แผนการจัดการเรียนรู้ 2565-1

ตวั อยา่ ง 8 จงหาผลบวกของอนุกรม 1 , 1 , 1 , 1 + .....

2 6 18 54

วิธที ำ อนกุ รมทกี่ ำหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมอนันตท์ ่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณิต มี

a1 = 1 และ r = 1
2 3

จากสตู ร S = a1 , r 1
1− r

=1
2

1− 1
3

S = 3
4

ดังนั้น ผลบวกของอนุกรมอนันต์ คอื 3

4

ตัวอย่าง 9 จงเขยี น  ใหอ้ ยูใ่ นรปู เศษสว่ น

0.3

วธิ ีทำ 

 0.3 = 0.333

= 0.3 + 0.03 + 0.003 + .....

0.3 = 3 + 3 + 3 + .....
10 100 1000

จาก พบว่า เป็นอนุกรมเรขาคณิต มี a1 =3 และ r =1
10 10

จากสูตร S = a1 , r 1
1− r

แสดงว่า  3

0.3 = 10

1− 1
10

=1
3

ดังนั้น  = 1

0.3 3

นอกจากจะใช้สูตรการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตท่ีเป็นอนุกรมอนนั ต์ ยังอาจเลือกใช้
การหาผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ที่เป็นอนกุ รมเรขาคณิต โดยใช้ sigma ( ) เข้าชว่ ย ดงั นี้

หา an ของอนกุ รม 3 +3 +3 + .....
10 100 1000

จากสูตร an = a1r n−1

an = 3  1 n−1
10 10 

จะได้ an = 3 1 n
10 

แสดงวา่ a1 = 3 1 i
10 

จะได้ 

S = ai
i =1

 3 1  i 

=
i=1   10  

= 3   1 i
i=1  10 



 
3 1 
S =  10 

 1 
1− 
 10 

ดงั น้ัน S = 1
หรอื 3

 = 1

0.3 3

9.4. ขัน้ วเิ คราะห์

8) ครูแจกใบงานให้นักเรียนแต่ละกลุ่ม ช่วยกันหาคำตอบของอนุกรมเรขาคณิตที่ได้รับ

มอบหมาย

9) ครูสุ่มตัวแทนของนักเรยี นในกลุม่ ที่ได้รับผิดชอบใบงาน มานำเสนอผลงานหน้าชั้นเรียนจน

ครบทุกช้นิ งานทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย

10) นักเรียนทุกคนร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง จากเพื่อนนักเรียนที่มานำเสนอผลงาน และ

ครูสรปุ เพมิ่ เติมในสว่ นท่ไี ม่สมบรู ณ์

9.5. ขน้ั สรปุ

11) ครูและนักเรียนช่วยกันสรปุ ความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต และ

ให้นกั เรยี นบันทึกลงสมดุ

12) ครูมอบหมายให้นักเรียน ทำแบบฝึกหัด 1.2.2 หน้า 46 และ 47 ข้อ 1,4, 5, 8, 9 และทำ

ใบงานเปน็ งานกลุม่

คาบที่ 5 – 6

13) นักเรยี นอาสาสมคั รออกมาเฉลยการบ้าน โดยมีนกั เรียนท่ีเหลอื ตรวจสอบความถกู ต้อง

14) นักเรียนแต่ละกลุ่มแลกเปลี่ยนกันอ่านโจทย์ที่ไปคิดเป็นการบ้านแล้วอภิปรายเลือกเพียง

กลุ่มละ 1 ข้อ เพื่อเป็นตัวแทนออกไปนำเสนอหน้าชั้นเรียน โดยมีครูและเพื่อนๆ ที่เหลือช่วยกันเติมเต็ม ให้

กำลงั ใจและใหข้ อ้ เสนอแนะเพ่มิ เติม (ถ้ามี)

15) ใชก้ ารถามตอบทบทวนเร่ืองอนกุ รมเลขคณติ แล้วเชอ่ื มโยงมาเรอื่ งอนกุ รมเรขาคณติ

16) ให้สูตรการหาผลบวก n พจน์ของอนุกรมเรขาคณิตโดยใช้การอธิบายพร้อมแสดงเหตุผล

ด้วยการถามตอบ จนนักเรยี นช่วยกันสรุปสูตรได้วา่

สตู ร ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ

= an1a11 − r n เมื่อ r = 1
 1 − r เมื่อ r  1
( ) ( )Sn
= a1 rn − 1
r −1

17) ยกตวั อยา่ ง 8 ใช้การถามตอบดว้ ยการทำใหด้ ูบนกระดาน นกั เรยี นทำไปพร้อมๆ กัน

ตวั อยา่ ง 8 จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 4 + 8 + 16 + …
( )วิธที ำ
จากสตู ร Sn = a1 1 − rn
1−r
จากโจทย์ ( )a1 = 4, r = 2, n = 8

S8 = 4 1 − 28
1−2
= –4 (1 – 256) = –4 (–255)

= 1,020

ดงั นน้ั ผลบวก 8 พจนแ์ รกเทา่ กับ 1,020

18) นกั เรียนแตล่ ะกลุ่มช่วยกนั คิดตวั อย่าง 9 ครสู มุ่ บางกลมุ่ ออกมาเฉลย โดยมกี ลุ่มท่ีเหลือและ

ครูตรวจสอบความถกู ต้อง

ตวั อยา่ ง 9 อนกุ รมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ท่ี 1 กับพจนท์ ี่ 2 เท่ากบั –3 และ

ผลบวกของพจน์ที่ 5 กับพจน์ที่ 6 เท่ากับ − 3 จงหาผลบวกของ 10 พจน์

16

แรก

วิธที ำ จากโจทย์ a1 + a2 = –3
a1 + a1r = –3
a1(1 + r) = –3

จากโจทย์ a5 + a6 = − 3

16

a1 r4 + a1 r5 = − 3

16

; r4 = 1
6

r = 1 , − 1
2 2

ถา้ r = 1 แทนค่าใน (1) จะได้

2

a1 1 + 1  = −3
 2 

a1 = − 3 2 = –2

3

(− 2)1 −  1 10 
 2  
S10 =
1− 1
2

= − 41 − 1 
 210 

= −4 + 1
28

= −4+ 1

256

= − 1023

256

ถ้า r = − 1 แทนคา่ ใน จะได้

2

a1 1 − 1  = −3
 2 

a1 = – 6

(− 6)1 −  − 1 10 
 2  
S10 =
1+ 1
2

= −4 + 1

28

= − 1023

256

ดงั น้นั ผลบวก 10 พจนแ์ รกเท่ากับ − 1023

256

19) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม เมื่อทำเสร็จแล้วสุ่ม

นักเรยี นออกมาเฉลยบนกระดานโดยมนี ักเรยี นท่ีเหลือและตรวจสอบความถกู ตอ้ ง

20) นักเรียนชว่ ยกันสรปุ สตู รการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต

21) นักเรียนทำแบบฝกึ หัด 1.1.6 เป็นการบา้ น และแจกใบความรูอ้ า่ นทบทวนเสรมิ ความเข้าใจ

9.6. วดั ผลหลังเรียน

22) ทำแบบทดสอบหลงั เรียน

9.7. การจดั บรรยากาศเชิงบวก

ให้นกั เรียนทำกิจกรรมในใบงานแลว้ ออกมาอภปิ รายแตล่ ะกลุ่ม

10. สื่อ / แหล่งการเรียนรู้
10.1. สอ่ื
1. หนังสอื เรยี นคณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน เรอ่ื งลำดับและอนุกรม
2. ใบความรู้
3. ใบงาน
10.2. แหล่งการเรียนรู้
1. หอ้ งสมุดโรงเรยี น ห้องสมดุ กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์
2. เวบ็ ไซต์สำหรับการสบื ค้นขอ้ มลู เชน่ http://www............................................................
10.3. วัสดุ / อุปกรณ์
1. หนงั สอื เรียน
2. ใบงาน

11. การวดั ผลและประเมินผล

วิธกี ารวดั ประเมนิ ผลการเรียนรู้ เครอ่ื งมือ เกณฑก์ ารประเมนิ

1. สังเกตพฤตกิ รรม 1. แบบสงั เกตพฤตกิ รรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ ร้อยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผา่ นเกณฑ์รอ้ ยละ 80

12. บันทกึ หลังการสอน
12.1 สรุปผลการเรยี นรู้ (ระบุ จำนวน / ร้อยละ / คา่ เฉล่ยี วา่ ผา่ นเกณฑ์กคี่ น)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปญั หา (ระบุวา่ ไม่ผา่ นเกณฑ์ก่ีคน ใครบา้ ง

.............................................................................................................................................. ...............................................
12.3 แนวทางแกป้ ญั หา (แก้ไขนักเรยี นท่ไี ม่ผา่ นไดอ้ ยา่ งไร)

.................................................................................................................................................... .........................................
12.4 ขอ้ เสนอแนะ

.............................................................................................................................................................................................

ลงชอ่ื ..................................................ผู้สอน
(นางสาวสุณรี ตั น์ สมอ้าง)

วนั ท.่ี ...............เดอื น...................พ.ศ. 25.....

ลงชื่อ.......................................................
(นางสาวกติ ติยา มุสิกสังข์)

หวั หนา้ กลุม่ สาระ..............................
วันท่ี...........เดอื น.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคดิ เหน็ ของหัวหน้าสถานศึกษา หรอื ผู้ที่ได้รบั มอบหมาย
.............................................................................................................................................................. ................................
.................................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................................

ลงชื่อ................................................................
(นายธงชยั วงศ์ษา)

รองผ้อู ำนวยการโรงเรียนกลุม่ การบริหารวชิ าการ
วนั ที่..............เดอื น..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยคร้งั ให้ 1

เกณฑ์การให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

ใบความรู้

การใชผ้ ลบวกของอนกุ รมอนันต์ ทเ่ี ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ

กำหนดโดย S = a1 , r 1
1− r

เมื่อ S คือ ผลบวกของอนกุ รมอนันตท์ เี่ ปน็ อนำกรมเรขาคณิต
a1 คอื พจน์ท่ี 1

r คอื อัตราสว่ นรว่ ม

จาก พิสจู น์ไดโ้ ดย

จากสูตรผลบวก n พจน์แรกของลำดบั เรขาคณิต
( )Sn
= a1 r n −1 , r1
r −1
( )หรือ
Sn = a1 1 − r n , r 1
1− r

Sn = a1 − a1r n , r 1
1− r

จาก ; Sn = a1 − a1r n
1− r 1− r

เมอ่ื r 1 คา่ ของ r n จะมคี ่าเขา้ ใกล้ 0 ( เมอ่ื n →  )

ดังน้นั Sn = a1 , r 1
1− r

จาก

1. อนุกรมอนนั ตท์ ีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี r  1 จะหาผลบวกได้ เรียกวา่ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์

2. อนุกรมอนนั ต์ท่ีเป็นอนุกรมเรขาคณิตท่ีมี r  1 จะหาผลบวกไม่ได้ เรยี กวา่ อนกุ รมไดเวอรเ์ จนต์

ใบความรู้ (ต่อ)

ตัวอยา่ ง จงหาผลบวกของอนุกรมอนันต์
วธิ ีทำ
2 + 4 + 8 + 16 + .....
5 25 125 625

อนุกรมท่ีกำหนดให้ เปน็ อนุกรมอนันตท์ ีเ่ ปน็ อนกุ รมเรขาคณติ

มี a1 = 2 และ r= 2
5 3

จากสตู ร S = a1 , r 1
1− r

แทนคา่ S = 2
5

1− 2
3

 S = 6
5

ดังนน้ั 2 + 4 + 8 + 16 + ..... = 6
5 25 125 625 5

ใบความรู้ (ต่อ)

การหาผลบวกของอนุกรมอนนั ตท์ ่เี ปน็ อนกุ รมเรขาคณิต โดยใช้ sigma (  )

กำหนดโดย



 xi = x + x2 + x3 + .....

i =1

= x , x 1
1− x

จาก ; เม่ือ x เปน็ คา่ คงตัวที่ x  1

ขอ้ สงั เกต

ตวั อยา่ ง n

 xi = x + x2 + x3 + ..... + xn

i =1

( )= x 1− xn , x  1
1− x

จงหาผลบวกของอนกุ รม

1 + 1 + 1 + 1 + ..... = 1 +  1 2 +  1 3 +  1 4.....
2 4 8 16 2 2 2 2

เปน็ อนุกรมอนนั ตท์ เ่ี ป็นอนุกรมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 1 และ r = 1
2 2

น่ันคือ จาก หา an ของอนกุ รมไดจ้ ากสตู ร

an = a1  r n−1

= 1  1 n−1
22

 an =  1 n
2

จาก เมอื่ ใช้  เขา้ ชว่ ยจึงกำหนดโดย n  1  = 1
2

i=1  2 

1− 1
2

=1

ดังนนั้ ผลบวกของอนกุ รม 1 + 1 + 1 + 1 + ..... = 1

2 4 8 16

ใบงานที่ 9 เรอื่ ง อนกุ รมเรขาคณติ

คำช้แี จง
1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตต่อไปนี้ เมอ่ื กำหนดให้

1.1. n = 4,a1 = 3 และ r = 2
1.2. n = 7,a1 = 5 และ r = 4
1.3. n = 14, a1 = −5 และ r = −2
1.4. n = 9,a1 = −3 และ r = 5

2. จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ 9 + 12 + 16 + 64 + .....

3

3. จงหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมเรขาคณิตท่ีกำหนดให้ต่อไปนี้
3.1. 9 + 27 + 81 + ..... + 729
3.2. 16 + 8 + 4 + ..... + 1

32

4. บริษัทแห่งหนึ่งซื้อรถยนต์มาในราคา 1,000,000 บาท ถ้าพนักงานบัญชีตั้งค่าเสื่อมราคาไว้ปีละ 20%
ซง่ึ หมายถงึ ราคารถยนต์คันน้จี ะลดลง 20 % ทกุ ปี อยากทราบว่า เมอื่ ครบห้าปรี ถยนต์คันน้ีจะมีมูลค่า
เท่าใด

เฉลย ใบงานท่ี 9 เร่อื ง อนกุ รมเรขาคณิต

1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิตต่อไปนี้ เมือ่ กำหนดให้

1.1. n = 4,a1 = 3 และ r = 2 ( )sn

วิธีทำ จากสูตร = a1 r n −1 , r1
r −1

จากสตู ร แทนคา่ ( )s4

= 3 24 −1
2 −1

จะได้ s4 = 45

1.2. n = 7,a1 = 5 และ r = 4 ( )sn

วธิ ที ำ จากสตู ร = a1 r n −1 , r1
r −1

จากโจทย์ แทนค่า ( )s7

= 5 47 −1
4 −1

จะได้ s7 = 27,305

1.3. n = 14, a1 = −5 และ r = −2
( )sn
วิธีทำ จากสูตร = a1 1 − r n , r 1
1− r

จากโจทย์ แทนค่า ( )s14

= (− 5)1 − (− )2 14
1− (− 2)

( )จะได้ −5
s14 = 3 1 − 214

1.4. n = 9,a1 = −3 และ r = 5 ( )sn

วิธที ำ จากสูตร = a1 r n −1 , r1
r −1

จากโจทย์ แทนค่า ( )s9

= (− 3) 59 −1

5 −1

จะได้ ( )s9= −3 59
4 −1

เฉลย ใบงานท่ี 9 เรอ่ื ง อนกุ รมเรขาคณติ (ตอ่ )

2. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 9 + 12 + 16 + 64 + .....
3
( )sn
วธิ ีทำ จากสตู ร = a1 r n −1 , r1
r −1

จากโจทย์ พบว่า a1 =9 และ r = 4
3

9 4 8 
− 1
 3  
แทนค่าจากโจทย์ s8 = 4 −1

3

= 27 4 8 
− 1
 3  

ดังนน้ั ผลบวก 8 พจน์แรก คอื 27 4 8 
− 1
 3  

3. จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิตที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้

3.1. 9 + 27 + 81 + ..... + 729

วธิ ีทำ จากโจทย์ พบว่า a1 = 9,r = 3 และ an = 729

จากสตู ร sn = an r − a1 , r 1
แทนคา่ r −1
(729)(3) −
sn = 9 = 1,089
3−1

ดงั นน้ั ผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องอนกุ รมเรขาคณติ คือ 1,089

3.2 16 + 8 + 4 + ..... + 1

32

วิธที ำ จากโจทย์ พบว่า a1 = 16, r = 1 และ an = 32
2

จากสูตร sn = a1 − an r , r 1
1− r

16 −  1  1 
แทนค่า  32  2 
sn = 1− 1

2

sn = 216 − 1  = 31 31
 64  32

ดังน้นั ผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิต คือ 31 31

32

เฉลย ใบงานท่ี 9 เร่อื ง อนกุ รมเรขาคณิต (ต่อ)

4. บริษัทแห่งหนึ่งซื้อรถยนต์มาในราคา 1,000,000 บาท ถ้าพนักงานบัญชีตั้งค่าเสื่อมราคาไว้ปีละ

20 % ซึ่งหมายถึง ราคารถยนต์คันนี้จะลดลง 20 % ทุกปี อยากทราบว่า เมื่อครบห้าปีรถยนต์คันน้ี

จะมมี ูลค่าเทา่ ใด

วิธีทำ จากโจทย์ พบวา่

ในปที ี่ 1 รถยนตม์ ีราคา 1,000,000 บาท

ในปีท่ี 2 รถยนตม์ ีราคา 1,000,000 80 บาท

100

ในปีท่ี 3 รถยนต์มีราคา 1,000,000 80  80 บาท

100 100

 

 เขียนเป็นลำดับเรขาคณติ ได้ คอื

1,000,000 , 1,000,000 80 , 1,000,000   80 2 + .....

100 100 

จาก ได้ a1 = 1,000,000 และ r = 80
จากสูตร 100

an = a1  r n−1

a6 = 1,000,000   80 6−1
100 

= 1,000,000   80 5
100 

 a6 = 327,860

ดงั นนั้ เมือ่ ครบห้าปี รถยนตค์ นั น้ีจะมมี ลู ค่า 327,860 บาท

ใบงานที่ 10 เรอื่ ง อนุกรมเรขาคณิต

1. จงหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 2 + 4 + 8 + 16 + .....

3 9 27

2. จงหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 0.2 + 0.067 + 0.00067 + 0.0000067 + .....

3. จงเขยี น •• ใหอ้ ยใู่ นรูปเศษสว่ น

0.6 7

4. จงหาค่าของ  16 1  i 

i=1   4  

เฉลย ใบงานท่ี 10 เรือ่ ง อนุกรมเรขาคณติ

1. จงหาผลบวกของอนกุ รมอนันต์ 2 + 4 + 8 + 16 + .....

3 9 27

วิธีทำ อนกุ รมที่กำหนดให้ เป็นอนุกรมอนนั ตท์ ี่เปน็ อนุกรมเรขาคณติ มี a1 = 2, r = 2
3

จากสูตร s = a1 , r 1
1− r

แทนคา่ s = 2
1− 2
3

หรือ อาจใช้ Sigma เข้าช่วย ดงั น้ี

จาก 2 + 4 + 8 + 16 + .....

3 9 27

มีพจนท์ ่ี an คอื 3 2 n
3

(หาสูตร an = a1  r n−1; a1 =2 และ r = 2 นน่ั เอง)
3

จาก จะได้ a1 = 3 2 i
 3 

น่นั คอื 

s = a1
i =1
=  3 2 i
i=1  3 
= 3   2 i
i=1  3 



 
= 3 2 
3 

 
1 − 2 

 3
 s = 6

ข้อควรจำ



s = xi
i=1

= x , x 1
1− x

*  เม่อื x  1 เป็นอนกุ รมอนันต์ท่เี ป็นอนุกรมเรขาคณติ ทีม่ ี a1 = x และ r = x

xi
i =1

เฉลย ใบงานท่ี 10 เร่อื ง อนกุ รมเรขาคณิต (ตอ่ )

2. จงหาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ 0.2 + 0.067 + 0.00067 + 0.0000067 + .....
วธิ ีทำ พจิ ารณาผลบวกของ 0.067 + 0.00067 + 0.0000067 + .....
พบว่าเป็นอนุกรมอนนั ต์ท่ีเปน็ อนุกรมเรขาคณติ ที่มี = 0.067 และ r = 0.01
จาก แสดงวา่

s = 0.067 ; s = a1 , r 1
1 − 0.01 1− r

s = 67
99

นน่ั คอื 0.2 + 0.067 + 0.00067 + 0.0000067 + ..... = 0.2 + 67

99

= 198 + 67
99

= 53
198

ดงั น้ัน ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์นี้เทา่ กบั 53

198

3. จงเขียน •• ให้อยู่ในรปู เศษส่วน

0.6 7

วธิ ที ำ ••

0.6 7 = 0.67676767 ...

= 0.67 + 0.0067 + 0.0000067 + .....

= 67 + 67 + 67 + .....
102 104 106

จาก พบวา่ เป็นอนกุ รมอนนั ต์ทเ่ี ป็นอนุกรมเรขาคณติ มี a1 = 67 และ r =1
100 100

แสดงวา่ •• 67

0.6 7 = 100

1− 1
100

= 67
99

น่นั คอื •• = 67

0.6 7 99

เฉลย ใบงานที่ 10 เรอื่ ง อนกุ รมเรขาคณติ (ตอ่ )

4. จงหาค่าของ  16 1  i 

i=1   4  

วิธที ำ จากสตู ร  x , x 1
=
i=1 1 − x

สมมตใิ ห้  16 1  i 
i =1 
s =   4  

= 16   1 i

i=1  4 



 
= 16 1 

4
 
 1 − 1 
4

s = 16
3

ดงั น้นั  16 1 i  = 16

i=1   4   3

เอกสารฝึกหดั

1. จงหาผลบวก 5 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต 5 + 20 + 80 + …
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. จงหาผลบวก 6 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ 12 + 6 + 3 +…
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 20 + 10 + 5 +…
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................... .......................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4. อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ท่ี 1 กับพจน์ท่ี 3 เท่ากับ 5 และผลบวกของพจน์ท่ี 4 กับ

พจนท์ ี่ 6 เท่ากับ 40 จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รก
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
5. อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ท่ี 1 กับพจน์ที่ 2 เท่ากับ 36 และผลบวกของพจน์ที่ 3 กับ

พจนท์ ี่ 4 เทา่ กับ 4 จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รก
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

ใบความรู้ เรอ่ื ง อนุกรมเรขาคณติ

อนกุ รมเรขาคณติ a1, a2, a3, …,an เปน็ ลำดับเรขาคณติ
ถา้ a1 + a2 + a3 + …+an เปน็ อนกุ รมเรขาคณิต
จะได้วา่ 3, 9, 27, …, 3n เป็นลำดบั เรขาคณิต
เช่น 3 + 9 + 27 + …+ 3n เปน็ อนกุ รมเรขาคณติ
ดังนน้ั

1) การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต
ให้ Sn = a1 + a1 r + a1 r2 + …+ a1 rn – 1
 r , rSn = a1 r + a1 r2 + a1 r2 + …+ a1 rn

– , Sn – rSn = a1 – a1 rn

เมอ่ื r  1 จากสมการ จะได้

Sn ( )= a1 1 − r n
1−r
เมื่อ r = 1 จากสมการ
จะได้

Sn = a1 + a1+a1+ ... +a1

จากสมการ n

Sn = na1
และ สรุปได้วา่

สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต คอื

an1a11 − r n เม่ือ r = 1
 1 − r เม่ือ r  1
( ) ( )Sn
= = a1 rn − 1
r −1

ใบความรู้ เรอื่ ง อนุกรมเรขาคณิต (ต่อ)

ตวั อย่าง 1 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + …
( )Sn
วิธที ำ จากสูตร = a1 1 − r n
1− r

จากโจทย์ a1 = 4, r = 2, n = 8
( )S8
= 4 1 − 28
1− 2

= –4 (1 – 256) = –4 (–255)

= 1,020

ดังน้นั ผลบวก 8 พจนแ์ รกเทา่ กับ 1,020

ตวั อย่าง 2 อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ที่ 1 กับพจน์ท่ี 2 เท่ากับ –3 และผลบวกของ

พจน์ที่ 5 กบั พจนท์ ี่ 6 เท่ากบั − 3 จงหาผลบวกของ 10 พจนแ์ รก
16

วธิ ีทำ จากโจทย์ a1 + a2 = –3 วเิ คราะห์แนวคดิ
a1 + a1r = –3
ต้องการหา S10
a1(1 + r) = –3 ( )S10 =
a1 1 − r n
จากโจทย์ a5 + a6 = − 3 1− r

16 ดงั นั้นตอ้ งการหา a1 และ r

a1 r4 + a1 r5 = − 3 โดยการแกส้ มการ 2 ตวั แปร

16 จาก a1 + a2 = –3

, r4 = 1 a1 + a6 = − 3

6 16

r = 1 ,−1
22

ถา้ r = 1 แทนคา่ ใน (1) จะได้

2

a1 1+ 1  = −3
 2 

a1 = − 3 2 = – 2

3

ใบความรู้ เร่อื ง อนุกรมเรขาคณิต (ต่อ)

(− 2)1 −  1 10 
 2  
S10 =
1− 1
2

= − 41 − 1 
 210 

= −4 + 1
28

= − 4 + 1
256

ถ้า r= − 1 แทนค่าใน = − 1023
2
256

จะได้

a1  1 − 1  = −3
 2 

a1 = – 6

(− 6 ) 1 −  − 1 10 
 2  
S10 =
1
1 + 2

= −4 + 1
28
1023
= − 256

ดงั นนั้ ผลบวก 10 พจนแ์ รกเท่ากบั − 1023
256

แบบทดสอบก่อนเรยี น – หลงั เรียน

คำสัง่ จงเลอื กคำตอบทีถ่ กู ตอ้ งเพยี งคำตอบเดียว

1. ถ้าอนุกรมเรขาคณติ มี a1 = 160, r = 3 และ sn = 2110 แลว้ ค่าของ n ตรงกับขอ้ ใด
2

ก. 3 ข. 4 ค. 5 ง. 6

2. ผลบวกของอนกุ รมเรขาคณติ (−1)+ 3 + (− 9)+ .....+ (− 729) ตรงกับข้อใด

ก. -547 ข. -549 ค. -551 ง. -553
ง. 2,188
3. ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรม 2 + 6 + 18 + ..... ตรงกับขอ้ ใด

ก. 2,182 ข. 2,184 ค. 2,186

4. ผลบวกของอนุกรมอนนั ต์ 2 + 4 + 8 + 16 + ..... ตรงกบั ข้อใด ง. 8

3 9 27

ก. 5 ข. 6 ค. 7

5. ผลบวกของอนุกรมอนันต์ 2 − 4 + 8 − 16 + ..... ตรงกับข้อใด

3 9 27

ก. 1 ข. 2 ค. 4 ง. 6

5 5 55

6. ถ้าผลบวกของอนุกรมอนันต์ 1 + 1 + 1 + 1 + .....เท่ากับ s แล้วผลบวกของอนุกรมอนันต์

11 22 32 42

2 + 2 + 2 + 2 + ..... มีคา่ เท่าใด

22 42 62 82

ก. S ข. 3 S ค. 1 S ง. 1 S
4 24

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น - หลังเรยี น

เฉลย

1. ค.
2. ก.
3. ค.
4. ข.
5. ง.
6. ค.

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 8

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผา่ น ไมผ่ ่าน
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมิน

วนั ที่................เดือน...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไมผ่ ่าน
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผู้ประเมิน

วนั ท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาท่เี รยี น ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟ ั งคว าม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อ่ืน หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าตั้ง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทีต่ อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางส่วน ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อย่างดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกล่มุ กลุ่ม

ภาคผนวก
บรรณานุกรม
กระทรวงศึกษาธิการ. ผังมโนทัศน์และสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์ หลักสูตรการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2544. พิมพ์ครั้งที่ 2. กรุงเทพฯ
(อัดสาเนา), 2546.
พันธ์ศักดิ์ ภูทอง. แผนการจัดการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ รายวิชาคณิตศาสตร์
พ้นื ฐาน ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรียนท่ี 1. กรงุ เทพ ฯ : สานักพิมพพ์ ฒั นาศึกษา, 2549.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. การจดั สาระการเรียนรู้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
คณิตศาสตร์ ชว่ งชนั้ ที่ 3-4 หลกั สูตรการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน (อดั สาเนา).
พมิ พค์ รั้งท่ี 2. กรุงเทพ ฯ : โรงพมิ พก์ ราฟฟคิ โกร บางบอน, 2546.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้พื้นฐาน
คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษา ปีท่ี 5. พิมพ์คร้ังที่
4. กรงุ เทพ ฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2547.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ค 015
ชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับปรับปรุง
2533). พมิ พ์ครั้งที่ 11. กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พค์ รุ ุสภาลาดพรา้ ว, 2544.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี. หนังสือเรียนคณิตศาสตร์ ค 046 ชั้น
มัธยมศึกษาตอนปลาย หลักสูตรมัธยมศึกษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 (ฉบับ
ปรบั ปรุง 2533). พมิ พค์ รัง้ ท่ี 12. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ครุ ุสภาลาดพร้าว, 2544.