Calculo una Variable - Thomas

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 33

y y ϭ log2 x otras (tales como las funciones hiperbólicas que analizaremos en el capítulo 7). Un ejem-
y ϭ log3x plo de una función trascendente es la catenaria. Su gráfica toma la forma de un cable, co-
mo el del teléfono o el televisor, cuyos extremos están sujetos por dos soportes, y que
1 cuelga libremente por su propio peso (figura 1.45).

01 x EJEMPLO 1 Identificar el tipo de función
y ϭ log5x
De acuerdo con la descripción de la sección precedente, identifique a qué tipo pertenece
1 y ϭ log10 x cada una de las funciones dadas a continuación. Tenga en cuenta que algunas funciones
pueden pertenecer a más de una categoría. Por ejemplo, ƒsxd = x2 es, al mismo tiempo,
FIGURA 1.44 Gráficas de cuatro una función potencia y una función polinomial de segundo grado.
funciones logarítmicas.

(a) ƒsxd =1 + x - 1 x 5 (b) g sxd = 7x (c) hszd = z7
2

y (d) ystd = sen Qt - p
4R

Solución

(a) ƒsxd =1 + x - 1 x 5 es una función polinomial de grado 5.
2

1 (b) g sxd = 7x es una función exponencial de base 7. Observe que la variable x es el ex-
ponente.

–1 0 1 x (c) hszd = z7 es una función potencia. (La variable z es la base).

FIGURA 1.45 Gráfica de una catenaria (d) ystd = sen Qt - p es una función trigonométrica.
(del latín catena, que significa “cadena”) 4R
o cable colgante.

Funciones crecientes y decrecientes

Si la gráfica de una función sube o se eleva conforme nos movemos de izquierda a derecha
(por el eje x), decimos que la función es creciente; si desciende o baja a medida que nos
movemos de izquierda a derecha, decimos que es decreciente. En la sección 4.3 se dan las
definiciones formales de funciones crecientes y funciones decrecientes, y se explica cómo
encontrar los intervalos en los que una función es creciente y en los que es decreciente.
Los siguientes son ejemplos que se ilustran en las figuras 1.36, 1.37 y 1.38.

Función Donde crece Donde decrece

y = x2 0…x6q -q 6 x … 0
y = x3 -q 6 x 6 q Ningún punto
y = 1>x Ningún punto -q 6 x 6 0y0 6 x 6 q
y = 1>x2 -q 6 x 6 0 06x6 q
y = 2x 0…x6 q Ningún punto
y = x2>3 0…x6 q -q 6 x … 0

Funciones pares y funciones impares: simetría
Las gráficas de funciones pares e impares se caracterizan por sus propiedades de simetría.

34 Capítulo 1: Preliminares

DEFINICIONES Función par, función impar
Una función y = ƒsxd es una

función par de x si ƒs -xd = ƒsxd,
función impar de x si ƒs -xd = - ƒsxd,

para toda x en el dominio de la función.

y Los nombres de par e impar para las funciones se deben a las potencias de x. Si y es

una potencia par de x como en y = x2 o y = x4 , constituye una función par de x (ya que

( x, y) y ϭ x2 s - xd2 = x2 y s - xd4 = x4d . Si y es una potencia impar de x, como en y = x o y = x3 , re-
(x, y) presenta una función impar de x (ya que s - xd1 = - x y s - xd3 = - x3d .

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. Como ƒs -xd = ƒsxd,

un punto (x, y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto s -x , yd también lo está (figura

0 x 1.46a). Una reflexión sobre del eje y deja la gráfica igual.
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Como

(a) ƒs - xd = - ƒsxd , un punto (x , y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto s - x , - yd tam-

y bién lo está (figura 1.46b). De manera equivalente, una gráfica es simétrica respecto al
origen si una rotación de 180º alrededor del mismo deja la gráfica igual. Observe que las
y ϭ x3 definiciones implican que tanto -x deben estar en el dominio de f.
(x, y)

EJEMPLO 2 Reconocer funciones pares e impares

0 x
( x, y)
ƒsxd = x2 Función par: s - xd2 = x2 para todo x; es simetría respecto al eje y
(b)
ƒsxd = x2 + 1 Función par: s - xd2 + 1 = x2 + 1 para todo x; es simetría respec-
to al eje y (figura 1.47a).

ƒsxd = x Función impar: s -xd = - x para todo x; es simetría respecto al
origen

FIGURA 1.46 En la parte (a), la gráfica y y
de y = x2 (una función par) es simétrica y ϭ x2 ϩ 1 yϭxϩ1

respecto del eje y. En la parte (b), la y ϭ x2
gráfica de y = x3 (una función impar) es

simétrica respecto del origen.

yϭx
11

xx
0 –1 0

(a) (b)

FIGURA 1.47 (a) Cuando sumamos el término constante 1 a la
función y = x2 , la función resultante y = x2 + 1 sigue siendo par
y su gráfica sigue siendo simétrica respecto del eje y (b) Cuando
sumamos el término constante 1 a la función y = x , la función
resultante y = x + 1 ya no es impar. La simetría respecto del origen
se pierde (ejemplo 2).

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 35

ƒsxd = x + 1 No es impar: ƒs - xd = - x + 1 , pero - ƒsxd = - x - 1 . Las dos
son diferentes.
No es par: s - xd + 1 Z x + 1 para toda x Z 0 (figura 1.47b).
Ninguna de las dos.

Modelos matemáticos

Para ayudarnos a entender mejor nuestro mundo, es frecuente que recurramos a descrip-
ciones matemáticas de fenómenos particulares, por ejemplo, utilizando una función o una
ecuación. Tales descripciones son llamados modelos matemáticos que constituyen una
idealización de los fenómenos del mundo real, y rara vez son representaciones completa-
mente exactas. A pesar de que todos los modelos tienen limitaciones, uno bueno puede
proveer valiosos resultados y conclusiones, tal como se ilustra en la figura 1.48.

Datos del Simplificación Construcción
mundo real del modelo

Verificación Análisis

Predicciones/ Conclusiones

explicaciones Interpretación matemáticas

FIGURA 1.48 Flujo del proceso de modelado,
empezando con un análisis de los datos del
mundo real.

Casi todos los modelos simplifican la realidad, y sólo son capaces de imitar el com-
portamiento del mundo real de forma aproximada. Una relación que permite este tipo de
simplificación es la proporcionalidad.

DEFINICIÓN Proporcionalidad
Dos variables y y x son proporcionales (una respecto a la otra) si una siempre es
una constante multiplicada por la otra; es decir, si

y = kx

para alguna constante k distinta de cero.

La definición anterior implica que la gráfica de y contra x es de una recta que pasa por
el origen. Esta observación gráfica es útil para probar si una colección de datos determina-
da da por resultado una relación razonable de proporcionalidad. Si una proporcionalidad
es razonable, la graficación de una variable contra la otra debe aproximarse a una recta
que pasa por el origen.

EJEMPLO 3 La Tercera Ley de Kepler

La Tercera Ley de Kepler es una famosa proporcionalidad, postulada por el astrónomo ale-
mán Johannes Kepler a principios del siglo XVII. Si T es el periodo, en días, que transcu-
rre para que un planeta describa una órbita completa alrededor del Sol, y R es la distancia
media entre el planeta y el Sol, de acuerdo con Kepler T es proporcional a R elevado a la
potencia 3/2. Esto es, para alguna constante k,

T = kR3>2 .

36 Capítulo 1: Preliminares

Comparemos la ley de Kepler con los datos de la tabla 1.3, tomados de un almanaque
mundial publicado en 1993.

TABLA 1.3 Periodos orbitales y distancias medias
de los planetas al Sol

Planeta T R Distancia media
Periodo (días) (miles de millones)

Mercurio 88.0 36
Venus 224.7 67.25
Tierra 365.3 93
Marte 687.0 141.75
Júpiter 4,331.8 483.80
Saturno 10,760.0 887.97
Urano 30,684.0 1,764.50
Neptuno 60,188.3 2,791.05
Plutón 90,466.8 3,653.90

El principio gráfico de este ejemplo puede ser nuevo para usted. Para trazar la gráfica
de T contra R3>2 primero calculamos el valor de R3>2 para cada valor de la tabla 1.3. Por
ejemplo, 3653.903>2 L 220,869.1 y 363>2 = 216 . El eje horizontal representa R3>2 (no los
valores de R) y graficamos los pares ordenados sR3>2, Td en el plano cartesiano como se
muestra en la figura 1.49. La graficación de los pares ordenados, o diagrama de disper-
sión, nos da una representación gráfica del periodo contra la distancia media elevada a la
potencia 3/2. Observe que el diagrama de dispersión ilustrado en la figura está, aproximada-
mente, a lo largo de la recta que pasa por el origen. Tomando dos puntos que estén en dicha
recta podemos estimar con facilidad la pendiente, que es la constante de proporcionalidad
(en días por millas * 10-4).

90, 466.8 - 88
k = pendiente = 220,869.1 - 216 L 0.410

Estimamos que el modelo de la Tercera Ley de Kepler es T = 0.410R3>2 (el resultado de-
pende de las unidades que decidamos utilizar). Es preciso que seamos cautos y puntualice-
mos que ésta no es una prueba de la Tercera Ley de Kepler. No podemos probar o verificar

T

Periodo (días) 90,000

60,000

30,000

00 80,000 160,000 R3/2
240,000

(Millas ϫ 10 4)

FIGURA 1.49 Gráfica de la tercera ley de Kepler como
una proporcionalidad: T = 0.410R3>2 (ejemplo 3).

1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 37

un teorema a partir de sólo unos cuantos ejemplos. Sin embargo, la figura 1.49 sugiere que
la Tercera Ley de Kepler es razonable.

El concepto de proporcionalidad es una manera de verificar qué tan razonable es la
relación que se ha supuesto entre dos variables, como en el ejemplo 3. También puede dar-
nos la base para construir íntegramente un modelo empírico a partir de una tabla de datos
recopilados, para el modelo.

EJERCICIOS 1.4

Reconocimiento de funciones 6. a. y = 5x b. y = 5x c. y = x5
y g
En los ejercicios 1-4, identifique de qué tipo de función se trata en
cada caso: constante, lineal, de potencia, polinomial (establezca el
grado), racional, algebraica, trigonométrica, exponencial o logarítmi-
ca. Recuerde que algunas funciones pueden corresponder a más de
una categoría.

1. a. ƒsxd = 7 - 3x b. gsxd = 25 x h
d. rsxd = 8x 0x
c. hsxd = x2 - 1
x2 + 1 b. Gstd = 5t f
d. Rszd = 23 z7
2. a. Fstd = t 4 - t
c. Hszd = 2z3 + 1

3. a. y = 3 + 2x b. y = x5>2 - 2x + 1
x-1

c. y = tan px d. y = log7 x Funciones crecientes y decrecientes

4. a. y = log5 a1t b b. ƒszd = z5 Trace las gráficas de las funciones de los ejercicios 7-18. ¿Qué sime-
2z + 1 trías (si las hay) tienen las gráficas? Especifique los intervalos en don-
de la función es creciente y los intervalos donde es decreciente.

c. gsxd = 21>x d. w = 5 cos a2t + p b 7. y = - x3 8. y = 1
6 - x2

En los ejercicios 5 y 6, relacione cada función con su gráfica. No utilice 9. y = 1 10. y = 1
calculadora graficadora ni computadora, y justifique sus respuestas. -x ƒxƒ

11. y = 2ƒ x ƒ 12. y = 2 -x
13. y = x3>8
5. a. y = x4 b. y = x7 c. y = x10 15. y = - x3>2 14. y = - 4 2x
y h 17. y = s - xd2>3
16. y = s - xd3>2
g
18. y = - x2>3

0 x Funciones pares e impares
f
En los ejercicios 19-30, determine si la función es par, impar o ningu-
na de las dos. Justifique sus respuestas usando la definición.

19. ƒsxd = 3 20. ƒsxd = x -5

21. ƒsxd = x2 + 1 22. ƒsxd = x2 + x
23. gsxd = x3 + x 24. gsxd = x4 + 3x2 - 1

38 Capítulo 1: Preliminares

25. gsxd = 1 26. gsxd = x tentativamente “Quaoar”. El planeta “nuevo” está aproximada-
x2 - x2 - mente a 4000 millones de millas de la Tierra, en el extremo del
1 1 sistema solar conocido como Cinturón de Kuiper. Usando la Ter-
cera Ley de Kepler, estime el tiempo T que requiere Quaoar para
27. hstd = t 1 1 28. hstd = ƒ t3 ƒ describir una órbita completa alrededor del Sol.
-
T 35. Alargamiento de un resorte Es necesario crear un modelo pa-
29. hstd = 2t + 1 30. hstd = 2 ƒ t ƒ + 1 ra determinar la respuesta de un resorte con diferentes cargas, con
el propósito de diseñar un vehículo que responda apropiadamente
Proporcionalidad a las condiciones de un camino, sin importar que se trate de un
camión de volteo, un vehículo utilitario o un auto de lujo. Se rea-
En los ejercicios 31 y 32, evalúe si el conjunto de datos dados satisfa- lizó un experimento para medir el estiramiento y de un resorte, en
cen razonablemente la suposición de proporcionalidad señalada. Trace pulgadas, como una función del número x de unidades de masa
un diagrama de dispersión apropiado para su investigación y, si la hi- colocadas como carga en él.
pótesis de proporcionalidad parece razonable, estime la constante de
proporcionalidad. x (núm. de uni-
dades de masa)
31. a. y es proporcional respecto a x
y (alargamiento
y1 2 3 4 5 6 7 8 en pulgadas) 0 12345
0 0.875 1.721 2.641 3.531 4.391
x 5.9 12.1 17.9 23.9 29.9 36.2 41.8 48.2
b. y es proporcional respecto a x1>2

y 3.5 5 6 7 8 x (núm. de uni-
dades de masa) 6 7 8 9 10
x 3 6 9 12 15
32. a. y es proporcional respecto a 3x y (alargamiento
en pulgadas) 5.241 6.120 6.992 7.869 8.741
y 5 15 45 135 405 1215 3645 10,935
a. Trace un diagrama de dispersión a partir de los datos, para
x0 1 2 3 4 5 6 7 comprobar qué tan razonable es la hipótesis de que el estira-
miento y es proporcional respecto a la masa x.
b. y es proporcional respecto a x
b. Estime la constante de proporcionalidad mediante la gráfica
y 2 4.8 5.3 6.5 8.0 10.5 14.4 15.0 que obtuvo en el inciso (a).

x 2.0 5.0 6.0 9.0 14.0 35.0 120.0 150.0 c. Prediga el estiramiento del resorte con una carga de 13 unida-
des de masa.
T 33. La siguiente tabla muestra la distancia recorrida por un automóvil
durante el tiempo que pasa entre la reacción del conductor y el 36. Pinos de La Ponderosa En la tabla siguiente, x representa la
uso de los frenos (distancia de reacción), y la distancia que reco- cincha (circunferencia), medida en pulgadas (in.), que tiene un pi-
rre el auto entre el uso de los frenos y el frenado completo (dis- no a una altura determinada, y y representa el número de pies de
tancia de frenado). Las distancias (en pies) dependen de la veloci- tabla (pt) de la madera que se obtiene de él finalmente.
dad a la que esté circulando el auto (en millas por hora).
Determine si las siguientes suposiciones de proporcionalidad son x (pulg.) 17 19 20 23 25 28 32 38 39 41
razonables, y estime las constantes de proporcionalidad.
y (pt) 19 25 32 57 71 113 123 252 259 294
a. la distancia de reacción es proporcional a la velocidad.
Formule y compruebe estos dos modelos: que el número de pies
b. la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad. de tabla utilizables es proporcional (a) al cuadrado de la cincha, y
(b) al cubo de la cincha. ¿Cuál de estos modelos ofrece una “ex-
34. En octubre de 2002 los astrónomos descubrieron, más allá de plicación” más apropiada que el otro?
Neptuno, un pequeño planeta congelado y rocoso al que llamaron

Rapidez (mph) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Distancia de
reacción (pies) 22 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88

Distancia de
frenado (pies) 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 318 376

1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas

En esta sección se analizarán las principales métodos para combinar funciones y transfor-
marlas en nuevas funciones.

1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 39

Sumas, restas, productos y cocientes

Como los números, las funciones reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse
(excepto cuando el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Si f y g son fun-
ciones reales, definidas para toda x que pertenezca al dominio tanto de f como de g (esto es,
para x H Dsƒd ¨ Dsgd), definimos las funciones ƒ + g, ƒ - g, y ƒg mediante las fórmulas

sƒ + gdsxd = ƒsxd + gsxd .

sƒ - gdsxd = ƒsxd - gsxd.

sƒgdsxd = ƒsxdgsxd.

Observe que el signo + en el lado izquierdo de la primera función representa la operación
de suma de funciones, mientras que el signo + en el lado derecho de la misma significa la
suma de los números reales ƒ(x) y g(x).

Para cualquier punto de Dsƒd ¨ Dsgd en el que gsxd Z 0, también podemos definir la
función ƒ>g mediante la fórmula

ƒ ƒsxd sdonde gsxd Z 0d .
ag bsxd = gsxd

Las funciones también pueden multiplicarse por constantes: si c es un número real, la
función cƒ está definida para toda x real en el dominio de f mediante

scƒdsxd = cƒsxd.

EJEMPLO 1 Combinación de funciones algebraicamente
Las funciones definidas por las fórmulas

ƒsxd = 2x y g sxd = 21 - x,

tienen los dominios Dsƒd = [0, q d y Dsgd = s - q, 1]. Los puntos comunes de estos
dominios son

[0, q d ¨ s - q, 1] = [0, 1].

La tabla siguiente resume las fórmulas y dominios para diversas combinaciones algebrai-

cas de las dos funciones. También escribimos ƒ # g para la función producto ƒg.

Función Fórmula Dominio

ƒ+g s ƒ + gdsxd = 2x + 21 - x [0, 1] = Dsƒd ¨ Dsgd
ƒ-g [0, 1]
g-ƒ sƒ - gdsxd = 2x - 21 - x [0, 1]
[0, 1]
ƒ#g sg - ƒdsxd = 21 - x - 2x [0, 1) sx = 1 excluidod

ƒ>g sƒ # gdsxd = ƒsxdgsxd = 2xs1 - xd (0, 1] sx = 0 excluidod

g>ƒ ƒ = ƒsxd = A1 x x
g sxd gsxd -

g = gsxd = 1 - x
ƒ sxd ƒsxd A x

La gráfica de la función ƒ + g se obtiene a partir de las gráficas de f y g, sumando las
coordenadas y correspondientes de ƒ(x) y g(x) para cada punto x H Dsƒd ¨ Dsgd, como en

la figura 1.50. En la figura 1.51 se muestran las gráficas de ƒ + g y ƒ # g a partir del ejem-

plo 1.

40 Capítulo 1: Preliminares

yy

yϭfϩg

8 g(x) ϭ ͙1 Ϫ x f(x) ϭ ͙x
y ϭ ( f ϩ g)(x) 1

6

4 y ϭ g(x) 1

f (a) ϩ g(a) 2 yϭf•g

2 y ϭ f (x) g(a)
f (a)

0a x 0 12341 x

5555

FIGURA 1.50 Suma gráfica de dos FIGURA 1.51 El dominio de la función ƒ + g es la
funciones. intersección de los dominios de ƒ y g, el intervalo [0,
1] en el eje x, donde estos dominios se traslapan. El

intervalo también es el dominio de la función ƒ # g

(ejemplo 1).

Composición de funciones
La composición es otra manera de combinar funciones.

DEFINICIÓN Composición de funciones
Dadas f y g dos funciones, composición ƒ ‫ ؠ‬g (“f composición g”) está definida
por

sƒ ‫ ؠ‬gdsxd = ƒsgsxdd .

El dominio de ƒ ‫ ؠ‬g consiste en los números x del dominio de g para los que g(x)
está definida en el dominio de f.

La definición afirma que ƒ ‫ ؠ‬g puede formarse cuando el rango de g está en el domi-
nio de f. Para encontrar sƒ ‫ ؠ‬gdsxd, primero determinamos g(x) y luego encontramos
ƒ(g (x)). En la figura 1.52 se ilustra ƒ ‫ ؠ‬g acomo un diagrama de máquina, y en la figura
1.53 se muestra la composición como un diagrama de flechas.

x g g(x) f f (g(x)) f Њg

FIGURA 1.52 Dos funciones pueden componerse f (g(x))
en x siempre que el valor de una función en x esté x
en el dominio de la otra. La composición se denota
mediante ƒ ‫ ؠ‬g . f
g

g(x)
FIGURA 1.53 Diagrama de flechas para ƒ ‫ ؠ‬g .