แผนการจัดการเรียนรู้ 2565-1

แบบทดสอบกอ่ นเรียน - หลงั เรียน

1. จงหาพจน์ทัว่ ไปของลำดับ 7, 9, 11, 13, 15, ...

ก. 2n + 5 ข. n + 6 ค. 2n2 + 5 ง. 3n + 4

2. จงหาพจนท์ ั่วไปของลำดับ 2, 5, 8, 11, 14, ...

ก. n +1 ข. 3n −1 ค. 2n −1 ง. 3n2 −1

3. จงหาพจน์ทว่ั ไปของลำดบั -1, 2, -3, 4, -5, ...

ก. − n2 ข. n − 2 ค. 2n − 3 ง. (−1)n  n

4. จงหาพจนท์ ั่วไปของลำดับ -5 , -3 , -1 , 1 , 3 , .....

ก. − 7 + 2n ข. − n − 4 ค. 3n − 8 ง. 2n − 6

5. จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับ 3 , 3 , 12 , 48 , .....

4

ก. 3 (4)n ข.  3 n ค. n + 2 ง. 3n

16 4 n+3 4n

6. จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดับ 8, 16, 32, 64, .....

ก. 23n ข. 2n + 6 ค. 2n+2 ง. n + 7

เฉลย แบบทดสอบกอ่ นเรยี น - หลังเรยี น

1. ก.
2. ข.
3. ง.
4. ก.
5. ก.
6. ค.

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 2

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผา่ น ไมผ่ ่าน
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมิน

วนั ที่................เดือน...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไมผ่ ่าน
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผู้ประเมิน

วนั ท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาท่เี รยี น ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟ ั งคว าม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อ่ืน หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าตั้ง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทีต่ อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางส่วน ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อย่างดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกล่มุ กลุ่ม

โรงเรยี นสวนกหุ ลาบวทิ ยาลัย นนทบรุ ี

แผนการจัดการเรียนรู้

แผนการจัดการเรียนร้ทู ี่ 3 เรอื่ ง ความหมายของลำดบั เวลา 6 ช่ัวโมง
หนว่ ยท่ี 1
รหสั วิชา ค 33101 ชื่อหน่วยการเรยี นรู้ ลำดบั และอนุกรม
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6
รายวชิ า คณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน ภาคเรยี นท่ี 1

กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์

1. มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 4.1 อธิบายและวิเคราะหร์ ปู แบบความสมั พันธ์และฟงั กช์ นั
มาตรฐาน ค 4.1 : (5) เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณติ และลำดับเรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของ
ลำดบั เลขคณติ และลำดับเรขาคณิต และนำไปใช้

2. ตัวชีว้ ัด
ค 4.1 ม. 4/5 เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของลำดับเลข

คณติ และลำดบั เรขาคณิต และนำไปใช้

3. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้สตู่ ัวชว้ี ดั /ผลการเรียนรู้

วิเคราะห์พฤตกิ รรมการเรียนรทู้ ่คี าดหวัง โดยใสเ่ ครอ่ื งหมาย ✓ ลงในช่อง K, P, A

K – ด้านความรู้, P - ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ, A - ดา้ นคุณลักษณะพึงประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบทงั้ หมด)

จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ / ผลการเรยี นรู้ KPA

1. บอกลำดับทีเ่ ปน็ ลำดบั เลขคณติ ✓

2. หาพจนท์ ่ี 1 ผลต่างรว่ มและพจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณติ ✓

3. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อยา่ งเหมาะสม

4. มีความสามารถนำความรแู้ ละทกั ษะเรื่องลำดับเลขคณติ ไปประยุกตใ์ ช้ ✓

5. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตือรอื ร้นในการทำงาน กลา้ แสดงความคิดเหน็

4. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)
ลำดบั เลขคณิต คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้

เรยี กวา่ ผลต่างรว่ ม เขยี นแทนด้วย d
สูตรการหาพจน์ท่ี n คือ an = a1 + ( n – 1) d

5. สาระการเรียนรู้
5.1. ความรู้
1) บอกลำดบั ท่เี ปน็ ลำดบั เลขคณิต
2) หาพจนท์ ี่ 1 ผลตา่ งร่วมและพจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณติ
5.2. ทกั ษะ/กระบวนการ/กระบวนการคดิ
1) ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้อย่าง
เหมาะสม
2) มคี วามสามารถนำความรูแ้ ละทกั ษะเรื่องลำดบั เลขคณิตไปประยกุ ตใ์ ช้
5.3. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น
มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์

และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ และมี
ความคดิ รเิ ริ่มสร้างสรรค์

5.4. คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มีความ

กระตอื รือร้นในการทำงาน กล้าแสดงความคดิ เหน็

6. ความเขา้ ใจทีค่ งทน
นักเรียนสามารถสรปุ ไดว้ ่า
ลำดบั เลขคณติ คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้

เรยี กวา่ ผลตา่ งรว่ ม เขียนแทนด้วย d
สูตรการหาพจน์ท่ี n คอื an = a1 + ( n – 1) d

7. ชิน้ งานหรือภาระงาน
ใบงาน

8. คำถามท้าทาย

9. กิจกรรมการเรียนรู้
การบรู ณาการกบั ปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง
1) ความพอประมาณ รู้จักลำดับ ก่อน หลัง จัดลำดับสิ่งต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสมและ
พอประมาณ
2) ความมีเหตุผล รู้จักนำกระบวนการจัดลำดับ การเรียงลำดับสิ่งต่างๆ ไปใช้ในชีวิตประจำวนั
อยา่ งมเี หตุผล
3) การมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี มีความตระหนักและรู้คุณค่าของการจัดลำดับ การเรียงลำดับส่ิง
ต่างๆ อย่างถูกต้อง จัดวาง จัดเรียง รู้จักวางแผนได้จากการจัดลำดับสิ่งต่างๆ และสิ่งที่จะ
เกิดขนึ้ ได้อยา่ งเหมาะสม
4) เงื่อนไขความรู้ รู้จักนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมไปปรับประยุกต์ใช้ในการดำเนินชีวิต
และสถานการณต์ า่ งๆ อย่างเหมาะสม

5) เงื่อนไขคุณธรรม นำหลักการการจัดลำดับ เรียงลำดับสิ่งต่างๆ ที่ถูกต้อง และเหมาะสม ไป
ใช้ กบั ความมีระเบยี บ วนิ ัย จดั ลำดบั ขนั้ ตอนตา่ งๆ ได้ ตามความถูกต้อง และเหมาะสม

9.1. วดั ผลกอ่ นเรียน
1) นักเรยี นทำแบบทดสอบก่อนเรียน

9.2. ข้ันนำ
2) ครแู จง้ ตัวชว้ี ดั และจุดประสงค์การเรยี นรู้
3) ครแู บง่ กลมุ่ นักเรียน กลุม่ ละ 5 คน ใช้กระบวนการเรียนรแู้ บบเพอ่ื นสอนเพือ่ น

9.3. ขั้นสอน จัดกจิ กรรม
(คาบ 1 – 2)
4) นักเรียนในกลุ่มเลือกประธานเพื่อทำหน้าที่ในการทบทวนเนื้อหาให้สมาชิกในกลุ่มกรณีมี

ปญั หา
5) ครูให้ความหมายของลำดับเลขคณติ และอธบิ ายท่ีมาของพจนท์ ่วั ไป ดังนี้
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดับที่มีผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วย พจน์ที่ n มีค่าคง

ตวั คา่ คงตวั น้ี เรียกว่า ผลต่างร่วม (Common Difference)
ในกรณีทั่วไป ถ้า a1,a2,a3,a4,.....an ,..... เป็นลำดับเลขคณิต และมี d เป็นผลต่าง

ร่วม ซง่ึ d = an+1 − a แลว้ พจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณิต หาได้ดังน้ี

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d



an = an−1 + d = (a1 + (n − 2)d ) + d = a1 + (n −1)d

จะได้พจน์ที่ n ของลำดบั เลขคณติ (an ) = a1 + (n −1)d

6) ครูยกตัวอย่างของลำดับเลขคณิต และให้นักเรียนในแต่ละกลุ่มอธิบายเหตุผลของการเป็น
ลำดับเลขคณติ ในแต่ละข้อ

ตัวอย่าง
(1) − 2,4,10,.....

(2) −1, 1 , 1 ,.....

6 62

(3) 11,13 1 ,16,.....

2

(4) x, x + 2, x + 4,.....
จากตวั อย่างข้างต้น พบว่า ข้อ 1 – 4 เป็นลำดบั เลขคณติ เนื่องจาก
(1) − 2,4,10,.....

มีผลตา่ งลำดบั คือ 6

(2) −1, 1 , 1 ,.....

6 62

มผี ลต่างลำดบั คือ 1

3

(3) 11,13 1 ,16,.....

2

มผี ลตา่ งลำดับ คอื 25

5

(4) x, x + 2, x + 4,.....

มีผลตา่ งลำดบั คอื 2

7) ครูยกตัวอย่างการหาพจนท์ ่วั ไปและพจนต์ ่างๆ ของลำดบั เลขคณติ ดงั นี้

ตัวอยา่ ง 1 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลำดับเลขคณิต 2,−1,−4,−7,−10,...
วิธีทำ จากลำดับเลขคณติ 2,−1,−4,−7,−10,...

จะได้ d = −1− 2 = 3
และ a1 = 2
จาก an = a1 + (n −1)d

= 2 + (n −1)(− 3)

= 2 − 3n + 3
= 5 − 3n
นนั่ คอื พจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณติ นี้ คอื an = 5 − 3n

ตัวอย่าง 2 จงหาพจน์แรกของลำดบั เลขคณิตท่มี ี a6 = 12 และ a10 = 16

วิธีทำ จาก an = a1 + (n −1)d และ a6 = 12, a10 = 16

จะได้ 12 = a1 + (6 −1)d = a1 + 5d
16 = a1 + (10 −1)d = a1 + 9d

- ; 4d = 4

d=1

จาก , 12 = a1 + 5(1)

a1 = 7

ดังน้นั พจนแ์ รกของลำดับเลขคณิต (a1) = 7

ตัวอย่าง 3 จงหาพจนท์ ่ี 15 ของลำดับเลขคณิต 3, 8, 13, 18, 23, ...

วธิ ีทำ จาก 3, 8, 13, 18, 23, ...

จะได้ a1 = 3 และ d = 8 − 3 = 5
จาก an = a1 + (n −1)d

จะได้ a15 = 3 + (15 −1)(5)
= 3 + (14)(5)

a15 = 73

ดังนนั้ พจน์ที่ 15 ของลำดับ คอื 73

ตวั อยา่ ง 4 จงหาพจนท์ ี่ 25 ของลำดบั เลขคณติ ทม่ี ี a3 = 20 และ a7 = 32

วิธที ำ จาก an = a1 + (n −1)d และ a3 = 20 , a7 = 32

จะได้ 20 = a1 + (3 −1)d = a1 + 2d
32 = a1 + (7 −1)d = a1 + 2d

- ; 4d = 12

d=3

จาก 20 = a1 + 2(3)a

a1 = 14
ดังน้นั a25 = 14 + (25 −1)(3)

= 14 + (24)(3)

a25 = 86

ดังน้นั พจน์ท่ี 25 ของลำดับ คอื 86
ตวั อยา่ ง 5 จงหาว่าระหวา่ ง 7 กับ 1610 มจี ำนวนที่ 6 หารลงตวั ทัง้ หมดกจี่ ำนวน
วธิ ที ำ จำนวนแรกที่มากกว่า 7 และ 6 หารลงตวั คือ 12

เน่อื งจาก 1610 หารดว้ ย 6 ได้ผลการ 268 เหลือเศษ 2
แสดงว่า จำนวนทม่ี ากทส่ี ดุ ที่ 6 การลงตัว และน้อยกวา่ 1610 คือ 1608
จากข้อมูลข้างตน้ และสมบัติการหาร จะไดล้ ำดบั เลขคณติ 12,18,24,.....,1608

จาก an = a1 + (n −1)d

เม่ือ a1 = 12, d = 6 และ an = 1608

จะได้ 1608 = 12 + (n −1)(6)

= 12 + 6n − 6

6n = 1602

n = 267

ดังนัน้ ระหวา่ ง 7 กบั 1610 มีจำนวนท่ี 6 หารลงตัวทั้งหมด 267 จำนวน
ขั้นวิเคราะห์
8) ครูแจกใบงานให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกันหาคำตอบของลำดับ เลขคณิตที่ได้รับ
มอบหมาย
9) ครูคัดเลือกกลุ่มที่ทำใบงานสมบูรณ์ออกมานำเสนอผลงานเป็นลำดับแรก และให้กลุ่มท่ี
เหลือนำแสดงผลงานเปน็ ลำดบั ถดั ไป
10) นกั เรยี นทุกคนรว่ มกันตรวจสอบความถูกต้องจากเพอื่ นทน่ี ำเสนอ ผลงานหนา้ ช้ันเรยี น และ
ครเู พมิ่ เติมในสว่ นท่ไี มส่ มบูรณ์
9.4. ขั้นสรุป
11) ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปความหมาย ของลำดับเลขคณิต และอภิปรายรูปแบบการหา
พจนท์ ว่ั ไปของลำดับเลขคณิต
12) ครูมอบหมายให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 1.1.3 หน้า 27 และ 28 ข้อ 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ
10 ในหนังสือเรียนสาระการเรียนรพู้ ้นื ฐานคณติ ศาสตรเ์ ป็นการบ้าน
13) ทำแบบทดสอบหลงั เรียน
(คาบท่ี 3 – 4)
14) ซักถามปญั หาจากการทำการบ้านแลว้ เฉลยคำตอบ
15) ใชก้ ารถามตอบ ใหน้ กั เรยี นทบทวนสตู ร an = a1 + ( n – 1) d
16) เขียนตัวอย่างที่ 1 บนกระดาน ใช้การถามตอบฝึกให้นักเรียนวิเคราะห์แนวคิดตามแผนผัง
ดังนี้

ต้องการหา a28

a28 = a1 + 27d แทนคา่ a1
และ d
แกส้ มการ 2 ตัวแปร
a10 = a1 + 9d = 32
a18 = a1 + 17d = 48

ให้นักเรียนช่วยกันสรุปการวิเคราะห์เพื่อนำไปสู่การเขียนวิธีทำด้วยการทำพร้อมๆ กับครู

บนกระดาน

17) เขยี นตวั อยา่ งที่ 2 และตัวอย่างท่ี 3 ทลี ะตัวอย่างแล้วดำเนนิ การเช่นเดยี วกับข้อ 3

ตอ้ งการหา n

ลำดับเลขคณิต
21, 12, 15,…, –36

a = 21
d = 18 – 21 = –3
an = –36

an = a1 + (n – 1)d

แกส้ มการ
–36 = 21 + (n – 1)(–3)

ต้งั คำถามใหน้ ักเรียนช่วยกันตอบ
คำถาม : จากโจทยใ์ นตวั อยา่ งท่ี 2 ถ้าเปลย่ี นโจทยเ์ ป็น จงหาว่าลำดับเลขคณิต 21, 18, 15,
…, –36 มกี ่พี จน์ คำถามน้ีจะมีความหมายเช่นเดียวกบั โจทย์ในตัวอย่างท่ี 2 หรือไมเ่ พราะเหตใุ ด
ตัวอยา่ งท่ี 3 วเิ คราะหแ์ นวคิดตามแผนผัง ดังนี้

ตอ้ งการหา a, b, c

a = a1 + d
b = a1 + 2d
c = a1 + 3d

a1 = 5 แทนค่า a1
หา d และ d

แก้สมการ
a5 = a1 + 4d = 21

18) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ สังเกต
ช่วยชี้แนะและแก้ไขปัญหาต่างๆ เมื่อทำเสร็จแล้วสุ่มนักเรียนออกมาเฉลยเขียนวิธีทำบนกระดาน เพื่อนๆ และ
ครูตรวจสอบความถกู ต้อง

19) นกั เรียนชว่ ยกนั สรปุ การหาจำนวนพจนแ์ ละการหาพจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณิต
20) เขียนตัวอย่างที่ 4 บนกระดานใช้การถามตอบฝึกให้นักเรียนวิเคราะห์แนวคิดตามแผนผัง
ดงั นี้

ต้องการหา m

ลำดับเลขคณิต
2m + 4, 3m – 7, m + 12

d = a2 – a1 = a3 – a2

แก้สมการ
(3m – 7) – (2m + 4) = (m + 12) – (3m – 7)

ใหน้ ักเรียนช่วยกันสรปุ นำไปสกู่ ารเขยี นวิธีทำดว้ ยการทำพรอ้ มๆ กนั
21) เขยี นตวั อย่างที่ 5 แล้วดำเนนิ การเชน่ เดียวกบั ข้อ 7

วเิ คราะหแ์ นวคิดตามแผนผงั ดังนี้

ตอ้ งการหาจำนวนนับสามจำนวนเรยี งกัน

สมมตจิ ำนวนท้ังสามเป็น a – d, a, a + d แทนคา่ a
และ d
แกส้ มการสองตัวแปร
(a – d) + a + (a + d) = 12
(a – d)2 + a2 + (a + d)2 = 66

ก่อนสมมติจำนวนทั้งสามเป็น a – d, a, a + d ครูให้นักเรียนหาเหตุผลว่าทำไมจึงไม่
สมมตใิ หจ้ ำนวนท้ังสามเป็น x, y, z หรอื a, a + d, a +2d หรอื อ่นื ๆ

ครูใช้การถามตอบแนะแนวทางให้นกั เรียนสรุปไปได้ว่าสำหรบั โจทยป์ ัญหาในลักษณะน้ีควร
สมมตจิ ำนวนทต่ี อ้ งการ ดงั นี้

(1) ถ้าเปน็ จำนวนนับห้าจำนวนเรยี งกนั ควรสมมตใิ หเ้ ป็น a – 2d, a – d, a, a + d, a +2d
(2) ถ้าเปน็ จำนวนนับส่ีจำนวนเรยี งกนั ควรสมมติให้เปน็ a – 3d, a – d, a + d, a + 3d

22) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัด ด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ สังเกต
ช่วยชี้แนะแก้ไขปัญหาต่างๆ เมื่อทำเสร็จแล้วครูสุ่มนักเรียนออกมาเฉลยบนกระดาน โดยมีนักเรียนที่เหลือและ
ครูตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

23) นกั เรยี นช่วยกันสรปุ การแก้ไขโจทย์ปญั หา
24) นักเรยี นทำแบบฝึกหัด 1.1.2, 1.1.3 เป็นการบา้ น
25) แจกใบความรู้ให้นักเรียนศึกษาทบทวนเสริมความเข้าใจและแจกเอกสารซ่อมเสริมทบทวน
ความรู้พื้นฐานเรื่องการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ให้กับนักเรียนที่มีพื้นฐานความรู้ในเรื่องนี้น้อยไป
ศกึ ษา
คาบ (5 – 6)
26) นกั เรียนอาสาสมัครออกมาเฉลยการบา้ น เพือ่ นนกั เรียนตรวจสอบความถูกต้อง
27) ทบทวนเกี่ยวกับบทนิยามลำดับเลขคณิต และสูตร an = a1 + (n – 1)d โดยใช้การถาม
ตอบ
28) เขียนโจทย์ตัวอยา่ งบนกระดานใชก้ ารถามตอบ ข้อ (1), (2) และ (4) ส่วนขอ้ (3) ให้นกั เรียน
วเิ คราะห์แนวคิดตามแผนผัง ดงั นี้

วิธีหา88an ต้องการหา n 22
9 ) 800 9 ) 200
ลำดบั เลขคณติ
72 a1 = 207 18
80 d =9 20
72 an = 792 18
8 2+7
a1 = 800 – 8 an = a1 + (n – 1)d a1 = 200 + 7
= 792 = 207

แกส้ มการ
792 = 207 + (n – 1)(9)

นักเรียนช่วยกนั สรปุ แนวคิดแล้วเขยี นเปน็ วิธีทำพร้อม ๆ กบั เพื่อนในชนั้ เรียนทีเ่ หลือ
29) นักเรียนเสนอแนวคิดในการแก้โจทย์ปัญหาจากตัวอย่างดังกล่าวที่แตกต่างจากข้างต้น
นักเรียนส่วนใหญ่ให้ความร่วมมือช่วยกันคิด ช่วยกันทำ กล้าแสดงออก แต่ในช่วงแรกๆ ของการทำเอกสาร
ฝกึ หัดมนี กั เรยี นหลายคนยังสับสนแต่เมื่อไดร้ ับการช่วยเหลือ จากเพอ่ื นในกลุ่มและจากครูผสู้ อนก็ทำให้นักเรียน
ทุกๆ คนสามารถเรยี นรู้และทำโจทย์ปญั หาในเอกสารฝึกหัดได้ทุกคน แตบ่ างคนทำไม่เสรจ็ ในช่ัวโมงเรียน ครูจึง
แนะนำใหไ้ ปทำเป็นการบา้ นดว้ ย

สำหรับกิจกรรมในข้อ 4 ที่ครูให้นักเรียนเสนอแนวคิดในการแก้โจทย์ปัญหาตัวอย่าง
ปรากฏวา่ มีนกั เรียนเสนอแนวคดิ ดังน้ี

200 = 22 เศษ 2

9

ดงั นัน้ จำนวนเต็มตงั้ แต่ 1 ถึง 200 จะมี 9 หารลงตัว 22 จำนวน

800 = 88 เศษ 8

9

ดังนัน้ จำนวนเตม็ ตัง้ แต่ 1 ถึง 800 จะมี 9 หารลงตัว 88 จำนวน
ดงั น้นั จำนวนเตม็ ตงั้ แต่ 200 ถงึ 800 จะมี 9 หารลงตวั 88 – 22 = 66 จำนวน
ครูให้นักเรียนสังเกตจะพบว่าวิธีที่นักเรียนนำเสนอสั้นและกะทัดรัดดี แต่นักเรียนต้อง
ระมัดระวงั กรณีทีจ่ ำนวนนบั แรก (a1) หรือจำนวนนับจำนวนสุดทา้ ย (an) หารดว้ ย 9 ลงตวั คำตอบจะมีการ
เปลีย่ นแปลงอยา่ งไรและครูแนะนำให้นักเรยี นทุกคนควรใช้วิธวี ิเคราะห์แนวคดิ ข้างต้นใหเ้ ป็นดว้ ย เพราะต้องนำ
ความร้ดู ังกล่าวไปใชใ้ น เรอื่ งอนุกรมเลขคณิตทีจ่ ะเรยี นในตอนตอ่ ไป
30) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ สังเกต
ชี้แนะ แนะนำและแก้ไขปัญหาต่างๆ เมื่อทำเสร็จแล้วครูให้นักเรียนช่วยกันเฉลยคำตอบ ครูตรวจสอบความ
ถกู ตอ้ ง
31) นักเรียนชว่ ยกนั สรุปเกีย่ วกับการนำความรเู้ รื่องลำดบั เลขคณติ ไปใช้ในการแก้โจทยป์ ัญหา
32) นักเรยี นทำแบบฝกึ หัด 1.1.3 เป็นการบา้ น
33) นักเรียนศึกษาค้นควา้ โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับลำดับเลขคณิต ที่ไม่ซ้ำกับในหนงั สือเรียน อย่าง
นอ้ ยคนละ 1 ขอ้ พร้อมทัง้ ใหบ้ อกแหลง่ ท่มี า เช่น หอ้ งสมุดโรงเรยี น อนิ เตอร์เนต็ เป็นตน้
34) นักเรียนแต่ละกลุ่ม แลกเปลี่ยนกันอ่านโจทย์ที่ไปศึกษาค้นคว้า แล้วอภิปรายเลือกโจทย์
ปัญหาเพียง 1 ข้อ เพื่อเป็นตัวแทนออกไปนำเสนอหน้าชั้นเรียนโดยมีครูและเพื่อนที่เหลือคอยชืน่ ชมให้กำลงั ใจ
ชว่ ยกันเตมิ เต็ม และเสนอแนะเพม่ิ เติม (ถา้ มี)
35) นักเรียนชว่ ยกนั สรุปการนำความรลู้ ำดบั เลขคณิตไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ัญหา
36) นักเรยี นเขียนโจทยป์ ญั หาทคี่ ดิ ขน้ึ มาเองในการนำความรู้ เร่ืองลำดบั เลขคณิตไปประยุกต์ใช้
ในชวี ติ ประจำวนั สง่ ครูคนละ 1 ขอ้ เปน็ การบ้าน
37) ครูแจกเอกสารซ่อมเสริมเสริมประสบการณ์ ชุดที่ 1, 2, 3 ที่ครูสร้างขึ้นให้นักเรียนไปฝึก
ทกั ษะเพม่ิ เตมิ นอกเวลาเรียน ตามศักยภาพของนักเรียนแต่ละคน
9.5. วดั ผลหลังเรียน
38) ทำแบบทดสอบหลังเรยี น
9.6. การจดั บรรยากาศเชิงบวก
39) ใหน้ กั เรียนทำกจิ กรรมในใบงานแล้วออกมาอภิปรายแต่ละกลุ่ม

10. สื่อ / แหล่งการเรยี นรู้
10.1. สอ่ื
1) หนังสอื เรยี นคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เรอื่ งลำดับและอนกุ รม
2) ใบความรู้
3) ใบงาน
10.2. แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมุดโรงเรยี น ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์
2) เวบ็ ไซตส์ ำหรับการสบื คน้ ขอ้ มลู เชน่
http://wwwthai-mathpaper.net/papers_offline.php และ
http://www.neutron.rmutphysics.com
10.3. วัสดุ / อปุ กรณ์
1) หนงั สือเรยี น
2) ใบงาน

11. การวดั ผลและประเมนิ ผล

วธิ ีการวัดประเมนิ ผลการเรยี นรู้ เครือ่ งมือ เกณฑ์การประเมนิ

1. สังเกตพฤติกรรม 1. แบบสงั เกตพฤติกรรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ รอ้ ยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

12. บันทึกหลังการสอน
12.1 สรุปผลการเรยี นรู้ (ระบุ จำนวน / ร้อยละ / คา่ เฉลี่ย ว่าผา่ นเกณฑก์ คี่ น)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปญั หา (ระบุว่าไม่ผ่านเกณฑ์กค่ี น ใครบ้าง

............................................................................................................................. ................................................................
12.3 แนวทางแกป้ ัญหา (แกไ้ ขนกั เรียนท่ีไม่ผ่านได้อย่างไร)

............................................................................................................................. ................................................................
12.4 ขอ้ เสนอแนะ

............................................................................................................................................................. ................................

ลงชอ่ื ..................................................ผู้สอน
(นางสาวสณุ รี ัตน์ สมอ้าง)

วนั ที.่ ...............เดอื น...................พ.ศ. 25.....

ลงชือ่ .......................................................
(นางสาวกติ ติยา มุสิกสังข์)

หัวหนา้ กลุม่ สาระ..............................
วนั ท.ี่ ..........เดอื น.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคดิ เหน็ ของหัวหน้าสถานศกึ ษา หรอื ผู้ทไี่ ดร้ บั มอบหมาย
............................................................................................................................. .................................................................
............................................................................................................................. .................................................................
.......................................................................................................................................................................................... ....

ลงช่อื ................................................................
(นายธงชัย วงศษ์ า)

รองผอู้ ำนวยการโรงเรียนกลุ่มการบรหิ ารวิชาการ
วนั ที่..............เดอื น..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยครัง้ ให้ 1

เกณฑก์ ารให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คุณภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

ใบงานท่ี 3 เร่อื ง ลำดบั เลขคณิต

คำสง่ั 1. จงเขยี นสีพ่ จนข์ องลำดับเลขคณิตตามส่ิงที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้

1.1. a1 = 2, d = 4

1.2. a1 = 3, d = 5

1.3. a1 = −3, d = 3

1.4. a1 = −4, d = 2

1.5. a1 = 1 ,d = 1
2 2

1.6. a1 = 5,d = −3
2 2

คำสัง่ 2. จงหาพจนท์ ี่กำหนดให้แตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้

2.1. a3 เมือ่ a1 = 4 และ d = 3

2.2. a8 เมอ่ื a1 = 4 และ d = −5
2.3. a9 เมื่อ a1 = −5 และ d = 2

2.4. a15 เมอ่ื a1 = −1 และ d = −2
2

2.5. a11 เมอ่ื a1 = 4 และ d=1
2

2.6. a15 เม่ือ a1 = 4 และ d=1
3 3

คำส่ัง 3. จงหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตตอ่ ไปนี้
3.1. 11,13,15,17,19,.....
3.2. 7,10,13,16,19,.....
3.3. 4,2,0,−2,−4,.....

3.4. 0, 1 ,1, 3 ,2,.....

22

3.5. 3 ,2, 5 ,3, 7

222

เฉลย ใบงานที่ 3 เร่อื ง ลำดับเลขคณติ

1. จงเขยี นส่พี จนข์ องลำดับเลขคณติ ตามส่งิ ท่ีกำหนดใหต้ ่อไปนี้
1.1. a1 = 2, d = 4
วธิ ีทำ a1 = 2

a2 = 2 + 4 = 6

a3 = 6 + 4 = 10

a4 = 10 + 4 = 14

ดงั นน้ั สีพ่ จน์แรกของลำดบั เลขคณติ คอื 2, 6, 10, 14
1.2. a1 = 3, d = 5

วธิ ที ำ a1 = 3

a2 = 3 + 5 = 8

a3 = 8 + 5 = 13

a413 + 5 = 18

ดังนนั้ สพ่ี จน์แรกของลำดบั เลขคณิต คือ 3, 8, 13, 18
1.3. a1 = −3, d = 3

วธิ ที ำ a1 = −3

a2 = −3 + 3 = 0

a3 = 0 + 3 = 3

a4 = 3 + 3 = 6

ดงั นัน้ ส่ีพจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ คอื -3, 0, 3, 6
1.4. a1 = −4, d = 2

วธิ ีทำ a1 = −4

a2 = −4 + 2 = −2

a3 = −2 + 2 = 0

a4 = 0 + 2 = 2

ดงั น้ัน 4 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต คอื -4 , -2 , 0 , 2

1.5. a1 = 1,d = 1
2 2

วธิ ีทำ a1 = 1
2

a2 = 1 + 1 =1
2 2

a3 =1+ 1 = 3
2 2

a4 = 1 + 3 = 2
2 2

ดังนน้ั พจน์ทส่ี ขี่ องลำดับเลขคณิต คือ 1 ,1, 3 ,2

22

1.6. a1 = 5,d = −3
2 2

วธิ ีทำ a1 = 5
2

a2 = 5 − 3 =1
2 2

a3 =1− 3 = −1
2 2

a4 = −1 − 3 = −2
2 2

ดังนั้น สพ่ี จนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ คอื 5 ,1, −1 − 2

22

2. จงหาพจนท์ ก่ี ำหนดให้แตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี

2.1. a3 เมอ่ื a1 = 4 และ d = 3
วธิ ีทำ เน่ืองจาก an = a1 + (n −1)d

แทนคา่ a3 = a1 + 2d
ดงั นนั้
a3 = 4 + 2(3)

a3 = 10

2.2. a8 เม่อื a1 = 4 และ d = −5
วธิ ที ำ เน่ืองจาก an = a1 + (n −1)d

แทนค่า a8 = a1 + 7d
ดงั นั้น
a8 = (− 4)+ 7(− 5)

a9 = 11

2.3. a9 เม่อื a1 = −5 และ d = 2
วิธที ำ เนอ่ื งจาก an = a1 + (n −1)d

แทนคา่ a9 = a1 + 8d
ดังนน้ั
a9 = (− 5) + 8(2)

a9 = 11

2.4. a15 เม่อื a1 = −1 และ d = −2
2

วธิ ีทำ เนือ่ งจาก an = a1 + (n −1)d

a15 = a1 + 14d

แทนค่า a15 =  −1 +14(− 2)

2

ดงั นน้ั a15 = − 57
2

2.5. a11 เม่อื a1 = 4 และ d=1
2

วธิ ที ำ เน่อื งจาก an = a1 + (n −1)d

a11 = a1 +10d

แทนค่า a11 = 4 + 10 1 
ดังนัน้  2 

a11 = 9

2.6. a15 เม่ือ a1 = 4 และ d=1
3 3

วิธที ำ เนื่องจาก an = a1 + (n −1)d

a15 = a1 + 14d

แทนค่า a15 = 4 + 14 1 
3 3

ดงั นนั้ a15 = 18
3

3. จงหาพจนท์ ี่ n ของลำดบั เลขคณิตตอ่ ไปนี้

3.1. 11,13,15,17,19,.....

วิธที ำ เน่ืองจาก a1 = a1 + (n −1)d เป็นพจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณิต
จากโจทย์ d = 13 −11 = 2

และ a1 = 11
แทนค่า
an = 11+ (n −1)(2)

an = 2n + 9

ดงั นัน้ พจน์ท่ี n(an ) ของลำดบั คือ 2n + 9

3.2. 7,10,13,16,19,.....

วิธที ำ เนื่องจาก an = a1 + (n −1)d เป็นพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิต

จากโจทย์ d = 10 − 7 = 3

และ a1 = 7
แทนค่า
an = 7(n −1)(3)

an = 3n + 4

ดงั นั้น พจน์ที่ n(an ) ของลำดบั คือ 3n + 4
3.3. 4,2,0,−2,−4,.....

วธิ ีทำ เนอ่ื งจาก an = a1 + (n −1)d เป็นพจนท์ ่ี n ของลำดบั เลขคณิต

จากโจทย์ d = 2 − 4 = −2

และ a1 = 4
แทนคา่
an = 4 + (n −1)(− 2)

an = 6 − 2n

ดังนัน้ พจน์ท่ี n(an ) ของลำดบั คือ 6 − 2n

3.4. 0, 1 ,1, 3 ,2,..... an = a1 + (n −1)d เป็นพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณติ

22

วธิ ีทำ เน่อื งจาก

จากโจทย์ d = 1 −0= 1
และ 22

a1 = 0

แทนค่า an = 0 + (n −1) 1

2
(n −1)
an =
2
(n −1)
ดงั น้นั พจนท์ ี่ n(an ) ของลำดบั คือ
2

3.5. 3 ,2, 5 ,3, 7

222

วิธที ำ เนื่องจาก an = a1 + (n −1)d เป็นพจน์ท่ี n ของลำดบั เลขคณติ

จากโจทย์ d = 2 − 3 = 1

22

และ a1 = 3
2

แทนคา่ an = 3 + (n −1) 1
2
2

a1 = 3
2
(n + 2)
ดังนน้ั พจนท์ ี่ n(an ) ของลำดับ คือ
2

ใบงานท่ี 4 เร่อื ง ลำดบั เลขคณติ

จงแสดงวิธีทำโดยละเอยี ด
1) ถา้ 8, 5, 2, ... เปน็ ลำดบั เลขคณติ จงหา a10

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2) จงหา 3 พจนท์ ี่อยรู่ ะหว่าง 4 และ 6 ทีท่ ำให้ 5 พจนท์ ่ีได้รับเป็นลำดบั เลขคณติ
......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................... ............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................... .................
3) จงหาจำนวนทอี่ ยรู่ ะหว่าง 39 และ 51 ที่ทำให้ 3 พจน์ทไี่ ด้เป็นลำดบั เลขคณติ
............................................................................................................................................................ ..........
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4) ใหล้ ำดับ 13, 9, 5, ... เปน็ ลำดับเลขคณติ แล้ว -59 เปน็ พจน์ท่ีเท่าใดของลำดบั นี้
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

เฉลย ใบงานที่ 4 เร่ือง ลำดับเลขคณิต

จงแสดงวธิ ีทำโดยละเอยี ด
1) ถา้ 8 , 5 , 2 , ... เปน็ ลำดับเลขคณิต จงหา a10

จาก an = a1 + (n −1)d
จะได้ n = 10, d = −3

a10 = 8 + (10 −1)(− 3)

a10 = −19

2) จงหา 3 พจนท์ อ่ี ยู่ระหว่าง 4 และ 6 ที่ทำให้ 5 พจน์ท่ีไดร้ ับเป็นลำดบั เลขคณิต
จาก an = a1 + (n −1)d
จะได้ a1 = 4, a5 = 16
ฉะน้ัน a5 = 4 + (5 −1)d

16 = 4 + 4d

d =3

3) จงหาจำนวนทีอ่ ยู่ระหว่าง 39 และ 51 ทท่ี ำให้ 3 พจนท์ ไี่ ดเ้ ป็นลำดบั เลขคณิต

จำนวนทอี่ ยูร่ ะหวา่ ง 39 และ 51 สมมตใิ หเ้ ทา่ กบั x

จะได้ 39, x,51

เพราะฉะนนั้ x − 39 = 51− x

x = 45

จะได้ จำนวนนัน้ คือ 45

4) ให้ลำดบั 13 , 9 , 5 , ... เปน็ ลำดับเลขคณิตแลว้ -59 เปน็ พจน์ท่ีเทา่ ใดของลำดับน้ี
จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 13,an = −59,d = −4
จะได้ an = a1 + (n −1)d
− 59 = 13 + (n −1)(− 4)

− 59 = 13 − 4n + 4

n = 19

จะได้ -59 เปน็ พจนท์ ่ี 19 ของลำดบั 1 , 9 , 5 , .....

ใบความรู้ เรอื่ ง ลำดบั เลขคณติ

ลำดับเลขคณติ
สูตร an = a1 + (n – 1)d

ตวั อย่างท่ี 1 กำหนดให้พจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 18 ของลำดับเลขคณิตเท่ากับ 32 และ 48

ตามลำดบั จงหาพจนท์ ่ี 28

วิธที ำ จาก an = a1 + (n – 1)d

จะได้ a10 = a1 + 9d

และ a18 = a1 + 17d วิเคราะห์แนวคิด
นัน่ คือ a1 + 9d = 32 …………..(1)
ตอ้ งการหา a28
a1 + 17d = 48 …………..(2) a28 = a1 + 27d
(2) – (1) 8d = 16
แสดงวา่ จะหา a28 ได้
d =2 ตอ้ งรู้ a1 และ d
จากโจทย์
แทนคา่ d = 2 ใน (1)
a10 = a1 + 9d = 32 …(1)
จะได้ a1 + 9(2) = 32 a18 = a1 + 17d = 48 …(2)
a1 = 14 แกส้ มการ 2 ตัวแปร
a28 = a1 + 27d
= 14 + 27(2) จะได้ a1 =14, d = 2
= 68 แทนคา่ a28 = 14 + 27(2) = 68

ดังนนั้ พจน์ท่ี 28 คอื 68

ตัวอยา่ งที่ 2 –36 เป็นพจนท์ ่ีเทา่ ไรของลำดับเลขคณิต 21, 18, 15, …

วธิ ีทำ ให้ –36 คือพจนท์ ่ี n ของลำดับเลขคณิต วเิ คราะหแ์ นวคิด

an = –36 ตอ้ งการหา –36
a1 = 21
d = 18 – 21 = –3 และเปน็ พจน์ทีเ่ ทา่ ไร
แสดงวา่ ต้องการหา n
จาก an = a1 + ( n – 1) d
–36 = 21 + (n – 1)(–3) เม่อื พจนท์ ี่ n(an) = –36
–36 = 21 – 3n + 3 an = a1 + ( n – 1)d

3n = 24 + 36 an = –36, a1 = 21
d = 18 – 21 = –3
n = 60
นำไปแทนค่าใน (1)
3 แก้สมการ จะได้ n

n = 20

ตัวอยา่ งท่ี 3 ถ้า 5, a, b, c, 21 เป็นพจน์ที่ 5 พจน์ ที่เรียงกันในลำดับเลขคณิต จงหาค่าของ a, b

และ c

วิธีทำ a1 = 5 วเิ คราะหแ์ นวคิด

a5 = 21 = a1 + 4d ตอ้ งการหา a, b และ c

จะได้ 5 + 4d = 21 = 5+4 โดยท่ี a = a2 = a1 + d
= 5 + 2(4) b = a3 = a1 + 2d
d= 4 = 5 + 3(4) = 13 c = a4 = a1 + 3d
a = a2 = a1 + d = 17 จากโจทย์ a1 = 5
b = a3 = a1 + 2d แสดงวา่ จะต้องหา d
c = a4 = a1 + 3d

จาก a5 = 21

5 + 4d = 21

แทนค่า a1 แก้สมการหา d

นำ d ไปแทนค่า

หา a, b และ c

ใบงานที่ 5

1. จงหาจำนวนจรงิ m ทีท่ ำให้ m, 5m, 6m + 15 เปน็ ลำดับเลขคณิต
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
2. ถ้าจำนวนนับสามจำนวนเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตโดยจำนวนนับทั้งสามจำนวนนี้มีผลบวกเป็น 18

และผลบวกกำลังสองของแตล่ ะจำนวนเป็น 140 จงหาจำนวนทัง้ สามจำนวนนี้
......................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................... ..
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3. ถา้ ผลบวกของจำนวนนบั สจ่ี ำนวนท่ีเรียงกันในลำดับเลขคณิต คอื 28 และผลบวกของกำลังสองของแต่

ละจำนวน คอื 216 จงหาจำนวนนบั ท้งั ส่จี ำนวนน้ี
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................... .......................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................... ............

เฉลยใบงานท่ี 5

1. a1 = m , a2 = 5m , a3 = 6m +15

d = a2 − a1 = a3 − a2

จะได้ 5m − m = 6m +15 − 5m
4m = m +15
3m = 15
m =5

2. ให้จำนวนนับสามจำนวนเรยี งกนั เปน็ a − d,a,a + d เป็นลำดับเลขคณติ
จะได้ (a − d)+ a + (a + d) = 18
3a = 18
a =6
และ (a − d )2 + a2 + (a + d )2 = 140
a2 − 2ad + d 2 + a2 + a2 + 2ad + d 2 = 140
3a2 + 2d 2 = 140
3(6)2 + 2d 2 = 140
108 + 2d 2 = 140
2d 2 = 140 −108
2d 2 = 32
d 2 = 16
d = 4
จะได้สามจำนวนเรยี งกนั คือ 2, 6, 10 หรือ 10, 6, 2

3. ใหจ้ ำนวนนบั สี่ จำนวนเรยี งกนั เปน็ a − 3d,a − d,a + d,a + 3d
จะได้ a − 3d + a − d + a + d + a + 3d = 28
4a = 28
a =7
และ (a − 3d )2 + (a − d )2 + (a + d )2 + (a + 3d )2 = 216
a2 − 6ad + 9d 2 + a2 − 2ad + d 2 + a2 + 2ad + d 2 + a2 + 6ad + 9d 2 = 216
4a2 + 20d 2 = 216
4(7)2 + 20d 2 = 216
d = 1
จำนวนนบั สี่จำนวนเรียงกันคอื 4, 6, 8, 10

ใบความรู้ เรอื่ ง ลำดับเลขคณติ (ตอ่ )

ลำดับเลขคณิต
สูตร an = a1 + (n – 1)d

ตัวอย่างที่ 1 จงหาจำนวนจริง m ท่ีทำให้ 2m + 4, 3m – 7, m + 12 เป็นลำดับเลขคณติ
วธิ ที ำ d = a2 – a1 = (3m – 7) – (2m + 4)

d = a3 – a2 = (m + 12) – (3m – 7)
(3m – 7) – (2m + 4) = (m + 12) – (3m – 7)

3m –7 – 2m – 4 = m + 12 – 3m + 7
3m = 30
m = 10
วธิ ีวเิ คราะห์
ต้องการหา m
แต่ 2m + 4, 3m – 7, m + 12
เปน็ ลำดบั เลขคณิต
แสดงวา่ d = a2 – a1 = a3 – a2
(3m – 7) – (2m + 4) = (m + 12) – (3m – 7)
แกส้ มการหาค่า m

ตวั อยา่ งที่ 2 ถ้าจำนวนนับสามจำนวนเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต โดยจำนวนนับทั้งสามจำนวนนี้มี

ผลบวกเป็น 12 และผลบวกกำลังสองของแต่ละจำนวนเป็น 66 จงหาจำนวนนับทั้งสามจำนวนน้ีวิธีทำ

สมมตใิ หจ้ ำนวนนบั สามจำนวนเรียงกนั คอื a – d, a, a + d

จากโจทย์ผลบวกสามจำนวนเปน็ 12

จะได้ (a – d ) + a + (a + d) = 12

3a = 12

a =4

จากโจทย์ผลบวกกำลงั สองของแตล่ ะจำนวนเปน็ 66

จะได้ (a – d )2 + a2 + (a + d)2 = 66 วธิ วี เิ คราะห์
แทนคา่ a = 4
จะได้ (4 – d )2 + 42 + (4 + d)2 = 66 ต้องการหาจำนวนนับสาม
16 – 8d + d2 + 16 +16 +8d + d2 = 66 จำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเลข
คณิต
2d2 + 48 = 66
d2 = 9 สมมติให้จำนวนทั้งสามนี้เป็น
a1, a1+d และ a1 + 2d
d =  3 จะได้สมการ คอื
ถา้ d = 3 จะไดจ้ ำนวนนบั สามจำนวน
เรียงกันเป็น 4 – 3, 4, 4 + 3 1, 4, 7 a1 + (a1+d) + (a1 + 2d) = 12
แสดงวา่ จะได้จำนวนนบั สามจำนวน คอื a12 + (a1+d)2 + (a1 + 2d)2 = 66

ถา้ d = –3 จะได้จำนวนนบั สามจำนวน ซึ่งจะยุ่งยากต่อการแก้สมการ

เรียงกนั เป็น 4 – (–3 ), 4 , 4 +(– 3) และโจทยข์ อ้ นี้ไมไ่ ดร้ ะบวุ ่าจำนวน

นับสามจำนวนเรียงกันนีเ้ ปน็ พจน์
แสดงว่า จะไดจ้ ำนวนนบั สามจำนวน คอื 7, 4, 1 ทเ่ี ทา่ ไร

ดงั นั้น ควรสมมตใิ หจ้ ำนวนนบั

ทง้ั สามจำนวนนเี้ ปน็ a – d, a, a

+ d จะสะดวกและง่ายต่อการ

หมายเหตุ แกส้ มการ

1. ถา้ เปน็ จำนวนนับสจ่ี ำนวนเรียงกนั ควรสมมติใหเ้ ปน็ a – 3d , a – d , a + d , a + 3d

2. ถ้าเปน็ จำนวนนบั ห้าจำนวนเรียงกนั ควรสมมตใิ หเ้ ปน็ a – 2d, a – d , a , a + d, a +2d

แบบทดสอบกอ่ นเรียน - หลงั เรียน

1. ลำดับเลขคณิตชุดหนึง่ มพี จน์ที่ 42 เท่ากับ -95 และผลตา่ งร่วมเท่ากับ − 5 พจน์ท่ี 54 ของ

2

ลำดับชดุ นีต้ รงกบั ข้อใด

ก. -105 ข. -115 ค. -125 ง. -135

2. ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมีพจน์ที่ 19 เท่ากับ -32 และผลต่างร่วมเท่ากับ -2 พจน์ที่ 1 ของ

ลำดับชุดนีต้ รงกบั ข้อใด

ก. 4 ข. 6 ค. 8 ง. 10

3. พจนท์ ี่ 40 ของลำดบั เลขคณิต 1 , 5 , 9 , 13 , ..... ตรงกับข้อใด

ก. 156 ข. 157 ค. 159 ง. 161

4. ถ้า 4, a, b, c, 16 เปน็ พจน์ท่ีเรยี งกนั ในลำดับเลขคณติ แลว้ ค่าของ a + b + c ตรงกับข้อใด

ก. 30 ข. 32 ค. 34 ง. 36

5. ถา้ ผลบวกของ 3 แล้วพจน์แรกของลำดับเลขคณิต คือ 27 และผลบวกกำลังสองของสามพจน์

เป็น 293 แล้ว คา่ ของ 3 พจน์ ตรงกับขอ้ ใด

ก. 14, 9, 4 ข. 4, 9, 14 ค. 7, 9, 11 ง. ถกู ทุกขอ้

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน - หลังเรยี น

1. ค.
2. ก.
3. ข.
4. ก.
5. ง.

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 3

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผ่าน ไม่ผา่ น
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมิน

วนั ที่................เดือน...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไมผ่ ่าน
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5
6

7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผู้ประเมิน

วนั ท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารใหค้ ะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารใหค้ ะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาท่ีเรียน ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟั ง ค ว า ม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อื่น หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าต้ัง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทีต่ อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางส่วน ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อย่างดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกล่มุ กลุ่ม

โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย นนทบุรี

แผนการจดั การเรยี นรู้

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 4 เรอื่ ง ลำดับเรขาคณิต เวลา 6 ช่ัวโมง
หน่วยท่ี 1
รหัสวิชา ค 33101 ชอื่ หน่วยการเรยี นรู้ ลำดบั และอนกุ รม
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 6
รายวชิ า คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ภาคเรยี นที่ 1

กลุ่มสาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์

1. มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 4.1 อธิบายและวเิ คราะห์รปู แบบความสัมพันธแ์ ละฟงั ก์ชนั
มาตรฐาน ค 4.1 : (5) เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของ
ลำดบั เลขคณติ และลำดบั เรขาคณติ และนำไปใช้

2. ตัวชีว้ ดั เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดบั เรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของลำดับ
ค 4.1 ม. 4/5 เลขคณติ และลำดบั เรขาคณิต และนำไปใช้

3. จุดประสงค์การเรียนรู้ส่ตู ัวช้ีวัด/ผลการเรยี นรู้

วเิ คราะห์พฤตกิ รรมการเรียนรู้ทค่ี าดหวงั โดยใส่เคร่อื งหมาย ✓ ลงในช่อง K, P, A

K – ดา้ นความรู้, P - ด้านทักษะ/กระบวนการ, A - ดา้ นคณุ ลักษณะพงึ ประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบทง้ั หมด)

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ / ผลการเรยี นรู้ KPA

1. บอกความหมายของลำดับเรขาคณติ ✓

2. หาพจนต์ า่ งๆ ของลำดับเรขาคณิต ✓

3. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อยา่ งเหมาะสม

4. มีความสามารถนำความรแู้ ละทักษะเรอื่ งลำดบั เลขคณติ ไปประยุกตใ์ ช้ ✓

5. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตือรอื ร้นในการทำงาน กลา้ แสดงความคดิ เห็น

4. สาระสำคัญ (ความคิดรวบยอด)
ลำดับเรขาคณติ คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวนี้

เรยี กว่า อัตราสว่ นร่วม (Common Ratio) เขียนแทนดว้ ย r
สูตรการหาพจน์ท่ี n คอื an = a1 rn – 1

5. สาระการเรียนรู้
5.1. ความรู้
1) บอกลำดับทีเ่ ปน็ ลำดับเรขาคณติ
2) หาพจน์ที่ 1 อตั ราส่วนและพจนท์ ่ี n ของลำดบั เรขาคณิตได้
5.2. ทักษะ/กระบวนการ/กระบวนการคดิ
1) ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้อย่าง
เหมาะสม
2) มีความสามารถนำความรแู้ ละทกั ษะเรอ่ื งลำดบั เลขคณติ ไปประยุกต์ใช้
5.3. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อ

ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อื่นๆ และมคี วามคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์

5.4. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจใน
การทำงาน มีความกระตอื รือรน้ ในการทำงาน กล้าแสดงความคิดเห็น

6. ความเข้าใจท่คี งทน
นักเรยี นสามารถสรุปไดว้ า่
ลำดบั เรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคง

ตวั น้เี รียกว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) เขียนแทนด้วย r
สูตรการหาพจนท์ ่ี n คือ an = a1 rn – 1

7. ช้นิ งานหรอื ภาระงาน
ใบงาน

8. คำถามท้าทาย

9. กจิ กรรมการเรียนรู้
การบรู ณาการกบั ปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง
1) ความพอประมาณ รู้จักลำดับ ก่อน หลัง จัดลำดับสิ่งต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสมและ
พอประมาณ
2) ความมีเหตุผล รู้จักนำกระบวนการจัดลำดับ การเรียงลำดับสิ่งต่างๆ ไปใช้ในชีวิตประจำวนั
อยา่ งมีเหตุผล
3) การมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี มีความตระหนักและรู้คุณค่าของการจัดลำดับ การเรียงลำดับสิ่ง
ต่างๆ อย่างถูกต้อง จัดวาง จัดเรียง รู้จักวางแผนได้จากการจัดลำดับสิ่งต่างๆ และสิ่งที่จะ
เกดิ ขน้ึ ได้อยา่ งเหมาะสม
4) เง่ือนไขความรู้ รู้จักนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมไปปรับประยุกต์ใช้ในการดำเนินชีวิต
และสถานการณต์ า่ งๆ อย่างเหมาะสม
5) เงื่อนไขคุณธรรม นำหลักการการจัดลำดับ เรียงลำดับสิ่งต่างๆ ที่ถูกต้อง และเหมาะสม ไป
ใช้ กับความมีระเบียบ วนิ ยั จัดลำดับข้นั ตอนต่างๆ ได้ ตามความถูกตอ้ ง และเหมาะสม
9.1. วัดผลกอ่ นเรยี น

1) นกั เรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน

(คาบที่ 1 – 2)

9.2. ขั้นนำ

2) ครูแจ้งตัวชีว้ ดั และจดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

3) ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 5 คน ตามแบบกลุ่มร่วมมือ (Cooperative Learning) ให้

นักเรียนสามารถเรียนรู้แบบร่วมมือกันเรียนรู้เป็นกลุ่ม (Team Assisted individualization : TAI) โดยให้

นักเรียนที่มีคะแนนทดสอบในเรื่องลำดับเรขาคณิตสูงสุด 5 อันดับแรก เป็นหัวหน้ากลุ่ม และให้หัวหน้ากลุ่ม

เลอื กสมาชกิ เพิม่ อีกกลุ่มละ 5 คน

9.3. ขน้ั สอน จดั กจิ กรรม

4) นักเรียนในกลุ่มเลือกประธานเพื่อทำหน้าที่ในการทบทวนเนื้อหาให้ สมาชิกในกลุ่มกรณีมี

ปัญหา

5) ครูให้ความหมายของลำดับเรขาคณิต และอธบิ ายท่ีมาของพจนท์ ั่วไป ดงั นี้

ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดบั อัตราส่วนของพจนท์ ่ี n + 1 ตอ่ พจนท์ ี่ n มีคา่ ลงตัว คา่ คงตวั

นี้เรยี กวา่ อตั ราส่วนร่วม (Common Ration)

ในกรณีท่วั ไป ถา้ ให้ a1,q2,a3,a4,.....an ,..... เป็นลำดับเรขาคณติ โดยท่ี a1 เป็นพจน์
แรกและ r เปน็ อัตราส่วนรว่ มจะเขียนพจน์อ่ืนๆ ของลำดบั เรขาคณติ ในรูป a1 และ r ไดด้ งั น้ี

a2 = a1r

a3 = a2r = (a1r) = a1r 2

( )a4 = a3r = a1r 2 = a1r 3



an = a1r n−1

ดังนั้น เมื่อกำหนดให้ a1 เป็นพจน์แรกของลำดับเรขาคณิตที่มี an+1 เท่ากับ r เป็น
an

อตั ราสว่ นร่วม จะได้ พจน์ที่ n ของลำดบั เรขาคณติ คอื an = a1  r n−1

6) ครูยกตวั อย่างของลำดับเรขาคณิต และให้นกั เรยี นในแตล่ ะกลมุ่ อธบิ ายเหตผุ ลของการเป็น

ลำดับเรขาคณิตในแต่ละข้อ

ตัวอยา่ ง

(1) 1, 3, 9, 27, 81, ...

(2) 16, 8, 4, 2, 1, ...

(3) -1, 4, -16, 64, -256, ...

จากตวั อยา่ งข้างต้น พบว่า ขอ้ 1 - 3 เปน็ ลำดับเรขาคณิต เน่ืองจาก

(1) 1, 3, 9, 27, 81, ...

มอี ัตราส่วนร่วม (r) = 3 = 9 = 27 = 81 = 3

1 3 9 27

ดงั นน้ั เป็นลำดับเรขาคณิต ทีมี 3 เป็นอัตราส่วนรว่ ม

(2) 16, 8, 4, 2, 1, ...

มีอัตราสว่ นร่วม (r) = 8 = 4 = 2 = 1

16 8 4 2

ดงั น้นั เปน็ ลำดับเรขาคณติ ท่ีมี 1 เปน็ อัตราสว่ นร่วม

2

(3) -1, 4, -16, 64, -256, ...

มีอัตราสว่ นร่วม (r) = 4 = −16 = 64 = − 256 = −4

−1 4 −16 64

ดังนนั้ เปน็ ลำดบั เรขาคณิต ทม่ี ี -4 เปน็ อัตราส่วนร่วม
7) ครยู กตัวอย่าง การหาพจนท์ ัว่ ไปและพจนต์ ่างๆ ของลำดับเรขาคณติ ดงั นี้

ตวั อย่าง 1 จงหาพจนท์ ี่ n ของลำดบั เรขาคณติ 3, 9, 27, 81, ...

วิธีทำ จากโจทย์จะได้ a1 = 3 และ r=9 =3
3

จากสตู ร an = a1r n−1

จะได้ an = (3) (3)n−1

= (3)(3)n

3

an = 3n

ดงั น้ัน พจน์ท่ี n ของลำดบั เรขาคณิต คือ an = 3n

ตวั อยา่ ง 2 จงหาพจน์ท่ี 7 ของลำดบั เรขาคณติ 4, 20, 100, ...

วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 4 และ r = 20 = 5
4
จากสตู ร
จะได้ an = a1r n−1

a7 = (4) (5)7−1

= (4)(5)6

= (4)(15,625)

a7 = 62,500

ดงั นน้ั พจนท์ ่ี 7 ของลำดบั เลขาคณติ คือ 62,500

ตวั อย่าง 3 จงหาพจน์แรกของลำดบั เรขาคณติ ทมี่ ี ได้ a3 = 17 และ r=3
46 4

วิธีทำ จากสตู ร an = a1r n−1

จะได้ a3 = a1r 3−1

27 = a1   3  2
64  4 

a1 = 3
4

ดงั นัน้ พจน์แรกของลำดับเรขาคณิต คือ 3
4

ตัวอยา่ ง 4 จาหาอตั ราสว่ นรว่ มของลำดบั เรขาคณติ ทม่ี ี a3 = 12 และ a6 = 96

วิธที ำ จากสตู ร an = a1r n−1

จะได้ a3 = a1r 3−1

12 = a1  r 5
a6 = a1  r 5

96 = a1  r 5

; 96 = a1  r 5

12 a1  r 2

8 = r3

ดงั นน้ั อัตราส่วนรว่ มของลำดบั เรขาคณิต คอื 2

ขั้นวิเคราะห์

8) ครูแจกใบงานให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกันหาคำตอบของลำดับเรขาคณิตที่ได้รับ

มอบหมาย

9) ครสู มุ่ สมาชกิ ภายในกลุ่มออกมานำเสนอผลงาน เป็นตวั อยา่ ง 1 กลมุ่ และใหก้ ลมุ่ ท่ีเหลือมา

นำเสนอผลงานเป็นลำดบั ถดั ไป

10) นักเรียนกลุ่มที่เหลือที่ยังไม่ได้นำเสนอผลงานร่วมกันตรวจสอบความถูกต้องจากเพื่อนท่ี

นำเสนอผลงานหนา้ ช้นั

9.4. ข้นั สรปุ

11) ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปความหมาย ของลำดับเรขาคณิตและอภิปรายรูปแบบการหา

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขาคณติ

12) ครมู อบหมายให้นกั เรียนทำแบบฝึกหัด 1.1.4 หนา้ 32 และ 33 ข้อ 1, 2, 3, 7 และ 13 ใน

หนังสอื เรียนสาระการเรียนร้พู นื้ ฐานคณิตศาสตรเ์ ปน็ การบา้ น

13) ทำแบบทดสอบหลงั เรยี น

คาบที่ 3 – 4

14) นกั เรยี นชว่ ยกันออกมาเฉลยการบ้าน ตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

15) เขียนลำดับบนกระดานแล้วให้นักเรียนบอกว่าลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดับใดเป็น

ลำดับเรขาคณิต เพราะเหตใุ ด แล้วให้นกั เรียนช่วยกันบอกนยิ ามลำดับเรขาคณิตและสตู ร an = a1 rn – 1
16) เขยี นตัวอย่างท่ี 1 ใช้การถามตอบใหน้ ักเรยี นวิเคราะหแ์ นวคิดตามแผนผังดงั น้ี

ต้องการหา a, b, c
a = a1r
b = a1r2
c = a1r3

a1 =
หา r
แก้สมการ

a5 = a1 r4 =

นกั เรยี นชว่ ยกนั สรปุ การวิเคราะหเ์ พือ่ ช่วยกนั เขยี นวิธที ำพร้อมๆ กบั ครู

17) เขยี นตวั อย่าง 2 แลว้ ดำเนินการเช่นเดียวกับข้อ 3
นักเรยี นวเิ คราะห์แนวคดิ ตามแผนผัง ดงั นี้

ตอ้ งการหา n

ลำดบั เรขาคณิต
2, –6, 18, …, –486

a1 = 2
r = = –3

an = –486

an = a1 rn – 1

แกส้ มการ
–486 = 2 (–3)n-1

ตั้งคำถามให้นักเรียนตอบว่าโจทย์ที่เขียนต่อไปนี้มีความหมายเหมือนโจทย์ในตัวอย่างที่ 2
หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

โจทย์ : ลำดับเรขาคณติ 2, –6, 18, …, –48 มกี ่ีพจน์

18) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม เมื่อทำเสร็จแล้วสุ่ม

นักเรยี นออกมาเฉลยบนกระดาน โดยมีนักเรยี นทเ่ี หลือตรวจสอบความถูกตอ้ ง
19) นกั เรยี นชว่ ยกนั สรุป การหาพจน์ท่ี n และการหาจำนวนพจน์ของลำดบั เรขาคณติ
20) นักเรยี นทำแบบฝกึ หดั 1.1.4 เปน็ การบ้านและแจกใบความรู้ให้นักเรียนศกึ ษาทบทวนเสริม

ความเขา้ ใจ

คาบ 5 – 6

21) นักเรยี นออกมาเขียนคำตอบเฉลยการบ้าน ครูตรวจสอบความถกู ตอ้ ง
22) ใช้การถามตอบทบทวนบทนยิ ามลำดบั เรขาคณติ และสูตร an = a1 rn – 1
23) เขยี นตวั อยา่ งที่ 1 บนกระดาน ใชก้ ารถามตอบให้นกั เรยี นวิเคราะหแ์ นวคดิ ตามแผนผงั ดงั น้ี

ตวั อย่าง 1 ถ้าผู้ชาย 3 คน มีอายุเรียงตามลำดับเป็น 10, 18 และ 30 ปี อีกกี่ปีข้างหน้าจึงจะ
ทำให้อายุของผู้ชายท้งั สามนี้ เรยี งกันเปน็ ลำดับเรขาคณิต

วิธที ำ ให้อีก x ปี ขา้ งหนา้ ทจี่ ะทำให้อายุของคนทั้งสามคนนี้ เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต

ลำดบั เรขาคณิต คือ 10+x, 18+x, 30+x

อตั ราส่วนร่วม (r) คอื 18 + x หรือ 30 + x
10 + x 18 + x

จะได้วา่ 18 + x = 30 + x
10 + x 18 + x

(18 + x) (18 + x) = (30 + x) (10 + x)

324 + 36x + x2 = 300 + 40x + x2
4x = 24
x =6

ดังน้ัน อีก 6 ปีข้างหน้าจะทำให้อายุของคนทง้ั สามนเ้ี รียงกนั เป็นลำดับเรขาคณิต

ตอ้ งการหาอีกกป่ี ีขา้ งหน้า
สมมตใิ หเ้ ป็น x ปี

ลำดับเรขาคณิต
10+x, 18+x, 30+x

แก้สมการ

สุ่มนักเรียนบางคนออกมาสรุปแล้วเขียนเป็นวิธีทำโดยมีเพื่อนที่เหลือตรวจสอบความ
ถกู ตอ้ ง

24) เขยี นตัวอยา่ ง 2 แล้วดำเนินการเช่นเดยี วกบั ขอ้ 3
ตัวอย่าง 2 ผลบวกสามพจน์แรกในลำดับเรขาคณิต คือ –3 และผลคูณคือ 8 จงหาพจน์ 3

พจน์นี้

วิธที ำ สมมติพจนส์ ามพจน์ทเ่ี รยี งกนั คอื a , a, ar

r

ผลคณู 3 พจนแ์ รกในลำดับเรขาคณิต คอื 8

( a ) (a) (ar) =8

r =8
=2
a3
a

ผลบวกสามพจน์แรก คือ –3

( a ) + (a) + (ar) = –3

r

แทนค่า a = 2

จะได้ 2 + 2 + 2r = –3

r

2 + 2r + 2r2 = –3r
2r2 + 5r + 2 = 0

(2r + 1) (r + 2) = 0
r = − 1 , –2

2

ดงั นั้น ลำดับท่ีเปน็ ไปได้มี 2 กรณี คือ
ถ้า r = − 1 ลำดบั คอื –4, 2, –1

2

ถ้า r = –2 ลำดบั คือ –1, 2, –4
นักเรียนวิเคราะหแ์ นวคดิ ตามแผนผงั ดงั นี้

ตอ้ งการหาพจน์ 3 พจน์ ท่เี รียงกนั ในลำดบั เรขาคณิต

สมมติให้พจน์ท้งั สามเปน็ , a, ar แทนค่า a
และ r
แกส้ มการ 2 ตัวแปร
( ) (a) (ar) = 8
( ) + (a) + (ar) = –3

ก่อนสมมติให้พจน์ทั้งสามเป็น a , a, ar ครูให้นักเรียนหาเหตุผลว่าทำไมจึงไม่สมมติให้
r
จำนวนทง้ั สามเป็น x, y, z หรือ a, ar, ar2 หรอื อืน่ ๆ

ครูใช้การถามตอบแนะแนวทางให้นักเรียนสรุปได้ว่า สำหรับโจทย์ปัญหาในลักษณะนี้ควร

สมมติจำนวนทต่ี อ้ งการหา เป็นดงั น้ี

(1) ถ้าเปน็ พจน์ห้าพจนเ์ รียงกนั ควรสมมติใหเ้ ป็น a a , a, ar, ar2
r2 , r

(2) ถ้าเปน็ พจน์ส่ีพจนเ์ รียงกัน ควรสมมตใิ หเ้ ป็น a a , ar, ar3
r3 , r

25) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัด ด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ สังเกต

ช่วยชี้แนะ แก้ไขปัญหาต่างๆ เมื่อทำเสร็จแล้วครูสุ่มนักเรียนออกมาเฉลยบนกระดานโดยมีนักเรียนที่เหลือและ

ครูตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

26) ครใู ห้นักเรียนช่วยกนั สรุปการนำความรเู้ ร่อื ง ลำดบั เรขาคณติ ไปใช้ในการทำโจทยป์ ญั หา

27) ให้นักเรยี นทำแบบฝึกหดั 1.1.4 เป็นการบา้ น และแจกเอกสารซอ่ มเสรมิ เสริมประสบการณ์

ชุดที่ 1, 2, 3 ให้นกั เรียนฝึกทักษะเพ่มิ เติมนอกเวลาเรียนตามศักยภาพของนักเรียนแต่ละคน

28) ครูแจกใบความรู้ให้นักเรียนทุกคนศึกษาทบทวนและใหย้ มื เอกสารซ่อมเสรมิ ชุดการเรียนให้

นกั เรยี นศึกษาทบทวนนอกเวลาเรียนเสรจ็ แลว้ นำมาสง่ คนื

9.5. วัดผลหลังเรยี น

29) ทำแบบทดสอบหลงั เรียน
9.6. การจดั บรรยากาศเชิงบวก

ให้นกั เรยี นทำกจิ กรรมในใบงานแลว้ ออกมาอภปิ รายแต่ละกลุ่ม

10. ส่ือ / แหลง่ การเรียนรู้
10.1. สอ่ื
1) หนงั สือเรียนคณิตศาสตร์พ้ืนฐาน เรอ่ื งลำดบั และอนกุ รม
2) ใบความรู้
3) ใบงาน
10.2. แหล่งการเรยี นรู้
1) ห้องสมุดโรงเรยี น หอ้ งสมดุ กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
2) เว็บไซต์สำหรับการสืบคน้ ขอ้ มลู เชน่
http://wwwthai-mathpaper.net/papers_offline.php
และ http://www.neutron.rmutphysics.com
10.3. วสั ดุ / อปุ กรณ์
1) หนังสอื เรยี น
2) ใบงาน

11. การวัดผลและประเมินผล

วิธกี ารวดั ประเมินผลการเรียนรู้ เครอ่ื งมอื เกณฑก์ ารประเมนิ

1. สังเกตพฤตกิ รรม 1. แบบสงั เกตพฤตกิ รรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ ร้อยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผ่านเกณฑร์ ้อยละ 80

12. บนั ทึกหลังการสอน
12.1 สรุปผลการเรียนรู้ (ระบุ จำนวน / ร้อยละ / คา่ เฉล่ยี วา่ ผ่านเกณฑก์ ีค่ น)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปัญหา (ระบุว่าไม่ผา่ นเกณฑก์ ่ีคน ใครบา้ ง

.............................................................................................................................................. ...............................................
12.3 แนวทางแกป้ ญั หา (แก้ไขนักเรียนทไี่ มผ่ า่ นไดอ้ ยา่ งไร)

.................................................................................................................................................... .........................................
12.4 ขอ้ เสนอแนะ

.............................................................................................................................................................................................

ลงช่ือ..................................................ผสู้ อน
(นางสาวสุณรี ตั น์ สมอา้ ง)

วนั ท่ี................เดอื น...................พ.ศ. 25.....

ลงชอ่ื .......................................................
(นางสาวกติ ตยิ า มุสิกสังข)์

หวั หนา้ กลุ่มสาระ..............................
วันท.ี่ ..........เดือน.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคิดเหน็ ของหวั หน้าสถานศกึ ษา หรือผู้ท่ีได้รับมอบหมาย
............................................................................................................................. .................................................................
..............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................................

ลงชือ่ ................................................................
(นายธงชัย วงศษ์ า)

รองผูอ้ ำนวยการโรงเรียนกลุม่ การบริหารวิชาการ
วนั ท่.ี .............เดือน..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยครัง้ ให้ 1

เกณฑก์ ารให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

ใบงานที่ 5 เร่ือง ลำดับเรขาคณิต

จงตรวจสอบวา่ ลำดับตอ่ ไปนเ้ี ป็นลำดบั เรขาคณิตหรือไม่ ถา้ เป็นจงหาอตั ราสว่ นร่วม
1. 3,−6,12,−24,.....,3(− )2 n−1
a2 =…………………………………………………

a1

a3 =…………………………………………………

a2

an = 3(− )2 n−1, an + 1=…………………………………………………
ดงั นั้น อัตราส่วนรว่ มเท่ากับ……………............................ลำดับเปน็ ลำดับ.......................................
2. 9,3,1, 1 ,.....

3

a2 =…………………………………………………

a1

a3 =…………………………………………………

a2

ดังนัน้ อัตราส่วนร่วมเท่ากบั ……………............................ลำดับเปน็ ลำดับ.......................................

เฉลย ใบงานที่ 5 เร่ือง ลำดับเรขาคณิต

จงตรวจสอบวา่ ลำดับตอ่ ไปน้ีเป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ ถ้าเป็นจงหาอัตราสว่ นร่วม
1. 3,−6,12,−24,.....,3(− )2 n−1

a2 = − 6 = 12
a1 3
a3 = −12 = −2
a2 6

an = 3(− )2 n−1 , an + 1 = 3(− )2 n−1 + 1
ดงั นน้ั อัตราสว่ นรว่ มเทา่ กับ -2 ลำดบั เปน็ ลำดับ เรขาคณติ
2. 9,3,1, 1 ,.....

3
a2 = 3 = 1
a1 9 3
a3 = 1
a2 3

ดงั น้ัน อัตราสว่ นรว่ มเทา่ กับ 1 ลำดับเป็นลำดบั เรขาคณิต

3