แผนการจัดการเรียนรู้ 2565-1

1)

ใบความรู้ เรอื่ ง ลำดบั เรขาคณิต (ตอ่ )

ตวั อย่าง 2 ผลบวกสามพจนแ์ รกในลำดบั เรขาคณติ คอื –3 และผลคูณคอื 8 จงหาพจน์ 3 พจน์น้ี

วิธที ำ สมมติพจน์สามพจน์ทีเ่ รยี งกัน คือ a , a, ar วเิ คราะหแ์ นวคดิ
r ต้องการหาพจนส์ ามพจน์เรียงกัน
ผลคูณ 3 พจน์แรกในลำดับเรขาคณิต คอื 8 ให้สามพจนเ์ รยี งกันคอื a1, a1r,a1r2
ผลบวกคอื a1 + a1r + a1r2 = –3
( a )(a)(ar) = 8 ผลคณู คอื (a1)(a1r)(a1r2) = 8
r ซึ่งย่งุ ยากต่อการแกส้ มการและ
a3 = 8 โจทย์ขอ้ นไี้ มไ่ ดร้ ะบุวา่ สามพจน์
ท่เี รยี งกันนเี้ ป็นพจน์ทเ่ี ท่าไร
a=2 ดังนนั้ ควรสมมติให้สามพจนเ์ รียงกัน

ผลบวกสามพจน์แรก คอื –3

( a ) + (a) + (ar) = –3 คอื a , a, ar จะสะดวก
r
แทนค่า r และง่ายต่อการแกส้ มการ
จะได้
a =2

2 + 2 + 2r = –3

r

2 + 2r + 2r2 = – 3r

2r2 + 5r + 2 = 0

(2r + 1) (r + 2) = 0

r = − 1 , –2
2
ดังนนั้ ลำดบั ทเ่ี ปน็ ไปไดม้ ี 2 กรณี คอื

ถ้า r = − 1 ลำดับ คอื –4, 2, –1
2
ถา้ r = –2 ลำดบั คือ –1, 2, –4

แบบทดสอบกอ่ นเรยี น - หลังเรยี น

คำสง่ั ให้นกั เรียนแสดงวิธที ำอย่างละเอียด

1. จงหาพจนแ์ รกของลำดบั เรขาคณิตที่มี 32 เป็นพจนท์ ่ี 5 และ 2 เป็นอตั ราสว่ นรว่ ม

2

2. จงหาอตั ราส่วนร่วมของลำดบั เรขาคณิตทมี่ ี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

3. จงหาลำดบั เรขาคณิตท่ีมีผลบวกและผลคณู ของสามพจน์แรกเปน็ -3 และ 8 ตามลำดับ

4. จงหาจำนวนทอ่ี ยรู่ ะหวา่ ง จำนวนสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยจำนวนท้งั สามนั้นอยู่ในลำดบั เรขาคณติ

4.1. 5 และ 20

4.2. 8 และ 12

5. จงบอกว่าลำดับท่กี ำหนดให้ต่อไปน้ี ลำดับใดเปน็ ลำดบั เลขคณิต ลำดับใดเป็นลำดับเรขาคณิต

พร้อมท้งั บอกผลตา่ งรว่ มหรืออัตราส่วนร่วมของลำดับนัน้ ๆ

5.1. 6,−6,6,−6,.....

5.2. 3,1, 1 , 1 ,......

39

5.3. 4,2,0,−2,.....

5.4. −1, − 2 , −1, − 4 ,.....

4527

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น - หลงั เรียน

1. จงหาพจนแ์ รกของลำดบั เรขาคณติ ที่มี 32 เป็นพจน์ท่ี 5 และ 2 เปน็ อัตราสว่ นรว่ ม
2

วิธีทำ จากสูตร an = a1r n−1

จากโจทย์ a5 = 32
2

นัน่ คือ 32 = a1r 5−1
2

16 = a1r 4

จากโจทย์ อัตราสว่ นรว่ ม (r) = 2

แทนคา่ r = 2 ใน

จะได้ a1(2)4 = 16
จะได้ a1 = 1

2. จงหาอตั ราส่วนรว่ มของลำดับเรขาคณติ ที่มี a2 = 8 และ a5 = 64
3 81

วิธที ำ จากสตู ร an = a1r n−1

น่ันคือ จากโจทย์ a2 = 8
3

a1  r 2−1 = 8
3

a1  r = 8
3

จากโจทย์ a5 = 64
81

a1  r 5−1 = 64
81

a1r 4 = 64
81

; r3 = 8

27

จะได้ r = 3

2

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน – หลงั เรียน (ตอ่ )

3. จงหาลำดบั เรขาคณติ ท่ีมีผลบวกและผลคูณของสามพจน์แรกเปน็ -3 และ 8 ตามลำดับ

วธิ ีทำ สมมตใิ ห้สามพจนแ์ รกของลำดับเรขาคณิต เป็น a ,a,a  r

r

จากโจทย์ a + a + a  r = −3
r

จาก ,  a   a  (a  r) = 8
จะได้
แทนคา่ r
a3 = 8

a=2

a = 2 ใน

2 + 2 + 2r = −3
r
2 + 2r + 2r 2 = −3r

2r 2 + 5r + 2 = 0

(2r +1)(r + 2) = 0

จะได้ r = −1 หรอื -2

2

น่ันคอื ถ้า r = −1 จะได้ an = 2 − 1n−1
2 2

ถ้า r = −2 จะได้ an = 2(− )2 n−1

จะได้ ลำดบั เรขาคณติ คอื an = 2 − 1n−1 หรือ an = 2(− )2 n−1
2

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น – หลงั เรียน (ต่อ)

4. จงหาจำนวนที่อยู่ระหว่างจำนวนสองจำนวนที่กำหนดให้ โดยจำนวนท้งั สามนั้นอยใู่ นลำดับเรขาคณติ

4.1. 5 และ 20

วิธที ำ จากโจทย์ a1 = 5 และ a3 = 20

an = a1r n−1

นั่นคือ a3 = a1r 3−1

20 = (5)r 2

20 = r 2
5

ได้ r = 2
ตอ้ งการพจนก์ ลาง คอื a2

จะได้ a2 = a1  r

= (5)( 2)

4.2. 8 และ 12 a2 = 10
วธิ ที ำ จากโจทย์
a1 = 8 และ a3 = 12
นนั่ คือ
an = a1r n−1
a3 = a1  r 2

12 = (8)r 2

3 = r2
2

ได้ r =  3

2

ตอ้ งการหาพจน์กลาง คือ a2
จะได้ a2 = a1  r

= (8)  3 
2

a2 = 4 6

ดังนน้ั จำนวนทีอ่ ยู่ระหว่าง 8 และ 12 คือ 4 6 หรอื − 4 6

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี น – หลังเรยี น (ต่อ)

5. จงบอกวา่ ลำดบั ที่กำหนดใหต้ ่อไปนี้ ลำดับใดเป็นลำดับเลขคณิต ลำดบั ใดเป็นลำดับเรขาคณิต พร้อม
ทั้งบอกผลต่างรว่ มหรืออตั ราสว่ นร่วมของลำดับนนั้ ๆ
5.1. 6,−6,6,−6,.....
เปน็ ลำดับเรขาคณติ เน่อื งจาก − 6 = 6 = − 6 = −1

6 −6 6

นั่นคอื อัตราสว่ นรว่ ม (r) = −1

5.2. 3,1, 1 , 1 ,......

39

เปน็ ลำดับเรขาคณิต เนอื่ งจาก 1 = 1 = 1 = 1

33 93
11

3

น่ันคือ อัตราสว่ นรว่ ม (r) = 1

3

5.3. 4,2,0,−2,.....
เปน็ ลำดับเรขาคณติ เน่อื งจาก 2 − 4 = 0 − 2 = −2 − 0 = −2
นนั่ คอื ผลตา่ งร่วม (d) = −2

5.4. −1, − 2 , −1, − 4 ,.....

4527

ไมเ่ ปน็ ลำดับเลขคณิต และไม่เป็นลำดับเรขาคณติ
เนอื่ งจาก พจิ ารณาผลต่างร่วม (d) ของ a2 − a1  a3 − a2

และพจิ ารณาอัตราสว่ นรว่ ม (r) ของ a2  a3

a1 a2

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 6

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผ่าน ไม่ผา่ น
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมิน

วนั ที่................เดือน...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไมผ่ ่าน
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผู้ประเมิน

วนั ท.่ี ...............เดือน...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาทเ่ี รยี น ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟ ั งคว าม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อื่น หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าตั้ง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทต่ี อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางสว่ น ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อยา่ งดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกลมุ่ กลุ่ม

โรงเรยี นสวนกุหลาบวิทยาลัย นนทบุรี

แผนการจัดการเรยี นรู้

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 7 เร่อื ง อนุกรมเลขคณิต เวลา 8 ชั่วโมง
หนว่ ยท่ี 1
รหัสวชิ า ค 33101 ชอ่ื หน่วยการเรียนรู้ ลำดับและอนุกรม
ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 6
รายวิชา คณติ ศาสตร์พนื้ ฐาน ภาคเรยี นท่ี 1

กลมุ่ สาระการเรียนรู้ คณติ ศาสตร์

1. มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อื่นๆ แทน
สถานการณ์ตา่ งๆ ตลอดจนแปลความหมายและนำไปใช้แก้ปญั หาได้
มาตรฐาน ค 4.2 : (5) เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขาคณิต หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต โดย
ใช้สตู รและนำไปใช้

2. ตัวช้ีวดั เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรม
ค 4.2 ม. 4/ 5 เรขาคณิต หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิต
โดยใช้สูตรและนำไปใช้ได้

3. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้สตู่ วั ช้วี ดั /ผลการเรียนรู้

วเิ คราะหพ์ ฤติกรรมการเรยี นรู้ทคี่ าดหวงั โดยใส่เครือ่ งหมาย ✓ ลงในชอ่ ง K, P, A

K – ดา้ นความรู้, P - ดา้ นทักษะ/กระบวนการ, A - ดา้ นคุณลกั ษณะพงึ ประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบทง้ั หมด)

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ / ผลการเรียนรู้ KPA

1. บอกความหมายของผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ ✓

2. หาผลตา่ งรว่ มของอนุกรมเลขคณิต ✓

3. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ✓

4. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อย่างเหมาะสม

5. มีความสามารถนำความรแู้ ละทกั ษะเรอื่ งลำดบั เลขคณติ ไปประยกุ ต์ใช้ ✓

6. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน กล้าแสดงความคิดเหน็

4. สาระสำคัญ (ความคิดรวบยอด)

อนุกรมทไ่ี ดจ้ ากลำดับเลขคณิต เรียกวา่ อนุกรมเลขคณติ และผลต่างรว่ มของลำดบั เลขคณิต จะเป็น

ผลตา่ งร่วมของอนกุ รมเลขคณิตดว้ ย n
2
 สตู ร Sn
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต คือ = 2a1 +(n − 1)d

หรือ Sn = n (a1 + a n )
2

5. สาระการเรยี นรู้
5.1. ความรู้
1) บอกความหมายของผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต
2) หาผลตา่ งรว่ มของอนกุ รมเลขคณิต
3) หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ
5.2. ทักษะ/กระบวนการ/กระบวนการคดิ
1) ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้อย่าง

เหมาะสม
2) มคี วามสามารถนำความรู้และทกั ษะเรอ่ื งลำดับเลขคณติ ไปประยกุ ต์ใช้

5.3. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อ
ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณติ ศาสตรก์ บั ศาสตร์อนื่ ๆ และมคี วามคดิ รเิ รมิ่ สร้างสรรค์

5.4. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจใน
การทำงาน มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน กล้าแสดงความคดิ เห็น

6. ความเข้าใจทีค่ งทน

นักเรียนสามารถสรุปได้วา่

อนุกรมท่ไี ดจ้ ากลำดบั เลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลตา่ งรว่ มของลำดับเลขคณิต จะ

เปน็ ผลตา่ งร่วมของอนกุ รมเลขคณติ ดว้ ย n
2
 สตู ร Sn
ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ คอื = 2a1 +(n − 1)d

หรือ Sn = n (a1 + a n )
2
7. ชน้ิ งานหรือภาระงาน

ใบงาน

8. คำถามทา้ ทาย
ถ้านายสมคิดตั้งใจว่าจะออมเงินด้วยการนำเงินไปฝากธนาคารโดยฝากเดือนแรก 1,000 บาท เดือน

ถัดไปเพิม่ ขนึ้ เดือนละ 200 บาท ทกุ เดอื น เป็นเวลา 1 ปี อยากทราบว่าเดือนที่ 12 นายสมคิดตอ้ งนำเงินไปฝาก
ธนาคารกบ่ี าท และเมื่อครบ 1 ปี จำนวนเงนิ ทน่ี ายสมคิดไปฝากคิดรวมทัง้ หมดเป็นเงนิ ก่บี าท

9. กิจกรรมการเรยี นรู้
การบูรณาการกบั ปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพียง
1) ความพอประมาณ รู้จักลำดับ ก่อน หลัง จัดลำดับสิ่งต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสมและ
พอประมาณ
2) ความมีเหตุผล รู้จักนำกระบวนการจัดลำดับ การเรียงลำดับสิ่งต่างๆ ไปใช้ในชีวิตประจำวนั
อย่างมเี หตุผล
3) การมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี มีความตระหนักและรู้คุณค่าของการจัดลำดับ การเรียงลำดับส่ิง
ต่างๆ อย่างถูกต้อง จัดวาง จัดเรียง รู้จักวางแผนได้จากการจัดลำดับสิ่งต่างๆ และสิ่งที่จะ
เกดิ ขนึ้ ได้อยา่ งเหมาะสม
4) เงื่อนไขความรู้ รู้จักนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมไปปรับประยุกต์ใช้ในการดำเนินชีวิต
และสถานการณ์ต่างๆ อยา่ งเหมาะสม
5) เงื่อนไขคุณธรรม นำหลักการการจัดลำดับ เรียงลำดับสิ่งต่างๆ ที่ถูกต้อง และเหมาะสม ไป
ใช้ กบั ความมีระเบยี บ วนิ ยั จัดลำดับขนั้ ตอนต่างๆ ได้ ตามความถูกตอ้ ง และเหมาะสม
9.1. วัดผลกอ่ นเรียน
1) นักเรยี นทำแบบทดสอบกอ่ นเรียน
คาบท่ี 1 – 2
9.2. ขน้ั นำ
2) ครูแจง้ ตวั ชวี้ ดั และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้
3) ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 5 คน ตามแบบกลุ่มร่วมมือ (Cooperative Learning) ให้

นักเรียนสามารถเรียนรู้แบบร่วมมือกันเรียนรู้เป็นกลุ่ม (Team Assisted Individualization : TAI) โดยให้
นักเรียนที่มีคะแนนทดสอบในเรื่องลำดับเรขาคณิตสูงสุด 5 อันดับแรก เป็นหัวหน้ากลุ่ม และให้หัวหน้ากลุ่ม
เลือกสมาชกิ เพิ่มอีกกลุ่มละ 5 คน

9.3. ขัน้ สอน จดั กิจกรรม
4) นกั เรยี นในกลมุ่ เลอื กประธาน เลขานุการ เพอื่ จัดกิจกรรมเรยี นร้รู ่วมกบั ครู
5) นกั เรยี นแต่ละกลุม่ ทบทวนลำดบั เลขคณติ เพ่ือจะนำเขา้ สู่อนกุ รมเลขคณติ ดงั นี้
ให้ a1,a2,a3,a4,.....an ,..... เปน็ ลำดบั เลขคณิต ผลบวกของพจนท์ กุ พจน์ของลำดับเลข

คณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต และผลบวกของ n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตที่เขียนแทนด้วย Sn มี
ความหมาย ดังน้ี

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3



Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an

เราสามารถหาผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ ไดด้ ังน้ี

ให้ Sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an−2 + an

= a1 + a1 + d+ a1 + 2d+ .....+ a1 + (n −1)d

หรอื อาจเขยี น Sn ใหม่ ไดเ้ ป็น

Sn = an + an−1 + an−2 + ..... + a3 + a2 + a1

= an + an − d+ an − 2d+ ..... + an (n −1)d

จาก และ จะได้
2Sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + ..... + (a1 + an )
2Sn = n(a1 + an )

Sn = n (a1 + an )
2

ให้ an = a1 + (n −1)d

จาก จะได้

Sn = n a1 + a1 + (n −1)d
2

ดังนัน้ Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

สูตรการหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต

Sn = n (a1 + an )
2

หรอื Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

เมือ่ กำหนด a1 คอื พจน์แรก d คอื ผลต่างร่วม

n คือ จำนวนพจน์ Sn คือ ผลบวก n พจน์แรก

และ an คือ พจนส์ ดุ ท้าย

6) ครูยกตัวอย่างการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และผลบวกของพจน์ต่างๆ

ในอนุกรมเลขคณติ ดังนี้

ตวั อยา่ ง 1 จงหาผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 7+15+23+.....

วธิ ที ำ จากโจทย์ พบวา่ a1 = 7 และผลตา่ งรว่ ม (d) = 8

จากสตู ร an = a1 + (n −1)d

แทนคา่ a7 = 7 + (7 −1)(8)

a7 = 55

จากสูตร Sn = n (a1 + an )
2

แทนค่า S7 = 7 (7 + 55)
2

= 217

ดงั นน้ั ผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ เท่ากบั 217

ตัวอยา่ ง 2 จ ง ห า ผ ล บ ว ก ข อ ง พ จ น ์ ท ุ ก พ จ น ์ ข อ ง อ น ุ ก ร ม เ ล ข ค ณิ ต

18+20+22+24+.....+482

วธิ ีทำ จากโจทย์ พบวา่ a1 = 18 ผลตา่ งร่วม (d) = 2

จะหาจำนวนพจน์ (n) ได้ดังน้ี
จากสูตร an= a1 + (n −1)d
แทนคา่ 482 = 18 + (n −1)(2)

482 = 18 + 2n − 2

n = 233

จาก n = 233 ดงั นัน้ หาผลบวกของ 18+20+22+24+.....+482 หรือ S233

จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

แทนคา่ S 233 = 233 (18 + 482)

2

= 58,250

หรือจากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

S 233 = 2332(18) + (233 − 1)(2)

2

= 58,250

ดงั น้นั ผลบวกของพจน์ทุกพจนข์ องอนุกรมเลขคณิต คือ 58,250

ตัวอยา่ ง 3 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ 3+7+11+15+.....

วิธีทำ จากโจทย์ พบว่า a1 = 3 และผลต่างรว่ ม (d) = 4

จากสูตร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

แทนค่า Sn = n 2(3) + (n − 1)(4)
2

Sn = n (4n + 2)
2

Sn = 2n2 + n

ดังนั้น ผลบวกของ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณติ คอื (Sn ) = 2n2 + n

ตวั อย่าง 4 จงหาผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่เป็นพหคุ ูณของ 3 ย่สี ิบจำนวนแรก

วิธีทำ จากโจทย์พบว่า ผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่เป็นพหุคูณของ 3 คือ

3 + 6 + 9 +12 + .....

มี a1 = 3 และ d = 3

จากสตู ร S 20 = n 2(3) + (20 −1)(3)

2

แทนคา่ S20 = 106 +19(3)

= 630

ดังนน้ั ผลบวกของจำนวนเต็มบวกทเี่ ป็นพหุคณู ของ 3 ย่สี ิบจำนวนแรก คอื 630
ตัวอย่าง 5 อนุกรมเลขคณิตหน่ึงมีพจน์ท่ีสิบเป็น 20 และพจน์ทีห่ ้าเปน็ 10 จงหาผลบวก

ต้ังแต่พจนท์ ่ี 8 ถึง 15
วธิ ที ำ จากโจทย์พบวา่ a10 = 20

นน่ั คอื a10 = a1 + (10 −1)d

= a1 + 9d

จากโจทยพ์ บวา่ 20 = a1 + 9d
-; a5 = 10
10 = a1 + 4d
10 = 5d

2=d

แทนค่า d = 2 ใน

20 = a1 + 9(2)

2 = a1

ผลบวกตง้ั แต่พจนท์ ่ี 8 ถงึ 15 คือ S15 − S7

จากสูตร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

นัน่ คอื S15 = 15 2(2) + (15 −1)(2)

2

= 240

และ S7 = 7 2(2) + (7 − 1)(2)

2

= 56

ดงั นนั้ ผลบวกตง้ั แต่พจน์ท่ี 8 ถงึ 15 = 240 – 56 = 184
9.4. ข้นั วิเคราะห์

7) ครูแจกใบงานให้นักเรียนแต่ละกลุ่มช่วยกันหาคำตอบของอนุกรมเลขคณิตที่ได้รับ
มอบหมาย

8) ครูสมุ่ ให้นกั เรียนส่งตัวแทนมานำเสนอผลงานหนา้ ชนั้ เรียน
9) นักเรียนทุกคนร่วมกันตรวจสอบความถูกต้อง จากเพื่อนที่มานำเสนอผลงาน และครูสรุป
เพ่มิ เติมในสว่ นทไ่ี ม่สมบรู ณ์

9.5. ขัน้ สรปุ

10) ครแู ละนักเรียนช่วยกนั สรุปความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ และ

ให้นักเรยี นบรรทุกลงสมุด พรอ้ มแจกใบความรู้ การหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต โดยเลือกใช้ Sigma ( )

เข้าชว่ ย

11) ครมู อบหมายให้นักเรียนทำแบบฝึกหัด 1.2.1 หน้า 38 และ 39 ขอ้ 1, 2, 3, 8, 9, 15 และ

ใบงาน

12) ทำแบบทดสอบหลงั เรียน

คาบท่ี 3 – 4

นักเรียนทุกคนทำเอกสารแนะแนวทาง แล้วใช้การถามตอบเฉลยคำตอบ จากเอกสารแนะ

แนวทางเป็นการเสริมความเข้าใจบทนิยามโดย ให้นักเรียนพิจารณาลักษณะรวม สังเกตรูปท่ัว

ไปสู่ข้อสรุป ถ้านักเรียนสรปุ ไมไ่ ด้ ใช้การถามตอบเพ่อื แนะแนวทางจนกว่าจะเขา้ ใจและสรปุ ได้วา่

บทนิยาม

เมื่อ a1, a2, a3, …, an เป็นลำดับจำกัด และ a1, a2, a3, …, an, เป็นลำดับอนันต์ เรียกการแสดงผล
บวกของพจน์ทุกพจน์ของลำดับในรูป a1, a2, a3, …, an และ a1, a2, a3, …, an, ว่าอนุกรม

อนุกรมทไ่ี ดจ้ ากลำดับจำกัด เรียกวา่ อนกุ รมจำกดั

อนุกรมท่ไี ด้จากลำดับอนนั ต์ เรียกว่า อนุกรมอนันต์

ใชก้ ารถามตอบใหน้ กั เรียนสรุปไดว้ า่

สำหรับอนุกรม a1, a2, a3, …, an หรือ a1, a2, a3, …, an
เรียก a1 ว่า พจนท์ ี่ 1 ของอนกุ รม

a2 วา่ พจน์ที่ 2 ของอนกุ รม
a3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของอนุกรม



an วา่ พจนท์ ี่ n ของอนกุ รม
13) แจกเอกสารฝึกหดั 1 ใชก้ ารถามตอบให้นักเรียนทกุ คนทำไปพร้อมๆ กัน

14) ใชก้ ารถามตอบประกอบอธิบายแสดงเหตผุ ลจนกวา่ นกั เรยี นช่วยกนั สรปุ ได้ว่า

สตู ร ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ คอื Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
2

หรอื Sn = n (a1 + an )
2

15) เขียนตัวอย่างทั้ง 1, 2, 3 ทีละตัวอย่างบนกระดานแล้วใช้การถามตอบวิเคราะห์แนวคิด

แล้วช่วยกันทำไปพร้อมกันบนกระดาน เสร็จแล้วครูแจกใบความรู้เพื่อให้นักเรียนไปศึกษาเพิ่มเติม / ทบทวน

เสรมิ ความเข้าใจอีกครง้ั

ตวั อยา่ ง 1 จงหาผลบวก 25 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ 3 + 5 + 7 + …

วิธีทำ สำหรบั การหาผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ สามารถทำได้ 2 วธิ ี
n
 (1) Sn 2
หาโดยใชส้ ตู ร = 2a1 +(n− 1) d

(2) หาโดยใช้สูตร Sn = n (a1 + a n )
2

 Sn n
วิธที ี่ 1 จากสูตร = 2 2a1 +(n − 1)d

จากโจทย์ n = 25, a1 = 3, d = 2

แทนค่าในสูตร จะได้

S 25 = 25 2(3) + (25−1) (2)

2
25
= 2 (54)

= 675

ผลบวก 25 พจนแ์ รก คือ 675 n
2
วิธีท่ี 2 จากสูตร Sn = (a1 + a n )

จากโจทย์ n = 25, a1 = 3

an = a25 = a1 + 24d = 3 + 24 (2) = 51

ดังน้ัน S 25 = 25 (3+ 51)
2

= 25 (27)

= 675

ตวั อย่าง 2 ถ้าอนกุ รมเลขคณติ คอื 15+13+11+… จงหาค่าของ n ท่ีทำให้ Sn = –36

วธิ ีทำ จากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
จากโจทย์ 2

Sn =–36, a1 = 15, d = 13 – 15 = –2

แทนคา่ ในสตู ร จะได้ − 36 = n 2(15) + (n −1) d

2

− 72 = 30n − 2n2 + 2n

2n2 – 32n – 72 = 0
n2 – 16n – 36 = 0

(n – 18) (n + 2) = 18, –2

แต่ n เป็นจำนวนเตม็ บวก

ดงั นน้ั n = 18

ตัวอยา่ ง 3 อนุกรมเลขคณิตชดุ หน่ึง มีผลบวกของพจนท์ ี่ 2 กบั พจนท์ ี่ 4 เทา่ กบั 15 และ

ผลบวกของพจนท์ ่ี 5 กับพจน์ที่ 6 เทา่ กบั 25 จงหาผลบวกของ 12 พจน์แรก

วิธีทำ จากโจทย์ a2 + a4 = 15

(a1 + d) + (a1 + 3d) = 15

2a1 + 4d = 15
15
a1 + 2d = 2

จากโจทย์ a5 + a6 = 25

(a1 + 4d) + (a1 + 5d) = 25

2a1 + 9d = 25

จาก จะได้ a1 = 15 − 2d

2

นำ a1 = 15 − 2d แทนค่าใน

2

จะได้ 215 − 2d  + 9d = 25

2 

15 – 4d + 9d = 25

5d = 10

d=2

ดังนน้ั a1 = 15 − 2(2)
2

S12 = 12 2 7  + (12 − 1)(2)
2 2 

= 6(29)

= 174

ผลบวกของ 12 พจนแ์ รก เท่ากบั 174

16) แจกเอกสารฝึกหัด 2 ให้นักเรียนทุกคนด้วยการช่วยเหลือกันภายในกลุ่ม ครูเดินดูรอบๆ
สังเกตช่วยช้แี นะแก้ไขปัญหาตา่ งๆ เมือ่ ทำเสร็จแลว้ ครูสุ่มนกั เรียนออกมาเฉลยบนกระดาน โดยมีนกั เรียนทเี่ หลือ
และครูตรวจสอบความถูกตอ้ ง

17) นักเรียนชว่ ยกันสรปุ การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ
18) นกั เรียนทุกคนทำเอกสารแบบฝกึ หัด 1.1.5 เป็นการบ้าน
19) สุ่มนกั เรยี นออกมาเฉลยการบา้ นโดยมนี กั เรียนทเี่ หลอื ตรวจสอบความถูกต้อง
20) ยกตวั อย่าง 4 ใชก้ ารถามตอบทำให้ดบู นกระดานและนกั เรยี นทำไปพร้อมๆ กบั ครู

ตัวอยา่ ง 4 ถา้ อนุกรมเลขคณติ มี Sn = n2 – 5n จงหาพจน์ท่ี 8

วิธีทำ เน่อื งจาก a8 = a8 – a7

จาก Sn = n2 – 5n
S8 = 82 – 5(8)

= 24

S7 = 72 – 5(7)

= 14

a8 = 24 – 14 = 10
ดังน้นั พจนท์ ี่ 8 คือ 10

21) ยกตัวอย่าง 5 ใช้การถามตอบให้นักเรียนช่วยกันวิเคราะห์แนวคิดแล้วสุ่มนักเรียนออกมา

เขยี นวธิ ที ำบนกระดานแบบต่อๆ กัน

ตวั อยา่ ง 5 จงหาผลบวกของจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 200 กับ 500 เมื่อจำนวนเต็ม

แต่ละจำนวน

1) หารดว้ ย 6 ลงตวั

2) หารดว้ ย 6 ไมล่ งตวั

วิธที ำ 1) a1 = 204
d =6

an = 498
อนุกรมของจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 200 กับ 500 และหารด้วย 6 ลง

ตวั คือ 204 + 210 + 216 + … + 498

จาก an = a1 + (n – 1)d
498 = 204 + (n – 1) (6)

จะได้ n = 50

จาก Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
2

จะได้ S50 = 50 2(204)+ (50 − 1) (6)

2

= 25 (702)

= 17,550

ผลบวกของจำนวนเตม็ ท่หี ารดว้ ย 6 ลงตวั เทา่ กบั 17,500

2) ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีค่าอยู่ระหว่าง 200 กับ 500 คือผลบวกของ

อนุกรม 201 + 202 + 203 + …+499

จาก an = a1 + (n – 1)d
499 = 201 + (n – 1) (1)

298 = n – 1

n = 299

S299 = 299 2(201)+(299− 1)(1)
2
=
299 (700)
2

= 104,650
ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 200 กับ 500 ที่หารด้วย 6 ไม่ลง
ตัวเทา่ กับ ผลบวกของจำนวนเต็มทม่ี คี า่ ระหว่าง 200 กับ 500 – ผลบวก
ของจำนวนเต็มท่ีมีค่าระหวา่ ง 200 กับ 500 ที่หารด้วย 6 ลงตัว เท่ากบั
104,650 – 17,550 = 87,100
22) นักเรียนทุกคนทำเอกสารฝึกหัดด้วยการชว่ ยเหลอื กันภายในกลุ่ม เมื่อทำเสร็จแลว้ นักเรียน
ออกมาเฉลยบนกระดานโดยมนี ักเรยี นที่เหลอื ตรวจสอบความถูกต้อง
23) นกั เรยี นชว่ ยกันสรปุ การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ
24) นักเรียนทุกคนไปคิดการบ้านแต่งโจทย์ปัญหาในการนำความรู้เรื่องอนุกรมเลขคณิตไป
ประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวัน คนละ 1 ข้อโดยครูยกตัวอย่างโจทย์ปัญหาที่นำความรู้เรื่องอนุกรมเลขคณิตไป
ประยุกต์ใชใ้ นชวี ติ ประจำวนั ดังนี้
ตวั อย่างโจทยป์ ัญหา ถ้านายสมคิดตั้งใจว่าจะออมเงินด้วยการนำเงนิ ไปฝากธนาคารโดย
ฝากเดือนแรก 1,000 บาท เดือนถัดไปเพิ่มขึ้นเดือนละ 200 บาท ทุกเดือน เป็นเวลา 1 ปี
อยากทราบว่าเดือนที่ 12 นายสมคิดต้องนำเงินไปฝากธนาคารกี่บาท และเมื่อครบ 1 ปี
จำนวนเงนิ ทน่ี ายสมคดิ ไปฝากคิดรวมทั้งหมดเปน็ เงินก่บี าท
9.6. วัดผลหลงั เรียน
25) ทำแบบทดสอบหลงั เรยี น
9.7. การจัดบรรยากาศเชงิ บวก
ใหน้ ักเรยี นทำกจิ กรรมในใบงานแลว้ ออกมาอภปิ รายแตล่ ะกลมุ่

10. สื่อ / แหลง่ การเรยี นรู้
10.1. สอ่ื
1. หนงั สือเรียนคณิตศาสตรพ์ ืน้ ฐาน เรือ่ งลำดบั และอนุกรม
2. ใบความรู้
3. ใบงาน
10.2. แหลง่ การเรยี นรู้
1. หอ้ งสมุดโรงเรยี น หอ้ งสมุดกลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์
2. เวบ็ ไซตส์ ำหรับการสบื คน้ ขอ้ มลู เช่น
http://wwwthai-mathpaper.net/papers_offline.php
และ http://www.neutron.rmutphysics.com
10.3. วัสดุ / อุปกรณ์
1. หนงั สือเรยี น
2. ใบงาน

11. การวัดผลและประเมนิ ผล

วธิ กี ารวัดประเมนิ ผลการเรียนรู้ เคร่อื งมือ เกณฑ์การประเมนิ

1. สังเกตพฤติกรรม 1. แบบสังเกตพฤตกิ รรม 1. คะแนนจากแบบสังเกตพฤติกรรม ผ่าน

เกณฑ์ ร้อยละ 80

2. ตรวจผลงาน 2. ใบงาน 2. คะแนนจากใบงาน ผ่านเกณฑ์ร้อยละ 80

12. บนั ทกึ หลงั การสอน
12.1 สรุปผลการเรียนรู้ (ระบุ จำนวน / รอ้ ยละ / คา่ เฉลย่ี วา่ ผ่านเกณฑก์ ่คี น)

............................................................................................................................. ................................................................
12.2 ปญั หา (ระบุว่าไม่ผา่ นเกณฑ์กีค่ น ใครบา้ ง

............................................................................................................................. ................................................................
12.3 แนวทางแก้ปัญหา (แกไ้ ขนกั เรียนท่ไี มผ่ ่านไดอ้ ย่างไร)

................................................................................................................................... ..........................................................
12.4 ข้อเสนอแนะ

.................................................................................................................................................................................. ...........

ลงชือ่ ..................................................ผูส้ อน
(นางสาวสุณีรตั น์ สมอ้าง)

วันท.่ี ...............เดอื น...................พ.ศ. 25.....

ลงชอ่ื .......................................................
(นางสาวกิตตยิ า มสุ ิกสงั ข)์

หัวหน้ากลมุ่ สาระ..............................
วนั ที่...........เดอื น.....................พ.ศ. 25.....

13. ความคิดเหน็ ของหัวหน้าสถานศึกษา หรอื ผู้ทไ่ี ด้รบั มอบหมาย
............................................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .................................................................

ลงชือ่ ................................................................
(นายธงชัย วงศ์ษา)

รองผ้อู ำนวยการโรงเรยี นกลมุ่ การบรหิ ารวชิ าการ
วนั ท่ี..............เดือน..........................พ.ศ. 25.......

ตวั อยา่ งแบบสังเกต พฤติกรรมการทำงานกล่มุ

กลุ่มที่ (ช่ือกลมุ่ )....................................................................................................................................................
สมาชิกกลมุ่ 1. .................................................................. 2. ..................................................................

3. .................................................................. 4. ..................................................................
5. .................................................................. 6. ..................................................................

คำชีแ้ จง : ใหน้ ักเรยี นทำเครื่องหมาย ✓ ในช่องท่ีตรงกบั ความเปน็ จรงิ

พฤติกรรมที่สังเกต 3 คะแนน 1
2
1. มสี ว่ นรว่ มในการแสดงความคิดเหน็
2. มีความกระตอื รอื รน้ ในการทำงาน

3. รับผิดชอบในงานท่ีได้รบั มอบหมาย
4. มขี ้ันตอนในการทดงานอยา่ งเปน็ ระบบ
5. ใช้เวลาในการทำงานอยา่ งเหมาะสม

รวม

เกณฑก์ ารให้คะแนน คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำเปน็ ประจำ ให้ 3 คะแนน
พฤติกรรมทที่ ำเปน็ บางครัง้ ให้ 2 คะแนน
พฤติกรรมทท่ี ำน้อยครัง้ ให้ 1

เกณฑก์ ารให้คะแนน

ชว่ งคะแนน ระดบั คณุ ภาพ

13 - 15 ดี

8 - 12 พอใช้

1 - 7 ปรับปรุง

ใบงานที่ 8 เรื่อง อนกุ รมเลขคณิต

คำส่ัง 1. จงหาผลบวกของลำดับเลขคณติ ทีก่ ำหนดให้ตอ่ ไปน้ี
1.1. จงหาผลบวก 60 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ − 2,3,8,13,18,.....
1.2. จงหาผลบวก 50 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ 1 ,1, 3 ,2, 5 ,.....

22 2

1.3. จงหาผลบวก 100 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ −1, 1 ,1, 5 , 7 ,.....

3 3 33

คำส่งั 2. จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณติ ตอ่ ไปนี้
2.1. จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ คบ่ี วก 100 จำนวนแรก
2.2. จงหาผลบวกของจำนวนคต่ี ง้ั แต่ 17 ถึง 379
2.3. ชายคนหนึ่งเริ่มต้นทำงานตั้งแต่ปี พ.ศ. 2540 โดยได้รับเงินเดือน 9,500 บาท
ถ้าเขาได้เงินเดือนเพิ่มขึน้ ปีละ 700 บาท จงหาว่าในปี พ.ศ. 2550 เขาจะได้รับ
เงนิ เดอื น เดอื นละเท่าไร

เฉลย ใบงานท่ี 8 เรอ่ื ง อนกุ รมเลขคณติ

1. จงหาผลบวกของลำดับเลขคณิตทกี่ ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี
1.1. จงหาผลบวก 60 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณิต − 2,3,8,13,18,.....

วิธีทำ จากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
จากโจทย์ 2
แทนคา่
a1 = −2, d = 5, n = 60

Sn = 60 2(− 2) + (60 −1)(5)

2
= 30(− 4 + 295)

= 8,730

นั่นคอื ผลบวก 60 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ คือ 8,730

1.2. จงหาผลบวก 50 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ 1 ,1, 3 ,2, 5 ,.....

22 2

วิธที ำ จากสูตร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

จากโจทย์ พบวา่ a1= 1 ,d = 1 ,n = 50
2 2

แทนคา่ Sn = 50 2 1  + (50 − 1) 1 
2  2  2 


= 251 + 49 
 2

= 1,275
2

ดังนน้ั ผลบวก 50 พจน์แรกของลำดบั เลขคณิต คอื 1,275

2

1.3. จงหาผลบวก 100 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณติ −1, 1 ,1, 5 , 7 ,.....

3 3 33

วิธีทำ จากสูตร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

จากโจทย์ พบวา่ a1 = −1,d = 2 ,n = 100
3 3

แทนคา่ Sn = 100 2 −1  + (100 − 1) 2 
2  3  3 


= 50 − 2 + 198 
3 3

= 9800
3

น่ันคอื ผลบวก 100 พจน์แรกของลำดับเลขคณติ คือ 9800

3

เฉลย ใบงานที่ 8 เรอ่ื ง อนุกรมเลขคณิต (ต่อ)

2. จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิตต่อไปนี้
2.1. จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ คี่บวก 100 จำนวนแรก
วิธีทำ จากโจทยพ์ บว่า ผลบวกของจำนวนเต็มคีบ่ วก กำหนดโดย
1+3+5+7+..... ซง่ึ เปน็ อนกุ รมเลขคณิต มี a1 = 3,d = 2

จากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1)d 
2

แทนค่า S100 = 100 2(1) + (100 −1)(2)

2
= 50(2 +198)

= 10,000

นน่ั คอื ผลบวกของจำนวนเต็มค่ีบวก 100 จำนวนแรก คอื 10,000
2.2. จงหาผลบวกของจำนวนคตี่ ง้ั แต่ 17 ถึง 379
วิธีทำ จากโจทย์พบวา่ ผลบวกของจำนวนเตม็ ค่บี วก กำหนดโดย
17+19+21+.....+379 ซ่ึงเปน็ อนกุ รมเลขคณติ มี a1 = 17,d = 2 และ an = 379

จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

Sn = n (17 + 379)

2
จาก หา n จากสตู ร an = a1 + (n −1)d
379 = 17 + (n −1)(2)

182 = n

จะได้ S182 = 182 (17 + 379)

2
= (91)(396)

= 36,036

น่ันคอื ผลบวกของจำนวนเต็มคตี่ ั้งแต่ 17 ถงึ 379 คอื 36,036
2.3. ชายคนหนึ่งเริ่มต้นทำงานตัง้ แต่ปี พ.ศ. 2540 โดยได้รับเงินเดือน 9,500 บาท ถ้าเขาได้เงินเดือน

เพิ่มขนึ้ ปีละ 700 บาท จงหาวา่ ในปี พ.ศ. 2550 เขาจะได้รับเงนิ เดอื น เดอื นละเท่าไร
วิธที ำ จากโจทย์ การไดร้ บั เงนิ เดือน กำหนดโดยลำดับเลขคณติ ไดด้ งั นี้

9,500, 10,200, 10,900, ... ตอ้ งการหาว่า ในปี พ.ศ. 2550 จะไดร้ บั เงินเดือนเท่าไร
จะได้ an = a1(n −1)d

a11 = 9,500 + (11−1)(700)

= 9,500 + 7,000

= 16,500

นัน่ คือ ในปี พ.ศ. จะไดร้ บั เงินเดอื นๆ ละ 16,500

ใบความรู้

สญั ลกั ษณก์ ารบวก

การบวกอนกุ รม อาจเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณก์ ารบวก ( Summation Notation) ดงั นี้

n

 a1 = a1 + a2 + a3 + ..... + an = Sn

i=1

เมอื่

1. n

i = 1+ 2 + 3 + ..... + n
i =1

= n (n +1)

2

2. n

i 2 = 12 + 22 + 32 + ..... + n2

i =1

= n (n +1) (2n +1)

6

3. n

i3 = 13 + 23 + 33 + ..... + n3

i =1

 n 1) 2
 2
= (n +

และสมบตั ิของ  ทีค่ วรทราบ

1. n เม่อื c เปน็ คา่ คงตวั

c = nc
i =1

2. nn เม่ือ c มีคา่ คงตวั

 cai = c ai
i=1 i=1

n nn

(a1 + bi ) = ai  b1
  3.
i=1 i=1 i=1

ใบงานท่ี 9 เรื่อง อนุกรมเลขคณิต

จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมท่กี ำหนด an ดงั ขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. an = 2n2 + 3n

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... ...................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................. ........
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. an = (n −1)2

......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................... ...................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................
........................................................................................................................................ ..............................
.................................................................................................... ..................................................................

เฉลย ใบงานท่ี 9 เรอื่ ง อนุกรมเลขคณติ

จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมท่กี ำหนด an ดงั ข้อตอ่ ไปน้ี

1. an = 2n2 + 3n

( ) Sn = an = 2n2 + 3n

= 2 n2 + 3 n

= 2n(n +1)(2n +1) + 3n(n +1)

62

= n(n +1)(4n +11)

6

2. an = (n −1)2

( ) Sn = an = n2 − 2n + 1

=  n2 − 2 n + 1

= n(n +1)(2n +1) − 2n(n +1) + n

62

( )= n 2n2 − 3n +1
6

เอกสารแนะแนวทาง

ข้อ ลำดบั จำกัด อนุกรมจำกดั
2 + 4 + 6 + 8 + 10
1 2, 4, 6, 8, 10
อนุกรมอนันต์
2 9, 6, 3, 0 , – 3, –6 1+ 3+ 5+ …+ 2n – 1+…

3 –3, 1, 5, 9, 13

4 2 3 4 99
3 , 4 , 5 ,..., 100
5 a1 , a2 , a3 ,…, an

ข้อ ลำดบั อนันต์

1 1, 3, 5, …, 2n – 1,…

2 –1, –2, –3, …,–n

3 111 1
2 , 4 , 8 ,..., 2n ,...
2
4 0.2, 0.02 , 0.002 , …, 10n ,…

5 a1 , a2 , a3 ,…, an,…

เอกสารฝึกหัด 1

อนกุ รม 3 + 4 + 5 + …+ 30 เปน็ อนกุ รมจำกัดท่ีไดจ้ ากลำดบั จำกัด…..………….................………………………

อนกุ รม 1 + 1 + 1 + ... + 1 + ... เป็นอนุกรมอนันตท์ ีไ่ ด้จากลำดับอนนั ต์……….......………………
3 6 9 3n
……………………………………………….................................................………………………………………………………..

ถา้ a1, a2, a3, …, an เปน็ ลำดับเลขคณติ

จะเรียก a1 + a2 + a3 +…+ an เปน็ อนุกรม.....................................................……………………………..

เช่น 1, 6, 11, …, 5n – 4 เปน็ ลำดับเลขคณิต

ดงั นน้ั 1 + 6 + 11 +…+ 5n – 4 เป็นอนุกรม.……………………………...................................................

เช่น 8, 6, 4, …, (10 – 2n), … เป็นลำดับเลขคณิต

ดงั นนั้ 8 + 6 + 4 +…+ (10 – 2n) +… เปน็ อนกุ รม……………………………..

เอกสารฝึกหดั 2

1. จงหาผลบวก 18 พจนแ์ รกของอนกุ รม 3 + 7 + 11 + …
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
2. ถ้าอนุกรมเลขคณิต คือ 1 + 5 + 9 + … จงหาค่าของ n ทท่ี ำให้ Sn = 861
....................................................................................................................................................... ...............
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3. อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 5 เท่ากับ –2 และผลบวกของพจน์ที่ 2

กบั พจน์ที่ 6 เท่ากบั 2 จงหาผลบวก 10 พจนแ์ รก
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................

ใบความรู้ เรื่อง อนุกรมเลขคณติ

การหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต

กำหนด a1 , a2 , a3 ,…, an เป็นลำดับเลขคณติ

ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ที่มี an เป็นพจน์แรก และ d เป็น ผลต่าง
ร่วม จะได้

Sn = a1, a2, a3, …, an
Sn = a1 + (a1 + d) +(a1 + 2d) + … +[a1 + (n – 2)d] +[a1 + (n – 1)d]
หรอื อาจเขยี นใหมไ่ ด้เปน็

Sn = [a1 + (n – 1)d] + [a1 + (n – 2)d] + … +(a1 + 2d) + (a1 + d) + a1
+ จะได้

2Sn = [2a1 + (n – 1)d] + [2a1 +(n – 1)d] + … +[2a1 +(n – 1)d]
2Sn = n[2a1 +(n – 1)d]

Sn = n [2a1 +(n – 1)d]

2

จาก an = a1 + (n – 1)d

ดังนั้น Sn = n [a1 + a1 + (n – 1)d]

2

= n (a1 + an)

2

สตู ร ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ คอื Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
2

หรือ Sn = n (a1 + an )
2

ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวก 25 พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคณิต 3 + 5 + 7 + …
วิธที ำ
สำหรับการหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต สามารถทำได้ 2 วธิ ี
n
 1. หาโดยใช้สตู รSn 2
= 2a1 +(n − 1)d

2. หาโดยใชส้ ูตร Sn = n (a1 + a n )
2

ใบความรู้ เรอื่ ง อนกุ รมเลขคณติ (ตอ่ )

วธิ ีท่ี 1 จากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1) d  วิเคราะห์แนวคิด
2
ตอ้ งการหา Sn
จากโจทย์ n = 25, a1 = 3, d = 2

แทนค่าในสูตร จะได้ S 25 = n 2a1 + (n − 1) d  หรอื
2
S 25 = 25 2(3) + (25−1) (2)
S25 = n (a1 + an )
2 2

= 25 (54) จากสง่ิ ท่โี จทย์กำหนดให้ แสดงวา่
2
สามารถเลือกทำได้ 3 วธิ ี
= 675

ผลบวก 25 พจน์แรก คอื 675

วธิ ีที่ 2 จากสตู ร Sn = n (a1 + an )
2

จากโจทย์ n = 25, a1 = 3

an = a25 = a1 + 24d = 3 + 24 (2) = 51
25
ดงั นน้ั S25 = 2 (3+ 51)

= 25 (27)

= 675

ตัวอย่าง 2 ถ้าอนกุ รมเลขคณติ คือ 15 + 13 + 11 + … จงหาคา่ ของ n ทที่ ำให้ Sn = –36

วิธีทำ จากสตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
2

จากโจทย์ Sn = –36, a1 = 15, d = 13 – 15 = –2
n
 แทนค่าในสูตร จะได้ 2
− 36 = 2(15)+(n −1)d

− 72 = 30n − 2n2 + 2n วเิ คราะห์แนวคิด

2n2 – 32n – 72 = 0 ตอ้ งการหา n
n2 – 16n – 36 = 0
(n – 18) (n + 2) = 18, –2 จากสูตร Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
แต่ n เป็นจำนวนเต็มบวก 2
ดงั น้ัน n = 18
Sn = –36, a1 = 15, d = –2

นำไปแทนคา่ จะได้ n

ใบความรู้ เร่ือง อนกุ รมเลขคณิต (ตอ่ )

ตวั อยา่ ง 3 อนุกรมเลขคณิตชุดหนึ่ง มีผลบวกของพจน์ที่ 2 กับพจน์ที่ 4 เท่ากับ 15 และผลบวกของ
วธิ ที ำ
พจน์ที่ 5 กับพจนท์ ี่ 6 เท่ากับ 25 จงหาผลบวกของ 12 พจน์แรก

จากโจทย์ a2 + a4 = 15 วิเคราะหแ์ นวคิด
ตอ้ งการหา Sn
(a1 + d) + (a1 + 3d) = 15
แสดงว่าต้องการหาคา่ a1 และ d
2a1 + 4d = 15 โดยการแกส้ มการ 2 ตัวแปร
15 จาก a2 + a4 = 15
a1 + 2d = 2
a5 + a6 = 25
จากโจทย์ a5 + a6 = 25

(a1 + 4d) + (a1 + 5d) = 25

2a1 + 9d = 25

จาก จะได้ a1 = 15 − 2d

2

นำ a1 = 15 − 2d แทนค่าใน

2

จะได้ 215 − 2d  + 9d = 25

2 

15 – 4d + 9d = 25
5d = 10

d=2 15
2
ดงั นัน้ a1 = − 2(2)

= 7
2

S12 = 12 2 7  + (12 − 1)(2)
2 2 

= 6(29)

= 174

ผลบวกของ 12 พจนแ์ รก เทา่ กับ 174

เอกสารฝึกหดั

1. ถ้าอนุกรมเลขคณติ มี Sn = n2 + n จงหาพจนท์ ี่ 5
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
2. ถ้าอนกุ รมเลขคณิตมี Sn = 3n2 – 5n จงหาพจน์ท่ี 10
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
3. จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ ที่มคี ่าระหว่าง 100 กบั 400 เมื่อจำนวนเต็มแตล่ ะจำนวน

3.1. หารด้วย 9 ลงตัว
3.2. หารด้วย 9 ไม่ลงตัว
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4. จงหาผลบวกของจำนวนเต็มท่ีมีคา่ ระหวา่ ง 80 กบั 150 เมือ่ จำนวนเต็มแต่ละจำนวน
3.1. หารดว้ ย 4 ลงตัว
3.2. หารด้วย 4 ไมล่ งตวั
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

ใบความรู้ เร่อื ง อนกุ รมเลขคณติ (2)

สตู ร Sn = n 2a1 + (n − 1) d  หรอื Sn = n (a1 + an )
2 2

ตวั อยา่ ง 1 ถ้าอนกุ รมเลขคณิตมี Sn = n2 – 5n จงหาพจน์ที่ 8

วิธีทำ เนือ่ งจาก a8 = a8 – a7 วเิ คราะห์แนวคดิ
จาก Sn = n2 – 5n
S8 = 82 – 5(8) ต้องการหา an
= 24 โจทย์กำหนดให้ Sn = n2 – 5n
S7 = 72 – 5(7)
= 14  a8 = a8 – a7 เพราะว่า
S8 = a1 + a2 +…+a8
a8 = 24 – 14 S8 = a1 + a2 +…+a7
= 10 a8 – a7 = a8
หา S7 และ S8 จาก Sn = n2 – 5n
ดงั น้นั พจนท์ ี่ 8 คอื 10

ใบความรู้ เร่อื ง อนุกรมเลขคณติ (2) (ตอ่ )

ตัวอยา่ ง 2 จงหาผลบวกของจำนวนเตม็ ทีม่ ีค่าอยรู่ ะหว่าง 200 กับ 500 เมอื่ จำนวนเตม็ แตล่ ะจำนวน

1) หารดว้ ย 6 ลงตัว

2) หารดว้ ย 6 ไมล่ งตวั

วิธีทำ 1) a1 = 204
d=6

an = 498
อนุกรมของจำนวนเต็มทมี่ คี ่าระหวา่ ง 200 กบั 500 และหารดว้ ย 6 ลงตัว

คอื 204 + 210 + 216 + … + 498

จาก an = a1 + (n – 1)d
498 = 204 + (n – 1) (6)

จะได้ n = 50

จาก Sn = n 2a1 + (n − 1) d 
2

จะได้ S50 = 50 2(204)+ (50 − 1) (6)

2

= 25 (702)

= 17,550

ผลบวกของจำนวนเต็มท่ีหารดว้ ย 6 ลงตวั เท่ากบั 17,500

2) ผลบวกของจำนวนเต็มทมี่ ีคา่ อยู่ระหวา่ ง 200 กบั 500 คือผลบวกของอนกุ รม

201 + 202 + 203 + … + 499

จาก an = a1 + (n – 1)d
499 = 201 + (n – 1) (1)

298 = n – 1

n = 299

S299 = 299 2(201)+(299− 1)(1)

2

= 299 (700)

2

= 104,650

ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 200 กับ 500 ที่หารด้วย 6 ไม่ลงตัวเท่ากับ ผลบวก

ของจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 200 กับ 500 – ผลบวกของจำนวนเต็มที่มีค่าระหว่าง 200

กับ 500 ทีห่ ารด้วย 6 ลงตวั เทา่ กับ 104,650 – 17,550 = 87,100

เอกสารฝกึ หดั

1. จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 5 + 20 + 80 + …
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................ ..............................
2. จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ 12 + 6 + 3 + …
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
3. จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 20 + 10 + 5 + …
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
4. อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมีผลบวกของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 3 เท่ากับ 5 และผลบวกของพจน์ท่ี

4 กบั พจนท์ ่ี 6 เทา่ กับ 40 จงหาผลบวก 6 พจนแ์ รก
............................................................................................................................................................. .........
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
5. อนุกรมเรขาคณิตชุดหนึ่งมผี ลบวกของพจน์ที่ 1 กบั พจน์ท่ี 2 เทา่ กบั 36 และผลบวกของพจน์ท่ี

3 กับพจนท์ ี่ 4 เท่ากบั 4 จงหาผลบวก 5 พจนแ์ รก
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................

แบบทดสอบก่อนเรยี น - หลงั เรียน

คำชีแ้ จง จงเลอื กคำตอบท่ถี กู ต้องเพยี งคำตอบเดยี ว

1. ผลบวก 60 พจนแ์ รกของลำดับเลขคณติ -2, 3, 8, 13, 18, ... ตรงกับขอ้ ใด

ก. 8,725 ข. 8,730 ค. 8,735 ง. 8,740

2. ผลบวก 75 พจนแ์ รกของลำดบั เลขคณิต 5, 2, -1, -4, -7, ... ตรงกับขอ้ ใด

ก. -7,950 ข. -7,947 ค. -7,944 ง. -7,941

3. ผลบวกของอนกุ รมเลขคณติ 6 + 9 + 12 + 15 + ... + 99 ตรงกับขอ้ ใด

ก. 1,672 ข. 1,674 ค. 1,678 ง. 1,680

4. อนุกรมเลขคณติ อนุกรมหน่งึ มีพจน์ทีส่ ิบเป็น 20 และพจน์ทีห่ า้ เปน็ 10 ผลบวกของพจน์ที่ 8 ถึง

พจนท์ ่ี 15 ตรงกับขอ้ ใด

ก. 180 ข. 182 ค. 184 ง. 186

5. ถ้าหากกำหนดให้ a1,a2,a3,.....,a13 เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม (d) เป็น -14 และ

a7 = 183 แลว้ ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี ตรงกับข้อใด

ก. 2,379 ข. 2,377 ค. 2,375 ง. 2,372

6. ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต 2 + 7 + 12 + 17 +..... + (5n − 3) ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. n (5n − 3) ข. n (5n − 2) ค. n (5n −1) ง. (5n − 3)

2 2 2

7. ทิมเริ่มออมเงิน โดยวันแรกเขาจะมีเงินสำหรับเป็นเงินออม 1 บาท วันที่สอง 2 บาท วันที่สาม 3

บาท ถ้าทมิ ทำได้เชน่ นไี้ ปเร่ือยๆ จนครบ 30 วัน ทมิ จะมเี งินออมทง้ั หมดเท่าใด

ก. 460 ข. 465 ค. 470 ง. 475

8. ถา้ กำหนด an = 2n − 5 แลว้ ค่าของ S15 ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 165 ข. 168 ค. 171 ง. 174

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น - หลงั เรยี น

1. ข.
2. ก.
3. ง.
4. ค.
5. ก.
6. ค.
7. ข.
8. ก.

แบบประเมินผล แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 7

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม แบบตรวจผลงาน

ต้ังใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรุปผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม รวม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ
ั้ตงใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา ผา่ น ไมผ่ ่าน
ความข ัยน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
ใบ ิกจกรรม
แบบทดสอบ
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) (5) (5) 25

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

เกณฑ์การประเมนิ
คะแนนเต็ม 25 คะแนน
นกั เรยี นท่ีได้คะแนนรวม ต้ังแต่ 20 คะแนนขึ้นไป ถือว่า ผ่านเกณฑ์ 80 %

ลงช่ือ..................................................................
(...........................................................)
ผูป้ ระเมนิ

วนั ที่................เดอื น...................พ.ศ. ..............

แบบสงั เกตพฤตกิ รรม
(ประเมินการเรียนรตู้ ามสภาพจริง)
แบบสังเกตพฤตกิ รรม

รวม
ตั้งใจเรียน สนใจศึกษาใบความรู้ สรปุ ผล
ให้ความร่วม ืมอในกิจกรรมกลุ่ม
ร่วมแสดงความ ิคดเห็น ถาม-ตอบ ผ่าน ไม่ผา่ น
้ตังใจทำใบงาน ส่งงานตรงเวลา
ความขยัน รับผิดชอบ ระเ ีบยบ วินัย
เลขท่ี
(3) (3) (3) (3) (3) 25

1
2
3
4
5

6
7
8
9
10
เกณฑ์การประเมิน

3 คะแนน = ดี
2 คะแนน = พอใช้
1 คะแนน = ต้องปรบั ปรุง
รวมคะแนนเต็ม 15 คะแนน
นักเรียนท่ไี ดค้ ะแนนรวม ตัง้ แต่ 12 คะแนนขน้ึ ไป ถอื วา่ ผา่ นเกณฑ์ 80 %

ลงชื่อ..................................................................
(...........................................................)
ผ้ปู ระเมนิ

วนั ท.่ี ...............เดอื น...................พ.ศ. ..............

เกณฑก์ ารให้คะแนนแบบสังเกตพฤตกิ รรม

ประเด็นการประเมิน 3 เกณฑก์ ารให้คะแนน 1
2

1. ตงั้ ใจเรยี น สนใจ มีความสนใจ ตั้งใจเรียน มีความสนใจ ตั้งใจเรียนใน ไม่สนใจ ไม่ค่อยตั้งใจเรียน

ศกึ ษาใบความรู้ อยา่ งดี ตลอดเวลาท่เี รยี น ระดับดี ขาดสมาธิในการ ไม่ใสใ่ จและไมม่ สี มาธใิ นการ

เรยี นบา้ งในบางเวลา เรียน หรือมีนอ้ ยมาก

2. ให้ความร่วมมือใน ให้ความร่วมมือในการทำ ให้ความร่วมมือในการทำ ไม่ให้ความร่วมมือในการทำ

กิจกรรมกลมุ่ กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน กิจกรรมกลุ่มกับเพื่อน

สมาชิกในกลุ่มอย่างดี สมาชิกในกลุ่มบางส่วน สมาชิกในกลุ่ม ไม่พยายาม

ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ ร่วมปฏิบัติงานในกลุ่มเป็น ปฏิบัติตามหน้าที่ ที่ได้รับ

มอบหมายจากกลมุ่ ดี ส่วนใหญ่ มอบหมายจากกลมุ่

3. ร่วมแสดงความ ร่วมแสดงความคิดเห็น รว่ มแสดงความคิดเห็น และ ไม่ร่วมแสดงความคิดเห็น

คดิ เห็น ถาม-ตอบ แ ล ะ ย อ ม ร ั บ ฟ ั งคว าม ยอมรับฟังความคิดเห็นผู้อื่น หรือยอมรับฟังความคดิ เห็น

คิดเห็นผู้อื่น กล้าตั้ง กล้าตั้งคำถามที่สงสัย และ ผู้อื่น ไม่กล้าตั้งคำถามที่

คำถามที่สงสัย และตอบ ต อ บ ค ำ ถ า ม ท ี ่ ต อ บ ไ ด้ สงสยั

คำถามทีต่ อบได้เหมาะสม บางสว่ น

4. ต้งั ใจทำใบงาน สง่ ตั้งใจทำงาน พยายามทำ ตั้งใจทำงาน พยายามทำใบ ไม่ตั้งใจทำงาน ไม่พยายาม

งานตรงเวลา ใบงานที่มอบหมายให้ งานท่มี อบหมายให้บางสว่ น ทำใบงานท่ีมอบหมายให้

อย่างดี

5. ความขยนั ขยันทำงาน มีความ ขยันทำงาน มีความ ไม่ขยันทำงาน มีความ

รับผดิ ชอบ ระเบยี บ รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี รับผิดชอบ ทำงานอย่างมี

วินัย ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัว ระเบยี บวินยั ระเบียบวินัยทั้งส่วนตัวและ

และกล่มุ กลุ่ม

โรงเรยี นสวนกุหลาบวิทยาลัย นนทบุรี

แผนการจัดการเรียนรู้

แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 8 เร่ือง อนุกรมเรขาคณติ เวลา 8 ช่ัวโมง
หน่วยที่ 1
รหสั วิชา ค 33101 ชือ่ หน่วยการเรียนรู้ ลำดับและอนกุ รม
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 6
รายวชิ า คณิตศาสตร์พื้นฐาน ภาคเรยี นท่ี 1

กลุม่ สาระการเรยี นรู้ คณิตศาสตร์

1. มาตรฐานการเรียนรู้
มาตรฐาน ค 4.2 ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และแบบจำลองทางคณิตศาสตร์อื่นๆ แทน
สถานการณ์ตา่ งๆ ตลอดจนแปลความหมายและนำไปใชแ้ ก้ปัญหาได้
มาตรฐาน ค 4.2 : (5) เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรม
เรขาคณิต หาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิตและอนกุ รมเรขาคณติ โดย
ใชส้ ตู รและนำไปใช้

2. ตัวชว้ี ดั เข้าใจความหมายของผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรม
ค 4.2 ม. 4/ 5 เรขาคณิต หาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณิต
โดยใชส้ ตู รและนำไปใช้ได้

3. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ส่ตู ัวช้วี ดั /ผลการเรยี นรู้

วเิ คราะห์พฤติกรรมการเรยี นรูท้ ค่ี าดหวัง โดยใสเ่ ครอ่ื งหมาย ✓ ลงในช่อง K, P, A

K – ด้านความรู้, P - ด้านทักษะ/กระบวนการ, A - ด้านคณุ ลักษณะพงึ ประสงค์

(เหมือนจุดประสงค์นำทางในหลักสูตรเก่า แต่ละแผนอาจไม่ครบ K - P - A แต่เมื่อรวมทั้งหน่วยต้อง

ครบทั้งหมด)

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้ / ผลการเรยี นรู้ KPA

1. ระบอุ นุกรมทเ่ี ปน็ อนุกรมเรขาคณิต ✓

2. หาอัตราสว่ นร่วมของอนุกรมเรขาคณิต ✓

3. หาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณติ ✓

4. ใช้ความรู้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหาในสถานการณ์ต่างๆ ได้ ✓

อยา่ งเหมาะสม

5. มคี วามสามารถนำความร้แู ละทกั ษะเร่ืองลำดบั เลขคณิตไปประยกุ ตใ์ ช้ ✓

6. มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจในการทำงาน มี ✓

ความกระตอื รอื ร้นในการทำงาน กล้าแสดงความคดิ เห็น

4. สาระสำคญั (ความคิดรวบยอด)
อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิตและอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะ

เปน็ อัตราสว่ นของอนุกรมเรขาคณิตดว้ ย

สตู ร ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ คอื

( ) ( )Snna1 rn เม่ือ r = 1
=  a1 1 − = a1 rn − 1 เม่ือ r  1
 r −1

 1 − r

5. สาระการเรียนรู้
5.1. ความรู้
1) ระบอุ นกุ รมทีเ่ ป็นอนุกรมเรขาคณติ
2) หาอัตราสว่ นร่วมของอนุกรมเรขาคณติ
3) หาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต
5.2. ทกั ษะ/กระบวนการ/กระบวนการคดิ
1) ใชค้ วามรูท้ ักษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ นการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ตา่ งๆ ได้อยา่ ง
2) เหมาะสม
3) มคี วามสามารถนำความรู้และทกั ษะเร่ืองลำดับเลขคณิตไปประยุกต์ใช้
5.3. สมรรถนะสำคัญของผู้เรียน มีความสามารถในการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การส่ือ

ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยง
คณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อนื่ ๆ และมีความคิดริเรม่ิ สรา้ งสรรค์

5.4. คุณลักษณะอันพึงประสงค์ มีความร่วมมือ และรับผิดชอบงานที่ได้รับมอบหมาย มีความสนใจใน
การทำงาน มคี วามกระตือรือร้นในการทำงาน กลา้ แสดงความคิดเหน็

6. ความเข้าใจที่คงทน
นักเรียนสามารถสรุปได้ว่า
อนุกรมที่ได้จากลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิตและอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต จะ

เป็นอตั ราส่วนของอนุกรมเรขาคณิตด้วย

สตู ร ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ คอื

( ) ( )Snna1 rn เม่ือ r = 1
=  a1 1 − = a1 rn − 1 เมื่อ r  1
 r −1

 1 − r

7. ชนิ้ งานหรือภาระงาน
ใบงาน

8. คำถามท้าทาย
ถ้านายสมคิดตั้งใจว่าจะออมเงินด้วยการนำเงินไปฝากธนาคารโดยฝากเดือนแรก 1,000 บาท เดือน

ถัดไปเพ่ิมขึ้นเดือนละ 200 บาท ทุกเดือน เปน็ เวลา 1 ปี อยากทราบว่าเดือนท่ี 12 นายสมคดิ ตอ้ งนำเงินไปฝาก
ธนาคารก่ีบาท และเม่อื ครบ 1 ปี จำนวนเงินท่นี ายสมคดิ ไปฝากคิดรวมทงั้ หมดเป็นเงินก่ีบาท

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้
การบรู ณาการกับปรัชญาเศรษฐกจิ พอเพยี ง
1) ความพอประมาณ รู้จักลำดับ ก่อน หลัง จัดลำดับสิ่งต่างๆ ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสมและ
พอประมาณ
2) ความมเี หตผุ ล รู้จกั นำกระบวนการจัดลำดับ การเรยี งลำดบั ส่ิงตา่ งๆ ไปใชใ้ นชวี ิตประจำวนั
อย่างมเี หตผุ ล
3) การมีภูมิคุ้มกันในตัวที่ดี มีความตระหนักและรู้คุณค่าของการจัดลำดับ การเรียงลำดับส่งิ
ต่างๆ อย่างถูกต้อง จัดวาง จัดเรียง รู้จักวางแผนได้จากการจัดลำดับสิ่งต่างๆ และสิ่งที่จะ
เกดิ ขน้ึ ไดอ้ ยา่ งเหมาะสม
4) เงื่อนไขความรู้ รู้จักนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมไปปรับประยุกต์ใช้ในการดำเนินชีวิต
และสถานการณ์ต่างๆ อยา่ งเหมาะสม
5) เงอ่ื นไขคณุ ธรรม นำหลักการการจัดลำดบั เรียงลำดบั ส่งิ ตา่ งๆ ท่ถี กู ต้อง และเหมาะสม ไป
ใช้ กบั ความมรี ะเบียบ วินัย จัดลำดับขนั้ ตอนต่างๆ ได้ ตามความถกู ต้อง และเหมาะสม
9.1. วดั ผลกอ่ นเรยี น
1) นักเรียนทำแบบทดสอบกอ่ นเรยี น
คาบที่ 1 – 2
9.2. ข้นั นำ
2) ครแู จ้งตวั ชวี้ ดั และจุดประสงคก์ ารเรียนรู้
3) ครูแบ่งกลุ่มนักเรียน กลุ่มละ 5 คน ตามแบบกลุ่มร่วมมือ (Cooperative Learning) ให้

นักเรียนสามารถเรียนรู้แบบร่วมมือกันเรียนรู้เป็นกลุ่ม (Team Assisted individualization : TAI) โดยให้
นักเรียนที่มีคะแนนทดสอบในเรื่องลำดับเรขาคณิตสูงสุด 5 อันดับแรก เป็นหัวหน้ากลุ่ม และให้หัวหน้ากลุ่ม
เลือกสมาชกิ เพิ่มอกี กลมุ่ ละ 5 คน

9.3. ขัน้ สอน จัดกิจกรรม
4) นกั เรยี นในกลุ่มแต่ละกลมุ่ เลือกเลขานุการ เพอ่ื จดั กจิ กรรมเรยี นรรู้ ่วมกบั ครู
5) ครทู บทวนเนื้อหาเกี่ยวกับอนั ดบั เรขาคณติ เพ่ือจะนำสูอ่ นุกรมเรขาคณติ ดงั นี้
อนุกรมที่ได้จากลำดบั เรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดบั

เรขาคณิตจะเปน็ อัตราสว่ นร่วมของอนกุ รมเรขาคณติ ดว้ ย
พิจารณาลำดับ 1, 3, 9, 27, ....., 6561 ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิตที่มี 3 เป็นอัตราส่วนร่วม

การหาผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของลำดบั เรขาคณติ ทำได้ดงั นี้
ให้ S = 1+ 3 + 9 + 27 + ..... + 6561

3S = 3 + 9 + 27 + ..... + 6561+19,683

- ; 2S = 19,683 −1

2S = 19,682

จะได้ S = 9841
ในกรณที ่ัวไปสามารถหาผลบวกของพจน์ n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณติ

a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + ..... + a1r n−1

ให้ Sn เป็นผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 เป็นพจน์แรก และมี r เป็น

อตั ราส่วนรว่ ม จะได้

Sn = a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + ..... + a1r n−1

rSn = a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + ..... + a1r n−1 + a1r n

- ; rS n − Sn = a1r n − a1

( )Sn (r −1) = a1 r n −1

( )Sn
= a1 r n −1 , r1
r −1
( )หรอื
Sn = a1 1 − r n , r1
1− r

จาก สามารถเขยี นผลบวก n พจน์แรกได้อีกแบบหนึ่ง ดังน้ี
( )Sn
= a1 1 − r n
1− r

Sn = a1 − a1r n−1  r
1− r

แต่ an = a1r n−1

ดงั น้ัน Sn = a1 − an r , r1
1− r

สตู รการหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ
( )Sn = a1 1 − r n , r  1

หรือ Sn = a1an  r , r 1
1− r

เม่อื กำหนด a1 คือ พจนแ์ รก r คอื อตั ราส่วนร่วม

Sn คือ ผลบวก n พจนแ์ รก

และ an คือ พจนส์ ุดท้าย

6) ครูยกตัวอย่างการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต และผลบวกของพจน์ต่างๆ

ในอนกุ รมเรขาคณติ ดงั น้ี

ตัวอยา่ ง 1 จงหาผลบวก 9 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 2 + 6 + 18 + 54 + .....
( )Sn
วิธที ำ จากสูตร = a1 r n −1 , r1
r −1
( )S1
= 2 39 −1
3−1

S9 = 19,682

ดังน้นั ผลบวก 9 พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณติ นี้ คอื 19,862

ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของสบิ พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต

1 + 1 + 1 + 1 + .....
2 6 18 54

วธิ ที ำ อนุกรมท่กี ำหนดให้มี a1 = 1 และ r =1
2 3
( )Sn
จากสตู ร = a1 1 − r n , r 1
1− r

1 1 −  1 10 
2  3  
S10 = , r 1
1− 1
3

=  1  3 1 −  1 10 

 2  2   3  

S10 = 3 1 −  1 10 
4 
  3  

ดังนัน้ ผลบวกสบิ พจน์แรกของอนกุ รมเรขาคณิต คอื 3 1 −  1 10 
4   3  


ตวั อย่าง 3 จงหาผลบวกของพจน์ทกุ พจน์ของอนกุ รมเรขาคณิต

4 + 2 + 1 + ..... + 1

512

วธิ ีทำ อนุกรมเรขาคณติ ท่ีกำหนดให้มี a1 = 4, r = 1 และ an = 1
2 512

จากสูตร Sn = a1 − an r , r 1
1− r

4 −  1  1 
=  512  2 

1− 1
2

= 2 4 − 1 
 1024 

=8− 1
1024

= 7 511
512

ดงั นน้ั ผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องอนกุ รมเรขาคณิตท่ีกำหนดให้ คอื 7 511

512

นอกจากการใชก้ ารหาผลบวกของพจน์ทกุ พจนข์ องอนุกรมเรขาคณติ ท่ีกำหนดใหโ้ ดยใช้สูตร

อาจจะใชว้ ิธีการหาผลบวกของพจน์ทุกพจน์ ดังน้ี

ให้ S = 4 + 2 +1+ ..... + 1

512

1 S = 2 + 1 + 1 ..... + 1 + 1
2 2 512 1024

–; 1S =4− 1
2 1024

S = 2 4 − 1 
 1024 

= 7 511
512

ตวั อย่าง 4 พลตั้งใจจะออมเงินโดยวันแรกเขาเก็บไว้ 1 บาท วันที่สอง 2 บาท วันที่สาม

4 บาท วันที่ส่ี 8 บาท เช่นนี้เรื่อยไปจนครบ 15 วัน พลจะมีเงินออมทั้งหมด

เทา่ ใด

วิธีทำ แทนจำนวนเงนิ ที่พลออมในแตล่ ะวนั ด้วยลำดับเรขาคณิต ดังนี้

1, 2, 4, 8, .....

จากลำดับเรขาคณติ ทไ่ี ด้ มี a1 = 1 และ r = 2

หาจำนวนเงนิ ทัง้ หมดที่พลเกบ็ ได้ทง้ั 15 วนั โดยใช้สตู ร
( )Sn
= a1 r n − 1 , r1
r −1
( )S15
= 1 215 −1
2 −1

= 32,767

ดังนน้ั เมื่อครบ 15 วัน พลจะมเี งนิ ออมทัง้ หมด 32,767 บาท

ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคณิต

1 + 9 + 81 + 729 + .....
10 100 1,000

วิธีทำ อนกุ รมทกี่ ำหนดให้มี a1 = 27 และ r = −2
3
( )Sn
จากสตู ร = a1 1 − r n , r 1
1− r

1  9  n 
 10  
−

Sn = 1 1− 9

10

ดังน้ัน ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม 101  9  n 
 10  
(S n ) = −

ตวั อย่าง 6 จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ 27 – 18 + 12 - .....

วิธีทำ อนกุ รมทก่ี ำหนดใหม้ ี a1 = 27 และ r = 9
10
( )Sn
จากสตู ร = a1 1 − r n , r 1
1− r

271  −2  n 
 3  
−

Sn = 1 −  − 2 

3

= 81 1 −  −2  n 
5  3  

ดงั นั้น ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 81 1  −2  n 
5  3  
(Sn ) = −

คาบ 3 – 4

7) ครแู จกใบความร้เู พิม่ เตมิ กรณอี นุกรมเรขาคณิตเปน็ อนุกรมอนนั ต์ พรอ้ มยกตัวอยา่ ง

ตวั อย่าง 7 จงหาผลบวกของอนุกรม 2 + 4 + 8 + 16 + .....

3 9 27

วธิ ีทำ อนกุ รมทก่ี ำหนดให้ เปน็ อนกุ รมอนันตท์ ีเ่ ปน็ อนุกรมเรขาคณิต มี

a1 = 2 และ r = 2
3

จากสตู ร S = a1 , r 1
1− r

=2
1− 2
3

S = 6

ดังน้ัน ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์ คอื 6