แผนการจัดการเรียนรู้ 2565-1

ใบงานท่ี 6 เร่ือง ลำดบั เรขาคณติ

คำสั่ง จงแสดงวิธีทำ
1. ในลำดับเรขาคณิต a1 = 3 และ r = 7 จงหา 3 พจน์แรกของลำดบั ดังกลา่ ว

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

2. ถ้า 16,4,1,..... เปน็ ลำดับเรขาคณติ จงหา a7

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................

3. ถ้า 9, y,1 เป็นลำดับเรขาคณิต จงหาคา่ y

.................................................................................................................................................................. ....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

4. จงหาพจน์ทั่วไปของลำดบั ต่อไปน้ี
1) 1,5,25,.....

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

2) 7,−7,7,.....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

3) 9,−3,1,.....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

เฉลย ใบงานที่ 6 เรอ่ื ง ลำดบั เรขาคณิต

คำส่งั จงแสดงวธิ ที ำ

1. ในลำดับเรขาคณิต a1 = 3 และ r = 7 จงหา 3 พจน์แรกของลำดบั ดังกลา่ ว

a1 = 3

a2 = a1r = (3)(7) = 21

a3 = a2r = (21)(7) = 147

จะได้ สามพจน์แรก คือ 3, 21, 147

2. ถา้ 16,4,1,..... เปน็ ลำดับเรขาคณติ จงหา a7

หา r จาก หา a7 จาก an = a1r n−1

จะได้ r = a2 = (16) 1 7−1

a1 4

r= 4 = (16) 1 6
16
4
r=1
4 จะได้ a7 = 1
256

3. ถ้า 9, y,1 เป็นลำดับเรขาคณิต จงหาค่า y

จาก r = y และ r = 1

9y

จะได้ y = 1 จะได้ y 2 = 9

9y

ดังนนั้ y = 3
4. จงหาพจน์ทวั่ ไปของลำดับตอ่ ไปน้ี

1) 1,5,25,.....

a1 = 1 = 50 50 = 51−1
= 52−1
a2 = 5 = 51
52 = 53−1
a3 = 25 = 52
7(1) = 7(− )1 1−1
จะได้ an = 5n−1 7(− 1) = 7(− )1 2−1
2) 7,−7,7,..... 7(1) = 7(− )1 3−1

a1 = 7 = 7(1)
a2 = −7 = 7(−1)
a3 = 7 = 7(1)

จะได้ an = 7(− )1 n−1

เฉลย ใบงานท่ี 6 เรือ่ ง ลำดบั เรขาคณิต (ต่อ)

3) 9,−3,1,.....

a1 = 9 = 9(1) 9(1) = 9   −10 9 = 9   −11−1
3
3
− 3 = 9   −12−1
a2 = −3 = (− 3)(1) (− 3)(1) = 9   −11 3

3 1 = 9   −13−1
3
a3 = 1 = (1)(1) (1)(1) = 9   −12

3

จะได้ an = 9   −1n−1
3

ใบงานที่ 7

ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ที ำอยา่ งละเอียด

1. ถ้าพจน์ที่ 2 และพจน์ที่ 5 ของลำดับเรขาคณิตมีค่าเทา่ กับ 3 และ 81 ตามลำดับแล้ว จงหาพจน์ที่ 8

8

มคี า่ เทา่ ใด
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... ...................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. เมื่อนำจำนวนจริง k ไปบวกกันแต่ละพจน์ของลำดับ 3, 20, 105 จะทำให้ลำดับที่ได้ใหม่เป็นลำดับ
เรขาคณิต แลว้ k มคี า่ เท่าใด
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

เฉลย ใบงานที่ 7

ให้นักเรยี นแสดงวิธีทำอยา่ งละเอยี ด

1. ถ้าพจน์ที่ 2 และพจน์ที่ 5 ของลำดับเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ 3 และ 81 ตามลำดับแล้ว จงหาพจน์ที่ 8

8

มคี ่าเทา่ ใด

กำหนดให้ a2 = 3 = a1r

a5 = 81 = a1r 4
8

ดงั นั้น a1r 4 = 81

a1r 8
3

r 3 = 27
8

จะได้ r=3
หา a8 จาก 2

a8 = a1r 7

= (a1r )r 6

= 3 3 6
2

= 2187
64

จะได้ a8 = 2187
64

2. เมื่อนำจำนวนจริง k ไปบวกกันแต่ละพจน์ของลำดับ 3, 20, 105 จะทำให้ลำดับที่ได้ใหม่เป็นลำดับ
เรขาคณิต แลว้ k มีคา่ เท่าใด
กำหนดให้ จะไดว้ ่าลำดับ 3 + k,20 + k,105 + k เปน็ ลำดบั เรขาคณติ

ดงั นั้น 20 + k = 105 + k

3 + k 20 + k

(20 + k )2 = (3 + k )(105 + k )

400 + 40k + k 2 = 315+108k + k 2

68k = 85

จะได้ k = 85

68

เอกสารฝกึ หดั

1. ถา้ 3, a, b, c, 48 เปน็ พจนท์ ี่ 5 พจน์ท่เี รียงกนั ในลำดับเรขาคณติ จงหาค่าของ a, b, c

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................ ..............................

2. ถา้ 8, x, y, z, 48 เปน็ พจน์ท่ี 5 พจน์ท่ีเรยี งกนั ในลำดับเรขาคณติ จงหาคา่ ของ x, y, z

........................................................................................................................................ ..............................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................... ...................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

3. 320 เปน็ พจนท์ เี่ ทา่ ไรของลำดบั เรขาคณิต 5, –10, 20, …

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................ ..............................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

4. จงหาลำดับเรขาคณติ คือ 1 ,− 1 , 1 ,....,−256 มีกพ่ี จน์
8 4 2
......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

ใบความรู้ เรือ่ ง ลำดับเรขาคณติ

ตัวอย่าง 1 ถา้ 4 , a, b, c, 27 เปน็ พจน์ห้าพจนท์ ีเ่ รียงกันในลำดบั เรขาคณิต จงหาคา่ ของ a, b, c
วธิ ที ำ 3 = 64 วิเคราะห์แนวคดิ = a1 r4
= 4
ดังนน้ั a a1 = ตอ้ งการหา a, b และ c
3
a5 = 27 = a1 r4 a = a2 = a1r
= b = a3 = a1r2
27 = a1r 64 c = a3 = a1r3
64 4 แสดงว่าต้องรู้ a1
3 ( r )4
r4 จากโจทย์ a1 = 4
27 3  3 4
64 4  4  3

 = สว่ น r หาได้จาก a5 = 27
64
3 แทนค่า a1 จะได้
r
4 r 4 = 27  3 =  3 4
4 3 64 4  4 
= a2 = 3  4  =1
  r = 3 แทนค่า a1 และ r

4

4  3  2 3 จะได้ a, b, c ตามตอ้ งการ
3  4  4
b= a3 = a1r2 = =

c= a3 = a1r3 = 4  3 3 = 9
3  4  16

ตัวอย่าง 2 –486 เป็นพจนท์ ีเ่ ท่าไรของลำดบั เรขาคณติ 2, –6, 18, …

วิธที ำ ให้ –486x=an วิเคราะหแ์ นวคดิ

a1 = 2 6 ตอ้ งการหา –486 เปน็ พจน์ท่เี ท่าไร
2
r = − = –3 แสดงว่า ต้องการหา n

จาก an = a1 rn – 1 จาก an = a1 rn – 1 (1)
–486 = 2 (–3)n – 1
โดยที่ an = – 486, a1 = 2
6
–243 = (–3)n – 1 = (–3)5 r = − 2 = –3

n–1 = 5 นำไปแทนค่าใน (1)

n =6 แกส้ มการจะได้ n

ดงั นน้ั –486 เป็นพจนท์ ี่ 6

เอกสารฝกึ หัด

1. ถ้าเด็ก 3 คนมีเงินในกระเป๋าเรียงตามลำดับเป็น 1, 9 และ 33 บาท จะต้องนำเงินมารวมใหก้ ับเดก็ แต่
ละคนกบ่ี าทจงึ จะทำให้เงินในกระเป๋าของเด็ก 3 คนนเ้ี รียงกันเปน็ ลำดบั เรขาคณติ
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. จงหาจำนวนเตม็ m ทท่ี ำใหล้ ำดับ 2m – 5, m – 4, 10 – 3m เปน็ ลำดับเรขาคณติ
......................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................... ..................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................... .......
3. ผลบวกของพจน์สามพจน์ท่ีเรียงกนั ในลำดับเรขาคณติ เท่ากับ 26 และผลคณู เท่ากบั 216 จงหาพจน์ 3
พจนน์ ี้
...................................................................................................................................................... ................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................. .....
......................................................................................................................................................................
4. จำนวนนับสี่จำนวนทเี่ รียงกันเป็นลำดับเรขาคณติ มผี ลบวกของสองจำนวนแรก เท่ากบั 8 และผลบวก
ของสองจำนวนหลังเท่ากบั 72 จงหาจำนวนนับทง้ั สี่จำนวนน้ี
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................

ใบความรู้ เรื่อง ลำดบั เรขาคณติ

ตัวอยา่ ง 1 ถ้าผู้ชาย 3 คน มีอายุเรียงตามลำดบั เปน็ 10, 18 และ 30 ปี อีกกี่ปีข้างหน้าจึงจะทำให้อายุ

ของผูช้ ายท้ังสามน้ี เรยี งกนั เปน็ ลำดับเรขาคณติ

วิธีทำ ใหอ้ กี x ปี ขา้ งหนา้ ท่จี ะทำใหอ้ ายุของคนท้ังสามคนนี้ เรียงกันเป็นลำดบั เรขาคณติ

ลำดบั เรขาคณิต คอื 10 + x, 18 + x,30 + x วิเคราะหแ์ นวคิด
ต้องการทราบอกี กปี่ ีขา้ งหน้า
อัตราสว่ นรว่ ม (r) คอื 18 + x หรือ 30 + x จงึ จะทำใหอ้ ายขุ องผ้ชู ายทัง้ 3 คนนี้
10 + x 18 + x เรยี งกันเป็นลำดับเรขาคณิต
ให้อกี x ปี ขา้ งหนา้ อายุ 3 คน เป็นดงั น้ี
จะได้วา่ 18 + x = 30 + x 10+x, 18+x, 30+x เปน็ ลำดับเรขาคณติ
10 + x 18 + x
18 x 30 + x
(18 + x) (18 + x) = (30 + x) (10 + x) r = 10 + x = 18 + x
324 + 36x + x2 = 300 + 40x + x2 +

4x = 24 แก้สมการ หา x

x =6

ดงั นน้ั อีก 6 ปขี ้างหนา้ จะทำใหอ้ ายุของคนทงั้ สามน้เี รียงกนั เปน็ ลำดบั เรขาคณิต

ใบความรู้ เรือ่ ง ลำดบั เรขาคณติ (ต่อ)

ตวั อยา่ ง 2 ผลบวกสามพจนแ์ รกในลำดับเรขาคณิต คือ –3 และผลคูณคอื 8 จงหาพจน์ 3 พจน์น้ี

วิธีทำ สมมติพจนส์ ามพจนท์ เ่ี รียงกนั คอื a , a, ar
r
ผลคณู 3 พจนแ์ รกในลำดบั เรขาคณติ คอื 8

( a ) (a) (ar) =8 วเิ คราะหแ์ นวคิด
r
a3 = 8 ตอ้ งการหาพจน์สามพจน์เรยี งกนั
ใหส้ ามพจนเ์ รียงกนั คือ a1, a1r,a1r2
a =2 ผลบวกคอื a1 + a1r + a1r2 = –3
ผลคูณคือ (a1 )( a1r ) ( a1r2) = 8
ผลบวกสามพจน์แรก คอื –3 ซึ่งยงุ่ ยากต่อการแกส้ มการ
และโจทยข์ ้อน้ีไม่ได้ระบุว่า
( a ) + (a) + (ar) = –3
สามพจน์ทเ่ี รียงกันนีเ้ ป็นพจน์ทเ่ี ทา่ ไร
r
ดงั น้นั ควรสมมตใิ หส้ ามพจนเ์ รียงกัน
แทนคา่ a = 2

จะได้ 2 + 2 + 2r = –3 a
r
r

2 + 2r + 2r2 = –3r คือ , a, ar จะสะดวกและง่ายตอ่ การแก้สมการ
2r2 + 5r + 2 =0

(2r + 1) (r + 2) = 0

r = − 1 , –2
2
ดังน้ัน ลำดับทเ่ี ป็นไปไดม้ ี 2 กรณี คอื

ถา้ r = − 1 ลำดับ คอื –4, 2, –1
2
ถา้ r = –2 ลำดบั คอื –1, 2, –4

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น - หลังเรยี น

คำส่ัง ให้นักเรยี นแสดงวิธีทำอย่างละเอยี ด
1. จงหาพจน์แรกของลำดบั เรขาคณติ ทม่ี ี 32 เปน็ พจนท์ ี่ 5 และ 2 เปน็ อตั ราส่วนรว่ ม

2

2. จงหาอัตราสว่ นรว่ มของลำดับเรขาคณติ ทม่ี ี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

3. จงหาลำดบั เรขาคณิตท่ีมผี ลบวกและผลคณู ของสามพจน์แรกเป็น -3 และ 8 ตามลำดบั

4. จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง จำนวนสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยจำนวนทั้งสามนั้นอยู่ในลำดับ
เรขาคณติ
4.1. 5 และ 20
4.2. 8 และ 12

5. จงบอกว่าลำดับท่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี ลำดับใดเปน็ ลำดับเลขคณิต ลำดบั ใดเปน็ ลำดับเรขาคณิต พร้อม
ท้ังบอกผลตา่ งร่วมหรืออตั ราสว่ นรว่ มของลำดับนน้ั ๆ
5.1. 6,−6,6,−6,.....

5.2. 3,1, 1 , 1 ,......

39

5.3. 4,2,0,−2,.....

5.4. −1, − 2 , −1, − 4 ,.....

4527

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน - หลังเรียน

1. จงหาพจนแ์ รกของลำดบั เรขาคณติ ท่มี ี 32 เป็นพจน์ที่ 5 และ 2 เป็นอตั ราสว่ นร่วม
2

วิธีทำ จากสตู ร an = a1r n−1

จากโจทย์ a5 = 32
2

นนั่ คือ 32 = a1r 5−1
2

16 = a1r 4

จากโจทย์ อัตราสว่ นรว่ ม (r) = 2

แทนค่า r = 2 ใน

จะได้ a1(2)4 = 16
จะได้ a1 = 1

2. จงหาอตั ราส่วนร่วมของลำดบั เรขาคณิตท่ีมี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

วิธที ำ จากสตู ร an = a1r n−1

น่นั คอื จากโจทย์ a2 = 8
3

a1  r 2−1 = 8
3

a1  r = 8
3

จากโจทย์ a5 = 64
81

a1  r 5−1 = 64
81

a1r 4 = 64
81

I r3 = 8
27

จะได้ r = 3

2

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน – หลงั เรยี น (ตอ่ )

3. จงหาลำดบั เรขาคณิตที่มีผลบวกและผลคณู ของสามพจน์แรกเป็น -3 และ 8 ตามลำดบั

วธิ ีทำ สมมติใหส้ ามพจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต เป็น a ,a,a  r

r

จากโจทย์ a + a + a  r = −3
r

จาก ,  a   a  (a  r) = 8 ใน
จะได้
แทนค่า r
a3 = 8
a=2
a=2

2 + 2 + 2r = −3
r
2 + 2r + 2r 2 = −3r

2r 2 + 5r + 2 = 0

(2r +1)(r + 2) = 0

จะได้ r = −1 หรอื -2

2

นน่ั คือ ถา้ r = −1 จะได้ an = 2 − 1n−1
2  2

ถา้ r = −2 จะได้ an = 2(− )2 n−1

จะได้ ลำดับเรขาคณติ คอื an = 2 − 1n−1 หรือ an = 2(− )2 n−1
2

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น – หลงั เรยี น (ต่อ)

4. จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่าง จำนวนสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยจำนวนทั้งสามนั้นอยู่ในลำดับ

เรขาคณติ

4.1. 5 และ 20

วิธที ำ จากโจทย์ a1 = 5 และ a3 = 20

an = a1r n−1

น่นั คอื a3 = a1r 3−1

20 = (5)r 2

20 = r 2
5

ได้ r = 2
ตอ้ งการพจนก์ ลาง คือ a2

จะได้ a2 = a1  r

= (5)( 2)

a2 = 10

4.2. 8 และ 12 a1 = 8 และ a3 = 12
วิธีทำ จากโจทย์
an = a1r n−1
นนั่ คือ
a3 = a1  r 2

12 = (8)r 2

3 = r2
2

ได้ r =  3 3 
2
2

ตอ้ งการหาพจน์กลาง คอื a2
จะได้ a2 = a1  r

= (8) 

a2 = 4 6

ดังน้นั จำนวนที่อยู่ระหวา่ ง 8 และ 12 คอื 4 6 หรือ − 4 6

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรียน – หลังเรียน (ตอ่ )

5. จงบอกว่าลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดับใดเป็นลำดับเรขาคณิต
พรอ้ มทงั้ บอกผลตา่ งร่วมหรอื อตั ราส่วนร่วมของลำดบั นัน้ ๆ
5.1. 6,−6,6,−6,.....
เป็นลำดบั เรขาคณติ เน่อื งจาก − 6 = 6 = − 6 = −1

6 −6 6

นนั่ คอื อตั ราส่วนร่วม (r) = −1

5.2. 3,1, 1 , 1 ,......

39

เป็นลำดับเรขาคณติ เนอ่ื งจาก 1 = 1 = 1 = 1

33 93
11
3

นั่นคอื อตั ราส่วนร่วม (r) = 1

3

5.3. 4,2,0,−2,.....
เปน็ ลำดบั เรขาคณิต เน่อื งจาก 2 − 4 = 0 − 2 = −2 − 0 = −2
น่นั คอื ผลตา่ งรว่ ม (d) = −2

5.4. −1, − 2 , −1, − 4 ,.....

4527

ไมเ่ ปน็ ลำดับเลขคณติ และไม่เปน็ ลำดับเรขาคณิต
เนอ่ื งจาก พจิ ารณาผลตา่ งรว่ ม (d) ของ a2 − a1  a3 − a2
และพจิ ารณาอัตราส่วนรว่ ม (r) ของ a2  a3

a1 a2

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 4

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผา่ น ไมผ่ ่าน
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมิน

วนั ที่................เดือน...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไมผ่ ่าน
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผู้ประเมิน

วนั ท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาท่เี รยี น ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟ ั งคว าม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อื่น หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าตั้ง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทีต่ อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางสว่ น ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อย่างดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกล่มุ กลุ่ม

โรงเรียนสวนกหุ ลาบวิทยาลัย นนทบุรี

แผนการจดั การเรียนรู้

แผนการจัดการเรียนร้ทู ่ี 5 เรื่อง ทดสอบย่อย เวลา 2 ชั่วโมง
หนว่ ยที่ 1
รหสั วชิ า ค 33101 ชื่อหน่วยการเรียนรู้ ลำดับและอนกุ รม
ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 6
รายวชิ า คณติ ศาสตรพ์ ้ืนฐาน ภาคเรยี นที่ 1

กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์

1. มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 4.1 อธบิ ายและวเิ คราะห์รูปแบบความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน
มาตรฐาน ค 4.1 : (5) เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของ
ลำดบั เลขคณติ และลำดับเรขาคณิต และนำไปใช้

2. ตวั ชวี้ ัด เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณติ หาพจน์ต่างๆ ของลำดับ
ค 4.1 ม. 4/5 เลขคณติ และลำดบั เรขาคณติ และนำไปใช้

3. จุดประสงคก์ ารเรยี นรูส้ ู่ตัวช้วี ัด/ผลการเรยี นรู้

วเิ คราะหพ์ ฤตกิ รรมการเรยี นรทู้ ่คี าดหวัง โดยใสเ่ คร่ืองหมาย ✓ ลงในช่อง K, P, A

K – ด้านความรู้, P - ด้านทักษะ/กระบวนการ, A - ดา้ นคุณลกั ษณะพงึ ประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบทง้ั หมด)

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ / ผลการเรียนรู้ KPA

1. บอกความหมายของลำดับเรขาคณติ ✓

2. หาพจนต์ ่างๆ ของลำดบั เรขาคณิต ✓

3. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อย่างเหมาะสม

4. มีความสามารถนำความรู้และทักษะเรื่องลำดบั เลขคณติ ไปประยุกตใ์ ช้ ✓

5. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตือรือรน้ ในการทำงาน กลา้ แสดงความคิดเหน็

4. สาระสำคัญ (ความคดิ รวบยอด)
ลำดับเลขคณติ คือ ลำดับที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์ที่ n + 1 ลบด้วยพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคงตัวน้ี

เรียกว่า ผลตา่ งร่วม เขยี นแทนดว้ ย d
สูตรการหาพจนท์ ่ี n คอื an = a1 + ( n – 1) d

5. สาระการเรียนรู้
5.1. ความรู้
1) บอกลำดบั ที่เป็นลำดับเลขคณิต
2) หาพจนท์ ี่ 1 ผลตา่ งร่วมและพจนท์ ี่ n ของลำดับเลขคณติ
5.2. ทักษะ/กระบวนการ/กระบวนการคดิ
1) ใชค้ วามรู้ทกั ษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณต์ า่ งๆ ได้อย่าง

เหมาะสม
2) มีความสามารถนำความรู้และทกั ษะเร่อื งลำดับเลขคณติ ไปประยกุ ต์ใช้

5.3. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การส่ือ
ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเช่อื มโยงความรตู้ ่างๆ ทางคณติ ศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับ
ศาสตรอ์ ่ืนๆ และมีความคิดรเิ ริ่มสร้างสรรค์

5.4. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการ
ทำงาน มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน กล้าแสดงความคดิ เหน็

6. ความเขา้ ใจที่คงทน
นกั เรยี นสามารถสรุปไดว้ ่า
ลำดับเลขคณิต คือ ลำดบั ทผี่ ลตา่ งซ่ึงได้จากพจนท์ ่ี n + 1 ลบด้วยพจน์ท่ี n มีค่าคงตวั คา่ คง

ตัวนีเ้ รียกวา่ ผลต่างร่วม เขียนแทนดว้ ย d
สูตรการหาพจน์ท่ี n คือ an = a1 + (n – 1) d

7. ช้ินงานหรือภาระงาน
ใบงาน

8. คำถามท้าทาย

9. กิจกรรมการเรียนรู้

แบบทดสอบย่อย

คำสง่ั ใหน้ ักเรยี นแสดงวธิ ที ำทุกข้อ

1) จงหา 4 พจน์แรกของลำดบั an = n2 เมือ่ เป็นจำนวนคี่
 เมือ่ เปน็ จำนวนคู่
2n

2) จงหาพจน์ท่วั ไปของลำดบั 3, –5 ,7 ,–9 ,11 เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

3) ถา้ ลำดับเลขคณิต คือ 4, –1, –6, … จงหาพจน์ท่ี 22

4) ถ้าลำดบั เลขคณติ คือ 64, –16, 4, … จงหาพจน์ท่ี 10

5) ถ้า m – 1, m + 4, 2m + 5 เรียงกันเปน็ ลำดบั เลขคณิต จงหาคา่ ของ m

6) ถ้าลำดับเรขาคณติ คือ 1 , 1 , 1 ,...,512 จงหาวา่ 512 เป็นพจน์ทเ่ี ท่าไรของลำดบั นี้
64 32 16
7) จำนวนเต็มบวกท่มี ีค่าระหว่าง 100 และ 1,000 ทหี่ ารด้วย 3 ลงตวั แตห่ ารดว้ ย 5 ไมล่ งตัวจะมี

ทั้งหมดกจ่ี ำนวน

8)

เอกสารซอ่ มเสริมเสรมิ ประสบการณ์ ชุดท่ี 1
เรือ่ ง ลำดบั เลขคณิต

สำหรับนักเรียนท่เี รยี นออ่ น

แบบฝึกหัดเสรมิ ประสบการณ์

เน้อื หา

สตู ร an = a1rn – 1

r = an+1
an

1. จงหาพจนท์ ่ี 7 ของลำดับเรขาคณิต 4, 20, 100, …

2. จงหาพจนท์ ี่ 10 ของลำดบั เรขาคณิต 1, − 1 , 1 ,− 1 , …
2 4 8
5
3. จงหาพจน์ที่ 10ของลำดับเรขาคณติ ทม่ี พี จน์แรกและพจน์ท่ีสองเทา่ กบั 2 และ – 5 ตามลำดับ

4. ถ้าพจน์ที่ 7 ของลำดบั เรขาคณติ เทา่ กบั 128 และอตั ราส่วนร่วมเท่ากับ 2 จงหาพจน์แรก

5. ถ้านำจำนวนจริง a ไปบวกกับแต่ละพจน์ของลำดับ 1, 9, 33 จะทำให้ลำดับที่ได้ใหม่เป็น

ลำดับเรขาคณิต จงหาค่า a

6. ถ้าคนสามคนมีอายุ 10, 18 และ 30 ปีตามลำดับ อีกกี่ปีอายุของคนทั้งสามคนนี้จะมีลักษณะเป็น

ลำดับเรขาคณติ

7. จงหาวา่ 1,280 เป็นพจน์ทเี่ ท่าไรของลำดบั เรขาคณติ ทมี่ ีพจน์ 3 และพจนท์ ี่ 6 เทา่ กับ 20 และ

–160 ตามลำดบั

1)

เอกสารซ่อมเสริมเสริมประสบการณ์ ชุดที่ 2
เร่ือง ลำดบั เลขคณติ

สำหรับนกั เรียนทเี่ รยี นปานกลาง
แบบฝึกหัดเสรมิ ประสบการณ์

เนื้อหา

สตู ร an = a1rn – 1

r = an+1
an

1. จงหาพจน์ท่ี 10 ของลำดบั เรขาคณิต 1, − 1 , 1 ,− 1 , …
2 4 8
2. ถ้าคนสามคนมีอายุ 10, 18 และ 30 ปี ตามลำดับ อีกกี่ปีอายุของคนทั้งสามคนนี้จะมีลักษณะเป็น

ลำดบั เรขาคณติ

3. จงหาว่า 1,280 เป็นพจนท์ เี่ ท่าไรของลำดับเรขาคณติ ทมี่ พี จน์ 3 และพจน์ท่ี 6 เทา่ กับ 20 และ

–160 ตามลำดบั

4. ถ้าลำดับเรขาคณิตมีทุกพจน์เป็นจำนวนจริงบวก ผลบวกของพจน์ที่ 1, 3 และ 5 เท่ากับ 273และ

ผลคณู ของพจน์ท่ี 2 กบั พจนท์ ี่ 4 เท่ากบั 256 จงหาลำดบั นี้

5. ลำดับเรขาคณิตชุดหนึ่งประกอบด้วย 6 พจน์ โดยที่พจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ 1 และ 128
8
ตามลำดบั จงหาลำดบั เรขาคณติ ดงั กลา่ ว

6. ถ้าลำดับเรขาคณิต a1, a2, a3, …, an, … และ b1, b2, b3,…, bn, … มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r1

และ r2 ตามลำดบั จงแสดงวา่ ลำดับ c1,c2, c3, …, cn, … โดยท่ี cn = anbn เปน็ ลำดับเรขาคณิต

1)

เอกสารซ่อมเสรมิ เสริมประสบการณ์ ชุดที่ 3
เร่ือง ลำดบั เลขคณิต

สำหรับนกั เรยี นทีเ่ รียนเกง่

แบบฝึกหดั เสริมประสบการณ์

เน้อื หา

สตู ร an = a1rn – 1

r = an+1
an

1. ถ้าลำดับเรขาคณิตมีทกุ พจน์เป็นจำนวนจริงบวก ผลบวกของพจนท์ ี่ 1, 3 และ 5 เท่ากับ 273 และ

ผลคูณของพจน์ท่ี 2 กบั พจนท์ ี่ 4 เทา่ กับ 256 จงหาลำดับน้ี

2. ถา้ a, b, c เป็นลำดบั เลขคณติ และ a, b – c, c – a เปน็ ลำดบั เรขาคณติ จงแสดงว่า

a + b + c = 9a

3. ถ้า a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดบั เรขาคณิต ทม่ี ีอตั ราสว่ นร่วมเท่ากบั r จงแสดงวา่
a1, a3, a5, …, a2n – 1, … เป็นลำดับเรขาคณิต ท่ีมอี ตั ราส่วนร่วมเท่ากับ r2

4. ถา้ a1, a2, a3, …, an, … เป็นลำดับเรขาคณิต ท่ีมีอตั ราส่วนรว่ มเท่ากับ r จงแสดงวา่

a2 , a4, a6, …, a2n, … เป็นลำดับเรขาคณิต

5. ถ้าลำดับเรขาคณิต a1, a2, a3, …, an, … และ b1, b2, b3, …, bn, … มีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ r1

และ r2 ตามลำดับ จงแสดงวา่ a1, a2 , a3 ,..., an ,... เป็นลำดับเรขาคณติ
b1 b2 b3 bn

10. สื่อ / แหล่งการเรียนรู้
10.1. สอ่ื
1. หนังสอื เรยี นคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน เรื่องลำดับและอนกุ รม
2. ใบความรู้
3. ใบงาน
10.2. แหลง่ การเรยี นรู้
1. หอ้ งสมุดโรงเรียน ห้องสมุดกล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
2. เวบ็ ไซต์สำหรบั การสืบค้นข้อมูล เชน่
http : //wwwthai-mathpaper.net/papers_offline.php
และ http://www.neutron.rmutphysics.com
10.3. วัสดุ / อุปกรณ์
1. หนงั สือเรยี น
2. ใบงาน

11. การวัดผลและประเมินผล

วธิ ีการวดั ประเมนิ ผลการเรยี นรู้ เครอ่ื งมือ เกณฑก์ ารประเมิน

1. สงั เกตพฤตกิ รรม 1. แบบสังเกตพฤติกรรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ ร้อยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ 80

12. บนั ทกึ หลงั การสอน
12.1 สรุปผลการเรียนรู้ (ระบุ จำนวน / รอ้ ยละ / คา่ เฉล่ยี วา่ ผ่านเกณฑก์ ่ีคน)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปญั หา (ระบุว่าไม่ผา่ นเกณฑ์กีค่ น ใครบา้ ง

............................................................................................................................. ................................................................
12.3 แนวทางแก้ปัญหา (แก้ไขนกั เรียนท่ไี มผ่ ่านไดอ้ ย่างไร)

................................................................................................................................... ..........................................................
12.4 ข้อเสนอแนะ

.................................................................................................................................................................................. ...........

ลงชือ่ ..................................................ผู้สอน
(นางสาวสณุ ีรัตน์ สมอา้ ง)

วันท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. 25.....

ลงชอ่ื .......................................................
(นางสาวกติ ตยิ า มุสกิ สังข์)

หัวหนา้ กลมุ่ สาระ..............................
วนั ที่...........เดอื น.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคิดเหน็ ของหัวหน้าสถานศึกษา หรอื ผู้ทไ่ี ด้รบั มอบหมาย
............................................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................................

ลงชือ่ ................................................................
(นายธงชัย วงศษ์ า)

รองผ้อู ำนวยการโรงเรียนกลุ่มการบรหิ ารวิชาการ
วนั ท่ี..............เดือน..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยครัง้ ให้ 1

เกณฑก์ ารให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

แบบทดสอบ

คำสัง่ ให้นักเรียนแสดงวธิ ีทำทุกข้อ เมื่อ เป็นจำนวนค่ี
เมอ่ื เปน็ จำนวนคู่
1. จงหา 4 พจน์แรกของลำดับ an = n2

2n

2. จงหาพจน์ทัว่ ไปของลำดับ 3, –5 ,7 , –9, 11 เม่อื n = 1, 2, 3, 4, 5

3. ถา้ ลำดบั เลขคณิต คือ 4, –1, –6, … จงหาพจนท์ ี่ 22

4. ถ้าลำดับเลขคณติ คือ 64, –16, 4, … จงหาพจน์ที่ 10

5. ถา้ m – 1, m + 4, 2m + 5 เรียงกันเป็นลำดับเลขคณติ จงหาค่าของ m

6. ถ้าลำดบั เรขาคณิต คือ 1 , 1 , 1 ,...,512 จงหาวา่ 512 เป็นพจน์ทเ่ี ท่าไรของลำดับน้ี
64 32 16
7. จำนวนเต็มบวกทม่ี ีคา่ ระหวา่ ง 100 และ 1,000 ท่หี ารด้วย 3 ลงตวั แต่หารดว้ ย 5 ไม่ลงตัว จะมี

ทง้ั หมดกีจ่ ำนวน

โรงเรยี นสวนกหุ ลาบวทิ ยาลัย นนทบุรี

แผนการจัดการเรยี นรู้

แผนการจดั การเรียนรูท้ ี่ 6 เรือ่ ง ลำดับเรขาคณิต เวลา 8 ชั่วโมง
หนว่ ยท่ี 1
รหัสวิชา ค 33101 ชื่อหน่วยการเรยี นรู้ ลำดับและอนกุ รม
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6
รายวิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน ภาคเรียนท่ี 1

กลุ่มสาระการเรียนรู้ คณิตศาสตร์

1. มาตรฐานการเรยี นรู้
มาตรฐาน ค 4.1 อธบิ ายและวิเคราะห์รปู แบบความสัมพนั ธแ์ ละฟังก์ชัน
มาตรฐาน ค 4.1 : (5) เข้าใจความหมายของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต หาพจน์ต่างๆ ของ
ลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขาคณิต และนำไปใช้

2. ตวั ชีว้ ัด เขา้ ใจความหมายของลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขาคณติ หาพจนต์ ่างๆ ของลำดับ
ค 4.1 ม. 4/5 เลขคณติ และลำดับเรขาคณิต และนำไปใช้

3. จุดประสงค์การเรยี นรู้สตู่ วั ช้วี ัด/ผลการเรยี นรู้

วเิ คราะหพ์ ฤตกิ รรมการเรียนรู้ที่คาดหวัง โดยใสเ่ ครอื่ งหมาย ✓ ลงในช่อง K, P, A

K – ด้านความรู้, P - ดา้ นทกั ษะ/กระบวนการ, A - ดา้ นคุณลักษณะพงึ ประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบท้งั หมด)

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ / ผลการเรียนรู้ KPA

1. บอกความหมายของลำดับเรขาคณติ ✓

2. หาพจน์ตา่ งๆ ของลำดบั เรขาคณิต ✓

3. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อย่างเหมาะสม

4. มีความสามารถนำความรู้และทกั ษะเรอื่ งลำดบั เลขคณิตไปประยกุ ต์ใช้ ✓

5. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตือรือรน้ ในการทำงาน กลา้ แสดงความคิดเห็น

4. สาระสำคญั (ความคดิ รวบยอด)
ลำดบั เรขาคณิต คือ ลำดบั ทมี่ อี ตั ราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ตอ่ พจน์ท่ี n มีค่าคงตัว ค่าคงตวั น้เี รยี กว่า

อตั ราส่วนร่วม (Common Ratio) เขียนแทนดว้ ย r
สูตรการหาพจนท์ ี่ n คือ an = a1 rn – 1

5. สาระการเรียนรู้
5.1. ความรู้
1) บอกลำดบั ท่เี ปน็ ลำดับเรขาคณิต
2) หาพจนท์ ่ี 1 อตั ราส่วนและพจน์ท่ี n ของลำดบั เรขาคณติ ได้
5.2. ทกั ษะ/กระบวนการ/กระบวนการคิด
1) ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้
อย่างหมาะสม
2) มีความสามารถนำความร้แู ละทักษะเรื่องลำดับเลขคณติ ไปประยกุ ต์ใช้
5.3. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย

ทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่นๆ และมี
ความคดิ ริเริ่มสรา้ งสรรค์

5.4. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจใน
การทำงาน มคี วามกระตอื รอื ร้นในการทำงาน กลา้ แสดงความคดิ เหน็

6. ความเขา้ ใจทีค่ งทน
นกั เรียนสามารถสรปุ ไดว้ ่า
ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n มีค่าคงตัว ค่าคง

ตัวนี้เรียกวา่ อตั ราสว่ นร่วม (Common Ratio) เขียนแทนดว้ ย r
สูตรการหาพจนท์ ี่ n คือ an = a1 rn – 1

7. ชนิ้ งานหรอื ภาระงาน
ใบงาน

8. คำถามทา้ ทาย

9. กิจกรรมการเรยี นรู้
การบรู ณาการกบั ปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง
1) ความพอประมาณ รู้จักลำดับ ก่อน หลัง จัดลำดับสิ่งต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสมและ
พอประมาณ
2) ความมีเหตุผล รจู้ กั นำกระบวนการจัดลำดับ การเรียงลำดบั สง่ิ ตา่ งๆ ไปใชใ้ นชีวติ ประจำวนั
อยา่ งมเี หตุผล
3) การมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี มีความตระหนักและรู้คุณค่าของการจัดลำดับ การเรียงลำดับสง่ิ
ต่างๆ อย่างถูกต้อง จัดวาง จัดเรียง รู้จักวางแผนได้จากการจัดลำดับสิ่งต่างๆ และสิ่งที่จะ
เกิดข้นึ ไดอ้ ย่างเหมาะสม
4) เงื่อนไขความรู้ รู้จักนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมไปปรับประยุกต์ใช้ในการดำเนินชีวติ
และสถานการณ์ตา่ งๆ อยา่ งเหมาะสม
5) เงือ่ นไขคณุ ธรรม นำหลักการการจัดลำดับ เรียงลำดบั สิ่งตา่ งๆ ท่ีถูกตอ้ ง และเหมาะสม ไป
ใชก้ ับความมรี ะเบียบ วนิ ยั จัดลำดบั ขน้ั ตอนต่างๆ ได้ ตามความถกู ต้องและเหมาะสม
9.1. วดั ผลกอ่ นเรยี น

1) นกั เรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน

คาบที่ 1 – 2

9.2. ขั้นนำ

2) ครูแจ้งตัวชีว้ ดั และจุดประสงค์การเรียนรู้

3) ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 5 คน ตามแบบกลุ่มร่วมมือ (Cooperative Learning) ให้

นักเรียนสามารถเรียนรู้แบบร่วมมือกันเรียนรู้เป็นกลุ่ม (Team Assisted individualization : TAI) โดยให้

นักเรียนที่มีคะแนนทดสอบในเรื่องลำดับเรขาคณิตสูงสุด 5 อันดับแรก เป็นหัวหน้ากลุ่ม และให้หัวหน้ากลุ่ม

เลือกสมาชกิ เพิ่มอกี กลุ่มละ 5 คน

9.3. ขน้ั สอน จัดกจิ กรรม

4) นักเรียนในกลุ่มเลือกประธานเพื่อทำหน้าที่ในการทบทวนเนื้อหาให้ สมาชิกในกลุ่มกรณีมี

ปัญหา

5) ครใู ห้ความหมายของลำดบั เรขาคณติ และอธบิ ายท่ีมาของพจนท์ ่วั ไป ดังนี้

ลำดบั เรขาคณติ คอื ลำดบั อัตราส่วนของพจน์ท่ี n + 1 ตอ่ พจน์ท่ี n มีค่าลงตวั คา่ คงตวั

น้เี รียกวา่ อตั ราส่วนรว่ ม (Common Ration)

ในกรณีท่ัวไป ถา้ ให้ a1,q2,a3,a4,.....an ,..... เปน็ ลำดบั เรขาคณติ โดยที่ a1 เปน็ พจน์
แรกและ r เปน็ อัตราส่วนร่วมจะเขยี นพจน์อื่นๆ ของลำดับเรขาคณิตในรูป a1 และ r ไดด้ ังนี้

a2 = a1r

a3 = a2r = (a1r) = a1r 2

( )a4 = a3r = a1r 2 = a1r 3



an = a1r n−1

ดังนั้น เมอ่ื กำหนดให้ a1 เปน็ พจน์แรกของลำดบั เรขาคณติ ทมี่ ี an+1 เท่ากับ r เป็น
an

อตั ราส่วนรว่ ม จะได้พจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณติ คือ an = a1  r n−1

6) ครูยกตัวอย่างของลำดบั เรขาคณิต และให้นักเรยี นในแต่ละกลุม่ อธิบายเหตุผลของการเป็น

ลำดับเรขาคณิตในแต่ละขอ้

ตวั อยา่ ง

(1) 1, 3, 9, 27, 81, ...

(2) 16, 8, 4, 2, 1, ...

(3) -1, 4, -16, 64, -256, ...

จากตวั อยา่ งข้างต้น พบวา่ ข้อ 1-3 เป็นลำดับเรขาคณติ เน่ืองจาก

(1) 1, 3, 9, 27, 81, ...

มีอตั ราส่วนร่วม (r) = 3 = 9 = 27 = 81 = 3

1 3 9 27

ดังนั้น เป็นลำดับเรขาคณติ ทีมี 3 เปน็ อตั ราสว่ นรว่ ม

(2) 16, 8, 4, 2, 1, ...

มีอตั ราสว่ นรว่ ม (r) = 8 = 4 = 2 = 1

16 8 4 2

ดงั นน้ั เป็นลำดบั เรขาคณติ ที่มี 1 เปน็ อัตราส่วนร่วม

2

(3) -1, 4, -16, 64, -256, ...

มีอตั ราส่วนรว่ ม (r) = 4 = −16 = 64 = − 256 = −4

−1 4 −16 64

ดงั นั้น เปน็ ลำดับเรขาคณติ ที่มี -4 เปน็ อัตราสว่ นร่วม
7) ครยู กตวั อยา่ ง การหาพจน์ท่วั ไปและพจนต์ ่างๆ ของลำดับเรขาคณติ ดังนี้

ตวั อยา่ ง 1 จงหาพจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณติ 3, 9, 27, 81, ...

วิธีทำ จากโจทยจ์ ะได้ a1 = 3 และ r=9 =3
3

จากสตู ร an = a1r n−1

จะได้ an = (3) (3)n−1

= (3)(3)n

3

an = 3n

ดงั น้ัน พจนท์ ี่ n ของลำดบั เรขาคณติ คอื an = 3n

ตัวอยา่ ง 2 จงหาพจนท์ ี่ 7 ของลำดับเรขาคณติ 4, 20, 100, ...

วิธที ำ จากโจทย์ a1 = 4 และ r = 20 = 5
4

จากสูตร an = a1r n−1

จะได้ a7 = (4) (5)7−1

= (4)(5)6

= (4)(15,625)

a7 = 62,500

ดงั นน้ั พจนท์ ่ี 7 ของลำดับเลขาคณิต คอื 62,500

ตวั อย่าง 3 จงหาพจน์แรกของลำดับเรขาคณติ ที่มี ได้ a3 = 17 และ r = 3
วิธีทำ 46
4

จากสูตร an = a1r n−1

จะได้ a3 = a1r 3−1

27 = a1   3  2
64  4 

a1 = 3
4

ดังนั้น พจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต คือ 3
4

ตัวอยา่ ง 4 จาหาอตั ราส่วนรว่ มของลำดบั เรขาคณิตที่มี a3 = 12 และ a6 = 96

วธิ ที ำ จากสตู ร an = a1r n−1

จะได้ a3 = a1r 3−1

12 = a1  r 5
a6 = a1  r 5

96 = a1  r 5

; 96 = a1  r 5

12 a1  r 2

8 = r3

ดงั น้ัน อตั ราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต คือ 2
9.4. ข้ันวเิ คราะห์

8) ครูแจกใบงานให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกันหาคำตอบของลำดับเรขาคณิตที่ได้รับ
มอบหมาย

9) ครสู ุม่ สมาชิกภายในกลุ่มออกมานำเสนอผลงาน เป็นตวั อย่าง 1 กลุ่ม และให้กลมุ่ ทเี่ หลือมา
นำเสนอผลงานเปน็ ลำดบั ถัดไป

10) นักเรียนกลุ่มที่เหลือที่ยังไม่ได้นำเสนอผลงานร่วมกันตรวจสอบความถูกต้องจากเพื่อนที่
นำเสนอผลงานหนา้ ชนั้

9.5. ข้นั สรปุ
11) ครูและนักเรียนร่วมกันสรุปความหมาย ของลำดับเรขาคณิตและอภิปรายรูปแบบการหา

พจนท์ วั่ ไปของลำดบั เลขาคณติ
12) ครูมอบหมายใหน้ ักเรียนทำแบบฝึกหดั 1.1.4 หน้า 32 และ 33 ข้อ 1, 2, 3, 7 และ 13 ใน

หนังสือเรียนสาระการเรยี นรพู้ ืน้ ฐานคณิตศาสตรเ์ ปน็ การบ้าน
13) ทำแบบทดสอบหลังเรียน
คาบที่ 3 – 4
14) นกั เรยี นช่วยกันออกมาเฉลยการบ้าน ตรวจสอบความถูกต้อง
15) เขียนลำดับบนกระดานแล้วให้นักเรียนบอกว่าลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดับใดเป็น

ลำดบั เรขาคณิต เพราะเหตุใด แล้วให้นักเรยี นช่วยกันบอกนิยามลำดับเรขาคณติ และสูตร an = a1 rn – 1

16) เขียนตัวอย่างท่ี 1 ใชก้ ารถามตอบให้นกั เรยี นวเิ คราะห์แนวคิดตามแผนผงั ดงั น้ี
ตอ้ งการหา a, b, c

a1 = แทนคา่ a1
หา r และ r

a = a1r
b = a1r2
c = a1r3

แก้สมการ

a5 = a1 r4 =

นักเรียนช่วยกนั สรุปการวิเคราะหเ์ พื่อชว่ ยกนั เขยี นวิธที ำพร้อมๆ กับครู
17) เขยี นตัวอยา่ งท่ี 2 แลว้ ดำเนินการเชน่ เดยี วกับขอ้ 3

นักเรยี นวิเคราะห์แนวคดิ ตามแผนผงั ดงั น้ี

ต้องการหา n

ลำดับเรขาคณิต
2, –6, 18, …, –486

a1 = 2 = –3
r=

an = –486

an = a1 rn – 1

แกส้ มการ
–486 = 2 (–3)n – 1

ตั้งคำถามให้นกั เรยี นตอบว่าโจทยท์ ่เี ขยี นต่อไปน้ีมีความหมายเหมือนโจทยใ์ นตวั อย่างท่ี 2

หรือไม่ เพราะเหตุใด

โจทย์ : ลำดับเรขาคณติ 2, –6, 18, …, –48 มีก่พี จน์
18) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม เมื่อทำเสร็จแล้วสุ่ม

นักเรียนออกมาเฉลยบนกระดาน โดยมนี ักเรยี นที่เหลือตรวจสอบความถูกตอ้ ง

19) นักเรยี นชว่ ยกันสรปุ การหาพจนท์ ่ี n และการหาจำนวนพจน์ของลำดับเรขาคณิต
20) นักเรียนทำแบบฝกึ หัด 1.1.4 เป็นการบ้านและแจกใบความรใู้ หน้ กั เรยี นศกึ ษาทบทวนเสริม
ความเข้าใจ

คาบที่ 5 – 6

21) นกั เรียนออกมาเขยี นคำตอบเฉลยการบา้ น ครูตรวจสอบความถูกต้อง
22) ใชก้ ารถามตอบทบทวนบทนิยามลำดบั เรขาคณิต และสตู ร an = a1 rn – 1
23) เขียนตัวอย่างที่ 1 บนกระดาน ใช้การถามตอบใหน้ กั เรียนวิเคราะหแ์ นวคดิ ตามแผนผงั ดงั น้ี

ตวั อยา่ ง 1 ถ้าผู้ชาย 3 คน มีอายุเรียงตามลำดับเป็น 10, 18 และ 30 ปี อีกกี่ปีข้างหน้า

จงึ จะทำให้อายุของผูช้ ายท้ังสามน้ี เรยี งกนั เป็นลำดับเรขาคณติ

วธิ ีทำ ให้อีก x ปี ข้างหน้าที่จะทำให้อายุของคนทั้งสามคนน้ี เรียงกันเป็นลำดับ
เรขาคณิต

ลำดบั เรขาคณิต คือ 10 + x, 18 + x, 30 + x

อัตราส่วนร่วม (r) คือ 18 + x หรอื 30 + x
10 + x 18 + x

จะไดว้ า่ 18 + x = 30 + x
10 + x 18 + x

(18 + x) (18 + x) = (30 + x) (10 + x)

324 + 36x + x2 = 300 + 40x + x2

4x = 24

x =6

ดังนนั้ อกี 6 ปขี า้ งหนา้ จะทำใหอ้ ายุของคนท้ังสามนีเ้ รียงกันเปน็ ลำดับเรขาคณิต

ตอ้ งการหาอีกกี่ปีข้างหน้า
สมมติให้เป็น x ปี

ลำดบั เรขาคณิต
10 + x, 18 + x, 30 + x

แกส้ มการ

สุ่มนักเรียนบางคนออกมาสรุปแล้วเขียนเป็นวิธีทำโดยมีเพื่อนที่เหลือตรวจสอบความ
ถูกต้อง

24) เขียนตวั อยา่ งท่ี 2 แลว้ ดำเนินการเช่นเดียวกบั ขอ้ 3
ตัวอยา่ ง 2 ผลบวกสามพจน์แรกในลำดบั เรขาคณติ คอื –3 และผลคูณคือ 8 จงหา
พจน์ 3 พจนน์ ี้
วิธีทำ สมมตพิ จน์สามพจนท์ ่เี รยี งกัน คือ a , a, ar

r

ผลคณู 3 พจนแ์ รกในลำดับเรขาคณติ คือ 8
( a ) (a) (ar) = 8

r

a3 = 8
a =2
ผลบวกสามพจน์แรก คอื –3
( a ) + (a) + (ar) = –3

r

แทนค่า a = 2
จะได้ 2 + 2 + 2r = –3

r

2 + 2r + 2r2 = –3r
2r2 + 5r + 2 = 0
(2r + 1) (r + 2) = 0

r = − 1 , –2

2

ดงั น้นั ลำดับทเี่ ปน็ ไปได้มี 2 กรณี คือ

ถา้ r = − 1 ลำดับ คือ –4, 2, –1

2

ถ้า r = –2 ลำดบั คือ –1, 2, –4
นกั เรยี นวิเคราะหแ์ นวคดิ ตามแผนผงั ดงั น้ี

ต้องการหาพจน์ 3 พจน์ ทเี่ รียงกันในลำดับเรขาคณิต

สมมตใิ ห้พจน์ทง้ั สามเปน็ , a, ar แทนคา่ a
และ r
แกส้ มการ 2 ตวั แปร
( ) (a) (ar) = 8
( ) + (a) + (ar) = –3

ก่อนสมมติให้พจน์ทั้งสามเป็น a , a, ar ครูให้นักเรียนหาเหตุผลว่าทำไมจึงไม่สมมติให้
r
จำนวนทัง้ สามเป็น x, y, z หรอื a, ar, ar2 หรืออนื่ ๆ

ครูใช้การถามตอบแนะแนวทางให้นักเรียนสรุปได้ว่า สำหรับโจทย์ปัญหาในลักษณะนี้ควร

สมมติจำนวนทีต่ ้องการหา เป็นดังนี้

(1) ถ้าเป็นพจนห์ า้ พจนเ์ รยี งกัน ควรสมมติใหเ้ ป็น a a , a, ar, ar2
r2 , r

(2) ถ้าเป็นพจน์ส่ีพจนเ์ รียงกนั ควรสมมติใหเ้ ป็น a a , ar, ar3
r3 , r

25) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัด ด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ สังเกต

ช่วยชี้แนะ แก้ไขปัญหาต่างๆ เมื่อทำเสร็จแล้วครูสุ่มนักเรียนออกมาเฉลยบนกระดานโดยมีนักเรียนที่เหลือและ

ครูตรวจสอบความถูกต้อง

26) ครูให้นกั เรยี นชว่ ยกนั สรุปการนำความรเู้ รอื่ ง ลำดับเรขาคณิตไปใชใ้ นการทำโจทย์ปญั หา

27) ใหน้ ักเรียนทำแบบฝกึ หัด 1.1.4 เป็นการบา้ น และแจกเอกสารซ่อมเสรมิ เสรมิ ประสบการณ์

ชดุ ท่ี 1, 2, 3 ใหน้ ักเรยี นฝกึ ทักษะเพ่ิมเตมิ นอกเวลาเรยี นตามศักยภาพของนักเรียนแตล่ ะคน

28) ครแู จกใบความรู้ให้นักเรยี นทุกคนศึกษาทบทวนและให้ยมื เอกสารซ่อมเสริมชดุ การเรียนให้

นกั เรียนศึกษาทบทวนนอกเวลาเรยี นเสรจ็ แลว้ นำมาส่งคืน

9.6. วดั ผลหลังเรียน

29) ทำแบบทดสอบหลังเรียน

9.7. การจดั บรรยากาศเชิงบวก

ให้นักเรียนทำกจิ กรรมในใบงานแลว้ ออกมาอภิปรายแตล่ ะกล่มุ

10. สือ่ / แหลง่ การเรยี นรู้
10.1. สอ่ื
1) หนงั สือเรยี นคณิตศาสตร์พ้นื ฐาน เร่อื งลำดบั และอนุกรม
2) ใบความรู้
3) ใบงาน
10.2. แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมุดโรงเรียน ห้องสมดุ กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
2) เวบ็ ไซต์สำหรับการสบื คน้ ขอ้ มูล เชน่
http : //wwwthai-mathpaper.net/papers_offline.php
และ http://www.neutron.rmutphysics.com
10.3. วสั ดุ / อุปกรณ์
1) หนังสอื เรยี น
2) ใบงาน

11. การวัดผลและประเมินผล

วิธีการวัดประเมนิ ผลการเรียนรู้ เครือ่ งมือ เกณฑ์การประเมนิ

1. สงั เกตพฤตกิ รรม 1. แบบสังเกตพฤตกิ รรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ รอ้ ยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

12. บันทกึ หลังการสอน
12.1 สรุปผลการเรยี นรู้ (ระบุ จำนวน / ร้อยละ / คา่ เฉล่ยี วา่ ผา่ นเกณฑ์กคี่ น)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปญั หา (ระบุวา่ ไม่ผา่ นเกณฑ์ก่ีคน ใครบา้ ง

.............................................................................................................................................. ...............................................
12.3 แนวทางแกป้ ญั หา (แก้ไขนักเรยี นท่ไี ม่ผา่ นไดอ้ ยา่ งไร)

.................................................................................................................................................... .........................................
12.4 ขอ้ เสนอแนะ

.............................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ..................................................ผู้สอน
(นางสาวสุณรี ตั น์ สมอ้าง)

วนั ท.่ี ...............เดอื น...................พ.ศ. 25.....

ลงชื่อ.......................................................
(นางสาวกติ ติยา มุสิกสังข์)

หวั หนา้ กลุม่ สาระ..............................
วันท่ี...........เดอื น.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคดิ เหน็ ของหัวหน้าสถานศึกษา หรอื ผู้ที่ได้รบั มอบหมาย
.............................................................................................................................................................. ................................
.................................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................................

ลงชื่อ................................................................
(นายธงชยั วงศ์ษา)

รองผ้อู ำนวยการโรงเรียนกลุม่ การบริหารวชิ าการ
วนั ที่..............เดอื น..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยคร้งั ให้ 1

เกณฑ์การให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

ใบงานที่ 5 เรอ่ื ง ลำดับเรขาคณิต

จงตรวจสอบวา่ ลำดับตอ่ ไปนี้เป็นลำดบั เรขาคณิตหรอื ไม่ ถ้าเป็นจงหาอัตราสว่ นร่วม
1. 3,−6,12,−24,.....,3(− )2 n−1

a =…………………………………………………… a =……………………………………………………
2 3

a1 a 2

an = 3(− )2 n−1 an +1 = ....................................

ดังนั้น อัตราส่วนร่วมเท่ากับ.............................ลำดับเปน็ ลำดบั .......................................

2. 9,3,1, 1 ,.....
3

a2 =…………………………………………………… a3 =……………………………………………………
a a

1 2

ดังนัน้ อตั ราสว่ นร่วมเทา่ กบั .........................ลำดบั เป็นลำดบั ............................................

เฉลย ใบงานที่ 5 เร่ือง ลำดบั เรขาคณิต

จงตรวจสอบว่า ลำดบั ต่อไปนเี้ ปน็ ลำดบั เรขาคณิตหรือไม่ ถ้าเปน็ จงหาอตั ราส่วนร่วม
1. 3,−6,12,−24,.....,3(− )2 n−1

a2 = − 6 = 12 a3 = −12 = −2
a1 3 a2 6

an = 3(− )2 n−1 an + 1 = 3(− )2 n−1 + 1

ดังนน้ั อตั ราสว่ นร่วมเท่ากบั -2 ลำดบั เป็นลำดับ เรขาคณิต

2. 9,3,1, 1 ,.....

3

a2 = 3 = 1 a3 = 1
a1 9 3 a2 3

ดังนนั้ อัตราสว่ นร่วมเท่ากับ 1 ลำดบั เป็นลำดบั เรขาคณิต
3

ใบงานท่ี 6 เรื่อง ลำดับเรขาคณิต

คำสง่ั จงแสดงวธิ ที ำ
1. ในลำดับเรขาคณติ a1 = 3 และ r = 7 จงหา 3 พจนแ์ รกของลำดบั ดงั กล่าว
......................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................. ........
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. ถา้ 16, 4, 1, ... เปน็ ลำดับเรขาคณติ จงหา a7

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
3. ถา้ 9, y,1 เป็นลำดบั เรขาคณิต จงหาค่า y

.................................................................................................................................................................... ..
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4. จงหาพจน์ทว่ั ไปของลำดบั ต่อไปนี้

1) 1,5,25,.....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

2) 7,−7,7,.....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

3) 9,−3,1,.....
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

เฉลย ใบงานที่ 6 เร่ือง ลำดับเรขาคณติ

คำส่งั จงแสดงวธิ ีทำ

1. ในลำดับเรขาคณติ a1 = 3 และ r = 7 จงหา 3 พจน์แรกของลำดับดังกลา่ ว

a1 = 3

a2 = a1r = (3)(7) = 21
a3 = a2r = (21)(7) = 147
จะได้ สามพจน์แรก คือ 3, 21, 147

2. ถ้า 16, 4, 1, ... เป็นลำดับเรขาคณติ จงหา a7 หา a7 จาก an = a1r n−1
หา r จาก
จะได้ r = a2 = (16) 1 7−1

a1 4
r= 4
= (16) 1 6
16
r=1 4

4 จะได้ a7 = 1
256
3. ถ้า 9, y,1 เปน็ ลำดบั เรขาคณิต จงหาคา่ y

จาก r = y และ r = 1

9y

จะได้ y = 1 จะได้ y2 = 9 ดงั นัน้ y = 3

9y

4. จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลำดับตอ่ ไปน้ี

1) 1,5,25,.....

a1 = 1 = 50 50 = 51−1
a2 = 5 = 51 = 52−1
a3 = 25 = 52
52 = 53−1

 

จะได้ an = 5n−1

เฉลย ใบงานท่ี 6 เรอื่ ง ลำดบั เรขาคณิต (ต่อ)

2) 7,−7,7,..... 7(1) = 7(− )1 1−1 9 = 9   −11−1
a1 = 7 = 7(1) 7(−1) = 7(− )1 2−1 3
a2 = −7 = 7(−1) 7(1) = 7(− )1 3−1
a3 = 7 = 7(1) − 3 = 9   −12−1
9(1) = 9   −10 3
จะได้ an = 7(− )1 n−1
3) 9,−3,1,..... 3 1 = 9   −13−1
3
a1 = 9 = 9(1) (− 3)(1) = 9   −11

a2 = −3 = (− 3)(1) 3

a3 = 1 = (1)(1) (1)(1) = 9   −12

3

จะได้ an = 9   −1n−1
3

ใบงานท่ี 7 เรื่อง ลำดับเรขาคณติ

ใหน้ กั เรียนแสดงวิธที ำอย่างละเอยี ด

1. ถ้าพจนท์ ่ี 2 และพจน์ที่ 5 ของลำดับเรขาคณติ มีค่าเทา่ กับ 3 และ 81 ตามลำดับแล้ว จงหาพจน์

8

ท่ี 8 มีค่าเท่าใด
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
........................................................................................................................................ ..............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... ...................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
.............................................................................................................................................................. ........
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
2. เมื่อนำจำนวนจรงิ k ไปบวกกันแต่ละพจน์ของลำดับ 3, 20, 105 จะทำให้ลำดับท่ีได้ใหมเ่ ป็นลำดับ

เรขาคณติ แลว้ k มีคา่ เทา่ ใด
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... ...................

เฉลย ใบงานที่ 6 เรือ่ ง ลำดบั เรขาคณติ (ต่อ)

ใหน้ กั เรยี นแสดงวธิ ที ำอยา่ งละเอียด

1. ถา้ พจน์ท่ี 2 และพจน์ท่ี 5 ของลำดับเรขาคณิตมีค่าเท่ากับ 3 และ 81 ตามลำดบั แลว้ จงหาพจน์

8

ที่ 8 มคี ่าเทา่ ใด

กำหนดให้ a2 = 3 = a1r

a5 = 81 = a1r 4
8

ดงั น้นั a1r 4 = 81

a1r 8

3

r 3 = 27
8

จะได้ r = 3

2

หา a8 จาก a8 = a1r 7

= (a1r )r 6

= 3 3 6
2

= 2187
64

จะได้ a8 = 2187
64

2. เมื่อนำจำนวนจริง k ไปบวกกันแต่ละพจน์ของลำดบั 3, 20, 105 จะทำใหล้ ำดบั ท่ไี ด้ใหมเ่ ป็นลำดับ

เรขาคณติ แล้ว k มคี า่ เท่าใด

กำหนดให้ จะไดว้ า่ ลำดับ 3 + k,20 + k,105 + k เปน็ ลำดบั เรขาคณิต

ดังนน้ั 20 + k = 105 + k

3 + k 20 + k

(20 + k )2 = (3 + k )(105 + k )

400 + 40k + k 2 = 315 + 108k + k 2

68k = 85

จะได้ k = 85

68

1)

เอกสารฝกึ หัด

1. ถา้ 3, a, b, c, 48 เป็นพจน์ท่ี 5 พจน์ท่เี รียงกนั ในลำดับเรขาคณิต จงหาคา่ ของ a, b, c

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .........................................

........................................................................................................................................ ..............................

.................................................................................................... ..................................................................

............................................................................................................................. .........................................

2. ถ้า 8, x, y, z, 48 เป็นพจนท์ ่ี 5 พจน์ทเ่ี รยี งกนั ในลำดับเรขาคณิต จงหาค่าของ x, y, z

......................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................. .....................

......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .........................................

............................................................................................................................. .........................................

......................................................................................... .............................................................................

3. 320 เป็นพจน์ที่เทา่ ไรของลำดบั เรขาคณติ 5, –10, 20, …

......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .........................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .........................................

......................................................................................................................................................................

4. จงหาลำดับเรขาคณิต คือ 1 ,− 1 , 1 ,....,−256 มกี ่ีพจน์
8 4 2
............................................................................................................................. .........................................

......................................................................................... .............................................................................

......................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................ ..............................

.................................................................................................... ..................................................................

............................................................................................................................. .........................................

1)

ใบความรู้ เรอื่ ง ลำดบั เรขาคณิต

ตวั อย่าง 1 ถ้า 4 , a, b, c, 27 เปน็ พจน์หา้ พจน์ท่ีเรียงกนั ในลำดับเรขาคณติ จงหาคา่ ของ a, b, c
3 64
4
วธิ ที ำ a1 = 3 วเิ คราะห์แนวคิด
ตอ้ งการหา a, b และ c

a5 = 27 = a1 r4 a = a2 = a1r
27 = b = a3 = a1r2
64 = 64 c = a3 = a1r3
r4 = 4 แสดงวา่ ต้องรู้ a1
a2 3 (r)4
r = 4
4 จากโจทย์ a1 = 3
a= 
27  3 =  3 ส่วน r หาไดจ้ าก a5 = 27 = a1 r4
b = a3 64 4  4 64

3 แทนคา่ a1 จะได้

4 4  3  r4 = 27  3 =  3 4
= 3  4  64  4 
ดงั นั้น a1r = r= 3= 41
a1r2 = = 4 r
2 จะได้ แทนคา่ a1 และ

4  3 3 a, b, c ตามต้องการ
3  4
4

c = a3 = a1r3 = 4  3 3 = 9
3  4  16

ตัวอยา่ ง 2 –486 เปน็ พจน์ที่เท่าไรของลำดับเรขาคณิต 2, –6, 18, …

วิธที ำ ให้ –486 = an วเิ คราะหแ์ นวคิด

a1 = 2 6 ต้องการหา –486 เปน็ พจน์ท่ี
2
r= − = –3 เท่าไร แสดงวา่ ตอ้ งการหา n
(–3)5 จาก an = a1 rn – 1….(1)
an =
จาก –486 = a1 rn – 1 โดยที่ an = –486, a1 = 2
–243 =
2 (–3)n – 1 r= − 6 = –3
2
(–3)n – 1 = นำไปแทนคา่ ใน (1)
แกส้ มการจะได้ n
n–1 = 5
n=6

ดังนน้ั –486 เปน็ พจน์ที่ 6

1)

เอกสารฝึกหัด

1. ถา้ เดก็ 3 คน มีเงนิ ในกระเป๋าเรยี งตามลำดับเป็น 1, 9 และ 33 บาท จะต้องนำเงินมารวมให้กับเด็ก
แต่ละคนก่ีบาท จึงจะทำใหเ้ งินในกระเปา๋ ของเดก็ 3 คนน้เี รยี งกันเป็นลำดบั เรขาคณิต

......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
........................................................................................................................................ ..............................
2. จงหาจำนวนเต็ม m ทีท่ ำให้ลำดบั 2m – 5, m – 4, 10 – 3m เปน็ ลำดับเรขาคณติ
................................................................................................................................................... ...................
............................................................................................................... .......................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
......................................................................................................................................................................
3. ผลบวกของพจน์สามพจน์ที่เรียงกันในลำดับเรขาคณิตเท่ากับ 26 และผลคูณเท่ากับ 216 จงหา

พจน์ 3 พจนน์ ้ี
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4. จำนวนนับสี่จำนวนที่เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต มีผลบวกของสองจำนวนแรก เท่ากับ 8 และ

ผลบวกของสองจำนวนหลงั เทา่ กบั 72 จงหาจำนวนนบั ทัง้ ส่ีจำนวนนี้
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
........................................................................................................................................ ..............................

1)

ใบความรู้ เรอ่ื ง ลำดับเรขาคณติ

ตวั อย่าง 1 ถ้าผู้ชาย 3 คน มีอายุเรียงตามลำดับเป็น 10, 18 และ 30 ปี อีกกี่ปีข้างหน้าจึงจะทำให้

อายขุ องผูช้ ายทั้งสามนี้ เรียงกนั เปน็ ลำดับเรขาคณติ

วธิ ที ำ ให้อีก x ปี ขา้ งหน้าที่จะทำให้อายุของคนทง้ั สามคนน้ี เรียงกันเป็นลำดบั เรขาคณิต

ลำดบั เรขาคณิต คอื 10 + x, 18 + x, 30 + x วิเคราะห์แนวคิด
18 + x 30 + x
อตั ราสว่ นรว่ ม (r) คอื 10 + x หรอื 18 + x ตอ้ งการทราบอีกกี่ปขี ้างหน้า
จงึ จะทำใหอ้ ายุของผ้ชู ายทั้ง 3 คนน้ี
จะได้ว่า 18 + x = 30 + x เรียงกันเป็นลำดับเรขาคณิต
10 + x 18 + x ให้อีก x ปี ข้างหนา้ อายุ 3 คน
เปน็ ดงั นี้

(18 + x) (18 + x) = (30 + x) (10 + x) 10+x, 18+x, 30+x เป็นลำดับเรขาคณติ
324 + 36x + x2 = 300 + 40x + x2
r = 18 + x = 30 + x
4x = 24 10 + x 18 + x

x =6 แก้สมการ หา x

ดังนัน้ อกี 6 ปีขา้ งหน้าจะทำใหอ้ ายุของคนทง้ั สามนีเ้ รยี งกนั เปน็ ลำดบั เรขาคณติ