Modul Pembelajaran Matematika Berbasis ICT

Measure  Dilatasi untuk membentuk obyek
dari bayangan yang dipilih
dengan mengalikan berdasarkan
rasio dari titik jarak.

 Reflect untuk menampilkan
bayangan dari obyek yang dipilih
dengan menggunakan konsep
cermin.

 Length untuk menentukan
ukuran panjang dari ruas garis
yang telah dipilih.

 Distance untuk menentukan
jarak dari titik yang telah dipilih.

 Perimeter untuk menentukan
keliling dari daerah luas yang
telah dipilih.

 Angle untuk menentukan
besarnya sudut dari tiga titik yang
telah dipilih.

 Area untuk menentukan luas dari
bidang interior yang telah dipilih.

 Coordinates untuk menampilkan
koordinat.

 Abscissa untuk menampilkan
tempat kedudukan titik absis dari
titik yang dipilih.

 Ordinate untuk menampilkan
tempat kedudukan ordinat dari
titik yang dipilih.

 Slope untuk mengetahui
kemiringan dari garis.

39

Number  Equation untuk menampilkan
Graph persamaan dari suatu kurva.

 Calculate untuk melakukan
suatu perhitungan.

 Tabulate untuk menyajikan data
ukuran-ukuran yang muncul
setelah di ukur di menu bar
“measure” menjadi data yang
tersusun dalam bentuk tabel.

 Add table Data untuk
menambah data tabel secara
otomatis ketika terjadi perubahan
ukuran dengan ukuran lama tetap
tampak.

 Remove table data untuk
menghapus tabel data.

 New function untuk membuat
suatu fungsi.

 Grid Form untuk menampilkan
koordinat dalam bentuk kartesius
atau polar.

 Shor Grid untuk menampilkan
koordinat disertai pemetaannya
dalam bentuk garis-garis.

 Dotted Grid untuk menampilkan
koordinat disertai pemetaannya
dalam bentuk titik-titik.

 Plot Value on Axis untuk
membuat titik yang terletak pada
sumbu-x.

40

 Plot Point untuk membuat titik-
titik pada koordinat.

 Plot New Function untuk
membuat persamaan fungsi
beserta grafiknya.

 Untuk membuat komposisi dua
fungsi yang telah dibuat terlebih
dahulu sebelumnya.

41

D. Uraian Materi dan Langkah – langkah penggunaan Software
Geometers Skecthpad
1. Teorema Phytagoras
Pada bagian ini, mahasiswa akan menggunakan software
GSP pada materi teorema phytagoras. Pythagoras (582 SM-
496 SM) adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani
yang paling dikenal. Salah satu peninggalan Phytagoras yang
terkenal adalah teorema Phytagoras yang menyatakan bahwa
kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama
dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-
sikunya). Dengan menggunakan rumus umun teorema
Phytagoras dapat menghitung panjang sisi tinggi (a) atau alas
(b) pada segitiga siku-siku. Penulisan teorema Phytagoras pada
setiap sisi segitiga siku-siku dapat ditulis sebagai berikut:
Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, jika
dua sisi yang lain diketahui dalam segitiga siku-siku ABC pada
gambar 3.1 dibawah ini, siku-siku di titik C berlaku rumus:
1. Jika sisi a dan b diketahui, maka sisi c dapat dihitung
dengan rumus: 2 = 2 + 2
2. Jika sisi b dan c diketahui, maka sisi a dapat dihitung
dengan rumus: 2 = 2 − 2
3. Jika sisi a dan c diketahui, maka sisi b dapat dihitung
dengan rumus: 2 = 2 − 2

42

Gambar 3.1
Contoh Soal :
1. Sebuah segitiga siku-siku ABC disamping, dengan panjang

sisi AB = 6 cm dan panjang sisi AC = 4 cm maka
tentukanlah panjang sisi BC dengan menggunakan rumus
Phytagors dan menggunakan software geometer’s
sketchpad.

Penyelesaian:
 Cara 1
Diketahui: Panjang sisi AB = 6 cm

Panjang sisi AC = 4 cm

43

Ditanya: panjang sisi BC ?
2 = 2 + 2
2 = 62 + 42
2 = 36 + 16
2 = 52
BC = √52 = 7,21 cm

 Cara 2 penyelesaian menggunakan Software Geometer’s
Sketchpad
a. Buka Software Geometer’s Sketchpad

b. Pilih menu bar “graph” terus pilih submenu “show
grid”

44

c. Selanjutnya untuk membuat segitiga siku-siku pertama
kita tentukan dulu panjang sisi AB 4 cm dan panjang
AC 3 cm maka kita akan buat titik A (0,0), titik B (0,4).
Buatlah titik tersebut dengan mengklik menu bar
“graph” dan pilih “plot points” dan masukkan titik
tersebut dan selanjutnya buatlah nama titik tersebut
dengan menggunakan menu bar “text tool”. Begitu juga
dengan titik B dan titik C. Seperti gambar berikut ini.

d. Terus hubungkan titik-titik tersebut dengan
menggunakan Segment Straightedge Tool. Setelah
dibubungkan gunakan lagi menu bar “translation
arrow tool”

45

e. Untuk membuat nama titiknya klik teks tool dan klik
titik-titik yang ada.

f. Untuk menghilangkan garis kurvanya klik kurvanya
dengan menggunkan Translation Arrow Tool
selanjutnya klik menu bar “display” terus klik “hide
axes” terus untuk menghilangkan kotak-kotaknya klik
graph terus pilih submenu “hide grid”

g. Setelah itu membuktikan panjang AB = 4 cm maka klik
titik A dan titik B dengan menggunakan Translation
Arrow Tool setelah itu klik menu bar “measure” dan
46

klik “distance” maka akan keluar panjang sisi AB.
Lakukan juga untuk menuntukan panjang sisi AC.

h. Untuk mencari panjang BC kita akan menggunakan
rumus Phytagoras 2 = 2 + 2, Klik menu bar
“number” pilih “calculate” dan klik AB = 4,00 cm
kemudian di kuadradkan dengan cara ^2. Begitu juga
dengan sisi AC maka akan muncul hasilnya. Hasil dari
penjumlahan 2 + 2 = 2. Untuk pembuktian
samanya, kita klik titik B dan titik C terus pilih menu
bar “measure” dan pilih “distance” maka akan keluar
panjang BC dan kuadratkan BC dengan cara yang sama
dengan mengkuadratkan AC dan AB . Maka akan
diperoleh hasilnya sebagai berikut:

47

Soal:
Tentukanlah sudut b jika sudut a= 90° dan sudut c = 56,31°
Melanjutkan langkah dari soal no.1 sudut a dan sudut c kita
jumlah setelah itu dikurangkan dengan 180 dengan
menggunakan “number” dan klik “calculate” maka akan
muncul jumlah sudutnya. Untuk membuktikannya benar atau
tidak maka kita klik sudut b dengan menggunakan Translation
Arrow Tool dan klik menu bar “measure” dan klik submenu
“angle” maka akan keluar besar sudut b. Kita bandingkan hasil
180 – (a+c) = b dengan sudut b yang kita klik tadi seperti
dibawah ini.

48

2. Translasi
Definisi
Translasi ialah perpindahan objek pada sepanjang garis lurus
menurut jarak atau arah tertentu. Dapat juga diartikan sebagai
perpindahan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah
tertentu. Arah dan jarak tertentu itu diwakili oleh vektor
translasi yaitu suatu pasangan bilangan berurut ( ) atau dapat
ditulis dalam bentuk vektor lajur ( ). Translasi yang akan
dibahas ada translasi titik, bidang dan garis. Pembahasan
sebagai berikut:
a. Translasi titik
 Jika titik P (x, y) ditranslasi dengan T1 = ( ), maka
diperoleh P’ (x’, y’) maka berlaku P’ (x + a, y + b) atau
(yx′′) = (yx) + (ba) = (yx++ba) dapat ditulis dalam bentuk rumus:
T = ( ) : P(x, y) → P′(x + a, y + b)

49

atau

P (x, y) T1= (ba) P’ (x + a, y + b)

→

 Jika titik P (x, y) ditranslasi dengan T1 = ( ) dilanjutkan

dengan T2 = ( ), maka akan diperoleh P’’ sebagai berikut:

T2 ∘ T1= (ba + dc) P’’ (x + a + c, y + b + d)
+
P (x, y) →

Contoh:

Tentukan bayangan titik P (1, 3) oleh translasi T = (23) dan titik
Q (2, -3) ditranslasikan dengan T1 = (−22) dilanjutkan dengan
T2 = (45)

Penyelesaian:

P (1, 3) ) T= (32) P’ (1 + 2, 3 + 3) = P’ (3, 6)

→

T2 ∘ T1 = (−22 + 45) P’’ (2 + (-2) + 5, -3 + 2 + 4) = P’’
+
Q (2, -3) ) →

(5, 3)

b. Translasi bidang
Untuk menentukan bayangan hasil translasi bangun datar dapat
dilakukan dengan menstranslasikan masing-masing titik
sudutnya
Contoh:

50

Tentukan bayangan segitiga KLM dengan K(1, -1), L(2, -4)
dan M(-4, -3) oleh translasi T = (23) !
Penyelesaian:
Titik K = (yx′′) = (−11) + (32) = (−11++23) = (23) = K’ (3, 2)
Titik L = (yx′′) = (−24) + (32) = (−24++23) = (−41) = L’ (4, -1)
Titik M = (yx′′) = (−−54) + (23) = (−−54++32) = (−−22) = M’ (-2, -2)
Translasi bisaanya dinyatakan dalam vektor lajur atau vekrot
translasi [ ℎ ] dimana h mewakili pergeseran horizontal dan k
mewakili pergeseran vertikal. Dengan catatan pergeseran arah
ke kanan dan ke atas bertanda positif dan pergeseran arah ke
kiri dan ke bawah bertanda negatif.
Contoh:

EG = [−32], MU = [−35], HI = [−−31], SE = [42], RG = [−02], FM = [−04]

51

c. Translasi persamaan garis

Persamaan garis dapat ditranslasikan dengn menggunakan

rumus diatas, perhatikan contoh berikut:

Contoh:
Carilah persamaan bayangan dari garis g: 2x + 3y – 3 = 0
oleh Translasi T = (−21) …..

Penyelesaian:

( ) + (−21) = ( ′′) ( ) = ( ′′ + 21)
−

g : 2x +3y – 3 = 0 →(−21) g’ = 2 ( x’ + 1 ) + 3 ( y’ - 2 ) – 3 = 0

2x’ + 2 + 3y’ – 6 – 3 = 0

2x + 3y – 7 = 0

Translasi juga dapat diselesaikan dengan menggunakan

persamaan aljabar, vektor satuan dan dengan pemetaan

mewakili translasi serta mengunakan software Geometer’s

Sketchpad kecuali trasformasi untuk persamaan garis.

Contoh:

Tentukan bayangan dari titik A (2,3) oleh translasi T = (7,8)!

Penyelesaian:
 Cara 1 menggunakan aljabar:

Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi dinamakan ′,

dua model yang bisaa digunakan adalah sebagai berikut:

( , ) ( , ) = ′( + , + )

52

( , ) → =( ) ′( + , + )
Jadi, bayangan dari titik A (2,3) oleh translasi T = (7,8)
(7,8) (2,3) = ′(2 + 7,3 + 8) = ′(9,11)
 Cara 2 menggunakan Software GSP
1. Setelah membuka Software GSP akan muncul tampilan seperti
berikut:

2. Kemudian pilih “Graph” pada menu bar kemudian pilih sub
menu “Grid.

53

3. Selanjutnya akan muncul tampilan seperti berikut:

4. Lalu pilih “Graph” pada menu bar kemudian sub menu “Plot
points”, seperti pada tampilan berikut:
54

5. Kemudian akan muncul seperti gambar berikut, lalu pada
rectangular ketik (2,3), kemudian klik “plot”.

6. Selanjutnya akan muncul titik seperti gambar berikut.
55

7. Kemudian klik “text tool” pada toolbar, selanjutnya klik pada
titik hingga muncul nama titik “A”, seperti pada gambar
berikut.

8. Untuk menentukan translasi klik pada titik A maka pilih
“transform” pada menubar lalu pilih sub menu “translate”.
56

9. Selanjutnya akan muncul tampilan menu seperti dibawah ini,
kemudian pilih “rectangular” kemudian pada “pixed distance
(horizontal)” ketik angka 7 dan pada “pixed distance
(vertical)” ketik angka 8. Kemudian klik “translate”.

10. Kemudian akan muncul titik “translasi” kemudian dengan
melakukan langkah ke 7 untuk memberi nama pada titik
tersebut, sehingga muncul seperti gambar berikut:
57

11. Kemudian klik kembali pada titik “A” lalu pilih menu bar
“measure” selanjutnya pilih sub menu “coordinates”.

12. Setelah itu akan muncul nilai dari titik “A” seperti berikut.

58

13. Kemudian dengan melakukan kembali langkah ke 11 dengan
mengklik terlebih dahulu titik " ′". Maka akan muncul hasil
dari translasi seperti berikut:

Untuk lebih memahami silahkan coba dengan titik titik yang
lain dan bisa dicoba untuk refleksi, rotasi dan dilatasi.

59

E. Rangkuman
The Geometer’s Sketchpad (GSP) adalah software geometri

yang dinamis dan bermanfaat dalam menjelaskan bidang geometri,
aljabar, kalkulus, statistik, dan cabang matematika lainnya.
Geometer’s sketchpad juga dapat mensimulasikan bangun ruang
geometri dengan baik. Beberapa karakteristik dari perangkat lunak
(software) GSP adalah ketepatan dalam melukis dan mengukur secara
digital, proses visualisasi dari awal dengan berbagai ukuran dimensi
yang berbeda mudah dipahami, dapat digunakan untuk memfasilitasi
siswa melakukan investigasi, eksplorasi, dan pemecahan masalah,
memberikan keyakinan dan alasan kuat bagi siswa dalam membuat
simpulan bahkan dapat memberikan motivasi dalam melakukan
pembuktian, dan mempunyai ciri spesifik, gambar animasi, jejak
gambar, dan menyediakan fitur untuk mensimulasikan berbagai
simulasi.

60

F. Latihan dan Petunjuk Menjawab Latihan
Dengan menggunakan Software GSP :
1. Buat dan ukur panjang suatu ruas garis
2. Membuat Sudut Siku-siku
3. Membuat lingkaran dalam dan luar segitiga
4. Menentukan turunan dari fungsi f(x) = x2 dan grafik
turunannya
5. Cobalah menghitung translasi dengan titik lainnya, seperti
pada contoh pada bagian uraian materi
Petunjuk menjawab latihan :
1. Pahami tool bar dan menu bar yang ada pada software GSP
2. Pastikan anda memahami dan mempraktekkan cara membuat
garis dan perpotongan garis menggunakan Software GSP.
3. Buatlah lingkaran dan segitiga terlebih dahulu.
4. Sebelum membuat turunan dan grafiknya, peserta didik harus
mempelajari bagaimana membuat fungsi dengan
menggunakan Software GSP.
5. Gunakan cara yang sama seperti yang telah dijelaskan pada
contoh

61

G. Tes Formatif
1. Jelaskan pengertian software GSP ?
2. Tool apa yang berfungsi untuk membuat poligon dan daerah
luas polygon
3. Geometer’s Sketchpad selain dapat dimanfaatkan untuk
menggambar dan melukis berbagai situasi geometri pada
bidang Euclid. Apa yang disediakan menu Geometer’s
Sketchpad ?
4. Sebutkan menu apa saja yang ada pada toolbar dan
menubar !
5. Dengan menggunakan aplikasi Geometer’s Sketchpad yang
telah dipelajari, maka tentukan koordinat segitiga yang
terbentuk dari titik A(3,9), titik B(3,3), dan titik C(6,3) yang
ditranslasikan oleh = (−−1130), kemudian di rotasikan oleh
sudut 45°, lalu di dilatasikan terhadap titik (21), lalu di
refleksikan terhadap sumbu y!

H. Kunci Jawaban Tes Formatif
1. Software Geometer’s Sketchpad (GSP) adalah software
geometri yang dinamis dan bermanfaat dalam menjelaskan
bidang geometri, aljabar, kalkulus, statistik, dan cabang
matematika lainnya. Software ini dikembangkan oleh Nicolas
Jackiw sejak tahun 19
2. Polygon and Edge Tool

62

3. GSP menyediakan menu untuk menghitung luas dan keliling
bangun datar, besar sudut, dan lain-lain.

4. Toolbar : Translation Arrow Tool, point tool, compass tool,
Translation Arrow Tool, polygon tool, teks tool, arker tool,
Information Tool and custom tool.
Menubar : File, Edit, Display, Contruct, Transform, measure,
number and Graph.

5. Hasil translasi: pada langkah 9 , hasil rotasi: pada langkah 13
dan hasil dilatasi: 19
Langkah-langkah sebagai berikut:
1) Lakukan langkah 1, langkah 2, langkah 3, dan langkah 4
seperti dalam menentukan translasi pada titik yang telah
dijelaskan pada contoh. Maka akan muncul tampilan
seperti berikut:

2) Lalu anda pilih menu bar “Graph” kemudian sub menu
“Plot Points”, seperti tampilan berikut.
63

3) Maka akan muncul seperti gambar berikut, lalu pada
rectangular ketik (3,9); (3,3); (6,3), kemudia klik “plot”
ketika selesai mengetik titik tersebut. Maka akan muncul
tampilan seperti berikut:

4) Kemudian klik toolbar “segment straightedge tool”, lalu

tarik garis dari titik yang telah anda buat sehingga

membentuk segitiga seperti gambar berikut.

64

5) Untuk memberi nama pada titik pilih toolbar “text tool”,
kemudian klik pada titik hingga muncul nama titik “A”,
“B”, “C”, seperti pada gambar berikut.

6) Untuk menentukan translasi, aktifkan garis dan titik
kemudian pilih menu bar “transform” lalu pilih sub menu
“translate”.

65

7) Selanjutnya akan muncul tampilan menu berikut, pilih
“rectangular” kemudian pada “pixed distance
(horizontal)” ketik angka (-10) dan pada “pixed distance
(vertical)” ketik angka (-13). Kemudian klik “translate”.

8) Kemudian akan muncul tampilan translasi seperti berikut.

66

9) Untuk memberi nama pada titik hasil translasi maka
lakukan kembali langkah 5 sehingga diperoleh seperti
tampilan berikut.

10) Setelah di translasikan, kemudian dilanjutkan dengan
rotasi terhadap sudut 45°, lakukan seperti langkah 6
dengan mengaktifkan kembali garis dan titik, namun pilih
sub menu “rotate”. Seperti tampilan berikut.
67

11) Maka akan muncul seperti tampilan berikut, lalu pada
“pixed angle” ketikkan sudut 45°, seperti tampilan berikut.

12) Setelah itu klik “rotate” sehingga didapatlah rotasi seperti
gambar berikut.
68

13) Untuk memberi nama pada titik hasil rotasi maka lakukan
kembali langkah 5 sehingga diperoleh seperti tampilan
berikut:

14) Setelah di rotasi, kemudian dilanjutkan dengan dilatasi
terhadap titik (12), lakukan seperti langkah 6 dengan
69

mengaktifkan kembali garis dan titik, namun pilih sub
menu “rotate”. Seperti tampilan berikut:

15) Maka akan muncul seperti tampilan berikut.

16) Kemudian pada menu “pixed ratio” klik titik (21), lalu klik
dilate, maka akan muncul hasil dilatasi seperti gambar
berikut.
70

17) Setelah di dilatasi, kemudian dilanjutkan dengan refleksi
terhadap y, lakukan seperti langkah 6 dengan
mengaktifkan kembali garis dan titik, setelah diaktifkan
kemudian klik 2 kali pada garis sumbu y, kemudian pilih
sub menu “reflect”.

18) Maka akan muncul hasil refleksi seperti berikut.

71

19) Untuk memberi nama pada titik hasil refleksi maka
lakukan kembali langkah 5 sehingga diperoleh seperti
tampilan berikut.

20) Demikianlah hasil dari translasi, rotasi, dilatasi, dan
refleksi yang terbentuk pada segitiga dengan titik A(3,9);
titik B(3,3); dan titik C(6,3). Nah untuk mengasah
kemampuan anda mengenai Geometer’s Sketchpad, anda
dapat mencoba titik lainnya.
72

I. Aksi Balikan dan Tindak Lanjut

Skor Kriteria

80 – 100 Dapat menjawab semua soal dengan
menjelaskannya secara jelas, benar dan
terperinci.
Dapat melanjutkan ke modul berikutnya.

60 – 70 Hanya mampu menjawab 50 atau 60 % dari
jumlah soal ( belum tuntas) dan harus
mengulang modul

0 – 50 Tidak mampu sama sekali atau hanya mampu
menjawab 1 soal dan harus mengulang modul

73

Kegiatan Belajar 2

PENGERTIAN SOFTWARE GEOGEBRA, LANGKAH-
LANGKAH PENGGUNAANYA

A. Pengertian Software Geogebra
Geogebra adalah sebuah perangkat lunak geometri dinamis

yang menunjang semua konstruksi gambar geometri dengan titik,
garis, dan kurva lengkung (seperti lingkaran, elips, dll). Geogebra
adalah perangkat lunak yang efektif digunakan dalam pembelajaran
Matematika, khususnya pada bahasan Geometri, Aljabar, ataupun
Kalkulus. Geogebra dikembangkan oleh Markus Hohenwarter (1976)
mulai tahun 2001. Ia adalah seorang matematikawan Austria dan
profesor di Universitas Johannes Kepler (JKU) Linz. Menurut
Hohenwarter (2008) geogebra adalah perangkat lunak komputer untuk
pembelajarkan matematika khususnya geometri dan aljabar. Geogebra
dapat digunakan sebagai media pembelajaran dalam menjelaskan
konsep matematika atau dapat juga digunakan untuk mengeksplorasi
suatu konsep. Beberapa manfaat program Geogebra dalam
pembelajaran matematika sebagai berikut:

1. Dapat menghasilkan lukisan-lukisan geometri dengan cepat
dan teliti, bahkan yang rumit.

2. Adanya fasilitas animasi dan gerakan-gerakan manipulasi
yang dapat memberikan pengalaman visual dalam memahami
konsep geometri.

74

3. Dapat dimanfaatkan sebagai bahan balikan/evaluasi untuk
memastikan bahwa lukisan geometri yang telah dibuat
memang benar.

4. Mempermudah untuk menyelidiki atau menunjukkan sifat-
sifat yang berlaku pada suatu objek geometri.

B. Kelebihan dan Kekurangan Geogebra
Kelebihan Geogebra adalah:
1. Free Software
2. Dapat digunakan pada berbagai sistem operasi (Windows,
MacOS, Linux)
3. Didukung lebih dari 40 bahasa
4. Easy to Use, kemudahan disini adalah setiap tombol dan
syntax pada Geogebra selalu disertai dengan instruksi dan
bantuan penggunaan
Kelemahan Geogebra adalah:
1. Belum support 3D
2. Harus selalu mengupdate Java, kecuali menginstal versi
offline

C. Cara mendownload dan menginstal Geogebra
1. Pilih Menu Mozilla Firefox klik 2 kali, lalu akan muncul
tampilan berikut:

75

2. Kemudian tuliskan pada kotak pencarian yaitu: “Download
Aplikasi Geogebra versi 5.0”

3. Lalu akan muncul tampilan seperti ini:
76

4. Selanjutnya pilih download Geogebra (diklik) akan muncul
tampilan seperti ini:

5. Silahkan download dengan cara klik “free download”
77

6. Cari hasil download di menu download pada laptop kemudian
install dengan pilih kata “Run” lalu di ok

7. Setelah didownload akan tampil seperti dibawah ini, lalu pilih
next kemudian klik I Agree
78

8. Setelah langkah 7 akan tampil seperti dibawah ini, lalu klik
instal

9. Setelah klik install akan tampil seperti dibawah ini
79

10. Selesai menginstal, akan muncul tampilan seperti ini dan untuk
memudahkan dalam penggunaannya, softwarenya bisa
diletakkan di menu desktop.

80

D. Uraian Materi dan Langkah –langkah penggunaan
Geogebra
1. Persamaan Lingkaran
a. Definisi Lingkaran
Sebelum kita mempelajari persamaan lingkaran, kita harus
paham dulu definisi lingkaran. Lingkaran adalah tempat
kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama
terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut dinamakan
pusat lingkaran dan jarak yang tetap tersebut dinamakan jari-
jari lingkaran.

Dari gambar di atas, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B,
C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD
adalah jari-jari lingkaran = r.

b. Persamaan Lingkaran dengan Pusat di O(0, 0)
Jika titik A( , ) terletak pada lingkaran yang berpusat di
O(0, 0), maka berlaku OA= jari-jari lingkaran. Dengan
menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik A( , )
diperoleh:

81

= = √( − 0)2 + ( − 0)2
2 = ( − 0)2 + ( − 0)2
2 = 2 + 2

Jadi, persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-
jari r adalah:

2 = 2 + 2

Untuk lebih memahami tentang cara menentukan persamaan
lingkaran berpusat di O (0, 0), pahami contoh soal berikut:

Contoh Soal 1:
Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya O(0, 0) dan
melalui (2, 3)
Penyelesaian :
Cara 1 : Cara aljabar
Lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan melalui (2, 3)
2 = 2 + 2

= 22 + 32
=4+9
2 = 13

Jadi persamaannya 2 + 2 = 13

82

Cara 2 : Penyelesaian dengan software Geogebra
1.) Klik software Geogebra pada desktop komputer

Klik 2 x software
atau klik 1 x

kemudian enter

2.) Klik lingkaran dengan pusat melalui titik.
Klik menu ini

3.) Ketik O=(0, 0) pada menu tampilan aljabar, lalu Enter seperti
gambar dibawah ini:

83

4.) Ketik A=(2, 3) pada tampilan aljabar kemudian enter, seperti
dibawah ini:

5.) Ketik lingkaran[O, A] pada tampilan aljabar lalu enter, maka akan
diperolehlah grafik lingkaran di jendela kanan dan persamaannya
di jendela kiri, yaitu x2+y2=13,seperti gambar dibawah ini:
84

c. Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A ( a, b)

Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada
lingkaran,maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B.
=
2 = ( )2

= ( − )2 + ( − )2
85

= ( − )2 + ( − )2
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r
adalah:

2 = ( − )2 + ( − )2

Untuk memahami tentang persamaan lingkaran berpusat di titik A(a,
b), perhatikan contoh soal berikut.
Contoh Soal 2:
Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui pusatnya A(5, 2) dan
melalui B(4, 1).
Cara 1 : Cara aljabar
Tentukan persamaan lingkaran, jika diketahui
pusatnya (5, 2) dan melalui (-4, 1).
Jawab :

Pusat (5,2) dan melalui (-4,1)
r = √(5 – (-4))2 + (2– 1)2

= √(5 + 4)2 + (2– 1)2

= √(9)2 + (1)2
= √81 + 1
= √82

86

Persamaan lingkaran : = (√82 )2
= 82
(x-5)2 + (y-2)2 = 82
x2 - 10x + 25 + y2 – 4y + 4 =0
x2 + y2 - 10x – 4y + 29
x2 + y2 - 10x – 4y - 53

Cara 2 : menggunakan Software Geogebra
1) Klik Software Geogebra yang telah anda instal.

2) Klik lingkaran dengan pusat melalui titik.
87

3) Ketik A=(5, 2) pada menu tampilan aljabar, lalu enterdan akan
nampak gambar sebagai berikut:

4) Ketik B=(-4, 1) pada menu tampilan aljabar, lalu enter.

5) Ketik lingkaran [A, B] pada menu tampilan aljabar, lalu enter.
88