Кдырбаева А.А. Тағылымды тарих

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 100 Курс «Теоретические основы математических представлений» является базовой обязательной дисциплиной для специальности 5В010100 – Дошкольное обучение и воспитание. Этот курс построен с использованием прогрессивных идей классической и современной математики, а также с учетом современных психолого-педагогических исследований по проблемам формирования математических представлений у детей дошкольного возраста, воспитания у них привычки полноценной логической аргументации окружающего мира. Будущий специалист должен раскрыть перед ребенком средства и способы познания мира, формировать основу личностной культуры, в том числе основу культуры познания. В этих условиях значительно возрастают требования к профессиональной подготовке студентов, осознанию ими сути математического развития дошкольников, пониманию тех требований, которые предъявляются к личности ребенка под влиянием обучения и воспитания. Пререквизиты: школьный курс математики Постреквизиты: «Развитие элементарных математических представлений ребенка», «Практикум по математике», «УМК по предшкольному образованию», «Наука для маленьких детей», «Практика 1». Требования к результатам освоения дисциплины: Процесс изучения дисциплины «Теоретические основы математических представлений» направлен на формирование и развитие профессиональных компетенций:

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 101 - моделирования и реализации учебно-воспитательного процесса в практике обучения и воспитания; - использования методов диагностики развития, общения, деятельности детей дошкольного возраста; - владения качественными и количественными методами психологических и педагогических исследований. Процесс изучения дисциплины «Теоретические основы математических представлений» направлен на формирование и развитие предметных компетенций: - иметь представление об объекте, предмете, задач и методов исследования основы математики как науки; - понимать сущность важнейших понятий и способов действий математической теорий и научных основ арифметического материала, величин и их измерения, элементов алгебры и геометрии курса математики начальной школы; - знать законы операции над множествами, высказываниями, предикатами и законы действий над числами (в множестве целых неотрицательных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел); - выполнять операции с множествами, высказываниями, предикатами и действия с числами; - иметь представление о видах графов, соответствий, отображений, отношений, размещений, перестановок, сочетаний, математических утверждений и алгоритмов; - изображать граф и график соответствия, отображения, отношения, диаграмму;

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 102 - применять формулы для вычисления число размещений, перестановок, сочетаний (с повторениями и без повторений); - владеть методами развития образного и логического мышления; - владеть приемами формирования интереса к математике и применения математических знаний в повседневной жизни; В результате изучения дисциплины «Теоретические основы математических представлений» студент должен: знать: свойства и законы операций над множествами, основные логические построения, правила комбинаторного анализа; уметь: анализировать и обобщать внутренние связи различных разделов математики; владеть: приемами ознакомления детей с разными видами математической деятельности в процессе целенаправленного обучения. Тематический план дисциплины Введение Предмет, задачи, принципы и методы дисциплины «Теоретические основы математических представлений». Математика – наука о структурах, пространственных формах и количественных отношениях, логических конструкциях. Элементы математической теории Множество и операции над ними. Элементы теории графов. Соответствие, его виды и свойства. Элементы комбинаторики.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 103 Математические утверждения его структура и виды. Алгоритм, его виды и свойства. Множество натуральных чисел и число нуль. Геометрические фигуры и их свойства. Величины и их измерение. Система математических упражнений. Содержание дисциплины Введение Дисциплина «Теоретические основы математических представлений ребенка» является отраслью теоретико-предметной науки, где изучаются понятия и способы действий, которые не только вооружают теоретическими знаниями будущих специалистов, но служат научной базой объектов полноценного математического развития ребенка в процессе целенаправленного обучения в дошкольных организациях образования.. Целью дисциплины является создание предметно-теоретической базы формирования компетенций студентов, необходимых в будущей профессиональной деятельности в реальном процессе развития элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. Основными задачами дисциплины являются: • способствовать формированию интегрированных компетенций, необходимых для профессиональной деятельности; • формировать предметно-теоретическую компетенцию студентов, которая характеризуется овладением математических знаний в соответствии с содержанием дисциплины;

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 104 • привить умения и навыки применять теоретико-математические знания в процессе выполнения заданий, связанных с математическими задачами, примерами, занимательными упражнениями, практических действий с предметами и определять профессиональную направленность изучаемых математических объектов. Объект дисциплины - теоретико-математическое образование как компонент высшего педагогического профессионального образования педагога дошкольной организации. Предмет дисциплины - процесс формирования профессиональных и теоретико-предметных компетенций у будущих педагогов дошкольных организаций по теоретическим основам элементарных математических представлений у детей. Методы изучения дисциплины – добывание информации из различных источников, в том числе в процессе посещения занятий, выполнения СРСП и СРС; работа с научно-педагогической и специальной литературой. Основная часть Предмет, задачи, принципы и методы дисциплины «Теоретические основы математических представлений ребенка». Математика – наука о структурах, пространственных формах и количественных отношениях, логических конструкциях Элементы математической теории Множества и операции над ними. Основные понятия и отношения теории множеств. Конечное, бесконечное, пустое, универсальное множество; способы задания множеств; равные множества и

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 105 подмножество; операции над множествами и их законы. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Элементы теории графов. Граф и его вершина, ребро, грань; виды и свойства графов; уникурсальные фигуры; теорема Эйлера о плоском графе. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Соответствие, его виды и свойства. Соответствие между элементами двух множеств; граф и график соответствия; обратное соответствие; отображение и его виды; бинарное отношение на множестве и его виды; свойства отношений. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Элементы комбинаторики. Правила суммы и произведения; размещения, перестановки, сочетания (без повторений и с повторениями) и нахождение их чисел. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Математическое утверждение, его структура и виды. Математическое понятие и способы его определения. Виды утверждений (предложения): аксиома, постулат, определение, теорема, высказывание, предикат. Кванторы: общности, существования, существования и единственности. Операции над высказываниями и предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, квантификация. Законы логики высказываний. Отношения следования и равносильности между предложениями, необходимые и достаточные условия. Виды теорем и способы их доказательства. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 106 Алгоритм, его виды и свойства. Алгоритм и его основные свойства. Виды алгоритмов: линейные, разветвляющиеся, циклические. Формы записи алгоритмов: словесно-формальные, наглядные блок-схемы, оперативные схемы или программы. Простейшие примеры алгоритмов, используемых в начальной школе. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Система математических упражнений. Упражнение, пример, задача, процесс решения задачи, способы решения задач. Виды упражнений: тренировочные, занимательные, развивающие, игровые, творческие. Арифметические и алгебраические методы решения задач. Этапы процесса решения задачи. Краткие исторические сведения. Профессиональная направленность. Примерный перечень тем практических занятий 5. Множество и операции над ними. 6. Элементы теории графов. 7. Соответствие, его виды и свойства. 8. Элементы комбинаторики. 5. Математическое утверждение, его структура и виды. 6. Алгоритм, его виды и свойства. 7. Система математических упражнений. На практических занятиях по каждой предлагаемой теме с целью формирования предметной компетенции выполняются упражнения, которые предполагают применение теоретических знаний по образцу. Примерный перечень тем для СРСП 7. Операции над множествами и их законы.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 107 8. Комбинаторные задачи и графы. 9. Соответствие, отображение и отношение. 10. Определение, аксиома, постулат и теорема. 5. Операции над высказываниями и предикатами, законы логики. 6. Алгоритм, его виды и свойства. СРСП проводится по каждой предлагаемой теме с целью отработки предметной компетенции в процессе выполнения упражнений, которые предполагают применение теоретических знаний в измененных ситуациях. Примерный перечень тем для СРС 5. Доказательство законов операции над множествами. 6. Элементы комбинаторики и теории графов. 7. Соответствие, его виды и свойства. 8. Математическое утверждение, его структура и виды. 5. Доказательство законов логики. 6. Алгоритм, его виды и свойства. 7. Математические примеры и упражнения СРС проводится по каждой предлагаемой теме с целью совершенствования предметной компетенции в процессе выполнения упражнений, которые предполагают применение теоретических знаний в новых ситуациях. Вопросы для рубежного контроля 1. Назовите понятия и отношения элементов теории множеств.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 108 2. Объясните на примерах смысл терминов «пустое множество», «равные множества», «подмножество», «универсальное множество». 3. Объясните на примерах операциии пересечения, объединенияе, вычитания, декартова произведения двух множеств и разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества. 4. Назовите законы операций над множествами. 5. Поясните смысл терминов связанный и несвязанный граф, ориентированный и неориентированный граф, нулевой граф, неполный граф, плоский граф, одинаковые или изоморфные графы; неполный плоский граф, полный плоский граф, смешанный граф, полный граф. 6. Поясните смысл термина «уникурсальная фигура». 7. Перечислите свойства графов. 8. Запишите соотношение, выражающее теорему Л. Эйлера о плоских графах. 9. Объясните смысл терминов: область отправления, область прибытия, график и граф, область определения, область значения соответствия. 10. Объясните на примерах смысл понятия: «соответствие между элементами двух множеств»; «отображения множества в множество», «бинарное отношение на множестве». 11. Объясните смысл понятия: «обратное соответствие», «обратное отображение», «обратное отношение». 12. Назовите основные свойства отношений и приведите примеры отношений обладающих каждым из этих свойств. 13. Объясните на примерах смысл понятия: «отношение эквивалентности», «отношение строго порядка», «отношение

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 109 нестрогого порядка», «эквивалентные множества», «равномощные множества». 14. Проиллюстрируйте на примерах применение правила суммы и произведения. 15. Объясните смысл понятия «размещения с повторениями и без повторений», «перестановки с повторениями и без повторений», «сочетания без повторений и с повторениями». 16. Запишите формулы, по которым можно вычислить: число размещений с повторениями; число размещений без повторений; число перестановок без повторений; число перестановок с повторениями; число сочетаний без повторений; число сочетаний с повторениями. 17. Объясните смысл терминов «математическое понятие», «определение математического понятия», «высказывание», «предикат», «теорема», «аксиома», «постулат». 18. Раскройте на примере суть остенсивного способа определения понятия. 19. Приведите примеры и объясните операции над высказываниями и предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, квантификация. 20. Назовите и объясните смысл отношения следования и равносильности между предложениями. 21. Назовите законы математической логики. 22.Основные понятия, положенные в основу школьной геометрии. 23.Многогранник и тела вращения. 24.Свойства скалярных величин, их свойства.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 110 Литература Основная литература 1. Венгер Л.А. Об использовании детьми дошкольного возраста сериационного ряда величин при выборе объекта для образца. М., 1988. 2. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. М., 1980. 3. Леушина А.М. Формирование элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста. М., 1974. 4. Тарунтаева Т.В. Развитие элементарных математических представлений у дошкольников. М., 1980. 5. Белошистая А.В. Обучение математике в ДОУ: Методическое пособие.- М.: Айрис-пресс, 2005.- 320с. Дополнительная литература 1. Ерофеева Т.И. и др. Математика для дошкольников. М., 1992. 2. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М., 1988. 3. Орлова Л.И. Формирование элементарных математических представлений. Алматы., 2006. 4. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников / под ред. А.А. Столяра. – М.: Просвещение, 1988. КДЫРБАЕВА АЗАТГУЛЬ АХМЕТОВНА РАЗРАБОТЧИК ОСНОВ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ ТЕЗИСЫ ЛЕКЦИЙ Лекция 1: Множества и операции над ними

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 111 Цель: Раскрыть суть понятия множества, определить операции над множествами. Способы задания множеств. Множество можно задать перечислением всех его элементов. Если множество А состоит из букв а, b, с, d то пишут: А={a, b, c, d}. Множество может быть задано описанием характеристического свойства его элементов, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и не обладают никакие другие объекты. При таком задании множества используется следующая запись: в фигурных скобках приводят обозначение элемента, после чего ставят вертикальную черту, а затем указывают характеристическое свойство. Например, запись А={х | x > 2} означает, что множество А состоит из всех таких чисел, которые больше 2. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. Пересечение множеств А и В обозначают А ∩ B. Таким образом, по определению пересечения можно записать: А ∩ B = {x | x є A и y є В}. Объединением множеств A и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 112 Объединение множеств А и В обозначают А В. Таким образом, по определению объединения можно записать: А В = {x | x є A или y є В}. Если над множествами производятся операции пересечения и объединения и в записи выражения отсутствуют скобки, то сначала выполняют операцию пересечения, а затем операцию объединения. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Разность множеств А и В обозначают А \ В. Таким образом, по определению разности А \ В = {x | x є A и y є В}. В том случае, когда В А, разность множества А и В называют дополнением подмножества В до множества А и обозначают В′А. Если В – подмножество универсального множества, то дополнение подмножества В до универсального множества обозначают В′. Если над множествами производят операции пересечения, объединения и вычитания и в выражении отсутствуют скобки, то сначала выполняют пересечение, а затем, в порядке следования, объединение и вычитание. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента каждой из которых принадлежит множеству А, а вторая – множеству В.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 113 Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Таким образом, А х В = {(x,y) | x є A и y є B}. Операцию нахождения декартова произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств. Если А и В – числовые множества, то элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изображение каждой пары чисел точкой на координатной плоскости позволяет получить фигуру на этой плоскости. Декартовым произведением множеств А1, А2, … , Аn называется множество кортежей длины n, первая компонента каждого из которых принадлежит множеству А1, вторая – множеству А2, …, n-я – множеству Аn. Оно обозначается так: А1 х А2 х … х Аn. Считают, что множество Х разбито на попарно непересекающиеся подмножества или классы, если выполнены следующие условия: 1) пересечение любых двух подмножеств пусто; 2) объединение всех подмножеств совпадает с множеством Х. Разбиение множества на классы называют классификацией. Лекция 2: Графы и их свойства Цель: Раскрыть суть понятия графа, изучить их свойства. Впервые термин «граф» в 1936 году ввел венгерский математик Д.Кениг, назвав графами схемы, состоящие из множества точек и связывающих эти точки отрезков прямых и кривых.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 114 Отметим на плоскости пять различных точек: A . . B А,В,С,D,Е. Эти точки называются вершинами графа, а отрезки линий (прямолинейные или E . . C криволинейные), соединяющие эти точки – . D ребрами графа. A . . B Приведенная точечная схема называется нулевым графом, т.е. нулевой граф состоит E . . C из изолированных вершин. . D Второй рисунок изображает неполный граф. Лекция 3: Соответствия Цель: Раскрыть суть понятия соответствия, изучить частные случаи – отношения на множестве. Бинарным соответствием (Р) между элементами непустых множеств Х и Y (в множестве Х х Y) называется тройка множеств (Z, Х,Y), где Z ХхY. Х – область отправления соответствия Р.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 115 Y – область прибытия соответствия Р. Z – график соответствия Р. Бинарным отношением между элементами множеств Х и Y называется подмножество декартова произведения множеств Х и Y. Если Х = Y, то говорят об отношении между элементами одного множества или об отношении на множестве. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут: х R у или (х, у) є R. Лекция 4: Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики Цель: Раскрыть суть основных понятий комбинаторики, ознакомится с основными методами теории вероятностей и мат. статистики. Комбинаторными обычно называют задачи на определение числа возможных конечных множеств или кортежей с определенными свойствами (комбинаций определенного рода), которые можно составить из данных элементов или из числа отображений определенного вида, которые можно построить между двумя конечными множествами. Решение большинства комбинаторных задач основано на двух простых правилах, которые называют правилами суммы и произведения. Правило суммы позволяет найти число элементов в объединении двух или более конечных множеств, правило произведения – число элементов их декартова произведения.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 116 1. Пусть Х содержит k элементов, т.е. Х - k – множество, n (Х) – число элементов множества Х, а Y содержит m элементов, т.е. У - m – множество, n (Y) – число элементов множества Y. “Сколько элементов содержится в объединении (Х Y) k – множества Х и m – множества Y?». а) Если Х ∩ Y = Ǿ, тогда n (Х Y) = n (X) + n (Y). б) Если Х ∩ Y ≠ Ø, тогда n (Х Y) = n (Y) + n (X) – n (X ∩ Y). В комбинаторике правило суммы формулируют следующим образом: «Если элемент х можно выбрать k способами, а у - m способами, причем любой способ выбора х отличается от любого способа выбора у, то выбор «х или у» можно сделать (k + m) способами». Аналогично рассматривается вопрос о числе элементов в объединении нескольких конечных множеств. Например, справедливы следующие равенства: а) n (Х Y Z) = n (X) + n (Y) + n (Z), если множества Х, Y, Z попарно не пересекаются. б) n (X Y Z) = n (X) + n (Y) + n (Z) –n (X∩Z) – n (Y∩Z) – n (X ∩ Y) + + n (X ∩ Y∩ Z), если пересечение любых двух или трех множеств не пусто. 2. «Сколько пар вида ( 1 x ; 1 y ) можно составить из элементов множеств ( , ,... )и( , ,... ) 1 2 n 1 2 n X x x x y y y . Запишем все эти пары в виде таблицы:

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 117 ( , ),( , ),...,( , ) ........................................ ( , ),( , ),...,( , ) ( , ,... ),( , ),...,( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 k k k m m n m x y x y x y x y x y x y x x x x x x y Она состоит из k строк, в каждой из которых содержится m элементов. Значит, общее число пар равно k m. Поэтому n (X x Y) = n (X ) · n (Y). 3. Упорядоченные k-множества, состоящие из элементов mмножества, называют упорядоченными k-подмножествами этого множества или размещениями без повторений из m элементов по k. Их число обозначают k Am . k Am = ( )! ! m k m Упорядоченное m-элементное множество называется перестановкой без повторений из m элементов. Их число обозначают P : P m! m m 4. При классическом определении вероятность события определяется равенством P (A) = n m , где m – число элементарных исходов испытания благоприятствующих появлению события А; n – общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны. Относительная частота события А определяется равенством W (А) = n m , где m – число испытаний, в которых событие А наступило, n – общее число произведенных испытаний.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 118 При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту. Лекция 5: Математические утверждения Цель: Раскрыть суть понятий высказывания, предиката и операций над ними, указать способы определения понятий. В математике, как и в других науках, мы имеем дело с понятиями. Условимся обозначать их через а, b, c, … и т.д. Всякое понятие характеризуется словом (или словосочетанием), объемом и содержанием. Под объемом понятия а будем понимать множество А объектов, которые можно назвать данным словом. Под содержанием понятия а будем понимать множество свойств, каждое из которых присуще любому элементу множества А, а все вместе – только им. Высказыванием называется любое предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание «А и В», которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из этих высказываний ложно. Конъюнкцию высказываний А и В обозначают А ^ В. Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание «А или В», которое истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний, и ложно, когда оба высказывания ложны. Дизъюнкцию высказываний А и В обозначают: А B. Конъюнкцией предикатов А (х) и В (х),

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 119 заданных на множестве Х, называется предикат А (х) ^ В (х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х є Х, при которых истинны оба предиката. Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности образующих их предикатов. Если обозначить множество истинности предиката А (х) через ТА, множество истинности предиката В(х) через ТВ и множество истинности предиката А(х) ^ B(x) через ТA^B , то ТA^B = ТA ^ ТB. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х), заданных на множестве Х, называется предикат А(х) V В(х), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х є Х, при которых истинен хотя бы один из предикатов: А(х) и В(х). Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих их предикатов, т.е. ТAVB = ТА ТB. Лекция 6: Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел Цель: Раскрыть суть построения множества N0 с позиции теории множеств. Отрезком N0 натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Например, N0 = {1,2,3,4,5,6}. Каждому конечному множеству А может быть поставлено в соответствие однозначно определенное число а, такое, что множество А

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 120 взаимно однозначно отображается на отрезок натурального ряда Na. Это число а называют числом элементов в множестве А и пишут: n (А) = a. Получаемое в этом смысле число а есть количественное натуральное число. Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: n (Ǿ) = 0. Если а = n (А), b = n (В), то число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В. Лекция 7: Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел Цель: Раскрыть суть аксиоматического метода построения теории множества N0 Натуральными числами называются элементы множества N, для которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее следующим аксиомам: Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей. Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а′, непосредственно следующий за а. Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 121 Аксиома 4. Если множество М есть подмножество N и а) единица содержится в М; б) из того, что а содержится в М, следует, что и а′ содержится в М, то множество М совпадает с множеством N. Если в качестве множества N выбрать некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, получим различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. Лекция 8: Число как мера отрезка Цель: Раскрыть суть понятия числа как результата измерения величины. Если отрезок а можно разбить на n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют мерой или значением длины отрезка а при единице длины е и пишут: а = n е. Таким образом, натуральное число как мера отрезка а показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. Аналогичную трактовку натурального числа можно дать, рассматривая и другие скалярные величины: массу, площадь, объем и т.д. Натуральное число, полученное в результате измерения скалярной величины, имеет двоякий смысл: его можно рассматривать и как порядковое, и как количественное. Если отрезок а состоит из отрезков b и с и длины отрезков b и с выражаются натуральными числами (при одной и той же единице длины), то мера отрезка а равна сумме мер его частей, т.е. сумму натуральных чисел можно рассматривать как меру отрезка а,

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 122 состоящего из отрезков b и с, мерами которых являются также натуральные числа. Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е, а отрезок е состоит из q отрезков, равных 1 e , то мера отрезка а при единице длины 1 e будет равна р · q, т.е. умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице дины. Если отрезок а состоит из отрезков b и с и длины отрезков а и b выражаются натуральными числами (при одной и той же единице длины), то мера отрезка с равна разности мер отрезков а и b, т.е. разность натуральных чисел можно рассматривать как меру отрезка с, дополняющего отрезок b до отрезка а. Если длина отрезка а выражается натуральным числом p при единице длины е, а отрезок a1 состоит из q отрезков, равных 1 e , то мера отрезка а при единице длины 1 e будет равна р : q, т.е. деление натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более крупной) единице длины. Подход к натуральному числу как мере величины позволяет обосновывать выбор действия при решении задач с различными величинами. Лекция 9: Системы счисления Цель: Раскрыть суть понятия позиционной системы счисления. Десятичной записью натурального числа а называется его представление в виде суммы следующего вида:

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 123 1 0 n 1 1 0 1 1 a a 10 a 10 ... a 10 a ,гдеa ,an ,...a ,a n n n n – цифры, используемые в десятичной системе счисления. 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9, число 10 – основание системы счисления. Числа 1, 10, 10² , … , 10ⁿ называются разрядными единицами соответственно первого, второго, третьего, …, n+1 разряда; при этом 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда. Лекция 10: Система счисления, отличные от десятичной. Цель: Изучить позиционные системы счисления с основанием р. Если р – основание некоторой позиционной системы счисления (р є N, p > 1), то 0,1, 2, …, р-1 – цифры используемые для записи чисел в этой системе. Тогда любое натуральное число а можно представить в этой системе в виде суммы вида: 1 0 n 1 1 0 1 1 a a p a p ... a p a ,гдеa ,an ,...,a ,a n n n n – цифры используемые в данной системе для записи чисел, такие, что a p a p a p a p p p n m n n n 1 1,0 ,...,0 1, , , ,..., 1 1 0 – разрядные единицы. Чтобы записать в системе счисления с основанием р число, представленное в десятичной системе счисления, достаточно разделить его на основание р, затем полученное частное опять разделить на р, и т.д., пока не получится частное , меньше р. Тогда последовательные остатки и последнее частное и есть цифры в записи числа в системе счисления с основанием р, причем первый остаток есть число единиц первого разряда, второй остаток – число единиц второго разряда и т.д.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 124 Если число представлено в системе счисления с основанием р, то для получения его десятичной записи достаточно вычислить значение суммы 1 1 1 0 a p an pn ... a p a n n в десятичной системе счисления. Лекция 11: Делимость чисел Цель: Раскрыть суть понятия делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Пусть даны целое неотрицательное число а и натуральное число b. Если при делении с остатком а на b остаток равен нулю, то b называют делителем числа а. Таким образом, по определению, если b делитель числа а, то существует частное q є 0 z , такое, что а = b · q. Иными словами «говорят, что а делится на число b, если существует число q, что а = b q”. В этом случае пишут а : b. Эта запись есть запись отношения делимости, она не означает действия, которое надо произвести над числами а и b, т.е. нельзя писать а : b = q. Читают запись а : b – а делится на b или а : b – отношение делимости. Отношение делимости на Z0 обладает рядом свойств. 1. Число 0 делится на любое натуральное число, т.е. ( b є N) 0 b. b є N имеем 0 = b · 0, т.к. 0 є Z0 , то по определению 0 : b. 2. Ни одно отличное от нуля число не делится на 0. (а ≠ 0 є Z0 ) а : 0. В самом деле, пусть а ≠ 0, так как 0 · b = 0 для всех b є Z0 , то равенство а = 0 · b не может выполняться ни для какого значения b. Значит, а не делится на 0.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 125 3. Отношение делимости рефлексивно, т.е. (а є N) а : а. Так как существует такое целое неотрицательное число q = 1, что а = а · 1, то по определению отношения делимости а : а. Из этого свойства вытекает, что любое неотрицательное число делится на 1. В самом деле, при q = 1, а є Z0 имеем а = 1 · q, это и означает, что а делится на 1. 4. Если число b не является делителем натурального числа а, то b не больше а, т.е. b ≤ а. Иными словами, если а : b и а > 0, то а ≥ b. Так как а : b, то существует q є N, такое, что а = b q. И поскольку а ≠ 0, то q ≥ 1. Умножим на b обе части этого неравенства b q ≥ b. Но b q = a, поэтому а ≥ b. Из этого свойства вытекает, что множество всех делителей натурального числа а конечно. 5. Отношение делимости антисимметрично, т.е. а : b ^ a ≠ b => b : a. Предположим, что b : a, тогда b ≥ а. Но по условию а : b и, значит, а ≥ b. Неравенствр b ≥ а и а ≥ b истинны только в том случае, когда а = b. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, наше предположение неверное и отношение делимости обладает свойством антисимметричности. 6. Отношение делимости транзитивно, т.е. а : b ^ b : c => a : c. Так как а : b, то q1 є Z0 , где а = b q1 . А так как b : с, то b = с q2 , q2 є Z0 , что b = с q2 . Отсюда имеем а = (с q2 ) q1 = с ( q2 · q1 ) = с q3 . Причем q3 є Z0 , следовательно а : с. Лекция 12: Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 25 Цель: Раскрыть суть понятия признака делимости числа х на а.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 126 Признаком делимости на число b называют правило, позволяющее по записи числа х в десятичной (или в иной позиционной) системе счисления, узнавать, делится ли оно на b, не выполняя непосредственно деления х на b. Пусть 1 1 10 0 x an 10 an 10 ... a a 1. Число х делится на 2 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8. Доказательство. Так как 10 : 2, то 10² : 2, … 10ⁿ : 2, а значит, ( 10 10 ... 1 10) : 2 1 1 a a a n n n n . Если a0 делится на 2, то по теореме о делимости суммы получим, что число х делится на 2. И наоборот, если число х : 2, то по теореме о делимости разности получим, что a0 кратно 2. Но a0 : 2 тогда и только тогда, когда a0 принимает значение 0, 2, 4, 6, 8. 2. Число х делится на 5 тогда и только тогда, когда его десятичная запись оканчивается цифрой 0 или 5. Доказательство аналогичное. 3. Число х делится на 4 тогда и только тогда, когда на 4 делится двузначноечисло, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х. Лекция 13: НОД и НОК чисел, их свойства Цель: Раскрыть суть понятий НОД и НОК двух чисел. Суть алгоритма Евклида нахождения НОД чисел а и b заключается в следующем. Пусть а ≥ b. Если а делится на b без остатка, то по утверждению 1) имеем НОД (а, b) = b, т.е. другими словами, если

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 127 разделить число а на число b (а > b) с остатком, затем разделить (с остатком) число b на полученный остаток, затем разделить (с остатком) первый остаток на второй остаток и т.д., то последний, отличный от нуля, остаток есть наибольший общий делитель чисел а и b. Пусть при делении а на b получается остаток r, то где а = b q + r. В этом случае по утверждению 3) имеем НОД (а, b) = НОД (b, r) и задача свелась к отысканию НОД (b,r). Лекция 14: Нахождение НОД и НОК чисел Цель: Отработать умение нахождения НОД и НОК чисел. Пусть ... , 1 2 1 2 n a p p p и . 1 1 n b p pn Тогда НОД n a b p p pn ( , ) ... 2 2 1 1 , где для всех к, 1 ≤ k ≤ n имеем min( , ) k k k . Точно также для НОК (а, b): НОК (а, b)= ... , 1 1 n p pn где для всех к, 1 ≤ k ≤ n, имеем max( , ) k ak k . Поэтому отыскание НОД и НОК чисел сводится к предварительному каноническому разложению чисел, т.е. разложение числа на простые множители путем последовательного деления на простые числа. Лекция 15: Алгоритмы Цель: Раскрыть суть понятия алгоритма. Под алгоритмом понимается всякое точное предписание, которое дает вычислительный процесс (называемый в этом случае алгоритмическим), начинающийся с произвольного исходного данного (из некоторой совокупности возможных для данного алгоритма

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 128 исходных данных) и направлений на получение полностью определяемого этим исходным данным результата. Oсновные свойства алгоритмов: массовость, определенность (или детерменированность), результативность, формальность, общепонятность, точность, дискретность. Лекция 16: Целые числа. Цель: Раскрыть сущность понятия расширения числовой области. Исходным множеством в процессе расширения понятия числа является множество N натуральных чисел. Возникнув в глубокой древности, понятие натурального числа на протяжении многих веков подвергалось расширению и обобщению. Причем каждое расширение имеющихся числовых представлений происходило под влиянием запросов практики: потребностей измерения величин и внутренних потребностей самой математики. Так, потребность более точно измерять величины привела к понятию дробных положительных чисел. С практикой решения уравнений и теоретическими исследованиями связано возникновение понятия отрицательных чисел. Нуль, который вначале обозначал отсутствие чисел, после выделения отрицательных чисел стал полноправным числом в множестве Z целых чисел, а также в множестве Q рациональных чисел. В V веке до новой эры в школе Пифагора было установлено, что положительных рациональных чисел недостаточно для точного измерения длин отрезков. Позднее, в связи с решением этой проблемы, появились числа иррациональные, а в XVI веке с введением

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 129 десятичных дробей был сделан шаг к числам действительным. Строгое определение действительного числа, обоснование свойств множества R действительных чисел были даны в XIX веке. Понятие действительного числа не последнее в ряду чисел. Процесс расширения понятия числа можно продолжать и он продолжается – этого требует развитие самой математики и других наук. Например, комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений. Исторически понятие комплексного числа происходило в связи с решениями уравнений второй степени в XVI веке. Хотя комплексное число не выражает количества, как это имеет место у действительных чисел, применение их бывает полезно в решении задач, составленных в терминах действительных чисел. Не менее важным является применение комплексного числа для решения чисто математических задач. Так, нахождение действительных корней кубического уравнения требует действий с комплексными числами. Комплексное число в первоначальном представлении – выражение вида а+bi, где а,bєR, i – некоторый символ. Множество всех комплексных чисел обозначают С. В комплексном числе z=а+bi, число а называется действительной его частью, число bi называется мнимой частью. Комплексное число можно представить в виде векторов или точек на плоскости. В современных теоретических построениях принята такая последовательность рассмотрения различных числовых множеств: натуральные числа (множество N),

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 130 целые числа (множество Z), рациональные числа (множество Q), действительные числа (множество R), комплексные числа (множество С), гиперкомплексные числа и кватернионы. Лекция 17: Рациональные числа Цель: Раскрыть суть понятия рационального числа. Понятие дроби. Длина а > е, но < 5е. Поэтому ее нельзя выразить ------------------ натуральным числом (при единице е). Но если разбить е ---------------- на 3 равные части по 1 e , то длина а = 14 1 e . Если е = 4 1 e 1 e = 5 1 е вернуться к первоначальной единице е, то а = 4 14 е. В общем виде пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммой n отрезков, равных 1 e . Если отрезок а состоит из m отрезков, равных 1 e , то его длина может быть представлена в виде n m e. Символ n m называют дробью, в нем m и n – натуральные числа. Читают этот символ «эм энных». Если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью n m , то она может быть выражена любой дробью nk mk , где к – натуральное число. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями. Если дроби n m и q p равны, то

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 131 пишут n m = q p . Например, дроби 4 14 и 8 28 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е, следовательно, 4 14 = 8 28 . Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби: для того чтобы дроби n m и q p были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np. Лекция 18: Десятичные дроби Цель: Раскрыт понятие десятичной дроби. Десятичными дробями называются обыкновенные дроби со знаменателями, равными степени десяти, записанными в десятичной позиционной системе счисления, т.е. дроби вида n m 10 , где m и n – натуральные числа. Пусть десятичная запись числителя имеет вид 0 m mk ...m , т.е. 0. m m 10 ... m k k Тогда по правилам действий над степенями при n ≤ k имеем: . 10 ... 10 10 ... 10 10 ... 10 10 ... 10 0 1 0 1 1 n n n k n n k n n n n k k n m m m m m m m m m Обозначим натуральное число n k n mk m 10 ... буквой М. Принято записывать дробь n m 10 следующим образом: М, ... . mn1 m0 Таким образом, при записи дроби n m 10 последние n цифр десятичной записи числа m отделяют запятой. Например, 5,71. 10 571 2 Если числитель содержит менее n десятичных знаков, то перед ним пишут столько

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 132 нулей, чтобы получилось n + 1 цифр, а после чего отделяют n знаков с конца запятой. Например, 0,0032. 10 00032 10 32 4 4 Каковы бы ни были натуральные числа m, n, s, дроби n m 10 и n s s m 10 10 эквивалентны. В самом деле, m 10 10 10 m. n s n s Чтобы получить запись дроби , 10 10 n s s m надо в числе ... 0...0. mk m0 отделить запятой n + s цифр справа. В результате получится десятичная дробь M, ... 0...0. mn1 m0 Так как дроби n m 10 и n s s m 10 10 эквивалентны, то эквивалентны дроби М, 1 0 mn ...m и М, ... 0...0. mn1 m0 Мы доказали, таким образом, что если приписать к десятичной дроби М, 1 0 mn ...m любое число нулей справа, то получится десятичная дробь, эквивалентная данной. Это свойство позволяет весьма просто приводить десятичные дроби к одному знаменателю. Если у первой дроби после запятой стоит n цифр, а у второй р цифр, причем n < p, то для приведения этих дробей к одному знаменателю достаточно приписать к первой дроби p-n нулей справа. Тогда у обеих дробей после запятой будет стоять поровну цифр, а это и значит, что они имеют один и тот же знаменатель. Для дробей, имеющих одинаковые знаменатели, сложение и вычитание сводятся к соответствующим операциям над их числителями. Это позволяет свести сложение и вычитание десятичных дробей к операциям над натуральными числами. Например,

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 133 6,2526. 10000 62526 10000 37126 10000 25400 2,54 3,7126 2,5400 3,7126 Лекция 19: Действительные числа Цель: Раскрыть суть понятия действительного числа. Понятие иррационального числа возникло при извлечении корня, при измерении длин отрезков и при изучении ряда функций. Слово иррациональное происходит от слова irrationalis – неразумный, необоснованный (непостигаемый разумом, рассудком). Дело в том, что для измерения величин, в частности длины, запас рациональных чисел существенно недостаточен. Например, никаким рациональным числом нельзя оценить длину диагонали квадрата, сторона которого равна единице измерения. Теорема. Диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, т.е. если за единицу длины взять сторону квадрата, то длина диагонали этого квадрата не может быть выражена положительным рациональным числом. Доказательство. Предположим противное, т.е. что диагональ квадрата а со стороной е выражается несократимой дробью : e. n m a n m По теореме Пифагора е²+е²=а²= 2 ( e) n m , или 2е²= 2 2 2 e n m , или 2. 2 2 n m Отсюда m² = 2n² т.е. m - четное число, например, m = 2k. Тогда 4k² = 2n² или 2k² = n² значит, n - четное число, например n = 2p. Получаем что и числитель, и знаменатель дроби n m - числа четные. Но это противоречит тому, что дробь n m несократима. Установленное

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 134 противоречие доказывает существование отрезков, длины которых нельзя выразить положительным рациональным числом. Это приводит к заключению о необходимости дальнейшего расширения числовых множеств. К числам рациональным, уже построенным и рассмотренным, следует добавить числа новой природы – иррациональные. С помощью этих чисел можно выразить длину отрезка несоизмеримого с выбранной единицей измерения длины. Если длина отрезка соизмерима с выбранной единицей измерения длины, то результат измерения выражается рациональным числом. Следовательно, результат измерения длины любого отрезка, вообще любой аддитивноскалярной величины выражается либо рациональным, либо иррациональным числом. Мы пришли к понятию иррационального числа через процесс измерения длины отрезков. Но иррациональные числа можно получить и при извлечении корней из некоторых рациональных чисел. Лекция 20: Комплексные числа Цель: Ознакомить с понятием комплексного числа в контексте расширения числовой области. Развитие понятия числа от натурального до комплексного Исходное числовое множество и его обозначение Побудительны й мотив к расширению Присоединяемое множество новых чисел Расширенное числовое множество Натуральные числа N Сделать возможным вычитание равных чисел Нуль Целые неотрицательны е числа N0

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 135 Целые неотрицательны е числа N0 Сделать возможным вычит. большего числа из меньшего Целые неотрицательны е числа Целые числа Z Целые числа Z Сделать всегда возможным деление Дробные числа Рациональные числа Q Рациональные числа Q Сделать всегда возможным извлечение корня из любого положительного числа Иррациональные числа Действительные числа R Действительные числа R Сделать всегда возможным извлечение корня из отрицательного числа Мнимые числа Комплексные числа К Лекция 21: Элементы алгебры Цель: Раскрыть суть понятия функции. Понятие функции является одним из важнейших понятий математики. И оно отражает взаимосвязи явлений и предметов. В настоящее время существует несколько вариантов определения понятия функции. В частности, понятие функции может выступать как первичное (неопределяемое) математическое понятие. Другой вариант: первичным считается понятие отображения и под функцией же понимается отображение одного множества Х в другое множество У. В этом случае характерно то, что в паре с каждым

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 136 элементом хєХ находится один и только один элемент уєУ. Для обозначения функций обычно используют символы f, φ, ψ. Множество Х – называют областью определения функции, а У – областью значений функции. Функция f с областью определения Х и значениями из У обозначается символически Х → У или с помощью переменных х → у, хєХ, уєУ. Вместо у для обозначения значений функций часто применяется символ f(х). Тогда символически функция может быть обозначена так: х → f(х). Множество аргументов Х иногда называют аргументом функции, тогда говорят, что f- функция аргумента х или переменной х. Известно, что отображения, отношения и соответствия могут быть заданы на множествах различной природы, значит и функции как их частный случай также могут иметь своей областью определения и областью значений различные множества. В курсе математики в основном рассматриваются числовые и точечные множества, так как на этих множествах удобнее изучать различные свойства функций. Определение. Пусть Х и У – некоторые числовые множества (Х R, У R). Числовой функцией, определенной на Х со значением в У, называется соответствие f, которое каждому числу хєХ соотносит единственное число уєУ. Числовую функцию будем в основном обозначать х → (х), хєХ или у = f(х). Числовое множество Х называется областью определения функции f, а числовое множество У, состоящее из всех чисел вида f(х), хєХ – множеством значений f. Область определения функции f также обозначаются D(f), а множество значений – Е(f).

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 137 Понятие функций также можно определить как зависимость одной переменной от другой и тогда функцией называется такая зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. В этом случае переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Говорят также, что у является функцией от х. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции. Лекция 22: Уравнения и неравенства с одной переменной Цель: Раскрыть суть понятия уравнения и неравенства с одной переменной. Понятия уравнения и неравенства с одной переменной определяют по разному. Рассмотрим два варианта. 1. Определим их через понятия выражения с переменной и предикат. Пусть заданы два выражения 1 f (х) и 2 f (х), содержащие переменную от х, которая пробегает некоторое множество Х. Назовем уравнением (неравенством) одноместный предикат 1 f (х) = 2 f (х), хєХ ( 1 f (х) ≥ 2 f (х), хєХ). Решить уравнение (неравенство) – значит найти значения переменной х, при подстановке которых в уравнение (неравенство) получается истинное равенство (неравенство), т.е. найти множество истинности Т данного предиката. Будем называть множество истинности предиката 1 f (х) = 2 f (х), хєХ ( 1 f (х) ≥ 2 f (х), хєХ) множеством решений уравнения

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 138 (неравенства), а числа, входящие в это множество, - корнями уравнения (решениями неравенства). Прежде чем решать уравнение (неравенство) 1 f (х) = 2 f (х) ( 1 f (х) ≥ f2(х), полезно найти множество, на котором 1 f (х) и 2 f (х) имеют определенные значения. Это множество называют областью допустимых значений переменной х или областью определения уравнения (неравенства). 2. Дадим теперь определение через понятие функции. Пусть даны функции 1 f (х) и 2 f (х). Если относительно равенства (неравенства) 1 f (х) = 2 f (х) ( 1 f (х) 2 f (х)) поставлена задача отыскивания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство (неравенство), то говорят, что задано уравнение (неравенство) с одной переменной. Значение переменной, обращающее уравнение (неравенство) в истинное равенство (неравенство) называется корнем (решением) уравнения (неравенства). Решить уравнение (неравенство) – значит найти множество его корней (решений) или доказать, что их нет. Это множество называют также решением уравнения (неравенства). Множество всех х, при которых одновременно имеют смысл выражения 1 f (х) и 2 f (х), называется областью определения уравнения (неравенства). Чтобы установить область определения уравнения (неравенства), необходимо найти пересечение множеств, на которых определены данные функции 1 f (х) и 2 f (х). Лекция 23: Элементы геометрии Цель: Ознакомить с системой геометрических понятий изучаемых в школе.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 139 В школьном курсе математики изучению геометрии отведено значительное место. Ныне действующая программа в большой степени изменила как объем предмета геометрии, традиционно изучаемой в школе, так и систему изложения материала. Построение геометрии в школьном курсе аксиоматическое, система понятий и определений стала более строгой, соответствующей возросшим требованиям, предъявляемым современным состоянием научно-технического прогресса. В течение всего периода своего существования как учебного предмета курс геометрии во всех странах мира был построен на системе аксиом Евклида. Понятно, что по мере развития математики многие ученые занимались усовершенствованием логической структуры геометрии Евклида. Вначале такие усовершенствования вносились в ее отдельные фрагменты разными учеными (Дж. Пеано, М.Пиери, М.Паш, В.Ф.Каган), а затем Давидом Гильбертом (1862-1943) была построена полная система аксиом геометрии. Именно работа «Основания геометрии» Д.Гильберта явилась основой построения школьного курса геометрии во многих странах мира, в том числе и в нашей стране. В 1918г. известным математиком Г.Вейлем (1885-1955) было предложено так называемое «векторное обоснование» евклидовой геометрии. Аксиоматика Вейля переводит теорию евклидова (точечного) пространства на язык линейной алгебры. Наиболее сильной стороной теории Вейля является его алгебраизация. Это обеспечивает возможность в значительной мере алгоритмизировать доказательства теорем и поэтому открывает «царский путь» в изучении геометрии.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 140 Возникшее с работами Н.Бурбаки движение за «алгебраизацию» математики привело к тому, что особая роль n–мерной геометрии, построенной на основе аксиоматики Вейля, стала подчеркиваться не только со стороны возможных научных приложений, но и со стороны возможной замены этой геометрией геометрии Евклида-Гильберта как учебного предмета средней школы. Например, были созданы экспериментальные учебники В.Г.Болтянского и И.М.Яглома, которые имеют своей целью подготовить учащихся VI-VIII классов к изучению курса стереометрии (и обобщению планиметрии) на основе аксиоматики Вейля, и пособие Н.М.Рогановского и А.А.Столяра, которое содержит один из вариантов построения курса стереометрии на основе аксиоматики, близкой к аксиоматике Вейля. Идея о многообразии аксиоматических систем, которые могут быть положены в основу построения евклидовой геометрии, оказалось весьма плодотворной для реконструкции современного школьного курса геометрии. Примерами в этом плане могут служить функционирование в школах нашей страны различных курсов геометрии в последние 20 лет, построенных на системе аксиом, отличающихся друг от друга. На примере системы аксиом евклидовой плоскости рассмотрим различные курсы школьной геометрии (планиметрии – раздела геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости). В курсе планиметрии, построенного на системе аксиом, предложенного А.Н.Колмогоровым, в качестве основных (неопределяемых) понятий приняты четыре понятия: точка, прямая,

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 141 расстояние, плоскость, а в качестве основных (недоказываемых) предложений приняты 12 аксиом, разбитых на пять групп. Лекция 24: Многогранник Цель: Раскрыть понятие многогранника. Понятие многогранника обычно определяют через понятие тело и поверхность. «Многогранник – тело (или геометрическое тело), границы которого есть объединение конечного числа многоугольников» или «многоугольником называется тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников». Граничные многоугольники называются гранями, а их стороны - ребрами многогранника. Вершины граней называются вершинами многогранника, а отрезок (или его длина), соединяющий две вершины, не принадлежащей одной грани, называется диагональю многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону (в одном пространстве) от плоскости его любой грани. Следовательно, выпуклый многогранник есть выпуклая фигура. Многогранник в известном смысле является пространственным аналогом многоугольника. Поэтому если многогранник имеет n граней, то он также называется n-гранником. Многогранник называется простым или многогранником нулевого рода, если: 1) любые две точки его поверхности можно связать (соединить) линией, целиком лежащей на поверхности; 2) его поверхность путем непрерывной деформации может быть сделана сферой.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 142 Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. Правильных многогранников всего пять типов, что было доказано еще в «Началах» Евклида. Правильный четырехугольник (тетраэдр) – многогранник, у которого все грани - правильные треугольники и в каждой вершине сходится по три ребра (4 вершины, 4 грани, 6 ребер). Правильный восьмигранник (октаэдр) – многогранник, у которого все грани правильные треугольники и в каждой вершине сходится по четыре ребра (6 вершин, 8 граней, 12 ребер). Правильный двадцатигранник (икосаэдр) – многогранник, у которого все грани правильные треугольники и в каждой вершине сходится по пять ребер (12 вершин, 20 граней, 30 ребер). Правильный шестигранник (гексаэдр-куб) – многогранник, у которого все грани правильные четырехугольники и в каждой вершине сходится по три ребра (8 вершин, 6 граней, 12 ребер). Правильный двенадцатигранник (додекаэдр) – многогранник, у которого все грани правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится по три ребра (20 вершин, 20 граней, 30 ребер). Лекция 25: Геометрические преобразования Цель: Показать виды геометрических преобразований плоскости. Назовем геометрическим преобразованием любое взаимнооднозначное отображение f множества П точек плоскости на себя

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 143 (рассматривают и геометрические преобразования всего пространства). Так как множество П бесконечно, геометрические преобразования нельзя задавать таблицами. Часто задают их формулами, выражающими координаты х′ и у′ точки плоскости f(М) через координаты х и у точки М. В общем виде эти формулы пишут так: х′ = φ (х, у), у′ = φ (х, у). (1) Например, равенства х′ = х + у - 3, у′ = 2х + 3у +4. (2) задают геометрическое преобразование плоскости. Чтобы найти образ точки А(-2, 4) при преобразовании (2), надо заменить в этих равенствах х и у числами (– 2) и 4: х′ = -2 + 4 – 3 = -1, у′ = 2 (-2) + 3· 4 + 4= 12. Значит, точка А(-2, 4) переходит в точку В(-1, 12). Чтобы найти формулы обратного преобразования, надо решить уравнения (2) относительно х и у. Мы получаем, что х = 3х′ - у′ + 13, у = -2х′ + у′ - 10. Например, узнаем, какая точка переходит при преобразовании (2) в точку N (-5, 4). Для этого положим в формулах (3) х′ = -5, у′ = 4: х = 3 (-5) – 4 + 13 = -6, у = -2 (-5) + 4 – 10 = 4. Значит, в точку N (-5, 4) переходит точка М (-6, 4).

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 144 Функции, задающие преобразование плоскости (1), нельзя выбирать произвольно. Они должны удовлетворять условию, что отображение (х, у)→(φ (х, у); ψ (х, у)) взаимно-однозначно. Это значит, что они должны быть определены для всех пар (х, у) и, с другой стороны, для любой пары чисел (а′, b′) должна найтись единственная пара чисел (а, b), такая, что φ (а, b) = а′, ψ (а, b) = b′. Лекция 26: Центральная и осевая симметрия Цель: Показать суть понятия перемещения плоскости. Назовем геометрическое преобразование φ перемещением плоскости (или, короче, перемещением), если оно не изменяет расстояний между точками плоскости. Иными словами, φ является перемещением плоскости, если для любых двух точек плоскости А и В выполняется равенство |A′B′| = |АВ|, где A′ - образ точки А, а B′ - образ точки В при этом перемещении, A′ = φ (А), B′ = φ (В). Большинство геометрических фигур и их свойства определяются с помощью понятия расстояния между точками. Например, окружность – это множество точек , имеющих одинаковое расстояние до данной точки 0 (центра окружности), отрезок АВ – множество точек М таких, что |АМ| + |МВ| = |АВ|, и т.д. Так как перемещения плоскости сохраняют расстояния между точками, то они переводят окружности в окружности с тем же радиусом, отрезки в отрезки той же длины и т.д. Поэтому, чтобы найти образ окружности с центром 0 и радиусом R при заданном перемещении, достаточно найти образ 01 ее центра и построить окружность с центром 01 и радиусом R. А чтобы

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 145 построить образ отрезка АВ, достаточно найти образы A′ и B′ его концов и построить отрезок A′B′. Точка A′ плоскости П называется симметричной точке А относительно прямой L, если отрезок А A′ перпендикулярен этой прямой и его середина лежит на ней. Точки прямой L считаются симметричными сами себе относительно этой прямой. Назовем осевой симметрией относительно L геометрическое преобразование SL, при котором каждая точка плоскости П переходит в точку, симметричную с ней относительно L. Прямую L называют осью симметрии для SL. Очевидно, что все точки оси симметрии остаются неподвижными при преобразовании SL, т. (А є L) SL (A) = A. Лекция 27: Геометрические преобразования подобия и сжатия Цель: Раскрыть суть понятий подобия и сжатия. Выберем на плоскости точку О и зададим положительное число k. | ОM′| = k |ОM| Гомотетией с центром О и коэффициентом k k>0 ------------------- называют геометрическое преобразование, при О M M′ котором точка О неподвижна, а каждая отличная Рис.1 от точки О точка М плоскости переходит в такую точку M′ (рис.1) что M′ лежит на луче ОМ, причем |O M′| = k |OM|. Каждая фигура Ф плоскости переходит при гомотетии в другую фигуру Ф′. Говорят, что фигура Ф′ гомотетична Ф (с центром гомотетии О и коэффициентом k).

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 146 Если k<1, то расстояния от всех точек плоскости до точки О уменьшаются, а если k>1 – увеличиваются. Поэтому иногда гомотетию с центром О и коэффициентом k, меньшим 1, называют сжатием к точке О, а при k>1 – растяжением плоскости от точки О. Если k=1, то все точки плоскости остаются неподвижными. Иными словами, гомотетия с коэффициентом 1 является тождественным преобразованием плоскости. Сделаем два преобразования гомотетии с одним и тем же центром О и коэффициентом 1 k и 2 k соответственно. При первом преобразовании точка М плоскости переходит в такую точку М′ луча ОМ, что |ОМ′| = 1 k |ОМ| , а при втором точка М′ переходит в точку М′′, лежащую на том же луче, такую, что |ОМ′′| = 2 k |ОМ′|. Но тогда |ОМ′′| = 1 k 2 k |ОМ|. Это значит, что композицией этих двух преобразований является гомотетия с тем же центром О и коэффициентом 1 k 2 k : при композиции гомотетий с общим центром их коэффициенты перемножаются. Далее, обратным преобразованием к гомотетии с центром О и коэффициентом k является гомотетия с тем же центром и коэффициентом k 1 . В самом деле, композицией этих двух гомотетий является гомотетия с тем же центром О и коэффициентом k ∙ k 1 = 1. Но такая гомотетия является тождественным преобразованием. Это и значит, что вторая гомотетия обратна первой. Итак, совокупность гомотетий с центром О с положительными коэффициентами образует группу.

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 147 Лекция 28: Величины и их измерение Цель: Раскрыть суть понятия величины. Потребности практической деятельности человека с давних времен требовали от науки соизмерения различных (но однородных) физических, геометрических и тому подобных свойств реальных объектов. Такое соизмерение (сравнение) естественным образом привело к математической конструкции сопоставления каждому элементу из рассматриваемого множества числа, характеризующего этот элемент с интересующей исследования точки зрения. Такими конструкциями являются способы измерения площади, длины, массы, температуры и т.п. В этих конструкциях некоторый элемент рассматриваемого множества выбирается за единичный, а остальные элементы измеряются по естественным правилам с помощью этого единичного элемента, в результате чего получаются числа, их характеризующие (измеряющие). Примерами сказанного могут служить измерения длины единичным отрезком, площадей единичным квадратом, масс единичной массой и т.д. Описанные конструкции могут быть положены в основу математической абстракции, приведшей к математическому понятию величины, т.е. аксиоматическому определению величины. Примером такого определения является то, которое предложено А.Н.Колмогоровым. Положительной скалярной величиной называется любой элемент множества G - положительных однородных скалярных величин , в

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 148 котором заложены отношения сравнения (« = », « > », « < ») и операции сложения (+), подчиняющиеся следующим аксиомам: 1. a, b, c є G, либо a = b, либо a < b, либо a > b. 2. a, b, c є G, если a < b и b < c, то a < c (транзитивнсть отношения меньше). 3. , b, c є G существует и единственная сумма a + b = c. 4. a, b, c є G, a + b = b + a (коммутативность сложения). 5. a, b, c є G, a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность сложения). 6. a, b, c є G, a + b > a (монотонность сложения). 7. a, b, c є G, если a > b, то существует единственный элемент cєG такой, что а = b + с (возможность вычитания). 8. a є G и n є N существует bєG такое, что n · b = а (возможность деления на целое число). 9. a, b є G существует n є N такое, что а < n b (аксиома Архимеда или Евдокса). 10. Если a1 a2 an bn b2 b1иbn an ... ... ... бесконечно уменьшается при увеличении n, то существует единственная величина 0 x такая, что n bn a x0 , для всех n є N. Лекция 29: Длина отрезка Цель: Раскрыть суть понятий «длина», «площадь», «объем». Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины,

Тағылымды тарих. Кдырбаева А.А. 149 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков. Если отрезок а является объединением отрезков a a an , ,... 1 2 , и никакие два из них не имеют общей внутренней точки (не налегают друг на друга), хотя и могут иметь общие концы, то говорят, что отрезок а разбит на отрезки a a an , ,... 1 2 , (или состоит из этих отрезков), т.е. отрезок а называет суммой этих отрезков (а = a a an , ,... 1 2 ). При измерении длин отрезков поступают следующим образом. Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок е и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки, равные е, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные е отложились р раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число р, т.е. а = р · е. Если же отрезки, равные е отложились р раз и остался еще остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные 1 e = . 10 1 e Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь. Итак, при выбранной единице длина любого отрезка выражается положительным действительным числом. Верно и обратное, если данное положительное действительное число , , ... p p1 p2 , то взяв его приближение с определенной точностью и проведя построения, отраженные в записи этого числа, численное значение которого есть дробь , , ... p p1 p2