เวทคณิตรวมสมบูรณ์

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

3.การหารแบบเทคนิคเฉพาะ

3.1. การดาเนนิ การหารโดยวิธนี ิขิลมั (Nikhilam Method)

การดาเนินการหารโดยวธิ นี ิขลิ มั (Nikhilam Method) เปน็ การหารแบบเทคนิคเฉพาะใชใ้ นกรณีตวั หาร ที่
มคี ่าน้อยกว่าและค่าใกล้เคียงกับ 10, 100, 1000,..., 10n เชน่ 98,92,995,89997,...

การหารท่ีคาตอบอยใู่ นรปู เศษเหลือ
ตวั อย่างที่ 1 1204 9

วธิ ที า 9 1 2 0 4

1

133

1 3 3 7 Q=133, R=7

ขนั ตอนการดาเนินการหารดังนี
1. 9 =10 −1 จากการหารสังเคราะห์ในวิชาพีชคณิต จึงใช้ 1 เรียกว่า ค่าเบ่ียงฐาน (deficiency) เป็น

ตวั หารแทน 9 =10 −1
2. แยกตวั ต้ังออกเป็นสองสว่ น (ผลหารและเศษเหลอื ) ดว้ ยวธิ ีนเี้ ศษเหลอื จึงมจี านวนเลขโดดเทา่ กับจานวน

เลขโดดตวั หาร ในข้อนี้เศษเหลือจึงมีจานวนหน่ึงหลัก
3. ชกั ตัวเลขโดด 1 ตวั แรกของตัวตั้งลงมาเปน็ ตวั ทห่ี น่งึ ของคาตอบ
4. หาผลคูณของตัวแรกของคาตอบคือ 1 กับค่าเบ่ียงฐาน 1 คือ 11=1 แล้วนาไปใส่ใต้ตัวท่ีสอง ของ

ตัวตงั้ แลว้ หาผลบวก 2 +1= 3 ใสเ่ ปน็ ตัวทีส่ องของคาตอบ
5. หาผลคูณของตวั ทส่ี องของคาตอบคือ 3 กับค่าเบี่ยงฐาน 1 คือ 13 = 3 แล้วนาไปใสใ่ ตต้ ัวทส่ี ามของ

ตวั ต้ัง คือ 3 และหาผลบวก 3+ 0 = 3 ใสเ่ ป็นตัวที่สามของคาตอบ
6. ในทานองเดียวกัน หาผลคูณของตัวท่ีสามของคาตอบคือ 3 กับค่าเบ่ียงฐาน 1 คือ 13 = 3 แล้ว

นาไปใส่ใต้ตวั ทสี่ ่ีของตัวต้ัง คอื 3 และหาผลบวก 3+ 4 = 7 ใสเ่ ปน็ ตวั ที่สี่ของคาตอบ ซึ่งเปน็ เศษเหลือของคาตอบ
และเปน็ หลักสุดท้ายของคาตอบ (Q หมายถงึ ผลหาร R หมายถงึ เศษเหลอื )
การพสิ ูจนเ์ ชิงพีชคณิต
พสิ ูจน์ ให้ (x3 + 2x2 + 0x + 4) (x −1) ด้วยวิธกี ารหารแบบสงั เคราะห์

x −1 x3 + 2x2 + 0x + 4

1 133 เม่ือพจิ ารณา ให้ x =10 เป็นเลขคณิตดังข้างต้น

1x2 + 3x + 3 7 = R

ตัวอย่างที่ 2 2439
วิธีทา 9 2 4 3

1 26

2 6 9 = 26 9 =27 Q=27, R=0 ตอบ 27 เศษเหลอื 0

9

90

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

จะเห็นว่าหลกั สดุ ท้ายครบแลว้ เป็นการสนิ้ สดุ การหาร แตก่ ารหารตามขั้นตอนการหาร
ของยคุ ลิด (Euclid’s Algorithm) เศษเหลอื ตอ้ งน้อยกว่าตวั หาร ดังน้ันเมื่อเศษเหลอื ในตวั อย่างนี้ คอื 9
นา 9 หารดว้ ย 9 ไดผ้ ลหาร 1 เศษเหลอื 0 บวกผลหาร 1 เศษเหลอื 0 กบั 26 เปน็ 27
ตัวอย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ 1011649 9

วธิ ที า 9 1 0 1 1 6 4 9

1

 1 1 2 3 9 13

1 1 2 3 9 13 22

1 1 2 4 03 2 2

2

1 1 2 4 0 3 2 4 =112403+ 2 / 4 =112405 / 4

Q=112405, R=4

กรณีเศษเหลือมากกว่าตัวหารในขันตอนแรก ให้ดาเนินการหารต่อ จนกว่าเศษเหลือน้อยกว่าตัวหาร
ผลหารขนั สดุ ท้ายคอื ผลรวมของผลหารในแต่ละครัง
กรณตี วั หารมสี องหลกั ขึนไป
ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ ของ 348399
วิธีทา จากโจทย์ แยกตัวตั้งออกเป็นสองส่วน เศษเหลือจึงมีจานวนเลขโดดเท่ากับจานวนเลขโดดของตัวหารคือ
99 ในขอ้ นเ้ี ศษเหลือจึงมจี านวนสองหลกั

99 3 4 8 3

01 0 3
04

3 4 11 7 = 35 /18 Q=35, R=18

35 117

01

351 1 8

ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าของ
1) 1296 98

98 1 2 9 6

02 0 2
04

1 2 12 0 Q=13, R=22

12 1 20
02

1 2 1 2 2 =13 / 22

91

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

2) 1234 996 1 234
0 04
996
1 2 3 8 =1/ 238
004

Q=1, R=238

3) 2671828 2 671
2 14 4
828
172 2 10 1 5
2 1 0 15

172
2 1 1 8 7 = 3 /187 Q=3, R=187

4) 39999 9819 3 9999
0 3 24 3
9819
0181 3 9 12 33 12 (10542)
3 105 42

0181

3 1 0 6 1 2 3 = 4 / 0723 Q=4, R=0723

5) 101010189997 10 10101

89997 1 0 0 03
10003 1 0 003

11 20134 =11/ 20134 Q=11, R=20134

92

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

6) 1119917199979 111 99171

99979 00 021
00021 0 00 2 1
00021

1 1 1 9 11 4 10 2 (101502)
111 1 01502

00021

1 1 1 1 0 1 5 2 3 =112 / 01523 Q=112, R=01523

การหารท่คี าตอบอยูใ่ นรปู ทศนิยม

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาคา่ ของ 348399 (ตอบเป็นทศนิยม 5 ตาแหน่ง)

วิธีทา ให้ดาเนินการในทานองเดียวกับข้างต้น แยกตัวตั้งออกเป็นสองส่วน ส่วนทางขวามือหรือส่วนท้าย

จะตอ้ งมจี านวนเลขโดดเทา่ กบั จานวนเลขโดดของตวั หาร

ใสเ่ ลข 0 ตอ่ ท้ายสดุ ของตวั ตั้งตามตาแหน่งของทศนยิ มทตี่ ้องการ

3483  99 99 3 4 8 3 0 0 0

01 0 3

04

01
1

07

0 1 ...
1

3 4 11 7 11 7 11... = 35.1818181...
Q=35.18182

93

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

แบบฝึกหัดชุดท่ี 4 2. 23012÷9
จงดาเนนิ การหารของสองจานวนต่อไปนีโ้ ดยใช้วิธนี ขิ ลิ ัม

1. 1121÷9

3. 21234÷9 4. 256÷9

5. 3452÷9 6. 4254÷9

7. 7107÷9 8. 6434÷9

9. 7777÷9 10. 82828÷9

11. 101÷8 12. 1101÷8

13. 2121÷8 14. 11111÷8

94

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

15. 132÷8 16. 234÷88
17. 167÷89
18. 213÷76
19. 144÷83
20. 221÷49

21. 1224÷887 22. 3010÷799
23. 4321÷893
24. 12034÷8877

95

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

25. 3030÷498 26. 1021÷89
27. 1123÷88
29. 12345÷8888 28. 10101÷899

31. 13579÷8897 30. 12345÷7999
33. 10102÷7989
32. 11203÷8897
34. 1010101÷899997

96

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

35. 210012÷8997 36. 300000÷8998

37. 101020÷8888 38. 200165÷8987

39. 2002002÷89998 40. 1234567÷89997

41. 1030007÷9987 42. 11111111÷99979

97

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

43. 20137÷9819 44. 12946÷8997

45. 1011÷23 46. 81039÷724

47. 1040201÷814 48. 231884÷543

49. 135790÷691 50. 102030.405÷7898

98

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

3.2 การดาเนินการหารโดยวิธีปราวรรตย์ ( Paravartya MEthod)

คาว่า ปราวรรตยสูตร (Transpose and Apply) หมายถึง การสับเปล่ียนหรือปรับเปล่ียน ดังน้ันการ
ดาเนินการหารโดยวิธีปราวรรตย์ เป็นการสับเปลี่ยนการดาเนินการหารตรงกันข้ามกับการดาเนินการหารโดยวิธี
นิขิลัม (Nikhilam Method) เป็นการหารแบบเทคนิคเฉพาะ กล่าวคือ ใช้ตัวหารท่ีมีค่ามากกว่าและใกล้เคียงกับ
10, 100, 1000,..., 10n และค่าเบ่ียงฐานเปล่ียนเครื่องหมายเป็นตรงกันข้ามกับค่าเบ่ียงฐานของวิธีนิขิลัม นั่นคือ
ค่าเบีย่ งฐานจึงมคี า่ เป็นลบ
การหารเชงิ พีชคณติ (Algebraic Division)
ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ (3x2 + 2x +12) (x + 2)

x + 2 ) 3x2 + 2x +12

−2 − 6 + 8

3x − 4 เศษ 20

ข้อสังเกต การหารมีขอ้ ตกลงในการสบั เปลย่ี นเคร่ืองหมายทค่ี า่ คงตวั

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาค่าของ (x3 + 6x2 +13x +13) (x2 + 2x + 3)

x2 + 2x + 3) x3 + 6x2 +13x +13

−2 − 3 −2 − 3

− 8 − 12

x + 4 เศษ 2x +1

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ ของ (2x5 + 3x4 + 5x3 + 2x2 + x + 30)  (x3 + 2x2 + x + 3)

x3 + 2x2 + x + 3) 2x5 + 3x4 + 5x3 + 2x2 + x + 30

−2 −1 − 3 −4 − 2 − 6

21 3

− 10 − 5 − 15

2x2 − x + 5 เศษ −13x2 − x +15

99

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

การหารเชิงเลขคณติ (Arithmetic Division)

การหารโดยวิธีปราวรรตย์จะง่ายและรวดเร็วเม่ือตัวหารเป็น 123, 104, 1112, 11234,... ดังตัวอย่าง

ตอ่ ไปนี้
ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคา่ ของ 432 11
วธิ ีทา 11 4 3 2

14 Q=41=39, R=3
1

4 13

ขันตอนวธิ ดี าเนินการหาร
1. 11=10 +1 จากการหารสังเคราะห์ในวิชาพีชคณิต จึงมีการสับเปล่ียนเคร่ืองหมายค่าเบี่ยงฐาน

คือ 1 เปลีย่ นเครอ่ื งหมายเปน็ −1 =1 เป็นตัวหารแทน 11=10 +1
2. แยกตัวต้ังออกเป็น 2 ส่วน (ผลหารและเศษเหลือ) ด้วยวิธีน้ีเศษเหลือจึงมีจานวนเลขโดด เท่ากับ

จานวนเลขโดดของคา่ เบยี่ งฐานสบั เปลีย่ น ในขอ้ นเ้ี ศษเหลือจงึ มจี านวนหนงึ่ หลกั
3. การดาเนนิ การหาร นา 4 ซง่ึ เปน็ ตวั เลขโดดตัวแรกของตวั ตง้ั ลงมาเปน็ ตัวทหี่ นึง่ ของคาตอบ
4. หาผลคูณ 4 ด้วยค่าเบี่ยงฐานสับเปลี่ยน 1 คือ 41= 4 แล้วนาไปใส่ใต้ตัวท่ีสองของตัวตั้ง และ

หาผลบวก 4 + 3 =1 ใส่เป็นตัวที่สองของคาตอบ
5. หาผลคูณ 1 ด้วยค่าเบ่ียงฐานสับเปล่ียน 1 แล้วนาไปใส่ใต้ตัวท่ีสามของตัวตั้ง คือ 1 และหาผลบวก

2 +1= 3 ใส่เป็นตัวท่ีสามของคาตอบ
6. จะเหน็ วา่ หลกั สดุ ท้ายครบแลว้ ตอบ Q=39, R=3

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่าของ 1364 112
วิธที า 112 1 3 6 4

12 1 2 Q =12, R = 20
24

12 2 0

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ของ 10121113 (ตัวเลขในคาตอบบางตวั เปน็ ลบ)
วิธที า 113 1 0 1 2 1

13 1 3 Q=89, R=64
13

13
1 1 1 6 4 = 89 64

100

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ ของ 124411121(คา่ เบย่ี งฐานสับเปลย่ี นสามหลัก)
วิธที า 1121 1 2 4 4 1

121 1 2 1 Q=11, R=110
12 1

11 1 1 0

ตัวอยา่ งท่ี 5 ในกรณีตวั หารเป็น 11 จงหาค่าของ 3456 11
วธิ ีทา จากตวั อยา่ ง 1 11 3 4 5 6

13

1 Q=314, R=2
4

314 2

จากตัวอย่างที่ 5 นพี บเทคนคิ การหารทต่ี ัวหารเป็น 11 ดงั นี
11 ) 3 4 5 6 เร่มิ จากทางซ้ายมอื ชักตวั เลขหลกั แรกของโจทย์ คอื 3 เป็นตัวแรกของคาตอบ
3 1 4 2 แลว้ นาไปลบออกจากตัวเลขถดั ไปเป็นคาตอบตัวตอ่ ไป 4 −3 =1
ในทานองเดยี วกัน 5−1= 4,6 − 4 = 2, นี้ ได้ 2 เปน็ เศษเหลอื

Q = 314, R = 2

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงหาค่าของ 872032 11

11 ) 8 7 2 0 3 2

81336 4 = 79276 + −4 = 79276 +  −4 + 11  − 11
11  11 11  11

Q=79275, R=7

ตวั อย่างที่ 7 จงหาคา่ ของ 1212112 (ตวั อยา่ งนแี้ สดงเศษเหลอื ในรูปทศนยิ ม)
วธิ ที า

112 1 2 1 2 . 0 0 0 0

12 1 2
12
24

24 = 10.8214...
24

1 1 . 2 2 2 6 ...

101

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ตัวอย่างท่ี 8. 1212 112
วธิ ที า ตวั อยา่ งนี้แสดงเศษเหลือในรปู ทศนยิ ม

112 1 2 1 2 . 0 0 0 0

12 1 2
12

24

24 = 10.8214...
24

1 1 . 2 2 2 6 ...

แบบฝึกหดั ชุดท่ี 4
จงดาเนินการหารของสองจานวนต่อไปนโี ดยวิธีปราวรรตย์

1. 1233÷112 2. 1377÷123

3. 1481÷139 4. 2584÷123

5. 36915÷123 6. 13696÷113

102

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

7. 121212÷113 8. 13545÷1212

9. 137987÷1121 10. 79999÷111
11. 2652÷121 12. 33033÷1231
13. 2321÷118 14. 1991÷119

103

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

15. 12345÷1028 16. 1387÷224

17. 301765÷2024 18. 1010÷113 (ทศนยิ ม 3 ตาแหนง่ )

19. 207÷101 (ทศนยิ ม 6 ตาแหน่ง) 20. 1÷1111 (ทศนิยม 8 ตาแหนง่ )

21. 246÷11 22. 426÷11

104

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

23. 7362÷11 24. 1234÷160

25. 239479÷11203 26. 13456÷1123

27. 103÷82 28. 39999÷9819

29. 12345÷8888 30. 1111÷839

105

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

31. 13579÷8897 32. 4009÷882
33. 2699÷224 34. 1699÷223
35. 7685÷672 36. 7685÷112
37. 1699÷223 38. 1334÷439

39. 1234÷511 40. 1177÷516

106

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

3.3 การดาเนินการหารโดยวธิ ีเพ่ิมหรอื ลดสัดส่วน (อนุรปู เยณ = Anurupyena Method)

อนุรูปเยณ (Anurupyena) แปลว่าสัดส่วน (proportionality) เป็นการหารแบบเพ่ิมหรือลดสัดส่วนของ
ตัวหาร ให้มคี ่าใกล้เคียงกับจานวนเต็ม 10, 100, 1000,..., 10n

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ 1011 23
วิธีทา ตัวหาร 23 สามารถเพิ่มสัดส่วนเป็น 234 = 92 เพ่ือเป็นตัวหารในวธิ ีนิขิลัม เมื่อทาการหารโดยวิธีนิขลิ มั
แลว้ ผลลพั ธ์ตอ้ งคูณด้วย 4 แต่ เศษเหลือ ไมต่ อ้ งคูณ

92 1 0 1 1
08  0 8

00

1 0 91
4
4 0 9 1 = 4 3 22 [ 91=3 23+22]

Q=43, R=22

ขันตอนวธิ ีการหาร
1. เน่ืองจากตัวหาร 23 สามารถเพม่ิ สดั ส่วนโดยการคณู ดว้ ย 4 จะได้สัดส่วนเพ่ิมเป็น 92 ดงั นัน้ สามารถ

ดาเนนิ การหารโดยวิธีนขิ ลิ มั ได้
2. 92 =100 −08 จึงใช้ 08 เรียกวา่ ค่าเบีย่ งฐาน (deficiency) เป็นตวั หาร
3. แยกตวั ต้ังออกเป็นสองส่วน (ผลหารและเศษเหลือ) ดว้ ยวธิ ีน้เี ศษเหลือจงึ มีจานวนเลขโดดเท่ากับจานวน

เลขโดดของตัวหาร ดงั น้นั เศษเหลือจึงมจี านวนสองหลัก แล้วใช้การหารโดยวธิ ีนขิ ลิ ัมได้
คาตอบ 1011 23 = 40 91 คอื Q=40, R=91

พบว่าเศษเหลือมากกว่าตัวหาร ซึ่ง 91= 233+ 22 นั่นคือ Q=3, R=22 นาไปบวกกับผลหารข้างต้น

ไดค้ าตอบคอื Q=43, R=22

107

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 12345 204
วธิ ที า ตัวอยา่ งนต้ี ัวหารไมไ่ ด้เร่มิ ต้น 1 แต่มี 2 เป็นตวั ประกอบ 1022 ซ่ึงเราสามารถลดสดั ส่วนตัวหารได้
เป็น 12345  204 =12345 102(2)

204 1 2 3 4 5 เมอ่ื พิจารณาเชงิ พีชคณติ ตัวอย่างนี้ ตัวหารคือ 02
ดังน้ัน คาตอบต้องหารดว้ ย 02
102 ยกเวน้ ตวั เศษเหลือ คือ เปน็ ครึ่งหนงึ่ ของตัวหาร 204

02 0 2 เศษเหลอื จงึ เปน็ 1 (204) + 03 =105
04
2

02

2) 1 2 1 0 3

601 2 0 3
60 105

ขอ้ สังเกต ตวั อย่างน้ี ลองหารแบบตรงจะงา่ ยกว่า ดังน้ี

วธิ ที า 204 1 0 2 03 3 4 105

 0   04   04   4 
 0   06   60   0 
0 6 0 105 − 0 =105 Q=60, R=105

ตวั อย่างที่ 3 จงหาคา่ ของ 1344 37
วิธที ี่ 1 ตวั หารเปน็ 37 สามารถเพมิ่ สดั สว่ นเปน็ 3 เท่า คอื 373 =111

เพือ่ หารโดยวิธปี ราวรรตย์

111 1 3 4 4

11 1 1 Q=36, R=12
22

3 1 2 1 2
3 61 2

108

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

วธิ ที ี่ 2 เพ่มิ สดั ส่วนเปน็ 3 เท่าท้งั ตวั ต้งั และตัวหาร จะได้ 4032 111 ในกรณนี ้ีคาตอบไมต่ อ้ งลดสัดสว่ น
แตเ่ ศษเหลอื คา่ ต้องไม่เกินตวั หาร 37

111 4 0 3 2

11 4 4

44

4 43 6 Q=36, R=12
3636

วธิ ที ่ี 3 หารแบบตรง 37 1 03 44 54
03 6 54 − 42 =12
Q=36, R=12

3.4 การดาเนินการหารโดยวิธกี ารวนิ คิวลมั (Vinculum Process of Division)

วินคิวลัม (คือการแปลงจานวนเลขโดดท่ีมีค่าเกิน 5 ให้เป็นจานวนที่มีเลขโดดไม่เกิน 5 ในรูป

เครื่องหมาย - (bar) บนตัวเลข เช่น 9819 =10221 ) เป็นการหารแบบเทคนคิ เฉพาะ เม่ือแปลงจานวนเสรจ็ แลว้

สามารถดาเนินการหารโดยวิธนี ขิ ิลัมและวิธีปราวรรตย์ ดังตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ ของ 49999 9819

วิธีนิขิลมั วธิ วี ินคิวลัมทาตามวิธีปราวรรตย์

49999 9819 49999 9819 = 49999 10221

9819 4 9 9 9 9 10 2 21 4 999 9
0 2 21  088 4
0181  0 4 32 4
4 9 13 41 13 4 9 17 1 13
4 10 7 2 3 4 10 7 2 3
5 904 5 904

 Q=5, R=904  Q=5, R=904

109

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ 2621828
วิธีทา 2621828 = 26211232

1232 2 621

232 4 6 4

2 10 4 5 → 2 / 965 แสดงวา่ Q = 2,r = 965 ซง่ึ เศษมากกว่าตวั หาร

3 1 3 7 [ 965 =1828 +137]

 Q=3, R=137

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาค่าของ 16738887
วธิ ที า 167388 87 = 233412 87

87 2 3 3 4 1 2

13 2 6

13

26

39

2 1 2 3 8 7 = 1923 87 =1923 87 Q=1924, R=0
87

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาคา่ ของ 11011119
วิธที า ตัวอยา่ งนีเ้ หมาะสาหรบั การดาเนนิ การหารโดยวธิ ีวนิ ควิ ลมั

11011119 =11011121

121 1 1 0 1 1

21 2 1

21
63

11 3 6 4 Q=92, R=63
93 5 6
92 6 3

110

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ 11891109
วธิ ีทา ตัวอยา่ งน้เี หมาะกบั การดาเนินการหารโดยวิธีวนิ ควิ ลมั ในการคานวณทั้งตัวตัง้ และตวั หาร

11891109 = 2111111

11 1 1 2 1 1 1

11 1 1

11
11

11 1 1 0 Q=109, R=10
1091 0

แบบฝกึ หัดชดุ ที่ 5
จงดาเนนิ การหารของสองจานวนต่อไปนโี ดยวิธเี พ่มิ หรือลดสดั ส่วน

1. 1400÷199 2. 1699÷223

3. 1334÷439 4. 12584÷511

5. 12345÷331 6. 1177÷516

111

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

7. 1011÷23 8. 13045÷494

9. 137987÷1427 10. 79999÷555

11. 2652÷121 12. 33033÷1231

13. 2321÷118 14. 1991÷119

112

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

จงดาเนินการหารของสองจานวนตอ่ ไปนีโดยวิธกี ารวินควิ ลัม

15. 21999÷8819 16. 1356÷182

17. 4009 882 18. 7685÷672
19. 1234÷879
21. 1400÷199 20. 1÷9999
23. 20332÷299
22. 1699÷679
24. 210840478÷647

113

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

4. การดาเนินการหารด้วยเศษสว่ นช่วย (Auxiliary Fractions) a
b
เนอื่ งจากการหารเป็นการกระทาผกผนั การคูณ ดงั นัน้ a ÷ b เขียนแทนดว้ ยเศษส่วน

บทนยิ าม เศษสว่ นสามญั (vulgar/common fraction) คอื จานวนตรรกยะท่สี ามารถเขียนอย่ใู นรูป a / b หรือ a
b
โดยท่ี a , b เป็นจานวนเต็ม และ b ≠ 0 เรียก a ว่าตัวเศษ เรยี ก b ว่าตวั สว่ น เศษส่วนสามญั ยังแยกออกเป็น
7
เศษสว่ นแท้ (proper fraction) ซึ่งมีค่าของตัวเศษน้อยกวา่ ตัวส่วนทาใหป้ ริมาณของเศษสว่ นน้อยกว่า 1 เช่น 9

และเศษเกนิ (improper fraction) คือเศษส่วนทีค่ า่ ของตัวเศษมากกว่าหรือเท่ากับตัวส่วน เช่น 5 , 9
5 7
บทนิยาม จานวนคละ (mixed number) เป็นการนาเสนอเศษส่วนอกี รปู แบบหน่งึ โดยนาจานวนเต็มประกอบเข้า

กับเศษส่วนแท้ และมีปริมาณเท่ากบั สองจานวนนนั้ บวกกนั ตัวอย่าง เชน่ มีเค้กสองชิ้นและมีเค้กท่เี หลือ อยู่อีกสาม
3
ในสสี่ ว่ น สามารถเขียนแทนไดด้ ้วย 2 4

ในเวทคณิตมีวิธกี ารแปลงเศษส่วนสามญั ให้อยู่ในรูปเศษส่วนทมี่ ตี ัวเศษอยู่ในรปู ทศนิยมและตัวส่วน
เปน็ จานวนเตม็ ทไ่ี ม่เปน็ ศนู ย์

ตัวอย่าง

(1) 1 = 0.01 (2) 39 = 3.9
800 8 70 7

(3) 17 = 1.7 (4) 3741 = 0.3741
130 13 110000 11

(5) 97654 = 0.0097654
90000000 9

การแปลงเศษสว่ นสามัญใหเ้ ป็นเศษส่วนชว่ ยทาใหเ้ ราสามารถดาเนนิ การหารไดง้ ่ายขึ้นและผลลัพธท์ ีไ่ ด้
เปน็ จานวนท่ีอยใู่ นรปู ทศนิยมทีอ่ าจจะเปน็ จานวนตรรกยะหรอื จานวนอตรรกยะก็ได้

บทนิยาม เศษสว่ นช่วย (Auxiliary Fractions) คือจานวนทส่ี ามารถเขยี นอยูใ่ นรูป a/b หรือ a โดยที่ a อย่ใู น
b
รปู ทศนิยม และ b เป็นจานวนเต็มทไ่ี ม่เป็นศูนย์

114

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

เศษสว่ นช่วย แบ่งออกเปน็ 2 แบบ

4.1 เศษสว่ นช่วยแบบที่ 1

จากสตู รแรกของเวทคณติ คอื เอกาธิเกนะ ปรุ เวณะ(Ekadhikena Purvena หรอื one more than the
previous one) หมายถงึ การปัดคา่ ตัวเลขโดดโดยเพิม่ ค่าขึน้ 1 หนว่ ย (Rounding up process) สาหรับตวั เลข
ทีอ่ ยู่ข้างหนา้ ของเลข 9 หรอื อนกุ รมของ 9 เช่น 3.9 เขยี นแทนดว้ ย 4.0, 8.29 เขยี นแทนด้วย 8.3 และ 0.0499
เขยี นแทนด้วย 0.05

การปดั ค่าในกรณีน้ีสามารถนาไปใช้กบั การหารทมี่ ีตวั หารลงท้ายด้วย 9 หรอื อนุกรมของ 9 เพ่ือเปลีย่ น
ตัวหารใหด้ าเนนิ การหารได้งา่ ยขนึ้ ในการเปล่ียนเศษส่วนเปน็ ทศนยิ มซา้ (Recurring Decimals) และใช้ในการ
ตรวจสอบเร่ืองหารลงตวั ดังตาราง

ตารางแสดงเศษสว่ นท่ีมตี วั ส่วนลงท้ายด้วย9 หรอื อนุกรมของ 9 เป็นเศษสว่ นช่วย(Auxiliary Fraction=A.F.)

ข้อ เศษสว่ นทีม่ ตี วั สว่ น การปดั ค่าตัวสว่ น เศษส่วนช่วย (A.F.)
ลงทา้ ยด้วย 9 1 0.1
1 20 2
1 19 1 0.1
30 3
2 1 37 3.7
29 60 6
37 3 0.3
3 59 60 6
73 7.3
4 3 90 9
59 1 0.1
73 120 12
5 89 1 0.1
150 15
6 1 7 0.7
119 150 15
1 172 1.72
7 149 13
1300 0.371
8 7 371 8
149 8000
172 537 0.0537
9 1299 90000 9

10 371
7999

11 537
89999

115

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ขอ้ เศษสว่ นทมี่ ตี ัวส่วน การปดั ค่าตวั ส่วน เศษส่วนชว่ ย
56
ลงทา้ ยด้วย 9 0.056
56 16000
12 15999 50 16

13 50 70000 0.0050
69999 50 7
50 0.00005 0.00001
14 14999999 15000000 15 = 3
2175
15 2175 0.0002175
79999999 80000000 8
21863 21863 2.1863
16 49999 50000 5

จากตารางสงั เกตไดว้ า่ ในข้อท่ี 1 - 8 เป็นเศษส่วนที่ตัวสว่ นลงทา้ ยดว้ ย 9 เพยี งตัวเดยี วและในข้อท่ี 9 - 16
มตี ัวสว่ นลงทา้ ยดว้ ย 9 จานวน 2,3,4,3,4,6,7 และ 4 ตัว ตามลาดับ ซึ่งมีวธิ ีการทาเป็นเศษสว่ นชว่ ยเหมอื นกนั

เช่น 7 และ 7 ซึ่งมีจานวนของเลข 9 ต่างกนั แต่จานวนที่อยู่ขา้ งหน้าของเลข 9 เหมือนกัน เมอื่ ทาเปน็

299 2999

เศษสว่ นชว่ ยแลว้ จะมตี วั ส่วนเท่ากัน ดงั นี้

F= 7 จะได้ A.F. = 0.07
299
3

 F= 7 จะได้ A.F. = 0.007
2999
3

แต่การหาผลลัพธ์จะมีวธิ ีการหาท่ีต่างกนั ซงึ่ จะได้ศึกษาดงั ตัวอยา่ งตอ่ ไปน้ี

วธิ กี ารดาเนินการ

การหารเศษสว่ นที่มีตวั สว่ นลงทา้ ยด้วย 9 หรืออนุกรมของ 9 ใหค้ าตอบเป็นทศนยิ ม(โดยใช้เศษสว่ นชว่ ย)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลลัพธข์ อง 51

799

วิธีทา ในตัวอย่างน้ตี วั หารมีเลข 9 จานวนสองตัว จะดาเนินการหารเป็นชุดของคาตอบ ชุดละสองตัว

ขนั ที่ 1

ให้ F = 51 นา 51

799 799

จะได้ A.F. = 0.51 มาเขียนในรูปเศษส่วนชว่ ย โดยปดั คา่ ของตัวสว่ นเพม่ิ ขนึ้ 1

8 จะได้ 51 = 51

799 800

= 0.51 นำ 100 หำรทง้ั เศษและส่วน

8

116

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ขนั ที่ 2 - นา 8 ไปหาร 0 (ตวั แรกของตัวต้งั ) ได้ผลลพั ธ์เปน็ 0 เศษ 0 นาเศษ
8 0 . 05 51 ทีไ่ ด้ไปเขยี นเปน็ ตัวห้อยหนา้ 5 (ตวั เลขตัวทส่ี องของตัวต้งั ) เป็น 05
มคี า่ เทา่ กบั 05
0. 3 0 6
- นา 8 ไปหาร 05 ได้ผลลพั ธเ์ ปน็ 0 เศษ 5 นาเศษ 5 ที่ได้ไปเขียนห้อย
ไวห้ น้า 1 (ตวั เลขตัวที่สามของตัวตั้ง) เปน็ 51 มีค่าเทา่ กับ 51

- นา 8 ไปหาร 51 ( 51) ไดผ้ ลลพั ธเ์ ปน็ 6 เศษ 3 แล้วนาเศษ 3 ท่ไี ด้มา
เขยี นห้อยไว้ดา้ นหน้าของผลลพั ธช์ ุดทหี่ น่ึง เปน็ 3 06

หมายเหตุ การหารจะดาเนินการเปน็ ชุด ชดุ ละ 2 ตวั ตามจานวนของ
เลข 9 ทีเ่ ปน็ ตวั สว่ น

ขนั ที่ 3 - นาผลลพั ธท์ ่ีได้ในขัน้ ตอนที่ 2 ( 06 ) มาเป็นตวั ต้งั ในการหาผลลพั ธ์
8 3 0 66 3
23 8 ชุดทีส่ อง

ขันท่ี 4 - นา 8 ไปหาร 30 ( 3 0 ) ได้ผลลัพธเ์ ป็น 3 เศษ 6 นา 6 ไปเขียนห้อยไว้
8 2 3 78 หนา้ 6 (ตวั เลขตัวทสี่ องของตัวตงั้ ) เปน็ 6 6
62 9
- นา 8 ไปหาร 66 ( 6 6 ) ไดผ้ ลลัพธ์เป็น 8 เศษ 2 แลว้ นาเศษ 2 ทีไ่ ด้
มาเขียนห้อยไวด้ า้ นของผลลัพธ์ชดุ ที่สองเปน็ 238

- นาผลลัพธท์ ี่ได้ในขนั้ ตอนที่ 3 ( 238 ) มาเปน็ ตวั ตั้งในการหาผลลัพธ์
ชดุ ทสี่ าม

- นา 8 ไปหาร 23 ( 23 ) ไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ 2 เศษ 7 นา 7 ไปเขียนห้อยไว้
หนา้ 8 (ตัวเลขตัวท่ีสองของตัวต้งั ) เปน็ 78

- นา 8 ไปหาร 78 ( 78 ) ได้ผลลัพธ์เป็น 9 เศษ 6 แลว้ นาเศษ 6 ที่ได้มา
เขยี นหอ้ ยไวด้ า้ นหน้าของผลลพั ธ์ชดุ ท่ีสามเปน็ 6 29 เพอ่ื นาไปเป็น
ตัวตง้ั ของการหารในชุดที่สต่ี ่อไป

ในการหารขันต่อ ๆ ไป จะใช้วิธกี ารเหมือนขนั ตอนขา้ งต้น

นนั คอื 0.51 = 0.306 2386 29578 272 034... ดงั นัน ผลลพั ธข์ อง 51
8 = 0.063829787234...

799

117

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

เราสามารถพสิ ูจน์การดาเนนิ การหารข้างตน้ ได้ด้วยการใช้วธิ ีการหารตรงดังนี
วิธีทา 51 = 51

799 80 1

000 6 3 8 2 9 78

801 0 0 5 5 1 3 0 6 0 2 0 7 0 6 0 6 0 5 0 1 0

5 51 30 66 23 78 62 69 57 18

0 0 6 3 8 2 9 7 8 7 2…

ดังนัน ผลลัพธ์ของ 51 = 0.0638297872...

799

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลลัพธ์ของ 21863

49999

วธิ ที า ในตัวอยา่ งนตี้ วั หารมเี ลข 9 จานวนสี่ตวั จะดาเนินการหารเปน็ ชุดของคาตอบ ชดุ ละส่ีตัว

ขนั ท่ี 1 นา 21863
ให้ F = 21863
49999
49999
มาเขยี นในรูปเศษสว่ นช่วย
จะได้ A.F. 2.1863 โดยปัดคา่ ของตวั ส่วนเพม่ิ ขนึ้ 1

5 จะได้ 21863 = 21863

49999 50000

= 2.1863 นำ 10000 หำรทั้งเศษและสว่ น

5

และนาเศษ (3) มาใส่ไวด้ ้านหน้าของชุดตวั เลขทง้ั 4 ตัว

118

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

ขนั ท่ี 2 นา 5 ไปหารตวั เศษ
5 2 . 21 18 36 13 โดยแบง่ เป็นกลุ่ม กลมุ่ ละ 4 ตัว (ตามจานวนของเลข 9)
และนาเศษ (2) มาใส่ไว้ด้านหนา้ ของชุดตัวเลขทัง้ 4 ตัว
0. 3 4 3 7 2
นาผลลพั ธ์ท่ไี ดใ้ นข้ันตอนที่ 2 ( 3 4372 )
ขนั ที่ 3 นา 5 ไปหารโดยใชว้ ธิ ีการตั้งหารทานองเดยี วกนั
5 3 4 43 37 22 กบั ตวั อยา่ งท่ี 1

26 8 7 4 นาผลลพั ธท์ ี่ไดใ้ นขั้นตอนท่ี 3 ( 2 6874)
ขันที่ 4 นา 5 ไปหารโดยใชว้ ธิ ีการตั้งหารทานองเดยี วกัน
กบั ตัวอยา่ งท่ี 1
5 2 6 18 37 2 4

4 5 374

ในการหารขันต่อ ๆ ไป จะใชว้ ิธกี ารเหมือนขนั ตอนขา้ งต้น

นันคือ 2.1863 = 0.3 4372 2 6874 4 5374...
5

ดงั นัน ผลลัพธข์ อง 21863 = 0.437268745374...-

49999

ตัวอยา่ ง 2 จงเขยี น 21863 ใหอ้ ย่ใู นรูปทศนยิ ม โดยใช้วิธกี ารหารตรง

49999

วิธที า 21863 = 21863

49999 5000 1

00 0 0 4 3 7 2 6

50001 2 2 1 1 8 3 6 1 3 3 0 4 0 3 0 2 0 2 0

21 18 36 13 34 43 37 22 26
0 4 3 7 2 6 8 7 4 5…
ดงั นนั ผลลัพธ์ของ 21863 = 0.437268745...

49999

119

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตัวอยา่ งเพิ่มเติม จะได้ F = 0.0 2 20 26 2819161505210712 0 4112327...
(1) F = 6 A.F. = 0.6
F = 0.2068965517241379310344827586
29 3

(2) F = 71 A.F. = 7.1 จะได้ F = 0.79775280898...
จะได้ F = 0.12230215827...
89 9 จะได้ F = 0.54748603351955...
จะได้ F = 0.023255813953488...
(3) F = 17 A.F. = 1.7 จะได้ F = 0.395348837209...
F = 0.24657534...
139 14 F = 0.0663329161451814...
F = 0.01666852057...
(4) F = 98 A.F. = 9.8
F = 0.0011117287...
179 18
F = 0.429184549356223175...
(5) F = 1 = 3 A.F. = 0.3
43 129 13 F = 0.031716551182...

(6) F= 17 = 51 A.F.= 5.1 จะได้ F = 0.003233900107796670259...
43 129 13

(7) 18 54 5.4 จะได้
F= =  A.F. = จะได้

73 219 22

(8) F = 53 A.F. = 5.3

799 8

(9) F= 15 0.15 จะได้
 A.F. =

899 9

(10) F = 2 0.02 จะได้
 A.F. =

1799 18

(11) F = 100 = 300  A.F. = 3 จะได้
233 699 7

(12) F = 444 A.F. = 0.444 จะได้
13999 14

(13) F = 97017 A.F. = 0.0097917
29999999 3

หมายเหตุ ในกรณีที่ตัวส่วน ลงท้ายด้วย 1 , 7 หรอื 3 เราสามารถหาจานวนท่มี าคณู ใหต้ ัวสว่ นลงท้ายดว้ ย 9 ได้

120

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ฝกึ สมองประลองปญั ญา

ข้อ เศษสว่ นสามญั เศษส่วนชว่ ย วิธีทา
13
2 0.3 2 11 2 15 2 17
19
0.3 0 .11 15 17 18

2 จะได้ F = 0.11151718...

F = 0.1578... สำมำรถทำตำมขั้นตอนดังกลำ่ วจนกระทง่ั ได้

จำนวนตำแหนง่ ของทศนิยมตำมตอ้ งกำร

2 11

59

37

119

4 17

1299

5 391

7999

121

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

6 132 122

69999

7 234

15999

8 888

499999

9 891

10999

10 4

1196

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

4.2 เศษส่วนชว่ ยแบบท่ี 2

ในกรณีทเี่ ศษส่วน มตี วั ส่วนลงทา้ ยด้วย 1 เช่น 3 , 345 , 6267 , 678 เปน็ ต้น วิธีแปลงเป็น

61 6751 80001 2300001

เศษสว่ นช่วยคือ ให้ตัด 1 ทีต่ วั ส่วนออกแล้วใส่ 0 แทน พรอ้ มกับลดคา่ ของตวั เศษลง 1 ดังตารางตอ่ ไปน้ี :
ตารางแสดงเศษสว่ นที่มีตวั ส่วนลงท้ายดว้ ย 1 และเศษสว่ นช่วยแบบที่ 2

ขอ้ เศษส่วนที่มีตัวสว่ น การปดั ค่าตัวส่วน เศษส่วนช่วย (A.F.)
ลงทา้ ยด้วย 1
2 0.2
13 60 6
35 3.5
61 60 6
27 2.7
2 36 70 7
72 7.2
61 90 9
1 0.1
3 28 120 12
13 1.3
71 130 13
0 0.00
4 73 300 3
0 0.00
91 900 9
171 1.71
52 1300 13
2742 2.742
121 7000 7
6162 6.162
6 14 8000 8
1767 1.767
131 9000 9
55 0.055
71 16000 16
49 0.00049
301 700000 7
2174 0.0002174
81 80000000 8

901

9 172

1301

10 2743

7001

11 6163

8001

12 1768

9001

13 56

16001

14 50

700001

15 2175

80000001

123

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

วิธกี ารดาเนนิ การการแปลงเศษส่วนแบบท่ี 2 เป็นจานวนทศนิยม

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลลัพธ์ของ 13

31

ขันตอนการหาร

ขนั ท่ี 1

ให้ F = 13 นา 13

31 31

มาเขียนในรูปเศษสว่ นช่วย
โดยปดั คา่ ของตัวส่วน ลดลง 1

จะได้ A.F. = 1.2 จะได้ 13 = 12

3 31 30

= 1.2 นำ 10 หำรทัง้ เศษและสว่ น

3

ขนั ที่ 2 ตวั เติมเต็มเก้ำของ 4 คอื 5 นา 3 ไปหารตัวเศษ
3 1.2 โดยใชว้ ธิ กี ารตัง้ หาร ได้ 4 เศษ 0
จะได้ 5 และนาเศษท่ีได้ (0) มาใสไ่ ว้ด้านหนา้ ของ 4
0 . 04

ขันที่ 3 ตวั เติมเต็มเก้ำของ 1 คอื 8 นาผลลัพธท์ ีไ่ ด้จากข้นั ตอนที่ 2 (4)
3 05 มาหาตัวเติมเต็มเกา้ ของ 4 คือ 5
จะได้ 28 นา 05 หารด้วย 3 ได้ 1 เศษ 2
21 และนาเศษที่ได้ (2) มาใส่ไวด้ ้านหน้าของ 1
ขันที่ 4
นาผลลัพธท์ ไี่ ดจ้ ากขน้ั ตอนที่ 3 (21)
3 28 มาหาสว่ นเตมิ เต็มเกา้ ของ 1 คอื 8
นา 28 หารด้วย 3 ได้ 9 เศษ 1
19 และนาเศษท่ีได้ (1) มาใส่ไวด้ ้านหนา้ ของ 9

124

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ในการหารขนั ตอ่ ๆ ไป จะใชว้ ิธกี ารเหมือนขนั ตอนข้างต้น

 13 = 0. 0 4 2119...
31

ดงั นัน้ ผลลัพธ์ของ 13 = 0.419...

31

เราสามารถพิสูจนก์ ารดาเนินการหารข้างต้นได้ดว้ ยการใช้วธิ ีการหารตรงดงั นี
วธิ ที า

04 1 9 3 5 4 8 3

31 1 1 3 1 0 3 0 2 0 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0

13 6 29 11 17 15 26 12 27

0 4 1 9 3 5 4 8 3 8…

ดังนนั ผลลพั ธข์ อง 13 = 0.419354838...

31

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลลพั ธข์ อง 10 นา 10 มาปรับปรุงตัวเศษและตัวส่วน เพอ่ื ให้ตวั สว่ น

27 27

ขันตอนการหาร ลงท้ายด้วย 1 ดงั นี้ 10 = 103 = 30
ขันท่ี 1
27 273 81
ให้ F = 10
และนามาเขยี นในรปู เศษสว่ นชว่ ย
27 โดยปดั ค่าของตวั เลขลดลง 1 หนว่ ย

จะได้ A.F. = 2.9

8

จะได้ 29 = 2.9 นำ 10 หำรทง้ั เศษและส่วน

80 8

ขันที่ 2 ตัวเติมเตม็ เกำ้ ของ 3 คอื 6 นา 8 ไปหารตวั เศษ
8 2.9 โดยใช้วิธกี ารต้ังหาร ได้ 3 เศษ 5
จะได้ 56 และนาเศษทไ่ี ด้ (5) มาใสไ่ ว้ ดา้ นหนา้ ของ 3
0 .5 3

125

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ขนั ที่ 3 ตัวเติมเตม็ เก้ำของ 7 คอื 2 นาผลลัพธ์ที่ไดจ้ ากขัน้ ตอนที่ 2 (53)
8 56 มาหาตวั เตมิ เตม็ เก้าของ 3 คือ 6
จะได้ 02 นา 56 หารดว้ ย 8 ได้ 7 เศษ 0
07 และนาเศษที่ได้ (0) มาใส่ไว้ด้านหน้าของ 7

ขั้นท่ี 4 ตัวเตมิ เต็มเกำ้ ของ 0 คอื 9 ข้นั ตอนท่ี 4
8 02 จะได้ 29 นาผลลัพธ์ที่ไดจ้ ากขน้ั ตอนที่ 3 (07)
มาหาส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 7 คือ 2
20 มาหารดว้ ย 8 ได้ 0 เศษ 2
และนาเศษที่ได้ (2) มาใส่ไวด้ ้านหนา้ ของ 0

ขั้นท่ี 5 ตัวเตมิ เต็มเก้ำของ 3 คือ 6 ขน้ั ตอนท่ี 5
8 29 จะได้ 56 นาผลลพั ธท์ ี่ได้จากข้ันตอนท่ี 4 (20)
มาหาส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 0 คือ 9
53 มาหารด้วย 8 ได้ 3 เศษ 5
และนาเศษท่ีได้ (5) มาใสไ่ ว้ด้านหน้าของ 3

ขน้ั ท่ี 6 ตวั เตมิ เต็มเก้ำของ 7 คอื 2 ข้ันตอนที่ 6
8 56 จะได้ 02 นาผลลพั ธท์ ีไ่ ดจ้ ากขัน้ ตอนที่ 5 (56)
มาหาส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 3 คือ 6
07 นา 56 หารด้วย 8 ได้ 7 เศษ 0
และนาเศษท่ีได้ (0) มาใสไ่ ว้ด้านหน้าของ 7

ขนั้ ที่ 7 ขั้นตอนท่ี 7
8 02 นาผลลพั ธ์ทไ่ี ด้จากขัน้ ตอนที่ 6 (07)
มาหาส่วนเติมเตม็ เกา้ ของ 7 คอื 2
20 มาหารดว้ ย 8 ได้ 0 เศษ 2
โดยนาเศษที่ได้ (2) มาใสไ่ ว้ดา้ นหนา้ ของ 0

ในการหารขนั ต่อ ๆ ไป จะใช้วิธีการเหมือนขนั ตอนขา้ งต้น

นนั คอื 2.9 = 0.530 7 2 0 530 7 2 0... ดงั นนั ผลลพั ธ์ของ 10 = 0.370370... = 0.37 0
8 27

126

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ขอ้ สงั เกต ในการหารเศษสว่ นชว่ ยแบบที่ 2 น้ี หลกั หน่วยของตวั ตั้งที่จะนามาตั้งหารใหม่
จะต้องเปน็ ส่วนเติมเตม็ ของเกา้ เสมอ

ตวั อย่างเพิม่ เติม จะได้ F = 0.0012143309001214330900...
(1) F = 1 A.F. = 0.0

41 4

F = 0.024390243902439... = 0.0 2439

(2) F = 70 A.F. = 6.9 จะได้ F = 0.98591549295774647887323...

71 7

(3) F = 91 A.F. = 9.0 จะได้ F = 0.53216374269...

171 17

(4) F = 131 A.F. = 130 = 1.30 คาตอบจะต้องเป็นกลุ่มละ 2 ตวั

701 700 7

จะได้ F = 0.186875891583....

(5) F = 1400 A.F. = 13.99 จะได้ F = 0.9992862241...

1401 14

(6) F = 243 A.F. = 2.42 จะได้ F = 0.15178013741411617738...
1601 16

(7) F = 5 = 15 A.F. = 0.14 คาตอบจะต้องเป็นกลุ่มละ 2 ตวั
67 201 2 จะได้ F = 0.0746268656...

(8) F = 2743A.F. = 2.742 คาตอบจะต้องเป็นกลุ่มละ 3 ตวั
7001 7 จะได้ F = 0.391801171261248393086...

(9) F = 31 = 93 A.F. = 9.2 จะได้ F= 0.4025974... = 0.402597
77 231 23

(10) F = 29 A.F. = 0.0283 จะได้ F = 0.001933204453036...
15001 15

(11) F = 137 A.F. = .000137 จะได้ F = 0.000010538460727810713245...
13000001 13

127

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ขอ้ F ฝึกสมองประลองปัญญา
1 53
A.F. Solution
91
9 5.2 9 74 9 21 9 37

5.2 0 .75 0 .28 0 .32 0 .14

9 จะได้ F = 0.75283214...

F = 0.5824... สำมำรถทำตำมข้นั ตอนดังกล่ำวจนกระทงั่

ไดจ้ ำนวนตำแหนง่ ของทศนยิ มตำมตอ้ งกำร

2 47

121

3 16

131

45

601

128

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

5 11

171

6 27

24001

7 62

124

8 19

15001

129

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

การประยุกต์ใช้เศษส่วนช่วย

จากวธิ กี ารแปลงเศษสว่ นท่ีตัวส่วนลงทา้ ยด้วย 9 หรอื 1 เปน็ จานวนในรปู ทศนิยม ดงั ท่ีไดก้ ลา่ วมาแล้วใน
กรณีท่ีตัวสว่ นมีค่าใกลจ้ านวนท่ีเป็นเลขยกกาลงั ของฐานสิบมีทง้ั ค่าน้อยกวา่ หรือมากกวา่ กาลังของฐานสบิ ไม่มากนัก
เราอาจใช้วิธีการขา้ งตน้ มาประยุกตใ์ ช้ โดยการเพ่มิ เขา้ หรอื ลบออกได้ในขั้นตอนการหาร

เชน่ F = 15 A.F. = 15 = 1.5

68 70 7

F = 101 A.F. = 101 = 10.1
138 140 14

F = 73 A.F. = 73 = 7.3
97 100 10

F = 17 A.F. = 17 = 1.7
127 130 13

F = 5236 A.F. = 5236 = 5.236
8997 9000 9

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลลัพธ์ของ 15 200
136
68
640
วธิ ปี กติ 6815.0 612

136 280
272
140 80
136 68
120
400 68
340 520
476
600 440
544 408

560
544

160
136

240
204

360
340

จากวธิ ขี า้ งต้น สามารถพัฒนาเปน็ การคิดเลขในใจไดโ้ ดยใชว้ ิธีทางเวทคณติ ไดด้ ังนี

130

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตารางแสดงการประยกุ ต์ใชเ้ ศษสว่ นช่วย แปลงเศษส่วนที่กาหนดใหใ้ นรูปเศษสว่ นช่วย
ขันตอนการหาร พจิ ารณาตวั ส่วน 68 ตา่ งจาก 69 อยู่ 1
ขันท่ี 1 การหาผลหารต้งั แต่ตัวทีส่ องเป็นตน้ ไปจะต้องนาตัวต้ัง
ให้ F = 15 มาบวกกบั หนง่ึ เทา่ ของผลหาร

68

จะได้ A.F = 15 = 1.5

70 7

ขันที่ 2 นำ 12 + (1×2) = 14 นา 7 ไปหารตวั เศษ1.5 โดยวธิ ีการตง้ั หาร ได้ .2 เศษ 1
7 1.5 และนำไปตง้ั หำรใหม่ และนาเศษที่ได้ (1) มาใส่ไว้ด้านหนา้ ของ 2

0 .12 นำ 02 + (1×2) = 04 จากขั้นท่ี 2 ก่อนหาผลหารต้องนาตัวตัง้ คอื 12
ขันที่ 3 และนำไปตงั้ หำรใหม่ บวกกบั หนง่ึ เท่าของผลหาร คือ 2 จะได้ 12 + (1×2) = 14
นา 7 ไปหาร 14 ได้ 2 เศษ 0
7 14 นำ 40 + (1×0) = 40 และนาเศษท่ีได้ (0) มาใสไ่ ว้ด้านหน้าของ 2
และนำไปตงั้ หำรใหม่
02 จากขนั้ ท่ี 3 ก่อนหาผลหารต้องนาตวั ตง้ั คอื 02
ขันท่ี 4 บวกกับหนึ่งเท่าของผลหาร คอื 2 จะได้ 02 + (1×2) = 04
นา 7 ไปหาร 04 ได้ 0 เศษ 4
7 04 และนาเศษท่ีได้ (4) มาใสไ่ วด้ ้านหน้าของ 4

40 จากข้ันท่ี 4 กอ่ นหาผลหารต้องนาตวั ตั้งคอื 40
บวกกับหน่งึ เทา่ ของผลหาร คอื 0 จะได้ 40 + (1×0) = 40
ขันท่ี 5 นา 7 ไปหาร 40 ได้ 5 เศษ 5
7 40 และนาเศษที่ได้ (5) มาใสไ่ ว้ด้านหน้าของ 5

นำ 40 + (1×0) = 40
และนำไปต้ังหำรใหม่

ขันท่ี 6 นำ 55 + (1×5) = 60 จากขนั้ ที่ 5 ก่อนหาผลหารต้องนาตวั ตั้งคอื 55
7 60 และนำไปตั้งหำรใหม่ บวกกบั หน่งึ เทา่ ของผลหาร คอื 5 จะได้ 55 + (1×5) = 60
นา 7 ไปหาร 60 ได้ 8 เศษ 4
48 และนาเศษที่ได้ (4) มาใส่ไวด้ ้านหนา้ ของ 8

131

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ขันที่ 7 การหารขั้นตอนไปจะใชว้ ธิ กี ารหารเหมือนขน้ั ตอนข้างต้น
7 56 และหาผลหารจนได้จานวนทศนิยมตามต้องการ
08

นันคือ 1.5
7 = 0.12 0 2 40 55 4808...

ดังนัน ผลลพั ธ์ของ 15 = 0.220588...

68

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลพั ธข์ อง 101 (0.73188405797101449275...)

138

วธิ เี วทคณติ A.F. = 101 พิจารณา 138 ต่างจาก 139 อยู่ 1

14

F = 101 = 0. 3 7 2 312110 8 4 8 0 4 8 0 10 512 7 8 9 0 7 012 0 616 412 4 2 9 10 2 6 7 4 5...
14

วธิ ีปกติ 138 101.0

99 6 1100 680
966 552
440
414 1340 1280
1242 1242
260
138 980 380
966 276
1220 1040
1104 140 966
138
560 200 740
552 690
138
800 620 50
690 552

132

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาผลลัพธข์ อง 73 (0.75257731958762886597...)

97

วิธีปกติ 97 73.0

679 740
679
510 610
485 582

250 280
194 194

560 860
485 776
840
750 776
679
640
710 582
679 580
485
310
291 950
873
190 770
97 679

930 91
873

570
485

850
776

จากวธิ ขี า้ งต้น สามารถพัฒนาเป็นการคิดเลขในใจไดโ้ ดยใชว้ ิธีทางเวทคณิต ไดด้ ังนี

ตารางแสดงการประยุกต์ใช้เศษสว่ นช่วย

ขันตอนการหาร

ขันที่ 1

ให้ F = 73 แปลงเศษสว่ นที่กาหนดใหใ้ นรูปเศษส่วนชว่ ย
พิจารณาตวั สว่ น 97 ตา่ งจาก 99 อยู่ 2
97

จะได้ A.F. = 73 = 7.3 การหาผลหารต้ังแตต่ ัวทสี่ องเป็นต้นไปจะต้องนาตวั ต้ัง
มาบวกกับสองเท่าของผลหาร
100 10

133

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

ขนั ที่ 2 นา 10 ไปหารตัวเศษโดยวธิ กี ารตั้งหาร ได้ 7 เศษ 3
10 7 . 3 นำ 37 + (2×7) = 51 และนาเศษท่ีได้ (3) มาใส่ไวด้ ้านหน้าของ 7

0 .37 และนำไปตั้งหำรใหม่

ขันท่ี 3 นำ 15 + (2×5) = 25 จากขั้นที่ 2 ก่อนหาผลหารต้องนาตัวตง้ั คือ 37
10 5 1 และนำไปต้งั หำรใหม่ บวกกบั สองเท่าของผลหาร คือ 7 จะได้ 37 + (2×7) = 51
นา 10 ไปหาร 51 ได้ 5 เศษ 1
15 และนาเศษที่ได้ (1) มาใส่ไว้ด้านหนา้ ของ 5
ขันที่ 4
นำ 52 + (2×2) = 56 จากข้นั ตอนท่ี 3 ก่อนหาผลหารตอ้ งนาตวั ต้งั คือ 15
10 2 5 และนำไปต้งั หำรใหม่ บวกกบั สองเท่าของผลหาร คือ 5 จะได้ 15 + (2×5) = 25
นา 10 ไปหาร 25 ได้ 2 เศษ 5
52 และนาเศษที่ได้ (5) มาใสไ่ วด้ ้านหนา้ ของ 2

ขนั ที่ 5 จากขน้ั ตอนที่ 4 ก่อนหาผลหารต้องนาตวั ตั้งคอื 52
10 5 6 บวกกับสองเท่าของผลหาร คือ 2 จะได้ 52 + (2×2) = 56
65 นา 10 ไปหาร 56 ได้ 5 เศษ 6
และนาเศษที่ได้ (5) มาใส่ไว้ด้านหน้าของ 5
นำ 65 + (2×5) = 75
และนำไปตง้ั หำรใหม่

ขนั ที่ 6 นำ 57 + (2×7) = 71 จากขัน้ ตอนที่ 5 ก่อนหาผลหารตอ้ งนาตวั ต้ังคอื 65
10 7 5 และนำไปตง้ั หำรใหม่ บวกกบั สองเท่าของผลหาร คือ 5 จะได้ 65 + (2×5) = 75
57 นา 10 ไปหาร 75 ได้ 7 เศษ 5
และนาเศษที่ได้ (5) มาใสไ่ วด้ ้านหน้าของ 7
ขนั ท่ี 7
10 7 1 การหารขัน้ ตอนไปจะใช้วธิ ีการหารเหมือนขัน้ ตอนข้างตน้
17 และหาผลหารจนไดจ้ านวนทศนยิ มตามต้องการ

นันคอื 7.3
10 = 0.37155 2 655717...

ดงั นนั ผลลพั ธข์ อง 73 = 0.752577...

97

134

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาค่าของ 17 อยู่ในรปู ทศนยิ ม 20 ตาแหนง่

127

วิธเี วทคณิต A.F. = 1.7 พิจารณา 127 ตา่ งจาก 129 อยู่ 2

13

ตอ้ งบวกตวั ต้ังกับ 2 คณู กบั ผลลัพธ์ของมนั (Q- digit) ในแต่ละครงั้ ในการหาร

F = 1.7 = 0.41431035895188 286 7 7 0 7 8156 35 634534 0390126...
13

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงแสดง 5236 อยใู่ นรูปทศนยิ ม 21 ตาแหนง่ (0.581/ 971/ 768 / 367 / 233 / 522 / 285 / ...)

8997

วิธีเวทคณติ A.F. = 5.236 พจิ ารณา 8997 ต่างจาก 8999 อยู่ 2 และคาตอบจะต้องเปน็ กล่มุ ๆ ละ

9

3 ตัวเลขโดด ดงั นน้ั ตอ้ งบวกตัวตงั้ กบั 2 คณู กบั ผลลัพธ์ของมัน (Q- digit) ในแตล่ ะคร้ังในการหาร

F = 0.7581497117681367 423315221285...

วิธปี กติ 8997 5236.0

44985 30160
26991
73750 31690
71976 26991

17740 46990
8997 44985
20050
87430 17994
80973
20560
64570 17994
62979
25660
61510 17994
53982
76660
75280 71976
71976 46840

33040 44985
26991 1885

60490
53982

65080
62979

21010
17994

135

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

แบบฝึกหดั ชุดที่ 1 จงหาทศนิยมซ้า(Recurring Decimal)

1. 25 2. 24

29 39

3. 29 4. 3

39 49

5. 44 6. 44

69 79

7. 1 8. 1

99 9

การใช้สัดสว่ นช่วยในการดาเนนิ การหารแบบเอกาธเิ กนปุรเวณะ
9. 1 10. 2

7 13

136

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

11. 5 12. 17

23 33

13. 9 14. 3

11 17

หาคาตอบทถ่ี ูกต้องทศนิยม 4 ตาแหน่ง 16. 67
15. 18
89
59

17. 100 18. 1 3

109 7

19. 20 20. 99

13 49

137