เวทคณิตรวมสมบูรณ์

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

3.7 การดาเนินการลบของจานวนวนิ ควิ ลมั

การดาเนนิ การลบของจานวนวินควิ ลมั เป็นการดาเนินการลบจานวนเต็ม น่นั เอง เช่น
3− 2 = 3+ (−2) = 3+ 2 =1 , (−3) − 2 = (−3) + (−2) = 3+ 2 = 5 และ

(−3) − (−2) = (−3) + 2 = 3+ 2 =1

ตวั อย่างที่ 1 พิจารณาการลบของจานวนต่อไปนี้
1) 4 − 3 =1
2) 3− 4 = −1 =1
3) 4 − 2 = 4 − (−2) = 4 + 2 = 6

4) 3− 2 = −3− 2 = −5 = 5
5) 2 − 3 = −2 − (−3) = −2 + 3 =1

6) 4 − 2 = −4 − (−2) = −2 = 2

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลลพั ธข์ องจานวนวินควิ ลัม 54231− 22343

วธิ ีทา 5 4 2 3 1 5 4 2 31
−
−
22343  22343

3 2 1 1 2 = 27908

ขั้นท่ี 1 หลกั หม่ืน 5 ลบดว้ ย 2 ผลลพั ธ์คือ 5− 2 = 3
ขั้นที่ 2 หลกั พัน 4 ลบด้วย 2 ผลลัพธ์คอื 4 − 2 = 2
ขนั้ ท่ี 3 หลักร้อย 2 ลบดว้ ย 3 ผลลัพธ์คือ 2 −3 =1
ขน้ั ท่ี 4 หลักสบิ 3 ลบดว้ ย 4 ผลลัพธ์คอื 3− 4 =1
ขนั้ ที่ 5 หลกั หนว่ ย 1 ลบดว้ ย 3 ผลลัพธ์คอื 1−3 = 2
ดังน้ัน ผลลพั ธ์ 32112 ในรปู ปกติ คือ 27908

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหาผลลัพธข์ อง 371082 −156411

วิธที า 3 7 1 0 8 2 4311 22

− −
1 5 6 4 1 1
24441 1

2 1 5 3 1 3 = 214693

4− 2 = 2, 3− 4 =1, 1− 4 = 5, 1− 4 = 3, 2 −1 = 1 และ 2 −1 = 3

ดังนัน้ ผลลัพธ์ 215313 ในรูปปกติ คือ 214693 เป็นคาตอบ

46

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

จากตัวอย่างขา้ งต้น การลบจานวนวนิ คิวลมั สองจานวนผลลบของเลขโดดแตล่ ะหลักจะไม่เกินเก้า นนั่ คอื ไม่
เกดิ การทด

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาผลลพั ธข์ อง 3524 − 2516

วธิ ีทา 3 5 2 4−  3 5 2 −4  3 5 2 4+

2 516 2524 2524

0 0 0 0= 0

ข้ันที่ 1 หลกั หน่วย 4 + 4 = 0 ใส่ 0 เปน็ คาตอบ
ขั้นท่ี 2 หลกั สบิ 2+ 2 = 0 ใส่ 0 เป็นคาตอบ
ขั้นท่ี 3 หลักร้อย 5+ 5 =10 =10 เแลว้ กล่าววา่ ‘Shudha’ ทด 1 โดยใส่จดุ ( ) บน 5 ใส่ 0 เป็นคาตอบ

ขั้นที่ 4 หลกั พัน นาจุด ( ) (1+ 2 + 3 = 0) ใส่ 0 เป็นคาตอบ

ดังนั้น 0 เปน็ คาตอบ

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาผลลัพธ์ 34544 −15465

วิธที า 3 4 5 4 4−  3 4 5 4 −4  3 4 5+4 4
1 5465 15 5 4 5 15 5 4 5

10 0 0 9

ขัน้ ท่ี 1 หลักหนว่ ย 5+ 4 = 9 ใส่ 9 เป็นคาตอบ
ขน้ั ท่ี 2 หลักสบิ 4 + 4 = 0 ใส่ 0 เป็นคาตอบ
ขน้ั ที่ 3 หลกั รอ้ ย 5+ 5 = 10 = 10 แล้วกล่าวว่า ‘Shudha’ ทด 1 โดยใส่จุด ( ) บน 5 ใส่ 0 เปน็ คาตอบ

ขน้ั ที่ 4 หลักพัน นาจุด ( ) (1+ 5+ 4 )=10 =10 แล้วกลา่ วว่า ‘Shudha’ ทด 1 โดยใส่จุด ( ) บน 4 ใส่ 0

เป็นคาตอบ

ขั้นที่ 5 หลักหม่ืน นาจุด ( ) (1+1+ 3 =1) ใส่ 1 เปน็ คาตอบ

ดังน้นั 10009 เป็นคาตอบ

47

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

แบบฝึกหดั ชดุ ท่ี 5 3) 1 3 2 2 3 1 4+

1. จงแสดงการดาเนนิ การบวกจานวนตอ่ ไปน้ี และตอบเป็นจานวนปกติ 4133 4 21

1) 1 2 3 4 5 + 2) 1 3 4 5 1 2 +

301 8 1 3 45123

2. จงแสดงการดาเนนิ การลบต่อไปน้ี และตอบเป็นจานวนปกติ

1) 0 1 2 3 4 5 6 − 2) 2 3 5 1 0 1

623 4 5 4 1 44 1 2 1 0 −

3. จงพิจาณาข้อต่อไปน้ีถูกหรือผิด ถา้ ผดิ แล้วจงหาผลเฉลยทีถ่ ูกต้อง

1) 3 7 2 + 2) 3 5 5 + 3) 2 3 4 +

1 31 34 4 13 4

5 01 000 10 0

4. จงแสดงวธิ ดี าเนนิ การลบจานวนต่อไปน้ี และตอบเปน็ รูปอย่างงา่ ย

1) 30181−12345 2) 864237-35547 3) 6543-5463

4. เทคนิคการลบแบบเวทคณิต

4.1 การลบแบบทัว่ ไป (General subtraction)

เป็นการลบตรง หลักต่อหลักกล่าวคือ หลักหน่วยลบหลักหนว่ ย หลักสิบลบหลักสิบ หลักร้อยลบหลักร้อย
หลักพันลบหลักพัน หลักหมื่นลบหลักหม่ืน เป็นเช่นน้ีไปเร่ือย ๆ โดยเลขโดดของตัวตั้งจะมากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ เลข
โดดของตัวลบก็ได้ ถ้าเลขโดดของตัวต้ังมากกว่าเลขโดดของตัวลบได้ผลลัพธ์เป็นจานวนบวก แต่ถ้าตัวเลขโดดของ
ตวั ต้งั นอ้ ยกวา่ ตัวเลขโดดของตัวลบก็ไดผ้ ลลพั ธ์เป็นจานวนลบ (เขียนเป็นจานวนที่ติดเครอ่ื งหมายบาร)์ ดังตวั อย่าง

ตัวอยา่ ง จงดาเนนิ การลบแบบทวั่ ไป ของจานวนตอ่ ไปนี้

วิธีทา 4 4 4 6767 2 3 4 51
− −
−
286 19 0 8 75643

2 4 2 =158 5 2 6 1 = 4859 5 2 2 1 2 = 5219 2 − 52192

48

เวทคณิต 2. การดาเนนิ การลบ

4.2 การดาเนินการบวกและการลบแบบระคน

การดาเนนิ การบวกและการลบของจานวนวินคิวลัมเป็นวิธีดาเนนิ การทง่ี า่ ย เมือ่ ไดฝ้ กึ ฝนการดาเนินการ
บวกและการลบจะทาใหเ้ กิดความเชอื่ มน่ั ในการคานวณ ท่ีมักจะพบเจอในการทาโจทย์คณิตศาตร์ วทิ ยาศาสตร์
และชวี ิตประจาวัน ซ่งึ ทาให้แกป้ ัญหาได้ดีและรวดเร็วขึน้ ดังตัวอย่างต่อไปน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลลพั ธ์ของ 375− 253+ 245− 433+327

วธิ ที า 3 7 5 − 435 +

253 + 2 5 3+

245  2 4 5+
−
433 433
+
327 + 33 3

34 1 = 261

ขั้นที่ 1 แปลงจานวนทุกจานวนใหเ้ ปน็ วินควิ ลมั
ข้นั ท่ี 2 เปลี่ยนการลบเปน็ การบวก
ขนั้ ท่ี 3 ใช้การบวกแบบทั่วไปหลกั ต่อหลัก
ขน้ั ที่ 4 แปลงคาตอบให้เป็นจานวนปกติ

ข้อสังเกต ในทุก ๆ กรณี จานวนท่ีประกอบด้วยเลขโดดที่มากกว่า 5 เราจะต้องเปล่ียนจานวนนั้นให้เลข
โดดมีค่าไม่เกิน 5 โดยใช้วินคิวลมั จะทาให้คานวณได้ง่ายขึ้น เพราะได้ลดขนาดของเลขโดด และลดวิธกี าร
ใสจ่ ดุ บนเลขโดดทบี่ วกกนั แลว้ มคี า่ มากกวา่ สบิ (Shudhikaran)

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ 275−334 + 499 − 289 + 534−327

วิธที า 2 7 5 − 335 − 335+

334  334 +  334+
499 + 501 − 501

− +
311 + 311
289 + +
534 534 534 +
327 − 333 − 333

4 5 8 = 358

ขน้ั ท่ี 1 แปลงจานวนทุกจานวนใหเ้ ป็นวินคิวลมั
ข้นั ที่ 2 เปลีย่ นการลบเป็นการบวก
ขน้ั ที่ 3 ใชก้ ารบวกแบบทัว่ ไปหลกั ต่อหลกั
ข้ันท่ี 4 แปลงคาตอบให้เปน็ จานวนปกติ

49

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธข์ อง 4 3 4 + 1 5 4 + 1 4 5 + 1 2 11 + 4 4 5 + 2 4 4
วธิ ีทา 4 3 4 + 1 5 4 + 1 4 5 + 1 2 11 + 4 4 5 + 2 4 4

= 11 4 3

= 9 4 3 = −9 4 3

ดงั นน้ั คาตอบคือ −9 4 3

ตวั อย่างท่ี 4 จงหาผลลพั ธข์ อง 234 −176 +583+378− 289
วธิ ีทา 234 −176 + 583+ 378 − 289

= 234 − 224 + 1423 + 422 − 311

= 234 + 224 + 1423 + 422 + 311

= 1330 = 730

ดังนนั้ คาตอบคือ 730
ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาผลลพั ธข์ อง 2893−1477 +1809 − 499 −1434 + 999 + 4345+1434 + 2343−1342
วธิ ีทา 2893−1477 +1809 − 499 −1434 + 999 + 4345+1434 + 2343−1342

= 3113−1523+ 2211− 501−1434 +1001+ 4345 +1434 + 2343−1342

= 3113+1523+ 2211+ 501+1434 +1001+ 4345 +1434 + 2343+1342

= 1 101

0 0 61

= 11071 =9071

ดงั นน้ั คาตอบคือ 9 0 7 1

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 6

1. จงดาเนนิ การลบของสองจานวนต่อไปน้โี ดยใช้วธิ ีการลบแบบทว่ั ไป

1) 1 2 4 − 2) 3 1 1 − 3) 1 3 5 6 − 4) 4 6 2 −

76 47 638 327

5) 1 1 0 1 6) 9 3 2 − 7) 1 1 3 1 − 8) 2 5 1 0−

757 − 846 998 889

9) 9 6 6 7 − 10) 1 2 3 4 6 − 11) 1 3 1 5 7 − 12) 2 5 9 5 7 −

638 7 337 7 45 6 27 5

50

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

13) 5 5 3 4 6− 14) 9 9 7 9 2 − 15) 9 8 6 7 8 − 16) 1 2 1 4 8 0 −
3586 7928
845 76 94998

17) 2 0 0 18) 2 0 0 − 19) 3 0 0 0 − 20) 3 0 0 0 −

276 − 347 5 638 4327

21) 4 0 0 0 − 22) 5 0 0 0 − 23) 2 0 0 0 − 24) 6 0 0 0−

7757 9846 5998 7889

25) 7 0 0 0 0 − 26) 5 0 0 0 0− 27) 7 4 6 8 4 − 28) 9 3 0 0 0 −

8639 9 7337 7 4 645 6 275 4 5

29) 2 1 2 1 5 5 − 30) 5 1 6 7 1 2 31) 5 1 0 0 0 0− 32) 1 1 4 767−

−
358648 792846 845 7641 9 499834

33) 2 1 1 5 0 1 − 34) 5 1 1 0 0 0 − 35) 6 1 5 5 3 1 − 36) 2 1 3 5 4 1 −
9 4 3586 47718
8 845 76 9 49989

37) 2 1 4 5 4 0 − 38) 5 1 5 6 0 0 − 39) 5 1 3 8 8 9 − 40) 1 1 6 7 6 4 −
5 2 4358 867928 845 766 9 49987

2. จงหาผลลัพธข์ องจานวนตอ่ ไปนี้

1) 3 4 5 − 2) 1 0 0 −

1 67+ 389 +

2 8 9 + 6 59 +
7 6 9 47

51

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

3) 1 4 7 9 4) 2 0 9 0 −
+
1350 + 6357
6678 − 857 1 +
3607 − −
4638 + 9025
5327

5) 1 6 8 0 − 6) 4 7 0 9 −

819 6 789 +
− 6 7 87

2 781 846 −
757 +

7) 4 4 4 9 9 + 8) 8 7 0 1 6 −

42587 − 76786 +
76901 + 15513
12587
64593 − −
42587 +
6387 + 15775
73 3 77 −

9) 467878 + 977779 − 233661 + 485858 − 36874 + 767675 + 167928
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

10) 987899 − 578888 + 423234 − 67878 − 4851 + 407808 + 436377
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

11) 16873589 − 57163985 + 9768456
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

52

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

12) 7808267814 + 26793986 − 457196275

= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
= ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. การตรวจผลลัพธก์ ารดาเนินการวนิ คิวลมั

กระบวนการวงกลมเก้าจุดท่ีนามาประยุกต์ใช้ในการตรวจสอบคาตอบในการดาเนินการบวก จากเร่ือง
การดาเนนิ การบวก สามารถใชใ้ นการตรวจสอบ การลบ การคณู และการหารได้

พบว่าจานวนปกติท่ีแปลงเป็นจานวนวินคิวลัม จะมีผลบวกเลขโดดของจานวนปกติเท่ากับ ผลบวกเลข
โดดของจานวนวนิ คิวลมั ดงั ตวั อย่างตอ่ ไปน้ี

2893 = 3113 ผลบวกเลขโดดของ 2893 คือ 4 ผลบวกเลขโดดของ 3113 คอื 4 เทา่ กัน
1809 = 2211 ผลบวกเลขโดดของ 1809 คือ 0 หรอื 9 ผลบวกเลขโดดของ 2211 คอื 0 หรอื 9
999 =1001 ผลบวกเลขโดดของ 999 คอื 0 หรอื 9 ผลบวกเลขโดดของ 1001 คือ 0 หรอื 9
−1477 = −1523 =1523 ผลบวกเลขโดดของ −1477 คอื −1 ผลบวกเลขโดดของ −1523 คอื −1

และ ผลบวกเลขโดดของ 1523 คือ −1
−499 = −501= 501 ผลบวกเลขโดดของ −499 คือ −4 ผลบวกเลขโดดของ −501 คือ −4

และ ผลบวกเลขโดดของ 501 คือ −4

5.1 การตรวจสอบคาตอบจากการดาเนนิ การบวก

ตวั อย่างที่ 1 จงตรวจสอบคาตอบจากการดาเนนิ การบวก

วิธที า 3 2 5 4 + 1
+

25 6 3 1

5411 2

3+2+5+4

(ผลบวกเลขโดดตวั ตง้ั )

5+ 4+1+1 2 1 1+1
2
(ผลบวกเลขโดดคาตอบ) (ผลบวกเลขโดดของตวั ต้งั และตัวบวก)
1

2+5+6+3

(ผลบวกเลขโดดตวั บวก)

53

เวทคณติ 2. การดาเนนิ การลบ

ตวั อย่างที่ 2 จงตรวจสอบคาตอบจากการดาเนินการบวก 0
88
วธิ ีทา 4 2 5 3 + 0+
8 8
535 4

9001 8

5.2 การตรวจคาตอบจากการดาเนินการลบ

ข้นั ตอนการตรวจคาตอบจากการดาเนนิ การลบกระทาเชน่ เดยี วกนั กบั ขัน้ ตอนการตรวจสอบการบวก

ตัวอย่างท่ี 1 4 5 3 37 _ 2 2
วิธที า 25874 5− 33
21191
3 5

ตัวอยา่ งที่ 2 564 8 35 _ 4 4
วิธีทา 425524 6− 11
182359
1 3

5.3 การตรวจคาตอบจากการดาเนนิ การบวกลบระคน

ตัวอย่างท่ี 1 จงตรวจสอบคาตอบต่อไปนี้

3 4 4+ 2+
5+
16 7 + 2
1+
2 5 4 +
8 0 2 +
247 + 4
+
136 +
1

458 9

พบวา่ คาตอบ 458 = 348 และ 4+ 5 + 8= 9

54

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

5.4 สมบตั ขิ องวงกลมเก้าจุด

จากการศึกษาการตรวจสอบคาตอบของการดาเนินการบวกและการลบ ว่าถูกต้องหรือไม่โดยใช้การหา
ผลบวกเลขโดดข องจานวนท่ีนามาดาเนินการกระทากันและผลบวกของเลขโดดของคาตอบ เป็นท่ีสังเกต
พบวา่ ผลบวกของเลขโดดของจานวนปกตทิ ี่แปลงเป็นจานวนวินคิวลมั นั้นเท่ากนั

แล้วยังพบสมบัติของวงกลมเก้าจุดอีกว่า ผลบวกเลขโดดของจานวนนั้นยังเท่ากับตัวเติมเต็มที่เป็นจานวน
ตรงขา้ มสาหรับการบวกของของจานวนน้ันในวงกลมเกา้ จุด เช่น

ผลบวกเลขโดดของ 9101 คอื 9+1+0+1 = (9+1)+0+1 =10 + 0 +1 = (1+ 0) + 0 +1 =1+1 = 0 = 0

9+1+0+1 = 9+0+(1+1) = 9 + 0 + 0 = 9

สรปุ 9 เป็นตัวเติมเต็มของ 0 ในวงกลมเก้าจุด
ผลบวกเลขโดดของ 442 = 358 คือ 4+4 + 2 = 2

แต่ 3+ 5 +8 = (3+ 5) +8 = 8 +8 =16 →1+ 6 = 7
ดังน้นั 2 = 7 (7 และ 2 เป็นตวั เติมเตม็ ซ่งึ กนั และกนั ในวงกลมเก้าจุด )

ตวั อยา่ งที่ 1 545432 + 3 3
วิธที า 35 4 6 2 4 + 1 8=1
700052
5 8
1

ดังน้นั 1 เป็นตวั เตมิ เต็มของ 8 ในวงกลมเกา้ จดุ
ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ 275−334+ 499− 289+ 534−327 และตรวจสอบคาตอบการดาเนนิ การ

วิธที า 3 3 5 + 5 +

334 + 1+

5 01 4
31 1 + +
534 +
1
327 + 3+
7+

442 7

พบว่า ผลบวกคาตอบ 4 + 4 + 2 = 2 = 7 และผลบวกเลขโดดทกุ จานวนท่บี วกกัน

5+1+ 4+1+3+3=7

55

เวทคณติ 2. การดาเนินการลบ

56

เวทคณิต 4. การดาเนินการคณู

บทนำ

กำรคูณ เป็นการดาเนนิ การทางคณิตศาสตร์อย่างหนึ่ง ทาใหเ้ กดิ การเพ่ิมหรือลดของจานวนหนึง่ การคูณ

เปน็ หน่ึงในสี่ของการดาเนนิ การพื้นฐานของวิชาเลขคณิต (การดาเนินการพืน้ ฐานในวิชาเลขคณติ ได้แก่ การ

บวก การลบ การคูณและการหาร)

การคณู สามารถนิยามบนจานวนธรรมชาติว่าเป็นการบวกที่ซา้ ๆ กัน ตัวอยา่ งเช่น 3 คูณดว้ ย 4 (หรือเรียก
โดยย่อวา่ 3 คณู 4) หมายถึงการบวกจานวน 4 เขา้ ไป 3 ชุด

ในบทนจ้ี ะกลา่ วถึงการดาเนินการคณู แบบเวทคณิตมี 7 เรื่อง คอื การดาเนนิ การแบบทัว่ ไป การ
ดาเนนิ การคูณแบบเทคนิค การคูณของจานวนทตี่ ัวเลขแรกเท่ากันแตต่ ัวเลขตวั หลังบวกกนั ได้ 10, 100, 1000, . . .
การยกกาลงั สอง การคณู โดยการเบย่ี งฐาน การคูณดว้ ยตวั คูณเป็นเลขเกา้ หรอื อนุกรมของเลขเกา้ และการ
ตรวจสอบคาตอบ ซง่ึ แตล่ ะเร่ืองมรี ายละเอยี ด ดงั น้ี

1. เกริน่ นา
2. การดาเนินการคณู แบบทว่ั ไป

2.1 การคูณจากทางซ้ายไปทางขวา
2.2 การคูณแนวตั้งและแนวไขว้
2.3 การคณู โดยการเลื่อนตัวคูณ
3. การดาเนนิ การคูณแบบเทคนิค
3.1 การคูณโดนใช้สัดสว่ นชว่ ยในการคานวณ
3.2 การคูณดว้ ยตัวคณู 4, 8, 16, . . . และ 40, 80, 160, . . .
3.3 การขยายสตู รคณู
3.4 การคูณด้วยตวั คูณ 5, 50, 250, . . .
3.5 การคณู ด้วยตัวคูณ 5, 15, 25, 35, 45, 55, . . .
3.6 กาลงั สองของจานวนท่ีลงทา้ ยดว้ ย 5
4. การคณู ของจานวนทต่ี ัวเลขแรกเท่ากัน แตต่ วั เลขตวั หลงั บวกกนั ได้ 10, 100, 1000, . . .
5. การยกกาลังสอง
6. การคูณโดยการเบยี่ งฐาน
6.1 การคณู โดยการเบ่ยี งฐาน กรณีตวั คูณทง้ั สองน้อยกวา่ ฐาน
6.2 การคณู โดยการเบ่ียงฐาน กรณีตวั คูณทั้งสองมากกว่าสูง
6.3 การคณู โดยการเบีย่ งฐาน กรณีตัวคูณตัวหนึ่งมากกว่าฐานและตวั หน่ึงน้อยกว่าฐาน
6.4 การนาสมบัติของเรื่องสดั ส่วนมาช่วยการคานวณ
6.5 การคูณแบบนขิ ิลัมสูตรในกรณีตวั คูณท้ังสองตัวตา่ งฐานกนั
6.6 การคูณแบบนขิ ลิ มั สตู รในกรณีตวั คณู มสี ามตัวพร้อมกัน
6.7 การหาค่ากาลังสองของจานวนทมี่ ีคา่ ใกลเ้ ลขฐาน
6.8 การหาค่ากาลังสองของจานวนทม่ี ีค่าใกลเ้ คยี ง 50
7. การคณู ด้วยตัวคูณเปน็ เลขเก้าหรืออนุกรมของเลขเก้า

1

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การคูณ

8. การตรวจสอบคาตอบด้วยวิธกี ารคณู ตวั แรกด้วยตัวแรก การคูณตวั หลงั ดว้ ยตวั หลัง และการหาผลบวก
ของตวั เลขโดดในคาตอบ

1. เกริน่ นำ

เน่ืองจากเวทคณิต เน้นการคิดเลขจากซา้ ยไปขวา ดงั นน้ั สูตรที 3 ของเวทคณิตคือ แนวตรงและแนนไขว้
( Urdhva-Tiryagbyham Meaning : Vertically and crosswise ) จึงเป็นสูตรทนี่ ามาใช้ในการดาเนินการคูณ
เลขสองจานวนได้อย่างมปี ระสิทธิภาพ และรวดเรว็ มาก ซึ่งจะไดเ้ รยี นรู้ ดังต่อไปน้ี :

2. กำรดำเนินกำรคณู แบบทว่ั ไป

เปน็ การดาเนนิ การคณู ขน้ั พืน้ ฐาน
2.1กำรดำเนินกำรคณู จำกทำงซ้ำยไปทำงขวำ (CALCULATION FROM LEFT TO RIGHT)

สมบัตขิ องจำนวนหลักของผลคณู
จานวนหลักของผลคณู จะเปน็ ดังน้ี n คือจานวนหลกั ของตัวตัง้ และ m คือจานวนหลกั ของตัวคูณ

ผลลัพธข์ องการคูณจานวน n หลัก กบั จานวน m หลัก จะได้ผลลัพธ์ที่มหี ลกั ไมเ่ กนิ n + m หลัก

เรำมำลองดวู ิธีหำผลคูณจำกทำงซ้ำยไปทำงขวำดงั น้ี

ถา้ ต้องการหาผลคูณ 234 ดว้ ย 2

2 4 3 หรอื 2 4 3
2 

2

48 6 48 6

ขั้นตอนการคูณจากทางซา้ ยไปทางขวาจะได้ 2  2 = 4 , 4  2 = 8 , 3  2 = 6

นัน่ คือ ใส่ 4 ในหลกั รอ้ ย 8 ในหลกั สบิ และ 6 ในหลักหนว่ ย ตามลาดับ

ขอ้ สงั เกต การคณู เลขในแต่ละหลกั ด้วย 2 ได้คา่ สูงสดุ ไม่เกิน 9 ก็คือไม่มตี วั ทดจงึ งา่ ย

ตวั อย่ำงที่ 1 87 ขนั้ ท่ี 1 คูณ 8 ดว้ ย 4 ผลลัพธค์ อื 32 เขียน 3 ห้อย 2
วธิ ที ำ 4 ข้ันที่ 2 หา 74 = 28 เขียน 2 และ 8

328 ข้นั ที่ 3 ผลลพั ธ์ท่ไี ด้คอื 348
2

348

2

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

ตวั อย่ำงท่ี 2 ขน้ั ที่ 1 คูณจากทางซ้าย 8 ด้วย 3 ผลลัพธ์คอื เขียน 2
วิธที ำ 8 7 6 1 4  หอ้ ย 4

3 ขน้ั ท่ี 2 7  3 = 21 เขยี น 2 หอ้ ย 1
2 21012 ขนั้ ท่ี 3 6  3 = 18 เขยี น 1 หอ้ ย 8
ขั้นท่ี 4 1  3 = 03 เขยี น 0 ห้อย 3
4183 ขน้ั ท่ี 5 4  3 = 12 เขยี น 1 และ 2
ขั้นที่ 6 ผลลัพธท์ ี่ได้คือ 262,842
262842

วธิ กี ำรเขียนกำรคำนวณจำกทำงซำ้ ยไปทำงขวำ (WRITING LEFT TO RIGHT CALCULATION)

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหาผลคูณ 2367
คณู จำกทำงซำ้ ยไปทำงขวำของ

2 3 6
7

12 4 2
41

16 5 2

ตวั อย่ำงที่ 4 จงหาผลคณู ของ (1) 34578
(2) 138 4
(3) 2343

วิธีทำ เขยี นตามแนวนอน (1) 34578= 2 3 4 56 = 27,656
420

(2) 1384 = 0 1 3 2 = 552
42

(3) 2343= 0 0 1 2 = 702
69

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 1 กำรดำเนินกำรคณู จำกซ้ำยไปขวำ

1. 3 2 2. 3 1 3 4 3. 5 3 2 1 4. 6 8 2 1

3 2 3 4

5. 2 3 6 6. 5 7 3 2 7. 5 7 4 4 8. 7 8 5 7

7 6 8 9

3

เวทคณิต 10. 5 8 4 4 11. 4 8 9 6 4. การดาเนินการคณู

9. 4 8 4 3 8 4 12. 5 9 4 9

5 7

13. 9 4 3 7 2 14. 3 8 4 6 9 15. 5 2 6 4 8 16. 6 8 2 1 5

6 5 7 9

17. 3 2 1 4 6 3 18. 9 7 1 4 6 6 19. 9 7 8 4 6 3 20. 6 8 2 1 9 9

4 7 9 5

21. 6 7 7 4 4 6 22. 8 4 6 9 6 4 23. 8 4 6 9 6 4 24. 6 8 2 8 4 6

8 3 5 

8

25. 9 4 4 7 8 6 26. 4 7 9 9 4 6 27. 9 6 4 8 4 6 28. 2 8 4 6 6 8

8 3 5 8

29. 4 4 6 6 7 7 30. 8 9 6 4 4 6 31. 5 4 8 6 6 6 32. 8 8 9 9 8 7

8 3 5 8

33. 7 7 7 7 7 7 34. 8 8 8 8 8 8 35. 6 6 6 6 6 6 36. 9 9 9 9 9 9 9

7 8 6 9

4

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การคณู

37. 9 7 1 4 6 3 3 38 5 9 7 8 4 6 3 3 39. 6 9 6 9 6 9 6 9 40. 9 6 6 6 7 7 9 6

3 8  6 9

41. 8 4 6 9 . 6 4 7 42. 8 4 8 3 . 8 8 43. 2 7 9 . 6 7 6 44. 9 8 9 . 7 9 7 9

8 0.7  0.6  0.9 

2.2 กำรคูณแนวตง้ั และแนวไขว้ (Vertically and Cross-wise )

เปน็ สตู รท่ี 3 การคูณแนวตง้ั และแนวไขว้ ซ่งึ แบบรปู ทวั่ ไป (General Multiplication) ของจานวนสอง
จานวนโดยการดาเนนิ การคูณแนวตง้ั และแนวไขว้ เป็นวิธีทีส่ ั้นสามารถคณู กนั ได้ รวดเร็วและพัฒนาเพ่ือการคูณ
จากทางซ้ายไปทางขวา ซง่ึ การคณู แบบน้ีมีประสทิ ธิภาพมาก ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้

2.2.1 กำรคูณจำนวนสองหลักกบั จำนวนสองหลกั

ผงั กำรคูณแนวตง้ั และแนวไขว้ ของจำนวนสองหลกั กบั จำนวนสองหลกั

ข้ันที่ 1 ข้ันท่ี 2 ข้ันท่ี 3

ตวั อย่ำงที่ 1 จงหำผลคูณของ 2123 ขน้ั ที่ 1 หาผลคูณตามแนวต้ังของหลักสิบ
วธิ ีทำ จะได้ 22 = 04 เขยี น 0 หอ้ ย 4

2 1 x ขั้นท่ี 2 หาผลบวกของผลคูณไขว้หลกั สบิ กับหลัก
2 3 หน่วยจะได้ (23) + (12) = 08 เขียน 0
หอ้ ย 8
0 ขัน้ ท่ี 3 หาผลคูณตามแนวตงั้ ของหลักหนว่ ย
4 จะได้ 13 = 03 เขยี น 0 และ 3

2 1x

23
00

48

2 1x

23

5

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

0003 ขนั้ ที่ 4 นาผลคูณท้งั สองแถวในหลักเดยี วกนั มา
48 บวกกันจากทางซา้ ยไปทางขวา ไดผ้ ลลพั ธ์คือ 483

2 1 x ข้นั ที่ 1 หาผลคูณตามแนวต้งั ของหลักสบิ
2 3 จะได้ 86 = 48 เขยี น 4 ห้อย 8

0003 ขั้นที่ 2 หาผลบวกของผลคูณไขว้หลกั สบิ กับหลัก
48 หนว่ ย จะได้ (85) + (96) = 94 เขยี น 9
หอ้ ย 4
0483
ขน้ั ที่ 3 หาผลคูณตามแนวตง้ั ของหลักหน่วย
ตัวอย่ำงท่ี 2 จงหำผลคูณของ 8965 จะได้ 95 = 45 เขียน 4 และ 5
วิธที ำ
ขั้นท่ี 4 นาผลคูณทัง้ สองแถวในหลกั เดยี วกัน มา
8 9x บวกกันจากทางซา้ ยไปทางขวา
ไดผ้ ลลพั ธ์คอื 5,785
65
การดาเนินการคูณ
4 1) 43 =12 เขยี น 1 หอ้ ย 2
8 2) (42) + (33) =17 เขียน 1 ห้อย 7
3) 32 = 06 เขยี น 0 และ 6
8 9x 4) นาผลคูณทั้งสองแถวในหลักเดยี วกนั มาบวกกัน
จากทางซ้ายไปทางขวา ไดผ้ ลลพั ธ์คอื 1,376
65
49 6

84

8 9x

65
49 45

84

8 9x

65
4 94 5

84

5 7 85

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหำผลคูณของ 4332
วิธีทำ

4 3x

32

110 6
27

1376

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

วิธกี ำรตรวจสอบคำตอบของกำรดำเนนิ กำรคูณจำนวนสองจำนวน ดว้ ยวิธผี ลบวกเลขโดด
จำกตัวอย่ำงที่ 1

21  35 =15 →1+ 5 = 6

23

483

ขั้นที่ 1 เขยี นตารางและลากเส้นทแยงมุมเกดิ สามเหล่ยี ม 4 รูป ดังรปู ขา้ งต้น
ขน้ั ท่ี 2 หาผลบวกเลขโดดของตวั ตง้ั 21 คอื 2 +1= 3 นา 3 ไปเขียนไวท้ ่สี ามเหลยี่ มดา้ นบน
ขน้ั ท่ี 3 หาผลบวกเลขโดดของตวั คณู 23 คอื 2 +3 = 5 นา 5 ไปเขยี นไวท้ ่สี ามเหล่ยี มด้านลา่ ง
ขน้ั ท่ี 4 หาผลคณู ของตัวเลขสามเหล่ยี มบนกับสามเหลีย่ มลา่ ง 35 =15 หาบวกเลขโดดของผลคูณ คอื

1+5 = 6 นา 6 ไปเขียนไว้ทีส่ ามเหลีย่ มด้านข้างทางขวามอื
ขน้ั ที่ 5 หาผลบวกเลขโดดของผลลพั ธ์การคณู 2123 = 483 คอื 483 → 4 +8+3 =15 →1+5 = 6

นา ไปเขยี นไวท้ ีส่ ามเหล่ยี มดา้ นขา้ งทางซ้ายมือ ถ้าตัวเลขของสามเหลีย่ มดา้ นข้างซ้ายและขวาเท่ากัน
แสดงวา่ ผลคณู นน้ั ถูกต้อง

2.2.2 กำรคูณจำนวนสองจำนวนท่ีเปน็ จำนวนเทำ่ กนั ต้ังแตส่ ำมหลักขน้ึ ไป

แผนภำพกำรคูณแนวตงั้ และแนวไขว้ ของจำนวนสำมหลักกับจำนวนสำมหลัก

ข้นั ที่ 1 ขัน้ ที่ 2 ขั้นที่ 3 ขนั้ ท่ี 4 ขั้นที่ 5

ตัวอย่ำงท่ี 1 จงหำผลคณู ของ 304  412
วธิ ที ำ แยกตวั ตง้ั และตวั คณู ออกเป็น 3 หลกั

3 04 ข้ันที่ 1
412  1. หาผลคูณตามแนวตัง้ ทห่ี ลักรอ้ ยจะได้ 3  4 = 12
2. คาตอบที่ได้เกิดจากจานวนท่ีมีหนึง่ หลกั คูณกับจานวนท่ีมีหนง่ึ
1
2 หลัก ดงั นน้ั คาตอบท่ีได้จะมี 1+1 = 2 หลัก
3. เขยี น 12 ทห่ี ลักร้อยในรูปแบบ 1

2

7

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การคณู

3 04 ขั้นท่ี 2
 1. หาผลบวกของผลคณู ไขวท้ ่ีหลักรอ้ ยกบั หลักสิบได้

412 (3) (1) + (4) (0) = 03
10
2. คาตอบท่ีไดเ้ กดิ จากจานวนทมี่ หี น่ึงหลกั คูณกบั จานวนที่มีหน่ึง
23 หลกั ดังน้นั คาตอบที่ไดจ้ ะมี 1+1 = 2 หลัก

3 04 3. เขียน 03 ตอ่ จากขน้ั ที่ 1 เป็น 1 0
4 1 2 23
10 2
ขน้ั ท่ี 3
23 2 1. หาผลบวกของผลคณู ไขว้และผลคณู ตามแนวตง้ั ทง้ั สามหลกั ได้

3 04 [ (3)(2) + (4)(4) = 22 ] +[ (0)  (1) = 0]= 22
 2. คาตอบท่ีไดเ้ กดิ จากจานวนทม่ี ีหนงึ่ หลกั คูณกับจานวนที่มีหนง่ึ

412 หลัก ดังน้ันคาตอบที่ได้จะมี 1+1= 2 หลกั
1 0 20 3. เขียน 22 ต่อจากขน้ั ท่ี 2 เป็น 1 0 2

2 32 4 2 32

3 0 4 ข้ันท่ี 4
412 1. หาผลบวกของผลคูณไขว้หลกั สบิ กับหลกั หน่วยได้
1 0 20 0 8
(0) (2) + (4) (1) = 04
2 32 4
2. คาตอบท่ีได้เกดิ จากจานวนทม่ี ีหนึ่งหลักคูณกบั จานวนที่มีหน่งึ
หลัก ดงั นัน้ คาตอบท่ีได้จะมี 1+1 = 2 หลัก

3. เขียน 04 ต่อจากข้นั ที่ 3 เปน็ 1 0 2 0
2 3 24

ขน้ั ท่ี 5
1. หาผลคูณตามแนวต้ังท่ีหลักหน่วยได้ 2  4 = 08
2. คาตอบท่ีได้เกิดจากจานวนทม่ี หี น่งึ หลักคูณกบั จานวนท่ีมีหนึง่

หลัก ดงั นนั้ คาตอบที่ไดจ้ ะมี 1+1 = 2 หลกั
3. เขยี น 08 ที่หลักหน่วย เป็น 1 0 2 0 0 8

2 32 4

8

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

3 04 ข้นั ที่ 6
412  นาผลคูณท้งั สองแถวในหลักเดียวกนั มาบวกกนั จากซ้ายไปขวา จะ
1 0 20 0 8 ได้ผลลพั ธ์ คือ 125248

2 32 4

12 5 2 48

ดงั นัน้ 304412 =125, 248

ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำผลคณู ของ 123  132
วธิ ีทำ เราสามารถใช้วิธีท่ีการคณู จานวนสองหลักกับจานวนสองหลัก โดยการแยกแตล่ ะจานวนออกเป็น 2 สว่ น

คอื 12 / 3 และ 13 / 2 แลว้ ทาให้ 12 กบั 13 ดเู หมือนเปน็ ตวั เลขตวั เดยี ว ดังนี้

12 3 ขั้นที่ 1
13 2 1. หาผลคณู ตามแนวตั้งจะได้ 12  13 = 156
2. คาตอบท่ีได้เกดิ จากจานวนทม่ี สี องหลกั คูณกบั จานวนที่มีสอง
01
56 หลัก ดังน้นั คาตอบท่ีไดจ้ ะมี 2+ 2 = 4 หลัก
3. เขียน 156 ใหม้ สี ่หี ลกั และมีตัวหอ้ ยสองหลักตรงกับสว่ นแรกได้
12 3 คือ 0 1
1 3 2
010 6 56

56 3 ขั้นที่ 2
1. หาผลบวกของผลคูณไขว้จะได้ (12)(2) + (13)(3) = 63
2. คาตอบท่ีไดเ้ กิดจากจานวนทีม่ สี องหลักคณู กับจานวนทม่ี ีหน่ึง

หลกั ดังนั้นคาตอบท่ีไดจ้ ะมี 2+1 = 3 หลกั
3. เขียน 063 ใหม้ ีสามหลกั และมีตัวห้อยหน่งึ หลกั ตรงกับสว่ นท่ี
สองได้คือ 0 6

3

12 3 ขัน้ ที่ 3
1 3 2 1. หาผลคูณตามแนวตั้งจะได้ 3  2 = 6
010 6 0 6 2. คาตอบท่ีได้เกิดจากจานวนท่มี ีหน่งึ หลกั คูณกับจานวนที่มีหนง่ึ

56 3 หลัก ดังน้ันคาตอบที่ไดจ้ ะมี 1+1 = 2 หลกั
3. เขียน 6 ใหม้ สี องหลักเปน็ ตัวปิดได้คือ 0 6

9

เวทคณิต 4. การดาเนินการคูณ

12 3 ขัน้ ท่ี 4
1 3 2 นาผลคูณทง้ั สองแถวในหลักเดียวกันมาบวกกันจากซา้ ยไปขวา จะ
010 6 0 6 ได้ผลลพั ธ์ คือ 16236

56 3 ขน้ั ท่ี 1 หาผลคณู ตามแนวตัง้ ของหลกั ร้อย
จะได้ 61= 01 เขยี น 0 หอ้ ย 6
016 2 3 6

ดงั น้ัน 123132 =16, 236

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหำผลคูณของ 613158
วธิ ีทำ 6 1 3 x

158
0

6

61 3x ขั้นที่ 2 หาผลบวกของผลคูณไขว้หลกั ร้อยกบั
15 หลกั สบิ จะได้ (65) + (11) = 31 เขยี น 3
03 8 ห้อย 1

61

61 3x ขั้นท่ี 3 หาผลบวกของผลคูณไขว้หลกั ร้อยกบั
หลักหน่วยและผลคณู แนวตงั้ หลักสบิ จะได้
158 (68) + (31) + (15) = 56 เขยี น 5 หอ้ ย 6
03 5
ข้ันท่ี 4 หาผลบวกของผลคูณไขว้หลักสบิ กับหลัก
616 หนว่ ย จะได้ (18) + (35) = 23 เขียน 2
หอ้ ย 3
6 1 3x
ข้นั ที่ 5 หาผลคูณตามแนวตง้ั หลกั หน่วย
158 จะได้ (38) = 24 เขยี น 2 และ 4
03 5 2

6 1 63

61 3 x
158
03 5 224

6 1 63

10

เวทคณิต 4. การดาเนินการคณู

6 1 3 x ข้นั ท่ี 6 นาผลคูณทงั้ สองแถวในหลักเดยี วกนั มา
1 5 8 บวกกนั จากซ้ายไปขวาจะไดผ้ ลลพั ธ์ คอื 96,854

03 5 224 ขนั้ การคณู
6 1 63 1) 84 = 32 เขยี น 3 หอ้ ย 2
96 8 5 4 2) (83) + (64) = 48 เขียน 4 หอ้ ย 8
3) (82) + (54) + (63) = 54 เขียน 5 ห้อย 4
ตัวอยำ่ งท่ี 4 จงหำผลคณู ของ 865432 4) (62) + (53) = 27 เขียน 2 ห้อย 7
5) 52 =10เขียน 1 และ 0
วิธที ำ 8 6 5x 6) นาผลคูณท้ังสองแถวในหลักเดยี วกนั มาบวกกัน
จากทางซ้ายไปทางขวา ไดผ้ ลลัพธ์คือ 373,680
4 32
3 4 5 2 10

2 8 47

373 6 80

ขอ้ สงั เกต
ขน้ั ตอนท่ีกล่าวมาข้างตน้ สามารถสรุปเปน็ แผนภาพได้ กรณีการคณู จานวนสห่ี ลกั กบั จานวนสีห่ ลัก

ข้ันท่ี 1 ขนั้ ท่ี 2 ขนั้ ที่ 3 ข้ันที่ 4 ขนั้ ท่ี 5 ข้นั ท่ี 6 ข้ันที่ 7

ตัวอย่ำงท่ี 5 จงหำผลคูณของ 1201  1312
วธิ ีทำ

ข้นั ที่ 1

12 01 1. หาผลคูณตามแนวตง้ั หลักพนั ได้ 11 = 1
13 12 2. คาตอบท่ีได้เกดิ จากจานวนท่ีมีหนง่ึ หลกั คูณกับจานวนท่ีมี

0 หนึ่งหลกั ดงั น้ันคาตอบท่ีได้จะมี 1+1 = 2 หลกั
1 3. เขยี น 1 ทห่ี ลกั พนั เป็น 0

1

11

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การคณู

12 01 ข้ันที่ 2
1 3 1 2 1. หาผลบวกของผลคูณไขวห้ ลักหลักพันกับหลักรอ้ ยได้
00
(1) (3) + (1) (2) =5
15
2. เขยี น 5 ต่อจากขัน้ ที่ 1 เปน็ 0 0
12 01 15

ขน้ั ที่ 3
13 12 1. หาผลบวกของผลคณู ตามแนวไขวข้ องหลักพนั และหลกั สิบ กบั ผล
00 0 คณู แนวต้ังหลกั ร้อยได้ [1  1+ 01]+ (23) = 7
2. เขียน 7 ต่อจากขั้นท่ี 2 เปน็ 0 0 0
1 57
1 57
12 01
1 3 1 2 3. เขียน ใหม้ สี ีห่ ลกั เป็นตัวปิดไดค้ ือ
00 0 0
ข้ันท่ี 4
157 5 1. หาผลบวกของผลคูณตามแนวไขวข้ องหลักพันและหลักหน่วย

12 01 กับผลคูณแนวไขว้หลกั ร้อยกบั หลกั สบิ ได้
13 12
0000 0 [1  2 +11]+[21+ 30] = 5

157 57 2. เขยี น 5 ต่อจากขัน้ ที่ 3 เป็น 0 0 0 0
1 5 75

ขน้ั ท่ี 5
1.หาผลบวกของผลคูณตามแนวไขว้ของหลักหลกั และหลกั หนว่ ย กบั
ผลคูณแนวต้ังหลักสิบได้ [2 2 + 31]+ (01) = 7
2. เขียน 7 ตอ่ จากข้นั ท่ี 4 เปน็ 0 0 0 0 0

1 57 5 7

12

เวทคณิต 4. การดาเนินการคูณ

12 01 ขนั้ ท่ี 6
13 12 1. หาผลบวกของผลคูณตามแนวไขว้ของหลักสบิ และหลักหน่วยได้
0000 00
11+ 0 2 =1
157 571
2. เขยี น 1 ตอ่ จากขัน้ ที่ 5 เป็น 0 0 0 0 0 0
12 01 157 571
1 3 1 2
0000 0 0 0 2 ข้ันที่ 7
1. หาผลคูณตามแนวตัง้ หลกั หน่วยได้ 21 = 2
157 5 7 1 2. เขยี น 1 ตอ่ จากข้ันที่ 5 เปน็ 0 0 0 0 0 0 0 2

157 571

12 01 ขัน้ ที่ 8
1 3 1 2 นาผลคูณทั้งสองแถวในหลักเดยี วกันมาบวกกันจากซา้ ยไปขวา จะได้
0000 0 0 0 2 ผลลพั ธ์ คอื 1575712

157 5 7 1

15 7 5 712

ดงั นั้น 12011312 =1,575,712

หรอื เรำอำจ แบง่ แตล่ ะจำนวนเปน็ 2 สว่ น 12 / 01  13/12 แล้วหำผลคูณดงั น้ี

12 01 ขน้ั ที่ 1
13  1. หาผลคูณตามแนวตงั้ จะได้ 1213 = 156
01 2. คาตอบที่ไดเ้ กิดจากจานวนที่มสี องหลกั คูณกับจานวนที่มีสองหลกั
12
56 ดงั นน้ั คาตอบที่ไดจ้ ะมี 2+ 2 = 4 หลกั
3. เขียน 156 ใหม้ ีสีห่ ลักและมตี วั หอ้ ยสองหลกั ตรงกบั ส่วนแรกไดค้ ือ

01
56

13

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

12 01 ขัน้ ท่ี 2
1 3 1 2 1. หาผลบวกของผลคูณไขวจ้ ะได้ (12)(12) + (13)(01) = 157
0101 2. คาตอบท่ีได้เกิดจากจานวนทมี่ ีสองหลักคูณกับจานวนที่มีสองหลัก

56 5 7 ดงั นนั้ คาตอบที่ได้จะมี 2+ 2 = 4 หลกั
3. เขยี น 157 ใหม้ ีส่หี ลักและมีตวั ห้อยสองหลกั ตรงกบั ส่วนท่สี องได้
12 01 คือ 0 1

57
13 12
0 10 1 0 0 12 ขนั้ ที่ 3
1. หาผลคณู ตามแนวต้งั จะได้ (01)  (12) = 12
565 7 2. คาตอบท่ีได้เกิดจากจานวนทม่ี สี องหลกั คณู กับจานวนที่มีสองหลกั

ดงั น้นั คาตอบท่ีไดจ้ ะมี 2+ 2 = 4 หลกั
3. เขยี น 12 ใหม้ ีสีห่ ลักเป็นตัวปิดได้คือ 0 0 1 2

12 01 ขั้นท่ี 4
1 3 1 2 นาผลคูณท้งั สองแถวในหลักเดยี วกันมาบวกกันจากซา้ ยไปขวา จะได้
0 10 1 0 0 12 ผลลพั ธ์ คอื 1575712

565 7

15 7 5 712

ดงั น้ัน 12011312 =1,575,712

ตัวอย่ำงที่ 6 จงหำผลคณู ของ 312  1011
วิธที ำ

3 1 2
10 11

0 01 013 2
30
53
0 31
5432

ดังน้ัน 3121011 = 315, 432

14

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การคณู

ตัวอย่ำงที่ 7 จงหำผลคณู ของ 198  303

ในตวั อยำ่ งน้ี จะสงั เกตเห็นว่ำจำนวนแรกตวั เลขบำงหลกั มีคำ่ เกิน 5 เรำสำมำรถลดคำ่ โดยเปลยี่ นเป็นจำนวน
วนิ คิวลัม ดังนี้
วิธที ่ี 1

2 02


3 03

00 0006
6
00
06
0 0 0 6 = 59994

วิธีท่ี 2 2

20
30 3
06
0600
00 0

0600 0 6 = 59994

ดงั นน้ั 202303 = 59,994
หมำยเหตุ การเลือกวิธีการแยกทล่ี ะสว่ นของสองจานวนที่จะหาผลคูณข้างต้น ตวั อยา่ งสุดทา้ ยจะเป็นทางเลือกท่ีดี
ท่ีสุดเพราะตวั เลขสว่ นหลกั ขวาสดุ จะมกี ่ีตาแหนง่ กไ็ ด้ แตห่ ลักสุดท้ายคูณกันจะมตี าแหนง่ เดียวจึงมแี นวโนม้
หลกี เลีย่ งการทด ทจ่ี ริงแล้วรูปแบบกำรคณู แนวตัง้ /แนวไขว/้ แนวต้ัง ทใ่ี ชก้ บั เลขสองจำนวนทีม่ ี 2 หลัก แต่
เรำสำมำรถนำมำประยกุ ตใ์ ช้กับจำนวนท่มี ตี ัวเลขสำมหลักหรอื ส่ีหลกั โดยกำรแยกท่ีละส่วนนัน้ เรำอำจไมแ่ ยกท่ี
ละส่วนก็ได้ ซึ่งจำนวนเต็มท่ีมหี ลกั เกิน 2 หลักก็มีแบบแผนเฉพำะเช่นกนั และสำมำรถพิสจู น์ได้
พิสูจนเ์ ชิงพชี คณิต

เนอื่ งจาก (ax + b)(cx + d) = (ac)x2 + (ad + bc)x + bd
ให้ x =10 ดังน้นั (a 10 + b)(c10 + d) = (ac)102 + (ad + bc)10 + bd
นั่นคอื a b

c d

ac / ad + cb / bd

15

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การคณู

2.2.3 กำรคณู ด้วยกำรใช้จำนวนวนิ ควิ ลัม (USING THE VINCULUM NUMBERS)

เราจะใชจ้ านวนวนิ ควิ ลัมชว่ ยในการดาเนินการคูณ ซึ่งได้อธบิ ายจานวนวินควิ ลมั จากเรื่องการดาเนินการ
ลบ ซึ่งจะทาให้การดาเนนิ การคูณง่ายและเรว็ ขน้ึ ผลคณู ของจานวนแตล่ ะตวั ในรปู จานวนวนิ ควิ ลมั การดาเนนิ การ
คูณเปน็ ไปตามสมบัตดิ า้ นพีชคณติ (Algebraic Properties)
ตัวอยำ่ งท่ี 1 1) 32 = 6

2) 2 4 = −2 4 = −8 = 8
3) 3 2 = −3(−2) = 6
4) 23 = 2(−3) = −6 = 6
5) 43 = −4(3) = −12 =12
6) 45 = 4(−5) = −20 = 20
7) 3 4 = −3(−4) =12.
ตวั อย่ำงท่ี 2 จงหำผลคณู ของ 4934 = 5134
วธิ ีทำ 5 1 x

34

110 4
57

1 6 7 4 =1 6 6 6

เราเขยี น 49 เป็น 51 เพ่ือลดค่าของตัวเลขท่ีมากกว่า 5 แล้วดาเนินการตามขัน้ ตอนของการคูณ

แนวตง้ั และแนวไขว้ จะได้ 53 =15, (54) + (13) =17 , 14 = 4 ได้ผลคูณเปน็ 1674 แล้ว

เปลี่ยนเปน็ จานวนปกติจะได้ 1674 =1666

ตัวอยำ่ งที่ 2 จงหำผลคณู ของ 4838 เราเขยี น 48 เป็น 52 และเขียน 38 เป็น 42 เพื่อ
วิธที ำ 5 2 x ลดค่าเลขมากกว่า 5 ให้มีค่าไม่มากกวา่ 5 แลว้
ดาเนนิ การตามขัน้ ตอนของการคูณแนวตั้งและแนว
42 ไขว้ จะได้ 54 = 20 , 5 2 + 24 =18,
22 = 04 ไดผ้ ลคณู เป็น 2184 เปล่ียนเปน็
21 0 4 จานวนปกตไิ ด้ 2184 =1824
08

2 1 8 4 =1 8 2 4

16

เวทคณิต 4. การดาเนนิ การคูณ

ตัวอยำ่ งที่ 3 จงหำผลคูณของ 7987
วธิ ที ำ 1 2 1 x

1 13

000003
1327

0 1 3 2 7 3=0 0 6 8 7 3

ลดคา่ ของตวั เลขที่มากกว่า 5 ให้น้อยกว่าหรือเทา่ กับ 5 แล้วดาเนนิ การตามขัน้ ตอนของการคณู แนวต้ัง
และแนวไขว้ จะได้ 11 = 01, 11+ 21 = 03 , 13+11+ 21 = 02, 23+11 = 07 ,
13 = 03 ได้ผลคณู เป็น 013273 แล้วเปล่ียนเป็นจานวนปกตจิ ะได้ 013273 = 6873

แบบฝึกหัดชดุ ที่ 2 การคูณแบบแนวตง้ั และแนวไขว้

1. 2 3 2. 1 4 3. 6 6 4. 3 9
21  2 2
43  52 

5. 4 1 6. 2 3 7. 3 5 8. 5 2

31  41  23  34 

9. 4 1 10. 2 3 11. 6 2 12. 4 5

31  41 53  55 

13. 4 3 14. 3 3 15. 7 3 16. 5 6

53  44 55  63

17. 5 3 18. 8 1 19. 7 6 20. 8 5

76  68  65  65

17

เวทคณิต 22. 6 1 23. 8 6 4. การดาเนินการคณู

21. 7 3 67  85 24. 9 4

76  26. 6 5 27. 8 5 96

25. 2 5 75  85  28. 9 5

15  85 

แบบฝึกหัดชุดที่ 3 การคูณด้วยการใช้จานวนวินคิวลมั การใชจ้ านวนวินคิวลมั ในการคูณครัง้ น้ี จะลดคา่ ท่มี ากกวา่

5 คือ 6,7,8,9 ไมใ่ หเ้ กิน 5 จะชว่ ยให้คดิ เลขงา่ ยและเรว็ ขน้ึ

1. 2 9 2. 3 9 3. 4 9 4. 3 9

38 22 43 5 2

5. 4 9 6. 2 8 7. 3 8 8. 5 2

58 42 59 48

9. 1 9 10. 1 8 11. 6 2 12. 4 5

38 49 59 59

13. 4 8 14. 6 9 15. 7 9 16. 5 8

37 49 55 89

17. 5 7 18. 8 1 19. 7 8 20. 8 8

69 68 77 89

21. 7 5 22. 6 9 23. 8 9 24. 5 9

88 69 89 88

25. 2 8 26. 6 9 27. 8 8 28. 4 9

29 79 87 39

18

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

แบบฝกึ หัดชุดที่ 4 การคณู แบบแนวตั้งและแนวไขว้ ของสองจานวนสามหลกั 4. 3 9 4

1. 3 1 2 2. 4 1 2 3. 6 3 2 512

121 322 431

5. 4 1 5 6. 2 3 1 7. 3 5 6 8. 5 2 7

312 231 423 234

9. 4 5 3 10. 4 2 3 11. 6 2 5 12. 4 5 6

313 241 53 59

13. 4 3 2 14. 3 3 7 15. 7 3 6 16. 5 6 6

73 44 95 563

17. 5 5 5 18. 1 8 1 19. 1 7 6 20. 8 5 5

777 684 365 655

21. 7 3 2 22. 6 0 9 23. 2 1 1 24. 9 9 4

237 607 218 441

25. 5 1 5 26. 8 6 5 27. 4 3 7 28. 3 9 5

516 706 321 888

29. 321 416 30. 718325 31. 43778 32. 39589
33. 44477 34. 48657 35. 84356 36. 39696

19

เวทคณิต 38. 78665 39. 74347 4. การดาเนนิ การคณู

37. 465536 40. 839 47

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 5. การคูณแบบแนวต้ังและแนวไขว้ ของสองจานวนสีห่ ลกั

1. 1 3 3 2 2. 4 1 2 3 3. 6 3 6 3 4. 4 9 9 4

3227 1324 4351 511 2

5. 5 4 1 5 6. 6 0 3 7 7. 8 3 3 6 8. 1 5 6 3

6336 3004 3123 6308

9. 8 4 8 4 10. 4 1 2 3 11. 6 1 3 2 12. 2 3 4 5

4848 7227 4335 6969

13. 4 3 2 1 1 14. 1 4 2 3 7 15. 7 0 3 7 6 16. 7 2 3 4 5 6

31317 23441 30935 241241

17. 5 2 2 4 18. 3 1 2 3 19. 6 1 1 7 20. 5 2 0 5 3

27 51 83 27

20

เวทคณติ 22. 7 6 0 9 23. 8 2 9 1 4. การดาเนนิ การคณู

21. 7 3 2 6 607 218 24. 8 7 9 4

237 445

25. 5 1 5 4 7 26. 6 8 6 5 3 27. 6 8 4 3 7 28. 3 3 9 9 5

4516 4706 327 8888

29. 23245416 30. 43783132 31. 3434 4224 32. 6044 4127

33. 2342 4277 34. 5486 253 35. 8343173 36. 349676

37. 14136536 38. 3786 43 39. 272432247 40. 87397 4733

21

เวทคณิต 4. การดาเนินการคูณ

3. กำรดำเนนิ กำรคูณโดยกำรเลื่อนตัวคูณ (MOVING MULTIPLIER)
การหาผลคูณในกรณที ่ีตวั ตง้ั มจี านวนหลายหลกั ดว้ ยตัวคูณทม่ี ีหลักเดียว เช่น 4,321 × 2 โดย

นา 2 คูณตัวเลขแตล่ ะหลกั ตามแนวตง้ั ของตวั ต้งั โดยมองใหเ้ ล่ือนไปตามแถวจากซ้ายไปขวา ดัง
ตัวอย่าง

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหำผลคณู ของ 4,321 × 2
วิธที ำ

4321 4321 4321 4321

×× ××

22 22

8 86 864 8642

ตัวอย่ำงท่ี 2 จงหำผลคณู ของ 76348 × 5 ขั้นที่ 1 หาผลคณู ตามแนวต้ังของ 7 × 5 = 35
วธิ ีทำ เขียน 3 ห้อย 5
x
76348

5

3
5

76348 x ข้นั ที่ 2 หาผลคูณตามแนวต้ังของ 6 × 5 = 30
5 เขยี น 3 หอ้ ย 0

33
50

76348 x ขน้ั ที่ 3. หาผลคูณตามแนวตง้ั ของ 3 × 5 = 15
5 เขียน 1 หอ้ ย 5

331 ขน้ั ท่ี 4 หาผลคณู ตามแนวต้ังของ 4 × 5 = 20
505 เขยี น 2 หอ้ ย 0

76348 x
5

331 2
505 0

]

22

เวทคณติ 4. การดาเนินการคณู

76348 x ข้ันที่ 5 หาผลคูณตามแนวตง้ั ของ8 × 5 = 40 เขียน 4
5 และ 0

3312 40
505 0

76348 x ข้นั ตอนท่ี 6 นาผลคูณทั้งสองแถวในหลกั เดียวกัน มา
5 บวกกันจากซ้ายไปขวา ได้ผลลัพธ์คือ 381,740

3312 40 ขั้นที่ 1 3 × 2 = 06 เขยี น 0 หอ้ ย 6
505 0 (38) + (7 2) = 38 เขียน 3 ห้อย 8

381740 ขน้ั ที่ 2 (78) + (42) = 64 เขียน 6 หอ้ ย 4

ตวั อยำ่ งท่ี 3 จงหำผลคณู ของ 37,426 × 28 ขั้นท่ี 3 (48) + (22) = 36 เขียน 3 ห้อย 6
วิธที ำ
ขน้ั ท่ี 4 (28) + (62) = 28 เขียน 2 ห้อย 8
37426 x 6 × 8 = 48 เขยี น 4 และ 8
28

03
68

37426 x

28

03 6
684

37426 x

28
03 6 3

6846

37426 x
28

03 6 3 2 48
68468

23

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การคูณ

3742 6 x ขั้นที่ 5
นาผลคูณทง้ั สองแถวในหลักเดียวกนั มาบวกกนั จากซ้ายไป
28 ขวา ไดผ้ ลลัพธค์ อื 1,047,928
03 6 3 2 48

68468

1047928

ตวั อยำ่ งท่ี 4 จงหำผลคูณของ 37,426 × 283 ขน้ั ท่ี 1 3 × 2 = 06 เขยี น 0 ห้อย 6
วธิ ีทำ (38) + (7 2) = 38 เขียน 3 ห้อย 8

37426 x (33) + (4 2) + (78) = 73 เขยี น 7 ห้อย 3

283

0 37
683

3742 6 x ขนั้ ที่ 2 (73) + (2 2) + (48) = 57
เขียน 5 หอ้ ย 7
283
03 7 5

68 37

37426 x ข้นั ท่ี 3 (43) + (62) + (28) = 40 เขยี น 4 ห้อย 0
(23) + (68) = 54 เขยี น 5 หอ้ ย 4
283 6 × 3 = 18 เขยี น 1 และ 8
03 7 5 4 51 8

6 8 3 7 04

37426x ขน้ั ที่ 4 นาผลคณู ทั้งสองแถวในหลกั เดียวกัน มาบวกกนั จาก
ซา้ ยไปขวา ได้ผลลพั ธ์คอื 10,591,558
283
03 7 5 4 51 8

6 8 3 7 04

10591558

24

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การคณู

ตัวอย่ำงที่ 5 จงหำผลคูณของ 37,426 × 2,835 ข้ันที่ 1 3 × 2 = 06 เขยี น 0 หอ้ ย 6
วธิ ที ำ (38) + (7 2) = 38 เขียน 3 ห้อย 8
(33) + (4 2) + (78) = 73 เขยี น 7 ห้อย 3
37426
(35) + (2 2) + (73) + (48) = 72
× เขยี น 7 ห้อย 2

2835

0 377
68 32

37426 ขนั้ ที่ 2 (75) + (6 2) + (28) + (43) = 75
×
เขียน 7 ห้อย 5
2835 (45) + (68) + (23) = 74
0 37777230
เขียน 7 หอ้ ย 4
68 3 2 5 48 (25) + (63) = 28 เขียน 2 หอ้ ย 8

6 × 5 = 30 เขยี น 3 และ 0

37426 ขัน้ ที่ 4 นาผลคณู ทั้งสองแถวในหลกั เดียวกัน มาบวกกนั จาก
× ซา้ ยไปขวา ได้ผลลพั ธ์คือ 106,102,710

2835
0 37777230

68 3 2 5 48

1 0610 2710

ตวั อยำ่ งที่ 6 จงหำผลคณู ของ 360.12 × 5.2
วธิ ีทำ
วิธคี ิด 3 × 5 = 15 เขียน 1 ห้อย 5
3 6 0.1 2 (32) + (65) = 36 เขยี น 3 หอ้ ย 6

× (62) + (05) =12 เขียน 1 ห้อย 2

5.2 (02) + (15) = 05 เขียน 0 ห้อย 5

131010 4 (12) + (25) =12 เขยี น 1 หอ้ ย 2
56252
2 × 2 = 04 เขยี น 0 และ 4
1 8 7 2 .6 2 4 นน่ั คอื 360.12 × 5.2 = 1,872.624

25

เวทคณิต 4. การดาเนินการคณู

สรุปกำรดำเนินกำรคูณโดยกำรเลื่อนตัวคูณ มีหลักกำรดังนี้
1. ตวั ตั้งควรมจี านวนหลกั มากกวา่ ตัวคูณ
2. การตั้งคณู จากซา้ ยไปขวา จะตัง้ คูณจากหลกั ซา้ ยสุดของตวั ตัง้ และตัวคณู โดยใช้หลักการคูณ

แนวตัง้ และการคูณไขว้ หาผลคณู ของแต่ละหลัก แลว้ เขียนผลคณู แบบหอ้ ยตรงตามหลัก
3. เลื่อนตัวคณู ไปทางขวาทีละหลัก แล้วคณู โดยใช้หลักการคณู แนวต้งั และการคูณไขวต้ ามลาดับ

จนเล่ือนถงึ หลักหน่วย
4. ผลลัพธข์ องผลคณู จะนาผลคูณทง้ั สองแถวในหลักเดียวกันมาบวกกันจากซา้ ยไปขวา

แบบฝึกหดั ชุดที่ 1 กำรคณู โดยกำรเล่อื นตวั คณู

1. 1 3 2 1 × 2. 1 4 2 3 7 × 3. 2 1 3 2 × 4. 2 3 0 2 1 ×
31 23
33 41

5. 5 2 2 4 × 6. 3 1 2 3 × 7. 6 1 1 7 × 8. 5 2 0 5 3 ×

2 7 51 83 27

9. 7 3 2 6 × 10. 7 6 0 9 × 11. 8 2 9 1 × 12. 8 7 9 4 ×

237 607 218 445

13. 5 154 7 × 14. 6 8 65 3 × 15. 6 8 4 3 7 × 16. 3 3 9 9 5 ×

451 6 4706 327 8888

26

เวทคณติ 18. 4378×32 19. 3434×42 4. การดาเนินการคูณ

17. 2324×54 20. 5486×25

21. 2342×348 22. 6044×127 23. 8343×417 24. 3496×311

25. 31684×2134 26. 60435×1367 27. 61457×4314 28. 44263×5061

29. 0.343×0.022 30. 0.4396×0.18

เทคนิคเพม่ิ เตมิ กำรคูณโดยกำรเล่อื นตัวคณู ในกรณที ่ตี ัวคณู เปน็ 11 กับ 9 สำมำรถหำผลลพั ธ์

จำกซ้ำยไปขวำได้งำ่ ยและรวดเรว็ ดังตัวอย่ำงต่อไปน้ี
ตัวอยำ่ งท่ี 7 จงหำผลคูณของ 534,32111
วธิ คี ิด ใหใ้ ส่เลข 0 ท่ีตัวหนา้ และตวั หลังของตวั ต้ัง แล้วหาผลบวกโดยเริ่มจากซา้ ยไปขวาของตวั เลขหลักที่หน่ึง
กบั หลกั ทีส่ องถัดไปหาผลบวกของตวั เลขหลักที่สองกบั หลกั ทสี่ าม ทาเชน่ น้ีไปเรื่อย ๆ ดังน้ี

0 5 3 4 3 2 1 0 = 5,877,531

ตวั อย่ำงที่ 8 จงหำผลคูณของ 987,96511
จะเหน็ ได้วา่ มีตัวเลขหลายหลักท่เี กิน 5 แปลงตัวเลขดว้ ยวธิ นี ขิ ิลัมสตู ร จะได้ 987965 =1012045

วิธคี ดิ 98796511 =101204511

0 1 0 1 2 0 4 5 0 = 1 1 1 3 2 4 1 5 = 10,867,615

27

เวทคณติ 4. การดาเนนิ การคูณ

ตัวอยำ่ งที่ 9 จงหำผลคูณของ 3,4259

วธิ ีคดิ ตัวคูณคือ 9 แปลงตวั เลขด้วยวิธนี ิขิลมั สตู ร จะได้ 34259 = 342511
ให้ใส่เลข 0 ทต่ี วั หน้าและตัวหลังของตวั ตงั้ แลว้ หาผลตำ่ งโดยเริม่ จากซ้ายไปขวาของตัวเลขหลกั ทสี่ อง

กับหลักทห่ี นึง่ ถัดไปหาผลตำ่ งของตัวเลขหลกั ทสี่ ามกับหลักทส่ี อง ทาเช่นน้ีไปเรอื่ ย ๆ ดังน้ี

0 3 4 2 5 0 = 31235 = 30,825

ตวั อยำ่ งท่ี 10 จงหำผลคูณของ 86,7979
วธิ คี ิด ตวั คณู คือ 9 แปลงตวั เลขดว้ ยวิธีนิขิลมั สตู ร จะได้ 867979 =11320311

0 1 1 3 2 0 3 0 = 1221233 = 781,173

แบบฝกึ หัดชุดท่ี 2

กำรคูณโดยกำรเลือ่ นตัวคณู 11 กับ 9

1. 1413611 2. 378611 3. 2724311 4. 8739711

5. 23249 6. 43789 7. 34349 8. 60449

9. 23429 10. 54869 11. 83439 12. 34969

13. 0.0230.11 14. 0.0430.011 15. 5.486.009

28

เวทคณติ 3. การดาเนินการคณู

3. การดาเนนิ การการคณู แบบเทคนิค

3.1 การคณู โดยใชส้ ัดส่วนชว่ ยในการคานวณ

สดั สว่ น(Proportion) หมายถึง หลายๆ อตั ราส่วนทเ่ี ทียบเท่ากันซึง่ เป็นพนื้ ฐานของวชิ าคณิตศาสตร์
ดังนน้ั สดั สว่ นจึงเป็นเครอื่ งมือทส่ี ามารถใช้ในการคานวณ โดยเฉพาะการคูณด้วยตัวคูณ 4,8,16,…และ
20,40,160,… เป็นตน้

การหาสองเท่าของจานวนหน่ึงนั้นงา่ ยกว่าการคณู จานวนน้ันดว้ ยสอง เช่น ตัวคูณเปน็ 4 เราจะใชว้ ิธีการ
หาสองเทา่ ของจานวนนั้นแลว้ ทบเป็นสองเท่าอีกคร้ังดังตวั อย่างต่อไปนี้
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาผลคณู ของ 534

ถ้าเราจะหาผลคูณของ 534 แทนทเ่ี ราจะใชว้ ธิ กี ารคูณด้วย 4 แตเ่ ราอาจใช้วิธที ีส่ ามารถคิดในใจได้ โดย
การหาสองเทา่ ของ 53 สองครั้ง ดังน้ี

สองเทา่ ของ 53 ได้ 106
และสองเท่า ของ 106 อกี ได้ 212
ดังนน้ั คาตอบของ 534 = 212
ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาผลคณู ของ 2558

ในทานองเดียวกนั กับตัวอยา่ งที่ 1 แทนท่ีเราจะหาผลคณู 255 กบั 8
เรากห็ าสองเท่าของ 225 ได้ 450
แล้วทบเปน็ สองเทา่ ครั้งทส่ี องของ 450 ได้ 900 และทบเปน็ สองเท่าครงั้ ที่สามของ 900 ได้ 1800
ดงั นน้ั คาตอบของ 2558 =1800

ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลคูณของ 7 1  4

2

หาสองเทา่ คร้งั ทห่ี นงึ่ ของ 7 1 ได้ 15

2

แลว้ ทบเปน็ สองเทา่ ครั้งที่สองของ 15 ได้ 30

ดังน้ัน คาตอบของ 7 1  4 = 30

2

หมายเหตุ จากตวั อย่างข้างต้นสามารถนามาประยุกต์ กับการคูณดว้ ย 40,800,... ให้คณู ไดง้ า่ ย โดยการหาสอง

เทา่ ของสว่ นท่อี ยู่หนา้ เลขศนู ย์ของจานวนน้นั แล้วเพิ่มศนู ย์ท้ายชองผลลัพธ์
เช่น 1740 คิดในใจ สองเทา่ ของ 17 ได้ 34 และสองเท่าของ 34 ได้ 68 แล้วเติม 0 ลงท้ายหนง่ึ ตัว
ตอบ 680

29

เวทคณิต 3) 14 3. การดาเนินการคณู

แบบฝึกหดั ชุดที่ 1 4) 45 5) 15
จงหาสองเทา่ ของจานวนตอ่ ไปนี้
1) 24 2) 41

6) 25 7) 36 8) 27 9) 18 10) 29

11) 34 12) 48 13) 58 14) 61 15) 73

16) 65 17) 66 18) 88 19) 76 20) 91

21) 380 22) 362 23) 453 24) 612 25) 319

26) 707 27) 619 28) 472 29) 1234 30) 663

จงหาผลคณู ของจานวนต่อไปนี้

1) 53 4 2) 284 3) 614 4) 18 4 5) 33 4
8) 168 9) 228 10) 458
6) 814 7) 16 4 13) 458 14) 8 1  4 15)111  4
18) 5 1 8
11) 178 12) 228 2 2
2
16) 19 1  4 17) 2 1  4 19) 9 1  4 20) 30 1  4
30
2 2 2 2

เวทคณติ 3. การดาเนนิ การคูณ

3.2 การขยายสูตรคูณ (Extending the Multiplication Table)

สมมุตเิ ราจะหาผลคูณของ 1418 เราอาจจะจาสูตรคณู แม่ 14 หรอื 18 ไม่ได้ แตเ่ ราอาจจะจา
79 = 63 ได้ และ 14 กับ 18 เปน็ สองเท่าของ 7 กบั 9 ตามลาดบั

เมือ่ 14 กบั 18 เป็นสองเท่าของ 7 กับ 9 เรากห็ าสองเทา่ ของ 63 สองคร้ัง สองเทา่ ของ 63 ได้ 126
สองเท่าของ 126 ได้ 252 คาตอบคือ 252

ในทานองเดียวกนั 1416 = (27)(28)

= (22)(78)

= 4(56)

จะไดว้ า่ ทบ 56 ได้ 112 ทบ 112 ได้ 224 คาตอบคือ 224

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลคูณ 1714 เราสามารถกระจายเปน็

( )(16 +1)14 = (1614) +14 = 24 14 +14

หาสองเท่าของ 14 ได้ 28
แลว้ หาทบสองเท่าครง้ั ที่สองของ 28 ได้ 56
และหาทบสองเทา่ คร้งั ท่สี ามของ 56 ได้ 112
และหาทบสองเท่าครั้งทีส่ ่ีของ 112 ได้ 224
แล้วนา 224 +14 = 238
ดังนนั้ คาตอบของ 1714 = 238

แบบฝกึ หดั ชุดที่ 2

จงหาผลคณู ของจานวนต่อไปน้ี

1) 167 2) 186 3) 147 4) 129 5) 414

6) 718 7) 914 8) 1618 9) 1416 10) 2519

31

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

3.3 การคูณดว้ ยตัวคณู 5,50,250,... เปน็ ตน้

การหาค่าครงึ่ หน่งึ ของจานวนใดจานวนหน่งึ นั้นงา่ ยกวา่ การคณู ด้วย 5 เพียง เรานาจานวนท่เี ปน็ ตัวตงั้ ท่ี
จะคูณดว้ ย 5 ใส่ เลข 0 หนึ่งตัว ตอ่ ท้ายจานวนนั้น แลว้ หาครึง่ หนง่ึ ของมนั กเ็ ป็นผลลพั ธข์ องการคณู ดว้ ย 5
เพราะว่า 5 เป็นครง่ึ หนึ่งของ 10 (หรอื 10 เปน็ สองเท่าของ 5)
ตวั อย่างที่ 1 สาหรบั 445 เราก็หาครึง่ หนงึ่ ของ 440 คือ 220 นัน่ คอื 445 = 220
ตัวอยา่ งท่ี 2 ในทานองเดียวกัน 685 คือหา ครง่ึ หนึ่งของ 680 จะได้ 340
ตวั อยา่ งท่ี 3 875 คือหาคร่ึงหนง่ึ ของ 870 จะได้ 435
ตวั อย่างที่ 4 4525 คือหาครึ่งหน่งึ ของ 4520 จะได้ 2260
ตวั อย่างที่ 5 2750 เน่อื งจาก 50 เป็นครึง่ หน่ึงของ 100 ดงั นั้นตอ้ งใส่ 0 สองตวั ตอ่ ทา้ ย 27 เป็น 2700

แลว้ หาครงึ่ หน่งึ ของ 2700 ได้ 1350 เป็นคาตอบ
ตามวิธคี ิดดงั ตัวอยา่ งที่ 5 พจิ ารณาพบวา่ การทีเ่ ราใส่ 0 ตอ่ ท้ายจานวนใดก็ตามผลต้องไดจ้ านวนคู่
ดงั นนั้ เราอาจหาครงึ่ หนึง่ ของจานวนคู่ โดยแยกท่ลี ะสว่ นโดยแต่ละส่วนเป็นจานวนคู่ เช่น 2700 จะแยกทลี ะส่วน
ใหเ้ ป็นจานวนคดู่ งั นี้ 2 / 70 / 0 แลว้ หาคร่ึงหนึง่ ของแต่ละสว่ นจะได้ 1 และ 35 และ 0 คาตอบคือ 1350
ตัวอยา่ งหน่งึ เช่น คร่ึงหน่ึงของแต่ละสว่ นของ 4520 คือ 4 / 52 / 0 จะได้ คาตอบคอื 2260 เป็นตน้
แต่ในกรณี ครง่ึ หนง่ึ ของจานวนคีจ่ ะต้องใชก้ ารหารด้วย ซึง่ จะกล่าวในเร่ืองการหารต่อไป
สาหรบั การคูณด้วย 25 เรามีวิธีคิดโดยคณู ด้วย 100 ก่อนแล้วหาครง่ึ หนึง่ ของจานวนนี้ 2 ครั้ง
เพราะวา่ 25 เป็นครงึ่ หนง่ึ ของครึ่งหนึง่ ของ 100 ดังตัวอย่าง
ตัวอย่างท่ี 6 8225 คร่ึงหนึง่ ของ 8200 คือ 4100 และหาคร่ึงหนึ่งของ 4100 อกี ครึง่ อกี คร้ังคือ 2050
ตัวอยา่ งที่ 7 18125 คร่ึงหนง่ึ ของ 18100 คอื 09050 ( วิธีคิดโดยแบง่ สว่ น 18100 เปน็ 18/10 / 0 ครง่ึ หน่งึ
คอื 9 / 05 / 0 แล้วหาคร่งึ หนงึ่ ของ 9050 โดยแบ่งสว่ นเปน็ 90 / 50 ครง่ึ หนึง่ คือ 45 / 25 ดงั นั้นคาตอบ 4525

3.4 การคูณดว้ ยตวั คูณ 5, 25, 35, 45, 65, 75, ...

ตัวอย่างที่ 1 พจิ ารณา 4635 เปน็ การคณู จานวนค่กู บั จานวนคี่ ซึ่งพบวา่ ถา้ เราใชว้ ธิ เี พ่ิมลดสดั ส่วนของจานวน
บางจานวนก็จะหาผลคูณไดร้ วดเร็ว โดยลดครง่ึ หน่งึ ของตัวแรกแลว้ ไปเพ่ิมเปน็ สองเทา่ ของตัวท่สี อง จะหาผลคูณ
ดังนี้ 4635 = ( ลดครึง่ หนง่ึ ของ 46 ) x ( เพิ่ม 35 เป็นสองเทา่ )

= 2370
= 1610

ตัวอย่างที่ 2 ในทานองเดียวกนั 6615 = 3330 = 990

ตวั อย่างที่ 3 12445 = 6290 = 5580

ตวั อยา่ งท่ี 4 448175 = 224350 =112700 = 78400

32

เวทคณติ 3. การดาเนินการคูณ

แบบฝึกหัดชดุ ท่ี 3
จงหาผลคูณของจานวนตอ่ ไปนี้

1) 685 2) 425 3) 365 4) 565

5) 615 6) 4265 7) 8035 8) 24685

9) 4650 10) 86450 11) 22350 12) 120250

13) 72 25 14) 48 25 15) 85 25 16) 808 25

3.5 กาลังสองของจานวนทีล่ งทา้ ยด้วย 5

สตู ร มากกวา่ อยู่หนง่ึ ของจานวนหนึ่งที่อยู่ขา้ งหน้า คือ “หาผลคูณของจานวนท่ีอยูห่ น้าเลข 5 กับ จานวน
ทม่ี คี า่ มากกว่าตวั หน้าเลข 5 ของจานวนนนั้ อยู่ 1 ใส่เปน็ ส่วนหนา้ ของคาตอบ และสว่ นหลังของคาตอบใส่ 25 ก็
เป็นผลลัพธ์ของเลขท่ียกกาลังสองน้นั ”
เป็นสตู รท่สี วยงามและง่ายมากสาหรบั การหากาลังสองของจานวนที่ลงท้ายด้วย 5
ตัวอยา่ งท่ี 1 75  75 เรียกวา่ กาลงั สองของ 75 เขยี นแทนด้วย 752

ในกรณี 752 เราหาผลคณู ของ 7 กบั จานวนที่มากกวา่ 7 อยู่ 1 คือ 78 = 56 เป็นผลลพั ธส์ ่วนหนา้
ของคาตอบ และสว่ นหลังของคาตอบคือ 52 = 25
ดงั นนั้ 752 = 87 / 52 = 56 / 25 = 5625
ตัวอยา่ งที่ 2 ในทานองเดียวกัน 652 = (67) กบั 25

= 4225

ตวั อย่างท่ี 3. ในกรณีหา  4 1 2 หรือ ( 4.5)2
 2 

หาไดโ้ ดย (4.5)2 = (45) กับ 25

= 2025

33

เวทคณิต 3. การดาเนินการคูณ

พิสจู น์เชิงพีชคณติ

พจิ ารณาจาก (ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2 ให้ x =10, b = 5 กจ็ ะได้

(10a + 5)2 = a2102 + 2(10)a(5) + (5)2
= (a2 + a) 102 + 52
= a(a +1) 102 + 52

a คอื ตวั หน้าของ 5 และ a +1 คอื ตัวทมี่ ีค่ามากกว่าตวั หน้าอยู่ 1

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 4 จงหาคา่ ของจานวนตอ่ ไปนี้

1. 152 = 2. 252 = 3. 352 =

4. 452 = 5. 552 = 6. 652 =

7. 752 = 8. 852 = 9. 952 =

10. 1052 = 11. 1152 = 12. 123452 =

4. การดาเนนิ การคณู ของเลขสองจานวนทตี่ ัวเลขตัวแรกเท่ากัน แตต่ ัวเลขตัวหลังของ

สองจานวนน้นั บวกกันได้ 10,100,1000,...

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาผลคูณของ 4347 4347 หาได้จากการหาผลคณู ของ 4 กบั

วธิ ที า 43×47 = 4(4+1)/3×7 ตัวเลขท่มี ากกว่า 4 อยู่ 1 คอื 5 ได้ 20 = 45
เป็นสว่ นหนา้ ของคาตอบ แล้วหาผลคูณของสอง

= 20/21 ตวั หลงั ของทง้ั สองจานวนคือ 37 = 21

= 2,021

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาผลคูณของ 6268

วิธีทา 62×68 = 6(6+1)/2×8

= 42/16

= 4,216

34

เวทคณติ 3. การดาเนนิ การคูณ

ตัวอย่างท่ี 3 จงหาผลคูณของ 162168
วิธีทา 162×168 = 16(16+1)/2×8

= 272/16

= 27,216

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาผลคูณของ 254246
วิธีทา 254×246 = 2(2+1)/54×46

= 6/2484

= 62,484

ตวั อย่างท่ี 5 จงหาผลคูณของ 3,4623,538
วธิ ที า 3,4623,538 = 3(3+1)/462×538

= 12/2 46516
0 2 04

= 12/248556

= 12,248,556

พสิ ูจน์เชิงพชี คณติ
พจิ ารณาจาก (ax + b)(ax + c) = a2x2 + acx + abx + bc

= a2x2 + (b + c)ax + bc

ให้ x =10,b + c =10 ก็จะได้

(10a + b)(10a + c) = a2102 + (10)2 a + bc
= (a2 + a) 102 + bc
= a(a +1) 102 + bc

ตัวหน้าของ b,c มากกวา่ ตัวหน้าของ a อยู่ 1 คือ a +1

ขอ้ สังเกต ผลบวกของหลกั ท้ายที่รวมกนั ได้ 10,100,1000,... และหลักข้างหนา้ มคี า่ เท่ากนั เชน่
1,6471,653 จะเห็นว่า 47 + 53 =100 และ 16 ค่หู น้าของทั้งสองจานวนเทา่ กัน

35

เวทคณิต 3. การดาเนินการคณู

จากเทคนคิ การคณู ขา้ งต้น เราสามารถเพ่ิมหรือลดคา่ ของจานวนท่ีคณู กัน โดยใชเ้ ทคนคิ เรือ่ งสัดส่วน

ได้อย่างง่าย ดังตัวอย่าง

ตวั อย่างที่ 6 จงหาผลคูณของ 8846 ในกรณีน้ี เราไม่สามารถใช้วิธีคิดแบบขา้ งต้น

วิธที า 88 46 = 2(4446) ได้ พิจารณาตวั หน้า 88 มี 2 เปน็ ตัวประกอบ
เราสามารถแยกตัวประกอบออกเป็น 244

=2(20/24) ในรปู ผลคณู ของ 2(4446)

= 4,048

แบบฝึกหดั ชุดท่ี 1

การคูณเลข 2 จานวน ทมี่ ากกว่าอยหู่ นึ่งของจานวนหน่ึงท่ีอยู่ข้างหนา้ เมื่อสองจานวนนน้ั มเี ลขตัวหนา้ เทา่ กันแต่

หลงั บวกกนั ได้ 10 หรอื 100,1000....

1. 2 3 2. 2 4 3. 3 6 4. 3 9

27 2 6 3 4 3 1

5. 4 1 6. 5 3 7. 3 5 8. 5 2

49 57 35 58

9. 7 2 10. 9 3 11. 6 2 12. 8 4

78 97 68 86

13. 3 3 14. 4 6 15. 7 3 16. 6 8

37 44 77 62

17. 5 1 3 18. 2 1 1 19. 1 7 2 20. 8 2 8

517 289 178 872

36

เวทคณิต 22. 6 1 9 23. 8 6 7 3. การดาเนนิ การคูณ

21. 7 3 7 681 863 24. 9 4 5

763 26. 9 3 9 27. 3 9 7 955

25. 8 8 3 931 303 28. 3 3 6

817 30. 9 3 6 334

29. 7 9 8 964 31. 6 9 7 32. 5 5 6

702 603 554

หมายเหตุ ถา้ สับเปลย่ี นจากการคณู ข้างตน้ ก็จะได้ การดาเนินการคณู ของเลขสองจานวนที่ตวั เลข

ตัวแรกของสองจานวนนั้นบวกกนั ได้ 10,100,1000,... แต่ตัวเลขตวั หลังเท่ากัน

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาผลคูณของ 4767ฃ แนวคดิ พิจารณาเลขสองจานวนนี้ ตัวหน้าบวก

วธิ ที า 4767 = (46)+7 / 72 กันได้ 10 คอื 4 + 6 =10 แตต่ ัวหลังของท้งั สอง
จานวนเทา่ กนั คือ 7 = 7 หาได้จากการหาผลคูณ
=31/49 ของ (46) + 7 = 31 เป็นส่วนหนา้ ของคาตอบ

= 3,149 แล้วหาผลคณู ของสองตัวหลังของทัง้ สองจานวน
คอื 72 = 49

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลคูณของ 5838 แนวคิด พจิ ารณาเลขสองจานวนนี้ ตวั หน้าบวกกัน
วิธีทา 58×38 = 6242 ไมไ่ ด้ 10 แต่ตวั หลังของทั้งสองจานวนเท่ากนั คือ

= (6 4)+2 / (2)2 8=8

= 22/04 หมายเหตุ ตอ้ งแปลงตวั หลังใหเ้ ป็นจานวนในรปู
= 2,204 เครอ่ื งหมายบาร์ ( ) เทา่ นัน้ ซึง่ จะพบวา่ ตัวหน้า
บวกกันได้ 10

37

เวทคณิต 3. การดาเนนิ การคณู

ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลคณู ของ 234774 แนวคดิ พจิ ารณาเลขสองจานวนน้ี ตัวหน้าบวกกนั
วธิ ที า 234×774 = (2377)+(410)/42 ได้ 100 ตัวหลงั ของทั้งสองจานวนเทา่ กันคือ

= 1771+40/16 4=4
= 181,116
หมายเหตุ ในกรณนี ี้หาตัวหน้าไดจ้ าก
(2377)+(410) = 1,771 และตัวหลังได้จาก

42 = 16

พสิ จู นเ์ ชิงพีชคณิต
พิจารณาจาก (ax + c)(bx + c) = abx2 + (a + b)cx + c2

(1) ให้ x =10,a + b =10 กจ็ ะได้

(a 10 + c)(b 10 + c) = ab102 + (10)c10 + c2

= (ab + c)102 + c2

(2) ให้ x =10,a + b =100 กจ็ ะได้

(a 10 + c)(b 10 + c) = ab102 + (100)c10 + c2

= (ab +10c)102 + c2

ดังนน้ั วิธีอปุ นัย x =10,a + b =102 กจ็ ะได้

(a 10 + c)(b 10 + c) = (ab +10n−1c)102 + c2

38

เวทคณติ 3. การดาเนินการคูณ

แบบฝกึ หดั ชดุ ที่ 2
การคูณคูณของเลขสองจานวนที่ตวั เลขตัวแรกของสองจานวนนั้นบวกกันได้ 10,100,1000,... แตต่ วั เลขตวั หลงั

เทา่ กนั

1. 2 7 2. 8 4 3. 3 6 4. 3 9

87 24 76 79

5. 6 9 6. 5 7 7. 5 3 8. 5 8

49 57 53 58

9. 8 1 10. 6 1 11. 6 3 12. 7 5

21 41 43 35

13. 4 3 6 14. 3 3 3 15. 7 3 4 16. 5 6 9

576 673 274 4 49

13. 5 7 6 14. 5 3 3 15. 5 7 4 16. 5 6 9

576 573 574 5 69

39