ทฤษฎีจำนวน

บทที่ 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 45

สมมตุ ิวา่ ผลลพั ธเ์ ปน็ จรงิ สำหรบั ทุก s ซึง่ 1 ≤ s ≤ k จะแสดงว่า ผลลัพธเ์ ปน็ จรงิ

สำหรบั ทกุ s = k + 1 สมมุตวิ า่ n = p1a1 pa22 . . . p pak ak+1 และ n = q1b1 q2b2 . . . qtbt ซ่ึง

k k+1

p1 < p2 < . . . < pk+1, q1 < q2 < . . . < qt เหน็ ได้ชดั ว่า pk+1 | n ดงั น้นั

pk+1 | q1b1q2b2 . . . qtbt จากทฤษฎบี ท 2.4.5 จะได้วา่ pk+1 | qi สำหรับบาง i ∈ {1, . . . , t}

และจากทฤษฎบี ท 2.4.1 จะไดว้ า่ pk+1 = qi น่นั คือ pk+1 = qi ≤ qt ในทำนองเดยี วกนั

qt | n ดงั นัน้ qt | p1a1 p2a2 . . . p pak ak+1 และ qt = pj สำหรบั บาง j ∈ {1, . . . , k + 1}

k k+1

ดงั นัน้ qt = pj ≤ pk+1 นั่นแสดงว่า pk+1 ≤ pj ≤ pk+1 ดังนนั้ pk+1 = qt เน่อื งจาก

p1a1 pa22 . . . p pak ak+1 = q1b1 q2b2 . . . qtbt และ pk+1 = qt ดงั นน้ั

k k+1

pa11 pa22 . . . pkak = q1b1 q2b2 . . . qbt−1

t−1

จากสมมตุ ฐิ านจะไดว้ า่ k = t − 1 และ pi = qi สำหรับ i = 1, . . . , t − 1 ดังน้ัน k + 1 = t
และ pi = qi สำหรับ i = 1, . . . , t จะได้วา่ ผลลัพธเ์ ป็นจริง สำหรับทุก s = k + 1 นนั่ คือ
ผลลัพธ์เป็นจรงิ สำหรับทกุ s ≥ 1

หมายเหตุ 2.4.2 จากทฤษฎบี ท 2.4.6 เม่อื n = pa11pa22 . . . pkak เราจะเรยี ก
pa11 pa22 . . . pkak

วา่ รูปมาตรฐาน (standard f orm) ของ n

ตวั อย่างท่ี 2.4.2 จงเขียนจำนวน 4, 312 ให้อยู่ในรูปมาตรฐาน

วธิ ีทำ

4, 312 = (2)(2, 156)
= (2)(2)(1, 078)
= (2)(2)(2)(539)
= (2)(2)(2)(7)(77)
= (2)(2)(2)(7)(7)(11)

น่นั คอื 4, 312 = (23)(72)(11)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

46 ทฤษฎีจำนวน

นกั คณิตศาสตรห์ ลายทา่ นได้มีการศึกษาค้นคว้าเก่ียวกบั จำนวนเฉพาะ เชน่ เบอร์แทรนด์
(J.L.F.Bertrand, ค.ศ. 1822 − 1900) ใหแ้ นวคดิ ในปี ค.ศ. 1845 ดงั นี้ “(Bertrand′s
postulate) สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ จะมจี ำนวนเฉพาะ p ซงึ่ n ≤ p ≤ 2n ”และเชบบเี ชฟ
(P.L.Chebyshev, ค.ศ. 1821 − 1894) ได้พสิ ูจน์ไวใ้ นปี ค.ศ. 1850

ปี ค.ศ. 1837 ดรี เี คลต์ (P.G.L.Dirichlet,ค.ศ. 1805 − 1859) ไดแ้ สดงให้เห็นวา่
“(Dirichlet′s theorem) ถ้า a และ d เปน็ จำนวนเฉพาะสมั พทั ธแ์ ล้ว ลำดบั เลขคณิต
a + d, a + 2d, . . . , a + nd, . . . จะมีจำนวนเฉพาะเปน็ จำนวนอนนั ต์ ”เช่น

1, 4, 7, 10, 13, . . . (a = 1, d = 3)
หรอื 5, 13, 21, 29, 37, . . . (a = 5, d = 8)
หรือ 3, 7, 11, 15, . . . (a = 3, d = 4)
หรือ มจี ำนวนเฉพาะเปน็ จำนวนอนนั ต์ในรูป 6n + 1 (a = 1, d = 6)
ออยเลอร์ (L.Euler, ค.ศ. 1707−1780) ได้สงั เกตวา่ y = x2+x+41 เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้า x = 1, 2, . . . , 39 (และ x = −40, −39, . . . , −2. − 1, 0) แต่ x ตอ้ งไม่เปน็ 40
แฟรม์ าต์ (P.F ermat, ค.ศ. 1601−1665) ไดใ้ ห้ขอ้ สังเกตวา่ 22n+1 เปน็ จำนวนเฉพาะ
ถ้า n = 0, 1, 2, 3, 4 และออยเลอร์แสดงให้เห็นวา่ ถา้ n = 5 แล้ว 225 + 1 = 232 + 1 =
4, 294, 967, 297 = (641)(6, 700, 417) ไม่เปน็ จำนวนเฉพาะ ซึง่ จะได้กลา่ วละเอียดอีกคร้งั
ในภาคผนวก

ทฤษฎีบทต่อไปน้ี ปรากฎในหนังสือดิอีลิเมนตข์ องยคุ ลิด เล่ม 9 (Euclid′s element
book IX) ซง่ึ ถือไดว้ ่าเปน็ คนแรกท่ีพสิ จู น์ เรอ่ื งไม่มีจำนวนเฉพาะทม่ี คี า่ มากทส่ี ุด
ทฤษฎบี ท 2.4.7 (Euclid′s theorem) มีจำนวนเฉพาะอย่เู ป็นจำนวนอนันต์

พิสูจน์ สมมตวิ ่า มจี ำนวนเฉพาะอยเู่ ปน็ จำนวนจำกัด ให้เป็น p1, p2, . . . , pn ∈ N
ให้ N = p1p2 . . . pn + 1 เห็นไดช้ ดั ว่า N ≥ 3 จากทฤษฎีบท 2.4.4 จะไดว้ ่า มีจำนวนเฉพาะ
p ∈ N ซึง่ p | N แล้วจากทฤษฎบี ท 2.4.5 และทฤษฎีบท 2.4.1 จะไดว้ า่ p = pi สำหรับบาง
i = 1, . . . , n ให้ a = p1p2 . . . pn ดังน้นั a = pi(p1p2 . . . pi−1pi+1 . . . pn) จะไดว้ า่
pi | a ดงั นั้น N = a + 1 และจากสมมุติฐาน จะได้ว่า pi | a + 1 แล้วจากแบบฝกึ หัด 2.1
(3) จะได้ว่า pi | (a + 1) − a นั่นคือ pi | 1 ซง่ึ จากหมายเหตุ 2.1.1 (2) ทำให้ไดว้ า่ pi = 1

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 47

เกิดข้อขดั แย้งกับบทนิยาม 2.4.1 ดังนัน้ มจี ำนวนเฉพาะอย่เู ป็นจำนวนอนนั ต์

ตัวอย่างที่ 2.4.3 แสดงจำนวนของจำนวนเฉพาะ p ท่มี ีคา่ นอ้ ยกวา่ จำนวนเต็ม n

n 102 103 104 105 106 107 108

จำนวนของ p 25 168 1, 229 9, 592 78, 498 664, 579 5, 761, 455

ทฤษฎีบท 2.4.8 ให้ n ∈ N เป็นจำนวนประกอบ แล้ว จะมจี ำนวนเฉพาะ p ∈ N ที่
√

p ≤ n และ p | n

พิสจู น์ ให้ n เป็นจำนวนประกอบ จะได้วา่ n = ab โดยท่ี 1 < a < n และ 1 < b < n

√√ √√
ถา้ a > n และ b > n แล้ว n > ab > n n = n นั่นคอื n > n ซึ่งเกิดขอ้ ขัดแยง้

√√ √
ดังนั้น a ≤ n และ b ≤ n สมมตวิ ่า a ≤ n เน่ืองจาก a > 1 จากทฤษฎบี ท

2.4.4 จะมีจำนวนเฉพาะ p ∈ N ซ่งึ p | a ดังนน้ั จากทฤษฎีบท 2.1.1 (2) ที่ a | n

จึงได้วา่ p | n และเน่อื งจาก p | a ดังนั้น p ≤ a ≤ √
n

วิธีการทีใ่ ช้ในทฤษฎีบท 2.4.8 น้ี เรยี กวา่ ตะแกรงเอราโตสเทเนส
(sieve of Eratosthenes) ซงึ่ ใชต้ รวจสอบการเปน็ จำนวนเฉพาะของจำนวนนับ

ตัวอยา่ งท่ี 2.4.4 (1) 97 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

(2) 299 เป็นจำนวนเฉพาะหรอื ไม่
√

วธิ ีทำ (1) เน่ืองจาก 97 < 10 และ จำนวนเฉพาะทน่ี ้อยกวา่ 10 คือ 2, 3, 5 และ 7

และจำนวนเฉพาะเหลา่ น้ี หาร 97 ไม่ลงตัว ดงั น้ัน จากทฤษฎีบท 2.4.8 จะได้วา่ 97 เปน็

จำนวนเฉพาะ
√

(2) เนื่องจาก 299 < 18 และจำนวนเฉพาะท่ีนอ้ ยกวา่ 18 คอื 2, 3, 5, 7, 11, 13

และ 17 เนื่องจาก 13 หาร 299 ไดล้ งตัว ดงั นน้ั 299 = (13)(23) เปน็ จำนวนประกอบ

ปัญหาเกยี่ วกบั จำนวนเฉพาะทีน่ ักคณิตศาสตร์ยงั ไม่สามารถหาผลเฉลยได้ เช่น การมี
จำนวนเฉพาะแฝด (twin primes) อาทิ 11 และ 13 หรอื 71 และ 73 วา่ มจี ำนวนจำกัดหรอื ไม่
โดยตัง้ เปน็ ข้อคาดการณ์ (twin primes conjector) ว่า มีจำนวนเฉพาะแฝดเปน็ จำนวนอนนั ต์
หรอื ไม่ เดวิด อนั เดอรแ์ บคค์ (David U nderbakke) และ ฟิล คารโ์ มดี (P hil Carmody)
ไดค้ ้นพบจำนวนเฉพาะแฝด จำนวนใหญส่ ุดในปี ค.ศ. 2001 คือ 31802361 · 2107001 ± 1
ซ่งึ มีจำนวน 32,220 หลกั

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

48 ทฤษฎีจำนวน

แบบฝึกหัด 2.4

(1) ให้ p, q ∈ N จงพิสจู น์วา่ ถ้า p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ ซง่ึ p ≠ q แล้ว (p, q) = 1
(2) ให้ pi = จำนวนเฉพาะตัวที่ i จะไดว้ ่า p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . แลว้ ขอ้ ความ

p1p2 . . . pn + 1 เป็นจำนวนเฉพาะ สำหรับทุก n ≥ 1
เปน็ จรงิ หรือไม่ ถ้าจรงิ ให้พสิ จู นแ์ ละถ้าเท็จใหย้ กตวั อย่างคา้ น
(ข้อเสนอแนะ ถ้า n = 1 แลว้ 2 + 1 = 3 เป็นจำนวนเฉพาะ

ถา้ n = 2 แลว้ (2)(3) + 1 = 7 เป็นจำนวนเฉพาะ
ถา้ n = 3 แล้ว (2)(3)(5) + 1 = 31 เปน็ จำนวนเฉพาะ)
(3) จงตรวจสอบว่า จำนวนตอ่ ไปน้เี ป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
(3.1) 541
(3.2) 2093
(3.3) 22012 − 1
(4) จงพิสจู น์ว่า
(4.1) ถา้ n เปน็ จำนวนประกอบแล้ว 2n − 1 เป็นจำนวนประกอบ
(4.2) ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว 2p − 1 เป็นจำนวนเฉพาะ
(ข้อเสนอแนะ สำหรบั (4.1) ให้ n = ab โดยทีื่ a, b ∈ N จาก

xb − 1 = (x − 1)(xb−1 + xb−2 + . . . + x + 1), x ∈ N
แทน xb ดว้ ย 2n)

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 2 การหารลงตัวและจำนวนเฉพาะ 49

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

50 ทฤษฎจี ำนวน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 3
ฟังกช์ ันในทฤษฎจี ำนวน

ในบทน้ี เราจะศกึ ษาฟังก์ชนั ทใ่ี ชก้ ันบอ่ ยในทฤษฎจี ำนวน โดยเฉพาะฟังกช์ นั เลขคณิต
(arithmetic f unctions) ซ่ึงเปน็ ฟังกช์ นั ทีม่ โี ดเมนเปน็ เซตจำนวนเต็มบวกและเรนจเ์ ปน็ เซต
จำนวนเชงิ ซอ้ น เช่น

f : N → Z กำหนดโดย f (n) = 1

g : N → R กำหนดโดย g(n) = n2 + 2n + 1

φ : N → C กำหนดโดย φ(n) = 1 + ni

เปน็ ตน้ สำหรบั บทนี้จะกล่าวถึงฟงั กช์ ัน τ (tau f unction) ฟงั ก์ชัน σ (sigma f unction)
และฟงั ก์ชนั µ (mu f unction) ซ่ึงเปน็ ฟงั ก์ชันเลขคณติ ทีเ่ กี่ยวกับการหารลงตวั นอกจากน้ี
ยังจะกล่าวถงึ ฟงั กช์ นั ϕ ออยเลอร์ (Euler phi f unction) และฟงั ก์ชนั จำนวนเตม็ มากสดุ
(greatest integer f unction หรอื bracket f unction) โดยจะศกึ ษาถงึ สมบัติเบ้ืองต้น
รูปแบบทวั่ ไปของฟงั ก์ชนั เหล่าน้ี และการนำไปใช้

3.1 ฟังกช์ ัน τ

ฟังก์ชนั τ เป็นฟงั กช์ นั ท่ใี ช้หาจำนวนของตวั หารทั้งหมด ซงึ่ ได้กำหนดบทนยิ ามดังน้ี

บทนิยาม 3.1.1 ให้ n ∈ Z และ n > 0 ฟงั ก์ชนั เทา (τ f unction) กำหนดโดย

น่ันคอื τ (n) หมายถงึ จำนวนตวั หารท่ีเปน็ จำนวนบวกทง้ั หมดของ n
∑

τ (n) = 1 เม่ือ d > 0

d|n

52 ทฤษฎจี ำนวน

ตวั อย่างที่ 3.1.1 1) เนอ่ื งจากตัวหารท่เี ปน็ จำนวนบวกทัง้ หมดของ 12 คอื

1, 2, 3, 4, 6, 12

ดังน้ัน τ (12) = 6

2) ทำนองเดียวกนั

τ (11) = τ (13) = 2

จากทฤษฎีบท 2.4.6 เราทราบว่า จำนวน n ∈ Z และ n > 1 สามารถเขยี นไดใ้ น
รูปมาตรฐาน (standard f orm) และทฤษฎีบทต่อไปนี้ แสดงให้เหน็ การหา τ (n) จากรูป
มาตรฐานของ n ดงั น้ี

ทฤษฎีบท 3.1.1 ให้ n = p1a1pa22 . . . pkak โดยที่ k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk
เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่ึง ai ∈ N สำหรับ i = 1, . . . , k จะไดว้ ่า

τ (n) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) = Πik=1(ai + 1)

พิสจู น์ ให้ n = p1a1pa22 . . . pakk จะไดว้ ่า ตวั หาร d ของ n เขียนได้ในรปู d = p1b1pb22 . . . pbkk
ซึ่ง bi ∈ {0, 1, . . . , ai} ดังน้ันโดยหลักการนับ

สามารถเลือก b1 ได้ a1 + 1 วธิ ี
สามารถเลือก b2 ได้ a2 + 1 วิธี

...
และสามารถเลอื ก bk ได้ ak + 1 วิธี
ทำใหไ้ ดว้ ่า สามารถเลือก b1, b2, . . . , bk พร้อมกันได้เป็นผลคณู

(a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) วิธี

น่นั คอื จำนวนตวั หารทเ่ี ป็นจำนวนบวกท้ังหมดของ n เท่ากบั
∏k

τ (n) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1) = (ai + 1)

i=1

ตวั อยา่ งท่ี 3.1.2 เน่ืองจาก 72 = (23)(32) ดงั นั้น ตวั หาร d ของ 72 คอื

มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 3 ฟังก์ชันในทฤษฎจี ำนวน 53

(20)(30), (21)(30), (22)(30), (23)(30),
(20)(31), (21)(31), (22)(31), (23)(31),
(20)(32), (21)(32), (22)(32), (23)(32)
หรอื 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72 มที ั้งหมด 12 จำนวน

หรือ จากทฤษฎีบท 3.1.1
τ (72) = (3 + 1)(2 + 1) = (4)(3) = 12

ตัวอยา่ งท่ี 3.1.3 เนอ่ื งจาก 360 = (23)(32)(5) ดงั นั้น จากทฤษฎบี ท 3.1.1
τ (360) = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = (4)(3)(2) = 24

บทนยิ าม 3.1.2 ให้ f เปน็ ฟงั ก์ชันเลขคณติ เรยี ก f วา่ ฟังก์ชนั แยกคณู (multiplicative
f unction) กต็ อ่ เมอื่ f (ab) = f (a)f (b) สำหรับแตล่ ะ a, b ∈ N และ (a, b) = 1

ตวั อยา่ งที่ 3.1.4 ฟงั ก์ชนั ต่อไปนเี้ ปน็ ฟังก์ชันแยกคูณหรอื ไม่
1) f (n) = n
2) g(n) = 2n + 1

วิธที ำ 1) ให้ a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จากการกำหนดฟังกช์ นั จะไดว้ ่า

f (a) = a, f (b) = b และ f (ab) = ab

ดงั นัน้

f (ab) = ab = f (a)f (b)

นนั่ คอื f เป็นฟังก์ชนั แยกคณู
2) ให้ a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จากการกำหนดฟังก์ชนั จะได้วา่

g(a) = 2a + 1, g(b) = 2b + 1 และ g(ab) = 2ab + 1 จะเหน็ ว่า

g(a)g(b) = (2a + 1)(2b + 1)
= 4ab + 2a + 2b + 1
= (2ab + 1) + 2(ab + a + b)
≠ g(ab)

นั่นคือ g ไมเ่ ปน็ ฟังกช์ ันแยกคูณ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

54 ทฤษฎจี ำนวน

ทฤษฎีบท 3.1.2 ให้ a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จะได้ว่า τ เป็นฟังก์ชนั แยกคูณ

พสิ จู น์ ให้ a, b ∈ N ซง่ึ
a = p1a1 pa22 . . . pkak และ b = q1b1 q2b2 . . . qtbt

เน่ืองจาก (a, b) = 1 ดังน้นั pi ≠ qj สำหรับแต่ละ i ∈ {1, . . . , k} และสำหรับแตล่ ะ
j ∈ {1, . . . , t} ทำใหไ้ ดว้ า่

ab = pa11 pa22 . . . pakk q1b1 q2b2 . . . qtbt

จากทฤษฎีบท 3.1.1 จะได้วา่

τ (ab) = (a1 + 1)(a2 + 1) . . . (ak + 1)(b1 + 1)(b2 + 1) . . . (bt + 1) = τ (a)τ (b)

น่ันคือ τ เปน็ ฟงั กช์ ันแยกคณู

แบบฝกึ หดั 3.1

(1) จงหา τ (n) เมื่อ 1 ≤ n ≤ 10
92) จงหา τ (n)

(2.1) n = 900
(2.2) n = 496
(2.3) n = 1, 024
(3) จงหา n เม่อื τ (n) = 60
(4) ฟงั ก์ชันตอ่ ไปนเ้ี ปน็ ฟังกช์ นั แยกคณู หรือไม่
(4.1) f (n) = n2
(4.2) g(n) = 2n
(5) จงพิสูจนว์ า่ n เป็นกำลงั สองของจำนวนเตม็ บวก ก็ตอ่ เมือ่ τ (n) เปน็ จำนวนค่ี

มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 3 ฟงั กช์ นั ในทฤษฎีจำนวน 55

3.2 ฟังก์ชัน σ

ฟังกช์ นั σ เปน็ ฟังก์ชนั ที่ใชห้ าผลบวกของตัวหารทง้ั หมด ซ่ึงไดก้ ำหนดบทนยิ ามดงั นี้

บทนยิ าม 3.2.1 ให้ n ∈ Z และ n > 0 ฟังก์ชันซกิ มา (σ f unction) กำหนดโดย

นน่ั คือ σ(n) หมายถงึ ผลบวกของตัวหารทเี่ ป็นจำนวนบวกทั้งหมดของ n
∑

σ(n) = d เมอื่ d > 0

d|n

ตัวอย่างท่ี 3.2.1 1) เนื่องจากตวั หารทเี่ ป็นจำนวนบวกทั้งหมดของ 12 คือ

1, 2, 3, 4, 6, 12

ดังน้ัน σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

2) ทำนองเดียวกัน

σ(11) = 1 + 11 = 12 และ σ(13) = 1 + 13 = 14

ขอ้ สังเกต 3.2.1 ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะแลว้ σ(p) = p + 1

ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี แสดงให้เห็นการหา σ(n) จากรปู มาตรฐานของ n ดงั นี้

ทฤษฎบี ท 3.2.1 ให้ n = p1a1p2a2 . . . pkak โดยที่ k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk
เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่ึง ai ∈ N สำหรบั i = 1, . . . , k จะไดว้ ่า

( pa11+1 − 1 )( pa22+1 − 1 ( pkak+1 − 1 ∏k pai i +1 − 1
) ) ( )
σ(n) = p1 − 1 p2 − 1 . . . pk − 1 = i=1 pi − 1

พสิ จู น์ ให้ n = pa11p2a2 . . . pkak เหน็ ไดช้ ดั ว่า
ตวั หารทัง้ หมดของ pa11 คอื 1, p1, p21, . . . , p1a1
ตวั หารท้งั หมดของ pa22 คอื 1, p2, p22, . . . , pa22
...
และตวั หารท้ังหมดของ pkak คอื 1, pk, pk2, . . . , pakk

ซ่งึ โดยวิธอี ุปนัยทางคณติ ศาสตร์บน ai, i ∈ {1, . . . , k} สามารถแสดงไดว้ ่า

(pi − 1)(1 + pi + p2i + . . . + piai) = pai i+1 − 1

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

56 ทฤษฎจี ำนวน

ดงั นั้น จากบทนิยาม 3.2.1 จะได้ว่า

σ(n) = σ(p1a1p2a2 . . . pkak )

= (1 + p1 + p12 + . . . + pa11)(1 + p2 + p22 + . . . + p2a2) . . . (1 + pk + p2k + . . . + pkak )

= ( pa11+1 − 1 )( pa22+1 − 1 . . . ( pkak+1 − 1
) )
p1 − 1 p2 − 1 pk − 1

นัน่ คือ ผลบวกของตัวหารทเี่ ป็นจำนวนบวกทั้งหมดของ n เท่ากับ

( pa11+1 − 1 )( pa22+1 − 1 ( pakk+1 − 1 ∏k piai +1 − 1
) ) ( )
σ(n) = p1 − 1 p2 − 1 . . . pk − 1 = i=1 pi − 1

ตวั อย่างที่ 3.2.2 เนอื่ งจาก 72 = (23)(32) ดังน้นั จากทฤษฎีบท 3.2.1
24 − 1 33 − 1

σ(72) = ( 2 − 1 )( 3 − 1 ) = (15)(13) = 195
ตัวอยา่ งที่ 3.2.3 เนอ่ื งจาก 360 = (23)(32)(5) ดังนัน้ จากทฤษฎบี ท 3.2.1

24 − 1 33 − 1 52 − 1
σ(360) = ( )( )( ) = (15)(13)(6) = 1, 170

2−1 3−1 5−1

ทฤษฎบี ท 3.2.2 ให้ a, b ∈ N และ (a, b) = 1 จะไดว้ ่า σ เปน็ ฟังก์ชันแยกคณู

พสิ ูจน์ สามารถพสิ จู นไ์ ด้ทำนองเดียวกันกับทฤษฎบี ท 3.1.2

แบบฝกึ หัด 3.2

(1) จงหา σ(n) เมอื่ 1 ≤ n ≤ 10
(2) จงหา σ(n)

(2.1) n = 900
(2.2) n = 496
(2.3) n = 1, 024
(3) จงพสิ จู น์วา่ ฟงั ก์ชัน σ ในทฤษฎีบท 3.2.2 เปน็ ฟังก์ชนั แยกคูณ
(4) ถ้า n = 2k แล้ว จงแสดงวา่ σ(n) เปน็ จำนวนค่ี
(5) ให้ n = 957 จงแสดงว่า σ(n) = σ(n + 1)

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 3 ฟังกช์ นั ในทฤษฎจี ำนวน 57

∑
(6) ถา้ F (m) = f (d) และ f เป็นฟงั ก์ชันแยกคูณแล้ว

d|m

จงแสดงว่า F ((6)(5)) = F (6)F (5)
∑

(7) ให้ σk(n) คือ ผลบวกตัวหารของ n ทย่ี กกำลัง k (ดงั นั้น σk(n) = dk) และ

d|n

σ1(n) = σ(n) จงพสิ จู น์ว่า ฟงั ก์ชัน σk เป็นฟังกช์ นั แยกคูณ

3.3 ฟงั กช์ นั ϕ ออยเลอร์

ฟังกช์ นั ϕ ออยเลอร์ เปน็ ฟงั กช์ นั การนับชนดิ พเิ ศษ ซึง่ ได้กำหนดบทนิยามดังนี้

บทนยิ าม 3.3.1 ให้ n ∈ N ฟงั กช์ ันฟีออยเลอร์ (ϕ Euler f unction) กำหนดโดย

น่นั คือ ϕ(n) หมายถงึ จำนวนของจำนวนเตม็ บวก m ซึง่ m ≤ n และ (m, n) = 1
∑

ϕ(n) = 1 เมอื่ m > 0 และ (m, n) = 1

m≤n

ตัวอยา่ งที่ 3.3.1 1) ให้ n = 12 จะได้วา่ จำนวนเตม็ บวก m ท่ี m ≤ 12 และ (m, 12) = 1

คอื 1, 5, 7 และ 11 ดังนนั้ ϕ(12) = 4

2) ทำนองเดยี วกนั จะได้วา่ ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(4) = ϕ(6) = 2 และ

ϕ(5) = 4 เปน็ ตน้

ขอ้ สังเกต 3.3.1 ถ้า p เปน็ จำนวนเฉพาะแลว้ ϕ(p) = p − 1

ตวั อย่างท่ี 3.3.2 จงหา ϕ(25)

วธิ ีทำ เนอ่ื งจากจำนวนตง้ั แต่ 1 ถงึ 25 มที ้งั หมด 25 จำนวน และจำนวนที่ไมเ่ ปน็ จำนวน
เฉพาะสัมพัทธ์กบั 25 แตไ่ มเ่ กิน 25 คอื 1(2), 2(2), 3(2), 4(2), 5(2), 6(2), 7(2), 8(2), 9(2),
10(2), 11(2), 12(2), 13(2), 14(2), 15(2), 16(2) = 25 ซึง่ มที ้งั หมด 16 = 24 จำนวน
ดงั น้ัน ϕ(25) = 25 − 24 = 24(2 − 1) = 16 จำนวน

ทฤษฎบี ท 3.3.1 ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะ และ n ∈ N จะไดว้ ่า

ϕ(pn) = pn − pn−1 = pn( p − 1
)
p

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

58 ทฤษฎีจำนวน

พสิ ูจน์ เนื่องจากจำนวนเต็มต้ังแต่ 1 ถึง pn มที ง้ั หมด pn จำนวน และจำนวนเตม็ ตั้งแต่ 1
ถึง pn ที่ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะสัมพทั ธก์ บั pn ซงึ่ หารด้วย p ลงตัวคอื

p, 2p, 3p, . . . , (p − 1)p, pp, (p + 1)p, . . . , pn−1p

ซง่ึ มีจำนวนทัง้ หมด pn−1 จำนวน

ดงั น้นั ϕ(pn) = pn − pn−1 = pn( p − 1
)
p

ตวั อยา่ งท่ี 3.3.3 จงหา ϕ(25) และ ϕ(720)

วธิ ที ำ จากทฤษฎบี ท 3.3.1 จะไดว้ า่

ϕ(25) = 25( 2 − 1 = 24 = 16
)
2
720( 7 − 1
และ ϕ(720) = ) = 6(7)19
7

ฟงั กช์ นั ϕ เป็นฟังก์ชันแยกคูณ โดยใชบ้ ทตง้ั ต่อไปน้ชี ว่ ยในการพสิ จู น์

บทต้ัง 3.3.1 ให้ a, b, c, d ∈ N ซึ่ง (a, b) = (b, d) = (a, c) = 1 จะไดว้ ่า
(ad + bc, ab) = 1

พสิ ูจน์ สมมุติว่ามจี ำนวนเฉพาะ p ซงึ่ p | ab และ p | (ad + bc) จะได้วา่ p | a หรือ p | b
และ p | (ad + bc) ถา้ p | a และ p | (ad + bc) จะได้ว่า p | bc ดังนั้น p | b หรือ
p | c ซึ่งเกดิ ข้อขัดแยง้ กับ (a, b) = (a, c) = 1 ถ้า p | b และ p | (ad + bc) จะได้ว่า
p | ad ดังน้ัน p | a หรอื p | d ซ่ึงเกดิ ขอ้ ขดั แยง้ กับ (a, b) = (b, d) = 1 จงึ สรปุ ได้ว่า
(ad + bc, ab) = 1

ทฤษฎีบท 3.3.2 ฟงั ก์ชนั ϕ เปน็ ฟงั ก์ชนั แยกคูณ

พสิ ูจน์ ให้ X = {x | 1 ≤ x < a, (x, a) = 1}
Y = {y | 1 ≤ y < b, (y, b) = 1}
Z = {z | 1 ≤ z < ab, (z, ab) = 1}

ถา้ z ∈ Z แล้ว (z, ab) = 1 ดังนนั้ (z, a) = (z, b) = 1 น่นั คือ มี q1, q2, r1, r2 ∈ Z
ซ่ึง

z = q1a + r1 และ z = q2b + r2 ซงึ่ 1 ≤ r1 < a และ 1 ≤ r2 < b

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทท่ี 3 ฟงั กช์ ันในทฤษฎจี ำนวน 59

จะไดว้ า่ (r1, a) = (r2, b) = 1 ดังนั้น r1 ∈ X และ r2 ∈ Y นัน่ คอื ϕ(ab) ≤ ϕ(a)ϕ(b)
ให้ c ∈ X และ d ∈ Y จากบทตัง้ 3.3.1 จะได้ว่า (ad + bc, ab) = 1 ดงั น้ัน มี

q, r ∈ Z ซึง่

ad + bc = (ab)q + r, 1 ≤ r < ab และ (r, ab) = (ad + bc, ab) = 1

ทำใหไ้ ดว้ า่ r ∈ Z ดงั น้ัน ϕ(ab) ≥ ϕ(a)ϕ(b)
นน่ั คือ ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b)

ทฤษฎีบท 3.3.3 ให้ n ∈ Z และ n > 1 ซึง่ n เขยี นได้ในรูปมาตรฐาน

n = pa11 p2a2 . . . pakk

โดยท่ี k ≥ 1 และ p1 < p2 < . . . < pk เป็นจำนวนเฉพาะ ซง่ึ ai ∈ N สำหรับ i =
1, . . . , k จะไดว้ า่

ϕ(n) = (pa11 − p1a1−1)(pa22 − p2a2−1) . . . (pkak − pkak−1)

= n( p1 − 1 )( p2 − 1 . . . ( pk − 1
) )
p1 p2 pk

พสิ ูจน์ โดยวิธอี ุปนัยทางคณิตศาสตรบ์ น k ถ้า k = 1 แลว้ n = p1a1 และจากทฤษฎบี ท

3.3.1 จะไดว้ า่

ϕ(n) = pa11 − pa11−1 = pa11 ( p1 − 1
p1 )

ดังนนั้ ทฤษฎีบทเปน็ จรงิ

สมมตุ วิ ่าทฤษฎีบทเป็นจริง เม่อื k = i (จะแสดงวา่ ทฤษฎบี ทเปน็ จริงเม่อื k = i+1)

จะได้วา่

n = p1a1 p2a2 . . . piai และ

ϕ(n) = (p1a1 − p1a1−1)(p2a2 − p2a2−1) . . . (piai − pai i−1)

เนอ่ื งจาก (pa11 pa22 . . . piai , pai+1 ) = 1 ดังน้ัน จากทฤษฎีบท 3.3.2 จะไดว้ า่

i+1

ϕ(p1a1 p2a2 . . . p pai ai+1 ) = ϕ(pa11 pa22 . . . pai i )ϕ(pai+i+11 )

i i+1

= (pa11 − pa11−1)(p2a2 − p2a2−1) . . . (piai − pai i−1)(pia+i+11 − pai+1−1 )

i+1

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

60 ทฤษฎีจำนวน

จากสมมุติฐาน และ ϕ(pia+i+11 ) = p −pai+1 ai+1 −1 ทำให้ได้วา่ ทฤษฎีบทเป็นจรงิ เม่อื k = i+1
i+1
i+1

น่ันคอื ทฤษฎบี ทเปน็ จริงสำหรบั แตล่ ะจำนวนเต็มบวก k

หมายเหตุ 3.3.1 จากทฤษฎบี ท 3.3.3 เราอาจเขยี นเป็น

ϕ(n) = ∏ − 1 เม่อื p เป็นจำนวนเฉพาะ
n (1 )
p
p|n

ตัวอย่างท่ี 3.3.4 จงหา
(1) ϕ(24)
(2) ϕ(160)

วธิ ีทำ (1) ϕ(24)

เนือ่ งจาก 24 = 23 · 31 ดังนัน้ จากทฤษฎีบท 3.3.3 จะไดว้ า่

2−1 3−1 12
ϕ(24) = 24( )( ) = 24( )( ) = 8
23 23

หรือ ϕ(24) = (23 − 22)(31 − 30) = 22(2 − 1)(3 − 1) = (4)(2) = 8

(2) ϕ(160)

เนอ่ื งจาก 160 = 25 · 51 ดังน้ัน จากทฤษฎบี ท 3.3.3 จะไดว้ า่

ϕ(160) = 2 − 15 − 1 = 14 = 64
160( )( ) 160( )( )
25 25

หรอื ϕ(160) = (25 − 24)(51 − 50) = 24(2 − 1)(5 − 1) = (4)(16) = 64

ตวั อย่างที่ 3.3.5 จงแสดงวา่ ถ้า n > 2 แลว้ ϕ(n) เปน็ จำนวนเต็มคู่

พสิ ูจน์ ให้ n > 2 จากทฤษฎบี ทหลกั มูลเลขคณติ จะไดว้ ่า n เขยี นได้ในรปู
n = pa11 pa22 . . . pkak

โดยที่ p1 < p2 < . . . < pk เปน็ จำนวนเฉพาะ ซง่ึ ai ∈ N สำหรับ i = 1, . . . , k
ดังนน้ั โดยทฤษฎบี ท 3.3.3 จะไดว้ า่

ϕ(n) = (p1a1 − pa11−1)(p2a2 − pa22−1) . . . (pakk − pkak−1)
= pa11−1(p1 − 1)pa22−1(p2 − 1) . . . pkak−1(pk − 1)

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทท่ี 3 ฟงั ก์ชันในทฤษฎจี ำนวน 61

กรณี p1 = 2 แยกพจิ ารณาเปน็ a1 = 1 หรอื a1 > 1

ถ้า a1 = 1 เนื่องจาก n > 2 จะมี p2 > 2 เป็นตัวประกอบของ n ดังนั้น p2

เปน็ จำนวนค่ี ทำให้ได้ว่า p2 − 1 เปน็ จำนวนคู่ น่ันคือ ϕ(n) เป็นจำนวนคู่
ถ้า a1 > 1 แล้ว pa11−1 = 2a1−1 ดังนน้ั ϕ(n) มี 2 เปน็ ตัวประกอบ นน่ั คือ ϕ(n)

เปน็ จำนวนคู่

กรณี p1 ̸= 2 แลว้ p1 > 2 เป็นจำนวนค่ี ดังนัน้ p1 − 1 เปน็ จำนวนคู่ นั่นคือ ϕ(n)

เปน็ จำนวนคู่ ∑
ข้อสังเกต 3.3.2 ϕ(d) = n

d|n

ตัวอย่างที่ 3.3.6 (1) เนือ่ งจาก ตัวหารของ 6 คือ 1, 2, 3 และ 6 ดงั น้ัน

∑
ϕ(d) = ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) + ϕ(6)

d|6

= 1+1+2+2

=6

(2) เชน่ เดยี วกัน

∑
ϕ(d) = ϕ(1) + ϕ(2) + ϕ(3) + ϕ(4) + ϕ(6) + ϕ(12)

d|12

= 1+1+2+2+2+4

= 12

แบบฝกึ หัด 3.3

(1) จงหา
(1.1) ϕ(72)
(1.2) ϕ(210)
(1.3) ϕ(720)
(1.4) ϕ(pt) เมอ่ื p เป็นจำนวนเฉพาะ

(2) ให้ Sd = {x | (x, 8) = d และ 1 ≤ x ≤ 8}
(2.1) จงเขียนสมาชิกของเซต Sd สำหรบั แตล่ ะ d ∈ N ท่ี d | 8

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

62 ทฤษฎจี ำนวน

(2.2) จงแสดงวา่ จำนวนสมาชกิ ของ Sd เท่ากับ ϕ( 8 )
∑8 d

(2.3) จงแสดงว่า ϕ( ) = 8
d
d|8

(3) จงหา n ∈ N ท้งั หมด ทีท่ ำให้ ϕ(n) เปน็ จำนวนค่ี

4) จงหา n ∈ N ท่ีน้อยทส่ี ุด ท่ที ำใหส้ มการ ϕ(x) = n

(4.1) ไมม่ ีคำตอบ

(4.2) มี 2 คำตอบ

(4.3) มี 3 คำตอบ

(5) ให้ n เปน็ จำนวนเต็มคท่ี เ่ี ป็นบวก จงพสิ จู น์วา่ ϕ(2n) = ϕ(n)

(6) ให้ p > 2 เปน็ จำนวนฉพาะ และ n = 2(2p − 1) จงพิสจู นว์ ่า ϕ(n) = ϕ(n + 2)

3.4 ฟังกช์ นั เมอบิอุส

ฟงั กช์ นั เมอบอิ สุ เป็นฟงั ก์ชันเลขคณติ ซงึ่ ไดก้ ำหนดบทนยิ ามดงั น้ี

บทนยิ าม 3.4.1 ให้ n ∈ N ซึง่ เขยี นได้ในรปู

n = p1a1 pa22 . . . pakk

โดยที่ p1 < p2 < . . . < pk เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่ึง ai ∈ N เมื่อ i = 1, . . . , k จะได้ว่า

ฟงั ก์ชันเมอบิอสุ (M o¨bius f unction) กำหนดโดย

 ถ้า n = 1
 1 ถา้ มจี ำนวนเฉพาะ p ซงึ่ p2 | n
ถ้าแต่ละ ai = 1
µ(n) =  0
(−1)k

ตวั อย่างที่ 3.4.1 (1) µ(2) = µ(3) = µ(5) = µ(p) = (−1)1 = −1 เม่อื p เปน็ จำนวนเฉพาะ
(2) µ(9) = µ(32) = 0
µ(81) = µ(34) และเนอ่ื งจาก 32 | 81 ดังน้นั µ(81) = 0
(3) µ(6) = µ(2 · 3) = (−1)2 = 1
µ(30) = µ(2 · 3 · 5) = (−1)3 = −1

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 3 ฟงั ก์ชนั ในทฤษฎจี ำนวน 63

µ(210) = µ(2 · 3 · 5 · 7) = (−1)4 = 1
µ(p1p2 . . . p10) = (−1)10 = 1 เมือ่ pi i ∈ {1, 2, . . . , 10}เปน็ จำนวนเฉพาะ

(4) µ(18) = µ(2 · 32) และเนอื่ งจาก 32 | 18 ดังน้นั µ(18) = 0
µ(120) = µ(23 · 3 · 5) และเนอื่ งจาก 22 | 120 ดงั นน้ั µ(120) = 0
µ(p1p32p73p411) = 0 เมื่อ p1, p2, p3, p4 เป็นจำนวนเฉพาะ

ทฤษฎีบท 3.4.1 µ เป็นฟังก์ชันแยกคณู

พิสจู น์ ให้ a, b ∈ N ซ่งึ (a, b) = 1
กรณี a = 1 หรือ b = 1

ถ้า a = 1 แล้ว µ(ab) = µ(1 · b) = µ(b) = 1 · µ(b) = µ(1)µ(b) = µ(a)µ(b)
ในทำนองเดียวกัน ถา้ b = 1 แล้ว µ(ab) = µ(a)µ(b)
กรณี a > 1 หรอื b > 1

ถ้ามีจำนวนเฉพาะ p ซ่ึง p2 | a หรือ p2 | b จะได้ว่า p2 | ab
ดังนั้น (µ(a) = 0 หรือ µ(b) = 0) และ µ(ab) = 0
นัน่ คอื µ(ab) = 0 = µ(a)µ(b)

ถา้ ไมม่ ีจำนวนเฉพาะ p ซ่งึ p2 | a และ p2 | b
ให้ a = p1p2 . . . pr และ b = q1q2 . . . qs, เมื่อ pi, qj เป็นจำนวนเฉพาะ
ดงั นั้น µ(ab) = µ(p1p2 . . . prq1q2 . . . qs)

= (−1)r+s = (−1)r(−1)s
= µ(a)µ(b)
นน่ั คือ µ เป็นฟงั กช์ นั แยกคูณ

ตัวอยา่ งท่ี 3.4.2 จงหา µ(210 · 143)

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

64 ทฤษฎีจำนวน

วธิ ที ำ ใช้ทฤษฎีบท 3.4.1 จะไดว้ า่

µ(210 · 143) = µ(210)µ(143)
= µ(2 · 3 · 5 · 7)µ(11 · 13)
= µ(2)µ(3)µ(5)µ(7)µ(11)µ(13)
= (−1)6
=1

ตัวอยา่ งท่ี 3.4.3 จงหา
∑

(1) µ(d)
d|(∑24)

(2) µ(d)

d|(22·32)

วิธที ำ
∑

(1) µ(d) = µ(1) + µ(2) + µ(3) + µ(4) + µ(6) + µ(12) + µ(24)

d|(24)

= 1 + (−1) + (−1) + 0 + 1 + 0 + 0
=0

(2) เนือ่ งจากตวั หารของ 22 · 32 คอื 2a · 3b เม่ือ a = 0, 1, 2 และ b = 0, 1, 2
และใชท้ ฤษฎบี ท 3.4.1 จะไดว้ า่

∑
µ(d) = µ(20 · 30) + µ(20 · 31) + µ(20 · 32) +

d|(22·32)

µ(21 · 30) + µ(21 · 31) + µ(21 · 32) +
µ(22 · 30) + µ(22 · 31) + µ(22 · 32)
= (µ(20) + µ(21) + µ(22))(µ(30) + µ(31) + µ(32))
= (1 + (−1) + 0)(1 + (−1) + 0)
=0

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 3 ฟงั กช์ นั ในทฤษฎจี ำนวน 65

ทฤษฎบี ท 3.4.2 ให้ f เปน็ ฟงั กช์ นั แยกคูณ d > 0 และ F เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ กำหนดโดย

∑
F (n) = f (d)

d|n

จะได้วา่ (1) F เปน็ ฟังก์ชนั แยกคูณ 

∑ 1 ถา้ n = 1
(2) ถา้ G(n) = d|n µ(d) แลว้ G(n) =  0 ถ้า n > 1

พิสจู น์ (1) ให้ a, b ∈ N ซ่ึง (a, b) = 1, d | ab และ d | d1d2 โดยท่ี d1 | a และ d2 | b

จะได้วา่

∑∑

F (ab) = f (d) = f (d1d2)

d|ab d1|a,d2|b

เน่ืองจาก (a, b) = 1, d1 | a และ d2 | b ดังนน้ั (d1, d2) = 1

จากทฤษฎบี ท 3.4.1 จะไดว้ ่า µ(d1d2) = µ(d1)µ(d2) ดงั น้ัน

∑ ∑∑

F (ab) = f (d1)f (d2) = ( f (d1))( f (d2)) = F (a)F (b)

d1|a,d2|b d1|a d2|b

นัน่ คือ F เปน็ ฟังกช์ ันแยกคูณ

∑
(2) เนื่องจาก G(n) = µ(d) และจากทฤษฎบี ท 3.4.1 µ เป็นฟังก์ชนั แยกคูณ

d|n

ดังนน้ั จาก (1) จะได้ว่า G เป็นฟังกช์ ันแยกคูณ

∑∑
กรณี ถ้า n = 1 แลว้ G(n) = µ(d) = µ(d) = µ(1) = 1

d|n d|1

กรณี ถา้ n > 1 แลว้ n เขียนไดใ้ นรูป n = pa11pa22 . . . pakk โดยที่ 1 < p1 < p2 < . . . < pk

เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่งึ ai ∈ N เม่ือ i = 1, . . . , k

ถา้ k = 1 แล้ว n = pa11

เนอ่ื งจาก d | n ดงั น้นั d = p01, p11, p21, . . . , p1a1 ทำใหไ้ ด้วา่

G(pa11) = ∑

µ(d)

d|p1a1

= µ(p10) + µ(p11) + µ(p21) + . . . + µ(p1a1)

= 1 + (−1) + 0 + . . . + 0

=0

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

66 ทฤษฎีจำนวน

ถ้า k > 1 และ G เปน็ ฟงั กช์ นั แยกคูณ แล้ว
G(n) = G(pa11p2a2 . . . pkak )
= G(pa11)G(pa22) . . . G(pkak )
=0

ตัวอย่างที่ 3.4.4 ให้ n = 99, a = 9 และ b = 11 จงแสดงว่า F (9 · 11) = F (9)F (11)
และ F (99) = 0

วธิ ีทำ เน่อื งจาก (a, b) = (9, 11) = 1 และ d | 99 หรอื d | (32 · 11)
ดังน้ัน d คอื 30 · 110, 30 · 111, 31 · 110, 31 · 111, 32 · 110 และ 32 · 111 จะได้ว่า

F (9 · 11) = µ(30 · 110) + µ(30 · 111) + . . . + µ(32 · 111)

= µ(30)µ(110) + µ(30)µ(111) + . . . + µ(32)µ(111)

= (µ(30) + µ(31) + µ(32))(µ(110) + µ(111))

∑∑
= ( µ(d1))( µ(d2))

d1|9 d2|11

= F (9)F (11)

และ

∑∑ ∑∑
F (99) = F (9 · 11) = µ(d) =
µ(d1d2) = ( µ(d1))( µ(d2))

d|99 d1|9,d2|11 d1|9 d2|11

= (µ(30) + µ(31) + µ(32))(µ(110) + µ(111))

= (µ(1) + µ(3) + µ(32))(µ(1) + µ(11))

= (1 + (−1) + 0)(1 + (−1))

=0

บทตง้ั 3.4.1 ให้ c, d, n ∈ N จะได้วา่ d | n และ c | n กต็ ่อเม่อื c | n และ d | n
dc

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 3 ฟังก์ชนั ในทฤษฎีจำนวน 67

พิสูจน์ เนอื่ งจาก d | n ดงั นั้น จะมี s ∈ N ทที่ ำให้ n = ds

ให้ s = n และจาก c | n จะไดว้ า่ มี t ∈ N ท่ีทำให้ s = n = ct
dd d

นนั่ คอื n = ds = d(ct) = c(dt)

ดงั นั้น c | n และ d | n
c

ทฤษฎีบท 3.4.3 (M o¨bius inversion f ormula)

ให้ f เป็นฟังก์ชนั เลขคณิต c, d, n ∈ N และ F เปน็ ฟังกช์ นั ซึ่งกำหนดโดย

∑
F (n) = f (d)

d|n

จะได้ว่า

∑ n ∑n
f (n) = µ(d)F ( ) = µ( )F (d)

dd

d|n d|n

พิสูจน์ จากทฤษฎีบท 3.4.2 (1) จะได้วา่

∑ n ∑ ∑ ∑∑
µ(d)F ( ) = µ(d) f (c) = µ(d)f (c)
dd|n
d|n c|( n ) d|n c|( n )
d d

และจากบทต้งั 3.4.1 จะได้ว่า

∑∑ ∑∑ ∑∑

µ(d)f (c) = ( f (c)µ(d)) = f (c) µ(d)

d|n c|( n ) c|n d|( n ) c|n d|( n )
d c c

จากทฤษฎีบท 3.4.2 (2) จะไดว้ า่ 

∑  1 n
ถา้ = 1 (c = n)
c
µ(d) =  n
ถ้า > 1
d|( n ) 0 c (c ̸= n)
c

ดงั นั้น

∑ n∑ ∑
µ(d)F ( ) = f (c) µ(d) = 0 + 0 + . . . + 0 + f (n) · 1 = f (n)
dd|n
c|n d|( n )
c

ให้ d′ = n จะไดว้ ่า d= n ดงั นั้น
d d′

∑ n ∑ n (d′) โดยท่ี dd′ = n
() µ( d′
µ(d)F = )F
d
d|n d|n

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

68 ทฤษฎีจำนวน

เน่อื งจากเซต {d | d หาร n ลงตัว } = {d′ | d′ = n }
∑ n ∑n d
ดงั นั้น µ(d)F ( ) = µ( )F (d)
dd
d|n d|n

หมายเหตุ 3.4.1 จากทฤษฎีบท 3.4.3 จะไดว้ า่
∑n

ϕ(n) = µ(d)( )
d

p|n

∑ 24
ตัวอยา่ งที่ 3.4.5 จงหา µ(d)( )

d

d|(24)

วิธที ำ จากตวั อย่าง 3.3.4 เราได้ว่า ϕ(24) = 8

∑ 24 24 24 24 24
µ(d)( ) = µ(1)( ) + µ(2)( ) + µ(3)( ) + µ(4)( ) +
d 1234
d|(24)

24 24 24
µ(6)( ) + µ(12)( ) + µ(24)( )

6 12 24

= (1)(24) + (−1)(12) + (−1)(8) + (0)(6) +

(1)(4) + (0)(2) + (0)(1)

= 24 − 12 − 8 + 0 + 4 + 0 + 0

=8

= ϕ(24)

แบบฝึกหดั 3.4

(1) จงหา

(1.1) µ(300) (1.2) µ(166)

(2) จงหา µ(105 · 143)
∑n

(3) ให้ n ∈ N และ n ≥ 3 จงแสดงวา่ µ(k!) = 1

∑∞ k=1
(4) จงหาค่าของ µ(j!)

j=1

มหาวิทยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 3 ฟงั ก์ชันในทฤษฎจี ำนวน 69

(5) จงหาจำนวนเตม็ n ที่ทำให้
µ(n) + µ(n + 1) + µ(n + 2) = 3

(6) จงพสิ ูจนว์ ่า สำหรับแตล่ ะ n ∈ N
µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0

3.5 ฟังกช์ ันจำนวนเต็มคา่ มากสดุ

บทนยิ าม 3.5.1 ให้ x ∈ R ฟังกช์ ันจำนวนเตม็ ค่ามากสดุ (greatest integer
f unction หรือ f loor f unction) กำหนดโดย

⌊x⌋ หมายถงึ จำนวนเต็มค่ามากสดุ ทีน่ อ้ ยกว่าหรือเทา่ กบั x

ข้อสงั เกต 3.5.1 จากบทนยิ าม จะเหน็ วา่
(1) ⌊x⌋ เปน็ ฟังกช์ นั จาก R ไปทว่ั ถึง Z แบบหลายตอ่ หน่งึ (many to one)

เคนเน็ท อเิ วอร์สัน (Kenneth Iverson) เปน็ คนแรกทีใ่ ช้เครอื่ งหมายนเี้ มือ่ ตน้ ปี
ค.ศ. 1960 และนิยมใชก้ นั อย่างแพร่หลายในเวลาต่อมา
(2) ⌊x⌋ + a = x สำหรบั บาง a ∈ R ท่ี 0 ≤ a < 1

ตัวอย่างท่ี 3.5.1 (1) ⌊√136⌋ = 5 (2) ⌊−9⌋ = −9
(3) ⌊ 12⌋ = 3 √

(5) ⌊π⌋ = 3 (4) ⌊− 12⌋ = −4
√
(6) ⌊−π⌋ = −4
(7) ⌊ 3 + 0.573⌋ = 2
(8) ⌊1.99 . . .⌋ = 2

ทฤษฎีบทต่อไปนีก้ ลา่ วถึงสมบตั เิ บ้ืองตน้ ของฟังก์ชนั ⌊x⌋

ทฤษฎบี ท 3.5.1 ให้ x ∈ R จะไดว้ า่ x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x

พสิ จู น์ จากบทนิยาม 3.5.1 จะได้วา่ ⌊x⌋ ≤ x
ดังนั้น โดยข้อสังเกต 3.5.1 (2) จะมี 0 ≤ a < 1 ทีท่ ำให้ ⌊x⌋ + a = x ทำให้ไดว้ ่า

⌊x⌋ = x − a และ x − 1 < x − a

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

70 ทฤษฎจี ำนวน

ดังนั้น ⌊x⌋ > x − 1
นั่นคือ x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x

จากทฤษฎีบท 3.5.1 ทำให้ได้บทแทรกต่อไปน้ี
บทแทรก 3.5.1 ให้ x ∈ R จะได้ว่า

(1) ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1
(2) 0 ≤ x − ⌊x⌋ < 1

ทฤษฎีบท 3.5.2 ให้ x, y ∈ R จะได้วา่

(1) ⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m เมือ่ m ∈ Z

(2) ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = 0 หรือ − 1

(3) ⌊x + y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋
(4) ⌊ ⌊x⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋ เมอ่ื n ∈ N

nn

พิสจู น์ (1) ให้ x ∈ R และ m ∈ Z จากข้อสังเกต 3.5.1 (2) จะได้วา่ ⌊x⌋ + a = x

สำหรับบาง a ∈ R ท่ี 0 ≤ a < 1 ดังนั้น x + m = ⌊x⌋ + m + a แต่ ⌊x⌋ + m

เป็นจำนวนเต็ม จงึ ทำใหไ้ ด้ว่า ⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m

(2) ถ้า x ∈ Z แลว้ ⌊x⌋ = x และ ⌊−x⌋ = −x

จะไดว้ ่า ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = x + (−x) = 0

ถ้า x ∈/ Z แล้ว ⌊x⌋ + a = x สำหรบั บาง 0 ≤ a < 1 ดงั นัน้ −x = −⌊x⌋ − a =

−1 − ⌊x⌋ + (1 − a) เนื่องจาก 0 < 1 − a < 1 ดงั น้ัน ⌊−x⌋ = −1 − ⌊x⌋

นน่ั คือ ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = ⌊x⌋ − 1 − ⌊x⌋ = −1

(3) ให้ x = ⌊x⌋ + a สำหรบั บาง 0 ≤ a < 1 และ

y = ⌊y⌋ + b สำหรับบาง 0 ≤ b < 1

จะไดว้ า่ x + y = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + a + b เม่ือ 0 ≤ a + b < 2

ถ้า 0 ≤ a + b < 1 แล้ว ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋

ถ้า 1 ≤ a + b < 2 แล้ว ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1 จะไดว้ ่า ⌊x + y⌋ > ⌊x⌋ + ⌊y⌋

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 3 ฟงั กช์ นั ในทฤษฎจี ำนวน 71

น่ันคอื ⌊x + y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋
(4) ให้ x = ⌊x⌋ + c สำหรับบาง 0 ≤ c < 1 จากข้นั ตอนวธิ กี ารหาร จะไดว้ ่า

⌊x⌋ = qn + r เม่อื 0 ≤ r ≤ n − 1

⌊x⌋ r เมือ่ 0 ≤ r ≤ n − 1 < 1 แต่ q ∈ Z
ดังน้ัน =q+ nn
nn
ทำให้ได้วา่ ⌊ ⌊x⌋ ⌋ = q
n

เน่ืองจาก x = ⌊x⌋ + c = (qn + r) + c สำหรับบาง 0 ≤ c < 1

x (qn + r) + c = q+ r+c โดยที่ q ∈ Z และ 0 ≤ r + c ≤ n − 1 + c =
ดังน้นั =
nn n nn
1− 1−c <1
n
ทำให้ได้วา่ ⌊ x ⌋ = q นั่นคือ ⌊ ⌊x⌋ ⌋ = ⌊ x ⌋
n nn

ความสัมพันธร์ ะหวา่ งฟังกช์ ัน τ σ และ ⌊x⌋ แสดงได้จากทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎีบท 3.5.3 ให้ n ∈ N จะไดว้ ่า

(1) τ (1) + τ (2) + . . . + τ (n) = ⌊ n⌋ + ⌊ n⌋ + . . . + ⌊ n ⌋
12 n

(2) σ(1) + σ(2) + . . . + σ(n) = 1⌊ n⌋ + 2⌊ n⌋ + . . . + n⌊ n⌋
12 n

พิสจู น์ (1) ให้ P (n) แทน τ (1) + τ (2) + . . . + τ (n) = ⌊n ⌋ + ⌊ n⌋ + . . . + ⌊ n⌋ ถา้
12 n
n = 1 แลว้ τ (1) = 1 = ⌊1⌋ = ⌊ 1 ⌋ ดังนั้น P (1) เปน็ จริง
1

สมมุตวิ ่า P (k) เป็นจรงิ คือ τ (1) + τ (2) + . . . + τ (k) = ⌊ k ⌋ + ⌊ k ⌋ + . . . + ⌊ k ⌋
12 k

จะแสดงว่าทฤษฎเี ป็นจรงิ เม่ือ n = k + 1 คือ จะแสดงวา่

τ (1) + τ (2) + . . . + τ (k) + τ (k + 1) = ⌊ k ⌋ + ⌊ k ⌋ + . . . + ⌊k ⌋ + τ (k + 1) (∗)
12 k

พจิ ารณา ⌊ k + 1 ⌋ เมื่อ i = 1, 2, . . . , k + 1 จะเหน็ วา่ k+1 = k + 1
i i i i

ถ้า i (k + 1) แลว้ ⌊ k + 1 ⌋ = ⌊ k ⌋ และถา้ i | (k + 1) แลว้ ⌊ k + 1 ⌋ = ⌊k ⌋ + 1
ii ii

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

72 ทฤษฎจี ำนวน

ดงั นัน้

⌊k + 1⌋ + ⌊k + 1⌋ + ... + ⌊k + 1⌋ + ⌊k + 1⌋
12 k k+1

= (⌊ k ⌋ + ⌊ k ⌋ + . . . + ⌊k ⌋ + ⌊ k ⌋) + τ (k + 1)
12 k k+1

= (⌊ k ⌋ + ⌊ k ⌋ + . . . + ⌊k ⌋) + ⌊ k ⌋ + τ (k + 1)
12 k k+1

= (⌊ k ⌋ + ⌊ k ⌋ + . . . + ⌊k ⌋) + 0 + τ (k + 1) (∗∗)
12 k

จาก (∗) และ (∗∗) จะได้ว่า

τ (1) + τ (2) + . . . + τ (k) + τ (k + 1) = ⌊ k + 1 ⌋ + ⌊ k + 1 ⌋ + . . . + ⌊ k + 1 ⌋ + ⌊ k + 1 ⌋
12 k k+1

ดังนั้น P (k + 1) เปน็ จริง น่ันคอื P (n) เป็นจริงสำหรบั แต่ละ n ∈ N

(2) สามารถพสิ ูจนไ์ ดใ้ นทำนองเดียวกนั

ตัวอยา่ งท่ี 3.5.2 จงแสดงวา่

∑6 ∑6 6
(1) τ (n) = ⌊ ⌋
n
n=1 n=1

(2) ∑6 = ∑6 n⌊ 6 ⌋
σ(n) n

n=1 n=1

วธิ ีทำ (1) เนอ่ื งจาก τ (1) = 1, τ (2) = 2 = τ (3), τ (4) = 3, τ (5) = 2 และ τ (6) = 4

และ ⌊6 ⌋ = 6, ⌊ 6 ⌋ = 3, ⌊ 6 ⌋ = 2, ⌊ 6 ⌋ = ⌊ 6 ⌋ = ⌊ 6 ⌋ = 1
1 2 3 456
∑6 ∑6
นนั่ คือ τ (n) = 1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 = 14 = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = ⌊ 6 ⌋

n=1 n=1 n

(2) เน่อื งจาก σ(1) = 1, σ(2) = 1 + 2 = 3, σ(3) = 1 + 3 = 4,

σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7, σ(5) = 1 + 5 = 6 และ σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

และ 1⌊ 6 ⌋ = 6, 2⌊ 6 ⌋ = 6, 3⌊ 6 ⌋ = 6, 4⌊6 ⌋ = 4, 5⌊ 6 ⌋ = 5, 6⌊ 6⌋ = 6
123456
∑6 ∑6 6
ดังนัน้ σ(n) = 1 + 3 + 4 + 7 + 6 + 12 = 33 = 6 + 6 + 6 + 4 + 5 + 6 = n⌊ ⌋
n
n=1 n=1

บทนยิ าม 3.5.2 ให้ n ∈ N และ pi เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่ึง n! = 1 · 2 · 3 · . . . ·
(n − 1) · n เขียนได้ในรปู มาตรฐาน pa11p2a2 . . . pkak แลว้ เลขชี้กำลังสงู สุดของ pi ใน n!
จะเขียนแทนด้วย Epi(n!)

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทท่ี 3 ฟงั ก์ชันในทฤษฎีจำนวน 73

ตัวอยา่ งท่ี 3.5.3 เน่ืองจาก 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 28 · 34 · 52 · 7
ดงั น้ัน E2(10!) = 8, E3(10!) = 4, E5(10!) = 2 และ E7(10!) = 1

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ชว่ ยหาค่า n! ในรปู มาตรฐานได้ง่ายข้ึน และยังชใ้ี หเ้ หน็ กำลงั สงู สดุ ของ
p ทหี่ าร n! ลงตัว

ทฤษฎีบท 3.5.4 ให้ n ∈ N และ p เปน็ จำนวนเฉพาะ จะไดว้ า่

Ep(n!) = ∑∞ n ⌋ = ⌊n⌋ + ⌊ n ⌋ + ⌊ n ⌋ + . . .
⌊ pk p p2 p3

k=1

พสิ ูจน์ ให้ n ∈ N และ p เป็นจำนวนเฉพาะ จะได้ว่า

จำนวนทห่ี ารด้วย p ลงตวั ตง้ั แต่ 1 ถึง n คือ p, 2p, 3p, . . . , mp โดยท่ี m เปน็ จำนวน

เต็มบวกทม่ี ากทีส่ ุดท่ี mp < n หรือ m ≤ ⌊ n⌋ นั่นคอื m = ⌊ n⌋ n
pp p2

จำนวนทห่ี ารด้วย p2 ลงตัวตั้งแต่ 1 ถึง n คือ p2, 2p2 , 3p2, . . . , ⌊ ⌋p2 มที ้ังหมด

n
⌊ p2 ⌋ จำนวน

...

จำนวนที่หารดว้ ย pk ลงตวั ต้ังแต่ 1 ถงึ n เมอ่ื pk ≤ n คือ pk, 2pk, 3pk, . . . , ⌊ n ⌋pk
pk
n
มที ัง้ หมด ⌊ pk ⌋ จำนวน

เนอ่ื งจาก n! = 1 · 2 · 3 · . . . · (n − 1) · n

n
ดงั นน้ั เมอื่ นำ p หารจำนวนทางขวาตัวละหน่งึ ครง้ั จะได้ ⌊ ⌋ ครง้ั
p
n
และ เมื่อนำ p หารจำนวนทางขวาซ่ึงเป็นผลลัพธจ์ ากคร้งั แรก จะไดอ้ กี ⌊ p2 ⌋ ครั้ง

...

เม่ือนำ p หารจำนวนทางขวาตัวละครง้ั ไปเรอื่ ย ๆ จนไมส่ ามารถหารไดอ้ ีก จะไดจ้ ำนวนครง้ั ของ

การหารด้วย p ทัง้ หมด

⌊ n ⌋ + ⌊ n ⌋ + ⌊ n ⌋ + . . . = ∑∞ n ⌋
p p2 p3 ⌊ pk

k=1

∑∞ n
ดงั นัน้ เลขชก้ี ำลงั สงู สดุ ของ p ใน n คอื ⌊ pk ⌋

k=1

∑∞ n
นั่นคือ Ep(n!) = ⌊ pk ⌋

k=1

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

74 ทฤษฎีจำนวน

ตวั อย่างท่ี 3.5.4 (1) จงหา E3(80!)
(2) คา่ ของ 80! มี 0 ทัง้ หมดก่ตี วั

วธิ ีทำ (1) E3(80!) = ∑∞ 80 ⌋ = ⌊ 80⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ...
⌊ 3k 3 32 33 34

k=1
= 26 + 8 + 2 + 0

= 36

(2) พิจารณาวา่ มี 10 เกดิ ข้ึนกี่ครงั้ ใน 80! นัน่ คอื หา E2(80!) และ E5(80!) แลว้ เลอื กตวั ที่

มีคา่ นอ้ ย ดงั น้ี

E2(80!) = ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ +⌊ 80 ⌋ + ⌊ 80 ⌋ + . . .
2 22 23 24 25 26 27

= 40 + 20 + 10 + 5 + 2 + 1 + 0

= 78
80 80 80

E5(80!) = ⌊ 5 ⌋ + ⌊ 52 ⌋ + ⌊ 53 ⌋ + . . .
= 16 + 3 + 0

= 19
เน่ืองจาก 278 | 80! และ 519 | 80! ดังนนั้ 278 · 519 | 80!
ทำใหไ้ ดว้ า่ 1019 | 80!

นนั่ คอื 80! มี 0 ท้ังหมด 19 ตัว

จากทฤษฎบี ท 3.5.4 น้ี ทำให้ไดว้ ่า จำนวนเฉพาะ pi ซ่งึ pi ≤ n เป็นตัวประกอบของ

n! และสามารถหา Ep(n!) ซงึ่ pEpi (n!) เปน็ ตวั ประกอบของ n! ด้วย ทำใหส้ ามารถเขียน n!

i

ในรปู มาตรฐานได้ดงั น้ี

∑∞ n ∑∞ n ⌋ ∑∞ n ⌋
⌊ p1i ⌋⌊ pi2 ⌊ pki
n! = p2i=1 . . .
p1i=1 pki=1

เมื่อ p1 < p2 < · · · < pk เป็นจำนวนเฉพาะ และ pk มีค่ามากท่ีสุดที่ pk ≤ n ซ่งึ เราเรียก
รูปมาตรฐานน้ีว่า สูตรของเลอชอ็ งดร์ (Legendre f ormula)

ตัวอย่างท่ี 3.5.5 จงเขียน 30! ให้อย่ใู นรูปมาตรฐาน

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 3 ฟังกช์ นั ในทฤษฎีจำนวน 75

∑∞ n ∑∞ n ⌋ ∑∞ n ⌋
⌊ p1i ⌋⌊ p2i ⌊ pik
วิธที ำ จาก n! = p2i=1 . . .
p1i=1 pki=1

∑∞ 30 30 30 30 30 30
ถา้ p = 2 แลว้ ⌊ 2i ⌋ = ⌊ 2 ⌋ + ⌊ 22 ⌋ + ⌊ 23 ⌋ + ⌊ 24 ⌋ + ⌊ 25 ⌋ + . . .

i=1

= 15 + 7 + 3 + 1 + 0 = 26

∑∞ 30 30 30 30 30
ถ้า p = 3 แล้ว ⌊ 3i ⌋ = ⌊ 3 ⌋ + ⌊ 32 ⌋ + ⌊ 33 ⌋ + ⌊ 34 ⌋ + . . .

i=1

= 10 + 3 + 1 + 0 = 14

ถา้ p = 5 แลว้ ∑∞ 30 ⌋ = ⌊ 30⌋ + ⌊ 30 ⌋ + ⌊ 30 ⌋ + ...
⌊ 5i 5 52 53

i=1 =6+1+0=7

ถ้า p = 7 แล้ว ∑∞ 30 ⌋ = ⌊ 30⌋ + ⌊ 30 ⌋ + ...
⌊ 7i 7 72

i=1 =4+0=4

ถา้ p = 11 แลว้ ∑∞ 30 ⌋ = ⌊ 30⌋ + ⌊ 30 ⌋ + ...
⌊ 11i 11 112

i=1 =2+0=2

ถ้า p = 13 แล้ว ∑∞ 30 ⌋ = ⌊ 30⌋ + ⌊ 30 ⌋ + ...
⌊ 13i 13 132

i=1 =2+0=2

ถ้า p = 17, 19, 23, 29 แลว้ ∑∞ 30 ⌋ = 1
⌊ pi

i=1

ดงั นั้น 30! = 226 · 314 · 57 · 74 · 112 · 132 · 17 · 19 · 23 · 29

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

76 ทฤษฎจี ำนวน

แบบฝกึ หดั 3.5

(1) ข้อความตอ่ ไปนี้ จริงหรอื เทจ็

(1.1) ⌊1.5 + 1.7⌋ = ⌊1.5⌋ + ⌊1.7⌋

(1.2) ⌊1.8 + 2⌋ = ⌊1.8⌋ + ⌊2⌋

(1.3) ⌊8⌋ = ⌊8⌋
5 ⌊5⌋

(1.4) ⌊(3.5) · 2⌋ = ⌊3.5⌋⌊2⌋

(1.5) ⌊ ⌊3 · 2⌋ ⌋ = ⌊ 3 · 2 ⌋
44

(1.6) ⌊nx⌋ = ⌊n⌊x⌋⌋ เม่ือ x ∈ R, n ∈ N

(2) จงพสิ ูจน์บทแทรก 3.5.1

(3) จงพิสจู น์ทฤษฎบี ท 3.5.3 (2)

(4) จงหา E5(100!)
(5) จงหาจำนวนเต็ม n ≥ 1 ซึง่ E5(n!) = 100

(6) จงหา 100! มี 0 ทง้ั หมดกีต่ ัว

(7) จงเขียน 40! ในรูปมาตรฐาน

(8) จงหาเซตของ x ท่ี ทำให้

(8.1) ⌊x⌋ + ⌊x⌋ = ⌊2x⌋

(8.2) 3 + ⌊x⌋ = ⌊x + 3⌋

(9) ให้ x, y ∈ R จงพสิ ูจนว์ า่

(9.1) ⌊x⌋⌊y⌋ ≤ ⌊xy⌋

(9.2) ⌊x − y⌋ ≤ ⌊x⌋ − ⌊y⌋

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 3 ฟังก์ชนั ในทฤษฎีจำนวน 77

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

78 ทฤษฎจี ำนวน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทท่ี 4

สมภาค

บทน้เี ราได้ศึกษาถึงความหมายสมภาค ทฤษฎีบทสำคญั ของสมภาค ส่วนตกค้าง ระบบ
ส่วนตกค้างและระบบลดทอน วิธรี อนด้วย 9 และ 11 รวมทง้ั สมภาคเชิงเส้นและการหาผลเฉลย
ตลอดถึงการประยุกตส์ มภาค

4.1 สมภาค

สมภาค (congruence) เป็นเร่อื งการหารจำนวนเตม็ ในอีกรูปแบบหนง่ึ ในทฤษฎจี ำนวน
ซึง่ ปรากฎเม่ือ ปี ค.ศ. 1801 ในหนังสอื Disquisitiones Arithmeticae ของนกั คณิตศาสตร์
ช่อื เกาส์
บทนยิ าม 4.1.1 ให้ m ∈ N, a, b ∈ Z จะกล่าววา่ a สมภาคกับ b มอดุโล m
เขยี นแทนดว้ ย a ≡ b(mod m) กต็ ่อเม่อื m | (a − b) และถา้ m (a − b) จะกลา่ วว่า a

ไมส่ มภาคกับ b มอดุโล m เขยี นแทนด้วย a ̸≡ b(mod m)

ตวั อยา่ งท่ี 4.1.1 (1) 7 ≡ 2(mod 5) เพราะวา่ 5 | (7 − 2)
(2) 25 ≢ 2(mod 4) เพราะวา่ 4 (25 − 2)
(3) −25 ̸≡ −2(mod 3) เพราะวา่ 3 (−25 + 2)
(4) a ≡ b(mod 1) สำหรบั a, b ∈ Z เพราะวา่ 1 | (a − b)
(5) a ≡ a(mod m) สำหรบั a ∈ Z เพราะวา่ m | (a − a) หรือ m | 0
(6) 4a ̸≡ 9(mod 512) สำหรบั a ∈ Z เพราะวา่ 512 (4a − 9)

ตวั อยา่ งท่ี 4.1.2 ถา้ a ≡ b(mod m) และ c ∈ Z แล้ว จงแสดงวา่
(1) a + c ≡ b + c(mod m)
(2) ac ≡ bc(mod m)

80 ทฤษฎจี ำนวน
พสิ จู น์ (1)
a ≡ b(mod m) ⇒ m | (a − b) จากบทนิยาม 4.1.1
(2) ⇒ a − b = km, ∃ k ∈ Z
⇒ (a − b) + (c − c) = km
⇒ (a + c) − (b + c) = km
⇒ m | (a + c) − (b + c)
⇒ a + c ≡ b + c(mod m)

a ≡ b(mod m) ⇒ m | (a − b)
⇒ a − b = lm, ∃ l ∈ Z
⇒ (a − b)c = (lm)c
⇒ (ac) − (bc) = (lc)m
⇒ m | (ac) − (bc)
⇒ ac ≡ bc(mod m)

ตัวอยา่ งท่ี 4.1.3 เนอ่ื งจาก 14 ≡ 8(mod 6) ดังน้ัน
(1) 17 = 14 + 3 ≡ 8 + 3 = 11(mod 6)
(2) 11 = 14 − 3 ≡ 8 − 3 = 5(mod 6)
(3) 28 = (14)(2) ≡ (8)(2) = 16(mod 6)
แต่
(4) 7 = 14 ÷ 2 ≢ 8 ÷ 2 = 4(mod 6)

หมายเหตุ 4.1.1 (1) a ≡ b(mod m) ก็ตอ่ เมื่อ a และ b หารด้วย m แล้วเหลอื เศษเทา่ กัน

(2) เน่ืองจาก m | (a−b) ก็ตอ่ เม่ือ −m | (a−b) ดังนนั้ จึงจะไม่กลา่ วถึง m ทเ่ี ป็นจำนวนเตม็ ลบ

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 4 สมภาค 81

ทฤษฎีบท 4.1.1 ให้ m ∈ N และ a, b, c, d, x, y ∈ Z จะได้ว่า

(1) ขอ้ ความตอ่ ไปนส้ี มมลู กนั

(1.1) a ≡ b(mod m)
(1.2) b ≡ a(mod m)
(1.3) a − b ≡ 0(mod m)

(2) ถา้ a ≡ b(mod m) และ b ≡ c(mod m) แลว้ a ≡ c(mod m)

(3) ถา้ a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) แล้ว ax + cy ≡ bx + dy(mod m)

(4) ถ้า a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) แล้ว ac ≡ bd(mod m)

(5) ถา้ a ≡ b(mod m) และ d | m, d > 0 แล้ว a ≡ b(mod d)

พสิ จู น์ (1) (1.1) ⇒ (1.2) ให้ a ≡ b(mod m) จากบทนยิ าม 4.1.1 จะได้วา่ m | (a − b)
และจากบทนยิ าม 2.1.1 จะได้วา่ มี k ∈ Z ซึ่ง a − b = mk ดงั นัน้ b − a = m(−k)
แล้วจะไดว้ ่า m | (b − a) นนั่ คอื b ≡ a(mod m)

(1.2) ⇒ (1.3) ให้ b ≡ a(mod m) จากบทนยิ าม 4.1.1 จะไดว้ า่ m | (b − a)
และจากบทนยิ าม 2.1.1 จะไดว้ ่า มี l ∈ Z ซง่ึ b − a = ml ดังนนั้ a − b = m(−l)
แล้วจะไดว้ า่ m | (a − b) − 0 ดังนั้น m | (a − b) นั่นคือ a − b ≡ 0(mod m)

(1.3) ⇒ (1.1) ให้ a−b ≡ 0(mod m) จากบทนยิ าม 4.1.1 จะได้ว่า m | (a−b)−0
ดังน้ัน m | (a − b) น่นั คือ a ≡ b(mod m)

(3)

a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) ⇒ m | (a − b) และ m | (c − d)
⇒ m | (a − b)x และ m | (c − d)y
⇒ m | (a − b)x + (c − d)y
⇒ m | (ax + cy) − (bx + dy)
⇒ ax + cy ≡ bx + dy(mod m)

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

82 ทฤษฎจี ำนวน

(5) ให้ a ≡ b(mod m) และ d | m, d > 0 จะไดว้ ่า m | (a − b) และ d | m
จากทฤษฎบี ท 2.1.1 (2) จะได้ว่ ่า d | (a − b) ดงั น้ัน a ≡ b(mod d)

จากตัวอยา่ ง 4.1.1 (5) และทฤษฎบี ท 4.1.1 (1) ข้อ (1.1), (1.2), และ (2) จะไดว้ า่
สมภาคมสี มบัตสิ ะท้อน (ref lexive) สมบตั สิ มมาตร (symmetric) และสมบัติถ่ายทอด (tran
sitive) ตามลำดับ ดังน้ัน สมภาคเป็นความสมั พันธ์สมมลู บน Z (equivalent relation on
Z)

ตวั อยา่ งที่ 4.1.4 จงหาเศษจากการหาร ตอ่ ไปน้ี
(1) 5110 หารดว้ ย 6
(2) 220 − 1 หารด้วย 41
(3) 710 หารดว้ ย 51

วธิ ีทำ (1) เนอื่ งจาก 5 ≡ −1(mod 6) ดังนัน้ จากทฤษฎบี ท 4.1.1 (4) จะได้วา่
5110 ≡ (−1)110(mod 6) ดงั นนั้ 5110 ≡ 1(mod 6)

(2) เนือ่ งจาก 25 ≡ −9(mod 41) จากทฤษฎบี ท 4.1.1 (4) จะไดว้ า่
(25)4 ≡ (−9)4(mod 41) นัน่ คอื 220 ≡ (81)(81)(mod 41)
เน่ืองจาก 81 ≡ −1(mod 41) และจากทฤษฎีบท 4.1.1 (4)
จะไดว้ ่า (81)(81) ≡ (−1)(−1)(mod 41)
จากทฤษฎีบท 4.1.1 (2) จะได้ว่า 220 ≡ 1(mod 41)
ดงั นนั้ 41 หาร 220 − 1 ไมม่ ีเศษ นนั่ คอื 41 | 220 − 1

(3) เนอ่ื งจาก 72 = 49 ≡ −2(mod 51) จะไดว้ ่า (72)5 ≡ (−2)5(mod 51)
ดงั นนั้ 710 = (72)5 ≡ (−2)5 = −32(mod 51)
เน่ืองจาก −32 ≡ 19(mod 51) และจากทฤษฎีบท 4.1.1 (2)
จะไดว้ ่า 710 ≡ 19(mod 51)
น่ันคือ 51 หาร 710 เหลือเศษ 19

ตัวอย่างที่ 4.1.5 จงหาเศษจากการหาร (32, 517)(5, 328) ดว้ ย 14

วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก 32, 517 ≡ 9 (mod 14)
และ 5, 328 ≡ 8 (mod 14)

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมภาค 83

จาก ทฤษฎบี ท 4.1.1(4) จะได้วา่
(32, 517)(5, 328) ≡ (9)(8) = 72 (mod 14)

เน่ืองจาก 72 ≡ 2 (mod 14) และ จาก ทฤษฎบี ท 4.1.1 (2)
ดงั นั้น (32, 517)(5, 328) ≡ 2 (mod 14)
น่นั คอื (32, 517)(5, 328) หารดว้ ย 14 เหลอื เศษ 2

ตัวอย่างท่ี 4.1.6 จงหาเศษจากการหาร (375)2100 − 3587 ดว้ ย 6

วธิ ที ำ เน่อื งจาก 375 ≡ 3 (mod 6)
2100 = (25)20 = 3220 ≡ 220 = (25)4 = 324 ≡ 24 = 16 ≡ 4 (mod 6)

และ 35 ≡ −1 (mod 6)
แล้ว 3587 ≡ (−1)87 = −1 (mod 6)
ดังนน้ั (375)2100 − 3587 ≡ (3)(4) − (−1) = 13 ≡ 1 (mod 6)
นั้นคือ (375)2100 − 3587 หารดว้ ย 6เหลอื เศษ1

ตัวอย่างที่ 4.1.7 ให้ n หารดว้ ย 8 เหลือเศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n3 + 5n ดว้ ย 8

วิธที ำ เนือ่ งจาก n ≡ 5 (mod 8)
ดงั นน้ั n3 ≡ 53 = (25)(5) ≡ (1)(5) = 5 (mod 8)
และ 5n = (5)(5) = 25 ≡ 1 (mod 8)
จะได้ว่า n3 + 5n ≡ 5 + 1 = 6 (mod 8)
นั่นคอื n3 + 5n หารด้วย 8 เหลอื เศษ 6

ตัวอย่างที่ 4.1.8 จงพสิ จู น์วา่ N = n(n + 1)(2n + 1) หารดว้ ย 6 ลงตวั สำหรับแตล่ ะ
จำนวนเตม็ n

พสิ จู น์ เนื่องจาก n สมภาคในมอดโุ ล 6 ดังนน้ั n ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
ถ้า n = 0 แล้ว N = (0)(1)(1) = 0 ≡ 0 (mod 6)
ถา้ n = 1 แล้ว N = (1)(2)(3) = 6 ≡ 0 (mod 6)
ถ้า n = 2 แลว้ N = (2)(3)(5) = (6)(5) ≡ 0 (mod 6)
ถ้า n = 3 แลว้ N = (3)(4)(7) = (12)(7) ≡ 0 (mod 6)
ถา้ n = 4 แลว้ N = (4)(5)(9) = (36)(5) ≡ 0 (mod 6)

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

84 ทฤษฎีจำนวน

ถา้ n = 5 แล้ว N = (5)(6)(11) = (5)(6)(5) ≡ 0 (mod 6)
จะเห็นว่าแตล่ ะกรณี N ≡ 0 (mod 6) ดงั นนั้ 6 | N
นั่นคอื N = n(n + 1)(2n + 1) หารด้วย 6 ลงตัว สำหรับแต่ละจำนวนเตม็ n

ทฤษฎีบท 4.1.2 ให้ m ∈ N และ a, x, y ∈ Z จะไดว้ า่

(1) ax ≡ ay(mod m) กต็ ่อเม่อื x ≡ y(mod m
)
(a, m)

(2) ถา้ ax ≡ ay(mod m) และ (a, m) = 1 แล้ว x ≡ y(mod m)

(3) x ≡ y(mod mi) สำหรบั i = 1, 2, . . . , r กต็ ่อเม่อื x ≡ y(mod [m1, m2, . . . , mr])

พสิ ูจน์ (1) ให้ ax ≡ ay(mod m) จะได้วา่ ax − ay = mk สำหรบั บาง k ∈ Z

ax − ay mk m | a(x − y)
ดังน้ัน = แล้วจะไดว้ ่า
(a, m) (a, m) (a, m) (a, m)
am
จากบทแทรก 2.2.2 จะไดว้ ่า ( , ) = 1 ดังนน้ั จากทฤษฎบี ท 2.2.5
(a, m) (a, m)
m m
จะไดว้ ่า | (x − y) นัน่ คอื x ≡ y(mod )
(a, m) (a, m)
m
สำหรับการพิสจู นบ์ ทกลบั ของทฤษฎี ให้ x ≡ y(mod )
(a, m)
จะไดว้ ่า m | (x − y) ดังนน้ั m | (a, m)(x − y)
(a, m)

จากทฤษฎบี ท 2.1.1 (1) จะไดว้ ่า m | a(x − y) นัน่ คือ ax ≡ ay(mod m)

(2) ให้ ax ≡ ay(mod m) และ (a, m) = 1

จาก (1) จะไดว้ า่ x ≡ y(mod m นนั่ คือ x ≡ y(mod m)
)

(a, m)

(3) ให้ x ≡ y(mod mi) สำหรับ i = 1, 2, . . . , r

จะไดว้ ่า mi | (x − y) สำหรบั i = 1, 2, . . . , r

ดังนน้ั x − y เปน็ ตัวคูณรว่ มของ m1, m2, . . . , mr

จากทฤษฎีบท 2.3.2 จะได้ว่า [m1, m2, . . . , mr] | (x − y)

นัน่ คือ x ≡ y(mod [m1, m2, . . . , mr])

สำหรับการพสิ ูจน์บทกลบั ของทฤษฎี ให้ x ≡ y(mod [m1, m2, . . . , mr])

จะไดว้ ่า [m1, m2, . . . , mr] | (x − y)

เน่ืองจาก mi | [m1, m2, . . . , mr] สำหรับ i = 1, 2, . . . , r

ดงั นั้น mi | x − y สำหรับ i = 1, 2, . . . , r

นั่นคือ x ≡ y(mod mi) สำหรบั i = 1, 2, . . . , r

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 4 สมภาค 85

ตวั อยา่ งที่ 4.1.9 จงเขยี นสมภาคตอ่ ไปนใ้ี หอ้ ยใู่ นรปู ง่ายขึ้น
(1) 69 ≡ 75(mod 6)
(2) 161 ≡ 77(mod 12)
(3) 27 ≡ 3(mod 2), 27 ≡ 3(mod 3), 27 ≡ 3(mod 4)

วธิ ที ำ (1) เนอ่ื งจาก 69 ≡ 75(mod 6) เขยี นเป็น 3(23) ≡ 3(25)(mod 6) และ (3, 6) = 3
ดงั นั้น จากทฤษฎบี ท 4.1.2 (1) จะไดว้ ่า 23 ≡ 25(mod 2)

(2) เนือ่ งจาก 161 ≡ 77(mod 12) เขียนเป็น 7(23) ≡ 7(11)(mod 12) และ
(7, 12) = 1 ดงั น้นั จากทฤษฎบี ท 4.1.2 (2) จะได้ว่า 23 ≡ 11(mod 12)

(3) เน่อื งจาก 27 ≡ 3(mod 2), 27 ≡ 3(mod 3), 27 ≡ 3(mod 4)
ดงั นนั้ จากทฤษฎบี ท 4.1.2 (3) จะได้วา่ 27 ≡ 3(mod [2, 3, 4])
ดงั นน้ั 27 ≡ 3(mod 12) และจากทฤษฎบี ท 4.1.2
จะไดว้ ่า 9 ≡ 1(mod 4)

ทฤษฎบี ท 4.1.3 ให้ a, b ∈ Z และ m ∈ N จะได้วา่ a ≡ b(mod m) กต็ ่อเม่อื a และ b
หารดว้ ย m แล้วไดเ้ ศษเทา่ กัน

พิสจู น์ ให้ a ≡ b(mod m) จะไดว้ า่ m | (a − b) ดังนนั้ a − b = mt สำหรับบาง t ∈ Z
จากขน้ั ตอนวิธีการหาร จะได้วา่ a = mq1 + r1, 0 ≤ r1 < m และ
b = mq2 + r2, 0 ≤ r2 < m ดังน้นั mt = a − b = m(q1 − q2) + (r1 − r2)
ทำให้ได้ m(t − (q1 − q2)) = r1 − r2 นัน่ คอื

m | (r1 − r2) (∗)

แต่ r1 < m และ r2 < m ดงั นั้น

r1 − r2 < m (∗∗)

จาก (∗) และ (∗∗) จะไดว้ ่า r1 − r2 = 0 ดังนน้ั r1 = r2 น่นั คือ a และ b หารดว้ ย m
แล้วได้เศษเท่ากัน

สำหรับการพิสูจนบ์ ทกลับของทฤษฎี ให้ a และ b หารด้วย m แลว้ ไดเ้ ศษเทา่ กนั
คือ r ดงั นนั้ a = mq1 + r, 0 ≤ r < m และ b = mq2 + r, 0 ≤ r < m
จะไดว้ ่า a − b = m(q1 − q2) แสดงวา่ m | (a − b) นนั่ คือ a ≡ b(mod m)

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

86 ทฤษฎีจำนวน

ตัวอย่างท่ี 4.1.10 จงหาเศษจากการหาร ต่อไปนี้
(1) 5110 หารด้วย 6
(2) 1! + 2! + 3! + 4! + . . . + 99! + 100! หารดว้ ย 12

วธิ ีทำ (1) เนอื่ งจาก 5 ≡ −1(mod 6) ดังนนั้ จากทฤษฎีบท 4.1.1 (4)
จะได้ว่า 5110 ≡ (−1)110 = 1(mod 6)

เน่อื งจาก 1 หารดว้ ย 6 ได้เศษ 1 และ จากทฤษฎบี ท 4.1.3 จะไดว้ า่ 5110 หารดว้ ย
6 ไดเ้ ศษ 1

(2) เน่ืองจาก 4! = 24 ≡ 0(mod 12) ดังนั้น สำหรับ k ≥ 4 จะไดว้ า่

k! ≡ 4! · 5 · 6 · . . . k ≡ 0(mod 12)

ดงั น้ัน
1! + 2! + 3! + 4! + . . . + 99! + 100! ≡ 1! + 2! + 3! + 0 + 0 + . . . + 0 ≡ 9(mod 12)
นน่ั คอื เศษท่ีไดจ้ ากการหาร 1! + 2! + 3! + 4! + . . . + 99! + 100! ดว้ ย 12 คอื 9

แบบฝกึ หัด 4.1

(1) พิจารณาข้อความตอ่ ไปนว้ี า่ จริงหรอื เทจ็ พร้อมบอกเหตผุ ล
(1.1) 385 ≡ 322(mod 3)
(1.2) −385 ≡ −322(mod 3)
(1.3) ถา้ 12x ≡ 15(mod 35) แล้ว 4x ≡ 5(mod 7)
(1.4) ถา้ x ≡ 3(mod 7) แล้ว (x, 7) = 1
(1.5) ถ้า x ≡ 6(mod 12) แลว้ (x, 12) = 6
(1.6) ถา้ 3x ≡ 3y(mod 17) แลว้ x ≡ y(mod 17)
(1.7) ถา้ 5x ≡ y(mod 6) แล้ว 15x ≡ 3y(mod 18)
(1.8) ถา้ 12x ≡ 12y(mod 15) แลว้ x ≡ y(mod 5)
(1.9) ถ้า x ≡ 73(mod 75) แลว้ x mod 75 = 73
(1.10) ไม่มจี ำนวนเต็ม x ซงึ่ 12x ≡ 7(mod 33)

(2) จงใช้ทฤษฎีบทของสมภาคแสดงวา่ 15 | (17100 − 1)

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 4 สมภาค 87

(3) จงแสดงวา่ a เปน็ จำนวนคู่ ก็ต่อเมือ่ a ≡ 0(mod 2) และ a เป็นจำนวนค่ี กต็ ่อเมอื่
a ≡ 1(mod 2)
(4) จงพิสูจน์ทฤษฎีบท 4.1.1 (2) และ (4)
(5) จงหาเศษจากการหารต่อไปนี้

(5.1) 211 หารด้วย 23
(5.2) 5099 หารดว้ ย 7
(5.3) 371992 หารด้วย 17
(5.4) 15 + 25 + 35 + . . . + 995 + 1005 หารดว้ ย 4
(6) ให้ a, b, c ∈ Z และ m ∈ N จงพสิ จู นว์ ่า
(6.1) a ≡ b(mod m) กต็ อ่ เมื่อ a + c ≡ b + c(mod m)
(6.2) a ≡ b(mod m) ก็ต่อเมือ่ a − c ≡ b − c(mod m)
(6.3) ถา้ a ≡ b(mod m) แลว้ ac ≡ bc(mod m)
(6.4) ถ้า a ≡ b(mod m) แล้ว ac ≡ bc(mod mc)
(7) ให้ a, b, c, d ∈ Z และ m ∈ N โดยที่ a ≡ b(mod m) และ c ≡ d(mod m) จงพิสจู น์วา่
a + c ≡ b + d(mod m)
(8) ให้ a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยท่ี m เปน็ จำนวนเฉพาะ จงพิสจู นว์ ่า a ≡ 0(mod m)
หรอื b ≡ 0(mod m)
(9) จากทฤษฎบี ท 4.1.1 (1) จงพสิ ูจน์วา่ ถา้ a ≡ b(mod m) และ b ≡ a(mod m) แลว้
a ≡ a(mod m)
(10) จงพสิ จู น์ว่าบทกลบั ของทฤษฎีบท 4.1.1 (3), (4) ไม่เป็นจริงโดยการยกตัวอยา่ งคา้ น
(11) ให้ n หารดว้ ย 9 เหลอื เศษ 5 จงหาเศษจากการหาร n(n2 + 7n − 2) ด้วย 9
(12) จงพิสูจน์วา่ n5 − n หารด้วย 5 ลงตวั สำหรบั แต่ละจำนวนเต็ม n
(13) จงพสิ ูจน์วา่ n(n2 + 5) หารด้วย 6 ลงตัว สำหรบั แต่ละจำนวนเตม็ n
(14) จงพิสูจน์ว่า ผลคณู ของจำนวนเต็มสองจำนวนทอ่ี ยู่ตดิ กนั หารดว้ ย 2 ลงตวั
(15) จงพสิ ูจน์ว่า ผลคณู ของจำนวนเตม็ สามจำนวนท่ีอยูต่ ิดกัน หารด้วย 3 ลงตัว

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

88 ทฤษฎจี ำนวน

4.2 สว่ นตกคา้ งและระบบลดทอน

บทนิยาม 4.2.1 ถ้า a ≡ r(mod m) แลว้ จะเรยี ก r วา่ เปน็ ส่วนตกค้าง (residue) ของ
a มอดโุ ล m

เรยี กเซตของจำนวนเต็ม A = {r1, r2, . . . , rm} วา่ เปน็ ระบบส่วนตกค้างบริบูรณ์
(complete residue system) มอดโุ ล m กต็ อ่ เมื่อ สำหรบั x ∈ Z ใด ๆ จะมี ri ∈ A
เพยี งตัวเดยี ว ทท่ี ำให้ x ≡ ri(mod m)

และเรยี กช้ันสมมูลของ ri คอื {x | x ∈ Z ซง่ึ x ≡ ri(mod m)} นีว้ ่า ชน้ั ส่วนตกคา้ ง
(residue class) ของ ri มอดโุ ล m

หมายเหตุ 4.2.1 ให้ q, r, x ∈ Z, m ∈ N และ x = mq + r จะไดว้ ่า
(1) x ≡ r(mod m) และ r เป็นสว่ นตกค้างของ x มอดุโล m
(2) x = mq + r เมื่อ 0 ≤ r < m แล้วจะเรยี ก r วา่ ส่วนตกคา้ งค่าน้อยสุด
(the least residue) ของ x มอดโุ ล m

ดังนน้ั จะเรียก {0, 1, 2, . . . , m − 1} ว่า ระบบส่วนตกค้างคา่ น้อยสุด (the least
residue system) มอดุโล m

ตัวอยา่ งท่ี 4.2.1 จงหา
(1) ส่วนตกคา้ งของ 9 มอดุโล 4 มา 5 จำนวน
(2) ชน้ั ส่วนตกค้างของ 1 มอดโุ ล 4
(3) ชนั้ สว่ นตกคา้ งของ 2 มอดุโล 4
(4) ระบบสว่ นตกค้างบรบิ รู ณ์ มอดโุ ล 4

วิธที ำ (1) เน่อื งจาก 9 ≡ 1(mod 4), 9 ≡ −3(mod 4), 9 ≡ −7(mod 4), 9 ≡ 5(mod 4)
และ 9 ≡ 9(mod 4) ดังนัน้ 1, −3, −7, 5, 9 เป็นสว่ นตกคา้ งของ 9 มอดโุ ล 4

(2) ช้นั ส่วนตกคา้ งของ 1 มอดโุ ล 4 คอื

{x | x ≡ 1(mod 4)} = {. . . , −7, −3, 1, 5, 9 . . .} = {4k + 1 | k ∈ Z}

ซึ่งจำนวนในช้ันน้ี เมือ่ หารด้วย 4 จะเหลอื เศษ 1 เท่ากนั

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 4 สมภาค 89

(3) ชนั้ ของสว่ นตกค้างของ 2 มอดุโล 4 คือ

{x | x ≡ 2(mod 4)} = {. . . , −6, −2, 2, 6, 10, . . .} = {4k + 2 | k ∈ Z}

ซ่ึงจำนวนในชนั้ น้ี เมอ่ื หารดว้ ย 4 จะเหลือเศษ 2 เทา่ กนั
(4) วิธหี าระบบสว่ นตกคา้ งบริบูรณ์ มอดโุ ล 4 ทงี่ ่ายที่สุดคอื เขยี นเซตท่ีมีสมาชกิ เปน็

จำนวนเรยี งกัน 4 จำนวน เช่น {1, 2, 3, 4}, {2, 3, 4, 5}, {8, 9, 10, 11} เป็นตน้

จากหมายเหตุ 4.2.1 (2) ทำใหไ้ ด้วา่ ระบบส่วนตกคา้ งค่าน้อยสุด เปน็ ระบบสว่ นตกคา้ ง
บริบรู ณ์ น่ันคือ จะมี r ∈ {0, 1, 2, . . . , m−1} เพยี งจำนวนเดยี วเทา่ นนั้ ท่ีเปน็ ส่วนตกค้างของ
x มอดุโล m ซ่งึ สามารถพิสจู นไ์ ด้ ดงั น้ี

ให้ x ∈ Z จากทฤษฎบี ท 2.2.1 ขัน้ ตอนวิธีการหาร จะมี q, r ∈ Z เพยี งคเู่ ดียว ซึ่ง

x = mq + r, 0 ≤ r < m

ดังนน้ั x − r = mq, โดยท่ี r = 0, 1, 2, . . . , m − 1 เพียงจำนวนเดียวเท่าน้ัน
น่นั คอื x ≡ r(mod m) โดยท่ี r = 0, 1, 2, . . . , m − 1 เพยี งจำนวนเดยี ว

ตวั อย่างที่ 4.2.2 จงหา
(1) ส่วนตกคา้ งค่าน้อยสุดของ 9, 10, 11, 12, 13, 14 มอดโุ ล 4
(2) ระบบส่วนตกคา้ งค่านอ้ ยสดุ มอดโุ ล 4

วิธที ำ (1) สว่ นตกคา้ งค่านอ้ ยสดุ ของ 9 มอดโุ ล 4 คอื 1
ส่วนตกคา้ งคา่ น้อยสดุ ของ 10 มอดุโล 4 คือ 2
สว่ นตกคา้ งคา่ นอ้ ยสุดของ 11 มอดุโล 4 คอื 3
ส่วนตกค้างคา่ นอ้ ยสุดของ 12 มอดโุ ล 4 คือ 0
ส่วนตกคา้ งค่านอ้ ยสดุ ของ 13 มอดุโล 4 คือ 1
สว่ นตกคา้ งค่าน้อยสดุ ของ 14 มอดุโล 4 คอื 2
(2) เซตของส่วนตกคา้ งคา่ นอ้ ยสดุ มอดโุ ล 4 คอื {0, 1, 2, 3}

ตวั อย่างท่ี 4.2.3 ใน มอดโุ ล 4
(1) ให้ A1 = {−7, −2, 11, 24} จะเห็นวา่ −7 ≡ 1(mod 4), −2 ≡ 2(mod 4),
11 ≡ 3(mod 4) และ 24 ≡ 0(mod 4) ดงั นน้ั A1 เปน็ ระบบสว่ นตกคา้ งบริบูรณ ม์ อดโุ ล 4

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

90 ทฤษฎีจำนวน

(2) A2 = {0, 1, 2, 3} เป็นระบบส่วนตกค้างบรบิ รู ณ์ มอดุโล 4
(3) A3 = {3, 4, 5, 6} เป็นระบบสว่ นตกค้างบรบิ ูรณ์ มอดุโล 4
(4) A4 = {0, 2, 4, 6} ไม่เปน็ ระบบส่วนตกค้างบรบิ รู ณ์ มอดุโล 4 เพราะวา่ 2, 6 ∈ A4 ซึ่ง
10 ≡ 2(mod 4) และ 10 ≡ 6(mod 4) (น่นั คอื มสี ่วนตกค้าง r ของ 10 มอดโุ ล 4 ใน A4
มากกวา่ หนงึ่ ตวั )

ทฤษฎบี ท 4.2.1 ถ้า A = {r1, r2, . . . , rm} เปน็ ระบบส่วนตกค้างบรบิ ูรณ์ มอดโุ ล m
แลว้ ri ≢ rj(mod m) สำหรบั ri, rj ∈ A, i ̸= j

พิสูจน์ สมมตวิ ่า มี ri, rj ∈ A ซง่ึ ri ≡ rj(mod m) จากขัน้ ตอนวธิ กี ารหาร จะไดว้ า่

ri = mqi + ti, 0 ≤ ti < m

ดังนั้น ti ∈ {0, 1, 2, . . . , m − 1} และ ri ≡ ti(mod m) และสำหรับ a ∈ Z ใด ๆ จะไดว้ ่า
a ≡ r(mod m), r ∈ {0, 1, 2, . . . , m −1} ดังน้นั จะมี a ∈ A ซึ่ง a ≡ ri(mod m) สำหรับ
ri ∈ A และจากที่สมมติ จะไดว้ ่า a ≡ rj(mod m) ซึง่ เกดิ ขอ้ ขัดแย้งกับสมบตั ิของระบบ
ส่วนตกคา้ งบรบิ รู ณ์ มอดโุ ล m สรุปไดว้ า่ ri ≢ rj(mod m)

จากตัวอย่าง 4.2.3 (4) ใช้ประพจนแ์ ยง้ สลบั ที่ (contrapositive) ของทฤษฎีบท 4.2.1
จะไดว้ ่า มี 2, 6 ∈ A4 ซึง่ 6 ≡ 2(mod 4) ดังน้นั A4 ไมเ่ ปน็ ระบบส่วนตกค้างบรบิ ูรณ์ มอดโุ ล
4 และเรามีวธิ สี รา้ งระบบส่วนตกคา้ งบริบูรณ์ มอดุโล m ได้จากทฤษฎีตอ่ ไปน้ี
ทฤษฎบี ท 4.2.2 ถ้า A = {r1, r2, . . . , rm} เปน็ ระบบสว่ นตกคา้ งบริบรู ณ์ มอดโุ ล m
และ (a, m) = 1 แลว้ {ar1, ar2, . . . , arm} เปน็ ระบบส่วนตกค้างบริบรู ณ์ มอดุโล m

พิสจู น์ สมมตวิ า่ {ar1, ar2, . . . , arm} ไมเ่ ปน็ ระบบส่วนตกค้างบริบรู ณ์ มอดโุ ล m และ
(a, m) = 1 ดงั นั้น จะมี i ̸= j ซ่ึง ari ≡ arj(mod m) เนือ่ งจาก (a, m) = 1 จะได้วา่
ri ≡ rj(mod m) ท่ี i ≠ j ซึง่ เกิดขอ้ ขัดแย้งกับที่ว่า A เป็นระบบสว่ นตกคา้ งบรบิ ูรณ์ มอดุโล
m น่ันคือ {ar1, ar2, . . . , arm} เปน็ ระบบสว่ นตกคา้ งบริบรู ณ์ มอดุโล m

ตวั อยา่ งที่ 4.2.4 เนื่องจาก {0, 1, 2, 3} เปน็ ระบบสว่ นตกค้างบริบูรณ์ มอดโุ ล 4 และ
(5, 4) = 1 ดงั นน้ั {0, 5, 10, 15} เป็นระบบสว่ นตกคา้ งบรบิ รู ณ์ มอดโุ ล 4

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 4 สมภาค 91

บทนยิ าม 4.2.2 ให้ A = {r1, r2, . . . , rm} และ m ∈ N จะเรียก A ว่า ระบบลดทอน
ส่วนตกคา้ ง (reduced residue system) มอดโุ ล m กต็ ่อเมอ่ื

(1) (ri, m) = 1 สำหรับแตล่ ะ ri ∈ A
(2) ri ̸≡ rj(mod m) สำหรบั แต่ละ ri, rj ∈ A ซ่งึ i ̸= j
(3) สำหรับ a ∈ Z ใด ๆ ซึ่ง (a, m) = 1 จะมี ri ∈ A ทท่ี ำให้ a ≡ ri(mod m)

ตัวอยา่ งท่ี 4.2.5 เซตต่อไปนี้ เป็นระบบลดทอนส่วนตกค้าง มอดโุ ล 4 หรอื ไม่
(1) A = {1, 3}
(2) B = {11, 1, −1}
(3) C = {−1}

วธิ ีทำ (1) เน่ืองจาก
1) (1, 4) = 1 และ (3, 4) = 1
2) 1 ≢ 3(mod 4)
3) สำหรบั a ∈ Z ซงึ่ (a, 4) = 1 จะเห็นวา่ เม่อื t ∈ Z,

(4t, 4) ≠ 1, (4t + 2, 4) ̸= 1

ดังน้นั a ̸≡ 0(mod 4) และ a ̸≡ 2(mod 4)
นนั่ คือ a ≡ 1(mod 4) หรอื a ≡ 3(mod 4)
สรุปได้ว่า A เปน็ ระบบลดทอนส่วนตกค้าง มอดุโล 4
(2) เนื่องจาก มี −1, 11 ∈ B ซงึ่ −1 ≡ 11(mod 4) ดังนนั้
จากบทนยิ าม 4.2.2 (2) ทำให้ B ไม่เปน็ ระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดโุ ล 4
(3) เนอ่ื งจาก เมื่อ a = 5 จะเหน็ วา่ (5, 4) = 1 แต่ 5 ̸≡ −1(mod 4) ดังนนั้
จากบทนยิ าม 4.2.2 (3) ทำให้ C ไมเ่ ปน็ ระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดุโล 4

จากทฤษฎีบท 4.1.2 (1), (2) และโดยบทนิยามของ ϕ(m) ทำให้ไดว้ า่ ระบบลดทอน
ส่วนตกค้าง มอดุโล m คือเซตทีบ่ รรจชุ ัน้ สว่ นตกค้างของมอดโุ ล m เพยี ง ϕ(m) จำนวน

ตวั อยา่ งท่ี 4.2.6 ในมอดโุ ล 4 เนื่องจาก ϕ(4) = 2 ดงั นนั้ ระบบลดทอนส่วนตกคา้ งมอดโุ ล
4 จะเปน็ เซตทบี่ รรจุชั้นส่วนตกค้าง ของมอดุโล 4 เพียง 2 จำนวน เช่น {1, 3} เป็นต้น

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

92 ทฤษฎจี ำนวน

ทฤษฎีบท 4.2.3 ถา้ A1 และ A2 เปน็ ระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดโุ ล m แล้ว A1 และ
A2 มีจำนวนสมาชกิ เทา่ กัน

พสิ จู น์ ให้ A1 = {r1, r2, . . . , rl} และ A2 = {s1, s2, . . . , st}
ดงั นน้ั (ri, m) = 1, i = 1, 2, . . . , l และ ri ̸≡ rh(mod m), i ̸= h
และ (sj, m) = 1, j = 1, 2, . . . , t และ sj ̸≡ sq(mod m), j ≠ q
จาก A2 เป็นระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดุโล m ดงั นนั้ แตล่ ะ ri จะมี sj เพยี งตัวเดยี ว
ทที่ ำให้ ri ≡ sj(mod m) ถา้ l > t แล้วจะมี ra, rb ∈ A1 และ sk ∈ A2 ทที่ ำให้

ra ≡ sk(mod m) และ rb ≡ sk(mod m)

ดังนน้ั ra ≡ rb(mod m) ซึ่งเกดิ ข้อขัดแย้งกบั ทวี่ า่ ri ≢ rp(mod m) และถา้ l < t แล้ว
จะทำใหเ้ กดิ ข้อขัดแยง้ ไดใ้ นทำนองเดียวกัน ดังนน้ั l = t นน่ั คือ A1 และ A2 มจี ำนวนสมาชกิ
เทา่ กนั

จากบทนยิ าม 4.2.2 และทฤษฎบี ท 4.2.3 นอกจากทำให้เราทราบวา่ ระบบลดทอน
ของส่วนตกคา้ ง มอดโุ ล m สองระบบจะมีจำนวนสมาชิกเท่ากันแล้ว ยังสามารถสรา้ งระบบ
ลดทอนสว่ นตกค้าง มอดโุ ล m ไดอ้ ีกมากมาย เชน่ {1, 3} เปน็ ระบบลดทอนของสว่ นตกค้าง
มอดุโล 4 และ {−3, −1}, {5, 7}, {−3, 7} . . . ตา่ งกเ็ ป็นระบบลดทอนส่วนตกคา้ ง มอดโุ ล
4

แบบฝึกหัด 4.2

(1) จงหา
(1.1) สว่ นตกค้างของ 53 มอดุโล 5 มา 5 จำนวน
(1.2) ช้ันของสว่ นตกคา้ งของ 0, 1, 2, 3 และ 4 มอดโุ ล 5
(1.3) ระบบส่วนตกค้างบริบรู ณ์ มอดโุ ล 5
(1.4) ระบบสว่ นตกคา้ งคา่ น้อยสดุ มอดโุ ล 5

(2) ให้ m ∈ Z จงพิสจู น์ว่า เซตของจำนวนเตม็ m จำนวนเรียงกัน เป็นระบบสว่ นตกคา้ งบริบูรณ์
มอดุโล m

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 4 สมภาค 93

(3) เซตต่อไปน้ี เป็นระบบลดทอนสว่ นตกค้าง มอดโุ ล 6 หรอื ไม่
(3.1) {1, 5}
(3.2) {−2, 13}
(3.3) {1, 4}
(3.4) {17, 1, −1}
(3.5) {−5}

(4) จงพิสจู นว์ ่า ถ้า A = {r1, r2, . . . , rq} เปน็ ระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดุโล 6 และ
(a, m) = 1 แลว้ {ar1, ar2, . . . , arq} เปน็ ระบบลดทอนสว่ นตกคา้ ง มอดโุ ล 6

4.3 วิธีรอนด้วย 9 และ 11

วธิ ีการทางเลขคณติ อกี อยา่ งหน่งึ ซ่งึ เราสามารถตรวจสอบการหารลงตวั ของจำนวนเตม็
โดยใชส้ มภาค เชน่ การตรวจสอบวา่ จำนวนเตม็ บวกทีก่ ำหนดให้นน้ั หารดว้ ย 9 ลงตัวหรือไม่
คือ ใชว้ ิธีการนำเลขโดด (digit) ทง้ั หมดบวกกันแลว้ หารดว้ ย 9 ซงึ่ ในระบบตัวเลขฐาน 10
จะเหน็ ว่า 10 ≡ 1(mod 9) ในทำนองเดียวกนั จะเห็นวา่ 10 ≡ −1(mod 11) เราจึงจะใชค้ วามรู้
เรือ่ งสมภาคและพหนุ าม เพ่ือหาข้อเทจ็ จริงบางอยา่ งของ จำนวน 9 และ 11 ดงั ตอ่ ไปนี้

ทฤษฎีบท 4.3.1 ให้ N ∈ N ซงึ่
∑n

N = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 = ai10i

i=0

โดยที่ ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะได้ว่า N และ an + an−1 + . . . + a1 + a0 หารด้วย 9
ไดเ้ ศษเท่ากนั

พิสูจน์ เน่อื งจาก 10 ≡ 1(mod 9) ดังนัน้ 10k ≡ 1k = 1(mod 9) สำหรบั k = 0, 1, 2, . . . , n
แล้วจะได้ว่า ak10k ≡ ak(mod 9) ดังน้ัน จากทฤษฎีบท 4.1.1 (3) จะได้ว่า

∑n ∑n
ai10i ≡ ai(mod 9)

i=0 i=0

น่นั คือ N ≡ (an + an−1 + . . . + a1 + a0)(mod 9) จากทฤษฎีบท 4.1.3 จะได้ว่า N และ
an + an−1 + . . . + a1 + a0 หารด้วย 9 ไดเ้ ศษเท่ากนั

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

94 ทฤษฎจี ำนวน

∑n
ทฤษฎีบท 4.3.1 บอกว่า ใหห้ า ai = N1 แทน N แล้วจึงหารด้วย 9 และถา้

i=0

∑r
N1 ยงั มีค่ามากซึ่งอาจอยใู่ นรูป N1 = crcr−1 . . . c1c0 กส็ ามารถหา ci = N2 แล้วหาร

∑ i=0
ดว้ ย 9 ใช้ขนั้ ตอนวิธเี ดยี วกนั นี้ จนไดว้ ่า ti ≤ 9 ซ่ึงจะไดเ้ ป็นเศษของการหารด้วย 9

i

ซ่งึ ข้นั ตอนวธิ ดี งั กลา่ วนี้ เรียกว่า วธิ รี อนด้วย 9 (casting out nine)

ตวั อยา่ งท่ี 4.3.1 จงหาเศษจากการหารจำนวนต่อไปน้ี ด้วย 9

(1) 302, 108, 000
(2) 63 × 1015

วธิ ีทำ (1) ให้ N = 302, 108, 000
∑

จะได้ว่า ai = 3 + 0 + 2 + 1 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 = 14
∑i

แลว้ ci = 1 + 4 = 5

i

ดังนั้น 302, 108, 000 หารดว้ ย 9 ไดเ้ ศษ 5
(2) ให้ N = 63 × 1015 = (6 × 1016) + (3 × 1015)

∑
จะไดว้ ่า ai = 6 + 3 = 9

i

ดงั นนั้ 9 | (63 × 1015)

ทฤษฎีบท 4.3.2 ให้ N ∈ N ซง่ึ
∑n

N = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 = ai10i

i=0

โดยที่ ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะได้วา่ N และ (−1)nan + . . . + a4 − a3 + a2 − a1 + a0
หารดว้ ย 11 ไดเ้ ศษเท่ากัน

พิสจู น์ เนอ่ื งจาก 10 ≡ −1(mod 11) ดังน้นั 10k ≡ (−1)k(mod 11), k = 0, 1, 2, . . . , n
จะได้วา่ ak10k ≡ (−1)kak(mod 11) ดังน้ัน

∑n ∑n
ai10i ≡ (−1)iai(mod 11)

i=0 i=0

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอดุ รธานี