แคลคูลัส I

แคลคูลสั 1

CALCULUS I

2564

รองศาสตราจารย์ ดร.วลั ลภ เหมวงษ์

คณะวทิ ยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

คำนำ

แคลคูลสั 1 (Calculus I) เป็นหนงั สือที่มีความรู้พ้นื ฐานดา้ นวทิ ยาศาสตร์หลายสาขา
เหมาะสาหรับผสู้ นใจศึกษาหาความรู้เบ้ืองตน้ เก่ียวกบั เซต จำนวนจริง สมกำร อสมกำรและ
กำรหำผลเฉลย ควำมรู้เร่ืองฟังกช์ นั กรำฟและพีชคณิตของฟังกช์ นั ลิมิต ควำมต่อเน่ืองของ
ฟังก์ชนั และกำรนำไปใช้ อนุพนั ธ์และกำรหำอนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ท่ีซับซ้อน รวมท้งั กำร
ประยุกตอ์ นุพนั ธ์ กำรใชก้ ฎโลปิ ตำลเพ่ือหำลิมิตของฟังกช์ นั ควำมชนั ของเส้นโคง้ และเส้น
สัมผสั กำรหำค่ำมำกที่สุดค่ำนอ้ ยที่สุด และอตั รำกำรเปลี่ยนแปลง กำรหำปริพนั ธ์ไม่จำกดั
เขตและปริพนั ธ์จำกดั เขต รวมท้งั กำรประยกุ ต์

วลั ลภ เหมวงษ์
2564

สารบัญ หน้า

คานา ก
สารบัญ ค
บทนา
บทที่ 1 ความรู้เบอื้ งต้น 1
1
1.1 เซต 6
1.2 จำนวนจริง 9
1.3 ฟังกช์ นั และกรำฟ 20
1.4 บทนิยำมฟังกช์ นั ลกั ษณะอ่ืน 25
บทท่ี 2 ลมิ ิตและความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน 25
2.1 ลิมิตของฟังกช์ นั 29
2.2 ทฤษฎีบทของลิมิต 40
2.3 ลิมิตที่ค่ำอนนั ต์ 46
2.4 ลิมิตค่ำอนนั ต์ 52
2.5 ควำมตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 61
บทที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน 61
3.1 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 65
3.2 ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 87
3.3 กำรหำอนุพนั ธ์โดยปริยำย 89
3.4 กำรหำอนุพนั ธ์โดยลอกำริทึม 91
3.5 อนุพนั ธ์อนั ดบั สูง

ง แคลคูลสั I 95
95
บทที่ 4 การประยุกต์ของอนุพนั ธ์ 98
4.1 กฎโลปิ ตำล 101
4.2 ควำมชนั ของเส้นโคง้ และเส้นสมั ผสั 111
4.3 ค่ำสุดขีดสัมพทั ธ์และกำรประยกุ ต์ 115
4.4 อตั รำกำรเปลี่ยนแปลง 119
4.5 อตั รำสมั พทั ธ์ 119
134
บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์ 139
5.1 ปริพนั ธ์ไม่จำกดั เขต 146
5.2 กำรประยกุ ตข์ องปริพนั ธ์ไมจ่ ำกดั เขต 151
5.3 ปริพนั ธ์จำกดั เขต 159
5.4 กำรหำพ้ืนท่ีใตโ้ คง้
5.5 กำรหำพ้ืนที่ระหวำ่ งเส้นโคง้ 161
173
บรรณานุกรม
ภาคผนวก

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั
ดัชนี

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทนำ

กำ สำ
Calculus) กำ

(Differential

กำ

(Integral Calculus )
คำ

คำ

อนั
นำไปใช้

ทำ

ii แคลคูลสั I กำ (Eudoxus of Cnidus, 395–
คำ
390 B.C.)
สำมำรถทำไดโ้ ดย
อำ (Archimedes; 287-212 B.C. )

คำ

แนวคิด ดำ้ นที่ (Gottfried Wilhelm
17 (Sir Isaac Newton,1642-1727)

Leibniz,1646 –1716)

ว

ว

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทนำ iii

ห้
(Augustin Louis Cauchy, 1789 -1857)

เค
นำ

ะเ

ทำ ง

(Derivative) เ

= / สำ
ง

ตำ

ต่ำ (Newton's
Method)
มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

iv I (Integral)

ละ
ทำ

ำน
ง (Real Analysis)
(Measure Theory)
(Functional Analysis)

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทนำ v

ท บท ฐำน [a,b]

f
F f [a,b]

สำ x [a, b]

ตรง ท่ีสร้ำง
ข้ึนน้นั ก็ จำ กำ

นธ์

ทำ

คำ จำ
ฏิยำนุพนั ธ์

vi I ซ่ึง

(
)

นำ

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทที่ 1
ความรู้เบือ้ งต้น

บทน้ีเป็นความรู้เบ้ืองตน้ เกี่ยวกบั เซต จานวนจริง ฟังกช์ นั และกราฟ ฟังกช์ นั ประกอบและ
บทนิยามฟังกช์ นั ท่ีควรทราบ ซ่ึงเป็นพ้นื ฐานการศึกษาในบทตอ่ ไป

1.1 เซต
เซต (set) เป็นคำอนิยำม (undefined term) เป็นคำท่ีใชแ้ ทน หมู่ พวก หรือกลุ่มของส่ิงต่ำง ๆ

เช่น เซตของนกั ศึกษำชำยท่ีไวผ้ มรองทรง หมำยถึง กลุ่มของนกั ศึกษำชำยที่ไวผ้ มรองทรง และส่ิงที่
อยใู่ นเซต จะเรียกวำ่ สมาชิก (element) ของเซต ซ่ึงอำจมีหรือไม่มีกไ็ ด้ ส่วนเซตท่ีเรำกล่ำวถึงบ่อย
มำกคือ เซตของจำนวนจริง เพอื่ ควำมสะดวกเรำมกั จะแทนเซตดว้ ย A, B, C, … ส่วนสมำชิกจะ
แทนดว้ ย a, b, c, x, y, … ในกำรเขียนเซต มี 2 แบบคือ กำรเขียนแบบแจกแจงและกำรเขียนเซต
แบบบอกเงื่อนไขของสมำชิก ใชส้ ญั ลกั ษณ์  แทน เป็นสมำชิกของ และ  แทน ไม่เป็นสมำชิก
ของ เช่น ถำ้ a เป็นสมำชิของเซต A จะเขียนแทนดว้ ย aA อ่ำนวำ่ a เป็นสมำชิกของเซต A
หรือ a อยใู่ น A

ตวั อย่าง 1.1.1 
1) A = { 1 , 2 } เขียนเซตแบบบอกเงื่อนไข ไดด้ งั น้ี
A = ( x | x เป็นจำนวนนบั และ x  2 } หรือ
A = { x | x เป็นจำนวนจริงซ่ึง x2 - 3x + 2 = 0 }
2) B = { x | x เป็นจำนวนนบั และ x  6
เขียนแบบแจกแจงสมำชิก ไดด้ งั น้ี B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 },
C = { x | x2 = 25 และ x เป็นจำนวนจริง}
เขียนแบบแจกแจงสมำชิก ไดด้ งั น้ี C = { -5 , 5 }
D = { x | x เป็นจำนวนเตม็ ลบ }

เขียนแบบแจกแจงสมำชิก ไดด้ งั น้ี D = {-1 , -2 , -3 , …}

ตัวอย่าง 1.1.2 ให้ A = { -3 , 5 , 2 , {1} , {3 , 4} } จะเห็นวำ่ เซต A มีสมำชิก 5 ตวั และ

1) 5  A 5) –5  A

2) 2  A 6) 1  A

3) {1}  A 7) 3  A

4) { 3 , 4 }  A 8) {4 }  A 

2 แคลคูลสั I

บทนิยาม 1.1.1 เซตจากดั (finite set) คือ เซตที่บอกจำนวนสมำชิกได้ และเซตอนันต์ (infinite
set) คือ เซตที่ไม่เป็ นเซตจำกดั

ตัวอย่าง 1.1.3 A เป็นเซตของจานวนเตม็ ท่ีมากกวา่ 2 และนอ้ ยกวา่ 10 
ดงั น้นั A = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } เป็นเซตจากดั
B เป็นเซตของจานวนนบั

ดงั น้นั B = {1 , 2 , 3 , 4 , …} เป็นเซตอนนั ต์

หมายเหตุ 1.1.1 1) จานวนสมาชิกของเซต A เขียนแทนดว้ ย n(A)
2) ให้ N, I, I+, Iˉ, Q, Q' และ R แทน เซตของจานวนนบั จานวนเตม็ จานวนเตม็ บวก

จานวนเตม็ ลบ จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ และจานวนจริง ตามลาดบั
3) เซตของเอกภพสัมพทั ธ์ (universal set) เขียนแทนดว้ ย U คือ เซตที่กาหนดข้ึน

เพ่อื ตกลงวา่ สมาชิกของเซตตา่ งๆ ที่จะกล่าวต่อไปจะตอ้ งมาจากเซต U เท่าน้นั เช่น
ให้ U = { x | x เป็นจานวนนบั } และ
ถา้ A เป็นเซตจานวนท่ีนอ้ ยกวา่ 3 ดงั น้นั A = {1, 2} และ n(A) = 2
ถา้ B เป็นเซตจานวนที่มากกวา่ - 5 ดงั น้นั B = { 1 , 2 , 3 , 4 , … } และบอก n(A) ไมไ่ ด้
4) เซตว่าง (empty set or null set) เขียนแทนดว้ ย  หรือ { } หมายถึง เซตท่ีมีจานวน

สมาชิกเท่ากบั ศนู ย์ เช่น ถา้ A = { xN| x  0 } แลว้ A =  และ n(A) = 0

บทนิยาม 1.1.2 เซต A เป็นเซตย่อย (subset) ของเซต B ใชส้ ัญลกั ษณ์ A  B กต็ ่อเม่อื ทุก ๆ
สมาชิกของ A เป็นสมาชิกของ B และ ถา้ A ไม่เป็นเซตยอ่ ยของเซต B จะเขียนแทนดว้ ย A  B

ตวั อย่าง 1.1.4 ให้ C = { x | x เป็นจานวนเตม็ } และ D = {-2 , 0 , 1 , 1000 } 
จะเห็นวา่ D  C แต่ C  D

สมบตั ิที่สาคญั ของเซตยอ่ ย ถา้ A , B และ C เป็นเซตใดๆ

1)   A

2) A  A

3) A  U

4) ถา้ A  B และ B  C แลว้ A  C
5) ถา้ n(A) = k แลว้ เซตท่ีเป็ นเซตยอ่ ยท้งั หมดของเซต A มีจานวน 2k เซต

บทนิยาม 1.1.3 เพาเวอร์เซต (power set) ของเซต A เขียนแทนดว้ ย P(A) คือ เซตที่มีสมาชิก
เป็นเซตยอ่ ยท้งั หมดของเซต A

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 3

ตัวอย่าง 1.1.5 ให้ A = { 1, 2 } จะไดว้ า่ เซตยอ่ ยท้งั หมดของ A คือ  ,{1},{2},{1 , 2}

ดงั น้นั P(A) = {  ,{1},{2},{ 1,2 }} และ n(P(A)) = 22 = 4 

บทนิยาม 1.1.4 เซต A เท่ากบั (equal) เซต B ใชส้ ญั ลกั ษณ์ A = B ก็ต่อเม่ือ A  B และ

BA

จะเห็นวา่ A = B กต็ ่อเมื่อ A และ B มีสมาชิกเดียวกนั แบบตวั ต่อตวั

ตวั อย่าง 1.6 1) ให้ A = {3 , 5 , 7 , 9 } และ B = { 5 , 7 , 9 , 9 } จะไดว้ า่ A = B 

2) ให้ C = {x | x เป็ นจานวนนบั } และ D = { x | x I }
จะไดว้ า่ C = { 1 , 2 , 3 , … } และ D = { 1 , 2 , 3 , … } ดงั น้นั C = D

ตอ่ ไปจะกล่าวถึงการปฏิบตั ิการของเซต (operation of sets ) ซ่ึงเป็ นการสร้างเซตใหม่ ดงั น้ี

บทนิยาม 1.1.5 ให้ A และ B เป็นเซต
A ยเู นียน (union) B เขียนแทนดว้ ย A  B หมายถึง เซตท่ีประกอบดว้ ยสมาชิกของ A

หรือ B ดงั น้นั A  B = { x | x  A หรือ x  B }
A อินเตอร์เซก (intersect ) B เขียนแทนดว้ ย A  B หมายถึง เซตท่ีประกอบดว้ ย

สมาชิกท่ีเป็ นสมาชิกของท้งั สองเซต ดงั น้นั A  B = { x | x  A และ x  B }
ผลต่าง (difference) ของ A และB เขียนแทนดว้ ย A – B หมายถึง เซตที่ประกอบดว้ ย

สมาชิกของ A ท่ีไม่เป็ นสมาชิกของ B ดงั น้นั A – B = {x | x  A และ x  B }
คอมพลีเมนต์ (complement) ของ A เขียนแทนดว้ ย A' หมายถึง เซตท่ีประกอบดว้ ย

สมาชิกของเอกภพสมั พทั ธ์ U ท่ีไมเ่ ป็ นสมาชิกของ A ดงั น้นั A' = {x | x  U และ x  A}

ตวั อย่าง 1.1.7 ให้ U = {a, b, c, d, e} , A = {a, b, d} และ B = {b, e}

จงหำ 1) (A) 2) (A  B) 3) A  B

4) (A  B) 5) A  B 6) A – B

7) A  B

วธิ ีทา 1) เนื่องจำก A = {c, e} ดงั น้นั (A) = {a, b, d} = A
2) เน่ืองจำก A  B = {b} ดงั น้นั (A  B) = {a, c, d, e}
3) เนื่องจำก A = {c, e} และ B = {a, c, d} ดงั น้นั A  B = {a, c, d, e}
4) เนื่องจำก A  B = {a, b, d, e} ดงั น้นั (A  B) = {c}

5) A  B = {c}

6) A - B = {a, d}

7) A  B = {a, d} 

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

4 แคลคูลสั I

สมบตั ิของกำรปฏิบตั ิกำรของเซต

1) A  A = A, A  A = A : สมบตั ิไอเดมโพเทนต์

2) A  B = B  A, A  B = B  A : สมบตั ิกำรสลบั ที่

3) A  (B  C) = (A  B)  C, : สมบตั ิกำรเปล่ียนกลุ่ม

A  (B  C) = (A  B)  C

4) A   = A, A   = 

5) A  U = U, A  U = A

6) A  B กต็ ่อเมื่อ A  B = A

7) (A  B)  A และ (A  B)  B

8) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) : สมบตั ิกำรแจกแจง

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
9) (A) = A

10)  = U, U = 

11) A  A = U, A  A = 

12) (A  B) = A  B , (A  B) = A  B

13) A – B = A  B

ตวั อย่าง 1.1.8 บริษทั แห่งหน่ึงมีพนกั งำน 40 คน มีกำรสำรวจพบวำ่ ชอบด่ืมกำแฟ 25 คน และ
ชอบด่ืมนม 20 คน มีจำนวน 8 คนไมช่ อบท้งั สองอยำ่ ง อยำกทรำบวำ่ คนท่ีชอบดื่มกำแฟ หรือนม
อยำ่ งเดียวมีกี่คน

วธิ ีทา ให้ U แทนเซตของพนกั งำนท้งั หมด
A แทนเซตของคนด่ืมกำแฟ
B แทนเซตของคนด่ืมนม
x แทนจำนวนคนท่ีชอบดื่มท้งั สองอยำ่ ง

เขียนแผนภำพแสดงเซตตำ่ ง ๆ ไดด้ งั น้ี

A BU

25-x x 20-x

8

จะไดว้ ำ่ (25 - x) + x + (20 - x) = 40-8

-x + 45 = 32

x = 13

ดงั น้นั คนท่ีดื่มกำแฟอยำ่ งเดียว มี 25 -13 = 12 คน

และคนที่ด่ืมนมอยำ่ งเดียว มี 20 -13 = 7 คน

นน่ั คือ มีคนที่ชอบด่ืมกำแฟ หรือนมอยำ่ งเดียว เท่ำกบั 19 คน 

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 5

แบบฝึ กหดั 1.1

1. จงเขียนเซตตอ่ ไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

1.1 เซตของจานวนเตม็ บวกที่หารดว้ ยหา้ ลงตวั

1.2 เซตของจานวนท่ีสอดคลอ้ งกบั สมาชิก 2x2 + 3x - 2 = 0

1.3 {x  I | x มากกวา่ 2 และนอ้ ยกวา่ 10}

2. จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต

2.1 {2, 4, 6 } 2.2 {-1, -2, -3, -4, …} 2.3 {1, 4, 9, 16, 25, 36}

3. เซตต่อไปน้ี เซตใดเป็นเซตจากดั เซตใดเป็ นเซตอนนั ต์

3.1 เซตของจานวนเฉพาะ

3.2 เซตของชื่อเดือนที่มีจานวนวนั มากกวา่ 30 วนั

3.3 เซตของวงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางร่วมกนั

3.4 {x | x เป็นจานวนคู่}

3.5 {x  I | 8 < x < 9}

4. พจิ ารณาเซตในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ีวา่ มีขอ้ ใดบา้ งเป็นเซตที่เท่ากนั

4.1 A = {x | x  I และ 0 < x < 30} 4.2 C = {xR | x2 – x = 0}

B = {1, 2, 3, …, 29} D = {xI | x2 – x = 0}

4.3 E = {x | x เป็นจานวนเต็ม และ x2 = 36} 4.4 G = {x | x เป็นพยญั ชนะในคาวา่ “ชวน”}

F = {6} H = {x | x เป็นพยญั ชนะในคาวา่ “เชาวน์”}

5. จงหาเซตยอ่ ยท้งั หมดของเซตตอ่ ไปน้ี

5.1 {a} 5.2 {1, 2} 5.3 {1, 2, {3}} 5.4 {{1, {2, 3}}}

6. ให้ A = { , { }, 1, {1}, 2, {2}, {1, 2}, {1, 2, 3} }

จงพจิ ารณาขอ้ ความต่อไปน้ี ถูกหรือผดิ

6.1  A 6.2   A 6.3 {} A 6.4 {}  A

6.5 1 A 6.6 {1}  A 6.7 {1, 2} A 6.8 {1, 2}  A

6.9 {1, {2}} A 6.10 {{1}, 2, {1, 2}}  A

7. จงหาเพาเวอร์เซตของเซตตอ่ ไปน้ี

7.1 A =  7.2 B = {a, b} 7.3 C = {1, {1}} 7.4 D = {, 1, 2}

8. กาหนด U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 5, 7} B = {0, 2, 4, 6} C = {1, 3, 5, 7}

จงเขียนเซตต่อไปน้ีแบบแจกแจงสมาชิก

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อุดรธำนี

6 แคลคูลสั I

8.1 A  B 8.2 (A  B) 8.3 A  B 8.4 A - B

8.5 A  C 8.6 A  (B  C ) 8.7 (A  B)  (A  C )

8.8 A  (B  C) 8.9 (A B ) (AC) 8.10 B - (A  C )

9. การสอบถามความเห็นจากประชาชน 400 คน ผลปรากฏวา่ มีผชู้ อบด่ืมกาแฟ 250 คน ชอบด่ืม

น้าอดั ลม 200 คน ชอบดื่มท้งั กาแฟ และน้าอดั ลม 130 คน จงหา

9.1 จานวนคนที่ชอบดื่มกาแฟเพียงอยา่ งเดียว

9.2 จานวนคนท่ีชอบด่ืมน้าอดั ลมเพียงอยา่ งเดียว

9.3 จานวนคนที่ไมช่ อบดื่มเครื่องดื่มท้งั 2 ชนิด

10. การสารวจทศั นคติของหญิงจานวนหน่ึงปรากฏวา่ ผลดงั น้ี

29 คน ชอบชายสูงอายุ 25 คน ชอบชายรูปหล่อ

39 คน ชอบชายมง่ั คงั่ 9 คน ชอบชายรูปหล่อและสูงอายุ

17 คน ชอบชายสูงอายุ และชายมง่ั คงั่ 20 คน ชอบชายรูปหล่อ และชายมงั่ คงั่

6 คน ชอบท้งั สามประเภท 4 คน ไมช่ อบท้งั สามประเภท

อยากทราบวา่ มีหญิงสาวก่ีคนใหค้ าตอบในการสารวจคร้ังน้ี

1.2 จานวนจริง
เน่ืองจากแคลคูลสั เป็ นวิชาที่เกี่ยวขอ้ งกบั เซตของจานวนจริง ดงั น้นั หวั ขอ้ น้ีเราจะกล่าวถึง

จานวนจริง (real number) และสมบตั ิที่สาคญั ของจานวนจริง รวมถึงการนาไปใช้ จะขอเร่ิมดว้ ย
จานวนเต็มบวก หรือ จานวนนบั หรือ จานวนธรรมชาติ (positive integer, counting หรือ natural
number) ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, ... ส่วนจานวนเต็มลบ (negative integer) คือ –1, –2, –3, –4, ... และ

จานวนเต็ม (integer) ประกอบดว้ ย ... , –5 , –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... จานวนตรรกยะ

(rational number) คือจานวนที่เขียนไดใ้ นรูปเศษส่วน a เม่ือ a,b I, b  0 ดงั น้นั จานวนตรรกยะ
b

ไดแ้ ก่ เศษส่วน ทศนิยม และจานวนเต็ม เช่น 3 = 0.6, – 1 = –0.333…, 61 = 0.549540540…ซ่ึง
53 111

เป็ นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้า ส่วนจานวนอตรรกยะ (irrational number) คือ จานวนที่ไม่ใช่จานวน

ตรรกยะ เช่น  = 3.1459… , 2 = 1.141… , e = 2.71826… ซ่ึงเป็ นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้า

ส่วนจานวนจริง คือจานวนที่เป็ นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะ เขียนแผนผงั แสดง

ความสัมพนั ธ์ของจานวนจริงได้ ดงั น้ี

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทที่ 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 7

จำนวนจริง

จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ

จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็

จำนวนเตม็ ลบ ศูนย์ จำนวนเตม็ บวกหรือ
จำนวนธรรมชำติ

เซตของจานวนจริง R กบั การบวกและการคูณ มีสมบตั ิดงั น้ี ให้ a,b,cR

1. a + bR : สมบตั ิปิ ด (closure)

2. (a + b) + c = a + (b + c) : สมบตั ิเปลี่ยนหมู่ (associative)

3. มี 0R ซ่ึง 0 + a = a = 0 + a : สมบตั ิมีเอกลกั ษณ์ (identity)

4. มี – aR ซ่ึง – a + a = 0 = a + (–a) : สมบตั ิมีอินเวอร์ส (inverse)

5. a + b = b + a : สมบตั ิสลบั ท่ี (permutative)

6. ab  R : สมบตั ิปิ ด

7. (ab)c = a(bc) : สมบตั ิเปลี่ยนหมู่

8. มี 1R ซ่ึง 1  0 และ 1a = a = a1 : สมบตั ิมีเอกลกั ษณ์

9. สาหรับ a≠ 0 มี a-1R ซ่ึง a-1a = 1 = aa-1 : สมบตั ิมีอินเวอร์ส

10. ab = ba : สมบตั ิสลบั ที่

11. a(b+c) = ab + ac : สมบตั ิแจกแจงทางซา้ ย (left distributive)

ระบบท่ีประกอบดว้ ยเซต กบั การดาเนินการทวภิ าค 2 ตวั ที่สอดคลอ้ งกบั สมบตั ิ 11 ขอ้
ขา้ งตน้ เรียกวา่ ฟิ ลด์ (field) ดงั น้นั ระบบจานวนจริง เป็นฟิ ลด์

ข้อสังเกต 1.2.1 1) ขอ้ 1.-5. เป็นสมบตั ิการบวก และขอ้ 6.-10. เป็นสมบตั ิการคูณ ส่วนขอ้ 11. เป็น
การผสมกนั ของสมบตั ิการบวกและการคูณ
2) การลบและการหาร เรานิยามจากการบวกและการคูณ ดงั น้ี

a–b = a + (–b) และ a  b = a = ab-1

b

สมบตั ิของ R อีก 4 ขอ้ ตอ่ ไปน้ีเรียกวา่ สัจพจน์ของการจัดอนั ดบั (ordered axiom) ทาให้

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

8 แคลคูลสั I

เราจดั อนั ดบั ของสมาชิกใน R ได้
12. มี aR ซ่ึง a เป็นจานวนบวก (positive number) (a R+ )
13. ถา้ aR แลว้ a = 0, a < 0 หรือ a > 0 เป็นจริงเพียงกรณีใดกรณีหน่ึง
14. ถา้ a, bR+ แลว้ a + b R+
15. ถา้ a, bR+ แลว้ ab R+

ฟิ ลดใ์ ด ๆ ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมบตั ิขอ้ 12.- 15. ขา้ งตน้ จะเรียกวา่ ออร์เดอร์ฟี ลด์ (ordered
field) ดงั น้นั ระบบจานวนจริง R เป็นออร์เดอร์ฟิ ลด์

บทนิยาม 1.2.1 ให้ aR จะกล่าววา่ a เป็นจานวนลบ (negative number) ถา้ – a R+

บทนิยาม 1.2.2 ให้ a, bR จะกล่าววา่ a น้อยกว่า b เขียนแทนดว้ ย a < b ถา้ b – a R+

ตวั อย่าง 1.2.1 1) เน่ืองจาก 8 – 2 = 6 R+ ดงั น้นั 2 < 8 
2) เน่ืองจาก (– 3) – (– 5) = 2 R+ ดงั น้นั –5 < –3

หมายเหตุ 1.2.1 a < b มีความหมายเดียวกนั กบั b > a 
ทฤษฎบี ท 1.2.1 ให้ a, b, cR ถา้ a < b และ b < c แลว้ a < c
พสิ ูจน์ เน่ืองจาก a < b และ b < c ดงั น้นั b – a และ c – b R+

จากสมบตั ิของ R ขอ้ 14. จะไดว้ า่
(c – b) + (b – a) = c – a R+

นน่ั คือ a < c

นอกจากน้ี ระบบจานวนจริง มีสมบตั ิเก่ียวกบั การเทา่ กนั 5 ขอ้ ดงั น้ี ให้ a,b,cR

1. a = a : การสะทอ้ น (reflexive)

2. ถา้ a = b แลว้ b = a : การสมมาตร (symmetric)

3. ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c : การถ่ายทอด (transitive)

4. ถา้ a = b แลว้ c+ a = c+ b : การบวกดว้ ยจานวนเดียวกนั

5. ถา้ a = b แลว้ ca = cb : การคูณดว้ ยจานวนเดียวกนั

แบบฝึ กหดั ท่ี 1.2

สาหรับ a, b , cR จงพิจารณาแตล่ ะขอ้ ความต่อไปน้ีวา่ จริงหรือเทจ็ เพราะเหตุใด

1. ถา้ ab = a แลว้ b = 1 2. ถา้ ab = ac แลว้ b = c

3. ถา้ ab = 1 แลว้ a = b-1 4. ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 และ b = 0

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 9

5. ถา้ a  0 หรือ b  0 แลว้ ab  0 6. ถา้ a  b แลว้ ca  cb

7. ถา้ ca  cb แลว้ a  b 8. ถา้ a  b แลว้ 1  1

ab

9. ถา้ a  b แลว้ 1  1 10. ถา้ a  b และ c  d แลว้ a  c  b  d
ba

11. ถา้ a  b และ c  d แลว้ ac  bd

12. ถา้ a  b , c  d , c  0 d  0 แลว้ a  b
13. ถา้ a  b , c  d , c  0 d  0
14. ถา้ a  b แลว้ a2  b2 cd

แลว้ a  b

dc

15. ถา้ a2  b2 แลว้ a  b 16. ถา้ x  y  a  b แลว้ x  a และ y  b
17. ถา้ a  0 แลว้ a2  a 18. ถา้ a เป็นจานวนคู่แลว้ a2 เป็นจานวนคู่ดว้ ย

19. ให้ a, b, cR จงพิสูจน์วา่ ถา้ a < b แลว้ a + c < b + c

20. ให้ a, b, cR จงพิสูจน์วา่ ถา้ a < b และ c R+ แลว้ ac < bc

1.3 ฟังก์ชันและกราฟ
กอตตฟ์ รีด วลิ เฮลม์ ฟอน ไลบน์ ิซ (Gottfried Wilhelm von

Leibniz, พ.ศ. 2189,ไลป์ ซิก, เยอรมนี) ไดใ้ หค้ วามหมายของฟังกช์ นั
เพือ่ อธิบายปริมาณที่เกี่ยวขอ้ งกบั เส้นโคง้ เช่น ความชนั ของเส้นโคง้
หรือจุดบนเส้นโคง้ ฟังกช์ นั ไม่ไดจ้ ากดั อยแู่ คก่ ารคานวณดว้ ยตวั เลข
แตฟ่ ังกช์ นั เช่ือมโยงเซตของสิ่งนาเขา้ กบั เซตของผลลพั ธ์ที่เป็นไปได้
ฟังกช์ นั จึงเป็นพ้นื ฐานของทุกสาขาในคณิตศาสตร์

1.3.1 ความสัมพนั ธ์และฟังก์ชัน
บทนิยาม 1.3.1 ให้ A และ B เป็นเซตท่ีไม่ใช่เซตวา่ ง ผลคูณคาร์ทเี ซียน (cartesian product)
ระหวา่ ง A และ B เขียนแทนดว้ ย A  B กาหนดโดย

A B  {(a, b) | a A, bB}

เรียก (a ,b) วา่ คู่อนั ดับ (order pairs) โดยมี a และ b เป็นพกิ ดั (coordinates) และ
(a,b)  (c,d) กต็ ่อเมื่อ a  c และ b = d

ตัวอย่าง 1.3.1 ให้ A = { 2, 4 } , B = { 3, 4, 6 } 
จะไดว้ า่ A  B = { (2, 3), (2, 4), (2, 6), (4, 3), (4, 4), (4, 6) }
B  A = { (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 4) }
A  A = { (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) }

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อุดรธำนี

10 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 1.3.2 ระนาบคาร์ทีเซียน คือ ระนาบผลคูณคาร์ทีเซียนของ R  R โดยท่ี 
R  R = R2 = {(x ,y) x , y  R}

บทนิยาม 1.3.2 r เป็นความสัมพนั ธ์ (relations) จาก A ไป B กต็ ่อเมื่อ r  AB และ r  

หมายเหตุ 1.3.1 1) (x ,y)  r หมายถึง x มีความสัมพนั ธ์ r กบั y
2) ความสมั พนั ธ์จาก A ไป A จะเรียกวา่ ความสัมพนั ธ์ใน A

ตวั อย่าง 1.3.3 ในตวั อยา่ ง 1.3.1 พจิ ารณาความสมั พนั ธ์ ต่อไปน้ี

1) ให้ r1 = { (2,3) , (2,6) , (4,4) } และ r2= { (4,4) }
จะไดว้ า่ r1, r2 เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B และ r2 เป็นความสัมพนั ธ์ใน A

2) ให้ r4 เป็นความสัมพนั ธ์ “นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B
จะไดว้ า่ r4 = { ( 2,3) , (2,4) , (2,6) , (4,6) }

3) ให้ r5 เป็นความสัมพนั ธ์ “เป็นรากที่สอง” จาก A ไป B

จะไดว้ า่ r5 {(2,4)} 

บทนิยาม 1.3.3 ฟังก์ชัน (functions or mappings) f คือความสัมพนั ธ์ ซ่ึง
ถา้ (x, y1) f และ (x, y2)f แลว้ y1 = y2

นน่ั คือ ความสัมพนั ธ์ f เป็นฟังกช์ นั ถา้ สองคู่อนั ดบั ใด ๆ มีสมาชิกตวั แรกเทา่ กนั แลว้
สมาชิกตวั หลงั ตอ้ งไมต่ า่ งกนั

ตัวอย่าง 1.3.4 ให้ f = {(2,4), (–2,4), (0,0), (1,1)} และ g = {(1,2), (4,2), (1,3)} 
จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั และเน่ืองจาก (1,2) g และ (1,3) g แต่ 2  3
ดงั น้นั g ไม่เป็นฟังกช์ นั

บทนิยาม 1.3.4 ให้ f เป็นฟังกช์ นั จะไดว้ า่

โดเมน (domain) ของ f เขียนแทนดว้ ย Df = { x  (x, y)  f สาหรับบาง y } และ
เรนจ์ (range) ของ f เขียนแทนดว้ ย Rf = { y  (x, y)  f สาหรับบาง x }

ตวั อย่าง 1.3.5 1) ให้ f = { (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16) } 

ดงั น้นั Df = { 1, 2, 3, 4 } และ Rf = { 1, 4, 9,16 }
2) ให้ g = { (x, y)  R x R  y = 1 x } ดงั น้นั Dg = R และ Rg = R

2

3) ให้ h = { (x, y)  R x R  y = x2 } ดงั น้นั Dh = R และ Rh = R+ { 0 }

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 11

ตวั อย่าง 1.3.6 ให้ f = { (x, y) R x R  y = 1 }
x5

พิจารณา Df เน่ืองจาก y = 1 จะหาค่าได้ เม่ือ x + 5  0 นนั่ คือ x  –5

x5

ดงั น้นั Df = { xR  x  – 5 } = R – {–5 }

พิจารณา Rf เน่ืองจาก x  1 5 จะหาคา่ ได้ เม่ือ y  0

y

ดงั น้นั Rf = { yR  y  0 } = R – {0} 

บทนิยาม 1.3.5 f เป็นฟังกช์ นั จากเซต A ไปเซต B เขียนแทนดว้ ย f : A  B

ก็ตอ่ เม่ือ f เป็ นฟังกช์ นั และ Df = A , Rf B
นนั่ คือ f : A  B ก็ต่อเมื่อ Df = A และ ถา้ (x, y1)f  (x, y2) f แลว้ y1 = y2

จากบทนิยามทาใหเ้ ราสามารถตรวจสอบความสมั พนั ธ์ที่จะเป็นฟังกช์ นั ได้ ดงั น้ี
1) ความสัมพนั ธ์ที่สมาชิกตวั หนา้ ของแต่ละคูอ่ นั ดบั ไมเ่ หมือนกนั เลย เป็นฟังกช์ นั
2 ) ความสัมพนั ธ์ซ่ึงเขียนแบบบอกเง่ือนไข อาจใชว้ ธิ ีการพิจารณาจากบทนิยาม หรือ

วธิ ีการเขียนกราฟ

ตัวอย่าง 1.3.7 จงแสดงวา่ ความสมั พนั ธ์ f = {(x, y) | x ,y R  y = 2x + 3 } เป็นฟังกช์ นั 
จาก R ไป R
วธิ ีทา วธิ ีท่ี 1 จะแสดงโดยใชบ้ ทนิยาม 1.3.5

1) ให้ x  R จะไดว้ า่ 2x  R

และ 3  R จะไดว้ า่ 2x + 3  R หรือ

y = 2x + 3 สาหรับบางค่า yR
ดงั น้นั Df = R
2) ให้ (x, y1 ) f  (x, y2) f
จะไดว้ า่ y1 = 2x + 3  y2 = 2x + 3
ดงั น้นั y1 = y2
จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R หรือ f : R  R

ตัวอย่าง 1.3.8 ความสมั พนั ธ์ g = {(x, y) | x, y  R, y2 = x } เป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R หรือไม่
วธิ ีทา วธิ ีที่ 1 จะแสดงโดยใชบ้ ทนิยาม 1.3.5

ให้ (x, y1 ) g  (x, y2) g
จะไดว้ า่ y12 = x  y22 = x
ดงั น้นั y12 = y22

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

12 แคลคูลสั I

แต่ y1  y2 ( เช่น (1)2 = (–1)2 แต่ 1  -1 )

จะไดว้ า่ g ไม่เป็นฟังกช์ นั

ดงั น้นั g ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R

วธิ ีท่ี 2 จะแสดงโดยเขียนกราฟความสัมพนั ธ์ g ดงั น้ี

Y จะเห็นวา่

2 y2 = x 1) Dg = R+ { 0 }  R
2) เนื่องจาก (1,1) g  (1, –1) g
02 X แต่ 1  –1 ( ลากเส้นตรงขนานแกน Y ตดั กราฟได้
–2  เกินหน่ึงจุด )
4 จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ า่ g ไม่เป็นฟังกช์ นั จาก R

ไป R 

ตวั อย่าง 1.3.9 ให้ A = { a, b, c, d } , B = { x, y, w } และ h = {(a, y), (b, y), (d, x)} 
จะเห็นวา่ Dh  A ดงั น้นั h ไม่เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B

แบบฝึ กหัด 1.3 ก

1. ให้ A = { 1 , 2 , 3 } และ B = { a , b } จงหา A  B และ B  A

2. สาหรับแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี จงหาค่า x และ y

2.1 ( x + 2 , 3 ) = ( 5 , y – 1 ) 2.2 ( x + y , 1) = ( 3 , x – y ) 2.3 ( x , 2 )  ( x , y )

3. ให้ A และ B ไมเ่ ป็นเซตวา่ ง แลว้ จงใหเ้ ง่ือนไขท่ี A  B = B  A

4. ให้ A = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } จงเขียนความสมั พนั ธ์ใน A ต่อไปน้ี

4.1 r1 เป็นความสมั พนั ธ์สองเทา่ ใน A 4.2 r2 เป็นความสัมพนั ธ์หารลงตวั ใน A

4.3 r3 เป็นความสมั พนั ธ์  a – b หารดว้ ย 2 ลงตวั ใน A

5. ความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ีเป็ นฟังกช์ นั หรือไม่ พร้อมบอกเหตุผล

5.1 { (1 , a) , (2 , b) ,(3 , b) , (5 , c) } 5.2 { (1 , a) , (2 , b) ,(3 , c) , (4 , d) ,(4 , c) }

5.3 { (1 , a) , (2 , a) ,(3 , a) , (4 , a) } 5.4 { (x , y)A× A  y  x } ; A = { 1 , 2 , 3 }

5.5 { (x , y)B× B  y = x – 2 } ; B = { –2 , –1 , 0 , 1 , 2 } 5.6 { (x , y)x = 3 }

5.7 { (x , y)  y = –2 } 5.8 { (x , y)  y = x }

6. ให้ A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = { a, b, c, d, e } แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ี เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B

6.1 f = { (a,1), (2,b), (3,b), (5,e) } 6.2 g = { (2,a), (3,a), (1,a), (5,a), (4,a) }

6.3 h = { (1,e), (5,d), (3,a), (2,b), (1,d), (4,a) } 6.4 j = { (1,a), (2,b), (3,c), (4,a), (4,e) }

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทที่ 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 13

6.5 k = { (5,a), (1,e), (4,b), (3,e), (2,d) }

7. ให้ U = {0 ,1 ,2, 3, 4 , 5} และใหฟ้ ังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ีเป็นเซตยอ่ ยของ U  U

จงเขียนกราฟพร้อมท้งั หาโดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั

7.1 f(x) = 2x – 3 7.3 y = 2x2

7.2 f(x) = 2x 7.4 f = { (x ,y) | x2 + y2 = 25 }

8. ถา้ h(x) = x2 – 6 และโดเมนของ h คือ { x | – 4 < x < 3} จงหาเรนจข์ อง h

9. ความสัมพนั ธ์ต่อไปน้ีเป็ นฟังกช์ นั จาก R ไป R หรือไม่ พร้อมท้งั หาเรนจ์

9.1 { (x,y)  RR  y = 3x } 9.2 { (x,y)  RR y =  x}

9.3 { (x,y)  RR y = 3 } 9.4 { (x,y)  RR  y = x2+1 }
5x 9.6 { (x,y)  RR  y = 3x+2 }

9.5 { (x,y)  RR  x2+ y2 = 4 }

9.7 { (x,y)  RR  y = x } 9.8 { (x,y)  RR  y = 1 }

x

1.3.2 ชนิดของฟังก์ชัน
ตวั อยา่ งฟังกช์ นั ในหวั ขอ้ 1.3.1 ขา้ งตน้ ถา้ f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B แลว้ f จะมีลกั ษณะ

แตกต่างกนั หลายลกั ษณะ เช่น Rf = B หรือ Rf ≠ B กไ็ ด้ หรืออาจมีสมาชิก x1 , x2 A โดยที่ x1 
x2 แต่ f(x1) = f(x2) ดงั น้นั จึงจาแนกฟังกช์ นั ตามลกั ษณะท่ีแตกตา่ งกนั ดงั น้ี

บทนิยาม 1.3.6 f : A  B เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหน่ึง (injective function) เขียนแทนดว้ ย
f : A 11 B กต็ ่อเม่ือ ถา้ (x1, y) f  (x2, y) f แลว้ x1 = x2

ตวั อย่าง 1.3.10 ให้ A = { 1, 3, 5 } , B = { 2, 4, 6 } และ 
f = { (1, 4), (3, 2), (5, 6) }, g = { (1, 2), (3, 4), (5, 4) }

จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั 1–1 จาก A ไป B
พิจารณา g เน่ืองจาก (3, 4), (5, 4) g แต่ 3  5

ดงั น้นั g ไม่เป็นฟังกช์ นั 1–1

ตวั อย่าง 1.3.11 จงแสดงวา่ f = {(x, y)R x R  y = x – 3 }เป็นฟังกช์ นั 1 – 1 จาก Rไป R
วธิ ีทา 1) จะแสดงวา่ Df = R

ให้ xR เนื่องจาก –3R จะไดว้ า่ x – 3R

ดงั น้นั y = x – 3 สาหรับบางคา่ y R
นนั่ คือ Df = R
2) จะแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นั

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อุดรธำนี

14 แคลคูลสั I 

ให้ (x, y1 ) f  (x, y2) f
จะไดว้ า่ y1 = x - 3  y2 = x – 3
หรือ y1 = x  y2 = x
ดงั น้นั y1 = y2
3) จะแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นั 1–1

คือจะแสดงวา่ ถา้ (x1, y)f  (x2, y)f แลว้ x1 = x2
ให้ (x1, y)f  (x2, y)f
ดงั น้นั y = x1 – 3  y = x2 – 3
จะไดว้ า่ x1 – 3 = x2 – 3
ดงั น้นั x1 = x2
จาก 1) - 3) สรุปไดว้ า่ f : R 11 R

จากตวั อยา่ ง 1.3.11 การแสดงวา่ ความสมั พนั ธ์ f ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั 1–1 จาก R ไป R เพยี ง
แสดงวา่ ไมส่ อดคลอ้ งขอ้ ใดขอ้ หน่ึงใน 1) - 3)

ตวั อย่าง 1.3.12 ให้ g = { (x, y)R x R  y = x 2–3}แลว้ g เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงหรือไม่

พจิ ารณา ให้ (x1, y)g  (x2, y)g Y y = x2–3
จะไดว้ ำ่ y = (x1)2–3  y = (x2)2 –3 2X
ดงั น้นั (x1)2–3 = (x2)2 –3 2
หรือ (x1)2 = (x2)2 –2 0 

แต่ x1  x2 

นนั่ คือ g ไมเ่ ป็ น g : R 11 R 

บทนิยาม 1.3.7 ให้ f : A  B แลว้ f เป็นฟังก์ชันทว่ั ถงึ (surjective function) เขียนแทนดว้ ย

f:A ทวั่ ถึง B ก็ต่อเมื่อ Rf = B



นน่ั คือ สาหรับทุกคา่ yB จะมีบางค่า xA โดยที่ (x, y) f หรือ y = f(x)

ตวั อย่าง 1.3.13 ในตวั อยา่ ง 1.3.10 
เน่ืองจาก Rg  B ดงั น้นั g ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ทวั่ ถึงจาก A ไป B

ตวั อย่าง 1.3.14 จงแสดงวา่ f = {(x, y)R x R  y = x – 3 } เป็นฟังกช์ นั ทวั่ ถึง
วธิ ีทา ในตวั อยา่ ง 1.3.11 ขอ้ 1) - 2) จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R ต่อไปจะแสดงวา่

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 15

f เป็นฟังกช์ นั ทว่ั ถึง คือ จะแสดงวา่ Rf = R หรือ y R, x R ,(x, y)f
ให้ y R เนื่องจาก –3 R จะไดว้ า่ y + 3R

ให้ x = y + 3 หรือ y = x – 3 สาหรับบางคา่ xR

ดงั น้นั Rf = R

นนั่ คือ f : R ทั่วถงึ R 



บทนิยาม 1.3.8 ให้ f : A  B ถา้ f เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงและฟังกช์ นั ทวั่ ถึงแลว้ จะเรียกวา่

f เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหน่ึงทั่วถงึ (bijective function) เขียนแทนดว้ ย f:A 11 B


ทวั่ ถึง

ตัวอย่าง 1.3.15 ให้ A = { a, b, c, d } , B = { 1, 3, 5, 7 } , C = { 1, 3, 5 } และ

f = { (a, 3), (b, 5), (c, 1), (d, 5) } , g = { (a, 1), (b, 5), (c, 3), (d, 7) }

จะเห็นวา่ f เป็นฟังกช์ นั จาก A ไป B หรือ f : A  B

f เป็นฟังกช์ นั ทวั่ ถึงจาก A ไป C หรือ f:A ทว่ั ถึง C



และ g เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงทวั่ ถึงจาก A ไป B หรือ g : A 11 B 


ทว่ั ถึง

ตัวอย่าง 1.3.16 ให้ f = {(x, y) | x ,y R  y = 2x + 3 } แลว้ f เป็นฟังกช์ นั ชนิดใด

วธิ ีทา 1) ให้ x R จะไดว้ า่ 2x R และ 3 R

จะไดว้ า่ 2x + 3 R หรือ y = 2x + 3 สาหรับบางค่า y R

ดงั น้นั Df = R
2) ให้ (x, y1 ) f  (x, y2) f

จะไดว้ า่ y1 = 2x + 3  y2 = 2x + 3
ดงั น้นั y1 = y2

จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ า่ f : R  R

3) จะแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นั 1–1 จะตอ้ งแสดงวา่

ถา้ (x1, y)f  (x2, y)f แลว้ x1 = x2

ให้ (x1, y)f  (x2, y)f

จะไดว้ า่ y = 2x1 + 3  y = 2x2 + 3

2x1 + 3 = 2x2 + 3

ดงั น้นั x1 = x2

นนั่ คือ f: R 11 R



มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

16 แคลคูลสั I

4) จะแสดงวา่ f เป็นฟังกช์ นั ทว่ั ถึง จะตอ้ งแสดงวา่ Rf = R หรือ
สาหรับทุกค่า yR จะมีบางคา่ xR โดยที่ (x, y)f หรือ y = f(x)

ให้ yR

เน่ืองจาก –3 R จะไดว้ า่ y + (–3)R และ

เน่ืองจาก 1 R จะไดว้ า่ 1 ( y + (–3) ) R
2 2
y-3 y-3
หรือ 2  R หรือ x = 2 สาหรับบางคา่ xR

จะไดว้ า่ y = 2x + 3

ดงั น้นั Rf = R

นนั่ คือ f : R ทั่วถงึ R



จาก 1) - 4) สรุปไดว้ า่ f : R 11 R 


ทวั่ ถึง

ตวั อย่าง 1.3.17 ให้ g = { (x, y) | x ,y R  y = sin x } แลว้ g เป็นฟังกช์ นั ชนิดใด 

วธิ ีทา 1) ให้ x R จะไดว้ า่ sin x R หรือ y = sin x สาหรับบางค่า yR

ดงั น้นั Dg = R
2) ให้ (x, y1)g  (x, y2)g

จะไดว้ า่ y1 = sin x  y2 = sin x
ดงั น้นั y1 = y2
จาก 1) และ 2) จะไดว้ า่ g : R  R

3) ให้ (x1, y)g  (x2, y)g
จะไดว้ า่ y = sin x1  y = sin x2
ดงั น้นั sin x1 = sin x2
แต่ x1  x2
ดงั น้นั g ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั 1–1

4) เน่ืองจาก สาหรับทุกคา่ xR
จะไดว้ า่ –1 sin x  1 , y = sin x

ดงั น้นั Rg = { y  y  R  –1 y  1 } = [–1, 1]  R
หรือ Rg  R
นนั่ คือ g ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั ทว่ั ถึง

จาก 1) - 4) สรุปไดว้ า่ g : R  R

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 17

แบบฝึ กหัด 1.3 ข

1. จงตรวจสอบวา่ ฟังกช์ นั ในขอ้ ใดเป็ นฟังกช์ นั 1 – 1

1.1 { (x,y) RR  y = 2x + 5 } 1.2 { (x,y)  RR  y = x2 + x }

1.3 { (x,y)  RR  y =  x  } 1.4 { (x,y)  RR  y = ex }

1.5 { (x,y) RR  y = sin x , 0  x   } 1.6 { (x,y)  RR  y = 1 }
x
1
1.7 { (x,y)  RR  y = x3 }

2. ให้ A = {a , b , c } , B = {b , c , d} และ

f1 = { (a, c) , (b, d) , (c, c)} f5 = {(a, b) , (b, c), (c, d)}

f2 = { (a, d) , (b, b) , (c, c)} f6 = {(a, c) , (b, c) , (c, c)}

f3 = { (b, a) , (c, c) , (d, a)} f7 = {(b, b) , (c, c) , (d, a)}

f4 = {(a, b) , (c, c) , (b, c)}

จงพจิ ารณาฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหว้ า่ มีฟังกช์ นั ใดบา้ งท่ีเป็ น

2.1 ฟังกช์ นั จาก A ไป B 2.5 ฟังกช์ นั จาก A ไป A

2.2 ฟังกช์ นั จาก A ไปทวั่ ถึง B 2.6 ฟังกช์ นั 1–1

2.3 ฟังกช์ นั จาก B ไป A 2.7 ฟังกช์ นั จาก B ไปทว่ั ถึง A

2.4 ฟังกช์ นั จาก B ไปทว่ั ถึง B 2.8 ฟังกช์ นั 1–1 ทวั่ ถึง

3. ให้ A = { 2,4 } จงยกตวั อยา่ งฟังกช์ นั หน่ึงตอ่ หน่ึงจาก A ทวั่ ถึง A

4. จงแสดงวา่ ฟังกช์ นั f = { (x, y)  R x R  y = x2 } ไม่เป็ น f:R 11 R


ทวั่ ถึง

1.3.3 ฟังก์ชันผกผนั
บทนิยาม 1.3.9 ความสัมพนั ธ์ผกผนั ของฟังกช์ นั f เขียนแทนดว้ ย f -1 และจะเรียก f -1 วา่

ฟังก์ชันผกผนั (inverse function) ของ f ถา้ f -1 เป็นฟังกช์ นั

จากบทนิยามน้ี จะไดว้ า่ (y, x)  f -1  (x, y)  f

ตวั อย่าง 1.3.18 ใหฟ้ ังกช์ นั g = { (2, 3), (4, 5), (6, 7), (8, 3) } 
ดงั น้นั g -1 = { (3, 2), (5, 4), (7, 6), (3, 8) } เป็นความสมั พนั ธ์ผกผนั ของ g

ตัวอย่าง 1.3.19 ให้ f = { (x, y)  RR  y = 2x – 6 }
ดงั น้นั f -1 = { (y, x)  RR  y = 2x – 6 }

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

18 แคลคูลสั I

หรือ f -1 = { (x, y)  RR  x = 2y – 6 }
หรือ f -1 = { (x, y)  RR  y = x  6 }

2

เขียนกราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหวา่ ง f และ f -1 ไดด้ งั น้ี

Y X
f-1

f

y=x 

หมายเหตุ 2.3.1 กราฟของความสัมพนั ธ์ f และ f -1 จะมีรูปกราฟสมมาตรกนั
โดยมีเส้น y = x เป็นแกนสมมาตร

ทฤษฎบี ท 1.3.1 ให้ f เป็ นความสัมพนั ธ์ จะไดว้ า่ Df1 = Rf , Rf1 = Dr และ (f -1)-1 = r

เน่ืองจาก f : A  B เป็นความสัมพนั ธ์ ดงั น้นั f -1 เป็นความสมั พนั ธ์ผกผนั ของ f
และจะไดว้ า่ Rf  B แต่เน่ืองจาก =Df1 Rf ดงั น้นั f -1 จึงไมเ่ ป็ นฟังกช์ นั

และต่อไปน้ีเราจะพจิ ารณาสมบตั ิของ f ที่ทาให้ f -1 เป็นฟังกช์ นั
พิจารณาแผนภาพ

f a a f -1 1
1 b 3
3
5 b5

จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั แต่ f -1 ไม่เป็นฟังกช์ นั

g g-1
1a a1
3b b3
5c c5

จะไดว้ า่ g เป็นฟังกช์ นั และ g-1 เป็นฟังกช์ นั ผกผนั

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 19

ตัวอย่าง 1.3.20 ให้ f เป็ นฟังกช์ นั โดยท่ี f(x) = x3 1 จงหา f -1
และพิจารณาวา่ f-1 เป็นฟังกช์ นั ผกผนั หรือไม่

พจิ ารณา f -1 เนื่องจาก y  f (x)  x3 1 จะไดว้ า่ x  3 y 1
นน่ั คือ f -1 = {(y, x) x  3 y 1 }
หรือ f -1 = {(x, y) y  3 x 1 } เป็ นฟังกช์ นั ผกผนั
โดยทว่ั ไป จะเขียนเป็ น f -1(x) = 3 x 1

และเขียนกราฟไดด้ งั น้ี

2 Y f y= x

1 f 1

-2 -1 0 1 2 X
-1

ทฤษฎบี ท 1.3.2 ถา้ f เป็นฟังกช์ นั 1 – 1 จะไดว้ า่ f -1 เป็นฟังกช์ นั 

พสิ ูจน์ ให้ (x, y1) f -1  (x, y2) f -1 (บทนิยาม 2.3.1)
( f เป็นฟังกช์ นั 1–1)
จะไดว้ า่ (y1, x)f  (y2, x)f
ดงั น้นั y1 = y2
นนั่ คือ f –1 เป็ นฟังกช์ นั

ทฤษฎบี ท 1.3.3 1) ถา้ f : A 11 B แลว้ f -1 : Rf 11 A

 

ทว่ั ถึง

2) ถา้ f :A 11 B แลว้ f -1 :B 11 A

 
ทวั่ ถึง ทวั่ ถึง

ถา้ f ไมเ่ ป็นฟังกช์ นั 1–1 แลว้ f-1 เป็นความสัมพนั ธ์จาก B ไป A แต่ไม่เป็ นฟังกช์ นั

แบบฝึ กหดั 1.3 ค

1. จงหาความสัมพนั ธ์ผกผนั ของฟังกช์ นั เหล่าน้ี พร้อมตรวจสอบวา่ เป็ นฟังกช์ นั ผกผนั หรือไม่

1.1 { (1,1),(1,2),(3,2),(2,4) } 1.2 { (x,y) RR  y = x+1 }

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

20 แคลคูลสั I

1.3 { (x,y)  RR  y = sin x } 1.4 { (x,y)  RR  y = 2x – 1 }

1.5 { (x,y)  RR  y = 1 } 1.6 { (x,y)  RR  y = x2 }
x2
2. จงเขียนกราฟของความสัมพนั ธ์ผกผนั ของฟังกช์ นั ในขอ้ 1.

3. จงพิสูจน์ทฤษฎีบท 1.3.1

4. จงพิสูจนท์ ฤษฎีบท 1.3.3

5. จงพสิ ูจน์ทฤษฎีบท 1.3.4

1.4 บทนิยามฟังก์ชันลักษณะอน่ื
ต่อไปน้ีเป็นบทนิยำมฟังกช์ นั ท่ีมีลกั ษณะอ่ืน ๆ ที่ควรทรำบ ดงั น้ี

บทนิยาม 1.4.2 ให้ f : A  B และ g : B  C จะไดว้ า่ ฟังกช์ นั ประกอบ(composite functions)
ของ f และ g คือ

g๐f = { (x, z)  yB, (x, y)f  (y, z)g }
หรือ g๐f (x) = g(f(x)) โดยที่ Dg๐f = { x  xDf และ f(x) = Dg}

หมายเหตุ 1.4.1 1) g๐f (อา่ นวา่ จีโอเอฟ) เป็นฟังกช์ นั จาก Df ไป Rg

2) สาหรับ (x, y)f และ (y, z)g อาจเขียน

y = f(x) และ z = g(y) = g(f(x))

พิจารณาแผนภาพ

f g C

A B

x y = f(x) z = g(y) = g(f(x))


g๐f
3) จะเห็นวา่ g๐f(x) หาคา่ ได้ ก็ตอ่ เมื่อ Rf  Dg

ตัวอย่าง 1.4.3 ให้ A = { 1, 2, 3 } , B = { a, b, c, d } และ C = { 1, 2, 4, 5 }
f = { (2, a), (1, c), (3, d) } และ g = { (a ,5), (b, 4), (c, 2), (d, 1) }

จงหา g๐f และ f๐g
วธิ ีทา Df = { 1, 2, 3 } = A , Dg = { a, b, c, d } = B

Rf = { a, c, d } , Rg = { 1, 2, 4, 5 }

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทที่ 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 21

(1) หา g๐f 
จะเห็นวา่ f : A  B และ g : B  C และ Rf Dg

ซ่ึง g๐f(2) = g(f(2)) = g(a) = 5 หรือ (2, 5) g๐f
g๐f(1) = g(f(1)) = g(c) = 2 หรือ (1, 2) g๐f

และ g๐f(3) = g(f(3)) = g(d) = 1 หรือ (3, 1) g๐f
ดงั น้นั g๐f = { (2, 5), (1, 2), (3, 1) }
(2) หา f๐g
เน่ืองจาก Rg  Df ดงั น้นั ไมม่ ี f๐g

ตวั อย่าง 1.4.4 ให้ f, g และ h เป็นฟังกช์ นั จาก R ไป R ดงั น้ี 
f(x) = x – 1 , g(x) = x2 และ h(x) = x

จงหา g๐f(x) , h๐f(x), f๐g(x), g๐h(x) และ f๐h(x)

วธิ ีทา เน่ืองจาก Df = R , Dg = R , Dh = R+  {0}
Rf = R , Rg = R+  {0} , Rh = R+  {0}

(1) พจิ ารณา g๐f(x)

เน่ืองจาก Rf  Dg จะไดว้ า่ g๐f (x) = g(f(x)) = g(x–1) = (x–1)2
(2) พจิ ารณา h๐f(x) เน่ืองจาก Rf  Dh ดงั น้นั ไม่มี h๐f(x)

ตอ่ ไปจะกล่าวถึงฟังกช์ นั ท่ีเท่ากนั ซ่ึงจะใหค้ วามหมายการเท่ากนั ในบทนิยามดงั น้ี
บทนิยาม 1.4.3 ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั จะไดว้ า่

f = g กต็ อ่ เมื่อ Df = Dg และ f(x) = g(x) สาหรับทุก ๆ x Df

ตัวอย่าง 1.4.5 พิจารณาวา่ ฟังกช์ นั f และ g ตอ่ ไปน้ีเท่ากนั หรือไม่

1) ให้ f x  x  2 , gx  x2  4
x2
จะไดว้ า่ gx  x  2x  2  x  2 , x  2
x2
และ Dg  Df 2 ดงั น้นั Dg  Df

นน่ั คือ f  g

2x2  7x  3 ,x  1
 2
2) ให้ f x  x  3 และ gx   2x  1
,x  1
5 2
 2

จะเห็นวา่ Df = Dg = R และ fx gxทุกค่า x R

ดงั น้นั f  g 

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อุดรธำนี

22 แคลคูลสั I

นอกจากน้ียงั มีบางฟังกช์ นั ที่เราควรรู้จกั เช่น ฟังกช์ นั เพม่ิ ฟังกช์ นั ลด ฟังกช์ นั คู่ ฟังกช์ นั ค่ี

ดงั น้ี

บทนิยาม 1.4.4 ให้ f เป็นฟังกช์ นั และ a, b R

f เป็นฟังก์ชันเพม่ิ ( increasing function) ในช่วง A = [a, b] ก็ต่อเม่ือ

ถา้ (x1 , y1), (x2 , y2)f และ x1  x2 แลว้ y1  y2 และ
f เป็นฟังก์ชันลด ( decreasing function ) ในช่วง A = [a, b] กต็ ่อเม่ือ

ถา้ (x1 , y1), (x2 , y2)f และ x1  x2 แลว้ y1  y2

Y f Y
y1  y2 y2 x1 x2
x1  x2 y1 x1  x2
y1 y2 x1 x2 x X

X y1  y2 f

f เป็ นฟังกช์ นั เพ่มิ f เป็ นฟังกช์ นั ลด

บทนิยาม 1.4.5 ให้ f เป็นฟังกช์ นั
(1) ถา้ f(–x) = – f(x) แลว้ จะเรียก f วา่ เป็นฟังก์ชันค่ี (odd function) และ
(2) ถา้ f(–x) = f(x) แลว้ จะเรียก f วา่ เป็นฟังก์ชันคู่ (even function )

ตวั อย่าง 1.4.6 ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั คู่หรือฟังกช์ นั คี่ Y
O
1) f(x) = x3

พิจารณา f(–x) = (–x)3 = (–x)( –x)( –x) = – x3 (1,1)
X
– f(x) = – (x3) = – [(x)(x)(x)] = – x3
(1,2) X
ดงั น้นั f(–x) = – f(x) 

นน่ั คือ f เป็นฟังกช์ นั คี่ (–1, –1)

ซ่ึงมีกราฟดงั รูป

2) f(x) = 3x2– 1 Y
เน่ืองจาก f(–x) = 3(–x)2 – 1 = 3x2 – 1 = f(x) O
ดงั น้นั f เป็นฟังกช์ นั คู่ (–1,2)
ซ่ึงมีกราฟดงั รูป (0, –1)

คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 1 ควำมรู้เบ้ืองตน้ 23

สังเกตวา่ กราฟของฟังกช์ นั คี่จะสมมาตรกบั จุดกาเนิดและกราฟของฟังกช์ นั คูจ่ ะ
สมมาตรกบั แกน Y

แบบฝึ กหดั 1.4

1. ให้ fx  2 x 1 และ gx  x2 จงหา g๐f(x) และ f๐g(x) และ g๐f-1(x)
2. จงหา f๐ f -1(x) , g๐ g -1(x), f๐ g -1(x) และ g๐ f -1(x) ในตวั อยา่ ง 1.4.3
3. จงหา f๐g(x) , g๐h(x), f๐h(x) และ g๐f-1(x) ในตวั อยา่ ง 1.4.4

4. จงแสดงวา่ f x  x  2 และ g(x)    4 4 เม่ือ x   2 เป็นฟังกช์ นั ที่เทา่ กนั
 x2  เม่ือ x  2

 x  2

5. ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีไม่เทา่ กนั ที่จุดใดบา้ ง

5.1 f (x)  x2 1 , gx  x  3 5.2 f x  x2  x  3 , gx  x 1

x3 x2

5.3 f (x)  x2 , gx  x

6. จงแสดงวา่ ฟังกช์ นั เอกลกั ษณ์ iA : AA นิยามโดย iA(x) = x , xA เป็นฟังกช์ นั หน่ึงต่อ
หน่ึงทว่ั ถึง

7. จงตรวจสอบวา่ ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั เพิม่ หรือลดในเซตท่ีกาหนด

7.1 f(x) = 2x2 + 1 , A = [–2, 2] 7.2 f(x) = 4 – x , A = R

7.3 f(x) = 2 – x2 , A = R 7.4 f(x) = –3x + 7 , R+

7.5 f(x) = –x2 + 5 , (– , 0 ) 7.6 f(x) = | x | , [–2 , 2 ]
7.7 f(x) = x2 + 1 , R2

8. ฟังกช์ นั ต่อไปน้ีเป็นฟังกช์ นั คูห่ รือฟังกช์ นั ค่ี

8.1 f(x) = – x2 8.2 g(x) = 1 8.3 h(x) = – x + 3
x2

มหำวทิ ยำลยั รำชภฏั อดุ รธำนี

24 แคลคูลสั I
คณะวทิ ยำศำสตร์

บทท่ี 2
ลมิ ติ และความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน

แคลคูลสั เชิงอนุพนั ธ์ จะใชก้ ารนิยามอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ในรูปลิมิตของอตั ราการเปลี่ยน
แปลงของฟังกช์ นั เทียบกบั ตวั แปร ฉะน้นั ในการศึกษาแคลคูลสั จาเป็นตอ้ งเขา้ ใจเรื่องลิมิตและความ
ตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั บทน้ีจะเป็นการหาลิมิตของฟังกช์ นั f ซ่ึงมีโดเมนเป็นเซตของจานวนจริง x
โดยพิจารณาค่าของฟังกช์ นั เม่ือ x มีค่าใกลจ้ านวนจริงจานวนหน่ึง

2.1 ลมิ ติ ของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังกช์ นั (limits of functions) เป็นการศึกษาวา่ เม่ือตวั แปรของฟังกช์ นั เขา้ ใกลค้ ่า

จริงคา่ หน่ึงแลว้ จะทาใหค้ า่ ของฟังกช์ นั มีค่าเขา้ ใกลค้ า่ จริงคา่ ใดค่าหน่ึงหรือไม่ ตวั อยา่ งดงั น้ี

พิจารณาฟังกช์ นั f (x)  (x  2)(2x  1)
x2

เราสามารถหาคา่ f(x) ไดท้ ุกคา่ ของ x ยกเวน้ x = 2

แต่ถา้ x ≠ 2 จะไดว้ า่ f (x)  2x 1

ค่าของ f (x) เม่ือ x มีค่าเขา้ ใกล้ 2 (x ≠ 2) แยกเป็น 2 กรณี คือ

เม่ือ x  2 x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999
เมื่อ x  2 f (x) 4.8 4.98 4.998 4.9998 4.99998

ตาราง 2.1

x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001
f (x) 5.2 5.02 5.002 5.0002 5.00002

ตาราง 2.2

Y
f(x)

○
4
22

-2 2 รูป 2.1 X

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

26 แคลคูลสั I

พจิ ารณาคา่ ของ f(x) จากตารางท่ี 2.1 ตาราง 2.2 และกราฟในรูป 2.1 จะเห็นวา่
f(x) 5 = 0.2 เมื่อ x  2 = 0.1 และ
f(x) 5  0.2 เม่ือไรก็ตามที่ 0  x  2  0.1
f(x) 5 = 0.0002 เม่ือ x  2 = 0.0001 และ
f(x) 5  0.0002 เมื่อไรก็ตามที่ 0  x  2  0.0001
f(x) 5 = 0.00002 เม่ือ x  2 = 0.00001 และ
f(x) 5  0.00002 เมื่อไรก็ตามที่ 0  x  2  0.00001
นนั่ คือ เราสามารถทา f(x) 5 มีค่านอ้ ยท่ีสุดได้ โดยทา x  2 ใหม้ ีคา่ นอ้ ยเพียงพอ
และ x  2 > 0 ดงั น้นั เราอาจอธิบายลิมิตของฟังกช์ นั f(x) ไดด้ งั น้ี
ลิมิตของ f(x) = 5 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 2 ทางซา้ ย เขียนแทนดว้ ย xlim2 f(x) = 5
ลิมิตของ f(x) = 5 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 2 ทางขวา เขียนแทนดว้ ย xlim2 f(x) = 5
และลิมิตของ f(x) = 5 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 2 เขียนแทนดว้ ย lim f(x) = 5

x2

โดยทว่ั ไป ถา้ x เขา้ ใกล้ a ซ่ึงทาใหค้ ่าของฟังกช์ นั f(x) เขา้ ใกล้ L แลว้ เรากล่าววา่ ลมิ ิต
ของ f(x) เท่ากบั L เมื่อ x เข้าใกล้ a เขียนแทนดว้ ย lim f(x) = L

Xa

บทนิยาม 2.1.1 ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีนิยามบนช่วงเปิ ด I โดย f(a) อาจไม่นิยามกไ็ ด้ เมื่อ a  I
xlima f(x)= L ก็ต่อเมื่อ สาหรับจานวนจริง   0 จะมีจานวนจริง   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a  
แลว้ f(x) L  

จากบทนิยาม 2.1.1 มีความหมายวา่ เราสามารถหาคา่  ซ่ึง x อยใู่ นช่วง
(a –  , a + ) ที่ทาให้ f(x) อยใู่ นช่วง (L –  , L + ) ดงั กราฟในรูป 2.2

Y f(x)

L+
L

L– 

a–  a a+ X

รูป 2.2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 27

ในการหาลิมิตของฟังกช์ นั f เมื่อ x เขา้ ใกล้ a เราจะพิจารณาจากคา่ ของ f(x) เมื่อ x มีค่า

ใกล้ ๆ a เทา่ น้นั เราไม่จาเป็นตอ้ งพจิ ารณาค่าของฟังกช์ นั ที่ x  a

YY

L f1 f2

M f3

Oa X O aX

รูป 2.3

จากรูป 2.3 จะเห็นวา่ f1(a) ไม่มีค่า แต่ lim f1(x) = L
f2(a) มีค่า และ
Xa

lim f2(x) = M

Xa

ตัวอย่าง 2.1.1 จงพิสูจน์วา่ xlim2 (2x – 3) = 1
พสิ ูจน์ สาหรับ   0 เราเลือก  = 2 จะไดว้ า่

0 x2   x  2  2

 2x2  

 2x  4  
 (2x  3) 1  
นน่ั คือ สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  2   แลว้ (2x  3) 1  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlim2 (2x – 3) = 1 

บทนิยาม 2.1.2 lim f(x)= L กต็ อ่ เมื่อ สาหรับจานวนจริง   0 จะมีจานวนจริง   0 ซ่ึง

xa

ถา้ a  x  a +  แลว้ f(x) L  
lim f(x)= L กต็ ่อเม่ือ สาหรับจานวนจริง   0 จะมีจานวนจริง   0 ซ่ึง

xa

ถา้ a –   x  a แลว้ f(x) L  
เรียก lim f(x)= L วา่ ลมิ ติ ทางขวา (right – hand limit) และ

xa

เรียก lim f(x)= L วา่ ลมิ ิตทางซ้าย (left – hand limit)

xa

ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ีบอกวา่ ฟังกช์ นั จะมีลิมิต ถา้ หาคา่ ลิมิตทางขวาและลิมิตทางซา้ ยของ
ฟังกช์ นั น้นั ไดแ้ ละไดค้ า่ เทา่ กนั ดงั น้ี

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

28 แคลคูลสั I

ทฤษฎบี ท 2.1.1 lim f(x)= L กต็ ่อเมื่อ lim f(x)= xlima f(x) = L

xa xa

พสิ ูจน์ ( ) ให้ lim f(x) = L จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึง

xa

ถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  

จะไดว้ า่ a  x  a +  แลว้ f(x) L   และ a –   x  a แลว้ f(x) L  

จากบทนิยาม 2.1.2 จะไดว้ า่ lim f(x)= L = lim f(x)
xa xa
(  ) ให้ lim f(x) = lim f(x)= L จากบทนิยาม 2.1.2 จะไดว้ า่
xa xa

สาหรับ   0 จะมี 1  0 และ 2  0 ซ่ึง

ถา้ a  x  a + 1 แลว้ f(x) L   และถา้ a – 2  x  a แลว้ f(x) L   …(*)

ให้  = min(1 , 2 ) จะไดว้ า่ a – 2  a –  และ a +   a + 1
แต่ 0  x  a   กต็ ่อเม่ือ a –   x  a และ a  x  a + 

ดงั น้นั 0  x  a   ก็ตอ่ เมื่อ a – 2  x  a และ a  x  a + 1
จาก (*) สรุปไดว้ า่ ถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ lim f(x) = L 
xa

หมายเหตุ 2.1.1 จากทฤษฎีบท 2.1.1 จะสรุปไดว้ า่

ถา้ xlima f(x)  xlima f(x) แลว้ lim f(x) ไมม่ ี
xa

จะเห็นวา่ ถา้ ลิมิตทางซา้ ยหรือลิมิตทางขวาของ f หาค่าไม่ได้ หรือหาคา่ ไดแ้ ตไ่ มเ่ ทา่ กนั
เมื่อ x มีค่าเขา้ ใกล้ a จะกล่าวไดว้ า่ f ไม่มีลิมิต เม่ือ x มีคา่ เขา้ ใกล้ a

ตัวอย่าง 2.1.2 ใหฟ้ ังกช์ นั f (x)  x 1 จงหา limf (x)
x1

วธิ ีทา พจิ ารณาค่าของ f(x) เม่ือ x Df และ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 1 (ท้งั x 1 และ x 1)

x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.5
f (x) 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.5

ตารางที่ 2.3

จากตารางที่ 2.3 จะเห็นวา่ xlim1 x  1= 2 = xlim1 x 1 
ดงั น้นั
limf (x)  lim x 1  2

x1 x1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 29

ตวั อยา่ งน้ีคา่ ลิมิตของ f(x) ท่ีจุด x 1 มีค่าเท่ากบั คา่ ของ f ท่ี x 1 นนั่ คือ

lim f (x)  f (1)  2

x1

ตัวอย่าง 2.1.3 ใหฟ้ ังกช์ นั f (x)  x2 1 จงหา lim f (x)
x 1 x 1

วธิ ีทา พิจารณาค่าของ f(x) เม่ือ x Df และ x มีคา่ เขา้ ใกล้ 1

ในที่น้ี Df  R {1}

ซ่ึงทาให้ f (x)  x2 1  (x 1)(x 1)  x 1 ทุก x Df , x  1
x 1 (x 1)

x 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.5
f (x) 1.5 1.9 1.99 1.999 หาคา่ ไมไ่ ด้ 2.001 2.01 2.5

ตารางที่ 2.4

จะไดว้ า่ ตารางคา่ ของ f(x) คลา้ ยกบั ตวั อยา่ ง 2.1.2 คือ

xlim1 f(x)= 2 = xlim1 f(x) ตา่ งกนั ที่ f(1) หาค่าไม่ได้
ดงั น้นั f(x) มีค่าเขา้ ใกล้ 2 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 1

นนั่ คือ lim f (x)  x2 1  2 
lim
x1 x1 x 1

ตวั อยา่ งน้ี จะเห็นวา่ f(1) หาค่าไมไ่ ด้ แต่ lim f (x)  2 ( หาคา่ ได้ )
x1

ตวั อย่าง 2.1.4 ให้ f (x)  x เม่ือ x  0 จงหาคา่ lim f (x), lim f (x), limf (x)
x x0 x 0 x0

วธิ ีทา เนื่องจาก x  x , x0
 , x0
 x

ดงั น้นั f (x)  x  1 เม่ือ x  0

x

และ f (x)  x  1 เม่ือ x  0

x

จะไดว้ า่ lim f (x)  lim x  1
x 0 xx 0

และ lim f (x)  lim x  1
x 0 xx0

เนื่องจาก lim x  lim x
xx 0 xx 0

ดงั น้นั limf (x) ไมม่ ี 
x0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

30 แคลคูลสั I

แบบฝึ กหดั 2.1

1. จงหา lim f (x) โดยการสร้างตารางหาค่าของ f(x)
xa
1.1 f (x)   x 1 , a  1
1.2 f (x)  x2 1 , a  1

1.3 f (x)  4  3x ; x 1 ; a 1
4 ; x 1

2. จงพสิ ูจน์ แต่ละขอ้ ต่อไปน้ีโดยใชบ้ ทนิยามของลิมิต

2.1 xlim0 – 2 = – 2
2.2 xlim1 (2x – 1) = 1
2.3 xlim3 1x = 13
3. จงหาคา่ ของลิมิตในขอ้ ต่อไปน้ี โดยเขียนตารางประกอบ

3.1 lim (x3  x 1)
x1

3.2 (x2  4)
lim
x2 (x  2)

3.3 lim x2  9

x3 (x2  9)

3.4) x3  x2  x 1
lim
x1 x 1

2.2 ทฤษฎบี ทของลมิ ติ
ทฤษฎีบทของลิมิต (theorems on limits) ของฟังกช์ นั จะช่วยใหส้ ามารถหาค่าลิมิตของ

ฟังกช์ นั ไดส้ ะดวกข้ึน ส่วนการพิสูจนแ์ ตล่ ะทฤษฎีบทอาศยั บทนิยามขา้ งบนเป็นพ้ืนฐาน ดงั น้ี

ให้ a, c, L และ M เป็นจานวนจริง

ทฤษฎบี ท 2.2.1 ถา้ ฟังกช์ นั y  f (x) มีลิมิตที่จุด x  a แลว้ ลิมิตของ f(x) มีเพียงคา่ เดียว

( นน่ั คือ ถา้ lim f (x)  L และ lim f (x)  M แลว้ L  M )
xa xa

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 31

พสิ ูจน์ ให้ xlima f(x)= L และ xlima f(x)= M จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี 1  0 และ 2  0

ท่ีซ่ึง ถา้ 0  x  a  1 แลว้ f(x) L  2 และ ถา้ 0  x  a  2 แลว้ f(x) M  2
ให้  = min(1 , 2) จะไดว้ า่ ถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  2 และ f(x) M  2
เนื่องจาก L  M = L  f(x) f(x) M  L  f(x) + f(x) M

ดงั น้นั L  M   = f(x) L + f(x) M  2 + 2

เน่ืองจาก L  M  0 และ   0 ดงั น้นั L  M = 0 หรือ L = M 

ตวั อย่าง 2.2.1 ให้ f (x)  1 ; x0 จงหาค่า lim f (x)
1 ; x0 x0

วธิ ีทา จาก f (x)  1 ; x0
1 ; x0

จะเห็นวา่ เมื่อ x เขา้ ใกล้ 0 และ x  0 แลว้ lim f (x) = 1
x0

แตเ่ ม่ือ x เขา้ ใกล้ 0 และ x  0 แลว้ lim f (x) = -1
x0

จึงสรุปวา่ lim f (x) ไมม่ ี 
x0

ทฤษฎบี ท 2.2.2 ให้ a และ c เป็นค่าคงตวั

1. lim c = c
xa

2. lim x = a
xa

3. lim cf(x)  c lim f(x)

xa xa

พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจาก f(x) c = c  c = 0 ดงั น้นั สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึง

ถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) c  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ lim c = c
xa

2. สาหรับ   0 จะมี   0 โดยเราให้  =   0 ซ่ึง

ถา้ 0  x  a   แลว้ x  a   หรือ f(x)a  

เน่ืองจาก f(x) = x และจากบทนิยาม 2.1.1 ดงั น้นั lim x = a
xa

3. ให้ lim x = L เมื่อ L เป็ นคา่ คงตวั
xa
กรณี c = 0

เนื่องจาก xlima cf(x) = xlima 0 = 0 และ c xlima f(x) = 0(L) = 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

32 แคลคูลสั I 

ดงั น้นั xlima c[f(x)] = c xlima f(x)
กรณี c  0

สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  
สาหรับ |εc |  0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  |εc |

หรือ | c | f(x) L  
เนื่องจาก c f(x)  cL = | c | f(x) L  

ดงั น้นั xlima c[f(x)] = cL = c xlima f(x)

ตัวอย่าง 2.2.2 ให้ f(x) = – 3x จงหา lim f(x)
x 2

วธิ ีทา lim f(x) = lim – 3x
x 2 x 2

= – 3 lim x
x 2

= – 3(– 2) = 6 

ทฤษฎีบท 2.2.3 ต่อไปน้ีจะสะดวกในการใชห้ าลิมิต ก่อนอ่ืนขอพสิ ูจนบ์ ทต้งั เพอ่ื นาไปใช้
พสิ ูจนท์ ฤษฎีบท ดงั กล่าว

บทต้ัง 2.2.1 ถา้ lim f(x) = 0 และ lim g(x) = 0 แลว้ lim [ f(x) g(x)] = 0
xa xa xa

พสิ ูจน์ สาหรับ   0 ดงั น้นั   0

จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) 0   และ g(x)  0  

เนื่องจาก f(x)g(x) 0 = f(x)0  g(x) 0     = 

ดงั น้นั สาหรับ 0   จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x)g(x) 0  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlima [ f(x) g(x)] = 0 

บทต้งั 2.2.2 ถา้ lim f(x) = L โดยท่ี L0 แลว้ 1 = L1
lim
xa xa f(x)

พสิ ูจน์ ให้ lim f(x) = L
xa

จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี 1  0 ซ่ึงถา้ 0  x  a  1 แลว้ f(x) L  
L L
เลือก  = 2  0 จะมี 1  0 ซ่ึงถา้ 0  x  a  1 แลว้ f(x) L  2

ดงั น้นั f(x)  L หรือ 1  2 และ 1  2 .....…(*)
2 f(x) L L  f(x) L2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 33

ทานองเดียวกนั สาหรับ   0 จะมี 2  0

ซ่ึงถา้ 0  x  a  2 แลว้ f(x) L  L 2 ...........…(**)
2


สาหรับ f(x)  0 [ ถา้ f(x) = 0 ตามทฤษฎีบท 2.2 แลว้ L = 0 ]

เนื่องจาก 11 = f(x) L
f(x)  L L  f(x)
2
จาก (*) และ (**) ดงั น้นั f(1x)  L1 [ L ] [ 2 ] =
2  L 2 

ถา้ ให้  = min(1 , 2) จะไดว้ า่ 
สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x a   แลว้ f(1x)  L1  
จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlima f(1x) = L1

ทฤษฎบี ท 2.2.3 1. limf (x)  g(x)  lim f (x)  lim g(x)
xa xa xa

2. limf (x).g(x)  lim f (x).lim g(x)
xa xa xa

3. lim f (x)  lim f (x)
   xa
xa g(x)
lim g(x)

xa
พสิ ูจน์ 1. จะพิสูจน์กรณี xlima [f(x)  g(x)] = xlima f(x) + xlima g(x)
ให้ xlima f(x) = L และ xlima g(x) = M จะไดว้ า่
สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L   และ g(x)  M  
และเนื่องจาก ε2  0 ดงั น้นั จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้
f(x) L  ε2 และ g(x)  M  ε2
และ [f(x) g(x)]  (L M) = [f(x) L] [g(x) M]

 f(x) L + g(x)  M
ดงั น้นั [f(x) g(x)]  (L M)  ε2 + ε2 = 
สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ [f(x) g(x) ]  (L M)  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlima [f(x)  g(x)] = L + M
ดงั น้นั xlima [f(x)  g(x)] = L + M = xlima f(x) + xlima g(x)

ต่อไปจะพิสูจน์กรณี xlima [f(x)  g(x)] = xlima f(x) – xlima g(x)
เน่ืองจาก xlima [f(x)  g(x)] = lxim a[f(x)  (1)g(x)]

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

34 แคลคูลสั I

= xlima f(x) + xlima [(–1)g(x)]
= xlima f(x) + (–1) xlima g(x)
= xlima f(x) – xlima g(x)

2. จะพิสูจน์วา่ xlima [f(x)g(x)] = xlima f(x) xlima g(x)

ให้ xlima f(x) = L และ xlima g(x) = M
จากทฤษฎีบท 2.2.3 ขอ้ 1. กรณีหลงั จะไดว้ า่ xlima [f(x) – L] = xlima f(x) – xlima L

= xlima f(x) – L
เนื่องจาก xlima f(x) = L ดงั น้นั xlima [f(x) – L] = 0 ทานองเดียวกนั xlima [f(x) – M] = 0
เนื่องจาก [f(x) – L][g(x) – M] = f(x) g(x) – Lg(x) – M f(x) + LM

หรือ f(x) g(x) = [f(x) – L][g(x) – M] + L g(x) + M f(x) – LM

ดงั น้นั xlima [ f(x) g(x)] = xlima ( [f(x) – L][g(x) – M] + L g(x) + M f(x) – LM )
จากทฤษฎีบท 2.2.3 ขอ้ 1. จะไดว้ า่

xlima [ f(x) g(x)] = xlima ( [f(x) – L][g(x) – M] ) + L xlima g(x) + M xlima f(x) – xlima (LM)
จากกาหนดให้ และบทต้งั 2.2.1

ดงั น้นั xlima [ f(x) g(x)] = 0 + LM + LM – LM = LM = xlima f(x)  xlima g(x)

นน่ั คือ xlima [ f(x) g(x)] = xlima f(x)  xlima g(x)
3. ให้ xlima f(x) = L และ xlima g(x) = M เมื่อ M 0
เน่ืองจาก lxima gf((xx)) = xlima [ f(x) g(1x) ] 

= xlima f(x)  xlima g(1x) (จากทฤษฎีบท 2.2.3 ขอ้ 2.)

= L M1 = ML (จากบทต้งั 2.2.2)

ดงั น้นั lxim a f(x) = ML = xxlliimmaa f(x) 
g(x) g(x)

ตัวอย่าง 2.2.3 จงหา lim (x2 – 5x + 3)
x 1

วธิ ีทา lim (x2 – 5x + 3) = lim x2 – 5 lim x + lim 3
x 1 x 1 x 1 x 1

= (–1)2 – 5(–1) + 3

=9 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 35

ตวั อย่าง 2.2.4 จงหา lim 3x  3
x0 x2  2x  3
lim (3x  3)
วธิ ีทา lim x2 3x  3 3 = limx(x02  2x  3)
 2x 
x0 x0

= 02 3(0)  3 3
 2(0) 
-3
= 3 = –1 

ทฤษฎบี ท 2.2.4 ถา้ xlima g(x) = M และ ulimM f(u) = L แลว้ ..............… (*)
xlima f(g(x)) = L เม่ือ a เป็ นจานวนจริง ................... (**)

พสิ ูจน์ ulimM f(u) = L จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี 1  0 ซ่ึง 
ถา้ 0  x  a  1 แลว้ f(x) L  

และ xlima g(x) = M จะไดว้ า่ สาหรับ 1  0 จะมี 2  0 ซ่ึง
ถา้ 0  x  a  2 แลว้ g(x)  M  1

ให้  = min(1 , 2) และ u = g(x)
จาก (*) และ (**) จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึง
ถา้ 0  g(x)  M   แลว้ f(g(x)) L  

นน่ั คือ xlima f(g(x)) = L

ตวั อย่าง 2.2.5 จงหาค่า xlim sin 4x 
วธิ ีทา ให้ g(x) = 4x และ f(u) = sin u

จะไดว้ า่ xlim g(x) = xlim 4x = 4
และ lim sin u = sin 4 = 0

u4 

จากทฤษฎีบท 2.2.4 จะไดว้ า่ xlim sin 4x = sin 4 = 0

บทต้ัง 2.2.3 ถา้ (p , q) เป็นช่วงเปิ ดซ่ึง L  (p , q) แลว้ มีช่วงเปิ ด (r , s) ซ่ึง a  (r , s)

ท่ีทาให้ เม่ือ x  (r , s) และ x  a แลว้ f(x)  (p , q) จะไดว้ า่ xlima f(x) = L
พสิ ูจน์ ให้   0 , p = L –  และ q = L +  ดงั น้นั L  (L –  , L + )

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

36 แคลคูลสั I

จาก a  (r , s) หรือ r  a  s จะไดว้ า่ 0  a – r และ 0  s – a 
ให้  = min (a – r , s – a) จะไดว้ า่ r  a –  และ a +   s
และเม่ือ x  (r , s) และ x  a แลว้ f(x)  (p , q)
หรือ r  a –   x  a +   s แลว้ L –   f(x)  L + 
หรือ จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  
จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlima f(x) = L

ทฤษฎบี ท 2.2.5 lim n f (x)  n limf (x) เม่ือ n เป็ นจานวนเตม็ บวก
xa xa

พสิ ูจน์ ให้ xlima f(x) = L
จะพิสูจน์วา่ xlima n f(x)  n lim f (x) = n L เม่ือ n L
xa มีคา่ จริง

เราจะพิจารณาวา่ xlima n x = n a เมื่อ n a มีคา่ จริง
เนื่องจาก ถา้ n a มีคา่ จริง จะไดว้ า่ p  n a  q ก็ตอ่ เม่ือ pn a  qn

ดงั น้นั สาหรับทุก ๆ x  (pn, qn ) และ x  a จะไดว้ า่ p  n x  q กต็ อ่ เมื่อ pn x  qn

จากบทต้งั 2.2.3 จะไดว้ า่ xlima n x = n a เมื่อ n a มีค่าจริง
โดยทฤษฎีบท 2.2.4 จะไดว้ า่ xlima n f(x) = n L เมื่อ n L มีคา่ จริง



ตัวอย่าง 2.2.6 จงหา lim x2  x 13
x3

วธิ ีทา lim x2  x 13  lim(x2  x 13)
x3 x3

 25

=5 

ตัวอย่าง 2.2.7 จงหา lim 3 3x  5
(x  2)3
x1

วธิ ีทา lim 3 3x  5 = lim 3 3x  5
(x  2)3
x1 x1

lim (x  2)3
x1
3 lim (3x  5)
= x1

lim (x  2)3
x1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 37

= 3 3(1)  5 = –2 
(1  2)3

ทฤษฎบี ท 2.2.6 ถา้ มีจานวนจริง q  0 ซ่ึงทาให้ f(x) = g(x) สาหรับทุก ๆ x ท่ี 0  x  a  q
แลว้ xlima f(x) = xlima g(x)

พสิ ูจน์ ให้ xlima g(x) = L จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี 1  0 ซ่ึง
ถา้ 0  x  a  1 แลว้ g(x)  L  

ให้  = min( 1 , q ) จะไดว้ า่ 0  x  a   แลว้ 0  x  a  1 และ 0  x  a  q
จาก f(x) = g(x) ดงั น้นั สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึง
ถา้ 0  x  a   แลว้ f(x) L  

จากบทนิยาม 2.1.1 จะไดว้ า่ xlima f(x) = xlima g(x) = L 

การหาลิมิตของฟังกช์ นั ตรรกยะ gf((xx)) เม่ือ gf((aa)) = 00 ซ่ึงเรียกวา่ รูปแบบทไี่ ม่กาหนด
(indeterminate form) บางฟังกช์ นั อาจใชท้ ฤษฎีบท 2.2.6 โดยการจดั ฟังกช์ นั ใหม่ดว้ ยการแยกตวั

ประกอบหรือการคูณดว้ ยสงั ยคุ (conjugate) ท้งั เศษและส่วนแลว้ ลดทอน

ตัวอย่าง 2.2.8 จงหาค่า xlim3 2(x  3)
x2  2x  3
f(x) 2(x  3)
วธิ ีทา ให้ g(x) = x 2  2x  3

เน่ืองจาก f(3) = 2(3 3) = 00
g(3) 32  2(3)  3

ดงั น้นั xlim3 2(x  3) = xlim3 2(x  3)
x2  2x  3 (x  3)(x 1)
2
= xlim3 x 1

= 2 = 1 
31 2

ตัวอย่าง 2.2.9 จงหา xlim2 6 x2
x x2
วธิ ีทา ให้ f(x) = x – 2 และ g(x) = 6 – x – x2

เนื่องจาก f(2) = 22 = 00
g(2) 62 22

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

38 แคลคูลสั I xlim2 x2 = xlim2  (2  x)
6  x  x2 (2  x)(3 x)
ดงั น้นั

= xlim2 1
3x
1 1
= 32 = – 5 

ตัวอย่าง 2.2.10 จงหา lim x5 

x 5 x2  25

วธิ ีทา เน่ืองจาก x5  x 5 , x5
(x  5) , x5

ดงั น้นั ตอ้ งพจิ ารณา lim f (x) และ lim f (x)
x 5 x 5

เนื่องจาก lim f (x)  lim (x  5)
x5 x5 (x  5)(x  5)

 lim 1
x5 (x  5)

 1
10

และ lim f (x)  lim (x  5)

x5 x5 (x  5)(x  5)

 lim 1
x5 (x  5)

1
10

ดงั น้นั lim f (x)  lim f (x)
นน่ั คือ x 5 x 5

limf (x) ไมม่ ี
x 5

ตวั อย่าง 2.2.11 จงหา xlim3 x1  2
2(x  3)
f(x) x1  2
วธิ ีทา ให้ g(x) = 2(x  3)

เนื่องจาก f(3) = 31  2 = 00
g(3) 2(3 3)

ดงั น้นั xlim3 x1  2 = xlim3 x 1  2 ∙ ( x 1  2)
2(x  3) 2(x  ( x 1  2)
3) 3
x x 1  2)
= xlim3 2(x  3)(

= xlim3 2 1
x 1  2
1 1
=2 31  2 = 8

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 39

ตวั อย่าง 2.2.12 จงหา lim 3 x 1

x2 x  2

วธิ ีทา lim 3  x 1  lim 3  x 1. 3  x 1
x2 x  2 x2 x  2 3 x 1

 lim (3  x) 1
x2 (x  2)( 3  x 1)

= lim  (x - 2)

x2 (x  2) 3- x 1

 1
lim 3  x 1

x2

 1 
2

1 x , x  0 จงหา limf (x)
x0
ตัวอย่าง 2.2.13 ให้ f (x)  2 , x  0

x2 1 , x  0

วธิ ีทา เน่ืองจาก lim f (x)  lim (1 x)  1
และ x0 x 0

lim f(x) = lim (x2 –1) = –1
x0 x0

ดงั น้นั lim f (x)  lim f (x)
x0 x 0

นนั่ คือ limf (x) ไมม่ ี 

x0

แบบฝึ กหัด 2.2

1. จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ต่อไปน้ี

1.1 lim(x2  5x  2) 1.2 lim x2  3x 1
x1 x2

1.3 lim(1 x2 )(1 x2) 1.4 lim(x2  3)4(x  2)3
x3 2 x1

1.5 xlim5 x  5 1.6 lim x  2
x2  25
x4 x  4

1.7 x2 1.8 lim x  3
lim
x2 x  2 x3 x  3

1.9 xlim4 1  2x 3 1) 1.10 xlim8 (x 2  4x 1  4) 1
2 3 3 2
(x2

2. ถา้  4 , x2 จงหา lim f (x), lim f (x) และ limf (x)
f (x)  1 , x  2
 x2 x2 x2

x2 , x2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

40 แคลคูลสั I

3. ถา้ f (x)  2  3x  2 จงหา lim f (x)
x2
3

4. ถา้ f (x)   x2 , x  1
 , x  1
2x 1

จงพิจารณาวา่ f มีลิมิตท่ีจุด a หรือไม่ เมื่อ a  1, 2

2.3 ลมิ ิตทคี่ ่าอนันต์
ลิมิตท่ีคา่ อนนั ต์ (limit at infinity) ของฟังกช์ นั f เป็นการหาวา่ เม่ือ x มีค่าเพม่ิ ข้ึนหรือ

ลดลงโดยไมม่ ีขอบเขตแลว้ ค่าของ f(x) มีค่าเขา้ ใกลค้ ่าใด
สาหรับฟังกช์ นั f ใด ๆ เม่ือ x มีค่าเพ่มิ ข้ึนอยา่ งไมม่ ีขอบเขต (x   )หรือลดลงอยา่ งไมม่ ี

ขอบเขต (x  – ) แลว้ ไดค้ า่ ลิมิตของฟังกช์ นั เทา่ กบั L เขียนแทนดว้ ย lim f (x)  L หรือ
x
lim f (x)  L ตามลาดบั
x

บทนิยาม 2.3.1 ลิมิตที่คา่ อนนั ต์
ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีนิยามบนช่วง (a , )
1. xlim f(x)= L ก็ต่อเมื่อ สาหรับ   0 จะมีจานวน N  0 ซ่ึงทาให้
สาหรับทุก ๆ x  N แลว้ f(x) L  
2. xlim f(x)=  ก็ตอ่ เมื่อ สาหรับจานวนจริง M ใด ๆ จะมีจานวนจริง N บางตวั
ซ่ึงถา้ x  N แลว้ f(x)  M
3. xlim f(x)= –  กต็ อ่ เมื่อ สาหรับจานวนจริง M ใด ๆ จะมีจานวนจริง N บางตวั
ซ่ึงถา้ x  N แลว้ f(x)  – M

ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีนิยามบนช่วง (–  , a) จะใหน้ ิยามไดใ้ นทานองเดียวกนั 

หมายเหตุ 2.3.1 ทฤษฎีบท 2.2.2 – 2.2.3 เป็นจริง สาหรับลิมิตที่คา่ อนนั ต์ เมื่อลิมิตที่ค่าอนนั ตม์ ี

ค่าจริง

ทฤษฎบี ท 2.3.1 1. xlim x1 = 0
2. xlim x1 = 0
1
พสิ ูจน์ 1. สาหรับ 0 ให้ N = 0


คณะวทิ ยาศาสตร์