MATEMATICA_2018

Matemática

■ Método de sustitución: se despeja una de las variables en una de las ecuaciones, se reemplaza la expresión
resultante en la otra ecuación y se resuelve. En el ejemplo, despejando y en la primera ecuación, queda

y = 4x + 1. Reemplazando dicha expresión en la segunda ecuación resulta:

2x + 3(4x + 1) = 5 (Distribuyendo)
2x + 12x + 3 = 5 (Ordenando)
(Reduciendo)
2x + 12x = 5 – 3 (Despejando)
14x = 2

x = 2 = 1
14 7

Para encontrar el valor de y se reemplaza el valor encontrado de x en la expresión despejada. Entonces,

reemplazando x = 1 en la expresión despejada, queda y = 4x + 1 = 4 • 1 +1= 4+7 = 11 .
7 7 7 7

( ) la solución del sistema es x = 1 e y= 11
Luego, utilizando cualquiera de los tres métodos, . 7 7 , o bien la

solución del sistema corresponde al punto 1 , 11
7 7

Pregunta tipo PSU

Isabel es doce años mayor que su hermana Carla. Si dentro de cuatro años la edad de Isabel será el doble
de la edad de Carla, entonces ¿cuál será la edad de Isabel dentro de cuatro años?

A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26

Resolución

En el enunciado se desconocen las edades de estas dos hermanas, por lo que es necesario formular dos
ecuaciones y así generar un sistema. Llamaremos x a la edad actual de Isabel e y a la edad actual de Carla.

Sabemos que Isabel es 12 años mayor que su hermana, por lo tanto x = y + 12 (1). Por otra parte, en 4 años
más Isabel duplicará en edad a su hermana, es decir, x + 4 = 2 • (y + 4) (2). Entonces, se obtiene el siguiente
sistema de ecuaciones:

x = y + 12 (1)
x + 4 = 2 • (y + 4) (2)

CPECH

49

2 Álgebra

Capítulo Utilizando el método de sustitución ((1) en (2)):

(y + 12) + 4 = 2 • (y + 4) (Desarrollando) Alternativa correcta:
y + 16 = 2y + 8 (Restando 8)
(Restando y) D
y + 16 – 8 = 2y + 8 – 8 (Calculando)
y + 8 – y = 2y – y
8 = y

Es decir, la edad de Carla es 8 años. Como Isabel es doce años mayor,
entonces actualmente tiene 20 años, esto es, dentro de cuatro años
tendrá 24.

2.3. Ecuaciones de segundo grado

2.3.1. Análisis del discriminante

Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) con una incógnita contiene solo una variable desconocida,
cuyo máximo exponente es 2. Para analizarla y resolverla, se deben seguir las mismas reglas de ordenamiento y
reducción de las ecuaciones lineales, pero dejando todos los términos a un lado de la igualdad, de modo que la
ecuación quede de la forma ax2 + bx + c = 0, con a, b y c coeficientes numéricos o literales conocidos (con a ≠ 0)
y x la variable desconocida (incógnita).

Toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones (o raíces), y la naturaleza de estas soluciones se puede
determinar sin necesidad de resolverla, mediante un parámetro llamado discriminante, representado por el
símbolo Δ. El discriminante de una ecuación ax2 + bx + c = 0 es igual a Δ = b2 – 4ac y su análisis es:

◆ Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene soluciones reales y distintas.
◆ Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene soluciones reales e iguales.
◆ Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación tiene soluciones complejas no reales y conjugadas.

Por ejemplo, el discriminante de la ecuación 3x2 – 2x + 1 = 0 (con a = 3, b = – 2 y c = 1) es
Δ = (– 2)2 – 4 • 3 • 1 = 4 – 12 = – 8, lo que significa que la ecuación tiene soluciones complejas no reales y
conjugadas.

2.3.2. Resolución de ecuaciones de segundo grado

Las soluciones x1 y x2 de una ecuación ax2 + bx + c = 0, (con a ≠ 0) se determinan mediante la expresión

– b ± �b2 – 4ac , lo que significa que x1 = – b + �b2 – 4ac y x2 = – b – �b2 – 4ac . Por ejemplo:
2a 2a 2a

◆ Las soluciones de la ecuación 3x2 – 2x + 1 = 0 (con a = 3, b = – 2 y c = 1) son

CPECH x1 = – b + �b2 – 4ac = – (– 2) + �(– 2)2 – 4 • 3 • 1 = 2 + �4 – 12 = 2 + �– 8 = 2 + 2�2i = 1 + �2i
2a 2•3 6 6 6 3

50

Matemática

x2 = –b – �b2 – 4ac = – (– 2) – �(– 2)2 – 4 • 3 • 1 = 2 – �4 – 12 = 2 – �– 8 = 2 – 2�2i = 1 – �2i
2a 2•3 6 6 6 3

◆ Las soluciones de la ecuación 6x2 – x – 12 = 0 (con a = 6, b = – 1 y c = – 12) son

x1 = – b + �b2 – 4ac = – (– 1) + �(– 1)2 – 4 • 6 • (– 12) = 1 + �1 + 288 = 1 + �289 = 1 + 17 = 18 = 3
2a 2•6 12 12 12 12 2

x2 = – b – �b2 – 4ac = – (– 1) – �(– 1)2 – 4 • 6 • (– 12) = 1 – �1 + 288 = 1 – �289 = 1 – 17 = – 16 = –4
2a 2•6 12 12 12 12 3

◆ Las soluciones de la ecuación – 9x2 + 12x – 4 = 0 (con a = – 9, b = 12 y c = – 4) son

x1 = – b + �b2 – 4ac = – 12 + �122 – 4 • (– 9) • (– 4) = – 12 + �144 – 144 = – 12 + �0 = – 12 + 0 = – 12 = 2
2a 2 • (– 9) – 18 – 18 – 18 – 18 3

x2 = – b – �b2 – 4ac = – 12 – �122 – 4 • (– 9) • (– 4) = – 12 – �144 – 144 = – 12 – �0 = – 12 – 0 = – 12 = 2
2a 2 • (– 9) – 18 – 18 – 18 – 18 3

En caso de que una ecuación de segundo grado pueda factorizarse como un trinomio de la forma:
(x2 + mx + p) = (x – x1) • (x – x2), entonces las soluciones de la ecuación son x1 y x2.

Por ejemplo, en la ecuación x2 – 2x – 15 = 0 , el trinomio puede factorizarse como (x – 5) • (x + 3) = 0. Luego, las
soluciones de la ecuación son x1 = 5 y x2 = – 3.

Conceptos
fundamentales

Si las soluciones de una ecuación ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, son x1 y x2, entonces se cumple que

(x1 + x2) = –b y (x1 • x2) = c .
a a

CPECH

51

2 Álgebra

Capítulo Pregunta tipo PSU

Se sabe que el número complejo (3 – 2i) es una de las soluciones de la ecuación x2 + bx + c = 0, con b y c
números reales. ¿Cuál de las siguientes parejas de números corresponden a b y c, respectivamente?

A) – 6 y – 13
B) – 4 y – 13
C) 6 y – 13
D) 4 y 13
E) – 6 y 13

Resolución

Como se sabe que (3 – 2i) es una de las soluciones de una ecuación cuadrática, entonces la otra solución
debe ser el conjugado de dicho número complejo, es decir, (3 + 2i).

Sean x1 = 3 – 2i y x2 = 3 + 2i las soluciones de la ecuación x2 + bx + c = 0.
Luego:

x1 + x2 = –b ⇒ (3 – 2i) + (3 + 2i) = –b ⇒ 6=–b ⇒ b=–6 Alternativa correcta:
a 1
E
x1 • x2 = c ⇒ (3 – 2i) • (3 + 2i) = c ⇒ 9 + 4 = c ⇒ c = 13
a 1

Por lo tanto, los valores de b y c, respectivamente, son – 6 y 13.

2.4. Desigualdades, inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado

2.4.1. Desigualdades

Una desigualdad es una relación de orden entre dos números. Se llama desigualdad estricta si los números
deben ser necesariamente distintos (como “menor que”, representado por el símbolo <, o “mayor que”,
representado por el símbolo >) o desigualdad no estricta si los números pueden ser iguales (como “menor o
igual que”, representado por el símbolo ≤, o “mayor o igual que”, representado por el símbolo ≥).
Algunas propiedades de las desigualdades son:

■ Si en una desigualdad se suma o se resta un número real a ambos lados de la desigualdad, entonces la
desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si a > b, entonces a – 3 > b – 3.

■ Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real positivo a ambos lados de la desigualdad,

entonces la desigualdad mantiene su sentido. Por ejemplo, si a ≤ b, entonces a ≤ b .
4 4

CPECH ■ Si en una desigualdad se multiplica o se divide por un número real negativo a ambos lados de la desigualdad,
entonces la desigualdad invierte su sentido, manteniendo su nivel de restricción. Por ejemplo, si a ≥ b,
entonces – 5a ≤ – 5b.

52

Matemática

■ Un intervalo real es una porción de la recta numérica definida por desigualdades. Se representan
algebraicamente con paréntesis cuadrados, que se orientan hacia afuera si la desigualdad es estricta
y hacia adentro si la desigualdad no es estricta, y se representan gráficamente con el sombreado del
intervalo, con un círculo blanco si la desigualdad es estricta y un círculo negro si la desigualdad no es
estricta. Los intervalos que no están restringidos por algún lado indican que sus valores se extienden hasta
el infinito, representado por el símbolo ∞. Por ejemplo:

◆ El intervalo x < a se representa algebraicamente como ]– ∞, a[ y gráficamente como
–∞

a

◆ El intervalo x ≤ a se representa algebraicamente como ]– ∞, a] y gráficamente como
–∞

a

◆ El intervalo x > a se representa algebraicamente como ]a, + ∞[ y gráficamente como
+∞

a

◆ El intervalo x ≥ a se representa algebraicamente como [a, + ∞[ y gráficamente como
+∞

a

◆ El intervalo a < x < b se representa algebraicamente como ]a, b[ y gráficamente como


ab

◆ El intervalo a ≤ x < b se representa algebraicamente como [a, b[ y gráficamente como


ab

◆ El intervalo a < x ≤ b se representa algebraicamente como ]a, b] y gráficamente como


a b

◆ El intervalo a ≤ x ≤ b se representa algebraicamente como [a, b] y gráficamente como


ab

CPECH

53

Capítulo2 Álgebra

2.4.2. Inecuaciones de primer grado

Una inecuación es una desigualdad de expresiones algebraicas que involucra valores desconocidos
(incógnitas) y valores conocidos (numéricos o literales), donde resolverla consiste en encontrar el o los
intervalo(s) que logra(n) que la desigualdad sea verdadera.

Una inecuación de primer grado (o inecuación lineal) con una incógnita contiene solo una variable
desconocida, elevada a 1 (o sea, sin exponente visible). Para resolverla, se deben seguir las siguientes reglas:

■ Reducir hasta donde sea posible las expresiones algebraicas a cada lado de la desigualdad.

■ Sumar o restar los mismos términos a ambos lados de la desigualdad, de manera que en uno de los
lados queden solo términos que posean la incógnita y al otro lado términos que no la posean.

■ Volver a reducir las expresiones algebraicas a cada lado de la desigualdad, de modo que la inecuación
quede de la forma ax < b, ax > b, ax ≤ b o ax ≥ b, con a y b coeficientes numéricos o literales conocidos y x
la variable desconocida (incógnita).

Si a = 0 y la desigualdad que resulta es verdadera, entonces la inecuación tiene infinitas soluciones (es
decir, la solución son los reales). Si a = 0 y la desigualdad que resulta es falsa, entonces la inecuación no
tiene solución (es decir, la solución es conjunto vacío, representada por el símbolo ∅).

Si a > 0, entonces se despeja x dividiendo por a, manteniendo el sentido de la desigualdad.
Si a < 0, entonces se despeja x dividiendo por a, invirtiendo el sentido de la desigualdad. Por ejemplo:

■ 3x – 15 > 5x + 7 (Restando 5x y sumando 15 a cada lado de la igualdad)

3x – 5x > 7 + 15 (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad)

– 2x > 22 (Dividiendo por (– 2))

x < – 11 –∞
Es decir, el intervalo solución es ]– ∞, – 11[, o bien,

– 11

■ 4x + 10 ≥ x – 2 (Restando x y restando 10 a cada lado de la igualdad)
4x – x ≥ – 2 – 10 (Reduciendo términos a cada lado de la igualdad)
3x ≥ – 12 (Dividiendo por 3)
x ≥ – 4
+∞
Es decir, el intervalo solución es [– 4, + ∞[, o bien,

–4

CPECH

54

Matemática

Pregunta tipo PSU

¿Cuál(es) de las siguientes inecuaciones tiene(n) como conjunto solución a los valores representados en
el gráfico adjunto?

I) 3x – 7 ≤ 3 + x –∞
5
II) 11 – 3x ≤ – 4
x
III) 3≤4– 5

A) Solo I
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

Resolución

El gráfico adjunto indica todos los valores que son menores o igual que 5, es decir, x ≤ 5. Desarrollando
cada una de las inecuaciones:

I) 3x – 7 ≤ 3 + x (Sumando 7)
(Restando x)
3x – 7 + 7 ≤ 3 + x + 7 (Dividiendo por 2)

3x – x ≤ 10 + x – x

2x ≤ 10
2 2

x ≤ 5

Por lo tanto, sí tiene como conjunto solución a los valores representados en el gráfico.

II) 11 – 3x ≤ – 4

11 – 3x – 11 ≤ – 4 – 11 (Restando 11)

– 3x ≤ – 15 (Calculando)

3x ≥ 15 (Multiplicando por – 1)
(Dividiendo por 3)
3x ≥ 15
3 3

x ≥ 5

CPECH

55

2 Álgebra

Capítulo Por lo tanto, no tiene como conjunto solución a los valores representados en el gráfico.

III) 3 ≤ 4 – x
5
5• x
3 • 5 ≤ 4 • 5 – 5 (Multiplicando por 5)

15 ≤ 20 – x (Calculando)

15 – 20 ≤ 20 – x – 20 (Restando 20) Alternativa correcta:
– 5 ≤ – x (Multiplicando por – 1)
5 ≥ x C


Por lo tanto, sí tiene como conjunto solución a los valores
representados en el gráfico.

2.4.3. Sistemas de inecuaciones de primer grado

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones lineales
con la misma incógnita, cuyo intervalo solución corresponde a la intersección de los intervalos solución de las
inecuaciones involucradas. Por ejemplo:

■ En el sistema de inecuaciones 2x + 3 < 11 los intervalos solución son
3x – 4 ≥ – 1

2x + 3 < 11 ⇒ 2x < 11 – 3 ⇒ 2x < 8 ⇒ x < 4

3x – 4 ≥ – 1 ⇒ 3x ≥ – 1 + 4 ⇒ 3x ≥ 3 ⇒ x ≥ 1

Luego, se representan gráficamente como – ∞ +∞

14

Por lo tanto, los intervalos se intersectan en el intervalo 1 ≤ x < 4, por lo cual la solución del sistema de

inecuaciones es [1, 4[, o bien,
14

■ En el sistema de inecuaciones 5x – 1 > – 6 los intervalos solución son
3–x ≥ 5

5x – 1 > – 6 ⇒ 5x > – 6 + 1 ⇒ 5x > – 5 ⇒ x > – 1

3–x≥5 ⇒ –x≥5–3 ⇒ –x≥2 ⇒ x≤–2

Luego, se representan gráficamente como

–∞ +∞

–2 –1CPECH
Por lo tanto, los intervalos no se intersectan, entonces la solución del sistema de inecuaciones es vacía (∅).
56

Matemática

Pregunta tipo PSU

Dadas las inecuaciones 11 ≥ 5 – 3x y 5x – 2 < 6 + 3x, ¿cuál de los siguientes intervalos corresponde a
todos los valores de x que satisfacen de manera simultánea a ambas inecuaciones?

A) [– 2, 4[
B) [2, 4[
C) [– 4, – 2[
D) ]– 4, 2]
E) ∅

Resolución

Desarrollando cada una de las inecuaciones:

(1) 11 ≥ 5 – 3x

11 – 5 ≥ 5 – 3x – 5 (Restando 5)

6 ≥ – 3x (Calculando)

– 6 ≤ 3x (Multiplicando por – 1)
(Dividiendo por 3)
–6 ≤ 3x
3 3

– 2 ≤ x

(2) 5x – 2 < 6 + 3x

5x – 2 + 2 < 6 + 3x + 2 (Sumando 2)

5x – 3x < 8 + 3x – 3x (Restando 3x)

2x < 8 (Calculando)
(Dividiendo por 2)
2x < 8
2 2

x < 4 Alternativa correcta:

Intersectando los conjuntos soluciones obtenidos en (1) y (2): A

x ∈ [– 2, + ∞[ ∩ ]– ∞, 4[ ⇒ x ∈ [– 2, 4[

CPECH

57

2 Álgebra

Capítulo 2.5. Conceptos generales, evaluación y gráfico de funciones

2.5.1. Teoría, dominio y recorrido de funciones

Una función matemática es una relación entre un conjunto de partida y un conjunto de llegada, de manera

que cada elemento del conjunto de partida está relacionado con un solo elemento del conjunto de llegada.

Uy nlaavfaurnicaibólnesdeerpeepnredsieennttaee. nPogreenjeemralpcloo,nf(lxa)l=etrxa–xq3ueof,btiaelnqyu=e f(xx) = y, siendo x la variable independiente e
x– 3 .

Evaluar una función consiste en tomar un elemento a perteneciente al conjunto de partida y reemplazarlo en

una función f, obteniendo un elemento b perteneciente al conjunto de llegada. Este proceso xse representa
–3 , entonces
como f(a) = b, y se dice que a es la preimagen de b y b es la imagen de a. Por ejemplo, si f(x) = x
y la imagen de – 2.
f(– 2) = –2 = –2 = 2 ; significa que – 2 es la preimagen de 2 2 es
–2–3 –5 5 5 5

El conjunto de todas las preimágenes de una función f se denomina el dominio de la función (o Dom f) y por

definición coincide con el conjunto de partida. Para determinar el dominio de una función y = f(x) en los reales

se debe tomar el conjunto Iℝ como base, descartándose aquellos valores que no pueden ser evaluados en la

función, dadas las restricciones algebraicas que tenga. Por ejemplo, en la función f(x) = x se puede evaluar
x–3

cualquier valor real excepto el 3, ya que con ese valor el denominador se hace 0 y la fracción se indetermina.

Luego, el dominio de la función f(x) = x en los reales es Dom f = Iℝ – {3}.
x–3

El conjunto de todas las imágenes de una función f se denomina el recorrido de la función (o Rec f) y no

necesariamente coincide con el conjunto de llegada (que en general corresponde al conjunto Iℝ). Para

determinar el recorrido de una función y = f(x) en los reales primero se debe despejar x en términos de y.

Luego, considerando la expresión que resulte, se debe tomar el conjunto Iℝ como base, descartándose

aquellos valores que no puede tomar la variable dependiente, dadas las restricciones algebraicas que tenga.

Por ejemplo, despejando x en la función f(x) = x resulta:
x–3

y= x ⇒ y • (x – 3) = x ⇒ xy – 3y = x ⇒ xy – x = 3y ⇒ x • (y – 1) = 3y ⇒ x= 3y
x–3 y–1

En dicha expresión la variable dependiente puede tomar cualquier valor real excepto el 1, ya que con ese valor

el denominador se hace 0 y la fracción se indetermina. Luego, el recorrido de la función f(x) = x en los
reales es Rec f = Iℝ – {1}. x–3

Si una función tiene un dominio y un recorrido discreto y con pocos elementos, se puede representar mediante
un diagrama sagital, con flechas representando las relaciones. Sin embargo, si la función está definida en los
reales, lo más práctico es representarla mediante un gráfico, donde cada relación f(a) = b puede ser considerada
como un par ordenado (a, f(a)) o (a, b), el cual puede ser ubicado en el plano cartesiano. Para cada una de las
funciones que se analizarán posteriormente se revisará su gráfico particular.

CPECH

58

Matemática

Pregunta tipo PSU

Respecto a la función real f(x) = 3x – 9 , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
x+3

I) El dominio de f es IR – {3}.
II) Su representación gráfica intersecta al eje Y en el punto (0, – 3).
III) La preimagen de 2 es 15.

A) Solo II
B) Solo III
C) Solo I y II
D) Solo II y III
E) I, II y III

Resolución

La función f(x) = 3x – 9 no está definida para todos los reales, ya que al corresponder a una fracción, la
x+3

variable no puede tomar ningún valor que permita que el denominador sea igual a cero. Por lo tanto:

I) Falso, ya que en la función sí existe una imagen para 3. El dominio de la función son todos los
números reales, a excepción del – 3, ya que al ser x este valor, dicha fracción se indefine.

II) Verdadero, ya que la gráfica asociada a una función cortará el eje Y en el valor que toma la función
cuando se evalúa en cero. Es decir, cortará en el punto (0, f(0)). Evaluando en cero:

f(0) = 3•0–9 = –9 = – 3. Luego, corta al eje Y en el punto (0, – 3).
0+3 3

III) Verdadero, ya que si se evalúa la función en 15 (que correspondería Alternativa correcta:
a la preimagen), se obtiene como resultado el 2 (que correspondería
a la imagen): D

f(15) = 3 • 15 –9 = 36 =2
15 + 3 18

CPECH

59

2 Álgebra

Capítulo 2.6. Funciones de comportamiento lineal

2.6.1. Función afín

Una función afín tiene la forma y = f(x) = mx + n, con x en los reales, m y n números reales distintos de cero.
Su dominio es Iℝ, su recorrido es Iℝ y su gráfico corresponde a una línea recta que no es paralela con ninguno
de los ejes y que no pasa por el origen.

El parámetro m se conoce como pendiente de la función (o de la recta) y determina la tasa de crecimiento
o de decrecimiento de la función, mientras que gráficamente indica la inclinación de la recta con respecto al
eje X, de modo que a mayor valor absoluto de la pendiente mayor es la inclinación de la recta con respecto a
dicho eje. El signo de la pendiente determina si la función es creciente (pendiente positiva) o decreciente
(pendiente negativa).

El parámetro n se conoce como coeficiente de posición de la recta asociada a una función afín y determina
la intersección de la misma con el eje Y. Existen cuatro casos de gráfico posibles que pueden representar a una
función afín, con x en los reales:

Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)
Coeficiente de posición positivo (n > 0) Coeficiente de posición positivo (n > 0)

y y

xx

Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)
Coeficiente de posición negativo (n < 0) Coeficiente de posición negativo (n < 0)

y y

xx

Existe un caso especial de función de comportamiento lineal que no depende de x llamada funciónCPECH
constante, que tiene la forma y = f(x) = n, con n un número real. Su dominio es Iℝ, su recorrido es {n} y su
gráfico corresponde a una línea recta paralela al eje X, que intersecta al eje Y en n.

60

Matemática

2.6.2. Función lineal

Una función lineal tiene la forma y = f(x) = mx, con x en los reales y m un número real distinto de cero. Su
dominio es Iℝ, su recorrido es Iℝ y su gráfico corresponde a una línea recta que no es paralela con ninguno de
los ejes y que pasa por el origen del plano cartesiano.

Al igual que en la función afín, el parámetro m es la pendiente de la función (o de la recta) y su análisis es el
mismo que se realizó anteriormente. Luego, existen dos casos de gráfico posibles para representar una función
lineal, con x en los reales:

Pendiente positiva (m > 0) Pendiente negativa (m < 0)
y y

xx

2.6.3. Proporción directa

Dos variables son directamente proporcionales si al aumentar (o disminuir) una de ellas en una cierta razón,
la otra también aumenta (o disminuye) en la misma razón. Por ejemplo, la cantidad de artículos de un mismo
tipo que se compran es directamente proporcional al precio total que se paga.

Dos variables directamente proporcionales se pueden considerar como una función lineal de pendiente
positiva, para x mayores que cero, en la cual la pendiente m es la constante de proporcionalidad. Por ejemplo,
para el caso anterior, si cada artículo comprado cuesta $ 100, entonces el precio P(x) en pesos que se paga al
comprar x artículos es P(x) = 100x.

En general, cualquier situación de comportamiento lineal se puede modelar como función si se considera la
parte constante como el coeficiente de posición y la parte variable como la pendiente. Por ejemplo, si en una
fábrica se paga un costo fijo de $ 20.000 más un costo de $ 3.000 por cada artículo que se produce, entonces la
función C(x) que representa el costo, en pesos, de producir x artículos es C(x) = 20.000 + 3.000x.

CPECH

61

2 Álgebra

Capítulo Pregunta tipo PSU

La biblioteca de un liceo puede prestar libros como máximo por una semana a los estudiantes, y luego
de finalizado ese plazo se debe cancelar $200 por cada día de retraso. Si S(x) es el valor en pesos que
debe pagar un estudiante que tuvo un libro durante x días, con x > 7, ¿cuál de las siguientes expresiones
es igual a S(x)?

A) 1.400x – 200
B) 200x – 700
C) 200x
D) 200x – 1.400
E) 1.400x + 200

Resolución

Según el enunciado, se sabe que a partir del octavo día se comenzará a cancelar $200 por cada día de
retraso, o sea que el día 8 pagará $200. Por otra parte, el noveno día cancelará $400, es decir, el día 9
pagará $400. Como el comportamiento es lineal, con los pares ordenados (8, 200) y (9, 400) podremos
determinar la expresión equivalente a S(x).

Si x1 = 8 e y1 = 200, entonces x2 = 9 e y2 = 400. Luego:

y – y1 = y2 – y1 • (x – x1) ⇒
x2 – x1

y – 200 = 4090 –– 8200 • (x – 8) ⇒ (Reemplazando)

y – 200 = 200(x – 8) ⇒ (Desarrollando)

y – 200 = 200x – 1.600 ⇒ (Distribuyendo) Alternativa correcta:
y = 200x – 1.400 (Sumando 200)
D

Por lo tanto, S(x) = 200x – 1.400

CPECH

62

Matemática

2.7. Funciones de comportamiento exponencial

2.7.1. Función exponencial

Una función exponencial tiene la forma y = f(x) = b • ax, con x en los reales, a un número real positivo distinto
de 1 y b un número real distinto de 0. Su dominio es Iℝ y su recorrido es Iℝ+ si b > 0 o Iℝ– si b < 0. Su gráfico
corresponde a una línea curva asintótica al eje X, que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a.
Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función exponencial, con x en los reales:

a>1 y a>1 y
b>0 b<0

xx

y 0<a<1 y 0<a<1
b>0 b<0

x x

En casos reales, si a > 1 y b > 0, entonces corresponde a una situación de crecimiento exponencial. Por ejemplo,
si una colonia de microorganismos se triplica cada una hora e inicialmente había 100 de ellos, entonces la
función P(x) que representa la cantidad de microorganismos que habrá al cabo de x horas es P(x) = 100 • 3x.

Por otro lado, si 0 < a < 1 y b > 0, entonces corresponde a una situación de decrecimiento exponencial. Por

ejemplo, si un elemento químico pierde la cuarta parte de su masa cada un mes e inicialmente había 800 gramos

de él, entonces la función Q(x) que representa la masa, en gramos, del elemento al cabo de x meses es
( )Q(x) = 800 •
3 x
4
.

Una ecuación exponencial corresponde a una igualdad de expresiones algebraicas que tiene la incógnita en

el exponente. Si ambos lados de la igualdad tienen igual base, entonces se igualan exponentes y se despeja.

Por ejemplo, 73x – 1 = 7x + 4 ⇒ 3x – 1=x+4 ⇒ 3x – x = 4+1 ⇒ 2x = 5⇒ x = 5 .
2

Si ambos lados de la igualdad no tienen igual base, pero son potencias del mismo número, se aplican las CPECH
propiedades de potencia hasta dejarlas de igual base, entonces se igualan exponentes y se despeja. Por
ejemplo,

42x – 3 = 8x + 2 ⇒ 22(2x – 3) = 23(x + 2) ⇒ 24x – 6 = 23x + 6 ⇒ 4x – 6 = 3x + 6 ⇒ 4x – 3x = 6 + 6 ⇒ x = 12.

63

2 Álgebra

Capítulo Si ambos lados de la igualdad no tienen igual base y no son potencias del mismo número, se puede aplicar el
concepto de logaritmo para reinterpretar la ecuación. Por ejemplo,

54x + 1 = 3 ⇒ 4x + 1 = log53 ⇒ 4x = log53 – 1 ⇒ x= log5 3 – 1 .
4

Pregunta tipo PSU

Sea f(x) = – 2 • mx una función real, con m un número real positivo y distinto de uno. Respecto a f, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si m > 1, entonces f es decreciente.
II) Si la imagen de 2 es – 18, entonces m es 3.
III) La imagen de cero es – 2.

A) Solo III
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

Resolución

La función real f(x) = – 2 • mx solo tendrá imágenes negativas debido al coeficiente numérico que acompaña
a la variable, por lo tanto el comportamiento de la función se verá afectado por este coeficiente.

I) Verdadera, ya que el signo del coeficiente numérico invierte el comportamiento de la función
respecto a que si fuese positivo. Es decir, si m fuese mayor que cero y menor que uno, entonces la
función sería creciente, mientras que si m fuese mayor que uno, la función es decreciente.

II) Verdadera, al reemplazar y despejar m:

f(2) = – 2 • m2 = – 18 ⇒ m2 = – 18 ⇒ m2 = 9 ⇒ m = 3
–2

Nota: Como la función está bien definida, m no puede tomar Alternativa correcta:
valores menores o iguales que cero, por lo que no se considera
la solución negativa de la ecuación. E

III) Verdadera, ya que todo valor distinto de cero que es elevado a
cero siempre da como resultado uno. Luego:

f(0) = – 2 • m0 ⇒ f(0) = – 2 • 1 ⇒ f(0) = – 2

CPECH

64

Matemática

2.7.2. Función logarítmica

Una función logarítmica tiene la forma y = f(x) = b · logax, con x en los reales positivos, a un número real
positivo distinto de 1 y b un número real distinto de 0. Su dominio es Iℝ+ y su recorrido es Iℝ, y es la función
inversa de la función del tipo exponencial. Su gráfico corresponde a una línea curva asintótica al eje Y, que
es creciente o decreciente dependiendo del valor de a. Luego, existen dos casos de gráfico posibles que
representan una función logarítmica, con x en los reales positivos:

a>1 y 0<a<1 y
b>0 b>0

xx

También se obtiene esta También se obtiene esta
forma si 0 < a < 1 y b < 0 forma si a > 1 y b < 0

Una ecuación logarítmica corresponde a una igualdad de expresiones algebraicas que tiene la incógnita en
el argumento del logaritmo. Si ambos lados de la igualdad tienen igual base, entonces se igualan argumentos
y se despeja. Por ejemplo, log2(1 – 5x) = log2(x + 7) ⇒ 1 – 5x = x + 7 ⇒ – 5x – x = 7 – 1 ⇒ – 6x = 6 ⇒ x = – 1.

Si ambos lados de la desigualdad no tienen igual base, se puede aplicar el concepto de potencia para

reinterpretar la ecuación. Por ejemplo, log5(4x) = 3 ⇒ 4x = 53 ⇒ 4x = 125 ⇒ x= 125 .
4

Pregunta tipo PSU

¿Cuál de las siguientes funciones está mejor representada en el gráfico adjunto?

A) f(x) = log x y
log 3

B) g(x) = log x

log 1
3
9x
C) h(x) = log x 1 65
3 –2

D) j(x) = 3 log x

E) k(x) = log x CPECH
log 9

2 Álgebra

Capítulo Resolución

El gráfico de la pregunta corresponde a una función logarítmica decreciente, por lo que la base del
logaritmo debe ser un valor entre cero y uno. Por otra parte, los puntos (1, 0) y (9, – 2) pertenecen al
gráfico asociado a la función, es decir, si la función es de la forma L(x) = loga x, con 0 < a < 1, entonces

L(9) = loga 9 = – 2 ⇒ a– 2 = 9 ⇒ a= 1 . Luego, la función es de
3

la forma L(x) = log 1 x. Aplicando un cambio de base a la expresión Alternativa correcta:

3 log x . B

logarítmica a una base diez, se obtiene L(x) = log 1
3

2.8. Funciones de comportamiento polinomial

2.8.1. Función potencia

Una función potencia tiene la forma y = f(x) = a · xn, con x en los reales, n un número entero positivo mayor
que 1 y a un número real distinto de 0. Su dominio es Iℝ y su recorrido depende de a y de n:

◆ Si n es par y a es positivo, entonces el recorrido de la función es R 0+.

◆ Si n es par y a es negativo, entonces el recorrido de la función es R – .
0

◆ Si n es impar, independiente del signo de a, el recorrido de la función es Iℝ.

Luego, existen cuatro tipos de gráfico posibles para una función potencia, con x en los reales:

n par y n par y
a>0 a<0

xx

n impar y n impar y
a>0 a<0

x x

CPECH

66

Matemática

Las gráficas asociadas a funciones potencia de exponente par tienen un vértice, que es el punto más bajo
(o más alto) de la gráfica, y que corresponde al menor valor (o mayor valor) que puede tomar la función.
Además, tienen un eje de simetría vertical que pasa por el vértice. Por otra parte, las representaciones gráficas
de funciones potencia de exponente impar tienen un centro de simetría (punto de inflexión).

Pregunta tipo PSU

Sea f(x) = ax3 una función real. Se puede determinar el valor numérico de a, si:

(1) El punto (– 3, 54) pertenece al gráfico asociado a f.
(2) f(x) es igual a g(x) = – x4 cuando x es igual a cero y a dos.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Resolución

Al ser f una función potencia con exponente impar, esta siempre será creciente o decreciente
dependiendo del valor de a.

(1) El punto (– 3, 54) pertenece al gráfico asociado a f. Con esta información sí es posible determinar el
valor de a, ya que nos permite conocer la imagen de – 3 en la función, quedando así solo a como
valor desconocido. Es decir:

(– 3, 54) ∈ f ⇒ f( – 3) = 54 ⇒ a • (– 3)3 = 54 ⇒ a • (– 27) = 54 ⇒ a = 54 = – 2
– 27

(2) f(x) es igual a g(x) = – x4 cuando x es igual a cero y a dos. Con esta información sí es posible determinar
el valor de a, ya que nos permite conocer el punto donde se intersectan las gráficas asociadas a
ambas funciones. Como f(x) es igual a g(x) cuando x es igual a dos, entonces f(2) = g(2). Es decir:

f(2) = g(2) ⇒ f(2) = – (24) = – 16

Entonces, el par (2, – 16) pertenece a la función f. Luego:

(2, – 16) ∈ f ⇒ f(2) = – 16 ⇒ a • 23 = – 16 ⇒ a • 8 = – 16 ⇒ a= – 16 =–2
8

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

Alternativa correcta: CPECH

D

67

2 Álgebra

Capítulo 2.8.2. Función cuadrática

Una función cuadrática tiene la forma y = f(x) = a · x2 + b · x + c, con x en los reales, a un número real distinto
de 0, b y c números reales. Su dominio es Iℝ y su recorrido depende del signo de a y de la posición del vértice.
Su gráfico es una curva llamada parábola, que tiene forma similar a la de una función potencia de exponente

par.

El parámetro a determina la concavidad de la parábola, que significa que la parábola se abre hacia arriba si
a es positivo y hacia abajo si a es negativo.

Los parámetros a y b determinan la posición del eje de simetría con respecto al eje Y. Si a y b tienen igual
signo, entonces el eje de simetría se encuentra a la izquierda del eje Y. Si a y b tienen distinto signo, entonces
el eje de simetría se encuentra a la derecha del eje Y. En caso que b sea cero, entonces el eje de simetría
coincide con el eje Y.

Al igual que en la ecuación de segundo grado, en la función cuadrática se puede calcular el discriminante,

que es igual a Δ = b2 – 4ac. En este caso, su signo determina la existencia de intersección(es) de la parábola
con el eje X:

◆ Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X.
◆ Si el discriminante es cero, entonces la parábola intersecta en un punto al eje X, o sea es tangente en el

vértice con dicho eje.
◆ Si el discriminante es negativo, entonces la parábola no intersecta al eje X.

El parámetro c determina la intersección de la parábola con el eje Y, que ocurre en el punto (0, c).

Luego, existen múltiples gráficos posibles para una parábola. Algunos ejemplos son:

a<0 y a>0 y

a y b igual signo a y b distinto signo

Δ=0 Δ>0

c<0 c<0

x x

a>0 y a<0 y

b=0 a y b distinto signo

Δ<0 Δ>0
c>0
c>0

x x

CPECH

68

Matemática

Para encontrar las coordenadas (xv, yv) del vértice, es necesario encontrar primero su abscisa, que es xv = –b y
2a

( ( ) ( )luego evaluarla en la función para encontrar la ordenada (yv), es decir, las coordenadas del vértice son–bf–bo–b4ac –b2
2a , 2a 2a , 4a . Como el eje de simetría de la parábola es una recta vertical que pasa por el

vértice, entonces su ecuación de la recta es x = –b . Por ejemplo, en la función
2a

f(x) = 5x2 – 30x + 43 la abscisa del vértice es xv = –(– 30) = 30 = 3. Entonces, la ordenada del vértice es
2•5 10

yv = f(xv) = f(3) = 5 • (3)2 – 30 • (3) + 43 = 45 – 90 + 43 = – 2. Luego, el vértice de la parábola es el punto (3, – 2) y la

ecuación de la recta del eje de simetría es x = 3.

El valor mínimo que puede tomar una función cuadrática de concavidad positiva corresponde a la ordenada
del vértice (yv), por lo cual su recorrido es [yv , + ∞[. El valor máximo que puede tomar una función cuadrática
de concavidad negativa corresponde a la ordenada del vértice (yv), por lo cual su recorrido es ]– ∞, yv]. Por
ejemplo, en el caso de la función f(x) = 5x2 – 30x + 43, su valor mínimo es – 2 y su recorrido es [– 2, + ∞[.

Pregunta tipo PSU

Respecto al gráfico asociado a la función real f(x) = – x2 + 10x – 24, ¿cuál de las siguientes afirmaciones
es FALSA?

A) Intersecta al eje Y en el punto (0, – 24).
B) La parábola es cóncava hacia abajo.
C) El máximo valor que toma la función es 5.
D) Uno de los puntos de intersección con el eje X es (4, 0).
E) Pasa por el punto (3, – 3).

Resolución

La función real f(x) = – x2 + 10x – 24 corresponde a una función cuadrática de la forma f(x) = ax2 + bx +
c, cuya representación gráfica corresponde a una parábola. Diremos entonces que a = – 1, b = 10 y c
= – 24. Luego:

A) Verdadera, ya que el valor de c indica la altura en la que la parábola intersecta al eje Y, y esto lo hace
cuando x es igual a cero. Por lo tanto, intersecta al eje Y en (0, – 24).

B) Verdadera, ya que el valor de a indica la dirección de la concavidad, dependiendo si es positiva o
negativa. En este caso, a es un valor negativo, lo que implica que es cóncava hacia abajo.

C) Falsa, ya que el máximo valor queda determinado por la segunda coordenada del vértice. Se
( ( )sabe que la fórmula que permite determinar las coordenadas del vértice es V =
–b , f –b .
2a 2a

( ( ) ( ( )Reemplazando:–b–b – 10
V = 2a , f 2a = 2 • (– 1) , f – 10 = (5, f(5)) = (5, – 52 + 10 • 5 – 24) = (5,1). CPECH
2 • (– 1)

Luego, el mayor valor que toma la función es 1.

69

2 Álgebra

Capítulo D) Verdadera, ya que al resolver la ecuación cuando f(x) es igual a cero, se obtiene:

0 = – x2 + 10x – 24 ⇒ x2 – 10 + 24 = 0 ⇒ (x – 4)(x – 6) = 0

x–4=0 ⇒ x=4 x–6=0 ⇒ x=6

Luego, la curva intersecta al eje X en los puntos (4, 0) y (6, 0). Alternativa correcta:
E) Verdadera, ya que al evaluar en x = 3 se obtiene:
C
f(3) = – 32 + 10 • 3 – 24 = – 9 + 30 – 24 = – 3

Es decir, la curva contiene al punto (3, – 3).

2.8.3. Función raíz cuadrada

Una función raíz cuadrada tiene la forma y = f(x) = a • �x , con x en los reales no negativos y a un número real
+ + –
distinto de 0. Su dominio es R 0 y su recorrido es R 0 si a > 0 o R 0 si a < 0. Su gráfico corresponde a una rama

de parábola, pero con eje de simetría horizontal, que es creciente o decreciente dependiendo del valor de a.

Luego, existen dos casos de gráfico posibles para una función raíz cuadrada, con x en los reales no negativos:

a>0 y a<0 y

xx

CPECH

70

Matemática

Pregunta tipo PSU

Sea f(x) = – �x una función cuyo dominio son todos los números reales mayores o iguales que cero.
Respecto a f, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El recorrido son todos los números reales negativos.
II) Es decreciente.
III) La preimagen de – 3�2 es 18.

A) Solo II
B) Solo I y II
C) Solo I y III
D) Solo II y III
E) I, II y III

Resolución

La función real f(x) = – �x gráficamente corresponde a una curva que se abre hacia la derecha por
debajo del eje X. Luego:

I) Falso, ya que el par (0, 0) pertenece a la función. Es decir, el Alternativa correcta:
recorrido corresponde a todos los valores reales menores o
iguales que cero. D

II) Verdadero, ya que entre mayor sea es el valor que toma la
variable x, menor es el valor de su imagen.

III) Verdadero, ya que si 18 es la preimagen de – 3�2 , implica que
– 3�2 es la imagen de 18. Evaluando:

f(18) = – �18 = – �9 • 2 = – �9 • �2 = – 3�2

2.9. Análisis gráfico de funciones

2.9.1. Intersección de una función con los ejes

La(s) intersección(es) del gráfico de una función f con el eje X corresponde a las soluciones reales de la
ecuación f(x) = 0. En caso de que dicha ecuación no tenga soluciones reales, entonces el gráfico de la función
no intersecta al eje X.

Por ejemplo, para encontrar la(s) intersección(es) con el eje X de la parábola de función g(x) = – 2x2 + 6x + 8, con
x en los reales, es necesario resolver la ecuación – 2x2 + 6x + 8 = 0. Entonces:

– 2x2 + 6x + 8 = 0 (Factorizando por – 2) CPECH
– 2(x2 – 3x – 4) = 0 (Factorizando el trinomio)
– 2(x – 4) • (x + 1) = 0

71

Capítulo2 Álgebra

Luego, las soluciones reales de la ecuación son x1 = 4 y x2 = – 1. Por lo tanto, las intersecciones de la parábola
de función g con el eje X son (4, 0) y (– 1, 0).

La intersección del gráfico de una función f con el eje Y corresponde al resultado de f(0), si es un número real.
En caso de que dicho resultado no sea un número real, entonces el gráfico de la función no intersecta al eje Y.

Por ejemplo, para encontrar las intersecciones con el eje Y del gráfico de la función h(x) = 3 • log 5(x + 20),
con x > – 20, es necesario evaluar en 0. Como h(0) = 3 • log 5(0 + 20) = 3 • log 100 = 3 • 2 = 6. Por lo tanto, la
intersección del gráfico de la función h con el eje Y es (0, 6).

2.9.2. Intersección entre funciones e intervalos de desigualdad

La(s) intersección(es) entre el gráfico de una función f y el gráfico de una función g corresponde a las
soluciones reales de la ecuación f(x) = g(x). En caso de que dicha ecuación no tenga soluciones reales,
entonces los gráficos de las funciones no se intersectan.

Por ejemplo, para encontrar la(s) intersección(es) entre el gráfico de la función h(x) = – 6x2 y el gráfico de la
función p(x) = 2x3, con x en los reales, es necesario resolver la ecuación – 6x2 = 2x3. Entonces:

– 6x2 = 2x3 (Igualando a cero)
(Factorizando por 2x2)
0 = 2x3 + 6x2
(Despejando)
0 = 2x2 (x + 3)

⇒ 2x2 = 0 x + 3 = 0

o

x = 0 x=–3

Luego, las soluciones reales de la ecuación son x1 = x2 = 0 y x3 = – 3. Por lo tanto, los puntos de intersección
entre los gráficos de las funciones h y p son (0, 0) y (– 3, – 54).

En caso de que se quiera analizar la desigualdad de dos funciones, se deben buscar los valores de x donde se
intersectan para dividir los gráficos en intervalos de desigualdad. Luego, se escoge un valor de x cualquiera
dentro de cada intervalo y se evalúan ambas funciones, de modo que la que resulte mayor será mayor dentro
de todo el intervalo.

Por ejemplo, para las funciones h(x) = – 6x2 y p(x) = 2x3, los valores de x donde se intersectan son x1 = x2 = 0 y
x3 = – 3. Entonces, los gráficos son desiguales en los intervalos ]– ∞, – 3[, ]– 3, 0[ y ]0, + ∞[. Luego:

■ En el intervalo ]– ∞, – 3[ un valor de x podría ser – 4. Evaluando las funciones, resulta
h(– 4) = – 6 • (– 4)2 = – 6 • 16 = – 96 y p(– 4) = 2 • (– 4)3 = 2 • (– 64) = – 128. Como h(– 4) > p(– 4), entonces
h(x) > p(x) en todo el intervalo ]– ∞, – 3[ .

■ En el intervalo ]– 3, 0[ un valor de x podría ser – 2. Evaluando las funciones, resulta
h(– 2) = – 6 • (– 2)2 = – 6 • 4 = – 24 y p(– 2) = 2 • (– 2)3 = 2 • (– 8) = – 16. Como h(– 2) < p(– 2), entonces
h(x) < p(x) en todo el intervalo ]– 3, 0[.

CPECH ■ En el intervalo ]0, + ∞[ un valor de x podría ser 1. Evaluando las funciones, resulta
h(1) = – 6 • (1)2 = – 6 • 1 = – 6 y p(1) = 2 • (1)3 = 2 • 1 = 2. Como h(1) < p(1), entonces

h(x) < p(x) en todo el intervalo ]0, + ∞[.

72

Matemática

El gráfico a continuación representa el resultado del análisis anterior:
y
p(x) = 2x3

–3
x

h(x) = – 6x2

2.9.3. Transformaciones en el gráfico de una función

Los resultados de los gráficos expuestos para las funciones estudiadas son extensivos para cualquier otra
función de condiciones similares, siguiendo las siguientes condiciones:

■ Si en la expresión algebraica de una función se le suma o se le resta un valor constante a la variable
independiente (x), entonces el gráfico de la función experimenta una traslación horizontal de la misma
magnitud que la constante, pero de sentido contrario. Por ejemplo:

f(x) = x3 g(x) = f(x + 2) = (x + 2)3
y y

x ⇒ –2 x

f(x) = �x (Se traslada dos unidades a la izquierda)
y
g(x) = f(x – 1) = �x – 1
y

⇒ x
1
x

(Se traslada una unidad a la derecha) CPECH

73

2 Álgebra

Capítulo ■ Si en la expresión algebraica de una función se le suma o se le resta un valor constante a la variable
dependiente (y = f(x)), entonces el gráfico de la función experimenta una traslación vertical de la misma
magnitud que la constante y del mismo sentido. Por ejemplo:

f(x) = 5x4 g(x) = f(x) + 1 = 5x4 + 1
y y

x⇒ 1 x

f(x) = 2x (Se traslada una unidad hacia arriba)
y
g(x) = f(x) – 3 = 2x – 3
1 y

x⇒ x

–2

(Se traslada tres unidades hacia abajo)

■ Si en la expresión algebraica de una función se le cambia el signo a la variable independiente (x), entonces
el gráfico de la función experimenta una simetría axial con respecto al eje Y. Por ejemplo:

f(x) = 3 • log x g(x) = f(– x) = 3 • log (– x)
y y

1x –1 x

CPECH

74

Matemática

Pregunta tipo PSU

¿Cuál de los siguientes gráficos representa mejor a la función real f(x) = �x + 5 – 2?

A) y B) y C) y

–5 x –5 x 5 x
–2 –2 –2

D) y E) y
5
x2 x
–2 –5

Resolución Alternativa correcta:

Sea f una función que se obtiene a partir del desplazamiento de la A
gráfica asociada a una función g. Es decir, f(x) = g(x – h) + k, donde
h indica las unidades que se desplaza horizontalmente (si h > 0, su
desplazamiento es a la derecha, y si h < 0, su desplazamiento es la
izquierda), y k indica las unidades que se desplaza verticalmente (si
k > 0, su desplazamiento es hacia arriba, y si k < 0, su desplazamiento
es hacia abajo).

Si g(x) = �x , entonces f(x) = �x + 5 – 2 ⇒ f(x) = g(x – (– 5)) + (– 2).
Es decir, el gráfico asociado a f corresponderá al gráfico asociado
a g, pero desplazado cinco unidades a la izquierda (h = – 5) y dos
unidades hacia abajo (k = – 2).

2.10. Composición y función inversa

2.10.1. Composición de funciones CPECH

La composición de funciones consiste en aplicar dos o más funciones, una a continuación de la otra. Es decir, si f y g 75
son dos funciones, entonces f(g(x)) (también representado como f o g) significa evaluar x en g y el resultado evaluarlo
en f. Para que una composición esté bien definida, el recorrido de la primera función aplicada debe estar contenido
en el dominio de la segunda función aplicada, en este caso Rec g ⊂ Dom f. Por ejemplo, si f(x) = 4x2 + 3 y g(x) = 2 – x son
funciones en los reales, entonces g(f(x)) = g(4x2 + 3) = 2 – (4x2 + 3) = 2 – 4x2 – 3 = – 4x2 – 1. También se puede evaluar una
composición en forma puntual. Por ejemplo, para calcular f(g(– 5)) con las funciones anteriores, primero se determina
g(– 5) = 2 – (– 5) = 2 + 5 = 7 y luego f(7) = 4 • 72 + 3 = 4 • 49 + 3 = 196 + 3 = 199, es decir, f(g(– 5)) = f(7) = 199.

En general, la composición de funciones no es conmutativa, es decir, f(g(x)) ≠ g(f(x)). Sin embargo, si f es la
inversa de g en algún intervalo, entonces f(g(x)) = g(f(x)) = x en dicho intervalo.

2 Álgebra

Capítulo Pregunta tipo PSU

Sean f y g dos funciones reales tales que f(x) = 2–x y g(x) = x+2 . Si f o g está definido de manera que
x+3 x–3

es función, ¿cuál de las siguientes expresiones corresponde a (f o g)(x)?

A) 4–x
x

B) x–8
4x – 7

C) 10x
x2 – 9

D) x–4
4x – 7

E) x–4
4x + 11

Resolución

Si f o g está bien definida, entonces (f o g)(x) es igual a f(g(x)), es decir, la función f evaluada en g(x).

( )f(g(x)) = fx+2
x–3

= 2 – x +2 (Evaluando)
–3
x + x
x – 2 +3

3

2(x – 3) – (x + 2)

= x–3 (Igualando denominador)
x + 2 + 3(x – 3)

x–3

2x – 6 – x – 2

= x–3 (Calculando)
x + 2 + 3x – 9

x–3

x–8

= x–3 (Reduciendo términos semejantes) Alternativa correcta:
4x – 7 (Simplificando por (x – 3))
B
x–3

CPECH = x–8
4x – 7

76

Matemática CPECH

2.10.2. Biyectividad y función inversa

Una función se denomina inyectiva si cada elemento del recorrido tiene una sola preimagen, es decir,
una función f en los reales es inyectiva si para a ≠ b, entonces f(a) ≠ f(b). Por ejemplo, la función en los
reales p(x) = x3 – x no es inyectiva ya que f(– 1) = f(0) = f(1) = 0, es decir, hay un elemento del recorrido (0)
que tiene tres preimágenes (– 1, 0 y 1). La función en los reales g(x) = x3 es inyectiva, ya que todo número
real es el cubo de un solo número real.
Una función se denomina sobreyectiva o epiyectiva si su recorrido es igual a su conjunto de llegada, es decir,
una función f en los reales es sobreyectiva si los valores de sus imágenes pueden ser cualquier número real.
Por ejemplo, la función en los reales h(x) = x4 + 1 no es sobreyectiva, ya que sus imágenes solo toman valores
mayores o iguales que 1. La función en los reales g(x) = x3 es sobreyectiva, ya que cualquier número real puede
ser cubo de otro número real.
Una función se denomina biyectiva si cumple con ser inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, la función en los
reales g(x) = x3 es biyectiva, ya que es inyectiva y sobreyectiva.
La función inversa de una función f (denotada generalmente por f – 1) realiza el proceso contrario de f, es decir,
consiste en tomar un elemento b perteneciente al conjunto de llegada de f y reemplazarlo en la función f – 1,
obteniendo un elemento a perteneciente al conjunto de partida de f. Para encontrar la inversa de una función
y = f(x) solo basta despejar x en términos de y, tal que f – 1(y) = x.

Sabías que...

Una función es invertible solamente en el (los) intervalo(s) donde sea biyectiva. En tal caso el recorrido de
la función se convierte en el dominio de su inversa y el dominio de la función se convierte en el recorrido
de su inversa.

Por ejemplo, al buscar la inversa de la función biyectiva en los reales g(x) = x3 resulta
g(x) = x3 ⇒ y = x3 ⇒ �3 y = x ⇒ �3 x = y ⇒ �3 x = g – 1(x). Es decir, la función inversa en los reales de g(x) = x3 es
g – 1(x) = �3 x .

77

2 Álgebra

Capítulo Pregunta tipo PSU

Sea f: [2, + ∞[ → B una función real tal que f(x) = – x2 + 4x + 12. Se puede afirmar que existe la función
inversa de f, si:

(1) f es epiyectiva.
(2) B = ]– ∞, 16]

A) (1) por sí sola. y
B) (2) por sí sola. 16
C) Ambas juntas, (1) y (2). –2 2 6 x
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Resolución

Para que f sea invertible, debe cumplirse que sea biyectiva en
todo su dominio. Es decir, f debe ser inyectiva y epiyectiva.
En este caso, f corresponde a una función cuadrática cuya
representación gráfica es una parábola cóncava hacia abajo,
por lo que no es biyectiva en todos los reales, pero sí se puede
concluir esta característica a partir de determinados intervalos.

Como el conjunto de partida de esta función es el intervalo [2,
+ ∞[, entonces es posible concluir que la función es inyectiva,
ya que el valor 2 coincide con ser la abscisa del vértice de la
parábola, por lo que a partir de ese valor, ninguna imagen
tendrá más de una preimagen. Por lo tanto, solo faltaría afirmar
que f es epiyectiva para así concluir que sí es invertible.

(1) f es epiyectiva. Con esta información sí es posible afirmar
que f es invertible, ya que previamente se concluyó que
es inyectiva. Por lo tanto, si f es inyectiva y epiyectiva,
entonces tiene función inversa.

(2) B = ]– ∞, 16]. Con esta información sí es posible afirmar Alternativa correcta:
que f es invertible, ya que si el conjunto de llegada es
el intervalo ]– ∞, 16], entonces todos los elementos del D
conjunto de llegada tendrán preimagen, es decir, f es
epiyectiva. Como previamente se demostró que f es
inyectiva, entonces f es invertible.

Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola.

CPECH

78

Capítulo 3

Geometría

Aprendizajes Esperados

 Identificar transformaciones isométricas en el plano cartesiano. Utilizar la composición
de funciones para resolver problemas relacionados con las transformaciones
isométricas.

 Comprender conceptos, propiedades y criterios asociados al estudio de la semejanza y
congruencia de figuras planas y sus aplicaciones a los modelos a escala.

 Identificar ángulos inscritos y del centro en una circunferencia, y relacionar las medidas
de dichos ángulos. Aplicar teoremas de proporcionalidad en la circunferencia.

 Comprender que puntos, rectas y planos pueden ser representados en el sistema
coordenado bidimensional y/o tridimensional y determinar la representación
cartesiana y vectorial de la ecuación de la recta.

 Determinar áreas y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación o
traslación de figuras planas en el espacio.

3 Geometría

Capítulo 3. GEOMETRÍA

3.1. Conceptos básicos en geometría

3.1.1. Generalidades de ángulos y polígonos

Un ángulo es la páanrgtuelode∠l pBlOanAoesctoámfoprrmenaddiodapoernetrleradyoos→OraAyyoselcroanyou→nOBorciognenvécrotmiceúnco, mllaúmnaOd.o vértice. En la
figura adjunta, el

A

Oa B

Sabías que... Ángulo recto Ángulo obtuso

Clasificación de los ángulos Si a = 90° Si 90° < a < 180°
Ángulo agudo B B
Si 0° < a < 90°
B

Oa A O 90º A a A
O

Ángulo extendido Ángulo cóncavo Ángulo completo
Si a = 180° Si 180º < a < 360° Si a = 360°

a A
O

B aA 360º
O AB

CPECH B

80

Matemática

Dos ángulos son complementarios cuando suman 90°. Si α + β = 90°, entonces se dice que α es complemento
de β y β es complemento de α. Dos ángulos son suplementarios si suman 180°. Si α + β = 180°, entonces se
dice que que α es suplemento de β y β es suplemento de α.

Dos ángulos son adyacentes si comparten un lado, un vértice y la suma de ellos es igual a 180°. Esto ocurrirá
siempre que compartan un lado y los otros dos se encuentren sobre una misma recta, como se muestra en la
figura adjunta.

B

C ba A
O

Cuando dos rectas se intersectan, los ángulos opuestos por el vértice son congruentes entre sí. En la figura
adjunta, las rectas L1 y L2 se intersectan en un punto y se cumple que α = γ y β = δ.

L1

γ b a
δ

L2

Conceptos
fundamentales

Si L1 y L2 son rectas paralelas entre sí y L3 es una recta transversal, se cumple que:

L3

L1 ba
γδ

α=γ=ε=θ
β=δ=τ=σ

L2 τε CPECH
θσ

81

3 Geometría

Capítulo Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por lados rectos. Los lados son los segmentos rectos que
conforman el contorno del polígono. Los vértices son los puntos donde se intersectan dos lados. Los ángulos
interiores son aquellos que se forman entre dos lados consecutivos, considerando la región al interior del
polígono. Los ángulos exteriores son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores.

Un polígono convexo es aquel en el que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º y un polígono
cóncavo es aquel donde alguno de sus ángulos interiores mide más de 180°.

Ejemplo:

δʼ D Lados: AB, BC, CD, DE, EA.
δ Vértices: A, B, C, D y E.
Ángulos interiores: a, b, g, d y e.
E γʼ Ángulos exteriores: aʼ, bʼ, gʼ, dʼ y eʼ.
εʼ γC

a b bʼ
A aʼ B

Es posible clasificar un polígono según su número de lados. Un polígono de tres lados se denomina triángulo,
uno de cuatro lados se denomina cuadrilátero, uno de cinco lados se denomina pentágono, etc.

Un polígono regular es aquel donde todos sus lados son congruentes entre sí y los ángulos interiores también
son congruentes entre sí. Tanto el triángulo equilátero como el cuadrado son polígonos regulares.

Dado un polígono convexo de n lados, se cumple que:

◆ La suma de sus ángulos interiores es igual a 180° • (n – 2)

◆ La suma de sus ángulos exteriores es igual a 360°.

◆ El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice es igual a (n – 3).

◆ El número total de diagonales que se pueden trazar es igual a n • (n – 3) .
2

Ejemplo: En un pentágono (n = 5), se tiene que:

◆ Suma de sus ángulos interiores = 180° • (n – 2) = 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540°

◆ Suma de sus ángulos exteriores = 360°

◆ Número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice = n – 3 = 5 – 3 = 2

◆ Número total de diagonales = n • (n – 3) = 5 • (5 – 3) = 5•2 =5
2 2 2

CPECH

82

Matemática

Ojo con

El perímetro de un polígono corresponde a la suma de las longitudes de los lados.

El área de un polígono corresponde a la medida de la superficie comprendida por el polígono. Para
determinar el área de un polígono, por lo general, lo descomponemos en figuras conocidas, principalmente
triángulos.

En un polígono regular de n lados, se cumple que la medida de cada ángulo interior es igual a la suma de los
ángulos interiores dividido por n.

Ejemplo: Para determinar la medida de los ángulos interiores de un pentágono regular, se tendrá que la suma
de los ángulos interiores es igual a: 180° • (n – 2) = 180° • (5 – 2) = 180° • 3 = 540°.
Por lo tanto, la medida de cada ángulo interior será igual a 540° : 5 = 108°.

3.1.2. Generalidades de los triángulos

Un triángulo es un polígono de tres lados. Considerando el triángulo ABC de la figura, sus elementos primarios
son:

γʼ C Vértices: A, B y C.
γ Lados: a, b y c.
Ángulos interiores: α, β y γ.
b a Ángulos exteriores: αʼ, βʼ y γʼ.

aʼ a c b bʼ
A B

Ojo con CPECH

Propiedades de los elementos primarios:

◆ La suma de los ángulos interiores es igual a 180°.
◆ La suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.
◆ Todo lado de un triángulo es mayor que la diferencia positiva de los otros dos y es menor que la suma

de los otros dos lados.
◆ Si el lado a es mayor que el lado b, el ángulo opuesto al lado a es mayor que el ángulo opuesto al lado b.

83

Capítulo3 Geometría

Los elementos secundarios de un triángulo son:

n Altura: es el segmento trazado desde un vértice, llegando en forma perpendicular al lado opuesto o
a su prolongación. Las tres alturas de un triángulo se intersectan en un único punto, que se denomina
ortocentro.

n Bisectriz: es la recta que divide a un ángulo en dos ángulos congruentes. Las tres bisectrices de los ángulos
interiores de un triángulo se intersectan en un único punto que se denomina incentro, el cual es el centro
de la circunferencia inscrita al triángulo.

n Simetral: es la recta perpendicular a un segmento, trazada en el punto medio de este. Las tres simetrales
de los lados de un triángulo se intersectan en un único punto que se denomina circuncentro, el cual es el
centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

n Transversal de gravedad: es el segmento recto que une el punto medio de un lado con el vértice opuesto.
La tres transversales de gravedad de un triángulo se intersectan en un único punto, que se denomina
centro de gravedad. El centro de gravedad divide una transversal de gravedad en dos segmentos en la
razón 2 : 1, donde el segmento que llega al vértice mide el doble que el segmento que llega al lado.

n Mediana: es el segmento recto que une los puntos medios de dos lados del triángulo. Cada mediana es
paralela al lado opuesto y mide la mitad de él. Al dibujar las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro
triángulos congruentes entre sí.

Conceptos
fundamentales

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de sus lados.
El área de un triángulo corresponde a la medida de la superficie que delimita.

Área = base • altura
2

CPECH

84

Matemática

Conceptos
fundamentales

Teorema de la bisectriz: el teorema de la bisectriz establece una proporción válida en todo triángulo
donde esté dibujada una bisectriz.

Sea el triángulo ABC con bisectriz interior CD . Se cumple que: AC = CB
C AD DB
γγ

ba

b = a
u v

A uDv B

Ejemplo: en la figura adjunta, el valor de x es: En el triángulo ABC de la figura, como CD es bisectriz
C interior, se puede aplicar el teorema de la bisectriz.
Luego,
30º 30º
AC = CB
12 10 AD DB

12 = 10
x 5

A x D 5 B Por lo tanto, x = 6.

Según sus ángulos, los triángulos se pueden clasificar como: acutángulo si tiene los tres ángulos agudos,
obtusángulo si tiene un ángulo obtuso y rectángulo si tiene un ángulo recto.

Según sus lados, los triángulos se pueden clasificar como: equilátero si tiene los tres lados congruentes,
isósceles si tienen dos lados congruentes y escaleno si no tienen lados congruentes entre sí.

CPECH

85

3 Geometría

Capítulo Conceptos
fundamentales

B En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, los catetos son los lados
que forman el ángulo recto y la hipotenusa es el lado mayor, opuesto al

ángulo recto. En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de

ac Pitágoras.

Teorema de Pitágoras:

A bC (cateto1)2 + (cateto2)2 = hipotenusa2
a2 + b2 = c2

Sabías que...

Los tríos pitagóricos son las ternas de números enteros positivos que satisfacen el teorema de
Pitágoras. Los más conocidos son (3, 4 y 5), (5, 12 y 13), (8, 15 y 17). Al multiplicar todos los números de
un trío pitagórico por un mismo número entero positivo, obtenemos otro trío pitagórico. Por ejemplo, al
multiplicar por 2 el trío (3, 4, 5) obtenemos (6, 8, 10), también trío pitagórico.

En un triángulo ABC equilátero de lado a, se cumple que su altura, Altura = a • �3
bisectriz, simetral y transversal de gravedad son coincidentes. Además, 2
su altura y área se pueden obtener con las siguientes fórmulas:
Área = a2 • �3
En un triángulo ABC isósceles, se cumple que la altura que llega a la base 4
es también bisectriz, simetral y transversal de gravedad.

Pregunta tipo PSU

Una escalera portátil, como la de la figura adjunta, se abre y se coloca sobre una superficie totalmente
horizontal. Por razones de seguridad, el ángulo entre un lado de la escalera y la superficie, designado por
α, debe estar entre 45° y 60°. Considerando que ambos lados de la escalera miden 4 metros, ¿cuál es el
rango en el que varía la altura h que puede alcanzar la escalera?

A) Desde 2 metros hasta 2�3 metros.CPECH h
B) Desde 2�3 metros hasta 4 metros. a
C) Desde 2 metros hasta 2�2 metros.
D) Desde 2�2 metros hasta 2�3 metros.
E) Desde 2�2 metros hasta 4 metros.

86

Matemática

Resolución

Reflexionar sobre esta situación cotidiana, se puede concluir que mientras más se abra la escalera,
menor será la altura que esta alcanza y menor será el ángulo α, en cambio, a mayor α, mayor altura h
alcanza la escalera. Como la proporción es directa, es posible afirmar que a 45° se alcanza el menor valor
de h y a 60° se alcanza el mayor valor de h. Esquematizando esta situación, se tiene

4 m 45° 45° 4 m 4 m 30° 30° 4 m
h h

45° 45° 60° 60°

En el esquema de la izquierda, los lados de la escalera y la horizontal forman un triángulo isósceles
rectángulo, donde a su vez, se divide en otros dos triángulos isósceles rectángulos de catetos de medida
h metros e hipotenusa de medida 4 metros. Mediante el teorema de Pitágoras, es posible determinar
el valor de h:

h2 + h2 = 42 ⇒ 2h2 = 16 ⇒ h2 = 8 ⇒ h = �8 = 2�2

Con ello, la altura mínima de la escalera es 2�2 metros.

En el esquema de la derecha, los lados de la escalera y la horizontal forman un triángulo equilátero,
donde, a su vez, se divide en otros dos triángulos escalenos rectángulos, donde uno de los catetos mide
h metros y la hipotenusa mide 4 metros. Mediante la relación 30° - 60° - 90° es posible determinar el
valor de h.

Recordar que para un triángulo cuyos ángulos miden 30°, 60° y 90°, siempre se cumple que

- La hipotenusa correspondiente al lado que comprende los ángulos 60° y 30° mide a unidades.

- El cateto correspondiente al lado que comprende los ángulos 60° y 90° mide a unidades.
2

- El cateto correspondiente al lado que comprende los ángulos 30° y 90° mide a�3 unidades.
2

En este caso, la hipotenusa mide 4 metros, entonces la altura h, comprendida entre los ángulos 30° y 90°

mide 4�3 = 2�3 metros.
2

Con ello, la altura máxima de la escalera es 2�3 metros.

Alternativa correcta: CPECH

D

87

3 Geometría

Capítulo 3.1.3. Generalidades de cuadriláteros

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Considerando el cuadrilátero ABCD de la figura:

D C Vértices: A, B, C y D.
δʼ δ γ γʼ Lados: AB, BC, CD y DA.
Ángulos interiores: α, β, γ y δ.
aʼ a b bʼ Ángulos exteriores: αʼ, βʼ, γʼ y δʼ.
A B Diagonales: AC y DB.

Los cuadriláteros se pueden clasificar en paralelógramos, trapecios y trapezoides.

Los paralelógramos son aquellos cuadriláteros que tienen los dos pares de lados opuestos paralelos entre sí.
El cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide son tipos de paralelógramos.

Dado el paralelógramo ABCD de la figura adjunta, se cumple que:

D C Lados:
δʼ δ γ γʼ Lados opuestos paralelos. AB // DC y AD // BC .

aʼ a h Lados opuestos congruentes. AB ≅ DC y AD ≅ BC .
A
b bʼ Ángulos:
88 B Ángulos opuestos congruentes. α ≅ g y b ≅ δ
Ángulos consecutivos suplementarios.
CPECH α + β = γ + δ = β + γ = α + δ = 180°
La suma de ángulos interiores es 360°.
α + β + γ + δ = 360°
La suma de ángulos exteriores es 360°.
αʼ + βʼ + γʼ + δʼ = 360°

Diagonales:
Las diagonales se dimidian. Es decir el punto donde se
intersectan es punto medio tanto de AC como de DB .
Perímetro = AB + BC + DC + AD
Área = base • altura = AB • h

Matemática

El cuadrado es un paralelógramo de lados congruentes y ángulos interiores rectos.
En el cuadrado ABCD de lado a de la figura, se cumple que:

DaC

Diagonal (d) = a�2

d
a a Perímetro = 4a

Área = a2 = d2
2

A aB

Conceptos
fundamentales

Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares entre sí, son congruentes, son bisectrices del ángulo
interior correspondiente y se dimidian.

El rectángulo es un paralelógramo con lados opuestos congruentes y ángulos interiores rectos. En el
rectángulo ABCD de la figura, se cumple que:

DC

ancho a d Diagonal (d) = �a2 + b2
Perímetro = 2 • (a + b)

Área = a • b

A largo b B

Ojo con CPECH

Las diagonales de un rectángulo son congruentes y se dimidian.

89

3 Geometría

Capítulo El rombo es un paralelógramo de lados congruentes y ángulos interiores no rectos. En el rombo ABCD de lado
a y altura h de la figura, se cumple que:

Da C Perímetro = 4a
b a
Área = a • h = d1 • d2
d2 ah 2
a
Donde d1 y d2 son las diagonales del rombo.
d1

ab
A aB

Ojo con

Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí, son bisectrices del ángulo interior
correspondiente y se dimidian.

El romboide es el caso general de un paralelógramo. Sus lados opuestos son congruentes, pero no sus lados
consecutivos. Sus ángulos opuestos son congruentes, pero no sus ángulos consecutivos. Solo satisface las
propiedades generales de los paralelógramos.
Los trapecios son aquellos cuadriláteros con un solo par de lados opuestos paralelos.
Considerando el trapecio ABCD de altura h de la figura adjunta, con lados AB y DC paralelos, se cumple que:

D • Lados AB y DC son paralelos no congruentes. Se denominan
δ C bases del trapecio.
γ • Ángulos consecutivos de lados no paralelos son
Mh
suplementarios.
a
A α + δ = β + γ = 180°

90 N • Si M y N son los puntos medios de los lados no paralelos,

b entonces MN es la mediana del trapecio, tal que MN // AB // DC.
B
MN = AB + DC
2

( )• Área =
CPECH AB + DC • h = MN • h
2

Matemática

Trapecio escaleno: Es aquel trapecio en el que todos los lados tienen distinta medida.
Trapecio rectángulo: Es aquel trapecio en el que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.
Trapecio isósceles: Es aquel trapecio en que los lados no paralelos son congruentes entre sí.
Dado el trapecio isósceles ABCD de la figura, se cumple que:

D C • AD ≅ BC
δ γ

Mh • Tiene un eje de simetría que pasa por los
puntos medios de las bases.
a
AE hN • Ángulos basales (ángulos consecutivos de las
bases) son congruentes entre sí, α ≅ β y δ ≅ γ.

• Sean DE y CF alturas del trapecio, los triángulos
b AED y BFC son congruentes entre sí.
FB

Los trapezoides son aquellos cuadriláteros cuyos pares de lados opuestos no son paralelos entre sí.

Trapezoide simétrico o deltoide: Es aquel trapezoide simétrico con respecto a una de sus diagonales. Sea el
deltoide ABCD de la figura, se cumple que:

D La diagonal DB es eje de simetría. Luego,
δ δ • AB ≅ BC ; AD ≅ DC

AP • ∠ ADB ≅ ∠ BDC ; ∠ DBA ≅ ∠ CBD
C • Δ ABD ≅ Δ CBD

• DB ⊥ AC

La diagonal DB es bisectriz de los ángulos
interiores correspondientes.

bb • Área = DB • AC
B 2

CPECH

91

3 Geometría

Capítulo Pregunta tipo PSU

En la figura, ADEH es un rectángulo y los segmentos BC y GF pertenecen a los lados respectivos de este
cuadrilátero. Si AB : BC : CD = 1 : 5 : 3 y HG : GF : FE = 3 : 2 : 4, entonces ¿qué fracción del área del rectángulo
ADEH ocupa el cuadrilátero BCFG?

A) 4 H GF E
9

B) 11
18

C) 1
3
AB CD
D) 5
9

E) 7
18

Resolución

El polígono BCFG corresponde a un trapecio, ya que el cuadrilátero ADEH es un rectángulo, por ende
posee un par de lados paralelos.

Como la base inferior del rectángulo está dividida en la razón 1 : 5 : 3, entonces la base del trapecio

corresponde a cinco novenos de la medida de la base del rectángulo. Es decir, si el segmento AD mide

a, entonces el segmento BC mide 5a . Por otra parte, la base superior del trapecio corresponde a dos
9

novenos del lado correspondiente del rectángulo, ya que este está dividido en la razón 3 : 2 : 4, por lo

que la medida del segmento GF será 2a .
9

Como las bases de ambos cuadriláteros coinciden en su posición, ambas figuras tendrán exactamente
la misma altura. Si se sabe que esta altura es igual a h, entonces

( ) ( )ÁreaBCFG = h •5a + 2a 7a 7a
9 9 18
ÁreaADEH = a • h =h• 9 = h •
Luego, 2 2

ÁreaBCFG h • 7a 7 Alternativa correcta:
ÁreaADEH 18 18
= = E
a•h

CPECH

92

Matemática

3.1.4. Generalidades y ángulos en la circunferencia

Una circunferencia es el conjunto de puntos que se encuentran a igual distancia de un punto común,
denominado centro. Un círculo es la región delimitada por la circunferencia.
A continuación se describen los elementos, según las circunferencias de las figuras.

• Centro (O)
B

• Radio: trazo recto que une el centro con un punto de la

circunferencia (OA y (OB).

• Cuerda: trazo recto que une dos puntos de la

O D circunferencia (CD ).

• Diámetro: cuerda mayor. Pasa por el centro de la

circunferencia (AB). Diámetro = 2 • radio

A • Arco de circunferencia: porción de circunferencia que
C
va de un punto a otro, en sentido antihorario (CD).

P Q • Secante (Q): es aquella recta que intersecta en
T C dos puntos a la circunferencia (D y C).

O • Tangente (P): es aquella recta que intersecta
en un único punto a la circunferencia. Dicho
punto se llama punto de tangencia (T).

• Propiedad: la tangente P es perpendicular en T
al radio OT.

D

Teorema de las tangentes: indica que si desde un punto P exterior a la circunferencia se trazan dos tangentes
distintas a ellas, estas son congruentes entre sí.

Sean PA y PC tangentes a la circunferencia. Se cumple que: P
A

PA ≅ PC CPECH

C
93

3 Geometría

Capítulo Conceptos
fundamentales

El perímetro de la circunferencia es la longitud de su contorno y se calcula por:
Perímetro: 2π • radio

El área de un círculo es la medida de la superficie delimitada por la circunferencia y se calcula por:
Área: π • radio2

En la circunferencia de centro O y radio r de la figura, se tiene al arco AB con ángulo del centro α. Para calcular
la longitud del arco AB, mediante proporción directa entre el ángulo del centro y el arco comprendido, se

utiliza la siguiente relación:

B Como el perímetro es la longitud del arco completo (360°),
se plantea la proporción directa:

r longitud arco AB = a
perímetro de la circunferencia 360°
a
O r A

longitud arco AB = a
2πr 360°

longitud arco AB = a • 2πr
360°

El sector circular de un círculo es la región delimitada por dos radios y el arco de circunferencia comprendida
por estos.

B Perímetro del sector circular = 2r + a • 2πr
r 360°

a r A Área del sector circular: se obtiene mediante proporción
O directa entre el ángulo del centro y el área que comprende.

Área del sector circular = a • πr2
360°

CPECH

94

Matemática

Ángulos en la circunferencia
El ángulo del centro está formado por dos radios de la circunferencia y tiene su vértice en el centro de esta.
Angularmente, mide lo mismo que el arco de circunferencia que subtiende.

B

A O: centro de la circunferencia
O ∠ AOB = AB

El ángulo inscrito está formado por dos cuerdas y tiene el vértice en un punto de la circunferencia. Mide la
mitad del arco de circunferencia que subtiende.

B

A ∠ ACB = AB
2

C

El ángulo interior es aquel que se forma por la intersección de dos cuerdas. Tiene el vértice en la región
interior a la circunferencia.

C
D

P ∠ APB = AB + CD
2
A
B CPECH

95

3 Geometría

Capítulo El ángulo exterior es aquel que se forma por la intersección de dos secantes a la circunferencia. Tiene el
vértice en la región exterior a la circunferencia.

A

D

P ∠ APB = AB – CD
2

C

B

Pregunta tipo PSU

En la circunferencia de la figura adjunta, la cuerda AC se intersecta en el punto E con la secante BF , que

corta a la circunferencia en el punto D. Si BC es una cuerda y CF es tangente a la circunferencia en C, ¿cuál

es la medida del arco DA? F

A) 160° A D 50°
B) 140°
C) 120° E 60° C
D) 100° 20°
E) 90º B

Resolución

Al ser el ángulo CBD un ángulo inscrito en la circunferencia, 100° F
entonces el arco que proyecta este ángulo mide el doble de la
medida de este, es decir, el arco CD mide 40º. A D 50°
40°
Por otra parte, se conocen dos ángulos del triángulo CEF, por lo
que el ángulo que se desconoce será aquel que, junto a los otros E 60° 70°
dos ángulos, complete los 180º correspondiente a la suma de los 20° C
ángulos interiores de esta figura. Es decir, el ángulo FCE mide 70º. B

Al ser el ángulo FCA un ángulo semi-inscrito, este corresponderáCPECHAlternativa correcta:
a la mitad del arco que proyecta, por lo que el arco CA mide 140º.
Como la medida del arco CA (140º) es igual a la suma entre la media D
del arco CD (40º) y el arco DA, entonces la medida del arco DA es
igual a 100º.

Otra forma de llegar a la respuesta correcta es utilizando los
teoremas de ángulo exterior y ángulo interior. Intenta obtener esta
respuesta a partir de estas herramientas.

96

Matemática

3.2. Transformaciones isométricas

3.2.1. Ubicación, punto medio y distancia en el plano cartesiano

El plano cartesiano se compone de dos rectas o ejes perpendiculares entre sí: el eje de las abscisas (horizontal)
o eje X y el eje de las ordenadas (vertical) o eje Y. Cada punto se determina por sus coordenadas x e y. El
punto donde se intersectan los ejes se denomina origen (O).

y I
II

y2 Q(x2, y2) La posición de cada punto P(x, y) se
determina por sus coordenadas. La
y1 P(x1, y1) primera coordenada (abscisa x) indica
si el punto está a la derecha (+) o a la
0 x1 x2 x izquierda (–). La segunda coordenada
(ordenada y) indica si el punto está hacia
arriba (+) o hacia abajo (–).

III IV

Sabías que...

El plano cartesiano es dividido por los ejes perpendiculares en cuatro cuadrantes, designados con
números romanos (en sentido contrario a los punteros del reloj): I, II, III y IV.

Dado dos puntos en el plano cartesiano, A(x1, y1) y B(x2, y2), se puede determinar el punto medio entre A y B, es
decir, el punto que dimidia al segmento AB a partir de la semisuma de las coordenadas respectivas. Luego, las
coordenadas del punto medio entre A y B queda determinado por

( )MAB =x1 + x2 , y1 + y2
2 2

Por ejemplo, el punto medio entre los puntos (3, – 4) y (7, 2), a partir de la fórmula planteada, es

3+7( ) ( )M=,–4+2 = 10 , –2 = (5, – 1)
2 2 2 2

CPECH

97

3 Geometría

Capítulo Dados los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2) en el plano cartesiano, la distancia entre ellos se calcula mediante el
teorema de Pitágoras.

y

y2 Q(x2, y2) Si se dibuja el triángulo rectángulo de la
y1 P(x1, y1)
d (y2 – y1) figura, la distancia d entre los puntos P y
0 x1 Q se calcula:

(x2 – x1) PQ = �(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

x2 x

Por ejemplo, para calcular la distancia entre los puntos A(2, – 3) y B(8, 5) se aplica la fórmula anterior:

AB = �(8 – 2)2 +(5 – (– 3))2 = �62 + 82 = �100 = 10.

Pregunta tipo PSU

Sea un triángulo ABC en el plano cartesiano, con vértices A(– 3, 6), B(– 2, – 2) y C(4, 2). La medida de la
altura que se traza desde el vértice A mide

A) �52
2

B) �52

C) �65
2

D) �65

E) no se puede determinar con los datos entregados.CPECH

Resolución

Al calcular la distancia que hay entre los tres puntos enunciados, se puede concluir que el triángulo ABC
es isósceles en A, ya que

dAB = �(– 2 – (– 3))2 + (– 2 – 6)2 = �12 + (– 8)2 = �1 + 64 = �65
dAC = �(4 – (– 3))2 + (2 – 6)2 = �72 + (– 4)2 = �49 + 16 = �65
dBC = �(4 – (– 2))2 + (2 – (– 2))2 = �62 + 42 = �36 + 16 = �52

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