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2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-13 14:12:33

2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

2-Cálculo conceptos y aplicaciones _Stewart_4ta_unlocked

SECCIÓN 5.4 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO 373

(b) Estime t(x) para x ෇ 1, 2, 3, 4 y 5. (b) ¿Dónde alcanza t su valor máximo absoluto?
(c) ¿En qué intervalo es t creciente? (c) ¿En qué intervalos es t cóncava hacia abajo?
(d) ¿Dónde tiene t un valor máximo? (d) Trace la gráfica de t.
(e) Trace una gráfica aproximada de t.
(f) Use la gráfica del inciso (e) para trazar la gráfica de tЈ(x). 19. y f
3
Compare con la gráfica de f.
2
y
1
2

02 5x 0 2 4 6 8t
_1
_2

20. y f
0.4
5–6 Trace el área representada por t(x). A continuación encuentre 0.2
tЈ(x) en dos formas: (a) usando la Primera Parte del Teorema
Fundamental y (b) evaluando la integral usando la Segunda Parte 01 3 5 7 9 t
y luego derivando. _0.2

y5. t͑x͒ ෇ x ͑1 ϩ t2͒ dt 6. t͑x͒ ෇ y x (1 ϩ st ) dt
0 0

7–18 Use la Primera Parte del Teorema Fundamental del Cálculo 21. Si f ͑x͒ ෇ xx ͑1 Ϫ t 2͒e t 2 dt, ¿en qué intervalo es f creciente?
para hallar la derivada de la función. 0

x1 22. Si f x t2 dt y t͑ y͒ ෇ xy f ͑x͒ dx, encuentre
1 t 3 ϩ 1 dt tЉ(p͞6). 3
y8. t͑x͒ ෇ x et2Ϫt dt
y7. t͑x͒ ෇ 3

23. ¿En qué intervalo es la curva

9. t y t 2 sen t dt y10. t͑r͒ ෇ r ϩ 4 dx yy ෇ x t2
0 t 2 ϩ t ϩ 2 dt
sx 2
0

y11. F͑x͒ ෇ ␲ s1 ϩ sec t dt cóncava hacia abajo?
x
Sugerencia: y s1 sec t dt 24. Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva con
x
yx s1 sec t dt ecuaciones paramétricas x ෇ xt s1 ϩ u3 du, y ෇ 1 ϩ 2t Ϫ t3
0

en el punto (0, 1).

y12. G͑x͒ ෇ 1 cos st dt 25. Si f (1) ෇ 12, f Ј es continua, y x4 f Ј͑x͒ dx ෇ 17, ¿cuál es el
x 1

valor de f (4)?

y13. h͑x͒ ෇ 1͞ x y14. h͑x͒ ෇ x2 26. La función de error

arctan t dt s1 ϩ r 3 dr
2 0

y15. y ෇ tan x st ϩ st dt 16. y sen3t dt yerf͑x͒ ෇ 2 x eϪt 2 dt
0 s␲
x 0

se usa en probabilidad, estadística e ingeniería.

3x u2 Ϫ 1 (a) Demuestre que xb eϪt 2 dt ෇ 1 s␲ ͓erf͑b͒ Ϫ erf͑a͔͒.
2x u 2 ϩ 1 du a 2
y17. t͑x͒ ෇
(b) Demuestre que la función y ෇ e x2erf͑x͒ satisface la

y y y3x 0 3x ecuación diferencial yЈ ෇ 2xy ϩ 2͞s␲ .

Sugerencia: f u du f u du f u du 27. La función S de Fresnel se definió en el Ejemplo 4 y se graficó
2x 2x 0 en las Figuras 6 y 7.
(a) ¿En qué valores de x tiene valores máximos locales esta
18. y 1 v 2 10 dv función?
(b) ¿En qué intervalos es cóncava hacia arriba la función?
19 – 20 Sea t͑x͒ ෇ xx f ͑t͒ dt, donde f es la función cuya gráfica
0 CAS (c) Use una gráfica para resolver la siguiente ecuación correcta
a dos lugares decimales:
se muestra.

(a) ¿En qué valores de x se presentan los valores máximo y sen t 2 2 dt 0.2

mínimo locales de t?

374 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

CAS 28. La función integral seno sen t a razón de f ෇ f (t) y acumulará costos de mantenimiento a
Si x dt una tasa t ෇ t(t), donde t es el tiempo medido en meses. La
compañía desea determinar el tiempo óptimo para cambiar
t el sistema.
(a) Sea
es importante en ingeniería eléctrica. [El integrando
f (t) ෇ (sen t)͞t no está definido cuando t ෇ 0, pero sabemos yC͑t͒ ෇ 1 t ͓ f ͑s͒ ϩ t͑s͔͒ ds
que su límite es 1 cuando t l 0. Entonces definimos f (0) ෇ 1
y esto hace f una función continua en todas partes.] t0
(a) Trace la gráfica de Si.
(b) ¿En qué valores de x tiene valores máximos locales esta Demuestre que los números críticos de C se presentan en
los números t donde C(t) ෇ f (t) ϩ t(t).
función? (b) Suponga que
(c) Encuentre las coordenadas del primer punto de inflexión
VV
a la derecha del origen. t si 0 t 30
(d) ¿Esta función tiene asíntotas horizontales?
(e) Resuelva la siguiente ecuación correcta a un lugar f t 15 450
0 si t 30
decimal:
y t͑t͒ ෇ Vt 2 tϾ0
sen t
t dt 12,900

29. Encuentre una función f tal que f (1) ෇ 0 y f Ј(x) ෇ 2x͞x. Determine el tiempo T para que la depreciación total
30. Sea
D͑t͒ ෇ xt f ͑s͒ ds iguale el valor inicial V.
0

(c) Determine el mínimo absoluto de C en (0, T].

(d) Trace las gráficas de C y f ϩ t en el mismo sistema de

0 si x 0 coordenadas, y verifique el resultado del inciso (a) en este
x si 0 x 1
fx caso.
2 x si 1 x 2
0 si x 2 33. Una empresa manufacturera es propietaria de una pieza

importante de equipo que se deprecia a una tasa (continua)

f ෇ f (t), donde t es el tiempo medido en meses desde que fue

y t͑x͒ ෇ y x f ͑t͒ dt sometida a una reparación general. Debido a que se incurre
0
en un costo fijo A cada vez que la máquina es reparada, la
(a) Encuentre una expresión para t(x) similar a la de f (x).
(b) Trace las gráficas de f y t. empresa desea determinar el tiempo óptimo T (en meses)
(c) ¿Dónde es f derivable? ¿Dónde es t derivable?
31. Encuentre una función f y un número a tal que entre reparaciones.

(a) Explique por qué xt f ͑s͒ ds representa la pérdida en valor
0

de la máquina en el periodo t desde la última reparación.

(b) Sea C ෇ C(t) dada por

y6 ϩ x f ͑t͒ dt ෇ 2sx ͫ ͬyC͑t͒ ෇ 1 A ϩ t f ͑s͒ ds
a t2 t0

para toda x Ͼ 0. ¿Qué representa C y por qué la compañía desearía
minimizar C?
32. Una empresa de alta tecnología adquiere un nuevo sistema de (c) Demuestre que C tiene un valor mínimo en los números
computación cuyo valor inicial es V. El sistema se depreciará t ෇ T donde C(T) ෇ f (T).

PROYECTO Newton, Leibniz y la invención del cálculo
DE INVESTIGACIÓN
HISTÓRICA A veces leemos que los inventores del cálculo fueron Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716). Pero sabemos que las ideas básicas que hay detrás de la integración
fueron investigadas hace 2500 años por antiguos griegos como Eudoxio y Arquímedes, y los
métodos para hallar tangentes fueron iniciados por Pierre Fermat (1601-1665), Isaac Barrow
(1630-1677), y otros. Barrow, que dio clases en Cambridge y tuvo gran influencia en Newton, fue
el primero en entender la relación inversa entre derivación e integración. Lo que hicieron Newton
y Leibniz fue usar esta relación, en la forma del Teorema Fundamental de Cálculo, para desarro-

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE SUSTITUCIÓN 375

llar el cálculo en una disciplina matemática sistemática. Es en este sentido que Newton y Leibniz
reciben crédito con la invención del cálculo.

El estudiante debe leer las aportaciones de estos hombres en una o más de las obras de refe-
rencia dadas y escribir un informe sobre uno de los tres temas siguientes. Puede incluir detalles
biográficos, pero la observación principal de su informe debe ser una descripción, con algún
detalle, de sus métodos y notaciones. En particular, el estudiante debe consultar uno de los
libros de consulta, que dan extractos de las publicaciones originales de Newton y Leibniz,
traducidas del latín al inglés.

N The Role of Newton in the Development of Calculus

N The Role of Leibniz in the Development of Calculus

N The Controversy between the Followers of Newton and Leibniz over
Priority in the Invention of Calculus

Referencias

1. Carl Boyer and Uta Merzbach, A History of Mathematics (New York: Wiley, 1987),
Chapter 19.

2. Carl Boyer, The History of the Calculus and Its Conceptual Development (New York: Dover,
1959), Chapter V.

3. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (New York: Springer-Verlag,
1979), Chapters 8 and 9.

4. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6th ed. (New York: Saunders,
1990), Chapter 11.

5. C. C. Gillispie, ed., Dictionary of Scientific Biography (New York: Scribner’s, 1974).
See the article on Leibniz by Joseph Hofmann in Volume VIII and the article on Newton by
I. B. Cohen in Volume X.

6. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction (New York: HarperCollins, 1993),
Chapter 12.

7. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (New York: Oxford
University Press, 1972), Chapter 17.

Libros de consulta

1. John Fauvel and Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader (London:
MacMillan Press, 1987), Chapters 12 and 13.

2. D. E. Smith, ed., A Sourcebook in Mathematics (New York: Dover, 1959), Chapter V.
3. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200–1800 (Princeton, NJ: Princeton

University Press, 1969), Chapter V.

5.5 La Regla de sustitución

Debido al Teorema Fundamental, es importante tener capacidad para hallar antiderivadas.
Pero nuestras fórmulas de antiderivación no nos dicen cómo evaluar integrales como por
ejemplo

1 y 2xs1 ϩ x2 dx

RP Para hallar esta integral usamos la estrategia de resolución de problemas de introducir
algo extra. Aquí ese “algo extra” es una nueva variable; cambiamos de la variable x a
Las derivadas se definieron en la Sección 3.9. una nueva variable u. Suponga que hacemos que u sea la cantidad bajo el signo de raíz
Si u ෇ f (x), entonces en (1): u ෇ 1 ϩ x2. Entonces la diferencial de u es du ෇ 2x dx. Nótese que si dx en la
notación para una integral fuera a interpretarse como una diferencial, entonces la diferencial
du ෇ f Ј(x) dx

376 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

2x dx ocurriría en (1) y así, formalmente, sin justificar nuestro cálculo, podríamos escribir

2 y 2xs1 ϩ x2 dx ෇ y s1 ϩ x2 2x dx ෇ y su du

෇ 2 u 3͞2 ϩ C ෇ 2 ͑ x 2 ϩ 1͒3͞2 ϩ C
3 3

Pero ahora podemos comprobar que tenemos la respuesta correcta al usar la Regla de la
Cadena para derivar la función final de la Ecuación 2:

[ ]d 2 ͑ x 2 ϩ 1͒3͞2 ϩ C ෇ 2 ؒ 3 ͑x 2 ϩ 1͒1͞2 ؒ 2x ෇ 2xsx2 ϩ 1
3 3 2
dx

En general, este método funciona siempre que tengamos una integral que podamos

escribir en la forma x f ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx. Observe que si FЈ ෇ f, entonces

3 y FЈ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ F͑t͑x͒͒ ϩ C

porque, por la Regla de la Cadena,
d ͓F͑t͑x͔͒͒ ෇ FЈ͑ t͑x͒͒tЈ͑x͒
dx

Si hacemos el “cambio de variable” o “sustitución” u ෇ t(x), entonces de la Ecuación 3
tenemos

y FЈ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ F͑t͑x͒͒ ϩ C ෇ F͑u͒ ϩ C ෇ y FЈ͑u͒ du

o bien, escribiendo FЈ ෇ f, tenemos

y f ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ y f ͑u͒ du

Así hemos demostrado la regla siguiente.

4 Regla de sustitución Si u ෇ t(x) es una función derivable cuyo rango es un
intervalo I y f es continua en I, entonces

y f ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ y f ͑u͒ du

Nótese que la Regla de sustitución para integración fue demostrada usando la Regla
de la cadena para derivación. Nótese también que si u ෇ t(x), entonces du ෇ tЈ(x) dx,
y una forma de recordar la Regla de sustitución es considerar dx y du en (4) como dife-
renciales.

Así, la Regla de la sustitución dice: Es permisible operar con dx y du después de sig-
nos de integral como si fueran diferenciales.

yEJEMPLO 1 Uso de la Regla de sustitución Encuentre x 3 cos͑x 4 ϩ 2͒ dx.

SOLUCIÓN Hacemos la sustitución u ෇ x4 ϩ 2 porque su diferencial es du ෇ 4x3 dx, que,

aparte del factor constante 4, se presenta en la integral. Así, usando x3 dx ෇ 1 du y la
4

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE SUSTITUCIÓN 377

Regla de sustitución, tenemos

y x 3 cos x 4 2 dx y cos u 1 du y1 cos u du
4
4

1 sen u C
4

1 sen x4 2 C
4

Compruebe su respuesta al derivarla. Nótese que en la etapa final tuvimos que regresar a la variable original x.

La idea que hay tras de la Regla de la sustitución es sustituir una integral relativamen-

te complicada con una integral más sencilla. Esto se logra cambiando de la variable origi-

nal x a una nueva variable u que es una función de x. Así, en el Ejemplo 1, sustituimos la

integral x x3 cos͑x 4 ϩ 2͒ dx por la integral más sencilla 1 x cos u du.
4

La principal dificultad para usar la Regla de la sustitución es considerar una sustitución

apropiada. El estudiante debe tratar de escoger u como una función en el integrando cuya

diferencial también se presenta (excepto para un factor constante). Éste fue el caso en el

Ejemplo 1. Si eso no es posible, trate de escoger u para que sea alguna parte complicada

del integrando (quizá la función interior en una función compuesta). Hallar la sustitución

correcta es un poco de arte; no es raro que se hagan errores pero, si la sustitución no fun-

ciona intente con otra.

yEJEMPLO 2 Dos posibles sustituciones Evalúe s2x ϩ 1 dx.

SOLUCIÓN 1 Sea u ෇ 2x ϩ 1. Entonces du ෇ 2 dx, y por tanto dx ෇ 1 du. Así, la Regla
2

de la Sustitución da

y y ys2x ϩ 1 dx ෇ su ؒ 1 du ෇ 1 u 1͞2 du
2 2

෇ 1 ؒ u 3͞2 ϩ C ෇ 1 u 3͞2 ϩ C
2 3͞2 3

෇ 1 ͑2x ϩ 1͒3͞2 ϩ C
3

SOLUCIÓN 2 Otra posible sustitución es u ෇ s2x ϩ 1. Entonces

du ෇ dx 1 y entonces dx ෇ s2x ϩ 1 du ෇ u du
s2x ϩ

(O bien, observe que u2 ෇ 2x ϩ 1 por lo que 2u du ෇ 2 dx.) Por tanto

y s2x ϩ 1 dx ෇ y u ؒ u du ෇ y u2 du

෇ u3 ϩ C ෇ 1 ͑2 x ϩ 1͒3͞2 ϩ C
3 3

yv EJEMPLO 3 Encuentre x
dx.
s1 Ϫ 4x 2

SOLUCIÓN Sea u ෇ 1 Ϫ 4x2. Entonces du ෇ Ϫ8x dx, y entonces x dx ෇ Ϫ 1 du y
8

y y yx dx ෇ Ϫ 1 1 du ෇ Ϫ 1 u Ϫ1͞2 du
8 su 8
s1 Ϫ 4x 2

෇ Ϫ 1 (2 su ) ϩ C ෇ Ϫ 1 s1 Ϫ 4x2 ϩ C
8 4

378 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

1 La respuesta al Ejemplo 3 podría comprobarse por derivación, pero en lugar de ello pro-
f
bémosla con una gráfica. En la Figura 1 hemos empleado computadora para graficar el
_1 1
integrando f ͑x͒ ෇ x͞s1 Ϫ 4x 2 y su integral indefinida t͑x͒ ෇ Ϫ 1 s1 Ϫ 4x2 (tomamos
©=͐ ƒ dx 4

el caso C ෇ 0). Nótese que t͑x͒ disminuye cuando f ͑x͒ es negativa, aumenta cuando f ͑x͒

es positiva y tiene su valor mínimo cuando f ͑x͒ ෇ 0. De la evidencia gráfica parece razo-

nable que t sea una antiderivada de f.

_1 yEJEMPLO 4 Calcule e 5x dx.

FIGURA 1 SOLUCIÓN Si hacemos u ෇ 5x, entonces du ෇ 5 dx, y dx ෇ 1 du. Por tanto,
ƒ= x 5

œ„1-„„„4„≈„

j©= ƒ dx=_ 1 œ„1-„„„4„≈„ y ye5xdx ෇ 1 eu du ෇ 1 eu ϩ C ෇ 1 e 5x ϩ C
4 5 5 5

yv EJEMPLO 5 Calcule tan x dx.

SOLUCIÓN Primero escribimos la tangente en términos de seno y coseno:

tan x dx dx

Esto sugiere que deberíamos sustituir u ෇ cos x, porque entonces du ෇ Ϫsen x dx y por
tanto sen x dx ෇ Ϫdu:

tan x dx dx du

෇ Ϫln Խ u Խ ϩ C ෇ Ϫln Խ cos x Խ ϩ C
Խ Խ Խ Խ Խ Խ Խ ԽComo Ϫln cos x ෇ ln͑ cos x Ϫ1͒ ෇ ln͑1͞ cos x ͒ ෇ ln sec x , el resultado del

Ejemplo 5 también se puede escribir como

y tan x dx ෇ ln Խ sec x Խ ϩ C

Integrales definidas

Cuando se evalúe una integral definida por sustitución, son posibles dos métodos. Un
método es evaluar la integral indefinida primero y luego usar el Teorema de Evaluación.
Por ejemplo, usando el resultado del Ejemplo 2, tenemos

y y ] ]4 s2x ϩ 1 dx ෇ 4 1 4
0 0 3 0
s2x ϩ 1 dx ෇ ͑2 x ϩ 1͒3͞2

෇ 1 ͑9͒3͞2 Ϫ 1 ͑1͒3͞2 ෇ 1 ͑27 Ϫ 1͒ ෇ 26
3 3 3 3

Otro método, que suele ser preferible, es cambiar los límites de integración cuando se
cambia la variable.

Esta regla dice que cuando se usa una sustitución 5 Regla de la sustitución para integrales definidas Si tЈ es continua en [a, b] y f es
en una integral definida, debemos poner todo en continua en el intervalo de u ෇ t͑x͒, entonces
términos de la nueva variable u, no sólo x y dx
sino también los límites de integración. Los y yb f ͑ t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ t͑b͒ f ͑u͒ du
nuevos límites son los valores de u que corres- a t͑a͒
ponden a x ෇ a y x ෇ b.

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE SUSTITUCIÓN 379

DEMOSTRACIÓN Sea F una antiderivada de f. Entonces, por (3), F(t(x)) es una antideri-
vada de f (t(x))tЈ(x), y por el Teorema de Evaluación tenemos

y ]b b F͑t͑b͒͒
a a
f ͑t͑x͒͒tЈ͑x͒ dx ෇ F͑t͑x͒͒ ෇ Ϫ F͑t͑a͒͒

Pero, aplicando el Teorema de Evaluación una segunda vez, también tenemos

y ]t͑b͒ ෇ t͑b͒
t͑a͒ t͑a͒
f ͑u͒ du F͑u͒ ෇ F͑t͑b͒͒ Ϫ F͑t͑a͒͒

yEJEMPLO 6 Sustitución en una integral definida Evalúe 4 s2x ϩ 1 dx usando (5).
0

SOLUCIÓN Usando la sustitución de la Solución 1 del Ejemplo 2, tenemos u ෇ 2x ϩ 1 y

dx ෇ 1 du. Para hallar los nuevos límites de integración vemos que
2

cuando x ෇ 0, u ෇ 2(0) ϩ 1 ෇ 1 y cuando x ෇ 4, u ෇ 2(4) ϩ 1 ෇ 9

Por tanto, y y4 s2x ϩ 1 dx ෇ 9 1 su du
2
01

]෇ 1 ؒ 2 u 3͞2 9
2 3 1

La interpretación geométrica del Ejemplo 6 ෇ 1 ͑93͞2 Ϫ 13͞2 ͒ ෇ 26
se muestra en la Figura 2. La sustitución 3 3
u ෇ 2x ϩ 1 estira el intervalo [0, 4] en un
factor de 2 y lo traslada a la derecha en Observe que cuando se usa (5) no regresamos a la variable x después de integrar.
1 unidad. La Regla de la Sustitución muestra Simplemente evaluamos la expresión en u entre los valores apropiados de u.
que las dos áreas son iguales.

y y

3 3
y=œ„2„x„+„„1
2 y= œ„u
2 2

1 1

0 4x 01 9u

FIGURA 2

La integral dada en el Ejemplo 7 es una yEJEMPLO 7 2 dx
abreviación para Evalúe 1 ͑3 Ϫ 5x͒2 .

y2 1 SOLUCIÓN Sea u ෇ 3 Ϫ 5x. Entonces du ෇ Ϫ5 dx, y dx ෇ Ϫ51 du . Cuando x ෇ 1,
u ෇ Ϫ2 y cuando x ෇ 2, u ෇ Ϫ7. Entonces
1 ͑3 Ϫ 5x͒2 dx

dx Ϫ1 Ϫ7 du
Ϫ 5x͒2 5 Ϫ2 u 2
y y2 ෇
1
͑3

ͫ ͬ ͬ1 1 Ϫ7 1 Ϫ7

෇Ϫ Ϫ ෇
5 u Ϫ2 5u Ϫ2

ͩ ͪ෇ 1 Ϫ 1 ϩ 1 ෇ 1
5 7 2 14

380 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

yv e ln x
Como la función f (x) ෇ (ln x)͞x en el Ejemplo EJEMPLO 8 Calcule dx.
8 es positiva para x Ͼ 1, la integral representa 1x
el área de la región sombreada en la Figura 3.
SOLUCIÓN Hacemos u ෇ ln x porque su diferencial du ෇ dx͞x existe en la integral.
y Cuando x ෇ 1, u ෇ ln 1 ෇ 0; cuando x ෇ e, u ෇ ln e ෇ 1. Por tanto,

0.5 y= ln x ͬy ye ln x dx ෇ u2 11
x ෇
1 ෇
1x 20 2
u du
0

01 ex Simetría
FIGURA 3
El siguiente teorema usa la Regla de la Sustitución para Integrales Definidas (5) para sim-
plificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de simetría.

6 Integrales de funciones simétricas Suponga que f es continua en [Ϫa, a].

(a) Si f es par [ f (Ϫx) ෇ f (x)], entonces xa f ͑x͒ dx ෇ 2 xa f ͑x͒ dx.
Ϫa 0

(b) Si f es impar [f (Ϫx) ෇ Ϫf (x)], entonces xa f ͑x͒ dx ෇ 0.
Ϫa

DEMOSTRACIÓN Dividimos la integral en dos:

7 ya f ͑x͒ dx ෇ y0 y y yf ͑x͒ dx ϩ a f ͑x͒ dx ෇ Ϫ Ϫa f ͑x͒ dx ϩ a f ͑x͒ dx
Ϫa Ϫa 0 00

En la primera integral de la extrema derecha hacemos la sustitución u ෇ Ϫx. Entonces
du ෇ Ϫdx y cuando x ෇ Ϫa, u ෇ a. Por tanto,

y y yϪ Ϫa f ͑x͒ dx ෇ Ϫ a f ͑Ϫu͒ ͑Ϫdu͒ ෇ a f ͑Ϫu͒ du
00 0

y entonces la Ecuación 7 se convierte en

8 ya f ͑x͒ dx ෇ ya f ͑Ϫu͒ du ϩ ya f ͑x͒ dx
Ϫa 0 0

y (a) Si f es par, entonces f (Ϫu) ෇ f (u) y la Ecuación 8 da

ya f ͑x͒ dx ෇ ya f ͑u͒ du ϩ ya f ͑x͒ dx ෇ 2 ya f ͑x͒ dx
Ϫa 0 0 0

_a 0 a x

(a) ƒ par, ja ƒ dx=2 ja ƒ dx (b) Si f es impar, entonces f (Ϫu) ෇ Ϫf (u) y la Ecuación 8 da
_a 0

y ya f ͑x͒ dx ෇ Ϫya f ͑u͒ du ϩ ya f ͑x͒ dx ෇ 0
Ϫa 0 0
_a 0
El Teorema 6 está ilustrado por la Figura 4. Para el caso donde f es positiva y par, el inciso
ax (a) dice que el área bajo y ෇ f (x) de Ϫa a a es el doble del área de 0 a a por la simetría.
Recuerde que una integral yba f(x) dx puede ser expresada como el área arriba del eje x y
(b) ƒ impar, j a ƒ dx=0 debajo de y ෇ f (x) menos el área abajo del eje y arriba de la curva. Entonces el inciso (b)
_a dice que la integral es 0 porque las áreas se cancelan.

FIGURA 4

SECCIÓN 5.5 LA REGLA DE SUSTITUCIÓN 381

v EJEMPLO 9 Integración de una función par Como f (x) ෇ x6 ϩ 1 satisface

f (Ϫx) ෇ f (x), es par y por tanto

y y2 ͑x 6 ϩ 1͒ dx ෇ 2 2 ͑x 6 ϩ 1͒ dx
Ϫ2 0

[ ] ( )෇21x 7 ϩ x 2 ෇ 2 128 ϩ 2 ෇ 284
7 0 7 7

EJEMPLO 10 Integración de una función impar Como f (x) ෇ (tan x)͞(1 ϩ x2 ϩ x4)
satisface f (Ϫx)෇ Ϫf (x), es impar y

y1 1 tan x x4 dx ෇ 0
Ϫ1 ϩ x2 ϩ

5.5 Ejercicios y19. e x s1 ϩ e x dx 20. y sec 2␪ tan 2␪ d␪

1–6 Evalúe la integral al hacer la sustitución dada. y21. cos x y22. tanϪ1x
sen2x dx 1 ϩ x2 dx
y1. eϪx dx, u ෇ Ϫx
y2. x 3 2 x 4 5 dx, u 2 x 4

y23. ͑x 2 ϩ 1͒͑x 3 ϩ 3x͒4 dx 24. y sen ln x dx
x
y3. x 2 sx 3 ϩ 1 dx, u ෇ x 3 ϩ 1

y4. dt y25. scot x csc2x dx y26. cos͑␲͞x͒
1 6t 4, u 1 6t y dx x2 dx

y5. cos3 sen d , u cos 27. s1 x 2 sen 1x y28. dt

y29. sec3x tan x dx cos2 t s1 ϩ tan t

y6. sec2 1 x 1x y30. x 2s2 ϩ x dx
x 2 dx, u

7–36 Evalúe la integral indefinida. y31. x͑2x ϩ 5͒8 dx y32. ex
ex ϩ 1 dx

y7. x sen x 2 dx y8. x 2͑x 3 ϩ 5͒9 dx y33. sen 2 x y34. sen x
1 cos2x dx 1 cos2x dx

y9. ͑3x Ϫ 2͒20 dx y10. ͑3t ϩ 2͒2.4 dt 1ϩx x
1 ϩ x2 dx 1 ϩ x4 dx
y35. y36.

11. y sen t dt y12. e x cos͑e x͒ dx

y13. ͑ln x͒2 y14. x ; 37– 40 Evalúe la integral indefinida. Ilustre y pruebe que su
dx ͑x 2 ϩ 1͒2 dx respuesta sea razonable al graficar la función y su antiderivada
x
(tome C ෇ 0).

15. y dx 16. y sen sx dx y37. x͑x 2 Ϫ 1͒3 dx y38. tan2␪ sec2␪ d␪
5 Ϫ 3x sx

y17. a ϩ bx 2 18. y z2 dz y39. ecos x sen x dx y40. sen x cos4x dx
dx 1
s3ax ϩ bx 3 z3

; Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC

software de gráficas

382 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

41–57 Evalúe la integral definida. metabolismo basal total de este hombre, x24 R͑t͒ dt, en un
0

y41. 1 cos͑␲ t͞2͒ dt y42. 1 ͑3t Ϫ 1͒50 dt periodo de 24 horas?
0 0
63. Un tanque de almacenamiento de aceite se rompe en el tiempo
y43. 1 s3 1 ϩ 7x dx y44. s␲ x cos͑x 2 ͒ dx t ෇ 0 y se fuga aceite del tanque a razón de r͑t͒ ෇ 100eϪ0.01t
0 0 litros por minuto. ¿Cuánto aceite se fuga durante la primera

hora?

y45. 1 x 2͑1 ϩ 2x 3 ͒5 dx y46. 1͞2 csc ␲ t cot ␲ t dt 64. Una población de bacterias empieza con 400 bacterias y crece
0 1͞6 a razón de r͑t͒ ෇ ͑450.268͒e1.12567t bacterias por hora. ¿Cuántas
bacterias habrá después de tres horas?

y47. 4 esx y48. 2 65. La respiración es cíclica y un ciclo respiratorio completo desde
dx
1 sx cos x sen senx dx
0
el inicio de la inhalación hasta el final de la exhalación tarda

unos 5 segundos. La rapidez máxima de entrada de aire en los

y49. ␲͞4 ͑x 3 ϩ x 4 tan x͒ dx y50. 2 x 2 sen x pulmones es de unos 0.5 L/s, lo cual explica, en parte, por qué
Ϫ␲͞4 2 1 x6 dx
la función f t 1 sen 2 t5 se ha empleado con frecuencia
2

para modelar la rapidez de entrada de aire en los pulmones.

y51. 2 x sx Ϫ 1 dx y52. a x sa 2 Ϫ x 2 dx Use este modelo para hallar el volumen de aire inhalado en los
1 0
pulmones en el tiempo t.
y54. 1 2 sen 1x dx
y53. 1 ez ϩ 1 dz 66. La Alabama Instruments Company ha construido una línea de
0 ez ϩ z 0 s1 x 2 producción para manufacturar una nueva calculadora. La
rapidez de producción de estas calculadoras después de t
y55. e4 dx y56. T2 semanas es

e x sln x sen 2 t T dt dx 100
0 5000 1 t 10 2 calculadoras semana

1 dx dt

y57. 0 (1 ϩ sx )4 (Nótese que la producción se aproxima a 5000 por semana
con el tiempo, pero la producción inicial es menor porque los
58. Verifique que f x sen s3 x es una función impar y use ese trabajadores no están acostumbrados a las nuevas técnicas.)
hecho para demostrar que Encuentre el número de calculadoras producidas desde
principios de la tercera semana a fines de la cuarta semana.
y0 3 sen s3 x dx 1
2 67. Si f es continua y y4 f ͑x͒ dx ෇ 10, encuentre y2 f ͑2x͒ dx.
00
59. x2
Evalúe Ϫ2 ͑x ϩ 3͒s4 Ϫ x 2 dx al escribirla como una suma de

dos integrales e interpretando una de esas integrales en térmi- y y68. Si f es continua y 9 f ͑x͒ dx ෇ 4, encuentre 3 x f ͑x 2 ͒ dx.
00
nos de un área.
69. Si f es continua en ‫ޒ‬, demuestre que
60. Evalúe x1 x s1 Ϫ x 4 dx al hacer una sustitución e interprete la
0

integral resultante en términos de un área. y yb f ͑Ϫx͒ dx ෇ Ϫa f ͑x͒ dx
a Ϫb

61. ¿Cuáles de las siguientes áreas son iguales? ¿Por qué? Para el caso donde f ͑x͒ ജ 0 y 0 Ͻ a Ͻ b, trace un diagrama
para interpretar geométricamente esta ecuación como una
y y igualdad de áreas.
y=eœ„x y=2x´
70. Si f es continua en ‫ޒ‬, demuestre que

y yb f ͑x ϩ c͒ dx ෇ bϩc f ͑x͒ dx
a aϩc

0 1x 0 1x Para el caso donde f ͑x͒ ജ 0, trace un diagrama para interpretar
y geométricamente esta ecuación como una igualdad de áreas.

y=esen x sen 2x 71. Si a y b son números positivos, demuestre que

y y1 x a͑1 Ϫ x͒b dx ෇ 1 x b͑1 Ϫ x͒a dx
00

0 1 πx 72. (a) Si f es continua, demuestre que
2
y 2 dx y 2 dx
62. Un modelo para el ritmo de metabolismo basal, en kcal/h, de
un hombre joven es R(t) ෇ 85 Ϫ 0.18 cos(pt͞12), donde t es f cos x f sen x
el tiempo en horas medido desde las 5:00 a.m. ¿Cuál es el 00

(b) Use el inciso (a) para evaluar x␲͞2 cos2x dx y yp0ր2 sen2 x dx.
0

SECCIÓN 5.6 INTEGRACIÓN POR PARTES 383

5.6 Integración por partes

Toda regla de derivación tiene una correspondiente regla de integración. Por ejemplo, la
Regla de sustitución para integración corresponde a la Regla de la cadena para derivación.
La regla que corresponde a la Regla del producto para derivación se denomina regla para
integración por partes.

La Regla del producto expresa que si f y t son funciones derivables, entonces

d ͓ f ͑x͒t͑x͔͒ ෇ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒f Ј͑x͒
dx

En la notación para integrales indefinidas esta ecuación se convierte en

y ͓ f ͑x͒tЈ͑x͒ ϩ t͑x͒f Ј͑x͔͒ dx ෇ f ͑x͒t͑x͒

o bien, y f ͑x͒tЈ͑x͒ dx ϩ y t͑x͒f Ј͑x͒ dx ෇ f ͑x͒t͑x͒

Podemos reacomodar esta ecuación como

1 y f ͑x͒tЈ͑x͒ dx ෇ f ͑x͒t͑x͒ Ϫ y t͑x͒f Ј͑x͒ dx

La Fórmula 1 recibe el nombre de fórmula para integración por partes. Es quizá más
fácil de recordar en la siguiente notación. Sea u ෇ f (x) y v ෇ t(x). Entonces las derivadas
son du ෇ f Ј(x) dx y dv ෇ tЈ(x) dx, y entonces, por la Regla de la Sustitución, la fórmula
para integración por partes se convierte en

2 y u dv ෇ uv Ϫ y v du

yEJEMPLO 1 Integración por partes Encuentre x sen x dx.

SOLUCIÓN USANDO LA FÓRMULA 1 Suponga que escogemos f (x) ෇ x y tЈ(x) ෇ sen x.
Entonces f Ј(x) ෇ 1 y t(x) ෇ Ϫcos x. (Para t podemos escoger cualquier antiderivada de
tЈ.) Así, usando la Fórmula 1, tenemos

y x sen x dx f x t x y t x f x dx

x cos x y cos x dx
x cos x y cos x dx

x cos x sen x C

Es prudente comprobar la respuesta al derivarla. Si lo hacemos así, obtenemos x sen x,
como es de esperarse.

384 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

Es útil usar el modelo: dv ෇ ᮀ SOLUCIÓN USANDO LA FÓRMULA 2 Sea dv ෇ sen x dx
u෇ᮀ v෇ᮀ u෇x
du ෇ ᮀ
Entonces du ෇ dx v ෇ Ϫcos x
y por tanto,
u d√
u√ √ du
y x sen x dx y x sen x dx
x cos x y cos x dx

x cos x y cos x dx

x cos x sen x C

Nota: Nuestro objetivo de usar integración por partes es obtener una integral más sen-

cilla que aquella con la que empezamos. Así, en el Ejemplo 1, empezamos con yx sen x dx

y lo expresamos en términos de la integral más sencilla x cos x dx. En cambio, si hubiéra-

mos escogido u ෇ sen x y dv ෇ x dx, entonces du ෇ cos x dx y v ෇ x2͞2, de modo que la

integración por partes da

y x sen x dx x2 1 y x 2 cos x dx
sen x 2

2

Aun cuando esto es cierto, x x2 cos x dx es una integral más difícil que aquella con la que

empezamos. En general, cuando se decida sobre una opción para u y dv, por lo general
tratamos de escoger que u ෇ f (x) sea una función que se haga más sencilla cuando se
derive (o al menos no más complicada) mientras dv ෇ tЈ(x) dx se pueda integrar fácilmente
para obtener v.

yv EJEMPLO 2 Evalúe ln x dx.

SOLUCIÓN Aquí no tenemos mucha opción para u y dv. Sea

u ෇ ln x dv ෇ dx

Entonces du ෇ 1 dx v෇x
x

Al integrar por partes tendremos

y ln x dx ෇ x ln x Ϫ y x dx
x

Se acostumbra escribir x 1 dx como x dx. ෇ x ln x Ϫ y dx

Compruebe su respuesta al derivarla. ෇ x ln x Ϫ x ϩ C

En este ejemplo, la integración por partes es efectiva porque la derivada de la función
f ͑x͒ ෇ ln x es más sencilla que f.

yv EJEMPLO 3 Doble integración por partes Encuentre t 2et dt.

SOLUCIÓN Nótese que t 2 se hace más sencilla cuando se deriva (mientras que et no cam-
bia cuando se deriva o integra), de modo que escogemos

Entonces u ෇ t2 dv ෇ et dt
du ෇ 2t dt v ෇ et

SECCIÓN 5.6 INTEGRACIÓN POR PARTES 385

La integración por partes da

y y3 t 2et dt ෇ t 2et Ϫ 2 tet dt

La integral que obtuvimos, x tet dt, es más sencilla que la integral original pero todavía

no es obvia. Por tanto, usamos integración por partes una segunda vez, ahora con u ෇ t y
dv ෇ et dt. Entonces du ෇ dt, v ෇ et, y

y ytet dt ෇ tet Ϫ et dt

෇ tet Ϫ et ϩ C
Poniendo esto en la Ecuación 3, obtenemos

y yt 2et dt ෇ t 2et Ϫ 2 tet dt

෇ t 2et Ϫ 2͑tet Ϫ et ϩ C ͒ donde C1 ෇ Ϫ2C
෇ t 2et Ϫ 2tet ϩ 2et ϩ C1

v EJEMPLO 4 Evalúe y ex sen x dx.

Un método más sencillo, usando números comple- SOLUCIÓN Ni ex ni sen x son más sencillos cuando se derivan, pero tratamos de escoger

jos, se da en el Ejercicio 50 del Apéndice I. u ෇ ex y dv ෇ sen x dx de todas formas. Entonces du ෇ exdx y v ෇ Ϫcos x, de modo que

la integración por partes nos da

y y4 e x sen x dx e x cos x e x cos x dx

La integral que hemos obtenido, y ex cos x dx, no es más sencilla que la original, pero al
menos no es más difícil. Habiendo tenido éxito en el ejemplo precedente integrando
por partes dos veces, perseveramos e integramos por partes de nuevo. Esta vez usamos
u ෇ ex y dv ෇ cos x dx. Entonces du ෇ ex dx, v ෇ sen x, y

y y5 e x cos x dx e x sen x e x sen x dx

La Figura 1 ilustra el Ejemplo 4 al mostrar A primera vista, parece como si no hubiéramos logrado nada porque hemos llegado a
y ex sen x dx, que es donde empezamos. No obstante, si ponemos la Ecuación 5 en la
las gráficas de f (x) ෇ ex sen x y Ecuación 4 tendremos

Fx 1 e x sen x cos x . Como compro-
2

bación visual de nuestro trabajo, nótese que

f ͑x͒ ෇ 0 cuando F tiene un máximo o mínimo. y ex sen x dx ye x cos x e x sen x e x sen x dx

12 Esto puede ser considerado como una ecuación de la que hay que despejar la integral
f desconocida. Sumando y ex sen x dx a ambos lados, obtenemos

F

2 y ex sen x dx e x cos x e x sen x

_3 6 Dividiendo entre 2 y sumando la constante de integración, obtenemos

_4 y ex sen x dx 1 e x sen x cos x C
FIGURA 1 2

386 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

Si combinamos la fórmula para integración por partes con el Teorema de Evaluación,
podemos evaluar integrales definidas por partes. Evaluar ambos lados de la Fórmula 1
entre a y b, suponiendo que f Ј y tЈ son continuas, y usando el Teorema de Evaluación,
obtenemos

y ] y6 b b b t͑x͒ f Ј͑x͒ dx
a f ͑x͒tЈ͑x͒ dx ෇ f ͑x͒t͑x͒ a Ϫ
a

yEJEMPLO 5 Integración definida por partes Calcule 1 tanϪ1x dx.
0

SOLUCIÓN Sea

u ෇ tanϪ1x dv ෇ dx

Entonces dx v෇x
du ෇ 1 ϩ x 2

Por tanto, la Fórmula 6 nos da

y ] y1 1 1x
0 0 0 1 ϩ x2 dx
tanϪ1x dx ෇ x tanϪ1x Ϫ

y෇ 1 ؒ tanϪ1 1 Ϫ 0 ؒ tanϪ1 0 Ϫ 1x
0 1 ϩ x2 dx

Como tanϪ1x ജ 0 para x ജ 0, la integral del y෇ ␲ Ϫ 1x
Ejemplo 5 se puede interpretar como el área 0 1 ϩ x2 dx
de la región mostrada en la Figura 2. 4

y Para evaluar esta integral usamos la sustitución t ෇ 1 ϩ x2 (porque u tiene otro signifi-
y=tan–!x
cado en este ejemplo). Entonces dt ෇ 2x dx, y entonces x dx ෇ 1 dt . Cuando x ෇ 0,
0 2
1x
t ෇ 1; cuando x ෇ 1, t ෇ 2; entonces

y y Խ Խ]11xx2 dx ෇ 1 2 dt ෇ 1 ln t 2
0 ϩ 2 1 t 2 1

෇ 1 ͑ln 2 Ϫ ln 1͒ ෇ 1 ln 2
2 2

FIGURA 2 Por tanto, y y1 tanϪ1x dx ෇ ␲ Ϫ 1 x dx ෇ ␲ Ϫ ln 2
0 ϩ 4 2
04 1 x2

EJEMPLO 6 Demuestre la fórmula de reducción

1 cos x senn 1x n 1 senn 2x dx
nn
y y7
La Ecuación 7 se denomina fórmula de reduc- sennx dx
ción porque el exponente n ha sido reducido
a n Ϫ 1 y n Ϫ 2.

donde n у 2 es un entero.

SOLUCIÓN Sea u ෇ sennϪ1 x dv ෇ sen x dx
Entonces
du ෇ (n Ϫ 1) sennϪ2x cos x dx v ෇ Ϫcos x

SECCIÓN 5.6 INTEGRACIÓN POR PARTES 387

y la integración por partes da

y sennx dx ycos x senn 1x n 1 senn 2x cos2x dx

Como cos2x ෇ 1 Ϫ sen2x, tenemos

y sennx dx y ycos x senn 1x n 1 senn 2x dx n 1 sennx dx

Al igual que en el Ejemplo 4, de esta ecuación despejamos la integral deseada al llevar el
último término del lado derecho al lado izquierdo. Así, tenemos

n y sennx dx ycos x senn 1x n 1 senn 2x dx

o bien, y sennx dx y1 cos x senn 1x n 1 senn 2x dx

nn

La fórmula de reducción (7) es útil porque al usarla repetidas veces podríamos final-
mente expresar y sennx dx en términos de y sen x dx (si n es impar) o y (sen x)0 dx ෇ y dx
(si n es par).

5.6 Ejercicios y13. e2u sen 3u du) y14. eϪ␪ cos 2␪ d␪

1–2 Evalúe la integral usando integración por partes con las 15. y t sen 3 t dt y16. 1 ͑x 2 ϩ 1͒eϪx dx
opciones indicadas de u y dv. 0 0

y1. x 2 ln x dx ; u ෇ ln x, dv ෇ x 2 dx 2 ln x 9 ln y
1 x2 dx dy
2. y ␪ cos ␪ d␪ ; u ෇ ␪, dv ෇ cos␪ d␪

y17. y18.4 sy

3–24 Evalúe la integral. y19.1y y20. s3 arctan͑1͞x͒ dx
0 e2y dy 1
3. y x cos 5x dx y4. xeϪx dx
y5. rer͞2 dr 6. y t sen 2t dt y21. 1͞2 cosϪ1x dx y22. 1 r 3 dr
y7. x2 sen px dx y8. x 2 cos mx dx 0
y9. ln s3 x dx y10. p5 ln p dp 0 s4 ϩ r 2
11. y arctan 4t dt y12. senϪ1x dx y23. 2 ͑ln x͒2 dx
1 yt

24. es sen(t Ϫs) ds
0

25–30 Primero haga una sustitución y luego use integración por
partes para evaluar la integral.

25. y cos sx dx y26. t 3eϪt2 dt

; Se requiere calculadora graficadora o computadora con 1. Tareas sugeridas disponibles en TEC

software de gráficas

388 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

y27. s␲ ␪ 3 cos͑␪ 2 ͒ d␪ y28. e cos t sen 2t dt 42. Use el Ejercicio 40 para hallar x x 4e x dx.
s␲͞2 0
43. Una partícula que se mueve a lo largo de una recta tiene
29. y x ln͑1 ϩ x͒ dx 30. y sen(ln x) dx velocidad v͑t͒ ෇ t 2eϪt metros por segundo después de t
segundos. ¿Qué distancia recorrerá durante los primeros
; 31–34 Evalúe la integral indefinida. Ilustre y compruebe que su t segundos?
respuesta es razonable, al graficar la función y su antiderivada
44. Un cohete acelera al quemar su combustible de a bordo, de
(tome C ෇ 0). manera que su masa disminuye con el tiempo. Suponga que
la masa inicial del cohete al despegue (incluyendo su
y31. xeϪ2x dx y32. x 3͞2 ln x dx combustible) es m, el combustible se consume con rapidez r,
y los gases de escape son expulsados con velocidad constante
y33. x 3s1 ϩ x 2 dx 34. y x2 sen 2x dx ve (con respecto al cohete). Un modelo para la velocidad del
cohete en el tiempo t está dado por la ecuación
35. (a) Use la fórmula de reducción del Ejemplo 6 para
demostrar que m Ϫ rt
v͑t͒ ෇ Ϫtt Ϫ ve ln m

y sen2x dx x sen 2x donde t es la aceleración debida a la gravedad y t no es
2 C demasiado grande. Si t ෇ 9.8 m/s2, m ෇ 30,000 kg, r ෇ 160
kg/s, y ve ෇ 3000 m͞s, encuentre la altura del cohete un
4 minuto después del despegue.

(b) Use el inciso (a) y la fórmula de reducción para evaluar 45. Suponga que f (1) ෇ 2, f (4) ෇ 7, f Ј(1) ෇ 5, f Ј(4) ෇ 3 y f Љ es
y sen4x dx. x4
continua. Encuentre el valor de 1 x f Љ͑x͒ dx.
36. (a) Demuestre la fórmula de reducción

y ycosnx dx 1 cosn 1x sen x n 1 cosn 2x dx 46. (a) Use integración por partes para demostrar que

nn y f ͑x͒ dx ෇ x f ͑x͒ Ϫ y x f Ј͑x͒ dx

(b) Use el inciso (a) para evaluar x cos2x dx. (b) Si f y t son funciones inversas y f Ј es continua,
(c) Use los incisos (a) y (b) para evaluar x cos4x dx. demuestre que

37. (a) Use la fórmula de reducción del Ejemplo 6 para y yb f ͑x͒ dx ෇ bf ͑b͒ Ϫ af ͑a͒ Ϫ f ͑b͒ t͑ y͒ dy
demostrar que a f ͑a͒

n 1 2 senn 2x dx
n0
y y2 sennx dx [Sugerencia: Use el inciso (a) y haga la sustitución
0

donde n у 2 es un entero. y ෇ f (x).]
(b) Use el inciso (a) para evaluar y0p͞2 sen3x dx y y0p͞2 sen5x dx.
(c) Use el inciso (a) para demostrar que, para potencias (c) En el caso donde f y t son funciones positivas y b Ͼ a Ͼ 0,

impares de seno, trace un diagrama para dar una interpretación geométrica

del inciso (b).

(d) Use el inciso (b) para evaluar xe ln x dx.
1

y 2 sen2n 1x dx 246 2n 47. Si f (0) ෇ t(0) ෇ 0 y f Љ y tЉ son continuas, demuestre que
0 357 2n 1

38. Demuestre que, para potencias pares de seno, ya f ͑x͒t Љ͑x͒ dx ෇ f ͑a͒tЈ͑a͒ Ϫ f Ј͑a͒t͑a͒ ϩ ya f Љ͑x͒t͑x͒ dx
00

y 2 sen2nx dx 135 2n 1 48. Sea In ෇ y0p͞2 sennx dx.
0 246 2n 2
(a) Demuestre que I2nϩ2 р I2nϩ1 р I2n.
(b) Use el Ejercicio 38 para demostrar que

39– 40 Use integración por partes para demostrar la fórmula de I2nϩ2 ෇ 2n ϩ 1
reducción. I2n 2n ϩ 2
(c) Use los incisos (a) y (b) para demostrar que
y y39. ͑ln x͒n dx ෇ x ͑ln x͒n Ϫ n ͑ln x͒nϪ1 dx

y y40. x ne x dx ෇ x ne x Ϫ n x nϪ1e x dx 2n ϩ 1 ഛ I2nϩ1 ഛ 1

2n ϩ 2 I2 n

41. Use el Ejercicio 39 para hallar x ͑ln x͒3 dx. y deducir que limn l ϱ I2nϩ1͞I2n ෇ 1.

(d) Use el inciso (c) y los Ejercicios 37 y 38 para demostrar que SECCIÓN 5.7 TÉCNICAS ADICIONALES DE INTEGRACIÓN 389

figura). Encuentre el límite de los cocientes entre ancho y
altura de estos rectángulos.

224466 2n 2n ␲
lim ؒ ؒ ؒ ؒ ؒ ؒ и и и ؒ ؒ ෇
nlϱ 1 3 3 5 5 7 2n Ϫ 1 2n ϩ 1 2

Esta fórmula suele escribirse como un producto infinito:

␲ ෇ 2 ؒ 2 ؒ 4 ؒ 4 ؒ 6 ؒ 6 ؒ иии
2 133557

y recibe el nombre de producto Wallis.
(e) Construimos rectángulos como sigue. Empiece con un

cuadrado de área 1 y fije rectángulos de área 1 alternati-
vamente junto al rectángulo previo o sobre éste (vea la

25.67 DTéecrniviactaisveasdaicnidonRaalteessdoef Cinhtaenggraeción

Hemos aprendido las dos técnicas básicas de integración, sustitución y por partes, en las
Secciones 5.5 y 5.6. A continuación exponemos brevemente métodos que son especiales
para clases particulares de funciones, por ejemplo como funciones trigonométricas y fun-
ciones racionales.

Integrales trigonométricas
Podemos usar identidades trigonométricas para integrar ciertas combinaciones de fun-
ciones trigonométricas.

yEJEMPLO 1 Una integral y una potencia impar de cos x Evalúe cos3x dx.

SOLUCIÓN Nos gustaría usar la Regla de la Sustitución, pero sólo sustituir u ෇ cos x no
es útil porque entonces du ෇ Ϫsen x dx. Para integrar potencias de coseno, necesitaría-
mos un factor extra de sen x. (Análogamente, una potencia de seno requeriría un factor
extra de cos x.) Aquí separamos un factor coseno y convertimos el factor cos2x restante
en una expresión que contenga seno usando la identidad sen2x ϩ cos2x ෇ 1:

cos3x ෇ cos2x ؒ cos x ෇ (1 Ϫ sen2x) cos x

Entonces podemos evaluar la integral al sustituir u ෇ sen x, de modo que
du ෇ cos x dx y

y cos3x dx y cos2x cos x dx y 1 sen2x cos x dx

y1 u 2 du u 1 u 3 C
3

www.stewartcalculus.com sen x 1 sen3x C
3
Para más detalles sobre la integración de
funciones trigonométricas, haga clic En general, intentamos escribir un integrando que involucra potencias del seno y del
en Trigonometric Integrals under coseno de manera que sólo exista un seno como factor (y el resto de la expresión en tér-
Additional Topics. minos del coseno) o sólo un coseno como factor (y lo demás en términos del seno). La
identidad sen2x ϩ cos2 x ෇ 1 permite expresar las potencias pares del seno y coseno, uno
en términos de otro.

390 CAPÍTULO 5 INTEGRALES

Si el integrando contiene sólo potencias pares de seno y coseno, no obstante, esta
estrategia no funciona. En este caso, podemos aprovechar las identidades de semiángulo

Vea el Apéndice C, Fórmula 17. sen2x 1 1 cos 2x
2

y cos2x ෇ 1 ͑1 ϩ cos 2x͒
2

El Ejemplo 2 muestra que el área de la región yv EJEMPLO 2 Una integral con una potencia par de sen x Evalúe sen2x dx .
mostrada en la Figura 1 es ␲͞2. 0

1.5 SOLUCIÓN Si escribimos sen2x ෇ 1 Ϫ cos2x, la integral no es más sencilla de evaluar,
pero usando la fórmula de semiángulo para sen2x tendremos
y=sen@ x

y sen2x dx y1 1 cos 2x dx [ 1 (x 1 sen 2 x)]0
0 2 2
20

0 π ( )1 1 1 1 1
2 2 2 2
_0.5 2
FIGURA 1 sen 2 0 sen 0

Nótese que mentalmente hicimos la sustitución u ෇ 2x al integrar cos 2x. Otro método
para evaluar esta integral se dio en el Ejercicio 35 de la Sección 5.6.

Podemos usar una estrategia similar para integrar potencias de tan x y sec x usando la
identidad sec2x ෇ 1 ϩ tan2x. (Vea Ejercicios 7-10.)

Sustitución trigonométrica

Diversos problemas prácticos nos piden integrar funciones algebraicas que contienen una
expresión de la forma sa 2 Ϫ x 2, sa 2 ϩ x 2, o sx 2 Ϫ a 2. A veces, la mejor forma de efec-
tuar la integración es hacer una sustitución trigonométrica que se deshaga del signo de raíz.

y EJEMPLO 3 Demuestre que el área de un círculo con radio r es pr2.
≈+¥=r @
SOLUCIÓN Ésta es, por supuesto, una bien conocida fórmula. Hace ya mucho tiempo que
0 rx a usted, lector, le dijeron que es verdadera; pero la única forma de demostrarla realmente
es por integración.
FIGURA 2
Para mayor sencillez, pongamos el círculo con su centro en el origen, de modo que su
ecuación es x2 ϩ y2 ෇ r2. Despejando y de esta ecuación, tendremos

y ෇ Ϯsr 2 Ϫ x 2

Como el círculo es simétrico con respecto a ambos ejes, el área total A es cuatro veces el
área del primer cuadrante (vea Figura 2).

La parte del círculo del primer cuadrante está dada por la función

y sr 2 x 2 0 р x р r

y por tanto y1A෇ r

4 sr 2 Ϫ x 2 dx
0

Para simplificar esta integral, nos gustaría hacer una sustitución que convierta r2 Ϫ x2 en
el cuadrado de algo. La identidad trigonométrica 1 Ϫ sen2u ෇ cos2u es útil aquí. De
hecho, como

r 2 r 2 sen2 r 2 1 sen2 r 2 cos2

hacemos la sustitución

x ෇ r sen u
































































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