2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

SECCIÓN 6.6 APLICACIONES A LA FÍSICA E INGENIERÍA 473

8. Si el trabajo requerido para estirar un resorte 1 ft más que su 19–22 Un tanque está lleno de agua. Encuentre el trabajo requerido
longitud natural es 12 ft-lb, ¿cuándo trabajo es necesario para para bombear el agua fuera del pico. En los Ejercicios 21 y 22 use
estirarlo 9 in más que su longitud natural? el dato de que el agua pesa 62.5 lb/ft3.

9. Un resorte tiene longitud natural de 20 cm. Compare el trabajo 19. 3m 20. 1 m
W1 realizado al estirar el resorte de 20 cm a 30 cm con el 2m 3m
trabajo W2 realizado al estirarlo de 30 cm a 40 cm. ¿Cómo 3m 8m
están relacionados W2 y W1? 6 ft 22.
21. 12 ft
10. Si 6 J de trabajo se requieren para estirar un resorte de 10 cm
a 12 cm y otros 10 J son necesarios para estirarlo de 12 cm a 8 ft 6 ft
14 cm, ¿cuál es la longitud natural del resorte? 3 ft 10 ft

11–18 Demuestre cómo aproximar el trabajo requerido por una suma tronco de un cono
de Riemann. A continuación exprese el trabajo como una integral
y evalúela. ; 23. Suponga que para el tanque del Ejercicio 19 la bomba se
descompone después que se ha realizado un trabajo de 4.7 ϫ
11. Una cuerda gruesa, de 50 ft de largo, pesa 0.5 lb/ft y cuelga 105 J. ¿Cuál es la profundidad del agua restante en el tanque?
sobre el borde de un edificio de 120 ft de altura.
(a) ¿Cuánto trabajo es realizado al tirar de la cuerda hasta lo 24. Resuelva el Ejercicio 20 si el tanque está medio lleno de
alto del edificio? petróleo que tiene una densidad de 900 kg/m3.
(b) ¿Cuánto trabajo es realizado al tirar de la mitad de la
cuerda a lo alto del edificio? 25. Cuando un gas se expande en un cilindro con radio r, la
presión en cualquier momento dado es una función del
12. Una cadena que se encuentra sobre el piso mide 10 m de largo volumen: P ෇ P(V). La fuerza ejercida por el gas sobre el
y su masa es de 80 kg. ¿Cuánto trabajo se requiere para levan- pistón (vea la figura) es el producto de la presión y el área:
tar un extremo de la cadena a una altura de 6 m? F ෇ pr2P. Demuestre que el trabajo realizado por el gas
cuando el volumen se expande del volumen V1 al volumen
13. Un cable que pesa 2 lb/ft se usa para levantar 800 lb de carbón V2 es
por un tiro de mina de 500 ft de profundidad. Encuentre el tra-
bajo realizado. yW ෇ V2 P dV
V1
14. Una cubeta que pesa 4 lb y una cuerda de peso insignificante
se usan para sacar agua de un pozo que tiene 80 ft de profun-
didad. La cubeta se llena con 40 lb de agua y es subida a
razón de 2 ft/s, pero se fuga agua por un agujero en la cubeta
a razón de 0.2 lb/s. Encuentre el trabajo realizado para tirar de
la cubeta a lo alto del pozo.

15. Una cubeta de 10 kg que tiene fuga es levantada del suelo a cabeza de pistón x
una altura de 12 m a un rapidez constante con una cuerda que
pesa 0.8 kg/m. Inicialmente la cubeta contiene 36 kg de agua, 26. En un motor de vapor la presión P y volumen V de vapor satis-
pero ésta se fuga de modo constante y termina sin agua justo facen la ecuación PV1.4 ෇ k, donde k es una constante. (Esto es
cuando la cubeta llega al nivel de 12 metros. ¿Cuánto trabajo es verdadero para expansión adiabática, es decir, una expansión en
realizado? la que no hay transferencia de calor entre el cilindro y su
entorno.) Use el Ejercicio 25 para calcular el trabajo realizado
16. Una cadena de 10 ft pesa 25 lb y cuelga de un cielo raso. por la máquina durante un ciclo cuando el vapor empieza a una
Encuentre el trabajo realizado al levantar el extremo inferior de presión de 160 lb/in2 y un volumen de 100 in3 y se expande a
la cadena al cielo raso, de modo que esté a nivel con el extremo un volumen de 800 in3.
superior.
27. (a) La Ley de Newton de Gravitación expresa que dos cuerpos
17. Un acuario de 2 m de largo, 1 m de ancho y 1 m de profundi-
dad está lleno de agua. Encuentre el trabajo necesario para con masas m1 y m2 se atraen entre sí con una fuerza
bombear la mitad del agua fuera del acuario. (Use el dato de
que la densidad del agua es 1000 kg/m3.) F ෇ G m1m2
r2
18. Una piscina circular tiene un diámetro de 24 ft, los costados
miden 5 ft de alto y la profundidad del agua es de 4 ft. donde r es la distancia entre los cuerpos y G es la constante
¿Cuánto trabajo se requiere para bombear toda el agua fuera de gravitacional. Si uno de los cuerpos está fijo, encuentre el
la piscina desde un lado? (Use el dato de que el agua pesa trabajo necesario para mover el otro de r ෇ a a r ෇ b.
62.5 lb/ft3.)

474 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

(b) Calcule el trabajo requerido para lanzar un satélite de 38. Un tanque grande está diseñado con extremos en forma de la

1000 kg verticalmente a una órbita a 1000 km de altura. Se región entre las curvas y ෇ 1 x 2 y y ෇ 12, medidas en pies. En-
puede suponer que la masa de la Tierra es 5.98 ϫ 1024 kg y 2
está concentrada en su centro. Tome el radio terrestre como
6.37 ϫ 106 m y G ෇ 6.67 ϫ 10Ϫ11 Nиm2͞ kg2. cuentre la fuerza hidrostática sobre un extremo del tanque si

está lleno a una profundidad de 8 ft con gasolina. (Suponga que

la densidad de la gasolina es 42.0 lb͞ft3.)

28. (a) Use una integral impropia e información del ejercicio 27 39. Una piscina mide 20 ft de ancho y 40 ft de largo y su fondo
es un plano inclinado, con el extremo de poco fondo a una
para hallar el trabajo necesario para impulsar un satélite de profundidad de 3 ft y el extremo profundo a 9 ft. Si la piscina
se llena de agua, calcule la fuerza hidrostática sobre (a) el
1000 kg fuera del campo gravitacional de la Tierra. extremo de poco fondo, (b) el extremo profundo, (c) uno de
los costados, y (d) el fondo de la piscina.
(b) Encuentre la velocidad de escape v0 que es necesaria para

impulsar un cohete de masa m fuera del campo gravitacio-

nal de un planeta con masa M y radio R. (Use el dato de

que la energía cinética inicial de 1 mv 2 suministra el trabajo
2 0

necesario.) 40. Una represa vertical tiene una compuerta semicircular como
se ve en la figura. Encuentre la fuerza hidrostática contra la
29. Un acuario de 5 ft de largo, 2 ft de ancho y 3 ft de profundidad compuerta.
está lleno de agua. Encuentre (a) la presión hidrostática sobre
el fondo del acuario, (b) la fuerza hidrostática sobre el fondo y 2m
(c) la fuerza hidrostática sobre un extremo del acuario.
nivel
30. Un tanque mide 8 m de largo, 4 m de ancho, 2 m de alto y 12 m del agua
contiene keroseno con densidad de 820 kg͞m3 a una profundi-
dad de 1.5 m. Encuentre (a) la presión hidrostática sobre el
fondo del tanque, (b) la fuerza hidrostática sobre el fondo, y
(c) la fuerza hidrostática sobre un extremo del tanque.

31–36 Una placa vertical está sumergida (o parcialmente sumer- 4m
gida) en agua y tiene la forma indicada. Explique cómo aproximar
la fuerza hidrostática contra un lado de la placa por medio de una 41. Una placa vertical y de forma irregular está sumergida en agua.
suma de Riemann. A continuación exprese la fuerza como una inte- La tabla siguiente muestra mediciones de su ancho, tomadas en
gral y evalúela. las profundidades indicadas. Use la Regla de Simpson para
calcular la fuerza del agua contra la placa.

31. 6 m 32.

1m Profundidad (m) 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Ancho de placa (m) 0 0.8 1.7 2.4 2.9 3.3 3.6

33. 2 m 34. 4 m 42. Unas masas puntuales mi están colocadas sobre el eje x como
35. se muestra. Encuentre el momento M del sistema alrededor del
origen y el centro de masa x.

1m m ¡=25 m™=20 m£=10

_2 0 3 7x

43– 44 Las masas mi están colocadas en los puntos Pi. Encuentre los
momentos Mx y My y el centro de masa del sistema.

36. 43. m1 ෇ 6, m2 ෇ 5, m3 ෇ 10;
P1͑1, 5͒, P2͑3, Ϫ2͒, P3͑Ϫ2, Ϫ1͒

44. m1 ෇ 6, m2 ෇ 5, m3 ෇ 1, m4 ෇ 4;
P1͑1, Ϫ2͒, P2͑3, 4͒, P3͑Ϫ3, Ϫ7͒, P4͑6, Ϫ1͒

37. Un canal está lleno con un líquido de densidad 840 kg͞m3. Los 45– 48 Trace la región acotada por las curvas, y visualmente calcule
extremos del canal son triángulos equiláteros con lados de 8 m la ubicación del centroide. A continuación encuentre las coordena-
de longitud y vértice en el fondo. Encuentre la fuerza hidrostá- das exactas del centroide.
tica en un extremo del canal.
45. y ෇ 4 Ϫ x 2, y ෇ 0

46. 3x ϩ 2y ෇ 6, y ෇ 0, x ෇ 0

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO TAZAS DE CAFÉ COMPLEMENTARIAS 475

47. y ෇ e x, y ෇ 0, x ෇ 0, x ෇ 1 uso de la misma clase de razonamiento que llevó a las fórmulas
48. y ෇ 1͞x, y ෇ 0, x ෇ 1, x ෇ 2 en (12), demuestre que el centroide de ᏾ es ͑x, y͒, donde

49–50 Calcule los momentos Mx y My y el centro de masa de una yx ෇ 1 b x ͓ f ͑x͒ Ϫ t͑x͔͒ dx
lámina con la densidad y forma dadas.
Aa

yy ෇ 1 b 1 ͕͓ f ͑x͔͒ 2 Ϫ ͓t͑x͔͒ 2͖ dx
2
49. ␳ ෇ 10 50. ␳ ෇ 2 Aa

yy
(4, 3)
cuarto (b) Encuentre el centroide de la región acotada por la recta
y ෇ x 2.
r de círculo

0 x0 rx 52. Sea ᏾ la región que está entre las curvas y ෇ x m y y ෇ x n,
0 ഛ x ഛ 1, donde m y n son enteros con 0 ഛ n Ͻ m.
51. (a) Sea ᏾ la región que está entre dos curvas y ෇ f ͑x͒ y (a) Trace la región ᏾.
y ෇ t͑x͒, donde f ͑x͒ ജ t͑x͒ y a ഛ x ഛ b. Con el (b) Encuentre las coordenadas del centroide de ᏾.

(c) Trate de hallar los valores de m y n tales que el centroide
esté fuera de ᏾.

PROYECTO Tazas de café complementarias
DE DESCUBRIMIENTO
Supongamos que el lector tiene opción de escoger dos tazas de café del tipo mostrado, una que se
dobla hacia fuera y una hacia dentro, y observa que tienen la misma altura y sus formas se ajustan
perfectamente. Se pregunta cuál taza contiene más café. Por supuesto que podría llenar una taza
con agua y verterla en la otra pero, siendo estudiante de cálculo, se decide por un método más
matemático. Sin contar las asas, observa que ambas tazas son superficies de revolución, de modo
que se puede considerar el café como un volumen de revolución.

y x=k
h

A¡ A™
x=f(y)

0 kx

Taza A Taza B

1. Suponga que las tazas tienen altura h, la taza A está formada al girar la curva x ෇ f (y) alre-
dedor del eje y, y la taza B se forma al girar la misma curva alrededor de la recta x ෇ k.
Encuentre el valor de k tal que las dos tazas contengan la misma cantidad de café.

2. ¿Qué dice su resultado del Problema 1 acerca de las áreas A1 y A2 que se ven en la figura?

3. Con base en sus propias mediciones y observaciones, sugiera un valor para h y una
ecuación para x ෇ f (y) y calcule la cantidad de café que contiene cada una de las tazas.

476 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

26.76 ApolficCahcainognes a la economía y la biología

En esta sección consideramos algunas aplicaciones de integración a economía (excedente
de consumidor) y biología (circulación sanguínea, capacidad cardiaca). Otras más se des-
criben en ejercicios.

Excedente de consumidor
Recuerde de la Sección 4.6 que la función de demanda p(x) es el precio que una compañía
tiene que cobrar para vender x unidades de una mercancía. Por lo general, vender grandes
cantidades requiere bajar precios, de manera que la función de demanda es una función
decreciente. La gráfica de una función de demanda típica, llamada curva de demanda, se
muestra en la Figura 1. Si X es la cantidad de la mercancía que actualmente está disponible,
entonces P ෇ p(X) es el precio de venta actual.

p

p=p(x)

FIGURA 1 (X, P )
Curva de demanda típica P
0 Xx

p Dividimos el intervalo [0, X] en n subintervalos, cada uno de longitud ⌬x ෇ X͞n, y
hacemos que xi* ෇ xi sea el punto extremo derecho del i-ésimo subintervalo, como en la
P Figura 2. Si, después que las xiϪ1 unidades se vendieron, había un total de sólo xi unidades
y el precio por unidad se había establecido en p͑xi͒ dólares, entonces las ⌬x unidades adi-
cionales podrían haberse vendido (pero no más). Los consumidores que hubieran pagado
p͑xi͒ dólares pusieron un alto valor al producto; hubieran pagado lo que para ellos valía.
(X, P) Entonces, al pagar sólo P dólares han ahorrado la cantidad de

(ahorro por unidad)(número de unidades) ෇ [ p(xi) Ϫ P]⌬x

0⁄ xi X x
FIGURA 2
Considerando grupos similares de consumidores dispuestos para cada uno de los subinter-

valos y sumando los ahorros, obtenemos el ahorro total:

n

͚ ͓p͑xi͒ Ϫ P͔ ⌬x

i෇1

p (Esta suma corresponde al área encerrada por los rectángulos de la Figura 2.) Si hacemos
p=p(x) que n l ϱ, esta suma de Riemann aproxima la integral

excedente (X, P ) 1 yX ͓p͑x͒ Ϫ P͔ dx
de consumidor X 0
P
que los economistas llaman excedente de consumidor por la mercancía.
p=P El excedente de consumidor representa la cantidad de dinero ahorrado por consumidores
0
x en la compra de la mercancía al precio P, correspondiente a una cantidad demandada de
FIGURA 3 X. La Figura 3 muestra la interpretación del excedente de consumidor como el área bajo la
curva de demanda y arriba de la recta p ෇ P.

SECCIÓN 6.7 APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y LA BIOLOGÍA 477

v EJEMPLO 1 Excedente de consumidor La demanda para un producto, en dólares, es

p ෇ 1200 Ϫ 0.2x Ϫ 0.0001x 2

Encuentre el excedente de consumidor cuando el nivel de ventas es 500.
SOLUCIÓN Como el número de productos vendidos es X ෇ 500, el precio correspondiente es

P ෇ 1200 Ϫ ͑0.2͒͑500͒ Ϫ ͑0.0001͒͑500͒2 ෇ 1075

Por tanto, de la Definición 1, el excedente de consumidor es

y y500 ͓ p͑x͒ Ϫ P͔ dx ෇ 500 ͑1200 Ϫ 0.2x Ϫ 0.0001x 2 Ϫ 1075͒ dx
00

y෇ 500 ͑125 Ϫ 0.2x Ϫ 0.0001x 2 ͒ dx
0

ͩ ͪͬ෇ 125x Ϫ 0.1x2 Ϫ ͑0.0001͒ x3 500
30
෇ ͑125͒͑500͒ Ϫ ͑0.1͒͑500͒2 Ϫ ͑0.0001͒͑500͒3

3
෇ $33,333.33

Circulación sanguínea
En el Ejemplo 7 de la Sección 3.8 estudiamos la ley de flujo o circulación laminar:

v͑r͒ ෇ P ͑R2 Ϫ r2͒
4␩l

Îr que da la velocidad v de la sangre que circula a lo largo de un vaso sanguíneo con radio
ri R y longitud l a una distancia r del eje central, donde P es la diferencia de presión entre
FIGURA 4 los extremos del vaso y ␩ es la viscosidad de la sangre. Ahora, para calcular la rapidez
de circulación sanguínea, o flujo (volumen por unidad de tiempo), consideremos radios
FIGURA 5 r1, r2, . . . . más pequeños y separados igualmente. El área aproximada del anillo (o ron-
dana) con radio interior riϪ1 y radio exterior ri es

2␲ri ⌬r donde ⌬r ෇ ri Ϫ riϪ1

(Vea la Figura 4.) Si ⌬r es pequeño, entonces la velocidad es casi constante en todo este
anillo y puede ser aproximada por v͑ri ͒. Así, el volumen de sangre por unidad de tiempo
que circula por el anillo es aproximadamente

͑2␲ri ⌬r͒ v͑ri ͒ ෇ 2␲ri v͑ri ͒ ⌬r

y el volumen total de sangre que circula por una sección transversal por unidad de tiempo
es alrededor de

n

͚ 2␲ri v͑ri ͒ ⌬r

i෇1

Esta aproximación está ilustrada en la Figura 5. Nótese que la velocidad (y por tanto
el volumen por unidad de tiempo) aumenta hacia el centro del vaso sanguíneo. La aproxi-
mación mejora cuando n aumenta. Cuanto tomamos el límite obtenemos el valor exacto
del flujo (o descarga), que es el volumen de sangre que pasa por una sección transversal

478 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

por unidad de tiempo:

n
͚ yF ෇ lim 2␲ri v͑ri ͒ ⌬r ෇ R 2␲r v͑r͒ dr
n l ϱ i෇1 0

y෇ R 2␲r P ͑R2 Ϫ r 2 ͒ dr
0 4␩l

y ͫ ͬ෇
␲P R ͑R2r Ϫ r 3 ͒ dr ෇ ␲P R2 r 2 Ϫ r 4 r෇R
2␩l 0 2␩l 2 4 r෇0

ͫ ͬ␲P R4 R4 ␲PR4
෇ 2␩l Ϫ ෇ 8␩l
24

La ecuación resultante ␲PR4
2 F ෇ 8␩l

se denomina Ley de Poiseuille; demuestra que el flujo es proporcional a la cuarta poten-
cia del radio del vaso sanguíneo.

vena aorta Capacidad cardiaca
arterias arterias
pulmonares pulmonares La Figura 6 muestra el sistema cardiovascular humano. La sangre regresa del cuerpo a
venas través de venas, entra a la aurícula derecha del corazón y es bombeada a los pulmones
aurícula pulmonares a través de las arterias pulmonares para su oxigenación. A continuación regresa a la aurícu-
derecha la izquierda por las venas pulmonares y sale al resto del cuerpo por la aorta. La capacidad
aurícula cardiaca del corazón es el volumen de sangre bombeada por el corazón por unidad de
venas izquierda tiempo, es decir, la rapidez de circulación que entra a la aorta.
pulmonares
El método de dilución de colorante se usa para medir la capacidad cardiaca. Se inyec-
vena ta un colorante en la aurícula derecha, que luego pasa por el corazón y entra a la aorta. Una
FIGURA 6 sonda insertada en la aorta mide la concentración del colorante que sale del corazón en
tiempos igualmente espaciados en un intervalo [0, T] hasta que el colorante se haya diluido.
Sea c(t) la concentración del colorante en el tiempo t. Si dividimos [0, T] en subintervalos
de igual duración ⌬t, entonces la cantidad de colorante que pasa por el punto de medición
durante el subintervalo de t ෇ tiϪ1 a t ෇ ti es aproximadamente

(concentración)(volumen) ෇ c(ti)(F ⌬ t)

donde F es la rapidez de flujo que estamos tratando de determinar. Así, la cantidad total de
colorante es aproximadamente

nn

͚ c͑ti͒F ⌬t ෇ F ͚ c͑ti͒ ⌬t

i෇1 i෇1

y, haciendo n l ϱ, encontramos que la cantidad de colorante es

A ෇ F yT c͑t͒ dt
0

Entonces la capacidad pulmonar está dada por

3 F෇ A

yT c͑t͒ dt
0

donde la cantidad de colorante A se conoce y la integral puede aproximarse por las lecturas de
concentración.

SECCIÓN 6.7 APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y LA BIOLOGÍA 479

t c͑t͒ t c͑t͒ v EJEMPLO 2 Capacidad cardiaca Un bolo de 5 mg de colorante se inyecta en una

00 6 6.1 aurícula derecha. La concentración del colorante (en miligramos por litro) se mide en la
1 0.4 7 4.0 aorta a intervalos de un segundo como se ve en la gráfica. Calcule la capacidad cardiaca.
2 2.8 8 2.3
3 6.5 9 1.1 SOLUCIÓN Aquí A ෇ 5, ⌬t ෇ 1, y T ෇ 10. Usamos la Regla de Simpson para aproximar
4 9.8 10 0 la integral de la concentración:
5 8.9
y10 c͑t͒ dt Ϸ 1 ͓0 ϩ 4͑0.4͒ ϩ 2͑2.8͒ ϩ 4͑6.5͒ ϩ 2͑9.8͒ ϩ 4͑8.9͒
0 3

Ϸ ϩ 2͑6.1͒ ϩ 4͑4.0͒ ϩ 2͑2.3͒ ϩ 4͑1.1͒ ϩ 0͔

Ϸ 41.87

Entonces la Fórmula 3 da la capacidad cardiaca como

A5
F ෇ Ϸ Ϸ 0.12 L͞s ෇ 7.2 L͞min

y10 c͑t͒ dt 41.87
0

6.7 Ejercicios

1. La función de costo marginal CЈ(x) se definió como la productor. Un argumento similar al del excedente de consumi-
derivada de la función de costo. (Vea Secciones 3.8 y 4.6.) dor muestra que el excedente está dado por la integral

Si el costo marginal de manufacturar x metros de una tela es yX ͓P Ϫ pS͑x͔͒ dx
CЈ(x) ෇ 5 Ϫ 0.008x ϩ 0.000009x2 (medido en dólares por 0
metro) y el costo fijo inicial es C(0) ෇ $20,000, use el Teorema

de Cambio Neto para hallar el costo de producir las primeras Calcule el excedente de productor para la función de oferta

2000 unidades. pS͑x͒ ෇ 3 ϩ 0.01x 2 al nivel de ventas X ෇ 10. Ilustre dibujando

2. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto la curva de oferta e identificando el excedente de productor
es 12 Ϫ 0.0004x. Si el ingreso por la venta de las primeras como un área.

1000 unidades es $12,400, encuentre el ingreso por la venta 7. Si una curva de oferta está modelada por la ecuación
de las primeras 5000 unidades. p ෇ 200 ϩ 0.2x 3 / 2, encuentre el excedente de productor

3. El costo marginal de producir x unidades de cierto producto cuando el precio de venta es $400.

es 74 ϩ 1.1x Ϫ 0.002x2 ϩ 0.00004x3 (en dólares por unidad). 8. Para una mercancía determinada y competencia pura, el
Encuentre el aumento en costo si el nivel de producción se número de unidades producidas y el precio por unidad están
eleva de 1200 unidades a 1600 unidades. determinados como las coordenadas del punto de intersección

4. La función de demanda para cierta mercancía es de las curvas de oferta y demanda. Dada la curva de demanda
p ෇ 20 Ϫ 0.05x. Encuentre el excedente de consumidor
cuando el nivel de ventas sea 300. Ilustre al trazar la curva de p ෇ 50 Ϫ 1 x y la curva de oferta p ෇ 20 ϩ 1 x, encuentre el
20 10

excedente de consumidor y el excedente de productor. Ilustre

demanda e identificar el excedente de consumidor como un área. trazando las curvas de oferta y demanda e identificando los

5. Una curva de demanda está dada por p ෇ 450͑͞x ϩ 8͒. excedentes como áreas.

Encuentre el excedente de consumidor cuando el precio de ; 9. Una compañía modeló la curva de demanda para su producto
venta sea $10. (en dólares) por medio de la ecuación

6. La función de oferta pS͑x͒ para una mercancía da la relación 800,000eϪx͞5000
entre el precio de venta y el número de unidades que los fabri- p ෇ x ϩ 20,000
cantes producirán a ese precio. Por un precio más alto, los
fabricantes producirán más unidades, de modo que pS es una Use una gráfica para calcular el nivel de ventas cuando el precio
función creciente de x. Sea X la cantidad de mercancía actual- de venta sea $16. A continuación encuentre (aproximadamente)
mente producida y sea P ෇ pS͑X ͒ el precio actual. Algunos el excedente de consumidor para este nivel de ventas.
productores estarían dispuestos a hacer y vender la mercancía
por un menor precio de venta y por tanto estarían recibiendo más 10. Un cine ha estado cobrando $7.50 por persona y vendiendo
que su precio mínimo. El excedente se denomina excedente de alrededor de 400 boletos en una noche típica de día laborable.

; Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC

software de gráficas

480 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

Después de encuestar a sus clientes, la administración del cine reducidos son R y P, entonces, para que el flujo permanezca
calcula que por cada 50 centavos que bajen el precio, el constante, P y R están relacionados por la ecuación
número de espectadores aumentará en 35 por noche. Encuentre
la función de demanda y calcule el excedente de consumidor ͩ ͪP ෇ R0 4
cuando los boletos tengan un precio de $6.00.
P0 R
11. Si la cantidad de capital que una empresa tiene en un tiempo
t es f (t), entonces la derivada, f Ј(t), se denomina flujo de Deduzca que si el radio de una arteria se reduce a tres cuartos
inversión neta. Suponga que el flujo de inversión neta es st de su valor anterior, entonces la presión más que se triplica.
millones de dólares por año (donde t se mide en años). Encuen-
tre el aumento en capital (la función de capital) del cuarto año 17. El método de dilución de colorante se usa para medir la
al octavo año. capacidad cardiaca con 6 mg de colorante. Las concentraciones
de colorante, en mg/L, están modeladas por c͑t͒ ෇ 20teϪ0.6t,
12. Si fluyen ingresos a una compañía a razón de 0 ഛ t ഛ 10, donde t se mide en segundos. Encuentre la
f ͑t͒ ෇ 9000s1 ϩ 2t , donde t se mide en años y f ͑t͒ se mide capacidad cardiaca.
en dólares por año, encuentre el ingreso total obtenido en los
primeros cuatro años. 18. Después de una inyección de 8 mg de colorante, las lecturas
de concentración de colorante, en mg/L y a intervalos de dos
segundos, son como se muestra en la tabla siguiente. Use la
Regla de Simpson para calcular la capacidad cardiaca.

13. La Ley de Ingresos de Pareto expresa que el número de

personas con ingresos entre x ෇ a y x ෇ b es N ෇ xb AxϪk dx, t c͑t͒ t c͑t͒
a

donde A y k son constantes con A Ͼ 0 y k Ͼ 1. El promedio 00 12 3.9

de ingreso de estas personas es 2 2.4 14 2.3

yx ෇ 1 b Ax 1Ϫk dx 4 5.1 16 1.6

Na 6 7.8 18 0.7

Calcule x. 8 7.6 20 0

14. Un verano húmedo y caluroso está causando una explosión en 10 5.4
la población de mosquitos en cierta zona turística lacustre. El
número de mosquitos está aumentando con una rapidez que se 19. La gráfica de la función de concentración c͑ t͒ se muestra
estima en 2200 ϩ 10e0.8t por semana (donde t se mide en después de una inyección de 7 mg de colorante en un corazón.
semanas). ¿Cuánto aumenta la población de mosquitos entre Use la Regla de Simpson para calcular la capacidad cardiaca.
la quinta y la novena semanas de verano? y
(mg/ L)
15. Use la Ley de Poiseuille para calcular la rapidez de flujo en
una pequeña arteria humana donde podemos tomar ␩ ෇ 0.027, 6
R ෇ 0.008 cm, l ෇ 2 cm y P ෇ 4000 dinas͞cm2.
4
16. La hipertensión es el resultado de la reducción del diámetro de
2
arterias. Para mantener una rapidez normal (flujo), el corazón
0 2 4 6 8 10 12 14 t (segundos)
tiene que bombear más y con ello aumenta la presión. Use la

Ley de Poiseuille para demostrar que si R0 y P0 son valores
normales del radio y presión en una arteria y los valores

6.8 Probabilidad

El cálculo desempeña un papel en el análisis de comportamiento aleatorio. Suponga que
consideramos el nivel de colesterol de una persona escogida al azar de cierto grupo de
edades, o la estatura de una mujer adulta escogida al azar, o la vida útil de una batería
de cierto tipo también escogida al azar. Estas cantidades se denominan variables aleato-
rias continuas porque sus valores en realidad varían en rango sobre un intervalo de números
reales, aun cuando podrían medirse o registrarse sólo al entero más cercano. Podríamos cono-
cer la probabilidad de que un nivel de colesterol en sangre sea mayor a 250, o la probabili-
dad de que la estatura de una mujer adulta esté entre 60 y 70 in, o la probabilidad de que
la batería que estamos comprando dure entre 100 y 200 horas. Si X representa la vida útil
de ese tipo de batería, denotamos esta última probabilidad como sigue:

P͑100 ഛ X ഛ 200͒

SECCIÓN 6.8 PROBABILIDAD 481

De acuerdo con la interpretación de frecuencia de probabilidad, este número es la propor-
ción a largo plazo de todas las baterías del tipo especificado cuyas duraciones de vida útil
sean entre 100 y 200 horas. Como esto representa una proporción, la probabilidad cae de
manera natural entre 0 y 1.

Toda variable aleatoria continua X tiene una función de densidad de probabilidad
f. Esto significa que la probabilidad que X se encuentre entre a y b se encuentra al integrar f
de a a b:

1 P͑a ഛ X ഛ b͒ ෇ yb f ͑x͒ dx
a

Por ejemplo, la Figura 1 muestra la gráfica de un modelo para la función de densidad de
probabilidad f para una variable aleatoria X definida como la estatura en pulgadas de una
mujer adulta en Estados Unidos (de acuerdo a datos del National Health Survey). La pro-
babilidad de que la estatura de una mujer escogida al azar de esta población sea entre 60
y 70 in es igual al área bajo la gráfica de f de 60 a 70.

y área=probabilidad de que
y=ƒ la estatura de una
mujer sea entre 60
y 70 in

FIGURA 1 0 60 65 70 x
Función de densidad de probabilidad

para la estatura de una mujer adulta

En general, la función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X satis-
face la condición f ͑x͒ ജ 0 para toda x. Como las probabilidades se miden en una escala
de 0 a 1, se deduce que

2 yϱ f ͑x͒ dx ෇ 1
Ϫϱ

EJEMPLO 1 Sea f ͑x͒ ෇ 0.006x͑10 Ϫ x͒ para 0 ഛ x ഛ 10 y f ͑x͒ ෇ 0 para todos los
otros valores de x.
(a) Verifique que f sea una función de densidad de probabilidad.
(b) Encuentre P͑4 ഛ X ഛ 8͒.

SOLUCIÓN

(a) Para 0 ഛ x ഛ 10 tenemos 0.006x͑10 Ϫ x͒ ജ 0, de modo que f ͑x͒ ജ 0 para toda x.
También necesitamos comprobar que la Ecuación 2 se satisfaga:

y y yϱ f ͑x͒ dx ෇ 10 0.006x͑10 Ϫ x͒ dx ෇ 0.006 10 ͑10x Ϫ x 2͒ dx
Ϫϱ 0 0

[ ] ( )෇ 1 10 1000
0.006 5x 2 Ϫ 3 x3 0 ෇ 0.006 500 Ϫ 3 ෇1

Por tanto, f es una función de densidad de probabilidad.
(b) La probabilidad de que X se encuentre entre 4 y 8 es

y yP͑4 ഛ X ഛ 8͒ ෇ 8 f ͑x͒ dx ෇ 0.006 8 ͑10x Ϫ x2͒ dx
44

[ ]෇ 1 8
0.006 5x 2 Ϫ 3 x3 4 ෇ 0.544

482 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

v EJEMPLO 2 Función de densidad de probabilidad para tiempos de espera Fenómenos

como son los tiempos de espera y tiempos para falla de equipos se modelan por lo gene-
ral por medio de funciones de densidad de probabilidad exponencialmente decrecientes.
Encuentre la forma exacta de tal función.

SOLUCIÓN Considere que la variable aleatoria es el tiempo que una persona está en espera

(en el teléfono) antes que un agente de una compañía conteste la llamada. Entonces, en

lugar de x usemos t para representar el tiempo, en minutos. Si f es la función de densidad

de probabilidad y una persona llama en el tiempo t ෇ 0, entonces, por la Definición 1,
x2
0 f ͑t͒ dt representa la probabilidad que un agente conteste antes de transcurrir los prime-
͑t͒ dt es la probabilidad de que la llamada sea contestada durante
ros dos minutos, y x5 f
4

el quinto minuto.

Es evidente que f ͑t͒ ෇ 0 para t Ͻ 0 (el agente no puede contestar antes que uno

llame). Para t Ͼ 0 nos indican que usemos una función exponencialmente decreciente,

es decir, una función de la forma f ͑t͒ ෇ AeϪct, donde A y c son constantes positivas.

Entonces

0 si t 0
f t Ae ct si t 0

Usamos la Ecuación 2 para determinar el valor de A:

y 1 ෇ yϱ f ͑t͒ dt ෇ y0 f ͑t͒ dt ϩ yϱ f ͑t͒ dt
Ϫϱ Ϫϱ 0
c
0 si t<0
f(t)= ce_ct si t˘0 y y෇ ϱ AeϪct dt ෇ lim x AeϪct dt
0 xlϱ 0

ͫ ͬx

෇ lim Ϫ A eϪct ෇ lim A ͑1 Ϫ eϪcx ͒
xlϱ c 0 xlϱ c

0t ෇A
c
FIGURA 2
Una función de densidad exponencial Por tanto A͞c ෇ 1 y A ෇ c. Así, toda función de densidad exponencial tiene la forma

0 si t 0
f t ce ct si t 0
Una gráfica típica se ilustra en la Figura 2.

y Valores promedio
y=f(t)
Ît Supongamos que el lector está esperando que una compañía conteste su llamada telefóni-
ca y se pregunta cuánto tiempo, en promedio, puede estar a la espera. Sea f (t) la función
0 ti-1 ti de densidad correspondiente, donde t se mide en minutos, y considere una muestra de N
ti personas que han llamado a esta compañía. Es muy probable que ninguna de ellas haya
esperado más de una hora, de modo que restrinjamos nuestra atención al intervalo
FIGURA 3 0 ഛ t ഛ 60. Dividamos ese intervalo en n intervalos de duración ⌬t y puntos extremos
0, t1, t2, . . . , t60. (Considere a ⌬t como que dura un minuto, o medio minuto, o 10 segundos,
t o incluso un segundo.) La probabilidad de que la llamada de alguien sea contestada durante
el periodo de tiϪ1 a ti es el área bajo la curva y ෇ f (t) de tiϪ1 a ti, que es aproximadamen-
te igual a f ͑ ti ͒ ⌬t. (Ésta es el área del rectángulo de aproximación en la Figura 3, donde
ti es el punto medio del intervalo.)

Como la proporción a largo plazo de llamadas que son contestadas en el periodo de tiϪ1
a ti es f ͑ ti ͒ ⌬t, esperamos que, fuera de nuestro ejemplo de N personas que hacen lla-
madas, el número cuya llamada fue contestada en ese periodo es aproximadamente
N f ͑ ti ͒ ⌬t y el tiempo que cada una esperó es alrededor de ti. Por tanto, el tiempo total que

SECCIÓN 6.8 PROBABILIDAD 483

esperaron es el producto de estos números: aproximadamente ti ͓N f ͑ ti ͒ ⌬t͔. Sumando
todos estos intervalos, obtenemos el total aproximado de tiempos de espera de todos:

n

͚ N ti f ͑ ti ͒ ⌬t

i෇1

Es tradicional denotar la media por la Si ahora dividimos entre el número N de personas que llaman, obtenemos el promedio
letra griega ␮ (mu). aproximado de tiempo de espera:

n

͚ ti f ͑ ti ͒ ⌬t

i෇1

Reconocemos esto como una suma de Riemann para la función t f ͑t͒. Cuando el intervalo
se contrae (es decir, ⌬ t l 0 y n l ϱ), esta suma de Riemann aproxima la integral

y60 t f ͑t͒ dt
0

Esta integral recibe el nombre de tiempo medio de espera.
En general, la media de cualquier función de densidad de probabilidad f está definida

como

␮ ෇ yϱ x f ͑x͒ dx
Ϫϱ

La media se puede interpretar como el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria

X. También se puede interpretar como una medida de centralidad de la función de densi-

dad de probabilidad.

La expresión para la media se asemeja a una integral que ya hemos visto. Si ᏾ es la

y región que está bajo la gráfica de f, sabemos de la Fórmula 6.6.12 que la coordenada x del

y=ƒ centroide de ᏾ es

x=m yϱ x f ͑x͒ dx
T Ϫϱ ෇ ϱ x f ͑x͒ dx ෇ ␮

0m yx ෇
yϱ f ͑x͒ dx Ϫϱ

t Ϫϱ

FIGURA 4 por la Ecuación 2. Entonces, una delgada placa con la forma de ᏾ se equilibra en un punto
T se equilibra en un punto sobre sobre la recta vertical x ෇ ␮. (Vea Figura 4.)
la recta x=m
EJEMPLO 3 Encuentre la media de la distribución exponencial del Ejemplo 2:

0 si t 0
f t ce ct si t 0

SOLUCIÓN De acuerdo con la definición de una media, tenemos

y y␮ ෇ ϱ t f ͑t͒ dt ෇ ϱ tceϪct dt
Ϫϱ 0

Para evaluar esta integral usamos integración por partes, con u ෇ t y dv ෇ ceϪct dt:

y y ͩ ] y ͪϱ tceϪct dt ෇ lim x tceϪct dt ෇ lim
0 xlϱ 0 xlϱ
ϪteϪct x ϩ x eϪct dt
0
0

El límite del primer término es 0 por ͩ ͪ෇ lim ϪxeϪcx ϩ 1 Ϫ eϪcx ෇ 1 c
la Regla de l’Hospital. xlϱ cc

484 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

La media es ␮ ෇ 1͞c, de modo que podemos reescribir la función de densidad de proba-
bilidad como

0 si t 0
f t 1e t si t 0

v EJEMPLO 4 Suponga que el tiempo promedio de espera, para que la llamada de un

cliente sea contestada por el representante de una compañía, es de cinco minutos.
(a) Encuentre la probabilidad de que una llamada sea contestada durante el primer minuto.
(b) Encuentre la probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos para que le
contesten.

SOLUCIÓN

(a) Nos indican que la media de la distribución exponencial es ␮ ෇ 5 minutos y
entonces, por el resultado del Ejemplo 3, sabemos que la función de densidad de pro-
babilidad es

0 si t 0
f t 0.2e t 5 si t 0

Entonces la probabilidad de que una llamada sea contestada durante el primer minuto es

P͑0 ഛ T ഛ 1͒ ෇ y1 f ͑t͒ dt
0

y෇ 1 0.2eϪt͞5 dt
0

]෇ 1
0.2͑Ϫ5͒eϪt͞5 0

෇ 1 Ϫ eϪ1͞5 Ϸ 0.1813

Por tanto, alrededor de 18% de las llamadas de clientes son contestadas durante el
primer minuto.

(b) La probabilidad de que un cliente espere más de cinco minutos es

y yP͑T Ͼ 5͒ ෇ ϱ f ͑t͒ dt ෇ ϱ 0.2eϪt͞5 dt
55

y෇ lim x 0.2eϪt͞5 dt ෇ lim ͑eϪ1 Ϫ eϪx͞5 ͒
xlϱ 5 xlϱ

෇ 1 Ϸ 0.368
e

Alrededor del 37% de clientes espera más de cinco minutos antes que sus llamadas sean
contestadas.

Nótese el resultado del Ejemplo 4(b): Aun cuando el tiempo medio de espera es de 5
minutos, sólo 37% de las personas que llaman esperan más de 5 minutos. La razón es que
algunas llamadas tienen que esperar mucho más (quizá 10 o 15 minutos), y esto sube el
promedio.

Otra medida de centralidad de una función de densidad de probabilidad es la mediana.
Ése es un número m tal que la mitad de quienes llaman tienen un tiempo de espera menor
a m y los otros que llaman tienen un tiempo de espera mayor a m. En general, la mediana
de una función de densidad de probabilidad es el número m tal que

yϱ f ͑x͒ dx ෇ 1
m 2

La desviación estándar está denotada SECCIÓN 6.8 PROBABILIDAD 485
por la letra minúscula griega ␴ (sigma).
Esto significa que la mitad del área bajo la gráfica de f está a la derecha de m. En el
Ejercicio 9 se pide al lector que demuestre que el tiempo mediano de espera para la com-
pañía descrita en el Ejemplo 4 es aproximadamente 3.5 minutos.

Distribuciones normales
Numerosos fenómenos aleatorios importantes, por ejemplo las calificaciones en exámenes
de aptitud, estaturas y pesos de individuos de una población homogénea, la lluvia anual en
cierto lugar y otros, se modelan con una distribución normal. Esto significa que la fun-
ción de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X es un miembro de la familia de
funciones

3 f ͑x͒ ෇ 1 eϪ͑xϪ␮͒2͑͞2␴ 2͒
␴ s2␲

Se puede verificar que la media para esta función es ␮. La constante positiva ␴ se llama
desviación estándar; mide qué tan dispersos están los valores de X. De las gráficas en
forma de campana de miembros de la familia en la Figura 5, vemos que para pequeños
valores de ␴ los valores de X están agrupados alrededor de la media, en tanto que para va-
lores más grandes de ␴ los valores de X están más dispersos. Los expertos en estadística
tienen métodos para usar conjuntos de datos para estimar ␮ y ␴.

y
s=21

FIGURA 5 s=1
Distribuciones normales s=2

0mx

El factor 1͞(␴ s2␲ ) es necesario para hacer que f sea una función de densidad de proba-

bilidad. De hecho, se puede verificar usando los métodos de cálculo multivariable que

yϱ 1 e dxϪ͑xϪ␮͒2͑͞2␴ 2͒ ෇ 1

Ϫϱ ␴ s2␲

y v EJEMPLO 5 Las calificaciones del cociente de inteligencia (CI) están normalmente
0.02
0.01 distribuidas con media de 100 y desviación estándar de 15. (La Figura 6 muestra la
correspondiente función de densidad de probabilidad.)
0 60 80 100 120 140 x (a) ¿Qué porcentaje de la población tiene una calificación de CI entre 85 y 115?
FIGURA 6 (b) ¿Qué porcentaje de la población tiene un CI arriba de 140?
Distribución de calificaciones de CI
SOLUCIÓN

(a) Como las calificaciones de CI están normalmente distribuidas, usamos la función de
densidad de probabilidad dada por la Ecuación 3 con ␮ ෇ 100 y ␴ ෇ 15:

yP͑85 ഛ X ഛ 115͒ ෇ 115 1 e dxϪ͑xϪ100͒2͑͞2ؒ152͒

85 15 s2␲

Recuerde de la Sección 5.8 que la función y ෇ eϪx2 no tiene una antiderivada elemental,
de modo que no podemos evaluar la integral exactamente. Pero podemos usar la capacidad

486 CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN

de integración numérica de una calculadora o computadora (o la Regla del Punto Medio
o Regla de Simpson para estimar la integral. Al hacerlo así, encontramos que

P͑85 ഛ X ഛ 115͒ Ϸ 0.68

Por tanto, alrededor del 68% de la población tiene un CI entre 85 y 115, es decir, dentro
de una desviación estándar de la media.

(b) La probabilidad de que la calificación de CI de una persona escogida al azar sea más
de 140 es

yP͑X Ͼ 140͒ ෇ ϱ 1 e dxϪ͑xϪ100͒2͞450
140 15 s2␲

Para evitar la integral impropia podríamos aproximarla por la integral de 140 a 200. (Es
bastante seguro decir que personas con un CI de más de 200 sean extremadamente
raras.) Entonces

yP͑X Ͼ 140͒ Ϸ 200 1 e dxϪ͑xϪ100͒2͞450 Ϸ 0.0038

140 15 s2␲

Por tanto, alrededor de 0.4% de la población tiene un CI de más de 140.

6.8 Ejercicios

1. Sea f (x) la función de densidad de probabilidad para la vida útil 7. La aguja giratoria de un juego de mesa indica al azar un núme-
de un neumático de la más alta calidad de un fabricante, donde x ro real entre 0 y 10. La aguja no está “arreglada” en el sentido
se mide en millas. Explique el significado de cada integral. de que indica un número en un intervalo determinado, con la
misma probabilidad que indica un número en cualquier otro
y(a) 40,000 f ͑x͒ dx (b) yϱ f ͑x͒ dx intervalo de la misma duración.
30,000 25,000 (a) Explique por qué la función

2. Sea f (t) la función de densidad de probabilidad para el tiempo 0.1 si 0 x 10
que una persona tarda en llegar en auto a la escuela por la fx
mañana, donde t se mide en minutos. Exprese las siguientes
probabilidades como integrales. 0 si x 0 o x 10
(a) La probabilidad de que llegue en auto a la escuela en
menos de 15 minutos. es una función de densidad de probabilidad para los valores
(b) La probabilidad de que tarde más de media hora en llegar a de la aguja giratoria.
la escuela. (b) ¿Qué le dice su intuición al lector acerca del valor de la
media? Compruebe su cálculo al evaluar una integral.

3. Sea f ͑x͒ ෇ 3 x s16 Ϫ x2 para 0 ഛ x ഛ 4 y f ͑x͒ ෇ 0 para 8. (a) Explique por qué la función cuya gráfica se muestra es una
64

todos los otros valores de x. función de densidad de probabilidad.

(a) Verifique que f sea una función de densidad de probabilidad. (b) Use la gráfica para hallar las siguientes probabilidades:

(b) Encuentre P ( X Ͻ 2 ͒. (i) P͑X Ͻ 3͒ (ii) P͑3 ഛ X ഛ 8͒

4. Sea f ͑x͒ ෇ xeϪx si x ജ 0 y f ͑x͒ ෇ 0 si x Ͻ 0. (c) Calcule la media.
(a) Verifique que f sea una función de densidad de
probabilidad. y
(b) Encuentre P͑1 ഛ X ഛ 2͒.
0.2 y=ƒ
5. Sea f ͑x͒ ෇ c͑͞1 ϩ x 2͒. 0.1
(a) ¿Para qué valor de c es f una función de densidad de
probabilidad? 0 2 4 6 8 10 x
(b) Para ese valor de c, encuentre P͑Ϫ1 Ͻ X Ͻ 1͒.

6. Sea f ͑x͒ ෇ kx 2͑1 Ϫ x͒ si 0 ഛ x ഛ 1 y f ͑x͒ ෇ 0 si x Ͻ 0 9. Demuestre que el tiempo medio de espera para una llamada
telefónica a la compañía descrita en el Ejemplo 4 es de alrededor
o x Ͼ 1. de 3.5 minutos.

(a) ¿Para qué valor de k es f una función de densidad de proba- 10. (a) Un tipo de bombilla está marcada para tener una duración
promedio útil de 1000 horas. Es razonable modelar la proba-
bilidad? bilidad de falla de estas bombillas por medio de una función

(b) Para ese valor de k, encuentre P(X ജ )1 .

2

(c) Encuentre la media.

1. Tareas sugeridas disponibles en TEC

de densidad exponencial con media ␮ ෇ 1000. Use este CAPÌTULO 6 REPASO 487
modelo para hallar la probabilidad de que una bombilla
(i) falle dentro de las primeras 200 horas, 14. Unas cajas están marcadas como que contienen 500 g de cereal.
(ii) funcione más de 800 horas La máquina que llena las cajas produce pesos que están normal-
(b) ¿Cuál es la vida útil media de estas bombillas? mente distribuidos con desviación estándar de 12 gramos.
(a) Si el peso objetivo es 500 g, ¿cuál es la probabilidad de que
11. La gerente de un restaurante de comida rápida determina que el la máquina produzca una caja con menos de 480 g de cereal?
tiempo promedio de espera para que sus clientes sean atendidos (b) Suponga que una ley indica que no más de 5% de cajas del
es de 2.5 minutos. cereal de un fabricante puede contener menos del peso indi-
(a) Encuentre la probabilidad de que un cliente no tenga que cado de 500 gramos. ¿En qué peso objetivo debe el
esperar más de 4 minutos. fabricante ajustar su máquina llenadora?
(b) Encuentre la probabilidad de que un cliente sea atendido
antes que transcurran 2 minutos. 15. Las velocidades de vehículos en una carretera con límite de
(c) La gerente desea anunciar que cualquier persona que no velocidad de 100 km͞h están normalmente distribuidas con
sea atendida antes que transcurra cierto número de minutos media de 112 km͞h y desviación estándar de 8 km͞h.
recibirá una hamburguesa gratis. Pero ella no desea repartir (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo escogido al
hamburguesas gratuitamente a más del 2% de sus clientes. azar se desplace a una velocidad legal?
¿Qué debe decir su anuncio? (b) Si la policía de tránsito recibe instrucciones de aplicar
multas a automovilistas que circulen a 125 km͞h o más,
12. De acuerdo con el National Health Survey, las estaturas de ¿qué porcentaje de automovilistas es multado?
hombres adultos en Estados Unidos están distribuidas
normalmente con media de 69.0 in y desviación estándar 16. Demuestre que la función de densidad de probabilidad para
de 2.8 in. una variable aleatoria normalmente distribuida tiene puntos de
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre adulto escogido inflexión en x ෇ ␮ Ϯ ␴.
al azar mida entre 65 in y 73 in de estatura?
(b) ¿Qué porcentaje de la población de hombres adultos mide 17. Para cualquier distribución normal, encuentre la probabilidad
más de 6 pies (72 in)? de que la variable aleatoria se encuentre dentro de dos desvia-
ciones estándar de la media.
13. El “Proyecto Basura” de la Universidad de Arizona reporta
que la cantidad de papel desechado por familia por semana está 18. La desviación estándar para una variable aleatoria con función
distribuida normalmente con media de 9.4 lb y desviación de densidad de probabilidad f y media de ␮ está definida por
estándar de 4.2 libras. ¿Qué porcentaje de familias desecha al
menos 10 lb de papel por semana? ͫ ͬ1͞2

y␴ ෇ ϱ ͑x Ϫ ␮͒2 f ͑x͒ dx
Ϫϱ

Encuentre la desviación estándar para una función de densidad
exponencial con media de ␮.

6 Repaso 4. (a) ¿Cuál es el volumen de una capa cilíndrica?
(b) Explique cómo usar capas cilíndricas para hallar el
Revisión de conceptos volumen de un sólido de revolución.
(c) ¿Por qué desearíamos usar el método de capas en lugar de
1. (a) Trace dos curvas típicas y ෇ f ͑x͒ y y ෇ t͑x͒, donde rebanadas?
f ͑x͒ ജ t͑x͒ para a ഛ x ഛ b. Demuestre cómo aproximar el
área entre estas curvas por medio de una suma de Riemann 5. (a) ¿Cómo se define la longitud de una curva?
y trace los correspondientes rectángulos de aproximación. (b) Escriba una expresión para la longitud de una curva
A continuación escriba una expresión para hallar el área lisa con ecuaciones paramétricas x ෇ f ͑t͒, y ෇ t͑t͒,
exacta. a ഛ t ഛ b.
(c) ¿Cómo se simplifica la expresión del inciso (b) si la
(b) Explique cómo cambia la situación si las curvas tienen curva está descrita si se da y en términos de x, es decir,
ecuaciones x ෇ f ͑ y͒ y x ෇ t͑ y͒, donde f ͑ y͒ ജ t͑ y͒ y ෇ f ͑x͒, a ഛ x ഛ b? ¿Qué pasa si x se da como una
para c ഛ y ഛ d. función de y?

2. Suponga que Sue corre más rápido que Kathy en toda una 6. (a) ¿Cuál es el valor promedio de una función f en un
carrera de 1500 metros. ¿Cuál es el significado físico del área intervalo [a, b]?
entre las curvas de velocidad de estas corredoras para el primer
minuto de la carrera? (b) ¿Qué dice el Teorema del Valor Medio para Integrales?
¿Cuál es su interpretación geométrica?
3. (a) Suponga que S es un sólido con áreas de sección transversal
conocidas. Explique cómo aproximar el volumen de S por
medio de una suma de Riemann. A continuación escriba
una expresión para hallar el volumen exacto.

(b) Si S es un sólido de revolución, ¿cómo se encuentran las
áreas de sección transversal?