ทฤษฎีจำนวน

ศึกษาหาความรู้ของผู้สนใจทั่วไป โดยเฉพาะผู้ที่วงการ
คณิตศา ส ตร์ รวมพัฒน ากา รข องจา นวน เต็ม กา ร
สร้างสรรค์ผลงานของนักคณิตศาสตร์และประโยชน์ของ
ทฤษฎีจานวนการหารลงตัวและจานวนเฉพาะ ฟังก์ชันเลข
คณิตเกี่ยวกับการหารลงตัว สมภาคและระบบลดทอน
ทฤษฎีบทสาคัญและรู้จักกันทั่วไป สมการไดโอแฟนไทน์
สมการปีทาโกรัส ทฤษฎบี ทสดุ ท้ายของแฟร์มาต์ สัญลักษณ์
เลอช็องดรแ์ ละจาโคบรี วมถึงจานวนท่ีมีรูปแบบเฉพาะท่ีควร
รู้และการหาจานวนเฉพาะทีใ่ หญ่ข้นึ

2564

ทฤษฎีจำนวน
Number Theory

วลั ลภ เหมวงษ์
มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

2564

คำนำ

ทฤษฎจี ำนวนเป็นหนังสอื เพือ่ ศึกษาหาความร้ขู องผสู้ นใจท่วั ไป โดยเฉพาะผูท้ ีว่ งการ
คณิตศาสตร์ บทนำไดก้ ลา่ วถงึ พัฒนาการของจำนวนเตม็ การสร้างสรรคผ์ ลงานของนักคณติ
ศาสตร์ และประโยชนข์ องทฤษฎีจำนวน ส่วนความร้พู ้นื ฐานประกอบดว้ ยสมบัติท่ีสำคญั ของ
จำนวนเต็ม หลกั การจดั อันดับดี ผลบวกและผลคูณ และหลกั อุปนยั เชงิ คณติ ศาสตร์ จากนัน้
เป็นเน้ือหาของการหารลงตัว ขัน้ ตอนวธิ กี ารหาร ข้ันตอนวธิ แี บบยคุ ลิด และจำนวนเฉพาะ
ฟงั กช์ ันเลขคณิตเกีย่ วกับการหารลงตัวหลายฟังก์ชัน เรื่องของสมภาค ส่วนตกคา้ งและระบบ
ลดทอน วธิ รี อน ทฤษฎบี ททส่ี ำคญั ในทฤษฎีจำนวนและรู้จักกันท่ัวไป สมการไดโอแฟนไทน์
สมการปีทาโกรัส ทฤษฎีบทสุดทา้ ยของแฟร์มาต์ สญั ลักษณเ์ ลอชอ็ งดรแ์ ละจาโคบี รวมถงึ
จำนวนท่มี ีรปู แบบเฉพาะทค่ี วรร้แู ละการหาจำนวนเฉพาะทีใ่ หญ่ข้ึนในภาคผนวก

วัลลภ เหมวงษ์
2564

คำนำ สารบญั

สารบัญ หนา้
ก
สารบญั ภาพ ค
จ
บทนำ 1
บทที่ 1 ความรูเ้ บื้องตน้ 11
11
1.1 สมบตั สิ ำคัญของจำนวนเต็ม 14
1.2 หลักการจดั อนั ดับดี 15
1.3 ผลบวกและผลคณู 20
1.4 หลกั อุปนยั เชิงคณิตศาสตร์ 25
25
บทที่ 2 การหารลงตวั และจำนวนเฉพาะ 30
2.1 การหารลงตัว 37
2.2 ขัน้ ตอนวิธีการหาร 41
2.3 ขั้นตอนวิธแี บบยคุ ลิด 51
2.4 จำนวนเฉพาะ 51
55
บทที่ 3 ฟงั กช์ นั ในทฤษฎจี ำนวน 57
3.1 ฟงั กช์ ัน τ 62
3.2 ฟงั กช์ ัน σ 69
3.3 ฟงั ก์ชัน ϕ ออยเลอร์
3.4 ฟงั กช์ ันเมอบอิ ุส
3.5 ฟงั ก์ชันจำนวนเต็มค่ามากสดุ

บทที่ 4 สมภาค 79
4.1 สมภาค 79
4.2 สว่ นตกคา้ งและระบบลดทอน 88
4.3 วธิ รี อนดว้ ย 9 และ 11 93
4.4 สมภาคเชิงเส้น 98

บทท่ี 5 ทฤษฎบี ทสมภาคสำคญั 109
5.1 ทฤษฎบี ทของวลิ สัน 109
5.2 ทฤษฎบี ทของแฟร์มาต์ 113
5.3 จำนวนเฉพาะเทยี ม 116
5.4 ทฤษฎบี ทของออยเลอร์ 119

บทท่ี 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 123
6.1 สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเสน้ 123
6.2 ชดุ สามจำนวนของปที าโกรสั 129
6.3 ทฤษฎีบทสดุ ทา้ ยของแฟร์มาต์ 136
6.4 สมการของเพลล์ 138

บทที่ 7 ทฤษฎสี ว่ นตกคา้ งกำลังสอง 147
7.1 สมภาคกำลงั สอง 147
7.2 สว่ นตกค้างกำลงั สอง 153
7.3 สัญลักษณ์เลอชอ็ งดร์ 157
7.4 สญั ลกั ษณจ์ าโคบี 167

ภาคผนวก 177
จำนวนท่มี ีรูปแบบเฉพาะ 179
ค่าของฟังกช์ ันเลขคณิต 185
สญั ลกั ษณ์ 187
ผลเฉลยแบบฝกึ หัด 189

บรรณานกุ รม 197

ดชั นี 191

สารบัญภาพ

ภาพที่ 1.1: การคน้ พบจำนวนนับของมนุษย์และนำมาใชง้ าน หนา้
ภาพที่ 1.2: ปีทาโกรสั "บิดาแห่งตัวเลข" 1
ภาพที่ 1.3: ยคุ ลดิ แห่งอเลก็ ซานเดรยี ผมู้ ีผลงานชุด the elements 2
ภาพท่ี 1.4: เอราโตสเทเนส ผู้คิดวธิ กี ารหาจำนวนเฉพาะ 3
ภาพท่ี 1.5: ไดโอแฟนตัส ผู้ให้กำเนิดสมการไดโอแฟนไทน์ 3
ภาพท่ี 1.6: ฟีโบนักชี ผใู้ ห้กำเนิดลำดบั ฟโี บนักชี 4
ภาพที่ 1.7: ปีแยร์ เดอ แฟรม์ า "บิดาแห่งทฤษฎีจำนวนสมัยใหม"่ 4
ภาพที่ 1.8: เลออนฮารด์ ออยเลอร์ ผู้คดิ ค้นฟังกช์ ันฟอี อยเลอร์ 5
ภาพที่ 1.9: คาร์ล ฟรดี รชิ เกาส์ ผไู้ ด้พัฒนาแนวคดิ เก่ยี วกับสมภาค 5
ภาพที่ 1.10: ศรนี ิวาสะ รามานจุ ัน ผศู้ ึกษาคณติ ศาสตรด์ ว้ ยตนเอง 6
ภาพท่ี 1.11: เออดอส นกั คณิตศาสตร์ ผู้ประมาณจำนวนของจำนวนเฉพาะได้ 6
ภาพที่ 1.12: ผลงานของชาวบาบโิ ลนและมายัน 7
ภาพที่ 1.13: จเู ลยี ส ซซี าร์ แม่ทพั กองทพั โรมนั 8
ภาพที่ 1.14: เครอ่ื งเขา้ รหัสลบั อีนิกมา ของเยอรมนี 8
ภาพท่ี 1.15: การเขา้ รหัสและการถอดรหสั 9
ภาพที่ 1.16: รหสั บัตร AT M หรอื บตั รเครดติ เกี่ยวข้องทฤษฎจี ำนวน 9
10

บทนำ

ทฤษฎจี ำนวนเปน็ แขนงหน่งึ ของคณิตศาสตร์ทเี่ ก่าแกท่ ี่สุด เปน็ วิชาที่ศกึ ษาเกย่ี วกบั
สมบตั ขิ องจำนวนเต็ม จากหลักฐานเท่าทปี่ รากฏ มนุษย์ไดเ้ ริ่มใชจ้ ำนวนในชวี ติ ประจำวันมา
ตงั้ แตส่ มยั ก่อนคริสตศ์ กั ราช ด้วยเพราะ ชีวิตประจำวันของมนุษย์ มีความจำเปน็ ตอ้ งใชก้ ารนบั
เพือ่ ช่วยบนั ทกึ จดจำข้อมลู ดงั นั้นจำนวนชดุ แรกที่มนษุ ย์ค้นพบและนำมาใช้งานจงึ เปน็ จำนวน
นบั หรอื จำนวนธรรมชาติ (natural number)

ภาพท่ี 1.1: การค้นพบจำนวนนับของมนุษย์และนำมาใชง้ าน

ทฤษฎจี ำนวนในฐานะทฤษฎที างคณติ ศาสตรเ์ ปน็ ศาสตรส์ าขาแรก ๆ ทม่ี นุษย์เลอื ก
ทจ่ี ะ ศึกษาเพอื่ พัฒนาความคิด สติปัญญาและนำไปประยกุ ต์ นอกจากนย้ี ังตอบสนองต่อหลกั
ปรัชญา ความเชอ่ื โหราศาสตร์ หรือแมแ้ ตพ่ ิธกี รรมศกั ด์ิสทิ ธ์ิ ชาวกรกี ไดศ้ กึ ษาจำนวนเตม็ เม่ือ
ประมาณ 600 ปีกอ่ นครสิ ตศ์ กั ราชในแง่มุมตา่ งๆ ดังท่ี ปที าโกรสั เกิดทเี่ มอื งซามอส (Samos)
ประเทศกรซี (Greece) เป็นนกั คณติ ศาสตร์และนักปราชญ์ ไดช้ ื่อว่าเป็น"บิดาแหง่ ตวั เลข" เปน็
นักทฤษฎีจำนวนยคุ แรก ผกู้ ่อตั้งสำนกั ปที าโกเรยี น ศึกษาด้านปรัชญา ทฤษฎีจำนวน เรขาคณติ
ดนตรี และดาราศาสตร์ มีอทิ ธิพลด้านการเมืองและ การแสวงหาความรู้ใหม่ โดยถอื ว่าผลงาน
ของสมาชกิ เป็นผลงานของสำนกั

2 ทฤษฎีจำนวน

ตวั อยา่ งผลงาน เชน่ ทฤษฎบี ทปที าโกรสั
การค้นพบจำนวนอตรรยะ สมบัติของจำนวนบาง
ประเภท จำนวนเชิงรปู ภาพ เป็นตน้ ปีทาโกรสั
มคี วามเชือ่ และส่งั สอนศษิ ยว์ า่ “ทุกสรรพส่งิ แทน
ได้ดว้ ย จำนวน” (All is number) (คำวา่
จำนวน หมายถงึ จำนวนตรรกยะบวกและศูนย์
เท่านนั้ )

ภาพที่ 1.2: ปีทาโกรัส "บิดาแห่งตวั เลข" ในการศกึ ษาจำนวนในสมยั ของปีทาโกรัส

ไดน้ ำความมหศั จรรยข์ องจำนวนไปผูกพนั กับความ

เชื่อโชคลาง โหราศาสตร์และราศี เช่น จำนวนเชิงมิตร (amicable numbers) คู่แรกทีเ่ ชื่อว่าพบ

ในสมยั นั้น คือ 220 กับ 284 มีสมบตั พิ ิเศษคือ ผลบวกของตัวหารแทข้ องจำนวนหนึ่งเท่ากับ

อกี จำนวนหน่ึง นนั่ คือ ตวั หารแทข้ อง 220 ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 และ 110

มผี ลบวกเป็น 284 ตวั หารแท้ของ 284 ได้แก่ 1, 2, 4, 71 และ 142 มผี ลบวกเป็น 220

โดยผู้ทีเ่ ช่ือเรอื่ งโชคลางจะจารกึ ตัวเลขลงในเคร่อื งราง ของขลังโดยเชอ่ื ว่าคนคใู่ ดห้อยของขลงั

ที่จารกึ ตัวเลขดงั กล่าวจะเปน็ มติ รแท้ต่อกัน ต่อมาก็มีการค้นพบจำนวนเชิงมิตรเพ่ิมขน้ึ และใน

ปจั จบุ ันโดยการใช้คอมพวิ เตอร์ในการค้นหาจำนวนเชิงมติ ร เม่อื ปี ค.ศ.2004 พบวา่ มีทงั้ หมด

6, 262, 871 คู่ หรืออีกตวั อย่างหน่ึงเกยี่ วกับความเช่ือในความ มหัศจรรย์ของจำนวน คอื

จำนวนสมบรู ณ์ (perf ect number) เปน็ เป็นจำนวนที่มสี มบัตพิ เิ ศษคอื ผลบวกของตวั หารแท้

ทงั้ หมดของจำนวนนน้ั เทา่ กบั จำนวนนัน้ เช่น 6 เปน็ จำนวนสมบรู ณ์ เพราะว่า มี 1, 2 และ 3

เป็นตวั หารแท้ของ 6 ซ่งึ 1 + 2 + 3 = 6

ดว้ ยความง่ายในการเขา้ ถงึ ปัญหาและความงดงามของการแก้ปัญหาด้านทฤษฎจี ำนวน
จงึ ทำใหเ้ กดิ การสานตอ่ งานของศาสตร์สาขาน้เี ปน็ ไปอยา่ งตอ่ เนอ่ื ง โดยตอ่ มาประมาณ 300 ปี
กอ่ นคริสต์ศักราช ยุคลดิ (Euclid) นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เกิดทเ่ี มืองอเลก็ ซานเดรีย ประเทศ
อียปิ ตเ์ ปน็ ศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควชิ าคณติ ศาสตรค์ นแรกทม่ี หาวทิ ยาลยั อเลก็ ซานเดรีย
ซ่งึ เป็นมหาวิทยาลยั แหง่ แรกของโลก ได้ศกึ ษาเกย่ี วกับทฤษฎีจำนวน โดยมกี ารเขยี นหนงั สือ
ตพี ิมพ์ซ่ึงเป็นการรวบรวมผลงานการศึกษาของนักคณิตศาสตร์ในอดีต และรวมส่ิงทต่ี นเองได้
ศกึ ษาคน้ ควา้ ในชุดหนงั สอื the elements จำนวน 13 เลม่ ซึ่งจำนวน 3 เลม่ ท่มี เี น้ือหาเก่ียว
ขอ้ งกับทฤษฎจี ำนวน คือ เลม่ 7 กล่าวถงึ จำนวนคู่ จำนวนคี่ จำนวนเฉพาะ จำนวนประกอบ

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทนำ 3

จำนวนสมบรู ณ์ ข้ันตอนวิธีแบบยคุ ลดิ ส่วนเล่ม 8 กลา่ วถึง สดั ส่วนตอ่ เน่อื ง และความสมั พันธ์
ของสดั ส่วนตอ่ เนอื่ งกับเรขาคณิต และเลม่ 9 กล่าวถงึ ทฤษฎบี ททพ่ี ิสูจนว์ า่ จำนวนเฉพาะมี
เปน็ อนนั ต์

องค์ความรดู้ ้านทฤษฎจี ำนวนทย่ี คุ ลดิ ได้
รวบรวมในยคุ นั้น ทั้ง 3 เลม่ โดยเฉพาะ จำนวน
เต็มค่ี จำนวนเตม็ คู่ จำนวนเฉพาะ ข้ันตอนวิธีแบบ
ยุคลดิ ตัวหารรว่ มมาก ตัวคูณร่วมน้อย ยงั คง
เป็นทฤษฎีบทสำคญั ทจี่ ำเป็นตอ้ งเรยี นรู้ และนำ
ไปใชใ้ นงานคณติ ศาสตร์ในปัจจบุ ัน

ภาพที่ 1.3: ยุคลิดแหง่ อเลก็ ซานเดรยี
ผมู้ ผี ลงานชุด the elements

หลังยุคของยุคลิด ทฤษฎีจำนวนได้พฒั นาไปอย่างตอ่ เนอ่ื งพรอ้ มกบั การพัฒนาการของ
คณติ ศาสตรส์ าขาอื่นๆ ดว้ ยการต่อยอดองค์ความรู้ของนกั ทฤษฎีจำนวนหลายทา่ น อาทิ

เอราโตสเทเนส ภาพที่ 1.4: เอราโตสเทเนส
(Eratosthenes of Cyrene, 276 − 194 ปี ผู้คิดวิธกี ารหาจำนวนเฉพาะ
กอ่ น ปี ค.ศ.) นกั คณติ ศาสตร์ ชาวกรกี และ
ปราชญ์บรรณารกั ษแ์ ห่งหอ้ งสมดุ อะเลก็ ซานเดรีย
ผู้คิดวิธีการหาจำนวนเฉพาะจากจำนวนนับ
ต้ังแต่ 1 ถึง n ดว้ ยวิธีการตดั จำนวนนับท่ี
ไม่เป็นจำนวนเฉพาะท้ิง
เรียกว่า "ตะแกรงของเอราโตสเทเนส"
(T he Sieve of Eratosthenes)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

4 ทฤษฎีจำนวน

ไดโอแฟนตสั แห่งอะเลก็ ซานเดรยี
(Diophantus of Alexandria, ค.ศ. 200 − 284)
เป็นชาวกรกี ไดต้ พี มิ พ์หนังสอื จำนวน 13 เลม่ และ
สามารถแก้สมการทางพีชคณติ ที่มีตวั แปรไมท่ ราบค่า
สองตวั แปรหรือสามตัวแปรท่มี สี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจำนวน
เต็มได้ โดยมผี ลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม ซ่ึงเรียกสมการ
เหลา่ น้ีว่า สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine
equation) เพ่ือใหเ้ ปน็ เกียรตแิ ก่ไดโอแฟนตัส
เช่น x2 + y2 = z2 เปน็ ตน้

ภาพท่ี 1.5: ไดโอแฟนตัส
ผู้ใหก้ ำเนดิ สมการไดโอแฟนไทน์

เลโอนาร์โด ฟโี บนกั ชี ภาพท่ี 1.6: ฟโี บนกั ชี
(Leonardo F ibonacci, ค.ศ. 1170 − 1250 ) หรือ ผใู้ หก้ ำเนดิ ลำดับฟีโบนกั ชี
เลโอนาร์โดแหง่ ปชิ า เป็นนักคณติ ศาสตรช์ าวอิตาลี
มีชอื่ เสียงโดง่ ดังทส่ี ดุ จากการค้นพบลำดบั ฟีโบนักชี
ซ่งึ นบั เปน็ ลำดับมหัศจรรย์ทส่ี อดประสานได้ลงตัวกับ
ปรากฏการณ์ตา่ ง ๆ ทางธรรมชาติและมบี ทบาทใน
การเผยแพร่การเขียนและวิธีการคำนวณระบบจำนวน
ฐานสบิ ท่ีให้ค่าตามหลกั แบบอาราบกิ (Arabic
positional decimal system) ท่ใี ช้กัน
ในปัจจบุ นั หลายคนยกย่องวา่ เขาเป็นนกั คณติ ศาสตร์
ทีเ่ ก่งทีส่ ุดในยคุ กลาง

มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทนำ 5

ศตวรรษที่ 16 ปแี ยร์ เดอ แฟรม์ า

(P ierre de F ermat, ค.ศ. 1601 − 1665)

นักคณติ ศาสตร์ชาวฝรง่ั เศส ซง่ึ เปน็ ขุนนาง

ราชสำนกั ไดร้ บั การยกย่องให้เปน็ บิดาแหง่

ทฤษฎีจำนวนสมยั ใหม่ แฟร์มาไดศ้ กึ ษาและ

พัฒนาผลงานต่อจากไดโอแฟนตัส เพ่มิ เตมิ อกี

ทำให้ค้นพบสมบตั ิของจำนวนเตม็ มากมาย

เช่น ทฤษฎที ี่สำคญั เรียกว่า ทฤษฎบี ทสดุ ท้าย

ภาพที่ 1.7: ปแี ยร์ เดอ แฟร์มา ของแฟรม์ า (F ermats` last theorem) ใน
"บดิ าแห่งทฤษฎจี ำนวนสมัยใหม"่ ปี ค.ศ. 1637 ได้เขยี นเปน็ บทสรุปในบนั ทึก
สว่ นตวั ว่า ไดค้ ้นพบบทพิสจู น์ของทฤษฎบี ท

ทวี่ ่า xn + yn = zn ไม่มผี ลเฉลย x, y และ z ท่เี ป็นจำนวนเต็มบวก สำหรบั ทกุ ๆ

จำนวนเต็มบวก n > 3 แตก่ ็ไมไ่ ดแ้ สดงบทพิสจู น์ไว้ โดยแสดงการพสิ จู น์เพยี งวา่ n = 4

เป็นจริง

ผ่านยุคของแฟร์มาไมน่ านนกั ในศตวรรษ

ที่ 17 เลออนฮารด์ ออยเลอร์ (Loenhard

Euler, ค.ศ.1707 − 1783) นักคณิตศาสตรช์ าว

สวิตเซอรแ์ ลนด์ ไดพ้ ิสูจน์ว่าทฤษฎบี ทสดุ ทา้ ยของ

แฟรม์ า กรณี n = 3 เป็นจรงิ แตก่ ารพสิ จู น์ยงั มี

ส่วนบกพรอ่ ง ซง่ึ ตอ่ มานักคณติ ศาสตรไ์ ดแ้ ก้ไขให้

ถูกตอ้ งสมบูรณ์ และออยเลอรไ์ ดค้ ดิ คน้ ฟังกช์ นั

เกยี่ วกับ จำนวนของจำนวนเตม็ บวกท่ีน้อยกวา่

หรอื เท่ากับ n และเป็นจำนวนเฉพาะสัมพทั ธก์ บั

ภาพที่ 1.8: เลออนฮารด์ ออยเลอร์ n เรยี กวา่ ฟงั ก์ชนั ฟีออยเลอร์ (ϕ-Euler

ผคู้ ิดค้นฟังกช์ ันฟีออยเลอร์ f unction) ออยเลอรม์ ีผลงานคณติ ศาสตร์

ในหลากหลายสาขาและสามารถยดึ องค์ความรู้

ทหี่ ลากหลายนัน้ เข้าไว้ดว้ ยกนั

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

6 ทฤษฎจี ำนวน

คารล์ ฟรีดรชิ เกาส์ (Carl F riedrich

Gauss, ค.ศ. 1777 − 1855) เกิดท่เี มอื งบรนั สวกิ

ประเทศเยอรมนี มฉี ายาว่า เจ้าชายแห่งวงการคณิต

ศาสตร์ ผพู้ ัฒนาแนวคิดของสมภาค (congruence)

ซง่ึ ตพี ิมพใ์ นหนงั สอื Disquisitiones Arithmeticae

เม่ือ ค.ศ. 1801 เกีย่ วกับเลขคณติ มอดลุ าร์ (modular

arithmetic) ทเี่ ป็นระบบจำนวนภายใต้การหารแบบ

เหลอื เศษ หรือสมภาค (congruence) และบทพิสจู น์ ภาพท่ี 1.9: คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
แรกของทฤษฎี สว่ นกลบั กำลังสอง (quadratic ผไู้ ด้พัฒนาแนวคิดเกี่ยวกับสมภาค
reciprocity) ซึ่งในปัจจุบนั มบี ทพสิ จู นท์ แี่ ตกตา่ งกนั

แตเ่ กาส์เป็นคนแรกทพี่ ิสจู น์ทฤษฎบี ทน้ีในปี ค.ศ. 1796

ศรนี ิวาสะ ไอเยนการ์ รามานจุ ัน ภาพที่ 1.10: ศรีนวิ าสะ รามานจุ ัน
(Srinivasa Aiyangar Ramanujan, ผ้ศู กึ ษาคณิตศาสตรด์ ้วยตนเอง
ค.ศ. 1887 − 1920) เกิดทเี่ มอื งอีโรด ทางใตข้ อง
ประเทศอินเดยี นักคณติ ศาสตร์ผู้ศึกษา
คณิตศาสตร์ด้วยตนเอง อจั ฉริยะจากชมพูทวปี
มชี ่อื เสยี งมากในการสงั เกตรูปแบบที่น่าสนใจของ
ตัวเลข โดยเฉพาะวธิ ที ่ตี ัวเลขหน่งึ ๆ สามารถเขยี น
ในรูปผลรวมของตัวเลขอนื่ ท่มี ีค่าน้อยกว่า ซง่ึ ใน
ทางคณติ ศาสตร์เรยี กวา่ P artition รามานจุ ัน
มีผลงานทางทฤษฎีจำนวน มากมาย

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทนำ 7

เออดอส (P aul Erdo¨s, ค.ศ. 1913 − 1996)

เกดิ ในเมอื งบูดาเปสต์ ประเทศฮงั การี รู้จกั จำนวนลบ

(N egative number) ตั้งแต่อายุ 4 ขวบ

ตอนประถม คิดกาํ ลงั สองของเลขส่หี ลกั ในใจได้

เมอ่ื มธั ยมได้แสดงวธิ ีพิสจู นส์ มการของปที าโกรสั

a2 + b2 = c2 ไดถ้ ึง 37 วิธี และเมือ่ ศึกษาใน

มหาวิทยาลยั ขณะอายุ 17 ปี วงการคณิตศาสตร์

ตอ้ งตะลึง เมื่อเออดอสพสิ จู น์ทฤษฎบี ทของ เชบบีเชฟ

(Chebyshev) ทีว่ ่า ถ้าจํานวนเต็มสองจาํ นวนและ

จาํ นวนหน่งึ มีคา่ เป็นสองเทา่ ของอีกจํานวนหนึ่งแลว้

ระหวา่ งสองจาํ นวนน้ันจะมจี ำนวนเฉพาะ ภาพที่ 1.11: เออดอส นกั คณิตศาสตร์

(prime number) อยา่ งนอ้ ยหนึ่งจาํ นวนเสมอ ผ้ปู ระมาณจำนวนของจำนวนเฉพาะได้

อาทิ ระหวา่ ง 7 กบั 14 จะมีจำนวนเฉพาะอย่าง

น้อย 1 จำนวน ซงึ่ คอื 11 และ 13 เออดอสเปน็ นักคณิตศาสตรผ์ ใู้ หบ้ ทพิสูจนท์ ี่สวยงามของ

ทฤษฎบี ทจำนวนเฉพาะ ทช่ี ่วยให้สามารถทราบจำนวนโดยประมาณของจำนวนเฉพาะในขอบ

เขตท่ีกำหนด นอกจากน้ี เออดอส ยังไดผ้ ลติ ผลงานวิจัยทางคณิตศาสตร์ไว้กว่า 1, 500 เรอ่ื ง

ซึง่ ถือว่าจำนวนมากเปน็ อันดับตน้ ๆ ของนักคณติ ศาสตร์ท้งั โลกต้ังแต่อดีตถึงปจั จุบัน

ความอยากร้ขู องนกั คณติ ศาสตร์และการตอบสนองการมีคุณภาพที่ดขี ึ้นในปจั จบุ นั
ของมนษุ ย์ ทำให้มีการสรา้ งสรรคพ์ ฒั นาองค์ความรทู้ างทฤษฎจี ำนวนซึ่งนักคณิตศาสตร์
ถอื วา่ เปน็ รากฐานที่สำคญั ยิง่ ทีจ่ ะนำไปสู่การศึกษาคณิตศาสตรส์ มัยใหม่หลายแขนง อาทิ
ทฤษฎเี กม ทฤษฎรี หัส การศึกษาทฤษฎีจำนวนทำใหเ้ รามองเหน็ ววิ ฒั นาการเก่ียวกับความ
พยายามของมนษุ ย์ทีจ่ ะตอบปัญหาตา่ ง ๆ ที่ไมม่ ผี ู้ตอบได้ในอดตี อาท จำนวนเฉพาะตวั ท่ี 10
คอื 29 จำนวนเฉพาะตวั ท่ี 100 คือ 541 หรอื จำนวนเฉพาะตวั ที่ 664, 999 คอื 10, 006, 721
แล้วจำนวนเฉพาะตัวท่ี n คอื จำนวนใด ซ่งึ รูปแบบทั่วไปในการหาจำนวนเฉพาะตวั ท่ี n ยงั
ไม่เป็นทีท่ ราบกนั เมอ่ื หลายศตวรรษมาแลว้ เชือ่ กันว่า ถ้า n เปน็ จำนวนเต็มบวกแลว้
n2+n+41 เปน็ จำนวนเฉพาะ ซึง่ รปู แบบนเ้ี ปน็ จริงสำหรับ n = 1, 2, 3, . . . , 39 หรอื
มรี ปู แบบ n2−79n+1601 ทใี่ ห้จำนวนเฉพาะท่ีตดิ ต่อกันถึง 80 จำนวน ดังนน้ั จำนวนเฉพาะ
เปน็ จำนวนท่มี หศั จรรย์ทสี่ ดุ ในทฤษฎีจำนวน เปน็ จำนวนสากลท่ีไมข่ นึ้ อยกู่ ับระบบการนับใน

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

8 ทฤษฎจี ำนวน
ฐานใด ไมว่ ่าจะเปน็ ชาวบาบโิ ลนทนี่ ับเลขฐาน 60 หรือชาวมายันทนี่ ับเลขฐาน 20 ตลอดจน
คอมพิวเตอร์ทีน่ บั เลขฐาน 2 จำนวนเฉพาะกย็ งั คงเป็นจำนวนเฉพาะของทุกชนเผา่

ภาพท่ี 1.12: ผลงานของชาวบาบโิ ลนและมายนั

ความตอ้ งการในการสือ่ สารข้อความท่ีเปน็ ความลบั และจำกดั วงของผูร้ ับสาร
เร่ิมพัฒนาขึ้น ตงั้ แต่มนษุ ย์มีความสัมพันธท์ างสงั คมทซ่ี ับซ้อนขึ้นและรหสั ลับถูกนำมาใช้
เพื่อสนองตอบตอ่ ความตอ้ งการดังกลา่ ว จูเลียส
ซซี าร์ (Julius Caesar, 100−44 ปกี อ่ น ค.ศ.)
รัฐบรุ ษุ โรมนั ได้นำกองทพั ท่ยี ิ่งใหญเ่ คลอ่ื นทัพไป
ทางทิศตะวันตกเฉยี งเหนือ เข้ารุกรานเกาะเล็ก ๆ
เกาะหนึ่ง ซ่ึงในปจั จบุ นั รู้จกั กนั ในนาม เกาะองั กฤษ
สงครามในครัง้ น้นั มีหลักฐานบนั ทึกวา่ จเู ลยี ส ซีซาร์
ได้ใชร้ หัสลับในการติดต่อสือ่ สารกบั กองทพั และทหาร

ภาพที่ 1.13: จเู ลยี ส ซซี าร์ แมท่ พั กองทพั
โรมัน

ระหวา่ งสงครามโลกคร้ังท่ีสอง กองทพั ฝ่ายอักษะของเยอรมนั ได้สร้างเคร่อื งเข้า
รหัสลับ ทร่ี ู้จักกนั ในชือ่ ว่า อนี ิกมา (Enigma) ต่อมาภายหลังความลับของเครอื่ งนี้ ได้ถูก
เปดิ เผยโดยการใชค้ วามพยายามอย่างมากของฝา่ ยสัมพนั ธมติ ร การเปดิ เผยความลับน้ี ทำให้
ภาวะสงครามโลกคร้งั ทสี่ องไดย้ ตุ ลิ งได้เร็วข้ึน ซ่งึ ทฤษฎจี ำนวนได้เกย่ี วขอ้ งกับการเข้ารหัสและ
การถอดของเครอ่ื งจกั รน้ี แม้ทฤษฎรี หัสถกู นำไปใช้ในงานท่ีเก่ยี วขอ้ งกบั สงคราม แต่ต่อมา
แนวคิดน้ไี ดถ้ กู นำมาใชใ้ นงานดา้ นรักษาความลับและความปลอดภยั ดังเชน่ ในปัจจบุ นั

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทนำ 9

การเงนิ การธนาคารไดน้ ำทฤษฎจี ำนวนและทฤษฎีรหสั มาใชโ้ ดยการนำสมบัตเิ ฉพาะของ
จำนวนเฉพาะมาสรา้ งเพื่อเป็นรหัสลบั RSA (Rivest − Shamir − Adelma code)

ภาพท่ี 1.14: เครอ่ื งเข้ารหสั ลับ อนี กิ มา ของเยอรมนี

รหัสลบั RSA เป็นแนวคดิ จากการนำจำนวนเฉพาะทม่ี คี ่ามากสองจำนวนมาคูณกนั
ทำใหผ้ ลลพั ธม์ ีค่ามาก และเนื่องจากสมบตั ขิ องจำนวนเฉพาะและปริมาณของจำนวนเฉพาะ
ทมี่ ีมากมายเป็นอนนั ต์ ดงั นนั้ ผทู้ ี่ไมไ่ ด้เปน็ ผกู้ ำหนดจำนวนเฉพาะท้ังสอง ย่อมเปน็ เร่ืองยาก
มากทจ่ี ะสบื คน้ ย้อนกลับเพือ่ ให้ได้ว่าจำนวนเฉพาะสองจำนวนท่คี ณู กนั ซึง่ ได้ผลลัพธด์ ังกล่าวน้ัน
คือจำนวนใด เราได้ใชง้ านรหัส RSA โดยไม่รตู้ ัว เพราะในการกำหนดและไขความลบั ทแ่ี สดง
ตวั ตนของเจ้าของบัตร AT M หรือบัตรเครดติ ต่าง ๆ ตอ้ งใชค้ วามรดู้ ้านทฤษฎจี ำนวนท้ังส้นิ

ภาพท่ี 1.15: การเขา้ รหสั และการถอดรหัส

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

10 ทฤษฎีจำนวน

ภาพที่ 1.16: รหัสบตั ร AT M หรือบตั รเครดติ เกี่ยวขอ้ งทฤษฎีจำนวน

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 1

ความรู้เบอ้ื งต้น

ทฤษฎีจำนวน (number theory) เปน็ เรือ่ งการศึกษาเกี่ยวกบั สมบัตขิ องจำนวนเตม็
เหตุผลการศึกษา ประการแรก จำนวนเต็มโดยเฉพาะจำนวนนบั มคี ุณคา่ และมีความสำคญั ใน
ทางประวัตศิ าสตร์ ประการที่สอง จำนวนนบั ไดเ้ ป็นตวั แบบให้เกดิ ระบบจำนวนจรงิ ประการ
ทีส่ าม มคี วามสวยงาม สนุก และน่าตน่ื เตน้ และประการสุดทา้ ย มีข้อปญั หา ขอ้ คาดการณ์
อีกมากมายเก่ยี วกับจำนวนเต็มที่ท้าทายความสามารถนักคณติ ศาสตรแ์ ละผูท้ สี่ นใจท่ัวไป ได้มี
นกั คณิตศาสตร์ท่านหนึง่ ชื่อ เกาส์ (Carl F riedrich Gauss, ปี ค.ศ. 1777-1855) ได้แสดง
ให้เห็นถงึ ความสำคญั ของทฤษฎจี ำนวน โดยท่านกลา่ วไว้วา่ " คณิตศาสตรเ์ ปน็ ราชินแี ห่งวทิ ยา
ศาสตร์ และทฤษฎีจำนวนเป็นราชินีแห่งคณติ ศาสตร์ "

เซตของจำนวนเตม็ เปน็ เซตอนั ดับ (ordered set) สอดคลอ้ งกับสจั พจนก์ ารจัดอนั ดบั ดี
(well-ordering axiom) ซงึ่ เกีย่ วข้องกบั การอุปนัย (induction) และ ขน้ั ตอนวิธกี ารหาร
(division algorithm) และเราจะศึกษาทฤษฎีจำนวน โดยเรม่ิ จากสมบัตพิ ื้นฐานของจำนวน
เตม็ โดยไมข่ อพิสูจน์ ซึ่งตอ่ ไปจะใชส้ ญั ลักษณ์ N, Z, Q และ R แทน เซตของจำนวนนบั หรือ
จำนวนเต็มบวก(positive integers) จำนวนเตม็ (integers) จำนวนตรรกยะ (rational
numbers) และจำนวนจรงิ (real numbers) ตามลำดับ และเปน็ ทท่ี ราบกนั ว่า N ⊂ Z ⊂
Q⊂R

1.1 สมบตั สิ ำคญั ของจำนวนเตม็

เซตของจำนวนเต็ม (Z) กบั การบวก(+)และการคูณ(·) เป็นรงิ (ring) นน่ั คือ มีสมบตั ิ
การปดิ การเปลี่ยนหมู่ การมเี อกลกั ษณ์ การมีตวั ผกผัน และการแจกแจง ต่อไปนเ้ี ปน็ ตวั อยา่ ง
การใช้สมบัตดิ ังกลา่ ว

ตวั อย่างท่ี 1.1.1 ถ้า a ∈ Z จงพิสจู น์วา่ 0 · a = 0

12 ทฤษฎจี ำนวน

วธิ ที ำ 0 · a = (0 + 0) · a (การมเี อกลักษณก์ ารบวก)
(การแจกแจง)
=0·a+0·a (การบวกดว้ ยจำนวนเดยี วกัน)
(การเปลย่ี นหมกู่ ารบวก)
−(0 · a) + 0 · a = −(0 · a) + (0 · a + 0 · a) (การมีตวั ผกผันการบวก)
(การมีเอกลกั ษณก์ ารบวก)
−(0 · a) + 0 · a = (−(0 · a) + 0 · a) + 0 · a

0=0+0·a

0=0·a

เพอื่ ความสะดวกต่อไปเราจะเขยี น ab แทน a · b
ตัวอยา่ งที่ 1.1.2 ถา้ a ∈ Z จงพิสจู น์ว่า −a = (−1)a

วธิ ที ำ เนือ่ งจากตัวผกผันของ a (คือ −a) ซึ่งนำมาบวกกบั a แลว้ ไดเ้ อกลักษณ์การบวก

(คือ 0) ดังนัน้ เราพิจาณา

(−1)a + a = (−1)a + 1a (การมเี อกลักษณ์การคณู )

= (−1 + 1)a (การแจกแจง)

= 0a (การมีตัวผกผันการบวก)

= 0 (ตัวอย่างท่ี 1.1.1)

นน่ั คอื −a = (−1)a

เนื่องจาก Z เปน็ เซตอนั ดบั ดงั นั้น สำหรับ a, b ∈ Z จะกำหนดให้ a > b หมายถงึ
a − b เป็นจำนวนเตม็ บวก และถา้ a < b หมายถงึ b > a รวมทั้ง a ≥ b และ a ≤ b
จะกำหนดความหมายไดท้ ำนองเดยี วกนั

ตวั อย่างที่ 1.1.3 จงพสิ จู นว์ ่า ถา้ a, b ∈ Z และ a > 0, b < 0 แลว้ ab < 0

วธิ ที ำ ให้ a > 0, b < 0 เน่อื งจาก b < 0 ดงั น้นั 0 − b = −b เปน็ จำนวนเตม็ บวก
และเน่อื งจาก a > 0 และจากสมบตั ิปดิ ของการคณู ดังน้นั a(−b) เปน็ จำนวนเตม็ บวก

แต่เน่ืองจาก a(−b) = −(ab) ดงั นั้น −(ab) เปน็ จำนวนเต็มบวก
จะได้ว่า 0 − (ab) = −(ab) เปน็ จำนวนเตม็ บวก
นน่ั คอื 0 > ab

นอกจากสมบัติทกี่ ล่าวมาแลว้ ข้างต้น จำนวนเต็มยงั มีสมบัติอ่ืนทีส่ ำคญั (important
properties of integers) พอสรุปไดด้ งั ต่อไปน้ี

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 1 ความรูเ้ บอื้ งต้น 13

(1) ถ้า a และ b ∈ Z แลว้ a + b และ ab ∈ Z (closure property)
(2) ถ้า a ∈ Z แล้ว ไม่มีจำนวน x ∈ Z ซึง่ a < x < a + 1
(3) ถ้า a, b ∈ Z และ ab = 1 แลว้ a = b = 1 หรอื a = b = −1 อยา่ งใดอยา่ งหนง่ึ
(4) สำหรับ m, n ∈ N, a, b ∈ R จะได้ว่า

(4.1) (am)n = amn
(4.2) (ab)n = anbn
(4.3) aman = am+n

สมบตั ิเหล่านเ้ี ป็นจริงสำหรับ m, n ∈ Z และ a, b ∈/ {0} ดว้ ย
(5) สำหรบั a, b, c ∈ R

(5.1) ถ้า a ≤ b และ b ≤ c แลว้ a ≤ c (transitivity)
(5.2) ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c
(5.3) ถ้า a ≤ b และ 0 ≤ c แลว้ ac ≤ bc
(5.4) ถา้ a ≤ b และ c < 0 แล้ว bc ≤ ac
(5.5) a = b หรอื a < b หรอื a > b อยา่ งใดอยา่ งหนึง่ เทา่ นนั้ (trichonomy)

นอกจากนี้ Z ยังมโี ครงสร้างทางพชี คณิตเปน็ อินทกิ รลั โดเมน (integral domain)
กลา่ วคอื ถา้ a, b ∈ Z และ ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0

แบบฝกึ หดั 1.1

ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ ข้อความต่อไปนี้ จริงหรือเท็จ เพราะเหตุใด
(1) ถ้า ab = ac แลว้ b = c
(2) ถา้ ab < ac แลว้ b < c
(3) ถ้า a < b และ c < d แลว้ a − c < b − d
(4) ถา้ a < b และ c < d แลว้ ac < bd
(5) ถา้ a < b และ c < d แล้ว a < c และ b < d
(6) ถ้า a2 < b2 แลว้ a < b
(7) ถ้า a > 0 แลว้ a2 > 0
(8) ถา้ a เปน็ จำนวนคแู่ ลว้ a2 เปน็ จำนวนคู่
(9) ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

14 ทฤษฎีจำนวน

(10) สำหรับ k, m, n ∈ N, a, b ∈ R ข้อความตอ่ ไปน้ี จรงิ หรอื เท็จ เพราะเหตุใด
(10.1) kmn = nmk
(10.2) (a + b)n = an + bn
(10.3) am + an = am+n
(10.4) amn = aman

1.2 หลักการจดั อนั ดบั ดี

หลักการจัดอันดับดี (well-ordering principle) มบี ทบาทสำคัญท่ีใชใ้ นการพิสจู น์
ในบทต่อ ๆ ไป จึงขอกล่าวไวใ้ นหวั ขอ้ น้พี รอ้ มกบั ตวั อย่าง ดังนี้

ทกุ ๆ เซตย่อยทไี่ ม่เป็นเซตว่างของ N จะมสี มาชิกค่าน้อยสดุ หนงึ่ สมาชิก

น่ันคอื ถ้า S ⊆ N แล้ว จะมจี ำนวนนบั a ∈ S ซงึ่ a ≤ b สำหรับแตล่ ะ b ∈ S
ตัวอยา่ งที่ 1.2.1 {5, 3, 16, 7, 12} มีสมาชกิ ค่าน้อยสุดคือ 3 และสมาชกิ ในเซตสามารถ
เรียงอนั ดบั ได้เปน็ 3, 5, 7, 12, 16

ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้เี ปน็ การนำหลกั การจดั อนั ดับดไี ปใช้
ตวั อยา่ งท่ี 1.2.2 จงพสิ จู นว์ า่ ไม่มีจำนวนเตม็ บวกระหวา่ ง 0 และ 1
พิสจู น์ สมมุติว่า มจี ำนวนเตม็ บวก a ระหวา่ ง 0 และ 1 ให้ S = {n ∈ N | 0 < n < 1}
เนื่องจาก 0 < a < 1 และ a ∈ S ดงั น้นั S ̸= ∅ จากหลักการจดั อนั ดับดี จะไดว้ า่ S
มสี มาชิกค่านอ้ ยสดุ ใหเ้ ปน็ b ซ่ึง 0 < b < 1 แลว้ 0 < b2 < b ดงั นั้น b2 ∈ S แต่ b2 < b
ทำใหเ้ กิดข้อขัดแยง้ กบั ที่วา่ b เปน็ สมาชกิ คา่ น้อยสุดใน S นัน่ คอื ไมม่ ีจำนวนเต็มบวกระหวา่ ง
0 และ 1

ตวั อย่างท่ี 1.2.3 (Archimedean property) ถา้ a, b เปน็ จำนวนเตม็ บวกใด ๆ แล้ว
จะมีจำนวนเต็มบวก n ซง่ึ na ≥ b
พิสจู น์ พิสจู นโ์ ดยการขัดแย้ง สมมตุ วิ า่ สำหรับบาง a, b ∈ N ซ่งึ na < b สำหรบั แต่ละ
n ∈ N จะได้วา่

S = {b − na | n ∈ N} ̸= ∅

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 1 ความรู้เบ้ืองตน้ 15

จากหลักการจดั อนั ดับดี S จะมสี มาชิกคา่ นอ้ ยสุด ให้เปน็ b − ma และเนื่องจากรปู แบบของ
สมาชกิ ใน S ทำใหไ้ ด้วา่ b − (m + 1)a ∈ S ด้วย ดังน้นั

b − (m + 1)a = (b − ma) − a < b − ma

ซงึ่ เกิดขอ้ ขดั แยง้ น่นั คอื ถา้ a, b ∈ N แล้ว na ≥ b สำหรับบาง n ∈ N

แบบฝกึ หัด 1.2

(1) พจิ ารณาว่า เซตต่อไปนมี้ หี ลกั การจัดอนั ดับดี หรอื ไม่ ถ้าไม่มี จงอธบิ าย
(1.1) เซตของจำนวนเต็มลบ
(1.2) เซตของจำนวนเต็ม
(1.3) {n ∈ N | n ≥ 5}
(1.4) {n ∈ Z | n ≥ −3}

(2) ให้ S เป็นเซตของจำนวนเตม็ ที่ไมเ่ ปน็ ลบซึ่งไมเ่ ป็นเซตว่าง จงพสิ ูจนว์ า่ S มีสมาชิกคา่ นอ้ ยสดุ
(เสนอแนะ: แยกเปน็ 2 กรณีคือ 0 ∈ S และ 0 ∈/ S)

(3) ให้ a ∈ Z จงพิสจู น์วา่ ไม่มีจำนวนเต็มระหวา่ ง a และ a + 1

1.3 ผลบวกและผลคณู

∑
เราใช้สญั ลกั ษณ์ (อ่านวา่ ซิกมา ) แทน ผลบวก (summation) ซ่ึง โจเซฟ

หลยุ ส์ ลากร็างจ์ (Joseph Louis Lagrange) นักคณติ ศาสตรช์ าวฝรั่งเศสใชม้ าต้ังแต่ปี 1772

โดยกำหนดดงั น้ี

∑n
ai = ak + ak+1 + . . . + an

i=k

เรยี ก i ว่า ดชั นผี ลบวก (index summation)

ตัวอยา่ งท่ี 1.3.1
∑2

(1) i(i − 1) = (−1)(−1 − 1) + 0(0 − 1) + 1(1 − 1) + 2(2 − 1) = 4

i=−1

∑4
(2) j2 = (−2)2 + (−1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 + 42 = 35

j=−2

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

16 ทฤษฎีจำนวน

สมบัติของผลบวกท่ีสำคญั มดี งั น้ี

ทฤษฎีบท 1.3.1 ให้ n ∈ N และ c ∈ R และ a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn เปน็ ลำดบั

จะได้ว่า

∑n
(1) c = nc

i=1

∑n ∑n
(2) (cai) = c( ai)

i=1 i=1

∑n ∑n ∑n
(3) (ai + bi) = ai + bi

i=1 i=1 i=1

ตัวอย่างที่ 1.3.2

∑2 ∑2 ∑2
[(5j)3 − 2j] = (5j)3 − 2( j)

j=−1 j=−1 j=−1

∑2 ∑2
= 125[ (j)3] − 2 j

j=−1 j=−1

= 125[(−1)3 + 03 + 13 + 23] − 2(−1 + 0 + 1 + 2)

= 996

ตวั อย่างที่ 1.3.3
(1) ให้ I = {0, 1, 3, 5}
∑
(2i + 1) = (2 · 0 + 1) + (2 · 1 + 1) + (2 · 3 + 1) + (2 · 5 + 1) = 22

i∈I

(2) ให้ I = {1, 2, 3, 4}
∑

(2i + 3j) = (2 · 1 + 3 · 2) + (2 · 1 + 3 · 3) + (2 · 1 + 3 · 4) +

i<j

(2 · 2 + 3 · 3) + (2 · 2 + 3 · 4) + (2 · 3 + 3 · 4)

= 80

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 1 ความรูเ้ บ้ืองตน้ 17

∑
ตัวอย่างท่ี 1.3.4 จงหาค่า d เมอ่ื d | 6 แทน d หาร 6 ลงตวั

d≥1
d|6

วธิ ที ำ

∑
d = ผลบวกของ d ∈ N ซง่ึ d หาร 6 ลงตัว

d≥1
d|6

= 1+2+3+6

= 12

∑1 ∑2

ตัวอยา่ งท่ี 1.3.5 จงหาค่า (2i + 3j)

i=−1 j=0

วธิ ีทำ

∑1 ∑2 ∑1 ∑2

(2i + 3j) = ( (2i + 3j))

i=−1 j=0 i=−1 j=0

∑1
= ((2i + 3 · 0) + (2i + 3 · 1) + (2i + 3 · 2))

i=−1

∑1
= (6i + 9)

i=−1

= (6 · (−1) + 9) + (6 · 0 + 9) + (6 · 1 + 9)

= 27

∏
ต่อไปเรากลา่ วถึงสัญลักษณ์ (อ่านวา่ โพรดักท์ ) แทน ผลคณู (product)

โดยกำหนดดังน้ี

∏n
ai = akak+1 . . . an

i=k

∏4
ตวั อยา่ งที่ 1.3.6 3 = (3)(3)(3)(3) = 81

i=1

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

18 ทฤษฎจี ำนวน

ตวั อย่างท่ี 1.3.7 ฟงั ก์ชนั แฟกทอเรยี ล (f actorial f unction) f (n) = n! ซง่ึ กำหนดโดย

f (n) = n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 เมอ่ื 0! = 1
∏n

=i

i=1

∏4
ตวั อย่างที่ 1.3.8 จงหาค่า (j2 − 3)

j=2

วธิ ที ำ

∏4
(j2 − 3) = (22 − 3)(32 − 3)(42 − 3)

j=2

= 1 · 6 · 13

= 78

∏
ตวั อยา่ งท่ี 1.3.9 จงหาค่า (i + j) เมื่อ I = {2, 3, 5, 7} ลงตัว

i,j∈I
i<j

วิธที ำ

∏
(i + j) = (2 + 3)(2 + 5)(2 + 7)(3 + 5)(3 + 7)(5 + 7)

i,j∈I
i<j

= 5 · 7 · 9 · 8 · 10 · 12

= 302, 400

ทฤษฎีบท 1.3.2 ให้ n ∈ N และ c ∈ R และ a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn เป็นลำดบั

จะได้ว่า
∏n

(1) c = cn

i=1

∏n ∏n ∏n
(2) (aibi) = ( ai)( bi)

i=1 i=1 i=1

∏n ∏n
(3) aik = ( ai)k

i=1 i=1

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 1 ความรู้เบอ้ื งตน้ 19

∏n ∏n ∏n ∏n ∏n
ตัวอย่างท่ี 1.3.10 (cai)2 = c2ai2 = ( c2)( ai) = c2n( ai)2

i=1 i=1 i=1 i=1 i=1

แบบฝึกหดั 1.3

∑
(1) จงเขียนผลบวกต่อไปนี้ใหอ้ ยู่ในรปู ของ

(1.1) 31 + 32 + . . . + 310

(1.2) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + 11 · 12

(1.3) 1(1 + 2) + 2(2 + 2) + . . . + 5(5 + 2)

(2) จงหาค่า
∑4

(2.1) (3n − 2)

n=0

∑3 3(k2)

(2.2)

k=−2

∑3 ∑2 (i2 − j + 1)

(2.3)

i=1 j=1

∑5 ∑6

(2.4) (2i + 3j)

i=1 j=1

∏3
(2.5) (i + 1)

i=0

∏5
(2.6) (j2 + 1)

j=3

(3) ขอ้ ความต่อไปนี้ จริงหรือเทจ็
∑n ∑n

(3.1) i = (n + m − i)

i=m i=m
∑n ∑n
xi = x(n+m−i)
(3.2)

i=m i=m

(4) ให้ n ∈ {2, 3, 5, 7} และ I = {1, 2, 3} จงหาคา่
∑

(4.1) n

∑n≤10
(4.2) d

d≥1

d∏|12
(4.3) n

n≤10

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

20 ทฤษฎีจำนวน

∏
(4.4) (i + 2j)

i,j∈I
i<j

1.4 หลักอปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร์

หลักอุปนยั เชงิ คณิตศาสตร์ (mathematical induction principle) ไดน้ ำมาใช้ใน
การพสิ ูจน์ ซ่งึ ปรากฏในหนังสอื ของ ออกสุ ต์ เดอ มอกอ็ ง (Augustus DeM ogan) เมอื่ ปี
ค.ศ. 1875 และต่อไปน้ีเป็นทฤษฎีบทสำคัญของหลกั อปุ นัย
ทฤษฎบี ท 1.4.1 ให้ S ⊆ N ซ่ึง

(1) 1 ∈ S
(2) สำหรับแต่ละ k ∈ N ถา้ k ∈ S แลว้ k + 1 ∈ S
จะได้วา่ S = N

ทฤษฎีบท 1.4.2 สามารถขยายได้ เปน็ ทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้
ทฤษฎบี ท 1.4.2 ให้ n0 ∈ Z และ S ⊆ N ซ่ึง

(1) n0 ∈ S
(2) สำหรับแตล่ ะ k ≥ n0 ถ้า k ∈ S แล้ว k + 1 ∈ S
จะไดว้ ่า n ∈ S สำหรบั แต่ละ n ∈ Z ที่ n ≥ n0

ทฤษฎบี ทต่อไปนเ้ี ปน็ หลกั อุปนยั แบบออ่ น (weak induction principle)
ทฤษฎบี ท 1.4.3 (the principle of mathematical induction)
ให้ P (n) แทนขอ้ ความที่มตี วั แปร n และ n ∈ Z โดยที่

(1) P (n0) เปน็ จริง สำหรบั บาง n0 ∈ Z
(2) สำหรบั แตล่ ะ k ∈ Z ซงึ่ k ≥ n0 ถา้ P (k) เป็นจรงิ แล้ว P (k + 1) เปน็ จริง
จะได้วา่ P (n) เป็นจรงิ สำหรบั แตล่ ะ n ∈ Z ท่ี n ≥ n0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 1 ความร้เู บ้ืองตน้ 21

ในทฤษฎบี ท 1.4.3 จะเห็นว่า เง่ือนไข (1) P (n) เป็นจริง เม่ือ n = n0

สำหรับเงอื่ นไข (2): สำหรับแต่ละ k ∈ Z ซง่ึ k ≥ n0 ถา้ P (n) เปน็ จรงิ แล้ว มันจะเป็นจรงิ

สำหรบั n = k + 1 ด้วย ดงั นั้น จากเงอื่ นไข (2) ทำให้ได้วา่ P (n0 + 1), P (n0 + 2), . . .

เปน็ จรงิ นั่นคือ P (n) เป็นจรงิ สำหรับแต่ละ n ≥ n0 สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็ม

n(n + 1)
ตัวอย่างท่ี 1.4.1 จงพสิ จู น์ว่า 1 + 2 + 3 + . . . + n =

2
บวก n

พิสจู น์ โดยใช้หลักอปุ นัยเชงิ คณติ ศาสตร์ ดงั น้ี

n(n + 1)
ให้ P (n) แทน 1 + 2 + 3 + . . . + n = 2

∑n n(n + 1)
นั่นคอื P (n) แทน i = 2

i=1

1 · (1 + 1)
ถ้า n = 1 แล้ว 1 = 2 = 1 ดังนนั้ P (1) เป็นจรงิ (นนั่ คือ เมอ่ื n0 = 1)

สมมตุ วิ า่ P (k) เป็นจรงิ [ จะแสดงว่า P (k + 1) เป็นจริง ]

จะไดว้ า่ ∑k k(k + 1)
i=
2

i=1

พิจารณา

∑k k(k + 1)
i + (k + 1) = + (k + 1)
2
i=1

∑k+1 (k + 1)(k + 2) ∑k+1 ∑k
นน่ั คอื i = [ ∵ xi = xi + xk+1]

2 i=1 i=1

i=1

ดังน้นั ถา้ P (k) เป็นจรงิ แลว้ P (k + 1) เป็นจริง

นัน่ คอื P (n) เปน็ จริง สำหรบั แต่ละจำนวนเตม็ n ≥ 1

หรือ P (n) เป็นจริง สำหรับแตล่ ะจำนวนเตม็ บวก n

ตัวอยา่ งท่ี 1.4.2 จงพสิ จู น์ว่า 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 สำหรับแตล่ ะจำนวนเต็ม
บวก n

พสิ จู น์ โดยใช้หลกั อุปนัยเชงิ คณิตศาสตร์ ดังนี้

ให้ P (n) แทน 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
∑n

นั่นคือ P (n) แทน (2i − 1) = n2

i=1

∑1 (2i − 1) = 1 = 1 · 1 = 12 ดงั นัน้ P (1) เป็นจรงิ

ถ้า n = 1 แล้ว

i=1

สมมุติวา่ P (k) เป็นจริง [ จะแสดงว่า P (k + 1) เปน็ จรงิ ]

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

22 ทฤษฎีจำนวน

∑k (2i − 1) = k2

จะไดว้ ่า

i=1

พจิ ารณา
∑k

(2i − 1) + [2(k + 1) − 1] = k2 + [2(k + 1) − 1]

i=1

∑k+1 (2i − 1) = k2 + (2k + 1)

นน่ั คอื ( จากสมมตุ ิฐานหลักอุปนยั )

i=1

= (k + 1)2

ดังนัน้ ถ้า P (k) เป็นจริงแล้ว P (k + 1) เป็นจรงิ

นั่นคือ P (n) เปน็ จริง สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n

แต่เนือ่ งจากการที่ P (k) เปน็ จริง บางครงั้ ยังไม่เป็นการเพยี งพอท่จี ะสรปุ ไดว้ ่า
P (k+1) เปน็ จริง ดังนนั้ เราจำเปน็ ตอ้ งใช้หลกั อปุ นัยแบบเข้ม (strong induction principle)
ตอ่ ไปนี้
ทฤษฎบี ท 1.4.4 (the second principle of mathematical induction)
ให้ P (n) แทนข้อความที่มตี วั แปร n และ n ∈ Z โดยท่ี

(1) P (n0) เป็นจรงิ สำหรับบาง n0 ∈ Z

(2) สำหรบั แต่ละ k ∈ Z ซึ่ง k ≥ n0 ถา้ P (n0), P (n0 + 1), P (n0 + 2), . . . , P (k)
เปน็ จริงแล้ว P (k + 1) เปน็ จริง

จะไดว้ า่ P (n) เป็นจริง สำหรบั แต่ละ n ∈ Z ที่ n ≥ n0

ตัวอยา่ งที่ 1.4.3 (Lucas sequence) ให้ an ∈ N ซึง่ กำหนดโดย a1 = 1, a2 = 3, และ

an = an−1 + an−2 สำหรับแต่ละ n ≥ 3 จงพสิ ูจนว์ า่

an < 7n
()
4

สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n

P (n) an 7n สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็มบวก n ถ้า n = 1 และ n = 2
พิสูจน์ ให้ แทน <( )
4
71 7 7 2 49
แลว้ a1 = 1 < () = และ a2 = 3 < () = ดงั นั้น P (1) และ P (2) เปน็ จรงิ
4 4 4 16

สมมตุ วิ ่า ถ้า n = 1, 2, . . . , k − 1 แลว้ P (n)เปน็ จรงิ (จะแสดงวา่ ที่ n = k ทำให้

P (n)เปน็ จรงิ ด้วย ) จะไดว้ า่

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 1 ความรเู้ บื้องตน้ 23

< 7 k−1 7 k−2
ak−1 () และ ak−2 < ()
4 4

พจิ ารณา

7 k−1 7 k−2
ak = ak−1 + ak−2 < () +( )
4 4

7 k−2 7
= ( ) ( + 1)

44

7 k−2 11
= () ( )

44

7 k−2 7 2
< () ()

44

7k
= ()

4

ดงั น้ัน P (1), P (2), . . . , P (k − 1) เปน็ จริง แลว้ P (k) เปน็ จรงิ

an 7n
น่นั คือ < () สำหรับแตล่ ะจำนวนเตม็ บวก n
4

แบบฝึกหัด 1.4

(1) จงพสิ ูจนว์ ่า 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2 สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n ≥ 1
(2) จงพิสูจน์ว่า 1·2+2·3+3·4+. . .+n(n+1) = n(n + 1)(n + 2) สำหรับแตล่ ะจำนวนเต็ม

3
n≥1
(3) จงพิสจู น์ว่า 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 2n−1 = 2n − 1 สำหรับแต่ละจำนวนเตม็ n ≥ 1
(4) จงพสิ จู น์ว่า 12 + 22 + 32 + . . . + n2 = n(2n + 1)(n + 1) สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็ม

6
n≥1
(5) ให้ m, n ∈ N ขอ้ ความต่อไปนี้ จรงิ หรอื เทจ็

(5.1) (mn)! = m!n!

(5.2) (m + n)! = m! + n!
(6) จงพสิ จู นว์ า่ n! > n2 สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็มบวก n ≥ 4
(7) จงพิสจู น์วา่ n! > n3 สำหรับแต่ละจำนวนเตม็ บวก n ≥ 6
(8) ให้ an ∈ N ซึ่งกำหนดโดย a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3 และ an = an−1 + an−2 + an−3
สำหรับแตล่ ะ n ≥ 4, จงพิสจู นว์ ่า an < 2n สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็มบวก n

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

24 ทฤษฎจี ำนวน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 2
การหารลงตวั และจำนวนเฉพาะ

บทนี้จะกล่าวถงึ การหารลงตวั ขนั้ ตอนวธิ ีการหาร ขนั้ ตอนวิธีแบบยุคลิด และจำนวน
เฉพาะ ดงั น้ี

2.1 การหารลงตัว

การหารลงตัว (divisibility) เป็นพ้นื ฐานในการศกึ ษาทฤษฎจี ำนวน ซึง่ ขอเร่มิ ดว้ ย
บทนิยาม ดงั น้ี
บทนิยาม 2.1.1 ให้ a, b ∈ Z, a ≠ 0 จะกลา่ วว่า a หาร b ลงตวั กต็ อ่ เมอื่ มี c ∈ Z
ท่ีทำให้ b = ac ใชส้ ัญลักษณ์ a | b แทน a หาร b ลงตัว และใช้ a b แทน a หาร b
ไม่ลงตวั
เรยี ก a วา่ ตัวหาร หรือ ตัวประกอบของ b (divisor or f actor of b) และเรยี ก b วา่
พหคุ ณู ของ a (multiple of a)

ตวั อย่างที่ 2.1.1 (1) 13 | 52 เพราะวา่ มี 4 ∈ Z ทที่ ำให้ 52 = (13)(4)
(2) −7 | 91 เพราะวา่ มี −13 ∈ Z ทท่ี ำให้ 91 = (−7)(−13)
(3) 3 20 เพราะว่า ไมม่ จี ำนวนเตม็ k ใด ๆ ท่ีทำให้ 20 = 3k

ทฤษฎีบทต่อไปนเ้ี ป็นทฤษฎบี ทเบ้ืองตนั เกีย่ วกบั สมบัตกิ ารหารลงตัว (divisibility
properties)

26 ทฤษฎจี ำนวน

ทฤษฎบี ท 2.1.1 ให้ a, b, c และ d ∈ Z
(1) ถา้ a | b แล้ว a | bc สำหรับ c ∈ Z ใด ๆ
(2) ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c (transitivity)
(3) ถ้า a | b และ c | d แล้ว ac | bd
(4) ถ้า a | b และ a | c แล้ว a | (bx + cy) สำหรับ x, y ∈ Z ใด ๆ (linearity property)

พสิ ูจน์ (1) เนอื่ งจาก a | b จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ ่า มี m ∈ Z ทท่ี ำให้ b = am
ดงั น้นั จากหัวข้อ 1.1 สมบตั ิสำคัญของจำนวนเตม็ จึงไดว้ ่า

bc = (am)c = a(mc)

เนอ่ื งจาก m ∈ Z, c ∈ Z และจากหัวขอ้ 1.1 สมบัตสิ ำคญั ของจำนวนเต็ม ข้อ (1) ดังนัน้
mc ∈ Z น่นั คอื a | bc

(2) เน่อื งจาก a | b และ b | c ดังนนั้ b = ak และ c = bh สำหรบั บาง k, h ∈ Z
จะไดว้ ่า c = bh = (ak)h = a(kh) สำหรับบาง kh ∈ Z นนั่ คือ a | c

(3) เนอ่ื งจาก a | b และ c | d ดังนั้น b = am และ d = cn สำหรับบาง m, n ∈ Z
จะไดว้ ่า bd = (am)(cn) = (mn)(ac) สำหรบั บาง mn ∈ Z นัน่ คือ ac | bd

(4) เน่อื งจาก a | b และ a | c ดงั นน้ั b = ar และ c = as สำหรบั บาง r, s ∈ Z
จะได้วา่ bx = arx และ cy = asy สำหรับ x, y ∈ Z ใด ๆ แลว้

bx + cy = arx + asy = a(rx + sy)

โดยที่ rx + sy ∈ Z นั่นคือ a | (bx + cy)

ทฤษฎีบท 2.1.2 ให้ a, b, c และ d ∈ Z
(1) ถา้ a | (b + c) และ a | b แลว้ a | c
(2) a | b และ b | a ก็ต่อเมื่อ a = ±b
(3) ถ้า a | b ซง่ึ a > 0 และ b > 0 แลว้ a ≤ b (comparison property)
(4) ถ้า ac | bc และ c ̸= 0 แลว้ a | b (cancellation property)

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 27

พิสจู น์ (1) ให้ a | (b + c) และ a | b จะไดว้ า่ b + c = ak และ b = aj สำหรับบาง k, j ∈ Z
ดงั นนั้ c = ak − b = ak − aj = a(k − j) สำหรบั บาง k − j ∈ Z
น่ันคือ a | c

(2) เนอื่ งจาก a | b และ b | a ดังนัน้ มี s, t ∈ Z ที่ทำให้ b = as และ a = bt
จะไดว้ ่า b = as = (bt)s = b(ts) ดังนัน้ ts = 1 จากหัวข้อ 1.1 สมบัตสิ ำคัญของจำนวนเต็ม
ข้อ (3) จงึ ได้ว่า t = s = 1 หรอื t = s = −1
น่นั คือ a = ±b

สำหรบั บทกลับของทฤษฎีในขอ้ นี้ ให้ a = ±b เห็นได้ชดั วา่ a | b และ b | a
(4) เนอ่ื งจาก ac | bc ดังนัน้ bc = ac(t) สำหรบั บาง t ∈ Z และเนอ่ื งจาก c ≠ 0
ดงั นนั้ b = at
นั่นคือ a | b

หมายเหตุ 2.1.1 (1) a | a เพราะถ้า a ∈ Z แลว้ a = a1
a | 0 เพราะถา้ a ∈ Z แล้ว 0 = 0a
และ 1 | b เพราะถา้ b ∈ Z แลว้ b = 1b

(2) จากทฤษฎบี ท 2.1.2 (2) ถ้า a | 1 แล้ว a = ±1
(3) ถา้ a | a1, a1 | a2, . . . , an−1 | an แลว้ จากทฤษฎีบท 2.1.1 (2) จะไดว้ า่ a | an

∑n
(4) ถ้า a | b1, a | b2, . . . , a | bn แลว้ จากทฤษฎบี ท 2.1.1 (4) จะไดว้ า่ a | bjxj สำหรบั

j=1

xj ∈ Z ใด ๆ

ตัวอย่างที่ 2.1.2 จงแสดงวา่ ถา้ a เปน็ จำนวนคแู่ ลว้ a2 + 2a + 4 หารด้วย 4 ลงตวั

วิธีทำ เน่ืองจาก a เป็นจำนวนคู่ ดังน้ัน 2 | a
เน่อื งจาก 2 | a และ 2 | a ดงั นั้นจากทฤษฎีบท 2.1.1 ข้อ (3)
จะไดว้ ่า 4 = (2)(2) | (a)(a) = a2
เนอ่ื งจาก 2 | 2 และ 2 | a ดังนน้ั จากทฤษฎีบท 2.1.1 ขอ้ (3)
จะได้ว่า 4 = (2)(2) | (2)(a)
และ จากหมายเหตุ 2.1.1 (1) จะได้ว่า 4 | 4
ดงั นนั้ 4 | (a2 + 2a + 4)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

28 ทฤษฎจี ำนวน

ตัวอยา่ งท่ี 2.1.3 จงพสิ จู น์วา่ N = n(n + 1)(2n + 1) หารด้วย 6 ลงตัว สำหรบั แตล่ ะ
จำนวนเต็ม n

พิสูจน์ เนอื่ งจาก n = 6k + r เม่ือ k ∈ Z และ r ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
ถา้ r = 0 แล้ว N = 6k(6k + 1)(12k + 1)
ถา้ r = 1 แลว้ N = (6k + 1)(6k + 2)(12k + 3) = 6(6k + 1)(3k + 1)(4k + 1)
ถา้ r = 2 แล้ว N = (6k + 2)(6k + 3)(12k + 5) = 6(3k + 1)(2k + 1)(12k + 5)
ถ้า r = 3 แลว้ N = (6k + 3)(6k + 4)(12k + 7) = 6(2k + 1)(3k + 2)(12k + 7)
ถา้ r = 4 แล้ว N = (6k + 4)(6k + 5)(12k + 9) = 6(3k + 2)(6k + 5)(4k + 3)
ถา้ r = 5 แล้ว N = (6k + 5)(6k + 6)(12k + 11) = 6(6k + 5)(k + 1)(12k + 11)

และสำหรับแต่ละกรณจี ะเหน็ ได้วา่ 6 | N
ดงั นน้ั 6 | N = n(n + 1)(2n + 1) สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม n

ตวั อยา่ งท่ี 2.1.4 จงแสดงวา่ ผลตา่ งของจำนวนทีม่ สี องหลกั สลบั กันหารด้วย 9 ลงตวั

วิธที ำ ให้ N เปน็ จำนวนทีม่ ีสองหลัก และ P เป็นจำนวนท่ไี ด้จากการสลับหลักของ N

จะไดว้ ่า N = 10a + k และ P = 10k + a เมอื่ a, k เป็นเลขโดด

ดังนน้ั N − P = (10a + k) − (10k − a) เมื่อ a, k ∈ Z

= 9a − 9k

= 9(a − k) เมื่อ a − k ∈ Z

จากบทนยิ าม 2.1.1 จะได้ว่า 9 | (N − P )

ตัวอยา่ งที่ 2.1.5 ห้างแหง่ หนง่ึ มแี ผนกสินคา้ ท่ีมีสนิ คา้ หลายอย่างราคา 12 และ 32 บาท
เทา่ น้ัน ถ้าจะซือ้ สินค้าจากแผนกน้โี ดยใชเ้ งนิ ท้ังหมด 100, 674 บาทพอดี จะทำไดห้ รอื ไม่

วิธีทำ ให้ x แทนจำนวนสนิ คา้ ราคา 12 บาท
และ y แทนจำนวนสนิ ค้าราคา 32 บาท

ดงั นน้ั 12x + 32y = 100, 674
เนื่องจาก 4 | 12 และ 4 | 32 ดังนัน้ 4 | (12x + 32y)
แต่ 4 100, 674 ซ่งึ เกิดขอ้ ขดั แย้งกับทฤษฎบี ท 2.1.1 (3)
น่นั คือ เป็นไปไมไ่ ดท้ จี่ ะซือ้ สนิ คา้ จากแผนกโดยใช้เงินใหพ้ อดีทง้ั หมด 100, 674 บาท

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 2 การหารลงตวั และจำนวนเฉพาะ 29

ตัวอยา่ งท่ี 2.1.6 จงพิสูจน์ว่า 27 | (10n + 18n − 1) สำหรับแตล่ ะจำนวนนับ N

พิสจู น์ โดยการใช้วธิ ีอุปนยั ทางคณติ ศาสตร์บน n

สำหรับ n = 1 จะได้วา่ 101 + 18(1) − 1 = 27 และ 27 | 27 เปน็ จริง

ให้ n = k เปน็ จริง นน่ั คอื 27 | A = 10k + 18k − 1 เป็นจริง

เราจะแสดงวา่ n = k + 1 เปน็ จรงิ (คือจะแสดงว่า 27 | B = 10k+1 + 18(k + 1) − 1)

พิจารณา C = B − 10A

= (10k+1 + 18k + 18 − 1) − 10(10k + 18k − 1)

= (10k+1 + 18k + 17) − (10k+1 + 180k − 10)

= −162k + 27

= 27(−6k + 1)

จะได้วา่ B = C + 10A

เนื่องจาก 27 | C และ 27 | A ดังนัน้ จากทฤษฎบี ท 2.1.1 (3) จะได้ว่า 27 | B

นัน่ คอื 27 | (10n + 18n − 1) สำหรับแต่ละจำนวนนับ N

ตวั อยา่ งขา้ งต้น ถา้ ตวั หารทีม่ ีค่ามาก ๆ แล้ว เราอาจพจิ ารณาหลายกรณี ซ่งึ เราจะได้
ศกึ ษากันตอ่ ไปในเร่อื งของสมภาค

แบบฝึกหัด 2.1

(1) จงหาคา่ x, y (ถา้ มี) จากโจทยท์ ี่กำหนด
(1.1) 16x + 10y = −22
(1.2) 24x − 54y = 28, 010

(2) สำหรบั แตล่ ะ n ∈ N จงพสิ ูจน์วา่
(2.1) 7 | (n7 − n)
(2.2) 9 | (4n + 15n − 1)

(3) จงแสดงว่าจำนวน abcabc หารดว้ ย 7 ลงตัว เม่อื a, b, c เป็นเลขโดด
(4) จงพสิ ูจน์ว่า ถ้า a | b และ a | c แล้ว a | (b ± c)
(5) ถ้า a ∈ Z แลว้ จำนวนเตม็ บวกทห่ี าร a และ a + 1 ลงตวั พรอ้ มกนั คอื 1 เท่านัน้
(6) จงพิสูจน์ทฤษฎบี ท 2.1.2 (3)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

30 ทฤษฎีจำนวน

(7) จงพสิ จู นว์ า่ a | b ก็ต่อเมอื่ a | |b|
(ข้อเสนอแนะ พิจารณา 2 กรณคี อื |b| = b ถ้า b ≥ 0 และ |b| = −b ถ้า b < 0)

(8) จงพิสจู นห์ มายเหตุ 2.1.1 (3) และ (4)
(9) จงพิสูจนว์ ่า n(n2 + 5) หารดว้ ย 6 ลงตัว สำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็ม n
(10) จงพสิ จู น์ว่า ผลคูณของจำนวนเต็มสองจำนวนทอ่ี ยู่ติดกัน หารดว้ ย 2 ลงตัว

2.2 ขน้ั ตอนวิธีการหาร

ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงใหเ้ ห็นวา่ เราสามารถหาเศษเหลอื ท่ีเปน็ จำนวนบวกจากการหาร
ของจำนวนเต็มได้เสมอ
ทฤษฎีบท 2.2.1 (division algorithm) ให้ a, b ∈ Z, a > 0 แล้วจะมี q, r ∈ Z
เพียงคูเ่ ดียวเทา่ นน้ั ทท่ี ำให้

b = aq + r โดยที่ 0 ≤ r < a

เรียก q ว่า ผลหาร (quotient) และเรียก r วา่ เศษ (remainder)

พิสูจน์ ตอนแรก จะพสิ ูจน์วา่ มี q, r ∈ Z ทท่ี ำให้ b = aq + r โดยท่ี 0 ≤ r < a ดงั นี้ ให้

S = {b − ax | x ∈ Z และ b − ax ≥ 0}

เนื่องจาก a > 0 จะไดว้ ่า ba ≥ b แสดงวา่ b − (−b)a ≥ b + b ≥ 0
ดงั นน้ั S ≠ ∅ ทำให้ได้วา่ มี s ∈ S โดยท่ี s = 0 หรือ s > 0
ถา้ s = 0 จะได้วา่ มี q ∈ Z ที่ทำให้ s = b − aq
นัน่ คือ b = aq + s เม่อื s = 0

สมมตุ วิ ่า s > 0 จากสมบตั ิการจัดอนั ดบั ดี จะมี r ∈ S โดยท่ี r = s หรือ r < s
เป็นจำนวนเต็มบวกท่ีนอ้ ยทสี่ ดุ ใน S แสดงวา่ มี q ∈ Z ที่ทำให้ r = b − aq
นน่ั คอื b = aq + r โดยท่ี r > 0

ตอ่ ไปจะแสดงวา่ r < a สมมตุ ิว่า r ≥ a ดังนัน้

r − a = (b − aq) − a = b − a(q + 1) ≥ 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 31

แสดงวา่ r − a ∈ S แต่ r − a < r ซงึ่ ขดั แย้งกบั ที่วา่ r เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยทสี่ ดุ ใน

S แสดงว่า r < a ดงั นั้น มี q, r ∈ Z ที่ทำให้ b = aq + r โดยท่ี 0 ≤ r < a

ตอนหลังจะพสิ จู นว์ ่า มี q, r ∈ Z เพียงคู่เดียวเทา่ นั้นทีท่ ำให้

b = aq + r โดยท่ี 0 ≤ r < a (∗)

สมมุติว่า มี q, q′, r, r′ ∈ Z ที่ทำให้ b = aq + r, 0 ≤ r < a และ b = aq′ + r′, 0 ≤ r′ < a

จะแสดงว่า q = q′ และ r = r′

จาก (∗) จะไดว้ ่า a|q − q′| = |r − r′| โดยที่ 0 ≤ |r − r′| < a

ดงั นนั้ 0 ≤ a|q − q′| < a แสดงว่า 0 ≤ |q − q′| < 1

เน่ืองจาก |q − q′| ∈ Z ดังนั้น |q − q′| = 0 และทำให้ |r − r′| = 0

น่ันคือ q = q′ และ r = r′

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.1 จงหาจำนวนเตม็ q และ r ท่ีเปน็ ไปตามทฤษฎีบท 2.2.1 เมื่อ b = −41
และ a = 6

วิธีทำ ให้ b = −41 และ a = 6 แลว้ จะมี q = −7 และ r = 1 ทที่ ำให้ b = aq +r โดยที่
0≤r<a

ตวั อย่างที่ 2.2.2 (1) ถา้ a = −6, b = 20 แล้ว q = −3, r = 2
เพราะว่า 20 = (−6)(−3) + 2 และ 0 ≤ 2 < 6
(2) ถ้า a = −6, b = −20 แลว้ q = 4, r = 4
เพราะว่า −20 = (−6)(4) + 4 และ 0 ≤ 4 < 6
(3) ถ้า a = −8, b = 120 แล้ว q = −15, r = 0
เพราะวา่ 120 = (−8)(−15) + 0 และ 0 ≤ 0 ≤ 8
(4) ถ้า a = 7, b = 0 แล้ว q = 0, r = 0
เพราะว่า 0 = (0)(7) + 0 และ 0 ≤ 0 < 7

ตัวอยา่ งท่ี 2.2.3 ให้ n หารดว้ ย 8 เหลอื เศษ 5 จงหาวา่ n3+5n หารด้วย 8 จะเหลือเศษเทา่ ไร

วธิ ที ำ เนอ่ื งจาก n = 8k + 5 เม่ือ k ∈ Z

ดังน้นั n3 + 5n = (8k + 5)3 + 5(8k + 5)

= [83k3 + 3(82k2)5 + 3(8k)52 + 53] + [5(8k) + 52]

= 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k] + 150

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

32 ทฤษฎีจำนวน

จะได้วา่ = 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k] + 144 + 6
ดังน้นั = 8[82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k + 18] + 6
n3 + 5n = 8q + 6 เมื่อ q = 82k3 + 3(8k2)5 + 3(k)52 + 5k + 18
n3 + 5n หารดว้ ย 8 เหลือเศษ 6

บทนยิ าม 2.2.1 ให้ a, b ∈ Z ซ่งึ a ̸= 0 หรือ b ≠ 0 แล้ว d ∈ Z เป็นตัวหารรว่ ม
(common divisor) ของ a และ b ถา้ d | a และ d | b

d เปน็ ตวั หารร่วมมาก (greastest common divisor, ห.ร.ม. ) ของ a และ b
เขยี นแทนดว้ ย (a, b) ก็ต่อเมอ่ื

(1) d > 0

(2) d เป็นตัวหารร่วมของ a และ b

(3) ถ้า c | a และ c | b แล้ว c | d

หมายเหตุ 2.2.1 จากบทนยิ าม 2.2.1 จะไดว้ ่า
(1) (a, b) หาไดเ้ สมอและมีค่าเดยี ว
(2) (a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c))

ตัวอยา่ งที่ 2.2.4
(1) ตวั หารรว่ มของ 18 และ 30 คือ 1, −1, 2, −2, 3, −3, 6 และ −6 และ (18, 30) = 6
(2) ตัวหารรว่ มของ −12 และ 16 คือ 1, −1, 2, −2, 4 และ −4 และ (−12, 16) = 4
(3) (42, 105, 91) = ((42, 105), 91) = (21, 91) = 7
(4) (42, 105, 91) = (42, (105, 91)) = (42, 7) = 7

บทนิยาม 2.2.2 ให้ a, b ∈ Z ถ้า (a, b) = 1 แลว้ จะเรยี ก a และ b ว่า
จำนวนเฉพาะสมั พทั ธ์ (relatively prime numbers)

ตวั อย่างที่ 2.2.5
(1) เนอ่ื งจาก (49, 54) = 1 ดงั นั้น 49 และ 54 เปน็ จำนวนเฉพาะสัมพทั ธ์
(2) เนอื่ งจาก (25, 105) = 5 ̸= 1 ดงั นั้น 25 และ 105 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะสมั พทั ธ์

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 33

ตวั หารร่วมมากของสองจำนวนใด สามารถเขียนอยู่ในรูปเชิงเสน้ ของสองจำนวนนั้น
ได้ดังทฤษฎบี ทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 2.2.2 ให้ a, b ∈ Z ซง่ึ a ≠ 0 หรือ b ̸= 0 จะได้ว่า มี x, y ∈ Z ทท่ี ำให้
(a, b) = ax + by

พิสจู น์ ให้ A = {am + bn | m, n ∈ Z และ am + bn > 0} เนอ่ื งจาก a ≠ 0 หรือ
b ≠ 0 ดังน้ัน A ̸= ∅ และ A ⊆ N จากหลกั การจัดอันดบั ดี จะไดว้ ่า d ∈ A ซง่ึ d
เป็นจำนวนเตม็ บวกค่าน้อยสุดใน A น่นั คอื มี x, y ∈ Z ซง่ึ d = ax + by

ต่อไปจะแสดงวา่ d = (a, b) โดยแสดงสองขอ้ ตอ่ ไปนี้
(1) จาก a, d ∈ Z และ d ∈ A โดยขน้ั ตอนวิธีการหาร จะได้วา่ มี q, r ∈ Z ท่ที ำให้

a = dq + r, 0 ≤ r < d
= (ax + by)q + r, 0 ≤ r < d

จะได้วา่ r = a − (ax + by)q, 0 ≤ r < d
จาก 0 ≤ r < d จะได้ว่า r = 0 หรอื 0 < r < d

ถ้า 0 < r < d จะได้ว่า r ∈ A ซ่งึ เกิดข้อขัดแย้งกับการเลือก d เป็นจำนวนเต็ม
บวกคา่ นอ้ ยสดุ ใน A ดังนั้น r = 0 นั่นคอื d | a

จาก b, d ∈ Z และ d ∈ A พิสจู นใ์ นทำนองเดียวกัน จะไดว้ า่ d | b
(2) ให้ c | a และ c | b จากทฤษฎีบท 2.1.1 (4) จะได้วา่ c | (ax + by) นั่นคอื c | d
จาก (1) และ (2) จะได้ว่า มี x, y ∈ Z ท่ีทำให้ (a, b) = ax + by

บทแทรก 2.2.1 ให้ a, b ∈ Z จะได้ว่า (a, b) = 1 กต็ อ่ เมอ่ื มี r, s ∈ Z ที่ทำให้ ar+bs = 1

พิสจู น์ พิสจู น์ไดจ้ ากทฤษฎีบท 2.2.2
ตัวอยา่ งท่ี 2.2.6 เนอ่ื งจาก (348, 124) = 4
ดงั น้นั จากทฤษฎีบท 2.2.2 จะได้ว่า 4 = (348)(5) + (124)(−14)

ซึ่งคา่ x, y ตามทฤษฎบี ท 2.2.2 ไม่ได้มีเพียงคเู่ ดยี ว เชน่ นอกจากข้างบน จะได้ว่า
4 = (348)(129) + (124)(−362)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

34 ทฤษฎจี ำนวน

ส่วนการหาค่า x, y จะไดศ้ กึ ษาในหวั ขอ้ 2.3
ตอ่ ไปนี้เป็นทฤษฎบี ทท่ีเกีย่ วกับสมบัติของตวั หารร่วมมาก

ทฤษฎีบท 2.2.3 ให้ a, b ∈ Z ซึ่ง a ≠ 0 หรอื b ̸= 0 จะไดว้ ่า
(1) (a, b) = (|a|, |b|)
(2) (a, b) = (b, a)
(3) (a, b) = (a + kb, b) สำหรบั k ∈ Z ใด ๆ

พสิ จู น์ (1) สมมติว่า a ≠ 0 และให้ c เป็นตวั หารรว่ มของ a กับ b เนอื่ งจาก c | a และ

c | b จากแบบฝกึ หัด 2.1 ข้อ (7) จะไดว้ า่ c | |a| และ c | |b| ดงั น้นั เซตของตัวหารร่วมของ

a และ b เท่ากบั เซตของตวั หารร่วมของ |a| และ |b| นัน่ คือ ตัวหารร่วมมากของ a และ b

เท่ากับตัวหารร่วมของ |a| และ |b| หรอื (a, b) = (|a|, |b|)

(2) จากบทนิยามของการหารลงตัว และใชบ้ ทนิยามของตัวหารรว่ มมาก เหน็ ได้ชัดวา่

(a, b) = (b, a)

(3) ถ้า x เป็นตัวหารร่วมของ a กบั b แล้ว x | a และ x | b ................ (*)

จะไดว้ ่า x | kb ดงั นัน้ x | (a + kb)

แล้ว x เป็นตวั หารร่วมของ (a + kb) กับ b

จะไดว้ ่า x | (a + kb) และ x | b

ดังนน้ั x | (a + kb) − kb = a ................ (**)

จาก (*) และ (**) จะได้วา่

เชตตวั หารรว่ มของ a กับ b เทา่ กบั เชตตัวหารร่วมของ (a + kb) กับ b

ดงั น้นั ตัวหารรว่ มมากของ a กบั b เท่ากับ ตัวหารรว่ มมากของ (a + kb) กับ b

น่นั คือ (a, b) = (a + kb, b)

หมายเหตุ 2.2.2 ทฤษฎีบท 2.2.3 (3) บอกให้ทราบว่า ตวั หารรว่ มมากของสองจำนวน ไม่
เปลย่ี นเแปลงเมื่อมกี ารเพิ่มหรือลบด้วยพหุคณู ของอกี จำนวน

ตวั อยา่ งที่ 2.2.7 จงหา ห.ร.ม. ของ 998 และ 996

วธิ ที ำ จากทฤษฎีบท 2.2.3 (3) จะไดว้ ่า
(998, 996) = (998 − 996, 996) = (2, 996) = 2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 35

ตวั อยา่ งที่ 2.2.8 ให้ n ∈ Z จงแสดงว่า (3n + 4, n + 1) = 1
วิธที ำ จากทฤษฎบี ท 2.2.3 (3) จะได้ว่า

(3n + 4, n + 1) = ((3n + 4) − 3(n + 1), n + 1)
= (1, n + 1)
=1

ทฤษฎีบท 2.2.4 ให้ a, b ∈ Z ซ่งึ a ≠ 0 หรอื b ≠ 0 และ m ∈ N
จะไดว้ ่า (ma, mb) = m(a, b)

พสิ จู น์ ให้ D = (ma, mb) และ d = (a, b) จะแสดงว่า D = md
จากทฤษฎบี ท 2.2.2 จะได้วา่ มี u, v, s, t ∈ Z ท่ที ำให้ D = (ma)u + (mb)v และ
d = as + bt จะได้ว่า D | m(au + bv)
เนือ่ งจาก D | ma และ D | mb ดงั นนั้ D | (mas + mbt)
นนั่ คอื D | md
และเนื่องจาก d | a และ d | b ดังน้ัน d | (mau + mbv)
นัน่ คอื md | D
สรุปได้ว่า D = md หรอื (ma, mb) = m(a, b)

บทแทรก 2.2.2 ให้ a, b ∈ Z และ c ∈ N จะไดว้ ่า ( a, b ) = 1 (a, b) และถ้า d = (a, b)
cc c

ab
แลว้ ( , ) = 1

dd

ad bd
พิสจู น์ เน่อื งจาก d = (a, b) ดังน้ัน d = ( , )

dd
ab ab
จากทฤษฎีบท 2.2.4 จะได้ว่า d = d( , ) และ จะไดว้ ่า 1 = ( , )
dd dd
และในส่วนแรกของบทแทรก หาได้จากการใช้ทฤษฎีบท 2.2.4 โดยแทนคา่ m, a และ b ดว้ ย
ab
c, c และ c ตามลำดบั

ทฤษฎีบท 2.2.5 ให้ a, b, c ∈ Z ถา้ a | bc และ (a, b) = 1 แล้ว a | c

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

36 ทฤษฎจี ำนวน

พสิ จู น์ เนอ่ื งจาก a | bc และ (a, b) = 1
ดังนัน้ จะมี q, x, y ∈ Z ซ่ึง bc = aq และ ax + by = 1
จะไดว้ ่า bcy = aqy และ c = cax + cby
ดังนั้น c = cax + cby = cax + aqy = a(cx + qy)
นัน่ คือ a | c
ตวั อยา่ งท่ี 2.2.9 ถ้า 8 | 25n แลว้ จากทฤษฎีบท 2.2.5 จะได้ว่า 8 | n

ทฤษฎบี ท 2.2.6 ให้ a, b ∈ Z ซง่ึ a ̸= 0 หรือ b ̸= 0 จะไดว้ า่ (a, b) ≤ min{|a|, |b|}

พิสูจน์ ให้ d = (a, b) เนอ่ื งจาก d | |a| และ d | |b| ดังนน้ั d ≤ |a| และ d ≤ |b|
ซงึ่ จะได้วา่ (a, b) = d ≤ min{|a|, |b|}

ทฤษฎีบทนบ้ี อกวา่ ถา้ d = (a, b) และ |a| ≤ |b| โดยที่ d | |a| แล้วจะได้วา่
ตัวประกอบทมี่ ากสดุ ของ a ทหี่ าร b ลงตัวคือ d น่นั เอง ตัวอยา่ งเชน่ พิจารณา ห.ร.ม. ของ
−48 และ 732

เนือ่ งจาก ตัวประกอบของ −48 คอื ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
และ จำนวนท่มี ากสุด ท่หี าร 732 ลงตวั คือ 12 ดงั นั้น (−48, 732) = 12
ทฤษฎีบท 2.2.7 ให้ a ∈ Z จงแสดงวา่ a และ a + 1 เปน็ จำนวนเฉพาะสมั พัทธ์

พสิ จู น์ ให้ d = (a, a + 1) จะพสิ จู นว์ า่ d = 1
สมมติว่า d ̸= 1 เน่ืองจาก d | a และ d | a + 1 ดงั นัน้ มี x, y ∈ Z ท่ีทำให้
a = dx และ a + 1 = dy น่ันคือ dx = dy − 1 หรอื d(y − x) = 1
โดยท่ี y − x ∈ Z จงึ ได้ว่า (d = 1 และ y − x = 1) หรือ (d = −1 และ y − x = −1)
แต่ d > 1 จงึ เกดิ ข้อขัดแย้งกับสมมุตฐิ าน แสดงว่า d = (a, a + 1) = 1
นัน่ คอื a และ a + 1 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์

แบบฝกึ หัด 2.2

(1) จงหา q และ r ของข้ันตอนวธิ ีการหาร เมื่อใหค้ ่า a และ b ดังน้ี
(1.1) ถา้ a = 3 และ b = 0, 1, −1, 10, −10

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 37

(1.2) ถา้ a = 345 และ b = 0, 1, −1, 344, 7863, −7863
(2) ให้ n หารด้วย 9 เหลือเศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n(n2 + 7n − 2) ด้วย 9
(3) ให้ n ∈ Z แลว้ n เปน็ จำนวนคู่ ถ้า n = 2k และ n เป็นจำนวนคี่ ถ้า n = 2k + 1
สำหรบั บาง k ∈ Z

(3.1) จงพสิ ูจนว่า n เป็นจำนวนคู่ ก็ตอ่ เมือ่ n2 เปน็ จำนวนคู่
(3.2) จงพสิ จู น์โดยใชข้ ั้นตอนวธิ กี ารหารวา่ จำนวนเตม็ แตล่ ะจำนวนเปน็ จำนวนคู่หรือจำนวนค่ี
แตจ่ ะไม่เปน็ ทง้ั สองอย่างพรอ้ มกัน
(4) ให้ n ∈ Z แลว้ จงแสดงวา่ (n + 1, 2n + 5) = 1

2.3 ข้ันตอนวิธีแบบยุคลดิ

การหา ห.ร.ม. โดยใชบ้ ทนยิ ามในกรณีที่ a และ b มคี ่ามาก จะไมส่ ะดวก และการ
หาคา่ x และ y ตามทฤษฎีบท 2.2.2 ก็จะยงุ่ ยากมากข้นึ เช่นเดียวกัน แตข่ ้นั ตอนวิธีแบบ
ยคุ ลิด (Euclidean algorithm) จะช่วยแกป้ ัญหาเหลา่ น้ไี ด้ ซ่งึ จากทฤษฎบี ท 2.2.3 ทำให้
เราสมมติ a > 0 ได้
ทฤษฎบี ท 2.3.1 ให้ a, b ∈ Z และ a > 0 จะไดว้ า่ มี qi, rj ∈ Z โดยท่ี i =
1, 2, . . . , n + 1 และ j = 1, 2, . . . , n ทที่ ำให้

b = aq1 + r1, 0 ≤ r1 < a
a = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1
r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2

...
rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1
rn−1 = rnqn+1,
และ (a, b) = (a, rn) = rn

พสิ ูจน์ จากขัน้ ตอนวธิ กี ารหาร ถ้า a | b แลว้ จะมี q, r ∈ Z ซง่ึ b = aq + r แต่ r = 0 ดังน้นั
(a, b) = (a, r) = a

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

38 ทฤษฎีจำนวน

สมมติว่า a b จะได้วา่ มี q1, r1 ∈ Z ซึ่ง
b = aq1 + r1, 0 < r1 < a

แล้วใชข้ ั้นตอนวิธีการหารซ้ำ ๆ จะไดว้ า่
a = r1q2 + r2, 0 ≤ r2 < r1
r1 = r2q3 + r3, 0 ≤ r3 < r2
...

rn−2 = rn−1qn + rn, 0 ≤ rn < rn−1
rn−1 = rnqn+1
โดยท่ี qi, rj ∈ Z, i = 2, . . . , n + 1, j = 2, . . . , n
ดังนนั้ (a, b) = (a, r1) = (r1, r2) = . . . = (rn−1, rn) = rn
ตวั อย่างท่ี 2.3.1 จงหา ห.ร.ม. ของ 78 และ 32 พร้อมหาคา่ x, y ท่ที ำให้
(78, 32) = 78x + 32y โดยใชข้ ั้นตอนวธิ แี บบยุคลดิ

วธิ ที ำ

78 = (32)(2) + 14
32 = (14)(2) + 4
14 = (4)(3) + 2
4 = (2)(2)

ดงั น้นั (78, 32) = 2
หาคา่ x, y ท่ีทำให้ 2 = 78x + 32y โดยการกำจดั เศษ ซึง่ เปน็ การทำย้อนกลบั ดงั น้ี
2 = 14 − (4)(3)
= 14 − [32 − (14)(2)](3)
= (−32)(3) + (14)(7)
= (32)(−3) + [78 − (32)(2)](7)
= (32)(−17) + (78)(7)

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 39

ดงั น้นั 2 = (7)(78) + (−17)(32) น่นั คือ x = 7, y = −17
ตัวอยา่ งท่ี 2.3.2 จงใช้ขัน้ ตอนวิธีแบบยุคลดิ หา (803, 154) พรอ้ มหาคา่ x, y ทีท่ ำให้
(803, 154) = 803x + 154y

วธิ ีทำ
803 = (154)(5) + 33
154 = (33)(4) + 22
33 = (22)(1) + 11
22 = (11)(2)

ดังนนั้ (803, 154) = 11
สำหรับค่า x, y ที่ทำให้ 11 = 803x+154y น้ัน ได้จากการกำจดั เศษโดยการทำย้อนกลบั

ดงั น้ี
11 = 33 − (22)(1)
= 33 − (154 − (33)(4))
= −154 + (33)(5)
= −154 + (5)(803 − (154)(5))
= (803)(5) − (154)(26)

ดงั นัน้ 11 = (5)(803) + (−26)(154) น่นั คือ x = 5, y = −26

บทนยิ าม 2.3.1 ให้ a, b ∈ Z ซึ่ง a ≠ 0 และ b ̸= 0 แลว้ m ∈ Z เปน็ ตัวคูณรว่ ม
(common multiple) ของ a และ b ถา้ a | m และ b | m

m เป็น ตัวคณู ร่วมน้อย (least common multiple, ค.ร.น.) ของ a และ b
เขยี นแทนด้วย [a, b] ก็ต่อเมอ่ื

(1) m > 0

(2) m เปน็ ตวั คณู ร่วมของ a และ b

(3) ถา้ a | c และ b | c แลว้ m | c

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

40 ทฤษฎจี ำนวน

หมายเหตุ 2.3.1 จากบทนยิ าม 2.3.1 จะได้วา่
(1) ตวั คูณร่วมของ a และ b มีไม่จำกดั
(2) ถ้า m เปน็ ตวั คณู รว่ มของ a และ b แลว้ −m เป็นตัวคูณร่วมของ a และ b ด้วย
(3) [[a, b], c] = [a, [b, c]] = [a, b, c]
(4) [a, b] = [a, −b] = [−a, b] = [−a, −b] = [−b, a]
(5) ถา้ a | b แล้ว [a, b] = |b|

ตวั อย่างที่ 2.3.3 (1) ตัวคูณรว่ มของ 6 และ 8 คือ ±24, ±48, ±72, . . . และ [6, 8] = 24
(2) [−4, 6, −8] = [[−4, 6], −8] = [12, −8] = 24

ทฤษฎีบท 2.3.2 ให้ a, b, c ∈ Z ซง่ึ a ≠ 0 และ b ̸= 0 ถ้า a | c และ b | c แล้ว [a, b] | c

พสิ ูจน์ ให้ m = [a, b] และ c ∈ Z โดยท่ี a | c และ b | c จากขั้นตอนวิธกี ารหาร จะไดว้ า่
มี q, r ∈ Z ซง่ึ c = mq + r, 0 ≤ r < m
ดังน้นั r = c − mq, 0 ≤ r < m
เนื่องจาก a | c และ b | c จะไดว้ ่า a | r และ b | r
ดงั นน้ั r เป็นตัวคณู ร่วมของ a, b ถ้า 0 < r < m จะเกิดขอ้ ขัดแยง้ กับ m = [a, b]
ดงั น้นั r = 0 = c − mq ทำใหไ้ ด้วา่ c = mq
น่ันคือ m | c

ทฤษฎีบท 2.3.3 ให้ a, b ∈ Z ซ่ึง a ̸= 0 และ b ̸= 0 จะได้ว่า (a, b)[a, b] = |ab|

พิสจู น์ ให้ d = (a, b) จากบทแทรก 2.2.2 จะมี m, n ∈ Z โดยที่ (m, n) = 1
ซ่ึง a = dm และ b = dn และจะไดว้ า่ ab = d(dmn)
ดงั นั้น |ab| = d|dmn| แต่ [a, b] = |dmn|
นนั่ คอื (a, b)[a, b] = d|dmn| = |ab|

ทฤษฎีบท 2.3.4 ให้ a, b ∈ Z ซึ่ง a ≠ 0 และ b ̸= 0 และ m ∈ N
จะได้วา่ [ma, mb] = m[a, b]

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 41

พสิ จู น์ จากทฤษฎบี ท 2.2.4 และ ทฤษฎบี ท 2.3.3 จะได้ว่า

(ma, mb)[ma, mb] = m(a, b)[ma, mb] = |(ma)(mb)|

|m2ab| m|ab|
ดงั น้นั [ma, mb] = = = m[a, b]
m(a, b) (a, b)

แบบฝึกหัด 2.3

(1) จงใชข้ ้ันตอนวธิ แี บบยคุ ลิด หาคา่ ของ
(1.1) (793, 3172)
(1.2) (25174, 42722)

(2) จงแสดงวิธกี ารหาคา่ x และ y ที่ทำให้ (34, 60) = 34x + 60y
(3) จงแสดงวิธกี ารหาค่า x, y และ z ท่ีทำให้ (6, 10, 15) = 6x + 10y + 15z
(4) ให้ a, b ∈ Z ซ่ึง a ≠ 0 และ b ≠ 0 ถ้า a | c และ b | c
แลว้ [a, b] | c = |ab| สำหรบั c ∈ Z ใด ๆ
(5) จงพิสูจน์ ข้อสังเกต 2.3.1 (5)
(6) ให้ a, b ∈ N จงพสิ ูจน์วา่ (a, b) = (a + b, [a, b])

2.4 จำนวนเฉพาะ

ประมาณ 300−400 ปกี ่อนครสิ ตศ์ กั ราช อริสโตเตลิ (Aritotle) และ ยุคลดิ (Euclid)
ได้แบง่ จำนวนเต็ม ออกเปน็ สองกลมุ่ เพ่อื การศึกษาคอื จำนวนเฉพาะ (prime numbers)
กับจำนวนประกอบ (composite numbers)
บทนิยาม 2.4.1 ให้ p ∈ Z โดยที่ p ≠ 0 แลว้ p เปน็ จำนวนเฉพาะ ก็ตอ่ เม่ือ p ̸= ±1
และมเี พียง ±1 และ ±p เท่านน้ั ทห่ี าร p ลงตัว และจะเรียก p ว่า จำนวนประกอบ ถา้ p
ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

หมายเหตุ 2.4.1 จากบทนิยาม 2.4.1 จะไดว้ ่า

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

42 ทฤษฎจี ำนวน

(1) เซตของจำนวนเตม็ แบ่งได้เปน็ 3 เซตยอ่ ยที่ไมม่ ีสมาชกิ ร่วมกนั คอื เซตของจำนวนเฉพาะ
เซตของจำนวนประกอบ และ {−1, 0, 1}

(2) ถ้า p เปน็ จำนวนเฉพาะ แล้ว −p เปน็ จำนวนเฉพาะ
(3) มี ±2 เท่าน้ันทเี่ ปน็ จำนวนเฉพาะทเี่ ป็นจำนวนคู่

(4) 1 ไมเ่ ป็นทงั้ จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

ตัวอยา่ งที่ 2.4.1 (1) จำนวนเฉพาะที่เปน็ บวก 20 จำนวนแรก ไดแ้ ก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71

(2) จำนวนประกอบท่เี ป็นบวก ไดแ้ ก่ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . . .

จากหมายเหตุ 2.4.1 ขอ้ (2) จึงเป็นการเพียงพอท่ีจะศึกษาสมบัติของจำนวนเฉพาะทเี่ ปน็
บวกเท่านน้ั
ทฤษฎีบท 2.4.1 ให้ p, q ∈ N ถ้า p, q เป็นจำนวนเฉพาะ ซ่ึง p | q แล้ว p = q

พิสูจน์ เน่ืองจาก q เปน็ จำนวนเฉพาะ ดังนัน้ จะมี ±1 และ q ทหี่ าร q ลงตัว
และเนือ่ งจาก p | q ดังน้นั p = 1 หรือ p = q
แต่ p เปน็ จำนวนเฉพาะ จะได้ว่า p ≠ 1 ดังนน้ั p = q

ทฤษฎบี ท 2.4.2 ให้ p ∈ N, a ∈ Z และ a ̸= 0 โดยท่ี p เปน็ จำนวนเฉพาะและ p a
แลว้ (p, a) = 1

พิสจู น์ ให้ d = (p, a) สมมติว่า d ̸= 1
เนอ่ื งจาก d | p ดังนั้น d = 1 หรือ d = p
แต่ d ̸= 1 จะได้วา่ d = p
เน่ืองจาก d | a ดังนนั้ p | a ซึง่ เกดิ ขอ้ ขดั แย้งกับ p a
นั่นคอื d = (p, a) = 1

ทฤษฎบี ท 2.4.3 (Euclid′s lemma) ให้ p ∈ N ถา้ p เป็นจำนวนเฉพาะซึง่ p | ab
แล้ว p | a หรอื p | b

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 2 การหารลงตวั และจำนวนเฉพาะ 43

พสิ ูจน์ จะพสิ ูจนว์ ่า ถา้ p a แล้ว p | b
ถา้ a = 0 แลว้ p | a ซง่ึ เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ กับ p a แสดงวา่ a ≠ 0
ดงั นน้ั จากทฤษฎีบท 2.4.2 จะได้ว่า (p, a) = 1
เน่ืองจาก p | ab จากทฤษฎบี ท 2.2.5 จึงสรุปได้ว่า p | b

ทฤษฎีบท 2.4.4 ให้ n ∈ N และ n > 1 แลว้ จะมจี ำนวนเฉพาะ p ซงึ่ p | n

พิสจู น์ ให้ S = {n ∈ N | n > 1 และไม่มจี ำนวนเฉพาะp ท่ี p | n}
สมมตวิ า่ S ̸= ∅ จากหลักการจดั อันดับดี จะมี x ∈ S ซึ่ง x เปน็ จำนวนเตม็ บวก
ทม่ี คี า่ นอ้ ยสดุ ใน S ดงั นนั้ x ไมเ่ ป็นจำนวนเฉพาะ
แสดงว่า มี d ∈ N ซง่ึ 1 < d < x ท่ีทำให้ d | x
นนั่ คอื มีจำนวน p ซ่ึง p | d ทำให้ได้ว่า p | x เกิดขอ้ ขดั แย้งกับสมบัติของ x ∈ S
ดงั นัน้ S = ∅

ทฤษฎบี ท 2.4.5 ให้ a1, a2, . . . , an ∈ Z และ p เป็นจำนวนเฉพาะที่ p ∈ N จะได้ว่า ถา้
p | a1a2 . . . an แลว้ จะมี ai ท่ี 1 ≤ i ≤ n ซง่ึ p | ai

พสิ จู น์ โดยใช้หลกั อปุ นยั เชงิ คณิตศาสตร์ ถา้ n = 1 จะได้ว่า p | a1 ทฤษฎีบทเป็นจริง
สมมติว่า ทฤษฎีบทเปน็ จริงเม่ือ n = k จะแสดงว่า ทฤษฎีบทนี้เปน็ จรงิ เม่อื n = k + 1
ให้ p | a1a2 . . . akak+1 จากทฤษฎีบท 2.4.3 จะไดว้ า่ p | a1a2 . . . ak หรอื p | ak+1

ถา้ p | ak+1 จะไดว้ ่า มี i = k + 1 ซ่ึง p | ai แตถ่ า้ p | a1a2 . . . ak จากสมมตฐิ าน
จะไดว้ ่า มี ai ท่ี 1 ≤ i ≤ k ซงึ่ p | ai ดงั น้นั จะมี ai ที่ 1 ≤ i ≤ k + 1 ซึ่ง p | ai
น่นั คอื ทฤษฎบี ทนี้เปน็ จรงิ เม่อื n = k + 1 ดังนนั้ ถา้ p | a1a2 . . . an แลว้ จะมี ai ที่
1 ≤ i ≤ n ซง่ึ p | ai เปน็ จรงิ สำหรบั ทุกจำนวนเตม็ บวก n

ทฤษฎบี ทหนึ่งทจี่ ำเป็น และนำไปใช้บ่อยในทฤษฎจี ำนวน คอื ทฤษฎีบทหลักมลู ของ
เลขคณิต (f undamental theorem of arithmetic) ดังน้ี

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

44 ทฤษฎีจำนวน

ทฤษฎบี ท 2.4.6 ให้ n ∈ Z และ n > 1 จะได้วา่ n สามารถเขียนได้ในรูป

n = pa11 pa22 . . . pakk

โดยท่ี p1, . . . , pk เปน็ จำนวนเฉพาะ ซึ่ง p1 < p2 < . . . < pk และ ai ∈ N สำหรับ
i = 1, . . . , k ได้เพยี งแบบเดยี วเทา่ นัน้

พิสูจน์ แบ่งการพสิ ูจน์เปน็ 2 ตอน คอื 1) n เขียนไดใ้ นรปู ผลคณู ของจำนวนเฉพาะยกกำลงั และ

2) ผลคณู ของจำนวนเฉพาะนนั้ มีเพยี งแบบเดยี ว

ตอนแรกจะพสิ จู นโ์ ดยวิธอี ุปนัยเชิงคณติ ศาสตรบ์ น n ดงั น้ี ถา้ n = 2 แล้วเราให้

p1 = 2, k = 1 และ a1 = 1 จะไดผ้ ลลพั ธต์ ามต้องการ สมมุติวา่ ผลลพั ธเ์ ปน็ จรงิ สำหรบั ทกุ
n ซงึ่ 2 ≤ n ≤ m จะแสดงวา่ ผลลพั ธเ์ ป็นจริง สำหรับทุก n = m + 1 ถา้ m + 1

เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว เราให้ k = 1, p1 = m + 1 และ a1 = 1 จะไดผ้ ลลพั ธต์ ามตอ้ งการ
สมมตุ ิวา่ m + 1 เปน็ จำนวนประกอบ จะไดว้ ่า m + 1 = ab ซ่ึง a, b ∈ N และ

1 < a < m + 1 และ 1 < b < m + 1 แล้วโดยสมมตุ ฐิ าน จะมจี ำนวนเฉพาะ p1, . . . , pj

และ q1, . . . , ql ซงึ่

a = pa11 p2a2 . . . pjaj และ b = q1b1 q2b2 . . . qlbl

ทำใหไ้ ดว้ ่า m + 1 = ab = pa11p2a2 . . . pjaj q1b1q2b2 . . . qlbl

น่ันคือ m + 1 เขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะ

ให้ k = j + l และภายใตก้ ารจดั ลำดับการคูณท่เี หมาะสม จะได้ว่า

m + 1 = p1a1pa22 . . . pakk ซ่งึ p1 < p2 < . . . < pk

ดงั น้ัน ผลลพั ธเ์ ปน็ จรงิ สำหรับทกุ n = m + 1
นั่นคือ ผลลัพธเ์ ป็นจรงิ สำหรับทกุ n ∈ Z และ n > 1

ตอนสดุ ทา้ ย ให้ n = pa11pa22 . . . pass และ n = q1b1q2b2 . . . qtbt สำหรบั บาง s >
1 และ t > 1 ซ่งึ p1, . . . , ps, q1, . . . , qt เปน็ จำนวนเฉพาะ และ p1 < p2 < . . . <
ps, q1 < q2 < . . . < qt จะแสดงว่า t = s และ pi = qi สำหรับ i = 1, . . . , t
โดยวธิ ีอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร์บน s ดังน้ี ถา้ s = 1 แล้ว n = p1 เปน็ จำนวนเฉพาะ ดังน้นั
p1 = n = q1 . . . qt ถ้า t > 1 จะทำให้เกดิ ข้อขดั แยง้ กับความจริงทีว่ ่า p1 เปน็ จำนวนเฉพาะ
ดงั นน้ั t = 1 น่นั คือ p1 = q1 เป็นจรงิ

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี