Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
3.3 Hujah
Arguments
NOTA IMBASAN
1. Hujah ialah proses membuat kesimpulan berdasarkan pernyataan-pernyataan yang diberi. Pernyataan yang diberi
dikenali sebagai premis.
An argument is a process of making a conclusion based on given statements.The statement is known as premise.
2. Terdapat dua jenis hujah: BAB 3
There are two types of arguments:
(a) Hujah deduktif ialah proses membuat kesimpulan khusus berdasarkan premis-premis umum.
Deductive argument is a process of making a specific conclusion based on general premises.
(b) Hujah induktif ialah proses membuat kesimpulan umum berdasarkan premis-premis khusus.
Inductive argument is a process of making a general conclusion based on specific premises.
3. Terdapat tiga kategori bagi hujah deduktif yang sah:
There are three categories for valid deductive arguments:
Bentuk I / Form I Bentuk II / Form II Bentuk III / Form III
Premis 1 Semua A adalah B. Jika p, maka q. Jika p, maka q.
Premise 1 All A are B. If p, then q. If p, then q.
Premis 2 C ialah A. p adalah benar. Bukan q adalah benar.
Premise 2 C is A. p is true. Not q is true.
Kesimpulan C ialah B. q adalah benar. Bukan p adalah benar.
Conclusion C is B. q is true. Not p is true.
4. Bagi mengenal pasti suatu hujah deduktif itu adalah munasabah, tentukan nilai kebenaran setiap premis dan
kesimpulannya.
To identify a deductive argument is sound, determine the truth value of each premise and the conclusion.
Sah Munasabah Premis 1, premis 2 dan kesimpulan adalah benar.
Valid Sound Premise 1, premise 2 and conclusion are true.
Hujah Tidak sah Tidak munasabah Salah satu premis adalah tidak benar.
Deduktif Invalid Not sound One of the premises is not true.
Deductive
Argument Tidak munasabah Semua hujah tidak sah adalah tidak munasabah.
Not sound All invalid arguments are not sound.
5. Kekuatan hujah induktif dapat ditentukan daripada tahap kemungkinan kesimpulan itu benar dengan andaian bahawa
semua premis adalah benar.
The strength of an inductive argument can be determined from the probability level of the conclusion is true, assuming that all premises are
true.
Kuat Meyakinkan Semua premis adalah benar.
Cogent All premises are true.
Hujah Strong Tidak meyakinkan Salah satu premis adalah tidak benar.
Induktif Uncogent One of the premises is not true.
Inductive Lemah
Argument Weak Tidak meyakinkan Semua hujah yang lemah adalah tidak
Uncogent meyakinkan.
All weak arguments are uncogent. NOTA
43 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
17. Tentukan sama ada setiap hujah berikut ialah hujah deduktif atau hujah induktif. TP 1
Determine whether each of the following arguments is a deductive argument or inductive argument.
CONTOH Hujah deduktif
Semua segi empat sama mempunyai empat sudut 90°. PQRS ialah segi empat sama. Jadi, Deductive argument
PQRS mempunyai empat sudut 90°.
All squares have four 90° angles. PQRS is a square. Therefore, PQRS has four 90° angles.
(a) Semua integer ialah nombor bulat. 99 ialah integer. 99 ialah nombor bulat. Hujah deduktif
All integers are whole numbers. 99 is an integer. 99 is a whole number. Deductive argument
BAB 3 (b) Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga sama sisi ialah 180°. Hasil tambah sudut Hujah induktif
pedalaman segi tiga sama kaki ialah 180°. Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga
bersudut tirus ialah 180°. Maka, hasil tambah sudut pedalaman sebuah segi tiga Inductive argument
ialah 180°.
The sum of interior angles of an equilateral triangle is 180°. The sum of interior angles of an
isosceles triangle is 180°. The sum of interior angles of an acute-angled triangle is 180°. Then,
the sum of interior angles of a triangle is 180°.
(c) Isi padu sebuah kubus ialah x3, dengan keadaan x ialah panjang sisi kubus. Jika Hujah deduktif
x = 4 cm, maka isi padu kubus ialah 64 cm3.
Deductive argument
Volume of a cube is x3, where x is the side length of the cube. If x = 4 cm, then the volume of
the cube is 64 cm3.
(d) 29, 26, 23, 20, ... Hujah induktif
29 = 29 – 3(0)
26 = 29 – 3(1) Inductive argument
23 = 29 – 3(2)
...
29 – 3n, dengan keadaan / where n = 0, 1, 2, …
(e) 12 = 22 + 4(2), 21 = 32 + 4(3), 32 = 42 + 4(4), … . Maka, pola nombor 12, 21, 32, ... Hujah induktif
boleh diungkap sebagai n2 + 4n, apabila n = 2, 3, 4, ….
Inductive argument
12 = 22 + 4(2), 21 = 32 + 4(3), 32 = 42 + 4(4), … . Then, the number pattern of 12, 21, 32, ...
can be expressed as n2 + 4n, when n = 2, 3, 4, ….
18. Tentukan keesahan dan kemunasabahan bagi setiap hujah berikut. Berikan justifikasi anda. TP 3
Determine the validity and soundness of each of the following arguments. Give your justification.
CONTOH (a) Premis 1: Jika sebuah bulatan mempunyai
diameter 14 cm, maka jejari bulatan
Premis 1: Semua nombor perdana adalah nombor tersebut ialah 7 cm.
ganjil.
Premise 1: If a circle has a diameter of 14 cm, then the
Premise 1: All prime numbers are odd numbers. radius of the circle is 7 cm.
Premis 2: 7 adalah nombor perdana. Premis 2: Sebuah bulatan mempunyai diameter
14 cm.
Premise 2: 7 is a prime number.
Premise 2: A circle has a diameter of 14 cm.
Kesimpulan: 7 adalah nombor ganjil.
Kesimpulan: Jejari bulatan tersebut ialah 7 cm.
Conclusion: 7 is an odd number.
Conclusion: The radius of the circle is 7 cm.
Penyelesaian:
Sah tetapi tidak munasabah. Hujah deduktif dalam Sah dan munasabah. Hujah deduktif dalam
Bentuk I tetapi premis 1 tidak benar. Bentuk II dan semua premis dan kesimpulan
adalah benar.
Valid but not sound. Deductive argument in Form I but
premise 1 is not true. Valid and sound. Deductive argument in Form II and all
premises and conclusion are true.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 44
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
(b) Premis 1: Jika n ialah nombor perdana, maka (c) Premis 1: Jika a 90°, maka a ialah sudut tirus.
n + 1 bukan nombor perdana.
Premise 1: If a 90°, then a is an acute angle.
Premise 1: If n is a prime number, then n + 1 is not a
prime number. Premis 2: a bukan sudut tirus.
Premis 2: n bukan nombor perdana. Premise 2: a is not an acute angle.
Premise 2: n is not a prime number. Kesimpulan: a 90°.
Kesimpulan: n + 1 ialah nombor perdana. Conclusion: a 90°.
Conclusion: n + 1 is a prime number. Sah tetapi tidak munasabah. Hujah deduktif
dalam bentuk III tetapi premis 1 adalah tidak
Tidak sah dan tidak munasabah. Hujah deduktif benar.
bukan dalam Bentuk II atau III dan premis 1
adalah tidak benar. Valid but not sound. Deductive argument in Form III but
Not valid and not sound. Deductive argument is not in premise 1 is not true.
Form II or III and premise 1 is not true.
BAB 3
Katakan / Let n= 2 (nombor perdana / primenumber)
n + 1 = 2 + 1= 3 (nombor perdana / prime number)
(d) Premis 1: Jika x . –2, maka x ialah nombor positif. (e) Premis 1: Semua segi tiga mempunyai 3 sisi.
Premise 1: If x . –2, then x is a positive number. Premise 1: All triangles have 3 sides.
Premis 2: x . –2 Premis 2: ABC ialah segi tiga.
Premise 2: x . –2 Premise 2: ABC is a triangle.
Kesimpulan: x ialah nombor positif. Kesimpulan: ABC mempunyai 3 sisi.
Conclusion: x is a positive number. Conclusion: ABC has 3 sides.
Sah tetapi tidak munasabah. Hujah deduktif Sah dan munasabah. Hujah deduktif dalam
dalam Bentuk II tetapi premis 1 adalah tidak Bentuk I dan semua premis dan kesimpulan
benar. adalah benar.
Valid but not sound. Deductive argument is in Form II Valid and sound. Deductive argument in Form I and all
but premise 1 is not true.
premises and conclusion are true.
19. Bentukkan suatu hujah deduktif yang sah bagi setiap situasi berikut. TP 2
Form a valid deductive argument for each of the following situations.
CONTOH Premis 1: Semua nombor bulat ialah integer.
Semua nombor bulat ialah integer. 7 ialah nombor Premise 1: All whole numbers are integers.
bulat. 7 ialah integer.
Premis 2: 7 ialah nombor bulat.
All whole numbers are integers. 7 is a whole number. 7 is
an integer. Premise 2: 7 is a whole number.
Kesimpulan: 7 ialah integer.
Conclusion: 7 is an integer.
(a) Semua poligon adalah dalam 2-dimensi. ABCD ialah Premis 1: Semua poligon adalah dalam 2-dimensi.
sebuah poligon. ABCD adalah dalam 2-dimensi.
Premise 1 : All polygons are in 2-dimensional.
All polygons are in 2-dimensional. ABCD is a polygon.
ABCD is in 2-dimensional. Premis 2 : ABCD ialah sebuah poligon.
Premise 2 : ABCD is a polygon.
Kesimpulan: ABCD adalah dalam 2-dimensi.
Conclusion : ABCD is in 2-dimensional.
( b) JI8fqiqkbauq8k,atnh8ep,nemc8qaahkisaaann8qtiimdiaaplkarohwppearejafcrraa.chqtaion,n.t8id8q.aiks wajar. Premis 1: Jika q 8, maka q ialah pecahan tidak
8
not an
wajar.
improper fraction. q , 8. Premise 1: I8f8qqqibsun8ko,attnahnepniemc8qparhiosapanenrtfiirmdaacpktrioowpne.arjfarra.ction.
Premis 2:
Premise 2:
Kesimpulan / Conclusion: q 8
45 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
20. Nyatakan kesimpulan bagi hujah deduktif berikut untuk membentuk suatu hujah yang sah. TP 3
State the conclusion of the following deductive argument to form a valid argument.
CONTOH (a) Premis 1: Semua pentagon ada 5 sisi.
Premis 1: Jika m > 0, maka m ialah integer positif. Premise 1: All pentagons have 5 sides.
Premise 1: If m > 0, then m is a positive integer. Premis 2: Bentuk P ialah sebuah pentagon.
Premis 2 / Premise 2 : 100 > 0. Premise 2: Shape P is a pentagon.
Penyelesaian: Kesimpulan: Bentuk P ada 5 sisi.
Kesimpulan: 100 ialah integer positif.
Conclusion: Shape P has 5 sides.
Conclusion: 100 is a positive integer.
BAB 3 (b) Premis 1: Jika 6y = 18, maka x = 3. (c) Premis 1: Jika a2 + b2 = c2, maka c ialah hipotenus.
Premise 1: If 6y = 18, then x = 3. Premise 1: If a 2 + b2 = c 2, then c is hypotenuse.
Premis 2 / Premise 2: x ≠ 3 Premis 2 / Premise 2: 32 + 42 = 52
Kesimpulan / Conclusion: 6y ≠ 18 Kesimpulan: 5 ialah hipotenus.
Conclusion: 5 is hypotenuse.
21. Lengkapkan hujah deduktif berikut untuk membentuk suatu hujah yang sah. TP 3
Complete following deductive argument to form a valid argument.
CONTOH (a) Premis 1 / Premise 1:
Semua segi tiga mempunyai tiga sudut.
Premis 1: Semua faktor bagi 10 ialah faktor bagi 50.
All triangles have three angles.
Premise 1: All factors of 10 are factors of 50. Premis 2: PQR ialah segi tiga.
Premis 2: M ialah faktor bagi 10. Premise 2: PQR is a triangle.
Premise 2: M is a factor of 10. Kesimpulan: PQR mempunyai tiga sudut.
Kesimpulan: M ialah faktor bagi 50. Conclusion: PQR has three angles.
Conclusion: M is a factor of 50.
(b) Premis 1: Jika k 0, maka 9k –8. (c) Premis 1 : Jika / If m 23 = 1, maka / then a = 2.
Premise 1: a3
Premise 1: If k 0, then 9k –8.
Premis 2 / Premise 2: a ≠ 2
Premis 2 / Premise 2: 9k . –8
Kesimpulan / Conclusion: k 0 Kesimpulan / Conclusion: 23 ≠ 1
a3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 46
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
22. Tentukan sama ada setiap hujah yang berikut adalah kuat atau lemah. Seterusnya, tentukan sama ada hujah
yang kuat itu meyakinkan atau tidak meyakinkan. TP 3
Determine whether each of the following arguments is strong or weak. Hence, determine whether the strong argument is
cogent.
CONTOH (a) Premis 1: 2 ialah kecerunan bagi garis lurus
Premis 1: Kerusi di kelas adalah berwarna putih. y = 2x – 1.
Premise 1: 2 is the gradient of the straight line
Premise 1: Chairs in the classroom are white. y = 2x – 1.
Premis 2: Kerusi di pejabat sekolah adalah
berwarna putih. Premis 2: 3 ialah kecerunan bagi garis lurus
y = 3x + 4.
Premise 2: Chairs in the school office are white.
Premise 2: 3 is the gradient of the straight line y = 3x + 4.
Premis 3: Kerusi di perpustakaan adalah berwarna
putih. Premis 3: 4 ialah kecerunan bagi garis lurus BAB 3
y = 4x + 8.
Premise 3: Chairs in the library are white.
Premise 3: 4 is the gradient of the straight line y = 4x + 8.
Premis 4: Kerusi di dewan adalah berwarna putih.
Kesimpulan: Semua garis lurus mempunyai
Premise 4: Chairs in the hall are white.
kecerunan positif.
Kesimpulan: Semua kerusi di sekolah adalah
berwarna putih. Conclusion: All straight lines have positive gradient.
Conclusion: All chairs in the school are white. Hujah ini lemah kerana walaupun premis benar
tetapi kesimpulan adalah palsu.
Penyelesaian:
Hujah ini lemah kerana walaupun premis benar This argument is weak because although the premises
tetapi kesimpulan mungkin palsu.
are true, but the conclusion is false.
This argument is weak because although the premises are
true, but the conclusion is probably false.
(b) Premis 1: 3 × 5 = 15 (c) Premis 1: 3 ialah faktor bagi 30.
Premise 1: 3 × 5 = 15 Premise 1: 3 is a factor of 30.
Premis 2: 6 × 5 = 30 Premis 2: 5 ialah faktor bagi 30.
Premise 2: 6 × 5 = 30 Premise 2: 5 is a factor of 30.
Kesimpulan: Semua gandaan 5 berakhir dengan 0 Kesimpulan: Semua faktor 30 ialah nombor
atau 5. ganjil.
Conclusion: All multiples of 5 end with 0 or 5. Conclusion: All the factors of 30 are odd numbers.
Hujah ini kuat dan meyakinkan kerana kesemua Hujah ini lemah kerana walaupun premis benar
premis dan kesimpulan adalah benar. tetapi kesimpulan adalah palsu.
This argument is strong and cogent because all the This argument is weak because the premises are true
but the conclusion is false.
premises and conclusion are true.
(d) Premis 1: 58 ÷ 54 ÷ 52 = 52 (e) Premis 1: 2 ialah integer.
Premise 1: 58 ÷ 54 ÷ 52 = 52 Premise 1: 2 is an integer.
Premis 2: 75 ÷ 7(–2) ÷ 77 = 70 Premis 2: 3 ialah integer.
Premise 2: 75 ÷ 7(–2) ÷ 77 = 70 Premise 2: 3 is an integer.
Premis 3: 9(–4) ÷ 9(–3) ÷ 92 = 9(–3) Premis 3: 5 ialah integer.
Premise 3: 9(–4) ÷ 9(–3) ÷ 92 = 9(–3) Premise 3: 5 is an integer.
Kesimpulan: ep ÷ eq ÷ er = ep – q – r Premis 4: 7 ialah integer.
Conclusion: ep ÷ eq ÷ er = ep – q – r Premise 4: 7 is an integer.
Hujah ini kuat dan meyakinkan kerana kesemua Kesimpulan: Semua integer adalah nombor
premis dan kesimpulan adalah benar. perdana.
This argument is strong and cogent because all the Conclusion: All integers are prime numbers.
premises and conclusion are true. Hujah ini lemah kerana walaupun premis benar
tetapi kesimpulan adalah palsu.
This argument is weak because although the premises
are true, but the conclusion is false.
47 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
23. Bentukkan satu kesimpulan induktif bagi setiap hujah berikut. TP 3
Form an inductive conclusion of each of the following arguments.
CONTOH (a) –1, 3, 7, 11, … (b) –8, –1, 18 , 55, …
1, 16, 81, 256, … –1 = 4(0) – 1 –8 = 13 – 9
3 = 4(1) – 1 –1 = 23 – 9
1 = 14 7 = 4(2) – 1 18 = 33 – 9
16 = 24 11 = 4(3) – 1 55 = 43 – 9
81 = 34
256 = 44
Penyelesaian: 4n – 1, n = 0, 1, 2, 3, … n3 – 9, n = 1, 2, 3, 4, …
n4, n = 1, 2, 3, 4, …
BAB 3 ...
(c) 7, 8, 11, 16, … ...(d) –2, 7, 22, 43, …(e) 0.25, 0.1111...,
0.0625, 0.04, ...
7 = 7 + 02 ... ... –2 = 3(1)2 – 5
8 = 7 + 12 7 = 3(2)2 – 5 0.25 = 1
11 = 7 + 22 ... 22 = 3(3)2 – 5 4
16 = 7 + 32 ... 43 = 3(4)2 – 5 1
0.1111 = 9
0.0625 = 1
7 + n2, n = 0, 1, 2, 3, … 3n2 – 5, n = 1, 2, 3, 4, … 16
1
0.04 = 25
1
(n + 1)2 , n = 1, 2, 3, 4, …
24. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Bilangan sisi bagi sebuah poligon, (b) Jika x ialah nombor nyata, maka x2
The number of side of a polygon,
kurang daripada atau sama dengan x3.
n = sudut 360°
peluaran / exterior angle If x is a real number, then x2 is less than or
equal to x3.
Cari bilangan sisi bagi sebuah poligon jika sudut Nana
peluarannya ialah 72°. Nyatakan nama bagi Adakah pernyataan Nana di atas adalah benar?
poligon ini. TP 4
Tunjukkan bukti anda. TP 4
Find the number of sides of a polygon if the exterior
angle is 72°. State the name of this polygon. Is Nana’s statement true? Show your proof.
Kenyataan Nana adalah palsu.
n = 360° Nana’s statement is false.
peluaran / exterior
sudut angle x = –1
n = 360° = 5 (–1)2 = 1 Berikan satu contoh
72° (–1)3 = –1 penyangkal.
(–1)2 > (–1)3 Give a counter-example.
Poligon itu ialah pentagon.
The polygon is a pentagon.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 48
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
(c) Pada suatu acara amal, jumlah kutipan derma, dalam RM, untuk rumah anak-anak yatim telah
bertambah mengikut rumus C(t) = (t + 12)2 dengan keadaan t ialah bilangan jam. TP 5
In a charity event, the total donation, in RM, for orphanage has increase according to a formula C(t) = (t + 12)2 where
t is the number of hours.
(i) Buat satu kesimpulan deduktif mengenai jumlah kutipan derma selepas 8 jam.
Make a deductive conclusion on the total donation after 8 hours.
C(8) = (8 + 12)2
= RM400
(ii) Pada jam ke berapakah kutipan derma berjumlah RM625?
At which hour the total donation is RM625?
(t + 12)2 = 625 BAB 3
t2 + 24t + 144 – 625 = 0
t2 + 24t – 481 = 0
t = 13 , t = –37 (tidak diterima / not accepted)
Maka, kutipan derma berjumlah RM625 pada jam ke-13.
Thus, total donation is RM625 at the 13th hour.
(d) Jumlah penduduk di Bandar Pelangi adalah berdasarkan rumus J(t) = 3 000 (t2 + t + 1), dengan keadaan
t ialah bilangan tahun. Jumlah penduduk pada 1 Januari 2016 ialah 3 000 orang. Tempoh satu tahun
bermula dari 1 Januari hingga 31 Disember. TP 6
The number of residents in Bandar Pelangi is according to the formula J(t) = 3 000 (t2 + t + 1), such that t is the
number of years. The number of residents on 1st January 2016 was 3 000 people. The one-year period runs from 1st
January to 31st December.
(i) Berapakah jumlah penduduk di Bandar Pelangi pada tahun ke-6?
How many residents are there in Bandar Pelangi on the 6th year?
J(6) = 3 000 (62 + 6 + 1)
= 129 000
Jumlah penduduk di bandar Pelangi pada tahun ke-6 ialah 129 000.
The number of residents in Bandar Pelangi on the 6th year is 129 000.
(ii) Pada tahun keberapakah, jumlah penduduk di Bandar Pelangi akan mencapai 93 000 orang?
In which year, the number of residents in Bandar Pelangi will reach 93 000 people?
J(t) = 93 000
3 000(t2 + t + 1) = 93 000
(t2 + t + 1) = 31
t2 + t – 30 = 0
(t – 5)(t + 6) = 0
t = 5 atau / or t = –6 (tidak diterima/ not accepted)
Maka, jumlah penduduk di Bandar Pelangi akan mencapai 93 000 orang pada tahun ke-5.
Thus, the number of residents in Bandar Pelangi will reach 93 000 people on the 5th year.
(iii) Berapakah jumlah peningkatan penduduk di Bandar Pelangi dari tahun 2016 hingga ke tahun
2022?
What is the total increase in the number of residents in Bandar Pelangi from the year 2016 to the year 2022?
P ada tahun 2022, t = 7. / In 2022, t = 7.
J(7) = 3 000(72 + 7 + 1) = 171 000
Jumlah peningkatan penduduk di Bandar Pelangi
The total increase in the number of residents in Bandar Pelangi
= 171 000 – 129 000 = 42 000
49 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik SPM 3
PRAKTIS
BAB 3 Kertas 2 (a) (i) Benar / True
(ii) Jika suatu sudut ialah sudut refleks, maka
1. (a) (i) Tentukan sama ada pernyataan yang sudut itu terletak antara 180° hingga 360°.
SPM berikut adalah benar atau palsu. If an angle is a reflex angle, then the angle lies
2018 Determine whether the following statement is between 180° and 360°.
true or false.
(b) 6 ialah nombor genap.
Angka bererti bagi 0.0001437 ialah 4.
6 is an even number.
The significant figure of 0.0001437 is 4.
(c) 4p(7)2 = 196p
2. (a) Nyatakan sama ada ayat berikut adalah
(ii) Tulis akas bagi implikasi yang berikut. SPM pernyataan atau bukan pernyataan.
20 19 State whether the following sentence is a statement.
Write down the converse for the following
implication. 3m2 + 5n
Jika suatu sudut terletak antara 180° (b) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan
hingga 360°, maka sudut itu ialah sudut majmuk yang berikut.
refleks. Write two implications based on the following
compound statement.
If an angle lies between 180° and 360°, then
the angle is a reflex angle. r boleh dibahagi tepat dengan 6 jika dan
hanya jika r boleh dibahagi tepat dengan 2.
(b) Tulis Premis 2 untuk melengkapkan hujah
yang berikut. r is divisible by 6 if and only if r is divisible
by 2.
Write down Premise 2 to complete the following
argument.
Premis 1: Jika p ialah nombor genap, (c) Buat satu kesimpulan induktif bagi urutan
maka p boleh dibahagi tepat
dengan 2. nombor 2, 51, 184, 443, …, yang mengikut
Premise 1: If p is an even number, then p is pola berikut:
divisible by 2.
Make a conclusion by induction for the sequence
Premis 2: / Premise 2: ...................................... of numbers 2, 51, 184, 443, …, which follows the
Kesimpulan: 6 boleh dibahagi tepat dengan following pattern:
2. 2 = 7(1) –5
Conclusion: 6 is divisible by 2. 51 = 7(8) – 5
(c) Berdasarkan maklumat berikut, buat satu 184 = 7(27) – 5
443 = 7(64) – 5
kesimpulan bagi hujah deduktif untuk luas
permukaan sfera yang mempunyai jejari 7 cm.
Based on the information, make a conclusion of (a) Bukan pernyataan
deductive argument for the surface area of sphere
with radius 7 cm. Not a statement
Luas permukaan sfera yang mempunyai (b) Implikasi 1: Jika r boleh dibahagi tepat
jejari j cm ialah 4pj2. dengan 6, maka r boleh dibahagi
tepat dengan 2.
The surface area of a sphere with radius j cm is
4pj2. Implication 1: If r is divisible by 6, then r is divisible
by 2.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 50
Implikasi 2: Jika r boleh dibahagi tepat Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik
dengan 2, maka r boleh
dibahagi tepat dengan 6. (c) Buat satu kesimpulan bagi hujah induktif
untuk urutan nombor –6, –3, 2, 9, ... yang
Implication 2: If r is divisible by 2, then r is divisible mengikut pola berikut:
by 6.
Make a conclusion of inductive argument for the
(c) 2 = 7(1)3 – 5 sequence of numbers –6, –3, 2, 9, ... which follows
the following pattern:
51 = 7(2)3 – 5
–6 = (1)2 – 7
184 = 7(3)3 – 5 –3 = (2)2 – 7
2 = (3)2 – 7
443 = 7(4)3 – 5 9 = (4)2 – 7
(a) (i) Semua pentagon mempunyai lima sisi.
7n3 – 5, n = 1, 2, 3, 4, …
All pentagons have five sides.
3. (a) Bentukkan suatu pernyataan benar dengan BAB 3
(ii) Sebilangan faktor bagi 10 adalah faktor
BUKAN menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau bagi 20.
RUTIN ‘sebilangan’ berdasarkan objek dan ciri yang
Some factors of 10 are factors of 20.
diberikan bagi setiap yang berikut.
(b) (i) Antejadian: 5 ialah nombor perdana.
Construct a true statement using the quantifier ‘all’
Antecedent: 5 is a prime number.
or ‘some’ based on the given object and property in
Akibat: 5 hanya boleh dibahagi tepat
each of the following. dengan 1 dan 5.
(i) Objek: pentagon Consequent: 5 can only be divisible by 1 and 5.
Object: pentagons (ii) Akas: Jika k5 ialah nombor negatif, maka k
ialah nombor negatif.
Ciri: lima sisi
Converse: If k5 is a negative number, then k is a
Property: five sides
negative number.
(ii) Objek: faktor bagi 10
Kontrapositif: Jika k5 bukan nombor
Object: factors of 10 negatif, maka k bukan
nombor negatif.
Ciri: faktor bagi 20
Contrapositive: If k5 is not a negative number,
Property: factors of 20
then k is not a negative number.
(b) (i) Nyatakan antejadian dan akibat bagi
implikasi yang berikut. (c) n2 – 7, dengan keadaan / such that n = 1, 2, 3,
4, …
State the antecedent and consequent of the
following implications. Praktis
SPM
Jika 5 ialah nombor perdana, maka 5 Ekstra
hanya boleh dibahagi tepat dengan 1
dan 5.
If 5 is a prime number, then 5 can only be
divisible by 1 and 5.
(ii) Nyatakan akas dan kontrapositif bagi
implikasi yang berikut.
State the converse and contrapositive of the
following implication.
Jika k ialah nombor negatif, maka k5
ialah nombor negatif.
If k is a negative number, then k5 is a
negative number.
51 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 3 Penaakulan Logik KBAT KBAT
Sudut Ekstra
1. Diberi bahawa / Given that 2. Jadual di bawah menunjukkan tiga jenis warna
–4 = a(1)2 – b dan contoh bagi jenis warna tersebut.
5 = a(2)2 – b
20 = a(3)2 – b The table below shows three type of colours and
41 = a(4)2 – b example of the type of colours.
BAB 3 Warna asas Warna Warna
(a) Cari nilai a dan b. sekunder tertier
Primary colour
Find the values of a and b. Secondary Tertiary colour
– Kuning colour
(b) Dengan menggunakan nilai a dan b yang – Merah-
diperoleh, buat satu kesimpulan bagi hujah Yellow – Ungu jingga
induktif untuk urutan nombor –4, 5, 20, 41, ...
yang mengikut pola seperti yang ditunjukkan – Biru Purple Red-orange
di atas. Blue – Kuning-
– Merah – Hijau
By using the value of a and b obtained, make a Red Green jingga
conclusion of inductive argument for the sequence – Jingga Yellow-
of numbers –4, 5, 20, 41, ... which follows the
patterns as shown above. Orange orange
(c) Cari perbezaan antara sebutan ke-15 dengan – Biru-hijau
sebutan ke-12.
Blue-green
Find the difference between the 15th term and the
12th term. Berdasarkan jadual di atas, bentukkan tiga
implikasi “jika p, maka q”.
Jawapan / Answer:
Based on the table above, form three implications “if p,
(a) a – b = –4 … then q”.
4a – b = 5 …
Daripada / From : a = b – 4 …
Gantikan ke dalam : Jawapan / Answer :
Substitute into :
Jika suatu warna ialah warna kuning, biru atau
merah, maka warna itu ialah warna asas.
If a colour is yellow, blue or red, then that colour is the
primary colour.
4(b – 4) – b = 5 Jika suatu warna ialah warna ungu, hijau atau
4b – 16 – b = 5
3b = 21 jingga, maka warna itu ialah warna sekunder.
b = 7
Apabila / When b = 7, If a colour is purple, green or orange, then that colour
a = 7 – 4 is a secondary colour.
= 3
Jika suatu warna ialah warna merah-jingga,
(b) 3n2 – 7, dengan keadaan / such that n = 1, 2, 3,
... kuning-jingga atau biru-hijau, maka warna itu
ialah warna tertier.
If a colour is red-orange, yellow-orange or blue-green,
then that colour is a tertiary colour.
(c) Apabila / When n = 12, 3(12)2 – 7 = 425 Kuiz 3
Apabila / When n = 15, 3(15)2 – 7 = 668
Beza / Difference = 668 – 425
= 243
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 52
BAB Operasi Set
4 Operations on Sets
4.1 Persilangan Set
Intersection of Sets
NOTA IMBASAN Contoh / Example: NOTA
ξ = {6, 7, 8, 9, 10, 11}
1. Persilangan bagi dua set, A dan B ialah set yang A = {6, 7, 8, 9}
mengandungi unsur-unsur sepunya daripada set A dan B = {8, 9, 10, 11}
set B. A ∩ B = {8, 9}
The intersection of two sets, A and B is a set that contains the (A ∩ B)’ = {6, 7, 10, 11}
common elements in set A and set B.
3. Contoh set persilangan dua set dalam gambar rajah
Persilangan set A dan set B ditulis sebagai A ∩ B. Venn.
The intersection of set A and set B is written as A ∩ B. An example of intersection of two sets in Venn diagram:
2. Pelengkap bagi persilangan set A dan set B ialah set B
yang tidak terkandung dalam persilangan dua set itu. A
The complement of the intersection of set A and set B is a set
which elements not included in the intersection of the two
sets.
Pelengkap bagi persilangan set A dan set B ditulis
sebagai (A ∩ B)’.
The complement of the intersection of set A and set B is written
as (A ∩ B)’.
Persilangan set A dan set B
The intersection of set A and set B
A∩B
1. Lorekkan rantau yang mewakili persilangan set pada gambar rajah Venn yang diberikan. TP 1
Shade the region represented by the intersection of sets on the given Venn diagram.
CONTOH (a) P ∩ Q (b) P ∩ Q Q
A ∩ B P P
B Q
A
(c) P ∩ R (d) Q ∩ R R
P QP (e) P ∩ Q ∩ R
Q PQ
RRR
53 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
2. Huraikan persilangan set P dan set Q menggunakan (i) perihalan, (ii) penyenaraian, (iii) tatatanda pembina set
dan (iv) gambar rajah Venn. TP 3
Describe the intersection of set P and set Q using (i) descriptions, (ii) listing, (iii) set builder notation and (iv) Venn diagram.
CONTOH (i) Persilangan set P dan set Q ialah set yang terdiri daripada
P = {x : x ialah gandaan 3 dan 1 x 18} gandaan 6 kurang daripada 13.
Intersection of set P and set Q is a set of multiples of 6 that are
P = {x : x is a multiple of 3 and 1 x 18} less than 13.
Q = {nombor genap antara 2 hingga 14} (ii) P ∩ Q = {6, 12}
Q = {even numbers between 2 to 14} (iii) P ∩ Q = {x : x ialah gandaan 6 dan x 13}
Penyelesaian: P ∩ Q = {x : x is a multiple of 6 and x 13}
P = {3, 6, 9, 12, 15}
Q = {4, 6, 8, 10, 12} (iv) P Q
34
6
98
12
15 10
BAB 4 (a) P = {x : x ialah gandaan bagi 2 dan (i) Persilangan set P dan set Q ialah set yang terdiri daripada
1 x 20} kuasa dua bagi gandaan 2 yang kurang daripada 17.
P = {x : x is a multiple of 2 and 1 x 20} Intersection of set P and set Q is a set of squares of mutliples of
Q = {x : x ialah nombor kuasa dua 2 that are less than 17.
sempurna dan 1 x 16}
(ii) P ∩ Q = {4, 16}
Q = {x : x is a perfect square and 1 x 16}
(iii) P ∩ Q = {x : x ialah kuasa dua bagi gandaan 2 dan x 17}
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Q = {1, 4, 9, 16} {x : x is a squares of mutliples of 2 and x 17}
(iv) P Q
10 4 1
2 16 9
12
6
14
8
18
(b) P = {translasi, putaran, pantulan, (i) Persilangan set P dan set Q ialah set yang terdiri daripada
pembesaran} transformasi isometri.
P = {translation, rotation, reflection, Intersection of set P and set Q is a set of isometric transformations
enlargement}
(ii) P ∩ Q = {translasi, putaran, pantulan}
Q = {translasi, putaran, pantulan} P ∩ Q = {translation, rotation, reflection}
Q = {translation, rotation, reflection} (iii) P ∩ Q = {x : x ialah transformasi isometri}
{x : x is an isometric transformation}
(iv)
PQ
pembesaran translasi
enlargement translation
putaran
rotation
pantulan
reflection
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 54
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
3. Wakilkan set-set yang berikut pada gambar rajah Venn. TP 3
Represent the sets given on a Venn diagram.
CONTOH (a) P = {a, b, c, d, e}
Q = {f, g, h, i, j}
A = {2, 4, 6, 8, 10} Q
B = {8, 10, 12, 14, 16} P∩Q= fi
Penyelesaian: P gj
A ∩ B = {8, 10} a
h
A B bd
2 12
8 ce
4 14
10
6
16
(b) P = {x : x ialah integer dan 1 < x < 10} (c) P = {x : x ialah gandaan 4 dan 1 < x < 20} BAB 4
P = {x : x is an integer and 1 < x < 10} P = {x : x is a multiple of 4 and 1 < x < 20}
Q = {x : x ialah nombor perdana dan 3 , x , 7} Q = {x : x ialah gandaan 5 dan 1 < x < 20}
Q = {x : x is a prime number and 3 , x , 7} Q = {x : x is a multiple of 5 and 1 < x < 20}
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} P = {4, 8, 12, 16, 20}
Q = {5} Q = {5, 10, 15, 20}
P ∩ Q = {5} P ∩ Q = {20}
P 1 2 P 20 Q
5 3 4 5
10
Q 8 10
9 12 15
8 4 16
7 6
(d) P = {x : x ialah integer positif dan 20 , x , 30} (e) P = {p, e, l, a, n, g, i}
Q = {p, e, t, a, n, g}
P = {x : x is a positive integer and 20 , x , 30} R = {huruf vokal}
Q = {x : x ialah nombor perdana dan 20 , x , 30} R = {vowels}
Q = {x : x is a prime number and 20 , x , 30}
P = {21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29} P ∩ Q = {p, e, a, n, g}
Q = {23, 29} R = {a, e, i, o, u}
P ∩ Q = {23, 29}
P ∩ Q ∩ R = {e, a}
P 27 Qt
21
28 P pn R
22 l ge
24 Q o
23 a u
25 29 i
26
55 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
4. Diberi ialah set semesta, lorekkan rantau yang mewakili persilangan set pada gambar rajah Venn yang
diberikan. TP 2
Given is a universal set, shade the region represented by the intersection of sets on the given Venn diagram.
CONTOH (a) C ∩ D’ (b) P’ ∩ Q
K’ ∩ L C D Q
L P
K L K
∩
KЈ L
(c) R’ ∩ S ∩ T (d) E ∩ F’ ∩ G’
K
L RS EF
BAB 4 KЈ പ L TG
5. Senaraikan unsur-unsur pelengkap bagi persilangan set berikut. TP 3
List the elements for the complement of the intersection of the following sets.
CONTOH (a) = {51, 52, 53, 54, 55, 56, 57} (b) = {M, A, L, A, Y, S, I, A}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
P = {2, 3, 7, 8, 10} M = {51, 53, 55, 57} U = {A, S, I, A}
Q = {1, 4, 7, 9, 10}
N = {52, 53, 54, 55} V = {S, A, L, A, M]
Penyelesaian:
P ∩ Q = {7, 10} M ∩ N = {53, 55} U ∩ V = {A, S, A}
(P ∩ Q)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} (M ∩ N)’ = {51, 52, 54, 56, 57} (U ∩ V)’ = {M, L, A, Y, I}
(c) = {x : x ialah integer dan (d) = {x : x ialah integer dan (e) = {x : x ialah integer dan
1 x 10}
= {x : x is an integer and 10 , x 24} 30 x 41}
1 x 10} = {x : x is an integer and = {x : x is an integer and
G = {faktor bagi 56} 10 , x 24} 30 x 41}
G = {factors of 56} S = {x : x ialah gandaan 3} J = {x : x ialah nombor
S = {x : x is a multiple of 3}
H = {faktor bagi 64} perdana}
T = {x : x ialah gandaan 4}
H = {factors of 64} T = {x : x is a multiple of 4} J = {x : x is a prime number}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} K = {x : x ialah nombor ganjil}
G = {1, 2, 4, 7, 8} K = {x : x is an odd number}
H = {1, 2, 4, 8}
= {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, L = {nombor dengan digit 3}
G ∩ H = {1, 2, 4, 8} 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24} L = {number with digit 3}
(G ∩ H)’ = {3, 5, 6, 7, 9, 10}
S = {12, 15, 18, 21, 24} = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36,
T = {12, 16, 20, 24} 37, 38, 39, 40, 41}
S ∩ T = {12, 24} J = {31, 37, 41}
(S ∩ T)’ = {11, 13, 14, 15, 16, K = {31, 33, 35, 37, 39, 41}
L = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36,
17, 18, 19, 20, 21, 37, 38, 39}
J ∩ K ∩ L = {31, 37}
22, 23}
(J ∩ K ∩ L)ʹ = {30, 32, 33, 34,
35, 36, 38, 39,
40, 41}
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 56
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
6. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Dalam gambar rajah Venn di sebelah, n(A) = 10, n(B) = 13, AB
n(A ∩ B) = x dan n(A ∪ B) = 18. TP 4 x
In the Venn diagram, n(A) = 10, n(B) = 13, n(A ∩ B) = x and n(A ∪ B) = 18.
(i) Tulis bilangan unsur dalam A tetapi tidak dalam B, dalam sebutan x.
Write the number of elements in A but not in B, in terms of x.
(ii) Tulis bilangan unsur dalam B tetapi tidak dalam A, dalam sebutan x.
Write the number of elements in B but not in A, in terms of x.
(iii) Seterusnya, cari nilai unsur yang terdapat di dalam A dan B.
Hence, find the value of elements in A and B.
(i) 10 – x
(ii) 13 – x
(iii) 10 – x + x + 13 – x = 18
23 – x = 18
–x = 18 – 23 BAB 4
x = 5
(b) Terdapat 45 orang pelajar perempuan di SMK Sinar Pelangi. 23 orang daripada pelajar perempuan
tersebut bermain bola jaring dan 18 orang daripada pelajar perempuan tersebut bermain hoki. 6 orang
pelajar tidak bermain kedua-duanya. Lukis gambar rajah Venn untuk menggambarkan situasi ini dan
hitung bilangan pelajar yang bermain kedua-dua jenis permainan tersebut. TP 4
There are 45 female students at SMK Sinar Pelangi. 23 of the female students played netball and 18 of the female
students played hockey. 6 students did not play both. Draw a Venn diagram to illustrate this situation and calculate
the number of students who played both types of games.
Bilangan pelajar yang bermain kedua-dua permainan ξB H
The number of students who played both games
23 – x + x + 18 – x + 6 = 45 23 – x x 18 – x
47 – x = 45 6
x = 47 – 45
= 2
(c) Di sebuah sekolah, murid diwajibkan mengambil sekurang-kurangnya satu daripada subjek berikut;
Matematik, Fizik atau Kimia. Antara 50 orang murid, 7 orang mengambil kesemua subjek, 9 orang
mengambil Fizik dan Kimia sahaja, 8 orang mengambil Matematik dan Fizik sahaja, 5 orang mengambil
Matematik dan Kimia sahaja, x orang mengambil Matematik sahaja, x orang mengambil Fizik sahaja
dan (x + 3) orang mengambil Kimia sahaja. Lukis gambar rajah Venn untuk mewakili situasi ini dan
seterusnya cari bilangan pelajar yang mengambil Matematik. TP 5
In a school, students are required to take at least one of the following subjects; Mathematics, Physics or Chemistry.
Among 50 students, 7 take all subjects, 9 take Physics and Chemistry only, 8 take Mathematics and Physics only,
5 take Mathematics and Chemistry only, x take Mathematics only, x take Physics only and (x + 3) take Chemistry
only. Draw a Venn diagram to represent this situation and then find the number of students taking Mathematics.
x + x + (x + 3) + 5 + 8 + 9 + 7 = 50 ξM K
3x + 32 = 50 x 5 (x + 3)
87 9
3x = 18
x = 6 xF
Bilangan pelajar yang mengambil Matematik
The number of students who take Mathematics
= 6 + 8 + 5 + 7 = 26
57 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
4.2 Kesatuan Set
Union of Sets
NOTA IMBASAN Pelengkap bagi kesatuan set A dan set B ditulis sebagai
1. Set kesatuan ialah set yang mengandungi semua unsur (A ∪ B)’.
dalam set A dan set B.
The union of set is the set of all elements included in set A and The complement of the union of set A and set B is written as
set B.
(A ∪ B)’.
Set kesatuan bagi set A dan set B ditulis sebagai A ∪ B.
The union of set A and set B can be written as A ∪ B. Contoh / Example:
2. Pelengkap bagi kesatuan set A dan set B ialah set yang ξ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
tidak terkandung dalam kesatuan dua set itu.
The complement of the union of two sets, set A and set B is a A = {1, 2, 3, 4}
set which elements not included in the two sets.
B = {4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(A ∪ B)’ = {8, 9, 10} NOTA
BAB 4 7. Lorekkan rantau yang mewakili kesatuan set pada gambar rajah Venn yang diberikan. TP 1
Shade the region represented by the union of sets on the given Venn diagram.
CONTOH (a) R ∪ S (b) T ∪ U (c) V ∪ W ∪ X
P∪Q
T W
QR S U V
P
X
8. Huraikan kesatuan set S dan set T menggunakan (i) penyenaraian, (ii) tatatanda pembina set dan (iii) gambar
rajah Venn. TP 3
Describe the union of set S and set T using (i) listing, (ii) set builder notation and (iii) Venn diagram.
CONTOH (i) S ∪ T = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
S = {gandaan 2 yang kurang daripada 16} (ii) S ∪ T = {x : x ialah gandaan 2 dan x 16}
S = {multiples of 2 which are less than 16} S ∪ T = {x : x is a multiple of 2 and x 16}
T = {gandaan 4 yang kurang daripada 20} (iii) S T
T = {multiples of 4 which are less than 20} 2
4
Penyelesaian:
S = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} 6
T = {4, 8, 12, 16} 8 16
S ∩ T = {4, 8, 12}
10
12
14
(a) S = {x : x ialah nombor perdana dan 3 < x , 20} (i) S ∪ T = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
S = {x : x is a prime number and 3 < x , 20} (ii) S ∪ T = {x : x ialah nombor ganjil dan / is odd
T = {nombor ganjil kurang daripada 20} number and 1 < x 20}
T = {odd number which are less than 20} (iii) S T
S = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} 3 1
T = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} 13 9
S ∩ T = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
5
17
7
19 15
11
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 58
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
9. Tentukan kesatuan bagi set yang diberikan. TP 3
Determine the union for the given sets.
CONTOH (a) G = {r, o, t, i} (b) G = { huruf dalam perkataan
A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 5, 6} H = {b, i, s, k, u, t} ‘SARAWAK’}
Penyelesaian:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G ∪ H = {r, o, t, i, b, s, k, u} G = {letters in word ‘SARAWAK’}
Kesalahan Lazim H = {huruf dalam perkataan
‘SARIKEI’}
A B = {1, 2, 3, 4, 4, 5, 6}
• 4 ialah unsur yang sama. H = {letters in word ‘SARIKEI’}
4 is the same element.
G = {S, A, R, W, K}
H = {S, A, R, I, K, E}
G ∪ H = {S, A, R, W, K, I, E}
(c) G = {bulan yang mempunyai 31 (d) P = {x : x ialah nombor genap (e) P = {faktor bagi 3} BAB 4
hari} yang kurang daripada 12}
P = {factors of 3}
G = {month that has 31 days} P = {x : x is an even number
which is less than 12} Q = {faktor bagi 4}
H = {bulan yang bermula dengan
huruf J} Q = {x : x ialah nombor ganjil Q = {factors of 4}
yang kurang daripada 12}
H = {month starts with letter J} R = {nombor perdana antara
Q = {x : x is an odd number 1 dengan 6}
G = {Januari, Mac, Mei, Julai, which is less than 12}
R = {prime numbers between 1
Ogos, Oktober, Disember} P = {2, 4, 6, 8, 10} and 6}
Q = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
{January, March, May, July, P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, P = {1, 3}
Q = {1, 2, 4}
August, October, December} 9, 10, 11} R = {2, 3, 5}
P ∪ Q ∪ R = {1, 2, 3, 4, 5}
H = {Januari, Jun, Julai}
{January, June, July}
G ∪ H = {Januari, Mac, Mei, Jun,
Julai, Ogos, Oktober,
Disember}
{January, March, May,
June, July, August,
October, December}
10. Lorekkan rantau yang mewakili kesatuan set pada gambar rajah Venn yang diberikan. TP 1
Shade the region represented by the union of sets in the given Venn diagram.
CONTOH (a) E’ ∪ F (b) E ∪ F’
E ∪ F’ E F E
Penyelesaian: F
E F E F
E FЈ
(c) E ∪ F ∪ G’ (d) E ∪ F’ ∪ G
F F E F G
E E
E ʜ FЈ G
59 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
11. Senaraikan unsur-unsur pelengkap bagi kesatuan set berikut. TP 3
List the elements for the complement of the union of the following sets.
CONTOH (a) = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K} (b) = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} K = {B, I, J, A, K} K = {12, 14, 16}
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 5, 7, 8} L = {J, I, K, A} L = {11, 13, 15, 17}
Penyelesaian: K ∪ L = {A, B, I, J, K} K ∪ L = {11, 12, 13, 14, 15,
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} (K ∪ L)’ = {C, D, E, F, G, H} 16, 17}
(A ∪ B)’ = {6}
(K ∪ L)’ = ø
(c) = {x : x ialah integer positif (d) = {x : x ialah integer positif (e) = {faktor bagi 72}
dan 1 x 15} dan 1 x 15} = {factors of 72}
= {x : x is a positive integer and = {x : x is a positive integer and K = {nombor perdana}
K = {prime numbers}
1 x 15} 1 x 15}
L = {nombor kuasa dua
K = {gandaan 2} K = {faktor bagi 16}
K = {multiples of 2} K = {factors of 16} sempurna}
L = {nombor ganjil antara 4 L = {x : x ialah nombor yang L = {perfect squares}
BAB 4
dengan 10} boleh dibahagi dengan 4} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18,
L = {odd numbers between 4 and L = {x : x is a number divisible by 24, 36, 72}
10} 4} K = {2, 3}
K = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} K = {1, 2, 4, 8} L = {1, 4, 9, 36}
L = {5, 7, 9}
K ∪ L = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, L = {4, 8, 12} K ∪ L = {1, 2, 3, 4, 9, 36}
12, 14} (K ∪ L)’ = {6, 8, 12, 18, 24,
K ∪ L = {1, 2, 4, 8, 12} 72}
(K ∪ L)’ = {1, 3, 11, 13, 15} (K ∪ L)’ = {3, 5, 6, 7, 9, 10, 11,
13, 14, 15}
12. Cari setiap yang berikut. TP 3
Find each of the following.
(i) P ∪ Q (ii) P ∪ R (iii) Q ∪ R’ (iv) P ∪ Q ∪ R (v) P’ ∪ Q ∪ R (vi) P’ ∪ Q’ ∪ R
CONTOH (a) Diberi bahawa / Given that
ξ = {x : 1 < x < 12, x ialah integer positif}
Diberi bahawa / Given that
ξ = {p, q, r, s, t, x, y, z} ξ = {x : 1 < x < 12, x is a positive integer}
P = {p, q, r}
Q = {r, s, t} P = {2, 3, 4, 8, 12}
R = {x, y, z} Q = {3, 8, 10, 11}
R = {1, 2, 3}
Penyelesaian:
P’ = {s, t, x, y, z} P’ = {1, 5, 6, 7, 9, 10, 11}
Q’ = {p, q, x, y, z} Q’ = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 12}
R’ = {p, q, r, s, t} R’ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
(i) P ∪ Q = {p, q, r, s, t} (i) P ∪ Q = {2, 3, 4, 8, 10, 11, 12}
(ii) P ∪ R = {p, q, r, x, y, z} (ii) P ∪ R = {1, 2, 3, 4, 8, 12}
(iii) Q ∪ R’ = {p, q, r, s, t} (iii) Q ∪ R’ = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
(iv) P ∪ Q ∪ R = {p, q, r, s, t, x, y, z} (iv) P ∪ Q ∪ R = {1, 2, 3, 4, 8, 10, 11, 12}
(v) P’ ∪ Q = {r, s, t, x, y, z} (v) P’ ∪ Q = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
P’ ∪ Q ∪ R = {r, s, t, x, y, z} P’ ∪ Q ∪ R = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}
(vi) P’ ∪ Q’ = {p, q, s, t, x, y, z} (vi) P’ ∪ Q’ = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12}
P’ ∪ Q’ ∪ R = {p, q, s, t, x, y, z} P’ ∪ Q’ ∪ R = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12}
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 60
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
13. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Set A dan set B bersilang dengan keadaan n(A ∩ B) = 7, n(A) = 20 dan n(B) = 23. Hitung n(A ∪ B).
Set A and set B intersects such that n(A ∩ B) = 7, n(A) = 20 and n(B) = 23. Calculate n(A ∪ B).
n(A ∪ B) = 13 + 7 + 16 AB
= 36 13 7 16
(b) Di sebuah kelas tadika, 15 orang murid boleh mengeja ‘triangle’, 14 orang murid boleh mengeja BAB 4
‘rectangle’, 5 orang murid boleh mengeja kedua-dua perkataan dan 4 orang murid tidak boleh mengeja
kedua-duanya. Berapakah jumlah murid di dalam kelas tersebut?
In a kindergarten class, 15 students can spell ‘triangle, 14 students can spell ‘rectangle’, 5 students can spell both
words and 4 students cannot spell both. How many students are in the class?
Jumlah murid di dalam kelas tersebut ξT R
The total number of students in the class 10 5 9
= 10 + 5 + 9 + 4
= 28
4
(c) Dalam satu kumpulan seramai 65 orang, sebahagian daripadanya memakai topi, cermin mata dan
selendang. 4 orang memakai kesemuanya, 6 orang memakai topi dan cermin mata sahaja, 3 orang
memakai cermin mata dan selendang sahaja dan 8 orang memakai topi dan selendang sahaja. Bilangan
orang yang memakai topi sahaja dan cermin mata sahaja adalah x. Bilangan orang yang memakai
selendang sahaja dan tidak memakai kesemuanya adalah (x – 2). Hitung bilangan orang yang memakai
topi sahaja dan bilangan orang yang tidak memakai kesemuanya.
In a group of 65 people, some of them wore hats, glasses and scarves. 4 people wear it all, 6 people wear hats and
glasses only, 3 people wear glasses and scarves only and 8 people wear hats and scarves only. The number of people
wearing hats only and glasses only is x. The number of people wearing scarves only and not wearing them all is
(x – 2). Calculate the number of people who wear hats only and the number of people who do not wear them all.
Bilangan orang yang memakai topi sahaja ξT C
The number of people who wear hats only x6x
84 3
x + x + x – 2 + 8 + 4 + 6 + 3 + x – 2 = 65
4x + 17 = 65 S x–2 x–2
4x = 65 – 17
4x = 48
x = 12
Bilangan orang yang tidak memakai kesemuanya
The number of people who do not wear them all
= 12 – 2
= 10
61 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
4.3 Gabungan Operasi Set
Combined Operations on Sets
NOTA IMBASAN Contoh / Example:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1. Gabungan operasi set melibatkan kedua-dua A = {2, 4, 6, 8, 10}
persilangan dan kesatuan set.
Combined operations on sets involving the intersection and B = {2, 4, 8, 9}
union of sets.
Contoh / Example: C = {2, 3, 9, 10}
A = {7, 14, 21, 28, 35, 42, 49}
B = {14, 28, 42} A ∩ B ∪ C = {2, 3, 4, 8, 9, 10}
C = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48}
A ∪ B ∩ C = {42} Pelengkap bagi A ∩ B ∪ C / Complement of A ∩ B ∪ C
A ∩ B ∪ C = {6, 12, 14, 18, 24, 28, 30, 36, 42, 48}
= {1, 5, 6, 7}
2. Pelengkap bagi gabungan operasi set ialah set yang
tidak terkandung dalam gabungan operasi set itu. B
The complement of combined operations on sets is a set which A
elements not included in the combined operations on the sets.
4
68
BAB 4 2
10 9
1
53
7C
14. Selesaikan setiap yang berikut. TP 3
Solve each of the following.
CONTOH (a) Diberi bahawa / Given that
ξ = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}
Diberi bahawa / Given that : A = {30, 60, 80, 90}
B = {80}
ξ = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} C = {20, 40, 60, 80}
A = {10, 13, 15}
B = {15, 16, 17} Cari / Find:
C = {13, 15, 16, 17} (i) A ∪ B ∪ C
(ii) A ∩ (B ∪ C)
Cari / Find : (iii) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) (iii) A ∩ B ∪ C
(iv) A ∩ (B ∪ C’) (iv) A ∩ (B ∪ C’)
(i) A ∪ B ∪ C
(ii) A ∩ B ∩ C (i) A ∪ B ∪ C = {20, 30, 40, 60, 80, 90}
Penyelesaian: (ii) A ∩ (B ∪ C)
(B ∪ C ) = {20, 40, 60, 80}
(i) A ∪ B ∪ C = {10, 13, 15, 16, 17} A ∩ (B ∪ C) = {60, 80}
(ii) A ∩ B ∩ C = {15} (iii) A ∩ B ∪ C
A ∩ B = {80}
(iii) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) Lakukan operasi di dalam A ∩ B ∪ C = {20, 40, 60, 80}
(A ∪ B) = {15} kurungan dahulu.
(B ∩ C) = {15, 16, 17} Perform operation in the (iv) A ∩ (B ∪ C’)
brackets first. C’ = {10, 30, 50, 70, 90}
(B ∪ C’)= {10, 30, 50, 70, 80, 90}
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = {15} ∪ {15, 16, 17} A ∩ (B ∪ C’)= {30, 80, 90}
= {15, 16, 17}
(iv) A ∩ (B ∪ C’)
C’ = {10, 11, 12, 14, 18}
(B ∪ C’) = {10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18}
A ∩ (B ∪ C’)
= {10, 13, 15} ∩ {10, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18}
= {10, 15}
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 62
(b) Berdasarkan gambar rajah Venn di bawah, Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
cari: (i) P ∩ Q ∩ R = {5}
(ii) (Q ∪ R) = {3, 5, 7, 8, 9, 10}
Based on the Venn diagram above, find: P’ = {2, 6, 7, 8, 9}
P’ ∩ (Q ∪ R) = {7, 8, 9}
(i) P ∩ Q ∩ R P Q (iii) P ∩ Q = {3, 5}
(ii) P’ ∩ (Q ∪ R) (P ∩ Q)’ = {2, 4, 6, 7, 8, 9,10}
4 37 R = {5, 8, 9, 10}
(iii) (P ∩ Q)’ ∪ R (P ∩ Q)’ ∪ R = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
5 (iv) (P ∪ Q ∪ R)’ = {2, 6}
(iv) (P ∪ Q ∪ R)’ 10 9
2
8 6
R
15. Lorekkan rantau yang mewakili gabungan operasi set pada gambar rajah Venn yang diberikan. TP 2
Shade the region represented by the combined operations on sets in the given Venn diagram.
CONTOH (a) A ∩ (B’ ∪ C ) B (b) (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) C
P’ ∪ (Q ∩ R) A B
Penyelesaian: A
BAB 4
P QP Q
∪
R R C
PЈ (Q പ R)
(c) C’ ∪ (A ∩ B )
(d) A ∩ (B ∪ C )’
PQ AB A B
C C
R
PЈ ഫ (Q പ R)
16. Lorekkan rantau yang mewakili pelengkap bagi gabungan operasi set dalam gambar rajah Venn yang diberikan.
Shade the region that represented the complement of combined operations on sets in the given Venn diagram. TP 2
CONTOH (a) Pelengkap bagi (b) Pelengkap bagi
Pelengkap bagi / Complement of Complement of Complement of
P ∪ (Q ∩ R)
A ∩ (B ∪ C) (B ∩ C)’ ∪ A’
Penyelesaian:
A B A B
P
Q
P ∪ (Q ∩ R)
R C C
P Q
R Pelengkap bagi
Complement of
P ∪ (Q ∩ R)
63 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
17. Nyatakan hubungan yang diwakili oleh rantau berlorek dalam setiap gambar rajah Venn yang berikut. TP 2
State the relationship represented by the shaded region in each of the following Venn diagram.
CONTOH (a) (b) B
A B A B A
Penyelesaian: C C C
(A ∪ B)’ ∩ C B
A∩B∪C (A ∪ B ∪ C)’
(c) A (d) A B (e) A B
BAB 4 C C C
(A ∩ B)’ A’ ∩ B ∪ C (A ∩ B)’ ∩ C
18. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Dalam satu kajian berkaitan dengan pemilihan jenama telefon bimbit iaitu jenama S, jenama H dan
jenama L, 80 orang telah dipilih sebagai responden. Seramai 20 orang memilih jenama S, 30 orang
memilih jenama H, 6 orang memilih jenama S dan jenama L, 8 orang memilih jenama H dan jenama L,
4 orang memilih jenama S dan jenama H. Jika hanya 2 orang sahaja yang memilih ketiga-tiga jenama
telefon bimbit tersebut, hitung jumlah responden yang hanya memilih jenama L sahaja. TP 4
In a study related to the selection of mobile phone brands, namely brand S, brand H and brand L, 80 people were
selected as respondents. A total of 20 people chose S brand, 30 people chose H brand, 6 people chose S brand and
L brand, 8 people chose H brand and L brand, 4 people chose S brand and H brand. If only 2 people chose all three
mobile phone brands, calculate the number of respondents who only chose the L brand.
Bilangan responden yang memilih jenama L sahaja S H
8 4 16
The number of respondents who only chose L brand
62 8
= 80 – 8 – 16 – 4 – 6 – 8 – 2
= 36
x
L
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 64
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
(b) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hasil (c) Jadual di bawah menunjukkan warna kegemaran
kajian tentang bilangan murid yang mengambil 30 orang kanak-kanak di sebuah tadika. TP 6
tiga jenis pengangkutan yang utama ke sekolah.
The tables below shows the favorites colour of 30
Kajian tersebut dibuat ke atas 40 orang murid children in a kindergarten.
Tingkatan 4 Amal. TP 5 Warna kegemaran Bilangan kanak-
kanak
The Venn diagram below shows the result of a study on Favorite colour
Number of children
the number of students who take the three main types
of transportation to school. The study was made to the
40 students of Form 4 Amal. Biru / Blue
x
Diberi bahawa / Given that Hijau / Green 10
A = {Kereta} / A = {Car} 8
B = {Motosikal} / B = {Motorcycle} Merah / Red
C = {Bas} / C = {Bus} 4
Biru dan Hijau
Blue and Green
AB C Biru dan Merah 6
5
93 8 11 Blue and Red 3 BAB 4
Hijau dan Merah
Green and Red
Biru, Hijau dan Merah
Blue, Green and Red
Hitung bilangan murid yang: (i) Lukis gambar rajah Venn untuk mewakili
Calculate the number of students who: maklumat dalam jadual di atas.
(i) datang ke sekolah dengan motosikal sahaja, Draw a Venn diagram to represent the information
come to school by motorcycles only, in the table above.
(ii) tidak mengambil ketiga-tiga jenis (ii) Hitung nilai x.
pengangkutan di atas,
Calculate the value of x.
did not take all the three types of transportation,
(iii) Guru-guru tadika tersebut ingin mengecat
(iii) tidak datang ke sekolah dengan kereta.
kelas dengan warna yang paling digemari
did not come to school by car.
kanak-kanak, apakah warna yang patut
(i) n(B A’)
= 8 orang / students digunakan?
(ii) n(A B C)’ The teachers of the kindergarten want to paint their
= n(x) – n(A B C)
= 40 – (9 + 3 + 8 + 11) class with the most favorite colour. What colour
= 40 – 31
= 9 orang / students should be used?
(i) Biru Hijau
Blue Green
1 4
x–7
3
32
(iii) n(A)’ Merah
= n(x) – n(A) Red
= 40 – (9 + 3)
(ii) n(Biru Hijau Merah) = 30
= 40 – 12 n(Blue Green Red)
x – 7 + 1 + 3 + 3 + 4 + 2 = 30
= 28 orang / students
x = 24
(iii) Bilangan kanak-kanak suka warna
Number of children who like
– Biru / Blue = 24
– Hijau / Green = 10
– Merah / Red = 8
Maka, warna biru patut digunakan.
Thus, blue colour should be used.
65 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set SPM 4
PRAKTIS
Kertas 1 Australia dan Thailand 7
10
1. Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan Australia and Thailand 8
9
SPM bilangan murid yang memiliki telefon pintar, Korea dan Thailand
2017 komputer dan komputer riba.
Korea and Thailand
The Venn diagram below shows the number of students
own smartphones, computers and laptops. Korea sahaja
Komputer riba Telefon pintar Korea only
Laptop Smartphone
Thailand sahaja
Thailand only
3x 15 x Komputer Diberi bahawa set A = {murid ingin melawat
Computer
Australia}, set K = {murid ingin melawat Korea}
70 90
dan set T = {murid ingin melawat Thailand}.
BAB 4 Diberi bilangan murid yang memiliki telefon
Antara berikut, gambar rajah Venn manakah yang
pintar adalah 9 kali bilangan murid yang memiliki
mewakili data tersebut?
komputer. Hitung bilangan murid yang memiliki
Given that set A = {students who want to visit Australia},
komputer riba sahaja. set K = {students who want to visit Korea} and set
T = {students who want to visit Thailand}. Which of the
following Venn diagram represents the data?
Given the number of students who own smartphones A A K C A K
is 9 times the number of students who own computer. 5 6
10 8 10 8
Calculate the number of students who own laptop only.
643 345
A 5 C 20
9 9
B 15 D 180 T T
2. Rajah di bawah menunjukkan gambar rajah Venn B A K D A K
SPM dengan set semesta , set K, set L dan set M. 3 5
10 8 10 8
2018 The diagram below shows a Venn diagram with the
universal set, , set K, set L and set M. 645 346
L 9 9
K T T
M 4. Suatu tinjauan yang dijalankan ke atas 56 orang
SPM murid menunjukkan bahawa 30 orang daripada
Antara berikut, yang manakah mewakili kawasan 2018 mereka menyukai buah oren dan 32 orang daripada
berlorek? mereka menyukai buah mangga. Terdapat 6 orang
Which of the following represents the shaded region? murid yang tidak menyukai kedua-dua buah-
A M’ ∩ (K ∩ L’) C M’ ∩ (K ∪ L) buahan. Cari bilangan murid yang menyukai
B M’ ∩ (K’ ∩ L) D M’ ∩ (K’ ∪ L) kedua-dua buah oren dan mangga.
3. Jadual di bawah menunjukkan negara yang ingin A survey carried out on 56 students shows that 30 of
SPM dilawati oleh 45 orang murid. them liked oranges and 32 of them liked mangoes.
There were 6 students who disliked both fruits. Find the
2018 The table below shows the countries that would like to number of students who liked both orange and mango.
be visited by 45 students.
A 6
Negara Bilangan murid B 12
C 38
Countries Number of students D 50
Australia 22
Korea 23
Thailand 22
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 66
5. Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set
SPM semesta , set M, set N dan set Q. 2. Gambar rajah Venn di ruang jawapan
SPM menunjukkan set K, set L dan set M, dengan
20 19 The Venn diagram below shows the universal set , set M, 2013 keadaan set semesta, ξ = K ∪ L ∪ M. Pada rajah di
set N and set Q.
ruang jawapan, lorek set
ξ Q
The Venn diagram in the answer space shows set K, set L
M N and set M such that the universal set, ξ = K ∪ L ∪ M. On
the diagrams in the answer space, shade the set
10
(a) K ∩ M
(b) (K ∩ L)’ ∪ M
Jawapan / Answer:
Set M = {Ahli Kelab Bola Sepak Selatan} (a) K L
Set M = {Southern Football Club members} M
Set N = {Ahli Kelab Bola Sepak Utara} (b) K L
Set N = {Northern Football Club members} M
Set Q = {Ahli Kelab Bola Sepak Timur}
Set Q = {Eastern Football Club members}
Diberi n() = 150, n(M) = 30, n(N) = 40, n(Q) = BAB 4
20 dan n(N ∩ Q) = 8. Hitung beza antara bilangan
ahli yang tidak terlibat dalam mana-mana kelab
dengan bilangan ahli yang menyertai Kelab Bola
Sepak Utara sahaja.
Given n() = 150, n(M) = 30, n(N) = 40, n(Q) = 20 and 3. (a) Diberi bahawa set M = {nombor kuasa dua
n(N ∩ Q) = 8. Calculate the difference between the SPM sempurna} dan set N = {16, 25, 36, 49}.
2018 Lengkapkan gambar rajah Venn di ruang
number of members who are not involved in any of the
jawapan untuk menunjukkan hubungan
club with the number of members who join Northern
antara set M dengan set N.
Football Club only.
It is given that set M = {perfect square numbers} and
A 46 C 66 set N = {16, 25, 36, 49}. Complete the Venn diagram
in the answer space to show the relationship between
B 56 D 76 set M and set N.
Kertas 2 (b) Gambar rajah Venn berikut menunjukkan set
1. Gambar rajah Venn di ruang jawapan A, set B dan set C. Set semesta, = A ∪ B ∪ C.
Nyatakan hubungan yang diwakili oleh rantau
menunjukkan set K, set L dan set M dengan
berlorek.
keadaan set semesta, ξ = K ∪ L ∪ M. Pada rajah di
The Venn diagram shows the sets A, B and C. The
ruang jawapan, lorek set universal set, = A ∪ B ∪ C. State the relationship
represented by the shaded region.
The Venn diagram in the answer space shows set K, set L
and set M such that the universal set, ξ = K ∪ L ∪ M. On the A B
diagrams in the answer space, shade the set C
(a) K ∩ M (b) (K’ ∩ M) ∪ L
Jawapan / Answer:
(a) K M
L Jawapan / Answer:
(a) M N
16
(b) K M 25 49
L 36
(b) (A’ ∩ B) ∪ C
67 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 4 Operasi Set lukis gambar rajah Venn pada ruang jawapan
4. (a) Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan untuk mewakilkan hubungan antara set A, set
SPM set semesta , set T dan set S. B dan set C.
2018 The Venn diagram below shows universal set , set T Given set A = {x : x is multiple of 3}, set B = {x : x
and set S. is a factor of 8} dan set C = {x : x is a factor of 4},
ξ S such that the universal set, = A ∪ B ∪ C. Based on
T
this information, draw a Venn diagram in the answer
space to represent the relationship between set A, set
B and set C.
Jawapan / Answer:
(a) (A ∪ B)’
Nyatakan hubungan yang diwakili oleh rantau
berlorek dalam gambar rajah Venn tersebut. (b) A
State the relationship represented by the shaded ξB
region in the Venn diagram.
C
(b) Diberi set A = {x : x ialah gandaan 3}, set B =
BAB 4 {x : x ialah faktor bagi 8} dan set C = {x : x ialah Praktis
faktor bagi 4}, dengan keadaan set semesta, SPM
= A ∪ B ∪ C. Berdasarkan maklumat ini, Ekstra
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
1. (a) Rajah di ruang jawapan menunjukkan 2. x = {x : 0 x < 10, x ialah integer},
gambar rajah Venn dengan set semesta, set A = {nombor ganjil},
x = P ∪ Q ∪ R. Lorek P ∪ (Q ∩ R)’. set B = {nombor perdana},
set C = {gandaan 2} dan
The diagram in the answer space shows a Venn set D = {gandaan 4}.
diagram with the universal set, x = P ∪ Q ∪ R.
Shade P ∪ (Q ∩ R). x = {x : 0 x < 10, x is an integer},
set A = {odd numbers},
Jawapan / Answer: set B = {prime numbers},
set C = {multiples of 2} and
PQ set D = {multiples of 4}.
R Wakilkan maklumat di atas dengan gambar
rajah Venn.
(b) Nyatakan satu operasi set yang setara dengan
Represent the information above on a Venn diagram.
Jawapan / Answer:
P ∪ (Q ∩ R)’. A C
10
State an operation on set which is equivalent to B 6
P ∪ (Q ∩ R). 13
2D
Jawapan / Answer: 57 4
8
P ∪ (Q’ ∪ R’) 9
Kuiz 4
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 68
BAB Rangkaian dalam Teori Graf
5 Network in Graph Theory
5.1 Rangkaian
Network
NOTA IMBASAN
1. Graf ialah suatu siri bintik sama ada berkait atau tidak 7. Apabila pergerakan daripada satu bucu kepada bucu
antara satu sama lain melalui garis. yang lain melibatkan pergerakan dalam satu arah
Graph is a series of points either linked or not to each other sahaja, graf ini dikenali sebagai graf terarah. Tepi graf
through lines. terarah mempunyai anak panah yang menunjukkan
arah pergerakan yang dibenarkan.
2. Rangkaian ialah suatu graf yang mempunyai sekurang- When the movement from one vertex to another vertex involved
kurangnya sepasang bintik berkait. only in one direction,this graph is known as directed graph.The
Network is a graph which has at least a pair of related points. edges of directed graph have arrows, which show the allowed
direction of movement.
3. Bintik juga dikenali sebagai bucu dan garis yang
menghubungkan bintik-bintik dikenali sebagai tepi. 8. Manakala,graf tak terarah ialah graf yang mempunyai
Point also is known as vertex and line connects the points is dua arah pergerakan melalui tepi graf itu.
known as edge. Whereas, undirected graph is a graph that has two-way
direction along the the edges of the graph.
Bucu
Vertex CC
Tepi BB
Edge
A A
4. Darjah bagi suatu bucu ialah bilangan tepi yang D D
mengaitkan bucu tersebut dengan bucu yang lain.
The degree of vertex is the number of edges that are connected Graf terarah Graf tak terarah
the vertex to other vertices. Directed graph
Undirected graph
5. Apabila daripada bucu A kepada bucu B mempunyai
lebih daripada satu laluan, dengan setiap laluan diwakili 9. Ciri-ciri bagi graf mudah:
oleh satu tepi, ia dikatakan mempunyai berbilang tepi. Characteristics of simple graph:
When from vertex A to vertex B has more than one route,with each
route represented by an edge,it is said that it have multiple edges. (i) jenis graf tak terarah
undirected graph type
6. Apabila terdapat laluan pergi dan kembali di satu bucu
tanpa melalui bucu yang lain yang diwakili oleh satu tepi (ii) tidak mempunyai gelung
yang dikenali sebagai gelung. has no loop
When there is return journey from a vertex without passing
through another vertex, and represented by an edge, it is known (iii) tidak mempunyai berbilang tepi
as a loop. has no multiple edges
B 10. Graf berpemberat ialah graf yang mempunyai nilai
pada setiap tepi graf tersebut. Nilai ini mewakili kos,
Gelung masa atau jarak yang diperlukan untuk melalui tepi itu.
Loop Weighted graph is a graph that has values to each of the edges
C of the graph. These values represent the cost, time or distance
A required to travel along the edge.
11. Subgraf bagi suatu graf ialah sebahagian graf daripada
graf asal.
Subgraph of a graph is a part of the original graph.
69 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
E E 12. Pokok ialah graf dengan keadaan setiap bucunya
B B adalah berhubung tetapi tidak mempunyai kitaran.
Tree is a graph where each of the vertices are connected but it
C C has no cycle.
A DF
AD F BE
Graf asal Subgraf I / Subgraph I
G
Original graph E
B AD
F
C
AD C
Subgraf II / Subgraph II 13. Aplikasi rangkaian sering digunakan bagi
menyelesaikan masalah kehidupan sebenar yang
melibatkan pengangkutan, perniagaan, pembinaan,
rangkaian komunikasi dan pelbagai lagi.
Applications of network are commonly used to solve real-life
problems involving transportation, business, construction,
communication networks and many more.
1. Berdasarkan graf mudah yang diberi, tentukan (i) V dan n(V), (ii) E dan n(E) dan (iii) bilangan darjah. TP 1
Based on the simple graph given, determine (i) V and n(V), (ii) E and n(E) and (iii) the number of degree.
BAB 5 CONTOH (a) (b) 3 4 5
1 7
13 1 3 4
6
4
25 25 26
Penyelesaian: (i) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (i) V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
(i) V = {1, 2, 3, 4, 5} n(V) = 6 n(V) = 7
n(V) = 5 (ii) E = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (ii) E = {(1, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 4),
(ii) E = {(1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (4, 5), (4, 6)} (4, 5), (4, 6), (5, 6), (6, 7)}
(4, 5)}
n(E) = 6 n(E) = 7
n(E) = 5
(iii) 2 × 6 = 12 (iii) 2 × 7 = 14
(iii) 2 × 5 = 10
2. Dalam setiap graf berikut, bulatkan dan labelkan bucu yang mempunyai gelung dan berbilang tepi. TP 1
In each of the following graphs, circle and label the vertex with loop and multiple edges.
CONTOH (a) (b)
B F Berbilang Gelung R Berbilang
tepi
A Berbilang tepi B Loop tepi
D Multiple edges AE Multiple S Multiple
E edges
C Gelung edges
Q VT
Gelung Loop C
Loop W
DP U
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 70
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
3. Nyatakan bilangan bucu dan tepi bagi setiap graf berikut. TP 1
State the number of vertices and edges of each of the following graphs.
Graf Bilangan / Number of Set bucu Set tepi
Graph bucu tepi Set of vertices Set of edges
vertices edges {A, B, C, D, E} {(A, B), (B, C), (B, E),
(C, D), (C, E), (D, E)}
CONTOH Tip
BC D
56
A E Tepi yang sama tidak perlu diulang. Contoh, (E, B) tidak
dinyatakan kerana (B, E) dan (E, B) adalah tepi yang sama.
(a) A F The same edges do not need to be repeated. For example, (E, B) is
D not stated because (B, E) and (E, B) are the same edge.
E G {(A, B), (A, E), (A, D),
7 10 {A, B, C, D, E, F, G} (B, E), (B, C), (C, E),
5 (C, D), (D, E), (D, F),
8
(D, G)}
B C {(Sarah, Kevin), (Sarah, BAB 5
(b) Ann Ling 7 {Sarah, Ann Ling, Faris, Ann Ling), (Ann Ling,
Faris Megha, Kevin} Faris), (Faris, Kevin),
Sarah (Faris, Megha), (Megha,
Kevin
Megha Kevin), (Megha, Kevin)}
(c) K LM {(J, L), (J, K), (J, L),
Q N (J, Q), (K, N), (K, L),
J P 15 {J, K, L, M, N, P, Q, R} (L, M), (L, R), (M, N),
(M, P), (N, R), (N, P),
R (P, Q), (P, Q), (R, R)}
4. Bagi setiap rajah yang diberikan, jawab soalan-soalan berikut. TP 2
For each of the given diagrams, answer the following questions.
CONTOH
(i) Mengapakah rajah yang ditunjukkan adalah suatu graf? Firdaus & Siti Kamal & Zainab Fattah
Azman & Naila
Why the diagram shown is a graph?
(ii) Apakah yang diwakili oleh bucu dan tepi bagi rajah itu?
What do the vertices and edges of the diagram represent?
Penyelesaian: Fitri Suria Farha Hana Hani
(i) Rajah tersebut adalah suatu graf kerana ia mempunyai bucu yang dihubungkan dengan tepi.
The diagram is a graph because it has vertices connected by edges.
(ii) Bucu mewakili ahli dalam keluarga itu dan tepi mewakili hubungan antara keluarga tersebut.
The vertices represent the members in the family and the edges represent the relationship between the family.
71 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(a) Mengapakah rajah yang ditunjukkan adalah suatu graf? Bilik guru Blok B
Teachers’ room Block B
Why the diagram shown is a graph?
(b) Apakah yang diwakili oleh bucu dan tepi bagi rajah itu?
What do the vertices and edges of the diagram represent? Blok A Hall
Block A Dewan
(c) Bucu yang manakah mempunyai akses ke tempat yang
paling banyak?
Which edge has the access to the most places? Kantin
Canteen
(a) Rajah tersebut adalah suatu graf kerana ia mempunyai bucu
yang dihubungkan dengan tepi. Blok C Padang
Block C Field
The diagram is a graph because it has vertices connected by edges.
(b) Bucu mewakili tempat dalam sebuah sekolah dan tepi mewakili laluan antara tempat-tempat tersebut.
The vertices represent places in the school and the edges represent the routes between the places.
(c) Dewan / Hall
5. Nyatakan darjah bagi bucu-bucu dalam graf berikut. TP 2
State the degree of vertices in the following graphs.
CONTOH Bucu A mempunyai 3 (a) R
tepi yang terkait iaitu S
Bucu Darjah (A, B), (A, D) dan Q Bucu Darjah
Vertex Degree (A, F). U
BAB 5 B Vertex A has 3 P T Vertex Degree
C A3 connected edges,
which are (A, B), (A, D) F P 2
A B2 and (A, F). E Q 3
D C4 R 3
Tip A S 3
ED 3 B T 2
Darjah bagi suatu U 5
F E2 gelung ialah 2.
Degree of a loop is 2.
F2
(b) K Bucu Darjah (c) Bucu Darjah
J Vertex Degree D Vertex Degree
C
N L J 3 A 2
M K 4 B 3
L 5 C 5
P M 4 D 2
N 3 E 4
P 1 F 4
6. Tentukan sama ada setiap graf berikut adalah graf mudah atau bukan. Berikan sebab anda. TP 2
Determine whether each of the following graphs is a simple graph. Give your reason.
CONTOH 2 T (a) N
1 B
W X K
M
A EC S U J
V
P
Graf mudah kDerana tidak mempunyai Bukan graf mudah kerana L
gelung dan berbilang tepi. mempunyai berbilang tepi. Graf mudah kerana tidak
mempunyai gelung dan berbilang
Simple graph because it has no loop and Not a simple graph because it has tepi.
multiple edges. multiple edges.
Simple graph because it has no loop
and multiple edges.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 72
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(b) F (c) D (d) P Q R
E C F
E
T
B U S
G
HG Bukan graf mudah kerana
A
Bukan graf mudah kerana mempunyai gelung dan berbilang
mempunyai berbilang tepi. Graf mudah kerana tidak
mempunyai gelung dan berbilang tepi.
Not a simple graph because it has tepi.
multiple edges. Not a simple graph because it has a
Simple graph because it has no loop loop and multiple edges.
and multiple edges.
7. Tentukan sama ada setiap graf berikut adalah graf terarah atau graf tak terarah. TP 2
Determine weather each of the following graphs is a directed graph or an undirected graph.
CONTOH B (a) A B (b) A B C (c) B C
E D
A A
D C ED C D
Graf terarah Graf terarah Graf tak terarah Graf terarah BAB 5
Directed graph Directed graph Undirected graph Directed graph
8. Bagi setiap rajah yang diberikan, jawab soalan-soalan berikut. TP 3
For each of the given diagrams, answer the following questions.
CONTOH (a) Berdasarkan rajah di sebelah, Q
Berdasarkan rajah di sebelah, F Based on the diagram, R
Based on the diagram, (i) nyatakan set bucu,
(i) nyatakan bilangan tepi, B A state the set of vertices, P V
S
state the number of edges, E (ii) namakan laluan yang
(ii) namakan laluan yang boleh dilalui dari
boleh dilalui dari bucu A bucu T ke bucu U,
name the path that could
ke bucu C,
C D be taken from vertex T to U T
name the path that could be
vertex U,
taken from vertex A to vertex
(iii) namakan laluan dari bucu V ke bucu Q
C,
melalui bucu U.
(iii) namakan semua kemungkinan laluan yang name the path from vertex V to vertex Q passing
boleh dilalui dari bucu E ke bucu B. through vertex U.
name all the possible paths that could be taken from
vertex E to vertex B. (i) {P, Q, R, S, T, U, V}
Penyelesaian: (ii) T – S – R – Q – P – U
(i) 8 Ikuti arah anak panah dari bucu A ke (iii) V – P – U – S – R – Q atau / or
(ii) A – B – C bucu C. V–P–U–T–S–R–Q
(iii) E – A – B; Follow the direction of the arrow from
vertex A to vertex C.
E – F – C – E – A – B;
E–D–C–E–A–B
73 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
9. Tentukan sama ada setiap graf berikut adalah graf berpemberat atau graf tak berpemberat. TP 2
Determine weather each of the following graphs is a weighted graph or an unweighted graph.
CONTOH (a) A (b) Q (c) A 120 B
100 95
A 80 B C B 6 6 15 110 90
90 C
P8 8R
160
110 90 100 95 D 6 8U 8 6 D 105 E 85 F
C 85 D 70 E E T6S
Graf berpemberat Graf tak berpemberat Graf berpemberat Graf berpemberat
Weighted graph Unweighted graph Weighted graph Weighted graph
10. Selesaikan setiap yang berikut. TP 3
Solve each of the following.
CONTOH
Rajah di sebelah menunjukkan satu rangkaian yang mewakili laluan Bilik mesyuarat 4 A
untuk bergerak dari bilik mesyuarat ke pintu kecemasan di sebuah pejabat. Meeting room
Pemberat mewakili jarak dalam meter. Nyatakan laluan yang mempunyai 3
jarak terpendek untuk bergerak dari bilik mesyuarat ke pintu kecemasan. 3
B
D
2
BAB 5 The diagram shows a network represents paths to move from a meeting room to 6 Pintu
emergency door in an office. The weight represents distance in metres. State the path kecemasan
Emergency
that has the shortest distance to move from the meeting room to the emergency door. door
Penyelesaian: C4
Laluan: Bilik mesyuarat – A – B – Pintu kecemasan / Path: Meeting room – A – B – Emergency door
Jarak / Distance: 4 + 3 + 2 = 9 m
Laluan: Bilik mesyuarat – D – C – Pintu kecemasan / Path: Meeting room – D – C – Emergency door
Jarak / Distance: 3 + 6 + 4 = 13 m
Maka, laluan dengan jarak terpendek ialah Bilik mesyuarat – A – B – Pintu kecemasan.
Thus, path that has the shortest distance is Meeting room – A – B – Emergency door.
(a) Rajah di sebelah menunjukkan satu rangkaian bagi laluan E E2
1 2 km
seorang posmen untuk menghantar surat. Posmen tersebut E4
Pejabat pos 2 km 1 km E7 Rumah
memulakan perjalanan daripada pejabat pos dan berakhir Post office 1.5 km Salmah
E6 Salmah’s
di rumah Salmah. Tentukan E3 1 km House
1.5 km E5
The diagram shows a network of path taken by a postman to deliver 3 km
a letter. The postman started the journey from the post office and E8
ended up at the Salmah’s house. Determine 1 km
(i) laluan dan jarak terpendek untuk ke rumah Salmah.
the shortest path and distance to Salmah’s house.
(ii) laluan dan jarak terpanjang ke rumah Salmah.
the longest path and distance to Salmah’s house.
(iii) jarak terpendek yang perlu dilalui oleh posmen tersebut jika laluan E3 menghadapi kesesakan lalu
lintas.
the shortest distance that the postman would have to travel if the E3 route encountered traffic congestion.
(i) E3 → E4 → E7 : 1.5 + 1 + 1.5 = 4 km
(ii) E1 → E2 → E5 → E6 → E7 : 2 + 2 + 3 + 1 + 1.5 = 9.5 km
(iii) E1 → E2 → E4 → E7 : 2 + 2 + 1 + 1.5 = 6.5 km
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 74
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
11. Tandakan (3) untuk subgraf yang betul bagi graf G dan (7) jika tidak. TP 2
Mark (3) against the correct subgraph of graph G and (7) if not.
Graf, G Subgraf 1 Subgraf 2 Subgraf 3
Graph, G Subgraph 1 Subgraph 2 Subgraph 3
CONTOH B A B A B A B
E F F F
A
F D G PG
HC
EG G
3
D HC D HC D HC
Tip 3 7
Subgraf, S bagi suatu graf, G {set bucu subgraf 1} ⊂ {set bucu {set bucu subgraf 2} ⊂ {set bucu {bucu P} ⊄ {set bucu G} dan
adalah graf dengan keadaan {set G} dan {set tepi subgraf 1} ⊂ {set G} dan {set tepi subgraf 2} ⊂ {set {(P, G)} ⊄ {set tepi G}.
bucu S} ⊂ {set bucu G} dan {set tepi G}. tepi G}. {vertex P} ⊄ {set of vertices G}
tepi S} ⊂ {set tepi G}. {set of vertices of subgraph 1} {set of vertices of subgraph 2} and {(P, G)} ⊄ {set of edges G}.
Subgraph, S of a graph, G is a graph ⊂ {set of vertices G} and {set of ⊂ {set of vertices G} and {set of
where {set of vertices S} ⊂ {set of edges of subgraph 1} ⊂ {set of edges of subgraph 2} ⊂ {set of
vertices G} and {set of edges S} ⊂ {set edges G}. edges G}.
of edges G}.
(a) C D (i) D (ii) C D (iii) C D BAB 5
GF E E
B B C B B
GF
A A GF GF
3
AE A
7 3
(b) D C (i) D C (ii) D C (iii) D C
A A A G A
E E E E
FB FB FB B
7 73
12. Lukis subgraf bagi graf G berdasarkan ciri berikut. TP 3
Draw subgraph of graph G based on the following characteristics.
CONTOH (i) Subgraf dengan 6 bucu dan 5 (ii) Subgraf dengan 5 bucu dan 5 tepi
Q yang membentuk satu kitaran.
tepi. Subgraph with 5 vertices and 5 edges
Subgraph with 6 vertices and 5 that forms a cycle.
PT
U edges. Q Q
R PT P
U T
S U Tip
Graf G / Graph G Kitaran ialah satu
R graf tertutup.
Cycle is a closed
S S graph.
75 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(a) A (i) Subgraf dengan 4 bucu dan 2 (ii) Subgraf dengan 3 bucu dan 3 tepi
tepi.
B dan gelung yang membentuk satu
Subgraph with 4 vertices and 2
D edges. kitaran.
E
A Subgraph with 3 vertices and 3 edges
C and a loop that forms a cycle.
Graf G / Graph G A
B B
E
E
C
(b) P Q (i) Subgraf dengan 6 bucu dan 6 (ii) Subgraf dengan 3 bucu dan 4 tepi
tepi. termasuk berbilang tepi.
U R
T Subgraph with 6 vertices and 6 Subgraph with 3 vertices and 4 edges
edges. including multiple edges.
PQ P
S
Graf G / Graph G U R UT
T
S
BAB 5 (Mana-mana jawapan yang betul adalah diterima. / Any correct answer is accepted)
13. Tentukan sama ada setiap graf berikut adalah pokok atau bukan. Berikan sebab anda. TP 2
Determine whether each of the following graph is a tree. Give your reason.
CONTOH E 2 H (a) A D E
1 F
G B CG F
G C
C A Kitaran B-C-D-B B
B H D Cycle B-C-D-B
A Graf ini bukan pokok kerana
EF mempunyai kitaran.
Graf ini adalah pokok kerana Graf ini bukan pokok kerana This graph is not a tree because it
has a cycle.
setiap bucu adalah berkait dan mempunyai kitaran.
tidak mempunyai kitaran. This graph is not a tree because it has
a cycle.
This graph is a tree because every
vertex is connected and it has no cycle.
(b) JH (c) A (d) DE
G B CF
A F B
FE E C
A G
D D
BC
Graf ini adalah pokok kerana Graf ini bukan pokok kerana Graf ini bukan pokok kerana
setiap bucu adalah berkait dan mempunyai gelung. terdapat bucu yang tidak
tidak mempunyai kitaran. This graph is not a tree because it terkait.
has a loop.
This graph is a tree because every This graph is not a tree because
vertex is connected and it has no there are unconnected vertices.
cycle.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 76
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
14. Diberi graf, G, bina dua subgraf bagi G yang juga merupakan pokok dengan melukis tepi bagi subgraf tersebut.
Given graph, G, construct two subgraphs of G which is also a tree by drawing the edges of the subgraph. TP 3
Graf G / Graph G Subgraf 1 / Subgraph 1 Subgraf 2 / Subgraph 2
CONTOH
BD BD
BD
A CE A C E A C E
E A E A E
(a) A
DF DF DF
B C B C B C
D E D E D
(b)
C C C
E
FB FB F B BAB 5
AAA
(Mana-mana jawapan yang betul adalah diterima. / Any correct answer is accepted)
15. Bina suatu rangkaian berdasarkan set bucu dan set tepi yang diberi. TP 2
Construct a network based on the given set of vertices and set of edges.
CONTOH (a) Set bucu = {A, B, C, D, E, F, G, H}
Set bucu = {A, B, C, D, E, F, G} Set of vertices = {A, B, C, D, E, F, G, H}
Set of vertices = {A, B, C, D, E, F, G} Set tepi = {(A, B), (A, C), (B, C), (B, E), (C, D),
Set tepi = {(A, B), (A, G), (B, C), (C, D), (C, E), (C, G), (C, E), (D, F), (E, F), (E, G), (E, G)
(D, E), (D, D), (E, F), (F, G)}
(F, G), (F, H), (G, H), (H, H)}
Set of edges = {(A, B), (A, G), (B, C), (C, D), (C, E), Set of edges = {(A, B), (A, C), (B, C), (B, E), (C, D),
(C, G), (D, E), (D, D), (E, F), (F, G)} (C, E), (D, F), (E, F ), (E, G), (E, G),
(F, G), (F, H), (G, H), (H, H)}
Penyelesaian:
AB
G C D H
F D A G
E F
C
Tip
E
(D, D) mewakili gelung.
(D, D) represents a loop. B
77 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf Boon Siu (B) Emira (E)
16. Wakilkan setiap maklumat berikut dalam bentuk rangkaian. TP 3 Ahmad (A)
Represent each of the following information in the form of networks. Daisy (D)
CONTOH
Rajah di sebelah menunjukkan kedudukan rumah bagi 5 orang
kawan dalam sebuah taman perumahan. Wakilkan kedudukan
rumah mereka dalam bentuk rangkaian jalan raya.
The diagram shows the positions of houses of 5 friends in a housing area.
Represent their houses in the form of road networks.
Penyelesaian: Chandra (C)
Wakilkan rumah sebagai bucu dan Dari B boleh bergerak Dari C boleh bergerak Dari D boleh bergerak
jalan raya sebagai tepi. Pilih sebuah terus ke A, C dan E. Lukis terus ke B, A dan D. terus ke A dan E.
rumah sebagai permulaan. Katakan From C, can move straight
rumah Ahmad (A) dipilih. Dari A boleh sebuah lengkok dari B From D, can move straight
ke C. to B, A and D. to A and E.
bergerak terus ke B, C dan D.
BAB 5 Represent houses as vertices and From B, can move straight BE B E
roads as edges. Choose a house as to A, C and E. Draw an arc AD A D
a starter. Let Ahmad’s house (A) is C C
chosen. From A, can move straight to from B to C.
B, C and D. BE
B AD
C
AD
C
(a) Rajah di sebelah menunjukkan pelan sebuah rumah. Bilik tidur 1 Tandas 1 Stor Dapur
Bedroom 1 Toilet 1 Store Kitchen
Wakilkan setiap ruang pelan rumah tersebut dalam Bilik tidur 2 Tandas 2
Bedroom 2 Toilet 2
bentuk rangkaian.
The diagram shows a plan of a house. Represent each room
in the plan in the form of network.
Laluan/ Hallway Ruang
makan
Bilik tidur 1 Tandas 1 Dining
Bedroom 1 Toilet 1
room
Laluan Tandas 2
Hallway Toilet 2 Stor Beranda Ruang tamu
Bilik tidur 2 Veranda Living room
Bedroom 2 Store
Beranda Dapur
Veranda Kitchen
Ruang makan
Dining room
Ruang tamu
Living room
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 78
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(b) Ahmad memulakan perjalanannya dari (c) Rajah di bawah menunjukkan peta laluan kereta
rumahnya di Sentul ke Johor Bahru untuk api yang terdapat di semenanjung Malaysia.
menghadiri satu seminar. Dalam perjalanannya The diagram below shows the map of the train
railways available in peninsular Malaysia.
ke Johor Bahru, dia telah berhenti di beberapa
Padang
tempat untuk menyelesaikan beberapa perkara. Besar
Wakilkan maklumat perjalanannya dalam Tumpat
bentuk rangkaian. Butterworth Bukit
Mertajam
Ahmad started his journey from his house in Sentul to
Johor Bahru to attend a seminar. On his way to Johor Kuala Batu
Bahru, he stopped at several places to settle a few Lumpur Cave
things. Represent his travel information in the form of
network. KL Sentral
• Ahmad singgah di Pudu untuk menggambil Pelabuhan Gemas
Klang
rakannya.
Johor Bahru BAB 5
Ahmad stopped by at Pudu to fetch his friend.
Wakilkan satu rangkaian pengangkutan bagi
• Kemudian, dia meneruskan perjalanannya
laluan kereta api tersebut.
dan singgah di Serdang untuk mengambil
Represent a transportation network of the train
seorang lagi rakannya. railways.
Then, he continued his journey and stopped at Pelabuhan Batu
Serdang to fetch another friend. Klang Caves Butterworth
• Selepas mengambil kawannya di Serdang, KL Padang
Sentral Besar
Ahmad mendapati beg komputer riba Kuala Bukit
Lumpur Mertajam
miliknya tertinggal di rumah. Dia terpaksa
Johor Tumpat
berpatah balik ke rumah tanpa melalui
Bahru Gemas
Pudu untuk mengambil beg tersebut.
After fetching his friend in Serdang, Ahmad found
out that his laptop bag was left at home. He had
to turn back home without going through Pudu
to pick up the bag.
• Ahmad meneruskan perjalanannya dengan
melalui jalan yang sama dari Serdang ke
Sentul. Beliau singgah di Ayer Keroh untuk
makan tengahari dan solat.
Ahmad continued his journey by using the same
way from Serdang to Sentul. He stopped by at
Ayer Keroh for lunch and prayers.
• Kemudian, dia meneruskan perjalanan dan
tiba di Johor Bahru.
Then, he continued his journey and arrived in
Johor Bahru.
Sentul
Pudu
Johor Bahru
Serdang Ayer Keroh
79 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
17. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following.
(a) Jadual di bawah menunjukkan media sosial yang (b) Seorang penghantar barang perlu menghantar
digunakan oleh Eshu, Alia, Nero, Hui Lin dan barang ke setiap lokasi yang ditunjukkan dalam
Rayzal untuk berkomunikasi. TP 4 graf di bawah. Setiap bucu mewakili lokasi yang
The table shows the social media used by Eshu, Alia, berbeza dan pemberat dalam graf mewakili
Nero, Hui Lin dan Rayzal to communicate.
jarak, dalam km. TP 5
Media sosial / Social media
A courier man needs to deliver parcels to each location
1 23 as shown in the graph below. Each vertex represents
different locations and the weight in the graph
Eshu Rayzal, Hui Rayzal represents the distance, in km.
Alia Lin
Nero P 6Q R
Hui Lin Hui Lin 8 7
Hui Lin
Hui Lin, Hui Lin, Hui Lin 3 S
Rayzal Rayzal Rayzal 9 W4
5V
Nero, Eshu Nero, Nero, Alia 8 26
Rayzal, Alia 4 10
Eshu, Nero Hui Lin, U 12 T
Eshu, Nero
BAB 5 (i) Wakilkan informasi dalam jadual tersebut Penghantar barang itu memulakan perjalanan
dalam bentuk rangkaian menggunakan
bucu-bucu yang diberikan. Satu media sosial dari P dan perlu berakhir di S.
mewakili satu tepi.
The courier man starts the journey from P and needs
Represent the information in the table in the form of to end at S.
network using the given vertices. One social media
represents an edge. (i) Kenal pasti semua laluan yang melalui
Hui Lin setiap bucu tanpa mengulang tepi yang
Alia
sama.
Identify all paths that passes through each vertex
without repeating the same edge.
Eshu Rayzal (1) P-Q-V-U-T-W-R-S
(2) P-Q-R-W-V-U-T-S
(3) P-U-V-Q-R-W-T-S
(4) P-U-T-V-Q-R-W-S
(5) P-U-T-W-V-Q-R-S
Nero (ii) Daripada (i), kenal pasti jarak terpendek
antara laluan-laluan tersebut.
(ii) Siapakah orang yang terbaik untuk
memperkenalkan Hui Lin? Berikan sebab From (i), identify the shortest distance between
anda. the paths.
Who is the best person to introduce Hui Lin? Give (1) 6 + 5 + 4 + 12 + 2 + 3 + 7 = 39 km
your reason. (2) 6 + 8 + 3 + 9 + 4 + 12 + 6 = 48 km
(3) 8 + 4 + 5 + 8 + 3 + 2 + 6 = 36 km
Nero kerana dia mempunyai ketiga-tiga sosial (4) 8 + 12 + 10 + 5 + 8 + 3 + 4 = 50 km
media untuk berkomunikasi dengan Hui Lin. (5) 8 + 12 + 2 + 9 + 5 + 8 + 7 = 51 km
Nero because he has all three social medias to Maka, laluan dengan jarak terpendek ialah
communicate with Hui Lin. P-U-V-Q-R-W-T-S, iaitu 36 km.
(iii) Antara ketiga-tiga media sosial, yang Thus, the path with the shortest distance is P-U-V-
manakah adalah yang paling popular dalam Q-R-W-T-S, which is 36 km.
kalangan mereka? Berikan sebab anda.
Which of the social media, is the most popular
among them? Give your reason.
Media sosial 2 kerana kelima-lima mereka
menggunakannya.
Social media 2 because all five of them are using it.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 80
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(c) Rajah di sebelah menunjukkan rangkaian perpaipan yang A 25 B
menghubungkan beberapa ruang dalam sebuah rumah. Pemberat 28 24 36
12 D
mewakili isi padu, dalam m3, air yang boleh disalurkan dalam satu
F 13 20 34
tempoh masa tertentu. Seorang tukang paip ingin menentukan isi padu 23
E C
maksimum air yang boleh disalurkan kepada setiap ruang dalam suatu
10 15
masa. Lukis satu pokok yang menunjukkan isi padu maksimum air
G
disalurkan dengan keadaan rangkaian perpaipan tersebut bersambung
secara berterusan dengan setiap ruang. Kemudian, tentukan jumlah isi
padu maksimum air tersebut. TP 5
The diagram shows a piping network that connects several rooms in a house.
The weight represents the volume, in m3, of water that can be piped in a period of
time. A plumber wants to determine the maximum volume of water that can be
piped into each room in a time. Draw a tree that shows the maximum volume of
water piped such that the piping networks are connected continuously to each
room. Hence, determine the total maximum volume of the water.
A 25 B 36 Pilih pemberat yang terbesar, Pokok / Tree :
24 iaitu 36. Maka, pilih B-C.
A
12 28 D Choose the biggest weight,
which is 36. Thus, choose B-C.
F 13 20 34 B
E 23 C
10 15
D
G
BAB 5
FE
A 25 B Antara B-A, B-D, C-D dan C
C-E, pemberat terbesar ialah
24 36 G
12 28 D C-D, iaitu 34.
Maka, jumlah isi padu
F 13 20 34 Between B-A, B-D, C-D and maksimum air
E C-E, the biggest weight is
10 15 23 C Thus, the total maximum volume of
C-D, which is 34. water
G
Antara B-A, D-A, dan D-E, = 36 + 34 + 28 + 12 + 13 + 15
A 25 B pemberat terbesar ialah = 138 m3
24
36 D-A, iaitu 28. Dari A hanya
12 28 D mempunyai satu pilihan
untuk membentuk pokok.
F 13 20 34 Maka, A-F dipilih.
E
10 15 23 C Between B-A, D-A and D-E,
the biggest weight is D-A, which
G
is 28. From A there is only one
option to draw a tree. Thus, A-F
is chosen.
A 25 B 36 Antara F-E dan F-G,
24
pemberat terbesar ialah F-E,
12 28 D
iaitu 13. Pilih E-G.
F 13 20 34
10 23 Between F-E and F-G, the biggest
E C weight is F-E, which is 13.
15 Choose E-G.
G
81 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
(d) Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada peta laluan bagi dua jenis pengangkutan, iaitu KTM
Komuter dan LRT. Jadual berikut menunjukkan masa yang diambil, dalam minit, untuk kedua-dua
pengangkutan bergerak dari satu stesen ke stesen yang lain. TP 6
The diagram shows a part of route maps for two types of transportations, which are KTM Komuter and LRT. The table
below shows the time taken, in minute, for both transportations move from one station to another station.
14 P5lazDaaRngaHkWyaaantng(gPTiPuR(Dau)hdWu()HC(PTh)) an Sow Lin (CSL)
Bank Negara (BN) Masjid Petunjuk / Key:
Kuala Lumpur (KL) Jamek 1 KTM Laluan Seremban
(MJ)
KTM Seremban Route
Pasar Seni (PS) Cheras (C) 4 LRT Laluan Sri Petaling
Salak Selatan (SS) LRT Sri Petaling Route
KL Sentral (KLS) Bandar Tun Razak (BTR)
Bandar Tasik Selatan (BTS) 5 LRT Laluan Kelana Jaya
Mid ValleSySa(elaMpkuVSt)eehla(tSa)n (SS) LRT Kelana Jaya Route
LRT Laluan Sri Petaling / LRT Sri Petaling Route
Ke / To Cheras Chan Sow Pudu Hang Tuah Plaza Rakyat Masjid
Dari / From Lin Jamek
Salak Selatan 4 4 4 3 33
BAB 5 Ke / To LRT Laluan Kelana Jaya / LRT Kelana Jaya Route
Dari / From Pasar Seni KL Sentral
Masjid Jamek 44
KTM Laluan Seremban / KTM Seremban Route
Ke / To
Dari / From Seputeh Mid Valley KL Sentral Kuala Lumpur Bank Negara
Salak Selatan 4 3 5 11 6
Encik Helmi ingin menuju ke stesen Bank Negara dari stesen Salak Selatan. Dia mempunyai dua pilihan,
sama ada menggunakan KTM Laluan Seremban atau LRT Laluan Sri Petaling. Nyatakan kelebihan dan
kekurangan antara dua pilihan tersebut dan kemudian, bantu Encik Helmi membuat pilihan terbaik
untuk ke stesen Bank Negara. Diketahui bahawa masa menunggu tren seterusnya bagi KTM Komuter
dan LRT masing-masing ialah 30 minit dan 15 minit.
Encik Helmi wants to go to Bank Negara station from Salak Selatan station. He has two options, whether to use KTM
Laluan Seremban or LRT Laluan Sri Petaling. State the advantage and disadvantage between the two options and
then, help Encik Helmi to make the best option to go to Bank Negara station. It is known that the waiting time for next
train for KTM Komuter and LRT are 30 minutes and 15 minutes respectively.
Laluan / Route Kelebihan / Advantage Kekurangan / Disadvantage
KTM Laluan Seremban: • Masa perjalanan lebih cepat. • Masa menunggu tren
KTM Seremban Route: Travel time is faster. seterusnya adalah lama.
SS-S-MV-KLS-KL-BN 4 + 3 + 5 + 11 + 6 = 29 minit / minutes The waiting time for the next train
• Tidak perlu menukar laluan. is long.
No need to change routes.
LRT Laluan Sri Petaling: • Masa menunggu tren seterusnya • Masa perjalanan lebih lama.
adalah singkat.
LRT Sri Petaling Route: Travel time is longer.
The waiting time for the next train is short.
S S - C - C S L - P - H T- P R - 4+4+4+3+3+3+4+4
+ 11 + 6 = 46 minit / minutes
MJ-PS-KLS-KL-BN • Perlu menukar dua laluan.
Need to change two routes.
Maka, pengangkutan yang terbaik adalah KTM Laluan Seremban.
Thus, the best transportation is KTM Seremban Route.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 82
PRAKTIS Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
SPM 5
Kertas 1 Kertas 2
1. Rajah di bawah menunjukkan satu graf.
1. Antara berikut, yang manakah adalah bukan
The diagram below shows a graph.
rangkaian?
AB
Which of the following is not a network?
E
A Q C P C
R D
P
S
Q
B D Q (a) Nyatakan / State
P (i) bucu dengan berbilang tepi,
P
the vertices with multiple edges,
2. Rajah di bawah menunjukkan satu rangkaian. BAB 5
(ii) darjah bagi bucu E.
The diagram below shows a network.
the degree of vertex E.
AB
(b) Lukis satu subgraf yang menghubungkan 3
bucu dan 4 tepi.
Draw a subgraph that connects 3 vertices and 4
edges.
(a) (i) (E, B) (ii) 5
DC (b) B
A
Hitung darjah bagi bucu B. E
Calculate the degree of vertex B. Praktis
SPM
A 4 C 6 Ekstra
B 5 D 7
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Rajah berikut menunjukkan peta semenanjung Malaysia. Garis padu mewakili laluan bas manakala garis
sempang mewakili laluan kapal terbang. Jadual berikut menunjukkan masa perjalanan dan harga tambang bagi
kedua-dua jenis pengangkutan.
The diagram shows the maps of peninsular Malaysia. The solid line represents the bus route whereas the dashed line represents
the airplane route. The table shows the travelling time and the fare price for both types of transportations.
83 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 5 Rangkaian dalam Teori Graf
Ke / To Bas / Bus Kangar Narathiwat
Dari / From Alor Setar
Kota Bharu
Johor Bahru
(JB) Pulau Pinang (PP) Kota Bharu (KB) Pulau Pinang
Ke / To
8 jam / hours 9 jam / hours Butterworth Kuala Krai Kuala Terengganu
Dari / From RM80 RM65
Bagan Serai
Johor Bahru
(JB) Ipoh
Kuala Lumpur Kapal terbang / Airplane Lumut Kuala Lipis
(KL)
Teluk Intan Kuantan
Batu Arang Bentong
Kuala Lumpur (KL) Pulau Pinang (PP) Klang KualaTeLmuemrlophur Pekan
45 minit / minutes 1 jam 10 minit / 1 hour 10 minutes Seremban
RM70 RM69
Port Dickson Melaka Mersing
Kota Bharu (KB) Muar Kluang
Dumai Johor Bahru
1 jam 5 minit / 1 hour 5 minutes
RM45
(a) Lukis dua rangkaian bagi laluan bas dan laluan kapal terbang antara Johor Bahru, Pulau Pinang dan Kota Bharu.
Draw two networks of the bus route and airplane route between Johor Bahru, Pulau Pinang and Kota Bharu.
(b) Anda ingin ke Pulau Pinang dan Kota Bharu dari Johor Bahru. Buat satu analisis kelebihan dan kekurangan
menggunakan bas dan kapal terbang. Seterusnya, pilih satu pengangkutan yang terbaik untuk pergi ke
Pulau Pinang dan Kota Bharu dari Johor Bahru.
You want to go to Pulau Pinang and Kota Bharu from Johor Bahru. Make analysis on the advantages and disadvantages
of using bus and airplane. Then, choose the best transportation to go to Pulau Pinang and Kota Bharu from Johor Bahru.
BAB 5 Jawapan / Answer:
(a) (b)
Rangkaian bas: JB - PP JB - KB
Bus network: Kelebihan Kekurangan Kelebihan Kekurangan
Pulau Kota Advantage Disadvantage Advantage Disadvantage
Pinang Bharu
• Masa perjalanan Masa
Bas lama Tambang perjalanan
Bus Long travel time murah lama
• Tambang mahal Cheap fare Long travel
time
Johor Expensive fare
Bahru
• Masa perjalanan Masa
Rangkaian kapal terbang: Tambang
Kapal singkat perjalanan
Airplane network: terbang Short travel time mahal
Airplane • Tambang murah singkat
Pulau Kota Expensive fare
Pinang Bharu Cheap fare Short travel
time
Kuala Dari Johor Bahru ke Pulau Pinang, pengangkutan terbaik adalah dengan menaiki
Lumpur
kapal terbang kerana harga tambang lebih murah dan masa perjalanan lebih singkat
Johor
Bahru berbanding bas. Manakala, dari Johor Bahru ke Kota Bharu, jika inginkan masa
perjalanan yang lebih singkat, menaiki kapal terbang adalah yang terbaik. Jika
inginkan tambang yang lebih murah, menaiki bas adalah yang terbaik.
From Johor Bahru to Penang, the best transportation is by an airplane because the fare is
cheaper and the travel time is shorter than bus. Meanwhile, from Johor Bahru to Kota Bharu, if
you want a shorter travel time, boarding an airplane is the best. If you want cheaper fare, taking
the bus is the best.
Kuiz 5
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 84
BAB Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
6 Linear Inequalities in Two Variables
6.1 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
Linear Inequalities in Two Variables
NOTA IMBASAN
1. Suatu garis lurus padu y = mx + c membahagikan satah Cartes 4. Rajah di bawah menunjukkan jenis rantau
kepada dua rantau berlorek.
yang dihasilkan.
A straight solid line y = mx + c divides the Cartesian plane into two shaded The diagram below shows the types of region
regions.
produced.
2. Tanda Ketaksamaan y y
Inequality Sign y = mx + c y = –mx + c
Jenis Garis / Type of Line y у mx + c y у –mx + c
O x y р –mx +Oc x
y р mx + c
. atau / or , Garis sempang / Dashed line
> atau / or < Garis padu / Solid line y y x=k
3. Titik-titik dalam rantau memuaskan ketaksamaan linear rantau yജh x xഛk xജk x
tersebut. Maka, titik-titik itu juga adalah penyelesaian bagi 0
ketaksamaan linear itu.
yഛh y=h
Points in the region satisfy the linear inequality of the region. Thus, the points
are also the solutions of the linear inequality.
1. Wakilkan setiap situasi berikut dalam bentuk ketaksamaan linear. TP 3
Represent each of the following situations in the form of linear inequality.
CONTOH
Encik Chang mempunyai dua orang anak yang sedang belajar di Indonesia dan Australia. Kadar panggilan
ke Indonesia ialah RM0.28 per minit manakala ke Australia ialah RM0.66 per minit. Encik Chang ingin
membuat panggilan telefon p minit ke Indonesia dan q minit ke Australia dengan nilai prabayar sebanyak
RM30 dalam telefon bimbitnya.
Encik Chang has two children who studying in Indonesia and Australia. The call rate to Indonesia is RM0.28 per minute
whereas to Australia is RM0.66 per minute. Encik Chang wants to make phone calls p minutes to Indonesia and q minutes
to Australia with a prepaid amount of RM30 in his phone.
Tip
Penyelesaian:
Simbol / Symbol >:
Kadar panggilan Bilangan Kadar panggilan Bilangan Jumlah nilai
ke Indonesia × minit, p + ke Australia × minit, q < prabayar • sekurang-kurangnya
at least
Call rate to × Numbers of + Call rate to × Numbers of < Prepaid • tidak kurang daripada
Indonesia minutes, p Australia minutes, q amount not less than
• minimum / minimum
Maka, ketaksamaan linear / Thus, the linear inequality Simbol / Symbol <:
• selebih-lebihnya / at most
0.28 × p + 0.66 × q < 30 • tidak lebih daripada
0.28p + 0.66q < 30 not more than
• maksimum / maximum
85 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
(a) Yatt pergi sebuah kedai alat tulis untuk membeli (b) Harga kuih koci ialah 40 sen dan harga muffin
hadiah bagi anak muridnya. Harga sebuah buku ialah 70 sen. Jualan harian mesti melebihi RM35
nota ialah RM9 dan harga sebuah kotak pensel untuk mendapat keuntungan.
ialah RM12. Jumlah maksimum yang boleh dia The cost of a kuih koci is 40 sen and the cost of a muffin
is 70 sen. The daily sales must be more than RM35 to
belanjakan ialah RM80. make a profit.
Yatt went to a stationary shop to buy gifts for her
students. The price of a notebook is RM9 and the price
of a pencil case is RM12. The maximum amount she can 40x + 70y . 3 500
spend is RM80.
9x + 12y < 80
(c) Seorang pesakit berisiko mempunyai masalah jantung jika tekanan darah pada buku lali, k mm Hg,
adalah kurang daripada 90% tekanan darah pada lengan, p mm Hg.
A patient may be at risk for heart disease if the blood pressure in ankle, k mm Hg, is less than 90% of the blood pressure
in arm, p mm Hg.
Tekanan darah pada buku lali, k , 0.9 × Tekanan darah pada lengan, p
Blood pressure in ankle, k Blood pressure in arm, p
k , 0.9p
2. Lukis garis lurus bagi setiap yang berikut. Kemudian, plot titik yang diberi dan isi tempat kosong. TP 3
Draw the straight line for each of the following. Hence, plot the points given and fill in the blanks.
CONTOH
BAB 6 y = x + 4, –6 < x < 2; (2, 3), (0, 4), (–3, 2), (–1,3), (1, 6), (–2, 0).
Penyelesaian:
y Titik (–1, 3) dan (0, 4) memuaskan persamaan y = x + 4.
(1, 6)
Points (–1, 3) and (0, 4) satisfy the equation y = x + 4.
6
Titik (–3, 2) dan (1, 6) memuaskan persamaan y . x + 4.
(0, 4)
4 Points (–3, 2) and (1, 6) satisfy the equation y . x + 4.
(–1, 3) Titik (2, 3) dan (–2, 0) memuaskan persamaan y , x + 4.
(–3, 2) 2 (2, 3) Points (2, 3) and (–2, 0) satisfy the equation y , x + 4.
(–2, 0) x
–6 –4 –2 O 2
y=x+4 –2
(a) y = 1 x − 2 , −2 < x <6; (3, 1), (2, –1), (3, –6), (5, –2), (0, –1), (4, 0).
2
y
2 y = 1 x – 2 Titik (2, –1) dan (4, 0) memuaskan persamaan y = 1 x − 2.
2 2
(3, 1) x Points (2, –1) and (4, 0) − 2.
1
(4, 0) Titik (3, 1) dan (0, –1) satisfy the equation y = 2 x
– 2 O (0, –1)2 4 6 8 Points (3, 1) and (0, –1) memuaskan persamaan y . 1 x − 2.
2
– 2 (2, –1) satisfy the equation y . 1 x − 2.
(5, –2) 2
–4 Titik (3, –6) dan (5, –2) memuaskan persamaan y , 1 x − 2.
(3, –6) 2
Points (3, –6) and (5, –2) satisfy the equation y , 1 x − 2.
–6 2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 86
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
(b) y = −2x + 3, −2 < x < 4; (2, –5), (1, 2), (–1, 5), (3, –3), (0, 0), (2, 3).
y
6 (2, 3) x Titik (–1, 5) dan (3, –3) memuaskan persamaan y = −2x + 3.
(–1, 5) (1, 2) 6
Points (–1, 5) and (3, –3) satisfy the equation y = –2x + 3.
4 24
Titik (1, 2) dan (2, 3) memuaskan persamaan y . −2x + 3.
2 (3, –3)
(0, 0) Points (1, 2) and (2, 3) satisfy the equation y . –2x + 3.
–2 O
Titik (2, –5) dan (0, 0) memuaskan persamaan y , −2x + 3.
–2
Points (2, –5) and (0, 0) satisfy the equation y , –2x + 3.
–4
(2, –5) y = –2x + 3
–6
3. Tentukan sama ada titik-titik berikut memuaskan ketaksamaan linear yang diberi. TP 2
Determine whether the following points satisfy the linear inequalities given.
CONTOH (ii) (1, 5) BAB 6
y 3x + 11
y = 3x + 11, y . 3x + 11 atau / or y , 3x + 11 5 3(1) + 11 = 14
(i) (–2, 20) 5 , 14
y 3x + 11 (1, 5) memuaskan / satisfies y , 3x + 11
20 3(–2) + 11 = 5
20 . 5
(–2, 20) memuaskan / satisfies y . 3x + 11
(a) y = 0.75x – 5, y . 0.75x – 5 atau / or y , 0.75x – 5 (ii) (3, –2)
(i) (–2, –7) y 0.75x – 5
–2 0.75(3) – 5 = –2.75
y 0.75x – 5 –2 . –2.75
–7 0.75(–2) – 5 = 6.5
(3, –2) memuaskan / satisfies y . 0.75x – 5
–7 , –6.5
(–2, –7) memuaskan / satisfies y , 0.75x – 5
(b) y = –2x + 8, y . –2x + 8 atau / or y , –2x + 8 (ii) (6, –4)
(i) (3, 12) y –2x + 8
–4 –2(6) + 8 = –4
y –2x + 8 –4 = –4
12 –2(3) + 8 = 2
(6, –4) memuaskan / satisfies y = –2x + 8
12 . 2
(3, 12) memuaskan / satisfies y . –2x + 8
(c) y = –4x + 5, y . –4x + 5 atau / or y , –4x + 5 (ii) (0, 5)
(i) (4, 0) y –4x + 5
5 –4(0) + 5 = 5
y –4x + 5 5=5
0 –4(4) + 5 = –11
(0, 5) memuaskan / satisfies y = –4x + 5
0 . –11
(4, 0) memuaskan / satisfies y . –4x + 5
87 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
4. Lorekkan rantau yang diwakili oleh setiap ketaksamaan yang diberi. TP 3
Shade the region that represents each of the following inequalities.
CONTOH (a) y . 2x – 2 (b) x > –1
y y
y , –3x + 2 2 y = 2x – 2 2
Penyelesaian: –2 O
x = –1 –2
y
y = –3x + 2 Belah kiri O x x
2 Left side 24 2
=0
(0, 0) –2
–2 O Belah kanan
2 Right side
x = –3(0) + 2
–2 =2 (c) y , – x (d) 3x – 2y > – 4
∴0,2
y y
(Memuaskan/
Satisfies)
Pilih satu titik uji. Katakan (0, 0). y = –x 2 10
Choose a test point. Let say (0, 0). 8
Gantikan nilai x dan y ke dalam ketaksamaan. –2 O x 6 3x – 2y = –4
Substitute the values of x and y into the –2 2 4 x
2
inequality. 246
Jika titik ini memuaskan ketaksamaan, –4 –2O
lorekkan rantau yang mewakili titik uji ini.
If this point satisfies the inequality, shade the
region represented by the test point.
5. Lukis graf dan lorekkan kawasan yang mewakili setiap ketaksamaan berikut. TP 3
Draw the graph and shade the region that represents each of the following inequalities.
BAB 6
y = 2x
CONTOH (a) y > x – 4 (b) y > 2x
y > –9x + 7
y y
y 4
10 y = –9x + 7 O 4 x 2 2 x
8 y=x–4
6 x –4 –2 O
4 y –2
2 –4
(d) x , 3
–4 –2 O 2 4 6 8
–2
(c) y . –4 (e) y , 5x + 2
y y
–2 O x x 2 y = 5x + 2
–2 2 3 Ox
–1 O
–4 y = 4 x=3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 88
6.2 Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
Sistem Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
System of Linear Inequalities in Two Variables
NOTA IMBASAN
1. Sistem ketaksamaan linear dalam dua pemboleh Maksimum y ialah k y < k
ubah ialah satu set yang mengandungi dua atau lebih Maximum of y is k y > k
ketaksamaan linear dengan dua pemboleh ubah yang x + y . k
sama. Minimum y ialah k y – x , k
Minimum of y is k y – x > k
System of linear inequalities in two variables is a set of two or
more linear inequalities with two of the same variables. Hasil tambah x dan y lebih
besar daripada k
2. Contoh menentukan ketaksamaan untuk suatu situasi: Sum of x and y is greater than k
Examples of determining inequalities for a certain situation:
Beza y dan x kurang daripada k
Contoh situasi Ketaksamaan linear Difference between y and x is less
Example of situation Linear inequalities than k
y lebih besar daripada x y . x y melebihi x sekurang-
y is greater than x kurangnya k
y is more than x by at least k
y kurang daripada x y , x
y is less than x
3. Penyelesaian bagi suatu sistem ketaksamaan linear
y tidak kurang daripada x y > x ialah titik-titik yang memuaskan setiap ketaksamaan
y is not less than x dalam sistem tersebut.
The solutions of a system of linear inequalities are the points that
y tidak lebih daripada x y < x satisfy each of the inequalities in the system.
y is not more than x
y sekurang-kurangnya k kali x y > kx 4. Set penyelesaian tersebut diwakili oleh persilangan BAB 6
y is at least k times x rantau bagi setiap ketaksamaan dalam sistem itu.
The set of solution is represented by the intersection of region of
y selebih-lebihnya k kali x y < kx each of the inequalities in the system.
y is at most k times x
6. Tulis ketaksamaan linear yang memuaskan setiap situasi berikut. TP 4
Write the linear inequalities that satisfy each of the following situations.
(a) Kedai Maju IT menjual dua jenama telefon pintar, P dan Q. Pengurus kedai itu perlu membuat inventori
untuk kedua-dua jenama telefon pintar itu setiap bulan. Diberi kos inventori telefon pintar P dan telefon
pintar Q masing-masing ialah RM2 000 dan RM2 300. Syarat-syarat inventori adalah seperti yang berikut:
Kedai Maju IT sells two brands of smartphones, P and Q. The manager of the shop needs to do an inventory of both
brands of the smartphones every month. Given the inventory cost of smartphone P and smartphone Q are RM2 000
and RM2 300 respectively. The inventory conditions are as follows:
(i) Bilangan telefon pintar P, p, mesti selebih-lebihnya dua kali bilangan telefon pintar Q, q.
The number of smartphone P, p, must be at most twice the number of smartphone Q, q.
(ii) Jumlah kos inventori setiap kali adalah tidak melebihi RM8 000.
The total inventory cost each time is not more that RM8 000.
(i) p < 2q (ii) 2 000p + 2 300q < 8 000
(b) Sebuah perpustakaan mempunyai x buah buku cerita dan y buah buku rujukan. Syarat-syarat buku
pada rak adalah seperti yang berikut:
A library has x storybooks and y reference books. The conditions of the books on the bookshelf are as followed:
(i) Beza bilangan buku cerita dan buku rujukan adalah sekurang-kurangnya 2 buah.
The difference between the number of storybooks and reference books is at least 2 books.
(ii) Jumlah muatan rak buku adalah sebanyak 5 700 buah.
The bookshelf can put a total of 5 700 books.
(i) x − y > 2 (ii) x + y < 5 700
89 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
(c) Seorang kontraktor ingin membeli x kg batu bata dan y kg simen untuk disimpan. Harga batu bata ialah
RM100 per kg manakala harga simen ialah RM180 per kg.
A contractor wants to buy x kg bricks and y kg cement for storage. The price of bricks is RM100 per kg whereas the
price of cement is RM180 per kg.
(i) Jumlah semen sekurang-kurangnya 2 kali batu.
The amount of cement is at least 2 times of bricks.
(ii) Ruang simpanan maksimum ialah 20 000 kg untuk kedua-dua batu bata dan simen.
The maximum storage weight is 20 000 kg for both bricks and cement.
(iii) Kontraktor itu mempunyai modal sebanyak RM2 000.
The contractor has a modal of RM2 000.
(i) y > 2x (ii) x + y < 20 000 (iii) 100x + 180y < 2 000
5x + 9y < 100
y
7. Berdasarkan rajah di sebelah, tentukan rantau yang memuaskan sistem 8 y = 5x – 2
246
ketaksamaan linear y , 5x – 2 dan y . –6x + 2. Nyatakan sama ada setiap y = – 6x + 6
24
ketaksamaan yang diperoleh benar atau palsu. TP 4
2
Based on the diagram, determine the region that satisfies the system of linear inequalities
y , 5x – 2 and y . –6x + 2. Determine whether each of the inequality obtained is true. x
– 4 –2–2O
–4
Sistem ketaksamaan linear Titik memuaskan
System of linear inequalities
sistem ketaksamaan
Titik
BAB 6 y , 5x – 2 y . –6x + 2 linear
Point Point satisfies the system
Ketaksamaan Ketaksamaan
y 5x – 2 y –6x + 2 of linear inequalities
Inequality Inequality
(3 / 7)
CONTOH 3
(1, 2) 2 5(1) – 2 2,3 2 –6(1) + 2 2 . –4 Memuaskan kedua-dua
=3 = –4 ketaksamaan.
Satisfies both inequalities.
2 3 3 5 2 – 2 3,0 3–6 2 +2 3.– 2 7
5 5 (Palsu / False) 5 5
, 2 Hanya memuaskan satu
=0 –3 , 13 =– 5 (Benar / True) ketaksamaan.
(Benar / True) Satisfies one inequality only.
(3, –3) –3 5(3) – 2 –3 –6(3) + 2 –3 . –16
= 13 = –16 (Benar / True) 3
Memuaskan kedua-dua
ketaksamaan.
Satisfies both inequalities.
(0, –3) –3 5(0) – 2 –3 , –2 –3 –6(0) + 2 –3 . 2 7
= –2 (Benar / True) =2 (Palsu / False)
Hanya memuaskan satu
ketaksamaan.
Satisfies one inequality only.
(–2, 2) 2 5(–2) – 2 2 , –12 2 –6(–2) + 2 2 . 14 7
= –12 (Palsu / False) = 14 (Palsu / False)
Tidak memuaskan kedua-
dua ketaksamaan.
Not satisfies both inequalities
Berdasarkan jadual di atas, titik yang memuaskan sistem ketaksamaan linear adalah titik yang memuaskan
kedua-dua ketaksamaan linear itu.
Based on the above table, point that satisfies the system of linear inequalities is the point that satisfies both linear inequalities.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 90
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
8. Tentukan sama ada setiap titik berikut adalah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan linear yang diberikan
atau tidak. TP 4
Determine whether each of the following points is the solution of the given system of linear inequalities.
CONTOH
y > –7x, 3x – 2y , 5; (1, 5), (–2, 1)
Titik y > –7x 3x – 2y , 5
–7x
Point y Ketaksamaan 3x – 2y 5 Ketaksamaan
(1, 5) 5 –7(1) = –7 Inequality 3(1) – 2(5) = –7 5 Inequality
(–2, –1) –1 –7(–2) = 14 5 > –7 3(–2) – 2(–1) = –4 5 –7 , 5
(Benar / True) (Benar / True)
–1 > 14 –4 , 5
(Palsu / False) (Benar / True)
Maka, (1, 5) adalah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan linear.
Thus, (1, 5) is the solution of the system of linear inequalities.
(a) y > 2x – 3, y , –x + 6; (5, 4), (1, 3)
Titik y y > 2x – 3 Ketaksamaan y y , –x + 6 Ketaksamaan
2x – 3 –x + 6
Point Inequality –5 + 6 = 1 Inequality
–1 + 6 = 5
(5, 4) 4 2(5) – 3 = 7 4>7 4 4,1
(Palsu / False) (Palsu / False)
(1, 3) 3 2(1) – 3 = –1 3 > –1 3 3,5
(Benar / True) (Benar / True)
y = 2x
Maka, (1, 3) adalah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan linear.
BAB 6
Thus, (1, 3) is the solution of the system of linear inequalities.
(b) x + y > 4, 3y < 2x – 12; (4, –2), (6, –1)
Titik x+y>4 3y < 2x – 12
2x – 12
Point x+y 4 Ketaksamaan 3y 2(4) – 12 = –4 Ketaksamaan
2(6) – 12 = 0
Inequality Inequality
(4, –2) 4 + (–2) = 2 4 2>4 3(–2) = –6 –6 < –4
(Palsu / False) (Benar / True)
(6, –1) 6 + (–1) = 5 4 5>4 3(–1) = –3 –3 < 0
(Benar / True) (Benar / True)
Maka, (6, –1) adalah penyelesaian bagi sistem ketaksamaan linear.
Thus, (6, –1) is the solution of the system of linear inequalities.
9. Berdasarkan rajah di bawah, tentukan rantau yang memuaskan setiap sistem ketaksamaan berikut. TP 4
Based on the diagram below, determine the region that satisfies each of the following system of linear inequalities.
(a) y (i) y < –2 dan / and y . 2x (iii) y > –2 dan / and y , 2x
Rantau / Region C Rantau / Region B
4
Rantau A Rantau B
Region A 2 Region B x (ii) y > –2 dan / and y . 2x (iv) y < –2 dan / and y , 2x
Rantau / Region A Rantau / Region D
– 4 –2 O 24 y = –2
Rantau C Rantau D
Region C Region D
91 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tingkatan 4 Bab 6 Ketaksamaan Linear dalam Dua Pemboleh Ubah
(b) y y=x (i) y > x, y . 7 dan / (iii) y < x, y , 7 dan /
C y=7 and y + x . 8
A8 B and y + x . 8 Rantau / Region F
Rantau / Region B
6E (iv) y < x, y , 7 dan /
and y + x , 8
4D F (ii) y , 7 dan / Rantau / Region G
2 and y + x , 8
Rantau / Region D
– 4 –2 O 2 4 6 8 x
G y+x=8
10. Tandakan (3) bagi titik penyelesaian sistem ketaksamaan linear dalam graf berikut dan (7) jika tidak. TP 4
Mark (3) against the point of solution of system of linear inequalities in the following graphs and (7) if not.
CONTOH 2y = x + 3 (a) (5, 3) (b)
(2, 2) 2y = x – 6
y y y
(–1, 3) x 4 x 6
24 46 4 (1, 4) y = 4
2 2
2y = –3x + 6 2
–2 O O2
(1, –2) O
–2 x = –1 (2, 0) x
–2 2 4
y = –x y = –x + 5
–4 y = 3
(i) (–1, 3) 7 (ii) (2, 2) 3 (i) (5, 3) 3 (ii) (1, –2) 7 (i) (1, 4) 7 (ii) (2, 0) 3
BAB 6 11. Lorekkan rantau yang memuaskan sistem ketaksamaan linear berikut. TP 4
Shade the region that satisfies the following system of linear inequalities.
CONTOH
y > x + 1, y > –2x – 5, y < 5 Kenal pasti persilangan
Penyelesaian:
bagi rantau berlorek dalam
Lorekkan rantau Lorekkan rantau Lorekkan rantau – . y
y > x + 1. y > –2x – 5. y < 5. Identify the intersection of 5
Shade the region Shade the region Shade the region the shaded regions in
y > x + 1. y > –2x – 5. y < 5. – .
y=5
y y y y 1 y=x+1
y=5 y=5 y=5 y=5 x
–5 –1O
y=x+1 y=x+1 y=x+1 y=x+1 2
Ox Ox Ox Ox
–5 y = –2x – 5
y = –2x – 5 y = –2x – 5 y = –2x – 5 y = –2x – 5
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. 92
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
eBook M&M 2021 Matematik Tg4
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search