Calculo una Variable - Thomas

Capítulo 9 Ejercicios adicionales y avanzados 683

T 34. Euler: Masa m
mgR 2
c = 4; dy x2 - 2y + 1 ys1d = 1 F ϭ – s2
x,
dx =

En los ejercicios 35 y 36, utilice el método que se indica para resolver s
de manera gráfica el problema con condición inicial, iniciando en R
x0 = 0 con

a. dx = 0.1 . b. dx = - 0.1 .
T 35. Euler:

dy = 1 , ys0d = - 2 Centro
dx ex+y+2 de la Luna

a. Si el cuerpo se proyecta verticalmente hacia arriba desde la

T 36. Euler mejorado: superficie de la Luna con una velocidad inicial y0 en el ins-
tante t = 0 , utilice la segunda ley de Newton, F = ma , para
dy x2 + y
dx = - ey + x , ys0d = 0 demostrar que la velocidad del cuerpo en la posición s está

dada mediante la ecuación

Campos de pendientes y2 = 2gR2 + y0 2 - 2gR .
s
En los ejercicios 37 a 40, haga un bosquejo del campo de pendientes
de la ecuación. Luego agregue a su bosquejo la curva solución que pa- Así, la velocidad permanece positiva mientras y0 Ú 22gR .
se por el punto Ps1, - 1d . Utilice el método de Euler con x0 = 1 y
dx = 0.2 para estimar y(2). Redondee su respuesta a cuatro decima- La velocidad y0 = 22gR es la velocidad de escape de la
les. Determine por comparación el valor exacto de y(2). Luna. Un cuerpo lanzado hacia arriba con esta velocidad o
una mayor escapará de la atracción gravitacional de la Luna.

37. y¿ = x 38. y¿ = 1>x b. Demuestre que si y0 = 22gR , entonces

3y0 2>3
2R
39. y¿ = xy 40. y¿ = 1>y s = R a1 + t b .

Ecuaciones diferenciales autónomas 44. Deslizamiento hasta detenerse La tabla 9.9 muestra la distan-
y líneas de fase cia s (metros) que se deslizó en patines de línea en t segundos
Johnathon Krueger. Determine un modelo para su posición en la
En los ejercicios 41 y 42, forma de la ecuación (2) de la sección 9.5. Su velocidad inicial
era y0 = 0.86 m>s , su masa m = 30.84 kg (él pesa 68 lb), y la dis-
a. identifique los valores de equilibrio. ¿Cuáles son estables y tancia total que se deslizó fue 0.97 m.
cuáles son inestables?

b. construya una línea de fase. Identifique los signos de y¿ y y– . TABLA 9.9 Datos del patinaje de Johnathon Krueger

c. haga un bosquejo de una selección representativa de curvas t (seg) s (m) t (seg) s (m) t (seg) s (m)
solución.
0 0 0.93 0.61 1.86 0.93
41. dy = y2 - 1 42. dy = y - y2 0.13 0.08 1.06 0.68 2.00 0.94
dx dx 0.27 0.19 1.20 0.74 2.13 0.95
0.40 0.28 1.33 0.79 2.26 0.96
Aplicaciones 0.53 0.36 1.46 0.83 2.39 0.96
0.67 0.45 1.60 0.87 2.53 0.97
43. Velocidad de escape La atracción gravitacional F ejercida por 0.80 0.53 1.73 0.90 2.66 0.97
una Luna sin atmósfera sobre un cuerpo de masa m a una distancia
s del centro de la Luna, está dada por la ecuación F = - mg R2s -2 ,
donde g es la aceleración debida a la gravedad en la superficie de
la Luna y R es su radio (vea la figura siguiente). La fuerza F es
negativa, ya que actúa en la dirección que disminuye s.

9Capítulo Ejercicios adicionales y avanzados

Teoría y aplicaciones dy = k A sc - yd.
dt V
1. Transporte a través de la membrana de una célula Bajo cier-
tas condiciones, el resultado del movimiento de una sustancia di- En esta ecuación, y es la concentración de la sustancia dentro de la
suelta que atraviesa la membrana de una célula se describe me- célula, dy>dt es la razón a la que cambia y respecto al tiempo. Las
diante la ecuación. letras k, A, V y c representan constantes, k es el coeficiente de per-

684 Capítulo 9: Aplicaciones adicionales de integración

meabilidad (una propiedad de la membrana), A el área de la su- zón constante de dm>dt = –b unidades por segundo y a una velo-
perficie de la membrana, V el volumen de la célula, y c la concen- cidad relativa del cohete de u = –c. La única fuerza externa que
tración de la sustancia fuera de la célula. La ecuación dice que la actúa sobre el cohete es F = –mg, debida a la gravedad. Bajo estas
razón a la que cambia la concentración dentro de la célula es pro- suposiciones, demuestre que la altura del cohete por arriba del
porcional a la diferencia entre la concentración en ella y la con- suelo al cabo de t segundos (t pequeño comparado con m0>b) es
centración en el exterior.

a. Resuelva la ecuación para y(t), usando y0 para denotar y(0). y c ct m0 - bt ln m0 - bt d 1 gt 2 .
b m0 2
b. Determine la concentración de estado estacionario, = + -
límt:q y std . (Basado en Some Mathematical Models in Bio-
logy, editado por R. M. Thrall, J. A. Mortimer, K. R. Rebman 5. a. Suponga que P(x) y Q(x) son continuas en el intervalo [a, b].
y R. F. Baum, ed. rev., diciembre de 1967, PB-202 364, págs. Utilice la primera parte del teorema fundamental del cálculo,
101-103; distribuido por N.T.I.S., Departamento de Comercio para demostrar que cualquier función y satisface la ecuación
de Estados Unidos).
ysxdy = ysxdQsxd dx + C
2. Flujo de mezcla de oxígeno El oxígeno fluye a través de un tu- L
bo hasta un matraz de un litro con aire, y la mezcla de oxígeno y
aire (que se considera perfectamente mezclada) escapa hacia otro para ysxd = e 1 Psxd dx es una solución de la ecuación lineal de
tubo. Suponiendo que el aire contiene 21% de oxígeno, ¿qué por- primer orden
centaje de oxígeno contendrá el matraz después de que 5 litros
hayan pasado a través del tubo de entrada? dy
dx + Psxdy = Qsxd .

3. Bióxido de carbono en un salón de clase Si una persona pro- b. Si C = y0ysx0d - x ystdQstd dt, demuestre que cualquier

medio respira 20 veces por minuto, exhalando cada vez 100 pul- 1x0
gadas3 de aire que contiene 4% de bióxido de carbono, determine solución y en el inciso (a) satisface la condición inicial

el porcentaje de bióxido de carbono en el aire que hay en una ha- ysx0d = y0 .
bitación cerrada de 10,000 pies3, 1 hora después de que un grupo
6. (Continuación del ejercicio 5). Suponga las hipótesis del ejercicio
de 30 estudiantes entra en ella. Suponga que al principio el aire 5 y que y1sxd y y2sxd son soluciones de la ecuación lineal de pri-
está fresco, que los ventiladores dejan entrar 1000 pies3 de aire pu- mer orden que satisfacen la condición inicial ysx0d = y0 .

ro por minuto, y que el aire puro contiene 0.04% de bióxido de a. Verifique que ysxd = y1sxd - y2sxd satisface el problema de
valor inicial
carbono.

4. Altura de un cohete Si una fuerza externa F actúa sobre un sis- y¿ + Psxdy = 0, ysx0d = 0 .
tema cuya masa varía con el tiempo, la ley de movimiento de b. Para el factor integrante ysxd = e 1 Psxd dx , demuestre que
Newton es

dsmyd F sy ud dm . d sysxd[ y1sxd - y2sxd]d = 0.
dt dt dx
= + +

En esta ecuación, m es la masa del sistema en el instante t, y su Concluya que ysxd[ y1sxd - y2sxd] K consonante .

velocidad y y + u es la velocidad de la masa que está entrando (o c. Con base en la parte (a), tenemos y1sx0d - y2sx0d = 0 . Como
saliendo) del sistema a una velocidad de dm>dt. Suponga que un ysxd 7 0 para a 6 x 6 b , utilice el inciso (b) para establecer
cohete de masa inicial m0 parte del reposo, pero se conduce hacia que y1sxd - y2sxd K 0 en el intervalo (a, b). Por lo tanto,
arriba por medio de la combustión de parte de su masa, a una ra- y1sxd = y2sxd para a 6 x 6 b .

9Capítulo Proyectos de aplicación tecnológica

Módulo Mathematica/Maple
Dosis de medicamentos: ¿Son efectivas? ¿Son seguras?
Formule y resuelva un modelo de valor inicial para la absorción de medicamentos en el torrente sanguíneo.

Módulo Mathematica/Maple
Ecuaciones diferenciales de primer orden y campos de pendientes
Trace los campos de pendientes y las curvas solución para varias condiciones iniciales de ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionadas.

RESPUESTAS

9. mЌ 1 y
-3
CAPÍTULO 1 =

Sección 1.1, páginas 7-8 A(–1, 2) 2
y = 3x + 5 1

Pendiente = 3

1. 0.1, 0.2, 0.3, 0.8, 0.9 o 1 x

–2 –1 0

3. (a) No es necesariamente cierta (b) Cierta (c) Cierta (d) Cierta B(– 2, –1) –1
(e) Cierta (f) Cierta (g) Cierta (h) Cierta

5. x 6 - 2 x 11. mЌ indefinida. y
–2 B(–1, 3)

7. x … 5 x 3 A(2, 3)
4 5/4 2
1 y=3
Pendiente = 0
–1 0
9. x … - 1 x
3 –1/3

12 x

11. x 6 –6/7 x
7
6 -

1 9 7 25 13. (a) x = - 1 (b) y = 4>3
2 2 6 6
13. ; 3 15. - , - 17. ,

19. - 2 6 x 6 2 15. (a) x = 0 (b) y = - 22

–2 2 x

17. y = - x 19. y = x + 23 21. y = - 5 x + 6
-5 5 4
21. - 2 … t … 4 t
–2 4
2
11 y 23. y = - 9 25. y = 4x + 4 27. y = - 5 x + 1
3 11/3
23. 16y6 1 x
0 z -2
25. 0 … z … 10 10 29. y = + 12

31. Intersección x = 4; intersección y = 3

27. 2 6 x 6 2 o 10 6 x 6 14 10/35 x y
7 5 35 35 2 14/35
s 3
29. s - q , - 2] ´ [2, q d –2 x 3x + 4y = 12
r
31. s - q , 0d ´ s2, q d 02 2
1
33. s - q , - 3] ´ [1, q d –3 1 x
0 1234

35. s - 22, 22d 37. s -3, - 2d ´ s2, 3d 39. s -1, 3d 33. Intersección x = 23, intersección y = - 22
41. (0, 1) 43. a Ú 0 ; cualquier número real negativo
y
47. 1 6x…3
-2

0 12 x

Sección 1.2, páginas 16-19 –1 √2 x – √3 y = √6

1. 2, -4; 2 25 3. -4.9, 0; 4.9 5. Círculo unitario –2
7. El círculo con centro en el origen y puntos menores que un radio

de 23 y su interior

R-1

R-2 Capítulo 1: Respuestas

35. Sí. Las rectas son perpendiculares, porque sus pendientes - A>B 57. y 59. y
y B>A son recíprocas negativas una de la otra. 4
V(–3, 4)
y = –x2 – 6x – 5
Eje: x = – 3
37. s3, -3d 39. s - 2, - 9d Eje: x = – 1

41. x2 + s y - 2d2 = 4 43. sx + 1d2 + s y - 5d2 = 10 (– 2, 4) (0, 4)

(–5, 0) V(–1, 7/2) y = 1 x2 + x + 4
–6 2

y y –3 (–1, 0) 0 x
(0 , 4) (0 , 8) (x + 1)2 + (y – 5)2 = 1
–2 –1 1 x

C(0 , 2)

C(–1, 5) (–6, –5) (0, –5)

–2 –1 (0, 0) 61. Puntos exteriores de un círculo con centro en el origen y radio
12 x 27.

(0 , 2) 63. Un círculo de radio 2 con centro en (1, 0), junto con su interior.
65. La región entre los círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4 (puntos con
–4 –2 0 2 x
distancia desde el origen está entre 1 y 2).
45. sx + 23d2 + s y + 2d2 = 4 47. sx + 2d2 + s y - 2d2 = 4
67. Los puntos interiores de un círculo con centro en (0, -3) y radio
y (x + 2)2 + ( y – 2)2 = 4 y 3, que está debajo de la recta y = -3.
⎛⎝– √3, 0⎞⎠ 4
69. sx + 2d2 + sy - 1d2 6 6 71. x2 + y 2 … 2, x Ú 1
x 3
–4
(0 , 2) 2 73. a 1 , 2 b, a- 1 , - 2 b
(0, –1) C(– 2, 2) 25 25 25 25

C ⎝⎛–√3, – 2⎞⎠ (– 2, 0) 1 75. a1 - 25 , 3 - 25 b , a1 + 25 , 3 + 25 b
(0, –3) –4 –3 –2 –1 x 2 2 2 2

–4 0

49. x2 + s y - 3>2d2 = 25>4 51. sx - 2d2 + s y + 2d2 = 8 77. a- 1, - 1 b , a 1 , - 1 b
23 3 23 3

y y (x – 2)2 + (y + 2)2 = 8 79. a21 , - 23 b , a21 , 23 b
(0, 4) (4, 0) 2 2
1
4 (0, 0)
3
x 81. (a) L - 2.5 grados>pulgada (b) L - 16.1 grados/pulgada
(c) L - 8.3 grados>pulgada 83. 5.97 atm.
2 –1 12345
C(0, 3/2) –1 85. Sí: C = F = - 40°

(–2, 0) 1 (2, 0) –2 C
C( 2, – 2) C=F
–2 –1 1234 x
–3
–1 (0, –1)
(– 4, 0)
x2 + (y – 3/2)2 = –2 –4
25/4

– 40 32 F

53. y y = x2 – 2x – 3 C= 5 (F – 32)
9
(–1, 0)
0 12 x – 40
(3, 0) (– 40, –40)

Eje: x = 1 91. y

(0, –3) (–1, 4) 4 (2, 3)

V(1, –4) (–1, 1) (5, 2)
V(2, 4) –2 0
55. y (2, 0) x
y = –x2 + 4x 5
4

(–1, – 2) –2

93. k = - 8, k = 1>2

Eje: x = 2 Sección 1.3, páginas 26-28

(0, 0) (4, 0) 1. D: s - q , q d, R: [1, q d 3. D: s0, q d, R: s0, q d
x 5. D: [ - 2, 2], R: [0, 2]

2

Capítulo 1: Respuestas R-3

7. (a) No es una función de x, ya que algunos valores de x tienen 25. y
dos valores de y (b) Es una función de x, ya que para cada x
hay sólo una y posible. 6

9. (a) No (b) No (c) No (d) (0, 1] 5

4

11. A= 23 x 2, p = 3x 3
4
2
V = d3 1 F(x) = ⎧3 – x, x≤1
3 23 ⎨
13. x = d , A = 2d 2, ⎩ 2x, x > 1
23 17. s - q , q d
–3 –2 –1 0 123 x
15. s - q , q d

yy 27. (a) ƒsxd = e x, 0…x…1

4 -x + 2, 1 6 x … 2
3 g(x) = √|x|
6 2 2, 0 … x 6 1
4 1
2 f(x) = 5 – 2x (b) ƒsxd = d 0, 1 … x 6 2
–5 –4 –3 –2 –1–1 1 2 3 4 5 2, 2 … x 6 3
–4 –2 –2 x
–2
0, 3 … x … 4

24 x

- x, -1 … x 6 0
06x…1
29. (a) ƒsxd = • 1, 16x63

–4 - 1 x + 23, -2 … x … 0
2 06x…1
16x…3
1 x,
2

19. s - q , 0d ´ s0, q d (b) ƒsxd = • -2x + 2,

- 1,

y 31. (a) s - 2, 0d ´ s4, q d

2 F(t) = t
|t|
33. (a) 0 … x 6 1 (b) -1 6 x … 0
1

–4 –3 –2 –1 1234 t 35. Sí 37. V = xs14 - 2xds22 - 2xd

–2 39. (a) Porque la circunferencia del círculo original era 8p y se qui-
tó una pieza de longitud x.

21. (a) Por cada valor positivo de x (b) Por cada valor de x Z 0 , (b) r 8p - x 4 x
2p 2p
hay dos valores de y. hay dos valores de y. = = -

y y (c) h = 216 - r2 = 216px - x2
4 2p
y2 = x2
⏐y⏐ = x 1 1 2h s8p - xd2 216px - x2
2 3 24p2
(d) V = pr =
0 246
–2 x –1 x
–4 –1 1

23. y f (x) = ⎧ x 0≤x≤1 Sección 1.4, páginas 37-38
⎨
1 ⎩ 2 – x, 1 < x ≤ 2 1. (a) lineal, algebraica, polinomial de grado 1 (b) de potencia,
algebraica (c) racional, algebraica (d) exponencial

3. (a) racional, algebraica (b) algebraica (c) trigonométrica
(d) logarítmica.

5. (a) h (b) ƒ (c) g
7. Simétrica respecto del origen.

y Dec. - q 6 x 6 q

x 2 y = –x3
0 12

–2 2 x
–2

R-4 Capítulo 1: Respuestas

9. Simétrica respecto del origen 31. (a) La gráfica sostiene la suposición de que y es proporcional a
y Inc. - q 6 x 6 0 y 0 6 x 6 q x. La constante de proporcionalidad es estimada a partir de
la pendiente de la recta, que es 0.166.
2 y = – 1
1 x y
10 y = 0.166x
–2 –1–1 12
–2 8
x
6
11. Simétrica respecto del eje y 4

y 2
0x

0 20 40 60

Dec. - q 6 x … 0 ; (b) La gráfica sostiene la suposición de que y es proporcional a
inc. 0 … x 6 q x1>2 . La constante de proporcionalidad es estimada a partir

4 y = √⏐x⏐ de la pendiente de la recta, que es 2.03.
2 24
–4 –2 0 y

x 9 y = 2.03x1/2
8

7

6

5

13. Simétrica respecto del origen 4
y Inc. - q 6 x 6 q
3

2

1

1 y = –x–3 0 x1/2
8 123 4 5

1/8 1 x 33. (a) k L 1.1 (b) k L 0.059
–2 –1 –1/8 2
35. (a) y
–1
10
15. No hay simetría Dec. 0 … x 6 q 9
8
y 7
6
0 123 x 5
4
–1 3
y = – x3/2 2
1
–2
x
–3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

–4 (b) k L 0.87
(c) Usando y = 0.87x con x = 13, obtenemos y = 11.31.
–5

17. Simétrica respecto del eje y Dec. - q 6 x … 0 ;
inc. 0 … x 6 q
y
4

3 Sección 1.5, páginas 45-48

2 y = (– x)2/3 1. Dƒ : - q 6 x 6 q , Dg : x Ú 1, Rƒ : - q 6 y 6 q ,
1 Rg : y Ú 0, Dƒ+g = Df # g = Dg , Rƒ+g : y Ú 1, Rf #g : y Ú 0

–8 –6 –4 –2 x 3. Dƒ : - q 6 x 6 q , Dg : - q 6 x 6 q , Rƒ : y = 2,
2468 Rg : y Ú 1, Dƒ>g : - q 6 x 6 q , Rƒ>g : 0 6 y … 2,
Dg>ƒ : - q 6 x 6 q , Rg>ƒ : y Ú 1/2

19. Par 21. Par 23. Impar 25. Par 27. Ninguna 5. (a) 2 (b) 22 (c) x2 + 2 (d) x2 + 10x + 22 (e) 5
29. Ninguna (f ) - 2 (g) x + 10 (h) x4 - 6x2 + 6

7. (a) 4 - 5 (b) 4 - 5 (c) Q4x - 2 (d) Q4x 1 2
x2 x2 -
5R R
5

(e) 1 5 (f ) (4x 1 5)2
4x2 - -

Capítulo 1: Respuestas R-5

9. (a) ƒ( g (x)) (b) j ( g (x)) (c) g ( g (x)) (d) j ( j (x)) 31. y 33. y
(e) g (h (ƒ(x))) (f) h ( j (ƒ(x)))
y = ⏐x – 2⏐ 3
246
11. g(x) ƒ(x) ƒ ‫ ؠ‬g (x) 4 2 y = 1 + √x – 1
(a) x - 7 2x 2x - 7 2 1 (1, 1)
–2 0
(b) x + 2 3x 3x + 6 x 0 12 x
2x2 - 5 5

(c) x2 2x - 5 x

(d) x x 1 x x
- x-1
x 35. y 37. y

(e) 1 1 + 1 1 12
x-1 x –2 –1

1 y = (x + 1)2/3 0 x

(f ) 1 1 x –1
x x 1 y = 1 – x2/3
–3 –2 –1 0

13. (a) f (g(x)) = 1 + 1, g ( f (x)) = 1
Ax 2x + 1

(b) Df ‫ؠ‬g = (0, q ), Dg ‫ ؠ‬f = ( - 1, q ) 39. y 41. y

(c) Rf ‫ؠ‬g = (1, q ), Rg ‫ ؠ‬f = (0, q ) 1 y = √3 x – 1 – 1 2 y = –x–––1–2–
1
–1 0 12 3 x
–1 (1, –1)
15. (a) y = - sx + 7d2 (b) y = - sx - 4d2 –2

17. (a) Posición 4 (b) Posición 1 (c) Posición 2 x
(d) Posición 3 0 1234
–1
19. sx + 2d2 + s y + 3d2 = 49 21. y + 1 = sx + 1d3
–2

y y y + 1 = (x + 1)3
x2 + y2 = 49 y = x3

1 43. y 45. y

(–2, –3) 0 x –2 –1 0 1 x 4 y = –(–x–––11–)–2–
–1 3
3 2
1
2 1
x –1 0
–2 1 y = + 2

(x + 2)2 + (y + 3)2 = 49 –3 –2 –1 0 1 2 3 x 123 x

23. y = 2x + 0.81 25. y = 2x

y y y = 2x
7
47. y
y = 2x – 7
2 y = √x + 0.81 7/2 x 5 y= 1 +1
1 y = √x 4 x2
0.9 3
2
–0.81 1 4 x 1

–7 –2 –1 0 x

12

27. y - 1 = x 1 1 29.
-

yy 49. (a) D : [0, 2], R : [2, 3] (b) D : [0, 2], R : [- 1, 0]

1 2 y y
–1 y = √x + 4
y – 1 = x
x
2 0 1
0
y – 1 = x 1 1 1 y = 1 3 –1
– x y = f(x) + 2
–4
2 y = f(x) – 1
–1 0 12 x 1 12

0 1234 x

–1

y = 1
x
x

R-6 Capítulo 1: Respuestas

(c) D : [0, 2], R : [0, 2] (d) D : [0, 2], R : [-1, 0] 69. y 71. y

y y 6
4 9x2 + 25y2 = 225
1 3
2 y = – f (x) 2 2
y = 2 f(x)
0 12 x –2 –1 y = |x2 – 1| –6 –4 –2 x
1 –1 –2 246

12 x

0 123 x –4
–1

–6

(e) D : [ - 2, 0], R : [0, 1] (f) D : [1, 3], R : [0, 1] 73. y 75. y

y y 4 3x2 + (y – 2)2 = 3 1
3 –2 –1
2 2
y = f(x – 1)
y = f(x + 2) 23 x
1
1

2

x 1

–2 –1 x 0 123
0
x
–2 –1 12 –4 3(x – 1)2 + 2(y + 2)2 = 6

(g) D : [ - 2, 0], R : [0, 1] (h) D : [ - 1, 1], R : [0, 1] sx + 4d2 sy - 3d2
77. 16 + 9 = 1 Centro: s -4, 3d
y y
El eje mayor es el segmento de recta entre (-8, 3) y (0, 3).
2 2

y = f(– x) 1 y = – f(x + 1) + 1
1
y

x 10

x –1 0 1 (x + 4)2 (y – 3)2 8
–2 –1 0 16 + 9 = 1

6

51. y = 3x2 - 3 53. y = 1 + 1 55. y = 24x + 1
2 2x 2

x2 –10 –8 –6 –4 –2 2 x
4 –2
57. y = 4 - 59. y = 1 - 27x3
B

61. y 63. y 79. (a) Impar (b) Impar (c) Impar (d) Par (e) Par
(f) Par (g) Par (h) Par (i) Impar
2 5
1 4
3
–2 –1 1234 x 2 y = (x – 1)3 + 2 Sección 1.6, páginas 56-58
–1 y = –√2x + 1 1
55p
–2 –3 –2 –1 12345 x 1. (a) 8p m (b) 9 m 3. 8.4 pulg.

–3 5. u - p -2p>3 0 p>2 3p>4

–4

sen u 0 23 0 11
cos u -1 -2 1 22

65. y 67. y 1 0 1
-2 -

4 4 22
3
3 y = 1 – 1 2 tan u 0 23 0 IND - 1
2 2x 1

1 cot u IND 1 IND 0 -1
23
–4 –3 –2 –1 234 x –4 –3 –2 –1 1234 x
–1 –1 y = –√3 x
–2
–3 sec u -1 -2 1 IND - 22
–4
–4 csc u IND 2 IND 1 22
-

23

Capítulo 1: Respuestas R-7

7. cos x = - 4>5, tan x = - 3>4 2 + 22 2 - 23 55. c = 27 L 2.646
4 4
47. 49.

9. sen x = - 28 , tan x = - 28
3
59. a = 1.464

11. sen x = - 1 , cos x = - 2 61. A = 2, B = 2p, C = - p, D = - 1
25 25
y
13. Periodo p 15. Periodo 2 y = 2 sen (x + π) – 1

y y 1

1 1 y = cos πx –π π x
y = sen 2x 2 2 3π 5π
–1 22

π πx 0 12 x –3
2 –1

–1

63. A = - p2 , B = 4, C = 0, D = 1
p

17. Periodo 6 19. Periodo 2p y 2 ⎠⎞π2t ⎠⎞ 1
3 π π
y y y = – sen +

y = –senπ3x y = cos ⎠⎞x – π ⎠⎞ π
1 2
1
03
–1 x 1
6 π

0 ππ 2π x
2
–1 1 3 t
–1 5

– 1
π

65. (a) 37 (b) 365 (c) 101 a la derecha (d) 25 hacia arriba

21. Periodo 2p 23. Periodo p>2 , simétrica res-
pecto del origen
y Sección 1.7, páginas 66-68
s 1. d) 3. d)
2
1 y = sen ⎞⎠x – π ⎞⎠ +1
–π 0 π 4
44 2
1 s = cot 2t

–π – π 0 t 5. [-3, 5] por [-15, 40] 7. [- 3, 6] por [ -250, 50]
2
–1 y f (x) = x4 – 4x3 + 15 y f (x) = x5 – 5x4 + 10
–2
x ππ 40 50
3π 7π 2 30
44 20
10
–2 123456 x
–50
25. De Periodo 4; simétrica 29. D : s - q, q d, –2 –1 1 34 x –100
respecto del eje y. R : y = - 1, 0, 1 –10 –150
–200
s y –250

s = sec —π2t y = ⎣sen x⎦ y = sen x 9. [-3, 3] por [-6, 6] 11. [- 2, 6] por [ -5, 4]

–2π –π 1 π 2π y y

1 x

–3 –2 –1 123 t –1 5 f(x) = x√9 – x2 4
–1 4 3
3 x y = 2x – 3x2/3
2 12345
1 2

–2 –1 1

–5 –4 –2 –1 12 456 x

–1

39. -cos x 41. -cos x 43. 26 + 22 45. 1 + 23 –4
4 2 22 –5

R-8 Capítulo 1: Respuestas

13. [- 2, 8] por [ - 5, 10] 15. [-3, 3] por [0, 10] 27. [ -100p, 100p] por [- 1.25, 1.25]

y y y

10 10 ( )x
8
1.0 y = cos 50
y = 5x2/5 – 2x
9

8

7

6

2 5 y = |x2 – 1| –300 x
4 300

–4 –2 2 4 6 8 10 x 3 – 0.5
–2 –1.0
2
–4
x
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

17. [- 15, 5] por [ - 10, 10] 19. [-4, 4] por [0, 3] 29. c- p , p d por [- 0.25, 0.25]
15 15
y y

8 y= x+3 3.0 y 1
x+2 10
x2 +2 y = x + sen 30x
x2 +1
6 2.5 f (x) =

4 2.0 0.2

–10 –8 –6 –4 2 4 6 8 10 x 0.1

–2 1.0 –0.2 –0.1 x
–4 0.5 0.1 0.2
–6
–8 x

–4 –3 –2 –1 1234

– 0.2

21. [ - 10, 10] por [- 6, 6] 23. [-6, 10] por [- 6, 6]

y y

6 f (x) = 6x2 – 15x + 6 31. y
4x2 – 10x (x + 1)2 + ( y – 2)2 = 9
8 x–1 4 –4
6 f (x) = x2 – x – 6 2
4
2 –5 –2 5 10 x 1
–4
–10 –8 –6 –4 –2 x –6 –2 –1 x
–4 2 4 6 8 10 2
–6
–8

33. y f(x) = –tan 2x

4

p p 3
125 125
25. c- , d por [- 1.25, 1.25] 2

1

y x
123
–2 –1
1.0 –1
y = sen 250x
–2
0.5
–3

–4

– 0.02 x
0.02

35. y
f(x) = sen 2x + cos 3x
–6
2.0
1.5
1.0
0.5

x
–2 2 4 6

–2.0

Capítulo 1: Respuestas R-9

37. y (d) y = - 140.4121 + 6.889x

4 y

3

2

1 500

x 400
23456
–1

–2 1 300
–3 –
y = x 3

200

–4

100

39. y 20 40 60 80 100 x

8 y = x ëxû Si la rapidez es de 72 millas/hora, la distancia aproximada
7 x para detenerse es de 355.60 pies. Si la rapidez es de 85 mi-
6 llas/hora, la distancia aproximada para detenerse es de
5 12345 445.15 pies.
4 La ecuación de regresión cuadrática ofrece el mejor ajuste.
3
2 Ejercicios prácticos, páginas 69-70
1
1. x Ú - 2 x
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2

–6 –4 –2 0 2 4

41. (a) y = 1059.14x - 2074972.23 3. x 7 6 x
(b) m = 1059.14; ésta es la cantidad que aumentará la compen- 0123456789
sación cada año.
(c) y 5. -8, 6 7. x 6 - 1 o x 7 5 9. (0, 11)

50,000 11. No, porque no tiene dos lados de la misma longitud; no, porque
40,000 no tiene dos lados perpendiculares.
30,000
20,000 13. y = 3x - 9 15. x = 0 17. y = 2 19. y = - 3x + 3
10,000
21. y = - 4 x - 20 23. y = 2 x + 8
x 3 3 3 3
1985 1990 1995 2000 2005
25. A = pr 2, C = 2pr, A = C2 27. x = tan u, y = tan2 u
(d) $53,899.17 4p

43. (a) y = 0.0866x2 - 1.9701x + 50.0594 29. Respecto del origen 31. Ninguno 33. Par 35. Par
(b) y
37. Impar 39. Ninguno

41. (a) Dominio: todos los reales (b) Rango: [-2, q]

43. (a) Dominio: [-4, 4] (b) Rango: [0, 4]

45. (a) Dominio: todos los reales (b) Rango: (- 3, q)

47. (a) Dominio: todos los reales (b) Rango: [- 3, 1]

49. (a) Dominio: (3, q) (b) Rango: todos los reales

500

51. (a) Dominio: [-4, 4] (b) Rango: [2, 0]

400

300 53. ƒsxd = e 1 - x, 0 … x 6 1
2 - x, 1 … x … 2

200 1 2
22.5 = A5
100 55. (a) 1 (b) (c) x, x Z 0

20 40 60 80 100 x (d) 1
21> 1x + 2 + 2

(c) Si la rapidez es de 72 millas/hora, la distancia aproximada 57. (a) sƒ ‫ ؠ‬gdsxd = - x, x Ú - 2, sg ‫ ؠ‬ƒdsxd = 24 - x2
para detenerse es de 367.50 pies. Si la rapidez es de 85 mi-
llas/hora, la distancia aproximada para detenerse es de (b) Dominio ( f ‫ ؠ‬g): [-2, q), dominio (g ‫ ؠ‬f ): [-2, 2]
522.67 pies.
(c) Rango sƒ ‫ ؠ‬gd: s - q, 2] , rango sg ‫ ؠ‬ƒd: [0, 2]

R-10 Capítulo 2: Respuestas

59. Reemplaza la porción para x 6 0 con la imagen espejo de la por- Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 71-72
ción para x 7 0 para hacer una gráfica nueva, simétrica respecto
del eje y. 1. (a) y (b) y

3 3
(0, 2)
y
(–1, 0)
y = ⎥ x⎥ –3 y = f(–x) (–3, 0) (1, 0)
x –3 y = – f(x)
y=x x
(3, 0)

x –3 –3

y=x

(c) y (d) y y = 3f(x – 2) – 2

3 4 (2, 4)
y = –2f(x + 1) + 1

61. No se ve afectada. (–4, 1) (0, 1)
63. Añade la imagen espejo de la porción para x 7 0 para hacer una
–4 2 x
gráfica nueva, simétrica respecto del eje y.
65. Refleja la porción para y 6 0 a lo largo del eje x. (–1, –3) –2 4x
67. Refleja la porción para y 6 0 a lo largo del eje x. (–1, –2) (3, –2)
69. Periodo p
3. Sí. Por ejemplo: ƒsxd = 1>x y gsxd = 1>x , o ƒsxd = 2x y
y gsxd = x>2 , o ƒsxd = ex y gsxd = ln x .
y = cos 2x
5. Si f (x) es impar, entonces g (x) = f (x) - 2 no es impar. Tampoco
1 g(x) es par, a menos que f (x) = 0 para toda x. Si f es par, enton-
ces g(x) = f (x) - 2 también es par.
x
0 π π 3π 2π 7. y

22 ⏐x⏐ + ⏐y⏐ = 1 + x
1
–1

71. Periodo 2 – –21 x
–1
y y = senπ x

1

x 9. 22 11. 3>4 13. 3 215>16 27. - 4 6 m 6 0
12
–1

73. y CAPÍTULO 2

2 y = 2cos ⎠⎞x – π ⎞⎠ Sección 2.1, páginas 81-84
1 3

– π π 5π 4π 11π x 1. (a) No existen. Conforme x se aproxima a 1 por la derecha, g (x)
se aproxima a 0. A medida que x se aproxima a 1 por la izquier-
6 36 3 6 da, g (x) se aproxima a 1. No hay un número único L para el que
todos los valores de g (x) estén arbitrariamente cerca conforme
–1 x : 1 . (b) 1 (c) 0

3. (a) Verdadera (b) Falsa (c) Falsa

–2 (d) Falsa (e) Falsa (f) Verdadera

75. (a) a = 1 b = 23 (b) a = 2 23>3 c = 423>3 5. A medida que x se aproxima a 0 por la izquierda, x> ƒ x ƒ se apro-
xima a –1. Conforme x se aproxima a 0 por la derecha, x> ƒ x ƒ se
77. (a) a= b (b) c = a aproxima a 1. No hay un número único L para el que todos los
tan B sen A valores de la función estén arbitrariamente cerca conforme
x : 0.

79. L 16.98 m 81. (b) 4p 7. No puede decirse nada. 9. No; no; no.

Capítulo 2: Respuestas R-11

11. (a) ƒsxd = sx2 - 9d>sx + 3d 35. Las gráficas pueden desplazarse a consecuencia de la impresión,
así que sus estimaciones podrían no coincidir exactamente con
x -3.1 - 3.01 -3.001 -3.0001 -3.00001 -3.000001 las que se presentan aquí.
ƒ(x) - 6.1 -6.01 -6.001 -6.0001 -6.00001 -6.000001
(a) PQ1 PQ2 PQ3 PQ4
x - 2.9 - 2.99 -2.999 -2.9999 - 2.99999 - 2.999999 43 46 49 50 Las unidades apropiadas son
ƒ(x) - 5.9 -5.99 -5.999 -5.9999 - 5.99999 - 5.999999 m/seg.

(b) L 50 m>seg o 180 km>h (b) L $56,000/año

(c) L $42,000/año

(c) lím ƒsxd = - 6 37. (a) Utilidades (miles) y

x : -3 200

13. (a) Gsxd = sx + 6d>sx2 + 4x - 12d

x - 5.9 - 5.99 - 5.999 - 5.9999 100

G(x) -.126582 -.1251564 -.1250156 -.1250015 0 x
90 91 92 93 94

Año

- 5.99999 - 5.999999 39. (a) 0.414213, 0.449489, s 21 + h - 1d>h (b) gsxd = 1x
- .1250001 - .1250000

x - 6.1 - 6.01 - 6.001 - 6.0001 1+h 1.1 1.01 1.001 1.0001

G(x) - .123456 -.124843 -.124984 - .124998 21 + h 1.04880 1.004987 1.0004998 1.0000499

- 6.00001 - 6.000001 s 21 + h - 1d>h 0.4880 0.4987 0.4998 0.499
- .124999 - .124999

(c) lím Gsxd = - 1>8 = - 0.125 1.00001 1.000001
1.000005 1.0000005
x : -6 0.5 0.5

15. (a) ƒsxd = sx2 - 1d>sƒ x ƒ - 1d

x - 1.1 - 1.01 - 1.001 -1.0001 - 1.00001 - 1.000001 (c) 0.5 (d) 0.5
ƒ(x) 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 2.000001

x - .9 -.99 -.999 -.9999 -.99999 -.999999 Sección 2.2, páginas 88-91
ƒ(x) 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999 1.999999
1. -9 3. 4 5. - 8 7. 5>8 9. 5>2 11. 27 13. 16
(c) lím ƒsxd = 2 15. 3>2 17. 3>2 19. 1>10 21. - 7 23. 3>2 25. - 1>2
27. 4>3 29. 1>6 31. 4 33. 1>2 35. 3>2
x : -1 37. (a) Regla del cociente (b) Reglas de la diferencia y la potencia

17. (a) gsud = ssen ud>u (c) Reglas de la suma y el múltiplo constante.
39. (a) - 10 (b) - 20 (c) - 1 (d) 5>7
u .1 .01 .001 .0001 .00001 .000001 41. (a) 4 (b) -21 (c) - 12 (d) - 7>3

gsud .998334 .999983 .999999 .999999 .999999 .999999 43. 2 45. 3 47. 1>s227d 49. 25
51. (a) El límite es 1. 53. c = 0, 1, -1; el límite es 0 en c = 0 y 1
u -.1 -.01 -.001 -.0001 - .00001 - .000001
en c = 1, -1. 55. 7 57. (a) 5 (b) 5
gsud .998334 .999983 .999999 .999999 .999999 .999999

lím gsud = 1 Sección 2.3, páginas 98-101

u:0 1. d = 2 ( (x

19. (a) ƒsxd = x1>s1 - xd 1 57

x .9 .99 .999 .9999 .99999 .999999 3. d = 1>2 ( (x

ƒ(x) .348678 .366032 .367695 .367861 .367877 .367879 – 7/2 – 3 –1/2

x 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001 5. d = 1>18 ( (x

4/9 1/2 4/7

ƒ(x) .385543 .369711 .368063 .367897 .367881 .367878 7. d = 0.1 9. d = 7>16 11. d = 25 - 2 13. d = 0.36
15. s3.99, 4.01d, d = 0.01 17. s -0.19, 0.21d, d = 0.19
lím ƒsxd L 0.36788 19. s3, 15d, d = 5 21. s10>3, 5d, d = 2>3
23. s - 24.5, - 23.5d, d = 24.5 - 2 L 0.12
x:1 25. s 215, 217d, d = 217 - 4 L 0.12

21. 4 23. 0 25. 9 27. p>2 29. (a) 19 (b) 1

31. (a) 4 (b) 3 23 33. 1
-p -p

R-12 Capítulo 2: Respuestas

27. a2 - 0.m03, 2 + 0.03 b , d = 0.03 (c) - q (d) q 19. (a) - q (b) q (c) 0
m m (d) 3>2 21. (a) - q (b) 1>4 (c) 1>4 (d) 1>4
(e) Será - q . 23. (a) - q (b) q 25. (a) q
29. a21 - mc , c + 1 b , d = c (b) q (c) q (d) q
m 2 m

31. L = - 3, d = 0.01 33. L = 4, d = 0.05

35. L = 4, d = 0.75 27. y

55. [3.384, 3.387]. Para asegurar la respuesta, el extremo izquierdo 10 1
fue redondeado hacia arriba y el extremo derecho hacia abajo. x–1
y=

59. El límite no existe conforme x se aproxima a 3. 5

–2 –1 1 234 x

Sección 2.4, páginas 111-114 –5 x = 1

1. (a) Verdadera (b) Verdadera (c) Falsa (d) Verdadera –10
(e) Verdadera Verdadera (g) Falsa (h) Falsa (i) Falsa
(j) Falsa (k) Verdadera (l) Falsa

3. (a) 2, 1 (b) No, lím ƒsxd Z lím ƒsxd (c) 3, 3
x:2+ x:2-
(d) Sí, 3.

5. (a) No (b) Sí, 0 (c) No 29. y

7. (a) y (b) 1, 1 (c) Sí, 1 10

1 y = ⎧x3, x≠1 5 y= 1
⎨ 2x + 4
–1 ⎩0, x = 1 x = –2
–1 12
x –4 –3 –2 –1 0 x
1

–5

–10

9. (a) D : 0 … x … 2, R : 0 6 y … 1 y y = 2 .
(b) s0, 1d ´ s1, 2d (c) x = 2 (d) x = 0

⎧⎪√1 – x2 , 0 ≤ x < 1 31. y

y y = ⎨ 1, 1≤x<2 x = –2
⎪ y=1
⎩ 2, x = 2 1.5 y= x+3
x+2

2

–3 –2 x
0

1 y= 1
x+2

x 33. y
0 12
–3 6
11. 23 13. 1 15. 2> 25 17. (a) 1 (b) -1 5 (2, 4)
19. (a) 1 (b) 2>3 21. 1 23. 3>4 25. 2 27. 1>2
29. 2 31. 1 33. 1>2 35. 3>8 37. (a) - 3 (b) -3 4
39. (a) 1>2 (b) 1>2 41. (a) -5>3 (b) - 5>3 43. 0
45. -1 47. (a) 2>5 (b) 2>5 49. (a) 0 (b) 0 3
51. (a) 7 (b) 7 53. (a) 0 (b) 0 55. (a) -2>3
2 y = x2 = x + 1 + 1
(b) - 2>3 57. 0 59. 1 61. q 69. 1 –1 –
73. d = P2, lím 2x - 5 = 0 x x 1

x:5+ x
0 12 3 4 5
77. (a) 400 (b) 399 (c) El límite no existe.
79. 1 81. 3>2 83. 3 –2

Sección 2.5, páginas 122-123
1. q 3. - q 5. - q 7. q 9. (a) q (b) - q
11. q 13. q 15. - q 17. (a) q (b) - q

Capítulo 2: Respuestas R-13

35. y 45. Ésta es una posibilidad.

6 y=x+1 y
1 345 h(x) = x , x ≠ 0
5
|x| 1
y= x2 – 4 =x+1– 34
x–1 x–1 0
–1 x
2
1

–3 0 x

–2 51. (a) Para todo número real positivo B, existe un número corres-
pondiente d 7 0 tal que para toda x

37. y x0 - d 6 x 6 x0 Q ƒsxd 7 B .

y=x (b) Para todo número real negativo -B, existe un número co-
y = x2 – 1 rrespondiente d 7 0 tal que para toda x
x
y = – 1 1 x
x
1 x0 6 x 6 x0 + d Q ƒsxd 6 - B .

–1 (c) Para todo número real negativo -B, existe un número co-
–1 rrespondiente d 7 0 tal que para toda x

x0 - d 6 x 6 x0 Q ƒsxd 6 - B .

57. y

39. Ésta es una posibilidad. 5

y 4

3 y = sec x
2
3 (1, 2) y = sec x + 1 1 1
(0, 0) 2 x x
y =
1 –π/2 < x < π /2

–4 –3 –2 –1 1 2 3 4 x x
1 π /2
–π/2 –1 –1

(–1, –2) –2 –2
–3

–3

41. Ésta es una posibilidad. 59. y

y 4

y = f (x)

1 3 y = tan x
x2 2
y = tan x +

–1 1 x y= 1
0 x2

–π/2 < x < π /2 1

–π/2 –1 x
– 1 π /2

–2

43. Ésta es una posibilidad. –3

y

5 61. y

4 1 x = –2
– 2)2
f (x) = (x 2
1
3 y= x

2 √4 – x2

1 –2 –1 12 x
–1 x=2
x
0 12345 –2

R-14 Capítulo 2: Respuestas

63. y 9. y = 12x + 16

3 y y = x3
2
1 y = 12x + 16

–3 –2 –1 y = x2/3 + 1
–1 x1/3
–2 –2 x
–3
x

123

(– 2, –8) – 8

Sección 2.6, páginas 132-134 11. m = 4, y - 5 = 4sx - 2d
13. m = - 2, y - 3 = - 2sx - 3d
1. No; es discontinua en x = 2; no está definida en x = 2. 15. m = 12, y - 8 = 12st - 2d
3. Es continua. 5. (a) Sí (b) Sí (c) Sí (d) Sí
7. (a) No (b) No 9. 0 11. 1, se pueden eliminar; 0, se 17. m= 41, y - 2 = 1 sx - 4d
4
pueden eliminar 13. En todos los puntos x, excepto en x = 2
15. En todos los puntos x, excepto en x = 3, x = 1 17. En to- 19. m = - 10 21. m = - 1>4 23. s - 2,- 5d
dos los puntos x 19. En todos los puntos x, excepto en x = 0 25. y = - sx + 1d, y = - sx - 3d 27. 19.6 m>seg

21. En todos los puntos x, excepto en x = np>2, siendo n cualquier 29. 6p 31. Sí 33. Sí 35. (a) En ningún punto
entero 23. En todos los puntos x, excepto en x = np>2,
siendo n un entero impar 25. En todos los puntos x Ú - 3>2 37. (a) En x = 0 39. (a) En ningún punto 41. (a) En x = 1
27. En todos los puntos x
43. (a) En x = 0
29. 0; continua en x = p 31. 1; es continua en y = 1
33. 22>2; es continua en t = 0 35. gs3d = 6 Ejercicios prácticos, páginas 142-143
37. ƒs1d = 3>2 39. a = 4>3
63. x L 1.8794, - 1.5321,-0.3473 1. En x = - 1: lím ƒsxd = lím ƒsxd = 1 , de manera que
65. x L 1.7549 67. x L 3.5156 69. x L 0.7391 x: -1- x: -1+

lím ƒsxd = 1 = ƒs -1d ; la función es continua
x: -1

en x = - 1

En x = 0: lím ƒsxd = lím ƒsxd = 0 , de manera que
x:0- x:0+
Sección 2.7, páginas 140-141
1. P1: m1 = 1, P2: m2 = 5 3. P1: m1 = 5>2, P2: m2 = - 1>2 lím ƒsxd = 0 . Sin embargo, ƒs0d Z 0 , así que
5. y = 2x + 5 x:0

y f es discontinua en x = 0. La discontinuidad puede

eliminarse redefiniendo f (0) como 0.

5 En x = 1: lím ƒsxd = -1 y lím ƒsxd = 1 , de manera que
x:1- x:1+

y = 2x + 5 lím ƒsxd no existe. La función es discontinua en
4 x:1

x = 1, y la discontinuidad no puede eliminarse.

(–1, 3) 3 y = 4 – x2 y
y = f(x)
2
1

1 x

–1 0 1

–3 –2 –1 0 12 x

–1

7. y = x + 1 3. (a) -21 (b) 49 (c) 0 (d) 1 (e) 1 (f) 7

y (g) -7 (h) 1 5. 4
y=x+1 -7

4 7. (a) s - q, + q d (b) [0, q d (c) s - q, 0d y s0, q d
3 y = 2√x (d) s0, q d

2 (1, 2) 9. (a) No existe (b) 0
1
11. 1 13. 2x 15. 1 17. 2 19. 0 21. 2 23. 0
0 1234 2 -4 5

25. - q 27. 0 29. 1 31. La respuesta es no en ambos

casos, ya que lím ƒsxd no existe y lím ƒsxd tampoco.
x x:1 x: -1

37. (b) 1.324717957

Capítulo 3: Respuestas R-15

Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 144-146 47. (a) y¿ = x2
(b) y
3. 0; el límite lateral izquierdo es necesario porque la función no y'
está definida para y 7 c. 5. 65 6 t 6 75; la temperatura debe 1 1
alterarse cuando mucho 5°F.
–1 0
13. (a) B (b) A (c) A (d) A y = –x–3 y' = x2
3 1

21. (a) lím r+sad = 0.5, lím r+sad = 1 x –1 0 x
1
a:0 a: -1+

(b) lím r-sad no existe lím r-sad = 1
a:0 a: -1+
–1
25. 0 27. 1 29. 4

(c) x Z 0, x = 0 , en ninguno
(d) - q 6 x 6 q , en ninguno

CAPÍTULO 3 49. y¿ = 3x2 nunca es negativo

Sección 3.1, páginas 155-159 51. Sí, y + 16 = - sx - 3d es tangente en s3, - 16d

1. - 2x, 6, 0, - 2 3. - t23, 2, - 41, - 2 53. No, la función y = :x ; no satisface el teorema del valor inter-
3 23 medio para derivadas.

55. Sí, s - ƒd¿sxd = - sƒ¿sxdd

5. 3 , 3 , 1 , 3 7. 6x2 9. 1 57. Para gstd mt y hstd t, lím gstd m , que necesita ser dis-
2 23u 2 23 2 2 22 +
s2t 1d2 = = t:0 hstd =

11. -1 13. 1 - 9 , 0 15. 3t 2 - 2t, 5 tinto de cero.
2sq + 1d2q + 1 x2

17. - 4 , y - 4 = - 1 sx - 6d 19. 6 Sección 3.2, páginas 169-171
sx - 2d2x - 2 2

21. 1>8 23. sx -1 25. sx -1 27. b 29. d dy d 2y
+ 2d2 - 1d2 1. dx = - 2x, dx2 = - 2

31. (a) x = 0, 1, 4 (b) y' 3. ds = 15t 2 - 15t 4, d 2s = 30t - 60t 3
dt dt 2

4 f ' en (– 4, 6) 5. dy = 4x 2 - d 2y = 8x
3 x dx 1, dx2
2
1 2468 7. dw 6 + 1 , d 2w = 18 - 2
dz = - z3 z2 dz 2 z4 z3
–8–6–4–2 0

9. dy = 12x - 10 + 10x -3, d 2y = 12 - 30x -4
dx dx 2

33. y' 11. dr -2 5 , d 2r = 2 - 5
ds = 3s3 + 2s 2 ds 2 s4 s3
3.2
13. y¿ = - 5x4 + 12x2 - 2x - 3
1
0.6 x 15. y¿ = 3x 2 + 10x + 2 - 1 17. y¿ = - 19
–0.7 84 87 88 x2 s3x - 2d2

19. g¿sxd = x2 + x + 4 21. dy = t 2 - 2t - 1
sx + 0.5d2 dt s1 + t 2d2
–3.3
23. ƒ¿ssd = 1 25. y¿ = 1 + 2x -3>2
35. Como límx:0+ ƒ¿sxd = 1 mientras que límx:0- ƒ¿sxd = 0, ƒsxd - x2
no es diferenciable en x = 0. 2ss 2s + 1d2

37. Como límx:1+ ƒ¿sxd = 2 mientras que límx:1- ƒ¿sxd = 1>2, 27. y¿ = - 4x3 - 3x2 + 1
ƒsxd no es diferenciable en x = 1. sx2 - 1d2sx2 + x + 1d2

39. (a) - 3 … x … 2 (b) Ni continua ni diferenciable 29. y¿ = 2x3 - 3x - 1, y– = 6x2 - 3, y‡ = 12x, y s4d = 12,
(c) Ni continua ni diferenciable
y snd = 0 para n Ú 5
41. (a) - 3 … x 6 0, 0 6 x … 3 (b) Ni continua ni diferenciable
(c) x = 0 31. y¿ = 2x - 7x -2, y– = 2 + 14x -3

43. (a) - 1 … x 6 0, 0 6 x … 2 (b) x = 0 33. dr = 3u-4, d 2r = - 12u-5
(c) Ni continua ni diferenciable du du2

45. (a) y¿ = - 2x (c) x 6 0, x = 0, x 7 0 35. dw - z -2 - 1, d 2w = 2z -3
dz = dz 2
(d) - q 6 x 6 0, 0 6 x 6 q
37. dp = 1 q + 1 q -3 + q -5, d 2p = 1 - 1 q -4 - 5q -6
dq 6 6 dq 2 6 2

R-16 Capítulo 3: Respuestas

39. (a) 13 (b) - 7 (c) 7>25 (d) 20 27. (a) dy t -1 dy
dt 12 (b) El mayor valor de dt es 0 m>h cuando
x 5 =
8 4
41. (a) y = - + (b) m = - 4 en (0, 1) dy
t = 12 y el menor valor de dt es - 1 m>h , cuando t = 0 .
(c) y = 8x - 15, y = 8x + 17
(c) y
43. y = 4x, y = 2 45. a = 1, b = 1, c = 0
6
47. (a) y = 2x + 2 , (c) (2, 6)
49. P¿sxd = nan xn-1 + sn - 1dan-1xn-2 + Á + 2a2 x + a1 5
51. La regla del producto es entonces la regla del múltiplo constante,

de manera que la última es un caso especial de la regla del 4

producto. 3 y = 6 1 – t 2
2 12
d
53. (a) dx suywd = uyw¿ + uy¿w + u¿yw

1

d –1 12 t
dx
(b) su1 u2 u3 u4d = u1 u2 u3 u œ + u1 u2 u3œ u4 + u1 u2œ u3 u4 + dy t
4 dt 12

u1œ u2 u3 u4 = – 1

(c) d su1 Á un d = u1 u2 Á un 1u œ + u1 u2 Á un - 2u œ - 1un + 6250
dx n n 9
- 29. t = 25 seg D = m
31. s
Á + u1œ u2 Á un

55. dP nRT + 2an2
dV = - sV - nbd2 V3

600 s = 200t – 16t2

Sección 3.3, páginas 179-183 400

1. (a) - 2 m, - 1 m>seg (b) 3 m>seg, 1 m>seg; 2 m>seg2 , 200 ds = 200 – 32t
2 m>seg2 (c) la dirección cambiará e t = 3>2 seg dt

3. (a) -9 m, -3 m>seg (b) 3 m>seg, 12 m>seg; t
6 m>seg2, - 12 m>seg2 (c) no hay cambio de dirección 12

5. (a) - 20 m, - 5 m>seg (b) 45 m>seg, (1>5) m>seg; –200 d2s = –32
140 m>seg2, s4/25d m>seg2 (c) no hay cambio de dirección dt2

7. (a) as1d = - 6 m>seg2, as3d = 6 m>seg2 (a) y = 0 cuando t = 6.25 seg . (b) y 7 0 cuando
0 … t 6 6.25 Q el cuerpo se mueve hacia arriba; y 6 0
(b) ys2d = 3 m>seg (c) 6 m cuando 6.25 6 t … 12.5 Q el cuerpo se mueve hacia abajo.
9. Marte: L 7.5 seg, Júpiter: L 1.2 seg 11. gs = 0.75 m/seg2 (c) El cuerpo cambia de dirección en t = 6.25 seg. (d) El
13. (a) y = - 32t, ƒ y ƒ = 32t pies>seg, a = - 32 pies>seg2 cuerpo aumenta su rapidez en (6.25, 12.5] y la disminuye en
[0, 6.25). (e) El cuerpo se mueve más rápido en los puntos
(b) t L 3.3 seg (c) y L - 107.0 pies>seg extremos t = 0 y t = 12.5 cuando viaja a 200 pies>seg. Se mueve
más despacio en t = 6.25, cuando la rapidez es 0. (f) Cuando
15. (a) t = 2, t = 7 (b) 3 … t … 6 t = 6.25 el cuerpo está a s = 625 m del origen, en la posición
(c) más lejana respecto de éste.
(d)
⎪y⎪ (m/seg) 33. s
a
Rapidez
3 4 a = d–y–
dt
0 2 4 6 8 10
3

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t
–1
t (seg) 10 d2s = 6t – 12 ds 3t2
dt2 dt
–2 = – 12t + 7

–3 5

–4

17. (a) 190 pies>seg (b) 2 seg (c) 8 seg, 0 pies>seg, t
(d) 10.8 seg, 90 pies>seg (e) 2.8 seg 4
(f) el cohete alcanza la máxima aceleración a los 2 segundos –5
después del lanzamiento
–10 s = t3 – 6t2 + 7t

(g) la aceleración es constante entre los 2 y los 10.8 segundos, 6 ; 215
- 32 pies>seg2 3

4 (b) 560 cm>seg, 980 cm>seg2 (a) y = 0 cuando t = seg .
7
19. (a) seg , 280 cm>seg

(c) 29.75 disparos>seg (b) y 6 0 cuando 6 - 215 6 t 6 6 + 215 Q el cuerpo
21. C = posición, A = velocidad, B = aceleración 3 3
23. (a) $110>lavadora (b) $80 (c) $79.90
25. (a) b¿s0d = 104 bacterias>h (b) b¿s5d = 0 bacterias>h se mueve hacia la izquierda; y 7 0 cuando 0 … t 6 6 - 215
3
(c) b¿s10d = - 104 bacterias>h
6 + 215 6 t … 4Q el cuerpo se mueve hacia la derecha.
3

Capítulo 3: Respuestas R-17

(c) El cuerpo cambia de dirección en t 6 ; 215 seg . 31. Sí, en x = p 33. No
3 35. a- p4 , -1 b; ap4 , 1b
=

(d) El cuerpo aumenta su rapidez en

a6 - 3215, 2b ´ a6 + 3215, 4 d y la y
y = tan x

disminuye en c0, 6 - 215 b a2, 6 + 215 b . 1
3 3
´ (␲/4, 1)

y = 2x – ␲ +1
2
(e) El cuerpo se mueve más rápido en t = 0 y t = 4, cuando se
–␲/2 –␲/4 x
␲/4 ␲/2

desplaza a 7 unidades>seg, y más lento en t 6 ; 215 seg . ␲
3 2
= y = 2x + –1

–1

(f) Cuando t 6 + 215 el cuerpo está en la posición
3
= (–␲/4, –1)

s L - 6.303 unidades, en el punto más lejano del origen.

35. (a) Tarda 135 seg. (b) Rapidez promedio = ¢F = 5-0 = 37. (a) y = - x + p>2 + 2 (b) y = 4 - 23
¢t 73 - 0 39. 0 41. -1 43. 0
5 45. - 22 m>seg, 22 m>seg, 22 m>seg2, 22 m>seg3
73 L 0.068 estadios>seg . (c) Usando un cociente de dife- 47. c = 9 49. sen x

rencias centrado, la rapidez del caballo es aproximadamente

(sección 3.4, ejercicio 53) ¢F = 4 - 2 = 2 = 1 L 0.077
¢t 59 - 33 26 13

furlongs>seg. Sección 3.5, páginas 201-205

(d) El caballo tiene su máxima aceleración durante el último es- 1. 12x3 3. 3 cos s3x + 1d 5. - sen ssen xd cos x
tadio (entre la novena y décima marcas de estadio). Tarda sólo
11 seg en correr este último estadio, que es la menor cantidad de 7. 10 seg2s10x - 5d
tiempo para un estadio. (e) El caballo acelera al máximo du-
rante el primer estadio (entre las marcas 0 y 1). u5 : dy dy du = 5u4
dx du dx
#9.
Con u = s2x + 1d, y = = 2

Sección 3.4, páginas 188-190 = 10s2x + 1d4

1. - 10 - 3 sen x 3. -csc x cot x - 2 5. 0 11. Con u = s1 - sx>7dd, y = u -7 : dy = dy du
11. x2 cos x dx du dx
2x
1 x -8
- csc2 x 7 7
7. s1 + cot xd2 9. 4 tan x sec x - csc2 x #= - 7u -8 a- b = a1 - b

13. sec2 t - 1 15. - 2 csc t cot t 17. - u su cos u + 2 sen ud 13. Con u = s s x 2> 8 d + x - s1>xdd, y = u 4 : dy = dy du =
s1 - csc td2 dx du dx

19. sec u csc u stan u - cot ud = sec2 u - csc2 u a4x 1 4 ax82 1 3 a4x 1
21. sec2 q 23. sec2 q 25. (a) 2 csc3 x - csc x x2 x x2
#4u 3 + 1 + b = + x - b + 1 + b
(b) 2 sec3 x - sec x
15. dy dy du
27. y Con u = tan x, y = sec u : dx = du dx =

ssec u tan udssec2 xd = sec stan xd tan stan xd sec2 x

y = –x – ␲ y=x 17. Con u sen x, y u3 : dy dy du 3u2 cos x
dx du dx
= = = =

1 y = sen x

–3␲/2 –␲ –␲/2 ␲/2 3␲/2 2 x = 3 sen2 x scos xd
–1
y = –1 (3␲/2, –1) 19. - 1 4 csc u
223 - t p cot u + csc u
21. scos 3t - sen 5td 23.

29. y y = sec x

25. 2x sen4 x + 4x2 sen3 x cos x + cos-2 x + 2x cos-3 x sen x

(–␲/3, 2) 27. s3x - 2d6 - 1 s4x + 3d3s4x + 7d
2 29. sx + 1d4
1 2
2x
√2 ␲/4, √2 x3 a4 - 2 b

1 √2␲ 31. 2x sec2 s2 2xd + tan s2 2xd 33. 2 sen u
4 s1 + cos ud2
y = –2√3x – 2√3␲ + 2 y = √2x – + √2
3

x 35. dr - 2 sen su2d sen 2u + 2u cos s2ud cos su2d
–␲/2 –␲/3 0 ␲/4 ␲/2 du =

R-18 Capítulo 3: Respuestas

37. dq = at + 2 b cos a t b d 2y
dt 2st + 1d3>2 2t + 1 87. y = - x + 2, dx2 ` t=p>4 = - 22

8 sen s2td 89. y = x + 41, d 2y = -2
39. 2p sen spt - 2d cos spt - 2d 41. s1 + cos 2td5 dx2 ` t = 1>4

43. -2 cos scos s2t - 5ddssen s2t - 5dd

t 2 a1t2 a1t2 91. y x 4, d 2y 1
12 dx2 ` t = -1 2
45. a1 + tan4 a b b atan3 b sec2 b b = - =

t sen st 2d 49. 6 a1 + 1 b a1 + 2 b d 2y
47. - x3 x x 93. y = 2, dx2 ` t=p>2 = - 1

21 + cos st 2d

51. 2 csc2 s3x - 1d cot s3x - 1d 53. 5>2 55. - p>4 57. 0 95. Al duplicar la frecuencia, la velocidad, la aceleración y la sacu-
dida se multiplican por 2, 4 y 8, respectivamente.
59. (a) 2>3 (b) 2p + 5 (c) 15 - 8p (d) 37>6 (e) -1
(f) 22>24 (g) 5>32 (h) - 5>s3217d 61. 5 97. ys6d = 2 m>seg, as6d = - 4 m>seg2
5 125
63. (a) 1 (b) 1 65. (a) y = px + 2 - p (b) p>2
107. a 222, 1b , y = 2x en t = 0, y = - 2x en t = p
67. y 69. y

2 x2 + y2 = 1 —x 2 ϩ —y2 ϭ 1 Sección 3.6, páginas 211-213
1 16 4
2

t = ␲/2 t=0 t = 0, 2␲ 1. 9 x 5>4 3. 21>3 5. 2sx 7 7. - s2x + 5d-3>2
–2 –1 12 x 4 3x 2>3 + 6d1>2
t=␲ x
0 04
2x2 + 1
9. sx2 + 1d1>2 11. ds = 2 t -5>7
dt 7
–1

–2 13. dy 4 A 2t 5 B -5>3 cos [ A 2t 5 B -2>3]
dt 3
= - + +

71. y 73. 15. ƒ¿sxd = -1
y = x2
t<0 y 42xs1 - 1xd

75. 4 2 A sen 2u B A1 cos 2u B -2>3 - 2xy - y 2
t = 5/2 3 19. x2 + 2xy

17. h¿sud = - +

y = 2x + 3 1 - 2y - 2x3 + 3x2y - xy 2 + x
1

t>0 x 21. 2x + 2y - 1 23.

t = 7/4 –1 1234 x2y - x3 + y
–1
1 –2 25. 1 27. cos2 y - cos2 sxyd - y
01 –3 y sx + 1d2 29. x
–4

x -y2
31.
33. - 2r 35. -r
y sen a1y b - cos a1y b + xy 2u u
77.

yy

3 0 ≤ t ≤ ␲/2 37. y¿ = - yx, y– = -y2 - x2
y3
t = 0 y = √1 – x2 2
y2 sx + 1d2
1 x = y2 x + 1, - y3
t=0 1234 y
–2 –1 x 39. y¿ = y– =

t = –1 –1 2y
–1
x –2 41. y¿ = , y– = 1
01 –3
␲
– 2 ≤ t < 0 2y + 1 2s 2y + 1d3

43. - 2 45. s -2, 1d : m = - 1, s -2, -1d : m = 1

79. (a) x = a cos t, y = - a sen t, 0 … t … 2p 47. (a) y= 7 x - 1 , (b) y = - 4 x + 29
(b) x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 2p 4 2 7 7
(c) x = a cos t, y = - a sen t, 0 … t … 4p
(d) x = a cos t, y = a sen t, 0 … t … 4p 49. (a) y = 3x + 6 , (b) y = - 1 x + 8
3 3
81. Respuesta posible: x = - 1 + 5t, y = - 3 + 4t, 0 … t … 1
83. Respuesta posible: x = t2 + 1, y = t, t … 0 51. (a) y= 6 x + 6 , (b) y = - 7 x - 7
85. Respuesta posible: x = 2 - 3t, y = 3 - 4t, t Ú 0 7 7 6 6

53. (a) y = - p x + p, (b) y = 2 x - 2 + p
2 p p 2

Capítulo 3: Respuestas R-19

55. (a) y = 2px - 2p , (b) y = x + 1 Sección 3.8, páginas 231-234
- 2p 2p
1. Lsxd = 10x - 13 3. Lsxd = 2 5. 2x 7. - 5

57. Puntos: s - 27, 0d y s 27, 0d , Pendiente: -2 1 4
12 3
a 243, 23 24 3 , 1 9. x + 11. (a) Lsxd = x (b) Lsxd = p - x
2 2
59. m= - 1 en b , m = 23 en a b

61. s -3, 2d : m = - 287; s -3, -2d : m = 287; s3, 2d : m = 287; 13. (a) Lsxd = 1 (b) Lsxd = 2 - 2 23 ax + p b
3

s3, -2d : m = - 27 15. ƒs0d = 1 . También, ƒ¿sxd = k s1 + xdk-1 , de manera que
8 ƒ¿s0d = k . Esto significa que la linealización en x = 0 es

63. 0 65. - 6 67. (a) Falsa (b) Cierta (c) Cierta Lsxd = 1 + kx .
(d) Cierta 69. s3, - 1d
17. (a) 1.01 (b) 1.003

dy y 3 + 2xy dx x2 + 3xy 2 dx 1 19. a3x2 - 3 b dx 21. 2 - 2x 2 dx
73. dx = x2 + 3xy 2, dy , dy = dy>dx 2 2x s1 + x 2 d2
= - y3 2xy

+ 1-y 5 cos s5 2xd dx
dx
23. 25.

32y + x 2 2x

Sección 3.7, páginas 218-221 27. A 4x 2 B sec2 a x3 b dx
3
1. dA 2pr dr 3. (a) dV pr 2 dh (b) dV 2phr dr
dt = dt dt = dt dt = dt
29. 3 scsc s1 - 22xd cot s1 - 22xdd dx
(c) dV = pr 2 dh + 2phr dr 5. (a) 1 volt>seg 2x
dt dt dt
31. (a) .41 (b) .4 (c) .01

(b) - 1 amp>seg (c) dR = 1 addVt - V dI b 33. (a) .231 (b) .2 (c) .031
3 dt I I dt
35. (a) -1>3 (b) - 2>5 (c) 1>15
(d) 3>2 ohms>seg, R está aumentando.
37. dV = 4pr 2 dr 39. dS = 12x0 dx 41. dV = 2pr0 h dr
0

7. (a) dS = x dx 43. (a) 0.08p m2 (b) 2% 45. dV L 565.5 pulg.3
dt 2x2 + y 2 dt
1
(b) dS x dx y dy 47. 3 % 49. 0.05%
dt 2x2 + y 2 dt 2x2 + y 2 dt
= +

(c) dx = y dy 51. La razón es igual a 37.87, de manera que un cambio en la acele-
dt - x dt ración de la gravedad en la Luna equivale aproximadamente a 38
veces un cambio de la misma magnitud ocurrido en la Tierra.

9. (a) dA = 1 ab cos u du 53. 3% 55. 3%
dt 2 dt
lím 21 + x 21 + 0 1
dA 1 du 1 da 59. = 1 + a20 b = 1 = 1 65. 0.07c
dt 2 dt 2 dt
(b) = ab cos u + b sen u x:0 a2x b

1+

(c) dA = 1 ab cos u du + 1 b sen u da + 1 a sen u db
dt 2 dt 2 dt 2 dt

11. (a) 14 cm2>seg , crece (b) 0 cm>seg, constante Ejercicios prácticos, páginas 235-240
(c) - 14>13 cm>seg , decrece
1. 5x4 - 0.25x + 0.25 3. 3xsx - 2d
13. (a) - 12 pies>seg (b) - 59.5 pies2>seg (c) - 1 rad>seg 5. 2sx + 1ds2x2 + 4x + 1d
7. 3su2 + sec u + 1d2 s2u + sec u tan ud
15. 20 pies>seg
9. 1
dh dr 22tA1 + 2tB2 11. 2 sec2 x tan x
dt dt
17. (a) = 11.19 cm>min (b) = 14.92 cm>min

-1 13. 8 cos3 s1 - 2td sen s1 - 2td 15. 5ssec td ssec t + tan td5
24p
19. (a) m>min (b) r = 226y - y 2 m , 17. u cos u + sen u 19. cos 22u

(c) dr = - 5 m>min 22u sen u 22u
dt 288p
21. x csc a2x b + csc a2x b cot a2x b
21. 1 pies>min, 40p pies2>min 23. 11 pies>seg 25. Crece en
466>1681 litros>min 27. 1 rad>seg 29. -5 m>seg 23. 1 x 1>2 sec s2xd2 C 16 tan s2xd2 - x -2 D
2
5 10 pulg.2>min
31. - 1500 pies>seg 33. 72p pulg.>min, 3 25. - 10x csc2 sx2d 27. 8x3 sen s2x2d cos s2x2d + 2x sen2 s2x2d

35. 7.1 pulg.>min 37. (a) -32> 213 L - 8.875 pies>seg , -st + 1d 31. 1-x 33. -1
(b) du1>dt = - 8>65 rad>seg, du2>dt = 8>65 rad>seg 29. 8t 3 sx + 1d3
(c) du1>dt = - 1>6 rad>seg, du2>dt = 1>6 rad>seg 1 1>2
x
2x2 a1 + b

R-20 Capítulo 3: Respuestas

35. - 2 sen u 37. 3 22x + 1 39. - 9 c 5x + cos 2x d 85. Tangente: y = - 5 x + 6 , normal: y = 4 x - 11
scos u - 1d2 s 5x 2 + sen 2xd5>2 4 5 5

y+2 - 3x2 - 4y + 2 y 87. s1, 1d: m = - 21; s1, - 1d: m no está definida
41. - x + 3 43. 4x - 4y 1>3 45. - x

47. 1 dp 6q - 4p 89. y= a 23 b x + 41, 1 91. B = gráfica de f, A = gráfica de ƒ¿
2y sx + 1d2 49. dq = 3p2 + 4q 2 4

51. dr = s2r - 1dstan 2sd 93. y (4, 3) y = f(x)
ds (6, 1)
3 x
d 2y - 2xy 3 - 2x4 d 2y - 2xy 2 - 1 2
53. (a) dx2 = (b) dx2 = x4y 3 (–1, 2) 46
y5
–1 1

55. (a) 7 (b) -2 (c) 5>12 (d) 1>4 (e) 12 (f) 9>2 95. (a) 0, 0 (b) 1700 conejos, L 1400 conejos
(g) 3>4 97. - 1 99. 1>2 101. 4 103. 1

57. 0 59. 23 61. 1 63. -2
-2 s2t + 1d2
dS dr dS dh
107. (a) dt = s4pr + 2phd dt (b) dt = 2pr dt

65. (a) y
1
(c) dS = s4pr + 2phd dr + 2pr dh
dt dt dt

(d) dr = r dh
dt - 2r + h dt
–1 0 x
1

109. - 40 m2>seg 111. 0.02 ohm>seg 113. 22 m>seg

–1 115. (a) r 2 h (b) 125 pies>min
5 144p
= -

f (x) = x2, –1 ≤ x < 0 3 18
–x2, 0 ≤ x < 1 5 p
117. (a) km>seg o 600 m>seg (b) rpm

(b) Sí (c) Sí p- 2
2
67. (a) y 119. (a) Lsxd = 2x +
y=
x, 0 ≤ x ≤ 1
1 2 – x, 1 < x ≤ 2

y

0 12 x 1 y = tan x
y = 2x + (␲ – 2)/2 x
(b) Sí (c) No
–␲/4 ␲/4
a25, 9 a23, - 1
69. 4 b y 4 b 71. s -1, 27d y (2, 0)

(–␲/4, –1) –1

73. (a) s - 2, 16d , (3, 11) (b) (0, 20), (1, 7)

75. y

y = – –21 x + ␲ + 1 y = tan x (b) Lsxd = - 22x + 22s4 - pd
8 1 (␲/4, 1)
4

y

–␲/2 –␲/4 x
␲/4 ␲/2

(–␲/4, –1) –1 y = – –12 x – ␲ – 1
8
√2
⎝⎛–␲/4, √2⎞⎠ y = sec x

77. 1 79. 4 81. Tangente: y = - 1 x + 9 , normal: y = 4x - 2 x
4 4 4 ␲/2
–␲/2 –␲/4 0
83. Tangente: y = 2x - 4 , normal: y = - 1 x + 7 y = –√2x + √2 ⎝⎛4 – ␲⎞⎠ /4
2 2

Capítulo 4: Respuestas R-21

121. Lsxd = 1.5x + 0.5 123. dS = prh0 dh 17. Máximo absoluto: 3; mínimo absoluto: -1
125. (a) 4% (b) 8%
2r 2 + h 2
0

(c) 12% y

Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 240-243 (2, 3) Máx abs
3
1. (a) sen 2u = 2 sen u cos u; 2 cos 2u = 2 sen u s - sen ud +
cos u s2 cos ud; 2 cos 2u = - 2 sen2 u + 2 cos2 u; cos 2u = y = x2 – 1
cos2 u - sen2 u 2 –1 ≤ x ≤ 2

(b) cos 2u = cos2 u - sen2 u; - 2 sen 2u = 1
2 cos u s - sen ud - 2 sen u scos ud; sen 2u =
–1 1 2 x
cos u sen u + sen u cos u; sen 2u = 2 sen u cos u (0, –1) Mín abs

3. (a) a = 1, b = 0, c = - 1 (b) b = cos a, c = sen a
2

5. h= - 4, k = 29, a = 5 25 19. Máximo absoluto: - 0.25; mínimo absoluto: - 4
2
y

7. (a) 0.09y (b) Crece 1% anual 0 1 (2, – 0.25) x
9. Las respuestas variarán. Ésta es una de las respuestas posibles: –1 Máx abs

y

–2 y = – 1 , 0.5 ≤ x ≤ 2
x2
–3

t –4 (0.5, –4)
0 Mín abs

11. (a) 2 seg, 64 pies>seg (b) 12.31 seg, 393.85 pies

15. (a) m = - b (b) m = - 1, b = p 21. Máximo absoluto: 2; mínimo absoluto: -1
p

17. (a) a= 43, b = 9 19. ƒ impar Q ƒ¿ es par y (8, 2)
4 y = 3√x Máx abs

23. h¿ está definida, pero no es continua en x = 0; k¿ está definida y 2 –1 ≤ x ≤ 8

1

es continua en x = 0. –1 12345678 x
–1
27. (a) 0.8156 pies (b) 0.00613 seg (c) Perderá alrededor de
(–1, –1)
8.83 min>día.
Mín abs

CAPÍTULO 4 23. Máximo absoluto: 2; mínimo absoluto: 0

Sección 4.1, páginas, 252-255 y

1. Mínimo absoluto en x = c2; máximo absoluto en x = b. y = √4 – x2 (0, 2) Máx abs
3. Máximo absoluto en x = c; no tiene mínimo absoluto –2 ≤ x ≤ 1
5. Mínimo absoluto en x = a; máximo absoluto en x = c
7. Mínimo local en (-1, 0); máximo local en (1, 0) 1
9. Máximo en (0, 5) 11. (c) 13. (d)
15. Máximo absoluto: -3; mínimo absoluto: -19>3 (–2, 0) –1 0 1 x

Mín abs –1

y

–2 –1 0 123 x 25. Máximo absoluto: 1; mínimo absoluto: -1
–1
y
–2 (3, –3)
Máx abs (␲/2, 1) Máx abs
–3 1

–4 –␲/2 ␲/2 5␲/6 ␪
–5
(–2, –19/3) y = 2 x – 5 –1
Mín abs –6 3 (–␲/2, –1)
–7 Máx abs y = sen ␪, –␲/2 ≤ ␪ ≤ 5␲/6
–2 ≤ x ≤ 3

R-22 Capítulo 4: Respuestas

27. Máximo absoluto: 2> 23 ; mínimo absoluto: 51. Punto crítico Derivada Extremos Valor

y Máx abs Máx abs x = -1 0 Máximo 5
x=1 Indefinida Mín local 1
x=3 0 Máximo 5

⎠⎞␲/3, 2/√3⎠⎞ ⎠⎞2␲/3, 2/√3 ⎞⎠
1.2

1.0 y = csc x (␲/2, 1) 53. (a) No
0.8 ␲/3 ≤ x ≤ 2␲/3
(b) La derivada está definida y es distinta de cero para x Z 2 .
0.6 Mín abs Asimismo, ƒs2d = 0 y ƒsxd 7 0 para toda x Z 2 .

0.4

0.2

x (c) No, porque (-q, q) no es un intervalo cerrado.
0 ␲/3 ␲/2 2␲/3

29. Máximo absoluto: 2; mínimo absoluto: - 1 (d) Las respuestas son las mismas que en los incisos (a) y (b),
reemplazando 2 por a.

y 55. (a) Csxd = 0.3 216 + x2 + 0.2s9 - xd millones de dólares,
donde 0 … x … 9 millas. Para minimizar el costo de cons-
(0, 2) Máx trucción se debe colocar la tubería del muelle al punto B , a
abs 3.58 millas a lo largo de la costa desde el punto A, y después
a lo largo de esta última, desde el punto B hasta la refinería.
1 y = 2 – ⎪t⎪
–1 ≤ t ≤ 3

–1 0 t (b) En teoría, el costo de la tubería subacuática, p por milla,
–1 123
tendría que ser infinito para justificar una construcción
Mín
abs (3, –1) directamente del muelle al punto A (es decir, para xc cero).
Para todos los valores de p 7 0.218864, existe siempre un xc
31. Crece en (0, 8), decrece en (-1, 0); máximo absoluto: 16 en x = en (0, 9) que dará el valor mínimo para C. Esto se deduce al
8; mínimo absoluto: 0 en x = 0
16p
33. Crece en (-32, 1); máximo absoluto: 1 en u = 1; mínimo absolu- comprobar que C–sxcd = s16 + xc 2d3>2 , siempre es positiva
to: -8 en u = -32 para p 7 0.

57. La longitud de la tubería es Lsxd = 24 + x2 +

35. El valor mínimo es 1 en x = 2. xd2 para 0 20
7
a43, - 41 225 + s10 - … x … 10. x = L 2.857 millas a
27
37. Máximo local en (-2, 17); mínimo local en b

39. El valor mínimo es 0 en x = -1 y x = 1. lo largo de la costa, del pueblo A al pueblo B.

41. Hay un mínimo local en (0, 1). C x P 10 – x D
2 millas ␪A θB 5 millas
43. El valor máximo es 1 en x = 1; el valor mínimo es - 1 en
2 2 A √4 + x2 25 + (10 – x)2 B

x = -1.

45. Punto crítico Derivada Extremos Valor 59. (a) El valor máximo es 144 en x = 2.

x = - 4 0 Máx local 12 101>3 = 1.034 (b) El volumen más grande de la caja es de 144 unidades cúbi-
5 Indefinida Mín local 25 cas, y se alcanza cuando x = 2.

x=0 0 61. La mayor área posible es A a 5 b 25 cm2 .
22 4
=

63. y0 2 + s0 65. Sí 67. g alcanza un máximo local en -c.
2g
47. Punto crítico Derivada Extremos Valor
69. (a) ƒ¿sxd = 3ax2 + 2bx + c es una función cuadrática, de ma-
x = -2 Indefinida Máx local 0
x = - 22 0 Mínimo -2 nera que puede tener 0, 1 o 2 ceros, que podrían ser los pun-
x = 22 0 Máximo tos críticos de f. Ejemplos: la función ƒsxd = x3 - 3x tiene
x=2 Indefinida Mín local 2
0 dos puntos críticos en x = -1 y x = 1.

y
y = x3 – 3x

49. Punto crítico Derivada Extremos Valor x
x=1 Indefinida Mínimo 2

Capítulo 4: Respuestas R-23

La función ƒsxd = x3 - 1 tiene un punto crítico en x = 0. 47. Porque su rapidez promedio era aproximadamente de 7.667 nudos
y, de acuerdo con el teorema del valor medio, tendría que haber
y ido a esa rapidez por lo menos una vez durante el recorrido.

y = x3 – 1 51. La conclusión del teorema del valor medio da por resultado

x 11

b - a = - 1 Q c2 aa - b b = a - bQc = 1ab .
b - a c2 ab

La función ƒsxd = x3 + x no tiene puntos críticos. 55. De acuerdo con el teorema del valor intermedio, f(x) debe ser
cero al menos una vez entre a y b. Ahora suponga que f(x) es
y cero dos veces entre a y b. Entonces, según el teorema del valor
medio, ƒ¿sxd tendría que ser cero al menos una vez entre esos
y = x3 + x dos ceros de f (x), pero esto no puede ser cierto, ya que se esta-
bleció que ƒ¿sxd Z 0 en este intervalo. Por lo tanto, ƒ(x) es cero
x una y solo una vez entre a y b.

61. 1.09999 … ƒs0.1d … 1.1

(b) Dos o ninguno. Sección 4.3, páginas 266-267
71. El valor máximo es 11 en x = 5; el valor mínimo es 5 en el inter-
1. (a) 0, 1 (b) es creciente en (- q, 0) y (1, q), y decreciente
valo [-3, 2]; máximo local en (-5, 9). en (0, 1) (c) máximo local en x = 0; mínimo local en x = 1
73. El valor máximo es 5 en el intervalo [3, q); el valor mínimo es
3. (a) -2, 1 (b) es creciente en (-2, 1) y (1, q), y decreciente
-5 en el intervalo (- q, -2]. en (-q, - 2) (c) no tiene máximo local; mínimo local en
x = -2
Sección 4.2, páginas 260-262 x
5. (a) -2, 1, 3 (b) es creciente en (-2, 1) y (3, q), y decre-
1. 1/2 3. 1 5. No la satisface; f no es diferenciable en el ciente en (-q, -2) y (1, 3) (c) máximo local en x = 1; míni-
punto interior del dominio x = 0. 7. La satisface. mo local en x = -2, 3

11. (a) 7. (a) -2, 0 (b) es creciente en (-q, -2) y (0, q), y decre-
ciente en (-2, 0) (c) máximo local en x = -2; mínimo local
i) en x = 0

–2 0 2 9. (a) Es creciente en s - q, -1.5d , y decreciente en (-1.5, q)
(b) máximo local: 5.25 en t = -1.5 (c) máximo absoluto:
ii) x 5.25 en t = -1.5.

–5 –4 –3 11. (a) Es decreciente en s - q , 0d , creciente en (0, 4/3), decrecien-
te en s4>3, q d (b) mínimo local en x = 0 (0, 0); máximo lo-
iii) x cal en x = 4>3 s4>3, 32>27d (c) no tiene extremos absolutos
–1 0 2
13. (a) Es decreciente en s - q, 0d , creciente en (0, 1/2), decrecien-
iv) x te en s1>2, q d (b) mínimo local en u = 0 s0, 0d , máximo
local en u = 1>2 s1>2, 1>4d (c) no tiene extremos absolutos
04 9 18 24
15. (a) Es creciente en s - q, q d , y nunca es decreciente (b) no
23. Sí 25. (a) 4 (b) 3 (c) 3 tiene extremos locales (c) no tiene extremos absolutos

27. (a) x2 + C (b) x3 + C (c) x4 + C 17. (a) Es creciente en (-2, 0) y s2, q d , y decreciente en
2 3 4 s - q, -2d y (0, 2) (b) máximo local: 16 en x = 0; mínimo
local: 0 en x = ; 2 (c) no tiene máximo absoluto; mínimo
29. (a) 1 +C (b) x + 1 + C (c) 5x - 1 + C absoluto: 0 en x = ; 2
x x x
19. (a) Es creciente en s - q , -1d , decreciente en (-1, 0), creciente
31. (a) - 1 cos 2t + C (b) 2 sen t + C en (0, 1), decreciente en (1, q) (b) máximo local en
2 2 x = ; 1 s1, 0.5d, s -1, 0.5d , mínimo local en x = 0 s0, 0d
(c) máximo absoluto; 1/2 en x = ; 1 ; no tiene mínimo absoluto
(c) - 1 cos 2t + 2 sen t + C
2 2 21. (a) Es decreciente en s -2 22, -2d , creciente en s -2, 2d ,
decreciente en s2, 222d (b) mínimo local:
33. ƒsxd = x2 - x 35. rsud = 8u + cot u - 2p - 1 gs - 2d = - 4, gs222d = 0 ; máximo local:
gs - 222d = 0, gs2d = 4 (c) máximo absoluto; 4 en x = 2;
37. s = 4.9t 2 + 5t + 10 39. s = 1 - cos sptd mínimo absoluto: -4 en x = - 2

p

41. s = 16t2 + 20t + 5 43. s = sen s2td - 3
45. Si T(t) es la temperatura del termómetro en el tiempo t, entonces

T(0) = -19°C y T(14) = 100°C. De acuerdo con el teorema del
valor medio, existe un 0 6 t0 6 14 tal que
Ts14d - Ts0d

14 - 0 = 8.5 °C>seg = T ¿st0d , la razón a la que la tem-
peratura estaba cambiando en t = t0 conforme se medía mediante
por la elevación del mercurio en el termómetro.

R-24 Capítulo 4: Respuestas

23. (a) Es creciente en s - q, 1d , decreciente cuando 1 6 x 6 2 , Sección 4.4, páginas 274-277
decreciente cuando 2 6 x 6 3 , discontinua en x = 2, creciente
en s3, q d (b) mínimo local en x = 3(3, 6), máximo local: x = 1. Máximo local: 3/2 en x = -1, mínimo local: -3 en x = 2, punto
1(1, 2) (c) no tiene extremos absolutos de inflexión en (1/2, -3/4), se eleva en s - q , -1d y s2, q d , cae
en (-1, 2), es cóncava hacia arriba en s1>2, q d , y cóncava hacia
25. (a) Es creciente en (-2, 0) y (0, q), decreciente en s - q, -2d abajo en s - q, 1>2d
(b) mínimo local: - 6 23 2 en x = -2 (c) no tiene máximo ab-
soluto; mínimo absoluto: - 6 23 2 en x = - 2 3. Máximo local: 3/4 en x = 0, mínimo local: 0 en x = ; 1 , puntos

27. (a) Es creciente en A - q, -2> 27B y A2> 27, q B , decreciente de inflexión en a - 23, 3 23 4 b y a 23, 3 23 4 b , se eleva en
en A -2> 27, 0B y A0, 2> 27B (b) máximo local: 4 4

24 23 2>77>6 L 3.12 en x = - 2> 27 ; mínimo local: (-1, 0) y (1, q), cae en s - q, - 1d y (0, 1), es cóncava hacia
- 24 23 2>77>6 L - 3.12 en x = 2> 27 (c) no tiene extremos
absolutos arriba en s - q , - 23d y s 23, q d , y cóncava hacia abajo en

29. (a) Máximo local: 1 en x = 1; mínimo local: 0 en x = 2 s - 23, 23d
(b) Máximo absoluto: 1 en x = 1: mínimo; no tiene mínimo
absoluto 5. Máximo local: - 2p>3 + 23>2 en x = - 2p>3; p + 23 en
3 2
31. (a) Máximo local: 1 en x = 1: mínimo local: 0 en x = 2
(b) no tiene máximo absoluto; mínimo absoluto: 0 en x = 2 x = p , mínimo local: - p - 23 en x = - p3 ; 2p>3 - 23>2
3 3 2
33. (a) Máximos locales: -9 en t = -3 y 16 en t = 2; mínimo local:
-16 en t = -2 en x = 2p , puntos de inflexión en s - p>2, - p>2d , (0, 0) y
(b) máximo absoluto: 16 en t = 2; no tiene mínimo absoluto 3

35. (a) Mínimo local: 0 en x = 0 sp>2, p>2d , se eleva en s - p>3, p>3d , cae en s -2p>3, - p>3d y
(b) no tiene máximo absoluto; mínimo absoluto: 0 en x = 0
sp>3, 2p>3d , cóncava hacia arriba en s - p>2, 0d y sp>2, 2p>3d ,
37. (a) Mínimo local: sp>3d - 23 en x = 2p>3 ; máximo local:
0 en x = 0 ; máximo local: p en x = 2p cóncava hacia abajo en s - 2p>3, - p>2d y s0, p>2d

39. (a) Mínimo local: 0 en x = p>4 7. Máximo local: 1 en x = - p y x = p ; 0 en x = - 2p y
2 2
41. Máximo local: 3 en u = 0; mínimo local: -3 en u = 2p
x = 2p; mínimo local:-1 en x = - 3p y x = 3p , 0 en
43. 2 2

x = 0 , puntos de inflexión en s -p, 0d y sp, 0d , se eleva en

s - 3p>2, -p>2d, s0, p>2d y s3p>2, 2pd , cae en

s -2p, - 3p>2d, s -p>2, 0d y sp>2, 3p>2d , cóncava hacia arriba

en s - 2p, - pd y sp, 2pd , cóncava hacia abajo en s - p, pd

9. y 11. y
5
y y y y 4 Máx y = x3 – 3x + 3
y = f(x) 3 loc
1 1 y = f(x) y = x2 – 4x + 3 2 (–1, 5) (1, 1)
1 y = f(x) y = f(x) 1 1 Mín loc
4 1
–4 –3 –2 –1 0
–1 x Inf l
–2
x x xx 1 2 34 2

01 01 01 01 (2, –1) 1
Mín loc

(a) (b) (c) (d)

–1 x

45. (a) (b) 13. y 15. y

y y (2, 5) Máx loc

2 y = g(x) 2 y = g(x) Inf l 2 3 Inf l
(1, 1) 1 2 (2, 1)
1
–3 –1 1 2 x x
–2 –1 0 12 3 4
02 x x –1
02 –2 y = (x – 2)3 + 1

(0, – 3) y = –2x3 + 6x2 – 3
Mín loc

47. Crece

Capítulo 4: Respuestas R-25

17. y 19. 37. y 39. y

y = x4 – 2x2 y 3 y = √⏐x⏐
y = ⏐x2 – 1⏐ 2
(3, 27)
27 Máx loc 2
Máx loc
1 21 (2, 16) (0, 1) 1 (0, 0)

Máx loc 15 Inf l y = 4x3 – x4 –4 –3 –2 –1 1234 x
(0, 0) x Pico
9 Mín loc
–2 –1 12 x Inf l 4
(0, 0) 3
Mín loc Mín loc x
(–1, –1) (1, –1) 123

⎞⎠–1/√3 , – 5/9⎞⎠ ⎞⎠1/√3 , – 5/9⎞⎠ –2 (–1, 0) (1, 0) 2
Inf l Inf l Mín loc Mín loc

21. y 23. y 41. y– = 1 - 2x 43. y– = 3sx - 3dsx - 1d

Máx loc y = x5 – 5x4 2␲ Máx Máx loc
(0, 0) 1234 5 (2␲, 2␲)
x x=2 Inf l
–2 0 y = x + sen x
Inf l 1 Inf l x=3
Mín loc x = 2 Mín loc x = 1

–100 (␲, ␲)
␲
(3, –162) x = –1 x=0
–200 Infl Inf l
–300
(4, –256) Mín x
Mín loc 0 2␲

␲ 45. y– = 3sx - 2dsx + 2d

25. y 27. y Máx loc Inf l x = 2
Mín loc
2 y = x2/5 Mín loc x=0
Inf l x = 2√3
x = –2

2 y = x1/5 1 x = –2√3
Tan vert x
en x = 0 1 –4 –3 –2 –1 1234 x
3 (0, 0)
–3 –2 –1 12 Pico 47. y– = 4s4 - xds5x2 - 16x + 8d
–1 Mín loc
(0, 0)
–2 Inf l

Máx loc
x = 8/5

Inf l + 2√6
5
Mín loc x = 8

29. y 31. y x = 0 Inf l

x= 8 – 2√6 Inf l
5
y = 2x – 3x2/3 4 x=4
3 y = x2/3⎞⎠25– – x⎠⎞
Pico, Máx loc
(0, 0)

–1 1 45 x
–1
(1, –1) Inf l 2 (1, 3/2) Máx loc 49. y– = 2 sec2 x tan x
Máx loc ⎠⎞–1/2, 3/ 3√4⎠⎞

–2 –1 (0, 0) 1 2 x Inf l
3 x=0

–5 Pico

Mín loc

33. 35.

y Máx loc y

(2, 4) 8
4 6
4
3 y = x2 – 3 2 (3, 6) Mín loc 51. y– = 1 csc2 2u, 0 u 2p
x–2 (1, 2) Máx loc -2
6 6
x
Máx loc 2 (0, 0) Infl 24 6 8 ␪=␲
⎠⎞–2√2 , 0⎠⎞ 1 Máx loc
1 2 ⎞⎠–2√2 , 0⎞⎠
Mín loc x –8 –6 –4

–2 –1 –2
–4

–3 y = x√8 – x2 –6
–4 –8

(–2, –4)

Mín loc

R-26 Capítulo 4: Respuestas

53. y– = 2 tan u sec2 u, p 6 u 6 p 65. y
-2 2
P
␲ y
␪ = – 4 Máx loc Inf l Inf l
y'
␪=0 Mín x
Inf l loc
y''

␪ = ␲
4

Mín loc

55. y– = - sen t, 0 … t … 2p 67. Punto y¿ y–

t = ␲ P - +
2 Q + 0
Máx loc R + -
Máx loc t = 2␲ S 0 -
T - -
t=0 t=␲ 3␲
Mín loc Inf l 2

t =

Mín loc

57. y– = - 2 sx + 1d-5>3 69. y
3
(6, 7)
7

4 (4, 4)

x = –1 (2, 1) x
Inf l 1
Tan vert
0 24
6

59. y– = 1 x -2>3 + 2 x -5>3
3 3
73. L 60 mil unidades 75. Mínimo local en x = 2, puntos de in-
flexión en x = 1 y x = 5>3 79. b = - 3

x = –2 Inf l 2ba, 4ac - b2b
Inf l tan vert 4a
x=0
81. (a) a- (b) cóncava hacia arriba si a 7 0,

cóncava hacia abajo si a 6 0.

x=1 85. Los ceros de y¿ = 0 y y– = 0 son extremos y puntos de infle-
Mín loc xión, respectivamente. Inflexión en x = 3, máximo local en
x = 0, mínimo local en x = 4.

61. y– = e - 2, x60 y y" = 20x2(x – 3)
2, x70 200

0 34 x
–200 y' = 5x3(x – 4) 5

Inf l –400 y = x5 – 5x4 – 240
x=0

63. y 87. Los ceros de y¿ = 0 y y– = 0 son extremos y puntos de infle-
Máx loc xión, respectivamente. Inflexión en x = - 23 2, máximo local en
y'' y' x = -2, mínimo local en x = 0.

Infl y

P y
y' = 4x(x 3 + 8)
Mín loc
100

x 50

–3 x
y" = 16(x3 + 2) 23

– 50 y = 4 x5 + 16x2 – 25
–100 5

Capítulo 4: Respuestas R-27

91. (b) ƒ¿sxd = 3x2 + k ; - 12k ; de manera positiva si k 6 0, de 25. (b) x = 51 (c) L L 11 pulg.
8
manera negativa si k 7 0, 0 si k = 0; ƒ¿ tiene dos ceros si k

6 0, un cero si k = 0, no tiene ceros si k 7 0; esto es, el signo 27. Radio = 22 m, altura 1 m, volumen 2p m3
3
de k controla el número de extremos locales. =

93. (b) Un pico, ya que lím y¿ = q y lím y¿ = - q 31. (a) ys0d = 96 pies>seg (b) 256 pies en t = 3 seg
x:0- x:0+
(c) Velocidad cuando s = 0 es y(7) = -128 pies/seg
95. Sí, la gráfica de y¿ cruza por el cero cerca de -3, de manera que

y tiene una tangente horizontal cerca de -3. 33. L 46.87 pies 35. (a) 6 * 623 pulg.

Sección 4.5, páginas 285-292 37. (a) 10p L 31.42 cm>seg ; cuando t = 0.5 seg , 1.5 seg, 2.5 seg,
3.5 seg; s = 0 , la aceleración es 0 (b) 10 cm de la posi-
1. 16 pulg., 4 pulg. por 4 pulg. 3. (a) sx, 1 - xd ción de reposo; la rapidez es 0

(b) Asxd = 2xs1 - xd (c) 1 unidades cuadradas, 1 por 1 39. (a) s = ss12 - 12td2 + 64t 2d1>2 (b) -12 nudos, 8 nudos
2 2
(c) No (e) 4213 . Este límite es la raíz cuadrada de la suma
5. 14 35 5 pulg., 2450 pulg.3 7. 80,000 m2 ; 400 m por de los cuadrados de las rapideces individuales.
3* 3* 3 27
2a, y = ka 2 c
200 m 41. x= 4 43. 2 + 50

9. (a) Las dimensiones óptimas del tanque son 10 pies en los lími- 45'. (a) 2km (b) 2km
tes de la base y 5 pies de profundidad. Ah Ah

(b) Minimizando el área de la superficie del tanque, su peso se 49. (a) El fabricante de armarios debe ordenar px unidades de mate-
minimiza para un espesor dado de la pared. El espesor de las
paredes de acero estaría probablemente determinado por rial para tener suficiente hasta la siguiente entrega.
otras consideraciones, tales como los requerimientos
estructurales. ad + ps x 2 b
2
(c) Costo promedio por día = d ps
x = x + 2 x;

11. 9 * 18 pulg. 13. p 15. h : r = 8 : p A 2pds ; 2pd
2 A s da un mínimo .
x* = px* =

17. (a) Vsxd = 2xs24 - 2xds18 - 2xd (b) Dominio: (0, 9)

y (d) La recta y la hipérbola se intersecan cuando d = ps
Máximos x 2 x . Para

1400 X = 3.3944487 Y = 1309.9547 2d
A ps
1200 x 7 0 , xintersección = = x* . El costo promedio por día

1000 se minimiza cuando el costo promedio diario de entrega es

800

600 igual al costo promedio diario de almacenaje.

400 C
2
200 51. M = 57. (a) y = - 1

24 6 8 x

(c) Volumen máximo L 1309.95 pulg.3 cuando x L 3.39 pulg. 59. (a) La distancia mínima es 25 .
2
(d) V¿sxd = 24x2 - 336x + 864 , de manera que el punto
crítico está en x = 7 - 213 , lo cual confirma el resultado (b) La distancia mínima es del punto (3/2, 0) al punto (1, 1) en
del inciso (c). la gráfica de y = 1x , mismo que se alcanza en el valor
x = 1, donde D(x), la distancia al cuadrado, tiene su valor
mínimo.

(e) x = 2 pulg. o x = 5 pulg. y, D(x) D(x) = x2 – 2x + 9–
19. L 2418.40 cm3 4

21. (a) h = 24, w = 18 2.5

(b) y (24, 10368) 2
Máx abs
10000

8000 1.5 y = √x

6000 1
4000
2000 ⎝⎛y = 54h2 – 3 h3⎝⎛ √5
2 2
0 Dmín=
0.5

5 10 15 20 25 30 35 h

0.5 1 1.5 2 2.5 x

23. Si r es el radio del hemisferio, h la altura del cilindro y V el

3V 1>3 a3pV b 1>3 . p a2pa2p- xb2 a2 a2pa2p- x b 2
8p 3 B
volumen, entonces r = a b y h = 61. (a) Vsxd = -

R-28 Capítulo 4: Respuestas

(b) Cuando a = 4: r = 423 6, h = 4 23 ; cuando a = 5: 5. (a) 1 (b) 5 (c) 2x + 5
3 -x -x x

r = 5 23 6, h = 5 23 ; cuando a = 6: r = 226, h = 223 ; 7. (a) 2x3 (b) 1x (c) 2 2x3 + 2 1x
3 9. (a) x2>3 (b) x1>3 3

cuando a 8: r 8 23 6, h 8 23 (c) x -1>3
3
= = =

a 26 a 23 r 11. (a) cos spxd (b) - 3 cos x (c) - 1 cos spxd + cos s3xd
3 3 h p
22 .
(c) Como r = y h = , la relación es =

13. (a) tan x (b) 2 tan a3x b (c) - 2 tan a32x b
3

Sección 4.6, páginas 298-299 15. (a) -csc x (b) 1 csc s5xd (c) 2 csc ap2x b
5
1. 1 3. 5 5. 1 7. 0 9. 1 11. 22 13. +1
4 7 2 x2 t2 x4 5x 2
17. 2 x C 19. t3 4 C 21. 2 2 7x C
+ + + + - + +

15. - 1 17. 1 19. 3 21. na 23. 1 25. 0 27. 3 1 x3 x 3
2 -2 -x 3 3 2
23. C 25. x 2>3 C
- - + +

29. 1 31. (b) es correcto, pero (a) no lo es.

33. c= 27 35. -1 27. 2 x 3>2 + 3 x 4>3 + C 29. 4y 2 - 8 y 3>4 + C
10 3 4 3

31. x2 + 2 +C 33. 22t - 2 + C 35. -2 sen t + C
x 2t
Sección 4.7, páginas 305-306

1. x2 35, 13 3. x2 3511, 5763 5. x2 2387 37. - 21 cos u + C 39. 3 cot x + C 41. - 1 csc u + C
21 4945 2000 3 2
= - = - =

7. x y todas las últimas aproximaciones serán iguales a x0 . 43. 4 sec x - 2 tan x + C 45. - 1 cos 2x + cot x + C
2

9. y 47. t + sen 4t + C 49. tan u + C
2 8

51. - cot x - x + C 53. - cos u - u + C

–h h x d x2 2x x2
dx 2 2 2
61. (a) Erróneo: a sen x + Cb = sen x + cos x =

y = ⎧ √x , x≥ 0 x2
⎩⎨√–x, x <0 2
x sen x + cos x

11. Los puntos de intersección de y = x3 y y = 3x + 1 o (b) Erróneo: d s -x cos x + Cd = - cos x + x sen x
y = x3 - 3x y y = 1 tienen los mismos valores x que las raíces dx
de la parte (i) o las soluciones de la parte (iv). 15. 1.165561185
(c) Correcto: d s -x cos x + sen x + Cd = - cos x + x sen x
17. (a) Dos (b) 0.35003501505249 y -1.0261731615301 dx

19. ;1.3065629648764, ; 0.5411961001462 21. x L 0.45 + cos x = x sen x

23. La raíz es 1.17951. 63. (a) Erróneo: d s2x + 1d3 + Cb 3s2x + 1d2s2d
dx a3 3
25. (a) Para x0 = - 2 o x0 = - 0.8, xi : - 1 conforme i crece. = =
(b) Para x0 = - 0.5 o x0 = 0.25, xi : 0 conforme i crece.
(c) Para x0 = 0.8 o x0 = 2, xi : 1 conforme i crece. 2s2x + 1d2
(d) Para x0 = - 221>7 o x0 = 221>7 , el método de Newton
no converge. Los valores de xi alternando entre - 221>7 y (b) Erróneo: d ss2x + 1d3 + Cd = 3s2x + 1d2s2d = 6s2x + 1d2
221>7 conforme i crece. dx

27. Las repuestas variarán de acuerdo con la rapidez de la máquina. (c) Correcto: d ss2x + 1d3 + Cd = 6s2x + 1d2
dx
29. 2.45, 0.000245
65. (b) 67. y = x2 - 7x + 10 69. y = 1 + x2 - 1
-x 2 2

71. y = 9x1>3 + 4 73. s = t + sen t + 4

Sección 4.8, páginas 314-318 75. r = cos sp ud - 1 77. y = 1 sec t + 1
2 2
x3 x3
1. (a) x2 (b) 3 (c) 3 - x2 + x 79. y = x2 - x3 + 4x + 1 1
t
81. r = + 2t - 2

3. (a) x -3 (b) - 1 x -3 (c) - 1 x -3 + x2 + 3x 83. y = x3 - 4x2 + 5 85. y = - sen t + cos t + t 3 - 1
3 3

Capítulo 4: Respuestas R-29

87. y = 2x3>2 - 50 89. y = x - x 4>3 + 1 31. y
2
2
91. y = - sen x - cos x - 2 1

93. (a) (i) 33.2 unidades, (ii) 33.2 unidades, (iii) 33.2 unidades –1 x
(b) Cierto. –1
–2
95. t = 88>k, k = 16 123
97. (a) y = 10t 3>2 - 6t 1>2 (b) s = 4t 5>2 - 4t 3>2 y = x√3 – x

101. (a) - 1x + C (b) x + C (c) 1x + C
(d) - x + C (e) x - 1x + C (f) - x - 1x + C

Ejercicios prácticos, páginas 318-321 33. (a) Máximo local en x = 4, mínimo local en x = -4, punto
de inflexión en x = 0

1. No 3. No hay mínimo; máximo absoluto: ƒs1d = 16 ; pun- (b) x = 4
tos críticos: x = 1 y 11>3 5. Sí, excepto en x = 0 7. No
Máx loc

11. (b) Una

13. (b) 0.8555 99677 2 19. Valor mínimo global de 1 en x = 2 x=0
2 Inf l

21. (a) t = 0 , 6, 12 (b) t = 3 , 9 (c) 6 6 t 6 12 Mín loc
(d) 0 6 t 6 6, 12 6 t 6 14 x = –4

23. y 35. (a) Máximo local en x = 0, mínimo local en x = -1 y x = 2,

15 puntos de inflexión en x = A1 ; 27B>3
3

8 (b) Máx loc

3 y = x2 – x3 Inf l x = 0 + √7
1 6 3
x = 1 – √7 x = 1
3
x Mín loc Mín loc
–2 –1 0 1 2 46
Inf l
x = –1 x=2

–2

25. y 37. (a) Máximo local en x = - 22 , mínimo local en x = 22 ,
punto de inflexión en x = ; 1 y 0
y = – x3 + 6x2 – 9x + 3
3 (b) Máx loc

1 x Inf l
x = –√2 x = –1
1234
–1 Inf l

27. y x=0

500 (6, 432) Infl x = √2
400 y = x3(8 – x) x=1
300
200 (4, 256) Mín loc
100
43. y
–2 –1 0 2 4 6 8
–100 y= x+1 = 1 + 4
x–3 x–3

5

x

2 x
1
29. y –1 2 3 4 6

–3 –3
–4
y = x – 3x 2/3 x
9 18 27
(8, –4)

R-30 Capítulo 5: Respuestas

45. y Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 322-324

y= x2 + 1 5 1. La función es constante en el intervalo.
x 4
3 3. Los puntos extremos no estarán en los extremos de un intervalo
=x+ 1 (1, 2) abierto.
x y=x

2

1 5. (a) Un mínimo local en x = -1, puntos de inflexión en x = 0

–4 –3 –2 –1 1234 x y x = 2 (b) Un máximo local en x = 0 y mínimos locales
–1
–2 en x = -1 y x = 2 , puntos de inflexión en x = 1 ; 27
(–1, –2) –3 3
–4
–5 9. No 11. a = 1, b = 0, c = 1 13. Sí 15. El mejor lugar
para taladrar el agujero es en y = h>2 .

17. r= RH Rd para H 7 2R, r = R si H … 2R
2sH -
47.
19. (a) 10 (b) 5 (c) 1 (d) 0 (e) 1 (f) 1 (g) 1
4 3 3 2 2
-2

3 x2 (h) 3
2 2
y= b2 2bc + c2
4e
21. (a) c-b (b) c + b (c) - + 4ae
2e 2
1 y= 1
x
c b t
(d) + 2 +

0 123

–1

y= x3 + 2 = x2 + 1 23. m0 = 1- q1, m1 = 1
2x 2 x q

–3

25. (a) k = - 38.72 (b) 25 pies

27. Sí, y = x + C 29. y0 = 2 22 b 3>4
3
49. y

4 y= x2 – 4
3 x2 – 3
2
x = –√3 x = √3 CAPÍTULO 5
y=1

–4 –3 –1 0 1 2 3 4 x Sección 5.1, páginas 333-335
–1
1. (a) 0.125 (b) 0.21875 (c) 0.625 (d) 0.46875
–2
3. (a) 1.066667 (b) 1.283333 (c) 2.666667 (d) 2.083333
–3

5. 0.3125, 0.328125 7. 1.5, 1.574603

51. 5 53. 0 55. 1 57. 3>7 59. 0 61. 1 9. (a) 87 pulg. (b) 87 pulg.

63. (a) 0, 36 (b) 18, 18 65. 54 unidades cuadradas 11. (a) 3490 pies (b) 3840 pies

67. altura = 2, radio = 22 13. (a) 74.65 pies>seg (b) 45.28 pies>seg (c) 146.59 pies

69. x = 5 - 25 cientos L 276 llantas, 15. 31 17. 1
y = 2s5 - 25d cientos L 553 llantas 16

71. Dimensiones: la base mide 6 por 12 pulgadas, altura = 2 pulgadas; 19. (a) Superior = 758 galones, inferior = 543 galones
volumen máximo = 144 pulgadas cúbicas. (b) Superior = 2363 galones, inferior = 1693 galones
(c) L 31.4 h, L 32.4 h

73. x5 = 2.1958 23345 75. x4 + 5 x 2 - 7x + C 21. (a) 2 (b) 2 22 L 2.828
4 2
(c) 8 sen ap8 b L 3.061
77. 2t 3>2 - 4 + C 79. -r 1 5 + C (d) Cada área es menor que el área del círculo, p . Conforme n
t +
crece, el área del polígono se acerca a p .
1
81. (u2 + 1d3>2 + C 83. 3 s1 + x 4 d3>4 + C

Sección 5.2, páginas 342-343

85. 10 tan s +C 87. - 1 csc 22 u + C 6s1d 6s2d
10 22 1. 1 + 1 + 2 + 1 = 7

89. 1 x - sen x + C 91. y = x - 1 - 1 3. coss1dp + coss2dp + coss3dp + coss4dp = 0
2 2 x
23 - 2
93. r = 4t 5>2 + 4t 3>2 - 8t 5. sen p - sen p + sen p = 2
2 3

Capítulo 5: Respuestas R-31

7. Todas ellas 9. b 6 13. 41 (c) y
a
11. a k 2k
k=1
k=1

15. 5 s - 1dk + 1 1 f (x) = sen x,
k –␲ ≤ x ≤ ␲
a Punto medio 1

k=1 c1 –␲/2 c2

17. (a) - 15 (b) 1 (c) 1 (d) - 11 (e) 16 –␲ c3 ␲/2 c4 ␲ x

19. (a) 55 (b) 385 (c) 3025 –1

21. -56 23. - 73 25. 240 27. 3376 33. 1.2

29. (a) (b) 2 3n - 1, 2
3 6n2 3
35. +

y y (2, 3) 37. 12 + 27n + 9, 12
2n2
(2, 3) 3
3 f (x) = x2 – 1, 39. 5 + 6n + 1, 5
0≤x≤2 6 6n2 6
f (x) = x2 – 1, Mano derecha
0≤x≤2
Mano izquierda 2
2

11 Sección 5.3, páginas 352-356

x x 2 5 5. 3 1 x dx
-
0 c1 c2 = 1 c3 c4 = 2 1. x2 dx 3. sx2 - 3xd dx L2 1
c1 = 0 c2 c3 = 1 c4 2 –1 L0 L-7
–1
0

7. sec x dx
L-p>4

9. (a) 0 (b) -8 (c) -12 (d) 10 (e) - 2 (f) 16

11. (a) 5 (b) 5 23 (c) - 5 (d) -5

(c) y 13. (a) 4 (b) -4 15. Área = 21 unidades cuadradas

3 (2, 3) 17. Área = 9p>2 unidades cuadradas 19. Área = 2.5 unidades
f (x) = x2 – 1, cuadradas

0≤x≤2 21. Área = 3 unidades cuadradas 23. b 2>4 25. b 2 - a2
27. 1>2
Punto medio
2 29. 3p2>2 31. 7>3 33. 1>24 35. 3a2>2 37. b>3

1 39. - 14 41. 10 43. - 2 45. -7>4 47. 7 49. 0

0 c1 c2 c3 c4 x 51. Usando n subintervalos de longitud ¢x = b>n y los valores de
–1
los puntos extremos derechos:
31. (a) y
b
f (x) = sen x,
–␲ ≤ x ≤ ␲ Área = 3x2 dx = b 3
Mano izquierda L0

1 53. Usando n subintervalos de longitud ¢x = b>n y los valores de

los puntos extremos derechos:

b

Área = 2x dx = b 2
L0

55. prom( f ) = 0 57. prom( f ) = -2 59. prom( f ) = 1

61. (a) promsgd = - 1>2 (b) promsgd = 1 (c) promsgd = 1>4

x 63. a = 0 y b = 1 maximizan la integral.

c1 = –␲ c2 c3 = 0 c4 ␲ 65. Cota superior = 1, Cota inferior = 1>2

–1 11

(b) y 67. Por ejemplo, sen sx2d dx … dx = 1
L0 L0

bb

69. ƒsxd dx Ú 0 dx = 0 71. Cota superior = 1>2
La La

f (x) = sen x, Sección 5.4, páginas 365-368
–␲ ≤ x ≤ ␲
Mano derecha 1 x 1. 6 3. 8 5. 1 7. 5>2 9. 2 11. 223 13. 0

–␲ c1 c2 = 0 c3 c4 = ␲ 15. -p>4 2p3 19. -8>3 21. -3>4
–1 3
17.

23. 22 - 24 8 + 1 25. 16 27. scos 1xd a 1 b
2 1x

R-32 Capítulo 5: Respuestas

29. 4t 5 31. 21 + x2 33. - 1 x -1>2 sen x 35. 1 21. s -2>s1 + 1xdd + C 23. 1 sen s3z + 4d + C
2 3

37. 28>3 39. 1>2 41. 51>4 43. p 45. 22p 25. 1 tan s3x + 2d + C 27. 1 sen6 a3x b + C
2 3 2
p
47. d, ya que y¿ = 1 y yspd = 1 dt - 3 = -3 a1r83 6 2 3>2
x Lp t 3
29. - 1b + C 31. - cos sx + 1d + C

0 33. sec ay + p b +C 35. 1 1d + C
2 2 cos s2t
49. b, ya que y¿ = sec x y ys0d = sec t dt + 4 = 4 +
L0

xt 37. - 2 scot3 yd1>2 +C 39. -sen a1t - 1b + C
3
51. y = sec t dt + 3 53. s = ƒsxd dx + s0
L2 Lt0

55. 2 bh 57. $9.00 sen2 s1>ud ss3 + 2s2 - 5s + 5d2
3 41. - 2 + C 43. 2 + C

59. (a) y = ds = d t x d dx = ƒstd Q ys5d = ƒs5d = 2 m>seg 45. 1 s1 + t 4d4 + C
dt dtL0 16
ƒs

(b) a = df>dt es negativo, ya que la pendiente de la recta tan- 47. 1 sx 2 + 1d5>2 - 1 sx 2 + 1d3>2 + C
5 3
gente en t = 5 es negativa.
6 6
s 3 1 s3ds3d 9 m ya que la integral es el 49. (a) - + tan3 x + C (b) - tan3 x + C
2 2 2 2
(c) = ƒsxd dx = = +
L0
6
área del triángulo formado por y = f (x), el eje x y x = 3. (c) - + tan3 x + C
2
(d) t = 6, ya que después, entre t = 6 a t = 9, la región está deba-
jo del eje x. 51. 1 sen 23s2r - 1d2 + 6 + C
6
(e) En t = 4 y t = 7, ya que ahí hay tangentes horizontales.

(f) Hacia el origen, entre t = 6 y t = 9, ya que la velocidad es 53. s = 1 s3t 2 - 1d4 - 5
negativa en el intervalo. Alejándose del origen, entre t = 0 a 2
t = 6, ya que la velocidad es positiva ahí.
55. s = 4t - 2 sen a2t + p b +9
(g) Lado derecho o positivo, porque la integral de f de 0 a 9 es 6
positiva, por lo que hay más área arriba del eje x que debajo.
p
63. 2x - 2 65. - 3x + 5 57. s = sen a2t - 2 b + 100t + 1

67. (a) Cierto. Como f es continua, g es diferenciable, de acuerdo 59. 6 m 63. b) 399 volts
con la parte 1 del teorema fundamental del cálculo.

(b) Cierto: g es continua, porque es diferenciable. Sección 5.6, páginas 383-387

(c) Cierto, ya que g¿s1d = ƒs1d = 0 . 1. (a) 14>3 (b) 2>3

(d) Falso, ya que g–s1d = ƒ¿s1d 7 0 . 3. (a) 1>2 (b) -1>2

(e) Cierto, ya que g¿s1d = 0 y g–s1d = ƒ¿s1d 7 0 . 5. (a) 15>16 (b) 0

(f) Falso: g–sxd = ƒ¿sxd 7 0 , de manera que g– nunca cambia 7. (a) 0 (b) 1>8
de signo.
9. (a) 4 (b) 0
(g) Cierto, ya que g¿s1d = ƒs1d = 0 y g¿sxd = ƒsxd es una fun-
ción creciente de x (porque ƒ¿sxd 7 0). 11. (a) 1>6 (b) 1>2

Sección 5.5, páginas 374-376 13. (a) 0 (b) 0 19. 35>2 - 1 21. 3 23. p>3
15. 2 23 29. p>2 31. 128>15 33. 4>3
25. 16>3 17. 3>4
27. 25>2

1. - 1 cos 3x + C 3. 1 sec 2t + C 5. - s7x - 2d-4 + C 35. 5>6 37. 38>3 39. 49>6 41. 32>3 43. 48>5
3 2
45. 8>3 47. 8 49. 5>3 (hay tres puntos de intersección).
7. - 6s1 - r 3d1>2 + C
51. 18 53. 243>8 55. 8>3 57. 2 59. 104>15

9. 1 s x 3>2 - 1d - 1 sen s2x3>2 - 2d + C 61. 56>15 63. 4 65. 4 - 4 67. p>2 69. 2 71. 1>2
3 6 3 p (c) c = 42>3
73. 1
11. (a) - 1 scot2 2ud + C (b) - 1 scsc2 2ud + C
4 4 75. (a) A ; 2c, cB
(b) c = 42>3
1 2sd3>2 2 4d1>2
13. - 3 s3 - + C 15. 5 s5s + + C 77. 11>3 79. 3>4 81. Ninguna 83. Fs6d - Fs2d

17. - 2 s1 - u2d5>4 + C 19. - 1 s7 - 3y 2d3>2 + C 85. (a) -3 (b) 3
5 3 87. I = a>2

Capítulo 6: Respuestas R-33

Ejercicios prácticos, páginas 388-391 15. 13>3 y=2
y
1. (a) alrededor de 680 pies (b) h (pies)
2
700
600 y=1 y = 1 – x2
500
400 –2 –1 x
300
200 12
100

t (seg)

0 2468

3. (a) - 1>2 (b) 31 (c) 13 (d) 0 17. 1>2 19. 2>x

5 7. 0 x dx 2 sen 4y sen y 1
2
5. s2x - 1d-1>2 dx = 2 cos = 21. - 23. 1>6 25. ƒsxd dx
L1 L-p
1y 21y L0
9. (a) 4 (b) 2 (c) -2 (d) -2p (e) 8>5
29. (a) 0 (b) -1 (c) -p (d) x = 1
11. 8>3 13. 62 15. 1 17. 1>6 19. 18 21. 9>8 (e) y = 2x + 2 - p (f) x = - 1, x = 2 (g) [- 2p, 0]

23. p2 22 - 1 25. 4 27. 822 - 7
32 + 2 6

29. Mín: - 4, máx. 0, área: 27>4 31. 6>5 CAPÍTULO 6

35. y = L5 x asetn t b dt - 3 37. - 4scos xd1>2 + C Sección 6.1, páginas 405-409

39. u2 + u + sen s2u + 1d + C 41. t3 + 4 + C 1. (a) Asxd = ps1 - x2d (b) Asxd = 4s1 - x2d
3 t
(c) Asxd = 2s1 - x2d (d) Asxd = 23s1 - x2d

43. - 1 cos s2t 3>2d + C 45. 16 47. 2 49. 1 51. 8 3. 16 5. 16 7. (a) 223 (b) 8 9. 8p
3 3
32p
53. 27 23>160 55. p>2 57. 23 59. 623 - 2p 11. (a) s2h (b) s2h 13. 2p 15. 4 - p 17. 5
3

61. - 1 63. 2 65. -2 67. 1 69. 22 - 1 19. 36p 21. p 23. p ap2 2 22 11 b 25. 2p
27. 2p 29. 3p 3
71. (a) b (b) b + -

75. 25°F 77. 22 + cos3 x 79. -6 81. Sí 31. p2 - 2p 33. 2p 35. 117p
83. - 21 + x2 + x4 3 5
3
4p 7p
85. costo L $10,899 usando una estimación con suma inferior 37. psp - 2d 39. 3 41. 8p 43. 6

87. 600, $18.00 89. 300, $6.00 45. (a) 8p (b) 32p (c) 8p (d) 224p
5 3 15

Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 391-394 47. (a) 16p (b) 56p (c) 64p
15 15 15
1. (a) Sí (b) No
ph2s3a - hd
5. (a) 1>4 (b) 23 12 49. V = 2a2bp2 51. (a) V = (b) 1 m>seg
3 120p
7. ƒsxd = x 9. y = x3 + 2x - 4
2x2 + 1 55. V = 3308 cm3

11. 36>5 57. (a) c= 2 (b) c = 0
p

y (c) V

y = x2 ⁄ 3 4 ␲2
2
2
V = ␲ ⎛⎝c2␲ + ␲ – 4c⎝⎛
x 2

–8 –4 0 3

y = –4
–4

13. 12 c
2-p 2/␲ 1

y

1 Sección 6.2, páginas 414-416
yϭt
1. 6p 3. 2p 5. 14p 7. 8p 9. 5p 11. 7p
3 6 15

t 13. (b) 4p 15. 16p A 3 22 + 5B 17. 8p 19. 4p
15 3 3
0 1 y ϭ sen ␲t 2

–1 21. 16p 23. (a) 6p (b) 4p (c) 2p (d) 2p
3 5 5

R-34 Capítulo 6: Respuestas

25. (a) Alrededor del eje x: V = 2p ; alrededor del eje y: V = p 31. x = y = 1>3 33. x = a>3, y = b>3 35. 13d>6
15 6
37. x 0, y ap
2p p = = 4
15 6
(b) Alrededor del eje x: V = ; alrededor del eje y: V =

27. (a) 5p (b) 4p (c) 2p (d) 2p Sección 6.5, páginas 444-447
3 3 3
p>4
29. (a) 4p (b) 7p 31. (a) 24p (b) 48p
15 30 5 5 1. (a) 2p tan x 21 + sec4 x dx (c) L 3.84
L0

33. (a) 9p (b) 9p 3. (a) 2 1 21 + y -4 dy (c) L 5.02
16 16 y
2p
L1

35. Discos: 2 integrales; arandelas: 2 integrales; cascarones: 4
1 integral.
5. (a) 2p s3 - 1xd2 21 + s1 - 3x -1>2d2 dx (c) L 63.37
L1

Sección 6.3, páginas 423-424 p>3 y

7. (a) 2p a tan t dtb sec y dy (c) L2.08
L0 L0

1. 5 210 3. 7 5. 21 7. 12 9. 53 11. 123 9. 4p25 11. 3p25 13. 98p>81 15. 2p
3 2 6 32

99 2 17. pA 28 - 1B>9 19. 35p25>3 21. 253p>20
8
13. 15. 2 17. (a) 21 + 4x2 dx (c) L 6.13 p>2
L-1
25. 2p scos xd 21 + sen2 x dx
p L-p>2 31. 522p 33. 8p2

19. (a) 21 + cos2 y dy (c) L 3.82 27. Ordenar 226.2 litros de cada color.
L0

3 35. 52p>3 37. 3p25 41. V = 32p, S = 3222p

21. (a) 21 + sy + 1d2 dy (c) L 9.29 43. 4p2 45. x 0, y 2a 47. x 0, y 4b
L-1 p 3p

p>6 = = = =

23. (a) L0 sec x dx (c) L 0.55 49. 22pa3s4 + 3pd>6 2a 3
3
51.

25. Sí, ƒsxd = ; x + C donde C es cualquier número real.

27. (a) y = 1x de (1, 1) a (4, 2) Sección 6.6, páginas 452-455
(b) Sólo una. Conocemos la derivada de la función y el valor de
la función en un valor de x. 1. 400 N # m 3. 4 cm, 0.08 J

29. (a) p (b) p 5. (a) 7238 libras>pulgada (b) 905 pulgadas-libra,
2714 pulgadas-libra 7. 780 J
Sección 6.4, páginas 434-435
9. 72,900 pies-libra 13. 160 pies-libra
1. 4 pies 3. (L>4, L>4) 5. M0 = 8, M = 8, x = 1
7. M0 = 15>2, M = 9>2, x = 5>3 15. (a) 1,497,600 pies-libra (b) 1 hora, 40 min
9. M0 = 73>6, M = 5, x = 73>30 11. M0 = 3, M = 3, x = 1 (d) En 62.26 libras/pie3: a) 1,494,240 pies-libra b) 1 hora, 40.1 min
13. x = 0, y = 12>5 15. x = 1, y = - 3>5 en 62.59 libras/pie3: a) 1,502,160 pies-libra b) 1 hora, 40.1 min

17. x = 16>105, y = 8>15 19. x = 0, y = p>8 17. 37,306 pies-libra 19. 7,238,229.47 pies-libra

21. x = 1, y = - 2>5 23. x = y = 4 2 p 21. (a) 34,583, pies-libra (b) 53,483 pies-libra
-
23. 15,073,100.75 J
25. x = 3>2, y = 1>2 27. 85.1 pies-libra 29. 64.6 pies-libra 31. 110.6 pies-libra

27. (a) 224p (b) x = 2, y = 0 33. (a) rsyd = 60 - 2502 - sy - 325d2 para 325 … y …
3 375 pies

(c) y (b) ¢V L p[60 - 22500 - sy - 325d2]2 ¢y
(c) W = 6.3358 · 107 pies-libra
35. 91.32 onzas-pulgada 37. 5.144 * 1010 J

4 Sección 6.7, páginas 459-461
y= 4
√x

1. 1684.8 libras 3. 2808 libras 5. (a) 1164.8 libras

(2, 0) (b) 1194.7 libras
01
4 x 7. 1309 libras 9. 41.6 libras 11. (a) 93.33 libras

(b) 3 pies
13. 1035 pies3 15. wb>2

y=– 4 17. No. El tanque se llenará debido a que el extremo móvil se habrá
√x
movido sólo 3 1 pies, en el momento en que el tanque esté lleno.
–4 3

19. 4.2 libras 21. (a) 374.4 libras (b) 7.5 pulgadas (c) No

Capítulo 7: Respuestas R-35

Ejercicios de práctica, páginas 461-464 11. (a) Simétrica respecto de la recta y = x

1. 9p 3. p2 5. 72p y
280 35
1
7. (a) 2p (b) p (c) 12p>5 (d) 26p>5 y = √1 – x 2
0≤x≤1

9. (a) 8p (b) 1088p>15 (c) 512p>15

11. pA323 - pB>3 x
01

13. (a) 16p>15 (b) 8p>5 (c) 8p>3 (d) 32p>5

15. 28p pies3 17. 10 19. 285 21. 10 23. 9p 13. ƒ -1sxd = 2x - 1 15. ƒ -1sxd = 23 x + 1
3 3 8 2

25. x = 0, y = 8>5 27. x = 3>2, y = 12>5 17. ƒ -1sxd = 2x - 1

29. x = 9>5, y = 11>10 31. 28p22>3 33. 4p 19. ƒ -1sxd = 25 x ; dominio - q 6 x 6 q ; rango:
35. 76p>3 37. 4640 J 39. 10 pies-libra, 30 pies-libra -q 6 y 6 q
41. 418,208.81 pies-libra 43. 22,500p pies-libra, 257 seg
45. 332.8 libras 47. 2196.48 libras 49. 216w1 + 360w2 21. ƒ -1sxd = 5 2x - 1 ; dominio - q 6 x 6 q ;
rango: - q 6 y 6 q

23. ƒ -1sxd = 1 ; dominio x 7 0; rango: y 7 0
2x

Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 464-465 25. (a) ƒ -1sxd x 3
2 2
= -

1. ƒsxd = 2x - a 3. ƒsxd = 2C2 - 1 x + a, donde C Ú 1 (b) y
Ap
3 y = f (x) = 2x + 3
n s0, 1>2d
5. x = 0, y = 2n + 1,

9. (a) x = y = 4sa2 + ab + b 2d>s3psa + bdd y = f –1(x) = x – 3
22

(b) s2a>p, 2a>pd –3/2 0 x
3

–3/2

11. 28>3 13. 4h 23mh 15. L 2329.6 lb
3

17. (a) 2h>3 (b) s6a2 + 8ah + 3h2d>s6a + 4hd

(c) 2, 1/2

27. (a) ƒ -1sxd x + 5
= -4 4

CAPÍTULO 7 (b) y

Sección 7.1, páginas 473-475 5 y = f (x) = –4x + 5

1. Inyectiva 3. No inyectiva 5. Inyectiva 5
4 y = f –1(x) = – x + 5
7. D: (0, 1] R: [0, q d
44

y 05 5 x
4
y = f –1(x)
(c) -4, - 1>4
y=x

1 29. (b) y
2 y = x3
y = f (x)
1 x 1 y = x1/3

9. D: [- 1, 1] R: [- p>2, p>2] –2 –1 x
12

y y = f –1(x) –1
␲ y=x
2 –2

1 y = f(x) (c) Pendiente de f en (1, 1): 3; pendiente de g en (1, 1): 1>3; pen-
diente de f en s -1, -1d : 3; pendiente de g en s - 1, - 1d : 1>3
␲ –1 1␲ x
2 2 (d) y = 0 es tangente a y = x3 en x = 0; x = 0 es tangente a
– y = 23 x en x = 0

1
–␲

2

R-36 Capítulo 7: Respuestas

31. 1>9 33. 3 x 2x2 + 1 c1 x 2 1d d
sx + 1d2>3 x + 3sx +
ƒ -1sxd 1 65. + x2 -
m
35. (a) = x 1

(b) La gráfica de f -1 es la recta que pasa por el origen con pen- 1 3 xsx - 2d a1x 1 2x
3B x2 + 1 x-2- x2 +
diente 1>m. 67. + b
1
37. (a) ƒ -1sxd = x - 1
69. (a) Máx. = 0 en x = 0, mín. = -ln 2 en x = p>3
y
y=x+1 (b) Máx. = 1 en x = 1, mín. = cos(ln 2) en x = 1>2 y x = 2
y=x
71. ln 16 73. 4p ln 4 75. p ln 16
2

1 y=x–1 77. (a) 6 + ln 2 (b) 8 + ln 9
x
–2 –1 79. (a) x L 1.44, y L 0.36
–1 12

(b) y

–2

(b) ƒ -1sxd = x - b. La gráfica de ƒ -1 es la recta paralela a la 1 y = 1
gráfica de f. Las gráficas de f y ƒ -1 están en lados opuestos x

de la recta y = x y son equidistantes de esa recta.

(c) Sus gráficas serán paralelas una de la otra y están en lados (1.44, 0.36)
x
opuestos de la recta y = x, y equidistantes de esa recta.
0 12
41. Creciente y, por lo tanto, inyectiva; dƒ -1>dx = 1 x -2>3
9 81. y = x + ln ƒ x ƒ + 2 83. (b) 0.00469

43. Decreciente y, por lo tanto, inyectiva; dƒ -1>dx = - 1 x -2>3
3
Sección 7.3, páginas 493-495

Sección 7.2, páginas 484-485 1. (a) 7.2 (b) 1 (c) x
x2 y

1. (a) ln 3 - 2 ln 2 (b) 2 sln 2 - ln 3d (c) -ln 2, 3. (a) 1 (b) 1 (c) - x2 - y2

2 1 1 5. e2t+4 7. e5t + 40 9. y = 2xex + 1
3 2 2
(d) ln 3 (e) ln 3 + ln 2 (f ) s3 ln 3 - ln 2d 11. (a) k = ln 2 (b) k = s1>10d ln 2 (c) k = 1000 ln a

3. (a) ln 5 (b) ln sx - 3d (c) ln st2d 13. (a) t = - 10 ln 3 (b) t = ln 2 (c) t = ln .4
-k ln .2
1
5. 1>x 7. 2>t 9. - 1>x 11. u + 1 13. 3>x 15. 4 sln xd2 17. - 5e-5x 19. - 7es5-7xd 21. xex

15. 2 sln td + sln td2 17. x3 ln x 19. 1 - ln t 23. x2ex 25. 2eu cos u 27. 2ue -u2 sense -u2d
t2
29. 1-t 31. 1>s1 + eud 33. ecos ts1 - t sen td
1 1 t
21. xs1 + ln xd2 23. x ln x 25. 2 cos sln ud
yey cos x 2e2x - cos sx + 3yd
35. ssen xd>x 37. 1 - yey sen x 39. 3 cos sx + 3yd
27. 3x + 2 29. 2 tan sln ud
- 2xsx + 1d t s1 - ln td2 31. u 1
41. 3 e3x 5e -x C 43. 1 45. 8esx+ 1d + C 47. 2
ƒxƒ - +

33. 10x 1 35. 2x ln ƒ x ƒ - x ln 37. ln a32 b 49. 2e2r + C 51. - e -t2 + C 53. - e1>x + C 55. e
39. x2 + 1 + 2s1 - xd
ln ƒ y2 - 25 ƒ + C 41. ln 22 1
p
3 43. sln 2d2 1 57. e sec pt + C 59. 1 61. ln s1 + erd + C
ln 4
45. 63. y = 1 - cos set - 2d 65. y = 2se-x + xd - 1

47. ln ƒ 6 + 3 tan t ƒ + C 49. ln 2 51. ln 27 67. Máximo. 1 en x = 0; mínimo: 2 - 2 ln 2 en x = ln 2

53. ln s1 + 2xd + C 69. El máximo absoluto de 1>(2e) se alcanza en x = 1> 2e

a21 b 2xsx 1d a1x 1 2x + 1 71. 2 73. y = ex>2 - 1
+ 22xsx + 1d
55. + + x 1b = d # 1
dx x
75. (a) sx ln x - x+ Cd = x + ln x - 1 + 0 = ln x

57. a21 b A t t a1t 1 1b 1 (b) e 1 1
+ + 2 2t st + -
- =
1 t
1d3>2 77. (b) ƒ error ƒ L 0.02140 79. 2.71828183

59. 2u + 3 ssen ud a2su 1 3d + cot ub Sección 7.4, páginas 500-502
+ 1. (a) 7 (b) 22 (c) 75 (d) 2 (e) 0.5 (f) - 1

61. tst + 1dst + 2d c1t + t 1 + t 1 2d = 3t 2 + 6t + 2
+1 +
ln 3
u+5 1 1 3. (a) 2x (b) x2 (c) sen x 5. (a) ln 2 (b) 3 (c) 2
u cos u + u
63. cu 5 - + tan u d 7. x = 12 9. x = 3 o x = 2 11. 2x ln x

Capítulo 7: Respuestas R-37

13. a ln 5 b 52s 15. pxsp-1d 17. - 22 cos us22-1d sen u 21. (b) lnse17000000d = 17,000,000 6 se17 * 106d1>106
2 2s = e17 L 24, 154, 952.75

19. 7sec usln 7d2ssec u tan ud 21. s3 cos 3tds2sen 3td ln 2 (c) x L 3.4306311 * 1015
(d) Se cruzan en x L 3.4306311 * 1015
23. 1 25. 3 2sln rd
u ln 2 x ln 4 27. rsln 2dsln 4d 23. (a) El algoritmo tarda O(n log2 n) pasos.
25. En una búsqueda secuencial podría necesitarse un millón de
29. -2 31. sen slog7 ud + 1 cos slog7 ud
sx + 1dsx - 1d ln 7 pasos; en una búsqueda binaria se requerirían cuando mucho

1 1 3d3log2 t 1 20 pasos.
ln 5 t t
33. 35. slog2 37.

39. sx + 1dx ax x 1 + lnsx + 1d b 41. s 2tdt a ln2 t + 1 b Sección 7.7, páginas 530-534
+ 2

43. ssen xdxsln sen x + x cot xd 45. sxln xd alnxx2 b 1. (a) p>4 (b) - p>3 (c) p>6
3. (a) - p>6 (b) p>4 (c) - p>3
47. 5x + C 49. 1 51. 1 53. 6 55. 32760 5. (a) p>3 (b) 3p>4 (c) p>6
ln 5 2 ln 2 ln 2 ln 7 7. (a) 3p>4 (b) p>6 (c) 2p>3
9. (a) p>4 (b) -p>3 (c) p>6
57. 3xs23+ 1d + C 59. 322+ 1 61. 1 sln xd2 + C 11. (a) 3p>4 (b) p>6 (c) 2p>3
23 + 1 ln 10 a2 b
1132, tan a 152, sec a 1123, csc a 153, cot a 12
3 ln 2 13. cos a = = = = = 5
2
63. 2sln 2d2 65. 67. ln 10 69. sln 10d ln ƒ ln x ƒ + C

71. lnsln xd, x 7 1 73. - ln x 75. 2 ln 5 15. sen a = 2 , cos a = - 1 , tan a = - 2, csc a = 22 5 ,
25 25
77. [10-7.44, 10-7.37] 79. k = 10
81. (a) 10-7 (b) 7 (c) 1 : 1 83. x L - 0.76666 cot a = - 1
2

85. (a) Lsxd = 1 + sln 2dx L 0.69x + 1 17. 1> 22 19. -1> 23 21. 4 + 23 23. 1
2 23
87. (a) 1.89279 (b) - 0.35621 (c) 0.94575 (d) -2.80735
(e) 5.29595 (f) 0.97041 (g) - 1.03972 (h) -1.61181 25. - 22 27. p>6 29. 2x2 + 4 31. 29y2 - 1
2

Sección 7.5, páginas 508-511 33. 21 - x2 35. 2x2 - 2x 29 - 4y2
x-1 37. 3
1. (a) - 0.00001 (b) 10,536 años (c) 82%
3. 54.88 g 5. 59.8 pies 7. 2.8147498 * 1014 39. 2x2 - 16 41. p>2 43. p>2 45. p>2
9. (a) 8 años (b) 32.02 años 11. 15.28 años x
13. (a) A0e0.2 (b) 17.33 años; 27.47 años
15. 4.50% 17. 0.585 días 47. 0 49. -2x 51. 22
21. (a) 17.5 min. (b) 13.26 min. 21 - x4 21 - 2t2
23. -3°C 25. Alrededor de 6659 años 27. 41 años de anti-
53. 1 55. - 2x
güedad. ƒ 2s + 1 ƒ 2s2 + s sx2 + 1d 2x4 + 2x2

57. -1 59. -1 61. 1 x2d
21 - t2 22t s1 + td stan-1 x)(1
+

Sección 7.6, páginas 515-517 63. -et -1 65. - 2sn 67. 0
= 21 - s2
1. (a) más lentamente (b) más lentamente (c) más lenta-
mente (d) más rápidamente (e) más lentamente ƒ et ƒ 2setd2 - 1 2e2t - 1
(f) más lentamente (g) a la misma razón (h) más
lentamente 69. sen-1 x 71. sen-1 x + C 73. 1 tan-1 x + C
7 217 217
3. (a) a la misma razón (b) más rápidamente (c) a la misma
razón (d) a la misma razón (e) más lentamente 75. 1 sec-1 ` 5x ` + C 77. 2p>3 79. p>16
(f) más rápidamente (g) más lentamente (h) a la misma 22 22
razón
81. -p>12 83. 3 sen-1 2sr - 1d + C
5. (a) a la misma razón (b) a la misma razón (c) a la misma 2
razón (d) más rápidamente (e) más rápidamente
(f) a la misma razón (g) más lentamente (h) más rápida- 85. 22 tan-1 ax - 1b + C 87. 1 sec-1 ` 2x - 1 ` +C
mente 2 22 4 2

7. d, a, c, b 89. p 91. p>12 93. 1 sen-1 y2 + C 95. sen-1 sx - 2d + C
9. (a) falso (b) falso (c) cierto (d) cierto (e) cierto 2

(f) cierto (g) falso (h) cierto 97. p 99. 1 tan-1 y - 1 + C 101. 2p
13. Cuando el grado de f es menor o igual al grado de g. 2 a 2 b
15. 1, 1
103. sec-1 ƒ x + 1 ƒ + C 105. esen-1 x + C 107. 1 ssen-1 (xd3 + C
3

109. ln ƒ tan-1 y ƒ + C 111. 23 - 1 113. 5 115. 2

R-38 Capítulo 7: Respuestas

121. y = sen-1 x 123. y = sec-1 x + 23p, x 7 1 73. (a) 0 (b) 0

127. u = cos-1 a 1 b L 54.7° 2ƒsxd 2ƒsxd
23 75. (b) i) ƒsxd = 2 + 0 = ƒsxd , ii) ƒsxd = 0 + 2 = ƒsxd

133. (a) Definida; hay un ángulo cuya tangente es 2. mg
(b) No definida; no existe ángulo cuyo coseno sea 2. 77. (b) A k (c) 8025 L 178.89 pies>seg

135. (a) No definida; ningún ángulo tiene secante 0. 79. y = sech-1sxd - 21 - x2 81. 2p 83. 6
(b) No definida; ningún ángulo tiene seno 22. 5

137. 3 25 pies. 85. 16p ln 6 + 455p
139. Sí, sen-1sxd y - cos-1sxd difieren por la constante p>2. 9
147. p2>2 149. (a) p2>2 (b) 2p
89. (c) a L 0.0417525 (d) L 47.90 lb

151. (a) 0.84107 (b) - 0.72973 (c) 0.46365 Ejercicios de práctica, páginas 547-550

153. (a) Dominio: todos los números reales, excepto aquellos que 2 sen u cos u 2
p sen2 u sln 2dx
tienen la forma 2 + kp donde k es un entero; rango: 1. - 2e-x>5 3. xe4x 5. = 2 cot u 7.

-p>2 6 y 6 p>2. 9. - 8-tsln 8d 11. 18x2.6

(b) Dominio: - q 6 x 6 q ; rango: - q 6 y 6 q 13. sx + 2dx+2slnsx + 2d + 1d 15. - 1
155. (a) Dominio: - q 6 x 6 q ; rango: 0 … y … p 21 - u2

(b) Dominio: - 1 … x … 1; rango: -1 … y … 1 17. -1 19. tan-1std + t t2 - 1
157. Las gráficas son idénticas. 21 - x2 cos-1 x + 2t
1

Sección 7.8, páginas 542-546 21. 1 - z + sec-1 z 23. - 1
2z2 - 1

1. cosh x = 5>4, tanh x = - 3>5, coth x = - 5>3, 25. 2sx2 + 1d c 2 2x + tan 2x d
2cos 2x +
sech x = 4>5, csch x = - 4>3 x 1

3. senh x = 8>15, tanh x = 8>17, coth x = 17>8, sech x = 15>17, 27. st + 1dst - 1d 5 ct 1 1 1 1 3d
5 cst - 2dst + 3d d + - - +
csch x = 15>8 1 + t 1 - t 2 - t

5. x+ 1 7. e5x 9. e4x 13. 2 cosh x 29. 1 ssen u d2u a ln 2sen u u cot ub 31. - cos ex + C
x 3 2u 2
+

15. sech22t + tanh2t 17. coth z 33. tansex - 7d + C 35. etan x + C 37. -ln 7
2t 3

19. sln sech udssech u tanh ud 21. tanh3 y 23. 2 39. ln 8 41. ln (9>25) 43. - [ln ƒ cos sln yd ƒ ] + C

25. 1 1 45. - 1 sln xd-2 + C 47. -cot s1 + ln rd + C
2 2xs1 + xd + 2 51. 3 ln 7 53. 15>16 + ln 2
27. - tanh-1 u
1 u 1 3x2
49. ln s d + C
2 3
29. 1 - coth-12t 31. - sech-1 x 33. ln 2
2 2t a21 b 2u 55. e - 1 57. 1>6 59. 9>14

cosh 2x 1+ 61. 1 C s ln 4d3 - sln 2d3 D o 7 A ln 2B3 63. 9 ln 2 65. p
2 B 3 3 4

35. ƒ sec x ƒ 41. + C

43. 12 senh a2x - ln 3 b + C 45. 7 ln ƒ ex>7 + e-x>7 ƒ + C 67. p> 23 69. sec-1 ƒ2yƒ + C 71. p>12

73. sen-1 sx + 1d + C 75. p>2 77. 1 sec-1 at + 1b + C
3 3
1 5
47. tanh ax - 2 b +C 49. -2 sech2t + C 51. ln 2 79. y ln 2 81. y = ln x - ln 3 83. y 1
ln s3>2d - ex
= = 1

53. 3 + ln 2 55. e - e-1 57. 3>4 59. 3 + ln 22 85. ln 10 87. ln 2 89. 5 91. - q 93. 1 95. e3
32 8 97. (a) a la misma tasa (b) a la misma tasa (c) más rápido
-ln 3
61. ln (2>3) 63. 2 65. ln 3 (d) más rápido (e) a la misma tasa (f) a la misma tasa
99. (a) verdadero (b) falso (c) falso (d) verdadero
67. (a) senh-1s 23d (b) lns 23 + 2d
(e) verdadero (f) verdadero
69. (a) coth-1s2d - coth-1s5>4d (b) a21 b ln a31 b 101. 1>3
103. Máximo absoluto = 0 en x = e>2, mínimo absoluto = -0.5 en x
71. (a) - sech-1 a1132 b + sech-1 a54 b
= 0.5 en x = 0.5
(b) - ln a 1 + 21 - s12>13d2 b + ln a 1 + 21 - s4>5d2 b= 105. 1 107. 1>e m>seg

s12>13d s4>5d 109. 1> 22 unidades de longitud por 1> 2e unidades de altura,
A = 1> 22e L 0.43 unidades2
- ln a32 b + lns2d = lns4>3d
111. ln 5x - ln 3x = ln s5>3d 113. 1>2

Capítulo 8: Respuestas R-39

115. (a) Máximo absoluto de 2>e en x = e2, punto de inflexión 83. (a) sen u - 1 sen3 u + C
se8>3, s8>3de-4>3d , cóncava hacia arriba en se8>3, q d , cónca- 3
va hacia abajo en s0, e8>3d
(b) sen u - 2 sen3 u + 1 sen5 u + C
(b) Máximo absoluto de 1 en x = 0, puntos de inflexión s ; 1> 22, 3 5

1> 2ed , cóncava hacia arriba en s - q, -1> 22d ´ s1> 22, (c) cos9 u du = cos8 u scos ud du
q d, cóncava hacia abajo en s -1> 22, 1> 22d LL
(c) Máximo absoluto de 1 en x = 0, punto de inflexión (1, 2>e),
cóncava hacia arriba en s1, q d , cóncava hacia abajo en = s1 - sen2 ud4 scos ud du
s - q, 1d L

117. 18,935 años 119. 20s5 - 217d m 85. (a) tan3 u du = 1 tan2 u - tan u du
L 2 L

Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 550-552 = 1 tan2 u + ln ƒ cos u ƒ +C
2

1. p>2 3. 1> 2e 5. ln 2 7. (a) 1 (b) p>2 (c) p (b) tan5 u du 1 tan4 u tan3 u du
L 4 L
= -

9. ln12, 2 1 2, 2:1 11. x = 2 13. 2>17
ln 25. (b) 61°
tan7 u du 1 tan6 tan5 u du
21. x = lnp4, y = 0 (c) L = 6 u - L

(d) tan2k + 1 u du = 1 tan2k u - tan2k - 1 u du
L 2k L

CAPÍTULO 8 87. 222 - ln A3 + 222B 89. p2

Sección 8.1, páginas 558-560 91. ln A2 + 23B 93. x = 0, y = 1

1. 2 28x2 + 1 + C 3. 2ssen yd3>2 + C 5. ln 5 ln A222 + 3B

7. 2 ln A 1x + 1B + C 9. - 1 ln ƒ sens3 - 7xd ƒ +C Sección 8.2, páginas 568-570
7 1. -2x cos sx>2d + 4 sen sx>2d + C

11. - ln ƒ csc seu + 1d + cot seu + 1d ƒ + C 3. t 2 sen t + 2t cos t - 2 sen t + C 5. ln 4 - 3
7. y tan-1s yd - ln 21 + y 2 + C 4

13. 3 ln ` sec t + tan t ` +C
3 3

15. -ln ƒ csc ss - pd + cot ss - pd ƒ + C 17. 1 9. x tan x + ln ƒ cos x ƒ + C

19. etan y + C 21. 3sx + 1d + C 23. 22w + C 11. sx3 - 3x2 + 6x - 6dex + C
ln 3 ln 2 13. sx2 - 7x + 7dex + C
15. sx5 - 5x4 + 20x3 - 60x2 + 120x - 120dex + C
25. 3 tan-1 3u + C 27. p>18 29. sen-1 s2 + C

31. 6 sec-1 ƒ 5x ƒ + C 33. tan-1 ex + C 35. ln A 2 + 23 B 17. p2 - 4 19. 5p - 3 23
8 9

37. 2p 39. sen-1 st - 2d + C 21. 1 s - e u cos u + eu sen ud + C
41. sec-1 ƒ x + 1 ƒ + C, cuando ƒ x + 1 ƒ 7 1 2
43. tan x - 2 ln ƒ csc x + cot x ƒ - cot x - x + C
23. e 2x s3 sen 3x 2 cos 3xd C
13 + +

45. x + sen 2x + C 47. x - ln ƒ x + 1 ƒ + C 49. 7 + ln 8

2t 2 tan-1 t 53. sen-1 x + 21 - x2 + C 25. 2 A 23s + 9 e 23s + 9 - e 23s + 9 B +C
2 3
51. - t + 2 a b + C

55. 22 57. tan x - sec x + C 59. ln ƒ 1 + sen u ƒ + C 27. p 23 - lns2d - p2
3 18

61. cot x + x + csc x + C 63. 4 65. 22 67. 2 1 sln xd x sen sln xd]
2
p 29. [ - x cos + + C
2
69. ln ƒ 12 + 1ƒ - ln ƒ 12 - 1ƒ 71. 4 -

31. (a) p (b) 3p (c) 5p (d) s2n + 1dp

73. -ln ƒ csc ssen ud + cot ssen ud ƒ + C 33. 2ps1 - ln 2d 35. (a) psp - 2d (b) 2p

75. ln ƒ sen x ƒ + ln ƒ cos x ƒ + C 77. 12 tan-1 A 2y B + C 37. 1 s1 e -2pd 39. u = xn, dy = cos x dx
2p
-

79. sec-1 ` x - 1` + C 81. ln ƒ sec stan td ƒ + C 41. u = xn, dy = eax dx 43. x sen-1 x + cos ssen-1 xd + C
7

R-40 Capítulo 8: Respuestas

45. x sec-1 x - ln ƒ x + 2x2 - 1 ƒ + C 47. Sí Sección 8.5, páginas 591-592 5. p>6

49. (a) x senh-1 x - cosh ssenh-1 xd + C 1. ln ƒ 29 + y2 + yƒ + C 3. p>4
(b) x senh-1 x - s1 + x2d1>2 + C
7. 25 sen-1 a5t b t 225 - t2 C
2 2
+ +

Sección 8.3, páginas 579-581 9. 1 ln ` 2x + 24x2 - 49 ` +C
2 7 7

1. 23 3. x 1 1 + 3 2y 2 -
x-3+x-2 + + 1d2 7B 7
sx 49 y 2x2 - 1
11. sec-1 a7 b R C 13. x C
-2 -1 2 17 - 12 - + +
z+ z2 + z - 1 -3 t-2
5. 7. 1 + t +

15. 1 sx 2 + 4d3>2 - 4 2x2 + 4 + C 17. - 2 24 - w2 + C
3 w
9. 1 [ln 1 xƒ ln ƒ 1 xƒ] C
2 ƒ + - - + 19. 423 - 4p>3 21. - x

2x2 - 1 +C

11. 1 ln ƒ sx + 6d2sx - 1d5 ƒ +C 13. sln 15d>2
7
1 21 - x2 b5 4x
23. -5 a x + C 25. 2 tan-1 2x + s4x2 + + C
1 1 1
15. - 2 ln ƒtƒ + 6 ln ƒt + 2ƒ + 3 ln ƒt - 1ƒ +C 17. 3 ln 2 - 2 1d

19. 1 ln ` x + 1 ` - x +C 21. sp + 2 ln 2d>8 27. 1 ay 3 + C 29. ln 9 - ln A1 + 210B
4 x - 1 2sx2 - 1d 3 21 -
b
y2

23. tan-1 y - 1 + C 31. p>6 33. sec-1 x + C 35. 2x2 - 1 + C
y2 +
1 2x 2 - 4 x
2
25. - ss - 1d-2 + ss - 1d-1 + tan-1 s + C 37. y = 2 B 2 - sec-1 a b R

27. -1 + ln (u2 + 2u + 2) - tan-1 su + 1d + C 3 a2x 3p
u2 + 2u + 2 2 -8
39. y = tan-1 b 41. 3p>4

29. x2 + ln ` x - 1 ` +C
x
2 23p
1 43. 1 tan sx>2d + C 45. 1 47. 9
x
31. 9x + 2 ln ƒ x ƒ + + 7 ln ƒ x - 1 ƒ +C -

33. y2 - ln ƒyƒ + 1 ln s1 + y2d + C 35. ln a e t + 1b + C 1 tan st>2d + 1 - 22
2 2 e t + 2 ln ` ` + C
49.

1 sen y - 2 22 tan st>2d + 1 + 22
5 sen y + 3`
37. ln ` +C 1 + tan su>2d

stan-1 2xd2 51. ln ` tan su>2d ` +C
4 1
6 -
x-2
39. - 3 ln ƒ x - 2 ƒ + +C

41. x = ln ƒ t - 2 ƒ - ln ƒ t - 1 ƒ + ln 2 43. x = t 6t - 1 Sección 8.6, páginas 600-603
+2

45. 3p ln 25 47. 1.10 1. 2 atan-1A x - 3b + C
23 3
1000e 4t
49. (a) x = 499 + e4t (b) 1.55 días 2sx - 2d
3. 2x - 2 a 3 + 4 b + C
51. (a) 22 -p (b) 0.04% (c) El área es menor que 0.003.
7 s2x - 3d3>2sx + 1d
5. 5 + C

Sección 8.4, páginas 585-586 7. - 29 - 4x - 2 ln ` 29 - 4x - 3` +C
1. 8>15 3. 4>3 5. 16>35 7. 3p 9. p 11. 2 x 3 29 - 4x + 3
13. 1 15. 4 17. 2 19. 2 ln A1 + 22B 21. 22
sx + 2ds2x - 6d24x - x2 4 sen-1 ax - 2b
6 2
9. + +C

23. 223 + ln A2 + 23B 25. 4>3 27. 4>3 - 1 ln ` 27 27 x2 `
27 x
4 11. + + C
3
29. 2s1 - ln 2d 31. - ln 23 33. -6>5 35. p +

2p a A 9 23 4 + 1 B 3>2 - 1 b 13. 24 - x2 - 2 ln ` 2 + 24 - x2 ` +C
x
37. 0 39. 27 41. ln A1 + 22B

43. p2>2 15. p - p2 + 25 sen-1 p + C
2 225 2 5

Capítulo 8: Respuestas R-41

17. 2 sen-1 r - 1 r 24 - r2 + C 77. x 22x - 2 c x2x - 2x d + C 79. xpx - px + C
2 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln p sln pd2
s d2

19. - 1 tan-1 c31 tan ap4 - ub d + C 81. 1 [sec set - 1d tan set - 1d + ln ƒ sec set - 1d
3 2

21. e 2t s2 cos 3t 3 sen 3td C + tan set - 1d ƒ ] + C
13
+ +

83. 22 + ln A 22 + 1B 85. p>3

23. x2 cos-1 sxd + 1 sen-1 sxd - 1 x 21 - x2 + C 87. 1 senh4 3x cosh 3x - 1 senh2 3x cosh 3x + 1 cosh 3x +C
2 4 4 120 90 45

25. s + 1 ln ` s + 3 ` +C 89. x2 senh 3x 2x cosh 3x 2 senh 3x C
18s9 - s2d 108 s - 3 3 9 27
- + +

27. 24x + 9 + 2 ln ` 24x + 9 - 3` +C 91. - sech7 x + C 101. 2p23 + p22 ln ( 22 + 23)
-x 3 24x + 9 + 3 7

29. 223t - 4 4 tan-1 3t - 4 C 103. x = 4>3, y = ln 22 105. 7.62 107. p>8 111. p>4
A 4
- +

31. x3 tan-1 x - x2 + 1 ln s1 + x2d + C Sección 8.7, páginas 613-619
3 6 6
1. I: (a) 1.5, 0 (b) 1.5, 0 (c) 0%
sen s7t>2d sen s9t>2d
33. cos 5x - cos x +C 35. 8 c 7 - 9 d + C II: (a) 1.5, 0 (b) 1.5, 0 (c) 0%
- 10 2
3. I: (a) 2.75, 0.08 (b) 2.67, 0.08 (c) 0.0312 L 3%

37. 6 sen su>12d + 6 sen s7u>12d C II: (a) 2.67, 0 (b) 2.67, 0 (c) 0%
7
+ 5. I: (a) 6.25, 0.5 (b) 6, 0.25 (c) 0.0417 L 4%

1 x 1 II: (a) 6, 0 (b) 6, 0 (c) 0%
2 + 2
39. ln (x 2 + 1) + + tan-1 x + C 7. I: (a) 0.509, 0.03125 (b) 0.5, 0.009 (c) 0.018 L 2%

2s1 x2d II: (a) 0.5, 0.002604 (b) 0.5, 0.0004 (c) 0%

41. ax 1 b sen-1 2x 1 2x x2 C 9. I: (a) 1.8961, 0.161 (b) 2, 0.1039 (c) 0.052 L 5%
2 2
- + - + II: (a) 2.0045, 0.0066 (b) 2, 0.00454 (c) 0%

43. sen-1 2x - 2x - x2 + C 11. (a) 0.31929 (b) 0.32812 (c) 1>3, 0.01404, 0.00521

21 - sen2 t - ln ` 1 + 21 - sen2 t ` 13. (a) 1.95643 (b) 2.00421 (c) 2, 0.04357, - 0.00421
sen t
45. +C 15. (a) 1 (b) 2

17. (a) 116 (b) 2

47. ln ƒln y + 23 + sln yd2 ƒ + C 19. (a) 283 (b) 2
49. ln ƒ3r + 29r2 - 1 ƒ + C
21. (a) 71 (b) 10

23. (a) 76 (b) 12

51. x cos-1 2x + 1 sen-1 2x - 1 2x - x2 + C 25. (a) 82 (b) 8
2 2 27. 15,990 pies3 29. 5166.346 pies L 0.9785 millas

sen4 2x cos 2x 2 sen2 2x cos 2x 4 cos 2x 31. L 10.63 pies
- 10 15 15
53. - - + C 33. (a) L0.00021 (b) L1.37079 (c) L0.015%

cos3 2pt sen 2pt 3 cos 2pt sen 2pt 35. (a) 3.11571 (b) 0.02588
p 2 p
55. + + 3t + C (c) Con M = 3.11, obtenemos ƒ ET ƒ … sp3>1200ds3.11d 7 0.081

sen3 2u cos2 2u sen3 2u 39. 1.08943 41. 0.82812
10 + 15
57. +C 59. 2 tan3 t + C 43. (a) T10 L 1.983523538, T100 L 1.999835504,
3
T1000 L 1.999998355

61. tan2 2x - 2 ln ƒ sec 2x ƒ + C (b) ƒ ET ƒ = 2 - Tn
n

63. 8 c- 1 cot3 t + cot t + td + C 10 0.016476462 = 1.6476462 * 10-2
3 100 1.64496 * 10-4
1000 1.645 * 10-6
65. ssec pxdstan pxd + 1 ln ƒ sec px + tan px ƒ +C
p p

67. sec2 3x tan 3x + 2 tan 3x + C (c) ƒ E10n ƒ 10 -2 En
3 3
L ƒ ƒ

69. - csc3 x cot x - 3 csc x cot x - 3 ln ƒ csc x + cot x ƒ +C (d) b - a = p, h2 = p2 , M = 1
4 8 8 n2

71. 4x4sln xd2 - 2x4sln xd + x2 + C 73. e 3x s3x - 1d + C ƒ En ƒ … p apn22 b = p3
2 9 12 12n2

75. 2x3ex>2 - 12x2ex>2 + 96ex>2 a2x - 1 b + C ƒ E10n ƒ … p3 = 10-2 ƒ En ƒ
12s10nd2

R-42 Capítulo 8: Respuestas 77. (a) y

45. (a) ƒ–sxd = 2 cos sx2d - 4x2 sen sx2d 0.4 x
(b) y = –4x2 sen(x2) + 2 cos(x2) 0.3 123
0.2
y 0.1

x –3 –2 –1 0

(b) L0.683, L0.954, L 0.997

(c) La gráfica muestra que 81. Diverge 83. Converge 85. Converge 87. Diverge
-3 … ƒ–sxd … 2 para -1 … x … 1 .

(d) ƒ ET ƒ 1 - s- 1d s ¢ x 2 ds 3 d ¢x2 Ejercicios prácticos, páginas 634-638
12 2
… = s2x + 1d5>2 s2x + 1d3>2
3. 10 - 6 + C
¢x2 0.12 1. 1 s 4x 2 - 9d3>2 + C
2 2 12
(e) ƒ ET ƒ … … 6 0.01 (f) n Ú 20
28x 2
5. 8 + 1 C 7. 1 ln s25 y2d C
2
+ + +

47. (a) 2.3, 1.6, 1.5, 2.1, 3.2, 4.8, 7.0, 9.3, 10.7, 10.7, 9.3, 6.4, 3.2

1 6 9. - 29 - 4t 4 + C 11. 9 sz 5>3 + 1d5>3 + C
4p 8 25
(b) L0 sCs y d d2 dy (c) L 34.7 pulgadas3.

(d)V L 34.79 pulgadas3, por medio de la regla de Simpson. La 13. 1 +C 15. - 1 ln ƒ 3 + 4 cos t ƒ +C
- 2s1 - cos 2ud 4
estimación de la regla de Simpson debe ser más precisa

que la estimación con la regla del trapecio. El error en 17. - 1 e cos 2x + C 19. - 1 cos3 seud + C 21. 2x - 1 + C
2 3 ln 2
la estimación de la regla de Simpson es proporcional a
¢x4 = 0.0625 , mientras que el error en la estimación con la 23. ln ƒ ln y ƒ + C 25. ln ƒ 2 + tan-1 x ƒ + C
regla del trapecio es proporcional a ¢x2 = 0.25 , un número

más grande cuando ¢x = 0.5 pulgadas. 27. sen-1 s2xd + C 29. 1 sen-1 a34t b + C
3
49. (a) L 5.870 (b) ƒ ET ƒ … 0.0032
51. 21.07 pulg. 53. 14.4 55. 54.9 31. 1 tan-1 a3t b +C 33. 1 sec-1 ` 5x ` +C
3 5 4

Sección 8.8, páginas 631-633 35. sen-1 ax - 2b + C 37. 1 tan-1 y - 2 + C
2 2 a 2 b

1. p>2 3. 2 5. 6 7. p>2 9. ln 3 11. ln 4 13. 0 x sen 2x
2 4
p 39. sec-1 ƒ x - 1 ƒ + C 41. - + C
2
15. 23 17. p 19. ln a1 + b 21. -1 23. 1

25. - 1/4 27. p>2 29. p>3 31. 6 33. ln 2 43. 2 cos3 a u b - 2 cos a2u b +C
3 2

35. Diverge 37. Converge 39. Converge 41. Converge tan2 s2td 1
4 2
43. Diverge 45. Converge 47. Converge 49. Diverge 45. - ln ƒ sec 2t ƒ +C

51. Converge 53. Converge 55. Diverge 57. Converge 47. - 1 ln ƒ csc s2xd + cot s2xd ƒ +C 49. ln 22 51. 2
2
59. Diverge 61. Converge 63. Converge
53. 2 22 55. x - 2 tan-1 a2x b + C
65. (a) Converge cuando p 6 1 (b) Converge cuando p 7 1

67. 1 69. 2p 71. ln 2 73. (b) L0.88621 57. x + x2 + 2 ln ƒ 2x - 1 ƒ + C

75. (a) 1 y
2 a2
yy 59. ln s y 2 + 4d - tan-1 b + C

1.8 1 61. - 24 - t 2 + 2 sen-1 a2t b + C 63. x - tan x + sec x + C

1.6 0.8

1.4 Si(x) = x sen t dt 0.6 1
1.2 L0 t 3
y = sen t 65. - ln ƒ sec s5 - 3xd + tan s5 - 3xd ƒ +C
1 t
0.4

0.8 0.2 67. 4 ln ` sen a4x b ` + C

0.6

0.4 t
0 5 10 15 20 25

0.2 –0.2 A 21 - xB3 A 21 - xB5

x 69. - 2£ - 5 ≥ +C
0 5 10 15 20 25

(b) p>2 3

Capítulo 8: Respuestas R-43

71. 1 A z 2z2 + 1 + ln ƒ z + 2z 2 + 1ƒ B + C u sen (2u + 1) cos (2u + 1)
2 163. 2 + 4 + C

73. ln ƒ y + 225 + y 2 ƒ + C 75. - 21 - x2 +C 165. x2 + 2x + 3 ln ƒ x - 1ƒ - 1 + C
x 2 -
x 1

77. sen-1 x - x 21 - x2 + C 79. ln ` x + 2x2 - 9` +C 167. -cos (22x) + C 169. -ln ƒ csc (2y) + cot (2y) ƒ + C
2 2 3 3

81. 2w2 - 1 - sec-1swd + C 171. 1 tan2 x + C 173. - 24 - (r + 2)2 + C
2
83. sx + 1dsln sx + 1dd - sx + 1d + C
1 sec2 22
1 175. 4 u + C 177. 2
6
85. x tan-1 s3xd - ln s1 + 9x 2 d + C

( 22 - x)3 - 2 22 - xb + C 181. tan-1 ( y - 1) + C
87. sx + 1d2ex - 2sx + 1dex + 2ex + C 179. 2 a 3

89. 2ex sen 2x + ex cos 2x + C 183. 1 ln ƒ sec u3 ƒ + C
5 5 3

91. 2 ln ƒ x - 2 ƒ - ln ƒ x - 1 ƒ + C 1 1 1 c21 ln (z2 + 4) + 1 tan-1 z d
4 4z 4 2 Q2R
1 185. ln ƒzƒ - - +C
+
93. ln ƒ x ƒ - ln ƒ x + 1ƒ + x 1 + C

1 cos u - 1 187. - 1 29 - 4t 2 + C 189. ln ƒ sen u ƒ - 1 ln (1 + sen2 u) + C
3 cos u + 2 4 2
95. - ln ` ` +C

97. 4 ln ƒ x ƒ 1 ln sx2 1d 4 tan-1 x C 191. ln ƒ sec 2y ƒ + C 193. - u ln ` u + 2 ` +C 195. x + C
2 u - 2
- + + +

2d5sy 197. cos x + C 199. ln (1 + et ) + C 201. 1>4
y6 -2
1 sy - + 2d
16 ln ` `
99. + C 2 3>2
3
203. ln ƒ ln sen y ƒ + C 205. x + C

101. 1 tan-1 t - 23 tan-1 t + C 207. - 1 tan-1 cos (5t) + C 209. 1 a2l7n32u +71 b + C
2 6 23 5 3

103. x2 + 4 ln ƒx + 2ƒ + 2 ln ƒx - 1ƒ +C 211. 2 2r - 2 ln (1 + 2r) + C
2 3 3
y 2 2 215. 4 sec-1 a72m b + C
x2 9 3 213. ln ` y + 2 ` + y - y2 +C
2 2 2
105. - ln ƒx + 3ƒ + ln ƒx + 1ƒ + C

1 2x 1 1` 217. 28 - 1 219. p (3b - a) + 2
3 2x 1 1 6 2
107. ln ` + - +C 109. ln ƒ 1 - e -s ƒ + C
+ +

111. - 216 - y 2 + C 113. - 1 ln ƒ4 - x2 ƒ + C Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 638-641
2 1. xssen-1 xd2 + 2ssen-1 xd 21 - x2 - 2x + C

115. ln 1 + C 117. 1 ln ` x + 3 ` +C
29 - x2 6 x - 3

cos5 x cos7 x tan5 x 3. x2 sen-1 x x 21 - x2 - sen-1 x C
5 7 5 2 4
119. C 121. C + +

- + + +

123. cos u - cos 11u + C 125. 421 - cos st>2d + C ln ƒ sec 2u + tan 2u ƒ + 2u
2 22 5. 4 + C

127. Por lo menos 16 129. T = p, S = p 131. 25°F 7. 1 aln At - 21 - t2B - sen-1 t b + C
2

133. (a) L 2.42 gal (b) L24.83 mi>gal 1 x 2 + 2x + 2` 1
16 x 2 - 2x + 2 8
135. p>2 137. 6 139. ln 3 141. 2 143. p>6 9. ln ` + stan-1 sx + 1d + tan-1 sx - 1dd +C

145. Diverge 147. Diverge 149. Converge 11. 0 13. lns4d - 1 15. 1 17. 32p>35 19. 2p

151. 2x 3>2 - x + 2 2x - 2 ln (2x + 1) + C 21. (a) p (b) ps2e - 5d
3
8sln 2d2
153. ln ` 2x ` 1 x 2 23. (b) pa 3 - 16sln 2d + 16 b 25. ae2 + 1, e - 2b
2x2 + 1 2 9 27 4 2
- a b +C

2x2 + 1 e2

155. sen-1 (x + 1) + C 157. ln ƒ u + 21 + u2 ƒ + C 27. 21 + e2 - ln a 21 + + 1 b - 22 + ln A1 + 22 B
e e

159. - 2 cot x - ln ƒ csc x + cot x ƒ + csc x + C 29. 6 31. y = 2x, 0 … x … 4 33. (b) 1

161. 1 ln ` 3 + y ` + 1 tan-1 y +C 37. a = 21, - ln 2 39. 1 6 p … 1
12 3 - y 6 3 4 2

R-44 Capítulo 9: Respuestas

41. e 2x s3 sen 3x + 2 cos 3xd + C dy 4y
13 (d) dt = 10 - 100 + t , ys0d = 50,

43. cos x sen 3x - 3 sen x cos 3x C y = 2s100 + td - 150
8
+ t 4
100
e ax a1 + b
+
45. 2 2 sa sen bx - b cos bxd + C 47. x ln saxd - x + C y s25d
(e) Concentración = cantidad de salmuera en el depósito =
a b

188.6 L 1.5 libras>gal
125
L
CAPÍTULO 9 27. ys27.8d L 14.8 lb, t L 27.8 min 29. t = R ln 2 seg

Sección 9.1, páginas 648-650 31. (a) i = V - V e -3 = V s1 - e -3d L 0.95 V amp (b) 86%
R R R R
2
9. 3 y3>2 - x1>2 = C 11. ey - ex = C 33. y = 1 35. y 3 = 1 + Cx -3
+ Ce -x
1

13. - x + 2 tan 2y = C 15. e -y + 2e 2x = C

17. y = sensx2 + Cd 19. (d) 21. (a) Sección 9.3, páginas 664-665

23. y 25. 1. y sexactad = x - 4x, y1 = - 0.25, y2 = 0.3, y3 = 0.75
2

3. y sexactad = 3exsx+2d, y1 = 4.2, y2 = 6.216, y3 = 9.697
5. y sexactad = ex2 + 1, y1 = 2.0, y2 = 2.0202, y3 = 2.0618

x 7. y L 2.48832 , el valor exacto es e.

9. y L -0.2272 , el valor exacto es 1> A1 - 225B L -0.2880

11.

27. 29. xz y aprox. y exacta Error

y y 01 3 30

0.2 4.2 4.608 4.658122 0.050122

4 4 0.4 6.81984 7.623475 7.835089 0.211614
3 3
2 2 0.6 11.89262 13.56369 14.27646 0.712777
1 1
x 1234 x 13. El método de Euler da y L 3.45835; la solución exacta es y = 1 +
–4 –3 –2 –1 –4 –3 –2 –1 e L 3.71828
–1 1234 –1
–2 –2 15. y L 1.5000; el valor exacto es 1.5275.
–3 –3
–4 –4 17. (a) y= x2 - 1 , ys3d = - 0.2
2x 2
+

(b) -0.1851, error L 0.0149 (c) -0.1929, error L 0.0071

(d) -0.1965, error L 0.0035

Sección 9.2, páginas 657-659 19. La solución exacta en y = x2 1 , por lo que ys3d = - 0.2 .
2x 2
- +

1. y = ex + C, x70 3. y = C - cos x, x70 Para determinar la aproximación, sea zn = yn-1 + 2yn -1 (xn-1
x x
3 - 1)dx y yn = yn - 1 + s yn2- 1 sxn - 1 - 1d + zn2 sxn2 - 1dd dx

5. y = 1 - 1 + C , x70 7. y = 1 xe x>2 + Ce x>2 1
2 x x2 2 2
con valores iniciales x0 = 2 y y0 = - . Utilice una hoja de

9. y = xsln xd2 + Cx cálculo, una calculadora o un software matemático como se indi-

t3 t C ca en los incisos (a) a (d).
3st - 1d4 - 1d4 st - 1d4
11. s = - + (a) - 0.2024, error L 0.0024

st

13. r = scsc udsln ƒ sec u ƒ + Cd, 0 6 u 6 p>2 (b) - 0.2005, error L 0.0005

3 1 -2t 1 p (c) - 0.2001, error L 0.0001
2 2 u 2u
15. y = - e 17. y = - cos u + (d) Cada vez que el tamaño del paso se divide a la mitad, el error
se reduce a un cuarto de lo que era para el tamaño de paso
19. y = 6ex 2 - ex2 21. y = y0 ek t más grande.
x+1

23. (b) es correcta, pero (a) no. Sección 9.4, páginas 671-672

25. (a) 10 libras>min (b) s100 + td gal 1. y¿ = s y + 2ds y - 3d
(a) y = - 2 es un valor de equilibrio estable y y = 3 es un
y equilibrio inestable.
(c) 4 a100 + t b libras>min

Capítulo 9: Respuestas R-45

(b) y– 2s y 2d ay 1 b s y 3d 7. y¿ = s y - 1ds y - 2ds y - 3d
2
= + - -

y' > 0 –2 y' < 0 y' > 0 y (a) y = 1 y y = 3 son equilibrios inestables y y = 2 es un
y'' > 0 equilibrio estable.
–4 02 4
y'' < 0 y'' < 0 y'' > 0 (b) y– = s3y2 - 12y + 11ds y - 1ds y - 2ds y - 3d =

sy - 1d ay - 6 - 23 b s y - 2d ay - 6 + 23 b s y - 3d
3 3
0.5
(c) y y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0
y' > 0, y'' > 0
4 01 2 3 4y

y'< 0 y ' > 0 y'' < 0 y ' > 0 y'' < 0 y'' > 0

2 y' < 0, y'' < 0

y = 1/2 x
0.5 1 1.5
–0.5 6 – ͙3ළ ≈ 1.42 6 + ͙ළ3 ≈ 2.58
–2 y' < 0, y'' > 0 3 3
y' > 0, y'' < 0
(c) y

3. y¿ = y3 - y = s y + 1dys y - 1d 4 y' > 0, y'' > 0
3.5 y' < 0, y'' < 0
(a) y = - 1 y y = 1 son equilibrios inestables y y = 0 es un y' < 0, y'' > 0
equilibrio estable. 3 y' > 0, y'' < 0
2.5 y' > 0, y'' > 0
(b) y– = s3y2 - 1dy¿ = 3s y + 1dAy + 1> 23ByAy - 1> 23B y' < 0, y'' < 0
2
s y - 1d 15 x
1 23
1
0.5

–1

y' < 0 y' > 0 y' < 0 y' > 0 dP 21; d 2P
dt dt 2
1.5 y 9. = 1 - 2P tiene un equilibrio estable en P = =
y'' > 0
–1.5 –1 –0.5 0 0.5 dP
y'' < 0 y'' > 0 y ' < 0 y'' > 0 y ' < 0 - 2 dt = - 2s1 - 2Pd .

(c) y –1 1
√3 √3

1.5 P
y' > 0, y'' > 0 1.5

0.5 y' < 0, y'' < 0 1
y' < 0, y'' > 0
– 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 P' < 0, P'' > 0
– 0.5 x
y' > 0, y'' < 0 0.5
y' > 0, y'' > 0
y' < 0, y'' < 0 P' > 0, P'' < 0

t
0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

–0.5

–1.5 11. dP 2PsP 3d tiene un equilibrio estable en P = 0 y un equi-
dt
= -

5. y¿ = 2y, y 7 0 librio inestable en P = 3; d 2P = 2s2P - 3d dP =
(a) No hay valores de equilibrio. dt 2 dt

4Ps2P - 3dsP - 3d

(b) y– = 1 P' > 0 P' < 0 P' > 0
2
P
y' > 0 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P'' < 0 P'' > 0 P'' < 0 P'' > 0

0123 y
y'> 0 4

(c) y y' > 0 p
17.5 y'' > 0
4
15
P' > 0, P'' > 0
12.5
10 3

7.5 2 P' < 0, P'' < 0

5 1 P' < 0, P'' > 0

2.5 x t
–2 2 468 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

–1 P' > 0, P'' < 0

–2

R-46 Capítulo 9: Respuestas

13. Antes de la catástrofe, la población exhibía un crecimiento logís- Sección 9.5, páginas 680-681
tico y P(t) aumentaba hacia M0, el equilibrio estable. Después de
la catástrofe, la población disminuye logísticamente y P(t) dis- 1. (a) 168.5 m (b) 41.13 seg
minuye hacia M1, el nuevo equilibrio estable. 3. sstd = 4.91s1 - e -s22.36>39.92dtd

Antes de la catástrofe Después de la catástrofe 5. (a) Pstd = 150
P P 24e -0.225t
1 +

(b) Alrededor de 17.21 semanas; 21.28 semanas

M0 7. (a) ystd = 8 * 107 Q ys1d L 2.69671 * 107 kg
Pc 1 + 4e -0.71t

tcatástrofe M1 (b) t L 1.95253 años
t
t 9. (a) y = 2et - 1 (b) ystd = 400
199e -200t
tcatástrofe 1 +

dy k 11. (a) Pstd = 1 P0 (b) Asíntota vertical en t = 1
dt m - kP0 t kP0
15. =g- y2, g, k, m 7 0 y ystd Ú 0

Equilibrio: dy = g - k y 2 = 0Qy = mg 13. x2 + y 2 = C
dt m Ak

Concavidad: d 2y = - 2 amk y b dy = - 2 amk y b ag - k y2 b y
dt 2 dt m

(a) dy > 0 dy < 0
dt dt
v
0 d 2y d 2y
dt2 < 0 dt2 > 0 x

mg

yeq = √ k

(b) y

mg
√k

15. ln ƒ y ƒ - 1 y 2 = 1 x 2 + C
2 2

y

t

(c) yterminal = 160 = 178.9 pies/seg = 122 mph
A 0.005

17. F = Fp - Fr; ma = 50 - 5 ƒ y ƒ; dy = 1 s50 - 5 ƒ y ƒ d . La velo- x
dt m
kx2 + y2 = 1
cidad máxima ocurre cuando dy = 0oy = 10 pies>seg .
dt 17. y = ; 22x + C

19. Línea de fase: y

di > 0 di < 0 x
dt dt
i
0 d 2i d 2i
dt2 < 0 dt2 > 0

ieq = V
R

Si el interruptor se cierra en t = 0, entonces i(0) = 0 y la gráfica
de la solución se parece a ésta:

i

V
R

t

Cuando t : q , istd : iestado estable = V .
R

Capítulo 10: Respuestas R-47

Ejercicios prácticos, páginas 682-683 39. y sexactad = - esx2-1d>2; y(2) L - 3.4192 ; el valor exacto es
- e3>2 L - 4.4817 .
1. y= atan-1 ax + Cb b2 3. y 2 = sen-1 s2 tan x + Cd
2 41. (a) y = - 1 es estable y y = 1 es inestable.

5. y= - ln aC - 2 sx - 2d5>2 - 4 sx - 2d3>2 b (b) d 2y = dy = 2ys y 2 - 1d
5 3 dx 2 2y dx

7. tan y = - x sen x - cos x + C 9. s y + 1de -y = - ln ƒ x ƒ + C y = –1 y=1

11. y = C x - 1 13. y = x4 e x>2 + Ce x>2 dy > 0 dy < 0 dy < 0 dy > 0
x 4 dx dx dx dx
y
d 2y d 2y d 2y d 2y
x2 e-x + C dx2 < 0 dx2 > 0 dx2 < 0 dx2 > 0
1 + ex
15. y - 2x + C 17. y 19. xy + y 3 = C y=0
2x 2
= =

21. y = - 2 + lns2 - e -xd 23. y = 2x3 + 3x2 + 6 (c) y
6sx + 1d2
2

25. y = 1 s1 - 4e -x3d 27. y = 4x - 42x + 1 1
3

29. y = e -x s3x3 - 3x2d 0x
0.5 1 1.5 2 2.5
31.
–1
xy xy –2

00 1.1 1.6241 Ejercicios adicionales y avanzados, páginas 683-684
0.1 0.1000 1.2 1.8319
0.2 0.2095 1.3 2.0513 1. (a) y = c + sy0 - cde -k sA>V dt
0.3 0.3285 1.4 2.2832 (b) Solución de estado estable: yq = c
0.4 0.4568 1.5 2.5285
0.5 0.5946 1.6 2.7884 3. 0.179%
0.6 0.7418 1.7 3.0643
0.7 0.8986 1.8 3.3579 APÉNDICES
0.8 1.0649 1.9 3.6709
0.9 1.2411 2.0 4.0057
1.0 1.4273
Apéndice A.5

1. (a) (14, 8) (b) s - 1, 8d (c) s0, - 5d

33. y (3) L 0.9063 3. (a) Reflejando z con respecto del eje real
35.
(b) Reflejando z con respecto del eje imaginario
(a)
(c) Reflejando z en el eje real y luego multiplicando la longitud

del vector por 1> ƒ z 2

ƒ

5. (a) Puntos sobre la circunferencia x2 + y 2 = 4

(b) Puntos dentro de la circunferencia x2 + y 2 = 4

(c) Puntos fuera de la circunferencia x2 + y 2 = 4

[–0.2, 4.5] por [–2.5, 0.5] 7. Puntos sobre el círculo de radio 1 con centro en s -1, 0d
9. Puntos sobre la recta y = - x 11. 4e2pi>3 13. 1e2pi>3
(b) Observe que elegimos un intervalo pequeño de valores
de x, ya que los valores de y disminuyen rápidamente 15. cos4 u - 6 cos2 u sen2 u + sen4 u 17. 1, - 1 ; 23 i
y su calculadora no puede manejar los cálculos para 2 2
x … - 1 . (Esto sucede debido a que la solución analítica
es y = - 2 + lns2 - e -xd , que tiene una asíntota en 19. 2i, - 23 - i, 23 - i 21. 26 ; 22 i, - 26 ; 22 i
x = - ln 2 L - 0.69 . Obviamente, las aproximaciones de 23. 1 ; 23i, - 1 ; 23i 2 2 2 2
Euler son engañosas para x … - 0.7).

[–1, 0.2] por [–10, 2]

37. y sexactad = 1 x 2 - 23; y(2) L 0.4 ; el valor exacto es 1
2 2