เวทคณิตรวมสมบูรณ์

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

5. การยกกาลงั สอง (SQUARING)

สูตรการหาผลคูณด้วยแนวตงั้ และแนวไขวน้ ั้น สามารถนาไปประยุกต์ใชก้ บั การยกกาลังสองของจานวน
จรงิ ได้ เพราะเปน็ การคณู เลขของจานวนสองจานวนท่เี ท่ากัน ซ่งึ ดงู า่ ยและหาคาตอบได้รวดเร็ว

ในกรณีนเ้ี ราจะต้ังนยิ าม คาวา่ ทวคิ ณู (Duplex) เพื่อการจดจาง่าย และเกิดความเขา้ ใจมากยิ่งขนึ้
บทนิยาม ทวคิ ูณของจานวนจรงิ ( N ) แทนด้วย D(N) โดยท่ี a,b,c,d,e,f,... เปน็ จานวนจริงใด ๆ แลว้

D(a) = a2

D(ab) = 2ab

D(abc) = 2ac + b2

D(abcd) = 2ad + 2bc

D(abcde) = 2ae + c2 + 2bd เป็นเชน่ น้ไี ปเร่ือย ๆ

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ 432 แนวคดิ 1,849 เกิดจาก

วธิ ที า 432 =16 / 24 / 09 D(4) = 42 = 16
D(43) = 2(43) = 24

=1,849 D(3) = 32 = 09

ตอบ 1,849 นั่นคอื

1209
64

1849

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคา่ ของ 982 แนวคิด 982 เกิดจาก
วิธที า 982 = (102)2
D(10) = 102 = 100
= (10 / 2)2
D(10 / 2) = 2(10 2) = 40
=100 / 40 / 04
= 104 / 04 = 9,604 D(2) = 04

ตอบ 9,604 นนั่ คอื

10 4 0 4
60

10 4 04

40

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคูณ

ตัวอย่างท่ี 3 (341)2 แนวคิด
วิธีทา (341)2 = (3 / 4 / 1)2
D(3) = 32 = 9
= 9 / 24 / 22 / 08 / 01 D(34) = 2(3 4) = 24
= 116, 281 D(341) = 2(31)+42 = 22
D(41) = 2(4 1) = 08
ตอบ 116, 281 D(1) = 12 = 01
D(3) ,D(34), D(341), D(41), D(1)
ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาค่าของ 43322
วธิ ที า (4332)2 = (4 / 3 / 3 / 2)2 สอดคลอ้ งกบั การคณู แนวตั้งและแนวไขว้ โดยยดึ
วธิ กี ารหาคาตอบแบบนยิ ามทวิคณู
= 16 / 24 / 33 / 34 / 21/ 12 / 04
= 18,766, 224 022001
9 42 8
ตอบ 18,766, 224
1 1 6, 2 8 1

D(4) = 42 = 16
D(43) = 2(4  3) = 24
D(433) = 2(4  3)+32 = 33
D(4332) = 2(4  2)+2(3 3) = 34
D(332) = 2(3 2)+32 = 21
D(32) = 2(3 2) = 12
D(2) = 22 = 04

ขอ้ สงั เกต จากตวั อยา่ งข้างบนมีลักษณะสมมาตรกนั ด้านกับด้านหลงั

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาคา่ 210342
วธิ คี ิดเร็ว 210342 = 4411222892416 = 442429156

ตัวอย่างที่ 6 จงหาคา่ 1922
วธิ ีคดิ เร็ว 1922 = (212)2 = (2 /1/ 2)2 = 44944 = 36864

41

เวทคณิต 3) 41 3. การดาเนนิ การคณู

แบบฝกึ หัดชดุ ท่ี 3 4) 26 5) 23
1. จงหากาลังสองของจานวนต่อไปน้ี
1) 31 2) 14

6) 32 7) 21 8) 66 9) 81 10) 91

11) 56 12) 63 13) 77 14) 33 15) 105

2. จงหากาลงั สองของจานวนตอ่ ไปนี้ โดยแบง่ ตัวเลขของจานวนทก่ี าหนดให้ออกเปน็ สองส่วน สว่ นแรกมสี อง

ตัวเลข

1) 121 2) 104 3) 203 4) 203 5) 113

6) 116 7) 108 8) 111 9) 181 10) 291

11) 156 12) 253 13) 357 14) 373 15) 150

3. จงหากาลังสองของจานวนต่อไปนี้ 2) 3032 3) 7130
1) 1234

4) 7130 5) 32104 6) 3103

42

เวทคณติ 3. การดาเนนิ การคณู

6. การคณู โดยการเบ่ียงฐาน

การดาเนนิ การคูณโดยวธิ ีการเบี่ยงฐานในเวทคณิต เปน็ วธิ กี ารหาผลคณู แบบเทคนิควธิ ี ของจานวนสอง

จานวนทีค่ ณู กันซงึ่ มีคา่ ใกล้เลขฐาน (เลขฐานคือเลข 10,100,1000,...,10n ) และคา่ ที่ใกลฐ้ านเรยี กวา่ ค่าเบ่ียง

ฐาน(deficiency)

ค่าเบยี่ งฐาน จะมีคา่ เปน็ บวกหรือลบ ขน้ึ อยู่กบั ค่าของแตล่ ะจานวนทจ่ี ะหาผลคูณ ว่ามคี ่ามากกวา่ หรือ

นอ้ ยกว่าฐานน้ัน ๆ ดังตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ตวั อย่างท่ี 1 ค่าเบ่ยี งฐานจากฐาน 10
8 มคี า่ นอ้ ยกว่า 10 อยู่ 2 หมายถึง 8 มคี า่ เบี่ยงฐานจาก 10 เป็น –2
6 มีค่าน้อยกว่า 10 อยู่ 4 หมายถงึ 6 มีคา่ เบยี่ งฐานจาก 10 เป็น –4
13 มคี า่ มากกวา่ 10 อยู่ 3 หมายถึง 13 มคี า่ เบย่ี งฐานจาก 10 เป็น 3
25 มีค่ามากกวา่ 10 อยู่ 15 หมายถึง 25 มคี า่ เบย่ี งฐานจาก 10 เป็น 15

ตวั อย่างท่ี 2 คา่ เบย่ี งฐานจากฐาน 100
82 มีคา่ นอ้ ยกวา่ 100 อยู่ 18 หมายถงึ 82 มีคา่ เบี่ยงฐานจาก 100 เป็น –18
96 มคี า่ น้อยกว่า 100 อยู่ 4 หมายถึง 96 มคี ่าเบ่ียงฐานจาก 100 เป็น –04
105 มคี า่ มากกว่า 100 อยู่ 5 หมายถงึ 105 มคี ่าเบี่ยงฐานจาก 100 เป็น 05
118 มคี ่ามากกวา่ 100 อยู่ 18 หมายถงึ 118 มคี ่าเบ่ยี งฐานจาก 100 เป็น 18

ตัวอย่างที่ 3 คา่ เบ่ยี งฐานจากฐาน 1,000
992 มีคา่ น้อยกว่า 1,000 อยู่ 8 หมายถึง 992 มีค่าเบี่ยงฐานจาก 1,000 เป็น –008
986 มีค่านอ้ ยกวา่ 1,000 อยู่ 14 หมายถึง 986 มีค่าเบี่ยงฐานจาก 1,000 เป็น –014
1,011 มคี า่ มากกว่า 1,000 อยู่ 11 หมายถงึ 1,011 มคี ่าเบย่ี งฐานจาก 1,000 เป็น 011
1,026 มคี า่ มากกวา่ 1,000 อยู่ 26 หมายถงึ 1,026 มคี ่าเบี่ยงฐานจาก 1,000 เป็น 026

43

เวทคณติ 3. การดาเนนิ การคณู

6.1 การคณู โดยการเบี่ยงฐานกรณตี วั คณู ท้งั สองนอ้ ยกวา่ ฐาน

(NUMBERS JUST BELOW A BASE)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลคูณของ 88  89 ขน้ั ตอนท่ี 1 เขยี นคา่ เบ่ยี งฐานทางขวามือของตวั ต้ังและ
วิธที ี่ 1

88 −12

98 − 02 ตวั คูณ ซึ่งค่าเบีย่ งฐานของ 88 คือ −12และ

ค่าเบี่ยงฐานของ 98 คือ −02

88 −12 ข้นั ตอนที่ 2 หาผลบวกของตัวตงั้ และค่าเบ่ียงฐานของ
98 − 02 ตัวคูณ หรือหาผลบวกของตวั คณู และคา่ เบ่ยี งฐานของตวั
86 / ตง้ั ซง่ึ ผลบวกทีไ่ ด้จะมีค่าเท่ากัน
จะได้ 88 + (−02) = 86 หรอื 98 + (−12) = 86
นาผลบวกทีไ่ ด้ ใส่ไวท้ ี่ดา้ นล่างของตัวคณู ตรงส่วนแรก
ของคาตอบ

88 −12 ขัน้ ตอนท่ี 3 หาผลคณู ของค่าเบ่ยี งฐาน จะได้
98 − 02 (−12)  (−02) = 24 นาผลคณู ที่ได้ ใส่ไวท้ ่ดี า้ นล่างของ
86 / 24 ค่าเบ่ยี งฐานของตัวคูณ ตรงส่วนหลังของคาตอบ

88 −12 ขั้นตอนที่ 4 ผลลัพธ์ที่เกดิ จากการคูณ คือ 8624
98 − 02
86 / 24 ขั้นตอนท่ี 1 เขียนค่าเบ่ยี งฐานไวด้ า้ นบนของตัวต้งั
และตัวคณู ซง่ึ ค่าเบ่ียงฐานของ 88 คือ −12และ
8624
คา่ เบยี่ งฐานของ 98 คือ −02
ดังนนั้ ผลคูณของ 8898 คือ 8624
วิธีท่ี 2 44

−12 −02

88  98

เวทคณิต 3. การดาเนินการคณู

−12 −02 ข้ันตอนท่ี 2 ส่วนแรกของคาตอบ คือ
88 + (−02) = 86 หรือ 98 + (−12) = 86
88  98 = 86 / 24 ส่วนหลังของคาตอบ คือ (−12)  (−02) = 24

−12 −02 ขนั้ ตอนที่ 3
ผลลพั ธท์ เี่ กดิ จากการคูณ คือ 8624
88  98 = 86 / 24
= 8624

ดงั น้นั ผลคูณของ 8898 คอื 8624

หมายเหตุ ในเอกสารเล่มน้ี เราจะใชว้ ิธีที่ 2 อธบิ ายการดาเนินการคูณโดยการเบีย่ งฐาน

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาผลคูณของ 9396

วธิ ที า −07 −04

93  96 = 89 / 28

= 8928

ดงั นั้น ผลคูณของ 9396 คอื = 8928

หลกั การคิด
ค่าเบยี่ งฐานของ 93 คอื −07 และ ค่าเบี่ยงฐานของ 96 คือ −04
สว่ นแรกของคาตอบคือ 93+ (−04) = 89 หรอื 96 + (−07) = 89
ส่วนหลังของคาตอบคือ (−04)(−07) = 28 ผลลัพธ์ที่เกิดจากการคูณ 9396 คือ 8928

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลคูณของ 9897

วธิ ีทา −02 −03

98  97 = 95 / 06

= 9506

ดงั นน้ั ผลคณู ของ 9897 คอื 9506

45

เวทคณติ 3. การดาเนินการคูณ

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาผลคณู ของ 8981

วิธที า −11 −19

89  81 = 7 0 / 09
2

= 72 / 09

= 7209

ดังนนั้ ผลคูณของ 8981 คอื 7209

ข้อสังเกต

ผลคณู ของค่าเบ่ยี งฐานทมี่ ตี ัวตัง้ และตวั คูณเบยี่ งจากฐาน 100 คาตอบของส่วนหลังต้องมี 2 ตาแหนง่ แต่
จากตวั อย่างน้ี ผลคูณของคา่ เบ่ียงฐานเป็น 209 ให้เขียนแทนด้วย 09 (ค่าเบี่ยงฐานจาก 100)

2

ดงั นั้น 2 เปน็ ส่วนทีต่ อ้ งทดไปบวกกับสว่ นข้างหน้าคือ 70 + 2 = 72

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาผลคณู ของ 92196

วธิ ที า พิจารณาโจทย์ข้อน้ี 196 สามารถใช้วิธีลดสัดส่วน เปน็ 98 = 1 (196)

2

จะทาให้ 98 มีค่าใกล้เคียงฐาน 100

นั่นคอื 92  196 = 92  (2 98) = 2  −08  −02 
 
92 98

= 2(90 /16)

= 2(9016) = 18032

ดงั นัน้ ผลคณู ของ 92196 คอื 18032

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาผลคูณของ 568998

วธิ ีทา −432 −002

568  998 = 566 / 864

= 566864

ดังนัน้ ผลคณู ของ 568998 คอื 566864

ตวั อย่างที่ 7 จงหาผลคูณของ 857  994

วธิ ที า −143 −006

857  994 = 851 / 858

= 851858

ดังนน้ั ผลคณู ของ 857  994 คือ 851858

46

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคณู

ตวั อยา่ งท่ี 8 จงหาผลคณู ของ 58776  99998

วธิ ที า −41224 −00002

58776  99998 = 58774 / (−00002) (−41224)

= 58774 / 82448

= 5877482448

ดังนัน้ ผลคณู ของ 58776  99998 คือ 5877482448

พิสจู น์เชิงพีชคณติ

เนอื่ งจาก (x − a)(x − b) = x2 − ax − bx + ab = x(x − a − b) + ab

x −a / −a หรอื x − a / − a

x −b / −b x −b / −b

( x −a) −b / ( −a) (−b) ( x −b) −a / (−a) (−b)

แบบฝกึ หดั ชุดท่ี 1 2. 96 3. 99 4. 77
1. 78 6. 7898 7. 9769 8. 9799
10. 8888 11. 6795 12. 9698
5. 9798 14. 8697 15. 7398 16. 9998

9. 8698

13. 9994

17. 8896 18. 997998 19. 937998 20. 897996

21. 887998 22. 989993 23. 888998 24. 878998

47

เวทคณิต 26. 996997 27. 999999 3. การดาเนนิ การคณู

25. 797996 28. 909998

29. 78979996 30. 89879997 31. 99889996 32. 89899991

33. 98769995 34. 8779899995 35. 9989999993 36. 999998999908

37. 6789599998 38 91119900 39. 7779988899 40. 9998988899

6.2 การคูณโดยการเบ่ยี งฐาน กรณตี วั คูณทัง้ สองมากกวา่ ฐาน

(NUMBERS ABOVE A BASE)

การดาเนนิ การคูณในกรณนี ย้ี งั ใช้วิธกี ารเหมือนเดิม แตค่ ่าเบย่ี งฐานจะมีค่าเป็นบวก
ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลคูณของ 12  13

วิธที า 23

12  13 = 15 / 6

= 156

ดังนั้น ผลคูณของ 12  13 คือ 156

หลักการคิด
ค่าเบี่ยงฐานของ 12 คือ 2 และ ค่าเบ่ยี งฐานของ 13 คือ 3
ส่วนแรกของคาตอบคือ 12 + 3 =15 หรอื 13+ 2 =15
สว่ นหลังของคาตอบคือ (2)(3) = 6
ผลลพั ธท์ ี่เกดิ จากการคูณ คือ 156

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคณู ของ 103  104

วิธีทา 03 04

103  104 = 107 / 12

= 10712

ดังน้นั ผลคูณของ 103  104 คอื 10712

48

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคณู

หลกั การคิด
ค่าเบย่ี งฐานของ 103 คือ 03 และ ค่าเบี่ยงฐานของ 104 คือ 04
ส่วนแรกของคาตอบคือ 103+ 04 =107 หรอื 104 + 03 =107
สว่ นหลังของคาตอบคือ (03)(04) =12
ผลลัพธ์ทเี่ กดิ จากการคูณ คือ 10712

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาผลคูณของ 1234  1003

วิธที า 234 003

1234  1003 = 1237 / 702

= 1237702

ดังน้ัน ผลคณู ของ 1234  1003 คือ 1237702
ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลคณู ของ 10021  10002

วธิ ีทา 0021 0002

10021  10002 = 10023 / 0042

= 100230042

ดงั นน้ั ผลคูณของ 10021  10002 คอื 100230042

ตัวอย่างที่ 5 จงหาผลคูณของ 1050  1089

วิธีทา 050 089

1050  1089 = 1139 / (050) (089)

= 1139 / 450
4

= 1143 / 450

= 1143450

ดงั น้นั ผลคณู ของ 1050  1089 คือ 1143450

ขอ้ สังเกต

ผลคูณของค่าเบี่ยงฐานต้องมี 3 ตาแหน่ง แตจ่ ากตวั อยา่ งนี้ ผลคูณของคา่ เบย่ี งฐานเป็น 4450 ให้เขยี นแทน
ดว้ ย 450 (ค่าเบี่ยงฐานจาก 1000)

4

ดงั นน้ั 4 เป็นสว่ นที่ตอ้ งทดไปบวกกบั ส่วนขา้ งหนา้ คือ 1139+ 4 = 1143

49

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

พสิ จู นเ์ ชิงพีชคณิต

เนือ่ งจาก (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x(x + a + b) + ab

x+a/ a หรือ x + a / a

x+b/ b x+b/ b

( x +a) + b / ab ( x + b) +a / ab

แบบฝกึ หดั ชุดท่ี 2 2. 1311 3. 1413 4. 1415
1. 1213

5. 104106 6. 108111 7. 141103 8. 112113
11. 111102 12. 123104
9. 105107 10. 118118

13. 12241006 14. 10131011 15. 11221006 16. 13241007

17. 1392310009 18. 10111898 19. 1009710083 20. 10991086

21. 1108711079 22. 1098910007 23. 18081010 24. 1108710009

50

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

6.3 การคูณโดยการเบ่ียงฐาน กรณีตัวคณู ตวั หนงึ่ มากกว่าฐานและตัวหนึง่ นอ้ ยกว่าฐาน
(ONE NUMBER ABOVE AND ONE NUMBER BELOW THE BASE)

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลคณู ของ 124  98

วิธีทา 24 −02

124  98 = 122 / (24) (−02)

= 122 / 48

= 12 2 / 52
1

= 121 / 52
= 12152

ดังนั้น ผลคณู ของ 124  98 คือ 12152

ข้อสังเกต
1. ส่วนหลงั ของคาตอบคือ (24)(−02) = −48 เขยี นแทนดว้ ย 48
2. เน่ืองจากผลคูณของคา่ เบยี่ งฐานมีคา่ คือ 48 เราทาใหส้ ว่ นหลังของคาตอบมคี ่าเป็นบวก จะได้ 152
3. ผลคูณของคา่ เบยี่ งฐานต้องมี 2 ตาแหน่ง ให้เขียนแทนด้วย 52 (ค่าเบีย่ งฐานจาก 100) ดงั นน้ั 1

1

เป็นสว่ นเกินทต่ี ้องทดไปบวกกบั สว่ นข้างหนา้ คือ 122 + 1 = 121
4. ผลลพั ธ์ท่ีเกิดจากการคณู คือ 12152

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาผลคณู ของ 1003  987

วธิ ีทา 003 −013

1003  987 = 990 / 039

= 990 / 961

1

= 989 / 961

= 989961

ดงั นน้ั ผลคณู ของ 1003  987 คือ 989961

51

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาผลคูณของ 121  91

วิธที า 21 −09

121  91 = 112 / 89
1

= 112 / 11
2

= 110 / 11

= 11011

ดงั น้ัน ผลคูณของ 121  91 คอื 11011

พิสูจน์เชงิ พชี คณติ

เนือ่ งจาก (x − a)(x + b) = x2 − ax + bx + (−a)(b) = x(x − a + b) + (−ab)

x −a / −a หรอื x − a / − a

x+b / b x+b / b

( x −a) + b / ( −ab) ( x + b) −a / ( −ab)

แบบฝกึ หัดชดุ ท่ี 3 2. 138 3. 147 4. 915
1. 129
5. 97106 6. 10898 7. 14197 8. 16299
9. 10593
13. 1224996 10. 10188 11. 11198 12. 12397
17. 100039889
21. 1127993 14. 1013997 15. 1122986 16. 8891007

18. 1111999 19. 100079997 20. 1015916

22. 100099993 23. 1235999 24. 110879968

52

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

6.4 การนาสมบัติของเรื่องสดั ส่วนมาชว่ ยการคานวณการคูณเบี่ยงฐาน

จากผลคูณจานวนสองจานวนโดยวิธีเบยี่ งฐาน ทม่ี คี ่าใกลฐ้ าน 10,100,1000,...,10n อาจมบี างกรณีที่

จานวนท้งั สองมีค่าใกลเ้ คียงฐานอนื่ ในรูป 10k, 100k, 1000k,... เมอ่ื k เป็นจานวนนับ เชน่ 213  203 จะมี

คา่ ใกลเ้ คียงฐาน 200 เป็นต้น แต่เมอื่ ฐานคือ 200 ซ่ึงเกิดจาก 1002 เราจงึ คณู สว่ นทางซ้ายของคาตอบด้วย

2 มวี ธิ หี าผลคณู โดยการเบย่ี งฐานดังนี้

ตัวอยา่ งที่ 1. 13 0 3

213  203 = 213  203 = 2(216) / 39 = 432 / 39 = 43239

ตัวอยา่ งที่ 2. −1  −2

29 28 = 3(27 / 2) = 81/ 2 = 812

โจทย์ข้อน้ีเราใช้ฐาน 30 = (310) เราจงึ คูณสว่ นทางซ้ายของคาตอบด้วย 3

พิสูจน์เชิงพีชคณติ
เนอ่ื งจาก (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x(x + a + b) + ab
ถ้า x =10 แลว้ (10 + a)(10 + b) =10(10 + a + b) + ab

=10((10 + a) + b) + ab

หรือ =10((10 + b) + a) + ab
ถ้า x =100 แล้ว (100 + a)(100 + b) =100(100 + a + b) + ab
ถ้า x = 200 แล้ว (200 + a)(200 + b) = 200(200 + a + b) + ab

= 2 (100) (10 + a + b) + ab

หลักรอ้ ย

ตวั อย่างท่ี 3. 1 1 −0 2 3(309) / 22 = 927 /178 = 926 = 92678

311298 =3112 9 8 =

โจทย์ขอ้ น้ีเราใช้ฐาน 300 = (3100) และคา่ ตา่ งฐาน คอื 11,−02

311+ (−02) = 298 + (11) = 309 และ (−02)(11) = −22 = 22

พิจารณาสองจานวนที่คูณกันขา้ งต้น มากกว่าและน้อยกว่า 300 เราจะตอ้ งคูณผลลพั ธท์ างซา้ ยมอื ดว้ ย 3
แล้วบวกด้วย −1 เนือ่ งจากผลลพั ธ์ทางขวามือเป็นจานวนลบเกนิ 2 ตาแหนง่ ตามสมบัตขิ ้างต้น
ดงั นนั้ การใช้เรื่องสดั ส่วนในการเพมิ่ หรอื ลดค่าของสองจานวนทห่ี าผลคูณ ซึง่ จะต้องเพิ่มขน้ั ตอนในการหาผล
สว่ นทางซ้ายของคาตอบ

53

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

โดยวิธอี ปุ นยั เม่ือกาหนด x เป็นจานวน 10,100,1000, ...
k เป็นจานวน 1 , 2 , 3 , 4 , …

(kx + a)(kx + b) = k2x2 + akx + bkx + ab

= kx (kx + a + b) + ab

ตวั อยา่ งท่ี 4. 88  49 = 88  1 (98)= 1 (88  98)

22

= 1  −12  −02  = 1 (86 / 24) = 1 (8624) = 4312
2   2 2
88 98

ตวั อยา่ ง นี้เม่ือเราพจิ ารณา สองจานวนทจี่ ะหาผลคณู ตา่ งฐานกนั แต่พอจะใชเ้ รอ่ื งการเพ่ิมสดั ส่วนของ

จานวนหลงั 49 เพมิ่ สดั ส่วนโดยการคูณ 2 แต่การเพ่มิ เข้าตอ้ งลดออก ดงั นนั้ 49 = 1 (98)

2

แบบฝกึ หดั ชุดที่ 4 จงหาผลคณู ของสองจานวนต่อไปนี้

1. 42 43 2. 6163 3. 3938 4. 3231

5. 7174 6. 3937 7. 6769 8. 7263

9. 203 207 10. 306301 11. 288 296 12. 517 491

13. 499501 14. 202 208 15. 303299 16. 507 497

17. 80048012 18. 39993999 19. 70076998 20. 30123002

21. 69996998 22. 3123 2998 23. 50125003 24. 212188

25. 598389 26. 1996198 27. 248 247 28. 21021808

54

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

6.5 การดาเนนิ การคณู แบบนขิ ลิ มั สตู รในกรณีตัวคูณทัง้ สองตา่ งฐานกัน
(NUMBERS NEAR DIFFERENT BASE)

ตวั อยา่ งที่ 1. −0 0 0 2 −0 6

9998  94 = 9 998  9 4 =9398 /12 = 939812

พจิ ารณาตวั อยา่ งน้ีพบว่าจานวนทัง้ สองน้มี ีค่าใกลฐ้ านตา่ งกันคือ :

9998 มคี ่าใกลฐ้ าน 10000 แต่ 94 มีค่าใกลฐ้ าน 100

และคาตอบแบ่งออกเป็นสองสว่ น คอื 9398 และ 12

สว่ นแรกของคาตอบ เปน็ ผลบวกของคา่ เบ่ยี งฐาน −06 กับตวั ต้ัง 9998 (ตัวแรกของการคณู ) โดยกาหนด

ตาแหนง่ การบวกดังแสดงผลข้างล่างนี้:

9998 หรอื 10002

94 106

นาค่าเบี่ยงฐาน −06 ไปบวกกบั 9998 ตรงหลักท่ีท้ายสดุ ของ ( 94) คือจานวนที่ใกลฐ้ าน (100) ทนี่ ้อยกว่า ในนี้
คอื หลกั ท่ี 2 จากทางซ้ายมือ ดังนนั้ 9998 จะเปน็ 9398 เป็นสว่ นทางซ้ายของคาตอบ
แล้วสว่ นทางขวาของคาตอบคงหาจากผลคูณของคา่ เบย่ี งฐาน ทงั้ สองคือ (−0002)(−06) =12

ขอ้ สังเกต จานวนตัวเลขโดดของทางซ้ายของคาตอบต้องสอดคล้องเท่ากบั จานวนตวั เลขโดดของจานวนทนี่ ้อยหรอื
จานวนเลข 0 ของฐานท่ีกวา่ ของสองจานวนทค่ี ูณกนั นั้น( 98 มคี ่าใกลเ้ คยี ง 100 ดงั นั้นจะต้องมเี ลขโดดตวั ทาง
ขวามือของคาตอบ)

ตัวอย่างท่ี 2. 0007 003

10007  10037 = 10007  1003 =10037 / 021 = 10037021

เขยี นจานวนทั้งสองขนานตามแนวนอน : 10007 1003 จะพบวา่ คา่ เบีย่ งฐาน 003 จะบวกตรงตาแหนง่ ที่ 4

ตามแนวตง้ั ของข้างบนได้คาตอบทางขวามอื คือ 10037

ส่วนผลคูณคา่ เบยี่ งฐาน ทง้ั สองคอื 0007003 = 21 แต่ฐานของจานวนน้อยในจานวนท่ีคณู กันคือฐาน 1000

น่นั คือเราต้องการตวั เลขโดดของคาตอบทาขวามือ 3 ตัวคอื 021 คาตอบ 10037021

ตวั อยา่ งที่ 3. 0 3 2 −0 2

1032 9 8 =1012 / 64 = 1012 / 136 =101136

ข้อสังเกต เนื่องจาก 98 =102 คา่ ตา่ งฐาน −02 จะไปบวกกับ 3 ของ 1037 ได้ผลลพั ธ์ 1012 เปน็ คาตอบทา
ซา้ ยมือ

55

เวทคณติ 2. 99796 3. 1031101 3. การดาเนนิ การคูณ

แบบฝกึ หดั ชุดท่ี 5 4. 99894
1. 997

5. 98888 6. 1018104 7. 1041101 8. 1002107

9. 1015107 10. 100699 11. 105596 12. 999697

13. 987696 14. 1013104 15. 10007102 16. 10101101

17. 1000798 18. 11011993 19. 99996102 20. 99881011

21. 27993 22. 1000993 23. 100235999 24. 11087968

56

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคณู

6.6 การดาเนินการคณู แบบนิขิลัมสตู ร์ ในกรณีตัวคูณมสี ามตวั พร้อมกัน

ตวั อยา่ งท่ี 1. −02 −03 −04 = 91/ 26 / 24 = 912576

98  97  96

พจิ ารณาตัวอยา่ งนี้พบว่าท้ังสามจานวนมีคา่ ใกลฐ้ าน 100 และมีค่าเบย่ี งฐาน คือ −02,−03,−04

คาตอบมี 3 ส่วน คั้นด้วย เครอื่ งหมาย /
ข้นั ทแ่ี รก นาตวั เลขตวั หน่ึงในสามจานวนไปบวกกบั คา่ เบย่ี งฐาน ของอีกสองตวั ทเ่ี หลอื คอื 98+ (−3) + (−4) = 91

หรอื 97 + (−2) + (−4) = 91 หรือ 96 + (−2) + (−3) = 91 ซึง่ เปน็ คาตอบส่วนแรก

ข้นั ที่ 2 หาผลบวกของคูณแต่ละคู่ของค่าเบีย่ งฐาน ในเชงิ การจัดหมู่(combinatoric) คือ

(−2 −3) + (−2 −4) + (−3 −4) = 26

ขั้นสุดท้าย ผลคูณท้ังสามของค่าเบ่ียงฐาน −2−3−4 = −24 = 24

ตวั อยา่ งที่ 2. 022 002 003

1022  1002 1003 =10 2 2  100 2 100 2 =10027 /116 /132 = 10027116132

1022 + 2 + 3 =1027, 222 + 223+ 23 =116, 22 23 =132

แบบฝกึ หดั ชุดที่ 6 2. 979699 3. 939598
1. 876

4. 88 95  96 5. 995997999 6. 985994996

7. 984992994 8. 100310151005 9. 10119951006

10. 9969971003 11. 131298 12. 9597103105

13. 9997999599891005 14. 1013104988997 15. 100071021012119

57

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

6.7 การหาคา่ กาลังสองของจานวนทม่ี ีค่าใกลเ้ ลขฐาน

วธิ ีการคานวณกรณีนี้เปน็ เทคนคิ พเิ ศษทงี่ ่ายทสี่ ดุ ที่สามรถแสดงในรปู สูตร์ได้ และสามารถใช้สมบตั ขิ อง

สดั สว่ นเพม่ิ ลดไดเ้ ชน่ เดยี วท่ีไดศ้ ึกษามาแลว้ ดงั ตัวอย่างตอ่ ไปน้ี :

ตัวอย่างท่ี 1. −4 −4

962 = 96  96 = 96+( − 4)/( − 4)2 = 92 /16 = 9216

วิธีคิด 96 มคี ่านอ้ ยกว่า 100 มคี า่ เบย่ี งฐาน ดงั นั้น คาตอบสว่ นแรก คือ 96 + (−04) = 92 คาตอบส่วน

สุดท้าย (−4)2 =16

ตวั อยา่ งที่ 2. 10062 = 1000066 2 =1012 / 036 `= 1012036


ขอ้ สงั เกต คาตอบสว่ นแรก 1006 บวกกับคา่ เบ่ยี งฐาน 006 เป็น 1012 และ 62 = 36 แตเ่ นื่องจาจฐาน

1000 คาตอบทางขวาสดุ ต้องมี 3 ตาแหน่ง เราตอ้ งเติม 0 เปน็ 036 เป็นคาตอบ

ตัวอยา่ งที่ 3. 3042 = 3308 /16 = 92416
ตังอย่างกเ็ หมือนตวั อยา่ งทแี่ ล้วเพียงแต่เป็นฐาน 300 ดังนน้ั คาตอบส่วนทางซ้ายสดุ ต้องคูณด้วย 3

ยง่ิ ไปกวา่ นน้ั เรายังสามารถหาคา่ กาลังสามของจานวนที่มีค่าใกล้เลขฐานไดอ้ กี ดว้ ย

ตวั อยา่ งท่ี 4. 1043 =112 / 48 / 64
วธิ คี ิด ส่วนซา้ ยสดุ ของคาตอบ เราเพ่ิมสองเท่าของคา่ ที่เบี่ยงเกินฐาน คือ 104 +8 =112

สว่ นกลาง สามเท่าของกาลงั สองของค่าเบ่ียงฐาน 342 = 48
สว่ นขวาสุด กาลงั สามของคา่ เบี่ยงฐาน (4)3 = 64

พสิ ูจน์เชิงพชี คณิต
พิสจู น์ ให้ x เปน็ เลขฐาน (10,100,1000,...) และ a เปน็ คา่ เบย่ี งฐาน

(x + a)3 = x2 (x + 3a) + 3a2x + a3

ตวั อย่างที่ 5. 99893 = 9989 +11/ 3(11)2 3

/ 11

= 9967 / 0363 /1331 = 996703628669

58

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

6.8 การหาค่ากาลังสองของจานวนทีม่ ใี กลเั คยี ง 50

อาจแบ่งได้ 2 กรณี คือ ค่ากาลังสองท่นี ้อยกวา่ 50 หรอื ค่ากาลังสองที่มีค่ามากกว่า 50
ตัวอย่างท่ี 1. 542 = 29 /16 ดังน้นั คาตอบคือ 2916
วิธคี ดิ เน่อื งจาก 502 = 2500 และเน่ืองจาก 54 มากกว่า 50 อยู่ 4

เราจะได้ 25+ 4 = 29 และ 42 =16
ข้อควรจา 512 = 26 / 01

522 = 27 / 04

532 = 28 / 09

542 = 29 /16

552 = 30 / 25

562 = 31/ 36

572 = 32 / 49

582 = 33 / 64

592 = 34 / 81

ตวั อย่างท่ี 2. 482 =  −2 2 = 23 / 04 ดังน้ันคาตอบคอื 2304
 
48

วธิ คี ิด 25− 2 = 23 ( 25 ตัวขา้ งหนา้ บวกด้วยค่าเบ่ยี งฐาน −2 ) , (−2)2 = 4 (กาลงั สองของคา่ เบยี่ งฐาน)

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 7 2. 932 3. 1042
กาลังสองของจานวนใกล้ฐาน

1. 962

4.1112 5.10042 6.10062

7.1042 8. 1132 9. 10132

10. 9972 11. 9872 12. 99882

59

เวทคณติ 14. 312 3. การดาเนินการคูณ
17. 2042
13.101032 20. 39882 15. 422
23. 962 18. 2962
16. 492 21. 70072
26.1033 24. 952
19.19982
27. 953
22.1032 30. 70073
33. 3023
กาลงั สามของจานวนใกล้ฐาน
25.10053 36. 70073

28.10053 29. 123

31. 99883 32. 993

34.1983 35. 39973

60

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

7. การดาเนินการคูณดว้ ยตัวคณู เป็นเลขเกา้ หรืออนกุ รมของเลขเกา้

การคิดเลขด้วยวิธีเวทคณิต ใชส้ ตู ร์ One Less Than the One Before ซ่งึ เปน็ วธิ ผี กผันหรอื ย้อนกลับกับ
วิธที กี่ ล่าวมาแลว้ และใช้รว่ มกบั วิธที กุ ตวั ทบเก้าแตต่ ัวสดุ ท้ายทบสบิ และวธิ กี ารนใี้ ชไ้ ดเ้ ม่ือ จานวนหลักของตวั
คูณ เทา่ กับหรือมากกวา่ จานวนหลกั ของตัวตัง้
กรณีท่ี 1 จานวนหลีกของตวั คณู เทา่ กบั จานวนหลกั ของตวั ตง้ั
ตัวอยา่ งท่ี 1. จงหาผลคูณของ 763  999
วธิ คี ิด จานวนแรกตัวตง้ั จะลดลง 1 สว่ นจานวนหลังตัวคณู เป็น เลข 9 หรอื อนุกรมเลข 9 จึงสามารถนาของ
สมบตั ิ “ทกุ ตัวทบเกา้ แต่ตวั สดุ ท้ายทบสิบ” ของตัวต้งั
ดังน้นั จานวนแรก 763 จะถกู ลดลง 1 : 763−1= 762 เป็นคาตอบส่วนแรก คาตอบสว่ นหลังเป็นทุกตัวทบ
เก้าแต่ตวั สุดทา้ ยทบสิบของ 763

763999 = (763−1) / (ทกุ ตวั ทบเก้าแต่ตวั สุดทา้ ยทบสบิ ของ 763 )
= 762 / 237

พสิ ูจน์ 763999 = 763(1000 −1)

= (7631000) − (7631)

= 763000 − 763

= (762000 +1000) − 763

= 762000 + (1000 − 763)

= 762000 + 237 = 762 / 237 = 762237

หรือ 763999 = 763(1000 −1)

= 763000 − 763

= 763000 − (1237) = 763000 − (1000 − 237)

= 763000 − (1000 − 237) = 763000 −1000 + 237

= 762 / 237 = 762237

กรณที ่ี 2 จานวนหลกี ของตัวคูณมากกวา่ จานวนหลกั ของตัวตงั้
ตวั อย่างท่ี 2. 186799999 =1866 / 98133
วธิ ีคิด เน่ืองจาก 1867 มี 4 หลกั และ 99999 มี 5 หลกั เราตอ้ งปรบั 1867 ให้มี 4 หลักเทา่ กนั เป็น
01867 แล้ว คาตอบทางขวามือคือ 1867 −1=1866 และคาตอบทางขวามือ ใชว้ ิธีการทกุ ตัวทบเก้าแต่ตัว
สดุ ทา้ ยทบสบิ กบั 01867 คอื 98133
ดงั นั้น 186799999 = (1867 −1) / (ทุกตวั ทบเกา้ แต่ตวั สดุ ทา้ ยทบสบิ ของ 01867 )

= 1866 / 98133 =186698133

61

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคูณ

พสิ ูจน์ 1876  99999 =1876(100000 −1)

= (1867100000) − (18671)
=186700000 −1867 =186700000 + (2133)
= (186700000 − 2000) +133
=186698000 +133 = (1867 −1) / 98133

ซึง่ 98133 ได้จากทุกตัวทบเก้าแต่ตวั สดุ ท้ายทบสิบของ 01867

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 8 2. 8899 3. 4299
1. 6399

4. 678999 5. 21379999 6. 34999

7. 76999 8. 8649999 9. 289999

10. 90999999 11. 348899 12. 678999

13. 903299 14. 348899 15. 93999

16. 364999 11. 899899 12. 9999999

62

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

8. การตรวจสอบคาตอบดว้ ยวธิ ี การคูณตัวแรกด้วยตัวแรกและตวั หลังดว้ ยตวั หลัง

(THE FIRST BY THE FIRRT AND THE LAST BY THE LAST)
เปน็ เทคนิควิธีประมาณค่าของคาตอบและตรวจสอบคาตอบว่าใกลเคียงหรือคาตอบถูกต้องหรอื ไม่ ซ่ึงจะทา

ให้การคดิ เลขมปี ระสทิ ธภิ าพมากขนึ้ เทคนิคน้ีมีการตรวจสอบด้วยกัน 3 ขน้ั ตอน ดงั น้ี :

การตรวจสอบข้ันตอนที่ 1 ( Check 1: The first by the first )

การตรวจสอบคาตอบดว้ ยตัวเลขตวั หน้ากบั ตัวเลขตวั หนา้
ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาผลคณู ของ 32  41
วธิ คี ดิ เริม่ แรก เราประมาณค่าได้ 1200 โดยการหาผลคณู ตัวหน้าด้วยตัวหนา้ เราคาดว่า

ค่าของ 32  41 โดยประมาณจาก 3040 ซึง่ ได้ 1200
และ เราพอประมาณได้วา่ 32  41 มากวา่ 1200 เลก็ น้อย เพราวา่ 32 และ 41 ท้ังสอง
มากกว่า 30 และ 40

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลคูณของ 641  82
วิธคี ดิ เราพอประมาณคา่ ผลคณู ได้ 50000 เพราะว่า 60080 = 48000

และเราก็พอรูว้ า่ คาตอบเกนิ 50000 เนือ่ งจาก (60080) + (402)

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาผลคูณของ 383  887
วิธีคิด 383  887 มคี า่ ประมาณ 360,000 เพราะวา่ 400900 = 360,000

และเราก็พอรู้วา่ คาตอบต้องนอ้ ยกวา่ น้ี เพราะว่า 400 และ 900 มากกวา่ 383 และ 887

การตรวจสอบขนั้ ตอนท่ี 2 (Check 2: The last by the last)

การตรวจสอบคาตอบดว้ ยตัวเลขตวั หลงั กบั ตัวเลขตวั หลัง
ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาผลคูณของ 72  83
วธิ ีคิด เราประมาณค่าได้วา่ คาตอบต้องลงท้ายดว้ ยเลข 6 โดยการหาผลคณู ตวั หลังด้วย

ตัวหลังของเลขสองจานวนนั้น
72  83 ตวั เลขตวั หลงั ของ 72 คอื 2 และตวั เลขตัวหลังของ 83 คอื 3 ดังนั้นคาตอบของผล
คณู ต้องลงท้ายด้วย 6 (23 = 6)

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาผลคูณของ 383  887
วธิ ีคดิ ประมาณค่าไดว้ ่าคาตอบตอ้ งลงท้ายดว้ ยเลข 1 เพราะวา่ ตัวเลขลงทา้ ยของ 383 คือ 3 และ ตัวเลขลง
ท้ายของ 887 คอื 7 ดังนนั้ คาตอบของผล คณู ต้องลงท้ายด้วย 1 (37 = 21)

63

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคูณ

การตรวจสอบขน้ั ตอนท่ี 3 (Check3:The Digit Sum Check )

การตรวจสอบคาตอบดว้ ยหาผลบวกของตวั เลขโดดในคาตอบน้นั เป็นเครอื่ งมอื ทม่ี ีประโยชนม์ ากใน
เทคนคิ วธิ ขี องเวทคณิตภายใต้ สตู รที่ 15 ของเวทคณิตกล่าวไวว้ ่า “ผลลพั ธ์ของการกระทาบวกเท่ากบั การกระทา
บวกของผลลัพธ์ (The product of the sum is equal to the sum of the product) ’’ กลา่ วคือจานวนเตม็
บวกทกุ ๆ จานวนไมว่ า่ จะมีก่ีหลกั ก็ตามสามารถลดรูปโดยการบวกตวั เลขโดด (digit sum) ซา้ ๆ เป็นตวั เลขตัว
เพยี งเดียวได้ เช่น 43 มผี ลบวกเลขโดดคือ 7 เมอ่ื 4 +3 = 7 เชน่ เดยี วกัน 47,4 + 7 =11 แล้วหาผลบวก

ตอ่ 11,1+1 = 2 ดังน้นั ผลบวกเลขโดดของ 47 คอื 2 หรอื 876,8+ 7 + 6 = 21→ 21, 2 +1= 3

ตวั อย่างที่ 6 กาหนดผลคูณของ 7476 = 5624 จงตรวจสอบวา่ ผลเฉลยถูกต้อง
วิธคี ิด เราสามารถลดรปู เปน็ ผลบวกเลขโดดของแต่ละจานวนคอื 74,76 และ 5624 เป็นดงั น้ี

74 → 7 + 4 =11→1+1 = 2 หาผลคูณของ 2 4 = 8 ผลบวกของเลขโดด
76 → 7 + 6 =13 →1+ 3 = 4 ของ 8 ก็ได้ 8 ตอ่ มาผลบวกเลขโดดของ
5624 → 5 + 6 + 2 + 4 =17 →1+ 7 = 8 5624 ซ่ึงเทา่ กนั เปน็ การยนื ยนั วา่ การหาผล
คณู ครัง้ น้ีถูกต้อง

ตวั อย่างท่ี 7. กาหนดผลคูณของ 88  77 = 6776 (พาลินโดรม) จงตรวจสอบวา่ ผลเฉลยถกู ต้อง
วธิ ีทา หาผลบวกเลขโดดของ 88 และ 77 ได้ 7 กับ 5 แล้วหาผลบวกเลขโดดของผลคูณ 75 = 35

คือ 3+ 5 = 8 ตอมหาผลบวกเลขโดดของคาตอบ 6776 → 6 + 7 + 7 + 6 = 26 → 2 + 6 = 8
สรุปไดว้ า่ ผลเฉลยนนั้ ถกู ต้อง

หมายเหตุ
การตรวจสอบโดยการหาผลบวกของเลขโดดของคาตอบอาจคลาดเคลือ่ นถ้ามีการเขียนตาตอบสลับที่กนั ของ
คาตอบบ้าง เชน่ 88+ 77 =165 แต่กลบั ไปเขียนเป็น 88+ 77 =156 ผลการหาผลบวกเลขโดดของคาตอบ
มคี ่าเท่ากับแต่สลบั ตาแหนง่ เชน่ นี้ควรตรวจสอบหาผลตวั ท้ายสุดทงั้ คู่ ซึง่ ตัวท้ายสดุ บวกกันต้องลงท้ายด้วย 5

64

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

แบบฝกึ หัดชดุ ที่ 8 3. 4299
6. 34999
จงหาผลคณู ของสองจานวนตอ่ ไปนี้ 9. 289999
12. 678999
1. 6399 2. 8899 15. 93999
18. 9999999
4. 678999 5. 2137999

7. 76999 8. 8649999

10. 90999999 11. 348899

13. 903299 14. 348899

16. 364999 17. 899899

65

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

บทนา
ในวชิ าเลขคณิต (arithmetic) การหารแบบยุคลดิ (Euclidean division) เป็นการหารของ

จานวนสองจานวน ประกอบดว้ ย ตัวต้ัง (dividend) ตัวหาร (divisor) แลว้ ได้ผลหาร (quotient) และเศษเหลือ
(remainder) ทฤษฎีบทนีก้ ล่าวถงึ ผลลัพธ์จากการหารของจานวนเตม็ ปกติไว้อยา่ งเท่ียงตรง ที่สาคญั ทฤษฎีน้ี
ยนื ยนั ว่าจานวนเต็มท่เี รียกว่าผลหาร q และเศษ r มอี ยเู่ สมอและมีเพยี งคา่ เดียวสาหรับตัวต้ัง a และตวั หาร d
โดยที่ d ≠ 0 ทฤษฎีกล่าวไว้ดังน้ี “ มจี านวนเต็ม q และ r เพยี งคเู่ ดยี วที่ a = dq + r และ 0 ≤ r < d ไฃ”

ในบทนจ้ี ะกล่าวถงึ การดาเนินการหารแบบเวทคณิตมี 3 เรื่อง คือการหารตรง การหารด้วยเทคนคิ เฉพาะ
และการโดยใช้เศษสว่ นชว่ ย ซง่ึ แตล่ ะเร่ืองมรี ายละเอยี ด ดงั น้ี

1. เกร่ินนา
2. การดาเนินการหารตรง (Dhvajanka Sutra)

2.1 การหารกรณีตัวหารเปน็ จานวนเต็มหน่งึ หลัก

2.2 การหารกรณีตวั หารเป็นจานวนเตม็ ตัง้ แตส่ องหลักขน้ึ ไป

3.การหารแบบเทคนคิ เฉพาะ

3.1. การดาเนินการหารโดยวธิ ีนขิ ลิ ัม (Nikhilam Method)

3.2 การดาเนินการหารโดยวิธีปราวรรตย (Paravartya Method)
3.3 การดาเนินการหารโดยวิธีเพิม่ หรอื ลดสดั ส่วน (อนรุ ูปเยณ = Anurupyena Method)
3.4 การดาเนินการหารโดยวธิ กี ารวินคิวลัม (Vinculum Process of Division)

4. การดาเนนิ การหารด้วยเศษสว่ นช่วย (Auxiliary Fractions)

4.1 เศษสว่ นช่วยแบบที่ 1

1. เกรินนา

การหารในเวทคณิตมีรูปแบบทั่วไปหรือรูปแบบเฉพาะ เช่นเดียวกับการคูณ รูปแบบเฉพาะจะใช้ได้ก็
ต่อเมื่อจานวนที่หารกันจะต้องอยู่ในเงื่อนไขเฉพาะ เช่น ตัวหารจะต้องน้อยกว่าหรือมากกว่าและมีค่าใกล้เคียงกับ
100 หรือตัวหารที่เป็นกาลังของ 10 หรือตัวหารที่ลงท้ายด้วยเลข 9 เป็นต้น ส่วนรูปแบบทั่วไปใช้กับการหารได้
ทุกจานวน ดงั น้นั การหารจึงขน้ึ อย่กู ับตวั ตงั้ และตัวหาร ในวิธีการหารทางเวทคณติ สามารถจาแนกตามสูตรได้ดงั น้ี

1. การหารตรง (Dhvajanka Sutra = Vertically and crosswise and on the top of the flag)
2. นขิ ลิ มั สูตร (Nikhilam Sutra) เปน็ เทคนคิ เฉพาะ
3. ปราวรรตยสูตร (Paravartya Sutra) เปน็ เทคนคิ เฉพาะ
4. อนุรปู เยณสูตร (Anurupyena Sutra) เปน็ เทคนิคเฉพาะ
5. วนิ ควิ ลัม (Vinculum Process of Division) เป็นเทคนคิ เฉพาะ
6. เอกาธเิ กนปุรเวณ (Ekadhikena Purvena) เป็นเทคนคิ เฉพาะ
7. เวษฏนมั (Vestanas) เป็นเทคนิคท่ัวไป

66

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

2. การดาเนินการหารตรง (Dhvajanka Sutra)

การหารตรงเป็นการหารแบบท่ัวไปโดยการสังเคราะห์ของวิธีเวทคณิตที่รวดเร็ว ได้พัฒนาโดยใช้

เทคนิคแนวตรงและแนวไขว้ (Vertically and Cross-wise and on the top of the flag ) หรือเป็นการหาร

โดยใช้การหารตรง (Dhvajanka Sutra) ท่านสังฆราช ภารติ กฤษณะ ติรถะ (Sankaracarya Bharati Krsna

Tirthaji พ.ศ. 2427-2503) เรียกวิธีการหารนี้ว่า อัญมณีอันลาค่าของเวทคณิต ‘‘Crowning Gem of Vedic

Mathematics’’ เพราะสามารถดาเนินการหารท่ีตัวต้ังและตัวหารได้ทุกจานวน จึงควรท่ีจะศึกษาอย่างยิ่ง

การหาร ประกอบด้วย ตวั ต้งั (dividend) ตัวหาร (divisor) ผลหาร (quotient) และเศษเหลอื (remainder)
ตัวอย่างเชน่ 19 6 = 3, เศษเหลือ 1

(19 = 63+1) , 19 เป็นตัวตงั้ , 6 เปน็ ตวั หาร, 3 เปน็ ผลหาร และ 1 เป็นเศษเหลือ

2.1 การหารกรณตี วั หารเป็นจานวนเตม็ หนึ่งหลกั

การหารตรงให้เขยี นตวั ต้ังแล้วเขียนเสน้ กากับจากทางซา้ ยไปทางขวา เว้นช่องวา่ งระหว่างตวั เลขของตัวตงั้

ไวพ้ อสมควรสาหรบั ใสเ่ ศษเหลอื ห้อยไวห้ นา้ ตวั เลขถดั ไป ซึ่งจะเป็นตัวตัง้ ในการหารข้ันตอนต่อไป

ตวั อยา่ งที่ 1 671 4 ขันตอนการหาร
วิธที า

4 6 27 1 0 ขันที่ 1 6  4 =1 เหลือเศษ 2
1 เขยี น 2 ห้อยข้างหน้า 7 ซง่ึ เป็นตวั เลขหลักถัดไป
ของเลข 6 จะได้ตวั ตง้ั ในการหารขนั้ ต่อไปคือ 27

4 6 27 31 0 ขันที่ 2 27  4 = 6 เหลอื เศษ 3
16 เขียน 3 หอ้ ยข้างหน้าเลข 1 ซงึ่ เป็นตวั เลขถดั ไป
ของเลข 7 จะไดต้ วั ตั้งในการหารขั้นตอ่ ไปคือ 31

4 6 27 31 30 ขันที่ 3 314 = 7 เหลือเศษ 3 ซึ่งเป็นเศษเหลือ
167 ในการหาร

ตอบ 167 3 คาตอบ คอื 167 3

4 4

67

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ถ้าตอ้ งการผลลัพธเ์ ปน็ ทศนิยม ให้ดาเนินการหารต่อ ดงั นี

ขนั ที่ 4 เขยี น 3 ห้อยขา้ งหน้า 0

4 6 27 31 30 20 0 ซ่ึงเปน็ ตัวเลขถัดไปของเลข 1 จะไดต้ วั ตง้ั ในการหาร

167 7 ขนั้ ตอ่ ไปคือ 30 ของสว่ นทีเ่ ป็นทศนิยม

30 4 = 7 เหลือเศษ 2 เขยี น 2 หอ้ ยข้างหน้าเลข 0

ซง่ึ เป็นตัวเลขถดั ไปของเลข 0 จะไดต้ วั ต้ังในการหาร

ข้ันตอ่ ไปคือ 20

ขนั ที่ 5 20 4 = 5 เหลอื เศษ 0 แสดงว่า

4 6 27 31 30 20 00 เปน็ การสิน้ สดุ การหาร

16 7 7 5 คาตอบ คอื 167.75

คาตอบคอื 167.75

วิธเี ขยี นการหารแบบตรงสรปุ ไดด้ งั นี

4 6 27 31 30 หรือ 4 6 27 31 30 20

167 3 167 7 5

ตอบ 167 3 = 167.75

4

การตรวจสอบผลลัพธ์จากการดาเนินการหารสามารถใช้วิธีผลบวกเลขโดดของจานวนนับ
(สมบตั ิของวงกลมเกา้ จุด) ไดด้ งั นี
การตรวจสอบการดาเนนิ การหาร (Division Check)
ขนั ที่ 1 นาตัวตงั้ ลบด้วยเศษเหลอื 3 จะได้ 671−3 = 668 ซง่ึ 668 หารดว้ ย 4 ลงตวั
ขันท่ี 2 เมอื่ พิจารณาการตรวจสอบว่าการหารถกู ตอ้ งหรอื ไม่ จากขั้นที่ 1 ให้ปรับเปลี่ยนการหาร เปน็ การคูณ

ระหว่างผลลพั ธก์ บั ตวั หาร ดังนี้
ผลบวกเลขโดดของจานวนนบั (สมบตั ขิ องวงกลมเก้าจุด)

16 7 1+6 +7 = 14, 1+4 = 5

4 5 4 = 20

668 6+6+8 = 20, 2+0 = 2 2+0 = 2

หรอื 671 4 = 167 3 = 167.75 1+6+7+3 = 8
×
4
16 7+3

4

68

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

4 4
6 7 1 → 6 + 7 +1 =14,1+ 4 = 5 3 2 →3+2=5

หรอื 1 6 7 . 7 5 1+6+7 +7 +5 = 8
4×
4

6 7 1 → 6+7 +1= 5 3 2 →3+2=5

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลลพั ธ์

1) 294 3 3 2 29 24 0 0
09 8
วิธีทา

ตอบ 294 3 = 98 98 8 9 12 45 5 0 20 40
115 62 5
2) 925 8

วิธที า

ตอบ 925 8 =115.625 7 3 36 18 49 0 0
052 7
3) 3689  7

วิธที า

ตอบ 3689 7 = 527

แบบฝึกหดั ชุดท่ี 1
จงหาผลลัพธ์โดยให้คาตอบอยู่ในรปู ผลหารและเศษเหลอื และทศนยิ มสามตาแหนง่

1. 3 3 2 7 2. 4 3 1 3 4 3. 6 5 3 2 1

4. 7 6 8 2 1 5. 4 2 3 6 5 7 6. 8 5 7 3 2

69

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

7. 5 5 7 4 4 8. 2 7 8 5 7 9 9. 4 4 8 4 3 6

10. 8 5 9 7 8 4 6 3 4 11. 9 9 8 9 7 9 7 9
12. 5 9 4 9 5 6 8 9 3 2 1

13. 6 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9

14. 3 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 15. 4 8 9 6 5 7 9 2 3

70

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

2.2 การหารกรณตี วั หารเปน็ จานวนเต็มตังแต่สองหลกั ขนึ ไป

การหารตรงเป็นวิธที ่ีใช้เทคนิคแนวตรงและแนวไขว้ โดยคิดทีต่ ัวเลขส่วนหน่งึ ของตัวหาร ซง่ึ มขี ้อตกลงดังน้ี

ตัวหาร ท่ีเป็นเลขสองหลักจะต้องแยกออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกเป็นตัวหาร เรียกว่า ตัวหารใหม่

(new divisor) และส่วนทสี่ องเรียกวา่ ตัวธง (flag) ใชเ้ ป็นตวั เสรมิ ในการหาร

ตัวตัง แยกเป็นสองส่วนเช่นเดียวกับตัวหาร ซ่ึงส่วนท่ีสองของตัวต้ังต้องมีจานวนหลักเท่ากับ

จานวนหลักของตวั ธง

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ 716769 54

ขนั ตอนการหาร(Division Algorithm)

ตัวอย่างนตี้ วั หาร 54 มสี องหลกั แยกตัวหาร 54 ออกเปน็ สองส่วนคอื 5 กบั 4 ซ่งึ การหาร จะ

ใช้ส่วนแรก คือ 5 เป็นตัวหาร เรียกว่า ตัวหารใหม่ และส่วนท่ีสองคือ 4 เรียกว่า ตัวธง และตัวตั้งแบ่งเป็น สอง

ส่วน คือ 7 1 6 7 6 9 โดยส่วนที่สองของตัวต้ังจะต้องมีจานวนหลักเท่ากับจานวนหลักของตัวธง การ

หารใหด้ าเนนิ การ ดังนี้

วิธีทา 6 9 ขน้ั ตอนการหาร
ขนั ท่ี 1 ขนั ท่ี 1 7 5 =1 เหลือเศษ 2 ใส่ผลหาร 1 ซึ่งเป็น
ตัวแรกของคาตอบ สว่ นเศษ 2 นาไปเขียนห้อย
5 4 7 21 6 7 ข้างหนา้ เลข 1 ของตัวต้งั ในการหารขั้นต่อไป คือ 21

1

ขนั ที่ 2 7 6 9 ขนั ที่ 2 หาผลคณู ตัวธง 4 กบั ผลหาร 1 ทไ่ี ด้มาจาก
ขั้นท่ี 1 แลว้ นาไปลบออกจากตวั เลขถดั ไปของตัวต้งั
5 4 7 21 26 ขา้ งบนคือ 21 แล้วหารดว้ ย 5 ดังนี้
21− 4(1) =17 , 17 5 = 3 เหลอื เศษ 2
(4 1)
ใส่ผลลัพธ์ 3 เป็นตวั ทส่ี องของคาตอบ ส่วนเศษ 2
13 นาไปเขยี นห้อยขา้ งหน้าเลข 6 ของตัวต้งั ในการหาร
ขน้ั ตอ่ ไป คือ 26

ขันที่ 3 6 9 ขนั ที่ 3 ในทานองเดยี วกนั หาผลคูณระหวา่ งตัวธง
กบั ผลหารทไ่ี ดม้ าจากขนั้ ท่ี 2 นาไปลบออกจากตวั ตัง้
5 4 7 21 26 47 ถดั ไปทางขวา แล้วหารตวั หารใหม่
26 −3(4) =14 ,14 5 = 2 เหลอื เศษ 4 ใส่ 2 เป็น
(4 1) (4  3) ตัวท่ีสามของคาตอบ ส่วนเศษ 4

132 71

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ขนั ที่ 4 46 9 นาไปเขยี นห้อยข้างหนา้ เลข 7 ของตัวตง้ั ในการหาร
ขน้ั ตอ่ ไป คือ 47
5 4 7 21 26 47 ขันที่ 4 47 − 2(4) = 39 , 39 5 = 7 เหลอื เศษ 4
ใส่ 7 เปน็ ตัวทสี่ ข่ี องคาตอบ สว่ นเศษ 4 นาไปเขียน
(4 1) (4  3) (4  2) ห้อยขา้ งหนา้ เลข 6 ของตวั ตัง้ ในการหารขน้ั ต่อไป
คอื 46
1 3 27
ขันที่ 5 46 − 7(4) =18 , 18 5 = 3 เหลือเศษ 3
ขันท่ี 5 21 2 6 4 7 4 6 39 ใส่ 3 เปน็ ตวั ที่ห้าของคาตอบ สว่ นเศษ 3 นาไปเขยี น
ห้อยขา้ งหนา้ เลข 9 ของตวั ตั้งในการหารขนั้ ต่อไป
5 47 (4 1) (4  3) (4  2) (4  7) คือ 39

1 3 2 7 3 ขันท่ี 6 หาเศษเหลือจากการหาร
จะได้ 39 − (43) = 27
ขันท่ี 6 46 39 คาตอบ คอื 13273 27 =13273 1

5 4 7 21 26 47 (4  3) 54 2

(4 1) (4  3) (4  2) (4  7) 27 การหารตั้งแต่ข้ันตอนนี้เป็นต้นไปจะเป็นส่วน
ของทศนยิ ม
1 3 27 3 39 20 ขนั ท่ี 7 39 −3(4) = 27 , 27 5 = 5 เหลอื เศษ 2
ใส่ 5 เป็นตวั ที่ 1 ของคาตอบทศนิยม สว่ นเศษ 2
ตอบ 13273 27 = 13273 1 (4  3) นาไปเขยี นห้อยไว้ข้างหน้าเลข 0 ซง่ึ เป็นตวั ตั้งถดั ไป
คือ 20
54 2 5

ขันที่ 7

5 4 7 21 26 47 46

(4 1) (4  3) (4  2) (4  7)

1 3 27 3

ขนั ที่ 8 21 26 47 46 39 20 ขันที่ 8 20 −5(4) = 0 เปน็ การสนิ้ สดุ การหาร
คาตอบ คอื 13273.5
5 47
(4 1) (4  3) (4  2) (4  7) (4  3) (4  5)
1
3 27 3 5 0

ตอบ 13273.5

72

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

วิธีเขยี นการหารแบบตรงสรปุ ไดด้ ังนี 8 28 12

4 12 47 46 39

5 4 7 21 2 6 27 = r

17 14 39 18
13 2 73

ตอบ 13273 27 = 13273 1 =13273.5

54 2

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหาค่าของ 45026  47

ในตวั อย่างนีแบ่งตัวหาร 47 เปน็ 4 เปน็ ตวั หารใหม่และ 7 เปน็ ตัวธง

วธิ ีทา ขนั ตอนการหาร
ขันท่ี 1 ขันท่ี 1 4 4 = 0 เหลือเศษ 4 ใส่ผลหาร 0
ซงึ่ เป็นตัวแรกของคาตอบ สว่ นเศษ 4 นาไปเขียนห้อย
4 7 4 45 02 60 ขา้ งหนา้ เลข 5 ของตวั ตง้ั
เนื่องจาก 4 4 =1 เหลือเศษ 0 จะทาให้ผลหาร
0 คือ 1 เมื่อนาไปคูณกับตัวธง คือ 7 แล้วนาไปลบกับ
ตัวต้ังในหลักถัดไปทางขวา ทาให้ผลลัพธ์ท่ีได้ติดลบ
ดงั นน้ั จึงตอ้ งลดผลหารเพื่อใหผ้ ลลพั ธ์ท่ไี ดเ้ ปน็ บวก

73

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ขันท่ี 2 0 90 2 60 ขนั ที่ 2 หาผลคูณตวั ธง 7 กับผลหาร 0 ท่ไี ด้มาจาก
ขั้นท่ี 1 นาไปลบออกจากตัวเลขถัดไปของตัวต้ังข้างบน
4 74 45 คอื 45 แลว้ หารดว้ ย 4 ดังน้ี
45 − 7(0) = 45 , 45  4 = 9 เหลอื เศษ 9
0 45 (พิจารณาตามขั้นที่ 1) ใส่ผลหาร 9 เปน็ ตวั ทีส่ องของ
9 คาตอบ สว่ นเศษ 9 นาไปเขียนหอ้ ยข้างหนา้ เลข 0
ของตวั ต้ัง
เนอ่ื งจาก 454 =11 เหลอื เศษ 1 จะทาใหผ้ ลหาร
คือ 11 เมอ่ื นาไปคณู กบั ตัวธง คือ 7 แล้วนาไปลบกบั
ตัวตั้งในหลักถัดไปทางขวา ทาให้ผลลพั ธ์ท่ไี ดต้ ิดลบ
ดังนนั้ จงึ ตอ้ งลดผลหารเพอ่ื ใหผ้ ลลัพธ์ทไี่ ดเ้ ปน็ บวก

ขันท่ี 3 ขันที่ 3 หาผลลบระหวา่ งผลคณู ของตัวธง 7 กบั
ผลหาร 9 ทีไ่ ด้มาจากขนั้ ท่ี 2 ดังน้ี
4 74 0 63 60 90 − 9(7) = 27 , 27  4 = 5 เหลอื เศษ 7
ใส่ 5 เป็นตัวทสี่ ามของคาตอบ ส่วนเศษ 7
45 90 72 นาไปใสห่ ้อยข้างหนา้ เลข 2 ของตัวตั้ง

45 27 ขันที่ 4 72 −5(7) = 37 , 37  4 = 8 เหลอื เศษ 5
09 5 ใส่ 8 เป็นตวั ท่สี ีข่ องคาตอบ สว่ นเศษ 5
นาไปใสห่ ้อยขา้ งหน้าเลข 6 ของตวั ตั้ง
ขนั ท่ี 4 0 63 35 56 0
ขันที่ 5 56 − 7(8) = 0 ไมม่ ีจานวนทจ่ี ะหารตอ่ ไป
4 74 45 90 72 แสดงวา่ สน้ิ สุดการหาร
คาตอบ คือ 958
45 27 37
09 5 8

ขันท่ี 5

4 74 0 63 35 56

45 90 72 5 6 00

45 27 37 0

09 5 8 00

ตอบ 958

74

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

- หรือเขียนการหารแบบตรง ดังนี 56 00
00
4 7 4 45 90 72
095 8

- หรอื ผลหารอาจมีคา่ เป็นจานวนลบไดเ้ มือ่ ใช้จานวนบาร์ ดังนี

4 7 4 05 20 02 16 0

7

(7 1) (7  0) (7  5) (7  9) (7 10)

10 5 9 10 0

ดังนัน 45026  47 = 1059.10 =958.0

- หรือพิจารณาตัวอย่างนี ตัวหารมีตัวเลขบางตวั มากกว่า 5 อาจใช้วิธีวินคิวลัมแปลงตวั หาร ดงั นี

45026  47 = 45026 53 = 958

5 3 4 45 00 22 26 20 20 20

(3 0) (39) (35) (3 7) (39) (39)

09 5 7 999

ดงั นนั 45026 ÷ 53 = 957.999... = 958
ตอบ 958

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคา่ ของ 6282323 12 13 20
วธิ ีทา 2 3 6 22 28 1 43

273

ตอบ 273110 = 2731.43...

23

ตัวอย่างที่ 4 จงหาคา่ ของ 1234 12 14 20 10 10
วิธที า 1 2 1 02 03 8333

102

ตอบ 10210 = 102.8333...

12

75

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ในบางกรณี สามารถนาจานวนวนิ ควิ ลัมมาใชใ้ นการหารดงั ตัวอยา่ งที่ 5 – 8

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาค่าของ 828432 38

วธิ ีทา 828432  38 = 828432 ÷ 42

4 2 8 02 28 24 23 12 12 − (10 2) = 32 = r
2179 10

ตอบ 21800 32

38

ตวั อย่างที่ 6 จงหาค่าของ 3737363

วธิ ีทา

63 3 37 13 7 3 37 6 = 6 เศษเหลือ 1

5 1

6 0 7 14 63 =18, 13−18 = 5, 5  6 = 0 เศษเหลอื 5
การหารข้ันต่อไปคือ : 57 หรือ 43

03 = 0, 43− 0 = 43 , 43 6 = 7 เศษเหลือ 1

73 = 21, 13 − 21 = 7 + 21 =14

หมายเหตุ ใช้วิธกี ารวินควิ ลัม (Vinculum Process) ในการแปลง 57 = 43 และ 13 = 7

ตอบ 607 14 = 59314

63 63

ตวั อย่างที่ 7 จงหาคา่ ของ 62312  49
วิธีทา 62312  49 = 62312 51

51 6 12 33 01 32 6 5 =1 เศษเหลือ 1
12 71 33 11 =1, 12 −1 =12 +1 =13,135 = 2เศษเหลือ 3
การหารขันต่อไปคอื
ตอบ 127133 = 1271 33 1 2 = 2, 33− 2 = 33+ 2 = 35, 35 5 = 7 เศษเหลอื 0
17 = 7, 01− 7 = 8, 8 5 =1 เศษเหลือ 3
51 49
76

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ตัวอยา่ งท่ี 8 จงหาค่าของ 54545 29
วิธีทา 54545  29 = 54545 31

31 5 24 15 24 15
1 87 10 25 = r

ตอบ 1880 25

29

ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาคา่ ของ 333.000 73

วิธีทา 73 3 3 53 60 30 50
1 ...
45 6

ตอบ 4.561 ...

ตวั อยา่ งท่ี 10 จงหาค่าของ 123123128 (ในกรณี ตัวหารสามหลกั )
จากตัวอย่างข้างต้นตัวหารมีสองหลัก ในตัวอย่างน้ีตัวหารคือ 128 มีสามหลัก ให้ใช้วิธีเดียวกัน

กับตัวหารสองหลัก คือ แยกตัวหารออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกท่ีเป็นตัวหารใหม่คือ 12 ส่วนท่ีสองตัวธงคือ 8
และ ตัวตังแบ่งเป็นสองส่วนเช่นเดียวกัน คือ 12 3 1 2 3 แต่จานวนหลักหน้าสุดของตัวตังต้องเท่ากับ

จานวนหลักของตวั หารใหม่ การหารให้ดาเนินการดังน้ี
วิธที า

12 8 12 123 151 7 2 12 3

0961 123 −1(8) =115 = r

ตอบ 961115 = 961.898

128

อธบิ ายรายละเอียดดงั นี

128 ผลลัพธ์ 0 9 6 1 8 9 8
12 3 151 12 3 19 0 18 0
ตัวตง้ั 12 72
(8 0) (8  9) (8 1) (8  8) (8  9)
ผลคณู ไขว้ − (8 6)
123 79 115 126 108
ตวั ตัง้ ใหม่ 12 108 72 24 96 108 96
12
ตัวทไี่ ปลบออก 0 15 7 19 18 12
12
เศษเหลือ 12

77

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

หรอื ใช้วิธีการวินคิวลัม 123123 ÷ 128 = 123123 ÷ 132 113
113 −1(−2) =115 = r
13 2 12 12 3 61 12
9 61
0

อธิบายรายละเอยี ดดงั นี

132 ผลลพั ธ์ 0 9 6 1 8 9 8
12 12 3 61 113 11 0 90
ตวั ตั้ง − 12
ผลคูณไขว้ (2 0 = 0) (29 =18) (21 = 2) (28 =16) (29 =18)
12 (2 6 =12)
ตวั ต้งั ใหม่ 0
ตวั ทีไ่ ปลบออก 123 79 24 115 126 108
เศษเหลือ 12 117 78 13 104 117 104
6 1 11 11 9 4

หรือตัวหาร 128 เป็นสามหลัก การแยกตัวหารออกเป็นสองส่วน ส่วนแรกท่ีเป็นตัวหารใหม่คือ 1
ส่วนท่ีสองตัวธง คือ 28 และตัวตังแบ่งเป็นสองส่วน ให้ส่วนที่สองของตัวตังมีจานวนหลักเท่ากับจานวนหลัก
ของตวั ธง คือ 1 2 3 1 2 3

1 28 1 12 33 91 6 2 3

0 9 6 1 623− 508 =115 = r

อธิบายรายละเอยี ดดงั นี 96 1

128 ผลลัพธ์ 0 12 33 91 62 3

ตวั ตั้ง 1 (81 = 8)

(2  9 = 18) (2  6 = 12) (2 1 = 2) 
  
ผลคณู ไขว้ − (2 0 = 0) +  = 18 +  = 84 +  = 50

(0 8 = 0)  (98 = 72) (6 8 = 48)


ตัวต้งั ใหม่ 1 12 15 7 623
0
ตัวทไี่ ปลบออก 96 1 508
เศษเหลอื 1
39 6 623− 508 =115

ตอบ 961115

128

78

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

ตวั อย่างที่ 11 จงหาคา่ ของ 76055314 ( ในกรณี ตวั หารสามหลัก แบ่งตัวธงออกเป็นสองหลกั )

วธิ ที า 16 05 5 ขันตอนการหาร
ขันท่ี 1 ขนั ที่ 1 7 3 = 2 เหลอื เศษ 1 ใส่ผลหาร 2
ซึ่งเป็นตัวแรกของคาตอบ ส่วนเศษ 1
314 7 นาไปเขียนห้อยข้างหน้าเลข 6 ของตัวตั้ง
ในหลักถดั ไป
2

ขันท่ี 2 2×1=2 20 5 5 ขนั ท่ี 2 หาผลคณู ตัวธง 1 4 กบั ผลหาร 2
ทีไ่ ด้มาจากข้นั ท่ี 1 แล้วนาไปลบออกจาก
314 7 16 ตัวเลขถัดไปของตัวตงั้ ขา้ งบนคอื 16
แลว้ หารด้วย 3 ดังนี้
2 14 16 −1(2) =14 , 14 3 = 4 เหลอื เศษ 2
4
ใส่ 4 เป็นตัวทส่ี องของคาตอบ สว่ นเศษ 2
ขันที่ 3 (4 × 1) = 4=12 นาไปเขยี นห้อยข้างหนา้ เลข 0 ของตวั ต้งั
+ ในหลักถัดไป
31 4 7
2 2 (4 × 2) = 8 ขันท่ี 3 หาผลคณู ไขวร้ ะหวา่ งตวั ธง 1 4
กับผลหาร 2 4 ทไี่ ดม้ าจากขัน้ ที่ 2
16 20 2 5 5 แล้วนาไปลบออกจากตวั เลขถัดไปของตวั ตั้ง
ขา้ งบนคือ 20 แล้วหารด้วย 3 ดังน้ี
14 8 20 −12 = 8 , 8 3 = 2 เหลอื เศษ 2
42 ใส่ 2 เป็นตัวท่สี ามของคาตอบ สว่ นเศษ 2
นาไปเขียนห้อยข้างหนา้ เลข 5 ของตัวต้ัง
ขันท่ี 4 ในหลักถดั ไป

(4 × 4) = 16=18 ขนั ที่ 4 การหาเศษเหลือจากการหาร
+ ให้หาผลคูณไขวร้ ะหว่างตวั ธง 1 4 กบั ผลหาร
4 2 ที่ได้มาจากข้ันที่ 3 แล้วนาไปลบออก
2 12 (2 × 1) = 2  จากตัวเลขถดั ไปของตวั ตั้งข้างบนคือ 25
3 1 4 7 16 20 ดงั น้ี 25−18 = 7 แลว้ นาไปเขียนห้อย
25 75 ข้างหน้าเลข 5 ของตวั ตั้งในหลักถดั ไป

14 8 7 ขันท่ี 5 การหาเศษเหลือจากการหาร
24 2 หาผลคณู ระหว่างตวั ธง 1 4 กับผลหาร 2
ทไ่ี ดม้ าจากข้ันที่ 4 ซึง่ อย่ใู นหลักหน่วย
ขันท่ี 5 18 (4 × 2) = 8 แลว้ นาไปลบออกจากตวั เลขถัดไปของตวั ตั้ง
ข้างบนคือ 75 ดงั น้ี 75−8 = 67
2 12 25 75

3 1 4 7 16 20 7
75 - 8 = 67 = r
14 8
2 42

79

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตอบ 242 67 คาตอบ คือ 242 67

314 314

ขนั ท่ี 6 (4 × 4) = 16=18 ขนั ท่ี 6 การหาทศนยิ มจากการหาร
+ จากขน้ั ท่ี 3 หาผลคูณไขว้ระหวา่ งตัวธง 1 4
3 14 7 กับผลหาร 4 2 ท่ีได้มาจากขั้นที่ 2
2 2 12 (2 × 1) = 2  แล้วนาไปลบออกจากตัวเลขถัดไปของตัวตั้ง
ข้างบนคือ 25 แล้วหารดว้ ย 3 ดังน้ี
16 20 25 15 25−18 = 7 , 7 3 = 2 เหลอื เศษ 1
ใส่ 2 เป็นตวั ที่สข่ี องคาตอบ ส่วนเศษ 1
14 87 นาไปเขียนห้อยข้างหนา้ เลข 5 ของตวั ตั้ง
4 22 ในหลกั ถัดไป

ขนั ที่ 7 ขนั ที่ 7 การหาทศนิยมจากการหาร

(2 × 4) = 8=10 จากขั้นท่ี 3 หาผลคูณไขวร้ ะหวา่ งตวั ธง 1 4
+

314 7 2 12 18 (1 × 1) = 2 20 กับผลหาร 2 2 ท่ไี ด้มาจากขน้ั ท่ี 6
2 แล้วนาไปลบออกจากตวั เลขถัดไปของตัวตงั้
16 20 25 15

14 87 5 ขา้ งบนคือ 15 แลว้ หารด้วย 3 ดังน้ี
4
22 1 ... 15 −10 = 5 , 5 3 =1 เหลือเศษ 2

ใส่ 1 เปน็ ตัวทหี่ า้ ของคาตอบ ส่วนเศษ 2

นาไปเขียนห้อยข้างหน้าเลข 0 ของตวั ตั้ง

ในหลกั ถัดไป

ตอบ 242.21 คาตอบ คือ 242.21...

ตวั อย่างที่ 12 จงหาค่าของ 716769 156

ตัวหาร 156 เป็นสามหลกั การแยกตัวหารออกเป็นสองสว่ น สว่ นแรกท่เี ป็นตวั หารใหมค่ ือ 15 สว่ นตัวธง
คือ 6 ตัวตัง้ คงแบ่งเปน็ เช่นเดียวกับตวั อย่างท่ีแลว้ คือ 7 1 6 7 6 9

วิธีทา 15 6 71 116 17 7 12 6 129 15 0 9 0

459 4 6 7 3 ...

ตอบ 4594105 = 4594.673...

156

80

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

อธิบายรายละเอียดดังนี 673
12 9 15 0 9 0
156 ผลลพั ธ์ 4 594
71 (6 4 = 24) (6 6 = 36) (6 7 = 42)
ตวั ตั้ง 116 17 7 12 6
ผลคณู ไขว้ − 105 114 48
(6 4 = 24) (65 = 30) (69 = 54) 90 105 45
ตัวต้งั ใหม่ 71 15 9 3
ตัวท่ีไปลบออก 60 92 147 72
เศษเหลือ 11
75 135 60

17 12 12

ตัวอย่างที่ 13 จงหาค่าของ 62346 524

วิธที า 5 24 6 12 53 2 4 26

1 1 9 26 - 36 = 10 = r

ดังน้นั 119 = 118 524 , 118 524 + 10 = 118 514
524 524 524 524

ตอบ 118 514

524

อธบิ ายรายละเอียดดังนี

524 ผลลพั ธ์ 1 1 9
12
ตัวตัง้ 6 53 24 26
(21 = 2)
(2 1 = 2) (9 2 = 18) (49 = 36)
10  
ผลคณู ไขว้ − 5 +  = 6 +  = 22
5
(1 4 = 4) (1 4 = 4) 


ตัวตั้งใหม่ 6 47
ตัวที่ไปลบออก 5
1 45
เศษเหลือ
2 26 − 36 = 10

พิจารณาจากตารางขา้ งบน การหารตัวเศษมคี ่าเป็นลบแต่เศษตามนยิ ามต้องเป็นบวก โดยวิธีการวินควิ ลมั
ตอบ 119 10 = 118 524 +10 = 118 514

524 524 524

หรือ

5 24 6 12 53 7 4 54 6

1 1 8 546 - 32 = 514 = r

81

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

อธบิ ายรายละเอยี ดดังนี

524 ผลลัพธ์ 1 1 8 74 54 6
12 53
ตัวตัง้ 6 (48 = 32)
(21 = 2)
ผลคูณไขว้ (2 1 = 2) (2 8 = 16)
10  
− 5 +  = 6 +  = 20
5
(1 4 = 4) (1 4 = 4) 


ตัวตงั้ ใหม่ 6 47
5
ตัวท่ไี ปลบออก 1 40
เศษเหลือ 7 546 − 32 = 514

ตอบ 118 514

524

ตัวอย่างที่ 14 จงหาคา่ ของ 2999222 713
วิธีทา

713 2 29 19 19 52 4 2 36 2

(1 0 = 0) (1 4 = 4)  (1 2 = 2)  (1 0 = 0)  (1 6 = 6)  (3 6 =18)
   
+  = 4 +  = 14 +  = 6 +  = 6

(0  3 = 0) (4  3 = 12) (2  3 = 6) (0  3 = 0)

04 20 6 362 −18 = 344 = r

ตอบ 4206 344

713

ตวั อยา่ งที่ 15 จงหาคา่ ของ 23426545214 (การหารที่ตัวหารมสี ี่หลัก)
การแบ่งตัวหารออกเป็น 2 ส่วน อยู่ที่เรากาหนด เพ่ือความง่ายในการหารควรใช้ตัวหารเป็น 5

ดงั นัน้ จงึ แบ่งตวั หารเป็น 5 2 1 4 และตัวตั้งเปน็ 2 3 4 2 6 5 4 ตามเงอ่ื นไขขา้ งต้น

วิธที า

5 214 2 23 3 4 6 2 5 6 185 160 4

0 4 4 9 1604 - 36 = 1568 = r

82

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

อธิบายรายละเอียดดงั นี

5214 ผลลัพธ์ 0 4 49 56 18 5 160 4
2 23 34 62
ตวั ตัง้
ผลคณู ไขว้ (2 0 = 0) (2  4 = 8) (2  9 = 18)
 
23 (2  4 = 8) + 0) + 16) (1 9 = 9) 
20  4= 4= 
− +  = 8 (0  = 12 (4  = 38 +  = 25 (49 = 36)
3
(0 1 = 0)  +  +  (4  4 = 16)
 
(1 4 = 4)  (1 4 = 4) 

ตวั ต้ังใหม่ 2 26 50
ตวั ทีไ่ ปลบออก 0
20 45
เศษเหลือ
6 5 1604 − 36 =1568

ตอบ 449 1568

5214

ตัวอยา่ งท่ี 16 จงหาค่าของ 987987 8123

วธิ ที า 8123 9 18 17 59 518 510 7
1
(11 =1) (11 = 1) 

2 (1 2 = 2) +  (2 1 = 2) 
 (1 3 = 3)  
+  = 4 = 8 +  = 8 (31 = 3)
+
(1 2 = 2)  (2  3 = 6)

(2  2 = 4)

1 5107 − 3 = 5104 = r

ตอบ 1215104

8123

ตัวอยา่ งท่ี 17 จงหาคา่ ของ 543417103

วิธที า 7103 5 54 53 4 4 31 50 40 00 0
ตอบ 0
3

(1 7 = 7)  (1 6 = 6)  (1 5 = 5)  (1 0 = 0)  (1 4 = 4)  (1 3 = 3)  (1 0 = 0) 

(1 0 = 0) +  = 7 (0  + 0)  = 6 (7  +  = 26 (6  +  = 18 (5  +  = 19 (0  + 0)  = 3 (4  +  = 12
 3=  3= 21) 3= 18) 3= 15) 3=  3= 12)
(0  0 = 0) 
  
+  +  +  +  +  + 
  
(0  7 = 0) (0  6 = 0)  (0  5 = 0)  (0  0 = 0)  (0  4 = 0) (0  3 = 0) 

76 50 4 3 0 6…

7.6504306... = 7.6504294...

83

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การหาร

ตวั อย่างที่ 18 จงหาคา่ ของ 5870476912314 (ต้องการทศนยิ ม 4 ตาแหน่ง)

วธิ ีทา 912314 5 58 47 50 74 97 66

0 (1 0 = 0) (1 3 = 3)  (1 4 = 4)  (1 7 = 7) 
 
ตอบ 6.4347... 6 +  +  + 

(1 6 = 6)  (1 4 = 4)  (0 1 = 0)  (0  4 = 0)  (6  4 = 24)
 
 +  
 (0  3 = 0)  +  = 29 + +
+ = 6   
= 16 (3 2 = 6)  = 28 (4  2 = 8)  = 52
(0  2 = 0) (6  3 = 18)
+  +  + 
  
(2  6 = 12) +
 (6 1 = 6)  (4 1 = 4) 
(2 4 = 8)   
+  + 

(4  3 = 12) (3 3 = 9) 

4 3 47 ...

ตวั อยา่ งที่ 19 จงหาค่าของ 34567 6918
วิธที า 34567 6918 = 34567  7122

7122 3 34 65 66 47 40 40 30
0
(1 0 = 0) (1 4= 4)  (1 9 = 9)  (1 9 = 9)  (1 6 = 6)  (1 6 = 6)  (1 7 = 7) 
+      
4  + + + + +
=     
4 (0  2 = 0) = 1 (4  2 = 8)  = 1 (9  2 = 18) = 6 (9  2 = 18) = 12 (6  2 = 12) = 7

(0  2 = 0) +  +  +  +  + 
    
(2  4 = 8) (2  9 = 18) (2  9 = 18) (2  6 = 12) (2  6 = 12)
    

9 9 6 6 7 ...

ตอบ 34.99667...
ตวั อย่างที่ 20 จงหาคา่ ของ 877778819976

วิธที า 877778 819976 = 877778820024

820024 8 07 57 17 37 8 00
1 0
1

7 0 5 1 ...

ตอบ 1.07051... =1.07049...

84

เวทคณติ 4. การดาเนินการหาร

แบบฝึกหดั ชดุ ที่ 2 3. 5 4 2 3 4
ตอนที่ 1 จงหาผลหารและเศษเหลอื

1. 5 2 2 0 9 2. 6 3 3 2 1

4. 2 3 7 4 5. 7 2 5 0 4 6. 6 3 4 4 4

7. 8 2 5 4 3 8. 9 3 5 7 6 9. 7 2 5 0 3

10. 2 8 9 7 11. 4 7 1 8 4 12. 5 3 2 1 0

13. 6 3 3 7 3 14. 5 2 3 5 3 15. 4 4 3 3 3

16. 3 7 2 6 7 17. 5 9 3 7 5 18. 5 9 3 5 3

85

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตอนท่ี 2 จงหาผลลัพธ์และตอบเป็นทศนิยมสามตาแหนง่

19. 3 1 3 2 7 20. 5 4 3 1 3 4

21. 6 2 5 3 2 1 22. 7 4 6 8 2 1

23. 4 3 2 3 6 5 7 24. 8 7 5 7 3 2

25. 5 6 5 7 4 4 26. 2 3 7 8 5 7 9
27. 4 9 4 8 4 3 6 28. 8 6 5 9 7 8 4 6 3 4

29. 5 6 8 9 6 5 7 9 2 3
30. 4 9 9 4 9 5 6 8 9 3 2 1

86

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

31. 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9 6 9

32. 3 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8

33. 9 6 9 8 9 7 9 7 9
34. 3 5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8
35. 9 6 9 8 9 7 9 7 9

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 3 2. 751339 ÷ 821
ตอนท่ี 1 จงหาผลลัพธ์ 4. 62045 923

1. 760559 ÷ 914 87

3. 1076422 ÷ 813

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การหาร

5. 495161 ÷ 603 6. 1326632 ÷ 921

7. 760673 ÷ 832 8. 751227 ÷ 915

9. 760559 ÷ 914 10. 751339 ÷ 821

11. 312976370 ÷ 9142 12. 222978784 ÷ 6107

13. 33883321 ÷ 7217 14. 2803716399 ÷ 81213
15. 397209672 ÷ 73412 16. 138462 ÷ 39838

88

เวทคณิต 4. การดาเนินการหาร

ตอนที่ 2 จงหาผลลพั ธ์ตอบเปน็ ทศนิยม 4 ตาแหน่ง 18. 19411565 ÷ 822

17. 3005418 ÷ 713

19. 2767773 ÷ 814 20. 9879.879 ÷ 413
21. 3094717 ÷ 642 22. 81039 ÷ 724

23. 1040201 ÷ 814 24. 231884 ÷ 543

25. 135790 ÷ 691 26. 102030.405 ÷ 7898

89