MATEMATICA_2018

Matemática

(éxito o fracaso), el resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente, y la probabilidad de éxito y fracaso es constante, es decir, no varía de una prueba a otra.

Sea X una variable aleatoria discreta asociada a un experimento aleatorio dicotómico. Si la probabilidad de

éxito es p y la probabilidad de fracaso, en el mismo experimento, es q = 1 – p, entonces la probabilidad de

( )obtener exactamente k éxitos, al efectuar de forma independiente n veces dicho experimento aleatorio, están
dada por la expresión P(X = k) = k • pk • qn – k, es decir, X se distribuye binomialmente.

Por ejemplo, una prueba tiene diez preguntas, cada una con cinco alternativas de las cuales solo una es
correcta, entonces ¿cuál es la probabilidad de tener exactamente seis respuestas correctas?

( ) ( ) ( )unn=a1p0re(ngúumntear,oéxdietop),rqeg=un45ta(sp),rokb=ab6i(lnidúamdedreotdeeneprreingcuonrrteacstcaourrneactparse)g, pun=ta15, fr(apcraosboa).bRileideamdpdlaeztaenndeor,correcta10•16•44
P(X = 6) = 6 5 5 Al ser cálculos extensos, generalmente se expresa en factores.
.

Si en un experimento aleatorio los dos resultados tienen la misma probabilidad de ocurrir, por ejemplo el
( ) ( )resultado al lanzar una moneda, entonces p = q =
1 . Es decir, P(X = k) = n • 1 n
2 k 2
.

En una distribución binomial, el valor esperado es igual a n • p, mientras que la varianza es igual a n • p • q
(recuerda que la desviación estándar es igual a la raíz cuadrada de la varianza).

Pregunta tipo PSU

Un experimento consiste en lanzar un dado común y se define la variable aleatoria X como el número
de veces que se obtiene como resultado un valor múltiplo de tres. Si el experimento se repite 16 veces,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) P(X = 14) = 480
316

II) P(X = 4) = P(X = 12)

III) P(X ≤ 15) = 316 – 1
316

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

CPECH

199

4 Datos y Azar

Capítulo Resolución

Para este caso, una herramienta útil es aplicar una distribución binomial, ya que solo hay dos resultados

posibles: es múltiplo de tres o no lo es. Se sabe que al lanzar un dado común, la probabilidad de obtener

un múltiplo de tres es 2 = 1 (ya que solo tres y seis son casos a favores), por lo que la probabilidad de
6 3

éxito será P = 1 , mientras que la probabilidad de fracaso será q = 2 . Como el experimento se repite 16
3 3

veces, entonces:

I) Verdadera, ya que P(X = 14) es igual a la probabilidad de obtener 14 veces un múltiplo de tres al lanzar
el dado 16 veces. Luego:

( ) n • pk • qk
P(X = k) = k ⇒

( ) ( ) ( ) 16 1 14 2 2
P(X = 14) = 14 • 3 • 3
(Reemplazando)

= (16– 16! • 14! • 114 • 22 (Desarrollando)
14)! 314 32

= 16 • 15 • 14! • 1 • 4
2! • 14! 314 32

= 16 • 15 • 1•4
2 314 • 32

= 120 • 4
316

= 480
316

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )II)
Falsa, ya que P(X = 4) = 16 • 1 4 • 2 12 y P(X = 12) = 16 • 1 12 2 4 16 es igual a
4 3 3 12 3 3 4
• . Si bien,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16,14212 1 12 2 4
12 3 3 es distinto de 3 3
• • .

CPECH

200

Matemática

III) Verdadera, ya que P(X ≤ 15) corresponde a la probabilidad de obtener como máximo 15 veces un
múltiplo de tres. Al ser 16 la cantidad máxima de veces que se puede obtener el resultado esperado,
entonces P(X ≤ 15) = 1 – P(X = 16). Luego:

16 1 16 2 0
16 3 3
( ) ( ) ( ) •
1 – P(X = 16) = 1– • (Reemplazando)
(Desarrollando)
= 1– 16! • 116
(16 – 16)! • 16! 316

= 1– 1
316
Alternativa correcta:
= 316 – 1
316 C



Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.

4.8. Análisis de variable aleatoria continua

Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, siendo el
caso más común la distribución normal. En este tipo de variable no se calcula la probabilidad de que tome un
valor específico, sino la probabilidad de que se encuentre dentro de un cierto intervalo.

4.8.1 Función de densidad

En probabilidades, la función de densidad de probabilidad o función de densidad está asociada a una
variable aleatoria continua, cuya gráfica corresponde a rectas o curvas continuas, encontrándose el 100%
de los elementos pertenecientes al espacio muestral bajo esta curva. Es decir, si el área total bajo la curva
representa al 100% de los datos, entonces el área total de esta será igual a 1.

Si se quiere conocer el porcentaje de los datos que se encuentran en un determinado intervalo de la población,
basta con calcular el área bajo la curva en dicho intervalo. Este porcentaje está asociado a la probabilidad de
obtener al azar un elemento de la población que se encuentre en este intervalo.

A diferencia de una función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta, en una función de
densidad no se puede determinar la probabilidad de que la variable aleatoria continua tome un determinado
valor. Solo se puede calcular la probabilidad de que el valor que tome la variable aleatoria se encuentre en un
determinado intervalo, considerando el área bajo la curva limitada por los valores en el que se encontrará el
valor deseado. La probabilidad de que la variable tome un valor específico será igual a cero, ya que bajo un
punto no es posible determinar el área.

CPECH

201

Capítulo4 Datos y Azar

Ejemplo: El siguiente gráfico muestra la función de densidad de una variable estadística continua X que puede
tomar valores entre 2 y 8.

Frecuencia relativa

0,3 0,6 0,1

x
2 5 78

El área que se encuentra bajo cualquier porción de la curva representa el porcentaje de los datos que se
encuentra en dicho intervalo, es decir, la probabilidad P de que la variable tome algún valor dentro de él.

- El 30% de los datos es menor o igual que 5, o sea, P(X ≤ 5) = 0,3
- El 60% de los datos está entre 5 y 7, o sea, P(5 ≤ X ≤ 7) = 0,6
- El 10% de los datos es mayor o igual que 7, o sea, P(X ≥ 7) = 0,1

Pregunta tipo PSU

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad f, tal que f(x) = 2x – 4 ,
para x en [2, p]. ¿Cuál es el valor de p? 9

A) 3

B) 13
2

C) 5

D) 13
4

E) No se puede determinar.

Resolución

Al ubicar al punto p en la recta a la derecha de 2 y al f(x)
graficar la función f, queda determinado un triángulo
rectángulo, cuyos catetos miden la diferencia positiva 2p – 4
entre 2 y p, y el valor que toma la función evaluada en p. 9

Como f corresponde a una función de densidad de 2 px
probabilidad, con dominio el conjunto [2, p], entonces el
CPECH área bajo la gráfica en este intervalo debe ser igual a 1.

202

Matemática

( )Atriángulo rectángulo = 2p – 4
cateto 1 • cateto 2 (p – 2) • 9
2
= 2 =1

Desarrollando la ecuación:

( )(p – 2) •2p – 4 =1
9

2

2p – 4( )(p – 2) • = 2 (Multiplicando por 2)
9

(p – 2) • (2p – 4) = 18 (Multiplicando por 9)

2p2 – 8p + 8 = 18 (Desarrollando producto)

2p2 – 8p – 10 = 0 (Restando 18)
(Dividiendo por 2)

p2 – 4p – 5 = 0

(p – 5)(p + 1) = 0 (Factorizando) Alternativa correcta:

Luego, los valores de p que satisfacen la ecuación son 5 y – 1. Como p C
es mayor que 2, entonces el dominio de la función será [2, 5].

4.8.2. Distribución normal tipificada

Se estableció anteriormente que una distribución de frecuencias puede representarse de distintas maneras,
entre ellas, el polígono de frecuencias. Por ejemplo, si se lanzan 10 monedas al mismo tiempo y se cuenta la
cantidad de caras que se obtiene, repitiéndose 100 veces el procedimiento, se obtiene el siguiente polígono
de frecuencias relativas:

Frecuencia relativa Cantidad de caras CPECH
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

203

Capítulo4 Datos y Azar

Existen muchos estudios estadísticos reales, cuando se mide una variable continua con una gran cantidad de
datos (como el peso, la estatura, la presión arterial, el coeficiente intelectual, etc. de grandes poblaciones),
en los cuales el polígono de frecuencias relativas tiende a tomar una forma acampanada y simétrica llamada
“Campana de Gauss”, como en el siguiente gráfico:

Frecuencia relativa

Variable

En tales casos, se dice que la distribución de frecuencias es gaussiana o normal. Si bien la distribución normal
representa situaciones cotidianas, para trabajar matemáticamente con ella es necesario primero conocerla en
su forma estándar o tipificada, que significa una variable Z con media 0 y desviación estándar 1, (N(0,1)) como
muestra la figura:

Frecuencia relativa

Z

–3 –2 –1 0 1 2 3

4.8.3. Propiedades de distribución normal tipificada y análisis gráfico

Una de las propiedades más importantes de la distribución normal consiste en que es posible determinar la
proporción de los datos de la muestra que se encuentra entre ciertos valores. Para esto, es necesario considerar
que en una distribución normal tipificada el área total bajo la curva es igual a 1, lo que significa que el 100% de
los datos de la muestra se encuentra bajo ella.

Frecuencia relativa

100%

CPECH Z
–3 –2 –1 0 1 2 3
204

Matemática

Supongamos que Z es una variable cuya distribución corresponde a una normal tipificada. Existe una tabla
que permite conocer el área bajo la curva hasta cualquier valor de esta variable, lo que indica directamente la
proporción de los datos que es menor o igual que dicho valor, es decir, el área bajo la curva en un determinado
intervalo es igual a la probabilidad de escoger al azar un elemento que se encuentra en dicho intervalo. A
continuación se muestra un extracto de la tabla.

Z Área intervalo
] – ∞, z ] o P(Z ≤ z)

0,67 0,749

0,99 0,839

1,00 0,841

1,15 0,875

1,28 0,900

1,64 0,950

1,96 0,975 0z Z

2,00 0,977

2,17 0,985

2,32 0,990

2,58 0,995

Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 1,15] es 0,875. Esto significa que el 87,5%
de los datos de la muestra tiene un valor menor o igual que 1,15. Es decir, la probabilidad de obtener un dato
menor o igual que 1,15, P(Z ≤ 1,15), es 0,875.

Frecuencia relativa

87,5%

Z
1,15

Esta característica es extensible a cualquier porción de la curva, es decir, si se quiere conocer la proporción de
los datos de la muestra que se encuentra en el intervalo ]a, b], es necesario determinar el área bajo la curva
de dicho intervalo, que corresponde a determinar el área bajo la curva hasta b y restarle el área bajo la curva
hasta a.

CPECH

205

Capítulo4 Datos y Azar

Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 1,64] es 0,950, es decir, P(Z ≤ 1,64) = 0,950 y
el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 0,67] es 0,749, es decir, P(Z ≤ 0,67) = 0,749. Luego, el área bajo la curva en
el intervalo ]0,67, 1,64], o sea, P(0,67 ≤ Z ≤ 1,64) es (0,950 – 0,749) = 0,201. Esto significa que el 20,1% de los datos
de la muestra tiene un valor mayor o igual que 0,67 y menor o igual que 1,64.

Frecuencia relativa

20,1%

Z

0,67 1,64

De la misma forma, también es posible obtener la proporción de los datos de la muestra que es mayor que un
cierto valor de la variable, que corresponde a tomar el área total (1) y restarle el área bajo la curva hasta dicho
valor.

Por ejemplo, según la tabla, el área bajo la curva en el intervalo ]– ∞, 0,99], es decir, P(Z ≤ 0,99) es 0,839. Luego,
el área bajo la curva en el intervalo ]0,99, + ∞[ es (1 – 0,839) = 0,161. Esto significa que el 16,1% de los datos de
la muestra tiene un valor mayor que 0,99 o que la probabilidad de escoger al azar un elemento mayor que 0,99
es 0,161.

Frecuencia relativa

16,1%

Z
0,99

Por otra parte, el resultado anterior es igual al área bajo la curva que hay en el intervalo ]– ∞, – 0,99], o sea, P(Z ≤ – 0,99).
Esto ocurre porque la distribución es simétrica y continua, lo que hace que la proporción de los datos de la muestra
que es menor o igual que a es igual a la proporción de los datos de la muestra que es mayor que a.

Frecuencia relativa

16,1% 16,1%

CPECH Z

– 0,99 0,99

206

Matemática

Pregunta tipo PSU

Sea Z una variable aleatoria que se distribuye de manera normal tipificada. Si a y b son dos valores
reales, tales que b < 0 < a, entonces se puede determinar el porcentaje de datos que se encuentran en el
intervalo [b, a], si se conoce:

(1) La probabilidad de obtener un dato mayor que b.
(2) El porcentaje de datos que son mayores que – a y menores que cero.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Resolución

Se sabe que la gráfica asociada a una distribución normal tipificada es una curva simétrica respecto al eje
vertical que pasa por cero.

Z

ba

(1) La probabilidad de obtener un dato mayor que b. Con esta información no es posible determinar el
porcentaje de datos que hay en el intervalo [b, a], ya que esta probabilidad es igual al porcentaje de
datos que son mayores que b, lo que a su vez nos permite determinar el porcentaje de datos que son
menores que este valor (ya que es igual a lo que le falta al porcentaje anterior para completar el 100%
de los datos). Aún no se sabe nada respecto al valor a.

2) El porcentaje de datos que son mayores que – a y menores que cero. Al igual que el caso anterior, no
es posible determinar la información solicitada, ya que el número de datos mayores que – a es igual al
número de datos que son menores que a, gracias a la simetría de la curva y al hecho de que la mitad
de los datos son mayores que cero. Respecto a b, no es posible concluir nada.

Con ambas informaciones a la vez sí es posible determinar Alternativa correcta:
el porcentaje solicitado, ya que con la primera información
es posible determinar el porcentaje de datos menores que b, C
mientras que con la segunda información se puede determinar
el porcentaje de datos menores que a. Luego, el porcentaje
de datos que está entre los valores consultados es igual a la
diferencia entre el porcentaje de datos que sean menores que a
y el porcentaje de datos que sean menores que b.

Por lo tanto, la alternativa correcta es: ambas juntas. CPECH

207

4 Datos y Azar

Capítulo 4.8.4. Tipificación

Como se indicó anteriormente, existen muchos fenómenos reales que pueden representarse estadísticamente
mediante una distribución normal. No obstante, el análisis matemático solo considera la distribución normal
tipificada (es decir, de promedio 0 y desviación estándar 1). Sin embargo, una distribución normal no
tipificada (de promedio μ y desviación estándar σ) puede transformarse en una distribución normal tipificada
mediante un cambio de variable, y luego aplicarse todo el análisis válido para este tipo de distribución.

Este procedimiento se denomina tipificación (o estandarización) y se fundamenta en que todas las
distribuciones normales tienen la misma forma, pero con distinto centro (que depende del promedio) y
proporción en sus dimensiones (que depende de la desviación estándar). Es decir, aplicando una corrección
con respecto a estos parámetros es posible ajustar la distribución.

Luego, sea X una variable estadística con distribución normal no tipificada de promedio μ y desviación

estándar σ, entonces se puede transformar la variable X en una variable estadística Z con distribución normal

tipificada mediante el cambio Z = X–μ .
σ

Por ejemplo, las estaturas de los alumnos de un colegio se distribuyen normalmente con un promedio de 144 cm
y una desviación estándar de 12 cm. Si se quiere conocer el porcentaje de alumnos del colegio que tienen una
estatura menor o igual que 156 cm:

■ En primer lugar, se realiza el cambio de variable Z = estatura – 144 , con Z una variable normal tipificada y
X la variable estatura en centímetros. 12

■ Luego, usando el cambio de variable, se determina el valor de Z equivalente al valor de la estatura buscado

(156 cm), o sea, Z = 156 – 144 = 12 = 1.
12 12

■ Se busca en la tabla el valor del área bajo la curva del intervalo ]– ∞, 1], que es igual a 0,841. Esto significa
que el 84,1% de los datos es menor o igual que Z = 1 y que la probabilidad de escoger un elemento con

estas características es 0,841.

■ Como Z = 1 es equivalente a X = 156 cm, entonces se concluye que el 84,1% de los alumnos tienen una
estatura menor o igual que 156 cm, es decir, P(X ≤ 156) = 0,841.

Sabías que...

Respecto al gráfico de una distribución normal no tipificada, si la desviación estándar de una variable
aleatoria aumenta, el ancho de la curva aumenta, mientras que su altura disminuye.

CPECH

208

Matemática

Pregunta tipo PSU

Se realiza un estudio estadístico respecto a la estatura, en centímetros, de los estudiantes de una
determinada carrera, distribuyéndose normalmente con media 166 cm y desviación estándar 5 cm. Si se
escoge un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que este mida más de 174,2 cm?

A) 0,950
B) 0,841
C) 0,251
D) 0,159
E) 0,050

Resolución

Como en las páginas anteriores se presentó un cuadro en el que se muestran ciertos valores asociados a una
distribución normal tipificada, entonces es conveniente tipificar la distribución presente en el enunciado, es
decir, realizar un cambio de variable por otra que tenga media igual a cero y distribución estándar igual a 1.

Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal tipificada. Utilizando la
tipificación, se obtiene

Z= X–μ = X – 166
σ 5

( )Es decir, P(X ≥ 174,2) es igual a P
Z≥ 174,2 – 166 . Calculando:
5

( ) P
Z≥ 174,2 – 166 (Reemplazando)
5

P( )=Z≥8,2 (Calculando)
5

= P(Z ≥ 1,64)

Por simetría de la curva de una distribución normal tipificada, se sabe que Alternativa correcta:

P(Z ≥ 1,64) = 1 – P(Z ≤ 1,64) E

Según la tabla de distribución normal tipificada, P(Z ≤ 1,64) es igual a 0,950.
Luego, P(Z ≥ 1,64) = 1 – 0,950 = 0,050

CPECH

209

Capítulo4 Datos y Azar

4.8.5. Inter valos de confianza

Sea X una variable aleatoria que se distribuye de forma normal en una cierta población, con desviación
estándar σ. Si la población es muy grande resulta bastante difícil calcular la media μ de X. Sin embargo, si se
extrae una muestra de X de promedio x, se puede determinar un intervalo de confianza dentro del cual se
encuentre μ, con un cierto nivel de confianza. El nivel de confianza se expresa (1 – α), donde α representa el
nivel de significancia.

a 1–a a
2 2

xa x1 X
2
– a
2

Si Z es una variable aleatoria con distribución normal tipificada, entonces para determinar el valor de z1 – a a
2
un cierto nivel de confianza, se requiere el uso de la tabla de las áreas en una distribución normal tipificada

presentada anteriormente. Por ejemplo, si el nivel de confianza es un 99%, entonces:

(1 – α) • 100 = 99 ⇔ (1 – α) = 0,99 ⇔ α = 0,01 ⇔ α = 0,005 ⇔ 1– α = 0,995
2 2

Luego, la variable Z toma el valor 2,58 cuando el área bajo la curva es 0,995, es decir, z0,995 = 2,58.

Si de una población, que bajo una cierta variable tiene un comportamiento normal con media μ y desviación

estándar σ, se extrae una muestra de n elementos, donde el promedio de la muestra es x, entonces el intervalo
de confianza, con un nivel de confianza (1 – α), es [ x – E, x + E], siendo E el error.

E = z1 – a • σ
2 �n

bz1a–joa2lacocurrrevsapeosnd1e–aa2l va. lor Z,
( )Donde que toma la variable aleatoria con distribución normal tipificada cuando

el área

De esto se concluye que, con un (1 – α)% de seguridad, la media de la población se encuentra en el intervalo
[ x – E, x + E ].

Por ejemplo, en una plantación, el peso de las sandías se ajusta a una distribución normal cuya desviación
estándar es de 1.000 gramos. Se extrae una muestra de 64 sandías al azar y se determina que el promedio de
dicha muestra es de 5.430 gramos. Considerando un nivel de confianza del 90%, ¿en qué intervalo se encuentra
la media poblacional del peso, en gramos, de las sandías?

Como se desea trabajar con un nivel de confianza del 90%, entonces (1 – α) es igual a 0,9.

Luego α = 0,1, por lo tanto: 1 – a = 1 – 0,05 = 0,95 ⇒ z1 – a = z0,95 = 1,64
2 2

CPECH

210

Matemática

Extrayendo los datos del enunciado: σ = 1.000 gramos, n = 64 sandías, x = 5.430 gramos y z0,95 = 1,64.
Sustituyendo en la fórmula de error:

E = 1,64 • 1.000 = 1,64 • 1.000 = 1,64 • 125 = 205 gramos.
�64 8

Por lo tanto, el intervalo de confianza corresponde a:

[ x – E, x + E] = [5.430 – 205, 5.430 + 205] = [5.225, 5.635], en gramos.

Pregunta tipo PSU

Desde una determinada población con distribución normal de media μ y varianza 16, se extrae una
muestra con la cual se determina el intervalo de confianza [67,02; 68,98], con un nivel de confianza
del 95%. ¿De cuántos elementos se compone la muestra utilizada para determinar dicho intervalo de
confianza?

A) 8
B) 32
C) 64
D) 96
E) 144

Resolución

Se sabe que un intervalo de confianza se determina a partir de la fórmula

x – z1 a • σ , x – z1 a • σ
2 �n 2 �n

Como se conoce el intervalo de confianza con un 95% de seguridad, entonces es necesario determinar

el valor de la media muestral (x), de la desviación estándar (σ) y el valor que toma la variable aleatoria en
un distribución normal tipificada asociada al nivel de confianza.

Se sabe que la varianza de la población es igual a 16, por lo que la desviación estándar será igual a la raíz
de esta varianza, es decir, σ = 4. Por otra parte, el promedio de la muestra corresponde al valor medio
entre los extremos del intervalo, es decir,

x= 67,02 + 68,98 = 136 = 68
2 2

Por último, como (1 – α) es igual a 0,95, entonces α es igual a 0,05. Luego:

1– α =1– 0,05 =1– 0,025 = 0,975
2 2

Por lo que z1 – a es igual a la preimagen de 0,975 en la tabla de distribución normal tipificada. Es decir,
2
z1 – = 1,96.
a
2 CPECH

211

4 Datos y Azar

Capítulo Tomando uno de los extremos del intervalo de confianza y sustituyendo los datos determinados:

x + z1 – a • σ = 68,98 (Igualando límite superior)
2 �n (Reemplazando)
(Restando 68)
68 + 1,96 • 4 = 68,98
�n (Multiplicando por �n)
1,96 • 4 = 0,98
�n

7,84 = 0,98 • �n

7,84 = �n (Dividiendo por 0,98) Alternativa correcta:
0,98
C
8 = �n (Calculando)

64 = n (Elevando al cuadrado)

Luego, el tamaño de la muestra es 64.

4.8.6 Aproximaciones a distribuciones normales

Hay casos en las que distribuciones de variables aleatorias discretas se ajustan a una distribución de variables
aleatorias continuas, como por ejemplo la distribución binomial. Si un experimento de Bernoulli se repite una
gran cantidad de veces (como mínimo 30 repeticiones), esta distribución se puede aproximar a una distribución
normal, donde la media de esta distribución será μ = n • p y la desviación estándar será σ = �n • p • q (con n
igual al número de repeticiones, p igual a la probabilidad de éxito y q igual a la probabilidad de fracaso). En
general, entre más grande es n, mejor es la aproximación a la normal, aunque también se recomienda que se
cumpla que n • p > 5 y n • q > 5.

x

Teniendo la media y desviación estándar, es posible tipificar la distribución, y obtener los valores
correspondientes a partir de la tabla de distribución normal tipificada.

Esta aproximación se utiliza, al igual que en una distribución normal, para determinar la probabilidad de un
determinado intervalo. Por ejemplo, para determinar la probabilidad de obtener como máximo 18 buenas al
responder al azar una prueba de 48 preguntas con cuatro alternativas cada una.

�p =1 3 1 48 • 1 • 3 �9
4 , q = 4 y n = 48. Luego μ = 48 • 4 = 12 (mayor que 5) y σ = 4 4 = = 3.

Por lo tanto, se aproxima a una distribución normal de media 12 y desviación estándar 3.

CPECH

212

Matemática

Otra aproximación de una variable aleatoria discreta a una distribución es el caso de la distribución de las
medias muestrales de una población. Dada una población que no necesariamente se distribuye de manera
normal, al tomar todas las muestras de igual tamaño, las medias muestrales tienden a tener un comportamiento
similar a una distribución normal.

Al aproximar la distribución de las medias muestrales a una distribución normal, la media corresponderá a la
media de la población, mientras que la desviación estándar de esta distribución será igual al cociente entre
la desviación estándar de la población y la raíz del tamaño de cada muestra. Es decir, si en una población
de media µ y desviación estándar σ se extraen muestras de tamaño n, entonces las medias muestrales se
aproximan a una distribución normal de media µ y desviación estándar σ . Por ejemplo, en una plantación

�n
de naranjas, cada árbol da en promedio 30 kg de esta fruta, con una desviación estándar de 4 kg. Si se toman

muestras de 16 árboles, entonces las medias muestrales se aproximan a una distribución normal de media 30 kg
y desviación estándar 4 = 1 kg.

�16

Pregunta tipo PSU

En una tómbola hay 16 bolitas azules y 9 bolitas rojas, todas de igual peso y tamaño. Un experimento
consiste en extraer una bolita al azar, registrar el color obtenido y devolverla a la tómbola. Si el
experimento se realiza 10.000 veces y se define la variable aleatoria X como el número de bolitas azules
que se obtienen, y f como su función de probabilidad, ¿cuál es la desviación estándar de f cuando se
aproxima a una distribución normal?

A) 24
B) 48
C) 60
D) 64
E) 80

Resolución

El experimento considera solo dos resultados: se obtiene una bolita azul o se obtiene una bolita roja.
Es decir, corresponde a una distribución binomial, donde la probabilidad de éxito (p) será igual a la
probabilidad de extraer una bolita azul, mientras que la probabilidad de fracaso (q) corresponderá a la
probabilidad de extraer una bolita roja.

p = P(azul) = 16 p = P(roja) = 9
25 25


Como el experimento se repite muchas veces, la probabilidad de obtener un número exacto de éxitos es

muy pequeña, por lo que conviene aproximarlo a una variable aleatoria continua que se comporta como

una distribución normal.

X ~ B(n, p) → X ~ N(μ, σ)

Donde μ = n • p y σ = �n • p • q. CPECH

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4 Datos y Azar

Capítulo Calculando la desviación estándar:

�σ = �n • p • q =10.000 • 16 • 9 (Reemplazando)
25 25

� � 16 9
= �10.000 • 25 • 25 (Producto de raíces)

= 100 • 4 • 3 (Calculando raíces)
5 5

= 100 • 4 • 3 (Desarrollando)
5 • 5



= 1.200 Alternativa correcta:
25

B

= 48

CPECH

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Matemática

Bibliografía

• Zill, D; Dewar J. Álgebra y Trigonometría. Editorial Mc Graw Hill 2ª Edición 2000.

• Smith, S.; Charles, R.; Dossey, J. ; Keedy, M.; Bittinger M. Álgebra. Editorial Addison-Wesley Iberoamericana
S.A., 1992.

• Matemáticas en la Vida Cotidiana. Consortium for Mathematics and Its Applications. Editorial Addison-
Wesley / Universidad Autónoma de Madrid, 1998.

• I. Biosca, A; Espinet M. J. ; Fandos, M. J. ; Jimeno, M., Rey, J. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales
Bachillerato edebé, 1998.

• Mercado S. Carlos. Geometría Tomos III y IV. Editorial Universitaria, 1984.

• Geometría. Editorial Arrayán, 2004.

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