2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

Abreviemos el nombre de esta prueba SECCIÓN 4.3 DERIVADAS Y LAS FORMAS DE CURVAS 273
a Prueba C/D.
La principal importancia del teorema del valor medio es que hace posible obtener
información acerca de una función a partir de su derivada. Nuestro uso inmediato de este
principio es demostrar los datos básicos respecto a funciones crecientes y decrecientes.
(Véanse Ejercicios 63 y 64 para otro uso.)

Funciones crecientes y decrecientes
En la Sección 1.1 definimos funciones crecientes y funciones decrecientes y en la Sección
2.8 observamos de las gráficas que una función con derivada positiva es creciente. Ahora
deducimos este hecho por el teorema del valor medio.

Prueba Crecimiento/Decrecimiento
(a) Si f Ј(x) Ͼ 0 en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo.
(b) Si f Ј(x) Ͻ 0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

DEMOSTRACIÓN

(a) Sean x1 y x2 dos números cualesquiera en el intervalo con x1 Ͻ x2. De acuerdo con la
definición de una función creciente (página 21) tenemos que demostrar que f (x1) Ͻ f (x2).

Como nos indican que f Ј(x) Ͼ 0, sabemos que f es derivable en [x1, x2]. Entonces, por
el teorema del valor medio, hay un número c entre x1 y x2 tal que

3 f ͑x2 ͒ Ϫ f ͑x1͒ ෇ f Ј͑c͒͑x2 Ϫ x1͒

Ahora f Ј(c) Ͼ 0 por suposición y x2 Ϫ x1 Ͼ 0 porque x1 Ͻ x2. Entonces el lado derecho
de la Ecuación 3 es positivo, y por tanto

f (x2) Ϫ f (x1) Ͼ 0 o f (x1) Ͻ f (x2)

Esto demuestra que f es creciente.
El inciso (b) se demuestra de un modo similar.

v EJEMPLO 2 Encuentre en dónde es creciente y en dónde es decreciente la función

f ͑x͒ ෇ 3x 4 Ϫ 4x 3 Ϫ 12x 2 ϩ 5.

SOLUCIÓN f Ј͑x͒ ෇ 12x 3 Ϫ 12x 2 Ϫ 24x ෇ 12x͑x Ϫ 2͒͑x ϩ 1͒

Para usar la Prueba C/D tenemos que saber en dónde f Ј(x) Ͼ 0 y en dónde f Ј(x) Ͻ 0.
Esto depende de los signos de los tres factores de f Ј(x), es decir, 12x, x Ϫ 2 y x ϩ 1.
Dividimos la recta real en intervalos cuyos puntos extremos son los números críticos
Ϫ1, 0 y 2 y anotamos nuestro trabajo en una tabla. Un signo más indica que la expre-
sión dada es positiva, y un signo menos indica que es negativa. La última columna de la
tabla da la conclusión basada en la Prueba C/D. Por ejemplo, f Ј(x) Ͻ 0 para 0 Ͻ x Ͻ 2,
de modo que f es decreciente en (0, 2). (También sería verdadero decir que f es decreciente
en el intervalo cerrado [0, 2].)

20 Intervalo 12x x Ϫ 2 x ϩ 1 f Ј͑x͒ f
_2
3 x Ͻ Ϫ1 Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ decreciente en (Ϫϱ, Ϫ1)

Ϫ1 Ͻ x Ͻ 0 ϪϪ ϩ ϩ creciente en (Ϫ1, 0)

0ϽxϽ2 ϩϪ ϩ Ϫ decreciente en (0, 2)

xϾ2 ϩϩ ϩ ϩ creciente en (2, ϱ)

_30

FIGURA 3 La gráfica de f que se muestra en la Figura 3 confirma la información de la tabla.

274 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

Recuerde de la Sección 4.2 que si f tiene un máximo o mínimo local en c, entonces c
debe ser un número crítico de f (por el teorema de Fermat), pero no todo número crítico
surge de un máximo o un mínimo. Por tanto, necesitamos una prueba que nos diga si f tiene
o no tiene un máximo o mínimo local en un número crítico.

Se puede ver de la Figura 3 que f (0) ෇ 5 es un valor máximo local de f porque f aumen-
ta en (Ϫ1, 0) y disminuye en (0, 2). O bien, en términos de derivadas, f Ј(x) Ͼ 0 para Ϫ1
Ͻ x Ͻ 0 y f Ј(x) Ͻ 0 para 0 Ͻ x Ͻ 2. En otras palabras, el signo de f Ј(x) cambia de posi-
tivo a negativo en 0. Esta observación es la base de la siguiente prueba.

Prueba de la primera derivada Suponga que c es un número crítico de una función
continua f.
(a) Si f Ј cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.
(b) Si f Ј cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo local en c.
(c) Si f Ј no cambia de signo en c (por ejemplo, si f Ј es positiva en ambos lados de

c o negativa en ambos lados), entonces f no tiene máximo o mínimo local en c.

La Prueba de la primera derivada es una consecuencia de la Prueba (C͞D). En el inci-
so (a), por ejemplo, como el signo de f Ј(x) cambia de positivo a negativo en c, f es crecien-
te a la izquierda de c y decreciente a la derecha de c. Se deduce que f tiene un máximo
local en c.

Es fácil recordar la prueba de la primera derivada si visualizamos diagramas como los
de la Figura 4.

y fª(x)<0 y y y
fª(x)>0 fª(x)<0 fª(x)>0 fª(x)<0
fª(x)<0

fª(x)>0 fª(x)>0

0c x0 c x0 cx 0c x

(a) Máximo local (b) Mínimo local (c) No hay máximo ni mínimo (d) No hay máximo ni mínimo
FIGURA 4

v EJEMPLO 3 Encuentre los valores de mínimo y máximo local de la función f en el

Ejemplo 2.

SOLUCIÓN De la tabla en la solución del Ejemplo 2 vemos que f Ј(x) cambia de negativa
a positiva en Ϫ1, de modo que f (Ϫ1) ෇ 0 es un valor mínimo local por la Prueba de la
primera derivada. Del mismo modo, f Ј cambia de negativa a positiva en 2, por lo cual
f (2) ෇ Ϫ27 también es un valor mínimo local. Como ya antes dijimos, f (0) ෇ 5 es un
valor máximo local porque f Ј(x) cambia de positiva a negativa en 0.

Concavidad
Recordemos la definición de concavidad de la Sección 2.8.

Una función (o su gráfica) se denomina cóncava hacia arriba en un intervalo I si
f Ј es una función creciente en I. Se denomina cóncava hacia abajo en I si f Ј es
decreciente en I.

SECCIÓN 4.3 DERIVADAS Y LAS FORMAS DE CURVAS 275

Observe en la Figura 5 que las pendientes de las rectas tangentes aumentan de izquier-
da a derecha en el intervalo (a, b), de modo que f Ј es creciente y f es cóncava hacia arriba
(abreviado CA) en (a, b). [Se puede demostrar que esto es equivalente a decir que la grá-
fica de f se encuentra arriba de todas sus rectas tangentes en (a, b).] Del mismo modo, las
pendientes de las rectas tangentes disminuyen de izquierda a derecha en (b, c), de modo
que f Ј es decreciente y f es cóncava hacia abajo (CB) en (b, c).

y

PQ

0a b cx

FIGURA 5 CA CB CA

Un punto donde una curva cambia su dirección de concavidad se denomina punto de
inflexión. La curva de la Figura 5 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo
en P y de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q, por lo que P y Q son puntos
de inflexión.

Debido a que f Љ ෇ (f Ј)Ј, sabemos que si f Љ(x) es positiva, entonces f Ј es una función
creciente y entonces f es cóncava hacia arriba. Análogamente, si f Љ(x) es negativa, entonces
f Ј es decreciente y f es cóncava hacia abajo. Por tanto, tenemos la siguiente prueba para
concavidad.

Prueba de concavidad
(a) Si f Љ(x) Ͼ 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I.
(b) Si f Љ(x) Ͻ 0 para toda x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I.

y En vista de la Prueba de concavidad, hay un punto de inflexión en cualquier punto
f donde la segunda derivada cambie de signo. Una consecuencia de la Prueba de concavi-
dad es la siguiente prueba para valores máximo y mínimo.
f ª(c)=0 P
0 ƒ Prueba de la segunda derivada Suponga que f Љ es continua cerca de c.
(a) Si f Ј(c) ෇ 0 y f Љ(c) Ͼ 0, entonces f tiene un mínimo local en c.
f (c) (b) Si f Ј(c) ෇ 0 y f Љ(c) Ͻ 0, entonces f tiene un máximo local en c.

c xx Por ejemplo, el inciso (a) es verdadero porque f Љ(x) Ͼ 0 cerca de c y por tanto f es cón-
cava hacia arriba cerca de c. Esto significa que la gráfica de f se encuentra arriba de su tan-
FIGURA 6 gente horizontal en c y f tiene un mínimo local en c. (Véase Figura 6.)
f ·(c)>0, f es cóncava hacia arriba
v EJEMPLO 4 Analizar una curva usando derivadas Analice la curva y ෇ x4 Ϫ 4x3 con

respecto a la concavidad, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Use esta
información para trazar la curva.
SOLUCIÓN Si f (x) ෇ x4 Ϫ 4x3, entonces

f Ј͑x͒ ෇ 4x 3 Ϫ 12x 2 ෇ 4x 2͑x Ϫ 3͒
f Љ͑x͒ ෇ 12x 2 Ϫ 24x ෇ 12x͑x Ϫ 2͒

276 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA

Para hallar los números críticos hacemos f Ј(x) ෇ 0 y obtenemos x ෇ 0 y x ෇ 3. Para
usar la Prueba de la segunda derivada evaluamos f Љ en estos números críticos:

f Љ͑0͒ ෇ 0 f Љ͑3͒ ෇ 36 Ͼ 0

y Como f Ј(3) ෇ 0 y f Љ(3) Ͼ 0, f (3) ෇ Ϫ27 es un mínimo local. Como f Љ(0) ෇ 0, la
y=x$-4˛ prueba de la segunda derivada no da información acerca del número crítico 0. Pero como
f Ј(x) Ͻ 0 para x Ͻ 0 y también para 0 Ͻ x Ͻ 3, la prueba de la primera derivada nos
dice que f no tiene máximo o mínimo local en 0.

Como f Љ(x) ෇ 0 cuando x ෇ 0 o 2, dividimos la recta real en intervalos con estos
números como puntos extremos y completamos la tabla siguiente.

puntos (0, 0) x Intervalo f Љ͑x͒ ෇ 12x͑x Ϫ 2͒ Concavidad
de inflexión 23
(Ϫϱ, 0) ϩ hacia arriba
FIGURA 7 (0, 2) Ϫ hacia abajo
(2, ϱ) ϩ hacia arriba

(2, _16)

(3, _27) El punto (0, 0) es un punto de inflexión porque la curva cambia de cóncava hacia
arriba a cóncava hacia abajo ahí. También, (2, Ϫ16) es un punto de inflexión porque la
curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba ahí.

Usando el mínimo local, los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión, traza-
mos la curva de la Figura 7.

Nota: La prueba de la segunda derivada no es concluyente cuando f Љ(c) ෇ 0. En otras
palabras, en ese punto podría haber un máximo, podría haber un mínimo o no podría haber
ninguno de ellos (como en el Ejemplo 4). Esta prueba también falla cuando f Љ(c) no exis-
te. En tales casos debe usarse la prueba de la primera derivada. De hecho, aun cuando apli-
can ambas pruebas, la prueba de la primera derivada es con frecuencia la más fácil de usar.

EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función f (x) ෇ x2͞3(6 Ϫ x)1͞3.

SOLUCIÓN El cálculo de las primeras dos derivadas da

Use las reglas de derivación para comprobar estos 4Ϫx Ϫ8
cálculos. f Ј͑x͒ ෇ x 1͞3͑6 Ϫ x͒2͞3 f Љ͑x͒ ෇ x 4͞3͑6 Ϫ x͒5͞3

Como f Ј(x) ෇ 0 cuando x ෇ 4 y f Ј(x) no existe cuando x ෇ 0 o x ෇ 6, los números críti-
cos son 0, 4 y 6.

Intervalo 4 Ϫ x x 1͞3 ͑6 Ϫ x͒2͞3 f Ј͑x͒ f

xϽ0 ϩϪ ϩ Ϫ decreciente en (Ϫϱ, 0)
0ϽxϽ4 ϩϩ ϩ ϩ creciente en (0, 4)
4ϽxϽ6 Ϫϩ ϩ Ϫ decreciente en (4, 6)
Ϫϩ ϩ Ϫ decreciente en (6, ϱ)
xϾ6

Para hallar los valores extremos locales usamos la prueba de la primera derivada.
Como f Ј cambia de negativa a positiva en 0, f (0) ෇ 0 es un mínimo local. Como f Ј cam-
bia de positiva a negativa en 4, f (4) ෇ 25͞3 es un máximo local. El signo de f Ј no cambia
en 6, de modo que ahí no hay mínimo o máximo. (La prueba de la segunda derivada
podría usarse en 4 pero no en 0 o 6 porque f Љ no existe en ninguno de estos números.)

SECCIÓN 4.3 DERIVADAS Y LAS FORMAS DE CURVAS 277

Al ver la expresión para f Љ(x) y observar que x4͞3 у 0 para toda x, tenemos f Љ(x) Ͻ 0
y para x Ͻ 0 y para 0 Ͻ x Ͻ 6, y f Љ(x) Ͼ 0 para x Ͼ 6. En consecuencia, f es cóncava
hacia abajo en (Ϫϱ, 0) y (0, 6) y cóncava hacia arriba en (6, ϱ) y el único punto de
inflexión es (6, 0). La gráfica está trazada en la Figura 8. Observe que la curva tiene tangen-
tes verticales en (0, 0) y (6, 0) porque ͉ f Ј(x) ͉ l ϱ cuando x l 0 y cuando x l 6.

Trate de reproducir la gráfica de la Figura 8 con y
una calculadora graficadora o computadora.
Algunas máquinas producen la gráfica 4 (4, 2%?# )
completa, otras producen sólo la parte a la 3
derecha del eje y y algunas producen sólo la 2
parte entre x ෇ 0 y x ෇ 6. Para una
explicación y solución, véase el Ejemplo 7 en 0 12345 7x
la Sección 1.4. Una expresión equivalente que
da la gráfica correcta es y=x @ ?#(6-x)! ?#

Խ Խ Խ Խy ෇ ͑x 2 ͒1͞3 ؒ 6 Ϫ x 6 Ϫ x 1͞3
6Ϫx

FIGURA 8

EJEMPLO 6 Use la primera y segunda derivadas de f (x) ෇ e1͞x, junto con las asíntotas,
para trazar su gráfica.

SOLUCIÓN Observe que el dominio de f es {x ͉ x 0}, de modo que buscamos las asínto-
tas verticales al calcular los límites izquierdo y derecho cuando x l 0. Cuando x l 0ϩ,
sabemos que t ෇ 1͞x l ϱ, de modo que

lim e 1͞x ෇ lim e t ෇ ϱ
x l 0ϩ tlϱ

y esto demuestra que x ෇ 0 es una asíntota vertical. Cuando x l 0Ϫ, tenemos
t ෇ 1͞x l Ϫϱ, y entonces

lim e 1͞x ෇ lim e t ෇ 0
x l 0Ϫ t l Ϫϱ

TEC En Module 4.3 se puede practicar usando Cuando x l Ϯϱ, tenemos 1͞x l 0 y por tanto
información acerca de f Ј, f Љ, y asíntotas para
determinar la forma de la gráfica de f.

lim e 1͞x ෇ e 0 ෇ 1

x l Ϯϱ

Esto demuestra que y ෇ 1 es una asíntota horizontal.
Ahora calculemos la derivada. La regla de la cadena da

e 1͞x
f Ј͑x͒ ෇ Ϫ x 2

www.stewartcalculus.com Como e1͞x Ͼ 0 y x2 Ͼ 0 para toda x ϶ 0, tenemos f Ј(x) Ͻ 0 para toda x 0. Entonces f
es decreciente en (Ϫϱ, 0) y en (0, ϱ). No hay número crítico, de modo que la función no
Al hacer clic en Additional Topics, se verá tiene máximo o mínimo local. La segunda derivada es

Summary of Curve Sketching f Љ͑x͒ ෇ Ϫ x 2e 1͞x͑Ϫ1͞x 2 ͒ Ϫ e 1͞x͑2x͒ ෇ e 1͞x͑2x ϩ 1͒
x4 x4
Las guías dadas ahí resumen toda la información
necesaria para hacer un dibujo de una curva que
expresa sus aspectos más importantes. Ejemplos
y ejercicios dan al estudiante práctica adicional.

Como e1͞x Ͼ 0 y x4 Ͼ 0, tenemos f Љ(x) Ͼ 0 cuando x Ͼ Ϫ12 ͑x 0͒ y f Љ(x) Ͻ 0 cuando

x Ͻ Ϫ12. Entonces la curva es cóncava hacia abajo en (Ϫϱ, Ϫ21 ) y cóncava hacia arriba en
(Ϫ21, 0) y en (0, ϱ). El punto de inflexión es (Ϫ21, )eϪ2 .