แคลคูลัส I

บทที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 91

3.5 อนุพนั ธ์อนั ดบั สูง

ให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ท่ี x
dy
เรำจะเรียก y , f (x) หรือ dx วำ่ อนุพนั ธ์อนั ดบั หน่ึง (the first derivative) ของ f(x)

และถำ้ f (x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้ จะเรียก y , f (x) หรือ d2y = ddx ( dy )
dx2 dx

วำ่ อนุพนั ธ์อนั ดบั สอง (the second derivative) ของ f(x)

และถำ้ f (x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ที่ x แลว้ จะเรียก y(3), f(3)(x) หรือ d3y = ddx ( d2y )
dx3 dx2
วำ่ อนุพนั ธ์อนั ดบั สำม (the third derivative) ของ f(x)

 dny dn1y
dxn dx n 1
และถำ้ f(n–1)(x) เป็ นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ที่ x แลว้ จะเรียก y(n), f(n)(x) หรือ = ddx ( )

วำ่ อนุพนั ธ์อนั ดบั n (the nth derivative) ของ f(x)

เรำจะกล่ำววำ่ y(n), f(n)(x) หรือ dny เมื่อ n>1 เป็นอนุพนั ธ์อนั ดับสูง (higher
dxn
derivative) ของ y = f(x)

ตวั อย่าง 3.5.1 ให้ y = 2x3– 2x2 + 4 จงหำ y''

วธิ ีทา y' = ddx (2x3 – 2x2 + 4)
= 6x2 – 4x

y'' = ddx ( dy )
dx
= ddx (6x2– 4x)
= 12x – 4


ตัวอย่าง 3.5.2 ให้ f(x) = (x2 + 1)2 จงหำ f (x)
วธิ ีทา f (x) = ddx (x2+ 1)2

= 2(x2+ 1) ddx (x2+ 1)
= 4x(x2+ 1)

f  (x) = ddx (4(x3+ x))

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

92 แคลคูลสั I

= 4(3x2+ 1) = 12x2+ 4 

ตวั อย่าง 3.5.3 ให้ f(x) = 1 จงหำ f (3)(x) 
2x 1
คณะวทิ ยาศาสตร์
วธิ ีทา เน่ืองจำก f(x) = 1

2x 1

= (2x + 1)-1

ดงั น้นั f (x) = ddx (2x + 1)-1
= (–1)(2x+1)-2 ddx (2x + 1)
= –2(2x+1)-2

= 2

(2x  1)2

หำทำนองเดียวกนั จะไดว้ ำ่

f(x) = 8

(2x  1)3

และ f (3)(x) =  48

(2x 1)4

ตัวอย่าง 3.5.4 ให้ f(x) = (x + 1)3 จงหำ f (n)(x)
วธิ ีทา เน่ืองจำก f (x) = 3(x + 1)2

f (x) = 6(x + 1)
f (3)(x) = 6
f (4)(x) = 0
ดงั น้นั f (n)(x) = 0 เม่ือ n ≥ 4

ตัวอย่าง 3.5.5 ให้ f(x) = sin 3x + e–3x จงหำ f (3)(x)

วธิ ีทา จำก f(x) = sin 3x + e–3x

f (x) = ddx (sin 3x) + ddx e–3x
= 3cos 3x – 3e–3x
f (x) = ddx ( f (x))
= ddx ( 3cos 3x) – ddx (3e–3x)
= – 9sin 3x + 9e–3x
f (3)(x) = ddx ( f (x) )
= ddx ( – 9sin 3x) + ddx (9e–3x)

= – 27cos 3x – 27e–3x บทที่ 3 อนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั 93
= 27(e–3x –cos 3x)


ตัวอย่าง 3.5.6 ให้ f(x) = ln(4 – x) จงหำ f(n)(x)
วธิ ีทา
f (x) = ddx ln(4– x)
= 1
4ddx x
f (x) = (x) )
(f

= ddx ( 1 )

4x

= 1
(4  x) 2
ddx
f (3)(x) = ( 1 )

(4  x) 2

= 1(2)
(4  x) 3
ddx
f(4)(x) = [ 1(2) ]

(4  x) 3

= 1(2)(3)
(4  x) 4

 
f(n)(x) =  (1)(2)(3)...(n 1)

(4  x) n

=  (n 1)!
(4  x) n

ตัวอย่าง 3.5.7 ให้ 3xy –x = 2 จงหำ y และ y ที่จุด (1,1)
วธิ ีทา ddx (3xy –x) = ddx (2)
3xy + 3y – 1 = 0 ………………. (*)

ที่จุด (1,1) จะไดว้ ำ่ 3 y + 3 – 1 = 0

ดงั น้นั y =  2
3

หำอนุพนั ธ์ (*) เทียบกบั x อีกคร้ัง จะไดว้ ำ่
ddx (3xy + 3y – 1) = ddx (0)
3(y + xy) + 3y = 0

3xy + 6y = 0

ท่ีจุด (1,1) และ y =  2 จะไดว้ ำ่
3

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

94 แคลคูลสั I 3y + 6(  2 ) = 0 
3
ดงั น้นั y = 4
3

แบบฝึ กหดั ที่ 3.5

กำหนดฟังกช์ นั y และ n ดงั ตอ่ ไปน้ี จงหำ dny
dxn
1. y = 3x – 1 , n = 2 2. y = 2x3–x2+ 2x – 1 , n = 3

3. y = x4 + x3 + x2 + 1 , n = 3 4. y = (2x – 1)6 , n = 4
43 6. y = x 1 , n = 2

5. y = (1+ x)4 , n = 4

7. y = (4x2 + x)-1 , n = 3 8. y = 3x  2 , n = 2
9. y = cos 3x , n = 4 x

10. y = sin 3x + cos 2x , n = 3

11. y = sin3 2x , n = 2 12. y = tan–1 x , n = 3

13. y = sinh (3x – 1) , n = 3 14. y = cosh–1 x2 , n = 2

15. y = x2cos 2x , n = 3 16. y = e2x sin 2x , n = 4

17. y = ln (sin x) , n = 3 18. y = x ln 2x , n เป็นจำนวนเตม็ บวก

19. y = xe3x , n เป็นจำนวนเตม็ บวก 20. y = 4 , n เป็นจำนวนเตม็ บวก
1 x

21. ให้ x2 – 4y2 = 9 จงหา y ที่จุด (5,2)

22. ให้ x2 – 4xy + y2 + 3 = 0 จงหา y ที่จุด (2, –1)

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4
การประยกุ ต์ของอนุพนั ธ์

อนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั สามารถนาไปใชป้ ระโยชนห์ ลายดา้ น ในบทน้ีจะกล่าวถึง การใชก้ ฎโลปิ ตาล
เพ่ือหาลิมิตการหาความชนั ของเส้นโคง้ และเส้นสมั ผสั คา่ สุดขีดสมั พทั ธ์และการประยกุ ต์ อตั ราการ
เปลี่ยนแปลง และอตั ราสัมพทั ธ์

4.1 กฎโลปิ ตาล
หวั ขอ้ 2.2 และ 2.3 เราไดห้ าลิมิตของฟังกช์ นั ตรรกยะท่ีมีรูปแบบที่ไม่กาหนด แตย่ งั มีฟังกช์ นั อื่น

ที่มีรูปแบบที่ไมก่ าหนด ซ่ึงการหาลิมิตของฟังกช์ นั เหล่าน้ีจะใชว้ ธิ ีในหวั ขอ้ ดงั กล่าวหาไมไ่ ด้ เช่น

lim ln x
x1 x  1

จาเป็นตอ้ งใชก้ ฎโลปิ ตาล (L’Hospital’s rule) ซ่ึงช่ือน้ีต้งั เป็ นเกียรติแก่ มาควสิ เดอ โลปิ ตาล (Marquis
de L’Hospital,1661-1704) ผไู้ ดร้ ับรางวลั โนเบลชาวฝร่ังเศส แตผ่ คู้ นพบกฏน้ีคือ จอห์น แบร์นุลลี (John
Bernoulli, 1667-1748) นกั คณิตศาสตร์ชาวสวสิ

ทฤษฎบี ท 4.1.1 (กฎโลปิ ตาล) ให้ f และ g เป็นฟังกช์ นั ที่หาอนุพนั ธ์ไดใ้ กลจ้ ุด a และ g(x) ≠ 0

ถา้ ( lim f(x) = 0 และ lim g(x) = 0 ) หรือ
xa xa

( lim f(x) =  และ lim g(x) = )
xa xa

แลว้ lim f(x) = lim f '(x)

xa g(x) xa g '(x)

หมายเหตุ 4.1.1 1) เง่ือนไข ถา้ มีความหมายวา่ lim f(x) อยใู่ นรูปแบบที่ไมก่ าหนด 0 หรือ 
xa g(x) 0

2) กฎโลปิ ตาลยงั ใชไ้ ดก้ บั ลิมิตดา้ นเดียว ลิมิตท่ีค่าอนนั ต์ และลิมิตค่าอนนั ต์

3) สาหรับการพสิ ูจน์จะขอเวน้ ไว้ ผสู้ นใจอาจศึกษาไดจ้ ากแคลคูลสั ข้นั สูง

ตวั อย่าง 4.1.1 จงหา 1) lim ln x 2) lim ex
x x2
x1 x  1

วธิ ีทา 1) เน่ืองจาก lim ln x = ln x = 0 และ lim (x–1) = 0
x 1 x 1

ดงั น้นั จากกฎโลปิ ตาล

d
(ln x)
lim ln x = lim dx

x1 x  1 x1 d (x  1)
dx

96 แคลคูลสั I

1 

= lim x
คณะวทิ ยาศาสตร์
x1 1

= lim 1

x1 x

=1

2) เนื่องจาก lim ex = และ lim x2 = 
x x

ดงั น้นั จากกฎโลปิ ตาล

=lim ex d (ex )
x2 lim dx
x x d (x2)

dx

= lim ex
x 2x
เน่ืองจาก lim ex = และ lim 2x = 
x x และใชก้ ฎโลปิ ตาลอีกคร้ัง

ดงั น้นั lim ex = lim ex
2x
x x2 x

= lim ex

x 2

=

ตวั อย่าง 4.1.2 จงหา 1) lim ln x

x 3 x

2) tan x  x
lim x3

x0

วธิ ีทา 1) เน่ืองจาก lim ln x อยใู่ นรูป 
x 3 x 

ดงั น้นั จากกฎโลปิ ตาล

1

=lim ln x lim x

x 3 x x 1  2
3
x
3

1

และเน่ืองจาก lim x 2 =0
x 1  3
0
x
3

ดงั น้นั ใชก้ ฎโลปิ ตาลอีกคร้ัง

1

lim ln x = lim x 2
x 3 x x 1  3

3 x

= lim 3

x 3 x

บทท่ี 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 97

=0

2) เน่ืองจากลิมิตอยใู่ นรูป 0 ดงั น้นั เราใชก้ ฎโลปิ ตาล4คร้ัง

0

lim =tan x  x lim sec2 x  1

x0 x3 x0 3x 2

= lim 2sec2 x tanx
x0 6x

= 1 lim tan x

3 x0 x

= 1 lim sec2 x

3 x0 1

=1 

3

ตวั อย่าง 4.1.3 จงหา lim sin x

x 1  cos x

วธิ ีทา ถา้ เราใชก้ ฎโลปิ ตาล จะไดว้ า่

lim sin x = lim cos x

x 1  cos x x sin x

= – ซ่ึงเป็นผลเฉลยที่ไม่ถูกตอ้ ง

แตเ่ ราสามารถหาลิมิตไดโ้ ดยง่ายดงั น้ี เน่ืองจากฟังกช์ นั ต่อเน่ืองท่ี  และส่วนไม่เป็นศนู ย์

ดงั น้นั lim sin x = sin 

x 1  cos x 1 cos 

=0

1 (1)

=0

2

=0 

แบบฝึ กหัด 4.1

จงหาลิมิตโดยใชก้ ฎโลปิ ตาล ถา้ ขอ้ ใดไม่จาเป็นตอ้ งใชห้ รือใชไ้ มไ่ ด้ จงใหเ้ หตุผล

1. lim x2 1 2. cos x
x 1 x2  x lim
x  1  sin x
2

3. lim sin 4x 4. lim ln x

x0 tan 5x x1 sin x

5. lim ln x 6. lim ex 1
x0 x3
x0 x

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

98 แคลคูลสั I 8. cos x
lim 1  sin x
7. lim ln x
x(  )
x0 x 2

9. lim (ln x)2 x

x x 10. lim e10
x x3

4.2 ความชันของเส้นโค้งและเส้นสัมผสั
โดยบทนิยามของอนุพนั ธ์ ถา้ เส้นโคง้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ในช่วง [a, b]

ดงั รูป 4.1

Y y = f(x)
f(x+x)
B
f(x)
y C
D
A

x x+x X
x
E
รูป 4.1

จะไดว้ า่ ความชัน (slope) ของ AB = f(x  x) f(x) = y

x x

เรียก AE วา่ เส้นสัมผสั (tangent ) ของ y = f(x) ท่ีจุด A

และความชนั ของเส้นตรง AE คือ lim f(x  x) f(x) = dy
x  0 x dx

บทนิยาม 4.2.1 ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ท่ี x แลว้ ความชนั ของเส้นโคง้ y = f(x)
ที่จุด x ใด ๆ จะเทา่ กบั ความชนั เส้นสัมผสั เส้นโคง้ y = f(x) ท่ีจุดน้นั

จากบทนิยาม 4.2.1 จะไดว้ า่ ความชนั ของเส้นโคง้ y = f(x) ท่ีจุด x เท่ากบั dy
dx

บทนิยาม 4.2.2 จะเรียกเส้นตรง N วา่ เส้นปรกติ (normal) ของ f(x) ท่ีจุด x ก็ต่อเมื่อ N ต้งั ฉากกบั เส้น
สมั ผสั กราฟของ f(x) ท่ีจุด x

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 99

Y

T y = f(x)
N

xX

รูป 4.2

จากรูป 4.2 เส้นตรง T เป็นเส้นสัมผสั และเส้นตรง N คือเส้นปรกติและ ความชนั ของ N ของ

กราฟ y = f(x) ท่ีจุด x คือ – 1 โดยท่ี dy  0

dy dx

dx

ตัวอย่าง 4.2.1 กาหนดให้ เส้นโคง้ y = x2– 3x + 4 จงหาความชนั เส้นสมั ผสั และความชนั เส้นปรกติ

ท่ีจุด x ใดๆ พร้อมท้งั หาความชนั ของเส้นโคง้ y ท่ีจุด x ใดๆ

วธิ ีทา เน่ืองจาก y = x2– 3x + 4 จะไดว้ า่ dy = 2x– 3
dx
dy
ความชนั เส้นสมั ผสั กราฟของเส้นโคง้ y ท่ีจุด x ใด ๆ คือ dx = 2x– 3

ความชนั ของเส้นโคง้ y ที่จุด x ใดๆ คือ dy = 2x– 3

dx

ความชนั เส้นปรกติกราฟของ y ท่ีจุด x ใดๆคือ –1 =– 1 เม่ือ 2x–3  0 

dy 2x  3

dx

ตัวอย่าง 4.2.2 กาหนดให้เส้นโคง้ y = sin 3x จงหาสมการเส้นสัมผสั และสมการเส้นปรกติ

ที่จุด x = 

วธิ ีทา เนื่อง x =  จะไดว้ า่ y = sin  = 0 และ dy = 3 cos 3x

dx

ดงั น้นั ความชนั เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด x ใด ๆ คือ 3 cos 3x

ความชนั เส้นสัมผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด x =  คือ 3 cos3  = 3(–1) = –3

ความชนั เส้นปรกติของเส้นโคง้ ท่ีจุด x =  คือ – 1 = 1
3 3

สมการเส้นตรงท่ีมีความชนั m และผา่ นจุด (x1 , y1) คือ

y – y1 = m(x – x1)
ดงั น้นั สมการเส้นสัมผสั ท่ีจุด x =  คือ y – 0 = –3(x –  )

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

100 แคลคูลสั I

y – 0 = –3x + 3 

3x + y –3  = 0

สมการเส้นปรกติท่ีจุด x =  คือ y – 0 = 1 (x –)
3

x– 3y –  = 0 

ตวั อย่าง 4.2.3 จงหาความชนั เส้นโคง้ และสมการเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ x2+ xy– y2= 9 ที่จุด (–1 , 1)

วธิ ีทา เนื่องจาก d ( x2+ xy– y2) = d (9)

dx dx

2x + (x dy + y dx ) –2y dy = 0

dx dx dx

2x + x dy + y –2y dy = 0

dx dx

dy =  2x  y
dx x  2y

ดงั น้นั ความชนั เส้นโคง้ และความชนั เส้นสมั ผสั ท่ีจุด x เทา่ กบั  2x  y
x  2y

จะไดว้ า่ ความชนั เส้นโคง้ และความชนั เส้นสมั ผสั ท่ีจุด (–1 , 1) คือ

m =  2(1) 1 = 1
(1)  2(1)

เน่ืองจาก เส้นตรงที่มีความชนั m และผา่ นจุด (x1 , y1) คือ

y – y1 = m(x - x1)
ดงั น้นั สมการเส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ท่ีจุด (–1 , 1) คือ y – 1 = 1(x – (–1))

y–1 = x + 1

x –y + 2 = 0 

แบบฝึ กหัด 4.2

1. จงหาความชนั เส้นโคง้ และความชนั เส้นสมั ผสั เส้นโคง้ ตอ่ ไปน้ี ณ จุดท่ีกาหนดให้

1.1 y = 3x2 ที่จุด x = 2 1.2 y = 2 x ที่จุด x = 1

1.3 y = 3x2+ 4x + 2 ที่จุด (2 , 0) 1.4 f(x) = 2 sin x ท่ีจุด (  , 1)
1.5 x2+ y4 = y2 ท่ีจุด x = 3
4
4
1.6 y = x cos 2x ที่จุด x = 
1.7 x2 + 2y2 = 8 ที่จุด x ใด ๆ
4

1.8 y = e-2x ที่จุด x ใด ๆ

1.9 y = 9  x2 ที่จุด (–3 , 2) 1.10 y = 2 cot 3x ท่ีจุด x = 

4

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 101

2. จงหาสมการเส้นสมั ผสั และสมการปกติของเส้นโคง้ ต่อไปน้ี ณ จุดที่กาหนดให้

2.1 y = x2+ 4 ที่จุด x = 1 2.2 y = 1 + sin x ท่ีจุด x = 

2.3 y = cos 3x ที่จุด x =  2.4 y = 2 csc x + cot x ที่จุด x = 

2 4

2.5 x2 + xy– y2 = 1 ท่ีจุด (1 , 1) 2.6 y = x2– 4x + 3 ที่จุด x = 2

4.3 ค่าสุดขดี สัมพทั ธ์และการประยกุ ต์
ค่าสุดขีดสัมพทั ธ์ (relative extreme value) ของฟังกช์ นั เป็ นคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์หรือคา่ ต่าสุด

สมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั ซ่ึงอาจมีไดห้ ลายค่า ในหวั ขอ้ น้ีเราจะทดสอบคา่ เหล่าน้ีดว้ ยอนุพนั ธ์ ก่อนอ่ืนเราจะ
ศึกษาทฤษฎีบทค่ากลางเพื่อนาไปใชด้ งั น้ี

ทฤษฎบี ท 4.3.1 (Rolle’s Theorem) 
ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a, b] และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (a , b)

โดยที่ f(a) = f(b) แลว้ จะมีc  (a , b) ที่ทาให้ f(c)= 0

พสิ ูจน์ จาก f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a , b] จะไดว้ า่ บนช่วง [a , b]
จะมีคา่ สูงสุด M และมีค่าต่าสุด m ดงั น้นั m  M

กรณี m = M จะไดว้ า่ f(x) เป็นฟังกช์ นั คงที่บนช่วง [a , b]
ดงั น้นั ถา้ c  (a , b) จะไดว้ า่ f(c)= 0

กรณีที่ m Mจะไดว้ า่ ค่าสูงสุดและต่าสุดของ f(x) ไมอ่ ยทู่ ี่คา่ x = a หรือ x = b
และเน่ืองจาก f(a) = f(b) ดงั น้นั จะมีค่า x = c ท่ีทาให้ f(x) มีคา่ สูงสุดหรือต่าสุด
นนั่ คือ จะมี c  (a , b) ซ่ึงทาให้ f(c)= 0

ทฤษฎบี ท 4.3.2 (mean value theorem)

ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองบนช่วง [a , b] และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (a , b) แลว้

จะมีจานวน c  (a , b) ที่ทาให้ f(c) = f(bb)  fa(a)


พสิ ูจน์ ให้ y = g(x) เป็นสมการเส้นตรงที่ผา่ นจุด (a, f(a)) และจุด (b, f(b)) จะไดว้ า่

g(x) = f(a) + f(bb)  af(a)(x  a)


ให้ h(x) = f(x) – g(x)

ดงั น้นั h(x) = f(x) – f(a) – f(bb)  af(a)(x  a)

f(bb) fa(a)(a
แลว้ h(a) = f(a) – f(a) –   a) = 0


มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

102 แคลคูลสั I

และ h(b) = f(b) – f(a) – f(bb)  fa(a)(b  a) = 0


ดงั น้นั h(a) = h(b) จากทฤษฎีบท 4.3.1 จะไดว้ า่

มี c อยรู่ ะหวา่ ง a และ b ซ่ึง h(c) = 0

แต่ h(x) = f(x) – f(a) – f(bb)  af(a) (x  a)

f(bb) af(a)
ดงั น้นั h(x) = f(x) – 

f(bb) fa(a)
และ h(c) = f(c) – 

f(b) f(a)
เนื่องจาก h(c)= 0 ดงั น้นั f(c)= b  a 


ทฤษฎบี ท 4.3.3ให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (a, b)

1. ถา้ f(x)  0 สาหรับแต่ละ x(a, b) แลว้ f(x) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง [a, b]
2. ถา้ f(x)  0 สาหรับแต่ละ x(a, b) แลว้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง [a, b]
3. ถา้ f(x) = 0 สาหรับแตล่ ะ x(a, b) แลว้ f(x) เป็นฟังกช์ นั คงตวั บนช่วง [a, b]

พสิ ูจน์ ให้ x1และ x2เป็ นสมาชิกในช่วง (a, b) และ x2  x1 ดงั น้นั x2 – x1  0
เนื่องจาก f(x) ต่อเน่ืองบนช่วง [a, b] และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (a, b)

ดงั น้นั f(x) ตอ่ เน่ืองบนช่วง [x1, x2] และมีอนุพนั ธ์บนช่วง (x1, x2) ดว้ ย

จากทฤษฎีบท 4.3.2 จะไดว้ า่ มี c  (x1 , x2) ซ่ึง
f (xx22) fx(1x1)
f(c) = 


หรือ f(c)(x2– x1) = f(x2) – f(x1)

1. ถา้ f(c)0 และจาก x2– x1 0

จะไดว้ า่ f(c)(x2– x1)  0

และ f(x2) – f(x1)  0

ดงั น้นั f(x2)  f(x1) 
จากบทนิยาม 1.5.4 จะไดว้ า่ f(x) เป็นฟังกช์ นั เพิ่มบนช่วง [a, b]

สาหรับ 2. และ 3. สามารถพิสูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1.

จากทฤษฎีบท 4.3.3 หาช่วงที่ฟังกช์ นั y = f(x) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ หรือฟังกช์ นั ลดไดด้ งั น้ี

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 103

1. หา f(x)
2. หาช่วงที่ฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมโดยหาผลเฉลยของ f(x)  0
3. หาช่วงท่ีฟังกช์ นั เป็นฟังกช์ นั ลดโดยหาผลเฉลยของ f(x)  0

ตัวอย่าง 4.3.1 จงหาช่วงที่ทาใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x2– 6x + 1 เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมหรือเป็นฟังกช์ นั ลด
วธิ ีทา เนื่องจาก f(x) = 2x – 6 = 2(x – 3)

ดงั น้นั ช่วงท่ี f(x) เป็นฟังกช์ นั เพมิ่ คือช่วงที่ f(x)  0
หรือ 2(x – 3)  0
หรือ x  3

และช่วงท่ี f(x) เป็นฟังกช์ นั ลดคือช่วงที่ f(x)  0
หรือ 2(x – 3)  0
หรือ x  3

Y

3
X

รูป 4.3

ดงั น้นั f(x) เป็นฟังกช์ นั เพิ่มบนช่วง (3 , ) และเป็นฟังกช์ นั ลดบนช่วง (–  , 3) 

บทนิยาม 4.3.1 ให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั และ a, b, c เป็นจานวนจริง
1. f(c) เป็นคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ถา้ f(c)  f(x) สาหรับแต่ละ x (a , b)

และเรียก (c , f(c)) วา่ จุดสูงสุดสัมพทั ธ์ (relative maximal point) ของ f(x)
2. f(c) เป็นค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ ถา้ f(c)  f(x) สาหรับแต่ละ x (a , b)

และเรียก (c , f(c)) วา่ จุดต่าสุดสัมพทั ธ์ (relative minimal point) ของ f(x)
3. ค่าสูงสุดสัมพทั ธ์หรือคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์เรียกวา่ ค่าสุดขีดสมั พทั ธ์(relative extreme value)

บทนิยาม 4.3.2 จะเรียก c วา่ ค่าวกิ ฤต(critical value) ของฟังกช์ นั f
ก็ตอ่ เม่ือ f(c) = 0 หรือ f(c) หาคา่ ไม่ได้
และจะเรียก (c , f(c)) วา่ จุดวกิ ฤต(critical point) ของฟังกช์ นั f

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

104 แคลคูลสั I

Y ค่าสูงสุดสมั พทั ธ์ ไมม่ ีคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์

คา่ สูงสุดสมั พทั ธ์

จุดต่าสุดสมั พทั ธ์ จุดต่าสุดสมั พทั ธ์

c1 c2 c3 c4 c5 X

รูป 4.4

จากรูป 4.4 จะเห็นวา่ c1, c2, c3, c4และ c5 คือค่าวกิ ฤต

f(c1), f(c2), f(c3) และ f(c4) คือค่าสุดขีดสัมพทั ธ์ แต่ที่ x = c5 ไม่มีค่าสุดขีดสัมพทั ธ์

หมายเหตุ4.3.1 จากบทนิยาม 4.3.2 และรูป 4.4 จะไดว้ า่
ถา้ y = f(x) มีคา่ สุดขีดสัมพทั ธ์ที่ x = c แลว้ (c , f(c)) เป็นจุดวกิ ฤต
แต่บทกลบั น้ีไมเ่ ป็นจริง

ค่าสุดขีดสมั พทั ธ์และจุดวกิ ฤตจะบอกลกั ษณะของกราฟและนาไปแกป้ ัญหาในเร่ืองของคา่ สูงสุด
และค่าต่าสุดของฟังกช์ นั

ทฤษฎบี ท 4.3.4 (first derivative test)
ถา้ (c, f(c)) เป็นจุดวกิ ฤตของฟังกช์ นั y = f(x) ซ่ึงเป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องที่ x = c และมี >0 ซ่ึง
1. ถา้ f (x) > 0 สาหรับแตล่ ะ x(c–, c) และ f (x) < 0 สาหรับแตล่ ะ x(c,c+)
แลว้ (c,f(c)) จะเป็นจุดสูงสุดสัมพทั ธ์
2. ถา้ f (x) < 0 สาหรับแต่ละ x(c–, c) และ f (x) > 0 สาหรับแตล่ ะ x(c,c+)
แลว้ (c, f(c)) จะเป็นจุดต่าสุดสัมพทั ธ์
3. ถา้ f (x) < 0 สาหรับแตล่ ะ x(c–, c) (c,c+)
หรือ f (x) > 0 สาหรับแตล่ ะ x(c –, c) (c,c+) แลว้
(c, f(c)) ไมเ่ ป็นจุดสุดขีดสัมพทั ธ์

พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจาก   0 และ f(x)  0 สาหรับแตล่ ะ x (c –  , c)
จากทฤษฎีบท 4.3.3 จะไดว้ า่ f(x) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนช่วง (c – , c)
จากบทนิยาม 1.5.4 จะไดว้ า่ f(x)  f(c) สาหรับแต่ละ x (c –  , c)

ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่ f(x)  f(c) สาหรับแตล่ ะ x(c, c +  )

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 105

เน่ืองจาก f(x) ตอ่ เนื่องท่ี x = c

ดงั น้นั f(c)  f(x) สาหรับแต่ละ x(c –  , c)  (c, c +  )

จากบทนิยาม 4.3.3 จะไดว้ า่

f(c) เป็นคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ หรือ (c, f(c)) เป็นจุดสูงสุดสัมพทั ธ์

สาหรับ 2. และ 3. สามารถพสิ ูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1. 

ทฤษฎบี ท 4.3.3 (second derivative test)

ให้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ซ่ึง f (c) = 0 และมีอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ีสองท่ีจุด x = c

1. ถา้ f (x)  0 แลว้ f(x) มีค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ท่ี x = c

2. ถา้ f (x) 0 แลว้ f(x) มีคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ที่ x = c

พสิ ูจน์ 1. จาก f(x)  0 จะไดว้ า่ f (x) = xlimc f (xx)  cf(c)  0


จากทฤษฎีบทของลิมิต จะไดว้ า่ จะมีช่วง (c –  , c)  (c, c +  ) เมื่อ  0

ซ่ึงทาให้ f (xx)  fc(c)  0

f(x)
จาก f(c)= 0 ดงั น้นั xc  0

ในช่วง (c –  , c) แลว้ x  c จะไดว้ า่ f(x)0

ในช่วง (c, c +  ) แลว้ x  c จะไดว้ า่ f(x) 0

จากทฤษฎีบท 4.3.4 จะไดว้ า่ f(x) มีค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ที่ x = c

สาหรับ 2. สามารถพิสูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1. 

สรุปข้ันตอนการหาค่าสุดขดี สัมพทั ธ์ไดด้ งั น้ี
1. หาค่าวกิ ฤต x = c ท่ีทาให้ f (c) = 0 หรือ ท่ีทาให้ f (c) หาค่าไม่ได้
2. ทดสอบวา่ มีค่าสุดขีดสมั พทั ธ์ ที่ x = c หรือไมโ่ ดย
2.1 ทดสอบดว้ ยอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ีสอง
ถา้ f (c) < 0 แลว้ f มีคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์ หรือ
ถา้ f (c) > 0 แลว้ f มีคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์
ถา้ f (c) = 0 หรือไม่มีค่าจริงแลว้ ตอ้ งทดสอบดว้ ยทฤษฎีบท 4.3.4
2.2 ทดสอบดว้ ยอนุพนั ธ์อนั ดบั ท่ีหน่ึง (ทฤษฎีบท 4.3.4)

ถา้ ค่าวกิ ฤต x = c1, c2, ... , cn ซ่ึง c1< c2< ... <cn แลว้ ใหพ้ จิ ารณาวา่ ช่วง

(–, c1) , (c1 , c2), ... , (cn-1 , cn) , (cn ,)
แลว้ สรุปดงั น้ี

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

106 แคลคูลสั I

2.2.1 ถา้ ช่วง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ทาให้ f (x) เป็ นบวกและลบตามลาดบั
แลว้ ฟังกช์ นั f มีคา่ สูงสุดสัมพทั ธ์ท่ี x = k

2.2.2 ถา้ ช่วง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ทาให้ f (x) เป็ นลบและบวกตามลาดบั
แลว้ ฟังกช์ นั f มีค่าต่าสุดสัมพทั ธ์ที่ x = k

2.2.3 ถา้ ช่วง (ck-1 , ck) และ (ck , ck+1) ทาให้ f (x) เป็ นบวกหรือลบเหมือนกนั
แลว้ ฟังกช์ นั f ไมม่ ีคา่ สุดขีดสัมพทั ธ์ที่ x = k
3. ถา้ x = c เป็นค่าที่ทาใหไ้ ดค้ า่ วกิ ฤตแลว้
คา่ สูงสุดสมั พทั ธ์หรือคา่ ต่าสุดสมั พทั ธ์ของฟังกช์ นั คือ f(c)

ตัวอย่าง 4.3.2 จงหาค่าสุดขีดสัมพทั ธ์ของฟังกช์ นั y = x3– 3x– 2
วธิ ีทา เนื่องจาก f(x) = 3x2–3 = 3(x– 1)(x + 1)
และ f (x) = 6x

เมื่อ 0 = f(x) = 3(x– 1)(x + 1)
จะไดค้ า่ วกิ ฤตคือ x = 1 หรือ x = –1

ทดสอบดว้ ยอนุพนั ธ์อนั ดบั ที่สองจะไดว้ า่
f(1) = 6(1) = 6 > 0
ดงั น้นั ท่ี x = 1 ฟังกช์ นั มีค่าต่าสุดสมั พทั ธ์คือ f(–1) = (1)3– 3(1) – 2 = –4
f(– 1) = 6(– 1) = – 6  0
ดงั น้นั ที่ x = – 1 ฟังกช์ นั มีค่าสูงสุดสัมพทั ธ์คอื f(– 1) = 0
Y

1 X

–1 1 2
–1
–2

รูป 4.5 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 107

ตัวอย่าง 4.3.3 ใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = 3x4+ 4x3– 12x2– 5 จงวเิ คราะห์เก่ียวกบั จุดสุดขีดสัมพทั ธ์

และช่วงจานวนที่ทาให้ f(x) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ หรือเป็นฟังกช์ นั ลด

วธิ ีทา จาก f(x) = 3x4+ 4x3– 12x2– 5

จะไดว้ า่ f(x) = 12x3+ 12x2– 24x = 12x(x + 2)(x – 1) (*)

และ f(x) = 36x2+ 24x – 24

จาก (*) จะไดค้ า่ วกิ ฤตคือ x = –2 , 0 , 1

พจิ ารณากราฟของฟังกช์ นั เพ่อื หาค่าสุดขีดสมั พทั ธ์โดยใชอ้ นุพนั ธ์

ช่วง f(x) f (x) กราฟ f

–  x  –2 – ลดลง
x = –2 0 + คา่ วกิ ฤต ใหค้ า่ ต่าสุดสมั พทั ธ์
+ เพมิ่ ข้ึน
–2  x  0 0 – ค่าวกิ ฤต ใหค้ า่ สูงสุดสมั พทั ธ์
x=0 – ลดลง
0 + คา่ วกิ ฤต ใหค้ ่าต่าสุดสมั พทั ธ์
0x1 + เพ่ิมข้ึน
x=1

1  x 



ค่าสุดขีดสัมพทั ธ์ไดน้ าไปแกป้ ัญหาท่ีตอ้ งการผลเฉลยวา่ ทาอยา่ งไรจึงจะไดผ้ ลลพั ธ์ท่ีมีคา่ มาก
ท่ีสุดหรือนอ้ ยท่ีสุด ซ่ึงสามารถหาไดโ้ ดยการแก้ปัญหาค่าสูงสุดหรือค่าต่าสุด โดยมีวธิ ีการดงั ต่อไปน้ี

1) กาหนดตวั แปรแทนปริมาณในโจทยป์ ัญหา
2) เขียนรูปประกอบของความสัมพนั ธ์ในโจทยป์ ัญหา
3) สร้างความสัมพนั ธ์ของตวั แปรที่กาหนดตามเงื่อนไขของโจทย์ ควรมีตวั แปรตน้ ตวั เดียว

ถา้ มีหลายตวั ควรทาใหเ้ หลือตวั แปรเดียว
4) ใชก้ ารวเิ คราะห์ฟังกช์ นั โดยอนุพนั ธ์ หาค่าสูงสุดหรือคา่ ต่าสุดของฟังกช์ นั เพ่ือหาผลเฉลย

ตวั อย่าง 4.3.4 แผน่ กระดาษรูปส่ีเหลี่ยมมีพ้ืนท่ี 1,350 ตารางนิ้ว ตอ้ งการตดั ทากล่องทรงส่ีเหล่ียมไม่มีฝา
ท่ีมีความกวา้ งและความสูงเท่ากนั จงหาวา่ จะตอ้ งทากล่องสูงก่ีนิ้ว จึงจะมีปริมาตรมากที่สุดและมากสุดก่ี
ลูกบาศกน์ ิ้ว
วธิ ีทา ใหก้ ล่องมีความกวา้ งและสูง x นิ้ว และยาว y นิ้ว ดงั รูป

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

108 แคลคูลสั I

xx

y

รูป 4.6

ดงั น้นั จะตอ้ งใชพ้ ้นื ท่ีแผน่ กระดาษ 3xy + 2x2 = 1,350

หรือ y = 1,350 2x2
ให้ V แทนปริมาตรของกล่อง จะไดว้ า่ 3x

V = x2y

ดงั น้นั V(x) = ( 1,350 2x2 ) x2
3x

= 1 (1,350x – 2x3)
3
1
จะได้ V(x) = 3 (1,350 – 6x2)

และ V(x)= – 4x

เม่ือ V(x)= 0

จะไดว้ า่ 1 (1,350 – 6x2) = 0
3
x = 15 หรือ –15

ดงั น้นั ค่าวกิ ฤตคือ x = 15

เนื่องจาก x = 15 ทาให้ V(x)= V(15) = – 4(15) = – 60  0

ดงั น้นั V มีคา่ สูงสุดสมั พทั ธ์

นน่ั คือ ตอ้ งทากล่องสูง 15 นิ้ว จึงจะมีปริมาตรสูงสุด

และปริมาตรสูงสุด = V(15) = 1,350(15) 2(15)3 = 4,500 ลูกบาศกน์ ิ้ว 

33

ตัวอย่าง 4.3.5 จงหาปริมาตรสูงสุดของทรงกระบอกตรงที่บรรจุในทรงกลมรัศมียาว 5 นิ้ว
วธิ ีทา ให้ V = ปริมาตรทรงกระบอกตรง

r = รัศมีของทรงกระบอก และ R = รัศมีของทรงกลม
h = ความสูงของทรงกระบอก

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 109

R h
r 2

รูป 4.7

ปริมาตรทรงกระบอกตรง V =  r2h

เนื่องจาก R2 = r2 + ( h )2
ดงั น้นั 2
หรือ 52 = r2 + ( h )2
2
เน่ืองจาก
r2 = 25 – h2
4

V(h) =  (25– h2 )h = 25  h – h3
4
4

ดงั น้นั V(h) = 25  – 3h2

4

และ V(h) = – 3h

2

หาค่าวกิ ฤต ให้ V(h) = 0

ดงั น้นั 25  – 3h2 = 0

4

จะไดค้ า่ วกิ ฤต h = 10
3

และเน่ืองจาก V( 10 ) = –15  0 ดงั น้นั h = 10 จะใหค้ ่า V สูงสุด
33 3
10
นนั่ คือ ทรงกระบอกตรงมีปริมาตรสูงสุดคือ V( 10 ) = 25 ( 10 ) – ( 3 )3
3 3 4


= 250   250 
3 33
500 
= 33 ลูกบาศกน์ ิ้ว 

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

110 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 4.3.6 ถงั รูปทรงกระบอกตรงไมม่ ีฝาปิ ดมีปริมาตร 216 ลูกบาศกน์ ิ้ว จะตอ้ งใหร้ ัศมีฐานยาว
เทา่ ใดจึงจะใชแ้ ผน่ โลหะที่มีพ้นื ที่นอ้ ยที่สุดและตอ้ งใชแ้ ผน่ โลหะนอ้ ยสุดกี่ตารางนิ้ว
วธิ ีทา ให้ r แทน รัศมีของฐานทรงกระบอก

h แทน ความสูงของทรงกระบอก
และ A แทน พ้นื ที่ผวิ ของทรงกระบอก

h
r

รูป 4.8

จะไดว้ า่ ปริมาตรทรงกระบอกคือ r2h = 216

ดงั น้นั h = 216

r2

และ A = r2 + 2rh

A(r) = r2 + 2r( 216 )
r2

A(r) = r2 + 432
r

A(r) = 2r – 432 = 2(r3  216)

r2 r2

A(r) = 2 + 864
r3

จุดวกิ ฤตคือจุดท่ี r = 6

ท่ีจุด r = 0 ไมใ่ หค้ ่าสุดขีดสมั พทั ธ์

(เพราะถา้ – < r < 0 แลว้ A(r) < 0 และถา้ 0 < r < 6 แลว้ A(r)< 0)

ท่ีจุด r = 6 ฟังกช์ นั มีค่าต่าสุดสมั พทั ธ์ (เพราะ A(6) = 6> 0)

และคา่ ต่าสุดคือ A(6) =  (6)2 + 432
6
= 108 

ดงั น้นั ถงั จะใชแ้ ผน่ โลหะนอ้ ยท่ีสุด 108  ตารางเมตร เม่ือรัศมีฐานเท่ากบั 6 นิ้ว 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 111

แบบฝึ กหดั 4.3

1. จงหาช่วงจานวนท่ีทาใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = x2–2x – 3เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมหรือเป็ นฟังกช์ นั ลด
2. จงหาช่วงจานวนท่ีทาใหฟ้ ังกช์ นั f(x) = 3+4x – x2เป็นฟังกช์ นั เพ่ิมหรือเป็ นฟังกช์ นั ลด
3. จงหาค่าสุดขีดสัมพทั ธ์ของฟังกช์ นั y = 3x4+ 4x3– 12x2–16
4. จงหาจานวนบวกสองจานวนที่มีผลต่างเทา่ กบั 10 ซ่ึงมีผลคูณของจานวนท้งั สองนอ้ ยที่สุด
5. จงหาผลคูณท่ีมากที่สุดของจานวนบวกสองจานวนซ่ึงมีผลบวกของจานวนท้งั สองเป็น 20
6. จงหาปริมาตรสูงสุดของทรงกระบอกท่ีสามารถบรรจุในกรวยกลมที่มีรัศมีฐาน 10 เซนติเมตร

และสูง 12 เซนติเมตร
7. จงหารัศมีของทรงกระบอกท่ีมีปริมาตรสูงสุดท่ีสามารถบรรจุในทรงกลมรัศมียาว a หน่วย
8. จงหาขนาดของกล่องไมม่ ีฝา ฐานสี่เหลี่ยมจตั ุรัส ท่ีมีพ้ืนที่ผวิ นอ้ ยที่สุดโดยมีปริมาตร 320

ลูกบาศกเ์ มตร
9. จงหาพ้นื ที่ท่ีมากท่ีสุดของสามเหล่ียมมุมฉากท่ีมีดา้ นตรงขา้ มมุมฉากยาว 15 หน่วย
10. ร้ัวสูง 5 ฟุต ซ่ึงห่างจากผนงั ตึก 3 ฟุต ถา้ วางบนั ใดจากจุดๆหน่ึงท่ีอยนู่ อกร้ัวไปยงั ผนงั ตึก

โดยพาดกบั ร้ัว จงหาวา่ จะใชบ้ นั ใดส้นั ที่สุดกี่ฟุต
11. แผน่ กระดาษสี่เหลี่ยมผนื ผา้ กวา้ ง 8 นิ้ว และยาว 12 นิ้ว นามาพบั เป็นกล่องฝาเปิ ดโดยตดั มุมท้งั ส่ี

ออกเป็ นรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสที่เท่ากนั ท้งั สี่มุมแลว้ พบั ดา้ นขา้ งข้ึน รูปสี่เหลี่ยมท่ีตดั ออกจะตอ้ งมี
ขนาดเท่าใดจึงจะไดก้ ล่องที่มีปริมาตรมากท่ีสุดและกล่องมีปริมาตรมากท่ีสุดเท่าใด
12. ถา้ ตอ้ งการลอ้ มร้ัวที่ดินรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากสองรูปท่ีมีขนาดเท่ากนั (ดงั รูป4.9) เพอ่ื ใหไ้ ดพ้ ้ืนที่
ท้งั หมด 1,800 ตารางเมตร จะตอ้ งใชร้ ้ัวส้นั ท่ีสุดกี่เมตร

รูป 4.9

4.4 อตั ราการเปล่ยี นแปลง
ในชีวติ ประจาวนั เราจะพบปัญหาเกี่ยวกบั อตั ราการเปล่ียนแปลง (rate of change) ของค่าตวั แปร

ตวั หน่ึงเปลี่ยนไปตามค่าตวั แปรอีกตวั ท่ีมีความสมั พนั ธ์กนั เช่น ความเร็วขณะเวลาหน่ึงซ่ึงเป็นการหา
ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาส้นั ๆ การเคล่ือนท่ีของวตั ถุจะคิดในแนวราบหรือแนวด่ิง ซ่ึงถือวา่ ทิศทางขวา
และทิศทางข้ึนเป็นบวกดงั น้ี

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

112 แคลคูลสั I

ให้ s เป็นระยะทางของการเคล่ือนท่ีของวตั ถุไปตามแนวเส้นตรง L เร่ิมตน้ จากจุด O
ดงั รูป 4.10 ถือเอาทิศทางขวาเป็นบวก ทิศทางซา้ ยเป็นลบ และ s(t) เป็นฟังกช์ นั ของเวลา t

t L

O s(t) s(t+t)

รูป 4.10

เน่ืองจาก ความเร็วเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงเวลา t ถึง t +t คือ vav = s(t  t)  s(t )
t

ดงั น้นั ความเร็วขณะเวลา t คือ v = lim vav= lim s(t  t)  s(t) = s(t) = d (s(t))
t  0 t dt
t  0

สาหรับความเร่งของการเคลื่อนที่ของวตั ถุเป็ นการวดั ค่าเปลี่ยนแปลงไปของความเร็ว โดย

ความเร่งเฉลี่ยของวตั ถุในช่วงเวลา t ถึง t +t คือ aav = v(t  t)  v(t)
t

และความเร่งขณะเวลา t คือ a = lim aav= lim v(t  t)  v(t) = v(t) = d (v(t)) = d2 (s(t))
t dt dt 2
t0 t0

ดงั น้นั ถา้ ระยะทาง s = f(t) แลว้ ความเร็ว v = ds = f (t) และความเร่ง a = dv =f (t)

dt dt

ตัวอย่าง 4.4.1 การเคล่ือนท่ีของวตั ถุหน่ึงเป็นไปตามสมการ s = 4t3+ 3t2– 1 โดยที่ s แทนระยะทางมี

หน่วยเป็นเมตร และ t แทนเวลามีหน่วยเป็นวินาที จงหา
1. ความเร็วเฉลี่ยของวตั ถุจากวนิ าทีที่ 2 ถึงวนิ าทีที่ 4
2. หาความเร็วของวตั ถุขณะเวลา t ใด ๆและความเร็วของวตั ถุขณะเวลาวนิ าทีที่ 4
3. หาความเร่งของวตั ถุขณะเวลาวนิ าทีที่ 4

วธิ ีทา 1. อตั ราเร็วเฉล่ียในช่วงเวลา t ถึง t +t คือ vav = s(t  t)  s(t )
t

ในที่น้ี t = 2 และ t = 4–2 = 2

ดงั น้นั อตั ราเร็วเฉล่ียวนิ าทีที่ 2 ถึงวนิ าทีท่ี 4 คือ

vav = s(4)  s(2)
4  2

= [4(4)3  3(4)2 1]  [4(2)3  3(2)2 1]

42

= 260 เมตรตอ่ วนิ าที

2. ความเร็วขณะเวลา t คือ v = ds = 12t2+ 6t

dt

และความเร็วขณะเวลา t = 4 คือ v = 12(4)2 + 6(4) = 216 เมตรต่อวนิ าที

3. ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา t คือ a= dv = 24t + 6
dt

ดงั น้นั ความเร่งของวตั ถุขณะเวลา t = 4 คือ a = 24(4) + 6 = 102 เมตรตอ่ (วนิ าที)2 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 113

ตัวอย่าง 4.4.2 จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงปริมาตรของทรงกลมเทียบกบั รัศมีขณะท่ีรัศมียาว 3 เมตร

วธิ ีทา ให้ V แทนปริมาตรของทรงกลม และ r แทนรัศมีของทรงกลม

เนื่องจากV = f(r) = 4 r3 และอตั ราการเปล่ียนแปลง V เทียบกบั r คือ dV = 4r2 

3 dr

ดงั น้นั ขณะที่ r =3 จะไดว้ า่ dV = 4(3)2 = 36 ลูกบาศกเ์ มตรต่อเมตร

dr

ตวั อย่าง 4.4.3 ปริมาณของสาร A (มีหน่วยเป็ นกรัม) เปลี่ยนแปลงไปตามเวลา t (มีหน่วยเป็น
80
วนิ าที) เป็ นไปตามสมการ A = 3t2  4 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของสารเทียบกบั เวลาใน

ขณะที่เวลาเทา่ กบั 5 วนิ าที

วธิ ีทา เน่ืองจาก อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสารเทียบกบั เวลาในขณะเวลา t คือ

dA = d ( 3t 80 4 )
dt dt
2
d
= 80 dt (3t2  4)-1

= 80(–1) (3t2– 4) -2 (6t)

= 480t
(3t2  4)2

ดงั น้นั อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณสารเทียบกบั เวลาในขณะเวลา t = 5 คือ
480t
 (3(25)2  4)2 =  2,400 กรัม/วนิ าที 

6,241

ตัวอย่าง 4.4.4 โยนลูกบอลลูกหน่ึงข้ึนในแนวด่ิงดว้ ยความเร็วตน้ 96 ฟุตต่อวนิ าที และมีระยะทางการ
เคล่ือนท่ีตามสมการ y = 96t – 16t2 โดยท่ี y มีหน่วยเป็ นฟุตและt เป็นเวลาที่นบั จากเริ่มตน้ โยนลูกบอล
มีหน่วยเป็ นวินาทีจงหา

1. ความเร็วและทิศทางของลูกบอลเมื่อเวลาผา่ นไปจากเวลาเร่ิมตน้ 2 วนิ าที
2. ลูกบอลยงั คงมีทิศทางเคลื่อนท่ีตามขอ้ 1. อีกนานเทา่ ใด
3. ลูกบอลจะข้ึนไปไดส้ ูงสุดเท่าใด
วธิ ีทา ใหล้ ูกบอลเคล่ือนท่ีเป็ นแนวด่ิง y = f(t) = 96t – 16t2

จะไดว้ า่ ความเร็วขณะเวลา t คือ v = f (t) = 96 – 32t ดงั น้นั
1. ขณะที่ t = 2 จะไดว้ า่ v = 96 – 32(2)
= 32 ฟุต/วนิ าที ทิศทางข้ึน (v เป็นบวก)
2. ลูกบอลข้ึนไปไดส้ ูงสุดเม่ือ v = 0
ดงั น้นั 96 – 32t = 0

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

114 แคลคูลสั I

จะไดว้ า่ t=3

นนั่ คือลูกบอลยงั คงมีทิศทางเคลื่อนท่ีตามขอ้ 1.ไดน้ านอีก 1 วนิ าที

3. ลูกบอลข้ึนไปไดส้ ูงสุด เท่ากบั f(3) = 96(3) – 16(32) = 144 ฟุต

และเมื่อ t > 3 ความเร็วเป็ นลบและลูกบอลมีทิศทางลง 

ตัวอย่าง 4.4.5 อนุภาคหน่ึงเคล่ือนท่ีในแนวราบ มีสมการของระยะทางการเคลื่อนที่เป็ น
s = t3 – 3t2 – 9t + 5

จงหาช่วงเวลาที่อนุภาคเคล่ือนท่ีไปทางขวาและทางซา้ ย
วธิ ีทา ใหก้ ารเคลื่อนท่ีไปทางขวาเป็นบวกและเคลื่อนท่ีไปทางซา้ ยเป็นลบ

จะไดว้ า่ ความเร็วขณะเวลา t คือ
v(t) = s(t) = 3t2 – 6t – 9
= 3(t+1)(t– 3)

ดงั น้นั เมื่อ t = –1 หรือ 3 อนุภาคจะมีความเร็วเป็นศูนย์ (หยดุ นิ่ง)
สรุปไดว้ า่ เม่ือ t < – 1 , v เป็นบวก อนุภาคเคล่ือนท่ีไปทางขวา

เมื่อ –1 < t < 3 , v เป็นลบ อนุภาคเคล่ือนท่ีไปทางซา้ ย

และเม่ือ t > 3 , v เป็นบวก อนุภาคเคล่ือนที่ไปทางขวา 

แบบฝึ กหัด 4.4

1. ลูกบอลลูกหน่ึงถูกขวา้ งข้ึนจากพ้นื ดินดว้ ยความเร็วตน้ 144 ฟุตต่อวนิ าที
กาหนดโดยสมการ s = 144t – 16t2
1.1 จงหาความเร็วของลูกบอลเมื่อ t = 1
1.2 จงหาวา่ ลูกบอลจะตกกระทบพ้นื เม่ือใด
1.3 จงหาความเร็วของลูกบอลขณะตกกระทบพ้ืน
1.4 จงหาวา่ ความเร็วของลุกบอลเป็นศนู ยเ์ ม่ือใด
1.5 จงหาวา่ ลูกบอลข้ึนไปสูงสุดเทา่ ใด

2. ในการยงิ ลูกบอลจากพ้ืนข้ึนไปในแนวด่ิงไดร้ ะยะทาง s(t) = 19.6t – 4.9t2เมตร

เม่ือ t แทนเวลามีหน่วยเป็น วนิ าที จงหา
2.1 อตั ราเร็วเฉล่ียจากเวลาวนิ าทีที่ 1 ถึงวนิ าทีที่ 2
2.2 ความเร็วและความเร่งขณะเวลา t = 2
2.3 เวลา และระยะทางที่ลูกบอลข้ึนไปสูงสุด
2.4 ความเร็วและความเร่งขณะลูกบอลกระทบพ้นื

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 115

3. การแบง่ ตวั ของแบคทีเรียในหอ้ งทดลองแห่งหน่ึงไดค้ วามสมั พนั ธ์ของจานวนแบคทีเรียB(t)

กบั เวลา t วนิ าที เป็น B(t) = e 2 0 t จงหา
3

3.1 อตั ราเร็วเฉลี่ยในการแบง่ ตวั ของแบคทีเรียจากเวลาวนิ าทีที่ 10 ถึงวนิ าทีท่ี 15

3.2 อตั ราเร็วในการแบ่งตวั ของแบคทีเรียขณะเวลา t = 10

4. อนุภาคหน่ึงกาลงั เคลื่อนท่ีไปตามแนวราบ จงพิจารณาวา่ ขณะเวลาที่กาหนดให้อนุภาคกาลงั เคล่ือนที่

ไปในทิศทางขวาหรือซา้ ย และมีความเร็วเทา่ ใด
4.1 s = t2– 3t +5 เมื่อ t = 2

4.2 s = t3– 3t2 – 7t – 2 เม่ือ t = 1
4.3 s = t3– t2 – t + 1 เม่ือ t = 1

5. อนุภาคหน่ึงกาลงั เคลื่อนท่ีไปตามแนวราบ จงหาวา่ อนุภาคจะเคล่ือนที่ไปในทิศทางขวาหรือทางซา้ ย

เมื่อใด

5.1 s = 8 – 4t + t2

5.2 s = 2t3– 3t2 – 12t + 8

5.3 s = t
1 t2

4.5 อตั ราสัมพทั ธ์

อตั ราสัมพทั ธ์ (related rates) คือ ความสมั พนั ธ์ของปริมาณ 2 ปริมาณหรือมากกวา่ ซ่ึงปริมาณ

เหล่าน้ีเป็นอนุพนั ธ์ของฟังกช์ นั เทียบกบั เวลา ถา้ เราทราบปริมาณตวั หน่ึงก็จะสามารถหาปริมาณอีกตวั

หน่ึงไดโ้ ดยใชก้ ฏลูกโซ่

dy = dy  ddux เมื่อ y = f(u) และ u = g(x)
dx du
เช่น ให้ V = ปริมาตรของทรงกลมและ r = รัศมีของทรงกลม

จะไดว้ า่

dV = อตั ราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรทรงกลมขณะเวลา t และ

dt

dr = อตั ราการเปลี่ยนแปลงรัศมีทรงกลมขณะเวลา t

dt

เนื่องจาก V = 4 r3

3

และ dV = dV  dr = d ( 4 r3)  dr

dt dr dt dt 3 dt

ดงั น้นั dV = 4r2 dr

dt dt

ซ่ึงเมื่อทราบค่าอนุพนั ธ์หน่ึงกส็ ามารถหาคา่ อนุพนั ธ์อีกคา่ หน่ึงได้

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

116 แคลคูลสั I

ตัวอย่าง 4.5.1 เติมแก๊สเขา้ บอลลูนทรงกลมในอตั ราคงท่ี 300 ลูกบาศกเ์ ซนติเมตรต่อวินาที
จงหาอตั ราการขยายตวั ของพ้ืนท่ีผวิ บอลลูนในขณะท่ีรัศมีบอลลูนเทา่ กบั 150 เซนติเมตร

วธิ ีทา ให้ V แทนปริมาตรทรงกลม
r แทนรัศมีทรงกลม
A แทนพ้ืนที่ผวิ ทรงกลม
t แทนเวลา

และจากกฎลูกโซ่ dA = dA  dr  dV ดงั น้นั dA = 8  r

dt dr dV dt dr

เน่ืองจาก ความสัมพนั ธ์ของ A กบั r คือ A = 4  r2 ดงั น้นั dV = 4r2

และเนื่องจาก ความสัมพนั ธ์ของ r กบั V คือ V = 4 r3 dr

3

จะไดว้ า่ dr = 1

dV 4r2

จากกฎลูกโซ่ จะไดว้ า่ dA = 8r( 1 2 ) dV = 2 dV ………………….. (*)
dt 4r dt r dt

เนื่องจาก อตั ราการเติมลมคือ dV = 300 ในขณะรัศมี r = 150
dt

แทนค่าใน (*) จะไดว้ า่ dA = 2 (300) = 4

dt 150

ดงั น้นั อตั ราการขยายตวั ของพ้ืนที่ผวิ บอลลูนเท่ากบั 4 ตารางเซนติเมตรต่อวนิ าที 

ตัวอย่าง 4.5.2 บนั ไดยาว 30 ฟุต วางเอียงพิงกาแพง ถา้ ปลายล่างของบนั ไดเคลื่อนท่ีออกจากกาแพง
ดว้ ยอตั ราเร็ว 5 ฟุต/วนิ าที จงหาวา่ ปลายบนของบนั ไดจะเคลื่อนลงตามกาแพงดว้ ยอตั ราเร็ว
เทา่ ใด ในขณะท่ีปลายล่างบนั ไดอยหู่ ่างกาแพง 20 ฟุต

วธิ ีทา ให้ x แทนความสูงจากพ้นื ถึงปลายบนของบนั ได
yแทนระยะทางจากกาแพงถึงปลายล่างของบนั ได

จาก อตั ราเร็วปลายล่างของบนั ไดเคล่ือนท่ีออกจากกาแพงคือ dy = 5 ฟุตต่อวนิ าที

dt

ตอ้ งการหา อตั ราเร็วปลายบนของบนั ใดเคล่ือนท่ีลงตามกาแพงคือ dx

dt

บนั ได
x 30 ฟุต

y

รูป 4.11

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 4 การประยกุ ตข์ องอนุพนั ธ์ 117

จากรูป 4.11โดยทฤษฎีบทของพีทาโกรัสจะไดว้ า่ x2= (30)2– y2 หรือ x2= 900 –y2

ดงั น้นั d x2= d (900 y2) และไดว้ า่ dx = y
dy x
dy dy

จากกฏลูกโซ่ dx = dx  dy
dt dy dt

แทนค่า dx = y (5) ………………………………… (*)
dt x
เม่ือ y = 20 จะไดว้ า่ x2 = 900 – (20) 2= 500 นนั่ คือ x = 10 5

ดงั น้นั dx = 20 (5) =2 5
dt 10 5

นน่ั คือในขณะที่ปลายล่างบนั ไดอยหู่ ่างกาแพง 20 ฟุต ปลายบนของบนั ใด

จะเคล่ือนลงตามกาแพงดว้ ยอตั ราเร็ว 2 5 ฟุตต่อวนิ าที 

แบบฝึ กหดั ที่ 4.5

1. จงหาอตั ราการเปล่ียนแปลงเฉลี่ยของพ้นื ท่ีวงกลมเทียบกบั รัศมีเม่ือรัศมีวงกลมเปลี่ยนจาก 3 หน่วย
เป็น 5 หน่วย

2. จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงของพ้นื ที่ส่ีเหล่ียมจตั ุรัสเทียบกบั ความยาวของดา้ นในขณะที่ดา้ นของ
สี่เหล่ียมมีค่าใด ๆ และขณะท่ีดา้ นยาว 6 หน่วย

3. ปล่อยน้าเขา้ สระไดป้ ริมาณน้าตามสมการ V = (180 – 16t) เมื่อ Vแทนปริมาณน้ามีหน่วยเป็น
ลูกบาศกเ์ มตร และ t แทนเวลามีหน่วยเป็น นาที
3.1 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงปริมาณน้าโดยเฉล่ียเมื่อเวลาเริ่มจากนาทีท่ี 8 ถึงนาทีท่ี 10
3.2 จงหาอตั ราการเปลี่ยนแปลงปริมาณน้า ขณะเวลา t ใด ๆ

4. จงหาอตั ราเร็วของการเพ่ิมของพ้ืนท่ีส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสถา้ ดา้ นของส่ีเหล่ียมจตั ุรัสเพิม่ ดว้ ยอตั ราเร็ว
10 เซนติเมตร/วนิ าที ขณะที่ความยาวของดา้ นสี่เหล่ียมจตั ุรัสยาว 160 เซนติเมตร

5. ปล่อยน้าลงถงั รูปกรวยกลมสูง 6 เมตร รัศมีฐานยาว 4 เมตรโดยที่จุดยอดกรวยอยดู่ า้ นล่าง
ถา้ อตั ราการไหลของน้าเท่ากบั 3 ลูกบาศกเ์ มตร/นาที จงหาอตั ราความสูงของระดบั น้าขณะที่
ระดบั น้าสูง 5 เมตร

6. ชายคนหน่ึงสูง 6 ฟุตเดินออกจากเสาไฟฟ้ าท่ีมีหลอดไฟบนเสาอยสู่ ูงจากพ้ืน 18 ฟุต ดว้ ยอตั ราเร็ว
5 ฟุต/วนิ าที จงหาวา่ เงาของเขาจะยาวข้ึนดว้ ยอตั ราเร็วเท่าใด ขณะท่ีเขาอยหู่ ่างจากเสาไฟ 13 ฟุต

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

118 แคลคูลสั I
คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5
ปริพนั ธ์ของฟังก์ชันและการประยกุ ต์

แคลคูลสั เชิงปริพนั ธ์ (integral calculus) เป็นการหาคา่ ของฟังกช์ นั จากอนุพนั ธ์ท่ีกาหนดให้ หรือ
การหาผลรวมของค่าใดค่าหน่ึงเช่น การศึกษาอตั ราการเปล่ียนแปลงของy เทียบกบั เวลา x ซ่ึงอาจมี

ความสัมพนั ธ์เป็น dy = F(x) เรียกวา่ สมการอนุพนั ธ์(differential equation) แลว้ หาความสมั พนั ธ์ของ

dx

y กบั x นน่ั คือตอ้ งหา y = f(x) โดยใชก้ ระบวนการตรงขา้ มกบั การหาอนุพนั ธ์ เรียกวา่ การหาปริพนั ธ์
หรือ การอินทิเกรต (integration) ในบทน้ีจะกล่าวถึงปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขต (indefinite integral) การ
ประยกุ ตข์ องปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขต และปริพนั ธ์จากดั เขต (definite integral)

5.1 ปริพนั ธ์ไม่จากดั เขต dy
dx
ในหวั ขอ้ น้ี เราตอ้ งการหาฟังกช์ นั y = f(x) ท่ีสอดคลอ้ งกบั สมการอนุพนั ธ์ = F(x) ท่ี

กาหนดให้

บทนิยาม 5.1.1ฟังกช์ นั F(x) จะเรียกวา่ ปฏิยานุพนั ธ์ (antiderivative) ของฟังกช์ นั f(x) บนช่วง [a,b]

ก็ตอ่ เม่ือ F(x) = f(x) สาหรับทุกๆ x  (a , b)

ตัวอย่าง 5.1.1 จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้

1. f(x) = 5x – 8

2. f(x) = cos 2x

3. f(x) = e3x – 4

วธิ ีทา 1. ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = 5x – 8 คือ

F1 (x)  5 x 2  8x เพราะวา่ F1(x)  5x 8
2 เพราะวา่ F2(x)  5x 8
5 เพราะวา่ F3(x)  5x 8
F2 (x)  2 x2  8x  3

F3 (x)  5 x2  8x  5
2

 5
2
ดงั น้นั ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = 5x – 8คือ F(x)  x 2 8x  C เมื่อ C เป็นคา่ คงตวั

เช่นเดียวกบั ขอ้ 1. จะไดว้ า่

2. ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = cos 2x คือ F(x)  1 sin 2x  C
2
1
3. ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = คือe2x3 F(x)  3 e 3x4 C 

คณะวทิ ยาศาสตร์

120 แคลคูลสั I

จากตวั อยา่ ง 5.1.1 เมื่อ C เป็นคา่ คงตวั จะเห็นวา่
1) ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ต่อเน่ืองแลว้ จะมีจานวนฟังกช์ นั ที่เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) ไม่จากดั
2) ถา้ F1(x) และ F2(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) แลว้ F1(x) – F2(x) = C
3) ถา้ F(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) แลว้ F(x) + C เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x)

บทนิยาม 5.1.2  f(x)dx จะเรียกวา่ ปริพนั ธ์ไม่จากดั เขตของ f(x) เทียบกบั x
กต็ อ่ เมื่อ  f(x)dx เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x)
ถา้ F(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) แลว้
f(x) dx = F(x) + C เม่ือ C เป็นคา่ คงตวั
เรียก f(x) วา่ ปริพัทธ์ (integrand) ของการหาปริพนั ธ์
เรียก x วา่ ตัวแปร (variable) ของการหาปริพนั ธ์
เรียก F(x) วา่ ปริพนั ธ์เฉพาะ (particular integral)
เรียก F(x) + C วา่ ปริพนั ธ์ทั่วไป (general integral)
และเรียกกระบวนการหา F(x) + C วา่ การหาปริพนั ธ์

ตวั อย่าง 5.1.2 จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้

1.  8 dx

2.  (6x – 5)dx

3.  sin x dx

4.  e5x – 2 dx

วธิ ีทา

1. เนื่องจาก ddx (8x + C) = 8 ดงั น้นั  8dx = 8x + C
2. เนื่องจาก ddx (3x2– 5x + C) = 6x – 5 ดงั น้นั  (6x – 5)dx = 3x2– 5x + C
3. เน่ืองจาก ddx ( cos x + C) = – sin x ดงั น้นั sin x dx = – cos x + C
ddx ดงั น้นั e5x – 2 dx = 1 e5x – 2 + C
4. เนื่องจาก ( 1 e5x – 2 + C ) = e5x – 2 
5 5

เน่ืองจากการหาปริพนั ธ์ของปริพทั ธ์โดยใชบ้ ทนิยามน้นั ไมส่ ะดวก ดงั น้นั เพื่อใหก้ ารจาและ
นาไปใชง้ ่ายข้ึนเราจึงใชท้ ฤษฎีบทหรือสูตรเพ่อื หาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ดงั น้ี

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 121

ทฤษฎบี ท 5.1.1 ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ และ C เป็นตวั คงตวั แลว้

1.  f(x)dx = f(x) + C
2. ddx ( f(x) dx) = f(x)
พสิ ูจน์ 1. จากบทนิยาม 5.1.1จะไดว้ า่ f(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x)

และจากบทนิยาม 5.1.2 จะไดว้ า่  f(x)dx = f(x) + C

2. ให้ F(x) เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(x) 
จะไดว้ า่ ddx F(x) = f(x)
และ  f(x) dx = F(x) + C
ddx [f(x) dx] = ddx F(x)
ดงั น้นั ddx ( f(x) dx) = f(x)

ทฤษฎบี ท 5.1.2 ถา้ F(u) , f(u) และ u(x) เป็นฟังกช์ นั โดยที่ ddx [F(u) + C] = f(u) ddux แลว้
f(u) du = F(u) + C เมื่อ C เป็นตวั คงคา่
พสิ ูจน์ จาก ddx [F(u) + C] = f(u) ddxu
จากบทนิยาม 5.1.1จะไดว้ า่ F(u) + C เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ f(u) ddxu
จากบทนิยาม 5.1.2 จะไดว้ า่  f(u) ddux dx = F(u) + C
จากบทนิยามผลต่างเชิงอนุพนั ธ์ du = ddux dx
ดงั น้นั  f(u) du = F(u) + C


ทฤษฎบี ท 5.1.3 ถา้ u และ v เป็นฟังกช์ นั ของ x ที่มีปฏิยานุพนั ธ์ และ C เป็นตวั คงตวั แลว้

1.  du = u + C

2. ku dx = k  u dx เม่ือ k  0 เป็นค่าคงตวั

3.  (u + v) dx =  u dx +  v dx

4. undu = nu n1 + C เม่ือ n  –1 เป็นค่าคงตวั

1
5.  duu = ln u + C
พสิ ูจน์ 1. จากบทนิยามผลต่างเชิงอนุพนั ธ์ du = udx

จะไดว้ า่  du =  udx

จากทฤษฎีบท 5.1.1 ดงั น้นั  du = u + C

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

122 แคลคูลสั I

2. จะพสิ ูจนว์ า่ ku dx = k  u dx

เนื่องจาก ddx [k u dx ] = k ddx [ u dx ]

จากทฤษฎีบท 5.1.1 ddx [k u dx ] = k u
ดงั น้นั k u dx เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ ku

จากบทนิยาม 5.1.2 จะไดว้ า่ ku dx = k  u dx

3. จะพสิ ูจน์วา่  (u + v) dx =  u dx +  v dx
เนื่องจาก ddx [ u dx + v dx] = ddx [ u dx] + ddx [  v dx]

= u+v

ดงั น้นั  u dx +  v dx เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ u + v

จากบทนิยาม 5.1.2 จะไดว้ า่  (u + v) dx =  u dx +  v dx

4. เน่ืองจาก ddx ( nun11 + C) = (nn  11)un ddux

= un ddxu
n1
จากทฤษฎีบท 5.1.2 ดงั น้นั undu = nu + C เมื่อ n  –1 เป็นคา่ คงตวั
1

5. เนื่องจาก ddx (ln u + C) = 1u  ddxu 
ดงั น้นั  duu = ln u + C

ทฤษฎบี ท 5.1.4 ถา้ u เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ท่ี x และ a เป็นค่าคงตวั C เป็นตวั คงค่า แลว้

1.  du = sin-1 ua + C หรือ– cos-1 ua + C เมื่อ a2 u2
a2  u2
du 1 tan-1 u 1 cot-1 u
2.  a2  u2 = a a  C หรือ – a a  C เม่ือ a 0

3. u du a2 = sseecc-1-1uaua , ua หรือ 1 sec-1 u เมื่อ u a
u2  , u  a a a

พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจาก ddx ( sin-1 ua + C) = 1a  ddxu
u2
1  a2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 123

= 1 du
a2  u2 dx
ดงั น้นั sin-1 ua + C เป็นปฏิยานุพนั ธ์ของ 1  ddux
a2  u2
du sin-1 ua
จากทฤษฎีบท 5.1.2 จะไดว้ า่  a2  u2 = + C

ในทานองเดียวกนั จะไดว้ า่  du = – cos-1 ua + C เม่ือ a2 u2
a2  u2
dd(xua )
2. เน่ืองจาก d ( 1a tan-1 u  C) = 1a  1 1 
dx a ( ua )2


= 1a  a2 1 u2  1a ddxu


a2
1  ddux
= a2  u2

จากทฤษฎีบท 5.1.2จะไดว้ า่  du = 1 tan-1 u C
a2  u2 a a
du 1 u
ทานองเดียวกนั จะไดว้ า่  a2  u2 = – a cot-1 a  C เมื่อ a  0

สาหรับ 3. สามารถพสิ ูจนไ์ ดใ้ นทานองเดียวกนั 

ทฤษฎบี ท 5.1.5 ถา้ u เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ที่ x และ a, C เป็นคา่ คงตวั แลว้

1.  du = 21a ln uu  aa  Cเม่ือ u2 a2
u2  a2


2.  a2 du = 21a ln aa  uu  Cเม่ือ a2 u2
 u2


3.  du = ln u u2  a2  C เมื่อ u2 a2
u2  a2
du u2  a2  C
4.  u2  a2 = ln u

พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจาก ddx (21a ln uu  aa  C) = 21a [ ddx ( ln (u  a)  ln (u  a))]

 21a 1 1 ddxu
u2
= [ u  a u  a]
=  ddxu
1 a2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

124 แคลคูลสั I

จากทฤษฎีบท 5.1.2 จะไดว้ า่  du a2 = 21a ln uu  aa C
u2 


สาหรับการพสิ ูจน์ 2.– 4. สามารถพิสูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1. 

5.1.1 การหาปริพนั ธ์ของฟังก์ชันพชี คณติ
จากสูตรหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ขา้ งตน้ สามารถใชห้ าปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั พชี คณิตไดด้ งั น้ี

ตวั อย่าง 5.1.3 จงหาปริพนั ธ์ของ y = 5 (ku dx = k  u dx ) 
( du = u + C )
วธิ ีทา  y dx = 5 dx
(C = 5C1)
= 5dx
= 5(x + C1)
= 5x + 5C1
= 5x + C

ตวั อย่าง 5.1.4 จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั f(x) = 4x3 + 2x – 5

วธิ ีทา  f(x) dx =  (4x3 + 2x – 5 ) dx

= 4x3 dx +  2x dx – 5 dx ( (u + v) dx =  u dx +  v dx )

= 4 x3 dx + 2 x dx – 5  dx (ku dx = k  u dx )

= 4( x 31 +C1) + 2( x11 +C2) – 5(x+C3) (undu = nun11 + C )
3 11
1
4x 4 2x 2
= 4  2 5x + (4C1+2C2–5C3)

= x4 + x2 – 5x + C (C = 4C1+2C2–5C3) 

เพ่ือความสะดวก ต่อไปเราจะบวกคา่ คงตวั C เสมอ

ตวั อย่าง 5.1.5 จงหาปริพนั ธ์  5 dx
x
วธิ ีทา  5 dx = 5 x1
x dx

= 5ln x + C 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 125

ตวั อย่าง 5.1.6 จงหาปริพนั ธ์  ( 4x 1  5x 2 ) dx
2 3

วธิ ีทา ( ) dx =1 2 1 1 2 1

4x 2  5x 3 4x 2  5x 3  C
1 1 2 1
23

35
= 4x 2
3  5x 3 C
5

23
3
= 5 C 
8x 2
3  3x 3

ตวั อย่าง 5.1.7 จงหาปริพนั ธ์  (4x3– 3 3 x2 + 8)dx
x2
3 3 x2
วธิ ีทา (4x3– x2 + 8) dx = 4x3dx –  3 dx   3 x2 dx +8dx
x2
2
=  4x3dx –  3x–2dx +  x 3 dx + 8dx

= 4 x3dx – 3 x–2dx +  x 2 dx + 8 dx
3

= 4x 4  3x 1  5  8x
4 -1
x3
5
3
5
3 3x 3
= x4 + x  5  8x

= x4 + 3 3x 3 x2  8x  C 
x 5

ตวั อย่าง 5.1.8 จงหาปริพนั ธ์ dx
 x2 9
dx dx
วธิ ีทา  x 2 9 =  x2  32

= 1 ln x3 C (  du a2 = 21a ln uu  aa C )
2(3) x3 u2 


= 1 ln x3 C เม่ือ x 3หรือ x  – 3 
6 x3

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

126 แคลคูลสั I

ตัวอย่าง 5.1.9 จงหาปริพนั ธ์  dx
x2 4
dx dx
วธิ ีทา  x2 4 = x2 22

= ln x  x2 4 C ( du = ln u u2  a2  C ) 
u2  a2 

ตัวอย่าง 5.1.10 จงหาปริพนั ธ์  5 dx 2
x
dx dx
วธิ ีทา  5 x 2 = ( 5)2  x2

= 1 tan–1 x + C (  du = 1 tan–1 ua + C เม่ือ a 0 )
5 5 a2  u2 a

แบบฝึ กหดั 5.1 ก

1. จงหาปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.1 y = 10 1.2 y = x3– 5
y = x12
1.3 f(x) = tan 5x sec 5x 1.4 f(x) = 1

1.5 f(x) = 3x2 + 5x + 3 1.6 x

2. จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ท่ีกาหนดให้ตอ่ ไปน้ี

2.1  5 dx 2.2  6x dx
 (3 + 5x – 4x3 + x4) dx
2.3  x5 dx 2.4

2.5  (2x – 3 ) dx 2.6  ( 2  3  1 ) dx
2.8 x3 x2 1x 3
x  ( x x2 ) dx
3
2.7 2 x dx

2.9  dx 2.10  dx
1x2 2.12 x2 4
2.14
2.11  9 dx 2  dx 2
x 25  x
dx dx
2.13  2  9x2
x 5

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 127

5.1.2 การหาปริพนั ธ์โดยการแทนค่า
ปริพนั ธ์ของปริพทั ธ์บางฟังกช์ นั ไม่สามารถหาโดยใชส้ ูตรโดยตรงได้ ตอ้ งมีการ

จดั รูปแบบฟังกช์ นั ใหม่ หรือแทนคา่ ฟังกช์ นั ดว้ ยตวั แปรใหม่ดงั ตวั อยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่าง 5.1.11 จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี
1.  (2x + 5)4dx

2.  3x2 dx

x3  4

3.  4x2 x3  5 dx

วธิ ีทา 1. ให้ u = 2x + 5 จะไดว้ า่ du = 2dx

ดงั น้นั dx = 1 du
2
 (2x + 5)4dx =  u4 1 du = 1 
2 2 u4du

= 1 ( u5 ) C ( undu = un n1 + C )
2 5
(2x  5)5 1
10
= C 

2. ให้ u = x3– 4 จะไดว้ า่ du = 3x2dx
1
ดงั น้นั dx  3x 2 du

 3x 2 4 dx =  3x 2  1 du =  duu
x3  u 3x 2
(  1u du = ln u + C )
= ln u + C

= ln x3  4 + C

3. ให้ u = x3+ 5 จะไดว้ า่ du = 3x2 dx
 4x2 x3  5 dx 1
ดงั น้นั dx = 3x2 du
มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี
=  4x2 u ( 1 ) du
3x2

= 4  u du
3

= 34 1 du

u2

128 แคลคูลสั I

3 ( undu = unn11 + C )

= 4(u2 ) C

33

2

= 8 u3 + C
9

= 8u u + C
9

= 8 (x3  5) x3  5 + C
9

ตวั อย่าง 5.1.12 จงหาปริพนั ธ์  dx
7  x2

วธิ ีทา ให้ u = x และ a = 7 จะไดว้ า่ du = dx

 dx = ( dx
7  x2 7)2  x2
= sin–1 ua + C เมื่อ a2 u2) 
= sin–1 x + C เม่ือ 7 x2 (  du
7 a2  u2

ตวั อย่าง 5.1.13 จงหาปริพนั ธ์  dx

4x 2 16

วธิ ีทา  dx =  dx
(2x) 2  42
4x 2 16

ให้ u = 2x และ a = 4

จะไดว้ า่ du = 2dx
ดงั น้นั dx = d2u

dx =  u2 1 a2 d2u
 (2x)2  42
12 
du
=  u2  a2

= 1 ( 1 ln 2x  4 )+C (  u du 2 = 21a ln uu  aa  Cเมื่อ u2 a2)
2 2(4) 2x  4 2 a


= 1 ln 2x  4  C เม่ือ 2x 4 หรือ 2x  –4 

16 2x  4

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 129

แบบฝึ กหัด 5.1 ข

จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่กาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1.  (2x  3)11dx 11.  3e x dx
ex 2

2.  3x 1 dx 12.  cos x dx
sinx 1
dx
3.  2x(x 2  8)5 dx 13.  3  4x 2

4.  (x  4) 3 x2  8x  3 dx 14.  x dx
9  x4
dx
5. x 2 (x 3  5) 4 15. 
2
dx 4x 16

dx
6.  2x x2  4 dx 16.  5  9x 2

7.  (x 1) 3 x2  2x  8 dx 17.  si3ncxosx2dx

8.  dx 5 18.  dx
3x  8  4x 2

9.  5x dx 19.  xdx
x2 7 x2 7
cos x dx
10.  4sin 1 20.  x (1– x2) 20 dx

5.1.3 การหาปริพนั ธ์ของฟังก์ชันอดศิ ัย
จากบทนิยามของปฏิยานุพนั ธ์และบทนิยามของปริพนั ธ์ไมจ่ ากดั เขตจะไดท้ ฤษฎีบทการหา
ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั อดิศยั ดงั น้ี
ทฤษฎบี ท 5.1.6 ถา้ u เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ที่ x และ C เป็นตวั คงตวั แลว้
1. au du = lanua  C เม่ือ a  0 และ a  1
2. eu du = eu + C

พสิ ูจน์ 1. เน่ืองจาก ddx ( lanua  C) = ln1a ddx (au) = aulnlnaa ddux = au ddxu

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

130 แคลคูลสั I 

จากทฤษฎีบท 5.1.2 จะไดว้ า่  au du = lanua  C

สาหรับ 2. สามารถพิสูจนไ์ ดใ้ นทานองเดียวกนั กบั 1.

ทฤษฎบี ท 5.1.7 ถา้ u เป็นฟังกช์ นั ที่มีอนุพนั ธ์ที่ x และ C เป็นคา่ คงตวั แลว้

1. sin u du = – cos u + C
2.  cos u du = sin u + C

3.  tan u du = ln sec u + C หรือ – ln cos u + C

4.  cot u du = ln sin u + C หรือ – ln csc u + C

5.  sec u du = ln sec u  tan u C หรือ ln tan 2u   +C
4
6.  csc u du = ln csc u  cot u  C หรือ ln tan u2 + C
7.  sec2u du = tan u + C

8.  csc2u du = – cot u + C

9.  sec u tan u du = sec u + C

10. csc u cot u du = – csc u + C

พสิ ูจน์ 1. เนื่องจาก ddx (– cos u + C) = sin u ddxu
จากทฤษฎีบท 5.1.1 จะไดว้ า่ sin u du = – cos u + C

สาหรับ 2. , 7. – 10. สามารถพสิ ูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1.
3. เนื่องจาก ddx (ln | sec u | + C )= se1c u ddx (sec u)

= secseuctaun u ddux
= tan u ddux
หรือ ddx (–ln | cos u | + C ) = ddx (ln ( cos u )–1+ C )

= ddx (ln( sec u ) + C )
= tan u ddux
จากทฤษฎีบท 5.1.1 จะไดว้ า่  tan u du = ln sec u + C หรือ – ln cos u + C

สาหรับ 4. – 6. สามารพสิ ูจน์ไดท้ านองเดียวกนั กบั 3. 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 131

ทฤษฎบี ท 5.1.8 ถา้ u เป็นฟังกช์ นั ท่ีมีอนุพนั ธ์ที่ x และ C เป็นคา่ คงตวั แลว้
1. sinh u du = cosh u + C
2. cosh u du = sinh u + C
3. tanh u du = ln | cosh u | + C
4. coth u du = ln | sinh u | + C
5.  sech2 u du = tanh u + C
6.  csch2 u du = – coth u + C
7. sech u tanh u du = – sech u + C
8. csch u coth u du = – csch u + C

พสิ ูจน์ 1. เนื่องจาก ddx (cosh u + C ) = sinh u ddux
จากทฤษฎีบท 5.1.1 จะไดว้ า่ sinh u du = cosh u + C

สาหรับ 2. , 5. – 8. สามารถพสิ ูจนไ์ ดท้ านองเดียวกนั กบั 1.
3. เนื่องจาก ddx (ln | cosh u | + C ) = cos1h u ddx (cosh u)

= csionshhuu ddux = tanh u ddxu
จากทฤษฎีบท 5.1.1จะไดว้ า่ tanh u du = ln | cosh u | + C

สาหรับ 4. สามารถพิสูจน์ไดท้ านองเดียวกนั กบั 3. 

ตวั อย่าง 5.1.14 จงหาปริพนั ธ์  (3sin x – e-x)dx 
วธิ ีทา (3sin x – e-x) dx = 3sin x dx– e-xdx 

= –3cos x +e-x+ C

ตัวอย่าง 5.1.15 จงหาปริพนั ธ์ 2cos4xdx

วธิ ีทา ให้ u = 4x จะไดว้ า่ du = 4dx ดงั น้นั dx = 1 du

4

2cos4xdx = 2cos u 1 du = 2 cos u du
44
1
= 2 sin u  C ( cos u du = sin u + C )

= 1 sin 4x  C

2

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

132 แคลคูลสั I

ตวั อย่าง 5.1.16 จงหาปริพนั ธ์  e3x - 4 dx (  eu du = eu+ C )

วธิ ีทา ให้ u = 3x – 4 จะไดว้ า่ du = 3dx 

ดงั น้นั dx = 1 du 
3

 e3x - 4 dx =  eu 1 du = 1  eudu
33
= 1 eu  C
3
= 1 e3x4  C
3

ตัวอย่าง 5.1.17 จงหาปริพนั ธ์  7x tan x2 dx

วธิ ีทา ให้ u = x2 จะไดว้ า่ du = 2x dx

ดงั น้นั dx = 21x du
21x
 7x tan x2 dx =  7x tan u ( du ) = 7  tan u du
2

= 7 ln |sec u | + C (  tan u du = ln sec u + C )
2

= 7 ln |sec x2 | + C
2

ตัวอย่าง 5.1.18 จงหาปริพนั ธ์  ln 3x dx
x
1 1
วธิ ีทา ให้ u = ln 3x จะไดว้ า่ du = 1 d(3x) = 3x (3)dx  x dx

3x

 xu (x du) ดงั น้นั dx = x du

 ln 3x dx = =  u du
x
= u22  c n1
(  undu = nu + C )
1
= 12 (ln 3x)2+ C

ตัวอย่าง 5.1.19 จงหาปริพนั ธ์  x2tanh 4x3 dx

วธิ ีทา ให้ u = 4x3 จะไดว้ า่ du = 12x2 dx ดงั น้นั dx = du

12x 2

 x2tanh 4x3 dx =  x2tanh u du = 1  tanh u du
12
12x 2

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 133

= 1 ln sech u + C (  tanh u du = ln secu + C )
12

= 1 ln sech 4x3 + C
12

ตวั อย่าง 5.1.20 จงหาปริพนั ธ์  e3x sinh e3x dx
วธิ ีทา ให้ u = e3x จะไดว้ า่ du = 3e3x dx

ดงั น้นั dx = du

3e3x

 e3x sinh e3x dx = e3xsinh u du
3e3x

= 1  sinh u du
3

= 1 (–cosh u) + C (  sinh u du = –cosh u + C )
3

= – 1 cosh e3x + C 
3

แบบฝึ กหัด 5.1 ค

จงหาปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั ที่กาหนดให้

1. 3e2xdx 2. 3x2ex3dx
3.  2x dx 4.  25xdx
6.  sin 3x dx
5.  tan 2x dx
8.  2cos 2x esin 2xdx
7.  cos (3x  2) dx

9.  2x cos x2 dx 10.  sin x cos x dx

11.  cos x dx 12.  sec 2 x 2 dx
sin x tan x 

13.  4x3sec2(x4) dx 14.  1 sec ( 1 ) dx
x2 x
3sin x
15.  cos 3x sin43x dx 16.  cos x  1 dx

17.  2sec2x tan x dx 18.  4 csc2x dx
 cot x
19.  tanh 3x sech 3x 20.  sinh x cosh2 x dx

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

134 แคลคูลสั I

5.2 การประยุกต์ของปริพนั ธ์ไม่จากดั เขต
ในบางปัญหาเมื่อเขียนความสมั พนั ธ์ของเงื่อนไขแลว้ ไดส้ มการที่มีอนุพนั ธ์ของตวั แปร การหา

คา่ ตวั แปรตอ้ งกาจดั อนุพนั ธ์โดยอาศยั การหาปริพนั ธ์ซ่ึงอยใู่ นรูป y = f(x) + C โดยที่ C เป็นคา่ คงตวั
ถา้ y = f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนุพนั ธ์ไดท้ ี่ x
แลว้ f (x) จะเป็ นความชนั ของเส้นโคง้ f ที่จุด (x,y)
ในทางกลบั กนั ถา้ กาหนดความชนั ของเส้นโคง้ f ที่จุด (x,y) มาใหเ้ ป็น f (x)
แลว้ ปฏิยานุพนั ธ์ทว่ั ไป หรืออินทิกรัลไม่จากดั เขตของ f  คือ ฟังกช์ นั f

ตวั อย่าง 5.2.1 จงหาสมการเส้นโคง้ ท่ีผา่ นจุด (2, 1) และมีความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจุด (x , y) ใด ๆ

เป็ น (x – 5)2

วธิ ีทา ให้ y = f(x) เป็นสมการเส้นโคง้

เนื่องจาก f (x) = (x – 5)2

ดงั น้นั  f (x)dx = (x  5)2dx

จะไดว้ า่ y = f(x) = (x  5)2d(x  5)

= 1 (x  5)3  C ……… (*)
3

จะหาคา่ คงตวั C

เน่ืองจากเส้นโคง้ ผา่ นจุด (2 , 1)

ดงั น้นั x = 2 , y = f(x) = 1

จาก (*) จะไดว้ า่ 1 = (2  5)3 + C
จะไดว้ า่
3

C=–8

ดงั น้นั สมการเส้นโคง้ คือ y = 1 (x – 5)3 – 8 

3

ตัวอย่าง 5.2.2 ถา้ อตั ราการเปลี่ยนแปลงของความชนั ของเส้นโคง้ ท่ีจุด (x,y) ใด ๆ เท่ากบั

3x2 1 และเส้นโคง้ น้ีสัมผสั กบั เส้นตรง 2x+ y = 1 ท่ีจุด (1,1) จงหาสมการเส้นโคง้ น้ี

วธิ ีทา ให้ y = f(x) เป็นเส้นโคง้ และอตั ราการเปลี่ยนแปลงชวั่ ขณะของ dy ท่ีจุด (x,y) ใด ๆ เท่ากบั
dx

d2y  3x 2 1
dx 2

หรือ d  dy   3x 2 1
dx  dx 

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 135

ดงั น้นั  dy  3x2 1 dx  x3  x  C1 ……………….. (*)

dx

จะหา C1

เน่ืองจากเส้นตรง 2x + y =1 ซ่ึงมีความชนั เป็น –2 สัมผสั เส้นโคง้ น้ีท่ีจุด (1,1)

ดงั น้นั 2  13 1  C1

C1  2

จาก (*) จะไดว้ า่ dy  x3  x  2
ดงั น้นั dx

 dy = y  x3  x  2 dx
dx

y x4  x2  2x  C2
4 2

จะหา C2

เนื่องจากเส้นโคง้ น้ีผา่ นจุด (1,1)

ดงั น้นั 14 12
สมการของเส้นโคง้ น้ีคือ
1  4  2  2x  C2

C2  13
4

y  x4  x2  2x  13 
42 4

กรณีวตั ถุเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงและตาแหน่งของวตั ถุที่เวลา t มีสมการ s  f (t) แลว้

ความเร็ว v  ds  f t ,

dt

ความเร่ง a  dv  f t

dt

ในทางกลบั กนั ถา้ กาหนดความเร่งหรือความเร็วของวตั ถุที่เวลา t มาให้
เราสามารถหาความเร็วและระยะทางของวตั ถุท่ีเวลา t ได้ คือ

v = a dt = f (t) dt เมื่อกาหนด v ท่ีเวลาใดเวลาหน่ึง
และ s = v dt = f (t) dt เมื่อกาหนด s ที่เวลาใดเวลาหน่ึง

กรณีท่ีวตั ถุเคล่ือนที่ในแนวด่ิง (ข้ึนบนหรือลงล่าง) และ a เป็นความเร่งของวตั ถุท่ีเวลา t
จะไดว้ า่ | a | = g = 10 เมตร/(วนิ าที) 2 หรือ g = –32 ฟุต/(วนิ าที)2
เมื่อ g เป็นความเร่งเนื่องจากแรงโนม้ ถ่วงของโลก

ตัวอย่าง 5.2.3 ลูกบอลกลิ้งไปบนสนามหญา้ ดว้ ยความเร็วตน้ 10 เมตร/วนิ าที ถา้ ความเร็วของลูกบอล
ลดลงดว้ ยอตั ราเร่ง 1.5 เมตร/(วนิ าที) 2 จงหาวา่ ลูกบอลน้ีกลิ้งไปไดไ้ กลกี่เมตรจึงหยดุ นิ่ง
วธิ ีทา ให้ a แทน ความเร่งของลุกบอลเม่ือเวลา t วนิ าที

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

136 แคลคูลสั I

v แทน ความเร็วของลูกบอลเมื่อเวลา t วนิ าที

s แทน ระยะทางที่ลูกบอลห่างจากจุดเริ่มตน้ เม่ือเวลา t วนิ าที

เนื่องจาก v = a dt = (–1.5) dt

= –1.5t + C1

เมื่อ t = 0 จะไดว้ า่ v = 10 ทาใหไ้ ด้ C = 10
1

ดงั น้นั v  1.5t 10

และเน่ืองจาก

s   v dt

  1.5t 10 dt

 1.5t 2  10t  C2
2
เม่ือ t = 0 จะไดว้ า่ s = 0 ทาใหไ้ ด้ C = 0
2

ดงั น้นั s  1.5t2  10t ……………….. (*)
2

เน่ืองจาก ลูกบอลหยดุ นิ่งเม่ือ v = 0

ดงั น้นั 1.5t + 10 = 0

จะไดว้ า่ t = 20 วนิ าที
3

จาก (*) ลูกบอลกลิ้งไปไดร้ ะยะทางไกล s= 1.5  20 2  10  20   33 1 เมตร 
2  3  3  3

ตัวอย่าง 5.2.4 วตั ถุถูกปล่อยข้ึนไปในอากาศในแนวด่ิงดว้ ยความเร็วตน้ 120 ฟุต/วนิ าที ถา้ วตั ถุมี
ความเร่งตามแรงดึงดูดของโลกคือ g = –10 เมตร/(วนิ าที)2 จงหา

1. ความเร็วของวตั ถุขณะเวลาใดๆ
2. วตั ถุข้ึนไปสูงสุดกี่เมตร
3. ความเร็วขณะวตั ถุตกถึงพ้ืน
วธิ ีทา ให้ s แทน ระยะที่วตั ถุอยสู่ ูงจากพ้ืน

t แทน เวลา
v แทน ความเร็วขณะเวลา t ใด ๆ
และ g แทน ความเร่ง
จะไดว้ า่ v = ddst และ g = ddvt และจากเงื่อนไขเริ่มตน้ คือ s = 0 , t = 0 และ v = 120
เน่ืองจาก g = ddvt ดงั น้นั ddvt = –10

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทที่ 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 137

1. จาก v =  ddvt dt =  (10) dt

จะไดว้ า่ v = –10t + C

จากเงื่อนไขเร่ิมตน้ ดงั น้นั C = 120 + 10(0) = 120

นน่ั คือ ความเร็วขณะเวลา t ใดๆ คือ v = –10t + 120 เมตร / วนิ าที

2. วตั ถุข้ึนสูงสุดเม่ือ v = 0

ดงั น้นั จาก 1. –10t +120 = 0 จะไดว้ า่ t = 12 ...................(*)
และจาก v = ddst ดงั น้นั ddst = –10t + 120 ...................(**)
จากระยะทาง s =  ddst dt = (10t 120) dt
s = –5t2+ 120t + C

C = s + 5t2 – 120t

จากเงื่อนไขเร่ิมตน้ ทาให้ได้ C = 0 + 0 – 0 = 0

ดงั น้นั จาก (**) จะไดว้ า่ s = –5t2+ 120t

และจาก (*) ดงั น้นั วตั ถุข้ึนสูงสุดคือ

s = –5(12)2 + 120(12) = 720 เมตร

3. วตั ถุตกถึงพ้นื เม่ือ s = 0 ดงั น้นั –5t2+ 120t = 0

t(–5t + 120) = 0

t = 24 , 0

เน่ืองจาก v = –10t + 120

ดงั น้นั วตั ถุตกถึงพ้ืนขณะท่ีความเร็ว v = –10(24) + 120

= –120 เมตร / วนิ าที 

ตวั อย่าง 5.2.5 จากการวเิ คราะห์อตั ราการเพิ่มรายไดจ้ ากการขายของบริษทั แห่งหน่ึงไดส้ มการเป็น

dP = 3 8 เมื่อ P(x) เป็นรายไดจ้ ากการขายสินคา้ x ชิ้น (หน่วยเป็นบาท) ถา้ P(0) = 0 แลว้
dx (5x  4)2

จงหารายไดจ้ ากการขายสินคา้ 10,000 ชิ้น

วธิ ีทา เนื่องจากอตั ราการเปลี่ยนแปลงของรายได้ คือ dP = (5x 3 4)2 8
dx 

ดงั น้นั  dP dx =  ( 3 4)2 )  8 dx
นน่ั คือ dx 
(5x
3
P(x) =  5(5x  4)  8x  C

จะหา C

จาก P(0) = 0 = – 3  8(0)  C
5((5)0  4)

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อดุ รธานี

138 แคลคูลสั I

จะไดว้ า่ C =  3
20

ดงั น้นั P(x) =  3  8x  3
5(5x - 4) 20

ถา้ ขายสินคา้ x = 10,000 ชิ้น

บริษทั จะมีรายไดเ้ ท่ากบั

P(10,000) =  3  8(10,000)  3
5(5(10,000)  4 2

= 80,001.05 บาท 

แบบฝึ กหัด 5.2

1. จงหาสมการเส้นโคง้ ท่ีผา่ นจุด(1 , 0) และมีความชนั ท่ีจุด (x,y) ใดๆเทา่ กบั 2x

2. จงหาสมการเส้นโคง้ ท่ีมีความชนั ของเส้นสมั ผสั ที่จุด (x , y) ใดๆเท่ากบั 4x 1 และผา่ นจุด (1 , 1)

3. จงหาสมการของเส้นโคง้ ที่ผา่ นจุด (3,-3) และมีความขนั ที่จุด (x,y)ใด ๆ บนเส้นโคง้ เทา่ กบั x2
x3
4. จงหาสมการเส้นโคง้ y = f(x) ซ่ึงมี y = 6x – 4 และผา่ นจุด (–2 , 5) กบั (1 , 2)

5. วตั ถุเคล่ือนท่ีในแนวเส้นตรง โดยมีสมการ a = 2t + 3 เมื่อ a, v, s แทนความเร่ง ความเร็ว

และระยะทาง จากจุดคงที่ของวตั ถุเม่ือเวลา t ให้ s0 = 0 เป็นระยะทางของวตั ถุจากจุดคงท่ี ณ t = 0
จงหา s และ v

6. วตั ถุหน่ึงถูกปล่อยข้ึนในแนวด่ิงจากพ้นื ดว้ ยความเร็ว 80 เมตร / วนิ าที โดยมีความเร่งตามแรงโนม้

ถ่วงคือ g = –10 เมตร / (วนิ าที)2 จงหา

6.1 ความเร็วขณะเวลาใดๆ 6.2 สมการการเคล่ือนที่ของวตั ถุ

6.3 ความเร็วขณะเวลาผา่ นไป 2 วนิ าที 6.4 เวลาท่ีวตั ถุอยสู่ ูงจากพ้ืน 300 เมตร

7. วตั ถุหน่ึงหล่นจากท่ีสูงซ่ึงสูงจากพ้ืน 80 เมตร ถา้ กาหนดค่า g ตามขอ้ 6. จงหาวา่

7.1 เวลาที่วตั ถุหล่นถึงพ้นื 7.2 ความเร็วของวตั ถุขณะกระทบพ้นื

8. บริษทั หน่ึงมีรายไดเ้ ป็น Q(x) จากการขายสินคา้ ชนิดหน่ึงจานวน x ชิ้น โดยอตั ราการเปลี่ยนแปลง
80
รายไดเ้ ม่ือขายสินคา้ ชิ้นที่ x คือ Q(x)  3  x2 ถา้ รายไดจ้ ากการขาย 80 ชิ้นแรกเทา่ กบั 5,241

บาท จงหารายไดท้ ้งั หมดจากการขายสินคา้ x ชิ้น และรายไดจ้ ากการขาย 1,000 ชิ้นถดั ไป

คณะวทิ ยาศาสตร์

บทท่ี 5 ปริพนั ธ์ของฟังกช์ นั และการประยกุ ต์ 139

5.3 ปริพนั ธ์จากดั เขต
ปริพนั ธ์จากดั เขตเป็ นจานวนซ่ึงอยใู่ นรูปลิมิตของฟังกช์ นั แต่ปริพนั ธ์ไม่จากดั เขตเป็นเซตของ

ปฏิยานุพนั ธ์ของฟังกช์ นั และใหเ้ ขา้ ใจในสญั ลกั ษณ์ในบทนิยามที่ 5.3.3 จึงขอเริ่มดว้ ย

บทนิยาม 5.3.1 ให้ [a, b] เป็ นช่วงปิ ดและ P = { x0 , x1 , x2 , ... , xn} โดยที่ x0= a  x1 x2 ... xn= b
จะเรียก P วา่ ผลแบ่งก้นั (partition) ของ [a, b] และ xk = xk – xk–1 สาหรับ k = 1 , 2 , … , n
และให้ P = max{ xk = xk – xk–1 } แลว้ จะเรียก P วา่ ค่าประจา (norm) ของผลแบง่ ก้นั P

ตัวอย่าง 5.3.1 ให้ P ={3, 3.6, 3.8, 4, 5.3, 6.2} จงหาคา่ ประจาของ P 
วธิ ีทา P = max{3.6-3, 3.8-3.6, 4-3.8, 5.3-4, 6.2-5.3}

= max{0.6, 0.2, 0.2, 1.3, 0.9}
= 1.3

บทนิยาม 5.3.2 ถา้ f(x) เป็นฟังกช์ นั ท่ีตอ่ เนื่องบนช่วง [a, b] มี P = {x0 , x1 , x2 , ... , xn } เป็น

ผลแบ่งก้นั ของ [a , b] และให้ xk = xk– xk–1 และ ck  [xk–1 , xk] เมื่อ k = 1 , 2 , ... , n แลว้
จะเรียก kn1f(ck)xk วา่ ผลบวกรีมนั น์ (Riemann sum) ของ f(x) บนช่วง [a , b]

ถา้ Mk เป็นขอบเขตบนค่านอ้ ยสุดและ mk เป็นขอบเขตล่างค่ามากสุดของ f(x) บนช่วง [xk–1, xk] แลว้
n
จะเรียก (Mk)xk วา่ ผลบวกบน (upper sum)ของ f(x) บนช่วง [a, b]
k1
n
จะเรียก (mk)xk วา่ ผลบวกล่าง (lower sum) ของ f(x) บนช่วง [a, b]
k1

Y y = f(x)

mk Mk X
x0= a x1 x2 ... xk–1 xk ...xn–1 xn= b

รูป 5.1

มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั อุดรธานี

140 แคลคูลสั I

หมายเหตุ 5.3.1 1) การศึกษาปริพนั ธ์จากดั เขตมกั จะเร่ิมจากการหาพ้นื ท่ีใตโ้ คง้
2) จากบทนิยาม 5.3.2 จะเห็นวา่ ผลบวกบน และ ผลบวกล่าง เป็นกรณีเฉพาะ

ของผลบวกรีมนั น์ เม่ือเลือก ck ท่ีทาให้ f(ck) มีคา่ สูงสุดหรือต่าสุดในช่วง [ xk–1, xk ]

ตวั อย่าง 5.3.2 จงหาผลบวกรีมนั น์ ผลบวกบน และผลบวกล่างของฟังกช์ นั f(x) = x2 บนช่วง [1, 5]

ซ่ึงเกิดจากผลแบง่ ก้นั P = {1 , 3 , 4 , 5} โดยที่ผลบวกรีมนั น์เลือก ck คือจุดก่ึงกลางของช่วงยอ่ ยท่ี k
วธิ ีทา ให้ P = {1 , 3 , 4 , 5} เป็นผลแบ่งก้นั ของช่วง [0 , 5] และให้

x0= 1 , x1= 3 , x2= 4 และ x3= 5 และช่วงยอ่ ยโดยผลแบ่งก้นั คือ [1 , 3] , [3 , 4] , [4 , 5]

จะไดว้ า่  x1 = 3 – 1 = 2

 x2 = 3 – 2 = 1

และ  x3 = 5 – 4 = 1

ให้ ck คือจุดก่ึงกลางของช่วงยอ่ ย จะไดว้ า่ c1 = 2, c2 = 3.5, c3 = 4.5
3
ดงั น้นั ผลบวกรีมนั น์ คือ f(ck)xk = f(c1)  x1 + f(c2)  x2+ f(c3)  x3
k1
= ((2)2 )1 + (3.52)2 + ((4.5) 2)1

= 48.75

ให้ Mk เป็นค่าขอบเขตบนที่มีค่านอ้ ยท่ีสุด ของ f(x) บนช่วง [xk–1 , xk]

และ mk เป็นคา่ ขอบเขตล่างท่ีมีคา่ มากท่ีสุด ของ f(x) บนช่วง [xk–1 , xk]

จะไดว้ า่ M1 = 32 , M2 = 42 , M3 = 52 และ m1 = 12 , m2 = 32 , m3 = 42
3
ผลบวกบนคือ (Mk)xk = (M1)  x1 + (M2)  x2+ (M3)  x3
k1
= (3)1 + (16)2 + (25)1

= 66

ผลบวกล่างคือ 3 (mk)xk = (m1)  x1 + (m2)  x2+ (m3)  x3

k1 = (1)1 + (9)2 + (16)1

= 35 

คณะวทิ ยาศาสตร์