2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

t= π y SECCIÓN 1.7 CURVAS PARAMÉTRICAS 73
2
SOLUCIÓN Si localizamos puntos, se ve que la curva es una circunferencia. Podemos con-
(cos t, sen t) firmar esta impresión al eliminar t. Observe que

t=π t t=0 x2 ϩ y2 ෇ cos2t ϩ sen2t ෇ 1
0 (1, 0) x
t=2π Así, el punto (x, y) se mueve en la circunferencia unitaria x2 ϩ y2 ෇ 1. Observe que, en
este ejemplo, el parámetro t se puede interpretar como el ángulo (en radianes) que se
t= 3π muestra en la Figura 4. Cuando t aumenta de 0 a 2p, el punto (x, y) ෇ (cos t, sen t)
2 se mueve una vez alrededor del círculo en dirección contraria al giro de las manecillas
de un reloj empezando desde el punto (1, 0).
FIGURA 4
EJEMPLO 3 ¿Cuál curva está representada por las ecuaciones paramétricas dadas?
y
t=0, π, 2π x ෇ sen 2 t y ෇ cos 2t 0 ഛ t ഛ 2␲

(0, 1) SOLUCIÓN De nuevo tenemos

0x x2 ϩ y2 ෇ sen2 2t ϩ cos2 2t ෇ 1

de modo que las ecuaciones paramétricas otra vez representan la circunferencia unitaria
x2 ϩ y2 ෇ 1. Pero, cuando t aumenta de 0 a 2p, el punto (x, y) ෇ (sen 2t, cos 2t)
empieza en (0, 1) y se mueve dos veces alrededor del círculo en la dirección de giro
de las manecillas de un reloj, como se indica en la Figura 5.

FIGURA 5 Los Ejemplos 2 y 3 muestran que diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas pueden
representar la misma curva. Así, distinguimos entre una curva, que es un conjunto de puntos,
y una curva paramétrica, en la que los puntos están trazados de una forma particular.

EJEMPLO 4 Encuentre ecuaciones paramétricas para la circunferencia con centro (h, k)
y radio r.

SOLUCIÓN Si tomamos las ecuaciones de la circunferencia unitaria del Ejemplo 2 y mul-
tiplicamos las expresiones de x y y por r, obtenemos x ෇ r cos t, y ෇ r sen t. Se puede
verificar que estas ecuaciones representan una circunferencia con radio r y centro en el
origen trazadas en sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj. Ahora nos des-
plazamos h unidades en la dirección x y k unidades en la dirección y y obtenemos ecua-
ciones paramétricas de la circunferencia (Figura 6) con centro (h, k) y radio r:

x ෇ h ϩ r cos t y ෇ k ϩ r sen t 0 ഛ t ഛ 2␲

y

r
(h, k)

FIGURA 6 0x
x=h+r cos t, y=k+r sen t

(_1, 1) y (1, 1) v EJEMPLO 5 Trace la curva con ecuaciones paramétricas x ෇ sen t, y ෇ sen2t.

0 x SOLUCIÓN Observe que y ෇ (sen t)2 ෇ x2 y por tanto el punto (x, y) se mueve en la pará-
FIGURA 7 bola y ෇ x2. Pero obsérvese también que, como Ϫ1 р sen t р 1, tenemos Ϫ1 р x р 1,
y las ecuaciones paramétricas representan sólo la parte de la parábola para la cual
Ϫ1 р x р 1. Como sen t es periódico, el punto (x, y) ෇ (sen t, sen2t) se mueve en un
sentido y otro infinitamente, con frecuencia a lo largo de la parábola de (Ϫ1, 1) a (1, 1).
(Véase Figura 7.)

74 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS x
t
TEC Module 1.7A da una animación de la
relación entre movimiento a lo largo de una curva x=cos t
paramétrica x ෇ f (t), y ෇ t(t) y movimiento a
lo largo de las gráficas de f y t como funciones y y
de t. Hacer clic en TRIG dará la familia de curvas x
paramétricas t
x=cos t y=sen 2t
x ෇ a cos bt y ෇ c sen dt y=sen 2t

Si se escogen a ෇ b ෇ c ෇ d ෇ 1 y se hace
clic en animate, usted verá la forma en que las
gráficas de x ෇ cos t y y ෇ sen t se relacionan
con la circunferencia del Ejemplo 2. Si se escoge
a ෇ b ෇ c ෇ 1, d ෇ 2, se verán gráficas como
las de la Figura 8. Al hacer clic en animate o
mover el cursor a la derecha, se puede ver en la
clave de colores cómo es que el movimiento a lo
largo de las gráficas de x ෇ cos t y y ෇ sen 2t
corresponde al movimiento a lo largo de la
curva paramétrica, que recibe el nombre de
figura de Lissajous.

FIGURA 8

3 Calculadoras graficadoras
Casi todas las calculadoras graficadoras y programas de gráficas para computadora pue-
_3 den usarse para graficar curvas definidas por ecuaciones paramétricas. De hecho, es ins-
tructivo observar una curva paramétrica al ser trazada por una calculadora graficadora
_3 porque los puntos son localizados en orden cuando aumentan los valores del parámetro
correspondiente.
FIGURA 9
EJEMPLO 6 Graficar x como función de y
Use una calculadora graficadora para graficar la curva x ෇ y4 Ϫ 3y2.
3
SOLUCIÓN Si el parámetro es t ෇ y, entonces tenemos las ecuaciones

x ෇ t 4 Ϫ 3t 2 y ෇ t

Usando estas ecuaciones paramétricas para graficar la curva, obtenemos la Figura 9. Sería
posible despejar y de la ecuación dada (x ෇ y 4 Ϫ 3y 2) como cuatro funciones de x y gra-
ficarlas individualmente, pero las ecuaciones paramétricas proporcionan un método mucho
más fácil.

En general, si necesitamos graficar una ecuación de la forma x ෇ t(y), podemos usar
las ecuaciones paramétricas

x ෇ t(t) y ෇ t

Observe también que las curvas con ecuaciones y ෇ f (x) (con las que estamos más fami-
liarizados, gráficas de funciones) también pueden ser consideradas como curvas con ecua-
ciones paramétricas

x ෇ t y ෇ f (t)

Las calculadoras graficadoras son particularmente útiles cuando se trazan curvas com-
plicadas. Por ejemplo, las curvas mostradas en las Figuras 10, 11 y 12 serían prácticamente
imposibles de producir a mano.

SECCIÓN 1.7 CURVAS PARAMÉTRICAS 75
8 2.5 1

_6.5 6.5 _2.5 2.5 _1 1

_8 _2.5 _1

FIGURA 10 FIGURA 11 FIGURA 12
x=1.5 cos t-cos 30t x=sen(t+cos 100t)
x=t+2 sen 2t y=1.5 sen t-sen 30t y=cos(t+sen 100t)
y=t+2 cos 5t

Uno de los usos más importantes de curvas paramétricas es en el diseño asistido por
computadora (CAD). En el Proyecto de Laboratorio después de la Sección 3.4 investiga-
remos curvas paramétricas especiales, llamadas curvas de Bézier, que se usan extensa-
mente en manufacturas, en especial en la industria automotriz. Estas curvas también se
usan para especificar las formas de letras y otros símbolos en impresoras láser.

TEC Una animación del Module 1.7B El cicloide
muestra cómo se forma el cicloide cuando
se mueve el círculo. EJEMPLO 7 Deducir ecuaciones paramétricas para un cicloide La curva trazada por un
punto P en la circunferencia de un círculo, cuando el círculo rueda a lo largo de una
recta, recibe el nombre de cicloide (véase Figura 13). Si el círculo tiene radio r y rueda a
lo largo del eje x y si una posición de P es el origen, encuentre ecuaciones paramétricas
para el cicloide.

P P
P
FIGURA 13

y SOLUCIÓN Escogemos como parámetro el ángulo de rotación u del círculo (u ෇ 0 cuando
P está en el origen). Supongamos que el círculo ha girado u radianes. Como el círculo ha
r C (r¨, r) estado en contacto con la recta, vemos de la Figura 14 que la distancia que ha rodado
¨ desde el origen es
P
Q Խ OT Խ ෇ arc PT ෇ r␪
y
x T Por tanto, el centro del círculo es C(ru, r). Sean (x, y) las coordenadas de P. Entonces, de
O la Figura 14 vemos que

r¨ x x ෇ ͉ O T ͉ Ϫ ͉ P Q ͉ ෇ r u Ϫ r sen u ෇ r(u Ϫ sen u)

FIGURA 14 y ෇ ͉ TC ͉ Ϫ ͉ QC ͉ ෇ r Ϫ r cos u ෇ r(1 Ϫ cos u)

Por tanto, las ecuaciones paramétricas del cicloide son

1 x ෇ r(u Ϫ sen u) y ෇ r(1 Ϫ cos u) u ʦ ‫ޒ‬

Un arco del cicloide proviene de una rotación del círculo y así está descrito por
0 р u р 2p. Aun cuando las Ecuaciones 1 se derivaron de la Figura 14, que ilustra
el caso donde 0 Ͻ u Ͻ p͞2, se puede ver que estas ecuaciones todavía son válidas
para otros valores de u (véase Ejercicio 37).