แคลคูลัส I

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 141

บทนิยาม 5.3.3 ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีขอบเขตบนช่วง [a, b]

มี P ={ x0, x1, x2,..., xn} เป็ นผลแบ่งก้นั โดยที่ a = x0 x1  x2  ...  xn–1 xn= b
แบ่ง [a, b] เป็น n ช่วงยอ่ ย สาหรับ k = 1 , 2 , … , n

ให้ xk = xk – xk–1 และ ck [ xk–1 , xk ] แลว้
Plim0 kn1f(ck)xk
= b

 f(x)dx

a

จะเรียกวา่ ปริพนั ธ์จากดั เขต จาก a ถงึ b หรือ ปริพนั ธ์รีมนั น์ จาก a ถึง b

และ ถา้ Plim0 kn1f(ck)xk หาคา่ ได้ แลว้ จะกล่าววา่ f มีปริพนั ธ์บนช่วง [a, b]

ในทางปฏิบตั ิน้นั การหาปริพนั ธ์จากดั เขตโดยใชบ้ ทนิยามมีความยงุ่ ยาก จึงนิยมหาโดยแบง่ ช่วง
[a, b] เป็น n ช่วงยอ่ ยท่ีมีขนาดเทา่ กนั สาหรับ k = 1 , 2 , ... , n ดงั น้นั xk = b na

มีทฤษฎีบทเกี่ยวกบั สมบตั ิเบ้ืองตน้ ของปริพนั ธ์จากดั เขตที่ตอ้ งทราบ เพ่อื ช่วยในการหาปริพนั ธ์
ซ่ึงไม่ขอพิสูจนใ์ นท่ีน้ี คือ

ทฤษฎบี ท 5.3.1 ให้ u = f(x), v = g(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีปริพนั ธ์บนช่วง [a, b] และ k เป็นค่าคงตวั

จะไดว้ า่

b
1. a k dx = k(b – a)
bb
2. a ku dx = k a u dx
b bb
3. a[u  v] dx = a u dx  a v dx
cb b
4. ถา้ c  [a , b] แลว้ a f(x)dx + c f(x)dx = a f(x)dx
b
5. ถา้ u(x)  0 สาหรับแต่ละ x ที่ x [a, b] แลว้ a u dx  0
bb
6. ถา้ u(x)  v(x) สาหรับแต่ละ x ท่ี x  [a, b] แลว้ a u dx  a v dx
b
7. b
a u dx 
a u dx

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

142 แคลคูลสั I

ต่อไปน้ีเป็นทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคูลสั (fundamental theorem of calculus) ซ่ึงแสดงใหเ้ ห็น
ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งแคลคูลสั เชิงอนุพนั ธ์ท่ีเกิดจากการศึกษาเส้นสัมผสั เส้นโคง้ กบั แคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์
ที่เกิดจากการศึกษาการหาพ้ืนที่ และเราจะใชท้ ฤษฎีบทดงั กล่าวน้ี เพอ่ื หาปริพนั ธ์ไม่จากดั เขตซ่ึงจะง่าย
กวา่ การหาปริพนั ธ์จากดั เขตโดยเฉพาะกบั ฟังกช์ นั ที่มีความสลบั ซบั ซอ้ น

ทฤษฎบี ท 5.3.2 (1st fundamental theorem of integral calculus)

x

ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a, b] คา่ คงตวั c [a, b] และ G(x) = c f(t)dt เมื่อ x [a, b]
จะไดว้ า่ 1. G เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a, b]

2. G มีอนุพนั ธ์บนช่วง (a, b) และ G(x) = f(x) สาหรับแตล่ ะ x ที่ x(a, b)

พสิ ูจน์ เน่ืองจาก x [a , b] ดงั น้นั ให้ h เป็นจานวนจริงบวกซ่ึง x  x + h  b

x ดงั น้นั G(x+h) = xchf(t)dt
= xc hf(t)dt – x
เน่ืองจาก G(x) = c f(t)dt
c f(t)dt
จะไดว้ า่ G(x + h) – G(x)

= c + xc hf(t)dt

x f(t)dt
นน่ั คือ G(x + h) – G(x) = xxhf(t)dt
ให้ M และ m เป็นค่าสูงสุดและค่าต่าสุดของ f บนช่วง [x, x + h] ตามลาดบั

จะไดว้ า่ Mh และ mh เป็นผลบวกบนและผลบวกล่างของ f บนช่วง [x, x + h] ตามลาดบั

และ Mh  xxhf(t)dt  mh
Mh  G(x + h) – G(x)  mh

M G(x  h)  G(x) m
h
hlim0 M  hlim0 G(x  hh)  G(x)  hlim0 m
f(x)  hlim0 G(x  hh)  G(x)  f(x)
G(x  h) G(x)
ดงั น้นั hlim0 h  = f(x)

หรือ G(x) = f(x)

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 143

จะไดว้ า่ G(x) มีอนุพนั ธ์ บนช่วง (a , b)

ดงั น้นั lim G(a  hh)  G(a) = lim G(a  hh)  G(a) = hlim0 G(a  hh)  G(a) = f(x)

h0 G(a h) G(a) h0
h
ดงั น้นั lim   = f(a)

h0
นนั่ คือ f(x) มีความต่อเน่ืองทางขวาท่ีจุด x = a

ในทานองเดียวกนั จะพสิ ูจนไ์ ดว้ า่ f(x) มีความต่อเน่ืองทางซา้ ย ที่จุด x = b

ดงั น้นั G เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง [a , b]

และ G มีอนุพนั ธ์บนช่วง (a , b) และ G(x) = f(x) สาหรับแตล่ ะ x ท่ี x(a, b) 

ทฤษฎบี ท 5.3.3 (2th fundamental theorem of integral calculus) ให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่อง

บนช่วง [a, b] และ F(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) บนช่วง [a, b] จะไดว้ า่

b f(x) dx = F(b) – F(a)



a

พสิ ูจน์ ให้ f เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และจากทฤษฎีบท 5.3.2 จะไดว้ า่

x

ถา้ G(x) = a f(t)dt เม่ือ x [a, b] แลว้ G(x) = f(x) สาหรับแต่ละ x ท่ี x(a, b)

หรือ G(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x)

และเน่ืองจาก F(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) ดงั น้นั G(x) = F(x) + C เมื่อ C เป็นตวั คงตวั

xa

ดงั น้นั G(x) = a f(t)dt = F(x) + C และ G(a) = a f(t)dt = F(a) + C
0 = F(a) + C

แทนคา่ C จะไดว้ า่ C = –F(a)
หรือ
b 

และ G(b) = a f(t)dt = F(b) + C

b

a f(t)dt = F(b) – F(a)

b

a f(x)dx = F(b) – F(a)

หมายเหตุ 5.3.2 1) ใชส้ ัญลกั ษณ์ F(x) ab แทน F(b) – F (a)

2) เนื่องจากปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) คือ F(x) =  f(x) dx

b
ดงั น้นั a f(x)dx = b = F(b) – F(a)
 f(x)dx a

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

144 แคลคูลสั I

5

ตวั อย่าง 5.3.1 จงหาปริพนั ธ์ (2x  4)dx
1
5
วธิ ีทา = [ (2x – 4)dx] 5
(2x  4)dx 1
1
= [ x2 4x C] 5
1

= [(5)2  4(5)  C ] – [ (1)3  4(1)  C ]

=5+C+3–C

=8 

bb

เนื่องจาก a f(x)dx = F(b) – F(a) ดงั น้นั การหา a f(x)dx ไมจ่ าเป็นตอ้ งมีค่าคงตวั C

ตวั อย่าง 5.3.2 จงหา 

 sin 2x dx



วธิ ีทา  = [ sin 2x dx ] 

 sin 2x dx


=  1 cos 2x ] 
2 

= [– 1 cos2] – [– 1 cos () ]
= [– 2 2
1
1 (1)] – [– 2 (–1)]
2

= –1 

ตัวอย่าง 5.3.3 จงหาปริพนั ธ์ 3 (4x 3  3x 2  2)dx


2
3
วธิ ีทา (4x 3  3x 2  2)dx = [ (4x3  3x2  2)dx ] 3
 2
2
[x4– x3 + 2x] 3
= 2

= [ (3)4– (3)3 + 2(3) ] – [ (–2)4– (–2)3 + 2(–2) ]

= 81 – 27 + 6 – 16 – 8 + 4

= 40 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 145

ตัวอย่าง 5.3.4 จงหาคา่ 2 x2 1 dx

 2x

1 ดงั น้นั dx = du
2x
วธิ ีทา ให้ u = x2– 1 จะไดว้ า่ du = 2x dx

เน่ืองจาก  2x x2 1 dx =  2x u du =  1 du =2 u 3
2x 2
u2
3

2 = 2 (x2 1)3
3
ดงั น้นั  2x
x2 1 dx =[2 (x2 1)3 ] 2
1 1
3

= [ 2 [((2)2 1)3 ] – [ 2 ]((1)2 1)3
33

= 2 –0
3

=2 
3 

ตวั อย่าง 5.3.5 จงหา  2x  6e 2x ) dx

0 (4cos e 2x
2
วธิ ีทา เน่ืองจาก (4 cos 2x  6e2x )dx = 4( sin 2x )  6( ) = 2 sin 2x – 3e2x
2

ดงั น้นั  2x  6e 2x ) dx = [2 sin 2x – 3e2x ] 
0
 (4cos
0

= [2 sin 2– 3e2 ] – [2 sin 2(0) – 3e2(0) ]

= [ 2(0)  3e2 ] – [0 – 3 ]
= 3 – 3e2

= 3(1 – e2 )

แบบฝึ กหัด 5.3

จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1. 3 4x 3  x 2  2 dx 2. 2 9x 2 (x3 1) dx

 
0 1
2
3. (3x 2  1 ) dx 4. 3 3x dx
 x3 2
 x 3
1
0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

146 แคลคูลสั I

 1
2
5. 3xcos x 2 dx 6.  12x e3x 2 dx

0 0


2
7. 2x sin x 2 dx 8. 2 4 ln( x1)1)dx
 (x
0 

1

2 ex 
ex 2
9.  dx 10. sin 2 x cosx dx

1 1 0

11. 2 e3xdx 12. 

  sin2x dx
1


5.4 การหาพนื้ ทใี่ ต้โค้ง
ปริพนั ธ์จากดั เขตไดน้ าไปประยกุ ตเ์ พื่อแกป้ ัญหาวทิ ยาศาสตร์ ทางเศรษฐศาสตร์ เป็ นตน้ สาหรับ

ท่ีจะกล่าวตอ่ ไปน้ีเป็ นการประยกุ ตท์ างเรขาคณิต คือการหาพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ และการหาพ้ืนท่ีระหวา่ งเส้นโคง้
ดงั น้ี

การหาพนื้ ทใี่ ต้โค้ง (area under a curve) ในท่ีน้ี แบ่งเป็ น
1. การหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ ตามแนวแกน X
2. การหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ตามแนวแกน Y

การหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ ตามแนวแกน X จะพิจารณาดงั น้ี ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องและ
f(x) 0 ในช่วง [a, b] แลว้ A เป็นพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y = f(x) ตามแนวแกน X จาก a ถึง b หมายถึง
พ้ืนท่ีท่ีปิ ดรอบดว้ ยเส้นโคง้ y = f(x) เส้นตรง x = a เส้นตรง x = b และแกน X

Y

x k

f(ck) X
xk-1 xk
การหาพ้ืนที่ A น้นั เราจะแบง่ ช่วง [a, b] เป็นรูปn 5ช.1่วงยอ่ ยดว้ ยจุด

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 147

a = x0  x1 x2 … xk … xn= b สาหรับ k = 1 , 2 , … , n

ให้ xk = xk - xk-1 และ ck[xk-1 , xk] แลว้ สร้างสี่เหล่ียมผนื ผา้ Ak ที่มีฐานยาว xk และสูง f(ck)
จะได้ ส่ีเหล่ียมผนื ผา้ Ak จานวน n รูป ซ่ึงแตล่ ะรูปมีพ้นื ท่ีเป็น

Ak = f(ck) xk

ดงั น้นั A  n

 Ak
k 1

ถา้ P = max {xk} และ เมื่อ P เขา้ ใกล้ 0 แลว้ n จะเขา้ ใกล้  จะไดว้ า่ พ้ืนที่ใตโ้ คง้ คือ

A = =n b
lim f(ck )x k
f(x ) dx
P 0 k 1
a

ตามบทนิยาม 5.3.3 ซ่ึงเป็นบทนิยามของปริพนั ธ์จากดั เขต

ขอ้ พงึ ระวงั คือ ถา้ มีจุดที่กราฟตดั แกน X ในช่วง (a, b) การหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ จะตอ้ งแบ่งการหา
ปริพนั ธ์เป็นช่วง ๆ โดยจุดตดั

รูป 5.2

ดงั น้นั พ้ืนที่ใตโ้ คง้ คือ A= A1 + A2 + A3 + A4 = | c f(x ) dx |+| d f(x) dx |+| e f(x) dx |+ | b f(x ) dx |

   

acd e

ในทานองเดียวกนั พ้นื ที่ใตโ้ คง้ ตามแนวแกน Y ก็สามารถหาไดเ้ ช่นเดียวกนั
ตัวอย่าง 5.4.1 จงหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ y = x2 ตามแนวแกน X จาก 1 ถึง 4
วธิ ีทา ให้ A เป็นพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y = x2 ตามแนวแกน X จาก 1 ถึง 4

จากบทนิยามของปริพนั ธ์จากดั เขต จะไดว้ า่

A = n )x b
lim f(ck k
=  f(x)dx
P 0 k 1
a

ดงั น้นั A = | 4 x 2dx |



1

= | |[x3 ]41
3

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

148 แคลคูลสั I

= |( 81 ) – ( 1 )|
3 3
= 21 ตารางหน่วย

Y

X

รูป 5.3

ตวั อย่าง 5.4.2 จงหาพ้นื ที่ซ่ึงปิ ดลอ้ มดว้ ย y = x3– 1 , x = –2 , x = 0 และแกน X 
วธิ ีทา หาจุดท่ีกราฟ y = x3– 1 ตดั แกน X คือ จุดท่ี

x3– 1 = 0 หรือ x = 1 ซ่ึงไมอ่ ยใู่ นช่วง [–2 ,0]

และ A = | 0 (x3  1) dx |



-2

= |[x4  |x]-20

4

= | 0  (4 2)|

= 6 ตารางหน่วย

Y

X

รูป 5.4 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 149

ตวั อย่าง 5.4.3 จงหาพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ y = x3– 6x2+ 8x จาก x = –1 ถึง x = 5

วธิ ีทา หาจุดที่เส้นโคง้ ตดั แกน X โดยให้ y = 0

จะไดว้ า่ x3– 6x2+ 8x = 0

x(x2– 6x + 8) = 0

x(x – 4)(x – 2) = 0

กราฟตดั แกน X ท่ีจุด x = 0, 2 และ 4 ซ่ึงอยใู่ นช่วง [–1, 5]

แบง่ การหาพ้ืนที่เป็นช่วง ๆ Y

X

รูป 5.5

ให้ A เป็นพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ y = x3– 6x2+ 8x จาก –1 ถึง 5 จะไดว้ า่

A= 0 24 5

| (x3  6x2  8x)dx|  | (x3  6x2  8x)dx|  | (x3  6x2  8x)dx|  | (x3  6x2  8x)dx|

-1 02 4

= + + +|[ x4 |[x4 4x2 2 |[x4 4 |[x4  2x3 4x2 5
4 0 4 2 4 4
4
 2x3  4x2 ]-10 |  2x3  ] |  2x3  4x2 ] |  ] |

= | (0) ( 25) |  | (4)  0 |  | (17) (4)|  | ( 335)  (17)|
44

= 25  4 13 267
44

= 90 ตารางหน่วย 

ตัวอย่าง 5.4.4 จงหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y2– 2y – x = 0 ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถึง y = 2
วธิ ีทา จดั สมการเส้นโคง้ ในรูป x = f(y)

จะไดว้ า่ x = y2– 2y
หาจุดท่ีเส้นโคง้ ตดั แกน Y โดยให้ x = 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

150 แคลคูลสั I y2– 2y = 0

จะไดว้ า่

y(y – 2) = 0

กราฟตดั แกน Y ที่จุด y = 0, 2 ซ่ึงอยใู่ นช่วง –1 y 2

แบง่ การหาพ้ืนท่ีเป็นช่วง ๆ

Y

X

รูป 5.6

ให้ A เป็นพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y2– 2y – x = 0 ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถึง y = 2 จะไดว้ า่

A = 02

|  (y2  2y)dy |  |  (y2  2y)dy |

-1 0

= |[y3  y2 ] 0 | |[ y3  y2 ] 2 |
-1 3 0
3

= | ( 1 1)  (0)|  | (0) (8  4)|

33

= 8 ตารางหน่วย 

แบบฝึ กหดั 5.4

1. จงหาพ้ืนท่ีใตโ้ คง้ y = 2x –1 จาก 1 ถึง 5
2. จงหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y = x2+ x –2 จาก x = –2 ถึง x = 2
3. จงหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y = x3– 3x2+ 2x จาก x = 0 ถึง x = 3
4. จงหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ y2 = x ตามแนวแกน Y จาก y = 0 ถึง y = 2
5. จงหาพ้ืนที่ใตโ้ คง้ 4y – y2 = x ตามแนวแกน Y จาก y = –1 ถึง y = 5
6. จงหาพ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ y = x2+ 3 และ y = 9 ตามแนวแกน X จาก x = –1 ถึง x = 2
7. จงหาพ้ืนที่ซ่ึงถูกปิ ดลอ้ มดว้ ยแกน X และ y = 2x – x2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 151
8. จงหาพ้ืนที่ซ่ึงถูกปิ ดลอ้ มดว้ ยแกน X , y = 3x – x2 และ x = –1

5.5 การหาพนื้ ทร่ี ะหว่างเส้นโค้ง
การหาพ้ืนที่ระหวา่ งเส้นโคง้ (area between curves) แบง่ เป็นการหาพ้นื ท่ีใตโ้ คง้ โดยการหา

ปริพนั ธ์ตามแกน X และ การหาพ้นื ที่ใตโ้ คง้ โดยการหาปริพนั ธ์ตามแกน Y สาหรับการหาในกรณีแรก
ทาไดด้ งั น้ี ถา้ y = f(x) และ y = g(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองและ f(x) g(x) แตล่ ะ x ที่ x[a, b]
ให้ A เป็นพ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ f(x) กบั g(x) จาก x = a ถึง x = b ซ่ึงหมายถึง พ้นื ที่ที่ปิ ดลอ้ มดว้ ย
เส้นโคง้ y = f(x) , y = g(x) เส้นตรง x = a และ x = b ดงั รูป 5.7 มีวธิ ีการหาพ้นื ท่ีคือ

Y
Ak xk

X

x = a xk-1 xk x=b

รูป 5.7

แบง่ ช่วง [a, b] ออกเป็ นช่วงยอ่ ยๆ n ช่วง โดย
a = x0  x1  x2 ... xk  ...  xn = b สาหรับ k = 1 , 2 , … , n

ให้ ck[ xk – 1 , xk] และ xk = xk - xk-1 แลว้ สร้างรูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ ท่ีปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้น

y = f(ck) , y = g(ck ) , x = xk - 1 และ x = xk

จะไดพ้ ้ืนที่ส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ รูปท่ี k คือ Ak = [f(ck) – g(ck )] xk และจะไดว้ า่
 A n n

 Ak  [f(ck )  g(ck )]xk

k  1 k 1

เมื่อ P = max{xk}0 จะไดว้ า่ n   และจะไดว้ า่

A = n [f(ck )  g(c )]x
lim k k
1
P 0 k

จากบทนิยาม 5.3.3 บทนิยามปริพนั ธ์จากดั เขต จะไดว้ า่

A= b

[f(x) g(x)]dx

a

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

152 แคลคูลสั I

ถา้ เส้นโคง้ มีการตดั กนั ในช่วง [a, b] ตอ้ งแบ่งการหาพ้ืนท่ีเป็นช่วงๆ เช่น ถา้ กราฟตดั กนั
ท่ี x = c , d ซ่ึง x [a, b] จะไดว้ า่

cdb

A = | [f(x) g(x)]dx |  | [f(x) g(x)]dx |  | [f(x) g(x)]dx |
acd

ตวั อย่าง 5.5.1 จงหาพ้ืนที่ระหวา่ งเส้นโคง้ y = 4x – x2 และ y = x2– 2x จาก x = –1 ถึง x = 3

วธิ ีทา หาจุดตดั ระหวา่ งเส้นโคง้ y = 4x – x2 และ y = x2– 2x

จะไดว้ า่ 4x – x2 = x2– 2x

2x2– 6x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0 , 3 ซ่ึงจุดตดั อยใู่ นช่วง [–1 , 3]

Y

X

รูป 5.8

ดงั น้นั พ้ืนที่ A = | 0  (x2  2x)]dx 3 x2 )  (x2  2x)]dx |

[(4x x2) |  | [(4x

-1 0

=0 3
 (x2  6x)dx   (x2  6x)dx

-1 0

= [ x3  3x2 ]-10  [ x3  3x2 ] 3
3 3 0

= 10  9 
3

= 12 1 ตารางหน่วย
3

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 153

ตัวอย่าง 5.5.2 จงหาพ้ืนท่ีซ่ึงปิ ดลอ้ มโดยเส้นโคง้ y = x2– 3 และเส้นตรง y = 2x

วธิ ีทา หาจุดตดั ของกราฟ y = x2– 3 และ y = 2x

จะไดว้ า่ x2– 3 = 2x

x2– 2x – 3 = 0

(x – 3)(x + 1) = 0

x = 3 , –1

Y

X

รูป 5.9

ดงั น้นั พ้ืนที่ A = 3  3)  (2x)]dx |

| [(x2

-1

= | 3 (x 2  2x  3)dx |



-1

= | |[ x3

3
 x2  3x]-13

= | (–9) – ( 5 )|

3

= 10 2 ตารางหน่วย 

3

สาหรับการหาพ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ โดยการหาปริพนั ธ์ตามแกน Y ทาไดโ้ ดย
ถา้ x = f(y) และ x = g(y) เป็ นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง y1  y  y2 และ f(y) g(y)

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

154 แคลคูลสั I

Y

y

X

รูป 5.10

ให้ A เป็นพ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ f(y) และ g(y) จาก y = y1 ถึง y = y2 แลว้ โดยวธิ ีการ
ทานองเดียวกนั กบั การหาพ้ืนท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ โดยหาปริพนั ธ์ตามแกน X จะไดว้ า่

y2

A = | [f(y) g(y)]dy|

y1

ตวั อย่าง 5.5.3 จงหาพ้ืนท่ีซ่ึงปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y = 4x – x2 และเส้นตรง y = 2x

วธิ ีทา จะหาปริพนั ธ์ตามแกน Y ตามรูป 5.12 จดั สมการในรูป x = f(y) และ x = g(y)
เน่ืองจาก y = 4x – x2 และ y = 2x

ดงั น้นั x =  4  y  2 และ x = y

2

หาจุดตดั ของกราฟ

จะไดว้ า่  4y 2 = y

2

 4y = y –2

2

4 – y = y2  2y 4 ,

4

–4y = y2– 8y
y2– 4y = 0

y =0,4

ลากเส้นตรงขนานแกน X ผา่ นจุด y = 0 และ y = 4 จะไม่ตดั กราฟท้งั สองที่จุดอ่ืนอีก

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 155
Y

X

รูป 5.11

ดงั น้นั พ้ืนท่ี A = | 4 [( 4  y  2)  ( y )]dy | = | 4 [(4  1  y  2)dy |
2 2
  y)2

0 0

= |[2 (4  3  y2  2y]04 | = | (–4 +8) – 2 3 | = |4 – 16 |
4
3 y)2 (4)2
33

= 11 ตารางหน่วย 

3

ตวั อย่าง 5.5.4 จงหาพ้ืนท่ีซ่ึงปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y2 = x + 2 และเส้นตรง y = x

วธิ ีทา จะเปรียบเทียบวธิ ีการหาท้งั 2 กรณี

กรณี 1 หาปริพนั ธ์ตามแกน X จดั สมการในรูป y = f(x) และ y = g(x)

จะไดว้ า่ y =  x  2 และ y = x
หาจุดตดั  x2 =x
x + 2 = x2

(x – 2)(x + 1) = 0

x = 2 , –1

Y

X

รูป 5.12

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

156 แคลคูลสั I

ลากเส้นตรงขนานแกน Y ผา่ น x = –1 จะตดั เส้นโคง้ y2 = x + 2 ซ่ึงเป็นส่วนท่ีเป็ นขอบเขต

ของพ้นื ที่ ๆ จะหา ดงั น้นั จะแบ่งการหาพ้ืนท่ีเป็ น 2 ส่วน คือ หาปริพนั ธ์ตามแกน X จากจุดยอด x = –2
ถึง x = –1 และจากจุดตดั x = –1 ถึง x = 2

ดงั น้นั พ้ืนท่ี A = | -1 x  2)  ( x  2 )]dx | + | 2 [( x  2)  (x)]dx |

[( 

-2 -1

33

= | -1 1 | + | 2 1  x]dx | = |[4(x  2)2 ]--12 | + | 2(x  2 ) 2 x2|]-12
2 3 2
 2 (x  2)2 dx  [(x  2 ) 3 [

-2 -1

= |( 4 )– 0| + |( 10 ) – ( 1 )|
3 36

= 4 1 ตารางหน่วย
2

กรณี 2 หาปริพนั ธ์ตามแกน Y จดั สมการในรูป x = f(y) และ x = g(y)

จากสมการ y2 = x + 2 และเส้นตรง y = x จะไดว้ า่ x = y2– 2 และ x = y

หาจุดตดั y2– 2 = y

y2– y – 2 = 0

(y - 2)(y + 1) = 0

y = –1 , 2

Y

X

รูป 5.13

ลากเส้นตรงขนานแกน X ผา่ นจุดตดั ท้งั สอง เส้นตรงจะไมต่ ดั กราฟของเส้นท้งั สองท่ีเป็น

ขอบเขตของพ้ืนท่ีท่ีจุดอื่นอีก

ดงั น้นั พ้ืนที่ A = | 2 [(y2  2)  (y)]dy|



-1

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 157

= | |[ y3 y2 ]-21
2
3
 2y 

= |(– 10 ) – (– 1 )|
3 6
1
= 4 2 ตารางหน่วย

ตวั อย่าง 5.5.5 จงหาพ้นื ท่ีซ่ึงปิ ดลอ้ มดว้ ยเส้นโคง้ y2= x และ y2+ 2y = 4 – x

วธิ ีทา หาจุดตดั ของเส้นโคง้ ท้งั สอง

เน่ืองจาก y2= x และ y2+ 2y = 4 – x

ดงั น้นั y2+ 2y - 4 = – y2
2y2+ 2y – 4 = 0

(y + 2)(y –1) = 0
y = 1 , –2

จะไดว้ า่ จุดที่เส้นโคง้ ตดั กนั คือ (1, 1) และ (4, –2)

Y

X

รูป 5.14

จากกราฟ จะเห็นวา่ ถา้ ลากเส้นตรงขนานแกน Y ผา่ นจุดตดั (1, 1) และ (4, –2) จะตดั เส้นโคง้ ที่

เป็นขอบเขตของพ้นื ท่ีท่ีจุดอื่นอีก ดงั น้นั ถา้ หาพ้ืนที่โดยใชป้ ริพนั ธ์ตามแกน X จะตอ้ งแบง่ การหาพ้นื ที่

เป็น 3 ส่วน แตถ่ า้ ลากเส้นตรงขนานแกน Y ผา่ นจุดตดั ท้งั สองจะไม่ตดั เส้นโคง้ ท่ีเป็ นขอบเขตของพ้ืนที่

ที่จุดอ่ืนอีก ดงั น้นั ถา้ หาพ้นื ที่โดยหาปริพนั ธ์ตามแกน Y จะเป็นการหาปริพนั ธ์ในช่วงเดียว จึงเลือกใช้

การหาปริพนั ธ์ตามแกน Y ดงั น้ี

จดั สมการท้งั สองในรูป x = f(y) และ x = g(y)

จะไดว้ า่ x = y2 และ x = 4 – 2 – y2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

158 แคลคูลสั I A = | 1 |

ดงั น้นั พ้นื ที่  [(y2 )  (4  2y  y2 )]dy

-2

= | 1  2y  4)dy |

 (2y2

-2

= | |[2y3  y2  4 y ]- 1
2
3

= |(– 7 ) – ( 20 )|
3 3

= 9 ตารางหน่วย 

แบบฝึ กหัด 5.5

จงหาพ้ืนท่ีซ่ึงถูกปิ ดลอ้ มดว้ ย
1. y = x และ y = x3
2. y = x +1 และ y2– 3 = x
3. y = x2 , x2 = 3y และ x = 3
4. x + 2y = 2 , y = x + 1 และ 2x + y = 7
5. y = 8 – x2 , y = x2 และ x = 3
6. y = ex , y = e-x และ x = 1
7. y = ln x และ y = ln2x
8. y = cos-1 x และ y = sin-1 x

คณะวทิ ยาศาสตร์

บรรณานุกรม

ธีรวฒั น์ ประกอบผล. (2545). แคลคูลสั (Calculus). เพียร์สนั เอด็ ดูเคชน่ั อินโดไชน่า. กรุงเทพฯ.
ประสิทธ์ิ รางศรี. (2547). แคลคูลสั และเรขาคณติ วเิ คราะห์ 1. คณะวทิ ยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั

ราชภฏั อุดรธานี.
ภาควชิ าคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั เกษตรศาสตร์ (2540). แคลคูลสั 1. กรุงเทพฯ:

ประสานมิตร.
มนสั ประสงค.์ (2541). แคลคูลสั และเรขาคณติ วเิ คราะห์ 1. กรุงเทพฯ : ศูนยส์ ่งเสริมวชิ าการ.
เลิศ สิทธิโกศล. (2541). เรขาคณติ วเิ คราะห์และแคลคูลสั I (Analytic Geometry and Calculus I).

กรุงเทพฯ: สกายบุก๊ ส์.
วลั ลภ เฉลิมสุววิ ฒั นาการ. (2543). แคลคูลสั เบ้ืองตน้ . ทฤษฎแี ละตัวอย่างโจทย์. Schaum’s Outline Series,

Copyright 1991.
วศิ ิษฎ์ เดชพนั ธ์. (2544). แคลคูลสั I สาหรับวศิ วกรรมศาสตร์ และวทิ ยาศาสตร์. กรุงเทพฯ: บุค๊ เน็ท.
ศรีบุตร แววเจริญ และ ชนศกั ด์ิ บา่ ยเท่ียง. (2540). อนุพนั ธ์และการประยกุ ต์. กรุงเทพฯ: วงตะวนั .
สุรวทิ ย์ ตนั แต่งผล และ อนุสรณ์ ชนวีระยทุ ธ. (2545). แคลคูลสั 1 (Calculus 1). กรุงเทพฯ:

จุฬาลงกรณมหาวทิ ยาลยั .
Bradley L. Gerald & Smith J. Karl. (1995). Calculus. New Jersey: Prentice – Hall, Inc.
Ewen Dale, Joan S. Gary & E. Trefzger. (2002). Technical Calculus. New Jersey : Pearson

Education, Inc.
Howard Anton, Davis Stephen & Irl Bivens. (2002). Calculus. American: Anton Texbooks ,Inc.
Robert T. Smith & Roland B. Minton. (2002). Calculus. New York: McGraw – Hill Companies.
Stewart James. (1999). Calculus, Fourth edition. New York. Brooks/Cole Publishing Company.

ภาคผนวก

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด

ผลเฉลยแบบฝึ กหัดบทท่ี 1

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 1.1

1.1 {5, 10, 15, . . .} 6.7 ถูก

1.2 { 1 , 2} 6.8 ถูก
6.9 ผดิ
2 6.10 ถูก
7.1 {}
1.3 {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 7.2 {, {a}, {b}, {a, b}}
3.1 เซตอนนั ต์ 7.3 {, {1}, {{1}}, {1,{1}}
3.2 เซตจำกดั 7.4 {, {}, {1}, {2}, {, 1}, {, 2}, {1, 2},
3.3 เซตอนนั ต์
3.4 { . . ., -4, -2, 0, 2, 4, . . .} {, 1, 2}}
3.5  8.1 {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
4.1 ไมเ่ ท่ำกนั 8.2 {1}
4.2 เท่ำกนั 8.3 {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7}
4.3 ไม่เทำ่ กนั 8.4 {3, 5, 7}
4.4 เท่ำกนั
5.1 , {a} 8.5 AB
5.2 , {1}, {2}, {1, 2} 8.6 A
5.3 , {1}, {2}, {{3}}, {1, 2}, {1, {3}},
8.7 AB
{2, {3}}, {1, 2, {3}} 8.8 A
5.4 , {{1, {2}}} 8.9 A
6.1 ถูก 8.10 B
6.2 ถูก 9.1 120
6.3 ถูก 9.2 70
6.4 ถูก 9.3 80
6.5 ถูก 10. 57
6.6 ถูก

162 แคลคูลสั I 11. เทจ็
12. เทจ็
ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 1.2 13. เทจ็
1. จริง 14. เทจ็
2. เทจ็ 15. เทจ็
3. จริง 16. เทจ็
4. เทจ็ 17. เทจ็
5. เทจ็ 18. จริง
6. เทจ็ 19. จริง
7. เทจ็ 20. จริง
8. เทจ็
9. จริง
10. เทจ็

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 1.3 ก

1. AxB = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)} 5.3 เป็น

BxA = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)} 5.4 ไมเ่ ป็น

2.1 x = 3, y = 4 5.5 เป็น

2.2 x = 2, y = 1 5.6 ไม่เป็น

2.3 y ≠ 2 5.7 เป็น

4.1 r1= {(4, 2), (6, 3)} 5.8 เป็น

4.2 r2= {(2, 4), (2, 6), (3, 6)} 6.1 ไม่เป็น

4.3 r3= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (4, 2), 6.2 เป็น

(4, 4), (4, 6), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6,6)} 6.3 ไมเ่ ป็น

5.1 เป็น 6.4 ไม่เป็น

5.2 ไม่เป็น 6.5 เป็น

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 1.3 ข 2.1 f1 , f2 , f4 , f5 , f6
1.1 เป็น 2.2 f2 , f5
1.2 ไม่เป็น 2.3 f3 , f7
1.3 ไม่เป็น 2.4 ไมม่ ี
1.4 เป็น
1.5 ไมเ่ ป็น 2.5 f4 , f6

คณะวทิ ยาศาสตร์

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 163

1.6 เป็น 2.6 f2 , f5 , f7
1.7 เป็น 2.7 f7
2.8 f2 , f5 , f7

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 1.3 ค

1.1 {(1, 1), (2, 1), (2, 3), (4, 2)} ไมเ่ ป็น

1.2 {(x,y)RxR | y = x - 1} เป็น

1.3 {(x,y)RxR | y = sin-1x} ไมเ่ ป็ น

1.4 {(x,y)RxR | y = x 1 } เป็ น
2
1
1.5 {(x,y)RxR | y = x  2 } เป็ น

1.6 {(x,y)RxR | y =  x } ไม่เป็น

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 1.4

1. gof(x) = 4(x-1) 7.1 เพม่ิ [0,2], ลด[-2,0]
7.3 เพิ่ม[-,0], ลด[0,]
fog(x) = 2 x2 -1 7.5 เพม่ิ
7.7 เพิม่ [0,], ลด[0,-]
gof-1(x) = ( x2 +1)2 8.1 คู่
4 8.2 คู่
5.1 x = 3 8.3 -

5.2 x = -2 ผลเฉลยแบบฝึ กหัดบทท่ี 2

5.3 x<0 1.7 -1
1.8 1
ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 2.2 1.9 9
1.10 0
1.1 8 2. 4, 4 และ 4 ตำมลำดบั
3. 2
1.2 3 4. f มีลิมิตท่ีจุด a = -1 แตไ่ ม่มีลิมิตท่ีจุด a = 2

1.3 55

1.4 -6912

1.5 1
10
1
1.6 4

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

164 แคลคูลสั I 12. 1
2
ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 2.3 13. 0
1. - 
2. 5 14. -1
3. 0 และ 0
4. -8 และ -8 15. 0
5. 
6. 3 16. - 3
7. 3 2
8. -4 17. 0
9. -5
10. 4 18. 0
11. 4
19. 1
ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 2.4 5
1.1 - ,  และ ไม่มีลิมิต 20. -1
1.2  ,  และ 
1.3 -  ,  และ ไม่มีลิมิต 21. - 1 และ 1
1.4. -  , -  และ -  3 3
1.5  , -  และ ไมม่ ีลิมิต
1.6 -  ,  และ ไม่มีลิมิต 2.2 
1.7 -  ,  และ ไม่มีลิมิต 2.3 
1.8  , -  และ ไมม่ ีลิมิต 2.4 
2.1  3.1 
3.2 
ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 2.5 3.3 
1.1 ต่อเนื่อง 3.4 - 
1.2 ตอ่ เน่ือง 3.5 
1.3 ไมต่ อ่ เน่ือง 3.6 - 
1.4. ไม่ต่อเนื่อง
2.6 ตอ่ เน่ืองทุกจุด
2.7 x = 0
2.8 x = 0
2.9 x = n

คณะวทิ ยาศาสตร์

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 165

1.5 ตอ่ เน่ือง 3. ตอ่ เนื่องที่จุด x = 1
1.6 ไม่ต่อเนื่อง 4. ตอ่ เน่ืองท่ีจุด x = 0
1.7 ต่อเน่ือง 5. ไม่ต่อเน่ือง
1.8 ตอ่ เน่ือง 6. 6
2.1 ต่อเน่ืองทุกจุด 7. 7
2.2 x = 2 8.1 - 6
2.3 x = - 2 8.2 3
2.4 x = - 1 8.3 5
2.5 x = 1, 3

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั บทท่ี 3

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 3.1

1.1 4 2.3 -3

1.2 2x 2.4 ไมม่ ี

1.3 x - 5 2.5 ไม่มี

1.4 - 1 2.6 1 5
x2 4
2.1 1 2.7 -

2.2 3 2.8 0

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 3.2 ก

1.1 14x - 3 1.9 - 2(x3 - 6x 2  9x - 8)
10 (x -4  1) 2
1.2 4+ x3 2 x

1.3 2x  15 x3 - 4 3 x 1.10 - (x -1) 1 x2 -1
2 3 13
1.4 12(3x - 5)3 3. 4

1.5 4x3 -4x 4. 24
x4 -2x2 1 4
2 5. 3

1.6 9x2 - 4x +12 6. -1

1.7 (x  5)2 + 2x -3 (2x+10) 7. 60
2x - 3
11
1.8 (2x 1)2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

166 แคลคูลสั I

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 3.2 ข

1.1 5sin5x 1.19 -3(cot-1(2x)+3x)2  2  3 
 4x2
1.2 3x2 cos(x3- 4) 1
2x2
1.3 2sec2xtan2x + 4sin4x 1.20 2xsin-12x + 1-4x2

1.4 sec2 x - 6 1.21 cos 2x - 2 sin 2x tan-1 x
2 x-6 1 x2
1.5 3 tan2x sec2x
2 x - 4 (sin-1 x ) (sin-1 x )2
1.6 - 2csc2x cot2x  csc2 x 1.22 1-x2 + 2 x- 4
2 (csc2x - cotx)
1  1  5
1.7 - 12(csc2x cot2x) -8x csc2x3 1.23 2 cos x  5x  1-x2 
-1
1.8 10sin5x cos5x - 12cos3x sin x
1.24 1 x
1.9 2x3sec22x+3x2tan2x 1-x2

1.10 - 2secx csc2x cot x + csc2x sec x tan x 1.25 3x tan-1 3x  tan-1 3x
2(1 9x2 )
1.11 24 x cot24x + 2 cot3 4x 2
2x 1.26 -3sin3x+ 1-4x2
(4x - 2)cos2x - 2sin 2x
1.12 4x2 -4x 1 2 1- x2 sin-1 x - 2x
1- x2 (sin-1 x)2
1.13 cos2x[cos2x cosx  2sin 2xsin x] 1.27
2 sin x cos2 2x
1.28 x - (1- x2 )tan-1 x
1.14 - 4sin4x cos(cos4x) 3(1 x2 )x2

1.15 -5 1.29 1- x2 (cos-1x -3x)  (x- 2)(1-3 1- x2 )
1- 25x2
2 1- x2 (cos-1x -3x)2
1.16 2x -x2
1.30 (x - 5) - (sin-1 x - 5) 1- x2
2 1- x2 (x - 5)2
1.17 5- 4x2 -1
2. - 1
2x
3 16
1.18 1  9x2 -8 x x4x -1 3. 7

4. 2 3
9
3
5. 2 (1   )

2

คณะวทิ ยาศาสตร์

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 167

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 3.2 ค

1.1 3log e 1.7 2(32x-5)ln3
3x -5
2x 1.8 3cos3x 6cos3x ln 6
1.2 ln3e
x 2 4 1.9 (xcos x +2)xesin x
12 x 2
1.3 4x3 -1 1.10 2x(1- x)
e2x
1.4 4(1- ln5x) 43
16x2 2. 3

1.5 2 ln7x 3. e
x
3 4. 4
1.6 ln x3 - 4
2x

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 3.2 ง

1.1 2xsech2 x2 1.12 4(sinh-1x+cosh-1x)3  x 1 1  1 - 1 
x2 
1.2 2sinh x cosh x  2 

1.3 (ex+e-x)cosh(ex-e-x) 1.13 3(1- 3x)  3 9x2 1 sinh-13x
9x2 1 (1- 3x)2
1.4 2sech 2x(tanh22x + sech2 2x) 1
2x
1.5 csch x (1- xcoth x) 1.14

1.6 cosh x  csch2x 1.15 2coth 2x
2 sinh x  coth x 1
3cosh 3x(1 cosh 3x)  3sinh2 3x 1.16 x sinh(lnx)
(1 cosh 3x)2
1.7 1.17 - 1 sin(sinh-1x)

1.8 4csch24x x 2  1

1.9 ( x + tanh-13x)(3x2) 1.18 - sin x
1- 9x2 cos2x 1
1.19 etanh x sech2 x
1.10 2
(2x2 - 4)2 -1 1.20 2e 2x
x 1- e4x
1.11 (x2 1) x2  2 2. e – e-1

3. - 1
3

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

168 แคลคูลสั I

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 3.3
x
1.1 y 1.10 ysin xy
1- xsin xy
ycos x -sin y x
1.2 xcos y -sin x 1.11 x  y(x  y)2

1.3 - 2x - y 1.12 y(y 1)
x - 2y x(y  ln x)
2xsin(x2  2y)
1.4 - 2sin(x2  2y) 1 2.1 2

x 4 2.2 2
y
1.5 - 2.3 ไม่มี
1
1.6 4x3 - y 2.4 5
x(x3 - y 1)
2x - y 3. 5
1.7 x  y3 8
4
1-y 4. 5
x - sin y
1.8 5. - 2 3 3

1.9 x-y
xy6

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 3.4 2 1 2x
3x 1-x x2 -4
1. y  1 2)  x x 3  3x 2 4)  4. y( - +3cot x – 2tan x - )
 2(x - 2(x3 
2 - 3 2x 1
2 1 x x2 2 5(4 -
2. y( x 1- 2(x 1) ) 5. y( + + x) )

3. y( 1 21x ln x )
x

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั บทท่ี 4

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 4.1 4. - 1
1. 1 
2. 0 5. 2
3. 1
6. 1
6

คณะวทิ ยาศาสตร์

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 169

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 4.2

1.1 12 1.9 ไม่มีควำมชนั

1.2 1 1.10 12

1.3 16 2.1 2x- y+3 = 0 และ x+2y+11 = 0

1.4 1 2.2 x+y - (1+) = 0 และ x-y + (1-) = 0

1.5 4, -4, 4 5 3 , - 4 5 3 2.3 3x+y +1+ 3 = 0 และ x-3y -3-  =0
2 2

1.6 -  2.4 4x-y+3 - = 0 และ x+4y+12 - 4 = 0
2
2x 2.5 3x-y - 2 = 0 และ x+3y -2 = 0
1.7 - y
2.6 y = -1 และ x = 2
1.8 -2e-2x

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 4.4

1.1 112 ฟุตต่อวนิ ำที 4.1 ไปทำงขวำ ควำมเร็ว 1
4.2 ไปทำงซำ้ ย ควำมเร็ว 10
1.2 เมื่อเวลำผำ่ นไป 9 วนิ ำที 4.3 อนุภำคหยุดกำรเคลื่อนท่ี
5.1 t < 2 ไปทำงซำ้ ย และ
1.3 144 ฟุตตอ่ วนิ ำที 9
2 t > 2 ไปทำงขวำ
1.4 เมื่อเวลำผำ่ นไป และ 9 วนิ ำที 5.2 t > 2 ไปทำงขวำ

1.5 324 ฟุต -1< t < 2 ไปทำงซำ้ ย และ
t < -1 ไปทำงขวำ
2.1 4.9 เมตรต่อวนิ ำที 5.3 t > 1 ไปทำงซำ้ ย
-1< t < 1 ไปทำงขวำ และ
2.2 ลูกบอลหยดุ นิ่งภำยใตค้ วำมเร่ง -9.8 เมตร t < -1 ไปทำงซำ้ ย

ตอ่ วินำที2

2.3 สิ้นสุดวนิ ำทีท่ี 2 และสูงสุด 19.6 เมตร

2.4 19.6 เมตรต่อวนิ ำทีและ 9.8 เมตรตอ่ วนิ ำที2

3.1 1 ( e 30 -e 2 30 )
5 3

3.2 2 e 2 t
30 30

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

170 แคลคูลสั I

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั บทที่ 5

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 5.1 ก 3
2x2
1.1 10x+C 2.5 x2- +C

1.2 x4 - 5x + C 2.6 2ln|x| - 6 + 1 2 + C
4 x 2x
1
1.3 5 sec 5x + C 2.7 4 x 3 +C
3 2
x13
1.4 13 + C 2.8 6 x - 2 3 x + C

1.5 x3+x2-3x+ C 2.9 sin-1x + C
1
1.6 - 2x 2 2.10 ln | x+ x2 - 4 | + C

2.1 5x+ C 2.11 1 tan-1 x + C
3 3
2.2 3x2+ C 1 x5
2.12 10 ln x-5 +C
2.3 x6 + C
6 2.13 2 1 5 ln x- 5 +C
5x2 x5 x 5
2.4 3x+ 2 -x4+ 5 + C x
2.14 sin-1 3 + C

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 5.1 ข
1
1. 24 (2x - 3)12 + C 11. 3ln | ex - 2| + C

2. 1 (3x -1) 3x -1 + C 12. 2 sin x -1 + C
3 1 2x
1 13. 3 tan-1 3 + C
3. 6 (x2 + 8)6 + C
1 3 x2
4. 3 (x2 - 8x+3) 4 +C 14. 6 ln 3-x2 +C
8 3

5. 1 (x3 + 5)5 + C 15. 1 ln 2x - 4 +C
15 8 2x  4
3 3x
6. 2 (x2 + 4) 2 +C 16. sin-1 5 + C
3
3 4 17. 3ln |sin x - 2| + C
7. 8 (x2 + 2x+8) 3 +C 2x
22
8. 1 ln | 3x + 5 | + C 18. sin-1 + C
3
5 19. x2 - 7 + C
9. 2 ln | x2 + 5 | + C 1
20. - 42 (1- x2 )21 + C

คณะวทิ ยาศาสตร์

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 171

10. 1 ln | 4sin x + 1| + C
4

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 5.1 ค
3
1. 2 e2x + C 11. ln | sin x | + C

2. e x3 + C 12. ln | tan x-2 | + C

2-x 13. tan x4 + C
ln 2 1 1
3. - + C 14. ln | sec x + tan x |+ C

4. 25x + C 15. 1 sin5 3x + C
3ln 2 15
1 16. -3ln | cos x - 1| + C
5. 2 ln | sec 2x | + C
17. sec2 x + C
6. 1 sin 3x + C
3 18. ln | 4 - cot x | + C
1 1
7. 5 sin(3x + 2) + C 19. 6 sech2 3x + C

8. esin 2x + C 20. 1 cosh3 x + C
3
9. sin x2+ C
1
10. 2 sin2 x + C

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 5.2

1. y = x2 - 1 6.1 - 10t + 80

2. y = 2x2 - x 6 6.2 5t2 - 80t
3
3. y = x+5ln | x | + 6 6.3 60

4. y = x3+2x2 - 6x+9 6.4 6, 10

5. s= t3 + 3 t2 และ v = t2 +3t 7.1 4
3 2
7.2 40 80
x
8. Q(x) = 3x + + 5,000 และ 8,240.07

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

172 แคลคูลสั I

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 5.3 2
5
1. 90 7.
21
2. 2 8. - 5
18
3. 11 9. - ln(1+ e)
8
3 1
4. 2 ln2 10. 3

5. sin 2 11. 1 e3(e3 - 1)
4 3
6. 2(e3 -1) 12. 0

ผลเฉลยแบบฝึ กหัด 5.4

1. 20 5. 46
19
2. 3 6. 15
2
3. 11 7. 3
4
8 8. 19
4. 3 3

ผลเฉลยแบบฝึ กหดั 5.5 14
1 3
1. 2 5.

2. 9 6. 2(e-1)
2 4
27 7. 3 - e-1
3. 2
8. 4 2
4. 6

คณะวทิ ยาศาสตร์

ดชั นี

กฎโลปิ ตาล, 95 ตอ่ เนื่องทางซา้ ย, 54
การแกป้ ัญหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด, 107 ตวั แปร, 119
การปฏิบตั ิการของเซต, 9 ทฤษฎีบทเกี่ยวกบั อนุพนั ธ์, 65
การประยกุ ตข์ องปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขต, 134 ทฤษฎีบทของลิมิต, 30
การหาปริพนั ธ์, 119 ทฤษฎีบทค่ากลาง, 110
การหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั อดิศยั , 129 ทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั , 142
การหาปริพนั ธ์โดยการแทนค่า, 126 ปฏิยานุพนั ธ์, 119
การหาอนุพนั ธ์โดยลอการิทึม, 89 ปริพทั ธ์, 119
การอินทิเกรต, 119 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั พชี คณิต, 124
ข้นั ตอนการหาค่าสุดขีดสมั พทั ธ์, 105 ปริพนั ธ์จากดั เขต จาก a ถึง b, 141
ความชนั , 98 ปริพนั ธ์จากดั เขต, 139
ความชนั ของเส้นโคง้ , 98, 134 ปริพนั ธ์เฉพาะ, 119
ความต่อเน่ืองบนช่วง, 56 ปริพนั ธ์ทว่ั ไป, 119
ความเร่ง, 112, 135 ปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขต, 119
ความเร็ว, 112, 135 ผลคูณคาร์ทีเซียน, 15
ความสมั พนั ธ์, 16 ผลบวกบน, 139
คา่ ประจา, 139 ผลบวกรีมนั น์, 139
คา่ วกิ ฤต, 103 ผลบวกล่าง, 139
ค่าสุดขีดสัมพทั ธ์, 101 ผลแบ่งก้นั , 139
แคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์, 119 พ้ืนท่ีใตโ้ คง้ , 146
จานวนจริง, 12 พ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ตามแนวแกน X, 146
จุดต่าสุดสมั พทั ธ์, 103 พ้นื ท่ีใตโ้ คง้ ตามแนวแกน Y, 147
จุดวกิ ฤต, 103 พ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ , 151
จุดสูงสุดสมั พทั ธ์, 103 พ้นื ที่ระหวา่ งเส้นโคง้ ตามแกน X, 151
เซต, 7 พ้นื ท่ีระหวา่ งเส้นโคง้ ตามแกน Y, 153
เซตจากดั , 8 เพาเวอร์เซต, 8
เซตยอ่ ย , 8 ฟังกช์ นั , 16
เซตวา่ ง, 8 ฟังกช์ นั ค่ี, 28
ต่อเน่ืองทางขวา, 54 ฟังกช์ นั คู่, 28

174 แคลคูลสั I สจั พจน์ของการจดั อนั ดบั , 13
เส้นปรกติ, 98
ฟังกช์ นั ทว่ั ถึง, 20 เส้นสมั ผสั , 98
ฟังกช์ นั ท่ีเท่ากนั , 27 อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั , 61
ฟังกช์ นั ประกอบ, 26 อนุพนั ธ์โดยปริยาย, 87
ฟังกช์ นั ผกผนั , 23 อนุพนั ธ์ทางขวา, 63
ฟังกช์ นั เพ่ิม, 28, 102 อนุพนั ธ์ทางซา้ ย, 63
ฟังกช์ นั ต่อเน่ือง, 52 อนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ, 73
ฟังกช์ นั ลด, 28, 102 อนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติผกผนั , 77
ฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึง, 19 อนุพนั ธ์ฟังกชนั พีชคณิต, 69
ฟังกช์ นั หน่ึงต่อหน่ึงทว่ั ถึง, 21 อนุพนั ธ์ฟังกช์ นั เลขช้ีกาลงั , 79
ฟิ ลด,์ 13 อนุพนั ธ์ฟังกช์ นั ไฮเพอร์โบลิก, 82
ระยะทาง, 112 อนุพนั ธ์อนั ดบั สูง, 91
รูปแบบที่ไม่กาหนด, 37 ออร์เดอร์ฟี ลด์, 14
ลิมิตทางขวา, 27 อตั ราการเปล่ียนแปลง, 111
ลิมิตของฟังกช์ นั , 25 อตั ราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย, 61
ลิมิตคา่ อนนั ต,์ 46 อตั ราสัมพทั ธ์, 115
ลิมิตทางซา้ ย, 27
ลิมิตที่คา่ อนนั ต,์ 40
สมการอนุพนั ธ์, 119

คณะวทิ ยาศาสตร์

1st fundamental theorem of ดชั นี 175
integral calculus, 142
integration, 119
2th fundamental theorem of inverse function, 23
integral calculus, 143 L’Hospital’s rule, 95
left – hand derivative, 63
antiderivative, 119 left- hand continuity, 54
area between curves, 151 limit at infinity, 40
area under a curve, 146 limits of functions, 25
bijective function, 21 lower sum, 139
composite functions, 26 mean value theorem, 101
continuity of function, 52 norm, 139
continuity on an interval, 56 normal, 98
critical point, 103 odd function, 28
critical value, 103 operation of sets, 9
decreasing function, 28 particular integral, 119
derivative of functions, 61 partition, 139
differential equation, 119 rate of change, 111
discontinuity, 52 real number, 12
even function, 28 related rates, 115
first derivative test, 104 relations, 16
functions or mappings, 16 relative extreme value, 101
fundamental theorem of calculus, 142 relative extreme value, 103
general integral, 119 relative maximal point, 103
higher derivative, 91 relative minimal point, 103
hyperbolic function, 83 Riemann sum, 139
implicit function, 87 right – hand derivative, 63
increasing function, 28 right- hand continuity, 54
indeterminate form, 37 Rolle’s Theorem, 101
infinity limits, 46 second derivative test, 105
injective function, 19 set, 7
integral calculus 119 slope, 98
integrand, 119 surjective function, 20

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

176 แคลคูลสั I

tangent, 98
theorems on limits, 30
upper sum, 139
variable, 119

คณะวทิ ยาศาสตร์

ประวัติ

รองศาสตราจารย์ ดร. วัลลภ เหมวงษ์

สถานที่เกิด : อาเภอรัตนวาปี จงั หวดั หนองคาย
ท่ีอย่ปู ัจจบุ นั : อาเภอเมือง จงั หวดั อดุ รธานี

การศกึ ษา : ปร.ด. (คณิตศาสตร์) มหาวทิ ยาลยั ขอนแก่น
2554 วท.ม. (คณิตศาสตร์) มหาวทิ ยาลยั ขอนแกน่
2541 ค.บ. (คณิตศาสตร์) วิทยาลยั ครูอดุ รธานี
2528

ตาแหนง่ งาน : รองศาสตราจารย์
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์
มหาวิทยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี
จงั หวดั อดุ รธานี

หนังสอื ท่มี คี วามรู้พนื้ ฐานด้านวทิ ยาศาสตร์พร้อมการประยกุ ต์ในหลายสาขา
เหมาะสาหรับผู้สนใจศกึ ษาหาความรู้เบือ้ งต้น