ทฤษฎีจำนวน

บทที่ 4 สมภาค 95

หรอื N ≡ [(−1)nan + . . . + (−1)4a4 + (−1)3a3 + (−1)2a2 + (−1)a1 + a0](mod 11)
นัน่ คอื N ≡ ((−1)nan + . . . + a4 − a3 + a2 − a1 + a0)(mod 11) ดังนั้น N และ
(−1)nan + . . . + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 หารดว้ ย 11 ได้เศษเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4.3.2 จงหาเศษจากการหารจำนวนต่อไปน้ี ดว้ ย 11
(1) 145, 732
(2) 903 + 120 + 108

วธิ ที ำ (1) ให้ N = 145, 732
จะได้วา่ N ≡ (−1 + 4 − 5 + 7 − 3 + 2)(mod 11) ≡ 4(mod 11)
ดงั นั้น 145, 732 หารด้วย 11 ได้เศษ 4

(2) ให้ N = 903 + 120 + 108
จะได้ว่า N = (1 × 108) + (93 × 103) + (12 × 10)
= (1 × 108) + (7 × 105) + (2 × 104) + (9 × 103) +
(1 × 102) + (2 × 10) + (0)
ดงั นนั้ N ≡ (1 − 7 + 2 − 9 + 1 − 2 + 0)(mod 11)
≡ −14(mod 11) ≡ −3(mod 11) ≡ 8(mod 11)
น่นั คือ 903 + 120 + 108 หารดว้ ย 11 ได้เศษ 8

ทฤษฎบี ท 4.3.3 ให้ N ∈ N ซ่งึ N = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 โดยที่
ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะได้ว่า

(1) N และ a0 หารดว้ ย 2 ได้เศษเทา่ กนั
(2) N และ a0 หารด้วย 5 ไดเ้ ศษเทา่ กนั
(3) N และ an + an−1 + . . . + a1 + a0 หารด้วย 3 ไดเ้ ศษเทา่ กัน
(4) N และ 10a1 + a0 หารด้วย 4 ไดเ้ ศษเท่ากัน
(5) N และ 100a2 + 10a1 + a0 หารด้วย 8 ไดเ้ ศษเทา่ กัน

พสิ ูจน์ สามารถพสิ จู น์ไดเ้ ช่นเดียวกันกบั ทฤษฎบี ท 4.3.1 ใหพ้ สิ ูจนเ์ ปน็ แบบฝึกหดั

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

96 ทฤษฎจี ำนวน

จากทฤษฎบี ท 4.3.3 (1)−(3) ทฤษฎีบท 4.3.1 และทฤษฎบี ท 4.3.2 จะได้บทแทรก
ต่อไปน้ี
บทแทรก 4.3.1 ให้ N ∈ N ซ่ึง N = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 โดยท่ี
ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะได้ว่า

(1) 2 | N ก็ต่อเม่อื a0 = 0, 2, 4, 6 หรือ 8

(2) 5 | N กต็ ่อเม่ือ a0 = 0 หรือ 5

(3) 3 | N ก็ตอ่ เมื่อ 3 | (an + an−1 + . . . + a0)
(4) 9 | N ก็ตอ่ เมื่อ 9 | (an + an−1 + . . . + a0)
(5) 11 | N กต็ อ่ เมื่อ 11 | ((−1)nan + . . . + a4 − a3 + a2 − a1 + a0)

ทฤษฎบี ทต่อไปน้ี จะเป็นการตรวจสอบว่า จำนวนทกี่ ำหนดจะหารดว้ ย 7 ลงตวั หรือไม่
ทฤษฎบี ท 4.3.4 ให้ N ∈ N ซง่ึ N = an10n + an−110n−1 + . . . + a110 + a0 โดยท่ี
ai = 0, 1, 2, . . . , 9 จะไดว้ ่า

7 | N กต็ อ่ เมือ่ 7 | (an10n−1 + an−110n−2 + . . . + a210 + a1) − 2a0

พิสูจน์ ให้ N = 10c + a0 โดยท่ี c = an10n−1 + an−110n−2 + . . . + a210 + a1 จะไดว้ า่
−2N = −20c − 2a0 เนือ่ งจาก −20 ≡ 1(mod 7) ดงั น้ัน −20c − 2a0 ≡ c − 2a0(mod 7)
นั่นคือ −2N ≡ c − 2a0(mod 7) แลว้ จากทฤษฎีบท 4.1.3 จะไดว้ า่ 7 | −2N ก็ต่อเมอื่
7 | c − 2a0 เนื่องจาก (7, 2) = 1 ดังน้นั จากทฤษฎบี ท 2.2.5 จะไดว้ า่ 7 | −2N ก็ตอ่ เมือ่
7 | N นน่ั คอื 7 | N ก็ต่อเมอื่ 7 | c − 2a0

ตัวอย่างท่ี 4.3.3 จงตรวจสอบวา่ จำนวนต่อไปนี้ หารดว้ ย 7 ลงตวั หรอื ไม่
(1) 43, 018
(2) 430, 185

วธิ ที ำ (1) 7 | 43, 018 ⇔ 7 | 4, 301 − 16
⇔ 7 | 4, 285
⇔ 7 | 428 − 10

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 4 สมภาค 97

⇔ 7 | 418
⇔ 7 | 41 − 16
⇔ 7 | 25
เนอ่ื งจาก 7 25 ดงั นัน้ 7 43, 018
(2) 7 | 430, 185 ⇔ 7 | 43, 018 − 10
⇔ 7 | 43, 008
⇔ 7 | 4, 300 − 16
⇔ 7 | 4, 284
⇔ 7 | 428 − 8
⇔ 7 | 420
⇔ 7 | 42 − 0
⇔ 7 | 42
เนื่องจาก 7 | 42 ดงั นัน้ 7 | 430, 185

แบบฝึกหดั 4.3

(1) จงหาเศษจากการหารจำนวนตอ่ ไปนดี้ ้วย 9 และ 11
(1.1) 375, 604
(1.2) 176, 521, 221
(1.3) 149, 235, 678
(1.4) 508 + 105

(2) 115, 342 หารด้วย 7 ลงตวั หรือไม่
(3) 176, 521, 221 หารดว้ ย 3 ลงตวั หรอื ไม่
(4) ถา้ 9 หาร 1, 025, x67 ลงตัวแล้ว จงหาคา่ x
(5) ถา้ 11 หาร 93x, 165 ลงตัวแล้ว จงหาค่า x
(6) ถ้า 9 หาร 193, x43 เหลือเศษ 6 แลว้ จงหาคา่ x
(7) จงหาคา่ a ∈ N ท่นี อ้ ยสุดซง่ึ ทำให ้a ≡ 281(mod 7)
(8) จงพสิ จู น์ทฤษฎีบท 4.3.3 (1) และ (3)
(9) ให้ N ∈ N จงพสิ จู นว์ ่า N | 4 ก็ต่อเม่ือ เลขท้ายสองหลักของ N หารดว้ ย 4 ลงตวั

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

98 ทฤษฎจี ำนวน

4.4 สมภาคเชิงเส้น

หัวขอ้ นี้กล่าวถึงทฤษฎเี กี่ยวกับสมภาคเชงิ เสน้ ระบบสมภาคเชิงเส้น และการหาผลเฉลย
บทนิยาม 4.4.1 ให้ a, b ∈ Z และ m ∈ N เรยี ก ax ≡ b(mod m), a ≠ 0 ว่า
สมภาคเชิงเส้น (linear congruence) และ เรยี ก c ∈ Z วา่ ผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m)
ก็ตอ่ เม่อื ac ≡ b(mod m)

ตัวอยา่ งท่ี 4.4.1 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงิ เส้นตอ่ ไปน้ี
(1) 2x ≡ 4(mod 6)
(2) 5x ≡ 7(mod 10)

วธิ ที ำ (1) เราใช้ระบบส่วนตกค้างนอ้ ยสดุ มอดโุ ล 6 คือ {0, 1, 2, 3, 4, 5} ซ่งึ เปน็

ระบบส่วนตกค้างบรบิ รู ณข์ องมอดโุ ล 6 เพอื่ หาผลเฉลยได้ ดังน้ี

เนอ่ื งจาก 2(0) = 0 ̸≡ 4(mod 6)

2(1) = 2 ̸≡ 4(mod 6)

2(2) = 4 ≡ 4(mod 6)

2(3) = 6 ̸≡ 4(mod 6)

2(4) = 8 ≢ 4(mod 6)

และ 2(5) = 10 ≡ 4(mod 6)

ดงั น้นั ผลเฉลยทง้ั หมดของ 2x ≡ 4(mod 6) คอื

{x ∈ Z | x ≡ 2(mod 6)} ∪ {x ∈ Z | x ≡ 5(mod 6)}

เขียนสนั้ ๆ x ≡ 2, 5(mod 6)

(2) ระบบสว่ นตกคา้ งนอ้ ยสุด มอดโุ ล 10 คอื {0, 1, 2, . . . , 9}

และเนอื่ งจาก 5(0) = 0 ≢ 7(mod 10)

5(1) = 5 ̸≡ 7(mod 10)

5(2) = 10 ≢ 7(mod 10)

5(3) = 15 ̸≡ 7(mod 10)

5(4) = 20 ≢ 7(mod 10)

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 4 สมภาค 99

ดังน้ัน 5(5) = 25 ≢ 7(mod 10)
5(6) = 30 ≢ 7(mod 10)
5(7) = 35 ≢ 7(mod 10)
5(8) = 40 ̸≡ 7(mod 10)
และ 5(9) = 45 ̸≡ 7(mod 10)
5x ≡ 7(mod 10) ไมม่ ีผลเฉลย

แตเ่ รามที ฤษฎีบท ทีท่ ำให้หาผลเฉลยของสมภาคเชงิ เส้นไดง้ า่ ยขึน้ ดงั น้ี

ทฤษฎีบท 4.4.1 ให้ a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยที่ d = (a, m) ถา้ ax ≡ b(mod m)
และ d b แล้ว ax ≡ b(mod m) ไม่มผี ลเฉลย

พสิ ูจน์ สมมตุ ิว่า ax ≡ b(mod m) มีผลเฉลยคอื c ∈ Z จะไดว้ ่า ac ≡ b(mod m) แลว้
m | (ac − b) ดงั นนั้ ac − b = mq สำหรับบาง q ∈ Z จะได้วา่ b = ac + m(−q)
เนอ่ื งจาก d | a และ d | m ดงั นน้ั d | (ac + m(−q)) นั่นคอื d | b ซง่ึ เกดิ ข้อขัดแยง้ ดังนนั้
ax ≡ b(mod m) ไม่มผี ลเฉลย

ทฤษฎีบท 4.4.2 ให้ a, b ∈ Z และ m ∈ N โดยที่ d = (a, m) ถา้ ax ≡ b(mod m)
และ d | b แล้ว ax ≡ b(mod m) มจี ำนวนผลเฉลยที่ต่างกัน d ผลเฉลย

พิสูจน์ กอ่ นอ่นื จะแสดงว่า ax ≡ b(mod m) มีผลเฉลย เนอ่ื งจาก d = (a, m) ดังนั้น จะมี

p, q ∈ Z ซ่ึง d = pa + qm แต่ d | b ทำให้ไดว้ ่า b = kd = k(pa + qm) = a(kp) + m(kq)

นั่นคือ kp เปน็ ผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m)

จะแสดงวา่ มผี ลเฉลยอยู่ d จำนวนทไ่ี ม่สมภาค มอดุโล m

จาก d = (a, m) และ d | b จะได้ว่า ถา้ x เป็นผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m) แล้ว x

เป็นผลเฉลยของ

ax ≡ b m (∗)
(mod )
dd d
a b a m am
ถา้ c, c1 เป็นผลเฉลยของ (∗) แล้ว c ≡ ≡ c1(mod ) แต่ (, ) = 1 ดังนั้น
dm d d Z dd
m ∈ d
)
c ≡ c1(mod ทำให้ได้วา่ c1 = c + t เมอื่ t
d d

นน่ั คอื ทกุ ๆ ผลเฉลยของ ax ≡ b(mod m) อยู่ในรปู

m เมื่อ t ∈ Z (∗∗)
x=c+ t
d

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

100 ทฤษฎีจำนวน

ต่อไปจะแสดงวา่ เซตของจำนวนเต็มในรูป (∗∗) ท่ีไมส่ มภาค มอดโุ ล m ตา่ งกัน d

จำนวน คือ

m 2m (d − 1)m (∗ ∗ ∗)
c, c + , c + , . . . , c +
md d d
โดยสมมตุ ิว่า c≡+mdmdt2t(1m≡odc + d t2(mod m) เมือ่ t1, t2 ∈ Z และ 0 ≤ t1 < t2 ≤ d − 1
m m) และเนอื่ งจาก ดงั น้ัน t1 ≡ t2(mod m)
mm
จะไดว้ า่ d t1 ( , m) =

dd

น่นั คอื d | (t2 − t1) ซง่ึ เกิดขอ้ ขดั แย้งกับทว่ี ่า 0 < t2 − t1 < d

สุดทา้ ยจะแสดงวา่ ผลเฉลยอื่น ๆ ในรูป (∗∗) จะสมภาค มอดโุ ล m กับจำนวนใน

(∗ ∗ ∗) เพียงจำนวนหนึง่ และจำนวนเดยี วเท่าน้ัน ดงั นี้ จากขนั้ ตอนวธิ กี ารหาร อาจเขยี น t

ไดเ้ ป็น t = qd + r ซง่ึ q, r ∈ Z และ 0 ≤ r < d ดังน้นั

mm
c + t = c + (qd + r)
dd
m
= c + mq + r
d
m
≡ c + r(mod m)
d

ซึง่ c + m เปน็ ผลเฉลยหนงึ่ ในจำนวน d ผลเฉลยใน (∗ ∗ ∗)
r
d

ตัวอย่างท่ี 4.4.2 จงหาผลเฉลยของสมภาคเชงิ เส้นต่อไปน้ี
(1) 3x ≡ 9(mod 15)
(2) 9x ≡ 11(mod 15)
(3) 48x ≡ 56(mod 50)

วิธีทำ (1) เนอ่ื งจาก (3, 15) = 3 และ 3 | 9 ดงั นนั้ โดยทฤษฎีบท 4.4.2 สมภาคทก่ี ำหนดให้
มี 3 ผลเฉลยท่ตี ่างกนั โดยทฤษฎบี ท 4.1.2 (1) จะได้วา่ x ≡ 3(mod 5) ดังนน้ั
x = 3 + 5t, t ∈ Z และค่า x ที่เป็นเศษตกคา้ งคา่ นอ้ ยสดุ มอดุโล 15 คอื

ถา้ t = 0 แลว้ x = 3 + 5(0) = 3
ถา้ t = 1 แล้ว x = 3 + 5(1) = 8
ถา้ t = 2แล้ว x = 3 + 5(2) = 13
ดงั น้ัน ผลเฉลยของสมภาคนีค้ อื x ≡ 3, 8, 13(mod 15)
(2) เน่อื งจาก (9, 15) = 3 และ 3 11 ดังนนั้ จากทฤษฎีบท 4.4.1 สมภาคที่กำหนดให้
ไม่มีผลเฉลย

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 4 สมภาค 101

(3) เน่อื งจาก (48, 50) = 2 และ 2 | 56 ดังนั้น โดยทฤษฎบี ท 4.4.2 สมภาคที่กำหนด
ให้มผี ลเฉลยท่ีตา่ งกนั 2 จำนวน และจากสมภาค 48x ≡ 56(mod 50) โดยทฤษฎบี ท 4.1.2
(1) จะได้ว่า 24x ≡ 28(mod 25) และโดยทฤษฎีบท 4.1.2 (2) จะได้วา่ 6x ≡ 7(mod 25)
แล้ว โดยทฤษฎีบท 4.1.1 (1), (2) จะไดว้ ่า 6x ≡ −18(mod 25) แล้ว โดยทฤษฎีบท
4.1.2 (2) อีกครั้ง จะได้ว่า x ≡ −3(mod 25) ดังนัน้ x = −3 + 25t, t ∈ Z และ
ค่า x ทเี่ ป็นเศษตกคา้ งคา่ น้อยสดุ มอดโุ ล 50 คือ

ถา้ t = 1 แลว้ x = −3 + 25(1) = 22
ถ้า t = 2 แล้ว x = −3 + 25(2) = 47
ดังนั้น ผลเฉลยของสมภาคน้คี อื x ≡ 22, 47(mod 50)

บทนิยาม 4.4.2 เรียกสมภาคเชิงเสน้ ทม่ี ากกวา่ หนงึ่ สมภาควา่ ระบบสมภาคเชงิ เส้น
(linear congruence system) และเรียกผลเฉลยที่ทำให้ทุกสมภาคเป็นจริงวา่ ผลเฉลย
รว่ ม (common solution)

พจิ ารณา ระบบสมภาค a1x ≡ b1(mod m1)

a2x ≡ b2(mod m2)
...

anx ≡ bn(mod mn)
สง่ิ ทีเ่ ราตอ้ งการคอื ผลเฉลยรว่ ม x′ ∈ Z ของระบบสมภาค ซึง่ เป็นผลเฉลยของทกุ

สมภาคในระบบสมภาคนี้

ตวั อยา่ งที่ 4.4.3 จงหาผลเฉลยรว่ มของ x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 3(mod 5)

วธิ ีทำ เนอื่ งจาก x ≡ 2(mod 3) ดังนน้ั จะมี t ∈ Z ที่ทำให้

x = 2 + 3t (∗)

จะไดว้ ่า 2 + 3t ≡ 3(mod 5) ทำใหไ้ ด้ว่า 3t ≡ 1(mod 5) ≡ 6(mod 5) ดังนนั้

t ≡ 2(mod 5) จะได้วา่ มี t′ ∈ Z ทีท่ ำให้ t = 2 + 5t′ แล้วจาก (∗) ทำให้ไดว้ า่

x = 2 + 3(2 + 5t′) = 8 + 15t′

นนั่ คอื x ≡ 8(mod 15) เปน็ ผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคน้ี

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

102 ทฤษฎีจำนวน

ตัวอย่างท่ี 4.4.4 จงหาจำนวนเตม็ ทง้ั หมด ซึ่งหารด้วย 6 แลว้ เหลือเศษ 2 และเมอื่ หารด้วย
11 แลว้ เหลือเศษ 10

วิธที ำ ใหจ้ ำนวนเตม็ ทัง้ หมดดังกล่าว เป็น x จากโจทยจ์ ะไดว้ า่

x ≡ 2(mod 6) และ x ≡ 10(mod 11)

เนอ่ื งจาก x ≡ 2(mod 6) ดงั นั้น จะมี t ∈ Z ที่ทำให้

x = 2 + 6t (∗)

จะไดว้ า่ 2 + 6t ≡ 10(mod 11) ทำให้ไดว้ า่ 6t ≡ 8(mod 11) ≡ 30(mod 11)

ดงั นน้ั t ≡ 5(mod 11)

จะได้ว่ามี t′ ∈ Z ท่ที ำให้ t = 5 + 11t′

แลว้ จาก (∗) ทำใหไ้ ด้วา่ x = 2 + 6(5 + 11t′) = 32 + 66t′

นน่ั คอื x ≡ 32(mod 66) จำนวนเตม็ ทัง้ หมดทีต่ อ้ งการ

ทฤษฎีบทหนงึ่ ทช่ี ่วยในการหาผลเฉลยร่วมของระบบสมภาคเชิงเสน้ ได้ง่ายขึ้น คอื
ทฤษฎีบทเศษเหลือของชาวจนี (Chinese remainder theorem) ต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 4.4.3 ถา้ m1, m2, . . . , mn ∈ N และ a1, a2, . . . , an ∈ Z ซึง่ (mi, mj) = 1,
i ̸= j แล้วระบบสมภาคเชงิ เส้น

x ≡ a1(mod m1)
x ≡ a2(mod m2)

...
x ≡ an(mod mn)
มีผลเฉลยรว่ มเพยี งผลเฉลยเดียวในมอดุโล m เมื่อ m = m1m2 . . . mn

พิสจู น์ ตอนแรกจะพสิ ูจนว์ ่า ระบบสมภาคเชงิ เสน้ มผี ลเฉลยร่วม ดังนี้ ให้
m

Mk = mk = m1m2 . . . mk−1mk+1 . . . mn
เนื่องจาก (mi, mj) = 1, i ≠ j ดงั น้นั (Mk, mk) = 1 ทำให้ได้วา่ Mkx ≡ 1(mod mk)
มผี ลเฉลยร่วม ใหเ้ ปน็ xk ดงั น้ัน Mkxk ≡ 1(mod mk) จะไดว้ ่า akMkxk ≡ ak(mod mk)
เน่ืองจาก mi | Mk, i ̸= k ดังนัน้

a1M1x1 + · · · + anMnxn ≡ akMkxk(mod mk) ≡ ak(mod mk)

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 4 สมภาค 103

นั่นคอื a1M1x1 + · · · + anMnxn เป็นผลเฉลยร่วมของระบบสมภาคเชงิ เสน้ น้ี
ตอนหลังจะพสิ ูจน์วา่ ระบบสมภาคเชิงเสน้ มีผลเฉลยร่วมเพียงผลเฉลยเดยี ว ดังน้ี

สมมติว่ามี x′ และ x′′ เปน็ ผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคเชิงเสน้ จะไดว้ า่
x′ ≡ ak ≡ x(mod mk), k = 1, 2, . . . , n และทำให้ได้ว่า

x′ ≡ x′′(mod [m1, m2, . . . , mn])

เน่อื งจาก (mi, mj) = 1, i ≠ j ดงั น้ัน [m1, m2, . . . , mn] = m1m2 . . . mn = m จะไดว้ า่
x′ ≡ x′′(mod m) นนั่ คือ x′ และ x′′ เป็นผลเฉลยร่วมท่ไี ม่ตา่ งกัน

ตวั อย่างที่ 4.4.5 จงหาผลเฉลยร่วมของ x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 3(mod 5)

วิธที ำ เนอ่ื งจาก (3, 5) = 1 และ (3)(5) = 15 ดงั น้ัน ระบบสมภาคเชิงเส้นนี้ มีผลเฉลย

รว่ มเพียงผลเฉลยเดียวในมอดุโล 15 และเนอ่ื งจาก

m1 = 3, m2 = 5
15 15

M1 = 3 = 5, M2 = 5 = 3
a1 = 2, a2 = 3

ดงั นัน้ 5x ≡ 1(mod 3) และ 3x ≡ 1(mod 5) และหาผลเฉลยร่วมไดด้ ังนี้

เนื่องจาก 5x1 ≡ 1(mod 3) และ 3x2 ≡ 1(mod 5)
จะได้วา่ 5x1 ≡ 10(mod 3) และ 3x2 ≡ −9(mod 5)
ดงั นัน้ x1 ≡ 2(mod 3) และ x2 ≡ −3 ≡ 2(mod 5)

ซ่ึงมผี ลเฉลยร่วม คือ x1 = 2 = x2

ดังน้ัน 2(5)2 + 3(3)2 = 38 เปน็ ผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคนี้ในมอดโุ ล 15

นน่ั คอื x ≡ 38(mod 15) แต่ 38 ≡ 8(mod 15) ดังนั้น x ≡ 8(mod 15)

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ mi และ mj ไมจ่ ำเปน็ ตอ้ งเปน็ จำนวนเฉพาะสมั พทั ธ์

ทฤษฎีบท 4.4.4 ถา้ m1, m2 ∈ N และ a1, a2 ∈ Z แล้วระบบสมภาคเชิงเส้น
x ≡ a1(mod m1)
x ≡ a2(mod m2)

มผี ลเฉลยรว่ มในมอดุโล [m1, m2] กต็ ่อเมือ่ (m1, m2) | (a1 − a2)

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

104 ทฤษฎจี ำนวน

พิสูจน์ ให้ d = (m1, m2) เนือ่ งจากระบบสมภาคเชิงเส้นมผี ลเฉลยร่วม และจากทฤษฎีบท
4.1.1 (5) จะไดว้ ่า x ≡ a1(mod d) และ x ≡ a2(mod d) ดังน้ัน จากทฤษฎีบท 4.1.1 (1)
และ (2) จะได้วา่ a1 ≡ a2(mod d) นน่ั คือ d | (a1 − a2) สำหรับการพิสจู น์บทกลบั ของ
ทฤษฎีบท สมมตวิ ่า d | (a1 − a2) จะไดว้ ่า ผลเฉลยของ x ≡ a1(mod m1) คือ x =
a1 + m1y สำหรบั บาง y ∈ Z แลว้ แทนค่า x ใน x ≡ a2(mod m2) จะได้วา่

m1y + (a1 − a2) ≡ 0(mod m2)

จากทฤษฎีบท 4.4.3 จะได้วา่ สมภาคน้ีมผี ลเฉลยเพียงผลเฉลยเดียวคอื y มอดุโล m2
(dm2
ดงั นัน้ ระบบสมภาคเชงิ เส้นนีม้ ีผลเฉลยร่วมในมอดุโล m1 ( m2 ) ให้ m = m1 d ) =
d

[m1, m2] ตามตอ้ งการ

หมายเหตุ 4.4.1 ทฤษฎบี ท 4.4.4
(1) บอกให้เราทราบว่า ถา้ (m1, m2) (a1 − a2) แล้ว
ระบบสมภาคเชงิ เสน้ น้ันจะไมม่ ีผลเฉลยรว่ ม
(2) ถ้า (m1, m2) = 1 จะไดว้ ่า [m1, m2] = m1m2

เราสามารถใช้ทฤษฎีบท 4.4.3 และ ทฤษฎบี ท 4.4.4 ตรวจสอบและหาผลเฉลยร่วม
ของระบบสมภาคเชงิ เส้นได้

ตัวอย่างท่ี 4.4.6 จงหาผลเฉลยรว่ มของ x ≡ 2(mod 3)
x ≡ 3(mod 5)

วธิ ที ำ เน่อื งจาก (3, 5) = 1 และ 1 | (2−3) ดังนั้นจากทฤษฎีบท 4.4.4 ระบบสมภาคเชิงเส้นน้ี
มผี ลเฉลยร่วมในมอดุโล 3 · 5 = 15

วธิ ที ่ี (1) ในตัวอยา่ ง 4.4.3
วิธีท่ี (2) ให้ A แทนเซตของ x ∈ Z ซึง่ x ≡ 2(mod 3) ในมอดุโล 15
และ B แทนเซตของ x ∈ Z ซง่ึ x ≡ 3(mod 5) ในมอดุโล 15 จะได้วา่

A = {2, 5, 8, 11, 14}, B = {3, 8, 13}

และ A ∩ B = {8}
ดงั นนั้ ผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคน้ีคือ x ≡ 8(mod 15)

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 4 สมภาค 105

ตัวอยา่ งท่ี 4.4.7 จงหาผลเฉลยร่วมของ 3x ≡ 4(mod 14)
6x ≡ 4(mod 20)

วิธที ำ จาก 3x ≡ 4(mod 14) จะไดว้ ่า x ≡ 6(mod 14)
และจาก 6x ≡ 4(mod 20) จะได้ว่า 3x ≡ 2(mod 10)
ดังน้นั x ≡ 4(mod 10)

เน่ืองจาก (10, 14) = 2 และ 2 | (6 − 4) ดงั นน้ั จากทฤษฎีบท 4.4.4 ระบบสมภาคเชงิ เสน้ นี้
มผี ลเฉลยรว่ มในมอดุโล 14 · 10 = 70

2
ให้ A แทนเซตของ x ∈ Z ซึง่ x ≡ 6(mod 14) ในมอดโุ ล 70
และ B แทนเซตของ x ∈ Z ซง่ึ x ≡ 4(mod 10) ในมอดโุ ล 70
จะได้ว่า A = {6, 20, 34, 48, 62} และ B = {4, 14, 24, 34, 44, 54, 64}
และ A ∩ B = {34} ดงั นั้น ผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคเชงิ เส้นน้ี คอื

x ≡ 34(mod 70)

แบบฝกึ หดั 4.4

(1) สมภาคเชงิ เสน้ ต่อไปน้ีมีผลเฉลยกจี่ ำนวน
(1.1) 6x ≡ 9(mod 15)
(1.2) 2x ≡ 8(mod 15)
(1.3) 3x ≡ 6(mod 15)
(1.4) 4x ≡ 5(mod 15)

(2) จงหาผลเฉลย (ถา้ ม)ี ของสมภาคเชงิ เสน้ ตอ่ ไปนี้
(2.1) 35x ≡ 14(mod 21)
(2.2) 29x ≡ 5(mod 34)
(2.3) 235x ≡ 54(mod 7)

(3) จงหาผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคเชงิ เส้นต่อไปน้ี
(3.1) x ≡ 1(mod 3)

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

106 ทฤษฎจี ำนวน
x ≡ 2(mod 5)

(3.2) x ≡ 5(mod 15)
x ≡ 1(mod 21)

(3.3) 2x ≡ 3(mod 5)
4x ≡ 3(mod 7)

(3.4) 4x ≡ −8(mod 18)
6x ≡ 24(mod 45)

(4) จงหาผลเฉลยรว่ มของระบบสมภาคเชงิ เสน้
x ≡ 1(mod 3)
x ≡ 2(mod 5)
x ≡ 3(mod 7)

(5) จงหาจำนวนเต็มบวกค่าน้อยสดุ ที่หารดว้ ย 3 แล้วเหลือเศษ 2 เมอ่ื หารด้วย 4 แล้วเหลอื เศษ
3 และ เม่ือหารดว้ ย 5 แลว้ เหลือเศษ 4

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 4 สมภาค 107

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

108 ทฤษฎจี ำนวน

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 5
ทฤษฎีบทสมภาคสำคญั

บทนี้จะกลา่ วถงึ ทฤษฎบี ทสมภาคท่ีมบี ทบาทสำคัญในการพฒั นาทฤษฎีจำนวนที่รูก้ นั
อยา่ งกวา้ งขวางคือ ทฤษฎบี ทของวิลสัน ทฤษฎบี ทของแฟรม์ าต์ และทฤษฎบี ทของออยเลอร์
สองทฤษฎีบทแรกสามารถนำไปแก้ปัญหาสมภาคทม่ี ีจำนวนใหญ่ ๆ ท่ยี ากใหง้ ่ายขึน้ สว่ น
ทฤษฎีบทของออยเลอร์เปน็ การขยายสองทฤษฎีบทแรก โดยแก้ปญั หาสมภาคท่มี อดุโลไม่
จำเป็นต้องเปน็ จำนวนเฉพาะ นอกจากนีย้ ังไดก้ ล่าวถึงจำนวนบางจำนวนทเี่ ก่ยี วขอ้ งกับทฤษฎี
ดังกล่าวข้างตน้

5.1 ทฤษฎีบทของวลิ สนั

จอห์น วิลสัน (John W ilson 1741 − 1793) ไม่ได้คดิ ค้นทฤษฎีบทน้ี แต่เปน็ นัก
คณิตศาสตรช์ าวเยอรมนั ชอื่ ไลบ์นิซ (Baron Gottf ried W ilhelm Leibniz 1646−1716)
เป็นผคู้ ้นพบประมาณปี 1682 แตไ่ ม่ไดต้ พี ิมพ์ ผูท้ ่ีพสิ จู นแ์ ละตีพิมพ์ คือ วอรงิ (Edward
W aring 1734 − 1798) นกั คณติ ศาสตร์ชาวอังกฤษเมอ่ื ปี 1770 จะขอเรม่ิ ด้วยเร่ืองของตวั
ผกผัน ดงั นี้
บทนิยาม 5.1.1 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a ∈ N สำหรบั สมภาค

x2 ≡ 1(mod p)
จะกล่าวว่า a เป็น ตัวผกผนั (inverter) มอดโุ ล p ถ้า a เป็นส่วนตกคา้ งคา่ นอ้ ยสดุ มอดุโล
p และ a2 ≡ 1(mod p)

ตวั อยา่ งท่ี 5.1.1 ให้ p = 7 จะได้วา่ เซตของสว่ นตกคา้ งค่าน้อยสุด มอดโุ ล 7 คือ

110 ทฤษฎีจำนวน

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} จะเห็นวา่

1 · 1 = 1 ≡ 1(mod 7)
2 · 4 = 8 ≡ 1(mod 7)
3 · 5 = 15 ≡ 1(mod 7)
6 · 6 = 36 ≡ 1(mod 7)

และมี 1 และ 6 เป็นตัวผกผนั มอดุโล 7

บทต้งั 5.1.1 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a ∈ N จะได้วา่ a เปน็ ตวั ผกผัน มอดโุ ล p
ก็ตอ่ เม่อื a ≡ ±1(mod p)

พิสจู น์ สมมตุ ิวา่ a เป็นตวั ผกผนั มอดโุ ล p จากบทนิยามจะไดว้ ่า a2 ≡ 1(mod p) ดงั นัน้
p | (a2 − 1) แลว้ p | (a − 1)(a + 1) ทำให้ได้วา่ p | (a − 1) หรือ p | (a + 1) นนั่ คอื
a ≡ 1(mod p) หรือ a ≡ −1(mod p) อยา่ งใดอย่างหนึ่ง

ในการพิสูจนบ์ ทกลบั สมมุติว่า a ≡ 1(mod p) หรอื a ≡ −1(mod p)
ถ้า a ≡ 1(mod p) แลว้ a · a = a2 ≡ 1 · 1 = 1(mod p)
ถ้า a ≡ −1(mod p) แล้ว a · a = a2 ≡ (−1) · (−1) = 1(mod p)
ดังน้ัน a เปน็ ตัวผกผนั มอดโุ ล p

บทตง้ั น้บี อกวา่ มีสว่ นตกคา้ งค่าน้อยสดุ มอดโุ ล p สองจำนวนท่ีเปน็ ตวั ผกผนั มอดุโล
p คือ 1 และ p − 1 ดังนนั้ x2 ≡ 1(mod p) มีสองผลเฉลยคอื x ≡ 1, p − 1(mod p)

ตัวอย่างที่ 5.1.2 ให้ p = 13 จะไดว้ ่า ส่วนตกค้างคา่ นอ้ ยสุดมอดโุ ล 13 ทีเ่ ปน็ ตวั ผกผนั
มอดโุ ล 13 คือ 1 และ 12 ซ่งึ 12 ≡ 1(mod 13) และ (12)2 = 144 ≡ 1(mod 13) นั่นคอื
ผลเฉลยของ x2 ≡ 1(mod 13) คอื x ≡ 1, 12(mod 13)

ทฤษฎีบท 5.1.1 (ทฤษฎีบทของวิลสนั (W ilson′s theorem))
ถา้ p เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว

(p − 1)! ≡ −1(mod p)

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทที่ 5 ทฤษฎบี ทสมภาคสำคัญ 111

พสิ จู น์ พสิ ูจน์โดยใช้หลกั การอปุ นยั แบบเข้ม ดังน้ี
ถา้ p = 2 แล้ว (2 − 1)! = 1! = 1 ≡ −1(mod 2) ดงั น้นั ทฤษฎเี ปน็ จริง
สมมตุ วิ ่า p > 2 และ 2 · 3 · . . . · (p − 2) ≡ 1(mod p) เป็นจริง ดังนนั้

(p − 1)! = 1 · (2 · 3 · . . . · (p − 2)) · (p − 1) ≡ 1 · 1 · (p − 1)(mod p)
≡ (p − 1)(mod p)
≡ −1(mod p)

ตวั อยา่ งท่ี 5.1.3 จงแสดงว่า (10)! ≡ −1(mod 11)

วิธที ำ ให้ p = 11 จากทฤษฎบี ท 5.1.1 จะไดว้ า่

(p − 1)! = (11 − 1)! = (10)! = 1 · (2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9) · 10
≡ 1 · 1 · 10(mod 11)
≡ 10(mod 11)
≡ −1(mod 11)

และตวั อยา่ งต่อไปนี้เป็นการประยกุ ตท์ ฤษฎีบท 5.1.1
ตัวอยา่ งที่ 5.1.4 จงหาเศษจากการหาร (18)! ดว้ ย 19

วิธีทำ ให้ p = 19 จากทฤษฎีบท 5.1.1 จะได้วา่
(p − 1)! = (19 − 1)! = (18)! ≡ −1(mod 19) และเนอื่ งจาก −1 ≡ 18(mod 19)
ดังน้นั (18)! หารด้วย 19 เหลอื เศษ 18

ตวั อย่างท่ี 5.1.5 ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ และ n ∈ N จงพสิ ูจน์วา่

(np)! ≡ (−1)n(mod p)
n!pn

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

112 ทฤษฎีจำนวน

พสิ ูจน์

(np)! (np)!
n!pn = p · 2p · 3p · . . . · (np)

p!(2p)!(3p)! . . . ((n − 1)p)!(np)!
= p(2p)(3p) . . . ((n − 1)p)(np)

= (p − 1)!(2p − 1)!(3p − 1)! . . . (np − 1)!
∏n

= ((i − 1)p + 1) · ((i − 1)p + 2) · . . . · ((i − 1)p + (p − 1))

i=1

∏n
≡ (p − 1)!(mod p)

i=1

∏n
≡ (−1)(mod p)

i=1

≡ (−1)n(mod p)

ตัวอยา่ งท่ี 5.1.6 จากตัวอยา่ งที่ 5.1.5 ให้ p = 5 และ n = 46

จะไดว้ ่า (np)! = (46 · 5)! ≡ (−1)46 ≡ 1(mod 5)
n!pn (46)!546

ทฤษฎบี ท 5.1.2 ให้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก
ถ้า (n − 1)! ≡ −1(mod n) แลว้ n เปน็ จำนวนเฉพาะ

พิสจู น์ ให้ n เปน็ จำนวนประกอบ จะไดว้ า่ n = ab ซ่งึ a, b ∈ N และ 1 < a, b < n
เนื่องจาก a | n และ n | ((n − 1)! + 1) ดังน้ัน a | ((n − 1)! + 1) และเนอื่ งจาก
1 < a < n และ a ∈ {2, 3, . . . , n − 1} ดงั นนั้ a | (n − 1)! ทำใหไ้ ดว้ ่า a | ((n − 1)! +
1 − (n − 1)!) จะไดว้ า่ a | 1 น่ันคอื a = 1 ซง่ึ เกิดข้อขัดแยง้ กบั สมมุติฐาน จงึ สรุปไดว้ า่ n
เป็นจำนวนเฉพาะ

จะเหน็ ได้วา่ ทฤษฎบี ท 5.1.1 และ 5.1.2 เปน็ เงื่อนไขจำเป็นและเพยี งพอสำหรับจำนวน
เต็มบวกทจี่ ะเปน็ จำนวนเฉพาะ คือ

ถา้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวกและ n ≥ 2 แล้ว
n เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ตอ่ เมอ่ื (n − 1)! ≡ −1(mod n)

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 5 ทฤษฎบี ทสมภาคสำคัญ 113
ตวั อย่างท่ี 5.1.7

(1) เนอื่ งจาก (7 − 1)! = 6! = 720 ≡ −1(mod 7) ดงั นัน้ จากทฤษฎบี ท 5.1.2
จะได้ว่า 7 เปน็ จำนวนเฉพาะ

(2) เนื่องจาก (12 − 1)! = (11)! = 39, 916, 800 ≡ 0(mod 12) ดงั น้ัน

(12 − 1)! ̸≡ −1(mod 12)

จากทฤษฎีบท 5.1.2 โดยขอ้ ความแย้งสลับที่ จะไดว้ า่ 12 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

แบบฝึกหดั 5.1

(1) จงหาตัวผกผนั มอดโุ ล p ต่อไปน้ี
(1.1) p = 11
(1.2) p = 19

(2) สำหรับ p ตอ่ ไปนี้ จงแสดงว่า (p − 1)! ≡ −1(mod p) โดยไม่ใช้ทฤษฎีบท 5.1.2
(2.1) p = 5
(2.2) p = 13

(3) ให้ p, q เปน็ จำนวนเฉพาะ ซ่ึง p ≠ q ข้อความ
" ถ้า x2 ≡ 1(mod p) และ x2 ≡ 1(mod q) แล้ว x2 ≡ 1(mod pq) "

จริงหรือเท็จ ถ้าเทจ็ ให้ยกตวั อย่าง
(4) ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะค่ี จงพิสจู นว์ า่ 2(p − 3)! ≡ −1(mod p)
(5) จงพิสจู นว์ ่า จำนวนเตม็ บวก n ≥ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ตอ่ เมอื่ (n − 2)! ≡ 1(mod n)

5.2 ทฤษฎีบทของแฟรม์ าต์

ทฤษฏบี ทของแฟร์มาต์ (F ermat′s theorem) ไดม้ กี ารพสิ จู นค์ รั้งแรกโดยออยเลอร์
ในปี 1736 เกือบร้อยปหี ลงั จากแฟรม์ าต์ได้สร้างทฤษฏบี ทน้ีเมือ่ ปี 1640 อย่างไรก็ตามไลบ์นิซ
ไดพ้ ิสูจน์ไวก้ ่อนออยเลอร์เกอื บ 50 ปี แต่ไมไ่ ดต้ ีพิมพ์

บทตง้ั ตอ่ ไปนจี้ ะทำใหเ้ ราพสิ ูจนท์ ฤษฏีบทของแฟรม์ าต์ไดส้ ะดวกข้นึ

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

114 ทฤษฎีจำนวน

บทตง้ั 5.2.1 ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะและ a ∈ Z ซึ่ง (a, p) = 1 จะได้ว่า สว่ นตกคา้ ง
ค่านอ้ ยสุดของ {a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a} มอดุโล p คอื {1, 2, 3, . . . (p − 1)}

พสิ จู น์ เราจะแสดงว่า ia ≢ 0(mod p) ซง่ึ 1 ≤ i ≤ p − 1 และ ถา้ ia ≡ ja(mod p) ซึ่ง
1 ≤ i, j ≤ p − 1 แลว้ i = j

ตอนแรกจะพสิ จู น์วา่ ia ̸≡ 0(mod p) ซึ่ง 1 ≤ i ≤ p − 1 สมมตุ วิ ่า ia ≡
0(mod p) จะไดว้ า่ p | ia แต่ (a, p) = 1 ดงั น้นั p | i ซ่ึงเป็นไปไม่ได้ เพราะวา่ p > i ดังน้ัน
ia ̸≡ 0(mod p)

ต่อไปจะพสิ ูจน์ว่า ถา้ ia ≡ ja(mod p) ซ่ึง 1 ≤ i, j ≤ p − 1 แล้ว i = j
สมมุติวา่ ia ≡ ja(mod p) ซ่ึง 1 ≤ i, j ≤ p − 1 เนอ่ื งจาก (a, p) = 1 และจากทฤษฏบี ท
4.1.2 (2) ดงั นั้น i ≡ j(mod p) แตเ่ นื่องจาก i และ j เปน็ สว่ นตกคา้ งคา่ น้อยสดุ มอดุโล
p ดังน้ัน i = j นนั่ คือ ไมม่ ีส่วนตกคา้ งค่าน้อยสุดคู่ใดของ {a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a}
ที่สมภาคกันในมอดุโล p

ตวั อยา่ งท่ี 5.2.1 จงหาส่วนตกคา้ งคา่ น้อยสดุ ของ {12, 24, 36, 48, 60, 72} มอดุโล 7

วิธที ำ ให้ p = 7 และ a = 12 ซงึ่ (12, 7) = 1 เน่อื งจาก

{12, 24, 36, 48, 60, 72} = {1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12}

จะเห็นว่า

1 · 12 = 12 ≡ 5(mod 7)
2 · 12 = 24 ≡ 3(mod 7)
3 · 12 = 36 ≡ 1(mod 7)
4 · 12 = 48 ≡ 6(mod 7)
5 · 12 = 60 ≡ 4(mod 7)
6 · 12 = 72 ≡ 2(mod 7)

ดงั นนั้ ส่วนตกคา้ งคา่ น้อยสดุ ของ {1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12} คอื
{1, 2, 3, 4, 5, 6}

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 5 ทฤษฎบี ทสมภาคสำคญั 115

ทฤษฎบี ท 5.2.1 (ทฤษฎีบทของแฟรม์ าต์ (F ermat′s theorem))
ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะ และ a ∈ Z จะไดว้ า่

ap−1 ≡ 1(mod p)

พสิ จู น์ ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะ และ a ∈ Z จากบทต้ัง 5.2.1 จะได้ว่า ส่วนตกค้างคา่ นอ้ ย
สดุ ของ {a, 2a, 3a, . . . , (p − 1)a} มอดโุ ล p คอื {1, 2, 3, . . . (p − 1)} ดงั นัน้

a · 2a · 3a · . . . · (p − 1)a ≡ 1 · 2 · 3 · . . . · (p − 1)(mod p)

น่ันคอื (p − 1)!ap−1 ≡ (p − 1)!(mod p) เนอ่ื งจาก ((p − 1)!, p) = 1 ดังน้นั จากทฤษฏบี ท
4.1.2 (2) จะไดว้ า่ ap−1 ≡ 1(mod p)

ตวั อย่างท่ี 5.2.2 จงแสดงว่า (12)6 ≡ 1(mod 7)

วิธีทำ ให้ p = 7 และ a = 12 จากทฤษฎบี ท 5.2.1 จะได้วา่ ส่วนตกค้างค่าน้อยสุดของ
{1 · 12, 2 · 12, 3 · 12, 4 · 12, 5 · 12, 6 · 12} มอดุโล 7 คือ {1, 2, 3, 4, 5, 6} ดงั นัน้

(1 · 12)(2 · 12)(3 · 12)(4 · 12)(5 · 12)(6 · 12) ≡ 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6(mod 7)

นนั่ คือ 6!(12)6 ≡ 6!(mod 7)
เน่อื งจาก (6!, 7) = 1 ดังน้ัน (12)6 ≡ 1(mod 7)

ตวั อย่างท่ี 5.2.3 จงหาเศษจากการหาร (24)1947 ด้วย 17

วธิ ีทำ เนื่องจาก 24 ≡ 7(mod 17) ดังน้นั (24)1947 ≡ 71947(mod 17) แตจ่ ากทฤษฎีบท
5.2.1 จะได้ว่า 716 ≡ 1(mod 17) ดงั น้ัน

71947 = 7(16)(121)+11 = 7(16)(121) · 711 ≡ 1121 · 711 ≡ 711(mod 17)

เนื่องจาก 72 ≡ −2(mod 17) ดังน้นั
711 ≡ (72)5 · 7 ≡ (−2)5 · 7 ≡ (−32) · 7 ≡ 2 · 7 ≡ 14(mod 17)

นน่ั คอื (24)1947 หารด้วย 17 เหลอื เศษ 14

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

116 ทฤษฎีจำนวน

ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี แสดงให้เหน็ วา่ ทฤษฎีบทของแฟรม์ าต์ สามารถนำไปใชไ้ ดก้ ับจำนวน
เต็ม a ใด ๆ
ทฤษฎบี ท 5.2.2 ให้ p เปน็ จำนวนเฉพาะ และ a ∈ Z จะได้ว่า

ap ≡ a(mod p)

พสิ จู น์ ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ ถ้า (a, p) = 1 แลว้ จากทฤษฎบี ทของ 5.2.1
จะไดว้ ่า ap−1 ≡ 1(mod p) ดังน้ัน ap ≡ a(mod p)

สมมตุ ิว่า (a, p) ̸= 1 จะได้ว่า p ≡ a ≡ 0(mod p) ดังนน้ั ap ≡ 0(mod p)
แล้วทำใหไ้ ดว้ ่า ap ≡ a(mod p)

จากทัง้ สองกรณี สรปุ ได้วา่ ap ≡ a(mod p)

ตัวอยา่ งที่ 5.2.4 ให้ p = 7 ถ้า a = 12 แล้วจากตวั อยา่ งท่ี 5.2.2
จะไดว้ ่า (12)6 ≡ 1(mod 7) ดงั นน้ั (12)7 ≡ 12(mod 7)

และถา้ a = 28 แล้ว 28 ≡ 0(mod 7) ดงั น้นั (28)7 ≡ 0(mod 7)
แต่ 0 ≡ 28(mod 7) ดงั นนั้ (28)7 ≡ 28(mod 7)

แบบฝกึ หดั 5.2

(1) จงหาส่วนตกคา้ งค่าน้อยสดุ ของ 3204 มอดโุ ล 11
(2) จงแสดงวา่ 536 ≡ 3(mod 11)
(3) ให้ p, q เปน็ จำนวนเฉพาะ p ̸= q และ a ∈ N ซ่งึ ap ≡ a(mod q) และ aq ≡ a(mod p)
จงพิสจู นว์ ่า apq ≡ a(mod pq)
(4) จงแสดงว่า 2383 ≡ 4(mod 384)

5.3 จำนวนเฉพาะเทียม

ถา้ สมภาคในทฤษฎีบท 5.2.2 ท่ไี ด้จากทฤษฎีบทของแฟรม์ าต์ไม่เปน็ จริงสำหรบั บาง
จำนวนเตม็ b น่นั คือ ถ้า bn ̸≡ b(mod n) สำหรับบาง b ∈ Z แล้ว n จะไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ
ดังนั้น n จะเป็นจำนวนประกอบ

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

บทท่ี 5 ทฤษฎบี ทสมภาคสำคัญ 117

ตัวอยา่ งท่ี 5.3.1 จงแสดงวา่ 33 เป็นจำนวนประกอบ

วิธที ำ ถา้ 33 เปน็ จำนวนเฉพาะ จะได้วา่ 233 ≡ 2(mod 33)
เนอื่ งจาก 25 ≡ (−1) ≡ 8(mod 33) ดงั น้นั

233 = (25)6 · 23 ≡ (−1)6 · 8 ≡ 8(mod 33) ̸≡ 2(mod 33)
นน่ั คือ 33 ไมเ่ ปน็ จำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 5.3.2 จงแสดงวา่ 2341 ≡ 2(mod 341)

วิธที ำ เนอ่ื งจาก 341 = 11 · 31 และ
210 ≡ 1(mod 11) ทำให้ 2341 = (210)34 · 2 ≡ 134 · 2 ≡ 2(mod 11)
และ 25 ≡ 1(mod 31) ทำให้ 2341 = (25)68 · 2 ≡ 168 · 2 ≡ 2(mod 31)
ดังนนั้ 2341 ≡ 2(mod [11, 31])
นัน่ คอื 2341 ≡ 2(mod 341) ซึ่ง 341 ไมเ่ ป็นจำนวนเฉพาะ

จากตัวอยา่ งข้างตนั จะเห็นวา่ สมภาคท้งั สองมีฐานเป็น b = 2 ซึง่ เปน็ ทีม่ าของบทนยิ าม
ต่อไปนี้
บทนยิ าม 5.3.1 ให้ n เปน็ จำนวนประกอบ เราจะเรยี ก n ว่า จำนวนเฉพาะเทยี ม
(pseudoprime) ถ้า 2n ≡ 2(mod n)

หมายเหตุ 5.3.1 จำนวนเฉพาะเทยี ม 4 ตัวแรกที่เป็นจำนวนค่ีคือ 341, 561, 645 และ
1, 105 ส่วนจำนวนเฉพาะเทยี มทเี่ ล็กสดุ ทเ่ี ป็นจำนวนคู่คอื 161, 038

ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ที ำให้เราสามารถสรา้ งจำนวนเฉพาะเทียมไดแ้ ละสร้างได้ไม่จำกดั
บทต้ัง 5.3.1 ให้ m, n เปน็ จำนวนเตม็ บวก และ m | n จะได้ว่า (2m − 1) | (2n − 1)

พิสจู น์ เนื่องจาก m | n ดงั นั้น n = km สำหรับบางจำนวนเต็มบวก k จะได้ว่า
(2n − 1) = (2km − 1)
= (2m − 1)[2(k−1)m + 2(k−2)m + . . . + 2m + 1]

ดังนน้ั (2m − 1) | (2n − 1)

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

118 ทฤษฎีจำนวน

บทต้งั 5.3.2 ให้ n เป็นจำนวนเฉพาะเทยี มและเป็นจำนวนค่ี จะไดว้ ่า 2n − 1 เป็นจำนวน
เฉพาะเทียมและเปน็ จำนวนค่ื

พสิ ูจน์ ให้ n เป็นจำนวนเฉพาะเทียม จะไดว้ ่า n เปน็ จำนวนประกอบและ 2n ≡ 2(mod n)
เนื่องจาก n เปน็ จำนวนค่ี ดงั น้นั 2n−1 ≡ 1(mod n) ให้ n = rs เมือ่ 1 < r, s < n
และ N = 2n − 1 เน่อื งจาก r | n จากบทตัง้ 5.3.1 จะไดว้ า่ (2r − 1) | (2n − 1) นนั่ คอื
(2r − 1) | N ดงั นั้น N เป็นจำนวนค่ี ต่อไปจะแสดงวา่ 2N ≡ 2(mod N ) ดังนี้ เนือ่ งจาก
2n ≡ 2(mod n) ดังน้นั n | (2n − 2) จะไดว้ า่ (2n − 2) = kn สำหรบั บางค่า k ∈ Z
นัน่ คือ (N − 1) = kn ทำให้ไดว้ ่า 2(N−1) − 1 = 2kn − 1 จากบทต้ัง 5.3.1 จะได้วา่
N = 2N − 1 | 2kn − 1 ดงั น้ัน 2(N−1) − 1 ≡ 0(mod N ) นั่นคือ 2(N−1) ≡ 1(mod N )
ทำให้ได้วา่ 2N ≡ 2(mod N )

ตวั อย่างท่ี 5.3.3 ถา้ 341 เป็นจำนวนเฉพาะเทยี มแลว้ จงหาจำนวนเฉพาะเทียมอีก 2 จำนวน

วิธที ำ เน่อื งจาก 341 เปน็ จำนวนเฉพาะเทียม ดงั นัน้
จากบทต้งั 5.3.2 จะได้ว่า 2341 − 1 เป็นจำนวนเฉพาะเทียม
และจากบทตง้ั 5.3.2 จะได้วา่ 2(2341−1) − 1 เปน็ จำนวนเฉพาะเทยี ม

ทฤษฎบี ท 5.3.1 มีจำนวนเฉพาะเทียมเปน็ จำนวนอนนั ต์

พสิ ูจน์ ให้ ni เปน็ จำนวนเฉพาะเทยี มทเ่ี ป็นจำนวนค่ี จากบทตง้ั 5.3.2 จะไดจ้ ำนวนเฉพาะเทียม
ทเี่ ปน็ จำนวนค่ี ni+1 คอื 2ni−1 สำหรบั i = 0, 1, 2, . . . ให้ n0 = 341 จะไดจ้ ำนวนเฉพาะเทยี ม
เปน็ จำนวนอนันต์

นอกจากสมภาคทีม่ ีฐานเปน็ b = 2 แล้วยังมีสมภาคท่ีมีฐาน a และ n เปน็ จำนวน
ประกอบ ซงึ่ an ≡ a(mod n) เชน่ 391 ≡ 3(mod 91) และ 415 ≡ 4(mod 15)

สำหรับสมภาคที่มีฐาน a ∈ Z และ n เป็นจำนวนประกอบ ซงึ่ an ≡ a(mod n)
เราจะเรียก n ว่า จำนวนเฉพาะเทยี มสัมบูรณ์ (absolute pseudoprime number) หรอื
จำนวนคารไ์ มเคิล (Carmichael number) ซ่งึ โรเบริ ์ต คารไ์ มเคลิ (Robert Daniel
Carmichael, 1879–1967) นกั คณิตศาสตรช์ าวอเมรกิ นั ได้ค้นพบและตพี ิมพ์ไว้ในปี 1970

มหาวิทยาลัยราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 5 ทฤษฎีบทสมภาคสำคญั 119

เชน่ จำนวน 561 และ 1, 105 รวมท้งั 1, 709 เปน็ ต้น ซงึ่ สำหรบั a ∈ Z จะได้ว่า
a561 ≡ a(mod 561)

ในปี ค.ศ. 1994 อัลฟอรด์ (W.R. Alf ord) แอนดรู แกรนวลิ ลี (Andrew Granville)
และ คาร์ล พอเมอรนั ซ์ (Carl P omerance) ได้ตพี มิ พผ์ ลงานวิจยั แสดงให้เห็นวา่ มจี ำนวน
เฉพาะเทียมเป็นจำนวนอนันต์

แบบฝกึ หดั 5.3

(1) สำหรบั n ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี จงแสดงว่า 2n ≡ 2(mod n)
(1.1) n = 561
(1.2) n = 645
(1.3) n = 1, 105

(2) จงแสดงว่า
(2.1) 2340 ̸≡ 2(mod 340)
(2.2) 390 ≡ 1(mod 91)
(2.3) 414 ≡ 1(mod 15)
(2.4) 5123 ≡ 1(mod 124)

(3) จงแสดงว่าจำนวนต่อไปนเี้ ป็นจำนวนคาร์ไมเคลิ
(3.1) 1, 105 = (5)(13)(17)
(3.2) 1, 729 = (7)(13)(19)
(3.3) 2, 465 = (5)(17)(29)

5.4 ทฤษฎีบทของออยเลอร์

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์บอกเราวา่ มีจำนวนเฉพาะ p ซงึ่ a(p−1) ≡ 1(mod p) และ
ออยเลอร์ ได้ขยายทฤษฎีบทนีไ้ ปสจู่ ำนวนเตม็ บวกใด ๆ โดยพสิ ูจน์ไวเ้ ม่อื ปี 1760 จากบทตั้ง
5.2.1 เราจะขยายจากจำนวนเฉพาะ p เป็นจำนวนเต็มบวก ดังน้ี

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

120 ทฤษฎจี ำนวน

บทต้ัง 5.4.1 ให้ m ∈ N และ a ∈ Z และ (a, m) = 1 ให้ r1, r2, . . . , rϕ(m)
เปน็ จำนวนเต็มบวกทีน่ อ้ ยกว่าหรือเท่ากบั m ซ่ึง (ri, m) = 1, i = 1, 2, . . . , ϕ(m) จะไดว้ า่
ส่วนตกค้างคา่ น้อยสุดของ {ar1, ar2, . . . , arϕ(m)} มอดุโล m คอื

r1, r2, . . . , rϕ(m)

พสิ จู น์ ก่อนอื่นเราจะแสดงวา่ (ari, m) = 1, สำหรบั แตล่ ะ i ∈ {1, 2, . . . , ϕ(m)}
สมมตุ วิ า่ (ari, m) > 1 ให้ (ari, m) = p ซง่ึ p เปน็ จำนวนเฉพาะ จะได้ว่า

p | ari และ p | m

เนอื่ งจาก p | ari ดังนัน้ p | a หรือ p | ri ถา้ p | ri และ p | m แล้ว (ri, m) ≠ 1
ซ่ึงเกิดข้อขดั แยง้ ดังนัน้ p | a ขณะนเ้ี ราไดว้ ่า p | a และ p | m ดงั นัน้ p | (a, m)
ซงึ่ เกิดขอ้ ขัดแยง้ ดงั นั้นจงึ สรปุ ได้วา่ (ari, m) = 1

ต่อไปจะแสดงว่า ari ̸≡ arj(mod m) ซง่ึ 1 ≤ i < j ≤ ϕ(m)
สมมุติว่า ari ≡ arj(mod m) (จะแสดงวา่ ri = rj) เนื่องจาก (a, m) = 1
ดังนนั้ ri ≡ rj(mod m) และเนอื่ งจาก ri, rj เป็นสว่ นตกค้างค่าน้อยสดุ มอดุโล m
ดังนน้ั ri = rj นั่นคือ ถ้า ri ̸= rj แล้ว ari ≢ arj(mod m)

สรุปไดว้ า่ ส่วนตกค้างค่าน้อยสดุ ของ {ar1, ar2, . . . , arϕ(m)} มอดโุ ล m คอื
r1, r2, . . . , rϕ(m)
ตัวอยา่ งท่ี 5.4.1 จงหาสว่ นตกค้างค่านอ้ ยสุดของ {35, 175, 245, 385} มอดุโล 12

วิธีทำ ให้ m = 12 และ a = 35 จะเห็นว่า ϕ(12) = 4 และเนือ่ งจาก

35 · 1 = 35 ≡ 11(mod 12)
35 · 5 = 175 ≡ 7(mod 12)
35 · 7 = 245 ≡ 5(mod 12)
35 · 11 = 385 ≡ 1(mod 12)

และ (ri, m) = 1, ri ∈ {1, 5, 7, 11} ดงั น้ัน ส่วนตกคา้ งคา่ นอ้ ยสุดของ
{35 · 1, 35 · 5, 35 · 7, 35 · 11} มอดโุ ล 12 คอื {1, 5, 7, 11} มอดโุ ล 12

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 5 ทฤษฎีบทสมภาคสำคญั 121

ทฤษฎบี ท 5.4.1 (ทฤษฎบี ทของออยเลอร์ (Euler′s theorem))
ให้ m ∈ N และ a ∈ Z ซงึ่ (a, m) = 1 จะไดว้ ่า

aϕ(m) ≡ 1(mod m)

พิสจู น์ ให้ r1, r2, . . . , rϕ(m) เปน็ ส่วนตกคา้ งคา่ นอ้ ยสดุ มอดโุ ล m ซง่ึ (ri, m) = 1,
i = 1, 2, . . . , ϕ(m) จากบทต้งั 5.4.1 จะไดว้ ่า

(ar1)(ar2) . . . (arϕ(m)) ≡ r1r2 . . . rϕ(m)(mod m)

ดังน้ัน aϕ(m)r1r2 . . . rϕ(m) ≡ r1r2 . . . rϕ(m)(mod m)
เนอ่ื งจาก (ri, m) = 1 ดังนั้น (r1, r2, . . . , rϕ(m)) = 1
ทำใหไ้ ด้วา่ aϕ(m) ≡ 1(mod m)
ตวั อยา่ งที่ 5.4.2 จงแสดงวา่ (35)ϕ(12) ≡ 1(mod 12)

วธิ ีทำ จากตวั อยา่ ง 5.4.1 เนอ่ื งจาก (35 · 1)(35 · 5)(35 · 7)(35 · 11) ≡ 1 · 5 · 7 · 11(mod 12)
ดังนั้น (35)4(1 · 5 · 7 · 11) ≡ 1 · 5 · 7 · 11(mod 12) และเนอ่ื งจาก (1 · 5 · 7 · 11, 12) = 1
ดังนัน้ (35)4 ≡ 1(mod 12) นั่นคือ (35)ϕ(12) ≡ 1(mod 12)
ตัวอย่างท่ี 5.4.3 จงแสดงวา่ (77)8 ≡ 1(mod 24)

วิธีทำ ให้ m = 24 และ a = 77 เน่ืองจาก จำนวนเตม็ บวกทีน่ อ้ ยกวา่ หรอื เทา่ กับ 24 และเป็น
จำนวนเฉพาะสมั พัทธ์กับ 24 มจี ำนวน 8 ตวั คือ 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19 และ 23 ดังนัน้
ϕ(24) = 8 เนอื่ งจาก (77, 24) = 1 ดังนั้นจากทฤษฎีบท 5.4.1 จะได้ว่า

aϕ(24) ≡ 1(mod m)

นน่ั คอื (77)8 ≡ 1(mod 24)
ตรวจสอบ เน่อื งจาก 77 ≡ 5(mod 24) ดังน้นั (77)8 ≡ 58(mod 24) และ เนอื่ งจาก

52 ≡ 1(mod 24) ดังนั้น (77)8 ≡ 58 = (52)4 ≡ 14 ≡ 1(mod 24) จริง

ทฤษฎีบทของออยเลอรม์ ีประโยชน์ในการหาเศษเหลอื ของจำนวนท่ียกกำลังมากๆ แต่
ทัง้ น้ี เลขฐานกบั ตัวหารต้องเป็นจำนวนเฉพาะสัมพทั ธ์

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

122 ทฤษฎีจำนวน

ตวั อยา่ งท่ี 5.4.4 จงหาเศษจากการหาร 2451040 ด้วย 18
วิธที ำ เนอ่ื งจาก 245 ≡ 11(mod 18) ดงั น้ัน (245)1040 ≡ (11)1040(mod 18)
แต่ (11, 18) = 1 และ ϕ(18) = 6 จากทฤษฎีบท 5.4.1 จะได้ว่า
(11)ϕ(18) = (11)6 ≡ 1(mod 18)
ดังนนั้ (11)1040 = ((11)6)173 · (11)2 ≡ 1173 · 121 ≡ 13(mod 18)
ตัวอยา่ งที่ 5.4.5 จงหาเศษจากการหาร 33100 ด้วย 40

วิธีทำ เนื่องจาก ϕ(40) = 16 และจากทฤษฎบี ท 5.4.1 จะได้ว่า
(33)ϕ(40) = (33)16 ≡ 1(mod 40)
ดงั นน้ั (33)100 = (3396)(334) = ((33)16)6 · (1089)2 ≡ 16 · 92 = 81 ≡ 1(mod 40)

บทแทรกตอ่ ไปนไ้ี ด้จากทฤษฎบี ท 5.4.1
บทแทรก 5.4.1 ให้ m1, m2, . . . , mk ∈ N และ (mi, mj) = 1, i ≠ j และ a ∈ Z ซึ่ง
(a, mi) = 1, 1 ≤ i ≤ k จะไดว้ า่

a[ϕ(m1),ϕ(m2),...,ϕ(mk)] ≡ 1(mod m1m2 . . . mk)

แบบฝกึ หัด 5.4

(1) จงแสดงวา่ a6 ≡ 1(mod 18) สำหรับ a = 5, 7, 11, 13 และ 17
(2) จงหาเศษจากการหาร ตอ่ ไปน้ี

(2.1) 71020 ÷ 15
(2.2) (79)1776 ÷ 24
(3) ข้อตอ่ ไปน้ี ถ้าจริงให้พสิ จู น์ ถ้าเท็จให้ยกตัวอยา่ งคา้ น
(3.1) ϕ((a, b)) = (ϕ(a), ϕ(b))
(3.2) ϕ([a, b]) = [ϕ(a), ϕ(b)]
(4) ให้ a และ b เป็นจำนวนเฉพาะสมั พัทธ์ จงพิสจู นว์ ่า ab + ba ≡ 1(mod ab)
(5) จงพิสจู นว์ า่ 215 − 23 หาร a15 − a3 ลงตวั สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 6
สมการไดโอแฟนไทน์

สมการ xn + yn = zn มผี ลเฉลยทเี่ ป็นจำนวนจริงไดห้ ลายผลเฉลย เชน่
√

x = 1 y = 1 และ z = 3 2
ซงึ่ สมการนี้ไมม่ ผี ลเฉลยทเ่ี ป็นจำนวนเตม็ แต่สมการไดโอแฟนไทน์ (Diophantine equations)
ซึง่ เป็นช่อื ท่ีตั้งขึน้ เพือ่ เป็นเกยี รตแิ ก่นักคณติ ศาสตร์ชาวกรกี ช่อื ไดโอแฟนตัส (Diophantus,
ค.ศ. 200−284) เป็นสมการที่เราสนใจผลเฉลยท่เี ป็นจำนวนเตม็ สมการเหลา่ นี้อาจเป็นสมการ
ดกี รีหน่ึงหรือมากกว่าหนึง่ และอาจมตี วั แปรหน่งึ ตัวหรือหลายตัว หรือเป็นระบบสมการทมี่ ตี วั แปร
มากกวา่ จำนวนสมการ เชน่ สมการท่ีอยู่ในรปู

ax + by = c หรือ xn + yn = zn เชน่ 3x − 4y = 10, x2 + 2y2 = z2 เป็นตน้
ซึ่งสมการไดโอแฟนไทน์ต่าง ๆ เหลา่ น้ี หาผลเฉลยท้ังหมดท่ีเปน็ จำนวนเต็มได้ไมง่ า่ ยนัก ในบทนี้
ได้กล่าวถงึ สมการไดโอแฟนไทน์ตวั แปรกำลังหนึ่ง ตวั แปรกำลังสองขนึ้ ไป และสมการรปู แบบ
พิเศษอีกหนึ่งรปู แบบ

6.1 สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

บทนยิ าม 6.1.1 ให้ a1, a2, . . . , an ∈ Z − {0} และ k ∈ Z จะเรยี กสมการ
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = k

เมอ่ื x1, x2, . . . , xn เป็นตวั แปรของจำนวนเต็มวา่ สมการไดโอแฟนไทนเ์ ชงิ เสน้ (linear
Diophantine equations) n ตัวแปร

124 ทฤษฎีจำนวน

ตวั อยา่ งท่ี 6.1.1 1) 4x + 6y = 10 เปน็ สมการไดโอแฟนไทนเ์ ชงิ เสน้ 2 ตัวแปร

2) x + 5y − 7z + w = 1 เป็นสมการไดโอแฟนไทนเ์ ชงิ เสน้ 4 ตัวแปร
√√

3) 3x + 7y = 5 ไมเ่ ป็นสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น เพราะ 3 ∈/ Z

4) 3x − xy + 11 = 0 ไม่เป็นสมการไดโอแฟนไทน์เชงิ เส้น เพราะมีพจน์ xy

ทฤษฎีบท 6.1.1 สมการไดโอแฟนไทน์ ax + by = c มีผลเฉลยเปน็ จำนวนเต็ม ก็ต่อเมอ่ื
(a, b) | c

พิสจู น์ ให้ d = (a, b) สมมตุ ิวา่ ax + by = c มีผลเฉลยเป็น x0, y0 ∈ Z
ดังนนั้ ax0 + by0 = c จากบทนยิ าม 2.2.1 จะไดว้ า่ d | a และ d | b ดังน้นั d | (ax0 + by0)
น่ันคอื d | c สำหรับการพิสจู น์บทกลบั ของทฤษฎี สมมุติว่า d | c และจาก d = (a, b)
ดังนัน้ จะมี x′, y′ ∈ Z ซึ่ง ax′ + by′ = d เนือ่ งจาก d | c ดังนั้น จะมี k ∈ Z ซง่ึ c = dk
จะไดว้ ่า a(kx′) + b(ky′) = (ax′)k + (by′)k = dk = c ดังนัน้ สมการ ax + by = c
มีผลเฉลย

จากสมการไดโอแฟนไทน์ ax + by = c จะเหน็ ว่า
ax − c = −by หรอื by − c = −ax

ดงั นั้น

b | (ax − c) หรือ a | (by − c)

นน่ั คือ

ax ≡ c(mod b) หรอื by ≡ c(mod a)

ซ่งึ สามารถใช้สมการสมภาคสองสมการน้ีหาผลเฉลยของ ax + by = c ได้

ตัวอย่างท่ี 6.1.2 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 2x + 6y = 8

วธิ ีทำ เนือ่ งจาก (2, 6) = 2 และ 2 | 8 ดงั นนั้ สมการมผี ลเฉลย
จาก 2x + 6y = 8 จะไดว้ า่ 2x ≡ 8(mod 6) หรอื 6y ≡ 8(mod 2)
เราเลอื กใช้ 2x ≡ 8(mod 6) จะได้วา่ x ≡ 4(mod 3) ≡ 1(mod 3)
นัน่ คอื

มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 125

x = 1 + 3t เมื่อ t ∈ Z

แทนค่า x ในสมการจะได้วา่ 2(1 + 3t) + 6y = 8 ดงั น้นั y = 1 − t
นนั่ คอื ผลเฉลยรปู ทว่ั ไปคอื x = 1 + 3t และ y = 1 − t เมอ่ื t ∈ Z

ตวั อย่างผลเฉลยของสมการในตัวอย่าง 6.1.2 เช่น
ถ้า t = 0 แลว้ x = 1 และ y = 1
ถา้ t = 1 แลว้ x = 4 และ y = 0
ถ้า t = −1 แล้ว x = −2 และ y = 2 เป็นต้น

ตัวอยา่ งที่ 6.1.3 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ 3x − 6y + 9z = 63

วธิ ที ำ เน่ืองจาก (3, −6, 9) = 3 และ 3 | 63 ดงั นนั้ สมการมผี ลเฉลย

จาก 3x − 6y + 9z = 63 จะได้ว่า 3x − 6y = 63 − 9z (∗)

จะเหน็ ว่า (3, −6) = 3 ดงั นน้ั สมการ (∗) มีผลเฉลย ก็ตอ่ เมอื่ 3 | (63 − 9z)

เนื่องจาก z ∈ Z และ 3 | (63 − 9z) เป็นจริงเสมอ

ให้ z = t1 เม่อื t1 ∈ Z

แทนค่า z ในสมการ (∗) จะได้ว่า 3x − 6y = 63 − 9t1

หรอื x − 2y = 21 − 3t1 (∗∗)

เน่ืองจาก (1, −2) = 1 และ 1 | (21 − 3t1) เปน็ จริงเสมอ ดังนั้น สมการ (∗∗) มีผลเฉลย

ให้ y = t2 เมื่อ t2 ∈ Z

แทนค่า y ในสมการ (∗∗) จะไดว้ ่า x = 21 − 3t1 + 2t2

ดงั นนั้ ผลเฉลยของสมการ คอื x = 21 − 3t1 + 2t2

y = t2

z = t1

เม่ือ t1, t2 ∈ Z

ตัวอยา่ งที่ 6.1.4 รถโดยสารสาย 44 อุดร-โนนสงู เกบ็ คา่ โดยสารผูใ้ หญค่ นละ 14 บาท
และเด็กคนละ 8 บาท ถ้าวันหนึง่ เกบ็ ค่าโดยสารได้ 576 บาท แล้วในวนั นั้น มผี ูใ้ หญแ่ ละ
เดก็ นัง่ โดยสารที่เปน็ ไปไดก้ ีค่ น

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

126 ทฤษฎจี ำนวน

วธิ ที ำ สมมตุ วิ ่าในวันน้นั มีผโู้ ดยสารน่ัง เป็นผใู้ หญจ่ ำนวน x คนและเป็นเดก็ จำนวน y คน
จะไดส้ มการเปน็

14x + 8y = 576

ซึ่ง (14, 8) = 2 และ 2 | 576 ดงั นัน้ สมการมผี ลเฉลย
จาก 14x + 8y = 576 จะได้วา่ 14x ≡ 576(mod 8) แล้วไดว้ ่า 7x ≡ 288(mod 4)
แต่ 7x ≡ 3x(mod 4) และ 288 ≡ 0(mod 4) ดังนั้น 3x ≡ 0(mod 4) และจากทฤษฎีบท
4.1.2 (2) จะได้วา่ x ≡ 0(mod 4) ทำให้ไดว้ า่

x = 0 + 4t เมอ่ื t ∈ Z
แทนค่า x ในสมการจะได้วา่ 14(4t) + 8y = 576 ดังนน้ั y = 72 − 7t
เนื่องจากจำนวนผู้โดยสาร คอื x ≥ 0 และ y ≥ 0 ดงั นนั้ 4t ≥ 0 และ 72 − 7t ≥ 0
จะไดว้ า่ t ≥ 0 และ t ≤ 72 น่นั คือ t = 0, 1, 2, . . . , 10 แทนคา่ t เพื่อหาคา่ x และ y

7
จะได้จำนวนผู้โดยสารท่ีเปน็ ไปได้ดังตาราง

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
จำนวนผใู้ หญ่(x) 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
จำนวนเด็ก(y) 72 65 58 51 44 37 30 23 16 9 2

ตัวอย่างที่ 6.1.5 นกั ศกึ ษาคนหนง่ึ หารายได้พเิ ศษช่วงปิดเทอมโดยการขายลกู ชิ้นป้งิ ประเภท
ปลา หมู และเนือ้ ไม้ละ 5, 6 และ 7 บาท ตามลำดับ มอี ยู่เช้าวันหน่งึ ขายไดเ้ งินแค่ 50 บาท
ถามวา่ เช้านน้ั เขาขายได้อยา่ งละกไี่ ม้

วธิ ีทำ สมมตุ วิ า่ เช้าวันนนั้ เขาขายจำนวนลกู ชน้ิ ปง้ิ ประเภทปลา หมู และเนื้อ ได้อยา่ งละ x, y
และ z ไม้ ตามลำดับ จะไดส้ มการเป็น

5x + 6y + 7z = 50

ซง่ึ (5, 6, 7) = 1 และ 1 | 50 ดังนัน้ สมการมีผลเฉลย

จัดสมการเป็น 5x + 6y = 50 − 7z (∗)

จะเหน็ ว่า (5, 6) = 1 และ 1 | (50 − 7z) ไดเ้ สมอ มหาวทิ ยาลัยราชภัฏอุดรธานี

ให้ z = t1 เมอื่ t1 ∈ Z

บทท่ี 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 127

แทนค่า z ในสมการ (∗) จะได้วา่ 5x + 6y = 50 − 7t1 ทำให้ไดว้ ่า 5x ≡ 50 − 7t1(mod 6)

แต่ 5x ≡ −x(mod 6) และ −x ≡ 50 − 7t1(mod 6) ดงั นั้น x ≡ 7t1 − 50(mod 6)

จะได้วา่ x = 7t1 − 50 + 6t2 เมือ่ t2 ∈ Z

แทนค่า x และ z ในสมการ (∗) จะไดว้ า่ 5(7t1 − 50 + 6t2) + 6y = 50 − 7t1 หรือ

y = 50 − 7t1 − 5t2

ดงั น้นั ผลเฉลยของสมการ คอื x = −50 + 7t1 + 6t2

y = 50 − 7t1 − 5t2

z = t1

เมือ่ t1, t2 ∈ Z

เนื่องจาก x, y, z ∈ N ดังนน้ั t1 ≥ 0, −50 + 7t1 + 6t2 ≥ 0 และ 50 − 7t1 − 5t2 ≥ 0

จะไดว้ ่า t1 ≥ 0, t2 ≥ 50 − t1 และ t2 ≤ 50 − t1
6 5
50 − t1 50 − t1
นัน่ คอื t1 ≥0 และ 6 ≤ t2 ≤ 5

เม่อื แทนคา่ t1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 จะไดค้ ่า t2 = 10, 8, 7, 5, 4, 2, 1 และ หาค่าไม่ได้

ตามลำดบั ดงั นั้น เขาขายจำนวน(ไม้)ลกู ช้ินปลา หมู และเนอื้ ตามตาราง (นกั ศกึ ษาช่วยเตมิ ใน

ชอ่ งว่าง)

t1 0 1 2 3 4 5 6
t2 10 8 7 5 4 2 1
จำนวน(ไม้)ลูกชนิ้ ปลา(x) 10 5 6

จำนวน(ไม)้ ลกู ช้ินหมู(y) 0 3 1

จำนวน(ไม)้ ลกู ช้นิ เน้อื (z) 0 1 2 3 4 5 6

เราอาจนำวิธกี ารกำจดั ตวั แปร มาหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทน์ได้
ดังตวั อย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างท่ี 6.1.6 จงหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเสน้ (1)
2x + 2y + z = 13 (2)
x + 4y + 3z = 21

วธิ ีทำ (1) × 3; 6x + 6y + 3z = 39 (3)
(3) − (2); 5x + 2y = 18 (4)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

128 ทฤษฎีจำนวน

เน่ืองจาก (5, 2) = 1 และ 1 | 18 ดังนัน้ สมการ (4) มีผลเฉลย
จากสมการ (4) เขยี นไดเ้ ป็น 5x ≡ 18(mod 2) จะไดว้ ่า 5x ≡ 0(mod 2)
น่ันคอื x ≡ 0(mod 2) จะได้วา่ x = 0 + 2t เม่อื t ∈ Z
แทนคา่ x ในสมการ (4) จะได้ว่า 5(2t) + 2y = 18 นั่นคอื y = 9 − 5t
แทนค่า x และ y ในสมการ (1) จะไดว้ า่ 2(2t) + 2(9 − 5t) + z = 13 น่นั คอื z = 6t − 5
ดงั นนั้ ผลเฉลยของระบบสมการคือ x = 2t

y = −5t + 9
z = 6t − 5
เมอ่ื t ∈ Z

แบบฝกึ หดั 6.1

(1) จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทนเ์ ชงิ เสน้ ต่อไปนี้
(1.1) 13x + 15y = 34
(1.2) 6x + 15y = 51
(1.3) 40x + 63y = 521
(1.4) 2x − 5y + 3z = 17
(1.5) 10x + 16y − 4z = 48

(2) แมค่ ้าขายผ้าคนหนงึ่ ขายเสือ้ ตวั ละ180 บาท ขายกางเกงตัวละ 280 บาท วนั น้ีแมค่ า้ มรี ายได้
จากการขายเสอื้ และกางเกงเปน็ เงิน 2, 880 บาท ถามวา่ เธอขายเสอื้ และกางเกงอยา่ งละกต่ี วั
(3) วัวฝูงหน่ึง ถา้ พอ่ ววั กินหญา้ วนั ละ 2 ฟอ่ น แม่ววั กินหญ้าวนั ละฟอ่ นครึ่ง และลูกววั กนิ หญา้
วนั ละ ครึ่งฟอ่ น ปรากฎวา่ วันหนึ่ง ๆ มีหญา้ หมดไป 10 ฟอ่ น ถามวา่ ววั ฝูงน้ีมีพอ่ วัว แม่วัว
และลกู ววั ทีเ่ ปน็ ไปไดอ้ ย่างละกี่ตวั
(4) ถา้ a, b, c ∈ Z จงพิสูจน์วา่ ax+by = a+c มีผลเฉลย กต็ อ่ เม่อื ax+by = c มผี ลเฉลย
(5) ถา้ a, b, c ∈ Z และ a + b > c จงพิสูจนว์ า่ ax + by = c ไม่มผี ลเฉลย
(6) ถา้ a, b, c ∈ Z จงพสิ ูจนว์ ่า ax + by = c มีผลเฉลย กต็ อ่ เมอื่ (a, b) = (a, b, c)
มผี ลเฉลย
(7) จงหาผลเฉลยของระบบสมการไดโอแฟนไทนเ์ ชิงเสน้ ต่อไปนี้

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 129

(7.1) 2x + 6y + 4z = 3
3x + 2y − z = 4

(7.2) 2x + 3y + 5z = 1
4x + 6y + 10z = 10

6.2 ชดุ สามจำนวนของปีทาโกรัส

ปที าโกรสั (P ythagoras 569−500 ปกี อ่ นครสิ ตศกั ราช) นกั คณติ ศาสตรก์ รีก ได้พบ
ทฤษฎเี ก่ียวกบั ด้านของสามเหลีย่ มมมุ ฉากว่า มีความสมั พันธ์กนั เป็นสมการ x2 + y2 = z2
ซ่งึ เรียกว่า ทฤษฎบี ทของปีทาโกรสั แต่ปญั หาทีน่ า่ สนใจคอื จะหาจำนวน a, b, c ∈ Z ท้งั หมด
ที่สอดคลอ้ งกับสมการดงั กลา่ วได้อย่างไร สำหรบั จำนวนเต็มบวกสามจำนวนที่สอดคลอ้ งกับ
สมการนี้ จะเรยี กว่า ชุดสามจำนวนของปีทาโกรัส (P ythagorean triples)

บทนยิ าม 6.2.1 จำนวนนับ a, b และ c ซ่ึง (a, b) = 1 เป็น ผลเฉลยปฐมฐาน
(primitive solution) ของสมการ x2 + y2 = z2 ถ้าแทน x = a, y = b และ z = c
แล้วทำใหส้ มการเป็นจรงิ

ตัวอยา่ งท่ี 6.2.1 (1) เนือ่ งจาก 3, 4, 5 ∈ N ซง่ึ (3, 4) = 1 และ 32 + 42 = 52 เป็นจริง
ดงั นัน้ 3, 4, 5 เปน็ ผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2

(2) ทำนองเดียวกันกับ (1) จะได้วา่ 5, 12, 13 เป็นผลเฉลยปฐมฐานของ
x2 + y2 = z2

(3) 6, 8, 10 ไม่เป็นผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 เพราะว่า 62 + 82 = 102
จรงิ แต่ (6, 8) ̸= 1

ทฤษฎบี ท 6.2.1 ถ้า a, b, c เปน็ ผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แลว้
(a, c) = (b, c) = 1

พสิ จู น์ ให้ a, b, c เป็นผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 และ (a, c) = d ̸= 1 จะไดว้ ่า
d | a และ d | c ดงั น้นั d2 | a2 และ d2 | c2 ทำให้ไดว้ ่า d2 | (c2 −a2) เน่ืองจาก c2 −a2 = b2
ดังนนั้ d2 | b2 นั่นคือ d | b จะไดว้ ่า (a, b) = d ≠ 1 เกิดข้อขดั แย้งกับบทนยิ าม 6.2.1 ดงั นั้น
(a, c) = 1

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

130 ทฤษฎีจำนวน

ในทำนองเดยี วกนั สามารถพสิ จู น์ไดว้ า่ (b, c) = 1

ทฤษฎบี ท 6.2.2 ถ้า a, b, c เป็นผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แลว้ ma, mb และ
mc เม่อื m ∈ Z เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2

พสิ ูจน์ เน่อื งจาก a, b, c เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2 ดงั นั้น a2 + b2 = c2
ทำให้ไดว้ า่

m2(a2 + b2) = m2c2
ดงั นัน้ (ma)2 + (mb)2 = (mc)2
น่นั คือ ma, mb และ mc เป็นผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2

ทฤษฎบี ท 6.2.3 ถ้า a, b, c เปน็ ผลเฉลยปฐมฐานของ x2 + y2 = z2 แล้ว a และ b
ไมเ่ ปน็ จำนวนคี่ หรือ คู่ พร้อมกนั

พสิ จู น์ สมมตุ ิว่า a และ b เป็นจำนวนค่พี ร้อมกัน จะได้ว่า a = 2m + 1, b = 2n + 1
สำหรบั บาง m, n ∈ Z ดงั น้นั

a2 = 4m2 + 4m + 1 ≡ 1(mod 4) และ b2 = 4n2 + 4n + 1 ≡ 1(mod 4)

จะได้ว่า a2 + b2 = 4(m2 + n2) + 4(m + n) + 2 ≡ 2(mod 4) และเนอ่ื งจาก a2 + b2 = c2

ดงั นั้น c2 ≡ 2(mod 4) น่ันคอื

c2 = 4t + 2 สำหรบั บาง t ∈ Z (∗)

ทำให้ไดว้ า่ ไมม่ ีจำนวนเตม็ c ดงั กลา่ ว ดังนั้น (∗) จึงเปน็ ไปไมไ่ ด้ น่ันคอื a และ b

เปน็ จำนวนคพี่ รอ้ มกนั ไมไ่ ด้

สมมตุ ิว่า a และ b เปน็ จำนวนคู่พร้อมกัน จะไดว้ า่ a และ b มี 2 เปน็ ตัวประกอบ

ซึ่งทำให้ (a, b) ̸= 1 เกิดขอ้ ขัดแย้งกบั ท่วี ่า a และ b เป็นผลเฉลยปฐมฐาน

บทต้ัง 6.2.1 ถ้า r, s, t ∈ Z ซงึ่ r2 = st และ (s, t) = 1 แลว้ s และ t เป็นกำลงั สองของ
จำนวนเต็มบวก

พิสูจน์ สมมุติวา่ s, t ∈ Z จากทฤษฎีมลู ฐานเลขคณติ สามารถเขยี นเปน็

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 131

s = a1r1 a2r2 . . . arkk และ t = b1q1 b2q2 . . . blql
โดยที่ ai, bj ∈ Z และ ri, qj ∈ N เม่ือ i ∈ {1, 2, . . . , k} j ∈ {1, 2, . . . , l}
เน่อื งจาก (s, t) = 1 ดังนนั้ ai, bj ไม่เปน็ จำนวนเฉพาะทซ่ี ้ำกัน และ
เนอ่ื งจาก st = (ar11a2r2 . . . akrk )(b1q1b2q2 . . . bql l) = r2 ดงั นัน้ ri, qj เป็นจำนวนคู่
นน่ั คอื s และ t เปน็ กำลงั สองของจำนวนเตม็ บวก

ทฤษฎบี ท 6.2.4 ให้ a, b, c ∈ N และ a เป็นจำนวนคู่ ถ้า a, b, c เป็นผลเฉลยปฐมฐาน
ของสมการ x2 + y2 = z2 แล้วจะมี m, n ∈ Z ซง่ึ

(1) m > n > 0

(2) m ̸≡ n(mod 2)

(3) (m, n) = 1

(4) a = 2mn, b = m2 − n2, c = m2 + n2

พิสจู น์ ให้ a เปน็ จำนวนคู่ จะไดว้ ่า a = 2r, สำหรับบาง r ∈ Z ดงั นนั้ a2 = 4r2

เนอ่ื งจาก a, b, c ∈ N เปน็ ผลเฉลยปฐมฐาน ดังนน้ั a2 + b2 = c2 จะไดว้ ่า

a2 = c2 − b2 = (c − b)(c + b) = 4r2 (∗)

เนอ่ื งจาก a เปน็ จำนวนคู่ ดงั นนั้ จากทฤษฎีบท 6.2.3 จะได้ b เป็นจำนวนคี่ แล้วจะไดว้ า่ c

เป็นจำนวนคี่ ทำให้ไดว้ ่า (c − b) และ (c + b) เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น (c − b) = 2t และ

(c + b) = 2s สำหรับบาง t, s ∈ Z จะได้วา่

c = s + t และ b = s − t (∗∗)

แลว้ แทนค่า (c − b) และ (c + b) ใน (∗) จะได้วา่ 4r2 = (2t)(2s) นน่ั คือ r2 = st

ต่อไปจะแสดงวา่ (s, t) = 1 ดังนี้ ให ้(s, t) = d ≠ 1 จะได้ว่า d | s และ d | t ดงั นน้ั

d | (s + t) และ d | (s − t) นั่นคอื d | c และ d | b ซึง่ เกดิ ขอ้ ขัดแย้งกบั (b, c) = 1

เนือ่ งจาก r2 = st และ (s, t) = 1 โดยบทตั้ง 6.2.1 จะได้ว่า

s = m2 และ t = n2, m, n ∈ N (1)

ดังน้ัน จาก (∗) และ (∗∗) จะไดว้ ่า

b = s − t = m2 − n2, c = s + t = m2 + n2 และ

a2 = 4r2 = 4st = 4m2n2 หรอื a = 2mn (4)

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

132 ทฤษฎจี ำนวน

เนอ่ื งจาก (s, t) = 1 จะไดว้ า่ (m2, n2) = 1 ดงั นน้ั (m, n) = 1 (3)

สุดท้ายจะแสดงวา่ m ≢ n(mod 2) ดังนี้ ให้ m ≡ n(mod 2) จะได้ว่า

m2 ≡ n2(mod 2) ดังน้ัน 2 | (m2 − n2) และ 2 | (m2 + n2)

นนั่ คือ 2 | b และ 2 | c ซ่งึ ทำใหไ้ ดว้ ่า (b, c) ̸= 1 เกิดขอ้ ขดั แย้งกบั ทฤษฎบี ท 6.2.1

ดังน้นั m ̸≡ n(mod 2) (2)

หมายเหตุ 6.2.1 m ≢ n(mod 2) หมายถงึ m และ n ไมเ่ ป็นจำนวนคู่หรือคีพ่ รอ้ มกัน

จากทฤษฎบี ท 6.2.4 ทำให้ทราบวา่ ทกุ ผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์
x2 + y2 = z2 ท้ังหมด สามารถหาได้เสมอ และแต่ละ a, b, c สามารถหาผลเฉลยปฐมฐาน
ในรปู ต่อไปน้ี คอื

a, b, −c หรอื a, −b, c หรอื −a, b, c หรือ a, −b, −c หรือ
−a, b, −c หรอื −a, −b, c หรอื −a, −b, −c

และจากทฤษฎีบท 6.2.2 ทำให้ไดผ้ ลเฉลยอ่ืน ๆ ท้ังหมดทสี่ รา้ งจากแตล่ ะผลเฉลยปฐมฐาน
ขา้ งบน

ตัวอยา่ งที่ 6.2.2 จงหาชดุ สามจำนวนของปีทาโกรัส a, b, c เมื่อ 6 > m > n > 0

วิธที ำ เราสามารถหาชดุ สามจำนวนของปที าโกรสั a, b, c ไดด้ งั ตาราง

m n a = 2mn b = m2 − n2 c = m2 + n2 ชดุ สามจำนวนของปีทาโกรัส

21 4 3 5 3, 4, 5

3 2 12 5 13 5, 12, 13

41 8 15 17 8, 15, 17

4 3 24 7 25 7, 24, 25

5 2 20 21 29 20, 21, 29

5 4 40 9 41 9, 40, 41

จะเหน็ วา่ ถา้ ตอ้ งการผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 + y2 = z2 สามารถทำได้
โดยกำหนด m, n ∈ Z และถา้ m, n ไมส่ อดคลอ้ งผลลพั ธ์ในทฤษฎบี ท 6.2.4 แล้ว ผลเฉลย
ท่ไี ดจ้ ะไม่เป็นผลเฉลยปฐมฐาน เชน่

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 133

m n 2mn m2 − n2 m2 + n2 ชุดสามจำนวนของปีทาโกรสั

31 6 8 10 6, 8, 10

4 2 16 12 20 12, 16, 20

5 1 10 24 26 10, 24, 26

5 3 30 16 34 16, 30, 34

5 5 50 0 50 0, 50, 50

ตวั อยา่ งที่ 6.2.3 กำหนด a และ b ในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้
(1) a = 48, b = 55
(2) a = 51, b = 62
(3) a = 452, b = 68
จงหา c ∈ N ทท่ี ำให้ a, b, c เป็นผลเฉลยของ x2 + y2 = z2

วธิ ีทำ (1) ให้ a = 48, b = 55 เนอ่ื งจาก a เป็นจำนวนคูแ่ ละ b เปน็ จำนวนคี่ ดังนนั้
จากทฤษฎบี ท 6.2.4 จะมี c ∈ N ซึ่ง

c = m2 + n2 เม่ือ a = 2mn, b = m2 − n2, m, n ∈ Z

ดงั น้นั

2mn = 48 (∗)

m2 − n2 = 55 (∗∗)

จาก (∗) จะได้วา่ m = 24 แทนค่าใน (∗∗) ดังนั้น
n
24 2
() − n2 = 55
n

n4 + 55n2 − (24)2 = 0

(n2)2 + 55n2 − 576 = 0

(n2 + 64)(n2 − 9) = 0

n2 = −64, 9
จะไดว้ ่า n = ±3 ทำให้ได้ m = ±8 ดงั น้นั c = (±8)2 + (±3)2 = 73

(2) ให้ a = 51, b = 62 เนอื่ งจาก a เปน็ จำนวนคู่และ b เปน็ จำนวนคี่ ดงั น้ัน จะหา

c ∈ N ซง่ึ

c = m2 + n2 เม่ือ a = 2mn, b = m2 − n2, m, n ∈ Z

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

134 ทฤษฎจี ำนวน

เนอ่ื งจาก

2mn = 51 (∗)

m2 − n2 = 62 (∗∗)

จาก (∗) จะได้ว่า m = 51 แทนค่าใน (∗∗) ดงั นน้ั
2n
2
( 51 − n2 = 62
)
2n

4(n2)2 + 4(62)n2 − (51)2 = 0

เนอ่ื งจาก m ∈/ Z หรอื n ∈/ Z ดังนน้ั ไม่มี c ∈ Z ท่ที ำให้ a, b, c เปน็ ผลเฉลยของ

x2 + y2 = z2

(3) เนอ่ื งจาก

2mn = 452 (∗)

m2 − n2 = 68 (∗∗)

226
และจาก (∗) จะได้วา่ m = แทนค่าใน (∗∗) ดังนั้น
n
226 2
() − n2 = 68
n

(n2)2 + 68n2 −√(226)2 = 0

n2 = −68 ± (68)2 + 4(1)(226)2 ∈/ Z

2

เนอ่ื งจาก m ∈/ Z หรือ n ∈/ Z ดงั นนั้ ไมม่ ี c ∈ Z ที่ทำให้ a, b, c เปน็ ผลเฉลยของ

x2 + y2 = z2

ทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้ สามารถตรวจสอบผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์
x2 + y2 = z2 ได้อีกวิธีหนึ่ง
ทฤษฎีบท 6.2.5 ถ้า a, b, c เปน็ ผลเฉลยของสมการ x2 + y2 = z2 แล้ว

(1) 4 | a หรอื 4 | b

(2) 3 | a หรอื 3 | b

พิสจู น์ ให้ d = (a, b)

(1) เนื่องจาก a, b, c เป็นผลเฉลยของ x2 + y2 = z2 ดงั น้นั มีผลเฉลยปฐมฐาน

a′, b′, c′ ซ่ึง a′ = a b′ = b c′ = c จะได้วา่ a = a′d, b = b′d จากทฤษฎีบท 6.2.4 จะได้ว่า
, ,
ddd

a′ = 2mn หรอื b′ = 2mn, m, n ∈ N และมี m หรือ n อย่างนอ้ ยหนึง่ ตวั เปน็ จำนวนคู่

มหาวทิ ยาลัยราชภฏั อดุ รธานี

บทท่ี 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 135

น่นั คือ 4 | 2mn แสดงว่า 4 | a หรือ 4 | b
(2) เนือ่ งจาก a = a′d และ b = b′d ให้ a′ = 2mn จะแสดงวา่ ถา้ 3 a แลว้

3|b
สมมตุ ิวา่ 3 a จะไดว้ า่ 3 a′ จากทฤษฎบี ท 6.2.4 เนอ่ื งจาก a′ = 2mn ดังนัน้ b′ = m2−n2
จะได้วา่ 3 2mn ทำให้ได้ว่า 3 m และ 3 n นั่นคอื

[m ≡ 1(mod 3) หรอื m ≡ 2(mod 3)] และ [n ≡ 1(mod 3) หรือ n ≡ 2(mod 3)]

จะไดว้ ่า

[m2 ≡ 1(mod 3) หรอื m2 ≡ 4 ≡ 1(mod 3)] และ
[n2 ≡ 1(mod 3) หรอื n2 ≡ 4 ≡ 1(mod 3)]

แสดงว่า m2 ≡ 1(mod 3) และ n2 ≡ 1(mod 3)
ทำใหไ้ ด้วา่ b′ = m2 − n2 ≡ 0(mod 3) นัน่ คือ 3 | b′ แสดงว่า 3 | b

ขอ้ ความแยง้ สลบั ทข่ี องทฤษฎบี ท 6.2.5 คือ

ถ้า 4 a และ 4 b แลว้ a, b, c ไม่เปน็ ผลเฉลยของ x2 + y2 = z2
และ ถ้า 3 a และ 3 b แลว้ a, b, c ไมเ่ ป็นผลเฉลยของ x2 + y2 = z2

ซึง่ นำไปตรวจสอบ ตัวอย่างท่ี 6.2.3 (2) และ (3) ได้ดงั น้ี
(2) เนอ่ื งจาก 4 51 และ 4 62 ดังนน้ั ไม่มี c ∈ Z ทีท่ ำให้ a, b, c เปน็ ผลเฉลย

ของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 + y2 = z2 ได้
(3) ทำนองเดียวกันกบั (2) เนอ่ื งจาก 3 452 และ 3 68 ดงั นนั้ ไม่มี c ∈ Z

ทท่ี ำให้ a, b, c เปน็ ผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 + y2 = z2

แบบฝึกหัด 6.2

(1) จงหา a, b, c ที่เปน็ ชุดสามจำนวนของปีทาโกรสั ซง่ึ 30 < c < 50
(2) กำหนดค่า a, b แต่ละคูต่ อ่ ไปน้ี

(2.1) a = 24, b = 15
(2.2) a = 20, b = 48

สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

136 ทฤษฎจี ำนวน

(2.3) a = 123, b = 678
(2.4) a = 1, 000, b = 472

จงหา c ∈ Z ทท่ี ำให้ a, b, c เป็นผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 + y2 = z2
ถา้ ไมม่ ี c ดังกลา่ ว จงให้เหตผุ ล
(3) จากทฤษฎบี ท 6.2.1 จงพิสจู น์วา่ (b, c) = 1
(4) จงพสิ ูจน์วา่ ถ้า a, b, c เปน็ ผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 +y2 = z2 แล้ว 12 | ab
(5) จงพสิ จู น์วา่ ถา้ a, b, c เปน็ ชดุ สามจำนวนของปที าโกรสั แล้ว a + b ≡ 1, 7(mod 8)

6.3 ทฤษฎบี ทสุดท้ายของแฟรม์ าต์

เราทราบว่า เมื่อ n = 1, 2 สมการ xn + yn = zn มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวก
แตส่ ่ิงที่น่าสนใจคอื ถ้า n ≥ 3 แลว้ สมการดงั กล่าวจะมีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวกหรอื ไม่
ซง่ึ จนถงึ ปัจจบุ นั ยงั ไมม่ ีขอ้ ความพิสจู นไ์ ด้ นักคณติ ศาสตร์เรยี กปญั หานีว้ า่ ทฤษฎีบทสดุ ทา้ ย
ของแฟรม์ าต์ (F ermat′s last theorem) หรอื ข้อคาดการณ์ของแฟรม์ าต์ (F ermat′s
conjector)
ทฤษฎีบท 6.3.1 สมการ x4 + y4 = z2 ไม่มผี ลเฉลยเปน็ จำนวนเตม็ บวก

พิสจู น์ ให้ S = {c ∈ N | a4 + b4 = c2 สำหรับบาง a, b ∈ Z} จะพสิ ูจนว์ ่า S = ∅
สมมตุ ิวา่ S ≠ ∅ และให้ c เปน็ จำนวนเต็มบวกน้อยสุดใน S จะได้ว่า มี a, b ∈ Z ซึง่

a4 + b4 = c2 ให้ d = (a, b, c) จะได้ว่า d | a, d | b, d | c และ

( a )4 + ( b )4 = a4 + b4 = c2 = ( c )2
d d d4 d4 d2

ดังนั้น c ∈ S เน่อื งจาก c เปน็ จำนวนเตม็ บวกน้อยสุดใน S ทำให้ได้วา่ d = 1 และ
d2

a, b, c เป็นผลเฉลยปฐมฐานของชุดสามจำนวนของปีทาโกรัส แล้วจากทฤษฎีบท 6.2.4 จะมี

m, n ซงึ่ m > n > 0, (m, n) = 1 และ m ̸≡ n(mod 2) ทีท่ ำให้ a2 = m2 − n2, b2 =

2mn, c = m2 + n2

จาก a2 = m2 − n2 จะไดว้ ่า a2 + n2 = m2 และ (m, n) = 1 จงึ ทำให้ a, m, n

เป็นผลเฉลยปฐมฐานของชดุ สามจำนวนของปที าโกรสั ดังนนั้ จะมี r, s ซึ่ง r > s > 0,
(r, s) = 1 และ r ̸≡ s(mod 2) ทีท่ ำให้ a = r2 − s2, n2 = 2rs และ m = r2 + s2

มหาวิทยาลัยราชภัฏอุดรธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 137

จาก b2 = 2mn, n เปน็ จำนวนคู่ และ (m, n) = 1 จะได้วา่ ( b )2 = v ดังนั้น
2 u( )
และ 2
จะมี e, f >0 ซึ่ง m = e2 และ n = f2 และจาก rs = n = f2 (r, s) =1 ดงั น้ัน

22

จะมี b1, c1 > 0 ซง่ึ r = b21 และ s = c21 และเน่อื งจาก m = r2 + s2 = (b1)2 + (c1)2 ดังนนั้

e2 = m = b14 + c14 และ 0 < e ≤ m < m2 + n2 = c น่ันคอื จะมี b21, c21, e เป็นผลเฉลยของ

x4 +y4 = z2 ซง่ึ e < c ทำใหเ้ กดิ ข้อขดั แย้งกบั ที่ c เปน็ คา่ น้อยสดุ ใน S จงึ สรปุ ได้ว่า สมการ

x4 + y4 = z2 ไม่มผี ลเฉลยเปน็ จำนวนเตม็ บวก

ทฤษฎบี ท 6.3.2 สมการ x4 + y4 = z4 ไม่มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวก

พสิ ูจน์ สมมุตวิ า่ a, b, c เปน็ ผลเฉลยของ x4 + y4 = z4 จะได้วา่ a, b, c2 เป็นผลเฉลยของ
x4 + y4 = z2 ซงึ่ เกดิ ขอ้ ขดั แยง้ กับทฤษฎบี ท 6.3.1 ที่ว่า x4 + y4 = z2 ไม่มีผลเฉลยเปน็
จำนวนเตม็ บวก ดงั นนั้ x4 + y4 = z4 ไม่มผี ลเฉลยเป็นจำนวนเตม็ บวก

ทฤษฎีบทต่อไปนท้ี ำใหเ้ ราทราบวา่ มคี า่ n อกี มากมาย ทท่ี ำใหท้ ฤษฎบี ทสุดท้ายของ
แฟร์มาต์ เปน็ จรงิ
ทฤษฎีบท 6.3.3 ถา้ สมการ xn + yn = zn ไมม่ ีผลเฉลยเปน็ จำนวนเตม็ บวกแลว้ สมการ
xkn + ykn = zkn, k ∈ N ไมม่ ีผลเฉลยเป็นจำนวนเตม็ บวก

พิสจู น์ สมมตุ วิ า่ a, b, c เป็นผลเฉลยทเ่ี ปน็ จำนวนเตม็ บวกของ xkn + ykn = zkn,k ∈ N
จะไดว้ ่า akn+bkn = ckn ดงั นั้น (ak)n+(bk)n = (ck)n น่ันคือ ak, bk, ck เป็นผลเฉลยที่เป็น
จำนวนเตม็ บวกของ xn + yn = zn ซึ่งเกิดขอ้ ขดั แยง้ ดังนัน้ xkn + ykn = zkn ไมม่ ีผลเฉลย

เป็นจำนวนเต็มบวก

แบบฝึกหัด 6.3

(1) จงพสิ ูจนว์ ่า สมการ x4 − y4 = z2 ไมม่ ีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวก
(2) จงพิสจู นว์ ่า สมการ x4 + y4 = 2z2 ไมม่ ีผลเฉลยเป็นจำนวนเตม็ บวก นอกจาก
x2 = y2 = z

(เสนอแนะ: ยกกำลังสองแลว้ นำ −4x2y4 บวกเข้าทง้ั สองข้างของสมการ)

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

138 ทฤษฎจี ำนวน

(3) จงพิสูจน์ว่า สมการ x4 + 4y4 = z2 ไมม่ ผี ลเฉลยเป็นจำนวนเต็มบวก
(เสนอแนะ: ยกกำลงั สองแล้วนำ −16x4y4 บวกเขา้ ทงั้ สองข้างของสมการ)

(4) จงพสิ จู น์วา่ สมการ x4 − 4y4 = z2 ไม่มีผลเฉลยเปน็ จำนวนเตม็ บวก
(เสนอแนะ: เขียนสมการใหมใ่ นรปู (2y2)2 + z2 = (x2)2)

(5) ให้ p เป็นจำนวนเฉพาะ จงใชท้ ฤษฎบี ทสดุ ทา้ ยของแฟร์มาต์ พิสูจน์ขอ้ ตอ่ ไปน้ี
(5.1) ถา้ xp−1 + yp−1 = zp−1 แล้ว p | xyz
(5.2) ถา้ xp + yp = zp แล้ว p | (x + y − z)

6.4 สมการของเพลล์

สมการไดโอแฟนไทนท์ น่ี า่ สนใจอกี แบบคอื x2 − dy2 = n เมอ่ื d, n ∈ Z

สงั เกตวา่

(1) ถา้ d < 0 และ n < 0 สมการไมม่ ีผลเฉลย √
|
(2) ถ้า d < 0 และ n > 0 แลว้ | x |≤ √ และ | y |≤ n | และมผี ลเฉลยจำนวน
n d

จำกดั

(3) ถ้า d เป็นจำนวนกำลังสองสมบรู ณ์ เช่น d = s2 แลว้

x2 − dy2 = x2 − s2y2 = (x + sy)(x − sy) = n

จะไดว้ า่ สมการมผี ลเฉลยจำนวนจำกดั

ตัวอยา่ งที่ 6.4.1 สมการไดโอแฟนไทน์ x2 − 2y2 = ±1
จะเหน็ ว่า 12 − 2 · 12 = −1 ดังน้ัน x = 1, y = 1

32 − 2 · 22 = 1 ดงั นั้น x = 3, y = 2
72 − 2 · 52 = −1 ดังนัน้ x = 7, y = 5
172 − 2 · 122 = 1 ดังนั้น x = 17, y = 12

สำหรับหัวขอ้ นี้เราสนใจศึกษา กรณีเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 − dy2 = n
กรณที ่ี n = 1 ซึ่ง ออยเลอร์ได้ตงั้ ชอื่ ใหเ้ ป็นเกียรติแกน่ กั คณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชอื่ จอหน์
เพลล์ (John P ell, 1611 − 1685) ท่เี ปน็ ผรู้ ิเรม่ิ แนวคดิ และศึกษาเรือ่ งน้ี

มหาวิทยาลยั ราชภัฏอุดรธานี

บทท่ี 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 139

บทนิยาม 6.4.1 ให้ d ∈ Z และ d ไม่เปน็ จำนวนกำลงั สองสมบรู ณ์ เราเรียกสมการ

ไดโอแฟนไทน์

x2 − dy2 = 1

ว่า สมการของเพลล์ (P ell′s equation)

หมายเหตุ 6.4.1 (1) ถ้า d = 0 แลว้ x = ±1
ถา้ d = −1 แล้ว (x, y) = (±1, 0) หรอื (x, y) = (0, ±1) อย่างใดอย่างหน่งึ
ถา้ d < −1 แล้ว (x, y) = (±1, 0)
ถา้ d = s2 แล้ว (x + sy)(x − sy) = 1 ดงั นน้ั (x, y) = (±1, 0)
(2) จะเหน็ ว่า (x, y) = (±1, 0) เปน็ ผลเฉลยของสมการของเพลล์ สำหรับแต่ละ

d∈Z

จากบทนิยาม 6.4.1 และหมายเหตุ 6.4.1 ทำใหเ้ ราทราบวา่ ถา้ d < 0 หรอื d
เปน็ จำนวนกำลงั สองสมบรู ณแ์ ล้ว สมการของเพลล์ มีผลเฉลยจำนวนจำกัด

ส่งิ ที่เราสนใจคอื สมการของเพลล์ x2 − 2y2 = 1 เม่ือ d ∈ N และ d ไมเ่ ปน็ จำนวน
กำลังสองสมบูรณ์ จะทำให้สมการน้ีมผี ลเฉลยหรือไม่ และถา้ มี จะมผี ลเฉลยอื่นอกี หรอื ไม่

ตัวอย่างท่ี 6.4.2 สมการไดโอแฟนไทน์ x2 − 2y2 = 1 เปน็ สมการของเพลล์ และเน่ืองจาก
32 − 2 · 22 = 1 ดังน้นั (3, 2) เป็นผลเฉลยของสมการ และเช่นเดยี วกนั (17, 12) เปน็ อีก
ผลเฉลยหนึ่งของสมการ

ซ่ึงต่อจากนไี้ ป เราจะไดเ้ ห็นวา่ สมการของเพลลม์ ีผลเฉลยจำนวนไมจ่ ำกัด
ออยเลอร์ได้แกป้ ัญหาสมการของเพลล์ พบวา่ แม้ d มีคา่ นอ้ ยแตผ่ ลเฉลยของสมการทีเ่ ปน็
จำนวนบวกคา่ น้อยสุด ยังคงมีขนาดใหญม่ าก เช่น สมการ x2 − 109y2 = 1 มผี ลเฉลยที่
เปน็ จำนวนบวกคา่ นอ้ ยสดุ

(x, y) = (158070671986349, 15140424455100)

หมายเหตุ 6.4.2 (1) ถ้า (a, b) เปน็ ผลเฉลยของสมการของเพลลแ์ ล้ว (±a, ±b) จะเป็น
ผลเฉลยของสมการของเพลล์ด้วย ดังน้ันจึงเป็นการเพียงพอที่เราจะศึกษาเฉพาะผลเฉลยทเ่ี ปน็
จำนวนบวก

สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

140 ทฤษฎีจำนวน

(2) ถา้ (a, b) เป็นผลเฉลยของสมการของเพลลแ์ ล้ว

√√ √
a2 − db2 = (a + db)(a − db) ดงั น้นั จำนวน a + db จะเปน็ จำนวนทใ่ี ชห้ าผลเฉลย

อื่น ๆ ตอ่ ไป

ทฤษฎบี ทตอ่ ไปนี้ ทำใหเ้ ราหาผลเฉลยอนื่ ทีไ่ ดจ้ ากผลเฉลยท่ีเรามอี ย่แู ล้ว

บทตัง้ 6.4.1 ถ้า u และ v เป็นผลเฉลยของสมการของเพลล์ x2 − dy2 = 1 ซ่ึง d ∈ N
และ d ไม่เปน็ จำนวนกำลังสองสมบรู ณ์ แล้ว uv เปน็ ผลเฉลยของสมการของเพลล์

√√
พิสูจน์ ให้ u = a + b d และ v = c + f d และเนื่องจาก

√√ √
uv = (a + b d)(c + f d) = (ac + bf d) + (af + bc) d

ดังนัน้ uv เปน็ ผลเฉลยของสมการ
√√

ตัวอย่างที่ 6.4.3 ถา้ u = 3 + 2 2 และ v = 17 + 12 2 เป็นผลเฉลยของ x2 − 2y2 = 1

แลง้ จงหาอกี สองผลเฉลย
√√

วิธีทำ จากบทต้งั 6.4.1 จะได้ว่า uv = (3·17+2·12·2)+(3·12+2·17) 2 = 99+70 2
√√

เป็นผลเฉลยของสมการ และเช่นเดียวกนั u2 = (3·3+2·2·2)+(3·2+2·3) 2 = 17+12 2

เป็นผลเฉลยของสมการ

x
ทฤษฎบี ทต่อไปนี้แสดงความเชอ่ื มโยงระหวา่ งสมการของเพลลแ์ ละ

y

ทฤษฎบี ท 6.4.1 ให้ d ∈ N และ d ไม่เป็นจำนวนกำลงั สองสมบูรณ์ ถ้า (x, y)
x√

เป็นผลเฉลยของสมการของเพลล์ แลว้ y ลูเ่ ขา้ หา d

พสิ ูจน์ สมมตุ วิ า่ (x, y) เป็นผลเฉลยของสมการของเพลล์ จะได้ว่า x2 − dy2 = 1

√√ √√
ดงั น้ัน (x + y d)(x − y d) = 1 เนอื่ งจาก (x + y√ d) > 0 ดงั นน้ั (x − y d) > 0
ทำใหไ้ ดว้ า่ x > √ ดงั นน้ั 0 < x √ x−y d x2 − d√y2 = 1√
yd
− d= =
y y √ y(x + y d) y(x + y d)
√1 √ < √d = 1
จะไดว้ า่ x √ y(y d + y d) = 1√
y − d< 2y2 d 2y2 d 2y2

ทำให้ได้วา่ | √ − x |< 1
x d 2y2
√y
ดงั นั้น ลู่เข้าหา d
y

มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 141

ตัวอย่างท่ี 6.4.4 พิจารณาคา่ x ของ x2 − 2y2 = 1
y

√√
วิธที ำ จากตัวอยา่ ง 6.4.3 u = 3 + 2 2 v = 17 + 12 2 และ

√
uv = 99 + 70 2 เป็นผลเฉลยของ x2 − 2y2 = 1 จะเหน็ วา่

3
= 1.5

2
17 = 1.41¯6
12
99 = 1.41428¯757
70√
≈ 2 = 1.4142135623 . . .

x√
ซงึ่ จะเหน็ ว่า คา่ y ลู่เข้าหา 2

เนอ่ื งจาก d ∈ N และ d ไมเ่ ป็นจำนวนกำลงั สองสมบรู ณ์ ดังน้ัน d > 1 จะได้ว่า
√

d > 1 ซงึ่ ทฤษฎีบทนบี้ อกเราวา่ ผลเฉลย (x, y) ของสมการของเพลล์ นั้น จะตอ้ งมี x > y

และต่อไปนเ้ี ป็นตารางของผลเฉลยค่าน้อยสุดของสมการของเพลล์ x2 −dy2 = 1 เมื่อ d = 1

ถึง d = 60

d xy d x y d x y

1 − − 21 55 12 41 2049 320

2 3 2 22 179 42 42 13 2

3 2 1 23 24 5 43 3482 531

4 − − 24 5 1 44 199 30

5 9 4 25 − − 45 161 24

6 5 2 26 51 10 46 24335 3588

7 8 3 27 26 5 47 48 7

8 3 1 28 127 24 48 7 1

9 − − 29 9801 1820 49 − −

10 19 6 30 11 2 50 99 14

สาขาวิชาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์

142 ทฤษฎีจำนวน

dx y d x y d x y

11 10 3 31 1520 273 51 50 7

12 7 2 32 17 3 52 649 90

13 649 180 33 23 4 53 66249 9100

14 15 4 34 35 6 54 486 66

15 4 1 35 6 1 55 89 12

16 − − 36 − − 56 15 2

17 33 8 37 73 12 57 151 20

18 17 4 38 37 6 58 19603 2574

19 170 39 39 25 4 59 530 69

20 9 2 40 19 3 60 31 4

√√
บทตั้ง 6.4.2 กำหนดสงั ยคุ ของ x = a1 + b1 c และ y = a2 + b2 c คอื

x′ = a1 − √ และ y′ = a2 − √ ตามลำดับ จะไดว้ ่า
b1 c b2 c

1 (x + y)′ = x′ + y′

2 (xy)′ = x′y′

พิสจู น์ ใหพ้ สิ จู นเ์ ป็นแบบฝึกหดั

ทฤษฎบี ทต่อไปนี้ ทำให้เราหาผลเฉลย(ทเ่ี ป็นจำนวนบวก)ท้ังหมดของสมการของเพลล์
x2 − dy2 = 1 จากผลเฉลย(ทเี่ ป็นจำนวนบวก)ค่านอ้ ยสุด

ทฤษฎีบท 6.4.2 ให้ (x1, y1) เป็นผลเฉลยค่านอ้ ยสดุ ของสมการ x2 − dy2 = 1 ซ่ึง d ∈

N และ d ไม่เปน็ จำนวนกำลงั สองสมบูรณ์ จะได้วา่ ผลเฉลย (xn, yn) ทง้ั หมดของสมการ

ได้จาก

√√
xn + yn d = (x1 + y1 d)n

สำหรบั n = 1, 2, . . .

พสิ ูจน์ ตอนแรก จะพิสูจนว์ า่ (xn, yn) เปน็ ผลเฉลย สำหรบั n = 1, 2, . . .

√√ √
กำหนด xn + yn d = (x1 + y1 d)n และจากบทตั้ง 6.4.2 (2) จะไดว้ ่า xn − yn d =

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏอดุ รธานี

บทที่ 6 สมการไดโอแฟนไทน์ 143

√
(x1 − y1 d)n ดงั นั้น

√√
x2 − dy2 = (xn + yn d)(xn − yn d)

√√
= (x1 + y1 d)n(x1 − y1 d)n

√ √n
= [(x1 + y1 d)(x1 − y1 d)]
= (x12 − dy12)n
= 1n

=1

นัน่ คือ (xn, yn) เป็นผลเฉลยของสมการของเพลล์ สำหรับ n = 1, 2, . . .

ต่อไปจะแสดงวา่ ไม่มีผลเฉลยทเ่ี ปน็ รปู แบบอื่นอกี ดงั นี้ สมมุตวิ า่ มจี ำนวน

(p, q) ̸= (xn, yn), n = 1, 2, . . . ซึง่ p2 − dq2 = 1 จะได้วา่ มี m ∈ Z ซ่งึ

√m √ √ m+1
(x1 + y1 d) < p + q d < (x1 + y1 d)

คณู ดว้ ย (x1 − y1√d)m จะไดว้ า่

1 < (p + √ − √m < x1 + √
q d)(x1 y1 d) y1 d)

ให้ a, b ซง่ึ a+ √ = (p √ − √m จะไดว้ ่า
bd + q d)(x1 y1 d)

√√
a2 − b2d = (a + b d)(a − b d) และจากบทตง้ั 6.4.2 (1)

= [(p + √ − √m − √ + √m
q d)(x1 y1 d) ][(p q d)(x1 y1 d) ]

= (p2 − dq2)(x12 − dy12)m

= (1)(1)m

=1

√√
ดงั น้นั (a, b) เปน็ ผลเฉลยของ x2 − dy2 = 1 โดยที่ 1 < a + b d < x1 + y1 d

เนื่องจาก a + √ > 1 ดงั นน้ั 0 < (a + √ −1 < 1 น่นั คอื 0 < a − √ < 1
bd b d) b d)

ดงั นน้ั a = 1 [(a + √ + (a − √ > 0 และ b = √1 √√
b d) b d)] [(a + b d) − (a − b d)] > 0
2 2d

สาขาวชิ าคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาศาสตร์

144 ทฤษฎีจำนวน

น่นั คือ (a, b) เปน็ ผลเฉลยท่ี a ≥ x1 และ b ≥ y1 แต่ (x1, y1) เปน็ ผลเฉลยค่านอ้ ยสดุ
√√

จงึ เกดิ ขอ้ ขัดแยง้ ทีว่ า่ a + b d < x1 + y1 d ดงั น้ัน (p, q) = (xn, yn) สำหรบั บาง
n = 1, 2, . . .

ตัวอย่างท่ี 6.4.5 จงหาผลเฉลยคา่ นอ้ ยสุดของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 − 2y2 = 1 และ
หาผลเฉลยท่ีตา่ งกันอกี จำนวน 4 ผลเฉลย พรอ้ มท้งั ผลเฉลยทงั้ หมด

วธิ ที ำ สมการไดโอแฟนไทน์ x2 − 2y2 = 1 มผี ลเฉลยค่านอ้ ยสุดคอื (x1, y1) = (3, 2)

และ x2 + √ = (x1 + √ = (3 + 2√2)2 = 17 + √
y2 2 y1 2)2 12 2

√√ √√ √
x3 + y3 2 = (x1 + y1 2)3 = (17 + 12 2)(3 + 2 2) = 99 + 70 2

√√ √
x4 + y4 2 = (x1 + y1 2)4 = 577 + 408 2

√√ √
x5 + y5 2 = (x1 + y1 2)5 = 3363 + 2378 2

√√
และผลเฉลยทง้ั หมดของสมการ คือ xn + yn 2 = (3 + 2 2)n, n = 1, 2, . . .

ตัวอย่างที่ 6.4.6 จงหาผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ x2 − 13y2 = 1 จำนวน
สองผลเฉลยและผลเฉลยทัง้ หมด

วธิ ที ำ จากตารางสมการ x2 − 13y2 = 1 มีผลเฉลยค่านอ้ ยสุดคอื (x1, y1) = (649, 180)

และ x2 + √ = (x1 + √ = (649 + 180√13)2 = 84236 + √
y2 13 y1 13)2 233640 13

ดงั น้ัน (x2, y2) = (84236, 233640) เป็นผลเฉลยของสมการซง่ึ (x2, y2) ̸= (x1, y1) และ
√√

ผลเฉลยทง้ั หมดของสมการ คือ xn + yn 13 = (649 + 180 13)n, n = 1, 2, . . .

แบบฝึกหัด 6.4

(1) จงพสิ ูจนบ์ ทตั้ง 6.4.2 (1) และ (2)
(2) จงหาจำนวนสองผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทนต์ ่อไปนี้

(2.1) x2 − 3y2 = 1
(2.2) x2 − 12y2 = 1
(2.3) x2 − 5y2 = 1
(2.4) x2 − 45y2 = 1

มหาวิทยาลัยราชภฏั อุดรธานี