Calculo una Variable - Thomas

THOMAS

CÁLCULO

U NA VA R I A B L E

UNDÉCIMA EDICIÓN

REGLAS DE DERIVACIÓN

Fórmulas generales Funciones trigonométricas inversas

Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x. d ssen-1 xd 1 d scos-1 x d 1
dx 21 - dx 21 -
d = = -
dx
Constante: scd = 0 x2 x2

Suma: d su yd du dy d stan-1 xd = 1 d ssec-1 xd = 1
dx dx dx dx + x2 dx ƒ x ƒ 2x2
+ = + 1 - 1

Diferencia: d su - yd = du - dy d scot-1 xd = - 1 x2 d scsc-1 xd = - 1
dx dx dx dx + dx ƒ x ƒ 2x2
1 - 1

Múltiplo constante: d scud = c du
dx dx
Funciones hiperbólicas
d dy du
Producto: dx suyd = u dx + y dx d d
dx dx
ssenh xd = cosh x scosh xd = senh x

d ayu b y du - u dy d sech2 x d
dx dx dx dx dx
Cociente: = stanh xd = ssech xd = - sech x tanh x
Potencia:
Regla de la cadena: y2

d xn = nxn - 1 d scoth xd = - csch2 x d scsch xd = - csch x coth x
dx dx dx

d sƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd # g¿sxd
dx
Funciones hiperbólicas inversas

Funciones trigonométricas d ssenh-1 xd = 1 d scosh-1 x d = 1
dx 21 + dx 2x2 -
x2 1

d ssen xd = cos x d scos xd = - sen x d stanh-1 x d = 1 d ssech-1 xd = - 1
dx dx dx - dx x21 -
1 x2 x2

d stan xd = sec2 x d ssec xd = sec x tan x d scoth-1 1 d scsch-1 1
dx dx dx - dx 21
x d = x2 xd = -

d - csc2 x d 1 ƒx ƒ + x2
dx dx
scot xd = scsc xd = - csc x cot x

Ecuaciones paramétricas

Funciones exponenciales y logarítmicas Si x = ƒstd y y = gstd son diferenciables, entonces

d ex = ex d ln x = 1 dy dy>dt d2y dy¿>dt
dx dx x
y¿ = dx = dx>dt y dx2 = dx>dt
d ax ax ln a d 1
dx = dx sloga xd = x ln a

CÁLCULO

UNA VARIABLE

UNDÉCIMA EDICIÓN

George B. Thomas, Jr.

Massachusetts Institute of Technology

Maurice D. Weir Revisado por: Frank R. Giordano
Naval Postgraduate School Naval Postgraduate School
Joel Hass
University of California, Davis

TRADUCCIÓN

Elena de Oteyza de Oteyza Víctor Hugo Ibarra Mercado

Instituto de Matemáticas, Escuela Superior de Física y Matemáticas

Universidad Nacional Autónoma de México Instituto Politécnico Nacional

Dr. Carlos Bosh Giral REVISIÓN TÉCNICA Óscar Andrés Montaño Carreño
Departamento de Matemáticas Francisco Javier González Piña Departamento de Ciencias Naturales
Instituto Tecnológico Autónomo de México Departamento de Matemáticas, CUCEI y Matemáticas
(ITAM) Universidad de Guadalajara Pontificia Universidad Javeriana
Colombia
César Luis García García Carlos J. Zea Rivera
Departamento de Matemáticas Coordinación de Ciencias Físico-Matemáticas Leonardo Sánchez
Instituto Tecnológico Autónomo de México Universidad Iberoamericana Profesor del Departamento de Ingeniería
(ITAM) campus Torreón Matemática
Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas
Claudia Gómez Wulschner José Botto Universidad de Chile
Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Rosario, Facultad
Instituto Tecnológico Autónomo de México de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura René Jorge Piedra de la Torre
(ITAM) Argentina Director del Departamento de Matemática y
Física
Mauricio Pedraza Pérez Emilio Sastre Pontificia Universidad Católica Madre y
Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Rosario, Facultad Maestra
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura República Dominicana
y Eléctrica Argentina
Unidad Azcapotzalco María Rosa Brito
Instituto Politécnico Nacional Antonio Merchan Abril Profesora de Cálculo
Coordinador Cálculo Diferencial Universidad Simón Bolívar,Venezuela
María Elisa Barrón García, M.E. Departamento de Matemáticas
Instituto Tecnológico y de Estudios Pontificia Universidad Javeriana Antonio José Syers Hernández
Superiores de Monterrey Colombia Coordinador de Cálculo
campus Guadalajara Universidad Metropolitana,Venezuela

Roberto Núñez Malherbe
Instituto Tecnológico de Estudios
Superiores de Occidente (ITESO)

Datos de catalogación bibliográfica

THOMAS, JR., GEORGE B. Dedicado a
Ross Lee Finney III
Cálculo. Una variable. Undécima edición
(1933-2000)
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 profesor, mentor, autor,
gran persona, y amigo de todos
ISBN: 970-26-0643-8
Área: Universitarios

Formato: 21 × 27 cm Páginas: 824

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,
publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved.
ISBN 0-321-185587

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,
publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español

Editor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected]

Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández

Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Edición en inglés: Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton
Publisher: Greg Tobin Associate Media Producer: Sara Anderson
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Marketing Assistant: Heather Peck Cover Design: Barbara T. Atkinson
Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz

UNDÉCIMA EDICIÓN, 2006

D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco núm. 500, 5° piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
E-mail: [email protected]

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

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de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación
o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0643-8

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 1

1.1 Los números reales y la recta real 1 38
1.2 Rectas, círculos y parábolas 9
1.3 Funciones y sus gráficas 19
1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 28
1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas
1.6 Funciones trigonométricas 48
1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Límites y continuidad 73

2.1 Razón de cambio y límites 73 84
2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites
2.3 La definición formal de límite 91
2.4 Límites laterales y límites al infinito 102
2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 115
2.6 Continuidad 124
2.7 Tangentes y derivadas 134

PREGUNTAS DE REPASO 141
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 142
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144

3 Derivadas 147

3.1 La derivada como una función 147 iii
3.2 Reglas de diferenciación 159

iv Contenido

3.3 La derivada como razón de cambio 171
3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 183
3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 190
3.6 Diferenciación implícita 205
3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 213
3.8 Linealización y diferenciales 221

PREGUNTAS DE REPASO 235
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 235
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240

4 Aplicaciones de las derivadas 244
325
4.1 Valores extremos de una ecuación 244 262 396
4.2 El teorema del valor medio 255
4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada
4.4 Concavidad y trazado de curvas 267
4.5 Problemas de optimización aplicados 278
4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 292
4.7 El método de Newton 299
4.8 Antiderivadas 307

PREGUNTAS DE REPASO 318
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 318
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322

5 Integración

5.1 Estimación con sumas finitas 325 368
5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 335
5.3 La integral definida 343
5.4 El teorema fundamental del cálculo 356
5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución
5.6 Sustitución y áreas entre curvas 376

PREGUNTAS DE REPASO 387
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 388
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391

6 Aplicaciones de las integrales definidas

6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación
alrededor de un eje 396

6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 409
6.3 Longitudes de curvas planas 416
6.4 Momentos y centro de masa 424
6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436
6.6 Trabajo 447
6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

Contenido v

PREGUNTAS DE REPASO 461 464
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 461
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS

7 Funciones trascendentes 466

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 466
7.2 Logaritmos naturales 476
7.3 La función exponencial 486
7.4 ax y loga x 495
7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 502
7.6 Razones de crecimiento relativas 511
7.7 Funciones trigonométricas inversas 517
7.8 Funciones hiperbólicas 535

PREGUNTAS DE REPASO 546
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 547
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550

8 Técnicas de integración 553

8.1 Fórmulas básicas de integración 553
8.2 Integración por partes 561
8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570
8.4 Integrales trigonométricas 581
8.5 Sustituciones trigonométricas 586
8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 593
8.7 Integración numérica 603
8.8 Integrales impropias 619

PREGUNTAS DE REPASO 633
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 634
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638

9 Aplicaciones adicionales de integración 642

9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642
9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650
9.3 Método de Euler 659
9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 665
9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673

PREGUNTAS DE REPASO 682
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 682
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683

vi Contenido

Volumen II

10 Secciones cónicas y coordenadas polares 685

10.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 685
10.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 697
10.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 702
10.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 709
10.5 Coordenadas polares 714
10.6 Gráficas en coordenadas polares 719
10.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares 725
10.8 Secciones cónicas en coordenadas polares 732

PREGUNTAS DE REPASO 739
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 739
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 742

11 Sucesiones y series infinitas 746

11.1 Sucesiones 747 787
11.2 Series infinitas 761
11.3 Criterio de la integral 772
11.4 Pruebas de comparación 777
11.5 Pruebas de la raíz y de la razón 781
11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional
11.7 Series de potencias 794
11.8 Series de Taylor y de Maclaurin 805
11.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 811
11.10 Aplicaciones de las series de potencias 822
11.11 Series de Fourier 833

PREGUNTAS DE REPASO 839

EJERCICIOS DE PRÁCTICA 840

EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 843

12 Los vectores y la geometría del espacio 848

12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 848
12.2 Vectores 853
12.3 El producto punto 862
12.4 El producto cruz 873
12.5 Rectas y planos en el espacio 880
12.6 Cilindros y superficies cuádricas 889

PREGUNTAS DE REPASO 899
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 900
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 902

Contenido vii

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 906

13.1 Funciones vectoriales 906
13.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 920
13.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931
13.4 Curvatura y el vector unitario normal N 936
13.5 Torsión y el vector unitario binormal B 943
13.6 Movimiento de planetas y satélites 950

PREGUNTAS DE REPASO 959
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 960
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962

14 Derivadas parciales 965

14.1 Funciones de varias variables 965
14.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores 976
14.3 Derivadas parciales 984
14.4 Regla de la cadena 996
14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005
14.6 Planos tangentes y diferenciales 1015
14.7 Valores extremos y puntos de silla 1027
14.8 Multiplicadores de Lagrange 1038
14.9 Derivadas parciales con variables restringidas 1049
14.10 Fórmula de Taylor para dos variables 1054

PREGUNTAS DE REPASO 1059

EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1060

EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063

15 Integrales Múltiples 1067

15.1 Integrales dobles 1067 1114
15.2 Área, momentos y centros de masa 1081
15.3 Integrales dobles en forma polar 1092
15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098
15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1109
15.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas
15.7 Sustitución en integrales múltiples 1128

PREGUNTAS DE REPASO 1137
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1138
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1140

viii Contenido

16 Integración en Campos Vectoriales 1143

16.1 Integrales de línea 1143
16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 1149
16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 1160
16.4 Teorema de Green en el plano 1169
16.5 Área de superficies e integrales de superficie 1182
16.6 Superficies parametrizadas 1192
16.7 Teorema de Stokes 1201
16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211

PREGUNTAS DE REPASO 1222
EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1223
EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1226

Apéndices AP-1

A.1 Inducción matemática AP-1
A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4
A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7
A.4 Teoría de los números reales AP-9
A.5 Números complejos AP-12
A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22
A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23
A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28
A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29

Respuestas R-1

Índice I-1

Breve tabla de integrales T-1

Créditos C-1

PREFACIO

INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos querido
mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas.
Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las ediciones
clásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-
tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruido
los ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor,
George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como ha
sido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos y
congruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re-
trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado
a crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros y
científicos.

En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y las
aplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate-
mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela
la teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicación
de ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave de
las matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica en
torno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu-
diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar sus
conocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de lo
analizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creación
valga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos en
el lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosas
situaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos de
ecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.

Cambios en la undécima edición

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del
cálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versiones
anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-
cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los
problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones.
Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé-
todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en el
marco de una estructura matemática coherente.

ix

x Prefacio

RIGOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del tex-
to es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendo
una clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostracio-
nes accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el material
pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a
pesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene
un máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar
varios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado de
manera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como en
las ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener la
pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las su-
gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculo de
Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos.

TOMO I

• Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve

revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar por
obviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientos
para que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudian-
tes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en
las calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función.

• Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostra-

ciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y sus
relaciones con las asíntotas de una gráfica).

• Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones

más importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-
blecen las bases para la integración.

• Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5

introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva.
Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando de-
rivadas y antiderivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con la
regla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicional
de aplicaciones de las integrales definidas.

• Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas de

integración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción a
las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la
función exponencial como su inversa.

• Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones

diferenciales básicas ahora está organizado solamente en el capítulo 9. Esta disposi-
ción permite que los profesores encuentren la flexibilidad idónea para cubrir los te-
mas correspondientes.

TOMO II

• Cónicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el capítulo 10 ha sido total-

mente reescrito. Por otro lado, este capítulo completa el material de ecuaciones paramé-
tricas, dando las parametrizaciones para las parábolas, las hipérbolas y las cicloides.

• Series En comparación con ediciones anteriores, en el capítulo 11 hemos desarro-

llado de manera más completa los criterios de convergencia para series. También in-
cluimos, al final del capítulo, una breve sección para presentar las series de Fourier
(cuyo estudio puede omitirse, según convenga).

Prefacio xi

FIGURA 6.11, página 402 • Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun-
Determinación del volumen del sólido
generado al hacer girar la región (a) damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones
alrededor del eje y. en un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones de
valores vectoriales en el plano y en el espacio.

• Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevemente

la teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran
importancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de
este libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacen
referencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las que
podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes).

y

4

x ϭ 2
y

y

1 2
y
R( y) ϭ

x
02

(a)
y

4 2
y
x ϭ

⎛ 2 , y⎝⎛
⎝ y

y

1

0 R( y) ϭ 2
(b) y

2x

FIGURA 6.13, página 403 y y
Las secciones transversales y
del sólido de rotación 0 0 ( x, R(x))
generado aquí son arandelas, x (x, r(x))
no discos. y ϭ R(x) x
y ϭ r(x) x
0 bx x

a Arandela
x

xii Prefacio

Otras características

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare-
cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios
prácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y
avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor
envergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectos
para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos más
largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-
ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecen
a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad
de conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis-
ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de
estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es
adecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado
en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cada
definición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari-
dad y exactitud matemática.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-
ca ser fácil de leer, interactivo y matemáticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado
con claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones a
problemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte-
rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am-
pliado a lo largo de las últimas ediciones.

TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicas
del cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu-
los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según los
propósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso de
la tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

• Con una T si se requiere una calculadora o computadora para su resolución.
• Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemático (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOS
Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University
Mathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State University
Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College
TI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.
Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83
Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece
guía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadora
a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

Prefacio xiii

COURSECOMPASS
CourseCompass es una plataforma para cursos en línea que Pearson Educación ofrece de
manera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-
gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL,
el sistema de tutoriales, tareas y evaluación en línea de Addison Wesley. MyMathLab pro-
porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, así como ejercicios
generados algorítmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos pueden
utilizar también herramientas en línea, como clases en vídeo, animaciones, una versión
electrónica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensión y
desempeño. Además, los estudiantes pueden responder exámenes por capítulo y obtener
un plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesores
pueden emplear los administradores de tareas y exámenes que proporciona CourseCom-
pass para seleccionar y asignar ejercicios en línea relacionados directamente con el libro,
así como importar exámenes de TestGen para obtener más flexibilidad. El libro de notas
de MyMathLab —diseñado específicamente para matemáticas y estadística— lleva un
registro automático de las tareas y los resultados de los exámenes de los alumnos, y da
control al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass está disponible
para quienes adopten el libro. Para obtener más información, visite nuestro sitio Web en
www.coursecompass.com, o pida una demostración del producto al representante de ven-
tas de Pearson Educación que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTER
TestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exámenes mediante
un banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-
to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear múltiples
versiones de la misma pregunta o del mismo examen con sólo hacer clic en un botón. Los
maestros pueden también modificar las preguntas del banco de exámenes o agregar nuevos
reactivos utilizando además el editor integrado para crear o importar gráficas, insertar
notación matemática, números variables o texto. Los exámenes pueden imprimirse o dis-
tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass o
Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebas
en una red de área local. El software está disponible en un CD-ROM para las plataformas
Windows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas
El sitio Web del libro Cálculo de Thomas proporciona al alumno biografías más amplias
de los personajes históricos referidos en el libro, así como artículos relacionados. Asimis-
mo, pone a su disposición un conjunto de módulos de Maple y Mathematica que puede
utilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio también ofrece al profesor un
vínculo hacia el sitio de descarga de materiales (en inglés) de este libro.

Agradecimientos

Editores de desarrollo Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-
Elka Block ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edición.
David Chelton
Frank Purcell Correctores
William Ardis
Karl Kattchee
Douglas B. Meade
Robert Pierce
Frank Purcell
Marie Vanisko
Thomas Wegleitner

xiv Prefacio

Jefatura de revisión Troy Riggs, Union University
Harry Allen, Ohio State University Ferinand Rivera, San Jose State University
Rebecca Goldin, George Mason University Mohammed Saleem, San Jose State University
Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Tatiana Shubin, San Jose State University
Dominic Naughton, Purdue University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire
Maria Terrell, Cornell University Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee
Clifford Weil, Michigan State University Chia Chi Tung, Minnesota State University
William L. VanAlstine, Aiken Technology College
Revisión técnica Bobby Winters, Pittsburg State University
Robert Anderson, University of Wisconsin–Milwaukee Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston
Charles Ashley, Villanova University
David Bachman, California Polytechnic State University Participantes en encuestas
Elizabeth Bator, University of North Texas Omar Adawi, Parkland College
William Bogley, Oregon State University Siham Alfred, Raritan Valley Community College
Kaddour Boukaabar, California University of Donna J. Bailey, Truman State University
Pennsylvania Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University
Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired)
Mark Bridger, Northeastern University Thomas A. Carnevale, Valdosta State University
Sean Cleary, The City College of New York Lenny Chastkofsky, The University of Georgia
Edward Crotty, University of Pennsylvania Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-
Mark Davidson, Louisiana State University nical College
Richard Davitt, University of Louisville Lloyd Davis, College of San Mateo
Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Will-Matthis Dunn III, Montgomery College
Anne Dougherty, University of Colorado George F. Feissner, SUNY College at Cortland
Rafael Espericueta, Bakersfield College Bruno Harris, Brown University
Klaus Fischer, George Mason University Celeste Hernandez, Richland College
William Fitzgibbon, University of Houston Wei-Min Huang, Lehigh University
Carol Flakus, Lower Columbia College Herbert E. Kasube, Bradley University
Tim Flood, Pittsburg State University Frederick W. Keene, Pasadena City College
Robert Gardner, East Tennessee State University Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-
John Gilbert, The University of Texas at Austin ge
Mark Hanish, Calvin College Robert Levine, Community College of Allegheny County,
Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Boyce Campus
Jo W. Heath, Auburn University John Martin, Santa Rosa Junior College
Ken Holladay, University of New Orleans Michael Scott McClendon, University of Central Okla-
Hugh Howards, Wake Forest University homa
Dwanye Jennings, Union University Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University
Matthias Kawaski, Arizona State University Emma Previato, Boston University
Bill Kincaid, Wilmington College S.S. Ravindran, University of Alabama
Mark M. Maxwell, Robert Morris University Dan Rothe, Alpena Community College
Jack Mealy, Austin College John T. Saccoman, Seton Hall University
Richard Mercer, Wright State University Mansour Samimi, Winston-Salem State University
Victor Nestor, Pennsylvania State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College
Michael O’Leary, Towson University W.R. Schrank, Angelina College
Bogdan Oporowski, Louisiana State University Mark R. Woodard, Furman University

Agradecimientos a los profesores

Agradecemos a todos los profesores que han Rafael Guzmán Universidad Católica de Colombia
sido leales usuarios y han impartido la materia Ricardo Mancipe Ana Mercedes Márquez
de Cálculo en los países de habla hispana con Ricardo Quintana Carlos Daza
el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus Sandra Isabel Gutiérrez Carlos Hernando Pinzón
valiosos comentarios han servido para enri- Víctor Ardila Felipe Lara
quecer el desarrollo de la actual edición. Espe- William Estrada Gerardo Ardila
ramos que con el uso de este texto cumplan sa- Germán Beltrán
tisfactoriamente los objetivos del programa del Fundación del Área Andina Javier Manotas
curso y preparen a sus alumnos para enfrentar Mario Duarte Libardo Ortegón
los retos actuales dentro del ámbito de las Ma- Rosario Granados Lorenzo Zubieta
temáticas. En especial deseamos agradecer el Miguel Ángel Martínez
apoyo y retroalimentación que nos han dado INPAHU Régulo Miguel Hernández
los siguientes profesores: Edgar Borras Rubén Darío Castañeda

COLOMBIA Pontificia Universidad Javeriana Universidad de América
Abrahan Jiménez Edgar Rodríguez
Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Antonio Merchan Héctor Lozano
Garavito Diego Guerrero Jaime Bolaños
Eddy Herrera Margarita Ruiz
Ana Alicia Guzmán Eduardo Estrada
Benjamín Rafael Sarmiento Fabio Molina Universidad de la Sabana
Bernarda Aldana Fernando Suárez Héctor López
Boris Mauricio Pulido Francisco Soler María Lilia Perilla
Campo Elías Velosa Gerardo Tole
Carlos Abel Álvarez Guillermo Arias Universidad de San Buenaventura
Carlos Enrique Frasser Gustavo Nieto Elmer Villegas
Carmenza Moreno Harold Noriega Hernán Pineda
Clara Teresa Triviño Héctor Orlando Linares Patricia Mateus
Claudia Castro Irina Reyes Wilson Soto
Diego Parada Ismael García
Edgar Obonaga Iván Castro Universidad de San Martín
Edith Zoraida Pinzón Jesús Fernando Novoa Jaime Preciado
Eduardo Brieva José Humberto Serrano
Ernesto Acosta José Severino Niño Universidad del Bosque
Gloria Inés Bernal Juan Carlos Quintero Libardo Munevar
Guiomar Lleras Julio César Melo
Guiomar Mora Lennin Reyes Universidad Distrital Francisco José de
Gustavo Erazo Liliana Ángel Caldas
Herbert Alonso Dueñas Liliana Barreto
Isabel Carlota López Luis Alejandro Bello Abrahan Jiménez
Jaime Alonso Castillo Luis Alfonso Mejía Adrián Ricardo Gómez
Jaime Arango Luz Marina Moya Carmen Leonor Pulido
Jairo Scarpeta Luz Mary Ariza Claudia Vela
Jorge Augusto Pérez María C. Rodríguez Clemencia Garavito
Jorge Bateman Martha Alvarado Gloria Neira
José Francisco Amador Martha Moreno Ignacio Rodríguez
Juan Manuel Bedoya Matilde Páez Janeth Galeano
Juan Manuel Cordero Nelson Urrego José María Pino
Juan Manuel Ospina Nicolás Civetta José Villada
Juan Manuel Sarmiento Rafael Castro Luis Martín
Luis Alejandro Fonseca Vladimir Moreno María Astrid Cuida
Luis Miguel Acosta María del Pilar Bohórquez
Manuel Casabianca Universidad Antonio Nariño Nayive Nieves
Manuel Díaz Orlando Vanegas Pablo Acosta
Margarita Mónica Rey Rodrigo Javier Herrera
María Consuelo Cortés Universidad Autónoma Zulima Ortiz
María Viviana Bernal Gladys Villamarín
Néstor Raúl Pachón Marco Tulio Millán Universidad INCCA de Colombia
Olga Maritza Camacho Jorge Eliécer Rodríguez
Óscar Antonio Pulido
Óscar Darío Zárate

xvi Agradecimientos a los profesores

Universidad Militar Nueva Granada Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Arturo Ramírez Superiores de Monterrey, campus Toluca José César Hernández García
Felipe A. Riaño María Guadalupe Silva Esparza
José Farid Patiño José Arturo Tar Ortiz Peralta
Luis Antonio Meza Universidad Autónoma de Tamaulipas
Instituto Tecnológico y de Estudios Ramiro Garza Molina
Universidad Nacional Superiores de Monterrey, campus Sinaloa
Héctor Useche Instituto Tecnológico de Veracruz
Herbert Dueñas José Benigno Valdez Torres Mario Martínez Cano

Universidad Piloto Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Veracruzana
Carlos Garzón Superiores de Monterrey, campus Dolores Vera Dector
William Arley Rincón Guadalajara Uriel García Ortiz

Universidad Santo Tomás Abel Vázquez Pérez PERÚ
Eunice Chara Abelardo Ernesto Damy Solís
Gloria Torres Guillermo Rodríguez López Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas
Marlene Garzón Humberto Hipólito García Díaz Agustín Curo
Jesús Cuauhtémoc Ruvalcaba Álvarez
GUATEMALA Luis Eduardo Falcón Morales REPÚBLICA DOMINICANA
Luz María González Ureña
Universidad de San Carlos María Elisa Barrón García Instituto Tecnológico de Santo Domingo
Arturo Samayoa Coride Pérez
Instituto Tecnológico y de Estudios Máximo A. Campuzano
MÉXICO Superiores de Monterrey, campus León
Pontificia Universidad Católica Madre y
Instituto Tecnológico Autónomo de México Enrique Garibay Ruiz Maestra
(ITAM)
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores Masako Saito
Beatriz Rumbos Pellicer de Occidente (ITESO), Guadalajara
Claudia Gómez Wulschner Universidad Autónoma de Santo Domingo
Lorena Zogaib César Espinosa Abundis Carlos Feliz Sánchez
María del Carmen López Laiseca Enrique Rodríguez Ruiz Carlos Mayobanet Cabral
Héctor Vidaurri Aguirre David Torrez
Unidad Profesional Interdisciplinaria de Roberto Núñez Malherbe
Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Universidad Apec
Centro de Enseñanza Técnica Industrial, Justo Báez
Carlos Cruz Guadalajara
Prisciliano Aguilar Viveros Universidad Católica Tecnológica del Cibao
Michael Vollger Zaepfel Cristian Mercedes Cruz
Universidad Anáhuac del Sur
Vicente Rivera Universidad de Guadalajara Universidad Iberoamericana
Francisco Javier González Piña Máximo Santana
Universidad Iberoamericana Guadalupe Isabel Rodríguez Medina
Humberto Mondragón Suárez Jorge Mario Arellano Hernández VENEZUELA
José de Jesús Uribe Madrigal
Universidad La Salle Lucía González Rendón Universidad Central de Venezuela
Gustavo Velázquez Garduño María de Lourdes Martínez Silva María de Armas
María Esther Mejía Marín Martha Zerpa
Instituto Tecnológico de Estudios Superiores Tomás Ignacio Villaseñor Saavedra
de Ecatepec Universidad Metropolitana
Universidad Autónoma de Nuevo León Antonio Syers
Francisco Javier Vargas Mancilla Alejandro García García Lida Niño
Gabriel Ramírez Dámaso Angélica Tovar Gómez
Bertha Arellano Silva Universidad Simón Bolívar
Instituto Tecnológico y de Estudios Gloria Pedroza Cantú María Rosa Brito
Superiores de Monterrey, campus Estado de María Magdalena de la Rosa Reséndiz
México Santiago Neyra Rosales Universidad del Zulia
Sergio Elizondo Arroyave Daniel Duque
Faustino Yescas Martínez Yenny Valenzuela Murillo
Rubén Darío Santiago Acosta
Universidad Regiomontana
Luis Alberto Rodríguez Escamilla
Ma. Teresa Narváez Flores
Neyda Eliza López Leal

Capítulo PRELIMINARES

1

INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un repaso de las ideas básicas necesarias pa-
ra iniciar el estudio del cálculo. Entre los temas se incluyen el sistema de números reales,
las coordenadas en el plano cartesiano, las líneas rectas, las parábolas, los círculos, las
funciones y la trigonometría. También se analiza el uso de calculadoras graficadoras y de
programas para graficación por computadora.

1.1 Los números reales y la recta real

Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda-
des del valor absoluto.

Números reales

Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los nú-
meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo

3 = - 0.75000 Á
-4

1 = 0.33333 Á
3

22 = 1.4142 Á

En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales con-
tinúa indefinidamente. Cualquier expansión decimal posible representa un número real,
aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos
.999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válida
para cualquier número con una infinita fila de nueves.

Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una
recta numérica, llamada recta real.

–2 –1 – 3 01 1 ͙2 2 3␲ 4
4 3

El símbolo ‫ ޒ‬denota tanto al sistema de números reales como a la recta real.
Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: pro-

piedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades
algebraicas establecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y
dividirse (excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de la
aritmética. No es posible dividir entre 0.

1

2 Capítulo 1: Preliminares

En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir de
ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Q significa “implica”.

Reglas para desigualdades
Si a, b y c son números reales, entonces:

1. a 6 b Q a + c 6 b + c

2. a 6 b Q a - c 6 b - c

3. a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc

4. a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac

Caso especial: a 6 b Q -b 6 - a

5. a 7 0 Q 1 7 0
a

6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces

a 6 b Q 1 6 1
b a

Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar
por un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un
número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invier-
te el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, 2 6 5
pero - 2 7 - 5 y 1>2 7 1>5.

En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja y
difícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de
límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien-
tes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “fal-
tantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad,
muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja para
un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se
construyen los números reales.

Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales.

1. Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . .

2. Los números enteros, como 0, ;1, ;2, ;3, Á

3. Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracción
m/n, donde m y n son enteros y n Z 0. Por ejemplo

1 , 4 = -4 = 4 , 200 , y 57 = 57 .
3 -9 9 -9 13 1

Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones deci-

males, que son

(a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo

3 = 0.75000 Á = 0.75 o
4

(b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo,

23 = 2.090909 Á = 2.09 La barra indica el
11 bloque de dígitos
que se repite.

* A este término también se le conoce como propiedad de densidad o de completitud.

1.1 Los números reales y la recta real 3

Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repetición decimal de
final de ceros repetidos.

El conjunto de números racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de orden
de los números reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un
número racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un “vacío” en la recta ra-
cional, donde debería estar 22.

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se carac-
terizan por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo, p, 22,
23 5 , y log10 3 . Como cada expansión decimal representa un número real, resulta evidente
que la cantidad de números irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto números racio-
nales como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real.

La notación de conjuntos es muy útil para especificar un subconjunto de números rea-
les. Un conjunto es una colección de objetos, los mismos que constituyen los elementos
del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a H S significa que a es un elemento de S, y
a x S significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, S ´ T es su unión,
y ésta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). La
intersección S ¨ T consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S y
T. El conjunto vacío ¤ es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la intersección de
los números racionales y los números irracionales es el conjunto vacío.

Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comas
entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los números naturales (o enteros
positivos) menores que 6, puede expresarse como

A = 51, 2, 3, 4, 56.

El conjunto de todos los números enteros se escribe como

50, ;1, ;2, ; 3, Á 6.

Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla que
genere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto

A = 5x ƒ x es un entero y 0 6 x 6 66

es el conjunto de los enteros positivos menores que 6.

Intervalos

Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos
números y todos los números reales que están entre cualquier par de sus elementos. Por
ejemplo, el conjunto de todos los números reales x tales que x 7 6 es un intervalo, así co-
mo el conjunto de todos los x tales que - 2 … x … 5. El conjunto de todos los números
reales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple
con la condición de contener todos los números reales entre -1 y 1 (por ejemplo).

Geométricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la rec-
ta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de números que corresponden a segmentos de
recta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son in-
tervalos infinitos.

Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabierto
si incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus ex-
tremos. Los extremos también se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamen-
te la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, y
constituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos,
son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real
completa ‫ ޒ‬es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado.

Resolución de desigualdades

Al proceso de encontrar el intervalo o intervalos de números que satisfacen una desigual-
dad en x se le llama resolver la desigualdad.

4 Capítulo 1: Preliminares

TABLA 1.1 Tipos de intervalos

Finito: Notación Descripción Tipo Figura
(a, b) del conjunto Abierto
ab
5x ƒ a 6 x 6 b6 ab
ab
[a, b] 5x ƒ a … x … b6 Cerrado ab
a
[a, b) 5x ƒ a … x 6 b6 Semiabierto a

(a, b] 5x ƒ a 6 x … b6 Semiabierto b
b
Infinito: sa, q d 5x ƒ x 7 a6 Abierto

[a, q d 5x ƒ x Ú a6 Cerrado

s- q, bd 5x ƒ x 6 b6 Abierto

s - q, b] 5x ƒ x … b6 Cerrado
s- q, qd
‫( ޒ‬conjunto de todos Ambos
los números reales) abierto y cerrado

EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solución en forma de
desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica.

(a) 2x - 1 6 x + 3 (b) x 6 2x + 1 (c) x 6 1 Ú 5
-3 -

Solución

(a) 2x - 1 6 x + 3

01 4 x
(a)
2x 6 x + 4 Sumar 1 en ambos lados.

x64 Restar x en ambos lados.

3 0 1 x
7
– El conjunto solución es el intervalo abierto s - q , 4d (figura 1.1a).

(b)

x (b) x 6 2x + 1
-3
01 11
5
-x 6 6x + 3 Multiplicar por 3 ambos lados.
(c)

FIGURA 1.1 Conjuntos solución 0 6 7x + 3 Sumar x en ambos lados.
para las desigualdades del ejemplo 1.
-3 6 7x Restar 3 en ambos lados.
Dividir entre 7.
3 6 x
-7

1.1 Los números reales y la recta real 5

El conjunto solución es el intervalo abierto s -3>7, q d (figura 1.1b).

(c) La desigualdad 6>sx - 1d Ú 5 puede satisfacerse solamente si x 7 1, ya que en cual-
quier otro caso 6>sx - 1d no está definido o es negativo. Así, sx - 1d es positivo y la
desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por sx - 1d , y tenemos que

x 6 1 Ú 5
-

6 Ú 5x - 5 Multiplicar ambos lados por sx - 1d .
11 Ú 5x Sumar 5 en ambos lados.

11 Ú x. Ox … 11 .
5 5

El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, 11>5] (figura 1.1c).

Valor absoluto
El valor absoluto de un número x, denotado por ƒ x ƒ, se define como

ƒxƒ = e x, xÚ0
- x, x 6 0.

͉– 5͉ ϭ 5 ͉3͉ EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos

–5 0 3 ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = - s -5d = 5, ƒ - ƒ a ƒ ƒ = ƒ a ƒ

͉4 Ϫ 1͉ ϭ ͉1 Ϫ 4 ͉ ϭ 3 Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real.
14 Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que ƒ x ƒ Ú 0 para todo número real
x, y ƒ x ƒ = 0 si y sólo si x = 0. También
FIGURA 1.2 Los valores absolutos
indican las distancias entre los puntos de la ƒ x - y ƒ = es igual a la distancia entre x y y
recta numérica.
la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2).
Como el símbolo 2a denota siempre la raíz cuadrada no negativa de a, una defini-

ción alternativa de ƒ x ƒ es
ƒ x ƒ = 2x2 .

Es importante recordar que 2a2 = ƒ a ƒ . No se puede escribir 2a2 = a a menos que se-
pamos de antemano que a Ú 0.

El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas pro-
piedades en los ejercicios).

Propiedades del valor absoluto

1. ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ Un número y su inverso aditivo o negativo tienen
el mismo valor absoluto.
2. ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ
El valor absoluto de un producto es el producto de
3. ` a ` = ƒaƒ los valores absolutos.
b ƒbƒ
El valor absoluto de un cociente es el cociente de
4. ƒ a + b ƒ … ƒ a ƒ + ƒ b ƒ los valores absolutos.

La desigualdad triangular. El valor absoluto de
la suma de dos números es menor o igual que la
suma de sus valores absolutos.

6 Capítulo 1: Preliminares

a a Observe que ƒ -a ƒ Z - ƒ a ƒ. Por ejemplo, ƒ -3 ƒ = 3, mientras que - ƒ 3 ƒ = - 3. Si a y b
a tienen distinto signo, entonces ƒ a + b ƒ en cualquier otro caso, ƒ a ƒ + ƒ b ƒ. En expresiones
ax 0 como ƒ a + b ƒ es igual a ƒ a ƒ + ƒ b ƒ. Las barras que denotan valor absoluto ƒ - 3 + 5 ƒ fun-
cionan como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antes
͉x͉ de tomar el valor absoluto.

FIGURA 1.3 ƒ x ƒ 6 a significa que x está EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular
entre - a y a.
ƒ -3 + 5ƒ = ƒ2ƒ = 2 6 ƒ -3ƒ + ƒ5ƒ = 8
ƒ3 + 5ƒ = ƒ8ƒ = ƒ3ƒ + ƒ5ƒ

ƒ -3 - 5ƒ = ƒ -8ƒ = 8 = ƒ -3ƒ + ƒ -5ƒ

La desigualdad ƒ x ƒ 6 a indica que la distancia de x a 0 es menor que el número posi-
tivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3.

Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto,
y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto.

Valores absolutos e intervalos
Si a es cualquier número positivo, entonces
5. ƒ x ƒ = a si y sólo si x = ; a
6. ƒ x ƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 a
7. ƒ x ƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 - a
8. ƒ x ƒ … a si y sólo si -a … x … a
9. ƒ x ƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … - a

En matemática, el símbolo 3 denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”.
También significa “implica y es implicado por”.

EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos

Resolver la ecuación ƒ 2x - 3 ƒ = 7.

Solución De acuerdo con la propiedad 5, 2x - 3 = ; 7 , así que hay dos posibilidades:

2x - 3 = 7 2x - 3 = - 7 Ecuaciones equivalentes
2x = 10 2x = - 4 sin valores abolutos.

Resolver como de costumbre.

x=5 x = -2

Las soluciones de ƒ 2x - 3 ƒ = 7 son x = 5 y x = - 2.

EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto

Resolver la desigualdad `5 - 2 ` 6 1.
x

1.1 Los números reales y la recta real 7

Solución Tenemos

`5 - 2 ` 6 1 3 -1 6 5 - 2 6 1 Propiedad 6
x x

3 -6 6 2 6 -4 Restar 5.
-x

33 7 1 7 2 Multiplicar por - 1 .
x 2

1 6 x 6 1 . Tomar recíprocos.
33 2

Observe cómo se emplearon aquí las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar por
un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recípro-
cos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisface
si y sólo si s1>3d 6 x 6 s1>2d . El conjunto solución es el intervalo abierto (1>3 , 1>2 ).

EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solución en la recta real:

(a) ƒ 2x - 3 ƒ … 1 (b) ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1

x Solución
12 (a) ƒ 2x - 3 ƒ … 1

(a) - 1 … 2x - 3 … 1 Propiedad 8
2 … 2x … 4 Restar 3.
x 1 … x … 2 Dividir entre 2.
12
El conjunto solución es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a).
(b)

FIGURA 1.4 Los conjuntos solución
(a) [1, 2] y (b) s - q , 1] ´ [2, q d del
ejemplo 6.

(b) ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1
2x - 3 Ú 1 o 2x - 3 … - 1 Propiedad 9

x - 3 Ú 1 o x - 3 … 1 Dividir entre 2.
2 2 2 -2

xÚ2 o x…1 Sumar 3 .
2

El conjunto solución es s - q, 1] ´ [2, q d (figura 1.4b).

EJERCICIOS 1.1

Representación decimal Desigualdades

1. Exprese 1/9 como un decimal periódico, usando una barra para 3. Si 2 6 x 6 6 , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de x
indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de- son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente ciertas?
cimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9?
a. 0 6 x 6 4 b. 0 6 x - 2 6 4
2. Exprese 1/11 como un decimal periódico, usando una barra para
indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de- c. 1 6 x 6 3 d. 111
cimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11? 2 66x62

e. 1 6 6 6 3 f. ƒ x - 4 ƒ 6 2
x h. -6 6 - x 6 - 2

g. -6 6 - x 6 2

8 Capítulo 1: Preliminares

4. Si -1 6 y - 5 6 1 , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acer- Desigualdades cuadráticas
ca de y son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente
ciertas? Resuelva las desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun-

a. 4 6 y 6 6 b. - 6 6 y 6 - 4 to solución en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en forma
gráfica (en la recta real). Use el resultado 2a2 = ƒ a ƒ según convenga.

c. y 7 4 d. y 6 6 35. x2 6 2 36. 4 … x2 37. 4 6 x2 6 9
y
e. 0 6 y - 4 6 2 38. 1 6 x2 6 1 39. sx - 1d2 6 4 40. sx + 3d2 6 2
f. 2 6 2 6 3 9 4
h. ƒ y - 5 ƒ 6 1
g. 1 6 1 6 1 41. x2 - x 6 0 42. x2 - x - 2 Ú 0
6 y 4

En los ejercicios 5-12, resuelva las desigualdades y muestre su con- Teoría y ejemplos
junto solución en forma gráfica (sobre la recta real).
43. Evite caer en el error de que ƒ -a ƒ = a . ¿Para cuáles números reales
5. - 2x 7 4 6. 8 - 3x Ú 5 a es verdadera esta ecuación? ¿Para cuáles números reales es falsa?
7. 5x - 3 … 7 - 3x 8. 3s2 - xd 7 2s3 + xd
44. Resuelva la ecuación ƒ x - 1 ƒ = 1 - x .

9. 2x - 1 Ú 7x + 7 10. 6 - x 6 3x - 4 45. Una demostración de la desigualdad triangular Dé una ra-
2 6 4 2 zón que justifique cada uno de los pasos numerados en la siguiente
demostración de la desigualdad triangular.

11. 4 sx - 2d 6 1 sx - 6d 12. x + 5 … 12 + 3x ƒ a + b ƒ 2 = sa + bd2 (1)
5 3 - 2 4 = a2 + 2ab + b 2
… a2 + 2ƒ a ƒ ƒ b ƒ + b2 (2)
Valor absoluto = ƒaƒ2 + 2ƒaƒƒbƒ + ƒbƒ2 (3)
= s ƒ a ƒ + ƒ b ƒ d2
Resuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18. (4)
ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ
13. ƒ y ƒ = 3 14. ƒ y - 3 ƒ = 7 15. ƒ 2t + 5 ƒ = 4
16. ƒ 1 - t ƒ = 1
17. ƒ8 - 3s ƒ = 9 18. ` s - 1` =1 46. Demuestre que ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ para cualesquiera números a y b.
2 2

Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34, expresando los 47. Si ƒ x ƒ … 3 y x 7 - 1>2 , ¿qué se puede decir acerca de x?
conjuntos solución como intervalos o uniones de intervalos. Asimismo,
muestre el conjunto solución en forma gráfica (sobre la recta real). 48. Trace la gráfica de la desigualdad ƒ x ƒ + ƒ y ƒ … 1 .

19. ƒ x ƒ 6 2 20. ƒ x ƒ … 2 21. ƒ t - 1 ƒ … 3 49. Sea ƒsxd = 2x + 1 y sea d 7 0 cualquier número positivo. De-
muestre que ƒ x - 1 ƒ 6 d implica ƒ ƒsxd - ƒs1d ƒ 6 2d . Aquí la
22. ƒ t + 2 ƒ 6 1 23. ƒ 3y - 7 ƒ 6 4 24. ƒ 2y + 5 ƒ 6 1 notación ƒ(a) se refiere al valor de la expresión 2x + 1 cuando

x = a. Esta notación de función se explica en la sección 1.3.

25. ` z - 1` … 1 26. ` 3 z - 1` … 2 27. `3 - 1 ` 6 1 50. Sea ƒsxd = 2x + 3 y sea P 7 0 cualquier número positivo.
5 2 x 2
P
Demuestre que ƒ ƒsxd - ƒs0d ƒ 6 P siempre que ƒ x - 0 ƒ 6 2 .

28. ` 2 - 4` 6 3 29. ƒ 2s ƒ Ú 4 30. ƒs + 3ƒ Ú 1 Aquí la notación ƒ(a) se refiere al valor de la expresión 2x + 3
x 2
cuando x = a. (Vea la sección 1.3).

31. ƒ 1 - x ƒ 7 1 32. ƒ 2 - 3x ƒ 7 5 33. `r + 1` Ú 1 51. Demuestre que ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ . para cualquier número a.
2
52. Sea a cualquier número positivo. Demuestre que ƒ x ƒ 7 a si y sólo
34. ` 3r - 1` 7 2 si x 7 a o x 6 - a .
5 5
53. a. Si b es cualquier número real distinto de cero, demuestre que
ƒ 1>b ƒ = 1> ƒ b ƒ .

b. Demuestre que ` a ` = ƒaƒ
b para cualesquiera números a y b Z 0.

ƒbƒ

54. Usando inducción matemática (vea el apéndice 1), demuestre que
ƒ an ƒ = ƒ a ƒ n para cualquier número a y n un entero positivo.

1.2 Rectas, círculos y parábolas 9

1.2 Rectas, círculos y parábolas

y En esta sección hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas, distancia, círculos y pará-
bolas en el plano. También se discutirá el concepto de incremento.
b P(a, b)
Eje y positivo 3 Coordenadas cartesianas en el plano

2 En la sección anterior identificamos puntos sobre la recta con números reales asignándo-
les coordenadas. Los puntos que están en el plano pueden identificarse como pares orde-
1 Origen x nados de números reales. Para empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendiculares
Eje x negativo 1 2 a3 que se intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes coordenados en
Eje x positivo el plano. En el eje horizontal x, los números se denotan mediante x y se incrementan hacia la
3 2 10 derecha. En el eje vertical y, los números se denotan mediante y y se incrementan hacia
1 arriba (figura 1.5). En consecuencia, “hacia arriba” y “hacia la derecha” son direcciones
positivas, mientras que “hacia abajo” y “hacia la izquierda” son consideradas como negati-
Eje y negativo vas. El origen O —también identificado con un 0— del sistema de coordenadas es el punto
2 del plano donde x y y son cero.

3 Si P es cualquier punto en el plano, puede ser localizado mediante, exactamente, un
par ordenado de números reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen por P y
FIGURA 1.5 Las coordenadas cartesianas sean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas rectas intersecan los ejes x y y en
del plano se basan en dos ejes perpendiculares puntos con coordenadas a y b, respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b)
que se intersecan en el origen. se asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer número, a, es la coordenada x
(o abscisa) de P; el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada) de P. La coor-
y denada x de cualquier punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el eje
x es 0. El origen es el punto (0, 0).
(1, 3)
Empezando con un par ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto P
3 correspondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el par ordenado y escri-
bimos P(a, b). Algunas veces también nos referimos al “punto (a, b)” y el contexto nos
Segundo 2 Primer permitirá saber cuando (a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo abierto
cuadrante cuadrante en la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios puntos identificados por sus coordenadas.
(Ϫ, ϩ) (ϩ, ϩ)
Este sistema de coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas o
1 (2, 1) sistema de coordenadas cartesianas (en honor de René Descartes, matemático francés
( 2, 1) (0, 0) x del siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano coordenado o cartesiano dividen el pla-
no en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien-
21 0 (1, 0) 2 to de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6.
1 1
( 2, 1) 2 La gráfica de una ecuación o desigualdad en las variables x y y es el conjunto de todos
Cuarto los puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o desigualdad.
Tercer cuadrante Cuando se grafican datos en el plano cartesiano o se traza la gráfica de fórmulas con va-
cuadrante (ϩ, Ϫ) riables que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la misma escala en
(Ϫ, Ϫ) los dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo contra fuerza de propulsión al analizar el
(1, 2) comportamiento del motor de un cohete, no hay razón para colocar la marca que muestra
1 segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo, que la marca que identi-
FIGURA 1.6 Identificación de puntos en fica 1 libra sobre el eje de la fuerza de propulsión.
el plano xy o plano cartesiano. Todos los
puntos sobre los ejes tienen un par En general, cuando se grafican funciones cuyas variables no representan medidas físicas
coordenado, pero usualmente están y cuando se trazan figuras en el plano cartesiano para estudiar su geometría y trigonome-
marcados con un solo número real (de tría, se intenta que las marcas de las escalas sean idénticas en ambos ejes. Así, una unidad
manera que (1, 0) en el eje x se identifica vertical de distancia se ve igual que una unidad horizontal. Como en un mapa topográfico
con 1). Observe los patrones de los signos o en un dibujo a escala, los segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longi-
de las coordenadas en los cuadrantes. tud se verán de un largo equivalente, y los ángulos que supuestamente sean congruentes se
verán congruentes.

Las pantallas de calculadoras o computadoras son otro asunto. Las escalas vertical y
horizontal de las gráficas generadas por computadora suelen diferir, y existen distorsiones
en distancias, pendientes y ángulos. Los círculos se pueden ver como elipses, los rectángulos
pueden verse como cuadrados, los ángulos rectos como agudos u obtusos, etcétera. En la
sección 1.7 estudiaremos con más detalle estas imágenes y distorsiones.

10 Capítulo 1: Preliminares

y C(5, 6) Incrementos y rectas

6 Cuando una partícula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coor-
B(2, 5) denadas reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando las
coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de x1 a x2 , el
5 incremento en x es

4 ⌬y ϭ 5, ¢x = x2 - x1 .
3 ⌬x ϭ 0
EJEMPLO 1 Si vamos del punto As4, - 3d al punto B(2, 5), los incrementos en las coor-
2 D(5, 1) denadas x y y son
⌬y ϭ 8 45
x
1
¢x = 2 - 4 = - 2, ¢y = 5 - s -3d = 8.
0 123
1

2 De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son
3 A(4, 3)
¢x = 5 - 5 = 0, ¢y = 1 - 6 = - 5.
(2, 3)
⌬x ϭ 2

FIGURA 1.7 Los incrementos de las Vea la figura 1.7.
coordenadas pueden ser positivos, Dados dos puntos P1sx1, y1d y P2sx2, y2d en el plano, llamamos a los incrementos
negativos o nulos (ejemplo 1).
¢x = x2 - x1 y ¢y = y2 - y1 el avance y la elevación, respectivamente, entre P1 y P2 .
BIOGRAFÍA HISTÓRICA* Dos puntos determinan siempre una única línea recta (por lo general denominada simple-

René Descartes mente recta) que pasa por ambos. La llamamos recta P1 P2 .
(1596–1650) Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razón

m = elevación = ¢y = y2 - y1
corrida ¢x x2 - x1

y Es la fórmula dados dos puntos P1sx1, y1d y P2sx2, y2d en la recta (figura 1.8). Esto se debe
P2Ј L a que las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son iguales.

P2(x2, y2) DEFINICIÓN Pendiente
La constante
⌬y

(eleva ⌬yЈ elevación ¢y y2 - y1
ción) corrida ¢x x2 - x1
m
= = =

P1(x1, y1) ⌬x Q(x2, y1) es la pendiente de la recta no vertical P1 P2 .
P1Ј (corrida)

QЈ La pendiente nos indica la dirección (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la incli-
⌬ xЈ nación de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una rec-
ta con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumenta
0 x el valor absoluto de la pendiente, más rápido es el ascenso o el descenso de la recta, es de-
cir, mayor es su inclinación. Una recta con pendiente cero tiene dirección horizontal y no
FIGURA 1.8 Los triángulos P1 QP2 y tiene inclinación. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance ¢x es
P1¿Q¿P2¿ son semejantes, de manera que la cero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razón de la pendiente m.
razón de sus lados tiene el mismo valor
para cualesquiera dos puntos sobre la La dirección y la inclinación de una recta también pueden medirse con un ángulo. El
recta. Este valor común es la pendiente ángulo de inclinación de una recta que cruza el eje x es el menor ángulo medido en senti-
de la recta. do contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). La
inclinación de una recta horizontal es 0º. La inclinación de una recta vertical es 90º. Si f
(la letra griega phi, o fi) es la inclinación de una recta, entonces 0 … f 6 180°.

*Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principales
del cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas.

1.2 Rectas, círculos y parábolas 11

y En la figura 1.11 se muestra la relación entre la pendiente m de una recta no vertical y
L1 el ángulo de inclinación f de la misma:

6 P4(3, 6) m = tan f.
L2 P1(0, 5) P2(4, 2)
Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la recta
4 vertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto,
3 x = a es una ecuación para la recta vertical. De manera similar, y = b es una ecuación
2 para la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12).
1
Podemos escribir una ecuación para una recta no vertical L si conocemos su pendiente
0 123456 x m y las coordenadas, P1sx1, y1d de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto en
1 L, podemos usar los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente:

P3(0, 2) m = y - y1
x - x1

FIGURA 1.9 La pendiente de L1 es de manera que
y - y1 = msx - x1d o y = y1 + msx - x1d .
m = ¢y = 6 - s-2d = 8 .
¢x 3-0 3

Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez

que x se incrementa 3 unidades. La

pendiente de L2 es La ecuación

m = ¢y = 2 - 5 = -3 . y = y1 + msx - x1d
¢x 4 - 0 4
es la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto sx1, y1d y tiene
Esto es, y disminuye 3 unidades cada vez pendiente m.

que x se reduce 4 unidades.

EJEMPLO 2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene
pendiente –3/2.

este sí este sí Solución Sustituimos x1 = 2, y1 = 3 , y m = - 3>2 en la ecuación punto-pendiente para
x x obtener

este no este no

FIGURA 1.10 Los ángulos de inclinación y = 3 - 3 Ax - 2B, o y = - 3 x + 6.
se miden en sentido contrario al 2 2
movimiento de las manecillas del reloj, a
partir del eje x. Cuando x = 0, y = 6 así la recta interseca el eje y en y = 6.

EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por s -2, - 1d y (3, 4).

y Solución La pendiente de la recta es

P2 L m = -1 - 4 = -5 = 1.
⌬y -2 - 3 -5

P1 ␾ Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación punto-
⌬x pendiente:
⌬y
m ϭ ⌬x ϭ tan ␾ Con sx1 , y1d ‫ ؍‬s؊2, ؊1d Con sx1 , y1d ‫ ؍‬s3, 4d

x y = -1 + 1 # sx - s-2dd y = 4 + 1 # sx - 3d

FIGURA 1.11 La pendiente de una recta y = -1 + x + 2 y=4+x-3
no vertical es la tangente de su ángulo de
inclinación. y=x+1 y=x+1

Algunos resultados

Esto es, y = x + 1 es la ecuación de la recta (figura 1.13).

12 Capítulo 1: Preliminares

y La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama or-
denada al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no hori-
A lo largo de esta recta, zontal es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta con
6 xϭ2 pendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuación

5 y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b.

4 A lo largo de esta recta, La ecuación
yϭ3 y = mx + b

3 se denomina ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta con pendiente
(2, 3) m e intersección con el eje y, u ordenada al origen, b.

2

1

0 1234 x

FIGURA 1.12 Las ecuaciones estándar
para las rectas vertical y horizontal que
pasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3.

y Las rectas con ecuaciones de la forma y = mx tienen intersección con el eje y 0 y, por lo
4 (3, 4) tanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuaciones
lineales.
yϭxϩ1
La ecuación

Ax + By = C sA o B distintas de cerod

se conoce como ecuación general lineal en x y y, ya que su gráfica siempre representa
una recta y toda recta tiene una ecuación con esta forma (incluyendo las rectas con pen-
diente indefinida).

EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y 8x + 5y = 20.

–2 0 123 x
–1
Solución Se despeja y de la ecuación a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada al
(–2, –1) origen:

FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3. 8x + 5y = 20

5y = - 8x + 20

y = - 8 x + 4.
5

La pendiente es m = - 8>5. La ordenada y al origen es b = 4.

y Rectas paralelas y perpendiculares

b Las rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, de manera que tienen la misma
L pendiente (si no son verticales). Recíprocamente, las rectas con pendientes iguales tienen
el mismo ángulo de inclinación y son, por lo tanto, paralelas.
x
0a Si dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satis-
facen m1 m2 = - 1 , de manera que cada pendiente es el recíproco negativo de la otra:
FIGURA 1.14 La recta L tiene una
intersección x a y una intersección y b. m1 = - 1 , m2 = - 1 .
m2 m1

Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los triángulos semejantes de la figura
1.15, m1 = a>h , y m2 = - h>a . Por lo tanto, m1 m2 = sa>hds - h>ad = - 1 .

1.2 Rectas, círculos y parábolas 13

y L1 Distancia y círculos en el plano
L2
La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la fórmula del teorema de Pitá-
C goras (figura 1.16).

Pendiente ␾1 Pendiente m2 y
m1 h ␾2 Esta distancia es

␾1 aB x ͙d ϭ ͉ x2 – x1͉2 ϩ ͉ y2 – y1͉2

0AD ͙y2 ϭ (x2 – x1)2 ϩ (y2 – y1)2 Q(x2, y2)

FIGURA 1.15 ¢ADC es semejante a y1 P(x1, y1) ⎧͉ y2 Ϫ y1͉
¢CDB . En consecuencia, f1 también es el ⎪C(x2, y1)
ángulo superior en ¢CDB . A partir de los ⎪
lados de ¢CDB , vemos que tan f1 = a>h . ⎨
⎪
⎪
⎩

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩

͉ x2 Ϫ x1͉

0 x1 x
x2

FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entre
Psx1 , y1d y Qsx2 , y2d , aplicamos el teorema de
Pitágoras al triángulo PCQ.

Fórmula de distancia para puntos en el plano
La distancia entre Psx1 , y1d y Qsx2 , y2d es

d = 2s ¢xd2 + s ¢yd2 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 .

EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos

y (a) La distancia del origen al punto Ps - 1, 2d y Q(3, 4) es

P(x, y) #2s3 - s - 1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 5 = 2 25 .
a
(b) La distancia entre el origen y P(x, y) es
C(h, k) 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x2 + y 2 .

(x Ϫ h)2 ϩ ( y Ϫ k)2 ϭ a2 Por definición, un círculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya
x distancia desde algún punto fijo, llamado centro del círculo, C(h, k) es igual a a (figura
1.17). De acuerdo con la fórmula de la distancia, P está en el círculo si y sólo si
0
FIGURA 1.17 Un círculo con radio a en 2sx - hd2 + s y - kd2 = a ,
el plano xy y centro en (h, k) .
de manera que

(x - h)2 + ( y - k)2 = a2. (1)

La ecuación (1) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y radio a. El
círculo de radio a = 1 y centro en el origen es el círculo unitario, con ecuación

x2 + y2 = 1.

14 Capítulo 1: Preliminares

EJEMPLO 6
(a) La ecuación estándar del círculo de radio 2 y centro en (3, 4) es

sx - 3d2 + s y - 4d2 = 22 = 4 .

(b) El círculo
sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3

tiene h = 1, k = - 5, y a = 23. El centro es el punto sh, kd = s1, - 5d y el radio es
a = 23.

Si la ecuación de un círculo no está en la forma estándar, para encontrar su centro y su
radio primero deberá convertirse la ecuación a dicha forma. La técnica algebraica para ha-
cerlo consiste en completar los cuadrados (vea el apéndice 9).

EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un círculo
Encontrar el centro y el radio del círculo

x2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0 .

Solución Convertimos la ecuación a la forma estándar, completando los cuadrados en x
y en y.

x2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0 Empezamos con la ecuación dada.

sx2 + 4x d + s y 2 - 6y d = 3 Agrupamos términos. Pasamos la
constante al lado derecho.
y a24 b 2 b -6 2
Exterior: (x Ϫ h)2 ϩ (y Ϫ k)2 Ͼ a2 2 Sumamos el cuadrado de la mitad
En: (x Ϫ h)2 ϩ (y Ϫ k)2 ϭ a2 ax2 + 4x + + ay 2 - 6y + a b b = del coeficiente de x en ambos
lados de la ecuación. Hacemos lo
ka a24 b 2 + -6 2 mismo con y. Las expresiones que
(h, k) 2 están dentro de los paréntesis en
3+ a b el lado izquierdo son ahora
cuadrados perfectos.
sx2 + 4x + 4d + s y 2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9
Factorizamos los trinomios cua-
sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16 drados perfectos, como binomios
cuadrados.

Interior: (x Ϫ h)2 ϩ ( y Ϫ k)2 Ͻ a2 El centro es s - 2, 3d y el radio es a = 4.
Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad
0h x sx - hd2 + s y - kd2 6 a2

FIGURA 1.18 El interior y el exterior del forman la región interior del círculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exte-

círculo sx - hd2 + s y - kd2 = a2 . rior del círculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen

sx - hd2 + s y - kd2 7 a2 .

Parábolas

La definición geométrica y las propiedades generales de las parábolas se abordan en la
sección 10.1. Aquí hablaremos de las parábolas que surgen al graficar las ecuaciones de
la forma y = ax2 + bx + c .

1.2 Rectas, círculos y parábolas 15

y EJEMPLO 8 La parábola y = x2
(–2, 4) 4
y ϭ x2 Considere la ecuación y = x2 . Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son
(2, 4)

s0, 0d, s1, 1d, a23 , 9 b , s - 1, 1d, s2, 4d , y s - 2, 4d . Estos puntos (y todos los demás que sa-
4

⎛3 , 9⎛ tisfacen la ecuación), forman una curva suave llamada parábola (figura 1.19).
⎝2 4⎝

(–1, 1) 1 (1, 1) La gráfica de una ecuación de la forma
y = ax2
x
–2 –1 0 12

FIGURA 1.19 La parábola y = x2 es una parábola cuyo eje de simetría es el eje y. El vértice de la parábola (el punto donde
(ejemplo 8).
la parábola interseca su eje de simetría) está en el origen. La parábola abre hacia arriba si

a 7 0 y hacia abajo si a 6 0. Entre más grande sea el valor de ƒ a ƒ, la parábola será más

angosta (figura 1.20).
Generalmente, la gráfica de y = ax2 + bx + c es una parábola desplazada en forma

horizontal y vertical de la parábola y = x2 . En la sección 1.5 discutiremos con más detalle

el desplazamiento horizontal y vertical de las gráficas de las funciones cuadráticas.

y La gráfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0
La gráfica de la ecuación y = ax2 + bx + c, a Z 0 , es una parábola. La pará-

bola abre hacia arriba si a 7 0 y hacia abajo si a 6 0. El eje x es la recta

y ϭ 2x2 b
2a
x = - . (2)

y ϭ x2
2
simetría El vértice de la parábola es el punto donde el eje y la parábola se intersecan. Su
x2 coordenada x es x = - b>2a; su coordenada y se encuentra sustituyendo
y ϭ 10 x = - b>2a en la ecuación de la parábola.

4 32 1 x
1 234

Eje de yϭ x2 Observe que si a = 0, tenemos y = bx + c la cual es la ecuación de una recta. El
6 eje, dado por la ecuación (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando una
técnica que estudiaremos en la sección 4.1.

Vértice
en el origen

y ϭ x2 EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una parábola

FIGURA 1.20 Además de determinar la Trazar la gráfica de la ecuación y = - 1 x2 - x + 4.
dirección en la que abre la parábola 2
y = ax2 , el número a es un factor de
escalamiento. La parábola se ensancha Solución Comparando la ecuación con y = ax2 + bx + c vemos que
conforme a se acerca a cero, y se estrecha a = - 21, b = - 1, c = 4.
conforme ƒ a ƒ aumenta.

Dado que a 6 0, la parábola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuación (2), su eje es la
recta vertical

x = b = s-1d = -1.
- 2a - 2s - 1>2d

16 Capítulo 1: Preliminares

El vértice es ⎛⎝–1, 9⎛ y Cuando x = - 1, tenemos
2⎝
Con intersección
Punto simétrico en y = 4 y = - 1 s - 1 d2 - s -1d + 4 = 9 .
con intersección y 2 2

(–2, 4) (0, 4) El vértice es s -1, 9>2d.
–3 –2 Las intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde y = 0:
Ejes: x = –1 3 y = – 1 x 2 Ϫ x + 4
2

2

1 - 1 x2 - x + 4 = 0
01 2
x

x2 + 2x - 8 = 0

Con intersección en sx - 2dsx + 4d = 0
x = –4 y x = 2 x = 2, x = - 4

FIGURA 1.21 La parábola del ejemplo 9. Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de dirección de la apertu-
ra de la parábola para completar la gráfica de la figura 1.21.

EJERCICIOS 1.2

Incrementos y distancia 18. Pasa por (2, –3) con pendiente 1/2
19. Pasa por (3, 4) y (–2, 5)
En los ejercicios 1-4, una partícula se mueve de A a B en el plano 20. Pasa por (–8, 0) y (–1, 3)
coordenado. Encuentre los incrementos ¢x y ¢y en las coordenadas 21. Tiene pendiente –5/4 y ordenada al origen 6
de la partícula. Determine también la distancia de A a B. 22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen –3
23. Pasa por (–12, –9) y tiene pendiente 0
1. As - 3, 2d, Bs - 1, - 2d 2. As -1, - 2d, Bs -3, 2d 24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical
25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen –1
3. As - 3.2, -2d, Bs -8.1, - 2d 4. As 22, 4d, Bs0, 1.5d 26. Tiene y abscisa al origen –6 y abscisa al origen 2
27. Pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 15
Describa las gráficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8.
28. Pasa por A - 22, 2B y es paralela a la recta 22x + 5y = 23
5. x2 + y 2 = 1 6. x2 + y 2 = 2
7. x2 + y 2 … 3 8. x2 + y 2 = 0 29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x - 3y = 5
30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta 8x - 13y = 13
Pendientes, rectas e intersecciones

En los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (si
existe) de la recta que éstos determinan. Encuentre también la pen-
diente común (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB.

9. As - 1, 2d, Bs - 2, - 1d 10. As -2, 1d, Bs2, -2d En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y,
y utilice esta información para trazar la gráfica de la recta.
11. As2, 3d, Bs - 1, 3d 12. As -2, 0d, Bs -2, -2d

En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuación para (a) la recta verti- 31. 3x + 4y = 12 32. x + 2y = - 4
cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado.
33. 22x - 23y = 26 34. 1.5x - y = - 3

13. s - 1, 4>3d 14. A 22, -1.3B 35. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas
Ax + By = C1 y Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d ? Justifique su
15. A0, - 22B 16. s - p, 0d respuesta.

En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuación de la recta, dados los 36. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas
datos siguientes. Ax + By = C1 y Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d ? Justifique su
respuesta.
17. Pasa por s - 1, 1d con pendiente -1

1.2 Rectas, círculos y parábolas 17

Incrementos y movimiento 68. x2 + y 2 - 4x + 2y 7 4, x 7 2

37. Una partícula empieza en As - 2, 3d y sus coordenadas cambian con 69. Determine una desigualdad que describa los puntos que están
incrementos ¢x = 5, ¢y = - 6 . Determine su nueva posición. dentro del círculo con centro en (–2, 1) y radio 26 .

38. Una partícula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con 70. Determine una desigualdad que describa los puntos que están fue-
incrementos ¢x = - 6, ¢y = 0 . Encuentre su nueva posición. ra del círculo con centro en (–4, 2) y radio 4.

39. Las coordenadas de una partícula cambian con ¢x = 5 y ¢y = 6 71. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que
conforme se mueve de A(x, y) a Bs3, - 3d . Determine su nueva están dentro o sobre el círculo con centro en (0, 0) y radio 22 , y
posición. sobre o a la derecha de la recta vertical que pasa por (1, 0).

40. Una partícula empieza en A(1, 0), da una vuelta alrededor del ori- 72. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que
gen, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del re- están fuera del círculo con centro en (0, 0) y radio 2, y dentro del
loj, y regresa a A(1, 0). ¿Cuáles fueron los cambios netos en sus círculo que tiene centro en (1, 3) y pasa por el origen.
coordenadas?

Círculos Intersección de rectas, círculos y parábolas

En los ejercicios 41-46, encuentre la ecuación para el círculo con el En los ejercicios 73-80, grafique las dos ecuaciones y encuentre los
centro C(h, k) y el radio a. Después, trace el círculo en el plano xy. In- puntos en donde se intersecan las gráficas.
cluya el centro del círculo en su gráfica, e identifique, de existir, las
intersecciones del círculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos con 73. y = 2x, x2 + y 2 = 1
sus pares coordenados. 74. x + y = 1, sx - 1d2 + y 2 = 1
75. y - x = 1, y = x2
41. Cs0, 2d, a = 2 42. Cs - 3, 0d, a = 3 76. x + y = 0, y = - sx - 1d2
77. y = - x2, y = 2x2 - 1
43. Cs -1, 5d, a = 210 44. Cs1, 1d, a = 22
46. Cs3, 1>2d, a = 5
45. C A - 23, -2B, a = 2

Grafique los círculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52. 78. y = 1 x 2, y = sx - 1d2
Determine el centro de cada círculo y las intersecciones con los ejes 4
(si existen) con sus pares coordenados.
79. x2 + y 2 = 1, sx - 1d2 + y 2 = 1

47. x2 + y 2 + 4x - 4y + 4 = 0 80. x2 + y 2 = 1, x2 + y = 1
48. x2 + y 2 - 8x + 4y + 16 = 0
49. x2 + y 2 - 3y - 4 = 0 Aplicaciones
50. x2 + y 2 - 4x - s9>4d = 0
51. x2 + y 2 - 4x + 4y = 0 81. Aislantes Mida las pendientes de la siguiente figura para esti-
52. x2 + y 2 + 2x = 3 mar el cambio de temperatura, en grados por pulgada, para estos
aislantes: (a) tablero de yeso; (b) fibra de vidrio; (c) revestimiento
de madera.

Parábolas

Grafique las parábolas de los ejercicios 53-60. Determine, en cada ca- 80° Revestimiento
so, las coordenadas del vértice, el eje de simetría y las intersecciones 70° Tablero de yeso de madera
con los ejes si existen.

53. y = x2 - 2x - 3 54. y = x2 + 4x + 3 60° Fibra de vidrio Tablas de
55. y = - x2 + 4x 56. y = - x2 + 4x - 5 acabado
57. y = - x2 - 6x - 5 58. y = 2x2 - x + 3 50° Aire
dentro Aire exterior
59. y = 1 x 2 + x + 4 60. y = - 1 x2 + 2x + 4 Temperatura (ºF) de la a 0ºF
2 4
40° habita
Desigualdades ción

En los ejercicios 61-68, describa las regiones definidas por las desi- 30° a 72ºF
gualdades o pares de desigualdades.

61. x2 + y 2 7 7 20°
62. x2 + y 2 6 5
63. sx - 1d2 + y 2 … 4 10°
64. x2 + sy - 2d2 Ú 4
65. x2 + y 2 7 1, x2 + y 2 6 4 0° 7
66. x2 + y 2 … 4, sx + 2d2 + y 2 … 4 0123456
67. x2 + y 2 + 6y 6 0, y 7 - 3 Distancia entre la pared (pulgadas)

Cambios de temperatura en la pared, ejercicios 81 y 82.

18 Capítulo 1: Preliminares

82. Aislantes De acuerdo con la figura del ejercicio 81, ¿cuál de los 88. Demuestre que el triángulo con vértices en A(0, 0), BA1, 23B , y
materiales es mejor aislante? ¿Cuál es el peor? Explique.
C (2, 0) es equilátero.
83. Presión bajo el agua De acuerdo con la fórmula p = kd + 1
(k constante), la presión p que experimenta un buzo bajo el agua 89. Pruebe que los puntos As2, - 1d , B(1, 3) y Cs -3, 2d son vértices
está relacionada con la profundidad d a la que se encuentra. La de un cuadrado, y encuentre el cuarto vértice.
presión es de 1 atmósfera en la superficie; a 100 metros es, aproxi-
madamente, 10.94 atmósferas. Determine la presión a 50 metros. 90. El rectángulo que se muestra enseguida tiene lados paralelos a los
ejes, es tres veces más largo que ancho y tiene un perímetro de 56
84. Reflexión de la luz Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta unidades. Encuentre las coordenadas de los vértices A, B y C.
x + y = 1 desde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x
(vea la siguiente figura). El ángulo de incidencia es igual al ángu- y
lo de reflexión. Escriba la ecuación de la recta por la que viaja la
luz. A D(9, 2)
x
y
0
xϩyϭ1
BC
1 Ángulo de Ángulo de
incidencia reflexión

91. Tres paralelogramos diferentes tienen vértices en s - 1, 1d , (2, 0) y
(2, 3). Trácelos y encuentre las coordenadas del cuarto vértice de
cada uno.

01 x 92. Como se muestra en la figura, una rotación de 90º alrededor del
origen en sentido contrario al movimiento de las manecillas del
La trayectoria del rayo de luz del ejercicio reloj, manda el punto (2, 0) a (0, 2) y (0, 3) a s - 3, 0d , ¿A dónde
84. Los ángulos de incidencia y de reflexión manda cada uno de siguientes pares?
se miden desde la perpendicular.
a. (4, 1) b. s -2, -3d c. s2, - 5d

85. Grados Fahrenheit y grados Celsius Trace la gráfica de la d. (x, 0) e. (0, y) f. (x, y)
ecuación
g. ¿De qué punto proviene (10, 3)?

C = 5 sF - 32d y
9

en el plano FC, que relaciona las temperaturas de grados Fahrenheit (0, 3) (4, 1)
y Celsius. Trace en el mismo plano la gráfica de la recta C = F. (0, 2)
¿Hay alguna temperatura en la que el termómetro Celsius dé la
misma lectura numérica que el termómetro Fahrenheit? Si la res- x
puesta es afirmativa, determínela.
(–3, 0) (2, 0)
86. Vía férrea Los ingenieros civiles calculan la pendiente del fir-
me para una vía férrea como la razón de la distancia que se sube o (–2, –3)
baja entre la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas
denominan esta razón inclinación del firme de la vía, y casi (2, –5)
siempre la escriben como porcentaje. A lo largo de la costa, la in-
clinación de las vías comerciales suele ser inferior a 2%. En las 93. ¿Para qué valor de k la recta 2x + ky = 3 es perpendicular a la
montañas puede llegar hasta 4%. Las inclinaciones de las autopis- recta 4x + y = 1 ? ¿Para qué valor de k estas rectas son paralelas?
tas son, por lo general, menores que 5%.
La parte más empinada de la vía férrea metropolitana Was- 94. Encuentre la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto en
hington Cog, en New Hampshire, tiene una inclinación excepcio- donde se intersectan las dos rectas x + 2y = 3 y 2x - 3y = - 1 .
nal, de 37.1%. A lo largo de esta parte del trayecto, los asientos
delanteros de los vagones del tren están 14 pies arriba de los tra- 95. Punto medio de un segmento de recta Demuestre que el punto
seros. ¿Qué tan apartadas están las filas de asientos delanteros y con coordenadas
traseros?

Teoría y ejemplos ax1 + x2 , y1 + y2 b
2 2
87. Para probar que el triángulo con vértices en los puntos A(1, 2),
B(5, 5), y Cs4, -2d es isósceles y no equilátero, calcule las longi- es el punto medio del segmento de recta que une Psx1 , y1d y
tudes de sus lados. Qsx2 , y2d .

1.3 Funciones y sus gráficas 19

96. La distancia entre un punto y una recta Podemos encontrar la 3. Encuentre la distancia entre P y Q.
distancia entre un punto Psx0 , y0d y la recta L: Ax + By = C si- Emplee estos pasos para encontrar la distancia entre P y L en cada
guiendo los pasos que se describen a continuación (en la sección uno de los siguientes casos.
12.5 veremos un método más rápido): a. Ps2, 1d, L : y = x + 2
b. Ps4, 6d, L : 4x + 3y = 12
1. Encuentre la ecuación de la recta M que pasa por P y es per- c. Psa, bd, L : x = - 1
pendicular a L. d. Psx0 , y0d, L : Ax + By = C

2. Determine las coordenadas del punto Q en donde se intersecan
M y L.

1.3 Funciones y sus gráficas

Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la
clave para describir el mundo real en términos matemáticos. En esta sección se repasa el
concepto de función, su graficación y las maneras de representarla.

Funciones, dominio y rango

La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura sobre el nivel del mar (el pun-
to de ebullición disminuye conforme se asciende). La tasa de interés que se paga por una
inversión monetaria depende de cuánto tiempo dure invertido el dinero. El área del círculo
depende de su radio. La distancia que viaja un objeto desde un punto inicial a lo largo de
una trayectoria recta depende de su velocidad.

En cada uno de estos casos, el valor de una cantidad variable, que podemos llamar y,
depende del valor de otra variable, que podemos llamar x. Debido a que el valor de y está
totalmente determinado por el valor de x, decimos que y es una función de x. Frecuente-
mente el valor de y está dado por una regla o fórmula que nos indica cómo calcularlo a
partir de la variable x. Por ejemplo, la ecuación A = pr2 es una regla para calcular el área A
de un círculo a partir de su radio r.

En cálculo, es posible que en algún momento queramos referirnos a una función no
específica sin contar con una fórmula determinada. Una manera simbólica de decir “y es
una función de x”, consiste en escribir

y = ƒsxd s“y es igual a ƒ de x”d

En esta notación, el símbolo f representa la función. La letra x, denominada variable inde-
pendiente, representa el valor de entrada de f, y y, la variable dependiente, representa el
valor resultante de f en x.

DEFINICIÓN Función

Una función de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asigna un ele-
mento único ƒsxd H Y a cada elemento x H D.

x f f (x) El conjunto D de todos los valores de entrada posibles se llama dominio de la fun-
Entrada Salida ción. El conjunto de todos los valores de ƒ(x) a medida que x varía en todo D se denomina
(dominio) (rango) rango de la función. El rango puede no incluir todos los elementos del conjunto Y.

FIGURA 1.22 Diagrama mostrando una El dominio y el rango de una función pueden ser cualesquiera conjuntos de objetos,
función como una especie de máquina. pero en cálculo suelen ser conjuntos de números reales. (En los capítulos 13 a 16 veremos
que pueden involucrarse muchas variables).

Pensemos en una función f como una especie de máquina que produce un valor ƒ(x) en su
rango siempre que la “alimentemos” con un valor de entrada x de su dominio (figura 1.22).

20 Capítulo 1: Preliminares

x f (a) f(x) Un ejemplo de esta analogía está representada por las teclas de función de las calculado-
a ras: la tecla 2x produce un valor (la raíz cuadrada) cuando se le oprime después de escri-
bir un número no negativo 2x. El valor resultante que aparece en la pantalla casi siempre
D conjunto del Y Conjunto que es una aproximación decimal de la raíz cuadrada de x. Si escribimos un número x 6 0, la
dominio contiene el rango calculadora indicará un error, porque x 6 0 no forma parte del dominio de la función y,
por lo tanto, no es un valor de entrada aceptable. La tecla 2x de una calculadora no da el
FIGURA 1.23 Una función del conjunto mismo resultado que la función matemática exacta f, definida por ƒsxd = 2x, ya que su
D al conjunto Y asigna un único elemento operación se limita a producir resultados decimales y acepta únicamente un número finito
de Y a cada elemento de D. de entradas.

Una función también puede ilustrarse como un diagrama de flechas (figura 1.23).
Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un único elemento del conjunto Y. En
la figura 1.23, las flechas indican que ƒ(a) está asociada con a, ƒ(x) está asociada con x, y
así sucesivamente.

El dominio de una función puede restringirse según el contexto. Por ejemplo, el domi-
nio de la función de área dado por A = pr2 solamente permite que los radios r sean posi-
tivos (ya que es una distancia). Cuando definimos una función y = ƒsxd con una fórmula
y el dominio no se da explícitamente o está restringido por el contexto, se supone que es el
máximo conjunto de valores de x reales para los que la fórmula da valores reales de y; este
dominio se llama dominio natural. Si queremos restringir el dominio de alguna manera,
debemos especificarlo. El dominio de y = x2 es todo el conjunto completo de números
reales. Para restringir el dominio de una función, digamos, a los valores positivos de x, de-
bemos escribir “y = x2, x 7 0.”

Si cambiamos el dominio donde aplicamos una fórmula, por lo general también cam-
bia el rango. El rango de y = x2 es [0, q d . El rango de y = x2, x Ú 2 , es el conjunto de
números obtenidos al elevar al cuadrado los números mayores que o iguales a 2. En nota-
ción de conjuntos, el rango es 5x2 ƒ x Ú 26 o 5y ƒ y Ú 46 o [4, q d .

Cuando el rango de una función es un conjunto de números reales, se dice que la fun-
ción es de valor real. Los dominios y rangos de muchas funciones reales de una variable
real son intervalos o uniones de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o
semiabiertos, y finitos o infinitos.

EJEMPLO 1 Identificar el dominio y el rango
Verifique los dominios y rangos de estas funciones.

Función Dominio (x) Rango ( y)

y = x2 s-q, qd [0, q d
y = 1/x s - q, 0d ´ s0, q d s - q, 0d ´ s0, q d
y = 2x [0, q d [0, q d
y = 24 - x s - q, 4] [0, q d
y = 21 - x2 [- 1, 1] [0, 1]

Solución La función y = x2 a valores reales en y para cualquier número real x, de mane-
ra que el dominio es s - q , q d . El rango de y = x2 es [0, q d ya que el cuadrado de cual-

quier número real es no negativo, y cualquier número y no negativo es el cuadrado de su

propia raíz cuadrada, y = A 2yB2 para y Ú 0.

La función y = 1>x da valores reales en y para toda x, excepto x = 0. No se puede di-
vidir ningún número entre cero. El rango de y = 1>x, el conjunto de recíprocos de todo
número real distinto de cero, es el conjunto de todos los reales distintos de cero, ya que
y = 1>(1>y).

La función y = 2x da valores reales en y sólo si x Ú 0. El rango de y = 2x es
[0, q d, ya que todo número no negativo es la raíz cuadrada de algún número (es decir, es

la raíz cuadrada de su propio cuadrado).

1.3 Funciones y sus gráficas 21

En y = 24 - x, el término 4 - x no puede ser negativo, por estar dentro de una

raíz. Esto es, 4 - x Ú 0, o x … 4. La función da valores reales en y para todo x … 4. El

rango de 24 - x es [0, q d, es decir, el conjunto de todos los números no negativos.
La función y = 21 - x2 da valores reales en y para toda x en el intervalo cerrado de

–1 a 1. Fuera de este dominio, 1 - x2 los valores dentro de la raíz son negativos y por lo
tanto su raíz cuadrada no es un número real. Los valores de 1 - x2 varían de 0 a 1 en el
dominio dado, lo mismo que las raíces cuadradas de estos valores. El rango de 21 - x2

es [0, 1].

Graficación de funciones

Otra manera de visualizar una función es mediante su gráfica. Si f es una función con do-
minio D, su gráfica consiste en el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano cu-
yas coordenadas son los pares (ordenados) entrada-salida de f. En notación de conjuntos,
la gráfica es

5sx, ƒsxdd ƒ x H D6.

La gráfica de la función ƒsxd = x + 2 es el conjunto de todos los puntos en el plano
cartesiano con coordenadas (x, y) para los que y = x + 2. La gráfica se ha trazado en la
figura 1.24.

La gráfica de una función f es una representación visual de su comportamiento. Si
(x, y) es un punto de la gráfica, entonces y = ƒsxd es la altura de la gráfica justo arriba
del punto x. La altura puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo de ƒsxd (figu-
ra 1.25).

y

y f (1)
f (2)

yϭxϩ2 0 12 x x
x f (x)
2
–2 0 (x, y)

FIGURA 1.24 La gráfica de FIGURA 1.25 Si (x, y) está en la gráfica
ƒsxd = x + 2 es el conjunto de puntos de f, el valor y = ƒsxd es la altura de la
(x, y) para los que y tiene el valor x + 2 . gráfica por encima del punto x (o por
debajo de x si ƒ(x) es negativa).
x y ‫ ؍‬x2
EJEMPLO 2 Trazar una gráfica
-2 4 Trazar la gráfica de la función y = x2 en el intervalo [ - 2, 2] .
-1 1
Solución
00 1. Haga una tabla de los pares (x,y) que satisfacen la regla de correspondencia de la fun-
11
39 ción y = x2 .
24
24

22 Capítulo 1: Preliminares

2. Grafique los puntos (x, y) cuyas 3. Dibuje una curva suave que una los
coordenadas aparecen en la tabla. puntos marcados Etiquétela con el
Puede usar fracciones cuando sea nombre de su función
conveniente para los cálculos
y
y

(–2, 4) 4 (2, 4) 4
3
3 2 y ϭ x2
1
2 ⎛3 , 9⎛
1 ⎝2 4⎝ –2 –1 0

(–1, 1) (1, 1)

x 12 x

–2 –1 0 12

Las computadoras y las calculadoras ¿Cómo sabemos que la gráfica de y = x2 no se parece a una de estas curvas?
graficadoras funcionan de esta manera
en gran medida —encadenando los yy
puntos marcados—, dando lugar al
mismo cuestionamiento.

y ϭ x2? y ϭ x2?

xx

Para averiguarlo podemos marcar más puntos. Pero, ¿cómo debemos conectarlos? La
pregunta básica no ha sido respondida aún: ¿de qué manera se puede prever con segu-
ridad la apariencia que tendrá la gráfica al unir los puntos que marcamos? Como vere-
mos en el capítulo 4, el cálculo puede darnos la respuesta. Ahí usaremos la derivada
para determinar la forma que tendrá la curva aun sin conectar los puntos marcados.
Mientras tanto, nos conformaremos con localizar tales puntos y unirlos de la mejor
manera posible.

p t EJEMPLO 3 Evaluar una función a partir de su gráfica
10 20 30 40 50
350 En la figura 1.26 se muestra la gráfica de una población p del insecto conocido como
300 Tiempo (días) “mosca de la fruta”.
250 (a) Determine la población que habrá de este insecto dentro de 20 y 45 días.
200 (b) ¿Cuál es el rango (aproximado) de la función de población en el intervalo 0 … t … 50?
150
100 Solución
50
(a) En la figura 1.26 observamos que el punto (20, 100) se ubica sobre la gráfica, de ma-
0 nera que el valor de la población p en 20 es ps20d = 100. De la misma forma, el va-
lor de p(45) es de más o menos 340.
FIGURA 1.26 Gráfica de la mosca de la
fruta contra el tiempo (ejemplo 3). (b) El rango de la función población en 0 … t … 50 es aproximadamente [0, 345]. Tam-
bién observamos que, conforme pasa el tiempo, la población se acerca cada vez más
al valor p = 350.

1.3 Funciones y sus gráficas 23

Representación numérica de una función

Hemos visto cómo una función puede representarse algebraicamente mediante una fórmu-
la (por ejemplo: la función área), o visualmente mediante una gráfica (ejemplos 2 y 3).
Otra manera de representar una función es numéricamente, mediante una tabla de valores.
Los ingenieros y los profesionales en ciencias aplicadas suelen utilizar este tipo de repre-
sentaciones. Por ejemplo, es posible —tal vez con ayuda de una computadora— obtener
una gráfica de la función a partir de una tabla de valores apropiada y utilizando el método
ilustrado en el ejemplo 2. La gráfica que se obtiene empleando únicamente los puntos de-
terminados en una tabla se conoce como diagrama de dispersión.

EJEMPLO 4 Una función definida por una tabla de valores

Las notas musicales son ondas de presión en el aire y son susceptibles de registrarse. Los
datos de la tabla 1.2 corresponden a los registros del desplazamiento de presión generado
por una nota musical producida por un diapasón, en relación con el tiempo —en segun-
dos— que dura el sonido. La tabla nos ofrece una representación de la función presión
contra el tiempo. Si hacemos primero un diagrama de dispersión y después conectamos
los puntos (t, p) determinados con ayuda de la tabla, obtenemos la gráfica de la figura 1.27.

TABLA 1.2 Datos del diapasón p (presión)

Tiempo Presión Tiempo Presión 1.0 Datos
0.8
0.00362 0.217
0.00091 - 0.080 0.00379 0.480 0.6
0.00108 0.200 0.00398 0.681
0.00125 0.480 0.00416 0.810 0.4
0.00144 0.693 0.00435 0.827
0.00162 0.816 0.00453 0.749 0.2
0.00180 0.844 0.00471 0.581
0.00198 0.771 0.00489 0.346 0.2 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 t (seg.)
0.00216 0.603 0.00507 0.077 0.4
0.00234 0.368 0.00525 - 0.164 0.6
0.00253 0.099 0.00543 - 0.320
0.00271 0.00562 - 0.354 FIGURA 1.27 Curva suave que pasa por los puntos
0.00289 - 0.141 0.00579 - 0.248 trazados da una gráfica de la función presión representada por
0.00307 - 0.309 0.00598 - 0.035 la tabla 1.2.
0.00325 - 0.348
0.00344 - 0.248
- 0.041

La prueba de la recta vertical

No todas las curvas son gráficas de funciones. Una función f sólo puede tener un valor
ƒ(x) para cada x en su dominio, de manera que ninguna recta vertical puede intersecar más
de una vez la gráfica de una función. De acuerdo con ello, un círculo no puede ser la grá-
fica de una función, ya que al trazar una recta vertical ésta intersecará al círculo dos veces
(figura 1.28a). Si a está en el dominio de una función f, la recta vertical x = a intersecará
a la gráfica de la función f en un solo punto (a, ƒ(a)).

El círculo de la figura 1.28a, sin embargo, contiene la gráfica de dos funciones de x;
el semicírculo superior, definido por la función ƒsxd = 21 - x2 y el semicírculo infe-
rior, definido por la función gsxd = - 21 - x2 (figuras 1.28b y 1.28c).

24 Capítulo 1: Preliminares y y

y

1 1
0
10 1 x 10 1 x x

(a) x2 ϩ y2 ϭ 1 (b) y ϭ ͙1 Ϫ x2 (c) y ϭ ͙1 Ϫ x2

FIGURA 1.28 El círculo no es la gráfica de una función, ya que no cumple la prueba de la recta vertical. (b) El semicírculo superior es la gráfica
de la función ƒsxd = 21 - x2 . (c) El semicírculo inferior es la gráfica de la función gsxd = - 21 - x2 .

y Funciones definidas por partes

y ϭ –x 3 y ϭ ͉x͉ En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su
2 yϭx dominio. Un ejemplo de esto es la función valor absoluto

1 e x, xÚ0
- x, x 6 0,
x ƒxƒ =

–3 –2 –1 0 1 2 3

FIGURA 1.29 La función valor cuya gráfica se da en la figura 1.29. A continuación se ofrecen otros ejemplos.
absoluto tiene el dominio
s - q, q d y el rango [0, q d . EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de la función definida por partes

La función es

-x, x60
ƒsxd = • x2, 0…x…1
x71
1,

y y ϭ f(x) Está definida para todo número real, pero tiene valores dados por diferentes fórmulas, de-
y ϭ –x
pendiendo de la posición de x. Los valores de f están dados por: y = - x cuando
2 x 6 0, y = x2 cuando 0 … x … 1 y y = 1 cuando x 7 1 . Sin embargo, se trata de una
1
sola función cuyo dominio es todo el conjunto de los números reales (figura 1.30).
–2 –1 0
yϭ1 x EJEMPLO 6 La función mayor entero
y ϭ x2
12 La función cuyo valor en cualquier número x es el mayor entero menor que o igual a x se
llama función mayor entero, o función piso entero. Esta función se denota mediante :x; ,
FIGURA 1.30 Para trazar la o, en algunos libros, con [x] o [[x]] o int x. En la figura 1.31 se muestra la gráfica. Obser-
gráfica de la función y = ƒsxd, ve que
ilustrada aquí, aplicamos
diferentes fórmulas para distintas :2.4; = 2, :1.9; = 1, :0; = 0, : -1.2; = - 2,
partes del dominio (ejemplo 5). :2; = 2, :0.2; = 0, : -0.3; = - 1 : -2; = - 2.

1.3 Funciones y sus gráficas 25

y FIGURA 1.31 La gráfica de la
función mayor entero y = :x; está
yϭx sobre o por debajo de la recta
3 y = x , de manera que ofrece un
piso entero para x (ejemplo 6).
2
1 y ϭ ⎣x⎦

21 123 x

2

y EJEMPLO 7 La función menor entero

3 yϭx La función cuyo valor en cualquier número x es el menor entero mayor que o igual a x se
2 llama función menor entero, o función techo entero. Esta función se denota mediante
1 y ϭ ⎡x⎤ <x= . La figura 1.32 muestra la gráfica. Para valores positivos de x, esta función puede re-
presentar, por ejemplo, el costo de utilizar x horas un lugar de estacionamiento, pagando
21 123 x $1 por cada hora o fracción de hora.
1
2 EJEMPLO 8 Encontrar fórmulas para funciones definidas por partes

Encuentre una fórmula para la función y = ƒsxd, cuya gráfica se ilustra en la figura 1.33 y
consiste de dos segmentos de recta.

FIGURA 1.32 La gráfica de la Solución Primero encontramos las fórmulas para los segmentos de (0, 0) a (1, 1) y (1, 0)
función menor entero y = <x= a (2, 1) y luego unimos ambas partes, como en el ejemplo 5.
está sobre o por encima de la recta
y = x , así que proporciona un Segmento de (0, 0) a (1, 1) La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente
techo completo para x (ejemplo 7). m = s1 - 0d>s1 - 0d = 1 y ordenada al origen b = 0. Su ecuación punto-pendiente es
y = x. El segmento que pasa por (0, 0) a (1, 1) que incluye el punto (0, 0) pero no el pun-
y to (1, 1) es la gráfica de la función y = x restringida al intervalo semiabierto 0 … x 6 1,
es decir,
y ϭ f (x)
(1, 1) (2, 1) y = x, 0 … x 6 1.
1
El segmento de (1, 0) a (2, 1) La recta que pasa por (1, 0) y (2, 1) tiene pendiente
x m = s1 - 0d>s2 - 1d = 1 y pasa por el punto (1, 0). La ecuación punto pendiente co-
0 12 rrespondiente a esta recta es

FIGURA 1.33 El segmento de la y = 0 + 1(x - 1), o y = x - 1.
izquierda contiene a (0, 0) pero no a
(1, 1). El segmento de la derecha El segmento de (1, 0) a (2, 1), que incluye ambos extremos, es la gráfica de y = x - 1,
contiene ambos puntos extremos restringida al intervalo cerrado 1 … x … 2, es decir,
(ejemplo 8).
y = x - 1, 1 … x … 2.

La función por partes Al combinar las fórmulas para las dos partes de la gráfica, obte-
nemos

ƒsxd = e x, 0…x61
x - 1, 1 … x … 2.

26 Capítulo 1: Preliminares

EJERCICIOS 1.3

Funciones 12. Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de
la longitud d de su diagonal. Después, exprese el área del cuadra-
En los ejercicios 1-6, encuentre el dominio y el rango de cada función. do como una función de la longitud de su diagonal.

1. ƒsxd = 1 + x2 2. ƒsxd = 1 - 2x 13. Exprese la longitud de la arista de un cubo como una función de
la longitud d de su diagonal. Después, exprese el área y el volu-
3. F std = 1 4. F std = 1 men del cubo como una función de la longitud de su diagonal.
2t 1 + 2t
14. Un punto P del primer cuadrante se ubica en la gráfica de la fun-
5. g szd = 24 - z2 6. g szd = 1 ción ƒsxd = 2x . Exprese las coordenadas de P como función de
24 - z2 la pendiente de la recta que une P con el origen.

De las gráficas que se muestran en los ejercicios 7 y 8, determine cuá- Funciones y gráficas
les de ellas corresponden a funciones de x así como cuáles de ellas no
lo son. Justifique sus respuestas. Encuentre el dominio y grafique cada función de los ejercicios 15-20.

7. a. y b. y

15. ƒsxd = 5 - 2x 16. ƒsxd = 1 - 2x - x2

17. g sxd = 2ƒ x ƒ 18. g sxd = 2 - x

19. F std = t>ƒ t ƒ 20. G std = 1>ƒ t ƒ

0 x x 21. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, y explique por qué
8. a. y 0 no son las gráficas de funciones de x.

b. y a. ƒ y ƒ = x b. y2 = x2

22. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, y explique por qué
no son las gráficas de funciones de x.

a. ƒ x ƒ + ƒ y ƒ = 1 b. ƒ x + y ƒ = 1

xx Funciones definidas por partes
00
Trace la gráfica de las funciones de los ejercicios 23-26.
9. Considere la función y = 2s1>xd - 1 .
a. ¿x puede ser negativa? 23. ƒsxd = e x, 0…x…1
b. ¿x puede ser igual a 0? 2 - x, 16x…2
c. ¿x puede ser mayor que 1?
d. ¿Cuál es el dominio de la función? 24. g sxd = e 1 - x , 0…x…1
2 - x, 16x…2
10. Considere la función y = 22 - 1x .
a. ¿x puede ser negativa? 25. F sxd = e 3 - x , x…1
b. ¿2x puede ser mayor que 2? 2x , x71
c. ¿Cuál es el dominio de la función?
26. G sxd = e 1>x , x60
Determinación de fórmulas para funciones x, 0…x

11. Exprese el área y el perímetro de un triángulo equilátero como 27. Encuentre una fórmula para cada función graficada.
una función de la longitud x del lado del triángulo.
a. y (1, 1) b. y
1 2

0 x 0 1234 t
2

1.3 Funciones y sus gráficas 27

28. a. y b. y Teoría y ejemplos
2
(2, 1) 3 37. Se construye una caja sin tapa con una pieza rectangular de cartón
2 que mide 14 por 22 pulgadas, cortando en cada esquina cuadra-
x 2 dos del mismo tamaño de lado x, y doblando después los cuatro
5 extremos hacia arriba, como se ilustra en la figura. Exprese el vo-
1 lumen V que admite la caja, o capacidad de la caja, como una fun-
–1 x ción de x.
12
–1
–2 (2, –1)
–3
22

xx

xx

14 x
x

29. a. y b. y xx

(–1, 1) (1, 1) 2 38. En la siguiente figura se muestra un rectángulo inscrito en un
1 triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 2 unidades
de largo.
x x a. Exprese la coordenada y del punto P en términos de x. (Podría
3 1 empezar por escribir una ecuación para la recta AB).
(1, –1) (3, –1) b. Exprese el área del rectángulo en términos de x.
(–2, –1)
y
30. a. y (T, 1) b. y
1 A

0 B

0 T T 3T 2T t

x A2 2
TT
2 P(x, ?)

T 31. a. Grafique juntas, en el mismo sistema de coordenadas (o plano Ax
1 0 x1
cartesiano), las funciones ƒsxd = x>2 y g sxd = 1 + s4>xd e
39. Problema acerca de un cono Comience este ejercicio con una
identifique los valores de x para los cuales se cumple que pieza circular de papel con un radio de 4 pulgadas, como se mues-
tra en la figura de la parte (a). Corte un sector con una longitud de
x 7 1 + 4 . arco x. Junte las dos aristas de la parte restante para formar la su-
2 x perficie de un cono con radio r y altura h, como se ilustra en la
parte (b) de la figura.
b. Confirme algebraicamente que sus valores encontrados para x
cumplen con el inciso (a).

T 32. a. Grafique juntas, en el mismo sistema de coordenadas, las fun-
ciones ƒsxd = 3>sx - 1d y g sxd = 2>sx + 1d e identifique
los valores de x para los cuales se cumple que

x 3 1 6 x 2 1.
- +

b. Confirme algebraicamente que sus valores encontrados para x
cumplen con el inciso (a).

Las funciones mayor y menor entero 4 pulg. h 4 pulg.
r
33. ¿Para qué valores de x? x
(a) (b)
a. : x ; = 0 ? b. <x= = 0 ?

34. ¿Qué números reales x satisfacen la ecuación :x; = <x= ?

35. ¿ < -x= = - :x; para toda x real? Justifique su respuesta.

36. ¿Para qué valores de x? a. Explique por qué la circunferencia de la base del cono es
8p - x .
ƒsxd = e : x ; , xÚ0
< x = , x60 b. Exprese el radio r como una función de x.
c. Exprese la altura h como una función de x.
¿Por qué a ƒ(x) se le denomina parte entera de x? d. Exprese el volumen V del cono como una función de x.

28 Capítulo 1: Preliminares

40. Costo industrial La compañía Dayton Power and Light tiene directamente opuesto a la planta. Escriba una función C(x)
una planta eléctrica en el río Miami, en un sector donde el torrente para determinar cuánto costaría tender el cable en términos de
tiene un ancho de 800 pies. Tender un nuevo cable de la planta la distancia x.
hasta un lugar de la ciudad que se encuentra a 2 millas río abajo
en el lado opuesto cuesta $180 por pie a través del río y $100 por b. Genere una tabla de valores para determinar si la posición del
pie en tierra. punto Q menos costosa está a menos de 2000 pies o a más de
2000 pies del punto P.
2 millas Dayton
Px Q 41. Una curva es simétrica con respecto al eje x, si cada vez que el
punto (x, y) está sobre la curva el punto sx, -yd también lo está y
800 pies viceversa. Explique por qué una curva simétrica con respecto al
eje x no es la gráfica de una función, a menos que esta última sea
Planta eléctrica y = 0.
(No está a escala)
42. Un truco de magia Quizás haya oído hablar acerca de este tru-
a. Supongamos que el cable va de la planta a un punto Q en el co de magia: piense en un número cualquiera; luego súmele 5 y
lado opuesto del río, lugar que se ubica a x pies del punto P duplique el resultado; reste 6 y divida el resultado entre 2; por úl-
timo, reste 2. Al terminar, se dice la respuesta y el mago adivina
el número con el que se empezó. Elija un número e inténtelo.
Para comprender cuál es el truco, deje que x sea el número
original y siga los pasos para hacer una fórmula, respecto de x ƒ(x)
y encontrar el número con el que se concluye.

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos

En el cálculo existen diversos tipos de funciones. A continuación las identificaremos y ha-
remos un breve resumen de cada una de ellas.

Funciones lineales Las funciones de la forma ƒsxd = mx + b, para constantes m y b,
reciben el nombre de funciones lineales. En la figura 1.34 se muestra un conjunto de rec-
tas ƒsxd = mx donde b = 0, de manera que estas rectas pasan por el origen. Las funcio-
nes constantes se presentan cuando la pendiente m = 0 (figura 1.35).

y

mϭ 3 mϭ2
y ϭ 3x y ϭ 2x

mϭ 1

mϭ1

yϭx y

yϭ x m ϭ 1
2
1
y ϭ 2 x

0 x 2 y ϭ 3
2

1

0 12 x

FIGURA 1.34 El grupo de rectas y = mx FIGURA 1.35 Una función
tiene pendiente m y todas las rectas pasan constante tiene pendiente m = 0 .
por el origen.

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 29

Funciones de potencias Las funciones ƒsxd = xa , donde a es una constante, se llaman
funciones de potencia. Dentro de esta categoría hay varios casos importantes a considerar.

(a) a = n, un entero positivo.

En la figura 1.36 se muestran las gráficas de ƒsxd = xn , para n = 1 , 2, 3, 4, 5. Estas fun-
ciones están definidas para todos los valores reales de x. Observe que, a medida que au-
menta la potencia n, las curvas tienden a ensancharse hacia el eje x en el intervalo s - 1, 1d,
y también que se elevan con una inclinación mayor para ƒ x ƒ 7 1. Cada curva pasa por el
punto (1, 1) y por el origen.

y yϭx y y ϭ x2 y y ϭ x3 y y ϭ x4 y y ϭ x5

1 1 1 1 1

–1 0 1 x –1 0 1 x –1 0 1 x –1 0 1 x –1 0 1 x
–1 –1 –1 –1 –1

FIGURA 1.36 Gráficas de ƒsxd = xn, n = 1, 2, 3, 4, 5 definidas para - q 6 x 6 q .

(b) a = - 1 o a = - 2 .

En la figura 1.37 se muestran las gráficas de las funciones ƒsxd = x-1 = 1>x y g sxd =
x-2 = 1>x2. Ambas funciones están definidas para todo x Z 0 (en ningún caso es posible
dividir entre cero). La gráfica de y = 1>x es la hipérbola xy = 1 que se aproxima a los
ejes coordenados lejos del origen. La gráfica de y = 1>x2 también se aproxima a los ejes
coordenados.

y
y

y ϭ 1 y ϭ 1
x x2

1

01 x 1

Dominio: x 0 x
Rango: y 0 01

(a) Dominio: x 0
Rango: y Ͼ 0

(b)

FIGURA 1.37 Gráficas de las funciones de potencia ƒsxd = xa
para el inciso (a) a = - 1 y para el inciso (b) a = - 2 .

(c) a = 1 , 1 , 3 y 2 .
2 3 2 3

Las funciones ƒsxd = x1>2 = 2x y g sxd = x1>3 = 23 x son las funciones raíz cuadra-

da y raíz cúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es [0, q d,

pero la función raíz cúbica está definida para todo x real. En la figura 1.38 se muestran
sus gráficas, junto con las gráficas de y = x3>2 y y = x2>3 . (Recuerde que x3>2 = sx1>2d3
y x2>3 = sx1>3d2).

30 Capítulo 1: Preliminares

y y
y ϭ ͙x
y ϭ ͙3 x
1
1
01
Dominio: 0 Յ x Ͻ ϱ x 01 x
Rango: 0 Յ y Ͻ ϱ
Dominio: ϱ Ͻ x Ͻ ϱ
y Rango: ϱ Ͻ y Ͻ ϱ

y

y ϭ x3͞2

1 y ϭ x2͞3

01 x 1 x

Dominio: 0 Յ x Ͻ ϱ 01
Rango: 0 Յ y Ͻ ϱ Dominio: ϱ Ͻ x Ͻ ϱ
Rango: 0 Յ y Ͻ ϱ

FIGURA 1.38 Gráficas de funciones de potencia ƒsxd = xa para a = 1 , 1 , 3 , y 2 .
2 3 2 3

Polinomios Una función p es un polinomio o función polinomial si
psxd = an xn + an - 1xn - 1 + Á + a1 x + a0

En donde n es un entero no negativo y los números a0 , a1 , a2 , Á , an son constantes reales
(llamados coeficientes del polinomio). Todas las funciones polinomiales tienen como do-
minio s - q , q d . Si el coeficiente del término dominante es an Z 0 y n 7 0 , entonces n
es el grado del polinomio. Las funciones lineales con m Z 0 son polinomios de grado 1.
Usualmente los polinomios de grado 2 se escriben como psxd = ax2 + bx + c , y se lla-

man funciones cuadráticas. De manera similar, las funciones cúbicas son polinomios
psxd = ax3 + bx2 + cx + d de grado 3. En la figura 1.39 se muestran las gráficas de tres

funciones polinomiales. En el capítulo 4 aprenderemos a graficar funciones polinomiales.

y ϭ x3 Ϫ x2 Ϫ 2x ϩ 1
3 2 3

y

4 y

y y ϭ (x Ϫ 2)4(x ϩ 1)3(x Ϫ 1)
y ϭ 8x4 Ϫ 14x 3 Ϫ 9x 2 ϩ 11x Ϫ 1 16

2 2

–1 x
–2 12

–4 –2 0 x –4 x
–2 24

–6 –1 0 12

–8

–10 –16
(c)
–4 –12
(a)
(b)

FIGURA 1.39 Gráficas de tres funciones polinomiales.

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 31

Funciones racionales Una función racional es un cociente o razón de dos polinomios
de la forma:

psxd
ƒsxd = qsxd

en donde p y q son polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos
los números reales x para los que qsxd Z 0. Por ejemplo,

ƒsxd = 2x2 - 3
7x + 4

es una función racional con el dominio 5x ƒ x Z - 4>76. Su gráfica se muestra en la figu-
ra 1.40a, junto con las de otras dos funciones racionales (1.40b y 1.40c).

y

y 8 11x ϩ 2
2x3 Ϫ 1
y 2ϩ y ϭ
3x 2
4 y ϭ 5x 8x Ϫ 3 6
ϩ 2

2 4

2 y ϭ 2x2 Ϫ 3 Recta y ϭ 5
7x ϩ 4 3
1 2

–4 –2 24 x –5 x –4 –2 0 x
0 5 10 –2 246
–1
–2

–2 –4

–4 NO ESTÁ A ESCALA –6

(a) (b) –8
FIGURA 1.40 Gráficas de tres funciones racionales. (c)

Funciones algebraicas Una función algebraica es la que se construye a partir de po-
linomios usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y con
raíces). Las funciones racionales son casos especiales de las funciones algebraicas. En la
figura 1.41 se muestran tres gráficas de funciones algebraicas.

Funciones trigonométricas En la sección 1.6 repasaremos las funciones trigonométri-
cas. En la figura 1.42 se muestran las gráficas de las funciones seno y coseno.

Funciones exponenciales Las funciones de la forma ƒsxd = ax , donde la base a 7 0 es
una constante positiva y a Z 1, se llaman funciones exponenciales. Todas las funciones
exponenciales tienen dominio s - q, q d y rango s0, q d. Así, una función exponencial
nunca vale cero. En la figura 1.43 se muestran las gráficas de algunas funciones exponen-
ciales; su estudio desde el punto de vista del cálculo se abordará en el capítulo 7.

Funciones logarítmicas Son las funciones ƒsxd = loga x , donde la base a Z 1 es una
constante positiva. Se trata de las funciones inversas de las funciones exponenciales, y su

32 Capítulo 1: Preliminares

y y y ϭ x(1 Ϫ x)2/5
y ϭ x1/3(x Ϫ 4)
y ϭ 3 (x2 Ϫ 1)2/3
4 4
3 y
2
1 x 0 x 1 x

–1 0 4 0 51
–1
–2 7
–3
–1

(a) (b) (c)
FIGURA 1.41 Gráficas de tres funciones algebraicas.

y y

1 3p p1 3p 5p

p 0p x 2 22

1 2p 0p x
12

5(a) f(x) sen x 5(b) f(x) cos x

FIGURA 1.42 Gráficas de las funciones seno y coseno.

y y

y ϭ 10x y ϭ 10 x
12 12

10 10

8 8
6
6 yϭ3 x
y ϭ 3x
4
4

2 y ϭ 2x yϭ2 x 2

1 0.5 0 0.5 1 x 1 0.5 0 0.5 1 x
(b) y ϭ 2 x, y ϭ 3 x, y ϭ 10 x
(a) y ϭ 2x, y ϭ 3x, y ϭ 10x

FIGURA 1.43 Gráficas de funciones exponenciales.

estudio se abordará en el capítulo 7. En la figura 1.44 se muestran las gráficas de cuatro
funciones logarítmicas con distintas bases. En cada caso el dominio es s0, q d y el rango
es s - q, q d.

Funciones trascendentes Son funciones no algebraicas. Entre ellas están las funciones
trigonométricas, las inversas trigonométricas, las exponenciales, las logarítmicas y muchas