Calculo una Variable - Thomas

6.4 Momentos y centro de masa 433

Solución La distribución de masa sigue siendo simétrica respecto del eje y, por lo que
x = 0 . Con d = 2x2, las ecuaciones (7) y (8) se transforman en

Mx = 'y dm = 2d s4 - x2d2 dx = 2 - x2d2 dx
L-2 2
L x 2s 4
L-2

= 2 - 8x 4 + x6d dx = 2048 (7’)
105
s 16x 2
L-2

22

M = dm = ds4 - x2d dx = 2x2s4 - x2d dx
L L-2 L-2

= 2 - 2x4d dx = 256 . (8’)
15
s 8x 2
L-2

Por lo tanto,

y = Mx = 2048 # 15 = 8 .
M 105 256 7

El nuevo centro de masa de la placa es

sx, yd = a0, 8 b .
7

EJEMPLO 6 Alambre con densidad constante

Determinar el centro de masa de un alambre con densidad constante d, que tiene forma de
una semicircunferencia de radio a.

y ϭ ͙a2 Ϫ x2 y Solución Modelamos el alambre con la semicircunferencia y = 2a2 - x2 (figura
Un pequeño segmento 6.39). La distribución de masa es simétrica respecto del eje y, por lo que x = 0. Para de-
representativo del alambre terminar y, imaginamos que dividimos el alambre en pequeños segmentos. El segmento
tiene dm ϭ ␦ ds ϭ ␦a d␪. representativo (figura 6.39a) tiene

d␪ (x~, ~y) ϭ
(a cos␪, a sen␪)
largo: ds = a du Masa por unidad
␪ masa: dm = d ds = da du de longitud por
longitud

–a 0 x distancia del c.m. al eje x: 'y = a sen u.
a

(a) De donde,

1 'y dm 10pa sen u da du 2 C D p
1 dm 0
#y da - cos u 2
p
y = = p = dap = a.

10 da du

a El centro de masa está en el punto s0, 2a>pd, del eje de simetría, aproximadamente a dos
tercios del origen (figura 6.39b).
c.m. ⎝⎛0, 2 a⎛⎝
␲ Centroides

–a 0 x Cuando la función de densidad es constante, se elimina del numerador y denominador en
(b) a las fórmulas para x y y. Esto ocurrió en casi todos los ejemplos de esta sección. En lo que
concierne a x y y, d bien podría haber sido 1. Así, cuando la densidad es constante, la ubi-
FIGURA 6.39 El alambre semicircular cación del centro de masa es una característica de la geometría del objeto y no del material
del ejemplo 6. (a) Las dimensiones y del cual está fabricado. En tales casos, los ingenieros podrían llamar al centro de masa, el
variables utilizadas para determinar el centroide de la forma. Por ejemplo, si se le diera la instrucción: “Determine el centroide de
centro de masa. (b) El centro de masa no un triángulo o de un cono sólido”, sólo tendría que establecer d igual a 1 y proceder a la
está en el alambre. determinación de x y y como se hizo antes, dividiendo momentos entre masas.

434 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

EJERCICIOS 6.4

Varillas delgadas 17. La región acotada por el eje y y la curva x = y - y 3, 0 … y … 1
18. La región acotada por la parábola x = y2 – y y la recta y = x
1. Dos niños, uno con 80 lb de peso y el otro con 100 lb, se balan- 19. La región acotada por el eje x y la curva y = cos x,
cean en un sube y baja. El niño de 80 lb está a 5 pies del punto de
apoyo. ¿A qué distancia del punto de apoyo se encuentra el niño -p>2 … x … p>2
de 100 lb? 20. La región entre el eje x y la curva y = sec2 x, - p>4 … x … p>4
21. La región acotada por las parábolas y = 2x2 - 4x y y = 2x - x2
2. Los extremos de un tronco están colocados en dos básculas. Una 22. a. La región del primer cuadrante cortada por la circunferencia
báscula marca 100 kg y la otra 200 kg. ¿En dónde se encuentra el
centro de masa del tronco? x2 + y2 = 9

3. Los extremos de dos varillas de acero de igual longitud se sueldan b. La región acotada por el eje x y la semicircunferencia
para formar un marco en forma de ángulo recto. Localice el cen- y = 29 - x2
tro de masa del marco. (Sugerencia: ¿En dónde está el centro de
masa de cada varilla?) Compare la respuesta del inciso (b) con la respuesta que dio al in-
ciso (a).
y
23. La región “triangular” del primer cuadrante, comprendida entre la
L circunferencia x2 + y2 = 9 y las rectas x = 3 y y = 3. (Sugerencia:
Utilice geometría para determinar el área).
Soldado en ángulo recto
24. La región acotada por arriba por la curva y = 1>x3 , por abajo por
0 la curva y = - 1>x3, y a la izquierda y la derecha por las rectas
Lx x = 1 y x = a 7 1 . También determine líma:q x .

4. Usted suelda los extremos de dos varillas de acero para formar un Placas delgadas con densidad variable
marco en ángulo recto. El largo de una varilla mide el doble que
el de la otra. ¿En dónde se encuentra el centro de masa del marco? 25. Determine el centro de masa de una placa delgada que cubre la
(Sugerencia: ¿En dónde está el centro de masa de cada varilla?) región entre el eje x y la curva y = 2>x2, 1 … x … 2 , si la densi-
dad de la placa en el punto (x, y) es dsxd = x2 .
Los ejercicios 5 a 12 dan funciones de densidad de varillas delgadas
que se encuentran en diferentes intervalos del eje x. Utilice las ecua- 26. Encuentre el centro de masa de una placa delgada que cubre la
ciones (3a) a (3c) para determinar el momento de cada varilla con res- región acotada por abajo por la parábola y = x2, y por arriba
pecto al origen, su masa y su centro de masa. por la recta y = x, si la densidad de la placa en el punto (x, y) es
d(x) = 12x.
5. dsxd = 4, 0 … x … 2
6. dsxd = 4, 1 … x … 3 27. La región acotada por las curvas y = ; 4> 2x y las rectas x = 1 y
7. dsxd = 1 + sx>3d, 0 … x … 3 x = 4 se hace girar alrededor del eje y para generar un sólido.
8. dsxd = 2 - sx>4d, 0 … x … 4
a. Determine el volumen del sólido.
9. dsxd = 1 + A1> 2xB, 1 … x … 4
b. Determine el centro de masa de una placa delgada que
10. dsxd = 3sx -3>2 + x -5>2d, 0.25 … x … 1 cubre la región, si la densidad de la placa en el punto (x, y)
11. dsxd = e 2 - x, 0 … x 6 1 es dsxd = 1>x .

x, 1 … x … 2 c. Haga un bosquejo de la placa, ilustrando en él el centro de
12. dsxd = e x + 1, 0 … x 6 1 masa.

2, 1 … x … 2 28. La región entre la curva y = 2/x y el eje x desde x = 1 hasta x = 4
se hace girar alrededor del eje x para generar un sólido.
Placas delgadas con densidad constante
a. Determine el volumen del sólido.
En los ejercicios del 13 a 24, determine el centro de masa de una placa
delgada con densidad constante d que cubre la región dada. b. Determine el centro de masa de una placa delgada que
cubre la región, si la densidad de la placa en el punto (x, y)
13. La región acotada por la parábola y = x2 y la recta y = 4 es dsxd = 2x .
14. La región acotada por la parábola y = 25 – x2 y el eje x
15. La región acotada por la parábola y = x – x2 y la recta y = –x c. Haga un bosquejo de la placa, ilustrando en él el centro de
16. La región encerrada por las parábolas y = x2 – 3 y y = –2x2 masa.

Centroides de triángulos

29. El centroide de un triángulo está en la intersección de las me-
dianas del triángulo (figura 6.40a) Tal vez recuerde que el

punto que está a un tercio de la distancia entre el punto medio 6.4 Momentos y centro de masa 435
de cada lado del triángulo y el vértice opuesto, es el punto en donde
se intersecan sus tres medianas. Demuestre que el centroide está y
en la intersección de las medianas, comprobando que también ds
se encuentra a un tercio de la distancia entre cada lado y el vértice
opuesto. Para ello, realice los pasos siguientes. x

i. Coloque un lado del triángulo sobre el eje x, como en la figura y
6.40b. Exprese dm en términos de L y dy.
x
ii. Utilice triángulos semejantes para demostrar que L = sb>hd 0
sh - yd . Sustituya esta expresión para L en su fórmula para dm.
40. Sin importar el valor de p 7 0 en la ecuación y = x2>s4pd , la
iii. Demuestre que y = h>3 . coordenada y del centroide del segmento parabólico que se mues-
tra a continuación, es y = s3>5da .
iv. Aplique el mismo argumento a los otros lados.

y

y

hϪy a y ϭ x2
L 4p
dy
h y y ϭ 3 a
5

Centroide 0 x x
(a) b 0

(b) 41. En el caso de alambres y varillas delgadas de densidad constante
con forma de arcos circulares centrados en el origen y simétricos
respecto del eje y, la coordenada y del centro de masa es

FIGURA 6.40 El triángulo del ejercicio 29. (a) El centroide. y = a sen a = ac .
(b) Las dimensiones y variables que se emplean para localizar a s
el centro de masa.
y

Utilice el resultado del ejemplo 29 para determinar los centroides de s
los triángulos cuyos vértices aparecen en los ejercicios 30 a 34. Su- c.m.
ponga que a, b 7 0 . hd
A
30. s - 1, 0d , (1, 0), (0, 3) 31. (0, 0), (1, 0), (0, 1) B
32. (0, 0), (a, 0), (0, a) 33. (0, 0), (a, 0), (0, b) aa x
34. (0, 0), (a, 0), (a>2, b) ␣␣

Alambres delgados c

35. Densidad constante Determine el momento, con respecto al 42. (Continuación del ejercicio 41)
eje x, de un alambre con densidad constante que está a lo largo de
la curva y = 2x, desde x = 0 hasta x = 2. a. Realice los pasos siguientes para demostrar que, cuando α es
pequeña, la distancia d entre el centroide y la cuerda AB es
36. Densidad constante Determine el momento, con respecto al aproximadamente 2h>3 (según la notación de la figura).
eje x, de un alambre con densidad constante que está a lo largo de
la curva y = x3, desde x = 0 hasta x = 1. i. Demuestre que

37. Densidad variable Suponga que la densidad del alambre del d = sen a - a cos a . (9)
ejemplo 6 es d = k sen u (k constante). Determine el centro de h a - a cos a
masa.
T ii. Grafique
38. Densidad variable Suponga que la densidad del alambre del
ejemplo d = 1 + k ƒ cos u ƒ (k constante). Determine el centro de sen a - a cos a
masa. a - a cos a

Fórmulas de ingeniería ƒsad =

Verifique las afirmaciones y fórmulas de los ejercicios 39 a 42. y utilice la función Trace de su calculadora gráfica para de-
mostrar que líma:0+ ƒsad L 2>3 .
39. Las coordenadas del centroide de una curva plana diferenciable son
b. El error (diferencia entre d y 2h>3) es pequeño incluso para án-
x = lo1ngxitdusd, y = 1 y ds . gulos mayores de 45°. Compruébelo evaluando el lado derecho
longitud de la ecuación (9) para a = 0.2 , 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0 radianes.

436 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus

Cuando uno salta la cuerda, ésta “barre” una superficie espacial alrededor de la persona,
misma que podemos denominar superficie de revolución. El “área” de esta superficie de-
pende de la longitud de la cuerda de y la distancia que haya entre cada uno de sus segmen-
y tos y el eje de rotación. En esta sección definiremos las áreas de superficies de revolución,
y en el capítulo 16 abordaremos superficies más complicadas.

a Definición del área de una superficie

–a 0 ax Queremos que nuestra definición de área de una superficie de revolución sea consistente
con los resultados que nos ofrece la geometría clásica al calcular las áreas de las superficies
FIGURA 6.41 La rotación de la de esferas, cilindros circulares y conos. De esta manera, si la cuerda para saltar discutida
semicircunferencia y = 2a2 - x2 de en la introducción del capítulo toma la forma de una semicircunferencia de radio a y se ha-
ce girar alrededor del eje x (figura 6.41), ésta generará una esfera cuya superficie tiene
radio a con centro en el origen, genera una área 4pa2 .
superficie esférica con área 4pa2 .
Antes de considerar curvas generales, empezaremos nuestro análisis haciendo girar
alrededor del eje x segmentos de recta horizontales e inclinados. Si hacemos girar el seg-
mento de recta horizontal AB que tiene longitud ¢x (figura 6.42a) alrededor del eje x,
generamos un cilindro con área superficialde 2py¢x . Esta área es la misma que la del
rectángulo cuyos lados miden ¢x y 2py (figura 6.42b). La longitud 2py es el perímetro de
la circunferencia de radio y generado al hacer girar, alrededor del eje x, el punto (x, y) en la
línea AB.

⌬x

y

⌬x 2␲ y
AB

y
0 xx

NO ESTÁ A ESCALA

(a) (b)

FIGURA 6.42 (a) Una superficie cilíndrica
generada al hacer girar el segmento de recta
horizontal AB, de longitud ¢x, alrededor del eje
x, tiene área 2py¢x . (b) Al cortar y desenrollar
la superficie cilíndrica se obtiene un rectángulo.

Suponga que el segmento AB tiene longitud ¢s y está inclinado en lugar de ser hori-
zontal. Cuando se hace girar alrededor del eje x, genera el tronco de un cono (figura
6.43a). De acuerdo con la geometría clásica, el área de la superficie del tronco de un cono
es 2py * ¢s , en donde y * = s y1 + y2d>2 es la altura promedio, por encima del eje x, del
segmento inclinado AB. Esta área superficial es la misma que la de un rectángulo con la-
dos de longitud ¢s y 2py* (figura 6.43b).

Trabajemos con estos principios geométricos para definir el área de la superficie que
se barre al hacer girar, alrededor del eje x, curvas más generales. Suponga que queremos
determinar el área de la superficie que se barre al hacer girar, alrededor del eje x, la gráfi-
ca de una función continua no negativa y = ƒsxd, a … x … b. Dividimos el intervalo cerra-
do [a, b] de la manera usual y usamos los puntos de la partición para subdividir la gráfica
en pequeños arcos. La figura 6.44 muestra un arco representativo PQ y la banda que barre
como parte de la gráfica de f.

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 437

∆s
y

∆s B 2␲ y *

A y* y2
y1 x
0

NO ESTÁ A ESCALA

(a) (b)

FIGURA 6.43 (a) El tronco de un cono generado por la rotación

alrededor del eje x del segmento de recta inclinado AB, de longitud

¢s, tiene área 2py *¢s . (b) El área del rectángulo para

y* y1 + y2 , la altura promedio de AB sobre el eje x.
2
=

Conforme el arco PQ gira alrededor del eje x, el segmento que une P con Q barre

el tronco de un cono cuyo eje está en el eje x (figura 6.45). El área de la superficie de

y y ϭ f (x) P Q este tronco aproxima el área de la superficie de la banda barrida por el arco PQ. El área
de la superficie del tronco que se muestra en la figura 6.45 es 2py *L , donde y* es la

altura promedio del segmento que une P con Q y L es su longitud (igual que antes).

0 Como ƒ Ú 0, de acuerdo con la figura 6.46 vemos que la altura promedio del segmen-
a to de recta es y * = sƒsxk-1d + ƒsxkdd>2 , y la longitud del segmento inclinado es
L = 2s ¢xkd2 + s ¢ykd2 . Por lo tanto,

xkϪ1 xk bx

ƒsxk-1d + ƒsxkd 2s ¢xkd2 + s ¢ykd2
2
# #Área de la superficie del tronco = 2p

FIGURA 6.44 Superficie generada al hacer = psƒsxk-1d + ƒsxkdd 2s ¢xkd2 + s ¢ykd2 .
girar, alrededor del eje x, la gráfica de la
función no negativa y = ƒsxd, a … x … b , Como el área de la superficie original es la suma de las áreas de las bandas barridas
La superficie es una unión de bandas, por arcos como el PQ, ésta se aproxima por medio de la suma de las áreas de los troncos
como la que barre el arco PQ.
n (1)
P
Q a psƒsxk-1d + ƒsxkdd 2s ¢xkd2 + s ¢ykd2 .

k=1

xkϪ1 Esperamos que la aproximación mejorará conforme la partición de [a, b] sea más fina.
Además, si la función f es diferenciable entonces, por el Teorema del Valor Medio, existe
xk x un punto sck , ƒsckdd en la curva entre P y Q donde la tangente es paralela al segmento PQ
(figura 6.47). En este punto,

ƒ¿sckd = ¢yk ,
¢xk

FIGURA 6.45 El segmento de recta que ¢yk = ƒ¿sckd ¢xk .
une P y Q barre un tronco de cono.

438 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

Longitud del segmento: Con esta sustitución para ¢yk , las sumas en la ecuación (1) toman la forma
P L ϭ ͙(⌬xk)2 ϩ (⌬yk)2
n
y ϭ f (x)
⌬yk a psƒsxk-1d + ƒsxkdd 2s ¢xkd2 + sƒ¿sckd ¢xkd2

Q k=1

r1 ϭ f (xk – 1) n (2)

r2 ϭ f (xk) = a psƒsxk-1d + ƒsxkdd 21 + sƒ¿sckdd2 ¢xk .

k=1

xk – 1 xk Estas sumas no son las sumas de Riemann de alguna función, ya que los puntos xk–1, xk y
ck no son iguales. Sin embargo, un teorema de cálculo avanzado nos asegura que cuando
⌬xk la norma de la partición de [a, b] tiende a cero, las sumas de la ecuación (2) convergen a la
integral
FIGURA 6.46 Dimensiones asociadas
con el arco y el segmento PQ. b

2pƒsxd 21 + sƒ¿sxdd2 dx .
La

Por lo tanto, definimos esta integral como el área de la superficie barrida por la gráfica de
f, de a a b.

P (ck, f (ck)) DEFINICIÓN Área superficial para rotación alrededor del eje x
⌬yk Tangente paralela
a la cuerda. Si la función ƒsxd Ú 0 es continuamente diferenciable en [a, b], el área de la
superficie generada al hacer girar la curva y = ƒsxd alrededor del eje x es
Q
y ϭ f (x)

xk – 1 ck xk b dy 2 dx = b + sƒ¿sxdd2 dx . (3)
⌬xk adx b
S = 2py 1 + 2pƒsxd 21
La B La

FIGURA 6.47 Si f es suave, el Teorema La raíz cuadrada de la ecuación (3) es la misma que aparece en la fórmula para calcular
del Valor Medio asegura la existencia de longitud de arco en la ecuación (2) de la sección 6.3.
un punto ck en donde la tangente es
paralela al segmento PQ.

EJEMPLO 1 Aplicando la fórmula de área superficial

Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva y = 22x,
1 … x … 2, alrededor del eje x (figura 6.48).

y Solución Evaluamos la fórmula
y ϭ 2͙x
(2, 2͙2 ) b dy 2
S= 2py 1 + adx b dx Ecuación (3)
(1, 2) La B

con

0 a = 1, b = 2, y = 22x, dy = 1,
12 dx 2x

x

1 + dy 2 = 1 + a 1 2
B adx b B
2x b

FIGURA 6.48 En el ejemplo 1 = A1 + 1 = x + 1 = 2x + 1.
calculamos el área de esta superficie. x A x 2x

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 439

Con estas sustituciones,

2 22x 2x + 1 dx = 4p 2

2p 2x + 1 dx
#S =
L1 2x L1

#= 4p 2 sx + 2 = 8p A 3 23 - 222B .
3 3
1d3>2 d

1

Rotación alrededor del eje y
Para rotaciones alrededor del eje y, intercambiamos x y y en la ecuación (3).

Área superficial para rotaciones alrededor del eje y
Si x = gsyd Ú 0 es continuamente diferenciable en [c, d], el área de la superficie
generada al hacer girar la curva x = gsyd alrededor del eje y es

d dx 2 d
dy
S = 2px 1 + a b dy = 2pgsyd 21 + sg¿sydd2 dy . (4)
Lc B Lc

y

A (0, 1) EJEMPLO 2 Determinación del área rotando alrededor del eje y
xϩyϭ1
El segmento de recta x = 1 - y, 0 … y … 1, se hacer girar alrededor del eje y para gene-
rar el cono de la figura 6.49. Determinar el área de su superficie lateral (la cual excluye el
área de la base).

0 Solución En este caso tenemos un cálculo que podemos comprobar con una fórmula
B (1, 0) geométrica:
x
Área de la superficie lateral = circunferencia de la base * altura inclinada = p22.
FIGURA 6.49 Al hacer girar el segmento 2
de recta AB alrededor del eje y se genera
un cono, cuya superficie lateral se puede Para ver si la ecuación (4) da el mismo resultado, tomamos
calcular de dos formas distintas (ejemplo 2).
c = 0, d = 1, x = 1 - y, dx = -1,
dy

1 + addyx b 2 = 21 + s - 1d2 = 22
B

y calculamos

d addyx b 2 dy 1

S= 2px A1 + = 2ps1 - yd 22 dy
Lc L0

y2 1 1
2p22 cy d 2p22 a1 2 b
= - 2 = -
0

= p22.
Los resultados coinciden, tal como esperábamos.

440 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

Curvas parametrizadas

Sin importar el eje coordenado de rotación, las raíces cuadradas que aparecen en las ecua-
ciones (3) y (4) son las mismas que aparecen en las fórmulas para calcular la longitud de
arco (sección 6.3). Si la curva está parametrizada por las ecuaciones x = ƒstd y y = gstd,
a … t … b, donde f y g son continuamente diferenciables en [a, b], entonces la raíz cua-
drada correspondiente que aparece en la fórmula para determinar la longitud de arco es

2[ƒ¿std]2 + [g¿std]2 = B addxt b 2 + dy 2
a dt b .

Esta observación nos conduce a las siguientes fórmulas para calcular el área de superficies
de revolución para curvas suaves parametrizadas.

Área de una superficie de revolución para curvas parametrizadas
Si una curva suave x = ƒstd, y = gstd, a … t … b, se recorre una sola vez a me-
dida que t aumenta de a a b, entonces las áreas de las superficies generadas al ha-
cer girar la curva alrededor de los ejes coordenados son las siguientes.

1. Rotación alrededor del eje x sy Ú 0d :

b dx 2 dy 2
dt a dt b dt
S = 2py a b + (5)

La B

2. Rotación alrededor del eje y sx Ú 0d :

b dx 2 dy 2
dt a dt b dt
S = 2px a b + (6)

La B

Circunferencia y Al igual que con la longitud, podemos calcular el área de la superficie a partir de cualquier
parametrización que cumpla con los criterios establecidos.
x ϭ cos t
y ϭ 1 ϩ sen t EJEMPLO 3 Aplicando la fórmula para el área superficial
0 Յ t Յ 2␲
La parametrización estándar de la circunferencia de radio 1 con centro en el punto (0, 1)
(0, 1) en el plano xy es

x = cos t, y = 1 + sen t, 0 … t … 2p.

Usar esta parametrización para determinar el área de la superficie barrida al hacer girar la
circunferencia alrededor del eje x (figura 6.50).

Solución Evaluamos la fórmula

x S = La b 2py B addxt b 2 + dy 2 La ecuación (5) para
a dt b dt
rotación alrededor del eje
y = 1 + sen t 7 0

FIGURA 6.50 En el ejemplo 3 2p
calculamos el área de la superficie de
rotación barrida por esta curva = 2ps1 + sen td 2s - sen td2 + scos td2 dt
parametrizada. L0 (''')'''*

1

2p

= 2p s1 + sen td dt
L0

= 2p C t - cos t D 2p = 4p2 .
0

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 441

La forma diferencial

Las ecuaciones

b dy 2 d dx 2
dy
S= 2py 1 + adx b dx y S = 2p x a b dy
La B
Lc B

suelen escribirse en términos de la diferencial de la longitud de arco ds = 2dx2 + dy 2
como

bd

S = 2py ds y S = 2px ds.
La Lc

En la primera, y es la distancia entre el eje x y un elemento de longitud de arco ds. En la
segunda, x es la distancia entre el eje y y un elemento de longitud de arco ds. Ambas inte-
grales tienen la forma

S = 2psradiodsancho de la bandad = 2pr ds (7)
LL

donde r es el radio entre el eje de rotación y un elemento de longitud de arco ds (figu-
ra 6.51).

Así pues, en cualquier problema particular, expresaríamos la función del radio r y la
diferencial de la longitud de arco ds en términos de una variable común y proporcionaría-
mos los límites de integración para esa variable.

y
b

A S ϭLa 2␲␳ds ds

0 B
a ␳

b Eje de
rotación

FIGURA 6.51 El área de la superficie barrida al hacer

girar el arco AB alrededor del eje que se muestra aquí es

b 2pr ds . La expresión exacta depende de las fórmulas

1a

y para r y ds.

1 ⎛1 , 1⎛ EJEMPLO 4 Uso de la forma diferencial para calcular áreas de superficies
8 ⎝2 8⎝ Determinar el área de la superficie generada al hacer girar la curva y = x3, 0 … x … 1>2 ,
alrededor del eje x (figura 6.52).
y ϭ x3 1x
0 2 Solución Empezamos con la forma diferencial abreviada:

–1
8

NO ESTÁ A ESCALA S = 2pr ds Para rotación alrededor del eje
L x, la función del radio es
FIGURA 6.52 La superficie generada al r = y 7 0 en 0 … x … 1>2.
hacer girar, alrededor del eje x, la curva = 2py ds
y = x3, 0 … x … 1>2 , podría ser el diseño L ds = 2dx2 + dy 2
para una copa para champaña (ejemplo 4).
= 2py 2dx2 + dy 2 .
L

442 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

Después, decidimos si expresaremos dy en términos de dx o dx en términos de dy. La for-
ma original de la ecuación, y = x3 hace que sea más sencillo expresar dy en términos de dx,

de modo que continuamos el cálculo con:

y = x3, dy = 3x2 dx, y 2dx2 + dy2 = 2dx2 + s3x2 dxd2

= 21 + 9x4 dx .
Con estas sustituciones, x se convierte en la variable de integración y

x = 1>2

S = 2py 2dx2 + dy 2
Lx = 0

1>2 Se sustituye
u = 1 + 9x4,
= 2px3 21 + 9x4 dx du>36 = x3 dx ;
L0 se integra y se

= 2p a316 b a32 bs1 + 1>2 sustituye

9x4d3>2 d nuevamente.

0

p 9 3>2
27 16
= c a1 + b - 1d

= p c a1265 b 3>2 - 1d = p a16245 - 1b
27 27

= 61p .
1728

Bandas cilíndricas versus bandas cónicas

¿Por qué no calcular el área de la superficie con bandas cilíndricas en lugar de utilizar ban-
das cónicas, como se sugiere en la figura 6.53? Las sumas de Riemann que obtenemos de
esta manera convergen tan bien como las que tienen como base las bandas cónicas y la in-
tegral resultante es además más sencilla. Para rotación alrededor del eje x el radio en la
ecuación (7) es r = y y el ancho de la banda es ds = dx. Esto lleva a la fórmula integral

(a) b (8)

(b) S = 2pƒsxd dx
FIGURA 6.53 ¿Por qué no utilizar (a) La
bandas cilíndricas en lugar de (b) bandas
cónicas para aproximar el área de una en lugar de la que se definió en la ecuación (3). El problema con esta nueva fórmula es que
superficie? no da resultados consistentes con las fórmulas que ofrece la geometría clásica para calcu-
lar áreas de superficies, lo cual era una de nuestras metas al principio. El hecho de obtener
una integral aparentemente apropiada a partir de una deducción de sumas de Riemann, no
significa que tal integral calculará lo que queremos. (Vea el ejercicio 40).

PRECAUCIÓN No utilice la ecuación (8) para calcular el área de superficies, No le pro-
porcionará el resultado correcto.

Teorema de Pappus

En el siglo III, un griego de la ciudad de Alejandría, llamado Pappus, descubrió dos
fórmulas que relacionan los centroides con las superficies y con los sólidos de revolución.
Tales fórmulas simplifican cálculos que de otra manera serían muy largos.

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 443

TEOREMA 1 Teorema de Pappus para volúmenes

Si una región plana se hacer girar alrededor de una recta en el plano, de manera
que esta última no corte el interior de la región, entonces el volumen del sólido
generado es igual al área de la región por la distancia recorrida por su centroide
durante la rotación. Si r es la distancia entre el eje de rotación y el centroide,
entonces

V = 2prA . (9)

y Demostración Dibujamos el eje de rotación como el eje x, con la región R en el primer
cuadrante (figura 6.54). Denotamos con L(y) la longitud de la sección transversal de R
d perpendicular al eje y en y. Suponemos que L(y) es continua.

L ( y) Por el método de los casquillos cilíndricos, el volumen del sólido generado al hacer
y girar la región alrededor del eje x es

R dd
c
V = 2psradio del casquillodsaltura del casquillod dy = 2p y Ls yd dy . (10)
Lc Lc

x La coordenada y del centroide de R es
0
dd
FIGURA 6.54 La región R se hará girar 'y dA y Ls yd dy
(una vez) alrededor del eje x para generar y = Lc A Lc
un sólido. Un teorema que data de hace =A , 'y = y, dA = L( y)dy
1700 años establece que el volumen del
sólido puede calcularse multiplicando el por lo que
área de la región por la distancia recorrida
por el centroide durante la rotación. d

y Ls yd dy = Ay.
Lc

Sustituyendo Ay por la última integral de la ecuación (10), se obtiene V = 2pyA. Con r
igual a y, tenemos V = 2prA .

Distancia del eje de EJEMPLO 5 Volumen de un toro
z rotación al centroide
El volumen de un toro (sólido con forma de dona) generado al hacer girar un disco circu-
b lar de radio a alrededor de un eje en su plano, a una distancia b Ú a de su centro (figura
a 6.55), es

V = 2psbdspa2d = 2p2ba2 .

EJEMPLO 6 Localización del centroide de una región semicircular

y Solución Modelamos la región como la región entre la semicircunferencia y = 2a2 - x2
(figura 6.56) y el eje x; imagine que hacemos girar la región alrededor del eje x para gene-
x rar una esfera sólida. Por simetría, la coordenada x del centroide es x = 0. Con y = r en
Área: ␲a2 la ecuación (9), tenemos
Circunferencia: 2␲a
y = V = s 4> 3 dpa 3 = 4 a.
FIGURA 6.55 Con el primer teorema de 2pA 2ps 1> 2 dpa 2 3p
Pappus podemos determinar el volumen de
un toro sin tener que integrar (ejemplo 5).

444 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

y TEOREMA 2 Teorema de Pappus para áreas de superficies
a
Si un arco de una curva plana suave se hacer girar una vez alrededor de una recta
4 a Centroide en el plano, de manera que ésta no corte el interior del arco, entonces el área de la
3␲ superficie generada por el arco es igual a la longitud del arco por la distancia re-
corrida por el centroide del arco durante la rotación. Si r es la distancia entre el
–a 0 x eje de rotación y el centroide, entonces
a

FIGURA 6.56 Con el primer teorema de S = 2prL . (11)
Pappus podemos localizar el centroide
de una región semicircular sin tener que La demostración que damos supone que podemos modelar el eje de rotación como el eje x
integrar (ejemplo 6). y el arco como la gráfica de una función continuamente diferenciable de x.

y Demostración Dibujamos el eje de rotación como el eje x con el arco extendiéndose
ds desde x = a hasta x = b en el primer cuadrante (figura 6.57). El área de la superficie gene-
rada por el arco es

x=b x=b

~y S = 2py ds = 2p y ds. (12)
Lx = a Lx = a

0a La coordenada y del centroide del arco es

x=b x=b
'y ds y ds
bx Lx = a Lx = a
=L L= 1 ds es la longi-
y = x=b . tud del arco y 'y = y .

FIGURA 6.57 Figura para demostrar el Lx = a ds
teorema de Pappus para la determinación
de áreas. Por lo que

x=b

y ds = yL.
Lx = a

Al sustituir yL por la última integral de la ecuación 12 se obtiene S = 2pyL. Con r igual
a y, tenemos S = 2prL .

EJEMPLO 7 Área de la superficie de un toro
El área de la superficie del toro del ejemplo 5 es

S = 2psbds2pad = 4p2ba .

EJERCICIOS 6.5

Determinación de integrales para calcular 2. y = x2, 0 … x … 2; eje x
áreas de superficies
3. xy = 1, 1 … y … 2; eje y
En los ejercicios 1 a 8:
4. x = sen y, 0 … y … p; eje y
a. Establezca una integral para calcular el área de la superficie 5. x1>2 + y 1>2 = 3 de (4, 1) a (1, 4); eje x
generada al hacer girar la curva dada alrededor del eje indicado.
6. y + 2 2y = x, 1 … y … 2; eje y
T b. Grafique la curva para observar su apariencia. Si puede, gra-
fique también la superficie. y

T c. Utilice el evaluador de integrales de su calculadora gráfica o 7. x = tan t dt, 0 … y … p>3; eje y
de su computadora para determinar numéricamente el área de L0
la superficie.
x
1. y = tan x, 0 … x … p>4; eje x
8. y = 2t2 - 1 dt, 1 … x … 25; eje x
L1

6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 445

Determinación de áreas de superficies 21. x = s y4>4d + 1>s8y2d, 1 … y … 2; eje x. (Sugerencia: Exprese
ds = 2dx2 + dy 2 en términos de dy y evalúe la integral
9. Determine el área de la superficie lateral del cono generado al ha- S = 1 2py ds con límites apropiados).

cer girar el segmento de recta y = x>2, 0 … x … 4 , alrededor del 22. y = s1>3dsx2 + 2d3>2, 0 … x … 22; (Sugerencia: Exprese

eje x. Compruebe su respuesta con la fórmula geométrica ds = 2dx2 + dy 2 en términos de dx y evalúe la integral

Área de la superficie lateral 1 circunferencia S = 1 2px ds con límites apropiados).
=2* 23. Prueba de la nueva definición Demuestre que el área de la su-
de la base ϫ altura inclinada.
perficie de una esfera de radio a sigue siendo 4pa2; utilice la
10. Determine el área de la superficie lateral del cono generado al ha- ecuación (3) para determinar el área de la superficie generada al
hacer girar la curva y = 2a2 - x2, - a … x … a , alrededor
cer girar el segmento de recta y = x>2, 0 … x … 4 , alrededor del del eje x.

eje y. Compruebe su respuesta con la fórmula geométrica 24. Prueba de la nueva definición El área de la superficie lateral
de un cono de altura h y radio de la base r debe ser pr 2r2 + h2 ,
Área de la superficie lateral 1 circunferencia el semiperímetro de la base por la altura inclinada. Demuestre que
=2* éste es el caso determinando el área de la superficie generada al
de la base ϫ altura inclinada. hacer girar, alrededor del eje x, el segmento de recta y = sr>hdx,
0 … x … h.
11. Determine el área de la superficie del tronco de un cono que se
genera al hacer girar el segmento de recta y = sx>2d + s1>2d, 25. Escriba una integral para calcular el área de las superficie genera-
1 … x … 3 , alrededor del eje x. Compruebe su resultado con la da al hacer girar, alrededor del eje x, la curva y = cos x,
fórmula geométrica -p>2 … x … p>2 , En la sección 8.5 veremos cómo evaluar este
tipo de integrales.
Área de la superficie de un tronco
= psr1 + r2d * altura inclinada. 26. Superficie de una astroide Determine el área de la superficie
generada al hacer girar alrededor del eje x la parte de la astroide
12. Determine el área de la superficie del tronco de un cono que se x2>3 + y 2>3 = 1 que se muestra a continuación. (Sugerencia:
genera al hacer girar el segmento de recta y = sx>2d + s1>2d, Haga girar la parte del primer cuadrante, y = s1 - x2>3d3>2,
1 … x … 3 , alrededor del eje y. Compruebe su resultado con la 0 … x … 1 , alrededor del eje x y multiplique su resultado por
fórmula geométrica dos).
y
Área de la superficie de un tronco
= psr1 + r2d * altura inclinada. 1

En los ejercicios 13 a 22, determine el área de cada superficie genera-
da al hacer girar la curva dada alrededor del eje indicado. Si tiene una
calculadora gráfica, grafique estas curvas para ver cómo lucen.

13. y = x3>9, 0 … x … 2; eje x

14. y = 2x, 3>4 … x … 15>4; eje x x2/3 ϩ y2/3 ϭ 1
15. y = 22x - x2, 0.5 … x … 1.5; eje x

16. y = 2x + 1, 1 … x … 5; eje x –1 0 x
17. x = y3>3, 0 … y … 1; eje y 1
18. x = s1>3dy3>2 - y1>2, 1 … y … 3;
eje y

19. x = 2 24 - y, 0 … y … 15>4; eje y T 27. Esmaltado de sartenes La compañía en donde trabaja decidió
producir una versión de lujo de la exitosa sartén que usted diseñó
y en la sección 6.1, ejercicio 55. El plan es recubrir la parte interior
con un esmalte blanco y la exterior con esmalte azul. Cada esmal-
15 ⎝⎛1, 15 ⎛ te se aplicará en una capa de 0.5 mm de grosor antes de hornear la
4 4 ⎝ sartén. (Vea el diagrama). El departamento de manufactura nece-
sita saber cuánto esmalte debe tener disponible para producir
x ϭ ͙4 Ϫ y 5000 sartenes. ¿Qué les diría? (No tome en cuenta el material que
se desperdicia ni el material no usado, y proporcione su respuesta en
0 litros. Recuerde que 1 cm3 = 1 mL , por lo que 1 L = 1000 cm3).
4x

20. x = 22y - 1, 5>8 … y … 1; eje y y (cm)
x2 ϩ y2 ϭ 162 ϭ 256
y

1 (1, 1)

⎛1 , 5⎛ x ϭ ͙2y Ϫ 1 0
⎝2 8⎝ –7 x (cm)
5
9 cm de profundidad
8 0 –16

1 1 x
2

446 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

28. Rebanadas de pan ¿Sabía que si corta una pieza esférica de zamos la ecuación (3) con la fórmula con valor absoluto
pan en rebanadas del mismo ancho, cada una tendrá la misma
cantidad de corteza? Para ver por qué, suponga que la semicir- S = 2pr ds = 2p ƒ ƒsxd ƒ ds . (13)
cunferencia y = 2r 2 - x2 que se muestra aquí se hace girar al- LL
rededor del eje x para generar una esfera. Sea AB un arco de la se-
micircunferencia que está sobre un intervalo de longitud h en el Utilice la ecuación (13) para determinar el área de la superficie
eje x. Demuestre que el área barrida por AB no depende de la ubi-
cación del intervalo. (Sí depende de la longitud del intervalo). del doble cono generado al hacer girar el segmento de recta

y = x, - 1 … x … 2 , alrededor del eje x.

y A 32. (Continuación del ejercicio 31). Determine el área de la superficie
y ϭ ͙r2 Ϫ x2 B generada al hacer girar la curva y = x3>9, - 23 … x … 23 ,

alrededor del eje s. ¿Qué cree que sucedería si quitara las barras

de valor absoluto en la ecuación (13) e intentara determinar el
área de la superficie mediante la fórmula S = 1 2pƒsxd ds? In-
téntelo.

Parametrizaciones

–r r x En los ejercicios 33 a 35, determine el área de cada superficie genera-
0 a aϩh da al hacer girar las curvas alrededor del eje indicado.

h

29. Por medio de planos paralelos separados una distancia h, se corta, 33. x = cos t, y = 2 + sen t, 0 … t … 2p; eje x.
de una esfera de radio R, la banda sombreada que se muestra a
continuación. Demuestre que el área de la superficie de la banda 34. x = s2>3dt3>2, y = 2 2t, 0 … t … 23; eje y.
es 2pRh .
35. x = t + 22, y = st 2>2d + 22t, - 22 … t … 22; eje y.
h
36. Establezca, pero no evalúe, una integral que represente el área de
R la superficie obtenida al hacer girar la curva x = a st - sen td,
y = a s1 - cos td, 0 … t … 2p, alrededor del eje x.
30. A continuación se muestra un dibujo esquemático del domo de 90
pies que utilizó el Servicio Meteorológico Nacional de Estados 37. Tronco de un cono El segmento de recta que une los puntos
Unidos para alojar un radar en Bozeman, Montana. (0, 1) y (2, 2) se hace girar alrededor del eje x para generar el
a. ¿A cuánto equivale la superficie exterior que se requiere pin- tronco de un cono. Determine el área de la superficie del tronco por
tar (sin tomar en cuenta la parte inferior)? medio de la parametrización x = 2t, y = t + 1, 0 … t … 1 . Com-
pruebe su resultado con la fórmula geométrica: Área = psr1 + r2d
T b. Exprese la respuesta al pie cuadrado más cercano. (altura inclinada).

38. Un cono El segmento de recta que va del origen al punto (h, r)
se hace girar alrededor del eje x para generar un cono de altura h y
radio de la base r. Determine el área de la superficie del cono con
las ecuaciones paramétricas x = ht, y = rt, 0 … t … 1 . Com-
pruebe su resultado con la fórmula geométrica: Área = pr(altura
inclinada).

39. Una deducción alternativa de la fórmula para calcular el área

de una superficie Suponga que f es suave en [a, b] y que [a, b]

se divide en la forma usual. En el k-ésimo subintervalo [xk-1, xk]
se construye la recta tangente a la curva en el punto medio

mk = sxk-1 + xkd>2 , como se muestra en la figura siguiente.

Eje a. Demuestre que r1 = ƒsmkd - ƒ¿smkd ¢xk y r2 = ƒsmkd +
2
¢xk
ƒ¿smkd 2 .

45 pies Centro b. Demuestre que la longitud Lk del segmento de recta tangente en
22.5 pies el k-ésimo subintervalo es Lk = 2s ¢xkd2 + sƒ¿smkd ¢xkd2 .

Radio y ϭ f(x)
45 pies

31. Superficies generadas por curvas que cruzan el eje de rotación r1 mk r2 x
La fórmula para calcular el área de una superficie en la ecua- xk – 1 ⌬ xk xk
ción (3), se desarrolló bajo la hipótesis de que la función f, cuya
gráfica generaba la superficie, era no negativa en el intervalo [a,
b]. Para el caso de curvas que cruzan el eje de rotación, reempla-

6.6 Trabajo 447

c. Demuestre que el área de la superficie lateral del tronco del co- encuentra en la intersección de sus medianas, a un tercio de la dis-
tancia entre el punto medio de cada lado y el vértice opuesto).
no barrido por el segmento de recta tangente cuando éste se ha-
ce girar alrededor del eje x es 2pƒsmkd 21 + sƒ¿smkdd2 ¢xk . 43. Determine el volumen del toro generado al hacer girar la circun-
ferencia (x – 2)2 + y2 = 1 alrededor del eje y.
d. Demuestre que el área de la superficie generada al hacer girar
44. Utilice el teorema de Pappus para determinar el área de la super-
y = f (x) alrededor del eje x en [a, b] es ficie lateral y el volumen de un cono circular recto.

n área de la superficie lateral b= 45. Utilice el segundo teorema de Pappus y el hecho de que el área de
lím a la superficie de una esfera de radio a es 4pa2 para determinar el
a del k–ésimo tronco centroide de la semicircunferencia y = 2a2 - x2 .
n:q
k=1 46. Como se determinó en el problema 45, el centroide de la semicir-
b cunferencia y = 2a2 - x2 se encuentra en el punto s0, 2a>pd .
Determine el área de la superficie que se barre al hacer girar la
La 2pƒsxd 21 + sƒ¿sxdd2 dx . semicircunferencia alrededor de la recta y = a.

40. Modelado del área de una superficie El área de la superfi- 47. El área de la región R acotada por la semielipse y = sb>ad
2a2 - x2 y el eje x es s1>2dpab, y el volumen del elipsoide ge-
cie lateral del cono barrido al hacer girar el segmento de recta nerado al hacer girar R alrededor del eje x es s4>3dpab 2 . Deter-
y = x> 23, 0 … x … 23 , alrededor del eje x debe ser (1/2)(cir- mine el centroide de R. Observe que la ubicación es independiente
cunferencia de la base)(altura inclinada) = s1>2ds2pds2d = 2p . de a.

¿Qué obtiene si utiliza la ecuación (8) con ƒsxd = x> 23 ? 48. Como se determinó en el ejemplo 6, el centroide de la región aco-
tada por el eje x y la semicircunferencia y = 2a2 - x2 está en
y y ϭ x , 0 Յ x Յ ͙3 el punto s0, 4a>3pd . Determine el volumen del sólido generado
͙3 al hacer girar esta región alrededor de la recta y = - a .

2 (͙3, 1) 49. La región del ejercicio 48 se hace girar alrededor de la recta y = x
01 – a para generar un sólido. Determine el volumen del sólido.

͙3 x 50. Como se determinó en el ejercicio 45, el centroide de la semicir-
cunferencia y = 2a2 - x2 está en el punto s0, 2a>pd . Determi-
El teorema de Pappus ne el área de la superficie generada al hacer girar la semicircunfe-
rencia alrededor de la recta y = x - a .
41. La región cuadrada con vértices (0, 2), (2, 0), (4, 2) y (2, 4) se ha-
ce girar alrededor del eje x para generar un sólido. Determine el 51. Determine el momento, con respecto aleje x, de la región semi-
volumen y el área de la superficie del sólido. circular del ejemplo 6. Si utiliza los resultados conocidos, no será
necesario integrar.
42. Utilice el teorema de Pappus para determinar el volumen genera-
do al hacer girar la región triangular acotada por los ejes coorde-
nados y la recta 2x + y = 6 alrededor de la recta x = 5. (Como vio
en el ejercicio 29 de la sección 6.4, el centroide de un triángulo se

6.6 Trabajo

En la vida cotidiana, el término trabajo hace referencia a una actividad que requiere es-
fuerzo muscular o mental. En la ciencia, este concepto alude específicamente a una fuerza
que actúa sobre un cuerpo y al consecuente desplazamiento del cuerpo. En esta sección
mostraremos cómo se calcula el trabajo. Las aplicaciones van desde la compresión de re-
sortes en vagones de ferrocarril y el drenado de tanques subterráneos, hasta forzar electro-
nes a juntarse y la puesta en órbita de satélites.

Trabajo realizado por una fuerza constante

Cuando un cuerpo se mueve una distancia d a lo largo de una línea recta como resultado
de la aplicación de una fuerza constante de magnitud F en la dirección del movimiento,
definimos el trabajo T realizado por la fuerza sobre el cuerpo mediante la fórmula

T = Fd (Fórmula para calcular el trabajo con fuerza constante). (1)

448 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

Joules De acuerdo con la ecuación (1), vemos que la unidad de trabajo en cualquier sistema es
El joule debe su nombre al físico inglés la unidad de fuerza multiplicada por la unidad de distancia. En las unidades del sistema
James Prescott Joule (1818-1889). La internacional de medidas (SI), la unidad de fuerza es el newton, la unidad de distancia el
ecuación que lo define es
metro, y la unidad de trabajo el newton-metro sN # md. Esta combinación aparece con tan-
1 joule = s1 newtonds1 metrod .
ta frecuencia que tiene un nombre especial: joule. En el sistema inglés, la unidad de traba-
En símbolos, 1 J = 1 N # m . jo es la libra-pie, una unidad utilizada comúnmente por los ingenieros.

EJEMPLO 1 Levantamiento de un automóvil

Si usted levanta 1.25 pies uno de los lados de un automóvil de 2000 lb para cambiar un
neumático (para lo cual tendría que aplicar una fuerza vertical constante de alrededor de
1000 lb), realizará 1000 * 1.25 = 1250 lb-pie de trabajo sobre el automóvil. En unidades
del SI, diríamos que ha aplicado una fuerza de 4448 N a lo largo de una distancia de 0.381
m para hacer 4448 * 0.381 L 1695 J de trabajo.

Trabajo realizado por una fuerza variable a lo largo de una recta

Si la fuerza que se aplica varía durante el proceso, como ocurre al comprimir un resorte,
la fórmula T = Fd tiene que reemplazarse por una integral que tome en cuenta la varia-
ción de F.

Suponga que la fuerza que realiza el trabajo actúa a lo largo de una línea que conside-
raremos como el eje x, y que su magnitud F es una función continua de la posición. Quere-
mos determinar el trabajo realizado en el intervalo de x = a a x = b. Hacemos una partición
de [a, b] en la forma usual, y elegimos un punto arbitrario ck en cada subintervalo
[xk-1, xk] . Si el intervalo es suficientemente pequeño, dado que F es continua no variará
mucho de xk-1 a xk . La cantidad de trabajo realizado a lo largo del intervalo será aproxi-
madamente F(ck) veces la distancia ¢xk , la misma que obtendríamos si F fuese constante
y aplicáramos la ecuación (1). Por lo tanto, el trabajo total realizado de a a b se aproxima
mediante la suma de Riemann

n

Trabajo L a Fsckd ¢xk .

k=1

Cabe esperar que la aproximación mejorará a medida que la norma de la partición tienda a
cero, así que definimos el trabajo realizado por la fuerza de a a b como la integral de F de
a a b.

DEFINICIÓN Trabajo

El trabajo realizado por una fuerza variable F(x) dirigida a lo largo del eje x de
x = a a x = b es

b (2)

W = Fsxd dx.
La

Las unidades de la integral son joules si F está en newtons y x en metros, y libras-pie si F
está en libras y x en pies. Así, el trabajo realizado por la fuerza Fsxd = 1>x2 newtons a lo

largo del eje x de x = 1 m a x = 10 m es

10 1 1 10 1
x2 x 10
W = L1 dx = - d = - + 1 = 0.9 J.

1

6.6 Trabajo 449

Ley de Hooke para resortes: F = kx

Comprimido La ley de Hooke establece que la fuerza que se requiere para estirar o comprimir un resor-
F te x unidades de longitud a partir de su longitud natural (sin comprimir), es proporcional
a x. En símbolos,
x
x F = kx. (3)
0 Sin comprimir 1
(a)
La constante k, medida en unidades de fuerza por unidad de longitud, es una característica
F del resorte, denominada constante del resorte (o constante de fuerza del resorte). La
ley de Hooke, ecuación (3), proporciona buenos resultados, siempre y cuando la fuerza no
Fuerza (lb) F ϭ 16x distorsione el metal del que está hecho el resorte. En esta sección supondremos que las
fuerzas son muy pequeñas para hacerlo.

4 Trabajo realizado por F EJEMPLO 2 Compresión de un resorte
desde x ϭ 0 hasta x ϭ 0.25
Determinar el trabajo requerido para comprimir un resorte desde su longitud natural de
0 0.25 x (ft) 1 pie a una longitud de 0.75 pies, si la constante del resorte es k = 16 lb>pie.

Magnitud de la compresión

(b) Solución Dibujamos el resorte sin comprimir sobre el eje x, con su extremo móvil en el
origen y el extremo fijo en x = 1 pie (figura 6.58). Esto nos permite describir la fuerza re-
FIGURA 6.58 La fuerza F necesaria para querida para comprimir el resorte desde 0 hasta x con la fórmula F = 16x. Para comprimir
mantener un resorte bajo compresión el resorte desde 0 hasta 0.25 pies, la fuerza debe aumentar de
aumenta linealmente conforme se
comprime el resorte (ejemplo 2). Fs0d = 16 # 0 = 0 lb a Fs0.25d = 16 # 0.25 = 4 lb.

El trabajo realizado por F en el intervalo es La ecuación 2 con
a = 0, b = 0.25,
0.25 0.25 Fsxd = 16x

T = 16x dx = 8x2 d = 0.5 lb-pies .
L0 0

EJEMPLO 3 Trabajo para estirar un resorte

Un resorte tiene una longitud natural de 1 m, Una fuerza de 24 N lo estira hasta una longi-
tud de 1.8 m.

(a) Determinar la constante k del resorte.
(b) ¿Cuánto trabajo se requerirá para estirar el resorte hasta 2 m más que su longitud na-

tural?
(c) ¿Hasta qué longitud se estirará el resorte si le aplicamos una fuerza de 45 N?

xϭ0 Solución

0.8 (a) La constante k del resorte. Determinamos la constante k del resorte a partir de la
1 24 N ecuación (3). Una fuerza de 24 N estira el resorte 0.8 m, de manera que

x (m) 24 = ks0.8d La ecuación 3 con
FIGURA 6.59 Un peso de 24 N alarga k = 24>0.8 = 30 N>m. F = 24, x = 0.8
este resorte 0.8 m más que su longitud
natural (ejemplo 3). (b) El trabajo para estirar el resorte 2 m. Imaginemos que el resorte sin estirar cuelga a lo
largo del eje x con su extremo libre en x = 0 (figura 6.59). La fuerza requerida para es-
tirar el resorte x m más allá de su longitud natural, es la fuerza que se requiere para
jalar el extremo libre del resorte x unidades desde el origen. La ley de Hooke con k = 30
establece que esta fuerza es

Fsxd = 30x .

450 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

El trabajo realizado por F sobre el resorte desde x = 0 m hasta x = 2 m es

22

T = 30x dx = 15x2 d = 60 J .
L0 0

(c) ¿Hasta qué longitud se estira el resorte con una fuerza de 45 N? Sustituimos F = 45
en la ecuación F = 30x para determinar

45 = 30x, o x = 1.5 m.

Una fuerza de 45 N estirará el resorte 1.5 m. Para determinar esto no se requiere cálculo.

La integral del trabajo es útil para calcular el trabajo realizado al elevar objetos cuyos pe-
sos varían según la elevación.

EJEMPLO 4 Trabajo realizado al subir una cuerda y una cubeta

Una cubeta de 5 lb se eleva desde el piso, jalándola con una cuerda de 20 pies a una velo-
cidad constante (figura 6.60). La cuerda pesa 0.08 lb>pie. ¿Cuánto trabajo se realiza al su-
bir la cubeta y la cuerda?

Solución La cubeta tiene un peso constante, por lo que el trabajo realizado al elevar sólo
la cubeta es peso ϫ distancia = 5 • 20 = 100 lb-pie.

El peso de la cuerda varía conforme se sube la cubeta, ya que hay menos cuerda col-

gando. Cuando la cubeta se encuentra a x pies del piso, la parte de la cuerda que falta por

subir pesa s0.08d # s20 - xd lb. Por lo tanto, el trabajo para subir la cuerda es

FIGURA 6.60 Elevación de la cubeta del 20 20
ejemplo 4.
Trabajo sobre la cuerda = s0.08ds20 - xd dx = s1.6 - 0.08xd dx
L0 L0

= C 1.6x - 0.04x 2 D 20 = 32 - 16 = 16 lb-pies.
0

El trabajo total para la combinación cubeta y cuerda es

100 + 16 = 116 lb-pies.

Bombeo de líquidos desde contenedores

¿Cuánto trabajo se requiere para bombear todo o parte del líquido que hay en un contene-

dor? Para determinarlo, imaginamos que se eleva una delgada capa horizontal del líquido

cada vez y aplicamos la ecuación T = Fd a cada capa. Luego evaluamos la integral que se

obtiene cuando las capas son cada vez más delgadas y numerosas. La integral que obtene-

mos cada vez depende del peso del líquido y de las dimensiones del contenedor, pero la

y forma de determinar la integral siempre es la misma. Los ejemplos siguientes muestran

y ϭ 2x o x ϭ 1 y cómo hacerlo.
2

10 Ϫ y 10 EJEMPLO 5 Bombeo de aceite desde un tanque cónico

8 (5, 10) El tanque cónico de la figura 6.61 se llena hasta 2 pies de la parte superior con aceite de

y 1 y oliva, que pesa 57 lb>pie3. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear el aceite hasta el bor-
2 de del tanque?

∆y Solución Imaginemos que el aceite se divide en capas delgadas por medio de planos per-
0 pendiculares al eje y, en los puntos de una partición del intervalo [0, 8].

5x Una capa representativa entre los planos en y y y + ¢y tiene un volumen aproxi-
mado de
FIGURA 6.61 Tanque contenedor de
aceite de oliva (ejemplo 5). ¢V = psradiod2sgrosord = p a21 y b 2 ¢y = p y2 ¢y pies3 .
4

6.6 Trabajo 451

La fuerza F(y) requerida para elevar esta capa es igual a su peso,

Fs yd = 57 ¢V = 57p y 2 ¢y lb . Peso = peso por unidad de
4 volumen ϫ volumen

La distancia a través de la cual F(y) debe actuar para elevar esta capa al nivel del bor-
de del cono es aproximadamente (10 – y) pies, así que el trabajo realizado para elevar la
capa es de más o menos

¢W = 57p s10 - ydy 2 ¢y lb-pies.
4

Suponiendo que existen n capas asociadas con la partición de [0, 8] y que y = yk denota el
plano asociado con la k-ésima capa de grosor ¢yk , podemos aproximar el trabajo realiza-
do al elevar todas las capas mediante la suma de Riemann

W L n 57p s10 - ykdyk 2 ¢yk lb-pies.
4
a

k=1

El trabajo de bombear el aceite hasta el borde es el límite de estas sumas conforme la nor-
ma de la partición tiende a cero.

T = 8 574ps10 - ydy2 dy

L0

57p 8
4
= s10y 2 - y 3d dy

L0

57p 10y 3 y4 8
4 c3 d 30,561 lb-pies.
= - 4 L
0

389 pies 120 pies 375 pies por arriba

de la base de la presa EJEMPLO 6 Bombeo de agua desde un tubo de drenado

325 pies por arriba Un tubo de drenado es un cilindro vertical que mantiene el agua a cierto nivel para evitar
de la base de la presa que llegue a demasiada altura. La parte superior del tubo de drenado de una presa está a
14 pies del borde de la misma y a 375 pies por arriba de su parte inferior (figura 6.62). De
Cuello, vez en cuando se necesita bombear el agua del tubo de drenado para permitir que se elimi-
20 pies nen residuos estacionales.
de ancho
Con base en la sección transversal de la figura 6.62a, vemos que el tubo de drenado
(a) tiene forma de embudo. El cuello del embudo tiene un ancho de 20 pies y su parte supe-
rior mide 120 pies. La frontera exterior de la sección transversal de la parte superior son
r cuartos de circunferencias formadas con radio de 50 pies, como se muestra en la figura
6.62b. El tubo de drenado se forma haciendo girar una sección transversal alrededor de su
centro. En consecuencia, las secciones transversales son discos circulares en todo el tubo.
Calculamos el trabajo requerido para bombear agua desde

(a) el cuello del tubo de drenado.

(b) la parte del embudo

Cuarto de Solución
circunferencia
de radio 50 pies (a) Bombeo desde el cuello. Una capa representativa del cuello, entre los planos en y y
y + ¢y, tiene un volumen aproximado de
(b)
¢V = psradiod2sgrosord = ps10d2 ¢y pies3 .
FIGURA 6.62 (a) Sección transversal del
tubo de drenado de una presa, y (b) la La fuerza F(y) que se requiere para elevar esta capa es igual a su peso (alrededor de
parte superior del tubo de drenado 62.4 lb>/pie3 para agua),
(ejemplo 6).
Fs yd = 62.4 ¢V = 6240p ¢y lb.

452 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

La distancia en la que va actuar F(y) para elevar esta capa hasta la parte superior
del tubo de drenado es (375 – y) pies, por lo que el trabajo realizado para elevar la ca-
pa es

¢T = 6240ps375 - yd ¢y lb-pies.
Podemos aproximar el trabajo realizado al bombear el agua desde el cuello del tubo,
sumando el trabajo que se lleva a cabo al elevar una a una todas las capas, y tomando
luego el límite de esta suma de Riemann a medida que la norma de la partición tiende
a cero. Esto da lugar a la integral

325

T = 6240ps375 - yd dy
L0

y 2 325
= 6240p c375y - d
2
y ϭ 375 0

L 1,353,869,354 lb-pies.

Arco circular ⌬y

y ϭ 325 (b) Bombeo desde el embudo. Para calcular el trabajo necesario para bombear agua desde
la parte con forma de embudo del tubo de drenado, de y = 325 a y = 375, necesitamos
FIGURA 6.63 La parte de embudo del calcular ¢V aproximando los elementos en el embudo, como se muestra en la figura
tubo de drenado. 6.63. Como puede ver en ella, los radios de las capas varían según la altura y.

En los ejercicios 33 y 34 se le pide completar el análisis para determinar el trabajo to-
tal requerido para bombear el agua, además de determinar la potencia necesaria para que
las bombas saquen el agua por el tubo de drenado.

EJERCICIOS 6.6

Resortes a. ¿Cuál es la constante del resorte del montaje?

1. Constante del resorte Se necesitaron 1800 J de trabajo para es- b. ¿Cuánto trabajo se requiere para comprimir el montaje la pri-
tirar un resorte de su longitud natural de 2 m a una longitud de 5 mera media pulgada? Redondee su respuesta a la lb-pulgada
m. Determine la constante del resorte. más cercana.

2. Estiramiento de un resorte Un resorte tiene una longitud natural (Datos cortesía de Bombardier, Inc,. Mass Transit Division, para
de 10 pulgadas. Una fuerza de 800 libras lo estira hasta 14 pulgadas. montajes de resortes en carros del tren subterráneo, entregados a
New York City Transit Authority de 1985 a 1987).
a. Determine la constante del resorte.
6. Báscula de baño Una báscula de baño se comprime 1>16 pul-
b. ¿Cuánto trabajo se requiere para alargar el resorte de 10 a 12 gada cuando se sube en ella una persona de 150 lb. Suponiendo
pulgadas? que la báscula se comporta como un resorte que cumple la ley de
Hooke, ¿cuánto pesa alguien que comprime la báscula 1>8 de pul-
c. ¿Qué tanto se estirará el resorte respecto de su longitud natural gada? ¿Cuánto trabajo se realiza al comprimir la báscula 1>8 de
si se le aplica una fuerza de 1600 lb? pulgada?

3. Estiramiento de una banda elástica Una fuerza de 2 N estira- Trabajo realizado por una fuerza variable
rá una banda elástica 2 cm (0.02 m). Suponiendo que en este caso
se cumple la ley de Hooke, ¿cuánto se estirará la banda al aplicar- 7. Elevación de una cuerda Un alpinista está a punto de recoger
le una fuerza de 4 N? ¿Cuánto trabajo se realizará para estirar la una cuerda de 50 m de longitud que cuelga. ¿Cuánto trabajo re-
banda esa longitud? quiere si la cuerda pesa 0.624 N>m?

4. Estiramiento de un resorte Si una fuerza de 2 N estira un re- 8. Bolsa de arena Una bolsa de arena que pesaba originalmente
sorte 1 m más que su longitud natural, ¿cuánto trabajo se requiere 144 lb se elevó a una velocidad constante; mientras se subía, la
para estirarlo 5 m a partir de su longitud natural? arena de su interior salía a un ritmo constante. Cuando la bolsa se
hubo elevado 18 pies, la bolsa había perdido la mitad de la arena.
5. Resortes en los carros de un tren subterráneo Se requiere ¿Cuánto trabajo se realizó al subir la arena hasta esta altura? (No
una fuerza de 21,714 lb para comprimir un montaje de resortes en tome en cuenta el peso de la bolsa ni del equipo que se utiliza pa-
espiral en el tren subterráneo de la ciudad de Nueva York, desde ra subirla).
su altura original de 8 pulgadas hasta una altura completamente
comprimida de 5 pulgadas.

6.6 Trabajo 453

9. Ascensión del cable de un elevador Un elevador eléctrico con Bombeo de líquidos desde contenedores
el motor en la parte superior, tiene un cable con varios cabos que
pesa 4.5 lb>pie. Cuando el carro del elevador está en el primer piso, Peso del agua
el cable se extiende 180 pies, y cuando está en el piso superior el Debido a la rotación de la Tierra y a variaciones en su cam-
cable se extiende 0 pies. ¿Cuánto trabajo realiza el motor para ele- po gravitacional, el peso de un pie cúbico de agua al nivel
var sólo el cable, cuando sube el carro del primero al último piso? del mar varía de aproximadamente 62.26 lb en el ecuador,
hasta casi 62.59 lb cerca de los polos, esto es, una variación
10. Fuerza de atracción Cuando una partícula de masa m está en de 0.5%. Un pie cúbico que pesa casi 62.4 lb en Melbourne
(x, 0), es atraída hacia el origen con una fuerza de magnitud k>x2 . (Australia) y en la ciudad de Nueva York, pesará 62.5 lb en
Si la partícula parte del reposo en x = b y no actúa sobre ella nin- Juneau (Alaska) y en Estocolmo (Suecia). Aunque 62.4 es
guna otra fuerza, determine el trabajo realizado sobre ella cuando un valor común en los libros de texto, hay una variación
llega a x = a, 0 6 a 6 b . considerable.

11. Compresión de gas Suponga que el gas contenido en un cilindro 15. Bombeo de agua El tanque rectangular que se muestra a conti-
circular de área transversal A, se comprime mediante un pistón. Si nuación, con su parte superior al nivel del suelo, se utiliza para re-
p es la presión del gas en libras por pulgada cuadrada, y V es el colectar escurrimientos de agua. Suponga que el agua pesa 62.4
volumen en pulgadas cúbicas, demuestre que el trabajo realizado lb>pie3.
al comprimir el gas del estado (p1, V1) al estado (p2, V2) está dado
por la ecuación a. Una vez que el tanque está lleno, ¿cuánto trabajo se requiere
para vaciarlo, bombeando el agua al nivel del suelo?
s p2, V2d
b. Si el agua se bombea al nivel del suelo con un motor de (5>11)
Trabajo = Ls p1, V1d p dV . caballos de fuerza (hp) (con un rendimiento de 250 lb-pie>
seg), ¿cuánto tiempo le tomará vaciar el tanque? (Redondee al
(Sugerencia: En las coordenadas sugeridas por la figura siguiente, minuto más cercano).
dV = A dx. La fuerza contra el pistón es pA).
c. Demuestre que la bomba de la parte (b) hará bajar el nivel a
y 10 pies (la mitad) durante los primeros 25 minutos de bombeo.

d. Peso del agua ¿Cuáles serían las respuestas a los incisos (a) y
(b) en donde el agua pesa 62.26 lb>pie3? ¿Cuáles serían en
dónde pesa 62.59 lb>pie3?

x 12 pies

10 pies

Nivel del
suelo 0

y
∆y

12. (Continuación del ejercicio 11). Utilice la integral del ejercicio 20
11 para determinar el trabajo realizado al comprimir el gas de y
V1 = 243 pulgadas3 a V2 = 32 pulgadas3, si p1 = 50 lb>pulgada3 y
p y V cumplen la ley del estado gaseoso pV1.4 = constante (para 16. Vaciado de una cisterna La cisterna rectangular (tanque de al-
procesos adiabáticos). macenamiento para recolectar el agua de lluvia) que se muestra
más adelante, tiene su parte superior 10 pies por debajo del nivel
13. Cubeta que gotea Suponga que la cubeta del ejemplo 4 está del suelo. La cisterna, actualmente llena, se vaciará para inspec-
goteando. Al principio contiene 2 galones de agua (16 lb) y gotea cionarla, bombeando su contenido al nivel del suelo.
a un ritmo constante. Justo cuando llega a la parte superior termi-
na de vaciarse. ¿Cuánto trabajo se realizó para subir sólo el agua? a. ¿Cuánto trabajo se realizará para vaciar la cisterna?
(Sugerencia: No tome en cuenta la cuerda ni la cubeta, y determine
la proporción de agua que sale a la altura de x pies). b. ¿Cuánto tardará en vaciar el tanque una bomba de 1>2 hp, con
una eficiencia de 275 lb-pie>seg?
14. (Continuación del problema 13). Los trabajadores de los ejem-
plos 4 y 13 utilizaron una cubeta más grande que contenía 5 galo- c. ¿Cuánto tardará la bomba de la parte (b) en vaciar la mitad del
nes (40 libras) de agua, pero ésta tenía un agujero más grande, así tanque? (Es menos de la mitad del tiempo que se requiere para
que también llegó vacía a la parte superior. Suponiendo que el vaciarlo por completo).
agua sale a ritmo constante, ¿cuánto trabajo se realizó al subir só-
lo el agua? (No tome en cuenta la cuerda ni la cubeta). d. Peso del agua ¿Cuáles serían las respuestas a los incisos (a),
(b) y (c) en dónde el agua pesa 62.26 lb>pie3? ¿Cuáles serían
en dónde pesa 62.59 lb>pie3?

454 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

0 Nivel del suelo y

10 10 pies 0 5
12 pies 4m
20
y 20 pies y

17. Bombeo de aceite ¿Cuánto trabajo se requeriría para bombear x
el aceite del ejemplo 5 al nivel de la parte superior del tanque, si
éste estuviera completamente lleno? ͉y͉ ϭ –y
∆y

18. Bombeo de un tanque medio lleno Suponga que, en lugar de ͙25 Ϫ y2
estar lleno, el tanque del ejemplo 5 sólo contiene aceite hasta la
mitad de su capacidad. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear 24. Usted está a cargo del vaciado y reparación del tanque de almace-
el aceite que queda a un nivel de 4 pies por encima de la parte su- namiento que se muestra a continuación. El tanque es una semi-
perior del tanque? esfera de radio 10 pies y está completamente lleno de benceno,
que pesa 56 lb>pie3. Una compañía le dice que puede vaciar el tanque
19. Vaciado de un tanque Un tanque en forma de cilindro circular por 1>2¢ por libra-pie de trabajo. Determine el trabajo requerido
para vaciar el tanque bombeando el benceno hasta una salida,
recto mide 30 pies de altura y 20 pies de diámetro. Está lleno de 2 pies por encima del nivel superior del tanque. Si tiene un presu-
keroseno que pesa 51.2 lb>pies3 . ¿Cuánto trabajo se requiere para puesto de $5000 para el trabajo, ¿puede contratar a la compañía
bombear el keroseno al nivel de la parte superior del tanque? para que lo realice?

20. El tanque cilíndrico que se muestra a continuación puede llenarse y
mediante el bombeo de agua desde un lago que está 15 pies por
debajo de la parte inferior del tanque. Hay dos formas de hacerlo: x2 ϩ y2 ϩ z2 ϭ 100 Tubo de salida
una consiste en bombear el agua a través de una manguera conec- 10 2 pies
tada a una válvula en la parte inferior del tanque; la otra es sujetar
la manguera en el borde superior del tanque y dejar que el agua 0 10 x
fluya hacia adentro. ¿Cuál de las dos será más rápida? Justifique z
su respuesta.

Sin tapa
2 pies

Trabajo y energía cinética

6 pies 25. Energía cinética Si una fuerza variable de magnitud F(x) mueve

un cuerpo de masa m a lo largo del eje x desde x1 hasta x2, la velo-
cidad del cuerpo y puede escribirse como dx>dt (en donde t repre-
senta el tiempo). Utilice la segunda ley de movimiento de Newton
F = msdy>dtd y la regla de la cadena

Válvula en la base dy = dy dx = y dy
dt dx dt dx
21. a. Bombeo de leche Suponga que el contenedor cónico del
ejemplo 5 contiene leche (que pesa 64.5 lb>pies3) en lugar de para demostrar que el trabajo neto realizado por la fuerza al mo-
aceite de oliva. ¿Cuánto trabajo se requerirá para bombear el
contenido al borde el contenedor? ver el cuerpo de x1 a x2 es

b. Bombeo de aceite ¿Cuánto trabajo se requerirá para bom- T = x2 = 1 my2 2 - 1 my1 2 ,
bear el aceite del ejemplo 5 a un nivel de 3 pies por encima 2 2
del borde del cono? Fsxd dx
Lx1
22. Bombeo de agua de mar Para diseñar la superficie interior de un
gran tanque de acero inoxidable, usted hacer girar la curva y = x2, en donde y1 y y2 son las velocidades del cuerpo en x1 y x2. En fí-
0 … x … 4 , alrededor del eje y. El contenedor, con dimensiones sica, la expresión s1>2dmy2 se denomina energía cinética de un
en metros, será llenado con agua de mar, la cual pesa 10,000 N>m3. cuerpo de masa m que se mueve con velocidad y. Por lo tanto, el
¿Cuánto trabajo se requerirá para vaciar el tanque bombeando el trabajo realizado por la fuerza es igual al cambio en la energía
agua a la parte superior del tanque? cinética del cuerpo, y podemos determinar el trabajo calculando
este cambio.
23. Vaciado de un depósito de agua Modelamos el bombeo de
contenedores esféricos tal como lo hacemos para otros contene- En los ejercicios 26 a 32, utilice el resultado del ejercicio 25.
dores, con el eje de integración a lo largo del eje vertical de la es-
fera. Utilice la figura siguiente para determinar cuánto trabajo se 26. Tenis Una pelota de tenis de 2 onzas fue lanzada a 160 pies>se-
requerirá para vaciar el depósito semiesférico de radio 5 m si está gundo (casi 109 mph). ¿Cuánto trabajo se realizó sobre la pelota
lleno y el agua se bombea a una altura de 4 m por encima de la
parte superior del depósito. El agua pesa 9800 N>m3 . para lograr esa velocidad? (Para determinar la masa de la pelota a

partir de su peso, exprese este último en libras y divida entre
32 pies>segundo2, que es la aceleración debida a la gravedad).

27. Béisbol ¿Cuántas libras-pie de trabajo se requieren para lanzar
una pelota de béisbol a 90 mph? Una pelota de béisbol pesa 5 on-
zas o 0.3125 lb.

6.6 Trabajo 455

28. Golf Una pelota de golf de 1.6 onzas se lanza a una velocidad 36. Torre de agua Se ha decidido excavar un pozo para incremen-
de 280 pies>segundo (casi 191 mph). ¿Cuántas libras-pie de trabajo tar el suministro de agua en su ciudad. Como ingeniero a cargo,
se realizaron sobre la pelota para lanzarla al aire? usted ha determinado que será necesaria una torre de agua para
proporcionar la presión que se requiere para su distribución, así
29. Tenis Durante el partido en el que ganó el campeonato de tenis que ha diseñado el sistema que se muestra a continuación. El agua
varonil del torneo abierto de Estados Unidos, Pete Sampras lanzó se bombea desde un pozo que está a 300 pies de profundidad, uti-
un servicio fenomenal, con una velocidad de 124 mph. ¿Cuánto lizando un tubo vertical de 4 pulgadas en la base de un tanque ci-
trabajo realizó Sampras sobre la pelota de 2 onzas para obtener líndrico de 20 pies de diámetro y 25 pies de altura. La base del
esa velocidad? tanque estará 60 pies por encima del suelo. La bomba es de 3 hp,
con una eficiencia de 1650 lb pies>segundo. Redondeando el re-
30. Fútbol americano Un jugador lanzó un balón de fútbol america- sultado a la hora más cercana, ¿cuánto tardará el tanque en llenarse
no de 14.5 onzas a 88 pies>segundo (60 mph). ¿Cuántas libras-pies la primera vez? (Incluya el tiempo necesario para que se llene el
de trabajo se aplicaron al balón para obtener esa velocidad? tubo). Suponga que el agua pesa 62.4 lb>pie3.

31. Sóftbol ¿Cuánto trabajo tiene que realizarse sobre una pelota de 10 pies
sóftbol para lanzarla a 132 pies>seg (90 mph)?
Suelo 25 pies
32. Lanzamiento de una bola Una bola de acero de 2 onzas se 60 pies
coloca en un resorte vertical cuya constante es k = 18 lb>pie. El
resorte se comprime 2 pulgadas y luego se libera. ¿Qué altura al- 4 pulgadas 300 pies
canza la bola?
Superficie
33. Bombeo desde el embudo de un tubo de drenado (Continua- del agua
ción del ejemplo 6).
Bomba sumergible
a. Determine el radio de la sección transversal (parte del embudo)
del tubo de drenado del ejemplo 6 como una función de la altu- NO ESTÁ A ESCALA
ra y por encima de la parte inferior de la presa (desde y = 325
hasta y = 375). 37. Colocación de un satélite en órbita La fuerza del campo gra-
vitacional de la Tierra varía según la distancia al centro del plane-
b. Determine ¢V para la sección del embudo del drenador (desde ta, y la magnitud de la fuerza gravitacional experimentada por un
y = 325 hasta y = 375). satélite de masa m durante y después del lanzamiento es

c. Determine el trabajo necesario para vaciar la sección del em- Fsrd = mMG .
budo formulando y evaluando la integral definida apropiada. r2
Aquí, M = 5.975 ϫ 1024 kg es la masa de la Tierra, G = 6.6720 ϫ
34. Bombeo de agua desde un tubo de drenado (Continuación del
ejercicio 33). #10-11 N m2 kg-2 es la constante de gravitación universal, y r se

a. Determine el trabajo total necesario para bombear el tubo de mide en metros. Por lo tanto, el trabajo que se requiere para elevar
drenado, sumando el trabajo necesario para bombear la sec-
ción del cuello y la del embudo. un satélite de 1000 kg desde la superficie de la Tierra hasta una

b. La respuesta que dio al inciso (a) está en libras-pie. Una forma órbita circular a 35,780 km de distancia del centro de la Tierra,
más útil de señalar el resultado es en caballos de fuerza-hora, ya
que los motores utilizan esta unidad de medida. Para convertir está dado por la integral
libras-pie a caballos de fuerza-hora, divida entre 1.98 ϫ 106.
¿Cuántas horas tardaría un motor de 1000 hp para vaciar el tu- Trabajos = 35,780,000 1000MG dr joules .
bo de drenado, suponiendo que es totalmente eficiente? r2
L6,370,000
35. Succión de una malteada El contenedor en forma de cono
truncado que se muestra a continuación está lleno de malteada de Evalúe la integral. El límite inferior de integración es el radio de la
fresa, que pesa 4>9 onzas>pulgada3. Como ve, el contenedor tiene
una profundidad de 7 pulgadas, 2.5 de diámetro en la base y 3.5 Tierra, en metros, respecto del sitio del lanzamiento. (Este cálculo no
pulgadas de diámetro en la parte superior (un tamaño estándar en
una nevería de Boston). El popote sobresale una pulgada por enci- toma en cuenta la energía que se utiliza para lanzar el vehículo, ni
ma de la parte superior. ¿Cuánto trabajo será necesario, aproxi-
madamente, para succionar la malteada por el popote (no tome en la energía para que el satélite alcance su velocidad orbital).
cuenta la fricción)? Proporcione la respuesta en pulgadas-onzas.
38. Fuerza para unir electrones Dos electrones separados r me-
y
tros se repelen mutuamente con una fuerza de

8 y ϭ 14x Ϫ 17.5 F = 23 * 10-29 newtons .
7 (1.75, 7) r2
8Ϫy a. Suponga que un electrón se mantiene fijo en el punto (1, 0) del

y ϩ 17.5 eje x (unidades en metros). ¿Cuánto trabajo se requiere para
14
y mover un segundo electrón a lo largo del eje x, desde el punto
∆y
(–1, 0) hasta el origen?

0x b. Suponga que dos electrones se mantienen fijos, uno en el
1.25 punto (–1, 0) y el otro en el punto (1, 0). ¿Cuánto trabajo se
requiere para mover un tercer electrón a lo largo del eje x, de
Dimensiones en pulgadas (5, 0) a (3, 0)?

456 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

6.7 Presiones y fuerzas en fluidos

Las cortinas de las presas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior
(figura 6.64), ya que la presión del agua contra ellas aumenta con la profundidad. La pre-
sión sobre cualquier punto de la cortina depende de su profundidad y no en la inclinación
que pueda tener la cortina en ese punto. En un punto ubicado h pies por debajo de la super-
ficie, la presión —en libras por pie cuadrado— siempre es 62.4h. El número 62.4 es la
densidad específica del agua en libras por pie cúbico. La presión h pies por debajo de
la superficie de cualquier fluido es la densidad específica por h.

FIGURA 6.64 Para soportar la presión Ecuación de presión-profundidad
creciente, las cortinas de las presas se En un fluido que está en reposo, la presión p a una profundidad h es la densidad
construyen más gruesas conforme se del fluido w por h:
desciende a la base.

p = wh. (1)

Densidad (específica) En esta sección usaremos la ecuación p = wh para deducir una fórmula que nos permi-
ta determinar la fuerza total ejercida por un fluido contra una pared horizontal o vertical, o
La densidad de un fluido es su peso por parte de ella.
unidad de volumen. Algunos valores de
densidad comunes son (en lb/pie3) Fórmula para la fuerza de un fluido con profundidad constante

Gasolina 42 En un depósito de fluidos con base plana horizontal, la fuerza total ejercida por el fluido
Mercurio 849 contra la base puede calcularse multiplicando el área de la base por la presión en la base.
Leche 64.5 Esto es posible debido a que la fuerza total es igual a la fuerza por unidad de área (presión)
Melaza 100 por el área. (Vea la figura 6.65.) Si F, p y A son la fuerza total, la presión y el área, respec-
Aceite de oliva 57 tivamente, entonces
Agua de mar 64
Agua 62.4 F = fuerza total = fuerza por unidad de área * área
= presión * área = pA
= whA. p = wh según
la ecuación (1).

Fuerza de un fluido sobre una superficie de profundidad constante (2)
F = pA = whA

h Por ejemplo, la densidad del agua es 62.4 lb>pie3, por lo que la fuerza del fluido en la par-
te inferior de una alberca rectangular de 10 ϫ 20 pies y 3 pies de profundidad es
FIGURA 6.65 Estos contenedores están
llenos con agua a la misma profundidad, y #F = whA = s62.4 lb>pie3ds3 piesds10 20 pies2d
sus bases tienen la misma área. Por lo
tanto, la fuerza total es la misma en la base = 37,440 lb.
de cada contenedor. Aquí no importa la
forma de los contenedores. En el caso de una placa plana sumergida horizontalmente, como el fondo de la alberca
que se acaba de analizar, la fuerza hacia abajo que actúa sobre la cara superior de la placa,
debida a la presión del líquido, está dada por la ecuación (2). Sin embargo, si la placa se
sumerge verticalmente, la presión contra ella será distinta a diferentes profundidades, así
que ya no es posible utilizar la ecuación (2) (ya que h varía). Si dividimos la placa en mu-
chas bandas o franjas horizontales angostas, podemos crear una suma de Riemann cuyo lí-
mite es la fuerza del fluido contra el lado de la placa vertical sumergida. A continuación se
explica el procedimiento.

6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 457

y Fórmula para profundidad variable

Superficie del fluido Suponga que queremos conocer la fuerza que ejerce un fluido contra un lado de una placa

Placa vertical vertical sumergida en un fluido con densidad w. Para determinarla, modelamos la pla-

b sumergida Profundidad ca como una región que se extiende desde y = a hasta y = b en el plano xy (figura 6.66).
de la franja Hacemos una partición de [a, b] de la manera usual, e imaginamos que la región se corta

en delgadas franjas horizontales, por medio de planos perpendiculares al eje y, en los pun-
y ⌬y tos de la partición. La franja representativa de y a y + ¢y es de ¢y unidades de ancho por

a L(y) unidades de largo. Suponemos que L(y) es una función continua de y.
La presión varía de la parte superior a la inferior de la franja. Sin embargo, si la franja

L(y) es suficientemente delgada, la presión permanecerá cercana al valor en su parte inferior e

Longitud de la franja igual a w * (profundidad de la franja). La fuerza que ejerce el fluido contra un lado de la

en el nivel y franja será aproximadamente de

FIGURA 6.66 La fuerza ejercida por un ¢F = spresión a lo largo de la parte inferiord * sáread
fluido contra un lado de una franja delgada
horizontal es aproximadamente = w # sprofundidad de la franjad # Ls yd ¢y.
⌬F = presión ϫ área = w ϫ (profundidad
de la franja) ϫ L(y) ⌬y. Suponga que hay n franjas asociadas con la partición de a … y … b y que yk es el lado in-
ferior de la k-ésima franja que tiene longitud L(yk) y ancho ¢yk . La fuerza contra toda la
placa es aproximadamente la suma de las fuerzas contra cada franja, dando la suma de

Riemann

n (3)

F L a sw # sprofundidad de la franjadk # Ls ykdd ¢yk.
k=1

La suma de la ecuación (3) es una suma de Riemann para una función continua en [a, b] y
cabe esperar que las aproximaciones mejorarán conforme la norma de la partición tienda a
cero. La fuerza contra la placa es el límite de estas sumas.

La integral para determinar la fuerza del fluido contra una placa vertical
plana
Suponga que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w va
desde y = a hasta y = b en el eje y. Sea L(y) la longitud de la franja horizontal me-
dida de izquierda a derecha a lo largo de la superficie de la placa en el nivel y.
Entonces, la fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es

b (4)

F = w # sprofundidad de la franjad # Lsyd dy.

La

y (pies)

yϭxoxϭy EJEMPLO 1 Aplicación de la integral para determinar la fuerza de un fluido
Superficie de la piscina yϭ5

Profundidad: xϭy yϭ3 Una placa plana en forma de triángulo rectángulo isósceles, con base de 6 pies y altura de
5Ϫy 3 pies, se sumerge verticalmente, con la base hacia arriba, 2 pies por debajo de la superfi-
y (3, 3) cie de una alberca. Determinar la fuerza ejercida por el agua contra un lado de la placa.

(x, x) ϭ (y, y)
⌬y

0 x (pies) Solución Establecemos un sistema de coordenadas para trabajar, colocando el origen

en el vértice inferior de la placa y el eje y hacia arriba sobre el eje de simetría de la placa

FIGURA 6.67 Para determinar la fuerza (figura 6.67). La superficie de la alberca está a lo largo de la recta y = 5 y el lado superior
ejercida sobre un lado de la placa de la placa a lo largo de la recta y = 3. El cateto del lado derecho está a lo largo de la rec-
sumergida del ejemplo 1, podemos utilizar ta y = x, con el vértice superior derecho en (3, 3). La longitud de una franja delgada en el
un sistema de coordenadas como el que se nivel y es

muestra aquí. Ls yd = 2x = 2y .

458 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

La profundidad de la franja por debajo de la superficie es (5 – y). Por lo tanto, la fuerza
ejercida por el agua contra un lado de la placa es

F = b apdreoflua nfdraidnajad b # Ls yd dy Ecuación (4)

w#

La

3

= 62.4s5 - yd2y dy
L0

3

= 124.8 s5y - y 2d dy
L0

124.8 c25 y 2 y3 3
d 1684.8 lb.
= - 3 =
0

Nivel de la superficie del fluido Centroides y fuerzas de fluidos

h ϭ profundidad del centroide Si conocemos la ubicación del centroide de una placa plana vertical sumergida (figura
6.68), podemos tomar un atajo para determinar la fuerza contra un lado de la placa. De
Centroide de la placa acuerdo con la ecuación (4),

FIGURA 6.68 La fuerza ejercida contra b

un lado de la placa es w # h # área de la F = w * sprofundidad de la franjad * Ls yd dy
La
placa.
b

= w sprofundidad de la franjad * Ls yd dy
La

= w ϫ (momento respecto de la línea del nivel de superficie de la región
ocupada por la placa)

= w * sprofundidad del centroide de la placad * sárea de la placad.

Fuerza de fluidos y centroides
La fuerza de un fluido de densidad w contra un lado de una placa plana vertical
sumergida, es el producto de w, la distancia h entre el centroide de la placa y la
superficie del fluido, y el área de la placa:

F = whA. (5)

EJEMPLO 2 Determinación de la fuerza de un fluido por medio de la ecuación (5)
Utilizar la ecuación (5) para determinar la fuerza del ejemplo 1.

Solución El centroide del triángulo (figura 6.67) está en el eje y, a un tercio de la distan-
cia entre la base y el vértice, así que h = 3. El área del triángulo es

A = 1 sbasedsalturad
2

= 1 s6ds3d = 9.
2

En consecuencia,

F = whA = s62.4ds3ds9d
= 1684.8 lb.

6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 459

EJERCICIOS 6.7

En los ejercicios siguientes, las densidades de los fluidos pueden de- 6. Placa triangular girada La placa del ejercicio 5 se gira 180°
terminarse en la tabla de la página 456. respecto de la recta AB, de modo que parte de la placa sobresale
del lago, como se muestra a continuación. ¿Cuál es ahora la fuer-
1. Placa triangular Calcule la fuerza del fluido sobre un lado de za que ejerce el agua sobre una cara de la placa?
la placa del ejemplo 1, utilizando el sistema de coordenadas que
se muestra aquí. 3 pies Nivel de la
superficie
y (pies)

Superficie 5 x (pies) 1 pie
de la alberca AB

0 4 pies

Profundidad ͉ y͉ y ϭ Ϫ2 7. Acuario de Nueva Inglaterra El visor de una ventana rectangu-
lar de vidrio en una pecera típica del Acuario de Nueva Inglaterra
yx (x, y) en Boston mide 63 pulgadas de ancho y va de 0.5 a 33.5 pulgadas
–5 bajo la superficie. Determine la fuerza del fluido contra esta parte
de la ventana. La densidad del agua de mar es de 64 lb>pie3. (Por
si le interesa, el vidrio tiene un espesor de 3>4 pulgada y las pare-
des del tanque se extienden 4 pulgadas por arriba del nivel del
agua para evitar que los peces salten al exterior).

2. Placa triangular Calcule el fuerza del fluido sobre un lado de 8. Pecera Una pecera horizontal con forma rectangular, cuya ba-
la placa del ejemplo 1, utilizando el siguiente sistema de coorde- se mide 2 ϫ 4 pies y tiene una altura de 2 pies (dimensiones inte-
nadas. riores) se llena con agua dulce hasta 2 pulgadas antes de la parte
superior.

y (pies) a. Determine la fuerza del fluido contra cada lado y contra el
Superficie de la alberca y ϭ 2 fondo del tanque.

1 b. El tanque se sella y se coloca de modo que uno de los extre-
–3 0 mos cuadrados sea la base. ¿Cómo afecta esto las fuerzas del
fluido contra los lados rectangulares?

x (pies) 9. Placa semicircular Una placa semicircular de 2 pies de diáme-
3 tro se sumerge en agua fresca, colocando el diámetro a lo largo de
la superficie. Determine la fuerza ejercida por el agua sobre un
–3 lado de la placa.

3. Placa triangular sumergida La placa del ejemplo 1 se sumer- 10. Transporte de leche Un camión transporta leche en un tanque
ge otros 2 pies en el agua. ¿Cuál es ahora la fuerza del fluido so- con forma de cilindro circular recto horizontal. ¿Cuál es la fuerza
bre un lado de la placa? que ejerce la leche sobre cada extremo del tanque cuando éste
contiene leche hasta la mitad de su capacidad?
4. Placa triangular La placa del ejemplo 1 se sube, colocando su
parte superior en la superficie de la alberca. ¿Cuál es ahora la 11. El tanque cúbico de metal que se muestra a continuación tiene
fuerza del fluido sobre un lado de la placa? una puerta parabólica, que se mantiene en su lugar por medio de
tornillos y fue diseñado para soportar una fuerza del fluido de 160
5. Placa triangular La placa con forma de triángulo isósceles que lb sin romperse. El líquido que se planea almacenar en él tiene
se muestra a continuación se sumerge verticalmente 1 pie por de- una densidad de 50 lb>pie3.
bajo de la superficie de un lago de agua dulce.
a. ¿Cuál es la fuerza del fluido sobre la puerta cuando el líquido
a. Determine la fuerza del fluido contra una cara de la placa. tiene 2 pies de profundidad?

b. ¿Cuál sería la fuerza del fluido sobre un lado de la placa, si el b. ¿Cuál es la altura máxima a la que puede llenarse el depósito
agua fuera de mar en lugar de ser agua dulce? sin exceder sus limitaciones de diseño?

4 pies y (pies)

Nivel de la superficie (–1, 1) (1, 1)

4 pies 1 pie 4 pies y ϭ x2
A B
4 pies
4 pies Compuerta parabólica –1 0 1 x (pies)

Vista ampliada de la
compuerta parabólica

460 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas 15. Una placa rectangular vertical de a unidades de largo por b unida-
des de ancho se sumerge en un fluido con densidad w, con sus
12. El tanque rectangular que se muestra a continuación tiene una aristas más largas paralelas a la superficie del fluido. Determine
ventana cuadrada de 1 pie ϫ 1 pie, ubicada 1 pie arriba de la base. el valor promedio de la presión a lo largo de la dimensión vertical
La ventana está diseñada para soportar una fuerza de 312 lb sin de la placa. Explique su respuesta.
romperse.
a. Si el tanque se llena hasta una profundidad de 3 pies, ¿cuál es 16. (Continuación del ejercicio 15). Demuestre que la fuerza ejercida
la fuerza del fluido que soportará? por el fluido sobre un lado de la placa es el valor promedio de la
b. ¿Hasta qué nivel puede llenarse el tanque sin exceder las limi- presión (determinada en el ejercicio 15) por el área de la placa.
taciones del diseño de la ventana?
17. Se vierte agua en el tanque que se muestra a continuación, a razón
5 pies 4 pies de 4 pies3>min. Las secciones transversales del tanque son semi-
círculos de 4 pies de diámetro. Un extremo del tanque es móvil,
7 pies pero moverlo para aumentar el volumen comprime un resorte. La
1 pie constante del resorte es k = 100 lb>pie. Si el extremo del tanque
se mueve 5 pies contra el resorte, el agua se drenará por un aguje-
1 pie ro de seguridad que está en el fondo, a razón de 5 pies3>min. ¿Al-
1 pie canzará el extremo móvil el agujero antes de que el agua se derra-
me del tanque?

13. Las paredes de los extremos del abrevadero que se ilustra aquí Extremo móvil Entrada de agua
fueron diseñadas para soportar una fuerza de 6667 lb. ¿Cuántos y
pies cúbicos de agua puede contener el tanque sin exceder esta li-
mitación? Redondee su resultado al pie cúbico más cercano. Entrada 4 pies
de agua
5 pies
Extremo
y (pies) 8 pies Agujero

(–4, 10) (4, 10) de drenado móvil

Vista lateral

(0, h) 5 x
2 x2 ϩ y2 ϭ 4
y ϭ x

10 pies

x (pies) 30 pies Agujero 2 pies
0 de drenado
Vista lateral del abrevadero Vista dimensional
del abrevadero
18. Abrevadero Los extremos verticales de un abrevadero son cua-
14. La piscina que se muestra a continuación se llena con agua a ra- drados de 3 pies por lado.
zón de 1000 pies3>h.
a. Determine la fuerza del fluido contra los extremos cuando el
a. Determine la fuerza del fluido contra la placa de drenado abrevadero está lleno.
triangular después de 9 h de llenar la piscina.
b. ¿Cuántas pulgadas debe bajar el nivel del agua en el abrevade-
b. La placa de drenado está diseñada para soportar una fuerza de ro para reducir en un 25% la fuerza del fluido?
520 lb. ¿Hasta qué altura se puede llenar la piscina sin exceder
esta limitación? 19. Envase de leche Un envase rectangular para leche mide 3.75 ϫ
3.75 pulgadas en la base y tiene una altura de 7.75 pulgadas. De-
50 pies 30 pies 10 pies termine la fuerza de la leche sobre un lado cuando el envase se
encuentra lleno.
Placa triangular para drenar
20. Lata de aceite de oliva Una lata común de aceite de oliva mide
y (pies) 5.75 × 3.5 pulgadas en la base y 10 pulgadas de altura. Determi-
ne la fuerza del fluido contra la base y contra cada lado cuando se
encuentra llena.

21. Abrevadero Los extremos verticales de un abrevadero son
triángulos isósceles como el que se muestra a continuación (las
dimensiones están en pies).

(–1, 1) (1, 1) y (pies)

2 2 (2, 3)

–1 0 x (pies) 3 y ϭ 3 x
1 2

Vista ampliada de la placa para drenar

x (pies)
02

6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 461

a. Determine la fuerza del fluido contra los extremos cuando el sión del agua sobre la presa cuando la superficie del agua está al
abrevadero está lleno. nivel de la parte superior de la presa.

b. ¿Cuántas pulgadas debe disminuir el nivel de agua del abreva- D
dero para que la fuerza del fluido se reduzca a la mitad? (Re-
dondee su respuesta a la media pulgada más cercana). 26 pies C
A 24 pies
c. ¿Importa cuál sea la longitud del abrevadero? Justifique su
respuesta. 100 pies

22. La pared de una presa es un rectángulo, ABCD, de dimensiones B
AB = CD = 100 pies, AD = BC = 26 pies. En lugar de ser vertical,
el plano ABCD está inclinado, como se indica en la figura si-
guiente, de modo que la parte superior de la presa está 24 pies por
encima de la parte inferior. Determine la fuerza debida a la pre-

6Capítulo Preguntas de repaso

1. ¿Cómo se definen y calculan los volúmenes de sólidos utilizando dad del material es constante, puede saber de inmediato en dónde
el método de las rebanadas? Proporcione un ejemplo. se encuentra el centro de masa ¿En dónde está?

2. ¿Cómo se deducen los métodos de los discos y de las arandelas 8. ¿Cómo se localiza el centro de masa de una placa delgada y plana
para el cálculo de volúmenes a partir del método de las rebana- de material? Proporcione un ejemplo.
das? Proporcione ejemplos de cálculo de volúmenes con estos
métodos. 9. ¿Cómo se define y calcula el área de una superficie barrida al ha-
cer girar la gráfica de una función suave y = ƒsxd, a … x … b ,
3. Describa el método de los casquillos cilíndricos. Dé un ejemplo. alrededor del eje x? Proporcione un ejemplo.

4. ¿Cómo se define la longitud de una curva suave parametrizada 10. ¿En qué condiciones se puede determinar el área de la superficie
x = ƒstd, y = gstd, a … t … b ? ¿Qué tiene que ver la suavidad generada al hacer girar una curva x = ƒstd, y = gstd, a … t … b ,
con la longitud? ¿Qué otra cosa necesita saber respecto de la pa- alrededor del eje x? ¿Alrededor del eje y? Proporcione ejemplos.
rametrización para determinar la longitud de una curva? Propor-
cione ejemplos. 11. ¿Qué dicen los dos teoremas de Pappus? Proporcione ejemplos de
cómo se utilizan para calcular áreas y volúmenes de superficies y
5. ¿Cómo se determina la longitud de la gráfica de una función sua- para localizar centroides.
ve en un intervalo cerrado? Proporcione un ejemplo. ¿Qué puede
decir acerca de las funciones que no tienen primeras derivadas 12. ¿Cómo se define y calcula el trabajo realizado por una fuerza va-
continuas? riable dirigida a lo largo de un intervalo del eje x? ¿Cómo se calcu-
la el trabajo necesario para bombear un líquido desde un tanque?
6. ¿Qué es el centro de masa? Proporcione ejemplos.

7. ¿Cómo se localiza el centro de masa de una varilla o una franja 13. ¿Cómo se calcula la fuerza ejercida por un líquido contra una par-
delgada y recta de material? Proporcione un ejemplo. Si la densi- te de una pared vertical? Proporcione un ejemplo.

6Capítulo Ejercicios de práctica

Volúmenes estos planos son discos circulares cuyos diámetros van de la pará-
bola y = x2 a la parábola y = 2x .
En los ejercicios 1 a 16, determine los volúmenes de los sólidos.
2. La base del sólido es la región en el primer cuadrante entre la rec-
1. El sólido está entre los planos perpendiculares al eje x en x = 0 y ta y = x y la parábola y = 22x . Las secciones transversales del
x = 1 . Las secciones transversales perpendiculares al eje x entre

462 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas 15. Volumen de un sólido con un agujero redondo Se hace un
agujero redondo de radio 23 pies a través del centro de una esfera
sólido, perpendiculares al eje x, son triángulos equiláteros cuyas sólida de 2 pies de radio. Determine el volumen del material re-
bases se extienden de la recta a la curva. movido de la esfera.
3. El sólido está entre los planos perpendiculares al eje x en x = p>4
y x = 5p>4 . Las secciones transversales entre estos planos son 16. Volumen de un balón de fútbol americano El perfil de un
discos circulares cuyos diámetros van de la curva y = 2 cos x a la balón de fútbol americano semeja la elipse que se muestra a con-
curva y = 2 sen x. tinuación. Determine el volumen del balón, aproximando a la pul-
4. El sólido está entre los planos perpendiculares al eje x en x = 0 y gada cúbica más cercana.
x = 6. Las secciones transversales entre estos planos son cuadra-
dos cuyas bases van del eje x a la curva x1>2 + y 1>2 = 26 . y

y 4x2 ϩ y2 ϭ1
121 12
6
– 11 0 x
x1/2 ϩ y1/2 ϭ ͙6 2 11
2

Longitud de curvas

6x En los ejercicios 17 a 23, determine las longitudes de las curvas.

5. El sólido está entre los planos perpendiculares al eje x en x = 0 y 17. y = x1>2 - s1>3dx3>2, 1 … x … 4
x = 4. Las secciones transversales del sólido entre estos planos,
perpendiculares al eje x, son discos circulares cuyos diámetros 18. x = y 2>3, 1 … y … 8
van de la curva x2 = 4y a la curva y2 = 4x.
19. y = s5>12dx6>5 - s5>8dx4>5, 1 … x … 32
6. La base del sólido es la región acotada por la parábola y2 = 4x y la
recta x = 1 en el plano xy. Cada sección transversal perpendicular 20. x = sy 3>12d + s1>yd, 1 … y … 2
al eje x es un triángulo equilátero con un lado en el plano. (Todos
los triángulos están en el mismo lado del plano). 21. x = 5 cos t - cos 5t, y = 5 sen t - sen 5t, 0 … t … p>2

7. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región 22. x = t 3 - 6t 2, y = t 3 + 6t 2, 0 … t … 1
acotada por el eje x, la curva y = 3x4 y las rectas x = 1 y x = –1
alrededor (a) del eje x; (b) del eje y; (c) de la recta x = 1; (d) de la 23. x = 3 cos u, y = 3 sen u, 0 … u … 3p
recta y = 3. 2

8. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región 24. Determine la longitud del rizo formado por x = t2,
“triangular” acotada por la curva y = 4>x3 y las rectas x = 1 y y = st3>3d - t que se muestra a continuación. El rizo inicia en
y = 1>2 alrededor (a) del eje x; (b) del eje y; (c) de la recta x = 2;
(d) de la recta y = 4. t = - 23 y termina en t = 23 .

9. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región y
acotada a la izquierda por la parábola x = y2 + 1, y a la derecha 1 t Ͼ0
por la recta x = 5, alrededor (a) del eje x; (b) del eje y; (c) de la
recta x = 5. tϭ0 12 t ϭ Ϯ͙3 x
0 4
10. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región
acotada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x, alrededor (a) del –1 t Ͻ 0
eje x; (b) del eje y; (c) de la recta x = 4; (d) de la recta y = 4.
Centroides y centros de masa
11. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar alrede-
dor del eje x la región “triangular” acotada por el eje x, la recta 25. Determine el centroide de una placa plana delgada que cubre la
x = p>3 y la curva y = tan x en el primer cuadrante. región acotada por las parábolas y = 2x2 y y = 3 - x2 .

12. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región 26. Determine el centroide de una placa plana delgada que cubre la
acotada por la curva y = sen x y las rectas x = 0, x = p y y = 2 región acotada por el eje x, las rectas x = 2, x = –2 y la parábola
alrededor de la recta y = 2 . y = x2.

13. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la región
entre el eje x y la curva y = x2 - 2x alrededor (a) del eje x; (b)
de la recta y = - 1 ; (c) de la recta x = 2 ; (d) de la recta y = 2 .

14. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar, alrededor
del eje x, la región acotada por y = 2 tan x, y = 0, x = - p>4 , y
x = p>4 . (La región está en el primer y tercer cuadrantes y se
asemeja a una corbata de moño).

Capítulo 6 Ejercicios de práctica 463

27. Determine el centroide de una placa plana delgada que cubre la realizar para bombear el agua a un nivel de 6 pies por encima de
región “triangular” en el primer cuadrante, acotada por el eje y, la parte superior del depósito?
la parábola y = x2>4 y la recta y = 4.
42. Bombeo desde un depósito (Continuación del ejercicio 41). El
28. Determine el centroide de una placa plana delgada que cubre la depósito está lleno a una profundidad de 5 pies, y el agua será
región acotada por la parábola y2 = x y la recta x = 2y. bombeada al borde de la parte superior del depósito. ¿Cuánto tra-
bajo será necesario?
29. Determine el centro de masa de una placa plana delgada que cu-
bre la región acotada por la parábola y2 = x y la recta x = 2y, si la 43. Bombeo a un tanque cónico Un tanque en forma de cono circu-
función de densidad es d(y) = 1 + y. (Utilice franjas horizontales). lar recto con la punta hacia abajo tiene un radio superior de 5 pies
y una altura de 10 pies; el tanque está lleno con un líquido cuya
30. a. Determine el centro de masa de una placa delgada de densidad densidad es 60 lb/pie3. ¿Cuánto trabajo se requiere para bombear
constante que cubre la región entre la curva y = 3>x3>2 y el el líquido a un punto situado 2 pies arriba del tanque? Si la bomba
eje x, de x = 1 a x = 9. tiene un motor de 275 lb-pie/seg (1/2 hp), ¿cuánto tardará en va-
ciar el tanque?
b. Determine el centro de masa de la placa si, en lugar de tener
densidad constante, la densidad es d(x) = x. (Utilice franjas 44. Bombeo de un tanque cilíndrico Un tanque de almacenamien-
verticales). to tiene forma de cilindro circular recto de 20 pies de largo y 8
pies de diámetro con su eje en posición horizontal. Si el tanque
Áreas de superficies de rotación está lleno hasta la mitad con aceite de oliva, que pesa 57 lb/pie3,
determine el trabajo realizado al vaciarlo a través de un tubo que
En los ejercicios 31 a 36, determine el área de cada superficie genera- va de la parte inferior del tanque a una salida que se encuentra
da al hacer girar la curva alrededor del eje dado. 6 pies por encima de la parte superior.

31. y = 22x + 1, 0 … x … 3; eje x Fuerza en fluidos
32. y = x3>3, 0 … x … 1; eje x
33. x = 24y - y2, 1 … y … 2; eje y eje y 45. Abrevadero La placa triangular vertical que se muestra a conti-
nuación es el extremo de un abrevadero completamente lleno de
34. x = 2y, 2 … y … 6; eje y agua (w = 62.4). ¿Cuál es la fuerza del fluido sobre la placa?
35. x = t2>2, y = 2t, 0 … t … 25; eje x
36. x = t2 + 1>s2td, y = 4 2t, 1> 22 … t … 1;

Trabajo y

37. Subir un equipo Una alpinista subirá su equipo, que está deba- y ϭ x
jo de ella y pesa 100 N (aproximadamente 22.5 lb), utilizando una 2
cuerda de 40 m que pesa 0.8 newtons por metro. ¿Cuánto trabajo 2
realizará? (Sugerencia: Resuelva para la cuerda y para el equipo
por separado, y luego sume los resultados). –4 0 x
4
38. Tanque con gotera Usted manejó un camión, desde la base
hasta la cima del monte Washington, llevando un tanque de 800 UNIDADES EN PIES
galones de agua. Al llegar a su destino, descubre que el tanque sólo
contiene agua hasta la mitad de su capacidad. Al iniciar su viaje 46. Abrevadero de miel de maple La placa trapezoidal vertical
tenía el tanque lleno, subió el monte a una velocidad constante y que se muestra a continuación, es el extremo de un abrevadero
realizó el ascenso de 4750 pies en 50 minutos. Suponiendo que el lleno de miel de maple, que pesa 75 lb/pie3. ¿Cuál es la fuerza
agua se derramó a razón constante, ¿cuánto trabajo requirió para ejercida por la miel contra la placa del abrevadero cuando la miel
llevar el agua hasta la cima? No tome en cuenta el trabajo que se tiene una profundidad de 10 pulgadas?
necesitó para que usted y su camión subieran el monte. El agua
pesa 8 lb/galón. y

39. Estiramiento de un resorte Si se requiere una fuerza de 20 lb yϭxϪ2
para mantener estirado un resorte a un pie de su longitud natural, 1
¿cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte a esta distan-
cia? ¿Cuánto trabajo se requiere para estirarlo un pie más? –2 0 x
2
40. Resorte de una puerta de garaje Una fuerza de 200 N estirará
el resorte de una puerta de garaje 0.8 m más que su longitud natu- UNIDADES EN PIES
ral. ¿Cuánto estirará el resorte una fuerza de 300 N? ¿Cuánto tra-
bajo se requerirá para estirar el resorte esta distancia respecto de 47. Fuerza sobre una compuerta parabólica Una compuerta pla-
su longitud natural? na vertical ubicada en la cortina de una presa, tiene la forma de
una región parabólica comprendida entre la curva y = 4x2 y la rec-
41. Bombeo desde un depósito Un depósito con forma de cono ta y = 4, con las medidas en pies. La parte superior de la compuerta
circular recto con la punta hacia abajo mide 20 pies de diámetro en está 5 pies por debajo de la superficie del agua. Determine la
la parte superior y tiene una profundidad de 8 pies; el depósito es- fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta (w = 62.4).
tá completamente lleno de agua. ¿Cuánto trabajo será necesario
T 48. Usted planea almacenar mercurio (w = 849 lb/pie3) en un tanque
rectangular vertical con una base cuadrada de 1 pie por lado, cuya
pared lateral interna puede soportar una fuerza total de 40,000 lb.

464 Capítulo 6: Aplicaciones de las integrales definidas

Aproximadamente, ¿cuántos pies cúbicos de mercurio puede al- superior a 4 pies por debajo de la superficie. Determine, de dos
macenar en el tanque en cualquier momento? formas diferentes, la fuerza del fluido sobre uno de los lados de la
placa:
49. El contenedor que se bosqueja en la figura siguiente, se llena con a. Por medio de la evaluación de una integral.
dos líquidos que no se mezclan, de densidades w1 y w2. Determi- b. Por medio de la división de la placa en un paralelogramo y un
ne la fuerza del fluido sobre un lado de la placa cuadrada vertical
ABCD. Los puntos B y D se encuentran en la capa que divide los triángulo isósceles, localizando sus centroides y utilizando la
líquidos, y el cuadrado mide 622 pies por lado. ecuación F = whA de la sección 6.7.

A2 Líquido 1: 6
6͙2 densidad ϭ w1
B Centroides
D
C 6
Líquido 2:
densidad ϭ w2

50. La placa con forma de trapecio isósceles que se muestra a conti- 8
nuación, se sumerge verticalmente en agua (w = 62.4) con su lado Medidas en pies

6Capítulo Ejercicios adicionales y avanzados

Volumen y longitud base. ¿Aproximadamente a qué distancia de la parte superior se
encuentra el centro de masa?
1. Se genera un sólido haciendo girar, alrededor del eje x, la región
acotada por la gráfica de la función continua positiva y = f(x), el 7. Suponga que una placa delgada de metal de área A y densidad
eje x y la recta fija x = a, y la recta variable x = b, b 7 a. Su volu- constante d, ocupa una región R en el plano xy y sea My el mo-
men, para toda b, es b2 – ab. Determine f (x). mento de la placa respecto del eje y. Demuestre que el momento
de la placa respecto de la recta x = b es
2. Se genera un sólido haciendo girar, alrededor del eje x, la región
acotada por la gráfica de la función continua positiva y = f (x), a. My - bdA si la placa está a la derecha de la recta, y
el eje x y las rectas x = 0 y x = a. Su volumen, para toda a 7 0, es
a2 + a. Determine f(x). b. bdA - My si la placa está a la izquierda de la recta.

3. Suponga que la función creciente f (x) es suave para x Ú 0 y que 8. Determine el centro de masa de una placa delgada que cubre la
f (0) = a. Denote con s(x) la longitud de la gráfica de f desde (0, a) región acotada por la curva y2 = 4ax y la recta x = a, siendo a una
hasta (x, f (x)), x 7 0. Determine f(x), si s(x) = Cx, para alguna constante positiva, si la densidad en (x, y) es directamente propor-
constante C. ¿Cuáles valores puede tomar C? cional a (a) x, (b) ƒ y ƒ .

4. a. Demuestre que para 0 6 a … p>2 , 9. a. Determine el centroide de la región en el primer cuadrante,
acotada por dos circunferencias concéntricas y los ejes coorde-
a nados, si las circunferencias tienen radios a y b, 0 6 a 6 b , y
sus centros están en el origen.
21 + cos2 u du 7 2a2 + sen2 a .
L0 b. Determine los límites de las coordenadas del centroide cuando
a se aproxima a b, y analice el significado del resultado.
b. Generalice el resultado del inciso (a).
10. Una esquina triangular se corta a partir de un cuadrado de 1 pie
Momentos y centros de masa por lado. El área del triángulo que se removió es de 36 pulgadas2.
Si el centroide de la región restante está a 7 pulgadas de un lado
5. Determine el centroide de la región acotada por abajo por el eje x del cuadrado original, ¿a qué distancia está de los otros lados?
y por arriba por la curva y = 1 – xn; n es un entero positivo par.
¿Cuál es la posición límite del centroide, cuando n : q ? Área de superficie

6. Si transporta un poste telefónico en un remolque de dos ruedas 11. En los puntos de la curva y = 22x , se trazan segmentos de lon-
unido a la parte trasera de un camión, quiere que las ruedas estén gitud h = y, que son perpendiculares al plano xy. (Vea la figura si-
a 3 pies, aproximadamente, detrás del centro de masa del poste guiente.) Determine el área de la superficie formada por estas
para tener una distribución adecuada del peso. Los postes de clase perpendiculares desde (0, 0) hasta s3, 2 23d .
1 de 40 pies de NYNEX tienen una circunferencia en la parte su-
perior de 27 pulgadas, y una circunferencia de 43.5 pulgadas en la

Capítulo 6 Ejercicios adicionales y avanzados 465

y Trabajo

2͙3 13. Una partícula de masa m parte del reposo en el instante t = 0 y se
2͙x mueve a lo largo del eje x con aceleración constante a, desde x = 0
hasta x = h en contra de una fuerza variable de magnitud Fstd = t2 .
(3, 2͙3) Determine el trabajo realizado.

y ϭ 2͙x 14. Trabajo y energía cinética Suponga que una pelota de golf de
1.6 onzas se coloca en un resorte vertical con constante
0 x k = 2 lb>pulgadas. El resorte se comprime 6 pulgadas y después
x se suelta. ¿Qué altura alcanza la pelota (medida desde la posición
3 de reposo del resorte)?

12. En los puntos de la circunferencia de radio a, se trazan segmentos Fuerza en fluidos
perpendiculares al plano de la circunferencia; la perpendicular en
cada punto P tiene una longitud ks, en donde s es la longitud del 15. Una placa triangular ABC se sumerge en agua con su plano verti-
arco de la circunferencia medido en sentido contrario al de las cal. El lado AB, de longitud 4 pies, está 6 pies por debajo de la su-
manecillas del reloj, de (a, 0) a P y k es una constante positiva, perficie del agua, mientras que el vértice C está 2 pies debajo
como se muestra a continuación. Determine el área de la superfi- de la superficie. Determine la fuerza ejercida por el agua sobre un
cie formada por las perpendiculares a lo largo del arco que empie- lado de la placa.
za en (a, 0) y se extiende una vez alrededor de la circunferencia.
16. Una placa rectangular vertical se sumerge en un fluido, con su lado
0 ay superior paralelo a la superficie del fluido. Muestre que la fuerza
a ejercida por el fluido en un lado de la placa es igual al valor pro-
x medio de la presión arriba y abajo de la placa multiplicada por el
área de ésta.

17. El centro de presión en un lado de una región plana sumergida en
un fluido se define como el punto en donde la fuerza total ejerci-
da por el fluido puede aplicarse sin cambiar el momento total res-
pecto de cualquier eje del plano. Determine la profundidad del
centro de presión (a) en un rectángulo vertical de altura h y ancho
b, si su borde superior está en la superficie del fluido; (b) en un
triángulo vertical de altura h y base b, si el vértice opuesto a b tiene
a pies y la base b está (a + h) pies por debajo de la superficie del
fluido.

6Capítulo Proyectos de aplicación tecnológica

Módulo Mathematica/Maple
Uso de sumas de Riemann para estimar áreas, volúmenes y longitudes de curvas
Visualice y aproxime áreas y volúmenes en las Partes I y II: Volúmenes de revolución; y Parte III: Longitudes de curvas.

Módulo Mathematica/Maple
Modelado de la cuerda para salto bungee
Recopile datos (o utilice datos previamente recopilados) para construir y afinar un modelo para la fuerza ejercida por la cuerda utilizada en saltos
bungee. Utilice el teorema de trabajo-energía para calcular la distancia que cae cierta persona que salta con una cuerda de bungee de longitud dada.

Capítulo FUNCIONES

7 TRASCENDENTES

INTRODUCCIÓN Las funciones pueden clasificarse en dos grandes grupos (vea la sec-
ción 1.4). Las funciones polinomiales se denominan algebraicas, por ser funciones que se
obtienen a partir de suma, multiplicación, división o al tomar potencias o raíces. Por su
parte, las funciones no algebraicas se denominan trascendentes. Las funciones trigonomé-
tricas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas, así como sus inversas, son trascendentes.

Las funciones transcendentes suelen utilizarse en muchas aplicaciones, por ejemplo, en
la determinación del crecimiento de poblaciones, el cálculo de vibraciones y ondas, la
eficiencia de algoritmos de computadora y la estabilidad de estructuras de ingeniería. En
este capítulo abordaremos varias funciones trascendentes importantes e investigaremos
sus propiedades, sus gráficas y sus derivadas e integrales.

7.1 Funciones inversas y sus derivadas

466 La función que invierte, o deshace, el efecto de una función f, se denomina inversa de f.
Muchas funciones comunes, aunque no todas, van aparejadas con su inversa. Es común
que aparezcan funciones inversas importantes en las fórmulas para antiderivadas y en las
soluciones de ecuaciones diferenciales. Como veremos en la sección 7.3. las funciones in-
versas también desempeñan un papel central en la definición y en las propiedades de las
funciones logarítmica y exponencial.

Funciones inyectivas

Una función es una regla que asigna un valor, dentro de su rango, a cada uno de los puntos
de su dominio. Algunas funciones asignan el mismo valor del rango a más de un elemen-
to del dominio. La función f (x) = x2 asigna el mismo valor, 1, a los números –1 y +1; tanto
el seno de p>3 como el de 2p>3 tienen el valor 13>2. Otras funciones asumen sólo una
vez cada valor en su rango. La raíz cuadrada y el cubo de números diferentes son siempre
diferentes. Una función que tiene valores distintos en elementos distintos de su dominio
se denomina inyectiva (o función uno a uno). Estas funciones toman exactamente una vez
cada valor de su rango.

DEFINICIÓN Función inyectiva (o uno a uno)
Una función f (x) es inyectiva en el dominio D si f (x1) Z f (x2), siempre que x1 Z x2
en D.

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 467

EJEMPLO 1 Dominio de funciones inyectivas

(a) ƒsxd = 1x es inyectiva en cualquier dominio de números no negativos, porque
1x1 Z 1x2 cuando x1 Z x2.

(b) gsxd = sen x no es inyectiva en el intervalo [0, p], porque sen sp>6d = sen s5p>6d.
Sin embargo, la función seno es inyectiva en [0, p>2], ya que el seno es una función
estrictamente creciente en [0, p>2].

La gráfica de una función inyectiva y = f (x) puede intersecar una recta horizontal da-
da a lo más una vez. Si la cruza más de una vez, toma el mismo valor de y en más de una
ocasión y, por lo tanto, no es inyectiva (figura 7.1).

Prueba de la recta horizontal para funciones inyectivas
Una función y = f (x) es inyectiva si y sólo si su gráfica interseca cada recta hori-
zontal cuando mucho una vez.

y y
y ϭ x3 y ϭ ͙x

x x
00

Inyectiva: la gráfica corta cada recta
horizontal a lo más en un punto.

y y ϭ x2

Mismo valor de y

y

1 Mismo valor de y
–1 0 1
0.5

xx
␲ 5␲
66

y ϭ sen x

No es inyectiva: la gráfica corta más de una
vez a una o más rectas horizontales.

FIGURA 7.1 Por medio de la prueba de la recta
horizontal, vemos que y = x3 y y = 1x son in-

yectivas en sus dominios (– q, q) y [0, q), pero
y = x2 y y = sen x no son inyectivas en sus domi-

nios (– q, q).

Funciones inversas

Como cada valor (salida) de una función uno a uno proviene de una y sólo una entrada, el
efecto de la función puede ser invertido, enviando la salida de regreso a la entrada de la
que vino bajo la función.

468 Capítulo 7: Funciones trascendentes

DEFINICIÓN Función inversa
Suponga que f es una función inyectiva en un dominio D con rango R. La fun-
ción inversa ƒ-1 se define como

ƒ -1sad = b si ƒsbd = a .

El dominio de ƒ-1 es R y su rango es D.

Los dominios y rangos de f y ƒ-1 están intercambiados. El símbolo ƒ-1 para la inversa
de f se lee “inversa de f ”. El “–1” de ƒ-1 no es un exponente: ƒ-1(x) no significa 1>ƒ(x).

Si aplicamos f para enviar un dato x al resultado f (x) y enseguida aplicamos ƒ-1 a f (x),
obtenemos nuevamente x, justo donde iniciamos. De manera análoga, si tomamos algún
número y en el rango de f, le aplicamos ƒ-1 y luego aplicamos f al valor resultante ƒ -1s yd ,
obtenemos una vez más el valor y con el que iniciamos. Componer una función y su inver-
sa anula cualquier trabajo.

sƒ -1 ‫ ؠ‬ƒdsxd = x, para toda x en el dominio de f

sƒ ‫ ؠ‬ƒ -1ds yd = y, para toda y en el dominio de ƒ -1 so rango de ƒd

Sólo las funciones inyectivas pueden tener una inversa. La razón es que si ƒsx1d = y y
ƒsx2d = y para dos datos distintos x1 y x2, no existe forma de asignar un valor a ƒ -1s yd que
satisfaga al mismo tiempo ƒ-1sƒsx1dd = x1 y ƒ -1sƒsx2dd = x2.

Una función que es creciente en un intervalo (aquella que satisface ƒsx2d 7 ƒsx1d
cuando x2 7 x1) es inyectiva y tiene una inversa. Las funciones decrecientes también tie-
nen una inversa (ejercicio 39). Las funciones que tienen derivada positiva en toda x son
crecientes (vea el corolario 3 del Teorema del Valor Medio, en la sección 4.2) y, por lo
tanto, tienen inversa. De manera similar, las funciones con derivada negativa en toda x son
decrecientes y tienen inversa. Algunas funciones que no son crecientes ni decrecientes
pueden ser, no obstante, inyectivas y tener una inversa, como la función sec-1 x de la sec-
ción 7.7.

Determinación de la función inversa

Las gráficas de una función y su inversa están estrechamente relacionadas. Para conocer el
valor de una función (por ejemplo, de y) a partir de su gráfica, iniciamos con un punto x
en el eje x, vamos verticalmente a la gráfica y luego nos movemos horizontalmente hacia
el eje y. La función inversa puede conocerse a partir de la gráfica con sólo revertir este
proceso: iniciamos con un punto y en el eje y, vamos horizontalmente a la gráfica y luego
nos movemos de forma vertical al eje x para leer el valor de x = ƒ -1s yd (figura 7.2).

Queremos graficar ƒ-1, de modo que su dominio esté en el eje x, como se hace co-
múnmente en el caso de las funciones, en lugar de tenerlos en el eje y. Para realizar esto,
intercambiamos los ejes x y y reflejando con respecto de la recta de 45° y = x. Después
de esta reflexión tenemos una nueva gráfica que representa a ƒ-1. El valor de ƒ-1(x) puede
obtenerse ahora de la manera usual a partir de la gráfica, iniciando con un punto x en el
eje x, avanzando hacia la gráfica en sentido vertical y luego moviéndonos de forma hori-
zontal hacia el eje y para obtener el valor de ƒ-1(x). La figura 7.2 indica la relación entre
las gráficas de f y ƒ-1. Las gráficas se intercambian por medio de la reflexión con respec-
to a la recta y = x.

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 469

RANGO DE f y DOMINIO DE f –1 y

y ϭ f (x) x ϭ f –1(y)
y y

0x x 0x x
DOMINIO DE f RANGO DE f –1

(a) Para determinar el valor de f en x, iniciamos (b) La gráfica de f ya es la gráfica de f –1, pero
en x, subimos hacia la curva y luego hacia al eje y.
con x y y intercambiados. Para determinar x

dada y, iniciamos en y y vamos hacia la curva,
para luego bajar al eje x. El dominio de f –1
es el rango de f. El rango de f –1 es el dominio de f.

x y
y ϭ f –1(x)
RANGO DE f –1 (a, b) yϭx RANGO DE f –1
x ϭ f –1(y) x
0
(b, a)
DOMINIO DE f –1
0y
DOMINIO DE f –1

(c) Para dibujar la gráfica de f –1 de la (d) Después intercambiamos las letras x y y.
manera usual, reflejamos el sistema con Ahora tenemos la gráfica de f –1 en la forma
respecto de la recta y ϭ x.
usual, como una función de x.

FIGURA 7.2 Determinación de la gráfica de y = ƒ -1sxd a partir de la gráfica de y = ƒsxd .

El proceso de pasar de f a f –1 puede resumirse en dos pasos.

1. Despejar x en la ecuación y = f (x). Esto proporciona una fórmula x = ƒ -1s yd, en don-
de x se expresa como una función de y.

2. Intercambiar x y y para obtener una fórmula y = ƒ-1sxd, en donde ƒ-1 se expresa en
el formato convencional, con x como la variable independiente y y como la variable
dependiente.

EJEMPLO 2 Determinación de una función inversa

Determinar la inversa de y = 1 x + 1, expresada como función de x.
2

Solución y = 1 x + 1
1. Despeje x en términos de y: 2

2y = x + 2

x = 2y - 2.

470 Capítulo 7: Funciones trascendentes

y y ϭ 2x Ϫ 2 2. Intercambie x y y: y = 2x - 2.

yϭx La inversa de la función ƒsxd = s1>2dx + 1 es la función ƒ-1sxd = 2x - 2. Para compro-
barlo, hay que revisar si las dos funciones compuestas producen la función identidad:

y ϭ 1 x ϩ 1 ƒ -1sƒsxdd = 2 a21 x + 1 b - 2 = x + 2 - 2 = x
2

1

–2 1 x ƒsƒ -1sxdd = 1 s2x - 2d + 1 = x - 1 + 1 = x.
–2 2

Vea la figura 7.3.

FIGURA 7.3 Al graficar juntas EJEMPLO 3 Determinación de una función inversa
ƒsxd = s1>2dx + 1 y ƒ -1sxd = 2x - 2 se Determinar la inversa de la función y = x2, x Ú 0, expresada como una función de x.
demuestra la simetría de las gráficas con
respecto de la recta y = x. Las pendientes Solución Primero despejamos x en términos de y:
son recíprocas una de la otra (ejemplo 2).

y = x2 ƒ x ƒ = x ya que x Ú 0
2y = 2x2 = ƒ x ƒ = x

y Luego intercambiamos x y y, para obtener
y ϭ x2, x Ն 0
yϭx y = 1x.
y ϭ ͙x
La inversa de la función y = x2, x Ú 0, es la función y = 1x (figura 7.4).
x Observe que, a diferencia de la función restringida y = x2, x Ú 0, la función no res-
0
FIGURA 7.4 Las funciones y = 1x y tringida y = x2 no es inyectiva y, por lo tanto, no tiene inversa.
y = x2, x Ú 0 , son inversas una de la otra
(ejemplo 3). Derivadas de inversas de funciones diferenciables

Si calculamos las derivadas de ƒsxd = s1>2dx + 1, y su inversa, ƒ-1sxd = 2x - 2 de
acuerdo con el ejemplo 2, vemos que

d ƒsxd = d a21 x + 1b = 1
dx dx 2

d ƒ -1sxd = d s2x - 2d = 2.
dx dx

y y ϭ 1 x Ϫ b Las derivadas son recíprocas mutuamente. La gráfica de f es la recta y = s1>2dx + 1, y la
m m gráfica de ƒ-1 es la recta y = 2x – 2 (figura 7.3). Sus pendientes son recíprocas una de

Pendiente ϭ 1 yϭx la otra.
m
Éste no es un caso especial. Siempre que cualquier recta no horizontal o no vertical se
y ϭ mx ϩ b
Pendiente ϭ m refleja con respecto de la recta y = x, su pendiente se invierte. Si la recta original tiene pen-
diente m Z 0 (figura 7.5), la recta reflejada tendrá pendiente 1>m (ejercicio 36).
x
0 La relación recíproca entre las pendientes de f y ƒ-1 también es válida en el caso de

FIGURA 7.5 Las pendientes de rectas no otras funciones, pero debemos tener cuidado de comparar pendientes en puntos correspon-
verticales, reflejadas con respecto de la lí- dientes. Si la pendiente de y = ƒsxd en el punto (a, f (a)) es ƒ¿sad y ƒ¿sad Z 0, la pendiente
nea y = x, son recíprocas una de la otra. de y = ƒ-1sxd en el punto correspondiente ( f (a), a) es el recíproco 1>ƒ¿sad (figura 7.6).
Entonces, si hacemos b = ƒsad,

sƒ -1d¿sbd = 1 = ƒ¿sƒ 1 .
ƒ¿sad -1sbdd

Si y = f (x) tiene una recta tangente horizontal en (a, f (a)), la función inversa ƒ-1 tiene una
recta tangente vertical en ( f (a), a), y esta pendiente infinita implica que ƒ-1 no es diferen-

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 471

y y
y ϭ f (x)

b ϭ f (a) (a, b)

a ϭ f –1(b) (b, a)
y ϭ f –1(x)
x 0 x
0a
b

Las pendientes son recíprocas: ( f –1)'(b) ϭ 1 o ( f –1)'(b) ϭ f '( f 1
f –1(b))
'(a)

FIGURA 7.6 Las gráficas de funciones inversas tienen pen-
dientes recíprocas en los puntos correspondientes.

ciable en f (a). El teorema 1 proporciona las condiciones en las que ƒ-1 es diferenciable en
su dominio, que es el mismo que el rango de f.

TEOREMA 1 Regla de la derivada para inversas

Si f tiene un intervalo I como dominio y ƒ¿sxd existe y nunca es cero en I, enton-
ces ƒ-1 es derivable en cada punto de su dominio. El valor de sƒ-1d¿ en un punto
b del dominio de ƒ-1 es el recíproco del valor de ƒ¿ en el punto a = ƒ-1sbd:

sƒ -1d¿sbd = 1
ƒ¿sƒ -1sbdd

o

dƒ -1 ` = 1 (1)
dx dƒ
x=b dx ` x = ƒ -1sbd

No hemos incluido la demostración del teorema, pero a continuación se presenta otra
forma de verlo. Cuando y = f (x) es diferenciable en x = a y modificamos x en una pequeña
cantidad dx, el cambio correspondiente en y es aproximadamente

dy = ƒ¿sad dx.

Esto significa que y cambia más o menos ƒ¿sad veces tan rápido como x cuando x = a, y
que x cambia alrededor de 1>ƒ¿sad veces tan rápido como y cuando y = b. Como vemos, es
razonable que la derivada de ƒ-1 en b sea el recíproco de la derivada de f en a.

EJEMPLO 4 Aplicación del teorema 1

La función ƒsxd = x2, x Ú 0 y su inversa ƒ-1sxd = 1x tienen derivadas ƒ¿sxd = 2x y
sƒ -1d¿sxd = 1>s2 1xd .

472 Capítulo 7: Funciones trascendentes

y El teorema 1 predice que la derivada de ƒ -1sxd es
y ϭ x2, x Ն 0
1
sƒ -1d¿sxd = ƒ¿sƒ -1sxdd

4 Pendiente 4 (2, 4) 1
= 2sƒ -1sxdd

3 Pendiente –1 = 1.
4 2s 1xd

2 (4, 2) y ϭ ͙x

1 El teorema 1 proporciona una derivada que concuerda con los resultados que se obtienen

0 1234 x al utilizar la regla para la derivada de una potencia aplicada a la función raíz cuadrada.

FIGURA 7.7 La derivada de Examinemos el teorema 1 en un punto específico. Tomamos x = 2 (el número a) y
ƒ -1sxd = 1x en el punto (4, 2) es el f (2) = 4 (el valor b). El teorema 1 dice que la derivada de f en 2, ƒ¿s2d = 4, y la derivada
recíproco de la derivada f(x) = x2 en (2, 4) de ƒ-1 en ƒ(2), sƒ-1d¿s4d, son recíprocos. Esto establece que

(ejemplo 4). sƒ -1d¿s4d = 1 = 1 = 1 ` = 1 .
ƒ¿sƒ -1s4dd ƒ¿s2d 2x 4
x =2

Vea la figura 7.7.

En ocasiones, la ecuación (1) nos permite determinar valores específicos de dƒ -1>dx sin
conocer la fórmula para ƒ-1.

y y ϭ x3 Ϫ 2 EJEMPLO 5 Determinación de un valor para la derivada de la función inversa
6 (2, 6) Pendiente 3x2 ϭ 3(2)2 ϭ
Sea ƒsxd = x3 - 2. Hallar el valor de dƒ -1>dx en x = 6 = ƒs2d sin determinar la fórmula
de ƒ -1sxd.

Solución

Pendiente recíproca: 1 dƒ ` 3x2 ` 12
12 dx
x=2 = x=2 =

(6, 2)

x dƒ -1 ` = 1 = 1 Ecuación (1)
6 dx 12
–2 0 x = ƒs2d dƒ `

dx x=2

–2

Vea la figura 7.8.

FIGURA 7.8 La derivada de Parametrización de funciones inversas
ƒsxd = x3 - 2 en x = 2, nos da la derivada
de ƒ -1 en x = 6 (ejemplo 5). Podemos graficar o representar cualquier función y = f (x) de forma paramétrica como

x = t y y = ƒstd.

Intercambiando t y f (t) se obtienen las ecuaciones paramétricas para la inversa:

x = ƒstd y y = t

(vea la sección 3.5).
Por ejemplo, para graficar la función inyectiva ƒsxd = x2, x Ú 0, junto con su inversa

y la recta y = x, x Ú 0, en una calculadora graficadora, utilice la opción de graficación

paramétrica con

Gráfica de ƒ : x1 = t, y1 = t2, tÚ0
Gráfica de ƒ -1 : x2 = t2, y2 = t
y3 = t
Gráfica de y = x : x3 = t,

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 473

EJERCICIOS 7.1

Identificación gráfica de funciones inyectivas 9. 10.

¿Cuáles de las funciones cuyas gráficas se muestran en los ejercicios y y
1 a 6 son inyectivas?
y ϭ f (x) ϭ sen x, y ϭ f (x) ϭ tan x,

– ␲ Յ x Յ ␲ 1 – ␲ Ͻ x Ͻ ␲
2 2 2 2
1. y 2. y
y ϭ Ϫ3x3 ␲x –␲ 0 ␲x
– ␲ 0 2 2 2
2

–1

x –1 0 1 x
0

y ϭ x4 Ϫ x2

3. y 4. y 11. a. Grafique la función ƒsxd = 21 - x2, 0 … x … 1. ¿Qué si-
y ϭ ent x metría tiene la gráfica?

y ϭ 2͉x͉ b. Demuestre que f es su propia inversa. (Recuerde que 2x2 = x
x si x Ú 0).

12. a. Grafique la función ƒsxd = 1>x . ¿Qué simetría tiene la grá-
fica?

b. Demuestre que f es su propia inversa.

x

Fórmulas de funciones inversas

En cada uno de los ejercicios 13 a 18 se da una fórmula de una fun-
ción y = f (x) y se muestran las gráficas de f y ƒ -1. En cada caso, deter-
mine una fórmula para ƒ -1.

5. y 6. y
y ϭ x1/3
y ϭ 1 13. ƒsxd = x2 + 1, x Ú 0 14. ƒsxd = x2, x … 0
x

x y

x y
0 y ϭ f (x)

Graficación de funciones inversas 1 y ϭ f –1(x) y ϭ f (x) 1 x
01 x 01
En cada uno de los ejercicios 7 a 10 se presenta la gráfica de una fun- y ϭ f –1(x)

ción y = f (x). Copie la gráfica y trace la recta y = x. Luego, utilice la 15. ƒsxd = x3 - 1 16. ƒsxd = x2 - 2x + 1, x Ú 1
simetría respecto de la recta y = x para agregar la gráfica de ƒ -1. (No y
es necesario determinar la fórmula de ƒ -1). Identifique el dominio y el y
rango de ƒ -1. y ϭ f (x)

7. 8.

y y 1
x
y ϭ f (x) ϭ 1 , x Ն 0 y ϭ f (x) ϭ 1 Ϫ , x Ͼ 0 y ϭ f –1(x)
ϩ 1 1 y ϭ f (x)
x2 1 y ϭ f –1(x) 01

1 01 x 1
–1 1
x

–1 x

x
01

474 Capítulo 7: Funciones trascendentes

17. ƒsxd = sx + 1d2, x Ú - 1 18. ƒsxd = x2>3, x Ú 0 33. Suponga que la función diferenciable y = f (x) tiene inversa y que
la gráfica de f pasa por el punto (2, 4), en donde tiene pendiente
y y igual 1>3. Determine el valor de dƒ -1>dx en x = 4 .
y ϭ f (x) y ϭ f –1(x)
34. Suponga que la función diferenciable y = g (x) tiene inversa, y que
la gráfica de g pasa por el origen con pendiente 2. Determine la
pendiente de la gráfica de g -1 en el origen.

1 y ϭ f –1(x) 1 y ϭ f (x) Inversas de rectas
x 01 x
–1 0 35. a. Determine la inversa de la función f (x) = mx, donde m es una
–1 1 constante diferente de cero.

En cada uno de los ejercicios 19 a 24 se presenta una fórmula de una b. ¿Qué puede concluir respecto de la inversa de y = f (x) cuya
función y = f (x). En cada caso, determine ƒ -1sxd e identifique el do- gráfica es una recta que cruza el origen con pendiente m dife-
minio y el rango de ƒ -1. Para comprobar su resultado, muestre que rente de cero?
ƒsƒ -1sxdd = x .
36. Demuestre que la gráfica de la inversa de f (x) = mx + b, con m y b
19. ƒsxd = x5 20. ƒsxd = x4, x Ú 0 constantes y m Z 0 , es una recta con pendiente 1>m y ordenada
21. ƒsxd = x3 + 1 22. ƒsxd = s1>2dx - 7>2 al origen -b>m .
23. ƒsxd = 1>x2, x 7 0 24. ƒsxd = 1>x3, x Z 0
37. a. Determine la inversa de f (x) = x + 1. Trace juntas las gráficas
Derivadas de funciones inversas de f y su inversa. Agregue la recta y = x; trácela con guiones o
puntos para que contraste.
En los ejercicios 25 a 28: 25–28:
b. Determine la inversa de f (x) = x + b (b constante). ¿Cómo es
a. Determine ƒ -1sxd . la gráfica de ƒ -1 en relación con la de ƒ?

b. Trace juntas las gráficas de f y ƒ -1. c. ¿Que conclusión saca respecto de las inversas de funciones
cuyas gráficas son rectas paralelas a la recta y = x?
c. Evalúe df>dx en x = a y dƒ -1>dx en x = f (a), para demostrar que
en esos puntos dƒ -1>dx = 1>sdƒ>dxd . 38. a. Determine la inversa de f (x) = –x + 1. Trace juntas las gráfi-
cas de las rectas y = –x + 1 y y = x. ¿En qué ángulo se inter-
25. ƒsxd = 2x + 3, a = - 1 26. ƒsxd = s1>5dx + 7, a = - 1 secan?
27. ƒsxd = 5 - 4x, a = 1>2 28. ƒsxd = 2x2, x Ú 0, a = 5
29. a. Demuestre que ƒsxd = x3 y g sxd = 13 x son inversas una de b. Determine la inversa de f (x) = –x + b (b constante). ¿Qué án-
gulo forman las rectas y = –x + b y y = x?
la otra.
c. ¿Qué conclusión saca respecto de las inversas de funciones
b. Grafique f y g sobre un intervalo x lo suficientemente grande cuyas gráficas son rectas perpendiculares a la recta y = x?
para demostrar que se intersecan en (1, 1) y (–1, –1). Asegú-
rese de que el dibujo muestre la simetría requerida respecto Funciones crecientes y funciones decrecientes
de la recta y = x.
39. Como se vio en la sección 4.3, una función f (x) crece en un inter-
c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de valo I, si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 de I,
f y g en (1, 1) y (–1, –1) (cuatro tangentes en total).
x2 7 x1 Q ƒsx2d 7 ƒsx1d .
d. ¿Qué rectas son tangentes a las curvas en el origen?
30. a. Demuestre que hsxd = x3>4 y ksxd = s4xd1>3 son inversas una De manera similar, una función decrece en I si para cualesquiera
dos puntos x1 y x2 de I,
de la otra.
x2 7 x1 Q ƒsx2d 6 ƒsx1d .
b. Grafique h y k sobre un intervalo x lo suficientemente grande
para mostrar que se intersecan en (2, 2) y (–2, –2). El dibujo Muestre que tanto las funciones crecientes como las decrecientes
debe mostrar la simetría requerida respecto de la recta y = x.
son inyectivas. Es decir, para cualesquiera x1 y x2 de I, x2 Z x1
c. Determine las pendientes de las tangentes a las gráficas de h implica que ƒsx2d Z ƒsx1d .
y k en (2, 2) y (–2, –2).
Utilice los resultados del ejercicio 39 para demostrar que las funcio-
d. ¿Qué rectas son tangentes a las curvas en el origen?
31. Sea ƒsxd = x3 - 3x2 - 1, x Ú 2 . Determine el valor de dƒ -1>dx nes de los ejercicios 40 a 44 tienen inversas en sus dominios. Determi-
ne una fórmula para dƒ -1>dx usando el teorema 1.
en el punto x = –1 = f (3).
32. Sea ƒsxd = x2 - 4x - 5, x 7 2 . Determine el valor de dƒ -1>dx 40. ƒsxd = s1>3dx + s5>6d 41. ƒsxd = 27x3
42. ƒsxd = 1 - 8x3 43. ƒsxd = s1 - xd3
en el punto x = 0 = ƒs5d . 44. ƒsxd = x5>3

7.1 Funciones inversas y sus derivadas 475

Teoría y aplicaciones Ahora demuestre que las funciones W y S coinciden en un punto
de [a, b] y tienen derivadas idénticas en [a, b]. Como vio en el
45. Si f (x) es inyectiva, ¿qué puede decir acerca de g(x) = –f (x)? Jus- ejercicio 102 de la sección 4.8, esto garantiza que W(t) = S(t) para
tifique su respuesta. toda t en [a, b]. En particular, W(b) = S(b). (Fuente: “Disks and
Shells Revisited”, Walter Carlip, American Mathematical
46. Si f(x) es inyectiva y f (x) nunca es 0, ¿qué puede decir acerca de Monthly, vol. 98, núm. 2, febrero de 1991, pp. 154-156).
hsxd = 1>ƒsxd ? ¿Es también inyectiva? Justifique su respuesta.
EXPLORACIONES CON COMPUTADORA
47. Suponga que el rango de g está en el dominio de f, por lo cual la
composición ƒ ‫ ؠ‬g está definida. Si f y g son inyectivas, ¿qué En los ejercicios 53 a 60 explorará algunas funciones y sus inversas
puede decir respecto de ƒ ‫ ؠ‬g? Justifique su respuesta. junto con sus derivadas y funciones lineales de aproximación en pun-
tos específicos. Realice los pasos siguientes utilizando su software
48. Si una composición ƒ ‫ ؠ‬g es inyectiva, ¿también g debe serlo? matemático:
Justifique su respuesta.
a. Trace la función y = f (x) junto con su derivada en el intervalo
49. Suponga que f (x) es positiva, continua y creciente en el intervalo dado. Explique cómo sabe que f es una función inyectiva en el
[a, b]. Con base en la interpretación de la gráfica de f, demuestre intervalo.
que
b. Despeje x de la ecuación y = f (x) como una función de y y llame
b ƒsbd g a la función inversa obtenida.

ƒsxd dx + ƒ -1syd dy = bƒsbd - aƒsad . c. Determine la ecuación para la recta tangente a f en el punto
La Lƒsad sx0 , ƒsx0dd dado.

50. Determine condiciones sobre las constantes a, b, c y d para que la d. Determine la ecuación para la recta tangente a g en el punto
función racional ( f (x0), x0), que está ubicado simétricamente respecto de la recta
de 45° y = x (la gráfica de la función identidad). Utilice el teore-
ƒsxd = ax + b ma 1 para hallar la pendiente de esta recta tangente.
cx + d
e. Trace las funciones f y g, la identidad, las dos rectas tangentes y
tenga inversa. el segmento de recta que une los puntos sx0 , ƒsx0dd y sƒsx0d, x0d .
Analice las simetrías que encuentre respecto de la diagonal prin-
51. Si escribimos g(x) en lugar de ƒ -1sxd , la ecuación (1) puede ex- cipal.

presarse como

g¿sƒsadd = ƒ¿1sad, o g¿sƒsadd # ƒ¿sad = 1 .

Si ahora sustituimos a por x, obtenemos 53. y = 23x - 2, 2 … x … 4, x0 = 3
3
g¿sƒsxdd # ƒ¿sxd = 1.
54. y = 3x + 121, -2 … x … 2, x0 = 1>2
Tal vez esta última ecuación le recuerde la regla de la cadena, ya 2x -
que en realidad hay una relación.
55. y = 4x , -1 … x … 1, x0 = 1>2
Suponga que f y g son funciones diferenciables e inversas x2 + 1
entre sí, de manera que sg ‫ ؠ‬ƒdsxd = x. Derive ambos lados de la
ecuación respecto de x, usando la regla de la cadena para expresar 56. y = x3 , -1 … x … 1, x0 = 1>2
sg ‫ ؠ‬ƒd¿sxd como un producto de derivadas de g y f. ¿Qué encon- x2 + 1
tró? (Ésta no es una demostración del teorema 1, porque hemos
dado por sentada la conclusión del teorema, es decir que g = ƒ -1 57. y = x3 - 3x2 - 1, 2 … x … 5, x0 = 27
es diferenciable). 10

52. Equivalencia de los métodos de las arandelas y los casquillos 58. y = 2 - x - x3, -2 … x … 2, x0 = 3
para calcular volúmenes Sea f diferenciable y creciente en el 2
intervalo a … x … b, con a 7 0, y suponga que f tiene inversa
diferenciable, ƒ -1. Genere un sólido haciendo girar alrededor 59. y = ex, - 3 … x … 5, x0 = 1
del eje y la región acotada por la gráfica de f y las rectas x = a y
y = f (b). Los valores de las integrales obtenidas por los métodos
de las arandelas y los casquillos para calcular el volumen son
idénticos:

ƒsbd b 60. y = sen x, p … x … p2 , x0 = 1
-2
p ssƒ -1s ydd2 - a2d dy = 2pxsƒsbd - ƒsxdd dx .
Lƒsad La

Para demostrar esta igualdad, defina En los ejercicios 61 y 62, repita los pasos anteriores para las funciones
y = f (x) y x = ƒ -1syd definidas de manera implícita por medio de las
ƒstd ecuaciones dadas en el intervalo.

Wstd = Lƒsad pssƒ -1s ydd2 - a2d dy 61. y 1>3 - 1 = sx + 2d3, - 5 … x … 5, x0 = - 3>2
62. cos y = x1>5, 0 … x … 1, x0 = 1>2
t

Sstd = 2pxsƒstd - ƒsxdd dx .
La

476 Capítulo 7: Funciones trascendentes

7.2 Logaritmos naturales

Para cualquier número positivo a, el valor de la función f (x) = ax es fácil de definir cuando
x es un número entero o racional. Cuando x es irracional, el significado de ax no es tan cla-
ro. De manera similar, la definición de loga x, la función inversa de f (x) = ax, no resulta
completamente obvia. En esta sección utilizaremos el cálculo integral para definir la
función logaritmo natural, para la que el número a es un valor muy importante. Esta fun-
ción nos permitirá definir y analizar funciones logarítmicas y exponenciales generales,
y = ax y y = loga x.

Originalmente, los logaritmos desempeñaban un papel importante en los cálculos arit-
méticos. A lo largo de la historia se trabajó mucho en la creación de largas tablas de loga-
ritmos, con valores con una precisiòn de cinco, ocho y aún más lugares decimales. Antes
del surgimiento de las calculadoras electrónicas y las computadoras en la era moderna,
todo ingeniero contaba con una regla de cálculo marcada con escala logarítmica. Los
cálculos con logaritmos permitieron grandes avances en áreas como la navegación y la
mecánica celeste en el siglo XVII. Como sabemos, en la actualidad tales cálculos se reali-
zan con la ayuda de calculadoras o computadoras, pero las propiedades y las numerosas
aplicaciones de los logaritmos siguen siendo tan importantes como antes.

Definición de la función logaritmo natural

El primer paso de un método sólido para definir y entender los logaritmos, es el análisis de
la función logaritmo natural, definida como una integral, por medio del Teorema Funda-
mental del Cálculo. Aunque este enfoque podría parecer indirecto, nos permitirá deducir
rápidamente las conocidas propiedades de las funciones logarítmica y exponencial. El
análisis de funciones que hemos realizado hasta el momento ha sido mediante técnicas de
cálculo, pero aquí haremos algo más fundamental: usaremos el cálculo para la definición
de las funciones logarítmica y exponencial.

El logaritmo natural de un número positivo x, denotado por ln x, es el valor de una in-
tegral.

DEFINICIÓN La función logaritmo natural

x 1
t
ln x = dt, x70

L1

Si x 7 1, ln x es el área que está debajo de la curva y = 1>t, de t = 1 a t = x (figu-
ra 7.9). Para 0 6 x 6 1, ln x proporciona el negativo del área bajo la curva, desde x hasta

1. La función no está definida para x … 0. Con base en la Regla del Intervalo de Ancho

Cero para integrales definidas, también tenemos

1 1
t
ln 1 = dt = 0.

L1

7.2 Logaritmos naturales 477

y x1

Si 0 Ͻ x Ͻ 1, entonces ln x ϭ 1 dt ϭ Ϫ 1 dt
t t
L1 Lx

da el negativo de esta área.

x

Si x Ͼ 1, entonces ln x ϭ 1 dt
da esta área. t
L1
y ϭ ln x

1

y ϭ 1
x

0 x1 x x

1

Si x ϭ 1, entonces ln x ϭ 1 dt ϭ 0.
t
L1

y ϭ ln x

TABLA 7.1 Valores comunes de FIGURA 7.9 La gráfica de y = ln x y su relación
ln x, con dos decimales con la función y = 1>x, x 7 0 . La gráfica del
logaritmo se eleva por arriba del eje x cuando x se
x ln x mueve de 1 hacia la derecha y desciende por
debajo del eje x cuando x se mueve de 1 hacia la
izquierda.

En la figura 7.9 se muestra la gráfica de y = 1>x; observe, sin embargo, que utiliza-
mos y = 1>t en la integral. De haber empleado x en todas las variables, habríamos escrito

0 no definido ln x = x 1 dx ,
0.05 - 3.00 x
0.5 - 0.69 L1
1 0
2 0.69 donde x tendría dos significados diferentes. Por eso usamos a t como variable de inte-
3 1.10 gración.
4 1.39
10 2.30 Al utilizar rectángulos para obtener aproximaciones finitas del área que está debajo
de la gráfica de y = 1>t y sobre el intervalo entre t = 1 y t = x, como en la sección 5.1,
podemos aproximar los valores de la función ln x. En la tabla 7.1 se dan varios valores es-
peciales. Existe un número importante cuyo logaritmo natural es igual a 1.

DEFINICIÓN El número e
El número e es aquel que está en el dominio del logaritmo natural y que satisface

ln (e) = 1

De manera geométrica, el número e corresponde al punto del eje x para el que el área
debajo de la gráfica de y = 1>t y sobre el intervalo [1, e] tiene el área exacta de una
unidad cuadrada. En la figura 7.9, el área de la región sombreada en azul es una unidad
cuadrada cuando x = e.

478 Capítulo 7: Funciones trascendentes

La derivada de y = ln x
Por la primera parte del Teorema Fundamental del Cálculo (sección 5.4),

d d x 1 1
dx dx t x
ln x = dt = .

L1

Así, para todos los valores positivos de x, tenemos

d ln x = 1 .
dx x

Por lo tanto, la función y = ln x es una solución para el problema de valor inicial
dy>dx = 1>x, x 7 0, con y (1) = 0. Observe que la derivada siempre es positiva, de modo
que la función logaritmo natural es una función creciente, de aquí que sea inyectiva e in-
vertible. Su inversa se estudia en la sección 7.3.

Si u es una función diferenciable de x con valores positivos, de manera que ln u está
definida, al aplicar la regla de la cadena

dy dy du
dx = du dx

a la función y = ln u, obtenemos

d ln u = d ln u # du = 1 du .
dx du dx u dx

d ln u = 1 du , u70 (1)
dx u dx

EJEMPLO 1 Derivadas de logaritmos naturales

(a) d ln 2x = 1 d s2xd = 1 s2d = 1
dx 2x dx 2x x

(b) Con u = x2 + 3, la ecuación (1) da

# #dln sx 2 + 3d = 1 d sx2 + 3d = 1 2x = 2x .
+ dx x2 + x2 + 3
dx x2 3 3

7.2 Logaritmos naturales 479

Observe el interesante hallazgo que nos ofrece el ejemplo 1a. La función y = ln 2x
tiene la misma derivada que y = ln x. Esto es válido para y = ln ax, siendo a cualquier nú-
mero positivo:

d ln ax = 1 # d saxd = 1 sad = 1 . (2)
dx ax dx ax x

Ya que tenemos la misma derivada, las funciones y = ln ax y y = ln x difieren por una
constante.

BIOGRAFÍA HISTÓRICA Propiedades de los logaritmos

John Napier Los logaritmos fueron inventados por John Napier y constituyeron el avance individual
(1550–1617) más importante del cálculo aritmético hasta antes de la aparición de las modernas compu-
tadoras electrónicas. Su utilidad radica en que, gracias a sus propiedades, es posible multi-
plicar números positivos por medio de la suma de sus logaritmos, dividir números positivos
mediante la resta de sus logaritmos, y elevar un número a un exponente multiplicando su
logaritmo por el exponente. En el teorema 2 se resumen estas propiedades como una serie
de reglas. Por el momento, la única restricción se da en la regla 4, según la cual el expo-
nente r debe ser un número racional; cuando demostremos la regla veremos por qué.

TEOREMA 2 Propiedades de los logaritmos

Para cualquier número a 7 0 y x 7 0, el logaritmo natural satisface las reglas si-
guientes:

1. Regla del producto: ln ax = ln a + ln x
2. Regla del cociente:
ln a = ln a - ln x
x

3. Regla del recíproco: ln 1 = - ln x Regla 2 con a = 1
4. Regla de la potencia: x r racional

ln xr = r ln x

A continuación se ilustra cómo se aplican estas reglas.

EJEMPLO 2 Interpretación de las propiedades de los logaritmos

#(a) ln 6 = ln s2 3d = ln 2 + ln 3 Producto

(b) ln 4 - ln 5 = ln 4 = ln 0.8 Cociente
5

(c) ln 1 = - ln 8 Recíproco
8

= - ln 23 = - 3 ln 2 Potencia

EJEMPLO 3 Aplicación de las propiedades a fórmulas de funciones

(a) ln 4 + ln sen x = ln s4 sen xd Producto

(b) ln x + 1 = ln sx + 1d - ln s2x - 3d Cociente
2x - 3

480 Capítulo 7: Funciones trascendentes

(c) ln sec x = ln 1 x = - ln cos x Recíproco
cos Potencia

(d) ln 23 x + 1 = ln sx + 1d1>3 = 1 ln sx + 1d
3

Ahora demostraremos el teorema 2. Los pasos de la demostración son similares a los
utilizados en la solución de problemas que incluyen logaritmos.

Demostración de que ln ax = ln a + ln x El argumento no es común, pero sí elegante.
Inicia con la observación de que ln ax y ln x tiene la misma derivada (ecuación 2). En-
tonces, de acuerdo con el corolario 2 del Teorema del Valor Medio, las funciones deben
diferir por una constante, lo cual significa que

ln ax = ln x + C

para alguna C.
Como esta última ecuación se cumple para todos los valores positivos de x, debe satis-

facerse para x = 1. De aquí que,

ln sa # 1d = ln 1 + C

ln a = 0 + C ln 1 = 0

C = ln a.

Al sustituir, concluimos que

ln ax = ln a + ln x.

Demostración de que ln x r = r ln x (suponiendo que r es racional) Nuevamente uti-
lizaremos el argumento de tener la misma derivada. Para todos los valores positivos de x,

d ln xr = 1 d sxrd Ecuación (1) con u = x r
dx xr dx
Aquí es en donde necesitamos que r
= 1 rxr - 1 sea racional, al menos por ahora.
xr Hemos demostrado la regla de la
potencia sólo para exponentes
= r# 1 = d sr ln xd . racionales.
x dx

Como ln xr y r ln x tienen la misma derivada,

ln xr = r ln x + C

para alguna constante C. Tomando x igual a 1, se deduce que C es cero, con lo que conclu-
ye la demostración.

En el ejercicio 84 de esta sección se le pide que demuestre la regla 2. La regla 3 es un
caso especial de la regla 2, que se obtiene haciendo a = 1 y observando que ln 1 = 0. Con
esto hemos establecido todos los casos del teorema 2.

Aún no hemos demostrado la regla 4 para r irracional; en la sección 7.3 volveremos a
discutir este caso. Sin embargo, vale la pena señalar que la regla se cumple para toda r, sea
racional o irracional.

La gráfica y el rango de ln x

La derivada dsln xd>dx = 1>x es positiva para x 7 0; por lo tanto, ln x es una función cre-
ciente de x. La segunda derivada, - 1>x2 , es negativa, así que la gráfica de ln x es cóncava
hacia abajo.

7.2 Logaritmos naturales 481

y Podemos estimar el valor de ln 2 considerando el área que está debajo de la gráfica de
1>x y sobre el intervalo [1, 2]. En la figura 7.10, un rectángulo de altura 1>2 sobre el inter-
y ϭ 1 valo [1, 2] cabe bajo la gráfica. Por lo tanto el área bajo la gráfica, que es ln 2, es mayor
x que el área, 1>2 , del rectángulo. Así, ln 2 7 1>2. Sabiendo esto, tenemos,

1

1 ln 2n = n ln 2 7 n a21 b = n
2 2

x y
012
ln 2-n = - n ln 2 6 - n a21 b = - n .
FIGURA 7.10 El rectángulo de altura 2
y = 1>2 cabe exactamente debajo de la
gráfica de y = 1>x para el intervalo De donde se sigue que
1 … x … 2.
lím ln x = q y lím ln x = - q .
x:q x:0+

Definimos ln x para x 7 0, de modo que el dominio de ln x es el conjunto de los números
reales positivos. El análisis anterior y el Teorema del Valor Intermedio demuestran que su
rango es toda la recta real, con lo que se obtiene la gráfica de y = ln x, que se muestra en la
figura 7.9.

La integral 1s1/ud du
La ecuación (1) nos lleva a la fórmula integral

1 du = ln u + C (3)
u
L

cuando u es una función diferenciable positiva, pero, ¿qué pasa si u es negativa? Si u es
negativa, –u es positiva y

1 du = s 1 ds -ud La ecuación (3) con u reemplazada por -u
u -ud
L L

= ln s - ud + C. (4)

Podemos combinar las ecuaciones (3) y (4) en una sola fórmula, notando que en cada ca-
so la expresión del lado derecho es ln ƒ u ƒ + C. En la ecuación (3), ln u = ln ƒ u ƒ , ya que
u 7 0; en la ecuación (4), ln s -ud = ln ƒ u ƒ ya que u 6 0. Si u es positiva o negativa, la in-
tegral de (1>u) du es ln ƒ u ƒ + C.

Si u es una función diferenciable que nunca es cero,

1 du = ln ƒuƒ + C. (5)
u
L

La ecuación (5) es válida en cualquier punto del dominio de 1>u, (los puntos en donde
u Z 0).

Sabemos que

un du = un + 1 + C, n Z - 1 y racional
n+1
L

482 Capítulo 7: Funciones trascendentes

La ecuación (5) explica qué hacer cuando n es igual a –1; esta ecuación indica que las in-
tegrales de cierta forma dan logaritmos por resultado. Si u = f (x), entonces du = ƒ¿sxd dx y

1 du = ƒ¿sxd
u ƒsxd dx.
L L

De modo que la ecuación (5) da

ƒ¿sxd
L ƒsxd dx = ln ƒ ƒsxd ƒ + C

siempre que f (x) sea una función diferenciable que mantiene un signo constante en su do-
minio.

EJEMPLO 4 Aplicación de la ecuación (5)

(a) 2 2x dx = -1 du -1 u = x2 - 5, du = 2x dx,
L0 x2 - 5 u us0d = - 5, us2d = - 1
L-5 = ln ƒ u ƒ d

-5

= ln ƒ -1 ƒ - ln ƒ -5 ƒ = ln 1 - ln 5 = - ln 5

p>2 4 cos u 5 2 u = 3 + 2 sen u, du = 2 cos u du,
+ 2 sen u us - p>2d = 1, usp>2d = 5
(b) L-p>2 3 u du = du

L1

5

= 2 ln ƒ u ƒ d

1

= 2 ln ƒ 5 ƒ - 2 ln ƒ 1 ƒ = 2 ln 5

Observe que u = 3 + 2 sen u siempre es positiva en [- p>2, p>2], por lo que se puede apli-
car la ecuación (5).

Las integrales de tan x y cot x

La ecuación (5) nos indica, finalmente, cómo integrar la función tangente y la función co-
tangente. Para la función tangente,

tan x dx = sen x dx = -du u = cos x 7 0 en s -p>2, p>2d,
cos x u du = - sen x dx
L L L
Regla del recíproco
= - du = - ln ƒ u ƒ +C
L u

= - ln ƒ cos x ƒ + C = ln 1 +C
ƒ cos x ƒ

= ln ƒ sec x ƒ + C.

Para la cotangente,

cot x dx = cos x dx = du u = sen x,
L sen x u du = cos x dx

L L

= ln ƒ u ƒ + C = ln ƒ sen x ƒ + C = - ln ƒ csc x ƒ + C .