เวทคณิตรวมสมบูรณ์

คำนำ

เอกสำรคู่มอื เวทคณิตฉบับนี้ ทำงกลมุ่ เฟสบุค เวทคณติ ออนไลน์ ได้รบั ควำมอนเุ ครำะห์ ฉบับ ท่ี สพฐ.
จะจดั ทำเปน็ หนังสือ ซงึ่ เปน็ ครั้งที่สอง เป็นกำรปรบั ปรุง แก้ไข ให้สำมำรถใช้ได้ กับเดก็ ท่วั ไป และ ยงั สำมำรถ
ใช้ในกำรแข่งขนั ได้ เพรำะมีเทคนิค ต่ำงๆในกำรคิดเลขเรว็ ดว้ ย ทำงผเู้ ขยี นอยำก เผยแพร่ ควำมรู้ เวทคณิต ที่
ถกู ต้อง จำกฉบับแรกท่เี คยออกไปกอ่ นหนำ้ นี้ มำฉบบั นเ้ี ปน็ กำรแก้ไข ข้อผดิ พลำดต่ำงๆในกำรพิมพค์ รับ
เพ่อื ใหส้ มำชิกท่ีอยำกเรยี นรู้เวทคณิตไดน้ ำไปใช้อย่ำงเตม็ ท่ี สมควำมตงั้ ใจของผเู้ ขยี น ทต่ี ้องกำรใหเ้ ปน็ สมบตั ิ
ของแผน่ ดิน ควำมรทู้ ม่ี ีคณุ ค่ำนี้ขอมอบให้สมำชิกทุกท่ำน และจะย้อนกลับไปตอบแทนผ้เู ขียน ท่ที ำ่ นไมข่ อเอ่ย
นำม ไว้ ณ โอกำส นี้ และหลำยคนคงจะทรำบกนั ดนี ะครบั

หำกมีข้อผิดพลำดประกำรใด แอดมนิ ขอน้อมรบั นำไปปรับแก้ไขใหส้ มบูรณต์ ่อๆไปครับ

เวทคณติ ออนไลน์
4 ตลุ ำคม 2561

สำรบัญ หนำ้
เรอ่ื ง
1
1. กำรบวก 5
1.1 เกรน่ิ นำ 16
1.2 กำรดำเนนิ กำรกำรบวก
1.3 กำรหำผลบวกเลขโดดของจำนวนเต็ม 23
26
2. กำรลบ
1. กำรดำเนินกำรลบจำกทำงซ้ำยไปทำงขวำ 34
2. เทคนิคกำรดำเนินกำรลบเลขโดยใช้จดุ (.) แทนสิบ 35
3. กำรประยุกต์สูตรท่ี 2 ของเวทคณติ 37
3.1 จำนวนบำร์ 38
3.2 จำนวนวนิ คิวลมั 39
3.3 กำรดำเนนิ กำรเปลย่ี นจำนวนวนิ ควิ ลมั กลบั ไปเปน็ จำนวนปกติ 44
3.4 จำนวนลบเขยี นอยใู่ นรปู จำนวนวนิ คิวลมั 46
3.5 จำนวนทศนิยมเขยี นอย่ใู นรปู จำนวนวินคิวลมั
3.6 กำรดำเนินกำรบวกของจำนวนวนิ ควิ ลัม 48
3.7 กำรดำเนินกำรลบของจำนวนวนิ คิวลัม 49
4. เทคนคิ กำรลบแบบเวทคณิต
4.1 กำรลบแบบทั่วไป(กำรลบตรงหลกั ) 53
4.2 กำรดำเนินกำรบวกและกำรลบแบบระคน 54
5. กำรตรวจสอบคำตอบ 54
5.1 กำรตรวจสอบคำตอบจำกกำรดำเนนิ กำรกำรบวก 55
5.2 กำรตรวจสอบคำตอบจำกกำรดำเนนิ กำรกำรลบ
5.3 กำรตรวจสอบคำตอบจำกกำรดำเนินกำรกำรบวกและกำรลบระคน 2
5.4 สมบตั ิของวงกลมเกำ้ จุด
2
3. กำรคณู (เรม่ิ นบั หน้ำเอกสำรใหม่) 5
1. เกริน่ นำ 22
2. กำรดำเนนิ กำรคูณแบบท่วั ไป 29
2.1 กำรคณู จำกทำงซ้ำยไปทำงขวำ
2.2 กำรคูณแนวต้ังและแนวไขว้
2.3 กำรคูณโดยกำรเลอ่ื นตวั คูณ
3. กำรดำเนินกำรคณู แบบเทคนิค

3.1 กำรคณู โดยใช้สดั สว่ นช่วยในกำรคำนวณ 29

3.2 กำรขยำยสูตรคูณ 31

3.3 กำรคณู ด้วยตัวคูณ 5, 50, 250, . . . 32

3.4 กำรคณู ดว้ ยตวั คูณ 5, 15, 25, 35, 45, 55, . . . 32

3.5 กำลงั สองของจำนวนท่ลี งท้ำยดว้ ย 5 33

4. กำรคูณของจำนวนที่ตวั เลขแรกเท่ำกนั แตต่ ัวเลขตัวหลงั บวกกันได้ 10, 100, 1000,.. 34

5. กำรยกกำลังสอง 40

6. กำรคูณโดยกำรเบีย่ งฐำน

6.1 กำรคณู โดยกำรเบยี่ งฐำน กรณตี วั คูณทัง้ สองน้อยกว่ำฐำน 43

6.2 กำรคูณโดยกำรเบ่ยี งฐำน กรณีตัวคูณทัง้ สองมำกกว่ำสงู 48

6.3 กำรคูณโดยกำรเบย่ี งฐำน กรณีตัวคูณตัวหนึ่งมำกกว่ำฐำนและตัวหน่ึง

นอ้ ยกว่ำฐำน 51

6.4 กำรนำสมบัติของเรื่องสัดสว่ นมำชว่ ยกำรคำนวณ 53

6.5 กำรคูณแบบนิขลิ มั สตู รในกรณตี ัวคณู ท้ังสองตัวต่ำงฐำนกนั 55

6.6 กำรคูณแบบนิขิลัมสตู รในกรณตี ัวคูณมสี ำมตัวพร้อมกนั 57

6.7 กำรหำคำ่ กำลงั สองของจำนวนทีม่ คี ่ำใกลเ้ ลขฐำน 58

6.8 กำรหำค่ำกำลงั สองของจำนวนทม่ี ีคำ่ ใกล้เคยี ง 50 59

7. กำรคูณดว้ ยตวั คูณเป็นเลขเก้ำหรืออนกุ รมของเลขเก้ำ 61

8. กำรตรวจสอบคำตอบดว้ ยวิธีกำรคณู ตวั แรกดว้ ยตัวแรก กำรคูณตัวหลังด้วยตวั หลัง

และกำรหำผลบวกของตวั เลขโดดในคำตอบ 63

4. กำรหำร

1. เกร่นิ นำ 66

2. กำรดำเนนิ กำรหำรตรง (Dhvajanka Sutra)

2.1 กำรหำรกรณีตวั หำรเปน็ จำนวนเตม็ หนึ่งหลกั 67

2.2 กำรหำรกรณตี วั หำรเปน็ จำนวนเตม็ ตง้ั แตส่ องหลักขึน้ ไป 71

3.กำรหำรแบบเทคนคิ เฉพำะ

3.1. กำรำำเนนิ กำรหำรโดยวธิ ีนขิ ลิ ัม (Nikhilam Method) 90

3.2 กำรดำเนินกำรหำรโดยวิธีปรำวรรตย (Paravartya Method) 99

3.3 กำรดำเนินกำรหำรโดยวิธีเพิ่มหรอื ลดสดั ส่วน (อนรุ ปู เยณ =

Anurupyena Method) 107

3.4 กำรดำเนนิ กำรหำรโดยวธิ ีกำรวนิ คิวลมั (Vinculum Process 109
of Division)
115
4. กำรดำเนินกำรหำรด้วยเศษสว่ นชว่ ย (Auxiliary Fractions) 123
4.1 เศษสว่ นชว่ ยแบบที่ 1
4.2 เศษส่วนชว่ ยแบบที่ 2

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

บทนา

ท่านศรีภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sri Bharati Krsna Tirthaji: พ.ศ. 2427 – 2503) นักวิชาการด้านภาษา

สันสกฤต คณิตศาสตร์ ประวัติศาสตร์และปรัชญา ได้ค้นพบเวทคณิตในคัมภีร์อินเดียโบราณ ระหว่างปี

พ.ศ. 2454 – 2461 ท่านได้ศึกษาตาราโบราณอินเดียเป็นเวลาหลายปี หลังจากการตรวจสอบอย่างรอบคอบและ

ละเอยี ดถถี่ ้วน สามารถบูรณาการสร้างชดุ ของสตู รทางคณิตศาสตร์ ทเี่ รยี กวา่ เวทคณิต ได้ท้ังหมด 16สตู รหลักคอื

1. Ekadhikina Purvena

COROLLARY : Anurupyena

Meaning : By one more than the previous one

2. Nikhilam Navatashcaramam Dashatah

COROLLARY : Sisyate Sesasamjnah

Meaning : All from 9 and the last from 10

3. Urdhva-Tiryagbyham

COROLLARY : Adyamadyenantyamantyena

Meaning : Vertically and crosswise

4. Paraavartya Yojayet

COROLLARY : Kevalaih Saptakam Gunyat

Meaning : Transpose and adjust

5. Shunyam Saamyasamuccaye

COROLLARY : Vestanam

Meaning : When the sum is the same that sum is zero.

6. (Anurupye) Shunyamanyat

COROLLARY : Vestanam

Meaning : If one is in ratio, the other is zero

7. Sankalana-vyavakalanabhyam

COROLLARY : Yavadunam Tavadunikritya Vargancha Yojayet

Meaning : By addition and by subtraction

8. Puranapuranabyham

COROLLARY : Antyayordashake'pi

Meaning : By the completion or non-completion

9. Chalana - Kalanabyham

COROLLARY : Antyayoreva

Meaning : Differences and Similarities

10. Yaavadunam

COROLLARY : Samuccayagunitah

1

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

Meaning : Whatever the extent of its deficiency

11. Vyashtisamanstih

COROLLARY : Lopanasthapanabhyam

Meaning : Part and Whole

12. Shesanyankena Charamena

COROLLARY : Vilokanam

Meaning : The remainders by the last digit

13. Sopaantyadvayamantyam

COROLLARY : Gunitasamuccayah Samuccayagunitah

Meaning : The ultimate and twice the penultimate

14. Ekanyunena Purvena

COROLLARY : Dhvajanka

Meaning : By one less than the previous one

15. Gunitasamuchyah

COROLLARY : Dwandwa Yoga

Meaning : The product of the sum is equal to the sum of the product

16. Gunakasamuchyah

COROLLARY : Adyam Antyam Madhyam

Meaning : The factors of the sum is equal to the sum of the factors

2

เวทคณิต 1. การดาเนินการบวก

ในบทน้ีจะกลา่ วถึงการดาเนินการบวกแบบเวทคณติ มี 2 เร่ือง คือ การดาเนินการบวก และการหาผลบวก

เลขโดดของจานวนเต็ม ซงึ่ แต่ละเรื่องมีรายละเอยี ด ดงั นี้

1. เกรนิ่ นา

2. การดาเนินการบวก

2.1 การดาเนนิ การบวกจากทางซ้ายไปทางขวา

2.2 การดาเนินการบวกเลขโดยใช้จดุ ( ) แทนการเท่ากับสบิ

3. การหาผลบวกเลขโดดของจานวนเต็ม

3.1 วงกลมเกา้ จุด (The nine – point circle)

3.2 เทคนคิ การหาผลบวกเลขโดดของจานวนนบั ดว้ ยการตัดเลข 9 ออก

3.3 การนาผลบวกเลขโดดของจานวนเตม็ ไปใชต้ รวจผลเฉลยของการดาเนินการบวก

1. เกรนิ่ นา

สตู รแรกทจ่ี ะไดเ้ รียนรู้ คือ จานวนทม่ี ากกว่าอยู่หน่ึงของตวั ท่ีมาก่อน หรือ จานวนทมี่ ากกวา่ อยู่หนึง่ ของตวั
ทอ่ี ยู่ถดั ไป (By One more than the One Before (Ekadhikina Purvena)) คือ จานวนนบั 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,…

3 มากกวา่ 2 อยู่ 1 เมื่อ 2 มากอ่ น 3
4 มากกว่า 3 อยู่ 1 เมื่อ 3 มาก่อน 4 เป็นเชน่ น้ไี ปเรื่อย ๆ
เน่ืองจากการนับเลขของเราใช้ระบบฐานสิบ คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,…
ดังน้ัน เมื่อพิจารณาการนับไปเรื่อยๆ จะพบว่าเกิดระบบการครบรอบของสบิ คือ 10, 20, 30, 40 เป็นต้น สามารถ
นาไปสร้างบนวงกลมได้เป็น 10 จุด และจะพบสมบัตินาไปใช้ในการบวกเลขได้ ซ่ึงวงกลม 10 จุด เป็นการแสดงคู่
ของเลขทีบ่ วกกันได้ 10

บทนยิ าม ทบสบิ คือ การบวกจานวนเต็มบวกสองจานวนใหเ้ ทา่ กบั 10

ถ้าให้ a และ b เปน็ จานวนเตม็ บวกใดๆ แล้ว a + b = b + a = 10 เรยี ก a และ b เปน็ จานวนทบสบิ ซ่ึงกัน
และกนั ซ่งึ ผลบวกคูจ่ านวนทบสิบของจานวนเตม็ 1 ถึง 9 มีดังนี้

3

เวทคณิต 1. การดาเนินการบวก

1 และ 9 เป็นจานวนทบสิบซึง่ กนั และกนั เพราะ 1 + 9 = 9 + 1 = 10

2 และ 8 เปน็ จานวนทบสิบซึง่ กันและกนั เพราะ 2 + 8 = 8 + 2 = 10

3 และ 7 เป็นจานวนทบสบิ ซงึ่ กันและกัน เพราะ 3 + 7 = 7 + 3 = 10

4 และ 6 เป็นจานวนทบสิบซึ่งกนั และกนั เพราะ 4 + 6 = 6 + 4 = 10

5 และ 5 เปน็ จานวนทบสิบซง่ึ กันและกนั เพราะ 5 + 5 = 10

ปัญหาชวนคิด

จงหาผลบวกของจานวนต่อไปนี้

1. 6 + 4 2. 16 + 4 3. 5 + 25 4. 13 + 7
5. 22 + 8 6. 38 + 2 7. 54 + 6 8. 74 + 6
9. 61 + 9 10. 85 + 5

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลบวก 47 + 37 ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาผลบวก 29 + 7 + 1 + 5
โดยใชว้ ธิ ีการทบ โดยใช้วธิ กี ารทบ

47 + 37 = 47 + 3 + 34 29 + 7 + 1 + 5 = (29 + 1) + 7 +5
= (47 + 3) + 30 + 4 = (29 + 1) + 7 + (3 + 2)
= 50 + 30 + 4 = (29 + 1) + (7 + 3) + 2
= 84 = 30 + 10 + 2

แบบฝกึ หดั ชดุ ท่ี 1 จงหาผลบวกของจานวนต่อไปน้ีโดยใช้วธิ ีการทบสิบ

1) 55 + 28 5) 8 + 51 + 12 + 3

2) 47 + 25 6) 37 + 7 + 21 + 13

3) 29 + 26 7) 13 + 16 + 17 + 24

4) 16 + 3 + 6 + 7 8) 33 + 25 + 22 + 15

4

เวทคณิต 1. การดาเนินการบวก

2. การดาเนินการบวก

2.1 การดาเนินการบวกจากทางซ้ายไปทางขวาพื้นฐานการคิดเลขแบบเวทคณิต

ความสามารถในการคิดเลขน้ันเราจะต้องมีการทาเคร่ืองหมายสาหรับตัวเลขหรือจานวน ที่ง่าย
ชัดเจน สะดวกในการจดจาและเพื่อให้การคิดเลขในใจได้ โดยเฉพาะเร่ืองการทดเลข น่ันคือ การทาเคร่ืองหมายท่ี
ตัวทดหรือเลขทด (carry figures) จากการดาเนินการ บวก ลบ คูณ หาร และยิ่งไปกว่านี้ ถ้าใช้การคิดเลขจาก
ทางซ้ายไปทางขวาจะทาให้การคดิ เลขมีประสิทธภิ าพและสามารถคิดเลขในใจได้ง่ายและรวดเรว็ เพราะการคิดเลข
จากทางซ้ายไปทางขวาเป็นการหาส่วนแรกไปหาส่วนท้ายของคาตอบ ซ่ึงเป็นข้ันตอนท่ีหนึ่งไปขั้นตอนที่สองและ
ข้ันตอนอ่นื ๆ ไปเรอ่ื ยๆ จนไดค้ าตอบสมบูรณ์ นีค่ อื เทคนิคของการคดิ เลขแบบเวทคณิตที่ได้เปรียบในการคิดเลขเร็ว
และถกู ตอ้ งแม่นยา ซง่ึ เราสามารถพฒั นาความคิดนไ้ี ด้

การคดิ เลขจากทางซ้ายไปทางขวา (CALCULATION FROM LEFT TO RIGHT)

การคดิ เลขแบบเวทคณติ มีความจาเป็นท่ีจะต้องปรับเปลย่ี นยุทธวธิ ีของการคิด โดยการคดิ เลขจากทางซ้าย
ไปทางขวา ซึ่งเป็นการได้เปรียบในการคิดเลขเร็วและสามารถคิดเลขในใจได้ นี่คืองานที่เราจะต้องทาและหาวิธีทา
ใหเ้ กดิ ความเปน็ ธรรมชาตขิ องการคิดเลขแบบเวทคณิต ซ่งึ จะศกึ ษาและอธบิ ายรายละเอยี ด ดงั ตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวกของ 76 + 88

วิธที า 76

88 + ข้นั ท่ี 1 หาผลบวกตวั เลขทางซา้ ย คอื หลักสิบ 7 + 8 = 15
แลว้ เขียน 1 ซ่งึ เปน็ คาตอบตัวแรกของการบวกหลักสิบ (ตวั ทด)
1 ลงในหลกั รอ้ ย และเขียน 5 เปน็ ตัวห้อยลงในหลักสิบ

5

7 6 + ขนั้ ท่ี 2 หาผลบวกตวั เลขหลกั ถดั ไปทางขวา คือ หลักหนว่ ย
6 + 8 = 14 แลว้ เขียน 1 ซ่งึ เปน็ ผลบวกตัวแรก (ตวั ทด) ไว้บนตัวห้อย
8 8 ของหลักกอ่ นหน้าท่ีอยู่ตดิ กัน และเขยี น 4 ลงในหลักหน่วย

114
5

7 6 + ขน้ั ท่ี 3 หาผลบวกจากซ้ายไปขวาได้ 164

8 8

114

5

164

ดังน้ัน 76 + 88 = 164

5

เวทคณติ 1. การดาเนนิ การบวก

ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลบวกของ 596 + 738

วธิ ีทา 5 9 6

7 3 8 + ขั้นท่ี 1 หาผลบวกตวั เลขทางซา้ ย คือ หลกั ร้อย 5 + 7 = 12
แล้วเขียน 1 ซึง่ เปน็ คาตอบตวั แรกของการบวกหลกั ร้อย (ตัวทด) ลงใน
1 2 หลักพนั และเขยี น 2 เป็นตัวห้อยลงในหลักร้อย

5 9 6 + ขนั้ ที่ 2 หาผลบวกตวั เลขหลกั ถัดไปทางขวา คอื หลกั สิบ
9 + 3 = 12 แลว้ เขียน 1 ซึง่ เป็นผลบวกตวั แรก (ตัวทด) ไว้บนตวั ห้อย
7 3 8 ของหลักก่อนหน้าท่ีอยู่ติดกัน และเขียน 2 เปน็ ตวั ห้อยลงในหลักสิบ

11
22

5 9 6 + ข้ันท่ี 3 หาผลบวกตัวเลขหลักถัดไปทางขวา คอื หลักหน่วย
6 + 8 = 14 แล้วเขยี น 1 ซึง่ เป็นผลบวกตัวแรก (ตัวทด) ไว้บนตวั ห้อย
7 3 8 ของหลักกอ่ นหน้าท่ีอยูต่ ิดกัน และเขยี น 4 ลงในหลักหน่วย

1114
22

596 ขั้นที่ 4 หาผลบวกจากซ้ายไปขวาได้ 1334

738 +

1114

22

1334

ดังน้นั 596 + 738 =1334

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลบวกของ 5678 + 2468

วธิ ที า 5 6 7 88+
2 4 6
ขน้ั ที่ 1 หาผลบวกตวั เลขทางซ้าย คือ หลักพนั 5 + 2 = 07
(ถา้ ผลบวกไม่เกนิ 9 เขยี น 0 ไวห้ นา้ เลขโดด) แลว้ เขียน 0 ซง่ึ เปน็
0 คาตอบตวั แรกของการบวกหลักพนั ลงในหลักหมนื่ และเขียน 7
7 เป็นตัวห้อยลงในหลักพนั

6

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

5 6 7 8 + ขั้นที่ 2 หาผลบวกตวั เลขหลกั ถดั ไปทางขวา คือ หลักร้อย
2 4 6 8 6 + 4 = 10 แลว้ เขยี น 1 ซ่ึงเป็นผลบวกตวั แรก (ตัวทด) ไว้บนตัวห้อย
ของหลักกอ่ นหน้าท่ีอยูต่ ิดกัน และเขยี น 0 เปน็ ตัวห้อยลงในหลักรอ้ ย
01

70

5 6 7 88+ ขัน้ ที่ 3 หาผลบวกตัวเลขหลกั ถดั ไปทางขวา คือ หลักสบิ
2 4 6 7 + 6 = 13 แลว้ เขียน 1 ซึ่งเป็นผลบวกตัวแรก (ตัวทด) ไว้บนตัวหอ้ ย
ของหลกั ก่อนหน้าที่อยู่ติดกนั และเขยี น 3 เปน็ ตัวห้อยลงในหลกั สบิ
011

703

5 6 7 8 + ขั้นที่ 4 หาผลบวกตัวเลขหลกั ถัดไปทางขวา คือ หลกั หน่วย
2 4 6 8 8 + 8 = 16 แลว้ เขยี น 1 ซ่งึ เปน็ ผลบวกตวั แรก (ตวั ทด) ไว้บนตัวหอ้ ย
ของหลักก่อนหน้าที่อยู่ตดิ กัน และเขยี น 6 ลงในหลักหน่วย
01116

703

5 6 7 8 +
2 4 6 8
ขั้นที่ 5 หาผลบวกจากซ้ายไปขวาได้ 8146
01116

703

8146

ดงั นั้น 5678 + 2468 = 8146

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหาผลบวก 3729 + 853

วิธที า 3 7 2 9

8 5 3 + ขนั้ ท่ี 1 หาผลบวกตวั เลขทางซ้าย คือ หลกั พัน 3 + 0 = 03
แล้วเขียน 0 ซึง่ เปน็ คาตอบตัวแรกของการบวกหลกั พนั ลงในหลักหมนื่
0 และเขียน 3 เปน็ ตวั ห้อยลงในหลกั พนั

3

7

เวทคณิต 1. การดาเนินการบวก

3 7 2 9 + ข้นั ท่ี 2 หาผลบวกตวั เลขหลกั ถัดไปทางขวา คือ หลักร้อย
7 + 8 = 15 แล้วเขยี น 1 ซง่ึ เป็นผลบวกตวั แรก (ตัวทด) ไว้บนตัวห้อย
8 5 3 ของหลกั กอ่ นหน้าที่อยู่ติดกนั และเขยี น 5 เปน็ ตัวห้อยลงในหลกั ร้อย

01

35

3 7 2 9 + ขั้นท่ี 3 หาผลบวกตวั เลขหลกั ถดั ไปทางขวา คอื หลกั สิบ
2 + 5 = 07 แล้วเขยี น 0 ซ่งึ เป็นผลบวกตัวแรกไวบ้ นตัวห้อยของหลกั
8 5 3 ก่อนหนา้ ท่ีอยูต่ ดิ กนั และเขียน 7 เป็นตัวหอ้ ยลงในหลกั สิบ

01 0

357

3 7 2 9 + ขั้นท่ี 4 หาผลบวกตวั เลขหลักถดั ไปทางขวา คอื หลักหนว่ ย
9 + 3 = 12 แลว้ เขยี น 1 ซงึ่ เปน็ ผลบวกตัวแรก (ตัวทด) ไว้บนตวั หอ้ ย
8 5 3 ของหลักกอ่ นหน้าที่อยู่ติดกัน และเขียน 2 ลงในหลักหนว่ ย

01 0 1 2

357

3 7 2 9 +

8 5 3

01 0 1 2 ขั้นท่ี 5 หาผลบวกจากซา้ ยไปขวาได้ 4582

357

4582

ดังนน้ั 3729 + 853 = 4582

ตวั อย่างที่ 5 จงหาผลบวกของ 989 + 73878

วิธที า 9 8 9 + ขัน้ ท่ี 1 หาผลบวกตวั เลขทางซ้าย คือ หลกั หมื่น 0 + 7 = 07
แลว้ เขยี น 0 ซ่ึงเปน็ คาตอบของการบวกหลกั หม่นื ลงในหลักแสน
7 3 8 7 8 และใหเ้ ขียน 7 เป็นตวั หอ้ ยลงในหลักหมน่ื

0 7

7 3 9 8 89+ ขั้นที่ 2 หาผลบวกของหลกั ถัดไปทางขวา คือ หลักพนั 0 + 3 = 03
แลว้ เขียน 0 ซง่ึ เปน็ ผลบวกตัวแรกไว้บนตวั ห้อยของหลักก่อนหน้า
8 7 ทอ่ี ยู่ติดกัน และเขยี น 3 เป็นตัวห้อยลงในหลกั พนั

00
73

8

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

7 3 9 8 9 + ขนั้ ที่ 3 หาผลบวกของหลกั ถัดไปทางขวา คอื หลกั ร้อย 9 + 8 = 17
แลว้ เขยี น 1 ซึง่ เปน็ ผลบวกตัวแรก (ตวั ทด) ไวบ้ นตัวห้อยของ
8 7 8 หลักก่อนหน้าท่ีอยูต่ ิดกนั และเขยี น 7 เปน็ ตัวหอ้ ยลงในหลักรอ้ ย

001 ข้ันท่ี 4 หาผลบวกของหลักถัดไปทางขวา คอื หลักสิบ 8 + 7 = 15
737 แลว้ เขยี น 1 ซ่ึงเปน็ ผลบวกตัวแรก (ตัวทด) ไวบ้ นตวั หอ้ ยของ
หลักก่อนหน้าทีอ่ ยู่ติดกัน และเขยี น 5 เปน็ ตวั ห้อยลงในหลักสิบ
7 3 9 8 89+

8 7

0011
7375

7 3 9 8 89+ ข้ันท่ี 5 หาผลบวกของหลกั ถัดไปทางขวา คือ หลกั หน่วย
9 + 8 = 17 แล้วเขยี น 1 ซง่ึ เปน็ ผลบวกตวั แรก (ตวั ทด) ไว้บนตวั ห้อย
8 7 ของหลกั ก่อนหน้าที่อยู่ตดิ กนั และเขยี น 7 ลงในหลักหนว่ ย

001117 ขั้นที่ 6 หาผลบวกจากซา้ ยไปขวาได้ 74867
7375

7 3 9 8 89+

8 7

001117
7375

74867

ดังนัน้ 989 + 73878 = 74867

9

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

แบบฝึกหัดชุดที่ 2 จงหาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี

1) 2 7 + 2) 6 1 + 3) 4 8 +
5 2 + 5 8 + 7 7 +

+ + +

4) 6 5 76++ 5) 4 3 86++ 6) 2 1 8 +
1 5 9 5 7 4 3 +

+ + +

7) 6 5 7 8 + 8) 4 5 9 29++ 9) 3 9 2 65++
1 5 6 2 + 7 4 2 9 4 8

+ + +

10) 4 5 11) 4 4 5 12) 9 7 6 6 9
88 + 7 8 7+ 69788+
24 + 4 5 9+ 99260+
+ + +

10

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

2.2 การบวกเลขโดยใชจ้ ดุ ( ) แทนการเท่ากับสบิ

วิธกี ารบวกในเวทคณติ ได้ทาใหก้ ารบวกนั้นงา่ ยขึ้น เน่อื งจากตัวเลขแตล่ ะหลกั ท่ีนามาบวกกนั เปน็ ตวั เลขท่ี

นอ้ ยกวา่ 10 สตู รที่พฒั นาข้นึ ใช้เรยี กว่า สูตรสทุ ธะ (Sutra Shudha) เมือ่ ผลบวกมากกว่า 9 โดยท่ีการบวกเลขโดด

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 0) สองจานวนเมอื่ ได้ผลลัพธ์มากกวา่ 9

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลบวก 379 + 854 + 767 + 426

วิธีทา ข้นั ท่ี 1 การดาเนนิ การบวกกระทาแบบปกตแิ ตล่ ะหลักจาก

• หลกั หน่วย → หลกั สิบ → หลกั ร้อย → … จากขา้ งลา่ งขนึ้ ขา้ งบน
(a) 6 + 7 = 13 ซ่ึงมากกว่า 9 ดงั นั้น กลา่ ว “สทุ ธะ” (Shudha) แลว้ ใส่
379
8 5 4
+ จดุ บน 7 (7 ) จุด หมายถึง ทงิ้ ทด 1 ของหลกั สบิ ไว้ สว่ น 3 ของหลักหนว่ ยก็
• ดาเนินการบวกกับตวั เลขของหลักหน่วยข้างบนต่อไป
767
426 (b) 3 + 4 = 7 ซง่ึ ไมเ่ กนิ 9 ไม่เกิดกระบวนการสุทธกิ ารัน (Shudhikaran)

6 คือ ไม่ต้องกล่าว “สทุ ธะ” และไม่ใสจ่ ดุ ยงั คงหาผลบวกกับตวั เลขถัดไปข้างบน

ซ่งึ กค็ ือ 7 + 9 = 16 เรากลา่ ว “สุทธะ” และใสจ่ ุดบน 9 (9 ) ส่วน 6 ใส่เปน็
คาตอบทห่ี ลักหนว่ ย

(c) การดาเนนิ การบวกยงั คงดาเนนิ ต่อไปจากข้างลา่ งขึ้นข้างบนใน
หลักถดั ไป

•• ขน้ั ท่ี 2 กอ่ นที่จะเลื่อนไปดาเนินการบวกหลักท่ี 2 หรือหลักสิบ ยังคงมีจุด
อยู่ท่ีหลกั หน่วย 2 จดุ ถูกนับเป็นสอง
379
(a) 2 จากสองจุดในหลักหนว่ ยต้องนาไปบวกกับตัวเลขล่างสุดของหลักสบิ
8 5 4+ 2 + 2 = 4 ผลลพั ธ์นาไปบวกตวั เลขถดั ขึ้นไป คือ 4 + 6 = 10 ดงั นั้นกล่าว
767
426 “สุทธะ” แลว้ ใสจ่ ุดบนเลข 6 (6 ) ทิง้ ทด 1 เป็นตวั ทดสาหรับหลกั ร้อย
(b) 0 + 5 = 5 แลว้ นา 5 มาบวกกับ 7 เท่ากับ 12 กล่าว “สทุ ธะ” และใส่
26
จดุ บนเลข 7 (7 ) สว่ น 2 ใสเ่ ปน็ คาตอบที่หลกั สบิ
(c) การดาเนินการบวกยังคงดาเนินต่อไปจากข้างล่างข้ึนข้างบนในหลกั

ถดั ไป

11

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

379 ขั้นที่ 3 ก่อนที่จะเล่ือนไปดาเนนิ การบวกหลกั ที่ 3 หรือหลักร้อย ยังคงมีจุดอยู่
+ ทหี่ ลกั สิบ 2 จุด ถกู นบั เป็นสอง

854 (a) 2 จากสองจุดต้องนาไปบวกกบั ตวั เลขลา่ งสดุ ของหลักรอ้ ย 2 + 4 = 6
767 ผลลพั ธ์นาไปบวกตวั เลขถดั ข้ึนไป คือ 6 + 7 = 13 ผลบวกเกิน 9 ดงั นน้ั
424
2426 กล่าว “สุทธะ” และใสจ่ ดุ บน 7 (7 ) ท้ิงทด 1 เป็นจุด แลว้ นา 3 ไปบวก
ตัวเลขหลักเดยี วกนั ถัดขึน้ ไป
(b) 3 + 8 = 11 ผลบวกเกนิ สิบ กล่าว “สุทธะ” และใสจ่ ุดบน 8 (8 ) ทิง้ ทด
1 เป็นจุด แล้วนา 1 ไปบวกตัวเลขหลกั เดยี วกนั ถัดขน้ึ ไปได้ 1 + 3 = 4
(c) นับจานวนจุดของหลักรอ้ ยท้งั หมดจะได้เป็นตวั ทดของหลักถัดไป คือ
หลักพนั แทนด้วย 2

ดงั นั้น 379 + 854 + 767 + 426 = 2,426

ตวั อย่างที่ 2 จงหาผลบวก 78924 + 27272 + 99999 + 72672

วิธที า ขนั้ ที่ 1 การดาเนินการบวกจากขา้ งบนลงขา้ งลา่ งสามารถดาเนนิ การได้

78 92 4 เชน่ กนั
ข้นั ท่ี 2 4 + 2 = 6, 6 + 9 = 15 (สุทธะ), 5 + 2 = 7 ใส่ 7 เป็นคาตอบ
2 7 2 7 2 + ทห่ี ลักหนว่ ย

99999 ขน้ั ท่ี 3 นับจุดจากหลกั หน่วยได้ 1 จุด 1 + 2 = 3, 3 + 7 = 10 (สทุ ธะ),

726 7 2 0 + 9 = 9, 9 + 7 = 16 (สุทธะ) ใส่ 6 เป็นคาตอบท่ีหลกั สบิ
ขนั้ ท่ี 4 นบั จดุ จากหลกั สิบได้ 2 จดุ 2 + 9 = 11 (สุทธะ), 1 + 2 = 3,

278867 3 + 9 = 12 (สุทธะ), 2 + 6 = 8 ใส่ 8 เปน็ คาตอบที่หลักร้อย

ขั้นท่ี 5 นบั จุดจากหลักร้อยได้ 2 จุด 2 + 8 = 10 (สุทธะ), 0 + 7 = 7,

7 + 9 = 16 (สุทธะ), 6 + 2 = 8 ใส่ 8 เป็นคาตอบทหี่ ลักพนั

ขน้ั ท่ี 6 นับจุดจากหลกั พันได้ 2 จดุ 2 + 7 = 9, 9 + 2 = 11 (สุทธะ),

1 + 9 = 10 (สทุ ธะ), 0 + 7 = 7 ใส่ 7 เป็นคาตอบทหี่ ลกั หมื่น

ขน้ั ที่ 7 นบั จานวนจุดของหลักหมน่ื ท้ังหมดจะไดเ้ ป็นตัวทดของหลกั ถดั ไป

คือ หลักแสน แทนด้วย 2

ดังน้นั 78924 + 27272 + 99999 + 72672 = 278867

12

เวทคณิต 1. การดาเนินการบวก

แบบฝกึ หัดชดุ ท่ี 3
การหาผลบวกโดยใชจ้ ดุ ( ) แทนการเทา่ กับสิบจงหาผลบวกของจานวนต่อไปน้ี

1) 3 73+ 2) 6 5 + 3) 4 8 +
2 59 9 9

60 124

4) 6 5 7 + 5) 4 3 8 + 6) 2 1 8 +
1 5 6 9 5 6 7 4 3

7) 6 5 7 8 + 8) 4 5 9 9 + 9) 3 9 2 6 +
1 5 6 2 7 4 2 2 9 4 8 5

10) 6 5 7 8 1 + 11) 8 4 5 5 9 + 12) 9 9 2 6 0 +
7 5 6 3 9 9 8 4 6 2 9 4 8 5 9

13

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

13) 4 5 7 8 7 14) 4 4 5 5 9 15) 9 7 6 6 9
88787 25787 69788
24567 + 84559+ 9 9 2 6 0+
85908 65781 45893
75639 98462 94859

16) 6 5 7 8 1 17) 8 4 5 5 9 18) 9 9 2 6 0
9 9 7 9 8 6 5 7 8 1 7 5 7 7 7
2 5 7 8 7 + 8 4 5 5 9 + 4 5 8 9 9 +

75639 98462 94859

19) 4 5 7 8 7 20) 4 4 5 5 9 21) 9 7 6 6 9
777 69788 84559
59768 4870
69788 2 5 7 87+ 9 0 8 8+
8 7 8 7+ 84559 88787
65781 64559
75777 98462 859
768

75639

14

เวทคณติ 1. การดาเนนิ การบวก

22) 23) 4 4 5 5 9 24) 9 7 6 6 9
45787 69788 84559
75777 69788 97669
59768 8 8 7 87+ 8 8 888+
2 5 7 8 7+ 25787 69788
88787 65781 45787
97669 98462 94859
75639

25) 4 5 7 8 7 9 26) 5 5 9 7 27) 9 7 6 9 9 7 9
757775 697885 845595
6 9 788+ 97687+
787 257875 8 4 8 7 0 6 7 9+
756399 98462 69788690

5494859

15

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

3. การหาผลบวกเลขโดดของจานวนเตม็

เลขโดด คือ ตัวเลขแต่ละตัวในจานวน ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ 0 น่ันคือ ตัวเลขตัวเดียว
และจานวน 10, 11, 12, 13, … , 99 เป็นจานวนทม่ี เี ลขโดด 2 ตัว เป็นต้น

สตู รที่ 15 ของเวทคณติ กลา่ วไวว้ ่า “ผลลพั ธ์ของการกระทาบวกเท่ากบั การกระทาบวกของผลลพั ธ์ (The
product of the sum is equal to the sum of the product) ’’ กลา่ วคือจานวนเต็มบวกทุก ๆ จานวนไมว่ ่า
จะมกี ี่หลักกต็ ามสามารถลดรูปโดยการบวกตัวเลขโดด (digit sum) ซ้า ๆ เปน็ ตวั เลขตัวเพยี งเดยี วได้ เชน่ 43 มี
ผลบวกเลขโดดคือ 7 เม่ือ 4 + 3 = 7 เชน่ เดยี วกนั 47,4 + 7 =11 แลว้ หาผลบวกตอ่ 11,1+1= 2 ดงั นัน้
ผลบวกเลขโดดของ 47 คือ 2 หรอื 867,8+ 6 + 7 = 21 แลว้ หาผลบวกตอ่ 21,2 +1 = 3 เป็นต้น

บทนยิ าม ผลบวกเลขโดด (digit sum) ของจานวนใดๆ คือ การนาตัวเลขโดดในจานวนนัน้ ๆ มาบวกกนั

เช่น - ผลบวกเลขโดดของ 17 คือ 8 เพราะวา่ 1 + 7 = 8
- ผลบวกเลขโดดของ 123 คือ 6 เพราะวา่ 1 + 2 + 3 = 6
- สาหรับ ผลบวกเลขโดดของ 19 เราหาได้จาก 1 + 9 = 10 และเมือ่ 10 เปน็ จานวนท่มี ีตวั เลขโดด
2 ตวั หาผลบวกเลขโดดของ 10 อีกครัง้ 1 + 0 = 1 ดังนั้นผลบวกเลขโดดของ 19 เขียนแทนดว้ ย
19 → 1 + 9 = 10 → 1 + 0 = 1
- ผลบวกของเลขโดด 39 จะได้ 3 + 9 = 12 → 1 + 2 = 3

สมบตั ิของผลบวกเลขโดด
ผลบวกเลขโดดของจำนวนใด ๆ สำมำรถลดรปู เป็นตวั เลขตัวเดยี วไดเ้ สมอ โดยท่บี วกตวั เลข

ทกุ ตวั และถ้ำเรำได้จำนวนที่มตี ัวเลขโดด 2 ตวั ก็ใหห้ ำผลบวกเลขโดดอีกคร้งั

16

เวทคณติ 1. การดาเนนิ การบวก

3.1 วงกลมเกา้ จุด (The nine-point Circle)

จานวนทม่ี ากกว่าอยูห่ น่ึงของตวั ท่มี าก่อน หรอื จานวนทมี่ ากกวา่ อยู่หน่ึงของตวั ทอ่ี ยู่ถัดไป (By
One more than the One Before (Ekadhikina Purvena)) ก็คือจานวนนับ เรมิ่ ตน้ ท่ี 1 และเพ่ิมข้นึ ที
ละ 1 ไปเรอ่ื ยๆ

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … ดงั น้นั เมื่อพจิ ารณา
การนับไปเร่ือยๆ ถ้าพิจารณาจะพบว่าเกดิ ระบบการครบรอบของสิบ คือ 10, 20, 30, 40 เปน็ ต้น เราสามารถ
นาไปสร้างบนวงกลมไดเ้ ป็น 9 จดุ แตถ่ า้ เรานาผลบวกเลขโดดของจานวนนบั ท่เี รียงอนั ดับกันอยู่ ก็จะพบสมบัติ
ดงั นี้

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, …
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, …
จากสมบตั ิขา้ งต้นนนี้ าไปสร้างวงกลมเก้าจดุ โดยใช้ผลบวกเลขโดดของจานวนนบั ที่เรยี งอันดบั กันได้ ดงั น้ี

3.2 เทคนคิ การหาผลบวกเลขโดดของจานวนนบั ด้วยการตดั เลข 9 ออก

วงกลมเกา้ จดุ เปน็ วงกลมที่แบ่งเส้นรอบวงออกเป็นเก้าส่วนเทา่ ๆ กนั และทาให้เกดิ จุดบนเส้นรอบวง
ได้เก้าจดุ เมอ่ื ใสจ่ านวนนบั ท่ีต่อเนื่องลงไป จะสังเกตพบวา่ แต่ละแขนงมีผลบวกเลขโดดเท่าๆ กัน เชน่

แขนงผลบวกเลขโดดเท่ากับ 3 ไดแ้ ก่ 3, 12, 21 เปน็ ตน้
แขนงผลบวกเลขโดดเท่ากับ 1 ไดแ้ ก่ 1, 10, 19, 28 เป็นตน้
จะเห็นว่าแขนงนพ้ี บสมบตั ิ เชน่
ผลบวกเลขโดดของ 1 เทา่ กับผลบวกเลขโดดของ 10 คอื 1 + 0 = 1
เทา่ กบั ผลบวกเลขโดดของ 19 คือ 1 + 9 = 10 → 1 + 0 =1
เทา่ กับผลบวกเลขโดดของ 28 คือ 2 + 8 = 1 + (1 + 8 ) → 1 + 9 = 1

แสดงว่าถ้านาเลขโดด 9 ไปบวกกับเลขโดดใดๆ ไม่มีผลกับผลบวกเลขโดดของจานวนน้ันๆ ดงั นัน้ ในการหา
ผลบวกเลขโดดของจานวนใดๆ มีเทคนิคในการตัดเลขโดด 9 ออก หรือผลบวกเลขโดดสองจานวนเท่ากับ 9 เช่น
4, 40, 49, 94, 949 ทกุ จานวนมผี ลบวกเลขโดดเท่ากบั 4

ข้อสงั เกต
พิจารณาเลข 0 บนวงกลมเก้าจดุ ควรจะอยูบ่ นตาแหนง่ ใดบนวงกลมเก้าจดุ ถ้าเราจะต้องนับทวนเข็ม
นาฬกิ าถอยหลังจากเลข 1 ก็จะได้ เลข 0 ควรอยู่ตรงตาแหน่งเดยี วกบั เลข 9 ดงั รปู ข้างบน ซ่ึงเราจะได้ศึกษา
ต่อในเรื่องวนิ ควิ ลมั

17

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

ตวั อยา่ ง จงหาผลบวกเลขโดดของ 3949
วธิ ที า โดยวธิ ปี กติ ผลบวกเลขโดด คอื 3 + 9 + 4 + 9 = 25 → 2 + 5 = 7

โดยวิธตี ัด 9 ออก เหลอื 3 กับ 4 ดังนน้ั 3 + 4 = 7

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 4 จงหาผลบวกเลขโดดของจานวนตอ่ ไปน้ี

จานวนเตม็ ผลบวกของเลขโดด จานวนเต็ม ผลบวกของเลขโดด

465 2346
16271
274 9653
36247
3335 215841
7125
6139 9821736

2561

891 9 หรอื 0

723

3.2 การนาผลบวกเลขโดดของจานวนเต็มไปใช้ตรวจผลเฉลยของการดาเนินการบวก

ตัวอยา่ ง จงหาผลบวกของ 32 + 12 และตรวจผลเฉลยดว้ ยผลบวกเลขโดด

วธิ ที า 3 2 → 5 วิธกี ำรตรวจผลเฉลยวำ่ ถูกตอ้ งหรอื ไม่
1 2+ → 3+ หำผลบวกเลขโดดของสองจำนวนทน่ี ำมำบวกกัน คอื
44 → 8 32 ผลบวกเลขโดด คอื 3 + 2 = 5
12 ผลบวกเลขโดดคือ 1 + 2 = 3

และคำตอบ 44 ผลบวกเลขโดด คอื 4 + 4 = 8

ดงั น้นั กำรตรวจผลเฉลย

นำมำจำกผลบวกเลขโดดของสองจำนวนท่นี ำมำบวกกัน

นั่นคือ 5 + 3 = 8 ซง่ึ เทำ่ กับผลบวกเลขโดดของคำตอบ คือ

สรุปข้นั ตอนการคิดดังน้ี 4+4=8

1. หาผลบวกเลขโดดของตัวต้ังและตัวบวก

2. นาผลบวกเลขโดดของตัวต้ังไปบวกกับผลบวกเลขโดดของตวั บวก และหาผลบวกเลขโดดของผลลัพธ์น้ี

อีกคร้ัง

3. หาผลบวกเลขโดดของคาตอบของเลขสองจานวนทน่ี ามาบวกกนั นัน้

4. ตรวจสอบผลบวกเลขโดดของคาตอบของสองจานวนที่บวกกนั นนั้ วา่ เท่ากับผลบวกเลขโดดของตัวตั้ง
ไปบวกกับผลบวกเลขโดดของตัวบวกหรือไม่ ถ้าเทา่ กนั แสดงว่าคดิ ได้ถูกต้อง

18

เวทคณติ 1. การดาเนินการบวก

การตรวจผลเฉลยของการดาเนินการบวกสามารถสงั เคราะห์นาไปสร้างตารางได้ ดงั น้ี

ขน้ั ที่ 1 เขยี นตารางและลากเส้นทแยงมุมเกิดรูปสามเหลี่ยม 4 รปู

ข้นั ท่ี 2 หาผลบวกเลขโดดของตัวต้งั 32 คือ 3 + 2 = 5 นา 5 ไปเขยี นไวท้ สี่ ามเหลีย่ มดา้ นบน
5

ขัน้ ท่ี 3 หาผลบวกเลขโดดของตวั บวก 12 คือ 1 + 2 = 3 นา 3 ไปเขียนไวท้ ี่สามเหลี่ยมด้านลา่ ง
5
3

ขั้นท่ี 4 หาผลบวกของตวั เลขสามเหลี่ยมบนกบั สามเหลยี่ มลา่ ง 5 + 3 = 8 ไปเขียนไว้ทส่ี ามเหล่ยี มดา้ นขวา
5
8
3

ขัน้ ท่ี 5 หาผลบวกเลขโดดของคาตอบ 4 + 4 = 8 นา 8 ไปเขยี นไว้ทีส่ ามเหลีย่ มดา้ นซ้าย
5

88
3

หมายเหตุ ตัวเลขของสามเหลย่ี มด้านซา้ ยและขวาเทา่ กัน แสดงวา่ ผลบวกน้นั ถกู ต้อง

19

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลบวกของ 365 กับ 208 และตรวจผลเฉลยดว้ ยการหาผลบวกเลขโดด

วธิ ีทา 3 6 5 →5 การตรวจผลเฉลย
208 + → 1+ ขัน้ ท่ี 1 เราได้คาตอบ 573
ข้ันท่ี 2 หาผลบวกเลขโดดของ 365 และ 208 คือ 5, 1
0013 6 ข้นั ท่ี 3 หาผลบวกของ 5 และ 1 ได้ 6
56 ขนั้ ที่ 4 ผลบวกเลขโดดของ 573 เทา่ กบั 6 ซ่ึงสอดคลอ้ ง

573 กบั 6 ท่ไี ด้ในข้อ 3

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลบวกของ 279 กบั 121 และตรวจผลเฉลยด้วยการหาผลบวกเลขโดด

วิธีทา 2 7 9 →9 การตรวจผลเฉลย
121+ ขั้นที่ 1 เราได้คาตอบ 400
→ 4+ ขนั้ ท่ี 2 หาผลบวกเลขโดดของ 279 และ 121 คือ 9, 4
0010
39 4 ขัน้ ที่ 3 หาผลบวกของ 9 และ 4 ได้ 13 และ 1+3 = 4
ขนั้ ที่ 4 ผลบวกเลขโดดของ 400 เท่ากบั 4 ซ่ึง
400 สอดคล้องกับ 4 ท่ีได้ในข้อ 3

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 4
จงหาผลบวกของสองจานวนต่อไปนี้พรอ้ มตรวจสอบคาตอบด้วยวิธีผลบวกเลขโดด

1) 6 6 + 2) 5 79+ 3) 4 8 +
7 7 2 9 9

4) 3 5 + 5) 5 6 + 6) 5 9 +
4 7 2 7 3 5

20

เวทคณิต 1. การดาเนนิ การบวก

7) 3 0 4 + 8) 7 8 7 + 9) 3 8 9 +
2 7 1 1 8 7 55

10) 5 2 + 11) 7 8 + 12) 6 6 +
2 4 8 7 4 8

13) 5 1 3 1 + 14) 8 5 6 9 + 15) 5 5 5 5 5 +
6 7 6 7 2 9 2 7 7 7 7 7

16) 4 5 6 + 17) 1 8 78+ 18) 5 5 5 5 5 +
3 3 3 2 7 7 7 7

21

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

ในบทนี้จะกล่าวถึงการดาเนินการลบแบบเวทคณิตมี 5 เร่ือง ดังน้ี การดาเนินการลบจากทางซ้าย
ไปทางขวา เทคนิคการดาเนินการลบเลขโดยใชจ้ ุด ( ) แทนสบิ การประยกุ ตส์ ตู รท่ี 2 ของเวทคณติ เทคนิคการ

ลบแบบเวทคณติ และการตรวจสอบคาตอบ ซึง่ แต่ละเรอ่ื งมีรายละเอียดดงั นี้
1. การดาเนนิ การลบจากทางซ้ายไปทางขวา
2. เทคนิคการดาเนนิ การลบเลขโดยใช้จุด ( ) แทนสบิ

3. การประยุกต์สตู รท่ี 2 ของเวทคณติ
3.1 จานวนบาร์
3.2 จานวนวินควิ ลัม
3.3 การดาเนินการเปล่ยี นจานวนวนิ คิวลมั กลับไปเป็นจานวนปกติ
3.4 จานวนลบเขยี นอย่ใู นรูปจานวนวินควิ ลมั
3.5 จานวนทศนยิ มเขียนอยู่ในรูปจานวนวินคิวลัม
3.6 การดาเนนิ การบวกของจานวนวินควิ ลมั
3.7 การดาเนินการลบของจานวนวนิ ควิ ลัม

4. เทคนิคการลบแบบเวทคณิต
4.1 การลบแบบทวั่ ไป
4.2 การดาเนนิ การบวกและการลบแบบระคน

5. การตรวจสอบคาตอบ
5.1 การตรวจสอบคาตอบจากการดาเนินการการบวก
5.2 การตรวจสอบคาตอบจากการดาเนนิ การการลบ
5.3 การตรวจสอบคาตอบจากการดาเนนิ การการบวกและการลบระคน
5.4 การตรวจสอบจานวนวนิ คิวลมั

22

เวทคณิต 2. การดาเนินการลบ

1. การดาเนินการลบจากทางซา้ ยไปทางขวา

การดาเนนิ การลบโดยการคิดเลขเริ่มตน้ จากซา้ ยไปขวา เมือ่ ตวั ตง้ั มากกวา่ ตัวลบ กอ่ นทีจ่ ะใส่คาตอบของ

แต่ละหลกั ตอ้ งพิจารณาการลบของหลักถดั ไป

- ถ้าตัวต้งั มากกวา่ ตวั ลบสามารถลบเลขโดดในหลกั ท่ีกาลงั ดาเนินการลบได้เลย
- ถ้าตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบต้องลดค่าของตัวตั้งไป 1 แล้วนา 1 ไปใส่บนเลขโดดของตัวต้ังของหลัก

ถัดไปทางขวาที่น้อยกว่าตัวลบ และนาตัวตั้งที่ลดลงไป 1 ลบกับตัวลบในหลักท่ีกาลังดาเนินการ
ลบ
- ถา้ ตวั ตง้ั เทา่ กบั ตวั ลบตอ้ งพจิ ารณาวา่ จะลดหรือไม่ขึน้ อยู่กับหลกั ถัดไปตามกระบวนการข้างตน้

ตวั อย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ 769845− 432134

วิธีทา 7 6 9 8 4 5 จากตัวอย่าง ดาเนินการลบจากซ้ายไปขวา พิจารณาเห็นได้ว่า ตัวต้ัง
มากกวา่ ตัวลบทกุ ตาแหนง่ จึงสามารถใส่คาตอบไดเ้ ลย
432134 −

337711

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่าของ 35567 −11828

วธิ ที า 3 5 5 6 7 ข้ันที่ 1 ดาเนินการลบจากซ้ายไปขวา คือ เริ่มลบจากหลักแรกทางซ้ายที
ละหลักไปทางขวา หลักแรกตัวตั้งมากกว่าตัวลบ 3−1= 2 แต่ก่อนจะใส่
118 2 8 −

2 คาตอบ 2 ต้องพิจารณาหลักถัดไปทางขวาว่าตัวตั้งมากกว่าตัวลบหรือไม่

ในกรณีน้ี 5 มากกว่า 1 ดงั นนั้ จงึ ใส่คาตอบ 2 ที่หลักหมนื่

3 5 15 6 7 − ขั้นที่ 2 ในหลักถัดไป 5−1= 4 แต่เม่ือพิจารณาหลักถัดไป ตัวตั้งน้อย
11 8 2 8 กวา่ ตัวลบ (5 นอ้ ยกว่า 8) ดงั นั้นต้องลดคา่ 5 ไป 1 เหลอื 4 แลว้ นา 1
ไปใส่บนเลขโดดถัดไป คือ 5 ซึ่งหมายถึง 15แล้วดาเนินการลบในหลักน้ี
23 4−1=3 ใสค่ าตอบ 3 ท่หี ลกั พัน

3 5 15 6 7 − ข้ันท่ี 3 หลักถัดไป 15−8 = 7 แต่ก่อนจะใส่คาตอบ 7 ต้องตรวจสอบ
11 8 2 8 หลกั ถดั ไปทางขวาว่าตัวต้ังมากกว่าตัวลบหรือไม่ ในกรณนี ี้ 6 มากกวา่ 2
ดงั นัน้ จงึ ใสค่ าตอบ 7 ทหี่ ลกั ร้อย
23 7
ขั้นท่ี 4 ในหลักถัดไป 6 − 2 = 4 แต่เมื่อพิจารณาหลักถัดไปตัวตั้งน้อย
3 5 15 6 17 กว่าตัวลบ (7 น้อยกว่า 8) ดังนั้นต้องลดค่า 6 ไป 1 เหลือ 5 แล้วนา
− 1 ไปใส่บนเลขโดดตัวถัดไป คือ 7 ซ่ึงหมายถึง 17 แล้วดาเนินการลบใน
หลกั นี้ 5 − 2 = 3 ใส่คาตอบ 3 ทีห่ ลกั สิบ
11 8 2 8
23 7 3 23

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

3 5 15 6 17 − ขน้ั ท่ี 5 ในหลกั ถัดไปเป็น 17 −8 = 9 ใส่คาตอบ 9 ที่หลกั หน่วย
11 8 2 8

23 7 3 9

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาค่าของ 535−138

วิธีทา 5 13 5 ข้ันที่ 1 ดาเนินการลบจากซ้ายไปขวา 5−1= 4 แต่เม่ือพิจารณาหลัก
ถัดไป พบว่าตัวต้ังเท่ากับตัวลบ ในกรณีเช่นนี้ ต้องพิจารณาหลักถัดไปอีก
−
138

3 น่ันคือหลักที่ 3 พบว่า หลักท่ี 3 ตัวต้ังน้อยกว่าตัวลบ ดังน้ันต้องลดค่า 5

ไป 1 เหลือ 4 แล้วนา 1 ไปใส่ไปบนเลขโดดตัวถัดไป คือ 3 ซึ่งหมายถึง

13แลว้ ดาเนนิ การลบในหลกั น้ี 4−1=3 ใส่คาตอบ 3 ที่หลักร้อย

5 13 15 ขัน้ ท่ี 2 ในหลักถัดไป 13−3 =10 แต่เมื่อพิจารณาหลักถัดไป ตัวตั้งนอ้ ย
13 8 − กว่าตัวลบ (5 น้อยกว่า 8) ดังน้ันต้องลดค่า 13 ไป 1 เหลือ 12 แล้วนา
39 1 ไปใส่ไปบนเลขโดดตัวถัดไป คือ 5 ซึ่งหมายถึง 15 แล้วดาเนินการลบ
ในหลักน้ี 12−3=9 ใสค่ าตอบ 9 ที่หลักสิบ
5 13 15 −
138 ขนั้ ที่ 3 ในหลกั ถัดไป 15−8 = 7 ใส่คาตอบ 7 ทีห่ ลักหน่วย

397

แบบฝึกหดั ชดุ ที่ 1

1. จงดาเนินการลบของสองจานวนต่อไปน้ีโดยคิดจากทางซ้ายไปทางขวา

1) 6 2 − 2) 7 5 − 3) 5 1 − 4) 6 7 −

47 2 8 1 5 3 8

5) 4 6 − 6) 6 5 − 7) 9 0 − 8) 8 2 −

25 37 62 38

24

เวทคณิต 10) 6 3 − 11) 8 1 3 − 2. การดาเนนิ การลบ

9) 4 4 4 − 28 345 12) 6 9 5 −

18 3 368

13) 5 1 − 14) 3 4 5 6 − 15) 7 1 1 7− 16) 8 0 0 8 −
2 81 1771
38 3839

17) 6 3 3 6 − 18) 1 4 2 8 5− 19) 5 1 0 1 5 − 20) 9 6 3 0 3 6 9 −
7148 2798 6 3690 9 6 3
338 8

25

เวทคณิต 2. การดาเนินการลบ

2. การดาเนนิ การลบโดยใชจ้ ดุ ( ) แทนสบิ ( Vedic Shudhikaran )

การดาเนินการลบโดยใชจ้ ุด ( ) แทนสิบ เป็นการปรับเปล่ยี นการลบเป็นการบวก และทาให้การลบง่ายขนึ้
นามาใช้ในกรณตี วั ตงั้ นอ้ ยกวา่ ตวั ลบ
ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ 57 −32
วิธที า

5 7 − ขน้ั ที่ 1 พิจารณาเลขโดดหลักหนว่ ย 7 มากกว่า 2 ดังนนั้ 7 − 2 = 5
3 2 ไมจ่ าเป็นต้องใช้วธิ ีลบ กระบวนการสทุ ธิการัน (Shudhikaran)

5 การใชจ้ ุด ( ) แทนสิบ )

57 ขัน้ ที่ 2 ตวั เลขหลักสิบ 5 มากกว่า 3 ดังนัน้ 5−3 = 2 ไมจ่ าเปน็
3 2− ตอ้ งใช้วธิ ี กระบวนการสทุ ธกิ ารนั (Shudhikaran)

2 5 ดังนั้นคาตอบคือ 25

ตวั อย่างที่ 2 จงหาค่าของ 42 − 27

วิธีทา ขั้นที่ 1 พิจารณาเลขโดดหลักหน่วย 2 น้อยกว่า 7 ดังนั้น จาเป็นต้อง

42 ใช้วิธี กระบวนการสทุ ธิการัน (Shudhikaran)
−

2 7 (a) ใส่จดุ ( ) บนเลขโดดถัดไปขา้ งหน้า (ในทน่ี ี้ คือ 2 ) เปน็ 2

5 (b) นา 7 ลบออกจาก 10 โดยพิจารณาว่า 7 น้อยกว่า 10 เท่าไร

(10 −7 = 3) เรียก 3 ว่าตัวเติมเต็มสิบของ 7 (complement of

the digit)

(c) นา 3 ท่ีเป็นตัวเติมเต็มสิบของ 7 ไปบวกกับตัวตั้งหลักเดียวกัน

ในท่นี ีค้ อื 2 ดงั นนั้ ได้ 3+ 2 = 5

(d) ใสผ่ ลลพั ธ์ 5 เป็นคาตอบที่หลักหน่วย

42 ขน้ั ที่ 2 พิจารณาหลกั สิบ
−

2 7 (a) เมอื่ ตวั เลขท่มี จี ุดอยขู่ ้างบน 2 ต้องเพิม่ หรอื ทดค่าใหอ้ กี 1
1 5 (b) นา 2 +1= 3 ท่ีหลกั สบิ

(c) พิจารณา พบว่าตัวต้ังมากกว่าตัวลบ ไม่จาเป็นต้องใช้วิธี

กระบวนการสทุ ธกิ ารัน (Shudhikaran)

(d) คานวณหาผลลบ 4 −3 =1 ใส่ผลลพั ธ์ 1เป็นคาตอบท่ีหลกั สิบ

26

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ 415− 208
วธิ ที า

415 ข้ันที่ 1 พิจารณาหลักหน่วย 5 นอ้ ยกว่า 8 ดังน้นั จาเปน็ ต้องใช้
•− วิธี กระบวนการสทุ ธกิ ารนั (Shudhikaran)

2 08 (a) ใส่จุด ( ) บนเลขโดดถัดไปขา้ งหน้า (ในที่น้ี คือ0 ) เป็น 0

7 (b) นา 8 ไปลบออกจาก 10 พิจารณาว่า 8 น้อยกว่า 10 เท่าไร
( 10 −8 = 2 ) ซง่ึ 2 เปน็ ตวั เตม็ สบิ ของ 8

(c) นา 2 ที่เป็นตัวเติมเต็มสิบของ 8 บวกกับตัวต้ังหลักเดียวกัน ใน
ท่นี ้คี ือ 5 ดังนนั้ ได้ 2 + 5 = 7

(d) ใส่ผลลัพธ์ 7 เป็นคาตอบทห่ี ลักหน่วย

415 ข้นั ท่ี 2 พจิ ารณาหลกั สิบ
•−
(a) เมอ่ื ตัวเลขท่ีมจี ุดอยขู่ ้างบน 0 ตอ้ งเพ่มิ หรอื ทดคา่ อีก 2
208
(b) นา 0 +1=1 ในกรณนี ค้ี ือ 0 =1
07 (c) พิจารณาพบว่าตัวตั้งมากกว่า ตัวลบไม่จาเป็นต้องใช้วิธี
กระบวนการสทุ ธิการนั (Shudhikaran)
(d) คานวณหาผลลบของ 1−1= 0 ใสผ่ ลลัพธ์ 0 เป็นคาตอบท่ีหลักสบิ

415 ขั้นท3่ี พจิ ารณาท่ีหลกั รอ้ ยพบว่า 4 มากกว่า 2
•− ดงั นัน้ หาคาตอบไดค้ ือ 4 − 2 = 2ใสผ่ ลลพั ธ์ 2 เป็นคาตอบทหี่ ลกั ร้อย

2 08

207

27

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาคา่ ของ 3752 −1871
วิธที า

3752− ข้ันท่ี 1 พจิ ารณาหลักหน่วยจะเห็นไดว้ ่า 2 มากกว่า1 ไมจ่ าเป็นตอ้ งใช้วิธี
1871 กระบวนการสุทธิการัน (Shudhikaran) ดังนั้น 2 −1=1ใส่ผลลัพธ์ 1 ใน
หลกั หนว่ ย
1

ขั้นท่ี 2 พิจารณาหลักสิบ 5 น้อยกว่า 7 จาเป็นต้องใช้วิธี กระบวนการ
สุทธิการัน (Shudhikaran)

3752 (a) ใส่จดุ ( ) บนเลขโดดของตัวลบถัดไปข้างหน้า (ในทนี่ ้ี คือ0 )เป็น 0
− (b) นา 7 ไปลบออกจาก 10 พิจารณาว่า 7 น้อยกว่า 10 เท่าไร
( 10-7=3 ) ซง่ึ 3 ตัวเติมเตม็ สิบของ 7
1 8 71 (c) นา 3 ท่ีเป็นตัวเติมเต็มสิบของ บวกกับตัวต้ังหลักเดียวกัน ในท่ีนี้
คอื 5 ดงั น้ัน ได้ 3+ 5 = 8
81 (d) ใส่ 8 ในหลักสิบ

ข้ันที่ 3 พิจารณาหลกั รอ้ ย 7 นอ้ ยกว่า8 จาเปน็ ต้องใช้วิธี Shudhikaran

3752 (a) เมือ่ ตวั เลขที่มจี ดุ อยู่ข้างบน 8 ตอ้ งเพิ่มหรอื ทดคา่ อกี 2
− (b) นา 8+1 = 9 ทห่ี ลกั ร้อย
(c) พจิ ารณาพบว่า ตวั ตั้งนอ้ ยกวา่ ตัวลบ จาเป็นตอ้ งใชว้ ิธี กระบวนการ
1 8 71 สุทธิการนั (Shudhikaran)
881
(d) ใสจ่ ดุ ( ) บนเลขโดดของตวั ลบถัดไปข้างหนา้ (ในท่ีน้ี คือ 1 ) เปน็ •
3752
− 1

1 8 71 (e) นา 9 ไปลบออกจาก 10 พิจารณาว่า 9 น้อยกว่า 10 เท่าไร
1 881
( 10-9 = 1 ) ซง่ึ 1 เปน็ ตัวเตมิ เตม็ สบิ ของ 9

(f) นา1 ท่ีเปน็ ตัวเติมเตม็ สิบของ9 ไปบวกกับตัวต้ังหลกั เดยี วกนั ในที่นี้

คอื 7 ดังนน้ั ได้ 1+ 7 = 8

(g) ใส่ผลลัพธ์ 8 ในหลักร้อย

ขน้ั ที่ 4 พจิ ารณาหลักพัน

(a) เมือ่ ตวั เลขท่ีมจี ดุ อยู่ขา้ งบน 1 ต้องเพ่มิ หรอื ทดคา่ ใหอ้ ีก 1
(b) นา 1+1 = 2 ท่ีหลักพนั
(c) พิจารณาพบว่า ตัวตั้งมากกว่าตัวลบ ไม่จาเป็นต้องใช้วิธี
Shudhikaran
(d) คานวณหาผลลบของ3− 2 =1
(e) ใส่ผลลพั ธ์ 1 ในหลกั พัน

28

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

สรุป
1. การดาเนินการลบแบบเวทคณิต โดยใช้จุดแทนจานวนสิบ วิธีข้างต้นนี้จะง่ายกว่าวิธีปกติ และย่ิงไปกว่านน้ั

ถา้ ตัวตั้งมคี ่ามากกว่าตัวลบจะง่ายและรวดเรว็ เพราะเน่อื งจากไม่มกี ารทด
2. เม่ือตัวตั้งน้อยกว่าตัวลบการหาผลลัพธ์การลบแทนท่ีจะลบตรง ๆ แบบปกติ แต่กลับใช้วิธีหาจานวนหรือ

ตัวเติมเต็มสิบของตัวลบ แล้วนาตัวเลขที่เป็นตัวเติมเต็มไปบวกกับตัวต้ัง ดังตัวอย่างข้างต้นจึงเป็นการเปลี่ยนการ
ลบเปน็ การบวก

บทนยิ าม ตวั เติมเต็มของตวั เลขโดด (complement of the digit) คือ คา่ เบย่ี งฐานสิบของตัวเลขโดดนั้นหรือค่า
ทบสิบของตัวเลขโดดนนั้ เชน่ ตวั เตมิ เตม็ สบิ ของตัวเลขโดด 7 คือ 3

ตัวเตมิ เตม็ สบิ ของตวั เลขโดด 1 คอื 9

แบบฝึกหดั ชุดที่ 2

1. จงดาเนนิ การลบของสองจานวนตอ่ ไปนี้โดยใชว้ ิธี Shudhikaran

1) 3 6− 2) 3 2 4− 3) 4 3 7 − 4) 5 0 6 −

28 115 269 107

5) 7 2 8− 6) 8 4 7 2− 7) 4 9 0 6 2− 8) 8 7 2 1 1

89 37 9 6 8 64 8 3 0 8 8−

9) 9 8 3 5 6− 10) 8 6 4 2 3 7 11) 6 8 0 0 3 2−

794 6 7 2 7 0 0 3 8− 68 8 1 0

12) 1 0 0 0 0 0 0 0 13) 6 0 1 1 1 2 3 − 14) 1 0 0 0 0 0 0 0 0−
50 2 0 0 3 4 999 9 9 9 9 9
8 7 6 4 3 2 1−

29

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

2. ตรวจสอบวา่ การแสดงใส่จดุ ตามวิธี Shudhikaran ในการดาเนินการลบถูกตอ้ งหรือไม่

1) 2 5 2) 8 6 3) 3 2 4) 7 8 5) 3 3

•− − − − •−
22 34 21 69 23

3. จงตรวจสอบวา่ การดาเนินการลบต่อไปนี้ว่าจาเป็นต้องใช้วิธี Shudhikaran หรือไม่

1) 3 6− 2) 2 4 − 3) 2 0− 4) 3 8− 5) 9 3 −

24 16 11 20 33

4. จงตรวจสอบวา่ เฉลยการดาเนนิ การลบต่อไปนีว้ ่าถูกต้องหรือไม่

1) 3 6 2) 3 3 3) 3 0 4) 2 8 5) 3 8−

− − − − 29

2 4 24 27 1 9 09

12 09 03 19

5. จงวงกลมตวั เลขทจ่ี ุดตรงตามตาแหน่งท่ีผดิ ของวธิ ี Shudhikaran ของการดาเนนิ การต่อไปน้ี และหาผล

เฉลยทถ่ี ูกต้อง

1) 3 7 2 0 9 2) 2 7 5 6 9 − 3) 7 8 9 5 2

− −

19 1 1 7 0 847 7 29 7 78

30

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

3. การประยุกต์สูตรท์ ี่ 2 ของเวทคณิต ( All from 9 And The Last from 10)

การลบสองวธิ ีข้างตน้ เหมาะกบั จานวนที่เปน็ ตวั ตัง้ มากกว่าจานวนทเ่ี ป็นตัวลบ ในกรณีทีจ่ านวนที่เปน็ ตัวตั้ง
มากกว่าจานวนทีเ่ ป็นตัวลบ ในเวทคณติ มีเทคนิคนาสูตรท่ี 2 Nikilam Navatashcaramam Dashatah มาใช้

เน่ืองจากความรู้เร่ืองวงกลมเก้าจุดและวงกลมสิบจุด เป็นการคิดเลขในระบบฐานสิบกล่าวคือ เป็นการนา
จานวน 2 จานวน มาบวกกันจึงเกิดความรู้ข้ันพื้นฐาน การบวกทบสิบและการบวกทบเก้า ซึ่งนาไปสู่สูตรท่ี 2
ของเวทคณติ คอื นขิ ลิ ัมสตู ร (Nikhilam Sutra)

สูตรท่ี 2 ของเวทคณิตเป็นภาษาสันสกฤต นิขิลัมสูตร (Nikhilam Sutra) หรือนิขิลัม(นิขิล์) ย่อมา
จาก “นิขิลัม นวตัศจรมัม ทศตะ สูตระ (All from 9 and the Last from 10 )” แปลว่า “ทั้งหมดจาก 9
แตส่ ดุ ทา้ ยจาก 10” หรือ “ทกุ ตัวทบ 9 แตต่ ัวสุดท้ายทบ 10”

ในชีวิตประจาวันมีการจับจ่ายใช้สอย โดยใช้ธนบัตรเป็นส่ิงแลกเปล่ียน ในแต่ละประเทศค่าของธนบัตร
คล้าย ๆ กนั ประเทศไทยมีธนบตั รใบละ 10 บาท 20 บาท 50 บาท 100 บาท 500 บาท และ 1,000 บาท

สมมติ ซื้อของ ราคา 487 บาท จ่ายด้วยธนบัตร 1,000 บาท ในการทอนเงิน จะต้องทอนเท่ากับ

513 บาท เม่ือพิจารณาจะพบว่ากาลังใช้วิธีคิด “ทุกตัวทบ 9 แต่ตัวสุดท้ายทบ 10” นั่นคือ ตัวเลขตัวสุดท้ายของ
487 คอื 7 แล้วมีจานวนใดท่ีบวกกับ 7 แลว้ ได้ 10 คอื 3 (เรยี ก 3 ว่าเป็นตวั เติมเตม็ สบิ ของ 7 หรอื เรียก 3 วา่
เป็นตัวเติมเต็มของ 7 ทบ 10 ) สว่ นตัวเลขที่เหลอื จาก 7 ของ 487 ทกุ ตัว คือ 4 และ 8 แตล่ ะตัวมีจานวนใดที่
บวกกับ 4 และ 8 แล้วได้ 9 คือ 5 และ 1 ตามลาดับ (เรียก 5 และ 1 ว่าเป็นตัวเติมเก้าของ 4 และ 8 หรือ
เรยี ก 5 และ 1 วา่ เปน็ ตวั เตมิ เต็มของ 4 และ 8 ทบ 9 )
ดังน้นั เงินทอนคือ 513
ตวั อยา่ งที่ 1 ใช้วธิ ี “ทกุ ตัวทบ 9 แต่ตวั สดุ ทา้ ยทบ 10” หาตวั เตมิ เต็มของจานวนต่อไปน้ี

6 4 87 6 3883 10905 10 213409

3 6 1 2 4 6117 8 9 0 9 5 8 9 7 8 6 5 91

ตวั อย่างที่ 2 ใช้วิธี “ทุกตวั ทบ 9 แตต่ ัวสดุ ท้ายทบ 10” หาจานวนเตมิ เตม็ ของจานวนต่อไปนี้

60 470 8260 47100 60701900

40 530 1740 52900 39298100

ข้อสงั เกต จากสองตวั อย่างข้างต้น ถ้านาจานวนที่กาหนดให้บวกกับตวั เติมเต็มของจานวนนน้ั จะไดผ้ ลลพั ธใ์ น
ระบบฐานสิบ

31

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

บทนิยาม ในท่นี ี้เลขฐาน (Base Number) คือ จานวนผลลัพธข์ อง 10n กต็ อ่ เมื่อ n เป็นจานวนนับ
ไดแ้ ก่ 10, 100 =102, 1000 =103, 10000 =104,...

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาผลต่างจากเลขฐานท่ีกาหนดให้ต่อไปน้ี
วธิ ที า เนือ่ งจาก 100 − 76 โดยการใช้นิขิลมั สตู ร ( All from 9 And The Last from 10 ) คดิ กับ 76
คอื หาผลลพั ธต์ ัวเติมเตม็ เก้าของ 7 คอื 2 และตวั เติมเต็มสบิ ของ 6 คือ 4 คิดจากซ้ายไปทางขวา

ดงั นน้ั 100 − 76 = 24
ในทานองเดยี วกัน 1000 −874 =126

1000 − 307 = 693

1000 − 580 = 420

10000 − 6532 = 3468

แบบฝกึ หัดชดุ ที่ 3

1. ใชว้ ธิ ี “ทุกตวั ทบ 9 แตต่ วั สดุ ท้ายทบ 10” หาตัวเติมเต็มของจานวนต่อไปน้ี

1) 444 2) 675 3) 2486 4) 18276

5) 8998 6) 9888 7) 1020304 8) 7

2. ใช้วิธี “ทกุ ตัวทบ 9 แตต่ วั สดุ ท้ายทบ 10” หาตวั เตมิ เตม็ ของจานวนตอ่ ไปนี้

1) 3570 2) 920 3) 1234560 4) 3300

3. จงดาเนนิ การลบโดยใชน้ ขิ ลิ ัมสตู ร “ทกุ ตัวทบ 9 แต่ตัวสดุ ท้ายทบ 10”

1) 1 0 0 2) 1 0 0 3) 1 0 0 0 − 4) 1 0 0 0

76 − 47 − 638 −
327

5) 1 0 0 0 6) 1 0 0 0 − 7) 1 0 0 0 − 8) 1 0 0 0 −

− 846 998 889
757

32

เวทคณิต 10) 1 0 0 0 0 − 11) 1 0 0 0 0 − 2. การดาเนนิ การลบ

9) 1 0 0 0 0 337 7 45 6 12) 1 0 0 0 0 −

638 7 − 27 5

13) 1 0 0 0 0 0 − 14) 1 0 0 0 0 0 − 15) 1 0 0 0 0 0 − 16) 1 0 0 0 0 0−
94998 3586 7928
845 76

17) 2 0 0 18) 2 0 0 − 19) 3 0 0 0 − 20) 3 0 0 0 −

76 − 47 638 327
124
22) 5 0 0 0 − 23) 2 0 0 0 − 24) 6 0 0 0 −
21) 4 0 0 0 −
846 998 889
757

25) 7 0 0 0 0 − 26) 5 0 0 0 0 − 27) 7 0 0 0 0 − 28) 9 3 0 0 0 −

638 7 337 7 45 6 27 5

29) 2 1 0 0 0 0 − 30) 5 1 0 0 0 0 − 31) 5 1 0 0 0 0− 32) 1 1 0 0 0 0−
7928 845 76 94998
3586

33) 2 1 1 0 0 0 − 34) 5 1 1 0 0 0 − 35) 6 1 5 0 0 0 − 36) 2 1 3 5 0 0−
47718 2 845 76 94998
4 3586

37) 2 1 4 5 4 0 − 38) 5 1 5 6 0 0 −

2 4358 1 67928

33

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

3.1 จานวนบาร์ (Bar Numbers)

ในเวทคณติ เรามีข้อตกลงกันวา่ จานวนที่เราใชใ้ นชีวติ ปกตปิ ระจาวัน ใหเ้ รยี กว่า “จานวนปกติ (general
numbers)” สว่ นจานวนลบมีข้อตกลงใหเ้ ขียนอยูใ่ นรูปเคร่ืองหมาย − บนตวั เลข ( − อ่านว่า บาร์ (bar)) เช่น

−7 เขียนแทนด้วย 7 (อา่ นนว่า บาร์ 7 )
จากความร้เู รื่อง “ทุกตัวทบเก้าแตต่ วั สุดทา้ ยทบสบิ ” และการบวกกนั ได้ 10 สมบรู ณ์ หรือ การบวกกัน

ไมไ่ ด้ 10 สมบูรณ์ ( Completion or Non - Complement) นาไปประยุกต์เป็นสตู รของการหาคา่ เบ่ียงฐานสิบ
(Deficiency From Ten) และคา่ เบย่ี งฐานนาไปประยุกต์ เขียนจานวนปกตใิ ห้อยใู่ นรูปจานวนท่ีมีเครอ่ื งหมายบาร์
เช่น 39 เรียกวา่ จานวนปกติ เม่อื พิจารณาจานวน 39 จะเห็นได้ว่ามีค่าใกล้เคยี ง 40 ต่างกันอยู่ 1 เรียก 1 ว่า
ค่าเบีย่ งฐานสิบ เราสามารถเขียน39 ให้อยใู่ นรปู จานวนที่มีตวั เลขโดดบ้างตัวอยใู่ นรปู เลขโดดที่ติดเคร่ืองหมาย
บาร์ดงั น้ี 39 = 41 และเรียกจานวนน้ีวา่ จานวนบาร์(Bar Number)
ในทานองเดียวกนั 89 เขียนเปน็ จานวนบาร์ 91 หรือ 111 เพราะ 89 = 90−1 = 91 หรือ

89 = 100 −11 = 111

บทนยิ าม จานวนบาร์ (Bar Numbers) คือจานวนที่ประกอบดว้ ยเลขโดดของแต่ละหลักมีทงั้ เลขโดดบวกและ
เลขโดดลบ โดยเลขโดดลบใส่เครื่องหมาย รูป − บนตวั เลข` ( − อา่ นวา่ บาร์ (bar))

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงพจิ ารณาจานวนตอ่ ไปนี้

72 = 70 − 2 = 68

861= 860 −1 = 859 โดย 8 ไมต่ อ้ งเปลีย่ น
1272 =1270 − 2 =1268 โดย 12 ไม่ต้องเปลี่ยน
630 = 600−30 = 570 โดย 0 ไม่ตอ้ งเปลย่ี น

ตวั อย่างที่ 2 จงแปลงจานวนบาร์ 9283 ใหเ้ ปน็ จานวนปกติ
วธิ ที า 90 − 2 = 92 = 88

80 − 3 = 83 = 77

ดงั น้ัน 9283 = 8877

ตัวอย่างที่ 3 จงแปลงจานวนบาร์ 13151 ใหเ้ ปน็ จานวนปกติ
วธี ีทา 31 = 30 −1 = 29

โดย 1 และ 5 ไม่ต้องเปล่ียน
ดังนัน้ 13151 =12951

34

เวทคณิต 2. การดาเนินการลบ

ตวั อย่างที่ 4 จงแปลงจานวนบาร์ 2326112 ให้เปน็ จานวนปกติ
วิธที า 232 = 200 − 32 =168

611 = 600 −11 = 589

โดย 2 ไม่ต้องเปลยี่ น
ดังนั้น 2326112 =1685892

ตัวอย่างท่ี 5 จงแปลงจานวนบาร์ 36227 ใหเ้ ปน็ จานวนปกติ
วิธที า 36 = 30 − 6 = 24

ดงั น้ัน 227 = 200 − 27 =173
36227 = 24173

3.2 จานวนวนิ ควิ ลัม (Vinculum Numbers)

จากความรเู้ รอื่ ง“ทุกตวั ทบ 9 แตต่ ัวสดุ ท้ายทบ 10”นาไปใชแ้ ปลงเลขจานวนบวกหรือจานวนลบให้อยู่ใน
รูปจานวนผสมของจานวนบวกกับจานวนลบ โดยใช้เคร่ืองหมาย ( −) อ่านว่า บาร์ (bar) หรือ วินคิวลัม
(Vinculum) ในภาษาละตนิ เช่น

บทนิยาม จานวนวินควิ ลัม (Vinculum NUMBERS) คือจานวนที่ประกอบด้วยเลขโดดของแตล่ ะหลกั
มที ั้งเลขโดดบวกและเลขโดดลบ โดยเลขโดดลบใส่เคร่อื งหมาย รปู − บนตวั เลข` ( − อ่านว่า บาร์ (bar))
และเลขโดดแตล่ ะหลกั ต้องท่ีมีคา่ ไม่เกนิ 5 อยู่ใน

ตวั อยา่ งที่ 1 จานวนเต็ม 9 สามารถเขยี นไดใ้ นรูป 9 =10 −1
หมายถึง 9 น้อยกวา่ 10 เขยี นแทนด้วย 9 =10 + 1 =11 ซึ่งหลกั หน่วย 1 หมายถงึ −1

และค่าของ 9 กับ 11 มคี า่ ไม่เปล่ียนแปลงไป สามารถนาไปดาเนินการคิดการบวก ลบ คณู และหารได้

9 =10 −1 =10 +1 =11 8 =10 − 2 =10 + 2 =12 7 =10 − 3 =10 + 3 =13

หรือ −9 = −10 +1 =10 +1 = 11 −8 = −10 + 2 =10 + 2 = 12 −7 = −10 + 3 =10 + 3 = 13

19 = 20 −1 = 20 + 1 = 21 18 = 20 − 2 = 20 + 2 = 22 17 = 20 − 3 = 20 + 3 = 23

หรอื −19 = −20 +1 = 20 +1 = 21 −18 = −20 + 2 = 20 + 2 = 22 −17 = −20 + 3 = 20 + 3 = 23

29 = 30 −1 = 30 + 1 = 31 28 = 30 − 2 = 30 + 2 = 32 27 = 30 − 3 = 30 + 3 = 33

หรอื −29 = −30 +1 = 30 +1 = 31 −28 = −30 + 2 = 30 + 2 = 32 −27 = −30 + 3 = 30 + 3 = 33

หมายเหตุ วิธีการวนิ คิวลัม (Vinculum Process) คือการแปลงจานวนทมี่ เี ลขโดดทีม่ ีคา่ เกิน 5 ให้เปน็ จานวนทม่ี ี
เลขโดด ไมเ่ กนิ 5 ในรปู ( −) บาร์ (bar) บนตัวเลข เชน่ 9819 =10221 เปน็ การหาเทคนิคเฉพาะอีกวธิ หี น่ึง
ในเวทคณิต เรียก 10221 ว่าจานวนวินคิวลมั และเรยี ก 9819 ว่าจานวนปกติ

35

เวทคณิต 2. การดาเนินการลบ

บทนิยาม สาหรับจานวนเต็ม m ใดๆ วนิ ควิ ลัมของ m เขียนแทนด้วย m (บาร์เอม็ )
หมายถึง m = −m

บทนยิ าม สาหรบั จานวน m ในระบบเลขฐานสิบ
ถา้ m = anan−1an−2...a2a1a0 โดยที่ an ,an−1,an−2,...,a2,a,1 ,a0 คือเลขโดด

แลว้ m = anan−1an−2...a2a1a0 = an an−1an−2...a2a1a0

สมบัติของการวนิ ควิ ลัม

1. m + n = m + n

2. m = m 3. m + n = m + n

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงเขียนจานวน 3789 ให้อยู่ในรปู จานวนวนิ ควิ ลัม
วิธีทา โดยวิธนี ขิ ลิ มั จะตัวเตมิ เตม็ ของเลขโดดสามตัวท้าย คือ 9 − 7 = 2,9 −8 =1 และ 10 −9 =1 ดงั น้นั เลข

โดดถดั ไปขา้ งหน้าเพมิ่ อกี 1 (3+1= 4)

ดังน้ัน 3789 = 4211

ตวั อย่างที่ 2 จงเขียนจานวน 286923 ให้อยใู่ นรปู จานวนวินคิวลัม
วิธีทา เม่ือพิจารณา จะเหน็ ได้ว่าตัวเลขทม่ี ากกวา่ 5 คอื 869 โดยวิธีนขิ ิลัม หาตวั เตมิ เตม็ ของ 869 คือ 131

ด้งั น้ัน 286923 = 313123
ข้อสังเกต ตัวเลขสองตัวท้าย คือหลักหน่วย 3 และหลักสิบ 2 มีค่าน้อยกว่า 5 คงไว้ ส่วนเลขโดดถัดไปข้างหน้า
เพ่มิ อีก 1 (2 +1 = 3)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงเขียนจานวน 353782 ให้อยใู่ นรูปจานวนวินคิวลมั
วิธีทา เม่ือพิจารณา จะเห็นได้ว่าตัวเลขที่มากกว่า 5 คือ 78 โดยวิธีนิขิลัม หาตัวเติมเต็มของ 78 คือ 22 ส่วน
เลขโดดถดั ไปข้างหนา้ เพิ่มอกี 1 (3+1= 4)

ดง้ั นั้น 353782 = 354222

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขยี นจานวน 782893 ใหอ้ ยใู่ นรปู จานวนวินควิ ลัม
วธิ ที า เม่อื พิจารณา จะเหน็ ได้วา่ ตัวเลขท่มี ากกวา่ 5 คือ 78 และ 89 โดยวิธนี ขิ ลิ ัม หาตวั เตมิ เตม็ ของ 78 และ
89 คือ 22 และ 11
ดงั้ นัน้ 782893 =1223113

36

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

ข้อสังเกต จากวิธีใช้นิขิลัมสูตร เลข 89 ต้องเติมเต็มเป็น 11 ตัวเลขท่ีอยู่ข้างหน้า 11 ต้องเพ่ิมอีก 1
ในทานองเดียวกัน เลข 78 ต้องเติมเต็มเป็น 22 ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้า 22 ไม่มี หมายถึงต้องเป็นเลข 0 ต้อง
เพ่ิมอกี 1 เปน็ 0 +1 =1

3.3 การดาเนนิ การเปลย่ี นจานวนวนิ คิวลมั กลบั ไปเป็นจานวนปกติ

เป็นการดาเนินการกระทาตรงกันข้ามกับการแปลงจานวนปกติไปเป็นจานวนวินคิวลัม นั่นคือ เลขโดด
ท่ีอยขู่ า้ งหน้าตวั เลขทมี่ เี ครอ่ื งหมายบาร์ ตอ้ งลดคา่ ลง 1 ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแปลงจานวนวนิ คิวลมั 3344 ให้เป็นจานวนปกติ
วิธีทา เมื่อพิจารณาเลขโดดตัวเติมเต็มของ 3 คือ 7 และ 4 คือ 6 ต่อไปก็คือ เลขโดดที่อยู่ข้างหน้าตัวเลข
ทม่ี เี ครื่องหมายบาร์ จะตอ้ งลดคา่ ลง 1 (3−1 = 2) และ (4 −1 = 3)

ดงั นั้น 3344 = 2736

ตัวอย่างที่ 2 จงแปลงจานวนวินควิ ลัม 3342 ให้เป็นจานวนปกติ
วิธีทา พิจารณาตัวเลขที่มีเคร่ืองหมายบาร์สามตัวเป็นกลุ่มสามารถใช้นิขิลัมสูตร เขียนตัวเติมเต็มของตัวเลข
กลุ่มนี้ ด้วยวิธีนิขิลัม (9 −3 = 6),(9 − 4 = 5) และ (10 − 2 = 8) เลขโดดที่อยู่ข้างหน้าตัวเลขที่มีเคร่ืองหมาย

บาร์ จะตอ้ งลดค่าลง 1 (3−1 = 2)

ดงั นั้น 3342 = 2658

ตัวอย่างที่ 3 จงแปลงจานวนวินควิ ลมั 20340121 ใหเ้ ปน็ จานวนปกติ
วธิ ีทา พจิ ารณาตวั เลขท่ีมเี ครอื่ งหมายบาร์ คือ 34 และ 12 สามารถใช้นขิ ลิ มั สูตร เขยี นตวั เติมเต็มของตวั เลข
สองกลมุ่ นี้ ด้วยวธิ ีนิขิลมั (9 −3 = 6),(10 − 4 = 6) และ (9 − 2 = 7),(10 − 2 = 8) เลขโดดทีอ่ ยู่ขา้ งหน้า

ตัวเลขท่ีมีเครื่องหมายบาร์ จะต้องลดค่าลง 1 (0 −1 =1) และ (0 −1 =1)

20340121 = 21661881

=19659881 ดงั นนั้ 20340121 =19659881
ตัวอยา่ งท่ี 4 จงแปลงจานวนวนิ คิวลมั 402134 ใหเ้ ป็นจานวนปกติ
วิธที า 402134 = 417874 = 397874
ดังนัน้ 402134 = 397874

37

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

3.4 จานวนลบเขยี นอยูใ่ นรปู จานวนวินคิวลมั

จานวนลบสามารถเขียนเลขโดดแตล่ ะหลักของจานวนน้ัน ใหม้ คี ่าไม่เกนิ 5 ไดเ้ ชน่ กนั ดังตวั อย่างตอ่ ไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 1 จงแปลงจานวน −27489 ใหเ้ ป็นจานวนวินคิวลมั
วธิ ีทา −27489 = 27489

ใช้นิขิลัมสูตรในการคิดเลขหาตวั เตมิ เต็มของตวั เลข ของ 7 และ 89 เลขโดดทอี่ ย่ขู ้างหน้า
ตอ้ งถูกลดค่าลง 1
ดงั นัน้ −27489 = 27489 = 33511

ตัวอยา่ งที่ 2 จงแปลงจานวน −80379 ให้เป็นจานวนวินคิวลัม
วธิ ีทา −80379 = 80379

ใช้นิขลิ มั สตู รในการคดิ เลขหาตัวเตมิ เต็มของตวั เลขของ 8 และ 79 เลขโดดท่อี ย่ขู า้ งหน้า
ตอ้ งถกู ลดคา่ ลง 1
ดงั น้ัน −80379 = 80379 =120421

ตวั อย่างท่ี 3 จงแปลงจานวน −70829 ใหเ้ ปน็ จานวนวินคิวลัม
วิธีทา −70829 = 70829

ใชน้ ขิ ลิ มั สตู รในการคิดเลขหาตัวเติมเตม็ ของตวั เลขของ 7 , 8 และ 9 เลขโดดที่อยขู่ า้ งหน้า
ต้องถูกลดคา่ ลง 1
ดงั นั้น −70829 = 70829 = 131231

หมายเหตุ จานวนเต็มท่ีมเี ลขโดดหลาย ๆ ตวั (หลาย ๆ หลกั ) เม่ือพบว่าเลขโดดตวั ซ้ายสุดที่ตดิ เคร่ืองหมายบาร์
เมือ่ เปลีย่ นเลขโดดตวั น้นั เปน็ ตวั เลขบวกแลว้ จะต้องเพ่ิมตัวเลข 1 ทางซา้ ยสดุ ของจานวนนั้น

สรปุ ได้ว่า ถ้าเลขโดดซ้ายสุดของ จานวนเป็นตวั เลขท่ีมีเคร่อื งหมายบาร์ จานวนน้นั จะมีคา่ เป็นลบ ทาให้ไมส่ ามารถ
เปล่ียนเลขโดดทกุ ตวั ของจานวนนนั้ ให้เป็นตัวเลขบวกท้ังหมดได้

ตวั อย่างท่ี 4 จงแปลงจานวน 37821 ให้เปน็ จานวนวินคิวลัม 37821= −37821
วธิ ีท่ี 1 จาก a = −(−a) พบว่า 37821 = −(−37821)

37821 = −(37821)

37821 = −3782 1

37821 = −22219

วธิ ีที่ 2 เราอาจจะเปล่ียนตัวเลขบวกให้เป็นตัวเลขติดเครอื่ งหมายบารต์ รง ๆ ได้ ดังน้ี

37821 = 22219

38

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

วธิ ีท่ี 3 เราอาจจะเปลยี่ นตัวเลขท่ีตดิ เคร่ืองหมายบาร์ เป็นตวั เลขบวกเลยดงั นี้

37821 =177781

จากนั้นหาตัวเตมิ เต็มของเลขโดดบวกทุกตัวจะไดผ้ ลลพั ธ์เป็นจานวนลบ (−100000 + 77781)

177781 = −22219

ข้อสงั เกต จะเห็นไดว้ า่ การใช้วธิ ที ่ี 2 ในการแปลงตวั เลขจะเป็นวธิ ที ต่ี รงและงา่ ยทสี่ ดุ

3.5 จานวนทศนิยมเขยี นอยใู่ นรูปจานวนวินควิ ลัม

การเขียนจานวนทศนยิ มใหอ้ ยูใ่ นรูปจานวนทศนิยมวนิ ควิ ลมั ยงั คงใช้วธิ ีเดยี วกนั เลขโดดหลงั จดุ ทศนิยมไม่
เปลี่ยนตาแหน่ง คงอยตู่ าแหน่งเดิม ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี

ตัวอย่างท่ี 1 จงแปลงจานวนทศนิยม 120.981 ให้เปน็ จานวนวินควิ ลัม
วธิ ีทา 120.981 = 121.021

ตวั อย่างที่ 2 จงแปลงจานวนทศนิยม 0.3728 ใหเ้ ปน็ จานวนปกติ
วธิ ีทา 0.3728 = −0.3728

0.3728 = −0.2288

หรอื 0.3728 = 0.2288 = −0.2288
หรือ 0.3728 =1.7712 = −0.2288

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 4 4) 97
1. จงแปลงจานวนทก่ี าหนดให้ตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยูใ่ นรูปจานวนวินควิ ลมั

1) 78 2) 59 3) 87

5) 99 6) 23 7) 146 8) 197

9) 107 10) 126 11) 158 12) 166

13) 267 14) 209 15) 288 16) 297

17) 279 18) 293 19) 378 20) 306

21) 378 22) 359 23) 349 24) 317

39

เวทคณิต 26) 459 27) 477 2. การดาเนนิ การลบ

25) 426 28) 470

29) 492 30) 487 31) 551 32) 599

33) 590 34) 546 35) 597 36) 586

37) 688 38) 635 39) 689 40) 798

41) 734 42) 776 43) 874 44) 808

45) 875 46) 978 47) 929 48) 987

49) 1559 50) 1289 51) 1936 52) 2546

53) 2597 54) 5886 55) 55467 56) 78097

57) 105086 58) 6890785 59) 19096365

60) 67905489 61) 908075709 62) 7945889.98

63) 490734.078 64) 77.664059 65) 874.213456

66) 999868.9998 67) 875789.0909 68) 978990.090807

69) 929.34219 70) 1559.94356 71) 128998.9456

72) 1936.54689069

40

เวทคณิต 2. การดาเนินการลบ

2. จงแปลงจานวนที่กาหนดให้ต่อไปน้ีให้อยู่ในรูปจานวนวินควิ ลมั

1) −78 2) −59 3) −87 4) −97

5) −99 6) −23 7) −146 8) −197

9) −107 10) −126 11) −158 12) −166

13) −267 14) −209 15) −288 16) −297

17) −279 18) −293 19) −378 20) −306

21) −378 22) −359 23) −349 24) −317

25) −426 26) −459 27) −477 28) −470

29) −492 30) −487 31) −551 32) −599

33) −590 34) −546 35) −597 36) −586

37) −688 38) −635 39) −689 40) −798

41) −734 42) −776 43) −874 44) −808

45) −875 46) −978 47) −929 48) −987

49) −1559 50) −1289 51) −1936 52) −2546

53) −2597 54) −5886 55) −55467 56) −78097

57) −105086 58) −6890785 59) −19096365 60) −67905489

61) −7945889.98 62) −490734.078 63) −77.664059

64) −874.213456 65) −999868.9998 66) −875789.0909

41

เวทคณิต 68) −929.34219 2. การดาเนินการลบ
71) −128998.9456
67) −978990.090807 69) −908075709
70) −1559.94356 72) −1936.54689069

3. จงแปลงจานวนตอ่ ไปนี้ใหอ้ ย่ใู นรปู จานวนปกติ 3) 14 4) 25
1) 14 2) 25 7) 143 8) 103
11) 154 12) 144
5) 30 6) 23 15) 222 16) 254
19) 332 20) 305
9) 1 10 10) 123 23) 341 24) 313
27) 423 28) 440
13) 213 14) 204 31) 551 32) 533
35) 1515 36) 1410
17) 432 18) 203 39) 1453 40) 115114
43) 2432 44) 3454
21) 332 22) 351 47) 2431 48) 1202

25) 424 26) 421

29) 432 30) 423

33) 1321 34) 1453

37) 1401 38) 1312

41) 34031 42) 13421

45) 3213 46) 1452

42

เวทคณติ 50) 1243 51) 1432 2. การดาเนินการลบ

49) 1554 52) 2543
56) 33054
53) 2521 54) 1410 55) 55423 59) 21104445
62) 12144110.02
57) 105031 58) 13211225 65) 1134.213544
60) 132105511 61) 215452211.423 68) 1021010.111213
63) 511334.122 64) 122.344141
66) 1000131.0002 67) 1124211.1111
69) 1131.34221 70) 2440. 14444

43

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

3.6 การดาเนนิ การบวกของจานวนวินคิวลัม

การดาเนนิ การบวกของจานวนวินคิวลัม เป็นการดาเนินการบวกจานวนเต็ม เช่น 3+ 2 = 5,
3+ (−2) = 3+ 2 =1, (−3) + 2 = 3 + 2 = 1 , (−3) + (−2) = (−5) เปน็ ต้น

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลลพั ธข์ อง 2342 + 4213

วธิ ที า 2 3 4 2 2 3 42

+ +
4 213 421 3

6 5 3 1 = 5531

ขั้นที่ 1 ที่หลักพัน นา 4 บวกกบั 2 ผลลัพธ์ คอื 2 + 4 = 6
ขน้ั ที่ 2 ทห่ี ลักร้อย นา 2 บวกกบั 3 ผลลัพธ์ คอื 2 + 3 = 5
ขน้ั ที่ 3 ท่หี ลักสบิ นา 1 บวกกบั 4 ผลลัพธ์ คอื 1+ 4 = 3
ข้นั ท่ี 4 ทหี่ ลกั หนว่ ย นา 3 บวกกับ 2 ผลลพั ธ์ คอื 3 + 2 = 1
ขั้นที่ 5 ใช้วิธีนิขลิ ัมแปลงผลลัพธ์เป็นจานวนปกติ 6531 = 5531

ตวั อยา่ งท่ี 2 34422 34422
วิธีทา + +

75354 13 5 3 5 4

10 9 1 3 2=90872

ขนั้ ตอนการบวกจากซา้ ยไปขวา 1+0=1, 3+ 3 = 0, 5+ 4 = 9,3+ 4 =1, 5 + 2 = 3 และ 4 + 2 = 2
ดงั น้ัน ผลลัพธ์ 109132 ในรูปปกติ คือ 90872 เปน็ คาตอบ

ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้นการดาเนินการบวกจานวนวินคิวลัมสองจานวน ผลบวกเลขโดดแต่ละหลักจะ
ไม่เกินเก้า น่ันคือจะไม่เกิดการทด ในกรณีท่ีจานวนท่ีนามาหาผลบวกไม่เป็นจานวนวินคิวลัมจะเกิดการทด
ดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้

44

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาผลลัพธ์ของ 3254 + 2563

วิธีทา 3 2 5 4 +  32 5 4 +  32 54 + 32 54+ 32 54+
2563 2563  2563  2563
2563
11 411 5411
1

ข้ันท่ี 1 หลักหนว่ ย นา3 บวกกบั 4 ผลลัพธ์คือ 3+ 4 =1 ใสค่ าตอบ 1
ขน้ั ที่ 2 หลักสิบนา 6 บวกกับ 5 ผลลพั ธค์ ือ 6+5 =11 เราจะกลา่ ววา่ ‘Shudha’ ทด 1 โดยใสจ่ ดุ บนเลข

5 เป็น 5 แลว้ ใสผ่ ลลัพธ์ 1 เป็นคาตอบ
ขน้ั ท่ี 3 หลกั ร้อย นาจุด (1) บวกกบั 5 บวกกบั 2 ผลลัพธ์คือ 1+ 5+ 2 = 4
ขน้ั ท่ี 4 หลกั พัน นา 2 บวกกบั 3 ผลลพั ธ์คือ 2 +3 = 5
ดังน้นั 5411 เป็นคาตอบ

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลลพั ธ์ของ 545432 + 354624

วธิ ที า 5 4 5 4 3 2 5 4 5 4 32
+
+
354624 3 5 4 62 4

7 0 0 0 5 2 = 700048

ขั้นท่ี 1 หลกั หน่วย 4 + 2 = 2 ใสค่ าตอบ 2
ขนั้ ที่ 2 หลกั สิบ 2 + 3 = 5 ใสค่ าตอบ 5
ขั้นที่ 3 หลกั รอ้ ย 6 + 4 =10 (Shudha) ใสค่ าตอบ 0 ทด 1 (ใสจ่ ดุ )

ขน้ั ท่ี 4 หลกั พนั 1+ 4 + 5 =10 =10 (Shudha) ใส่คาตอบ 0
ขน้ั ที่ 5 หลักหมน่ื 1+5+ 4 = 10 (Shudha) ใสค่ าตอบ 0
ขน้ั ที่ 6 หลักแสน 1+3+5 = 7 ใส่คาตอบ 7

ดังนน้ั ผลลัพธ์ 700052 ในรูปปกติ คือ 700048 เป็นคาตอบ

45