แคลคูลัส I

บทที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 41

ดงั น้นั สาหรับทุกๆ x  1 จะไดว้ า่ 1x   หรือ 1x  0  


นนั่ คือสาหรับ   0 จะมี N  0 ซ่ึงทาใหส้ าหรับทุก ๆ x  N แลว้ x1  0  
จากบทนิยาม 2.3.1 ขอ้ 1. จะไดว้ า่ xlim x1 = 0
2. พิสูจนท์ านองเดียวกนั จะไดว้ า่ xlim x1 = 0 

ทฤษฎบี ท 2.3.2 ให้ c เป็นคา่ คงตวั และ r เป็นจานวนจริงบวก จะไดว้ า่

1. xlim c = 0
xr
c
2. xlim  xr =0

พสิ ูจน์ 1. เนื่องจาก xlim c = c xlim 1
xr xr
= c xlim ( 1x )r
= c [ xlim 1x ]r
= c(0)r = 0

2. พิสูจน์ทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ xlim  c =0 
xr 
2 
ตวั อย่าง 2.3.1 จงหา xlim  (5 x )

วธิ ีทา xlim  (5 2 ) = xlim  5 – 2 xlim  1x
x
= 5 – 2( 0)

=5

ตวั อย่าง 2.3.2 จงหา xlim (5 – 3x – x2 )
xlim x2 =  และ –1  0
วธิ ีทา เน่ืองจาก

ดงั น้นั xlim (–x2 ) = – 
xlim (5 – 3x – x2 ) = – 
จะไดว้ า่

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

42 แคลคูลสั I

การหาลิมิตท่ีอนนั ตข์ องฟังกช์ นั ตรรกยะ f(x) ถา้ ลิมิตของ f(x) และลิมิตของ g(x) อยู่
g(x)
ในรูป  หรือ –  แลว้ ลิมิตของ gf((xx)) จะเป็นรูปแบบหน่ึงของรูปแบบท่ีไมก่ าหนด ดงั น้นั
f(x) xn
การหาลิมิตของ g(x) จะหาโดยหารท้งั เศษและส่วนดว้ ย เมื่อ n เป็นระดบั ข้นั (degree) ของ

g(x)

ตวั อย่าง 2.3.3 จงหา lim 3x 1

x 5x  2

วธิ ีทา เนื่องจาก lim 3x 1 = =xlim 3x 1 
x 5x  2
xlim 5x  2 

ดงั น้นั lim 3x 1 3 1
x 5x  2  lim x

x 5  2
x

1

= lim 3  lim

x x x
lim 5  lim 2
x x x

= 30

50

3 
5

ตัวอย่าง 2.3.4 ถา้ f(x) = 4x3  2x2  3 จงหา xlim  f(x) และ xlim f(x)
2x  3x3
4x3  2x2  3
วธิ ีทา เน่ืองจาก xlim f(x) = x lim 2x  3x3

 

lim 4x3  2x2  3
= x
2x  3x3
lim
x

=  เป็นรูปแบบท่ีไมก่ าหนด

4x3  2x2  3
ดงั น้นั xlim  f(x) = xlim  2x  3x3

4  2 3
x  x3
= lim 2 3
x
  x2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 43

= 4xl0im0x34l0imxlxi2m2=x2x–li43mxlim3 3
= x3

ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ xlim f(x) = xlim 4x3  2x2  3 = – 4 
2x  3x3 3

ตวั อย่าง 2.3.5 ถา้ f(x) = 5x 1 จงหา xlim f(x)
3x2  2x  4
51
5x 1 x  2
วธิ ีทา xlim 3x2  2x  4 = xlim x
 2 4
3 x  x2

5 lim 1  x1xli=m403xxl1i2m
x
= x 1
= x2
lim 3  2 lim
3 x5(0)  0 x
 2(0)  4(0)

=0 

ตวั อย่าง 2.3.6 ถา้ f(x) = 4x2  3x 1 จงหา xlim  f(x) และ xlim f(x)
2x  5
1
วธิ ีทา xlim  4x2  3x 1 = xlim  4x  3  x
2x  5
2  5
x
3)5xxlilmimx1x1
= lim (4x

x

lim 2

x
0
= 2  5(0) = 

2

=– 1
x
และ xlim 4x2  3x 1 = xlim 4x  3 
2x  5 2
5
x

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

44 แคลคูลสั I

= lim (4x  3)  lim 1
5xlimx x1 x
x

lim 2 

x
0
= 2  5(0) = 

2

= 

ตัวอย่าง 2.3.7 ถา้ f(x) = 4x3  x2  1 จงหา lim f(x) และ xlim f(x)
3  5x
x  
1
วธิ ีทา xlim  4x3  x2  1 = xlim  4x2  x  x
3  5x
3  5
x
lim (4x2  x) 1
= x  lim x

lim 3 x
x
x  lim 5

x
lim (4x2  x)  0
= x 0  5
lim 4x2
= x = 4 lim x2
 5
5 x
4
=  5 () = –

ดงั น้นั xlim f(x) = – 

ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ xlim f(x) = – 

ตัวอย่าง 2.3.8 จงหาคา่ x2 1
วธิ ีทา lim
x x 1

lim x2 1 x2 (1 1 )
x x 1 x2
 lim
x  x(1 1 )
x

x 1 1
x2
 lim
x x(1 1 )
x

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 45

x 1  1
x2
 lim
x x(1 1 )
x

 1  1
x2
 lim
1 1
x  

x

 1 

การหาลิมิตท่ีคา่ อนนั ตข์ องฟังกช์ นั ท่ีอยใู่ นรูป  –  น้นั ตอ้ งจดั รูปก่อน

ตัวอย่าง 2.3.9 ถา้ f(x) = x2  5  x จงหา xlim  f(x)

วธิ ีทา เน่ืองจาก xlim  ( x2  5  x ) =  – 
ดงั น้นั ตอ้ งจดั รูปใหม่

x lim ( x2  5  x ) = lim ( x2  5  x)( x2  5  x)
x  x2  5  x
 

= xlim  5
x2  5  x

= xlim  5

x2 (1 5 )  x
x2

= xlim  5

x 1  5 x
x2

= xlim  5

x 1  5 x
x2

= xlim  5

 x( 1  5  1)
x2

5

= xlim  x
=0
1 5 1
x2



มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

46 แคลคูลสั I

แบบฝึ กหัด 2.3

จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1. xlim 5 2. xlim  (2x + 3)
1 1 2x  6 2x  6
3. xlim x 7 และ xlim  x7 4. xlim ( 3x )3 และ xlim  ( 3x )3

5. xlim x2  3x  4 6. xlim 3x2  x 1
2x  3 x2 4
3x2 
7. xlim  x2 x 1 8. xlim 1 4x
4 x 1
5x2  3x  4
9. xlim  2x  x2 10. xlim (4  5 )
x2
5 12. xlim x2  2x  x
11. xlim  (4  x2 )

13. xlim x 1 14. xlim  3x
x 1 x2 1

15. xlim  ( x2  8  x) 16. xlim  2x  5
x2  4
3x2  2x
17. xlim 2x3   1 18. xlim 1
 4)3
3 (x

19. lim x  2 20. lim x2  2
x x  4
x 5x  2

21. ถา้ f(x) = x2  3 จงหา xlim  f(x) และ xlim f(x)
2x  5

2.4 ลมิ ติ ค่าอนันต์
ถา้ ฟังกช์ นั f(x) มีค่าเพิ่มข้ึนโดยไมม่ ีขอบเขต หรือ มีคา่ ลดลงโดยไมม่ ีขอบเขต เม่ือ x เขา้

ใกล้ a แลว้ ลิมิต f(x) อาจมีเป็นสองแบบ คือ f(x) ไมม่ ีลิมิต หรือ f(x) มีลิมิตเป็นคา่ อนนั ต์ (infinity
limits) และใชส้ ัญลกั ษณ์

xlima f(x) =  แทน ลิมิต f(x) เป็นค่าบวกอนนั ต์ เม่ือ x เขา้ ใกล้ a
xlima f(x) = –  แทน ลิมิต f(x) เป็นคา่ ลบอนนั ต์ เมื่อ x เขา้ ใกล้ a

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 47

รูป 2.4 เป็นลกั ษณะของลิมิตคา่ อนนั ต์

ก. lim f(x) = –  และ lim f(x) =  เรียกวา่ xlima f(x) ไม่มี

xa xa
ข. lim f(x) =  และ lim f(x) = –  เรียกวา่ xlima f(x) ไมม่ ี

xa xa
ค. lim f(x) = –  และ lim f(x) = –  เรียกวา่ f(x) = – 
xlima
xa xa
ง. lim f(x) =  และ lim f(x) = เรียกวา่ f(x) = 
 xlima
xa xa

Y x=a Y x=a

X X

ก. ข.
Y x=a Y x=a

X X
ง.
ค.

รูป 2.4

บทนิยาม 2.4.1 (ลิมิตคา่ อนนั ต)์

ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่นิยามบนช่วงเปิ ด I และ f(a) อาจไมน่ ิยามสาหรับ a  I จะไดว้ า่

xlima f(x) =  ก็ต่อเมื่อ สาหรับ M  0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x a   แลว้ f(x)  M และ

lim f(x) =–  ก็ตอ่ เมื่อ สาหรับ M 0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  xa   แลว้ f(x)  – M

xa

ทฤษฎบี ท 2.4.1 ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่นิยามบนช่วง I และ f(a) อาจไมน่ ิยามสาหรับ a  I แลว้
ถา้ xlima f(1x) = 0 และมี   0 ซ่ึงถา้ a –   x  a +  และ f(x)  0 แลว้ xlima f(x) = 

และ ถา้ xlima f(1x) = 0 และมี   0 ซ่ึงถา้ a –   x  a +  และ f(x)  0 แลว้ xlima f(x) = – 

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

48 แคลคูลสั I

พสิ ูจน์ จะพสิ ูจน์วา่ ถา้ xlima f(1x) = 0 และมี   0 ซ่ึงถา้ a –   x  a +  และ f(x)  0
แลว้ xlima f(x) = 
เนื่องจาก xlima f(1x) = 0 จะไดว้ า่ สาหรับ   0 จะมี   0 ซ่ึง
ถา้ 0  x  0   แลว้ f(1x)  0  

จากกาหนดให้ จะมี   0 ซ่ึงถา้ a –   x  a +  และ f(x)  0

ให้ M = 1 จะไดว้ า่ M0 และ f(1x)  M1 หรือ f(x)  M



ดงั น้นั สาหรับ M  0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 0  x a   แลว้ f(x)  M

จากบทนิยาม 2.4.1 จะไดว้ า่ xlima f(x) =  
กรณีที่เหลือของทฤษฎีบท สามารถพสิ ูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั

เราใชท้ ฤษฎีบท 2.4.1 ตรวจสอบฟังกช์ นั ท่ีมีคา่ เพิ่มข้ึนหรือลดลงอยา่ งไมม่ ีขอบเขต ดงั น้ี

จาก f(x) ที่กาหนดให้ ใหเ้ ราตรวจสอบ xlima 1
f (x)

ถา้ lim 1  0 แลว้ ใหพ้ ิจารณา ค่า f(x) เม่ือ x เขา้ ใกล้ a
xa f (x)
1. ถา้ f (x)  0 เมื่อ x เขา้ ใกล้ a แลว้ lim f (x)   
xa
2. ถา้ f (x)  0 เม่ือ x เขา้ ใกล้ a แลว้ lim f (x)   
xa

ตวั อย่าง 2.4.1 จงหา lim 1

x5 5  x

วธิ ีทา ให้ f(x) = 1

5x

พิจารณา 1 = 5 x

f (x)

และ lim 1 = lim ( 5 x ) = 5 – 5 = 0

x5 f (x) x5

เน่ืองจาก f(x) = 1 < 0 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 5 ทางขวา

5x

ดงั น้นั lim f(x) = 
x5

และเนื่องจาก f(x) = 1 > 0 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 5 ทางซา้ ย

5x

ดงั น้นั lim f(x) = 
x5

สรุปไดว้ า่ lim 1 ไม่มี 

x5 5  x

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 49

ตวั อย่าง 2.4.2 จงหา lim 1
x3 (x  3)2
1
วธิ ีทา ให้ f(x) = (x  3)2

พจิ ารณา 1  (x 3)2

f (x)

และ lim 1  lim(x  3)2  0

x3 f (x) x3

เน่ืองจาก f (x)  1  0 เม่ือ x เขา้ ใกล้ 3

(x  3)2

ดงั น้นั lim f (x)    

x3

เน่ืองจาก  และ  เป็ นเพียงสญั ลกั ษณ์ซ่ึงไม่ใช่จานวนจริง ดงั น้นั ทฤษฎีบท
เกี่ยวกบั ลิมิตไมส่ ามารถนามาใชไ้ ด้ แตเ่ ราจะใชท้ ฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี

ทฤษฎบี ท 2.4.2 ถา้ lim f (x)    (หรือ  ) และ lim g(x)  c เมื่อ c เป็ นค่าคงตวั แลว้
xa x a

1. lim[f (x)  g(x)]    (หรือ  )
xa

2. xlima [f(x)g(x)] =   , c0  หรือ   , c  0 
 , c0    , c   
  0 

พสิ ูจน์ 1. กรณีที่ 1 ถา้ xlima f(x) =  และ xlima g(x) = c โดยที่ c  0 จะไดว้ า่

ถา้ ให้ M  0 ดงั น้นั M + 1  0 และ

สาหรับ M + 1  0 จะมี 1  0 ซ่ึงถา้ 0  x a  1 แลว้ f(x)  M + 1

สาหรับ 1  0 จะมี 2  0 ซ่ึงถา้ 0  x a  2 แลว้ g(x)  c  1
หรือ g(x)  c – 1

ให้  = min (1 , 2) จะไดว้ า่ สาหรับ M  0 จะมี   0 ซ่ึงถา้ 
0  x a   แลว้ f(x)  M + 1 และ g(x)  c – 1

ดงั น้นั [f(x) + g(x)]  M + 1 + c – 1 = M + c หรือ [f(x) + g(x)]  M
จะไดว้ า่ xlima [f(x) + g(x)] = 
กรณีอื่น ๆ สามารถพิสูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั

หมายเหตุ 2.4.1 1. ทฤษฎีบทน้ียงั คงเป็นจริงสาหรับลิมิตดา้ นเดียว
และเม่ือ c เป็ น  หรือ  ดว้ ย

2. จาก ทฤษฎีบท 2.14 จะพบวา่ ถา้ xlima f(x)  0 และ xlima g(x) = 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

50 แคลคูลสั I

แลว้ lxim a f(x) มีลิมิตคา่ อนนั ต์
g(x)

ตัวอย่าง 2.4.3 ให้ f(x) = x  5 จงหา lim f(x) , lim f(x) และ xlim3 f(x)
x  3 x3 x3

วธิ ีทา lim f(x) = lim x5
x3
x3 x3

= lim [(x + 5)( 1 )]
x3 x3

เน่ืองจาก lim (x + 5) = 8 และ lim x 1 3 =

x3 x3 

ดงั น้นั lim f(x) = 8 () = 
x3
x5
และ lim f(x) = lim x3
x3 x3
1
= lim [(x + 5)( x 3 )]

x3
เน่ืองจาก และ lim 1 =–
lim (x + 5) = 8 x3
x3
x3
ดงั น้นั lim f(x) = 8 (– ) = – 
x3

นนั่ คือ lim f(x) ไมม่ ี 

x3

ตัวอย่าง 2.4.4 ให้ f(x) = 3x  x2  5 จงหา lim f(x) , lim f(x) และ xlim2 f(x)
(x  2)3 x2 x2
x2  5
วธิ ีทา lim f(x) = lim ( 3x  (x  2)3 )

x2 x2 1
 2)3
= x lim [( 3x)  (x2  5) (x ]

2
เนื่องจาก lim 3x = 6 และ lim (x2– 5) = – 1 และ lim 1 = 
x2 x2 x2 (x  2)3
1
ดงั น้นั lim [ (x2  5) (x  2)3 ] = –

x2 1
 2)3
จะไดว้ า่ lim [( 3x)  (x2  5) (x ] = lim f(x) = 

x2 x2  5 x2
(x  2)3
lim f(x) = lim 3x 

x2 x2 1
 2)3
= lim [( 3x)  (x2  5) (x ]

x2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 51

เนื่องจาก lim 3x = 6 และ lim (x2 – 5) = – 1 และ lim 1 =–
(x  2)3
x2 x2 x2
1
ดงั น้นั lim [(x2  5) (x  2) 3 ] = 

x2 1
 2)3
จะไดว้ า่ lim [( 3x)  (x2  5) (x ] = lim f(x) = – 

x2 x2
ดงั น้นั lim f(x) ไมม่ ี
x2 

ตวั อย่าง 2.4.5 ให้ f(x) = 5 จงหา lim f(x)
3x 2
5 x0
lim = lim 3x 2 = lim 5 1
วธิ ีทา f(x) ( 3  (x  0) 2 )
x0 x0 x0
5 5
เน่ืองจาก lim 3 = 3 และ lim 1 = 

x0 5 1 x0 (x  0)2
lim 3  0) lim f(x)
ดงั น้นั (  (x 2 ) = = –
x0 x0
ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ lim f(x) = – 
x0
ดงั น้นั lim f(x) = – 
x0 

แบบฝึ กหัด 2.4

1. จงหา lim f(x) , lim f(x) และ lim f(x) เมื่อให้ f(x) และค่าคงตวั a ต่อไปน้ี
xa xa  xa
1 1
1.1 f(x) = 2 x ; a = 2 1.2 f(x) = (x 1)2 ; a = –1


1.3 f(x) = 1 ; a=1 1.4 f(x) = x4 ; a=3
x -1 (x  3)4
x4
1.5 f(x) = (x  3)5 ; a=3 1.6 f(x) = x 1 ; a = 1

x2  1

1.7 f(x) = x2 x 1 ; a = –1 1.8 f(x) = 4  3x ; a = –1
 2x  3 x2 1

2. จงหาค่าลิมิตต่อไปน้ี 2.2 lim 1
2.1 lim x2 1 (x 1)2
x 1
x1 x 1

2.3 lim 1 2.4 lim x2  9

x( 3) 2x  3 x3 x  3
2
มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

52 แคลคูลสั I

3. จงหาลิมิตของฟังกช์ นั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี 3
4  x2
3.1 lim 2 3.2 lim
x
x0  x2 
x
3.3 lim 3 3.4 lim 9x2
4 x2
x2  3 x3
 x2
3.5 lim x 3.6 lim 1
2x
x0  x 2 

2.5 ความต่อเน่ืองของฟังก์ชัน
หวั ขอ้ ท่ีผา่ นมา จะเห็นวา่ มีฟังกช์ นั บางประเภทที่มีค่าลิมิตของฟังกช์ นั เทา่ กบั ค่าของ

ฟังกช์ นั ท่ีจุด x  a เช่น ฟังกช์ นั พหุนาม เป็นตน้ ฟังกช์ นั ดงั กล่าวจะมีกราฟท่ีไม่ขาดตอนท่ีจุด
x  a ซ่ึงเราจะกล่าววา่ ฟังก์ชันต่อเน่ือง (continuity of function) ท่ีจุด x  a

บทนิยาม 2.5.1 ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีนิยามบนช่วง I และ a  I จะเรียกวา่
f(x) ต่อเนื่องทจ่ี ุด x = a ก็ต่อเมื่อ

1. f (a) หาคา่ ได้ (exists)
2. limf (x) หาค่าได้

xa

3. limf (x)  f (a)
xa

ถา้ ขาดเงื่อนไขขอ้ ใดขอ้ หน่ึงแลว้ จะกล่าววา่ f ไม่ต่อเน่ือง (discontinuity) ท่ีจุด x  a ดงั รูป
Y YY

aX  
aX X
ฟังกช์ นั ต่อเนื่องที่จุด x = a
ฟังกช์ นั ไมต่ อ่ เน่ืองท่ีจุด x = a ฟังกช์ นั ไม่ตอ่ เน่ืองท่ีจุด x = a
รูป 2.5

ตวั อย่าง 2.5.1 ฟังกช์ นั f(x) = x2– x –1 ต่อเนื่องท่ีจุด x = 1 หรือไม่
วธิ ีทา เน่ืองจาก f(1) = 12– 1 – 1 = – 1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเน่ืองของฟังกช์ นั 53

และ xlim1f(x)= 12– 1 – 1 = – 1
จะไดว้ า่ f(1) = – 1 = xlim1f(x)
นน่ั คือ f(x) ตอ่ เนื่องท่ีจุด x = 1

Y

1X

รูป 2.6 

ตัวอย่าง 2.5.2 ฟังกช์ นั f(x) =  x  2 , x 3 ต่อเน่ืองที่จุด x = 3 หรือไม่
x 2 , x3


วธิ ีทา เนื่องจาก lim f(x) = 3 + 2 = 5 และ lim f(x) = 3 – 2 = 1
x2 x2
ดงั น้นั lim f(x) ไมม่ ี
x2
นนั่ คือ f(x) ไม่มีความตอ่ เนื่องที่จุด x = 3

Y

 X
3

รูป 2.7

ตัวอย่าง 2.5.3 ให้ x 2 , x2 แลว้ f มีความตอ่ เน่ืองที่ x  2 และท่ี x  3 หรือไม่
 , x2
f (x )  2

วธิ ีทา พิจารณาที่ x  2

เนื่องจาก f (2)  2

และ limf (x)  lim x2  4
x2 x2

ดงั น้นั lim f (x)  f (2)
x2

นนั่ คือ f ไม่มีความต่อเน่ืองท่ี x  2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

54 แคลคูลสั I

พิจารณาท่ี x  3

เน่ืองจาก f (3)  32  9

และ limf (x)  lim x2  9
x3 x3

ดงั น้นั limf (x)  f (3)  9
x 3

นนั่ คือ f มีความต่อเน่ืองที่ x  3 

บทนิยาม 2.5.2 ฟังกช์ นั f ต่อเนื่องทางซ้าย (left- hand continuity) ที่จุด x = a กต็ ่อเมื่อ

1. f (a) หาค่าได้

2. lim f (x) หาคา่ ได้
x a 

3. lim f (x)  f (a)
x a 

และฟังกช์ นั f ต่อเน่ืองทางขวา (right- hand continuity) ท่ีจุด x = a จะนิยามไดใ้ นทานองเดียวกนั

จะเห็นวา่ f ตอ่ เนื่องท่ีจุด x = a ก็ต่อเม่ือ f ตอ่ เน่ืองท้งั ทางซา้ ยและตอ่ เนื่องทางขวา ที่จุด

x = a ท้งั น้ีเนื่องจาก limf (x)  f (a) กต็ อ่ เมื่อ lim f (x)  f (a)  lim f (x)
xa xa xa

ตวั อย่าง 2.5.4 ให้ f (x)  x 2 2 , x2
วธิ ีทา  , x2
x 

f มีความต่อเนื่องทางซา้ ยและทางขวาที่ x  2 หรือไม่

เนื่องจาก f (2)  2  2  4 และ lim f (x)  lim x2  4
x2 x2

ดงั น้นั lim f (x)  f (2)  4
x2

นน่ั คือ f มีความต่อเนื่องทางซา้ ยที่ x  2

เน่ืองจาก f (2)  2  2  4 และ lim f (x)  lim x  2  4
x2 x2

ดงั น้นั lim f (x)  f (2)  4
x2

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองทางขวาท่ี x  2 

ตวั อย่าง 2.5.5 จงแสดงวา่ ฟังกช์ นั f(x) = x ตอ่ เน่ืองทางขวาที่ x = 0
วธิ ีทา เน่ืองจาก lim x = 0 และ f(0) = 0

x0

จะเห็นวา่ lim f(x) = f(0)

x0

ดงั น้นั f(x) = x ต่อเนื่องทางขวาท่ี x = 0

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 2 ลิมิตและความตอ่ เนื่องของฟังกช์ นั 55

Y

X

รูป 2.8

พิจารณา f(x) = x จะเห็นวา่ f(x) ไม่นิยาม เมื่อ x  0 

ดงั น้นั lim f(x) ไม่มี

x0

แสดงวา่ f ไม่ต่อเน่ืองทางซา้ ยท่ี x = 0

ตัวอย่าง 2.5.6 จงแสดงวา่ ฟังกช์ นั f(x) =  2x 1 , x2 ตอ่ เน่ืองทางซา้ ยท่ี x = 2
1 , x2

วธิ ีทา จากฟังกช์ นั จะไดว้ า่

f(2) = 2(2) – 1 = 3

lim f(x) = 2(2) – 1 = 3
x2
และ lim f(x) = –1
x2
จะเห็นวา่ lim f(x) = f(2) แต่ lim f(x)  f(2)
x2 x2
ดงั น้นั f ตอ่ เนื่องทางซา้ ยที่จุด x = 2

แต่ f ไมต่ ่อเนื่องทางขวา ที่ x = 2

Y

X

 

รูป 2.9

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

56 แคลคูลสั I

ทฤษฎบี ท 2.5.1 ถา้ f(x) และ g(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีตอ่ เนื่องที่ x = a แลว้ ฟังกช์ นั (f + g)(x),
(f – g)(x), (f g)(x), ( gf )(x) เมื่อ g(x)  0 และ k f(x) เม่ือ k เป็นค่าคงตวั ต่อเน่ืองท่ี x = a

พสิ ูจน์ จะพสิ ูจนก์ รณี (f + g)(x) ต่อเน่ืองท่ี x = a

จากบทนิยาม 2.5.1 จะไดว้ า่ xlima f(x) = f(a) และ xlima g(x) = g(a)
ดงั น้นั xlima (f + g)(x) = xlima [f(x) + g(x)] = f(a) + g(a) = (f + g)(a)
และจากบทนิยาม 2.5.1 อีกคร้ัง จะไดว้ า่ (f + g)(x) ตอ่ เน่ืองท่ี x = a

กรณีอ่ืนๆ สามารถพสิ ูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั 

ทฤษฎบี ท 2.5.2 ถา้ g(x) ตอ่ เนื่อง ที่ x = a และ f(x) ต่อเน่ือง ท่ี x = g(a) แลว้ ฟังกช์ นั (f๐g)(x)

ตอ่ เน่ืองท่ี x = a

พสิ ูจน์ จากบทนิยาม 2.5.1 จะไดว้ า่ xlima g(x) = g(a) และ xlimg(a)f(g(x)) = f(g(a)) 

โดยทฤษฎีบท 2.2.4 จะไดว้ า่ xlima (f๐g)(x) = (f๐g)(a)
จากบทนิยาม 2.5.1 จะไดว้ า่ (f๐g)(x) จะตอ่ เน่ืองท่ี x = a

บทนิยาม 2.5.3 ความตอ่ เน่ืองบนช่วง (continuity on an interval)
(1) ฟังกช์ นั f ตอ่ เนื่องบนช่วง (a,b) ถา้ f ตอ่ เน่ืองท่ีทุกจุด x a,b
(2) ฟังกช์ นั f ตอ่ เนื่องบนช่วง [a,b] ถา้ f ต่อเนื่องที่ทุกจุด x a,b และ
f ตอ่ เนื่องทางขวาที่ x = a และ f ตอ่ เน่ืองทางซา้ ยที่จุด x = b

หมายเหตุ 2.5.1 จากบทนิยาม 2.5.3 f ไม่ต่อเนื่องบนช่วง (b, c) กต็ ่อเมื่อ มีจุด a อยา่ งนอ้ ยหน่ึงจุด
ในช่วง (b, c) ท่ี f ไม่มีความตอ่ เนื่องท่ี a

ตัวอย่าง 2.5.7 ให้ f (x)  9  x2 แลว้ f มีความต่อเนื่องบนช่วง [3,3] หรือไม่

วธิ ีทา พิจารณาความตอ่ เน่ืองบนช่วง (3,3)

ให้ c(3,3) จะไดว้ า่ f (c)  9  c2 และ limf (x)  lim 9  c2  9  c2
xc xc

จะไดว้ า่ lim f (x)  f (c)  9  c2
xc

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองท่ี x  c

นนั่ คือ f ตอ่ เน่ืองบนช่วง (3,3)

พิจารณาความต่อเน่ืองทางขวาของ f ที่จุด x  3

เนื่องจาก f (3)  9 9  0 และ lim f (x)  lim 9 x2  0
x3 x3

จะไดว้ า่ lim f (x)  f (3)  0
x3

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความต่อเนื่องของฟังกช์ นั 57

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองทางขวาที่ x  3

พจิ ารณาความตอ่ เนื่องทางซา้ ยของ f ที่จุด x  3

เน่ืองจาก f (3)  9 9  0 และ lim f (x)  lim 9  x2  0
x3 x 3

จะไดว้ า่ lim f (x)  f (3)  0
x 3

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองทางซา้ ยท่ี x  3

สรุปไดว้ า่ f มีความตอ่ เน่ืองบนช่วง [3,3] 

ตัวอย่าง 2.5.8 จงแสดงวา่ f(x) = 4  x2 เป็ นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนโดเมนของ f

วธิ ีทา เนื่องจาก Df = [–2 , 2] ดงั น้นั เราจะแสดงวา่ ฟังกช์ นั f ตอ่ เน่ืองบนช่วง [–2 , 2]
Y

X

รูป 2.10

ให้ c  (–2 , 2) จะไดว้ า่ f(c) = 4  c2 และ lim f(x) = 4  c2
xa
ดงั น้นั f ต่อเนื่องท่ีทุกบนช่วง (–2, 2)

เนื่องจาก f(–2) = 4  (2)2 = 0 และ lim f(x) = 4  (2)2 = 0
x 5

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองทางซา้ ยที่จุด x = 2

และเน่ืองจาก f(2) = 4  22 = 0 และ lim f(x) = 4  22 = 0
x 5

ดงั น้นั f มีความต่อเน่ืองทางขวาท่ีจุด x = –2

สรุปไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [–2 , 2] 

ตวั อย่าง 2.5.9 จงหาช่วงท่ีทาให้ f(x) = x2 x3 3 เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ือง
 2x
วธิ ีทา เนื่องจาก จุดท่ี f ไม่ตอ่ เนื่องคือ จุดที่ x 2+ 2x – 3 = 0

ดงั น้นั (x – 1)(x + 3) = 0

จะไดว้ า่ จุดที่ f ไม่ตอ่ เน่ือง คือ x = 1 หรือ x = –3

ดงั น้นั ช่วงที่ฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องคือ (– ,–3)  (–3 , 1)  (1 , )

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

58 แคลคูลสั I

ฟังกช์ นั f เขียนเป็ นกราฟไดด้ งั น้ี

Y

X

รูป 2.11 

แบบฝึ กหัด 2.5

1. ฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ี ต่อเน่ืองท่ีจุดที่กาหนดใหห้ รือไม่

1.1 f(x) = 2x – 3 ที่จุด x = –2

1.2 f(x) = 25  x2 ท่ีจุด x = 4
x2
1.3 f(x) = x2  4 ที่จุด x = 2

1.4 f(x) = x2  2x  3 ที่จุด x = –1
x 1
1.5 f(x) = x  x ที่จุด x = –1

1.6 f(x) = x2  3 ท่ีจุด x = –3

1.7 f(x) =  x 24 , x   2 ท่ีจุด x = –2
 x 2

  4 , x   2
1.8 f(x) = -x2x3 , x1
, x 1 ที่จุด x = 1

2. จงหาจุด (ถา้ มี) ซ่ึงฟังกช์ นั ในขอ้ ตอ่ ไปน้ี ไม่ต่อเน่ือง

2.1 f(x) = 2x– 4

2.2 f(x) = 1
x2

2.3 f(x) = 1
(x  2)2

2.4 f(x) = x
x 1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 2 ลิมิตและความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั 59

2.5 f(x) = x 1
x2  4x  3

2.6 f(x) = x 1

2.7 f(x) = x

x

2.8 f(x) = cos x
x

2.9 y= 1 เมื่อ x คือจานวนเตม็ n ที่มีค่ามากที่สุดซ่ึง n  x

x

3. ฟังกช์ นั f(x) = x2 1 , x  1 และ f(1) = 2 มีความตอ่ เน่ืองท่ีจุด x = 1 หรือไม่

x 1

4. ฟังกช์ นั 2x ; x 1 ต่อเน่ืองบนช่วง [0,3] หรือไม่
f (x)  3 ; x 1

x 1 ; x  1

x2  3 ; x  1

5. ฟังกช์ นั f (x)  x  5 ; 1 x 1 ตอ่ เนื่องบนช่วง [1,1) หรือไม่

 x 2 ; x 1

6. จงหาคา่ f(3) เพื่อทาให้ f(x)  x2  9 ต่อเนื่องท่ี x = 3
x3

7. จงหาคา่ g(2) เพอ่ื ทาให้ g(x)  x2  3x 10 ต่อเน่ืองที่ x = 2

x2

8. จงหาคา่ k ที่ทาใหฟ้ ังกช์ นั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี ต่อเนื่องท่ีจุดท่ีกาหนดให้

8.1 f(x) = 2xx 1 k , x 5 ท่ีจุด x = 5
, x5 ที่จุด x = 3

ท่ีจุด x = 1
8.2 f(x) = x 2 1 , x 3
kx 1 , x3

8.3 f(x) = xk2  4 , x1
, x1

6x 1 , x  1

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

60 แคลคูลสั I
คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3
อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน

อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั (derivative of functions) ไดน้ ำไปประยกุ ตก์ บั ศำสตร์หลำย
สำขำ เช่น วทิ ยำศำสตร์ วศิ วกรรมศำสตร์ บริหำรธุรกิจ และเศรษฐศำสตร์ เป็นตน้ ซ่ึง
ส่วนมำกนำไปใชเ้ พื่อแกป้ ัญหำท่ีเกิดจำกปริมำณของสิ่งต่ำง ๆ ท่ีมีควำมสมั พนั ธ์กนั และกำร
เปลี่ยนแปลงไป

3.1 อนุพนั ธ์ของฟังก์ชัน

พิจำรณำฟังกช์ นั y  f (x) จะพบวำ่ เมื่อคำ่ x เปลี่ยนไป ค่ำ y อำจเปล่ียนแปลงตำม

ซ่ึงเรียก x วำ่ ตวั แปรอิสระหรือตวั แปรตน้ และเรียก y วำ่ ตวั แปรตำม ถำ้ ค่ำ x เปลี่ยนจำก x

เป็น x+h แลว้ ค่ำ y จะเปลี่ยนจำก y = f(x) เป็น y = f(x+h) และเรียก ผลตำ่ งของ (x+h) –x

วำ่ ส่วนเปลย่ี นแปลงของ x ใชส้ ัญลกั ษณ์เป็น x ดงั น้นั

x = (x+h) –x = h

และเรียก ผลต่ำงของ f(x+h) – f(x) วำ่ ส่วนเปลย่ี นแปลงของ y ใชส้ ัญลกั ษณ์ เป็น y ดงั น้นั

y = f(x+h) –f(x) = f(x+x) –f(x)

และไดอ้ ตั รำส่วน

y = f(x xx)  f(x)
x

ซ่ึงเรียกวำ่ อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี (average rate of change) ของ y เทยี บกบั x

ในช่วง (x, x+x)

บทนิยาม 3.1.1 ฟังกช์ นั y  f (x) หาอนุพนั ธ์ได้ที่ x  a (differentiable at a)

ถำ้ lxim0 f(a xx)  f(a) หำค่ำได้ และเรียกลิมิตน้ีวำ่ อนุพนั ธ์ของ f ที่ x (derivative of f

at x) ซ่ึงเขียนแทนดว้ ย f (x) นน่ั คือ f(x  x) f(x)
x
f (x) = lxim0 

อนุพนั ธ์ของ y = f(x) อำจเขียนแทนดว้ ย y, f (x), d [f (x)] หรือ dy

dx dx

ทฤษฎบี ท 3.1.1 f(x) เป็ นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x กต็ ่อเมื่อ lim f (x)  f (a) หำค่ำได้

xa x  a

และ f (x) = lim f (x)  f (a)

xa x  a

62 แคลคูลสั I 

พสิ ูจน์ ให้ xDf ซ่ึง x  a และ x– a = x
จะไดว้ ำ่ a + x = x และ f(a + x) = f(x)

เม่ือ x  0 จะไดว้ ำ่ x a

โดยกำรแทนคำ่ x และ x ในบทนิยำม 3.1.1 จะไดท้ ฤษฎีบท 3.1.1

ทฤษฎบี ท 3.1.2 ถำ้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ที่จุด a แลว้ f(x) มีควำมตอ่ เนื่องท่ีจุด a
f (xx)af(a)(x
พสิ ูจน์ เนื่องจำก lim [f(x) – f(a)] = lim  a)

xa xa
f (x)  f(a)
= lim xa lim (x  a)

xa xa
f(x)  f(a)
จำกทฤษฎีบท 3.1.1 จะไดว้ ำ่ lim xa หำค่ำได้

xa

และเนื่องจำก lim (x – a) = 0
xa

ดงั น้นั lim [f(x) – f(a)] = 0

xa
จำกทฤษฎีบท 2.2.2 ขอ้ 2. จะไดว้ ำ่ lim f (x) = f(a)
xa

จำกบทนิยำมควำมต่อเน่ือง จะไดว้ ำ่ f(x) จะมีควำมต่อเนื่องที่จุด x = a 

หมายเหตุ 3.1.1 ทฤษฎีบทน้ีทำใหเ้ รำไดว้ ำ่ ถำ้ f(x) ไม่ต่อเนื่องที่ x = a แลว้
f(x) ไม่มีอนุพนั ธ์ท่ี x = a

ตัวอย่าง 3.1.1 จงหำอนุพนั ธ์ของ f(x) = x2– 3x + 2 ที่จุด x ใด ๆ และที่จุด x = – 2

วธิ ีทา จำกบทนิยำม 3.1.1 จะไดว้ ำ่ f (x) = lxim 0 f(x  x)  f(x)
x
[(x x)2 x)  2] [x2
แทนค่ำ f (x) = lim 3(x  x  3x  2]

x0 x2  (x) 2 x2

= lim  2xx 3x 3x 2  3x 2
x
x0
(x)2
= lim 2xx  x  3x

x0
= lim (2x  x  3)
x0

= 2x – 3

ดงั น้นั อนุพนั ธ์ของ f(x) = x2– 3x + 2 ที่จุด x ใดๆ คือ f (x) = 2x – 3

และอนุพนั ธ์ของ f(x) = x2– 3x + 2 ท่ีจุด x = –2 คือ f (–2) = 2(–2) – 3 = –7 

คณะวทิ ยาศาสตร์

x บทที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 63

ตัวอย่าง 3.1.2 ถำ้ y = x  1 จงหำ f (x) ท่ีจุด x = 3

วธิ ีทา จำกบทนิยำม 3.1.1 f(a) = lxim0 f(a xx)  f(a)
f(3 x) f(3)
ดงั น้นั f (3) = lxim0 x 

3  x 3
(3 x) 1  3 1
= lim x

x0
2(3  x)  3[2  x]
2(2  x)
= lim x

x0
 = 1 6 2x 6 3x
lim x   4  x

x0 1 2
4
= lim 4 1 = –
 2x
x0 1
4
ดงั น้นั f (x ) ท่ีจุด x = 3 คือ f (3) = – 

จะเห็นวำ่ กำรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใชบ้ ทนิยำม 3.1.1 น้นั ทำไดไ้ มง่ ่ำยนกั ซ่ึงใน
หวั ขอ้ 3.2 เรำกล่ำวถึงทฤษฏีบทและใชห้ ำอนุพนั ธ์ ซ่ึงจะทำไดง้ ่ำยข้ึน

บทนิยาม 3.1.2 ฟังกช์ นั f(x) จะเรียกวำ่ หำอนุพนั ธ์ไดบ้ นช่วง (differentiable on an interval)
จำนวนจริง I ก็ต่อเม่ือ f(x) หำอนุพนั ธ์ได้ สำหรับทุกๆ x  I

การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f ท่ีกาหนดให้ อาจมีบางจุดในโดเมนของ f เป็น
ตาแหน่งที่ฟังกช์ นั เปล่ียนลกั ษณะ เมื่อเราตอ้ งการหาอนุพนั ธ์ของ f ท่ีจุดน้นั จึงจาเป็ นตอ้ ง
แยกพจิ ารณาอนุพนั ธ์ทำงซำ้ ย (left – hand derivative) และอนุพนั ธ์ทำงขวำ (right – hand
derivative)

บทนิยาม 3.1.3 อนุพนั ธ์ทำงซำ้ ยของฟังกช์ นั f ที่จุด x ใด ๆ คือ

f  (x ) = lim f(x  xx)  f(x) หำค่ำได้

x0
อนุพนั ธ์ทำงขวำของ f ท่ีจุด x ใด ๆ คือ
f(x  x)  f(x)
f  (x) = lim x หำค่ำได้

x  0 

หมายเหตุ 3.1.2 จำกบทนิยำมลิมิต บทนิยำม 3.1.3 และทฤษฎีบท 3.1.2 สรุปไดว้ ำ่
f มีอนุพนั ธ์ที่จุด x = a กต็ อ่ เม่ือ f ต่อเนื่องที่ x = a และ =f(x) f  (x )

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

64 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 3.1.3 ให้ f(x) =  x2  x , x 1 จงหำ f(1)
 x 1 , x 1

วธิ ีทา เน่ืองจำก lim f(x)= x+1 = 2 และ lim f(x)= x2– x = 12– 1 = 0
x1 x1
ดงั น้นั f(x) ไม่ตอ่ เนื่องที่ x = 1

จำกทฤษฎีบท 3.1.2 ขอ้ ควำมแยง้ สลบั ท่ี จะไดว้ ำ่

f(x) ไมม่ ีอนุพนั ธ์ท่ี x = 1 หรือไมม่ ี f (1) 

ตวั อย่าง 3.1.4 ให้ f(x) = x จงหำ f (0)

วธิ ีทา จำก f(x) = x =   x , x0 และ f(x) ต่อเน่ืองที่ x = 0
 x , x0

 (x  xx)  (x) xx
พจิ ำรณำ f  (0 ) = lim = lim =–1
=1
x0 (x xx)  x x0 xx

และ f  (0 ) = lim = lim

x0 x0
เนื่องจำก f  (0)  f  (0 )

ดงั น้นั f(x) ไม่มีอนุพนั ธ์ท่ี x = 0 หรือ f (0) หำค่ำไมไ่ ด้

เรำจะเห็นวำ่ f(x) = x เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องที่จุด x = 0 แต่ไม่มีอนุพนั ธ์ท่ีจุด x = 0
ดงั น้นั บทกลบั ของทฤษฎีบท 3.1.2 ไม่เป็นจริง แต่ที่จุด x = 0 ฟังกช์ นั f กลบั มีอนุพนั ธ์
ทำงซำ้ ยเท่ำกบั –1 และ f มีอนุพนั ธ์ทำงขวำเท่ำกบั 1

ตัวอย่าง 3.1.5 ให้ f(x) = 3xx3211 ,x0 จงหำ f (0)
,x0

วธิ ีทา เนื่องจำก f(0) = 3(02) + 1 = 1 = 03+ 1 = xlim0 f(x) ดงั น้นั f(x) ต่อเนื่องที่ x = 0
f(0 xx)  f(0)
พิจำรณำ f  (0) = lim

x0 [3(0 x)2 1x] [3(0)2

= lim 1] =0

x0 f(0 xx)  f(0)

และ f  (0 ) = lim

x0 [(0 x)3 x1] [03

= lim 1] =0

x0

ดงั น้นั f (0)= 0 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 65

ตัวอย่าง 3.1.6 ให้ f (x )  2x 1 ; x 1 จงหำ f (1)

x 2 ; x 1

วธิ ีทา เนื่องจำก f (1_ ) = lim f (x)  f (1)  lim (2x 1) 1
x1 x 1 x1 x 1

 lim 2  2
x1

และ f (1+ ) = lim f (x)  f (1)  x2 1
x1 x 1 lim
x1 x 1

 lim (x 1)(x 1) = lim (x + 1) =2

x1 x 1 x1
f (1 )  f (1 )  2
ดงั น้นั

นน่ั คือ f(1) = 2 

แบบฝึ กหัดที่ 3.1

1. จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกำหนดให้ โดยใชบ้ ทนิยำมของอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั

1.1 y = 4x – 1 1.2 y = x2 + 7

1.3 y = x  5 1.4 y = 1
x

2. ฟังกช์ นั ตอ่ ไปน้ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x  a หรือไม่

2.1 f(x) = x – 2 ; a = 2 2.2 f(x) = 3x + 1 ; a = 1
2.3 f(x) = 1 – x + x 2 ; a = –1 3
1
2.4 f(x) = ; a=2
(X 2)2

2.5 f(x) = 1 ; a = 0 2.6 f(x) = x2 1 ; x  2 ; a2

x x  4 ; x2

2.7 f(x) = x , x1 ; a=1 2.8 f(x) =  5x , x5 ;a=5
 ,
 x 1 x 1   2 x5
 5 (5
x) ,

x 3

3.2 ทฤษฎบี ทเก่ียวกบั อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
กำรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั โดยใชบ้ ทนิยำมคอ่ นขำ้ งเสียเวลำ จึงนิยมใชท้ ฤษฎีบท

เกี่ยวกบั อนุพนั ธ์หรือเรียกวำ่ สูตรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ซ่ึงสะดวกและรวดเร็วข้ึน

ทฤษฎบี ท 3.2.1 ให้ u และ v เป็นฟังกช์ นั ของ x ซ่ึง u และ v มีอนุพนั ธ์ท่ีจุด x และ
c เป็นค่ำคงตวั จะไดว้ ำ่
1. ddx c = 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

66 แคลคูลสั I

2. ddx x = 1
3. ddx cu = c ddx u
4. ddx (u  v) = ddx u  ddx v

พสิ ูจน์ 1. จำกบทนิยำม 3.1.1 dy = lxim0 f(x xx)  f(x)
dx
dy cc
จะไดว้ ำ่ dx = lim x

x  0
= lim 0 = 0
x  0
dy = lxim0 f(x xx)  f(x)
2. จำกบทนิยำม 3.1.1 dx

จะไดว้ ำ่ dy = lim (x  x)  x
dx x
x0
x
= lim x

x0
= lim 1 = 1
x  0

3. จะพิสูจน์วำ่ ddx cu = c ddx u
ให้ u = g(x) และ y = f(x) = cu ดงั น้นั f(x) = cg(x)
dy = lxim0 f(x xx)  f(x)
จำกบทนิยำม 3.1.1 dx

แทนค่ำ ddx cu = lxim 0 cg(x  x)  cg(x)
x
g(x x) g(x)
= lxim0 c [  x  ]
= c lxim0
g(x  x)  g(x)
x
= c ddx g(x)
ดงั น้นั ddx cu = c ddx u

4. จะพิสูจน์วำ่ ddx (u  v) = ddx u  ddx v
ให้ y = f(x) = (u  v) , u = g(x) และ v = h(x)

ดงั น้นั f(x) = g(x)  h(x)
dy f(x xx) f(x)
จำกบทนิยำม 3.1.1 dx = lxim 0 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 67

แทนค่ำ ddx (u  v) = lxim0 [ g(x  x)  h(x xx) ] [ g(x)  h(x)]
 = lxim0 (u  v) g(x) ]
[ g(x  x) x   [ h(x  xx)  h(x)]

= lxim 0 g(x  x)  g(x)  lxim0 h(x  xx)  h(x)
x
= ddx g(x)  ddx h(x)
= ddx u  ddx v


ทฤษฎบี ท 3.2.2 ให้ u และ v เป็นฟังกช์ นั ของ x ซ่ึง u และ v มีอนุพนั ธ์ที่จุด x และ

n เป็นจำนวนตรรกยะ จะไดว้ ำ่

1. ddx (uv) = u ddx v + v ddx u
v ddx u u ddx v
2. ddx ( uv ) = 

v2 dy dy ddux
dx du
3. ถำ้ y= f(u) และ u= g(x) แลว้ =  (กฎลูกโซ่)

4. ddx un = n un–1 ddxu

พสิ ูจน์ 1. จะพิสูจนว์ ำ่ ddx (uv) = u ddx v + v ddx u
ให้ y = f(x) = uv , u = g(x) และ v = h(x)

จะไดว้ ำ่ f(x) = g(x)h(x)

จำกบทนิยำม 3.1.1 dy = lxim 0 f(x  xx)  f(x)
dx
ddx [ g(x x)  h(x  x) ] [ g(x) h(x) ]
แทนคำ่ (uv) = lxim 0  x 

= lxim 0 [g(x  x)  h(x  x)]  [g(x  x)  h(x)]  [g(x  x)  h(x)]  [g(x)  h(x)]
x
g(x x )[ h(x x) h(x) ] h(x)[ g(x x) g(x) ]
= lim    x   

x0 g(x x)[ h(x  x) h(x) ] h (x)[ g(x  x) g(x) ]
x x
= lim (     )

x0 g(x x)[ h(x  x) h(x) ] h (x)[ g(x  x) g(x) ]
x x
= lim    lim 

x0 h(x  x)  h(x) x0 g(x  x)  g(x)
x x
= lim [ g(x  x) ]  lim [ h(x) ]

x0 x0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

68 แคลคูลสั I

= lim [ g(x  x) ] lim [ h(x  x)  h(x) ]  lim [h(x)] lim [ g(x  x)  g(x) ]
x x
x0 x0 x0 x0
h(x  x)  h(x) g(x  x)  g(x)
= lim g(x) lim [ x ]  lim h(x) lim [ x ]
x0 x0 x0
x0

ดงั น้นั ddx (uv) = g(x) ddx h(x)  h(x) ddx g(x)
หรือ ddx (uv) = u ddx v + v ddx u
ddx ( uv ) = v ddx u u ddx v
2. จะพสิ ูจนว์ า่ 

v2 g(x)
ให้ u = g(x) , v = h(x) และ y = f(x) = vu h(x)
ดงั น้นั f(x) =

จำกบทนิยำม 3.1.1 dy = lxim0 f(x xx)  f(x)
dx
g(x  x) g(x)
แทนคำ่ ddx ( vu ) = lxim0 h(x  xx)  h(x)
= lxim0 h(x)[g(x h(x x)]xxg)(xh)([xh)(x  x) ]
= lxim0 [ h(x)[g(x  x)]hg(x(x)h(xx))hg((xx))h(xx) g(x)[ h(x  x) ]
h(x)[ g(x xh)(xg(x)x]) g(x)[ h(x x) h(x)]
= lxim 0 [  h(x) x   ]

= lxim0 ( [h(x  1x)h(x) ][ h(x)[g(x xx)  g(x)]  g(x)[ h(x xx)  h(x)] ] )
= lxim0( h(x  1x)h(x) )( lxim0 h(x)[g(x xx)  g(x)]  lxim0 g(x)[ h(x xx)  h(x)] )
= h(x)1h(x) [ lxim0 h(x)lxim0 g(x  xx)  g(x)  lxim0 g(x)lxim0 h(x  xx)  h(x) ]
1 ddx g(x) ddx h(x)]
= [h(x)]2 [ h(x) g(x) 

= h(x) ddx g(x)  g(x) ddx h(x)
[h(x)]2
ddx ( vu ) = v ddx u u ddx v
ดงั น้นั 

v2

3. จำกบทนิยำม 3.1.1 dy = lxim0 f(x xx)  f(x)
dx
ddx f(g(x) x)  f(g(x))
จะไดว้ ำ่ f(g(x)) = lxim0 x

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 69

= lxim0[f(g(x)  x)  f(g(x))  g(x  x)  gg((xx))]
x g(x  x) 
= lxim0[f(g(gx()xxx))fg(gx(x))  g(x  xx)  g(x)]
f(g(gx()xxx))fg(gx(x))  lxim0 g(x x) g(x)
= lxim 0  x 

จำก g(x) มีอนุพนั ธ์ท่ี x จะไดว้ ำ่ g(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่อง
จะไดว้ ำ่ ถำ้ x  0 แลว้ g(x + x)  g(x)

ดงั น้นั d f (g( x )) = g(xlixm)g(x) f(g(x)  xx))  f(g(x))  lxim 0 g(x  xx)  g(x)
dx g(x   g(x)

= d(dgx) f(g(x)) ddx g(x) (ทฤษฎีบท 3.1.1)

นน่ั คือ dy = dy  ddxu
dx du

4. จะพสิ ูจน์วำ่ ddx un = n un–1 ddux , n เป็นจำนวนตรรกยะ
ให้ f(u) = un
df df
จำก 3. จะไดว้ ำ่ dx = du  ddux (กฎลูกโซ่)

แทนค่ำ d u n = ( d un ) ddxu
dx du
= r u r–1 ddxu


3.2.1 การหาอนุพนั ธ์ฟังก์ชันพชี คณติ

เรำสำมำรถหำอนุพนั ธ์ฟังกช์ นั พชี คณิตไดโ้ ดยใชส้ ูตรอนุพนั ธ์ของฟังชนั ในทฤษฎีบท

3.2.1 และ 3.2.2 ไดด้ งั น้ี

ตวั อย่าง 3.2.1 ให้ y = 3x2+ 5x – 4 จงหำ dy
dx
dy ddx
วธิ ีทา dx = (3x2+ 5x – 4)

= ddx 3x2+ ddx 5x – ddx (4) ( ddx (u  v) = ddx u  ddx v)
= 3 ddx x2+ 5 ddx x – 0 ( ddx cu = c ddx u และ ddx c = 0)
= 3(2x2–1) + 5(1) ( ddx un = n un–1 ddux และ ddx x = 1)

= 6x + 5 

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

70 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 3.2.2 จงหำ y ของฟังกช์ นั y = 3 x2 + 2x3 – 1 ท่ีจุด x = 8

วธิ ีทา y = 3 x2 + 2x3 – 1 = x 23 + 2x3 – 1

y = 23 x 2 1 + 6x2 = 23 x 1 + 6x2
3 3

ท่ีจุด x ใด ๆ จะไดว้ ำ่ y = 2 + 6x2
ท่ีจุด x = 1 33 x
2
จะไดว้ ำ่ y = 33 8  6(8)

= 145 
3

ตัวอย่าง 3.2.3 ให้ f(x) = (x2+ 3x – 2)3 จงหำ f(x)
วธิ ีทา
f(x) = (x2+ 3x – 2) 3
f (x) = ddx (x2+ 3x – 2)3 ( ddx un = n un–1 ddux )

= 3(x2+ 3x – 2)2 ddx (x2+ 3x – 2)
= 3(x2+ 3x – 2)2(2x + 3)

= (6x + 9)(x2+ 3x – 2)2

ตวั อย่าง 3.2.4 ให้ f(x) = (3x – 1) x 1 จงหำ f(1)

วธิ ีทา f(x) = (3x – 1) x 1 = (3x –1)(x + 1) 1
2

f(x) = ddx [(3x – 1)(x + 1) 12 ]
= (3x – 1) ddx (x + 1) 12 + (x + 1) 12 ddx (3x – 1) ( ddx (uv) = u ddx v + v ddx u)
(x + 1) 121 (x + 1) + (x + 1) 12
= (3x – 1) 1 ddx (3)
2
1 1
= 1 (3x – 1)(x + + 1) 2
2 1) 2 (1) + 3(x

= 3x 1 + 2 x 1
2 x 1

และ f(1) = 3(1) 1  2 11

2 11

= 4 2 2
22

=32 

คณะวทิ ยาศาสตร์

2x 3 บทท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 71
x2 5
ตวั อย่าง 3.2.5 จงหำ dy ของฟังกช์ นั y =
dx

วธิ ีทา y = 2x 3
x2 5
dy ddx 2x 3
dx = ( x2 5 )

= (x2  5) d (2x  3)  (2x  3) d (x2  5) ( ddx ( vu ) = vd u ud v )
dx (x2  5)2 dx dx v2 dx

= (x2  5)(2) (2x  3)(2x)
(x2  5)2
2 4x 2
= 2x  10  5)2  6x
(x2 
2(x2
=  (x2  3x  5) 
 5)2

ตวั อย่าง 3.2.6 ให้ y = x3 – 4 และ x = t2+ 3t – 1 จงหำ dy
dt
dy ddxt = 2t2+3
วธิ ีทา เนื่องจำก dx = 3x2 และ

ดงั น้นั dy = dy  dx = (3x2)(2t2+3)

dt dx dt

= 3(t2+ 3t – 1) 2(2t2+3)

= (6t2+ 9) (t2+ 3t –1) 2 

ตัวอย่าง 3.2.7 ให้ y = (4x2– 1)21 จงหำ dy
dx
วธิ ีทา ให้ u = g(x) = 4x2 – 1 และ y = f(u) = u21

จะไดว้ ำ่ du = 8 x และ dy = 21u20
dx du
dy
dx = dy  du (กฎลูกโซ่)

du dx
= (21u20)(8 x)

= 168x (4x2– 1)20

ในบำงคร้ัง กำรหำ dy จะสะดวกและรวดเร็ว ถำ้ เรำหำ dx ก่อน ดงั ตวั อยำ่ งต่อไปน้ี

dx dy

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

72 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 3.2.8 ให้ x = 5y – 2 จงหำ dy ที่จุด (0,1)
y dx

วธิ ีทา เนื่องจำก dx = d (5y  2)
dy
dy y

= 5+ 2

y2

= 5y2  2

y2

แต่ dy = 1

dx dx

dy

ดงั น้นั dy = y2

dx 5y2  2

และที่จุด (0,1) จะไดว้ ำ่ dy = 1
dx 15  2
7
= 

แบบฝึ กหัดที่ 3.2 ก

1. จงใชส้ ูตรกำรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เพื่อหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั พีชคณิตตอ่ ไปน้ี

1.1 y = 7x2– 3x + 4 1.2 y = 4x – 5 + 8

x2

1.3 f(x) = x2  3 x5 3 x4 8 1.4 f(x) = (3x – 5)4



1.5 f(x) = x4  2x2 1 1.6 f(x) = (3x – 2)(x2+ 4)

1.7 f(x) = (x + 5)2 2x 3 1.8 f(x) = 2xx51

1.9 f(x) = 2x  4 1.10 f(x) = x 1

x2  4x 1 x 1

3. ถำ้ y = (2x – 3) 3x 1 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่จุด x = 1

4. ถำ้ y = (x2– 4x +5)3 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีจุด x = 3

5. ถำ้ f(x) = 8x 1 จงหำ f (1) จงหำ y'(2)
6. ถำ้ f(x) = 4  x จงหำ f(2)

x3

7. ถำ้ y = u3- 2u2 + 5 และ u = x2 - 1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 73

3.2.2 การหาอนุพันธ์ฟังก์ชันตรีโกณมิตแิ ละฟังก์ชันตรีโกณมติ ิผกผนั

สูตรพ้นื ฐำนท่ีสำคญั เกี่ยวกบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ ซ่ึงอำจนำไปใชใ้ นกำรหำอนุพนั ธ์

1. sin2 + cos2 = 1

2. sec2 – tan2 = 1 , cos   0

3. csc2 – cot2 = 1 , sin   0

4. sin(A  B) = sin A cos B  cos A sin B

5. cos(A  B) = cos A cos B  sin A sin B

6. tan(A  B) = tan A  tan B
1 tan AA t2anBBcos
7. sin A + sin B A 2 B
=2 sin

8. cos A + cos B = 2 cos A 2 B cos A 2 B
9. sin A – sin B = 2 cos A 2 B sin A 2 B
10. cos A – cos B = –2 sin A 2 B sin A 2 B

ทฤษฎบี ท 3.2.3 ถำ้ u = g(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้

1. ddx sin u = cos u ddx u
2. ddx cos u = – sin u ddx u
3. ddx tan u = sec2u ddx u
4. ddx csc u = – csc u cot u ddx u
5. ddx sec u = sec u tan u ddx u
6. ddx cot u = – csc2u ddx u
พสิ ูจน์ 1. จะพิสูจนว์ ำ่ ddx sin u = cos u ddx u
ให้ y = sin u เนื่องจำก u = g(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ที่ x

ดงั น้นั u เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องท่ี x และจำกบทนิยำม 3.1.1 จะไดว้ ำ่
dy ddu sin (u  uu) sin u
du = sin u = luim0 

lim= 2cos (u  u  u) sin( u  u  u) 2
u0 2
u

= luim 0 cos (u  u ) sin( u )
2 2

u

2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

74 แคลคูลสั I

= lim cos(u u sin( u )
2 2
u0  )  lim
u
u0
2
= (cos u)(1)
dy dy
จำกกฎลูกโซ่ dx = du  ddux
จะไดว้ ำ่
ddx sin u = cos u ddx u

2. ddx cos u = ddx sin ( 2  u )
= cos ( 2  u ) ddx ( 2  u )
= [cos ( 2  u )](– ddx u)
= – cos ( 2  u ) ddx u

ddx cos u = – sin u ddx u

3. ddx tan u = ddx ( csionsuu ) xd
ddx
= cos u (sin u)  sin u (cos u)
cos2u
ddx ddx
= (cos u)(cos u u)  (sin u)( sin u u)
cos2u
cos2u ddx u  sin2u ddx
= cos2u u

= (cos2u  sin2u) ddx u
cos2u
1 ddx
= cos2u  u

= sec2u ddx u

4. – 6. สำมำรถพิสูจนไ์ ดท้ ำนองเดียวกนั 

ตัวอย่าง 3.2.9 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = 3 sin x2
วธิ ีทา dy
dx = ddx 3sin x2 = 3cos x2 ddx x2 ( ddx sin u = cos u ddx u)

= (3cos x2)(2x) 

= 6x cos x2 คณะวทิ ยาศาสตร์

ตวั อย่าง 3.2.10 ถำ้ y = cos32x จงหำ dy บทท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 75
dx
วธิ ีทา เน่ืองจำก y = cos32x = (cos 2x)3 ( ddx un = n un–1 ddxu )
dy ( ddx cos u = – sin u ddx u)
ดงั น้นั dx = ddx (cos 2x)3

= 3(cos 2x)2 ddx (cos 2x)
= 3(cos 2x)2(–sin 2x) ddx (2x)
= (–3sin 2x cos22x )(2)

= – 6 sin 2x cos22x

ตัวอย่าง 3.2.11 ถำ้ f(x) = 2x2 tan 4x จงหำ f 

( )
4

วธิ ีทา f(x) = 2x2 tan 4x = (2x2)(tan 4x)

f(x) = ddx (2x2 tan 4x) ( ddx (uv) = u ddx v + v ddx u)
= 2x2 ddx tan 4x + tan 4x ddx 2x2
= (2x2)(sec24x) ddx (4x) + (tan 4x)(4 x)
= (2x2)(sec24x)(4) + (tan 4x)(4 x)

ดงั น้นั f(x) = 8x2 sec24x + 4x tan 4x

f (3 ) = 8()2 sec24 (  + 4(  ) tan 4 ( 
4 4
) )
4 4

= 2 sec2 +  tan 

2

= 2 (–1)2 + (0)

2

= 2 

2

ตัวอย่าง 3.2.12 ให้ f(x) = cos2 x จงหำ f (x)
1 sin x
d d
f(x) (1sin x) dx (cos2 x)cos2 x dx (1sin x) ddx vu vd uu d v
(1sin x)2 dx dx
วธิ ีทา  ( ( ) = )
v2

(1sin x)(2sin x cosx)cos2 x(cosx)
 (1sin x)2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

76 แคลคูลสั I 

(1sin x)(sin 2x)cos3 x
  (1sin x)2

ตัวอย่าง 3.2.13 ให้ f(x) = 4  tan2 x จงหำ f (x)

วธิ ีทา f (x) = ddx ( )4  tan2 x = ddx (4  tan2 x ) 1
2

= 1 ( 4  tan 2 x )  1 d (4  tan2 x)
2 2 dx

= 1 (4  tan 2 x )  1 ( 2 tan x sec 2 x )
2 2

= tan x sec2 x 
4  tan2 x 

ตัวอย่าง 3.2.14 ถำ้ y = cot (2x 1) จงหำ y
วธิ ีทา = ddx 3x 1
dy
y = dx (cot (2x 1))
3x 1

= (3x 1) d cot (2x 1)  cot (2x 1) d (3x 1)
dx dx
(3x 1)2

= (3x 1)(csc2 (2x 1)) d (2x 1)  cot (2x 1)(3)
dx
(3x 1)2

= (3x 1)(csc2 (2x 1))(2)  cot (2x 1)(3)
(3x 1)2

=  (6x  2) csc2 (2x 1)  3 cot (2x 1)
(3x 1)2

ตวั อย่าง 3.2.15 ถำ้ y = 7 sec 2x + 5 csc x จงหำ dy ที่จุด x = 
วธิ ีทา ddx ( 7 sec 2x + 5 csc x) = ddx (7 sec dx 4
dy = 2x) + ddx (5 csc
dx x)

= 7 ddx sec 2x + 5 ddx csc x
= 7 sec 2x tan 2x ddx 2x + (–5 csc x cot x) ddx x
= (7 sec 2x tan 2x)(2) – 5 csc x cot x

= 14 sec 2x tan 2x – 5 csc x cot x

f(  ) = 14 sec 2(  ) tan 2(  ) – 5 csc  cot 
4 4 4 4
4
= 14(0) +5 2 (1)

=5 2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 77

เรำตอ้ งกำรควำมสมั พนั ธ์ท่ีเกิดจำกกำรผกผนั ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติท่ีเป็นฟังกช์ นั

ดงั น้นั จึงมีกำรกำหนดโดเมนของกำรผกผนั และสูตรพ้ืนฐำนท่ีสำคญั เก่ียวกบั ฟังกช์ นั

ตรีโกณมิติผกผนั เช่น 1. sin(sin–1x) = x เมื่อ –1 x  1

2. cos(cos–1x) = x เมื่อ –1  x 1

3. tan(tan–1x) = x เม่ือ x R xyy
x1
4. tan–1x  tan–1y = tan–1 


ทฤษฎีบทต่อไปน้ีเรำใชห้ ำอนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติผกผนั ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท 3.2.4 ถำ้ u = g(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้

1. ddx sin–1u = 1 u2 ddx u เม่ือ –1  u 1
1
2. ddx cos–1u = 1 ddx
1 u2 u เมื่อ –1  u  1

3. ddx tan–1u = 1 1 ddx u
 u2
ddx 1 ddx
4. cot–1u = 1  u2 u


5. ddx sec–1u = u 1 ddx
u2 1 u เมื่อ u –1 หรือ 1 u

6. ddx csc–1u = u 1 1 ddx u เมื่อ u –1 หรือ 1 u
u2

พสิ ูจน์ จะพิสูจน์วำ่ ddx sin–1u = 1 u2 ddx u เม่ือ –1 u  1
1
ให้ y = sin–1u ดงั น้นั u = sin y
ddxu ddx sin y dy
= = cos y dx

dy = co1s y du ………………... ( * )
dx dx

เน่ืองจำก cos y =  1  sin2y และ y [– 2 , 2 ]

ดงั น้นั cos y = 1  sin2y
dy 1 ddxu
จำก ( * ) จะไดว้ ำ่ dx = 1  sin2y

= 1 ddux
1 u2

2. – 6. สำมำรถพสิ ูจนไ์ ดท้ ำนองเดียวกนั 

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

78 แคลคูลสั I

ตัวอย่าง 3.2.16 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y = (1 + sin–12x)3
วธิ ีทา
dy = ddx (1 + sin–12x) 3
dx
= 3(1 + sin–12x) 2 ddx (1 + sin–12x)
ddx (2x)
= 3(1 + sin–12x) 2 (0 + 1
1 (2x) 2

= 3(1 + sin–12x) 2 2
1 4x 2

= 6(1 sin12x) 2 เม่ือ –1  2x  1 

1  4x2

ตวั อย่าง 3.2.17 ถำ้ f(x) = 5 csc–14x + tan–1x2 จงหำ f (1)
วธิ ีทา
f (x) = dy = ddx (5 csc–14x + tan–1x2)
และ dx
= 5 ddx csc–14x + ddx tan–1x2
1 ddx x2
=5 1 d + 1 (x2)2
4x
4x
(4x) 2 1 dx

= 5 + 2x
16x2 1 1 x4
x

f (1) = - 5 + 2(1)
1 16(1)2 1 1 (1)4

= 1 ( 15  3)
3

แบบฝึ กหัด 3.2 ข

1. จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.1 y = cos 5x 1.2 y = sin (x3-4)

1.3 y = sec 2x – cos 4x 1.4 y = tan x  6

1.5 y = tan3x 1.6 y = csc 2x  cot x

1.7 y = 6 csc 2x + 4 cot x2 1.8 y = sin25x + 3 cos4 x

1.9 y = x3 tan 2x 1.10 y = sec x csc2x

1.11 f(x) = 4x cot34x 1.12 f(x) = sin 2x
2x 1
1.13 f(x) = sin x
cos 2x 1.14 f(x) = sin (cos 4x)

1.15 y = cos–15x 1.16 y = 2sin–1(x –1)

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 79

1.17 y = 5x – sec–12x 1.18 y = tan–13x + 4 csc–1 4x

1.19 y = (cot–1(2x) + 3x)3 1.20 y = x2 sin–12x

1.21 y = cos 2x tan–1x 1.22 y = x  4 (sin–1x)2

1.23 y = cos1x  5x 1.24 y = sin–1x – 1 x2

1.25 y = x tan13x 1.26 y = cos 3x – cos–12x

1.27 y = 2x 1.28 y = tan1x

sin 1x 3x

1.29 y = x2 3x 1.30 y = sin1x  5
cos1x  x5

2. ถำ้ y = x cos 3x จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีจุด x = 
3

3. ถำ้ f(x) = 3x – tan 4x จงหำ f ()

4

4. ถำ้ y = (sin–1x)2 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่ x = 1
2

5. ถำ้ f(x) = 3x tan–1 2x จงหำ f(1)

2

3.2.3 การหาอนุพนั ธ์ฟังก์ชันเลขชี้กาลงั และฟังก์ชันลอการิทมึ
เรำเรียก f(x) = ax โดยท่ี a  0 และ a  1 วำ่ ฟังกช์ นั เลขช้ีกำลงั

และเรียก y = loga x โดยท่ี a  0 และ a  1 วำ่ ฟังกช์ นั ลอกำริทึมฐำน a

เรำมีสมบตั ิเลขยกกำลงั ที่ควรทรำบ ดงั น้ี ให้ m, n เป็นจำนวนเตม็ บวก

1. am  an = am+n 2. (am) n= amn 3. (ab) n= anbn

4. am = am–n 5. amn = n am 6. a–n = 1
an an
และสมบตั ิของฟังกช์ นั ลอการิทึมพ้นื ฐานที่ควรทราบ ดงั น้ี ให้ a , c เป็นจานวน

จริงท่ีมากกวา่ 0 และไมเ่ ท่ากบั 1 และ b , M และ N เป็นจานวนจริงที่มากกวา่ 0

1. loga 1 = 0 และ loga a = 1 2. loga (MN) = loga M + loga N
llooggcc b 4. loga ( MN ) = loga M – loga N
3. loga b= a

ข้อสังเกต 3.2.1

1. y = loga x ก็ต่อเม่ือ x = ay
2. ฟังกช์ นั เลขช้ีกาลงั เป็นฟังกช์ นั 1-1 จาก R ทวั่ ถึง R+ และ

ฟังกช์ นั ลอการิทึมฐาน a เป็นฟังกช์ นั 1-1 จาก R+ ทว่ั ถึง R

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

80 แคลคูลสั I

3. ต่อไปจะใช้ log x แทน log10 x และ ln x แทน loge x

ทฤษฎบี ท 3.2.5 ถำ้ u และ v เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้

1. ddx logau = 1u loga e ddx u เม่ือ a  0 และ a  1
2. ddx lnu = 1u  ddx u
3. ddx au = au ln a ddx u เมื่อ a  0 และ a  1
4. ddx eu = eu ddx u
พสิ ูจน์ 1. จะพิสูจนว์ ำ่ ddx logau = 1u loga e ddx u เม่ือ a  0 และ a  1

ให้ y = logau
dy
du = ddx loga u

dy = luim 0 loga(u  u)  logau
du u
= luim0 loga uuuu
u 1 u  u
= luim0 u  u  log a u

= luim0 1u  luim0 u loga u  u
u u
u
= 1u luim 0 loga(1 uu ) u

1
= 1u luim0 loga(1 uu ) uu
1
= 1u loga [ luim0 (1 uu ) uu ]
dy 1u
du = logae (นิยำมค่ำ e)

โดยกฎลูกโซ่ dy = dy  ddxu
dx du
ddx logau = 1u logae ddxu
แทนค่ำ

2. ให้ y = ln u = logeu (ขอ้ สงั เกต 3.2.1 ขอ้ 3.)
ddyx = ddx ln u = 1u logee ddxu (จำก 1.)
ddx ln u = 1u  ddx u ( logaa = 1)

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 81

3. ให้ y = au

จะไดว้ ำ่ u = logay (ขอ้ สงั เกต 3.2.1 ขอ้ 1.)

ddux = 1y logae dy (จาก 1.)
dx (สมบตั ิฟังกช์ นั ลอกำริทึม ขอ้ 3.)
1y  llooggeeea dy
ddux =  dx

dy = y loge a ddux
dx
ดงั น้นั ddx au = au ln a ddxu
4. ddx eu = eu ln e ddux
(จำก 3. และให้ a = e)

= eu ddux ( ln e = logee = 1)
ดงั น้นั ddx eu = eu ddx u


ตัวอย่าง 3.2.18 ให้ f(x) = esinx2 จงหำ f (x)

วธิ ีทา f (x) = ddx =esinx2 esinx2 ddx sin x2 ( ddx eu = eu ddx u )
= esinx2 (cos x2) ddx (x2)

= 2x cos x2 esinx2 

ตวั อย่าง 3.2.19 ให้ y = ln (cos 4x) จงหำ y

วธิ ีทา y = dy = ddx ln(cos 4x)
dx
( ddx lnu = 1u ddx u )
= 1 d cos 4x 

cos 4x dx

= – sin 4x d 4x

cos 4x dx

= – 4 tan 4x

ตวั อย่าง 3.2.20 ให้ y = 53x จงหำ dy
dx
dy ddx 53x = 53x ln 5 ddx 3x ( ddx au = au ln a ddx u )
วธิ ีทา dx = 

= 53x(3 ln 5)

ตวั อย่าง 3.2.21 ให้ y = log2(x3– 3x2 + 1) จงหำ dy
dx
dy = ddx log2(x3– 3x2 + 1)
วธิ ีทา dx

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

82 แคลคูลสั I

= x3 1  1 log 2 ed (x3  3x 2  1) ( ddx logau = 1u loga e ddx u )
 3x2 dx 

=x 3x2  6x 1 log 2 e
3  3x 2

แบบฝึ กหดั 3.2 ค

1. จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.1 y = log (3x + 5) 1.2 y = log3(x2+ 4)
1.3 y = ln (4x3– 1) 1.4 y = ln 5x

1.5 y = (ln 7x) 2 4x

1.6 y = ln x3  4

1.7 y = 32x – 5 1.8 y = 6sin 3x

1.9 y = x2 esin x 1.10 y = x2e-2x

2. ถำ้ y = ln (tan x) จงหำอนุพนั ธ์ของ y ที่จุด x = 
3

3. ถำ้ f(x) = x esin x จงหำ 
f ( )

2

4. ถำ้ f(x) = e4x cos 2x จงหำ f(0)

3.2.4 การหาอนุพนั ธ์ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลกิ และฟังก์ชันไฮเพอร์โบลกิ ผกผนั

ฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกไซน์ และฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกโคไซน์ กำหนดโดย

sinh x = 12 (ex  ex) และ cosh x = 12 (ex  ex) ตำมลำดบั
ทำนองเดียวกนั กบั ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ จะกำหนดฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกอื่น ๆ ดงั น้ี

tanh x = ex  ex , coth x = ex  ex , sech x = ex 2 และ csch x = ex 2
ex ex ex ex  ex  ex
 

และมีความสัมพนั ธ์ของฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกท่ีสาคญั ดงั น้ี

1. cosh2x – sinh2x = 1

2. sinh 2x = 2sinh x cosh x

3. cosh 2x = cosh2x + sinh2x

4. sinh(x1  x2) = sinh x1 cosh x2  cosh x1 sinh x2
5. cosh(x1  x2) = cosh x1 cosh x2  sinh x1 sinh x2

คณะวทิ ยาศาสตร์

6. tanh(x1  x2) = 1tanthanxh1 x1ttaannhhxx22 บทท่ี 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 83

การหาอนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิก (hyperbolic function) และฟังกช์ นั ไฮเพอร์
โบลิกผกผนั มีทฤษฎีบทดงั ต่อไปน้ี

ทฤษฎบี ท 3.2.6 ถำ้ u เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้

1. ddx sinh u = cosh u ddxu 4. ddx coth u = – csch2u ddxu
2. ddx cosh u = sinh u ddxu 5. ddx sech u = – sech u tan u ddxu
3. ddx tanh u = sec2u ddux 6. ddx csch u = – csch u cot u ddux
พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจำก ddx sinh x = ddx [ 12 (e x– e– x )]
= 12 (e x + e– x )
ดงั น้นั ddx sinh x = cosh x
................................ (*)

ให้ y = sinh u
dy
จะไดว้ ำ่ du = ddu sinh u = cosh u

จำก (*) และกฎลูกโซ่ dy = dy  ddux
dx du
ดงั น้นั ddx sinh u = cosh u ddxu

2. พิสูจนไ์ ดท้ ำนองเดียวกนั กบั 1.

3. จะพสิ ูจนว์ ำ่ ddx tanh u = sec2u ddxu
ddx tanh u = ddx ( csionshhuu )
ddx ddx
= cosh u sinh u  sinh u cosh u
cosh2u
= cosh u (cosh u) ddcuxosh2usinh u(sin u) ddux
(cosh2u  sinh2u) ddxu
= cosh2u

= c(o1s)hdd2uxu

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

84 แคลคูลสั I 

= sec2u ddxu

ขอ้ 4. , 5. และ 6. พิสูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั ขอ้ 3.

ตวั อย่าง 3.2.22 ให้ y = 3x จงหำ dy
วธิ ีทา cosh x2 dx
dy
dx = d  3x 
dx  cosh x2 

= cosh x2 d 2x  2x d (cosh x2 )

dx dx
(cosh x2 )2

= 2cosh x2  2x sinh x2 d (x2 )
(cosh x2 )2 dx

= 2cosh x2  (2x sinh x2 )(2x) 

cosh2 x2

= 2cosh x2  4x2 sinh x2

cosh2 x2

ตวั อย่าง 3.2.23 ให้ f(x) = x3tanh x3 จงหา f (x)
dy = ddx (x3 tanh x3
วธิ ีทา f (x) = dx )

= x3 ddx tanh x3 + tanh x3 ddx (x3)
= x3( sech2 x3 ) ddx ( x3 ) + 3x2 tanh x3
= x3(sech2 x3 )( 13 ) + 3x2 tanh x3
= x33 sech x3 + 3x2 tanh x3
x2 ( x sech2 x x3
= 3 3 +3 tanh )

กำรนำฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกผกผนั ไปใชม้ กั อยใู่ นรูปของฟังกช์ นั ลอกำริทึม ดงั น้ี

y = sinh–1x จะเรียกวำ่ ฟังกช์ นั ผกผนั ของ y = sinh x ก็ตอ่ เมื่อ x = sinh y

ดงั น้นั x = 12 (ey  ey)
จะไดว้ ำ่ 2xey = e2y – 1

หรือ e2y – 2xey – 1 = 0

ดงั น้นั ey =  (2x)  4x2  4 ( ey  0 )

2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 85

= x + x2 1

y = ln(x + x2 1 ) (ขอ้ สงั เกต 3.2.1 ขอ้ 1.)

เนื่องจำก y = sinh–1 x
ดงั น้นั
sinh–1 x = ln(x + x2 1 )

ในทำนองเดียวกนั จะไดฟ้ ังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิกผกผนั ในรูปของฟังกช์ นั ลอกำริทึม

ดงั น้ี 1. y = sinh–1 x = ln( x + x2 1 )

2. y = cosh–1 x = ln( x + x2 1 )

3. y = tanh–1 x = 12 ln (11  xx )


4. y = coth–1 x = 12 ln (xx 11)
5. y = sech–1 x = ln1 x1 x2 

6. y = csch–1x = ln x1  1x x2 

ทฤษฎบี ท 3.2.7 ถำ้ u เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้

1. d sinh–1 u = 1 du
dx u2 1 dx

2. d cosh–1 u = 1 du เมื่อ u  1
dx u2  1 dx เม่ือ u  1
เม่ือ u  1
3. ddx tanh–1 u = 1 ddux เม่ือ 0  u  1
1  u2
ddx coth–1 u = 1 ddux
4. 1 u2

5. ddx sech–1 u = u 1 ddxu
1 u2
6. ddx csch–1 u = u 1 du
1 u2 dx เม่ือ u  0

พสิ ูจน์ 1. เนื่องจำก sinh–1u = ln(u + u2 1 )

ดงั น้นั ddx sinh–1u = ddx ( ln(u + u2 1 ))
1 ddx ( u + u2 1 )
= u u2 1

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

86 แคลคูลสั I

= 1 1 ( ddxu + ddx u2 1 )
u u2
1 ddxu 2u ddxu )
= u2 1 ( + u2 1
u 2
1  u ddux
u2 u2
= 1 ( 1 + 1 )
u
 
u2 1 
= 1 ( u2 1 u ) ddux
u u2 1
1 ddux
= u2 1

ขอ้ 2. – 6. พิสูจนไ์ ดท้ ำนองเดียวกนั กบั ขอ้ 1. 

ตัวอย่าง 3.2.24 ให้ f(x) = cosh–1 (tan x) จงหา f ( ) 
3
วธิ ีทา f(x) = ddx ( cosh–1 (tan x))
ddx
= 1 (tan x)
t an 2 x
 1

= sec2 x เม่ือ tan x > 1

tan2  1
3

และ f ( ) = sec2 
3
3
tan2   1
3

=4 = 22

2

ตวั อย่าง 3.2.25 จงหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั y =(sinh1x )2  ln(sech1x )
=dy d [ (sinh1x) 2  ln(sech 1x) ]
วธิ ีทา dx dx

= d (sinh1x) 2  d ln(sech 1x)
dx dx

= 2(sinh1x) d (sinh1x)  1 1x d (sech 1x)
dx sech dx
1 1 1
= 2(sinh1x) x2 1 )  sech1x  x 1 x2 )

1  1 1
sech1x 1 x2
= 2(sinh1x) x 2 1   x

2  1
x 1 1  x2 ) sech1x
= (sinh1x)  (

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 87

แบบฝึ กหดั 3.2 ง

1. จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.1 y = tanh x2 1.2 y = cosh2x

1.3 y = sinh (ex– e– x ) 1.4 y = sech 2x tan 2x

1.5 y = x csch x 1.6 y = sinh x  coth x

1.7 y = sinh 3x 1.8 y = cosh 4x
1  cos 3x
sinh 4x
1.9 y = x3 tanh–1 3x
1.10 y = sinh–1 (2x – 4)

1.11 y = csch–1 x2 1 1.12 y = (sinh–1x + cosh–1x)4
1.14 f(x) = tanh–1 xx 11
1.13 f(x) = sinh1 3x 1.16 f(x) = cosh (ln x)

1 3x

1.15 f(x) = ln (sinh 2x)

1.17 f(x) = cos (sinh–1x) 1.18 f(x) = sinh–1(cos x)

1.19 f(x) = etanh x 1.20 f(x) = coth–1(e2x)

2. ถำ้ y = cosh 2x จงหำอนุพนั ธ์ของ y ที่จุด x = 1
2

3. ถำ้ f(x) = coth–1x จงหำ f (2)

3.3 การหาอนุพนั ธ์โดยปริยาย
หวั ขอ้ ที่ผำ่ นมำเป็นกำรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ในรูป y = f(x) ซ่ึงเรียกวำ่

ฟังกช์ นั ชดั แจง้ (explicit function) แตม่ ีฟังกช์ นั อีกมำกท่ีอยใู่ นรูป f(x,y) = 0 ซ่ึงเรียกวำ่
ฟังก์ชันปริยาย (implicit function ) เช่น x2+ 2xy – y3 + 5 = 0 สำหรับกำรหำอนุพนั ธ์ฟังกช์ นั

ปริยำยน้นั สำมำรถทาไดโ้ ดยหาอนุพนั ธ์ของท้งั สองขา้ งของสมการเดิม เทียบกบั x โดยถือวา่
y เป็นฟังกช์ นั ของ x ซ่ึงการหาอนุพนั ธ์โดยวธิ ีน้ี เรียกวา่ การหาอนุพนั ธ์โดยปริยาย (implicit
differentiation)

ตัวอย่าง 3.3.1 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั x3+ 6xy – 3y2 + 7 = 0

วธิ ีทา หำอนุพนั ธ์ท้งั สองขำ้ ง ddx (x3+ 6xy – 3y2 + 7) = ddx (0)

3x 2  6[x dy  dx dy 0 = 0
y ]  6y
dx dx dx

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

88 แคลคูลสั I

3x2  6x dy  6y  6y dy = 0
dx dx
dy dy
3x 2 dx  6y dx = –3x2 – 6y

dy = 3(x2  2y)
dx  3(x2  2y)

=  x2  2y 
x2  2y 

ตัวอย่าง 3.3.2 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั sin 2y = 2y + x2

วธิ ีทา หาอนุพนั ธ์ท้งั สองขา้ ง ddx sin 2y = 2 ddx y  ddx x2

2cos 2y dy = 2 dy + 2x
dx dx

2cos 2y dy  2 dy = 2x

dx dx

2(cos 2y 1) dy = 2x
ddxy
dx = 2x

(2cos 2y 1)

ตัวอย่าง 3.3.3 จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั (5– y3)4 = 4x3– y4

วธิ ีทา หำอนุพนั ธ์ท้งั สองขำ้ ง ddx (5 – y3)4 = 4 d x3  d y 4
dx
4(5  y3 ) d (5  ddxy
dx y3) = 12x2 – 4y3 dx

4 (5  y 3 )(3y 2 dy ) = 12x2 – 4y3 dy
dx dx
dy dy
 15 y 2 dx  3y 5 dx = 3x2 – y3 dy
dx
dy
(–15y2+ 3y5 + y3) dx = 3 x2

dy = y 2 (3y 3x 2  15)
dx 3y

แบบฝึ กหัดที่ 3.3

1. จงหาอนุพนั ธ์โดยปริยายของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.1 x2– y2= 4 1.2 x sin y – y sin x = 1

1.3 x2+ xy – y2= 6 1.4 y = cos (x2+ 2y)

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 3 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั 89

1.5 x2+ y2+ 8x = 0 1.6 y = ln (x4– xy)

1.7 4x2– y4– 4xy = 0 1.8 xy + cos y = x

1.9 (x – y)2= (y + 3) 4 1.10 y + cos xy = 3

1.11 y2 = x y 1.12 ln x + ln x =5
x y y y
dy
2. จงหา dx ณ จุดที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี

2.1 4x2+ 4y – y3 = 0 , (2, -2) 2.2 x + xy – y2 = 1 , (1, 1)

2.3 2x – xy+ y = 6 , (1, 1) 2.4 2x – xy2+ y = 6 , (3, 1)

3. ให้ x2 – 4y2 = 9 จงหา y ที่จุด (5,2)

4. ให้ x2 – 4xy + y2+ 3 = 0 จงหา y ท่ีจุด (2, –1)

5. ให้ 4x2 + 9y2 = 35 จงหา y ท่ีจุด  33 
 2 ,1

3.4 การหาอนุพันธ์โดยลอการิทมึ
ในกำรหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่มีควำมซบั ซอ้ นหรือมีหลำยฟังกช์ นั กำรใชส้ ูตรหำ

อนุพนั ธ์ของผลคูณหรือผลหำรหรือยกกำลงั โดยตรงอำจไมส่ ะดวก กำรใส่ลอกำริทึมฐำน e
ท้งั สองขำ้ งของฟังกช์ นั แลว้ ใชส้ มบตั ิฟังกช์ นั ลอกำริทึมเพ่ือหำอนุพนั ธ์ซ่ึงจะทำใหง้ ่ำยข้ึน

ตัวอย่าง 3.4.1 ให้ y = (3x  6)tan 2x จงหำ dy
dx
x4

วธิ ีทา ใส่ ln ท้งั สองขำ้ ง

ln y = ln (3x  6)tan 2x
x4
= ln(3x  6)  ln(tan 2x)  ln x  4

=1
ln(3x  6)  ln(tan 2x)  ln (x  4)2

หำอนุพนั ธ์ท้งั สองขำ้ ง
ddx
ln y = d ln(3x  6)  d ln(tan 2x)  1  d ln (x  4)
dx dx 2 dx
1y  ddxy
= 1  d (3x  6)  1  d (tan 2x)  1  d (x  4)
3x  6 dx tan 2x dx 2(x  4) dx
dy
1y  dx = 3  2sec2 2x  1
3x  6 tan 2x 2(x  4)
dy
ดงั น้นั dx = y[ 1  2sec2 2x  1 ] 
x2 tan 2x 2(x  4)

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

90 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 3.4.2 ให้ y = x2(2x 1) จงหำ dy
dx
1 2x2

วธิ ีทา จำก y = =x2 (2x 1)  x2(2x 1)  1
1 2x2 1  2x2 2

จะไดว้ า่ ln y = ln  x2(2x 1)  1
1  2x2 2

= ln1  x2 (2x 1) 
2 1 2x2

= 1 [ ln x2+ ln (2x – 1) – ln (1 + 2x2)]
2
ddx ddx ln x2+ ddx ddx ln (1 + 2x2)]
ln y = 1 [ ln (2x – 1) –
2
dy 2x 2 4x
1y  dx = 1 ( x2 + 2x  1 – 1  2x 2 )
2
dy
dx = y [ 1 + 1 – 1 2x 2 ]
x 2x 1  2x

ดงั น้นั dy = x2 (2x 1) [ 1 + 1– 1 2x ] 
dx 1 2x2 x  2x 2
2x 1

แบบฝึ กหัด 3.4

จงหำอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่กำหนดใหต้ ่อไปน้ีโดยใชล้ อกำริทึม

1. y = (x  2)(x2  3)(x3  4)

2. y= x2 ex
2 x4
3. y = x x

4. y = 3 x2 (1 x) sin3x cos2x

x2  4

5. y = x3(x2  2)

5 4x

คณะวทิ ยาศาสตร์