 1 440 = 1 224
Persamaan bagi penerjun A: h = –16t2 + 5
Equation of diver A 12x2 + 84x – 216 = 0
–16t2 + 5 = 0 x2 + 7x – 18 = 0
t 2 = –5 (x – 2)(x + 9) = 0
–16
x – 2 = 0 atau x + 9 = 0
x = 2 or
t = 0.56 x = –9
Persamaan bagi penerjun B: h = –16t2 + 7.5 Pengurangan kadar sewa per jam = RM2
Equation of diver B
The decrease of rental rate per hour = RM2
–16t2 + 7.5 = 0
Maka, kadar sewa sebuah basikal per jam
t 2 = –7.5
–16 Thus, the rental rate of a bicycle per hour
t = 0.68 = RM8 – RM2
= RM6
11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah 1
PRAKTIS SPM
BAB 1 Kertas 1 Kertas 2
1. (m − n)2 − (m + n)(m − n) = 1. Isi padu sebuah tangki berbentuk silinder ialah
SPM A 2n2 + mn C 2(n2 – mn) SPM V = 700 m3. Luas tapak tangki tersebut ialah
2017 B –2n2 + mn D –2n2 – mn 2017 (4x – 5) m dan tingginya ialah 2x m. Hitung nilai
sebenar bagi tinggi tangki tersebut.
The volume of a cylindrical tank is V = 700 m3. The
2. 3(3x2 − 1) − (3x + 4)2 = width of the tank is (4x – 5) m and the height is 2x m.
SPM A 24x − 13 C −24x − 13 Calculate the actual value of the height of the tank.
2019 B −24x − 19 D 24x − 19
(4x − 5)(2x) = 700
3. Antara berikut, graf yang manakah mewakili 8x2 −10x − 700 = 0
4x2 − 5x − 350 = 0
perubahan graf bagi fungsi y = 3x2 kepada (x − 10)(4x + 35) = 0
y = 3x2 – 5x?
Which of the following represents the change of graph of
function y = 3x2 to y = 3x2 – 5x? 35
x = 10 atau / or x = − 4
A f(x) C f(x)
x > 0, x = 10
f(x) = 3x2 f(x) = 3x2 – 5x
Ox Maka, tinggi tangki
O x Thus, the height of the tank
f(x) = 3x2 – 5x
f(x) = 3x2 = 2(10) m
= 20 m
B f(x) D f(x)
f(x) = 3x2 f(x) = 3x2 – 5x 2. Harga sebuah buku ialah RM5x. Puan Chong
O x SPM membeli (2x – 15) buah buku itu dengan jumlah
f(x) = 3x2 2019 harga RM250. Hitung bilangan buku yang
Ox
f(x) = 3x2 – 5x dibelinya.
The price of a book is RM5x. Madam Chong bought
(2x – 15) books with a total price of RM250. Calculate
the number of books that she bought.
4. Rajah di bawah menunjukkan graf bagi dua fungsi (2x − 15)(5x) = 250
kuadratik. 10x2 −75x − 250 = 0
2x2 − 15x − 50 = 0
The diagram below shows the graphs of two quadratic (x − 10)(2x + 5) = 0
functions.
x = 10 atau / or x = − 5
f(x) 2
f(x) = ax2 + c
x > 0, x = 10
f(x) = –x2 + 1 x Jumlah buku yang dibeli
O Total number of books bought
Apakah nilai a dan c yang mungkin? = 2(10) − 15
What are the possible values of a and c?
= 20 − 15
=5
A a = – 1 , c = 2 C a = 1, c = 3
2
B a = –2, c = 2 D a = –1, c = 2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 12
Matematik Tingkatan 4 Bab 1 Fungsi dan Persamaan Kuadratik dalam Satu Pemboleh Ubah
3. Rajah di bawah menunjukkan empat bulatan 4. Diberi fungsi kuadratik f(x) = –2x2 – 7x + 4. BAB 1
SPM dalam sebuah segi empat tepat.
It is given a quadratic function f(x) = –2x2 – 7x + 4.
2018 The diagram below shows four circles in a rectangle.
(a) Hitung punca-punca bagi fungsi kuadratik itu.
(x + 20) cm
Calculate the roots of the quadratic function.
(b) Kemudian, lakarkan graf bagi fungsi itu.
Then, sketch the graph of the function.
(5x – 40) cm (a) –2x2 – 7x + 4 = 0
Diberi luas bagi segi empat tepat tersebut ialah 2x2 + 7x – 4 = 0
7.84 m2. Cari diameter, dalam cm, bagi satu
bulatan. (2x – 1)(x + 4) = 0
Given that the area of the rectangle is 7.84 m2. Find the 2x – 1 = 0 atau x + 4 = 0
diameter, in cm, of a circle. 1
x = 2 or x = –4
(5x – 40)(x + 20) = 78 400 (b) a = –2 0, maka graf berbentuk / thus shape
5x2 + 100x – 40x – 800 = 78 400 of graph .
5x2 + 60x – 800 – 78 400 = 0 Apabila / When x = 0,
5x2 + 60x – 79 200 = 0 f(0) = –2(0)2 –7(0) + 4
x2 + 12x – 15 840 = 0 = 4
(x – 120)(x + 132) = 0 f(x)
x = 120, x = –132 (tidak diterima)
(not accepted)
Maka, diameter bagi satu bulatan 4
Thus, the diameter of a circle
= x + 20 x
= 120 + 20 –4 O1
= 140 cm 2
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Rajah di bawah menunjukkan sebuah silinder dengan Jawapan / Answer:
diameter (5x – 1) cm. Diberi isi padu bagi silinder itu V = pj2t
ialah 2 156 cm3. Cari nilai x. 22 5x – 1
7 2
The diagram below shows a cylinder with a diameter of 2 156 = 2
(5x – 1) cm.Given the volume of the cylinder is 2 156 cm3.
(14)
Find the value of x. 2 156 = (5x – 1)2
22 44 22
( Guna/Use p = 7 )
25x2 – 10x + 1
49 = 4
196 = 25x2 – 10x + 1
25x2 – 10x – 195 = 0
5x2 – 2x – 39 = 0
14 cm (x – 3)(5x + 13) = 0
x – 3 = 0 atau 5x + 13 = 0 13
5
x = 3 or x = –
Maka / Thus, x = 3
Kuiz 1
13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB Asas Nombor
2 Number Bases
2.1 Asas Nombor
Number Bases
NOTA IMBASAN
1. Asas nombor adalah satu sistem nombor yang 4. Nilai digit bagi nombor dalam suatu asas adalah
pendaraban digit dengan nilai tempat yang mewakili
merangkumi digit 0 hingga 9. digit itu.
Digit value of a number in a base is the multiplication of the
Number base is a number system inclusive digit 0 until 9. digit and the place value represented by the digit.
aNombor
b Asas Contoh / Example:
Number Nilai digit bagi 3 dalam nombor 325
Base Digit value of 3 in number 325
= 3 × 51 = 15
Contoh / Example:
(a) 56 dibaca sebagai lima asas enam. 5. Nilai nombor bagi nombor dalam suatu asas adalah
56 is read as five base six. hasil tambah setiap nilai digit dalam nombor tersebut
(b) 2167 dibaca sebagai dua satu enam asas tujuh. dan ia juga adalah bersamaan dengan nilai nombor
2167 is read as two one six base seven. tersebut dalam asas sepuluh.
Number values of a number in a base is the sum of each digit
2. Digit-digit dalam asas: value in the number and it is equivalent to the number value
Digits in bases: in base ten.
Asas nombor / Number bases Digit / Digit
Asas 2 / Base 2 0, 1
Asas 3 / Base 3 0, 1, 2 Nilai nombor bagi 325 / Number values of 325
= 3 × 51 + 2 × 50 = 15 + 2 = 1710
Asas 4 / Base 4 0, 1, 2, 3
Asas 5 / Base 5 0, 1, 2, 3, 4 6. Kaedah menukar nombor daripada satu asas kepada
asas yang lain:
Asas 6 / Base 6 0, 1, 2, 3, 4, 5 Methods to convert number from one base to another:
Asas 7 / Base 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
Asas 8 / Base 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Asas p Asas 10 Asas q
Base p Base 10 Base q
Asas 9 / Base 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Asas 10 / Base 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Nilai nombor • Nilai tempat
Number values Place value
3. Nilai tempat bagi suatu asas ialah an dengan keadaan a • Nilai asas
ialah asas dan n ialah kuasa, n = 0, 1, 2, ... . Base value
Place value of a base is an where a is the base and n is the power,
n = 0, 1, 2, ... . Asas 2 Penukaran secara terus Asas 8
Base 2 Direct conversion Base 8
Contoh/ Example :
Asas nombor an Nilai tempat / Place value 7. Penambahan dan penolakan nombor dalam pelbagai
Number base a2 a1 a0
asas boleh dihitung menggunakan
Asas 2 / Base 2 2n 4 2 1
Addition and subtraction of numbers in various bases can be
Asas 3 / Base 3 3n 9 3 1 computed using
Asas 6 / Base 6 6n 36 6 1 • bentuk lazim / vertical form
• penukaran kepada asas 10
Asas 9 / Base 9 9n 81 9 1 conversion to base 10 NOTA
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 14
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
1. Nyatakan asas nombor bagi setiap nombor berikut. TP 1
State the number base of each of the following number.
CONTOH (a) 3034 (b) 245 (c) 11012
Asas / Base 4 Asas / Base 5 Asas / Base 2
P4e5n2y7elesaian:
Asas 7 / Base 7
(d) 37528 (e) 12203 (f) 852719 (g) 23156 BAB 2
Asas / Base 8 Asas / Base 3 Asas / Base 9 Asas / Base 6
2. Nyatakan nilai tempat bagi setiap digit dalam nombor berikut. TP 2
State the place value of each digit in the following numbers.
CONTOH (a) 101112
63417
Penyelesaian: Nombor 10111
Number
Nombor 6341 Nilai tempat 24 23 22 21 20
Number Place value
Nilai tempat 73 72 71 70
Place value
(b) 21123 2112 (c) 120334 12033
Nombor 33 32 31 30 Nombor 44 43 42 41 40
Number 102 Number 45452
52 51 50 64 63 62 61 60
Nilai tempat Nilai tempat
10203 457
Place value 74 73 72 71 70 Place value 82 81 80
(d) 1025 68425 (e) 454526 7832
Nombor 94 93 92 91 90 Nombor 103 102 101 100
Number Number
Nilai tempat Nilai tempat
Place value Place value
(f) 102037 (g) 4578
Nombor Nombor
Number Number
Nilai tempat Nilai tempat
Place value Place value
(h) 684259 (i) 783210
Nombor Nombor
Number Number
Nilai tempat Nilai tempat
Place value Place value
15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
3. Nyatakan nilai digit bagi digit yang bergaris. TP 2
State the value of the underlined digit.
CONTOH 80 Nilai tempat Nilai digit bagi digit yang bergaris 2 30426 61 60
1 3678 7 Place value = digit itu × nilai tempat bagi digit itu 4 2
The value of the underlined digit 63 62
82 81 = the digit × place value of the digit 30
36 3 × 63 = 648
BAB 2 6 × 81 = 48
Asas 2 / Base 2
(a) 11012 21 20 (b) 10112 (c) 1012 21 20 (d) 110102
23 22 0 1 23 22 21 20 22 0 1 24 23 22 21 20
11 1011 1 11010
1 × 22 = 4 1 × 21 = 2 1 × 20 = 1 0 × 22 = 0
Asas 3 / Base 3
(a) 2013 30 (b) 1123 (c) 10023 30 (d) 112013
32 31 1 32 31 30 33 32 31 2 34 33 32 31 30
20 11 2 100 11201
2 × 32 = 18 2 × 30 = 2 0 × 31 = 0 1 × 34 = 81
Asas 4 / Base 4
(a) 3124 40 (b) 1234 (c) 21034 40 (d) 210324 40
42 41 2 42 41 40 43 42 41 3 2
31 12 3 210 44 43 42 41
2103
3 × 42 = 48 3 × 40 = 3 1 × 42 = 16 2 × 44 = 512
Asas 5 / Base 5
(a) 1425 (b) 32145 (c) 24135 (d) 240325
52 51 50 54 53 52 51 50
142 53 52 51 50 53 52 51 50 24032
3
4 × 51 = 20 3214 241 2 × 50 = 2
3 × 53 = 375 4 × 52 = 100
Asas 6 / Base 6
(a) 1056 60 (b) 2536 (c) 31046 60 (d) 53426 60
62 61 5 62 61 4 63 62 61 2
10 25 60 63 62 61 534
3 310
1 × 62 = 36 5 × 61 = 30 2 × 60 = 2
1 × 62 = 36
Asas 7 / Base 7
(a) 5167 70 (b) 6327 70 (c) 46057 70 (d) 61247
72 71 6 72 71 2 73 72 71 5 73 72 71 70
51 63 460 6124
1 × 71 = 7 2 × 70 = 2 6 × 72 = 294 6 × 73 = 2 058
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 16
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
Asas 8 / Base 8
(a) 4428 (b) 61248 (c) 32458 (d) 604278
82 84 83 82 81
4 81 80 83 82 81 80 83 82 81 80 6042 80
4 2 5 7
6124 324 6 × 84 = 24 576
90
4 × 81 = 32 2 × 81 = 16 5 × 80 = 5 7
Asas 9 / Base 9
(a) 3789 (b) 4639 (c) 56279 (d) 61059 BAB 2
92 91 93 92 91
37 90 92 91 90 93 92 91 610 90
8 5
8 × 90 = 8 463 562 1 × 92 = 81
4 × 92 = 324 5 × 93 = 3 645
4. Nyatakan nilai nombor bagi setiap asas nombor berikut. TP 3 Tip
State the number values of each of the following number bases. Mencari nilai nombor adalah sama
seperti menukar nombor pelbagai
CONTOH 4 31 asas kepada asas 10.
4318 Finding number values are the same as
Penyelesaian: 82 81 80 converting number from various bases to
Nombor / Number base 10.
Nilai tempat / Place value 4 × 82 = 256 3 × 81 = 24 1 × 80 = 1
Nilai digit / Digit value (4 × 82) + (3 × 81) + (1 × 80) Nilai nombor adalah hasil tambah nilai digit
Nilai nombor = 256 + 24 + 1 = 281 nombor tersebut.
Number values are the sum of digit values
Number values of the number.
(a) 11012 1101 (b) 12213 1221
Nombor Nombor
23 22 21 20 33 32 31 30
Number Number
1 × 23 1 × 22 0 × 21 1 × 20 1 × 33 2 × 32 2 × 31 1 × 30
Nilai tempat =8 =4 =0 =1 Nilai tempat = 27 = 18 = 6 = 1
(1 × 23) + (1 × 22) + (0 × 21) (1 × 33) + (2 × 32) + (2 × 31)
Place value + (1 × 20) Place value + (1 × 30)
= 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 = 27 + 18 + 6 + 1 = 5210
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value
Nilai nombor Nilai nombor
Number values Number values
(c) 3214 3 2 1 (d) 34345 3434
Nombor Nombor
42 41 40 53 52 51 50
Number 3 × 42 2 × 41 1 × 40 Number
= 48 =8 =1 3 × 53 4 × 52 3 × 51 4 × 50
Nilai tempat Nilai tempat = 375 = 100 = 15 = 4
(3 × 53) + (4 × 52) + (3 × 51)
Place value Place value + (4 × 50)
= 375 + 100 + 15 + 4 = 49410
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value
Nilai nombor (3 × 42) + (2 × 41) + (1 × 40) Nilai nombor
Number values = 48 + 8 + 1 = 5710
Number values
17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
(e) 43026 4302 (f) 5347 5 3 4
Nombor Nombor
63 62 61 60 72 71 70
Number Number 5 × 72 3 × 71 4 × 70
4 × 63 3 × 62 0 × 61 2 × 60 = 245 = 21 =4
Nilai tempat = 864 = 108 = 0 = 2 Nilai tempat
(4 × 63) + (3 × 62) + (0 × 61)
Place value + (2 × 60) Place value
= 864 + 108 + 0 + 2 = 97410
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value
BAB 2 Nilai nombor Nilai nombor (5 × 72) + (3 × 71) + (4 × 70)
Number values = 245 + 21 + 4 = 27010
Number values
(g) 778 7 7 (h) 51769 5176
Nombor 81 80 Nombor
7 × 81 = 56 7 × 80 = 7 93 92 91 90
Number Number
5 × 93 1 × 92 7 × 91 6 × 90
Nilai tempat Nilai tempat = 3 645 = 81 = 63 = 6
(5 × 93) + (1 × 92) + (7 × 91)
Place value Place value + (6 × 90)
= 3 645 + 81 + 63 + 6 = 3 79510
Nilai digit Nilai digit
Digit value Digit value
Nilai nombor (7 × 81) + (7 × 80) Nilai nombor
Number values = 56 + 7 = 6310
Number values
5. Tukarkan setiap nombor dalam asas sepuluh berikut kepada asas yang dinyatakan dalam kurungan
menggunakan kaedah pembahagian nombor dengan nilai tempat. TP 3
Convert each of the following numbers in base ten to the stated base in brackets by using the method of division of number
with place value.
CONTOH 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1 Hasil bahagi.
1910 (Asas 4 / Base 4) 19 , 64 The quotient.
Penyelesaian: 19 . 16 3,4 3.1
1 0 3 Maka,/ Thus,
Nilai tempat / Place value 1910 = 1034
Pembahagian 16 19 13
– 16 –3 Letak nilai 0 apabila nilai yang dibawa
Division adalah kurang daripada nilai tempat.
3 0 Put the value of 0 when the brought
value is less than the place value.
(a) 4810 (Asas 5 / Base 5)
Nilai tempat 53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1 Maka / Thus,
4810 = 1435
Place value 48 . 25 23 . 5 3.1
1 4 3
Pembahagian 48 , 125
25 48 5 23 13
Division – 25 – 20 –3
23 3 0
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 18
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
(b) 25610 (Asas 7 / Base 7)
Nilai tempat 73 = 343 72 = 49 71 = 7 70 = 1 Maka / Thus,
25610 = 5147
Place value 256 . 49 11 . 5 4.1
5 1 4
Pembahagian 256 , 343
49 256 7 11 14
Division – 245 –7 –4
11 4 0 BAB 2
(c) 70310 (Asas 8 / Base 8)
Nilai tempat 84 = 4 096 83 = 512 82 = 64 81 = 8 80 = 1 Maka / Thus,
94110 = 12778
Place value 703 . 512 191 . 64 63 . 8 7.1
1 2 7 7
Pembahagian 703 , 4 096
512 703 64 191 8 63 17
Division – 512 – 128 – 56 –7
191
63 7 0
(d) 94110 (Asas 9 / Base 9)
Nilai tempat 94 = 6 561 93 = 729 92 = 81 91 = 9 90 = 1 Maka / Thus,
94110 = 12559
Place value 941 . 729 212 . 81 50 . 9 5.1
1 2 5 5
Pembahagian 941 , 6 561
729 941 81 212 9 50 15
Division – 729 – 162 – 45 –5
212
50 5 0
6. Tukarkan setiap nombor dalam asas sepuluh berikut kepada asas yang dinyatakan dalam kurungan
menggunakan kaedah pembahagian nombor mengikut nilai asas. TP 3
Convert each of the following numbers in base ten to the stated base in brackets by using the method of division of number
according to base value.
CONTOH (a) 3010 (Asas 2 / Base 2)
1 1510 (Asas 2 / Base 2) 2 15 Nombor dalam asas dua = 111102 2 30 –0
2 7 –1 diperoleh dengan menulis 2 15 –1
= 11112 2 3 –1 baki dari bawah ke atas. –1
2 1 –1 Number in base two is 27 –1
obtained by writing the –1
0 –1 remainder from bottom 23
to top. –0
21 –0
–2
0
2 1210 (Asas 3 / Base 3) (b) 2210 (Asas 3 / Base 3) (c) 1810 (Asas 3 / Base 3)
= 1103 3 12 = 2113 3 22 = 2003 3 18
37 36
34 –0 –1
–1 –1
31 –1 32 –2 32
0 0 0
19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor (d) 4310 (Asas 4 / Base 4) (e) 12010 (Asas 4 / Base 4)
3 3210 (Asas 4 / Base 4) = 2234 4 43 = 13204 4 120
= 2004 4 32 4 10 – 3 4 30 – 0
4 8 –0
4 2 –0 4 2 –2 4 7 –2
0 –2
0 –2 4 1 –3
0 –1
BAB 2 4 16710 (Asas 5 / Base 5) (f) 3310 (Asas 5 / Base 5) (g) 35010 (Asas 5 / Base 5)
= 11325 5 167 = 1135 5 33 = 24005 5 350
5 33 – 2
5 6 –3 5 6 –3 5 70 –0
5 1 –1 –0
0 –1 5 1 –1 5 14 –4
–2
5 7110 (Asas 6 / Base 6) 0 –1 52
= 1556 6 71 0
6 11 – 5
6 1 –5 (h) 4610 (Asas 6 / Base 6) (i) 56710 (Asas 6 / Base 6)
0 –1
= 1146 6 46 = 23436 6 567
6 7 –4 6 94 – 3
6 1 –1 6 15 – 4
0 –1 6 2 –3
0 –2
6 14410 (Asas 7 / Base 7) (j) 48710 (Asas 7 / Base 7) (k) 9510 (Asas 7 / Base 7)
= 12647 7 487
= 2647 7 144 = 1647 7 95
7 20 – 4 7 69 – 4
7 2 –6 7 9 –6 7 13 –4
0 –2 7 1 –2 –6
71 –1
7 7910 (Asas 8 / Base 8) 0 –1
0
= 1178 8 79
8 9 –7 (l) 41310 (Asas 8 / Base 8) (m) 245310 (Asas 8 / Base 8)
8 1 –1
0 –1 = 6358 8 413 = 46258 8 2453
8 51 – 5 8 306 – 5
8 6 –3 8 38 – 2
0 –6 8 4 –6
0 –4
8 99910 (Asas 9 / Base 9) (n) 80010 (Asas 9 / Base 9) (o) 317910 (Asas 9 / Base 9)
= 10789 9 800
= 13309 9 999 = 43229 9 3179
9 111 – 0 9 88 – 8
9 12 – 3 9 9 –7 9 353 – 2
9 1 –3 9 1 –0
0 –1 9 39 – 2
0 –1
9 4 –3
0 –4
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 20
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
7. Tukarkan setiap nombor berikut kepada asas yang dinyatakan dalam kurungan. TP 3
Convert each of the following numbers to the stated base in the brackets.
CONTOH Tip
22013 (Asas 5 / Base 5) Asas m → Asas 10 → Asas n
Penyelesaian: Base m → Base 10 → Base n
Nilai digit 2 × 33 2 × 32 0 × 31 1 × 30 Tukar nombor 5 73 BAB 2
= 54 = 18 =0 =1 5 14 – 3
Digit value kepada asas 10. 5
Convert the 2 –4
Nilai nombor dalam asas 10 54 + 18 + 0 + 1 0 –2
Number values in base 10 number to base
= 7310 10.
Maka, / Thus, Tukar nombor dalam asas 10 tersebut kepada
22013 = 7310 = 2435
asas 5.
Convert the number in base 10 to base 5.
(a) 13234 (Asas 7 / Base 7) 7 123
7 17
Nilai digit 1 × 43 3 × 42 2 × 41 3 × 40 72 –4
= 64 = 48 =8 =3 –3
Digit value 0 –2
1 × 60
Nilai nombor dalam asas 10 64 + 48 + 8 + 3 =1
Number values in base 10
= 12310 6 × 70
=6
Maka / Thus, 13234 = 12310 = 2347
(b) 53116 (Asas 9 / Base 9) 5 × 63 3 × 62 1 × 61 9 1195
Nilai digit = 1 080 = 108 = 6 9 132 – 7
9 14 – 6
Digit value 9 1 –5
Nilai nombor dalam asas 10 1 080 + 108 + 6 + 1 0 –1
Number values in base 10
= 119510 3 692
3 230 – 2
Maka / Thus, 53116 = 119510 = 15679 3 76 – 2
3 25 – 1
(c) 20067 (Asas 3 / Base 3) 3 8 –1
3 2 –2
Nilai digit 2 × 73 0 × 72 0 × 71
= 686 = 0 =0 0 –2
Digit value
8 565
Nilai nombor dalam asas 10 686 + 0 + 0 + 6 8 70 – 5
Number values in base 10 8 8 –6
= 69210 8 1 –0
Maka / Thus, 20067 = 69210 = 2211223 0 –1
(d) 6879 (Asas 8 / Base 8)
Nilai digit 6 × 92 8 × 91 7 × 90
= 486 = 72 =7
Digit value
Nilai nombor dalam asas 10 486 + 72 + 7
Number values in base 10
= 56510
Maka / Thus, 6879 = 56510 = 10658
21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
8. Tukarkan setiap nombor asas dua yang berikut kepada nombor asas lapan. TP 3
Convert each of the following numbers in base two to a number in base eight.
CONTOH Satu digit dalam asas dua adalah
110102 setara dengan tiga digit dalam
Penyelesaian: asas lapan.
Kaedah 1: Asas 2 → Asas 10 → Asas 8 / Method 1: Base 2 → Base 10 → Base 8 One digit in base two is equivalent to
three digits in base eight.
BAB 2 Nilai digit 1 × 24 1 × 23 0 × 22 1 × 21 0 × 20
= 16 =8 =0 =2 =0 8 26
Digit value 8 3 –2
16 + 8 + 0 + 2 + 0
Nilai nombor (asas 10) = 2610 0 –3
Number values (base 10)
∴ 110102 = 2610 = 328
Kaedah 2: Asas 2 → Asas 8 / Method 2: Base 2 → Base 8
Nombor asas 2 Asingkan nombor asas 2 kepada kumpulan tiga digit
Number in base 2 011 010 bermula dari kanan ke kiri.
Sort out the number in base 2 to group of three digits
Nilai tempat / Place value 22 21 20 22 21 20
020 starts from the right to the left.
0+2+0 110102 = 011 0102
Nilai digit / Digit value 021 = 2 Hitung hasil tambah nilai digit setiap kumpulan tersebut.
Calculate the sum of digit values of each group.
Nilai digit (asas 10) 0+2+1 Gabungkan nombor yang diperoleh dalam sebagai
= 3
Digit values (base 10) nombor dalam asas 8.
Combine the numbers obtained in as a number in
base 8.
∴ 110102 = 328
(a) 11102 (b) 100012
Nombor asas 2 001 110 Nombor asas 2 010 001
Number in base 2 22 21 20 Number in base 2 22 21 20
Nilai tempat 22 21 20 420 Nilai tempat 22 21 20 001
4+2+0 0+0+1
Place value =6 Place value =1
Nilai digit 001 Nilai digit 020
Digit value Digit value
Nilai digit (asas 10) 0 + 0 + 1 Nilai digit (asas 10) 0 + 2 + 0
Digit values (base 10) = 1 Digit values (base 10) = 2
∴ 11102 = 168 ∴ 100012 = 218
(c) 110112 (d) 1100112
Nombor asas 2 011 011 Nombor asas 2 110 011
Number in base 2 22 21 20 Number in base 2 22 21 20
Nilai tempat 22 21 20 021 Nilai tempat 22 21 20 021
0+2+1 0+2+1
Place value =3 Place value =3
Nilai digit 021 Nilai digit 420
Digit value Digit value
Nilai digit (asas 10) 0 + 2 + 1 Nilai digit (asas 10) 4 + 2 + 0
Digit values (base 10) = 3 Digit values (base 10) = 6
∴ 110112 = 338 ∴ 1100112 = 638
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 22
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
9. Tukarkan setiap nombor asas dua yang berikut kepada nombor asas lapan. TP 3
Convert each of the following numbers in base two to a number in base eight.
CONTOH Asas 2 Asas 8 (a) 11002 001 100 2
= 148
Base 2 Base 8 (b) 111012
= 358 1 48
101110112 0002 08 (c) 1001112
Penyelesaian: 0012 18 = 478
0102 28
Kaedah: Penukaran secara terus 0112 38 011 101 2 BAB 2
1002 48
Method: Direct conversion 1012 58
1102 68 3 58
Abaikan 0 di depan. 1112 78
010 111 011 2 Neglect 0 in front. 100 111 2
2 7 38 Rujuk kepada jadual.
= 2738 Refer to the table.
4 78
(d) 1110112 111 011 2 (e) 1100000102 110 000 010 2 (f) 11010102 001 101 010 2
= 738 = 6028 6 0 28 = 1528 1 5 28
7 38
10. Tukarkan setiap nombor asas lapan yang berikut kepada nombor asas dua. TP 3
Convert each of the following numbers in base eight to a number in base two.
CONTOH 2 88
1308 2 44 – 0
Penyelesaian: 2 22 – 0
Kaedah 1: Asas 8 → Asas 10 → Asas 2 / Method 1: Base 8 → Base 10 → Base 2 2 11 – 0
2 5 –1
Nilai digit 1 × 82 3 × 81 0 × 80 2 2 –1
= 64 = 24 =0 2 1 –0
Digit value
64 + 24 + 0 0 –1
Nilai nombor (asas 10) = 8810
Number values (base 10)
∴ 1308 = 8810 = 10110002
Kaedah 2: Asas 8 → Asas 2 / Method 2: Base 8 → Base 2
Nombor asas 8 1 3 0
Number in base 8 22 21 20 22 21 20 22 21 20
Nilai tempat (asas 2) 0 × 22 0 × 21 1 × 20 0 × 22 1 × 21 1 × 20 0 × 22 0 × 21 0 × 20
=0 =0 =1 =0 =2 =1 =0 =0 =0
Place value (base 2)
0+0+1=1 0+2+1=3 0+0+0=0
Nilai nombor (asas 10)
001 011 000
Digit value (base 10)
Digit dalam asas 2
Digit in base 2
∴ 1308 = 10110002
23 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
BAB 2 (a) 5268 5 2 6
Nombor asas 8 22 21 20 22 21 20 22 21 20
1 × 22 0 × 21 1 × 20 0 × 22 1 × 21 0 × 20 1 × 22 1 × 21 0 × 20
Number in base 8 =4 =0 =1 =0 =2 =0 =4 =2 =0
Nilai tempat (asas 2) 4+0+1=5 0+2+0=2 4+2+0=6
101 010 110
Place value (base 2)
7 3 4
Nilai nombor (asas 10) 22 21 20 22 21 20 22 21 20
1 × 22 1 × 21 1 × 20 0 × 22 1 × 21 1 × 20 1 × 22 0 × 21 0 × 20
Digit value (base 10) =4 =2 =1 =0 =2 =1 =4 =0 =0
Digit dalam asas 2 4+2+1=7 0+2+1=3 4+0+0=4
111 011 100
Digit in base 2
∴ 5268 = 1010101102
(b) 7348
Nombor asas 8
Number in base 8
Nilai tempat (asas 2)
Place value (base 2)
Nilai nombor (asas 10)
Digit value (base 10)
Digit dalam asas 2
Digit in base 2
∴ 7348 = 1110111002
11. Tukarkan setiap nombor asas lapan yang berikut kepada nombor asas dua. 3
Convert each of the following numbers in base eight to a number in base two.
CONTOH (a) 168
= 11102
2168 Asas 8 Asas 2 (b) 328 1 68
Penyelesaian: = 110102 001 1102
Base 8 Base 2 (c) 558
Kaedah: Penukaran secara terus = 1011012 3 28
08 0002 011 0102
Method: Direct conversion 18 0012
28 0102 5 58
2 1 6 8 Rujuk kepada jadual. 38 0112 101 1012
010 001 1102 Refer to the table. 48 1002
58 1012 2 4 28
= 100011102 Abaikan 0 di depan. 68 1102 010 100 0102
Neglect 0 in front. 78 1112
(d) 748 7 48 (e) 1018 1 0 18 (f) 2428
= 1111002 111 1002 = 10000012 001 000 0012 = 101000102
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 24
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
12. Hitung setiap operasi tambah berikut. TP 3
Calculate each of the following addition.
CONTOH 2 4547 + 3657
1 1223 + 213 2+1=3→3>3 Penyelesaian: 4+5=9→9>7
Maka, tolak 3. / Thus, minus 3. Maka, tolak 7. / Thus, minus 7.
Penyelesaian: ∴3–3=0 ∴9–7=2
Bawa 1 ke nilai tempat seterusnya.
11 Bring 1 to the next place value. 111 Bawa 1 ke nilai tempat seterusnya.
Bring 1 to the next place value.
1 2 23 1+2+2=5→5>3 4 5 47
+ 2 13 Maka, tolak 3. / Thus, minus 3. + 3 6 57 BAB 2
∴5–3=2
2 2 03 Bawa 1 ke nilai tempat seterusnya. 1 1 5 27 1 + 5 + 6 = 12 → 12 > 7
Bring 1 to the next place value. Maka, tolak 7. / Thus, minus 7.
1+1=2→2,3 1+4+3=8→8>7
Maka, tolak 7. / Thus, minus 7. ∴ 12 – 7 = 5
∴8–7=1 Bawa 1 ke nilai tempat
seterusnya.
Bawa 1 ke nilai tempat seterusnya. Bring 1 to the next place value.
Bring 1 to the next place value.
1223 + 213 = 2203 4547 + 3657 = 11527
Asas 2 / Base 2
(a) 1012 + 1002 (b) 11012 + 1102 (c) 10012 + 112 (d) 11012 + 10012
= 10012 = 100112 = 11002 = 101102
1 11 11 11
1 0 12 1 1 0 12 1 0 0 12 1 1 0 12
+ 1 0 02 + 1 1 02 + 1 12 + 1 0 0 12
1 0 0 12 1 0 0 1 12 1 1 0 02 1 0 1 1 02
Asas 3 / Base 3
(a) 2013 + 2123 (b) 10213 + 1023 (c) 12213 + 103 (d) 22103 + 21023
= 11203 = 12003 = 20013 = 120123
11 11 11 11
2 0 13 1 0 2 13 1 2 2 13 2 2 1 03
+ 2 1 23 + 1 0 23 + 1 03 + 2 1 0 23
1 1 2 03 1 2 0 03 2 0 0 13 1 2 0 1 23
Asas 4 / Base 4
(a) 2034 + 1124 (b) 13014 + 2104 (c) 20034 + 134 (d) 30124 + 10204
= 3214 = 21114 = 20224 = 100324
1 1 1 1
2 0 34 1 3 0 14 2 0 0 34 3 0 1 24
+ 1 1 24 + 2 1 04 + 1 34 + 1 0 2 04
1 0 0 3 24
3 2 14 2 1 1 14 2 0 2 24
Asas 5 / Base 5
(a) 3405 + 1325 (b) 21045 + 3205 (c) 12435 + 345 (d) 41405 + 13425
= 10225 = 24245 = 13325 = 110325
11 2 1 0 45 11 111
+ 3 2 05
3 4 05 1 2 4 35 4 1 4 05
+ 1 3 25 2 4 2 45 + 3 45 + 1 3 4 25
1 1 0 3 25
1 0 2 25 1 3 3 25
25 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
Asas 6 / Base 6
(a) 2416 + 1356 (b) 14506 + 246 (c) 32056 + 1436 (d) 41326 + 25546
= 4206 = 15146 = 33526 = 111306
11 1 1 1 1111
2 4 1566 4 5 4066 3 2 0 3566 4 1 3 2466
+ 1 3 2 1 4 2 5 5
+ + +
4 2 06 1 5 1 46 3 3 5 26 1 1 1 3 06
BAB 2 Asas 7 / Base 7
(a) 4157 + 637 (b) 3617 + 2427 (c) 24537 + 1667 (d) 52037 + 45417
= 5117 = 6337 = 26527 = 130447
11 1 11 11
4 1 5377 3 6 2177 2 4 5 3677 5 2 0 3177
6 2 4 1 6 4 5 4
+ + + +
5 1 17 6 3 37 2 6 5 27 1 3 0 4 47
Asas 8 / Base 8
(a) 4518 + 1068 (b) 51768 + 3518 (c) 61258 + 178 (d) 34718 + 16368
= 5578 = 55478 = 61448 = 53278
+ 4 5 6188 1 1 11
1 0
5 1 7 68 6 1 2 58 3 4 7 18
5 5 78 + 3 5 18 + 1 78 + 1 6 3 68
5 5 4 78 6 1 4 48 5 3 2 78
Asas 9 / Base 9
(a) 6289 + 2319 (b) 41079 + 5289 (c) 53709 + 4139 (d) 87359 + 20869
= 8609 = 46369 = 57839 = 118329
1 1 3 1 11 5699
6 2 8199 4 1 0 7899 5 4 7 3099 8 7 3
2 3 5 2 1 2 0 8
+ + + +
8 6 09 4 6 3 69 5 7 8 39 1 1 8 3 29
13. Hitung setiap operasi tambah berikut. TP 3
Calculate each of the following addition.
CONTOH (a) 1324 + 1024
43015 + 2435
Penyelesaian: Tukar hasil tambah 1324 → 3 010
kepada asas 5 semula. 1024 → +1 810
Tukar asas 5 kepada asas 10. 810
Lakukan penambahan dalam asas 10. Convert the sum to 4
base 5 back.
Convert base 5 to base 10. Perform
addition in base 10.
43015 → 1 5 649 4 48
2435 → 5 129 – 4 4 12 – 0
5 7 610 5 25 – 4 4 3 –0
+ 7 310 5 5 –0
5 1 –0 0 –3
6 4 910
0 –1 1324 + 1024 = 3004
∴ 43015 + 2435 = 100445
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 26
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
(b) 16047 + 3527 (c) 17459 + 8179
1 111
17459 → 1 3 3 710
16047 → 6 4 110 8179 → + 6 6 410
3527 → + 1 8 410
8 2 510 2 0 0 110
7 825 9 2001 –3 BAB 2
7 117 – 6 9 222 –6
7 16 – 5 9 24 –6
7 2 –2 92 –2
0 –2 0
16047 + 3527 = 22567 17459 + 8179 = 26639
14. Hitung setiap operasi tolak berikut. TP 3
Calculate each of the following subtraction.
CONTOH
1 10012 – 1012 Pemindahan dalam asas 2. 2 8149 – 3569 Pemindahan dalam asas 9.
Transfer in base 2. Transfer in base 9.
Penyelesaian: Penyelesaian:
12 – 12 = 02 49 , 69
02 02 – 02 = 02 9 Gunakan nilai tempat seterusnya
7 09 dalam asas 9.
1 0 0 12 Use the next place value in base 9.
– 1 0 12 8 1 49 ∴ 99 + 49 – 69 = 79
– 3 5 69
1 0 02
4 4 79
02 , 12 79 – 39 09 , 59
Gunakan nilai tempat seterusnya dalam asas 2. = 49 Gunakan nilai tempat seterusnya dalam asas 9.
Use the next place value in base 2. Use the next place value in base 9.
∴ 22 – 12 = 12 ∴ 99 + 09 – 59 = 49
∴ 10012 – 1012 = 1002 ∴ 8149 – 3569 = 4479
Asas 2 / Base 2
(a) 1002 – 102 (b) 11112 – 1002 (c) 100012 – 10012 (d) 111012 – 10112
= 102 = 10112 = 10002 = 100102
02 1 1 1 12 02 02
1 0 0022 – 1 0 02 1 0 0 0 1122 1 1 1 0 1122
1 1 0 1 12 1 0 0 1 0 1
– – –
1 02 1 0 0 02 1 0 0 1 02
Asas 3 / Base 3
(a) 2203 – 1013 (b) 11023 – 2123 (c) 20123 – 10013 (d) 122013 – 20103
= 1123 = 1203 = 10113 = 101213
13 3 2 0 1 23 13
2 2 1033 003 – 1 0 0 13
1 0 11 0 2233 1 2 2 0 0133
– 2 1 1 0 1 13 2 0 1
– –
1 1 23 1 2 03 1 0 1 2 13
27 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
Asas 4 / Base 4
(a) 2134 – 1204 (b) 13304 – 2324 (c) 22134 – 10324 (d) 31024 – 22304
= 334 = 10324 = 11214 = 2124
14 4 14 4
2 1 0344 2 24 2 2 1 2344 204
1 2 1 3 3 2044 1 0 3 3 1 0 0244
– 2 3 – 2 2 3
– –
3 34 1 0 3 24 1 1 2 14 2 1 24
BAB 2 Asas 5 / Base 5
(a) 2345 – 1205 (b) 12045 – 3025 (c) 21445 – 4235 (d) 40235 – 14335
= 1145 = 4025 = 12215 = 20405
2 3 0455 05 15 4
1 2 1 2 0 2455 2 1 4 3455 355
3 0 4 2 4 0 2 3355
– – – – 1 4 3
1 1 45 4 0 25 1 2 2 15 2 0 4 05
(a) 4036 – 1526 (b) 13246 – 3456 Asas 6 / Base 6 (d) 401236 – 53456
= 2116 = 5356 (c) 245046 – 12016 = 303346
= 233036
36 66 566
4 0 2366 0 2 16 2 4 5 0 46 3 6 0 16
1 5 1 3 2 5466 – 1 2 0 16 4 0 1 2 3566
– 3 4 5 3 4
– 2 3 3 0 36 –
2 1 16 5 3 56 3 0 3 3 46
Asas 7 / Base 7
(a) 6407 – 1257 (b) 15447 – 6137 (c) 30427 – 21067 (d) 62537 – 35167
= 5127 = 6317 = 6337 = 24347
37 07 2737 5 7 47
6 4 5077 1 5 4 3477 3 0 4 6277 6 2 5 6377
1 2 6 1 2 1 0 3 5 1
– – – –
5 1 27 6 3 17 6 3 37 2 4 3 47
Asas 8 / Base 8
(a) 5278 – 1608 (b) 24618 – 3758 (c) 33748 – 12568 (d) 75068 – 43158
= 3478 = 20648 = 21168 = 31718
48 8 68 48
5 2 0788 358 3 3 7 6488 7 5 0 5688
1 6 2 4 6 5188 1 2 5 4 3 1
– 3 7 – –
–
3 4 78 2 0 6 48 2 1 1 68 3 1 7 18
Asas 9 / Base 9
(a) 6289 – 2319 (b) 15639 – 4279 (c) 42259 – 17379 (d) 85549 – 21639
= 3879 = 11359 = 23779 = 63819
59 59 99 49
6 2 1899 1 5 6 7399 3119
2 3 4 2 4 2 2 7599 8 5 5 3499
– – – 1 7 3 – 2 1 6
3 8 79 1 1 3 59 2 3 7 79 6 3 8 19
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 28
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
15. Hitung setiap operasi tolak berikut. TP 3
Calculate each of the following subtraction.
CONTOH (a) 4035 – 2145
2013 – 1103
Penyelesaian: 4035 → 0 9
10 10
Tukar asas 3 kepada asas 10. 1
Lakukan penolakan dalam asas 10. 0 310
Tukar hasil tolak 2145 → – 5 910
Convert base 3 to base 10. Perform kepada asas 3 semula. 4 410
subtraction in base 10. BAB 2
Convert the difference
to base 3.
2013 → 1 910 37 5 44
1103 → – 1 210 3 2 –1 5 8 –4
5 1 –3
710 0 –2
0 –1
∴ 2013 – 1103 = 213 4035 – 2145 = 1345
(b) 35426 – 1256 (c) 67108 – 2348
35426 → 8 5 410 67108 → 3 54 120 810
1256 → – 5 310
8 0 110 2348 → – 1 5 610
3 3 7 210
6 801 8 3372 –4
6 133 – 3 8 421 –5
6 22 – 1 8 52 –4
6 3 –4 86 –6
0 –3 0
35426 – 1256 = 34136 67108 – 2348 = 64548
(d) 53617 – 4247 (e) 3224 – 1034
53617 → 1 98 100 510 3224 → 54 810
10
4247 → – 2 1 410 1034 → – 1
910
1 6 9 110 3 910
7 1691 4 39
7 241 – 4 4 9 –3
7 34 – 3 4 2 –1
7 4 –6
0 –2
0 –4
3224 – 1034 = 2134
53617 – 4247 = 46347
29 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
16. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Bilangan pelanggan yang makan di sebuah restoran pada suatu minggu ialah 31246 orang. Berapakah
purata bilangan pelanggan yang makan di restoran tersebut pada minggu itu jika restoran dibuka pada
setiap hari. Berikan jawapan anda dalam asas enam. TP 4
The number of customers who had their meal in a restaurant in a week was 31246. What is the average of the number
of customers who had their meal in the restaurant in the week if the restaurant was opened daily. Give your answer
in base six.
BAB 2 Nilai digit / Digit value 3 × 63 1 × 62 2 × 61 4 × 60
= 648 = 36 = 12 =4
Nilai nombor dalam asas 10 / Number values in base 10 648 + 36 + 12 + 4
= 70010
Purata bilangan pelanggan / Average number of customers
= 7 700 6 100
hari / days 6 16
62 –4
= 100 orang / customers –4
0 –2
= 2446 orang / customers
(b) Rayensh ingin meletakkan kata laluan pada telefon pintar miliknya menggunakan kod 4 digit. Dia
ingin menggunakan tarikh hari perkahwinannya, iaitu 311213 sebagai kata laluan tersebut. Dengan
menganggap tarikh tersebut sebagai nombor dalam asas empat dan menggunakan nombor 0 hingga 9,
bantu Rayensh mencipta kata laluan tersebut. TP 5
Rayensh wants to put a password on his smartphone using 4 digits code. He wants to use his wedding date, which
is 311213 as the password. By assuming the date as a number in base four and using numbers 0 to 9, help Rayensh
to create the password.
Nombor 0 hingga 9 bermaksud nombor dalam asas sepuluh / Numbers 0 to 9 mean numbers in base 10.
Nilai digit 3 × 45 1 × 44 1 × 43 2 × 42 1 × 41 3 × 40
= 64 = 32 =4 =3
Digit value = 3 072 = 256
Nilai nombor dalam asas 10 3 072 + 256 + 64 + 32 + 4 + 3
= 343110
Number values in base 10
Maka, kata laluan tersebut ialah 3431 / Thus, the password is 3431.
(c) Jadual di sebelah menunjukkan markah yang diperoleh Joanne Subjek Markah
bagi lima subjek. TP 6 Subject Marks
The table shows the marks obtained by Joanne in five subjects. Bahasa Melayu 3304
22003
(i) Subjek yang manakah adalah markah tertinggi dan markah Bahasa Inggeris 2206
terendah? English 759
1637
Which subjects are the highest mark and the lowest mark? Matematik
Subjek Markah Maka, subjek dengan Mathematics
Subject Marks markah tertinggi ialah Sejarah
Bahasa Melayu 6010 Pendidikan Moral History
7210
Bahasa Inggeris 8410 dan dengan markah Pendidikan Moral
6810
Matematik 9410 terendah ialah Bahasa Moral Studies
Sejarah Melayu.
Pendidikan Moral Thus, the subject with the
highest marks is Moral
Studies and the subject
with the lowest marks is
Bahasa Melayu.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 30
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
(ii) Pihak sekolah akan memberikan anugerah kecemerlangan kepada murid yang berjaya mendapat
purata markah lebih daripada 1258 bagi kelima-lima subjek itu. Adakah Joanne layak mendapat
anugerah tersebut?
The school will give excellence awards to students who successfully obtaining average marks of more than 1258
for five of the subjects. Does Joanne eligible to receive the award?
1258 = 8510 Maka, Joanne tidak layak mendapat anugerah
Purata markah Joanne
tersebut kerana purata markahnya kurang
The average marks of Joanne BAB 2
daripada 85.
= 60 + 72 + 84 + 68 + 94 = 75.6
5 Thus, Joanne is not eligible to receive the award because
her average marks are lower than 85.
PRAKTIS SPM 2
Kertas 1 the number of blue ribbons and state the answer in base
three.
2011.9 DGofiivxbe.enrixx77==773 3++(2(2××77) )++(3(3× × 70). Hitung nilai x. Bilangan reben biru
70). Calculate the value The number of blue ribbons
A 123 C 1023 = 40 − 1 × 40 − 83 × 40
4
B 321 D 3201 = 40 − 10 – 15
2. Jadual di bawah menunjukkan nilai setara bagi = 15
2019 nombor-nombor dalam asas 2 dan asas 5. 3 15
3 5 –0
The table below shows equivalent value of numbers in 3 1 –2
base 2 and base 5.
0 –1
Asas 2 / Base 2 Asas 5 / Base 5
000 0 1510 = 1203
001 1
010 2 2. Rajah di bawah menunjukkan bacaan meter air
011 3
di rumah Puan Shela pada bulan November dan
Hitung nilai esqeutaivraalebnatgvia1lu0e0o1f21d0a0l1a2minabsaasse55..
Disember.
Calculate the
The diagram below shows the water meter reading in
A 105 C 145 Puan Shela’s house in the months of November and
B 135 D 205 December.
Kertas 2
1. Encik Shahrul membeli sekotak reben untuk anak 00005064 00005162
perempuannya. Kotak tersebut mengandungi 40
1 3
gulung reben. 4 daripadanya berwarna merah, 8
berwarna kuning dan bakinya berwarna biru. November Disember/December
Hitung bilangan reben biru dan nyatakan jawapan
dalam asas tiga. Bacaan-bacaan tersebut adalah nombor dalam
asas tujuh. Jika satu unit dalam asas sepuluh
Encik Shahrul bought a box of ribbons for his daughter. berharga RM0.55, berapakah jumlah yang perlu
83conatraeinysel4lo0wroalnlsdotfhreibrbeosnt sa.re41 dibayar oleh Puan Shela pada bulan Disember?
The box of the ribbons
are red, blue. Calculate
31 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor (b) hitung beza antara bilangan pelajar yang
The readings are in base seven. If one unit in base ten suka nasi ayam dengan bilangan pelajar yang
costs RM0.55, what is the total amount that needs to be
paid by Puan Shela in December? suka mi. Nyatakan jawapan anda dalam asas
enam.
7 calculate the difference between the number of
05 7 students who like chicken rice and the number of
students who like noodles. State your answer in
5 1 6 27
– 5 0 6 47 base six.
BAB 2 6 57 135603°° × 200 – 45° × 200
360°
657 = (6 × 71) + (5 × 70) = 85 – 25
= 42 + 5
= 4710 = 6010
Jumlah yang perlu dibayar 6 60
6 10 – 0
The amount that needs to be paid 7 1 –4
= 47 × RM0.55 0 –1
= RM25.85
3. Carta pai di bawah menunjukkan jenis-jenis 6010 = 1406
makanan kegemaran bagi 200 orang murid di
sebuah sekolah.
The pie chart below shows the types of favourite food of
200 students in a school.
Makanan Kegemaran 4. Puan Juhaida membeli sepasang baju kurung
Favorite Food
berjenama dengan harga RM6289 selepas
Nasi Roti mendapat potongan sebanyak 20%. Berapakah
ayam canai
Chicken harga asal baju kurung tersebut, dalam asas lima?
rice 153°
45° Mi Puan Juhaida bought a pair of branded baju kurung for
Noodles pRrMic6e2o8f9tahfetebragjeuttkinugruan2g0,%indbisacsoeufnivte. ?What is the original
Nasi lemak 6289 = (6 × 92) + (2 × 91) + (8 × 90)
= 486 + 18 + 8
Berdasarkan carta pai, = 51210
Based on the pie chart, Katakan m ialah harga asal
Let m be the original price
(a) hitung bilangan pelajar yang suka roti canai m × 18000
dan nasi lemak. Nyatakan jawapan anda m = 512 × 100 = 640
dalam asas tujuh. = 512 80
calculate the number of students who like roti
canai and nasi lemak. State your answer in base
seven.
39600°° × 200 + 37620°° × 200 5 640 –0
5 128 –3
= 50 + 40 5 25 –0
= 9010 55 –0
51 –1
7 90
7 12 – 6 0
7 1 –5
64010 = 100305
0 –1
9010 = 1567
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 32
Matematik Tingkatan 4 Bab 2 Asas Nombor
5. Dalam bulan Oktober, jumlah pengunjung yang melayari suatu laman web ialah 201258. Apakah purata
bilangan pengunjung setiap hari dalam bulan tersebut? Berikan jawapan anda dalam asas empat.
201258.
In October, the total number of visitors who logged into a website is What is the average number of visitors each day
in that month? Give your answer in base four.
201258 = (2 × 84) + (1 × 82) + (2 × 81) + 5 4 267 BAB 2
= 8 192 + 64 + 16 + 5 4 66 – 3
= 8 27710 4 16 – 2
4 4 –0
Purata bilangan pengunjung 5 1 –0
Average number of visitors 0 –1
= 823177
= 26710
26710 = 100234
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Rajah di bawah menunjukkan suatu bulan dalam sebuah kalender.
The diagram below shows a month in a calender.
Ahad Isnin Selasa Rabu Khamis Jumaat Sabtu
Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday
1 2 3 4 5 6
12 13
7 8 9 10 11 19 20
26 27
14 15 16 17 18
21 22 23 24 25
28 29 30 31
Jika sistem hari ditukar kepada asas tujuh bermula dengan hari Ahad, apakah nombor dalam asas tujuh yang
mewakili 24 hari bulan?
If the day system is changed to base seven that starts with Sunday, what is the number in base seven that representing date of 24?
Jawapan / Answer :
Ahad Isnin Selasa Rabu Khamis Jumaat Sabtu Maka, nombor dalam asas
tujuh yang mewakili 24 hari
Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday bThuulasn, thiaelanhum3b3e7r. in base 7 that
07 17 27 37 47 57 67 represents 24 days is 337.
107 117 127 137 147 157 167
207 217 227 237 247 257 267 Kuiz 2
307 317 327 337 347 357 367
407 417 427 437
33 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
BAB Penaakulan Logik
3 Logical Reasoning
3.1 Pernyataan
Statements
NOTA IMBASAN
1. Pernyataan adalah suatu ayat yang boleh ditentukan 4. Pernyataan majmuk adalah gabungan dua
sama ada benar atau palsu tetapi bukan kedua-duanya. pernyataan yang menggunakan ‘dan’ atau ‘atau’.
Oleh itu, pernyataan dibahagikan kepada
Statement is a sentence such that it can be determined either Jadual di bawah menunjukkan nilai kebenaran bagi
true or false but not both. Hence, statement is divided into
pernyataan majmuk.
(i) pernyataan benar / true statement Compound statement is a combination of two statements
Contoh / Example: using ‘and’ or ‘or’. The table below shows the truth value of
• B8B1 = 9 compound statements.
• Bulatan bukan sebuah poligon.
Circle is not a polygon. p q p dan / and q
Benar / True Benar / True Benar / True
(ii) pernyataan palsu / false statement Benar / True Palsu / False Palsu / False
• 1 + 1 = 1 Palsu / False Benar / True Palsu / False
2 3 5
Palsu / False Palsu / False Palsu / False
• Hasil tambah sudut pedalaman sebuah sisi
empat ialah 180°. p q p atau / or q
Benar / True Benar / True Benar / True
The sum of interior angles of a quadrilateral is 180°. Benar / True Palsu / False Benar / True
Palsu / False Benar / True Benar / True
2. Pengkuantiti merupakan penerangan terhadap Palsu / False Palsu / False Palsu / False
bilangan objek yang terlibat dalam suatu pernyataan. 5. Terdapat dua pernyataan dalam bentuk implikasi:
There are two statements in the form of implication:
Terdapat dua jenis pengkuantiti: (i) ‘jika p, maka q’ / ‘if p, then q’
A quantifier explains the number of objects involved in a • Pernyataan p ialah antejadian
statement.There are two quantifiers: Statement p is an antecedent
• Pernyataan q ialah akibat
(i) Pengkuantiti‘semua’merujuk kepada setiap objek. Statement q is a consequent
Quantifier ‘all’ refers to each object. (ii) ‘p jika dan hanya jika q’ adalah terdiri daripada
‘jika p, maka q’ dan ‘jika q, maka p’.
(ii) Pengkuantiti ‘sebilangan’ merujuk kepada ‘p if and only if q’ is formed from ‘if p, then q’ and ‘if q, then
p’.
beberapa objek.
Quantifier ‘some’ refers to several objects. 6. Jadual berikut menunjukkan akas, songsangan
dan kontrapositif bagi suatu implikasi, dan nilai
3. Penafian suatu pernyataan dilakukan dengan kebenarannya.
The table shows the converse, inverse and contrapositive of
menggunakan ‘tidak’ atau ‘bukan’. an implication, and its truth values.
Negation of a statement is done by using ‘no’ or ‘not’.
Simbol p ~p
Symbol
Benar / True Palsu / False
Nilai kebenaran Palsu / False Benar / True
Truth value
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 34
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
pq Pernyataan Akas Songsangan Kontrapositif
Statement Converse Inverse Contrapositive
Benar / True Benar / True
Benar / True Palsu / False Jika p, maka q Jika q, maka p Jika ~p, maka ~q Jika ~q, maka ~p
Palsu / False Benar / True If p, then q If q, then p If ~p , then ~q If ~q, then ~p
Palsu / False Palsu / False
Benar / True Benar / True Benar / True Benar / True
Palsu / False Benar / True Benar / True Palsu / False
Benar / True Palsu / False Palsu / False Benar / True
Benar / True Benar / True Benar / True Benar / True
7. Contoh penyangkal adalah suatu nilai atau objek yang membuktikan bahawa sesuatu NOTA BAB 3
pernyataan itu adalah palsu.
Counter-example is a value or an object to prove that a statement is false.
1. Tentukan sama ada setiap ayat berikut adalah pernyataan atau bukan pernyataan. Berikan justifikasi anda.
TP 1
Determine whether each of the following sentences is a statement. Give a your justification.
Ayat Pernyataan / Sebab
Bukan pernyataan
Sentence Reason
A statement / Not a statement
CONTOH
1 4.9 ÷ 5 = 0.98 Kerana ayat Tip
2 Wah, banyaknya duit kamu!
Pernyataan itu benar. Ayat tanya, ayat seruan
Wow, you have a lot of money! dan ayat perintah
A statement Because the bukan pernyataan.
3 –9 –10 sentence is true. Question sentence,
Bukan pernyataan exclamation sentence and
Kerana ayat instruction sentence are
Not a statement itu tidak dapat not statements.
ditentukan nilai
Pernyataan
kebenarannya.
A statement
Because the sentence cannot be determined
its truth value.
Kerana ayat itu palsu.
Because the sentence is false.
(a) 4 kos 180° = – 4 Pernyataan Kerana ayat itu benar.
4 cos 180° = –4
A statement Because the sentence is true.
(b) (2n – 5)2
Bukan pernyataan Kerana ayat itu tidak dapat
(c) Jangan masuk ke dalam rumah ditentukan nilai kebenarannya.
tanpa menanggalkan kasut. Not a statement
Because the sentence cannot be
Do not enter the house without taking Bukan pernyataan determined its truth value.
off the shoes.
Not a statement Kerana ayat itu tidak dapat
(d) Pantulan termasuk dalam ditentukan nilai kebenarannya.
transformasi isometri. Pernyataan
Because the sentence cannot be
Reflection is included in isometric A statement determined its truth value.
transformation.
Kerana ayat itu benar.
Because the sentence is true.
35 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
2. Tentukan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu. Buktikan sekiranya palsu. TP 2
Determine whether the following statement is true or false. Prove if it is false.
CONTOH Gantikan (a) (x + y)2 = x2 + y2, x, y R (b) 3 B2B7 = 3
pemboleh ubah Palsu / False Benar / True
(x – a)(x – a) = x2 – a2 dengan suatu (1 + 1)2 = 4
nilai untuk 12 + 12 = 2
Penyelesaian: membuktikan (1 + 1)2 ≠ 12 + 12
Palsu / False pernyataan ini
(4 – 2)(4 – 2) = 4 palsu.
42 – 22 = 12 Substitute the
variable with a
value to prove
(4 – 2)(4 – 2) ≠ 42 – 22 the statement (c) {Faktor bagi 3} {Faktor bagi (d) {Gandaan bagi 5} {Faktor
9} bagi 20} = {5, 10}
is false.
{Factors of 3} {Factors of 9} {Multiples of 5} {Factors of 20}
BAB 3 Nombor nyata, R ialah sebarang nombor = {5, 10}
nisbah atau nombor bukan nisbah. Benar / True
Real numbers, R is any rational number or Palsu / False
irrational number. {5, 10, 15, 20, ..} {1, 2, 4, 5,
10, 20} = {5, 10, 20}
3. Bina satu pernyataan benar dan satu pernyataan palsu dengan menggunakan maklumat yang diberikan. TP 2
Construct a true statement and a false statement by using the given information.
CONTOH (a) 18, + , 28, <, –8 (b) 0.5, +, 1, =, 1
2
9, 0, >, −, 1 Pernyataan benar: Pernyataan benar:
Penyelesaian: True statement: True statement:
1
Pernyataan benar: 9 – 1 > 0 –8 + 18 < 28 0.5 + 2 =1
Pernyataan palsu:
True statement Pernyataan palsu:
False statement:
Pernyataan palsu: 1 – 0 > 9 False statement:
28 + 18 < –8 1
False statement 2
0.5 + 1=
(c) {0, 10}, = , ∩, {100, 10}, {10} (d) >, ÷, 7, 16, 2 (e) 4, ×, 3, 12, =
Pernyataan benar: Pernyataan benar: Pernyataan benar:
True statement: True statement: True statement:
{0, 10} ∩ {100, 10} = {10} 16 ÷ 2 > 7 4 × 3 = 12
Pernyataan palsu: Pernyataan palsu:
Pernyataan palsu:
False statement: False statement:
False statement:
{0, 10} ∩ {10} = {100, 10} 7 > 16 ÷ 2
12 × 3 = 4
4. Lengkapkan pernyataan dengan “Semua” atau “Sebilangan” untuk menjadikannya pernyataan benar. TP 1
Complete the following statements with the quantifier “All” or “Some” to make it a true statement.
CONTOH bulatan mempunyai lengkok. (a) Semua gandaan bagi 6 ialah nombor
1 Semua
All circles have curve. genap. multiples of 6 are even numbers.
All
2 Sebilangan bulatan mempunyai jejari 3 cm. (b) Sebilangan trapezium mempunyai dua bucu
Some circles have radius of 3 cm. bersudut tegak.
• “semua” boleh juga digantikan dengan “setiap” atau Some trapeziums have two right-angled at
“sebarang” berdasarkan konteks. the vertices.
“all” can be replaced with “each” or “only” based on context. (c) Sebilangan garis lurus mempunyai kecerunan
• “sebilangan” boleh digantikan dengan “beberapa”, “satu negatif. straight lines have negative gradient.
daripada” atau “sebahagian” berdasarkan konteks.
Some
“some” can be replaced with “few”, “one of” or “part” based on context.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 36
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
5. Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut adalah benar atau palsu. TP 2
Determine whether each of the following statements is true or false.
CONTOH Palsu
1 Semua imej bagi pantulan akan memantul ke sebelah kanan.
All images of reflection will be reflected to the right. False
2 Sebilangan nombor genap boleh dibahagi tepat dengan 3. Benar
Some even numbers can be divided by 3 completely. True
(a) Semua nombor yang dikuasa dua mempunyai hasil nilai positif. Benar BAB 3
All the squares numbers have positive values in result. True
(b) Sebilangan pentagon mempunyai nilai sudut pedalaman 108°. Benar
Some pentagons have the value of interior angle of 108°. True
(c) Sebilangan imej dalam translasi mempunyai bentuk yang sama dengan objek. Palsu
Some of the images in translation have the same shape with the object. False
(d) Semua nilai min adalah positif. Benar
All values of mean are positive. True
6. Bina satu penafian bagi pernyataan berikut dengan menggunakan perkataan “tidak” atau “bukan”. Kemudian,
tentukan nilai kebenaran penafian tersebut. TP 2
Contruct a negation of the statements by using the word “no” or “not”. Then, determine the truth value of the negation.
p ~p
CONTOH 2 bukan nombor genap. (palsu)
2 ialah nombor genap. (benar)
2 is not an even number. (false)
2 is an even number. (true)
(a) 31B2BB5 adalah sama dengan 53. (palsu) 31B2BB5 adalah tidak sama dengan 53. (benar)
31B2B5B is equal to 53. (false) 31B2B5B is not the same as 53. (true)
(b) Bulatan ialah sebuah poligon. (palsu) Bulatan bukan sebuah poligon. (benar)
A circle is a polygon. (false)
A circle is not a polygon. (true)
(c) Semua integer adalah nombor positif. (palsu)
All integers are positive numbers. (false) Bukan semua integer adalah nombor positif. (benar)
Not all integers are positive numbers. (true)
7. Bina pernyataan baru dengan menggabungkan dua pernyataan berikut menggunakan perkataan “dan” dan
“atau”. TP 1
Construct a new statement by combining the two statements using the word “and” and “or”.
Pernyataan Pernyataan dengan “dan” Pernyataan dengan “atau”
Statement Statement with “and” Statement with “or”
CONTOH 7 – 9 = –2 dan –7 – 9 = –12. 7 – 9 = –2 atau –7 – 9 = –12.
7 – 9 = –2; –7 – 9 = –12
7 – 9 = –2 and –7 – 9 = –12. 7 – 9 = –2 or –7 – 9 = –12.
(a) 4 ialah pecahan tak wajar; 6 4 6 4 6
3 5 3 5 3 5
ialah pecahan tak wajar. dan ialah pecahan tak wajar. atau ialah pecahan tak wajar.
4 is an improper fraction; 6 is an 4 and 6 are improper fractions. 4 or 6 is an improper fraction.
3 5 3 5 3 5
improper fraction.
(b) 21 28; –21 –28 21 28 dan / and –21 –28 21 28 atau / or –21 –28
37 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
8. Tentukan dua pernyataan, p dan q, daripada pernyataan majmuk yang diberikan. Kemudian, tentukan nilai
kebenaran pernyataan majmuk tersebut. TP 1 TP 2
Determine the two statements, p and q, from the given compound statement. Then, determine the truth value of the compound
statement.
Pernyataan majmuk p q Nilai kebenaran
Compound statement Truth value
BAB 3 CONTOH 1 000 = 103 31BB0B0B0B = 10 Benar / True
1 1 000 = 103 dan / and (benar / true) (benar / true)
31BB0B0B0B = 10. Benar dan Benar = Benar
Faktor bagi 5 ialah 1. Faktor bagi 5 ialah True and True = True
2 Faktor bagi 5 ialah 1 atau (benar) (palsu)
2. Benar / True
2. Factor of 5 is 1. (true) Factor of 5 is 2. (false)
Benar atau Palsu = Benar
Factor of 5 is 1 or 2. 15 ialah nombor ganjil. True or False = True
(benar)
3 15 ialah nombor ganjil dan 51 ialah nombor perdana. Palsu / False
15 is an odd number. (true) (palsu)
51 ialah nombor perdana.
51 is a prime number. (false) Benar dan Palsu = Palsu
15 is an odd number and 51 is
a prime number. True and False = False
(a) 0.00703 = 7.03 × 103 dan / 0.00703 = 7.03 × 103 7 030 = 7.03 × 10–3 Palsu / False
and 7 030 = 7.03 × 10–3. (palsu / false) (palsu / false) Benar / True
Palsu / False
(b) 1012 = 58 dan / and 1012 = 58 (benar / true) 2445 = 829 (benar / true)
2445 = 829 Benar / True
(c) 12.5 mempunyai tiga 12.5 mempunyai tiga 0.125 mempunyai empat Benar / True
Benar / True
angka bererti dan 0.125 angka bererti. (benar) angka bererti. (palsu)
mempunyai empat angka 12.5 has three significant 0.125 has 4 significant figures.
figures. (true) (false)
bererti.
12.5 have three significant
figures and 0.125 have four
significant figures.
(d) Hipotenus ialah sisi Hipotenus ialah sisi Diameter ialah dua kali
terpanjang dalam segi terpanjang dalam segi tiga jejari bulatan. (benar)
tiga bersudut tegak dan bersudut tegak. (benar) A diameter is twice the radius
of a circle. (true)
diameter ialah dua kali Hypotenuse is the longest
side in a right-angled triangle.
jejari bulatan. (true)
Hypotenuse is the longest side
in a right-angled triangle and
a diameter is twice the radius
of a circle.
(e) 5 bukan integer atau 25 5 bukan integer. (benar) 25 ialah kuasa dua sempurna.
ialah kuasa dua sempurna. (benar)
5 is not an integer. (true)
5 is not an integer or 25 is a 25 is a perfect square. (true)
perfect square.
(f) Pentagon mempunyai 5 Pentagon mempunyai 5 Pentagon mempunyai 6
bucu. (benar) sisi. (palsu)
bucu atau 6 sisi.
Pentagon has 5 vertices. (true) Pentagon has 6 sides. (false)
Pentagon has 5 vertices or 6
sides.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 38
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
9. Bentukkan implikasi “jika p, maka q” dengan antejadian dan akibat yang diberikan. TP 1
Form implication “if p, then q” with the antecedent and consequent given.
CONTOH (a) Antejadian / Antecedent: (b) Antejadian / Antecedent:
9 + k =12 p dan q ialah nombor genap.
Antejadian / Antecedent: Akibat / Consequent:
a=3 k=9 p and q are even numbers.
Akibat / Consequent:
a3 = 27 Implikasi / Implication: Akibat / Consequent:
Jika / If 9 + k =12, maka / Hasil tambah p dan q ialah
Penyelesaian:
Implikasi / Implication: then k = 9. nombor genap.
Jika a = 3, maka a3 = 27.
Sum of p and q is even number.
If a = 3, then a3 = 27.
Implikasi / Implication:
Jika p dan q ialah nombor BAB 3
genap, maka hasil tambah p
dan q ialah nombor genap.
If p and q are even numbers,
then the sum of p and q is even
number.
10. Kenal pasti antejadian dan akibat bagi setiap implikasi yang berikut. TP 1
Identify the antecedent and consequent for each of the following implication.
Implikasi / Implication Antejadian / Antecedent Akibat / Consequent
CONTOH 2m – 3 = 1 m=2
Jika 2m – 3 = 1, maka m = 2.
If 2m – 3 = 1, then m = 2.
(a) Jika segi tiga ABC ialah segi tiga sama sisi, Segi tiga ABC ialah segi tiga Setiap sudut pedalaman
maka setiap sudut pedalaman ialah 60°. sama sisi. segi tiga sama sisi ialah 60°.
If a triangle ABC is an equilateral triangle, then Triangle ABC is an equilateral Each interior angle of
each interior angle is 60°. triangle. equilateral triangle is 60°.
(b) Jika –a3 = –8, maka a ialah integer positif. –a3 = –8 a ialah integer positif.
If –a3 = –8, then a is a positive integer. a is a positive integer.
11. Bina satu pernyataan dalam bentuk “jika dan hanya jika” bagi setiap pasangan implikasi yang berikut. TP 2
Construct a statement in the form of “if and only if” for each of the following pairs of implications.
Implikasi 1: Jika p, maka q Implikasi 2: Jika q, maka p p jika dan hanya jika q
Implication 1: If p, then q Implication 2: If q, then p p if and only if q
CONTOH Jika digit terakhir suatu Suatu nombor boleh dibahagi
nombor ialah 0, maka nombor
Jika suatu nombor boleh dibahagi tepat itu boleh dibahagi tepat dengan tepat dengan 10 jika dan
dengan 10, maka digit terakhir nombor 10.
itu ialah 0. hanya jika digit terakhir
If the last digit of a number is 0,
If a number is divisible by 10, then the last then the number is divisible by 10. nombor itu ialah 0.
digit of the number is 0.
A number is divisible by 10 if and
only if the last digit of the number
is 0.
(a) Jika 9 × 10n ialah bentuk piawai, Jika n ialah integer, maka 9 × 10n 9 × 10n ialah bentuk piawai jika
dan hanya jika n ialah integer.
maka n ialah integer. ialah bentuk piawai.
9 × 10n is a standard form if and
If 9 × 10n is a standard form, then n is If n is an integer, then 9 × 10n is a only if n is an integer.
an integer. standard form.
(b) Jika a + b = 180°, maka a dan b Jika a dan b ialah sudut a + b = 180° jika dan hanya jika a
penggenap, maka a + b = 180°.
ialah sudut penggenap. dan b adalah sudut penggenap.
If a and b are supplementary
If a + b = 180°, then a and b are angles, then a + b = 180°. a + b = 180° if and only if a and b are
supplementary angles. supplementary angles.
39 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
12. Kenal pasti dua implikasi bagi setiap pernyataan gabungan yang berikut. TP 1
Determine two implications for each of the following compound statements.
p jika dan hanya jika q Implikasi 1 Implikasi 2
p if and only if q Implication 1 Implication 2
CONTOH
x = y dan y = z jika dan hanya jika x = z. Jika x = y dan y = z, maka x = z. Jika x = z, maka x = y dan y = z.
x = y and y = z if and only if x = z. If x = y and y = z, then x = z. If x = z, then x = y and y = z.
(a) ABC ialah sebuah segi tiga bersudut Jika ABC ialah segi tiga bersudut Jika AC 2 = AB2 + BC 2, maka ABC
tegak jika dan hanya jika tegak, maka AC 2 = AB2 + BC 2. ialah segi tiga bersudut tegak.
AC2 = AB2 + BC2. if ABC is a right-angled triangle, If AC 2 = AB2 + BC 2, then ABC is a
then AC 2 = AB2 + BC 2. right-angled triangle.
ABC is a right-angled triangle if and only
BAB 3 if AC 2 = AB 2 + BC 2.
(b) j = 7 cm jika dan hanya jika Jika j = 7 cm, maka 2j = 44 cm. Jika 2j = 44 cm, maka j = 7 cm.
2pj = 44 cm. If j = 7 cm, then 2j = 44 cm. If 2j = 44 cm, then j = 7 cm.
j = 7 cm if and only if 2j = 44 cm.
(c) 8 ialah nombor genap jika dan Jika 8 ialah nombor genap, Jika 8 boleh dibahagi tepat
hanya jika 8 boleh dibahagi tepat maka 8 boleh dibahagi tepat dengan 2, maka 8 ialah nombor
dengan 2. dengan 2. genap.
8 is an even number if and only if 8 can If 8 is an even number, then 8 can be If 8 can be divided by 2 completely,
be divided by 2 completely. divided by 2 completely. then 8 is an even number.
(d) x = 3 jika dan hanya jika 5x – 2 = 13. Jika x = 3, maka 5x – 2 = 13. Jika 5x – 2 = 13, maka x = 3.
x = 3 if and only if 5x – 2 = 13. If x = 3, then 5x – 2 = 13.
If 5x – 2 = 13, then x = 3.
13. Nyatakan akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi berikut. TP 1
State the converse, inverse and contrapositive of the following implications.
Implikasi Akas Songsangan Kontrapositif
Implication Converse Inverse Contrapositive
CONTOH Jika n > 16, maka Jika 2n – 7 25, maka Jika n 16, maka
2n – 7 > 25. n 16. 2n – 7 25.
Jika 2n – 7 > 25, maka If n > 16, then 2n – 7 > 25. If 2n – 7 25, then n 16. If n 16, then 2n – 7 25.
n > 16.
If 2n – 7 > 25, then n > 16.
(a) Jika mAB = mPQ, maka Jika garis lurus AB dan Jika mAB ≠ mPQ, maka garis Jika garis lurus AB dan
garis lurus AB dan lurus AB dan garis lurus
garis lurus PQ adalah garis lurus PQ adalah
garis lurus PQ adalah selari, smtraaikghatmliAnBe=AmBPQa. nd PQ adalah tidak selari. tidak selari, maka
lIfinmeAAB ≠BmanPQd, then the straight
selari. If the straight line PQ mIf AtBhe≠ mstrPaQi.ght line AB and
sIftramigABht= lminPeQ, then the straight line PQ are parallel, straight line PQ are not
AB and parallel, then mAB ≠ mPQ.
then mAB = mPQ. are not parallel.
straight line PQ are
parallel.
(b) Jika s + t = 90°, maka Jika s dan t adalah sudut Jika s + t ≠ 90°, maka s Jika s dan t adalah bukan
pelengkap, maka dan t adalah bukan sudut sudut pelengkap, maka
s dan t adalah sudut s + t = 90°. s + t ≠ 90°.
pelengkap.
pelengkap. If s and t are complementary If s and t are not complementary
angles, then s + t = 90°. If s + t ≠ 90°, then s and t are angles, then s + t ≠ 90°.
If s + t = 90°, then s and not complementary angles.
t are complementary
angles.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 40
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
14. Nyatakan pernyataan p, pernyataan q, akas, songsangan dan kontrapositif daripada pernyataan yang diberikan.
Kemudian, tentukan nilai kebenaran setiap pernyataan tersebut. TP 2
State the statement p, statement q, converse, inverse and contrapositive from the given statements. Then, determine the truth
value of each of the statements.
Pernyataan Nilai kebenaran
Statement Truth value
CONTOH : 5 + 2 > 6 Benar / True BAB 3
p : 2 6 Palsu / False
q : Jika 5 + 2 > 6, maka 2 > 6.
Pernyataan Palsu
: If 5 + 2 6, then 2 6.
Statement False
: Jika 2 6, maka 5 + 2 6.
Akas Benar
: If 2 6, then 5 + 2 6.
Converse True
Songsangan : Jika 5 + 2 6, maka 2 6. Benar
Inverse : If 5 + 2 6, then 2 6. True
Kontrapositif : Jika 2 6, maka 5 + 2 6.
Palsu
Contrapositive : If 2 6, then 5 + 2 6.
False
(a) p : a5 ÷ a–3 = a2 Palsu / False
q : a5 × a–3 = a2 Benar / True
Pernyataan : Jika a5 ÷ a–3 = a2, maka a5 × a–3 = a2. Benar
Statement : If , a5 ÷ a–3 = a2, then a5 × a–3 = a2. True
Akas : Jika a5 × a–3 = a2, maka a5 ÷ a–3 = a2. Palsu
Converse
Songsangan : If a5 × a–3 = a2, then a5 ÷ a–3 = a2. False
Inverse
Kontrapositif : Jika a5 ÷ a–3 ≠ a2, maka a5 × a–3 ≠ a2. Palsu
Contrapositive
: If a5 ÷ a–3 ≠ a2, then a5 × a–3 ≠ a2. False
: Jika a5 × a–3 ≠ a2, maka a5 ÷ a–3 ≠ a2. Benar
: If a5 × a–3 ≠ a2, then a5 ÷ a–3 ≠ a2.
True
(b) p : 40% daripada 80 ialah 20. / 40% of 80 is 20. Palsu / False
q : 0.4 × 80 = 3.2 Palsu / False
Pernyataan : Jika 40% daripada 80 ialah 20, maka 0.4 × 80 = 3.2. Benar
Statement : If 40% of 80 is 20, then 0.4 × 80 = 3.2 True
Akas : Jika 0.4 × 80 = 3.2, maka 40% daripada 80 ialah 20. Benar
Converse If 0.4 × 80 = 3.2, then 40% of 80 is 20. True
Songsangan : Jika 40% daripada 80 bukan 20, maka 0.4 × 80 ≠ 3.2. Benar
Inverse : If 40% of 80 is not 20, then 0.4 × 80 ≠ 3.2. True
Kontrapositif : Jika 0.4 × 80 ≠ 3.2, maka 40% daripada 80 bukan 20. Benar
Contrapositive : If 0.4 × 80 ≠ 3.2, then 40% of 80 is not 20. True
41 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
15. Tentukan nilai kebenaran bagi setiap pernyataan berikut. Jika palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk
menyokong jawapan anda. TP 2
Determine the truth value of each of the following statements. If false, give a counter-example to support your answer.
CONTOH (a) Semua persamaan kuadratik mempunyai dua
nilai punca.
Jika q R, maka q3 q.
All quadratic equations have two roots.
If q R , then q3 q.
Palsu / False
Penyelesaian: x2 + 4 = 0
Palsu / False x2 = –4
Apabila / When q = –1, Persamaan kuadratik tidak mempunyai nilai
(–1)3 = –1 = q
punca.
The quadratic equation have no roots.
BAB 3 (b) Jika ∠ABC dan ∠CBD adalah sudut penggenap, (c) {nombor perdana} ⊂ {nombor ganjil}
{prime numbers} ⊂ {odd numbers}
maka ABD adalah satu garis lurus.
If ∠ABC and ∠CBD are supplementary angles, then
ABD is a straight line. Palsu / False
{Nombor perdana / Prime numbers} = {2, 3, 5, ...}
Benar / True {Nombor ganjil / Odd numbers} = {1, 3, 5, ...}
2 {nombor ganjil / odd numbers}
16. Bina pernyataan yang dikehendaki dalam kurungan bagi setiap berikut. Kemudian, tentukan nilai kebenaran
pernyataan yang dibina itu. Berikan satu contoh penyangkal sekiranya pernyataan itu palsu. TP 2
Construct the statement required in the brackets for each of the following. Hence, determine the truth value of the constructed
statement. Give a counter-example if the statement is false.
CONTOH (a) Sebilangan faktor bagi 24 (b) Nilai ekstrem mempengaruhi
48 ialah gandaan 6. [penafian] ialah gandaan 2. [penafian] median. [penafian]
Some of factors of 24 are multiples Extreme value affects median.
48 is a multiple of 6. [negation] of 2. [negation] [negation]
Penyelesaian: Sebilangan faktor bagi 24 Nilai ekstrem tidak
48 bukan gandaan 6. (palsu) ialah bukan gandaan 2. (palsu) mempengaruhi median.
48 is not multiple of 6. (false)
48 boleh dibahagi tepat dengan 6. Some of factors of 24 are not (benar)
multiples of 2. (false)
48 can be divided by 6 completely. Extreme value does not affect
1 dan 3 ialah faktor bagi 24
48 ÷ 6 = 8 median. (true)
tetapi bukan gandaan 2.
1 and 3 are factors of 24 but not
multiples of 2.
(c) Jika EF ialah garis menegak, (d) Jika p – 6 0, maka p 0. (e) Jika y = ax2 + bx + c
[songsangan] mempunyai titik maksimum,
maka ma EvFer=tic–a1l line, [akas] maka a 0. [kontrapositif]
If p – 6 0, then p , 0. [inverse]
If EF is then If y = ax2 + bx + c has a maximum
mEF = –1. [converse] Jika p – 6 0, maka p 0. point, then a 0. [contrapositive]
(palsu)
Jika mEF = –1, maka EF ialah Jika a 0, maka
garis menegak. (palsu) If p – 6 > 0, then p 0. (false) y = ax2 + bx + c tidak
Apabila p = 2, 2 – 6 = –4 < 0.
If mEF = –1, then EF is a vertical mempunyai titik maksimum.
line. (false) When p = 2, 2 – 6 = –4 0. (benar)
If a 0, then y = ax2 + bx + c has
Apabila kecerunan bernilai –1,
no maximum point. (true)
garis lurus adalah condong ke
kiri.
When the value of gradient is –1,
straight line leans to the left.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 42
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
eBook M&M 2021 Matematik Tg4
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search