Matemática
LIBROCES001MT-A18V1
Han colaborado en esta edición
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Coordinadora PSU
Francisca Carrasco Fuenzalida
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Cynthia Ahumada Pérez
Daniel Henríquez Fuentes
Vania Muñoz Díaz
Tania Muñoz Romero
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones
a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Autor : CEPECH S.A.
N° de Inscripción : 284.116 del 26 de octubre de 2017
Derechos exclusivos : CEPECH S.A.
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL
Año Impresión 2018
Impreso en
Matemática
Índice
PRESENTACIÓN......................................................................................................................................... 7
Capítulo 1: NÚMEROS.............................................................................................................................. 11
1. Números ............................................................................................................................................ 12
1.1. Números reales ............................................................................................................................................................ 12
1.1.1. Clasificación de conjuntos numéricos .................................................................................................... 12
1.1.2. Generalidades de números reales ........................................................................................................... 12
1.1.3. Generalidades de los enteros .................................................................................................................... 13
1.2. Números racionales ................................................................................................................................................... 16
1.2.1. Transformación y orden en los racionales............................................................................................. 16
1.2.2. Aproximación en los racionales................................................................................................................. 18
1.2.3. Operatoria en los racionales....................................................................................................................... 19
1.2.4. Problemas en los racionales ...................................................................................................................... 22
1.3. Potenciación ................................................................................................................................................................. 26
1.3.1. Potencias ........................................................................................................................................................... 26
1.3.2. Raíces .................................................................................................................................................................. 29
1.3.3. Logaritmos........................................................................................................................................................ 31
1.4. Números irracionales................................................................................................................................................. 33
1.4.1. Orden entre raíces.......................................................................................................................................... 33
1.4.2. Orden entre logaritmos................................................................................................................................ 33
1.4.3. Aproximación en los irracionales ............................................................................................................. 34
1.5 Números imaginarios y complejos........................................................................................................................ 35
1.5.1. Propiedades de los números complejos................................................................................................ 35
1.5.2 Operatoria en los números complejos.................................................................................................... 37
Capítulo 2: ÁLGEBRA............................................................................................................................... 39 CPECH
2. Álgebra ............................................................................................................................................ 40 3
2.1. Transformación algebraica....................................................................................................................................... 40
2.1.1. Valorización, reducción y producto algebraico................................................................................... 40
2.1.2. Factorización algebraica y productos notables.................................................................................. 41
2.1.3. Simplificación y operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias....................................... 43
2.2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado................................................................................ 46
2.2.1. Ecuaciones de primer grado....................................................................................................................... 46
2.2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado.............................................................................................. 47
2.3. Ecuaciones de segundo grado............................................................................................................................... 50
2.3.1. Análisis del discriminante............................................................................................................................ 50
2.3.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado..................................................................................... 50
CPECH Índice
2.4. Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado........................................ 52
2.4.1. Desigualdades.................................................................................................................................................. 52
2.4.2. Inecuaciones de primer grado................................................................................................................... 54
2.4.3. Sistemas de inecuaciones de primer grado.......................................................................................... 56
2.5. Conceptos generales, evaluación y gráfico de funciones............................................................................ 58
2.5.1. Teoría, dominio y recorrido de funciones.............................................................................................. 58
2.6. Funciones de comportamiento lineal.................................................................................................................. 60
2.6.1. Función afín...................................................................................................................................................... 60
2.6.2. Función lineal .................................................................................................................................................. 61
2.6.3. Proporción directa.......................................................................................................................................... 61
2.7. Funciones de comportamiento exponencial.................................................................................................... 63
2.7.1. Función exponencial .................................................................................................................................... 63
2.7.2. Función logarítmica....................................................................................................................................... 65
2.8. Funciones de comportamiento polinomial....................................................................................................... 66
2.8.1. Función potencia............................................................................................................................................ 66
2.8.2. Función cuadrática ........................................................................................................................................ 68
2.8.3. Función raíz cuadrada................................................................................................................................... 70
2.9. Análisis gráfico de funciones................................................................................................................................... 71
2.9.1. Intersección de una función con los ejes............................................................................................... 71
2.9.2. Intersección entre funciones e intervalos de desigualdad............................................................. 72
2.9.3. Transformaciones en el gráfico de una función.................................................................................. 73
2.10. Composición y función inversa.............................................................................................................................. 75
2.10.1 Composición de funciones.......................................................................................................................... 75
2.10.2 Biyectividad y función inversa................................................................................................................... 77
Capítulo 3: GEOMETRÍA........................................................................................................................... 79
3. Geometría........................................................................................................................................... 80
3.1. Conceptos básicos en geometría.......................................................................................................................... 80
3.1.1. Generalidades de ángulos y polígonos.................................................................................................. 80
3.1.2. Generalidades de los triángulos................................................................................................................ 83
3.1.3. Generalidades de cuadriláteros................................................................................................................. 88
3.1.4. Generalidades y ángulos en la circunferencia..................................................................................... 93
3.2. Transformaciones isométricas................................................................................................................................ 97
3.2.1. Ubicación, punto medio y distancia en el plano cartesiano........................................................... 97
3.2.2. Vectores en el plano...................................................................................................................................... 99
3.2.3. Traslación en el plano.................................................................................................................................... 103
3.2.4. Rotación en el plano...................................................................................................................................... 104
3.2.5. Reflexión en el plano..................................................................................................................................... 105
3.2.6. Composición de transformaciones isométricas.................................................................................. 108
3.3. Geometría de proporción ........................................................................................................................................ 110
3.3.1. Congruencia de triángulos.......................................................................................................................... 110
4 3.3.2. Semejanza de triángulos.............................................................................................................................. 111
Matemática
3.3.3. Homotecia......................................................................................................................................................... 114
3.3.4. Teorema de Thales.......................................................................................................................................... 118
3.3.5. División de segmentos y teorema de la bisectriz............................................................................... 121
3.3.6. Teorema de Euclides...................................................................................................................................... 121
3.3.7. Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia......................................................................... 123
3.4. Geometría analítica..................................................................................................................................................... 126
3.4.1. Ecuación de la recta en el plano cartesiano.......................................................................................... 126
3.4.2. Posiciones relativas de rectas en el plano............................................................................................. 133
3.4.3. Sistema tridimensional................................................................................................................................. 137
3.4.4. Ecuación de la recta en el espacio............................................................................................................ 140
3.4.5. Ecuación del plano en el espacio ............................................................................................................. 145
3.5. Cuerpos geométricos................................................................................................................................................. 147
3.5.1. Poliedros............................................................................................................................................................. 147
3.5.2. Cuerpos redondos.......................................................................................................................................... 151
Capítulo 4: DATOS Y AZAR ...................................................................................................................... 161 CPECH
4. Datos y Azar....................................................................................................................................... 162 5
4.1. Conceptos básicos en estadística.......................................................................................................................... 162
4.1.1. Población y muestra estadística................................................................................................................ 162
4.1.2. Datos y variable estadística......................................................................................................................... 162
4.1.3. Representación de datos en tablas y gráficos...................................................................................... 163
4.2. Medidas de tendencia central en tablas y gráficos......................................................................................... 167
4.2.1. Medidas de tendencia central en datos no agrupados.................................................................... 167
4.2.2. Medidas de tendencia central en datos agrupados.......................................................................... 168
4.3. Medidas de posición .................................................................................................................................................. 170
4.3.1. Cuantiles............................................................................................................................................................. 170
4.3.2. Medidas de posición en tablas y gráficos.............................................................................................. 171
4.4. Medidas de dispersión............................................................................................................................................... 174
4.4.1. Rango.................................................................................................................................................................. 174
4.4.2. Varianza.............................................................................................................................................................. 174
4.4.3. Desviación estándar...................................................................................................................................... 176
4.5. Muestreo aleatorio simple........................................................................................................................................ 177
4.5.1 Número de muestras..................................................................................................................................... 178
4.5.2 Análisis de muestras...................................................................................................................................... 178
4.6. Probabilidad clásica y tipos de probabilidades................................................................................................ 179
4.6.1. Técnicas combinatorias................................................................................................................................ 179
4.6.2. Regla de Laplace............................................................................................................................................. 182
4.6.3. Producto de probabilidades....................................................................................................................... 184
4.6.4. Suma de probabilidades.............................................................................................................................. 185
4.6.5. Diagrama de árbol y triángulo de Pascal............................................................................................... 187
4.6.6. Probabilidad condicional y teorema de Bayes..................................................................................... 189
4.6.7. Ley de los grandes números....................................................................................................................... 191
CPECH Índice
4.7. Análisis de variable aleatoria discreta.................................................................................................................. 192
4.7.1. Variable aleatoria discreta, función de probabilidad y función de distribución..................... 192
4.7.2. Valor esperado (Esperanza matemática) ............................................................................................... 196
4.7.3. Distribución binominal ................................................................................................................................ 198
4.8. Análisis de variable aleatoria continua................................................................................................................ 201
4.8.1. Función de densidad..................................................................................................................................... 201
4.8.2. Distribución normal tipificada................................................................................................................... 203
4.8.3. Propiedades de distribución normal tipificada y análisis de gráfico........................................... 204
4.8.4. Tipificación........................................................................................................................................................ 208
4.8.5. Intervalos de confianza................................................................................................................................. 210
4.8.6 Aproximaciones a distribuciones normales.......................................................................................... 212
6
Matemática CPECH
Como tú sabes, la PSU tiene como propósito evaluar algunas de
las competencias que necesitas para ingresar a la carrera elegida.
Es necesario que comprendas que este instrumento no mide un
contenido específico en sí mismo, sino lo que tú debes saber hacer con
ese contenido, por ejemplo, aplicarlo en la resolución de un problema.
Por esta razón, te invitamos a utilizar el libro que tienes en tus manos
en conjunto con los recursos de aprendizaje creados especialmente
para ti: ejercicios organizados según los temas, guías y videos con
resolución de preguntas de ensayos; además del GPS académico,
donde se detalla el número de las páginas en las que encontrarás los
contenidos que, según tus resultados, debes reforzar. Para acceder a
ellos, ingresa a la intranet de Cpech.
No olvides descargar en tu celular la aplicación con estos libros en su
versión digital.
Dirección Académica
7
CPECH Habilidades evaluadas
Comprensión: Además del conocimiento explícito de la información, esta debe ser relacionada para
manejar el contenido evaluado, interpretando información en un contexto distinto al que se aprendió.
Aplicación: Es el desarrollo práctico tangible de la información que permite aplicar los contenidos
asimilados a la resolución de problemas.
ASE (Análisis, Síntesis y Evaluación): Es la más compleja de las habilidades evaluadas. Implica reconocer,
comprender, interpretar e inferir información a partir de datos que no necesariamente son de conocimiento
directo, y que exige reconocer las partes que forman un todo y las relaciones de causalidad entre ellas.
Etapas del método de Resolución de Problemas
1) Identificar: consiste en recopilar los datos entregados en el problema de forma explícita (incluyendo
figuras, tablas y gráficos), a cuál área de la matemática corresponden y se determina qué es lo que se
está preguntando.
2) Planificar: luego de la identificación, se selecciona aquella información matemática (definiciones,
propiedades, ecuaciones, etc.) relevante para resolver el problema, y en los casos que sea pertinente,
se adapta al contexto del ejercicio. Se plantea la manera en que se debe emplear la información para
llegar a la respuesta.
3) Ejecutar: en esta etapa se juntan los datos obtenidos con las fórmulas para llegar a la respuesta, es
decir, se realizan los procedimientos matemáticos para llegar a ella. También se analizan aquellos
problemas secundarios para obtener datos útiles en el problema principal.
4) Evaluar: para la PSU, no siempre es pertinente realizar este paso, sin embargo, es uno de los pasos más
importantes debido a que en él se evalúa si la respuesta obtenida es la correcta. Se debe analizar el o
los resultados obtenidos en el contexto del ejercicio y analizar su coherencia. En caso de no tenerla,
se debe repetir el procedimiento, analizando paso por paso para hallar el error. También, se pueden
analizar otras maneras en las que el problema puede ser resuelto.
8
Íconos didácticos Matemática
Conceptos Indica aquellos conceptos importantes referidos al capítulo,
fundamentales que no debes olvidar ni confundir.
Indica relaciones importantes respecto a la aplicación real
Sabías que... de contenidos, con la finalidad de que los asocies de manera
didáctica.
Ojo con Indica datos relevantes que debes manejar respecto a un
contenido.
Pregunta tipo PSU Indica un ejercicio que ejemplifica el contenido revisado
previamente.
CPECH
9
10 CPECH
Capítulo 1
Números
Aprendizajes Esperados
Aprendizajes Esperados
Utilizar los números reales en la resolución de problemas, ubicarlos en la recta
numérica, comprender sus propiedades y realizar aproximaciones.
Comprender y utilizar los números irracionales en la resolución de problemas.
Establecer relaciones entre potencias, logaritmos y raíces en el contexto de los
números reales, aplicando estos conceptos a la resolución de problemas.
Aplicar números complejos en la resolución de problemas sin solución en los
reales.
1 Números
Capítulo 1. Números
1.1. Números reales
1.1.1. Clasificación de conjuntos numéricos
A continuación se muestra un diagrama que incluye a todos los conjuntos numéricos:
C II
IR Q Z IN
Q*
Los números naturales (Iℕ) son todos aquellos que se utilizan para contar los elementos de un conjuntoCPECH
(1, 2, 3, 4,…). Los números enteros (Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero.
Los números racionales (ℚ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros con
denominador distinto de cero y los números irracionales (ℚ*) son todos aquellos que no pueden escribirse
como fracción de números enteros con denominador distinto de cero. La unión de ambos conjuntos forma el
conjunto de los números reales (Iℝ).
Los números imaginarios (II) son aquellos de la forma bi, con b un número real, distinto de cero, e i la unidad
imaginaria. Los números complejos (ℂ ) incluyen a los números reales, a los números imaginarios y a todos los
números de la forma (a + bi), con a y b números reales e i la unidad imaginaria.
1.1.2. Generalidades de números reales
La suma y la multiplicación en los reales cumplen con la propiedad conmutativa, que significa que el resultado
es independiente del orden de los elementos. Es decir, a + b = b + a y a • b = b • a, con a y b números reales.
Ambas operaciones cumplen además con la propiedad asociativa, que significa que el resultado es
independiente de cómo se agrupen los elementos.
Es decir, (a + b) + c = a + (b + c) y (a • b) • c = a • (b • c), con a, b y c números reales.
También, la multiplicación cumple con la propiedad distributiva sobre la suma y sobre la resta, lo que significa
que la primera operación se puede repartir sobre la segunda.
Es decir, a • (b + c) = a • b + a • c y a • (b – c) = a • b – a • c, con a, b y c números reales.
12
Matemática
Al sumar cualquier número con 0 el resultado es el número original, es decir a + 0 = a, por lo cual se define el
0 como elemento neutro aditivo. De la misma forma, al multiplicar cualquier número con 1 el resultado es el
número original, esto es a • 1 = a, por lo cual se define el 1 como elemento neutro multiplicativo.
El inverso aditivo (opuesto) de un número es aquel que sumado con el número resulta 0, es decir, el
inverso aditivo de a es (– a). Por otro lado, el inverso multiplicativo (recíproco) de un número es aquel que
multiplicado con el número resulta 1, es decir, el inverso multiplicativo de a es 1 , con a ≠ 0.
a
Los números reales pueden representarse en una recta numérica horizontal, quedando los números
positivos a la derecha del cero y los negativos a la izquierda del cero. El criterio más básico de comparación
entre dos números reales es que un número a es mayor que otro número b si a se encuentra a la derecha de b
en la recta numérica.
El valor absoluto de un número corresponde a la distancia (positiva) entre dicho número y el cero, y su
simbología es |a|. Para determinar su valor basta con quitarle el signo al número si es negativo y dejarlo igual
si es positivo o cero. Por ejemplo, |4| = 4 y |– 7| = 7.
1.1.3. Generalidades de los enteros
Los números enteros (Z ) incluyen a los números naturales, a los negativos de estos y al cero. Todo número
entero tiene un antecesor, que se obtiene restando 1 al número, y un sucesor (consecutivo), que se obtiene
sumando 1 al número.
Un número par es un número entero que puede escribirse de la forma 2n y un número impar es un número
entero que puede escribirse de la forma (2n + 1), con n un número entero. Si a es un número par, el antecesor
par de a es (a – 2) y el sucesor par de a es (a + 2). De la misma forma, si b es un número impar, el antecesor
impar de b es (b – 2) y el sucesor impar de b es (b + 2).
Si a y b son dos números enteros tales que a está contenido en b un número entero de veces, entonces se dice
que a es divisor (factor) de b y b es múltiplo de a. La forma general de comprobar si un número es divisor de
otro es realizar la división y verificar que el resto sea cero.
Conceptos
fundamentales
Considerando números positivos, existen las siguientes reglas de divisibilidad: CPECH
Un número es divisible por 2 si su último dígito es par. 13
Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 4.
Un número es divisible por 5 si su último dígito es 0 ó 5.
Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3 a la vez.
Un número es divisible por 7 si la diferencia entre el número sin el último digito y el doble del último dígito
es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo, 315 es múltiplo de 7, ya que (31 – 2 • 5) = 21 es múltiplo de 7.
Un número es divisible por 8 si sus tres últimos dígitos son cero o forman un múltiplo de 8.
Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9.
Un número es divisible por 10 si su último dígito es 0.
En general, un número entero es divisible por m • n si es divisible por m y n a la vez.
Capítulo1 Números
CPECH Sabías que...
Un número primo es un número natural que solo tiene como divisores positivos al 1 y al mismo número,
y un número compuesto es un número natural que tiene algún otro divisor positivo además del 1 y del
mismo número. Todos los números naturales que no son primos son compuestos, a excepción del 1 que
no es primo ni compuesto. Los números primos menores que 100 son {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.
Según el Teorema fundamental de la aritmética, todo número compuesto puede escribirse de manera
única como el producto de números primos. La cantidad total de divisores positivos que tenga el número
estará dada por el producto de los sucesores de los exponentes de dicha descomposición.
Por ejemplo, 600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 23 • 31 • 52. Como los exponentes son 3, 1 y 2, entonces 600 tiene en
total (3 + 1) • (1 + 1) • (2 + 1) = 4 • 2 • 3 = 24 divisores. Estos son:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600}.
El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números naturales corresponde al menor de
los números naturales que es múltiplo de todos los elementos del conjunto a la vez. Una forma de
determinarlo es realizar la descomposición en números primos de todos los elementos del conjunto,
con lo cual el m.c.m. será el producto de todos los factores primos involucrados, elevado cada uno al
mayor exponente que tengan. Por ejemplo, para obtener el m.c.m. de {12, 30, 45} se descompone cada
uno de los elementos: 12 = 22 • 31, 30 = 21 • 31 • 51 y 45 = 32 • 51. Los factores primos involucrados son 2 (con
exponente máximo 2), 3 (con exponente máximo 2) y 5 (con exponente máximo 1). Luego, el m.c.m. de
{12, 30, 45} es 22 • 32 • 51 = 180.
El máximo común divisor (M.C.D.) de un conjunto de números naturales corresponde al mayor de los
números naturales que es divisor de todos los elementos del conjunto a la vez. Una forma de determinarlo
es realizar la descomposición en números primos de todos los elementos del conjunto, con lo cual el M.C.D.
será el producto solo de los factores primos repetidos en todos ellos, elevado cada uno al menor exponente
que tengan. Por ejemplo, para obtener el M.C.D. de {90, 108, 270} se descompone cada uno de los elementos:
90 = 21 • 32 • 51, 108 = 22 • 33 y 270 = 21 • 33 • 51. Los factores primos repetidos son 2 (con exponente mínimo 1)
y 3 (con exponente mínimo 2). Luego, el M.C.D. de {90, 108, 270} es 21 • 32 = 18.
Ojo con
Los números que no tienen factores primos comunes se denominan primos relativos. En tal caso, el
m.c.m. es el producto entre los números y el M.C.D. es 1. Por ejemplo, 10 y 21 son primos relativos, ya que
los factores primos de 10 son 2 y 5, y los factores primos de 21 son 3 y 7. Luego, el m.c.m. entre 10 y 21 es
210 y el M.C.D. entre 10 y 21 es 1.
14
Matemática
Pregunta tipo PSU
Sean t1, t2, t3 y t4 cuatro números pares positivos consecutivos. Respecto a esta sucesión, siempre es
correcto afirmar que la suma entre
I) todos los términos es un múltiplo de 4.
II) t2 y t3 es divisible por t4.
III) t2 y t4 es igual al doble de t3.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I.
B) solo I y II.
C) solo I y III.
D) solo II y III.
E) I, II y III.
Resolución
Los cuatro números pares consecutivos pueden ser escritos como:
t1 = 2n
t2 = 2(n + 1) = 2n + 2
t3 = 2(n + 2) = 2n + 4
t4 = 2(n + 3) = 2n + 6
Con n un número entero positivo.
Luego:
I) Verdadera, ya que sumando todos los términos se tiene que:
t1 + t2 + t3 + t4 = 2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) = 8n + 12 = 4(2n + 3)
El total de la suma de todos los términos resulta 4(2n + 3), expresión que por poseer el factor 4,
siempre será divisible por este valor. Notar que el factor (2n + 3) depende del valor de n, por lo que
su valor es variable, por ejemplo, si n = 1, entonces (2n + 3) = 5, si n = 2, entonces (2n + 3) = 7, y así
sucesivamente.
II) Falsa, ya que sumando los términos centrales se tiene que:
t2 + t3 = (2n + 2) + (2n + 4) = 4n + 6 = 2(2n + 3)
En tanto, el valor de t4 es 2(n + 3), por lo que t2 + t3 = 2(2n + 3) = 2n + 3 . Como la expresión resultante
t4 2(n + 3) n+3
no puede ser expresada como un valor entero (ya sea en función de n o de algún valor constante y CPECH
entero) se concluye que la suma entre t2 y t3 no es divisible por t4.
15
1 Números
Capítulo III) Verdadera, ya que la suma entre t2 y t4 es t2 + t4 = (2n + 2) + (2n + 6) = 4n + 8 = 4(n + 2), en tanto que
t2 + t4
t3 = 2 (n + 2), por lo que al realizar el cociente se obtiene que t3 = 4(n + 2) = 4 = 2. Como el
2(n + 2) 2
cociente de la razón es 2, se concluye que la suma entre t2 y t4 es el doble de t3.
Alternativa correcta:
C
1.2. Números racionales
1.2.1. Transformación y orden en los racionales
Los números racionales (ℚ) son todos aquellos que pueden escribirse como fracción de números enteros
con denominador distinto de cero. Incluyen a los números enteros (que pueden escribirse como fracción
de denominador 1), a los números decimales finitos, a los números decimales periódicos y a los números
decimales semiperiódicos.
Sabías que...
Además del formato fraccionario y decimal, todo número racional puede expresarse en formato porcentual.
Para transformar una fracción a número decimal, basta con realizar la división planteada por la fracción.
Para expresarla como porcentaje, se multiplica dicho resultado por 100 y se agrega el símbolo %.
Por ejemplo: 5 = 5 : 8 = 0,625 = 62,5%.
8
Un número decimal finito es el que tiene una cantidad determinada de decimales. Para transformar un
número decimal finito a fracción se escribe en el numerador todo el número sin la coma y en el denominador
una potencia de 10 que tenga tantos ceros como dígitos haya después de la coma. Por ejemplo: 2,35 = 235 .
100
Un número decimal periódico es el que tiene un dígito o un grupo de dígitos que se repiten infinitamente
luego de la coma, llamado parte periódica (o periodo), el que puede escribirse con punto suspensivo o con una
barra. Para transformar un número decimal periódico a fracción se escribe en el numerador todo el número sin
la coma, menos la parte no periódica, y en el denominador un número formado por tantos nueves como cifras
CPECH tenga el periodo. Por ejemplo: 5,242424… = 5,24 = 524 – 5 = 519 .
99 99
16
Matemática
Un número decimal semiperiódico es el que tiene una parte decimal no periódica (o anteperiodo) seguida
de una parte periódica (o periodo). Para transformar un número decimal semiperiódico a fracción se escribe
en el numerador todo el número sin la coma, menos la parte no periódica (incluyendo el anteperiodo), y en el
denominador un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros
como cifras tenga el anteperiodo. Por ejemplo: 3,12666… = 3,126 = 3.126 – 312 = 2.814 .
900 900
Para ordenar números racionales, generalmente es más conveniente compararlos en su formato decimal.
Por ejemplo, para ordenar de menor a mayor los números 14 , 17 y 23 , primero se transforman a números
11 13 18
decimales: 14 = 1,272…, 17 = 1,307… y 23 = 1,277…. Como la parte entera es igual, se debe comparar la primera
11 13 18
cifra decimal, que es mayor en 17 . Dado que la primera y segunda cifra decimal son iguales en los otros dos
13
números, se compara la tercera cifra decimal, que es mayor en 23 . Luego, el orden correcto es 14 < 23 < 17 .
18 11 18 13
En caso de que se estén comparando dos fracciones y los números sean reducidos, una alternativa a lo anterior
es multiplicar cruzados los numeradores y denominadores. Por ejemplo, para comparar 8 y 5 se puede
3 2
comparar 8 • 2 y 3 • 5. Como 16 > 15, entonces 8 > 5 .
3 2
Pregunta tipo PSU
El número decimal wx, yz , con w, x, y y z números enteros positivos menores o iguales que 9, es
equivalente a la expresión
A) wxy – z
90
B) wxyz – z
90
C) wxyz – wxy
90
D) wxyz – wxy
99
E) wxyz – yz
90
CPECH
17
1 Números
Capítulo Resolución
En este caso, el número decimal corresponde a un infinito semiperiódico. En las alternativas se presenta
el algoritmo para transformar el número decimal wx, yz en un número fraccionario. Siguiendo los pasos,
se tiene que:
- En el numerador, se escribe la cifra como si fuera un número entero,
es decir, wxyz.
- En el numerador, al valor anterior se le resta la parte sin periodo,
como si se tratara de un valor entero, es decir, se le debe restar wxy.
- En el denominador, se escriben tantos nueves como decimales Alternativa correcta:
periódicos tenga el número, seguidos de tantos ceros como C
decimales sin periodo tenga el número. En este caso, hay un decimal
periódico, que es z, y un decimal sin periodo, que es y, por lo que el
denominador es 90.
- Finalmente, la expresión equivalente a wx, yz es wxyz – wxy .
90
1.2.2. Aproximación en los racionales
Una aproximación es una representación inexacta (aunque muy cercana) de un número, mediante la
eliminación de cifras decimales. Los métodos más comunes son la aproximación por redondeo, la aproximación
por truncamiento y la aproximación por exceso.
Conceptos
fundamentales
Al aproximar por redondeo a la enésima cifra decimal se eliminan los decimales desde la posición (n + 1).
Si el decimal en la posición (n + 1) es mayor o igual que 5, entonces el decimal en la posición n se aumenta
en una unidad y si es menor que 5, se eliminan las cifras que están luego del enésimo decimal. Por ejemplo,
al redondear 3,126 a la segunda cifra decimal (centésima) queda 3,13 y al redondear 4,73 a la primera cifra
decimal (décima) queda 4,7.
Al aproximar por truncamiento (o por defecto) a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales
desde la posición (n + 1), independiente del valor de este. Por ejemplo, al truncar 3,126 a la segunda cifra
decimal (centésima) queda 3,12 y al truncar 4,73 a la primera cifra decimal (décima) queda 4,7.
Al aproximar por exceso a la enésima cifra decimal, se eliminan los decimales desde la posición (n + 1),
y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad. Por ejemplo, al aproximar por exceso 3,126 a la
segunda cifra decimal (centésima) queda 3,13 y al aproximar por exceso 4,73 a la primera cifra decimal
(décima) queda 4,8.
CPECH
18
Matemática
1.2.3. Operatoria en los racionales
■ Amplificar una fracción significa multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número, sin que
cambie el valor de la fracción. Por ejemplo, al amplificar 6 por 3 resulta 6•3 = 18 .
11 11 • 3 33
■ Simplificar una fracción significa dividir el numerador y el denominador por el mismo número, sin que
cambie el valor de la fracción. Por ejemplo, al simplificar 8 por 4 resulta 8:4 = 2 .
12 12 : 4 3
■ Para sumar o restar fracciones de igual denominador, se operan los numeradores y se conserva el
denominador. Por ejemplo, 2 – 7 + 4 = 2–7+4 = –1 .
15 15 15 15 15
■ Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, se amplifican (o simplifican) las fracciones para
que los denominadores alcancen un valor común (m.c.m.) y luego se procede como en el caso anterior. Por
ejemplo, 4 + 5 – 3 , el m.c.m. entre 9, 6 y 4 es 36, luego se amplifica cada fracción para que el denominador
9 6 4
llegue a 36 y se opera con igual denominador:
4 + 5 – 3 = 4•4 + 5•6 – 3•9 = 16 + 30 – 27 = 16 + 30 – 27 = 19 .
9 6 4 9•4 6•6 4•9 36 36 36 36 36
■ Un número mixto corresponde a la suma entre un número entero y una fracción, escrita sin el signo de
asuma, de manera que b =a+ b = a + b = a•c + b = a • c+ b , con c ≠ 0.
c c 1 c c c c
Por ejemplo, 2 3 = 2•5+3 = 13 . Para transformar una fracción a número mixto se realiza la división,
5 5 5
poniendo el cuociente (resultado) como entero, el resto como numerador y manteniendo el denominador.
Por ejemplo, para transformar 14 a número mixto se divide 14 : 3, donde el cuociente es 4 y el resto es 2.
3
Luego, 14 = 4 2 .
3 3
■ Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Por
ejemplo, 2 • 4 • 1 = 2•4•1 = 8 . La regla de los signos dice que al multiplicar dos números de igual
5 3 3 5•3•3 45
signo el producto (resultado) es positivo, y al multiplicar dos números de distinto signo el producto es
negativo. Por ejemplo, –6 • –4 = 24 y 7 • –3 = – 21 .
5 11 55 2 8 16
■ Para dividir fracciones, se multiplica la primera fracción (dividendo) por el inverso multiplicativo de la
segunda fracción (divisor). Por ejemplo, 4 : 5 = 4 • 3 = 12 .
7 3 7 5 35
CPECH
19
1 Números
Capítulo Ojo con
La prioridad de las operaciones indica que el orden en que se debe operar obedece a la regla
PAPOMUDAS: paréntesis, potencias, multiplicaciones/ divisiones (de izquierda a derecha) y adiciones/
sustracciones (de izquierda a derecha). Por ejemplo:
1. 8 • (7 – 4) : 12 – 1 + 6 : 3 • 4 = ( ) 2. 5–1 • 9 + 4 : 10 =
8 2 6 3 7
8 • 3 : 12 – 1 + 6 : 3 • 4 =
( ) 5 1 9 4 7
24 : 12 – 1 + 2 • 4 = 8 – 2 • 6 + 3 • 10 =
2 – 1 + 8 = ( ) 5 1 9 28
8 2 6 30
1 + 8 = – • + =
9 ( ) 5 1 45 28
8 2 30 30
– • + =
5 – 1 • 73 =
8 2 30
5 – 73 =
8
60
75 – 146 =
120 120
– 71
120
Pregunta tipo PSU
( )La 3 2 – 3 + 1 tiene como resultado
expresión 5 3 4
A) 21
20
B) 41
5
C) 32
35
D) 19
20
E) 11
20
CPECH
20
Matemática
Resolución
Es importante considerar la prioridad de operaciones. Como no hay potencias, se debe comenzar por
resolver el paréntesis:
( )2 – 3 = 8–9 = –1 (m.c.m. entre 3 y 4 es 12, luego se aplica la suma de fracciones)
4 12 12
3
( )La expresión resultante es 3 –1 + 1. La prioridad pasa a la multiplicación:
5 12
( )3 –1 = 3 • (– 1) = 6–03, lo que simplificado resulta 2–01.
12 5 •12
5
Luego, sumando los últimos términos, se tiene: Alternativa correcta:
–1 + 1 = –1 + 20 = – 1 + 20 = 19 D
20 20 20 20 20
Pregunta tipo PSU
Sean dos números racionales p y q, tal que p = 2 y q = 7 . Es correcto afirmar que
3 6
I) la suma entre p y q, truncada a la centésima es 1,82.
II) el cociente entre p y q, redondeado a la milésima es 0,572.
III) el producto entre p y q, aproximado por exceso a la décima es 0,9.
Es (son) verdadera(s)
A) solo I.
B) solo II.
C) solo II y III.
D) I, II y III.
E) ninguna de ellas.
Resolución
I) Falsa, ya que la suma entre p y q es igual a 2 + 7 = 12 + 21 = 33 = 11 . Luego, se tiene que
3 6 18 6
11 18
6 = 1,833333..., valor que truncado a la centésima es 1,83. CPECH
21
1 Números
Capítulo II) Falsa, ya que el cociente entre p y q es igual a 2 : 7 = 2 • 6 = 12 = 4 . Luego, se tiene que
que redondeado a la 3 6 3 7 21 7
4
7 = 0,571428571..., valor milésima resulta 0,571.
III) Falsa, ya que el producto entre p y q es igual a 2 • 7 = 2•7 = 7 .
Luego, se tiene 3 6 3•6 9
7
que 9 = 0,777..., valor que aproximado por exceso a Alternativa correcta:
la décima es 0,8. E
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
1.2.4. Problemas en los racionalesCPECH
Si bien a veces se incluyen preguntas de razonamiento matemático en las pruebas de selección, es importante
señalar que en su gran mayoría no requieren el conocimiento de procedimientos y fórmulas, ya que lo que se
evalúa es si el postulante es capaz de seguir las instrucciones incorporadas en el enunciado. Estos ejercicios
generalmente corresponden a secuencias y series.
Una secuencia (o sucesión) es un conjunto de números que se forman mediante algún patrón. Los patrones
más comunes en las secuencias son la suma de un término constante, por ejemplo 3, 7, 11, 15, 19… o la suma
de un término creciente, por ejemplo 4, 5, 7, 10, 14, 19…
Conceptos
fundamentales
Es común que los términos de una secuencia se representen por una expresión general, que depende
de la posición del término dentro de la secuencia. Por ejemplo, la secuencia 5, 7, 9, 11, 13… se puede
representar por:
(2 • 1 + 3) para el primer término (posición 1)
(2 • 2 + 3) para el segundo término (posición 2)
(2 • 3 + 3) para el tercer término (posición 3)
(2 • 4 + 3) para el cuarto término (posición 4)
(2 • 5 + 3) para el quinto término (posición 5)
Siguiendo este patrón, la expresión para el enésimo término (posición n) es (2 • n + 3).
También existen secuencias formadas por fracciones. En dichos casos es muy posible que el numerador y el
denominador sigan patrones diferentes. Para encontrar la lógica de la secuencia no existen reglas establecidas,
aunque se pueden fijar algunos criterios.
22
Matemática
Por ejemplo, considerando la secuencia 2, 5 , 1, 7 , 4 , ... se observa que tiene términos fraccionarios, por lo
4 8 5
cual se debe escribir todos sus términos como fracción, quedando 2 , 5 , 1 , 7 , 4 , ... . Es claro que algunas de
1 4 1 8 5
las fracciones están simplificadas, lo que dificulta observar los patrones con claridad; en tal caso, es preferible
fijarse solo en dos o tres fracciones, para las cuales se va a intentar ubicar un patrón. En este caso, tomando el
segundo y cuarto término, resulta intuitivo ubicar un 6 entre el 5 y el 7 del numerador, y ubicar un 6 entre el 4 y
el 8 del denominador. Esto implicaría que la secuencia del numerador se forma por la suma de 1 y la secuencia
del denominador se forma por la suma de 2, quedando 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , ... , que simplificando las fracciones
2 4 6 8 10
reductibles coincide con la secuencia original. Con este razonamiento se puede concluir que la expresión general
para el enésimo término de la secuencia es n+3 , por lo cual el sexto término (n = 6) es 6+3 = 9 = 3 , el
2n 2•6 12 4
séptimo término (n = 7) es 7+3 = 10 = 5 , etc.
2•7 14 7
Una serie (o sumatoria) es la suma de los términos de una secuencia. Si bien es posible obtener dicho resultado
cuando los términos son conocidos, existen ciertas normas para cuando la cantidad de términos hace muy
engorrosa la operación. Por ejemplo, la suma S de los diez primeros términos de la forma 1 1) , con n un
n(n +
número natural de 1 a 10, quedaría planteada como
S = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 9 1 + 1 , lo que resulta muy largo de resolver.
1•2 2•3 3•4 4•5 5•6 6•7 7•8 8•9 • 10 10 • 11
Sin embargo, si consideramos que la igualdad n 1 1) = 1 – n 1 1 se cumple para cualquier valor de n en los
• (n + n +
naturales, entonces 1 = 1 – 1 , 1 = 1 – 1 , 1 = 1 – 1 ,… y así hasta 1 = 1 – 111.
1•2 1 2 2•3 2 3 3•4 3 4 10 • 11 10
Luego, reemplazando:
S= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1•2 2•3 3•4 4•5 5•6 6•7 7•8 8•9 9 • 10 10 • 11
S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11
Es posible notar que la mayoría de los términos aparece con su inverso aditivo, por lo cual se pueden reducir
todos los términos, excepto el primero y el último. Entonces, S = 1 – 1 = 10 , lo que resulta mucho más
1 11 11
simple de resolver.
CPECH
23
1 Números
Capítulo Pregunta tipo PSU
En la recta numérica de la figura adjunta se ubican los números racionales a, b, c y d.
a –1 b 0 c 1 d
¿Cuál de las siguientes igualdades NO es posible que ocurra dentro de la recta numérica?
A) d =a
b
B) c =b
a
C) b =a
c
D) a =c
b
E) d =b
a
Resolución
Analizando cada alternativa, se tiene:
A) Verdadera, ya que d se ubica en el intervalo ]1, + ∞[, b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, por lo que el
cociente entre d y b siempre se ubicará en el intervalo ]– ∞, – 1[, que corresponde al intervalo donde se
ubica a. En particular, si d = 3 y b = – 0,5, entonces d = – 6, que corresponde a un posible valor de a.
b
B) Verdadera, ya que c se ubica en el intervalo ]0, 1[, a se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, por lo que el
cociente entre c y a siempre se ubicará en el intervalo ]– 1, 0[, que corresponde al intervalo donde se
ubica b. En particular, si c = 0,5 y a = – 2, entonces c = – 0,25, que corresponde a un posible valor de b.
a
C) Verdadera, ya que b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, c se ubica en el intervalo ]0, 1[, por lo que el
cociente entre b y c siempre se ubicará en el intervalo]– ∞, 0[, que contiene al intervalo ]– ∞, – 1[, que
es donde se ubica a. En particular, si b = – 0,25 y c = 0,05, entonces b = – 5, que corresponde a un
c
posible valor de a.
D) Falsa, ya que a se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, b se ubica en el intervalo ] – 1, 0[, por lo que el
cociente entre a y b siempre se ubicará en el intervalo ]1, + ∞[, en tanto que c se ubica en el intervalo
]0, 1[, por lo que se concluye que a NO es igual a c en ningún caso.
b
CPECH
24
E) Verdadera, ya que d se ubica en el intervalo ]1, + ∞[, a Matemática
se ubica en el intervalo ]– ∞, – 1[, por lo que el cociente Alternativa correcta:
entre d y a siempre se ubicará en el intervalo ] – ∞, 0[, que D
contiene al intervalo ]– 1, 0[, que es donde se ubica b.
En particular, si d = 2 y a = – 10, entonces d = – 0,2, que
corresponde a un posible valor de b. a
Pregunta tipo PSU
Mariela es la encargada de repartir en igual cantidad 750 caramelos idénticos entre 27 niños que asisten
a un paseo escolar, sin que sobre ni falte ningún caramelo. ¿En cuál de las siguientes condiciones Mariela
NO puede cumplir su objetivo?
A) Dos niños no asisten al paseo.
B) Tres niños más asisten al paseo.
C) Se quitan 21 caramelos de la cantidad total.
D) Se agregan 6 caramelos a la cantidad total.
E) Se quitan 27 caramelos de la cantidad total.
Resolución
Para que Mariela pueda cumplir su objetivo debe cumplirse que el cociente entre la cantidad de caramelos
y la cantidad de niños que asisten al paseo escolar sea un número entero. Entonces, analizando cada
alternativa:
A) Si dos niños no asisten al paseo implica que la cantidad de niños baja de 27 a 25, luego:
Cantidad de caramelos = 750 = 30. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los
Cantidad de niños 25
25 niños recibirá 30 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.
B) Si tres niños más asisten al paseo implica que la cantidad de niños aumenta de 27 a 30, luego:
Cantidad de caramelos = 750 = 25. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los
Cantidad de niños 30
30 niños recibirá 25 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.
CPECH
25
1 Números
Capítulo C) Si se quitan 21 caramelos, implica que la cantidad total de ellos baja de 750 a 729, luego:
Cantidad de caramelos = 729 = 27. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno de los
Cantidad de niños 27
27 niños recibirá 27 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.
D) Si se agregan 6 caramelos, implica que la cantidad total de ellos aumenta de 750 a 756 caramelos,
luego: Cantidad de caramelos = 756 = 28. Por lo tanto, en esta condición se cumple que cada uno
Cantidad de niños 27
de los 27 niños recibirá 28 caramelos, por lo que Mariela cumple su objetivo.
E) Si se quitan 27 caramelos, implica que la cantidad total de ellos
baja de 750 a 723, luego:
Cantidad de caramelos = 723 = 26,77... . Por lo tanto, en esta Alternativa correcta:
Cantidad de niños 27
E
condición se cumple que cada uno de los 27 niños recibirá 26
caramelos, pero sobrarán 21 caramelos, por lo que Mariela NO
cumple su objetivo.
1.3. Potenciación
1.3.1. Potencias
Una potencia de exponente entero y positivo (natural) corresponde a la multiplicación de n veces un número
a, escrita de forma abreviada como an = b donde a es la base, n es el exponente y b es el resultado. Por ejemplo,
34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81.
En una potencia de exponente entero y negativo se debe utilizar el inverso multiplicativo de la base, elevado al
( ) ( )mismo exponente positivo, es decir, a–n =
1 n , con a ≠ 0. Por ejemplo, 5–3 = 1 3 1 • 1 • 1 = 1215.
a 5 5 5 5
=
Una potencia de exponente 0 es siempre igual a 1, excepto cuando la base es 0, lo que está indefinido
matemáticamente. Es decir, a0 = 1 para cualquier valor de a distinto de cero.
Toda potencia de base positiva da un resultado positivo, independiente del exponente, y toda potencia de
exponente par da un resultado positivo, independiente de la base (excepto si la base es 0). Solo las potencias
de base negativa y exponente impar dan un resultado negativo.
CPECH
26
Matemática CPECH
Conceptos
fundamentales
Algunas propiedades de las potencias son:
■ Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes, es
decir, an • am = am + n. Por ejemplo, 410 • 45 = 415.
■ Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes, es decir,
am : an = am–n, con a ≠ 0. Por ejemplo, 68 : 63 = 65.
■ Para multiplicar potencias de igual exponente, se multiplican las bases y se conserva el exponente,
es decir, an • cn = (a • c)n. Por ejemplo, 27 • 37 = (2 • 3)7 = 67.
■ Para dividir potencias de igual exponente, se dividen las bases y se conserva el exponente, es
decir, an : cn = (a : c)n, con c ≠ 0. Por ejemplo, 106 : 56 = (10 : 5)6 = 26.
■ Para aplicar una potencia a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes, es
decir, (an)m = an • m. Por ejemplo, (84)9 = 84 • 9 = 836.
■ Si bien no existen propiedades para la suma y resta de potencias, es posible aplicar la factorización
para reducirlas. Por ejemplo, 620 + 618 = 618 • 62 + 618 = 618 • (62 + 1) = 618 • (36 + 1) = 618 • 37.
Una potencia de 10 permite escribir números con muchos ceros como potencia de base 10, ya sean enteros o
decimales. Para números enteros, el exponente es positivo e indica la cantidad de ceros que tiene el número a la
derecha del 1, por ejemplo 1.000.000 = 106 y 7.000 = 7 • 103. Para números decimales, el exponente es negativo
e indica la cantidad de posiciones decimales que tiene el número incluyendo el 1, por ejemplo 0,0001 = 10– 4 y
0,06 = 6 • 10– 2.
Sabías que...
La notación científica corresponde a la escritura de cualquier número como una potencia de 10
multiplicada por un número entre 1 y 10. Por ejemplo, 23.800 = 2,38 • 104 y 0,00008174 = 8,174 • 10– 5.
27
1 Números
Capítulo Pregunta tipo PSU
Si k y a son números enteros mayores que 1, ¿cuál de las siguientes expresiones siempre es equivalente
a (ak – 1 + ak + ak + 1)?
A) ak – 1 • (1 + a + a 2)
B) ak • (1 + a + a 2)
( )C) ak •1 + a
a
D) a3k
E) ak
Resolución
No existen propiedades para la suma o resta de potencias. Entonces, una de las opciones de desarrollo
está dada por la factorización de la expresión. Un factor posible que cada término del trinomio tiene en
común es ak , por lo que:
(ak – 1 + ak + ak + 1) = ak • a –1 + ak + ak • a1
En el paso anterior, se descompuso cada término mediante la propiedad de producto de potencias,
dejando así en cada uno de ellos el factor ak. Luego, factorizando por este término:
ak • a –1 + ak + ak • a1 = ak • (a–1 + 1 + a)
( ) 1
= ak • a + 1 + a
( )
= ak • 1 + a + a2
a
= ak • (1 + a + a2) Alternativa correcta:
a
A
= ak – 1 • (1 + a + a2)
CPECH
28
Matemática
1.3.2. Raíces
Una raíz corresponde a la base de una potencia. Es decir, si a = �n b entonces an = b, donde a es la raíz enésima
de b (la base de la potencia), n es el índice de la raíz (el exponente de la potencia con n ∈ Z y n ≥ 2) y b es la
cantidad subradical (el resultado de la potencia). Por ejemplo, si �3 8 = 2, entonces 23 = 8. Cuando en una raíz no
aparece el índice, significa que el valor de este es 2.
Dado que una raíz tiene relación directa con una potencia, su planteamiento solo tendrá sentido en caso que lo
tenga para la potencia. Por ejemplo, sabemos que toda potencia de exponente par da un resultado positivo,
independiente de la base (excepto si la base es 0), por lo cual no tiene sentido preguntar cuál es la base de
una potencia de exponente par y resultado negativo. Esto implica que las raíces de índice par y cantidad
subradical negativa no están definidas en los reales.
Conceptos
fundamentales
Algunas propiedades de las raíces son:
■ Para multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las cantidades subradicales y se conserva el
índice, es decir, �n b • �n c = �n b • c . Por ejemplo, �5 3 • �5 4 = �5 3 • 4 = �5 12 .
■ Para reducir la cantidad subradical es posible descomponer la raíz, realizando una factorización en la
cantidad subradical donde aparezca una raíz exacta y aplicando la propiedad anterior.
Por ejemplo, �75 = �25 • 3 = �25 • �3 = 5�3.
■ Para dividir raíces de igual índice, se dividen las cantidades subradicales y se conserva el índice, es
decir, �n b : �n c = �n b : c , con c ≠ 0. Por ejemplo, �8 15 : �8 5 = �8 3.
■ Para aplicar una raíz a otra raíz, se conserva la cantidad subradical y se multiplican los índices, es
decir, �n m�b = n•m�b. Por ejemplo, �7 �3 2 = 2�12.
■ Una raíz puede escribirse como una potencia de exponente fraccionario, con el exponente de la
cantidad subradical en el numerador y el índice de la raíz en el denominador, es decir, �n bm = b m . Luego,
n
cualquier operación de multiplicación o división entre raíces puede trabajarse con las propiedades de
potencia. Por ejemplo, �11 • �3 112 1 2 1 + 2 7 = �6 117.
3
= 11 2 • 11 3 = 11 2 = 11 6
CPECH
29
1 Números
Capítulo ■ Si bien no existen propiedades para la suma y resta de raíces, es posible aplicar la descomposición
para reducirlas. Por ejemplo:
�180 – �20 = �36 • 5 – �4 • 5 = 6�5 – 2�5 = 4�5.
La racionalización es un procedimiento que consiste en eliminar las raíces de los denominadores,
multiplicando por una expresión equivalente a 1. Los casos habituales son:
■ Si hay una raíz cuadrada en el denominador, se amplifica por la misma raíz. Por ejemplo, para
racionalizar 5 se multiplica por �3 , resultando: 5 • �3 = 5�3 = 5�3 .
�3 �3 �3 �3 �32 3
■ Si hay una raíz no cuadrada en el denominador, se amplifica por una raíz de igual índice cuya
cantidad subradical permita igualar dicho índice. Por ejemplo, para racionalizar 2 se multiplica por,
�3 7
�3 72 resultando: 2 • �3 72 = 2�3 72 = 2�3 72 .
�3 72 �3 7 �3 72 �3 73 7
■ Si hay una suma o resta con raíces cuadradas en el denominador, se amplifica por la misma
expresión con la operación contraria. Por ejemplo, para racionalizar 3 1 se multiplica por �5 + 1 ,
�5 – �5 + 1
resultando: 3 1 • �5 + 1 = 3(�5 + 1) = 3�5 + 3 = 3�5 + 3 = 3�5 + 3 .
�5 – �5 + 1 (�5 – 1)(�5 + 1) (�5 )2 – (1)2 5–1 4
Pregunta tipo PSUCPECH
Si a, p y q son números enteros mayores que uno, entonces la expresión p •�q ap + q es siempre equivalente a
A) �p a + �q a
p•q
B) ap + q
C) �p a • �q a
D) �p aq • �q ap
E) ninguna de ellas.
30
Matemática
Resolución
La expresión del enunciado puede ser reescrita en forma de potencia, resultando p •�q ap + q = p+q
ap•q
El exponente de la expresión anterior puede ser descompuesto en una suma de fracciones, resultando:
p •�q ap + q = p+q = p + q (Simplificando fracciones en el exponente)
(Descomponiendo como producto de potencias)
ap•q ap • q p • q (Expresando en forma de raíz)
p •�q ap + q = 1 + 1
aq p
p •�q ap + q = 1 • 1
aq ap
p •�q ap + q = �q a • �p a
Alternativa correcta:
C
1.3.3. Logaritmos
Un logaritmo corresponde al exponente de una potencia. Es decir, si n = loga b, entonces an = b donde a es la
base (de la potencia y del logaritmo), n es el logaritmo (el exponente de la potencia) y b es el argumento del
logaritmo (el resultado de la potencia). Por ejemplo, si log3 81 = 4, entonces 34 = 81. Cuando en un logaritmo
no aparece la base, significa que el valor de esta es 10.
Al igual que la raíz, dada su relación con las potencias, el logaritmo también tiene ciertas restricciones. Solo
están definidos matemáticamente logaritmos de base real positiva distinta de 1 y argumentos reales positivos.
Conceptos
fundamentales
Algunas propiedades de los logaritmos son:
■ Para sumar logaritmos de igual base, se conserva la base y se multiplican los argumentos, es decir,
loga b + loga c = loga (b • c). Por ejemplo, log3 2 + log3 11 = log3 (2 • 11) = log3 22.
■ Para restar logaritmos de igual base, se conserva la base y se dividen los argumentos, es decir,
loga b – loga c = loga (b : c). Por ejemplo, log2 21 – log2 7 = log2 (21 : 7) = log2 3.
■ Para aplicar logaritmo a una potencia, el exponente del argumento se multiplica por el logaritmo,
es decir, loga bm = m • loga b. Por ejemplo, log5 64 = 4 • log5 6.
■ Para el cambio de base de un logaritmo se aplica la relación loga b = logcb . Por ejemplo, al cambiar CPECH
logca
log7 5
log4 5 a base 7, resulta log7 4 .
31
1 Números
Capítulo Ojo con
La propiedad de cambio de base por lo general se utiliza para reducir expresiones logarítmicas cuyos
argumentos tienen una base en común. Por ejemplo, log27 81, tanto la base como el argumento son
potencias de 3, por lo que es conveniente realizar el cambio de base con este valor. Entonces:
log27 81 = log3 81 = log3 34 = 4 • log3 3 = 4•1 4
log3 27 log3 33 3 • log3 3 3•1 = 3
Pregunta tipo PSU
Si a, s, t y v son números enteros positivos distintos de uno, entonces es posible determinar el valor
numérico de la expresión log a • (loga s + loga t + loga v), si:
(1) a = 10
(2) s • t • v = 100
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Resolución
Analizando la expresión del enunciado y aplicando propiedad de cambio de base, se obtiene:
log a • (loga s + loga t + loga v) ( )= log a •log s + log t + log v
log a log a log a
( )
= log a • log s + log t + log v
log a
( ) log stv
= log a • log a
= log stv
CPECH
32
Matemática
(1) a = 10. Con esta información no es posible determinar el valor Alternativa correcta:
numérico de la expresión, ya que log stv no está compuesto
por el valor de a. B
(2) s • t • v = 100. Con esta información es posible determinar el
valor numérico de la expresión, ya que al conocer el valor (s • t •
v) se puede calcular log 100.
Por lo tanto,la respuesta es: (2) por sí sola.
1.4. Números irracionales
1.4.1. Orden entre raíces
Para números reales positivos a y c cualesquiera y n un número natural mayor que 1, se cumple que si a < c,
entonces �n a < �n c . Luego, para ordenar raíces de igual índice y cantidades subradicales positivas, basta comparar
las cantidades subradicales. Por ejemplo, como 3 < 5, entonces �3 < �5 ; �4 3 < �4 5 ; �7 3 < �7 5, etc.
Para números enteros n y m mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que si n < m, entonces
�n a > m�a . Luego, para ordenar raíces de igual cantidad subradical e índices naturales, basta comparar los
índices. Por ejemplo, como 2 < 4 < 7… , entonces… �7 6 < �4 6 < �6.
Si se desea comparar raíces de distinto índice y distinta cantidad subradical, una posibilidad es elevar ambas
raíces al m.c.m. de sus índices. Por ejemplo, para comparar �5 y �3 11, se elevan ambas a 6 (m.c.m. entre 2 y 3),
( ) ( )como �5 6 = 53 = 125 > �3 11 6 = 112 = 121, entonces �5 > �3 11.
1.4.2. Orden entre logaritmos
Para números reales positivos a y c cualesquiera y n un número real mayor que 1, se cumple que si a < c,
entonces logn a < logn c. Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar
los argumentos. Por ejemplo, como 4 < 7, entonces log 4 < log 7; log3 4 < log3 7; log8 4 < log8 7; etc.
Para números reales positivos n y m mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que si n < m,
entonces logm a < logn a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta
comparar las bases. Por ejemplo, como 3 < 5 < 6, entonces log6 2 < log5 2 < log3 2.
Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las
expresiones a una base común y aplicar propiedades. Por ejemplo, para comparar log4 3 y log8 5 se cambian
ambas expresiones a base 2:
log4 3 = log23 = log23 1 y log8 5 = log25 = log25 = 1 • log2 5 = log2 �3 5.
log24 2 = 2 • log2 3 = log2 �3 log28 3 3
CPECH
33
Capítulo1 Números
Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3). Como (�3)6 = 33 = 27 > (�3 5 )6= 52 = 25,
entonces �3 > �3 5 , lo que significa que log2 �3 > log2 �3 5 , y por ende que log4 3 > log8 5.
1.4.3. Aproximación en los irracionales
Para aproximar el valor de un número irracional p conociendo el valor aproximado de un número irracional q,
es necesario expresar p en términos de q utilizando propiedades, y luego reemplazar el valor conocido. Por
ejemplo, si �5 es aproximadamente 2,236, entonces �1,25 es aproximadamente:
��1,25 = 5 = �5 = 2,236 = 1,118. Si log 3 es aproximadamente 0,477, entonces log 90 es aproximadamente:
4 �4 2
log 90 = log (10 • 9) = log (10 • 32) = log 10 + log 32 = 1 + 2 • log 3 = 1 + 2 • 0,477 = 1,954
Pregunta tipo PSU
Si la diferencia entre �13 y �5, en ese orden, es aproximadamente 1,37, ¿cuál es el valor aproximado de
la suma entre �13 y �5?
A) 2,24
B) 5,84
C) 10,36
D) 2,82
E) 4,58
Resolución
Generalmente, este tipo de ejercicios puede ser tratado de la misma forma como se resuelve una
ecuación, en conjunto con conocimientos de productos notables. En este caso, la clave está en aplicar
una suma por la diferencia, como se muestra a continuación:
�13 – �5 ≈ 1,37 (Multiplicando en ambos lados por (�13 y �5))
(�13 – �5)(�13 + �5) ≈ 1,37 • (�13 + �5) (Desarrollando)
(�13)2– (�5)2 ≈ 1,37 • (�13 + �5)
13 – 5 ≈ 1,37 • (�13 + �5) Alternativa correcta:
8 ≈ (�13 + �5) B
1,37
CPECH 5,84 ≈ (�13 + �5)
34
Matemática
1.5. Números imaginarios y complejos
1.5.1. Propiedades de los números complejos
La unidad imaginaria (i) corresponde a �– 1 y se utiliza matemáticamente para representar soluciones no
reales de polinomios, por ejemplo raíces de ecuaciones de segundo grado. Las potencias de i forman un ciclo
de cuatro términos que se repite infinitamente, así i1 = i, i2 = – 1, i3 = – i, i4 = 1, i5 = i, i6 = – 1, i7 = – i, etc. siendo
siempre ip = 1 cuando p es múltiplo de 4. Esto permite determinar cualquier potencia de i de exponente natural,
buscando el múltiplo de 4 más cercano que es menor que el exponente y formando el ciclo. Por ejemplo, para
determinar i38, el múltiplo de 4 más cercano que es menor que el exponente es 36.
Luego i38 = i36 • i2 = 1 • – 1 = – 1, por lo cual i38 = – 1.
Los números imaginarios (II) son aquellos de la forma bi, con b un número real distinto de cero e i la unidad
imaginaria. Pueden representarse en una recta numérica vertical, perpendicular en 0 a la recta real, quedando
arriba del cero aquellos en que b > 0 y abajo del cero aquellos en que b < 0. La raíz cuadrada de cualquier número
negativo puede representarse como un número imaginario. Por ejemplo, �– 25 = �25 • – 1 = �25 • �– 1 = 5i.
Los números complejos (ℂ ) incluyen a los números reales, a los números imaginarios y a todos los números
de la forma z = a + bi, con a y b números reales e i la unidad imaginaria. Pueden representarse como puntos
en el plano complejo, tomando las rectas real e imaginaria como ejes coordenados. Por ejemplo, en el plano
complejo adjunto está representado el número – 3 + 2i, que corresponde al punto (– 3, 2) en el plano complejo.
II ℂ
– 3 + 2i 4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 1234 IR
–1
–2
–3
–4
CPECH
35
1 Números
Capítulo Conceptos
fundamentales
Si z = a + bi es un número complejo, con a y b números reales e i la unidad imaginaria, entonces se define:
■ La parte real de z como el número que no es factor de la unidad imaginaria. Su simbología es Re(z) y
su valor es a. Por ejemplo, si z = 8 + 5i, entonces Re(z) = 8.
■ La parte imaginaria de z como el número que es factor de la unidad imaginaria. Su simbología es
Im(z) y su valor es b. Por ejemplo, si z = 1 – 7i, entonces Im(z) = – 7.
■ El módulo (o valor absoluto) de z como la distancia entre dicho número y el cero. Su simbología es
|z|, y su valor se determina mediante el teorema de Pitágoras, es decir,
|z| = �[Re(z)]2 + [Im(z)]2. Por ejemplo, si z = – 5 – 2i, entonces
|z| = �[Re(– 5 – 2i)]2 + [Im(– 5 – 2i)]2 = �(– 5)2 + (– 2)2 = �25 + 4 = �29.
■ El conjugado de z como el número simétrico de z con respecto al eje real. Su simbología es z y
para determinar su valor basta cambiarle el signo a la parte imaginaria de z, es decir, z = a – bi. Por
ejemplo, si z = – 4 – 3i, entonces z = – 4 + 3i. El producto entre un número complejo y su conjugado
es siempre igual al cuadrado del módulo del número, es decir, z • z = |z|2, lo que implica que el inverso
multiplicativo de un número complejo es igual al cuociente entre el conjugado del número y el
cuadrado de su valor absoluto, es decir, 1 = z = a – bi .
z |z|2 a2 + b2
Pregunta tipo PSU
El conjugado de un número complejo z es (1 + 3i). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A) La parte real de z es – 1.
B) La parte imaginaria de z es 3.
C) El módulo de z es 10.
D) El opuesto de z es (– 1 – 3i).
( )E)
El inverso de z es 1 + 3 i .
10 10
CPECH
36
Matemática
Resolución
Si el conjugado de z es (1 + 3i), entonces z es igual a (1 – 3i), por lo que su parte real es 1 y su parte
imaginaria es – 3, concluyendo que las alternativas A y B son falsas.
Por otra parte, el módulo de z es igual a: �Re(z)2 + Im(z)2 = �(1)2 + (– 3)2 = �1 + 9 = �10. Por lo tanto, la
alternativa C es falsa.
El opuesto de z es igual a (– z), obteniéndose (– 1 + 3i), concluyendo que la alternativa D es falsa.
Finalmente, el inverso de z se calcula mediante la expresión z .
|z|2
Reemplazando los valores en la expresión, se tiene que: z – 1 = 1 + 3i = 1 + 3 i
10 10
(�10 )2
Alternativa correcta:
E
1.5.2. Operatoria en los números complejos
Si z1 = a + bi y z2 = c + di son números complejos, con a, b, c y d números reales e i la unidad imaginaria,
entonces:
■ Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada parte del número complejo por
el escalar. Por ejemplo, si m es un número real distinto de cero, entonces m • z1 = m • (a + bi) = (m • a + m •
bi).
Por ejemplo, – 2 • (5 – 4i) = – 10 + 8i.
■ Para sumar números complejos, se suman las partes reales y las partes imaginarias entre sí, es decir,
z1 + z2= (a + bi) + (c + di) = (a + bi + c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Por ejemplo, (– 2 + i) + (3 + 7i) = (– 2 + 3) + (1 + 7)i = 1 + 8i.
■ Para restar números complejos, se restan las partes reales y las partes imaginarias entre sí, es decir, CPECH
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a + bi – c – di) = (a – c) + (b – d)i.
Por ejemplo, (4 – 2i) – (6 – i) = (4 – 6) + (– 2 + 1)i = – 2 – i.
37
Capítulo1 Números
■ Para multiplicar números complejos, se multiplican término a término, según la propiedad distributiva,
es decir, z1 • z2 = (a + bi) • (c + di) = (a • c + a • di + bi • c + b • d • i2) = (a • c – b • d) + (a • d + b • c)i.
Por ejemplo, (– 5 + 2i) • (3 – 4i) = (– 5 • 3 – 2 • (– 4)) + (– 5 • (– 4) + 2 • 3)i = (– 15 + 8) + (20 + 6)i = – 7 + 26i.
■ Para dividir números complejos, se multiplica el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor, es
z1 1 z2 1
decir, z2 = z1 • z2 = z1 • |z2|2 = |z2|2 • (z1 • z2), procediendo luego con la multiplicación de complejos.
Por ejemplo, – 10 + 5i = 1 • (– 10 + 5i) • (1 + 2i) = 1 • ((–10 • 1 – 5 • 2) + ( – 10 • 2 + 5 • 1)i)
1 – 2i 12 + (– 2)2 1+4
= 1 • ( – 20 – 15i) = – 4 – 3i.
5
Pregunta tipo PSU
Sea el número complejo z = a + bi, con a y b números enteros positivos tales que a < b < 4. Se puede
determinar el valor numérico de z, si:
(1) El módulo de z es �10.
(2) El producto entre z y su conjugado es 10.
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
Resolución
Analizando la información presente en el enunciado, se tiene que los posibles valores de a y b pueden
ser, respectivamente, 1 y 2, 1 y 3, y 2 y 3.
(1) El módulo de z es �10. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de z, ya que el
módulo de z puede ser expresado como �a2 + b2 = �10 ⇒ a2 + b2 = 10, y en las condiciones dadas por
el enunciado, los únicos valores posibles para a y b son 1 y 3, respectivamente. Entonces, z = 1 + 3i.
(2) El producto entre z y su conjugado es 10. Con esta información, Alternativa correcta:
es posible determinar el valor numérico de z, ya que el producto
entre z y z es igual a a2 + b2 = 10, y en las condiciones dadas por D
el enunciado, los únicos valores posibles para a y b son 1 y 3,
respectivamente. Entonces, z = 1 + 3i.
Por lo tanto, la respuesta correcta es: Cada una por sí sola, (1) ó (2).
CPECH
38
Capítulo 2
Álgebra
Aprendizajes Esperados
Resolver problemas con expresiones algebraicas fraccionarias.
Resolver problemas con ecuaciones de primer grado.
Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean sistemas de
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Resolver problemas utilizando inecuaciones lineales o sistemas de inecuaciones.
Comprender y aplicar los conceptos de función y de composición de funciones.
Modelar situaciones, representar gráficamente y resolver problemas utilizando
las funciones lineales y afines.
Modelar situaciones, representar gráficamente y resolver problemas utilizando
las funciones cuadráticas, potencia, exponencial, logarítmica y raíz cuadrada.
Capítulo2 Álgebra
2. ÁLGEBRA
2.1. Transformación algebraica
2.1.1. Valorización, reducción y producto algebraico
El álgebra corresponde a la generalización de las definiciones aritméticas a través de variables. Una variable o
coeficiente literal corresponde a la expresión de una cantidad conocida o desconocida mediante una o más
letras, con las cuales se puede operar relativamente de la misma forma que se hace con los números.
Un término algebraico (o monomio) es un elemento formado por coeficientes numéricos y variables escrito
como producto, fracción y/o potencia, por ejemplo: 4a3, – x2 , – 5mp, etc. Cuando dos términos algebraicos
3
tienen las mismas variables y los mismos exponentes, se llaman términos semejantes. Por ejemplo, 4a3
y 2a no son términos semejantes, ya que la variable no tiene el mismo exponente; – x2 y 7x2 son términos
3
semejantes; – 5mp y 3p no son términos semejantes, ya que no tienen las mismas variables.
Una expresión algebraica (o polinomio) es un elemento formado por la suma y/o resta de términos
( )algebraicos, por ejemplo: (4a3 – 2a),
– x2 + 7x2 y (m – 5mp – 3p). Si la expresión tiene dos términos se conoce
3
como binomio, si tiene tres términos se conoce como trinomio, etc.
Ojo conCPECH
En caso de que se conozca el valor numérico de las variables, se puede valorizar el término o la expresión
reemplazando el valor de las variables y aplicando las operaciones descritas. Por ejemplo, si m = 2 y p = – 4,
entonces la expresión (m – 5mp – 3p) es igual a (2 – 5 • 2 • (– 4) – 3 • (– 4)) = (2 + 40 + 12) = 54.
Al sumar y/o restar expresiones algebraicas se agrupan los términos y se reducen los términos semejantes,
sumando y/o restando los coeficientes numéricos y manteniendo las variables con sus respectivos exponentes,
por ejemplo, (4b2 – 1) + (b2 – 2b + 5) = (4b2 – 1 + b2 – 2b + 5) = (4b2 + b2 – 2b – 1 + 5) = (5b2 – 2b + 4). En el caso
de la resta, la regla de los signos cambia todos los signos del sustraendo, por ejemplo:
(4b2 – 1) – (b2 – 2b + 5) = (4b2 – 1 – b2 + 2b – 5) = (4b2 – b2 + 2b – 1 – 5) = (3b2 + 2b – 6).
Para realizar el producto entre un término y una expresión algebraica se aplica la propiedad distributiva de la
multiplicación sobre la suma y/o la resta, es decir se multiplica término a término. Por ejemplo,
3m • (2m2 – 4m) = (3m • 2m2 – 3m • 4m) = (6m3 – 12m2). Se debe tener cuidado de aplicar la regla de los signos
cuando el término que distribuye sea negativo, por ejemplo:
(– 3m) • (2m2 – 4m) = ((– 3m) • 2m2 – (– 3m) • 4m) = (– 6m3 + 12m2).
40
Matemática
En general, el producto de dos expresiones algebraicas se realiza término a término, aplicando para cada uno
el procedimiento aplicado anteriormente. Por ejemplo:
(x – x2) • (5x – 2) = (x • 5x – x • 2 + (– x2) • 5x – (– x2) • 2) = (5x2 – 2x – 5x3 + 2x2) = (– 5x3 + 5x2 + 2x2 – 2x) =
(– 5x3 + 7x2 – 2x)
Pregunta tipo PSU
Se define la operación (a b) = a • (b – a) – a3 + b, con a y b números reales. Entonces, (x x2) es siempre
igual a
A) x2 – x
B) x2 – x3
C) –2x2
D) 2x2 – x3
E) 0
Resolución
Se sabe que (a b) = a • (b – a) – a3 + b. Por lo tanto, si se quiere conocer Alternativa correcta:
la expresión que es igual a (x x2), entonces se debe considerar
a = x y b = x2, y luego reemplazar en la expresión inicial. E
(x x2) = x • (x2 – x) – x3 + x2 (Reemplazando)
= x • x2 – x • x – x3 + x2 (Multiplicando)
= x3 – x2 – x3 + x2 (Reuniendo términos semejantes)
=0
2.1.2. Factorización algebraica y productos notables CPECH
La factorización es el proceso contrario al producto, es decir, consiste en descomponer una expresión
algebraica en los factores que la originaron. Uno de los casos más comunes de factorización corresponde al que
se realiza por factor común (o M.C.D. algebraico), que es análogo al M.C.D. aritmético, es decir, corresponde
al producto solo de los factores (numéricos y literales) repetidos en todos los términos, elevado cada uno al
menor exponente que tengan. Por ejemplo, el factor común de los términos 4xy2, 6x2y, 10xy es 2xy. Luego,
(4xy2 + 6x2y – 10xy) = 2xy • (2y + 3x – 5).
En el caso del trinomio de la forma (x2 + mx + p), si existen dos números a y b tales que (a + b) = m y a • b = p,
entonces (x2 + mx + p) = (x + a) • (x + b). Por ejemplo, para el trinomio (x2 – 3x – 10), se tiene que ((– 5) + 2) = – 3
y (– 5) • 2 = – 10, entonces, (x2 – 3x – 10) = (x – 5) • (x + 2). Si el primer término tiene un coeficiente distinto de 1,
o no es simple encontrar los números a y b, entonces es posible que el trinomio no sea factorizable o que se
deba utilizar otro procedimiento.
41
Capítulo2 Álgebra
CPECH Los productos notables son transformaciones algebraicas que tienen una estructura definida, por lo cual
pueden utilizarse para obtener un producto sin necesidad de realizar el procedimiento, lo que reduce el
tiempo de resolución. Los productos notables más conocidos son:
■ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2); (a – b)2 = (a2 – 2ab + b2)
Por ejemplo, (3x – 4)2 = ((3x)2 – 2 • 3x • 4 + 42) = (9x2 – 24x + 16)
■ Cubo de binomio: (a + b)3 = (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3); (a – b)3 = (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
Por ejemplo, (2x + 5)3 = ((2x)3 + 3 • (2x)2 • 5 + 3 • 2x • 52 + 53) = (8x3 + 60x2 + 150x + 125)
■ Suma por su diferencia: (a + b) • (a – b) = (a2 – b2) (diferencia de cuadrados)
Por ejemplo, (6x + 11) • (6x – 11) = ((6x)2 – 112) = (36x2 – 121)
■ Productos que dan como resultado suma o diferencia de cubos:
(a + b) • (a2 – ab + b2) = (a3 + b3); (a – b) • (a2 + ab + b2) = (a3 – b3)
Por ejemplo, (x – 7) • (x2 + 7x + 49) = (x – 7) • (x2 + 7x + 72) = (x3 – 73) = (x3 – 343)
■ Producto de binomio con término común:
(x + a) • (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a) • (x – b) = x2 + (a – b)x – ab
Por ejemplo, (x + 3) • (x – 5) = x2 + (3 – 5)x – 3 • 5 = x2 – 2x – 15
El uso principal de las equivalencias anteriores se encuentra en la factorización, ya que es posible realizarla
por simple reconocimiento de la estructura. Por ejemplo:
■ En la expresión (4x2 + 12x + 9), se observa que el primer término es el cuadrado de 2x y el tercer término
es el cuadrado de 3, con lo cual es posible verificar que el segundo término es igual al doble del producto
entre 2x y 3. Luego, es posible reconocer la estructura del cuadrado de binomio, por lo cual:
(4x2 + 12x + 9) = (2x + 3)2.
■ En la expresión (x3 – 6x2 + 12x – 8), se observa que el primer término es el cubo de x y el cuarto término es
el cubo de 2, con lo cual es posible verificar que el segundo término es igual al triple del producto entre x2
y 2 y el tercer término es igual al triple del producto entre x y 22. Luego, es posible reconocer la estructura
del cubo de binomio, por lo cual (x3 – 6x2 + 12x – 8) = (x – 2)3.
■ En la expresión (25x2 – 64), se observa que el primer término es el cuadrado de 5x y el segundo término es
el cuadrado 8. Luego, es posible reconocer la estructura de diferencia de cuadrados, que se factoriza como
suma por su diferencia, por lo cual (25x2 – 64) = (5x + 8) • (5x – 8).
■ En la expresión (64x3 – 1), se observa que el primer término es el cubo de 4x y el segundo término es el cubo
de 1. Luego, es posible reconocer la estructura de la diferencia de cubos, por lo cual
(64x3 – 1) = (4x – 1) • ((4x)2 + 4x • 1 + 12) = (4x – 1) • (16x2 + 4x + 1).
Sabías que...
No es obligatorio que una factorización corresponda solo a una estructura determinada, pudiéndose dar
combinaciones entre ellas. Por ejemplo, para factorizar la expresión (3p3 – 12p) primero se puede sacar
factor común, quedando (3p3 – 12p) = 3p • (p2 – 4), y luego reconocer la diferencia de cuadrados en el
segundo factor, quedando finalmente (3p3 – 12p) = 3p • (p + 2) • (p – 2).
42
Matemática
Pregunta tipo PSU
¿Cuál de las siguientes expresiones algebraicas NO tiene como uno de sus factores a (x – 3)?
A) x2 – 9
B) – 3x2 + 9x
C) x2 – 6x + 9
D) x2 + x – 6
E) x3 – 27
Resolución
Factorizando cada una de las expresiones presentadas:
A) (x2 – 9) corresponde a una suma por su diferencia, ya que se constituye de dos términos al cuadrado.
Por lo tanto, (x2 – 9) es igual a (x + 3)(x – 3), es decir, (x – 3) es un factor.
B) (– 3x2 + 9x) se compone de dos términos que tienen como factor común a (– 3x). Factorizando se
obtiene (– 3x)(x – 3), es decir, (x – 3) es un factor.
C) (x2 – 6x + 9) corresponde a un cuadrado de binomio, ya que los extremos de la expresión son cuadrados
perfectos y el término central corresponde al doble del producto entre las raíces de los extremos. Por
lo tanto, (x2 – 6x + 9) es igual a (x – 3)2, es decir, (x – 3) es un factor.
D) (x2 + x – 6) corresponde a un producto de binomios con término Alternativa correcta:
en común, ya que (– 6) se puede descomponer como 3 • (– 2) y la
suma entre ambos es 1. Por lo tanto, (x2 + x – 6) es igual a (x + 3) D
(x – 2), es decir, (x – 3) NO es un factor.
E) (x3 – 27) se compone de la diferencia entre dos términos que son
cubos perfectos. Por lo tanto, (x3 – 27) es igual a (x – 3)(x2 + 3x + 9),
es decir, (x – 3) es un factor.
2.1.3. Simplificación y operatoria de expresiones algebraicas fraccionarias
Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias es necesario primero factorizar y luego eliminar los
factores que se repitan en el numerador y en el denominador, verificando siempre la condición de que los
factores eliminados sean distintos de cero. Por ejemplo:
■ Para simplificar la expresión m2 – 100 , con (5m + 50) ≠ 0, se puede factorizar el numerador como suma
5m + 50
por su diferencia y el denominador por factor común, quedando m2 – 100 = (m + 10) • (m – 10) . Luego,
5m + 50 5 • (m + 10)
CPECH
se puede simplificar por (m + 10) quedando finalmente m2 – 100 = m – 10 .
5m + 50 5
43
2 Álgebra
Capítulo ■ Para simplificar la expresión m– 2 , con (m2 + m – 6) ≠ 0, se puede factorizar el denominador como
m2 + m – 6
producto de binomios con término común, quedando m– 2 = (m + m– 2 – 2) . Luego, se puede
m2 + m – 6 3) • (m
simplificar por (m – 2) quedando finalmente m– 2 = 1 .
m2 + m – 6 m+ 3
■ Para simplificar la expresión m3 – 125 25 , con (m2 – 10m + 25) ≠ 0, se puede factorizar el numerador
m2 – 10m +
como diferencia de cubos y el denominador como cuadrado de binomio, quedando
m3 – 125 = (m – 5) • (m2 + 5m + 25) . Luego, aplicando la propiedad de división de potencias de
m2 – 10m + 25 (m – 5)2
igual base, se puede simplificar por (m – 5) quedando finalmente m3 – 125 = m2 + 5m + 25 .
m2 – 10m + 25 m–5
Para sumar y/o restar expresiones algebraicas fraccionarias de igual denominador, se suman y/o restan los
numeradores y se mantiene el denominador. Por ejemplo, si
3p + 1 ≠ 0, 2p – 7 – p–4 = 2p – 7 – (p – 4) = p–3 .
3p + 1 3p + 1 3p + 1 3p + 1
Para sumar y/o restar expresiones algebraicas fraccionarias de distinto denominador, se amplifican (o
simplifican) las fracciones para que los denominadores alcancen un valor común (m.c.m. algebraico) y luego
se procede como en el caso anterior. El m.c.m. algebraico es análogo al m.c.m. aritmético, es decir, corresponde
al producto de todos los factores (numéricos y literales), elevado cada uno al mayor exponente que tengan. Por
ejemplo, si p ≠ 0, 4p – 1 + 3p + 2 , el m.c.m. entre 5p y p2 es 5p2. Luego, se amplifica cada fracción para que
5p p2
el denominador llegue a 5p2 y se opera con igual denominador:
4p – 1 + 3p + 2 = 4p – 1 • p + 3p + 2 • 5 = 4p2 – p + 15p + 10 = 4p2 – p + 15p + 10 = 4p2 + 14p + 10 .
5p p2 5p p p2 5 5p2 5p2 5p2 5p2
Para multiplicar y/o dividir expresiones algebraicas se siguen los procedimientos de simplificación y
multiplicación término a término vistos previamente. Por ejemplo, si (p3 + 2p2) ≠ 0 y (p2 – p – 2) ≠ 0, entonces
p3 – p • p+2 = p • (p2 – 1) • (p + p+2 – 2) = p • (p + 1) • (p – 1) • (p + 2) . Luego, se puede simplificar
p3 + 2p2 p2 – p – 2 p2 • (p + 2) 1) • (p p2 • (p + 2) • (p + 1) • (p – 2)
por p, (p + 1) y (p + 2) quedando finalmente p p– 1 = p–1 . Por lo tanto, p3 – p • p+2 = p–1 .
• (p – 2) p2 – 2p p3 + 2p2 p2 – p – 2 p2 – 2p
CPECH
44
Matemática
Pregunta tipo PSU
( )Sea x un número real distinto de – 4, 2 y 8. La expresiónx+2 : (x + 4) es siempre igual a
x–8 x–2
A) x–4
x2 – 10x + 16
B) 1
x2 – 10x + 16
C) x2 + 2x + 8
x2 – 8x – 2
D) x+4
x2 – 10x + 16
E) x–2
x2 – 10x + 16
Resolución
Desarrollando la expresión según el orden de prioridades en operaciones combinadas:
( )x
x–8 + 2 : (x + 4) = (Desarrollando suma de fracciones)
x–2
x(x – 2) + 2(x – 8) : (x + 4) = (Desarrollando productos)
(x – 8)(x – 2)
x2 – 2x + 2x – 16 : (x + 4) = (Reduciendo términos semejantes)
x2 – 10x + 16
x2 – 16 : (x + 4) = (Factorizando)
x2 – 10x + 16 (Simplificando por (x +4))
(x – 4)(x + 4) : (x + 4) = Alternativa correcta:
x2 – 10x + 16
A
x–4
x2 – 10x + 16
CPECH
45
Capítulo2 Álgebra
2.2. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer grado
2.2.1. Ecuaciones de primer grado
Una ecuación es una igualdad de expresiones algebraicas que involucra valores desconocidos (incógnitas) y
valores conocidos (numéricos o literales), donde resolverla consiste en encontrar el (los) valor(es) que logra(n)
que la igualdad sea verdadera.
Una ecuación de primer grado (o ecuación lineal) con una incógnita contiene solo una variable desconocida,
elevada a 1 (o sea, sin exponente visible). Para resolverla, se deben seguir las siguientes reglas:
■ Reducir hasta donde sea posible las expresiones algebraicas a cada lado de la igualdad.
■ Sumar o restar los mismos términos a ambos lados de la igualdad, de manera que en uno de los lados
queden solo términos que posean la incógnita y al otro lado términos que no la posean.
■ Volver a reducir las expresiones algebraicas a cada lado de la igualdad, de modo que la ecuación quede
de la forma ax = b, con a y b coeficientes numéricos o literales conocidos y x la variable desconocida
(incógnita).
Conceptos
fundamentales
En caso de que a ≠ 0, entonces la incógnita se puede despejar como x = b , si a = 0 y b = 0, entonces la
a
ecuación tiene infinitas soluciones (es decir, la solución son los reales), o sea es una identidad, y si a = 0
y b ≠ 0, entonces la ecuación no tiene solución (es decir, la solución es conjunto vacío, representada por
el símbolo ∅).
Por ejemplo, despejando x de la siguiente ecuación, se tiene:
6x + 5 – x = 4 + 2x – 7 (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad)
(Restando 2x y restando 5 a cada lado de la igualdad)
5x + 5 = 2x – 3 (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad)
(Despejando la incógnita)
5x – 2x = – 3 – 5
3x = – 8
x = –8
3
Si una ecuación de primer grado con una incógnita tiene coeficientes literales aparte de la incógnita se llama
ecuación literal, y se resuelve de la misma forma, pero trabajando algebraicamente con dichos coeficientes.
Por ejemplo, despejando y de la siguiente ecuación, con p ≠ – m, se tiene:
py + 3m = 2p – my (Restando 3m y sumando my a cada lado de la igualdad)
(Factorizando la incógnita al lado izquierdo)
py + my = 2p – 3m (Despejando la incógnita)
y • (p + m) = 2p – 3m
CPECH y = 2p – 3m
p+m
46
Matemática
Pregunta tipo PSU
¿Cuál de las siguientes expresiones representa a x en la ecuación de primer grado b2 – ax = bx – a2 – 2ab,
con a ≠ – b?
A) a – b
B) a + b
C) b – a
D) a–b
a+b
E) 2ab
a+b
Resolución
Despejando a x en la ecuación:
b2 – ax = bx – a2 – 2ab
b2 – ax + (a2 + 2ab) = bx – a2 – 2ab + (a2 + 2ab) (Sumando (a2 + 2ab))
b2 – ax + a2 + 2ab + ax = bx + ax (Sumando ax)
(b + a)2 = x (b + a) (Factorizando)
(b + a)2 = x(b + a) (Dividiendo por (a + b))
b+a b+a
b + a = x (Simplificando)
Alternativa correcta:
B
2.2.2. Sistemas de ecuaciones de primer grado CPECH
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con dos o más variables desconocidas, de manera
que haya la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas. Para que un sistema de ecuaciones sea de
primer grado (o lineal) cada variable debe estar elevada a 1 (o sea, sin exponente visible), y no debe haber
multiplicación de variables.
47
2 Álgebra
Capítulo Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas, se deben ordenar las
ecuaciones de manera que queden de la forma ax + by = c , con a, b, c, m, n y p coeficientes numéricos
mx + ny = p
o literales conocidos y x e y las variables desconocidas (incógnitas). Si an ≠ mb, entonces el sistema tiene
una única solución, la cual se puede encontrar mediante los métodos algebraicos, la gráfica de las rectas
o mediante la regla de Cramer. Si an = mb y ap = mc (o bien bp = nc) entonces el sistema tiene infinitas
soluciones, y si an = mb y ap ≠ mc (o bien bp ≠ nc) entonces el sistema no tiene solución.
Los métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones, por ejemplo 4x – y = – 1 , son:
2x + 3y = 5
■ Método de reducción: se amplifica una o ambas ecuaciones, de manera que se generen inversos aditivos
en una de las incógnitas, y luego se suman para dejar una ecuación con una incógnita. En el ejemplo,
amplificando la segunda ecuación por (– 2) y sumando los términos hacia abajo resulta 4x – y = – 1 .
– 4x – 6y = – 10
– 7y = – 11
eeLuncuecagucoai,ólqdnue, qisepureaejdadaned4loxa,s–ye1=7c1ua–=–c1i–7o11n.=eDse1o7s1rpi.gePijnaanaraldeoes,nyrceossenutldtraaers4pexel=jva–a. l1Eonr+tdo1en71cxe=ss,e–rre7ee7e+mm1p1plala=zzaan74de,locvoyanl=olro1e7c1nucaeolnnxtl=raapd17roi.mdeerya
■ Método de igualación: se despeja la misma variable en ambas ecuaciones y se igualan las expresiones
resultantes, resolviendo la ecuación. En el ejemplo, despejando y:
En la primera ecuación ⇒ 4x – y = – 1 ⇒ y = 4x + 1
En la segunda ecuación ⇒ 2x + 3y = 5 ⇒ 3y = 5 – 2x ⇒ y= 5 – 2x
3
Igualando ambas expresiones queda:
4x + 1 = 5 – 2x (Multiplicando por 3)
3
3(4x + 1) = 5 – 2x (Distribuyendo)
12x + 3 = 5 – 2x (Ordenando)
12x + 2x = 5 – 3 (Reduciendo)
14x = 2 (Despejando)
x = 2 = 1
14 7
Para encontrar el valor de y se reemplaza el valor encontrado de x en cualquiera de las expresiones ya
despejadas. Entonces, reemplazando x = 1 en la primera expresión, queda
7
CPECH y = 4x + 1=4 • 1 +1= 4+7 = 11 .
7 7 7
48
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
MATEMATICA_2018
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search