MATEMATICA_2018

Matemática

Es decir, los segmentos AB y AC tienen igual medida.

Por otra parte, se sabe que la altura que cae desde el vértice A, punto donde es isósceles el triángulo
ABC, es también transversal de gravedad del triángulo, es decir, llega al punto medio de la base BC. Si M
es el punto medio de este segmento, entonces:

( ) ( )MBC =
–2+4 , –2+2 = 2 , 0 = (1, 0)
2 2 2 2

Por lo tanto, la longitud de la altura será igual a la distancia que hay Alternativa correcta:
entre el punto A y el punto M, es decir,
B
dAM = �(1 – (– 3))2 + (0 – 6)2 = �42 + (– 6)2 = �16 + 36 = �52

3.2.2. Vectores en el plano

Un vector es un objeto matemático que se define por un módulo, una dirección y un sentido. Puede
representarse por medio de una flecha. En física sirve para representar magnitudes como la velocidad o la
fuerza.

L EA→lBv,eecntotradl ecalasofigeluprausnetopuAeedseenl ootraigrecnomy oB vector u→ o vector
B es el extremo del

vector.

u→ El módulo A→eBs representado por el tamaño de la flecha. Se
|→u| nota |→u | o | |.

A La dirección indica la inclinación de la recta L que se obtiene
al prolongar el vector.

Los vectores pueden representarse en el plano cartesiano. Como el origen del vector está situado en el
origen del plano cartesiano, el vector queda determinado por las coordenadas del extremo del vector.

y En la figura adjunta, el vector →u se representa:
y1 →u (x1, y1) →u = (x1, y1)

y2 →v (x2, y2) Así también, el vector →v se representa: CPECH
→v = (x2, y2)
0 x1 x2 x

99

3 Geometría

Capítulo Por ejemplo, en la figura adjunta se representan los vectores →u , →v y →w .

y →u x Los tres vectores de la figura adjunta
6 se representan por
→w 5 123456
4 →v →u = (3, 4) ; →v = (4, – 2) ; w→ = (– 2, 5)
3
2
1

– 4 – 3 – 2 – 1– 10
–2
–3
–4

Si el origen del vector no está eslitouraigdeonedneel vl eocrtiogre.nSedaeel lpvleacntoorcaA→rBte, csoiannAo(,xe1l, vector queda determinado por
la diferencia entre el extremo y y1 ) y B(x2, y2 ), se cumple que

A→B = (x2 – x1 , y2 – y1)

Ejemplo: en la figura adjunta se representa el vector A→B .

y B x Dados los puntos A(– 4, 2) y B(5, 6), el vector
6 123456
5 A→B = (x2 – x1 , y2 – y1) = (5 – ( – 4), 6 – 2)
4 A→B = (9, 4)
3
A2
1

– 4 – 3 – 2 – 1– 10
–2
–3
–4

El módulo de un vector se puede determinar igual que la longitud de un trazo o la distancia entre dos
puntos. Para ello, se aplica el teorema de Pitágoras. Luego, el módulo del vector →u = (x1 , y1) es

|→u | = �x12 + y12

CPECH
Por ejemplo, el módulo del vector →u = (2, – 6) es |→u | = �22 + (– 6)2 = �4 + 36 = �40

100

Matemática

Operatoria vectorial
Ponderación de vectores: Dado un vector →u = (a, b) y un número real k (escalar), la ponderación de →u en k es:

k • →u = (k • a, k • b)

Dependiendo del valor absoluto y del signo de k, las variaciones son las siguientes:
• Si k > 0, el vector resultante tendrá la misma dirección y sentido que el vector →u , y el módulo será k • |→u |.
• Si k < 0, el vector resultante tendrá la misma dirección que →u , pero el sentido contrario y el módulo será igual a
– k • |→u |.
Por ejemplo, dado el vector →u = (2, 1), los vectores 3→u y –→u son, respectivamente:

3→u =(3 • 2, 3 • 1) = (6, 3)
–→u = (– 1 • 2, – 1 • 1) = ( – 2, – 1)

Ojo con

Dado un vector →u = (a, b), el vector – →u = (– a, – b) es el vector opuesto de →u .
En el ejemplo anterior, dado →u = (2, 1) el vector opuesto es – →u = (– 2, – 1).

Dados los vectores →u = (a, b) y →v = (c, d), la suma vectorial es igual a:
→u + →v = (a + c, b + d)

Por ejemplo, la suma entre los vectores →u = (2, 4) y →v = (3, – 2) es: CPECH
→u + →v = (2 + 3, 4 + – 2) = (5, 2)

Conceptos
fundamentales

La suma de vectores es conmutativa y asociativa, dado que la adición en los números reales también es
conmutativa y asociativa. Por ello se cumple que:

→u + →v = →v + →u (conmutatividad de la adición)
→u +(→v + →w ) = (→u + →v ) + →w (asociatividad de la adición)

101

Capítulo3 Geometría

Dados los vectores →u = (a, b) y →v = (c, d), la resta vectorial es igual a:
→u – →v = (a – c, b – d)

Sabías que...

La resta entre →u y →v es igual a la suma entre →u y el opuesto de →v . Por ello:
→u – →v = →u + – →v = (a, b) + (– c, – d) = (a – c, b – d)

Por ejemplo, la resta entre los vectores →u = (2, 4) y →v =(5, – 2) es:
→u – →v = (2 – 5, 4 – (– 2)) = (– 3, 6)

Pregunta tipo PSU

En el plano cartesiano de la figura adjunta, el vector resultante de la suma de →u y →v es w→. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? y

I) a = 5 (b + 2)
II) w→ = (1, – 5) →u
III) →u = (– 4, 1)

A) Solo I (a – 4) ax
B) Solo III
C) Solo I y III (a – 9) (b – 4) →w →v
D) Solo II y III
E) Ninguna de ellas. (b – 7)

Resolución

Según el plano cartesiano de la figura, se tiene que el vector →u es (a – 9, b + 2), el vector →v es (a, b – 7)
y el vector w→ es (a – 4, b – 4). Luego, la suma de vectores puede ser planteada algebraicamente como
u + →v = w→

CPECH (a – 9, b + 2) + (a, b – 7) = (a – 4, b – 4) (Sumando por coordenada)
(2a – 9, 2b – 5) = (a – 4, b – 4)

102

Matemática

Luego, es posible plantear dos ecuaciones lineales, tal que:

2a – 9 = a – 4 2b – 5 = b – 4
2a – a = – 4 + 9 2b – b = – 4 + 5

a = 5 b=1

Entonces: Alternativa correcta:

I) Verdadera, ya que se obtuvo su valor anteriormente. A
II) Falsa, ya que w→ = (a – 4, b – 4) = (5 – 4, 1 – 4) = (1, – 3).
III) Falsa, ya que →u es (a – 9, b + 2) = (5 – 9, 1 + 2) = (– 4, 3).

3.2.3. Traslación en el plano

Una traslación es el desplazamiento horizontal y/o vertical de una figura, sin que gire. Para un punto P(x, y) que
se traslada según un vector de traslación T(a, b), obteniendo el punto P’(x’, y’) se cumple que

P(x, y) + T(a, b) = Pʼ(x + a, y + b)

y Pʼ(x + a, y + b) El vector traslación T(a, b) indica el desplazamiento
y+b del punto inicial.
T(a, b) b
y La primera coordenada (a) del vector traslación
0 P(x, y) indica un desplazamiento hacia la derecha, si es un
número positivo (+) o hacia la izquierda, si es un
a número negativo (–).

x x+a x La segunda coordenada del vector traslación (b)
indica un desplazamiento hacia arriba, si es un
número positivo (+) o hacia abajo, si es un número
negativo (–).

Por ejemplo, si el punto P(5, – 3) se traslada según el vector traslación T(– 2, 7), se obtiene:
P(5, – 3) + T(– 2, 7) = Pʼ(5 + (– 2), – 3 + 7) = Pʼ(3, 4)

CPECH

103

3 Geometría

Capítulo 3.2.4. Rotación en el plano

Una rotación consiste en girar una figura en un ángulo dado con respecto a un punto llamado centro de
rotación. Una rotación es positiva si el giro se realiza en sentido antihorario (contrario al movimiento de los
punteros del reloj), y es negativa si se realiza en sentido horario (a favor del movimiento de los punteros del

reloj).

Cuando se aplica una rotación con respecto al origen de un punto (x, y), se obtiene lo siguiente:

Ángulo 90° 180° 270° 360°
Punto (– y, x) (– x, – y) (y, – x) (x, y)

Por ejemplo, aplicando las relaciones de la tabla anterior para rotar P(– 2, 3), se obtienen los siguientes puntos:

Ángulo 90° 180° 270° 360°
Punto P'(– 3, – 2) P''(2, – 3) P'''(3, 2) P(– 2, 3)

Ojo con

Si se aplica una rotación negativa con respecto al origen (en sentido horario), se tiene que realizar el
proceso inverso. Al rotar un punto en – 90° (rotación negativa) con respecto al origen, se deben invertir
las coordenadas del punto y cambiar el signo de la nueva segunda coordenada. Es equivalente a una
rotación positiva en 270° con respecto al origen.

Para rotar un punto P(x1, y1) con respecto a un punto C(x0, y0) distinto del origen en un ángulo α, es equivalente
a rotar el punto Q(x1 – x0, y1 – y0) con respecto al origen en un ángulo α y luego sumar este resultado al punto C.

Por ejemplo, para rotar el punto P(6, 4) en 90° con respecto al punto C(2, 1), se rota el punto Q(6 – 2, 4 – 1) = Q(4, 3)
con respecto al origen en 90°, obteniendo el punto Q’(– 3, 4), el cual se suma al centro de rotación C, obteniendo
el punto Q'(– 3, 4) + C(2, 1) = P'(– 1, 5).

CPECH

104

Matemática

3.2.5. Reflexión en el plano

Simetría axial: es la simetría que se realiza con respecto a una recta, produciendo el efecto espejo. Si se aplica
una simetría axial a un punto con respecto a una recta, entonces la imagen del punto estará al otro lado de
la recta. El segmento que une el punto con su imagen será perpendicular al eje de simetría y la distancia del
punto al eje será igual a la distancia del eje a la imagen.

L

P P'
d d

Por ejemplo, al aplicar al punto P(6, 4) una simetría axial con y 5 unidades
respecto a la recta x = 1, el punto simétrico debe estar al otro P
lado del eje, de modo que el segmento PP’ sea perpendicular 5 unidades
al eje de simetría y que la distancia del punto P al eje de P' 4
simetría sea igual a la distancia del punto P’ al eje de simetría.
En este caso la distancia es igual a 5. Como el eje de simetría x
es vertical, solo hay desplazamiento horizontal en 10 –4 6
unidades a la izquierda (5 unidades hasta el eje de simetría y
5 unidades más hasta la imagen), resultando el punto (– 4, 4). x=1

Simetría axial con respecto a los ejes coordenados

Si a un punto P(x, y) se le aplica una simetría con respecto al eje X, la imagen será P’(x, – y). Solo cambia el
signo de la segunda coordenada.

Si a un punto P(x, y) se le aplica una simetría con respecto al eje Y, la imagen será P’ (– x, y). Solo cambia el
signo de la primera coordenada.

Ejemplo: al aplicar al punto P(4, 3) una simetría con respecto al eje X, se obtiene el punto P’. Al aplicar al punto
P(4, 3) una simetría con respecto al eje Y, se obtiene el punto P’’. Los puntos P’ y P’’ son, respectivamente,

P''(– 4, 3) y P(4, 3) Al aplicar al punto P(4, 3) una simetría
con respecto al eje X, cambia el signo
6 123456 de la segunda coordenada. Luego, el
5 P'(4, – 3) punto simétrico es P’(4, – 3).
4
3 Al aplicar al punto P(4, 3) una simetría
2 con respecto al eje Y, cambia el signo
1 de la primera coordenada. Luego, el
punto simétrico es P’’( – 4, 3).
– 4 – 3 – 2 – 1– 10 x
–2
–3 CPECH
–4
105

Capítulo3 Geometría

Simetría central: es la simetría que se realiza con respecto a un punto. Es equivalente a una rotación en
180° con respecto a dicho punto. Si se aplica una simetría central a un punto con respecto a un centro de
rotación, entonces el segmento que une el punto con su imagen pasa por el centro de rotación y la distancia
del punto al centro es igual a la distancia del centro a la imagen, es decir, en la figura O es el punto medio del
segmentp PP'

P

d

O
d

P'

Por ejemplo, si al punto P(6, 4) se le aplica una simetría con respecto al centro de rotación C(4, 1), el punto
simétrico P’ será P’(2, –2), como muestra la figura.

y P(6, 4)
d
6
5 C(4, 1) x
4 d
3 123456
2
1 P'(2, – 2)

– 4 – 3 – 2 – 1– 10
–2
–3
–4

Simetría central con respecto al origen del plano cartesiano: si al punto P(x, y) se le aplica una simetríaCPECH
central con respecto al origen, el punto simétrico será P’(– x, – y). Es decir, al aplicar una simetría central con
respecto al origen, se deben cambiar los signos de ambas coordenadas. Es equivalente a la rotación en 180°
con respecto al origen.

Por ejemplo, si al punto P(4, 3) se le aplica una simetría con respecto al origen, es equivalente a aplicarle una
rotación de 180 º. Luego, el punto simétrico será P’(– 4, – 3).

106

Matemática

Pregunta tipo PSU

En la figura adjunta, los puntos A y B se encuentran en el plano cartesiano. Es correcto afirmar que

I) si el punto B se refleja respecto a la recta que contiene al punto A y es paralela al eje Y, se obtiene el
punto (– 6, 3).

II) una traslación de vector (– 4, – 4) trasforma al punto B en el punto A.
III) una rotación de 90°, en sentido antihorario, del punto A en torno al punto B resulta en el punto
A’(6, – 1)

Es (son) verdadera(s) y
3B
A) solo II.
B) solo I y II. –2 x
C) solo I y III. 2
D) solo II y III.
E) I, II y III. A –1

Resolución

Según el gráfico adjunto a la pregunta, las coordenadas del punto A son (– 2, – 1) y las coordenadas de
B son (2, 3). Luego,

I) Verdadera, ya que la recta que pasa por el punto A y es paralela al eje Y, se encuentra a cuatro
unidades de distancia del punto B de forma horizontal. Por lo tanto, el punto resultante de esta
transformación isométrica se encontrará a las mismas cuatro unidades de distancia, pero al otro
lado de este eje de simetría, conservando la altura en la que se encuentra. Es decir, se obtiene el
punto (– 6, 3).

4 unidades y
3
4 unidades B

–6 –2 2 x

A –1

II) Verdadera, ya que al aplicar el vector de traslación (– 4, – 4) al punto B(2, 3), se obtiene el punto
(2 + (– 4), 3 + (– 4)) = (– 2, – 1), coincidiendo con las coordenadas del punto A.

CPECH

107

3 Geometría

Capítulo III) Verdadera, ya que para trasladar al origen el punto B, que es el centro de la rotación, se necesita un
vector de traslación T(– 2, – 3). Luego:

A(– 2, – 1) T(– 2, – 3) (– 2 – 2, – 1 – 3) = (– 4, – 4) (Aplicando el vector T al punto A)

(– 4, – 4) R(90°) (4, – 4) (Aplicando rotación de 90º)

(4, – 4) – T (4 + 2, – 4 + 3) = (6, – 1) (Aplicando el vector – T = (2, 3))

Luego, el punto resultante de la rotación del punto A en torno al punto B es (6, – 1).

Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.

Alternativa correcta:

E

3.2.6. Composición de transformaciones isométricas

Corresponde a una composición de funciones, entendiendo cada transformación isométrica como una
función. Tanto la composición de traslaciones como la composición de rotaciones es conmutativa y asociativa
(donde el orden en que se operan no altera el resultado). Sin embargo al realizar otras composiciones de
transformaciones isométricas el orden sí es relevante y modifica el resultado.

Ejemplo: Si el punto P(3, 2) se rota en 90° con respecto al origen y se traslada según el vector T(– 2, – 5), el
resultado depende del orden en el que se apliquen dichas transformaciones.

i) Si el punto P(3, 2) primero se rota en 90° con respecto al origen y luego se traslada según el vector T(– 2, – 5),
el punto obtenido será P"(– 4, – 2) como se muestra en la figura.

y

6

5

P'(– 2, 3) 4 Al aplicar primero la rotación y luego la
3 traslación, se obtiene:
2 P(3, 2)

1 x P(3, 2) 90° P' (– 2, 3) T(– 2, – 5) P''(– 4, – 2)
– 4 – 3 – 2 – 1– 10
123456

CPECH P''(– 4, – 2) –2
–3

–4

108

Matemática

ii) Si el punto P(3, 2) primero se traslada según el vector T(– 2, – 5) y luego se rota en 90° con respecto al origen,
el punto obtenido será P’’ (3, 1), como se muestra en la figura.

y P(3, 2) x Al aplicar primero la traslación y luego la
P''(3, 1) rotación, se obtiene:
6 123456
5 P(3,2) T(– 2, – 5) P' (1, – 3) 90° P''(3, 1)
4 P'(1, – 3)
3
2
1

– 4 – 3 – 2 – 1– 10
–2
–3
–4

Pregunta tipo PSU

En el plano cartesiano, al punto (a, – 2a), con a un número real menor que cero, se le aplica una rotación
de 270º, seguida de una simetría respecto a la recta y = a. ¿Dónde se encuentra el punto resultante?

A) En el primer cuadrante. y
B) En el segundo cuadrante.
C) En el tercer cuadrante.
D) En el cuarto cuadrante.
E) No se puede determinar.

Resolución A – 2a

Como el valor de a corresponde a un número negativo, –a B
entonces el punto (a, – 2a), que llamaremos punto A, tendrá a x
su primera coordenada negativa y su segunda coordenada
positiva, ubicándolo en el segundo cuadrante. – 2a

Al aplicarle una rotación de 270º al punto A, entonces este y x
intercambiará sus coordenadas, cambiando el signo del
valor correspondiente a la segunda coordenada del punto –a B
resultante, es decir, se obtiene el punto (– 2a, – a), el cual a – 2a
llamaremos punto B. Luego, el punto B se encuentra en el
primer cuadrante, al ser ambas coordenadas positivas debido 3a C CPECH
a la condición de que a es un número negativo.

109

3 Geometría

Capítulo Como la recta y = a tiene pendiente cero, corresponderá a una Alternativa correcta:
recta paralela al eje X que pasa por el punto (0, a). Al ser a un valor
negativo, esta recta pasará por el tercer y cuarto cuadrante, estando D
el punto B a una distancia de |2a| unidades por sobre esta recta.
Por lo tanto, el punto resultante, que llamaremos C, se encontrará
por debajo de esta recta, a la misma distancia que se encuentra
el punto B, es decir, las coordenadas del punto C serán (– 2a, 3a).
Como la primera coordenada es positiva, y la segunda coordenada
es negativa, entonces el punto resultante de la composición de
transformaciones isométricas se encontrará en el cuarto cuadrante
del plano cartesiano.

3.3. Geometría de proporción

3.3.1. Congruencia de triángulos (≅)

Dos figuras son congruentes cuando tienen igual forma y tamaño. En particular, dos triángulos serán
congruentes si sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y los lados homólogos son
congruentes entre sí. Además, tendrán igual perímetro, área y sus elementos secundarios correspondientes

serán congruentes.

Sean Δ ABC ≅ Δ DEF, se cumple que: F
γ
C
γ

Aα bB Dα bE

Los ángulos correspondientes son Los lados homólogos son congruentes
congruentes entre sí, es decir: entre sí. Los lados homólogos son
aquellos que se oponen a los ángulos
∠ BAC ≅ ∠ EDF correspondientes.
∠ CBA ≅ ∠ FED
∠ ACB ≅ ∠ DFE AB ≅ DE ; AC ≅ DF ; CB ≅ FE

Criterios de congruencia: son criterios que establecen qué datos son suficientes para determinar si dosCPECH
triángulos son congruentes. Los cuatro criterios son los siguientes:

110

Matemática

LLL: si dos triángulos tienen los tres lados congruentes, entonces los triángulos son congruentes entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ambos es congruente,
entonces los triángulos son congruentes entre sí.

ALA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, y el lado entre ambos es congruente, entonces los
triángulos son congruentes entre sí.

LLA: si dos triángulos tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al mayor de ellos es congruente,
entonces los triángulos son congruentes entre sí.

3.3.2. Semejanza de triángulos (∼)

Dos figuras son semejantes si tienen igual forma pero distinto tamaño. Los triángulos ABC y DEF, serán
semejantes si se cumple que sus ángulos correspondientes son congruentes entre sí y los lados
homólogos son proporcionales.

Sean Δ ABC ~ Δ DEF, se cumple que (recuerda seguir el orden correspondiente).

C
g

F
γ

Aα b α b
B D E

Los ángulos correspondientes son Los lados homólogos son
congruentes entre sí. proporcionales. Los lados homólogos
son aquellos que se oponen a los ángulos
∠ BAC ≅ ∠ EDF correspondientes.
∠ CBA ≅ ∠ FED
∠ ACB ≅ ∠ DFE AB = CB = AC = k
DE FE DF
donde k es una constante llamada razón
de semejanza.

Además, si ∆ ABC ~ ∆ DEF, la razón entre los elementos secundarios homólogos y la razón entre

los perímetros es igual a la razón de semejanza k y la razón entre las áreas es igual al cuadrado de
la razón de semejanza k.

Perímetro∆ ABC =k ; Área∆ ABC = k2 CPECH
Perímetro∆ DEF Área∆ DEF

111

3 Geometría

Capítulo Por ejemplo, en la figura adjunta se muestran los triángulos ABC y DEF, semejantes entre sí.
C

F

86 43
hc = 4,8

hF = 2,4

Aα bα b
BD 5E
10

Como los triángulos ABC y DEF son semejantes, se cumple lo siguiente:

◆ Los ángulos correspondientes son congruentes.

∠ BAC = ∠ EDF = α ; ∠ CBA = ∠ FED = β ; ∠ ACB = ∠ DFE = 90°

◆ Los lados homólogos son proporcionales entre sí.

AB = 10 = CB = 6 = AC = 8 = k=2
DE 5 FE 3 DF 4

siendo k = 2 la razón de semejanza.

◆ La razón entre los perímetros es igual a la razón de semejanza k.

Perímetro Δ ABC = 10 + 8 + 6 = 24 = 2 = k
Perímetro Δ DEF 5+4+3 12

◆ La razón entre elementos secundarios es igual a la razón de semejanza k. En particular, se

cumple que la razón entre las alturas correspondientes es igual a la razón de semejanza k.

hc = 4,8 =2=k
hF 2,4

◆ La razón entre las áreas es igual al cuadrado de la razón de semejanza k.

ÁreaΔABC = 10 • 4,8 = 24 = 4 = 22 = k2
ÁreaΔDEF 6
2
5 • 2,4

2

Criterios de semejanza: establecen qué datos son suficientes para determinar si dos triángulos sonCPECH
semejantes. Los criterios son los siguientes:

LLL: si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales, entonces los triángulos son semejantes entre sí.

LAL: si dos triángulos tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ambos, es congruente, entonces los
triángulos son semejantes entre sí.

112 AA: si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes entre sí.

Matemática

Pregunta tipo PSU

En el triángulo ABC de la figura adjunta, el punto D pertenece al segmento AB y el punto E pertenece al

segmento BC, DB = 12 cm y BE = 13 cm. Si el área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo

BED, entonces ¿cuál de las siguientes medidas se cumple en la figura?

C

A) CE = 39 cm E
B) AD = 40 cm

C) AB = 26 cm

D) AC = 20 cm

E) BC = 52 cm A DB

Resolución

Como las medidas de los ángulos de la figura son desconocidas, entonces se plantea que,

hipotéticamente, el ángulo ABC mide α y el ángulo CAB mide β, por lo tanto, se tiene α + β = 90°. En el
triángulo BED hay un ángulo que se desconoce, sin embargo, los ángulos presentes en él miden α y 90°,
por lo que el ángulo restante, BED, mide β. Además, la medida del segmento DE puede ser determinada
mediante el teorema de Pitágoras o bien por el trío pitagórico 5, 12 y 13, por lo que la medida del segmento

DE es 5 cm. Luego, completando la información en la figura, se tiene que

C

E

Ab b 13 cm B
5 cm
α
D 12 cm

Como los triángulos ABC y BED tienen sus ángulos respectivamente congruentes, entonces se puede

afirmar por el criterio AA que ellos son semejantes. Entonces, es posible plantear que AB = BC = AC .
EB BD ED

Sin embargo, hasta ahora no se puede determinar las medidas de los lados del triángulo ABC ya que
podrían tener infinitos valores. Es en este punto donde radica la importancia de la razón entregada en

el enunciado, “El área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo BED”, ya que con ella se

establece la razón de semejanza k como k2 = Área Δ ABC = 4 , por lo que k = 2 . Entonces, se tiene que
Área Δ BED 1 1

AB = BC = AC = 2 . Reemplazando los valores en la expresión anterior
EB BD ED 1

AB = BC = AC = 2 ⇒ AB = BC = AC = 2 . Alternativa correcta:
EB BD ED 1 13 12 5 1
C
A partir de esta igualdad, se tiene que AB = 26 cm, BC = 24 cm y AC = 10 cm. CPECH
Además, CE = 11 cm y AD = 14 cm.

113

3 Geometría

Capítulo 3.3.3. Homotecia

Una homotecia es una transformación geométrica que afecta las longitudes de una figura en función de
una determinada razón de homotecia k y un centro de homotecia O, de manera que todas las longitudes se
multiplican por | k |. En caso que k sea positivo, la figura se proyecta con respecto a O en el mismo sentido de
la figura original, y si k es negativo, se proyecta en sentido contrario.

Luego, si el triángulo ABC se transforma en el triángulo DEF mediante una homotecia de centro O y razón de
homotecia k, entonces:

AC C
A
OB
E O B
E
D
F D
F
k<–1
k=–1

C B

B C

D OA E
E –1<k<0 F

F A
D
O 0<k<1

E

F

B
C

D
A
O k>1

Por ejemplo, en la figura se muestra una homotecia de centro O y razón de homotecia 1,5, que trasforma al
cuadrilátero ABCD en el cuadrilátero EFGH. Por lo tanto, la medida de los lados del cuadrilátero EFGH y del
cuadrilátero ABCD están en la razón 3 : 2, es decir:

EF = FG = GH = HE = 3
AB BC CD DA 2
CPECH

114

Matemática

También se cumple que: OE = OF = OG = OH = 3
O OA OB OC OD 2

C B F
D
G
A H

E

Las figuras que se obtienen como resultado de una homotecia son siempre semejantes. Por ello se
cumplen todas las propiedades de semejanza. La razón de semejanza es igual al valor absoluto de la
razón de homotecia.

Pregunta tipo PSU

En la figura adjunta, el triángulo DEF es el homotético del triángulo ABC, con razón de homotecia 3 : 1 y

centro de homotecia O. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A(3, – 3), B(4, – 3) y C(3, – 1),

mientras que las coordenadas de los vértices del triángulo DEF son D(5, 1), E(8, 1) y F(5, 7). ¿Cuáles son las

coordenadas del centro de homotecia? y

A) (2, – 1) F
B) (1, – 2)
C) (1, – 8)
D) (2, – 5)
E) Faltan datos para determinarlo.

D E
C x

AB CPECH
O

115

3 Geometría

Capítulo Resolución

Como la razón de homotecia es 3 : 1, entonces se cumple que OF = OD = OOBE = 3 . Ya que se conocen
OC OA 1

los vértices de los triángulos ABC y DEF es posible determinar la medida de algunos trazos de la figura,

mediante la fórmula de distancia:

dCF = �(5 – 3)2 + (7 – (– 1))2 = �22 + 82 = �4 + 64 = �68
dAD = �(5 – 3)2 + (1 – (– 3))2 = �22 + 42 = �4 + 16 = �20
dBE = �(8 – 4)2 + (1 – (– 3))2 = �42 + 42 = �16 + 16 = �32
También es posible determinar la medida de los trazos OA, OB y OC, mediante la razón de semejanza:

OF = OC + CF = OC + �68 = 3 ⇒ OC + �68 = 3 • OC ⇒ 2 • OC = �68 ⇒ OC = �68 = �17
OC OC OC 1 2

OD = OA + AD = OA + �20 = 3 ⇒ OA + �20 = 3 • OA ⇒ 2 • OA = �20 ⇒ OA = �20 = �5
OA OA OA 1 2

OE = OB + BE = OB + �32 = 3 ⇒ OB + �32 = 3 • OB ⇒ 2 • OB = �32 ⇒ OB = �32 = �8
OB OB OB 1 2

Como se desconoce la ubicación del centro de homotecia, entonces se considerará una ubicación
tentativa, siendo esta O(x, y). Luego, calculando las distancias de los segmentos OA, OB y OC, se tiene

dOA = �5 ⇒ �(3 – x)2 + (– 3 – y)2 = �5 ⇒ (3 – x)2 + (– 3 – y)2 = 5

dOB = �8 ⇒ �(4 – x)2 + (– 3 – y)2 = �8 ⇒ (4 – x)2 + (– 3 – y)2 = 8

dOC = �17 ⇒ �(3 – x)2 + (– 1 – y)2 = �17 ⇒ (3 – x)2 + (– 1 – y)2 = 17

Mediante manejo algebraico, a partir de las ecuaciones para dOA y para dOB , utilizando el método de
igualación, es posible determinar el valor de x. Luego

dOA : (3 – x)2 + (– 3 – y)2 = 5 ⇒ (– 3 – y)2 = 5 – (3 – x)2
dOB : (4 – x)2 + (– 3 – y)2 = 8 ⇒ (– 3 – y)2 = 8 – (4 – x)2

CPECH

116

Matemática

Con ello se tiene que

5 – (3 – x)2 = 8 – (4 – x)2 (Desarrollando cuadrado de binomio)
(Eliminando paréntesis)
5 – (9 – 6x + x2) = 8 – (16 – 8x + x2) (Reduciendo términos semejantes)
5 – 9 + 6x – x2 = 8 – 16 + 8x – x2

6x – 8x = – 8 + 4

– 2x = – 4

x = 2
Luego, despejando el valor de y a partir de una de las ecuaciones utilizadas para formar el sistema de
ecuaciones, se tiene:

(3 – x)2 + (– 3 – y)2 = 5 (Reemplazando x por 2)
(3 – 2)2 + (– 3 – y)2 = 5 (Desarrollando el cuadrado de binomio)
1 + 9 + 6y + y2 = 5 (Agrupando términos semejantes)
y2 + 6y + 5 = 0 (Resolviendo mediante factorización)
(y + 5)(y + 1) = 0

y = – 1 o y = – 5

Con lo anterior, se tiene que el centro de homotecia puede ser (2, – 1) o bien (2, – 5). Para resolver esta
interrogante, basta con reemplazar los valores del punto en la ecuación que no se utilizó para generar el

sistema de ecuaciones, es decir, aquella que corresponde a dOC.

Con O(2, – 1): Con O(2, – 5):

dOC : (3 – x)2 + (– 1 – y)2 = 17 dOC : (3 – x)2 + (– 1 – y)2 = 17
(3 – 2)2 + (– 1 – (– 1))2 = 17 (3 – 2)2 + (– 1 – (– 5))2 = 17

12 + 02 = 17 12 + 42 = 17

1 ≠ 17 16 + 1 = 17

17 = 17

En base a lo anterior, al considerar como centro de homotecia O(2, – 1) se Alternativa correcta:
obtiene una contradicción al evaluar la distancia del segmento OC. En
tanto, al considerar como centro de homotecia O(2, – 5), se obtiene D
una identidad al evaluar la distancia del segmento OC, por lo que
se concluye que el centro de homotecia de la gráfica de la figura
corresponde a O(2, – 5).

CPECH

117

3 Geometría

Capítulo 3.3.4. Teorema de Thales

El teorema de Thales establece proporciones que se generan cuando tres rectas paralelas son cortadas por dos
o más transversales.

Caso general del teorema de Thales: Sea L1 // L2 // L3, intersectadas por L4 y L5. Se cumple que

L4 L5

L1 A D

L2 B E Para las rectas transversales L4 y L5, los trazos
L3 C F entre paralelas son proporcionales entre sí.

AB = DE ; AB = DE ; BC = EF
BC EF AC DF AC DF

Ejemplo: Sean L1 // L2 // L3, intersectadas por L4 y L5, el valor del segmento x es:

L4 L5 En la figura adjunta las rectas L4 y L5 son
L1 transversales de L1 // L2 // L3. Por Thales, se
cumple que los segmentos entre paralelas
2 3 son proporcionales. Luego,
L2
2 = 3
8 x

8 x 2x = 24
L3

x = 12

Primer caso particular del teorema de Thales: Sea L1 // L2. Sean L3 y L4, transversales como muestra la
figura. Se cumple que:

L3 L4

O Para las rectas transversales L3 y L4, los trazos entre
paralelas son proporcionales entre sí.

OA = OC ; OA = OC ; AB = CD
AB CD OB OD OB OD
L1 A C
Además, por semejanza de los triángulos ACO y BDO,
CPECH se cumple que:

118 L2 B D OA = OB ; OC = OD
AC BD AC BD

Matemática

Ejemplo: sea AB // DE , el valor del segmento x es:

C En la figura adjunta, como AB // DE , los triángulos
ABC y DEC son semejantes y se puede aplicar el
teorema de Thales. Luego,

10 CD = CA
DE AB

D x E 10 = 16
6 18 B x 18
A
x= 10 • 18 = 45 = 11,25
16 4

Segundo caso particular del teorema de Thales: Sea L1 // L2. Sean L3 y L4 transversales, como muestra la
figura. Se cumple que:

L3 L4 Para las rectas transversales L3 y L4, los trazos entre
L1 A C paralelas son proporcionales entre sí.

L2 D O AO = CO ; AO = CO ; OB = OD
B OB OD AB CD AB CD

Además, por semejanza de los triángulos ACO y BDO,
se cumple que:

OA = OB ; OC = OD
AC BD AC DB

Ejemplo: sea AB // DC, el valor del segmento x es:

D 10 C En la figura adjunta, como AB // DC, los triángulos
x ABO y CDO son semejantes y se puede aplicar el
15 teorema de Thales. Luego,
O
CD = AB
DO BO

10 = 30
15 x

A B x= 30 • 15 = 45 CPECH
30 10

119

3 Geometría

Capítulo Pregunta tipo PSU

En la figura adjunta, AB // DE y los segmentos AD y BE se intersectan en el punto C. Si la razón entre la

medida del segmento ED y la medida del segmento EC es 5 : 12 y BC = 18 cm, entonces la medida del

segmento AC es ED

A) 13

B) 15 C
2

C) 30

D) 39
2

E) faltan datos para determinarlo. AB

Resolución E 5k D
12k 13k
Al ser paralelos los segmentos AB y DE, el triángulo EDC es rectángulo en E.
Por lo tanto, si ED = 5k cm, el segmento EC mide 12k cm (ya que están en la C
razón 5 : 12) y el segmento CD mide 13k, valor obtenido mediante el teorema
de Pitágoras.

Como se cumplen las condiciones necesarias para aplicar el teorema de Thales, x 18

entonces se puede establecer la relación CD = CE .
AC BC

CD = CE ⇒ 13k = 12k (Sustituyendo) AB
AC BC x 18

⇒ x= 13k • 18 (Despejando x)
12k

⇒ x= 13 • 3 (Simplificando por 6k)
2

⇒ x= 39 Alternativa correcta:
2

D

CPECH

120

Matemática

3.3.5. División de segmentos y teorema de la bisectriz

División interior de un segmento: dado un trazo AB, un punto P lo divide interiormente en la razón m : n si se
cumple que P pertenece al trazo AB y AP : PB = m : n.

AP B AP m
PB n
=

Ejemplo: en la figura adjunta, el punto P divide interiormente al trazo AB en la razón 5 : 16. ¿Cuánto mide AB?

Dado que P divide interiormente al trazo AB en la
razón 5 : 16, se cumple que:

AP = 5
PB 16

A 4 cm P B

4 = 5
PB 16

PB = 16 • 4 = 12,8 cm
5

Por lo tanto, AB = 16,8 cm.

3.3.6. Teorema de Euclides

El teorema de Euclides es válido en triángulos rectángulos donde esté dibujada la altura que cae sobre la
hipotenusa.

Sea el triángulo ABC rectángulo en C. Se cumple que:

C
Si en el triángulo ABC rectángulo en C:

bh a ◆ h: altura que cae sobre la hipotenusa.
◆ p: proyección del cateto b sobre la hipotenusa c.
◆ q: proyección del cateto a sobre la hipotenusa c.

Entonces: a2 = cq ; b2 = cp

Ap q B h2 = pq ; h= ab
c
c CPECH

121

3 Geometría

Capítulo Ejemplo: sea el triángulo ABC de la figura. Los valores de a, b y h son, respectivamente,

C Como el triángulo ABC es rectángulo en C y h es la
altura que cae sobre la hipotenusa, se puede aplicar el
teorema de Euclides.

bh a Si p = 2 y q = 8,
◆ c = p + q = 2 + 8 = 10

◆ h2 = pq = 2 • 8 = 16 ⇒ h = 4

A2 8 B ◆ a2 = cq = 10 • 8 = 80 ⇒ a = �80
◆ b2 = cp = 10 • 2 = 20 ⇒ b = �20

Pregunta tipo PSU

En el triángulo ABC de la figura adjunta, el segmento AD y el segmento DC están en la razón 2 : 3. Si la
medida del segmento AC es igual a p, ¿cuál es la medida del segmento BC, en términos de p?

A) p�10
5

B) p�6 AD C
5 B

C) p�15
5

D) 3p
5

E) p�35
5

Resolución

Como los segmentos AD y DC están en la razón 2 : 3, entonces es posible plantear distintas igualdades,

todas ellas basadas en la división de segmentos, para obtener sus valores en términos de p. Una de ellas

consiste en plantear una variable auxiliar x, de manera que AD = 2x y DC = 3x, además de la ecuación

AD + DC = CA, donde al sustituir los valores se tiene que 2x + 3x = p, despejando, se obtiene que el

valor de x es igual a p , por ello AD = 2p y DC = 3p .
5 5 5

Luego, como el triángulo ABC es rectángulo en B y el Alternativa correcta:
segmento BD es altura, entonces es posible plantear
cualquiera de las igualdades del teorema de Euclides. En C
particular, para el segmento BC, se tiene que

CPECH BC2 = CD • CA = 3p •p= 3p2 . Extrayendo la raíz cuadrada, se
5 5

�122 3p2 p�3 �5 p�15
tiene que BC = 5 = �5 = �5 = 5 .

Matemática

3.3.7. Teoremas de proporcionalidad en la circunferencia

Teorema de las cuerdas: indica que si dos cuerdas se cortan, entonces el producto de los segmentos en que
se divide una cuerda es igual al producto de los dos segmentos en que se divide la otra cuerda.
Sean AB y CD cuerdas de la circunferencia que se intersectan en el punto P. Se cumple que:

C
A

P AP • PB = CP • PD

D
B

Ejemplo: sean AB y CD cuerdas de la circunferencia, que se intersectan en P. El valor de x es:

C Dado que AB y CD son cuerdas de la
A circunferencia que se intersectan, se puede
aplicar el teorema de cuerdas. Luego,
x
8 AP • PB = CP • PD

P

69 8•9=x•6
x = 12
D
B

Teorema de las secantes: indica que si desde un punto exterior a la circunferencia se trazan dos secantes a
la circunferencia, entonces se cumple que el producto de los segmentos que unen el punto exterior con los
puntos de intersección en una secante es igual al producto de los segmentos que unen el punto exterior con
los puntos de intersección en la otra secante.

Sean PA y PC secantes a la circunferencia, que se intersectan en el punto exterior P. Se cumple que:

A

B

P PA • PB = PC • PD

D CPECH
C
123

3 Geometría

Capítulo Ejemplo: sean PA y PC secantes de la circunferencia de la figura. El valor de x es igual a:

A B Dado que PA y PC son secantes que
11 4 se intersectan en P, se puede aplicar el
teorema de las secantes.
x 3
C D Luego,
P PA • PB = PC • PD

15 • 4 = (3 + x) • 3
60 = 9 + 3x

Por lo tanto,
x = 17

Teorema de la secante y la tangente: indica que si desde un punto exterior a la circunferencia se traza una
secante y una tangente a ella, entonces se cumple que el producto de los segmentos que unen el punto
exterior con los puntos de intersección en la secante es igual al cuadrado del segmento que une el punto
exterior con el punto de tangencia.

Sea P un punto exterior a la circunferencia de la figura, tal que PA es tangente y PC secante a ella. Se cumple
que:

A
P

(PA)2 = PC • PD

D Es un caso particular del teorema de las
secantes.

C

Ejemplo: sean PA y PC , tangente y secante a la circunferencia, respectivamente. El valor de PA es:

A x
P Dado que PA y PC son, respectivamente,

tangente y secante a la circunferencia, que se

2 intersectan en el punto exterior P, se puede
D aplicar el teorema de la secante y la tangente.

Luego, (PA)2 = PC • PD

6 x2 = 8 • 2 = 16

CPECH Por lo tanto, x = 4.
C
124

Matemática

Pregunta tipo PSU

En la circunferencia de la figura adjunta, el segmento AC es una cuerda y el segmento BD es diámetro
cuya medida es 20 cm y E es el punto de intersección entre el segmento BD y el segmento AC. Si la
medida del segmento BE varía entre 4 cm y 16 cm, ambos valores incluidos, entonces la medida de la
cuerda AC

A) varía entre 8 y 10 cm, ambos valores incluidos. A D
B) siempre es 16 cm. E C
C) varía entre 16 cm y 20 cm, ambos valores incluidos.
D) varía entre 4 cm y 16 cm, ambos valores incluidos. B
E) varía entre 8 cm y 16 cm, ambos valores incluidos.

Resolución

Como el segmento AC es una cuerda y el segmento BD es diámetro, entonces Ay D
el ángulo AEB es recto, cumpliéndose el caso especial del teorema de las E
cuerdas, cuando una cuerda es perpendicular al diámetro. En consecuencia, 20 – x
el trazo AE y el trazo EC tienen la misma medida. Asignando valores a los x y
trazos se figura, se tiene la siguiente figura B C

Dado el teorema de las cuerdas, se cumple la igualdad EB • ED = EA • EC.

Reemplazando los valores, se tiene x • (20 – x) = y • y ⇒ y2 = 20x – x2 ⇒ y = �20x – x2. Tomando y = f(x),

se tiene que la medida del trazo EA (f(x)), en función de la medida del trazo BE (x), viene dada

por f(x) =�20x – x2, cuyo dominio pertenece al intervalo [0, 20]. En el enunciado del problema se
menciona que la medida del trazo BE varía entre 4 cm y 16 cm, ambos valores incluidos, es decir, es un
subconjunto del dominio de f, correspondiente a [4, 16]. Como la cantidad subradical corresponde a una
función cuadrática, se tiene que el valor máximo que puede tomar f(x) es con x = 10, por ser el eje de

simetría. Para este valor, se cumple que f(10) = �20 • 10 – (10)2 = �200 – 100 = �100 = 10, es decir, cuando
el trazo BE mide 10 cm, los trazos EA y EC miden 10 cm cada uno. Como se trata de una función cuadrática,
se entiende que es simétrica, por lo que f(4) = f(16), ya que ambos valores están a la misma distancia del
eje de simetría.

Luego f(4) = �20 • 4 – 42 = �80 – 16 = �64 = 8 , por lo que la medida de los trazos EA y EC miden 8 cm
cada uno. Entonces, la medida de la cuerda AC varía entre los 16 cm y 20 cm, ambos valores incluidos.

Otra forma de resolver este problema, a partir del análisis, es plantear las situaciones que pueden ocurrir
bajo las condiciones dadas.

D A
D
A E O16 cm CPECH
E4 cm
4 cm C O 125
B
C
16 cm

B

3 Geometría

Capítulo En ambas figuras, la línea punteada representa a un diámetro de la Alternativa correcta:
circunferencia de centro O, que es paralelo a la cuerda AC . En la figura
de la izquierda, se tiene que el segmento BE mide 4 cm y no contiene C
al punto O. Para este caso, se cumple que la medida de la cuerda
AC es 16 cm. En la figura de la derecha, se tiene que el segmento BE
mide 16 cm y contiene al punto O. Para este caso, se obtiene que la
medida de la cuerda AC es 16 cm. Analizando la situación descrita
anteriormente, se cumple que 16 cm es la menor medida que puede
tomar la cuerda AC , y mientras la medida del segmento BE varía,
hay un caso en el que la cuerda AC coincide con el diámetro de la
circunferencia. Por definición, el diámetro es la cuerda que posee la
mayor medida, que en este contexto corresponde al máximo valor
que puede tomar la cuerda AC , que es 20 cm.

3.4. Geometría analítica

3.4.1. Ecuación de la recta en el plano cartesiano

La ecuación cartesiana de la recta es toda recta que se puede representar en el plano cartesiano y tiene una
ecuación asociada.

y

L: y = mx + n Toda recta tiene una ecuación

principal asociada de la forma:

P(x1 , y1) y = mx + n

(0, n) Donde:

Pendiente (m): indica la inclinación de
la recta.

Coeficiente de posición (n): indica el
punto donde la recta intersecta al eje
x Y. El punto de intersección es (0, n).

CPECH

126

Matemática

Conceptos
fundamentales

Dada una ecuación de la recta, es posible determinar la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n)
al escribirla como la ecuación principal de la recta, despejando y. En tal forma, el factor numérico de x
corresponde a la pendiente y el valor independiente corresponde al coeficiente de posición.

Ejemplo: determinar la pendiente y el coeficiente de posición de las siguientes rectas:

L1 : y = 3x + 2 ⇒ m = 3 y n = 2

L2 : y = – 2x + 4 ⇒ m= – 2 y n = 4
2 5 2 –5
L3 : 3y – 2x + 5 = 0 ⇒ y = 3 x – 3 ⇒m= 3 yn= 3

Pendiente (m): la pendiente indica la inclinación de la recta con respecto al eje X. Dados dos puntos P(x1, y1)
y Q(x2, y2) pertenecientes a una recta, la pendiente es:

m= y2 – y1
x2 – x1

y x2 – x1 Q(x2 , y2) La pendiente m nos indica la razón entre
y2 y2 – y1 (y2 – y1) y (x2 – x1).

y1 P(x1 , y1) x ◆ Si m > 0, la recta es creciente.
x2
x1 ◆ Si m < 0, la recta es decreciente.

◆ Si m = 0, la recta es horizontal.

Si en una recta, dados dos puntos distintos
P(x1, y1) y Q(x2, y2), la primera coordenada es
igual (x1 = x2), entonces la pendiente m se
indefine (ya que el denominador es 0). En ese
caso la recta es vertical.

CPECH

127

3 Geometría

Capítulo Ejemplo: dados los siguientes pares de puntos, determinar la pendiente e indicar el comportamiento de la
recta.

y (2, 5) Dados los puntos P(– 2, – 3) y Q(2, 5), la
6 12345 pendiente m es:
5
4 m= y2 – y1 = 5 – (– 3) = 8 =2
3 x2 – x1 2 – (– 2) 4
2
1 x Como m = 2 > 0, entonces la recta es
creciente.
– 4 – 3 – 2 – 1– 10
–2

(– 2, – 3) – 3
–4

(– 3, 5) y
6
5 Dados los puntos P(– 3, 5) y Q(2, 1), la
4 pendiente m es:
3
2 (2, 1) m= y2 – y1 = 1–5 = –4
1 12345 x2 – x1 2 – (– 3) 5

– 4 – 3 – 2 – 1– 10 x Como m = –4 < 0, entonces la recta es
–2 5
–3
–4 decreciente.

CPECH

128

Matemática

Coeficiente de posición (n): indica el punto donde la recta intersecta al eje Y. El punto de intersección tiene
coordenadas (0, n).

y (2, 5) En la recta de la figura, el punto de intersección con el
6 12345 eje Y es (0, 1). Luego, el coeficiente de posición es
5
4 n=1
3
2 Además, como en un ejemplo anterior, se determinó
1 que la pendiente es m = 2, la ecuación de la recta es

– 4 – 3 – 2 – 1– 10 x y = mx + n
y = 2x + 1
(– 2, – 3) –2
–3

–4

Intersección con los ejes coordenados: el coeficiente de posición n indica que la recta intersecta
al eje Y en el punto (0, n). Esto ocurre cuando x = 0.

La intersección de la recta con el eje X ocurre cuando y = 0, ya que todo punto sobre el eje X
cumple esta condición. Luego, al reemplazar podemos obtener el punto de intersección.

Ejemplo: considerando la recta de ecuación y = 2x + 1. Al reemplazar y = 0, se obtiene:

y = 2x + 1 ⇒ 0 = 2x + 1 ⇒ x = –1
2
( )Por lo tanto la recta intersecta al eje X en el punto
–1 , 0.
2

Determinación de la ecuación de la recta: dados los puntos P(x1, y1 ) y Q(x2, y2), por ellos pasa una única recta
cuya ecuación es:

y
y2 Q(x2, y2)

Ecuación de la recta:

( )y – y1 =y2 – y1 • (x – x1)
x2 – x1
y1 P(x1, y1)
x1 Pendiente: m = y2 – y1
x2 – x1
CPECH
x
x2 129

3 Geometría

Capítulo Determinación de la ecuación de una recta: por dos puntos distintos en el plano pasa una única

recta. Si consideramos los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), podemos determinar la inclinación de la recta

por medio de la pendiente m = y2 – y1 .
x2 – x1

Si un punto (x, y) pertenece a la recta, entonces la pendiente que forma con el punto P(x1, y1) debe
ser igual a m, ya que tres puntos son colineales si y solo si la pendiente obtenida a partir de una

pareja cualquiera de ellos es la misma. Luego, se cumple que:

y2 – y1 = y – y1
x2 – x1 x – x1

Reordenando, se obtiene la ecuación de la recta:

( )y – y1 = y2 – y1 • (x – x1)
x2 – x1

( )Al reemplazar y2 – y1 por m y (y1 − mx1) por n, se obtiene la ecuación principal:
x2 – x1

y = mx + n

Ejemplo: determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(– 3, 4) y Q(5, 2).

(– 3, 4) y Dados los puntos P(– 3, 4) y Q(5, 2), se puede determinar
6
5 la ecuación de la recta con:
4
3 (5, 2) ( )y – y1=y2 – y1 • (x – x1)
2 x x2 – x1
1
12345 ( )y – 4 =
– 4 – 3 – 2 – 1– 10 2–4 • (x – (– 3))
–2 5 – (– 3)
–3
–4 y= –x + 13
4 4

CPECH

130

Matemática

Para definir vectorialmente una recta bastan dos puntos, o un punto y un vector director.

Dados dos puntos, P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1), la dirección
de la recta que pasa por dichos puntos queda
determinada por un vector director d→ = (dx, dy) = (x1 – x0,
y1 – y0). Para cada punto P(x, y) que pertenece a la recta,
existe un número real λ tal que: P = P0 + λ • d→

Luego, una recta que pasa por ambos puntos se puede determinar mediante la siguiente ecuación vectorial:

(x, y) = (x0, y0) + λ • (dx, dy)

Pregunta tipo PSU

( ) ( )Dada L –1 3
una recta en el plano, que contiene a los puntos A 2 a, a y B 4 a, – 2a , con a un número real

distinto de cero. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) La pendiente de la recta L depende del valor de a.

B) El coeficiente de posición de la recta L es un valor positivo.

( )C) – 19 a, 0 .
La recta L intersecta al eje de las abscisas en el punto 10

D) La recta L pasa por tres cuadrantes del plano cartesiano.

E) La ecuación de la recta L es – 10x + 24y – 19a = 0.

Resolución

( ) ( )Dos L A –1 a, a B 3
de los puntos que contiene la recta son 2 y 4 a, – 2a , entonces, sustituyendo estos

valores en la expresión para determinar la pendiente m de una recta, con x1 = –1 a, y1 = a, x2 = 3 a e y2 = –2a,
2 4

se tiene que

( )m = 3 a– –1 a 3 a + 1 a 3a + 2a 5a
y2 – y1 4 2 4 2
x2 – x1 = = = 4 = 4 = – 5a = –5 CPECH
– 2a – a – 3a – 3a – 3a 12a 12

131

3 Geometría

Capítulo Recordar que si los puntos se toman al revés, es decir, si las coordenadas sub uno corresponden al punto
B y las coordenadas sub dos corresponden al punto A, se obtiene el mismo valor de la pendiente.

Luego, para determinar la ecuación de la recta, se tiene la expresión y = m(x – x1) + y1. Reemplazando los
valores, resulta

=( ( )ym(x – x1) + y1 = –5 x– –1 a +a= –5 x– 5 a + a = –5 x+ 19 a
12 2 12 24 12 24

La ecuación y = –5 x + 19 a, escrita de forma general, es 10x + 24y – 19a = 0.
12 24

Para determinar en qué punto la recta corta al eje X, el valor de y debe ser igual a cero, para luego despejar
el valor de x, resultando

y = –5 x + 19 a ⇒ 0 = –5 x + 19 a ⇒ 5 x = 19 a ⇒ x = 12 • 19 a = 19 a
12 24 12 24 12 24 5 24 10

Finalmente, toda recta con pendiente y coeficiente de posición distintos de cero pasa por tres cuadrantes
del plano. Si la recta tiene pendiente distinta de cero y coeficiente de posición igual a cero, entonces pasa
por dos cuadrantes del plano cartesiano.

Al analizar cada alternativa, se tiene:

- En el caso de la alternativa A, la pendiente de la recta L es –5 , valor que no depende de a.
12

- En el caso de la alternativa B, el coeficiente de posición de la recta L es 19 a, el que puede ser positivo
24

o negativo, dependiendo del valor de a.

- En el caso de la alternativa C, se determinó que L intersecta al eje
( )X en el punto
19 a, 0 .
10

- En el caso de la alternativa D, como la pendiente y coeficiente de Alternativa correcta:
posición son distintos de cero, entonces la recta L pasa por tres
cuadrantes del plano. D

- En el caso de la alternativa E, la ecuación general de la recta L es
10x + 24y – 19a = 0.

CPECH

132

Matemática

3.4.2. Posiciones relativas de rectas en el plano

Rectas coincidentes: dos rectas son coincidentes cuando son la misma recta. Para ello deben tener igual
pendiente m (igual inclinación) e igual coeficiente de posición n.

Rectas paralelas no coincidentes: dos rectas en el plano son paralelas no coincidentes si tienen la misma
pendiente m (igual inclinación) y distinto coeficiente de posición n.

Ejemplo: determinar si las rectas L1, L2 y L3 que se presentan a continuación son coincidentes o paralelas no
coincidentes entre sí.

L1: y = 2x + 4
L2: 2y = 4x + 8
L3: 3y – 6x + 18 = 0

Para determinar si dos rectas son coincidentes o paralelas no coincidentes debemos identificar sus
pendientes y coeficientes de posición. Para ello debemos escribir las ecuaciones principales de las rectas,
despejando y. Luego,

L1: y = 2x + 4 ⇒ m1 = 2 y n1 = 4
L2: 2y = 4x + 8 ⇒ y = 2x + 4 ⇒ m2 = 2 y n2 = 4
L3: 3y – 6x + 18 = 0 ⇒ y = 2x – 6 ⇒ m3 = 2 y n3 = – 6

Las rectas L1 y L2 son coincidentes porque m1= m2 y n1 = n2.
Las rectas L2 y L3 son paralelas no coincidentes porque m2= m3 y n2 ≠ n3. Por transitividad, también L1 y L3
son paralelas no coincidentes.

Rectas secantes: dos rectas en el plano son secantes si se intersecta en un solo punto, lo que implica que
tienen distinta pendiente. Pueden ser perpendiculares u oblicuas.

Rectas perpendiculares: dos rectas secantes serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual
a – 1. En otro caso, se denominan rectas oblicuas.

Ejemplo: determinar si las rectas L1: y = 2x + 5 y L2: 2y + x – 3 = 0 son perpendiculares entre sí.

Dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a – 1. Para reconocer sus
pendientes, debemos escribir las ecuaciones principales de las rectas, despejando y.

L1: y = 2x + 5 ⇒ m1 = 2

L2: 2y + x – 3 = 0 ⇒ y = –1 x + 3 ⇒ m2 = –1
2 2 2

Luego, el producto de las pendientes es m1 • m2 = 2 • –1 = – 1. CPECH
2

Por lo tanto, L1 ⊥ L2.

133

Capítulo3 Geometría

Análisis gráfico de las soluciones de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Una recta puede describirse mediante una ecuación de la recta. Determinar la solución de un sistema de
dos ecuaciones lineales con dos incógnitas equivale a determinar los valores (x, y) que satisfacen a ambas
ecuaciones, es decir, geométricamente, equivale a encontrar el punto de intersección de las rectas.

• Si las rectas son coincidentes, los puntos de intersección son infinitos. Es decir, el sistema de
ecuaciones tendrá infinitas soluciones.

• Si las rectas son paralelas no coincidentes, no habrá puntos de intersección. Es decir, el sistema de
ecuaciones no tendrá solución.

• Si las rectas son secantes (no son paralelas ni coincidentes), habrá un único punto de intersección de
las rectas. Es decir, el sistema de ecuaciones tendrá una única solución.

En la representación vectorial, también se puede determinar si dos rectas son coincidentes, paralelas no
coincidentes o perpendiculares.

Sean las rectas L1 y L2 en el plano, tal que:

L1: (x, y) = (x1, y1) + λ • → con λ variando en los reales

d1

L2: (x, y) = (x2, y2) + λ • d→2

Serán:

• Coincidentes si el vector director d→2 se puede obtener como ponderación del vector director d→1, es
decir, sus componentes son proporcionales y además L1 y L2 tienen al menos un punto en común.

• Paralelas no coincidentes si el vector director d→2 se puede obtener como ponderación del vector
director d→1 y además las rectas no tienen puntos en común.

• Perpendiculares si el producto punto entre los vectores directores → y → es 0. Es decir, si → = (a1, a2)
=
→ d1 d2 d1
b2 0.
y d2 = (b1, b2), entonces las rectas son perpendiculares si a1 • b1 + a2 •

CPECH

134

Matemática

Pregunta tipo PSU

Sea L1 una recta que pasa por los puntos (3, 1) y (0, 3), y L2 una recta que pasa por el punto (2, 1) y es
perpendicular a L1. El valor de la abscisa del punto de intersección entre L1 y L2 es

A) 30
13

B) 17
13

C) 19
13

D) 6
13

E) 32
13

Resolución

Como las rectas L1 y L2 son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es igual a – 1. Al
conocerse dos puntos para L1, (3, 1) y (0, 3), se determina la ecuación que contiene a estas coordenadas.
Si P1(3, 1) y P2(0, 3), entonces

y – y1 = y2 – y1 • (x – x1) ⇒ y – 1 = 3–1 • (x – 3) (Reemplazando)
x2 – x1 0–3

⇒ y – 1 = –2 • (x – 3) (Calculando)
3

⇒y–1= – 2x + 6 (Distribuyendo)
3

⇒y= – 2x + 6 + 1 (Sumando 1)
3

⇒y= – 2x + 9 (Calculando)
3

CPECH

135

3 Geometría

Capítulo Luego, la recta L1 tiene como ecuación y = – 2x + 9 , cuya pendiente es igual a –2 . Por lo tanto, para que
3 3

el producto entre la pendiente de L1 y L2 sea igual a – 1, la pendiente de la segunda recta debe ser igual a
3
2 . Al conocer la pendiente de L2, y sabiendo que contiene al punto (2, 1), entonces se puede determinar

su ecuación.

y – y1 = m • (x – x1) ⇒ y–1= 3 • (x – 2) (Reemplazando)
2 (Distribuyendo)

⇒ y– 1= 3x – 6
2

⇒ y= 3x – 6 +1 (Sumando 1)
2

⇒ y= 3x – 4 (Calculando)
2

Luego, la recta L2 tiene como ecuación y = 3x – 4 .
2

Para determinar el punto de intersección entre ambas rectas, es necesario realizar un sistema de

ecuaciones, ya que tanto el valor de x como el de y deben ser iguales en ambas ecuaciones. Como

L1: y = – 2x + 9 y L2: y = 3x – 4 , a partir del método por igualación se obtiene:
3 2

– 2x + 9 = 3x – 4 (Igualando)
3 2

2(– 2x + 9) = 3(3x – 4) (Amplificando)

– 4x + 18 = 9x – 12 (Distribuyendo)
(Sumando (4x + 12))
30 = 13x

30 = x (Dividiendo por 13)
13
Alternativa correcta:
Como se busca el valor de la abscisa y esta corresponde a la primera
A
coordenada, es decir, al valor de x, entonces este es igual a 30 .
13

CPECH

136

Matemática

3.4.3. Sistema tridimensional

Identificación y descripción de puntos en el espacio

Un punto en el espacio se puede determinar en función de ejes coordenados perpendiculares entre sí: el eje
de las abscisas o eje X, el eje de las ordenadas o eje Y y el eje de cotas o eje Z. El punto de intersección de los
tres ejes se denomina origen.

z

z1 P(x1, y1, z1) La posición de cada punto P(x1, y1, z1)
x1 y1 está determinada por su abscisa x1, su
ordenada y1 y su cota z1.

En la figura adjunta, con respecto al punto
P, la abscisa x1 indica cuántas unidades
se encuentra adelante (+) o atrás (–) del
origen; la ordenada y1 indica cuántas
unidades se encuentra a la derecha (+) o a
y la izquierda (–) del origen y la cota z1 indica
cuántas unidades se encuentra arriba (+) o
abajo (–) del origen.

x

Ejemplo: en la figura adjunta, las coordenadas del punto P son:

z P En la figura adjunta el punto P tiene coordenadas
12345 67 (2, 6, 6).
7
6 La abscisa x indica que el punto P se encuentra
5 2 unidades hacia adelante con respecto al origen.
4
3 La ordenada y indica que el punto P se encuentra
2 6 unidades a la derecha con respecto al origen.
1 y
La cota z indica que el punto P se encuentra 6
1 unidades arriba con respecto al origen.
43 2

x

CPECH

137

Capítulo3 Geometría

Distancia entre dos puntos en el espacio: para determinar la distancia entre dos puntos en el espacio
podemos hacer extensivo el cálculo de distancia entre dos puntos en el plano.
Sean dos puntos P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) en el espacio, es posible dibujar un paralelepípedo de caras paralelas
a los planos formados por los ejes, donde los vértices opuestos sean los puntos P y Q.
La distancia entre los puntos P y Q es igual a:

Distancia = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

d Q(x2, y2, z2) En el dibujo adjunto, la distancia entre P y Q es
a b = (z2 – z1) igual a d. Para ello, se debe determinar la medida
(x2 – x1) de a por el teorema de Pitágoras,
(y2 – y1)
P(x1, y1, z1) (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = a2

Por teorema de Pitágoras, a2 + b2 = d2. Entonces,

(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 = d2

Por lo tanto la distancia (d) entre los puntos
P(x1, y1, z1) y Q(x2, y2, z2) es igual a

d = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Ejemplo: la distancia entre los puntos P(3, 4, 5) y Q(6, 8, 10) es igual a:
Dados los puntos, aplicamos la fórmula de distancia en el espacio. Luego,

Distancia = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 = �(6 – 3)2 + (8 – 4)2 + (10 – 5)2
Distancia = �32 + 42 + 52 = �9 + 16 + 25 = �50 = 5�2

CPECH

138

Matemática

Pregunta tipo PSU

En la figura adjunta se presentan cuatro cubos congruentes entre sí de manera que poseen caras

en común, en un sistema de coordenadas de tres dimensiones. Si uno de los vértices de estos cubos

coincide con el origen del sistema de coordenadas, mientras que algunas de las aristas coinciden con

los ejes, y el vértice A tiene por coordenadas (3, 3, 3), entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) verdadera(s)? Z

I) Las coordenadas del vértice B son (3, 6, – 3). A

II) La distancia entre el vértice C y el origen es 3�6.
III) El triángulo ABC es isósceles en A.

A) Solo I Y
B) Solo II XB
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

Resolución C

Como el punto A tiene como ubicación las coordenadas (3, 3, 3), entonces la medida de cada una de las
aristas del cubo es de 3 unidades. Luego:

I) Verdadera, ya que para llegar al punto B se realizó un movimiento de tres unidades en dirección
positiva en el eje X, seguido de un desplazamiento de seis unidades en el sentido positivo del eje Y,
y por último un movimiento de tres unidades en el sentido negativo del eje Z. Es decir, el punto B se
encuentra ubicado en las coordenadas (3, 6, – 3).

II) Verdadera, ya que el punto C tiene por coordenadas (6, 3, – 3). Realizando el cálculo de distancia
entre el punto C y el punto (0, 0, 0):

dOC = �(6 – 0)2 + (3 – 0)2 + (– 3 – 0)2 = �62 + 32 + (– 3)2 = �36 + 9 + 9 = �54 = 3�6
III) Verdadera, ya que calculando las distancias entre A y B, y entre A y C:

dAB = �(3 – 3)2 + (6 – 3)2 + (– 3 – 3)2 = �02 + 32 + (– 6)2 = �0 + 9 + 36 = �45 = 3�5
dAC = �(6 – 3)2 + (3 – 3)2 + (– 3 – 3)2 = �32 + 02 + (– 6)2 = �9 + 0 + 36 = �45 = 3�5
Por lo tanto, I, II y III son verdaderas.

Alternativa correcta: CPECH

E

139

Capítulo3 Geometría

3.4.4. Ecuación de la recta en el espacio

Para definir una recta bastan dos puntos o un punto y un vector director.

Dados los puntos P0 (x0, y0, z0) y P1 (x1, y1, z1), la dirección de la recta que pasa por
dichos puntos queda determinada por un vector director

→d = (dx, dy, dz) = (x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0)
Para cada punto P(x, y, z) que pertenece a la recta, existe un número real λ tal que:

P = P0 + λ • →d

z
L

Luego, una recta que pasa por ambos puntos se →d P1(x1, y1, z1)
puede determinar mediante la siguiente ecuación P0(x0, y0, z0) y
vectorial:

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ • (dx, dy, dz),
con λ variando en los reales.

x

CPECH

140

Matemática

Ejemplo: dados los puntos Q(2, 5, 6) y R(– 1, 4, 5), determinar una ecuación vectorial de la recta que pasa por
dichos puntos.

Dados los puntos Q(2, 5, 6) y R(– 1, 4, 5), podemos determinar un vector director:

→

d = (dx, dy, dz) = (x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0) = (– 1 – 2, 4 – 5, 5 – 6) = (– 3, – 1, – 1)
Luego, considerando el punto Q(2, 5, 6) y el vector director →d = (– 3, – 1, – 1), una
ecuación vectorial de la recta es:

(x, y, z) = (2, 5, 6) + λ · (– 3, –1, – 1), con d variando en las redes.

Ejemplo: dada la recta considerada en el ejemplo anterior, determinar si el punto P(– 7, 2, 3) pertenece a dicha
recta.

Sea la ecuación vectorial (x, y, z) = (2, 5, 6) + λ • (– 3, – 1, – 1). Para determinar si el punto P(– 7, 2, 3) pertenece
a dicha recta, se deben reemplazar los valores de las coordenadas de P en la ecuación vectorial para

verificar si existe un número real λ que satisfaga la igualdad. Luego,

(– 7, 2, 3) = (2, 5, 6) + λ • (– 3, – 1, – 1)

Por componente, las igualdades son:

– 7 = 2 – 3λ El número real λ que satisface las tres ecuaciones es λ = 3.
2 = 5 – λ
3=6–λ

Por lo tanto, el punto P(– 7, 2, 3) pertenece a la recta.

CPECH

141

3 Geometría

Capítulo Pregunta tipo PSU

Sean A(– 3, 2, 5) y B(2, – 4, – 6) dos puntos en el espacio. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales
de la recta, con t variando en los números reales, contiene a los puntos A y B?

A) (x, y, z) = (– 3, 2, 5) + t(– 5, 6, – 11)
B) (x, y, z) = (– 3, 2, 5) + t(10, 12, – 22)
C) (x, y, z) = (5, – 6, – 11) + t(– 3, 2, 5)
D) (x, y, z) = (2, – 4, – 6) + t(– 10, 12, 22)
E) (x, y, z) = (2, – 4, – 6) + t(5, – 6, – 11)

Resolución

Para determinar la ecuación vectorial de una recta que pasa por los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) se
tiene:

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

O bien

(x, y, z) = (x2, y2, z2) + t (x1 – x2, y1 – y2, z1 – z2)

Con t variando en los números reales.

Cabe destacar que ambas formas son equivalentes, ya que se trata de rectas coincidentes en el espacio.
En este, las ecuaciones que se obtienen son:
(x, y, z) = (– 3, 2, 5) + t(5, – 6, – 11) y (x, y, z) = (2, – 4, – 6) + t(– 5, 6, 11). Es posible notar que las alternativas
A y B tienen como punto inicial a A, sin embargo, el vector director (que depende de t) no es factor de
(5, – 6, – 11), por lo que los puntos A y B no están contenidos en estas rectas. En el caso de la alternativa
C, la ecuación presentada no contiene a ninguno de los puntos. Para la alternativa D, el punto inicial
corresponde a B, además, el vector director t(– 10, 12, 22) es factor de (– 5, 6, 11), multiplicado por dos,
conteniendo esta ecuación los puntos A y B.

Una forma alternativa de evaluar la pertenencia de puntos a ecuaciones de la recta es convirtiendo la
ecuación vectorial en una paramétrica. Por ejemplo, para la alternativa D se tiene:

(x, y, z) = (2, – 4, – 6) + t(– 10, 12, 22)

x = 2 – 10t y = – 4 + 12t z = – 6 + 22t

Luego, se reemplazan los valores de cada coordenada a evaluar en la ecuación paramétrica y se despeja
el valor de t en cada una de ellas. Para el punto A(– 3, 2, 5), se tiene:

x = 2 – 10t y = – 4 + 12t z = – 6 + 22t

– 3 = 2 – 10t 2 = – 4 + 12t 5 = – 6 + 22t

t= –5 = 1 t= 6 = 1 t= 11 = 1 Alternativa correcta:
– 10 2 12 2 22 2
D
Como t tiene el mismo valor en las tres ecuaciones, significa que elCPECH
punto A pertenece a la recta. De manera análoga se llega a la misma
conclusión para el punto B.
142

Matemática

Al igual que en el plano, dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas no coincidentes o perpendiculares

Sean dos rectas L1 y L2, en el espacio, tal que:
L1: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ • d→1

→

L2: (x, y, z) = (x2, y2, z2) + k • d2

Serán:

◆ Coincidentes si el vector director pd→u2nsteopeunecdoemoúbnt.ener como ponderación del vector director d→1 y,
además, L1 y L2 tienen al menos un

◆ dPiarreaclteolrads→1nyo, acdoeinmcáids,elansterescstiaeslnvoetciteonrednirpeucntotor sd→e2nsceopmuúend.e obtener como ponderación del vector

◆ Perpendiculares si el producto punto entre los vectores directores d→1 y d→2 es 0. Es decir, si d→1 = (a1, a2, a3)
y d→2 = (b1, b2, b3), entonces las rectas son perpendiculares si a1 • b1 + a2 • b2 + a3 • b3 = 0.

Pregunta tipo PSU

Sea L una recta en el espacio. Se puede determinar que el punto (2, 4, 1) pertenece a L si se sabe que: CPECH

(1) L es paralela a la recta de ecuación (x, y, z) = (5, 3, 1) + α • (1, – 2, – 1).
(2) L es perpendicular a la recta de ecuación (x, y, z) = (2, 3, – 3) + β •(1, – 1, 3) en el punto (3, 2, 0).

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) o (2).
E) Se requiere información adicional.

Resolución

(1) L es paralela a la recta de ecuación (x, y, z) = (5, 3, 1) + α • (1, – 2, – 1). Con esta información no se
puede determinar que el punto (2, 4, 1) pertenece a L, ya que para que dos rectas sean paralelas
en el espacio, se debe cumplir que los vectores directores de cada recta sean proporcionales entre
sí. A partir de la ecuación entregada en este punto, solo es posible concluir que el vector director
de la recta L es de la forma k • (1, – 2, – 1), con k un número real. Como las rectas paralelas a la
recta entregada en esta información son infinitas, es necesario conocer al menos un punto que
pertenezca a la recta L para determinar su ecuación y así verificar que, efectivamente, el punto
solicitado pertenece a la recta L.

143

3 Geometría

Capítulo (2) L es perpendicular a la recta de ecuación (x, y, z) = (2, 3, – 3) + b • (1, – 1, 3) en el punto (3, 2, 0). Con
esta información no es posible determinar que el punto (2, 4, 1) pertenece a L, ya que para que
dos rectas sean perpendiculares en el espacio, se debe cumplir que la suma entre el producto
de las coordenadas respectivas de los vectores directores de estas dos rectas sea igual a cero, es
decir, x1 • x2 + y1 • y2 + z1 • z2 = 0. Si el vector director de la recta entregada es (1, – 1, 3) y si se supone
que el vector director de la recta L es (a, b, c), entonces se debe cumplir la relación anteriormente
mencionada, es decir, 1 • a + ( – 1) • b + 3 • c = 0, existiendo infinitos valores para estas incógnitas. Por
otra parte, se sabe que el punto (3, 2, 0) pertenece a ambas rectas, por lo que si la recta L pasa también
por el punto (d, e, f), entonces un vector director de esta recta sería (d – 3, e – 2, f – 0), entregando
también infinitas opciones para los distintos vectores directores que se pueden generar. Es decir,
existen en el espacio infinitas rectas perpendiculares a otra en un punto determinado.

Con ambas informaciones a la vez sí es posible determinar que el punto (2, 4, 1) pertenece a L, ya que
al ser paralela a la recta de la primera información, se puede tomar como vector director a (1, – 2, – 1),
además, considerando que esta recta es perpendicular a la recta del segundo enunciado en el
punto (3, 2, 0), entonces es posible generar una ecuación vectorial para la recta L. Si la recta L pasa
por el punto (3, 2, 0) y tiene vector director (1, – 2, – 1), entonces:

(x, y, z) = (3, 2, 0) + γ • (1, – 2, – 1)

Si γ es igual a – 1, entonces:

(x, y, z) = (3, 2, 0) + (– 1) • (1, – 2, – 1) Alternativa correcta:
⇒ (x, y, z) = (3, 2, 0) + (– 1, 2, 1)
⇒ (x, y, z) = (3 – 1, 2 + 2, 0 + 1) C
⇒ (x, y, z) = (2, 4, 1)

Es decir, la recta L contiene al punto (2, 4, 1) gracias a
ambas informaciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es: Ambas juntas.

CPECH

144

Matemática

3.4.5. Ecuación del plano en el espacio

Por tres puntos distintos no colineales en el espacio pasa un único plano. Dos rectas que se intersectan en
un punto, determinan un único plano. Sean los puntos P0(x0, y0, z0), P1 (x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2), se puede
determinar el plano que pasa por dichos puntos:

→d P1 Cada punto P(x, y, z) del plano π satisface la ecuación
P0 →v vectorial del plano:

π π: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ • d→ + μ • →v

Para determinados λ y μ número reales.
P2

Donde d→ y →v son vectores directores del plano.
Dados los puntos P0, P1, P2, son vectores directores:

d→ = P0 P1 y →v = P0 P2

Para determinar una ecuación cartesiana del plano, se debe reemplazar los puntos P0, P1 y P2 en la ecuación

A •x+ B •y+ C • z + 1 = 0, con lo que obtenemos tres ecuaciones con las que podemos determinar
D D D

A , B y C .
D D D

Al multiplicar por algún D distinto de cero quedará una ecuación cartesiana del plano de la forma:

Ax + By + Cz + D = 0, con A, B, C y D números reales.

Ejemplo: determinar la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos P(2, 3, 4), Q(4, 6, 1) y R(– 1, – 3, – 5). CPECH
Dados los puntos P(2, 3, 4), Q(4, 6, 1) y R(– 1, – 3, – 5), podemos determinar los vectores directores:
d→ = (4 – 2, 6 – 3, 1 – 4) = (2, 3, – 3)
→v = (– 1 – 2, – 3 – 3, – 5 – 4) = (– 3, – 6, – 9)
Luego, considerando el punto P y los vectores directores d→ y →v , una ecuación vectorial del plano es:
π: (x, y, z) = (2, 3, 4) + λ(2, 3, – 3) + μ(– 3, – 6, – 9), con λ y μ variando en los reales.

145

3 Geometría

Capítulo Ejemplo: dada la ecuación vectorial del plano del ejemplo anterior, determinar si el punto S(– 5, 3, –11) pertenece
a dicho plano.

Sea la ecuación vectorial del plano π: (x, y, z)= (2, 3, 4) + λ (– 2, 3, – 3) + μ (– 3, – 6, – 9). Para determinar si el
punto S(– 5, 3, – 11) pertenece a dicho plano, se debe reemplazar para verificar si existen números reales λ
y μ que satisfagan la igualdad. Luego,

(– 5, 3, – 11) = (2, 3, 4) + λ (– 2, 3, – 3) + μ (– 3, – 6, – 9).

Por componente, las igualdades son:

– 5 = 2 – 2λ – 3μ Para λ = 2 y μ = 1, se satisfacen las ecuaciones.
3 = 3 + 3λ – 6μ

– 11 = 4 – 3λ – 9μ

Por lo tanto, el punto S(– 5, 3, – 11) pertenece al plano.

Del mismo modo que las rectas, dos planos pueden ser coincidentes, paralelos no coincidentes o
perpendiculares. Vectorialmente, los criterios para determinarlo son los mismos que se utilizan para las rectas
en tres dimensiones.

En la representación cartesiana, los criterios son los siguientes:

Sean dos planos P1 y P2, en el espacio, tal que:

P1: A1 + B1y + C1z + D1 = 0
P2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Serán:

• Coincidentes si A1 = B1 = C1 = D1 .
A2 B2 C2 D2

• Paralelas no coincidentes si A1 = B1 = C1 ≠ D1 .
A2 B2 C2 D2

• Perpendiculares si A1 • A2 + B1 • B2 + C1 • C2 = 0.

CPECH

146

Matemática

3.5. Cuerpos geométricos

Los cuerpos geométricos son objetos de tres dimensiones limitados por caras o superficies finitas. Si las caras
son polígonos, los cuerpos se denominan poliedros. Si tienen al menos una cara curva, entonces los cuerpos
se denominan cuerpos redondos.

Área total de un cuerpo geométrico: es igual a la suma de las áreas de sus caras.

Volumen de un cuerpo geométrico: el volumen o capacidad es la medida del espacio que ocupa. Las
unidades de medida de volumen más frecuente son metros cúbicos (m3), centímetros cúbicos (cm3) o litros (L).

3.5.1. Poliedros:

Son los cuerpos geométricos formados por caras poligonales. El cubo, el paralelepípedo, el prisma y la
pirámide son ejemplos de poliedros.

Elementos de un poliedro:

◆ Caras: superficies planas que limitan un poliedro.
El conjunto de las caras define un espacio interior,
cuyo volumen es el volumen del poliedro.

◆ Arista: es la intersección de dos caras contiguas.
◆ Vértices: son los puntos de intersección de tres o

más aristas. Son las “esquinas” del poliedro.

Cubo: es un poliedro formado por 6 caras cuadradas congruentes. Las caras contiguas son perpendiculares
entre sí y las caras opuestas son paralelas entre sí.

arista (a)

Un cubo tiene 6 caras, 8 vértices y 12 aristas.

arista (a)

arista (a)

Área total = 6 • (arista2) CPECH

Volumen = arista3 147

Como las caras son cuadradas congruentes, el área de cada cara es (arista2). Como son 6 caras cuadradas
congruentes, el área total es igual a (6 • arista2).

El volumen del cubo es igual al área de la base (arista2) por la altura (arista). Luego, el volumen del cubo
es igual a (arista3).

Capítulo3 Geometría

Ejemplo: dado un cubo cuya arista mide 5 cm, el área y el volumen del cubo es igual a:

El área y el volumen del cubo se pueden determinar en función de la arista. Si la arista mide 5 cm,
áreacubo = 6 • (arista2) = 6 • (5 cm)2 = 6 • 25 cm2 = 150 cm2
volumencubo =(arista)3 = (5 cm)3 = 125 cm3

Aplicando el teorema de Pitágoras en el cubo, es posible
determinar la medida de la diagonal de cara y de la diagonal
del cubo.

d2 a Diagonal de cara: arista • �2
a Diagonal de cubo: arista • �3
d1
a Sea d1 la diagonal de cara. Por teorema de Pitágoras, d1 = a �2.
Sea d2 la diagonal de cubo. Considerando el triángulo
rectángulo de catetos d1 y a e hipotenusa d2, aplicando el
teorema de Pitágoras, d2 = a �3 .

Ejemplo: dado el mismo cubo cuya arista mide 5 cm, la diagonal de una cara y la diagonal del cubo es igual a:

La diagonal de cara y la diagonal de cubo se pueden determinar en función
de la arista. Si la arista mide 5 cm,
diagonalcara = arista • �2 = 5�2 cm
diagonalcubo = arista • �3 = 5�3 cm

CPECH

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